Mối quan hệ giữa Triết học và Toán học - Tiểu luận môn Triết học Mac-Lenin | Trường Đại học Đồng Tháp
Mối quan hệ giữa Triết học và Toán học - Tiểu luận môn Triết học Mac-Lenin | Trường Đại học Đồng Tháp. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 24 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Triết học Mác - Lênin (GE40383)
Trường: Đại học Đồng Tháp
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích 2 CHƯƠNG 1
MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC 3
1.1. Thời kỳ toán học sơ khai 3
1.2. Thời kỳ toán học với các đại lượng bất biến 4
1.3. Thời kỳ toán học với các đại lượng biến đổi 5
1.4. Thời kỳ toán học với các vần đề cấu trúc 6 CHƯƠNG 2
Ý NGHĨA CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC – VẬN DỤNG TRIẾT HỌC
TRONG DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN 8
2.1. Cung cấp phương pháp cho việc nghiên cứu toán học và định hướng sự phát triển Toán học 8
2.1.1. Phép biện chứng duy vật với sự phát triển Toán học 8
2.1.2. Triết học định hướng cho sự phát triển của Toán học 12
2.1.3. Mâu thuẫn – Động lực phát triển Toán học 12
2.1.4. Chủ quan và khách quan trong Toán học 14
2.2. Triết học với các kí hiệu Toán học 17 KẾT LUẬN 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 1 PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học vốn đã gắn liền với thực tiễn và đó cũng là vấn đề cốt lõi nhất của Toán
học. Một trong những minh chứng cụ thể nhất là môn Hình học được xuất phát từ nhu
cầu đo đạc đất đai ở Ai Cập cổ đại. Tuy nhiên, đã có rất nhiều triết gia nổi tiếng của Hy
Lạp lại không đồng tình quan điểm trên, mà chỉ xem Toán học chỉ đơn thuần là công cụ
để giải quyết các vấn đề thực tiễn tầm thường. Theo Platon, học toán là sự chuẩn bị lý
tưởng cho tư tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sự vật thông thường
để chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy – những con số, những hình ảnh
hình học và những tỉ lệ.
Theo lập trường của Platon đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của
Toán học, còn mãi cho đến ngày nay. Người học trò của Platon là nhà triết học Aristoteles
đã đồng ý với thầy của mình rằng toán học có giá trị như một tri thức, hoàn toàn không
kể đến ứng dụng thực tiễn, nhưng ông phản đối mạnh mẽ ý kiến nói Toán học được coi là
mẫu mực cho tất cả tri thức triết học. Ông lấy làm khó chịu thấy những học trò khác của
Platon đồng nhất hóa toán học với triết học, và các sinh viên khoa triết sẽ không lắng
nghe giảng viên nào không trình bày tư tưởng của mình bằng hình thức toán học. Theo
triết học Aristoteles, mỗi khoa học có một phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng
chính yếu của nó và do đó, phương pháp toán học không nên áp dụng trong các khoa học khác.
Nếu triết học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì
Toán học nghiên cứu về những đối tượng, mối quan hệ và các tính chất bất biến của nó.
Điều đó cho chúng ta thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ và gắn liền
với nhau. “Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người trong
cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lai, phản ánh và tồn tại không lệ
thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng của toán học đều có đặc điểm như vậy. Thế giới
quan của Toán học như thể một thế giới quan vật chất thu nhỏ mà trong các đối tượng
toán học như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng.
Trong nhiều thế kỷ qua, toán học đã có những biến đổi to lớn trong cuộc tranh luận
lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Khi chúng ta học phép tính vi phân, tích
phân, nguyên hàm,….rồi chúng ta cũng đã biết được một vài ứng dụng của nó. Có khi
nào chúng ta lại tự hỏi rằng tại sao có số dương thì lại có số âm, có số hữu tỉ thì lại có số
vô tỉ, có các phép tính vi phân thì lại có các phép tính tích phân, có cái hữu hạn và có cái
vô hạn,….hay không?, các nhà toán học đã nghiên cứu rằng toán học nổi bậc như thế nào
mà có những phát minh vĩ đại như thế? Và đó có lẽ là câu hỏi chung của những người đã
từng nghiên cứu về các lĩnh vực liên quan đến toán hay đã từng học toán ở những cấp
học của giáo dục phổ thông. Vậy làm thế nào để trả lời được cho các câu hỏi này hay 2
phải chăng chúng ta có thể trả lời nó chỉ bằng những kiến thức toán học mà ta đã được
tích lũy trong quá trình học giáo dục phổ thông không hay bằng một cách nào khác
Lúc tôi còn học ở các cấp học của thời phổ thông cho đến học ở bậc cao đẳng, đại
học chúng tôi thường hay đặt những câu hỏi: “Học triết học để làm gì?”, “Triết học có
giúp được gì cho chúng ta ở tương lai hay không?” hay “Tầm quan trọng của triết học to
lớn như thế nào mà ở cấp bậc nào chúng ta cũng phải học nó?” Sau một thời gian ngắn
tôi đã nghiên cứu và tìm hiểu bộ môn triết học ở bậc cao học, đọc qua những tài liệu liên
quan đến triết học tôi đã nhận ra rằng Triết học và Toán học có một mối quan hệ biện
chứng sâu sắc với nhau. Từ khi ra đời cho đến thời đại ngày nay trải qua hàng ngàn năm
lịch sử Triết học và Toán học luôn song hành, như đôi bạn cùng tiến không thể tách rời
nhau trên con đường phát triển của mình. Là một học viên chuyên ngành Toán tôi đã
nhận thức sâu sắc rằng tôi cần nghiên cứu “Mối quan hệ giữa triết học và toán học - Ứng
dụng triết học trog quá trình dạy học bộ môn Toán” nhiều hơn nữa. Tất cả những điều đó
sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình thực hành công việc dạy học và phát triển sự nghiệp của tôi về sau. 2. Mục đích
Trình bày về mối liên hệ giữa Toán học và Triết học, tìm hiểu ý nghĩa của một số
vấn đề Toán học. Cụ thể đó là nêu lên vai trò của toán học đối với sự hình thành thế giới
quan duy vật, các nhà Toán học đã sử dụng triết học để nghiên cứu toán học như thế nào.
Ý nghĩa triết học của một vài vấn đề toán học được cụ thể như sau: triết học và các kí
hiệu của toán học, triết học khoa học của định luật bảo toàn Godel. Từ đó đưa ra một số
con đường đề vận dụng Triết học trong quá trình dạy và học bộ môn Toán. 3 CHƯƠNG 1
MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC
Chúng ta đã biết rằng từ khi ra đời cho đến nay Triết học có mối liên hệ chặt chẽ,
khắng khít và tác động qua lại lẫn nhau đối với các môn khoa học cụ thể nói chung và
đối với bộ môn Toán học nói riêng. Mối liên hệ giữa Triết học và Toán học đó là mối
quan hệ biện chứng tác động qua lại lẫn nhau, những nội dung của Toán học là minh
chứng hùng hồn cho các nguyên lý, quy luật mà chủ nghĩa Mác – xít đã trừu tượng và
khái quát hóa từ hiện thực đến khách quan, từ những cơ sở toán và những khoa học khác.
Triết học đóng vai trò là kim chỉ nam cho sự phát triển của toán học, đến lượt mình thì
toán học có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển thế giới quan triết
học mà cụ thể nhất là thế giới quan duy vật.
