Nhập môn lý thuyết ma trận | Đại học Sư Phạm Hà Nội

NHẬP MÔN LÝ THUYẾT MA-TRẬN
(Bản sơ thảo bài giảng)
Bộ môn Đại số và Bộ môn Hình học
Khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội 13 0 2 13 0 MỤC LỤC Chương I. MA TRẬN 5
§1. Tập hợp và Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§2. Phép thế và dấu của phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5. Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§4. Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45
§1. Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss . . . . . 50
§3. Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 13 0 4 13 0 Chương I MA TRẬN §1. Tập hợp và Ánh xạ 1.1. Khái niệm tập hợp
a) Khái niệm. Tậphợplà một khái niệm cơ bản, nghĩa là, tập hợp là một khái
niệm không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như là một sự
tụ tập của những sự vật hoặc những đối tượng theo một qui tắc nào đó (có thể
liệt kê ra được hoặc có cùng một số tính chất chung nào đó). Mỗi sự vật hoặc
đối tượng đó được gọi là một phầntửcủa tập hợp. Ta cũng nói tắt "tập hợp" là "tập".
b) Kí hiệu. Một tập hợp thường được kí hiệu bởi một chữ cái in hoa, chẳng hạn như A, ,
BC ,X ,Y, Z, ... Các phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bởi
các chữ cái in thường, chẳng hạn như a, b, c, x, y, z, ... Nếu phần tử x thuộc tập
hợp X , ta kí hiệu x ∈ X . Nếu phần tử x không thuộc tập hợp , X ta kí hiệu x6∈ . X
c) Tập rỗng. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tậprỗng, và kí hiệu là ; . d) Biểu diễn tập hợp.
(1) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn như, tập các số tự nhiên N
được biểu diễn ở dạng liệt kê như sau
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . . , }.
(2) Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Cụ thể là, nếu
tập hợp A gồm tất cả các phần tử x có tính chất P(x), ta viết A = {x : P(x)}.
Chẳng hạn như, trong mặt phẳng tọa độ O xy, đồ thị G của hàm số y = x2, xác
định trên R, được biểu diễn như sau
G = {(x, y) : x ∈ R, y = x2}.
(3) Để có một hình ảnh trực quan về tập hợp, ta thường biểu diễn một tập 5 13 0
hợp bởi một miền phẳng, giới hạn bởi một đường cong khép kín, không tự cắt.
Hình biểu diễn đó được gọi là biểu đồ Ven của tập hợp.
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau
a) Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp.
(i) Tập A được gọi là tậpconcủa tập B, và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B ⊃ A, nếu
mỗi phần tử của A cũng là một phần tử của tập B. Nếu A ⊂ B và A 6= t B hì
ta nói A là tậpconthực sựcủa tập B, và kí hiệu là A ( B hoặc B ) A.
(ii) Hai tập hợp A và B được gọi là bằngnhau, và kí hiệu là A = B, nếu mỗi
phần tử của A là một phần tử của tập B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của tập A. b) Mệnh đề. (1) X = X. (2) Nếu X = Y thì Y = X.
(3) Nếu X = Y và Y = Z thì X = Z . (4) X ⊂ . X
(5) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ X thì X = Y.
(6) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ Z thì X ⊂ . Z
(7) ;⊂X , với mọi tập hợp . X
Chú ý.Việc chứng minh mệnh đề trên, cũng như các mệnh đề và các tính chất
trong Mục 1.1 và 1.2 dưới đây, là không không khó, và dành cho bạn bạn đọc coi như là một bài tập.
1.3. Các phép toán trên tập hợp
a) Phép hợp. Cho hai tập hợp A và B. Hợpcủa A và B, kí hiệu là A ∪ , B là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A hoặc B. Như vậy,
A ∪ B = {x: x ∈ A hoặc x ∈ B}.
b) Phép giao. Cho hai tập hợp A và B. Giaocủa A vàB, kí hiệu là A∩ , B là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp A và B. Như vậy,
A ∩ B = {x: x ∈ A và x ∈ B}. 6 13 0
c) Phép hiệu. Cho hai tập hợp A và B. Hiệucủa A và B, kí hiệu là A\B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Như vậy,
A\B = {x: x ∈ A và x 6∈B}.
Nếu B ⊂ A, A\Bcòn được gọi là phần bùcủa Btrong A, và kí hiệu là CAB.
