Lý thuyết và phân dạng môn Toán 9 – Nguyễn Ngọc Dũng

Tài liệu gồm 88 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Ngọc Dũng, tổng hợp lý thuyết và phân dạng môn Toán 9. Giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

88 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
NGUYỄN NGỌC DŨNG
TOÁN THẦY DŨNG
TQB
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
C
E
B
A
D
50m
34
◦
62
◦
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
TOÁN
LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG
LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG
9
2023 - 2024
MỤC LỤC
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
i
MỤC LỤC
I Đại số 1
Chương1. Căn bậc hai. Căn bậc ba 2
Bài số 1. Căn bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Bài số 2. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bài số 3. Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bài số 4. Căn bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Bài số 5. Ôn tập chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương2. Hàm số. Hàm số bậc nhất 15
Bài số 1. Hàm số, hàm số bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bài số 2. Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bài số 3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bài số 4. Các bài tập tổng hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Bài số 5. Các bài toán thực tế ứng dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 24
Bài số 1. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài số 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Bài số 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương4. Hàm sốy = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai 29
Bài số 1. Hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
, (a = 0)
(a = 0)
(a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bài số 2. Phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bài số 3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bài số 4. Phương trình quy về phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Bài số 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II Hình học 52
Chương1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 53
Bài số 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bài số 2. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Bài số 3. Ứng dụng thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i/84
i/84 Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
MỤC LỤC
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
ii
Chương2. Đường tròn 61
Bài số 1. Sự xác định đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bài số 2. Đường kính và dây của đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bài số 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Bài số 4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
62
Chương3. Góc với đường tròn 65
Bài số 1. Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bài số 2. Góc có đỉnh bên trong - bên ngoài đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Bài số 3. Tứ giác nội tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bài số 4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 77
Bài số 1. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bài số 2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Bài số 3. Diện tích và thể tích của hình cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ii/84 ii/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
PHẦN
ĐẠI SỐ
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
2
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
1
Chûúng
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
CĂN BẬC HAI
1
Baâi söë
Bài 1. Tính:
√
121a) −
√
144b)
√
0,25c) −
√
0,0016d)
√
3
4
e) −
…
2
7
9
f)
…
25
49
g)
p
(−7)
2
h)
p
√
16i) −
p
4
√
81j)
Bài 2. Tính:
3
√
144 − 5
√
169 +
1
2
√
256a)
…
7
1
9
− 0,5
√
144 −
3
2
√
169b)
Å
3
4
√
256 −
1
2
√
289
ã
:
√
36c)
Ç
…
1
9
16
−
…
4
4
å
:
…
4
25
d)
2
√
3(
√
3 − 2) + 4
√
3e) −8
√
3 − 4
√
3
Å
1
2
√
3 − 2
ã
f)
Bài 3. So sánh các căn bậc hai sau:
6 và
√
41a)
√
19 và 4b)
√
21 và 5c) 5
√
3 − 4 và 3
√
5d)
√
26 +
√
17 +
√
10 +
√
5 + 1 và 15e)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
x
2
− 25 = 0a) x
2
− 7 = 0b) x
2
−
√
16 = 0c)
4x
2
− 7 = 13d) (x + 3)
2
= 6x + 11e) x
2
+ 2x = 15f)
Bài 5. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
5xa)
√
3x + 7b)
√
5 − xc)
−5
√
3 − 2x
d)
…
4
3 − 2x
e)
…
−3
1 + 4x
f)
√
−7x
2
g)
√
10 + x
2
h)
√
x
2
− 1i)
Bài 6. Rút gọn:
2/84 2/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
3
»
(3 −
√
11)
2
1)
»
(
√
17 − 4)
2
2)
»
(
√
5 − 3)
2
−
»
(2 +
√
5)
2
3)
»
(4 −
√
17)
2
−
»
(
√
17 − 3)
2
4)
»
(5 −
√
6)
2
−
»
(2 −
√
6)
2
5)
»
(17 +
√
47)
2
−
»
(7 −
√
47)
2
6)
Bài 7. Rút gọn:
p
6 + 2
√
51)
p
8 + 2
√
72)
p
15 − 6
√
6 −
p
10 − 4
√
63)
p
16 − 6
√
7 −
p
32 + 10
√
74)
p
31 − 10
√
6 −
»
(3 − 2
√
6)
2
5)
p
28 − 16
√
3 −
»
(4 − 3
√
3)
2
6)
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:
2
√
x
2
+ 2x − 5 với x ≥ 01) 3
p
(x − 2)
2
+ 4x − 1 với x < 22)
p
(3 −
√
x)
2
+ 2
√
x với x > 93)
p
(x − 4)
2
−
p
(x − 3)
2
với x > 44)
Bài 9. Tính:
(3 −
√
5)(
√
5 − 2) −
√
5(
√
5 − 5)1) (3 +
√
5)
2
− 8
√
5 − 142)
(5 +
√
3)(1 −
√
3) − (1 − 2
√
3)
2
3) (2 − 3
√
5)(2 + 3
√
5)4)
Bài 10. So sánh các căn bậc hai sau:
2
√
5 và
√
191) 3
√
10 và 4
√
52)
−3
√
10 và −4
√
53)
p
√
3 và
p
√
24)
p
√
63 và 2
√
25)
√
2009 −
√
2007 và
√
2011 −
√
20096)
1
√
1
+
1
√
2
+
1
√
3
+ . . . + +
1
√
100
và 107)
Bài 11. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa
…
x
−3
;a)
√
7 − 14x;b)
p
(1 − 2x)
2
;c)
x
2
+ 1
2x
2
− 8
;d)
√
6 − 3x
x − 3
;e)
√
x
2
+ 5
√
2x + 3
.f)
¤ a) 2x
2
− 3x b) 12x
4
− 6x
2
c) 6x
2
y + 15x
3
y d) 10x
3
− 15x
2
− 5x e) 12x
5
+ 18x
4
− 6x
3
f) 4x
3
y − 8x
2
y
2
+ 12xy
3
Bài 12. Tính (Rút gọn)
»
(2
√
2 − 3)
2
;a)
»
(2
√
3 − 3
√
2)
2
;b)
»
(4 +
√
15)
2
+
»
(4 −
√
15)
2
;c)
»
(3
√
2 −
√
5)
2
−
»
(
√
2 −
√
5)
2
;d)
»
(3 −
√
10)
2
−
»
(2
√
10 − 7)
2
;e)
»
(3
√
5 −
√
17)
2
−
»
(
√
5 −
√
17)
2
.f)
¤ a) 3 − 2
√
2 b) 3
√
2 − 2
√
3 c) 8 d) 2
√
5 − 4
√
2 e) 4 −
√
10 f) 2
√
5 − 2
√
17
Bài 13. Tính (Rút gọn):
3/84 3/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
1. Căn bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
4
p
12 − 2
√
35;a)
p
8 − 2
√
15;b)
p
12 − 2
√
35 +
p
12 + 2
√
35;c)
p
11 − 2
√
30 +
p
13 + 2
√
42;d)
p
8 − 4
√
3 +
p
14 + 8
√
3;e)
p
11 + 6
√
2 +
p
11 − 6
√
2.f)
¤ a)
√
7 −
√
5 b)
√
5 −
√
3 c)2
√
7 d) 2
√
7 +
√
6 −
√
5 e)2
√
6 +
√
2 f) 6
Bài 14. Tính (Rút gọn):
p
8 + 3
√
7;a)
p
2 −
√
3 −
p
2 +
√
3;b)
p
6 − 3
√
3 +
p
2 −
√
3;c)
p
9 +
√
17 −
p
9 −
√
17 −
√
2.d)
¤ a)
…
9
2
+
…
7
2
b)0 c)
√
2 d) 0
Bài 15. Tính (Rút gọn):
»
(
√
5 −
√
11)
2
−
p
31 − 4
√
55;a)
»
(
√
7 − 2
√
3)
2
−
p
40 − 8
√
21;b)
p
15 − 4
√
14 +
»
(
√
5 − 2
√
2)
2
;c)
»
17 − 4
p
9 + 4
√
5;d)
…
10 + 2
q
8 − 2
Ä
√
5 +
p
12 − 2
√
35
ä
;e)
q
6 + 2
√
2
»
3 −
p
4 + 2
√
3.f)
¤ a) −3
√
5 b)−3
√
3 c)−4
√
2 −
√
7 −
√
5 d) x
3
+ xy e)−10x
2
+ 23x f) x
3
+ xy
Bài 16. Thu gọn các biểu thức sau:
a)
p
x + 1 + 2
√
x + 1 − 2
√
x với x > 0;
b)
p
x + 25 + 10
√
x + 2 (−
√
x) với x > 0;
c)
p
x + 9 − 6
√
x − 3 (
√
x + 1) với 0 < x < 9;
d)
p
x + 4 − 4
√
x − (1 −
√
x) với 0 ≤ x ≤ 4;
e)
p
x
2
+ 5 − 2
√
5x −
√
5 (x + 1) với x <
√
5;
f)
p
x
2
+ 11 − 2x
√
11 −
q
Ä
x +
√
11
ä
2
với x > 4
g)
√
x
2
− 4x + 4 −
√
4x
2
+ 4x + 1 với
1
2
≤ x ≤ 2;
h)
p
x − 4
√
x − 4 −
√
x − 4 + 1
với 4 ≤ x ≤ 5;
i)
p
x − 3 + 2
√
x − 4 −
p
x −
√
16 với x > 5.
¤ a) 2 −
√
x b)5 −
√
x c)−4
√
x d) 1 e) −x −
√
5x f)−2
√
11 g)1 − 3x h) −3 i)−2
Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức sau:
A =
√
x
2
− 6x + 11;a) B =
√
4x
2
− 4x + 2;b)
C =
√
2x
2
− 2x + 3;c) D =
…
x
2
− x +
1
4
;d)
E =
√
−x
2
− 3 + 4x;e) F =
√
−3x
2
− 6x + 2.f)
¤ a) 2 b)1 c)
11
4
d) 0 e) 1 f)5
4/84 4/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
5
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI
PHƯƠNG
2
Baâi söë
Bài 1. Tính :
2
√
5
Ä
√
5 −
√
10
ä
+ 10
√
2;a) 3
Ä
9
√
7 − 4
√
28 − 3
√
3
ä
−
√
21;b)
(2
√
2 − 1)(3 −
√
3) −
√
3(1 −
√
3);c) (3 +
√
5)(6 − 2
√
5) −
√
12
√
13.d)
¤ a) 10 b)3
√
7 − 9
√
3 −
√
21 c)6
√
2 − 2
√
6 d) 8 − 2
√
39
Bài 2. Cho x, y là các số dương. Rút gọn
3
√
x − 5
√
x (
√
x − 4) + 5x;a) x (
√
x − y) +
√
xy
1 +
√
xy
;b)
3x − (3
√
x − 1) (
√
x + 2);c)
4 −
√
y
2
−
√
y − 3
2
.d)
¤ a) 23
√
x b)x
√
x +
√
xy c)2 − 5
√
x d) 7 − 2
√
y
Bài 3. Rút gọn:
p
9 − 4
√
5 ·
p
9 + 4
√
5;a) (2
√
2 − 6) ·
p
11 + 6
√
2;b)
√
2
p
2 −
√
3 ·
Ä
√
3 + 1
ä
;c)
p
2 −
√
3 ·
Ä
√
6 −
√
2
ä
·
Ä
2 +
√
3
ä
;d)
p
27 + 10
√
2:
1
(
√
2 − 5)
2
;e)
p
14 − 6
√
5 ·
Ç
√
5
3
+ 1
å
.f)
¤ a) 1 b)−14 c)2 d) 4 e) −23 ·
Ä
√
2 − 5
ä
f)
4
3
Bài 4. Rút gọn:
5
…
1
5
;a)
12
5
…
5
4
;b)
30
5
√
6
;c)
20
2
√
5
;d)
2 −
√
2
√
2
;e)
11 +
√
11
1 +
√
11
;f)
√
21 −
√
7
1 −
√
3
;g)
√
2 +
√
3
2 +
√
6
;h)
√
10 −
√
2
√
5 − 1
.i)
¤ a)
√
5 b)
6
√
5
5
c)
√
6 d) 2
√
5 e)
√
2 − 1 f)
√
11 g)−
√
7 h)
√
3
3
i)
√
2
BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
3
Baâi söë
Bài 1. Với các biểu thức đã cho có nghĩa. Rút gọn:
1)
x −
√
x
√
x − 1
.
2)
x
√
x − 2x
2 −
√
x
.
3)
x
√
y − y
√
x
√
x −
√
y
.
4)
a
√
b −
√
a
√
b − b
√
a
.
5)
a − 1
√
a + 1
.
6)
4 − x
2
√
x − x
.
7)
a + 1 + 2
√
a
1 +
√
a
.
8)
3
√
x − x
3 + 2
√
x − x
.
9)
y + 12 − 4
√
3y
y − 12
.
5/84 5/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
6
Bài 2. Khử mẫu của các biểu thức lấy căn sau - Rút gọn:
1)
…
11
3
.
2)
…
5
8
.
3)
…
4
27
.
4) 5
…
3
5
.
5)
(1 −
√
5)
2
75
.
6)
7 − 3
√
5
162
.
7)
(1 −
√
3)
2
27
.
8) xy
…
x
y
.
9)
b
a
…
b
a
.
Bài 3. Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
1)
5
√
7
.
2)
11
2
√
3
.
3)
1
3
√
5
.
4)
1
3
√
20
.
5)
5
2
√
5
.
6)
2
√
3
√
3 + 1
.
7)
a
2
√
a − 1
.
8)
9 − x
√
x + 3
.
9)
1
√
a +
√
a + 1
.
Bài 4. Trục căn thức ở mẫu của các phân thức rồi rút gọn:
1)
1
1 −
√
2
−
1
1 +
√
2
.
2)
1
√
2 −
√
3
−
1
√
3 +
√
2
.
3)
1
3 − 2
√
2
+
1
1 −
√
2
.
4)
1
3 − 2
√
2
−
1
3 + 2
√
2
.
5)
4
√
5 − 3
−
1
√
5 + 2
.
6)
1
3 − 2
√
2
+
2
√
3
2 +
√
5
.
7)
1
√
5 +
√
7
+
1
1 −
√
7
.
8)
7
3 −
√
2
−
2
√
2 − 1
.
9)
√
3 − 1
√
3 + 1
−
4
1 −
√
3
.
10)
√
2 −
√
3
√
2 +
√
3
−
√
3 +
√
2
√
3 −
√
2
.
11)
√
2 − 1
√
2 + 1
−
3 −
√
2
3 +
√
2
.
12)
√
5 + 2
√
5 − 2
−
6 − 2
√
5
3 +
√
5
.
cccBÀI TẬP TỰ LUẬNccc
Bài 1. Tính:
1) 3
√
125 − 2
√
20 − 3
√
80 + 4
√
45.
2)
√
1100 − 7
√
44 + 2
√
176 −
√
1331.
3)
√
20 − 2
√
45 − 3
√
80 + 2
√
45.
4) 2
√
2 +
√
32 −
1
3
√
450 +
2
7
√
392.
5) −2
√
50 +
√
18 − 3
√
80 +
√
125.
6) 2
p
8
√
3 + 2
p
5
√
3 − 3
p
20
√
3.
Bài 2. Khử mẫu các biểu thức lấy căn rồi rút gọn biểu thức:
1) 5
…
1
5
+
1
2
√
20 +
√
15. 2)
…
1
2
+
√
4, 5 +
√
12, 5.
6/84 6/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
7
3)
3
2
√
6 + 2
…
2
3
− 4
…
3
2
.
4) 5
√
x + 6
…
x
4
− x
…
4
x
với x > 0.
5)
Ç
x
…
6
x
+
…
2x
3
+
√
6x
å
:
√
6x với x > 0.
6)
…
a
b
+
√
ab +
a
b
…
a
b
với a, b > 0.
Bài 3. Rút gọn
1)
3
√
5 − 5
√
3
3 −
√
15
.
2)
5
√
6 − 6
√
5
2
√
15 − 5
√
2
.
3)
14 − 6
√
5
√
5 − 3
.
4)
9 − 4
√
5
√
5 − 2
.
5)
(
√
3 −
√
5)
2
+ 4
√
15
√
3 +
√
5
.
6)
8
√
6 − (
√
3 + 2
√
2)
2
4
√
2 − 2
√
3
.
7)
12
√
6 − (
√
6 + 3)
2
2
√
3 − 3
√
2
.
8)
(
√
5 + 2)
2
− 8
√
5
5
√
5 − 8
.
Bài 4. Rút gọn
1)
−2
√
3 − 1
.
2)
5
1 −
√
6
.
3)
2 +
√
5
2 −
√
5
.
4)
1
5 + 2
√
6
.
5)
x + a
√
x
a
√
x
.
6)
2x
4 +
√
x
.
7)
6
1 −
√
3
−
3
√
3 + 3
√
3 + 1
.
8)
5
√
2 − 2
√
5
√
5 −
√
2
+
6
2 −
√
10
.
9)
5 −
√
5
1 −
√
5
+
3
√
2 −
√
5
.
10)
7
3
√
2 − 5
−
√
18 − 3
√
6
√
3 − 1
.
11)
6
√
5 − 1
+
7
1 −
√
3
−
2
√
3 −
√
5
.
12)
5
3 −
√
7
−
2
√
2 +
√
3
−
1
√
2 − 1
.
13)
√
12 − 6
√
8 −
√
24
−
3 +
√
3
√
3
−
4
√
7 − 1
.
Bài 5. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Rút gọn:
1)
4
√
x − x − 4
x − 4
.
2)
x + y − 2
√
xy
x
√
y − y
√
x
.
3)
x − 9
x
√
x − 27
.
4)
x −
√
x − 2
√
x + 2
x − 1
.
5)
x − 4
x
√
x + 2x −
√
x − 2
.
6)
√
xy − 3
√
y
x
√
y − 5
√
xy + 6
√
y
.
7)
Å
2 +
a − 2
√
a
√
a − 2
ãÅ
2 +
a −
√
a
√
a − 1
ã
.
8)
Å
x −
√
x
√
x − 1
+ 2
ãÅ
2 −
√
x + x
1 +
√
x
ã
.
9)
a + b + 2
√
ab
√
a +
√
b
−
a − b
√
a −
√
b
.
7/84 7/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
8
10)
a
√
a − b
√
b
√
a −
√
b
+
√
ab.
11)
Ç
y
√
y − x
√
x
√
y −
√
x
+
√
xy
åÇ
√
y −
√
x
y − x
å
2
.
Bài 6. Với các biểu thức đã cho đã có nghĩa. Hãy rút gọn:
1)
Å
√
x + 2
2
√
x − 4
−
4
√
x
x − 4
ã
:
Å
√
x
2
− 1
ã
.
2)
Å
√
x
√
x − 1
−
5
√
x − 3
x − 1
ã
·
Å
2 −
4
√
x + 3
ã
.
3)
Å
2
√
x − 4
x − 4
√
x + 4
−
√
x + 2
x − 2
√
x
ã
·
Å
x −
√
x
1 −
√
x
ã
.
4)
2
3
√
x
−
1
2
√
x − 2
−
√
x + 4
6
√
x − 6x
.
5)
√
x + 1
√
x − 3
−
1
√
x + 3
−
2
√
x(1 −
√
x)
9 − x
.
6)
Å
4
√
x
2 +
√
x
+
8x
4 − x
ã
:
Å
√
x − 1
x − 2
√
x
−
2
√
x
ã
.
7)
Å
1 −
2
√
a
a + 1
ã
:
Å
1
√
a + 1
−
2
√
a
a
√
a +
√
a + a + 1
ã
.
8)
√
x − 3
2 −
√
x
+
√
x − 2
3 +
√
x
−
9 − x
x +
√
x − 6
.
9)
√
x − 1
√
x + 1
−
√
x + 3
√
x − 2
−
x + 5
x −
√
x − 2
.
10)
Å
2x + 1
√
x
3
− 1
−
√
x
x +
√
x + 1
ã
Ç
1 +
√
x
3
1 +
√
x
−
√
x
å
.
11)
Å
2 +
√
x
x + 2
√
x + 1
−
√
x − 2
x − 1
ã
x
√
x + x −
√
x − 1
√
x
.
CĂN BẬC BA
4
Baâi söë
Bài 1. Tính - Rút gọn
1)
3
√
27.
2)
3
√
−8.
3)
3
√
512.
4)
3
√
−343.
5) −
3
√
729.
6)
3
√
0, 064.
7)
3
…
125
216
.
8)
3
p
7 + 5
√
2.
9)
3
√
27 −
3
√
−8 −
3
√
125.
10)
3
√
135
3
√
5
−
3
√
54 ·
3
√
4.
11)
3
p
7 + 5
√
2.
12)
3
p
26 − 15
√
3.
Bài 2. So sánh
1) 5 và
3
√
123.
2)
3
√
210 và 3
3
√
5.
8/84 8/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
9
3) 2
3
√
7 và 3
3
√
2.
4) 5
3
√
6 và 6
3
√
5.
ÔN TẬP CHƯƠNG 1
5
Baâi söë
Dạng 1. Tính - Rút gọn
Bài 1. Tính
2
√
121 − 3
√
36 +
1
2
√
25.1)
3
2
√
64 + 2
√
256 − 6
√
400 +
√
4.2)
36
…
49
144
−
2
5
√
225 − 3
p
√
81.3)
√
16 − 2
√
8 − 3
√
32 +
√
72.4)
6
√
12 − 2
√
48 + 5
√
75 − 7
√
108.5) −
√
20 + 3
√
45 − 6
√
80 −
1
5
√
125.6)
2
p
40
√
12 − 2
p
√
75 − 3
p
5
√
48.7)
p
8
√
3 − 2
p
25
√
12 + 4
p
√
192.8)
(2
√
3 +
√
5)
√
3 −
√
60.9) (
√
99 −
√
18 +
√
11)
√
11 + 3
√
22.10)
(
√
28 −
√
12 −
√
7)
√
7 + 2
√
21.11) (5
√
2 + 2
√
5)
√
5 −
√
250.12)
(
√
6 −
√
5)
2
−
√
120.13) (2 −
√
2)(−5
√
2) − (3
√
2 −
√
5)
2
.14)
5
…
1
5
+
1
2
√
20 −
√
5.15)
1
2
√
48 −
√
33
√
11
+ 5
…
1
1
3
.16)
Bài 2. Rút gọn
1)
√
9a −
√
16a +
√
49a với a > 0.
2)
√
160x + 2
√
40x − 3
√
90x với x ≥ 0.
3)
√
27a − 2
√
3a + 2
√
48y − 3
√
75y với a, y > 0.
4) 2
√
20a
3
−
2
3
· a
√
45a +
1
7
· a
√
320a với a > 0.
5)
…
a
b
+
√
ab +
a
b
…
b
a
với a, b < 0.
Bài 3. Rút gọn
»
(3 −
√
7)
2
−
»
(
√
7 + 2)
2
.1)
»
(5 − 2
√
3)
2
+
»
(
√
3 − 5)
2
.2)
»
(2
√
2 −
√
3)
2
−
»
(
√
2 − 2
√
3)
2
.3)
»
(
√
11 − 3
√
2)
2
−
»
(
√
11 −
√
2)
2
.4)
»
(4 −
√
7)
2
»
(4 +
√
7)
2
.5)
»
(
√
3 −
√
5)
2
(
√
5 +
√
3).6)
»
(12
√
2 − 17)
2
(3 + 2
√
2)
2
.7)
Ç
−
√
5 −
√
7
2
å
p
27 −
√
560.8)
p
14 − 6
√
5 +
p
14 + 6
√
5.9)
p
7 − 2
√
10 −
p
7 + 2
√
10.10)
9/84 9/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Ôn tập chương 1 Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
10
p
11 − 6
√
2 −
p
3 − 2
√
2.11)
p
47 + 6
√
10 −
p
23 − 6
√
10.12)
p
46 − 6
√
5 −
p
29 − 12
√
5.13)
p
13 −
√
160 −
p
53 + 4
√
90.14)
(
√
3 − 2)
p
7 + 4
√
3.15)
p
9 − 4
√
5(2 +
√
5).16)
p
11 + 6
√
2(4 − 3
√
2).17) (
√
10 − 6)
p
23 + 6
√
10.18)
»
17 − 4
p
9 + 4
√
5.19)
q
13 + 30
»
2 +
p
9 + 4
√
2.20)
q
2 + 2
»
5 +
p
13 −
√
48.21)
q
√
5 −
»
3 −
p
29 − 12
√
5.22)
»
√
2 + 2
√
3 +
p
18 − 8
√
2.23)
…
4 +
q
5
√
3 + 5
»
48 − 10
p
7 + 4
√
3.24)
Bài 4. Rút gọn và tính
1)
p
9x − 12
√
x + 4 − 9
√
x + 1 tại x =
1
9
và x > 0.
2)
p
4a − 12
√
a + 9 − 4
√
a − 1 tại x =
1
4
và a > 0.
3)
p
x + 5 − 2
√
5x −
p
x + 8 − 4
√
2x với 5 < x < 8.
Bài 5. Rút gọn
1)
√
2 · (
p
4 −
√
7 −
p
4 +
√
7 +
√
2).
2)
p
4 −
√
15 −
p
4 +
√
15 −
√
6.
3)
p
15 + 5
√
5 −
p
3 −
√
5.
4)
p
5 +
√
21 +
p
5 −
√
21 − 2
p
4 −
√
7.
5)
p
2 −
√
3 · (
√
2 +
√
6).
6)
p
7 −
√
33 · (
√
22 +
√
6).
7) (
√
10 +
√
2) · (6 − 2
√
5) ·
p
3 +
√
5.
8) (
√
10 +
√
6) · (4 −
√
15) ·
p
4 +
√
15.
9)
p
7 − 3
√
5 · (7 + 3
√
5) · (3
√
2 +
√
10).
10) 2
»
4 +
p
6 − 2
√
5 · (
√
10 −
√
2).
11) 5
Ç
p
2 +
√
3 +
p
3 −
√
5 −
…
5
2
å
2
+
Ç
p
2 −
√
3 +
p
3 +
√
5 −
…
3
2
å
2
.
12) 21
Ä
p
2 +
√
3 +
p
3 −
√
5
ä
2
− 6(
p
2 −
√
3 +
p
3 +
√
5)
2
− 15
√
15.
Bài 6. Rút gọn
10/84 10/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
11
1
3 − 2
√
2
−
1
3 + 2
√
2
.1)
1
√
2 −
√
3
−
3
√
18 + 2
√
3
.2)
2
√
5 − 2
+
−2
√
5 + 2
.3)
3
1 −
√
2
+
√
2 − 1
√
2 + 1
.4)
√
7 +
√
5
√
7 −
√
5
−
√
7 −
√
5
√
7 +
√
5
.5)
√
3 +
√
2
√
6 + 2
−
√
3 −
√
2
√
6 − 2
.6)
3
√
5 −
√
2
−
2
2 −
√
2
+
1
√
3 +
√
2
.7)
12
√
5 + 1
−
4
√
5 + 2
+
20
3 +
√
5
.8)
15
p
12 − 6
√
3
−
2
1 −
√
3
−
3
p
7 − 4
√
3
.9)
√
10 −
√
2
√
5 − 1
−
2 −
√
2
√
2 − 1
.10)
5
√
2 − 2
√
5
√
2 −
√
5
−
√
20 − 3
√
10
3 −
√
2
.11)
√
15 −
√
12
√
5 − 2
+
6 + 2
√
6
√
3 +
√
2
.12)
6 −
√
6
√
6 − 1
+
6 +
√
6
√
6
.13)
3 + 2
√
3
√
3
−
2 +
√
2
√
2
.14)
9 + 4
√
5
√
5 + 2
+
5
√
5 − 8
2 −
√
5
.15)
Ç
1 +
5 +
√
5
1 +
√
5
åÇ
5 −
√
5
1 −
√
5
− 1
å
.16)
Ç
1 −
7 −
√
7
1 −
√
7
åÇ
1 +
7 +
√
7
1 +
√
7
å
.17)
Ç
5 − 2
√
5
2 −
√
5
− 2
åÇ
5 + 3
√
5
3 +
√
5
+ 2
å
.18)
2
√
3 −
√
5
−
3 − 2
√
3
2 −
√
3
.19)
3
√
2 − 2
√
3
√
3 −
√
2
−
5
1 +
√
6
.20)
√
15 +
√
10
√
3 +
√
2
−
1
√
5 − 2
.21)
6
√
2 − 4
√
2 − 3
−
3
√
2 − 6
1 −
√
2
.22)
3 + 2
√
3
√
3
+
2 +
√
2
√
2 + 1
−
1
2 −
√
3
.23)
5 + 2
√
5
√
5
+
5 +
√
3
√
3
−
√
5 −
√
3.24)
8 + 2
√
2
3 −
√
2
−
2 + 3
√
2
√
2
+
√
2
1 −
√
2
.25)
p
11 − 4
√
7 +
3
2 −
√
7
+
2 +
√
2
1 +
√
2
.26)
1
p
2 −
√
3
+
1
p
2 +
√
3
.27)
p
3 −
√
5(3 +
√
5)
√
10 +
√
2
.28)
3
√
3 − 4
2
√
3 + 1
+
√
3 + 4
5 − 2
√
3
.29)
5 +
√
7
9 −
p
23 + 8
√
7
+
5 −
√
7
2 −
p
16 + 6
√
7
.30)
Bài 7. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Hãy rút gọn:
a
√
b − b
√
a
√
ab
:
1
√
a +
√
b
.1)
x
√
y + y
√
x
√
xy
:
1
√
x −
√
y
.2)
a
√
b − b
√
a
√
a −
√
b
−
√
ab.3)
Å
2 −
a − 3
√
a
√
a − 3
ã
Ç
2 −
5
√
a −
√
ab
√
b − 5
å
.4)
a + 4 + 4
√
a
√
a + 2
−
a − 4
√
a − 2
.5)
x + y − 2
√
xy
√
x −
√
y
−
x − y
√
x −
√
y
6)
11/84 11/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Ôn tập chương 1 Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
12
(
√
x − y)
2
+ 4y
√
x
√
x + y
.7)
1
√
a −
√
b
Ç
a
√
a + b
√
b
√
a +
√
b
−
√
ab
å
.8)
Ç
x
√
x − y
√
y
√
x −
√
y
+
√
xy
åÇ
√
x −
√
y
x − y
å
2
.9)
Ä
a
√
b −
√
ab
ä
(a
√
a + 1)
√
a (a −
√
a + 1) (a − 1)
.10)
x −
√
xy
2
√
xy + 2
√
y
√
xy − y
(x
√
x +
√
x + 2x)
.11)
(
√
a + 1)
Ä
a −
√
ab
äÄ
√
a +
√
b
ä
(a − b)
Ä
√
a
3
+ a
ä
.12)
Bài 8. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Hãy rút gọn
Å
1
a −
√
a
+
1
√
a − 1
ã
:
√
a + 1
a − 2
√
a + 1
.1)
Å
√
x −
x
x +
√
x
ã
:
√
x − 1
x
√
x −
√
x
.2)
Å
√
x −
1
√
x
ã
:
Å
√
x − 1
√
x
+
1 −
√
x
x +
√
x
ã
.3)
Å
√
a
√
a − 1
−
1
a −
√
a
ã
:
Å
1
√
a + 1
−
2
a − 1
ã
.4)
Å
√
a − 2
√
a + 2
−
√
a + 2
√
a − 2
ãÅ
√
a −
4
√
a
ã
.5)
Å
√
x − 2
x − 1
−
√
x + 2
x + 2
√
x + 1
ãÅ
1 − x
√
2
ã
2
.6)
Å
1
√
a − 1
−
1
√
a
ã
:
Å
√
a + 1
√
a − 2
−
√
a + 2
√
a − 1
ã
.7)
x
√
x − 2x + 28
x − 3
√
x − 4
−
√
x − 4
√
x + 1
+
√
x + 8
4 −
√
x
.8)
Dạng 2. Phương trình
Bài 9. Giải các phương trình sau:
√
x
2
− 2x + 1 = 1.1)
√
x
2
− 4x + 4 = 1.2)
√
1 − 4x + 4x
2
= 5.3)
p
4 (1 − 2x + x
2
) − 6 = 0.4)
√
9x
2
= 2x + 1.5)
√
9 − 6x + x
2
= x.6)
√
x
2
+ 6x + 9 = 3x − 1.7)
√
x
2
+ 4x + 4 = 2x − 1.8)
√
4x
2
− 4x + 1 = 4x + 3.9)
√
4x
2
+ 1 − 4x =
√
x
2
+ 16 + 8x.10)
√
9x
2
+ 6x + 1 =
p
x
2
+ 6 − 2
√
6x.11)
Bài 10. Giải các phương trình sau:
√
2x − 5 = 7.1)
√
2x − 3 = 13.2)
3 +
√
x − 2 = 4.3)
√
x
2
− 7 = 2.4)
2 −
√
x
2
− 1 = 0.5) 3 −
√
x
2
+ 3 = 0.6)
p
x(x − 2) −
√
3 = 0.7) 3 −
p
−x(x + 6) = 0.8)
√
2x
2
+ 7 = 2 − x.9)
√
3 − x = 3x − 5.10)
√
4x − 3 = x − 2.11) 3x +
√
5x + 4 = 0.12)
√
2x − 3 =
√
x − 1.13)
√
2x − 3 −
√
x + 3 = 0.14)
√
6 − x −
√
−3x = 0.15)
√
x
2
− 5 =
√
4x − 9.16)
√
x
2
− 2x − 4 =
√
2 − x.17)
√
x
2
− x − 2 =
√
x + 1.18)
12/84 12/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
13
Bài 11. Giải các phương trình sau:
√
9x +
√
4x −
√
16x = 3.1) 3
√
2x − 5
√
8x + 7
√
18x = 8.2)
√
3x −
√
12x + 1 =
√
27x − 11.3)
√
9x + 9 − 2
√
x + 1 = 4.4)
√
4x − 20 +
√
x − 5 −
1
3
√
9x − 45 = 4.5)
√
4x + 8 −
√
9x + 18 −
√
x + 2 = −
√
x + 7.6)
√
9x + 18 −
√
9x + 9 = −
√
x + 1 +
√
x + 2.7)
√
50x + 25 +
√
9x + 9 =
√
16x + 16 +
√
32x + 16.8)
Dạng 3. Toán chứng minh
Bài 12. Chứng minh
a)
Ç
x
√
x + y
√
y
√
x +
√
y
−
√
xy
å
÷
√
x −
√
y
2
= 1 với x, y > 0;
b)
x
√
x + y
√
y
√
x +
√
y
+
xy +
√
xy
√
xy + 1
= x + y với x, y > 0;
c)
Å
1 +
1
√
x + 1
ã
÷
√
x + 2
x + 2
√
x + 1
=
√
x + 1 với x > 0;
d)
Å
√
x + 1
√
x − 1
−
√
x − 1
√
x + 1
+ 4
√
x
ãÅ
√
x −
1
√
x
ã
= 4x với x > 0 và x = 1;
e)
Ç
2
√
xy
x − y
+
√
x −
√
y
2(
√
x +
√
y)
å
·
2
√
x
√
x +
√
y
+
√
y
√
y −
√
x
= 1 với x, y > 0 và x = y;
f)
Ç
√
x +
y −
√
xy
√
x +
√
y
å
÷
x
√
xy + y
√
xy
√
xy(y − x)
=
√
y −
√
x với x, y > 0 và x = y;
g)
√
a +
√
b − 1
a +
√
ab
+
√
a −
√
b
2
√
ab
Ç
√
b
a −
√
ab
+
√
b
a +
√
ab
å
=
1
√
a
với a, b > 0 và a = b;
h)
√
a +
√
b
2
√
a − 2
√
b
−
√
a −
√
b
2
√
a + 2
√
b
−
2b
b − a
=
2
√
b
√
a −
√
b
với a, b > 0 và a = b;
Bài 13. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
a) A =
Å
1
2 + 2
√
x
+
1
2 − 2
√
x
−
x
2
+ 1
1 − x
2
ãÅ
1 +
1
x
ã
với x > 0 và x = 1;
b) B =
Ç
2
√
xy
x − y
+
√
x −
√
y
2(
√
x +
√
y)
å
·
2
√
x
√
x +
√
y
+
√
y
√
y −
√
x
với x, y > 0 và x = 0;
¤ a) 1 b) 1
Dạng 4. Rút gọn và điều kiện có nghĩa
Bài 14. Cho biểu thức A =
Å
1
√
1 + x
+
√
1 − x
ã
÷
Å
1
√
1 − x
2
+ 1
ã
.
13/84 13/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Ôn tập chương 1 Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
14
Tìm x để A có nghĩa;a) Rút gọn A;b) Tính A với x =
√
3
2 +
√
3
;c)
¤ a) −1 < x < 1 b)
√
1 − x c)
√
3 − 1
Bài 15. Cho biểu thức B =
Ç
x − y
√
x −
√
y
+
x
√
x − y
√
y
y − x
å
÷
√
x −
√
y
2
+
√
xy
√
x +
√
y
.
Rút gọn B;a) Chứng minh B ≥ 0;b) So sánh B với
√
B;c)
¤ a)
√
xy
x −
√
xy + y
b)B ≥ 0 c)B ≤
√
B
Bài 16. Cho biểu thức C =
Å
2 +
√
a
2 −
√
a
−
2 −
√
a
2 +
√
a
−
4a
a − 4
ã
÷
Å
2
2 −
√
a
−
√
a + 3
2
√
a − a
ã
.
Rút gọn C;a) Tính giá trị của a để C > 0;b)
Tìm giá trị của a để C = −1;c)
¤ a)
4a
√
a − 3
b)a > 9 c)a =
9
16
Bài 17. Cho biểu thức D =
2
√
x − 9
x − 5
√
x + 6
−
√
x + 3
√
x − 2
−
2
√
x + 1
3 −
√
x
.
Rút gọn D;a) Tìm x để D < 1;b)
Tìm giá trị nguyên của x để D ∈ Z;c)
¤ a)
√
x + 1
√
x − 3
b)
ß
0 ≤ x < 9
x = 4
c)x ∈ {16; 25; 49}
Bài 18. Cho biểu thức P =
Å
√
x −
1
√
x
ã
÷
Å
√
x − 1
√
x
+
1 −
√
x
x +
√
x
ã
.
a) Rút gọn P ;
b) Tính giá trị của P biết x =
2
2 +
√
3
.
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn P
√
x = 6
√
x − 3 −
√
x − 4;
¤ a)
(
√
x + 1)
2
√
x
b)
3
√
3 + 3
2
c)4
Bài 19. Cho biểu thức P =
Å
4
√
x
2 +
√
x
+
8x
4 − x
ã
÷
Å
√
x − 1
x − 2
√
x
−
2
√
x
ã
.
Tìm giá trị của x để P xác định?a) Rút gọn P ;b)
Tìm x sao cho P > 1;c)
¤ a)
ß
x > 0
x = 4.
b)
4x
√
x − 3
. c)x > 9.
Bài 20. Cho biểu thức C =
Å
√
x
3 +
√
x
+
x + 9
9 − x
ã
÷
Å
3
√
x + 1
x − 3
√
x
−
1
√
x
ã
.
