Nhập môn lý thuyết ma trận | Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

NHẬP MÔN LÝ THUYẾT MA-TRẬN
(Bản sơ thảo bài giảng)
Bộ môn Đại số và Bộ môn Hình học
Khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 MỤC LỤC Chương I. MA TRẬN 5
§1. Tập hợp và Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§2. Phép thế và dấu của phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§3. Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Một số loại ma trận đặc biệt thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5. Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§4. Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§5. Giá trị riêng và chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3. Chéo hoá ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45
§1. Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss . . . . . 50
§3. Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 4 Chương I MA TRẬN
§1. Tập hợp và Ánh xạ
1.1. Khái niệm tập hợp
a) Khái niệm. Tập hợp là một khái niệm cơ bản, nghĩa là, tập hợp là một khái
niệm không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như là một sự
tụ tập của những sự vật hoặc những đối tượng theo một qui tắc nào đó (có thể
liệt kê ra được hoặc có cùng một số tính chất chung nào đó). Mỗi sự vật hoặc
đối tượng đó được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta cũng nói tắt "tập hợp" là "tập".
b) Kí hiệu. Một tập hợp thường được kí hiệu bởi một chữ cái in hoa, chẳng
hạn như A, B, C, X , Y, Z, ... Các phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bởi
các chữ cái in thường, chẳng hạn như a, b, c, x, y, z, ... Nếu phần tử x thuộc tập
hợp X , ta kí hiệu x ∈ X . Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X , ta kí hiệu x 6∈X .
c) Tập rỗng. Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, và kí hiệu là ;.
d) Biểu diễn tập hợp.
(1) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Chẳng hạn như, tập các số tự nhiên N
được biểu diễn ở dạng liệt kê như sau
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . . , }.
(2) Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp. Cụ thể là, nếu
tập hợp A gồm tất cả các phần tử x có tính chất P(x), ta viết A = {x : P(x)}.
Chẳng hạn như, trong mặt phẳng tọa độ Ox y, đồ thị G của hàm số y = x2, xác
định trên R, được biểu diễn như sau
G = {(x, y) : x ∈ R, y = x2}.
(3) Để có một hình ảnh trực quan về tập hợp, ta thường biểu diễn một tập 5
hợp bởi một miền phẳng, giới hạn bởi một đường cong khép kín, không tự cắt.
Hình biểu diễn đó được gọi là biểu đồ Ven của tập hợp.
1.2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau
a) Định nghĩa. Cho A và B là hai tập hợp.
(i) Tập A được gọi là tập con của tập B, và kí hiệu là A ⊂ B hoặc B ⊃ A, nếu
mỗi phần tử của A cũng là một phần tử của tập B. Nếu A ⊂ B và A 6= B thì
ta nói A là tập con thực sự của tập B, và kí hiệu là A ( B hoặc B ) A.
(ii) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, và kí hiệu là A = B, nếu mỗi
phần tử của A là một phần tử của tập B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của tập A. b) Mệnh đề. (1) X = X . (2) Nếu X = Y thì Y = X .
(3) Nếu X = Y và Y = Z thì X = Z. (4) X ⊂ X .
(5) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ X thì X = Y .
(6) Nếu X ⊂ Y và Y ⊂ Z thì X ⊂ Z.
(7) ;⊂ X , với mọi tập hợp X .
Chú ý. Việc chứng minh mệnh đề trên, cũng như các mệnh đề và các tính chất
trong Mục 1.1 và 1.2 dưới đây, là không không khó, và dành cho bạn bạn đọc coi như là một bài tập.
1.3. Các phép toán trên tập hợp
a) Phép hợp. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A hoặc B. Như vậy,
A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}.
b) Phép giao. Cho hai tập hợp A và B. Giao của A và B, kí hiệu là A∩ B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp A và B. Như vậy,
A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}. 6
c) Phép hiệu. Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của A và B, kí hiệu là A\B, là một
tập hợp gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Như vậy,
A\B = {x : x ∈ A và x 6∈B}.
Nếu B ⊂ A, A\B còn được gọi là phần bù của B trong A, và kí hiệu là CAB.
Chú ý. 1. Đối với các phép toán tập hợp, ta có một số tính chất sau. (i) Tính chất giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. (ii) Tính chất kết hợp:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(iii) Tính chất phân phối:
A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (iv) Công thức De Morgan:
X \(A ∪ B)=(X \A) ∩ (X \B),
X \(A ∩ B)=(X \A) ∪ (X \B).
2. Một cách tổng quát, các phép toán hợp và giao có thể mở rộng cho một họ
tùy ý các tập hợp như sau. Cho {Ai}i∈I là một họ các tập hợp. Hợp của họ các
tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∪i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất
một trong các tập hợp Ai, với i ∈ I nào đó. Như vậy,
∪i∈IAi = {x : x ∈ Ai với một i ∈ I nào đó}.
