Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết

Luyện thi HSG Toán 6 chủ đề: Quy nạp toán học chứng minh bài toán chia hết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 17 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

28 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6

Môn: Toán 6

Thông tin:

17 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN
CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TÍNH CHẤT CHUNG
( )
n
1)
ab
và
bc
thì
ac
2)
aa
với mọi
a
khác 0
3)
0 b
với mọi
khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU
- Nếu
,ab
cùng chia hết cho m thì
ab+
chia hết cho
m
và
ab−
chia hết cho
m
- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho
m
và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết
cho
m
.
- Nếu 1 trong 2 số
,ab
chia hết cho
m
số kia không chia hết cho
m
thì tổng, hiệu của chúng không
chia hết cho
m
.
3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho
m
thì tích chia hết cho
m
- Nếu
a
chia hết cho
m
thi bội của a cũng chia hết cho
m
- Nếu
a
chia hết cho
m
,
chia hết cho n thì
.ab
chia hết cho
.mn
- Nếu
a
chia hết cho
thì:
mm
ab
4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:
1)
0 ( 0)aa
2)
;1a a a
( 0)a
3)
;a b b c a c
4)
;a m b m pa qb m
5)
:( . ) ;a mn a m a n
6)
; ;( , ) 1a m a n m n a mn=
7)
;a m b n ab mn
8)
;( , ) 1ab m b m a m=
9)
ab p
(p là số nguyên tố) thì hoặc
ap
hoặc
bp
5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC
- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.
- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trang 2
- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết
cho một số.
2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho
một số.
3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.
Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho
một số.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
*
n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện
các bước sau:
PHƯƠNG PHÁP 1:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n =
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với
1nk=+
.
PHƯƠNG PHÁP 2:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n =
có nghĩa là
1
FA
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
có nghĩa là
k
FA
Bước 3: Ta chứng minh
1kk
F F A
+
−
.
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng:
45
n
+
chia hết cho 3 với mọi
n
.
Giải:
Đặt
45
n
n
A =+
* Với
0n =
, ta có
0
0
4 5 6 3A = + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
4 5 3
k
k
A =+
* Với
1nk=+
, xét
1
1
4 5 4 . 4 5
kk
k
A
+
+
= + = +
4 . (3 1) 5
k
= + +
3
3
4 . 3 4 5
kk
= + +
1
3
k
A
+
Vậy
45
n
+
chia hết cho 3 với mọi
n
.
Bài 2: Chứng minh rằng:
71
n
−
chia hết cho 6 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
71
n
n
A =−
Trang 3
* Với
1n =
, ta có
1
1
7 1 6 6A = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
7 1 6
k
k
A =−
* Với
1nk=+
, xét
1
1
7 1 7 . 7 1
kk
k
A
+
+
= − = −
7 . (6 1) 1
k
= + −
6
6
7 . 6 7 1
kk
= + −
1
6
k
A
+
Vậy
71
n
−
chia hết cho 6 với mọi
*
n
.
Bài 3: Chứng minh rằng:
91
n
−
chia hết cho 8 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
91
n
n
A =−
* Với
1n =
, ta có
1
1
9 1 8 8A = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
9 1 8
k
k
A =−
* Với
1nk=+
, xét
1
1
9 1 9 . 9 1
kk
k
A
+
+
= − = −
9 . (8 1) 1
k
= + −
8
8
9 . 8 9 1
kk
= + −
1
8
k
A
+
Vậy
91
n
−
chia hết cho 8 với mọi
*
n
.
Bài 4: Chứng minh rằng:
13 1
n
−
chia hết cho 6 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
13 1
n
n
A =−
* Với
1n =
, ta có
1
1
13 1 12 6A = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
13 1 6
k
k
A =−
* Với
1nk=+
, xét
1
1
13 1 13 . 13 1
kk
k
A
+
+
= − = −
13 . (12 1) 1
k
= + −
6
6
13 . 12 13 1
kk
= + −
1
6
k
A
+
Vậy
13 1
n
−
chia hết cho 6 với mọi
*
n
.
Bài 5: Chứng minh rằng:
16 1
n
−
chia hết cho 15 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
16 1
n
n
A =−
* Với
1n =
, ta có
1
1
16 1 15 15A = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
16 1 15
k
k
A =−
* Với
1nk=+
, xét
1
1
16 1 16 . 16 1
kk
k
A
+
+
= − = −
Trang 4
16 . (15 1) 1
k
= + −
15
15
16 . 15 16 1
kk
= + −
1
15
k
A
+
Vậy
16 1
n
−
chia hết cho 15 với mọi
*
n
.
Bài 6: Chứng minh rằng:
21
21
n+
+
chia hết cho 3 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
21
21
n
n
B
+
=+
* Với
1n =
, ta có
2
1
2 1 3 3B = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
21
2 1 3
k
k
B
+
=+
* Với
1nk=+
, xét
2( 1) 1 2 1 2
1
2 1 2 1
kk
k
B
+ + + +
+
= + = +
2 1 2 2 1
2 .2 1 2 .(3 1) 1
nn++
= + = + +
2 1 2 1
3
3
3.2 2 1
kk++
= + +
1
3
k
B
+
Vậy
21
21
n+
+
chia hết cho 3 với mọi
*
n
.
Bài 7: Chứng minh rằng:
2
61
n
−
chia hết cho 35 với mọi
*
n
Giải:
Đặt
2
61
n
n
B =−
* Với
1n =
, ta có
2
1
6 1 35 35B = − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
2
6 1 35
k
k
B =−
* Với
1nk=+
, xét
2( 1) 2 2
1
6 1 6 . 6 1
kk
k
B
+
+
= − = −
2
6 . (35 1) 1
k
= + −
22
35
35
6 . 35 6 1
kk
= + −
1
35
k
B
+
Vậy
2
61
n
−
chia hết cho 35 với mọi
*
n
.