Sự phát triển của tri thức trong Toán học đã mang tính biện chứng sâu sắc nhất, bao
quát nhất, do đó nó là quá trình vừa kế thừa cái cũ vừa phát huy cái mới về vật chất qua
các thời kỳ khác nhau của lịch sử hình thành. Vì vậy, các tri thức toán học ở thời kỳ sau
chung hơn, sâu sắc hơn, đa dạng hơn,…so với thời kỳ trước đây và bao quát nó như là
một trường hợp riêng. Vậy qua các thời kỳ phát triển của lịch sử loài người, toán học đã
góp phần hình thành luận chứng cho các thế giới quan duy vật nói chung và mối liên hệ
của triết học biện chứng nói riêng như thế nào?
1.1. Thời kỳ toán học sơ khai
Ngay từ thời đầu hình thành con người chúng ta sống theo tập tục bầy đàn, hái
lượm, săn bắn để nuôi sống bản thân, đời sống vật chất cũng như đòi hỏi những cân đối,
đồng bộ trong việc phân công, sản xuất, sử dụng các công cụ khác nhau, phân chia các
sản phẩm. Nhu cầu đó đòi hỏi chúng ta thực hiện hằng ngày như những ánh xạ của các
tập hợp khác nhau. Với trí thông minh đó, con người chúng ta đã cải tiến việc thực hiện
ánh xạ trực tiếp bằng cách tạo ra, sáng tạo ra các số tự nhiên và các phép đếm cơ bản.
Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về cân đối, đồng bộ càng tăng, chỉ đếm thì lại
chưa đủ, mà cần phải cân, đong, đo, so sánh, sắp xếp thứ tự,…. Ban đầu, nhu cầu của độ
chính xác còn thấp, số lượng quá trình của công việc đong, đo, đếm, ước lượng thì chưa
nhiều, mà người ta còn có thể đong, đo trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm như
dùng nước hay cát để đong, đo mà so sánh các thể tích khác nhau. Việc này đã làm thay
đổi nảy sinh nhu cầu phải nghiên cứu các hình, và phải bổ sung vào một tự nhiên một
loại số mới đó chính là phân số. Ví dụ rằng, việc đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lũ lụt của
con sông Nile (Ai Cập), chính nó đã khiến cho lưu vực sông Nile là cái nôi để sản sinh ra
môn hình học; việc sử dụng cát để đong nhiều khi lại thuận lợi hơn khi là chúng ta dùng
nước hay một số các loại chất lỏng khác vì dụng cụ chứa cát không thật kín mà cát vẫn
không thể nào chảy ra ngoài được; có lẽ vì vậy ngày xưa ông cha ta đã hình thành nên từ
“hình học cát”. Tuy nhiên thời kỳ đó chưa có lý luận chính xác về Toán học. Chính giai 4
đoạn này chúng ta có thể gọi là giai đoạn sơ khai của toán học hay “toán học sơ khai”,
chúng bắt đầu từ những năm của giai đoạn tiền sử và kết thúc vào khoảng vài thế kỷ trước công nguyên.
1.2. Thời kỳ toán học với các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ XVII)
Vào đầu thời kỳ này đã ghi nhận sự đóng góp to lớn của các nhà toán học – triết học
Hy Lạp cổ đại, trong đó có Pythagoras – ông được biết đến như một nhà khoa học và
toán học vĩ đại, đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế
kỷ thứ 7 TCN và ông cũng được biết đến là cha đẻ của số học. Ông cùng các cộng sự
thân thiết của mình đã nghiên cứu về những con số, ông đã nhận ra đặc trưng của “số
hoàn hảo” hay còn gọi tên khác là số hoàn thiện, số hoàn chỉnh,…là số tự nhiên bằng
tổng các ước số của nó, chẳng hạn như các số sau 6=1+2+3, 28=1+2+4+7 1 + 4,
… mối liên hệ giữa hai số bạn bè hay (thân thiết) khi chúng tuân theo quy luật: “Số này
bằng tổng tất cả các ước của số kia (trừ chính số đó) và ngược lại”. Cặp số thân thiết đầu
tiên được tìm ra và cũng được chứng minh là cặp “số thân thiết” nhỏ nhất là cặp số 220
và 284. Số 220 ngoài bản thân nó ra, nó còn có 11 ước số
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 . Tổng của 11 ước số này vừa đúng bằng 284. Ngược lại,
số 284 ngoài bản thân nó, nó còn có 5 ước số khác là: 1,2,4,71,142, tổng của chúng
cũng vừa bằng đúng 220. Pythagoras đã tìm ra được hai số hoàn thiện là 6 và 28, và chỉ
tìm được một cặp số bạn bè là 220 và 284. Mãi mê nghiên cứu về các con số Pythagoras
tuyệt đối hóa các con số, đó chính là khởi nguyên của thế giới, đây cũng chính là quan
điểm duy vật nhưng đó là quan điểm ngây thơ chất phác mà thôi.
Cũng trong thời kỳ này toán học đóng góp trong việc hình thành cơ sở của logic
hình thức mà cụ thể nhất đó là hình thức tư duy logic chính của Aristoteles đãn đề cập
đến sự phán đoán, khái niệm và các quy tắc suy luận như là quy luật đồng nhất có nghĩa
là A là A hay A º A , luật không mâu thuẩn, luật bài trùng và quy tắc tam đoạn luận
logic…. Chúng ta đã thấy rằng “A là A” là bất cứ suy nghĩ nào trong quá trình suy luận
phải hoàn toàn giống với chính nó, nghĩa là nội dung của ý tưởng không nên thay đổi
trong quá trình hay hiểu nôm na là nó bất di bất dịch, không thay đổi từ đó kéo theo suy
nghĩ về sự bất biến của sự vật hiện tượng nói chung, nhưng theo quan điểm của duy vật
biện chứng chúng ta biết rằng vừa là nó vừa không phải là nó. Ví dụ như mối quan hệ
a= b, b= c suy ra a= ctuy nhiên khái niệm bằng này ở đây là bất biến, bất động và cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khoa học khác, cũng trong thời kỳ này nhưng chỉ có cơ
học và thiên văn học tương đối là phát triển. Toán học cũng đã thông qua hai khoa học
này góp phần vào cuộc cách mạng của Nicolaus Copernicus đã thay thế hệ địa tâm bằng
hệ nhật tâm. Chính vì sự phát triển của một loại thế giới quan mới đã gắn liền với cuộc 5
cách mạng mà nhà thiên văn học, toán học Nicolaus Copernicus thực hiện đòi hỏi phải có
một nền tảng toán học mang những tư tưởng mới về các chất ra đời. Tuy nhiên, trong thời
kỳ này còn có các quan niệm cơ học của nhà thiên tài Isaac Newton chi phối đến toán
học do cơ học của Newton lấy đi số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực
để tính được khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo nên cơ sở hình thành chủ nghĩa
duy vật siêu hình máy móc. Bên cạnh những thành tựu to lớn trong sự phát triển của số
học lẫn cả hình học cũng tạo ra mối quan hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện
chứng ngây ngô cổ đại. Chẳng hạn như những vấn đề có mối liên hệ gắn bó mật thiết và
không tách rời với nhau được như mối liên hệ giữa cái hữu hạn và cái vô hạn, quan hệ
giữa số thực và số ảo, quan hệ giữa cái đúng và cái sai, cái hiện tại và cái tương lai,….
Như vậy, cho dù bất cứ thời điểm nào trong thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng
góp một phần to lớn cho sự hình thành và phát triển tạo nên một số yếu tố biện chứng,
song nhìn chung lại chúng ta thấy nó chỉ dừng lại trong việc góp phần hình thành và củng
cố một phần thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do đó chúng ta đã
nhận thấy rằng sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn đến sự ra đời và phát
triển của toán học về những đại lượng biến đổi.
