Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 17 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LN NHT VÀ BI CHUNG NH NHT
CH ĐỀ 2: CHNG MINH HAI S NGUYÊN T CÙNG NHAU
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Ước và Bi ca mt s nguyên
Vi
, a b Z
0.b
Nếu s nguyên q sao cho
=a bq
thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a bi
của b b là ước ca a.
2. Nhn xét
- Nếu
=a bq
thì ta nói a chia cho b được q và viết
: =a b q
.
- S 0 là bi ca mi s nguyên khác 0. S 0 không phải là ước ca bt kì s nguyên nào.
- Các s 1 và -1 là ước ca mi s nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).
4. Ước chung ln nht
- Ước chung ln nht ca hai hay nhiu s là s ln nht trong tp hợp các ưc chung ca các s đó.
5. Các tính cht
-
( )
¦ CLN( ,1) 1; ,1a BCNN a a==
- Nếu
( )
¦ CLN( , ) ; ,a b a b b BCNN a b a = =
- Nếu a, b nguyên t cùng nhau
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))
- Nếu
¦ CLN( , ) ; ¦ CLN( , ) 1;
a dm
a b d m n
b dn
=
= =
=
Ví d
10 2.5
¦ CLN(10,15) 5; ¦ CLN(2,3) 1
15 3.5
=
= =
=
Trang 2
- Nếu
( )
, ; ¦ CLN( , ) 1;
c am
BCNN a b c m n
c bn
=
= =
=
Ví d
( )
30 10.3
10,15 30; ¦ CLN(2,3) 1
30 15.2
BCNN
=
= =
=
-
( )
¦ CLN(a,b).BCNN a,bab =
PHN II. BÀI TP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN ca các s:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm
( )
12
¦ CLN , ,...,
n
a a a
Phương pháp giải thường dùng: Gi s
( )
12
¦ CLN , ,...,
n
a a a d=
1
2
?
...
=
n
ad
ad
d
ad
II.Bài toán
Bài 1: Cho
*
nN
. Chng minh rng
a)
( )
¦ CLN 3,2 5 1nn+ + =
b)
( )
¦ CLN 3 3,4 9 1nn+ + =
Li gii:
a) Gi
*
¦ CLN( 3,2 5) ( )n n d d N+ + =
3 2 6
2 5 2 5
n d n d
n d n d
++


++
( ) ( )
2 6 2 5 + +


n n d
Trang 3
( )
2 6 2 5 + n n d
11 =dd
Vy
( )
3;2 5 1+ + =nn
.
b) Gi
*
4(3 7) 7 12 28
¦ CLN(3 3,4 9) ( )
3(4 9) 12 27
n n d
n n d d N
n d n d
++

+ + =
++
( ) ( )
12 28 12 27 + +


n n d
( )
12 28 12 27 + n n d
11 =dd
Vy
( )
¦ CLN 3 3,4 9 1nn+ + =
.
Bài 2: Cho
,ab
là s t nhiên l,
bN
. Chng minh rng
¦ CLN( , 128) 1a ab+=
.
Li gii:
Đặt
¦ CLN( , 128)d a ab=+
128
+
ad
ab d
d
l
128 d
d
l
7
2 d
d
l
2 d
d
l
1=d
.
Vy
( , 128) 1+=a ab
Bài 3: Chng t rng nếu
2*
17 1 6( )+n n N
thì
¦ CLN( ,2) 1;¦ CLN( ,3) 1nm==
.
Li gii:
+) Theo đu bài ta có:
2 2 2
17 1 6 17 1 2 17 1+ + +n n n
chn
n
l
2 ( ,2) 1
=nn
+) Vì
22
17 1 6 17 1 3 3 ( ,3) 1
+ + =n n n n
(nếu
22
3 17 3 17 1 3 lo¹i 3n n n n
+
).
Bài 4: Cho hai s nguyên t cùng nhau
a
b
. Chng t rng
11 2+ab
18 5+ab
hoc là s nguyên t
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.
Trang 4
Li gii
Gi
(11 2 ,18 5 )= + +d a b a b
5(11 2 ) 2(18 5 ) + +a b a b d
19 ad
Đặt
*
19
19 ( ) . 19
19
=
d
a dk k N d k
k
đpcm
- Nếu
19 19 19 .19. = = = = k k q a dk d q a dq a d
2
¦ C( , ) 1 1
5
bd
b d d a b d
bd
= =
.
Bài 5: Chng minh rng:
¦ CLN( , ) 1ab =
a, b khác tính chn l thì
*
¦ CLN( , ) 1 ,
m n m n
a b a b m n N+ =
0−
mn
ab
.
Li gii:
a)
2
¦ CLN( , )
2
m n m
m n m n
m n n
a b d a d
d a b a b
a b d b d

