Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LN NHT VÀ BI CHUNG NH NHT
CH ĐỀ 2: CHNG MINH HAI S NGUYÊN T CÙNG NHAU
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. Ước và Bi ca mt s nguyên
Vi
, a b Z
0.b
Nếu s nguyên q sao cho
=a bq
thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a bi
của b b là ước ca a.
2. Nhn xét
- Nếu
=a bq
thì ta nói a chia cho b được q và viết
: =a b q
.
- S 0 là bi ca mi s nguyên khác 0. S 0 không phải là ước ca bt kì s nguyên nào.
- Các s 1 và -1 là ước ca mi s nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c).
4. Ước chung ln nht
- Ước chung ln nht ca hai hay nhiu s là s ln nht trong tp hợp các ưc chung ca các s đó.
5. Các tính cht
-
( )
¦ CLN( ,1) 1; ,1a BCNN a a==
- Nếu
( )
¦ CLN( , ) ; ,a b a b b BCNN a b a = =
- Nếu a, b nguyên t cùng nhau
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b))
- Nếu
¦ CLN( , ) ; ¦ CLN( , ) 1;
a dm
a b d m n
b dn
=
= =
=
Ví d
10 2.5
¦ CLN(10,15) 5; ¦ CLN(2,3) 1
15 3.5
=
= =
=
Trang 2
- Nếu
( )
, ; ¦ CLN( , ) 1;
c am
BCNN a b c m n
c bn
=
= =
=
Ví d
( )
30 10.3
10,15 30; ¦ CLN(2,3) 1
30 15.2
BCNN
=
= =
=
-
( )
¦ CLN(a,b).BCNN a,bab =
PHN II. BÀI TP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN ca các s:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm
( )
12
¦ CLN , ,...,
n
a a a
Phương pháp giải thường dùng: Gi s
( )
12
¦ CLN , ,...,
n
a a a d=
1
2
?
...
=
n
ad
ad
d
ad
II.Bài toán
Bài 1: Cho
*
nN
. Chng minh rng
a)
( )
¦ CLN 3,2 5 1nn+ + =
b)
( )
¦ CLN 3 3,4 9 1nn+ + =
Li gii:
a) Gi
*
¦ CLN( 3,2 5) ( )n n d d N+ + =
3 2 6
2 5 2 5
n d n d
n d n d
++


++
( ) ( )
2 6 2 5 + +


n n d
Trang 3
( )
2 6 2 5 + n n d
11 =dd
Vy
( )
3;2 5 1+ + =nn
.
b) Gi
*
4(3 7) 7 12 28
¦ CLN(3 3,4 9) ( )
3(4 9) 12 27
n n d
n n d d N
n d n d
++

+ + =
++
( ) ( )
12 28 12 27 + +


n n d
( )
12 28 12 27 + n n d
11 =dd
Vy
( )
¦ CLN 3 3,4 9 1nn+ + =
.
Bài 2: Cho
,ab
là s t nhiên l,
bN
. Chng minh rng
¦ CLN( , 128) 1a ab+=
.
Li gii:
Đặt
¦ CLN( , 128)d a ab=+
128
+
ad
ab d
d
l
128 d
d
l
7
2 d
d
l
2 d
d
l
1=d
.
Vy
( , 128) 1+=a ab
Bài 3: Chng t rng nếu
2*
17 1 6( )+n n N
thì
¦ CLN( ,2) 1;¦ CLN( ,3) 1nm==
.
Li gii:
+) Theo đu bài ta có:
2 2 2
17 1 6 17 1 2 17 1+ + +n n n
chn
n
l
2 ( ,2) 1
=nn
+) Vì
22
17 1 6 17 1 3 3 ( ,3) 1
+ + =n n n n
(nếu
22
3 17 3 17 1 3 lo¹i 3n n n n
+
).
Bài 4: Cho hai s nguyên t cùng nhau
a
b
. Chng t rng
11 2+ab
18 5+ab
hoc là s nguyên t
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19.
Trang 4
Li gii
Gi
(11 2 ,18 5 )= + +d a b a b
5(11 2 ) 2(18 5 ) + +a b a b d
19 ad
Đặt
*
19
19 ( ) . 19
19
=
d
a dk k N d k
k
đpcm
- Nếu
19 19 19 .19. = = = = k k q a dk d q a dq a d
2
¦ C( , ) 1 1
5
bd
b d d a b d
bd
= =
.
Bài 5: Chng minh rng:
¦ CLN( , ) 1ab =
a, b khác tính chn l thì
*
¦ CLN( , ) 1 ,
m n m n
a b a b m n N+ =
0−
mn
ab
.
Li gii:
a)
2
¦ CLN( , )
2
m n m
m n m n
m n n
a b d a d
d a b a b
a b d b d

+
= +


.
Vì a, b khác nh chn l nên d l
m
n
ad
bd
Gi s
1dd
ít nht một ước s s nguyên t, gi s ước nguyên t đó là
p
¦ C( , ); : ( , ) 1 1 1
m
n
a p a p
p a b ma a b p p
bp
bp
= =

