Lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 2 – Đỗ Văn Đạt

Tài liệu gồm 132 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đỗ Văn Đạt, tổng hợp trọn bộ lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 2.Giúp bạn ôn tập tốt hơn trong kì thi sắp tới . Mời bạn đọc đón xem.

82 41 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

MỤC LỤC

CHƯƠNG 3 : Hệ phương trình ........................................................................................................... 3

Bài 1 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................................... 3

Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương pháp cộng đại số ..................... 5

Bài 3 : Rút gọn đưa về dạng cơ bản .................................................................................................. 9

Bài 4 : Phương pháp đặt ẩn phụ ..................................................................................................... 10

Bài 5 : Giải và biện luận hệ phương trình ...................................................................................... 15

Bài 6 : Tìm

thỏa mãn điều kiện cho trước.................................................................................. 16

Bài 7 : Ôn tập ...................................................................................................................................... 20

CHƯƠNG 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình .................................................... 24

Bài 1 : Tìm hai số ................................................................................................................................. 24

Bài 2 : Toán liên quan đến hình học ................................................................................................ 26

Bài 3 : Bài toán chuyển động ............................................................................................................ 30

Bài 4 : Bài toán chuyển động trên dòng nước ............................................................................... 36

Bài 5 : Làm chung – làm riêng .......................................................................................................... 42

Bài 6 : Làm chung – làm riêng ......................................................................................................... 48

CHƯƠNG 5 : Phương trình bậc hai ............................................................................................... 53

Bài 1 : Hàm số



y ax

........................................................................................................................ 53

Bài 2 : Phương trình bậc hai ............................................................................................................. 59

Bài 3 : Tìm m và hệ thức vi ét .......................................................................................................... 64

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước .................................................................................. 69

Bài 5 : Bài tập giao điểm ................................................................................................................... 74

Bài 6 : Bài tập giao điểm ................................................................................................................... 78

Bài 7 : Tổng hợp đề thi vào 10 ......................................................................................................... 82

CHƯƠNG 3 : Góc và đường tròn ................................................................................................... 91

Bài 1 : Góc ở tâm - Số đo cung .......................................................................................................... 91

Bài 2 : Liên hệ giữa cung và dây ..................................................................................................... 96

Bài 3 : Góc nội tiếp ............................................................................................................................. 99

Bài 4 : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây ............................................................................................ 104

Bài 5 : Góc có đỉnh bên trong đường tròn .................................................................................... 108

Bài 6 : Tứ giác nội tiếp .................................................................................................................... 113

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 2

Bài 7 : Độ dài đường tròn – cung tròn ......................................................................................... 119

Bài 8 : Luyện tập .............................................................................................................................. 125

Bài 9 : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10 ................................................................................... 128

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 3 : Hệ phương trình

Bài 1 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Lí thuyết :

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

 Phương trình bậc nhất hai ẩn

,xy

là hệ thức dạng:

ax by c

 

trong đó a, b, c là

các số đã biết (

0a 

hoặc

0b 

 Nếu

,xy

thoả

 

thì cặp số

( ; )xy

là một nghiệm của phương trình

 

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của

 

được biểu diễn bởi một điểm.

Nghiệm

( ; )xy

được biểu diễn bởi điểm

( ; )xy

2. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

1 1 1

2 2 2

ax b y c

a x b y c

  







. (I)

 Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung

( ; )xy

thì

( ; )xy

là một nghiệm của

hệ (I)

 Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì hệ (I) vô nghiệm.

3. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai

đường thẳng

1 1 1 1

( ):d a x b y c

và

2 2 2 2

( ):d a x b y c

 Nếu

()d

cắt

()d

cần









thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

 Nếu

()d

cần

111

222

a b c









thì hệ (I) vô nghiệm.

 Nếu

()d



()d

cần

1 1 1

2 2 2

a b c









thì hệ (I) có vô số nghiệm.

4. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

d và f trùng nhau

d và f song song

d và f cắt nhau

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 4

II. Bài tập

Bài 1 : Tìm nghiệm của các phương trình sau bằng cách ghép :

Bài 2 : Dựa vào sự tương giao giữa hai đường thẳng hãy đoán nghiệm của các hệ phương

trình sau :

3 2 1xy

25xy   

34yx   

 

2;2

 

1; 3









………………

❶

   







………………………….

Giải thích : …………………………..............

………………………………………..………..

…………………………………………………

❷

6 2 3

   







…………………………..

Giải thích : ……………………………………..

………………………………………..…………...

…………………………………………………….

❸

4 2 2

   



  



………………………

Giải thích : …………………………..............

………………………………………..………..

…………………………………………………

❹

3 0 1

   



  



…………………………..

Giải thích : ………………………….................

………………………………………..………..…

……………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương pháp

cộng đại số

I. Lí Thuyết :

1. Phương pháp thế :

Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau :

❶

6 2 1

   



  



…………………………………………………………...

❷

3 2 5

   







…………………………………………………...

Kết luận

Từ PT (1) ta biểu diễn

một ẩn theo ẩn kia

Thế ẩn đó và

phương trình (2)

Giải phương trình một

ẩn để tìm x và y

Chú ý : Khi biểu diễn

một ẩn theo ẩn kia thì

chọn phương trình khi

rút ẩn mà HỆ SỐ TRƯỚC

ẨN BẰNG 1

Cách kiểm tra xem bạn đã giải hệ phương trình

đúng hay sai ??????

DÙNG MÁY TÍNH CASIO ẤN MODE 5 1 VÀ NHẬP

HỆ SỐ

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 6

2. Phương pháp cộng đại số :

Bài 4 : Giải các hệ phương trình sau :

❶

  



   



…………………………………………………………...

❷

2 3 1

3 2 5

   







…………………………………………………...

Bài 5 : Giải hệ phương trình sau bằng hai cách :

❶

6 17

5 23

  







Lời giải :

Cách 1 :

6 17

5 23

  







.…………………………………………………………

Cách 2 :

6 17

5 23

  







.…………………………………………………………

Nhân 2 vế của mỗi

phương trình với 1

số để hệ số trước 1

ẩn của 2 phương

trình bằng nhau

Cộng hoặc trừ hai

vế của phương trình

được phương trình

mới rồi tìm x và y

Kết luận

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

.…………………………………………………………

❷

2 5 3

3 2 14

  







Lời giải :

Cách 1 :

2 5 3

3 2 14

  







.…………………………………………………………

Cách 2 :

2 5 3

3 2 14

  







.…………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 8

Trong 2 cách giải thì cách nào tối ưu hơn :

 Khi nào nên áp dụng cách 1 : Hệ số trước

hoặc

bằng 1 vì khi rút ẩn sẽ không

có phân số .

 Khi nào nên áp dụng cách 2 : Hệ số trước

hoặc

khác 1

( Gợi ý : Hệ số trước

x,y

)

.…………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :

4 3 6

  







2 3 2

3 2 3

   



  



7 4 74

3 2 32

  







5 2 4

6 3 7

  



  



  



  



2 4 12

  



   



2 5 1

  



  



  







3 + 3

  







10.

  







11.

2 3 8

  







12.

3 4 2

5 2 14

   







Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :

2x 3



















x y y

  















4x 21

















TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Thu gọn

phương trình

Giải hệ bằng

thế hoặc

cộng đại số

Kết luận

nghiệm hệ

Bài 3 : Rút gọn đưa về dạng cơ bản

I. Lý thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :

(3 2)(2 3) 6

(4 5)( 5) 4

x y xy

   



  



……………………………………………………………

2( ) 3( ) 7

( ) 2( ) 5

x y x y

    



   



…………………………………………………………

2 5 27

y x y

  

  

















……………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 10

……………………………………………………………

Bài 4 : Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Lí thuyết :

Bài 1 : Giải hệ phương trình :

















…………………………………………………………

9 10

















…………………………………………………………

Giải hệ phương

trình

ĐK của

Hệ

Đặt ẩn

phụ - ĐK

Giải hệ

và áp ĐK

Kết

luận

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………

















(HN, 2013)

…………………………………………………………

1 1 1

10 1



  













…………………………………………………………

Bài 2 : Giải hệ phương trình :























2x 1 1

3 2 13

2 1 1 6



  



















GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 12

…………………………………………………………

 

x y y















  







HN 2014

…………………………………………………………

 

2 1 4

3 1 5

x y x



   





    





(HN-2015)

…………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………

3 2 1 2

2 3 1 4



   





   





…………………………………………………………























…………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 14

…………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải hệ phương trình sau :

1 1 1

















5 1 29

3 1 20



































































3x 2

2x 1























7 13 39

5x 11 33



  











2x 3 8

3x 7 4















3x 5















2 3 18















3 2 6















2 2x

x y y























 

2 2x 1 0

3 2x 2 1 7 0



   





    





    

2 3 2 4 4 3 54

1 3 3 3 1 12

x y x y

x y y x



    





    





( 2)( 3) 50

( 2)( 2) 32

x y xy

xy x y



   







   





TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Giải và biện luận hệ phương trình

I . Lí thuyết :

II . Bài tập :

Bài 1 : Giải và biện luận hệ phương trình :

  



  



3 (1)

4 10 (2)

mx y m

x my m

….…………………………………………………….

  



   



2 (1)

2 1 (2)

mx y m

x y m

….…………………………………………………

….………………………………………………….

….…………………………………………………..

Tìm

theo

thay vào

phương

trình

 

Phương trình

bậc nhất

ax b











0( )

b VN

b VSN

   0

nghiệm duy nhất

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 16

….…………………………………………………….

  







1 (1)

4 2 (2)

mx y

mx my

….…………………………………………………….

  



  



2 (1)

1 (2)

mx y m

x my m

….………………………………………………….

Bài 6 : Tìm

thỏa mãn điều kiện cho trước

I. Lí thuyết :

Tìm

;xy

theo m như dạng 3

Loại 1 :

thỏa mãn biểu thức

ax by c

ax by c

 Thay

;xy

và tìm

 Đối chiếu điều

kiện

 Kết luận

Loại 2 :

thảo mãn biểu thức

;x a y b

 Giải bất phương

trình tìm m thỏa mãn

 Kết hợp và đối chiếu

điều kiện

 Kết luận

Loại 3 :

Tìm biểu thức độc lập

;xy

không phụ thuộc

 Nhân 2 vế của phương

trình

;xy

với số để khử

 Ra biểu thức liên hệ

 Kết luận

Loại 4 :

Tìm m để

;xy

nguyên

 Tìm

để

nguyên

 Thay giá trị đó vào

để tìm

nguyên

 Kết luận

II. Bài tập :

Bài 1 : Cho hệ phương trình:

4 9(1)

8 (2)

mx y

x my

  







a. Tìm

để hệ có nghiệm

 

;xy







TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

b. Tìm

để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất

 

;xy

thỏa mãn :

0xy

c. Tìm

để hệ có nghiệm thỏa mãn có nghiệm duy nhất

 

;xy

  



Lời giải :

a. …………………………………………………………

…………………………………………………………

………………………………………………

b. ………………………………………………

………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

c. ……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 18

Bài 2 : Cho hệ phương trình

 

2 16

x my

mx y

   







a. Tìm

để hệ có nghiệm

   

; 2; 3xy 

b. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi

c. Tìm giá trị nguyên của

để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc

phần tư thứ II trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

d. Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm

 

;xy

thỏa mãn :

5xy

Lời giải :

a. ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

b. ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………

c. …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

III

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………………………

d. …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau :

mx y m

  







Bài 2 : Cho hệ phương trình :

3 2 (1)

3 (2)

x y m

x my

  







có nghiệm duy nhất

a. Giải hệ phương trình với

1m 

b. Tìm

để hệ có nghiệm thỏa mãn

0x 

và

0y 

Bài 3 : Cho hệ phương trình :

2 2 1

mx y m

x my m

   



  



có nghiệm duy nhất

a. Tìm

để hệ có nghiệm

 

2;1

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 20

b. Tìm biểu thức liên hệ giữa

và

không phụ thuộc vào

c. Tìm

nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên .

Bài 7 : Ôn tập

Bài 1 : Tìm

,mn

 

   

1 2 1 0

m x ny m n

m n x m n y



     





    





có nghiệm

 

1;2

Lời giải :

………………………………………………………………………………

   

2 1 2 1

m x n y

nx my



    











có nghiệm

 

2; 3

Lời giải :

………………………………………………………………………………

 

2 5 25

2 2 5

m x ny

mx n y



  





  





có nghiệm

 

3; 1

Lời giải :

………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Khi giải

nguyên và

nguyên thì

ta cần chú ý :

❶ Chọn giải

hoặc

mà tìm giá trị

nguyên đơn giản trước

❷ Thay giá trị

tìm được vào

hay

còn lại

❸ Không giải đồng thời tìm

và

nguyên cùng một lúc

………………………………………………………………………………

Bài 2 : Cho hệ phương trình :

 

a x y

ax y



  











a. Giải hệ phương trình với

2a 

b. Tìm

để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn :

0; 0xy

c. Tìm

để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn :

20xy

d. Tìm

để hệ có nghiệm nguyên

Lời giải :

a. ………………………………………………………

…………………………………………………..

..…………………………………………………

…………………………………………………..

b. ..………………………………………………...

..…………………………………………………

c. ……………………………………………………

………………………………………………………..

d. …………………………………………………...

…..……………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 22

..…………………………………………………

Bài 3 : Cho phương trình :

 

m x y m

x m y



  





  





có nghiệm duy nhất

 

;xy

a. Giải hệ phương trình với

4m 

b. Tìm

để hệ có nghiệm thỏa mãn

2 7 1xy

c. Tìm

để hệ có nghiệm

 

;xy

thuộc góc phần tư thứ II

d. Tìm hệ thức liện hệ giữa

và

không phụ thuộc vào

e. Tìm các giá trị của

để biểu thức

23xy





nhận giá trị nguyên .

Lời giải :

a. …………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

c. …………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………………………..

d. …………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

e. …………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………..

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho hệ phương trình :

 

2 2 5

m x y

mx y



  











hệ có nghiệm duy nhất

a. Giải hệ phương trình với

1m 

b. Tìm

để hệ có nghiệm thỏa mãn

31xy

c. Tìm

để hệ có nghiệm là các số nguyên

Bài 2 : Cho hệ phương trình :

2 2 2

mx y m

x my m m









   





hệ có nghiệm duy nhất

a. Tìm

để hệ có nghiệm

   

; 1; 2xy   

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 24

b. Tìm

để hệ có nghiệm thỏa mãn

0; 1xy

c. Tìm

để biểu thức

34A x y  

đạt GTNN

CHƯƠNG 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1 : Tìm hai số

I. Lí thuyết :

❶ Bước 1 : Gọi hai số cần tìm là

;xy

( Điều kiện 2 số đó )

❷ Bước 2 : Dựa vào đề bài để tìm mối liên hệ giữa

;xy

để ra hệ phương trình .

Tổng ST1 và 2 lần ST2 là 20

2 20xy

ST1 lớn hơn ST2 là 15

15xy

ST1 gấp 2 lần ST2

2xy

Số có 2 chữ số

10xy x y

Số có 3 chữ số

100 10xyz x y z  

Số ngược số 2 chữ số

10yx y x

❸ Bước 3 : So sánh điều kiện và kết luận

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ nhất cộng với 3 lần số thứ hai bằng

1800

và 3 lần số thứ

nhất hơn 2 lần số thứ hai là

500

Lời giải :

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

Kẻ bảng :

ST1

ST2

Lần 1

Lần 2

…………………………………………..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

…………………………………………..

Bài 2 : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu

viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị.

Lời giải :

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

Kẻ bảng :

CHÚ Ý : HS LÀM ĐÚNG – ĐẦY ĐỦ

CÁC BƯỚC

Bài 3 : Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một

số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là

18 đơn vị.

Lời giải :

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

Kẻ bảng :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 26

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

………………………………………………………………...

 ………………………………………………………………...

…………………………………………..

Bài 2 : Toán liên quan đến hình học

I. Lí thuyết :

❶ Bước 1 : Gọi hai đại lượng cần tìm là

;xy

( Điều kiện 2 số đó )

❷ Bước 2 : Dựa vào dữ kiện đầu bài cho lập hệ phương trình và

giải hệ phương trình

❸ Bước 3 : Đối chiếu điều kiện và kết luận

II . Bài tập

Bài 1: Một HCN có chu vi

180m

. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng

chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm

385m

Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất

Lời giải :

Chiều

dài

Chiều

rộng

Diện tích

Chu vi

Lúc đầu

Lúc sau

Kẻ bảng :

 ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………...

Bài 2 : Một thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm

và tăng chiều rộng thêm

thì

diện tích tăng thêm

242m

. Nếu cùng giảm chiều dài

và chiều rộng đi

thì diện tích

giảm đi

108m

. Tính diện tích của thửa ruộng đó ?

Lời giải :

……………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

 ……………………………………………………………………………

Kẻ bảng :

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

 ………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 28

Bài 3 : Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên

3cm

và

2cm

thì diện tích

tam giác sẽ tăng thêm

81cm

. Nếu giảm cả hai cạnh này đi

4cm

thì diện tích sẽ giảm đi

126cm

Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.

Lời giải :

Bài tập về nhà

…………………………………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………………………………

Kẻ bảng :

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

 ………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm

25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm .

Bài 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị

là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số

ban đầu là

782

Bài 3 : Có hai số tự nhiên, biết rằng : tổng của hai số bằng 65 ; bốn lần số này lớn hơn hai lần

số kia là 50 . Tìm hai số đó .

Bài 4 : Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 12 ; tích hai chữ

số ấy nhỏ hơn số đã cho là 16 . Tìm số đã cho .

Bài 5 : Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng

10cm

, diện tích bằng

24cm

. Tìm độ dài các

cạnh góc vuông .

Bài 6 : Một mảnh vường HCN có diện tích

360cm

. Nếu giảm chiều dài thêm

và tăng

chiều rộng

6cm

thì diện tích mảnh vườn không đổi . Tính chu vi của mảnh vườn .

Bài 7 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi

116m

.Nếu tăng chiều dài thêm

,chiều

rộng thêm

thì diện tích của mảnh đất tăng thêm

356m

.Tính chiều dài ,chiều rộng của

mảnh đất.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 30

Bài 3 : Bài toán chuyển động

I. Lí Thuyết :

Công thức : S = v . t

Trong đó :

 s : quãng đường đi được (km, m, …)

 t : thời gian đi hết quãng đường s (giờ, s, ..)

 v : vận tốc của chuyển động (km/h, m/s, …).

I. Bài tập :

Bài 1 : Hãy hoàn thành bảng sau :

S (km)

v (km/h)

t (h)

Xe ôtô số 1

200

Xe ôtô số 2

3h20 phút

Xe ôtô số 3

324

2 phút

Xe ôtô số 4

3h15 phút

Bài 2 : Một người đi ôt ô từ A đến B với vận tốc trung bình là 50 km/h . Khi đến B người đó nghỉ

30 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 65 km/h . Tính quãng đường AB biết rằng

thời gian cả đi lẫn về là 11 giờ 30 phút .

Lời giải :

Lượt đi :

A B

 ……………………………………………………………….

Đổi 3h15’

=…………… h

v = 50 km/h ; t = ?

v = 60 km/h ; t = ?

Nghỉ 30

phút

Tổng thời gian

đi và về :

11giờ 30 phút

Chú ý :

Đề bài hỏi gì thì các em

gọi đại lượng đó là ẩn

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Đi sau 1 h30

phút

Đến muộn hơn ôtô

30 phút

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………...

A đến B

B về A

Bài 3 : Một người đi ôtô từ A đến B cách nhau 180 km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một người đi xe

máy cũng đi từ A và đến B muộn hơn 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của

ôtô gấp 2 lần vận tốc xe máy .

Lời giải :

Lượt đi :

A B

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 Kẻ bảng :

…………………………………………………..

Ô tô

Xe máy

S = 180 km ; t = ?; v

= ?

S = 180 km ; t = ? ; v =

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 32

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

………………………………………………….