+
= +


.
Vì a, b khác nh chn l nên d l
m
n
ad
bd
Gi s
1dd
ít nht một ước s s nguyên t, gi s ước nguyên t đó là
p
¦ C( , ); : ( , ) 1 1 1
m
n
a p a p
p a b ma a b p p
bp
bp
= =

Vy
11 = dd
đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của
21+n
31+n
vi
nN
.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Trang 5
Khi đó ta :
( )
( )
3 2 1
2 1 6 3
3 2 6 4
2 3 2
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
6 4 6 3 1 + + n n d d
( )
¦ 1 1; 1d =
Do đó
( )
¦ C 2 1,3 1nn++
là ước của d, hay là ước ca 1
Vì ước của 1 hay ước ca -1 có chung 1 tp hp
Vy
( ) ( )
¦ C 2 1,3 1 ¦ 1 1;1nn+ + = =
.
Bài 7: Tìm ƯCLN của
9 24+n
34+n
.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 9 24,3 4n n d d N+ + =
Khi đó ta có:
9 24 9 24
3 4 9 12
++

++
n d n d
n d n d
( ) ( )
9 24 9 12 12 + + = n n d d
( )
¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12d =
Do
( )
3 4 ,+nd
34+n
không chia hết cho 3, nên
3;6;13d
(loi)
Do đó
1;2;4d
- Để
2=d
thì n phi chn
- Để
4=d
thì n phi chia hết cho 4
- Để
1=d
thì n là s l
Vy
( )
42= + n k k N
thì
( )
¦ CLN 9 24,3 4 2nn+ + =
( )
4=n k k N
thì
( )
9 24,3¦ CL 4N 4nn+ + =
Trang 6
( )
21= + n k k N
thì
( )
9 24,3¦ CL 4N 1nn+ + =
.
Bài 8: Cho n là s t nhiên, tìm ƯCLN của
21 5+n
14 3+n
Li gii:
a) Gi
( )
*
21 5,14 3¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 14 3
14 3 42 9
21 4 42 8
2 21 4
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
42 9 42 8 1 1 + + =n n d d d
Vy
( )
21 ,14 3 1¦ CLN nn+=
Bài 9: Cho n là s t nhiên, m ƯCLN của
18 2+n
30 3+n
Li gii:
Gi
( )
*
18 2,30 3¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
5 18 2
18 2 90 10
30 3 90 9
3 30 3
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
90 10 90 9 1 1 + + =n n d d d
Vy
( )
18 2,30¦C 3LN 1nn+ + =
Bài 10: Cho n là s t nhiên, m ƯCLN của
24 7+n
18 5+n
Li gii:
Gi
( )
*
24 7,18 5¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 24 7
24 7 72 21
18 5 72 20
4 18 5
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
72 21 72 20 1 1 + + =n n d d d
Trang 7
Vy
( )
24 7,18¦C 5LN 1nn+ + =
.
Bài 11: Biết
( )
,¦ LN 5C 9ab =
. Tìm
( )
¦ CLN ,a b a b+−
.
Li gii:
Gi
( )
*
,+ = a b a b d d N
( )
2 ¦ 2
a b d
b d d
a b d
+
hoc
( )
¦db
2
+

a b d
ad
a b d
hoc
( )
¦2d
hoc
( )
d ¦ a
( )
, 95,=ab
nên
95=d
hoc
2=d
Vy
( )
,2+ =a b a b
hoc
95=d
.
Bài 12: Cho
,mn
hai s t nhiên. Gi
A
tp hợp các ước s chung ca
m
n
,
B
tp hp các
ước s chung ca
11 5+mn
94+mn
. Chng minh rng
=AB
Li gii:
Gi
( )
*
11¦ LN ,9C 54d m n m n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
( )
9 11 5
11 5 99 45
9 4 99 44
11 9 4
+
++

++
+
m n d
m n d m n d
m n d m n d
m n d
( ) ( )
99 45 99 44 + + m n m n d n d
(1)
Tương tự ta có:
( )
( )
4 11 5
11 5 44 20
9 4 45 20
5 9 4
+
++

++
+
m n d
m n d m n d
m n d m n d
m n d
( ) ( )
45 20 44 20 + + m n m n m d
(2)
T (1) và (2) ta có :
¦ C( , ) ¦ ( )d m n d A
( ) ( )
¦ ¦ .B d A=
Vy
=AB
Trang 8
Bài 13: Tìm ƯC của
21n+
31n+
vi
nN
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,3 1d n n d N= + +
Khi đó ta có :
( )
( )
3 2 1
2 1 6 3
3 2 6 4
2 3 2
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( ) ( )
6 4 6 3 1 ¦ 1 1; 1n n d d d + + =
Do đó
( )
¦ C 2 1,3 1nn++
là ước ca
d
, hay là ước ca
1
Vì ước của 1 hay ước ca -1 có chung 1 tp hp
Vy
( ) ( )
¦ C 2 1,3 1 ¦ 1 1, )(1nn+ + = =
Bài 14: Cho hai s
31n+
54n+
là hai s không nguyên t cùng nhau, tìm
( )
¦ CLN 3 1,5 4nn++
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 3 1,5 4nn d++=
Khi đó
( )
( )
5 3 1
31
54
3 5 4
nd
nd
nd
nd
+
+
+
+
( ) ( )
3 5 4 5 3 1 7 1;7n n d d d + +
1d
nên
7d =
Bài 15: Tìm
( )
¦ CLN 2 1,9 4nn−+
vi
nN
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 2 1,9 4d n n= +
,
*
dN
Trang 9
Khi đó ta có :
( )
( )
9 2 1
2 1 18 9
9 4 18 8
2 9 4
−−