Vy
11 = dd
đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của
21+n
31+n
vi
nN
.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Trang 5
Khi đó ta :
( )
( )
3 2 1
2 1 6 3
3 2 6 4
2 3 2
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
6 4 6 3 1 + + n n d d
( )
¦ 1 1; 1d =
Do đó
( )
¦ C 2 1,3 1nn++
là ước của d, hay là ước ca 1
Vì ước của 1 hay ước ca -1 có chung 1 tp hp
Vy
( ) ( )
¦ C 2 1,3 1 ¦ 1 1;1nn+ + = =
.
Bài 7: Tìm ƯCLN của
9 24+n
34+n
.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 9 24,3 4n n d d N+ + =
Khi đó ta có:
9 24 9 24
3 4 9 12
++

++
n d n d
n d n d
( ) ( )
9 24 9 12 12 + + = n n d d
( )
¦ 12 1; 2; 3; 4; 6; 12d =
Do
( )
3 4 ,+nd
34+n
không chia hết cho 3, nên
3;6;13d
(loi)
Do đó
1;2;4d
- Để
2=d
thì n phi chn
- Để
4=d
thì n phi chia hết cho 4
- Để
1=d
thì n là s l
Vy
( )
42= + n k k N
thì
( )
¦ CLN 9 24,3 4 2nn+ + =
( )
4=n k k N
thì
( )
9 24,3¦ CL 4N 4nn+ + =
Trang 6
( )
21= + n k k N
thì
( )
9 24,3¦ CL 4N 1nn+ + =
.
Bài 8: Cho n là s t nhiên, tìm ƯCLN của
21 5+n
14 3+n
Li gii:
a) Gi
( )
*
21 5,14 3¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 14 3
14 3 42 9
21 4 42 8
2 21 4
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
42 9 42 8 1 1 + + =n n d d d
Vy
( )
21 ,14 3 1¦ CLN nn+=
Bài 9: Cho n là s t nhiên, m ƯCLN của
18 2+n
30 3+n
Li gii:
Gi
( )
*
18 2,30 3¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
5 18 2
18 2 90 10
30 3 90 9
3 30 3
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
90 10 90 9 1 1 + + =n n d d d
Vy
( )
18 2,30¦C 3LN 1nn+ + =
Bài 10: Cho n là s t nhiên, m ƯCLN của
24 7+n
18 5+n
Li gii:
Gi
( )
*
24 7,18 5¦ CLN n n d N+ +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 24 7
24 7 72 21
18 5 72 20
4 18 5
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
72 21 72 20 1 1 + + =n n d d d
Trang 7
Vy
( )
24 7,18¦C 5LN 1nn+ + =
.
Bài 11: Biết
( )
,¦ LN 5C 9ab =
. Tìm
( )
¦ CLN ,a b a b+−
.
Li gii:
Gi
( )
*
,+ = a b a b d d N
( )
2 ¦ 2
a b d
b d d
a b d
+
hoc
( )
¦db
2
+

a b d
ad
a b d
hoc
( )
¦2d
hoc
( )
d ¦ a
( )
, 95,=ab
nên
95=d
hoc
2=d
Vy
( )
,2+ =a b a b
hoc
95=d
.
Bài 12: Cho
,mn
hai s t nhiên. Gi
A
tp hợp các ước s chung ca
m
n
,
B
tp hp các
ước s chung ca
11 5+mn
94+mn
. Chng minh rng
=AB
Li gii:
Gi
( )
*
11¦ LN ,9C 54d m n m n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
( )
9 11 5
11 5 99 45
9 4 99 44
11 9 4
+
++

++
+
m n d
m n d m n d
m n d m n d
m n d
( ) ( )
99 45 99 44 + + m n m n d n d
(1)
Tương tự ta có:
( )
( )
4 11 5
11 5 44 20
9 4 45 20
5 9 4
+
++

++
+
m n d
m n d m n d
m n d m n d
m n d
( ) ( )
45 20 44 20 + + m n m n m d
(2)
T (1) và (2) ta có :
¦ C( , ) ¦ ( )d m n d A
( ) ( )
¦ ¦ .B d A=
Vy
=AB
Trang 8
Bài 13: Tìm ƯC của
21n+
31n+
vi
nN
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,3 1d n n d N= + +
Khi đó ta có :
( )
( )
3 2 1
2 1 6 3
3 2 6 4
2 3 2
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( ) ( )
6 4 6 3 1 ¦ 1 1; 1n n d d d + + =
Do đó
( )
¦ C 2 1,3 1nn++
là ước ca
d
, hay là ước ca
1
Vì ước của 1 hay ước ca -1 có chung 1 tp hp
Vy
( ) ( )
¦ C 2 1,3 1 ¦ 1 1, )(1nn+ + = =
Bài 14: Cho hai s
31n+
54n+
là hai s không nguyên t cùng nhau, tìm
( )
¦ CLN 3 1,5 4nn++
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 3 1,5 4nn d++=
Khi đó
( )
( )
5 3 1
31
54
3 5 4
nd
nd
nd
nd
+
+
+
+
( ) ( )
3 5 4 5 3 1 7 1;7n n d d d + +
1d
nên
7d =
Bài 15: Tìm
( )
¦ CLN 2 1,9 4nn−+
vi
nN
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 2 1,9 4d n n= +
,
*
dN
Trang 9
Khi đó ta có :
( )
( )
9 2 1
2 1 18 9
9 4 18 8
2 9 4
−−

