Một số công thức hỗ trợ ôn thi - Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội

lOMoARcPSD|44744371 lOMoARcPSD|44744371
Một số công thức hỗ trợ ôn thi I.
( )Tính= xác ( )suất của một biến cố, các công thức tính xác suất * ( )
P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc * A=B+C P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P (B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B). P(C) nếu B và C là độc lập * A=B C P(A)=P (B.C) = * ... = + +...+
P(B)P(C/B)=P(C)P(B/C) nếu B và C là không độc lập . . * + +. = . . . . ( ) * P(A)+ =1 • C
ông thức Bernoulli:
Lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A. ( ) = ( − ) 
Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n lần: − , x = 0,1,2,…,n ∑ = ( ) ( / ) • Công thức Bayes: ( / ) = ( ) = ∑ = ( ) ( / ) ∀ = , , . . ,
• Công thức xác suất đầy đủ: P(A)= ( ) ( / ) ( ) ( / ) II. B
iến ngẫu nhiên rời rạc
1. Bảng phân phối xác suất ∑ V X = ∑ =1 =E(X2)= =1 E(X) = ; 2
Các tham số đặc trưng của X (−()) ( ) − ( ( )) ( ) = √ ( ) 2. Q
uy luật nhị thức
Xét một lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A.
X là ~số ( ;lầnbiến ) cố A xảy ra trong n phép thử → 1 lOMoARcPSD|44744371 X 0 1 … x … n P … − … − − * ( = ) ( = − ) = , ,..., * − (q =1-p) ( ) = √ ốt (giá trị có thể
Biến ngẫu E(X)=np ; V(X)=npq ; + + – ≤ ≤ * M
có của X ứng với xác suất lớn nhất) thỏa mãn III.
nhiên liên tục tục, hàm mật độ xác suất của , ký hiệu ( ), là: •
là biến ng ẫu nhiên liên
1. Hàm mật độ xác suất ( ) = ′( ) ( ( )= ( < ), ∈ℝ
• Tính chất của hàm mật độ xác suất ( ) ≥ 0 ∀ x
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là ) ( ) = ∫ f(t) −∞ ∫+∞() =1 −∞ ( ) ( < < ) = ∫ • V X = + = + ∫− ( ) ∫− 2 ( )
Các tham số đặc trưng: ( ) − ( ( )) ( − ( )) ∞ ∞ E(X) = ∞ dx ; E(X2) = ∞ dx Quy ( ) = √ ( ) 2. luật chuẩn ⇒ ( ) = √ ∏ * ( − ) XN(,2) ( > 0 ) − * E(X)= ; V(X)= 2 ; (X)= ) ( < < ) = − ( ) − ( * − −
Một số công thức tính xác suất của quy luật chuẩn: ≈ ( ) * P X>a) − * P(X ≈− ( ) (| − | < ) =ú ( ) − : (− ) + ( ) = ý • G
iá trị tới hạn chuẩn : 2 lOMoARcPSD|44744371 ( > ) = * Chú ý: = 1,645
Giá trị tới hạn 0,025 = 1,96 ; 0,05 * Định nghĩa: , U N(0,1) ( > )ớ= • Student: ≈ ≥ 30
Giá trị tới hạn ( * Định nghĩa: , T T(n) ( ) ) * Chú ý: v i •
Khi bình phương: * Định nghĩa: , 2 2(n)
IV. Một số giá trị đặc trưng mẫu
Lập bảng tính 4 cột: 2 Trung bình mẫu: = ... ... ... ... = ∑ 2 =1 ∑ =1 1 1 1 1 1 1 2 2 = − ( )2 n= Phương sai mẫu: = 2 2 Chú Độ ệ ẩ ∑ ẫ ý: ∑ − =1 ∑ 2 =1 =1 : =√ 2
Với mẫu rút ra từ tổng thể có •
thuộc giữa các giá trị
• Các giá trị: ; ; ;
và s luôn dương. 2 2
phân phối gốc A(p) thì:
Tần suất mẫu f là hình ảnh của (tần suất tổng thể) p ở trên mẫu. KTC đối xứng ( , )
V. Bài toán ước lượng tham số
1. Ước lượng giá trị tham số trong quy luật , trường hợp chưa biết ( −1) ( −1) − < < + : rung bình mẫu √ 2 √ 2 s: Độ lệch chuẩn mẫu 2 với 2 n: Cỡ mẫu > 30 12 −α: ≈ 2
: Giá trị tới hạn Student mức , n-1 bậc tự do ( −1) −1) (
Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95).