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
18 8 18 9 17 + n n d d
( )
¦ 17 1; 17d =
là các s dương nên ta có :
1d =
hoc
17d=
Vy
( )
¦ CLN 2 1, 9 4 1nn + =
hoc 17
Dng 2: Chng minh hai s nguyên t cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chng minh hai s a, b nguyên t cùng nhau:
( )
1¦ CLN ,ab =
Phương pháp giải: Gi s
( )
¦ CLN ,d a b=
Cách 1: Ch ra
1=d
Cách 2:
+) Gi s
1( 2)dd
(phương pháp phản chng)
+) Gọi p là ước nguyên t ca d
+) Ch ra rng
1=p
(vô lý)
+) Kết lun
1=d
II. Bài toán
Bài 1: Chng minh rng hai s
1+n
( )
34+n n N
là hai s nguyên tng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 1,3 4d n n d N= + +
, nên ta có:
Trang 10
( ) ( )
1 3 3
3 4 3 3 1
3 4 3 4
+ +
+ +
++
n d n d
n n d d
n d n d
Vy hai s
1+n
34+n
là hai s nguyên t cùng nhau vi
( )
nN
.
Bài 2: Chng minh rng
21+n
23+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
21
2 3 2 1 2 ¦ 2 1;2
23
nd
n n d d d
nd
+
+ + =
+
Mà ta li
( )
21+nd
21+n
là s l nên
2=d
(loại), do đó
1=d
Vy hai s
21+n
23+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 3: Chng minh rng
14 3+n
( )
21 4+n n N
là hai s nguyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 14 3
14 3 42 9
21 4 42 8
2 21 4
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
42 9 42 8 1 + + n n d d
Vy hai s
14 3+n
21 4+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 4: Cho m s t nhiên l, n s t nhiên. Chng minh rng
m
4+mn
hai s nguyên t cùng
nhau.
Li gii:
Gi s
m
(
4+mn
) cùng chia hết cho s t nhiên
d
, khi đó ta có:
Trang 11
.
. 4 . 4

++
m d m n d
m n d m n d
4 2;4;1 dd
, do
md
m l
2=d
hoc
4=d
(loi)
Vy
1=d
Khi đó
m
4+mn
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 5: Cho
( )
¦ CLN , 1ab =
. Chng t rng
83+a
51+b
là nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 8 3,5 1a b d d N+ + =
8 3 5(8 3 ) 40 15
5 8(5 ) 40 8
+ + +