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
18 8 18 9 17 + n n d d
( )
¦ 17 1; 17d =
là các s dương nên ta có :
1d =
hoc
17d=
Vy
( )
¦ CLN 2 1, 9 4 1nn + =
hoc 17
Dng 2: Chng minh hai s nguyên t cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chng minh hai s a, b nguyên t cùng nhau:
( )
1¦ CLN ,ab =
Phương pháp giải: Gi s
( )
¦ CLN ,d a b=
Cách 1: Ch ra
1=d
Cách 2:
+) Gi s
1( 2)dd
(phương pháp phản chng)
+) Gọi p là ước nguyên t ca d
+) Ch ra rng
1=p
(vô lý)
+) Kết lun
1=d
II. Bài toán
Bài 1: Chng minh rng hai s
1+n
( )
34+n n N
là hai s nguyên tng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 1,3 4d n n d N= + +
, nên ta có:
Trang 10
( ) ( )
1 3 3
3 4 3 3 1
3 4 3 4
+ +
+ +
++
n d n d
n n d d
n d n d
Vy hai s
1+n
34+n
là hai s nguyên t cùng nhau vi
( )
nN
.
Bài 2: Chng minh rng
21+n
23+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
21
2 3 2 1 2 ¦ 2 1;2
23
nd
n n d d d
nd
+
+ + =
+
Mà ta li
( )
21+nd
21+n
là s l nên
2=d
(loại), do đó
1=d
Vy hai s
21+n
23+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 3: Chng minh rng
14 3+n
( )
21 4+n n N
là hai s nguyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,2 3d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
( )
3 14 3
14 3 42 9
21 4 42 8
2 21 4
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
42 9 42 8 1 + + n n d d
Vy hai s
14 3+n
21 4+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 4: Cho m s t nhiên l, n s t nhiên. Chng minh rng
m
4+mn
hai s nguyên t cùng
nhau.
Li gii:
Gi s
m
(
4+mn
) cùng chia hết cho s t nhiên
d
, khi đó ta có:
Trang 11
.
. 4 . 4

++
m d m n d
m n d m n d
4 2;4;1 dd
, do
md
m l
2=d
hoc
4=d
(loi)
Vy
1=d
Khi đó
m
4+mn
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 5: Cho
( )
¦ CLN , 1ab =
. Chng t rng
83+a
51+b
là nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 8 3,5 1a b d d N+ + =
8 3 5(8 3 ) 40 15
5 8(5 ) 40 8
+ + +


+ + +

a b d a b d a b d
a b d a b d a b d
( ) ( )
40 15 40 7 7 + + a b a b b d
( )
83
83
35
15 3
+
+
+
+
a b d
a b d
a b d
a b d
( ) ( )
15 3 8 3 7 + + a b a b d a d
( )
¦ CLN , 1ab =
nên
1=d
hoc
7=d
.
Bài 6: Chng minh rng
21n +
65n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 1,6 5 , d n n d N= + +
Khi đó ta :
( )
3 2 1
2 1 6 3
6 5 6 5
65
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
6 5 6 3 2 ¦ (2)= 1;2n n d d d + +
Trang 12
Do
21nd+
,
21n+
li là s l nên
2d =
loại, do đó
1d =
Vy hai s 14n+3 21n+4 hai s nguyên t cùng nhau
Bài 7: Chng minh rng vi mi
nN
thì các s
7 10n+
57n+
ngyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 7 10,5 7 , d n n d N= + +
Khi dó ta có :
( ) ( )
35 50 35 49 1 + + n n d d
Do đó
1d =
Vy hai s
7 10n+
57n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 8: Chng minh rng vi mi
nN
thì các s
23n+
48n+
ngyên t cùng nhau
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 2 3, 4 8 , d n n d N= + +
Khi đó ta có:
( )
2 2 3
2 3 4 6
4 8 4 8
48
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
4 8 4 6 2 1;2 + + n n d d d
23nd+
,
23n+
là s l nên
2d =
(loi)
Khi đó
1d =
Vy hai s
23n+
48n+
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 9: Cho
( )
¦ CLN , 1ab =
. Chng minh rng
( )
¦ CLN , 1a a b+=
Li gii:
Ta có đặt
( )
*
¦ CLN , , d a b a d N= +
+
+
a b d
a b a d b d
ad
mà a d nên
( )
¦ C ,d a b
hay
( )
¦ 1 1dd =
Bài 10: CMR:
( )
¦ CLN 12 1,30 1 1nn+ + =
vi mi s t nhiên n
Trang 13
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 12 1,30 1n n d+ + =
, suy ra
*
dN
khi đó ta có :
( )
( )
5 12 1
12 1 60 5
30 1 60 2
2 30 1
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( )( )
60 5 60 2 3 1;3 + + n n d d d
12 1n+
là mt s không chia hết cho
3
nên
3d =
loi
Vy
1d =
, khi đó
( )
¦ CLN 12 1,30 1 1nn+ + =
Bài 11: Cho
,ab
là hai s nguyên t cùng nhau. CMR các s sau cũng nguyên tố cùng nhau :
a)
2
a
ab+
b)
ab
ab+
Li gii:
a) Gi s
2
a
ab+
cùng chia hết cho s nguyên t
d
Khi đó
ad
, do đó
bd
,ab
cùng chia hết cho s nguyên t
d
, trái vi gi thiết
( )
¦ CLN a;b =1
Vy
2
a
ab+
là hai s nguyên t cùng nhau
b) Gi s
ab
ab+
cùng chia hết cho s nguyên t
d
Suy ra tn ti mt trong hai s
a
hoc
b
chia hết cho
d
Khi
a d b d
, hoc
b d a d
a
b
cùng chia hết cho
d
, trái vi
( )
, 1ab=
Vy
ab
ab+
nguyên t cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện đ hai s nguyên t cùng nhau
Bài 1: Tìm
nN
để:
7 10+n
57+n
là hai s sau ngyên t cùng nhau.
Li gii:
Trang 14
Gi
( )
*
7 10;5 7= + + d n n d N
Khi dó ta có:
( )
( )
5 7 10
7 10 35 50
5 7 35 49
7 5 7
+
++