Chú ý.1. Đối với các phép toán tập hợp, ta có một số tính chất sau. (i) Tính chất giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (ii) Tính chất kết hợp:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(iii) Tính chất phân phối: A∩ (B ∪ C)=( A ∩ B) ∪ ( A∩ C), A∪ (B ∩ C)=( A ∪ B) ∩ ( A∪ C). (iv) Công thức De Morgan:
X \(A ∪ B)=(X \A) ∩ (X \B),
X \(A ∩ B)=(X \A) ∪ (X \B).
2. Một cách tổng quát, các phép toán hợp và giao có thể mở rộng cho một họ
tùy ý các tập hợp như sau. Cho {Ai}i∈I là một họ các tập hợp. Hợp của họ các
tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∪i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp Ai, với i ∈ I nào đó. Như vậy,
∪i∈IAi = {x: x ∈ Ai với một i ∈ I nào đó}.
Giao của họ các tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∩i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần
tử thuộc đồng thời các tập hợp Ai, với i ∈ I. Như vậy,
∩i∈IAi = {x: x ∈ Ai với mọi i ∈ I}. 7 13 0
Khi đó, ta có công thức De Morgan đối với họ tùy ý các tập hợp X \(∪i∈IA A i ) = ∩i∈I (X \ i ), X \(∩i∈IA A i ) = ∪i∈I (X \ i ).
d) Phép tích Descartes. Cho A n
1, . . . , An là n tập hợp. TíchDescartescủa tập hợp A A × . . . × 1, . . . , n, kí hiệu là A A 1
n, là một tập hợp gồm các bộ sắp thứ tự
(x1, . . . , xn), với xi ∈ Ai với mọi i = 1, . . . , n. Như vậy, A ×. . . × A n) : i A ∈ 1 n = {( x1, . . . , x x
i với mọi i = 1, . . . , n}.
Nếu A = · · ·= An = A, thì A × 1
. . . × A (n thừa số) còn được gọi là lũy thừa
Descartesbậc n của tập hợp A, và kí hiệu là A . n 1.2. Ánh xạ
1.2.1. Định nghĩa về ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánhxạ f từ X
đến Y là một qui tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần
tử y ∈ Y . Phần tử y ∈ Y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f , và kí hiệu
là f (x). Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là f : X → Y, x 7→y = f (x).
Tập X được gọi là tậpnguồn, tập Y được gọi là tậpđíchcủa ánh xạ f . b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ X → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ đồng nhất, và được kí hiệu là idX .
(2) Với A ⊂ X , ánh xạ j : A → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ nhúng chính tắc.
Chú ý rằng, nếu A = X thì j = idX .
(3) Với y là một phần tử cố định của Y , ánh xạ f 0
: X → Y, x 7→ y0, được gọi là ánh xạ hằng.
1.2.2. Ảnh và ảnh ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Với A ⊂ X , tập f (A) = {f (x) : x ∈ A} được gọi là ảnhcủa A qua f . Tập
f(X ) còn được gọi là ảnh của f , hay tập giátrịcủa f , và kí hiệu là Imf . 8 13 0
(ii) Với B ⊂ Y , tập f −1(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} được gọi là ảnhngượccủa B
qua f . Tập f −1( y) còn được viết làf −1( y) .
b) Mệnh đề. Cho f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó,
(1) f (A ∪ B)= f (A) ∪ f (B),
(2) f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
(3) f −1(A ∪ B)= f −1(A) ∪ f −1(B),
(4) f −1(A ∩ B)= f −1(A) ∩ f −1(B),
(5) f −1(A\B)= f −1(A)\ f −1(B).
1.2.3. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ f được gọi là một đơnánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là
phân biệt, nghĩa là, nếu x 6= x , thì f (x ) 6= f (x .) Một phát biểu tương 1 2 1 2
đương, f là đơn ánh nếu [ f (x )= f (x ) = x ] 1 2 ⇒ x1 2 .
(ii) Ánh xạ f được gọi là một toànánhnếu f (X ) = Y. Một phát biểu tương
đương, f là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có tạo ảnh, nghĩa là, với
mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X sao cho f (x)= y .
(iii) Ánh xạ f được gọi là một songánhnếu f là đơn ánh và f là toàn ánh. Điều
này có nghĩa là, với mỗi y ∈ Y , tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y . b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ f : [0, +∞) → R, x 7→x2, là đơn ánh, và không là toàn ánh.
(2) Ánh xạ f : R → [0, +∞), x 7→x2, là toàn ánh, và không là đơn ánh.
(3) Ánh xạ f : [0, +∞) → [0, +∞), x 7→x2, là song ánh.