+ + +

a b d a b d a b d
a b d a b d a b d
( ) ( )
40 15 40 7 7 + + a b a b b d
( )
83
83
35
15 3
+
+
+
+
a b d
a b d
a b d
a b d
( ) ( )
15 3 8 3 7 + + a b a b d a d
( )
¦ CLN , 1ab =
nên
1=d
hoc
7=d
.
Bài 6: Chng minh rng
21n +
65n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,6 5 , d n n d N= + +
Khi đó ta :
( )
3 2 1
2 1 6 3
6 5 6 5
65
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
6 5 6 3 2 ¦ (2)= 1;2n n d d d + +
Trang 12
Do
21nd+
,
21n+
li là s l nên
2d =
loại, do đó
1d =
Vy hai s 14n+3 21n+4 hai s nguyên t cùng nhau
Bài 7: Chng minh rng vi mi
nN
thì các s
7 10n+
57n+
ngyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 7 10,5 7 , d n n d N= + +
Khi dó ta có :
( ) ( )
35 50 35 49 1 + + n n d d
Do đó
1d =
Vy hai s
7 10n+
57n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 8: Chng minh rng vi mi
nN
thì các s
23n+
48n+
ngyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 3, 4 8 , d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
2 2 3
2 3 4 6
4 8 4 8
48
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
4 8 4 6 2 1;2 + + n n d d d
23nd+
,
23n+
là s l nên
2d =
(loi)
Khi đó
1d =
Vy hai s
23n+
48n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 9: Cho
( )
¦ CLN , 1ab =
. Chng minh rng
( )
¦ CLN , 1a a b+=
Li gii:
Ta có đặt
( )
*
¦ CLN , , d a b a d N= +
+
+
a b d
a b a d b d
ad
mà a d nên
( )
¦ C ,d a b
hay
( )
¦ 1 1dd =
Bài 10: CMR:
( )
¦ CLN 12 1,30 1 1nn+ + =
vi mi s t nhiên n
Trang 13
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 12 1,30 1n n d+ + =
, suy ra
*
dN
khi đó ta có :
( )
( )
5 12 1
12 1 60 5
30 1 60 2
2 30 1
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( )( )
60 5 60 2 3 1;3 + + n n d d d
12 1n+
là mt s không chia hết cho
3
nên
3d =
loi
Vy
1d =
, khi đó
( )
¦ CLN 12 1,30 1 1nn+ + =
Bài 11: Cho
,ab
là hai s nguyên t cùng nhau. CMR các s sau cũng nguyên tố cùng nhau :
a)
2
a
ab+
b)
ab
ab+
Li gii:
a) Gi s
2
a
ab+
cùng chia hết cho s nguyên t
d
Khi đó
ad
, do đó
bd
,ab
cùng chia hết cho s nguyên t
d
, trái vi gi thiết
( )
¦ CLN a;b =1
Vy
2
a
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau
b) Gi s
ab
ab+
cùng chia hết cho s nguyên t
d
Suy ra tn ti mt trong hai s
a
hoc
b
chia hết cho
d
Khi
a d b d
, hoc
b d a d
a
b
cùng chia hết cho
d
, trái vi
( )
, 1ab=
Vy
ab
ab+
nguyên t cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện đ hai s nguyên t cùng nhau
Bài 1: Tìm
nN
để:
7 10+n
57+n
là hai s sau ngyên t cùng nhau.
Li gii:
Trang 14
Gi
( )
*
7 10;5 7= + + d n n d N
Khi dó ta có:
( )
( )
5 7 10
7 10 35 50
5 7 35 49
7 5 7
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
35 50 35 49 1 + + n n d d
Do đó
1=d
Vy vi mi
nN
hai s
7 10+n
57+n
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 2: Tìm
nN
để:
( )
23+n
( )
48+n
là hai s sau ngyên t cùng nhau
Li gii :
Gi
( )
*
2 3;4 8= + + d n n d N
Khi đó ta có:
( )
2 2 3
2 3 4 6
4 8 4 8
48
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
4 8 4 6 2 1;2 + + n n d d d
( )
23+nd
,
( )
23+n
là mt s l nên
2=d
(loi)
Khi đó
1.=d
Vy vi mi
nN
hai s
( )
23+n
( )
48+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 3: Tìm
nN
để:
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
18 3,21 7+ + = UCLN n n d d N
Khi đó ta có:
( )
( )
7 18 3
18 3
21 7
6 21 7
+
+
+
+
nd
nd
nd
nd
Trang 15
( ) ( )
126 42 126 21 21 + + n n d d
( )
¦ 21 1; 3; 7; 21d =
Do
( )
21 7 7+n
,
21 7+n
không chia hết cho 3 nên
1=d
hoc
7=d
Để hai s
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t thì d khác 7, hay
( )
18 3 7 18 3 21 7 18 18 7 18 1 7 1 7 1 7 7 1
+ + +n n n n n n k n k
Vy
71+nk
vi k s t nhiên thì
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t.
Bài 3: Tìm
¦ CLN 7 )1( 3,8nn+−
vi
*
()nN
. Khi nào thì hai s đó nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 7 3,8 1 ,d n n d N= +
Khi đó ta có:
( )
( )
8 7 3
7 3 56 24
8 1 56 7
7 8 1
+
++

−−
nd
n d n d
n d n d
nd
56 24 56 7 31 + + n n d d
1d=
hoc
31d=
.
Để
1d =
thì
31d
hay
73n+ 31 7 3 31n + 31 7 28n− 31
( )
74n−31 4n− 31
Hay
4 31 31 4n k n k +
(
k
là s t nhiên)
Vậy để
73n+
81n
là hai s nguyên tng nhau thì
31 4nk+
(
k
là s t nhiên)
Bài 4: Tìm
n
để
9 24n+
34n+
hai s nguyên t cùng nhau
().nN
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 9 24,3 4d n n= + +
9 24 9 24
3 4 3(3 4)
n d n d
n d n d
++


