
















Preview text:
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên Với ,
a bZ và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội
của b và b là ước của a. 2. Nhận xét
- Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦ CLN( ,
a 1) = 1; BCNN ( , a ) 1 = a
- Nếu a b ¦ CLN( , a ) b = ; b BCNN ( , a ) b = a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau ( , a ) b =1; , a b = . a b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a = dm - Nếu ¦ CLN( , a ) b = ; d ¦ CLN( , m ) n = 1; b = dn 1 0 = 2.5 Ví dụ ¦ CLN(10,15) = 5; ¦ CLN(2,3) =1 1 5 = 3.5 Trang 1 c = am - Nếu BCNN ( , a b) = ; c ¦ CLN( , m ) n = 1; c = bn = Ví dụ BCNN ( ) 30 10.3 10,15 = 30; ¦ CLN(2,3) = 1 3 0 = 15.2
- ab = ¦ CLN(a,b).BCNN(a, ) b PHẦN II. BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm ¦ CLN(a ,a ,...,a 1 2 n )
Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦ CLN(a ,a ,...,a = d 1 2 n ) a d 1 a d 2 d = ? ... a d n II.Bài toán Bài 1: Cho *
n N . Chứng minh rằng
a) ¦ CLN(n+ 3,2n+ ) 5 =1
b) ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1 Lời giải: a) Gọi *
¦ CLN(n+ 3,2n+ 5) = ( d d N ) n+ 3 d 2n+ 6 d 2n+ 5 d 2n+ 5 d
(2n + 6) − (2n + 5) d Trang 2
(2n +6−2n −5) d 1 d d =1
Vậy (n + 3;2n + 5) =1. 4(3n+ 7) 7 1 2n+ 28 d b) Gọi *
¦ CLN(3n + 3,4n+ 9) = (
d d N ) 3 (4n+ 9) d 1 2n+ 27 d
(12n + 28) − (12n + 27) d
(12n + 28−12n −27) d 1 d d =1
Vậy ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1. Bài 2: Cho ,
a b là số tự nhiên lẻ, b N . Chứng minh rằng ¦ CLN( , a ab+128) = 1. Lời giải: a d Đặt d = ¦ CLN( , a ab+128)
và d lẻ 128 d và d lẻ ab +128 d 7
2 d và d lẻ 2 d và d lẻ d = 1. Vậy ( , a ab +128) =1
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 2 *
17n +1 6(n N ) thì ¦ CLN( , n 2) = 1;¦ CLN( , m 3) = 1. Lời giải: +) Theo đầu bài ta có: 2 2 2
17n +1 6 17n +1 2 17n +1 chẵn n lẻ n 2 ( , n 2) =1 +) Vì 2 2
17n +1 6 17n +1 3 n 3 ( , n 3) = 1 (nếu 2 2
n 3 17n 3 17n +1 3 lo¹ i n 3 ).
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b . Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là số nguyên tố
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Trang 3 Lời giải
Gọi d = (11a + 2 , b 18a + 5 ) b 5(11a + 2 )
b − 2(18a + 5 ) b d 19a d d 19 Đặt *
19a = dk(k N ) d.k 19 đpcm k 19
- Nếu k 19 k =19q 19a = dk = d.19.q a = dq a d 2b d
b d d ¦ C( , a ) b = 1 d = 1. 5b d Bài 5: Chứng minh rằng: ¦ CLN( , a ) b = 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì m n m n *
¦ CLN(a + b ,a − b ) = 1 ,
m n N và m − n a b 0 . Lời giải: m n a + b d 2 m a d a) d = ¦ CLN( m n a + b , m n
a − b ) . m n a − b d 2 n b d m a d
Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ n b d
Giả sử d 1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p m a p a p p ¦ C( , a ) b ;ma : ( , a )
b = 1 1 p p = 1 vô lý n b p b p
Vậy d 1 d = 1 đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n +1 và 3n +1 với n N . Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3 dN Trang 4 2n +1 d 3 (2n + ) 1 d 6n + 3 d Khi đó ta có : 3 n + 2 d 2 (3n + 2) d 6n + 4 d
(6n + 4)−(6n + ) 3 d 1 d d ¦ ( ) 1 = 1;− 1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 ¦ = ( ) 1 = 1 − ; 1 .
Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 . Lời giải: Gọi ( n+ n+ ) * ¦ CLN 9 24,3
4 = d dN 9 n + 24 d 9 n + 24 d Khi đó ta có: 3 n + 4 d 9 n +12 d
(9n + 24) −(9n +12) = d 12 d d¦ (1 ) 2 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2
Do (3n + 4) d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;1 3 (loại)
Do đó d 1;2; 4
- Để d = 2 thì n phải chẵn
- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d = 1 thì n là số lẻ
Vậy n = 4k + 2(k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 2
n = 4k (k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 4 Trang 5 n = 2k + (
1 k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 1.
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n + 5 và 14n + 3 Lời giải: a) Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 21 5,14 3 dN 1 4n + 3 d 3
(14n +3) d 42n + 9 d Khi đó ta có: 21n + 4 d 2 (21n + 4) d 42n + 8 d
(42n +9)−(42n +8) d 1 d d =1 Vậy ¦ CLN(21 , n 14n+ ) 3 = 1
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n + 2 và 30n + 3 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 18 2,30 3 dN 1 8n + 2 d 5
(18n + 2) d 9 0n +10 d Khi đó ta có: 3 0n + 3 d 3
(30n + 3) d 9 0n + 9 d
(90n +10)−(90n +9) d 1 d d =1
Vậy ¦ CLN(18n+ 2,30n+ ) 3 = 1
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n + 7 và 18n + 5 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 24 7,18 5 dN 24n + 7 d 3
(24n + 7) d 72n + 21 d Khi đó ta có: 1 8n + 5 d 4 (18n + 5) d 72n + 20 d (72n + 2 )
1 − (72n + 20) d 1 d d =1 Trang 6
Vậy ¦ CLN(24n+ 7,18n+ ) 5 = 1. Bài 11: Biết ¦ L C N( , a ) b = 5 9 . Tìm ¦ CLN(a+ , b a− ) b . Lời giải:
Gọi (a + b a −b) * ,
= d d N a+ b d
2b d d¦ (2) hoặc d ¦ ( ) b a− b d a + b d và
2a d hoặc d¦ ( ) 2 hoặc d ¦ ( ) a a − b d mà ( ,
a b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy (a + ,
b a − b) = 2 hoặc d = 95. Bài 12: Cho ,
m n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n , B là tập hợp các
ước số chung của 11m + 5n và 9m + 4n. Chứng minh rằng A = B Lời giải: Gọi d = ¦ L C N( m+ 5 ,9 n m+ 4 ) * 11
n dN 1 1m + 5n d 9
(11m +5n) d 9 9m + 45n d Khi đó ta có: 9 m + 4n d 1 1
(9m + 4n) d 9 9m + 44n d
(99m+ 45n)−(99m+ 44n) d n d (1) 1 1m + 5n d 4
(11m + 5n) d 44m + 20n d Tương tự ta có: 9 m + 4n d 5
(9m + 4n) d 45m + 20n d
(45m+ 20n)−(44m+ 20n) m d (2)
Từ (1) và (2) ta có : d¦ C( , m ) n d¦ ( ) A
và B ¦ (d) = ¦ ( )
A . Vậy A = B Trang 7
Bài 13: Tìm ƯC của 2n+1 và 3n+1 với n N Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,3 1 dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3 (2n + ) 1 d 6n + 3 d 3 n + 2 d 2 (3n + 2) d 6n + 4 d (6n+ ) 4 −(6n+ )
3 d 1 d d¦ ( ) 1 = 1;− 1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 = ¦ ( ) 1 = 1 ( ,− ) 1
Bài 14: Cho hai số 3n +1 và 5n+ 4là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 = d Khi đó 3 n+1 d ( 5 3n + ) 1 d 5n+ 4 d ( 3 5n + 4) d ( 3 5n+ ) 4 − ( 5 3n+ )
1 d 7 d d1; 7
Mà d 1 nên d = 7
Bài 15: Tìm ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 với n N Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 , * dN Trang 8 Khi đó ta có : 2n −1 d 9 (2n − ) 1 d 1 8n − 9 d 9 n + 4 d 2 (9n + 4) d 1 8n + 8 d
(18n +8)−(18n−9) d 17 d d¦ (1 ) 7 = 1 ; 1 7
Mà là các số dương nên ta có : d = 1 hoặc d =17
Vậy ¦ CLN(2n−1, 9n+ ) 4 =1 hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦ CLN( , a ) b = 1
Phương pháp giải: Giả sử d = ¦ CLN( , a ) b
Cách 1: Chỉ ra d = 1 Cách 2:
+) Giả sử d 1(d 2) (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p = 1 (vô lý) +) Kết luận d = 1 II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số n +1 và 3n + 4(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = (n+ n+ ) * ¦ CLN 1,3
4 dN , nên ta có: Trang 9 n +1 d 3n + 3 d
(3n + 4) −(3n + 3) d 1 d 3n + 4 d 3 n + 4 d
Vậy hai số n +1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (n N ) .