Tìm giá trị của x để C xác định.a) Tìm x sao cho C < −1.b)
¤ a)
ß
x > 0
x = 9.
b)x > 16.
Bài 21. Cho biểu thức P =
Å
x + 2
√
x + 1
−
√
x
ã
÷
Å
√
x − 4
1 − x
−
√
x
√
x + 1
ã
.
Rút gọn P .a) Tìm x để P < 1.b)
Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.c)
¤ a)
√
x − 1
√
x + 2
. b)
ß
x ≥ 0
x = 1.
c)x = 0.
14/84 14/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
15
HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT
2
Chûúng
HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT
HÀM SỐ, HÀM SỐ BẬC NHẤT
1
Baâi söë
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = 4x
2
− 1.
a) Tính f(−5); f(0); f
Å
−
1
2
ã
.
b) Tìm các giá trị của x ứng với f(x) = −1; f(x) = 0; f(x) =
1
3
.
c) Điền các giá trị tương ứng vào bảng sau:
x −3 −2 2 3
y = 4x
2
− 1 3
5
4
¤ a) f(−5) = 99, f (0) = −1, f
Å
−
1
2
ã
= 0; b) x = 0, x = ±
1
2
, x = ±
1
√
3
Bài 2. Chứng minh hàm số y = f(x) = 3x đồng biến trên R.
Bài 3. Chứng minh hàm số y = f(x) = −2x + 1 nghịch biến trên R.
Bài 4. Cho hàm số y = f(x) = (m − 1)x − 2.
a) Tìm điều kiện để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Xác định m để hàm số trên nghịch biến.
c) Biết f(2) = −3. Xác định công thức chính xác của f(x).
¤ a) m = 1; b) m > 1; c) y = −
1
2
x − 2
Bài 5.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau
(d): y =
3
2
x − 1 (1); (d
′
): y = −
1
2
x + 2 (2).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) và có hoành độ là −2.
c) Tìm trên (d
′
) điểm N có tung độ là −
1
2
.
¤ b) M(−2; −4); c) N
Å
5; −
1
2
ã
Bài 6.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau
15/84 15/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
16
y = −2x + 5 (1); y = x + 2 (2).
b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số (1).
A(1; 3), B(−1; 3), C
Å
1
2
; 6
ã
, D
Å
3
2
; 2
ã
.
c) Tìm trên đồ thị hàm số (2) điểm E có hoành độ là 0,5 và điểm F có tung độ là −3.
¤ b) Điểm A và điểm D; c) E(0,5; 2,5), F (−5; −3)
Bài 7.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau:
y =
1
2
x − 2 (1); y = −2x + 3 (2).
b) Cho biết B(a; −0,5) thuộc đồ thị hàm số (1). Tìm a.
c) Xác định tọa độ điểm C thuộc đồ thị hàm số (2) và nằm trên trục hoành. Điểm D là giao điểm
của đồ thị hàm số (2) và trục tung.
¤ b) a = 3; c) C(
3
2
; 0), D(0; 3)
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG - ĐƯỜNG THẲNG CẮT
NHAU
2
Baâi söë
Bài 1.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau:
y = 2x; y = 2x + 5; y = −
2
3
x; y = −
2
3
x + 5.
b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC. Tứ giác trên có phải hình bình hành
không? (O là gốc tọa độ)
¤ b) OABC là hình bình hành
Bài 2. Cho hàm số bậc nhất y = 2x + k và y = (2m + 1)x + k − 1. Tìm m và k để hai đồ thị hàm số
trên là
Hai đường thẳng cắt nhau.a) Hai đường thẳng song song.b)
Hai đường thẳng trùng nhau.c)
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y =
Å
m −
3
2
ã
x + 2 (1) và y = (2 − m)x − 3 (2).
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số trên song song với nhau?
b) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với giá trị m vừa tìm được.
¤ a) m =
7
4
Bài 4. Cho hàm số y = −
1
2
x có đồ thị (D
1
) và y = 2x − 5 có đồ thị (D
2
).
a) Vẽ (D
1
) và (D
2
) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
16/84 16/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
17
b) Tìm m để đồ thị hàm số y = (3m
2
− 1) x + 3 song song với (D
2
).
¤ b) m = ±1
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = 4x − 6 có đồ thị là đường thẳng (d
1
) và hàm số
y = −2x có đồ thị là đường thẳng (d
2
).
a) Vẽ đồ thị (d
1
) và (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) bằng phép tính.
c) Cho đường thẳng (d
3
): y = (m
2
− 1) x + m
2
−5 với m = ±1. Xác định m để ba đường thẳng (d
1
),
(d
2
), (d
3
) đồng quy.
¤ b) A(1; −2), c) m = ±
√
2
Bài 6. Cho hàm số y =
1
2
x có đồ thị là (d
1
) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là (d
2
).
a) Vẽ (d
1
) và (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d
1
) và (d
2
) bằng phép toán.
c) Cho đường thẳng (d
3
): y = mx + n. Tìm m và n biết (d
3
) song song với (d
2
) và (d
3
) qua điểm
B(−3; 1).
¤ b) A(−4; −2), c) (d
3
): y = x + 4
Bài 7. Cho các đường thẳng
(d
1
): y = x + 2; (d
2
): y = 2x + 1; (d
3
): y = 3x.
a) Vẽ (d
1
) và (d
2
) trên cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm giao điểm của hai đường thẳng bằng phép
toán.
b) Chứng tỏ ba đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng quy tại một điểm.
Bài 8.
a) Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ.
(D): y = x + 1;a) (D
′
): y = −x + 3.b)
b) Hai đường thẳng (D) và (D
′
) cắt nhau tại C và cắt Ox theo thứ tự tại A, B. Tìm tọa độ các
điểm A, B, C.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
¤ b) A(1; 2), B(−1; 0), C(3; 0); c) Chu vi: 4 + 4
√
2, S
ABC
= 4
Bài 9. Cho (d): y = (k + 1)x + 3 (k = −1) và (d
′
): y = (3 − 2k)x + 1
Å
k =
3
2
ã
.
a) Tìm k để (d) và (d
′
) là hai đường thẳng song song.
b) Hai đường thẳng trên có thể trùng nhau không? Vì sao?
¤ a) k =
2
3
; b) (d) và (d
′
) không thể trùng nhau.
Bài 10. Cho đường thẳng (d): y = ax + 2 (a = 0) và (d
′
): y = a
′
x − 3.
a) Tìm a biết (d) đi qua điểm A(2; −6).
17/84 17/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a = 0) Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
18
b) Tìm a
′
biết (d
′
) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là −2.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (d
′
) với a và a
′
vừa tìm được.
¤ a) a = −4; b) a
′
= −
3
2
; c) (2; −6)
Bài 11. Cho đường thẳng (D): y = ax −
1
2
và (d): y = −3x − b.
a) Vẽ đồ thị (D), biết đường thẳng (D) song song với đường thẳng (d).
b) Tìm b biết điểm B(−3; 1) thuộc đồ thị hàm số (d).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng (D) và trục tung.
¤ b) b = 8; c)
Å
0; −
1
2
ã
Bài 12. Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) ∥ (D): y = 2x − 3 và (d) cắt (d
′
): y = 3x + 1 tại
điểm có tung độ là 2. ¤ (d): y = 2x +
4
3
Bài 13. Cho hai hàm số
y = (k − 2)x + k (k = 2) (1); y = (k + 3)x − k (k = −3) (2).
Với giá trị nào của k thì
a) Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
b) Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
¤ a) k = 0; b) k = 0, k = −
1
2
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a = 0)
3
Baâi söë
Bài 1. Cho hàm số y = −2x + 3.
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng trên và trục Ox.
¤ b) α = 116
◦
33
′
54
′′
Bài 2. Cho hai hàm số y = x − 5 và y = −x + 3 có đồ thị là (d
1
) và (d
2
).
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
c) Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng (d
1
).
¤ b) (4; −1) c) y = x + 1
Bài 3.
a) Vẽ đồ thị các hàm số sau lên mặt phẳng tọa độ (d): y = 0,5x + 2 và (d
′
): y = 5 − 2x.
b) Tính số đo các góc tạo bởi đường thẳng (d) và (d
′
).
¤ b) 116
◦
33
′
54
′′
Bài 4. Cho hai hàm số y = x − 3 và y = −2x + 1 có đồ thị là (d
1
) và (d
2
).
18/84 18/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
19
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên bằng phép tính.
c) Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; −5) và song song với đường thẳng (d
2
).
¤ b)
Å
4
3
; −
5
3
ã
c) y = −2x − 1
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng (d) là đồ thị của một hàm số bậc nhất, biết (d) song song với
(d
′
): y = −x − 2 và (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là −3. ¤ y = −x − 3
Bài 6.
a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = 2x − 6.
b) Viết phương trình đường thẳng (d
′
), biết rằng (d
′
) song song với (d) và cắt trục hoành tại điểm
có hoành độ bằng 5.
¤ b) y = 2x − 10
Bài 7. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm a, b trong các trường hợp
sau:
a) (d) song song với (d
′
): y = 2x − 1 và (d) đi qua điểm A(2; −5).
b) (d) song song với (d
′
): y =
1
2
x + 3 và (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là −1.
c) (d) song song với (d
′
): y = −3x + 2 và (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2.
¤ a) y = 2x − 9 b) y =
1
2
x − 1 c) y = −3x + 6
Bài 8.
a) Vẽ đồ thị (d
1
) của hàm số y = −
1
2
x + 3.
b) Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị (d
2
), biết đồ thị hàm số (d
2
) đi qua điểm A(1; 4) và song
song với đường thẳng (d
1
).
¤ b) y = −
1
2
x +
9
2
Bài 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = x + 3 −m và y = 2x + 5 + m cắt nhau tại một
điểm nằm trên trục tung. ¤ m = −1
Bài 10. Cho các đường thẳng (d) : y = ax + b (a = 0); (d
1
) : y = −
1
2
x + 3 và (d
2
) : y = x −1. Tìm a, b
biết
a) (d) ∥ (d
1
) và cắt (d
2
) tại điểm có hoành độ là 1.
b) (d) song song với đồ thị hàm số y = 2x và đi qua giao điểm của (d
1
) với (d
2
).
¤ a) a = −
1
2
; b =
1
2
b) a = 2; b = −
11
3
19/84 19/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Các bài tập tổng hợp Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
20
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
4
Baâi söë
Bài 1. Cho hàm số y = 2x + 1. (1)
a) Vẽ đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số trên và tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục hoành.
b) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số (1) : A(−2, −3); B(3; −1).
c) Trên đường thẳng (d) lấy hai điểm C có hoành độ là 3 và D có tung độ là −2. Tìm tọa độ của
điểm C và D.
d) Cho (d
1
) : y = ax + b (a = 0). Tìm a, b biết (d) ∥ (d
1
) và (d
1
) đi qua điểm E(−1; 2).
e) Viết phương trình đường thẳng (d
2
) có hệ số góc bằng −1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ là 2.
¤ a) 63
◦
26
′
9
′′
b) A ∈ (d) và B ∈ (d) c) C(3; 7); D
Å
−
3
2
; −2
ã
d) a = 2; b = 4 e) (d
2
) : y = −x + 2
Bài 2.
a) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, vẽ các đường thẳng (d
1
) : y = 2x − 1 và (d
2
) : y = −x + 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d
1
), (d
2
) bằng phép tính.
c) Biết đường thẳng (d) là đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b. Xác định a, b biết (d) ∥ (d
2
) và giao
với trục tung tại điểm có tung độ là 3.
¤ b) (2; 3) c) a = −1; b = 3
Bài 3. Cho (d) : y = −
1
2
x + 3
a) Vẽ (d) trên hệ trục tọa độ.
b) Tìm trên (d) điểm M có hoành độ là 4 và điểm N có tung độ là 2.
c) Tìm giao điểm của (d) và (d
′
) : y = 3x − 1.
¤ b) M(4; 1); N (2; 2) c)
Å
8
7
;
17
7
ã
Bài 4. Cho đường thẳng (d) : y = (m − 2)x + m + 4 và (d
′
) : y = −3x + 2.
a) Tìm m để (d) ∥ (d
′
).
b) Tìm m để (d) và (d
′
) cắt nhau.
c) Tìm m để (d) và (d
′
) trùng nhau.
¤ a) m = −1 b) m = −1 c) Không tồn tại m
Bài 5. Cho 2 hàm số y = (2m − 1)x + n, (1) và y = (−5 + m)x + n − 2, (2)
a) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) song song.
b) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm.
c) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) trùng nhau.
¤ a) m = −4, n ∈ R. b) m = −4, n ∈ R. c) Không tồn tại m, n.
Bài 6. Cho hai đường thẳng (d
1
): y = (2 + m)x + 1 và (d
2
): y = (1 + 2m)x + 2.
20/84 20/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
21
a) Tìm m để (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b) Với m = −1, vẽ (d
1
) và (d
2
) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ điểm của hai đường
thẳng (d
1
) và (d
2
) bằng phép tính.
¤ a) m = 1. b) (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm có tọa độ
Å
1
2
;
3
2
ã
.
Bài 7.
a) Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3 + m và y = 3x + 5 − m cắt nhau tại một
điểm trên trục tung.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d
′
): y =
−1
2
x cắt trục hoành tại điểm
có hoành độ bằng 10 .
¤ a) m = 1. b) (d) : y = −
1
2
x + 5.
Bài 8. Cho hai đường thẳng (d
1
) : y =
1
2
x + 2 và (d
2
) : y = −x + 2.
a) Vẽ (d
1
) và (d
2
) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d
1
) và (d
2
) với trục Ox, C là giao điểm của (d
1
) và (d
2
). Tính
chu vi và diện tích của △ABC.
¤ b) Diện tích △ABC bằng 6.
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HÀM SỐ
5
Baâi söë
Bài 1. Cách đây hơn một thế kỷ, nhà khoa học người Hà Lan Hendrich Lorentz (1853 − 1928) đưa ra
công thức tính số cân nặng lí tưởng của con người theo chiều cao như sau
M = T − 100 −
T − 150
N
(công thức Lorentz)
Trong đó M là số cân nặng lí tưởng tính theo kilogam; T là chiều cao tính theo centimet; N = 4 với
nam giới và N = 2 với nữ giới.
a) Bạn An là nam giới chiều cao 1,6 m. Hỏi cân nặng của bạn nên là bao nhiêu kg để đạt lí tưởng?
b) Với chiều cao bằng bao nhiêu thì số cân nặng lí tưởng của nam giới và nữ giới bằng nhau?
¤ a) 57,5 kg. b) 150 cm.
Bài 2. Điện áp V ( đơn vị V) yêu cầu cho 1 mạch điện được cho bởi công thức V =
√
P · R, trong đó
P là công suất (đơn vị W) và R là điện trở trong ( đơn v Ω).
a) Cần điện áp bao nhiêu để thắp sáng 1 bóng đèn A có công suất 100 W và điện trở trong của bóng
đèn là 110 Ω?
b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 V, điện trở trong là 88 Ω có công suất lớn hơn bóng đèn A
không? Giải thích?
¤ a) V = 10
√
110 V. b) Vậy công suất đèn B lớn hơn.
Bài 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức
G(x) = 0,024(30 − x)
Trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tính nồng độ
giảm huyết áp của bệnh nhân sau khi tiêm 10 mg thuốc? (kết quả làm tròn tới 1 chữ số thập phân).
¤ G(x) ≈ 0,5.
21/84 21/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Các bài toán thực tế ứng dụng hàm số Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
22
Bài 4. Để chyển đổi liều thuốc dùng theo độ tuổi, các dược sĩ dùng công thức sau
c = 0,0417D(a + 1)
Trong đó: D là liều dùng cho người lớn (theo đơn vị mg) và a là tuổi của em bé, c là liều dùng cho em
bé. Với loại thuốc có liều dùng cho người lớn là D = 200 mg thì với em bé 2 tuổi sẽ có liều dùng thích
hợp là bao nhiêu? ¤ c = 25,02.
Bài 5. Khi nuôi cá trong hồ, các nhà sinh vật học đã ước tính rằng: Nếu trên mỗi mét vuông hồ cá có
n con cá thì khối lượng trung bình của mỗi con cá sau một vụ cân nặng T = 500 − 200n gam. Sau khi
nuôi vụ đầu tiên thì cân nặng trung bình mỗi con cá là 200 gam. Biết rằng diện tích của hồ là 150 m
2
.
Hãy tính số lượng cá được nuôi trong hồ. ¤ 225 con.
Bài 6. Thời gian t (được tính bằng giây) từ khi một người bắt đầu nhảy bungee trên cao cách mặt
nước d (tính bằng m ) đến khi chạm mặt nước được cho bởi công thức t =
3d
9,8
. Tìm thời gian một
người nhảy bungee từ vị trí cao cách mặt nước 108 m đến khi chạm mặt nước? ¤ t ≈ 5,7 giây.
Bài 7. Một hình chữ nhật có kích thước 30 cm. Người ta tăng kích thước của hình chữ nhật thêm x
cm. Khi đó chu của hình chữ nhật được cho bởi hàm số bậc nhất P = 4x + 100.
a) Cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Hãy tính chu vi hình chữ nhật khi tăng mỗi kích thước 10 cm.
¤ a) Hàm số trên đồng biến vì a = 4 > 0.b) Chu vi hình chữ nhật P = 140 cm.
Bài 8. Ở độ cao h m bạn có thể nhìn thấy đường chân trời cách xa V km, những đại lượng này liên hệ
với nhau theo công thức V = 3,5
√
h.
a) Một người có thể nhìn thấy đường chân trời cách 392 km từ cửa sổ máy bay, hỏi máy bay đó đang
ở độ cao bao nhiêu?
b) Một người đang đứng ở trên đỉnh Hoàng Liên Sơn 3143 km (cao nhất Việt Nam) thì có thể nhìn
thấy đường chân trời cách đó bao nhiêu km?
¤ a) 12 544 km. b) 196 km.
Bài 9. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 200 m. Quãng đường chuyển động (mét) của vật rơi phụ
thuộc vào thời gian t giây bởi công thức S = 4t
2
−100t + 197. Hỏi sau bao lâu vật này cách mặt đất 3
m? ¤ 25 m.
Bài 10. Thả một vật nặng từ trên cao xuống, chuyển động của vật được gọi là vật rơi tự do. Biết rằng
quãng đường đi của vật được cho bởi công thức s = 4,9t
2
. Với s là quãng đường rơi của vật tính bằng
m; t là thời gian rơi tính bằng giây.
a) Nếu thả vật từ độ cao 122,5 m thì sau bao lâu vật chạm đất?
b) Hãy tính quãng đường vật rơi trong giây thứ tư?
¤ a) t = 5 giây. b) s = 78,4 m.
Bài 11. Công ty đô chơi Bingbon vừa cho ra đời một đồ chơi tàu điện điều khiền từ xa. Trong điều
kiện phòng thí nghiệm, quãng đường centimet đi được của đoàn tàu đồ chơi là một hàm số của thời
gian t giây, hàm số đó là s = 6t + 9. Trong điều kiện thực tế người ta thấy rằng nếu đoàn tàu đồ chơi
di chuyển quãng đường 12 cm thì mất 2 giây và cứ trong mỗi 10 giây thì nó đi được 52 cm.
a) Trong điều kiện phòng thí nghiệm, sau 5 giây đoàn tàu đồ chơi di chuyển được bao nhiêu centimet?
b) Mẹ bé An mua đồ chơi này về cho bé chơi, bé ngồi cách mẹ 1,5 mét. Hỏi cần bao nhiêu giây để
đoàn tàu đồ chơi từ chổ mẹ đến chổ bé?
22/84 22/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
23
¤ a) 39 cm. b) Khoảng 30 giây.
Bài 12. Công thức h = 0, 4
3
√
x biểu diễn mối tương quan giữa cân nặng x (tính bằng kg ) và chiều cao
h (tính bằng m ) của một con hươu cao cổ.
a) Một con hươu cao cổ có cân nặng 180 kg thì cao bao nhiêu mét?
b) Một con hươu cao cổ có chiều cao 2,56 mét thì cân nặng bao nhiêu kg?
¤ a) Khoảng 2,3 m. b) 262,144 kg.
Bài 13. Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức v =
√
30fd
để ước lượng tốc độ v (đơn vị dặm/giờ) của xe từ vết trượt trên mặt đường sau khi thắng đột ngột.
Trong đó, d là chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đường tính bằng feet (ft), f là hệ số ma sát
giữa bánh xe và mặt đường (là thước đo sự “ trơn trượt”của mặt đường).
a) Cho biết vận tốc của một chiếc xe hơi là 60 dặm/giờ, và hệ số ma sát f = 0,8. Tính chiều dài vết
trượt của bánh xe trên nền đường khi xe thắng gấp.
b) Đường cao tốc Long Thành - Dầu Giây có tốc độ giới hạn là 100 km/h. Sau một vụ va chạm giữa
hai xe, cảnh sát đo được vết trượt của một xe là d = 172 ft và hệ số ma sát mặt đường tại thời
điểm đó là f = 0,7. Chủ xe đó nói xe xủa ông không chạy quá tốc độ. Hãy áp dụng công thức
trên để ước lượng tốc độ chiếc xe đó rồi cho biết lời nói của người chủ xe đó đúng hay sai? (Biết
1 dặm = 1069 m).
¤ a) 150 ft. b) Người chủ xe nói đúng.
23/84 23/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
24
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
3
Chûúng
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
1
Baâi söë
Dạng 1. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm
cVí dụ 1. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của
(D): x − 3y + 6 = 0.
cVí dụ 2. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của
phương trình 4x − y = 5.
cVí dụ 3. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của
x − 2y = 6.
cVí dụ 4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2x − y = 3 và vẽ đường thẳng biểu diễn tập
nghiệm đó trên mặt phẳng tọa độ.
cVí dụ 5. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình 3x −y = 7 và biểu diễn tập nghiệm
của chúng trên hệ trục tọa độ Oxy.
cVí dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phương trình:
0x − 5y = −15;a) 3x − 4y = 15.b)
Dạng 2. Biện luận nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
cVí dụ 7. Tìm m để hệ vô nghiệm
®
mx + 2y = −2
3x − y = 5
cVí dụ 8. Cho hệ phương trình
®
mx − y = 1
my − x = m
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có
nghiệm duy nhất.
24/84 24/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
25
cVí dụ 9. Cho hệ phương trình
®
2mx − y = −4
− 9x + 8my = 1
. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có
nghiệm duy nhất.
cVí dụ 10. Cho hệ phương trình
®
− 2x + my = 4
mx − 4, 5y = 6
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô
nghiệm.
cVí dụ 11. Tìm giá trị của m để hệ phương trình
®
(m + 2018)x +
√
2y = 6
2
√
2x + (m + 2018)y = 9
có nghiệm duy nhất.
cVí dụ 12. Cho hệ phương trình
®
m(x − y) = m
4
+ 1
m
2
− 2m
x + my = m
3
− m
2
− 2
. Với giá trị nào của m thì
hệ phương trình vô nghiệm.
cVí dụ 13. Cho hệ phương trình
®
(m + 1)x − 2y = 3
3x + 2y = 1
. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy
nhất (x; y) thỏa điều kiện x > 0.
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2
Baâi söë
Dạng 1. Giải hệ bằng phương pháp thế và cộng đại số
cVí dụ 1. Sử dụng phương pháp thế giải các hệ phương trình sau
®
x + y = 2
2x − y = 1.
a)
®
5x − 2y = 1
− 4x + y = −2.
b)
®
x − 3y = 23
4x + 5y = 7.
c)
®
2x − 3y = −7
x + 5y = 16.
d)
®
x + y = 2
2x − y = 1.
e)
®
4x + 3y = 6
2x + y = 4.
f)
®
5x − 2y = 1
− 3x + y = −1.
g)
®
x − 3y = 23
4x + 5y = 7.
h)
cVí dụ 2. Sử dụng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau
®
3x + 2y = 5
4x + 3y = −1.
a)
®
x − y
√
2 = 6
2
√
2x − 3y = 8.
b)
®
3x + 2y = 3
5x + 3y = 10.
c)
®
2
√
5x − y = 4
√
5
x + 6
√
5y = 2.
d)
®
x
√
3 + 2y =
√
3
3x − y
√
3 = −6.
e)
®
x
√
2 + y
√
3 + 1 = 0
3
√
2x − 5
√
3y = 21.
f)
®
2x − 5y = −6
3x + 2y = 10.
g)
®
3x − y
√
2 = 1
x + 2y
√
2 = 5.
h)
®
2x + 3y = 1
3x − 4y = 10.
i)
25/84 25/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
26
cVí dụ 3. Giải các hệ phương trình sau
2x + 3
3y − 2
= 1
3(3y + 2) − 4(x + 2y) = 0.
a)
3x
2
+ 2y = 0
x + y
2
−
2y
3
=
5
2
.
b)
®
2(2x + 3y) = 3(2x − 3y) + 10
3x − 3y = 4(6y − 2x) + 3.
c)
®
− x + 2y = −4(x − 1)
5x + 3y = −(x + y) + 8.
d)
®
(x − 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y − 1)
(4x + 1)(3y − 6) = (6x − 1)(2y + 3).
e)
®
x + y = 2(x − 1)
7x + 3y = x + y + 4.
f)
x + 1
3
−
y + 2
4
=
2(x − y)
5
x − 3
4
−
y − 3
3
= 2y − x.
g)
2x + 1
4
−
y − 2
3
=
1
12
x + 5
2
=
y + 7
3
− 4.
h)
cVí dụ 4. Giải các hệ phương trình sau (đặt ẩn phụ)
1
x
−
1
y
= 1
3
x
+
4
y
= 5.
a)
1
x − 2
+
1
y − 1
= 2
2
x − 2
−
3
y − 1
= 1.
b)
7
x − y + 2
−
5
x + y − 1
= 4, 5
3
x − y + 2
+
2
x + y − 1
= 4.
c)
®
2x
2
+ 3y = 1
3x
2
− 2y = 2.
d)
®
3x
2
+ y
2
= 5
x
2
− 3y
2
= 1.
e)
1
x
−
1
y
= 1
3
x
+
4
y
= 5.
f)
4
√
x
+
3
√
y
=
13
36
6
√
x
+
10
√
y
= 1.
g)
®
2
√
x − 1 −
p
y − 1 = 1
√
x − 1 +
p
y − 1 = 2.
h)
®
3
p
4x + 2y − 5
p
2x − y = 2
7
p
4x + 2y + 2
p
2x − y = 32.
i)
cVí dụ 5. Cho hệ phương trình
®
(a − 2)x + 5by = 25
2ax − (b − 2)y = 5.
(với a, b ∈ R).
Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; −1)
cVí dụ 6. Cho hệ phương trình
®
2x + ay = b + 4
ax + by = 8 + 9a.
(với a, b ∈ R).
cVí dụ 7. Cho đa thức f(x) = mx
3
+ (m − 2)x
2
− (3n − 5)x − 4n. Hãy xác định m và n sao cho
đa thức đã cho chia hết cho x + 1 và x − 3.
Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; −1)
26/84 26/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
27
cVí dụ 8. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
x + 1
3
−
y + 2
4
=
2(x − y)
5
x − 3
4
−
y − 3
3
= 2y − x.
cũng là nghiệm của phương trình 3mx − 5y − 2m + 1 = 0.
Dạng 2. Giải hệ phương trình đối xứng
cVí dụ 9. Giải các hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 1):
®
x + y + xy = 5,
x
2
+ y
2
− 3xy = −1.
a)
®
x
2
+ 2y
2
+ 6xy
2
= 9,
x
2
+ 4y
4
= 5.
b)
®
x + 2y
2
+ 6xy
2
= 9,
x
2
+ 4y
4
= 5.
c)
®
√
x + y +
√
y = 2,
x + 2y = 2.
d)
®
x
2
+ y
2
+ xy = 4y − 1,
x
3
+ x
2
y + x − 3y = 0.
e)
x
2
+ x =
14
3
y,
x
3
= 5y
2
.
f)
cVí dụ 10. Giải các hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 2):
®
x
2
− 2018x = 2017y
y
2
− 2018y = 2017x.
a)
®
x
3
+ 2 = 3y
y
3
+ 2 = 3x.
b)
4x − xy =
1
3
y
4y − xy =
1
3
x.
c)
®
x
2
+ x = 2y
y
2
+ y = 2x.
d)
x
2
− 2xy = 2018
y
x
y
2
− 2xy = 2018
x
y
.
e)
x
2
+
1
x
2
= 2y − 2
y
2
= 2x +
2
x
.
f)
cVí dụ 11. Giải các hệ phương trình sau (hệ đẳng cấp):
®
x
2
− 3xy + 2y
2
= 0
2x
2
+ xy − 10y
2
= 0.
a)
®
2x
2
− 3xy + y
2
= 0
x
2
+ xy + 4y
2
= 19.
b)
®
x
2
− 2xy − y
2
= 1
x
2
+ xy − y
2
= −5.
c)
®
x
3
− 3xy
2
+ 2y
3
= 0
x
3
+ x
2
y − y
3
= 5.
d)
®
x
3
+ y
3
= 2
3x
3
− xy
2
− y
3
= 1.
e)
®
x
2
+ 3xy = −9
x
2
+ 6xy + 9y
2
= 9.
f)
27/84 27/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
28
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
Baâi söë
Bài 1. Một hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài 3 m và tăng chiều rộng 2 m thì diện tích
tăng 45 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Bài 2. Sắp đến ngày tết, anh Nam đang định mua một chiếc Tivi màn hình 65 inch với tỉ lệ chuẩn
16 : 9 để đặt trên kệ với chiều dài và chiều rộng của kệ lần lượt là 140 cm và 80 cm. Theo bạn anh Nam
có nên mua chiếc Tivi đó không? (biết 1 inch = 2, 54 cm)
Bài 3. Bạn Nam đem 20 tờ tiền giấy gồm hai loại 2 000 đồng và 5 000 đồng đến siêu thị mua một món
quà có giá trị 78 000 đồng và được thối lại 1 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu tờ tiền mỗi loại?
Bài 4. Bé Na để dành tiền ăn bánh để bỏ heo đất. Hôm nay cần mua sách và dụng cụ học tập nên bé
Na quyết định đập heo đất và đếm được có tất cả 38 tờ tiền loại 5 000 đồng và 10 000 đồng. Vì sách và
dụng cụ học tập hết 248 000 đồng nên bé Na phải xin mẹ thêm 23 000 đồng. Hỏi bé Na có bao nhiêu tờ
tiền mỗi loại?
Bài 5. Dân số của một tỉnh là 420 000 người. Nếu sau một năm, dân số nội thành tăng 0, 8% và dấn
số ngoại thành tăng 1, 1% thì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1%. Hãy tìm dân số của nội thành
và dân số ngoại thành của tỉnh đó vào thời điểm hiện tại?
Bài 6. Tìm hai số nguyên biết tổng của chúng bằng 99 và nếu chia số lớn cho số bé thì được thương là
4 dư 9?
Bài 7. Giải bài toán cổ sau đây bằng cách lập hệ phương trình:
Một đàn em bé tắm bên sông
Lấy ống làm phao, nổi bềnh bồng
Hai chú một phao, thừa bảy chiếc
Hai phao một chú, bốn người không
Hỡi người thạo tính, cho hỏi thử
Mấy phao, mấy chú, tính cho thông?
Bài 8. Chu vi miếng đất hình chữ nhật là 54 m, nếu giảm chiều dài đi 5 m và tăng chiều rộng thêm 3
m thì miếng đất là một hình vuông. Tính diện tích ban đầu của miếng đất đó.
Bài 9. Ông Hai có một miếng đất trông rau sạch hình chữ nhật, chi vi là 38 m. Để diện tích miếng đất
tăng thêm 6 m
2
phải tăng chiều dài 3 m và giảm chiều rộng 1 m. Hãy tính kích thước khu vườn lúc
đầu?
Bài 10. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km, đi ngược chiều và gặp
nhau sau 5 giờ. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không đổi, nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40
phút thì hai xe gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc xe đi chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 11. Một trường trung học cơ sở tổ chức cho học sinh khối 8 và 9 tham quan viện bảo tàng. Nhà
trường quyết định mỗi xe ô tô phải chở số học sinh là như nhau. Lúc đầu, Ban giám hiệu định cho mỗi
xe ô tô chở 22 học sinh, nhưng nếu như vậy thì dư ra 1 em. Về sau, khi bớt đi một ô tô thì có thể sắp
xếp các em học sinh đều lên mỗi ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và tổng số học sinh của hai
khối 8 và 9, biết rằng mỗi ô tô chở không vượt quá 32 em.
Bài 12. Hiện nay, tuổi của Nam và chị gái chênh lệch nhau theo tỷ lệ 4 : 5; 6 năm sau, tỷ lệ tuổi của 2
người là 6 : 7. Hỏi số tuổi hiện nay của bạn Nam là bao nhiêu?
28/84 28/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
29
HÀM SỐ y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI
4
Chûúng
HÀM SỐ y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI
HÀM SỐy = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
,(a = 0)
(a = 0)
(a = 0)
1
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
, (a = 0)
(a = 0)
(a = 0)
a) Tập xác định của hàm số là R.
b) Tính chất biến thiên của hàm số:
○ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
○ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
2 Đồ thị hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
, (a = 0)
(a = 0)
(a = 0)
Đồ thị của hàm số y = ax
2
, với a = 0 là một đường Parabol:
○ Có đỉnh là gốc tọa độ O(0; 0).
○ Có trục đối xứng là Oy.
○ Nếu a > 0, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành và nhận điểm O là điểm “thấp nhất”.
○ Nếu a < 0, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành và nhận điểm O là điểm “cao nhất”.
3 Cách vẽ đồ thị
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
, a = 0 ta đi lấy 5 điểm:
○ Điểm O(0; 0).
○ Cặp điểm A
1
, A
2
có hoành độ đối xứng qua O.
○ Cặp điểm B
1
, B
2
có hoành độ đối xứng qua O.
Nối các điểm B
1
, B
2
, O, A
1
, A
2
theo đường cong ta nhận được đồ thị của hàm số
x
y
O
−2
−1 1 2
B
1
B
2
A
1
A
2
1
4
x
y
O
B
1
B
2
A
1
A
2
−2 −1 1 2
−1
−4
29/84 29/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
1. Hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
, (a = 0)
(a = 0)
(a = 0)
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
30
B– DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Tính giá trị của hàm số
cVí dụ 1. Cho hàm số y =
1
2
x
2
.
a) Hãy lập bảng tính các giá trị f(−4), f(−2), f(0), f(2), f (4).
b) Tìm x biết f(x) = 1, f(x) = 2 −
√
3.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho hàm số y = 2x
2
a) Hãy lập bảng tính các giá trị f(−5), f(−3), f(0), f(3), f (5).
b) Tìm x biết f(x) = 8, f(x) = 6 − 4
√
2.
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) =
1
3
x
2
.
a) Tính f(−3), f (−1), f(0), f(1), f(3), f
Å
3
2
ã
, f
Å
1
3
ã
.
b) Tìm các giá trị của x, biết rằng y =
1
27
. Cũng câu hỏi tương tự với y = 5.
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) = ax
2
. Biết x = −2 thì y = −
4
3
a) Tìm hệ số a.
b) Tính f(−1, 5), f (0, 5).
Dạng 2. Tính chất đồng biến, nghịch biến
Tính chất biến thiên của hàm số y = ax
2
(a = 0):
○ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
○ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
cVí dụ 2. Hãy nêu tính chất biến thiên của các hàm số sau:
y = 8x
2
.a) y = −
1
2
x
2
.b)
cVí dụ 3. Cho hàm số y = (2m − 4)x
2
với a = 2m − 4 = 0. Tìm giá trị của m để
Hàm số nghịch biến.a) Có giá trị y = 9 khi x = 3.b)
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.c) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.d)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
30/84 30/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
31
Bài 1. Hãy nêu tính chất biến thiên của các hàm số sau
y = 3x
2
.a) y = −
9
2
x
2
.b)
y =
Ä
4 − 2
√
3
ä
x
2
.c) y = (m
2
+ 1) x
2
.d)
y = (m − 1)x
2
.e)
Bài 2. Cho hàm số y = (m
2
− 3m + 2) x
2
. Tìm giá trị m để
Hàm số đồng biến với x > 0.a) Có giá trị y = 8 khi x = 2.b)
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.c) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.d)
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) = ax
2
. Biết rằng khi x = 5 thì y =
75
2
.
a) Tính giá trị của y khi x = −3.
b) Tìm các giá trị của x khi y = 15.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y khi x biến đổi thỏa mãn điều kiện −4 ≤ x ≤ 2.
Dạng 3. Các bài toán thực tế
○ Xác định kỹ xem từng biến trong công thức (hàm số) có ý nghĩa gì.
○ Trả lời câu hỏi của bài toán.
cVí dụ 4. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường vật chuyển động s
mét
của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t
giây
bởi công thức S = 4t
2
.
a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự sau 2 giây?
b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?
cVí dụ 5. Lực F của gió khi thổi vuông góc với cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương của vận
tốc v của gió, tức là F = av
2
(a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2 m/s thì lực tác động
lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120 N.
a) Tính hằng số a.
b) Hỏi khi v = 10 m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi khi v = 20 m/s?
c) Biết rằng cánh buồm đó chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000 N, hỏi con thuyền có
thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không?
Dạng 4. Đồ thị hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
a) Các bước vẽ đồ thị hàm số
○ Lập bảng giá trị, lấy 5 điểm.
○ Nối 5 điểm lại, ta được đồ thị là đường Parabol.
b) Lưu ý quan trọng:
31/84 31/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
1. Hàm số y = ax
2
y = ax
2
y = ax
2
, (a = 0)
(a = 0)
(a = 0)
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
32
○ Một điểm thuộc đồ thị khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa công thức của đồ thị đó.
cVí dụ 6. Cho hàm số y =
1
4
x
2
.
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Các điểm A(0; 0), B(2; 1), C
Å
3
2
;
9
16
ã
, D(3; 4) có thuộc đồ thị hàm số không?
cVí dụ 7. Cho hàm số y = f(x) = x
2
a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.
b) Tính các giá trị f(−8), f(−1,3), f(−0,75), f(1,5).
cVí dụ 8. Cho hàm số y = −0,75x
2
. Vẽ đồ thị của hàm số, từ đó hãy cho biết x tăng từ −2 đến 4
thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?
cVí dụ 9. Cho hàm số y = (m − 1)x
2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; −1). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 5.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −4.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ gấp đôi hoành độ.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = x
2
.
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số đã cho:
A(5; 10), B(−2; 4), C(11; 100), D
Å
−
1
2
;
1
4
ã
, E
Ä
2
√
3; 12
ä
?
c) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [−2; 1].
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) = ax
2
. Biết rằng điểm A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số
a) Xác định hệ số a.
b) Điểm B
Å
−
3
2
;
9
2
ã
có thuộc đồ thị của hàm số đã cho hay không ?
c) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
d) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn
ï
−2; −
1
2
ò
.
