Kiến thức cơ bản lượng giác lớp 11

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LƯỢNG GIÁC 11
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa: là giá trị đặc biệt) * 0 0 0
A có nghĩa khi A ³ 0.
* cot x = cot b Û x = b + 18 k 0 1
3: Công thức lượng giác cơ bản: * có nghĩa khi A ¹ 0 . A 1 * sin 2 a + cos2 a = 1 * 2 1+ tan a = 1 2 cos a * có nghĩa khi A > 0 A 1 * 2 1+ cot a = * tana.cota = 1 Đặt biệt: 2 sin a
4: Công thức đối: p
* sin x = 1 Û x = + k p
2 * sin x = 0 Û x = p k * * cos( a - ) = cosa * sin( a - ) = -sina 2 * tan( a - ) = - tana * cot( a - ) = -cota p sin x = 1 - Û x = - + k p 2 5: Công thức bù: 2 * sin p ( - a) = sina * cos p ( -a) = -cosa p
* cos x = 1 Û x = k p
2 * cos x = 0 Û x = + p k * tan p ( -a) = - tana * cot p ( -a) = -cota 2 * cos x = 1 - Û x = p + k p 2 . 6:Công thức phụ:
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối p p
* sin( -a) = cosa * cos( -a) = sina
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm 2 2 tâm đối xứng. p p
* tan( - a) = cota * cot( -a) = tana
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản: 2 2 éx = a + k p 2
7:Công thức hơn kém p : * sin x = sin a Û ê * sin p ( + a) = -sina * cos p ( + a) = -cosa
ëx = p - a + k p 2 * tan p ( + a) = tana * cot p ( + a) = cota
éx = arcsin a + k p 2 * sin x = a Û ( với a £ ê 1 8:Công thức cộng:
ëx = p - arcsin a + k p 2
* cos(a - b) = cosa.cosb + sin a.sin b
và a không phải là giá trị đặc biệt)
* cos(a + b) = cosa.cosb - sin a.sin b éx = 0 b + 0 k360 * sin x = 0 sin b Û ê
* sin(a - b) = sin a.cosb - cos a.sin b êëx = 0 180 - 0 b + 0 k360
* sin(a + b) = sin a.cosb + cos a.sin b éx = a + k p 2
9:Công thức nhân đôi: * cos x = cosa Û ê ëx = -a + k p 2 * 2 2 2
cos2a = cos a - sin a = 2cos a - 1
éx = arccos a + k p 2 2 =1- 2sin a . * cos x = a Û ( với a £ 1 và ê
* sin 2a = 2sin a.cos a
ëx = - arccos a + k p 2
10:Công thức hạ bậc:
a không phải là giá trị đặc biệt) 1+ cos 2a 1- cos 2a 0 0 * cos2 a = sin 2 a = éx = b + k360 * cos x = 0 cos b Û ê 2 2 êx = - 0 b + 0 k360
11:Công thức biến đổi tích thành tổng: ë
* tan x = tan a Û x = a + p k 1 * cos .
a cosb = [cos(a - b) + cos(a + b) ]
* tan x = a Û x = arctan a + p
k (với a không phải là 2 giá trị đặc biệt) 1 sin .
a sin b = [cos(a - b) - cos(a + b) ] * 0 0 0
tan x = tan b Û x = b + 18 k 0 2
* cot x = cot a Û x = a + p k 1 sin .
a cosb = [sin(a - b) + sin(a + b) ]
* cot x = a Û x = arc cot a + p
k (với a không phải 2
12:Công thức biến đổi tổng thành tích:
* Dạng a tan 2 x + b tan x + c = 0 Đặt t = tan x .