2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p) KTC đối xứng √ (1− ) √ (1− ) − √ 2 < < + √ 2 OMoARcPSD|44744371 : ầ ấ mẫu 2 2 n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
−α: Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95). 1 VI.
Bài toán Kiểm định giả thuyết thống kê
Quy tắc kiểm định H0
*Cặp giả thuyết bỏ của giả thuyết H0 *Viết miền bác {H1 *
mẫu của tiêu chuẩn kiểm định (là 1 số thực cụ thể: Gqs Tính giá trị trên * Nếu
*So sánh Gqs với Gqs
thì đủ cơ sở để chấp nhận H1
thì có thể chấp nhận H ∈ 0 Nếu G qs
1. Bài toán kiểm định về tham số trong tổng thể: a.
với giá trị thực cho trước
Bài toán so sánh ∉
Cặp giả thuyết cần
bỏ của giả thuyết H0 kiểm định Miền bác H10: = 0 ( −1) ( )√ H0: 0 ={ = − ; > } > H : = H1: 0 0 ( −1) } H0: ={ =( − )√ ; <− < H1: = 0
= { = ( − 0)√ ; | | > /2( −1)} ≠ : rung bình mẫu s: Độ lệch chuẩn mẫu với ( −1)
: Giá tr ị tới hạn Student mức , n-1 bậc tự do n: Cỡ mẫu ≈ > 30 ( −1)
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
b. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước:
Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H ) 0 0 H1: ( − √ = 0 H0: >0 ={ =√0 (1− 0) ; > } H0: ( ) 0 H1: = − √ H 0) ; < − 0: < 0 ={ =√0 (1− } 0 H1: ( ) − √ = 0 /2 ={ =√0 ) ; | | > } (1− 0 4 lOMoARcPSD|44744371 : ầ ấ mẫu n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán so sánh hai tham số với
của 2 quy luật Không-Một độc lập
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0 H0: H1: H0: H1: H0: H1: 1 , : à ầ của hai mẫu ra từ2 tổng thể 1 , 22 : ầ ượ à hai ấ kích mẫuthước mẫu rút ra rúttừ 2 tổng thể
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán kiểm định so sánh hai trung bình của hai tổng thể có phân phối chuẩn độc lập (trường hợp chưa biết; n1 , n2 )
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0 H0: H1: H0: H1: H0: H1: ̅ s , ̅̅̅ à ℎ rung bình ra từ 2 2 1 , s2 :là ầ hai ượ phương àhai
saikíchmẫuthướccủahaimẫumẫurútrútratừra 2từ tổnghaithểtổngthể 1 2 Vì n1 , n2 nên 5 lOMoARcPSD|44744371 ̅
Tiêu chuẩn kiểm định ≈ = N (0,1) − ∼ √ +
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
2. Bài toán kiểm định phi tham số
Kiểm định về tính độc lập của hai dấu hiệu định tính.
* Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: A, B là độc lập H1: A, B là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0: Trong đó:
A, B là hai dấu hiệu định tính trên 1 tổng thể.
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X, Y là (n)
n: Cỡ mẫu 2 chiều rút ra từ tổng thể , ℎ
Giá trị của mẫu ngẫu nhiên 2 chiều (Ai,Bj) xuất hiện nij lần ∑ =1 = ∑ =1 =
Thành phần A nhận h phạm trù trên mẫu là A1, A2, ..., Ah
Thành phần B nhận k phạm trù trên mẫu là B1, B2, ..., Bk (ℎ − 1)( − 1)
2((ℎ−1)( −1))là giá trị tới hạn Khi bình phương mức α, số bậc tự do (ℎ − 1)( − 1) = ( ố ℎà − 1)( ố ộ − 1)
(Chú ý để tính: Số bậc tự do ) 6