1.3. Thời kỳ toán học với các đại lượng biến đổi (từ thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX)
Trong thời kỳ này đó chính là thời kỳ đánh dấu sự tác động chuyển biến tích cực
đến sự phát triển nhanh chóng của Toán học, trước tiên là những tư tưởng về sự vận
động, các mối liên hệ mật thiết với nhau, được thúc đẩy phát triển sớm hơn các ngành
khoa học khác trong cùng thời kỳ. Nhà lý luận chính trị, nhà triết học Phri-đich Ăng-
ghen đã đánh giá rằng: “Đại lượng biến đổi Descartes đã đánh dấu một bước ngoặc trong
Toán học. Nhờ đó mà vận động biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân, tích
phân trở nên cần thiết”. Chính thời kỳ này đã đánh dấu sự ra đời của phép tính vi tích
phân, người ta đã dùng các khái niệm như hàm số, giới hạn, vô hạn, hữu hạn,…vì thế
toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan
trọng. Thí dụ như khái niệm hàm số biểu hiện mối liên hệ giữa các đại lượng với nhau,
phép lấy giới hạn biểu diễn mối liên hệ biện chứng của vô hạn và hữu hạn, cách tính hệ
số góc giữa tiếp tuyến và một dây cung cũng cho ta thấy được mối liên hệ với sự vận
động hay để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn của
những đường thẳng. Từ đây có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về mối liên hệ của toán
học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Chính tư tưởng vận động đã giáng
một đòn rất mạnh mẽ vào phương pháp siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về
tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. Khi chúng ta nhắc về toán học cao cấp thì
chúng ta nhớ Enghen đã viết rằng “Ở đây, các phạm trù đã bị chai cứng đã nung chảy,
toán học thâm nhập vào một phạm vi mà ở đó ngay cả những quan hệ đơn giản như quan
hệ về số lượng trừu tượng, cái vô hạn xấu xí, cũng nhận được một hình thức hoàn toàn 6
biện chứng và buộc các nhà toán học trở thành nhà biện chứng một cách tự phát và trái với ý muốn của họ”.
Bên cạnh đó sự ra đời và phát triển của phép tính vi phân, toán học giải tích đã tạo
ra cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật,
quá trình trong tự nhiên. Cũng trong thời kỳ này đã xuất hiện ra một loại hình học mới đó
chính là hình học phi Euclide do hai nhà toán học Boyai và Lobalepski độc lập tìm ra và
đã chấm dứt thời kỳ thống trị của hình học Euclide trong một thời gian dài. Hình học về
cái bất biến cố định được thay thế bằng một ngành hình học mới trừu tượng hơn và mang
tính vận động sâu sắc hơn. Ví dụ như, trong hình học Euclide thì tổng ba góc trong một
tam giác luôn bằng 180o, còn khi đó hình học Boyal – Lobalepski thì tổng ba góc trong
một tam giác nhỏ hơn 180o.
Một thành tựu quan trọng khác của toán học trong thời kỳ này chính là sự ra đời
của tư tưởng thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại
khách quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà còn có
những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên có mỗi liên hệ chặt chẽ, mật thiết và bổ
sung cho nhau. Tư tưởng thống kê – xác suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và
chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt
hơn hẳn quan điểm quyết định lý luận chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật
chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại
cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình
thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật
biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất định. Nó
chưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sản
xuất tự động hoá, của sự phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang
khoa học liên ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học
tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán.
1.4. Thời kỳ toán học với các vấn đề về cấu trúc (từ cuối thế kỷ XIX đến nay)
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật nhất của toán học thời kỳ này chính là
tư tưởng cấu trúc. Khái niệm cấu trúc trở thành khái niệm đơn giản. Thực chất của tư
tưởng này là cho phép chúng ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái quát hóa các đối
tượng cơ bản rất khác nhau và để vạch ra quy luật chung của chúng. Chính vì lẽ đó,
khuynh hướng đưa ra định nghĩa có tính chất cấu trúc cho chính khái đối tượng của toán
học. Nhóm các nhà toán học N. Buobaki đã phân biệt ra ba dạng cơ bản của cấu trúc đó
là: cấu trúc đại số, cấu trúc thứ tự và cấu trúc topo, trong đó các khái niệm trực quan lân
cận, giới hạn và liên tục được thể hiện dưới dạng toán họ. Chúng xuất hiện hầu như trong
tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất có tính trọng tâm. 7
Thực chất ra của tư tưởng này là cho ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái quát các đối
tượng cơ bản rất khác nhau để vạch ra quy luật chung nhất của chúng. Nói theo ngôn
ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản
chất khác nhau. Ví dụ như cùng một phương trình có thể biểu diễn sự phân hủy chất
phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế… Có thể nói rằng tư
tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp
như logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế… Từ đó cho
chúng ta thấy rằng sự ra đời sự ra đời của tư tưởng cấu trúc của toán học phản ánh sâu
sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất của toán học về thế giới quan triết
học ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự
thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó.
Tóm lại, từ toàn bộ sự phân tích trên chúng ta đã rút ra một số kết luận như sau:
Toán học các đại lượng bất biến là cơ ở cho sự ra đời của chủ nghĩa duy vật máy
móc, siêu hình. Nó có ý nghĩa tích cực đối với sự phát triển của khoa học ở giai đoạn
đầu. nó cũng góp phần khẳng định thế giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.
Toán học là đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một trong các
nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho
thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh.
Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng
trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần củng cố hoàn thiện và phát
triển thế giới quan duy vật biện chứng.
Đồng thời cũng phải thấy rằng, mặc dù toán học mang tính độc lập tương đối của tư
duy trừu tượng và hình thức, triết học duy vật biện chứng luôn luôn là cơ sở thế giới quan
và phương pháp luận đúng đắn cho sự phát triển của toán học
Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của toán học góp phần
vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới quan khoa học mà nền tảng
của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy vật biện chứng nói riêng. Mối quan hệ
giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật
trong tiến trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải cách giáo dục ở phổ
thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế giới quan duy vật biện chứng
trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp cho thế hệ trẻ có một cách nhìn, cách xem xét
hiện thực, thực tiễn hơn về lĩnh vực chuyên môn của mình. Từ đó tạo ra hiệu quả cao
nhất trong học tập và công tác. 8 CHƯƠNG 2
Ý NGHĨA CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC – VẬN DỤNG
TRIẾT HỌC TRONG DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
2.1. Cung cấp phương pháp cho việc nghiên cứu toán học và định hướng sự phát triển Toán học
2.1.1. Phép biện chứng duy vật với sự phát triển Toán học
Khi chúng ta nhắc đến toán học, điều đầu tiên mà chúng ta phải nghĩ đến và nói đến
là các con số, sự phát triển của toán học cũng gắn liền với sự phát triển của những con số,
đó cũng chính là một quá trình lâu dài, phức tạp trong đó ẩn chứa rất nhiều sự giúp đỡ
của phép duy vật biện chứng mặc dù các nhà toán học trong thời kỳ đó chưa nhận ra. Do
đó, chủ nghĩa duy vật trong Toán học cho chúng ta thấy rằng sự xuất hiện của Toán học
là kết quả của sự phản ánh các sự vật, hiện tượng trong thế giới hiện thực. Những con số
và kích thước hình học trong toán học không phải là kết quả của sự phản ánh số lượng và
hình dáng của các sự vật trong hiện thực. Theo các nhà duy vật, không có số lượng chung
chung, thuần túy tách rời các sự vật và ngay cả kích thước (chiều dài, chiều rộng, chiều
cao) cũng không phải là sự phản ánh không gian của các vật thể trong thế giới hiện thực.