++
Trang 16
( ) ( )
9 24 9 12 12n n d d + +
1; 2; 3; 4; 6; 12d
Nếu
2; 4; 6; 12 9 24 +dn
chn và,
34+n
chn
2; 4; 6; 12 d
loi
Nếu
3 3 4 3= +dn
Vô
d=3(loi)
Nếu
1d =
9 24,3 4++nn
là s l
9 24n +
l
n
l
34n+
l
n
l
Vy
n
l
Bài 5: Tìm s t nhiên
n
để
+43n
23n+
nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,
d
N
*
4 3 4 3
2 3 4 6
+ +
++
n d n d
n d n d
( ) ( )
4 6 4 3 3 1;3 + + n n d d d
Đ
+43n
23n+
là hai s nguyên t cùng nhau thì
d
khác 3 hay
2 3 3 2 3 3 3 ( )n n n n k k
+
Vy
3 ( )n k k
thì
43n+
23n+
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 6: Tìm s t nhiên
n
để
7 13n+
24n+
nguyên t cùng nhau.
Li gii:
b, Gi
( )
¦ CLN 7 13, 2 4n n d+ + =
,
*
dN
7 13 14 26
2 4 14 28
+ +
++
n d n d
n d n d
( ) ( )
14 28 14 26 2 1;2 + + n n d d d
Đ
7 13n+
24n+
là hai s nguyên t cùng nhau thì
d
khác 2 hay
Trang 17
7 13 2 7 2 2
+ n n n n
chn
Vy
n
chn thì
7 13n+
24n+
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 7: Tìm s t nhiên
n
để các s
18 3n+
21 7n+
nguyên t cùng nhau .
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 18 3,21 7d n n= + +
( )
7(18 3)
18 3 126 21
6 21 7
21 7 126 42
nd
n d n d
nd
n d n d
+
++
+
++
( ) ( ) ( )
126 42 126 21 21 ¦ 21 1;3;7;21n n d d d + + =
Nếu
3 21 7 3= +dn
(Vô lý)
Nếu
1;7d
, đ 2 s trên là nguyên t thì
7 18 3 7 18 3 21 7 1 7 7 1
+ + +d n n n n k
Vy vi
( )
71 + n k k N
thì hai s trên nguyên t cùng nhau
Bài 8: Chng minh rng: có vô s s t nhiên
n
để
15+n
72+n
2 s nguyên tng nhau
Li gii:
Gi
( )
¦ C 15, 72 57d n n d + +
, do
15 ,57+n d d
,
Nên tn ti
n
sao cho
15 57 1+ = +nk
thì
1d =
, vi
1;2;3;k =
Vy s
n
HT
| 1/17