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) = −2x
2
32/84 32/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
33
a) Tính f(1), f
Å
1
3
ã
.
b) Vẽ đồ thị hàm số.
c) Tìm các điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 4.
d) Chứng minh rằng hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
Bài 4. Cho hàm số y =
2
3
x
2
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Các điểm A(0; 0), B(3; 6), C
Å
1;
3
2
ã
, D(3; 1) có thuộc đồ thị hàm số không?
Bài 5. Cho hàm số y = −125x
2
a) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
b) Tìm giá trị của m, n để các điểm A(1; m) và B(n; 125) thuộc đồ thị hàm số trên.
Bài 6. Cho hàm số y = (m + 1)x
2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2).
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng −2.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −8.
e) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ gấp ba lần hoành độ.
Bài 7. Cho hàm số y = (2m − 1)x
2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1; 2).
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 5.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −7.
Bài 8.
a) Vẽ (P ) : y = x
2
.
b) Biết các điểm A, B ∈ (P ) và lần lượt có hoành độ bằng 1 và −
3
2
. Tính tung độ của chúng.
c) Viết phương trình đường thẳng AB.
d) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB cắt (P ) tại điểm có hoành độ bằng −2.
33/84 33/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Phương trình bậc hai một ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
34
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
2
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
ax
2
+ bx + c = 0.
trong đó x là ẩn số, a, b, c là những số cho trước (hệ số) và a = 0.
2 Công thức nghiệm
Tính ∆ = b
2
− 4ac.
○ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
−b +
√
∆
2a
; x
2
=
−b −
√
∆
2a
○ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= −
b
2a
.
○ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
3 Công thức nghiệm thu gọn
Nếu b = 2b
′
, đặt ∆
′
= b
′2
− ac.
○ Nếu ∆
′
> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
−b
′
+
√
∆
′
a
: x
2
=
−b
′
−
√
∆
′
a
○ Nếu ∆
′
= 0 thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= −
b
′
a
○ Nếu ∆
′
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Giải phương trình bậc hai
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc hai.
cVí dụ 1. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số
nghiệm của mỗi phương trình sau:
7x
2
− 2x + 3 = 0.a) 5x
2
+ 2
√
10x + 2 = 0.b)
1
2
x
2
+ 7x +
2
3
= 0.c) 1,7x
2
− 1,2x − 2,1 = 0.d)
34/84 34/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
35
cVí dụ 2. Giải phương trình −6x
2
+ 7x − 2 = 0.
cVí dụ 3. Giải phương trình x
2
+ 2x − 3 = 0 theo nhiều cách.
cVí dụ 4. Giải các phương trình:
4
3
x
2
− 5x + 3 = 0.a)
√
2x
2
− 2
√
3x − 12
√
2 = 0.b)
cVí dụ 5. Giải phương trình
1
√
2 − 1
x
2
+ (
√
2 − 1)x − 2 = 0.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải các phương trình sau:
4x
2
− 6x + 7 = 0.a) 9x
2
− 6x + 26 = 0.b)
x
2
+ 4x − 12 = 0.c) x
2
+ 8x − 10 = 0.d)
Bài 2. Giải các phương trình sau:
x
2
+
1
2
x −
1
2
= 0.a)
1
3
x
2
−
1
2
x − 1 = 0.b)
5x
2
− x +
5
49
= 0.c)
2
5
x
2
+
1
3
x +
1
15
= 0.d)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
x
2
− (2 +
√
2)x + 2
√
2 = 0.a) x
2
+
1
√
3 −
√
2
x +
√
6 = 0.b)
√
2x
2
− 5x + 3
√
2 = 0.c)
√
6x
2
+ 2(2
√
3 + 3
√
2)x + 24 = 0.d)
Dạng 2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
a) Tìm điều kiện của ∆ (hoặc ∆
′
) sao cho thỏa yêu cầu bài toán.
b) Một số trường hợp quan trọng:
○ Phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm thì chia hai trường hợp a = 0 và a = 0 (nếu a
chứa tham số).
○ Phương trình có hai nghiệm ⇔
®
a = 0
∆ ≥ 0
.
○ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔
®
a = 0
∆ > 0
.
○ Phương trình có nghiệm kép ⇔
®
a = 0
∆ = 0
.
Khi làm bài phải thật chú ý xem hệ số a có chứa tham số hay không.
35/84 35/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Phương trình bậc hai một ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
36
cVí dụ 6. Cho phương trình: x
2
− 2(m − 1) − m
2
− m − 1 = 0.
Giải phương trình với m = 1.a) Tìm m để phương trình có nghiệm.b)
cVí dụ 7. Cho phương trình: mx
2
− 2(m + 1)x + m + 2 = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng mình rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
cVí dụ 8. Cho phương trình x
2
+ 2mx + 4m − 3 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và
chỉ ra nghiệm kép đó.
cVí dụ 9. Cho phương trình: (m
2
− 1)x
2
+ 2(m + 1)x + 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm.
cVí dụ 10. Cho phương trình mx
2
−2(m −1)x +m −3 = 0 (2). Tìm các giá trị của m để phương
trình:
Có hai nghiệm phân biệt;a) Có nghiệm kép;b)
Vô nghiệm;c) Có đúng một nghiệm.d)
cVí dụ 11. Tìm giá trị của m để phương trình
3x
2
+ 2(m − 3)x + 2m + 1 = 0
có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:
x
2
+ 4x − 3m = 0.a) x
2
− 4x + 4 − m
2
= 0.b) x
2
+ 2mx − 4 = 0.c)
Bài 2. Cho phương trình x
2
− 3mx − 6m
2
= 0.
Giải phương trình với m = 1.a) Tìm m để phương trình vô nghiệm.b)
Bài 3. Cho phương trình 5x
2
+ 2mx − 3m = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài 4. Cho phương trình x
2
+ 3x − (m
2
− 2m + 1) = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
36/84 36/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
37
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5. Cho phương trình x
2
− (m − 1)x − m
2
+ m − 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho phương trình mx
2
− 2(m − 2)x + m − 3 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho phương trình mx
2
+ (m + 1)x − 2m = 0.
a) Giải phương trình với m = −
1
2
.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Bài 8. Tìm giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép:
mx
2
− 2x + 6m = 0.a) m
2
x
2
+ 10x + 1 = 0.b)
Bài 9. Tìm giá trụ của m để các phương trình sau vô nghiệm:
mx
2
+ 2(m − 3)x + m = 0.a) (m − 2)x
2
− 2(m − 2)x − m = 0.b)
Bài 10. Cho phương trình mx
2
− (m + 1)x + 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
Bài 11. Cho phương trình mx
2
− (3m + 1)x + 3 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
Bài 12. Cho phương trình mx
2
+ 2(m − 1)x − 2 = 0.
Giải phương trình với m =
√
3.a) Tìm m để phương trình có một nghiệm.b)
Bài 13. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có nghiệm
mx
2
− (3m + 1)x + 2m + 2 = 0.
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có nghiệm
m(m − 1)x
2
− (2m − 1)x + 1 = 0.
Bài 15. Xác định hệ số a, b, c tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình sau:
2x
2
− 5x + 3 = 0;a) x
2
+ 10x + 38 = 0;b)
3x
2
+ 8x − 2 = 0;c) −4x
2
+ 9x + 13 = 0.d)
Bài 16. Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:
3x
2
−
√
5x + 1 = 0;a)
√
3x
2
− (5 +
√
3)x + 5 = 0;b)
√
3x
2
+ 2(
√
3 − 3)x − 6 + 4
√
3 = 0.c)
Bài 17. Với giá trị nào của m thì phương trình
mx
2
− 4(m − 1)x + 4m + 8 = 0.
Có nghiệm;a) Có nghiệm kép;b) Có đúng một nghiệm.c)
37/84 37/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Phương trình bậc hai một ẩn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
38
Dạng 3. Sự tương giao của hai đồ thị
○ Nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
○ Một điểm thuộc đồ thị khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa công thức của đồ thị.
cVí dụ 12.
a) Vẽ đồ thị hàm số y =
1
2
x
2
.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y =
1
2
x
2
tại hai điểm phân
biệt A, B. Tính tọa độ hai điểm này khi m =
3
2
.
cVí dụ 13.
a) Vẽ (P ) : y = x
2
.
b) Biết các điểm A, B ∈ (P ) và lần lượt có hoành độ bằng 1 và −
3
2
. Tính tung độ của chúng.
c) Viết phương trình đường thẳng AB.
d) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB và cắt (P ) tại điểm có hoành độ bằng
−2.
cVí dụ 14. Cho parabol (P ) : y = ax
2
và đường thẳng d : y = kx + 3.
a) Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18).
b) Từ kết quả câu a) hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P ) và d.
cVí dụ 15. Cho hàm số y = f(x) = (m − 2)x
2
, (m = 2).
a) Xác định m để hàm số nghịch biến ∀x > 0.
b) Xác định m để hàm số đi qua điểm M(−2 : −4).
c) Xác định m để đường thẳng y = 2x + 1.
○ Không cắt đồ thị hàm số;
○ Tiếp xúc với đồ thị của hàm số. Tìm tọa độ tiếp điểm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho parabol y =
1
2
x
2
và đường thẳng d: y = −
1
2
x + 2.
a) Vẽ (P ) và d trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (P ) và d. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 2. Cho hàm số y =
1
4
x
2
có đồ thị là parabol (P ).
38/84 38/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
39
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B thuộc (P ), biết x
A
= −2; x
B
= 4.
b) Xác định tọa độ điểm M ∈ (P ), biết đường thẳng tiếp xúc với (P ) tại M song song với đường
thẳng AB.
Bài 3. Cho parabol (P ) : y = mx
2
và đường thẳng d : y = nx + 4. Xác định m, n để (P ) và d tiếp xúc
nhau tại điểm có hoành độ x = −2.
Bài 4. Cho parabol y =
1
2
x
2
và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi
qua điểm A(−1; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Dạng 4. Các bài toán nâng cao khác
Vận dụng linh hoạt các tính chất về dấu của đa thức, bất đẳng thức, . . .
cVí dụ 16. Cho ba số dương a, b, c và phương trình
x
2
− 2x −
a
b + c
−
b
c + a
−
c
a + b
+
5
2
= 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, từ đó xác định điều kiện của a, b, c để phương trình
có nghiệm kép.
cVí dụ 17. Cho hai phương trình:
x
2
− mx − 2 = 0 (1)
x
2
− x + 6m = 0 (2).
Tìm giá trị của m để phương trình (1) và phương trình (2) có ít nhất một nghiệm chung biết m là
một số nguyên.
cVí dụ 18. Chứng minh rằng:
a) Nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 cũng là nghiệm của phương trình
−ax
2
− bx − c = 0.
b) Hai phương trình ax
2
+ bx + c = 0 và phương trình ax
2
− bx + c = 0 cùng có nghiệm hoặc
cùng vô nghiệm.
cVí dụ 19. Cho hai phương trình:
x
2
+ ax + b = 0,
x
2
+ cx + d = 0.
Biết rằng ac ≥ 2(b + d). Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
cVí dụ 20. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.
x
2
+ mx + 1 = 0 (1)
x
2
+ 4x + m = 0 (2).
39/84 39/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
40
cVí dụ 21. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm.
x
2
+ 2x − 6m = 0 (1)
x
2
+ 4x + m
2
+ 15 = 0 (2).
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho hai số dương a, b và phương trình x
2
−2x −
a
b
−
b
a
+ 3 = 0. Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm, từ đó xác định điều kiện của a, b để phương trình có nghiệm kép.
Bài 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có
nghiệm:
x
2
− 2x − ab(a + b − 2c) − bc(b + c − 2a) − ca(c + a − 2b) + 1 = 0.
Khi đó, tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm kép.
Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm
b
2
x
2
+ (b
2
+ c
2
− a
2
)x + c
2
= 0.
Bài 4. Cho hai phương trình: x
2
− mx + 2 = 0 và x
2
− 4x + m = 0. Tìm m để hai phương trình có ít
nhất một nghiệm chung.
Bài 5. Cho hai phương trình: x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ ax + 1 = 0.
a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương?
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
3
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Hệ thức Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0, (a = 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì
S = x
1
+ x
2
= −
b
a
P = x
1
· x
2
=
c
a
.
Áp dụng
○ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x
1
= 1, x
2
=
c
a
.
○ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x
1
= −1, x
2
= −
c
a
.
○ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a · c < 0.
2 Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số có tổng là A và tích là P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình
x
2
− Sx + P = 0.
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
40/84 40/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
41
Dạng 1. Tìm giá trị của biểu thức nghiệm đối xứng
Cần nhớ các hằng đẳng thức sau
x
2
1
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
.• x
4
1
+ x
4
2
= (x
2
1
+ x
2
2
)
2
− 2x
2
1
x
2
2
.•
x
3
1
+ x
3
2
= (x
1
+ x
2
)
3
− 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
).•
cVí dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình (nếu
có).
4x
2
+ 7x + 2 = 0;a) −3x
2
+ x + 1 = 0;b)
3x
2
− x + 1 = 0;c) x
2
+ (m − 2)x − m = 0.d)
cVí dụ 2. Cho phương trình
√
3x
2
− 15x + 3 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
b) Tính giá trị của biểu thức A =
1
x
1
+
1
x
2
.
cVí dụ 3 (Bài 62/tr 64 - Sgk). Cho phương trình: 7x
2
+ 2(m − 1)x − m
2
= 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Viét, hãy tính tổng bình phương hai
nghiệm của phương trình đó theo m.
cVí dụ 4. Cho phương trình: (m + 1) x
2
− 2(m − 1)x + m − 2 = 0. Xác định m để phương trình
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
4 (x
1
+ x
2
) = 7x
1
· x
2
.
cVí dụ 5. Xác định m để phương trình: mx
2
− 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn x
2
1
+ x
2
2
= 2.
cVí dụ 6. Cho phương trình: x
2
− 2kx − (k − 1)(k − 3) = 0. Chứng minh rằng với mọi k, phương
trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1
4
(x
1
+ x
2
)
2
+ x
1
.x
2
− 2(x
1
+ x
2
) + 3 = 0.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Không giải phương trình, hãy tìm tổng và tích hai nghiệm của mỗi phương trình sau (nếu có)
17x
2
− 2x − 3 = 0;a) 8x
2
+ 6x + 1 = 0;b) 9x
2
− 2x + 5 = 0.c)
Bài 2. Cho phương trình:
√
2x
2
− 4
√
3x + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
41/84 41/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
42
b) Tính giá trị của biểu thức A =
1
x
1
+
1
x
2
.
Bài 3. Cho phương trình:
√
2x
2
− 2
√
6x − 8 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
b) Tính giá trị của biểu thức A =
1
x
2
1
+
1
x
2
2
.
Bài 4. Tìm m để phương trình x
2
+ 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó
a) Tính theo m giá trị các biểu thức E =
√
x
1
+
√
x
2
và F =
4
√
x
1
+
4
√
x
2
.
b) Tìm m sao cho x
4
1
+ x
4
2
= 32.
c) Tìm m sao cho
Å
x
1
x
2
ã
2
+
Å
x
2
x
1
ã
2
= 47.
Bài 5. Cho phương trình x
2
− (2m + 3)x + m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để x
2
1
+ x
2
2
có giá trị nhỏ nhất.
Dạng 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là A và tích là P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình
x
2
− Sx + P = 0.
cVí dụ 7. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
u + v = 32, uv = 231.a) u + v = −8, uv = −105.b) u + v = 2, uv = 9.c)
cVí dụ 8. Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30 m và diện tích bằng 54 m
2
.
cVí dụ 9. Giải hệ phương trình sau:
®
x + y = 2
xy = −3
.a)
®
x + y = 4
xy = 1
.b)
cVí dụ 10. Giải hệ phương trình sau
®
x
2
+ y
2
= 12
xy = −4
.
cVí dụ 11. Giải hệ phương trình sau
®
3
√
x +
3
√
y = 4
xy = 27
.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 24m và diện tích bằng 27 m
2
.
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
42/84 42/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
43
®
x + y = 20
x.y = 99
;a)
®
x + y = −21
x.y = 54
.b)
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
x + y = 4
x.y = −
9
4
;a)
3(x + y) = 2
x.y = −
1
3
.b)
Bài 4. Giải hệ phương trình sau:
®
x + y = 4
x
2
+ y
2
x
3
+ y
3
= 280
;a)
®
x
2
− xy + y
2
= 1
x + y + xy = 3
.b)
Bài 5. Tìm m để phương trình: x
2
− 2(m + 1)x + 2m + 2 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó hãy lập
phương trình có nghiệm như sau:
−2x
1
và −2x
2
.a) 3x
1
và 3x
2
.b) −x
2
1
và −x
2
2
.c)
1
x
1
và
1
x
2
.d) x
1
+ x
2
và −x
1
.x
2
.e)
Bài 6. Xét tổng a + b + c hoặc a − b + c rồi nhẩm các nghiệm của các phương trình
15x
2
− 17x + 2 = 0;a) 30x
2
− 4x − 34 = 0;b) 2
√
3x
2
+2(5−
√
3)x−10 = 0.c)
Bài 7.
a) Chứng tỏ rằng 5 là một nghiệm của phương trình 2x
2
− 3x − 35 = 0. Hãy tìm nghiệm kia.
b) Chứng tỏ rằng −4 là một nghiệm của phương trình x
2
+ 8x + 16 = 0. Hãy tìm nghiệm kia.
Bài 8.
a) Tìm giá trị của m để phương trình x
2
+ 3mx − 108 = 0 có một nghiệm là 6. Tìm nghiệm kia.
b) Tìm giá trị của m để phương trình mx
2
− 3(m + 1)x + m
2
− 13m − 4 = 0 có một nghiệm là −2.
Tìm nghiệm kia.
Dạng 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
m
m
Ta thực hiện theo các bước sau
○ Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
:
®
a = 0
∆
′
⩾ 0
.
○ Bước 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được
®
x
1
+ x
2
= f(m)
x
1
. x
2
= g(m)
. (1)
○ Bước 3. Khử m từ hệ (1) ta được hệ thức cần tìm.
43/84 43/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
44
cVí dụ 12. Cho phương trình x
2
− 2mx + 2m − 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
cVí dụ 13. Cho phương trình x
2
− 2mx − m
2
= 0.
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
cVí dụ 14. Cho phương trình (m − 1)x
2
− 2(m − 4)x + m − 5 = 0.
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho phương trình mx
2
− 2mx + 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình
không phụ thuộc m.
Bài 2. Cho phương trình x
2
−2(m + 1)x −m + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương
trình không phụ thuộc m.
Dạng 4. Xét dấu các nghiệm
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x
1
< 0 < x
1
⇔ a · c < 0.
b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔
®
∆ ≥ 0
P > 0
.
c) Phương trình có hai nghiệm dương 0 < x
1
≤ x
2
⇔
∆ ≥ 0
P > 0
S > 0
.
d) Phương trình có hai nghiệm âm x
1
≤ x
2
< 0 ⇔
∆ ≥ 0
P > 0
S < 0
.
cVí dụ 15. Cho phương trình: x
2
− 2(m + 1)x − m + 1 = 0. Xác định m để phương trình:
Có hai nghiệm trái dấu.a) Có hai nghiệm dương phân biệt.b)
cVí dụ 16. Cho phương trình: (m − 1)x
2
+ 2(m + 2)x + m − 1 = 0. Xác định m để phương trình:
Có một nghiệm.a) Có hai nghiệm cùng dấu.b)
cVí dụ 17. Cho phương trình: mx
2
− 2(3 − m)x + m − 4 = 0. Xác định m để phương trình:
Có hai nghiệm đối nhau.a) Có đúng một nghiệm âm.b)
44/84 44/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
45
cVí dụ 18. Tìm giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
x
2
− 3mx − 3m − 1 = 0;a) x
2
− 7x + m
2
− 8 = 0.b)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho phương trình x
2
− 2(m + 7)x + m
2
− 4 = 0. Xác định m để phương trình
Có hai nghiệm trái dấu.a) Có hai nghiệm cùng dấu.b)
Bài 2. Cho phương trình (m − 1)x
2
+ 2(m + 2)x + m − 1 = 0. Xác định m để phương trình
Có hai nghiệm âm phân biệt.a) Có hai nghiệm dương phân biệt.b)
Bài 3. Cho phương trình (m − 1)x
2
+ 2mx + m + 1 = 0. Xác định m để phương trình
Có hai nghiệm âm phân biệt.a) Có hai nghiệm đối nhau.b)
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
4
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương có dạng
ax
4
+ bx
2
+ c = 0, (a = 0).
○ Đặt x
2
= t, (t ≥ 0).
○ Phương trình đã cho trở thành at
2
+ bt + c = 0;
○ Giải tìm t, từ đó tìm x.
2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:
○ Đặt điều kiện cho ẩn để các mẫu thức khác 0;
○ Quy đồng mẫu, khử mẫu;
○ Giải phương trình vừa tìm được;
○ So điều kiện để nhận hoặc loại.
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Phương trình trùng phương, phương
trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình tích
45/84 45/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Phương trình quy về phương trình bậc hai Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
46
cVí dụ 1. Giải các phương trình:
2x
4
+ 7x
2
+ 5 = 0;a) 3x
4
− 5x
2
− 28 = 0;b) 4x
4
− 25x
2
+ 6 = 0.c)
cVí dụ 2 (Bài 56 trang 63 SGK). Giải các phương trình sau
3x
4
− 12x
2
+ 9 = 0;a) 2x
4
+ 3x
2
− 2 = 0;b) x
4
+ 5x
2
+ 1 = 0.c)
cVí dụ 3 (Bài 57.c, 57.d/tr 63 - Sgk). Giải các phương trình sau
x
x − 2
=
10 − 2x
x
2
− 2x
;a)
x + 0,5
3x + 1
=
7x + 2
9x
2
− 1
.b)
cVí dụ 4 (Bài 35.b, 35.c/tr 56 - Sgk). Giải các phương trình sau
x + 2
x − 5
+ 3 =
6
2 − x
.a)
4
x + 1
=
−x
2
− x + 2
(x + 1)(x + 2)
.b)
cVí dụ 5. Giải các phương trình sau
(3x
2
− 5x + 1) (x
2
− 4) = 0.a) (3x
2
− 7x − 10)
î
2x
2
+
Ä
1 −
√
5
ä
x +
√
5 − 3
ó
=
0.
b)
cVí dụ 6. Giải các phương trình sau
(2x
2
+ x − 4)
2
− (2x − 1)
2
= 0.a) (x
2
+ 2x − 5)
2
= (x
2
− x + 5)
2
.b)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2x
4
− 7x
2
+ 5 = 0;a) 5x
4
− 9x
2
= 0;b)
3x
4
− x
2
− 234 = 0;c) 11x
4
+ 3x − 2 = 3x − 15x
2
− 6.d)
Bài 2. Giải phương trình
x
2
− 3x + 5
(x + 2)(x − 3)
=
1
x − 3
.
Bài 3. Giải các phương trình sau
x
1 − x
=
2x + 3
(x − 1)(x + 2)
;a)
2x + 22
(x − 1)(x + 2)
=
x − 4
x + 2
;b)
3x
2
− 15x
x
2
− 9
= x −
x
x − 3
.c)
Bài 4. Giải các phương trình sau
a) (x − 1)
3
+ 3x − 2 = x
3
− x
2
+ x − 1;
b) (x + 2)
2
+ (x − 2)
2
= 3x + 2;
c) (x
2
+ x)
2
+ (x + 1)
2
= 2(x + 1)
3
− 4x + 4.
Bài 5. Đưa về phương trình tích rồi giải phương trình:
(2x + 3)
2
− 10x − 15 = 0;a) x
2
(x + 1) − 3x = 3x
2
− 2x − 2;b)
(x
2
− x − 1)
2
= (2x + 1)
2
.c)
46/84 46/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
47
Dạng 2. Phương trình trị tuyệt đối và phương trình căn
a) Phương trình trị tuyệt đối:
○ |f(x)| = |g(x)| ⇔
ñ
f(x) = g(x)
f(x) = −g(x)
.
○ |f(x)| = g(x) ⇔
g(x) ≥ 0
ñ
f(x) = g(x)
f(x) = −g(x)
.
b) Phương trình căn thức:
○
p
f(x) =
p
g(x) ⇔ f(x) = g(x) ≥ 0.
○
p
f(x) = g(x) ⇔
®
g(x) ≥ 0
f(x) = g
2
(x)
.
cVí dụ 7. Giải phương trình |x
2
− 2x − 2| = |x
2
+ 2x|.
cVí dụ 8. Giải phương trình |x
2
+ x| = −x
2
+ x + 2.
cVí dụ 9. Giải các phương trình:
√
x
2
− 4x + 5 =
√
x + 1;a)
√
x
2
− 2x + 3 =
√
2x
2
− 7x + 9.b)
cVí dụ 10. Giải phương trình
√
2x
2
+ x − 3 = x − 1.
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ và cách khác
cVí dụ 11. Giải phương trình (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4.
cVí dụ 12. Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − 24 = 0.
cVí dụ 13. Giải phương trình 3x
2
− 14|x| − 5 = 0. (1)
cVí dụ 14. Giải phương trình 3x
2
+ 2x − 34 +
2
x
+
3
x
2
= 0.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải phương trình (2x − 1)(x − 1)(x − 3)(2x + 3) = −9.
Bài 2. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
(x
2
− 2x)
2
+ 4x
2
− 8x + 3 = 0;a) (x
2
− 5x + 2) (x
2
− 5x + 1) = 6;b)
47/84 47/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
48
Å
x
2
−
6
x
2
ã
2
+ 6
Å
x
2
−
6
x
2
ã
= −5;c) x
2
− 2x + 3
√
x
2
− 2x + 4 = 6.d)
Bài 3. Giải phương trình
x
2
+
1
x
2
+ x +
1
x
= 4;a)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.b)
Bài 4. Giải các phương trình
(x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 16;a) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8.b)
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
5
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;
b) Lập phương trình:
○ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
○ Dựa vào mỗi quan hệ giữa các đại lượng đã biết để lập phương trình.
c) Giải phương trình;
d) Kết luận.
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Bài toán chuyển động
cVí dụ 1. Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp
khởi hành, đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại và mỗi xe ban
đầu phải chở thêm nửa tấn nữa. Tính số xe phải điều theo dự định.
cVí dụ 2 (Bài 65/tr65-SGK). Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau 1 giờ, một
xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h.
Hai xe gặp nhau tại một ga chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc mỗi xe, giả thiết rằng quãng
đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km.
cVí dụ 3 (Bài 52/tr60 - SGK). Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ
bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về lại bến
A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy
là 3 km/h.
48/84 48/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
49
cVí dụ 4 (Bài 43/tr58-GGK). Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một
đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuống nghỉ lại 1 giờ tại thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi
theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính
vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
cVí dụ 5. Hai bến sống A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với canô đi xuôi từ A có một
chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đi đến B canô trở về bến A ngay và gặp bè khi đã
trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của canô. Biết vận tốc của canô không thay đổi.
cVí dụ 6. Một người đi xe máy trên quãng đường AB dài 120 km với vận tốc định trước. Sau khi
đi được
1
3
quãng đường với vận tốc đó, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường
còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm hơn dự
định 24 phút.
Dạng 2. Bài toán về số và chữ số
cVí dụ 7 (Bài 41/tr58-SGK). Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi
người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai
bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
cVí dụ 8. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng bằng 8 và tổng các bình phương của chúng bằng
424.
cVí dụ 9 (Bài 64/tr64-SGK). Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó
2 đơn vị nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn
vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
cVí dụ 10 (Bài 44/tr59-SGK). Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị
rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.
cVí dụ 11 (Bài 45/tr59-SGK). Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó.
cVí dụ 12. Một lớp học được nhà trường phát phần thưởng ba lần và chia đều cho các em học
sinh. Lần thứ nhất chia hết 66 quyển vở nhưng vắng 5 em, lần thứ hai chia hết 125 quyển vở nhưng
vắng 2 em, còn lần thứ ba thì không vắng em nào và chia hết 216 quyển vở. Biết một học sinh có
mặt cả ba lần đã nhận được số vở (trong lần ba) bằng tổng số vở đã nhận trong hai lần đầu. Tính
số học sinh.
Dạng 3. Bài toán vòi nước
49/84 49/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
50
cVí dụ 13. Có hai vòi nước. Người ta mở vòi thứ nhất cho vòi chảy đầy một bể nước cạn rồi khóa
lại. Sau đó mở vòi thứ hai cho nước chảy ra hết với thời gian lâu hơn so với thời gian vòi một chảy
là 4 giờ. Nếu cùng mở cả hai vòi thì bể đầy sau 19 giờ 15 phút. Hỏi vòi thứ nhất chảy trong bao lâu
mới đầy bể khi vòi thứ hai khóa lại.
Dạng 4. Bài toán có nội dung hình học
cVí dụ 14 (Bài 46/tr59-SGK). Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m
2
. Nếu tăng chiều
rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
cVí dụ 15. Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết hình chữ nhật có chu vi bằng
340 m và diện tích bằng 7200 m
2
.
cVí dụ 16 (Bài 66/tr64-SGK). Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm. Một
hình chữ nhật MNP Q có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q
thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó
bằng 36 cm
2
.
cVí dụ 17. Một thửa ruộng hình chữ nhật, một người đi theo chiều dài hết 1 phút 5 giây, đi theo
chiều rộng hết 39 giây. Người ta làm một lối đi xung quanh thửa ruộng rộng 1,5 m thì diện tích còn
lại là 5529 m
2
. Tính kích thước của thửa đất.
Dạng 5. Bài toán về phần trăm - năng suất
cVí dụ 1 (Bài 63/tr64-SGK). Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2000000 người lên
2020050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
cVí dụ 2 (Bài 49/tr59-SGK). Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4
ngày xong công việc. Nếu họ làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công
việc?
cVí dụ 3. Muốn làm xong công việc cần 480 công thợ. Người ta có thể thuê một trong hai nhóm
thợ A hoặc B. Biết nhóm A ít hơn nhóm B là 4 người và nếu giao cho nhóm B thì công việc hoàn
thành sớm hơn 10 ngày so với nhóm A. Hỏi số người của mỗi nhóm.
cVí dụ 4 (Bài 42/tr58-SGK). Bác Thời vay 2000000 đồng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn
1 năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời
hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất
vẫn như cũ. Hết hai năm phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần
trăm trong một năm?
50/84 50/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hàm số y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0)
y = ax
2
(a = 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
51
cVí dụ 5. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm được 720 sản phẩm. Nếu tăng năng suất lên 10
sản phẩm mỗi ngày thì so với giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thời gian hoàn thành ngắn
hơn 4 ngày. Tính năng suất dự định
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 5 và tổng các bình phương của chúng bằng 125.
Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và hiệu các bình phương của chúng cũng bằng 25.
Bài 3. Lúc 7 giờ sáng một ôtô khởi hành từ A để đến B cách A 120 km. Sau khi đi được
2
3
quãng
đường ôtô dừng lại 20 phút để nghỉ rồi đi chậm hơn trước 8 km/h. Ôtô đến B lúc 10 giờ. Hỏi ôtô nghỉ
lúc mấy giờ?
Bài 4. Một người đi từ A đến B rồi lại trở về A. Lúc về đi được 30 km người đó nghỉ 20 phút. Sau khi
nghỉ xong, người đó đi với vận tốc nhanh hơn trước 6 km/h. Tính vận tốc lúc đi. Biết quãng đường AB
dài 90 km và thời gian đi bằng thời gian về kể cả nghỉ.
Bài 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc xác định. Khi từ B về A người
đó đi bằng đường khác dài hơn đường trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h.
Tính vận tốc lúc đi. Biết thời giang về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 6. Một ôtô đi từ A đến B rồi quay về A ngay. Sau khi ô tô đi được 15 km thì một người đi xe đạp
từ B về A. Tính vận tốc mỗi xe. Biết:
○ Quãng đường AB dài 24 km.
○ Vận tốc ôtô nhanh hơn xe đạp 37 km/h.
○ Ôtô quay trở về A sớm hơn xe đạp đến B là 44 phút.
Bài 7. Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60 km. Trong thời gian nhất định, trên nửa quãng
đường AB do đường xấu nên ô tô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6 km/h. Để đến B đúng dự định,
ô tô phải đi quãng đường còn lại với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10 km/h. Tính thời gian dự
định đi hết quãng đường.
Bài 8. Một tổ lao động hoàn thành đào đắp 8000 m
3
đất trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày
vượt mức 50 m
3
thì tổ lao động hoàn thành kế hoạch sớm 8 ngày. Tính thời gian dự định.
Bài 9. Một nông trường phải trồng 75 ha rừng với năng suất đã định từ trước. Nhưng trong thực tế,
khi bắt tay vào trồng rừng thì mỗi tuần nông trường trồng thêm được 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng
được 80 ha. Do vậy, họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 tuần. Tính năng suất dự định của
nông trường.
Bài 10. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh khu vườn
rộng 2 m. Diện tích còn lại là 4256. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn nếu cả hai vòi cùng chảy một lúc thì sau 4 giờ
mới đầy bể. Nếu từng vòi chảy một thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 6 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 12. Hai vòi nước cùng chảy vào bể trong 6 giờ 40 phút thì đầy. Nếu chảy riêng từng vòi một thì
mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể. Biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ nhất 3 giờ.
51/84 51/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
PHẦN
HÌNH HỌC
II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
53
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1
Chûúng
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1
Baâi söë
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC,
AH, HB, HC; hãy tính các đoạn thẳng còn lại nếu biết:
AB = 6 cm; AC = 8 cma) AB = 15 cm; HB = 9 cmb) AC = 44 cm; BC = 55 cmc)
AC = 40 cm; AH = 24 cmd) AH = 9,6 cm; HC = 12,8
cm
e) HB = 12,5 cm; HC = 7,2
cm
f)
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
◦
và đường cao AH (H thuộc BC). Kẻ HE và HF lần
lượt vuông góc với AB và AC tại E; F .
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và tính EF ; CF .
b) Tính diện tích tứ giác AEHF .
c) Tính diện tích tứ giác BEF C.
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 15cm; AC = 20cm và BC = 25cm. Từ B, vẽ đường thẳng vuông
góc với BC cắt AC kéo dài tại H. Đường thẳng qua H và song song với BC cắt AB tại K.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HC; HB; HK.
c) Tính diện tích tứ giác BHKC bằng 2 cách.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M,
N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và I là giao điểm AH với MN.
a) Chứng minh MN là đường trung trực của AH.
b) Tính theo a và b độ dài các đoạn thẳng AH, HM và AI.
c) Tính theo a và b diện tích tam giác HMN.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB < AC và góc A = 90
◦
, M là trung điểm cạnh BC. Gọi H là hình
chiếu của A trên BC. Cho biết AM = 13 cm và AH = 12 cm.
a) Tính MH, AB và AC.
b) Đường thẳng qua B và vuông góc với AM cắt AC tại F . Tính AF và BF .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Kẻ đường cao AH và phân giác
AD của tam giác ABC (H, D thuộc cạnh BC).
a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng HD và AD.
53/84 53/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
54
c) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi S là diện tích tứ giác BIKC. Tính S.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
a) Chứng minh
HB
HC
=
AB
2
AC
2
.
b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của H trên AC, AB. Chứng minh AI · AC = AH
2
.
c) Chứng minh tam giác AJI và tam giác ACB đồng dạng. Từ đó chứng minh AJI = ACB.
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
2
Baâi söë
Bài 1. Tính các tỉ số lượng giác (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
sin 35
◦
.a) cos 39
◦
13
′
.b) tan 80
◦
.c)
cot 45
◦
.d) cos 52
◦
18
′
.e) cot 10
◦
17
′
.f)
sin 42
◦
28
′
.g)
Bài 2. Tính các tỉ số lượng giác (làm tròn đến chữ số hàng phần nghìn):
sin 23
◦
.a) tan 30
◦
.b) cos 15
◦
25
′
.c)
cot 65
◦
.d) cos 75
◦
.e)
Bài 3. Tìm số đo các góc sau, biết tỉ số lượng giác của chúng là:
sin A = 0,6.a) sin B = 0,5446.b) tan C = 2.c)
cot D = 0,33333 .d) cos
’
ABC =
√
3
2
.e)
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H ∈ BC). Tính các tỉ
số lượng giác của góc ABC và số đo của nó nếu biết:
AB = 10 cm; BC = 26 cm.a) AB = 12 cm; BC = 16 cm.b)
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm; AC = 72 cm và AH là đường cao.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc BAH và số đo của nó.
b) Suy ra các tỉ số lượng giác của góc CAH.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông có hai cạnh góc vuông là AB = 16 mm; AC = 3 cm.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và số đo các góc đó.
b) Tính sin
2
B + cos
2
C.
Bài 7. Tính giá trị biểu thức (Không sử dụng máy tính bỏ túi):
A =
sin 34
◦
cos 56
◦
.a) B = cos 19
◦
− sin 71
◦
.b)
C = tan 53
◦
− cot 37
◦
.c) D = sin 15
◦
+ sin 20
◦
− cos 70
◦
− cos 75
◦
.d)
E =
tan 31
◦
· tan 59
◦
cot 16
◦
· cot 74
◦
.e) F = cos
2
15
◦
+ cos
2
35
◦
+ cos
2
55
◦
+ cos
2
75
◦
.f)
54/84 54/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
55
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính số đo của góc B là x (0 < x < 90
◦
) biết:
cos x = 0,8a) tan x = 0,75.b)
sin x = cos x.c) tan x = cot x.d)
Bài 9. Tính giá trị của biểu thức:
a) C =
cos x + sin x
cos x − sin x
với tan x = 2.
b) P = 3 sin
2
x + cos
2
x với cot x =
1
3
.
Bài 10. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:
AC = 10 cm;
b
C = 30
◦
.a) AB = 21 cm; AC = 18 cm.b)
BC = 6 cm; AB = 5 cm.c) AC = 100 cm;
b
C = 30
◦
.d)
Bài 11. Tam giác BAC vuông tại A có AB = 21 cm;
b
C = 40
◦
. Tính:
AC, BC.a) Phân giác BD của tam giác ABC.b)
Bài 12. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm;
b
C = 40
◦
. Tính:
ACa) BCb) Phân giác BD của △ABC.c)
Bài 13. Cho △ABC vuông tại A, biết tan B =
3
4
; AB = 2 cm. Tính AC, BC.
Bài 14. Cho △CDE có CD = 27 cm; CE = 36 cm; DE = 45 cm. Tính:
a) Chứng tỏ △ABC vuông.
b) Vẽ đường cao CH của △CDE. Tính CH, HE.
c) Tính góc D, góc E.
Bài 15. Cho △ACB vuông tại A (AB > AC) đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn thẳng
CH = 4 cm; BH = 9 cm. Goi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AH và số đo góc B; góc C của tam giác ABC (Làm tròn số đo góc đến
phút)
b) Chứng minh AM · AB = AN · AC.
c) Chứng minh:
1
MN
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
.
Bài 16. Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 15 cm, BC = 17 cm.
a) Chứng tỏ △ABC vuông.
b) Vẽ đường cao AH của △ABC. Tính AH, HB.
c) Tính số đo của góc B; góc C.
Bài 17. Cho △ABC có đường cao BH. Biết AB = 40 cm, AC = 58 cm, BC = 42 cm.
a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông.