Bài 4 : Hai địa điểm A , B cách nhau

240

km . Lúc 6h45 phút một người đi ô tô từ A với vận tốc

70 km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe máy từ B về A với vận tốc 30 km/h . Hỏi đến mấy giờ họ

gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km .

Lời giải :

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

 Kẻ bảng :

Ô tô

Xe máy

V = 70km/h

V = 30 km/h

2h sau

6h45 phút

khởi hành

Chỗ gặp nhau

của 2 xe

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………….

Bài 5 : Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 24

phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km.Tính vận tốc mà người đó dự định đi,biết

quãng đường AB dài 80 km.

Lời giải :

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 34

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………….

Bài 6 : Một người đi xe máy từ A đến B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B

đến A với vận tốc bằng

vận tốc của người thứ nhất . Sau 3 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi

người đi cả quãng đường bao xa , biết quãng đường AB dài 225 km .

Lời giải :

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 ……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

Bài tập về nhà :

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài

140

km .Mỗi giờ ô

tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 25 phút .Tính

vận tốc của mỗi ô tô .

Bài 2 : Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định . Nếu vận tốc tăng thêm 15

km/h thì đến sớm 1 giờ , nếu giảm vận tốc đi 12 km/h thì đến muộn 2 giờ.Tính vận tốc dự

định và thời gian dự định.

Bài 3 : Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 135 km với vận tốc định trước

.Đến B người đó nghỉ lại 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là

15 km/h. Người đó về đến A lúc 14 giờ 30 phút .Tính vận tốc dự định của người đi xe máy.

Bài 4 : Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 40 km,đoạn xuống dốc dài 50 km .Một

người đi xe máy từ A đến B hết 3 giờ 30 phút và đi từ B về A hết 3 giờ 15 phút (vận tốc lên dốc

lúc đi và về như nhau ,vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau).Tính vận tốc lúc lên dốc và

lúc xuống dốc.

Bài 5 : Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78 km . Sau đó 1 giờ,người thứ hai đi từ B

đến A . Hai người gặp nhau tại C cách B là 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi

hành đến lúc gặp nhau ,biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4

km/h.

Bài 6 : Một ô tô dự định từ A đến B cách nhau 180km trong một thời gian nhất định . Sau khi

đi được 1 giờ ô tô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc

thêm 6km/h nữa . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô .

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 36

Bài 4 : Bài toán chuyển động trên dòng nước

I. Lí Thuyết :

I. Bài tập :

Bài 1 : Hãy hoàn thành bảng sau :

Chú ý :

Khi giải dạng bài này thường gọi ẩn là

VẬN TỐC

V xuôi dòng = V thuyền + V dòng nước

V ngược dòng = V thuyền - V dòng nước

nươc

V xuôi dòng = V thuyền

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Đại Lượng

S (km)

v (km/h)

Xuôi

v (km/h)

Ngược

t (h)

Xuôi

t (h)

Ngược

Vận tốc ca nô : 30km/h

Vận tốc dòng nước : 2km/h

224

Vận tốc ca nô : 44km/h

Vận tốc dòng nước : 4km/h

Vận tốc ca nô : 55km/h

Vận tốc dòng nước : 3km/h

377

Vận tốc ca nô : 48km/h

Vận tốc dòng nước : 4km/h

143

Bài 2 : Một ca nô xuôi dòng 1 quãng sông dài

km, rồi ngược dòng quãng sông

km mất 5h

30 phút . Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng

km rồi ngược dòng

km thì hết

3h30phút . Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?

Lời giải :

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

………………………………………………………

Xuôi 1

Ngược 1

Xuôi 2

Ngược 2

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 38

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

………………………………………………………

Bài 3 : Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi . Biết thời gian

ca nô xuôi 5 km bằng thời gian ngược 4 km.Tính vận tốc dòng nước.

Lời giải :

 ……………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

………………………………………………………

Xuôi 1

Ngược 1

Xuôi 2

Ngược 2

Làm thế nào

nhỉ

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 4 : Một ca nô đi xuôi dòng 54 km rồi ngược dòng 48 km .Biết rằng thời gian xuôi ít hơn thời

gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6 km/h . Tính vận tốc của ca nô lúc

ngược dòng.

Lời giải :

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

………………………………………………………

Xuôi

Ngược

Bài 5 : Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 6 giờ một chiếc ca nô chạy từ bến

sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 40km . Hỏi vận tốc của thuyền ,

biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 15 km/h.

Lời giải :

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

………………………………………………………

Thuyền

Ca nô

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 40

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………

Bài 6 : Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ A đến B. Ca nô 1 chạy với vận tốc 25 km/h,

ca nô 2 chạy với vận tốc 40 km/h.Trên đường đi canô 2 dừng lại 1 giờ 30 phút, sau đó tiếp tục

chạy với vận tốc như cũ và đến bến B cùng lúc với canô 1. Tính chiều dài quãng sông AB ( cho

biết vận tốc dòng nước không đáng kể).

Lời giải :

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

………………………………………………………

Ca nô 1

Ca nô 2

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………….

 ………………………………………………………….

………………………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 70 km và ngược dòng 50 km mất 4 giờ. Nếu ca nô

xuôi dòng 84 km và ngược dòng 75 km thì mất 5 giờ 24 phút .Tính vận tốc riêng của ca nô và

vận tốc của dòng nước.

Bài 2 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 35 km , cùng lúc đó

cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4km/h . Khi đến B ca nô quay lại ngay và

gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 10 km. Tính vận tốc thực của ca nô.

Bài 3 : Một bè nứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nước)và một ca nô đồng thời rời bến A

để xuôi dòng sông .Ca nô xuôi dòng được 96 km thì quay ngay lại A .Cả đi lẫn về hết 14 giờ

.Trên đường quay về A khi còn cách A là 24 km thì ca nô gặp chiếc bè nứa nói trên .Tính vận

tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước.

Bài 4 : Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định . Nếu vận tốc ca nô tăng 10

km/h thì đến nơi sớm hơn 30 phút .Nếu vận tốc ca nô giảm 20 km/h thì đến nơi chậm 2 giờ 30

phút .Tính chiều dài khúc sông AB .

Bài 5 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 40 km/h, Ca nô

II chạy với vận tốc 60 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 1 giờ 20 phút, sau đó chạy tiếp.

Tính chiều dài quãng đường AB , biết hai cô nô đến nơi cùng một lúc.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 42

Bài 5 : Làm chung – làm riêng

I. Lí Thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Ghép các ô để được biểu thức đúng :

Bài 2 : Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất

chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được

40%

bể. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy

bể?

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

Vòi 1

Vòi 2

2 Vòi

TGHTCV

Ns 1h

Ns 2h

Ns 3h

A =N.t

Trong đó :

❶ A : Khối lượng công việc

❷ N : Năng suất

❸ t : thời gian

CHÚ Ý :

Nếu coi toàn bộ công

việc là 1.

thời gian hoàn thành

công việc là

Thì năng suất là

(cv)

giờ

phút

giờ 45 phút

2 giờ 15 phút

giờ 30 phút

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 5h rồi dừng lại,

sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 4h nữa thì

bồn . Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước

trong 3h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 3h nữa thì số nước chảy vào thì đầy bồn. Hỏi nếu chảy

1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 44

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

Bài 4 : ( Tuyển sinh vào 10 – 2012 )

Hai người làm chung một công việc thì

giờ thì xong . Nếu mỗi người làm một mình thì

thời gian để hoàn thành công việc của người thứ nhất ít hơn người thứ hai là 2 giờ . Hỏi nếu

làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi người là bao nhiêu .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài 5 : Nếu hai vòi chảy nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30

phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 20 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp

trong 15 phút thì sẽ được

20%

bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 46

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài 6 : Hai vòi nước chảy vào bể thì sau 2 giờ 24 phút thì đầy . Nếu chảy cùng một thời gian

như nhau thì

lượng nước của vòi 2 bằng

lượng nước của vòi 1 chảy được . Hỏi mỗi vòi chảy

riêng thì sau bao lâu thì đầy bể

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Hai người thợ cùng làm việc trong 3 giờ 20 phút thì xong . Nếu người thứ nhất làm 2 giờ

và người thứ hai làm 4 giờ thì họ làm được

công việc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong

mấy giờ thì xong .

Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 2 giờ 40

phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy

riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được nửa bể. Nếu vòi thứ nhất

chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được

bể. Tính thời gian mỗi

vòi chảy một mình đầy bể

Bài 4 : Hai tổ cùng làm chung công việc trong 4 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 2 giờ

thì tổ 1 đc điều đi làm việc khác , tổ 2 làm nốt trong 2 giờ 30 phút thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ

làm riêng thì trong bao lâu xong việc.

Bài 5 : Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 2 giờ sau đó tổ 1

đi làm việc khác và tổ 2 làm tiếp trong 2 giờ thì hoàn thành được

mức khoán . Nếu để tổ 1 làm

trong 4 giờ và tổ 2 làm trong 2 giờ 40 phút thì hoàn thành công việc . Hỏi mỗi tổ làm riêng thì

mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 48

Bài 6 : Làm chung – làm riêng

I. Lí Thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : ( Tuyển sinh vào 10 – 2010 )

Hai tổ cùng may một loại áo , Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày , tổ thứ 2 may trong 5 ngày

thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo . Biết trong một ngày tổ thứ 1 may được nhiều hơn tổ thứ

2 là 10 chiếc áo . Hỏi số áo may trong một ngày ( năng suất ) của mỗi tổ .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

Bài 2 : (Tuyển sinh vào 10 – 2008 )

A =N.t

Trong đó :

❶ A : Khối lượng công việc (sản phẩm)

❷ N : Năng suất ( sản phẩm/ngày)

❸ t : thời gian ( ngày)

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy .Tháng thứ hai thì tổ 1 vượt mức 15% ,

tổ 2 vượt 10% so với tháng thứ nhất . Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 sản phẩm . Hỏi tháng

thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy .

Lời giải :

 ……………………………………………………………

……………………………………………………………

 ……………………………………………………………

……………………………………………………………

 ……………………………………………………………

……………………………………………………………

 ……………………………………………………………

……………………………………………………………

 …………………………………………………………....

……………………………………………………………

 Kẻ bảng :

…………………………………………………….

Bài 3 : Theo kế hoạch , một tổ công nhân phải sản xuất 540 sản phẩm . Đến khi làm việc , do

phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm thêm nhiều hơn

dự định 2 sản phẩm . Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân . Biết rằng năng suất lao động

mỗi công nhân là như nhau .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

Nếu tăng

vượt mức

nghĩa là

100 x 100+x

= + =

100 100 100

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 50

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài 4 : Một đội xe cần chuyên chở 42 tấn hàng . Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm

8 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 3 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết

rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài 5 : Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người . Dân số tỉnh A năm nay tăng

1,2% , còn tỉnh B tăng 1,1 %. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người . Tính số

dân cảu mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay .

Lời giải :

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

 Kẻ bảng :

……………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 52

……………………………………………………………….

 ……………………………………………………………….

……………………………………………………………….

……………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 850 sản phẩm . Sang tháng thứ hai tổ 1 vượt 20%

, tổ 2 vượt 15% . Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 970 sản phẩm . Tính xem trong

tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm .

Bài 2 : Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 40 tấn cá , nhưng đã

vượt mức được 10 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà

còn vượt mức kế hoạch 50 tấn . Tính mức kế hoạch đã định .

Bài 3 : Một xí nghiệp đóng giày dự định hoàn thành kế hoạch trong 50 ngày . Nhưng do cải

tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 3 000 đôi giày do đó chẳng những hoàn thành kế

hoạch đã định trong 45 ngày mà còn vượt mức 500 000 đôi giày . Tính số đôi giày phải làm

theo kế hoạch.

Bài 4 : Hai đội bóng bàn của trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội

A phải lần lượt gặp các đấu thủ của đội B 1 trận và tổng số trận đấu gấp đôi số đấu thủ của

hai đội. Tìm số đầu thủ của mỗi đội, biết rằng đội A nhiều hơn đội B 3 người.

Bài 5 : Trong một buổi liên hoan , một lớp khách mời 15 khách đến dự . Vì lớp đã có 40 học

sinh nên phải kê thêm 1 dạy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm 1 bạn nữa mới đủ chỗ

ngồi . Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người .

Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế .

Bài 6 : Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại thứ nhất ,

mỗi thuyền chở được 5 em và loại thứ 2 chở được 7 em mỗi thuyền . Hỏi số thuyền mỗi loại ?

Bài 7 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô . Mỗi xe chở 22 học sinh thì còn thừa 1

học sinh . Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể xếp đều các học sinh trên các ô tô còn lại . Hỏi lúc đầu

có bao nhiêu ô tô , bao nhiêu học sinh . Mỗi xe chở không quá 32 học sinh .

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 5 : Phương trình bậc hai

Bài 1 : Hàm số

y = ax

I. Lí thuyết :

❶ Tính chất hàm số :

❷ Đồ thị :

y ax

với

0a 

y ax

với

0a 

❸ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 

0y ax a

Bước 1 : Hàm số

 

0y ax a

xác định

xR

Bước 2 : Tính biến thiên: phụ thuộc vào

0a 

(hoặc

0a 

)

Bước 3 : Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm trong đó có điểm

 

0;0O

Bước 4 : Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số

 

0y ax a

là một đường cong parabol

II. Bài tập

Bài 1: Cho hàm số

3yx

. Hoàn thành bảng sau :

 

y ax





0a 

0a 

0x 

: Hàm số đồng biến

0x 

: Hàm số nghịch biến

0x 

: Hàm số nghịch biến

0x 

: Hàm số đồng biến

❶

0; 0yx

thì GTNN

của hàm số

0y 

❷ Đồ thị phía trên trục

❶

0; 0yx

thì GTLN

của hàm số

0y 

❷ Đồ thị phía dưới trục

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 54

Bảng 1 :

2



3

3yx

Bảng 2 :

3yx



36

Bài 2 :

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :

2yx

 ………………………………………….

………………………………………….

 ………………………………………….

………………………………………….

- ………………………………….......

………………………………….......

- ………………………………….......

b. Xét xem các điểm sau có thuộc đồ thị không :

;









;

 

3;18B 

;









;









…………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3 : Cho 2 hàm số

 

2yx

và

 

31yx

a. Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ

b. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị

Lời giải :

b. …………………………………………………………………

…………………………………………………………………

Bài 4 : Cho hàm số

 

21y a x

a. Tìm a để hàm số đồng biến với mọi

0x 

b. Tìm a để hàm số nghịch biến với mọi

0x 

c. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm

(1;2)A

d. Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.

e. Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 6.

f. Tìm giao điểm của

 

và

 

53d y x

g. Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 56

Lời giải :

a. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

b. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

c. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

e. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

f. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

g. ………………………………………………………….........................

………………………………………………………….............................

Tri Thức Nâng

Bước Ước Mơ

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 5 : Cho hàm số

   

: 3 1P y a x

a. Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng

 

: 3 1d y x

tại điểm A có hoành

độ bằng 1 .

b. Hãy tìm trên

 

những điểm mà tung độ và hoành độ đối nhau .

c. Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ

d. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.

e. Tìm hàm số

 

:d y ax b

biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm

 

1; 2A 

và song song với

(d).

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

d. ………………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58

………………………………………………………………………………………………………………….

e. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho hàm số

 

2y m m x

. Tìm giá trị của

để:

a. Hàm số đồng biến với mọi

0x 

b. Hàm số nghịch biến với mọi

0x 

c. Đồ thị đi qua điểm

 

2; 4A 

d. Vẽ đồ thị với

vừa tìm được .

e. Tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng

32yx  

Bài 2 : Cho hàm số :

 

:P y ax

a. Tìm a để

 

là hàm số bậc 2 .

b. Tìm a để

 

cắt

 

: 3 5d y x

tại điểm có hoành độ bằng

2

c. Vẽ đồ thị

 

và

 

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2 : Phương Trình Bậc Hai

I. Lí thuyết :

1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là pt có dạng:

 

00ax bx c a   

, trong đó

là

ẩn :

,,a b c

là các số cho trước .

2. Cách giải :

Công thức nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn

4b ac  

' b ac  

 

2'bb

❶ Nếu

0

thì phương trình có 2 nghiệm

phân biệt:

;

     



❶ Nếu

0

thì phương trình có 2 nghiệm

phân biệt:

' ' ' '

;

     



❷ Nếu

0

thì phương trình có nghiệm kép:





❷ Nếu

0

thì phương trình có nghiệm kép:





❸ Nếu

0

thì phương trình vô nghiệm

❸ Nếu

0

thì phương trình vô nghiệm

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm các phương trình bậc 2 :

Bài 2 : Giải các phương trình sau:

 

5 2 3 3 2 1 3x x x    

…………………………………………………………

2 4 3 ( 2)x x x x   

…………………………………………………………

3 3 1 0xx  

2 1 0x  

0 5 0xx

2 5 0xx  

4 2 0xx  

5 1 0x

10x

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 60

…………………………………………………………

3 3 (2 1)( 1) 3x x x x     

…………………………………………………………

4 2 2 ( 1) 10x x x x     

…………………………………………………………

4 2 3 2 ( 1) 3x x x x x     

…………………………………………………………

5 4(2 3) ( 2) 1x x x x x     

…………………………………………………………

5(2 3) 2 ( 2) 3x x x    

…………………………………………………………

5 (2 1) 2 ( 2) 3x x x x x       

…………………………………………………………

Bài 3 : Tìm m để các phương trình sau :

 

4 2 1 0x mx m m   

a. Có nghiệm

b. Có 2 nghiệm phân biệt

c. Có nghiệm kép

d. Vô nghiệm

Lời giải :

 

2 4 3 2 0x x m m    

a. Có nghiệm

b. Có 2 nghiệm phân biệt

c. Có nghiệm kép

d. Vô nghiệm

Lời giải :

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Hệ số

…………………………………………………………

a. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

b. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

c. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

d. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

Hệ số

 

' '2 2

4 6 2 6 12 4b ac m m m m         

a. …………………………………………………….

……………………………………………………..

b. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

c. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

e. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

4 2 1 0x mx  

a. Có nghiệm

b. Có 2 nghiệm phân biệt

c. Có nghiệm kép

d. Vô nghiệm

Lời giải :

Hệ số

……………………………………………………..

a. ……………………………………………………

……………………………………………………..

 

3 1 15 0x m x    

a. Có nghiệm

b. Có 2 nghiệm phân biệt

c. Có nghiệm kép

d. Vô nghiệm

Lời giải :

Hệ số

……………………………………………………..

a. ……………………………………………………

……………………………………………………..

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 62

b. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

c. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

d. ……………………………………………………

……………………………………………………..

b. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

c. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

d. ……………………………………………………..

……………………………………………………..

Bài 4 : Không giải phương trình hãy tìm nghiệm của các phương trình sau :

3 2 0xx  

3 4 0xx  

3 5 2 0xx   

6 5 1 0xx  

2( 5) 2 9 0x m x m    

( 2) ( 1) 3 0m x m x    

Lời giải :

a. ……………………………………………………

……………………………………………………

b. ……………………………………………………

……………………………………………………

c. ……………………………………………………

……………………………………………………

d. ……………………………………………………

……………………………………………………

e. ……………………………………………………

f. ……………………………………………………

NHẦM NGHIỆM NHANH

❶ Nếu phương trình

 

00ax bx c a   

có :

0a b c  

thì pt có 2 nghiệm là:



❷ Nếu phương trình

 

00ax bx c a   

có :

0a b c  

thì pt có 2 nghiệm là:

   

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………

Bài 5 : Cho phương trình :

4 4 0x mx m m    

 

a. Giải phương trình đã cho với

2m 

b. Tìm

để phương trình

 

có nghiệm kép .

c. Tìm giá trị của

để phương trình

 

có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm còn lại .

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

10 11 0xx  

3 20 1 0xx   

4 6 7 0xx   

5 7 3 0xx  

7 2 5 0xx   

7 2 0xx  

Bài 2 : Cho phương trình :

3 4 2 2 0x mx m   

 

a. Giải phương trình với

1m 

b. Biện luận số nghiệm của phương trình

c. Tìm

để phương trình

 

có nghiệm

2x 

và tìm nghiệm còn lại .

