Một số công thức hỗ trợ ôn thi - Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội

Một số công thức hỗ trợ ôn thi - Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem !

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê (UEB)

Trường: Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

9 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
lOMoARcPSD|44744371
lOMoARcPSD|44744371
Một số công thức hỗ trợ ôn thi
I. ( )Tính= xác ( )suất của một biến cố, các công thức tính xác suất
* ( )
P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc
*
A=B+C P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P (B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(A)=P (B.C) =
P(B). P(C) nếu B và C là độc lập
* A=B C
* ... = + +...+
. .
P(B)P(C/B)=P(C)P(B/C) nếu B và C là không độc lập
*
+ +. = . . . .
*
( )
P(A)+ =1
• Công thức Bernoulli:
Lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A.
( ) = ( − )
Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n lần:
−
, x = 0,1,2,…,n
∑ = ( ) ( / )
• Công thức Bayes:
( / ) = ( ) = ∑ = ( ) ( / ) ∀ = , , . . ,
• Công thức xác suất đầy đủ: P(A)=
( ) ( / ) ( ) ( / )
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Bảng phân phối xác suất
V X =
∑ =1
=
E(X
2
)=
∑
=1
E(X) = ; 2
Các tham số đặc trưng của X
(−()) ( ) − ( ( ))
( ) = √ ( )
2. Quy luật nhị thức
Xét một lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A.
X là ~số ( ;lầnbiến ) cố A xảy ra trong n phép thử
→
1
lOMoARcPSD|44744371
X 0 1 …
x …
n
P
− −
… −
…
* ( = ) (
= − ) = , ,...,
*
−
(q =1-p)
( ) = √
ốt (giá trị có thể
Biến ngẫu
E(X)=np ; V(X)=npq ;
+
+ – ≤ ≤
*
M có của X ứng với xác suất lớn nhất) thỏa mãn
III.
nhiên liên tục
tục, hàm mật độ xác suất của , ký hiệu ( ), là:
• là biến ng ẫu nhiên liên
1. Hàm mật độ xác suất
(
( ) = ′( )
( )= ( < ), ∈ℝ
•
Tính chất của hàm mật độ xác suất
( ) ≥ 0 ∀
x
là )Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
( ) = ∫ f(t)
−∞
∫
+∞
() =1
−∞
( )
( < < ) = ∫
•
V X =
∫−
+
( )
=
∫−
+
2 ( )
Các tham số đặc trưng:
( ) − ( ( ))
( − ( ))
∞
E(X) =
∞
dx
;
E(X
2
) =
dx
∞
∞
Quy
( ) = √ ( )
2. luật chuẩn
⇒ ( ) =
√ ∏
( − )
*
XN(,
2
)
−
( > 0 )
*
E(X)= ; V(X)=
2
; (X)=
)
( < < ) = − ( ) − (
*
− −
Một số công thức tính xác suất của quy luật chuẩn:
≈ ( )
* P X>a)
−
*
P(X<b)
≈− ( )
( ) − (| − | < ) =
ú
: (− ) + ( ) =
ý
• Giá trị tới hạn chuẩn :
2
lOMoARcPSD|44744371
* Chú ý:
( > ) =
= 1,645
Giá trị tới hạn
0,025
= 1,96 ; 0,05
* Định nghĩa:
( > )ớ=
, U N(0,1)
• Student:
≈ ≥ 30
Giá trị tới hạn
* Định nghĩa:
( )
(
)
,
T T(n)
* Chú ý: v
i
• Khi bình phương:
* Định nghĩa: ,
2 2
(n)
Lập
IV. Một số giá trị đặc trưng mẫu
bảng tính 4 cột:
2
Trung bình mẫu:
=
...
...
... ...
2
=
∑
1 1 1 1 1 1 2
=
1
∑ =1
2
= − (
)2
n=
2
Phương sai mẫu:
=
2
Chú
ý:
∑
=1 ∑ ∑
2
Độ
ệ
ẩ
ẫ
−
=1 =1 : =√
2
Với mẫu rút ra từ tổng thể có
• thuộc giữa các giá trị
• Các giá trị:
và s luôn dương.
2
;
2
;
;
phân phối gốc A(p) thì:
Tần suất mẫu f là hình ảnh của (tần suất tổng thể) p ở trên mẫu.
