Lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 1 – Đỗ Văn Đạt

Tài liệu gồm 139 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đỗ Văn Đạt, tổng hợp trọn bộ lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 1.Giúp bạn ôn tập tốt hơn trong kì thi sắp tới . Mời bạn đọc đón xem.

80 40 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 : CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA ...............................................................................1

Bài 1 : Tìm ĐKXĐ – Tính giá trị biểu thức – So sánh căn bậc 2 ....................................................... 1

Bài 2 : Rút gọn biểu thức – Giải phương trình.................................................................................. 6

Bài 3 : Liên hệ phép khai phương – Phép nhân – Phép chia ........................................................ 10

Bài 4 : Giải phương trình ................................................................................................................... 13

Bài 5 : Rút gọn biểu thức .................................................................................................................... 17

Bài 6 : Tính giá trị biểu thức khi biết x - Tìm x khi biết P = A ...................................................... 21

Bài 6.1 : Tìm x thỏa mãn điều kiện P = a ........................................................................................... 22

Bài 7 : Tìm x biết

,,,P

.............................................................................................................. 24

Bài 7.1 : So sánh với A(x) với a ( hằng số ) ....................................................................................... 25

Bài 8 : So sánh

với

........................................................................ 28

Bài 9 : Tìm

xZ

để

có giá trị nguyên ........................................................................................ 31

Bài 9.1 : Tìm

để

có giá trị nguyên ............................................................................................. 31

Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất ................................................................................ 36

Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng điều kiện xác định”... 36

Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng hằng đẳng thức ”….. 37

Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Áp dụng bđt cô si ”………. 37

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng miền giá trị ”………. 39

Bài 11 : Tìm

để phương trình có nghiệm ..................................................................................... 41

Bài 12 : Dạng toán “ mẹo “ ................................................................................................................. 44

Bài 13 : Căn Bậc Ba .............................................................................................................................. 47

CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT ................................................................................................ 49

Bài 1 : Khái niệm hàm số ..................................................................................................................... 49

Bài 1.1 : Hàm số bậc nhất .................................................................................................................... 51

Bài 2 : Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng ......................................................................................... 54

Bài 2.1 : Tìm tham số

để đồ thị hàm số

y ax b

cắt , vuông góc , song song , trùng với

đường thẳng đã biết ............................................................................................................................ 55

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton

Bài 2.2 : Tìm m khi biết đường thẳng

 

đi qua một điểm ......................................................... 56

Bài 3 : Xác định phương trình đường thẳng :

y ax b

............................................................... 59

Dạng 1 : Biết hệ số góc và điểm đi qua …………………………..……………………………... 59

Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B …………………………..…………………………………… 60

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy......................................................................... 64

Dạng 1 : Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng ………………………………………………... 64

Dạng 2 : Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy …………………………………………………. 65

Dạng 3 : Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số ……………………………………………… 66

Dạng 4 : Tìm

để 3 điểm thẳng hàng ………………………………………………………... 66

Bài 5 : Tìm m để khoảng cách từ

đến đường thẳng

 

là lớn nhất ...................................... 69

Bài 5.1 : Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác .................................................................................. 71

CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ............................................ 74

Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài ............................................................................... 74

Bài 2 : Tính độ dài các cạnh dựa vào tỉ lệ - Phân giác – Chu vi – Diệntiích ............................... 79

Bài 3 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn :

  sin cos tan cotx x x x

.............................................. 82

Bài 4 : Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác .......................................................................... 87

Bài 5 : Chứng minh biểu thức lượng giác ....................................................................................... 91

Bài 6 : Giải tam giác vuông ............................................................................................................... 94

Bài 7 : Bài tập tổng hợp ...................................................................................................................... 98

CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG TRÒN………………………………………………………..…………….103

Bài 1 : Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn…………….…………………..103

Bài 2 : Đường kính và Dây cung …………….…………………..…………….………………….108

Bài 3 : Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây …..…………….…………………….113

Bài 4 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của

đường tròn - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau…..…………….…………………..………..118

Bài 5 : Bài tập tiếp tuyến của đường tròn ( Nâng cao ) ………….…………………..……….…124

Bài 6 : Đường tròn nội tiếp tam giác………….…………………..……….………….…………...128

Bài 6.1 : Vị trí tương đối hai đường tròn ….…………………....……….………….…………......128

Bài 7 : Ôn tập chương .…………………....………………. .…………………....……...….……….133

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 1 : CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

Bài 1 : Tìm ĐKXĐ – Tính giá trị biểu thức – So sánh căn bậc 2

I. Lý Thuyết :

1. Căn bậc hai số học

 Với số dương a, số

được gọi là căn bậc hai số học của a

Ví dụ: Phân biệt giữa căn bậc hai số học với căn bậc hai của một số

Với số dương 4,

- Số

42

được gọi là căn bậc hai số học của 4.

- Số

  42

được gọi là căn bậc hai của 4.

 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

 Một cách tổng quát:

















Căn bậc hai

2. Tìm điều kiện xác định



 

là một đa thức 

 

luôn có nghĩa.



()

có nghĩa 

 

0Bx 



()Ax

có nghĩa 

 

0Ax 



()Ax

có nghĩa 

 

0Ax 

3. So sánh các căn bậc hai số học

 Với hai số a và b không âm

 

,0ab

ta có:

  a b a b

Ví dụ:

i. Ta có

   3 3 2

ii. Ta có

  x y x y

II. Bài Tập :

Bài 1 : Tìm điều kiện xác định :

Bài 2 : Tìm điều kiện xác định :

21x

…………………………….



………………………………

…………………………........

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 2

42x

…………………………….

…………………………....





21x

………………………………

…………………………........

51x

…………………………….

………………………….....

2

………………………………

…………………………........

27x

…………………………….



………………………………

…………………………........

Bài 3 : Tìm điều kiện xác định :

❶





………………………………………………

❷





………………………………………………

❸



Th1 : ..........................

Th2 : …………………..

………………………

…………………………

❹





Th1 : ..........................

Th2 : …………………..

………………………

………………………….

………………………………………………………

…………………………………………………….

❺





………………………………………………

❻



2xx

………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức :



5 ( 2)

=…………………………….....

…………………………………………….

  11 6 2 6 4 2

=………………

……………………………………………

..……………………………………..……

…..………………………………..………

…..…..……………………………………

……………………………………………

  

2 ( 2) 3 ( 2)

=…………………..

…………………………………………….

………………………………..…………...

…………………………………………….

6 2 4 2 3

=……………………

……………………………………………

..……………………………………..……

…..………………………………..………

…..…..……………………………………

……………………………………………

  

(4 3 2) 17 12 2

=……………

…………………………………………..…..

………………………………………………

…………………………………………….

   24 8 5 9 4 5

……………………………………………

..……………………………………..……

…..………………………………..………

…..…..……………………………………

……………………………………………

12 6 3

=………………………………..

…………………………………………...…..

……………………………………….………

…………………………………….…………

………………………………………………

…………………………………………….

   6 4 2 22 12 2 ...........................

……………………………………………

..……………………………………..……

……………………………………………

…..………………………………………..

  11 6 2 6 4 2

=………………...

…………………………………………...…

……………………………………….……..

…………………………………….………..

………………………………….………..…

……………………………………………...

…………………………………………….

   17 12 2 9 4 2 ......................

……………………………………………

.……………………………………..…….

..………………………………..…………

..…..…………………………..………..…

……………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 4

Bài 5 : Về Đích bằng cách tìm điều kiện xác định và rút gọn:

2x 

23x

1x 

2x 

x 

2x 

x 

1x 

12x





(2 )(2 )xx

x 

2x 

x 

2x 

22x  

7 4 3

( 1)( 2)xx





12xx    

12xx    

23

21x  

15xx   

5 2 6 5 2 6  



32x 

34x

34x

xR

21xx

29xx

1x 

xR

( Chú ý : Các em giải chi tiết vào vở )

Bài 6 : So sánh các căn bậc 2 :

và

5 2 2

…………………………………………………

23

và 3

………………………………………………

và

9 4 5

…………………………………………………

11 3

và 2

………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 : Tìm điều kiện xác định

❶

37x

❺

4 2 2xx  

❷

9 12x 4x

❻







❸





❼

(3 )( 2)xx

❹



❽

6xx

Bài 2 : So sánh hai căn thức sau :

❶ 6 và

43

và

52

❷

82

và

53

và

10 7

Nhớ làm bài tập

về nhà của

thầy đỗ đạt

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 6

Bài 2 : Rút gọn biểu thức – Giải phương trình

I. Lý Thuyết :

❶ Áp dụng:

A khi A











Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

❷ Áp dụng:

AA

A B A B   

;

0 ( 0)A hay B

  























A B hay A B







  





  







A B A B hay A B    



  







II. Bài tập :

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :

92xx

với

0x 

: ………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………..

25 3xx

với

0x 

: …………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………..

44xx

với

4x 

:…………………………………………………………………...………..

…………………………………………………………………………………………………………….......

………………………………………………………………………………………………………………...

2 1 2 1x x x x    

với

01x

:…...………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………........

………………………………………………………………………………………………………………....

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

2 4 4 ( 2)x x x x    

…………………………………………………………………………………………………………

4x 4 ( 2 0)x x x     

…………………………………………………………………………………………………………

6x 9

( 3)







…………………………………………………………………………………………………………

4x 4

2 ( 2)



  



…………………………………………………………………………………………………………

Bài 3 : Giải phương trình :















1 12x 36x 5  

……………………………………………………………

4 5 12x

………………………………………………

9 2 1xx

………………………………………………

4 20 25 3x x x   

4 3 1x x x   

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 8

4 3 2 1xx  

…………………………

……………………

………………………………………………

Bài 4 : Giải phương trình :

0 ( 0)A hay B

  









Bài 5 : Giải phương trình :

A B A B hay A B    

Bài 6 : Giải phương trình :



  







3x 1 1x  

……………………………………………………..

4 4x 4 0xx    

……………………………………………………..

22xx  

……………………………………………………..

1 1 0xx   

……………………………………………………..

2x 5 2 x  

……………………………

…

3x x x  

……………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………..

Bài tập vê nhà

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

32xx

x x x  

2 1 2xx  

22xx  

6x 9 4x 12x 9x     

10x 25 3 0xx    

1 4 2 1 0xx   

4 12 9 9 24 16x x x x    

9x 6x 1 11 6 2   

10.

8x 16 2xx   

Bài 2 : Cho 3 số dương

,,xyz

thoả điều kiện:

x1xy yz z  

a. Tính:

2 2 2 2

2 2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 )

(1 )(1 )

111

y z x y

A x y z

x y z

   



  



b. Chứng minh rằng:

   

2 2 2

1 1 1

y xy

x y z

xyz

  

  

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 10

Bài 3 : Liên hệ phép khai phương –Phép nhân –Phép chia

I. Lý Thuyết :

Với A  0, B  0:

AB A B

Với A  0, B > 0: .



Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

A B A B

Với A.B ≥ 0 và B  0 thì

A AB



Bài 1 : Thực hiện phép tính :

Bài 2 : Rút gọn biểu thức :

❶

2 28



=………………………………………………………………………………………………

5 5 20 3 45

………………………

…………...….

8 32 18

6 5 14

9 25 49



………………………………

12 5 3 48

………………………

………………

8 32 18

12 5 10

9 25 25



…………………………………………

…………………………….......................

...................................................................

3 2 8 50 32

  

……………………………

……………..

………..

......

….....

….......a...

…………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

❷

  



  

  



  

6 6 6 6

1 1 ........................................................................................................

1 6 1 6

……………………………………………………………………………………………………………

❸

2 3 6 8 16

2 3 4





=……………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

❹







...........................................................................................

8 12 5 27

.......

8 30 162

.....

……………………………………………………………………………………………………………

Bài 3 : Tính giá trị biểu thức:

❶







tại

9 4 3x 

…………………………………………………

❷

4(1 6 9 )B x x  

tại

2x 

………………………………………………

……………………………………………….

❸



  



tại

2x 

…………………………………………………

❹

2 1 2 1

x x x x



   

tại

10x 

………………………………………………

Bài 4 : Tính giá trị biểu thức : Với A ≥ 0 và

AB

thì

()C C A B







Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì

()C C A B







GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 12

5 1 7 1





=…………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………





....................................................................................................................

6 3 7 3

…………………………………………………………………………………………………………………







2 3 2 3

..................................................................................................................

2 3 2 3

…………………………………………………………………………………………………………………



   

.................................................................................................

2 2 3 2 2 3

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập vê nhà

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :

5 2 4 18 2 32 50  

125 2 20 7 80 3 45  

2 3 2 2 2 1 8 6

3 1 2 1 2 3

  



  

2 2 3 2 2 3



   

 

, 0,

x x y y

x y x y x y



   



( 0)







Bài 2 : ( Nâng cao) – Tính giá trị biểu thức :

❶

1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 24 25

A     

   

❷

1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 24 25

B     

   

❸

4 10 2 5 4 10 2 5C      

❹

6 2 5 13 48D    

❺

9 5 3 5 8 10(2 3)E     

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 4 : Giải phương trình

I. Lý thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Giải phương trình sau :

❶

1 4x 4 16x 16 2 0

x       

………………………………………………

❷

4 20 9 45 2 5 4

x x x     

……………………………………………

…………………………………………….

……………………………………………..

❸

5 3 1

1 9x 9 32 10

2 2 64



    

………………………………………………

❹

15 1 11

25 25 1

4 9 4



    

…………………………………………………

Bước 1 : Tìm

điều kiện xác

định ( nếu có)

Bước 2 : Rút

gọn biểu thức

và tìm x

Bước 3 : Đối chiếu

điều kiện và kết

luận

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 14

❺

2 2 2

16x 32 3 2 25x 50 4 0x      

………………………………………………

❻

49 98 14 9 18 8



    

………………………………………………

Bài 2 : Giải phương trình sau :

0 ( 0)A hay B

  









Bài 3 : Giải phương trình sau

3 5 3 7x x x x    

………………………………………………….

5 5 28 5 4x x x x    

…………………………………………………

Đặt ẩn phụ t và

điều kiện

Đưa phương

trình về ẩn t và

giải tìm t - x

Đối chiếu điều

kiện tìm x và

kết luận

4 3 1x x x   

…………………………………

…………………………………..

3x x x  

……………………………………

4 4 5xx  

……………………………

……….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………….

……………………………………………….

…………………………………………………

2 3 9 2 3 33x x x x    

………………………………………………….

…………………………………………………

2 2 3 5 2 3 2x x x x    

…………………………………………………

Bài 4 : Giải phương trình :

2 2 2

4 20 4 8 4 9 6 5x x x x x x         

……………………………………………………………………………………………………

2 2 6 8 1 3x x x x       

……………………………………………………………………………………………………

2 2 2

9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x       

……………………………………………………………………………………………………

Vế trái



a và Vế phải



Dấu “=” xảy ra khi Vế trái = Vế phải = a

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 16

……………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

4 20 9 45 5 4

x x x     

1 4 4 25 25 4 0

x x x      

4 20 3 9 45 6



    

2x 6x 12x 7 0x    

( 1)( 4) 3 5x 2 6x x x     

2 1 2 1 2x x x x     

25 6 5 0xx   

3 4 1 8 6 1 4x x x x       

Nhớ hoàn thành bài tập của

thầy đỗ đạt

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Rút gọn biểu thức

I. Lý thuyết :

Cho x  0, y  0. Ta có các công thức biến đổi sau:

()xx

;

()x x x

2 2 2

( ) 2A B A AB B   

( ) 2x y x xy y   

2 2 2

( ) 2A B A AB B   

( ) 2x y x xy y   

( )( )A B A B A B   

( )( )x y x y x y   

3 3 2 2 3

( ) 3 3A B A A B AB B    

( 1)x x x x  

3 3 2 2 3

( ) 3 3A B A A B AB B    

()x y y x xy x y  

3 3 2 2

( )( )A B A B A AB B    

( ) ( ) ( )( )x x y y x y x y x xy y      

3 3 2 2

( )( )A B A B A AB B    

( ) ( ) ( )( )x x y y x y x y x xy y      

II. Bài tập:

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :









2 3 9

x x x

……………………………………………….

………………………………………………..

2 1 2

1 1 1

x x x

x x x x x

   





   

   

   

……………………………………………

Phân tích mẫu

thành nhân tử -

Tìm điều kiện

xác định

Qui đồng phân

thức

Rút gọn - Kết

luận

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 18

………………………………………………..

   





   

  

   

4 3 2

2 2 2

x x x

x x x x x

………………………………………………..

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2x x x x x

   

  

   

   

   

………………………………………………..

……………………………………………

1 :(1 )

x x x x

  

  



  



  

……………………………………………

x x x















……………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………..

……………………………………………

Bài 2 : Rút gọn biểu thức :

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

3 9 3 2

6 2 3

x x x x x

x x x x

   

   

  

   



   

   

………………………………………………...

2 3 3 2 2

3 3 3

x x x x

x x x

   



  

   



  

   

……………………………………………….

……………………………………………....

……………………………………………….

1 1 3 1

x x x

  







………………………………………………..

………………………………………………...

………………..

………………………………………………...

5 25 3 5

2 15 5 3

x x x x x

x x x x

   

   

  

   



   

   

………………………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 20

❶

 

1 1 1

x x x













❷

4 16

4 4 2

x x x







  



❸

2 9 2 1 3

5 6 3 2

x x x

x x x x

  



   

❹

4 8 1 2

x x x

x x x x

   





   





   

❺

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  



   

Đã bài tập của

thầy đỗ đạt chưa ???

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 6 : Tính giá trị biểu thức khi biết x - Tìm x khi biết P = A

I. Lí thuyết :

❶ Tính giá trị biểu thức P khi biết giá trị của

( cho điều kiện xác định trước )

❷ Bài tập :

Bước 1

•Giải phương trình ẩn x

•So sánh với điều kiện xác định

Bước 2

•Thay giá trị x vừa tìm được vào biểu thức

Bước 3

•Kết luận

Bài 1 : Cho biểu thức :

x x x









a. Rút gọn A

b. Tính giá trị của A khi

x 

Lời giải :

……………………………………………………….

Bài 2 : Cho biểu thức :

x x x x x

   

  

   



   

   

a. Rút gọn P

b. Tính P tại

9x 

Lời giải :

…….…………………………………………………

………….……………………………………………

……………….………………………………………

…………………….…………………………………

………………………….……………………………

……………………………….………………………

…………………………………….…………………

………………………………………….……………

……………………………………………….………

…………………………………………………….…

………………………………………………………

….……………………………………………………

……………………………………………………….

….….…………………………………………………

……………………………………………………….

Bài 4 . Cho biểu thức :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 22

Bài 6.1 : Tìm x thỏa mãn điều kiện P = a

❸ Lý Thuyết :

❹ Bài tập

Bài 5 : Cho biểu thức:

1 2 2 5

x x x



  





Bài 6 : Cho biểu thức :

2 1 2

  





Giải phương trình

P = a để tìm x

Đối chiếu x với

điều kiện

Kết luận

Bài 3 : Cho biểu thức :

4 3 2

( 2) 2 2

x x x

x x x x x

   



  

   

  

   

a. Rút gọn C với

0x 

4x 

b. Tính C với

6 2 5x 

Lời giải :

………………………………………………………

()

a b a ab b

   



   



   

   



  

   

2 3 3 2 2

3 3 3

x x x x

x x x

a. Rút gọn Q

b. Tính giá trị của Q khi

x 



Lời giải :

…….…………………………………………………

………….……………………………………………

……………….………………………………………

…………………….…………………………………

………………………….……………………………

……………………………….………………………

…………………………………….…………………

………………………………………….……………

……………………………………………….………

…………………………………………………….…

………………………………………………………

….……………………………………………………

……….………………………………………………

…………….…………………………………………

………………….……………………………………

……………………….………………………………

…………………………….…………………………

………………………………….……………………

……………………………………….………………

……………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Rút gọn

nếu

0x 

và

4x 

b. Tìm

để

2A 

Lời giải :

……………………………………………………

a. Rút gọn biểu thức B .

b. Tìm

để

B 

Lời giải :

…………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho biểu thức:

x x x x











với x > 0.

a. Rút gọn P

b. Tìm x để

1P 

c. Tính P tại

5 1 5 1

x 



Bài 2 : Cho biểu thức :

2 2 2 2

  





a. Tìm điều kiện xác định

b. Rút gọn Q

c. Tính giá trị của Q khi

x 

d. Tìm

để

Q 

Bài 3 : Cho biểu thức :

15 5 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  

  

   

a. Rút gọn P

b. Tính giá trị của A khi

4x 

c. Tìm các giá trị của

để

P 

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 24

Bài 7 : Tìm x biết

,,,P 

I. Lí Thuyết:

1. Bất phương trình tích – thương :



( ). ( ) 0A x B x 

( ) 0











hoặc

( ) 0











( ). ( ) 0A x B x 

( ) 0











hoặc

( ) 0











()



( ) 0











hoặc

( ) 0











()



( ) 0











hoặc

( ) 0











( ). ( ) 0A x B x 

( ) 0











hoặc

( ) 0











( ). ( ) 0A x B x 

( ) 0











hoặc

( ) 0











()



( ) 0











hoặc

( ) 0











()



( ) 0











hoặc

( ) 0









2. Phương pháp giải



()x

II. Bài tập :

Bài 1 : Giải bất phương trình sau :







ĐKXĐ :

0; 9xx

Tìm

để

1A 

Lời giải :

……………………………………………………..

2 2 2xx





ĐKXĐ :

0x 

Tìm

để

6A 

Lời giải :

……………………………………………………

……….……………………………………………

……...……….……………………………………

…………...……………………………………….

……………………………………………………

……………………....……………………………...

……………………………………………………...

Đưa bất

phương

trình về

dạng

P(x) - a >0

Bước 1

Giải bất

phương trình

bằng cách biện

luận ngiệm

Bước 2

• Đối

chiều

điều

kiện

•Kết luận

Bước 3

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

.………………..……………………………………

……………………………………………………...

Bài 7.1 : So sánh với A(x) với a ( hằng số )

I. Lí Thuyết

Bước 1 Xét hiệu A(x) – a

Biện luận bất phương trình A(x) – a Bước 2

xem mang dấu “+” hay “-“

Bước 3 :

   0A a A a

hoặc

0A a A a   

II . Bài tập

Bài 1 : Tìm

thỏa mãn các điều kiện sau :

❶

1xx





. ĐKXĐ

0x 

. So sánh A với 2 .

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

❷





. ĐKXĐ :

0x 

. So sánh B với 1.

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Những sai lầm học sinh hay mắc phải :

❶ Quy đồng nhân chéo khử mẫu

❷ Quên kết hợp điều kiện xác định

❸ Thiếu kết luận

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 26

 .....................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho 2 biểu thức:







và





với

0x 

và

4x 

a. Tính giá trị biểu thức

khi

9x 

b. Tìm các giá trị thực của

để



Lời giải :

……………………………………………….……

………………………………………….…………

…………………………………….………………

……………………………….……………………

………………………….…………………………

…………………….………………………………

……………….……………………………………

………….…………………………………………

…….……………………………………………….

……………………………………………….……

………………………………………….…………

…………………………………….………………

……………………………….……………………

……………………….……………………………

…………………….………………………………

……………….……………………………………

………….…………………………………………

…….……………………………………………….

……………………………………………….….…

…………………………………………………….

Bài 2 : Cho hai biểu thức:







và

3 1 2 3

x x x x

  

   

với

0; 1xx

a. Tính giá trị biểu thức

khi

4x 

b. Tìm

để





Lời giải :

…………………………………………................…

………………………………………................……

……………………………………................………

…………………………………................…………

………………………………................……………

……………………………................………………

…………………………................…………………

………………………................……………………

……………………................………………………

…………………................…………………………

………………................……………………………

……………................………………………………

…………................…………………………………

………................……………………………………

……................………………………………………

…................………………………………………….

....................................................................................

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho biểu thức: A=

x x x





và





với x

0, 1x

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Tính giá trị biểu thức B với

4x 

b. Tìm các giá trị của x để



Bài 2 : Cho hai biểu thức : A =





và B =





(với

0; 4xx

)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi

9x 

b. So sánh

và 1 với điều kiện

có nghĩa.

Bài 3 : Cho biểu thức :







2x 2 1 1

;

x x x x

  



  

( 0; 1)xx

a. Tính giá trị của biểu thức A khi

16x 

b. Chứng minh



Bài 4 : Cho biểu thức :

2 1 1

1 1 1

x x x x x



  

   

a. Tìm

để biểu thức

có nghĩa . Rút gọn biểu thức

b. Tính giá trị của

khi

9 4 2

x 



c. Chứng minh :

P 

Làm bài tập của

thầy đỗ đạt nhanh

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 28

Bài 8 : So sánh

với

I. Lí Thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Cho biểu thức :







. ĐK . So sánh A với

Lời giải :

………………………………………………….

Bài 2 : Cho biểu thức :







với

0x 

. So sánh

và

Lời giải :

……………………………………………

Bài 3 : Cho biểu thức







với

0x 

So sánh

và

Lời giải :

……………………………………………

Bài 4 : Cho hai biểu thức

2 1 1

; ( 0; 2)

A B x x

x x x



     





a. Rút gọn B và tính



So sánh

với

❶ Xét hiệu

(1 )P P P P  

❷ Xét xem hiệu đó “+” hay “-“

❸ Nếu “+” thì

PP

Nếu “-“ thì

PP

So sánh

và

❶ Tìm điều kiện xác định của P

❷ Xét hiệu

(P 1)P P P  

❸ Xét xem hiệu đó “+” hay “-“

❹ Nếu “+” thì

P P P P  

Nếu “-“ thì

P P P P  

So sánh

với

❶ Xét xem P đó “+”

hay “-“

❷ Nếu “+” thì

PP

Nếu “-“ thì

PP

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

b. Tìm x để

=BB

Lời giải :

…………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5 : Cho 2 biểu thức

; ( 0; 25)

x x x

A B x x



    



. Cho

.P A B

So sánh

và

Lời giải :

…………………………………………………………………………………………………………….