Bài 3 : Cho phương trình :

 

1 3 2 0m x mx m    

 

a. Biện luận số nghiệm của phương trình

b. Tìm

để phương trình có nghiệm

3x 

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 64

Bài 3 : Tìm m và hệ thức vi ét

I. Lí thuyết :

❶ Cho phương trình :

 

00ax bx c a   

. Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm :

Dấu nghiệm

S x x

.P x x



Điều kiện chung

Trái dấu



0P 

0

0P 

Cùng dấu



0P 

0

0P 

Cùng dương



0S 

0P 

0

0S 

0P 

Cùng âm



0S 

0P 

0

0P 

II. Bài tập :

Bài 1 : Không giải phương trình hãy tính :

❶ Cho phương trình :

6 8 0xx  

…………………………………………………......

a. ………………………………………………….

………………………………………………….

b. ………………………………………………….

………………………………………………….

c. ………………………………………………….

❷ Cho phương trình :

3 6 0xx  

…………………………………………………......

a. ………………………………………………….

b. ………………………………………………….

………………………………………………….

c. ………………………………………………….

………………………………………………….

HỆ THỨC VI ÉT

  

và



Nếu

0ac

thì suy ra u, v là nghiệm

của phương trình :

0x Sx P  

(điều kiện để tồn tại u, v là

40SP   

)

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………….

d. ………………………………………………….

………………………………………………….

Bài 2 : Lâp phương trình bậc 2 :

2; 1xx  

1 2; 1 2xx   

5; 2xx  

xx  

;

xx  

Lời giải :

a. ………………………………………………….

………………………………………………….

b. ………………………………………………….

………………………………………………….

c. ………………………………………………….

………………………………………………….

d. ………………………………………………….

………………………………………………….

e. ………………………………………………….

………………………………………………….

d. ………………………………………………….

………………………………………………….

Một số công thức nhanh :

❶

 

1 2 1 2 1 2

2x x x x x x   

❷

   

1 2 1 2 1 2

4x x x x x x   

❸

   

1 2 1 2 1 2 1 2

3x x x x x x x x    

❹

 

4 4 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2x x x x x x   

❺

 

1 2 1 2

x x x x



  

❻

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

x x x x





❼

 

1 2 1 2 1 2

2.x x x x x x   

 

,0xx

❽

1 2 1 2

1 1 1 1 1

x x x x





   





 

,0xx

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 66

………………………………………………….

Bài 3 : Cho phương trình :

( 3) 2 3 0x m x m m     

a. Giải phương trình với

2m 

b. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng

. Tìm nghiệm còn lại .

c. Phương trình có 2 nghiệm

;xx

. Tìm m thỏa mãn :

2xx  

d. Định m để phương trình có nghiệm này bằng 3 nghiệm kia .

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

d. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4 : Cho phương trình :

5 2 0x x m   

a. Giải phương trình với

1m 

b. Tìm

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu .

c. Tìm

để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn :

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

12x x x x x x   

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Phương trình có 2 nghiệm

trái dấu

0ac

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 68

Bài tập về nhà

Bài 1 : Không giải phương trình :

7 3 0xx  

. hãy tính giá trị của biểu thức nghiệm :

xx



()xx

11xx







Bài 2 : Lâp phương trình bậc 2 :

8; 10xx  

2; 5xx

4; 9xx   

xx

;

xx  

Bài 3 : Cho phương trình

3 2 0x x m   

a. Giải phương trình với

1m 

b. Tìm

để phương trình có 2 nghiệm cùng dương

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

25xx

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1

e. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

1 1 2

2 2 3xx





TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 4 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1 : Cho phương trình :

3 4 2 0x mx m   

a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu .

b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn :

1 1 3xx   

với

0; 0xx

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

2 6 3x x m  

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

1; 1xx

e. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 70

………………………………………………………………………………………………………………….

d. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

e. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Cho phương trình :

 

2 1 2 0x m x m    

a. Tìm m để phương trình có nghiệm .

b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài 2 cạnh của tam giác vuông có độ dài cạnh

huyền là 5

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

4xx

với

0; 0xx

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………

d. ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3 : Cho phương trình :

 

2 1 2 0x m x m   

a. Giải phương trình với

3m 

b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn :

A x x

đạt giá trị nhỏ nhất .

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

1 2 1 2

4 3 1x x x x m   

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

23xx

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 72

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

d. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho phương trình :

 

2 1 0x m x m   

a. Giải phương trình với

2m 

b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :



là một số nguyên .

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

1 2 1 2

3x x x x  

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

2 3 0xx

Bài 2 : Cho phương trình :

 

2 2 0x m x m   

a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt nằm về 2 phía trục tung .

b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

 

1 2 1 2

3 2 0x x x x m   

c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

2xx

đạt giá trị nhỏ nhất

d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

2; 3xx

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 74

Bài 5 : Bài tập giao điểm

I. Lí thuyết :

Cho phương trình đường thẳng

 

y ax b

và phương trình

 

:P y ax bx c  

 

0a 

II. Bài tập :

Bài 1 : Cho parabol

( ) :P y x

và đường thẳng

 

: 2.d y mx

a. Với

3m 

. Tìm tọa độ giao điểm của

 

và

 

b. Tìm giá trị của m để

 

cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ

,xx

thỏa mãn

20xx  

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Cho phương trình

 

( 1)y m x m  

(m là tham số) và

( ) :

P y x

a. Tìm m để đường thẳng

 

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

b. Tìm m để đường thẳng d cắt

 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

,xx

thỏa mãn

2xx

Phương trình hoành

độ giao điểm của

 

và

 

Phương

trình bậc 2

Tìm m thỏa

mãn điều kiện

ban đầu

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………

Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho Parabol

 

yx

và đường thẳng

 

2 2 1y mx m  

a. Với

2m 

. Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .

b. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt :

1 2 2 2

( ; ); ( ; )A x y B x y

sao cho tổng các

tung độ của hai giao điểm bằng 2 .

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 76

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4 : Cho parabol

()P





và đường thẳng

 

x 2 1y m m  

a. Tìm giao điểm của

()P

và

 

khi

2m 

b. Tìm m để

()P

và

 

tiếp xúc

c. Chứng tỏ rằng

 

luôn đi qua một điểm cố định A thuộc

()P

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

c. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5 : Cho parabol

 

:P y x

và đường thẳng

 

: 2 4d y mx m  

(

là tham số)

a. Tìm

để

 

cắt

 

tại hai điểm phân biệt

,AB

b. Gọi

,xx

là hoành độ của

,AB

. Tìm

để

3xx

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho parabol

( ) :P y x

và đường thẳng

( ) : (2 1) 2d y m x m  

(

là ẩn,

là tham số )

a. Khi

2m 

. Xác định tọa độ giao điểm của

(d)

và

()P

b. Tìm m để

(d)

và

()P

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

1 1 2 2

( ; );B( ; )A x y x y

. Sao cho biểu thức

1 2 1 2

T x x x x  

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2 : Cho hai hàm số:

23yx

và





a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

b. Tìm toạ độ giao điểm

của hai đồ thị trên.

c. Tính diện tích tam giác

ABC

biết

lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng trên

với trục tung.

Bài 3 : Cho phương trình:

 

2 1 3 0x m x m    

(1)

a. Giải phương trình (1) với

2m 

b. Tìm

để phương trình (1) có 2 nghiệm

,xx

thỏa mãn

2xx

Bài 4 : Cho đường thẳng

( ) : y 2d mx

và Parabol

( ) : y

P 

a. Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B;

b. Gọi giao điểm của đường thẳng d và trục tung là G. Gọi H và K là hình chiếu của A và B

trên trục hoành. Tìm m để diện tích tam giác GKD bằng 4.

Bài 5 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol

 

:P y x

và đường thẳng

 

2–y mx m m

.Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có

hoành độ

,xx

thỏa mãn:

3xx

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 78

Bài 6 : Bài tập giao điểm

Bài 1 : Cho parabol

 

:P y x

và đường thẳng

 

: 2 1d y mx m  

(

là tham số) . Tìm

để

đường thẳng

 

cắt parabol

 

tại hai điểm

 

;A x y

và

 

;B x y

có tung độ thỏa mãn

4.yy

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

   

: 2 1d y m x m   

và parabol

 

:P y x

. Tìm tất cả các giá trị của

để đường thẳng

 

cắt parabol

 

tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lần lượt là

;xx

sao cho

2 3 5xx

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3 : Cho Parabol

 

:P y x

và đường thẳng

 

d y mx

. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A và B trên trục hoành. Tìm m để độ dài CD bằng 2.

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………

Bài 4 : Cho parabol

 

yx

và đường thẳng

 

2y mx

a. Chứng minh đường thẳng

 

luôn cắt parabol

 

tại 2 điểm phân biệt

( , )M x y

và

 

,N x y

với mọi m

b. Gọi giao điểm của

 

với Oy là A, gọi B và C lần lượt là hình chiếu của M, N trên trục

hoành. Chứng minh

ΔABC

vuông tại A

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

Muốn làm tốt dạng

này :

HS PHẢI VẼ HÌNH

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 80

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5 : Cho parabol

( ) :

P y x

và đường thẳng

( ) : ( 2) 2d y m x  

. Tìm

để

 

cắt

 

tại

hai điểm phân biệt

( ; )A x y

;

( ; )B x y

thỏa mãn:

4yy

b. Diện tích tam giác

OAB

bằng

(đvdt)

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho parabol

 

:P y x

và đường thẳng

   

: 2 – 1 2d y m x m m  

a. Chứng minh rằng đường thẳng

 

luôn cắt parabol

 

tại hai điểm phân biệt A, B?

b. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Tìm m sao cho:

6OH OK

Bài 2 : Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho Parabol

 

:P y x

và đường thẳng

   

: 1 4d y m x m   

. Tìm

để đường thẳng

 

cắt

 

tại

điểm có hoành độ

;xx

là các

kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng

Bài 3 : Cho parabol

()P

yx

và đường thẳng

()d

2y x m

(với m là tham số) trong mặt

phẳng tọa độ

Oxy

a. Tìm m để

()d

tiếp xúc với

()P

b. Tìm m sao cho đường thẳng

()d

cắt parabol

()P

tại hai điểm phân biệt

 

;A x y

và

 

;B x y

thỏa mãn

(1 )(1 ) 8yy  

Bài 4 : Cho phương trình

4 4 0x x m   

(

là ẩn số ). Tìm

để phương trình có hai

nghiệm phân biệt

,xx

thỏa mãn

2 1 1

4.x x x

Bài 5 : Cho Parabol

 

:2P y x

 

0a 

và đường thẳng

 

: y 2 4m 4dx  

. Tìm

để

 

cắt

 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

;xx

thỏa mãn điều kiện

3.xx

Bài 6 : Cho phương trình

2( 4) 0.x mx m   

Tìm m để phương trình có 3 ngiệm phân biệt

1 2 3

,,x x x

thỏa mãn

222

1 2 3 1 2 3

25x x x x x x   

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 82

Bài 7 : Tổng hợp đề thi vào 10

Bài 1 : Năm học 2008 – 2009

Trên trục tọa độ Oxy , cho Parapol (P) có phương trình là :

yx

và đường thẳng (d)

có phương trình :

1y mx

a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng

 

luôn cắt Parabol

 

tại hai

điểm phân biệt .

b. Gọi A , B là hai giao điểm của

 

và

 

. Tính diện tích

AOB

theo m ( O là gốc tọa

độ )

Lời giải :

a. …………………………………………………………

……

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

b. ……………………………………………………………

…….

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

 Vẽ hình

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

………………………………………………………………

……..

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

………………………………………

…

Bài 2 : Năm học 2009 – 2010

Cho phương trình (ẩn

2( 1) 2 0x m x m    

a. Giải phương trình đã cho khi

1m 

b. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm

;xx

thoả mãn:

10xx

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 84

Lời giải :

a. …………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

Bài 3 : Năm học 2010 – 2011 : Cho parabol

 

yx

và đường thẳng

 

1y mx

a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng

 

luôn cắt parabol

 

tại hai

điểm phân biệt.

b. Gọi

,xx

lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng

 

và parabol

 

. Tìm

giá trị của m để:

1 2 2 1 1 2

3x x x x x x  

Lời giải :

a. …………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

…………………………………………………………………………………………………………

……….

Bài 4 : Năm học 2011 – 2012 : Cho Parabol

 

yx

và đường thẳng

 

29y x m  

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 86

a. Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol

 

và đường thẳng

 

khi

1.m 

b. Tìm m để đường thẳng

 

cắt Parabol

 

tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5 : Năm học 2012 – 2013 : Cho phương trình:

(4 1) 3 2 0x m x m m    

( ẩn

) . Tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

;xx

thỏa mãn điều kiện :

7xx

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………

Bài 6 : Năm học 2013 - 2014

Cho parabol

 

yx

và đường thẳng

 

y mx m m   

a. Với

1m 

, xác định tọa độ các giao điểm A, B của

 

và

 

b. Tìm các giá trị của m để

 

cắt

 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

,xx

sao cho :

2xx

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 7 : Năm học 2014 - 2015

Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

 

6yx  

và parabol

 

yx

a. Tìm tọa độ các giao điểm của

 

và

 

b. Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 8 : Năm học 2015 – 2016 : Cho phương trình

( 5) 3 6 0x m x m    

(

là ẩn số )

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 88

a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

;xx

là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác

vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 .

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………

Bài 9 : Năm học 2016 - 2017

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

 

31y x m  

và parabol

 

yx

a. Chứng minh

 

luôn cắt

 

tại hai điểm phân biệt với mọi m .

b. Gọi

;xx

là hoành độ các giao điểm của

 

và

 

. Tìm m để

( 1)( 1) 1xx  

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………..

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 10 : Năm học 2017 – 2018 :Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

 

: 5.d y mx

a. Chứng minh đường thẳng

 

luôn đi qua điểm

 

0;5A

với mọi giá trị của

b. Tìm tất cả các giá trị của

để đường thẳng

 

cắt parabol

 

:P y x

tại hai điểm phân

biệt có hoành độ lần lượt là

,xx

(với

xx

) sao cho

xx

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 11 : Năm học 2019 – 2020 : Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường thẳng

 

21y mx m  

và parabol

 

yx

a. Chứng minh

 

luôn cắt

 

tại hai điểm phân biệt.

b. Tìm tất cả giá trị của m để

 

cắt

 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ

,xx

thỏa mãn

1 2 1 2

1 1 2

x x x x



  

Lời giải :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 90

a. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

b. ………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

CHƯƠNG 3 : Góc và đường tròn

Bài 1 : Góc ở tâm - Số đo cung

I. Lí thuyết

❶ Góc ở tâm

 Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn

 Nếu

0 180





thì cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc

gọi là cung lớn.

 Nếu

180





thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

 Kí hiệu cung AB là

❷ Số đo cung

 Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ

 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

 Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa

360

và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với

cung lớn).

 Số đo của nửa đường tròn bằng

180

. Cung cả đường tròn có số đo

360

Đặc biệt : Cung không có số đo

(cung có 2 mút trùng nhau).

❸ So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

 Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

 Trong hai cung , cung nào có số đo lớn hơn thì cung lớn hơn.

❹ Định lí :

Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì

.sđ AB sđAC sđCB

II . Bài tập :

Bài 1 : Kể tên một số góc ở tâm , cung và dây :

Cung

Góc ở tâm

Dây

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 92

Bài 2 : Cho đường tròn

 

;OR

và dây AB . Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi cung AB nhỏ

trong các trường hợp sau :

a. Dây

3AB R

b. Khoảng cách từ O đến dây AB là

Lời giải :

a. ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

b. ………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

…………………………………

Bài 3 : Cho đường tròn

 

;OR

, vẽ hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C . Biết

80ACB 

a. Tính số đo của góc ở tâm

AOB

b. Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

………………………………………

Bài 4 : Cho ABC đều. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

a. Tính số đo các góc ở tâm

;;AOB BOC COA

b. So sánh các cung nhỏ AB , AC, BC

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

………………………………………

Bài 5 : Cho đường tròn

 

và dây AB . M là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây MC cắt AB tại

D . Vẽ đường vuông góc với AB tại D cắt OC tại K .

a. Chứng minh

KD 

b. Chứng minh

KCD

cân .

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 94

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

………………………………………

Bài 6 : Cho hai đường tròn bằng nhau

   

;'OO

cắt nhau tại A , B . Kẻ các đường kính AOC và

AO’D . Gọi E là giao điểm thức hai của đường thẳng AC với

 

. Chứng minh :

a. C ,B , D thẳng hàng

b. Cung nhỏ

;CB BD

c. B là điểm chính giữa cung

EBD

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………..

………………………………………

Bài tập về nhà :

Bài 1 : Cho đường tròn

 

;OR

, vẽ hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C . Tính số đo góc ở tâm

AOB

, số số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB. Biết:

2OC R

3BC R

Bài 2 : Cho tam giác đều ABC . Gọi O là trung điểm của BC . vẽ nửa đường tròn

 

;O OB

cắt AB

tại D và AC tại E.

a. Tính góc

b. So sánh các cung BD ; DE và EC.

Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi I là trung điểm của BC . Vẽ đường

tròn .

a. Tính số đo cung nhỏ .

b. So sánh cung AB nhỏ và AC nhỏ .

BOD

30ABC 

 

,I IB

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 96

Bài 2 : Liên hệ giữa cung và dây

I. Lí thuyết

❶ Định lí 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Ví Dụ :

❷ Định lí 2 :

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Ví Dụ :

❸ Bổ sung :

Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua

trung điểm của dây căng cung ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm)

thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc

với dây căng cung ấy và ngược lại.

Ví Dụ :

AB CD AB CD  

AB CD AB CD  

AB CD AD BC  

OI AB IB IA  

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

II . Bài tập :

Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn . Biết . Hãy so sánh

các cung nhỏ AB, AC và BC.

Lời giải :

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình :

Bài 2 : cho nửa đường tròn hai dây cung AB và CD song song voi nhau có độ dài lần

lượt là 40 cm , 30 cm và khoảng cách giữa hai dây là 35 cm.

a. Tính bán kính đường tròn

b. Tính độ dài cung nhỏ AC và cung nhỏ BD . Từ đó suy ra điều gì

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

b. ……………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

 

70 ; 80AB

 

,.OR

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 98

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 3 : Cho có . Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ

ngoại tiếp DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH ,OK xuống BC và BD

a. Chứng minh :

b. So sánh . Từ đó suy ra cung nhỏ BD < cung nhỏ BC.

c. Nếu dây . Hãy tính các khoảng cách từ tâm O đến dây BC và BD .

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

 Hình vẽ :

………………………………………

ABC



 

AB AC

 

;OR

(),.H BC K BD

BC BD

; OH OK

2 ; 30BC R BOK

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 3 : Góc nội tiếp

I. Lí thuyết :

❶ Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường

tròn đó. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.

❷ Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của

cung bị chắn.

❸ Hệ quả

Trong một đường tròn:

a. Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn

một cung.

d. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

II. Bài tập

Bài 1 : Hoàn thành bảng sau :

ACB

Bài 2 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm thuộc đường tròn sao cho cung

AC bằng .

a. Chứng minh :

b. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau

tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của .

3CAB CBA

ACB

AOB

sđ

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 100

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

…………………………………………

Bài 3 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Dây AE cắt dây BC ở D và cắt (O) ở

E. Đường cao AH cắt đường tròn (o) tại M , đường cao BK cắt đường tròn (o) ở N .

c. AC phân giác của

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình :

…………………………………………

CM CN

.AB AD AE

MAN

.AE AH.AMAD 

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

101

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

d. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

…………………………………………

Bài 4 : Cho ABC đều nội tiếp đường tròn , M là một điểm trên cung nhỏ BC, MA cắt BC

tại D. Trên AM lấy N sao cho . Chứng minh :

a. đều

 

;OR

MB MN

MBN



BN MC

.AB AD AM

MA MB MC

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 102

Lời giải :

a. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

d. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

e. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

 Vẽ hình

…………………………………………

4.MA MB MC R  

1 1 1

MD MB MC



TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

103

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………..

f. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………..