Ngay cả các toán tử toán học, biểu thức toán học, các quy luật toán học,… đề xuất phát
từ thế giới hiện thực. Thật vậy, chúng ta có thể dẫ chứng như sau:
Những con số hay tập hợp số: một hộp bút có 12 cây bút, một trận đá banh khi ra
sân có 11 cầu thủ, một lớp học gồm có 40 học sinh, một tạ gạo là 100 kg gạo,… những
con số 12, 11, 40, 100 là những con số ngẫu nhiên và khách quan. Nếu con người không
tự khám phá ra thì tự bản thân nó vẫn mang là bản chất là 12, 11, 40, 100, chỉ có một
điều nó vẫn chưa được gán cái tên là “12”, “11”, “40”, “100”,…. Như vậy, trước khi con
người tìm ra những con số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan, việc con
người tìm ra, khám phá những con số thì nó vẫn chỉ mang tính chất sao chép, định dạng
lại cho phù hợp với nhu cầu của con người trong cuộc sống.
Các loại hình của hình học trong môn toán học như: khuôn bánh chưng hình vuông,
mảnh vườn hình chữ nhật, các mẫu trang trí hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn,…,
mặt trời có hình tròn, quỹ đạo chuyển động của các hành tinh xung quanh mặt trời là
hình elip, đường chuyển động của một viên pháo hoa được bắn mỗi dịp Tết, lễ hội lớn,… 9
được bắn từ mặt đất lên là một đường parabol, đường thể hiện sự giao thoa của hai sóng
nước có cùng biên độ và chu kì chính là các đường hyperbol,…. Rõ ràng khi chúng ta
nhìn thấy các hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác, hình tròn, hình elip, parabol,
hyperbol,…đều có trước khi con người khám phá ra chúng. Và chính chúng ta là những
người đã định dạng lại và gọi tên của nó theo quy định, do đó ở mỗi quốc gia, mỗi vùng
lãnh thổ, mỗi dân tộc đều có cách gọi tên khác nhau, theo ngôn ngữ của quốc gia, dân tộc mình.
Phương trình: nó vẫn có sẳn trong thực tiễn, đó chính là những tình huống, những
bài toán cần tìm ra một đối tượng nào đó,…
Hình lập phương: trong thực tiễn hình lập phương, cho dù con người có khám phá
ra nó hay chăng đi nữa thì nó vẫn tồn tại và mãi mãi vẫn chính là hình lập phương.
“Hai góc so le trong thì bằng nhau”, “Hai góc đồng vị thì bằng nhau”, “Hai góc
trong cùng phía thì phụ nhau”, “hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng
giữa hai góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía, đối đỉnh. Tất cả các định lý, tính chất
đều thể hiện mối liên hệ biện chứng trong đó.
Con người đã nghiên cứu thực tiễn, khái quát hóa nên các đối tượng ấy…. Chỉ
khác, là vốn ban đầu, các đối tượng đó chưa được gọi tên là “hàm số – đồ thị”, “tập số”,
“phương trình”, “hình lập phương”,…. Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học đã
nói “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con người, không ai sáng tạo ra và không
ai có thể tiêu diệt được”.
Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiện tượng trong
sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và phát triển không ngừng của
chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là phương pháp luận biện chứng. Khi chứng
minh, đương nhiên các sự vật (ở đây là các đối tượng toán học) được nhà toán học dựa
trên sự ràng buộc giữa chúng, và trong sự vận động không ngừng. Ví dụ khi chứng minh
một bất đẳng thức thì các số a, b, c trong chứng minh đó hoặc là cùng thuộc ¡ , hoặc là
cùng số dương… sự ràng buộc đó cũng có thể là những điều kiện kèm theo trong bất
đẳng thức. Liên quan đến việc chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba là sự
vận động (phát triển) cho một tập hợp số mới đó là tập số phức.
Toán tử toán học: các toán tử (phép toán) trong toán học như các phép toán sau “+”,
“-”, “x”, “:”, hay phép giao, phép hội, phép bù,… tất cả đều xuất phát từ thực tế. Các con
số ra đời một cách ngẫu nhiên từ nhu cầu của cuộc sống cong người trong việc đếm các
sự vật cụ thể như số thú săn bắt được hay số trái cây nhặt được,…và đó là các số 1, 2, 3,
… được gọi là các số tự nhiên (số 0 đã được người Ấn Độ phát minh ra sau này), sự ra
đời của các con số giúp cho sự phát triển toán học và cũng từ đó các phép tính cũng phát
triển nhanh chóng mà trước hết là các phép toán cơ bản như cộng , trừ, nhân, chia. Ví dụ
như phép toán “1+2= 3” : trong phép cộng nói trên thì 3 số 1, 2, 3 có quan hệ biện 10
chứng với nhau. Trong tập hợp số tự nhiên người ta có thể thực hiện phép trừ 3- 2 được
kết quả là 1 vì 1+2= 3 , nhưng rồi người ta cũng nhận ra rằng khi thực hiện ngược lại
2- 3 thì không có một số tự nhiên nào cộng 3 được kết quả là 2 cả, tức là phép trừ
không thể thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên, người ta còn thấy rất nhiều phép trừ
không thể thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên. Mâu thuẩn đã xuất hiện và yêu cầu đã
đặt ra là làm thế nào để giải quyết được mâu thuẩn này. Để giải quyết được mâu thuẩn
này người ta đã đi đến việc định nghĩa một loại số mới đó chính là số nguyên âm như
- 1;- 2;- 3;...số nguyên âm và số tự nhiên tạo thành một tập hợp mới ra đời đó là số
nguyên mà trên đó có thể thực hiện được bất cứ phép trừ nào. Rõ ràng đây là quá trình
phủ định của phủ định, cái mới ra đời (số nguyên) ở một trình độ cao hơn và bao gồm cái cũ (số tự nhiên).
Số nguyên âm và số nguyên dương được xem là hai mặt đối lập của một vấn đề
chúng vừa mâu thuẩn vừa thống nhất với nhau. Và tất nhiên chính sự ra đời của số
nguyên cũng có ý nghĩa rất quan trọng trong việc phát triển nền Toán học hiện đại và đã
được ứng dụng vào thực tế. Các con số ngày càng được mở rộng thông qua việc để giải
quyết các mâu thuẩn nội tại bên trong sự phát triển của nền toán học. Quá trình phủ định
của phủ định dẫn tới việc ra đời khái niệm về các con số cho dù đó là một quá trình lâu
dài và phức tạp. Sự ra đời của số nguyên đã dẫn đến sự ra đời của các tập hợp số mới đó
chính là số hữu tỉ, số thực và mang tính trừu tượng cao nhất đó chính là sự ra đời của số
phức (số ảo). Chính các số mới ra đời mang tính trừu tượng cao hơn và ứng dụng nhiều
hơn trong thực tế, tuy nhiên nó không mâu thuẩn với định nghĩa của các khái niệm trước
như một trường hợp riêng chẳng hạn như số nguyên được coi là một phân số có mẫu bằng 1…
Hơn nửa ngay cả hệ thống số của chúng ta cũng thấy được cặp phạm trù hệ thống –
yếu tố. Mỗi tập hợp số vừa là hệ thống của các tập hợp có cấp độ thấp hơn, vừa là yếu tố
của tập hợp số khác có cấp độ cao hơn. Nói rộng hơn tất cả các công thức trong toán học
đều thể hiện mối liên hệ biện chứng.