Bài 8: Chứng minh rằng:
4 15 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
4 15 1
n
n
Cn= + −
* Với
1n =
, ta có
1
1
4 15.1 1 18 9C = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
4 15 1 9
k
k
Ck= + −
* Với
1nk=+
, xét
1
1
4 15( 1) 1
k
k
Ck
+
+
= + + −
4.4 15 14
k
k= + +
4.(4 15 1) 45 18
k
kk= + − − +
Trang 5
99
4.(4 15 1) 9(2 5 )
k
kk= + − + −
1
9
k
C
+
Vậy
4 15 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Bài 9: Chứng minh rằng:
4 6 8
n
n++
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
4 6 8
n
n
Dn= + +
* Với
1n =
, ta có
1
1
4 6.1 8 18 9D = + + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
4 6 8 9
k
k
Dk= + +
* Với
1nk=+
, xét
1
1
4 6( 1) 8
k
k
Dk
+
+
= + + +
4.4 6 14
k
k= + +
4.(4 6 8) 18 18
k
kk= + + − +
99
4.(4 6 8) 18(1 )
k
kk= + + + −
1
9
k
D
+
Vậy
4 6 8
n
n++
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Bài 10: Chứng minh rằng:
7 3 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
Giải:
Đặt
7 3 1
n
n
En= + −
* Với
1n =
, ta có
1
1
7 3.1 1 9 9E = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
7 3 1 9
k
k
Ek= + −
* Với
1nk=+
, Xét
1
1
7 3( 1) 1
k
k
Ek
+
+
= + + −
7.7 21 7 18 9
k
kk= + − − +
99
7.(7 3 1) 9(2 1)
k
kk= + − − −
1
9
k
E
+
Vậy
7 3 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
Bài 11: Chứng minh rằng:
4 15 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
4 15 1
n
n
En= + −
* Với
1n =
, ta có
1
1
4 15.1 1 18 9E = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
4 15 1 9
k
k
Ek= + −
* Với
1nk=+
, xét
1
1
4 15( 1) 1
k
k
Ek
+
+
= + + −
4.4 15 15 1
k
k= + + −
Trang 6
3.4 15 4 15 1
kk
k= + + + −
( )
3. 4 5
k
k
E= + +
Mà
( ) ( )
4 5 3 3. 4 5 9
kk
+ +
1
9
k
E
+
Vậy
4 15 1
n
n+−
chia hết cho 9 với mọi
*
n
.
Bài 12: Chứng minh rằng:
16 15 1
n
n−−
chia hết cho 225 với mọi
*
n
.
Giải:
Đặt
16 15 1
n
n
Fn= − −
* Với
1n =
, ta có
1
1
16 15.1 1 0 225F = − − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
16 15 1 225
k
k
Fk= − −
* Với
1nk=+
, xét
1
1
16 15( 1) 1
k
k
Fk
+
+
= − + −
16.16 15 16
k
k= − −
( )
16 15 1 15 16 1
kk
k= − − − −
( )
15 16 1
k
k
F= − −
Ta có :
( )
16 1 15 15 16 1 225
kk
− −
1
225
k
F
+
Vậy
16 15 1
n
n−−
chia hết cho 225 với mọi
*
n
.
Bài 13: Chứng minh rằng
2 1 2
32
nn
n
B
++
=+
chia hết cho 7 với mọi
n
.
Giải:
* Với
0n =
, ta có
12
0
3 2 7 7B = + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
2 1 2
3 2 7
kk
k
B
++
=+
* Với
1nk=+
, xét
2( 1) 1 1 2
1
32
kk
k
B
+ + + +
+
=+
2 2 1 2
3 .3 2.2
kk++
=+
( )
2 1 2 2
9 3 2 7.2
k k k+ + +
= + −
2
7
7
9. 7.2
k
k
B
+
=+
Vậy
2 1 2
32
nn
n
B
++
=+
chia hết cho 7 với mọi
n
.
Bài 14: Chứng minh rằng
1 2 1
11 12
nn
n
B
+−
=+
chia hết cho 133 với mọi
*
n
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có
21
1
11 12 133 133B = + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
1 2 1
11 12 133
kk
k
B
+−
=+
* Với
1nk=+
, xét
1 2 2( 1) 1
1
11 12
kk
k
B
+ + + +
+
=+
Trang 7
1 2 1 2
11.11 12 .12
kk+−
=+
1 2 1
11.11 12 (11 133)
kk++
= + +
21
133
133
11. 133.12
k
k
B
−
=+
1
133
k
B
+
Vậy
1 2 1
11 12
nn
n
B
+−
=+
chia hết cho 133.
Bài 15: Chứng minh rằng:
22
4.3 32 36
n
n
+
+−
chia hết cho 32 với mọi
n
.
Giải:
Đặt
22
4.3 32 36
n
n
Gn
+
= + −
* Với
0n =
, ta có
2
0
4.3 32.0 36 0 32G = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
22
4.3 32 36 32
k
k
Gk
+
= + −
* Với
1nk=+
, xét
2( 1) 2
1
4.3 32( 1) 36
k
k
Gk
++
+
= + + −
22
9.4.3 32 4
k
k
+
= + −
( )
( )
22
9 4.3 32 36 32 8 32
k
kk
+
= + − − −
( )
32
32
9 32 8 32
k
Gk= − −
1
32
k
G
+
Vậy
22
4.3 32 36
n
n
+
+−
chia hết cho 32 với mọi
n
.
Bài 16: Chứng minh rằng:
33
3 26 27
n
n
+
−−
chia hết cho 169 với mọi
n
.
Giải:
Đặt
33
3 26 27
n
n
Gn
+
= − −
* Với
0n =
, ta có
3
0
3 26.0 27 0 169G = − − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
33
3 26 27 169
k
k
Gk
+
= − −
* Với
1nk=+
, xét
3( 1) 3
1
3 26( 1) 27
k
k
Gk
++
+
= − + −
33
27.3 26 26 27
k
k
+
= − − −
( )
33
27 3 26 27 26.26 676
k
kk
+
= − − + +
( )
169
169
27 169 4 4
k
Gk= + +
1
169
k
G
+
Vậy
33
3 26 27
n
n
+
−−
chia hết cho 169 với mọi
n
.
Bài 17: Chứng minh rằng:
23
35
n+
+
chia hết cho 8 với mọi
n
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt
23
35
n
n
G
+
=+
Trang 8
* Với
0n =
, ta có
3
0
3 5 32 8G = + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
23
3 5 8
k
k
G
+
=+
* Xét
( )
2( 1) 3 2 3
1
3 5 3 5
kn
kk
GG
+ + +
+
− = + − +
2 5 2 3
33
kk++
=−
2 3 2 3
9.3 3
kk++
=−
2 3 2 3
3 (9 1) 3 . 8 8
kk++
= − =
Vậy
23
35
n+
+
chia hết cho 8 với mọi
n
.
Bài 18: Chứng minh rằng:
10 18 1
n
n+−
chia hết cho 27 với mọi
n
.
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt
10 18 1
n
n
Gn= + −
* Với
0n =
, ta có
0
1 18.0 1 0 27G = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
10 18 1 27
k
k
Gk= + −
* Xét
( )
1
1
10 18( 1) 1 10 18 1
kk
kk
G G k k
+
+
− = + + − − + −
10 (9 1) 18
k
= + +
( )
9. 10 2
k
=+
Đặt
10 2
k
k
H =+
Ta có
0
0
10 2 3 3H = + =
và
1
9.10 3
k
kk
HH
−
−=
Nên:
( )
1
9. 10 2 27
k
kk
GG
+
− = +
Vậy
10 18 1
n
n+−
chia hết cho 27 với mọi
n
.
Bài 19: Chứng minh rằng:
23
3 40 27
n
n
+
+−
chia hết cho 64 với mọi
n
.