…………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C sao cho

Kẻ CH vuông góc với AB tại H

a. Nếu . Tính bán kính và khoảng cách từ O đến CD

b. Tiếp tuyến tại C của cắt AB tại M, CH cắt tại điểm thứ 2 là D . Chứng minh : MD

là tiếp tuyến của và

c. Chứng minh :

Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A và có góc . Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB

tại D và BC tại E . So sánh số đo các cung AD, DE và EC.

Bài 3 : cho tam giác ABC vuông tại A có . Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại

M. Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ,kéo dài BE cắt AC tại F

b. Tính số đo cung BM.

c. Gọi K là giao điểm của ME và AC . Chứng minh .

 

BC AC

8 , 20AH cm AC cm

 

..HA HB HO HM

1 1 1

AM OB AH



B

30BCA 

BEM ACB

~KAM KEA



GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 104

Định lí :

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung bằng nửa số đo của

cung bị chắn.

Hệ quả :

Trong một đường tròn, góc tạo bởi

tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội

tiếp cùng chắn một cung thì bằng

nhau.

Góc tiếp

tuyến và dây

BAx

Bài 4 : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây

I. Lí thuyết :

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm trong các hình sau :

…………………………………………………………..

100

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

105

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2 : Cho ABC vuông tại A có . Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp

tuyến tại D cắt AC ở P.

a. Tính góc

b. Chứng minh : P là trung điểm của AC

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

Bài 3 : Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung

AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì và

a. Tính .

b. Tính độ dài cung nhỏ ID

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

 Vẽ hình

60ACB 

ADP

.IC CM

30CMI 

CIO

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 106

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 4 : Lấy điểm C nằm giữa đoạn thẳng AB sao cho . Vẽ hai tia Ax và By vuông góc

với AB tại A và B . Lấy I thuộc tia Ax và vẽ đường tròn đường kính IC . Vẽ đường thẳng vuông

góc CI tại C cắt By tại K. IK cắt đường tròn tại P . Chứng minh :

a. Chứng minh B,C,P,K thuộc 1 đường tròn .

b. Tam giác ABP vuông .

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

AC CB

.BC .AI AC BK

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

107

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 108

Định lí 2

Số đo của góc có đỉnh

ở bên ngoài đường

tròn bằng nửa hiệu số

đo hai cung bị chắn.

Bài 5 : Góc có đỉnh bên trong đường tròn

Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

I. Lí thuyết :

Định lí 1 :

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng

nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

II. Bài tập :

Bài 1 : Tìm các góc trong các hình vẽ sau :

……………………………………………………...

;xy





DMB sdBD sdAC





BMC sdBC sdAD

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

109

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

……………………………………………………...

Bài 2 : Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm chính giữa của

cung BC, CA, AB.

a. Chứng minh: .

b. AM cắt CP tại I. Chứng minh: MC = MI

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

AM PN

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 110

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 3 : Cho đường tròn tâm O và điềm M nằm bên ngoài đường tròn . từ M kẻ tiếp tuyến

MA(A là tiếp điểm)và cát tuyến MBC sao cho góc , tia phân giác của góc BAC cắt BC

ở D cắt đường tròn E.

a. Tính góc

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

40ACB 

BAM

MA MD

~ACD AEB



TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

111

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 4 : Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C,

D là các tiếp điểm. vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O (A nằm giữa M và B .Tia phân giác

của góc ACB cắt AB ở E Chứng minh

MC ME

b. DE là phân giác của góc

c. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường

tròn

d. IM là phân giác của

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

ADB

CID

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 112

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

d. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho 2 điểm A , B trên đường tròn . Các tiếp tuyến của đường tròn tại và

cắt nhau tại điểm . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt đường tròn tại .

cắt đường tròn tại . Các tia và cắt nhau tại . Chứng minh rằng

b. .

Bài 2 : Cho đều nội tiếp đường tròn Điểm D di động trên cung AC. Gọi E là giao

điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC ) Chứng minh:

.MK AK EK

MK KB

ABC



 

;.OR

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

113

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Định nghĩa :

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm

trên một đường tròn được gọi

là tứ giác nội tiếp đường tròn

(gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Định lí :

Trong một tứ giác nội tiếp,

tổng số đo hai góc đối diện

bằng

180

.AE BF

không đổi khi D di chuyển

Bài 6 : Tứ giác nội tiếp

I. Lí thuyết :

AFB ABD

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Tứ giác có tổng hai góc

đối bằng 180

180AC

Tứ giác có góc

ngoài tại một đỉnh

bằng góc trong

của đỉnh đối diện

nó.

A BAx

Tứ giác có hai đỉnh kề

nhau cùng nhìn một cạnh

chứa hai đỉnh còn lại dưới

hai góc bằng nhau.

CAB BDC

Tứ giác có bốn

đỉnh nằm trên một

đường tròn là tứ

giác nội tiếp

đường tròn.

OA OB OC OD  

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 114

II. Bài tập :

Bài 1 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn . Hoàn thành bảng sau :

Trường hợp

Góc

TH1

TH2

TH3

TH4

TH5

153

112

120

130

150

105

137

Bài 2 : Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh:

a. Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp được.

b. Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp được .

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

115

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 3 : Cho tam giác cân

( , 90 )ABC AB AC A

có đường cao

. Gọi

,,M N I

theo thứ tự là trung

điểm của các đoạn

,,BC BM BD

. Tia

cắt cạnh

tại

. Chứng minh

a. Tứ giác

,ABMD ABNK

nội tiếp

..CACK CN CB

3 4 .BC CA CK

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 116

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 4 : Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn

 

;OR

, các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H và AD , BE, CF gặp đường tròn

 

;OR

tại G,M, N. chứng minh rằng

a. Tứ giác BFEC, DHEC nội tiếp .

EF MN

OA EF

d. H là tâm đường tròn nội tiếp

.DEF

e. H đối xứng với G qua BC

. 2 .AB AC R AD

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

117

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

d. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

e. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

f. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

………………………………………

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 118

………………………………………………………………………….

………………………………………

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

 

, M là giao điểm của AB và CD , N là giao

điểm của AD và BC . Chứng minh rằng :

..MN MC MD NA ND

MON

không vuông .

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

 Vẽ hình

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

119

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………

Bài 7 : Độ dài đường tròn – cung tròn

Diện tích hình tròn – Hình quạt tròn – Hình viên phân

I. Lí thuyết :

❶ Độ dài đường tròn – cung tròn:

❷ Diện tích hình tròn – Hình quạt tròn –

Hình viên phân:

Chu vi (C)

độ dài của cung n

180





Diện tích (S)

Diện tích hình quạt : cung n

quạt

360

R n R





Diện tích hình viên phân:

viên phân

= S

quạt AmB

–

OAB



II. Bài tập :

Bài 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

 

;OR

lần lượt vẽ các dây cung

2 , 3 ,AC .AB R BC R R  

a. Tính độ dài các cung nhỏ AB, BC và CA.

b. Tính diện tích các hình quạt tròn AOB, BOC ứng các cung nhỏ AB và BC.

c. Tính diện tích hình viên phân ứng với các cung nhỏ AB, BC và CA.

Lời giải :

a. ……………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….

 Vẽ hình

2 C R d









GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 120

………………………………………………………………………….

b. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

c. …………………………………………………………………….

………………………………………………………………………….

………………………………………

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

121

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 2 : Cho đường tròn (O) có dây

2BC R

cố định. Kẻ đường kính BM, điểm A bất kì trên tia

CB (

CA CB

). Gọi E là giao điểm của AM với (O), gọi H là giao điểm của của OA với đường

tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ABM. Gọi K là giao điểm của OA và CE.

a. Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp.

b. Chứng minh

~AEK AHM

c. Chứng minh

'AO M

có dộ lớn không phụ thuộc vào vị trí của A.

d. Xác định vị trí điểm A trên tia CB để

4AO HO

có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………………….

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 122

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3 : Cho đường tròn

 

;OR

. Qua điểm

cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng

vuông góc với

. Từ điểm

bất kỳ trên đường thẳng

(

không trùng với

) kẻ các tiếp

tuyến

, BD BC

với đường tròn

 

(

, DC

là các tiếp điểm). Dây

cắt

tại

, cắt

tại

a. Chứng minh tứ giác

OCBD

và tứ giác

BNPA

nội tiếp được trong đường tròn.

b. Chứng minh

. . .OA OP OB ON R

c. Cho

30CBO 

và

6R cm

. Tính diện tích tứ giác

BCOD

và diện tích hình giới hạn bởi

cung nhỏ

và dây

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

123

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho

 

,,OR

đường kính AB. Gọi I là điểm cố định nằm giữa hai điểm O và B. Lấy điểm

C thuộc đường tròn tâm O thỏa mãn CA > CB. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AB, d cắt

BC tại E, cắt AC tại F.

a. Chứng minh rằng : Bốn điểm A, I, C, E cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh rằng: IE.IF = IA.IB

c. Đường tròn ngoại tiếp

CEF

cắt AE tại N. CMR: điểm N nằm trên đường tròn

 

,,OR

d. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng : khi C chuyển động

trên đường tròn tâm O thì K luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 2 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn

( ; )OR

vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

(B, C là tiếp điểm) và một cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N). Gọi I, P, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và BC. Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BC.

a. Chứng minh rằng tứ giác BIMP và CPMK nội tiếp.

b. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh

. . .AM AN AH AO

c. Chứng minh rằng E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 124

d. Xác định vị trí của cát tuyến AMN để

2 2 2

2MI MK MP

đạt giá trị nhỏ nhất.

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

125

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

Bài 8 : Luyện tập

Bài 1 : Cho đường tròn

 

có dây cung

cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ

.Đường kính MN của đường tròn

 

cắt dây

tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn

.(E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.

a. Chứng minh rằng :Tứ giác IKEN nội tiếp

b. Chứng minh: EI.MN=NK.ME

c. NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của

EIQ

d. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di

động trên cung lớn

(E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định.

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………………….

SẮP ĐẾN ĐÍCH

RỒI !!!

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 126

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2 : Cho đường tròn tâm

và hai đường kính

và

vuông góc với nhau. Điểm

bất

kì thuộc cung nhỏ

(với

khác

và

). Gọi

là giao điểm của

và BC,

là hình

chiếu

của trên

. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác

BMIJ

là tứ giác nội tiếp.

là phân giác của

CJM

M, J, D

thẳng hàng.

d. Tìm vị trí của điểm

trên cung nhỏ

để tứ giác

BOCM

có diện tích lớn nhất.

Lời giải :

………………………………………………………………………………………………………………………….

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

127

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập về nhà

Bài 1 : Cho đường tròn (O; R), dây CD có trung điểm E. Trên tia đối của CD lấy điểm M. Kẻ tiếp

tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt AB tại H, cắt đường

tròn tại I (I nằm giữa M và O).

a. Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh:

OH.OM OA

từ đó suy ra

OH.OM + MC.MD = MO

c. Chứng minh: CI là phân giác của

MCH

d. Đường thẳng AB cắt OE tại K. Khi M di chuyển trên tia đối của tia CD thì AB luôn đi qua

một điểm cố định.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 128

Bài 9 : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10

Bài 1 : (Tuyển sinh năm 2008 – 2009 )

Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đường tròn đó ( E

khác A và B ) . Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại

điểm thứ hai là K .

a. Chứng minh

KAF

đồng dạng

KEA

b. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE . Chứng minh đường tròn (I) bán

kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F .

c. Chứng minh MN //AB , trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE và BE với

đường tròn (I) .

d. Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của

KPQ

theo R khi E di chuyển trên đường tròn (O) , với P

là giao điểm của NE và AK , Q là giao điểm của MF và BK .

Bài 2 : (Tuyển sinh năm 2009 – 2010 )

Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

(B, C là các tiếp điểm).

a. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

b. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R

c. Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R)

cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K

chuyển động trên cung nhỏ BC.

d. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N.

Chứng minh PM + QN  MN

Bài 3 : (Tuyển sinh năm 2010 – 2011 )

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B).

Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE

tại điểm F.

a. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh DA.DE = DB.DC

c. Chứng minh

CFD

OCB

. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh

IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

129

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

d. Cho biết DF = R, chứng minh tg

AFB

= 2.

Bài 4 : (Tuyển sinh năm 2011 – 2012 )

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường

tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E

không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường

thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.

a. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh

ENI EBI

và

90MIN 

c. Chứng minh AM.BN = AI.BI .

d. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện

tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

Bài 5 : (Tuyển sinh năm 2012 – 2013 )

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm

bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

a. Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh

ACM ACK

c. Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam

giác vuông cân tại C

d. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C

nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và

.AP MB



. Chứng minh đường thẳng

PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài 6 : (Tuyển sinh năm 2013 – 2014 )

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường

tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm

B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

a. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

b. Chứng minh AN

= AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 130

c. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng

minh MT // AC.

d. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một

đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 7 : (Tuyển sinh năm 2014 – 2015 )

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O;

R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM,

AN lần lượt tại các điểm Q, P.

a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

b. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

c. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F.

Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.

d. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí

của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 8 : (Tuyển sinh năm 2015 – 2016 )

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB .Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A ,

C khác O ) . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là

điểm bất kì trên cung KB ( M khác K , M khác B ). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM ,

BM lần lượt tại H và D . Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N .

a. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp .

b. Chứng minh CA. CB = CH. CD .

c. Chứng minh ba điểm A, N , D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi

qua trung điểm của DH .

d. Khi M di động trên cung KB , chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố

định

Bài 9 : (Tuyển sinh năm 2016 – 2017 )

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Kẻ tiếp tuyến AB với đường

tròn (O) ( B là tiếp điểm ) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C , I khác

O ). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E ) . Gọi H là trung điểm

của DE

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt

131

Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội

a. Chứng minh bốn điểm A,B,O,H cùng nằm trên một đường tròn .

b. Chứng minh

AB BD

AE BE



c. Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO , d cắt BC tại điểm K . Chứng minh HK

// DC.

d. Tia CD cắt AO tại điểm P , tia EO cắt BP tại điểm F . Chứng minh tứ giác BECF là hình

chữ nhật .

Bài 10 : (Tuyển sinh năm 2017 – 2018 )

Cho đường tròn

 

ngoại tiếp tam giác nhọn

ABC

. Gọi

và

lần lượt là điểm chính

giữa của cung nhỏ

và cung nhỏ

. Hai dây

và

cắt nhau tại điểm

Dây

cắt các cạnh

và

lần lượt tại các điểm

và

a. Chứng minh bốn điểm

, , ,C N K I

cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh

.NB NK NM

c. Chứng minh tứ giác

BHIK

là hình thoi.

d. Gọi

,PQ

lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác

MBK

, tam giác

MCK

và

là trung điểm của đoạn

. Vẽ đường kính

của đường tròn

 

. Chứng

minh ba điểm

,,D E K

thẳng hàng.

Bài 11 : (Tuyển sinh năm 2018 – 2019 )

Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên

tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;

R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của

đoạn thẳng AB.

a. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

b. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo

CSD

c. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD

tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi

qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

d. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm

E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia

AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10

096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 132

Bài 12 : (Tuyển sinh năm 2019 – 2020 )

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

 

AB AC

nội tiếp đường tròn

 

. Hai đường cao BE và

CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.

a. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.

b. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

c. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại

điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE

đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/132

| | Tải xuống

Preview text:

TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 : Hệ phương trình ........................................................................................................... 3
Bài 1 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................................... 3
Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương pháp cộng đại số ..................... 5
Bài 3 : Rút gọn đưa về dạng cơ bản .................................................................................................. 9
Bài 4 : Phương pháp đặt ẩn phụ ..................................................................................................... 10
Bài 5 : Giải và biện luận hệ phương trình ...................................................................................... 15
Bài 6 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước.................................................................................. 16
Bài 7 : Ôn tập ...................................................................................................................................... 20
CHƯƠNG 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình .................................................... 24
Bài 1 : Tìm hai số ................................................................................................................................. 24
Bài 2 : Toán liên quan đến hình học ................................................................................................ 26
Bài 3 : Bài toán chuyển động ............................................................................................................ 30
Bài 4 : Bài toán chuyển động trên dòng nước ............................................................................... 36
Bài 5 : Làm chung – làm riêng .......................................................................................................... 42
Bài 6 : Làm chung – làm riêng ......................................................................................................... 48
CHƯƠNG 5 : Phương trình bậc hai ............................................................................................... 53 Bài 1 : Hàm số  2 y
ax ........................................................................................................................ 53
Bài 2 : Phương trình bậc hai ............................................................................................................. 59
Bài 3 : Tìm m và hệ thức vi ét .......................................................................................................... 64
Bài 4 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước .................................................................................. 69
Bài 5 : Bài tập giao điểm ................................................................................................................... 74
Bài 6 : Bài tập giao điểm ................................................................................................................... 78
Bài 7 : Tổng hợp đề thi vào 10 ......................................................................................................... 82
CHƯƠNG 3 : Góc và đường tròn ................................................................................................... 91
Bài 1 : Góc ở tâm - Số đo cung .......................................................................................................... 91
Bài 2 : Liên hệ giữa cung và dây ..................................................................................................... 96
Bài 3 : Góc nội tiếp ............................................................................................................................. 99
Bài 4 : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây ............................................................................................ 104
Bài 5 : Góc có đỉnh bên trong đường tròn .................................................................................... 108
Bài 6 : Tứ giác nội tiếp .................................................................................................................... 113 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 7 : Độ dài đường tròn – cung tròn ......................................................................................... 119
Bài 8 : Luyện tập .............................................................................................................................. 125
Bài 9 : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10 ................................................................................... 128
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 2 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
CHƯƠNG 3 : Hệ phương trình
Bài 1 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I. Lí thuyết :
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn x,y là hệ thức dạng: ax  by  c 1 trong đó a, b, c là
các số đã biết ( a  0 hoặc b  0 ).
 Nếu x , y thoả 1 thì cặp số (x ; y )là một nghiệm của phương trình 1 . 0 0 0 0
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, mỗi nghiệm của 1 được biểu diễn bởi một điểm.
Nghiệm (x ; y ) được biểu diễn bởi điểm (x ; y ) . 0 0 0 0
2. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a
 x  b y  c
Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 1 1 1  . (I) a x  b y   c 2 2 2
 Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung (x ; y ) thì (x ; y ) là một nghiệm của 0 0 0 0 hệ (I)
 Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì hệ (I) vô nghiệm.
3. Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai
đường thẳng (d ) : a x  b y  c và (d ) : a x  b y  c . 1 1 1 1 2 2 2 2    a b
Nếu (d ) cắt (d ) cần 1 1  
 thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất. 1 2  a b 2 2     a b c
Nếu (d ) // (d ) cần 1 1 1   
 thì hệ (I) vô nghiệm. 1 2  a b c 2 2 2     a b c
Nếu (d )  (d ) cần 1 1 1   
 thì hệ (I) có vô số nghiệm. 1 2  a b c 2 2 2 
4. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. d và f trùng nhau d và f song song d và f cắt nhau 3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 II. Bài tập
Bài 1 : Tìm nghiệm của các phương trình sau bằng cách ghép : 3x  2y  1 2;2  ……………… 1; 3 2
 x  y  5 ……………… ……………… 3
 y  x  4  7  2;      2 
Bài 2 : Dựa vào sự tương giao giữa hai đường thẳng hãy đoán nghiệm của các hệ phương trình sau :
2x  y  1
3x  y  1 ❶ 
…………………………. ❷ 
………………………….. x  y   2 6x  2y   3
Giải thích : …………………………..............
Giải thích : ……………………………………..
………………………………………..………..
………………………………………..…………...
…………………………………………………
…………………………………………………….
…………………………………………………
…………………………………………………….
 2x  y  1     ❸  ……………………… 3x 0y 1
4x  2y   ❹  2 
………………………….. 2  x  y   9
Giải thích : …………………………..............
Giải thích : ………………………….................
………………………………………..………..
………………………………………..………..…
…………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………
……………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 4 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương pháp cộng đại số I. Lí Thuyết :
1. Phương pháp thế : Chú ý : Khi biểu diễn Từ PT (1) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia thì một ẩn theo ẩn kia chọn phương trình khi
rút ẩn mà HỆ SỐ TRƯỚC ẨN BẰNG 1 Thế ẩn đó và phương trình (2) Kết luận Giải phương trình một ẩn để tìm x và y
Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau :
3x  y  2
 x  y  2 ❶  ❷  6x  2y  1   3x  2y   5
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………...
…………………………………………………...
Cách kiểm tra xem bạn đã giải hệ phương trình đúng hay sai ??????
DÙNG MÁY TÍNH CASIO ẤN MODE 5 1 VÀ NHẬP HỆ SỐ 5
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
2. Phương pháp cộng đại số : Kết luận Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình được phương trình Nhân 2 vế của mỗi mới rồi tìm x và y phương trình với 1
số để hệ số trước 1 ẩn của 2 phương trình bằng nhau
Bài 4 : Giải các hệ phương trình sau :
 4x  y  6
2x  3y  1  ❶  ❷   x  y  5   3x  2y   5
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………... …………………………………………………...
…………………………………………………………...
Bài 5 : Giải hệ phương trình sau bằng hai cách :
x  6y  17 ❶  5x  y   23 Lời giải :
x  6y  17
x  6y  17 Cách 1 :  Cách 2 :  5x  y   23   5x y 23
.………………………………………………………… .…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 6 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
 2x  5y  3 ❷  3x  2y   14 Lời giải :
 2x  5y  3
 2x  5y  3 Cách 1 :  Cách 2 :  3x  2y   14   3x 2y 14
.………………………………………………………… .…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
.………………………………………………………… 7
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
.…………………………………………………………
.…………………………………………………………
Trong 2 cách giải thì cách nào tối ưu hơn :
 Khi nào nên áp dụng cách 1 : Hệ số trước x hoặc y bằng 1 vì khi rút ẩn sẽ không có phân số .
 Khi nào nên áp dụng cách 2 : Hệ số trước x hoặc y khác 1
( Gợi ý : Hệ số trước x,y ) Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
4x  3y  6
2x  3y  2
7x  4y  74 1.  2.  3.  2x  y   0 3x  2y  3   3x  2y   32
5x  2y  4
 x  2y  7
 x  3y  6 4.  5.  6. 
6x  3y    7 2x  y  4   2
 x  4y  12  
 x  3y  2
2x  y  4 3x+y  3  7.  8.  9.  2  x  5y   1 x  y   2 x  y   2
x  3y  1
 2x  y  6
3x  4y  2 10.  11.  12.  x  5y   2 2x  3y   8 5x  2y   14
Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :  2x  3
x  y 2  y 5x 2y x  y         19  1. 3  2 5 2.  3. 3 5  2  9y  x y 3y x  4y         2 4x 21 7 4 5  2
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 8 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 3 : Rút gọn đưa về dạng cơ bản
I. Lý thuyết : II. Bài tập :
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau : (
 3x  2)(2y  3)  6xy a. 
(4x  5)(y  5)   4xy Thu gọn phương trình
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… Giải hệ bằng
…………………………………………………………… thế hoặc cộng đại số
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… Kế
…………………………………………………………… t luận nghiệm hệ
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
2(x  y)  3(x  y)  7 2y  5x y  27 b.   5    2x
(x  y)  2(x  y)   5  c. 3 4  x  1 6y  5x   
………………………………………………………… y  3 7
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………………
………………………………………………………… ……………………………………………………………
…………………………………………………………… 9
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………
Bài 4 : Phương pháp đặt ẩn phụ I. Lí thuyết : ĐK của Hệ Giải hệ phương trình Đặt ẩn phụ - ĐK Giải hệ và áp ĐK Kết luận
Bài 1 : Giải hệ phương trình : 1 1    6 5 2    3   x y  x y a.  b.  3 4    9 10 8     1 x y x y
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 10 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………… 2 1    1 1 1 2       x y  x y 2 c.  (HN, 2013) d.  6 2    10 1 1     1 x y  x y
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Bài 2 : Giải hệ phương trình :  1 1    4 9 2    1   x  2 y  1 2x  1 y  1 a.  b.  2 3    3 2 13 1    x  2 y   1
2x  1 y   1 6 11
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………  4 1   
2x  y    5  x 1 4
x  y y  1 d.  (HN - 2015) c. 
HN, 2014 x y  3 x1  5  1 2    1 x  y y   1
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 12 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
 x 3 2 y 1  2  7 4   e.  3     
2 x  3  y  1  4  x 7 y 6 f.  5 3    1
…………………………………………………………  x 7 y  6 
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………… 13
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải hệ phương trình sau :  1 1 1    4 5    2   x y 24
 x  3 y  1 a.  b.  2 3   5 1 29    x y
 x  3 y   1 20 8 1    1 1 1    2   x y  12
x 1 y  2 c.  d.  1 5    2 3 3     1 x y   12
 y  2 x   1  3x 2 2    7
 x  13y  39  4  f.  x  1 y  2 2    e.  5x 11y 33 2x 1    5 x 1 y   2 2 2 2x  3y  8 2 2 3x  y  5 g.  h.  2 2 3x  7y  4 2 2
x  3y  1
3 x  y  5
3 x  2 y  6 i.    j. 
2 x  3 y  18  9  x  y   2  2 1   2   2 x  2x    3  y 1 0
 x  2y y  2x l.  k.  3   2
x  2x  2 y  1  7  0 4 3    1
 x  2y y   2x
2x32y  4  4xy 3 54 1 1 m. 
(x  2)(y  3)  xy  50 
 x  13y  3  3y x  1   12 n. 2 2  1 1
 xy  (x  2)(y  2)  32 2 2
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 14 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Giải và biện luận hệ phương trình I . Lí thuyết :  b   VN a 0  0( ) b   0(VSN) Tìm y theo Phương trình bậc nhất x thay vào phương ax  b trình 2  b
a 0  x   a nghiệm duy nhất II . Bài tập :
Bài 1 : Giải và biện luận hệ phương trình :
mx  y  3m (1)
mx  2y  m (1) a.  b. 
4x  my  m   10 (2)
2x  y  m   1 (2)
….…………………………………………………….
….…………………………………………………
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….…………………………………………………..
….…………………………………………………….
….……………………………………………………. 15
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
….…………………………………………………….
mx  y  1 (1)
 mx  y  2m (1) c.  d.  4mx  my   2 (2)
x  my  m   1 (2)
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….………………………………………………….
….…………………………………………………….
….…………………………………………………….
….…………………………………………………….
Bài 6 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước I. Lí thuyết : Tìm ;
x y theo m như dạng 3 Loại 1 : Loại 2 : Loại 3 : Loại 4 : thỏa mãn biểu thức thảo mãn biểu thức
Tìm biểu thức độc lập Tìm m để ; x y nguyên
ax  by  c
x  a; y  b ;
x y không phụ thuộc m
ax  by  c
 Tìm m để x nguyên  Thay ;
x y và tìm  Giải bất
phương  Nhân 2 vế của phương  Thay giá trị đó vào m trình tìm m thỏa mãn trình ;
x y với số để khử
y để tìm y nguyên   Đối chiếu điều
Kết hợp và đối chiếu m  Kết luận kiện điều kiện
 Ra biểu thức liên hệ   Kết luận Kết luận  Kết luận II. Bài tập :    Bài 1 : mx 4y 9 (1)
Cho hệ phương trình:  x  my   8 (2)  9 
a. Tìm m để hệ có nghiệm x; y =  8;   4 
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 16 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
b. Tìm m để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn : x  y  0 38
c. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn có nghiệm duy nhất x; y : 2x  y   3 2 m  4 Lời giải :
a. …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
b. ………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
c. ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………… 17
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
3x  my  9  1
Bài 2 : Cho hệ phương trình  mx  2y   16 2
a. Tìm m để hệ có nghiệm x; y  2; 3
b. Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c. Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc
phần tư thứ II trên mặt phẳng tọa độ Oxy
d. Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm x; y thỏa mãn : x  y  5 Lời giải :
a. ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. II I
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………… III IV .
b. ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
c. …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 18 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
d. …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà    Bài 1 : mx y 2m
Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau :  x  y   2    Bài 2 : 3x 2y m (1)
Cho hệ phương trình :  có nghiệm duy nhất x  my   3 (2)
a. Giải hệ phương trình với m  1  .
b. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x  0 và y  0 .     Bài 3 : mx 2y m 1
Cho hệ phương trình :  có nghiệm duy nhất
2x  my  2m   1
a. Tìm m để hệ có nghiệm 2;1 . 19
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
b. Tìm biểu thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m .
c. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên . Bài 7 : Ôn tập Bài 1 : Tìm , m n
1mx2nymn1  0 a.  có nghiệm 1; 2 m  n 
xmny3   0 Lời giải :
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
2m1xn 2y  1  b.  có nghiệm  2  ; 3
nx  3my  0 Lời giải :
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
m2x5ny   25 c.  có nghiệm 3; 1   2mx   n2y   5 Lời giải :
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 20 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
a3   Bài 2 : x y 2
Cho hệ phương trình : 
 ax  2y  8
a. Giải hệ phương trình với a  2
b. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn : x  0; y  0
c. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn : 2x  y  0
d. Tìm a để hệ có nghiệm nguyên Lời giải :
a. ……………………………………………………… c. ……………………………………………………
…………………………………………………..
………………………………………………………..
…………………………………………………..
………………………………………………………..
…………………………………………………..
………………………………………………………..
..…………………………………………………
………………………………………………………..
…………………………………………………..
………………………………………………………..
…………………………………………………..
………………………………………………………..
b. ..………………………………………………...
………………………………………………………..
..…………………………………………………
………………………………………………………..
..…………………………………………………
d. …………………………………………………...
..…………………………………………………
…..……………………………………………………
..…………………………………………………
…..……………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
..…………………………………………………
Khi giải x nguyên và y nguyên thì
..………………………………………………… ta cần chú ý :
..…………………………………………………
❶ Chọn giải x hoặc y mà tìm giá trị
..………………………………………………… nguyên đơn giản trước
..…………………………………………………
❷ Thay giá trị m tìm được vào x hay y
..………………………………………………… còn lại
..………………………………………………… ❸
Không giải đồng thời tìm x và y
..………………………………………………… nguyên cùng một lúc 21
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
..…………………………………………………
..…………………………………………………
m1   Bài 3 : x y m Cho phương trình : 
có nghiệm duy nhất x; y x   m1y   2
a. Giải hệ phương trình với m  4
b. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn 2 2x  7y  1
c. Tìm m để hệ có nghiệm x; y thuộc góc phần tư thứ II
d. Tìm hệ thức liện hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m 2x  3y
e. Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên . x  y Lời giải :
a. …………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
c. …………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 22 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
d. …………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
e. …………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………….. Bài tập về nhà
m 2   Bài 1 : x 2y 5
Cho hệ phương trình :  hệ có nghiệm duy nhất  mx  y  1
a. Giải hệ phương trình với m  1
b. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x  3y  1
c. Tìm m để hệ có nghiệm là các số nguyên 2    Bài 2 : mx y m
Cho hệ phương trình :  hệ có nghiệm duy nhất 2
2x  my  m  2m  2
a. Tìm m để hệ có nghiệm x; y   1  ; 2   23
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
b. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x  0; y  1
c. Tìm m để biểu thức 2
A  x  3y  4 đạt GTNN
CHƯƠNG 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1 : Tìm hai số I. Lí thuyết : ❶
Bước 1 : Gọi hai số cần tìm là ;
x y ( Điều kiện 2 số đó ) ❷
Bước 2 : Dựa vào đề bài để tìm mối liên hệ giữa ;
x y để ra hệ phương trình . 1.
Tổng ST1 và 2 lần ST2 là 20 x  2y  20 2. ST1 lớn hơn ST2 là 15 x  y  15 3. ST1 gấp 2 lần ST2 x  2y 4. Số có 2 chữ số
xy  10x  y 5. Số có 3 chữ số
xyz  100x  10y  z 6.
Số ngược số 2 chữ số
yx  10y  x ❸
Bước 3 : So sánh điều kiện và kết luận II. Bài tập :
Bài 1 : Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ nhất cộng với 3 lần số thứ hai bằng 1800 và 3 lần số thứ
nhất hơn 2 lần số thứ hai là 500 . Lời giải :
 ………………………………………………………………... Kẻ bảng :
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………... ST1 ST2
………………………………………………………………...
………………………………………………………………... Lần 1
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………... Lần 2
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
…………………………………………..
 ………………………………………………………………...
…………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 24 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
 ………………………………………………………………...
…………………………………………..
Bài 2 : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó. Nếu
viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị. Lời giải :
 ………………………………………………………………... Kẻ bảng :
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
CHÚ Ý : HS LÀM ĐÚNG – ĐẦY ĐỦ
 ………………………………………………………………... CÁC BƯỚC
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
 ………………………………………………………………...
Bài 3 : Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được một
số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị. Lời giải :
 ………………………………………………………………... Kẻ bảng :
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………... 25
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
 ………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
 ………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
………………………………………………………………...
…………………………………………..
 ………………………………………………………………...
…………………………………………..
Bài 2 : Toán liên quan đến hình học I. Lí thuyết : ❶
Bước 1 : Gọi hai đại lượng cần tìm là ;
x y ( Điều kiện 2 số đó ) ❷
Bước 2 : Dựa vào dữ kiện đầu bài cho lập hệ phương trình và giải hệ phương trình ❸
Bước 3 : Đối chiếu điều kiện và kết luận II . Bài tập
Bài 1: Một HCN có chu vi 180m . Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng
chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 2 385m .
Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất Lời giải : Kẻ bảng : Chiều Chiều Diện tích Chu vi dài rộng Lúc đầu Lúc sau
 ……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 26 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………………
……………………………...
 ……………………………………………………………………………
……………………………...
……………………………………………………………………………
……………………………...
……………………………………………………………………………
……………………………...
……………………………………………………………………………
……………………………...
 ……………………………………………………………………………
……………………………...
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………
Bài 2 : Một thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 5m và tăng chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng thêm 2
242m . Nếu cùng giảm chiều dài 2
3m và chiều rộng đi 2 2m thì diện tích giảm đi 2
108m . Tính diện tích của thửa ruộng đó ? Lời giải : Kẻ bảng :
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 ………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………… 27
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………………………………
Bài 3 : Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 3cm và 2cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 2
81cm . Nếu giảm cả hai cạnh này đi 4cm thì diện tích sẽ giảm đi 2
126cm Tình hai cạnh góc vuông của tam giác. Lời giải : Kẻ bảng :
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 ………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
 ………………………………………………………………………………………………………………… Bài tập về nhà
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 28 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và thêm
25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm .
Bài 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị
là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 782 .
Bài 3 : Có hai số tự nhiên, biết rằng : tổng của hai số bằng 65 ; bốn lần số này lớn hơn hai lần
số kia là 50 . Tìm hai số đó .
Bài 4 : Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 12 ; tích hai chữ
số ấy nhỏ hơn số đã cho là 16 . Tìm số đã cho .
Bài 5 : Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , diện tích bằng 2
24cm . Tìm độ dài các cạnh góc vuông .
Bài 6 : Một mảnh vường HCN có diện tích 2
360cm . Nếu giảm chiều dài thêm 5m và tăng
chiều rộng 6cm thì diện tích mảnh vườn không đổi . Tính chu vi của mảnh vườn .
Bài 7 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 116m .Nếu tăng chiều dài thêm 4m ,chiều
rộng thêm 7m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 2
356m .Tính chiều dài ,chiều rộng của mảnh đất. 29
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3 : Bài toán chuyển động I. Lí Thuyết : Công thức : S = v . t Trong đó :
 s : quãng đường đi được (km, m, …)
 t : thời gian đi hết quãng đường s (giờ, s, . ) Chú ý :
 v : vận tốc của chuyển động (km/h, m/s, …). I. Bài tập :
Đề bài hỏi gì thì các em Bài 1 :
gọi đại lượng đó là ẩn
Hãy hoàn thành bảng sau : S (km) v (km/h) t (h) Xe ôtô số 1 200 40 Xe ôtô số 2 75 3h20 phút Đổi 3h15’ Xe ôtô số 3 324 2 phút =…………… h Xe ôtô số 4 52 3h15 phút
Bài 2 : Một người đi ôt ô từ A đến B với vận tốc trung bình là 50 km/h . Khi đến B người đó nghỉ
30 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 65 km/h . Tính quãng đường AB biết rằng
thời gian cả đi lẫn về là 11 giờ 30 phút . Lời giải : Nghỉ 30 Lượt đi : phút v = 50 km/h ; t = ? A B Tổng thời gian v = 60 km/h ; t = ? đi và về : 11giờ 30 phút A B
 ……………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 30 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
 ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. S V T
 ………………………………………………………………. A đến B
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. B về A
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………...
……………………………………………………………….
……………………………………………...
……………………………………………………………….
……………………………………………...
……………………………………………………………….
……………………………………………...
 ……………………………………………………………….
……………………………………………...
……………………………………………...
Bài 3 : Một người đi ôtô từ A đến B cách nhau 180 km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một người đi xe
máy cũng đi từ A và đến B muộn hơn 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của
ôtô gấp 2 lần vận tốc xe máy . Lời giải : Lượt đi : S = 180 km ; t = ?; v = ? A B
Đến muộn hơ n ôtô 30 phút
S = 180 km ; t = ? ; v = ? A B Đi sau 1 h30 phút
 ……………………………………………………………..  Kẻ bảng :
 ……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. S V T
 ……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. Ô tô
…………………………………………………………….. Xe máy
……………………………………………………………..
 ……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
………………………………………………….. 31
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
…………………………………………………. 
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
………………………………………………….
 ……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………….
 ……………………………………………………………..
………………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
Bài 4 : Hai địa điểm A , B cách nhau 240 km . Lúc 6h45 phút một người đi ô tô từ A với vận tốc
70 km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe máy từ B về A với vận tốc 30 km/h . Hỏi đến mấy giờ họ
gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km . 2h sau Lời giải : V = 70km/h V = 30 km/h Chỗ gặp nhau 6h45 phút khởi hành của 2 xe
 ……………………………………………………………..  Kẻ bảng :
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. S V T
…………………………………………………………….. Ô tô
…………………………………………………………….. Xe máy
 ……………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 32 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………. 
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………. 
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
………………………………………………. 
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
…………………………………………………………… ..
……………………………………………….
…………………………………………………………….. 
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 5 : Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 24
phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km.Tính vận tốc mà người đó dự định đi,biết
quãng đường AB dài 80 km. Lời giải :
 ……………………………………………………………..  Kẻ bảng :
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. S V T
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
 ……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
………………………………………………. 33
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 6 : Một người đi xe máy từ A đến B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B 7
đến A với vận tốc bằng vận tốc của người thứ nhất . Sau 3 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi 8
người đi cả quãng đường bao xa , biết quãng đường AB dài 225 km . Lời giải :
 ……………………………………………………………..  Kẻ bảng :
……………………………………………………………..
…………………………………………………………….. S V T
……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
 ……………………………………………………………..
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
 ……………………………………………………………..
……………………………………………….
……………………………………………………………..
……………………………………………….
………………………………………………. Bài tập về nhà :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 34 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 140 km .Mỗi giờ ô
tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 25 phút .Tính
vận tốc của mỗi ô tô .
Bài 2 : Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định . Nếu vận tốc tăng thêm 15
km/h thì đến sớm 1 giờ , nếu giảm vận tốc đi 12 km/h thì đến muộn 2 giờ.Tính vận tốc dự
định và thời gian dự định.
Bài 3 : Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 135 km với vận tốc định trước
.Đến B người đó nghỉ lại 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là
15 km/h. Người đó về đến A lúc 14 giờ 30 phút .Tính vận tốc dự định của người đi xe máy.
Bài 4 : Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 40 km,đoạn xuống dốc dài 50 km .Một
người đi xe máy từ A đến B hết 3 giờ 30 phút và đi từ B về A hết 3 giờ 15 phút (vận tốc lên dốc
lúc đi và về như nhau ,vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau).Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 5 : Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78 km . Sau đó 1 giờ,người thứ hai đi từ B
đến A . Hai người gặp nhau tại C cách B là 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi
hành đến lúc gặp nhau ,biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.
Bài 6 : Một ô tô dự định từ A đến B cách nhau 180km trong một thời gian nhất định . Sau khi
đi được 1 giờ ô tô bị chắn bởi xe hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc
thêm 6km/h nữa . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô . 35
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Bài toán chuyển động trên dòng nước I. Lí Thuyết : V xuôi dòng = V thuyền
V xuôi dòng = V thuyền + V dòng nước
V ngược dòng = V thuyền - V dòng nước I. Bài tập : nươc Bài 1 : Chú ý :
Hãy hoàn thành bảng sau :
Khi giải dạng bài này thường gọi ẩn là VẬN TỐC
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 36 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt S (km) v (km/h) v (km/h) t (h) t (h) Đại Lượng Xuôi Ngược Xuôi Ngược Vận tốc ca nô : 30km/h 224
Vận tốc dòng nước : 2km/h Vận tốc ca nô : 44km/h 72
Vận tốc dòng nước : 4km/h Vận tốc ca nô : 55km/h 377
Vận tốc dòng nước : 3km/h Vận tốc ca nô : 48km/h 143
Vận tốc dòng nước : 4km/h
Bài 2 : Một ca nô xuôi dòng 1 quãng sông dài 55 km, rồi ngược dòng quãng sông 54 km mất 5h
30 phút . Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 33 km rồi ngược dòng 36 km thì hết
3h30phút . Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước? Lời giải :
 ………………………………………………………….  Kẻ bảng :
 ………………………………………………………….
…………………………………………………………. S V T
…………………………………………………………. Xuôi 1
 …………………………………………………………. Ngược 1
………………………………………………………….
 …………………………………………………………. Xuôi 2
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Ngược 2
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
……………………………………………………… 37
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
Bài 3 : Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi . Biết thời gian
ca nô xuôi 5 km bằng thời gian ngược 4 km.Tính vận tốc dòng nước. Lời giải :
 ……………………………………………………….  Kẻ bảng :
 ………………………………………………………….
…………………………………………………………. S V T
………………………………………………………….  Xuôi 1
………………………………………………………….
………………………………………………………….
 …………………………………………………………. Ngược 1
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Xuôi 2
 ………………………………………………………….
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Ngược 2
………………………………………………………….
 ………………………………………………………….
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Làm thế nào
…………………………………………………………. nhỉ
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 38 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 4 : Một ca nô đi xuôi dòng 54 km rồi ngược dòng 48 km .Biết rằng thời gian xuôi ít hơn thời
gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6 km/h . Tính vận tốc của ca nô lúc ngược dòng. Lời giải :
 ………………………………………………………….  Kẻ bảng :
………………………………………………………….
…………………………………………………………. S V T
…………………………………………………………. Xuôi
 …………………………………………………………. Ngược
………………………………………………………….
………………………………………………………….
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
Bài 5 : Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 6 giờ một chiếc ca nô chạy từ bến
sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 40km . Hỏi vận tốc của thuyền ,
biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 15 km/h. Lời giải :
 ………………………………………………………….  Kẻ bảng :
………………………………………………………….
…………………………………………………………. S V T  Thuyền
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Ca nô
………………………………………………………….
………………………………………………………….
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
……………………………………………………… 39