Biểu thức toán học: các công thức toán học, phương trình toán học, đồ thị – hàm số
là biểu thị mối liên hệ giữa các đối tượng vật chất toán học như các con số hay toán tử
toán học. Nó cũng là một dạng vật chất, xuất phát từ thực tiễn, đó là những tình huống,
những bài toán cần tìm một đối tượng nào đó. Đối với các công thực toán học ví dụ như
cần tính chu vi của một bánh xe ta có được công thức tính chu vi hình tròn, có chiều dài,
chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật thì ta sẽ tính được chu vi, diện tích của hình nhữ
nhật,…. Còn đối với phương trình toán học thì thí dụ như việc xuất phát từ bài toán cần
tìm số bạc mà người thợ kim hoàng đã trộn trong chiếc vương miện của nhà vua,…. Tất
cả những việc đó đã có sẳn trong thực tế chỉ chờ con người khám phá lại và định dạng
cho con người có thể hiểu được. 11 Hàm số – đồ
thị: tất cả các mỗi liên hệ trong thực tiễn đều có liên quan tương ứng
với một điều đó chính là mỗi liên hệ của “hàm” (có thể hiểu theo nghĩa hẹp hơn đó là
“hàm số”. Chẳng hạn như mỗi căn nhà đều có một số nhà hay địa chỉ khác nhau để phân
biệt, mỗi người có chỉ có một dãy số chứng minh nhân dân hay căn cước công dân để
phân biệt,…hay cụ thể nhất mà chính chúng ta thấy hằng ngày đó chính là sự biến đổi
tăng giảm của giá vàng, giá ngoại tệ, hay sự thay đổi về nhiệt độ hằng ngày, thời tiết, dân
số, sự tăng trưởng qua các năm khác nhau như số lượng học sinh, sinh viên mỗi năm,…
tất cả những ý vừa được nêu trên đó là đồ thị.
Các quy luật toán học Biểu số và hàm số Û
Những mệnh đề P Þ , P Q
Ví dụ như người phụ nữ không thể chạy marathon trong khoảng thời gian ngắn hơn
là 2 giờ 12 phút 41 giây; nam giới không thể chạy nước rút trong thời gian ngắn
hơn 8,48 giây,…không có thứ gì có thể di chuyển nhanh hơn vận tốc của ánh sáng,
…. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có điện tích lớn
nhất,…. Các quy luật này đều đã tồn tại mãi mãi trong thế giới hiện thực, dù cho
con người của chúng ta có biết tới nó hay không nữa thì nó vẫn đúng.
Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có
sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách quan”.
Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các đối tượng) là
cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có sau. Con người có khả năng
nhận thức được các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức này là từ phương pháp
luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương pháp luận biện chứng
cũng không thể tách rời nhau, mà chúng phải gắn bó chặt chẽ với nhau.
Ứng dụng trong dạy học
Phép cộng có thể xuất hiện từ những bài toán thực tế như cộng số tiền bán được từ
những món hàng bán được như rau, cá, thịt, củ, quả,...trong ngày hôm đó, hay cộng số
con gà, con vịt, con bò,… nuôi được trong trang trại. Phép trừ thì có thể chúng ta tính số
tiền lãi hằng ngày sau khi chúng ta tính tổng số tiền bán được trừ đi số tiền vốn ngày hôm
đó hoặc số tiền chi tiêu trong ngày ta lấy số tiền bỏ ra trừ số tiền còn lại,…còn phép nhân
là kết quả mà chúng ta lấy nhiều số hạng cộng lại, chẳng hạn như là một công ty nhập số
lượng lớn như 100 cây vải, mỗi cây vải nặng 10 kg thì đễ thuận tiện cho việc tính toán
người ta đã tìm ta phép nhân. Còn phép chia thì liên quan đến việc phân phát hàng hóa,
phân phát gạo cứu đói, phân phát bánh, kẹo,… tất cả đều có trong cuộc sống dù cho con
người có khám phá ra nó hay không, nó vẫn mãi mãi vậy.
Khi bắt đầu dạy cho học sinh những khái niệm về số âm, số hữu tỉ, số vô tỉ,… thì
một trong những khó khăn lớn nhất đó chính là việc tìm kiếm hình ảnh thực tế của những 12
con số này trong đời sống. Đây không hề là một nhiệm vụ đơn giản, bởi như chúng ta đã
đề cập ở những chương trước, nhiều khái niệm toán học mang tính trừu tượng, khái quát,
…. Do vậy, ở đây một phương hướng đề giúp học sinh tiếp cận những khái niệm này là
chính dùng lịch sử hình thành, nhu cầu tồn tại của chúng để học sinh có thể nắm bắt được
không chỉ là bản thân khái niệm mà còn hình thành mối liên hệ giữa toán học và thực tế của cuộc sống.
Quy luật mâu thuẩn và quy luật phủ định của phủ định mà chúng ta còn tìm thấy
nhiều trong sự phát triển của lịch sử toán học, sự hình thành các phép tính vi phân, sự ra
đời của lý thuyết tập hợp,…
Ngoài ra khi tìm hiểu về các phát minh toán học, mà ta còn thấy rất nhiều các nhà
toán học trong nước và ngước ngoài sử dụng rất nhiều các phương pháp để nghiên cứu,
phương pháp suy luận như các nguyên tắc sau: nguyên tắc quy nạp, diễn dịch, phân tích
tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…mà xuất phát của các nguyên tắc suy luận đó
chính là cặp phạm trù của chủ nghĩa duy vật biện chứng như: cái chung – cái riêng, bản chất hiện –
tượng, nội dung – hình thức, nguyên nhân – kết quả, khả năng – thực hiện, tất nhiên – ngâu nhiên.
Khi chủ nghĩa duy vật biện chứng ra đời và được công nhận tính đúng đắn của nó thì
việc sử dụng nó như một công cụ để nghiên cứu toán học ngày càng mang tính tự giác cao hơn.
2.1.2. Triết học định hướng cho sự phát triển Toán học
Một vài khuynh hướng mới trong giai đoạn nghiên cứu toán học đầu tiên đó chính
là khuynh hướng tìm các cấu trúc toán tương ứng với quan hệ không tuyển “vừa là …
vừa là…”, đây chính là một trong những đặc điểm nổi bậc của các hệ thống phức tạp
trong giới tự nhiên vã xã hội. Logic hình thức cổ điển được thay thế bằng các dạng logic
khác nhau như logic mở, logic đa trị,…. Mà tất cả các ngành đã nêu ở trên đều xuất phát
điểm từ quan hệ biện chứng “A vừa là A vừa không phải là A”.
Ta đã thấy rằng mặc dù toán học mang tính độc lập tương đối của tư duy trừu tượng
và hình thức, triết học duy vật biện chứng luôn luôn là cơ sở thế giới quan và phương
pháp luận đúng đắn cho sự hình thành và phát triển của toán học.
Bài học thực tiễn trong việc đổi mới tư duy và cải cách giáo dục
Chính sự hình thành thế giới quan duy vật biện chứng trong quá trình giảng dạy bộ
môn toán học ở các cấp học. Giáo viên, giảng viên đã sử dụng các phương pháp của phép
biện chứng để đổi mới cách giảng dạy cũ, mà áp dụng vào đó chính là các phương pháp
học tập sáng tạo, linh hoạt, tăng cường khả năng tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi thêm
nhiều sách vở khác nhau,…của học sinh để áp dụng trong quá trình học tập và rèn luyện
cho học sinh và bản thân mình. 13
2.1.3. Mâu thuẫn – Động lực phát triển của Toán học
Nhà triết học Engels và trước ông còn có nhà triết học đó là Hegel, chính hai ông đã
chỉ ra rất nhiều mâu thuẩn khác nhau trong toán học. Phong cách này được bắt đầu bởi
những người thuộc trường phái của Pythagoras – ông đã khái niệm huyền bí đặc biệt về
những con số, sự hài hòa của vũ trụ được phát hiện rất sớm. Tuy nhiên học đã phát hiện
ra rằng chính vũ trụ toán học là sự hài hòa và ngăn nắp của họ đã bị gây khó khăn bởi sự
mâu thuẫn. Đó là những bài toán mà chính lời giải của bài toán đó dẫn đến những thất
vọng khác nhau. Chẳng hạn rằng, họ đã nhận ra chúng ta không thể mô ta chiều dài của
đường chéo hình vuông đơn vị bằng một trong những tập số đã được học.