Bài 6 : Cho biểu thức

;



















với

0, 1xx

Tìm

để

. 1 . 1A B A B  

Lời giải :

…………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 30

…………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho P =

4 7 3

1 2 2 1

x x x









  



với

0; 1; 9x x x  

. So sánh

và

Bài 2 : Cho

 





và

 

0; 1

1 2 2

B x x

x x x x



    

   

Cho



. Chứng tỏ

PP

với

 

1x

Bài 3 : Cho biểu thức:

2 5 2 3 9 2

; . 1

1 3 3

x x x x x

x x x

   

  

    

   



  

   

(với

0, 9xx

)

.P A B

. So sánh

và

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 9 : Tìm

xZ

để

có giá trị nguyên

I. Lí Thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm

nguyên để





nhận giá

trị nguyên . (ĐKXĐ :

0x 

)

Lời giải :

………………………………………………………

Bài 2 : Tìm

nguyên để







nhận giá

trị nguyên. (ĐKXĐ :

0x 

)

Lời giải :

……………………………………………………….

Bài 9.1 : Tìm

để

có giá trị nguyên

I .Lí Thuyết :

Kết luận

Bước 1 : Chia tử cho

mẫu số

Bước 2 : Tìm giá trị của

x để mẫu là ước của tử

Bước 3 : Kết hợp với

ĐKXĐ

Cách 1 :

❶ Dựa vào điều kiện xác định để biện luận

biểu thức bị chặn trên – chặn dưới .

❷ Với các giá trị nguyên trong khoảng đó ta

tìm được giá trị

❸ Đối chiều điều kiện và kết luận

Cách 2 :

❶ Đặt biểu thức bằng P

❷ Rút

theo P và dựa vào điều

kiện

0x 

để tìm P , suy ra

❸ Đối chiều điều kiện và kết luận

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 32

Bài 3 : Tìm

để







nhận giá trị nguyên (ĐKXĐ :

0x 

)

Lời giải :

Cách 1 :

…………………………………………………..

Cách 2 :

…………………………………………………

Bài 4 : Cho biểu thức :







ĐKXĐ :

0x 

a. Tìm

nguyên để P nguyên

b. Tìm

để P nguyên

Lời giải :

a. Tìm

nguyên để P nguyên

………………………………………………

b. Tìm

để P nguyên

……………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………

Bài 5 : Cho biểu thức :

2 2 1x x x x x

x x x x x x

  

  



với

0, 1xx

a. Rút gọn biểu thức

b. Tìm

để biểu thức

chỉ nhận một giá

trị nguyên.

Lời giải :

………………………………………………

……………………………………………………

Bài 6 : Cho biểu thức





và

15 3 3

: , 0, 25.

B x x





   









a. Rút gọn biểu thức B.

b. Tìm x để

P A B

nhận giá trị nguyên.

Lời giải :

…………………………………………………….

……………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 34

………………………………………………

……………………………………………………

Bài tập về nhà

Bai 1 : Cho biểu thức:







và

2 2 4

x x x



  





a. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức B

b. Tìm các giá trị của x để biểu thức



nhận giá trị nguyên.

Bài 2 : Cho biểu thức:

2 1 2 3 9

x x x



  





a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

b. Tìm số nguyên

để biểu thức

có giá trị là số nguyên.

Bài 3: Cho biểu thức

3 9 3 1 2

( 0; 1)

2 2 1

x x x x

P x x

x x x x

   

    

   

a. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức P

b. Tìm x để

nguyên

Bài 4 : Cho hai biểu thức:







và

x x x





  

với

0, 1xx

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Rút gọn biểu thức



b. Tìm giá trị

x

để biểu thức

nhận giá trị nguyên dương.

Bài 5 : Cho hai biểu thức:







và

2 5 1















Với

0; 1; 9x x x  

a. Rút gọn biểu thức

b. Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu

AB

có giá trị là số tự nhiên.

Bài 6 : Cho các biểu thức

3 6 1 3

x x x x



  



và







với

0, 4xx

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm các số nguyên

để

AB 

Sắp kiểm tra 1 tiết - làm

bài tập củathầy đỗ đạt đi

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 36

Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

I. Lí thuyết :

II. Bài tập :

Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng điều kiện xác định”





ĐKXĐ :

0x 

...…………………………………………………







ĐKXĐ :

0x 

...…………………………………………………







ĐKXĐ :

0x 

…………………………………………….......





ĐKXĐ :

0x 

…………………………………………….......

Dùng điều kiện xác định : Dựa vào ĐKXĐ biện luận để ra min – max

Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra

Dùng hằng đẳng thức : Biến đổi biểu thức về hằng đẳng thức số 1 -2

Biện luận tìm min - max

Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm

Dựa vào đó biện luận biến đổi để ra min – max

Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” khi xảy ra

Dùng miền giá trị Xét biểu thức 1/A

Kết luận – GTLN – GTNN –dấu “=” khi xảy ra

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng hằng đẳng thức ”

8 3 4A x x   

...…………………………………………………

........……………………………………………...

...…………………………………………………

1 2 2B x x   

……………………………………………...





……………………………………………...







8 100

...…………………………………………………

……………………………………...............

……………………………………………...

………………………………………….......

……………………………………………........

Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau :

“ Áp dụng bất đẳng thức cô si ”

Cho 2 số không âm

,ab

2a b ab a b   

❶







ĐKXĐ

0x 

…………………………………………………

❷







ĐKXĐ

1x 

…………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 38

…………………………………………………

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng miền giá trị ”





ĐKXĐ

0x 

…………………………………………………







ĐKXĐ

1x 

………………………………………………

❶ Nếu bậc của tử bậc của mẫu thì ta chia tử cho

mẫu sau đó có thể biện luận bằng hằng

đẳng thức hoặc áp dụng BĐT Cô si .

❷ Nếu bậc tử < bậc của mẫu thì ta xét biểu thức

hoặc chia cả tử và mẫu cho



TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Cho hai biểu thức





và

2 1 2 3

x x x x

  

  





(với

0, 9xx

)

a. Rút gọn biểu thức B.

b. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P A .



Lời giải :

……………………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho hai biểu thức







và







với

0x 

Cho

,xZ

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.P AB

Bài 2 : Cho hai biểu thức :







và

3 2 5 3



  





với

0, 9xx

a. Rút gọn biểu thức Q .

b. Với

9x 

, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.A P Q

Bài 3 : Cho hai biểu thức:







và

3 1 1













với

01xx  

a. Rút gọn biểu thức B.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 40

Bài 3 : Cho các biểu thức







và

3 3 3 1 2

2 2 1

x x x x

   

  

   

với

0; 1xx

a. Rút gọn biểu thức

b. Tìm giá trị lớn nhất của



Bài 4 : Cho hai biểu thức:

3 2 2

2 3 5 6

x x x

x x x x

  

  

   

và





với

0; 4; 9x x x  

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm

để



đạt giá trị lớn nhất.

Bai 5 : Cho biểu thức

1 2 1

0, 1

x x x

P víi x x

x x x x

  

    



  

a. Rút gọn biểu thức P

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



Ôn Kiểm tra 1 tiết

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 11 : Tìm

để phương trình có nghiệm

I. Lí thuyết :

II .Bài tập :

Bài 1 : Cho biểu thức







và





ĐKXĐ :

0; 16xx

Tìm

để phương trình



có nghiệm

Lời giải :

……………………………………………………….

Bài 2 : Cho biểu thức :





và







ĐKXĐ :

0x 

Tìm

để phương trình



có nghiệm

Lời giải :

...……………………………………………………

……………………………………………………...

………………………………………………….......

Cô lập m theo x

Biện luận nghiệm tìm m

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 42

Bài 4 : Cho biểu thức







và

(

2( 2

1 1)

)

)(xx







với

0; 1xx

Tìm giá trị của

sao cho phương trình



có

nghiệm.

Lời giải :

……………………………………………………….

……………………………………………………...

Bài 3 : Cho biểu thức:







và





(Với

0x

)

Hãy tìm m để phương trình

A B m

có

nghiệm.

Lời giải :

……………………………………………………...

Bài 5 : Cho hai biểu thức A =





và B =

2 1 1

1 1 1

x x x x x





   

với

0; 1xx

a. Rút gọn biểu thức B

b. Tìm giá trị

để

.A B m

có nghiệm.

Lời giải :

…...……………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1: Cho hai biểu thức:





và

1 7 9







với

0; 9xx

a. Rút gọn biểu thức

b. Cho biểu thức



. Tìm giá trị

để

thỏa mãn

Pm

Bài 2: Cho biểu thức :





và

1 1 2

x x x x



  





  



với

0; 1xx

a. Rút gọn

.P AB

b. Tìm

để có giá trị

thỏa mãn

Pm

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 44

Bài 12 : Dạng toán “ mẹo “

I. Lí thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm

để

11AA  

với





( ĐKXĐ :

0; 1xx

)

Lời giải :

....................................................................................

Bài 2 : Tìm

để

PP

với





( ĐKXĐ :

0x 

)

Lời giải :

………………………………………………………

Bài 3 : Cho biểu thức:





ĐKXĐ :

0; 4xx

. Tìm

để

BB

0P 

PP

0P 

PP

0P 

PP

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 4 : Cho biểu thức :







ĐKXĐ

 0x

. Tìm

để

0.PP

Lời giải :

....................................................................................

Bài 5 : Cho biểu thức :





ĐKXĐ

0, 9xx

.Tìm

để

5AA

Lời giải :

....................................................................................

Bài 8 : Cho biểu thức :

( 1)



Tìm

thỏa

mãn:

6 3 4P x x x   

với

0x 

Lời giải :

………………………………………………………

Bài 6 : Cho biểu thức





ĐKXĐ

 0x

. Tìm

để

 

6 18 9x P x  

Lời giải :

………………………………………………………

Bài 7 : Cho biểu thức :

2 x





Đkxđ :

0x 

Tìm

sao cho

(1 ). 10xP

Lời giải :

………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 46

....................................................................................

Bài 10 : Cho biểu thức :







Tìm

thỏa mãn

MM

 

0x 

Lời giải :

....................................................................................

………………………………………………………

Bài 9 : Cho







. ĐKXĐ :

0x 

Tìm

các số nguyên x để

P 

Lời giải :

………………………………………………………

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ ………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….

❷ ………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

.......................................................

....................................................

3 3 3

27 125 3 43

.......................................................

3 3 3

1 8 64

3. 5. 3.

27 125 27





...................................................

..................................................

Bài 13 : Căn Bậc Ba

1. Lí thuyết :

❶

A B A B

  



 



    

3 3 2 2 3

( ) 3 3a b a a b ab b

    

3 3 2 2 3

( ) 3 3a b a a b ab b

    

3 3 2 2

( )( )a b a b a ab b

    

3 3 2 2

( )( )a b a b a ab b

❷

A B A B

..

❸ Với B  0 ta có:



2. Bài tập :

Bài 1 : Thực hiện phép tính :

729

………….

331,1

………….

216,0

………….

008,0

………….

343

………

027,0

………….

512,0

………….

064,0

………….

1 25

………….

512

………

Bài 2 : Thực hiện phép tính :

  

3 3 3

64 64 216

Bài 3: So sánh các căn bậc ba sau :

A

và

B

……………………………………………

A=21

và

B

3 213

……………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 48

……………………………………………

A

và

B

……………………………………………………………………………………………………………

Bài 4 : Giải phương trình :

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình )

   xx

2 1 3

   xx

13 22 5

  xx

2,5x 

……………………………………………

x

2 1 2

……………………………………………

xx

……………………………………………

2 1,2x 

……………………………………………

  x

1 3 4

……………………………………………

  x x x

……………………………………………

  A B A B

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1: Khái niệm hàm số

I. Lí Thuyết :

❶ Khái niệm hàm số

 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta

luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số

của

,xx

được gọi là biến số. Ta viết:

( ), ( ),...y f x y g x

 Giá trị của

()fx

tại

kí hiệu là

()fx

 Tập xác định D của hàm số

 ()y f x

là tập hợp các giá trị của x sao cho

()fx

có nghĩa.

 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm

hằng.

❷ Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số

 ()y f x

là tập hợp tất cả các điểm

( ; )M x y

trong mặt phẳng toạ độ

Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức

 ()y f x

❸ Hàm số đồng biến, nghịch biến

Xét hai giá trị bất kì

,xx

 R:







   



f x f x

: hàm số đồng biến trên R.







   



f x f x

: hàm số nghịch biến trên R.

II. Bài tập :

Bài 1 : Cho hai hàm số



( ) 2f x x

và

( ) 3 1g x x

a. Tính









(3), , (1), (0), ( 2), (5),g(4)

f f f g g g

b. Xác định a để

  3 ( ) 4 ( )f a g a

Lời giải :



( ) 2f x x

………………………………………….

g( ) 3 1xx

………………………………………….

  3 ( ) 4 ( )f a g a

………………………………………………………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 50

………………………………………………………………………………………………………

Bài 2 : Cho hàm số

 

   3.y f x x

Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của

rồi

điền vào chỗ chấm :

Bài 3 : Cho hàm số

 







y f x

a. Tìm ĐKXĐ của hàm số.

b. Tìm giá trị

để

 

 0fx

c. Tìm giá trị

để

( ) 1f x x

Lời giải :

a. …………………………………………….

( ) 0fx

……………………………………………….

( ) 1f x x

…………………………………………………..

……………………………………………………

….…………………………………………………

…….………………………………………………

……….……………………………………………

………….…………………………………………

…………….………………………………………

……………….……………………………………

………………….…………………………………

Bài 4 : Hãy biểu diễn các điểm sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :

( 1)f

=……….

(2)f

=………

(1)f

=………

(0)f

=……….

(3)f

=………..

Nhận xét :

Hàm số trên là hàm

số đồng biến hay

nghịch biến ? Vì sao ?

………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

 

1 ;3A

 

2 ;-1B

 

1 ; 2C

 

2;-4D

 

3 ;2F

 

2; -5G

()0 ;1H

( 3 ); 0I

( 1;5)J

( 4; .2)K

Bài 1.1 : Hàm số bậc nhất

I. Lí thuyết :

❶ Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

axyb

với

 0a

❷ Tính chất

Hàm số bậc nhất

axyb

xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau:

a. Hàm số đồng biến trên R nếu

 0a

b. Hàm số nghịch biến trên R nếu

 0a

II. Bài tập :

Bài 5 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? ( Tích dấu “X” vào ô đúng )

  21yx

5 3xy



3yx

24yx



Bài 6 : Hàm số nào đồng biến , nghịch biến :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 52

❶

32yx

…………………………………………………………

❷

  ( 3 1) 2yx

…………………………………………………

❸

42yx

…………………………………………………………

❹

   ( 2 2) 2 1yx

…………………………………………………

Bài 7 : Lấy 6 ví dụ hàm số bậc nhất đồng biến – 6 ví dụ hàm số nghịch biến :

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho hàm số

  

23y x x

Trong các điểm

     

4 ;-2 , 2 ;1 , 4;0 , ( 2 ) ;3 2A B C D

điểm nào thuộc và điểm nào không

thuộc đồ thị của hàm số trên ?

Bài 2 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Với các hàm số bậc nhất, hãy cho

biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến?

Cần xác định rõ

dạng của hàm số bậc

nhất :

y ax b

( 0)a

và

?; ?ab

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

5 3xy

54yx

  3( 1) 3y x x

  

2( ) 2x



Bài 3 : Cho hàm số

  42yx

a. Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R?

b. Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:

0; 2; 2 3; 4 3 2

c. Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:

  2;4; 5 6; 4 2

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 54

Bài 2 : Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng

I. Lí Thuyết :

❶ Cách vẽ đồ thị hàm số

y ax b

(

 0a

 Khi

 0b

thì

y ax

. Đồ thị của hàm số

 axy

là đường thẳng đi qua gốc toạ độ

 

0;0O

và

điểm

(1; )Aa

 Nếu

 0b

thì đồ thị

axyb

là đường thẳng đi qua các điểm

(0; )Ab









❷ Cho 2 đường thẳng: (d) :

y ax b

và (d) :

''y a x b

(với

, ' 0aa

 (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung 

'; 'a a b b

II. Bài tập :

Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số

21yx

và

  32yx

trên cùng hệ trục tọa độ

21yx

Lấy điểm :

  38yx

Lấy điểm :

Bài 2 : Tìm các đường thẳng song song , vuông góc và cắt nhau













(d) (d')

(d) // (d)











(d) cắt (d)

'aa

(d)  (d)

  . ' 1aa

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

21yx

   3 2 2yx

  2 2 7yx

  3 2 2yx



  

100

Bài 2.1 : Tìm tham số

để đồ thị hàm số

y = ax + b

cắt , vuông góc , song

song , trùng với đường thẳng đã biết

Bài 3 : Cho hàm số :

  ( 2) 2y m x

()d

a. Tìm m để

()d

là hàm số bậc nhất

b. Tìm m để

()d

là hàm số đồng biến

c. Tìm m để

()d

song song với đường thẳng

()d

23yx

d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng

()d

  32yx

e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

()d

   3yx

Lời giải :

a. ………………………………………………

………………………………………………

b. ………………………………………………

………………………………………………

c. ………………………………………………

………………………………………………

d. ………………………………………………

………………………………………………

Bài 4 : Cho hàm số :

   (2 1) 2y m x m

()d

a. Tìm m để

()d

là hàm số bậc nhất

b. Tìm m để

()d

là hàm số nghịch biến

c. Tìm m để

()d

song song với đường thẳng

(

33yx

d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng

(

23yx

e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

(

  53yx

f. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

(

42yx

Lời giải :

a. ………………………………………………...

……………………………………………………

b. ………………………………………………...

……………………………………………………

c. ………………………………………………...

……………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 56

………………………………………………

e. ………………………………………………

………………………………………………

d. …………………………………………...........

……………………………………………………

e. ………………………………………………...

……………………………………………………

f. ………………………………………………...

……………………………………………………

Bài 2.2 : Tìm m khi biết đường thẳng

(d)

đi qua một điểm

Bài 5 : Cho hàm số :

   (2 1) 4 3 ( )y m x m d

a. Tìm m để

 

đi qua

 

1; 5A

b. Tìm m để

 

đi qua

 

3;1B

c. Tìm m để

 

đi qua

 

3; 1C

Lời giải :

a. …………………………………………..

……………………………………………….

b. …………………………………………..

……………………………………………….

c. ……………………………………………………

…………………………………………………………

Bài 6 : Cho hàm số

(2 5 -) y m x m

a. Xác định

để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

b. Xác định

để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Lời giải :

a. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

Bài 7 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

cho đường thẳng (d):

 2 6yx

Xác định tọa độ các giao điểm A và B

của

 

với hai trục

,Ox Oy

. Vẽ

 

trong mặt phẳng tọa độ

O xy

Lời giải :

…………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho hàm số :

   (3 3 ) 5 2y m x m

()d

a. Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất

b. Tìm m để (d) là hàm số nghịch biến

c. Tìm m để (d) song song với đường thẳng

()d

  24yx

d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng

()d



GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58

e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng

()d

  

Bài 2 : Cho hàm số :

1y mx

. Tìm giá trị của m dể đường thẳng (d) đi qua

 

1; 2A

. Vẽ đồ

thị hàm số với m vừa tìm đc

Bài 3 : Cho hàm số

 

  12y m x

với

 1m

có đồ thị là đường thẳng

 

a. Vẽ đồ thị hàm số khi

 3.m

b. Tìm

để đường thẳng

 

song song với đường thẳng

  31yx

Bài 4 : Cho hàm số

 

   13y m x m

a. Vẽ đồ thị hàm số khi

 1m

b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số

  21yx

c. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số trên đi qua điểm

 

2; 4

d. Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 3 : Xác định phương trình đường thẳng :

y = ax + b

I. Lí Thuyết :

Hệ số góc của đường thẳng :

  ax ( 0)y b a

 Đường thẳng

axyb

có hệ số góc là a.

 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng

  ax ( 0)y b a

với tia





thì a > 0



thì a < 0.

 Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục

các góc bằng nhau.

Bước 1 : Gọi phương

trình đường thẳng

là :

y ax b

( 0)a

Bước 2 : Dựa vào dữ

kiện đề bài cho lập

phương trình sau

đó giải để tìm

;ab

( 0)a

Bước 3 : Kết luận

phương trình

II. Bài tập :

Dạng 1 : Biết hệ số góc và điểm đi qua

Xác định hàm số :

y ax b

(1)

a. Đi qua gốc tọa độ và

 

1; 3A

b. Có hệ số góc bằng

3

và đi qua gốc tọa độ

c. Có hệ số góc bằng

và đi qua

 

1; 2A

d. Có hệ số góc bằng 1 và đi qua

 

3;4A

Lời giải :

a. Đi qua gốc tọa độ và

 

1; 3A

 ……………………………………………….

……………………………………………….

 ……………………………………………….

b. Có hệ số góc bằng

3

và đi qua gốc tọa

độ

 ………………………………………….

…….…………………………………………

……………………………………………….

 ………………………………………..…

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 60

……………………………………………….

c. Có hệ số góc bằng

và đi qua

 

1; 2A

 ……………………………………………….

……………………………………………….

 ……………………………………………….

……………………………………………….

….……………………………………………

………………………………………………

d. Có hệ số góc bằng 1 và đi qua

 

3;4A

 …………………………………………

………………………………………………

……………………………………………….

 …………………………………………

…….…………………………………………

……………………………………………….

Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B

Bài 2 : Xác định hàm số :

y ax b

(1)

a. Đi qua

 

1; 2A

và

(3; 2)B

b. Đi qua

(3;2)A

và

(0;2)B

c. Đi qua

(1;2)A

và

(2; 5)B

d. Đi qua

( 3; 1)A

và

( 6; 2)B

e. Đi qua gốc tọa độ và

(1;3)A

Lời giải :

a. Đi qua

 

1; 2A

và

(3; 2)B

……………………………………………….

b. Đi qua

(3;2)A

và

(0;2)B

……………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………….

c. Đi qua

(1;2)A

và

(2; 5)B

……………………………………………….

e. Đi qua gốc tọa độ và

(1;3)A

……………………………………………….

d. Đi qua

( 3; 1)A

và

( 6; 2)B

……………………………………………….

Bài 3 : Viết phương trình đường thẳng

y ax b

thỏa mãn các điều kiện sau:

a. Đi qua điểm







;

và song song với đường thẳng

2 3.yx

b. Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm

 

2;1B

c. Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm

 

1;2C

d. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

e. Đi qua 2 điểm

 

1;2M

và

 

3;6N

f. Có hệ số góc bằng 3 và cắt đường thẳng

2yx

tại điểm có hoành độ là 1.

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 62

……………………………………………………………………………………………………...

b. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

c. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

d. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

e. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

f. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

Bài 4 : Cho các đường thẳng:

 

 7 -1yx

và

 



a. Viết phương trình đường thẳng

 

qua

 

4 ;5M

và song song với đường thẳng

 

b. Viết phương trình đường thẳng

 

qua

 

3;-2N

và vuông góc với đường thẳng

 

c. Viết phương trình đường thẳng

 

qua hai điểm M và N.

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

b. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………………………………………………...

c. ……………………………………………………………………………………………………...

……………………………………………………………………………………………………...

Bài tập về nhà

Bài 1 : Xác định hàm số

y ax b

biết:

a. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm

 

1;2A

b. Đồ thị hàm số đi qua

 

3;2B

và song song với đường thẳng

  27yx

c. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ

3y

, cắt trục hoành tại điểm có hoành

độ

 2x

d. Đồ thị hàm số đi qua điểm

 

3; 1C

và vuông góc với đường thẳng

2 4 1yx

Bài 2 : Xét đường thẳng

 

  3 +1 2 1y m x m

. Định m để đường thẳng

 

a. Đi qua gốc tọa độ.

b. Đi qua

 

2; 3A

c. Cắt đường thẳng

 3 -7yx

tại một điểm trên trục tung

d. Song song với đường thẳng

  52yx

e. Vuông góc với đường thẳng

 -2 +1.yx

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 64

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy

I. Lí thuyết :

Dạng 1 : Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng :

Phương trình hoành độ giao

điểm của 2 đường thẳng

Tìm ra giá trị

Kết luận tọa độ giao điểm

II. Bài tập

Bài 1 : Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau :

()d

21yx

và

()d

32yx  

 ……………………………………………………….

……………………………………………………….

 ……………………………………………………….

……………………………………………………….

()d

35yx  

và

()d

42yx

 ………………………………………………...

……………………………………………………

 ………………………………………………...

………………………………………………...

Bài 2 : Tìm m để giao điểm của

()d

2y mx

và

()d

32y x m  

tại điểm

(1; 2)A 

Lời giải :

…………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Dạng 2 : Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy :

Chọn 2 đường thẳng

“dễ”rồi tìm tọa độ

giao điểm giữa chúng

(Vị trí tương đối )

Thay tọa độ giao

điểm đó vào

đường thứ 3

Giải phương

trình

tìm

Kết luận

Bài 3 : Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy :

21yx

()d

và

32yx  

()d

;

42y x m  

()d

 ……………………………………………………….

……………………………………………………….

 ……………………………………………..

……………………………………………………

…………………………………………………….

42yx  

()d

và

32yx

()d

;

( 1) 2 3y m x m   

()d

 ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 66

………………………………………………………………………..

Dạng 3 : Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số :

Bước 1 : nhóm

thành 1 nhóm

Bước 2 : Cho các giá trị bằng

tìm ra được

x,y

Bước 3 : Kết luận

Bài 4 : Tìm điểm cố định mà đường thẳng

()d

đi qua

( 2) 3y m x m   

ĐK

2m 

…………………………………………………………….