KTC đối xứng
( , )
, trường hợp chưa biết
V. Bài toán ước lượng tham số
trong quy luật
1. Ước lượng giá trị tham số
( −1) ( −1)
− < < +
√ √
: rung bình mẫu 2 2
s: Độ lệch chuẩn mẫu
2
2 với
n: Cỡ mẫu
> 30
12−α: ≈ 2
( −1)
: Giá trị tới hạn Student mức
,
n-1 bậc tự do
−1)
(
Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95).
2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p)
KTC đối xứng
−
√ (1− )
< < +
√ (1− )
√ 2 √ 2
OMoARcPSD|44744371
: ầ ấ mẫu
2
2
n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
−α: Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95).
1
VI.
Bài toán Kiểm định giả thuyết thống kê
Quy tắc kiểm định
H0
*Cặp giả thuyết
của giả thuyết H
0
*Viết miền bác
bỏ
{H1
*
Tính giá trị trên
mẫu của tiêu chuẩn kiểm định (là 1 số thực cụ thể: Gqs
* Nếu
*So sánh G
qs
với
thì đủ cơ sở để chấp nhận H
1
Gqs
Nếu G
qs
∈
thì có thể chấp nhận H
0
1. Bài toán kiểm định về tham số trong tổng thể:
a. với giá trị thực cho trước
Bài toán so sánh
∉
Cặp giả thuyết cần bỏ của giả thuyết H
0
kiểm định
Miền bác
H1
0
: =
(
0
)√
( −1)
H
0
:
0 ={ = − ; > }
H :
>
=
H
1
:
0
0 ( −1)
}
H
0
: ={ =
(
−
)√
; <−
<
H1: = 0 = { =
(
−
0)√
; | | > /2
( −1)
}
≠
: rung bình mẫu
s: Độ lệch chuẩn mẫu
với
, n-1 bậc tự do
( −1)
: Giá trị tới hạn Student mức
n: Cỡ mẫu
> 30≈
( −1)
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
b. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước:
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H1:
= 0
( 0
)
− √
={ =√0 (1− 0H0: >0 ) ; > }
H
0
:
=
( 0
)
H1:
− √
H
0
:
< 0 ={ =
√
0
(1−
0
)
; < −
}
H
1
:
= 0
( 0
)
√−
/2
={ =
√0
(1− 0
)
; | | > }
4
lOMoARcPSD|44744371
: ầ ấ mẫu
n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán so sánh hai tham số với của 2 quy luật Không-Một độc lập
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
H
0
:
H
1
:
H
0
:
H
1
:
H
0
:
H
1
:
1
1
,
,
2
2
:
: ầ ượ
à
à
ầ
hai
ấ
kích
mẫu
thước
của
mẫu
hai
rút
mẫu
ra
rút
từ 2
ra
tổng
từ2
thể
tổng thể
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán kiểm định so sánh hai trung bình của hai tổng thể có phân phối chuẩn độc
lập (trường hợp chưa biết; n1 , n2 )
Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H0
H
0
:
H
1
:
H
0
:
H
1
:
H
0
:
H
1
:
N
s1
2
,
,
s
NNN
2
2
:
là
ầ
à
hai
ℎ
ượ
phương
rung
àhai
bình
sai
kích
mẫu
thước
củahai
mẫu
mẫu
rút
rút
ratừ
ra
ra
2
từ
từ
tổng
hai
thể
tổngthể
1 2
Vì n1 , n2 nên
5
lOMoARcPSD|44744371
Tiêu chuẩn kiểm định
≈ =
N
N (0,1)
−
∼
√ +
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
2. Bài toán kiểm định phi tham số
Kiểm định về tính độc lập của hai dấu hiệu định tính.
* Cặp giả thuyết cần kiểm định:
H
0
: A, B là độc lập
H
1
: A, B là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H
0
:
Trong đó:
A, B là hai dấu hiệu định tính trên 1 tổng thể.
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X, Y là (n)
n: Cỡ mẫu 2 chiều rút ra từ tổng thể
ℎ ,
Giá trị của mẫu ngẫu nhiên 2 chiều (A
i
,B
j
) xuất hiện n
ij
lần
∑ =1 = ∑ =1 =
Thành phần A nhận h phạm trù trên mẫu là A
1
, A
2
, ..., A
h
Thành phần B nhận k phạm trù trên mẫu là B
1
, B
2
, ..., B
k
(ℎ − 1)( −
1)
2((ℎ−1)( −1))
là giá trị tới hạn Khi bình phương mức α,
số bậc tự do
(Chú ý để tính: Số bậc tự do
(ℎ − 1)( − 1) = ( ố ℎà − 1)( ố ộ − 1)
)
6
| 1/9
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|44744371 lOMoARcPSD|44744371
Một số công thức hỗ trợ ôn thi I.