Sau này có rất nhiều người đã ủng hộ lý thuyết của Pythagoras sau này chính học đã
khám phá ra rất nhiều loại số nữa như căn bậc hai của hai, chính những con số không thể
nào biểu diễn được bởi số hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn của các con số, và
nó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn hay nói đơn giản là “số vô tỷ”. Mặc
dù số căn bậc hai của hai không thể được biểu thị như một phân số, nhưng chính nó lại
rất hữu ích để tìm thấy được chiều dài các cạnh của một tam giác. Và từ đây chúng ta có
thể nó rằng toán học ngày nay chứa đựng những động vật lạ thường đã được đặt tên
nhưng chưa được thuần dưỡng, mặc dù các nhà toán học đã có nhiều cố gắng để thuần
hóa lại chúng,.... Như vậy từ đây chúng ta có sự xuất hiện các loại số mới như những số
vô tỷ, những số ảo, những con số siêu việt,…tất cả những khái niệm của chúng được
trình bày những đặc tính lạ thường và mâu thuẫn, và tất cả những điều vừa mới được liệt
kê ở trên đều rất cần thiết đối với những hoạt động nhằm phát triển của các nền khoa học hiện đại.
Số Pi (kí hiệu p), còn gọi là hằng số Archimedes, chính là con số bí ẩn đã được rất
nhiều nhà khoa học người Hy Lạp cổ biết đến, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ
số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó. Nhưng con số đó
mãi cho đến ngày nay, đó là điều thật lạ thường và phi diệu vì giá trị chính xác của nó
cho đến ngày nay vẫn là một bí ẩn và chưa có lời giải đáp thật sự vì chưa có nhà toán học
nào đã tìm ra con số chính xác về nó. Ông Acsimet đã tính toán được giá trị xấp xỉ của nó
bởi một phương pháp được gọi là “axhaustion”. Bằng cách tính này ông đã chứng ming 223 22 < p <
( 3,14085<p<3,1428 ) 6
ra được nó nằm giữa 71 7 . Nhưng nếu chúng ta cố
gắng để viết được giá trị chính xác của nó, chúng ta sẽ có được một kết quả thật lạ
thường đó là p =3,14159265358979323846264338327950... và cứ thế dần dần cho đến
vô hạn. Ngày nay p được biết đến như là số siêu việt, cực kì rất cần thiết khi để tìm chu
vi của đường tròn, nhưng nó không thể được biểu thị như đáp số cụ thể của một phương
trình đại số. Sau đó chúng ta lại có căn bậc hai của một trừ một – và đây hoàn hoàn
không phải là một số số học. Chính các nhà toán học đã đề cập đến nó như là “một số
ảo”, nghĩa là không phải là số thực, và khi chúng ta nhân với chính nó thì cho chúng ta 14
được kết quả là trừ một. Đó là một con số thật sự vô cùng “cá biệt”, nhưng nó không phải
do trí tưởng tưởng cao siêu của con người tạo ra, bịa ra nó, trừ tên của nó và chính
Engels đã chỉ ra cho chúng ta thấy rằng:
“Số âm không thể là bình phương của một số nào cả vì bình phương của một số bao
giờ cũng dương. Do đó căn bậc hai của - 1, nếu tồn tại là một điều cực kì vô lí. Thế
nhưng đến nay đôi khi căn bậc hai của - 1 lại trở nên hữu ích cho những toán tử hoàn
toàn đúng. Hơn thế nữa, toán học sẽ đi về đâu nếu không chấp nhận căn bậc hai của - 1
”. Nhận xét của Engel cho đến nay vẫn còn giá trị. Mỗi liên hệ mâu thuẩn giữa cộng và
trừ đóng một vai trò rất đặc biệt quan trong trong cơ học lượng tử, nó xuất hiện trong
hàng loạt các phương trình cơ bản của khoa học hiện đại. Căn bậc hai của - 1 đã tồn tại
và trở thành một nhân tố cơ bản hình thành nên khái miện một loại số mới đó chính là số
phức (số ảo). Chính con số này ngày càng có rất nhiều ứng dụng lẫn trong thực tiễn và trong cuộc sống.
Điều mâu thuẩn ở đây đó là cho chúng ta thấy rằng toán học đã mở ra với những
điều mâu thuẫn đáng kinh ngạc để con người luôn nghi ngờ. Như chính Hoffman đã nói về nó như sau:
“Những công thức toán học cần có mối liên hệ chặt chẽ với thực tế, với những thử
nghiệm nghiêm ngặt. Và bản thân thực tế đã chứa đựng trong nó những điều khó tin. Đó
chính là nền tảng sâu xa của những kiến thức mới. Con người cần tìm hiểu sâu sắc hơn
bất cứ cái gì trước đó, tiến tới hạt nhận của khoa học. Giống như một điều không thể tin
được trước đây là trái đất có hình tròn” .
Ứng dụng trong dạy học bộ môn Toán
Việc chính đầu tiên là chúng ta nắm bắt được những khái niệm trừu tượng chẳng
hạn như: số phức, căn bậc hai của - 1 đối với học sinh là một điều thử thách cực kỳ lớn.
Tuy nhiên, trong việc tìm hiểu bản chất, sự vật và hiện tưởng của những khái niệm này
với vai trò thật quan trọng và quan trọng hơn nữa chính là những công cự cần thiết để
giúp học sinh dễ dàng vượt qua những trở ngai, nỗi sợ ban đầu và chính thức bước qua
ngưỡng cửa mới đó chính là hiểu và vận dụng để giải quyết những vấn đề khác liên quan
đến cuộc sống hằng ngày của chúng ta.
2.1.4. Chủ quan và khách quan trong Toán học
Engels đã nhận định rằng: “Thực tế là những suy nghĩ chủ quan và thế giới khách
quan của chúng ta đều được đề cập đến những quy luật chung, vì thế mà trong sự phân
tích cuối cùng, chúng không thể mâu thuẫn lẫn nhau về mặt kết quả, chúng phải giống
nhau, chi phối tuyệt đối toàn bộ tư tưởng lý thuyết của chúng ta”.
Một trong những ý nghĩa chính của lý thuyết toán học đó chính là nguồn khoa học
tiến bộ lớn lao, một mặt nó cũng là nguồn gốc của sự ra đời với rất nhiều sai sót và 15
những định nghĩa sai lệch đã và đang gây ra những hậu quả khôn lường. Lỗi trọng tâm
lớn nhất ở đây đó là sự cố gắng tìm giảm đi những công việc mang tính mâu thuẫn lẫn
nhau trong cuộc sống lẫn công việc, sự phức tạp của tự nhiên thành những công thức
định lượng ngắn gọn. Chính thiên nhiên nơi đây được hiện lên một cách hình thức, giống
như một điểm theo chiều (a single – dimensional point), cái nào trở thành một đường
thẳng, cái nào trở thành một mặt phẳng, một khối hình lập phương, hình hộp chữ nhật,
hình cầu,…. Tuy nhiên, những ý tưởng trên đã cho rằng toán học thuần túy là sự suy nghĩ
tuyệt đối, không tiếp xúc với vật chất là không đúng với sự thật. Chúng ta đã sử dụng hệ
thập phân trong cuộc sống tự nhiên, không phải bởi vì sự suy diễn logic, theo ý thích nào
đó mà bởi vì thực tế rằng trên bàn tay chúng ta có mười ngón. “digital” có nghĩa là hệ
thập phân mà theo ý nghĩa La tinh là dùng để chỉ ngón tay. Và mãi cho đến ngày nay, những học sinh
sẽ bắt đầu đếm ngón tay trong những ngày đầu đi học trước khi chúng ta tiếp cận đến
những vấn đề khác nhau liên quan toán học trừu tượng. Và trong thực hành, chính những
trẻ em đã thực hiện lại một cách này vô thức bởi vì cái cách này mà những người đầu tiên
đã học về những con số để đếm.