++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
35 50 35 49 1 + + n n d d
Do đó
1=d
Vy vi mi
nN
hai s
7 10+n
57+n
là hai s nguyên t cùng nhau
Bài 2: Tìm
nN
để:
( )
23+n
( )
48+n
là hai s sau ngyên t cùng nhau
Li gii :
Gi
( )
*
2 3;4 8= + + d n n d N
Khi đó ta có:
( )
2 2 3
2 3 4 6
4 8 4 8
48
+
++


++
+
nd
n d n d
n d n d
nd
( ) ( )
4 8 4 6 2 1;2 + + n n d d d
( )
23+nd
,
( )
23+n
là mt s l nên
2=d
(loi)
Khi đó
1.=d
Vy vi mi
nN
hai s
( )
23+n
( )
48+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 3: Tìm
nN
để:
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
18 3,21 7+ + = UCLN n n d d N
Khi đó ta có:
( )
( )
7 18 3
18 3
21 7
6 21 7
+
+
+
+
nd
nd
nd
nd
Trang 15
( ) ( )
126 42 126 21 21 + + n n d d
( )
¦ 21 1; 3; 7; 21d =
Do
( )
21 7 7+n
,
21 7+n
không chia hết cho 3 nên
1=d
hoc
7=d
Để hai s
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t thì d khác 7, hay
( )
18 3 7 18 3 21 7 18 18 7 18 1 7 1 7 1 7 7 1
+ + +n n n n n n k n k
Vy
71+nk
vi k s t nhiên thì
18 3+n
21 7+n
là hai s nguyên t.
Bài 3: Tìm
¦ CLN 7 )1( 3,8nn+−
vi
*
()nN
. Khi nào thì hai s đó nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gi
( )
*
¦ CLN 7 3,8 1 ,d n n d N= +
Khi đó ta có:
( )
( )
8 7 3
7 3 56 24
8 1 56 7
7 8 1
+
++

−−
nd
n d n d
n d n d
nd
56 24 56 7 31 + + n n d d
1d=
hoc
31d=
.
Để
1d =
thì
31d
hay
73n+ 31 7 3 31n + 31 7 28n− 31
( )
74n−31 4n− 31
Hay
4 31 31 4n k n k +
(
k
là s t nhiên)
Vậy để
73n+
81n
là hai s nguyên tng nhau thì
31 4nk+
(
k
là s t nhiên)
Bài 4: Tìm
n
để
9 24n+
34n+
hai s nguyên t cùng nhau
().nN
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 9 24,3 4d n n= + +
9 24 9 24
3 4 3(3 4)
n d n d
n d n d
++


++
Trang 16
( ) ( )
9 24 9 12 12n n d d + +
1; 2; 3; 4; 6; 12d
Nếu
2; 4; 6; 12 9 24 +dn
chn và,
34+n
chn
2; 4; 6; 12 d
loi
Nếu
3 3 4 3= +dn
Vô
d=3(loi)
Nếu
1d =
9 24,3 4++nn
là s l
9 24n +
l
n
l
34n+
l
n
l
Vy
n
l
Bài 5: Tìm s t nhiên
n
để
+43n
23n+
nguyên t cùng nhau.
Li gii:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,
d
N
*
4 3 4 3
2 3 4 6
+ +
++
n d n d
n d n d
( ) ( )
4 6 4 3 3 1;3 + + n n d d d
Đ
+43n
23n+
là hai s nguyên t cùng nhau thì
d
khác 3 hay
2 3 3 2 3 3 3 ( )n n n n k k
+
Vy
3 ( )n k k
thì
43n+
23n+
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 6: Tìm s t nhiên
n
để
7 13n+
24n+
nguyên t cùng nhau.
Li gii:
b, Gi
( )
¦ CLN 7 13, 2 4n n d+ + =
,
*
dN
7 13 14 26
2 4 14 28
+ +
++
n d n d
n d n d
( ) ( )
14 28 14 26 2 1;2 + + n n d d d
Đ
7 13n+
24n+
là hai s nguyên t cùng nhau thì
d
khác 2 hay
Trang 17
7 13 2 7 2 2
+ n n n n
chn
Vy
n
chn thì
7 13n+
24n+
là hai s nguyên t cùng nhau.
Bài 7: Tìm s t nhiên
n
để các s
18 3n+
21 7n+
nguyên t cùng nhau .
Li gii:
Gi
( )
¦ CLN 18 3,21 7d n n= + +
( )
7(18 3)
18 3 126 21
6 21 7
21 7 126 42
nd
n d n d
nd
n d n d
+
++
+
++
( ) ( ) ( )
126 42 126 21 21 ¦ 21 1;3;7;21n n d d d + + =
Nếu
3 21 7 3= +dn
(Vô lý)
Nếu
1;7d
, đ 2 s trên là nguyên t thì
7 18 3 7 18 3 21 7 1 7 7 1
+ + +d n n n n k
Vy vi
( )
71 + n k k N
thì hai s trên nguyên t cùng nhau
Bài 8: Chng minh rng: có vô s s t nhiên
n
để
15+n
72+n
2 s nguyên tng nhau
Li gii:
Gi
( )
¦ C 15, 72 57d n n d + +
, do
15 ,57+n d d
,
Nên tn ti
n
sao cho
15 57 1+ = +nk
thì
1d =
, vi
1;2;3;k =
Vy s
n
HT

