Lý thuyết hàm thuần nhất dương - Nguyên Lý kế toán | Trường Đại học Quy Nhơn

HÀM THUẦN NHẤT DƯƠNG (Homogeneous Function)
Hàm thuần nhất dương (còn gọi tắt là hàm thuần )
nhất thường gặp trong nhiều ứng dụng, đặc
biệt trong việc nghiên cứu về Kinh tế Vi Mô. Các hàm tuyến tính (bậc nhất), hàm bậc hai, hàm
đa thức thuần nhất, hàm Cobb – Douglas, … là những ví dụ về hàm thuần nhất. Hàm thuần
nhất biểu thị hành vi rất đều đặn khi mọi biến đều tăng cùng một tỷ lệ. Một kết quả rất quan
trọng của hàm thuần nhất là các đạo hàm riêng của nó cũng là những hàm thuần nhất.
Để dễ hình dung, các kết quả sau đây sẽ được phát biểu đối với hàm hai biến f (x, y) . Những
kết quả ấy vẫn đúng đối với hàm nhiều hơn hai biến f (x ,x ,...,x ). 1 2 n  ĐỊNH NGHĨA.
Cho hàm hai biến f (x, y) xác định trên tập 2
D   . Hàm f được gọi là hàm thuần nhất dương
(còn gọi tắt là hàm thuần nhất) bậc k nếu ( , )  k f tx ty t f (x, y) t  0 Ví dụ :  ( , )  y f x y
là hàm thuần nhất bậc 0 , vì x ty y 0 f (tx,ty)    t f (x, y) t  0 tx x
 f (x ,y)  x  y là hàm thuần nhất bậc 1 , vì
f (tx,ty)  tx  ty  t(x  y)  tf (x, y) t  0  2 2
f (x ,y )  x  xy  y là hàm thuần nhất bậc 2 , vì 2 2 2 2
f (tx,ty)  t (x  xy  y )  t f (x, y) t  0
 f (x ,y)  x  y là hàm thuần nhất bậc 1 , vì 2 1 1 2 2 f (tx,ty)  tx ty  t
x  y  t f (x, y) t  0
 Hàm Cobb – Douglas f (x, y)  
 Ax y ( A  0 ,  0 ,  0 ) là hàm thuần nhất bậc    , vì f (tx, ) ty Atx ty       t Ax y  t f (x, y) t  0
Chú ý : Với hàm thuần nhất bậc 1 , người ta còn gọi hàm đó là hàm thuần nhất tuyến tính.
Từ định nghĩa f (x, y) là hàm thuần nhất bậc k , ta thấy rằng : nếu các biến cùng tăng một tỷ lệ
(là số t ) thì giá trị của hàm f (x, y) sẽ tăng theo tỷ lệ là k
t . Điều này chứng tỏ hàm thuần nhất
biểu thị hành vi rất đều đặn khi mọi biến đều tăng cùng một tỷ lệ.
Ta có một số kết quả sau đây được rút ra từ định nghĩa :  m
Nếu f (x ,y ) là hàm thuần nhất bậc k thì  f( , x ) y  
 là hàm thuần nhất bậc mk .
 ThS. ĐàoBảoDũng Trang 1
 Nếu f (x, y) là hàm thuần nhất bậc k và ( g , x )
y là hàm thuần nhất bậc k thì 1 2
f (x ,y ).g(x ,y ) là hàm thuần nhất bậc k  k . 1 2 f (x, y)
 Nếu f (x ,y) là hàm thuần nhất bậc k và g(x, y) là hàm thuần nhất bậc k thì là 1 2 g(x ,y)
hàm thuần nhất bậc k  k . 1 2
Ví dụ : Xét các hàm f (x, y)  xy (thuần nhất bậc 2 ) và ( g , x )
y  x y (thuần nhất bậc 1 ). Thì 4 4   f (x, y)   
xy là hàm thuần nhất bậc 8
 f (x ,y) g(x ,y) xy(x  y) là hàm thuần nhất bậc 3 f (x ,y ) xy  
là hàm thuần nhất bậc 1 g(x, y) x  y
 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM THUẦN NHẤT.   Cho hàm hai biến f f
f (x, y) có các đạo hàm riêng và trên tập 2
D   . Nếu f (x, y) là hàm x y   thuần nhất bậc f f k thì và
là những hàm thuần nhất bậc k  1. x y Ví dụ 1 : Hàm 2 2
f (x, y)  x  xy y là hàm thuần nhất bậc 2 thì f 
(x, y) 2x y là hàm thuần nhất bậc 1. x f 