( )Tính= xác ( )suất của một biến cố, các công thức tính xác suất * ( )
P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc * A=B+C P(A)=P(B+C) =
P(B)+P(C)-P (B.C) nếu B và C là không xung khắc
P(B). P(C) nếu B và C là độc lập * A=B C P(A)=P (B.C) = * ... = + +...+
P(B)P(C/B)=P(C)P(B/C) nếu B và C là không độc lập . . * + +. = . . . . ( ) * P(A)+ =1 • C
ông thức Bernoulli:
Lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A. ( ) = ( − ) 
Xác suất để biến cố A xảy ra x lần trong n lần: − , x = 0,1,2,…,n ∑ = ( ) ( / ) • Công thức Bayes: ( / ) = ( ) = ∑ = ( ) ( / ) ∀ = , , . . ,
• Công thức xác suất đầy đủ: P(A)= ( ) ( / ) ( ) ( / ) II. B
iến ngẫu nhiên rời rạc
1. Bảng phân phối xác suất ∑ V X = ∑ =1 =E(X2)= =1 E(X) = ; 2
Các tham số đặc trưng của X (−()) ( ) − ( ( )) ( ) = √ ( ) 2. Q
uy luật nhị thức
Xét một lược đồ Bernoulli với hai tham số n và p về biến cố A.
X là ~số ( ;lầnbiến ) cố A xảy ra trong n phép thử → 1 lOMoARcPSD|44744371 X 0 1 … x … n P … − … − − * ( = ) ( = − ) = , ,..., * − (q =1-p) ( ) = √ ốt (giá trị có thể
Biến ngẫu E(X)=np ; V(X)=npq ; + + – ≤ ≤ * M
có của X ứng với xác suất lớn nhất) thỏa mãn III.
nhiên liên tục tục, hàm mật độ xác suất của , ký hiệu ( ), là: •
là biến ng ẫu nhiên liên
1. Hàm mật độ xác suất ( ) = ′( ) ( ( )= ( < ), ∈ℝ
• Tính chất của hàm mật độ xác suất ( ) ≥ 0 ∀ x
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là ) ( ) = ∫ f(t) −∞ ∫+∞() =1 −∞ ( ) ( < < ) = ∫ • V X = + = + ∫− ( ) ∫− 2 ( )
Các tham số đặc trưng: ( ) − ( ( )) ( − ( )) ∞ ∞ E(X) = ∞ dx ; E(X2) = ∞ dx Quy ( ) = √ ( ) 2. luật chuẩn ⇒ ( ) = √ ∏ * ( − ) XN(,2) ( > 0 ) − * E(X)= ; V(X)= 2 ; (X)= ) ( < < ) = − ( ) − ( * − −
Một số công thức tính xác suất của quy luật chuẩn: ≈ ( ) * P X>a) − * P(X ≈− ( ) (| − | < ) =ú ( ) − : (− ) + ( ) = ý • G
iá trị tới hạn chuẩn : 2 lOMoARcPSD|44744371 ( > ) = * Chú ý: = 1,645
Giá trị tới hạn 0,025 = 1,96 ; 0,05 * Định nghĩa: , U N(0,1) ( > )ớ= • Student: ≈ ≥ 30
Giá trị tới hạn ( * Định nghĩa: , T T(n) ( ) ) * Chú ý: v i •
Khi bình phương: * Định nghĩa: , 2 2(n)
IV. Một số giá trị đặc trưng mẫu
Lập bảng tính 4 cột: 2 Trung bình mẫu: = ... ... ... ... = ∑ 2 =1 ∑ =1 1 1 1 1 1 1 2 2 = − ( )2 n= Phương sai mẫu: = 2 2 Chú Độ ệ ẩ ∑ ẫ ý: ∑ − =1 ∑ 2 =1 =1 : =√ 2
Với mẫu rút ra từ tổng thể có •
thuộc giữa các giá trị
• Các giá trị: ; ; ;
và s luôn dương. 2 2
phân phối gốc A(p) thì:
Tần suất mẫu f là hình ảnh của (tần suất tổng thể) p ở trên mẫu. KTC đối xứng ( , )
V. Bài toán ước lượng tham số
1. Ước lượng giá trị tham số trong quy luật , trường hợp chưa biết ( −1) ( −1) − < < + : rung bình mẫu √ 2 √ 2 s: Độ lệch chuẩn mẫu 2 với 2 n: Cỡ mẫu > 30 12 −α: ≈ 2
: Giá trị tới hạn Student mức , n-1 bậc tự do ( −1) −1) (
Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95).