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 4:
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ước và Bội của một số nguyên Với ,
a bZ b  0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội
của b và b là ước của a. 2. Nhận xét
- Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q .
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC(a, b, c). 4. Ước chung lớn nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 5. Các tính chất - ¦ CLN( ,
a 1) = 1; BCNN ( , a ) 1 = a
- Nếu a b  ¦ CLN( , a ) b = ; b BCNN ( , a ) b = a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau  ( , a ) b =1; , a b = . a b
- ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)) và BC(a ,b) = B(BCNN(a, b)) a = dm - Nếu ¦ CLN( , a ) b = ; d   ¦ CLN( , m ) n = 1; b = dn 1  0 = 2.5 Ví dụ ¦ CLN(10,15) = 5;  ¦ CLN(2,3) =1 1  5 = 3.5 Trang 1c = am - Nếu BCNN ( , a b) = ; c   ¦ CLN( , m ) n = 1; c = bn  = Ví dụ BCNN ( ) 30 10.3 10,15 = 30;  ¦ CLN(2,3) = 1 3  0 = 15.2
- ab = ¦ CLN(a,b).BCNN(a, ) b PHẦN II. BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm ƯCLN của các số:
I. Phương pháp giải
Bài toán: Tìm ¦ CLN(a ,a ,...,a 1 2 n )
Phương pháp giải thường dùng: Giả sử ¦ CLN(a ,a ,...,a = d 1 2 n ) a d 1  a d 2    d = ? ...  a d n II.Bài toán Bài 1: Cho *
n N . Chứng minh rằng
a) ¦ CLN(n+ 3,2n+ ) 5 =1
b) ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1 Lời giải: a) Gọi *
¦ CLN(n+ 3,2n+ 5) = ( d d N ) n+ 3 d 2n+ 6 d     2n+ 5 d 2n+ 5 d
 (2n + 6) − (2n + 5)   d Trang 2
 (2n +6−2n −5) d 1  d d =1
Vậy (n + 3;2n + 5) =1. 4(3n+ 7) 7 1  2n+ 28 d b) Gọi *
¦ CLN(3n + 3,4n+ 9) = (
d d N )     3  (4n+ 9) d 1  2n+ 27 d
 (12n + 28) − (12n + 27)   d
 (12n + 28−12n −27) d 1  d d =1
Vậy ¦ CLN(3n+ 3,4n+ ) 9 =1. Bài 2: Cho ,
a b là số tự nhiên lẻ, bN . Chứng minh rằng ¦ CLN( , a ab+128) = 1. Lời giải: a d Đặt d = ¦ CLN( , a ab+128)  
d lẻ  128 d d lẻ ab +128 d  7
2 d d lẻ  2 d d lẻ  d = 1. Vậy ( , a ab +128) =1
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 2 *
17n +1 6(n N ) thì ¦ CLN( , n 2) = 1;¦ CLN( , m 3) = 1. Lời giải: +) Theo đầu bài ta có: 2 2 2
17n +1 6 17n +1 2 17n +1 chẵn  n lẻ  n  2  ( , n 2) =1 +) Vì 2 2
17n +1 6  17n +1 3  n  3  ( , n 3) = 1 (nếu 2 2
n 3 17n 3 17n +1 3 lo¹ i  n 3 ).
Bài 4: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a b . Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là số nguyên tố
cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19. Trang 3 Lời giải
Gọi d = (11a + 2 , b 18a + 5 ) b  5(11a + 2 )
b − 2(18a + 5 ) b d  19a d d 19 Đặt *
19a = dk(k N )  d.k 19    đpcm k 19
- Nếu k 19  k =19q 19a = dk = d.19.q a = dq a d 2b d  
b d d ¦ C( , a ) b = 1 d = 1. 5b d Bài 5: Chứng minh rằng: ¦ CLN( , a ) b = 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì m n m n *
¦ CLN(a + b ,a b ) = 1 ,
m nN m n a b  0 . Lời giải: m n a + b d 2 m a d a) d = ¦ CLN( m n a + b , m n
a b )     . m n a b d 2 n b d  m a d
Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ    n b d
Giả sử d  1  d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p m a p a p     p ¦ C( , a ) b ;ma : ( , a )
b = 1 1 p p = 1 vô lý n b pb p
Vậy d  1 d = 1 đpcm.
Bài 6: Tìm ƯCLN của 2n +1 và 3n +1 với n N . Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN Trang 4 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d Khi đó ta có :      3  n + 2 d 2  (3n + 2) d 6n + 4 d
 (6n + 4)−(6n + ) 3 d 1 d d ¦  ( ) 1 = 1;−  1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 ¦ = ( ) 1 =  1 − ;  1 .
Bài 7: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4 . Lời giải: Gọi ( n+ n+ ) * ¦ CLN 9 24,3
4 = d dN 9  n + 24 d 9  n + 24 d Khi đó ta có:    3  n + 4 d 9  n +12 d
 (9n + 24) −(9n +12) = d 12 d d¦ (1 ) 2 =  1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 6  ; 1   2