(x, y)   x 2y là hàm thuần nhất bậc 1 . y Ví dụ 2 : Hàm 3 2
f (x, y)  x y là hàm thuần nhất bậc 5 thì f  2 2
(x, y)  3x y là hàm thuần nhất bậc 4 . x f  3
(x, y)  2x y là hàm thuần nhất bậc 4 . y
Kết quả trên rất thú vị đối với hàm f (x, y) là một hàm thuần nhất tuyến tính (bậc 1 ). Vì khi đó,  
các đạo hàm riêng f và f sẽ là những hàm thuần nhất bậc 0 . Nghĩa là khi ta tăng tất cả các x y  
biến theo cùng một tỷ lệ thì các đạo hàm riêng f và f sẽ không thay đổi. Ta sẽ gặp lại điều x y
này trong phần phân tích về hàm Cobb – Douglas được đề cập cuối bài viết này.  ĐỊNH LÝ EULER.   Cho hàm f f
f (x ,y) là hàm thuần nhất bậc k thì ta có mối quan hệ giữa f (x ,y), (x, ) y , (x, y) x y như sau
 ThS. ĐàoBảoDũng Trang 2 f f x. (x ,y) y. (x ,y )  k.f (x ,y) x y Chứng minh : Ta có : ( , )  k f tx ty t f( , x ) y với t  0
Lấy đạo hàm vế phải theo t thì : k t f (x ,y )    k   = 1 k.t .f (x,y) (I) t
Lấy đạo hàm vế trái theo t thì :
f (tx,ty) (tx) f (tx,ty) (  ty) f (tx,ty) f (tx,ty) f (tx,ty)      =    = x  y t x t y t x y  f (tx,ty)    k  k    = 1 1 x.t . f (x y y t f x y x , )  . . ( x , ) t Từ (I) và (II) ta suy ra : k 1 .  k t . f (x, ) y = k 1  k 1 x.t .f x y y t f x y x ( , )  .   . x( , )
 xf (x,y)  yf (x,y)  k.f (x ,y) x y Ví dụ :  Xét hàm ( , )  y f x y
là hàm thuần nhất bậc k  0 , thì theo định lý Euler, ta phải có x
xf (x ,y ) yf (x ,y )  k .f (x ,y )  0 x y x y  Xét hàm f (x, y) 
là hàm thuần nhất bậc k  0 , thì theo định lý Euler, ta phải có x y
xf (x ,y ) yf (x ,y )  k .f (x ,y )  0 x y 1
 Xét hàm f (x ,y )  x  y là hàm thuần nhất bậc k  , thì theo định lý Euler, ta phải có 2 1 xf( , x ) y  yf( , x ) y  . k f( , x ) y  f x y x y ( , ) 2
 HÀM SẢN XUẤT COBB – DOUGLAS.
Hàm sản xuất là một hàm số biểu thị sự phụ thuộc của sản lượng vào các yếu tố đầu vào. Nói
cách khác, trong hàm sản xuất, biến số phụ thuộc (hay còn gọi là biến số được thuyết minh) là sản lượng, còn (hay còn gọi là biến số độc lập
biến số thuyết minh) là các mức đầu vào.
Trong Kinh tế Vi Mô, hàm sản xuất biểu thị lượng sản phẩm được nhà sản xuất làm ra từ những
yếu tố sản xuất mà nhà sản xuất đang có như vốn, lao động, … Trong Kinh tế Vĩ , Mô hàm sản
xuất biểu thị giá trị tổng sản phẩm nội phụ địa
thuộc vào số lượng lao động, lượng vốn, kỹ thuật
công nghệ của một nền kinh tế.
Trong các giáo trình Kinh tế học cơ sở, một trong những hàm sản xuất thường được đề cập đến
là hàm Cobb – Douglas có dạng biểu diễn như sau : HÀM COBB – DOUGLAS : Q f( , L K) ALK   với A 0 ,   0 ,   0 trong đó  Q  f( , x ) y là sản lượng
 L là lượng lao động
 ThS. ĐàoBảoDũng Trang 3  K là lượng vốn
 A là một hằng số, biểu thị hệ số kỹ thuật công nghệ
  là hệ số co giãn theo lượng lao động   là
hệ số co giãn theo lượng vốn Rõ ràng
f (tL,tK) AtL tK       t AL K  t f (L,K)
nên hàm Cobb – Douglas Q  f (L,K) là hàm thuần nhất bậc k     .