* Dạng a cot2 x + b cot x + c = 0 Đặt t = cot x . Trang 1 a + b a - b
3. Phương trình dạng a sin x + b cos x = c (1):
* cosa + cosb = 2cos cos *Cách giải: 2 2 a + b a - b 2 2 cosa - cosb = 2 - sin sin
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho a + b 2 2 Ta được: a + b a - b a b c
sin a + sin b = 2sin cos sin x + cos x = 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b a + b a - b
sin a - sin b = 2cos sin c
Û cosa sin x + sina cos x = 2 2 2 2 + sin(a ± b) a b
tan a ± tan b = c cos a.cosb Û sin(x + a) = 0 p p p p 2 2 a + b
4. Phương trình dạng: 6 4 3 2 2 2 sin 0
a sin x + b sin x cos x + c cos x = d (1) 1 2 3 1 Cách giải: 2 2 2 p 2 cos 1 + Thay x =
+ kp (Û cos x = 0 Û sin x = ) 1 3 1 2 0 2 2 2 2
vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không? tan 0 1 p th1 thgtgf 3 KXĐ + Với x ¹
+ kp (Û cos x ¹ ) 0 , chia hai vế của 3 2 cot KXĐ 2 3 1 1
(1) cho cos x ta được phương trình: 0 3 1 a 2
tan x + b tan x + c = d. 2 cos x
Các phương trình lượng giác thường gặp: Û a tan2 x + b tan x + c = d 1 .( + tan2 x)
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số 5: Phương trình : lượng giác:
* Dạng a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c b p
* a sin x + b = 0 Û sin x = -
Đặt t = sin x + cos x (= 2 sin(x + ) ) , t £ 2 a 4 b 2 * -
a cos x + b = 0 Û cos x = - 1
Ta có : sin x cos = t x . a 2 b
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
* a tan x + b = 0 Û tan x = - biến t. a b
*Dạng a(sin x - cos x) + b sin x cos x = c
* a tan x + b = 0 Û tan x = - a p
Đặt t = sin x - cos x (= 2 sin(x - ) ) , t £ 2
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng 4 giác: 1 2 - t
* Dạng a sin 2 x + b sin x + c = 0
Ta có : sin x cos x = . 2
Đặt t = sin x , t £ . 1
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
* Dạng a cos2 x + b cos x + c = 0 biến t.
Đặt t = cos x , t £ . 1 Trang 2
4. Phương trình dạng: 0 p p p p a 2
sin x + b sin x cos x + c 2 cos = d (1) Cách giải: 6 4 3 2 sin 0 1 p 2 3 1 2 + Thay x =
+ kp (Û cos x = 0 Û sin x = ) 1 2 2 2 2
vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không? cos 1 3 1 2 0 p + Với x ¹
+ kp (Û cos x ¹ ) 0 , chia hai vế của 2 2 2 2 tan 0 1 th1 thgtgf 3 KXĐ (1) cho 2
cos x ta được phương trình: 3 1 a 2
tan x + b tan x + c = d. cot KXĐ 3 1 1 2 0 cos x 3
Û a tan2 x + b tan x + c = d 1 .( + tan2 x) 5: Phương trình :
Các phương trình lượng giác thường gặp:
* Dạng a(sin x + cos x) + b sin x cos x = c
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số p lượng giác:
Đặt t = sin x + cos x (= 2 sin(x + ) ) , t £ 2 4 b
* a sin x + b = 0 Û sin x = - 2 -1
Ta có : sin x cos = t x . a 2 b
* a cos x + b = 0 Û cos x = -
*Dạng a(sin x - cos x) + b sin x cos x = c a p b
Đặt t = sin x - cos x (= 2 sin(x - ) ) , t £ 2
* a tan x + b = 0 Û tan x = - 4 a 1 2 - t b
Ta có : sin x cos x = .
* a tan x + b = 0 Û tan x = - 2 a
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
* Dạng a sin 2 x + b sin x + c = 0 Đặt t = sin x , t £ . 1
* Dạng a cos2 x + b cos x + c = 0 Đặt
t = cos x , t £ . 1
* Dạng a tan 2 x + b tan x + c = 0 Đặt t = tan x .
* Dạng a cot2 x + b cot x + c = 0 Đặt t = cot x .
3. Phương trình dạng a sin x + b cos x = c (1): *Cách giải:
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho 2 2 a + b Ta được: a b c sin x + cos x = 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b c
Û cosa sin x + sina cos x = 2 2 a + b c Û sin(x + a) = 2 2 a + b Trang 3 Trang 4