Do (3n + 4) d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d 3;6;1  3 (loại)
Do đó d 1;2;  4
- Để d = 2 thì n phải chẵn
- Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
- Để d = 1 thì n là số lẻ
Vậy n = 4k + 2(k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 2
n = 4k (k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 4 Trang 5 n = 2k + (
1 k N ) thì ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 = 1.
Bài 8: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 21n + 5 và 14n + 3 Lời giải: a) Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 21 5,14 3  dN 1  4n + 3 d 3
 (14n +3) d 42n + 9 d Khi đó ta có:      21n + 4 d 2  (21n + 4) d 42n + 8 d
 (42n +9)−(42n +8) d 1 d d =1 Vậy ¦ CLN(21 , n 14n+ ) 3 = 1
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 18n + 2 và 30n + 3 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 18 2,30 3  dN 1  8n + 2 d 5
 (18n + 2) d 9  0n +10 d Khi đó ta có:      3  0n + 3 d 3
 (30n + 3) d 9  0n + 9 d
 (90n +10)−(90n +9) d 1 d d =1
Vậy ¦ CLN(18n+ 2,30n+ ) 3 = 1
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, tìm ƯCLN của 24n + 7 và 18n + 5 Lời giải: Gọi ¦ CLN( n+ n+ ) * 24 7,18 5  dN 24n + 7 d 3
 (24n + 7) d 72n + 21 d Khi đó ta có:      1  8n + 5 d 4  (18n + 5) d 72n + 20 d  (72n + 2 )
1 − (72n + 20) d 1 d d =1 Trang 6
Vậy ¦ CLN(24n+ 7,18n+ ) 5 = 1. Bài 11: Biết ¦ L C N( , a ) b = 5 9 . Tìm ¦ CLN(a+ , b a− ) b . Lời giải:
Gọi (a + b a b) * ,
= d d N a+ b d
 2b d d¦ (2) hoặc d ¦  ( ) bab da + b d và 
 2a d  hoặc d¦ ( ) 2 hoặc d ¦  ( ) a a b d mà ( ,
a b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2 Vậy (a + ,
b a b) = 2 hoặc d = 95. Bài 12: Cho ,
m n là hai số tự nhiên. Gọi A là tập hợp các ước số chung của m n , B là tập hợp các
ước số chung của 11m + 5n và 9m + 4n. Chứng minh rằng A = B Lời giải: Gọi d = ¦ L C N( m+ 5 ,9 n m+ 4 ) * 11
n dN 1  1m + 5n d 9
 (11m +5n) d 9  9m + 45n d Khi đó ta có:      9  m + 4n d 1  1
 (9m + 4n) d 9  9m + 44n d
 (99m+ 45n)−(99m+ 44n) d n d (1) 1  1m + 5n d 4
 (11m + 5n) d 44m + 20n d Tương tự ta có:      9  m + 4n d 5
 (9m + 4n) d 45m + 20n d
 (45m+ 20n)−(44m+ 20n)  m d (2)
Từ (1) và (2) ta có : d¦ C( , m ) n d¦ ( ) A
B ¦ (d) = ¦ ( )
A . Vậy A = B Trang 7
Bài 13: Tìm ƯC của 2n+1 và 3n+1 với nN Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,3 1  dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d      3  n + 2 d 2  (3n + 2) d 6n + 4 d  (6n+ ) 4 −(6n+ )
3 d 1 d d¦ ( ) 1 = 1;−  1
Do đó ¦ C(2n+1,3n+ )
1 là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ¦ C(2n+1,3n+ ) 1 = ¦ ( ) 1 = 1 ( ,− ) 1
Bài 14: Cho hai số 3n +1 và 5n+ 4là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(3n+1,5n+ ) 4 = d Khi đó 3  n+1 d  ( 5 3n + ) 1 d    5n+ 4 d  ( 3 5n + 4) d  ( 3 5n+ ) 4 − ( 5 3n+ )
1 d  7 d d1;  7
d  1 nên d = 7
Bài 15: Tìm ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 với nN Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(2n−1,9 n + ) 4 , * dN Trang 8 Khi đó ta có : 2n −1 d 9  (2n − ) 1 d 1  8n − 9 d      9  n + 4 d 2  (9n + 4) d 1  8n + 8 d
 (18n +8)−(18n−9) d 17 d d¦ (1 ) 7 =  1  ; 1   7
Mà là các số dương nên ta có : d = 1 hoặc d =17
Vậy ¦ CLN(2n−1, 9n+ ) 4 =1 hoặc 17
Dạng 2: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
I. Phương pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ¦ CLN( , a ) b = 1
Phương pháp giải: Giả sử d = ¦ CLN( , a ) b
Cách 1: Chỉ ra d = 1 Cách 2:
+) Giả sử d 1(d  2) (phương pháp phản chứng)
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p = 1 (vô lý) +) Kết luận d = 1 II. Bài toán
Bài 1: Chứng minh rằng hai số n +1 và 3n + 4(nN ) là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = (n+ n+ ) * ¦ CLN 1,3