1.2.4. Hợp thành của hai ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Hợpthành của
hai ánh xạ f và g, là một ánh xạ g ◦ f : X → Z được xác định bởi
(g ◦ f )(x)= g( f (x)) với mọi x ∈ X . 9 13 0 b) Mệnh đề.
(1) Với các ánh xạ f : X → Y , g : Y → Z, và h : Z → W , ta có h◦ (g ◦ f )=( h ◦ g) ◦ f .
(2) Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Khi đó, nếu f và glà các đơn
ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh), thì g ◦ f cũng là một đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh). 1.2.5. Ánh xạ ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mỗi y ∈ , Y
tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. Ánh xạ f −1 : Y → X , y f − 7→ 1( y)= x,
với f (x)= y, được gọi là ánh xạngược của song ánh f . b) Mệnh đề.
(1) Nếu f : X → Y là một song ánh và f −1 : Y → X là ánh xạ ngược củaf thì f −1 ◦ f = id f − X và f ◦ 1 = idY .
(2) Nếu f : X → Y , và g : Y → Z là hai song ánh thì (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.
(3) Nếu f : X → Y là song ánh thì f −1(B) = (f −1)(B), với B ⊂ . Y BÀI TẬP
1: Tìm mối liên hệ giữa các tập hợp sau (bằng, chứa, chứa trong): p
(a) A = {x ∈ R : x2 + 2x > 1} và B = {x ∈ R : x > 2 − 1}.
(b) A = {n ∈ Z : n2 < 18} và B là tập các nghiệm nguyên của phương trình x4 − 14x2 − 32 = 0.
2: Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(a) A ∩ (B\C)=(A ∩ B)\ (A ∩ C) . (b) A ∪ (B\A)=A∪ B. (c) A\(A\B)=A ∩ B. (d) (A\B)\C =(A\C)\(B\C). 10 13 0 (e) (A\B)\(B\C)=A\B.
(f) A × (B ∪ C)=(A× B) ∪ (A× C) .
(g) A × (B ∩ C)=(A × B) ∩ (A × C) .
(h) (A ∩ B)× (C ∩ D)=(A × C )∩ (B × B) .
(i) A ∩ B = ;⇔(A× B) ∩ (B × A)=;.
3: Với mỗi ánh xạ f cho dưới đây, hãy tìm f (1), f −1(1), f ((0, 1 )), f −1((0, 1)) , và Imf .
(a) f : R → R, x 7→f (x)= x2 + 4x − 5. (b) 1 1
f : R\{0}→R, x 7→f (x)= x3 + + x + . x3 x
4: Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi ¨x3xv2ớivxới≤x0,>0. f (x)=
Chứng minh rằng f là song ánh, và tìm ánh xạ ngược của f .
5: Cho hai ánh xạ f : R\{0}→R và g : R → R xác định bởi 1 3x f (x)= , và g(x)= . x 1 + x2 (a) Tìm Im f và Img .
(b) Xét các tính chất đơn ánh và toàn ánh của f và g.
(c) Xác định ánh xạ hợp thành g ◦ f , và tìm Im(g ◦ f ) .
6: Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ, và h = g ◦ f là ánh xạ hợp thành
của f và g. Chứng minh rằng
(a) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh.
(b) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
(c) Cho ví dụ chứng tỏ rằng các khẳng định ngược lại của (a) và (b) là không đúng. 11 13 0
§2. Phép thế và dấu của phép thế
Định nghĩa. Cho n là một số nguyên dương. Mỗi song ánh từ tập hợp {1, 2, ..., n}
vào chính nó được gọi là một phépthếcấpn.
Các phép thế thường được ký hiệu
bởi chữ cái Hy Lạp, ví dụ σ, τ. Ký hiệu Sn là tập tất cả các phép thế cấp n.
Chú ý. Phép thế còn được gọi là hoánvị. Phép thế cấp n hay phépthếbậc n là
như nhau. Các phép thế thường được biểu diễn dưới dạng bảng hai dòng. Ví dụ bảng sau 1 2 . . . n σ =
thể hiện một phép thế σ cấp n σ ( . 1) σ(2) . . . σ(n)
Nhận xét. Dễ thấy, từ kiến thức THPT, số lượng phép thế cấp n là n!.
Nhận xét. Do mỗi phép thế σ ∈ Sn là một song ánh, nên nó có ánh xạ ngược
σ−1. Khi đó, σ−1 cũng là một phép thế cấp n.