Bài 2: Chứng minh rằng 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3 dN 2n+1 d Khi đó ta có: (2n+ ) 3 − (2n+ )
1 d 2 d d ¦ (2) = 1; 2 2n+ 3 d
Mà ta lại có (2n + )
1 d mà 2n +1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1
Vậy hai số 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4(n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3 dN Khi đó ta có: 1 4n + 3 d 3
(14n +3) d 42n + 9 d 21n + 4 d 2 (21n + 4) d 42n + 8 d
(42n +9) −(42n +8) d 1 d
Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m và mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Giả sử m và ( mn + 4 ) cùng chia hết cho số tự nhiên d , khi đó ta có: Trang 10 m d . m n d . m n + 4 d . m n + 4 d
4 d d 2;4;
1 , do m d và m lẻ d = 2 hoặc d = 4 (loại) Vậy d = 1
Khi đó m và mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng tỏ rằng 8a + 3 và 5b +1 là nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi ( a+ b+ ) * ¦ CLN 8 3,5
1 = d dN 8 a + 3b d 5
(8a + 3b) d 40a +15b d 5a + b d
8(5a + b) d 40a + 8b d
(40a +15b) −(40a +7b) 7b d 8 a + 3 b d 8 a + 3b d và 3
(5a + b) d 15 a + 3b d
(15a +3b) −(8a +3b) d 7a d Vì ¦ CLN( , a )
b = 1 nên d = 1 hoặc d = 7 .
Bài 6: Chứng minh rằng 2n +1 và 6n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,6 5 , dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3 (2n + ) 1 d 6n + 3 d 6n + 5 d 6n + 5 d 6n + 5 d (6n+ ) 5 −(6n+ )
3 d 2 d d¦ (2)=1; 2 Trang 11
Do 2n+1 d , mà 2n+1 lại là số lẻ nên d = 2 loại, do đó d = 1
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 7n+10 và 5n + 7 ngyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 7 10,5
7 , dN Khi dó ta có :
(35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy hai số 7n+10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số 2n+ 3 và 4n+ 8 ngyên tố cùng nhau Lời giải: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 3, 4
8 , dN Khi đó ta có: 4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
(4n +8)−(4n+ 6) d 2 d d 1; 2
Vì 2n + 3 d , mà 2n+ 3 là số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1
Vậy hai số 2n+ 3 và 4n+ 8 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 9: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng minh rằng ¦ CLN( , a a+ ) b = 1 Lời giải: Ta có đặt d = (a+b ) * ¦ CLN
, a , dN a + b d
a + b − a d b d mà a d nên d¦ C( , a ) b hay d ¦ ( ) 1 d =1 a d
Bài 10: CMR: ¦ CLN(12n+1,30n+ )
1 =1 với mọi số tự nhiên n Trang 12 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 = d , suy ra *
d N khi đó ta có : 1 2n +1 d 5 (12n + ) 1 d 60n + 5 d 3 0n +1 d 2 (30n + ) 1 d 60n + 2 d
(60n+5)(60n+ 2) d 3 d d 1; 3
Vì 12n+1 là một số không chia hết cho 3 nên d = 3 loại
Vậy d = 1 , khi đó ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 =1 Bài 11: Cho ,
a b là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a) 2
a và a + b
b) ab và a+ b Lời giải: a) Giả sử 2
a và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó a d , do đó b d ,
a b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLN(a; ) b =1 Vậy 2
a và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Giả sử abvà a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d
Khi a d b d , hoặc b d a d
a và b cùng chia hết cho d , trái với ( , a ) b = 1
Vậy ab và a + b nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm n N để: 7n +10 và 5n + 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau. Lời giải: Trang 13 Gọi d = ( n + n + ) * 7 10;5 7 d N Khi dó ta có: 7n +10 d 5
(7n +10) d 3 5n + 50 d 5 n + 7 d 7 (5n + 7) d 3 5n + 49 d
(35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy với mọi n N hai số 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm n N để: (2n + 3) và (4n + 8) là hai số sau ngyên tố cùng nhau Lời giải : Gọi d = ( n + n + ) * 2 3; 4
8 d N Khi đó ta có: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d 4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
(4n +8)−(4n+ 6) d 2 d d 1; 2 Vì (2n + )
3 d , mà (2n + 3) là một số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1.