Hơn nữa, tất cả các khái niệm Toán học suy cho cùng đều là sự phản ánh hiện thực
khách quan như: “Ý thức con người của con người (thông qua hoạt động) tuy có ảnh
hưởng đến sự tồn tại và phát triển của giới tự nhiên, song sự tồn tại và phát triển đó của
giới tự nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể quyết
định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của mình”. Trong toán học,
từ những hoạt động toán học (khám phái các đối tượng, chứng minh các tính chất của
toán học) đã làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng cao, nhưng toán học
vẫn có sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào con người, con
người không thể thay đổi được các quy luật đó. Ví dụ như “Hai đường thẳng phân biệt
cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” thì mãi mãi là
như vậy không thể thay đổi được. Đó là một chân lí, dù muốn dù không, dù có khám phá
hay chưa khám phá ra con người cũng không thể thay đổi được.
Nguồn gốc vật chất của toán học rất trừu tượng không có gì bí mật với “Nhà toán
học” Aristoteles. Ông đã viết rằng “Khi nghiên cứu tính trừu tượng, người ta đã loại trừ
mọi đặc tính có thể cảm giác được ví dụ như trọng lực, trọng lượng, nhiệt độ, mật độ,…
chỉ lưu ý đến các thuộc tính bản chất của nó”. Hơn nữa ông còn nói rằng: “những đối
tượng Toán học không thể tồn tại tách biệt với những thứ có thể cảm giác được (chẳng
hạn như vật chất)” và “chúng ta chưa từng kinh qua bất cứ cái gì mà gồm có những
đường thẳng, mặt phẳng hay những điểm như chúng ta cần phải có nếu những thứ này là
những thực thể vật chất; những đường thẳng,… và chúng có thể là những định nghĩa đầu
tiên về vật thể, nhưng không có lý do gì nó là những khái niệm đầu tiên của vật chất”. 16
Sự phát triển của nền Toán học đó chính là kết quả của nhu cầu về vật chất của loài
người. Chẳng hạn như người nguyên thủy đầu tiên học chỉ có mười âm thanh về số, nói
chính xác hơn là người nguyên thủy đếm như một đứa trẻ nhỏ, trên những ngón tay của
chính họ. Đặc biệt có người Mayas của Trung Mỹ là một trường hợp đặc biệt và ngoại lệ
bởi vì hệ thống số của họ gồm hai mươi số thay vì mười số như người nguyên thủy, có lẽ
vì dân của họ đếm những ngón chân của họ cũng tốt như những ngón tay. Sống trong một
xã hội loài người mà họ chỉ sống bằng hình thức săn, bắn, hái, lượm,… không có tiền
cũng như không có bất cứ tài sản cá nhân cao quý cả, tổ tiên của chúng ta không có nhu
cầu về những con số. Để áp dụng và vận chuyển một số lượng lớn hơn mười, con người
đã đơn thuần kết hợp mười âm thanh với những ngón tay của họ. Ví dụ như số 11 được
biểu thị bởi “một – mười” trong Tiếng la tinh, hay “ein – lifon” – “one over” đối với các
dân tộc trong nhóm Bắc Âu trước đây, trong tiếng Anh hiện đại thì nó được biểu thị bởi
“eleven”. Nói tóm lại, tất cả các số khác lớn hơn mười đều là chỉ những sự kết hợp của
mười âm gốc, với ngoại lệ rằng của năm âm thêm vào đó chính là: trăm, nghìn, triệu, tỉ và nghìn tỉ.
Chính vì những lí do trên mà nhà vật lý học duy vật người Anh của thế kỉ 17 ông
Thomas Hober đã hiểu thực sự của các con số: “Và dường như có một thời gian, tên của
các con số không được sử dụng, loài người đã bằng lòng dùng những ngón tay của họ ở
một hoặc cả hai bàn tay để đếm những thứ họ mong muốn, và từ đó nó mới bắt đầu hình
thành một hệ thống số, mà ngày nay nó không chỉ dừng lại ở 10 số”. Thực tế rằng, một
hệ thập nhị phân có những lợi thế nhất định khi so sánh với số thập phân. Trong khi số
mười chỉ có thể chia hết cho số hai, số năm, số mười; còn số mười hai thì lại chia hết cho
số hai, ba, bốn, sáu và mười hai.
Các chữ số La mã là những sự trình bày một cách hình ảnh như những ngón tay. Có
lẽ, ký hiệu của số năm đại diện cho kẽ hở giữa ngón tay cái và những ngón còn lại. Từ
“calculus” cái từ này chúng ta có được từ “calculate” có nghĩa là “sỏi đá” trong tiếng La
tinh nghĩa là có mối quan hệ với phương pháp đếm những viên đá trên một bàn tính.
Chính những ví dụ này và vô số những ví dụ khác đều dùng để minh họa cho việc toán
học không xuất hiện từ thao tác tự do của trí tuệ con người, nhưng là sản phẩm của một
quá trình dài của sự tiến hóa xã hội, sự thử thách và sự sai lầm, sự quan sát và sự trải
nghiệm. Và ngay cả nguồn gốc của những ký hiệu Toán học cơ bản nhất “+” và “-”
dường như “không liên quan” gì đến toán học. Chúng là những dấu hiệu được dùng trong
thời trung cổ bởi những nhà buôn để tính toán sự dư thừa hay thiếu hụt của số lượng hàng hóa trong kho.
Từ nhu cầu của việc xây dựng những nơi trú ẩn để tự mình bảo vệ mình khỏi những
sức mạnh của thiên nhiên, nguời nguyên thủy đã tìm kiếm những cách thiết thực nhất để
cắt gỗ sao cho những chỗ cắt có thể nối khít với nhau. Điều này là giải thích của sự khám
phá ra những góc vuông và những hình vuông của người thợ mộc. Từ nhu cầu để xây 17 dựng
cho một cái nhà trên nền nằm ngang đã dẫn tới phát minh của kiểu dụng cụ san bằng
được vẽ trong các ngôi mộ của người Ai Cập và người La Mã, nó gồm có ba mẫu gỗ nối
với nhau thành một tam giác cân, với một dây thừng cột tại đỉnh tam giác. Những dụng cụ
đơn giản như vậy đã được sử dụng trong việc xây dựng Kim Tự Tháp (những hình
chóp). Cuối cùng thì những thầy tu Ai Cập đã tích lũy một khối lượng khổng lồ những
kiến thức toán học từ những hoạt động thực hành như vậy.
Chính từ “geometry” đã làm lộ ra nguồn gốc thực hành của nó. Nó có nghĩa đơn
giản là “đo đạc Trái đất”. Tuy nhiên, trong quá trình hình thành và giới thiệu những định
lý của mình như những sản phẩm thuần túy của suy diễn logic, người Hy lạp đã làm lạc
lối chính bản thân mình và những thế hệ tương lai. Cuối cùng, toán học suy ra từ thực tế
vật chất và chính vì điều đó nó luôn luôn có những ứng dụng thực tế trong cuộc sống.