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………
Bài 6 : Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ A đến B. Ca nô 1 chạy với vận tốc 25 km/h,
ca nô 2 chạy với vận tốc 40 km/h.Trên đường đi canô 2 dừng lại 1 giờ 30 phút, sau đó tiếp tục
chạy với vận tốc như cũ và đến bến B cùng lúc với canô 1. Tính chiều dài quãng sông AB ( cho
biết vận tốc dòng nước không đáng kể). Lời giải :
 ………………………………………………………….
 ………………………………………………………….
 ………………………………………………………….  Kẻ bảng :
 …………………………………………………………. S V T
…………………………………………………………. Ca nô 1
………………………………………………………….
…………………………………………………………. Ca nô 2
………………………………………………………….
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
……………………………………………………… 
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 40 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
………………………………………………………….
………………………………………………………
 …………………………………………………………. ………………………………………………………
………………………………………………………
……………………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 70 km và ngược dòng 50 km mất 4 giờ. Nếu ca nô
xuôi dòng 84 km và ngược dòng 75 km thì mất 5 giờ 24 phút .Tính vận tốc riêng của ca nô và
vận tốc của dòng nước.
Bài 2 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 35 km , cùng lúc đó
cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4km/h . Khi đến B ca nô quay lại ngay và
gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 10 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 3 : Một bè nứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nước)và một ca nô đồng thời rời bến A
để xuôi dòng sông .Ca nô xuôi dòng được 96 km thì quay ngay lại A .Cả đi lẫn về hết 14 giờ
.Trên đường quay về A khi còn cách A là 24 km thì ca nô gặp chiếc bè nứa nói trên .Tính vận
tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Bài 4 : Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định . Nếu vận tốc ca nô tăng 10
km/h thì đến nơi sớm hơn 30 phút .Nếu vận tốc ca nô giảm 20 km/h thì đến nơi chậm 2 giờ 30
phút .Tính chiều dài khúc sông AB .
Bài 5 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 40 km/h, Ca nô
II chạy với vận tốc 60 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 1 giờ 20 phút, sau đó chạy tiếp.
Tính chiều dài quãng đường AB , biết hai cô nô đến nơi cùng một lúc. 41
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 5 : Làm chung – làm riêng I. Lí Thuyết : A = N.t CHÚ Ý : Trong đó : ❶
A : Khối lượng công việc Nếu coi toàn bộ công việc là 1. ❷ N : Năng suất thời gian hoàn thành ❸ t : thời gian công việc là x 1 Thì năng suất là (cv) x II. Bài tập :
Bài 1 : Ghép các ô để được biểu thức đúng : 3 1 giờ 45 phút 5 giờ giờ 2 giờ 15 phút 4 2 45 phút 9 7 giờ 2 giờ 30 phút giờ 4 4
Bài 2 : Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất
chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được 40% bể. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể? Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
 ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. Vòi 1 Vòi 2 2 Vòi
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. TGHTCV
 ………………………………………………………………. Ns 1h
………………………………………………………………. Ns 2h
………………………………………………………………. Ns 3h
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 42 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 5h rồi dừng lại, 23
sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 4h nữa thì
bồn . Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước 24
trong 3h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 3h nữa thì số nước chảy vào thì đầy bồn. Hỏi nếu chảy
1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn? Lời giải :
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ………………………………………………………………. 43
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
Bài 4 : ( Tuyển sinh vào 10 – 2012 ) 12
Hai người làm chung một công việc thì
giờ thì xong . Nếu mỗi người làm một mình thì 5
thời gian để hoàn thành công việc của người thứ nhất ít hơn người thứ hai là 2 giờ . Hỏi nếu
làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi người là bao nhiêu . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 44 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………. 
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
Bài 5 : Nếu hai vòi chảy nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30
phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 20 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp
trong 15 phút thì sẽ được 20% bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………. 45
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
Bài 6 : Hai vòi nước chảy vào bể thì sau 2 giờ 24 phút thì đầy . Nếu chảy cùng một thời gian 1 1
như nhau thì lượng nước của vòi 2 bằng lượng nước của vòi 1 chảy được . Hỏi mỗi vòi chảy 2 3
riêng thì sau bao lâu thì đầy bể Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………. 
……………………………………………………………….
……………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 46 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Hai người thợ cùng làm việc trong 3 giờ 20 phút thì xong . Nếu người thứ nhất làm 2 giờ 4
và người thứ hai làm 4 giờ thì họ làm được
công việc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong 5 mấy giờ thì xong .
Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 2 giờ 40
phút . Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được nửa bể. Nếu vòi thứ nhất 5
chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi 6
vòi chảy một mình đầy bể
Bài 4 : Hai tổ cùng làm chung công việc trong 4 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 2 giờ
thì tổ 1 đc điều đi làm việc khác , tổ 2 làm nốt trong 2 giờ 30 phút thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ
làm riêng thì trong bao lâu xong việc.
Bài 5 : Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 2 giờ sau đó tổ 1 5
đi làm việc khác và tổ 2 làm tiếp trong 2 giờ thì hoàn thành được
mức khoán . Nếu để tổ 1 làm 6
trong 4 giờ và tổ 2 làm trong 2 giờ 40 phút thì hoàn thành công việc . Hỏi mỗi tổ làm riêng thì
mỗi tổ phải làm trong bao lâu ? 47
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 6 : Làm chung – làm riêng I. Lí Thuyết : A = N.t Trong đó : ❶
A : Khối lượng công việc (sản phẩm) ❷
N : Năng suất ( sản phẩm/ngày) ❸ t : thời gian ( ngày) II. Bài tập :
Bài 1 : ( Tuyển sinh vào 10 – 2010 )
Hai tổ cùng may một loại áo , Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày , tổ thứ 2 may trong 5 ngày
thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo . Biết trong một ngày tổ thứ 1 may được nhiều hơn tổ thứ
2 là 10 chiếc áo . Hỏi số áo may trong một ngày ( năng suất ) của mỗi tổ . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
Bài 2 : (Tuyển sinh vào 10 – 2008 )
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 48 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy .Tháng thứ hai thì tổ 1 vượt mức 15% ,
tổ 2 vượt 10% so với tháng thứ nhất . Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 sản phẩm . Hỏi tháng
thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy . Lời giải :
 ……………………………………………………………  Kẻ bảng :
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………… 
……………………………………………………………
……………………………………………………………
 ……………………………………………………………
…………………………………………………………… Nếu tăng
…………………………………………………………… vượt mức
…………………………………………………………… x% nghĩa là :
……………………………………………………………
……………………………………………………………  100 x 100 + x
…………………………………………………………… = + = 100 100 100
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
 …………………………………………………………....
…………………………………………………………… …………………………………………………….
…………………………………………………………… …………………………………………………….
…………………………………………………………… …………………………………………………….
Bài 3 : Theo kế hoạch , một tổ công nhân phải sản xuất 540 sản phẩm . Đến khi làm việc , do
phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm thêm nhiều hơn
dự định 2 sản phẩm . Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân . Biết rằng năng suất lao động
mỗi công nhân là như nhau . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. 
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. 49
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 4 : Một đội xe cần chuyên chở 42 tấn hàng . Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm
8 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 3 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết
rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 50 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………….
Bài 5 : Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người . Dân số tỉnh A năm nay tăng
1,2% , còn tỉnh B tăng 1,1 %. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người . Tính số
dân cảu mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay . Lời giải :
 ……………………………………………………………….  Kẻ bảng :
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
 ……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. 
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………………………. 
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
………………………………………………………………. 51
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
……………………………………………………………….
……………………………………………….
 ………………………………………………………………. ……………………………………………….
……………………………………………………………….
………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 850 sản phẩm . Sang tháng thứ hai tổ 1 vượt 20%
, tổ 2 vượt 15% . Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 970 sản phẩm . Tính xem trong
tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm .
Bài 2 : Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 40 tấn cá , nhưng đã
vượt mức được 10 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà
còn vượt mức kế hoạch 50 tấn . Tính mức kế hoạch đã định .
Bài 3 : Một xí nghiệp đóng giày dự định hoàn thành kế hoạch trong 50 ngày . Nhưng do cải
tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 3 000 đôi giày do đó chẳng những hoàn thành kế
hoạch đã định trong 45 ngày mà còn vượt mức 500 000 đôi giày . Tính số đôi giày phải làm theo kế hoạch.
Bài 4 : Hai đội bóng bàn của trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội
A phải lần lượt gặp các đấu thủ của đội B 1 trận và tổng số trận đấu gấp đôi số đấu thủ của
hai đội. Tìm số đầu thủ của mỗi đội, biết rằng đội A nhiều hơn đội B 3 người.
Bài 5 : Trong một buổi liên hoan , một lớp khách mời 15 khách đến dự . Vì lớp đã có 40 học
sinh nên phải kê thêm 1 dạy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm 1 bạn nữa mới đủ chỗ
ngồi . Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người .
Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế .
Bài 6 : Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại thứ nhất ,
mỗi thuyền chở được 5 em và loại thứ 2 chở được 7 em mỗi thuyền . Hỏi số thuyền mỗi loại ?
Bài 7 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô . Mỗi xe chở 22 học sinh thì còn thừa 1
học sinh . Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể xếp đều các học sinh trên các ô tô còn lại . Hỏi lúc đầu
có bao nhiêu ô tô , bao nhiêu học sinh . Mỗi xe chở không quá 32 học sinh .
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 52 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
CHƯƠNG 5 : Phương trình bậc hai Bài 1 : Hàm số 2 y = ax I. Lí thuyết : ❶ Tính chất hàm số :
x  0 : Hàm số đồng biến ❶
y  0; x  0 thì GTNN
của hàm số y  0 a  0
x  0 : Hàm số nghịch biến ❷
Đồ thị phía trên trục Ox 2 y  ax  a  0
x  0 : Hàm số nghịch biến ❶
y  0; x  0 thì GTLN a  0
của hàm số y  0
x  0 : Hàm số đồng biến ❷
Đồ thị phía dưới trục Ox ❷ Đồ thị : 2
y  ax với a  0 2
y  ax với a  0 ❸
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2
y  ax a  0 Bước 1 : Hàm số 2
y  ax a  0 xác định x  R .
Bước 2 : Tính biến thiên: phụ thuộc vào a  0 (hoặc a  0 )
Bước 3 : Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm trong đó có điểm O 0; 0
Bước 4 : Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số 2
y  ax a  0 là một đường cong parabol II. Bài tập Bài 1: Cho hàm số 2
y  3x . Hoàn thành bảng sau : 53
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bảng 1 : x 1 3 2 0 1  3 3  2 4 2 y  3x Bảng 2 : x 2
y  3x 1 27 3 9 3 5 36   4 2 4 2 Bài 2 :
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 2 y  2  x
 ………………………………………….
 ………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
 …………………………………………. x y
 ………………………………………….
 ………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
- ………………………………….......
- ………………………………….......
………………………………….......
- ………………………………….......
- ………………………………….......  1 1   2 4   1 2 
b. Xét xem các điểm sau có thuộc đồ thị không : A ;  
 ; B3;18 ; C   ;  ; D  ;     2 2   3 9   3 9 
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 54 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho 2 hàm số P : 2
y  2x và d : y  3x  1
a. Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị Lời giải :
b. …………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
………………………………………………………………… y
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Bài 4 : Cho hàm số P y   a   2 2 1 x .
a. Tìm a để hàm số đồng biến với mọi x  0 . N
b. Tìm a để hàm số nghịch biến với mọi x  0 . A M
c. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm ( A 1; 2) . 1
d. Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được. B C x
e. Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 6.
f. Tìm giao điểm của P và d y  5x  3
g. Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ. 55
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Lời giải :
a. ………………………………………………………….........................
………………………………………………………….............................
b. ………………………………………………………….........................
………………………………………………………….............................
c. ………………………………………………………….........................
…………………………………………………………............................. d.
e. ………………………………………………………….........................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
f. ………………………………………………………….........................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
g. …………………………………………………………......................... Tri Thức Nâng
………………………………………………………….............................
…………………………………………………………............................. Bước Ước Mơ
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
………………………………………………………….............................
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 56 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 5 : Cho hàm số P y   a   2 : 3 1 x
a. Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  3x  1 tại điểm A có hoành độ bằng 1 .
b. Hãy tìm trên P những điểm mà tung độ và hoành độ đối nhau .
c. Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
d. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị.
e. Tìm hàm số d : y  ax  b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A1; 2 và song song với (d). Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. c.
d. …………………………………………………………………………………………………………………. 57
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
e. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho hàm số y   2 m  m 2 2
x . Tìm giá trị của m để:
a. Hàm số đồng biến với mọi x  0
b. Hàm số nghịch biến với mọi x  0
c. Đồ thị đi qua điểm A2; 4  
d. Vẽ đồ thị với m vừa tìm được .
e. Tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng y  3  x  2
Bài 2 : Cho hàm số : P 2
: y  ax
a. Tìm a để P là hàm số bậc 2 .
b. Tìm a để P cắt d : y  3x  5 tại điểm có hoành độ bằng 2
c. Vẽ đồ thị P và d
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 58 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 2 : Phương Trình Bậc Hai I. Lí thuyết :
1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là pt có dạng: 2
ax  bx  c  0 a  0 , trong đó x là
ẩn : a,b,c là các số cho trước . 2. Cách giải : Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn 2
  b  4ac '2
'  b  ac b  2b' ❶
Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm ❶ Nếu '
  0 thì phương trình có 2 nghiệm b   b   ' ' ' '       phân biệt: x  ; x  b b   1 2 phân biệt: x ; x 2a 2a 1 2 a a ❷
Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: ❷ Nếu '
  0 thì phương trình có nghiệm kép: b '  x  x  b   1 2 x x 2a 1 2 a ❸
Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm ❸ Nếu '
  0 thì phương trình vô nghiệm II. Bài tập :
Bài 1 : Tìm các phương trình bậc 2 : 2
2x  5x  0 2 0x  5x  0 2
4  2x  x  0 5x 1  0 2 2x  1  0 2 2  
3x  3x  1  0 1 x 0
Bài 2 : Giải các phương trình sau: a. 2
5x  2x  3  32x  1  3 b. 2
2x  4x  3  ( x x  2)
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… ………………………………………………………… 59
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… c. 2
3x  x  3  (2x  1)(x  1)  3 d. 2
4x  x  2  2  (
x x  1) 10
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… ………………………………………………………… e. 2 2
4x  2x  3  2 (
x x 1)  3  x f. 2
5x  x  4(2x  3)  (
x x  2) 1
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
g. 5(2x  3)  2  (
x x  2)  3 h. 2  5x  (
x 2x  1)  2   (
x x  2)  3
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………………………… …………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Bài 3 : Tìm m để các phương trình sau : 1. 2
4x  mx  m2m  1  0 2      2. 2x
4x 3mm 2 0 a. Có nghiệm a. Có nghiệm
b. Có 2 nghiệm phân biệt
b. Có 2 nghiệm phân biệt c. Có nghiệm kép c. Có nghiệm kép d. Vô nghiệm d. Vô nghiệm Lời giải : Lời giải :
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 60 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Hệ số Hệ số ' '2
  b  ac   mm   2 4 6 2  6
 m 12m  4
………………………………………………………… a. …………………………………………………….
a. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
b. ……………………………………………………..
b. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
c. ……………………………………………………..
c. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
d. ……………………………………………………..
e. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. 3. 2
4x  2mx  1  0 4. 2
x  3m 1x 15  0 a. Có nghiệm a. Có nghiệm
b. Có 2 nghiệm phân biệt
b. Có 2 nghiệm phân biệt c. Có nghiệm kép c. Có nghiệm kép d. Vô nghiệm d. Vô nghiệm Lời giải : Lời giải : Hệ số Hệ số
……………………………………………………..
……………………………………………………..
a. ……………………………………………………
a. ……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. 61
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
……………………………………………………..
b. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
b. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
c. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
c. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
…………………………………………………….. d.
……………………………………………………
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
d. ……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
Bài 4 : Không giải phương trình hãy tìm nghiệm của các phương trình sau : a. 2
x  3x  2  0 b. 2
3x  x  4  0 NHẦM NGHIỆM NHANH c. 2
3x  5x  2  0 ❶ Nếu phương trình 2
ax  bx  c  0 a  0 có : d. 2
6x  5x  1  0 c
a  b  c  0 thì pt có 2 nghiệm là: x  1; x  1 2 e. 2
x  2(m  5)x  2m  9  0 a ❷ Nếu phương trình 2
ax  bx  c  0 a  0 có : f. 2
(m  2)x  (m 1)x  3  0 c
a  b  c  0 thì pt có 2 nghiệm là: x  1;  x   1 2 Lời giải : a
a. ……………………………………………………
b. ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
c. ……………………………………………………
d. ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
e. ……………………………………………………
f. ……………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 62 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………
Bài 5 : Cho phương trình : 2 2
x  mx  m  4m  4  0 1
a. Giải phương trình đã cho với m  2
b. Tìm m để phương trình 1 có nghiệm kép .
c. Tìm giá trị của m để phương trình 1 có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm còn lại . Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Giải các phương trình sau : a. 2
x  10x  11  0 b. 2
3x  20x  1  0 c. 2
4x  6x  7  0 d. 2
5x  7x  3  0 e. 2
7x  2x  5  0 f. 2
7  x  2x  0
Bài 2 : Cho phương trình : 2
3x  4mx  2m  2  0 1
a. Giải phương trình với m  1
b. Biện luận số nghiệm của phương trình
c. Tìm m để phương trình 1 có nghiệm x  2 và tìm nghiệm còn lại .
Bài 3 : Cho phương trình : m   2
1 x  3mx  m  2  0 1
a. Biện luận số nghiệm của phương trình
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x  3 63
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 3 : Tìm m và hệ thức vi ét I. Lí thuyết : ❶ Cho phương trình : 2
ax  bx  c  0 a  0 . Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm : Dấu nghiệm x x
S  x  x
P  x .x  Điều kiện chung 1 2 1 2 1 2 Trái dấu  P  0   0   0 P  0 Cùng dấu   P  0   0   0 P  0 Cùng dương   S  0 P  0   0
  0 S  0 P  0 Cùng âm   S  0 P  0   0
  0   0 P  0 HỆ THỨC VI ÉT b c
x  x   và x .x  1 2 a 1 2 a
Nếu  ac  0 thì suy ra u, v là nghiệm của phương trình : 2
x  Sx  P  0
(điều kiện để tồn tại u, v là 2
  S  4P  0 ) II. Bài tập :
Bài 1 : Không giải phương trình hãy tính : ❶ Cho phương trình : 2
x  6x  8  0 : ❷ Cho phương trình : 2
x  3x  6  0 :
…………………………………………………...... …………………………………………………......
…………………………………………………......
…………………………………………………......
…………………………………………………......
…………………………………………………......
a. ………………………………………………….
a. ………………………………………………….
………………………………………………….
b. ………………………………………………….
b. ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
c. ………………………………………………….
c. ………………………………………………….
………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 64 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
d. ………………………………………………….
d. ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
Bài 2 : Lâp phương trình bậc 2 :
Một số công thức nhanh :
a. x  2; x  1  1 2  ❶ x
x  x  x 2 2 2  2x x 1 2 1 2 1 2
b. x  1 2; x  1 2 1 2 2 2 ❷
x  x  x  x 4x x 1 2   1 2 c. 1 2
x  5; x  2  1 2 3 ❸ 3 3
x  x  x  x
 3x x x  x 1 2  1 2 1 2  1 2  d. 1
x  3; x   1 2 2 ❹
x  x  x  x  2x x 2  1 22 4 4 2 2 2 2 1 1 2 e. 1 2
x   ; x  1 2 4 3 1 1 x  x ❺ 1 2   x ;x  0 1 2  Lời giải : x x x x 1 2 1 2
a. …………………………………………………. 1 1
x  x 2x x 1 2 2
…………………………………………………. ❻ 1 2   2 2 2 2 x x x .x
…………………………………………………. 1 2 1 2
…………………………………………………. ❼  x  x  x  x  2 x .x x ,x  0 1 2  1 2 2 1 2 1 2
b. …………………………………………………. 2
………………………………………………….   1 1 1 1 1 ❽       x , x  0 1 2 
………………………………………………….  x x  x x 1 2 x x  1 2  1 2
………………………………………………….
c. ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
d. ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
e. ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
…………………………………………………. 65
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………….
Bài 3 : Cho phương trình : 2 2
x (m  3)x  m  2m  3  0
a. Giải phương trình với m  2
b. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
c. Phương trình có 2 nghiệm x ; x . Tìm m thỏa mãn : 2 2 x  x  2  1 2 1 2
d. Định m để phương trình có nghiệm này bằng 3 nghiệm kia . Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
d. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 66 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài 4
: Cho phương trình : 2
x  5x  m  2  0
Phương trình có 2 nghiệm
a. Giải phương trình với m  1
trái dấu  ac  0
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu .
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : 2 2 2 2
x  x  x x  x x  12 1 2 1 2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 67
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Bài tập về nhà
Bài 1 : Không giải phương trình : 2
x  7x  3  0 . hãy tính giá trị của biểu thức nghiệm : a. 2 2 x  x 1 2 1 1 b.  x x 1 2 x x c. 1 2  x x 2 1 d. 2 (x  x ) 1 2 1  x 1  x e. 1 2  x x 1 2 x x f. 1 2  x  1 x  1 2 1
Bài 2 : Lâp phương trình bậc 2 :
a. x  8; x  1  0 1 2
b. x  2; x  5 1 2 c. x  4  ; x  9  1 2 1
d. x  3; x  1 2 4 1 3 e. x  ; x   1 2 4 2
Bài 3 : Cho phương trình 2
x  3x  m  2  0
a. Giải phương trình với m  1
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  2x  5 1 2
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1 1 1 2
e. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :   x  2 x  2 3 1 2
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 68 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 4 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1 : Cho phương trình : 2
x  3mx  4  2m  0
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu .
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : x  1  x  1  3 với x  0; x  0 1 2 1 2
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : 2
x  2x  6m  3 1 2
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  1; x  1 1 2
e. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 69
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
d. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
e. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 2 : Cho phương trình : 2
x  2m  
1 x  2  m  0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm .
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài 2 cạnh của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 5
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  x  4 với x  0; x  0 1 2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 70 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
d. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho phương trình : 2
2x  m  1 x  2m  0
a. Giải phương trình với m  3 
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn : 2 2
A  x  x đạt giá trị nhỏ nhất . 1 2
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  x  4x x  3m  1 1 2 1 2
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  2x  3 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 71
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
d. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 72 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho phương trình : 2
x  2m  1 x  m  0
a. Giải phương trình với m  2  1 1
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : S   là một số nguyên . x x 1 2
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : 2 2 x  x  3  x x 1 2 1 2
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : 2x  3x  0 1 2
Bài 2 : Cho phương trình : 2
x  m  2 x  2m  0
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt nằm về 2 phía trục tung .
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : 3x x   2 2
x  x  2m  0 1 2 1 2 
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : 2 2
x  2x đạt giá trị nhỏ nhất 1 2
d. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  2; x  3 1 2 73
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 5 : Bài tập giao điểm I. Lí thuyết :
Cho phương trình đường thẳng d : y  ax  b và phương trình P 2
: y  ax  bx  c a  0
Phương trình hoành Tìm m thỏa
độ giao điểm của d Phương mãn điều kiện trình bậc 2 và P ban đầu II. Bài tập : Bài 1 : Cho parabol 2
(P) : y  x và đường thẳng d : y  mx  2. a. Với m  3
 . Tìm tọa độ giao điểm của d vàP .
b. Tìm giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ x ,x thỏa mãn 1 2
x  2x  0 . 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài 2 : 1
Cho phương trình d : y  (m  1)x  m (m là tham số) và 2 (P) : y  x 2
a. Tìm m để đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
b. Tìm m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ,x thỏa mãn 1 2 x  x  2 1 2
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 74 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Bài 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P : 2
y  x và đường thẳng d :
y  2mx  2m  1
a. Với m  2 . Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
b. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt : ( A x ; y ); (
B x ; y ) sao cho tổng các 1 2 2 2
tung độ của hai giao điểm bằng 2 . Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 75
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 2 Bài 4 : x
Cho parabol (P): y 
và đường thẳng d : y  mx  2m  1 4
a. Tìm giao điểm của (P) và d khi m  2 
b. Tìm m để (P) và d tiếp xúc
c. Chứng tỏ rằng d luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P) Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
c. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 5 : Cho parabol P 2
: y  x và đường thẳng d : y  2
 mx  4m ( m là tham số)
a. Tìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B .
b. Gọi x , x là hoành độ của A, B . Tìm m để x  x  3 . 1 2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 76 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà Bài 1 : Cho parabol 2
(P) : y  x và đường thẳng (d) : y  (2m  1)x  2m ( x là ẩn, m là tham số ) a. Khi m  2
 . Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) .
b. Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt (
A x ; y ); B(x ; y ) . Sao cho biểu thức 1 1 2 2 2 2
T  x  x  x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 Bài 2 : 1 
Cho hai hàm số: y  2x  3 và y  x  2 2
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b. Tìm toạ độ giao điểm C của hai đồ thị trên.
c. Tính diện tích tam giác ABC biết A , B lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng trên với trục tung.
Bài 3 : Cho phương trình: 2
x  2 m  1 x  m  3  0 (1)
a. Giải phương trình (1) với m  2
b. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x  2  x . 1 2 1 2 2 Bài 4 : x
Cho đường thẳng (d) : y  mx  2 và Parabol (P) : y  2
a. Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B;
b. Gọi giao điểm của đường thẳng d và trục tung là G. Gọi H và K là hình chiếu của A và B
trên trục hoành. Tìm m để diện tích tam giác GKD bằng 4.
Bài 5 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P 2
: y  x và đường thẳng d 2
y  2mx – m  m .Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x , x thỏa mãn: x  3x 1 2 1 2 77
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 6 : Bài tập giao điểm
Bài 1 : Cho parabol P 2
: y  x và đường thẳng d 2
: y  2mx  m  1 ( m là tham số) . Tìm m để
đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm Ax ; y và Bx ; y có tung độ thỏa mãn 2 2  1 1  y  y  4. 1 2 Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y  2  mx  m 1 và parabol P 2
: y  x . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x ; x sao cho 2 x  3 x  5 . 1 2 1 2 Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 78 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho Parabol P 2
: y  x và đường thẳng d 1
: y  mx  . Gọi C, D lần lượt là hình chiếu 2
vuông góc của A và B trên trục hoành. Tìm m để độ dài CD bằng 2. Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………… Muốn làm tốt dạng
……………………………………………………………………………… này : Bài 4 : 1 Cho parabol P 2 y 
x và đường thẳng d y  mx  2 HS PHẢI VẼ HÌNH 2
a. Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại 2 điểm phân biệt (
M x , y ) và N x , y với mọi m 2 2  1 1
b. Gọi giao điểm của d với Oy là A, gọi B và C lần lượt là hình chiếu của M, N trên trục
hoành. Chứng minh ΔABC vuông tại A Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. 79
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài 5 : 1 Cho parabol 2 (P) : y 
x và đường thẳng (d) : y  (m  2)x  2 . Tìm m để d cắt P tại 2 hai điểm phân biệt ( A x ; y ) ; (
B x ; y ) thỏa mãn: 1 1 2 2
a. y  y  4 1 2
b. Diện tích tam giác OAB bằng 2 5 (đvdt) Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 80 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho parabol P 2
: y  x và đường thẳng d y  m  2 : 2
– 1 x  m  2m
a. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B?
b. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Tìm m sao cho: 2 2 OH  OK  6
Bài 2 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol P 2
: y  x và đường thẳng
d: y  m1xm 4 . Tìm mđể đường thẳng dcắt Ptại2 điểm có hoành độ x ;x là các 1 2
kích thước của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 6 .
Bài 3 : Cho parabol(P): 2
y  x và đường thẳng(d) : y  2x  m (với m là tham số) trong mặt
phẳng tọa độ Oxy
a. Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
b. Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol(P)tại hai điểm phân biệt A x ; y và Bx ; y 2 2  1 1 
thỏa mãn (1 y )(1 y )  8 1 2 Bài 4 : Cho phương trình 2 2
x  4x  m  4  0 ( x là ẩn số ). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 3 2
x  x  4x . 1 2 2 1 1
Bài 5 : Cho Parabol P 2 : y  2
 x a  0 và đường thẳng d : y  2x  4m 4 . Tìm m để d cắt
Ptại hai điểm phân biệt có hoành độ x ;x thỏa mãn điều kiện 2
x  x  3. 1 2 1 2 Bài 6 : Cho phương trình 3
x  mx  2(m  4)  0. Tìm m để phương trình có 3 ngiệm phân biệt
x , x , x thỏa mãn 2 2 2
x  x  x  x x x  25 1 2 3 1 2 3 1 2 3 81
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 7 : Tổng hợp đề thi vào 10
Bài 1 : Năm học 2008 – 2009 1
Trên trục tọa độ Oxy , cho Parapol (P) có phương trình là : 2 y 
x và đường thẳng (d) 4
có phương trình : y  mx  1
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng d luôn cắt Parabol  P tại hai điểm phân biệt .
b. Gọi A , B là hai giao điểm của d và  P . Tính diện tích A
 OBtheo m ( O là gốc tọa độ ) Lời giải : a.
…………………………………………………………  Vẽ hình ……
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
b. …………………………………………………………… …….