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt
23
3 40 27
n
n
Gn
+
= + −
* Với
0n =
, ta có
3
0
3 40.0 27 0 64G = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
0nk=
, suy ra
23
3 40 27 64
k
k
Gk
+
= + −
* Xét
( )
2( 1) 3 2 3
1
3 40( 1) 27 3 40 27
kk
kk
G G k k
+ + +
+
− = + + − − + −
2 5 2 3
3 3 40
kk++
= − +
23
8.3 40
k+
=+
( )
23
8. 3 5
k+
=+
Mà
23
35
k+
+
chia hết cho 8 với mọi
n
(bài 17)
Nên:
( )
23
1
8. 3 5 64
k
kk
GG
+
+
− = +
Vậy
23
3 40 27
n
n
+
+−
chia hết cho 64 với mọi
n
.
Trang 9
Bài 20: Chứng minh rằng:
21
3 40 67
n
n
+
+−
chia hết cho 64 với mọi
*
n
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt
21
3 40 67
n
n
Gn
+
= + −
* Với
1n =
, ta có
3
1
3 40.1 67 0 64G = + − =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
21
3 40 67 64
k
k
Gk
+
= + −
* Xét
( )
2( 1) 1 2 1
1
3 40( 1) 67 3 40 67
kk
kk
G G k k
+ + +
+
− = + + − − + −
2 3 2 1
3 3 40
kk++
= − +
21
8.3 40
k+
=+
( )
21
8. 3 5
k+
=+
Đặt
21
35
k
k
H
+
=+
Ta có
3
1
3 5 32 8H = + =
và
2( 1) 1 2 1
1
3 5 (3 5)
kk
kk
HH
+ + +
−
− = + − +
2 3 2 1 2 1
3 3 8.3 8
k k k+ + +
= − =
Nên:
( )
21
1
8. 3 5 64
k
kk
GG
+
+
− = +
Vậy
23
3 40 27
n
n
+
+−
chia hết cho 64 với mọi
*
n
.
Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho
một số.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
*
n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện
các bước sau:
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n =
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với
1nk=+
Ta dùng một số Hằng đẳng thức sau:
1.
( )
2
22
2a b a ab b+ = + +
2.
( )
2
22
2a b a ab b− = − +
3.
( )
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b+ = + + +
4.
( )
3
3 2 2 3
33a b a a b ab b− = − + −
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng với
*
n
thì
3
nn−
chia hết cho 3.
Giải:
Đặt
3
n
A n n=−
* Với
1n =
, ta có
3
1
1 1 0 3A = − =
Trang 10
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
3
3
k
A k k=−
* Với
1nk=+
, xét
3
1
( 1) ( 1)
k
A k k
+
= + − +
32
3 3 1 1k k k k= + + + − −
( ) ( )
32
33
3k k k k= − + +
1
6
k
A
+
Vậy với
*
n
thì
3
nn−
chia hết cho 3.
Bài 2: Chứng minh rằng với
*
n
thì
3
11nn+
chia hết cho 6.
Giải:
Đặt
3
11
n
A n n=+
* Với
1n =
, ta có
3
1
1 11.1 12 6A = + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
3
11 6
k
A k k=+
* Với
1nk=+
, xét
3
1
( 1) 11( 1)
k
A k k
+
= + + +
32
3 3 1 11 11k k k k= + + + + +
( ) ( )
32
11 3 4k k k k= + + + +
( )
( )
3
2
6
11 3 ( 1) 4k k k k= + + + +
1
6
k
A
+
Vậy với
*
n
thì
3
11nn+
chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng với
*
n
ta luôn có
32
35n n n++
chia hết cho 3.
Giải:
Đặt
32
35
n
A n n n= + +
* Với
1n =
, ta có
32
1
1 3.1 5.1 9 3A = + + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
32
3 5 3
k
A k k k= + +
* Với
1nk=+
, xét
32
1
( 1) 3( 1) 5( 1)
k
A k k k
+
= + + + + +
3 2 2
3 3 1 3 6 3 5 5k k k k k k= + + + + + + + +
3 2 2
3 5 3 9 9k k k k k= + + + + +
2
3
3
3( 3 3)
k
A k k= + + +
1
3
k
A
+
Vậy với
*
n
ta luôn có
32
35n n n++
chia hết cho 3.
Bài 4: Chứng minh rằng với
*
n
ta luôn có
32
23n n n−+
chia hết cho 6.
Giải:
Trang 11
Đặt
32
23
n
A n n n= − +
* Với
1n =
, ta có
32
1
2.1 3.1 1 0 6A = − + =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
32
2 3 6
k
A k k k= − +
* Với
1nk=+
, xét
32
1
2( 1) 3( 1) ( 1)
k
A k k k
+
= + − + + +
3 2 2
2 6 6 2 3 6 3 1k k k k k k= + + + − − − + +
3 2 2
2 3 6k k k k= − + +
2
6
6
6
k
Ak=+
1
6
k
A
+
Vậy với
*
n
ta luôn có
32
23n n n−+
chia hết cho 6.
Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi số
*
n
thì
( 1)( 2)...( )
n
S n n n n= + + +
chia hết cho
2
n
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có
1
1
1 1 2 2 2S = + = =
* Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
, suy ra
( 1)( 2)...( ) 2
k
k
S k k k k= + + +
* Với
1nk=+
, xét
1
( 2)( 3)...[( 1) ( 1)]
k
S k k k k
+
= + + + + +
2( 1)( 2)...( )k k k k= + + +
2.
k
S=
Mà
1
2 2. 2
kk
kk
SS
+
1
1
2
k
k
S
+
+
Vậy với mọi số
*
n
thì
( 1)( 2)...( )
n
S n n n n= + + +
chia .hết cho
2
n
.
Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
*
n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện
các bước sau:
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n =
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với
1nk=
( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với
1nk=+
có nghĩa là khi
1nk=+
ta chứng minh vế
trái bằng vế phải.
II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
2
1 3 5 ... (2 1)nn+ + + + − =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng
1
11=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Trang 12
Tức là:
2
1 3 5 ... (2 1)
k
S k k= + + + + − =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
2
1 3 5 ... (2 1) [2( 1) 1] ( 1)k k k+ + + + + + + − = +
Thật vậy, ta có:
1
[2( 1) 1]
kk
S S k
+
= + + −
22
2 1 ( 1)k k k= + + = +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 2: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
(3 1)
2 5 8 ... 3 1
2
nn
n
+
+ + + + − =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng
1(3.1 1)
2
2
+
=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
(3 1)
2 5 8 ... 3 1
2
k
kk
Sk
+
= + + + + − =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
( 1)[(3( 1) 1]
2 5 8 ...(3 1) [3( 1) 1]
2
kk
kk
+ + +
+ + + − + + − =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
1
32
kk
S S k
+
= + +
(3 1)
32
2
kk
k
+
= + +
2
3 6 4
2
k k k+ + +
=
2
3( 2 1) 1
2
k k k+ + + +
=
( 1)[3( 1) 1]
2
kk+ + +
=
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 3: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
( 1)
1 2 3 ...