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên Với ,
a bZ b  0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội
của b và b là ước của a. 2. Nhận xét
- Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦ CLN( ,
a 1) = 1; BCNN ( , a ) 1 = a
- Nếu a b  ¦ CLN( , a ) b = ; b BCNN ( , a ) b = a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  ( , a ) b =1; , a b = . a b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a = dm - Nếu ¦ CLN( , a ) b = ; d   ¦ CLN( , m ) n = 1; b = dn 1  0 = 2.5 Ví dụ ¦ CLN(10,15) = 5;  ¦ CLN(2,3) =1 1  5 = 3.5 Trang 1c = am - Nếu BCNN ( , a b) = ; c   ¦ CLN( , m ) n = 1; c = bn  = Ví dụ BCNN ( ) 30 10.3 10,15 = 30;  ¦ CLN(2,3) = 1 3  0 = 15.2
- ab = ¦ CLN(a,b).BCNN(a, ) b PHẦN II. BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm ¦ CLN(a ,a ,...,a 1 2 n )
Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦ CLN(a ,a ,...,a = d 1 2 n ) a d 1  a d 2    d = ? ...  a d n II.Bài toán Bài 1: Cho *
n N . Chứng minh rằng
a) ¦ CLN(n+ 3,2n+ ) 5 =1
b) ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1 Lời giải: a) Gọi *
¦ CLN(n+ 3,2n+ 5) = ( d d N ) n+ 3 d 2n+ 6 d     2n+ 5 d 2n+ 5 d
 (2n + 6) − (2n + 5)   d Trang 2
 (2n +6−2n −5) d 1  d d =1
Vậy (n + 3;2n + 5) =1. 4(3n+ 7) 7 1  2n+ 28 d b) Gọi *
¦ CLN(3n + 3,4n+ 9) = (
d d N )     3  (4n+ 9) d 1  2n+ 27 d
 (12n + 28) − (12n + 27)   d
 (12n + 28−12n −27) d 1  d d =1
Vậy ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1. Bài 2: Cho ,
a b là số tự nhiên lẻ, bN . Chứng minh rằng ¦ CLN( , a ab+128) = 1. Lời giải: a d Đặt d = ¦ CLN( , a ab+128)  
d lẻ  128 d d lẻ ab +128 d  7
2 d d lẻ  2 d d lẻ  d = 1. Vậy ( , a ab +128) =1
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 2 *
17n +1 6(n N ) thì ¦ CLN( , n 2) = 1;¦ CLN( , m 3) = 1. Lời giải: +) Theo đầu bài ta có: 2 2 2
17n +1 6 17n +1 2 17n +1 chẵn  n lẻ  n  2  ( , n 2) =1 +) Vì 2 2
17n +1 6  17n +1 3  n  3  ( , n 3) = 1 (nếu 2 2
n 3 17n 3 17n +1 3 lo¹ i  n 3 ).
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a b . Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là số nguyên tố
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Trang 3 Lời giải
Gọi d = (11a + 2 , b 18a + 5 ) b  5(11a + 2 )
b − 2(18a + 5 ) b d  19a d d 19 Đặt *
19a = dk(k N )  d.k 19    đpcm k 19
- Nếu k 19  k =19q 19a = dk = d.19.q a = dq a d 2b d  
b d d ¦ C( , a ) b = 1 d = 1. 5b d Bài 5: Chứng minh rằng: ¦ CLN( , a ) b = 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì m n m n *
¦ CLN(a + b ,a b ) = 1 ,
m nN m n a b  0 . Lời giải: m n a + b d 2 m a d a) d = ¦ CLN( m n a + b , m n
a b )     . m n a b d 2 n b d  m a d
Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ    n b d
Giả sử d  1  d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p m a p a p     p ¦ C( , a ) b ;ma : ( , a )
b = 1 1 p p = 1 vô lý n b pb p
Vậy d  1 d = 1 đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n +1 và 3n +1 với n N . Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN Trang 4 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d Khi đó ta có :      3  n + 2 d 2  (3n + 2) d 6n + 4 d
 (6n + 4)−(6n + ) 3 d 1 d d ¦  ( ) 1 = 1;−  1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 ¦ = ( ) 1 =  1 − ;  1 .
Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 . Lời giải: Gọi ( n+ n+ ) * ¦ CLN 9 24,3
4 = d dN 9  n + 24 d 9  n + 24 d Khi đó ta có:    3  n + 4 d 9  n +12 d
 (9n + 24) −(9n +12) = d 12 d d¦ (1 ) 2 =  1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 6  ; 1   2
Do (3n + 4) d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;1  3 (loại)
Do đó d 1;2;  4
- Để d = 2 thì n phải chẵn
- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d = 1 thì n là số lẻ
Vậy n = 4k + 2(k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 2
n = 4k (k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 4 Trang 5 n = 2k + (
1 k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 1.
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n + 5 và 14n + 3 Lời giải: a) Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 21 5,14 3  dN 1  4n + 3 d 3
 (14n +3) d 42n + 9 d Khi đó ta có:      21n + 4 d 2  (21n + 4) d 42n + 8 d
 (42n +9)−(42n +8) d 1 d d =1 Vậy ¦ CLN(21 , n 14n+ ) 3 = 1
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n + 2 và 30n + 3 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 18 2,30 3  dN 1  8n + 2 d 5
 (18n + 2) d 9  0n +10 d Khi đó ta có:      3  0n + 3 d 3
 (30n + 3) d 9  0n + 9 d
 (90n +10)−(90n +9) d 1 d d =1
Vậy ¦ CLN(18n+ 2,30n+ ) 3 = 1
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n + 7 và 18n + 5 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 24 7,18 5  dN 24n + 7 d 3
 (24n + 7) d 72n + 21 d Khi đó ta có:      1  8n + 5 d 4  (18n + 5) d 72n + 20 d  (72n + 2 )