(3 1) 2 1y m x m   

ĐK :

m 

…………………………………………………

Dạng 4 : Tìm

để 3 điểm thẳng hàng :

Bài 5 : Tìm m để 3 điểm

,,A B C

thẳng hàng :

Viết phương

trình đường

thẳng AB

Bước 1

Thay tọa độ C

vào đường

thẳng

Bước 2

Tìm m và kết

luận

Bước 3

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 6 : Cho hàm số

 

y m 2 x m 3   

()d

a. Vẽ đồ thị hàm số khi

3m 

b. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số

y 2x 1  

()d

c. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số trên đi qua điểm

 

A 1; 4

d. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi

e. Tìm

để

()d

;

()d

;

()d

32yx

đồng quy .

f. Tìm

để ba điểm

, điểm cố định của hàm số và

(1; 2 1)Cm

thẳng hàng

Lời giải :

……………………………………………………………….

……………………………………………………………

(5; 2), B(3; 7), C( 3 ;2 )A m m   

…………………………………………………

(3;2), B( 1;5), C(2 ;3 5 )A m m  

……………………………………………………..

……..………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 68

……………………………………………………………….

……………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho hàm số

 

y 2m 1 x 5m 4   

()d

a. Vẽ đồ thị hàm số khi

4m 

b. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số

31yx  

()d

c. Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số trên đi qua điểm

 

A 1; 3

d. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi

e. Tìm

để

()d

;

()d

;

()d

52yx  

đồng quy .

f. Tìm

để ba điểm

, điểm cố định của hàm số và

(4 2m; 2)C 

thẳng hàng

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Tìm m để khoảng cách từ

đến đường thẳng

(d)

là lớn nhất

I. Lí thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình

 

2 1 2kx k y  

(

là tham số)

Tìm

để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………

b. ………………………………………………………………………………………………………………

Cách 1 :

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………..







Cách 1 :

❶ Đưa về tam giác vuông để áp

dụng hệ thức lượng :

2 2 2

1 1 1

OH OA OB



❷ Biện luận để tìm giá trị lớn nhất

Cách 2 :

❶ Tìm điểm cố định mà (d) đi qua A.

❷ Phương trình đường thẳng



đi qua

hai điểm

(1; 2);O(0;0)A 

❸ Do (d) vuông góc với



nên tìm được

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 70

…………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….

Cách 2 :

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Cho đường thẳng :

  (2 3) 2y m x

(d)

a. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng 2

b. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) có giá trị lớn nhất

Lời giải :

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5.1 : Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác

I. Lí thuyết

Bài 1 : Cho hàm số bậc nhất

( 2) 2y m x  

có đồ thị là đường thẳng (d)

đường thẳng (d) cắt trục

tại

, cắt trục

tại

a. Tìm

để diện tích tam giác

OAB

bằng 3 .

b. Tìm

để (d) tạo với trục

một góc bằng

Lời giải :

a. ……………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….

Vẽ các đường thẳng lên

trục tọa độ

Dựa vào hình vẽ tính

diện tích cần tìm



S = S.h

Kết luận

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 72

…………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Cho đường thẳng (d) có phương trình

 

3 2 2y m x m   

. Đường thẳng (d) cắt

tại B,

tại A . Tìm m để diện tích

OAB



bằng

Lời giải :

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho hàm số

 

13y m x  

với

1m 

có đồ thị là đường thẳng

 

a. Vẽ đồ thị hàm số khi

2.m

b. Tìm

để đường thẳng

 

song song với đường thẳng

21yx  

c. Tìm

để đường thẳng

 

cắt hai trục tọa độ

,Ox Oy

tạo thành một tam giác có diện

tích bằng 9.

Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

()d

24yx

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Xác định tọa độ các giao điểm A và B của

()d

với hai trục

. Vẽ

()d

trong mặt

phẳng tọa độ

Oxy

b. Tính chu vi và diện tích ∆OAB.

c. Tìm m để đường thẳng

 

2 2 2y m m m  

song song với

()d

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 74

CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài

I. Lí Thuyết :

1. Các công thức hệ thức lượng :

❶

.AB BH BC

Pi-ta-go:

2 2 2

AB AH BH

2 2 2

AB BC AC

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm

;xy

❶

…………………………………………………………

❷

……………………………………………………

❷

.AC CH BC

Pi-ta-go:

2 2 2

AC AH CH

2 2 2

AC BC AB

222

BC AB AC

❸

..AH BC AB AC

❹

.AH BH CH

❺

222

1 1 1

AH AB AC



TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………

❸

…………………………………………………………

❺

…………………………………………………………

Hệ thức lượng

……………………………………………………

❹

……………………………………………………

❻

……………………………………………………

Muốn làm tốt phần này cần :

 Vẽ hình to – rõ ràng – kí hiệu

các góc vuông .

 Thuộc công thức và xác định rõ

các đại lượng cần tính

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 76

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =

5 cm, BC = 13 cm. AH là đường cao. Tính :

a. BH

b. CH

c. AC

d. AH

a. …………………………………………………..

…………………………………………………...

b. ………………………………………………….

c. …………………………………………………..

.………………………………………………….

..…………………………………………………

d. …………………………………………………..

.………………………………………………….

..…………………………………………………

...………………………………………………...

Bài 4 : Cho ∆ABC biết BC = 12,5cm, AC =

6,5cm, AB = 10,7cm.

a. ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao của

∆ABC.

b. Tính độ dài các cạnh BH, HC.

a. ...……………………………………………….

....………………………………………………

.....……………………………………………...

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường

cao AH. Biết AB = 4cm, AC = 8,5cm. Tính :

a. BH

b. CH

c. AH

a. ……………………………………………

……………………………………………

b. ……………………………………………

c. ……………………………………………

……………………………………………

Bài 5 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường

cao AH. Biết AB = 8 cm, BH = 6 cm. Tính :

a. AH

b. AC

c. CH

a. ...…………………………………………

...………………………………………….

…....………………………………………

...………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…….....………………………………………...

……….....……………………………………...

b. ...……………………………………………….

...……………………………………………….

....………………………………………………

.....……………………………………………...

…...…………………………………………….

Bài 6 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao

AH. Tính diện tích ∆ABC biết AH = 15 cm, BH

= 9 cm.

...……………………………………………………

b. ...………………………………………….

…….....…………………………………...

…..………………………………………..

...………………………………………….

c. ...………………………………………….

…….....……………………………………

…..………………………………………..

...………………………………………….

……………………………………………

...………………………………………….

Bài tập Thực tiễn :

Bài 7 : Tính chiều cao cây :

Lời giải :

……………………………………………………

……

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 78

Bài 8 : Tính độ dài quãng đường từ bờ sông đến khóm hoa :

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, AB = 12 cm. AH là đường cao. Tính :

a. BC

b. BH

c. CH

d. AH

Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 8,2cm, BH = 5,3cm. Tính :

a. AH

b. AC

c. CH

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 13 cm, CH = 52 cm. Tính :

a. BC

b. AH

c. AB

d. AC

Lời giải :

……………………………

….

……………………………

………………………….

……………………………

…………………..

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2 : Tính độ dài cạnh dựa vào tỉ lệ - phân giác - chu vi – diện tích

I. Lí Thuyết :

Chu vi

AB AC BC  

II . Bài tập :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có

BC = 17cm. Tính chiều dài hai cạnh góc

vuông biết

AB AC

………………………………………………………

Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A. biết

dường cao AH = 16cm và

Tính HB, HC.

………………………………………………

..…...…………………………………...........

1. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

bằng nửa cạnh huyền:



AM BC

( AM là đườngtrung tuyến )

2. Tính chất đường phân giác của tam giác:



MC AC

MB AB

( AM là đường phân giác )

3. Chu vi tam giác :

Chu vi

  AB AC BC

4. Diện tích tam giác :





ABC

S AH BC

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 80

………………………………………………………

Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 5 cm,

AC = 12 cm, phân giác AD, đường cao

AH. Tính HB, HC,HD

………………………………………………………

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có hai đường

chéo vuông góc với nhau. Chứng minh:

2 2 2 2

AD BC AB CD

…………...……………………………….…

………………...……………………….……

……………………...………………………

…………………………...…………………

………………………………...……………

……………………………………...………

…………………………………………...…

……………………………………………...

Bài 4 : Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường

cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 16

cm,

……………………………………………...

...……………………………………………

……...………………………………………

…………...…………………………………

………………...……………………………

……………………...………………………

…………………………...…………………

………………………………...……………

……………………………………...………

…………………………………………...…

………………………………………………

...……………………………………………

……...………………………………………

…………...…………………………………

………………...……………………………

……………………...………………………

……………………………………………...

Bài 6 : Cho tam giác ABC có diện tích S .

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………

…..………………………………………………..

………..…………………………………………..

……………..……………………………………..

…………………..………………………………..

………………………..…………………………..

……………………………..……………………..

…………………………………..………………..

……………………………………………………

chứng minh ta luôn có diện tích tam

giác luôn nhỏ hơn nửa tích hai cạnh .

………………………………………………

…...…………………………………………

………...……………………………………

……………...………………………………

…………………...…………………………

………………………...……………………

……………………………...………………

…………………………………...…………

………………………………………...……

……………………………………………...

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là

, cạnh huyền là 26. Tính

độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bài 2 : Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD

vuông góc với nhau, BD = 15cm.

Bài 3 : Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo

vuông góc với cạnh bên. Tính đường cao của hình thang.

Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng AM cắt đường

thẳng DB, DC lần lượt tại I và N. Chứng minh:

2 2 2

1 1 1

AB AM AN



GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 82

Cạnh huyền

Cạnh đối

Cạnh kề

Bài 3: Tỉ số lượng giác của góc nhọn :

Sinx-cosx-tanx-cotx

I. Lí Thuyết :

4 Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong vuông: Thần chú : Sin Đi Học

Cos Không Hư

❶





§èi

sin

uyÒnH BC

Tan Đoàn Kết

Cot Kết Đoàn

❷

cos

Ò AB

uyÒn

CH B







❸

èi

tan

Ò AB





❹

cot

èi

ÒB

K A





II. Bài tập :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các

tỉ số lượng giác của góc B khi:

a. BC = 5 cm, AB = 4 cm.

……………………………………………………

Bài 2 : Cho ABC vuông tại A có đường

cao AH. Tìm số đo của các góc B và C, biết:

a. AB = 5 cm và AC = 7cm

………………………………………………

b. HB = 8 cm và HC = 32cm.

Tỉ số lượng giác của

góc nhọn luôn

dương :

0 < sin



< 1

0 < cos



< 1.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

b. BC = 13 cm, AC = 5 cm.

……………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………

c. AC= 6 cm, AB = 8 cm.

…………………………………………………….

……………………………………………………

Bài 4 : Cho ABC vuông tại A, biết AB = 12cm

và BC = 20cm.

a. Tính góc B và C

b. Tìm độ dài đường cao AH và phân giác

AD.

………………………………………………

c. AB = 6 cm và BC = 10cm.

………………………………………………

Bài 3 : Cho ABC có AB = 9 cm, AC = 12cm và

BC = 15 cm.

a. Chứng minh ABC vuông tại A.

b. Tìm số đo các góc B và C.

c. Tìm độ dài của đường cao AH.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 84

a. …………………………………………………

…………………………………………………….

b. …………………………………………………

…………………………………………………….

……………………………………………………

a. …………………………………………..

……………………………………………...

……..……………………………………….

b. …………..................................................

……………………………………………...

c. ……………………………………………...

……………………………………………...

Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh:

ABC

S AB BC SinB





…………………………………………………………………………………………………………….

Chú ý : hệ thức

lượng chỉ áp dụng

cho tam giác

vuông

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………………………………………………………

Tương tự ta có

. A .

ABC

S AB C SinA





.BC .

ABC

S AC SinC





Bài 6 : Cho tam giác

ABC

ta có :

  

2 2 2

2 . .cosAB AC BC AC BC C

……………………………………………………………………………………………………………

Tương tự có biểu thức :

  

222

2 2 2

2 . . .

BC AB AC AB AC cosA

AC AB BC AB BC cosB

Bài tập thực tiễn

Bài 7 : Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng 70

Và bóng của tháp trên mặt đất

dài 118 m. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

………………………………………………………….

……………………………………………….

(Tháp eiffel – Pháp )

118m

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 86

Bài 8 : Tính chiều cao bóng đèn so với mặt đất (xe cần cẩu)

………………………………………………………….

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc C , biết rằng:

a. AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm.

b. Đường cao AH , AC = 13 cm và CH = 5cm.

c. Đường cao AH, CH = 6 cm và BH = 4,5cm

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9 cm và AC = 14 cm.

a. Tính góc B.

b. Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.

c. Vẽ AH  BI tại H. Tính AH.

Bài 3 : Một con mèo ở trên cành cây cao 6,5m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho

đầu cầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của hình thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc

thang dài 6,7m.

Theo em bài này các em chú ý những điều gì :

❶ …………………………………………………...

………………………………………………………

❷ …………………………………………………...

………………………………………………………

❸ …………………………………………………...

………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 4 : Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác

I . Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác :

II. Bài tập :

Bài 1 : Dựng góc  biết

cos

. Tính độ lớn

của góc .

❶ ……………………………………………….

……………………………………………….

❷ ……………………………………………….

……………………………………………….

❸ ……………………………………………….

……………………………………………….

❹ ……………………………………………….

……………………………………………….

Bài 2 : Dựng góc



biết

tan

.Tính

góc vừa dựng

❶ …………………………………………….

…………………………………………….

❷ …………………………………………….

…………………………………………….

❸ …………………………………………….

…………………………………………….

❹ …………………………………………….

……………………………………………..

Bước 1

Dựng góc

vuông xOy

và chọn 1

đoạn thẳng

làm đơn vị.

Bước 2

Dựa vào góc

cần dựng là

Sinx , Cosx ,

tanx , cotx để

chọn điểm

trên trục tọa

độ cho phù

hợp

Bước 3

Dựng các

cung tròn cho

hợp lí ta sẽ

được góc

OAB cần

dựng

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 88

II. So sánh các giá trị lượng giác và tính các giá trị lượng giác khi biết một đại

lượng

Các công thức lượng giác

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau



cos

sin

tan 

sin  cosxy



sin

cos

cot 

cos sinxy

1cot.tan 



tan cotxy

1 tan

cos





tanCotx y





1 cot

sin

Bài 1 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ

tự tăng dần (không sử dụng máy tính) :

Đề bài

Biển đổi

35tan

......................................................

63cot

.....................................................

80tan

......................................................

32cot

......................................................

50cot

......................................................

Điền đáp án vào đoàn tàu nhé !!!

Bài 2 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo

thứ tự giảm dần (không sử dụng máy tính) :

Đề bài

Biến đổi

30sin

……………….

…...........

cos20

……………….

………....

sin 46

……………….

……….…

cos67

……………….

……….…

cos45

……………….

……….....

Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau:

Đổi các giá

trị lượng

giác về cùng

1 loại sinx

hoặc cosx ...

Bước 1

Số nào lớn

hơn thì giá

trị lượng

giác đó lớn

hơn

Bước 2

Sắp xếp và

viết lại giá

trị lượng

giác ban

đầu theo

thứ tự

Bước 3

1sin x cos x

90xy

…………

……..

…………

……..

…………

……..

…………

……..

…………

……..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

   

0 0 0 0 0

sin15 sin75 cos15 cos75 sin45

…………………………………………………………

…..……………………………………………………

………..………………………………………………

  

0 0 0 0

sin25 sin64 cos26 cos65

………………………………………

…..………………..…………………

………………………………………

………….. ………………………….

     

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

cos 13 cos 25 cos 34 cos 45 cos 56 cos 65 cos 77

…………………………………………………………………………………………………………

...……………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………

     

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 70 sin 80

…………………………………………………………………………………………………………

Bài 4 : Biết





sin

và



là góc nhọn .Tính

  

cos ;tan ;cot

.................................................................................

........................................................................................

.................................................................................

Bài 6 : So sánh quãng đường mà 2 người phải đi tới

đảo hoang bên kia .

Bài 5 : Cho



 2tan

và



là góc nhọn .Tính

  

;;sin cos cot

........................................................................

.......................................................................

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 90

…………………………………………………

………………………………………………....

…………………………………………………

………………………………………………....

…………………………………………………

12m

Bài tập về nhà

Bài 1 : Dựng góc



biết





cos

Bài 2 : Tính giá trị biểu thức sau :

   

0 0 0 0 0

sin20 tan25 cot65 cos70 sin30

   

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

cos 20 cos 40 cos 50 cos 70 tan 45

Bài 3 :

a. Cho





tan

và



là góc nhọn . Tính cot



; sin



; cos



b. Cho





sin

và



là góc nhọn . Tính cot



; tan



; cos



Nhớ học thuộc công thức

lượng giác đi nhé !!!

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Chứng minh biểu thức lượng giác

I. Lí thuyết :

   

2 2 2

( ) 2A B A AB B

   

2 2 2

( ) 2A B A AB B

   

( )( )A B A B A B

    

3 3 2 2 3

( ) 3 3A B A A B AB B

    

3 3 2 2 3

( ) 3 3A B A A B AB B

    

3 3 2 2

( )( )A B A B A AB B

    

3 3 2 2

( )( )A B A B A AB B

II. Bài tập

Bài 1 : Chứng minh rằng với góc nhọn  tùy ý, mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào  :

a. A =

   

   

(sin cos ) (sin cos ) 4

…………………………………………………………………….

   

   

6 6 2 2

B sin cos 3sin cos 1

…………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………

Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau:





sin cos 1



tan .cot 1





sin

tan

cos





cos

cot

sin





1 tan

cos





1 cot

sin

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 92



(1 cos )(1 cos )

……………………………………..





1 sin cos

……………………………………..

  



2 2 2

cos tan cos

……………………………………..

  



sin sin cos

……………………………………………

  



2 2 2

tan sin tan

……………………………………………

   



4 4 2 2

sin cos 2sin cos

……………………………………………

Bài 3 : Cho



4tan cot

. Tính giá trị của biểu

thức



 4.A sin cos

……………………………………………………….

Bài 4 : Biết





cos

, tính A =





3sin 2cos

……………………………………………………….

Bài 5 : Cho



tan cot 2

. Chứng minh rằng :

   

  

2 2 3 3

tan cot tan cot

……………………………………………………….

Bài 6 : Biết



 2tan

. Tính :









2sin os

7sin 4cos

Th1 :

.......................................................................

Th2 :

.......................................................................

......................................................................

   







sin sin . s s

2sin . s

co co

Th1 :

.......................................................................

Th2 :..............................................................

......................................................................

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………….

......................................................................

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho góc nhọn

. Chứng minh :







1 2sin

cos sin

   



  



(sin cos ) (sin cos )

sin .cos

Bài 2 : Cho



tan 2

. Tính









sin cos

Bài 3 : Biết





sin

. Tính









2tan 10 os

5 s 4cot

Nhớ làm bài tập về nhà

cẩn thận !!!

Theo em bài này các em chú

ý những điều gì :

❶ ………………………………….

……………………………………..

❷ ………………………………….

……………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 94

Bài 6 : Giải tam giác vuông

I. Lí thuyết:

II. Bài tập

Bài 1 : Giải tam giác ABC vuông tại A , biết :

a. AC = 80 cm và góc



30B

...................................................................................

b. BC = 60 cm và góc



30C

...............................................................................

c. AB = 50 cm và góc



60B

......................................................................

d. AB = 60 cm và AC = 80 cm

......................................................................

Bước 1 :

Vẽ hình và xác định rõ các đại lượng cần tìm

Bước 2 :

Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm cạnh và góc

Bước 3 :

Kết luận

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

...............................................................................

......................................................................

.....................................................................

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 30

, AB = 8cm

a. Giải tam giác vuông ABC.

b. Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của



ABC. Tính diện tích



AHM.

a. ………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

b. ………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

Bài 3 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 4,6cm ; HC = 5,4cm

a. Tính : AB, AC, AH.

b. Kẻ HE



AB ; HF



AC. Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF.

c. Chứng minh:



AEF

và



ABC

đồng dạng.

Lời giải :

……………………………………………………………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 96

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..…………..

……………………………………………………………………………………………………………

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết

6 , D 8AC cm B cm



60AOB

. Tính diện tích tứ giác ABCD.

……………………………………………………………………………………………………………...

……………...………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………...

……………...………………………………………………………………………………………………

Cho tam giác nhọn ABC:





ABC

S AB BC SinB

( đã chứng minh ở bài 3)

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC. Gọi

,,a b c

lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,

B, C. Chứng minh:



sinA sin sin

a b c

……………………………………………………………………………………….............................

……………………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải tam giác vuông ABC tại A :

a. AB = 8 cm và B = 45

b. AB = 5 cm và BC = 13 cm.

Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc với AC, cắt AC ở H. Biết rằng AB =

10cm; DH = 5cm. Tính độ dài BD.

 14,22BD cm

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, HC = 12cm.

a. Tính độ dài HB, BC, AB, AC

b. Kẻ . Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.

HD AC (D AC)

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 98

Bài 7 : Bài Tập Tổng Hợp

I. Lí thuyết :

1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Th1 :

ccc



' ' ' ' ' '

AB AC BC

A B A C B C

Th2 :

c g c



' ' ' '

AB AC

A B A C

và

 'AA

Th3 :

g - g

 'AA

và

 'CC

Đặt biệt tam giác bằng

nhau :

 'BB

Hoặc

 ''AB A B

2. Bài tập

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 4 cm, BC = 10 cm. Gọi E, F lần lượt

là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.

a. Giải tam giác vuông ABC.

b. Tính độ dài AH và chứng minh:

 .EF AH

c. Tính:

. . .EA EB AF FC

Lời giải :

a. …………………………………………………...........

…………………………………………………...........

.....…………………………………………………......

…………………………………………………...........

b. …………………………………………………...........

c. ………………………………….......

………………………………….......

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………...........

..………………………………….....

....…………………………………...

......………………………………….

........………………………………

….........……………………………

…….........…………………………

……….........………………………

………….........……………………

Bài 2 : Cho hình thang ABCD có



90AD

và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O.



.AD AB DC

b. Cho AB = 8, CD = 12. Tính diện tích hình thang ABCD.

c. Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD

Lời giải :

……………………………………………………

……………………………………………………..

……………………………………………………

 Vẽ hình :

…………………………………………

..……………………………………….

…………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 100

Bài 3 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.

a. Biết

45AB AC

. Tính

sin ACB

tan ACB

b. Vẽ đường phân giác CK của AHC. Biết AH =4,6 cm; BH = 3,2 cm. Tính CH, AC, CK,

osc HCK

c. Lấy M  BC. Kẻ ME  AB tại E và MF  AC tại F. Chứng minh MB.MC = EA.EB + FE.FC

Lời giải :

 Vẽ hình :

a. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

….………………………………………………………………

……..……………………………………………………………

………..…………………………………………………………

…………..………………………………………………………

……………..……………………………………………………

………………..…………………………………………………

…………………..………………………………………………

……………………..……………………………………………

b. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…..………………………………………………………………

……..……………………………………………………………

………..…………………………………………………………

…………..………………………………………………………

……………..……………………………………………………

………………..…………………………………………………

…………………..………………………………………………

……………………..……………………………………………

………………………..…………………………………………

…………………………..………………………………………

c. …………………………………………………………………………………………………………

…...……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

101

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………………

Bài 4 : Một máy bay đang bay ở độ cao 25km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của

máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.

a. Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng

thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt

đầu cho máy bay hạ cánh?

b. Nếu cách sân bay 200km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu?

Bài 5 : Một khúc sông rộng khoảng 300m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy phải

chèo khoảng 380m mới tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc bằng bao

nhiêu?

…………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1: Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 102

. . .AF AB AH AD AE AC

..DH DA DB DC

. . .BF BA BH BE BD BC

. . .HB HE HC HF HA HD



..BH BE CH CF BC

. . DB DC DH DA

Bài 2 : Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với

góc  = 10

. Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là bao nhiêu mét ?

Bài 3 : Cho hình thang ABCD (



90AD

). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ MK  BC tại K.

Biết AB = 9 cm, BC = 25cm, CD = 16cm.

a. Tính AD, MB, MC.

b. Chứng minh : MBC vuông tại M.

c. Tính MK và diện tích MKC.

Bài 4 : Tính độ dài dây kéo vật

Bài 5 : Tính khoảng cách AC giữa tàu

ngầm và tàu trên mặt nước

Theo em bài này các em chú ý những

điều gì :

❶ ………………………………….

……………………………………..

❷ ………………………………….

……………………………………..

❸ ………………………………….

…………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

103

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1 : Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn

I. Lí Thuyết :

󰪻 Đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm M cách

điểm O một khoảng bằng R.

 

;OM R M O R  

󰪼 Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm M.

 M nằm trên đường tròn (O; R) 

OM R

 M nằm trong đường tròn (O; R) 

OM R

 M nằm ngoài đường tròn (O; R) 

OM R

󰪽 Cách xác định đường tròn : Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và

chỉ một đường tròn.

󰪾 Tính chất đối xứng của đường tròn

 Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng

của đường tròn đó.

 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối

xứng của đường tròn

󰪿 Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn này là giao

điểm của hai hay ba đường trung trực của tam giác đó..

󰫀 Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền.

Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam

giác đó là tam giác vuông

•Xác định

tâm đường

tròn O

Bước 1

• Chứng minh OA

= OB = OC

• Sử dụng các tính

chất

Bước 2

•Kết luận

các điểm

thuộc một

đường tròn

Bước 3

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 104

II. Bài tập :

Bài 1 : Dựa vào hình vẽ bên dưới các em hãy tìm các điểm cách đều điểm O

Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD.

a. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.

b. Cho AB = 3cm và BC = 5cm. Tính bán kính của đường tròn trên.

Lời giải :

a. ……………………………………………………….

……………………………………………………….

b. ……………………………………………………….

……………………………………………………….

 Vẽ hình :

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E. Gọi M, N,

P, Q lần lượt là trung điểm của DE, EB, BC, CD.

a. Chứng mình rằng : 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn .

b. Tính diện tích

MNPQ

biết

8BD cm

và

6EC cm

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………….......

………………………………………………………………………………………………….......……

…………………………………………………………………………………………….......................

…………………………………………………………………………………………………...............

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

105

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………...............

