lOMoARcPSD|50734573 Chuỗi luỹ thừa
Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng: Trong đó:
un:dãysố t ựcℎ a:ℎằngsố Ta
gọi a là tâm và un các hệ số của chuỗi luỹ thừa Hoặc
chuỗi luỹ thừa còn có dạng: ∞ n 2 n
VD: Chuỗi luỹ thừa ∑ 2 x n=0 1+n 2n
có tâmlà0và số hạngtổngquátcó dạngun= 2 1+n
- Nếu tại x0mà chuỗi luỹ thừa hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ của chuỗi
- Tập hợp tất cả các điểm làm cho chuỗi hội tụ thì gọi là miền hội tụ của chuỗi ∞
- Chuỗi ∑unxnluôn hội tụ tại 0 n
- Và chuỗi ∑un(x−a)nluôn hội tụ tại x=a n=0
Bán kính hội tụ khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∞
Xét chuỗi luỹ thừa ∑un(x−a)n n=0 -
Chuỗi luôn hội tụ tại tâm a -
Luôn tồn tại R ∈¿) thoả:
Chuỗi hội tụ với mọi x thoả |x-a| < R tức là chuỗi hội tụ
∀ x ∈(a−R,a+R)
Chuỗi phân kỳ ói mọi x thoả |x-a| > R tức là chuỗi phân kỳ khi x< a-R hoặc khi x>a+R lOMoARcPSD|50734573
- Số R trên đgl bán kính hội tụ của chuỗi ∞
+∞- Nếu ρ=+∞ thì bán kính hội tụ
Xét chuỗi luỹ thừa ∑unxn R=0 n=0
Phương pháp em miền hội tụ của
Phương pháp em bán kính của chuỗi chuỗi
- Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi - Tìm n→∞ ¿ hoặc u
- Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là (-R,+R) n→∞ u
- Xét sự hội tụ của chuỗi tại x = -R n
- Bán kính hội tụ R của chuỗi được và x= +R
- Dựa vào kết quả trên, ta sẽ suy xđ bởi R=
ra đc miền hội tụ của chuỗi
- Nếu ρ = 0 thì bán kính hội tụ R =
*) Notes: Khi em bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi (x−a)n n=0
1, Thì ta đặt X= x-a và thực hiện các bước như trên
2, Suy ra giá trị x, cũng như xét x-a=-R và x-a=+R ∞ n x VD: Tìm
bán kính hội tụ và miền hội tụ của các chuỗi : ∑ 2 n=1 n +n Giải Đặt un n2+n +
(n+1)2+n+1 u n2+n Xét un
n→∞ ¿(n+1)2+n+1∨¿ = 1 n→∞
Suy ra bán kính hội tụ R=1
Suy ra khoảng hội tụ (-1,1) ∞ n
Xét x=-1 ta có chuỗi ∑(− 1) 2 n=1 n +n lOMoARcPSD|50734573 - là chuỗi đan dấu - Ta có: { là dương, dãy giảm n +n - 2 = 0 n +n ∞ n (−1)
Vậy chuỗi ∑ 2hội tụ theo }êu chuẩn Leibnitz n=1 n +n Xét x=1 ∞ ∞ Ta có chuỗi là chuỗi số
dương n=1 n +n n=1 n +n 1 1 Ta có: 0 < 2 < 2 n +n n ∞ Ta có chuỗi
hội tụ ( vì ρ=2>1¿ n=1 n Nên chuỗi hội tụ
n=1 n +n ∞ n x
Vậy miền hội tụ của chuỗi ∑ 2
là [-1,1] n=1 n +n ∞ n n n x
VD2: Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi =1 ∞ n n −1 x 2
VD3: Tìm bán kính và miền hội tụ của chuỗi =1 +
Các @nh chất của chuỗi luỹ thừa ∞
Định lý Abel: Cho chuỗi luỹ thừa ∑ anxn hội tụ tại x=x0≠0 thì nó hội tụ n=1
tuyệt đói tại mọi x vs |x|<|x0∨¿ ∞ lOMoARcPSD|50734573
Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ anxn phân kì tại x=x1 thì nó phân kì tại n=1
mọi x thoả mãn |x|>|x1|
Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của điểm x0 và
có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 1 chuỗi luỹ thừa trong lân cận ấy F(x) = trong đó là các hằng số
Khi đó trong khoảng hội tụ ta có: F’(x) =
….………………………………………………
F(n)(x)=n!a0+......
Thế x=x0 vào các đẳng thức trên: ak=
f (kk !)(x0) k=0,…,n Khi đó: Chuỗi Taylor
3.1 Chuỗi Taylor - Chuỗi Maclaurin
Định lý1: Nếu hàm số f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi lũy
thừa tại điểm x=x0
thì các hệ số của chuỗi lũy thừa được xác định bởi công thức:
Lưu ý. f (x) có đạo hàm mọi cấp tại x0 chỉ là điều kiện cần để f (x) có
thể biểu diễn chuỗi lũy thừa tại x0
Định lí 2: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm x0 hàm fx có đạo hàm
mọi cấp và trị tuyệt đối của mọi đạo hàm đó đều bị chặn bởi ucngf một
số thì có thể khai triển hàm fx thành chuỗi taylor trong lân cận ấy
Chuỗi MacLaurin của một số hàm thông dụng lOMoARcPSD|50734573