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc A.
c) Kẻ HE ⊥ AB; HF ⊥ AC. Tính BH, BE, BF và diện tích của tứ giác EF CA?
Bài 18. Cho △ABC có BC = 16 cm;
b
C = 45
◦
;
b
A = 60
◦
. Tính AB.
Bài 19. Cho △CDE. Biết DE = 18 cm;
“
E = 45
◦
;
b
C = 75
◦
. Tính CD.
55/84 55/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Ứng dụng thực tế Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
56
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
3
Baâi söë
Bài 1. Từ nóc một tòa cao ốc 50m người ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạ và nâng
lần lượt là 62
◦
và 34
◦
. Tính chiều cao của cột ăng-ten.
C
E
B
A
D
50m
34
◦
62
◦
¤ 67,93 m
Bài 2. Một chiếc thang dài 4 m. Cần đặt chân thang cách chân tường bao nhiêu mét để nó tạo với mặt
đất một góc “an toàn”là 65
◦
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
4m
¤ Cần đặt cách tường khoảng 1,69 m
Bài 3. Trong lúc bạn Nam dựng tủ cho đứng thẳng, tủ có bị vướng vào trần nhà cao 21 dm không
4dm
20dm21dm
¤ Nam đẩy tủ đứng thẳng không bị vướng vào trần nhà.
Bài 4. Hai trụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng hai bên lề đối diện một đại lộ 80 m (AC =
80 m). Từ một điểm M trên mặt đường giữa hai trụ người ta nhìn thấy đỉnh hai trụ điện với các góc
nâng lần lượt là 60
◦
và 30
◦
. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm M đến gốc mỗi trụ
điện. ¤ MA = 20m; M C = 60m; AB = 20
√
3m.
56/84 56/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
57
Bài 5.
Hằng ngày bạn Trúc phải đi học từ nhà (vị trí C) rồi đi theo đường
đê (vị trí H), sau đó len theo đường mòn ra đến đầu đường (vị trí B)
theo hình vẽ sau:
a) Hãy tính quãng đường từ nhà đến trường mà bạn Trúc đã đi.
C B
A
H
2,25km
3km
sông
b) Người ta đã xây dựng cây cầu HB để giúp đỡ cho các bạn đi học dễ dàng hơn. Vậy bạn Trúc đã
tiết kiệm bao nhiêu thời gian biết rằng bạn luôn đi với vận tốc 4 km/h? (Làm tròn đến phút).
¤ a) 10,25km. b) 1 giờ.
Bài 6.
Một bức tượng mỹ thuật có chiều cao 4m. Một người đang
đứng cách chân tượng 5m và mắt người ấy cách mặt đất
1,5m (hình bên). Hỏi người đó nhìn toàn bộ bức tượng
dưới góc bao nhiêu? (“góc nhìn”, làm tròn đến độ).
♀
α
5m
4m
1,5m
¤ 43
◦
.
Bài 7.
Một người đi xe đạp lên một dốc có độ nghiêng 10
◦
so với phương nằm ngang với vận tốc trung bình
8 km/ h, biết đỉnh dốc cao khoảng 34,8 m so với
phương nằm ngang. Hỏi người đó phải mất bao lâu
để tới đỉnh?
A
B
H
¤ 1, 503 phút
Bài 8.
Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 34
◦
và bóng tháp dài 86 m.
Tính chiều cao của ngọn tháp?
B
A
O
¤ 58 m.
Bài 9.
Một cột đèn cao 7 m có bóng trên mặt đất dài 4 m. Hãy tính góc mà
tia sáng mặt trời tạo với mặt đất?
A
B
C
¤ 60
◦
57/84 57/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Ứng dụng thực tế Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
58
Bài 10.
Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng
bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65
◦
(tức là đảm bảo thang không
bị đổ khi sử dụng)?
¤ 1, 28 m
Bài 11.
Bạn An đứng ở mặt đất dùng giác kế nhìn thấy ngọn cây dưới
góc 37
◦
so với phương ngang song song với mặt đất. Khoảng
cách từ bạn An đến cái cây là 30 m. Tính chiều cao của cây
đó? Biết giác kế cao 1, 2 m.
30m
A B
C
D
E
1.2m
¤ 23, 8 m
Bài 12.
Bạn An đứng ở mặt đất cách một tòa tháp một khoảng 120
m dùng giác kế nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 53
◦
so với đường
nằm ngang song song với mặt đất. Tính chiều cao của tháp?
Biết giác kế có chiều cao 1, 6 m.
120 m
A B
C
D
E
1, 6 m
¤ 160, 85 m
Bài 13.
Để đo khoảng cách giữa hai bờ của một con sông, bạn An đã làm
cách như sau:
- Trước tiên bạn An sẽ đứng ở vị trí điểm A nhắm một vị trí điểm
B bên kia bờ sông và dựng cây cột làm mốc.
- Sau đó An di chuyển 15 m vuông góc với hướng nhắm lúc nãy đến
vị trí điểm C rồi dùng giác kế nhắm vị trí điểm A và vị trí điểm B
thì đó được góc 60
◦
. Hãy tính khoảng cách giữa hai bờ sông?
15 m
A
B
C
¤ 32, 26 m
Bài 14.
58/84 58/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
59
Từ một vị trí trên bờ, bạn An có thể tính được khoảng cách giữa 2 chiếc
thuyền ở vị trí A và B bằng cách như sau. Trước tiên bạn chọn một vị
trí trên bờ (điểm I) sao cho I, A, B thẳng hàng. Sau đó bạn di chuyển
theo hướng vuông góc với IA đến vị trí điểm K cách điểm I một khoảng
380 m rồi dùng giác kế nhắm đến vị trí điểm A, điểm B thì đo được góc
15
◦
và nhắm vị trí điểm A, điểm I thì được góc 50
◦
. Tính khoảng cách 2
chiếc thuyền?
A
B
IK
¤ 131,48 m
Bài 15.
Một người trinh sát đứng cách tòa nhà một
khoảng 10 m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng
đến nóc nhà là 40
◦
. Nếu anh ta dịch chuyển ra
xa sao cho góc “nâng” là 35
◦
thì lúc đó anh ta
cách tòa nhà bao nhiêu mét?
A
B
C
D
10m
¤ 11,98 m
Bài 16.
Từ đỉnh một ngọn tháp, bạn An dùng kính viễn vọng
thấy được hai vị trí C và D cách nhau 30 m với góc đo
lần lượt là 35
◦
và 48
◦
theo phương ngang.Hỏi ngọn tháp
cao bao nhiêu?
A
B
C
D
30m
¤ 56,85 m
Bài 17.
59/84 59/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Ứng dụng thực tế Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
60
Màn ảnh rộng hình chữ nhật được đặt ở độ cao 1,8 m so
với tầm mắt (tính từ mép màn hình). Để nhìn rõ, bạn An
ngồi cách màn hình 2,m. Hỏi chiều cao màn hình? Biết
góc nhìn của bạn An là 16
◦
.
A
B
C
H
1,8m
2,4m
¤ 3,17 − 1,8 = 2,07m
Bài 18.
Một người đứng ở vị trí điểm C trên mặt đất cách tháp ăng-ten
một khoảng CD = 120 m (như hình vẽ). Biết rằng người ấy
nhìn thấy đỉnh tháp với
’
AOB = 36
◦
so với đường nằm ngang;
khoảng cách từ mắt đến mặt đất OC = 1,6 m.
a) Tính chiều cao AD của tháp (làm tròn đến chữ số hàng
đơn vị).
b) Giả sử người ấy đứng trên mặt đất cách chân tháp ăng-
ten một khoảng bằng chiều cao của tháp ăng-ten (CD =
AD) và không thay đổi khoảng cách từ mắt đến mặt đất
thì người ấy nhìn thấy đỉnh tháp với góc
’
AOB bằng bao
nhiêu? (sử dụng kết quả đã làm tròn ở câu trên và làm
tròn kết quả câu này đến độ).
1,6m
120m
O
A
DC
B
¤ a) 8,9 m, b) 44
◦
60/84 60/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
61
ĐƯỜNG TRÒN
2
Chûúng
ĐƯỜNG TRÒN
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
1
Baâi söë
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
2
Baâi söë
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN
DÂY
3
Baâi söë
Bài 1. Cho tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME
vuông góc với AC tại E. Trên các tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I; K sao cho D là trung điểm
BI và E là trung điểm CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao AD, BE, CF
của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K.
b) Bốn điểm B, E, F , C cùng thuộc một đường tròn có tâm là I.
c)
’
KEI = 90
◦
.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) Bốn điểm B, D, H, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I.
b) Bốn điểm A, F , D, C cùng thuộc một đường tròn có tâm là K.
c) IK đi qua trung điểm của F D.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại
D, E.
a) Chứng minh CD ⊥ AB và BE là đường cao của △ABC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK ⊥ BC tại M.
c) Chứng minh bốn điểm A, E, M, B cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm I đường kính AC cắt BC tại H.
Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB. Tia AD cắt đường tròn tâm I tại E.
a) Chứng mình AH là đường cao của △ABC.
b) Chứng minh DA · DE = DC · DH.
c) Gọi K là trung điểm AB. Tính số đo góc IHK.
61/84 61/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
62
d) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp △AKH.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm AH. Đường tròn tâm
K bán kính AK cắt đường tròn (O) đường kính BC tại I và cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E,
F . AI cắt BC tại M. Chứng minh:
a) AEHF là hình chữ nhật và EF
2
= AI · AM.
b) MK ⊥ OA.
Bài 7. Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B thuộc (O) sao cho
’
AOB = 60
◦
. Tính độ dài
dây cung AB và khoảng cách từ tâm đến dây cung theo R.
Bài 8. Cho (O; R), dây cung AB sao cho
’
AOB = 90
◦
. Tính độ dài dây cung AB và khoảng cách từ
tâm đến dây cung theo R.
Bài 9. Cho (O; R), dây cung BC sao cho
’
BOC = 120
◦
. Tính độ dài dây cung BC và khoảng cách từ
tâm đến dây cung theo R.
Bài 10. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 10 cm và dây cung AB = 16 cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 2 cm. Kẻ dây cung CD đi qua I và vuông góc với AB.
Chứng minh CD = AB.
Bài 11. Cho (O) trong đó hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Biết IC = 2 cm
và ID = 14 cm. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi dây.
Bài 12. Cho (O) có bán kính R = 25 cm. Hai dây AB và CD song song với nhau và có độ dài theo
thứ tự là 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây đó.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG
TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
4
Baâi söë
Bài 1. Cho (O; R) có M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Vẽ tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC
có B nằm giữa M và C. K là trung điểm BC.
a) Chứng minh OK là trung trực của BC.
b) Chứng minh bốn điểm M, A, K, O cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I và tính bán kính
của đường tròn đó theo R.
Bài 2. Cho đường tròn O có điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B, C
là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E).
a) Cho OA = 3R. Tính các cạnh còn lại của tam giác OAB theo R.
b) Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh O, A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Cho (O) có bán kính OA = R. Vẽ dây CD là trung trực của OA cắt OA tại H.
a) Chứng minh OCAD là hình thoi.
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường OA tại I. Tính tích OH ·OI và độ
dài đoạn CI theo R.
c) Tính số đo
’
ODI.
62/84 62/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 2. Đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
63
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là hình chiếu của C
trên AB. Chứng minh:
a) CE = CF .
b) AC là phân giác góc
’
BAE.
c) CH
2
= AE · BF .
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại
M với (O) cắt tiếp tuyến Ax tại A và tiếp tuyến By tại B của (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh bốn
điểm O, A, D, M cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. Cho đường tròn (O) có bán kính OA = R. Dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M
của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, tiếp tuyến này cắt đường thẳng AO tại E. Chứng minh CE
là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính CE theo R.
Bài 7. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) với OA = 2R, đường tròn tâm I
có đường kính OA cắt (O) tại B, C.
a) Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tứ giác OBIC là hình thoi.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm I đường kính AC cắt BC tại H.
Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB. Tia AD cắt (I) tại E.
a) Chứng minh AH ⊥ BC.
b) Chứng minh DA · DE = DC · DH.
c) Gọi K là trung điểm AB. Chứng minh KH là tiếp tuyến của (I).
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M
sao cho AM = 2R; BM cắt (O) tại C. Vẽ OD vuông góc với BC (D thuộc BC).
a) Chứng minh D là trung điểm BC.
b) Gọi E là trung điểm MA. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Bài 10. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại O lấy điểm
K sao cho K nằm ngoài (O). Gọi C và D lần lượt là giao điểm của AK và BK với (O) (C, D khác
A, B).
a) Chứng minh AD ⊥ BK và BC ⊥ AK.
b) Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh K, H, O thẳng hàng và bốn điểm K, C, H, D
thuộc cùng một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn qua bốn điểm trên.
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của (I) và ID là tiếp tuyến của (O).
Bài 11. Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ SA, SB là các tiếp tuyến
của đường tròn (O) (A, B thuộc (O)). Gọi H là giao điểm của AB và OS.
a) Chứng minh OS là đường trung trực của AB.
63/84 63/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
64
b) Chứng minh rằng tích OH · OS không đổi với mọi vị trí của S ở ngoài (O).
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB với
’
AOB = 120
◦
. Hai tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt
nhau tại C.
a) Chứng minh OC vuông góc với AB và bốn điểm A, C, B, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác ABC theo R.
c) Lấy M là một điểm thuộc cung nhỏ AB của đường tròn. Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AC và BC tại
D và E. Chứng minh AD + BE = DE.
d) Chứng minh
’
DCE =
’
DOE.
Bài 13. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By
thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường tròn). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M
khác A, B); kẻ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By lầ lượt tại C và D. Chứng minh rằng
a)
’
COD = 90
◦
.
b) CD = AC + BD.
c) Tích AC · BD không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn.
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc (O), tiếp tuyến tại M của
(O) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
b) Tìm vị trí của M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C và D để tứ giác ABDC có chu vi bằng 14 cm, biết AB = 4 cm.
64/84 64/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
65
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
3
Chûúng
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
GÓC Ở TÂM - GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP
TUYẾN VÀ DÂY CUNG
1
Baâi söë
A– TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Các loại góc
○ Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
’
BOC = sđBC
⌢
○ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn.
’
BAC =
1
2
sđBC
⌢
O
A
B
C
x
○ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc gồm một tiếp tuyến và một dây cung của đường tròn.
‘
xAB =
1
2
sđAB
⌢
Đối với góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: dây căng cung nào thì góc chắn cung đó.
2 Một số tính chất
○ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
○ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B– BÀI TẬP
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến KE với (O); Tia
OK cắt đường tròn tại F . Cho biết OK = R
√
2.
a) Tính số đo cung nhỏ EF .
b) Đường thẳng qua E vuông góc với OK và cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh KM là
tiếp tuyến của (O).
c) Tứ giác OEKM là hình gì? Tính diện tích của hình đó theo R.
Bài 2. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC tùy ý (O nằm trong góc
’
BAC). Kẻ đường kính
AD.
65/84
65/84 Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
1. Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
66
a) Chứng minh
’
BAD =
’
BCD và BD ⊥ AB.
b) Lấy E thuộc (O) sao cho E là điểm chính giữa cung nhỏ BD. Chứng minh CE là đường phân
giác của
’
BCD.
c) Kẻ đường thẳng qua D song song với AB cắt (O) tại F . Chứng minh B, O, F thẳng hàng và tính
’
BCF .
d) Chứng minh
’
ACB phụ với
’
ADF .
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R.
a) Tính số đo
’
BOC và suy ra số đo cung nhỏ BC, số đo cung lớn BC.
b) Kẻ tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại A và đường kính BOD. Chứng minh OA ∥ CD.
c) Gọi E là giao điểm của AD và (O). Chứng minh △AEC △ACD, từ đó suy ra
’
ACE =
’
OAE.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O
′
; R
′
) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với
AB. Tia CB cắt (O
′
) tại E, tia BD cắt (O) tại F . Chứng minh rằng:
’
CAF =
’
DAE;a) AB là tia phân giác của
’
EAF ;b)
CA · CD = CB · CE;c) CD
2
= CB · CE + BD · DF .d)
Bài 5 (VD). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài (O). Kẻ SA là tiếp tuyến của đường tròn
(O) (A thuộc (O)) và AK là đường kính. SK cắt (O) tại điểm thứ hai là I.
a) Chứng minh KI · KS = 4R
2
.
b) Đường thẳng qua K song song với OS cắt (O) tại B. Chứng minh SB là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh rằng
’
BIK =
’
BSO và
’
BIK −
’
BKI =
‘
ISB.
d) BI cắt SO tại M. Chứng minh MS
2
= MI ·MB.
Bài 6 (VD). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến SA với (O)
(A là tiếp điểm) và cát tuyến SCD (SD > SC).
a) Chứng minh SA
2
= SC · SD.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với OS tại I cắt (O) tại B. Chứng minh SC ·SD = SI ·SO và
SB là tiếp tuyến của (O).
c) Gọi F là trung điểm của CD; OF cắt AB tại T . Chứng minh bốn điểm T ; F ; I; S cùng thuộc
một đường tròn.
d) Chứng minh T C
2
= T F · T O và T C là tiếp tuyến của (O).
Bài 7. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là hai tiếp điểm.
Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt (O) tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D. Nối
A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng:
△ABE △BDE;a) △MEA △DEM;b) E là trung điểm của MB.c)
66/84 66/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
67
GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG - BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
2
Baâi söë
A– TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Góc có đỉnh bên trong đường tròn
○
÷
BMD có đỉnh bên trong đường tròn.
○
÷
BMD chắn hai cung AnC
⌢
và DmB
⌢
.
○
÷
BMD =
1
2
Ä
sđBmD
⌢
+ sđAnC
⌢
ä
.
O
C
B
A
D
M
m
n
2 Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
○
÷
BMD có đỉnh bên ngoài đường tròn.
○
÷
BMD chắn hai cung AnC
⌢
và BmD
⌢
.
○
÷
BMD =
1
2
Ä
sđBmD
⌢
− sđAnC
⌢
ä
.
O
B
D
A
C
M
m
n
B– BÀI TẬP
Bài 1. Tính số đo x trong các hình vẽ sau:
O
C
B
D
A
E
45
◦
15
◦
x
Hình a)
O
B
D
A
C
M
70
◦
100
◦
x
Hình b)
67/84 67/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Tứ giác nội tiếp Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
68
O
C
B
A
D
E
15
◦
50
◦
x
Hình c)
Bài 2. Cho (O) và dây AB, C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ dây CDcắt dây AB tại E, lấy F
thuộc cung nhỏ BD. Gọi K là giao điểm của DC và BF , I là giao điểm của DA và CF . Chứng minh
rằng:
’
DIF =
’
DKF ;a)
’
AED =
’
DF C.b)
Bài 3. Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Qua điểm M thuộc cung
nhỏ AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt CD tại I. Gọi E là giao điểm của BM và CD.
a) Chứng minh rằng IM = IE.
b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh rằng
’
AF C =
÷
ABM.
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
3
Baâi söë
A– TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.
cVí dụ 1.
O
A
B
C
D
ABCD là tứ giác nội tiếp
I
M
N
P
Q
MNP Q không là tứ giác nội tiếp
2 Tính chất
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì
68/84 68/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
69
1. Hai góc đối bù nhau:
’
BCD +
’
BAD = 180
◦
2. Góc ngoài bằng góc đối trong:
‘
DAb =
’
BCD
3. Hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau:
’
BAC =
’
BDC
B
b
C
A
D
3 Bốn phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
1. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
Xét tứ giác ABCD có
OA = OB = OC = OD
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn (O).
O
A
B
C
D
cVí dụ 2. Cho tứ giác ABCD có
“
D =
“
B = 90
◦
. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
□
2. Tứ giác có hai góc đối bù nhau (tổng = 180
◦
).
Xét tứ giác ABCD có
“
B +
“
D = 180
◦
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn.
O
A
B
C
D
cVí dụ 3. Cho tứ giác ABCD có
“
D =
“
B = 90
◦
. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69/84 69/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Tứ giác nội tiếp Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
□
3. Tứ giác có góc ngoài bằng góc đối trong.
Xét tứ giác ABCD có
’
DCB =
‘
DAb
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn.
B
b
C
A
D
4. Tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau.
Xét tứ giác ABCD có
’
BAC =
’
BDC
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn.
B
C
b
A
D
4 Hai mô hình quen thuộc
B
A
C
D
(hai góc vuông đối diện nhau)
B C
A
D
(hai góc vuông cùng nhìn một cạnh)
5 Cách xác định tâm của hai mô hình
B
A
C
D
I
(hai góc vuông đối diện nhau)
B C
A
D
I
(hai góc vuông cùng nhìn một cạnh)
6 Sử dụng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp
B
A
C
D
I
Dựa vào tam giác đồng dạng, ta chứng minh được
○ Nếu IA · ID = IB · IC thì ABCD là tứ giác nội tiếp.
○ Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì IA · ID = IB · IC.
70/84 70/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
71
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh hình chữ nhật, hình thang cân là các tứ giác nội tiếp.
Bài 2. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho
DB = DC và
’
DCB =
1
2
’
ACB.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong của
“
B và
b
C cắt nhau tại S, các đường phân
giác ngoài của
“
B và
b
C cắt nhau tại E. Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp.
Bài 4. Cho tam giác cân ABC có đáy BC và
b
A = 20
◦
. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C lấy điểm D sao cho DA = DB và
’
DAB = 40
◦
. Gọi E là giao điểm của AB và CD.
a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp.
b) Tính
’
AED.
Bài 5. Cho △ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
a) BEDC là tứ giác nội tiếp.
b) AD · AC = AE ·AB.
c) OA ⊥ DE.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P
khác C. Chứng minh AP = AD.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. Trên cung
nhỏ AM lấy điểm E (E khác A, M). Kéo dài BE cắt AC tại F
a) Chứng minh
÷
BEM =
’
ACB, từ đó suy ra tứ giác MEF C là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của ME và AC. Chứng minh AK
2
= KE · KM.
Bài 8. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là giao điểm
của AH và BC.
a) Chứng minh: Tứ giác BF EC nội tiếp và OA ⊥ EF.
b) Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: AB · KC = AK · BD suy ra AB · KC + AC · KB =
AK · BC.
c) Vẽ CI ⊥ AK tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MI = MD
Bài 9. Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp
điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Gọi I trung điểm của AB. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc
với OI tại K đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: tứ giác ABOC nội tiếp và OK.OI = OH.OA.
b) Đường tròn (I) đường kính AB cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của BE và OA. Chứng minh:
F đối xứng với O qua H.
c) Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp △AF B đi qua điểm K.
71/84 71/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
72
Bài 10. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến ME, MF và cát tuyến MAB với (O)
(cát tuyến MAB không đi qua O). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt EF và EB lần lượt
tại C và D. Gọi N là trung điểm của AB.
a) Chứng minh OF MN và ONEM là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra năm điểm O, F , M, E, N cùng
thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh ME ∥ AD.
c) Chứng minh ACNF là tứ giác nội tiếp.
d) Chứng minh AC = CD.
Bài 11 (HK2 Quận 8 năm 2018 - 2019). Cho △ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ ba đường cao
AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BDHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF . Chứng minh F DIE là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi N là giao điểm của AD và EF. Gọi M là giao điểm của EF và BC. Chứng minh NF ·ME =
NE · MF .
Bài 12 (HK2 Quận 10 năm 2018 - 2019). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm
trên đường tròn (O) (M khác A, B và không trùng với điểm chính giữa cung AB). Các tiếp tuyến của
(O) tại A và M cắt nhau tại P .
a) Chứng minh P AOM là tứ giác nội tiếp và PO ⊥ AM.
b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM tại N. Chứng minh
’
P AN =
’
P ON và suy ra tứ
giác P OBN là hình bình hành.
c) Gọi Q, R, S lần lượt là giao điểm của P O và AN, P M và ON, P N và OM. Chứng minh ba điểm
Q, R, S thẳng hàng.
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH
TRÒN, HÌNH QUẠT
4
Baâi söë
A– TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Chu vi hình tròn - Độ dài cung tròn - Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt
○ Chu vi hình tròn: C = 2πR.
○ Diện tích hình tròn: S = πR
2
.
○ Độ dài cung tròn: l =
πRn
180
.
○ Diện tích hình quạt: S
quạt
=
πR
2
n
360
.
O
A
C
l
n
◦
72/84 72/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
73
2 Diện tích hình viên phân - Diện tích hình vành khăn
○ Hình viên phấn là phần được gạch chéo, có diện tích được tính bởi công
thức
S
viên phân
= S
quạt AOB
− S
△AOB
.
O B
A
R
m
○ Hình vành khăn là phần gạch chéo, có diện tích được tính bởi công thức
S
vành khăn
= π
R
2
1
− R
2
2
.
R
1
O
R
2
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn
Cho đường tròn bán kính R. Khi đó:
○ Độ dài C của đường tròn là
C = 2πR
○ Độ dài l của một cung là
l =
πRn
180
cVí dụ 1.
a) Tính độ dài cung 60
◦
của một đường tròn có bán kính 2 dm.
b) Tính chu vi của một vành xe đạp có đường kính 650 mm.
¤ a)
2π
3
; b) 650π.
cVí dụ 2. Tính chu vi của đường tròn, biết:
a) Đường tròn có bán kính bằng 6 cm.
b) Đường tròn có đường kính bằng 8 cm.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng 2
√
3 cm.
¤ a) 12π; b) 8π; c) 2π.
cVí dụ 3. Cho đường tròn (O; R), độ dài cung AB
⌢
là
πR
4
. Tính sđAB
⌢
. ¤ sđAB
⌢
= 45
◦
.
73/84 73/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
74
cVí dụ 4 (Đề HKII Quận 12, năm 2018 - 2019).
Máy kéo công nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng,
bánh xe sau có đường kính là 189 cm và bánh xe trước có đường kính là 90
cm. Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng
thì xe đi được bao xa và bánh xe trước lăn được mấy vòng?
¤ Quãng đường xe đi được là 890π cm và bánh xe trước lăn được 21 vòng.
cVí dụ 5 (Đề HKII Quận 1, năm 2017 - 2018).
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ các nửa
đường tròn có đường kính lần lượt là AB, BC, CA (xem
hình vẽ). Hai con robot chạy từ A đến C, con robot thứ nhất
chạy theo đường số 1 (nửa đường tròn đường kính AC), con
robot thứ hai chạy theo đường số 2 (hai nửa đường tròn
A B C
đường số 1
đường số 2
đường kính AB, BC). Biết chúng xuất phát cùng một thời điểm tại A và chạy cùng vận tốc không
đổi. Cả hai con robot cùng đến C một lúc. Em hãy giải thích vì sao?
Dạng 2. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn, hình viên phân, hình vành khăn
Cho đường tròn bán kính R. Khi đó:
○ Diện tích hình tròn là
S = πR
2
○ Diện tích hình quạt cung n
◦
là
S =
πR
2
n
360
○ Để tích diện tích hình viên phân, ta lấy diện tích hình quạt trừ đi diện tích hình tam giác.
○ Để tính diện tích hình vành khăn, ta lấy diện tích hình tròn lớn trừ đi diện tích hình tròn nhỏ.
cVí dụ 1. Tính diện tích hình tròn, biết:
a) Bán kính bằng 8 cm.
b) Đường kính bằng 12 cm.
c) Chu vi đường tròn đó bằng 18π cm.
¤ a) 64π cm
2
; b) 36π cm
2
; c) 81π cm
2
.
cVí dụ 2. Cho đường tròn (O;6 cm), trên đường tròn lấy cung AB
⌢
có số đo 60
◦
. Tính diện tích
hình quạt AOB và diện tích hình viên phân cung AB.
¤ S
quạt AOB
= 6π cm
2
và diện tích hình viên phân cung AB ≈ 3, 26 cm
2
.
74/84 74/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 3. Góc với đường tròn Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
75
cVí dụ 3.
Một vườn hoa hình tròn có bán kính OA = 5 m. Ở ngoài vườn, người ta
làm một lối đi chung quanh, diện tích lối đi bằng diện tích vườn hoa. Tính
chiều rộng AB của lối đi.
B
A
O
¤ AB ≈ 2, 07 m.
cVí dụ 4 (Đề HKII Quận Bình Thạnh năm 2017 - 2018).
Trong hình vẽ bên, ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O có bán
kính bằng 4 cm. Hãy tính độ dài cạnh hình vuông và diện tích phần được tô
đậm trong hình vẽ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
¤ AB = 4
√
2 cm và diện tích phần tô đậm ≈ 36, 53 cm
2
.
cVí dụ 5 (Đề HKII Quận 8 năm 2017 - 2018).
Hoa văn trên một nền gạch bông là bốn đường tròn tiếp xúc nhau như
hình vẽ. Biết bán kính của các đường tròn đều bằng 0, 3 mét và tâm của
bốn đường tròn này lần lượt là A, B, C, D. Tứ giác ABCD là hình vuông.
Hãy tính diện tích phần in đậm được giới hạn bởi các cung tròn EF, F G,
GH và HE theo đơn vị centimet. (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân
thứ hai).
¤ Diện tích phần tô đậm ≈ 772, 57 cm
2
.
C– BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
a) Tính diện tích hình tròn bán kính 5 cm.
b) Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 6 cm và có số đo cung là 60
◦
.
Bài 2. Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam
giác đều có cạnh 4 cm.
Bài 3. Cho đường tròn (O;3 cm) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB
tới đường tròn. Biết
÷
AMB = 60
◦
, tính diện tích hình giới hạn bởi MA, MB và cung nhỏ AB
⌢
.
Bài 4.
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 4 cm, các cung DE, EF , F D thuộc
ba đường tròn có bán kính 2 cm và có tâm lần lượt là ba điểm C, A, B. Tính
diện tích phần tô đen trên hình vẽ.
75/84 75/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
76
Bài 5.
Một viên gạch hình vuông cạnh a (cm) có hoa văn như hình vẽ. M, N, P ,
Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB, BC, CD. Tính độ dài a biết
diện tích phần tô đậm là 200(4 − π) (cm
2
).
A B
CD
M
N
P
Q
Bài 6.
Cho đường tròn (O;R cm) nội tiếp hình vuông ABCD và ngoại tiếp hình
vuông MNP Q (như hình vẽ bên). Biết rằng BD = 12 cm, tính diện tích
phần tô đen.
D
A
C
B
M
P
N
Q
O
76/84
76/84 Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
77
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU
4
Chûúng
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU
DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ
1
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Định nghĩa
Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố
định, ta được một hình trụ có:
○ CD là trục;
○ AB là một đường sinh;
○ Hai đáy là hai đường tròn bằng nhau.
C
D
B
A
C
D
A
B
2 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
○ Diện tích xung quanh
S
xq
= 2πrh
○ Diện tích toàn phần
S
tp
= S
xq
+ S
hai đáy
= 2πrh + 2πr
2
○ Thể tích hình trụ
V = Sh = πr
2
h
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Các bài tập tính toán liên quan hình trụ
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 1 (Bài 10/tr 112 - Sgk). Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13 cm và chiều cao là 3 cm.
b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 5 mm và chiều cao là 8 mm.
cVí dụ 2 (Bài 4/tr 110 - Sgk). Một hình trụ có bán kính đáy là 7 cm, diện tích xung quanh bằng
352 cm
2
. Tính chiều cao của hình trụ.
77/84 77/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
1. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
78
cVí dụ 3 (Bài 6/tr 111 - Sgk). Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện
tích xung quanh của hình trụ là 314 cm
2
. Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ
(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
cVí dụ 4. Mặt cắt qua trục của một hình trụ là một hình vuông có diện tích là 100 cm
2
. Hãy tính
Diện tích xung quanh của hình trụ;a) Thể tích của hình trụ.b)
cVí dụ 5. Một hình chữ nhật chu vi 50 cm và diện tích 150 cm
2
. Cho hình chữ nhật này quay
quanh một vòng tròn quanh một cạnh cố định. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ được tạo thành.
cVí dụ 6. Một thùng đựng nước hình trụ có chu vi đáy là 94,2 cm và thể tích bằng 18369 cm
3
.
Tính bán kính đáy và chiều cao của thùng.
cVí dụ 7. Một hộp bánh kẹo hình trụ có chiều cao 6 cm và diện tích toàn phần bằng 3 lần diện
tích xung quanh. Tính bán kính đáy của hộp này.
cVí dụ 8. Một hộp sữa bột có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng
2
5
chiều cao. Biết thể tích của
hộp sữa là 540π cm
3
. Tính diện tích vỏ hộp (kể cả nắp).
Dạng 2. Các bài toán thực tế
Sử dụng các công thức phần kiến thức trọng tâm. Đôi khi, hình tạo thành là hỗn hợp của nhiều
hình, khi đó ta cần tách hình hỗn hợp thành các bộ phận riêng biệt, tính thể tích của những bộ
phận ấy rồi cộng hoặc trừ các số đo đó.
cVí dụ 9. Một cây nến hình trụ cao 20 cm và có đường kính đáy 24 mm. Hỏi cây nến này có thể
thắp sáng được bao lâu nếu mỗi phút cháy hết 3,0144 cm
3
nến?
cVí dụ 10 (Bài 7/tr 111 - Sgk).
Một bóng đèn huỳnh quang dài 1, 2 m, đường kính của đường tròn
đáy là 4 cm, được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp
(hình bên). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp. (Hộp
hở hai đầu, không tính lề và mép dán).
cVí dụ 11 (Bài 11/tr 112 - Sgk - Bài toán Ác-si-mét). Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng
đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12, 8 cm
2
. Nước
trong lọ dâng lên thêm 8, 5 mm. Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu.
78/84 78/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
79
cVí dụ 12 (Bài 13/tr 113 - Sgk).
Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình bên (lỗ khoan
dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2 cm, đáy của nó là hình vuông có
cạnh là 5 cm. Đường kính của mũi khoan là 8 mm. Hỏi thể tích còn lại
của tâm kim loại là bao nhiêu?
cVí dụ 13. Lõi của một cuộn chỉ có kích thước như hình vẽ bên. Tính thể tích của chỉ sau khi chỉ
được cuộn đầy vào lõi (làm tròn đến số thập phân thứ 2).
5 cm
8 cm
1 cm
cVí dụ 14. Một viên than “tổ ong” hình trụ, có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao 10 cm. Trên mỗi
mặt đáy có 12 lỗ “tổ ong” ở vòng ngoài, có 6 lỗ “tổ ong” ở vòng trong và một lỗ ở chính tâm của
đáy. Chiều cao của lỗ đúng bằng chiều cao của viên than, đường kính mỗi lỗ là 1 cm. Tính thể tích
nhiên liệu của mỗi viên than.
cVí dụ 15. Trong xây dựng người ta thường dùng gạch lỗ để xây tường cho nhẹ. Mỗi viên gạch
dài 20 cm, rộng 10 cm và cao 5,5 cm. Dọc theo chiều dài mỗi viên, có hai lỗ hình trụ, mỗi lỗ có
đường kính 3,6 cm. Tính thể tích đất để làm mỗi viên gạch (không kẻ đến độ co của đất khi nung).
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 80π cm
2
và thể tích là 160π cm
3
. Tính bán kính đáy
và chiều cao của hình trụ này.
Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 15 cm và diện tích toàn phần là 252π cm
2
. Tính bán kính đáy của
hình trụ.
Bài 3. Một bình đựng nước hình trụ có bán kính đáy là 12 cm, chiều cao cột nước trong bình là 18 cm.
Người ta cho một hòn đá vào trong bình và ngập hoàn toàn trong nước, chiều cao của cột nước bây giờ
là 20 cm. Tính thể tích của hòn đá.
Bài 4. Một chậu hình trụ có chiều cao 7 cm. Biết diện tích đáy của chậu bằng diện tích xung quanh.
Hỏi chậu này có thể chứa được bao nhiêu lít nước?
Bài 5. Một lọ thuốc hình trụ đặt khít trong một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích là 200 cm
3
.
Tính thể tích của lọ thuốc hình trụ.
Bài 6.
79/84 79/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
80
Một cái chai phía dưới là hình trụ chứa lượng nước có chiều cao 10 cm.
Người ta lật ngược chai lại thì phần chai không chứa nước là một hình trụ
có chiều cao 8 cm như hình vẽ bên. Tính thể tích của chai, biết rằng đường
kính của đáy chai bằng 10 cm.
10 cm
10 cm
8 cm
Bài 7.
Một cái hầm bi-ô-ga như hình vẽ bên. Phần trên là nửa hình trụ, phần dưới
là một hình hộp chữ nhật với các kích thước cho trên hình vẽ. Tính thể tích
hầm bi-ô-ga (lấy π =
22
7
).
1,4 m
2 m
1 m
Bài 8. Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình vẽ bên.
2 cm
11 cm
7 cm
6 cm
DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH
NÓN VÀ HÌNH NÓN CỤT
2
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Định nghĩa
Khi quay △AOC vuông tại O một vòng quanh cạnh OA cố
định ta được một hình nón có:
○ AO là đường cao;
○ AC là một đường sinh;
○ Đáy là đường tròn tâm O.
O
D
A
C
A
OC
80/84 80/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
81
2 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón
○ Diện tích xung quanh
S
xq
= πrl
○ Diện tích toàn phần
S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= πrl + πr
2
○ Thể tích hình nón
V =
1
3
Sh =
1
3
πr
2
h
3 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón cụt
○ Diện tích xung quanh
S
xq
= π(R
1
+ R
2
)l
○ Diện tích toàn phần
S
tp
= S
xq
+ S
hai đáy
= π(R
1
+ R
2
)l + π
R
2
1
+ R
2
2
○ Thể tích hình nón cụt
V =
1
3
πh
R
2
1
+ R
2
2
+ R
1
R
2
l h
R
1
R
2
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Các bài tập liên quan hình nón
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15 cm; AC = 8 cm. Quay tam giác này một
vòng quay cạnh AB cố định. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình thạo thành.
cVí dụ 2. Một hình nón có bán kính đáy là 5 cm và thể tích là 100π cm
3
. Tính diện tích toàn
phần của hình nón này.
Dạng 2. Các bài tập liên quan hình nón cụt
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 3. Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn có bán kính đường tròn miệng xô là 14 cm,
bán kính đáy xô là 9 cm và đường sinh là 25 cm.
a) Hỏi xô này có thể chứa được 10 lít nước không?
b) Tính diện tích tôn để làm chiếc xô này.
81/84 81/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
82
cVí dụ 4. Hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) có AB = 30 cm; CD = 54 cm và đường cao
AH = 9 cm. Cho hình thang này quay một vòng quanh cạnh đáy CD. Hãy tính
Thể tích của hình tạo thành;a) Diện tích mặt ngoài của hình tạo thành.b)
Dạng 3. Các bài toán thực tế
Sử dụng các công thức phần kiến thức trọng tâm. Đôi khi, hình tạo thành là hỗn hợp của nhiều
hình, khi đó ta cần tách hình hỗn hợp thành các bộ phận riêng biệt, tính thể tích của những bộ
phận ấy rồi cộng hoặc trừ các số đo đó.
cVí dụ 5 (bài 15 sgk - tr117).
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ,
cạnh của hình lập phương bằng 1. Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón;
b) Độ dài đường sinh.
cVí dụ 6 (bài 21 sgk - tr118).
Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ bên. Hãy tính
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép,
phần thừa).
cVí dụ 7 (bài 21 sgk - tr118).
Hình bên cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm
theo (OA = OB). Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích
của hình trụ.
cVí dụ 8 (bài 27 sgk - tr119).
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình
nón. Các kích thước cho trên hình bên. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này;
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp).
82/84 82/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
83
cVí dụ 9 (bài 28 sgk - tr120).
Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước
cho ở hình bên (đơn vị: cm).
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô;
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Người ta cuộn một tấm bìa hình quạt có bán kính 24 cm và số đo cung tròn là 270
◦
được một
hình nón rồi dán hai mép lại với nhau. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 2. Một hình nón có bán kính đáy là 40 cm. Cắt hình nón này bằng một mặt phẳng song song với
đáy ta được được một hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ là 24 cm và đường cao là 30 cm. Hãy tính:
a) Độ dài đường sinh của hình nón cụt.
b) Diện tích xung quanh của hình nón cụt.
c) Thể tích của hình nón cụt bị cắt ra.
Bài 3. Một hình nón có thể tích là 24 cm
3
. Cắt hình nón này bằng một mặt phẳng song song với đáy,
đi qua trung điểm của đường cao. Tính thể tích của hình nón cụt được tạo thành.
Bài 4. Một hình nón có số đo nữa góc ở đỉnh là 30
◦
. Chứng minh rằng hình nón này có diện tích xung
quanh bằng hai lần diện tích đáy.
Bài 5. Một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là 15 cm, chiều cao là 16 cm. Từ khúc gỗ này người ta
tiện bỏ đi một hình nón có đáy là đáy của hình trụ và đỉnh là trung điểm của trục hình trụ.
a) Tính thể tích của phần còn lại của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt ngoài của phần còn lại của hình trụ.
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU
3
Baâi söë
A– KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Định nghĩa
○ Khi quay nửa hình tròn (O; R) một vòng quanh đường kính
AB cố định thì được một hình cầu.
- Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay
mặt cầu.
A
B
O
A
B
O
83/84 83/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
3. Diện tích và thể tích của hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
84
2 Diện tích - Thể tích hình cầu
○ Diện tích mặt cầu S = 4πR
2
hay S = πd
2
(R là bán kính; d là đường kính).
○ Thể tích hình cầu V =
4
3
πR
3
.
B– CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
84/84 84/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
| 1/88
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NGUYỄN NGỌC DŨNG TOÁN THẦY DŨNG TQB TO T ÁN O 9 LÝ THUYẾT VÀ V PHÂN DẠNG 2023 - 2024 E B 34◦ D 62◦ 50m A C π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π i MỤC LỤC
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu MỤC LỤC I Đại số 1 Chương 1.
Căn bậc hai. Căn bậc ba 2 Bài số 1.
Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bài số 2.
Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bài số 3.
Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Bài số 4.
Căn bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bài số 5.
Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2.
Hàm số. Hàm số bậc nhất 15 Bài số 1.
Hàm số, hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Bài số 2.
Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Bài số 3.
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ̸= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Bài số 4.
Các bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Bài số 5.
Các bài toán thực tế ứng dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 24 Bài số 1.
Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bài số 2.
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Bài số 3.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a
( ̸= 0). Phương trình bậc hai 29 Bài số 1. Hàm số y = ax2 y = ax y = , (a
( ̸= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bài số 2.
Phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bài số 3.
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Bài số 4.
Phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Bài số 5.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II Hình học 52 Chương 1.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông 53 Bài số 1.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bài số 2.
Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Bài số 3.
Ứng dụng thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 i/84 i/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 ii MỤC LỤC
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chương 2. Đường tròn 61 Bài số 1.
Sự xác định đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bài số 2.
Đường kính và dây của đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bài số 3.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bài số 4.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến 62 Chương 3.
Góc với đường tròn 65 Bài số 1.
Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bài số 2.
Góc có đỉnh bên trong - bên ngoài đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Bài số 3.
Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Bài số 4.
Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chương 4.
Hình trụ - Hình nón - Hình cầu 77 Bài số 1.
Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Bài số 2.
Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Bài số 3.
Diện tích và thể tích của hình cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ii/84 ii/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 PHẦN ĐẠI SỐ I 30 15 1 22 24 43 19 20 48 28 18 14 50 5 21 47 4 12 38 35 42 27 40 11 31 7 9 10 36 29 33 25 32 46 17 3 16 23 44 13 41 2 49 39 6 34 45 8 26 37 2
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 1
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA Baâi söë 1 CĂN BẬC HAI Bài 1. Tính: √ √ √ √ a) 121 b) − 144 c) 0,25 d) − 0,0016 √ … 7 … 25 34 e) f) − 2 g) p(−7)2 h) 9 49 √ √ p p i) 16 j) − 4 81 Bài 2. Tính: √ √ 1 √ … 1 √ 3 √ a) 3 144 − 5 169 + 256 b) 7 − 0,5 144 − 169 2 9 2 Å Ç å 3 √ 1 √ ã √ … 9 … 4 … 4 c) 256 − 289 : 36 d) 1 − : 4 2 16 4 25 √ √ √ √ √ Å 1√ ã e) 2 3( 3 − 2) + 4 3 f) −8 3 − 4 3 3 − 2 2
Bài 3. So sánh các căn bậc hai sau: √ √ a) 6 và 41 b) 19 và 4 √ √ √ c) 21 và 5 d) 5 3 − 4 và 3 5 √ √ √ √ e) 26 + 17 + 10 + 5 + 1 và 15
Bài 4. Giải các phương trình sau: √ a) x2 − 25 = 0 b) x2 − 7 = 0 c) x2 − 16 = 0 d) 4x2 − 7 = 13 e) (x + 3)2 = 6x + 11 f) x2 + 2x = 15
Bài 5. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa: √ √ √ a) 5x b) 3x + 7 c) 5 − x −5 … 4 … −3 d) √ e) f) 3 − 2x 3 − 2x 1 + 4x √ √ √ −7x2 g) 10 + x2 h) i) x2 − 1 Bài 6. Rút gọn: 2/84 2/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 3
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu » √ » √ (3 − 11)2 1) ( 17 − 4)2 2) » √ » √ » √ » √ ( 5 − 3)2 − (2 + 5)2 3) (4 − 17)2 − ( 17 − 3)2 4) » √ » √ » √ » √ (5 − 6)2 − (2 − 6)2 5) (17 + 47)2 − (7 − 47)2 6) Bài 7. Rút gọn: √ √ p p 1) 6 + 2 5 2) 8 + 2 7 √ √ √ √ p p p p 3) 15 − 6 6 − 10 − 4 6 4) 16 − 6 7 − 32 + 10 7 √ √ √ √ p » p » 31 − 10 6 − (3 − 2 6)2 5) 28 − 16 3 − (4 − 3 3)2 6)
Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau: √
1) 2 x2 + 2x − 5 với x ≥ 0
2) 3p(x − 2)2 + 4x − 1 với x < 2 √ √ p 3) (3 − x)2 + 2 x với x > 9 p 4)
(x − 4)2 − p(x − 3)2 với x > 4 Bài 9. Tính: √ √ √ √ √ √ 1) (3 − 5)( 5 − 2) − 5( 5 − 5) 2) (3 + 5)2 − 8 5 − 14 √ √ √ √ √ (5 + 3)(1 − 3) − (1 − 2 3)2 3) 4) (2 − 3 5)(2 + 3 5)
Bài 10. So sánh các căn bậc hai sau: √ √ √ √ 1) 2 5 và 19 2) 3 10 và 4 5 √ √ √ √ p p 3) −3 10 và −4 5 4) 3 và 2 √ √ √ √ √ √ p 5) 63 và 2 2 6) 2009 − 2007 và 2011 − 2009 1 1 1 1
7) √ + √ + √ + . . . + + √ và 10 1 2 3 100
Bài 11. Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa … x √ a) ; b) 7 − 14x; p c) (1 − 2x)2; −3 √ √ x2 + 1 6 − 3x x2 + 5 d) ; e) ; f) √ . 2x2 − 8 x − 3 2x + 3
¤ a) 2x2 − 3x b) 12x4 − 6x2 c) 6x2y + 15x3y d) 10x3 − 15x2 − 5x e) 12x5 + 18x4 − 6x3 f) 4x3y − 8x2y2 + 12xy3
Bài 12. Tính (Rút gọn) » √ » √ √ a) (2 2 − 3)2; b) (2 3 − 3 2)2; » √ » √ » √ √ » √ √ c) (4 + 15)2 + (4 − 15)2; d) (3 2 − 5)2 − ( 2 − 5)2; » √ » √ » √ √ » √ √ e) (3 − 10)2 − (2 10 − 7)2; f) (3 5 − 17)2 − ( 5 − 17)2. √ √ √ √ √ √ √ √
¤ a) 3 − 2 2 b) 3 2 − 2 3 c) 8 d) 2 5 − 4 2 e) 4 − 10 f) 2 5 − 2 17
Bài 13. Tính (Rút gọn): 3/84 3/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 4 1. Căn bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √ √ p p a) 12 − 2 35; b) 8 − 2 15; √ √ √ √ p p p p c) 12 − 2 35 + 12 + 2 35; d) 11 − 2 30 + 13 + 2 42; √ √ √ √ p p p p e) 8 − 4 3 + 14 + 8 3; f) 11 + 6 2 + 11 − 6 2. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ¤ a) 7 − 5 b) 5 − 3 c)2 7 d) 2 7 + 6 − 5 e)2 6 + 2 f) 6
Bài 14. Tính (Rút gọn): √ √ √ p p p a) 8 + 3 7; b) 2 − 3 − 2 + 3; √ √ √ √ √ p p p p c) 6 − 3 3 + 2 − 3; d) 9 + 17 − 9 − 17 − 2. … 9 … 7 √ ¤ a) + b)0 c) 2 d) 0 2 2
Bài 15. Tính (Rút gọn): » √ √ √ √ √ √ p » p a) ( 5 − 11)2 − 31 − 4 55; b) ( 7 − 2 3)2 − 40 − 8 21; √ √ √ » √ p » p c) 15 − 4 14 + ( 5 − 2 2)2; d) 17 − 4 9 + 4 5; … q q √ √ √ » √ Ä p ä p e) 10 + 2 8 − 2 5 + 12 − 2 35 ; f) 6 + 2 2 3 − 4 + 2 3. √ √ √ √ √
¤ a) −3 5 b)−3 3 c)−4 2 − 7 −
5 d) x3 + xy e)−10x2 + 23x f) x3 + xy
Bài 16. Thu gọn các biểu thức sau: √ √ p a)
x + 1 + 2 x + 1 − 2 x với x > 0; √ √ p b)
x + 25 + 10 x + 2 (− x) với x > 0; √ √ p c)
x + 9 − 6 x − 3 ( x + 1) với 0 < x < 9; √ √ p d) x + 4 − 4 x − (1 − x) với 0 ≤ x ≤ 4; √ √ √ p e) x2 + 5 − 2 5x − 5 (x + 1) với x < 5; √ q √ p Ä ä2 f) x2 + 11 − 2x 11 − x + 11 với x > 4 √ √ 1 g) x2 − 4x + 4 − 4x2 + 4x + 1 với ≤ x ≤ 2; 2 √ √ p h) x − 4 x − 4 −
x − 4 + 1 với 4 ≤ x ≤ 5; √ √ p p i) x − 3 + 2 x − 4 − x − 16 với x > 5. √ √ √ √ √ ¤ a) 2 − x b)5 − x c)−4 x d) 1 e) −x −
5x f)−2 11 g)1 − 3x h) −3 i)−2
Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức sau: √ √ a) A = x2 − 6x + 11; b) B = 4x2 − 4x + 2; √ … 1 c) C = 2x2 − 2x + 3; d) D = x2 − x + ; 4 √ √ e) E = −x2 − 3 + 4x; f) F = −3x2 − 6x + 2. 11 ¤ a) 2 b)1 c) d) 0 e) 1 f)5 4 4/84 4/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 5
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI Baâi söë 2 PHƯƠNG Bài 1. Tính : √ √ √ √ √ √ √ √ Ä ä Ä ä a) 2 5 5 − 10 + 10 2; b) 3 9 7 − 4 28 − 3 3 − 21; √ √ √ √ √ √ √ √ c) (2 2 − 1)(3 − 3) − 3(1 − 3); d) (3 + 5)(6 − 2 5) − 12 13. √ √ √ √ √ √ ¤ a) 10 b)3 7 − 9 3 − 21 c)6 2 − 2 6 d) 8 − 2 39
Bài 2. Cho x, y là các số dương. Rút gọn √ √ √ √ √ √
a) 3 x − 5 x ( x − 4) + 5x; b) x ( x − y) + xy 1 + xy; √ √ √ √
c) 3x − (3 x − 1) ( x + 2); d) 4 − y2 − y − 32. √ √ √ √ √ ¤ a) 23 x b)x x + xy c)2 − 5 x d) 7 − 2 y Bài 3. Rút gọn: √ √ √ √ p p p a) 9 − 4 5 · 9 + 4 5; b) (2 2 − 6) · 11 + 6 2; √ √ √ √ √ √ √ p Ä ä p Ä ä Ä ä c) 2 2 − 3 · 3 + 1 ; d) 2 − 3 · 6 − 2 · 2 + 3 ; √ √ √ Ç å p 1 p 5 e) 27 + 10 2 : √ ; f) 14 − 6 5 · + 1 . ( 2 − 5)2 3 √ 4 ¤ Ä ä
a) 1 b)−14 c)2 d) 4 e) −23 · 2 − 5 f) 3 Bài 4. Rút gọn: … 1 12 … 5 30 a) 5 ; b) ; c) √ ; 5 5 4 5 6 √ √ 20 2 − 2 11 + 11 d) √ ; e) √ ; f) √ ; 2 5 2 1 + 11 √ √ √ √ √ √ 21 − 7 2 + 3 10 − 2 g) √ ; h) √ ; i) √ . 1 − 3 2 + 6 5 − 1 √ √ √ 6 5 √ √ √ √ √ 3 √ ¤ a) 5 b) c)
6 d) 2 5 e) 2 − 1 f) 11 g)− 7 h) i) 2 5 3 Baâi söë
3 BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Bài 1. Với các biểu thức đã cho có nghĩa. Rút gọn : √ √ √ √ x − x a b − a a + 1 + 2 a 1) √ . 4) √ . 7) √ . x − √ 1 b − b a 1 + a √ √ x x − 2x a − 1 3 x − x 2) √ . 5) √ . 8) √ . 2 − x a + 1 3 + 2 x − x √ √ √ x y − y x 4 − x y + 12 − 4 3y 3) √ √ . 6) √ . 9) . x − y 2 x − x y − 12 5/84 5/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 6
3. Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 2. Khử mẫu của các biểu thức lấy căn sau - Rút gọn : … √ 11 … 3 1) . 4) 5 . (1 − 3)2 3 5 7) . 27 √ … 5 (1 − 5)2 … x 2) . 5) . 8) xy . 8 75 y √ … 4 7 − 3 5 b … b 3) . 6) . 9) . 27 162 a a
Bài 3. Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau : 5 1 a 1) √ . 4) √ . 7) √ . 7 3 20 2 a − 1 11 5 9 − x 2) √ . 5) √ . 8) √ . 2 3 2 5 x + 3 √ 1 2 3 1 3) √ . 6) √ . 9) √ √ . 3 5 3 + 1 a + a + 1
Bài 4. Trục căn thức ở mẫu của các phân thức rồi rút gọn : 1 1 1 1 1) √ − √ . 7) √ √ + √ . 1 − 2 1 + 2 5 + 7 1 − 7 1 1 7 2 2) √ √ − √ √ . 8) √ − √ . 2 − 3 3 + 2 3 − 2 2 − 1 √ 1 1 3 − 1 4 3) √ + √ . 9) √ − √ . 3 − 2 2 1 − 2 3 + 1 1 − 3 √ √ √ √ 1 1 2 − 3 3 + 2 4) √ − √ . 10) √ √ − √ √ . 3 − 2 2 3 + 2 2 2 + 3 3 − 2 √ √ 4 1 2 − 1 3 − 2 5) √ − √ . 11) √ − √ . 5 − 3 5 + 2 2 + 1 3 + 2 √ √ √ 1 2 3 5 + 2 6 − 2 5 6) √ + √ . 12) √ − √ . 3 − 2 2 2 + 5 5 − 2 3 + 5
cccBÀI TẬP TỰ LUẬNccc Bài 1. Tính : √ √ √ √ √ √ √ √
1) 3 125 − 2 20 − 3 80 + 4 45. 1 2 4) 2 2 + 32 − 450 + 392. 3 7 √ √ √ √ √ √ √ √ 2) 1100 − 7 44 + 2 176 − 1331. 5) −2 50 + 18 − 3 80 + 125. √ √ √ √ √ √ √ p p p 3) 20 − 2 45 − 3 80 + 2 45. 6) 2 8 3 + 2 5 3 − 3 20 3.
Bài 2. Khử mẫu các biểu thức lấy căn rồi rút gọn biểu thức : … 1 1 √ √ … 1 √ √ 1) 5 + 20 + 15. 2) + 4, 5 + 12, 5. 5 2 2 6/84 6/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 7
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu 3 √ … 2 … 3 Ç … å 6 … 2x √ √ 3) 6 + 2 − 4 . 5) x + + 6x : 6x với x > 0. 2 3 2 x 3 √ … x … 4 … a √ a… a 4) 5 x + 6 − x với x > 0. 6) + ab + với a, b > 0. 4 x b b b Bài 3. Rút gọn √ √ √ √ √ 3 5 − 5 3 ( 3 − 5)2 + 4 15 1) √ . 5) √ √ . 3 − 15 3 + 5 √ √ √ √ √ 5 6 − 6 5 8 6 − ( 3 + 2 2)2 2) √ √ . 6) √ √ . 2 15 − 5 2 4 2 − 2 3 √ √ √ 14 − 6 5 12 6 − ( 6 + 3)2 3) √ . 7) √ √ . 5 − 3 2 3 − 3 2 √ √ √ 9 − 4 5 ( 5 + 2)2 − 8 5 4) √ . 8) √ . 5 − 2 5 5 − 8 Bài 4. Rút gọn √ √ −2 1) √ . 5 2 − 2 5 6 8) √ √ + √ . 3 − 1 5 − 2 2 − 10 5 √ 2) √ . 1 − 6 5 − 5 3 9) √ + √ √ . √ 1 − 5 2 − 5 2 + 5 3) √ . √ √ 2 − 5 7 18 − 3 6 10) √ − √ . 1 3 2 − 5 3 − 1 4) √ . 5 + 2 6 √ 6 7 2 x + a x 11) √ + √ − √ √ . 5) √ . 5 − 1 1 − 3 3 − 5 a x 5 2 1 2x 12) √ − √ √ − √ . 6) √ . 4 + x 3 − 7 2 + 3 2 − 1 √ √ √ 6 3 3 + 3 12 − 6 3 + 3 4 7) √ − √ . 13) √ √ − √ − √ . 1 − 3 3 + 1 8 − 24 3 7 − 1
Bài 5. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Rút gọn : √ √ √ 4 x − x − 4 xy − 3 y 1) . 6) √ √ √ . x − 4 x y − 5 xy + 6 y √ x + y − 2 xy 2) √ √ . √ √ Å ã Å ã x y − y x a − 2 a a − a 7) 2 + √ 2 + √ . a − 2 a − 1 x − 9 3) √ . x x − 27 √ √ Å x − x ã Å x + x ã √ √ 8) √ + 2 2 − √ . x − x − 2 x + 2 x − 1 1 + x 4) . x − 1 √ x − 4 a + b + 2 ab a − b 5) √ √ . 9) √ √ − √ √ . x x + 2x − x − 2 a + b a − b 7/84 7/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 8 4. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √ √ √ √ √ √ a a − b b √ Ç y y − x x å Ç å2 √ y − x 10) √ √ + ab. 11) √ √ + xy . a − b y − x y − x
Bài 6. Với các biểu thức đã cho đã có nghĩa. Hãy rút gọn : √ √ √ Å x + 2 4 x ã Å x ã 1) √ − : − 1 . 2 x − 4 x − 4 2 √ √ Å x 5 x − 3 ã Å 4 ã 2) √ − · 2 − √ . x − 1 x − 1 x + 3 √ √ √ Å 2 x − 4 x + 2 ã Åx − x ã 3) √ − √ · √ . x − 4 x + 4 x − 2 x 1 − x √ 2 1 x + 4 4) √ − √ − √ . 3 x 2 x − 2 6 x − 6x √ √ √ x + 1 1 2 x(1 − x) 5) √ − √ − . x − 3 x + 3 9 − x √ √ Å 4 x 8x ã Å x − 1 2 ã 6) √ + : √ − √ . 2 + x 4 − x x − 2 x x √ √ Å 2 a ã Å 1 2 a ã 7) 1 − : √ − √ √ . a + 1 a + 1 a a + a + a + 1 √ √ x − 3 x − 2 9 − x 8) √ + √ − √ . 2 − x 3 + x x + x − 6 √ √ x − 1 x + 3 x + 5 9) √ − √ − √ . x + 1 x − 2 x − x − 2 √ √ Å å 2x + 1 x ã Ç 1 + x3 √ 10) √ − √ √ − x . x3 − 1 x + x + 1 1 + x √ √ √ √ Å 2 + x x − 2 ã x x + x − x − 1 11) √ − √ . x + 2 x + 1 x − 1 x Baâi söë 4 CĂN BẬC BA
Bài 1. Tính - Rút gọn √ √ √ 1) 3 27. 6) 3 0, 064. 3 135 √ √ 10) √ − 3 54 · 3 4. √ 3 5 2) 3 −8. … 125 √ 7) 3 . 3) 3 512. 216 √ √ √ 11) 3 p7 + 5 2. 4) 3 −343. 8) 3 p7 + 5 2. √ √ √ √ √ 5) − 3 729. 9) 3 27 − 3 −8 − 3 125. 12) 3 p26 − 15 3. Bài 2. So sánh √ 1) 5 và 3 123. √ √ 2) 3 210 và 3 3 5. 8/84 8/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 9
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √ √ 3) 2 3 7 và 3 3 2. √ √ 4) 5 3 6 và 6 3 5. Baâi söë 5 ÔN TẬP CHƯƠNG 1
Dạng 1. Tính - Rút gọn Bài 1. Tính √ √ 1 √ 3 √ √ √ √ 1) 2 121 − 3 36 + 25. 2) 64 + 2 256 − 6 400 + 4. 2 2 … 49 2 √ √ √ √ √ √ p 3) 36 − 225 − 3 81. 4) 16 − 2 8 − 3 32 + 72. 144 5 √ √ √ √ √ √ √ 1 √
5) 6 12 − 2 48 + 5 75 − 7 108. 6) − 20 + 3 45 − 6 80 − 125. 5 √ √ √ √ √ √ p p p p p p 7) 2 40 12 − 2 75 − 3 5 48. 8) 8 3 − 2 25 12 + 4 192. √ √ √ √ √ √ √ √ √ 9) (2 3 + 5) 3 − 60. ( 10) 99 − 18 + 11) 11 + 3 22. √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( 11) 28 − 12 − 7) 7 + 2 21. (5 12) 2 + 2 5) 5 − 250. √ √ √ √ √ √ √ ( 13) 6 − 5)2 − 120. (2 14) − 2)(−5 2) − (3 2 − 5)2. √ … 1 1 √ √ 1 √ 33 … 1 15 5 ) + 20 − 5. 16) 48 − √ + 5 1 . 5 2 2 11 3 Bài 2. Rút gọn √ √ √ 1) 9a − 16a + 49a với a > 0. √ √ √ 2)
160x + 2 40x − 3 90x với x ≥ 0. √ √ √ √ 3)
27a − 2 3a + 2 48y − 3 75y với a, y > 0. √ 2 √ 1 √ 4) 2 20a3 − · a 45a + · a 320a với a > 0. 3 7 … a √ a… b 5) + ab + với a, b < 0. b b a Bài 3. Rút gọn » √ » √ » √ » √ 1) (3 − 7)2 − ( 7 + 2)2. 2) (5 − 2 3)2 + ( 3 − 5)2. » √ √ » √ √ » √ √ » √ √ 3) (2 2 − 3)2 − ( 2 − 2 3)2. 4) ( 11 − 3 2)2 − ( 11 − 2)2. » √ » √ » √ √ √ √ 5) (4 − 7)2 (4 + 7)2. 6) ( 3 − 5)2( 5 + 3). √ Ç å » √ √ √ 7 √ p 7) (12 2 − 17)2(3 + 2 2)2. 8) − 5 − 27 − 560. 2 √ √ √ √ p p p p 9) 14 − 6 5 + 14 + 6 5. 10) 7 − 2 10 − 7 + 2 10. 9/84 9/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 10 5. Ôn tập chương 1
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √ √ √ √ p p p p 11) 11 − 6 2 − 3 − 2 2. 12) 47 + 6 10 − 23 − 6 10. √ √ √ √ p p p p 13) 46 − 6 5 − 29 − 12 5. 14) 13 − 160 − 53 + 4 90. √ √ √ √ p p 1 ( 5) 3 − 2) 7 + 4 3. 16) 9 − 4 5(2 + 5). √ √ √ √ p p 17) 11 + 6 2(4 − 3 2). ( 18) 10 − 6) 23 + 6 10. » √ q » √ p p 19) 17 − 4 9 + 4 5. 20) 13 + 30 2 + 9 + 4 2. q » √ q√ » √ p p 21) 2 + 2 5 + 13 − 48. 22) 5 − 3 − 29 − 12 5. … »√ √ √ q √ » √ p p 23) 2 + 2 3 + 18 − 8 2. 24) 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3.
Bài 4. Rút gọn và tính √ √ 1 p 1)
9x − 12 x + 4 − 9 x + 1 tại x = và x > 0. 9 √ √ 1 p 2)
4a − 12 a + 9 − 4 a − 1 tại x = và a > 0. 4 √ √ p p 3) x + 5 − 2 5x −
x + 8 − 4 2x với 5 < x < 8. Bài 5. Rút gọn √ √ √ √ p p 1) 2 · ( 4 − 7 − 4 + 7 + 2). √ √ √ p p 2) 4 − 15 − 4 + 15 − 6. √ √ p p 3) 15 + 5 5 − 3 − 5. √ √ √ p p p 4) 5 + 21 + 5 − 21 − 2 4 − 7. √ √ √ p 5) 2 − 3 · ( 2 + 6). √ √ √ p 6) 7 − 33 · ( 22 + 6). √ √ √ √ p 7) ( 10 + 2) · (6 − 2 5) · 3 + 5. √ √ √ √ p 8) ( 10 + 6) · (4 − 15) · 4 + 15. √ √ √ √ p 9)
7 − 3 5 · (7 + 3 5) · (3 2 + 10). » √ √ √ p 10) 2 4 + 6 − 2 5 · ( 10 − 2). Ç √ √ … å2 Ç √ √ … å2 p p 5 p p 3 11) 5 2 + 3 + 3 − 5 − + 2 − 3 + 3 + 5 − . 2 2 √ √ √ √ √ Äp p ä2 p p 12) 21 2 + 3 + 3 − 5 − 6( 2 − 3 + 3 + 5)2 − 15 15. Bài 6. Rút gọn 10/84 10/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 11
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu 1 1 1 3 1) √ − √ . 2) √ √ − √ √ . 3 − 2 2 3 + 2 2 2 − 3 18 + 2 3 √ 2 −2 3 2 − 1 3) √ + √ . 4) √ + √ . 5 − 2 5 + 2 1 − 2 2 + 1 √ √ √ √ √ √ √ √ 7 + 5 7 − 5 3 + 2 3 − 2 5) √ √ − √ √ . 6) √ − √ . 7 − 5 7 + 5 6 + 2 6 − 2 3 2 1 12 4 20 7) √ √ − √ + √ √ . 8) √ − √ + √ . 5 − 2 2 − 2 3 + 2 5 + 1 5 + 2 3 + 5 √ √ √ 15 2 3 10 − 2 2 − 2 9) √ − √ − √ . 10) √ − √ . p p 12 − 6 3 1 − 3 7 − 4 3 5 − 1 2 − 1 √ √ √ √ √ √ √ 5 2 − 2 5 20 − 3 10 15 − 12 6 + 2 6 11) √ √ − √ . 12) √ + √ √ . 2 − 5 3 − 2 5 − 2 3 + 2 √ √ √ √ 6 − 6 6 + 6 3 + 2 3 2 + 2 13) √ + √ . 14) √ − √ . 6 − 1 6 3 2 √ √ √ √ Ç å Ç å 9 + 4 5 5 5 − 8 5 + 5 5 − 5 15) √ + √ . 16) 1 + √ √ − 1 . 5 + 2 2 − 5 1 + 5 1 − 5 √ √ √ √ Ç å Ç å Ç å Ç å 7 − 7 7 + 7 5 − 2 5 5 + 3 5 17) 1 − √ 1 + √ . 18) √ − 2 √ + 2 . 1 − 7 1 + 7 2 − 5 3 + 5 √ √ √ 2 3 − 2 3 3 2 − 2 3 5 19) √ √ − √ . 20) √ √ − √ . 3 − 5 2 − 3 3 − 2 1 + 6 √ √ √ √ 15 + 10 1 6 2 − 4 3 2 − 6 21) √ √ − √ . 22) √ − √ . 3 + 2 5 − 2 2 − 3 1 − 2 √ √ √ √ 3 + 2 3 2 + 2 1 5 + 2 5 5 + 3 √ √ 23) √ + √ − √ . 24) √ + √ − 5 − 3. 3 2 + 1 2 − 3 5 3 √ √ √ √ 8 + 2 2 2 + 3 2 2 √ p 3 2 + 2 25) √ − √ + √ . 26) 11 − 4 7 + √ + √ . 3 − 2 2 1 − 2 2 − 7 1 + 2 √ √ p 1 1 3 − 5(3 + 5) 27) √ + √ . 28) √ √ . p p 2 − 3 2 + 3 10 + 2 √ √ √ √ 3 3 − 4 3 + 4 5 + 7 5 − 7 29) √ + √ . 30) √ + √ . 2 3 + 1 5 − 2 3 p p 9 − 23 + 8 7 2 − 16 + 6 7
Bài 7. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Hãy rút gọn: √ √ √ √ a b − b a 1 x y + y x 1 1) √ : √ √ . 2) √ : √ √ . ab a + b xy x − y √ √ √ √ √ a b − b a √ Å a − å 3 a ã Ç 5 a − ab 3) √ √ − ab. 4) 2 − √ 2 − √ . a − b a − 3 b − 5 √ √ a + 4 + 4 a a − 4 x + y − 2 xy x − y 5) √ − √ . 6) √ √ − √ √ a + 2 a − 2 x − y x − y 11/84 11/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 12 5. Ôn tập chương 1
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √ √ √ √ Ç å ( x − y)2 + 4y x 1 a a + b b √ 7) √ . 8) √ √ √ √ − ab . x + y a − b a + b √ √ √ √ √ √ Ä ä √ Ç x x − y y å Ç å2 √ x − y a b − ab (a a + 1) 9) √ √ + xy . 10) √ √ . x − y x − y a (a − a + 1) (a − 1) √ √ √ √ √ √ Ä ä Ä√ ä x − xy 2 xy + 2 y ( a + 1) a − ab a + b 11) √ √ √ . 12) √ . xy − y (x x + x + 2x) Ä ä (a − b) a3 + a
Bài 8. Với các biểu thức đã cho là có nghĩa. Hãy rút gọn √ √ Å 1 1 ã a + 1 Å√ x ã x − 1 1) √ + √ : √ . 2) x − √ : √ √ . a − a a − 1 a − 2 a + 1 x + x x x − x √ √ √ Å√ 1 ã Å x − 1 1 − x ã Å a 1 ã Å 1 2 ã 3) x − √ : √ + √ . 4) √ − √ : √ − . x x x + x a − 1 a − a a + 1 a − 1 √ √ √ √ Å a − 2 a + 2 ã Å√ 4 ã Å x − 2 x + 2 ã Å 1 − x ã2 5) √ − √ a − √ . 6) − √ √ . a + 2 a − 2 a x − 1 x + 2 x + 1 2 √ √ √ √ √ Å 1 1 ã Å a + 1 a + 2 ã x x − 2x + 28 x − 4 x + 8 7) √ − √ : √ − √ . 8) √ − √ + √ . a − 1 a a − 2 a − 1 x − 3 x − 4 x + 1 4 − x
Dạng 2. Phương trình
Bài 9. Giải các phương trình sau: √ √ 1) x2 − 2x + 1 = 1. 2) x2 − 4x + 4 = 1. √ 3) 1 − 4x + 4x2 = 5. p 4) 4 (1 − 2x + x2) − 6 = 0. √ √ 5) 9x2 = 2x + 1. 6) 9 − 6x + x2 = x. √ √ 7) x2 + 6x + 9 = 3x − 1. 8) x2 + 4x + 4 = 2x − 1. √ √ √ 9) 4x2 − 4x + 1 = 4x + 3. 10) 4x2 + 1 − 4x = x2 + 16 + 8x. √ √ p 11) 9x2 + 6x + 1 = x2 + 6 − 2 6x.
Bài 10. Giải các phương trình sau: √ √ 1) 2x − 5 = 7. 2) 2x − 3 = 13. √ √ 3) 3 + x − 2 = 4. 4) x2 − 7 = 2. √ √ 5) 2 − x2 − 1 = 0. 6) 3 − x2 + 3 = 0. √ p 7) x(x − 2) − 3 = 0. 8) 3 − p−x(x + 6) = 0. √ √ 9) 2x2 + 7 = 2 − x. 10) 3 − x = 3x − 5. √ √ 11) 4x − 3 = x − 2. 12) 3x + 5x + 4 = 0. √ √ √ √ 13) 2x − 3 = x − 1. 14) 2x − 3 − x + 3 = 0. √ √ √ √ 15) 6 − x − −3x = 0. 16) x2 − 5 = 4x − 9. √ √ √ √ 17) x2 − 2x − 4 = 2 − x. 18) x2 − x − 2 = x + 1. 12/84 12/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 13
Chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 11. Giải các phương trình sau: √ √ √ √ √ √ 1) 9x + 4x − 16x = 3. 2) 3 2x − 5 8x + 7 18x = 8. √ √ √ √ √ 3) 3x − 12x + 1 = 27x − 11. 4) 9x + 9 − 2 x + 1 = 4. √ √ 1 √ √ √ √ √ 5) 4x − 20 + x − 5 − 9x − 45 = 4. 6) 4x + 8 − 9x + 18 − x + 2 = − x + 7. 3 √ √ √ √ 7) 9x + 18 − 9x + 9 = − x + 1 + x + 2. √ √ √ √ 8) 50x + 25 + 9x + 9 = 16x + 16 + 32x + 16.
Dạng 3. Toán chứng minh Bài 12. Chứng minh √ √ Ç x x + y y å √ √ √ a) √ √ − xy ÷ x − y2 = 1 với x, y > 0; x + y √ √ √ x x + y y xy + xy b) √ √ + √ = x + y với x, y > 0; x + y xy + 1 √ Å 1 ã x + 2 √ c) 1 + √ ÷ √ = x + 1 với x > 0; x + 1 x + 2 x + 1 √ √ Å x + 1 x − 1 √ ã Å√ 1 ã d) √ − √ + 4 x x − √
= 4x với x > 0 và x ̸= 1; x − 1 x + 1 x √ √ √ √ √ Ç 2 xy x − y å 2 x y e) + √ √ · √ √ + √
√ = 1 với x, y > 0 và x ̸= y; x − y 2( x + y) x + y y − x √ √ √ Ç√ y − xy å x xy + y xy √ √ f) x + √ √ ÷ √ = y −
x với x, y > 0 và x ̸= y; x + y xy(y − x) √ √ √ √ √ √ a Ç å + b − 1 a − b b b 1 g) √ + √ √ + √ = √ với a, b > 0 và a ̸= b; a + ab 2 ab a − ab a + ab a √ √ √ √ √ a + b a − b 2b 2 b h) √ √ − √ √ − = √
√ với a, b > 0 và a ̸= b; 2 a − 2 b 2 a + 2 b b − a a − b
Bài 13. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y Å 1 1 x2 + 1 ã Å 1 ã a) A = √ + √ − 1 + với x > 0 và x ̸= 1; 2 + 2 x 2 − 2 x 1 − x2 x √ √ √ √ √ Ç 2 xy x − y å 2 x y b) B = + √ √ · √ √ + √ √ với x, y > 0 và x ̸= 0; x − y 2( x + y) x + y y − x ¤ a) 1 b) 1
Dạng 4. Rút gọn và điều kiện có nghĩa Å 1 √ ã Å 1 ã
Bài 14. Cho biểu thức A = √ + 1 − x ÷ √ + 1 . 1 + x 1 − x2 13/84 13/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 14 5. Ôn tập chương 1
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu √3 a) Tìm x để A có nghĩa; b) Rút gọn A; c) Tính A với x = √ ; 2 + 3 √ √
¤ a) −1 < x < 1 b) 1 − x c) 3 − 1 √ √ √ √ √ Ç x − y x x − y y å x − y2 + xy
Bài 15. Cho biểu thức B = √ √ + ÷ √ √ . x − y y − x x + y √ a) Rút gọn B; b) Chứng minh B ≥ 0; c) So sánh B với B; √xy √ ¤ a) √ b)B ≥ 0 c)B ≤ B x − xy + y √ √ √ Å 2 + a 2 − a 4a ã Å 2 a + 3 ã
Bài 16. Cho biểu thức C = √ − √ − ÷ √ − √ . 2 − a 2 + a a − 4 2 − a 2 a − a a) Rút gọn C;
b) Tính giá trị của a để C > 0;
c) Tìm giá trị của a để C = −1; 4a 9 ¤ a) √ b)a > 9 c)a = a − 3 16 √ √ √ 2 x − 9 x + 3 2 x + 1
Bài 17. Cho biểu thức D = √ − √ − √ . x − 5 x + 6 x − 2 3 − x a) Rút gọn D; b) Tìm x để D < 1;
c) Tìm giá trị nguyên của x để D ∈ Z; √x + 1 ß0 ≤ x < 9 ¤ a) √ b) c)x ∈ {16; 25; 49} x − 3 x ̸= 4 √ √ Å√ 1 ã Å x − 1 1 − x ã
Bài 18. Cho biểu thức P = x − √ ÷ √ + √ . x x x + x a) Rút gọn P ; 2
b) Tính giá trị của P biết x = √ . 2 + 3 √ √ √
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn P x = 6 x − 3 − x − 4; √ √ ( x + 1)2 3 3 + 3 ¤ a) √ b) c)4 x 2 √ √ Å 4 x 8x ã Å x − 1 2 ã
Bài 19. Cho biểu thức P = √ + ÷ √ − √ . 2 + x 4 − x x − 2 x x
a) Tìm giá trị của x để P xác định? b) Rút gọn P ; c) Tìm x sao cho P > 1; ßx > 0 4x ¤ a) b) √ . c)x > 9. x ̸= 4. x − 3 √ √ Å x x + 9 ã Å 3 x + 1 1 ã
Bài 20. Cho biểu thức C = √ + ÷ √ − √ . 3 + x 9 − x x − 3 x x
a) Tìm giá trị của x để C xác định. b) Tìm x sao cho C < −1. ßx > 0 ¤ a) b)x > 16. x ̸= 9. √ √ Å x + 2 √ ã Å x − 4 x ã
Bài 21. Cho biểu thức P = √ − x ÷ − √ . x + 1 1 − x x + 1 a) Rút gọn P . b) Tìm x để P < 1.
c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. √x − 1 ßx ≥ 0 ¤ a) √ . b) c)x = 0. x + 2 x ̸= 1. 14/84 14/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 15
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 2
HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT
HÀM SỐ. HÀM SỐ BẬC NHẤT Baâi söë 1
HÀM SỐ, HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1. Cho hàm số y = f (x) = 4x2 − 1. Å 1 ã a) Tính f (−5); f (0); f − . 2 1
b) Tìm các giá trị của x ứng với f (x) = −1; f (x) = 0; f (x) = . 3
c) Điền các giá trị tương ứng vào bảng sau: x −3 −2 2 3 5 y = 4x2 − 1 3 4 Å 1 ã 1 1
¤ a) f(−5) = 99, f(0) = −1, f −
= 0; b) x = 0, x = ± , x = ± √ 2 2 3
Bài 2. Chứng minh hàm số y = f (x) = 3x đồng biến trên R.