…………………………………………………….........

 Vẽ hình

b. ……………………………….........

……………………………….........

Bài 4 : Cho ABC cân tại A, đường cao AD và BE . Gọi F là trung điểm của AB

a. Chứng minh: 4 điểm A, B, D và E cùng nằm trên một đường tròn.

b. Chứng minh : C không thuộc đường tròn trên.

Lời giải :

 Vẽ hình

a. ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 106

…………………………………………………………………………………………………………..

Bài 5 : Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có 



 



 



, CD = 2AD.

a. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b. Tính diện tích hình thang ABCD biết

4AD cm

1,5AB cm

Lời giải :

a. …………………………………………………

……………………………………………………..

b. …………………………………………………

……………………………………………………..

 Vẽ hình

Bài 6 : Cho điểm

bên ngoài đường tròn

 

;.OR

Tia

cắt

 

tại

và

(

nằm

giữa

và

). Lấy

bất kì thuộc

 

và khác hai điểm

và

Chứng minh:

.MA MC MB

Lời giải :

 Vẽ hình

………………………………………………………………..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

107

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho ABC đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng

bốn điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2 : Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK.

a. Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn.

b. So sánh KH và BC.

Bài 3 : Cho tam giác ABC, góc A tù . Kẻ các đường cao AD , BE, CF của tam giác ABC . Chứng

minh rằng :

a. Các điểm A, D, B, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b. Các điểm A, D, C, F cùng nằm trên 1 đường tròn.

c. Các điểm B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn .

Bài 4 : Cho tam giác

ABC

nhọn có hai đường cao

và

.CE

Gọi

và

lần lượt là trung

điểm của

và

.DE

a. Chứng minh bốn điểm

, , ,B C D E

cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh

vuông góc với

.DE

Bài 5 : Cho tứ giác

ABCD

có

90BD

. Gọi

là trung điểm của

.AC

Chứng minh bốn

điểm

, , ,A B C D

cùng thuộc đường tròn đường kính

.AC

Bài 6 : Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC , N là điểm thuộc đường chéo AC sao

cho AN



AC . Chứng minh 4 điểm M , N , C , D thuộc cùng một đường tròn .

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 108

Bài 2 : Đường kính và Dây cung

I. Lí thuyết :

󰪻 So sánh độ dài của đường kính và dây :

 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Từ đó suy ra nếu

AB là một dây cung bất kì của

 

;OR

thì

2AB R

󰪼 Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm

của dây ấy.

 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua

tâm thì vuông góc với dây ấy.

II . Bài tập :

Bài 1 : Tìm các đường kính và dây trong hình vẽ sau :

…….

Bài 2 : Cho đường tròn

 

đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB tại I. Gọi H

và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK.

Lời giải :

……………………………………………………………………

 Vẽ hình

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

109

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………………

Bài 3 : Cho tam giác

ABC

nhọn có trực tâm

và nội tiếp đường tròn tâm

Vẽ đường

kính

.AK

a. Chứng minh tứ giác

BHCK

là hình bình hành.

b. Kẻ

OM BC

ở

Chứng minh

,,H M K

thẳng hàng.

c. Chứng minh :

2.AH OM

Lời giải :

a. ……………………………………………………...

…………………………………………………….....

b. …………………………………………………….....

…………………………………………………….....

 Vẽ hình

c. ………………………………………

.………………………………………….

…………………………………………..

Bài 4 : Cho đường tròn

 

;OR

và ba dây AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B

trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN ≤ 2R.

Lời giải :

………………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 110

Bài 5 : Cho đường tròn

 

;6cmO

và hai dây

4AB CD cm

. Hai đường thẳng

và

cắt nhau ở

Gọi

và

là trung điểm của

và

tương ứng.

a. Chứng minh

OH OK

và

.IH IK

b. Biết

30KOI 

.Tính OH và KI

Lời giải :

a. ………………………………………………………

………………………………………………………

 Vẽ hình :

b. …………………………………………...

…………………………………………...

 Vẽ hình :

………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

111

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………...

Bài 6 : Cho AB và CD là hai dây của đường tròn

();OR

. Gọi OH, OK vuông góc với AB và CD.

Chứng minh rằng

AB CD

OH OK  

Lời giải :

 Vẽ hình :

……………………………………………………………..

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng :

ABCD

2

Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM =

BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại

C và D. Chứng minh: MC  CD và ND  CD.

Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Tia phân giác của

AÔB cắt (O) ở C. Lấy điểm bất kì trên cung BC và hạ đường vuông góc DH xuống OA, đường

này cắt OC ở E.

Điều đặc biệt :

󰪻 Nếu

AB CD

thì OH ….. OK

󰪼 Nếu

AB CD

thì OH ….. OK

󰪽 Nếu

AB CD

thì OH ….. OK

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 112

a. Tính theo R khoảng cách từ C đến OA.

b. Chứng minh :

HD HE

không đổi khi D thay đổi.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

113

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 3 : Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

I. Lí thuyết :

󰪻 Trong một đường tròn:

a. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

󰪼 Trong hai dây của một đường tròn:

a. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

󰪽 Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực .

 Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.

II. Bài tập

Bài 1 : Dựa vào hình vẽ minh họa hãy điền dấu

>,< ,=

vào chỗ chấm :

Bài 2 : Cho đường tròn

 

;8O cm

, hai dây cung AB và AC , biết

10AB cm

4AC cm

a. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây .

b. Tính

AHOK

S 

Lời giải :

a. ………………………………………………………

………………………………………………………

OK =3cm - OH = 4cm



CD …. AB

OK =5cm - OH = 4cm



CD …. AB

CD =4cm - AB = 4cm



OK …. OH

CD =3cm - AB = 5cm



OK …. OH

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 114

………………………………………………………

b. …………………………………...

…………………………………...

Bài 3 : Cho đường tròn tâm O , hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại I . Biết

12AB cm

15 ,I 4 ,I 6CD cm A cm C cm  

a. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây .

b. Tính bán kính của đường tròn

Lời giải :

a. ………………………………………………………

………………………………………………………

b. ………………………………………………………

………………………………………………………

Bài 4 : Cho đường tròn

 

;OR

, đường kính AB và dây cung AC.

Nếu :

AB CD

thì

 Tứ giác

MOKI

là hình

……………

 OK……. OM

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

115

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Biết khoảng cách từ O đến AC và BC lần lượt là

4cm

và

6cm

. Tính độ dài AC , BC và

bán kính đường tròn .

b. Trên tia đối của tia CA lấy D sao cho

CD CA

. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác

ABD khi C di chuyển trên đường tròn

 

Lời giải :

 Hình vẽ :

a. …………………………………………………......

.………………………………………………….............

b. ………………………………………............

………………………………………............

Cách tìm tập

hợp điểm ???

Bài 5 : Cho đường tròn

 

và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi M là

trung điểm của AC ; H là hình chiếu của M trên AB. Kẻ CD  BC ( D thuộc đường tròn

 

) .

Chứng minh :

a. B, O, D thẳng hàng.

b. MH luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 116

a. ……………………………………………….......

………………………………………………..............

……………………………………………….............

b. ……………………………………………………..

……………………………………………….................

 Vẽ hình :

……………………………………..............

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn

 

;OR

và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Cho

IA cm IB cm4 , 7

. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

Bài 2 : Cho nửa đường tròn

 

đường kính AB . Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm C,

D . Biết

9 , 15AC CD cm DB cm  

. Tính bán kính đường tròn

 

Bài 3 : Cho đường tròn tâm

 

;5cmO

, dây AB = 8 cm.

a. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho

2AI cm

. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB.

So sánh CD và AB.

Bài 4 : Cho đường tròn (O) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại

H. Tính bán kính R của (O) biết: CD = 14 cm và MH = 5 cm.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

117

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Cho đưòng tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Dây CD có độ dài 8 cm vuông góc với

AB tại H.

a. Tính độ dài HA, HB

b. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác

CMHN

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 118

Bài 4 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

I. Lí thuyết :

󰪻 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng . Đặt

d d O( , )





VTTĐ của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

dR

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

dR

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

dR

󰪼 Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có điểm chung duy nhất với đường

tròn (điểm chung đó gọi là tiếp điểm)

󰪽 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

a. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một

đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi

qua tiếp điểm.

b. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của

đường tròn và vuông góc với bán kính đi

qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

󰪾 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

b. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

c. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua

tiếp điểm.

II . Bài tập :

Bài 1 : Điền vào chỗ chấm :

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

119

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2: Cho đường tròn tâm

có bán kính bằng

cm và điểm

cách

một khoảng bằng

10cm

. Lấy điểm

thuộc

 

sao cho

8AB

cm.

a. Tam giác

OAB

là tam giác gì?

b. Chứng minh đường thẳng

tiếp xúc với

 

Lời giải :

a. ................................................................................

................................................................................

b. ................................................................................

................................................................................

Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Từ A vẽ

hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là B và C. Đoạn thẳng OA cắt (O) tại I. Đường thẳng qua O và

vuông góc với OB cắt AC tại K.

a. Chứng minh OK

AB và tam giác OAK cân tại K.

b. Chứng minh đường thẳng KI là tiếp tuyến của (O).

Các tiếp tuyến : ……………….

…………………………………….

………………………………….

Các tiếp tuyến bằng nhau :

…………………………………….

………………………………….

Các đường phân giác : ………

…………………………………….

…………………………………..

Các tiếp điểm : ……………….

…………………………………….

………………………………….

Các dây : ……………………….

…………………………………….

…………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 120

Lời giải :

 Vẽ hình

a. ..........................................................................

......................................................................................

b. ..........................................................................

......................................................................................

Bài 4 : Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a. Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm I

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Lời giải :

a. ………………………………………………..........

…………………………………………………………

b. ………………………………………………...

…………………………………………………………

 Vẽ hình:

Muốn chứng minh tiếp tuyến

cần chứng minh đường thẳng

đó vuông góc với bán kính của

đường tròn

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

121

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………

…………………………………………………..

Bài 5 : Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AD và dây BC cắt nhau tại E.Tia AC và

tia BD cắt nhau ở F.

a. Chứng minh:

90ADB ACB

b. Chứng minh:

FE AB

c. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh: ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải :

 Vẽ hình :

a. ………………………………..

………………………………………..

b. ……………………………………………………...

………………………………………………………….

c. …………………………………………………………..

………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 122

Bài 4 : Cho đường tròn

 

;OR

có đường kính AB và hai tiếp tuyến

,Ax By

. Một tiếp tuyến

khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D.

a. Chứng minh :

CD AC BD

b. Chứng minh: COD vuông.

c. Chứng minh:

4 . .AB AC BD

d. AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Chứng minh tứ giác OIMK là hình chữ nhật

e. Định vị trí của M để OIMK là hình vuông.

Lời giải :

a. ………………………………………………………….

……………………………………………………………..

b. …………………………………………………………

……………………………………………………………..

c. …………………………………………………………

……………………………………………………………..

 Vẽ hình :

d. ……………………………………

……………………………………….

e. …………………………………..

……………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

123

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn

 

;OR

và đoạn thẳng

2OA R

. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến

đường tròn

 

a. Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b. Chứng minh: ABC đều và diện tích ABC.

c. Đoạn OA cắt (O) tại D. Tứ giác OBDI là hình gì ? Vì sao ?

d. BO cắt AC kéo dài tại I. Tính theo R chu vi ABI.

e. Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng cách từ K đến OA.

Bài 2 : Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC = 2a. Đường tròn (O) tiếp xúc

với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB và AC

ở M và N.

a. Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh:

MON ABC

c. Tính tích

.BM CN

theo a.

d. Định vị trí của MN sao cho

BM CN

đạt giá trị nhỏ nhất.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 124

Bài 5 : Bài tập tiếp tuyến của đường tròn ( Nâng cao )

Bài 1 : Cho nửa đường tròn

 

;OR

đường kính AB. Gọi

là các tia vuông góc với AB (

và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì

thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt

và

theo thứ tự tại M và N.

a. Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ?

b. Tính số đo góc

MON

c. Chứng minh :

MN AM BN

d. Chứng minh : Tích

.AM BN

không đổi khi D di chuyển trên đường tròn

 

;OR

e. Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O.

f. AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. Chứng minh:

DQ AB

và Tính tỉ số

g. Gọi K là trung điểm của AD . Chứng minh

,,M K O

thẳng hàng .

h. Tìm vị trí của D để tứ giác

AM NB

có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải :

 Vẽ hình :

a. …………………………………………………...

……………………………………………………....

b. …………………………………………….........

……………………………………………………....

f. …………………………………………….....

………………………………………...............

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

125

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………....

c. …………………………………………………...

……………………………………………………....

d. …………………………………………………...

……………………………………………………....

e. …………………………………………………...

……………………………………………………....

………………………………………...............

g. ……………………………………………..

………………………………………...............

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 126

h. …………………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………………...

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn tâm O có đường kính BC và có bán kính R. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt

đường thẳng BC tại I. Chứng minh:

..IB IC IA

.  II OIC RB

Bài 2 : Tiếp tuyến tại M của đường tròn

 

;OR

cắt dâyBC kéo dài tại A ngoài

 

. Vẽ OH

vuông góc với BC tại H.

a. Chứng minh :

2AB AC AH

b. Chứng minh

2AB AC AM

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

127

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 6 : Đường tròn nội tiếp tam giác

I. Lí Thuyết :

 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác là

đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác là ngoại tiếp

đường tròn.

 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của

các đường phân giác các góc trong tam giác.

II . Bài tập :

Bài 1 : Cho

ABC



đều có cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn

 

nội tiếp

.ABC



Lời giải :

 Hình vẽ :

…………………………………………………………………

Bài 2 : Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các

cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N.

a. Tính diện tích tam giác AMN biết

10BC cm

và

4MN cm

b. Chứng minh rằng :

2 2 2

.MN AM AN AM AN  

Lời giải :

a. ………………………………………………………

……………………………………………………………

 Vẽ hình :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 128

……………………………………………………………

b. ……………………………………….....

……………………………………………….

Bài 6.1 : Vị trí tương đối hai đường tròn

I. Lí Thuyết :

󰪻 Tính chất đường nối tâm

 Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.

 Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

󰪼 Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn

 

;OR

và

()'; .Or

Đặt

OO d





VTTĐ của hai đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức giữa d với R và r

 Hai đường tròn cắt nhau

   R r d R r

 Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

 Tiếp xúc ngoài

 Tiếp xúc trong

d R r

d R r

 Hai đường tròn không giao nhau:

d R r

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

129

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

 Ở ngoài nhau



 

đựng

( ')O

d R r

󰪽 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp

xúc với cả hai đường tròn đó.

 Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.

 Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm.

II . Bài tập :

Bài 3 : Điền vào chỗ chấm :

Vị trí tương đối 2

đường tròn :

 Cắt nhau :…………......

 Tiếp xúc ngoài :…........

 Tiếp xúc trong :……....

 Không cắt nhau :…….

Các tiếp tuyến

chung ngoài :

……………………

………………….

Các tiếp tuyến

chung trong :

...…………………

……………………

Các tiếp tuyến :

…………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 130

Bài 4 : Cho hai đường tròn

 

và

 

tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai đường kính

AOB

và

'AO C

. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn,

 

(), 'D O E O

. Gọi M là giao

điểm của BD và CE. Chứng minhd

DAE 90

b. Tứ giác

ADME

là hình chữ nhật .

c. MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Lời giải :

 Vẽ hình :

a. ……………………………………………

………………………………………………...

b. ……………………………………………………….....

……………………………………………………………...

c. …………………………………………………...

……………………………………………………………...

……………………………………………………………..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

131

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Cho góc vuông

xOy

. Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường

tròn

 

;I OK

cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn

 

;K OI

cắt tia Oy tại N (K

nằm giữa O và N).

a. Chứng minh hai đường tròn

 

và

 

luôn cắt nhau.

b. Tiếp tuyến tại M của đường tròn

 

và tiếp tuyến tại N của đường tròn

 

cắt nhau

tại C. Chứng minh tứ giác

OMCN

là hình vuông.

c. Gọi giao điểm của hai đường tròn

 

là A và B. Chứng minh ba điểm A, B, C

thẳng hàng.

d. Giả sử I và K theo thứ tự di động trên các tia

và

sao cho

OI OK a

(không

đổi). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

a. ……………………………………………................

…………………………………………………………...

b. ……………………………………..........................

…………………………………………………………...

c. ………………………………………………………..

…………………………………………………………...

 Vẽ hình :

……………………………………………………

d. ………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 132

…………………………………………………………...

……………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn tâm

 

;OR

đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho góc

60 .MAB 

Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.

a. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM).

b. Chứng minh

4.MN AH HB

c. Chứng minh

BMN



là tam giác đều

d. Tia MO cắt đường tròn

 

tại E, tia MB cắt

 

tại F. Chứng minh ba điểm

,,N E F

thẳng hàng.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

133

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 7 : Ôn tập chương

Bài 1 : Cho

 

;OR

và

 

';Or

ở ngoài nhau. AB là một trong các tiếp tuyến chung ngoài, EF là

một trong các tiếp tuyến chung trong (A và E thuộc đường tròn

 

). EF cắt AB tại C.

a. Chứng minh :

'.OC O C

b. Chứng minh :

..AC BC R r

Lời giải :

 Vẽ hình :

a. ……………………………………………………………..

………………………………………………………………...

b. ………………………………………………

………………………………………………….

Bài 2 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn

 

;OR

kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp

điểm). Kẻ

BE AC

và

CF AB

 

;E AC F AB

, BE và CF cắt nhau tại H.

a. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.

b. Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng

c. Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 134

Lời giải :

 Vẽ hình :

…………………………………………………………

………………………………………………….........

Bài 3 : Hai tiếp tuyến tại

và

của đường tròn tâm

, bán kính bằng

, cắt nhau tại

Gọi E là trung điểm của

là trung điểm của

là điểm bất kỳ trên đường thẳng

. Vẽ tiếp tuyến

(

là tiếp điểm). Chứng minh

.MQ MA

Lời giải :

 Vẽ hình :

…………………………………………………………

………………………………………………….........

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

135

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………

………………………………………………….........

Bài 4 : Cho ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn

 

và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại

các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:

a. Các đường tròn

 

và

 

tiếp xúc với nhau.

b. AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

 

và

 

OMI



vuông.

d. BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

OMI



Lời giải :

 Vẽ hình :

…………………………………………………………

………………………………………………….........

Sắp thi

học kì

rồi

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 136

…………………………………………………………

………………………………………………….........

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho

 

;OR

và

()';Or

tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai

đường tròn

   

'( .), B O C O

Tiếp tuyến chung trong của

 

và

 

cắt BC tại I.

a. Chứng tỏ các góc

BAC

và

OIO'

là góc vuông.

b. Kẻ đường kính BD của

 

. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.

c. Tính theo R và r độ dài BC, BA, CA.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

137

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

d. Kẻ đường kính CE của

 

.Chứng minh:

.

ABC ADE





Bài 2 : Cho đường thẳng

cố định bên ngoài đường tròn cố định

 

; OR

. Điểm

di động

trên

. Từ

vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là

và

cắt

tại

. Chứng

minh đoạn thẳng

luôn đi qua một điểm cố định và

di động trên một đường cố định.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/139

| | Tải xuống

Preview text:

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 : CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
...............................................................................1
Bài 1 : Tìm ĐKXĐ – Tính giá trị biểu thức – So sánh căn bậc 2 ....................................................... 1
Bài 2 : Rút gọn biểu thức – Giải phương trình.................................................................................. 6
Bài 3 : Liên hệ phép khai phương – Phép nhân – Phép chia ........................................................ 10
Bài 4 : Giải phương trình ................................................................................................................... 13
Bài 5 : Rút gọn biểu thức .................................................................................................................... 17
Bài 6 : Tính giá trị biểu thức khi biết x - Tìm x khi biết P = A ...................................................... 21
Bài 6.1 : Tìm x thỏa mãn điều kiện P = a ........................................................................................... 22
Bài 7 : Tìm x biết P ,,, .............................................................................................................. 24
Bài 7.1 : So sánh với A(x) với a ( hằng số ) ....................................................................................... 25
Bài 8 : So sánh P với 2
P , P với P , P với P ........................................................................ 28
Bài 9 : Tìm xZ để P có giá trị nguyên ........................................................................................ 31
Bài 9.1 : Tìm x để P có giá trị nguyên ............................................................................................. 31
Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất ................................................................................ 36
Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng điều kiện xác định”... 36
Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng hằng đẳng thức ”….. 37
Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Áp dụng bđt cô si ”………. 37
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng miền giá trị ”………. 39
Bài 11 : Tìm m để phương trình có nghiệm ..................................................................................... 41
Bài 12 : Dạng toán “ mẹo “ ................................................................................................................. 44
Bài 13 : Căn Bậc Ba .............................................................................................................................. 47
CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT ................................................................................................ 49
Bài 1 : Khái niệm hàm số ..................................................................................................................... 49
Bài 1.1 : Hàm số bậc nhất .................................................................................................................... 51
Bài 2 : Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng ......................................................................................... 54
Bài 2.1 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  ax  b cắt , vuông góc , song song , trùng với
đường thẳng đã biết ............................................................................................................................ 55
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2.2 : Tìm m khi biết đường thẳng d đi qua một điểm ......................................................... 56
Bài 3 : Xác định phương trình đường thẳng : y  ax  b ............................................................... 59
Dạng 1 : Biết hệ số góc và điểm đi qua …………………………..……………………………... 59
Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B …………………………..…………………………………… 60
Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy......................................................................... 64
Dạng 1 : Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng ………………………………………………... 64
Dạng 2 : Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy …………………………………………………. 65
Dạng 3 : Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số ……………………………………………… 66
Dạng 4 : Tìm m để 3 điểm thẳng hàng ………………………………………………………... 66
Bài 5 : Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d là lớn nhất ...................................... 69
Bài 5.1 : Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác .................................................................................. 71
CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ............................................ 74
Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài ............................................................................... 74
Bài 2 : Tính độ dài các cạnh dựa vào tỉ lệ - Phân giác – Chu vi – Diệntiích ............................... 79
Bài 3 : Tỉ số lượng giác của góc nhọn : sinx cosx  tanx cot x .............................................. 82
Bài 4 : Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác .......................................................................... 87
Bài 5 : Chứng minh biểu thức lượng giác ....................................................................................... 91
Bài 6 : Giải tam giác vuông ............................................................................................................... 94
Bài 7 : Bài tập tổng hợp ...................................................................................................................... 98
CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG TRÒN………………………………………………………..…………….103
Bài 1 : Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn…………….…………………..103
Bài 2 : Đường kính và Dây cung …………….…………………..…………….………………….108
Bài 3 : Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây …..…………….…………………….113
Bài 4 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của
đường tròn - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau…..…………….…………………..………..118
Bài 5 : Bài tập tiếp tuyến của đường tròn ( Nâng cao ) ………….…………………..……….…124
Bài 6 : Đường tròn nội tiếp tam giác………….…………………..……….………….…………...128
Bài 6.1 : Vị trí tương đối hai đường tròn ….…………………....……….………….…………......128
Bài 7 : Ôn tập chương .…………………....………………. .…………………....……...….……….133
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
CHƯƠNG 1 : CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
Bài 1 : Tìm ĐKXĐ – Tính giá trị biểu thức – So sánh căn bậc 2 I. Lý Thuyết :
1. Căn bậc hai số học
 Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a
Ví dụ: Phân biệt giữa căn bậc hai số học với căn bậc hai của một số Với số dương 4, -
Số 4  2 được gọi là căn bậc hai số học của 4. -
Số  4  2 được gọi là căn bậc hai của 4.
 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 x   0
 Một cách tổng quát: x  a   x 
 2 a Căn bậc hai
2. Tìm điều kiện xác định
 A x là một đa thức  A x luôn có nghĩa. ( A x) 
có nghĩa  B  x  0 ( B x)  (
A x) có nghĩa  A x  0 1 
có nghĩa  A x  0 ( A x)
3. So sánh các căn bậc hai số học
 Với hai số a và b không âm a,b  0 ta có: a  b  a  b Ví dụ:
i. Ta có 3    3  2
ii. Ta có x  y  x  y II. Bài Tập :
Bài 1 : Tìm điều kiện xác định :
Bài 2 : Tìm điều kiện xác định :
…………………………….
……………………………… 2x  1 28
……………………………. x 
…………………………........ 4 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………. 
……………………………… 15
………………………….... 4  2x 
…………………………........ 2x 1
…………………………….
……………………………… 2  x  5x 
………………………….....
…………………………........ 1 15
……………………………. 4  2x
……………………………… 2 
……………………………. 
…………………………........ 7x 5
Bài 3 : Tìm điều kiện xác định : x  3 3  x ❶ ❷ 7  x 7x  2
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………… x  1 x  1 ❸ ❹ 4  x x  2
Th1 : ..........................
Th2 : …………………..
Th1 : ..........................
Th2 : ………………….. ………………………
………………………… ………………………
…………………………. ………………………
………………………… ………………………
…………………………. ………………………
………………………… ………………………
…………………………. ………………………
………………………… ………………………
…………………………. ………………………
………………………… ………………………
…………………………. ………………………
………………………… ………………………
………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………. 1 3x 1 ❺  ❻ x  3 4  x 2x  2 x
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 2 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
Bài 4 : Tính giá trị biểu thức :  4
5 ( 2) =…………………………….....
11  6 2  6  4 2 =………………
…………………………………………….
……………………………………………
…………………………………………….
..……………………………………..……
…………………………………………….
…..………………………………..………
…………………………………………….
…..…..……………………………………
…………………………………………….
……………………………………………
……………………………………………  4   8 2 ( 2)
3 ( 2) =…………………..
6  2 4  2 3 =……………………
…………………………………………….
……………………………………………
………………………………..…………...
..……………………………………..……
………………………………..…………...
…..………………………………..………
…………………………………………….
…..…..……………………………………
…………………………………………….
……………………………………………  2
(4 3 2)  17  12 2 =…………… 24  8 5  9  4 5 
…………………………………………..…..
……………………………………………
………………………………………………
..……………………………………..……
………………………………………………
…..………………………………..………
……………………………………………… …..…..……………………………………
…………………………………………….
……………………………………………
12  6 3 =………………………………..
6  4 2  22  12 2  ...........................
…………………………………………...….. ……………………………………………
……………………………………….……… ..……………………………………..……
…………………………………….………… ……………………………………………
………………………………………………
…..………………………………………..
…………………………………………….
11  6 2  6  4 2 =………………...
17  12 2  9  4 2  ......................
……………………………………………
…………………………………………...…
.……………………………………..…….
……………………………………….……..
..………………………………..…………
…………………………………….………..
..…..…………………………..………..…
………………………………….………..…
……………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………
……………………………………………. 3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 5 : Về Đích bằng cách tìm điều kiện xác định và rút gọn: x  2 2  3x 2 4 x  2 x  3 x  1 x  2 2 x  3 x  1  1 2x 1 3  x  2  (2  ) x (2  ) x x  2 x  2 1 x  2  2   x  2 x  2 x  1           7  4 3 x x
(x  1)(x  2) x 1 x 2 x  1 2 5 2  3 2   x  1
x  1 x  5  x  3   5  2 6  5  2 6 2 2 4  x 3 x 4 x  3  2 2 3 3  x  4 x  R 4   2 x  1 2 x R x  2x  1 x  2x  9
( Chú ý : Các em giải chi tiết vào vở )
Bài 6 : So sánh các căn bậc 2 : a. 9 và 5  2 2 b. 2  3 và 3
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………… c. 16 và 9  4 5 d. 11  3 và 2
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 4 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………… BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1 : Tìm điều kiện xác định ❶ 3  x 7 2 ❺    x 4 2 x 2 1 ❷  5 x 2  9  x 2 ❻ 9  12x  4x x  1 x  2 ❼ (3  ) x (x  2) ❸ 4  x x  1  ❹ ❽ 2 x 6x 5x  2
Bài 2 : So sánh hai căn thức sau : ❶ 6 và 4  3 và 5  2 ❷
8  2 và 5  3 và 10  7 Nhớ làm bài tập về nhà của thầy đỗ đạt 5
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Rút gọn biểu thức – Giải phương trình I. Lý Thuyết : A khi A  ❶ Áp dụng: 2 0
A  A   A khi A   0
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. ❷ Áp dụng: 2 A  A 2 2
A  B  A  B ;
A  0 (hay B  0) B   0 A  B   A  B   A   B 2 A  B B  0 A  0 A  B  
A  B  0  
A  B hay A    B B   0 A  0
A  B  A  B hay A  B
A  B  0   B   0 II. Bài tập :
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : 2
9x  2x với x  0 : ………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………….. 2
25x  3x với x  0 : …………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
x  4 x  4 với x  4 :…………………………………………………………………...………..
…………………………………………………………………………………………………………….......
………………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………...
x  2 x  1  x  2 x  1 với 0  x  1 :…...………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………........
………………………………………………………………………………………………………………....
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 6 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt a. 2
x  2  x  4x  4 (x  2)
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… b. 2 2
x  4x  4  x ( 2   x  0)
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… 2 x  6x  9 c. (x  3) x  3
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… 2 x  4x  4 d. x  2  (x  2) x  2
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… B   0
Bài 3 : Giải phương trình : A  B   2 A  B a. 2 1  12x  36x  5
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
b. 4  5x  12 c. 2 9x  2x  1
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………… d. 2
4x  20x  25  x  3 e. 2
x  4x  3  x  1 7
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………    Bài 4 : A 0 (hay B 0)
Giải phương trình : A  B   A   B l 2x  5  2  x
…………………………… 2
x  x  3  x
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
4  3x  2x  1
……………………………
…………………………… …………………………
……………………………
…………………………… …………………………
……………………………
…………………………… …………………………
……………………………
…………………………… …………………………
…………………………… … …………………………
…………………………… …………………………
…………………………… ………………………… ……………………
Bài 5 : Giải phương trình :
Bài 6 : Giải phương trình :
A  B  A  B hay A  B A  0
A  B  0   B   0    2 2 3x 1 x 1      x 4 x 4x 4 0
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. 2
x  2  x  2 2     1 x x 1 0
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 8 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. Bài tập vê nhà
Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1. 2
x  3x  2 2. 2 1 x  x   x 4
4. x  2  x  2
3. x  2 x  1  2 6. 2
x  10x  25  x  3  0 5. 2 2
x  6x  9  4x  12x  9 8. 2 2
4x  12x  9  9x  24x  16 7. 2
1  4x  2x  1  0 10. 4 2
x  8x  16  2  x 9. 2
9x  6x  1  11  6 2
Bài 2 : Cho 3 số dương x,y,z thoả điều kiện: xy  yz  zx  1. 2 2 2 2 2 2
(1 y )(1 z )
(1 z )(1  x )
(1  x )(1  y )
a. Tính: A  x  y  z 2 2 2 1 x 1 y 1 z x y z 2xy
b. Chứng minh rằng:    2 2 2 1 x 1 y 1 z  2 1 x  2 1 y  2 1 z 
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
……………………………………………………… 9
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3 : Liên hệ phép khai phương –Phép nhân –Phép chia I. Lý Thuyết : A A
Với A  0, B  0: AB 
A B Với A  0, B > 0: .  . B B A AB
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì 2
A B  A B Với A.B ≥ 0 và B  0 thì  B B
Bài 1 : Thực hiện phép tính : 8 32 18 6  5  14 5 5  20  3 45 9 25 49 ...... 12  5 3  48 ………………………
……………………………… ……………………… ………………………
……………………………… ………………………
……………………………… ……………………… ………………………
……………………………… …………...…. ……………… ………..
……………………………… ….....
………………………………
………………………………
……………………………… 1 3 2  8  50  32 8 32 18 5 12  5  10
…………………………… 9 25 25
…………………………………………
……………………………
…………………………………………
……………………………
……………………………
…………………………………………
…………………………….......................
……………………………
….......a... ……………..
................................................................... . …………
Bài 2 : Rút gọn biểu thức : 7  7 ❶
=……………………………………………………………………………………………… 2  28
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 10 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt  6   6 6   6 ❷ 1   1   
 ........................................................................................................  1  6  1  6 
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………… 2  3  6  8  16 ❸
=…………………………………………………………………………… 2  3  4
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………… 8  12 5  27 ❹ 
 ......................................................................................................... 18  48 30  162
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Bài 3 : Tính giá trị biểu thức: x  5 2 2 ❶ A 
tại x  9  4 3 ❷
B  4(1  6x  9x ) tại x  2 x  2  1
………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………
………………………………………………… ……………………………………………….
………………………………………………… ……………………………………………….
………………………………………………… 3 2 x  3x 1 1   ❸ ❹
C  4x  7  D tại x  10
tại x   2 x  2 x  2 x  1 x  2 x  1
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………… Bài 4 : C C( A ) B
Tính giá trị biểu thức : Với A ≥ 0 và 2 A  B thì  2 A  B A  B C C( A B)
Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì  A  B A  B 11
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 4 6 
=……………………………………………………………………………………. 5  1 7  1
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………… 3  4
 .................................................................................................................... 6  3 7  3
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… ……… 2  3 2  
3  .................................................................................................................. 2  3 2  3
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………… 1 1 
 ................................................................................................. 2  2  3 2  2  3
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập vê nhà
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau :
a. 5 2  4 18  2 32  50
b. 125  2 20  7 80  3 45 2 3  2 2 2  1 8  6 1 1 c.   d.  3  1 2  1 2  3 2  2  3 2  2  3 x x  y y 2 x  4 x  4 e.
  x  y  x,y  0,x  y f. (x  0) x  y x  4 x  4
Bài 2 : ( Nâng cao) – Tính giá trị biểu thức : 1 1 1 1 ❶ A      1  2 2  3 3  4 24  25 1 1 1 1 ❷ B      1  2 2  3 3  4 24  25 ❸
C  4  10  2 5  4  10  2 5 ❹
D  6  2 5  13  48
E  9  5 3  5 8  10(2  3) ❺
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 12 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 4 : Giải phương trình I. Lý thuyết : Bước 3 : Đối chiếu điều kiện và kết Bước 2 : Rút luận gọn biểu thức Bước 1 : Tìm và tìm x điều kiện xác định ( nếu có) II. Bài tập :
Bài 1 : Giải phương trình sau : 1 2 ❶
x  1  4x  4 
16x  16  2  0 ❷ 4x  20 
9x  45  2 x  5  4 4 3
………………………………………………
……………………………………………
………………………………………………
……………………………………………
………………………………………………
……………………………………………
………………………………………………
……………………………………………
………………………………………………
……………………………………………
………………………………………………
…………………………………………….
………………………………………………
…………………………………………….
………………………………………………
…………………………………………….. 5 3 x  1 15 x  1 11 ❸ x  1  9x  9  32  10 ❹ 25x  25    x 1 2 2 64 4 9 4
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………… 13
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 ❺ 2 2 2
16x  32  3 x  2  25x  50  4  0 x  2 ❻ 49x  98  14  9x 18  8
……………………………………………… 49
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
Bài 2 : Giải phương trình sau :
A  0 (hay B  0)
A  B    A B
x  4 x  4  5 2
x  4x  3  x  1
……………………………
………………………………… 2
x  x  3  x
……………………………
…………………………………
……………………………
…………………………………
……………………………………
……………………………
…………………………………
……………………………………
……………………………
……………………………………
…………………………………
……………………………
…………………………………
……………………………………
……………………………
…………………………………..
……………………………………
……………………………
…………………………………… ……….
……………………………………
Bài 3 : Giải phương trình sau Đưa phương Đối chiếu điều Đặt ẩn phụ t và trình về ẩn t và kiện tìm x và điều kiện giải tìm t - x kết luận a. 2 2
x  3x  5  x  3x  7 b. 2 2
5 x  5x  28  x  5x  4
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 14 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
………………………………………………… c. 2 2
2x  3x  9  2x  3x  33 d. 2 2
2 2x  3x  5  2x  3x  2
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
Bài 4 : Giải phương trình :
Vế trái  a và Vế phải  a
Dấu “=” xảy ra khi Vế trái = Vế phải = a a. 2 2 2
x  4x  20  x  4x  8  x  4x  9  6  5
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… b. 2 2
2  x  2x  x  6x  8  1  3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… c. 2 2 2
9x  6x  2  45x  30x  9  6x  9x  8
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 15
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1 3 2 a. 4x  20 
9x  45  x  5  4 b. x  1  4x  4  25x  25  4  0 3 2 5 x  5 1      c. 4x  20  3  9x  45  6 d. 2 2 2x x 6x 12x 7 0 9 3 e. 2
(x  1)(x  4)  3 x  5x  2  6 f.
x  2 x  1  x  2 x  1  2 g. 2
x  25  6 x  5  0 h.
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  4
Nhớ hoàn thành bài tập của thầy đỗ đạt
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 16 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Rút gọn biểu thức I. Lý thuyết :
Cho x  0, y  0. Ta có các công thức biến đổi sau: 2 x  ( x) ; 3
x x  ( x) 1. 2 2 2 (A  ) B
 A  2AB  B 1. 2
( x  y )  x  2 xy  y 2. 2 2 2 (A  ) B
 A  2AB  B 2. 2
( x  y )  x  2 xy  y 3. 2 2
A  B  (A  ) B (A  ) B
3. x  y  ( x  y )( x  y ) 4. 3 3 2 2 3 (A  )
B  A  3A B  3AB  B
4. x  x  x( x  1) 5. 3 3 2 2 3 (A  )
B  A  3A B  3AB  B
5. x y  y x  xy( x  y ) 6. 3 3 2 2
A  B  (A  )
B (A  AB  B ) 6. 3 3
x x  y y  ( x)  ( y )  ( x  y )(x  xy  y) 7. 3 3 2 2
A  B  (A  )
B (A  AB  B ) 7. 3 3
x x  y y  ( x)  ( y )  ( x  y )(x  xy  y) II. Bài tập:
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : Rút gọn - Kết luận Qui đồng phân thức Phân tích mẫu thành nhân tử - Tìm điều kiện xác định x 2 x 3x          9 2 x x 1 x 2    :   x  3 x  x      3 9 x x  1 x  1 x  x     1 
……………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………..
…………………………………………… 17
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
 2 x  x 1 x  x   1  : (1 x)   
………………………………………………..    x 1  x 1  
…………………………………………… x    4 3 x       2 x :      
…………………………………………… x  2 x 2  x x x  2    
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..  x  2   x  4 x 
………………………………………………..   x  :         x 1  1 x  x  1 
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………  1 1   1 1  1    :    
……………………………………………        1 x 1 x 1 x 1 x  2 x
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 18 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………..
……………………………………………
………………………………………………..
………………………………………………..
………………………………………………..
………………………………………………..
Bài 2 : Rút gọn biểu thức :  2 x x
3x  3   2 x  2          x  3 x   9  x x  3 x  2  : 1          1 :     x 3 x 3 x 9 x     3   x  9    x  x  6 2  x x    
3  ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………....
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………... ……………………………………………….
………………………………………………...
………………………………………………...
………………………………………………...  x  5 x   25  x x  3 x  5        
………………………………………………... 1 :  x  25    x  2 x  15 x  5 x     3     x 1 x 1 3 x 1   x  1 x  1 x  1
………………………………………………..
………………………………………………..
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………..
………………………………………………..
………………………………………………...
………………………………………………...
……………………………………………….. ………………..
………………………………………………..
………………………………………………...
……………………………………………….. Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
………………………………………………... 19
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10  1 1  x  1 ❶    :  x  x
x  1   x  2 1  x 4  x 16 ❷    :   x  4 x  4 x    2 2 x  9 2 x  1 x  3 ❸   x  5 x  6 x  3 2  x  4 x 8x   x  1 2  ❹    :          2 x 4 x x     2 x x  15 x  11 3 x  2 2 x  3 ❺   x  2 x  3 1  x 3  x Đã bài tập của thầy đỗ đạt chưa ???
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 20 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 6 : Tính giá trị biểu thức khi biết x - Tìm x khi biết P = A I. Lí thuyết : ❶
Tính giá trị biểu thức P khi biết giá trị của x ( cho điều kiện xác định trước )
• Giải phương trình ẩn x
Bước 1 • So sánh với điều kiện xác định
• Thay giá trị x vừa tìm được vào biểu thức Bước 2 • Kết luận Bước 3 ❷ Bài tập :
Bài 1 : Cho biểu thức : Bài 2 : Cho biểu thức : x x  1 x  1 A       x  1 2 x 1 x x  1 B     : 1            x x x x 1 x 1 x 1 a. Rút gọn A    1
b. Tính giá trị của A khi x  a. Rút gọn P 4
b. Tính P tại x  9 Lời giải : Lời giải :
………………………………………………………. …….…………………………………………………
………………………………………………………. ………….……………………………………………
………………………………………………………. ……………….………………………………………
………………………………………………………. …………………….…………………………………
………………………………………………………. ………………………….……………………………
………………………………………………………. ……………………………….………………………
………………………………………………………. …………………………………….…………………
………………………………………………………. ………………………………………….……………
………………………………………………………. ……………………………………………….………
………………………………………………………. …………………………………………………….…
………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………. ….……………………………………………………
………………………………………………………. ……………………………………………………….
………………………………………………………. ….….…………………………………………………
………………………………………………………. ……………………………………………………….
………………………………………………………. Bài 4 .
………………………………………………………. Cho biểu thức : 21
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3 : Cho biểu thức :  2 x x 3x    3 2 x   Q       2 :   1 x  4 3   x  2 x 
 x  3 3 x x     9 x  3 C     :            x( x  2) x  2 x x     2  a. Rút gọn Q
a. Rút gọn C với x  0 , x  4 2
b. Tính giá trị của Q khi x 
b. Tính C với x  6  2 5 2  3 Lời giải : Lời giải :
………………………………………………………
…….…………………………………………………
………………………………………………………
………….……………………………………………
………………………………………………………
……………….………………………………………
………………………………………………………
…………………….…………………………………
………………………………………………………
………………………….……………………………
………………………………………………………
……………………………….………………………
………………………………………………………
…………………………………….…………………
………………………………………………………
………………………………………….……………
………………………………………………………
……………………………………………….………
………………………………………………………
…………………………………………………….…
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
….……………………………………………………
……….………………………………………………
…………….…………………………………………
………………….…………………………………… 2 2
……………………….………………………………
a  b  a  2 ab  b
…………………………….………………………… 2  ( a  b)
………………………………….……………………
……………………………………….………………
……………………………………………………….
Bài 6.1 : Tìm x thỏa mãn điều kiện P = a ❸ Lý Thuyết : Giải phương trình P = a để tìm x Kết luận Đối chiếu x với điều kiện ❹ Bài tập
Bài 5 : Cho biểu thức: Bài 6 : Cho biểu thức : x  1 2 x 2  5 x 2 1 2 x A    B    x  2 x  2 4  x 2  x x  2 x  4
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 22 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. Rút gọn P nếu x  0 và x  4 .
a. Rút gọn biểu thức B .
b. Tìm x để A  2 . 1
b. Tìm x để B  . 3 Lời giải : Lời giải :
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………… Bài tập về nhà   Bài 1 : 1 x x
Cho biểu thức: P     :   với x > 0. x x  1 x    x a. Rút gọn P
b. Tìm x để P  1  8 8
c. Tính P tại x   5  1 5  1 Bài 2 : 1 1 x
Cho biểu thức : Q    2 x  2 2 x  2 1  x
a. Tìm điều kiện xác định b. Rút gọn Q 4
c. Tính giá trị của Q khi x  9 1
d. Tìm x để Q   2 Bài 3 : 15 x  5 3 x  2 2 x  3
Cho biểu thức : A    x  2 x  3 1  x x  3 a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của A khi x  4 1
c. Tìm các giá trị của x để P  2 23
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 7 : Tìm x biết P ,  ,  ,   I. Lí Thuyết:
1. Bất phương trình tích – thương :  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x) ( A ) x . ( B ) x  0   hoặc    0   hoặc  ( B x)   0 ( B x)   0 ( B x) ( B x)   0 ( B x)   0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x) ( A ) x . ( B ) x  0   hoặc    0   hoặc  ( B x)   0 ( B x)   0 ( B x) ( B x)   0 ( B x)   0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x) ( A ) x . ( B ) x  0   hoặc    0   hoặc  ( B x)   0 ( B x)   0 ( B x) ( B x)   0 ( B x)   0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x)  0  ( A x) ( A ) x . ( B ) x  0   hoặc    0   hoặc  ( B x)   0 ( B x)   0 ( B x) ( B x)   0 ( B x)   0
2. Phương pháp giải P  (x) a Đưa bất • Đối phương Giải bất chiều trình về phương trình Bước 1 Bước 2 điều Bước 3 dạng bằng cách biện kiện luận ngiệm P(x) - a >0 • Kết luận II. Bài tập :
Bài 1 : Giải bất phương trình sau : x  1 2x  2 x  2 a. A 
ĐKXĐ : x  0; x  9 b. B  ĐKXĐ : x  0 x  3 x
Tìm x để A  1
Tìm x để A  6 . Lời giải : Lời giải :
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……….……………………………………………
……………………………………………………..
……...……….……………………………………
……………………………………………………..
…………...……………………………………….
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………....……………………………...
……………………………………………………..
……………………………………………………...
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 24 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
.………………..……………………………………
……………………………………………………...
Những sai lầm học sinh hay mắc phải : ❶
Quy đồng nhân chéo khử mẫu ❷
Quên kết hợp điều kiện xác định ❸ Thiếu kết luận
Bài 7.1 : So sánh với A(x) với a ( hằng số ) I. Lí Thuyết
Bước 1 Xét hiệu A(x) – a
Biện luận bất phương trình A(x) – a Bước 2
xem mang dấu “+” hay “-“
Bước 3 : A  a  0  A  a hoặc A  a  0  A  a I . Bài tập
Bài 1 : Tìm x thỏa mãn các điều kiện sau : x  x  1 ❶ A 
. ĐKXĐ x  0 . So sánh A với 2 . x
 .....................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
 .....................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
 .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................... x  1 ❷ B 
. ĐKXĐ : x  0 . So sánh B với 1. x
 .....................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
 .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................... 25
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
 .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................... Bài tập áp dụng Bài 1: Cho 2 biểu thức:
Bài 2 : Cho hai biểu thức: x  1 2 x x  1 1 x 4 x A   và B  với x  0 A  và B    x  2 x  4 x  2 x  3 x  3
x  1 x  2 x  3   và x  4 . với x 0; x 1
a. Tính giá trị biểu thức B khi x  9 .
a. Tính giá trị biểu thức A khi x  4 . A  1 1 A
b. Tìm x để   .
b. Tìm các giá trị thực của x để  1. B 2 B Lời giải : Lời giải :
…………………………………………................…
……………………………………………….……
………………………………………................……
………………………………………….…………
……………………………………................………
…………………………………….………………
…………………………………................…………
……………………………….……………………
………………………………................……………
………………………….…………………………
……………………………................………………
…………………….………………………………
…………………………................…………………
……………….……………………………………
………………………................……………………
………….…………………………………………
……………………................………………………
…….……………………………………………….
…………………................…………………………
……………………………………………….……
………………................……………………………
………………………………………….…………
……………................………………………………
…………………………………….………………
…………................…………………………………
……………………………….……………………
………................……………………………………
……………………….……………………………
……................………………………………………
…………………….………………………………
…................………………………………………….
……………….……………………………………
………….…………………………………………
....................................................................................
…….……………………………………………….
……………………………………………….….…
……………………………………………………. Bài tập về nhà Bài 1 : x  1 x x  1 x Cho biểu thức: A=  và B 
với x  0, x  1 x  1 x  1 x  1
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 26 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. Tính giá trị biểu thức B với x  4 A
b. Tìm các giá trị của x để  1  B Bài 2 : x  2 x 3 x  2
Cho hai biểu thức : A = và B = 
(với x  0; x  4 ) x  2 x  2 x  4
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x  9
b. So sánh AB và 1 với điều kiện AB có nghĩa. Bài 3 : x  2 2x  2 x  1 x  1
Cho biểu thức : A  ; B  
(x  0; x  1) x  1 x x  1 x  x  1
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 B 1 b. Chứng minh  A 3 Bài 4 : x  2 x  1 1
Cho biểu thức : P   
x x  1 x  x  1 x  1
a. Tìm x để biểu thức P có nghĩa . Rút gọn biểu thức P 2
b. Tính giá trị của P khi x  9  4 2 1
c. Chứng minh : P  3 Làm bài tập của thầy đỗ đạt nhanh 27
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 8 : So sánh P với 2