2
nn
n
+
+ + + + =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1 , vế phải bằng
1(1 1)
1
2
+
=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
( 1)
1 2 3 ...
2
k
kk
Sk
+
= + + + + =
Trang 13
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
( 1)( 2)
1 2 3 ... ( 1)
2
kk
kk
++
+ + + + + + =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
1
1
kk
S S k
+
= + +
( 1)
1
2
kk
k
+
= + +
2
2 2 ( 1)( 2)
22
k k k k k+ + + + +
==
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 4: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1)
3
n n n
nn
++
+ + + + + =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
1.2 2=
, vế phải bằng
1(1 1)(1 2)
2
3
++
=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1)
3
k
k k k
S k k
++
= + + + + + =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
( 1)( 2)( 3)
1.2 2.3 3.4 ... ( 1) ( 1)( 2)
3
k k k
k k k k
+ + +
+ + + + + + + + =
Thật vậy, ta có:
1
( 1)( 2)
kk
S S k k
+
= + + +
( 1)( 2)
( 1)( 2)
3
k k k
kk
++
= + + +
( 1)( 2) 3( 1)( 2)
3
k k k k k+ + + + +
=
( 1)( 2)( 3)
3
k k k+ + +
=
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 5: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
2
1.2 2.5 3.8 ... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + − = +
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
1.2 2=
, vế phải bằng
2
1 (1 1) 2+=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
2
1.2 2.5 3.8 ... (3 1) ( 1)
k
S k k k k= + + + + − = +
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
2
1
1.2 2.5 3.8 ... (3 1) ( 1)(3 2) ( 1) ( 2)
k
S k k k k k k
+
= + + + + − + + + = + +
Thật vậy, ta có:
1
( 1)(3 2)
kk
S S k k
+
= + + +
Trang 14
2
( 1) ( 1)(3 2)k k k k= + + + +
2
( 1)( 3 2)k k k= + + +
( 1)( 2)( 3)k k k= + + +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 6: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
2
1.4 2.7 3.10 ... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + + = +
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
1.4 4=
, vế phải bằng
2
1(1 1) 4+=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
2
1.4 2.7 3.10 ... (3 1) ( 1)
k
S k k k k= + + + + + = +
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
2
1
1.4 2.7 3.10 ... (3 1) ( 1)(3 4) ( 1)( 2)
k
S k k k k k k
+
= + + + + + + + + = + +
Thật vậy, ta có:
1
( 1)(3 4)
kk
S S k k
+
= + + +
2
( 1) ( 1)(3 4)k k k k= + + + +
( 1)[ ( 1) 3 4]k k k k= + + + +
2
( 1)( 4 4)k k k= + + +
2
( 1)( 2)kk= + +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 7: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2
n
nn
−
+ + + + =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
1
2
, vế phải bằng
1
1
2 1 1
22
−
=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2
k
k
kk
S
−
= + + + + =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
1
1
11
1 1 1 1 1 2 1
...
2 4 8 2 2 2
k
k
k k k
S
+
+
++
−
= + + + + + =
Thật vậy, ta có:
1
1
1
2
kk
k
SS
+
+
=+
1
2 1 1
22
k
kk+
−
=+
1
2(2 1) 1
2.2 2
k
kk+
−
=+
Trang 15
11
1 1 1
2 2 1 2 1
2 2 2
kk
k k k
++
+ + +
−+
= + =
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 8: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1
n
n n n
+ + + + =
++
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
11
1.2 2
=
, vế phải bằng
11
1 1 2
=
+
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 ( 1) 1
k
k
S
k k k
= + + + + =
++
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
1
1 1 1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) 2
k
k
S
k k k k k
+
+
= + + + + + =
+ + + +
Thật vậy, ta có:
1
1
( 1)( 2)
kk
SS
kk
+
=+
++
1
1 ( 1)( 2)
k
k k k
=+
+ + +
( 2) 1
( 1)( 2)
kk
kk
++
=
++
2
21
( 1)( 2)
kk
kk
++
=
++
2
( 1) 1
( 1)( 2) 2
kk
k k k
++
==
+ + +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 9: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
1 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) 3 1
n
n n n
+ + + + =
− + +
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
11
1.4 4
=
, vế phải bằng
11
3.1 1 4
=
+
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Tức là:
1 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) 3 1
k
k
S
k k k
= + + + + =
− + +
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
1
1 1 1 1 1 1
...
1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1) (3 1)(3 4) 3 4
k
k
S
k k k k k
+
+
= + + + + + =
− + + + +
Trang 16
Thật vậy, ta có:
1
1
(3 1)(4 4)
kk
SS
kk
+
=+
++
1
3 1 (3 1)(3 4)
k
k k k
=+
+ + +
(3 4) 1
(3 1)(3 4)
kk
kk
++
=
++
2
3 4 1
(3 1)(3 4)
kk
kk
++
=
++
( 1)(3 1) 1
(3 1)(3 4) 3 4
k k k
k k k
+ + +
==
+ + +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
2n
ta có:
2
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 2
n
nn
+
− − − − =
Giải:
* Với
2n =
, ta có vế trái bằng
13
1
44
−=
, vế phải bằng
2 1 3
2.2 4
+
=
Vậy hệ thức đúng với
2n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
2nk=
Tức là:
2
1 1 1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
4 9 16 2
k
k
S
kk
+
= − − − − =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
1
22
1 1 1 1 1 2
1 . 1 . 1 ... 1 . 1
4 9 16 ( 1) 2( 1)
k
k
S
k k k
+

+
= − − − − − =

++

Thật vậy, ta có:
1
2
1
.1
( 1)
kk
SS
k
+

=−

+

2
11
.1
2 ( 1)
k
kk

+
=−

+

2
1 ( 2)
.
2 ( 1)
k k k
kk
++
=
+
2
2( 1)
k
k
+
=
+
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
Bài 11: Chứng minh rằng với
*
n
ta có đẳng thức:
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
n n n
n
++
+ + + + =
.
Giải:
* Với
1n =
, ta có vế trái bằng
1
11=
, vế phải bằng
1.2.3
1
6
=
Vậy hệ thức đúng với
1n =
* Đặt vế trái bằng
n
S
, giả sử đẳng thức đúng với
1nk=
Trang 17
Tức là:
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
6
k
k k k
Sk
++
= + + + + =
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với
1nk=+
, nghĩa là phải chứng minh:
2 2 2 2 2
1
( 1)( 2)(2 3)
1 2 3 ... ( 1)
6
k
k k k
S k k
+
+ + +
= + + + + + + =
Thật vậy, ta có:
2
1
( 1)
kk
S S k
+
= + +
2
( 1)(2 1)
( 1)
6
k k k
k
++
= + +
2
( 1)(2 1) 6( 1)
6
k k k k+ + + +
=
( 1)[ (2 1) 6( 1)]
6
k k k k+ + + +
=
2
( 1)(2 7 6)
6
k k k+ + +
=
( 1)( 2)(2 3)
6
k k k+ + +
=
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi
*
n
.
| 1/17
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TÍNH CHẤT CHUNG(n )
1) a b và b c thì a c
2) a a với mọi a khác 0
3) 0 b với mọi b khác 0
4) Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu a,b + −
cùng chia hết cho m thì a
b chia hết cho m và a b chia hết cho m
- Tổng (Hiệu) của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m .