Giao của họ các tập hợp {Ai}i∈I, kí hiệu là ∩i∈IAi, là một tập hợp gồm các phần
tử thuộc đồng thời các tập hợp Ai, với i ∈ I. Như vậy,
∩i∈IAi = {x : x ∈ Ai với mọi i ∈ I}. 7
Khi đó, ta có công thức De Morgan đối với họ tùy ý các tập hợp X \(∪i∈IAi)=∩i A ∈I (X \ i ), X \(∩i∈IAi)=∪i A ∈I (X \ i ).
d) Phép tích Descartes. Cho A n
1, . . . , An là n tập hợp. Tích Descartes của tập hợp A ×
1, . . . , An, kí hiệu là A1
. . . × An, là một tập hợp gồm các bộ sắp thứ tự
(x1, . . . , xn), với xi ∈ Ai với mọi i = 1, . . . , n. Như vậy, A × . . . × An = {(x n) : i ∈ A 1 1, . . . , x x
i với mọi i = 1, . . . , n}. Nếu A = · · ·= A 1
n = A, thì A × . . . × A (n thừa số) còn được gọi là lũy thừa
Descartes bậc n của tập hợp A, và kí hiệu là An. 1.2. Ánh xạ
1.2.1. Định nghĩa về ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ f từ X
đến Y là một qui tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần
tử y ∈ Y . Phần tử y ∈ Y được gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f , và kí hiệu
là f (x). Ánh xạ f từ X đến Y được kí hiệu là f : X → Y, x 7→y = f (x).
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích của ánh xạ f . b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ X → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ đồng nhất, và được kí hiệu là idX .
(2) Với A ⊂ X , ánh xạ j : A → X , x 7→x, được gọi là ánh xạ nhúng chính tắc.
Chú ý rằng, nếu A = X thì j = idX .
(3) Với y là một phần tử cố định của Y , ánh xạ f 0
: X → Y, x 7→y0, được gọi là ánh xạ hằng.
1.2.2. Ảnh và ảnh ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Với A ⊂ X , tập f (A)={ f (x) : x ∈ A} được gọi là ảnh của A qua f . Tập
f (X ) còn được gọi là ảnh của f , hay tập giá trị của f , và kí hiệu là Imf . 8
(ii) Với B ⊂ Y , tập f −1(B)={x ∈ X : f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B
qua f . Tập f −1( y) còn được viết là f −1( y).
b) Mệnh đề. Cho f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó,
(1) f (A ∪ B)= f (A) ∪ f (B),
(2) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
(3) f −1(A ∪ B)= f −1(A) ∪ f −1(B),
(4) f −1(A ∩ B)= f −1(A) ∩ f −1(B),
(5) f −1(A\B)= f −1(A)\ f −1(B).
1.2.3. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một ánh xạ.
(i) Ánh xạ f được gọi là một đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là
phân biệt, nghĩa là, nếu x 6= x , thì f (x ) 6= f (x ). Một phát biểu tương 1 2 1 2
đương, f là đơn ánh nếu [ f (x )= f (x ) ⇒ x = x ] 1 2 1 2 .
(ii) Ánh xạ f được gọi là một toàn ánh nếu f (X )= Y. Một phát biểu tương
đương, f là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều có tạo ảnh, nghĩa là, với
mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X sao cho f (x)= y.
(iii) Ánh xạ f được gọi là một song ánh nếu f là đơn ánh và f là toàn ánh. Điều
này có nghĩa là, với mỗi y ∈ Y , tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. b) Ví dụ.
(1) Ánh xạ f : [0, +∞) → R, x 7→x2, là đơn ánh, và không là toàn ánh.
(2) Ánh xạ f : R → [0, +∞), x 7→x2, là toàn ánh, và không là đơn ánh.
(3) Ánh xạ f : [0, +∞) → [0, +∞), x 7→x2, là song ánh.
1.2.4. Hợp thành của hai ánh xạ.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Hợp thành của
hai ánh xạ f và g, là một ánh xạ g ◦ f : X → Z được xác định bởi
(g ◦ f )(x)= g( f (x))với mọi x ∈ X . 9 b) Mệnh đề.
(1) Với các ánh xạ f : X → Y , g : Y → Z, và h : Z → W , ta có
h ◦ (g ◦ f )=(h ◦ g) ◦ f .
(2) Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ. Khi đó, nếu f và g là các đơn
ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh), thì g ◦ f cũng là một đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh).
1.2.5. Ánh xạ ngược.
a) Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mỗi y ∈ Y ,
tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x)= y. Ánh xạ
f −1 : Y → X , y 7→f −1( y)= x,
với f (x)= y, được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f . b) Mệnh đề.
(1) Nếu f : X → Y là một song ánh và f −1 : Y → X là ánh xạ ngược của f thì f −1 ◦ f = id −1 X và f ◦ f = idY .
(2) Nếu f : X → Y , và g : Y → Z là hai song ánh thì (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.
(3) Nếu f : X → Y là song ánh thì f −1(B) = (f −1)(B), với B ⊂ Y . BÀI TẬP
1: Tìm mối liên hệ giữa các tập hợp sau (bằng, chứa, chứa trong): p
(a) A = {x ∈ R : x2 + 2x > 1} và B = {x ∈ R : x > 2 − 1}.
(b) A = {n ∈ Z : n2 < 18} và B là tập các nghiệm nguyên của phương trình x4 − 14x2 − 32 = 0.
2: Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng
(a) A ∩ (B\C)=(A ∩ B)\(A ∩ C). (b) A ∪ (B\A)=A ∪ B. (c) A\(A\B)=A ∩ B. (d) (A\B)\C =(A\C)\(B\C). 10