4  dN , nên ta có: Trang 9n +1 d 3n + 3 d   
 (3n + 4) −(3n + 3) d 1 d 3n + 4 d 3   n + 4 d
Vậy hai số n +1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (nN ) .
Bài 2: Chứng minh rằng 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN 2n+1 d Khi đó ta có:   (2n+ ) 3 − (2n+ )
1 d  2 d d ¦  (2) = 1;  2 2n+ 3 d
Mà ta lại có (2n + )
1 d mà 2n +1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1
Vậy hai số 2n +1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4(nN ) là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,2 3  dN Khi đó ta có: 1  4n + 3 d 3
 (14n +3) d 42n + 9 d      21n + 4 d 2  (21n + 4) d 42n + 8 d
 (42n +9) −(42n +8) d 1 d
Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. Chứng minh rằng m mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Giả sử m và ( mn + 4 ) cùng chia hết cho số tự nhiên d , khi đó ta có: Trang 10m d  . m n d     . m n + 4 d  . m n + 4 d
 4 d d 2;4; 
1 , do m d và m lẻ  d = 2 hoặc d = 4 (loại) Vậy d = 1
Khi đó m mn + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 5: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng tỏ rằng 8a + 3 và 5b +1 là nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi ( a+ b+ ) * ¦ CLN 8 3,5
1 = d dN 8  a + 3b d 5
 (8a + 3b) d 40a +15b d      5a +  b d
 8(5a + b) d 40a + 8b d
 (40a +15b) −(40a +7b)  7b d 8  a + 3  b d 8  a + 3b d và    3
 (5a + b) d 15  a + 3b d
 (15a +3b) −(8a +3b) d  7a d Vì ¦ CLN( , a )
b = 1 nên d = 1 hoặc d = 7 .
Bài 6: Chứng minh rằng 2n +1 và 6n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 1,6 5 ,  dN Khi đó ta có : 2n +1 d 3  (2n + ) 1 d 6n + 3 d      6n + 5 d 6n + 5 d 6n + 5 d  (6n+ ) 5 −(6n+ )
3 d  2 d d¦ (2)=1;  2 Trang 11
Do 2n+1 d , mà 2n+1 lại là số lẻ nên d = 2 loại, do đó d = 1
Vậy hai số 14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 7n+10 và 5n + 7 ngyên tố cùng nhau Lời giải: Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 7 10,5
7 ,  dN Khi dó ta có :
 (35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy hai số 7n+10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi nN thì các số 2n+ 3 và 4n+ 8 ngyên tố cùng nhau Lời giải: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d Gọi d = ( n+ n+ ) * ¦ CLN 2 3, 4
8 ,  dN Khi đó ta có:     4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
 (4n +8)−(4n+ 6) d  2 d d 1;  2
Vì 2n + 3 d , mà 2n+ 3 là số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1
Vậy hai số 2n+ 3 và 4n+ 8 là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 9: Cho ¦ CLN( , a )
b = 1. Chứng minh rằng ¦ CLN( , a a+ ) b = 1 Lời giải: Ta có đặt d = (a+b ) * ¦ CLN
, a , dN a + b d
a + b a d b d mà a d nên d¦ C( , a ) b hay d ¦  ( ) 1  d =1  a d
Bài 10: CMR: ¦ CLN(12n+1,30n+ )
1 =1 với mọi số tự nhiên n Trang 12 Lời giải:
Gọi ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 = d , suy ra *
d N khi đó ta có : 1  2n +1 d 5  (12n + ) 1 d 60n + 5 d      3  0n +1 d 2  (30n + ) 1 d 60n + 2 d
 (60n+5)(60n+ 2) d  3 d d 1;  3
Vì 12n+1 là một số không chia hết cho 3 nên d = 3 loại
Vậy d = 1 , khi đó ¦ CLN(12n+1,30n+ ) 1 =1 Bài 11: Cho ,
a b là hai số nguyên tố cùng nhau. CMR các số sau cũng nguyên tố cùng nhau : a) 2
a a + b
b) ab a+ b Lời giải: a) Giả sử 2
a a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó a d , do đó b d  ,
a b cùng chia hết cho số nguyên tố d , trái với giả thiết ¦ CLN(a; ) b =1 Vậy 2
a a + b là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Giả sử aba + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Suy ra tồn tại một trong hai số a hoặc b chia hết cho d
Khi a db d , hoặc b d a d
a b cùng chia hết cho d , trái với ( , a ) b = 1
Vậy aba + b nguyên tố cùng nhau