- Nếu 1 trong 2 số a,b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng, hiệu của chúng không chia hết cho m .
3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA 1 TÍCH
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m thi bội của a cũng chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m , b chia hết cho n thì . a b chia hết cho . m n
- Nếu a chia hết cho b thì: m m a b
4. CÁC TÍNH CHẤT KHÁC:
1) 0 a (a  0)
2) a a; a 1 (a  0) 3) a ; b b c a c
4) a m;b m pa qb m 5) a : ( . m )
n a m; a n 6) a m; a n;( , m ) n =1  a mn
7) a m ; b n ab mn 8) ab m;( , b ) m = 1 a m
9) ab p (p là số nguyên tố) thì hoặc a p hoặc b p
5. CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC
- Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ.
- Tổng hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn.
- Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Trang 1
- Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
1, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.
2, Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.
3, Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.
Dạng 1: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là số mũ) chia hết cho một số.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi * n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau: PHƯƠNG PHÁP 1:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 ( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1. PHƯƠNG PHÁP 2:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 có nghĩa là F A 1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 có nghĩa là F A k
Bước 3: Ta chứng minh F − F A . k 1 + k II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng: 4n + 5 chia hết cho 3 với mọi n  . Giải:
Đặt A = 4n + 5 n * Với n = 0 , ta có 0 A = 4 + 5 = 6 3 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra A = 4k + 5 3 k
* Với n = k +1, xét k 1 A = 4 + + 5 = 4k. 4 + 5 k 1 + 4k
= . (3 +1) + 5 4k. 3 4k = + + 5 3 3  A 3 k 1 +
Vậy 4n + 5 chia hết cho 3 với mọi n  .
Bài 2: Chứng minh rằng: 7n −1 chia hết cho 6 với mọi * n  . Giải:
Đặt A = 7n −1 n Trang 2 * Với n = 1 , ta có 1 A = 7 −1 = 6 6 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra A = 7k −1 6 k
* Với n = k +1, xét k 1 A
= 7 + −1 = 7k. 7 −1 k 1 + 7k
= . (6 +1) −1 7k. 6 7k = + −1 6 6  A 6 k 1 +
Vậy 7n −1 chia hết cho 6 với mọi * n  .
Bài 3: Chứng minh rằng: 9n −1 chia hết cho 8 với mọi * n  . Giải:
Đặt A = 9n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 A = 9 −1 = 8 8 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 , suy ra A = 9k −1 8 k
* Với n = k +1, xét k 1 A
= 9 + −1 = 9k. 9 −1 k 1 + 9k
= . (8 +1) −1 9k. 8 9k = + −1 8 8  A 8 k 1 +
Vậy 9n −1 chia hết cho 8 với mọi * n  .
Bài 4: Chứng minh rằng: 13n −1 chia hết cho 6 với mọi * n  . Giải:
Đặt A = 13n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 A = 13 −1 = 12 6 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra A = 13k −1 6 k
* Với n = k +1, xét k 1 A
= 13 + −1 = 13k. 13 −1 k 1 + 13k =
. (12 +1) −1 13k. 12 13k = + −1 6 6  A 6 k 1 +
Vậy 13n −1 chia hết cho 6 với mọi * n  .
Bài 5: Chứng minh rằng: 16n −1 chia hết cho 15 với mọi * n  . Giải:
Đặt A = 16n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 A = 16 −1 = 15 15 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra A = 16k −1 15 k
* Với n = k +1, xét k 1 A
= 16 + −1 = 16k. 16 −1 k 1 + Trang 3 16k =
. (15 +1) −1 16k. 15 16k = + −1 15 15  A 15 k 1 +
Vậy 16n −1 chia hết cho 15 với mọi * n  .
Bài 6: Chứng minh rằng: 2n 1
2 + +1 chia hết cho 3 với mọi * n  . Giải: Đặt 2n 1 B 2 + = +1 n * Với n = 1 , ta có 2 B = 2 −1 = 3 3 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 2k 1 B 2 + = +1 3 k
* Với n = k +1, xét 2(k 1 + ) 1 + 2k 1 + +2 B = 2 +1 = 2 +1 k 1 + + + 2n 1 2 2n 1 = 2 .2 +1 = 2 .(3+1) +1 2k 1 + 2k 1 3.2 2 + = + +1 3 3  B 3 k 1 + Vậy 2n 1
2 + +1 chia hết cho 3 với mọi * n  .
Bài 7: Chứng minh rằng: 2
6 n −1 chia hết cho 35 với mọi * n Giải: Đặt 2 B = 6 n −1 n * Với n = 1 , ta có 2 B = 6 −1 = 35 35 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 2 B = 6 k −1 35 k
* Với n = k +1, xét 2(k 1 + ) 2k 2 B = 6 −1 = 6 . 6 −1 k 1 + 2 6 k = . (35 +1) −1 2k 2 6 . 35 6 k = + −1 35 35  B 35 k 1 + Vậy 2
6 n −1 chia hết cho 35 với mọi * n  .
Bài 8: Chứng minh rằng: 4n +15n −1chia hết cho 9 với mọi * n  . Giải:
Đặt C = 4n +15n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 C = 4 +15.1−1 = 18 9 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra C = 4k +15k −1 9 k
* Với n = k +1, xét k 1 C = 4 + +15(k +1) −1 k 1 + = 4.4k +15k +14
= 4.(4k +15k −1) − 45k +18 Trang 4
= 4.(4k +15k −1) + 9(2 − 5k) 9 9  C 9 k 1 +
Vậy 4n +15n −1chia hết cho 9 với mọi * n  .
Bài 9: Chứng minh rằng: 4n + 6n +8 chia hết cho 9 với mọi * n  . Giải:
Đặt D = 4n + 6n + 8 n * Với n = 1 , ta có 1 D = 4 + 6.1+ 8 = 18 9 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra D = 4k + 6k + 8 9 k
* Với n = k +1, xét k 1 D = 4 + + 6(k +1) + 8 k 1 + = 4.4k +6k +14
= 4.(4k + 6k +8) −18k +18
= 4.(4k + 6k + 8) +18(1− k) 9 9  D 9 k 1 +
Vậy 4n + 6n +8 chia hết cho 9 với mọi * n  .
Bài 10: Chứng minh rằng: 7n + 3n −1chia hết cho 9 với mọi * n Giải:
Đặt E = 7n + 3n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 E = 7 + 3.1−1 = 9 9 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra E = 7k + 3k −1 9 k
* Với n = k +1, Xét k 1 E = 7 + + 3(k +1) −1 k 1 +
= 7.7k + 21k −7 −18k +9
= 7.(7k + 3k −1) − 9(2k −1) 9 9  E 9 k 1 +
Vậy 7n + 3n −1chia hết cho 9 với mọi * n
Bài 11: Chứng minh rằng: 4n +15n −1chia hết cho 9 với mọi * n  . Giải:
Đặt E = 4n +15n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 E = 4 +15.1−1 = 18 9 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra E = 4k +15k −1 9 k
* Với n = k +1, xét k 1 E = 4 + +15(k +1) −1 k 1 +
= 4.4k +15k +15−1 Trang 5
= 3.4k +15+ 4k +15k −1
= 3.(4k + 5) + E k Mà (4k 5) 3 3.(4k +  +5) 9  E 9 k 1 +
Vậy 4n +15n −1chia hết cho 9 với mọi * n  .
Bài 12: Chứng minh rằng: 16n −15n −1chia hết cho 225 với mọi * n  . Giải:
Đặt F = 16n −15n −1 n * Với n = 1 , ta có 1 F = 16 −15.1−1 = 0 225 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra F = 16k −15k −1 225 k
* Với n = k +1, xét k 1 F
= 16 + −15(k +1) −1 k 1 +
=16.16k −15k −16
=16k −15 −1−15(16k k − ) 1
= F −15(16k − k )1 Ta có : 16k 1 15 15(16k −  − ) 1 225  F 225 k 1 +
Vậy 16n −15n −1chia hết cho 225 với mọi * n  .
Bài 13: Chứng minh rằng 2n 1 + n+2 B = 3
+ 2 chia hết cho 7 với mọi n  . n Giải: * Với n = 0 , ta có 1 2 B = 3 + 2 = 7 7 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra 2k 1 + k +2 B = 3 + 2 7 k
* Với n = k +1, xét 2(k 1 + ) 1 + k 1 + +2 B = 3 + 2 k 1 + 2 2k 1 + k +2 = 3 .3 + 2.2 = ( 2k 1+ k +2 + ) k +2 9 3 2 − 7.2 + 2 = 9.B + 7.2k k 7 7 Vậy 2n 1 + n+2 B = 3
+ 2 chia hết cho 7 với mọi n  . n
Bài 14: Chứng minh rằng n 1 + 2n 1 B 11 12 − = +
chia hết cho 133 với mọi * n  . n Giải: * Với n = 1 , ta có 2 1 B = 11 +12 = 133 133 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra k 1 + 2k 1 B 11 12 − = + 133 k
* Với n = k +1, xét k 1 + +2 2(k 1 + ) 1 B = 11 +12 + k 1 + Trang 6 k 1 + 2k 1 − 2 =11.11 +12 .12 + + k 1 2k 1 =11.11 +12 (11+133) 2 1 11. B 133.12 k− = + k 133 133  B 133 k 1 + Vậy n 1 + 2n 1 B 11 12 − = + chia hết cho 133. n
Bài 15: Chứng minh rằng: 2n+2 4.3
+32n−36 chia hết cho 32 với mọi n . Giải: Đặt 2n+2 G = 4.3 + 32n − 36 n * Với n = 0 , ta có 2
G = 4.3 + 32.0 − 36 = 0 32 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra 2k +2 G = 4.3 + 32k − 36 32 k
* Với n = k +1, xét 2(k 1 + )+2 G = 4.3 + 32(k +1) − 36 k 1 + 2k +2 = 9.4.3 +32k −4 = ( 2k+2 9 4.3
+ 32k − 36) −32(8k −32)
= 9G −32(8k −32 k ) 32 32  G 32 k 1 + Vậy 2n+2 4.3
+32n−36 chia hết cho 32 với mọi n .
Bài 16: Chứng minh rằng: 3n 3
3 + − 26n − 27 chia hết cho 169 với mọi n  . Giải: Đặt 3n+3 G = 3 − 26n − 27 n * Với n = 0 , ta có 3
G = 3 − 26.0 − 27 = 0 169 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra 3k +3 G = 3 − 26k − 27 169 k
* Với n = k +1, xét 3(k 1 + )+3 G = 3 − 26(k +1) − 27 k 1 + 3k 3 27.3 + = −26k −26−27 = ( 3k+3 27 3
− 26k − 27) + 26.26k + 676
= 27 G +169(4k + 4 k ) 169 169  G 169 k 1 + + Vậy 3n 3 3
−26n−27 chia hết cho 169 với mọi n .
Bài 17: Chứng minh rằng: 2n+3 3
+5chia hết cho 8 với mọi n
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 Đặt 2n+3 G = 3 + 5 n Trang 7 * Với n = 0 , ta có 3 G = 3 + 5 = 32 8 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra 2k +3 G = 3 + 5 8 k * Xét 2(k 1 + )+3 G − G = 3 + 5 + − + k + k ( 2n 3 3 5 1 ) 2k 5 + 2k 3 3 3 + = − 2k +3 2k +3 = 9.3 −3 2k +3 2k +3 = 3 (9 −1) = 3 . 8 8 Vậy 2n+3 3
+5chia hết cho 8 với mọi n .
Bài 18: Chứng minh rằng: 10n +18n −1chia hết cho 27 với mọi n  .
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2
Đặt G = 10n +18n −1 n
* Với n = 0 , ta có G = 1+18.0 −1 = 0 27 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra G = 10k +18k −1 27 k * Xét k 1 G
− G =10 + +18(k +1) −1− 10k +18k −1 k 1 + k ( ) 10k = (9 +1) +18 9.(10k = + 2)
Đặt H = 10k + 2 k Ta có 0 H = 10 + 2 = 3 3 và H − H = 9.10k 3 0 k 1 − k Nên: G
−G = 9. 10k + 2 27 k 1 + k ( )
Vậy 10n +18n−1chia hết cho 27 với mọi n  .
Bài 19: Chứng minh rằng: 2n 3
3 + + 40n − 27 chia hết cho 64 với mọi n  .
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 Đặt 2n+3 G = 3 + 40n − 27 n * Với n = 0 , ta có 3 G = 3 + 40.0 − 27 = 0 64 0
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k  0 , suy ra 2k +3 G = 3 + 40k − 27 64 k * Xét 2(k 1 + )+3 G − G = 3 + 40(k +1) − 27 + − + k − k + k ( 2k 3 3 40 27 1 ) 2k 5 + 2k 3 3 3 + = − + 40 2k 3 8.3 + = + 40 = ( 2k+3 8. 3 + 5) Mà 2k+3 3
+5chia hết cho 8 với mọi n (bài 17) + Nên: G −G = 8. + k + k ( 2k 3 3 5 64 1 ) Vậy 2n 3
3 + + 40n − 27 chia hết cho 64 với mọi n  . Trang 8
Bài 20: Chứng minh rằng: 2n 1
3 + + 40n − 67 chia hết cho 64 với mọi * n
Giải: Ta sử dụng phương pháp 2 Đặt 2n 1 G 3 + = + 40n − 67 n * Với n = 1 , ta có 3 G = 3 + 40.1− 67 = 0 64 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 2k 1 G 3 + = + 40k − 67 64 k * Xét 2(k 1 + ) 1 G − G = 3 + + 40(k +1) − 67 + − + k − k + k ( 2k 1 3 40 67 1 ) 2k 3 + 2k 1 3 3 + = − + 40 2k 1 8.3 + = + 40 ( 2k 1 8. 3 + = + 5) Đặt 2k 1 H 3 + = + 5 k Ta có 3 H = 3 + 5 = 32 8 + + + và 2(k 1) 1 2k 1 H − H = 3 + 5 − (3 + 5) 1 k 1 − k 2k +3 2k 1 + 2k 1 3 3 8.3 + = − = 8 + Nên: G −G = 8. + k + k ( 2k 1 3 5 64 1 ) Vậy 2n 3
3 + + 40n − 27 chia hết cho 64 với mọi * n  .
Dạng 2: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một biểu thức (với n là cơ số) chia hết cho một số.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi * n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau: PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 ( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Ta dùng một số Hằng đẳng thức sau: 1. (a + b)2 2 2
= a + 2ab + b 2. (a − b)2 2 2
= a − 2ab + b 3. (a + b)3 3 2 2 3
= a + 3a b + 3ab + b 4. (a − b)3 3 2 2 3
= a − 3a b + 3ab − b II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng với * n  thì 3
n − n chia hết cho 3. Giải: Đặt 3
A = n − n n * Với n = 1, ta có 3 A = 1 −1 = 0 3 1 Trang 9
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 3
A = k − k 3 k
* Với n = k +1, xét 3 A
= (k +1) − (k +1) k 1 + 3 2
= k +3k +3k +1−k −1 = ( 3 k − k ) + 3( 2 k + k ) 3 3  A 6 k 1 + Vậy với * n  thì 3
n − n chia hết cho 3.
Bài 2: Chứng minh rằng với * n  thì 3
n +11n chia hết cho 6. Giải: Đặt 3
A = n +11n n * Với n = 1, ta có 3 A = 1 +11.1 = 12 6 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 3
A = k +11k 6 k
* Với n = k +1, xét 3 A
= (k +1) +11(k +1) k 1 + 3 2
= k +3k +3k +1+11k +11 = ( 3 k + k ) + ( 2 11 3 k + k + 4) = ( 3
k +11k ) + 3(k(k +1) + 4) 2 6  A 6 k 1 + Vậy với * n  thì 3
n +11n chia hết cho 6.
Bài 3: Chứng minh rằng với * n  ta luôn có 3 2
n + 3n + 5n chia hết cho 3. Giải: Đặt 3 2
A = n + 3n + 5n n * Với n = 1, ta có 3 2 A = 1 + 3.1 + 5.1 = 9 3 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 3 2
A = k + 3k + 5k 3 k
* Với n = k +1, xét 3 2 A
= (k +1) + 3(k +1) + 5(k +1) k 1 + 3 2 2
= k +3k +3k +1+3k +6k +3+5k +5 3 2 2
= k +3k +5k +3k +9k +9 2
= A + 3(k + 3k + 3) k 3 3  A 3 k 1 + Vậy với * n  ta luôn có 3 2
n + 3n + 5n chia hết cho 3.
Bài 4: Chứng minh rằng với * n  ta luôn có 3 2
2n − 3n + n chia hết cho 6. Giải: Trang 10 Đặt 3 2
A = 2n − 3n + n n * Với n = 1, ta có 3 2 A = 2.1 − 3.1 +1 = 0 6 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra 3 2
A = 2k − 3k + k 6 k
* Với n = k +1, xét 3 2 A
= 2(k +1) − 3(k +1) + (k +1) k 1 + 3 2 2
= 2k +6k +6k + 2−3k −6k −3+ k +1 3 2 2
= 2k −3k + k + 6k 2 = A + 6k k 6 6  A 6 k 1 + Vậy với * n  ta luôn có 3 2
2n − 3n + n chia hết cho 6.
Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi số * n
thì S = (n +1)(n + 2)...(n + )
n chia hết cho 2n . n Giải: * Với n = 1 , ta có 1 S = 1+1 = 2 2 = 2 1
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1, suy ra S = (k +1)(k + 2)...(k + k) 2k k
* Với n = k +1, xét S
= (k + 2)(k + 3)...[(k +1) + (k +1)] k 1 +
= 2(k +1)(k + 2)...(k + k) = 2.S k Mà k k 1 S 2 2.S 2 +  k k 1  S 2k+ k 1 + Vậy với mọi số * n
thì S = (n +1)(n + 2)...(n + )
n chia .hết cho 2n . n
Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.
I. Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi * n
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau: PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 ( giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1có nghĩa là khi n = k +1ta chứng minh vế trái bằng vế phải. II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 2
1+ 3 + 5 + ... + (2n −1) = n . Giải:
* Với n = 1 , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng 1 1 = 1
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k  1 n Trang 11 Tức là: 2
S = 1+ 3 + 5 + ... + (2k −1) = k k
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: 2
1+ 3 + 5 + ... + (2k +1) + [2(k +1) −1] = (k +1) Thật vậy, ta có: S
= S +[2(k +1) −1] k 1 + k 2 2
= k + 2k +1 = (k +1)
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n n +
Bài 2: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: (3 1)
2 + 5 + 8 + ... + 3n −1 = . 2 Giải: 1(3.1+1)
* Với n = 1 , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n k(3k +1)
Tức là: S = 2 + 5 + 8 + ... + 3k −1 = k 2
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh:
(k +1)[(3(k +1) +1]
2 + 5 + 8 + ...(3k −1) + [3(k +1) −1] = 2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S = S + 3k + 2 k 1 + k k(3k +1) = + 3k + 2 2 2
3k + k + 6k + 4 = 2 2
3(k + 2k +1) + k +1 = 2
(k +1)[3(k +1) +1] = 2
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n n +
Bài 3: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: ( 1) 1+ 2 + 3 + ... + n = . 2 Giải: 1(1+1)
* Với n = 1 , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1 , vế phải bằng =1 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n k(k +1)
Tức là: S = 1+ 2 + 3 + ... + k = k 2 Trang 12
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: (k +1)(k + 2)
1+ 2 + 3 + ... + k + (k +1) = 2
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: S = S + k +1 k 1 + k k(k +1) = + k +1 2 2
k + k + 2k + 2 (k +1)(k + 2) = = 2 2
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n n + n +
Bài 4: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: ( 1)( 2)
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n +1) = . 3 Giải: 1(1+1)(1+ 2)
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng 1.2 = 2 , vế phải bằng = 2 3
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n
k(k +1)(k + 2)
Tức là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k +1) = k 3
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh:
(k +1)(k + 2)(k + 3)
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k +1) + (k +1)(k + 2) = 3 Thật vậy, ta có: S
= S + (k +1)(k + 2) k 1 + k
k(k +1)(k + 2) = + (k +1)(k + 2) 3
k(k +1)(k + 2) + 3(k +1)(k + 2) = 3
(k +1)(k + 2)(k + 3) = 3
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  .
Bài 5: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 2 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + (
n 3n −1) = n (n +1) . Giải:
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng 1.2 = 2 , vế phải bằng 2 1 (1+1) = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n Tức là: 2
S = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + k(3k −1) = k (k +1) k
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: 2 S
= 1.2 + 2.5 + 3.8 + ...+ k(3k −1) + (k +1)(3k + 2) = (k +1) (k + 2) k 1 + Thật vậy, ta có: S
= S + (k +1)(3k + 2) k 1 + k Trang 13 2
= k (k +1) + (k +1)(3k + 2) 2
= (k +1)(k + 3k + 2)
= (k +1)(k + 2)(k + 3)
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  .
Bài 6: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 2
1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n(3n +1) = ( n n +1) . Giải:
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng 1.4 = 4 , vế phải bằng 2 1(1+1) = 4
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n Tức là: 2
S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k +1) = k(k +1) k
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: 2 S
= 1.4 + 2.7 + 3.10 + ...+ k(3k +1) + (k +1)(3k + 4) = (k +1)(k + 2) k 1 + Thật vậy, ta có: S
= S + (k +1)(3k + 4) k 1 + k 2
= k(k +1) +(k +1)(3k + 4)
= (k +1)[k(k +1) + 3k + 4] 2
= (k +1)(k + 4k + 4) 2 = (k +1)(k + 2)
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n −
Bài 7: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 1 1 1 1 2 1 + + + ...+ = . 2 4 8 2n 2n Giải: 1 1 2 −1 1
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng , vế phải bằng = 2 1 2 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n 1 1 1 1 2k −1 Tức là: S = + + + ...+ = k 2 4 8 2k 2k
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: k 1 1 1 1 1 1 2 + −1 S = + + + ...+ + = k 1 + k k 1 + k 1 2 4 8 2 2 2 + Thật vậy, ta có: 1 S = S + k 1 + k k 1 2 + 2k −1 1 = + k k 1 2 2 + 2(2k −1) 1 = + k k 1 2.2 2 + Trang 14 k 1 + k 1 2 − 2 1 2 + +1 = + = k 1 + k 1 + k 1 2 2 2 +
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n
Bài 8: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 1 1 1 1 + + + ...+ = . 1.2 2.3 3.4 n(n +1) n +1 Giải: 1 1 1 1
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng = , vế phải bằng = 1.2 2 1+1 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n 1 1 1 1 k Tức là: S = + + + ...+ = k 1.2 2.3 3.4 k(k +1) k +1
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: 1 1 1 1 1 k +1 S = + + + ...+ + = k 1 + 1.2 2.3 3.4 k(k +1) (k +1)(k + 2) k + 2 Thật vậy, ta có: 1 S = S + k 1 + k (k +1)(k + 2) k 1 = + k +1 (k +1)(k + 2) k(k + 2) +1 = (k +1)(k + 2) 2 k + 2k +1 = (k +1)(k + 2) 2 (k +1) k +1 = = (k +1)(k + 2) k + 2
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . n
Bài 9: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 1 1 1 1 + + + ...+ = 1.4 4.7 7.10
(3n − 2)(3n +1) 3n + . 1 Giải: 1 1 1 1
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng = , vế phải bằng = 1.4 4 3.1+1 4
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n 1 1 1 1 k Tức là: S = + + + ...+ = k 1.4 4.7 7.10
(3k − 2)(3k +1) 3k + 1
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh: 1 1 1 1 1 k +1 S = + + + ...+ + = k 1 + 1.4 4.7 7.10
(3k − 2)(3k +1) (3k +1)(3k + 4) 3k + 4 Trang 15 Thật vậy, ta có: 1 S = S + k 1 + k (3k +1)(4k + 4) k 1 = + 3k +1 (3k +1)(3k + 4) k(3k + 4) +1 = (3k +1)(3k + 4) 2 3k + 4k +1 = (3k +1)(3k + 4) (k +1)(3k +1) k +1 = = (3k +1)(3k + 4) 3k + 4
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  2 ta có:  1   1   1   1  n +1 1− . 1− . 1− ... 1− =         2  4   9   16   n  2n Giải: 1 3 2 +1 3
* Với n = 2 , ta có vế trái bằng 1− = , vế phải bằng = 4 4 2.2 4
Vậy hệ thức đúng với n = 2
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k  2 n  1   1   1   1  k +1 Tức là: S = 1− . 1− . 1− ... 1− = k         2  4   9   16   k  2k
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh:  1   1   1   1   1  k + 2 S = 1− . 1− . 1− ... 1− . 1− = k 1 +           2 2  4   9   16   k  
(k +1)  2(k +1)   Thật vậy, ta có: 1 S = S . 1− k 1 + k   2  (k +1)  k +1  1  = . 1−   2 2k  (k +1) 
k +1 k (k + 2) k + 2 = . = 2 2k (k +1) 2(k + 1)
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  .
n(n +1)(2n +1)
Bài 11: Chứng minh rằng với * n  ta có đẳng thức: 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + ... + n = . 6 Giải: 1.2.3
* Với n = 1 , ta có vế trái bằng 1 1 = 1 , vế phải bằng = 1 6
Vậy hệ thức đúng với n = 1
* Đặt vế trái bằng S , giả sử đẳng thức đúng với n = k 1 n Trang 16
k(k +1)(2k +1) Tức là: 2 2 2 2
S = 1 + 2 + 3 + ... + k = k 6
Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với n = k +1, nghĩa là phải chứng minh:
(k +1)(k + 2)(2k + 3) 2 2 2 2 2 S
=1 + 2 + 3 +...+ k + (k +1) = k 1 + 6 Thật vậy, ta có: 2 S = S + (k +1) k 1 + k
k(k +1)(2k +1) 2 = + (k +1) 6 2
k (k +1)(2k +1) + 6(k +1) = 6
(k +1)[k(2k +1) + 6(k +1)] = 6 2
(k +1)(2k + 7k + 6) = 6
(k +1)(k + 2)(2k + 3) = 6
Vậy đẳng thức trên đúng với mọi * n  . Trang 17