1 − (72n + 20) d 1 d d =1 Trang 6
Vậy ¦ CLN(24n+ 7,18n+ ) 5 = 1. Bài 11: Biết ¦ L C N( , a ) b = 5 9 . Tìm ¦ CLN(a+ , b a− ) b . Lời giải:
Gọi (a + b a b) * ,
= d d N a+ b d
 2b d d¦ (2) hoặc d ¦  ( ) bab da + b d và 
 2a d  hoặc d¦ ( ) 2 hoặc d ¦  ( ) a a b d mà ( ,
a b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy (a + ,
b a b) = 2 hoặc d = 95. Bài 12: Cho ,
m n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m n , B là tập hợp các
ước số chung của 11m + 5n và 9m + 4n. Chứng minh rằng A = B Lời giải: Gọi d = ¦ L C N( m+ 5 ,9 n m+ 4 ) * 11
n dN 1  1m + 5n d 9
 (11m +5n) d 9  9m + 45n d Khi đó ta có:      9  m + 4n d 1  1
 (9m + 4n) d 9  9m + 44n d
 (99m+ 45n)−(99m+ 44n) d n d (1) 1  1m + 5n d 4
 (11m + 5n) d 44m + 20n d Tương tự ta có:      9  m + 4n d 5
 (9m + 4n) d 45m + 20n d
 (45m+ 20n)−(44m+ 20n)  m d (2)
Từ (1) và (2) ta có : d¦ C( , m ) n d¦ ( ) A
B ¦ (d) = ¦ ( )
A . Vậy A = B Trang 7
Bài 13: Tìm ƯC của 2n+1 và 3n+1 với nN Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,3 1  dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d      3  n + 2 d 2  (3n + 2) d 6n + 4 d  (6n+ ) 4 −(6n+ )
3 d 1 d d¦ ( ) 1 = 1;−  1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 = ¦ ( ) 1 = 1 ( ,− ) 1
Bài 14: Cho hai số 3n +1 và 5n+ 4là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 = d Khi đó 3  n+1 d  ( 5 3n + ) 1 d    5n+ 4 d  ( 3 5n + 4) d  ( 3 5n+ ) 4 − ( 5 3n+ )
1 d  7 d d1;  7
d  1 nên d = 7
Bài 15: Tìm ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 với nN Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 , * dN Trang 8 Khi đó ta có : 2n −1 d 9  (2n − ) 1 d 1  8n − 9 d      9  n + 4 d 2  (9n + 4) d 1  8n + 8 d
 (18n +8)−(18n−9) d 17 d d¦ (1 ) 7 =  1  ; 1   7
Mà là các số dương nên ta có : d = 1 hoặc d =17
Vậy ¦ CLN(2n−1, 9n+ ) 4 =1 hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦ CLN( , a ) b = 1
Phương pháp giải: Giả sử d = ¦ CLN( , a ) b
Cách 1: Chỉ ra d = 1 Cách 2:
+) Giả sử d 1(d  2) (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p = 1 (vô lý) +) Kết luận d = 1 II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số n +1 và 3n + 4(nN ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = (n+ n+ ) * ¦ CLN 1,3
4  dN , nên ta có: Trang 9n +1 d 3n + 3 d   
 (3n + 4) −(3n + 3) d 1 d 3n + 4 d 3   n + 4 d
Vậy hai số n +1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (nN ) .
Bài 2: Chứng minh rằng 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN 2n+1 d Khi đó ta có:   (2n+ ) 3 − (2n+ )
1 d  2 d d ¦  (2) = 1;  2 2n+ 3 d
Mà ta lại có (2n + )
1 d mà 2n +1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1
Vậy hai số 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4(nN ) là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN Khi đó ta có: 1  4n + 3 d 3
 (14n +3) d 42n + 9 d      21n + 4 d 2  (21n + 4) d 42n + 8 d
 (42n +9) −(42n +8) d 1 d
Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Giả sử m và ( mn + 4 ) cùng chia hết cho số tự nhiên d , khi đó ta có: Trang 10m d  . m n d     . m n + 4 d  . m n + 4 d
 4 d d 2;4; 
1 , do m d và m lẻ  d = 2 hoặc d = 4 (loại) Vậy d = 1
Khi đó m mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng tỏ rằng 8a + 3 và 5b +1 là nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi ( a+ b+ ) * ¦ CLN 8 3,5
1 = d dN 8  a + 3b d 5
 (8a + 3b) d 40a +15b d      5a +  b d
 8(5a + b) d 40a + 8b d
 (40a +15b) −(40a +7b)  7b d 8  a + 3  b d 8  a + 3b d và    3
 (5a + b) d 15  a + 3b d
 (15a +3b) −(8a +3b) d  7a d Vì ¦ CLN( , a )
b = 1 nên d = 1 hoặc d = 7 .
Bài 6: Chứng minh rằng 2n +1 và 6n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,6 5 ,  dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d      6n + 5 d 6n + 5 d 6n + 5 d  (6n+ ) 5 −(6n+ )
3 d  2 d d¦ (2)=1;  2 Trang 11
Do 2n+1 d , mà 2n+1 lại là số lẻ nên d = 2 loại, do đó d = 1
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 7n+10 và 5n + 7 ngyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 7 10,5
7 ,  dN Khi dó ta có :
 (35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy hai số 7n+10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 2n+ 3 và 4n+ 8 ngyên tố cùng nhau Lời giải: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 3, 4
8 ,  dN Khi đó ta có:     4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
 (4n +8)−(4n+ 6) d  2 d d 1;  2
Vì 2n + 3 d , mà 2n+ 3 là số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1
Vậy hai số 2n+ 3 và 4n+ 8 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 9: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng minh rằng ¦ CLN( , a a+ ) b = 1 Lời giải: Ta có đặt d = (a+b ) * ¦ CLN
, a , dN a + b d
a + b a d b d mà a d nên d¦ C( , a ) b hay d ¦  ( ) 1  d =1  a d
Bài 10: CMR: ¦ CLN(12n+1,30n+ )