2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p) KTC đối xứng √ (1− ) √ (1− ) − √ 2 < < + √ 2 OMoARcPSD|44744371 : ầ ấ mẫu 2 2 n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
−α: Độ tin cậy cho trước (thường 1-α=0,95). 1 VI.
Bài toán Kiểm định giả thuyết thống kê
Quy tắc kiểm định H0
*Cặp giả thuyết bỏ của giả thuyết H0 *Viết miền bác {H1 *
mẫu của tiêu chuẩn kiểm định (là 1 số thực cụ thể: Gqs Tính giá trị trên * Nếu
*So sánh Gqs với Gqs
thì đủ cơ sở để chấp nhận H1
thì có thể chấp nhận H ∈ 0 Nếu G qs
1. Bài toán kiểm định về tham số trong tổng thể: a.
với giá trị thực cho trước
Bài toán so sánh ∉
Cặp giả thuyết cần
bỏ của giả thuyết H0 kiểm định Miền bác H10: = 0 ( −1) ( )√ H0: 0 ={ = − ; > } > H : = H1: 0 0 ( −1) } H0: ={ =( − )√ ; <− < H1: = 0
= { = ( − 0)√ ; | | > /2( −1)} ≠ : rung bình mẫu s: Độ lệch chuẩn mẫu với ( −1)
: Giá tr ị tới hạn Student mức , n-1 bậc tự do n: Cỡ mẫu ≈ > 30 ( −1)
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
b. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước:
Cặp giả thuyết cần kiểm định Miền bác bỏ của giả thuyết H ) 0 0 H1: ( − √ = 0 H0: >0 ={ =√0 (1− 0) ; > } H0: ( ) 0 H1: = − √ H 0) ; < − 0: < 0 ={ =√0 (1− } 0 H1: ( ) − √ = 0 /2 ={ =√0 ) ; | | > } (1− 0 4 lOMoARcPSD|44744371 : ầ ấ mẫu n: Cỡ mẫu
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán so sánh hai tham số với
của 2 quy luật Không-Một độc lập
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0 H0: H1: H0: H1: H0: H1: 1 , : à ầ của hai mẫu ra từ2 tổng thể 1 , 22 : ầ ượ à hai ấ kích mẫuthước mẫu rút ra rúttừ 2 tổng thể
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
c. Bài toán kiểm định so sánh hai trung bình của hai tổng thể có phân phối chuẩn độc lập (trường hợp chưa biết; n1 , n2 )
Cặp giả thuyết cần kiểm định
Miền bác bỏ của giả thuyết H0 H0: H1: H0: H1: H0: H1: ̅ s , ̅̅̅ à ℎ rung bình ra từ 2 2 1 , s2 :là ầ hai ượ phương àhai
saikíchmẫuthướccủahaimẫumẫurútrútratừra 2từ tổnghaithểtổngthể 1 2 Vì n1 , n2 nên 5 lOMoARcPSD|44744371 ̅
Tiêu chuẩn kiểm định ≈ = N (0,1) − ∼ √ +
: Giá trị tới hạn chuẩn mức
α: Mức ý nghĩa của bài toán kiểm định được cho trước (thường α=0,05).
2. Bài toán kiểm định phi tham số
Kiểm định về tính độc lập của hai dấu hiệu định tính.
* Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: A, B là độc lập H1: A, B là phụ thuộc
* Miền bác bỏ của giả thuyết H0: Trong đó:
A, B là hai dấu hiệu định tính trên 1 tổng thể.
Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X, Y là (n)
n: Cỡ mẫu 2 chiều rút ra từ tổng thể , ℎ
Giá trị của mẫu ngẫu nhiên 2 chiều (Ai,Bj) xuất hiện nij lần ∑ =1 = ∑ =1 =
Thành phần A nhận h phạm trù trên mẫu là A1, A2, ..., Ah
Thành phần B nhận k phạm trù trên mẫu là B1, B2, ..., Bk (ℎ − 1)( − 1)
2((ℎ−1)( −1))là giá trị tới hạn Khi bình phương mức α, số bậc tự do (ℎ − 1)( − 1) = ( ố ℎà − 1)( ố ộ − 1)
(Chú ý để tính: Số bậc tự do ) 6