Khi     1, hàm Cobb – Douglas Q  f (L,K) là hàm thuần nhất tuyến tính, ta có các kết quả sau đây
- Nếu L và K tăng cùng tỷ lệ m thì Q cũng tăng đúng tỷ lệ m (trong Kinh tế học, người
ta gọi đây là tình trạng hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo quy mô).
- Nếu tăng các biến cùng một tỷ lệ thì các đạo hàm riêng của hàm này vẫn không thay đổi
(nghĩa là biên tế của sản lượng theo L và theo K sẽ không thay đổi).
Bây giờ, ta kiểm tra lý do tại sao người ta gọi  là hệ số co giãn theo lượng lao và động  là hệ số co giãn theo lượng vốn ?
Nhắc lại công thức hệ số co giãn riêng của hàm f (x, y) : x
  f (x,y)  f (x,y) 
: hệ số co giãn riêng theo x x x f (x, y) y
  f (x ,y)  f  (x ,y) 
: hệ số co giãn riêng theo y y y f (x, y)
Với hàm Cobb – Douglas Q  f (L ,K ), thì - L   L
Hệ số co giãn riêng theo L là 1  f (L,K)  f (L,K)   AL K   L L f( , L )   K AL K - K   K
Hệ số co giãn riêng theo K là 1  f (L,K)  f (L,K)    A L K   K K f (L,K )   AL K Chú ý :
 Khi     1 thì Kinh tế học gọi là tình trạng hàm sản xuất có lợi tức giảm dần theo quy mô, vì f (tL,tK )   t f (L ,K )  tf (L,K )
 Khi     1 thì Kinh tế học gọi là tình trạng hàm sản xuất có lợi tức tăng dần theo quy mô, vì f (tL,tK )   t f (L ,K )  tf (L,K ) Ví dụ minh họa 1 :
Một xí nghiệp có hàm sản xuất Cobb – Douglas là 0,8 0,2 Q  10.L K .
 Ta có   0,8 và   0,2 nên     0,8  0,2  1. Điều này cho thấy nếu các đầu vào L
và K cùng tăng thêm 1 đơn vị thì đầu ra cũng sẽ tăng 1 đơn vị (doanh lợi không đổi theo quy mô).
 Hệ số co giãn theo L là   0,8 nghĩa là nếu L tăng 1% và K không thay đổi thì sản lượng sẽ tăng 0,8% .
 Hệ số co giãn theo K là   0,2 nghĩa là nếu K tăng 1% và L không thay đổi thì sản
 ThS. ĐàoBảoDũng Trang 4 lượng sẽ tăng 0,2% .
 Hệ số co giãn theo L là   0,8 và hệ số co giãn theo K là   0,2 . Vì    nên hàm sản
xuất cho biết tầm quan trọng của yếu tố lao động ảnh hưởng đến sản lượng. Q  0,2 0,2 M Q   8.  L
K là hàm thuần nhất bậc k  0 , nghĩa là nếu L và K cùng tăng thêm L L
1 đơn vị thì năng suất biên theo L vẫn không thay đổi. Q  0,8 0,8 M Q   2.  L K
là hàm thuần nhất bậc k  0 , nghĩa là nếu L và K cùng tăng thêm K K
1 đơn vị thì năng suất biên theo K vẫn không thay đổi.
 Theo định lý Euler, ta có : L M Q K M Q  0 với mọi L, K . L K Ví dụ minh họa 2 :
Theo kết quả nghiên cứu của Walters A.A (1963), hàm sản xuất của ngành công nghiệp sản xuất
đường sắt ở Hoa Kỳ là 0,89 0 ,12 Q  . A L K
 Ta có   0,89 và   0,12 nên     0,89 0,12  1,01  1. Điều này cho thấy đây là cơ
hội của ngành công nghiệp sản xuất đường sắt cần tăng nhanh đầu tư các yếu tố đầu vào
vì tăng thêm 1 đơn vị các yếu tố đầu vào thì đầu ra tăng hơn 1 đơn vị (doanh lợi đang tăng dần theo quy mô).
 Hệ số co giãn theo L là   0,89 nghĩa là nếu L tăng 1% và K không thay đổi thì sản lượng sẽ tăng 0,89% .
 Hệ số co giãn theo K là   0,12 nghĩa là nếu K tăng 1% và L không thay đổi thì sản lượng sẽ tăng 0,12% .
 Hệ số co giãn theo L là   0,89 và hệ số co giãn theo K là   0,12 . Vì    nên hàm
sản xuất cho biết tầm quan trọng của yếu tố lao động ảnh hưởng đến sản lượng.
 ThS. ĐàoBảoDũng Trang 5