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 1: Tìm n N để: 7n +10 và 5n + 7 là hai số sau ngyên tố cùng nhau. Lời giải: Trang 13 Gọi d = ( n + n + ) * 7 10;5 7  d N Khi dó ta có: 7n +10 d 5
 (7n +10) d 3  5n + 50 d      5  n + 7 d 7  (5n + 7) d 3  5n + 49 d
 (35n +50)−(35n + 49) d 1 d Do đó d = 1
Vậy với mọi n N hai số 7n +10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm n N để: (2n + 3) và (4n + 8) là hai số sau ngyên tố cùng nhau Lời giải : Gọi d = ( n + n + ) * 2 3; 4
8  d N Khi đó ta có: 2n + 3 d
2(2n + 3) d 4n + 6 d      4n + 8 d 4n + 8 d 4n + 8 d
 (4n +8)−(4n+ 6) d  2 d d 1;  2 Vì (2n + )
3 d , mà (2n + 3) là một số lẻ nên d = 2 (loại) Khi đó d = 1.
Vậy với mọi n N hai số (2n + 3) và (4n + 8) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm n N để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi UCLN ( n + n + ) * 18 3, 21
7 = d d N 1  8n + 3 d 7  (18n + 3) d Khi đó ta có:    21n + 7 d 6  (21n + 7) d Trang 14
 (126n + 42)−(126n+ 2 ) 1 d  21 d d¦ (2 ) 1 =  1  ; 3  ; 7  ; 2   1
Do (21n + 7) 7 , mà 21n + 7 không chia hết cho 3 nên d = 1 hoặc d = 7
Để hai số 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố thì d khác 7, hay
18n + 3 7 18n + 3 − 21 7 18n −18  7 18(n − )
1  7  n −1 7  n −1  7k n  7k +1Vậy
n  7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố. Bài 3: Tìm ¦ CLN 7 ( n+ 3,8n− ) 1 với *
(nN ) . Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Gọi d = ( n+ n− ) * ¦ CLN 7 3,8 1 , dN Khi đó ta có: 7n + 3 d 8  (7n +3) d 5  6n + 24 d      8  n −1 d 7  (8n − ) 1 d 5  6n − 7 d
 56n + 24 − 56n + 7 d  31 d d = 1 hoặcd = 31.
Để d = 1 thì d  31 hay 7n + 3 31 7n + 3− 31 31 7n − 28 31  7(n− ) 4 31 n − 4 31
Hay n − 4  31k n  31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Vậy để 7n+ 3 và 8n −1 là hai số nguyên tố cùng nhau thì
n 31k + 4 ( k là số tự nhiên)
Bài 4: Tìm n để 9n + 24 và 3n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (nN). Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(9n+ 24,3n+ ) 4 9n+ 24 d 9n+ 24 d     3  n+ 4 d 3  (3n+ 4) d Trang 15  (9n+2 ) 4 − (9n+1 ) 2 d 12 d d 1  ; 2  ; 3  ; 4  ; 6  ; 1   2 Nếu d  2  ; 4  ; 6  ; 1  
2  9n + 24 chẵn và, 3n + 4 chẵn  d  2  ; 4  ; 6  ; 1   2 loại Nếu d = 3
  3n + 4 3 Vô lý  d=3(loại)
Nếu d = 1  9n + 24,3n + 4 là số lẻ  9n+ 24 lẻ  n lẻ và 3n+ 4 lẻ  n lẻ Vậy n lẻ
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 4n+ 3 và 2n+ 3 nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
Gọi ƯCLN( 4n+3; 2n+3) =d,  d N* 4n + 3 d 4n + 3 d    2n + 3  d 4n + 6 d
 (4n +6) −(4n + )
3 d  3 d d 1;  3
Để 4n+ 3 và 2n+ 3 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n + 3 3  2n  3  n  3  n  3k (k  )
Vậy n  3k (k  ) thì 4n+ 3 và 2n+ 3là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để 7n+13 và 2n+ 4nguyên tố cùng nhau. Lời giải:
b, Gọi ¦ CLN(7n+13, 2n+ ) 4 = d , *  dN 7  n +13 d 1  4n + 26 d    2n + 4 d 1   4n + 28 d
 (14n + 28)−(14n + 26) d  2 d d 1;  2
Để 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d khác 2 hay Trang 16
7n +13  2  7n 2  n 2  n chẵn
Vậy n chẵn thì 7n+13 và 2n+ 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để các số 18n+ 3 và 21n+ 7 nguyên tố cùng nhau . Lời giải:
Gọi d = ¦ CLN(18n+ 3,21n+ ) 7 1  8n+ 3 d 7(18n+ 3) d  1  26n + 21 d       21n+ 7 d 6
 (21n+ 7) d 1  26n + 42 d  (126n+ 4 ) 2 −(126n+ 2 )
1 d  21 d d ¦  (2 ) 1 = 1;3;7;2  1
Nếu d = 3  21n + 7 3 (Vô lý) Nếu d 1; 
7 , để 2 số trên là nguyên tố thì
d  7  18n + 3  7  18n + 3 − 21 7  n −1 7  n  7k +1
Vậy với n  7k + (
1 k N ) thì hai số trên nguyên tố cùng nhau
Bài 8: Chứng minh rằng: có vô số số tự nhiên nđể n +15 và n + 72 là 2 số nguyên tố cùng nhau Lời giải:
Gọi d¦ C(n+15,n+ 7 )
2  57 d , do n +15 d,57 d ,
Nên tồn tại n sao cho n +15 = 57k +1 thì d = 1, với k = 1;2;3; Vậy có vô số nHẾT Trang 17