Bài 3. Chứng minh hàm số y = f (x) = −2x + 1 nghịch biến trên R.
Bài 4. Cho hàm số y = f (x) = (m − 1)x − 2.
a) Tìm điều kiện để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Xác định m để hàm số trên nghịch biến.
c) Biết f (2) = −3. Xác định công thức chính xác của f (x). 1
¤ a) m ̸= 1; b) m > 1; c) y = − x − 2 2 Bài 5.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau 3 1 (d) : y = x − 1 (1); (d′) : y = − x + 2 (2). 2 2
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) và có hoành độ là −2. 1
c) Tìm trên (d′) điểm N có tung độ là − . 2 Å 1 ã
¤ b) M(−2; −4); c) N 5; − 2 Bài 6.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau 15/84 15/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 16
2. Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu y = −2x + 5 (1); y = x + 2 (2).
b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số (1). Å 1 ã Å 3 ã A(1; 3), B(−1; 3), C ; 6 , D ; 2 . 2 2
c) Tìm trên đồ thị hàm số (2) điểm E có hoành độ là 0,5 và điểm F có tung độ là −3.
¤ b) Điểm A và điểm D; c) E(0,5; 2,5), F (−5; −3) Bài 7.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau: 1 y = x − 2 (1); y = −2x + 3 (2). 2
b) Cho biết B(a; −0,5) thuộc đồ thị hàm số (1). Tìm a.
c) Xác định tọa độ điểm C thuộc đồ thị hàm số (2) và nằm trên trục hoành. Điểm D là giao điểm
của đồ thị hàm số (2) và trục tung. 3
¤ b) a = 3; c) C( ; 0), D(0; 3) 2
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG - ĐƯỜNG THẲNG CẮT Baâi söë 2 NHAU Bài 1.
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị các hàm số sau: 2 2 y = 2x; y = 2x + 5; y = − x; y = − x + 5. 3 3
b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tạo thành tứ giác OABC. Tứ giác trên có phải hình bình hành
không? (O là gốc tọa độ)
¤ b) OABC là hình bình hành
Bài 2. Cho hàm số bậc nhất y = 2x + k và y = (2m + 1)x + k − 1. Tìm m và k để hai đồ thị hàm số trên là
a) Hai đường thẳng cắt nhau.
b) Hai đường thẳng song song.
c) Hai đường thẳng trùng nhau. Å 3 ã
Bài 3. Cho hàm số bậc nhất y = m −
x + 2 (1) và y = (2 − m)x − 3 (2). 2
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số trên song song với nhau?
b) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với giá trị m vừa tìm được. 7 ¤ a) m = 4 1
Bài 4. Cho hàm số y = − x có đồ thị (D1) và y = 2x − 5 có đồ thị (D2). 2
a) Vẽ (D1) và (D2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 16/84 16/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 17
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
b) Tìm m để đồ thị hàm số y = (3m2 − 1) x + 3 song song với (D2). ¤ b) m = ±1
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = 4x − 6 có đồ thị là đường thẳng (d1) và hàm số
y = −2x có đồ thị là đường thẳng (d2).
a) Vẽ đồ thị (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) bằng phép tính.
c) Cho đường thẳng (d3) : y = (m2 − 1) x + m2 − 5 với m ̸= ±1. Xác định m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy. √ ¤ b) A(1; −2), c) m = ± 2 1
Bài 6. Cho hàm số y =
x có đồ thị là (d1) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là (d2). 2
a) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép toán.
c) Cho đường thẳng (d3) : y = mx + n. Tìm m và n biết (d3) song song với (d2) và (d3) qua điểm B(−3; 1).
¤ b) A(−4; −2), c) (d3) : y = x + 4
Bài 7. Cho các đường thẳng (d1) : y = x + 2; (d2) : y = 2x + 1; (d3) : y = 3x.
a) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ và tìm giao điểm của hai đường thẳng bằng phép toán.
b) Chứng tỏ ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm. Bài 8.
a) Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ. a) (D) : y = x + 1; b) (D′) : y = −x + 3.
b) Hai đường thẳng (D) và (D′) cắt nhau tại C và cắt Ox theo thứ tự tại A, B. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. √
¤ b) A(1; 2), B(−1; 0), C(3; 0); c) Chu vi: 4 + 4 2, SABC = 4 Å 3 ã
Bài 9. Cho (d) : y = (k + 1)x + 3
(k ̸= −1) và (d′) : y = (3 − 2k)x + 1 k ̸= . 2
a) Tìm k để (d) và (d′) là hai đường thẳng song song.
b) Hai đường thẳng trên có thể trùng nhau không? Vì sao? 2 ¤ a) k =
; b) (d) và (d′) không thể trùng nhau. 3
Bài 10. Cho đường thẳng (d) : y = ax + 2 (a ̸= 0) và (d′) : y = a′x − 3.
a) Tìm a biết (d) đi qua điểm A(2; −6). 17/84 17/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 18
3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ̸= 0)
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
b) Tìm a′ biết (d′) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là −2.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (d′) với a và a′ vừa tìm được. 3
¤ a) a = −4; b) a′ = − ; c) (2; −6) 2 1
Bài 11. Cho đường thẳng (D) : y = ax − và (d) : y = −3x − b. 2
a) Vẽ đồ thị (D), biết đường thẳng (D) song song với đường thẳng (d).
b) Tìm b biết điểm B(−3; 1) thuộc đồ thị hàm số (d).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng (D) và trục tung. Å 1 ã ¤ b) b = 8; c) 0; − 2
Bài 12. Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) ∥ (D) : y = 2x − 3 và (d) cắt (d′) : y = 3x + 1 tại điểm có tung độ là 2. 4 ¤ (d) : y = 2x + 3
Bài 13. Cho hai hàm số y = (k − 2)x + k (k ̸= 2) (1); y = (k + 3)x − k (k ̸= −3) (2).
Với giá trị nào của k thì
a) Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
b) Đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. 1
¤ a) k = 0; b) k = 0, k = − 2 Baâi söë 3
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ̸= 0)
Bài 1. Cho hàm số y = −2x + 3.
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng trên và trục Ox. ¤ b) α = 116◦33′54′′
Bài 2. Cho hai hàm số y = x − 5 và y = −x + 3 có đồ thị là (d1) và (d2).
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2).
c) Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng (d1). ¤ b) (4; −1) c) y = x + 1 Bài 3.
a) Vẽ đồ thị các hàm số sau lên mặt phẳng tọa độ (d) : y = 0,5x + 2 và (d′) : y = 5 − 2x.
b) Tính số đo các góc tạo bởi đường thẳng (d) và (d′). ¤ b) 116◦33′54′′
Bài 4. Cho hai hàm số y = x − 3 và y = −2x + 1 có đồ thị là (d1) và (d2). 18/84 18/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 19
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên bằng phép tính.
c) Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; −5) và song song với đường thẳng (d2). Å 4 5 ã ¤ b) ; − c) y = −2x − 1 3 3
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng (d) là đồ thị của một hàm số bậc nhất, biết (d) song song với
(d′) : y = −x − 2 và (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là −3. ¤ y = −x − 3 Bài 6.
a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = 2x − 6.
b) Viết phương trình đường thẳng (d′), biết rằng (d′) song song với (d) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5. ¤ b) y = 2x − 10
Bài 7. Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm a, b trong các trường hợp sau:
a) (d) song song với (d′) : y = 2x − 1 và (d) đi qua điểm A(2; −5). 1
b) (d) song song với (d′) : y =
x + 3 và (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là −1. 2
c) (d) song song với (d′) : y = −3x + 2 và (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2. 1 ¤ a) y = 2x − 9 b) y = x − 1 c) y = −3x + 6 2 Bài 8. 1
a) Vẽ đồ thị (d1) của hàm số y = − x + 3. 2
b) Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị (d2), biết đồ thị hàm số (d2) đi qua điểm A(1; 4) và song
song với đường thẳng (d1). 1 9 ¤ b) y = − x + 2 2
Bài 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = x + 3 − m và y = 2x + 5 + m cắt nhau tại một
điểm nằm trên trục tung. ¤ m = −1 1
Bài 10. Cho các đường thẳng (d) : y = ax + b (a ̸= 0); (d1) : y = − x + 3 và (d2) : y = x − 1. Tìm a, b 2 biết
a) (d) ∥ (d1) và cắt (d2) tại điểm có hoành độ là 1.
b) (d) song song với đồ thị hàm số y = 2x và đi qua giao điểm của (d1) với (d2). 1 1 11 ¤ a) a = − ; b = b) a = 2; b = − 2 2 3 19/84 19/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 20
4. Các bài tập tổng hợp
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Baâi söë 4
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho hàm số y = 2x + 1. (1)
a) Vẽ đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số trên và tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với trục hoành.
b) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số (1) : A(−2, −3); B(3; −1).
c) Trên đường thẳng (d) lấy hai điểm C có hoành độ là 3 và D có tung độ là −2. Tìm tọa độ của điểm C và D. d) Cho (d1) : y = ax + b
(a ̸= 0). Tìm a, b biết (d) ∥ (d1) và (d1) đi qua điểm E(−1; 2).
e) Viết phương trình đường thẳng (d2) có hệ số góc bằng −1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2. Å 3 ã
¤ a) 63◦26′9′′ b) A ∈ (d) và B ̸∈ (d) c) C(3; 7); D − ; −2 d) a = 2; b = 4 e) (d2) : y = −x + 2 2 Bài 2.
a) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, vẽ các đường thẳng (d1) : y = 2x − 1 và (d2) : y = −x + 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1), (d2) bằng phép tính.
c) Biết đường thẳng (d) là đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b. Xác định a, b biết (d) ∥ (d2) và giao
với trục tung tại điểm có tung độ là 3.
¤ b) (2; 3) c) a = −1; b = 3 1
Bài 3. Cho (d) : y = − x + 3 2
a) Vẽ (d) trên hệ trục tọa độ.
b) Tìm trên (d) điểm M có hoành độ là 4 và điểm N có tung độ là 2.
c) Tìm giao điểm của (d) và (d′) : y = 3x − 1. Å 8 17 ã ¤ b) M(4; 1); N (2; 2) c) ; 7 7
Bài 4. Cho đường thẳng (d) : y = (m − 2)x + m + 4 và (d′) : y = −3x + 2.
a) Tìm m để (d) ∥ (d′).
b) Tìm m để (d) và (d′) cắt nhau.
c) Tìm m để (d) và (d′) trùng nhau.
¤ a) m = −1 b) m ̸= −1 c) Không tồn tại m
Bài 5. Cho 2 hàm số y = (2m − 1)x + n,
(1) và y = (−5 + m)x + n − 2, (2)
a) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) song song.
b) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm.
c) Tìm m, n để các đồ thị hàm số (1) và (2) trùng nhau.
¤ a) m = −4, n ∈ R. b) m ̸= −4, n ∈ R. c) Không tồn tại m, n.
Bài 6. Cho hai đường thẳng (d1) : y = (2 + m)x + 1 và (d2) : y = (1 + 2m)x + 2. 20/84 20/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 21
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
a) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau.
b) Với m = −1, vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ điểm của hai đường
thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Å 1 3 ã
¤ a) m ̸= 1. b) (d1) cắt (d2) tại một điểm có tọa độ ; . 2 2 Bài 7.
a) Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3 + m và y = 3x + 5 − m cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d′) : y = −1 x cắt trục hoành tại điểm 2 có hoành độ bằng 10 . 1
¤ a) m = 1. b) (d) : y = − x + 5. 2 1
Bài 8. Cho hai đường thẳng (d1) : y = x + 2 và (d2) : y = −x + 2. 2
a) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox, C là giao điểm của (d1) và (d2). Tính
chu vi và diện tích của △ABC.
¤ b) Diện tích △ABC bằng 6. Baâi söë 5
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HÀM SỐ
Bài 1. Cách đây hơn một thế kỷ, nhà khoa học người Hà Lan Hendrich Lorentz (1853 − 1928) đưa ra
công thức tính số cân nặng lí tưởng của con người theo chiều cao như sau T − 150 M = T − 100 − (công thức Lorentz) N
Trong đó M là số cân nặng lí tưởng tính theo kilogam; T là chiều cao tính theo centimet; N = 4 với
nam giới và N = 2 với nữ giới.
a) Bạn An là nam giới chiều cao 1,6 m. Hỏi cân nặng của bạn nên là bao nhiêu kg để đạt lí tưởng?
b) Với chiều cao bằng bao nhiêu thì số cân nặng lí tưởng của nam giới và nữ giới bằng nhau? ¤ a) 57,5 kg. b) 150 cm. √
Bài 2. Điện áp V ( đơn vị V) yêu cầu cho 1 mạch điện được cho bởi công thức V = P · R, trong đó
P là công suất (đơn vị W) và R là điện trở trong ( đơn v Ω).
a) Cần điện áp bao nhiêu để thắp sáng 1 bóng đèn A có công suất 100 W và điện trở trong của bóng đèn là 110 Ω?
b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 V, điện trở trong là 88 Ω có công suất lớn hơn bóng đèn A không? Giải thích? √
¤ a) V = 10 110 V. b) Vậy công suất đèn B lớn hơn.
Bài 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G(x) = 0,024(30 − x)
Trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tính nồng độ
giảm huyết áp của bệnh nhân sau khi tiêm 10 mg thuốc? (kết quả làm tròn tới 1 chữ số thập phân). ¤ G(x) ≈ 0,5. 21/84 21/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 22
5. Các bài toán thực tế ứng dụng hàm số
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 4. Để chyển đổi liều thuốc dùng theo độ tuổi, các dược sĩ dùng công thức sau c = 0,0417D(a + 1)
Trong đó: D là liều dùng cho người lớn (theo đơn vị mg) và a là tuổi của em bé, c là liều dùng cho em
bé. Với loại thuốc có liều dùng cho người lớn là D = 200 mg thì với em bé 2 tuổi sẽ có liều dùng thích hợp là bao nhiêu? ¤ c = 25,02.
Bài 5. Khi nuôi cá trong hồ, các nhà sinh vật học đã ước tính rằng: Nếu trên mỗi mét vuông hồ cá có
n con cá thì khối lượng trung bình của mỗi con cá sau một vụ cân nặng T = 500 − 200n gam. Sau khi
nuôi vụ đầu tiên thì cân nặng trung bình mỗi con cá là 200 gam. Biết rằng diện tích của hồ là 150 m2.
Hãy tính số lượng cá được nuôi trong hồ. ¤ 225 con.
Bài 6. Thời gian t (được tính bằng giây) từ khi một người bắt đầu nhảy bungee trên cao cách mặt 3d
nước d (tính bằng m ) đến khi chạm mặt nước được cho bởi công thức t = . Tìm thời gian một 9,8
người nhảy bungee từ vị trí cao cách mặt nước 108 m đến khi chạm mặt nước? ¤ t ≈ 5,7 giây.
Bài 7. Một hình chữ nhật có kích thước 30 cm. Người ta tăng kích thước của hình chữ nhật thêm x
cm. Khi đó chu của hình chữ nhật được cho bởi hàm số bậc nhất P = 4x + 100.
a) Cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Hãy tính chu vi hình chữ nhật khi tăng mỗi kích thước 10 cm.
¤ a) Hàm số trên đồng biến vì a = 4 > 0.b) Chu vi hình chữ nhật P = 140 cm.
Bài 8. Ở độ cao h m bạn có thể nhìn thấy đường chân trời cách xa V km, những đại lượng này liên hệ √
với nhau theo công thức V = 3,5 h.
a) Một người có thể nhìn thấy đường chân trời cách 392 km từ cửa sổ máy bay, hỏi máy bay đó đang ở độ cao bao nhiêu?
b) Một người đang đứng ở trên đỉnh Hoàng Liên Sơn 3143 km (cao nhất Việt Nam) thì có thể nhìn
thấy đường chân trời cách đó bao nhiêu km? ¤ a) 12 544 km. b) 196 km.
Bài 9. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 200 m. Quãng đường chuyển động (mét) của vật rơi phụ
thuộc vào thời gian t giây bởi công thức S = 4t2 − 100t + 197. Hỏi sau bao lâu vật này cách mặt đất 3 m? ¤ 25 m.
Bài 10. Thả một vật nặng từ trên cao xuống, chuyển động của vật được gọi là vật rơi tự do. Biết rằng
quãng đường đi của vật được cho bởi công thức s = 4,9t2. Với s là quãng đường rơi của vật tính bằng
m; t là thời gian rơi tính bằng giây.
a) Nếu thả vật từ độ cao 122,5 m thì sau bao lâu vật chạm đất?
b) Hãy tính quãng đường vật rơi trong giây thứ tư?
¤ a) t = 5 giây. b) s = 78,4 m.
Bài 11. Công ty đô chơi Bingbon vừa cho ra đời một đồ chơi tàu điện điều khiền từ xa. Trong điều
kiện phòng thí nghiệm, quãng đường centimet đi được của đoàn tàu đồ chơi là một hàm số của thời
gian t giây, hàm số đó là s = 6t + 9. Trong điều kiện thực tế người ta thấy rằng nếu đoàn tàu đồ chơi
di chuyển quãng đường 12 cm thì mất 2 giây và cứ trong mỗi 10 giây thì nó đi được 52 cm.
a) Trong điều kiện phòng thí nghiệm, sau 5 giây đoàn tàu đồ chơi di chuyển được bao nhiêu centimet?
b) Mẹ bé An mua đồ chơi này về cho bé chơi, bé ngồi cách mẹ 1,5 mét. Hỏi cần bao nhiêu giây để
đoàn tàu đồ chơi từ chổ mẹ đến chổ bé? 22/84 22/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 23
Chương 2. Hàm số. Hàm số bậc nhất
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
¤ a) 39 cm. b) Khoảng 30 giây. √
Bài 12. Công thức h = 0, 4 3 x biểu diễn mối tương quan giữa cân nặng x (tính bằng kg ) và chiều cao
h (tính bằng m ) của một con hươu cao cổ.
a) Một con hươu cao cổ có cân nặng 180 kg thì cao bao nhiêu mét?
b) Một con hươu cao cổ có chiều cao 2,56 mét thì cân nặng bao nhiêu kg?
¤ a) Khoảng 2,3 m. b) 262,144 kg. √
Bài 13. Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức v = 30f d
để ước lượng tốc độ v (đơn vị dặm/giờ) của xe từ vết trượt trên mặt đường sau khi thắng đột ngột.
Trong đó, d là chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đường tính bằng feet (ft), f là hệ số ma sát
giữa bánh xe và mặt đường (là thước đo sự “ trơn trượt”của mặt đường).
a) Cho biết vận tốc của một chiếc xe hơi là 60 dặm/giờ, và hệ số ma sát f = 0,8. Tính chiều dài vết
trượt của bánh xe trên nền đường khi xe thắng gấp.
b) Đường cao tốc Long Thành - Dầu Giây có tốc độ giới hạn là 100 km/h. Sau một vụ va chạm giữa
hai xe, cảnh sát đo được vết trượt của một xe là d = 172 ft và hệ số ma sát mặt đường tại thời
điểm đó là f = 0,7. Chủ xe đó nói xe xủa ông không chạy quá tốc độ. Hãy áp dụng công thức
trên để ước lượng tốc độ chiếc xe đó rồi cho biết lời nói của người chủ xe đó đúng hay sai? (Biết 1 dặm = 1069 m).
¤ a) 150 ft. b) Người chủ xe nói đúng. 23/84 23/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 24
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Baâi söë 1 HAI ẨN
Dạng 1. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm
cVí dụ 1. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của (D) : x − 3y + 6 = 0.
cVí dụ 2. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của phương trình 4x − y = 5.
cVí dụ 3. Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ của x − 2y = 6.
cVí dụ 4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2x − y = 3 và vẽ đường thẳng biểu diễn tập
nghiệm đó trên mặt phẳng tọa độ.
cVí dụ 5. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình 3x − y = 7 và biểu diễn tập nghiệm
của chúng trên hệ trục tọa độ Oxy.
cVí dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phương trình: a) 0x − 5y = −15; b) 3x − 4y = 15.
Dạng 2. Biện luận nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
cVí dụ 7. Tìm m để hệ vô nghiệm ®mx + 2y = −2 3x − y = 5 ®mx − y = 1
cVí dụ 8. Cho hệ phương trình
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có my − x = m nghiệm duy nhất. 24/84 24/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 25
Chương 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu ®2mx − y = −4
cVí dụ 9. Cho hệ phương trình
. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có − 9x + 8my = 1 nghiệm duy nhất. ® − 2x + my = 4
cVí dụ 10. Cho hệ phương trình
. Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô mx − 4, 5y = 6 nghiệm. √ ®(m + 2018)x + 2y = 6
cVí dụ 11. Tìm giá trị của m để hệ phương trình √ có nghiệm duy nhất. 2 2x + (m + 2018)y = 9 ®m(x − y) = m4 + 1
cVí dụ 12. Cho hệ phương trình
. Với giá trị nào của m thì
m2 − 2m x + my = m3 − m2 − 2
hệ phương trình vô nghiệm. ®(m + 1)x − 2y = 3
cVí dụ 13. Cho hệ phương trình
. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy 3x + 2y = 1
nhất (x; y) thỏa điều kiện x > 0. Baâi söë 2
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1. Giải hệ bằng phương pháp thế và cộng đại số
cVí dụ 1. Sử dụng phương pháp thế giải các hệ phương trình sau ®x + y = 2 ®5x − 2y = 1 ®x − 3y = 23 ®2x − 3y = −7 a) b) c) d) 2x − y = 1. − 4x + y = −2. 4x + 5y = 7. x + 5y = 16. ®x + y = 2 ®4x + 3y = 6 ®5x − 2y = 1 ®x − 3y = 23 e) f) g) h) 2x − y = 1. 2x + y = 4. − 3x + y = −1. 4x + 5y = 7.
cVí dụ 2. Sử dụng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau √ ®3x + 2y = 5 ®x − y 2 = 6 ®3x + 2y = 3 a) b) √ c) 4x + 3y = −1. 2 2x − 3y = 8. 5x + 3y = 10. √ √ √ √ √ √ ®2 5x − y = 4 5 ®x 3 + 2y = 3 ®x 2 + y 3 + 1 = 0 d) √ e) √ f) √ √ x + 6 5y = 2. 3x − y 3 = −6. 3 2x − 5 3y = 21. √ ®2x − 5y = −6 ®3x − y 2 = 1 ®2x + 3y = 1 g) h) √ i) 3x + 2y = 10. x + 2y 2 = 5. 3x − 4y = 10. 25/84 25/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 26
2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 3. Giải các hệ phương trình sau   2x + 3 3x  + 2y = 0  = 1  a) 3y − 2 2 b) x + y 2y 5
3(3y + 2) − 4(x + 2y) = 0.   − = . 2 3 2
®2(2x + 3y) = 3(2x − 3y) + 10 ® − x + 2y = −4(x − 1) c) d) 3x − 3y = 4(6y − 2x) + 3. 5x + 3y = −(x + y) + 8.
®(x − 3)(2y + 5) = (2x + 7)(y − 1) ®x + y = 2(x − 1) e) f)
(4x + 1)(3y − 6) = (6x − 1)(2y + 3). 7x + 3y = x + y + 4.  x + 1 y + 2 2(x − y)  2x + 1 y − 2 1  − =  − =  3 4 5  g) 4 3 12 h) x − 3 y − 3 x + 5 y + 7    − = 2y − x.  = − 4. 4 3 2 3
cVí dụ 4. Giải các hệ phương trình sau (đặt ẩn phụ)  1 1  1 1  7 5  − = 1  + = 2  − = 4, 5     x y  x − 2 y − 1  x − y + 2 x + y − 1 a) b) c) 3 4 2 3 3 2     + = 5.  − = 1.  + = 4.  x y  x − 2 y − 1  x − y + 2 x + y − 1  1 1 ®  − = 1 2x2 + 3y = 1 ®3x2 + y2 = 5   x y d) e) f) 3x2 − 2y = 2. x2 − 3y2 = 1. 3 4   + = 5.  x y  4 3 13 √  √ + √ =  ® ®  x y 36 2 x − 1 − py − 1 = 1 3p4x + 2y − 5p2x − y = 2 g) h) √ i) 6 10  x − 1 + py − 1 = 2. 7p4x + 2y + 2p2x − y = 32.  √ + √ = 1.  x y ®(a − 2)x + 5by = 25
cVí dụ 5. Cho hệ phương trình (với a, b ∈ R). 2ax − (b − 2)y = 5.
Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; −1) ®2x + ay = b + 4
cVí dụ 6. Cho hệ phương trình (với a, b ∈ R). ax + by = 8 + 9a.
cVí dụ 7. Cho đa thức f(x) = mx3 + (m − 2)x2 − (3n − 5)x − 4n. Hãy xác định m và n sao cho
đa thức đã cho chia hết cho x + 1 và x − 3.
Tìm giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (3; −1) 26/84 26/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 27
Chương 3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu  x + 1 y + 2 2(x − y)  − = 
cVí dụ 8. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình 3 4 5 x − 3 y − 3   − = 2y − x. 4 3
cũng là nghiệm của phương trình 3mx − 5y − 2m + 1 = 0.
Dạng 2. Giải hệ phương trình đối xứng
cVí dụ 9. Giải các hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 1): ®x + y + xy = 5, ®x2 + 2y2 + 6xy2 = 9, a) b) x2 + y2 − 3xy = −1. x2 + 4y4 = 5. √ √ ®x + 2y2 + 6xy2 = 9, ® x + y + y = 2, c) d) x2 + 4y4 = 5. x + 2y = 2.  14 ®x2 + y2 + xy = 4y − 1, x2 + x = y, e) f) 3 x3 + x2y + x − 3y = 0. x3 = 5y2.
cVí dụ 10. Giải các hệ phương trình sau (hệ đối xứng loại 2): ®x2 − 2018x = 2017y ®x3 + 2 = 3y a) b) y2 − 2018y = 2017x. y3 + 2 = 3x.  1 4x − xy = y ®  3 x2 + x = 2y c) d) 1 y2 + y = 2x.  4y − xy = x. 3  y  1 x2 − 2xy = 2018 x2 + = 2y − 2  x  e) x2 x f) 2 y2 − 2xy = 2018 .   y y2 = 2x + . x
cVí dụ 11. Giải các hệ phương trình sau (hệ đẳng cấp): ®x2 − 3xy + 2y2 = 0 ®2x2 − 3xy + y2 = 0 a) b) 2x2 + xy − 10y2 = 0. x2 + xy + 4y2 = 19. ®x2 − 2xy − y2 = 1 ®x3 − 3xy2 + 2y3 = 0 c) d) x2 + xy − y2 = −5. x3 + x2y − y3 = 5. ®x3 + y3 = 2 ®x2 + 3xy = −9 e) f) 3x3 − xy2 − y3 = 1. x2 + 6xy + 9y2 = 9. 27/84 27/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 28
3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Baâi söë
3 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Một hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài 3 m và tăng chiều rộng 2 m thì diện tích
tăng 45 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Bài 2. Sắp đến ngày tết, anh Nam đang định mua một chiếc Tivi màn hình 65 inch với tỉ lệ chuẩn
16 : 9 để đặt trên kệ với chiều dài và chiều rộng của kệ lần lượt là 140 cm và 80 cm. Theo bạn anh Nam
có nên mua chiếc Tivi đó không? (biết 1 inch = 2, 54 cm)
Bài 3. Bạn Nam đem 20 tờ tiền giấy gồm hai loại 2 000 đồng và 5 000 đồng đến siêu thị mua một món
quà có giá trị 78 000 đồng và được thối lại 1 000 đồng. Hỏi có bao nhiêu tờ tiền mỗi loại?
Bài 4. Bé Na để dành tiền ăn bánh để bỏ heo đất. Hôm nay cần mua sách và dụng cụ học tập nên bé
Na quyết định đập heo đất và đếm được có tất cả 38 tờ tiền loại 5 000 đồng và 10 000 đồng. Vì sách và
dụng cụ học tập hết 248 000 đồng nên bé Na phải xin mẹ thêm 23 000 đồng. Hỏi bé Na có bao nhiêu tờ tiền mỗi loại?
Bài 5. Dân số của một tỉnh là 420 000 người. Nếu sau một năm, dân số nội thành tăng 0, 8% và dấn
số ngoại thành tăng 1, 1% thì sau một năm dân số toàn tỉnh sẽ tăng 1%. Hãy tìm dân số của nội thành
và dân số ngoại thành của tỉnh đó vào thời điểm hiện tại?
Bài 6. Tìm hai số nguyên biết tổng của chúng bằng 99 và nếu chia số lớn cho số bé thì được thương là 4 dư 9?
Bài 7. Giải bài toán cổ sau đây bằng cách lập hệ phương trình:
Một đàn em bé tắm bên sông
Lấy ống làm phao, nổi bềnh bồng
Hai chú một phao, thừa bảy chiếc
Hai phao một chú, bốn người không
Hỡi người thạo tính, cho hỏi thử
Mấy phao, mấy chú, tính cho thông?
Bài 8. Chu vi miếng đất hình chữ nhật là 54 m, nếu giảm chiều dài đi 5 m và tăng chiều rộng thêm 3
m thì miếng đất là một hình vuông. Tính diện tích ban đầu của miếng đất đó.
Bài 9. Ông Hai có một miếng đất trông rau sạch hình chữ nhật, chi vi là 38 m. Để diện tích miếng đất
tăng thêm 6 m2 phải tăng chiều dài 3 m và giảm chiều rộng 1 m. Hãy tính kích thước khu vườn lúc đầu?
Bài 10. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400 km, đi ngược chiều và gặp
nhau sau 5 giờ. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không đổi, nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40
phút thì hai xe gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc xe đi chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 11. Một trường trung học cơ sở tổ chức cho học sinh khối 8 và 9 tham quan viện bảo tàng. Nhà
trường quyết định mỗi xe ô tô phải chở số học sinh là như nhau. Lúc đầu, Ban giám hiệu định cho mỗi
xe ô tô chở 22 học sinh, nhưng nếu như vậy thì dư ra 1 em. Về sau, khi bớt đi một ô tô thì có thể sắp
xếp các em học sinh đều lên mỗi ô tô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và tổng số học sinh của hai
khối 8 và 9, biết rằng mỗi ô tô chở không vượt quá 32 em.
Bài 12. Hiện nay, tuổi của Nam và chị gái chênh lệch nhau theo tỷ lệ 4 : 5; 6 năm sau, tỷ lệ tuổi của 2
người là 6 : 7. Hỏi số tuổi hiện nay của bạn Nam là bao nhiêu? 28/84 28/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 29 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 4 HÀM SỐ y = ax2 ax (a
( ̸= 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HÀM SỐ y = ax2 ax (a
( ̸= 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Baâi söë 1 HÀM SỐ y = ax2 y = ax y = , (a ( ̸= 0)
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Hàm số y = ax2 y = ax y = , (a ( ̸= 0)
a) Tập xác định của hàm số là R.
b) Tính chất biến thiên của hàm số:
○ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
○ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
2 Đồ thị hàm số y = ax2 y = ax y = , (a ( ̸= 0)
Đồ thị của hàm số y = ax2, với a ̸= 0 là một đường Parabol:
○ Có đỉnh là gốc tọa độ O(0; 0).
○ Có trục đối xứng là Oy.
○ Nếu a > 0, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành và nhận điểm O là điểm “thấp nhất”.
○ Nếu a < 0, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành và nhận điểm O là điểm “cao nhất”.
3 Cách vẽ đồ thị
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2, a ̸= 0 ta đi lấy 5 điểm: ○ Điểm O(0; 0).
○ Cặp điểm A1, A2 có hoành độ đối xứng qua O.
○ Cặp điểm B1, B2 có hoành độ đối xứng qua O.
Nối các điểm B1, B2, O, A1, A2 theo đường cong ta nhận được đồ thị của hàm số y y O x B1 B2 4 −2 −1 1 2 A1 A2 −1 A1 A2 1 x B1 B2 −2 −1 O 1 2 −4 29/84 29/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 30 1. Hàm số y = ax2 y = ax y = , (a ( ̸= 0)
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
B – DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Tính giá trị của hàm số 1
cVí dụ 1. Cho hàm số y = x2. 2
a) Hãy lập bảng tính các giá trị f (−4), f (−2), f (0), f (2), f (4). √
b) Tìm x biết f (x) = 1, f (x) = 2 − 3.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho hàm số y = 2x2
a) Hãy lập bảng tính các giá trị f (−5), f (−3), f (0), f (3), f (5). √
b) Tìm x biết f (x) = 8, f (x) = 6 − 4 2. 1
Bài 2. Cho hàm số y = f (x) = x2. 3 Å 3 ã Å 1 ã
a) Tính f (−3), f (−1), f (0), f (1), f (3), f , f . 2 3 1
b) Tìm các giá trị của x, biết rằng y =
. Cũng câu hỏi tương tự với y = 5. 27 4
Bài 3. Cho hàm số y = f (x) = ax2. Biết x = −2 thì y = − 3 a) Tìm hệ số a.
b) Tính f (−1, 5), f (0, 5).
Dạng 2. Tính chất đồng biến, nghịch biến
Tính chất biến thiên của hàm số y = ax2 (a ̸= 0):
○ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.
○ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
cVí dụ 2. Hãy nêu tính chất biến thiên của các hàm số sau: 1 a) y = 8x2. b) y = − x2. 2
cVí dụ 3. Cho hàm số y = (2m − 4)x2 với a = 2m − 4 ̸= 0. Tìm giá trị của m để a) Hàm số nghịch biến.
b) Có giá trị y = 9 khi x = 3.
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
d) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc 30/84 30/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 31 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 1. Hãy nêu tính chất biến thiên của các hàm số sau 9 a) y = 3x2. b) y = − x2. 2 √ Ä ä c) y = 4 − 2 3 x2. d) y = (m2 + 1) x2. e) y = (m − 1)x2.
Bài 2. Cho hàm số y = (m2 − 3m + 2) x2. Tìm giá trị m để
a) Hàm số đồng biến với x > 0.
b) Có giá trị y = 8 khi x = 2.
c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
d) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0. 75
Bài 3. Cho hàm số y = f (x) = ax2. Biết rằng khi x = 5 thì y = . 2
a) Tính giá trị của y khi x = −3.
b) Tìm các giá trị của x khi y = 15.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y khi x biến đổi thỏa mãn điều kiện −4 ≤ x ≤ 2.
Dạng 3. Các bài toán thực tế
○ Xác định kỹ xem từng biến trong công thức (hàm số) có ý nghĩa gì.
○ Trả lời câu hỏi của bài toán.
cVí dụ 4. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường vật chuyển động s mét
của vật rơi phụ thuộc vào thời gian t giây bởi công thức S = 4t2.
a) Sau 1 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự sau 2 giây?
b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?
cVí dụ 5. Lực F của gió khi thổi vuông góc với cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương của vận
tốc v của gió, tức là F = av2 (a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2 m/s thì lực tác động
lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120 N. a) Tính hằng số a.
b) Hỏi khi v = 10 m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi khi v = 20 m/s?
c) Biết rằng cánh buồm đó chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000 N, hỏi con thuyền có
thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90 km/h hay không?
Dạng 4. Đồ thị hàm số y = ax2 y = ax y =
a) Các bước vẽ đồ thị hàm số
○ Lập bảng giá trị, lấy 5 điểm.
○ Nối 5 điểm lại, ta được đồ thị là đường Parabol. b) Lưu ý quan trọng: 31/84 31/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 32 1. Hàm số y = ax2 y = ax y = , (a ( ̸= 0)
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
○ Một điểm thuộc đồ thị khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa công thức của đồ thị đó. 1
cVí dụ 6. Cho hàm số y = x2. 4 a) Vẽ đồ thị hàm số. Å 3 9 ã
b) Các điểm A(0; 0), B(2; 1), C ;
, D(3; 4) có thuộc đồ thị hàm số không? 2 16
cVí dụ 7. Cho hàm số y = f(x) = x2
a) Vẽ đồ thị của hàm số đó.
b) Tính các giá trị f (−8), f (−1,3), f (−0,75), f (1,5).
cVí dụ 8. Cho hàm số y = −0,75x2. Vẽ đồ thị của hàm số, từ đó hãy cho biết x tăng từ −2 đến 4
thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y là bao nhiêu?
cVí dụ 9. Cho hàm số y = (m − 1)x2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; −1). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 5.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −4.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ gấp đôi hoành độ.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho hàm số y = f (x) = x2.
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số đã cho: Å 1 1 ã √ Ä ä
A(5; 10), B(−2; 4), C(11; 100), D − ; , E 2 3; 12 ? 2 4
c) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [−2; 1].
Bài 2. Cho hàm số y = f (x) = ax2. Biết rằng điểm A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số a) Xác định hệ số a. Å 3 9 ã b) Điểm B − ;
có thuộc đồ thị của hàm số đã cho hay không ? 2 2
c) Vẽ đồ thị hàm số đã cho. ï 1 ò
d) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn −2; − . 2
Bài 3. Cho hàm số y = f (x) = −2x2 32/84 32/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 33 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Å 1 ã a) Tính f (1), f . 3 b) Vẽ đồ thị hàm số.
c) Tìm các điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng 4.
d) Chứng minh rằng hàm số có giá trị lớn nhất là 0. 2
Bài 4. Cho hàm số y = x2 3 a) Vẽ đồ thị hàm số. Å 3 ã
b) Các điểm A(0; 0), B(3; 6), C 1;
, D(3; 1) có thuộc đồ thị hàm số không? 2
Bài 5. Cho hàm số y = −125x2
a) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
b) Tìm giá trị của m, n để các điểm A(1; m) và B(n; 125) thuộc đồ thị hàm số trên.
Bài 6. Cho hàm số y = (m + 1)x2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2).
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng −2.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −8.
e) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ gấp ba lần hoành độ.
Bài 7. Cho hàm số y = (2m − 1)x2
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1; 2).