1 =1 với mọi số tự nhiên n Trang 12 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 = d , suy ra *
d N khi đó ta có : 1  2n +1 d 5  (12n + ) 1 d 60n + 5 d      3  0n +1 d 2  (30n + ) 1 d 60n + 2 d
 (60n+5)(60n+ 2) d  3 d d 1;  3
Vì 12n+1 là một số không chia hết cho 3 nên d = 3 loại
Vậy d = 1 , khi đó ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 =1 Bài 11: Cho ,
a b là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a) 2
a a + b
b) ab a+ b Lời giải: a) Giả sử 2
a a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó a d , do đó b d  ,
a b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLN(a; ) b =1 Vậy 2
a a + b là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Giả sử aba + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d
Khi a db d , hoặc b d a d
a b cùng chia hết cho d , trái với ( , a ) b = 1
Vậy aba + b nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm n N để: 7n +10 và 5n + 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau. Lời giải: Trang 13 Gọi d = ( n + n + ) * 7 10;5 7  d N Khi dó ta có: 7n +10 d 5
 (7n +10) d 3  5n + 50 d      5  n + 7 d 7  (5n + 7) d 3  5n + 49 d
 (35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy với mọi n N hai số 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm n N để: (2n + 3) và (4n + 8) là hai số sau ngyên tố cùng nhau Lời giải : Gọi d = ( n + n + ) * 2 3; 4
8  d N Khi đó ta có: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d      4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
 (4n +8)−(4n+ 6) d  2 d d 1;  2 Vì (2n + )
3 d , mà (2n + 3) là một số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1.
Vậy với mọi n N hai số (2n + 3) và (4n + 8) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm n N để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi UCLN ( n + n + ) * 18 3, 21
7 = d d N 1  8n + 3 d 7  (18n + 3) d Khi đó ta có:    21n + 7 d 6  (21n + 7) d Trang 14
 (126n + 42)−(126n+ 2 ) 1 d  21 d d¦ (2 ) 1 =  1  ; 3  ; 7  ; 2   1
Do (21n + 7) 7 , mà 21n + 7 không chia hết cho 3 nên d = 1 hoặc d = 7
Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay
18n + 3 7 18n + 3 − 21 7 18n −18  7 18(n − )
1  7  n −1 7  n −1  7k n  7k +1Vậy
n  7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố. Bài 3: Tìm ¦ CLN 7 ( n+ 3,8n− ) 1 với *
(nN ) . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n− ) * ¦ CLN 7 3,8 1 , dN Khi đó ta có: 7n + 3 d 8  (7n +3) d 5  6n + 24 d      8  n −1 d 7  (8n − ) 1 d 5  6n − 7 d
 56n + 24 − 56n + 7 d  31 d d = 1 hoặcd = 31.
Để d = 1 thì d  31 hay 7n + 3 31 7n + 3− 31 31 7n − 28 31  7(n− ) 4 31 n − 4 31
Hay n − 4  31k n  31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Vậy để 7n+ 3 và 8n −1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì
n 31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm n để 9n + 24 và 3n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (nN). Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 9n+ 24 d 9n+ 24 d     3  n+ 4 d 3  (3n+ 4) d Trang 15  (9n+2 ) 4 − (9n+1 ) 2 d 12 d d 1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 6  ; 1   2 Nếu d  2  ; 4  ; 6  ; 1  
2  9n + 24 chẵn và, 3n + 4 chẵn  d  2  ; 4  ; 6  ; 1   2 loại Nếu d = 3
  3n + 4 3 Vô lý  d=3(loại)
Nếu d = 1  9n + 24,3n + 4 là số lẻ  9n+ 24 lẻ  n lẻ và 3n+ 4 lẻ  n lẻ Vậy n lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n+ 3 và 2n+ 3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d N* 4n + 3 d 4n + 3 d    2n + 3  d 4n + 6 d
 (4n +6) −(4n + )
3 d  3 d d 1;  3
Để 4n+ 3 và 2n+ 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n + 3 3  2n  3  n  3  n  3k (k  )
Vậy n  3k (k  ) thì 4n+ 3 và 2n+ 3là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n+13 và 2n+ 4nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
b, Gọi ¦ CLN(7n+13, 2n+ ) 4 = d , *  dN 7  n +13 d 1  4n + 26 d    2n + 4 d 1   4n + 28 d
 (14n + 28)−(14n + 26) d  2 d d 1;  2
Để 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay Trang 16
7n +13  2  7n 2  n 2  n chẵn
Vậy n chẵn thì 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n+ 3 và 21n+ 7 nguyên tố cùng nhau . Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(18n+ 3,21n+ ) 7 1  8n+ 3 d 7(18n+ 3) d  1  26n + 21 d       21n+ 7 d 6
 (21n+ 7) d 1  26n + 42 d  (126n+ 4 ) 2 −(126n+ 2 )
1 d  21 d d ¦  (2 ) 1 = 1;3;7;2  1
Nếu d = 3  21n + 7 3 (Vô lý) Nếu d 1; 
7 , để 2 số trên là nguyên tố thì
d  7  18n + 3  7  18n + 3 − 21 7  n −1 7  n  7k +1
Vậy với n  7k + (
1 k N ) thì hai số trên nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên nđể n +15 và n + 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau Lời giải:
Gọi d¦ C(n+15,n+ 7 )
2  57 d , do n +15 d,57 d ,
Nên tồn tại n sao cho n +15 = 57k +1 thì d = 1, với k = 1;2;3; Vậy có vô số nHẾT Trang 17