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 82 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
………………………………………
……………………………………………………………… … ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
……………………………………………………………… ……..
Bài 2 : Năm học 2009 – 2010
Cho phương trình (ẩn x ): 2 2
x  2(m  1)x  m  2  0
a. Giải phương trình đã cho khi m  1
b. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x ; x 1 2 thoả mãn: 2 2 x  x  10 1 2 83
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ………. b.
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
…………………………………………………………………………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 84 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
Bài 3 : Năm học 2010 – 2011 : Cho parabol P : 2
y  x và đường thẳng d : y  mx  1
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt.
b. Gọi x , x lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng d và parabol P . Tìm 1 2 giá trị của m để: 2 2
x x  x x  x x  3 1 2 2 1 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ………. b.
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
………………………………………………………………………………………………………… ……….
Bài 4 : Năm học 2011 – 2012 : Cho Parabol P : 2
y  x và đường thẳng d : 2
y  2x  m  9 85
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
a. Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol P và đường thẳng d khi m  1.
b. Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol P tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 5 : Năm học 2012 – 2013 : Cho phương trình: 2 2
x (4m 1)x  3m  2m  0 ( ẩn x ) . Tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x thỏa mãn điều kiện : 2 2 x  x  7 1 2 1 2 Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Bài 6 : Năm học 2013 - 2014 1 1 Cho parabol P : 2 y 
x và đường thẳng d : 2
y  mx  m  m  1 2 2
a. Với m  1 , xác định tọa độ các giao điểm A, B của d và P .
b. Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ,x sao cho : 1 2 x  x  2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 86 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 7 : Năm học 2014 - 2015
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y  x  6 và parabol P : 2 y  x
a. Tìm tọa độ các giao điểm của d và P .
b. Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB. Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 8 : Năm học 2015 – 2016 : Cho phương trình 2
x (m  5)x  3m  6  0 ( x là ẩn số ) 87
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ; x là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác 1 2
vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 . Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Bài 9 : Năm học 2016 - 2017
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2
y  3x  m  1 và parabol P : 2 y  x
a. Chứng minh d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi m .
b. Gọi x ; x là hoành độ các giao điểm của d và P . Tìm m để (x 1)(x 1)  1 1 2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 88 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 10 : Năm học 2017 – 2018 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y  mx  5.
a. Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A0; 5 với mọi giá trị của m .
b. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P 2
: y  x tại hai điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x , x (với x  x ) sao cho x  x . 1 2 1 2 1 2 Lời giải :
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 11 : Năm học 2019 – 2020 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2
y  2mx  m  1 và parabol P : 2 y  x .
a. Chứng minh d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
b. Tìm tất cả giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ,x thỏa mãn 1 2 1 1 2     1. x x x x 1 2 1 2 Lời giải : 89
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
a. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
b. ………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 90 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
CHƯƠNG 3 : Góc và đường tròn
Bài 1 : Góc ở tâm - Số đo cung I. Lí thuyết ❶ Góc ở tâm
 Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn  Nếu 0 0
0    180 thì cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc gọi là cung lớn.  Nếu 0
  180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn.
 Kí hiệu cung AB là AB . A O A O ❷ Số đo cung
 Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB . B B
 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
 Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 0
360 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn).
 Số đo của nửa đường tròn bằng 0
180 . Cung cả đường tròn có số đo 0 360 .
Đặc biệt : Cung không có số đo 0
0 (cung có 2 mút trùng nhau). ❸ So sánh hai cung
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
 Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
 Trong hai cung , cung nào có số đo lớn hơn thì cung lớn hơn. ❹ Định lí :
Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ AB  sđ AC sđC . B I . Bài tập : D
Bài 1 : Kể tên một số góc ở tâm , cung và dây : Cung O B Góc ở tâm A E Dây C 91
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Cho đường tròn O; R và dây AB . Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi cung AB nhỏ
trong các trường hợp sau :
a. Dây AB  3R 2
b. Khoảng cách từ O đến dây AB là R 2 Lời giải :  Vẽ hình :
a. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
b. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
…………………………………
………………………………………………………………………..
Bài 3 : Cho đường tròn O; R , vẽ hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C . Biết 0 ACB  80 .
a. Tính số đo của góc ở tâm AOB .
b. Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ). Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………
b. ……………………………………………………………………. ………………………………………
……………………………………………………………………….. ………………………………………
………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 92 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………. ………………………………………
……………………………………………………………………….. ………………………………………
………………………………………………………………………. ………………………………………
……………………………………………………………………….. ………………………………………
………………………………………
Bài 4 : Cho ABC đều. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
a. Tính số đo các góc ở tâm AO ; B BOC;COA
b. So sánh các cung nhỏ AB , AC, BC Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
Bài 5 : Cho đường tròn O và dây AB . M là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây MC cắt AB tại
D . Vẽ đường vuông góc với AB tại D cắt OC tại K .
a. Chứng minh KD  
b. Chứng minh KCD  cân . Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. 93
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
Bài 6 : Cho hai đường tròn bằng nhau O;O' cắt nhau tại A , B . Kẻ các đường kính AOC và
AO’D . Gọi E là giao điểm thức hai của đường thẳng AC với O' . Chứng minh :
a. C ,B , D thẳng hàng
b. Cung nhỏ C ; B BD
c. B là điểm chính giữa cung EBD Lời giải :  Vẽ hình :
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 94 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………
………………………………………
……………………………………… Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho đường tròn O; R , vẽ hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại C . Tính số đo góc ở tâm
AOB , số số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB. Biết:
a. OC  2R
b. BC  3R
Bài 2 : Cho tam giác đều ABC . Gọi O là trung điểm của BC . vẽ nửa đường tròn O;OB cắt AB tại D và AC tại E.
a. Tính góc BOD
b. So sánh các cung BD ; DE và EC.
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có 0
ABC  30 . Gọi I là trung điểm của BC . Vẽ đường
tròn I, IB .
a. Tính số đo cung AB nhỏ .
b. So sánh cung AB nhỏ và AC nhỏ . 95
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 2 : Liên hệ giữa cung và dây I. Lí thuyết ❶
Định lí 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. B A
Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. O
Ví Dụ : AB  CD  AB  CD
AB  CD  AB  CD C D ❷ Định lí 2 :
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: A B
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. D
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. O
Ví Dụ : AB  CD  AB  CD
AB  CD  AB  CD C ❸ Bổ sung :
Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua
trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm)
thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc
với dây căng cung ấy và ngược lại. B A B I A O O D C
Ví Dụ : AB  CD  AD  BC OI  AB  IB  IA
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 96 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt I . Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường trònO . Biết 0 0
A  70 ; B  80 . Hãy so sánh
các cung nhỏ AB, AC và BC. Lời giải :  Vẽ hình :
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
Bài 2 : cho nửa đường tròn O,R. hai dây cung AB và CD song song voi nhau có độ dài lần
lượt là 40 cm , 30 cm và khoảng cách giữa hai dây là 35 cm.
a. Tính bán kính đường tròn
b. Tính độ dài cung nhỏ AC và cung nhỏ BD . Từ đó suy ra điều gì Lời giải :  Vẽ hình
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. b.
……………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
……………………………………… 97
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho ABC có AB  AC . Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ O; R
ngoại tiếp DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH ,OK xuống BC và BD
(H  BC,K  B ) D .
a. Chứng minh : BC  BD
b. So sánh OH;OK . T
ừ đó suy ra cung nhỏ BD < cung nhỏ BC. c. Nếu dây 0 BC  2 ;
R BOK  30 . Hãy tính các khoảng cách từ tâm O đến dây BC và BD . Lời giải :  Hình vẽ : a.
…………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 98 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 3 : Góc nội tiếp I. Lí thuyết : ❶ Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường
tròn đó. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. ❷ Định lí C
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. ❸ Hệ quả O Trong một đường tròn: A 1 sđAB 2 B
a. Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. 0
c. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. II. Bài tập C
Bài 1 : Hoàn thành bảng sau : AB 0 45 0 60 O AOB 0 0 28 58 ACB 0 40 0 24 A B
Bài 2 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm thuộc đường tròn sao cho cung 0 AC bằng 30 .
a. Chứng minh : CAB  3CBA
b. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau
tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của ACB . 99
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 Lời giải :  Vẽ hình :
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
…………………………………………
b. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
………………………………………………………………………... …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
………………………………………………………………………..
Bài 3 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Dây AE cắt dây BC ở D và cắt (O) ở
E. Đường cao AH cắt đường tròn (o) tại M , đường cao BK cắt đường tròn (o) ở N .
a. CM  CN b. 2 AB  A . D AE
c. AC phân giác của MAN d. . AD AE  AH.AM Lời giải :  Vẽ hình :
a. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
………………………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 100 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………….. …………………………………………
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. …………………………………………
…………………………………………
c. …………………………………………………………………….
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
…………………………………………
d. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
…………………………………………
Bài 4 : Cho ABC đều nội tiếp đường trònO; R , M là một điểm trên cung nhỏ BC, MA cắt BC
tại D. Trên AM lấy N sao cho MB  MN . Chứng minh :
b. BN  MC
a. MBN đều
d. MA  MB  MC c. 2 AB  A . D AM
101 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
e. MA  MB  MC  1 1 1 4 . R f.   MD MB MC Lời giải :  Vẽ hình
a. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
…………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
c. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
d. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
e. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 102 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
f. ……………………………………………………………………. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. …………………………………………
……………………………………………………………………….. ………………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB Trên đường tròn O lấy điểm C sao cho
BC  AC Kẻ CH vuông góc với AB tại H
a. Nếu AH  8cm, AC  20cm . Tính bán kính O và khoảng cách từ O đến CD
b. Tiếp tuyến tại C của O cắt AB tại M, CH cắt O tại điểm thứ 2 là D . Chứng minh : MD
là tiếp tuyến của O và H . A HB  H . O HM 1 1 1 c. Chứng minh :   AM OB AH Bài 2 : 0
Cho tam giác ABC cân tại A và có góc B  70 . Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB
tại D và BC tại E . So sánh số đo các cung AD, DE và EC.
Bài 3 : cho tam giác ABC vuông tại A có 0
BCA  30 . Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại
M. Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ,kéo dài BE cắt AC tại F
a. BEM  ACB
b. Tính số đo cung BM.
c. Gọi K là giao điểm của ME và AC . Chứng minh K  AM ~ K  EA .
103 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 4 : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây I. Lí thuyết : Định lí : Hệ quả :
Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và
Trong một đường tròn, góc tạo bởi
dây cung bằng nửa số đo của
tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội cung bị chắn.
tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. II. Bài tập : Góc tiếp
Bài 1 : Tìm x trong các hình sau : tuyến và dây a. A BAx A x x t O O B 300 B C c. t
………………………………………………………….. A x C
…………………………………………………………..
………………………………………………………….. 1000
………………………………………………………….. O
………………………………………………………….. t B b. A
………………………………………………………….. x
…………………………………………………………..
………………………………………………………….. 700 O
………………………………………………………….. C
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
…………………………………………………………..
………………………………………………………….. …………………………………………………………..
…………………………………………………………..
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 104 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 2 : Cho ABC vuông tại A có 0
ACB  60 . Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp
tuyến tại D cắt AC ở P.
a. Tính góc ADP
b. Chứng minh : P là trung điểm của AC Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung
AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC  C . M và 0 CMI  30 a. Tính CIO .
b. Tính độ dài cung nhỏ ID Lời giải :
a. ……………………………………………………………………..  Vẽ hình
105 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
Bài 4 : Lấy điểm C nằm giữa đoạn thẳng AB sao cho AC  CB . Vẽ hai tia Ax và By vuông góc
với AB tại A và B . Lấy I thuộc tia Ax và vẽ đường tròn đường kính IC . Vẽ đường thẳng vuông
góc CI tại C cắt By tại K. IK cắt đường tròn tại P . Chứng minh :
a. Chứng minh B,C,P,K thuộc 1 đường tròn .
b. Tam giác ABP vuông .
c. AI.BC  A . C BK Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 106 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….
107 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 5 : Góc có đỉnh bên trong đường tròn
Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn I. Lí thuyết : Định lí 1 :
Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng
nửa tổng số đo hai cung bị chắn. C A Định lí 2 M
Số đo của góc có đỉnh O
ở bên ngoài đường B D
tròn bằng nửa hiệu số đo h
ai cung bị chắn. 1
DMB  sdBD  sdAC 2 A B 1
BMC  sdBC  sdAD M O 2 C D I . Bài tập :
Bài 1 : Tìm các góc ;
x y trong các hình vẽ sau : A a. b. C A 300 B M 300 800 x x O M O C B D D 700
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 108 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
……………………………………………………...
……………………………………………………... c. d. A A 400 600 B E B O y x 200 x M 300 O M C C D D
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
……………………………………………………...
Bài 2 : Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm chính giữa của cung BC, CA, AB.
a. Chứng minh: AM  PN .
b. AM cắt CP tại I. Chứng minh: MC = MI Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
109 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
Bài 3 : Cho đường tròn tâm O và điềm M nằm bên ngoài đường tròn . từ M kẻ tiếp tuyến
MA(A là tiếp điểm)và cát tuyến MBC sao cho góc 0
ACB  40 , tia phân giác của góc BAC cắt BC
ở D cắt đường tròn E.
a. Tính góc BAM
b. MA  MD
c. ACD ~ AEB Lời giải :
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….  Vẽ hình
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 110 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
Bài 4 : Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C,
D là các tiếp điểm. vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O (A nằm giữa M và B .Tia phân giác
của góc ACB cắt AB ở E Chứng minh
a. MC  ME
b. DE là phân giác của góc ADB
c. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
d. IM là phân giác của CID Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
111 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
d. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
……………………………………… Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho 2 điểm A , B trên đường tròn O . Các tiếp tuyến của đường tròn O tại A và B
cắt nhau tại điểm M . Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn O tại C . MC
cắt đường tròn O tại E . Các tia AE và MB cắt nhau tại K . Chứng minh rằng a. 2 MK AK.EK b. MK KB .
Bài 2 : Cho ABC đều nội tiếp đư ờng tròn O; R. Điểm D di động trên cung AC. Gọi E là giao
điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC ) Chứng minh:
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 112 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt a. AFB  ABD b. A .
E BF không đổi khi D di chuyển
Bài 6 : Tứ giác nội tiếp I. Lí thuyết : Định nghĩa : Định lí :
Trong một tứ giác nội tiếp,
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm
tổng số đo hai góc đối diện
trên một đường tròn được gọi bằng 0 180 .
là tứ giác nội tiếp đường tròn
(gọi tắt là tứ giác nội tiếp). B DẤU HIỆU NHẬN BIẾT C o
Tứ giác có tổng hai góc A đối bằng 1800. D B A  BAx Tứ giác có góc C o ngoài tại một đỉnh A bằng góc trong của đỉnh đối diện D nó. B 0 A  C  180
Tứ giác có hai đỉnh kề O nhau cùng nhìn một cạnh C
chứa hai đỉnh còn lại dưới A hai góc bằng nhau. D B
OA  OB  OC  OD Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn là tứ C o giác nội tiếp A đường tròn. D  113 CAB BDC
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10 II. Bài tập :
Bài 1 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn . Hoàn thành bảng sau : Trường hợp TH1 TH2 TH3 TH4 TH5 Góc A 0 153 0 38 0 112 0 B 40 0 120 0 130 0 C 150 0 105 D 0 45 0 137
Bài 2 : Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a. Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp được.
b. Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp được . Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 114 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho tam giác cân 0 AB (
C AB  AC, A  90 ) có đường cao BD . Gọi M, N, I theo thứ tự là trung
điểm của các đoạn BC, BM, BD . Tia NI cắt cạnh AC tại K . Chứng minh
a. Tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp b. C . A CK  C . N CB c. 2 3BC  4C . A CK Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
115 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
c. ………………………………………………………………………… ………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
Bài 4 : Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trònO; R , các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H và AD , BE, CF gặp đường tròn O; R tại G,M, N. chứng minh rằng
a. Tứ giác BFEC, DHEC nội tiếp .
b. EF  MN
c. OA  EF
d. H là tâm đường tròn nội tiếp D  EF.
e. H đối xứng với G qua BC f. A . B AC  2 . R AD Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
b. …………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 116 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
d. …………………………………………………………………….
………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
e. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
f. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
117 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
Bài 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O , M là giao điểm của AB và CD , N là giao
điểm của AD và BC . Chứng minh rằng : a. 2
MN  MC.MD  N . A ND
b. MON không vuông . Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 118 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
Bài 7 : Độ dài đường tròn – cung tròn
Diện tích hình tròn – Hình quạt tròn – Hình viên phân I. Lí thuyết : ❶
Độ dài đường tròn – cung tròn: ❷
Diện tích hình tròn – Hình quạt tròn – Hình viên phân:
Chu vi (C) C  2 R  d Diện tích (S) 2
S   R  Rn độ dài của cung n0 
Diện tích hình quạt : cung n0 0 180 2  R n R   Squạt 0 360 2
Diện tích hình viên phân: R O S α
viên phân = Squạt AmB – S O  AB n0 l A O B II. Bài tập :
Bài 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; R lần lượt vẽ các dây cung AB  2 , R BC  3 , R AC  . R
a. Tính độ dài các cung nhỏ AB, BC và CA.
b. Tính diện tích các hình quạt tròn AOB, BOC ứng các cung nhỏ AB và BC.
c. Tính diện tích hình viên phân ứng với các cung nhỏ AB, BC và CA. Lời giải :  Vẽ hình
a. ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
119 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
b. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………………………………………… ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
c. …………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
………………………………………………………………………….
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
…………………………………………………………………………. ………………………………………
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 120 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
Bài 2 : Cho đường tròn (O) có dây BC  2R cố định. Kẻ đường kính BM, điểm A bất kì trên tia
CB ( CA  CB ). Gọi E là giao điểm của AM với (O), gọi H là giao điểm của của OA với đường
tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ABM. Gọi K là giao điểm của OA và CE.
a. Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp.
b. Chứng minh A  EK ~ A  HM
c. Chứng minh AO' M có dộ lớn không phụ thuộc vào vị trí của A.
d. Xác định vị trí điểm A trên tia CB để AO  4HO có giá trị nhỏ nhất. Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
121 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 3 : Cho đường tròn O; R . Qua điểm A cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng d
vuông góc với OA . Từ điểm B bất kỳ trên đường thẳng d ( B không trùng với A ) kẻ các tiếp
tuyến BD, BC với đường tròn O ( D, C là các tiếp điểm). Dây CD cắt OB tại N , cắt OA tại P
a. Chứng minh tứ giác OCBD và tứ giác BNPA nội tiếp được trong đường tròn. b. Chứng minh 2 O . A OP  O . B ON  R . c. Cho 0
CBO  30 và R  6cm. Tính diện tích tứ giác BCOD và diện tích hình giới hạn bởi
cung nhỏ DC và dây DC . Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 122 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho O,R, đường kính AB. Gọi I là điểm cố định nằm giữa hai điểm O và B. Lấy điểm
C thuộc đường tròn tâm O thỏa mãn CA > CB. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AB, d cắt BC tại E, cắt AC tại F.
a. Chứng minh rằng : Bốn điểm A, I, C, E cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh rằng: IE.IF = IA.IB
c. Đường tròn ngoại tiếp C
 EF cắt AE tại N. CMR: điểm N nằm trên đường tròn O,R ,
d. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng : khi C chuyển động
trên đường tròn tâm O thì K luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 2 : Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn ( ; O )
R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là tiếp điểm) và một cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N). Gọi I, P, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và BC. Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BC.
a. Chứng minh rằng tứ giác BIMP và CPMK nội tiếp.
b. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh A . M AN  A . H A . O
c. Chứng minh rằng E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
123 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
d. Xác định vị trí của cát tuyến AMN để 2 2 2
MI  MK  2MP đạt giá trị nhỏ nhất.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 124 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt Bài 8 : Luyện tập
Bài 1 : Cho đường tròn O có dây cung D
C cố định. Gọi M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ D
C .Đường kính MN của đường tròn O cắt dây D
C tại I. Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn D
C .(E khác C,D,N); ME cắt CD tại K. Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P.
a. Chứng minh rằng :Tứ giác IKEN nội tiếp
b. Chứng minh: EI.MN=NK.ME
c. NK cắt MP tại Q. Chứng minh: IK là phân giác của EIQ
d. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H. Chứng minh khi E di động trên cung lớn D
C (E khác C, D, N) thì H luôn chạy trên một đường cố định. Lời giải : SẮP ĐẾN ĐÍCH RỒI !!!
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
125 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
Bài 2 : Cho đường tròn tâm O và hai đường kính ABvà CD vuông góc với nhau. Điểm M bất
kì thuộc cung nhỏ BC (với M khác B và C ). Gọi I là giao điểm của AM và BC, J là hình
chiếu I của trên AB . Chứng minh rằng:
a. Tứ giác BMIJ là tứ giác nội tiếp.
b. JI là phân giác của CJM .
c. M, J, D thẳng hàng.
d. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tứ giác BOCM có diện tích lớn nhất. Lời giải :
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 126 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho đường tròn (O; R), dây CD có trung điểm E. Trên tia đối của CD lấy điểm M. Kẻ tiếp
tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt AB tại H, cắt đường
tròn tại I (I nằm giữa M và O).
a. Chứng minh: năm điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh: 2 OH.OM  OA từ đó suy ra 2 OH.OM + MC.MD = MO
c. Chứng minh: CI là phân giác của MCH
d. Đường thẳng AB cắt OE tại K. Khi M di chuyển trên tia đối của tia CD thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
127 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 9 : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10
Bài 1 : (Tuyển sinh năm 2008 – 2009 )
Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đường tròn đó ( E
khác A và B ) . Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K .
a. Chứng minh KAF đồng dạng KEA
b. Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE . Chứng minh đường tròn (I) bán
kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F .
c. Chứng minh MN //AB , trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE và BE với đường tròn (I) .
d. Tính giá trị nhỏ nhất chu vi của K
 PQ theo R khi E di chuyển trên đường tròn (O) , với P
là giao điểm của NE và AK , Q là giao điểm của MF và BK .
Bài 2 : (Tuyển sinh năm 2009 – 2010 )
Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là các tiếp điểm).
a. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2
c. Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R)
cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K
chuyển động trên cung nhỏ BC.
d. Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN  MN
Bài 3 : (Tuyển sinh năm 2010 – 2011 )
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B).
Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.
a. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh DA.DE = DB.DC
c. Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh
IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 128 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
d. Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = 2.
Bài 4 : (Tuyển sinh năm 2011 – 2012 )
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E
không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường
thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.
a. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh ENI  EBI và 0 MIN  90 .
c. Chứng minh AM.BN = AI.BI .
d. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện
tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng
Bài 5 : (Tuyển sinh năm 2012 – 2013 )
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a. Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh ACM  ACK
c. Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C A . P MB
nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
 R . Chứng minh đường thẳng MA
PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài 6 : (Tuyển sinh năm 2013 – 2014 )
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường
tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm
B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).
a. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
b. Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.
129 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
c. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC.
d. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một
đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 7 : (Tuyển sinh năm 2014 – 2015 )
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O;
R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM,
AN lần lượt tại các điểm Q, P.
a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
b. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
c. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F.
Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
d. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí
của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8 : (Tuyển sinh năm 2015 – 2016 )
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB .Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A ,
C khác O ) . Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là
điểm bất kì trên cung KB ( M khác K , M khác B ). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM ,
BM lần lượt tại H và D . Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N .
a. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp .
b. Chứng minh CA. CB = CH. CD .
c. Chứng minh ba điểm A, N , D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH .
d. Khi M di động trên cung KB , chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 9 : (Tuyển sinh năm 2016 – 2017 )
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Kẻ tiếp tuyến AB với đường
tròn (O) ( B là tiếp điểm ) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C , I khác
O ). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E ) . Gọi H là trung điểm của DE
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 130 TOÁN 9 GV: Đỗ Văn Đạt
a. Chứng minh bốn điểm A,B,O,H cùng nằm trên một đường tròn . AB BD b. Chứng minh  AE BE
c. Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO , d cắt BC tại điểm K . Chứng minh HK // DC.
d. Tia CD cắt AO tại điểm P , tia EO cắt BP tại điểm F . Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật .
Bài 10 : (Tuyển sinh năm 2017 – 2018 )
Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I .
Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K .
a. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh 2
NB  NK.NM .
c. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
d. Gọi P ,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK
và E là trung điểm của đoạn PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng
minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Bài 11 : (Tuyển sinh năm 2018 – 2019 )
Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên
tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;
R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.
b. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD .
c. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD
tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi
qua trung điểm của đoạn thẳng SC.
d. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm
E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia
AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.
131 Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Thanh Trì – Hà Nội
GV: Đỗ Văn Đạt HƯỚNG TỚI KÌ THI VÀO LỚP 10
Bài 12 : (Tuyển sinh năm 2019 – 2020 )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn  AB  AC nội tiếp đường tròn O . Hai đường cao BE và
CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
a. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
c. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại
điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE
đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
096.654.8683 Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 132
Document Outline