P , P với P , P với P I. Lí Thuyết :
So sánh P và P So sánh P với 2 P ❶
Tìm điều kiện xác định của P
So sánh P với P ❶ Xét hiệu 2 P  P  ( P 1 P) ❷ Xét hiệu 2 P  P  ( P P 1) ❶ Xét xem P đó “+” ❸
Xét xem hiệu đó “+” hay “-“ ❷
Xét xem hiệu đó “+” hay “-“ hay “-“ ❹ Nếu “+” thì 2
P  P  P  P ❷ Nếu “+” thì P  P ❸ Nế  u “+” thì 2 P P Nếu “-“ thì 2
P  P  P  P Nếu “-“ thì 2 P  P
Nếu “-“ thì P  P II. Bài tập : Bài 1 : Cho biểu thức : Bài 2 : Cho biểu thức : x  1  A 
. ĐK . So sánh A với A 2 x 5 P 
với x  0 . So sánh P và 2 P x  2 2 x  2 Lời giải : Lời giải :
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
……………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………. Bài 3 : x  2
Cho biểu thức B  với x  0
…………………………………………………. x  3
So sánh B và B Lời giải :
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… Bài 4 : x  2 x 1 1
Cho hai biểu thức A  ; B   
(x  0; x  2) x x  4 x  2 x  2 A
a. Rút gọn B và tính P  B
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 28 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
b. Tìm x để B = B Lời giải :
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………. Bài 5 : x  5 x 3 x
Cho 2 biểu thức A  ; B  
(x  0; x  25) . Cho P  . A B . x x  5 x  25 So sánh P và 2 P Lời giải :
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….     Bài 6 : x 2 x 2 x  1
Cho biểu thức A    ;  B 
với x  0, x  1      x 2 x 1 x 1  x Tìm x để . A B  1  . A B  1 Lời giải :
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………. 29
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà    Bài 1 : x 4 7 x  3 Cho P = P    :  
với x  0; x  1; x  9 . So sánh P và 3 P x  1 2 x  2 x    1 Bài 2 : x x 5 x  4 Cho A 
x  0 và B   
x  0;x  1. x  2 x  1 x  2 x  x  2 A Cho P 
. Chứng tỏ P  P với  x   1 . B        Bài 3 : 2 5 x x 2 x 3x 9 x 2
Cho biểu thức: A  ; B     .  1 
(với x  0, x  9 )        x 1  x 3 x 3 x 9 3    P  .
A B . So sánh P và P
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 30 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 9 : Tìm xZ để P có giá trị nguyên I. Lí Thuyết :
Bước 2 : Tìm giá trị của
x để mẫu là ước của tử Bước 1 : Chia tử cho Bước 3 : Kết hợp với mẫu số ĐKXĐ Kết luận II. Bài tập : Bài 1 : 4
Tìm x nguyên để A  nhận giá x  4 x  1
Bài 2 : Tìm x nguyên để B  nhận giá x  3
trị nguyên . (ĐKXĐ : x  0 )
trị nguyên. (ĐKXĐ : x  0 ) Lời giải : Lời giải :
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
………………………………………………………
……………………………………………………….
Bài 9.1 : Tìm x để P có giá trị nguyên I .Lí Thuyết : Cách 1 : Cách 2 : ❶
Dựa vào điều kiện xác định để biện luận ❶ Đặt biểu thức bằng P
biểu thức bị chặn trên – chặn dưới . ❷
Rút x theo P và dựa vào điều ❷
Với các giá trị nguyên trong khoảng đó ta
kiện x  0 để tìm P , suy ra x
tìm được giá trị x ❸
Đối chiều điều kiện và kết luận
❸ Đối chiều điều kiện và kết luận 31
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bài 3 : 2 x  3
Tìm x để A 
nhận giá trị nguyên (ĐKXĐ : x  0 ) x  1 Lời giải : Cách 1 : Cách 2 :
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
…………………………………………………
…………………………………………………..
………………………………………………… Bài 4 : 2 x  1
Cho biểu thức : P  ĐKXĐ : x  0 x  3
a. Tìm x nguyên để P nguyên
b. Tìm x để P nguyên Lời giải : a.
Tìm x nguyên để P nguyên
b. Tìm x để P nguyên
………………………………………………
……………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 32 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… Bài 5 :
…………………………………………………… Cho biểu thức :
…………………………………………………… 2 2x  2
x x  1 x  x A    với x x  x x x  x 2 x
Bài 6 : Cho biểu thức A  và x  0, x  1 3  x    
a. Rút gọn biểu thức A . 15 x 3 x 3 B     :
, x  0, x  25.    7 x 25 x  5 x    5
b. Tìm x để biểu thức chỉ nhận một giá A
a. Rút gọn biểu thức B. trị nguyên.
b. Tìm x để P  A  B nhận giá trị nguyên. Lời giải : Lời giải :
………………………………………………
…………………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………… 33
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………… Bài tập về nhà Ba    ̀i 1 : x 3 x 2 x 2 4x
Cho biểu thức: A  và B    x  2 x  2 x  2 4  x
a. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức B B
b. Tìm các giá trị của x để biểu thức P  nhận giá trị nguyên. A Bài 2 : 2 x 1 2x  3 x  9
Cho biểu thức: A    x  3 x  3 9  x
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b. Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. Bài 3: 3x  9x  3 x  1 x  2
Cho biểu thức P   
(x  0; x  1) x  x  2 x  2 1 x
a. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức P 1 b. Tìm x để nguyên P Bài 4 : 4 x  7 x  2 x
Cho hai biểu thức: A  B  
với x  0, x  1 x  và 1 x  x  2 x  2
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 34 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt A
a. Rút gọn biểu thức P  . B
b. Tìm giá trị x
để biểu thức P nhận giá trị nguyên dương.    Bài 5 : 2 x  1 2 x 5 x  1
Cho hai biểu thức: A  và B     : 
Với x  0; x  1; x  9    x  3 x 3 x 9 x    3
a. Rút gọn biểu thức B
b. Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu A  B có giá trị là số tự nhiên. Bài 6 : 3 x  6 1 x  3 x  2
Cho các biểu thức A    và B 
với x  0, x  4 x  2 x 2  x x x  1
a. Rút gọn biểu thức A 2
b. Tìm các số nguyên x để AB  3
Sắp kiểm tra 1 tiết - làm
bài tập củathầy đỗ đạt đi
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
……………………………………………………… 35
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 10 : Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất I. Lí thuyết :
Dùng điều kiện xác định : Dựa vào ĐKXĐ biện luận để ra min – max
Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra
Dùng hằng đẳng thức : Biến đổi biểu thức về hằng đẳng thức số 1 -2
Biện luận tìm min - max
Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm
Dựa vào đó biện luận biến đổi để ra min – max
Kết luận – GTLN – GTNN – dấu “=” khi xảy ra Dùng miền giá trị Xét biểu thức 1/A
Kết luận – GTLN – GTNN –dấu “=” khi xảy ra II. Bài tập :
Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng điều kiện xác định” 5 5 a. A  ĐKXĐ : x  0 c. B  ĐKXĐ : x  0 x  1 2 x  1
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
……………………………………………....... 2 x  3 4 x b. C  ĐKXĐ : x  0 d. D  ĐKXĐ : x  0 x  1 x  2
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
...…………………………………………………
…………………………………………….......
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 36 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng hằng đẳng thức ” 2     2     A 8 x 3x 4 B 1 x 2x 2
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
........……………………………………………...
……………………………………………...
...………………………………………………… 3 C   
...………………………………………………… x x 5
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………...
……………………………………………... 
……………………………………............... D  28 x  8 x 
……………………………………………... 100
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
……………………………………………...
...…………………………………………………
………………………………………….......
...…………………………………………………
……………………………………………........
...…………………………………………………
……………………………………………........
...…………………………………………………
...…………………………………………………
...…………………………………………………
...…………………………………………………
Dạng 3 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau :
“ Áp dụng bất đẳng thức cô si ”
Cho 2 số không âm a,b : a  b  2 ab  a  b x  3   ❶ A  ĐKXĐ x  0 x x 1 ❷ B  ĐKXĐ x  1 x  1 x  1
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………… 37
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức sau : “ Dùng miền giá trị ” x x  1 a. A  ĐKXĐ x  0 b. B  ĐKXĐ x  1 x  2 x  5 x  3 x  5
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………… ❶
Nếu bậc của tử  bậc của mẫu thì ta chia tử cho
mẫu sau đó có thể biện luận bằng hằng
đẳng thức hoặc áp dụng BĐT Cô si . ❷
Nếu bậc tử < bậc của mẫu thì ta xét biểu thức 1
hoặc chia cả tử và mẫu cho x A
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 38 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 5 : x  7 x
2 x  1 2x  x  3
Cho hai biểu thức A  và B   
(với x  0, x  9 ) x x  3 x  3 x  9
a. Rút gọn biểu thức B. 1
b. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A  . B Lời giải :
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà Bài 1 : x  2 x  4
Cho hai biểu thức A  và B  với x  0 1  x x  2
Cho x  Z, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A . B Bài 2 : x  9 3 2 x  5 x  3
Cho hai biểu thức : P  và Q   
với x  0, x  9 x  3 x  3 x  3 x  9
a. Rút gọn biểu thức Q .
b. Với x  9 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  . P Q Bài 3 : x  12  3 1  1
Cho hai biểu thức: A  và B     :
với x  0  x  1 x  1  x 1 x  1  x  1
a. Rút gọn biểu thức B. A
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  . B 39
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bài 3 : x  2 x  2 3x  3 x  3 x  1 x  2
Cho các biểu thức A  và B   
với x  0; x  1 x  1 x  x  2 x  2 x  1
a. Rút gọn biểu thức B B
b. Tìm giá trị lớn nhất của P  . A Bài 4 : x  3 x  2 x  2 x
Cho hai biểu thức: A    và B 
với x  0; x  4; x  9 x  2 3  x x  5 x  6 x  1
a. Rút gọn biểu thức A. B
b. Tìm x để M  1 
đạt giá trị lớn nhất. A Ba    ̀i 5 : x 1 x 2 x 1
Cho biểu thức P   
víi x  0, x  1 x  1
x x  1 x  x  1
a. Rút gọn biểu thức P 2
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q   x P Ôn Kiểm tra 1 tiết
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 40 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 11 : Tìm m để phương trình có nghiệm I. Lí thuyết : Biện luận nghiệm tìm m Cô lập m theo x I .Bài tập : Bài 1 : x  3 x x  2
Cho biểu thức A  và B 
Bài 2 : Cho biểu thức : A  và x  4 x  4 x
ĐKXĐ : x  0; x  16 x  2 B  ĐKXĐ : x  0 A Tìm x  3
m để phương trình
 m  1 có nghiệm B A Tìm  m có nghiệm Lời giải :
m để phương trình B Lời giải :
……………………………………………………….
……………………………………………………….
...……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
…………………………………………………....... 41
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bài 4 : Cho biểu thức
……………………………………………………... x  2 2( x  2) Bài 3 : A  và B  Cho biểu thức: x  x
( x  1)( x  1) 1 x 1 A  và B  (Với x  0 )
với x  0; x  1 1 x x 1 1  
Tìm giá trị của k sao cho phương trình C  có
Hãy tìm m để phương trình A B m có k nghiệm. nghiệm. Lời giải : Lời giải :
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
………………………………………………………. Bài 5 :     x x 1 x 2 x 1 1
Cho hai biểu thức A =   x  x  x  và B = 1
x x 1 x  x 1 x  với 0; 1 1
a. Rút gọn biểu thức B
b. Tìm giá trị m để .
A B  mcó nghiệm. Lời giải :
…...……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 42 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà Bài 1: x  2 x 1 7 x  9
Cho hai biểu thức: A  và B  
với x  0; x  9 x x  3 x  9
a. Rút gọn biểu thức B . A
b. Cho biểu thức P  
B . Tìm giá trị m để x thỏa mãn P m . Bài 2: x  x 1   1 2 
Cho biểu thức : A  và B     :    
 với x  0; x 1 x  x  2 x 1 x  x 
  x 1 x 1
a. Rút gọn P  . A B
b. Tìm m để có giá trị x thỏa mãn P  m .
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
……………………………………………………… 43
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 12 : Dạng toán “ mẹo “ I. Lí thuyết : P  0 P  P P  0 P  P   P  0 P P II. Bài tập : 2 x  2
Bài 1 : Tìm x để A 1  A 1 với A 
Bài 2 : Tìm x để P  P với P  x  1 3 x
( ĐKXĐ : x  0; x  1 ) ( ĐKXĐ : x  0 ) Lời giải : Lời giải :
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
.................................................................................... Bài 3 : x
Cho biểu thức: A 
.................................................................................... x  2
....................................................................................
ĐKXĐ : x  0; x  4 . Tìm x để B  B .
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 44 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Lời giải : Bài 4 : x  1
Cho biểu thức : P  . x  2
………………………………………………………
………………………………………………………
ĐKXĐ x  0 . Tìm x để P  P  0.
……………………………………………………… Lời giải :
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
.................................................................................... Bài 6 : x
Cho biểu thức A 
.................................................................................... x  3
....................................................................................
ĐKXĐ x  0 . Tìm x để 6x 18 P  x  9
.................................................................................... Lời giải :
.................................................................................... Bài 5 : 3 x
Cho biểu thức : A  x  3
………………………………………………………
………………………………………………………
ĐKXĐ x  0, x  9 .Tìm x để 2 A  5A
……………………………………………………… Lời giải :
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
.................................................................................... 2  x
....................................................................................
Bài 7 : Cho biểu thức : P  Đkxđ : x
....................................................................................
.................................................................................... x  0
....................................................................................
Tìm x sao cho (1 x).P 10
.................................................................................... Lời giải :
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
……………………………………………………… 2
……………………………………………………… Bài 8 : ( 1) Cho biểu thức :  x P Tìm x thỏa x
………………………………………………………
mãn: P x  6 x  3  x  4 với x  0
……………………………………………………… Lời giải :
……………………………………………………… 45
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
……………………………………………………… Bài 10 : x  3
Cho biểu thức : M  Tìm x x  2 Bài 9 : x 1 Cho P 
. ĐKXĐ : x  0 Tìm x  9
thỏa mãn M  M  x  0 1 Lời giải :
các số nguyên x để P  3
.................................................................................... Lời giải :
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
....................................................................................
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………. ❷
……………………………………………………………………………… 096.654.8683
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 46 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 13 : Căn Bậc Ba 1. Lí thuyết : ❶ 3 3
A  B  A  B 3 3 3 a  a 3 a  a a  3 b  3 a  2 a b  2 ab  3 ( ) 3 3 b a  3 b  3 a  2 a b  2 ab  3 ( ) 3 3 b 3 3 3 3 a  3 b  a  2 b a  ab  2 ( )( b ) ❷ A B
.  A. B 3 a  3 b  a  2 b a  ab  2 ( )( b ) A 3 A ❸
Với B  0 ta có: 3  B 3 B 2. Bài tập :
Bài 1 : Thực hiện phép tính : a. 3  729 b. 3 331 , 1 c. 3 216 , 0 d. 3  008 , 0 e. 3  343 …………. …………. …………. …………. ……… …………. …………. …………. …………. ……… f. 3 027 , 0 g. 3  512 , 0 h. 3 064 , 0 i. 3 125 j. 3 512 …………. …………. …………. …………. ……… …………. …………. …………. …………. ………
Bài 2 : Thực hiện phép tính : 3 3 3 27  125  343 3 3 3
....................................................... 64  64  216 1 8 64 
....................................................... 3 3 3 3.  5.  3.
....................................................... 27 125 27
.......................................................
.......................................................
...................................................
.......................................................
.......................................................
...................................................
.......................................................
.......................................................
...................................................
....................................................
..................................................
Bài 3: So sánh các căn bậc ba sau : 3 3 3
a. A  5 3 và B  45
b. A = 21 và B  3 213
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… 47
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… 3 3
c. A  7 6 và B  6 7
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Bài 4 : Giải phương trình :
3 A  B  A  B3 a. 3 x  2, 5 d. 3 x  2  1,2
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… 3
…………………………………………… b. 2x 1  2 3
…………………………………………… e. 1 3x  4
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… 3
…………………………………………… c.
x  2  2  x
…………………………………………… 3 3 2 f.
x  6x  x  6
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình ) 3 a.
x  2  x 1  3 3 3
b. 13  x  22  x  5 3 c.
x 1  x  3
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 48 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1: Khái niệm hàm số I. Lí Thuyết : ❶ Khái niệm hàm số
 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta
luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số
của x, x được gọi là biến số. Ta viết: y  f (x), y  g(x),...
 Giá trị của f (x) tại . 0
x kí hiệu là f ( 0 x )
 Tập xác định D của hàm số y  f (x) là tập hợp các giá trị của x sao cho f (x) có nghĩa.
 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng. ❷ Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y  f (x) là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ
Oxy sao cho x, y thoả mãn hệ thức y  f (x) . ❸
Hàm số đồng biến, nghịch biến
Xét hai giá trị bất kì 1 x , 2 x  R:  x  f x  f x
: hàm số đồng biến trên R. 1 2 x   1  2  x  f x
 f x : hàm số nghịch biến trên R. 1 2 x   1  2 II. Bài tập :
Bài 1 : Cho hai hàm số f x   2 ( )
2x và g(x)  3x  1 .  3 
a. Tính f (3), f    , f (1), ( g 0), ( g 2), ( g 5),g(4) .  2 
b. Xác định a để 3 f (a)  4  g(a) . Lời giải : g(x)  3x  a. f x   2 ( ) 2x 1
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
b. 3 f (a)  4  g(a)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………… 49
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 2 : Cho hàm số y  f x  x  3. Tính giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào chỗ chấm : Nhận xét : Hàm số trên là hàm f (1) f (1) số đồng biến hay =………. =……… nghịch biến ? Vì sao ? ……………………… .. .. ……………………… ……………………… f (0) ……………………… ……………………… =………. . ……………………… ……………………… ……………………… ……………………… f (2) f (3) ……………………… =……… =……….. ……………………… .. ……………………… ……………………… Bài 3 : x 4 x 3 Cho hàm số y f x     x  2 ………………………
a. Tìm ĐKXĐ của hàm số.
b. Tìm giá trị x để f x  0
c. Tìm giá trị x để f (x)  x  1 Lời giải :
a. ……………………………………………. c.
f (x)  x  1
b. f (x)  0
…………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………….
….…………………………………………………
……………………………………………….
…….………………………………………………
……………………………………………….
……….……………………………………………
……………………………………………….
………….…………………………………………
……………………………………………….
…………….………………………………………
……………….……………………………………
………………….…………………………………
Bài 4 : Hãy biểu diễn các điểm sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 50 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt A 1 ; 3 B2 ; -1 C 1 ; 2 D 2; -4 F 3 ; 2 G 2; -5 H(0 ; ) 1 I(3; 0) J(1; 5) K(4;  . 2)
Bài 1.1 : Hàm số bậc nhất
I. Lí thuyết : ❶
Khái niệm hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y  ax  b với a  0 . ❷ Tính chất
Hàm số bậc nhất y  ax  b xác định với mọi x thuộc R và có tính chất sau:
a. Hàm số đồng biến trên R nếu a  0
b. Hàm số nghịch biến trên R nếu a  0 . II. Bài tập :
Bài 5 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? ( Tích dấu “X” vào ô đúng )
y  2x  1 y  5  3x y   2 3 x
y  x 2  4   1 y x x
Bài 6 : Hàm số nào đồng biến , nghịch biến :
51 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 ❶
y  3x  2 ❷
y  ( 3  1)x  2
…………………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………… ❸
y  4  2x ❹
y  ( 2  2)x  2  1
…………………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………
Bài 7 : Lấy 6 ví dụ hàm số bậc nhất đồng biến – 6 ví dụ hàm số nghịch biến : Cần xác định rõ dạng của hàm số bậc
nhất : y  ax  b (a 
0) và a  ?; b  ? Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho hàm số y  2 x  2x  3
Trong các điểm A4 ;-2, B2 ;1, C 4;0, ( D
2 ; 3 2) điểm nào thuộc và điểm nào không
thuộc đồ thị của hàm số trên ?
Bài 2 : Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Với các hàm số bậc nhất, hãy cho
biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến?
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 52 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt a. y  5  3x
b. y  x 5  4
c. y  3(x  1)  3x 1 d.
y  2(x  )  2x
e. y   2 x f.   1 y x 2 3 x
Bài 3 : Cho hàm số y  4x  2 .
a. Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R?
b. Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; 2; 2  3; 4  3 2 .
c. Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 2; 4; 5  6; 4  2 .
53 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Vẽ đồ thị - vị trí hai đường thẳng I. Lí Thuyết : ❶
Cách vẽ đồ thị hàm số y  ax  b ( a  0 ):
 Khi b  0 thì y  ax . Đồ thị của hàm số y  ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ O0;0 và điểm ( A 1; ) a .  b 
 Nếu b  0 thì đồ thị y  ax  b là đường thẳng đi qua các điểm ( A 0; )
b , B  ; 0 .  a  ❷
Cho 2 đường thẳng: (d) : y  ax  b và (d) : y  a' x  b' (với a, a'  0 ): (d)  (d') (d) // (d) (d) cắt (d) (d)  (d) a   a'  a  a'  a  a'  . a a'  1 b   b'   b   b'
 (d) cắt (d) tại một điểm trên trục tung  a  a';b  b' II. Bài tập :
Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số y  2x  1 và y  3x  2 trên cùng hệ trục tọa độ y  2x  1 Lấy điểm : x y
y  3x  8 Lấy điểm : x y
Bài 2 : Tìm các đường thẳng song song , vuông góc và cắt nhau
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 54 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. y  2x  1
b. y  3x  2  2
c. y  2x  2  7
d. y  3  2  2x 1 1 e. y  x  5
f. y   x  100 3 2
Bài 2.1 : Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = ax + b cắt , vuông góc , song
song , trùng với đường thẳng đã biết
Bài 3 : Cho hàm số : y  (m  2)x  2 (d)
Bài 4 : Cho hàm số : y  (2m 1)x  m  2 (d)
a. Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất
a. Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất
b. Tìm m để (d) là hàm số đồng biến
b. Tìm m để (d) là hàm số nghịch biến
c. Tìm m để (d) song song với đường thẳng
c. Tìm m để (d) song song với đường thẳng ( y 2x 3 y 3x 3 1 d ) :   ( 2 d ) :  
d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng
d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng ( y 3x 2 y 2 3x 1 d ) :    ( 2 d ) :  
e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng (
e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng 1 d ) :
y  x  3 ( y 5x 3 2 d ) :    Lời giải :
f. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng ( y 4x 2 2 d ) :  
a. ……………………………………………… Lời giải :
………………………………………………
………………………………………………
a. ………………………………………………...
b. ………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
b. ………………………………………………...
c. ………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
c. ………………………………………………...
d. ………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
55 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………
d. …………………………………………...........
e. ………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
e. ………………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………………
f. ………………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Bài 2.2 : Tìm m khi biết đường thẳng (d) đi qua một điểm
Bài 5 : Cho hàm số : y  (2m  1)x  4  3 ( m d)
a. Tìm m để d đi qua A 1; 5
b. Tìm m để d đi qua B3;1
c. Tìm m để d đi qua C 3; 1 Lời giải :
a. …………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
b. …………………………………………..
……………………………………………….
c. ……………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………
Bài 6 : Cho hàm số y  (2m  5)x - m .
a. Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 56 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
b. Xác định m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Lời giải :
a. …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
Bài 7 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho đường thẳng (d): y  2x  6 .
Xác định tọa độ các giao điểm A và B
của d với hai trụcOx,Oy . Vẽ d
trong mặt phẳng tọa độ Oxy Lời giải :
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho hàm số : y  (3  3m)x  5m  2 (d)
a. Tìm m để (d) là hàm số bậc nhất
b. Tìm m để (d) là hàm số nghịch biến
c. Tìm m để (d) song song với đường thẳng (
: y  2x  4 1 d )
d. Tìm m để (d) vuông góc với đường thẳng ( : y   1 1 x 1 d ) 2
57 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 2
e. Tìm m để (d) cắt nhau với đường thẳng (
: y   x  1 1 d ) 3
Bài 2 : Cho hàm số : y  mx  1 . Tìm giá trị của m dể đường thẳng (d) đi qua A1;2 . Vẽ đồ
thị hàm số với m vừa tìm đc
Bài 3 : Cho hàm số y  m  
1 x  2 với m  1 có đồ thị là đường thẳng d
a. Vẽ đồ thị hàm số khi m  3.
b. Tìm m để đường thẳng d song song với đường thẳng y  3x  1
Bài 4 : Cho hàm số y  m 1x  m  3.
a. Vẽ đồ thị hàm số khi m  1.
b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y  2x  1 .
c. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm 2; 4 .
d. Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 3 : Xác định phương trình đường thẳng : y = ax + b I. Lí Thuyết :
Hệ số góc của đường thẳng : y  ax  b (a  0)
 Đường thẳng y  ax  b có hệ số góc là a.
 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y  ax  b (a  0) với tia Ox :   0 90 thì a > 0   0 90 thì a < 0.
 Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.
Bước 2 : Dựa vào dữ
Bước 3 : Kết luận
Bước 1 : Gọi phương
kiện đề bài cho lập phương trình
trình đường thẳng phương trình sau là : đó giải để tìm
y  ax  b (a  0)
a; b (a  0)
II. Bài tập :
Dạng 1 : Biết hệ số góc và điểm đi qua
Xác định hàm số : y  ax  b (1)
a. Đi qua gốc tọa độ và A 1; 3
b. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua gốc tọa độ
c. Có hệ số góc bằng 2 và đi qua A1; 2
d. Có hệ số góc bằng 1 và đi qua A3; 4 Lời giải :
a. Đi qua gốc tọa độ và A 1; 3
b. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua gốc tọa
 ………………………………………………. độ 
………………………………………….
……………………………………………….
…….…………………………………………
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………..…
 ……………………………………………….
59 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………….
….……………………………………………
……………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………….
………………………………………………
c. Có hệ số góc bằng 2 và đi qua A1; 2
d. Có hệ số góc bằng 1 và đi qua A3; 4
 ……………………………………………….
 …………………………………………
……………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
 ……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
 …………………………………………
……………………………………………….
…….…………………………………………
……………………………………………….
…….…………………………………………
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Dạng 2 : Đi qua hai điểm A và B
Bài 2 : Xác định hàm số : y  ax  b (1)
a. Đi qua A1; 2 và ( B 3; 2) b. Đi qua ( A 3; 2) và ( B 0; 2) c. Đi qua ( A 1; 2) và ( B 2; 5) d. Đi qua ( A 3; 1) và ( B 6; 2)
e. Đi qua gốc tọa độ và ( A 1; 3) Lời giải :
a. Đi qua A1; 2 và ( B 3; 2) b. Đi qua ( A 3; 2) và ( B 0; 2)
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 60 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………. d. Đi qua ( A 3; 1) và ( B 6; 2)
……………………………………………….
………………………………………………. c. Đi qua ( A 1; 2) và ( B 2; 5)
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
e. Đi qua gốc tọa độ và ( A 1; 3)
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 3 : Viết phương trình đường thẳng y  ax  b thỏa mãn các điều kiện sau:  1 7 
a. Đi qua điểm A  ;  và song song với đường thẳng y  2x  3.  2 4 
b. Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm B2;1 .
c. Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm C 1; 2 . 2
d. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . 3
e. Đi qua 2 điểm M 1; 2 và N 3; 6 .
f. Có hệ số góc bằng 3 và cắt đường thẳng y  x  2 tại điểm có hoành độ là 1. Lời giải :
a. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
61 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
b. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
c. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
d. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
e. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
f. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………... Bài 4 : 1
Cho các đường thẳng:  y x 1
d  :  7 -1 và 2
d  : y  x  3 2
a. Viết phương trình đường thẳng  3
d  qua M 4 ; 5 và song song với đường thẳng  1 d 
b. Viết phương trình đường thẳng  4
d  qua N 3; -2 và vuông góc với đường thẳng  2 d 
c. Viết phương trình đường thẳng  5
d  qua hai điểm M và N. Lời giải :
a. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
b. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 62 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………………………………………...
c. ……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………... Bài tập về nhà
Bài 1 : Xác định hàm số y  ax  b biết:
a. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A1; 2 .
b. Đồ thị hàm số đi qua B3; 2 và song song với đường thẳng y  2x  7 .
c. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ y  3 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  2 .
d. Đồ thị hàm số đi qua điểm C 3; 1 và vuông góc với đường thẳng 2y  4x  1 .
Bài 2 : Xét đường thẳngd : y  3m +1x  2m 1 . Định m để đường thẳng d :
a. Đi qua gốc tọa độ.
b. Đi qua A 2; 3
c. Cắt đường thẳng y  3x-7 tại một điểm trên trục tung
d. Song song với đường thẳng y  5x  2
e. Vuông góc với đường thẳng y  -2x+1.
63 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Tìm m thỏa mãn 3 đường thẳng đồng quy I. Lí thuyết :
Dạng 1 : Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng :
Phương trình hoành độ giao
điểm của 2 đường thẳng
Tìm ra giá trị x
Tìm ra giá trị y
Kết luận tọa độ giao điểm II. Bài tập
Bài 1 : Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau : a. ( y  x  y  3  x  2 y   x  y  4  2x 1 d ) 2 1 và ( 2 d ) b. ( 1 d ) 3 5 và ( 2 d )
 ……………………………………………………….
 ………………………………………………...
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
 ……………………………………………………….
 ………………………………………………...
 ……………………………………………………….
 ………………………………………………...
……………………………………………………….
………………………………………………...
Bài 2 : Tìm m để giao điểm của ( y  mx  2
y  3x  m  2 A  1 d ) và ( 2 d ) tại điểm (1; 2) Lời giải :
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 64 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Dạng 2 : Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy :
Chọn 2 đường thẳng Thay tọa độ giao
“dễ”rồi tìm tọa độ điểm đó vào
giao điểm giữa chúng đường thứ 3
(Vị trí tương đối ) Giải phương Kết luận trình tìm m
Bài 3 : Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy :
a. y  2x 1 ( y   x 
y  x  m  d 1 d ) và 3 2 ( 2 d ) ; 4 2 ( 3)
 ……………………………………………………….
 ……………………………………………..
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
……………………………………………………
……………………………………………………….
…………………………………………………….
………………………………………………………. b. y  4  x  2 ( y   x
y  m  x   m d 1 d ) và 3 2 ( 2 d ) ; ( 1) 2 3 ( 3)
 ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
65 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………..
Dạng 3 : Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số :
Bước 1 : nhóm m thành 1 nhóm
Bước 2 : Cho các giá trị bằng 0 tìm ra được x,y Bước 3 : Kết luận
Bài 4 : Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua a.
y  (m  2)x  m  3 ĐK m  2 1
b. y  (3m 1)x  2m 1 ĐK : m  3
…………………………………………………………….
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
……………………………………………………………. …………………………………………………
Dạng 4 : Tìm m để 3 điểm thẳng hàng : Bước 1 Bước 2 Bước 3 Viết phương Thay tọa độ C Tìm m và kết trình đường vào đường luận thẳng AB thẳng