Vậy với mọi n N hai số (2n + 3) và (4n + 8) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm n N để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi UCLN ( n + n + ) * 18 3, 21
7 = d d N 1 8n + 3 d 7 (18n + 3) d Khi đó ta có: 21n + 7 d 6 (21n + 7) d Trang 14
(126n + 42)−(126n+ 2 ) 1 d 21 d d¦ (2 ) 1 = 1 ; 3 ; 7 ; 2 1
Do (21n + 7) 7 , mà 21n + 7 không chia hết cho 3 nên d = 1 hoặc d = 7
Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay
18n + 3 7 18n + 3 − 21 7 18n −18 7 18(n − )
1 7 n −1 7 n −1 7k n 7k +1Vậy
n 7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố. Bài 3: Tìm ¦ CLN 7 ( n+ 3,8n− ) 1 với *
(n N ) . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n− ) * ¦ CLN 7 3,8 1 , dN Khi đó ta có: 7n + 3 d 8 (7n +3) d 5 6n + 24 d 8 n −1 d 7 (8n − ) 1 d 5 6n − 7 d
56n + 24 − 56n + 7 d 31 d d = 1 hoặcd = 31.
Để d = 1 thì d 31 hay 7n + 3 31 7n + 3− 31 31 7n − 28 31 7(n− ) 4 31 n − 4 31
Hay n − 4 31k n 31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Vậy để 7n+ 3 và 8n −1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì
n 31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm n để 9n + 24 và 3n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (nN). Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 9n+ 24 d 9n+ 24 d 3 n+ 4 d 3 (3n+ 4) d Trang 15 (9n+2 ) 4 − (9n+1 ) 2 d 12 d d 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2 Nếu d 2 ; 4 ; 6 ; 1
2 9n + 24 chẵn và, 3n + 4 chẵn d 2 ; 4 ; 6 ; 1 2 loại Nếu d = 3
3n + 4 3 Vô lý d=3(loại)
Nếu d = 1 9n + 24,3n + 4 là số lẻ 9n+ 24 lẻ n lẻ và 3n+ 4 lẻ n lẻ Vậy n lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n+ 3 và 2n+ 3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d, d N* 4n + 3 d 4n + 3 d 2n + 3 d 4n + 6 d
(4n +6) −(4n + )
3 d 3 d d 1; 3
Để 4n+ 3 và 2n+ 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n + 3 3 2n 3 n 3 n 3k (k )
Vậy n 3k (k ) thì 4n+ 3 và 2n+ 3là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n+13 và 2n+ 4nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
b, Gọi ¦ CLN(7n+13, 2n+ ) 4 = d , * dN 7 n +13 d 1 4n + 26 d 2n + 4 d 1 4n + 28 d
(14n + 28)−(14n + 26) d 2 d d 1; 2
Để 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay Trang 16
7n +13 2 7n 2 n 2 n chẵn
Vậy n chẵn thì 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n+ 3 và 21n+ 7 nguyên tố cùng nhau . Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(18n+ 3,21n+ ) 7 1 8n+ 3 d 7(18n+ 3) d 1 26n + 21 d 21n+ 7 d 6
(21n+ 7) d 1 26n + 42 d (126n+ 4 ) 2 −(126n+ 2 )
1 d 21 d d ¦ (2 ) 1 = 1;3;7;2 1
Nếu d = 3 21n + 7 3 (Vô lý) Nếu d 1;
7 , để 2 số trên là nguyên tố thì
d 7 18n + 3 7 18n + 3 − 21 7 n −1 7 n 7k +1
Vậy với n 7k + (
1 k N ) thì hai số trên nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên nđể n +15 và n + 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau Lời giải:
Gọi d¦ C(n+15,n+ 7 )
2 57 d , do n +15 d,57 d ,
Nên tồn tại n sao cho n +15 = 57k +1 thì d = 1, với k = 1;2;3; Vậy có vô số n HẾT Trang 17