CHƯƠNG 3 : Hệ phương trình
- Bài 1 : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2 : Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - phương pháp cộng đại số
- Bài 3 : Rút gọn đưa về dạng cơ bản
- Bài 4 : Phương pháp đặt ẩn phụ
- Bài 5 : Giải và biện luận hệ phương trình
- Bài 6 : Tìm thỏa mãn điều kiện cho trước
- Bài 7 : Ôn tập
CHƯƠNG 4 : Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bài 1 : Tìm hai số
- Bài 2 : Toán liên quan đến hình học
- Bài 3 : Bài toán chuyển động
- Bài 4 : Bài toán chuyển động trên dòng nước
- Bài 5 : Làm chung – làm riêng
- Bài 6 : Làm chung – làm riêng
CHƯƠNG 5 : Phương trình bậc hai
- Bài 1 : Hàm số
- Bài 2 : Phương Trình Bậc Hai
- Bài 3 : Tìm m và hệ thức vi ét
- Bài 4 : Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước
- Bài 5 : Bài tập giao điểm
- Bài 6 : Bài tập giao điểm
- Bài 7 : Tổng hợp đề thi vào 10
CHƯƠNG 3 : Góc và đường tròn
- Bài 1 : Góc ở tâm - Số đo cung
- Bài 2 : Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3 : Góc nội tiếp
- Bài 4 : Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
- Bài 5 : Góc có đỉnh bên trong đường tròn
- Bài 6 : Tứ giác nội tiếp
- Bài 7 : Độ dài đường tròn – cung tròn
- Bài 8 : Luyện tập
- Bài 9 : Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10
Định lí 2

Lý thuyết và bài tập môn Toán 9 học kì 2 – Đỗ Văn Đạt

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề tham khảo thi HSG Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình

Đề chọn HSG Toán THCS cấp huyện năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Vạn Ninh – Khánh Hòa

Đề KTCL đội tuyển HSG Toán 9 năm 2024 – 2025 trường TH&THCS Kỳ Trung – Hà Tĩnh

Đề KSCL đội dự tuyển lần 1 Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Kỳ Anh – Hà Tĩnh

Đề minh họa học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hải Phòng