Bài 5 : Tìm m để 3 điểm ,
A B,C thẳng hàng :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 66 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt a. ( A 5; 2  ), B(3; 7  ), C( 3  ; m 2  ) m b. ( A 3; 2), B( 1  ;5), C(2  ; m 3  5 ) m
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……………………………………………………..
…………………………………………………
……..………………………………………………
Bài 6 : Cho hàm số y  m  2x  m 3 (d)
a. Vẽ đồ thị hàm số khi m  3 .
b. Tìm giá trị của mđể đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y  2  x 1 ( 1 d )
c. Tìm giá trị của mđể đồ thị hàm số trên đi qua điểm A 1; 4   .
d. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi m
e. Tìm m để (d) ; ( y  x  1 d ) ; ( 2 d ) 3 2 đồng quy .
f. Tìm m để ba điểm A , điểm cố định của hàm số và ( C 1; 2
 m 1) thẳng hàng Lời giải :
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
67 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
………………………………………………………………. ……………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho hàm số y  2m   1 x  5m  4 (d)
a. Vẽ đồ thị hàm số khi m  4 .
b. Tìm giá trị của mđể đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y  3
 x 1 ( 1d)
c. Tìm giá trị của mđể đồ thị hàm số trên đi qua điểm A 1; 3   .
d. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi m
e. Tìm m để (d) ; ( y   x  1 d ) ; ( 2 d ) 5 2 đồng quy .
f. Tìm m để ba điểm A , điểm cố định của hàm số và ( C 4  2 m; 2)  thẳng hàng
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 68 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (d)là lớn nhất I. Lí thuyết : Cách 1 : Cách 2 : ❶
Đưa về tam giác vuông để áp ❶
Tìm điểm cố định mà (d) đi qua A. dụng hệ thức lượng : ❷
Phương trình đường thẳng  đi qua 1 1 1 A    hai điểm (1; 2);O(0;0) 2 2 2 OH OA OB ❸
Do (d) vuông góc với  nên tìm được ❷
Biện luận để tìm giá trị lớn nhất m II. Bài tập :
Bài 1 : Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình 2kx  k  
1 y  2 ( k là tham số)
Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………
b. ……………………………………………………………………………………………………………… Cách 1 : y x A H 2  k 2 y  x  k 1 k 1 B O x
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
69 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………. Cách 2 :
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………. Bài 2 :
y (2m 3)x 2 y Cho đường thẳng :    (d)
a. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) bằng 2
b. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) có giá trị lớn nhất A H Lời giải :
………………………………………………………………… B
………………………………………………………………… O x
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 70 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 5.1 : Tính diện tích tam giác hoặc tứ giác I. Lí thuyết
Vẽ các đường thẳng lên
Dựa vào hình vẽ tính trục tọa độ
diện tích cần tìm  S = S.h Kết luận
Bài 1 : Cho hàm số bậc nhất y  (m  2)x  2 có đồ thị là đường thẳng (d)
đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A , cắt trục Oy tại B
a. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 3 . y
b. Tìm m để (d) tạo với trục Ox một góc bằng 0 45 . 4 Lời giải : A 3 2
a. …………………………………………………………… 1
…………………………………………………………………
………………………………………………………………… x 8 6 4 2 2 4 6 8 B
………………………………………………………………… 1
………………………………………………………………… 2
………………………………………………………………… 3
………………………………………………………………… 4
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
71 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 2 : Cho đường thẳng (d) có phương trình y  3m  2 x  m  2 . Đường thẳng (d) cắtOx tại B, 1
Oy tại A . Tìm m để diện tích O  AB bằng 2 Lời giải :
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho hàm số y  m  
1 x  3 với m  1 có đồ thị là đường thẳng d 
a. Vẽ đồ thị hàm số khi m  2.
b. Tìm m để đường thẳng d  song song với đường thẳng y  2  x 1
c. Tìm m để đường thẳng d  cắt hai trục tọa độ O ,
x Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 9.
Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y  2x  4 .
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 72 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. Xác định tọa độ các giao điểm A và B của (d) với hai trục Ox , Oy . Vẽ (d) trong mặt
phẳng tọa độ Oxy .
b. Tính chu vi và diện tích ∆OAB.
c. Tìm m để đường thẳng  2 2
y  m  2  2m  2m 1 d  :   song song với (d)
73 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
CHƯƠNG 1 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1 : Áp dụng hệ thức lượng vào tính độ dài I. Lí Thuyết :
1. Các công thức hệ thức lượng : ❶ 2
AB  BH.BC ❷ 2
AC  CH.BC Pi-ta-go: 2 2 2
AC  AH  CH Pi-ta-go: 2 2 2
AB  AH  BH 2 2 2 A   2 2 2
AB  BC  AC AC BC AB 2 2 2
BC  AB  AC C B H ❸ A . H BC  A . B AC ❹ 2
AH  BH.CH 1 1 1 ❺   2 2 2 AH AB AC II. Bài tập : Bài 1 : Tìm ; x y : ❶ ❷ A A 12 8 6 x y x y B C C H B H
………………………………………………………… 20
…………………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 74 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ❹ ❸ A A y x x y 3 12 B H C 4 7 B H C
……………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ❻
………………………………………………………… A ❺ A 12 17 x y 4 B H C 3 x B H C y
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… Hệ thức lượng
Muốn làm tốt phần này cần :
 Vẽ hình to – rõ ràng – kí hiệu các góc vuông .
 Thuộc công thức và xác định rõ
các đại lượng cần tính
75 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường
5 cm, BC = 13 cm. AH là đường cao. Tính :
cao AH. Biết AB = 4cm, AC = 8,5cm. Tính : a. BH b. CH a. BH b. CH c. AC d. AH c. AH
a. ……………………………………………
a. …………………………………………………..
……………………………………………
…………………………………………………...
……………………………………………
…………………………………………………...
……………………………………………
b. ………………………………………………….
……………………………………………
c. …………………………………………………..
……………………………………………
.………………………………………………….
……………………………………………
..………………………………………………… b. ……………………………………………
d. …………………………………………………..
c. ……………………………………………
.………………………………………………….
……………………………………………
..…………………………………………………
……………………………………………
...………………………………………………...
……………………………………………
Bài 4 : Cho ∆ABC biết BC = 12,5cm, AC = Bài 5 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường 6,5cm, AB = 10,7cm.
cao AH. Biết AB = 8 cm, BH = 6 cm. Tính :
a. ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao của a. AH b. AC ∆ABC. c. CH
b. Tính độ dài các cạnh BH, HC.
a. ...…………………………………………
a. ...……………………………………………….
...………………………………………….
....………………………………………………
…....………………………………………
.....……………………………………………...
...………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 76 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…….....………………………………………...
b. ...………………………………………….
……….....……………………………………...
…….....…………………………………...
b. ...……………………………………………….
…..………………………………………..
...……………………………………………….
...………………………………………….
....………………………………………………
c. ...………………………………………….
.....……………………………………………...
…….....……………………………………
…...…………………………………………….
…..………………………………………..
Bài 6 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao
...………………………………………….
……………………………………………
AH. Tính diện tích ∆ABC biết AH = 15 cm, BH
...…………………………………………. = 9 cm.
...………………………………………….
...……………………………………………………
...……………………………………………………
...……………………………………………………
...……………………………………………………
...……………………………………………………
...…………………………………………………… Bài tập Thực tiễn :
Bài 7 : Tính chiều cao cây : Lời giải :
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
77 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó …… – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 8 : Tính độ dài quãng đường từ bờ sông đến khóm hoa : Lời giải :
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
…………………………… ….
…………………………… Bài tập về nhà :
………………………….
…………………………… Bài 1 :
……………………………
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, AB = 12 cm. AH là đường cao. Tính : ………………….. a. BC b. BH c. CH d. AH
Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 8,2cm, BH = 5,3cm. Tính : a. AH b. AC c. CH d.
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 13 cm, CH = 52 cm. Tính : a. BC b. AH c. AB d. AC
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 78 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 2 : Tính độ dài cạnh dựa vào tỉ lệ - phân giác - chu vi – diện tích I. Lí Thuyết :
2. Tính chất đường phân giác của tam giác:
1. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A bằng nửa cạnh huyền: A C B M MC AC  C B
( AM là đường phân giác ) M MB AB
AM  1 BC ( AM là đườngtrung tuyến ) 2
4. Diện tích tam giác : 3. Chu vi tam giác : A A C H B C B S AH BC   1 . ABC 2 Chu vi  A Chu B vi A  C A  B B  C A
C  BC I . Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có
Bài 2 : Cho ∆ABC v uông tại A. biết
BC = 17cm. Tính chiều dài hai cạnh góc AB 4 dường cao AH = 16cm và . AC 5 1 vuông biết AB AC . 3 Tính HB, HC.
………………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………………
..…...…………………………………...........
79 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………
…………...……………………………….…
………………………………………………………
………………...……………………….……
………………………………………………………
……………………...………………………
………………………………………………………
…………………………...…………………
Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 5 cm,
………………………………...……………
……………………………………...………
AC = 12 cm, phân giác AD, đường cao
…………………………………………...… AH. Tính HB, HC,HD
……………………………………………...
Bài 4 : Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường
cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 16 HB 2 cm, . HC 5
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
……………………………………………………… ……………………………………………...
………………………………………………………
……………………………………………...
………………………………………………………
...……………………………………………
………………………………………………………
……...………………………………………
……………………………………………………… …………...…………………………………
………………………………………………………
………………...……………………………
……………………………………………………… ……………………...………………………
………………………………………………………
…………………………...…………………
……………………………………………………… ………………………………...……………
………………………………………………………
……………………………………...………
………………………………………………………
…………………………………………...…
………………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………………
...……………………………………………
………………………………………………………
……...………………………………………
Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có hai đường
…………...…………………………………
chéo vuông góc với nhau. Chứng minh:
………………...…………………………… 2 2 2 2 AD BC AB CD
……………………...………………………
……………………………………………...
Bài 6 : Cho tam giác ABC có diện tích S .
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 80 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
chứng minh ta luôn có diện tích tam
giác luôn nhỏ hơn nửa tích hai cạnh .
……………………………………………………
………………………………………………
…..………………………………………………..
…...…………………………………………
………..…………………………………………..
………...……………………………………
……………..……………………………………..
……………...………………………………
…………………..………………………………..
…………………...…………………………
………………………..…………………………..
………………………...……………………
……………………………..……………………..
……………………………...………………
…………………………………..………………..
…………………………………...…………
……………………………………………………
………………………………………...……
……………………………………………... Bài tập về nhà Bài 1 : 5
Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là
, cạnh huyền là 26. Tính 12
độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bài 2 : Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo AC và BD
vuông góc với nhau, BD = 15cm.
Bài 3 : Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo
vuông góc với cạnh bên. Tính đường cao của hình thang.
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng AM cắt đường 1 1 1
thẳng DB, DC lần lượt tại I và N. Chứng minh:   2 2 2 AB AM AN
81 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3: Tỉ số lượng giác của góc nhọn : Sinx -cosx - tanx -cotx I. Lí Thuyết :
4 Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong vuông:
Thần chú : Sin Đi Học Cos Không Hư §èi AC ❶ sin   Tan Đoàn Kết HuyÒn BC
Cot Kết Đoàn KÒ AB ❷ cos   B HuyÒn BC  èi § AC ❸ tan   KÒ AB Cạnh kề Cạnh huyền
Tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn KÒ B A ❹ cot    A Cạnh đối C dương : §èi AC 0 < sin < 1 0 < cos < 1. II. Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm các Bài 2 : Cho ABC vuông tại A có đường
tỉ số lượng giác của góc B khi:
cao AH. Tìm số đo của các góc B và C, biết:
a. BC = 5 cm, AB = 4 cm.
a. AB = 5 cm và AC = 7cm B B 3 5 5 A C A C 7
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
b. HB = 8 cm và HC = 32cm.
……………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 82 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
b. BC = 13 cm, AC = 5 cm. B 8 C H 32 13 5 A C A B
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
…………………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………………
c. AB = 6 cm và BC = 10cm.
c. AC= 6 cm, AB = 8 cm. B C 6 10 6 A C A B 8
………………………………………………
…………………………………………………….
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Bài 3 : Cho ABC có AB = 9 cm, AC = 12cm và
…………………………………………………… BC = 15 cm. Bài 4 :
a. Chứng minh ABC vuông tại A.
Cho ABC vuông tại A, biết AB = 12cm
b. Tìm số đo các góc B và C. và BC = 20cm.
c. Tìm độ dài của đường cao AH. a. Tính góc B và C
b. Tìm độ dài đường cao AH và phân giác AD.
83 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 B B 20 H H 9 15 12 D A C 12 A C
a. …………………………………………..
a. …………………………………………………
……………………………………………...
…………………………………………………….
……………………………………………...
…………………………………………………….
……..……………………………………….
…………………………………………………….
b. …………..................................................
…………………………………………………….
……………………………………………...
b. …………………………………………………
……………………………………………...
…………………………………………………….
……………………………………………...
…………………………………………………….
……………………………………………...
……………………………………………………
c. ……………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… Bài 5 : 1
Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh: S  . AB . BC SinB ABC 2 Chú ý : hệ thức
lượng chỉ áp dụng cho tam giác vuông
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 84 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………… 1 Tương tự ta có S  . AB A . C Sin A ABC 2 1 S  A . C BC .SinC ABC 2
Bài 6 : Cho tam giác ABC ta có : 2 AB  2 AC  2 BC  2A . C B . C cosC
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………… 2 BC  2 AB  2 AC 
Tương tự có biểu thức : 2A . B AC.cos . A 2 AC  2 AB  2 BC  2A . B BC.cos . B Bài tập thực tiễn
Bài 7 : Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng 700 Và bóng của tháp trên mặt đất
dài 118 m. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
…………………………………………………………. 0 70
………………………………………………. 118m (Tháp eiffel – Pháp )
85 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 8 : Tính chiều cao bóng đèn so với mặt đất (xe cần cẩu)
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc C , biết rằng:
a. AB = 12,5 cm và AC = 6,4 cm.
b. Đường cao AH , AC = 13 cm và CH = 5cm.
c. Đường cao AH, CH = 6 cm và BH = 4,5cm
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9 cm và AC = 14 cm. a. Tính góc B.
b. Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.
c. Vẽ AH  BI tại H. Tính AH.
Bài 3 : Một con mèo ở trên cành cây cao 6,5m. Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho
đầu cầu thang đạt độ cao đó, khi đó góc của hình thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 6,7m.
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❷
…………………………………………………...
……………………………………………………… ❸
…………………………………………………...
………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 86 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 4 : Dựng góc – So sánh các giá trị lượng giác
I . Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác : Dựng góc Dựa vào góc Dựng các vuông xOy cần dựng là cung tròn cho 1 và chọn 1 Sinx , Cosx , hợp lí ta sẽ 2 3 đoạn thẳng tanx , cotx để c được góc làm đơn vị. chọn điểm ớ OAB cần Bước
Bước trên trục tọa Bư dựng độ cho phù hợp I . Bài tập : Bài 1 : 3 5
Dựng góc  biết cos
. Tính độ lớn Bài 2 : Dựng góc  biết tan .Tính 5 4 của góc . góc vừa dựng ❶ ❶
…………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………. ❷ ❷
…………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………. ❸ ❸
…………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………. ❹ ❹
…………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………..
87 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
II. So sánh các giá trị lượng giác và tính các giá trị lượng giác khi biết một đại lượng
Các công thức lượng giác
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau 2 2
sin x  cos x  1 0 x  y  90 sin  x  y tan   sin cos co  s co   s x  y cot  cos sin sin     tan .cot 1
tan x  cot y 2 1 1 tan  
Cotx  tan y 2 cos  1 1 2 cot   2 sin  Bước 1 Bước 2 Bước 3 Đổi các giá Số nào lớn Sắp xếp và trị lượng hơn thì giá viết lại giá giác về cùng trị lượng trị lượng 1 loại sinx giác đó lớn giác ban hoặc cosx ... hơn đầu theo thứ tự
Bài 1 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ Bài 2 : Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo
tự tăng dần (không sử dụng máy tính) :
thứ tự giảm dần (không sử dụng máy tính) : Đề bài Biển đổi Đề bài Biến đổi 0 0 ………………. …........... ta 35 n
...................................................... s 30 in 0 0 ………………. ………....
cot63 ..................................................... cos 20 0 ………………. 0 ……….… ta 80 n
...................................................... sin 46 0 ………………. ……….… 0
cot32 ...................................................... cos 67 0 ………………. ………..... 0 cos 45
cot50 ......................................................
Điền đáp án vào đoàn tàu nhé !!! ………… ………… ………… ………… ………… …….. …….. …….. …….. ……..
Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau:
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 88 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt a. 0  0  0  0  0 sin15 sin75 cos15 cos75 sin 45 b. 0  0  0  0 sin 25 sin 64 cos 26 cos 65
…………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………
…..………………..…………………
…………………………………………………………
………………………………………
…..……………………………………………………
………….. ………………………….
………..……………………………………………… c. 2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0 cos 13 cos 25 cos 34 cos 45 cos 56 cos 65 cos 77
…………………………………………………………………………………………………………
...……………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………… d. 2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0  2 0 sin 10 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 70 sin 80
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Bài 5 : Cho ta 
n  2 và  là góc nhọn .Tính Bài 4 : Biết   3 sin
và  là góc nhọn .Tính si  n ; co  s ; co  t 2
........................................................................ cos; tan; cot
.................................................................................
........................................................................
........................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
.................................................................................
........................................................................
........................................................................
Bài 6 : So sánh quãng đường mà 2 người phải đi tới .......................................................................
đảo hoang bên kia .
89 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………
………………………………………………....
………………………………………………....
…………………………………………………
………………………………………………....
………………………………………………....
………………………………………………… 12m 8m Bài tập về nhà
Bài 1 : Dựng góc  biết   2 cos 7
Bài 2 : Tính giá trị biểu thức sau : a. 0  0  0  0  0 sin 20 tan 25 cot 65 cos70 sin 30 b. 2 0  2 0  2 0  2 0  2 0 cos 20 cos 40 cos 50 cos 70 tan 45 Bài 3 : a. Cho   7 tan
và  là góc nhọn . Tính cot ; sin ; cos . 12 b. Cho   9 sin
và  là góc nhọn . Tính cot ; tan ; cos . 11
Nhớ học thuộc công thức lượng giác đi nhé !!!
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 90 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Chứng minh biểu thức lượng giác I. Lí thuyết : 1. A  2 B  2 A  AB  2 ( ) 2 B 1. 2   2 sin cos   1 2. tan.cot  1 (A  2 ) B  2 A  2AB  2 2. B   2 A  2 B  (A  ) B (A  tan  sin cot  cos 3. ) B 3. 4. cos sin (A  3 ) B  3 A  2 3A B  2 3AB  3 4. B 1 1 (A  3 ) B  3 A  2 3A B  2 3AB  3 5. 1 2 tan   6. 1 2 cot   5. B 2 cos  2 sin  3 A  3 B  (A  2 )
B (A  AB  2 6. B ) 7. 3 A  3 B  A  2 B A  AB  2 ( )( B ) II. Bài tập
Bài 1 : Chứng minh rằng với góc nhọn  tùy ý, mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào  : a. A =    2     2 (sin cos ) (sin cos )  4
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
……………………………………………………………………. b.  6   6   2  2 B sin cos 3sin cos   1
…………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau:
91 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 (1 cos)(1 cos 2 ) sin  sin cos 
……………………………………..
……………………………………………  2   2 1 sin cos  2 2 2 tan   sin  tan 
……………………………………..
……………………………………………
……………………………………..
…………………………………………… 2   2  2 cos tan cos  4 4 2 2
sin   cos   2 sin  cos 
……………………………………..
……………………………………………
……………………………………..
……………………………………………
……………………………………..
……………………………………………
……………………………………..
……………………………………………
…………………………………………… Bài 3 : Chota  n  co 
t  4 . Tính giá trị của biểu Bài 6 : Biết ta  n  2 . Tính :
thức A  4si  n .co  s 2 sin  o c  s a. A 
………………………………………………………. 7 sin  4 cos
………………………………………………………. Th1 :
………………………………………………………. .......................................................................
………………………………………………………. Th2 :
………………………………………………………. .......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
………………………………………………………. 2    co   2 sin sin . s cos  b. B  2 sin.cos Bài 4 : Biết   1 cos , tính A = 2   2 3sin 2 cos  3 Th1 : .
.......................................................................
………………………………………………………. Th2 :..............................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
......................................................................
Bài 5 : Cho tan  cot  2. Chứng minh rằng :
......................................................................
...................................................................... 2   2   3   3 tan cot tan cot 
......................................................................
……………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 92 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………….
......................................................................
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho góc nhọn x . Chứng minh :  2 1 2sin x    2     2 (sin cos ) (sin cos ) a.
 cos x  sin x b.  4 cosx  sinx sin.cos 3 3 Bài 2 : sin   cos 
Cho tan  2 . Tính A  3 sin   3 cos  2 tan  10 o c  Bài 3 : s Biết   1 sin . Tính M  2 5co s  4 cot
Nhớ làm bài tập về nhà cẩn thận !!!
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
………………………………….
…………………………………….. ❷
………………………………….
……………………………………..
93 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 6 : Giải tam giác vuông I. Lí thuyết: Bước 1 :
Vẽ hình và xác định rõ các đại lượng cần tìm Bước 2 :
Áp dụng tỉ số lượng giác để tìm cạnh và góc Bước 3 : Kết luận II. Bài tập
Bài 1 : Giải tam giác ABC vuông tại A , biết :
a. AC = 80 cm và góc B  0 30
c. AB = 50 cm và góc B  0 60 B B 50 A C A 80 C
......................................................................
...................................................................................
......................................................................
...................................................................................
......................................................................
...................................................................................
......................................................................
...................................................................................
......................................................................
...................................................................................
......................................................................
...................................................................................
d. AB = 60 cm và AC = 80 cm b.
BC = 60 cm và góc C  0 30 B B 60 60 A C A 80 C
...............................................................................
......................................................................
...............................................................................
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 94 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
...............................................................................
......................................................................
...............................................................................
......................................................................
...............................................................................
......................................................................
...............................................................................
......................................................................
.....................................................................
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 300, AB = 8cm
a. Giải tam giác vuông ABC.
b. Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của  ABC. Tính diện tích  AHM.
a. ………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
b. ………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 3 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 4,6cm ; HC = 5,4cm a. Tính : AB, AC, AH.
b. Kẻ HE  AB ; HF  AC. Chứng minh rằng: AB.AE = AC.AF.
c. Chứng minh: AEF và ABC đồng dạng. Lời giải :
……………………………………………………………………………………………………………
95 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..…………..
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC  6c , m D B  8cm , AOB  0
60 . Tính diện tích tứ giác ABCD. Cho tam giác nhọn ABC: B A  S  1 A . B BC. ABC SinB 2 O 6 8
( đã chứng minh ở bài 3) D C
……………………………………………………………………………………………………………...
……………...………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………………………...
……………...………………………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 96 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC. Gọi , a ,
b c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, a b c B, C. Chứng minh:   sin A sin B sinC A H K B C I
……………………………………………………………………………………….............................
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải tam giác vuông ABC tại A :
a. AB = 8 cm và B̂ = 450.
b. AB = 5 cm và BC = 13 cm.
Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc với AC, cắt AC ở H. Biết rằng AB =
10cm; DH = 5cm. Tính độ dài BD. BD  14, 22cm
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6cm, HC = 12cm.
a. Tính độ dài HB, BC, AB, AC
b. Kẻ HD  AC (DAC) . Tính độ dài HD và diện tích tam giác AHD.
97 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 7 : Bài Tập Tổng Hợp I. Lí thuyết :
1. Các trường hợp đồng dạng của tam giác A'
Đặt biệt tam giác bằng nhau : A
Th1 : c  c  c B' AB AC BC   B A' B' A'C ' B'C ' B C B' C' A' A C A' C' A
Th2 : c  g  c B  B' Hoặc AB AC  và A  A' B C B' C' B' A' B' A'C ' A' B A C' Th3 : g - g A C A' B C B' C'
AB  A' B'
A  A' và C  C ' 2. Bài tập
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 4 cm, BC = 10 cm. Gọi E, F lần lượt
là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a. Giải tam giác vuông ABC.
b. Tính độ dài AH và chứng minh: EF  A . H c. Tính: E . A EB  A . F F . C Lời giải :
a. …………………………………………………...........
…………………………………………………...........
…………………………………………………...........
…………………………………………………...........
…………………………………………………...........
.....…………………………………………………......
…………………………………………………...........
…………………………………………………........... c. ………………………………….......
…………………………………………………...........
………………………………….......
b. …………………………………………………...........
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 98 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………...........
..………………………………….....
…………………………………………………...........
....…………………………………...
…………………………………………………...........
......………………………………….
…………………………………………………...........
........………………………………
…………………………………………………...........
….........……………………………
…………………………………………………...........
…….........…………………………
…………………………………………………...........
……….........………………………
………….........……………………
Bài 2 : Cho hình thang ABCD có A  D  0
90 và hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. a. 2 AD  A . B DC
b. Cho AB = 8, CD = 12. Tính diện tích hình thang ABCD.
c. Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Lời giải :
a. ……………………………………………………  Vẽ hình :
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
b. …………………………………………………….. …………………………………………
…………………………………………………… ..……………………………………….
…………………………………………………… …………………………………………
…………………………………………………… ………………………………………… c.
…………………………………………………… …………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
99 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3 : Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.
a. Biết 4AB  5AC . Tính sin ACB , tan ACB .
b. Vẽ đường phân giác CK của AHC. Biết AH =4,6 cm; BH = 3,2 cm. Tính CH, AC, CK, os c HCK .
c. Lấy M  BC. Kẻ ME  AB tại E và MF  AC tại F. Chứng minh MB.MC = EA.EB + FE.FC Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
….………………………………………………………………
……..……………………………………………………………
………..…………………………………………………………
…………..………………………………………………………
……………..……………………………………………………
………………..…………………………………………………
…………………..………………………………………………
……………………..……………………………………………
b. …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…..………………………………………………………………
……..……………………………………………………………
………..…………………………………………………………
…………..………………………………………………………
……………..……………………………………………………
………………..…………………………………………………
…………………..………………………………………………
……………………..……………………………………………
………………………..…………………………………………
…………………………..………………………………………
c. …………………………………………………………………………………………………………
…...……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 100 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Bài 4 : Một máy bay đang bay ở độ cao 25km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của
máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.
a. Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 0
7 thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt
đầu cho máy bay hạ cánh? A C B
b. Nếu cách sân bay 200km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu?
Bài 5 : Một khúc sông rộng khoảng 300m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy phải
chèo khoảng 380m mới tới bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò đi một góc bằng bao nhiêu?
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1: Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh :
101 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 a. A . F AB  A . H AD  A . E AC b. D . H DA  D . B DC c. B . F BA  B .
H BE  B . D BC d. H . B HE  H . C HF  H . A HD
e. BH BE  CH CF  2 . . BC f. D . B DC  D . H DA
Bài 2 : Một đài quan sát hải đăng cao 150m so với mặt nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với
góc  = 100. Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là bao nhiêu mét ?