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 5.
d) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng −7. Bài 8. a) Vẽ (P ) : y = x2. 3
b) Biết các điểm A, B ∈ (P ) và lần lượt có hoành độ bằng 1 và − . Tính tung độ của chúng. 2
c) Viết phương trình đường thẳng AB.
d) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB cắt (P ) tại điểm có hoành độ bằng −2. 33/84 33/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 34
2. Phương trình bậc hai một ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Baâi söë 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0.
trong đó x là ẩn số, a, b, c là những số cho trước (hệ số) và a ̸= 0. 2 Công thức nghiệm Tính ∆ = b2 − 4ac.
○ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a b
○ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − . 2a
○ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
3 Công thức nghiệm thu gọn
Nếu b = 2b′, đặt ∆′ = b′2 − ac.
○ Nếu ∆′ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt √ √ −b′ + ∆′ −b′ − ∆′ x1 = : x a 2 = a b′
○ Nếu ∆′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − a
○ Nếu ∆′ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Giải phương trình bậc hai
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc hai.
cVí dụ 1. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số
nghiệm của mỗi phương trình sau: √ a) 7x2 − 2x + 3 = 0. b) 5x2 + 2 10x + 2 = 0. 1 2 c) x2 + 7x + = 0. d) 1,7x2 − 1,2x − 2,1 = 0. 2 3 34/84 34/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 35 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 2. Giải phương trình −6x2 + 7x − 2 = 0.
cVí dụ 3. Giải phương trình x2 + 2x − 3 = 0 theo nhiều cách.
cVí dụ 4. Giải các phương trình: 4 √ √ √ a) x2 − 5x + 3 = 0. b) 2x2 − 2 3x − 12 2 = 0. 3 1 √
cVí dụ 5. Giải phương trình √ x2 + ( 2 − 1)x − 2 = 0. 2 − 1
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 4x2 − 6x + 7 = 0. b) 9x2 − 6x + 26 = 0. c) x2 + 4x − 12 = 0. d) x2 + 8x − 10 = 0.
Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 1 1 1 a) x2 + x − = 0. b) x2 − x − 1 = 0. 2 2 3 2 5 2 1 1 c) 5x2 − x + = 0. d) x2 + x + = 0. 49 5 3 15
Bài 3. Giải các phương trình sau: √ √ 1 √ a) x2 − (2 + 2)x + 2 2 = 0. b) x2 + √ √ x + 6 = 0. 3 − 2 √ √ √ √ √ c) 2x2 − 5x + 3 2 = 0. d) 6x2 + 2(2 3 + 3 2)x + 24 = 0.
Dạng 2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
a) Tìm điều kiện của ∆ (hoặc ∆′) sao cho thỏa yêu cầu bài toán.
b) Một số trường hợp quan trọng:
○ Phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm thì chia hai trường hợp a = 0 và a ̸= 0 (nếu a chứa tham số). ®a ̸= 0
○ Phương trình có hai nghiệm ⇔ . ∆ ≥ 0 ®a ̸= 0
○ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ . ∆ > 0 ®a ̸= 0
○ Phương trình có nghiệm kép ⇔ . ∆ = 0
Khi làm bài phải thật chú ý xem hệ số a có chứa tham số hay không. 35/84 35/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 36
2. Phương trình bậc hai một ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 6. Cho phương trình: x2 − 2(m − 1) − m2 − m − 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
cVí dụ 7. Cho phương trình: mx2 − 2(m + 1)x + m + 2 = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng mình rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
cVí dụ 8. Cho phương trình x2 + 2mx + 4m − 3 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và chỉ ra nghiệm kép đó.
cVí dụ 9. Cho phương trình: (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm.
cVí dụ 10. Cho phương trình mx2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (2). Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm.
cVí dụ 11. Tìm giá trị của m để phương trình 3x2 + 2(m − 3)x + 2m + 1 = 0
có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x2 + 4x − 3m = 0. b) x2 − 4x + 4 − m2 = 0. c) x2 + 2mx − 4 = 0.
Bài 2. Cho phương trình x2 − 3mx − 6m2 = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Bài 3. Cho phương trình 5x2 + 2mx − 3m = 0.
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài 4. Cho phương trình x2 + 3x − (m2 − 2m + 1) = 0.
a) Giải phương trình với m = 1. 36/84 36/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 37 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5. Cho phương trình x2 − (m − 1)x − m2 + m − 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho phương trình mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho phương trình mx2 + (m + 1)x − 2m = 0. 1
a) Giải phương trình với m = − . 2
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Bài 8. Tìm giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép: a) mx2 − 2x + 6m = 0. b) m2x2 + 10x + 1 = 0.
Bài 9. Tìm giá trụ của m để các phương trình sau vô nghiệm: a) mx2 + 2(m − 3)x + m = 0.
b) (m − 2)x2 − 2(m − 2)x − m = 0.
Bài 10. Cho phương trình mx2 − (m + 1)x + 1 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
Bài 11. Cho phương trình mx2 − (3m + 1)x + 3 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
Bài 12. Cho phương trình mx2 + 2(m − 1)x − 2 = 0. √
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm.
Bài 13. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có nghiệm
mx2 − (3m + 1)x + 2m + 2 = 0.
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có nghiệm
m(m − 1)x2 − (2m − 1)x + 1 = 0.
Bài 15. Xác định hệ số a, b, c tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình sau: a) 2x2 − 5x + 3 = 0; b) x2 + 10x + 38 = 0; c) 3x2 + 8x − 2 = 0; d) −4x2 + 9x + 13 = 0.
Bài 16. Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình: √ √ √ a) 3x2 − 5x + 1 = 0; b) 3x2 − (5 + 3)x + 5 = 0; √ √ √ c)
3x2 + 2( 3 − 3)x − 6 + 4 3 = 0.
Bài 17. Với giá trị nào của m thì phương trình
mx2 − 4(m − 1)x + 4m + 8 = 0. a) Có nghiệm; b) Có nghiệm kép; c) Có đúng một nghiệm. 37/84 37/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 38
2. Phương trình bậc hai một ẩn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Dạng 3. Sự tương giao của hai đồ thị
○ Nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
○ Một điểm thuộc đồ thị khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa công thức của đồ thị. cVí dụ 12. 1
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2. 2 1
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân 2 3
biệt A, B. Tính tọa độ hai điểm này khi m = . 2 cVí dụ 13. a) Vẽ (P ) : y = x2. 3
b) Biết các điểm A, B ∈ (P ) và lần lượt có hoành độ bằng 1 và − . Tính tung độ của chúng. 2
c) Viết phương trình đường thẳng AB.
d) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB và cắt (P ) tại điểm có hoành độ bằng −2.
cVí dụ 14. Cho parabol (P ) : y = ax2 và đường thẳng d : y = kx + 3.
a) Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18).
b) Từ kết quả câu a) hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P ) và d.
cVí dụ 15. Cho hàm số y = f(x) = (m − 2)x2, (m ̸= 2).
a) Xác định m để hàm số nghịch biến ∀x > 0.
b) Xác định m để hàm số đi qua điểm M (−2 : −4).
c) Xác định m để đường thẳng y = 2x + 1.
○ Không cắt đồ thị hàm số;
○ Tiếp xúc với đồ thị của hàm số. Tìm tọa độ tiếp điểm.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc 1 1 Bài 1. Cho parabol y =
x2 và đường thẳng d : y = − x + 2. 2 2
a) Vẽ (P ) và d trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (P ) và d. Tính diện tích tam giác OAB. 1
Bài 2. Cho hàm số y =
x2 có đồ thị là parabol (P ). 4 38/84 38/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 39 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B thuộc (P ), biết xA = −2; xB = 4.
b) Xác định tọa độ điểm M ∈ (P ), biết đường thẳng tiếp xúc với (P ) tại M song song với đường thẳng AB.
Bài 3. Cho parabol (P ) : y = mx2 và đường thẳng d : y = nx + 4. Xác định m, n để (P ) và d tiếp xúc
nhau tại điểm có hoành độ x = −2. 1 Bài 4. Cho parabol y =
x2 và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi 2
qua điểm A(−1; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.
Dạng 4. Các bài toán nâng cao khác
Vận dụng linh hoạt các tính chất về dấu của đa thức, bất đẳng thức, . . .
cVí dụ 16. Cho ba số dương a, b, c và phương trình a b c 5 x2 − 2x − − − + = 0. b + c c + a a + b 2
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, từ đó xác định điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm kép.
cVí dụ 17. Cho hai phương trình: x2 − mx − 2 = 0 (1) x2 − x + 6m = 0 (2).
Tìm giá trị của m để phương trình (1) và phương trình (2) có ít nhất một nghiệm chung biết m là một số nguyên.
cVí dụ 18. Chứng minh rằng:
a) Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 cũng là nghiệm của phương trình −ax2 − bx − c = 0.
b) Hai phương trình ax2 + bx + c = 0 và phương trình ax2 − bx + c = 0 cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.
cVí dụ 19. Cho hai phương trình: x2 + ax + b = 0, x2 + cx + d = 0.
Biết rằng ac ≥ 2(b + d). Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
cVí dụ 20. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có hai nghiệm phân biệt. x2 + mx + 1 = 0 (1) x2 + 4x + m = 0 (2). 39/84 39/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 40
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 21. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm. x2 + 2x − 6m = 0 (1) x2 + 4x + m2 + 15 = 0 (2).
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc a b
Bài 1. Cho hai số dương a, b và phương trình x2 − 2x − −
+ 3 = 0. Chứng minh rằng phương trình b a
luôn có nghiệm, từ đó xác định điều kiện của a, b để phương trình có nghiệm kép.
Bài 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
x2 − 2x − ab(a + b − 2c) − bc(b + c − 2a) − ca(c + a − 2b) + 1 = 0.
Khi đó, tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm kép.
Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm
b2x2 + (b2 + c2 − a2)x + c2 = 0.
Bài 4. Cho hai phương trình: x2 − mx + 2 = 0 và x2 − 4x + m = 0. Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 5. Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0.
a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương? Baâi söë 3
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Hệ thức Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, (a ̸= 0) có hai nghiệm x1, x2 thì  b S = x  1 + x2 = − a c .  P = x1 · x2 = a Áp dụng c
○ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1, x2 = . a c
○ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 = −1, x2 = − . a
○ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a · c < 0.
2 Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số có tổng là A và tích là P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 40/84 40/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 41 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Dạng 1. Tìm giá trị của biểu thức nghiệm đối xứng
Cần nhớ các hằng đẳng thức sau • x2 2 + x2 = (x
• x4 + x4 = (x2 + x2) − 2x2x2. 1 2 1 + x2)2 − 2x1x2. 1 2 1 2 1 2 • x3 + x3 = (x 1 2 1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2).
cVí dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình (nếu có). a) 4x2 + 7x + 2 = 0; b) −3x2 + x + 1 = 0; c) 3x2 − x + 1 = 0; d) x2 + (m − 2)x − m = 0. √
cVí dụ 2. Cho phương trình 3x2 − 15x + 3 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 1 1
b) Tính giá trị của biểu thức A = + . x1 x2
cVí dụ 3 (Bài 62/tr 64 - Sgk). Cho phương trình: 7x2 + 2(m − 1)x − m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Viét, hãy tính tổng bình phương hai
nghiệm của phương trình đó theo m.
cVí dụ 4. Cho phương trình: (m + 1) x2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0. Xác định m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4 (x1 + x2) = 7x1 · x2.
cVí dụ 5. Xác định m để phương trình: mx2 − 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 + x2 = 2. 1 2
cVí dụ 6. Cho phương trình: x2 − 2kx − (k − 1)(k − 3) = 0. Chứng minh rằng với mọi k, phương
trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
1 (x1 + x2)2 + x1.x2 − 2(x1 + x2) + 3 = 0. 4
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Không giải phương trình, hãy tìm tổng và tích hai nghiệm của mỗi phương trình sau (nếu có) a) 17x2 − 2x − 3 = 0; b) 8x2 + 6x + 1 = 0; c) 9x2 − 2x + 5 = 0. √ √
Bài 2. Cho phương trình: 2x2 − 4 3x + 4 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 41/84 41/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 42
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu 1 1
b) Tính giá trị của biểu thức A = + . x1 x2 √ √
Bài 3. Cho phương trình: 2x2 − 2 6x − 8 = 0.
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 1 1
b) Tính giá trị của biểu thức A = + . x2 x2 1 2
Bài 4. Tìm m để phương trình x2 + 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó √ √ √ √
a) Tính theo m giá trị các biểu thức E = x1 + x2 và F = 4 x1 + 4 x2.
b) Tìm m sao cho x4 + x4 = 32. 1 2 Å x ã2 Å ã2 1 x2 c) Tìm m sao cho + = 47. x2 x1
Bài 5. Cho phương trình x2 − (2m + 3)x + m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để x2 + x2 có giá trị nhỏ nhất. 1 2
Dạng 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là A và tích là P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình x2 − Sx + P = 0.
cVí dụ 7. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau a) u + v = 32, uv = 231. b) u + v = −8, uv = −105. c) u + v = 2, uv = 9.
cVí dụ 8. Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30 m và diện tích bằng 54 m2.
cVí dụ 9. Giải hệ phương trình sau: ®x + y = 2 ®x + y = 4 a) . b) . xy = −3 xy = 1 ®x2 + y2 = 12
cVí dụ 10. Giải hệ phương trình sau . xy = −4 √ √ ® 3 x + 3 y = 4
cVí dụ 11. Giải hệ phương trình sau . xy = 27
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 24m và diện tích bằng 27 m2.
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 42/84 42/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 43 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu ®x + y = 20 ®x + y = −21 a) ; b) . x.y = 99 x.y = 54
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: x + y = 4 3(x + y) = 2   a) 9 ; b) 1 . x.y = − x.y = −   4 3
Bài 4. Giải hệ phương trình sau: ®x + y = 4 ®x2 − xy + y2 = 1 a) ; b) . x2 + y2 x3 + y3 = 280 x + y + xy = 3
Bài 5. Tìm m để phương trình: x2 − 2(m + 1)x + 2m + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hãy lập
phương trình có nghiệm như sau: a) −2x1 và −2x2. b) 3x1 và 3x2. c) −x2 và −x2. 1 2 1 1 d) và . e) x x 1 + x2 và −x1.x2. 1 x2
Bài 6. Xét tổng a + b + c hoặc a − b + c rồi nhẩm các nghiệm của các phương trình √ √ a) 15x2 − 17x + 2 = 0; b) 30x2 − 4x − 34 = 0; c) 2 3x2 +2(5− 3)x−10 = 0. Bài 7.
a) Chứng tỏ rằng 5 là một nghiệm của phương trình 2x2 − 3x − 35 = 0. Hãy tìm nghiệm kia.
b) Chứng tỏ rằng −4 là một nghiệm của phương trình x2 + 8x + 16 = 0. Hãy tìm nghiệm kia. Bài 8.
a) Tìm giá trị của m để phương trình x2 + 3mx − 108 = 0 có một nghiệm là 6. Tìm nghiệm kia.
b) Tìm giá trị của m để phương trình mx2 − 3(m + 1)x + m2 − 13m − 4 = 0 có một nghiệm là −2. Tìm nghiệm kia.
Dạng 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Ta thực hiện theo các bước sau
○ Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2: ®a ̸= 0 . ∆′ ⩾ 0
○ Bước 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được ®x1 + x2 = f(m) . (1) x1. x2 = g(m)
○ Bước 3. Khử m từ hệ (1) ta được hệ thức cần tìm. 43/84 43/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 44
3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 12. Cho phương trình x2 − 2mx + 2m − 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
cVí dụ 13. Cho phương trình x2 − 2mx − m2 = 0.
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
cVí dụ 14. Cho phương trình (m − 1)x2 − 2(m − 4)x + m − 5 = 0.
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho phương trình mx2 − 2mx + 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Bài 2. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x − m + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m.
Dạng 4. Xét dấu các nghiệm
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x1 ⇔ a · c < 0. ®∆ ≥ 0
b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ . P > 0 ∆ ≥ 0  
c) Phương trình có hai nghiệm dương 0 < x1 ≤ x2 ⇔ P > 0 .  S > 0 ∆ ≥ 0  
d) Phương trình có hai nghiệm âm x1 ≤ x2 < 0 ⇔ P > 0 .  S < 0
cVí dụ 15. Cho phương trình: x2 − 2(m + 1)x − m + 1 = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
cVí dụ 16. Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2(m + 2)x + m − 1 = 0. Xác định m để phương trình: a) Có một nghiệm.
b) Có hai nghiệm cùng dấu.
cVí dụ 17. Cho phương trình: mx2 − 2(3 − m)x + m − 4 = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm đối nhau.
b) Có đúng một nghiệm âm. 44/84 44/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 45 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 18. Tìm giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
a) x2 − 3mx − 3m − 1 = 0; b) x2 − 7x + m2 − 8 = 0.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Cho phương trình x2 − 2(m + 7)x + m2 − 4 = 0. Xác định m để phương trình
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm cùng dấu.
Bài 2. Cho phương trình (m − 1)x2 + 2(m + 2)x + m − 1 = 0. Xác định m để phương trình
a) Có hai nghiệm âm phân biệt.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình (m − 1)x2 + 2mx + m + 1 = 0. Xác định m để phương trình
a) Có hai nghiệm âm phân biệt.
b) Có hai nghiệm đối nhau. Baâi söë 4
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương có dạng ax4 + bx2 + c = 0, (a ̸= 0). ○ Đặt x2 = t, (t ≥ 0).
○ Phương trình đã cho trở thành at2 + bt + c = 0;
○ Giải tìm t, từ đó tìm x.
2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:
○ Đặt điều kiện cho ẩn để các mẫu thức khác 0;
○ Quy đồng mẫu, khử mẫu;
○ Giải phương trình vừa tìm được;
○ So điều kiện để nhận hoặc loại.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Phương trình trùng phương, phương
trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình tích 45/84 45/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 46
4. Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 1. Giải các phương trình: a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0; b) 3x4 − 5x2 − 28 = 0; c) 4x4 − 25x2 + 6 = 0.
cVí dụ 2 (Bài 56 trang 63 SGK). Giải các phương trình sau a) 3x4 − 12x2 + 9 = 0; b) 2x4 + 3x2 − 2 = 0; c) x4 + 5x2 + 1 = 0.
cVí dụ 3 (Bài 57.c, 57.d/tr 63 - Sgk). Giải các phương trình sau x 10 − 2x x + 0,5 7x + 2 a) = ; b) = . x − 2 x2 − 2x 3x + 1 9x2 − 1
cVí dụ 4 (Bài 35.b, 35.c/tr 56 - Sgk). Giải các phương trình sau x + 2 6 4 −x2 − x + 2 a) + 3 = . b) = . x − 5 2 − x x + 1 (x + 1)(x + 2)
cVí dụ 5. Giải các phương trình sau √ √ î Ä ä ó
a) (3x2 − 5x + 1) (x2 − 4) = 0.
b) (3x2 − 7x − 10) 2x2 + 1 − 5 x + 5 − 3 = 0.
cVí dụ 6. Giải các phương trình sau 2 2 2
a) (2x2 + x − 4) − (2x − 1)2 = 0.
b) (x2 + 2x − 5) = (x2 − x + 5) .
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2x4 − 7x2 + 5 = 0; b) 5x4 − 9x2 = 0; c) 3x4 − x2 − 234 = 0;
d) 11x4 + 3x − 2 = 3x − 15x2 − 6. x2 − 3x + 5 1
Bài 2. Giải phương trình = . (x + 2)(x − 3) x − 3
Bài 3. Giải các phương trình sau x 2x + 3 2x + 22 x − 4 3x2 − 15x x a) = ; b) = ; c) = x − . 1 − x (x − 1)(x + 2) (x − 1)(x + 2) x + 2 x2 − 9 x − 3
Bài 4. Giải các phương trình sau
a) (x − 1)3 + 3x − 2 = x3 − x2 + x − 1;
b) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 3x + 2; 2
c) (x2 + x) + (x + 1)2 = 2(x + 1)3 − 4x + 4.
Bài 5. Đưa về phương trình tích rồi giải phương trình:
a) (2x + 3)2 − 10x − 15 = 0;
b) x2(x + 1) − 3x = 3x2 − 2x − 2; 2
c) (x2 − x − 1) = (2x + 1)2. 46/84 46/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 47 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Dạng 2. Phương trình trị tuyệt đối và phương trình căn
a) Phương trình trị tuyệt đối: ñf(x) = g(x) ○ |f(x)| = |g(x)| ⇔ . f (x) = −g(x) g(x) ≥ 0   ○ |f(x)| = g(x) ⇔ ñf(x) = g(x) .   f (x) = −g(x)
b) Phương trình căn thức:
○ pf(x) = pg(x) ⇔ f(x) = g(x) ≥ 0. ®g(x) ≥ 0 ○ pf(x) = g(x) ⇔ . f (x) = g2(x)
cVí dụ 7. Giải phương trình |x2 − 2x − 2| = |x2 + 2x|.
cVí dụ 8. Giải phương trình |x2 + x| = −x2 + x + 2.
cVí dụ 9. Giải các phương trình: √ √ √ √ a) x2 − 4x + 5 = x + 1; b) x2 − 2x + 3 = 2x2 − 7x + 9. √
cVí dụ 10. Giải phương trình 2x2 + x − 3 = x − 1.
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ và cách khác
cVí dụ 11. Giải phương trình (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4.
cVí dụ 12. Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − 24 = 0.
cVí dụ 13. Giải phương trình 3x2 − 14|x| − 5 = 0. (1) 2 3
cVí dụ 14. Giải phương trình 3x2 + 2x − 34 + + = 0. x x2
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Giải phương trình (2x − 1)(x − 1)(x − 3)(2x + 3) = −9.
Bài 2. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ: 2
a) (x2 − 2x) + 4x2 − 8x + 3 = 0;
b) (x2 − 5x + 2) (x2 − 5x + 1) = 6; 47/84 47/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 48
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Å 6 ã2 Å 6 ã √ c) x2 − + 6 x2 − = −5;
d) x2 − 2x + 3 x2 − 2x + 4 = 6. x2 x2
Bài 3. Giải phương trình 1 1 x2 + 1 x 5 a) x2 + + x + = 4; b) + = − . x2 x x x2 + 1 2
Bài 4. Giải các phương trình a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16; b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8. Baâi söë 5
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn; b) Lập phương trình:
○ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
○ Dựa vào mỗi quan hệ giữa các đại lượng đã biết để lập phương trình. c) Giải phương trình; d) Kết luận.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1. Bài toán chuyển động
cVí dụ 1. Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp
khởi hành, đoàn xe được giao thêm 14 tấn nữa. Do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại và mỗi xe ban
đầu phải chở thêm nửa tấn nữa. Tính số xe phải điều theo dự định.
cVí dụ 2 (Bài 65/tr65-SGK). Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau 1 giờ, một
xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h.
Hai xe gặp nhau tại một ga chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc mỗi xe, giả thiết rằng quãng
đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km.
cVí dụ 3 (Bài 52/tr60 - SGK). Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ
bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về lại bến
A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h. 48/84 48/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 49 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 4 (Bài 43/tr58-GGK). Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một
đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuống nghỉ lại 1 giờ tại thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi
theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính
vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.
cVí dụ 5. Hai bến sống A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với canô đi xuôi từ A có một
chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đi đến B canô trở về bến A ngay và gặp bè khi đã
trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của canô. Biết vận tốc của canô không thay đổi.
cVí dụ 6. Một người đi xe máy trên quãng đường AB dài 120 km với vận tốc định trước. Sau khi 1 đi được
quãng đường với vận tốc đó, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường 3
còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Dạng 2. Bài toán về số và chữ số
cVí dụ 7 (Bài 41/tr58-SGK). Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi
người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai
bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?
cVí dụ 8. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng bằng 8 và tổng các bình phương của chúng bằng 424.
cVí dụ 9 (Bài 64/tr64-SGK). Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó
2 đơn vị nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn
vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?
cVí dụ 10 (Bài 44/tr59-SGK). Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị
rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.
cVí dụ 11 (Bài 45/tr59-SGK). Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
cVí dụ 12. Một lớp học được nhà trường phát phần thưởng ba lần và chia đều cho các em học
sinh. Lần thứ nhất chia hết 66 quyển vở nhưng vắng 5 em, lần thứ hai chia hết 125 quyển vở nhưng
vắng 2 em, còn lần thứ ba thì không vắng em nào và chia hết 216 quyển vở. Biết một học sinh có
mặt cả ba lần đã nhận được số vở (trong lần ba) bằng tổng số vở đã nhận trong hai lần đầu. Tính số học sinh.
Dạng 3. Bài toán vòi nước 49/84 49/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 50
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 13. Có hai vòi nước. Người ta mở vòi thứ nhất cho vòi chảy đầy một bể nước cạn rồi khóa
lại. Sau đó mở vòi thứ hai cho nước chảy ra hết với thời gian lâu hơn so với thời gian vòi một chảy
là 4 giờ. Nếu cùng mở cả hai vòi thì bể đầy sau 19 giờ 15 phút. Hỏi vòi thứ nhất chảy trong bao lâu
mới đầy bể khi vòi thứ hai khóa lại.
Dạng 4. Bài toán có nội dung hình học
cVí dụ 14 (Bài 46/tr59-SGK). Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều
rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
cVí dụ 15. Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết hình chữ nhật có chu vi bằng
340 m và diện tích bằng 7200 m2.
cVí dụ 16 (Bài 66/tr64-SGK). Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm. Một
hình chữ nhật M N P Q có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q
thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36 cm2.
cVí dụ 17. Một thửa ruộng hình chữ nhật, một người đi theo chiều dài hết 1 phút 5 giây, đi theo
chiều rộng hết 39 giây. Người ta làm một lối đi xung quanh thửa ruộng rộng 1,5 m thì diện tích còn
lại là 5529 m2. Tính kích thước của thửa đất.
Dạng 5. Bài toán về phần trăm - năng suất
cVí dụ 1 (Bài 63/tr64-SGK). Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2000000 người lên
2020050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
cVí dụ 2 (Bài 49/tr59-SGK). Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4
ngày xong công việc. Nếu họ làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
cVí dụ 3. Muốn làm xong công việc cần 480 công thợ. Người ta có thể thuê một trong hai nhóm
thợ A hoặc B. Biết nhóm A ít hơn nhóm B là 4 người và nếu giao cho nhóm B thì công việc hoàn
thành sớm hơn 10 ngày so với nhóm A. Hỏi số người của mỗi nhóm.
cVí dụ 4 (Bài 42/tr58-SGK). Bác Thời vay 2000000 đồng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn
1 năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời
hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất
vẫn như cũ. Hết hai năm phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm? 50/84 50/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 51 Chương 4. Hàm số y = ax2 ax (a (
̸= 0). Phương trình bậc hai
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 5. Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải làm được 720 sản phẩm. Nếu tăng năng suất lên 10
sản phẩm mỗi ngày thì so với giảm năng suất đi 20 sản phẩm mỗi ngày thời gian hoàn thành ngắn
hơn 4 ngày. Tính năng suất dự định
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 5 và tổng các bình phương của chúng bằng 125.
Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và hiệu các bình phương của chúng cũng bằng 25. 2
Bài 3. Lúc 7 giờ sáng một ôtô khởi hành từ A để đến B cách A 120 km. Sau khi đi được quãng 3
đường ôtô dừng lại 20 phút để nghỉ rồi đi chậm hơn trước 8 km/h. Ôtô đến B lúc 10 giờ. Hỏi ôtô nghỉ lúc mấy giờ?
Bài 4. Một người đi từ A đến B rồi lại trở về A. Lúc về đi được 30 km người đó nghỉ 20 phút. Sau khi
nghỉ xong, người đó đi với vận tốc nhanh hơn trước 6 km/h. Tính vận tốc lúc đi. Biết quãng đường AB
dài 90 km và thời gian đi bằng thời gian về kể cả nghỉ.
Bài 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với vận tốc xác định. Khi từ B về A người
đó đi bằng đường khác dài hơn đường trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 km/h.
Tính vận tốc lúc đi. Biết thời giang về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 6. Một ôtô đi từ A đến B rồi quay về A ngay. Sau khi ô tô đi được 15 km thì một người đi xe đạp
từ B về A. Tính vận tốc mỗi xe. Biết:
○ Quãng đường AB dài 24 km.
○ Vận tốc ôtô nhanh hơn xe đạp 37 km/h.
○ Ôtô quay trở về A sớm hơn xe đạp đến B là 44 phút.
Bài 7. Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60 km. Trong thời gian nhất định, trên nửa quãng
đường AB do đường xấu nên ô tô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6 km/h. Để đến B đúng dự định,
ô tô phải đi quãng đường còn lại với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10 km/h. Tính thời gian dự
định đi hết quãng đường.
Bài 8. Một tổ lao động hoàn thành đào đắp 8000 m3 đất trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày
vượt mức 50 m3 thì tổ lao động hoàn thành kế hoạch sớm 8 ngày. Tính thời gian dự định.
Bài 9. Một nông trường phải trồng 75 ha rừng với năng suất đã định từ trước. Nhưng trong thực tế,
khi bắt tay vào trồng rừng thì mỗi tuần nông trường trồng thêm được 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng
được 80 ha. Do vậy, họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 tuần. Tính năng suất dự định của nông trường.
Bài 10. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh khu vườn
rộng 2 m. Diện tích còn lại là 4256. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn nếu cả hai vòi cùng chảy một lúc thì sau 4 giờ
mới đầy bể. Nếu từng vòi chảy một thì thời gian vòi I chảy nhanh hơn vòi II là 6 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình thì sau bao lâu đầy bể.
Bài 12. Hai vòi nước cùng chảy vào bể trong 6 giờ 40 phút thì đầy. Nếu chảy riêng từng vòi một thì
mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể. Biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ nhất 3 giờ. 51/84 51/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 PHẦN HÌNH HỌC II 8 18 29 6 38 44 9 26 11 45 49 36 30 48 42 40 20 33 46 27 50 3 1 22 16 17 37 2 12 15 4 10 13 32 35 19 25 7 14 21 47 34 41 31 23 5 43 39 24 28 53
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Baâi söë 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC,
AH, HB, HC; hãy tính các đoạn thẳng còn lại nếu biết: a) AB = 6 cm; AC = 8 cm b) AB = 15 cm; HB = 9 cm c) AC = 44 cm; BC = 55 cm d) AC = 40 cm; AH = 24 cm e) AH = 9,6 cm; HC = 12,8 f) HB = 12,5 cm; HC = 7,2 cm cm
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc A bằng 90◦ và đường cao AH (H thuộc BC). Kẻ HE và HF lần
lượt vuông góc với AB và AC tại E; F .
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và tính EF ; CF .
b) Tính diện tích tứ giác AEHF .
c) Tính diện tích tứ giác BEF C.
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 15cm; AC = 20cm và BC = 25cm. Từ B, vẽ đường thẳng vuông
góc với BC cắt AC kéo dài tại H. Đường thẳng qua H và song song với BC cắt AB tại K.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HC; HB; HK.
c) Tính diện tích tứ giác BHKC bằng 2 cách.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M ,
N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và I là giao điểm AH với M N .
a) Chứng minh M N là đường trung trực của AH.
b) Tính theo a và b độ dài các đoạn thẳng AH, HM và AI.
c) Tính theo a và b diện tích tam giác HM N .
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB < AC và góc A = 90◦, M là trung điểm cạnh BC. Gọi H là hình
chiếu của A trên BC. Cho biết AM = 13 cm và AH = 12 cm. a) Tính M H, AB và AC.
b) Đường thẳng qua B và vuông góc với AM cắt AC tại F . Tính AF và BF .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Kẻ đường cao AH và phân giác
AD của tam giác ABC (H, D thuộc cạnh BC).
a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng HD và AD. 53/84 53/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 54
2. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
c) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi S là diện tích tứ giác BIKC. Tính S.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. HB AB2 a) Chứng minh = . HC AC2
b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của H trên AC, AB. Chứng minh AI · AC = AH2.
c) Chứng minh tam giác AJI và tam giác ACB đồng dạng. Từ đó chứng minh AJI = ACB. Baâi söë 2
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Tính các tỉ số lượng giác (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). a) sin 35◦. b) cos 39◦13′. c) tan 80◦. d) cot 45◦. e) cos 52◦18′. f) cot 10◦17′. g) sin 42◦28′.
Bài 2. Tính các tỉ số lượng giác (làm tròn đến chữ số hàng phần nghìn): a) sin 23◦. b) tan 30◦. c) cos 15◦25′. d) cot 65◦. e) cos 75◦.
Bài 3. Tìm số đo các góc sau, biết tỉ số lượng giác của chúng là: a) sin A = 0,6. b) sin B = 0,5446. c) tan C = 2. √3 d) cot D = 0,33333 . e) cos ’ ABC = . 2
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H ∈ BC). Tính các tỉ
số lượng giác của góc ABC và số đo của nó nếu biết: a) AB = 10 cm; BC = 26 cm. b) AB = 12 cm; BC = 16 cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm; AC = 72 cm và AH là đường cao.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc BAH và số đo của nó.
b) Suy ra các tỉ số lượng giác của góc CAH.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông có hai cạnh góc vuông là AB = 16 mm; AC = 3 cm.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn và số đo các góc đó. b) Tính sin2 B + cos2 C.
Bài 7. Tính giá trị biểu thức (Không sử dụng máy tính bỏ túi): sin 34◦ a) A = .
b) B = cos 19◦ − sin 71◦. cos 56◦
c) C = tan 53◦ − cot 37◦.
d) D = sin 15◦ + sin 20◦ − cos 70◦ − cos 75◦. tan 31◦ · tan 59◦ e) E = .
f) F = cos2 15◦ + cos2 35◦ + cos2 55◦ + cos2 75◦. cot 16◦ · cot 74◦ 54/84 54/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 55
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính số đo của góc B là x (0 < x < 90◦) biết: a) cos x = 0,8 b) tan x = 0,75. c) sin x = cos x. d) tan x = cot x.
Bài 9. Tính giá trị của biểu thức: cos x + sin x a) C = với tan x = 2. cos x − sin x 1
b) P = 3 sin2 x + cos2 x với cot x = . 3
Bài 10. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết: a) AC = 10 cm; b C = 30◦. b) AB = 21 cm; AC = 18 cm. c) BC = 6 cm; AB = 5 cm. d) AC = 100 cm; b C = 30◦.
Bài 11. Tam giác BAC vuông tại A có AB = 21 cm; b C = 40◦. Tính: a) AC, BC.
b) Phân giác BD của tam giác ABC.
Bài 12. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm; b C = 40◦. Tính: a) AC b) BC
c) Phân giác BD của △ABC. 3
Bài 13. Cho △ABC vuông tại A, biết tan B = ; AB = 2 cm. Tính AC, BC. 4
Bài 14. Cho △CDE có CD = 27 cm; CE = 36 cm; DE = 45 cm. Tính: a) Chứng tỏ △ABC vuông.
b) Vẽ đường cao CH của △CDE. Tính CH, HE. c) Tính góc D, góc E.
Bài 15. Cho △ACB vuông tại A (AB > AC) đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn thẳng
CH = 4 cm; BH = 9 cm. Goi M , N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AH và số đo góc B; góc C của tam giác ABC (Làm tròn số đo góc đến phút)
b) Chứng minh AM · AB = AN · AC. 1 1 1 c) Chứng minh: = + . M N 2 AB2 AC2
Bài 16. Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 15 cm, BC = 17 cm. a) Chứng tỏ △ABC vuông.
b) Vẽ đường cao AH của △ABC. Tính AH, HB.
c) Tính số đo của góc B; góc C.
Bài 17. Cho △ABC có đường cao BH. Biết AB = 40 cm, AC = 58 cm, BC = 42 cm.
a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông.
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc A.
c) Kẻ HE ⊥ AB; HF ⊥ AC. Tính BH, BE, BF và diện tích của tứ giác EF CA?
Bài 18. Cho △ABC có BC = 16 cm; b C = 45◦; b A = 60◦. Tính AB.
Bài 19. Cho △CDE. Biết DE = 18 cm; “ E = 45◦; b C = 75◦. Tính CD. 55/84 55/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 56 3. Ứng dụng thực tế
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Baâi söë 3
ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Bài 1. Từ nóc một tòa cao ốc 50m người ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạ và nâng
lần lượt là 62◦ và 34◦. Tính chiều cao của cột ăng-ten. E B 34◦ D 62◦ 50m A C ¤ 67,93 m
Bài 2. Một chiếc thang dài 4 m. Cần đặt chân thang cách chân tường bao nhiêu mét để nó tạo với mặt
đất một góc “an toàn”là 65◦ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). 4m
¤ Cần đặt cách tường khoảng 1,69 m
Bài 3. Trong lúc bạn Nam dựng tủ cho đứng thẳng, tủ có bị vướng vào trần nhà cao 21 dm không 21dm 20dm 4dm
¤ Nam đẩy tủ đứng thẳng không bị vướng vào trần nhà.
Bài 4. Hai trụ điện cùng chiều cao được dựng thẳng đứng hai bên lề đối diện một đại lộ 80 m (AC =
80 m). Từ một điểm M trên mặt đường giữa hai trụ người ta nhìn thấy đỉnh hai trụ điện với các góc
nâng lần lượt là 60◦ và 30◦. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ điểm M đến gốc mỗi trụ √ điện.
¤ MA = 20m; MC = 60m; AB = 20 3m. 56/84 56/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 57
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Bài 5.
Hằng ngày bạn Trúc phải đi học từ nhà (vị trí C) rồi đi theo đường
đê (vị trí H), sau đó len theo đường mòn ra đến đầu đường (vị trí B) H C B theo hình vẽ sau: 2,25km sông
a) Hãy tính quãng đường từ nhà đến trường mà bạn Trúc đã đi. 3km A
b) Người ta đã xây dựng cây cầu HB để giúp đỡ cho các bạn đi học dễ dàng hơn. Vậy bạn Trúc đã
tiết kiệm bao nhiêu thời gian biết rằng bạn luôn đi với vận tốc 4 km/h? (Làm tròn đến phút). ¤ a) 10,25km. b) 1 giờ. Bài 6.
Một bức tượng mỹ thuật có chiều cao 4m. Một người đang
đứng cách chân tượng 5m và mắt người ấy cách mặt đất
1,5m (hình bên). Hỏi người đó nhìn toàn bộ bức tượng
dưới góc bao nhiêu? (“góc nhìn”, làm tròn đến độ). 4m α 1,5m ♀ 5m ¤ 43◦. Bài 7.
Một người đi xe đạp lên một dốc có độ nghiêng 10◦ B
so với phương nằm ngang với vận tốc trung bình
8 km/ h, biết đỉnh dốc cao khoảng 34,8 m so với
phương nằm ngang. Hỏi người đó phải mất bao lâu để tới đỉnh? A H ¤ 1, 503 phút Bài 8.
Tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 34◦ và bóng tháp dài 86 m. B
Tính chiều cao của ngọn tháp? O A ¤ 58 m. Bài 9.
Một cột đèn cao 7 m có bóng trên mặt đất dài 4 m. Hãy tính góc mà
tia sáng mặt trời tạo với mặt đất? B A C ¤ 60◦ 57/84 57/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 58 3. Ứng dụng thực tế
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Bài 10.
Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng
bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an toàn” là 65◦ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)? ¤ 1, 28 m Bài 11.
Bạn An đứng ở mặt đất dùng giác kế nhìn thấy ngọn cây dưới E
góc 37◦ so với phương ngang song song với mặt đất. Khoảng
cách từ bạn An đến cái cây là 30 m. Tính chiều cao của cây
đó? Biết giác kế cao 1, 2 m. D C 1.2m 30m A B ¤ 23, 8 m Bài 12.
Bạn An đứng ở mặt đất cách một tòa tháp một khoảng 120 E
m dùng giác kế nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 53◦ so với đường
nằm ngang song song với mặt đất. Tính chiều cao của tháp?
Biết giác kế có chiều cao 1, 6 m. D C 1, 6 m 120 m A B ¤ 160, 85 m Bài 13.
Để đo khoảng cách giữa hai bờ của một con sông, bạn An đã làm B cách như sau:
- Trước tiên bạn An sẽ đứng ở vị trí điểm A nhắm một vị trí điểm
B bên kia bờ sông và dựng cây cột làm mốc.
- Sau đó An di chuyển 15 m vuông góc với hướng nhắm lúc nãy đến
vị trí điểm C rồi dùng giác kế nhắm vị trí điểm A và vị trí điểm B
thì đó được góc 60◦ . Hãy tính khoảng cách giữa hai bờ sông? C 15 m A ¤ 32, 26 m Bài 14. 58/84 58/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 59
Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Từ một vị trí trên bờ, bạn An có thể tính được khoảng cách giữa 2 chiếc B
thuyền ở vị trí A và B bằng cách như sau. Trước tiên bạn chọn một vị
trí trên bờ (điểm I) sao cho I, A, B thẳng hàng. Sau đó bạn di chuyển
theo hướng vuông góc với IA đến vị trí điểm K cách điểm I một khoảng
380 m rồi dùng giác kế nhắm đến vị trí điểm A, điểm B thì đo được góc
15◦ và nhắm vị trí điểm A, điểm I thì được góc 50◦. Tính khoảng cách 2 chiếc thuyền? A K I ¤ 131,48 m Bài 15.
Một người trinh sát đứng cách tòa nhà một B
khoảng 10 m. Góc “nâng” từ chỗ anh ta đứng
đến nóc nhà là 40◦. Nếu anh ta dịch chuyển ra
xa sao cho góc “nâng” là 35◦ thì lúc đó anh ta
cách tòa nhà bao nhiêu mét? D C 10m A ¤ 11,98 m Bài 16.
Từ đỉnh một ngọn tháp, bạn An dùng kính viễn vọng B
thấy được hai vị trí C và D cách nhau 30 m với góc đo
lần lượt là 35◦ và 48◦ theo phương ngang.Hỏi ngọn tháp cao bao nhiêu? A C 30m D ¤ 56,85 m Bài 17. 59/84 59/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 60 3. Ứng dụng thực tế
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Màn ảnh rộng hình chữ nhật được đặt ở độ cao 1,8 m so
với tầm mắt (tính từ mép màn hình). Để nhìn rõ, bạn An C
ngồi cách màn hình 2,m. Hỏi chiều cao màn hình? Biết
góc nhìn của bạn An là 16◦. B 1,8m A 2,4m H ¤ 3,17 − 1,8 = 2,07m Bài 18.
Một người đứng ở vị trí điểm C trên mặt đất cách tháp ăng-ten A
một khoảng CD = 120 m (như hình vẽ). Biết rằng người ấy
nhìn thấy đỉnh tháp với ’
AOB = 36◦ so với đường nằm ngang;
khoảng cách từ mắt đến mặt đất OC = 1,6 m.
a) Tính chiều cao AD của tháp (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
b) Giả sử người ấy đứng trên mặt đất cách chân tháp ăng- O
ten một khoảng bằng chiều cao của tháp ăng-ten (CD = 1,6m B AD C D
) và không thay đổi khoảng cách từ mắt đến mặt đất 120m
thì người ấy nhìn thấy đỉnh tháp với góc ’ AOB bằng bao
nhiêu? (sử dụng kết quả đã làm tròn ở câu trên và làm
tròn kết quả câu này đến độ). ¤ a) 8,9 m, b) 44◦ 60/84 60/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 61 Chương 2. Đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 2 ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN Baâi söë 1
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN Baâi söë 2
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN Baâi söë 3 DÂY
Bài 1. Cho tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Vẽ M D vuông góc với AB tại D và M E
vuông góc với AC tại E. Trên các tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I; K sao cho D là trung điểm
BI và E là trung điểm CK. Chứng minh rằng bốn điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường cao AD, BE, CF
của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K.
b) Bốn điểm B, E, F , C cùng thuộc một đường tròn có tâm là I. c) ’ KEI = 90◦.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh:
a) Bốn điểm B, D, H, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I.
b) Bốn điểm A, F , D, C cùng thuộc một đường tròn có tâm là K.
c) IK đi qua trung điểm của F D.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh CD ⊥ AB và BE là đường cao của △ABC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK ⊥ BC tại M .
c) Chứng minh bốn điểm A, E, M , B cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm I đường kính AC cắt BC tại H.
Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB. Tia AD cắt đường tròn tâm I tại E.
a) Chứng mình AH là đường cao của △ABC.
b) Chứng minh DA · DE = DC · DH.
c) Gọi K là trung điểm AB. Tính số đo góc IHK. 61/84 61/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 62
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
d) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp △AKH.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là trung điểm AH. Đường tròn tâm
K bán kính AK cắt đường tròn (O) đường kính BC tại I và cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E,
F . AI cắt BC tại M . Chứng minh:
a) AEHF là hình chữ nhật và EF 2 = AI · AM . b) M K ⊥ OA.
Bài 7. Cho đường tròn (O) bán kính R và hai điểm A, B thuộc (O) sao cho ’ AOB = 60◦. Tính độ dài
dây cung AB và khoảng cách từ tâm đến dây cung theo R.
Bài 8. Cho (O; R), dây cung AB sao cho ’
AOB = 90◦. Tính độ dài dây cung AB và khoảng cách từ tâm đến dây cung theo R.
Bài 9. Cho (O; R), dây cung BC sao cho ’
BOC = 120◦. Tính độ dài dây cung BC và khoảng cách từ tâm đến dây cung theo R.
Bài 10. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 10 cm và dây cung AB = 16 cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 2 cm. Kẻ dây cung CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh CD = AB.
Bài 11. Cho (O) trong đó hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Biết IC = 2 cm
và ID = 14 cm. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi dây.
Bài 12. Cho (O) có bán kính R = 25 cm. Hai dây AB và CD song song với nhau và có độ dài theo
thứ tự là 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây đó.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG Baâi söë 4
TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN
Bài 1. Cho (O; R) có M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Vẽ tiếp tuyến M A, cát tuyến M BC
có B nằm giữa M và C. K là trung điểm BC.
a) Chứng minh OK là trung trực của BC.
b) Chứng minh bốn điểm M , A, K, O cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I và tính bán kính
của đường tròn đó theo R.
Bài 2. Cho đường tròn O có điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B, C
là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E).
a) Cho OA = 3R. Tính các cạnh còn lại của tam giác OAB theo R.
b) Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh O, A, B, C, M cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Cho (O) có bán kính OA = R. Vẽ dây CD là trung trực của OA cắt OA tại H.
a) Chứng minh OCAD là hình thoi.
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường OA tại I. Tính tích OH · OI và độ dài đoạn CI theo R. c) Tính số đo ’ ODI. 62/84 62/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 63 Chương 2. Đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh: a) CE = CF . b) AC là phân giác góc ’ BAE. c) CH2 = AE · BF .
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại
M với (O) cắt tiếp tuyến Ax tại A và tiếp tuyến By tại B của (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh bốn
điểm O, A, D, M cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. Cho đường tròn (O) có bán kính OA = R. Dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, tiếp tuyến này cắt đường thẳng AO tại E. Chứng minh CE
là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính CE theo R.
Bài 7. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) với OA = 2R, đường tròn tâm I
có đường kính OA cắt (O) tại B, C.
a) Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O).
b) Chứng minh tứ giác OBIC là hình thoi.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Đường tròn tâm I đường kính AC cắt BC tại H.
Trên đoạn HC lấy D sao cho HD = HB. Tia AD cắt (I) tại E. a) Chứng minh AH ⊥ BC.
b) Chứng minh DA · DE = DC · DH.
c) Gọi K là trung điểm AB. Chứng minh KH là tiếp tuyến của (I).
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M
sao cho AM = 2R; BM cắt (O) tại C. Vẽ OD vuông góc với BC (D thuộc BC).
a) Chứng minh D là trung điểm BC.
b) Gọi E là trung điểm M A. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
Bài 10. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại O lấy điểm
K sao cho K nằm ngoài (O). Gọi C và D lần lượt là giao điểm của AK và BK với (O) (C, D khác A, B).
a) Chứng minh AD ⊥ BK và BC ⊥ AK.
b) Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh K, H, O thẳng hàng và bốn điểm K, C, H, D
thuộc cùng một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn qua bốn điểm trên.
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của (I) và ID là tiếp tuyến của (O).
Bài 11. Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ SA, SB là các tiếp tuyến
của đường tròn (O) (A, B thuộc (O)). Gọi H là giao điểm của AB và OS.
a) Chứng minh OS là đường trung trực của AB. 63/84 63/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 64
4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
b) Chứng minh rằng tích OH · OS không đổi với mọi vị trí của S ở ngoài (O).
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB với ’
AOB = 120◦. Hai tiếp tuyến tại A, B của (O) cắt nhau tại C.
a) Chứng minh OC vuông góc với AB và bốn điểm A, C, B, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác ABC theo R.
c) Lấy M là một điểm thuộc cung nhỏ AB của đường tròn. Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AC và BC tại
D và E. Chứng minh AD + BE = DE. d) Chứng minh ’ DCE = ’ DOE.
Bài 13. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By
thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường tròn). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M
khác A, B); kẻ tiếp tuyến với (O) cắt Ax, By lầ lượt tại C và D. Chứng minh rằng a) ’ COD = 90◦. b) CD = AC + BD.
c) Tích AC · BD không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn.
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc (O), tiếp tuyến tại M của
(O) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
b) Tìm vị trí của M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.
c) Tìm vị trí của C và D để tứ giác ABDC có chu vi bằng 14 cm, biết AB = 4 cm. 64/84 64/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 65
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 3
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
GÓC Ở TÂM - GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP Baâi söë 1 TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Các loại góc A
○ Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. x ⌢ ’ BOC = sđBC O
○ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn. 1 ⌢ C B ’ BAC = sđBC 2
○ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc gồm một tiếp tuyến và một dây cung của đường tròn. 1 ⌢ ‘ xAB = sđAB 2
Đối với góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: dây căng cung nào thì góc chắn cung đó.
2 Một số tính chất
○ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
○ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. B – BÀI TẬP
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến KE với (O); Tia √
OK cắt đường tròn tại F . Cho biết OK = R 2.
a) Tính số đo cung nhỏ EF .
b) Đường thẳng qua E vuông góc với OK và cắt (O) tại điểm thứ hai là M . Chứng minh KM là tiếp tuyến của (O).
c) Tứ giác OEKM là hình gì? Tính diện tích của hình đó theo R.
Bài 2. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC tùy ý (O nằm trong góc ’ BAC). Kẻ đường kính AD. 65/84 65/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 66
1. Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu a) Chứng minh ’ BAD = ’ BCD và BD ⊥ AB.
b) Lấy E thuộc (O) sao cho E là điểm chính giữa cung nhỏ BD. Chứng minh CE là đường phân giác của ’ BCD.
c) Kẻ đường thẳng qua D song song với AB cắt (O) tại F . Chứng minh B, O, F thẳng hàng và tính ’ BCF . d) Chứng minh ’ ACB phụ với ’ ADF .
Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. a) Tính số đo ’
BOC và suy ra số đo cung nhỏ BC, số đo cung lớn BC.
b) Kẻ tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại A và đường kính BOD. Chứng minh OA ∥ CD.
c) Gọi E là giao điểm của AD và (O). Chứng minh △AEC △ACD, từ đó suy ra ’ ACE = ’ OAE.
Bài 4. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′) cắt nhau tại A và B. Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với
AB. Tia CB cắt (O′) tại E, tia BD cắt (O) tại F . Chứng minh rằng: a) ’ CAF = ’ DAE;
b) AB là tia phân giác của ’ EAF ; c) CA · CD = CB · CE; d) CD2 = CB · CE + BD · DF .
Bài 5 (VD). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài (O). Kẻ SA là tiếp tuyến của đường tròn
(O) (A thuộc (O)) và AK là đường kính. SK cắt (O) tại điểm thứ hai là I.
a) Chứng minh KI · KS = 4R2.
b) Đường thẳng qua K song song với OS cắt (O) tại B. Chứng minh SB là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh rằng ’ BIK = ’ BSO và ’ BIK − ’ BKI = ‘ ISB.
d) BI cắt SO tại M . Chứng minh M S2 = M I · M B.
Bài 6 (VD). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến SA với (O)
(A là tiếp điểm) và cát tuyến SCD (SD > SC).
a) Chứng minh SA2 = SC · SD.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với OS tại I cắt (O) tại B. Chứng minh SC · SD = SI · SO và
SB là tiếp tuyến của (O).
c) Gọi F là trung điểm của CD; OF cắt AB tại T . Chứng minh bốn điểm T ; F ; I; S cùng thuộc một đường tròn.
d) Chứng minh T C2 = T F · T O và T C là tiếp tuyến của (O).
Bài 7. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B với A, B là hai tiếp điểm.
Qua A vẽ đường thẳng song song với M B cắt (O) tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D. Nối
A với D cắt M B tại E. Chứng minh rằng: a) △ABE △BDE; b) △M EA △DEM ;
c) E là trung điểm của M B. 66/84 66/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 67
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Baâi söë
2 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG - BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Góc có đỉnh bên trong đường tròn A n C ○ M ÷
BM D có đỉnh bên trong đường tròn. ⌢ ⌢ ○ ÷
BM D chắn hai cung AnC và DmB. O 1 ⌢ ⌢ ○ Ä ä ÷ BM D = sđBmD + sđAnC . 2 B D m
2 Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn B ○ ÷
BM D có đỉnh bên ngoài đường tròn. A ⌢ ⌢ m ○ ÷
BM D chắn hai cung AnC và BmD. n O 1 ⌢ ⌢ M ○ Ä ä ÷ BM D = sđBmD − sđAnC . 2 C D B – BÀI TẬP
Bài 1. Tính số đo x trong các hình vẽ sau: D B A x A E O O 15◦ x M 100◦ 70◦ B C 45◦ D C Hình a) Hình b) 67/84 67/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 68 3. Tứ giác nội tiếp
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu A C 50◦ E x O 15◦ B D Hình c)
Bài 2. Cho (O) và dây AB, C là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ dây CDcắt dây AB tại E, lấy F
thuộc cung nhỏ BD. Gọi K là giao điểm của DC và BF , I là giao điểm của DA và CF . Chứng minh rằng: a) ’ DIF = ’ DKF ; b) ’ AED = ’ DF C.
Bài 3. Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Qua điểm M thuộc cung
nhỏ AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt CD tại I. Gọi E là giao điểm của BM và CD.
a) Chứng minh rằng IM = IE.
b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh rằng ’ AF C = ÷ ABM . Baâi söë 3 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. cVí dụ 1. B N A M C O P I Q D
ABCD là tứ giác nội tiếp
M N P Q không là tứ giác nội tiếp 2 Tính chất
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì 68/84 68/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 69
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu b
1. Hai góc đối bù nhau: ’ BCD + ’ BAD = 180◦ D
2. Góc ngoài bằng góc đối trong: A ‘ DAb = ’ BCD
3. Hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau: ’ BAC = ’ BDC B C
3 Bốn phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
1. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm. B Xét tứ giác ABCD có A OA = OB = OC = OD C O
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn (O). D
cVí dụ 2. Cho tứ giác ABCD có “ D = “
B = 90◦. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
2. Tứ giác có hai góc đối bù nhau (tổng = 180◦). B Xét tứ giác ABCD có A “ B + “ D = 180◦ C O
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn. D
cVí dụ 3. Cho tứ giác ABCD có “ D = “
B = 90◦. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. Lời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69/84 69/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 70 3. Tứ giác nội tiếp
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □
3. Tứ giác có góc ngoài bằng góc đối trong. b Xét tứ giác ABCD có D A ’ DCB = ‘ DAb
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn. B C
4. Tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau. b Xét tứ giác ABCD có D A ’ BAC = ’ BDC
Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn. B C
4 Hai mô hình quen thuộc D A D A B C B C
(hai góc vuông đối diện nhau)
(hai góc vuông cùng nhìn một cạnh)
5 Cách xác định tâm của hai mô hình D A D A I B C B I C
(hai góc vuông đối diện nhau)
(hai góc vuông cùng nhìn một cạnh)
6 Sử dụng phương tích để chứng minh tứ giác nội tiếp D A
Dựa vào tam giác đồng dạng, ta chứng minh được
○ Nếu IA · ID = IB · IC thì ABCD là tứ giác nội tiếp.
○ Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì IA · ID = IB · IC. I B C 70/84 70/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 71
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Chứng minh hình chữ nhật, hình thang cân là các tứ giác nội tiếp.
Bài 2. Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho 1 DB = DC và ’ DCB = ’ ACB. 2
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong của “ B và b
C cắt nhau tại S, các đường phân giác ngoài của “ B và b
C cắt nhau tại E. Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp.
Bài 4. Cho tam giác cân ABC có đáy BC và b
A = 20◦. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm
C lấy điểm D sao cho DA = DB và ’
DAB = 40◦. Gọi E là giao điểm của AB và CD.
a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp. b) Tính ’ AED.
Bài 5. Cho △ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
a) BEDC là tứ giác nội tiếp. b) AD · AC = AE · AB. c) OA ⊥ DE.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M . Trên cung
nhỏ AM lấy điểm E (E khác A, M ). Kéo dài BE cắt AC tại F a) Chứng minh ÷ BEM = ’
ACB, từ đó suy ra tứ giác M EF C là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của M E và AC. Chứng minh AK2 = KE · KM .
Bài 8. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là giao điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: Tứ giác BF EC nội tiếp và OA ⊥ EF .
b) Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh: AB · KC = AK · BD suy ra AB · KC + AC · KB = AK · BC.
c) Vẽ CI ⊥ AK tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M I = M D
Bài 9. Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp
điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Gọi I trung điểm của AB. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc
với OI tại K đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: tứ giác ABOC nội tiếp và OK.OI = OH.OA.
b) Đường tròn (I) đường kính AB cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của BE và OA. Chứng minh: F đối xứng với O qua H.
c) Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp △AF B đi qua điểm K. 71/84 71/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 72
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Bài 10. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến M E, M F và cát tuyến M AB với (O)
(cát tuyến M AB không đi qua O). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt EF và EB lần lượt
tại C và D. Gọi N là trung điểm của AB.
a) Chứng minh OF M N và ON EM là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra năm điểm O, F , M , E, N cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh M E ∥ AD.
c) Chứng minh ACN F là tứ giác nội tiếp. d) Chứng minh AC = CD.
Bài 11 (HK2 Quận 8 năm 2018 - 2019). Cho △ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BDHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF . Chứng minh F DIE là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi N là giao điểm của AD và EF . Gọi M là giao điểm của EF và BC. Chứng minh N F · M E = N E · M F .
Bài 12 (HK2 Quận 10 năm 2018 - 2019). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm
trên đường tròn (O) (M khác A, B và không trùng với điểm chính giữa cung AB). Các tiếp tuyến của
(O) tại A và M cắt nhau tại P .
a) Chứng minh P AOM là tứ giác nội tiếp và P O ⊥ AM .
b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BM tại N . Chứng minh ’ P AN = ’ P ON và suy ra tứ
giác P OBN là hình bình hành.
c) Gọi Q, R, S lần lượt là giao điểm của P O và AN , P M và ON , P N và OM . Chứng minh ba điểm Q, R, S thẳng hàng.
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH Baâi söë 4 TRÒN, HÌNH QUẠT
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Chu vi hình tròn - Độ dài cung tròn - Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt
○ Chu vi hình tròn: C = 2πR. A
○ Diện tích hình tròn: S = πR2. πRn ○ Độ dài cung tròn: l = . l n◦ 180 O πR2n
○ Diện tích hình quạt: Squạt = . 360 C 72/84 72/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 73
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
2 Diện tích hình viên phân - Diện tích hình vành khăn
○ Hình viên phấn là phần được gạch chéo, có diện tích được tính bởi công A thức S = S m viên phân quạt AOB − S△AOB . O B R
○ Hình vành khăn là phần gạch chéo, có diện tích được tính bởi công thức R2 S = π R2 − R2 . vành khăn 1 2 O R1
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn
Cho đường tròn bán kính R. Khi đó:
○ Độ dài C của đường tròn là C = 2πR
○ Độ dài l của một cung là πRn l = 180 cVí dụ 1.
a) Tính độ dài cung 60◦ của một đường tròn có bán kính 2 dm.
b) Tính chu vi của một vành xe đạp có đường kính 650 mm. 2π ¤ a) ; b) 650π. 3
cVí dụ 2. Tính chu vi của đường tròn, biết:
a) Đường tròn có bán kính bằng 6 cm.
b) Đường tròn có đường kính bằng 8 cm. √
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng 2 3 cm. ¤ a) 12π; b) 8π; c) 2π. ⌢ πR ⌢
cVí dụ 3. Cho đường tròn (O; R), độ dài cung AB là . Tính sđAB. ⌢ ¤ sđAB = 45◦. 4 73/84 73/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 74
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 4 (Đề HKII Quận 12, năm 2018 - 2019).
Máy kéo công nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng,
bánh xe sau có đường kính là 189 cm và bánh xe trước có đường kính là 90
cm. Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng
thì xe đi được bao xa và bánh xe trước lăn được mấy vòng?
¤ Quãng đường xe đi được là 890π cm và bánh xe trước lăn được 21 vòng.
cVí dụ 5 (Đề HKII Quận 1, năm 2017 - 2018).
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên đường số 1
cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ các nửa
đường tròn có đường kính lần lượt là AB, BC, CA (xem
hình vẽ). Hai con robot chạy từ A đến C, con robot thứ nhất
chạy theo đường số 1 (nửa đường tròn đường kính AC), con đường số 2
robot thứ hai chạy theo đường số 2 (hai nửa đường tròn A B C
đường kính AB, BC). Biết chúng xuất phát cùng một thời điểm tại A và chạy cùng vận tốc không
đổi. Cả hai con robot cùng đến C một lúc. Em hãy giải thích vì sao?
Dạng 2. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn, hình viên phân, hình vành khăn
Cho đường tròn bán kính R. Khi đó:
○ Diện tích hình tròn là S = πR2
○ Diện tích hình quạt cung n◦ là πR2n S = 360
○ Để tích diện tích hình viên phân, ta lấy diện tích hình quạt trừ đi diện tích hình tam giác.
○ Để tính diện tích hình vành khăn, ta lấy diện tích hình tròn lớn trừ đi diện tích hình tròn nhỏ.
cVí dụ 1. Tính diện tích hình tròn, biết: a) Bán kính bằng 8 cm.
b) Đường kính bằng 12 cm.
c) Chu vi đường tròn đó bằng 18π cm.
¤ a) 64π cm2; b) 36π cm2; c) 81π cm2. ⌢
cVí dụ 2. Cho đường tròn (O;6 cm), trên đường tròn lấy cung AB có số đo 60◦. Tính diện tích
hình quạt AOB và diện tích hình viên phân cung AB.
¤ Squạt AOB = 6π cm2 và diện tích hình viên phân cung AB ≈ 3, 26 cm2. 74/84 74/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 75
Chương 3. Góc với đường tròn
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu cVí dụ 3.
Một vườn hoa hình tròn có bán kính OA = 5 m. Ở ngoài vườn, người ta
làm một lối đi chung quanh, diện tích lối đi bằng diện tích vườn hoa. Tính
chiều rộng AB của lối đi. O B A ¤ AB ≈ 2, 07 m.
cVí dụ 4 (Đề HKII Quận Bình Thạnh năm 2017 - 2018).
Trong hình vẽ bên, ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O có bán
kính bằng 4 cm. Hãy tính độ dài cạnh hình vuông và diện tích phần được tô
đậm trong hình vẽ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). √
¤ AB = 4 2 cm và diện tích phần tô đậm ≈ 36, 53 cm2.
cVí dụ 5 (Đề HKII Quận 8 năm 2017 - 2018).
Hoa văn trên một nền gạch bông là bốn đường tròn tiếp xúc nhau như
hình vẽ. Biết bán kính của các đường tròn đều bằng 0, 3 mét và tâm của
bốn đường tròn này lần lượt là A, B, C, D. Tứ giác ABCD là hình vuông.
Hãy tính diện tích phần in đậm được giới hạn bởi các cung tròn EF , F G,
GH và HE theo đơn vị centimet. (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
¤ Diện tích phần tô đậm ≈ 772, 57 cm2.
C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.
a) Tính diện tích hình tròn bán kính 5 cm.
b) Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 6 cm và có số đo cung là 60◦.
Bài 2. Tính diện tích hình vành khăn giới hạn bởi đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh 4 cm.
Bài 3. Cho đường tròn (O;3 cm) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến M A, M B ⌢
tới đường tròn. Biết ÷
AM B = 60◦, tính diện tích hình giới hạn bởi M A, M B và cung nhỏ AB. Bài 4.
Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 4 cm, các cung DE, EF , F D thuộc
ba đường tròn có bán kính 2 cm và có tâm lần lượt là ba điểm C, A, B. Tính
diện tích phần tô đen trên hình vẽ. 75/84 75/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 76
4. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Bài 5.
Một viên gạch hình vuông cạnh a (cm) có hoa văn như hình vẽ. M , N , P , A M B
Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, AB, BC, CD. Tính độ dài a biết
diện tích phần tô đậm là 200(4 − π) (cm2). Q N D P C Bài 6.
Cho đường tròn (O;R cm) nội tiếp hình vuông ABCD và ngoại tiếp hình A B
vuông M N P Q (như hình vẽ bên). Biết rằng BD = 12 cm, tính diện tích M phần tô đen. Q O N P D C 76/84 76/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 77
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu Chûúng 4
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU Baâi söë
1 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa
Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quanh cạnh CD cố
định, ta được một hình trụ có: A D D A ○ CD là trục;
○ AB là một đường sinh;
○ Hai đáy là hai đường tròn bằng nhau. B C C B
2 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ ○ Diện tích xung quanh Sxq = 2πrh ○ Diện tích toàn phần Stp = Sxq + S = 2πrh + 2πr2 hai đáy ○ Thể tích hình trụ V = Sh = πr2h
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Các bài tập tính toán liên quan hình trụ
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 1 (Bài 10/tr 112 - Sgk). Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của một hình trụ có chu vi hình tròn đáy là 13 cm và chiều cao là 3 cm.
b) Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 5 mm và chiều cao là 8 mm.
cVí dụ 2 (Bài 4/tr 110 - Sgk). Một hình trụ có bán kính đáy là 7 cm, diện tích xung quanh bằng
352 cm2. Tính chiều cao của hình trụ. 77/84 77/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 78
1. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 3 (Bài 6/tr 111 - Sgk). Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện
tích xung quanh của hình trụ là 314 cm2. Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ
(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
cVí dụ 4. Mặt cắt qua trục của một hình trụ là một hình vuông có diện tích là 100 cm2. Hãy tính
a) Diện tích xung quanh của hình trụ;
b) Thể tích của hình trụ.
cVí dụ 5. Một hình chữ nhật chu vi 50 cm và diện tích 150 cm2. Cho hình chữ nhật này quay
quanh một vòng tròn quanh một cạnh cố định. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ được tạo thành.
cVí dụ 6. Một thùng đựng nước hình trụ có chu vi đáy là 94,2 cm và thể tích bằng 18369 cm3.
Tính bán kính đáy và chiều cao của thùng.
cVí dụ 7. Một hộp bánh kẹo hình trụ có chiều cao 6 cm và diện tích toàn phần bằng 3 lần diện
tích xung quanh. Tính bán kính đáy của hộp này. 2
cVí dụ 8. Một hộp sữa bột có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng
chiều cao. Biết thể tích của 5
hộp sữa là 540π cm3. Tính diện tích vỏ hộp (kể cả nắp).
Dạng 2. Các bài toán thực tế
Sử dụng các công thức phần kiến thức trọng tâm. Đôi khi, hình tạo thành là hỗn hợp của nhiều
hình, khi đó ta cần tách hình hỗn hợp thành các bộ phận riêng biệt, tính thể tích của những bộ
phận ấy rồi cộng hoặc trừ các số đo đó.
cVí dụ 9. Một cây nến hình trụ cao 20 cm và có đường kính đáy 24 mm. Hỏi cây nến này có thể
thắp sáng được bao lâu nếu mỗi phút cháy hết 3,0144 cm3 nến?
cVí dụ 10 (Bài 7/tr 111 - Sgk).
Một bóng đèn huỳnh quang dài 1, 2 m, đường kính của đường tròn
đáy là 4 cm, được đặt khít vào một ống giấy cứng dạng hình hộp
(hình bên). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp. (Hộp
hở hai đầu, không tính lề và mép dán).
cVí dụ 11 (Bài 11/tr 112 - Sgk - Bài toán Ác-si-mét). Người ta nhấn chìm hoàn toàn một tượng
đá nhỏ vào một lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ. Diện tích đáy lọ thủy tinh là 12, 8 cm2. Nước
trong lọ dâng lên thêm 8, 5 mm. Hỏi thể tích của tượng đá là bao nhiêu. 78/84 78/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 79
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 12 (Bài 13/tr 113 - Sgk).
Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình bên (lỗ khoan
dạng hình trụ), tấm kim loại dày 2 cm, đáy của nó là hình vuông có
cạnh là 5 cm. Đường kính của mũi khoan là 8 mm. Hỏi thể tích còn lại
của tâm kim loại là bao nhiêu?
cVí dụ 13. Lõi của một cuộn chỉ có kích thước như hình vẽ bên. Tính thể tích của chỉ sau khi chỉ
được cuộn đầy vào lõi (làm tròn đến số thập phân thứ 2). 5 cm cm 8 1 cm
cVí dụ 14. Một viên than “tổ ong” hình trụ, có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao 10 cm. Trên mỗi
mặt đáy có 12 lỗ “tổ ong” ở vòng ngoài, có 6 lỗ “tổ ong” ở vòng trong và một lỗ ở chính tâm của
đáy. Chiều cao của lỗ đúng bằng chiều cao của viên than, đường kính mỗi lỗ là 1 cm. Tính thể tích
nhiên liệu của mỗi viên than.
cVí dụ 15. Trong xây dựng người ta thường dùng gạch lỗ để xây tường cho nhẹ. Mỗi viên gạch
dài 20 cm, rộng 10 cm và cao 5,5 cm. Dọc theo chiều dài mỗi viên, có hai lỗ hình trụ, mỗi lỗ có
đường kính 3,6 cm. Tính thể tích đất để làm mỗi viên gạch (không kẻ đến độ co của đất khi nung).
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 80π cm2 và thể tích là 160π cm3. Tính bán kính đáy
và chiều cao của hình trụ này.
Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 15 cm và diện tích toàn phần là 252π cm2. Tính bán kính đáy của hình trụ.
Bài 3. Một bình đựng nước hình trụ có bán kính đáy là 12 cm, chiều cao cột nước trong bình là 18 cm.
Người ta cho một hòn đá vào trong bình và ngập hoàn toàn trong nước, chiều cao của cột nước bây giờ
là 20 cm. Tính thể tích của hòn đá.
Bài 4. Một chậu hình trụ có chiều cao 7 cm. Biết diện tích đáy của chậu bằng diện tích xung quanh.
Hỏi chậu này có thể chứa được bao nhiêu lít nước?
Bài 5. Một lọ thuốc hình trụ đặt khít trong một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích là 200 cm3.
Tính thể tích của lọ thuốc hình trụ. Bài 6. 79/84 79/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 80
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
Một cái chai phía dưới là hình trụ chứa lượng nước có chiều cao 10 cm.
Người ta lật ngược chai lại thì phần chai không chứa nước là một hình trụ
có chiều cao 8 cm như hình vẽ bên. Tính thể tích của chai, biết rằng đường
kính của đáy chai bằng 10 cm. cm 8 cm 10 10 cm Bài 7.
Một cái hầm bi-ô-ga như hình vẽ bên. Phần trên là nửa hình trụ, phần dưới
là một hình hộp chữ nhật với các kích thước cho trên hình vẽ. Tính thể tích 22 hầm bi-ô-ga (lấy π = ). 7 m 1 m 1, 2 4 m
Bài 8. Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình vẽ bên. 11 cm cm 2 cm 7 6 cm
DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH Baâi söë 2
NÓN VÀ HÌNH NÓN CỤT
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa
Khi quay △AOC vuông tại O một vòng quanh cạnh OA cố A A
định ta được một hình nón có: ○ AO là đường cao;
○ AC là một đường sinh;
○ Đáy là đường tròn tâm O. C O D O C 80/84 80/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 81
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
2 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón ○ Diện tích xung quanh Sxq = πrl ○ Diện tích toàn phần Stp = Sxq + S = πrl + πr2 đáy ○ Thể tích hình nón 1 1 V = Sh = πr2h 3 3
3 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón cụt ○ Diện tích xung quanh R1 Sxq = π(R1 + R2)l l h ○ Diện tích toàn phần R S 2 tp = Sxq + S = π(R + R2 hai đáy 1 + R2)l + π R21 2
○ Thể tích hình nón cụt 1 V = πh R2 + R2 + R 1R2 3 1 2
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Các bài tập liên quan hình nón
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15 cm; AC = 8 cm. Quay tam giác này một
vòng quay cạnh AB cố định. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình thạo thành.
cVí dụ 2. Một hình nón có bán kính đáy là 5 cm và thể tích là 100π cm3. Tính diện tích toàn phần của hình nón này.
Dạng 2. Các bài tập liên quan hình nón cụt
Sử dụng công thức ở phần kiến thức trọng tâm.
cVí dụ 3. Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn có bán kính đường tròn miệng xô là 14 cm,
bán kính đáy xô là 9 cm và đường sinh là 25 cm.
a) Hỏi xô này có thể chứa được 10 lít nước không?
b) Tính diện tích tôn để làm chiếc xô này. 81/84 81/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 82
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 4. Hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) có AB = 30 cm; CD = 54 cm và đường cao
AH = 9 cm. Cho hình thang này quay một vòng quanh cạnh đáy CD. Hãy tính
a) Thể tích của hình tạo thành;
b) Diện tích mặt ngoài của hình tạo thành.
Dạng 3. Các bài toán thực tế
Sử dụng các công thức phần kiến thức trọng tâm. Đôi khi, hình tạo thành là hỗn hợp của nhiều
hình, khi đó ta cần tách hình hỗn hợp thành các bộ phận riêng biệt, tính thể tích của những bộ
phận ấy rồi cộng hoặc trừ các số đo đó.
cVí dụ 5 (bài 15 sgk - tr117).
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ,
cạnh của hình lập phương bằng 1. Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón; b) Độ dài đường sinh.
cVí dụ 6 (bài 21 sgk - tr118).
Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ bên. Hãy tính
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
cVí dụ 7 (bài 21 sgk - tr118).
Hình bên cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm
theo (OA = OB). Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
cVí dụ 8 (bài 27 sgk - tr119).
Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình
nón. Các kích thước cho trên hình bên. Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này;
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp). 82/84 82/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 83
Chương 4. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
cVí dụ 9 (bài 28 sgk - tr120).
Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước
cho ở hình bên (đơn vị: cm).
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô;
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Người ta cuộn một tấm bìa hình quạt có bán kính 24 cm và số đo cung tròn là 270◦ được một
hình nón rồi dán hai mép lại với nhau. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 2. Một hình nón có bán kính đáy là 40 cm. Cắt hình nón này bằng một mặt phẳng song song với
đáy ta được được một hình nón cụt có bán kính đáy nhỏ là 24 cm và đường cao là 30 cm. Hãy tính:
a) Độ dài đường sinh của hình nón cụt.
b) Diện tích xung quanh của hình nón cụt.
c) Thể tích của hình nón cụt bị cắt ra.
Bài 3. Một hình nón có thể tích là 24 cm3. Cắt hình nón này bằng một mặt phẳng song song với đáy,
đi qua trung điểm của đường cao. Tính thể tích của hình nón cụt được tạo thành.
Bài 4. Một hình nón có số đo nữa góc ở đỉnh là 30◦. Chứng minh rằng hình nón này có diện tích xung
quanh bằng hai lần diện tích đáy.
Bài 5. Một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là 15 cm, chiều cao là 16 cm. Từ khúc gỗ này người ta
tiện bỏ đi một hình nón có đáy là đáy của hình trụ và đỉnh là trung điểm của trục hình trụ.
a) Tính thể tích của phần còn lại của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt ngoài của phần còn lại của hình trụ. Baâi söë 3
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU
A – KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa
○ Khi quay nửa hình tròn (O; R) một vòng quanh đường kính A AB A
cố định thì được một hình cầu.
- Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu. O O B B 83/84 83/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956 84
3. Diện tích và thể tích của hình cầu
Lớp Toán Thầy Dũng – Tạ Quang Bửu
2 Diện tích - Thể tích hình cầu
○ Diện tích mặt cầu S = 4πR2 hay S = πd2 (R là bán kính; d là đường kính). 4
○ Thể tích hình cầu V = πR3. 3
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 84/84 84/84
Thầy Nguyễn Ngọc Dũng – 0976.071.956
Document Outline

  • I Đại số
    • Căn bậc hai. Căn bậc ba
      • Căn bậc hai
      • Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương
      • Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
      • Căn bậc ba
      • Ôn tập chương 1
      • Hàm số. Hàm số bậc nhất
        • Hàm số, hàm số bậc nhất
        • Đường thẳng song song - Đường thẳng cắt nhau
        • Hệ số góc của đường thẳng y=ax+b (a=0)
        • Các bài tập tổng hợp
        • Các bài toán thực tế ứng dụng hàm số
        • Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
          • Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
          • Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
          • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
          • Hàm số y=ax2 (a=0)-.4. Phương trình bậc hai
            • Hàm số y=ax2-.4, (a=0)-.4
            • Phương trình bậc hai một ẩn
            • Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
            • Phương trình quy về phương trình bậc hai
            • Giải bài toán bằng cách lập phương trình
            • II Hình học
              • Hệ thức lượng trong tam giác vuông
                • Hệ thức lượng trong tam giác vuông
                • Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
                • Ứng dụng thực tế
                • Đường tròn
                  • Sự xác định đường tròn
                  • Đường kính và dây của đường tròn
                  • Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
                  • Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
                  • Góc với đường tròn
                    • Góc ở tâm - Góc nội tiếp - Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
                    • Góc có đỉnh bên trong - bên ngoài đường tròn
                    • Tứ giác nội tiếp
                    • Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt
                    • Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
                      • Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ
                      • Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón và hình nón cụt
                      • Diện tích và thể tích của hình cầu