Định nghĩa (Tích hai phép thế). Cho hai phép thế σ, τ ∈ Sn. Tích của σ và
τ là hợp thành của hai ánh xạ đó. Để cho tiện, ta ký hiệu τσthay cho τ ◦ σ.
Tích của các phép thế nói chung không giao hoán, tức là nói chung τσ6= στ với σ, τ ∈ Sn.
Định nghĩa (Xích). Bây giờ ta xét một số phép thế cấp n đặc biệt. Cho k số tự nhiên phân biệt i1, i n
2, . . . , ik ∈{1, 2, . . . ,
}. Xét phép thế σ ∈ Sn được xác định như sau: σ(i ) = i ) = ) = i i
) = i và σ( j) = j với mọi 1 2, σ(i i 2 3, . . . , σ(ik−1 k, σ( k 1 j ∈{1, 2, . . . , n}\{i i
Khi đó, σ được gọi là một xích cóđộdàik Ký 1, 2, . . . , ik }. .
hiệu xích này như sau: σ =(i i i
1, 2, . . . , ik ) hoặc bỏ dấu phẩy σ = (i1 2 . . . ik ).
Tập hợp {i1, i2,..., ik} được gọi là tậpnềncủa xích (ii 1 2 ... ik). Hai xích được
gọi là rờinhaunếu tập nền của chúng rời nhau (tức có giao bằng rỗng).
Nếu k = 2 thì ta gọi là σ là chuyểntrí .
Chú ý. Một số tài liệu dùng từ "chu trình" hoặc "vòng xích" thay cho "xích"; "phép
thế sơ cấp" thay cho "chuyển trí"; "các xích rời rạc" hoặc "các xích độc lập" thay cho "các xích rời nhau".
Mệnh đề 2.1. Mỗiphép thế cấp n đều là tích của các xích rờinhau.
Mệnh đề 2.2. Mỗi xíchlàtíchcác phépchuyểntrí. Chứng minh. Nhận xét (ii )(i i ) 1 2 . . . ik ) = (ii 1 2 2 3 . . . (i k i −1 k). 12 13 0
Hệ quả 2.3. Mỗiphép thế đềulàtích của các phép chuyển trí.
Định nghĩa. Cho σ ∈ Sn. Do σ là song ánh, nên các cặp {σ(i), σ(j)} cũng chính
là các cặp {i, j} khi i, j chạy trong {1, 2, . . . , n} tuy nhiên có thể khác về thứ tự. Q Q D To a đó đị t nhích nghĩa
(σ( j) − σ(i)) có cùng giá trị tuyệt đối với ( j − i). 1≤i< j≤n 1≤i< j≤n σ ( j) − σ(i) Y ∈{± } 1 sgn(σ)= j − i 1≤i< j≤n là dấucủa phép thế σ. Ví dụ 2.1. sgn(Id)= 1.
Nhận xét. Dấu của phép thế có tính nhân tính, tức là, nếu σ, τ ∈ Sn thì sgn(τσ)= sg(n τ) · sg ( n σ ) .
Mệnh đề 2.4. Dấucủachuyển trílà−1, tức là,sgn(i i )=− 1 2 1 với1 ≤ i i < ≤ 1 2 n.
Hệ quả 2.5. Dấucủaxíchđộ dài k là(−1)k−1 .
Định nghĩa. Cho phép thế σ ∈ Sn. Cặp số phân biệt i, j ⊂{1, 2 ..., n} được gọi
là một nghịchthếcủa σ nếu σ
( j)− σ(i) trái dấu với j − i. Như vậy, từ định nghĩa
dấu của σ, ta suy ra dấu của σ là 1 hay -1 là tùy theo số nghịch thế của σ là chẵn hay lẻ.
Định nghĩa. Phép thế được gọi là phépthếchẵn nếu dấu của nó bằng 1. Phép
thế được gọi là phépthếlẻ nếu dấu của nó bằng−1.
Trước khi kết thúc tiết này, ta có lưu ý sau.
Nhận xét. Để tính dấu của một phép thế, ta có thể thực hiện theo hai cách: một
là tách phép thế đó thành tích các xích rời nhau, và sử dụng tính chất nhân tính
của dấu; hai là đếm số nghịch thế của phép thế xem nó là chẵn hay lẻ. Bài tập
1: Thực hiện các phép nhân sau đây, viết các phép thế thu được thành tích các
xích rời nhau và tính dấu của chúng. Xác định thêm ánh xạ ngược của các phép thế thu được. (a) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 · . 2 4 5 1 3 4 3 5 1 2 1 2 3 4 5 (b) 1 2 3 4 5 · . 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 13 13 0