Bài 3 : Cho hình thang ABCD ( A  D  0
90 ). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ MK  BC tại K.
Biết AB = 9 cm, BC = 25cm, CD = 16cm. a. Tính AD, MB, MC.
b. Chứng minh : MBC vuông tại M.
c. Tính MK và diện tích MKC.
Bài 4 : Tính độ dài dây kéo vật
Bài 5 : Tính khoảng cách AC giữa tàu
ngầm và tàu trên mặt nước
Theo em bài này các em chú ý những điều gì : ❶
………………………………….
…………………………………….. ❷
………………………………….
…………………………………….. ❸
………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 102
……………………………………. TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt CHƯƠNG 2 : ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1 : Sự xác định của đường tròn – tính chất của đường tròn I. Lí Thuyết : ❶
Đường tròn : Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm M cách
điểm O một khoảng bằng R. OM  R  M  ; O R ❷
Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và điểm M. O
 M nằm trên đường tròn (O; R)  OM  R .
 M nằm trong đường tròn (O; R)  OM  R . M
 M nằm ngoài đường tròn (O; R)  OM  R . ❸
Cách xác định đường tròn : Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. ❹
Tính chất đối xứng của đường tròn
 Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng
của đường tròn đó.
 Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối
xứng của đường tròn ❺
Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn này là giao
điểm của hai hay ba đường trung trực của tam giác đó.. ❻
Tâm của đường tròn ngoại tiếp  vuông là trung điểm cạnh huyền.
Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam
giác đó là tam giác vuông Bước 2 • Kết luận • Xác định các điểm tâm đường thuộc một tròn O • Chứng minh OA = OB = OC đường tròn Bước 1 • Sử dụng các tính Bước 3 chất
103 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 II. Bài tập :
Bài 1 : Dựa vào hình vẽ bên dưới các em hãy tìm các điểm cách đều điểm O B E F A 60 C O H G D
Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD.
a. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.
b. Cho AB = 3cm và BC = 5cm. Tính bán kính của đường tròn trên. Lời giải : a.
……………………………………………………….  Vẽ hình :
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
………………………………………………………. b.
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E. Gọi M, N,
P, Q lần lượt là trung điểm của DE, EB, BC, CD.
a. Chứng mình rằng : 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn .
b. Tính diện tích MNPQ biết BD  8cm và EC  6cm Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………….......
………………………………………………………………………………………………….......……
…………………………………………………………………………………………….......................
…………………………………………………………………………………………………...............
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 104 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………...............
…………………………………………………….........  Vẽ hình
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
…………………………………………………….........
b. ……………………………….........
…………………………………………………….........
……………………………….........
…………………………………………………….........
……………………………….........
…………………………………………………….........
……………………………….........
…………………………………………………….........
……………………………….........
…………………………………………………….........
……………………………….........
…………………………………………………….........
Bài 4 : Cho ABC cân tại A, đường cao AD và BE . Gọi F là trung điểm của AB
a. Chứng minh: 4 điểm A, B, D và E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh : C không thuộc đường tròn trên. Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
105 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
Bài 5 : Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có Ĉ = D̂ = 600, CD = 2AD.
a. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b. Tính diện tích hình thang ABCD biết AD  4cm , AB  1,5cm Lời giải : a.
…………………………………………………  Vẽ hình
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. b.
…………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
Bài 6 : Cho điểm M bên ngoài đường tròn  ;
O R. Tia MO cắt O tại A và B ( A nằm
giữa O và M ). Lấy C bất kì thuộc O và khác hai điểm A và . B Chứng minh:
MA  MC  M . B Lời giải :  Vẽ hình
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 106 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho ABC đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng
bốn điểm B, C, P và M cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 2 : Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK.
a. Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. b. So sánh KH và BC.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, góc A tù . Kẻ các đường cao AD , BE, CF của tam giác ABC . Chứng minh rằng :
a. Các điểm A, D, B, E cùng nằm trên 1 đường tròn.
b. Các điểm A, D, C, F cùng nằm trên 1 đường tròn.
c. Các điểm B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn .
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE. Gọi O và I lần lượt là trung điểm của BC và . DE
a. Chứng minh bốn điểm B,C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh OI vuông góc với . DE
Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có 0
B  D  90 . Gọi O là trung điểm của . AC Chứng minh bốn điểm ,
A B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính . AC
Bài 6 : Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC , N là điểm thuộc đường chéo AC sao 1 cho AN 
AC . Chứng minh 4 điểm M , N , C , D thuộc cùng một đường tròn . 4
107 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Đường kính và Dây cung I. Lí thuyết : ❶
So sánh độ dài của đường kính và dây :
 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Từ đó suy ra nếu
AB là một dây cung bất kì của  ;
O R thì AB  2R . ❷
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
 Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
 Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây ấy. II . Bài tập :
Bài 1 : Tìm các đường kính và dây trong hình vẽ sau : E ……. ……. D ……. C ……. B A O ……. ……. F ……. ……. G …….
Bài 2 : Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB tại I. Gọi H
và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh: CH = DK. Lời giải :
……………………………………………………………………  Vẽ hình
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 108 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Bài 3 : Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm . O Vẽ đường kính AK.
a. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b. Kẻ OM  BC ở M . Chứng minh H , M , K thẳng hàng.
c. Chứng minh : AH  2OM. Lời giải :
a. ……………………………………………………...  Vẽ hình
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
…………………………………………………….....
b. …………………………………………………….....
c. ………………………………………
…………………………………………………….....
.………………………………………….
…………………………………………..
…………………………………………………….....
…………………………………………..
…………………………………………………….....
…………………………………………..
…………………………………………………….....
…………………………………………..
…………………………………………………….....
…………………………………………..
Bài 4 : Cho đường tròn  ;
O R và ba dây AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B
trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN ≤ 2R. Lời giải :
………………………………………………………………
109 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………  Vẽ hình :
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Bài 5 : Cho đường tròn  ;
O 6 cmvà hai dây AB  CD  4cm . Hai đường thẳng AB và CD
cắt nhau ở I. Gọi H và K là trung điểm của AB và CD tương ứng.
a. Chứng minh OH  OK và IH  IK. b. Biết 0
KOI  30 .Tính OH và KI Lời giải :
a. ………………………………………………………  Vẽ hình :
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
b. …………………………………………...
………………………………………………………
…………………………………………...
………………………………………………………
…………………………………………...
………………………………………………………
…………………………………………...
………………………………………………………
…………………………………………...
…………………………………………...
………………………………………………………
…………………………………………...
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 110 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………...
…………………………………………...
…………………………………………...
…………………………………………...
Bài 6 : Cho AB và CD là hai dây của đường tròn( ;
O R) . Gọi OH, OK vuông góc với AB và CD. 2 2 AB CD Chứng minh rằng 2 2 OH   OK  . 4 4 Lời giải :  Vẽ hình :
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. Điều đặc biệt :
…………………………………………………………….. ❶
Nếu AB  CD thì OH ….. OK
…………………………………………………………….. ❷
Nếu AB  CD thì OH ….. OK
…………………………………………………………….. ❸
Nếu AB  CD thì OH ….. OK
…………………………………………………………….. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng : SABCD  R2 2 .
Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM =
BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại
C và D. Chứng minh: MC  CD và ND  CD.
Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) có hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Tia phân giác của
AÔB cắt (O) ở C. Lấy điểm bất kì trên cung BC và hạ đường vuông góc DH xuống OA, đường này cắt OC ở E.
111 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
a. Tính theo R khoảng cách từ C đến OA. b. Chứng minh : 2 2
HD  HE không đổi khi D thay đổi.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 112 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 3 : Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây I. Lí thuyết : ❶
Trong một đường tròn: ❷
Trong hai dây của một đường tròn:
a. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
a. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
b. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. ❸
Đường tròn ngoại tiếp tam giác:
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực .
 Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. II. Bài tập
Bài 1 : Dựa vào hình vẽ minh họa hãy điền dấu >,<,= vào chỗ chấm : OK =3cm - OH = 4cm K D C  CD …. AB O OK =5cm - OH = 4cm A  CD …. AB H B CD =4cm - AB = 4cm  OK …. OH CD =3cm - AB = 5cm  OK …. OH
Bài 2 : Cho đường tròn  ;8
O cm , hai dây cung AB và AC , biết AB  10cm AC  4cm .
a. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây . b. Tính S  ? AHOK Lời giải :
a. ………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
113 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
b. …………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
…………………………………...
………………………………………………………
Bài 3 : Cho đường tròn tâm O , hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại I . Biết AB  12cm CD  15c ,
m I A  4c ,
m I C  6cm
a. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây .
b. Tính bán kính của đường tròn Lời giải :
a. ………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
Nếu : AB  CD thì
b. ………………………………………………………
 Tứ giác MOKI là hình
……………………………………………………… ……………
………………………………………………………  OK……. OM
………………………………………………………
………………………………………………………
Bài 4 : Cho đường tròn  ;
O R , đường kính AB và dây cung AC.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 114 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. Biết khoảng cách từ O đến AC và BC lần lượt là 4cm và 6cm . Tính độ dài AC , BC và bán kính đường tròn .
b. Trên tia đối của tia CA lấy D sao cho CD  CA . Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác
ABD khi C di chuyển trên đường tròn O Lời giải :  Hình vẽ :
b. ………………………………………............
………………………………………............
………………………………………............
………………………………………............
………………………………………............
………………………………………............
………………………………………......... ...
………………………………………............
………………………………………............
………………………………………............
a. …………………………………………………......
………………………………………............
.………………………………………………….............
………………………………………............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.…………………………………………………............. Cách tìm tập
.…………………………………………………............. hợp điểm ???
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
.………………………………………………….............
Bài 5 : Cho đường tròn O và dây BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Gọi M là
trung điểm của AC ; H là hình chiếu của M trên AB. Kẻ CD  BC ( D thuộc đường tròn O ) . Chứng minh :
a. B, O, D thẳng hàng.
b. MH luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải :
115 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
a. ……………………………………………….......  Vẽ hình :
………………………………………………..............
……………………………………………….............
……………………………………………….............
……………………………………………….............
……………………………………………….............
……………………………………………….............
……………………………………………….............
b. ……………………………………………………..
……………………………………………….................
……………………………………………….................
……………………………………………….................
………………………………………………............. ....
………………………………………………............. ....
……………………………………..............
……………………………………………….................
……………………………………..............
……………………………………………….................
……………………………………..............
……………………………………………….................
……………………………………..............
……………………………………………….................
……………………………………..............
……………………………………………….................
……………………………………..............
…………………………………….............. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn  ;
O R và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Cho
IA  4cm,IB  cm 7
. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
Bài 2 : Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm C,
D . Biết AC  CD  9c ,
m DB  15cm . Tính bán kính đường tròn O
Bài 3 : Cho đường tròn tâm  ;
O 5cm , dây AB = 8 cm.
a. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI  2cm . Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. So sánh CD và AB.
Bài 4 : Cho đường tròn (O) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại
H. Tính bán kính R của (O) biết: CD = 14 cm và MH = 5 cm.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 116 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Cho đưòng tròn tâm O, đường kính AB = 10cm. Dây CD có độ dài 8 cm vuông góc với AB tại H.
a. Tính độ dài HA, HB
b. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên trên AC, BC. Tính diện tích tứ giác CMHN
117 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau I. Lí thuyết : ❶
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng . Đặt d  d O ( ,) .
VTTĐ của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d  R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d  R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d  R ❷
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có điểm chung duy nhất với đường
tròn (điểm chung đó gọi là tiếp điểm) ❸
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
a. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một
đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
b. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của
đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. ❹
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
b. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
c. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. I . Bài tập :
Bài 1 : Điền vào chỗ chấm :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 118 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Các tiếp tuyến : ……………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………. .
Các tiếp tuyến bằng nhau :
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………. .
Các đường phân giác : ………
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………..
Các tiếp điểm : ……………….
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………. .
Các dây : ……………………….
…………………………………….
…………………………………….
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có bán kính bằng 6 cm và điểm B cách O một khoảng bằng
…………………………………..
10cm. Lấy điểm A thuộc O sao cho AB  8 cm.
a. Tam giác OAB là tam giác gì?
b. Chứng minh đường thẳng BA tiếp xúc với O. Lời giải :
a. ................................................................................ A
................................................................................ 8 6
................................................................................
................................................................................ 10 O B
b. ................................................................................
................................................................................
................................................................................
Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Từ A vẽ
hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là B và C. Đoạn thẳng OA cắt (O) tại I. Đường thẳng qua O và
vuông góc với OB cắt AC tại K.
a. Chứng minh OK // AB và tam giác OAK cân tại K.
b. Chứng minh đường thẳng KI là tiếp tuyến của (O).
119 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Lời giải :  Vẽ hình
a. ..........................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
b. ..........................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
......................................................................................
Bài 4 : Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn tâm I
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (I). Lời giải :
a. ………………………………………………..........  Vẽ hình:
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Muốn chứng minh tiếp tuyến
b. ………………………………………………...
cần chứng minh đường thẳng
………………………………………………………… đó vuông góc với bán kính của
………………………………………………………… đường tròn
…………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 120 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
………………………………………………………… …………………………………………………..
Bài 5 : Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây AD và dây BC cắt nhau tại E.Tia AC và
tia BD cắt nhau ở F. a. Chứng minh: 0
ADB  ACB  90
b. Chứng minh: FE  AB
c. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh: ID là tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải :  Vẽ hình :
b. ……………………………………………………...
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
c. …………………………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
…………………………………………………………. a.
………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
………………………………………..
………………………………………………………….
121 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Cho đường tròn  ;
O R có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By . Một tiếp tuyến
khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D.
a. Chứng minh : CD  AC  BD .
b. Chứng minh: COD vuông. c. Chứng minh: 2 AB  4A . C B . D
d. AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Chứng minh tứ giác OIMK là hình chữ nhật
e. Định vị trí của M để OIMK là hình vuông. Lời giải :
a. ………………………………………………………….  Vẽ hình :
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
b. …………………………………………………………
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. d. ……………………………………
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
c. …………………………………………………………
……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. e. …………………………………..
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
…………………………………………………………….. ……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
……………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 122 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn  ;
O R và đoạn thẳng OA  2R . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn O.
a. Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b. Chứng minh: ABC đều và diện tích ABC.
c. Đoạn OA cắt (O) tại D. Tứ giác OBDI là hình gì ? Vì sao ?
d. BO cắt AC kéo dài tại I. Tính theo R chu vi ABI.
e. Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng cách từ K đến OA.
Bài 2 : Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC = 2a. Đường tròn (O) tiếp xúc
với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB và AC ở M và N.
a. Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh: MON  ABC .
c. Tính tích B . M CN theo a.
d. Định vị trí của MN sao cho BM  CN đạt giá trị nhỏ nhất.
123 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 5 : Bài tập tiếp tuyến của đường tròn ( Nâng cao )
Bài 1 : Cho nửa đường tròn  ;
O R đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB (
Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì
thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N.
a. Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ?
b. Tính số đo góc MON .
c. Chứng minh : MN  AM  BN .
d. Chứng minh : Tích AM.BN không đổi khi D di chuyển trên đường tròn  ; O R
e. Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O. QH
f. AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. Chứng minh: DQ  AB và Tính tỉ số . QD
g. Gọi K là trung điểm của AD . Chứng minh M, K,O thẳng hàng .
h. Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất. Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………...
f. …………………………………………….....
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
b. …………………………………………….........
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 124 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
………………………………………...............
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
…………………………………………………….... ………………………………………...............
c. …………………………………………………...
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
d. …………………………………………………...
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
e. …………………………………………………...
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
g. ……………………………………………..
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
……………………………………………………....
………………………………………...............
………………………………………...............
………………………………………...............
………………………………………...............
125 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
h. …………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………………………... Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn tâm O có đường kính BC và có bán kính R. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt
đường thẳng BC tại I. Chứng minh: 2 a. I . B IC  IA . 2 2 b. I .
B IC  IO  R
Bài 2 : Tiếp tuyến tại M của đường tròn  ;
O R cắt dâyBC kéo dài tại A ngoài O . Vẽ OH vuông góc với BC tại H.
a. Chứng minh : AB  AC  2AH
b. Chứng minh AB  AC  2AM
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 126 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 6 : Đường tròn nội tiếp tam giác I. Lí Thuyết :
 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác là A
đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác là ngoại tiếp đường tròn.
 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của O
các đường phân giác các góc trong tam giác. B C I . Bài tập :
Bài 1 : Cho ABC đều có cạnh 6 cm. Tính bán kính đường tròn I nội tiếp AB . C Lời giải :  Hình vẽ :
………………………………………………………………… A
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
………………………………………………………………… E
………………………………………………………………… I
………………………………………………………………… C B
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Bài 2 : Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các
cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N.
a. Tính diện tích tam giác AMN biết BC  10cm và MN  4cm
b. Chứng minh rằng : 2 2 2
MN  AM  AN  AM.AN Lời giải :
a. ………………………………………………………  Vẽ hình :
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
127 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… b. ……………………………………….....
…………………………………………………………… ……………………………………………….
……………………………………………………………
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………
……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
…………………………………………………………… ……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 6.1 : Vị trí tương đối hai đường tròn
I. Lí Thuyết : ❶
Tính chất đường nối tâm
 Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
 Nếu hai đường tròn cắt nhau thi hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm.
 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. ❷
Vị trí tương đối của hai đường tròn Cho hai đường tròn  ;
O R và (O';r). Đặt OO  d .
VTTĐ của hai đường tròn Số điểm chung
Hệ thức giữa d với R và r
 Hai đường tròn cắt nhau 2
R r  d  R r
 Hai đường tròn tiếp xúc nhau: 1  Tiếp xúc ngoài
d  R r  Tiếp xúc trong
d  R r
 Hai đường tròn không giao nhau: 0
d  R r
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 128 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt  Ở ngoài nhau
d  R r
 O đựng (O') A B O O' D C ❸
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp
xúc với cả hai đường tròn đó.
 Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm.
 Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. II . Bài tập :
Bài 3 : Điền vào chỗ chấm : Các tiếp tuyến :
Vị trí tương đối 2 Các tiếp tuyến ………………… đường tròn : chung trong : …………………
 Cắt nhau :…………...... ...…………………
 Tiếp xúc ngoài :…........ …………………… …………………
 Tiếp xúc trong :…….... …………………… Các tiếp tuyến
 Không cắt nhau :……. chung ngoài : …………………… …………………… ……………………
129 Tinh hoa của toán học nằm ở tự
…………………. do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Cho hai đường tròn O và O' tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai đường kính AOB
và AO'C . Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, DO, E (O') . Gọi M là giao
điểm của BD và CE. Chứng minhd a. 0 DAE  90 .
b. Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
c. MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Lời giải :  Vẽ hình :
b. ……………………………………………………….....
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
c. …………………………………………………...
a. ……………………………………………
……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………...
……………………………………………………………...
………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………... ……………………………………………………………...
………………………………………………...
……………………………………………………………...
………………………………………………...
……………………………………………………………...
……………………………………………………………..
………………………………………………...
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 130 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Cho góc vuông xOy . Lấy các điểm I và K lần lượt trên các tia Ox và Oy. Vẽ đường
tròn  I;OK  cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M). Vẽ đường tròn  K;OI  cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N).
a. Chứng minh hai đường tròn  I  và  K  luôn cắt nhau.
b. Tiếp tuyến tại M của đường tròn  I  và tiếp tuyến tại N của đường tròn  K  cắt nhau
tại C. Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông.
c. Gọi giao điểm của hai đường tròn  I  ,  K  là A và B. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d. Giả sử I và K theo thứ tự di động trên các tia Ox và Oy sao cho OI  OK  a (không
đổi). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải :
a. ……………………………………………................  Vẽ hình :
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
b. ……………………………………..........................
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
……………………………………………………
c. ………………………………………………………..
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
d. ………………………………………….
131 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………...
……………………………………………………
…………………………………………………………... Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn tâm  ;
O R đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho góc 0
MAB  60 . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
a. Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM). b. Chứng minh 2
MN  4 AH.HB .
c. Chứng minh BMN là tam giác đều
d. Tia MO cắt đường tròn O tại E, tia MB cắt  B tại F. Chứng minh ba điểm , N , E F thẳng hàng.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 132 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 7 : Ôn tập chương Bài 1 : Cho  ;
O R và O';r ở ngoài nhau. AB là một trong các tiếp tuyến chung ngoài, EF là
một trong các tiếp tuyến chung trong (A và E thuộc đường tròn O ). EF cắt AB tại C.
a. Chứng minh : OC  O' . C
b. Chứng minh : A . C BC  . R r Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………….. b. ………………………………………………
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………………………... ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
Bài 2 : Từ điểm A ở ngoài đường tròn  ;
O R kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp
điểm). Kẻ BE  AC và CF  AB E  A ;
C F  AB , BE và CF cắt nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
b. Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng
c. Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O).
133 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Lời giải :  Vẽ hình :
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
………………………………………………….........
………………………………………………….........
Bài 3 : Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O , bán kính bằng R , cắt nhau tại A.
Gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của AC , M là điểm bất kỳ trên đường thẳng
EF . Vẽ tiếp tuyến MQ ( Q là tiếp điểm). Chứng minh MQ  M . A Lời giải :  Vẽ hình :
…………………………………………………………
………………………………………………….........
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 134 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
………………………………………………….........
………………………………………………….........
Bài 4 : Cho ABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn O và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại
các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a. Các đường tròn O và  I  tiếp xúc với nhau.
b. AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O và  I . Sắp thi c. OMI  vuông. học kì rồi
d. BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI  . Lời giải :  Vẽ hình :
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
135 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
…………………………………………………………
………………………………………………….........
………………………………………………….........
………………………………………………….........
………………………………………………….........
………………………………………………….........
…………………………………………………......... Bài tập về nhà : Bài 1 : Cho  ;
O R và (O';r) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai
đường tròn (B O, C O' .
) Tiếp tuyến chung trong của O và O' cắt BC tại I.
a. Chứng tỏ các góc BAC và OIO ' là góc vuông.
b. Kẻ đường kính BD của O . Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
c. Tính theo R và r độ dài BC, BA, CA.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 136 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
d. Kẻ đường kính CE của O' .Chứng minh: S  S . ABC ADE
Bài 2 : Cho đường thẳng d cố định bên ngoài đường tròn cố định  ;
O R . Điểm M di động
trên d . Từ M vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là P và Q , QM cắt PQ tại K . Chứng
minh đoạn thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định và k di động trên một đường cố định.
137 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 1 – Đỗ Văn Đạt

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề tham khảo thi HSG Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình

Đề chọn HSG Toán THCS cấp huyện năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Vạn Ninh – Khánh Hòa

Đề KTCL đội tuyển HSG Toán 9 năm 2024 – 2025 trường TH&THCS Kỳ Trung – Hà Tĩnh

Đề KSCL đội dự tuyển lần 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Kỳ Anh – Hà Tĩnh

Đề minh họa học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hải Phòng