Lũy thừa là gì? Cách tính lũy thừa Toán lớp 6
Trong chương trình Toán học lớp 6, ta sẽ được tìm hiểu về lũy thừa với số mũ tự nhiên. Đây là
một kiến thức rất quan trọng bởi lũy thừa được lặp lại trong rất nhiều dạng toán và có tính ứng dụng cao.
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là a^n, là tích của n thừa số a: a^n = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số tự nhiên.
Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.
Ta quy ước: a^1 = a; 1^n = 1; a^0 = 1
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.
Chú ý: a^n đọc là "a mũ n" hoặc "a lũy thừa n" hoặc "lũy thừa bận n của a"
a^2 còn được gọi là "a bình phương" hay "bình phương của a".
a^3 còn được gọi là "a lập phương" hay "lập phương của a". 0^n không có nghĩa.
Với n là số tự nhiên khác 0, ta có: 10^n = 100....0 (n chữ số 0)
2. Tính chất của lũy thừa với số mũ tự nhiên
- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: a^m.a^n = a^m+n
- Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: a^m : a^n = a^m-n (a khác 0, m >= n) Mở rộng:
(a.b)^n = (a.b).(a.b)....(a.b) (gồm n thừa số a.b) = a^n. b^n
(a : b)^n = (a. a. a... a) : (b. b.b... b) (gồm n thừa số a, n thừa số b) = a^n : b^n (b khác 0)
(a^n)^m = a^n. a^n. a^n... a^n (gồm m thừa số a^n) = a^n.m
3. Thứ tự ưu tiên thực hiện phép tính
Thứ tự ưu tiên thực hiện phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc: ( ) -> [ ] -> { }
Thứ tự ưu tiên thực hiện phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc: Lũy thừa -> nhân và chia -> cộng và trừ
4. Các dạng bài tập về lũy thừa với số mũ tự nhiên thường gặp
4.1. Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân, chia dưới dạng lũy thừa
Phương pháp giải: Để viết kết quả phép tính dưới dạng lũy thừa, ta biến đổi phép tính về dạng
phép nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc phép chia hai lũy thừa cùng cơ số, rồi áp dụng quy tắc
nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc chia hai lũy thừa cùng cơ số để viết gọn kết quả.
Ví dụ 1: Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa a) 3. 3. 3. 3. 7. 7. 7 b) 1000. 10000. 100000 Trả lời:
a) 3. 3. 3. 3. 7. 7. 7 = 3^4. 7^3
b) 1000. 10000. 100000 = 10^3. 10^4. 10^5 = 10^3+4+5 = 10^12
Ví dụ 2: Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa a) 5^2. 5^3. 5^4
Trả lời: 5^2. 5^3. 5^4 = 5^2+3+4 = 5^9 b) 8^7 : 8^3
Trả lời: 8^7 : 8^3 = 8^7-3 = 8^4 c) 4^5 : 2^7
Trả lời: 4^5 : 2^7 = (2^2)^5 : 2^7 = 2^10 : 2^7 = 2^3
4.2. Dạng 2: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa. Tìm số mũ của lũy thừa
Phương pháp giải: Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo 3 cách sau đây:
Cách 1: Đưa lũy thừa về cùng cơ số là số tự nhiên rồi so sánh hai số mũ
Nếu m > n thì a^m > a^n
Cách 2: Đưa lũy thừa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số
Nếu a > b thì a^m > b^m
Cách 3: Tính cụ thể từng lũy thừa rồi so sánh
Ví dụ 1: So sánh hai số sau: a) 2^100 và 1024^8 Trả lời:
1024^8 = (2^10)^8 = 2^10.8 = 2^80
Vì 80 < 100 nên 2^80 < 2^100, do đó 1024^8 < 2^100 b) 222^333 và 333^222 Trả lời:
222^333 = (222^3)^111 ; 333^222 = (333^2)^111
Ta cần so sánh 222^3 và 333^2
Ta có: 222^3 = (2. 111)^3 = 2^3. 111^3 = 8. 111^3 = 888. 111^2 ; 333^2 = (3. 111)^2 = 3^2. 111^2 = 9. 111^2
Vì 888. 111^2 > 9. 111^2 nên 222^3 > 333^2. Do đó 222^333 > 333^222
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 3^n = 81
Trả lời: Vì 81 = 3^4 nên 3^n = 3^4. Suy ra n = 4 b) 5^n < 90
Trả lời: Vì 5^2 < 90 < 5^3 nên từ 5^n < 90 ta có thể suy ra n <= 2. Tức là n = 0; 1; 2 c) 14 < 6^n < 50
Trả lời: Vì 6 < 14 < 6^n < 50 < 6^3 nên 1 < n < 3. Tức là n = 2
4.3. Dạng 3: Tim chữ số tận cùng của một số dạng lũy thừa
Phương pháp giải: Dựa vào các tính chất sau đây để tìm chữ số tận cùng của một số dạng lũy thừa
- Một số chính phương (là bình phương của một số tự nhiên) có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
- Một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bằng 1, 3, 7, 9
- Chữ số tận cùng của a^n chính là chữ số tận cùng của x^n (với x là chữ số tận cùng của a)
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kỳ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 1
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 6.
- Một số tự nhiên bất kì khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi
- Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là
7; số tự nhiên có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3
- Số tự nhiên có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8;
số tự nhiên có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2
- Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không
thay đổi chữ số tận cùng.
- Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận
cùng của từng lũy thừa trong tổng
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 7^99
Trả lời: Ta có 99 = 4n + 1 (n thuộc N) do đó 7^99 có tận cùng là 7
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng A = 2^1 + 3^5 + 4^9 + ... + 2004^8009 Trả lời:
Mọi lũy thừa trong tổng A đều có số mũ ở dạng 4n + 1 với n = 0, 1, 2, ...., 2002. Do đó mọi lũy
thừa trong tổng A và các cơ số tương ứng đều có cùng chữ số tận cùng.
Ta có: (2 + 3 + 4 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + 3 + .... + 9) + (1 + 2 + 3 + 4) = 200.(1 + 2 + 3 + ... + 9) + (2 + 3 + 4) = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng A là 9.