Thậm chí rằng những định lý nổi tiếng của Pythagoras như “Bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông” – chính định lý này đã được tiến hành
trong thực tế bởi những người Ai Cập.
“Con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế
giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả những đối tượng toán học và tính
chất bất biến trong toán học đều có quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người có khả
năng nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó sớm hơn để nó trở lại phục vụ
cho con người. Vẫn có thể trong quá trình phát triển của toán học, con người đã nhận
thức sai nhưng những nhận thức sai đó đôi khi lại mở ra con đường mới để phục vụ cho
sự phát triển của toán học sau này và mãi mãi về sau. Những nhận thức sai đó sẽ thúc đẩy
con người tìm ta một chân lý mới. Chính việc nhận thức toán học cũng đã làm cho con
người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất sâu sắc, nâng cao thế giới quan và phương pháp
luận biện chứng của con người.
2.2. Triết học với các kí hiệu trong Toán học
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của Toán học, chúng ta đã nhận thấy rằng,
kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ thuộc vào việc sử
dụng các kí hiệu toán học và sự cải tiến của các kí hiệu đó. Ngày nay, chúng ta đã có đầy
đủ căn cứ để khẳng định rằng, các kí hiệu toán học không những chỉ là những phương
tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng ta
còn có một giá trị nhận thức luận to lớn. Sở dĩ các kí hiệu toán học có vai trò quan trọng
như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định.
Từ khi ra đời và phát triển cho đến ngày nay và đặc biệt nhất là khi người Ấn Độ đã
đưa ra kí hiệu để chỉ số 0 vào thế kỷ thứ V trước công nguyên thì chính họ đã xóa bỏ
được hệ thống số từng cấp để hình thành và phát triển nên hệ thống số thập phân, mà ta 18
đó chúng ta đã thấy được tính ưu việt của nó trong việc tính toán đã được hàng trăm triệu
người trên hành tinh chúng ta sử dụng hằng ngày. Từ đây chúng ta đã thấy rằng lần lượt
các kí hiệu toán học đã ra đời, cho đến khi nhà khoa học nổi tiếng người Đức đó chính là
Lepnit đã đưa ra kí hiệu vi phân và tích phân thì toán học đac thực sự đổi sang một trang
mới. Thật vậy, nếu như trước đây lời giải của rất nhiều bài toán thiên về việc tính diện
tích, thể tích, cơ học, thiên văn học,… đòi hỏi những nổ lực to lớn mà chỉ những nhà toán
học lỗi lạc mới có thể giải quyết được, thi khi xuất hiện các kí hiệu của Lepnit, nhìn
chung chúng đac được giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máy móc. Như
vậy, khi kí hiệu toán học ra đời chúng ta có thể giải quyết được các vấn đề thực tiễn một
các đơn giản và nhanh hơn rất nhiều như trong việc chúng ta tính diện tích, thể tích, cơ
học,…. Do đó, kí hiệu toán học có những nội dung khách quan đích thực.
Chúng ta đã biết, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng điịnh tư duy của con
người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan. Từ đây họ luôn cho rằng đối
tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luật phát triển của toán học
lại rất phức tạp, ngôn ngữ kí hiệu thì ngày càng được sử dụng nhiều và rộng rãi hơn trong
toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách quan. Từ đó, họ coi toán học chỉ
là một hệ thống kí hiệu đã được lựa chọn từ trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó
để minh chứng cho học thuyết của mình. Họ đã bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học
duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của
chủ nghĩa duy tâm về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý
nghĩa của các kí hiệu toán học.
Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng, ta đã thấy rằng các kí hiệu toán
học, trước hết đã được sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Ví dụ
như, trong số học các số tự nhiên, các kí hiệu 1, 2,3,... biểu thị đặc điểm về lượng của
nhóm đối tượng chưa một, hai, ba, … đối tượng. Các kí hiệu thường gặp như >,<, =
biểu diễn những sự tương quan, ví dụ như 1< 2 (số 1 bé hơn số 2). Đồng thời, người ta
còn sử dụng dấu hiệu các phép tính số học chẳng hạn như + ,- , x, : để biểu thị những
mối lên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả những kí hiệu toán học nói trên cho
phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên. ( 7x ) 5 - 7= 4 x 7
Chẳng hạn như, kí hiệu
biểu diễn một mệnh đề số học.
Trong phần đại số học, người ta thường dùng các kí hiệu là các chữ cái chẳng hạn
như a ,b ,c ,.. ,. x , y , z ,... để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên. Chẳng 2
hạn như, trong phương trình ax +bx+c= 0, với mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất kì
giá trị thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử dụng các kí
hiệu về đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật của đại số 19
và cả các quy luật của các lý thuyết toán học khác. Chẳng hạn như các ví dụ sau đây
a+ b+c =( a+ )
b +c = a ( + b+ ) c ( a+ ) b .c= . ac+ . bc n n
a - b = ( a- ) b ( n- 1 n- 2 n- 2 n- 1
. a + a b+...+ ab + b )
Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát về những sự thể hiện khác nhau của cùng một
tiêu đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối dượng của lý thuyết thay đổi,
mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa chúng cũng thay đổi theo. Chẳng
hạn như trong hệ tiên đề Pêanô, các kí hiệu >,<, =, +,- , x , : sẽ có ý nghiac khác nhai
tùy theo kí hiệu 1,2, 3,... biểu thị các số tự nhiên về lượng hay về thứ tự. Ví dụ, kí hiệu
3< 4 nếu biểu thị về lượng thì có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự thì có
nghĩa là số 3 đừng trước số 4.
Như vậy, chúng ta có thể nói rằng, các kí hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách
cô đọng và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ thông
thường. Nhờ đó, chúng ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dung của chúng.
Đồng thời, qua đây cho ta thấy các kí hiệu này còn được sử dụng một các có hiệu quả
trong toán, để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề của chúng, mỗi khi chúng phản ánh
được những tương quan về lượng và những hình dang không gian nhất định của thế giới
hiện thực. Chính vì những lẽ đó, trước khi chúng ta sử dụng những kí hiệu toán học vào
những lập luận của bản thân mình, các nhà toán học cần chỉ rõ cho ta biết mỗi kí hiệu
như thế trong toán biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn chúng ta đến những hiểu biết sai lệch
về những điều mà các kí hiệu toán học muốn nói như vậy, mọi lập luận trong toán học sẽ
không thể tiếp tục tiến hành. Chỉ khi những ý nghĩa của các kí hiệu toán học đã được
thiết lập một cách chính xác, chúng ta mới có khả năng hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.
Tiếng nói của các kí hiệu toán học là một công cụ bổ sung cho những tiếng nói
thông thường trong cuộc sống hằng ngày của chúng ta, và nó được sử dụng trong toán
học, các ngành khoa học khác mà ở đó có sử dụng các ứng dụng có liên quan đến toán
học. Việc kí hiệu hóa trong toán học không đơn thuần là một vấn đề về hình thức, một
cách viết tắt thuận lợi, mặc dù không bao giờ được xem thường những khía cạnh đó.
Chính những ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả
bằng những ngôn ngữ thông thường sẽ rất dài dòng, khó khăn và rất phức tạp. Ở đây,
chúng ta có thể nhận thấy tính ưu việt của việc khi chúng ta sử dụng những kí hiệu toán
học thay vì chúng ta sử dụng ngôn ngữ bằng lời để diễn tả được các công thức rất dài
dòng và phức tạp chẳng hạn như, nếu chúng ta so sánh công thức của bất đẳng thức Bunhiacốpxki: