Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số

Tài liệu gồm 42 trang, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 (tập 1) phần Đại số chương 2

Môn:

Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:
42 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số

Tài liệu gồm 42 trang, tóm tắt lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 (tập 1) phần Đại số chương 2

82 41 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 6: Phân thức đại số (KNTT) 20 tài liệu

Môn: Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:

42 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chương II
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Định nghĩa.
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng
Α
Β
, trong đó
A, B là những đa thức và B khác 0.
A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
• Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
2. Hai phân thức bằng nhau.
AC
BD
=
nếu AD = BC.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU
Phương pháp giải
Để chứng minh
AC
BD
=
ta chứng minh AD = BC.
Ví dụ 1. (Bài 1, trang 36 SGK)
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ rằng:
5 20
)
7 28
y xy
a
x
=
;
3 ( 5) 3
)
2( 5) 2
xx x
b
x
+
=
+
;
2
2 ( 2)( 1)
)
11
x xx
c
xx
+ ++
=
−−
;
22
2 32
)
11
xx x x
d
xx
−− − +
=
+−
;
3
2
8
)2
24
x
ex
xx
+
= +
−+
;
Giải
a) Ta có
nên
5 20
7 28
y xy
x
=
;
b) Vì
 2.3 5 3 .2 5xx x x
nên
3 ( 5) 3
2( 5) 2
xx x
x
+
=
+
;
c) Ta có
 

2
2 1 2 11xx xxx
nên
2
2 ( 2)( 1)
11
x xx
xx
+ ++
=
−−
;
d) Ta có:

2 32
21 2 2xx x x xx
;

2 32
1 32 2 2x x x x xx
.
Do đó

22
1 32 2 1x x x xx x
suy ra:
22
2 32
11
xx x x
xx
−− − +
=
+−
e) Vì

32
8 2 24x x xx
nên
3
2
8
2
24
x
x
xx
+
= +
−+
;
Ví dụ 2. (Bài 2, trang 36 SGK)
Ba phân thức sau có bằng nhau không:
2
2
23xx
xx
−−
+
;
3x
x
−
;
2
2
43xx
xx
−+
−
.
Giải
Ta có:
22
2 3 1 2 2 ( 1)( 1) 2( 1)xx x x xx x−−=−−−=− +− +
( 1)( 3)xx=+−
.
2
( 1);x x xx+= +
22
4 3 1 4 4 ( 1)( 1) 4( 1)xx x x xx x−+=−−+=− +− −
( 1)( 3);xx=−−
2
( 1)x x xx−= −
.
Ba phân thức trở thành:
( 1)( 3)
( 1)
xx
xx
+−
+
;
3x
x
−
;
( 1)( 3)
( 1)
xx
xx
−−
−
.
Vì
( 1)( 3) x ( 3)( 1)x x x xx+−=−+
nên
( 1)( 3) 3
( 1)
xx x
xx x
+− −
=
+
Và
 
 31 13x x xx x x
nên
3x
x
−
=
( 1)( 3)
( 1)
xx
xx
−−
−
;
Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau.
Ví dụ 3. (Bài 3, trang 36 SGK)
Cho ba đa thức:
2
4xx−
,
2
4,x +
2
4xx+
. Hãy chọn một đa thức rồi điền vào
chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:
2
...
16 4
x
xx
=
−−
Giải
Ta có
2
16 ( 4)( 4)x xx−=− +
. Gọi chỗ trống là đa thứ
c A, ta có:

 4 4 4.Ax xx x
Vậy

2
44A xx x x
.
Dạng 2. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN), GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) CỦA
PHÂN THỨC
Phương pháp giải
• T = a +
[
f(x)
]
2
≥ 𝑎: Giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0.
• T = b –
[
f(x)
]
2
≤ 𝑏
: Giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.
Nếu a > 0, T > 0 thì
a
T
nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
Ví dụ 4. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:
21
14
3
x −
+
b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức:
2
44
15
xx−+
2
44
15
xx−+
Giải
a) Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thức
21
14
3
x −
+
có GTNN khi
32 1x+−
có GTNN.
Vì nên
2 10x −≥
nên
32 13x+ −≥
, suy ra
32 13x+ −≥
có GTNN bằng 3 khi 2x – 1
= 0, tức là
1
2
x =
. Khi đó GTNN của phân thức bằng
3
14
.
b) Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN khi
2
44xx−+
có GTLN.
Ta có
2
44xx−+
=
2
1 (2 1)x−−
. Vì
2
(2 1) 0x−−≤
nên
2
1 (2 1) 1x− −≤
.
GTLN của phân thức bằng
1
15
khi
1
2
x =
.
Ví dụ 5. Tìm GTLN của các phân thức:
a)
2
5
22xx++
b)
3
22 5x+−
Giải
a) Ta có tử thức là 5 > 0 và mẫu thức là:
( )
2
22
2 2 ( 2 1) 1 1 1 0xx xx x+ + = + + += + +>
nên phân thức có GTLN khi
( )
2
11x ++
có GTNN.
Vì
( )
2
10x +>
nên
( )
2
1 11x + +>
có GTNN bằng 1 khi x = – 1 . Vậy GTLN của
2
5
22xx++
bằng 5 khi x = - 1.
b) GTLN của phân thức
3
22 5x+−
bằng
3
2
khi
5
2
x =
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh các đẳng thức sau:
3 44
3
5
)
7 35
xy x y
a
xy
=
;
2
2
( 3)
)
( 3) 3
xx x
b
xx x
+
=
++
;
2
2
2 44
)
24
xx x
c
xx
− −+
=
+−
;
32
93
)
15 5 5
xxxx
d
x
− −−
=
−
2. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng
thức sau:
2
2
63
)
214 1
A xx
a
xx
−
=
+−
;
2
4 3 74 7
)
23
xx x
b
x
+− +
=
Α−
;
22
2
1 21
)
4 73
x xx
c
xx
− −+
=
++ Α
;
2
22
2 32
)
22
xx
d
xx xx
+− Α
=
+−
3. (Dạng 2). Tìm GTNN của các phân thức:
2
46
)
3
xx
a
++
;
4 2|1 2 |
)
5
x
b
+−
4. (Dạng 2). Tìm GTLN của các phân thức:
12
)
3 |5 1| |2 1|
a
xy+ ++ −
;
22
5
)
4 42 3
b
x x yy++++
2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
3. RÚT GỌN PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nếu nhân hoặc chia tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng môt đa thức khác
0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
.
;
.
A AC
B BC
=
( 0)C ≠
.
:
;
:
A AC
B BC
=
( 0)C ≠
.
2. Nếu đổi dấu cả tử thức và mẫu thức của một phân thức thì được một phân thức bằng
phân thức đã cho.
AA
BB
−
=
−
;
AA
BB
−
−=
.
3. Muốn rút gọn một phân tức đại số ta phải:
- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
- Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.
.
.
AC A
BC B
=
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. ĐIỀN ĐA THỨC VÀO CHỖ TRỐNG ĐỂ CÓ ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải
• Biến đổi từ vế trái hoặc vế phải bằng các tính chất:
.
.
A AC
B BC
=
hoặc
:
;
:
A AC
B BC
=
( 0)C ≠
.
• Lưu ý:
A AA
B BB
−−
=−=
−
.
Ví dụ 1. (Bài 4, trang 38 SGK)
Cô giáo yếu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là
những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho:
2
2
33
2 52 5
x xx
x xx
++
=
−−
(Lan);
2
2
( 1) 1
1
xx
xx
++
=
+
(Hùng);
44
33
xx
xx
−−
=
−
(Giang);
32
( 9) (9 )
2(9 ) 2
xx
x
−−
=
−
(Huy).
Em hãy dung tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để giải thích ai
viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng.
Giải
Lan cho ví dụ đúng vì:
2
2
3 ( 3). 3
25(25). 2 5
x x xxx
x x xxx
++ +
= =
−− −
.
Hùng cho ví dụ sai vì:
22
2
( 1) ( 1) : ( 1) 1
( 1) : ( 1)
x xxx
x x xx x x
+ +++
= =
+ ++
.
Giang cho ví dụ đúng vì:
4 (4 ) 4
3 (3) 3
x xx
x xx
− −− −
= =
− −−
.
Huy cho ví dụ sai vì:
332
( 9) (9 ) (9 )
2(9)2(9) 2
x xx
xx
− −− −−
= =
−−
.
Ví dụ 2. (Bài 5, trang 38 SGK)
Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong đẳng thức sau.
32
2
...
);
11
xx
a
xx
+
=
−−
22
5( ) 5 5
)
2 ...
xy x y
b
+−
=
Giải
a) Ta có
32 2 2 2
2
( 1) ( 1) : ( 1)
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) : ( 1) ( 1)
x x xx xx x x
x xx xx x x
+ + ++
= = =
− −+ −+ + −
b) Ta có:
22
5 5 5( )( ) 5( )
2( ) 2( ) 2
x y xyxy xy
xy xy
− −+ +
= =
−−
Ví dụ 3: (Bài 6, trang 38 SGK)
Đố: Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức vào chỗ trống:
5
2
1 ...
11
x
xx
−
=
−+
Giải
Ta có:
5 5 432
2
1 ( 1) : ( 1) 1
1 ( 1)( 1) : ( 1) 1
x x x xxxx
x xx x x
− − − + + ++
= =
− +− − +
(Thực hiện đa thức
5
1x −
cho đa thức
1x −
được đa thức thương là
432
1xxxx+ + ++
)
Dạng 2. RÚT GỌN PHÂN THỨC
Phương pháp giải.
Các bước rút gọn phân thức:
- Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử.
- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung.
.
.
AC A
BC B
=
Ví dụ 4. (Bài 7, trang 39 SGK)
Rút gọn phân thức:
22
5
6
);
8
xy
a
xy
2
3
10 ( )
);
15 ( )
xy x y
b
xy x y
+
+
2
22
);
1
xx
c
x
+
+
2
2
).
x xy x y
d
x xy x y
− −+
+ −−
Giải
22
53
63
);
84
xy x
a
xy y
=
2
32
10 ( ) 2
);
15()3()
xy x y y
b
xyxy xy
+
=
++
2
2 2 2 ( 1)
) 2;
11
x x xx
cx
xx
++
= =
++
2
2
()()()(1)()
).
()()()(1)()
x xyxy xxy xy xyx xy
d
x xyxy xxy xy xyx xy
− −+ − − − − − −
= = =
+ −− + − + + − +
Ví dụ 5. (Bài 8, trang 40 SGK)
Trong tờ giấy nháp cảu một bạn cso ghi một số phép rút gọn phân thức như sau:
3
);
93
xy x
a
y
=
33
);
933
xy x
b
y
+
=
+
33 1 1
);
9 9 33 6
xy x x
c
y
+++
= =
++
33
).
993
xy x
d
y
+
=
+
Theo em chỗ nào đúng, chỗ nào nào sai? Em hãy giải thích.
Giải
a) Rút gọn phân
3
93
xy x
y
=
là đúng vì:
3 .3
.
9 3.3 3
xyxyx
yy
= =
b) Rút gọn phân thức
33
933
xy x
y
+
=
+
là sai vì:
3.(3 3) (9 3). .xy y x+≠ +
c) Rút gọn phân thức
33 1
99 6
xy x
y
++
=
+
là sai vì:
(3 3).6 (9 9)( 1).xy y x+≠+ +
d) Rút gọn phân thức
33
993
xy x
y
+
=
+
là đúng vì:
3 3 3 ( 1)
.
9 9 9( 1) 3
xy x y x
yy
++
= =
++
Ví dụ 6. (Bài 9, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:
3
36( 2)
);
32 16
x
a
x
−
−
2
2
).
55
x xy
b
y xy
−
−
Giải
a) Ta có:
3 3 32
36( 2) 36( 2) 36( 2) 9( 2)
;
32 16 16(2 ) 16( 2) 4
x x xx
x xx
− − −−
= = =
− − −− −
b) Ta có:
2
2
()
.
5 5 5( ) 5
x xy x y x x
y xy y y x y
− −− −
= =
−−
Ví dụ 7. (Bài 10, trang 40 SGK)
Đố. Đố em rút được phân thức:
765432
2
1
.
1
xxxxxxx
x
+++++++
−
Giải
Ta có:
765432
642
642
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 1).
xxxxxxx
xx xx xx x
x xxx
+++++++
= ++ ++ ++ +
=+ +++
Do đó:
765432 642
2
11
.
11
xxxxxxx xxx
xx
+++++++ +++
=
−−
Ví dụ 8. (Bài 11, trang 40 SGK)
Rút gọn phân thức:
32
5
12
);
18
xy
a
xy
3
2
15 ( 5)
).
20 ( 5)
xx
b
xx
+
+
Giải
32 2
53
12 2
);
18 3
xy x
a
xy y
=
32
2
15 ( 5) 3( 5)
).
20 ( 5) 4
xx x
b
xx x
++
=
+
Ví dụ 9. (Bài 12, trang 40 SGK)
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức:
2
4
3 12 12
);
8
xx
a
xx
−+
−
2
2
7 14 7
).
33
xx
b
xx
++
+
Giải
a) Ta có:
22 2
4 33 2
3 12 12 3( 4 4) 3( 2) ;
8 ( 2 ) ( 2)( 2 4).
x x xx x
x x xx xx x x
− += −+= −
−= − = − ++
Do đó:
22
4 22
3 12 12 3( 2) 3( 2)
.
8 ( 2)( 2 4) ( 2 4)
xx x x
x x xx x x xx x
−+ − −
= =
− − ++ ++
b) Ta có:
22 2
2
7 14 7 7( 2 1) 7( 1) ;
3 3 3 ( 1).
x x xx x
x x xx
+ += + + = +
+= +
Do đó:
22
2
7 14 7 7( 1) 7( 1)
.
3 3 3 ( 1) 3
xx x x
x x xx x
++ + +
= =
++
Ví dụ 10. (Bài 13, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức:
3
45 (3 )
);
15 ( 3)
xx
a
xx
−
−
22
3 2 23
).
33
yx
b
x x y xy y
−
−+−
Giải
3 32
22 22
3 2 23 3 3 2
45 (3 ) 45 ( 3) 3
);
15 ( 3) 15 ( 3) ( 3)
( ) ( )( )
).
3 3 () () ()
x x xx
a
xx xx x
y x x y xyxy xy
b
x xy xy y xy xy xy
− −−
= =
− −−
− − − − − + −−
= = =
−+− − − −
Dạng 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải.
Phân tích tử và mẫu của phân thức ở vế trái (hoặc vế phải) của đẳng thức đã cho
thành nhân tử rồi rút gọn phân thức ta được kết quả.
Ví dụ 11. Chứng minh rằng:
22
32 23
23 1
.
22
x xy y
x x y xy y x y
++
=
+− − −
Giải
Phân tích tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử:
2 22 2
23 (22)( )2()()()(2).x xyy x xy xyy xxy yxy xy xy+ + = + + + = ++ +=+ +
Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử:
32 23 2 2 22
2 2 (2 ) (2 ) (2 )( ) (2 )( )( ).x xy xy y x xy y xy xyx y xyxyxy+−−= +− +=+ −=++−
Vậy:
22
32 23
2 3 ( )(2 ) 1
.
2 2 (2 )( )( )
x xyy xy xy
x xy xy y x yx yx y x y
++ + +
= =
+−− ++− −
Dạng 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải.
• Trước hết, rút gọn biểu thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử ròi
chia tử và mẫu cho nhân tử chung.
•
Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 12. Tính giá trị của biểu thức:
2
3
( 2)(2 2 )
( 1)(4 )
x xx
x xx
−+
+−
với
1
.
2
x = −
Giải
Rút gọn biểu thức đã cho ta có:
2
32
( 2)(2 2 ) ( 2)2 (1 ) ( 2)2 (1 ) 2
.
( 1)(4 ) ( 1) (4 ) ( 1) (2 )(2 ) 2
x xx x xx x xx
x xx xx x xx x x x
−+ −+ −+
= = = −
+− +− +−+ +
Thay
1
2
x = −
vào biểu thức đã rút gọn ta được:
2 2 24
.
13
23
2
22
x
−
=−==−
+
−+
Ví dụ 13. Tính giá trị của biểu thức:
23
32
)
ab
a
ab
với
12, 36 ;ab= = −
44
22
a
)
+ a +
x ax
b
a xx
−
với
1
3, ;
3
ax= =
32
3
6
)
4
xx x
c
xx
+−
−
với
98.x =
Giải
23
32
).
ab b
a
ab a
=
Với
12, 36ab= = −
ta được:
36
3.
12
b
a
=−=−
( )
44
22
) =.
+ +
ax a x
b ax x a
a ax x
−
−
Với
1
3,
3
ax= =
ta được:
( )
11 8
=3. 3
33 3
ax x a

− −=−


32 2 2
32
6 ( 6) ( 2 3 6)
)
4 ( 4) ( 2)( 2)
( 2) 3( 2) ( 2)( 3) 3
.
( 2)( 2) ( 2)( 2) 2
x x x xx x x x x
c
x x xx x x
xx x x x x
xx xx x
+ − +− − + −
= =
− − −+
−+ − − + +
= = =
−+ −+ +
Với
98.x =
ta được:
3 98 3 101
.
2 98 2 100
x
x
++
= =
++
Dạng 5. TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
• Đưa đẳng thức đã cho về dạng a.x = b.
• Tìm x:
b
x
a
=
(với a # 0)
• Rút gọn biểu thức
b
a
.
Ví dụ 14. Tìm x, biết:
2
,bx abx b c ab−=−
với a và b là những hằng số
1, 0.ab≠≠
Giải
Ở vế trái của đẳng thức đã cho, đặt x làm nhân tử chung:
2
()b ab x b c ab−=−
hay
(1 ) ( ).b a x b bc a−= −
Vì
1, 0.ab≠≠
nên
(1 ) 0,ba−≠
do đó có thể chia hai vế cho
(1 )ba−
ta được:
()()
.
(1 ) (1 )
b bc a bc a
x
ba a
−−
= =
−−
Ví dụ 15. Tìm x, biết:
2
1ax x a−+=
với
1.a ≠
Giải
Chuyển số 1 sang vế phải của đẳng thức:
2
1.ax x a−= −
Đặt x làm nhân tử chung ở vế trái:
2
( 1) 1.xa a−= −
Vì
1a ≠
nên
10a −≠
, do đó có thể chia hai vế cho
1a −
ta được:
2
1 ( 1)( 1)
1.
11
a aa
xa
aa
− −+
= = = +
−−
Dạng 6. CHƯNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.
Phương pháp giải
Bằng cách rút gọn các phân thức đại số để phân thức đã rút gọn không còn chứa
biến.
Ví dụ 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
22
()
);
2
xa x
a
xa
+−
+
22
);
( )( )
xy
b
x y ay ax
−
+−
2 233
).
4 696
ax x y ay
c
ax x y ay
−−+
+++
Giải
a) Ta có
22
( ) (2 )
2 (2 )
xa x axa
a
xa xa
+− +
= =
++
không phụ thuộc vào x.
b) Ta có
22 22 22
22
1
()( )()() ( )
xy xy xy
x y ay ax x y a y x a x y a
− −−
= = = −
+ − + − −−
không phụ thuộc vào x,y.
c) Ta có
2 2 3 3 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1)(2 3 ) 1
4 6 9 6 2 (2 3) 3 (2 3) (2 3)(2 3 ) 2 3
ax x y ay x a y a a x y a
ax x y ay x a y a a x y a
−−+ −+ − − + −
= = =
+ + + ++ + + + +
không
phụ thuộc vào x,y.
Dạng 7. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
Phương pháp giải
• Với điều kiện đã cho trước, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
•
Rút gọn các nhân tử chung.
Ví dụ 17. Cho
0.
xyz
abc
= = ≠
Rút gọn biểu thức:
22 2 2 2 2
2
( )( )
.
()
x zabc
ax by cz
++ + +
++
Giải
Đặt
0.
xyz
k
abc
= = = ≠
thì
, ,.x ka y kb z kz= = =
Thay vào phân thức đã cho ta được:
222222 222222222 22222
2 2 2 22 2 2 2 22
()()( )()()
1.
() ( ) ()
x zabc kakbkcabc kabc
ax by cz ka kb kc k a b c
++ ++ + + ++ ++
= = =
++ + + ++
Ví dụ 18. Cho
0,ax by cz++=
hãy rút gọn phân thức:
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức
2 222
( ) 2( ),x y z x y z xy yz zx++ = + + + + +
Ta bình phương hai vế của đẳng thức đã cho thì được:
22 22 22
2( ) 0,a x b y c z abxy acxz bcyz+++ ++ =
Suy ra:
22 22 22
2( ).a x b y c z abxy acxz bcyz++=− ++
(1)
Biến đổi mẫu thức:
22 2
2 22 22 2
2222 2 2
() () ()
222
2( )
bc y z ac x z ab x y
bcy bcyz bcz acx acxz acz abx abxy aby
bcy bcz acx acz abx aby abxy bcyz acxz
−+ −+ −
=− ++− ++− +
=+++++− ++
(2)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức của A bằng:
2 2 22 2 2 2 2 2 2 22
222 222 222
2 22
( )( )( )
()()()
( )( ).
bcy acx c z bcz abx b y acz aby a x
c by ax cz b cz ax by a cz by ax
ax by cz a b c
++ + ++ + ++
= ++ + ++ + ++
= + + ++
Vậy
1
.A
abc
=
++
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy biến điền vào các chỗ trống trong
mỗi đẳng thức:
2
2
3 3 ...
);
x
a
xx x
−
=
−
2
2
... 5 5
);
5( )
xy x
b
xy xy
+
=
++
22
22
2 ...
).
x xy y
c
xy x y
−+
=
+−
2. (Dạng 1) Biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức có cùng mẫu thức:
a)
5
3
x
x −
và
27
.
62
x
x
+
−
b)
2
2
69xx++
và
3
;
39
x
x
−
+
c)
( 1)( 2)
x
xx−+
và
1
.
( 2)( 1)
x
xx
−
++
3. (Dạng 2). Rút gọn phân thức:
a)
34
32
17
;
34
xy z
xyz
b)
2
2
;
44
y xy
xy y
−
−
c)
2
2
25
;
5
x
xx
−
−
d)
22
22
()
.
()
a ac
b bc
+−
+−
2
2
.
x xz xy yz
x xz xy yz
+−−
+++
4. (Dạng 2). Rút gọn các phân thức:
2 22
22 2
.
() () ()
ax by cz
A
bc y z ac x z ab x y
++
=
−+ −+ −
a)
;
ax
xa
−
−
b)
52
23
()
( );
xa
xa
−
−
c)
2
( )(2 3)
.
xy x
y yx
−+
−
5. (Dạng 3). Hãy chứng minh:
a)
5
432
1
1;
1
x
xxxx
x
−
= + + ++
−
b)
22
22
2
.
23
x xyy xy
x xy y x y
+− +
=
−+ −
6. (Dạng 1). Viết phân thức sau dưới dạng một phân thức bằng nó và có tử thức là
33
:xy−
a)
;
xy
xy
−
+
b)
22
.
x xy y
xy
++
−
7. (Dạng 4). Tính giá trị của biểu thức:
2
32
3 31
x xy y y
yyy
− −+
− +−
với
31
;.
42
xy=−=
8. (Dạng 4). Cho
0ab>>
và
22
3 3 10 .a b ab+=
Tính giá trị
.
ba
P
ba
−
=
+
9. (Dạng 6). Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
2
9 13 3 2 2 1
,
13 1 3
x xy x y
x
xy
− −+ −
+≠
−−
và
1.y ≠
10. (Dạng 5). Tìm x, biết:
a)
22
2 3;ax x a+= −
b)
22
3 9 ( 0; 3).a x ax a a a+ + = ≠ ≠−
11. (Dạng 7). Cho
0.x <
Hãy rút gọn phân thức
2
1
.
3 41
x xx
A
xx
−+ +
=
−+
12. (Dạng 7). Cho
3,abc++=
rút gọn biểu thức:
333
3 33
3
.
( )( )(
a b c abc
ab bc ca
++−
− +− +−
13. (Dạng 7). Cho
,bcabc≠ +≠
và
2
2 2 2 0.c ab ac bc+−−=
Hãy rút gọn phân thức:
22
22
()
.
()
a ac
b bc
+−
+−
§4.QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Tìm mẫu thức chung (MTC) của nhiều phân thức
Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải:
• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử;
• Lấy tích của BCNN của các hệ số với các lũy thừa có mặt trong các mẫu
thức, số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu
thức.
2. Cách quy đồng mẫu thức
Muốn quy đồng mẫu thức ta phải:
•
Tìm mẫu thức chung; tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức tương ứng.
• Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với nhân tử phụ.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÌM MẪU THỨC CHUNG CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
Phương pháp giải
•
Mẫu thức chung của nhiều phân thức (tương ứng mẫu số chung của các
phân số). Để có mẫu thức chung ta phải phân tích mỗi mẫu thức thành
nhân tử (tương tự phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố).
• Lấy tích của BCNN các hệ số và các lũy thừa chung và riêng có mặt trong
mẫu thức với số mũ cao nhất.
•
Nhân tử phụ là thương của mẫu thức chung với từng mẫu thức.
Ví dụ 1. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:
a)
3 2 43 3
2
; ;.
15 10 20
yx
xy xz yz
b)
2 2 22
;;.
xzy
y yz y yz y z−+−
c)
54 7
;; .
2 4 3 9 50 25xx x−−−
Giải
a) BCNN(15;10;20)=60
Số mũ cao nhất của x là : 4 ; số mũ cao nhất của y là : 3 ; số mũ cao nhất của z là : 3
Vậy MTC cần tìm là :
4 33
60xyz
.
b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử, ta có :
( ) ( ) ( )( )
2 2 22
;;y yz y y z y yz y y z y z y z y z−= − += + −=− +
.
Vậy MTC cần tìm là :
( )( )
yy z y z−+
.
c)
( ) ( ) ( )
2 4 2 2 ;3 9 3 3 ;50 25 25 2x xx x x x−= − −= − − =− −
.
BCNN
( )
2;3;25 150=
. Vậy MTC cần tìm là :
( )( )
150 2 3xx− −−
DẠNG 2. QUY ĐỒNG MẪU THỨC
Phương pháp giải
•
Trước hết tìm mẫu thức chung (dạng 1).
• Xác định các nhân tử phụ : nhân tử phụ là thương của mẫu thức chung với từng
mẫu thức.
•
Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ của nó.
Ví dụ 2. (Bài 14, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau :
a)
53 34
57
;
12xy xy
. b)
35 42
4 11
;
15 12xy xy
.
Giải
a) MTC :
54
12xy
.
Nhân tử phụ của mẫu thức
53
xy
là :
( ) ( )
54 53
12 : 12xy xy y=
. Do đó :
53 53 54
5 5.12 60
12 12
yy
xy xy y xy
= =
b) MTC :
45
60xy
.
Nhân tử phụ của mẫu thức
35
15xy
là
4x
; nhân tử phụ của mẫu thức
42
12xy
là
3
5y
. Do đó
:
35 35 45
4 4.4 16
15 15 .4 60
xx
xy xy x xy
= =
33
42 42 3 45
4 11.5 55
12 12 .5 60
yy
xy xy y xy
= =
Ví dụ 3. (Bài 15, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau :
a)
2
53
;
26 9xx+−
b)
22
2
;
8 16 3 12
xx
xx x x−+ −
.
Giải
a)
( ) ( )( )
2
2 6 2 3; 9 3 3x xx xx+= + −= − +
. MTC
( )( )
23 3xx+−
.
Ta có
( )
( )
( )( )
53
5
2323 3
x
x xx
−
=
+ +−
;
( )( )
( )( )
36
3 32 3 3xx xx
=
−+ +−
.
b)
( )
2
2
22
8 16
4
xx
xx
x
=
−+
−
;
( ) ( )
2
1
3 12 3 4 3 4
xx
x x xx x
= =
− −−
. MTC
( )
2
34x −
. Ta có :
( ) ( )
( )
( )
22 2
2 61 4
;
34
434 34
xx x
x
xx x
−
= =
−
−− −
.
Ví dụ 4. (Bài 16, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu các phân thức sau :
a)
2
32
4 3 5 12
; ;2
11
xx x
x xx
−+ −
−
− ++
.
b)
10 5 1
;;
2 2 463xx x+ −−
Giải
a)
( )
( )
32
:x 1 1 1MTC x x x−= − + +
. Ta có :
( )
( )
22
3
2
4 35 4 35
1
11
xx xx
x
x xx
−+ −+
=
−
− ++
( )( )
( )
( ) ( )
2
2
22
112
12 2 3 1
1
11 1
xx
x xx
xx
x xx xx
−−
− − +−
= =
++
− ++ ++
( )
( )
( )
3
2
21
2
11
x
x xx
−−
−=
− ++
b) Ta có :
( ) ( ) ( )
2 4 2 2 ;6 3 3 2 3 2x x x xx−= − − = − =− −
. MTC
( )( )
62 2xx−+
. Do đó :
( )
( )( )
60 2
10
26 2 2
x
x xx
−
=
+ −+
( )
( )
( )( )
15 2
55
242262 2
x
x x xx
+
= =
− − −+
( ) ( )
( )
( )( )
22
11 1
6 3 32 3 2 6 2 2
x
x x x xx
−+
−
= = =
− − − −+
Ví dụ 5. (Bài 17, trang 43 SGK)
Đố. Cho hai phân thức :
22
3 22
5 3 18
;
6 36
x xx
x xx
+
−−
. Khi quy đồng mẫu thức, bạn
Tuấn đã chọn MTC
( )( )
2
66xx x=−+
, còn bạn Lan bảo rằng “Quá đơn giản ! MTC
6x= −
”. Đố em biết bạn nào chọn đúng ?
Giải
Nếu không rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Tuấn đã làm đúng, vì :
( ) ( )( )
3 22 2
6 6 ; 36 6 6x x xx x x x− = − −=− +
nên :
( )( )
2
66MTC x x x= −+
Nếu rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Lan làm đúng, vì :
( )
22
3 22
5 55
6 66
xx
x x xx x
= =
− −−
.
( )
( )( )
2
2
36
3 18 3
36 6 6 6
xx
xx x
x xx x
+
+
= =
− −+ −
.
Ví dụ 6. (Bài 18, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức hai phân thức :
a)
3
24
x
x +
và
2
3
4
x
x
+
−
; b)
2
5
44
x
xx
+
++
và
36
x
x +
Giải
a)
;
( )( )
2
4 22x xx−= − +
. MTC :
( )( )
22 2xx+−
.
Ta có :
( )
( )
( )( )
32
3
2222 2
xx
x
x xx
−
=
+ +−
( )
( )( )
2
23
3
42 2 2
x
x
x xx
+
+
=
− +−
b)
( ) ( )
2
2
4 4 2 ;3 6 3 2xx x x x+ += + += +
. MTC :
( )
2
32x +
. Ta có :
( )
( )
2
2
35
5
44
32
x
x
xx
x
+
+
=
++
+
( )
( )
( )
2
2
32
32
xx
x
x
x
+
=
+
+
Ví dụ 7. (Bài 19, trang 48 SGK)
Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau :
a)
1
2x +
;
2
8
2xx−
. b)
2
1x +
;
4
2
1
x
x −
.
c)
3
3 2 23
33
x
x x y xy y−+−
;
2
x
y xy−
.
Giải
a) Ta có
( ) ( )
2
22 2x x x x xx−= −=− −
. MTC :
( )( )
22xx x+−
. Do đó :
( )
( )( )
2
1
2 22
xx
x xx x
−
=
+ −+
( ) ( )
( )
( )( )
2
82
88 8
2 2 2 22
x
x x x x xx xx x
−+
−
= = =
− − − −+
b) MTC :
2
1x −
. Ta có :
( )( )
22
24
2
22
11
11
1
1 11
xx
xx
x
xx
+−
+−
+= = =
−−
.
c) Ta có :
( ) ( )
3
3 2 23 2
33 ;x x y xy y x y y xy y y x− + −=− −= −
; MTC
( )
3
yx y−
. Do đó :
( ) ( )
3 33
33
3 2 23
33
x x yx
x x y xy y
xy yxy
= =
−+−
−−
( )
( )
( )
2
3
2
xx y
xx
y xy y x y
yx y
−−
=−=
−−
−
Ví dụ 8. (Bài 20, trang 47 SGK)
Cho hai phân thức
2
1
3 10xx+−
;
2
7 10
x
xx++
. Không dùng cách phân tích các mẫu
thức thành nhân tử hãy chứng tỏ rằng có thể qiu đồng mẫu thức của hai phân thức này
với mẫu thức chung là :
32
5 4 20xxx+ −−
.
Giải
Thực hiện phép chia đa thức :
32
5 4 20xxx+ −−
cho các mẫu thức ta được :
( )
( )
( )
( )
32 2
32 2
5 4 20 3 10 2
5 4 20 7 10 2
xxx xx x
xxx xx x
+ −−= +− +
+ −−= ++ −
Ta có :
( )
( )
2 32
2
12 2
3 10 5 4 20
3 10 2
xx
xx xxx
xx x
++
= =
++ + −−
+− +
;
( )
( )
( )
( )
2 32
2
22
7 10 5 4 20
7 10 2
xx xx
x
xx xxx
xx x
−−
= =
++ + −−
++ −
.
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Tìm mẫu chung của các phân thức :
a)
3
xa
axb
+
;
22
xb
a xb
+
;
23
ab
xb
+
. b)
( )
2
xy
xyz
−
−
;
( )
2
yz
yzx
−
−
;
( )
2
zx
zxy
−
−
.
c)
( )
2
2x
xy−
;
22
2y
xy−
.
2. (Dạng 1). Tìm mẫu thức chung :
a)
2
2
1
x
x −
;
32
31
2
x
x xx
−
++
;
3
21x
x
+
.
b)
1
xy−
;
33
1
xy−
;
22
1
xy−
.
3. (Dạng 2). Quy đồng mẫu các phân thức sau :
a)
2
ax
ax
+
;
32
31
2
x
x xx
−
++
;
2
ba
ba
+
. b)
( )
2
xy
xy z
+
−
;
( )
2
2
y
xyz−
c)
( )
2
xy
xy
+
−
;
22
1
xy−
.
4. (Dạng 2). Quy đồng mẫu của các phân thức sau :
a)
22
2
x
x ax a−+
;
2
32
9
x
x
−
−
. b)
2
21x
xx
−
−
;
2
1
24 2
x
xx
+
−+
.
c)
3
1
1
x
x
−
+
;
2
2
1
x
xx−+
;
2
1x +
. d)
7
5x
;
4
2xy−
;
22
82
xy
yx
−
−
.
5. Quỹ đồng mẫu thức các phân thức :
a)
2
71
26
x
xx
−
+
;
2
32
9
x
x
−
−
. b)
2
21x
xx
−
−
;
2
1
24 2
x
xx
+
−+
.
c)
3
1
1
x
x
−
+
;
2
2
1
x
xx−+
;
2
1x +
. d)
7
5x
;
4
2xy−
;
22
82
xy
yx
−
−
.
6. Cho hai phân thức :
2
2
2 7 15xx+−
;
2
3 10
x
xx+−
. Chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu
thức của hai phân thức này với mẫu thức chung là :
32
2 3 29 30xx x+−+
.
BÀI 5. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 6. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Cộng nhiều phân thức có cùng mẫu thức
Quy tắc. Muốn cộng nhiều phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau,
giữ nguyên mẫu thức, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
A C AC
BB B
+
+=
.
2. Cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau
Quy tắc. Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau ta phải quy đồng mẫu
thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
A C AD BC AD BC
B D BD BD BD
+
+= + =
.
Ví dụ 1 (Tr 99)
Thực hiện các phép tính sau:
23 23
3 54 5
)
77
5434
)
22
1 18 2
).
555
xx
a
xy y xy y
b
xy xy
xx x
c
xxx
−−
+
−+
+
+− +
++
−−−
Ví dụ 2( Tr 100)
Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng :
22
22
2 12
)
11 1
4 2 2 54
)
3 3 3.
x xx x
a
x xx
x xx x
b
x xx
− +−
++
−−−
−−−
++
−−−
Ví dụ 3( Tr 100).
Theo quy tắc đổi dấu ta có :
AA
BB
−
=
−
Do đó ta cũng có
AA
BB
−=
−
.Chẳng hạn phân thức
đổi dấu của
4
5 x−
là:
444
5 (5 ) 5x xx
−= =
− −− −
. Áp dụng điều này hãy điền vào dấu chấm
dưới đây những phân thứ thích hợp.
2
2
) ...
15
41
) ...
5
x
a
x
x
b
x
+
−=
−
+
−=
−
Ví dụ 4( Tr101).
Làm tính trừ các phân thức sau:
22
4 17 1
)
33
4 55 9
)
2121
11 18
)
2 332
2735
)
10 4 4 10
xx
a
xy xy
xx
b
xx
xx
c
xx
xx
d
xx
−−
−
+−
−
−−
−
−
−−
−+
−
−−
Ví dụ 5( Tr101)
Làm các phép tính sau
2
33
2
4 56 5
)
10 10
76 36
)
2 ( 7) 2 14
xy y
a
xy xy
xx
b
xx x x
−−
−
++
−
++
Ví dụ 6( Tr102)
Làm các phép tính sau:
22
22
4
)
22
1 3 14
)
2 4 ( 4 4)( 2)
11
)
2 ( 2)(4 7)
11 1
)
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
yx
a
x xy y xy
x
b
x x xx x
c
x xx
d
x xx x x
+
−−
−
++
+ − ++ −
+
+ ++
++
+ ++ + +
.
Ví dụ 7 (Tr 103).
Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3 m
thì mèo bắt được chuột .Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả ra cho chuột chạy. Sau đó 15 giây
mèo lại đuổi bắt chuột nhưng với vận tốc nhỏ hơn lần đầu là 0,5m/s> Chạy được 5m mèo
lại bắt được chuột . Lần này mèo cắn chết chuột, cuộc săn kết thúc. Hãy biểu diễn qua x
- Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt chuột
- Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt chuột
- Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn.
Giải
Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột là:
3
x
giây.
Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột là:
5
0,5x −
giây.
Thời gian kể từ lần đầu đến khi kết thúc cuộc săn là:
3 53 5
40 15 55
0,5 0,5x x xx
+++ =++
−−
( )
( )
( )
( )
( )
3 0,5 55 0,5
5
0,5 0,5 0,5
xx
x
xx xx xx
−−
=++
−−−
( )
2
3 1,5 55 27,5 5
0,5
x x xx
xx
−+ − +
=
−
( )
2
55 19,5 1,5
.
0,5
xx
xx
−−
=
−
Ví dụ 8. (Bài 25, trang 50 SGK)
Làm tính cộng các phân thức sau:
a)
2 23
53
;
25
x
x y xy y
++
b)
( )
1 23
;
26 3
xx
x xx
+−
+
++
c)
2
3 5 25
;
5 25 5
xx
xx x
+−
+
−−
d)
4
2
2
1
1;
1
x
x
x
+
++
−
e)
2
32
4 3 17 2 1 6
.
1 11
xx x
x xx x
−+ −
++
− ++ −
Giải
a) MTC
23
10 .xy=
Ta có:
23
2 2 3 23 23 23
5 3 25 6 10
2 5 10 10 10
x y xy x
xy xy y xy xy xy
+ += + +
23
23
25 6 10
.
10
y xy x
xy
++
=
b) MTC
( )
2 3.xx= +
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 22 3
1 23 1 23
26 32 3 32 32 3
xx x
xxx x
x xx x xx xx xx
++
+++ +
+=+= +
++ + + + +
( ) ( )
22
46 56
23 23
xxx x x
xx xx
++ + + +
= =
++
( )( )
( )
23
2
.
23 2
xx
x
xx x
++
+
= =
+
c) Ta có:
( )
2
5 5;x x xx−= −
( ) ( )
25 5 5 5 5 5 ;x xx−= −=− −
MTC
( )
5 5.xx= −
Do đó:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
5 3 5 25
3 5 25 3 5 25
5255 5555555
x xx
x xx x
x x x xx x xx xx
+−
+− +−
+= + = +
−− − − − −
( ) ( )
22
15 25 25 10 25
55 55
x x xx x
xx xx
++− − +
= =
−−
( )
( )
2
5
5
.
5 55
x
x
xx x
−
−
= =
−
d) MTC
2
1.x= −
Ta có:
( )( )
22
44 4
22
2 2 22
11
11 1
11
1 111
xx
xx x
xx
x xxx
+−
++ +
+ += ++ = +
− −−−
44
22
1 12
.
11
xx
xx
−++
= =
−−
e) MTC
( )
( )
32
1 1 1.x x xx= −= − + +
Ta có:
( )( )
( )
22
2
32 3
4 3 17 2 1 1 6 1
4 3 17 2 1 6
1 11 1
x x x x xx
xx x
x xx x x
− + + − − − ++
−+ −
+ +=
− ++ − −
22 2
3
4 3 17 2 2 1 6 6 6
1
x x x xx x x
x
− + + − − +− − −
=
−
( )
( )
( )
( )
( )
2
22
12 1
12 12 12
.
1
1111
x
x
xx
x xx x xx
−−
−+ −
= = =
++
− ++ − ++
Ví dụ 9. (Bài 26, trang 47 SGK)
Một đội máy xúc trên công trường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc
11600
3
m
đất.
Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình
x
3
m/
ngày và đội được
5 000
3
m.
Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất của máy tăng
25
3
m/
ngày.
a) Hãy biểu diễn:
Thời gian xúc
5 000
3
m
đất đầu tiên;
Thời gian làm nốt phần việc còn lại;
Thời gian làm việc để hoàn thành công việc với
250x =
3
m/
ngày.
Giải
a) Thời gian xúc
5 000
3
m
đất đầu tiên là:
5 000
x
(ngày).
Khối lượng công việc còn lại là:
11600 5000 6600−=
3
(m ).
Thời gian làm nốt phần việc còn lại là:
6600
25x +
(ngày).
b) Thời gian làm việc với
250x =
3
m/
ngày là:
5000 6600
20 24 44
250 275
+ =+=
(ngày).
Ví dụ 10. (Bài 27, trang 48 SGK)
Đố. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
( )
( )
2
25
50 5
5 25 5
x
xx
x x xx
−
+
++
++
tại
4.x = −
Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày, còn mẫu số là tháng thì đó
chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố em biết đó là ngày gì?
Giải
Ta có:
( )
5 25 5 5 ;xx+= +
MTC
( )
5 5.xx= +
Do đó:
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
23
2 5 10 5 5 5 50 5
50 5
55 555 55 55
x xx x
x xx
x x xx xx xx xx
− −+ +
+
++= + +
+ ++ + +
( ) ( )
( )
( )
2
32 32
10 25
10 250 250 25 10 25
55 55 55
xx x
xx xxxx
xx xx xx
++
+−++ ++
= = =
+ ++
( )
( )
2
5
5
.
5 55
xx
x
xx
+
+
= =
+
Với
4x = −
ta có:
51
.
55
x +
=
Vậy ngày lễ trên thế giới là ngày Quốc tế Lao động 1-5.
Ví dụ 11. (Bài 30, trang 50 SGK)
Thực hiện phép tính sau:
a)
2
36
;
2 62 6
x
x xx
−
−
++
b)
42
2
2
32
1.
1
xx
x
x
−+
+−
−
Giải
a) MTC
( )
2 6.xx= +
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
3 6 3 63 6
262 6 26 26 26
x x x xx
x x xxx xx xx
− −+ − +
−= + =
++ + + +
b) MTC
2
1.x= −
Ta có:
( )( )
22
42 42
2
22 2
11
32 32
1
11 1
xx
xx xx
x
xx x
−+
− + −+ −
+− = +
−− −
( )
2
4 42
22
31
1 32
3.
11
x
x xx
xx
−
−− + −
= = =
−−
Ví dụ 12. (Bài 31, trang 50 SGK)
Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1.
a)
11
;
1xx
−
+
b)
22
1
.
z
xy x y xy
−
−−
Giải
a) MTC
( 1).xx= +
Ta có:
11 1 1 1
.
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x x xx
x x xx xx xx xx
+ +−
−= − = =
+++++
b)
2
( );xyx xyx−= −
2
( ).y x yx−= −
MTC:
( ).xy y x−
Ta có:
( ) ( )
22
11 1 1
xyx y xy xyx yyx
−= −
−− − −
( ) ( ) ( )
1
.
y x yx
xy y x xy y x xy y x xy
−
=−==
−−−
Ví dụ 13. (Bài 32, trang 50 SGK)
Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau:
111111
.
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6)xx xx xx xx xx xx
+++++
+ ++ ++ ++ ++ ++
Giải
Ta có:
( )
1
1 1 11
.
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
xx
xx
xx xx xx xx x x
+−
+
= =−=−
++++ +
Tương tự:
1 11
;
( 1)( 2) 1 2xx x x
= −
++ + +
1 11
;
( 2)( 3) 2 3xx x x
= −
++ + +
1 11
;
( 3)( 4) 3 4xx x x
= −
++ + +
1 11
;
( 4)( 5) 4 5xx x x
= −
++ + +
1 11
.
( 5)( 6) 5 6xx x x
= −
++ + +
Do đó:
111111
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6)xx xx xx xx xx xx
+++++
+ ++ ++ ++ ++ ++
111111111111 6
.
1223344556 6(6)xxxxxxxxxx xxxx
=−+−+−+−+−=−=
++++++++++ + +
Ví dụ 14. (Bài 34, trang 50 SGK)
Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính:
a)
( ) ( )
4 13 48
;
5 7 57
xx
xx x x
+−
−
−−
b)
22
1 25 15
.
5 25 1
x
xx x
−
−
−−
Giải
a)
( ) ( )
4 13 48 4 13 48 5 35 1
.
5 7 5 7 5 ( 7) 5 ( 7) 5 ( 7)
x x xx x
xx x x xx xx xx x
+ − +− −
− =+==
− − −−−
Ta có
( )
2
5 15xxx x−=−
;
( )( )
2
25 1 5 1 5 1x xx−= − +
MTC
( )( )
15 15xx x=−+
Do đó
22
1 25 15
5 25 1
x
xx x
−
−
−−
( ) ( )( )
1 25 15
15 15 15
x
xx x x
−
= +
− −+
( )( )
( )
( )( )
25 15
15
15 15 15 15
xx
x
xxxx xx
−
+
= +
−+ −+
( )( )
2
1 5 25 15
15 15x
xx x
xx
++ −
=
−+
( )( )
2
25 10 1
15 15xx
xx
x
−+
=
−+
( )
( )( )
2
15
15 15
x
xx x
−
=
−+
( )
15
15
x
xx
−
=
+
Ví dụ 15. (bài 35, trang 50 SGK)
Thực hiện phép tính
a)
( )
2
21
11
3 39
xx
xx
xx x
−
+−
−−
−+ −
b)
( )
2
2
31 1 3
11
1
xx
xx
x
++
−+
+−
−
Giải
MTC
( )( )
2
9 33x xx= −= − +
Ta có
( )
2
21
11
3 39
xx
xx
xx x
−
+−
−− =
−+ −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
1 3 1 3 21
33 33 33
x x xx x x
xx xx xx
++ − − −
=−+
−+ −+ −+
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 3 1 3 21
33
x x xx x x
xx
+ + −− −+ −
=
−+
( )( )
22 2
3 3 3 32 2
33
x xx x xx x x
xx
+ +++ − −++ −
=
−+
( )( )
26 2
33 3
x
xx x
+
= =
−+ −
b) MTC
( ) ( )
2
11xx=−+
Ta có
( )
2
2
31 1 3
11
1
xx
xx
x
++
−+
+−
−
( )
( )( )
2
31 1 3
1 11
1
xx
x xx
x
+ −−
= −+
+ −+
−
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
22 2
31 1 1 3 1
11 11 11
xx x xx
xx xx xx
+ + − −− −
=−+
−+ −+ −+
2
2
(3 1)( 1) ( 1) ( 3)( 1)
( 1) ( 1)
xx x xx
xx
+ +−− −+ −
=
−+
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
31 1 1 3 1
11
xx x xx
xx
−+ +− − + −
=
−+
( ) ( )
222
2
3 41 21 23
11
xx xx xx
xx
++−+−−−+
=
−+
( ) ( )
2
2
43
11
xx
xx
++
=
−+
( )( )
( ) ( )
2
13
11
xx
xx
++
=
−+
( )
2
3
1
x
x
+
=
−
Ví dụ 16. Bài 36, trang 51 SGK)
Một công ti may phải sản xuất
10000
sản phẩm trong
x
ngày. Khi thực hiện không những
đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được
80
sản phẩm
a) Hãy biểu diễn qua
x
Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với
25x =
Giải
a) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch
10000
x
(sản phẩm)
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.
10080
1x −
(sản phẩm)
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
( )
( )
( )
10080 10000 1
10080 10000 80 10000
1 11
xx
x
x x xx xx
−−
+
−= =
− −−
(sản phẩm)
b) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày với
25x =
là
( ) ( )
80 10000 80.25 10000
20
1 25 25 1
x
xx
++
= =
−−
(sản phẩm)
Ví dụ 17. (Bài 37, trang 51, SGK)
Đố. Cho phân thức
2
21
.
3
x
x
+
−
Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho
trừ đi phân thức phải tìm ta được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã
cho.
Dạng 3. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp giải
* Sử dụng phép cộng, trừ phần thức để rút gọn biểu thức.
* Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 18. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
22
12
1
xx
xx x
++
+
−−
với
1
.
3
x = −
Giải
Rút gọn biểu thức:
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
22
12
12 1 2 1
.
1 1 11 11 11
x xx
xx x x
x x x xx x x xx x xx x
+− +
++ + +
+= − = =
− − − −+ −+ −+
Với
1
3
x = −
ta được:
( )( )
1 1 27
.
1 42
11 8
3 33
xx x
= =
−+

− ⋅− ⋅


Dạng 4: CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN
Phương pháp giải
Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức để rút gọn biểu thức không còn chưa biến.
Ví dụ 19. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
,x
,y
:z
a)
( )( ) ( )( ) ( )( )
;
yzx
A
xyyz yzzx zxxy
=++
− − −− −−
b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
.
xz xy yz
B
xyyz xzyz xyxz
+++
=++
−−−−−−
Giải
a) MTC của
( )( )( )
:.Axyyzzx− −−
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )
0.
yz x zx y xy z
yz yx zx zy xy xz
A
xyyzzx xyyzzx
−+ −+ −
−+−+−
= = =
− −− − −−
Vậy biểu thức
A
đã cho không phụ thuộc vào
,x
,y
.z
b) MTC của
( )( )( )
:.Bxyyzzx− −−
Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
0.
xz zx xyxy yzyz
B
xyyzzx
++−++ −++ −
= =
− −−
Vậy biểu thức
B
đã cho không phụ thuộc vào
,x
,y
.z
Dạng 5. TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải
* Chuyển các hạng tử không chứa
x
về một vế, ta được biểu thức của
:x
* Rút gọn biểu thức của
.x
Ví dụ 20: Tìm x:
a)
2
2
3 22
,
a b a ab
x
b b ab
+−
−=
−
(
,a
b
là những hằng số);
b)
( )
( )
44
2
2
,
ab
x ab
ab
+
++ =
−
(
,a
b
là những hằng số).
Giải
a)
( )
( )
2
2
2
3 22 3 3 2
;
aa b
ab a ab ab ab a ab
x
bbabbbbabbb
−
+− + + +
− = = + = −=
−−
b)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
44 22
44
44
2
22 2
ab ab
a b ab ab
ab
x ab
ab ab ab
+− −
+−+ −
+
++ = = =
−− −
( ) ( )
4 4 4 22 4 22
22
22
.
a b a ab b ab
ab ab
+−+ −
= =
−−
Dạng 6. ÁP DỤNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VÀO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Phương pháp giải
* Sử dụng công thức về chuyển động đều
.,s vt=
trong đó s: quãng đường; v: vận tốc;
t: thời gian.
* Vận tốc canô xuôi dòng = vận tốc thực của canô + Vận tốc dòng nước.
* Vận tốc canô ngược dòng = vận tốc thực của canô - Vận tốc dòng nước.
Ví dụ 21. Một canô đi xuôi từ A đến bến B ngược về A. Khoảng cách từ A đến B là s km.
Vận tốc canô trong nước yên lặng là v km/h. vận tốc dòng nước là 4km/h. Hãy biểu diễn
thời gian canô đã đi dưới dạng phân thức đại số. Tính thời gian nếu
48 km,s =
20 km/h.v =
Giải
Thời gian canô xuôi dòng là:
( )
h.
4
s
v +
Thời gian canô ngược dòng là:
( )
h.
4
s
v −
Thời gian canô đã đi xuôi và ngược dòng là:
( )
h.
44
ss
vv
+
+−
Thay số vào ta có:
48 48 48 48
5
4 4 20 4 20 4 24 16
ss
vv
+ = + =+=
+− + −
(giờ).
Vậy thời gian ca nô đi từ
A
đến
B
rồi ngược về
A
là 5 giờ.
Dạng 7. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH ĐỂ RÚT GỌN PHÂN THỨC
Phương pháp giải
* Quy đồng mẫu thức để thực hiện phép cộng, trừ hai phân thức không cùng mẫu
thức.
* Khi nhân hai đa thức, chú ý đến hằng đẳng thức đáng nhớ.
* Viết một phân thức về dạng tổng, hiệu của hai phần thức:
;
AC AC
B BB
+
= +
.
AC A C
B BB
−
= −
Ví dụ 22. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
37
22 44 88
11 2 4 8
;
aaa
A
ababa b a b a b
=++++
−+ + + +
b)
2222 2
11 1 1 1
.
3 2 5 6 7 12 9 20
B
a aa a a a a a a a
=+++ +
+ ++ ++ ++ ++
Giải
a) Ta có:
( )( )
22
11 2
;
abab a
ab ab abab a b
++−
+= =
− + −+ −
( )
( )( )
2222
3
22 22 44
2222
2
22 4
;
aa b a b
aa a
ab ab ab
abab
++−
+= =
−+ −
−+
( )
( )( )
34 4 4 4
33 7
44 44 88
4444
4
44 8
;
aa b a b
aa a
ab ab ab
abab
++−
+= =
−+ −
−+
( )
( )( )
78 8 8 8
7 7 15
8 8 8 8 16 16
8888
8
8 8 16
.
aa b a b
aa a
ab ab a b
abab
++−
+= =
−+ −
−+
Vậy
15
16 16
16a
A
ab
=
−
( )
.ab≠±
b) Trước hết ta phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
( )
2
1;a a aa+= +
( )
( ) ( )( )
22
3 2 2 2 1 2;a a aa a a a+ += + + + = + +
( )( )
2
5 6 2 3;aa a a+ += + +
( )( )
2
7 12 3 4 ;aa a a++=+ +
Ta có:
( )
( )
( )
2
1
1 1 11
.
11 1
aa
a a aa aa a a
+−
= = = −
++ + +
C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Thực hiện các phép tính:
a)
( )
22 4
2
2
.
ab a
a
ab
−
+
c)
22 33
2 22 2
66
.
22
ax ay x y
x xy y x xy y
−+
++ −+
b)
33 88
.
2 2 15 15
xyxy
xyx y
−+
+−
d)
2 22 2
33
2 4 2 15 15
.
55 4 4
x xy y x y
xy x y
−+ −
−+
2. (Dạng 1). Thực hiện các phép tính:
a)
2
2
33 6 6
:
(1 x) 1
xx
x
−−
++
b)
( )
( )
2
2
2
2
:
ab
ab b
ab b
ab

+
+
−

−
−


c)
442 2
3322
:
abab
abab
−+
−−
d)
32
22
8 32
:
21 1
x xx
xx x
+ ++
−+ −
e)
4 332 2
2
:
22
x xy x x y xy
xy y x y
− ++
++
g)
3
11
:
11xx
−
−−
3. (Dạng 3) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
22
1 11
..
10 2 10 2
x xx x
xxxx
− −−
+
++++
b)
( ) ( )
22
22 2
22
..
xy xy
xy y
xy x xy x
−−
+
−
++
4. (Dạng 3) Tính giá trị của biểu thức:
( )
222
2:
xyz
x y z yz
xyz
+−
−−+
++
với x = 8,6 ; y = 2; z = 1,4
5. (Dạng 4) Tìm x, biết:
a)
2 2 22
44 22
2a ab b a b
x
ab ab
−+ −
=
−+
b)
22 33
22 22
2
abab ab
x
a b a b ab
+− +
=
− +−
c)
22
22 33
2a b ab a b
x
abab ab
+− −
=
+− +
9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Biến đổi một biểu thức thành một phân thức đại số gọi là phép biến đổi đồng nhất
- Thực chất phép biến đổi đồng nhất là việc thực hiện các phép tính về phân thức đại số
trong biểu thức hữu tỉ
- Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác
0.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp giải:
Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1. (Bài 46 trang 57 SGK)
a)
1
1
1
1
x
x
+
−
b)
2
2
2
1
1
2
1
1
x
x
x
−
+
−
−
−
Giải
a)
11
1
1
11
1
1
x
x
xx
x
x
xx
+
+
+
= =
−
−
−
b)
( )
2
2
2 22
22
2 12
1
11
11
.1
2 12
11
1
11
x
xx
xx
x
x xx
x
xx
+−
−
−−
++
= = = −
− −− +
+
−
−−
Ví dụ 2. (Bài 50 trang 58 SGK)
Thực hiện phép tính:
a)
2
2
3
1:1
11
xx
xx


+−


+−


b)
( )
2
11
11
11
x
xx

− −−

−+

Giải
a)
22
22
3 2 11 4
1:1 :
1 1 11
x xx x
x xx x

+−

+− =


+ − +−


( )( )( )
( )( )( )
2
2
21 1 1
21 1
.
14 1 12 12 1
1
21
xxx
xx
xx xxx
x
x
+−+
+−
= =
+ − +−+
−
=
−
b)
( ) ( )
( )
( )
2
22
2
11 1
11
1 1 1.
11 1
xx x
xx
xx x
+− − − −

− − −= −

−+ −

( )
2
22
2
3
1. 3
1
x
xx
x
−
=−=−
−
Ví dụ 3 (Bài 51 trang 58 SGK)
Làm các phép tính sau:
a)
2
22
11
:
xy x
yx yyx


+ −+




b)
22
1 1 11
:
44 44 2 2xx xx x x

−+

++ −+ + −

Giải
a) Ta có:
2 33 2 2
2 22 2
11
;
x y x y x x xy y
y x xy y y x xy
+ −+
+= −+=
. Do đó:
2 3 32 2
22 2 2
11
::
x y x x y x xy y
y x y y x xy xy


+ −+
+ −+ =




33 2
22 2
.
x y xy
xy
xy x xy y
+
= = +
−+
b)
22
1 1 11
:
44 44 2 2xx xx x x

−+

++ −+ + −

( ) ( )
22
1 1 11
:
22
22
xx
xx


=−+


+−

+−


22
11 11 11 11
:
22 22 22 22
224
44
xx xx xx xx
xx
xx

=− + +=−

+− +− +− +−

−−− −
= =
−−
Ví dụ 4: (Bài 52 trang 58 SGK)
Chứng tỏ rằng với
0x ≠
và
xa≠±
(a là một số nguyên), giá trị của biểu thức:
22
24
.
xa a a
a
xa x xa

+

−−


+−


là một số chẵn
Giải
Ta có :
22 222 2
2 4 224
..
(x a)
x a a a ax a x a ax a ax
a
xa x xa xa x

+ +−− − −

− −=


+ −+ −


( ) ( )
( ) ( )
.2
2
..
xa x aa x
a
x axa x
−+
= =
+−
là một số chẵn
Ví dụ 5. (Bài 53 trang 58 SGK)
a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số :
1
x
x
+
;
1
1
1
1
x
+
+
;
1
1
1
1
1
1
x
+
+
+
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
+
+
+
+
+
thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.
Giải
a) Ta có :
11x
x
xx
+
+=
;
1 1 21
111 ;
11
11
1
xx
x
xx
xx
+
+=+=+=
+
++
+
1 1 132
1 11
1 21
2121
1
1
1
1
xx
x
xx
x
x
++
+ =+ =+=
+
++
+
+
+
b)
1 1 1 1 3 28 5
1 1 1 11
1 1 21 53
5353
1 11
1 32
32 32
1
1
21
1
1
1
xx
xx
xx
x
xx
x
x
++
+ =+ =+ =+ =+=
++
++
+ ++
+
++
+
+
+
+
Dạng 2. ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ GIÁ TRỊ PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH
Phương pháp giải
Ta tìm các giá trị của biến x sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0
Ví dụ 6. (Bài 47, trang 57 SGK)
Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
a)
5
24
x
x +
b)
2
1
1
x
x
−
−
Giải
a) Giá trị của phân thức
5
24
x
x +
được xác định với điều kiện
2 40x +≠
, tức là
2x ≠−
b) Giá trị của phân thức
2
1
1
x
x
−
−
được xác định với điều kiện
2
10x −≠
, tức là
1x ≠±
Ví dụ 7 (Bài 48, trang 58 SGK)
Cho phân thức :
2
44
2
xx
x
++
+
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định
b) Rút gọn phân thức
c) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 1
d) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0 hay không ?
Giải
a) Giá trị của phân thức
2
44
2
xx
x
++
+
được xác định với điều kiện
2x ≠−
b) Rút gọn phân thức, ta có :
( )
2
2
2
44
2
22
x
xx
x
xx
+
++
= = +
++
c) Giá trị của phân thức bằng 1 khi x + 2 = 1 suy ra x = -1 (nhận)
d) Giá trị của phân thức bằng 0 khi x + 2 = 0 suy ra x = -2 (loại)
Vậy không có giá trị nào của x để giá trị phân thức bằng 0
Ví dụ 8. (Bài 49 trang 58 SGK)
Đố. Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác
định với mọi giá trị của x khác ước của 2
Giải
Các ước của 2 là -1 ; 1 ; -2 và 2. Chẳng hạn phân thức mà giá trị của nó được xác
định với mọi giá trị của x khác ước của 2 là:
( )( )
22
1
14xx−−
Ví dụ 9. (Bài 54 trang 59 SGK)
Tìm các giá trị của x để giá trị của phân thức được xác định:
a)
2
32
;
26
x
xx
+
−
b)
2
5
3x −
Đáp số
a)
0x ≠
và
3x ≠
b) Mọi số hữu tỉ x
Ví dụ 10. (Bài 55, trang 59 SGK)
Cho phân thức:
2
2
21
1
xx
x
++
−
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là
1
1
x
x
+
−
c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 2 và x = -1, bạn Thắng làm như sau :
- Với x = 2, phân thức đã cho có giá trị là
21
3
21
+
=
−
;
- Với x = -1, phân thức đã cho có giá trị là
11
0
11
−+
=
−−
.
Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.
Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho
bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn ?
Giải
a) Với
1x ≠±
thì giá trị của phân thức được xác định
b) Rút gọn phân thức
( )
( )( )
2
2
2
1
21 1
1 11 1
x
xx x
x xx x
+
++ +
= =
− −+ −
c) Với x = 2 phân thức đã cho có giá trị là
21
3
21
+
=
−
. Bạn Thắng đã tính đúng.
Với x = -1 phân thức đã cho có giá trị là
11
0
11
−+
=
−−
. Bạn Thắng đã tính sai vì với x = -1, giá
trị của phân thức đã cho không xác định.
Vậy với những giá trị của x mà giá trị phân thức được xác định thì có thể tính được giá trị
của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn.
Ví dụ 11. (Bài 56 trang 59 SGK)
Cho phân thức
2
3
3 6 12
8
xx
x
++
−
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
b) Rút gọn phân thức
c) Em có biết trên
2
1cm
bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn ?
Tính giá trị của biểu thức đã cho tại
4001
2000
x =
em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy
nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại).
Giải
a) Với
3
8x ≠
hay
2x ≠
thì giá trị của phân thức đã cho được xác định
b) Rút gọn phân thức, ta có :
( )
( )
( )
2
2
3
2
3 24
3 6 12 3
82
2 24
xx
xx
xx
x xx
++
++
= =
−−
− ++
Với
4001
2000
x =
giá trị của biểu thức đã cho là :
33
6000
4001 1
2
2000 2000
= =
−
DẠNG 3. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN
Phương pháp giải.
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ để rút gọn biểu thức không
còn chứa biến.
Ví dụ 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y :
a)
( )
2
2
2
xy
yx
xy
y
xy x
−
+
−−
;b)
( )
22
2
4
xy
xy xy
xy
xy
xy x y
+
+−
+
−
−−
Giải
a)
( ) ( )
( )
( )
22
22
22
22
2
1
22
2
2
xy x y
x y xy
y x xy
x y xy
xy xy xy y
y
xy x xy
−
−
−
= = =
−
+ +−−
−−
b)
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
22
22
2
4
24
x xy yx y
xy
xyxy
xy xy
xy
xy
x y x y xy x y
xy x y
xyx y
−++
+
+−
+−
=
+
+ −− −
−
−−
−−
( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( )
22
22
1
2
.2
x y xyxyxy
xyxy xyx y
+ −+−
= =
+− − +
C. LUYỆN TẬP
1/ (Dạng 1) Thực hiện các phép tính :
a)
2
14
2 1 :2
12 2 1
x
xx
xx


+− −


−−


b)
22
2 2 22
5 5 25
.
55
xy xy x y
x xy x xy x y

+ −−
+

−+ +

c)
22 22 2 2
41 1
:
2
xy
yx yx x xyy

+

− − ++

2/ (Dạng 1) Rút gọn biểu thức :
a)
22
3 6 5 10
.
4 42 8 8
xx
xx xx
+−
++ ++
b)
2
2
5 15 9
:
44 21
xx
x xx
−−
+ ++
c)
23
23
5 10 15
.
38
xxx
xx

−
−

−

d)
22
2
25 50 10 25
:
39 69
x xx
x xx
− −+ −
+ ++
3/ (Dạng 1) Rút gọn các biểu thức sau :
a)
2
2
a
x
a
x
−
+
b)
25
1
25
1
x
y
x
y
−
−
+
+
c)
1
1
1
1
xx
xx
xx
xx
+
−
−
−
−
+
d)
2
2
2
1
bb
aa
ab
−+
−
4/ (Dạng 2) Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định
a)
7
25
x
x −
b)
2
3
32xx−
c)
32
3
8 12 6 1
x
x xx− +−
d)
2
2
2
16 24 9
x
xx
−
++
e)
2
32
x
xx−+
5/ (Dang 5) Tính giá trị của biểu thức :
a)
2
2
3
9 61
xx
xx
−
−+
với x = -8 b)
2
32
32
22
xx
x xx
++
+ −−
với x = 1000001
6/ (Dạng 2) Cho biểu thức :
( )
2
2 5 50 5
2 10 2 5
x xx x
x x xx
+− −
++
++
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định .
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng
1
2
−
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng -3
(Dạng 3). Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số :
a)
22
22
.;
22
ab a b a b
a b a b abba
−

++

− + +−

b)
( )
32
2
22 22
.;
x x xy x y
xy x y x y
xy

−

−−

−+ −
−

c)
2
22
33
.;
3 23 3 9
y y yy y
y y y yy

++
+−

− +− −

d)
22 2
6 26
:.
36 6 6 6
xx x x
x xxxx x
−−

−+

− + +−

ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
57. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau:
a)
3
23x −
và
2
36
26
x
xx
+
+−
b)
2
4x +
và
2
32
26
7 12
xx
xx
+
++
Giải
a)
( )
( )( )
22
32
3 36 36
;
2323 6 2 4362 6
x
xx
x x x x xx xx
+
++
= = =
− − + + − − +−
b)
( )
( )
( )
2
22
322 32
2
23
2 26 26
4 3 4 12 7 12
43
xx
xx xx
x xxxxxxx
x xx
+
++
= = =
+ +++ ++
++
58. Thực hiện phép tính sau:
a)
2 12 1 4
:;
2 1 2 1 10 5
xx x
xx x
+−

−

−+ −

b)
2
12 1
: 2;
1
x
x
x xx x
−

− +−

++

c)
3
22 2
1 11
.
1 1 2 11
xx
x x xx x
−

−+

− + −+ −

Giải
a)
( ) ( )
( )( )
22
21 21
2 1 2 1 4 10 5
:.
2121105 2121 4
xx
xx x x
x x x xx x
+− −
+− −

−=

− + − −+

( ) ( )
( )( )
2. 4 .5. 2 1
10
2121.4 21
xx
x x xx
−
= =
−+ +
b)
( )
2
2
12 1 21 2
:2 :
11
x x xxx
x
x x x x xx x
− −+ + −

− +− =

++ +

( )
( )
( )
2
2
21
2
.
11
1
x
x
xx x
x
−
= =
+−
−
c)
3
22 2
1 11
.
1 1 2 11
xx
x x xx x
−

−+

− + −+ −

( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
1 11
.
1 1 11
1
11
1
.
11
11
1
12
'
11
11
1 2 12
1
11 11
1
1
1
11
xx
x x xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x xx
x
xx xx
x
x
x
xx

−
=−−

− + −+
−


+− −
−
= −
−+
−+
−
= −
−+
−−
+−
=−=
−
+− +−
−
−
= =
+
+−
59.
a) Cho biểu thức
.
xP yP
xp yP
−
++
Thay
xy
P
xy
=
−
rồi rút gọn biểu thức.
b) Cho biểu thức
22
22
.
PQ
PQ−
Thay
22 22
22
,
xy xy
PQ
xy xy
= =
−+
rồi rút gọn biểu thức.
Giải
a)
22
22
22
xy yx
xP xP x y y x
xy xy
yx
xy xy
xP yP x y
xy
xy xy
−−
− = − =−=+
+− −
+−
−−
b)
( )
( )( )
2
22
22
PQ
PQ
P Q PQPQ
=
− −+
( )
2
22
44
22 22 22 22
2
22 22 2 2
44
44
4
11 11
2 .2
4 4 .2 .2
: 1.
xy
xy
xy xy
xyxy xyxy
xy xy y x
xy
xy


−

=

−+

−+ −+


= =

−
−

60. Cho biểu thức:
2
2
1 3 34 4
.
2 2 12 2 5
x xx
xx x
+ +−

+−

−−+

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị
của biến x.
Giải
a) Ta có:
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 1;2 2 2 1; 2 1 1.x x x x MTC x x−= − += + = − +
Giá trị của biểu thức được xác định khi
1x ≠±
.
b) Rút gọn biểu thức, ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
22
22
41
13 3
.
2 1 12 1 5
41 41
16 3 1
10
. .4
55
21 21
x
xx
xx x
xx
x xx
xx
−

++
+− =

−− +


−−
+ +− + −
= = =
−−
không phụ thuộc vào x với mọi
1x ≠±
.
61. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức:
2
22 2
5 2 5 2 100
.
10 10 4
x xx
x xx x x
+ −−

+

−+ +

được xác định. Tính giá trị của biểu thức với x = 20040.
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )( )
22
10 10 ; 10 10 ; 10 10x x xx x x xx MTC xx x−=− +=+ =− +
Điều kiện để giá trị biểu thức được xác định là:
0; 10xx≠ ≠±
.
Ta có:
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
2
22
2
10 4
5 2 10 5 2 10
52 52
10 10 10 10
100
x
xx xx
xx
x x x x xx x
xx
+
+ ++− −
+−
+= =
− + −+
−
Do đó:
( )
( )
2
22
22 2 2
2
10 4
5 2 5 2 100 100 10
..
10 10 4 4
100
x
x xx x
x xx x x x x
xx
+
+ −− −

+= =

−+ + +
−

Với
20040x =
giá trị biểu thức bằng :
10 1
.
20040 2004
=
62. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức
2
2
10 25
5
xx
xx
−+
−
bằng 0.
Giải
Điều kiện để giá trị của phân thức xác định là:
0x ≠
và
5x ≠
.
Ta có:
( )
( )
2
2
2
5
10 25 5
.
55
x
xx x
x x xx x
−
−+ −
= =
−−
Vì
5x ≠
nên phân thức không có giá trị bằng 0. Vậy không tìm được x để giá trị của phân
thức đã cho bằng 0.
63. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức
là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:
a)
2
3 4 17
2
xx
x
−−
+
; b)
2
2
.
3
xx
x
−+
−
Giải
a) Thực hiện phép chia đa thức ta có:
2
3 4 17 3
3 10 .
22
xx
x
xx
−−
=−+
++
Để phân thức có giá trị nguyên thì x + 2 phải là ước của 3. Ước của 3 gồm các số nguyên
âm
1, 3±±
. Từ đó ta có
{ }
1, 3,1, 5 .x∈− − −
b) Thực hiện phép chia đa thức ta được:
2
28
2.
33
xx
x
xx
−+
=++
−−
Phân thức có giá trị nguyên khi x – 3 là ước của 8. Ước của 8 gồm các số nguyên:
1,2,4,8.±±±±
Từ đó ta có:
{ }
4, 5, 7,11, 2,1, 1, 5 .x∈ −−
64. Tính giá trị của phân thức trong Bài tập 62 tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số
thập phân thứ ba.
Giải
Giá trị của phân thức
5x
x
−
tại
1,12x =
là :
1,12 5
3,464.
1.12
−
= −
B. BÀI TẬP BỔ SUNG
1. Thực hiện phép tính:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22 22
22
11
1
.
b c a ac b bc c a b ab c ca
a b c bc a ab
++
− +−− − + −−
+
− +−−
2. Chứng minh đẳng thức:
2 2 22
22 22 2
3 253
.
96 93 3
a ab a ab b a ac ab bc
a b ab a b bc a ac ab
+ − − +++
+=
− −− −−+
3. Tìm a và b thỏa đẳng thức với mọi
5x ≠−
và
4x ≠
:
2
52
.
20 5 4
x ab
xx x x
−
= −
+− + −
4. Rút gọn biểu thức:
a)
2
22
2 12
. :;
2 1 2 12
ab b ba a a a
b ba a b a a

+ −+ +

− +−


−+ − −


b)
2 22
2
1 22
:.
11
a b ab a b
a ab a a abab a

− −−
− −−

− − − −+−

5. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức:
22 4 222
2 22 2
24 4 4 1
::
2 2 22
xyxyy x xyy x
y x x xy y x x xy y x y


− ++− + +− +
−


− − − ++ + ++


với
3
1, 76; .
25
xy=−=
6. Xác định a để biểu thức sau là số nguyên:
( ) ( )
22
32
32
24 2 24
: 8 . . 4.
2 84
aa a aa
aa
a aa

−+ − −+
++ −

− +−

7. Cho
1.
abc
bc ca ab
++=
++ +
Chứng minh rằng:
222
0.
abc
bc ca ab
++=
++ +
8. Cho
( )
0 0, 0, 0 .abc a b c++= ≠ ≠ ≠
Tính giá trị biểu thức:
222
222 222 2 22
.
abc
abc bca cab
++
−− −− −−
9. a) Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức
22
4
. 43
2
xx
xx

+
−+

−

có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b) Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức
( )
2
22
2
64
.1
2
x
x xx
xx x
+

++
−−

+

có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
| 1/42

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

Chương II
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Định nghĩa.
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng Α , trong đó Β
A, B là những đa thức và B khác 0.
A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
• Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
2. Hai phân thức bằng nhau. A C = nếu AD = BC. B D B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU Phương pháp giải Để chứng minh A C =
ta chứng minh AD = BC. B D Ví dụ 1. (Bài 1, trang 36 SGK)
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ rằng: 5 y 20xy x x + x a) = ; 3 ( 5) 3 b) = ; 7 28x 2(x + 5) 2 x + 2 (x + 2)(x +1) 2 2 x − x − 2 x − 3x + 2 c) = ; d ) = ; 2 x −1 x −1 x +1 x −1 3 x + 8 e) = x + 2 ; 2 x − 2x + 4 Giải a) Ta có 5 .28 y
x  7.20xy nên 5y 20xy = ; 7 28x b) Vì + 2.3xx  
5  3x.2x   5 nên 3x(x 5) 3x = ; 2(x + 5) 2 c) Ta có  + + + x   2 2 x  
1  x 2x   1 x  
1 nên x 2 (x 2)(x 1) = ; 2 x −1 x −1 d) Ta có:  2
x x  x   3 x  2 2 1 2x x  2 ;
x   2x x   3x  2 1 3 2 2x x  2 . 2 2 Do đó  − − − + x   2
x x   2 1 3 2
x x 2x   1 suy ra: x x 2 x 3x 2 = x +1 x −1 3 e) Vì 3 +
x   x   2 8
2 x 2x  4 nên x 8 = x + 2 ; 2 x − 2x + 4 Ví dụ 2. (Bài 2, trang 36 SGK)
Ba phân thức sau có bằng nhau không: 2 x − 2x − 3 2 ; x − 3 ; x − 4x + 3 . 2 x + x x 2 x − x Giải Ta có: 2 2
x − 2x − 3 = x −1− 2x − 2 = (x −1)(x +1) − 2(x +1)
= (x +1)(x − 3) . 2
x + x = x(x +1); 2 2
x − 4x + 3 = x −1− 4x + 4 = (x −1)(x +1) − 4(x −1)
= (x −1)(x − 3); 2
x − x = x(x −1) . Ba phân thức trở thành:
(x +1)(x − 3) ; x − 3 ;
(x −1)(x − 3) . (x +1)x x (x −1)x Vì x + x − x −
(x +1)(x − 3) x = (x − 3)(x +1)x nên ( 1)( 3) 3 = (x +1)x x Và  x − − − x   3 x  
1 x  x   1 x   3 x nên
3 = (x 1)(x 3) ; x (x −1)x
Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau. Ví dụ 3. (Bài 3, trang 36 SGK) Cho ba đa thức: 2 x − 4x , 2 x + 4, 2
x + 4x . Hãy chọn một đa thức rồi điền vào
chỗ trống trong đẳng thức dưới đây: ... x = 2 x −16 x − 4 Giải Ta có 2
x −16 = (x − 4)(x + 4) . Gọi chỗ trống là đa thức A, ta có:
Ax 4  xx 4x  4.
Vậy A xx   2 4 x  4x .
Dạng 2. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN), GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) CỦA PHÂN THỨC Phương pháp giải
• T = a + [f(x)]2 ≥ 𝑎: Giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0.
• T = b – [f(x)]2 ≤ 𝑏: Giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.
Nếu a > 0, T > 0 thì a nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). T + Ví dụ 4.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 3 2x −1 14 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: 4 − x + 4x 15 2 4
− x + 4x Giải 15 +
a) Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thức 3 2x −1 có GTNN khi 3+ 2x −1 có GTNN. 14
Vì nên 2x −1 ≥ 0 nên 3+ 2x −1 ≥ 3 , suy ra 3+ 2x −1 ≥ 3 có GTNN bằng 3 khi 2x – 1 = 0, tức là 1 x =
. Khi đó GTNN của phân thức bằng 3 . 2 14
b) Mẫu thức dương nên phân thức có GTLN khi 2 4
− x + 4x có GTLN. Ta có 2 4 − x + 4x = 2 1− (2x −1) . Vì 2
−(2x −1) ≤ 0 nên 2 1− (2x −1) ≤ 1 .
GTLN của phân thức bằng 1 khi 1 x = . 15 2 Ví dụ 5.
Tìm GTLN của các phân thức: a) 5 b) 3 2 x + 2x + 2 2 + 2x − 5 Giải
a) Ta có tử thức là 5 > 0 và mẫu thức là: x + x +
= x + x + + = (x + )2 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 +1 > 0
nên phân thức có GTLN khi (x + )2 1 +1 có GTNN. Vì (x + )2 1 > 0 nên (x + )2 1
+1 > 1 có GTNN bằng 1 khi x = – 1 . Vậy GTLN của 5 bằng 5 khi x = - 1. 2 x + 2x + 2 b) GTLN của phân thức 3 bằng 3 khi 5 x = . 2 + 2x − 5 2 2 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau để chứng minh các đẳng thức sau: 3 4 4 xy 5x y 2 x (x + 3) x a) = ; b) = ; 3 7 35x y 2 x(x + 3) x + 3 2 2 − x x − 4x + 4 3 2 x − 9x −x − 3x c) = ; d ) = 2 2 + x 4 − x 15 − 5x 5
2. (Dạng 1) Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong đẳng thức sau: 2 A 6x − 3x 2 4x + 3x − 7 4x + 7 a) = ; b) = ; 2 2x +1 4x −1 Α 2x − 3 2 2 x −1 x − 2x +1 2 2x + 3x − 2 Α c) = ; d ) = 2 4x + 7x + 3 Α 2 2 x + 2x x − 2x
3. (Dạng 2). Tìm GTNN của các phân thức: 2 x + 4x + 6 + − x a) ; 4 2 |1 2 | b) 3 5
4. (Dạng 2). Tìm GTLN của các phân thức: 12 5 a) ; b)
3+ | 5x +1| + | 2 y −1| 2 2
4x + 4x + 2 y + y + 3
2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
3. RÚT GỌN PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nếu nhân hoặc chia tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng môt đa thức khác
0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. A . A C = ; (C ≠ 0) . B . B C A A : C = ; (C ≠ 0) . B B : C
2. Nếu đổi dấu cả tử thức và mẫu thức của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. −A A = ; −B B −A A − = . B B
3. Muốn rút gọn một phân tức đại số ta phải:
- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;
- Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung. . A C A = . . B C B B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. ĐIỀN ĐA THỨC VÀO CHỖ TRỐNG ĐỂ CÓ ĐẲNG THỨC Phương pháp giải
• Biến đổi từ vế trái hoặc vế phải bằng các tính chất: A . A C =
hoặc A A:C = ; (C ≠ 0) . B . B C B B : C − − • Lưu ý: A A A = − = . −B B B Ví dụ 1. (Bài 4, trang 38 SGK)
Cô giáo yếu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là
những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho: 2 x + 3 x + 3x 2 + + = (Lan); (x 1) x 1 = (Hùng); 2 2x − 5 2x − 5x 2 x + x 1 4 − x x − 4 3 2 = (Giang); (x − 9) (9 − x) = (Huy). 3 − x 3x 2(9 − x) 2
Em hãy dung tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để giải thích ai
viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng. Giải 2
Lan cho ví dụ đúng vì: x + 3 (x + 3).x x + 3x = = . 2 2x − 5 (2x − 5).x 2x − 5x 2 2
Hùng cho ví dụ sai vì: (x +1) (x +1) : (x +1) x +1 = = . 2 x + x
x(x +1) : (x +1) x
Giang cho ví dụ đúng vì: 4 − x −(4 − x) x − 4 = = . 3 − x −( 3 − x) 3x 3 3 2
Huy cho ví dụ sai vì: (x − 9) −(9 − x) −(9 − x) = = . 2(9 − x) 2(9 − x) 2 Ví dụ 2. (Bài 5, trang 38 SGK)
Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong đẳng thức sau. 3 2 x + x ... 2 2 5(x + y) 5x − 5 y a) = ; b) = 2 x −1 x −1 2 ... Giải 3 2 2 2 2 a) Ta có x + x x (x +1)
x (x +1) : (x +1) x = = = 2 x −1 (x −1)(x +1)
(x −1)(x +1) : (x +1) (x −1) 2 2
b) Ta có: 5x − 5y
5(x − y)(x + y) 5(x + y) = = 2(x − y) 2(x − y) 2
Ví dụ 3: (Bài 6, trang 38 SGK)
Đố: Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức vào chỗ trống: 5 x −1 ... = 2 x −1 x +1 Giải 5 5 4 3 2 Ta có: x −1
(x −1) : (x −1)
x + x + x + x +1 = = 2 x −1
(x +1)(x −1) : (x −1) x +1 (Thực hiện đa thức 5
x −1 cho đa thức x −1 được đa thức thương là 4 3 2
x + x + x + x +1)
Dạng 2. RÚT GỌN PHÂN THỨC Phương pháp giải.
Các bước rút gọn phân thức: -
Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử. -
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung. . A C A = . B C B
Ví dụ 4. (Bài 7, trang 39 SGK) Rút gọn phân thức: 2 2 6x y 2
10xy (x + y) a) ; b) ; 5 8xy 3
15xy(x + y) 2 2x + 2x 2
x − xy − x + y c) ; d ) . x +1 2
x + xy − x − y Giải 2 2 6x y 3x 2
10xy (x + y) 2 y a) = ; b) = ; 5 3 8xy 4 y 3 2
15xy(x + y) 3(x + y) 2 2x + 2x 2x(x +1) c) = = 2 ; x x +1 x +1 2
x − xy − x + y
x(x − y) − (x − y)
(x − y)(x −1) (x − y) d ) = = = . 2
x + xy − x − y
x(x + y) − (x + y)
(x + y)(x −1) (x + y)
Ví dụ 5. (Bài 8, trang 40 SGK)
Trong tờ giấy nháp cảu một bạn cso ghi một số phép rút gọn phân thức như sau: 3xy x xy + x a) = 3 3 ; b) = ; 9 y 3 9 y + 3 3 3xy + 3 x +1 x +1 3xy + 3 x c) = = ; d ) = . 9 y + 9 3 + 3 6 9 y + 9 3
Theo em chỗ nào đúng, chỗ nào nào sai? Em hãy giải thích. Giải
a) Rút gọn phân 3xy x = là đúng vì: 9 y 3 3xy .3 x y x = = . 9 y 3.3y 3
b) Rút gọn phân thức 3xy + 3 x = là sai vì: 9 y + 3 3
3.(3xy + 3) ≠ (9 y + 3). . x
c) Rút gọn phân thức 3xy + 3 x +1 = là sai vì: 9 y + 9 6
(3xy + 3).6 ≠ (9 y + 9)(x +1).
d) Rút gọn phân thức 3xy + 3 x = là đúng vì: 9 y + 9 3 3xy + 3 3x( y +1) x = = . 9 y + 9 9( y +1) 3
Ví dụ 6. (Bài 9, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức: 3 36(x − 2) 2 x − xy a) ; b) . 32 −16x 2 5 y − 5xy Giải 3 3 3 2 a) Ta có: 36(x − 2) 36(x − 2) 36(x − 2) 9(x − 2) = = = ; 32 −16x 16(2 − x) 16( − x − 2) 4 − 2 b) x − xy
−x(y − x) −x Ta có: = = . 2 5 y − 5xy
5 y( y − x) 5 y
Ví dụ 7. (Bài 10, trang 40 SGK)
Đố. Đố em rút được phân thức: 7 6 5 4 3 2
x + x + x + x + x + x + x +1. 2 x −1 Giải Ta có: 7 6 5 4 3 2
x + x + x + x + x + x + x +1 6 4 2
= x (x +1) + x (x +1) + x (x +1) + (x +1) 6 4 2
= (x +1)(x + x + x +1). 7 6 5 4 3 2 6 4 2
Do đó: x + x + x + x + x + x + x +1 x + x + x +1 = . 2 x −1 x −1
Ví dụ 8. (Bài 11, trang 40 SGK) Rút gọn phân thức: 3 2 12x y 3 15x(x + 5) a) ; b) . 5 18xy 2 20x (x + 5) Giải 3 2 2 12x y 2x 3 2 15x(x + 5) 3(x + 5) a) = ; b) = . 5 3 18xy 3y 2 20x (x + 5) 4x
Ví dụ 9. (Bài 12, trang 40 SGK)
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức: 2 3x −12x +12 2 7x +14x + 7 a) ; b) . 4 x − 8x 2 3x + 3x Giải a) Ta có: 2 2 2
3x −12x +12 = 3(x − 4x + 4) = 3(x − 2) ; 4 3 3 2
x − 8x = x(x − 2 ) = x(x − 2)(x + 2x + 4). 2 2
Do đó: 3x −12x +12 3(x − 2) 3(x − 2) = = . 4 2 2 x − 8x
x(x − 2)(x + 2x + 4)
x(x + 2x + 4) b) Ta có: 2 2 2
7x +14x + 7 = 7(x + 2x +1) = 7(x +1) ; 2
3x + 3x = 3x(x +1). 2 2
Do đó: 7x +14x + 7 7(x +1) 7(x +1) = = . 2 3x + 3x 3x(x +1) 3x
Ví dụ 10. (Bài 13, trang 40 SGK)
Áp dụng quy tắc đổi dấu rồi rút gọn phân thức: 45x(3 − x) 2 2 y − x a) ; b) . 3 15x(x − 3) 3 2 2 3
x − 3x y + 3xy − y Giải 45x(3 − x) 45x(x − 3) 3 − a) = = ; 3 3 2 15x(x − 3) 15x(x − 3) (x − 3) 2 2 2 2 y − x
−(x − y ) −(x − y)(x + y) −x − y b) = = = . 3 2 2 3 3 3 2
x − 3x y + 3xy − y (x − y) (x − y) (x − y)
Dạng 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp giải.
Phân tích tử và mẫu của phân thức ở vế trái (hoặc vế phải) của đẳng thức đã cho
thành nhân tử rồi rút gọn phân thức ta được kết quả. 2 2
Ví dụ 11. Chứng minh rằng:
2x + 3xy + y 1 = . 3 2 2 3
2x + x y − 2xy − y x − y Giải
Phân tích tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử: 2 2 2 2
2x + 3xy + y = (2x + 2xy) + (xy + y ) = 2x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(2x + y).
Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử: 3 2 2 3 2 2 2 2
2x + x y − 2xy − y = x (2x + y) − y (2x + y) = (2x + y)(x − y ) = (2x + y)(x + y)(x − y). 2 2 Vậy:
2x + 3xy + y
(x + y)(2x + y) 1 = = . 3 2 2 3
2x + x y − 2xy − y
(2x + y)(x + y)(x − y) x − y
Dạng 4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải.
• Trước hết, rút gọn biểu thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử ròi
chia tử và mẫu cho nhân tử chung.
• Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 12. Tính giá trị của biểu thức: 2
(x − 2)(2x + 2x ) với 1 x = − . 3
(x +1)(4x − x ) 2 Giải
Rút gọn biểu thức đã cho ta có: 2
(x − 2)(2x + 2x )
(x − 2)2x(1+ x)
(x − 2)2x(1+ x) 2 = = = − . 3 2
(x +1)(4x − x )
(x +1)x(4 − x )
(x +1)x(2 − x)(2 + x) x + 2 Thay 1 x = −
vào biểu thức đã rút gọn ta được: 2 2 2 2 − 4 = − = = − . x + 2 1 3 3 − + 2 2 2
Ví dụ 13. Tính giá trị của biểu thức: 2 3 a b a)
với a =12, b = 36 − ; 3 2 a b 4 4 ax − a x b) với 1 a = 3, x = ; 2 2 a + ax+x 3 3 2
x + x − 6x c) với x = 98. 3 x − 4x Giải 2 3 a b b b a)
= . Với a =12, b = 36 − ta được: 36 = − = 3. − 3 2 a b a a 12 4 4 ax − a x b)
=ax x − a . Với 1 a = 3, x = ta được: 2 2 ( ) a + + ax x 3  
ax ( x − a) 1 1 8 =3. − 3 = −   3  3  3 3 2 2 2
x + x − 6x
x(x + x − 6)
(x − 2x + 3x − 6) c) = = 3 2 x − 4x x(x − 4) (x − 2)(x + 2)
x(x − 2) + 3(x − 2) (x − 2)(x + 3) x + 3 = = = . (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) x + 2 Với x + + x = 98. ta được: 3 98 3 101 = = . x + 2 98 + 2 100
Dạng 5. TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
• Đưa đẳng thức đã cho về dạng a.x = b. • Tìm x: b x = (với a # 0) a
• Rút gọn biểu thức b . a
Ví dụ 14. Tìm x, biết: 2
bx − abx = b c − ,
ab với a và b là những hằng số a ≠ 1, b ≠ 0. Giải
Ở vế trái của đẳng thức đã cho, đặt x làm nhân tử chung: 2
(b − ab)x = b c − ab hay b(1− a)x = b(bc − a).
Vì a ≠ 1,b ≠ 0. nên b(1− a) ≠ 0, do đó có thể chia hai vế cho b(1− a) ta được:
b(bc − a) (bc − a) x = = . b(1− a) (1− a)
Ví dụ 15. Tìm x, biết: 2
ax − x +1 = a với a ≠ 1. Giải
Chuyển số 1 sang vế phải của đẳng thức: 2
ax − x = a −1.
Đặt x làm nhân tử chung ở vế trái: 2
x(a −1) = a −1.
Vì a ≠ 1 nên a −1 ≠ 0, do đó có thể chia hai vế cho a −1 ta được: 2 a −1 (a −1)(a +1) x = = = a +1. a −1 a −1
Dạng 6. CHƯNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN. Phương pháp giải
Bằng cách rút gọn các phân thức đại số để phân thức đã rút gọn không còn chứa biến.
Ví dụ 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: 2 2
(x + a) − x 2 2 x − y a) ; b) ; 2x + a
(x + y)(ay − ax)
2ax − 2x − 3y + 3ay c) .
4ax + 6x + 9 y + 6ay Giải 2 2
a) Ta có (x + a) − x a(2x + a) =
= a không phụ thuộc vào x. 2x + a (2x + a) 2 2 2 2 2 2 b) Ta có x − y x − y x − y 1 = =
= − không phụ thuộc vào x,y. 2 2
(x + y)(ay − ax)
(x + y)a( y − x)
−a(x − y ) a
c) Ta có 2ax − 2x − 3y + 3ay
2x(a −1) + 3y(a −1)
(a −1)(2x + 3y) a −1 = = = không
4ax + 6x + 9 y + 6ay
2x(2a + 3) + 3y(2a + 3)
(2a + 3)(2x + 3y) 2a + 3
phụ thuộc vào x,y.
Dạng 7. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. Phương pháp giải
• Với điều kiện đã cho trước, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
• Rút gọn các nhân tử chung. 2 2 2 2 2 2
Ví dụ 17. Cho x y z = = ≠
(x + + z )(a + b + c ) 0. Rút gọn biểu thức: . a b c 2
(ax + by + cz) Giải Đặt x y z
= = = k ≠ 0. thì x = ka, y = kb, z = kz. Thay vào phân thức đã cho ta được: a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(x + + z )(a + b + c )
(k a + k b + k c )(a + b + c )
k (a + b + c ) = = = 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ax + by + cz)
(ka + kb + kc )
k (a + b + c )
Ví dụ 18. Cho ax + by + cz = 0, hãy rút gọn phân thức: 2 2 2
ax + by + cz A = . 2 2 2
bc( y − z) + ac(x − z) + ab(x − y) Giải
Áp dụng hằng đẳng thức 2 2 2 2
(x + y + z) = x + y + z + 2(xy + yz + zx),
Ta bình phương hai vế của đẳng thức đã cho thì được: 2 2 2 2 2 2
a x + b y + c z + 2(abxy + acxz + bcyz) = 0, Suy ra: 2 2 2 2 2 2
a x + b y + c z = 2
− (abxy + acxz + bcyz). (1) Biến đổi mẫu thức: 2 2 2
bc( y − z) + ac(x − z) + ab(x − y) 2 2 2 2 2 2
= bcy − 2bcyz + bcz + acx − 2acxz + acz + abx − 2abxy + aby (2) 2 2 2 2 2 2
= bcy + bcz + acx + acz + abx + aby − 2(abxy + bcyz + acxz)
Thay (1) vào (2) thì mẫu thức của A bằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(bcy + acx + c z ) + (bcz + abx + b y ) + (acz + aby + a x ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= c(by + ax + cz ) + b(cz + ax + by ) + a(cz + by + ax ) 2 2 2
= (ax + by + cz )(a + b + c). Vậy 1 A = . a + b + c C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy biến điền vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức: 2 3x − 3 ... 2 ... 5xy + 5x a) = ; b) = ; 2 x − x x 2 x + y 5(x + y) 2 2
x − 2xy + y ... c) = . 2 2 x + y x − y
2. (Dạng 1) Biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức có cùng mẫu thức:
a) 5x và 2x + 7 . x − 3 6 − 2x b) 2 và x − 3 ; 2 x + 6x + 9 3x + 9 c) x và x −1 . (x −1)(x + 2) (x + 2)(x +1)
3. (Dạng 2). Rút gọn phân thức: 3 4 2 a) 17xy z y − xy ; b) ; 3 2 34x y z 2 4xy − 4 y 2 2 2 2 c) x − 25
a + (a − c)
x + xz − xy − yz ; d) . . 2 5x − x 2 2
b + (b − c) 2
x + xz + xy + yz
4. (Dạng 2). Rút gọn các phân thức: 5 2 a) a − x (−x) a ; b) x − a 2 3 x (−a) ;
c) (x − y)(2x + 3) . 2 y − yx
5. (Dạng 3). Hãy chứng minh: 5 a) x −1 4 3 2
= x + x + x + x +1; x −1 2 2
b) 2x + xy − y x + y = . 2 2
2x − 3xy + y x − y
6. (Dạng 1). Viết phân thức sau dưới dạng một phân thức bằng nó và có tử thức là 3 3 x − y : 2 2 a) x − y
x + xy + y ; b) . x + y x − y 2
7. (Dạng 4). Tính giá trị của biểu thức: x − xy − y + y với 3 1 x = − ; y = . 3 2
y − 3y + 3y −1 4 2 8. (Dạng 4). Cho b − a
a > b > 0 và 2 2 3a + 3b = 10 .
ab Tính giá trị P = . b + a
9. (Dạng 6). Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. 2 9x −1
3xy − 3x + 2 y − 2 1 + , x ≠ và y ≠ 1. 1− 3x y −1 3
10. (Dạng 5). Tìm x, biết: a) 2 2
a x + x = 2a − 3; b) 2 2
a x + 3ax + 9 = a (a ≠ 0; a ≠ 3) − . − + + 11. (Dạng 7). Cho x 1 x x
x < 0. Hãy rút gọn phân thức A = . 2 3x − 4x +1
12. (Dạng 7). Cho a + b + c = 3, rút gọn biểu thức: 3 3 3
a + b + c − 3abc . 3 3 3
(a − b) + (b − c) + (c − a
13. (Dạng 7). Cho b ≠ c,a + b ≠ c và 2
c + 2ab − 2ac − 2bc = 0. Hãy rút gọn phân thức: 2 2
a + (a − c) . 2 2
b + (b − c)
§4.QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Tìm mẫu thức chung (MTC) của nhiều phân thức
Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải:
• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử;
• Lấy tích của BCNN của các hệ số với các lũy thừa có mặt trong các mẫu
thức, số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu thức.
2. Cách quy đồng mẫu thức
Muốn quy đồng mẫu thức ta phải:
• Tìm mẫu thức chung; tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức tương ứng.
• Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với nhân tử phụ. B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. TÌM MẪU THỨC CHUNG CỦA NHIỀU PHÂN THỨC Phương pháp giải
• Mẫu thức chung của nhiều phân thức (tương ứng mẫu số chung của các
phân số). Để có mẫu thức chung ta phải phân tích mỗi mẫu thức thành
nhân tử (tương tự phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố).
• Lấy tích của BCNN các hệ số và các lũy thừa chung và riêng có mặt trong
mẫu thức với số mũ cao nhất.
• Nhân tử phụ là thương của mẫu thức chung với từng mẫu thức.
Ví dụ 1. Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau: a) 2 y x ; ; . 3 2 4 3 3 15x y 10x z 20 y z b) x z y ; ; . 2 2 2 2
y − yz y + yz y − z c) 5 4 7 ; ; .
2x − 4 3x − 9 50 − 25x Giải a) BCNN(15;10;20)=60
Số mũ cao nhất của x là : 4 ; số mũ cao nhất của y là : 3 ; số mũ cao nhất của z là : 3 Vậy MTC cần tìm là : 4 3 3 60x y z .
b) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử, ta có : 2
y − yz = y ( y − z) 2
y + yz = y ( y + z) 2 2 ;
; y − z = ( y − z)( y + z) .
Vậy MTC cần tìm là : y( y − z)( y + z) .
c) 2x − 4 = 2(x − 2);3x −9 = 3(x −3);50 − 25x = 25 − (x − 2) .
BCNN (2;3;25) =150. Vậy MTC cần tìm là : 150 −
(x − 2)(x −3)
DẠNG 2. QUY ĐỒNG MẪU THỨC Phương pháp giải
• Trước hết tìm mẫu thức chung (dạng 1).
• Xác định các nhân tử phụ : nhân tử phụ là thương của mẫu thức chung với từng mẫu thức.
• Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ của nó. Ví dụ 2. (Bài 14, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau : a) 5 7 4 11 ; . b) ; . 5 3 3 4 x y 12x y 3 5 4 2 15x y 12x y Giải a) MTC : 5 4 12x y .
Nhân tử phụ của mẫu thức 5 3 x y là : ( 5 4 x y ) ( 5 3 12
: x y ) = 12y . Do đó : 5 5.12 y 60 y = = 5 3 5 3 5 4 x y x y 12 y 12x y b) MTC : 4 5 60x y .
Nhân tử phụ của mẫu thức 3 5
15x y là 4x ; nhân tử phụ của mẫu thức 4 2 12x y là 3 5 y . Do đó : 4 4.4x 16x = = 3 5 3 5 4 5 15x y 15x y .4x 60x y 3 3 4 11.5 y 55 y = = 4 2 4 2 3 4 5 12x y 12x y .5 y 60x y Ví dụ 3. (Bài 15, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau : a) 5 3 2x x ; b) ; . 2 2x + 6 x − 9 2 2
x − 8x +16 3x −12x Giải
a) x + = (x + ) 2 2 6 2
3 ; x − 9 = ( x − 3)( x + 3) . MTC 2( x + 3)( x − 3) . 5 5( x − 3) Ta có = ; 3 6 = . 2 ( x + 3)
2 ( x + 3)( x − 3)
(x −3)(x +3) 2(x +3)(x −3) b) 2x 2x = ; x x 1 = = . MTC (x − )2 3 4 . Ta có : 2 x − 8x +16 ( 2 x − 4)2 3x −12x 3x ( x − 4) 3( x − 4) 2x 6x 1 x − 4 = = . (x − 4) ; 2
3( x − 4)2 3( x − 4) 3( x − 4)2 Ví dụ 4. (Bài 16, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu các phân thức sau : 2 a) 4x − 3x + 5 1− 2x ; ; − 2 . 3 2 x −1 x + x +1 b) 10 5 1 ; ; x + 2 2x − 4 6 − 3x Giải a) 3 MTC − = (x − )( 2 : x 1 1 x + x + ) 1 . Ta có : 2 2 4x − 3x + 5 4x − 3x + 5 = 3 x −1
(x − )1( 2x + x + )1 1− 2x
(x − )1(1− 2x) 2 2 − x + 3x −1 = = 2 x + x +1
(x − )1( 2x + x + )1 ( 2x + x + )1 2 − ( 3 x − ) 1 2
− = (x− )1( 2x +x+ )1
b) Ta có : 2x − 4 = 2(x − 2) ; 6 −3x = 3(2 − x) = 3
− (x − 2) . MTC 6(x − 2)(x + 2). Do đó : 10 60 ( x − 2) = x + 2
6 ( x − 2)( x + 2) 5 5 15( x + 2) = = 2x − 4 2 ( x − 2)
6 ( x − 2)( x + 2) 1 1 1 − 2 − (x + 2) = = = 6 − 3x 3(2 − x) 3( x − 2)
6 ( x − 2)( x + 2) Ví dụ 5. (Bài 17, trang 43 SGK) 2 2
Đố. Cho hai phân thức : 5x 3x +18x ;
. Khi quy đồng mẫu thức, bạn 3 2 2 x − 6x x − 36 Tuấn đã chọn MTC 2
= x (x − 6)(x + 6) , còn bạn Lan bảo rằng “Quá đơn giản ! MTC = x − 6
”. Đố em biết bạn nào chọn đúng ? Giải
Nếu không rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Tuấn đã làm đúng, vì : 3 2 2
x − x = x ( x − ) 2 6
6 ; x − 36 = ( x − 6)( x + 6) nên : 2
MTC = x ( x − 6)( x + 6)
Nếu rút gọn hai phân thức đã cho thì bạn Lan làm đúng, vì : 2 2 5x 5x 5 = = . 3 2 2 x − 6x x ( x − 6) x − 6 2 3x +18x 3x ( x + 6) 3x = = . 2 x − 36
(x −6)(x + 6) x −6 Ví dụ 6. (Bài 18, trang 43 SGK)
Quy đồng mẫu thức hai phân thức :
a) 3x và x + 3 ; b) x + 5 và x 2x + 4 2 x − 4 2 x + 4x + 4 3x + 6 Giải
a) 2x + 4 = 2(x + 2) ; 2
x − 4 = ( x − 2)( x + 2) . MTC : 2( x + 2)( x − 2) . 3x 3x ( x − 2) Ta có : = 2 ( x + 2)
2 ( x + 2)( x − 2) x + 3 2 ( x + 3) = 2 x − 4
2 ( x + 2)( x − 2)
b) x + x + = (x + )2 2 4 4
2 ;3x + 6 = 3( x + 2) . MTC : ( x + )2 3 2 . Ta có : x + 5 3( x + 5) = 2 x + 4x + 4 3( x + 2)2 x x ( x + 2) = 3( x + 2) 3( x + 2)2 Ví dụ 7. (Bài 19, trang 48 SGK)
Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau : 4 a) 1 ; 8 . b) 2 x x +1 ; . x + 2 2 2x − x 2 x −1 3 c) x ; x . 3 2 2 3
x − 3x y + 3xy − y 2 y − xy Giải a) Ta có 2
2x − x = x (2 − x) = −x ( x − 2) . MTC : x ( x + 2)( x − 2) . Do đó : 1 x ( x − 2) = x + 2
x ( x − 2)( x + 2) 8 8 8 − 8 − (x + 2) = = = 2 2x − x x (2 − x) x ( x − 2)
x ( x − 2)( x + 2) b) MTC : 2 x −1. Ta có : + ( 2x + )1( 2 2 x x − ) 4 1 1 x −1 2 x +1 = = = . 2 2 1 x −1 x −1
c) Ta có : x − x y + xy − y = (x − y)3 3 2 2 3 2 3 3
; y − xy = y ( y − x) ; MTC ( − )3 y x y . Do đó : 3 3 3 x x yx = = 3 2 2 3
x − 3x y + 3xy − y
(x − y)3 y(x − y)3 x x
−x(x − y)2 = − = 2 y − xy
y ( x − y)
y ( x − y)3 Ví dụ 8. (Bài 20, trang 47 SGK) Cho hai phân thức 1 ; x
. Không dùng cách phân tích các mẫu 2 x + 3x −10 2 x + 7x +10
thức thành nhân tử hãy chứng tỏ rằng có thể qiu đồng mẫu thức của hai phân thức này
với mẫu thức chung là : 3 2
x + 5x − 4x − 20 . Giải
Thực hiện phép chia đa thức : 3 2
x + 5x − 4x − 20 cho các mẫu thức ta được : 3 2
x + 5x − 4x − 20 = ( 2
x + 3x −10)( x + 2) 3 2
x + 5x − 4x − 20 = ( 2
x + 7x +10)( x − 2) Ta có : 1 x + 2 x + 2 = = ; 2 x + 3x +10
( 2x +3x−10)(x+2) 3 2
x + 5x − 4x − 20 x x ( x − 2) x ( x − 2) = = . 2 x + 7x +10
( 2x +7x+10)(x−2) 3 2
x + 5x − 4x − 20 C. LUYỆN TẬP 1.
(Dạng 1). Tìm mẫu chung của các phân thức :
a) x + a ; x + b ; a + b . b) x − y ; y − z ; z − x . 3 axb 2 2 a xb 2 3 x b 2
x ( y − z) 2
y ( z − x) 2
z ( x − y) c) 2x ; 2y . ( 2 2 x − y )2 x − y 2.
(Dạng 1). Tìm mẫu thức chung : 2 a) x ; 3x −1 ; 2x +1 . 2 x −1 3 2
x + 2x + x 3 x b) 1 ; 1 ; 1 . x − y 3 3 x − y 2 2 x − y 3.
(Dạng 2). Quy đồng mẫu các phân thức sau : a) a + x ; 3x −1 ; b + a . b) x + y ; y 2 a x 3 2
x + 2x + x 2 b a
x ( y − z)2
x ( y − z)2 2 c) x + y ; 1 . ( 2 2 x − y )2 x − y 4.
(Dạng 2). Quy đồng mẫu của các phân thức sau : a) x ; 3− 2x . b) 2x −1 ; x +1 . 2 2
x − 2ax + a 2 x − 9 2 x − x 2 2 − 4x + 2x c) x −1 ; 2x ; 2 .
d) 7 ; 4 ; x − y . 3 x +1 2 x − x +1 x +1 5x x − 2 y 2 2 8 y − 2x 5.
Quỹ đồng mẫu thức các phân thức :
a) 7x −1 ; 3− 2x . b) 2x −1 ; x +1 . 2 2x + 6x 2 x − 9 2 x − x 2 2 − 4x + 2x c) x −1 ; 2x ; 2 .
d) 7 ; 4 ; x − y . 3 x +1 2 x − x +1 x +1 5x x − 2 y 2 2 8 y − 2x 6. Cho hai phân thức : 2 ; x
. Chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu 2 2x + 7x −15 2 x + 3x −10
thức của hai phân thức này với mẫu thức chung là : 3 2
2x + 3x − 29x + 30 .
BÀI 5. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 6. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Cộng nhiều phân thức có cùng mẫu thức
Quy tắc. Muốn cộng nhiều phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau,
giữ nguyên mẫu thức, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được. A C A + C + = . B B B
2. Cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau
Quy tắc. Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau ta phải quy đồng mẫu
thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được. A C AD BC AD + BC + = + = . B D BD BD BD Ví dụ 1 (Tr 99)
Thực hiện các phép tính sau: 3x − 5 4x − 5 a) + 7 7 5xy − 4 y 3xy + 4 y b) + 2 3 2 3 2x y 2x y x +1 x −18 x + 2 c) + + . x − 5 x − 5 x − 5 Ví dụ 2( Tr 100)
Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng : 2 2 2x − x x +1 2 − x a) + + x −1 1− x x −1 2 2 4 − x 2x − 2x 5 − 4x b) + + x − 3 3 − x x − 3. Ví dụ 3( Tr 100).
Theo quy tắc đổi dấu ta có : −A A = Do đó ta cũng có A A − = .Chẳng hạn phân thức B −B B −B đổi dấu của 4 là: 4 4 4 − = =
. Áp dụng điều này hãy điền vào dấu chấm 5 − x 5 − x −(5 − x) x − 5
dưới đây những phân thứ thích hợp. 2 x + 2 a) − = ... 1− 5x 4x +1 b) − = ... 5 − x Ví dụ 4( Tr101).
Làm tính trừ các phân thức sau: 4x −1 7x −1 a) − 2 2 3x y 3x y 4x + 5 5x − 9 b) − 2x −1 2x −1 11x x −18 c) − 2x − 3 3 − 2x 2x − 7 3x + 5 d ) − 10x − 4 4 −10x Ví dụ 5( Tr101) Làm các phép tính sau 2 4xy − 5 6 y − 5 a) − 3 3 10x y 10x y 7x + 6 3x + 6 b) − 2 2x(x + 7) 2x +14x Ví dụ 6( Tr102) Làm các phép tính sau: y 4x a) + 2 2 2x − xy y − 2xy 1 3 x −14 b) + + 2 2 x + 2 x − 4
(x + 4x + 4)(x − 2) . 1 1 c) + x + 2 (x + 2)(4x + 7) 1 1 1 d ) + + x + 3 (x + 3)(x + 2) (x + 2)(4x + 7) Ví dụ 7 (Tr 103).
Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3 m
thì mèo bắt được chuột .Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả ra cho chuột chạy. Sau đó 15 giây
mèo lại đuổi bắt chuột nhưng với vận tốc nhỏ hơn lần đầu là 0,5m/s> Chạy được 5m mèo
lại bắt được chuột . Lần này mèo cắn chết chuột, cuộc săn kết thúc. Hãy biểu diễn qua x
- Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt chuột
- Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt chuột
- Thời gian kể từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn. Giải
Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột là: 3 giây. x
Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột là: 5 giây. x − 0, 5
Thời gian kể từ lần đầu đến khi kết thúc cuộc săn là: 3 5 3 5 + 40 +15 + = + 55 + x x − 0, 5 x x − 0, 5 3( x − 0,5) 55( x − 0,5) 5x = + + x ( x − 0,5) x ( x − 0,5) x ( x − 0,5) 2
3x −1, 5 + 55x − 27, 5x + 5x = x ( x − 0,5) 2
55x −19, 5x −1, 5 = x ( x − ) . 0, 5
Ví dụ 8. (Bài 25, trang 50 SGK)
Làm tính cộng các phân thức sau: a) 5 3 x + + ; 2 2 3 2x y 5xy y b) x +1 2x − 3 + x + x ( x + ) ; 2 6 3 c) 3x + 5 25 − x + ; 2 x − 5x 25 − 5x 4 d) x +1 2 x + +1; 2 1− x 2
e) 4x − 3x +17 2x −1 6 + + . 3 2 x −1
x + x +1 1− x Giải a) MTC 2 3 = 10x y . Ta có: 2 3 5 3 x 25 y 6xy 10x + + = + + 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2x y 5xy y 10x y 10x y 10x y 2 3
25 y + 6xy +10x = . 2 3 10x y
b) MTC = 2x(x + 3). Ta có: x +1 2x + 3 x +1 2x + 3 x ( x + ) 1 2 (2x + 3) + = + = + 2x + 6 x ( x + 3) 2 ( x + 3) x ( x + 3) 2x ( x + 3) 2x ( x + 3) 2 2
x + x + 4x + 6 x + 5x + 6 = = 2x ( x + 3) 2x ( x + 3)
(x + 2)(x +3) x + 2 = = x ( x + ) . 2 3 2x c) Ta có: 2
x − 5x = x ( x − 5); 25 − 5x = 5(5 − x) = 5 − (x − 5);
MTC = 5x(x −5). Do đó: 3x + 5 25 − x 3x + 5 x − 25 5(3x + 5) x ( x − 25) + = + = + 2 x − 5x 25 − 5x
x ( x − 5) 5( x − 5) 5x ( x − 5) 5x ( x − 5) 2 2
15x + 25 + x − 25x x −10x + 25 = = 5x ( x − 5) 5x ( x − 5) (x − )2 5 x − 5 = = x ( x − ) . 5 5 5x d) MTC 2 = 1− x . Ta có: + + ( 2x + )1( 2 4 4 1 1 1 − x x x ) 4x +1 2 2 x + +1 = x +1+ = + 2 2 2 2 1− x 1− x 1− x 1− x 4 4 1− x + x +1 2 = = . 2 2 1− x 1− x e) MTC 3
= x − = (x − )( 2 1 1 x + x + ) 1 . Ta có: 2 − + −
4x − 3x +17 + (2x − ) 1 ( x − ) 1 − 6 ( 2 2 x + x x x x + ) 1 4 3 17 2 1 6 + + = 3 2 3 x −1
x + x +1 1− x x −1 2 2 2
4x − 3x +17 + 2x − 2x − x +1− 6x − 6x − 6 = 3 x −1 12 − x +12 12 − (x − ) 1 12 − = = = (x − )1( . 2 x + x + ) 1
(x − )1( 2x + x + ) 2 1 x + x +1
Ví dụ 9. (Bài 26, trang 47 SGK)
Một đội máy xúc trên công trường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600 3 m đất.
Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x 3 m /
ngày và đội được 5 000 3
m . Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất của máy tăng 25 3 m / ngày. a) Hãy biểu diễn: Thời gian xúc 5 000 3 m đất đầu tiên;
Thời gian làm nốt phần việc còn lại;
Thời gian làm việc để hoàn thành công việc với x = 250 3 m / ngày. Giải
a) Thời gian xúc 5 000 3
m đất đầu tiên là: 5 000 (ngày). x
Khối lượng công việc còn lại là: 11600 − 5000 = 6600 3 (m ).
Thời gian làm nốt phần việc còn lại là: 6600 (ngày). x + 25
b) Thời gian làm việc với x = 250 3 m / ngày là: 5 000 6 600 + = 20 + 24 = 44 (ngày). 250 275
Ví dụ 10. (Bài 27, trang 48 SGK)
Đố. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: 2 x 2 ( x − 5) 50 + 5x + + tại x = 4. − 5x + 25 x x ( x + 5)
Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày, còn mẫu số là tháng thì đó
chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố em biết đó là ngày gì? Giải
Ta có: 5x + 25 = 5(x + 5); MTC = 5x(x + 5). Do đó: 2 x (x − ) 3 2 5 50 + 5x x
10 ( x − 5)( x + 5) 5(50 + 5x) + + = + + 5( x + 5) x x ( x + 5) 5x ( x + 5) 5x ( x + 5) 5x ( x + 5) + − + + + + x x x x x x x ( 2 3 2 3 2 x +10x + 25 10 250 250 25 10 25 ) = = = 5x ( x + 5) 5x ( x + 5) 5x ( x + 5) x ( x + )2 5 x + 5 = = x ( x + ) . 5 5 5 Với x + x = 4 − ta có: 5 1 = . 5 5
Vậy ngày lễ trên thế giới là ngày Quốc tế Lao động 1-5.
Ví dụ 11. (Bài 30, trang 50 SGK)
Thực hiện phép tính sau: 4 2 a) 3 x − 6 − x − 3x + 2 ; b) 2 x +1− . 2 2x + 6 2x + 6x 2 x −1 Giải
a) MTC = x(2x + 6). Ta có: 3 x − 6 3x −x + 6 3x − x + 6 − = + = 2 2x + 6 2x + 6x x (2x + 6) x (2x + 6) x (2x + 6) 2x + 6 1 = = x ( x + ) . 2 6 x b) MTC 2 = x −1. Ta có: − + ( 2x − )1( 2 4 2 x x x + ) 4 2 1 3 2 −x + 3x − 2 2 x +1− = + 2 2 2 x −1 x −1 x −1 − − + − 3( 2 4 4 2 x x x x − ) 1 1 3 2 = = = 3. 2 2 x −1 x −1
Ví dụ 12. (Bài 31, trang 50 SGK)
Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1. a) 1 1 − 1 z ; b) − . x x +1 2 2 xy − x y − xy Giải
a) MTC = x(x +1). Ta có: 1 1 x +1 x x +1− x 1 − = − = = . x x +1 x(x +1) x(x +1) x(x +1) x(x +1) b) 2
xy − x = x( y − x); 2
y − x = ( y − x). MTC: xy( y − x). Ta có: 1 1 1 1 − = − 2 2 xy − x y − xy
x ( y − x)
y ( y − x) y x y − x 1 = − = =
xy ( y − x)
xy ( y − x)
xy ( y − x) . xy
Ví dụ 13. (Bài 32, trang 50 SGK)
Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau: 1 1 1 1 1 1 + + + + + . x(x +1) (x +1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) Giải 1 (x + )− Ta có: 1 x x +1 x 1 1 = = − = − . x(x +1) x(x +1) x(x +1) x(x +1) x x +1 Tương tự: 1 1 1 = − 1 1 1 ; = − ; (x +1)(x + 2) x +1 x + 2 (x + 2)(x + 3) x + 2 x + 3 1 1 1 = − 1 1 1 ; = − ; (x + 3)(x + 4) x + 3
x + 4 (x + 4)(x + 5) x + 4 x + 5 1 1 1 = − . (x + 5)(x + 6) x + 5 x + 6 Do đó: 1 1 1 1 1 1 + + + + + x(x +1) (x +1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) (x + 5)(x + 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 = − + − + − + − + − = − = . x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x x + 6 x(x + 6)
Ví dụ 14. (Bài 34, trang 50 SGK)
Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính: a) 4x +13 x − 48 − − b) 1 25x 15 − . x ( x − ) x ( − x) ; 5 7 5 7 2 2 x − 5x 25x −1 Giải a) 4x +13 x − 48 4x +13 x − 48 5x − 35 1 − = + = = x ( x − ) x ( − x) . 5 7 5 7 5x(x − 7) 5x(x − 7) 5x(x − 7) x Ta có 2
x − 5x = x (1− 5x) ; 2
25x −1 = (5x − ) 1 (5x + )
1 MTC = x (1− 5x)(1+ 5x) Do đó 1 25x −15 − 2 2 x − 5x 25x −1 1 25x −15 = +
x (1− 5x) (1− 5x)(1+ 5x) 1+ 5x x (25x −15) = +
x (1− 5x)(1+ 5x)
x (1− 5x)(1+ 5x) 2
1+ 5x + 25x −15x
= x(1−5x)(1+5x) 2 25x −10x +1
= x(1−5x)(1+5x) ( − x)2 1 5
= x(1−5x)(1+5x) 1− 5x = x(1+5x)
Ví dụ 15. (bài 35, trang 50 SGK) Thực hiện phép tính x +1 1− x 2x (1− x) a) − − 2 x − 3 x + 3 9 − x b) 3x +1 1 x + 3 − + (x − )2 2 1 x +1 1− x Giải MTC 2
= x − 9 = (x − 3)(x + 3) Ta có x +1 1− x 2x (1− x) − − = 2 x − 3 x + 3 9 − x
(x + )1(x +3) (1− x)(x −3) 2x (1− x) = ( − +
x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
(x + )1(x +3)−(1− x)(x −3)+ 2x(1− x) = (x −3)(x +3) 2 2 2
x + 3x + x + 3 + x − 3x − x + 3 + 2x − 2x = (x −3)(x +3) 2x + 6 2 = ( = x − 3)( x + 3) x − 3 b) MTC = (x − )2 1 ( x + ) 1 Ta có 3x +1 1 x + 3 − + (x − )2 2 1 x +1 1− x 3x +1 1 −x − 3 = − + (x − )2 1 x +1 (x − )1(x + )1 (3x + )1(x + )1 (x − )2 1
(−x −3)(x − )1 = − + (x − )2 1 ( x + ) 1 (x − )2 1 ( x + ) 1 (x − )2 1 ( x + ) 1 2
(3x +1)(x +1) − (x −1) − (x + 3)(x −1) = 2 (x −1) (x +1)
(3x + )1(x + )1−(x − )2
1 − ( x + 3)( x − ) 1 = (x − )2 1 ( x + ) 1 2 2 2
3x + 4x +1− x + 2x −1− x − 2x + 3 = (x − )2 1 ( x + ) 1 2 x + 4x + 3 (x + )1(x +3) = = ( 2 x − )2 1 ( x + ) 1
(x − )1 (x + )1 x + 3 = (x− )21
Ví dụ 16. Bài 36, trang 51 SGK)
Một công ti may phải sản xuất 10000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những
đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm a) Hãy biểu diễn qua x
Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày.
b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25 Giải
a) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch 10000 (sản phẩm) x
Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày. 10080 (sản phẩm) x −1
Số sản phẩm làm thêm trong một ngày. 10080 10000
10080x −10000 ( x − ) 1 80x +10000 − = = (sản phẩm) x −1 x x ( x − ) 1 x ( x − ) 1
b) Số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25 là 80x +10000 80.25 +10000 = = (sản phẩm) x ( x − ) ( − ) 20 1 25 25 1
Ví dụ 17. (Bài 37, trang 51, SGK)
Đố. Cho phân thức 2x +1. Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho 2 x − 3
trừ đi phân thức phải tìm ta được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho.
Dạng 3. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải
* Sử dụng phép cộng, trừ phần thức để rút gọn biểu thức.
* Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã rút gọn.
Ví dụ 18. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức x +1 x + 2 + với 1 x = − . 2 2 x − x 1− x 3 Giải Rút gọn biểu thức: x +1 x + 2 x +1 x + 2 (x + )2 1 − x ( x + 2) 1 + = − = = . 2 2 x − x 1− x x ( x − ) 1 (x − )1(x + )1 x ( x − ) 1 ( x + ) 1 x ( x − ) 1 ( x + ) 1 Với 1 1 1 27 x = − ta được: = = . 3 x ( x − ) 1 ( x + ) 1  1   4  2 8 − ⋅ − ⋅      3   3  3
Dạng 4: CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN Phương pháp giải
Thực hiện phép cộng, trừ các phân thức để rút gọn biểu thức không còn chưa biến.
Ví dụ 19. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z : a) y z x A = ( + +
x − y )( y − z) ( y − z)( z − x) ( z − x)( x − y) ; b) x + z x + y y + z B = ( + +
x − y )( y − z) ( x − z)( y − z) ( x − y)( x − z) . Giải
a) MTC của A:(x − y)( y − z)(z − x). Ta có:
y ( z − x) + z ( x − y) + x ( y − z)
yz − yx + zx − zy + xy − xz A = ( = =
x − y )( y − z)( z − x)
(x − y)( y − z)(z − x) 0.
Vậy biểu thức A đã cho không phụ thuộc vào x, y, z.
b) MTC của B :(x − y)( y − z)(z − x). Ta có:
(x + z)+(z − x)+(x + y)(x − y)+( y + z)( y − z) B = ( =
x − y )( y − z)( z − x) 0.
Vậy biểu thức B đã cho không phụ thuộc vào x, y, z.
Dạng 5. TÌM X THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải
* Chuyển các hạng tử không chứa x về một vế, ta được biểu thức của x :
* Rút gọn biểu thức của .x
Ví dụ 20: Tìm x: 2 a) 3a + b 2a − 2ab x − =
, ( a, b là những hằng số); 2 b b − ab 4 4 b) + ( + ) + 2 a b x a b = ( (
a, b là những hằng số). a − b) , 2 Giải 2 3a + b 2a − 2ab 3a + b
2a (a − b) a) 3a + b 2a a + b x − = = + = − = ; 2 b b − ab b
b (b − a) b b b 4 4 a + b
a + b − a + b a − b
a + b − a − b 2 ( ) ( ) ( )2 2 2 4 4 2 2 4 4
b) x + (a + b) = = = (a −b)2 (a −b)2 (a −b)2 4 4 4 2 2 4 2 2
a + b − a + 2a b − b 2a b = = (a −b) . 2 (a −b)2
Dạng 6. ÁP DỤNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VÀO BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải
* Sử dụng công thức về chuyển động đều s = .
v t, trong đó s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian.
* Vận tốc canô xuôi dòng = vận tốc thực của canô + Vận tốc dòng nước.
* Vận tốc canô ngược dòng = vận tốc thực của canô - Vận tốc dòng nước.
Ví dụ 21. Một canô đi xuôi từ A đến bến B ngược về A. Khoảng cách từ A đến B là s km.
Vận tốc canô trong nước yên lặng là v km/h. vận tốc dòng nước là 4km/h. Hãy biểu diễn
thời gian canô đã đi dưới dạng phân thức đại số. Tính thời gian nếu s = 48 km, v = 20 km/h. Giải
Thời gian canô xuôi dòng là: s (h). v + 4
Thời gian canô ngược dòng là: s (h). v − 4
Thời gian canô đã đi xuôi và ngược dòng là: s s + (h). v + 4 v − 4 Thay số vào ta có: s s 48 48 48 48 + = + = + = 5 (giờ). v + 4 v − 4 20 + 4 20 − 4 24 16
Vậy thời gian ca nô đi từ A đến B rồi ngược về A là 5 giờ.
Dạng 7. THỰC HIỆN PHÉP TÍNH ĐỂ RÚT GỌN PHÂN THỨC Phương pháp giải
* Quy đồng mẫu thức để thực hiện phép cộng, trừ hai phân thức không cùng mẫu thức.
* Khi nhân hai đa thức, chú ý đến hằng đẳng thức đáng nhớ.
* Viết một phân thức về dạng tổng, hiệu của hai phần thức: A + C A C = + ; B B B A − C A C = − . B B B
Ví dụ 22. Rút gọn các biểu thức sau: 3 7 a) 1 1 2a 4a 8a A = + + + + ; 2 2 4 4 8 8 a − b a + b a + b a + b a + b b) 1 1 1 1 1 B = + + + + . 2 2 2 2 2 a + a a + 3a + 2 a + 5a + 6 a + 7a +12 a + 9a + 20 Giải a) Ta có: 1 1
a + b + a − b 2a + = = a − b a + b
(a −b)(a +b) ; 2 2 a − b 2 2 2 a ( 2 2 2 2
a + b + a − b a a ) 3 4a + = = ; 2 2 2 2 a − b a + b ( 2 2 a − b )( 2 2 a + b ) 4 4 a − b 3 4 4 4 a ( 4 4 4 4 3 3
a + b + a − b a a ) 7 8a + = = ; 4 4 4 4 a − b a + b ( 4 4 a − b )( 4 4 a + b ) 8 8 a − b 7 8 8 8 a ( 8 8 8 8 7 7
a + b + a − b a a ) 15 16a + = = . 8 8 8 8 a − b a + b ( 8 8 a − b )( 8 8 a + b ) 16 16 a − b 15 Vậy 16a A = (a ≠ ±b). 16 16 a − b
b) Trước hết ta phân tích các mẫu thức thành nhân tử: 2
a + a = a (a + ) 1 ; 2 a + a + = ( 2 3 2
a + a) + (2a + 2) = (a + ) 1 (a + 2); 2
a + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3); 2
a + 7a +12 = (a + 3)(a + 4); 1 1 (a + )− Ta có: 1 a 1 1 = = = − . 2 a + a a (a + ) 1 a (a + ) 1 a a +1 C. LUYỆN TẬP
1. (Dạng 1). Thực hiện các phép tính: 2 2 4 2 2 3 3 a) a − b a ax − ay 6x + 6 y . c) . 2 a ( 2 2 2 2 a + b)2
x + 2xy + y
x − 2xy + y 2 2 2 2
b) 3x − 3y 8x + 8y
2x − 4xy + 2 y 15x −15 y . d) .
2x + 2 y 15x −15 y 3 3 5x − 5 y 4x + 4 y
2. (Dạng 1). Thực hiện các phép tính: 2 (a +b)2  2 
a) 3− 3x 6x − 6 ab + b : b) : −  2 (1+ x) x +1 2 ab − b
 (a − b)2    4 4 2 2 3 2
c) a − b a + b x + 8 x + 3x + 2 : d) : 3 3 2 2 a − b a − b 2 2 x − 2x +1 1− x 4 3 3 2 2
e) x − xy x + x y + xy 1 − 1 : g) : 2 2xy + y 2x + y 3 x −1 x −1
3. (Dạng 3) Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 a) x −1 x x −1 1− x . + . x +10 x + 2 x +10 x + 2 x + y (x − y)2 y (x − y)2 2 2 2 b) . − . 2 2 x + y x x + y x
4. (Dạng 3) Tính giá trị của biểu thức: (
x + y − z 2 2 2
x − y − z + 2 yz ) : x + y + z
với x = 8,6 ; y = 2; z = 1,4
5. (Dạng 4) Tìm x, biết: 2 2 2 2
a) a − 2ab + b a − b x = 4 4 2 2 a − b a + b 2 2 3 3
b) a + b − ab a + b x = 2 2 2 2 a − b
a + b − 2ab 2 2
c) a + b − 2ab a − b x = 2 2 3 3
a + b − ab a + b
9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Biến đổi một biểu thức thành một phân thức đại số gọi là phép biến đổi đồng nhất
- Thực chất phép biến đổi đồng nhất là việc thực hiện các phép tính về phân thức đại số trong biểu thức hữu tỉ
- Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0. B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải:
Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1. (Bài 46 trang 57 SGK) 1 2 1+ 1− a) x b) x +1 1 2 x − 2 1− 1− x 2 x −1 Giải 1 x +1 1+ a) x +1 x x = = 1 x −1 x −1 1− x x 2 x +1− 2 1− 2 b) + + x −1 x −1 x 1 x 1 = = . = (x − )2 1 2 2 2 x − 2 x −1− x + 2 x +1 1 1− 2 2 x −1 x −1
Ví dụ 2. (Bài 50 trang 58 SGK) Thực hiện phép tính: 2     a) x 3x +  1 1  1 :   1−  b) ( 2 x − ) 1 − −1   2  x +1  1− x    x −1 x +1  Giải 2 2     a) x 3x 2x +1 1− 4x +1 :   1−  = : 2 2  x +1  1− x x +1 1− x   2 2x +1 x −1 (2x + ) 1 ( x − ) 1 ( x + ) 1 = . = 2 x +1 4x −1 (x + ) 1 (2x − ) 1 (2x + ) 1 x −1 = 2x−1 2
x +1− x −1 − x −1 b) (  1 1  2 x − ) 1 − −1 = ( 2 x −   ) ( ) ( ) 1 . 2  x −1 x +1  x −1 ( − = x − ) 2 3 x 2 2 1 . = 3 − x 2 x −1
Ví dụ 3 (Bài 51 trang 58 SGK) Làm các phép tính sau: 2   a) x yx 1 1   +  : − +   2 2 y x    y y x  b)  1 1   1 1  − : +     2 2
x + 4x + 4 x − 4x + 4   x + 2 x − 2  Giải 2 3 3 2 2 a) Ta có: x y x + y x 1 1
x − xy + y + = ; − + = . Do đó: 2 2 2 2 y x xy y y x xy 2 3 3 2 2  x y   x 1 1  x + y
x − xy + y  +  : − + = :   2 2 2 2 y x    y y x xy xy 3 3 2 x + y xy = . = x + y 2 2 2 xy
x − xy + y b)  1 1   1 1  − : +     2 2
x + 4x + 4 x − 4x + 4   x + 2 x − 2    1 1  1 1  =  −  + (   x + 2) : 2
(x − 2)2   x + 2 x − 2    1 1   1 1   1 1  1 1 = − + : + = −     
x + 2 x − 2  x + 2 x − 2   x + 2 x − 2  x + 2 x − 2
x − 2 − x − 2 −4 = = 2 2 x − 4 x − 4
Ví dụ 4: (Bài 52 trang 58 SGK)
Chứng tỏ rằng với x ≠ 0 và x ≠ ±a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức: 2 2 
x + a   2a 4a   a − . −   là một số chẵn x + a    x x − a  Giải Ta có : 2 2 2 2 2 2 
x + a   2a 4a
ax + a − x − a
2ax − 2a − 4axa − . − = .   x + a    x x − a x + a x(x− a)
x (a − x).2a (a + x) = ( ) = +
x (a − x) 2a x a . . là một số chẵn
Ví dụ 5. (Bài 53 trang 58 SGK)
a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số : 1 x + ; 1 1+ ; 1 1+ x 1 1 1+ 1+ x 1 1+ x
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức : 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ x
thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó. Giải a) Ta có : 1 x +1 x x + x + = ; 1 1 2 1 1+ = 1+ = 1+ = ; x x 1 x +1 x +1 x +1 1+ x x 1 1 x +1 3x + 2 1+ = 1+ = 1+ = 1 2x +1 2x +1 2x +1 1+ 1 x +1 1+ x b) 1 1 1 1 3x + 2 8x + 5 1+ = 1+ = 1+ = 1+ = 1+ = 1 1 2x +1 5x + 3 5x + 3 5x + 3 1+ 1+ 1+ 1 3x + 2 3x + 2 3x + 2 1+ 1 2x +1 1+ 1 1+ x
Dạng 2. ĐIỀU KIỆN CỦA x ĐỂ GIÁ TRỊ PHÂN THỨC XÁC ĐỊNH Phương pháp giải
Ta tìm các giá trị của biến x sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0
Ví dụ 6. (Bài 47, trang 57 SGK)
Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ? a) 5x b) x −1 2x + 4 2 x −1 Giải
a) Giá trị của phân thức 5x được xác định với điều kiện 2x + 4 ≠ 0 , tức là x ≠ 2 − 2x + 4
b) Giá trị của phân thức x −1 được xác định với điều kiện 2
x −1 ≠ 0 , tức là x ≠ 1 ± 2 x −1
Ví dụ 7 (Bài 48, trang 58 SGK) 2
Cho phân thức : x + 4x + 4 x + 2
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định b) Rút gọn phân thức
c) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 1
d) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0 hay không ? Giải 2
a) Giá trị của phân thức x + 4x + 4 được xác định với điều kiện x ≠ 2 − x + 2 x + 4x + 4 (x + 2)2 2
b) Rút gọn phân thức, ta có : = = x + 2 x + 2 x + 2
c) Giá trị của phân thức bằng 1 khi x + 2 = 1 suy ra x = -1 (nhận)
d) Giá trị của phân thức bằng 0 khi x + 2 = 0 suy ra x = -2 (loại)
Vậy không có giá trị nào của x để giá trị phân thức bằng 0
Ví dụ 8. (Bài 49 trang 58 SGK)
Đố. Đố em tìm được một phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác
định với mọi giá trị của x khác ước của 2 Giải
Các ước của 2 là -1 ; 1 ; -2 và 2. Chẳng hạn phân thức mà giá trị của nó được xác
định với mọi giá trị của x khác ước của 2 là: 1
( 2x − )1( 2x −4)
Ví dụ 9. (Bài 54 trang 59 SGK)
Tìm các giá trị của x để giá trị của phân thức được xác định: a) 3x + 2 5 ; b) 2 2x − 6x 2 x − 3 Đáp số
a) x ≠ 0 và x ≠ 3 b) Mọi số hữu tỉ x
Ví dụ 10. (Bài 55, trang 59 SGK) Cho phân thức: 2 x + 2x +1 2 x −1
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
b) Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là x +1 x −1
c) Để tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 2 và x = -1, bạn Thắng làm như sau :
- Với x = 2, phân thức đã cho có giá trị là 2 +1 = 3 ; 2 −1
- Với x = -1, phân thức đã cho có giá trị là 1 − +1 = 0. 1 − −1
Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai.
Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho
bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn ? Giải a) Với x ≠ 1
± thì giá trị của phân thức được xác định x + 2x +1 (x + )2 2 b) Rút gọn phân thức 1 x +1 = = 2 x −1
(x − )1(x + )1 x −1
c) Với x = 2 phân thức đã cho có giá trị là 2 +1 = 3 . Bạn Thắng đã tính đúng. 2 −1
Với x = -1 phân thức đã cho có giá trị là 1
− +1 = 0. Bạn Thắng đã tính sai vì với x = -1, giá 1 − −1
trị của phân thức đã cho không xác định.
Vậy với những giá trị của x mà giá trị phân thức được xác định thì có thể tính được giá trị
của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn.
Ví dụ 11. (Bài 56 trang 59 SGK) Cho phân thức 2 3x + 6x +12 3 x − 8
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ? b) Rút gọn phân thức c) Em có biết trên 2
1cm bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn ?
Tính giá trị của biểu thức đã cho tại 4001 x =
em sẽ tìm được câu trả lời thật đáng sợ. (Tuy 2000
nhiên trong số đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại). Giải a) Với 3
x ≠ 8 hay x ≠ 2 thì giá trị của phân thức đã cho được xác định
b) Rút gọn phân thức, ta có : + + 3 x x ( 2 2 x + 2x + 4 3 6 12 ) 3 = = 3 x − 8
(x − 2)( 2x + 2x + 4) x −2 Với 4001 x =
giá trị của biểu thức đã cho là : 2000 3 3 = = 6000 4001 1 − 2 2000 2000
DẠNG 3. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN Phương pháp giải.
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ để rút gọn biểu thức không còn chứa biến.
Ví dụ 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y : x y − x y + a) y x ;b) x + y x − y (x + y)2 2 ( x + y) 2 y 4xy − 2 − − 2 2 xy x x − y x − y Giải 2 2 x y x − y − y x xy ( 2 2
x − y ) xy a) = = = (x + y) 1 2 2 y (x + y)2 2 − 2xy − 2y ( 2 2
x − y ) xy − 2 − xy x xy 2 2 x y
x − xy + yx + y + x + y x − y
(x + y)(x − y) b) = 2 ( x + y) 4xy 2 ( x + y)( 2 2
x − y ) − 4xy ( x − y) − 2 2 x − y x − y (x − y)( 2 2 x − y ) ( 2 2
x + y )( x − y)( x + y)( x − y) 1 = =
(x + y)(x − y).2(x − y)( 2 2 x + y ) 2 C. LUYỆN TẬP 1/
(Dạng 1) Thực hiện các phép tính : 2     a) 1 4x 2x +1− :    2x −   1− 2x  2x −1   2 2  + −  b) 5x y 5x y x − 25 y + .   2 2 2 2
x − 5xy x + 5xy x + y   c) 4xy 1 1 : +   2 2 2 2 2 2 y − xy − x
x + 2xy + y 2/
(Dạng 1) Rút gọn biểu thức : 2 a) 3x + 6 5x −10 5x −15 9 − x . b) : 2 2
x + 4x + 4 2x + 8x + 8 2 4x + 4 x + 2x +1 2 3  −  2 2 c) 5x 10x 15x
25x − 50 −x +10x − 25  − . d) : 2 3 3x 8 − x   2 3x + 9 x + 6x + 9 3/
(Dạng 1) Rút gọn các biểu thức sau : a 2x − 5 2 − −1 a) x b) y a 2x + 5 2 + +1 x y x x +1 2 − 2b b 1− + c) x −1 x d) 2 a a x x −1 − a − b x +1 x 4/
(Dạng 2) Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định a) 7x b) 3 2x − 5 2 3x − 2x 2 c) 3x d) 2 − x 3 2
8x −12x + 6x −1 2 16 + 24x + 9x e) x 2 x − 3x + 2
5/ (Dang 5) Tính giá trị của biểu thức : 2 2
a) 3x − x với x = -8
b) x + 3x + 2 với x = 1000001 2 9x − 6x +1 3 2
x + 2x − x − 2
6/ (Dạng 2) Cho biểu thức : 2 x + 2x x − 5 50 − 5x + + 2x +10 x 2x ( x + 5)
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định .
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1 − 2
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng -3
(Dạng 3). Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số : a)  2ab
a − b  2a b + . + ;   2 2  a − b
2a + 2b a + b b − a 3 2   b) x x − xy x y − . − ; 2 2 x − y x + y   ( x − y)2 2 2 x − y  2 c) y
y + 3y y + 3 y  + . − ;   2 2 3 − y
2 y + 3  y − 3y y − 9  d)  x
x − 6  2x − 6 x − : + .   2 2 2
x − 36 x + 6x x + 6x 6 − x ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. BÀI TẬP ÔN TRONG SGK
57. Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau: 2 a) 3 và 3x + 6 b) 2 và 2x + 6x 2x − 3 2 2x + x − 6 x + 4 3 2 x + 7x +12 Giải 3 3( x + 2) a) 3x + 6 3x + 6 = = = 2x − 3 (2x −3)(x + 6) ; 2 2
2x + 4x − 3x − 6 2x + x − 6 2 ( 2 x + 3 2 x) 2 2 b) 2x + 6x 2x + 6x = = = x + 4
(x + 4)( 2x +3x) 3 2 2 3 2
x + 3x + 4x +12x
x + 7x +12x
58. Thực hiện phép tính sau:
a)  2x +1 2x −1 4x − : ;  
 2x −1 2x +1 10x − 5 b)  1 2 − x   1  − : + x − 2 ;     2
x + x x +1   x  3 c) 1 x − x  1 1  − . +   2 2 2 x −1
x +1  x − 2x +1 1− x Giải
 2x +1 2x −1 4x (2x + )2 1 − (2x − )2 a) 1 10x − 5 − : =    x − x +  x −
( x − )( x + ) . 2 1 2 1 10 5 2 1 2 1 4x
2.(4x).5.(2x − ) 1 10 = ( = 2x − ) 1 (2x + ) 1 .4x 2x +1 2 b)  1 2 − x   1
x − 2 + x 1+ x − 2x − : + x − 2 = :     2
x + x x +1   xx ( x + ) 1 x 2 ( x − ) 1 x 2 = = x ( x + ) . 1 ( x − )2 2 1 x −1 3 c) 1 x − x  1 1  − . +   2 2 2 x −1
x +1  x − 2x +1 1− x  3   1 x − x 1 1 = − .  −  2 x −1
x +1 ( x − )2 1
(x − )1(x + )1   3 1
x − x x +1− ( x − ) 1 = − . 2 x −1 x +1 ( x − )2 1 ( x + ) 1 1 x ( 2 x − ) 1 2 = − ' 2 x −1 x +1
( 2x − )1(x− )1 2 1 2x x +1− 2x = − = x −1
( 2x + )1(x− )1 ( 2x + )1(x− )1 (x − )2 1 x −1 = ( = 2 x + ) 1 ( x − ) 2 1 x +1 59. a) Cho biểu thức xP yP − . Thay xy P =
rồi rút gọn biểu thức. x + p y + P x − y 2 2
b) Cho biểu thức P Q 2xy 2xy . Thay P = , Q =
rồi rút gọn biểu thức. 2 2 P − Q 2 2 2 2 x − y x + y Giải 2 2 x y y x 2 2 a) xP xP x − y x − y x y y x − = − = − = y + x 2 2 x + P y − P xy xy x − y x + y − x − y x − y P Q (PQ)2 2 2 b) = 2 2 P − Q
(P −Q)(P +Q) 2 2 2  4x y    4 4 x − y   =  1 1   1 1  2xy − .2xy +     2 2 2 2 2 2 2 2  x − y x + y   x − y x + y  2 2 2 2 2 2 2
 4x y  4x y .2y .2x =   : = 1. 4 4 x − y   ( 4 4 x − y ) 2
60. Cho biểu thức:  x +1 3
x + 3  4x − 4 + − .   2
 2x − 2 x −1 2x + 2  5
a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Giải
a) Ta có: 2x − 2 = 2(x − )
1 ; 2x + 2 = 2 ( x + )
1 ; MTC = 2 ( x − ) 1 ( x + ) 1 .
Giá trị của biểu thức được xác định khi x ≠ 1 ± .
b) Rút gọn biểu thức, ta có:  + +  4( 2 x x x − ) 1 1 3 3  + −  =  2  ( x − ) . 2 1 x −1 2 ( x + ) 1  5  (x + )2
1 + 6 − ( x + 3)( x − ) 1 4 ( 2 x − ) 1 4 10 ( 2x − )1 = = = 2 ( . . 4 2 x − ) 1 5 2 ( 2 x − ) 1 5
không phụ thuộc vào x với mọi x ≠ 1 ± .
61. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức: 2  5x + 2
5x − 2  x −100 + .   2 2 2
x −10x x +10x x + 4
được xác định. Tính giá trị của biểu thức với x = 20040. Giải Ta có: 2 x −
x = x ( x − ) 2 10
10 ; x +10x = x ( x +10); MTC = x ( x −10)( x +10)
Điều kiện để giá trị biểu thức được xác định là: x ≠ 0; x ≠ 1 ± 0 . 5x + 2 5x − 2
(5x + 2)(x +10)+(5x − 2)(x −10) 10( 2x + 4) Ta có: + = = 2 2 x −10x x +10x
x ( x −10)( x +10) x ( 2 x −100) Do đó:  + −  − 10 x x x ( 2 2 x + 4 5 2 5 2 100 ) 2x −100 10 + . = . =   2 2 2
x −10x x +10x x + 4 x ( 2 x −100) 2 x + 4 x
Với x = 20040 giá trị biểu thức bằng : 10 1 = . 20040 2004 2
62. Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức x −10x + 25 bằng 0. 2 x − 5x Giải
Điều kiện để giá trị của phân thức xác định là: x ≠ 0 và x ≠ 5 . x −10x + 25 (x −5)2 2 Ta có: x − 5 = = . 2 x − 5x x ( x − 5) x
Vì x ≠ 5 nên phân thức không có giá trị bằng 0. Vậy không tìm được x để giá trị của phân thức đã cho bằng 0.
63. Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức
là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên: 2 2
a) 3x − 4x −17 ; b) x − x + 2 . x + 2 x − 3 Giải
a) Thực hiện phép chia đa thức ta có: 2 3x − 4x −17 3 = 3x −10 + . x + 2 x + 2
Để phân thức có giá trị nguyên thì x + 2 phải là ước của 3. Ước của 3 gồm các số nguyên âm 1 ± , 3
± . Từ đó ta có x ∈{ 1 − , 3 − ,1, − } 5 . 2
b) Thực hiện phép chia đa thức ta được: x − x + 2 8 = x + 2 + . x − 3 x − 3
Phân thức có giá trị nguyên khi x – 3 là ước của 8. Ước của 8 gồm các số nguyên: 1 ± , 2 ± , 4 ± , 8 ± . Từ đó ta có: x ∈{4,5, 7,11, 2,1, 1 − , − } 5 .
64. Tính giá trị của phân thức trong Bài tập 62 tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba. Giải
Giá trị của phân thức x − 5 tại −
x = 1,12 là : 1,12 5 = 3 − , 464. x 1.12 B. BÀI TẬP BỔ SUNG
1. Thực hiện phép tính: 1 1 + + (b −c)( 2 2
a + ac − b − bc) (c − a)( 2 2
b + ab − c − ca) 1 + (a−b)( . 2 2
c + bc − a − ab)
2. Chứng minh đẳng thức: 2 2 2 2 a + 3ab
2a − 5ab − 3b
a + ac + ab + bc + = . 2 2 2 2 2 a − 9b
6ab − a − 9b
3bc − a − ac + 3ab
3. Tìm a và b thỏa đẳng thức với mọi x ≠ 5 − và x ≠ 4 : 5x − 2 a b = − . 2 x + x − 20 x + 5 x − 4 4. Rút gọn biểu thức: 2  +  −  +  + a) a b 2b b a a 1 a a 2 − . +    − : ; 2 2  b
b − a a + b 2a −1 2 1− 2a   2 2 2  − −  − b) 1 a 2b 2 a b a b −  − −  : . 2 a −1 a − b 1− a
a − a + b − ab a  
5. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: 2 2 4 2 2 2  x − y
x + y + y − 2  4x + 4x y + y − 4  x +1  −  :  : 2 2 2 2 2 y − x
x − xy − 2 y
x + x + xy + y 2x + y + 2    với 3 x = 1 − ,76; y = . 25
6. Xác định a để biểu thức sau là số nguyên: 2  a − 2a + 4 a − a − a +  :  (a +8) 2 2 2 4 3 + . .  ( 2 a − 4 . 3 2 ) a − 2 a + 8 a − 4   7. Cho a b c + + = 1. Chứng minh rằng: b + c c + a a + b 2 2 2 a b c + + = 0. b + c c + a a + b
8. Cho a + b + c = 0(a ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0). Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 a b c + + . 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − c − a
c − a − b
9. a) Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức 2 2 xx + 4  . − 4 + 3 x − 2 x  
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b) Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của x để biểu thức (x + )2 2 2 2  xx + 6x + 4 .1−  − x x + 2 x  
có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.