Nội dung khảo bài Toán 12

Nội dung khảo bài Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

41 21 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

59 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THĂNG LONG
NỘI DUNG KHẢO BÀI
TOÁN 12
LƯU HÀNH NỘI BỘ
Mục lục
I GIẢI TÍCH 12 5
1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 6
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I. ÔN TẬP ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II. ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III. BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I. ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II. MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III. PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
V. MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VI. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I. ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II. THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I. ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II. THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III. ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6. SỰ TƯƠNG GIAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I. Đồ thị hàm số y = |f(x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II. Đồ thị hàm số y = f(|x|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III. Đồ thị hàm số y = |x − a| · f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 17
1. LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I. ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II. CÔNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
III. SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC
I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I. ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II. CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I. HÀM SỐ MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III. BÀI TOÁN LÃI SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . 24
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN . . . . . . . . . 25
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 27
1. NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I. CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II. THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 SỐ PHỨC 32
1. SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV. SỐ PHỨC LIÊN HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
V. MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I. PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II. PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I. ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II. CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III. TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . 35
III. ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C . . . . . . . . 35
2
Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC
II HÌNH HỌC 12 36
1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 37
1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III. ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU 44
1. KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
I. KHÁI NIỆM HÌNH NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
I. KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I. KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . 46
II. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 48
1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III. HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU . . . . . . . . . . 49
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
VI. QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
VII. CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
I. VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
V. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
I. VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC
V. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
VI. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 54
III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . . . . . 54
IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . . . 55
V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
VI. KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG . 55
5. TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . 56
V. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC . . . . 56
III. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC . . 56
7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 58
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8. GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4
Phần I
GIẢI TÍCH 12
5
Chương 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. ÔN TẬP ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm một số hàm số sơ cấp
(c)
0
= 0 trong đó c là một số bất kỳ.a) (x
n
)
0
= nx
n−1
trong đó n là số cho trước.b)
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
.c) (sin x)
0
= cos x.d)
(cos x)
0
= −sin x.e) (tan x)
0
=
1
cos
2
x
.f)
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
.g)
2. Công thức đạo hàm mở rộng
(u
n
)
0
= nu
n−1
· u
0
trong đó n là số cho trước.a) (
√
u)
0
=
u
0
2
√
u
.b)
(sin u)
0
= u
0
· cos u.c) (cos u)
0
= −u
0
· sin u.d)
(tan u)
0
=
u
0
cos
2
u
.e) (cot u)
0
= −
u
0
sin
2
u
.f)
3. Quy tắc tính đạo hàm
(k · u)
0
= k · u
0
trong đó k là số cho trước.a) (u + v)
0
= u
0
+ v
0
.b)
(u − v)
0
= u
0
− v
0
.c) (u · v)
0
= u
0
· v + u · v
0
.d)
u
v
0
=
u
0
· v − u · v
0
v
2
.e)
4. Công thức tính nhanh đạo hàm
1
x
0
= −
1
x
2
.a)
1
u
0
= −
u
0
u
2
.b)
ax + b
cx + d
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
.c)
ax
2
+ bx + c
a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
0
=
(ab
0
− a
0
b)x
2
+ 2(ac
0
− a
0
c)x + (bc
0
− b
0
c)
(a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
)
2
.d)
6
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
II. ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
1. Điều kiện có nghĩa của một biểu thức
Biểu thức dạng
f(x)
g(x)
có điều kiện là g(x) 6= 0.a) Biểu thức dạng
p
f(x) có điều kiện là f (x) ≥ 0.b)
Biểu thức dạng
f(x)
p
g(x)
có điều kiện là g(x) > 0.c) Biểu thức chứa tan α có điều kiện là α 6=
π
2
+ kπ.d)
Biểu thức chứa cot α có điều kiện là α 6= kπ.e)
2. Các bước tìm tập xác định hàm số
Tìm điều kiện có nghĩa cho hàm số.a)
Giải điều kiện.b)
Kết luận tập xác định.c)
3. Chú ý
Trường hợp hàm số không có điều kiện xác định, nghĩa là hàm số có tập xác định là R.a)
Các hàm đa thức đều có tập xác định là R.b)
III. BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Các bước lập bảng biến thiên của một hàm số y = f(x) gồm
Tìm tập xác định của hàm số.a)
Tính y
0
, giải phương trình y
0
= 0 tìm nghiệm x.b)
Vẽ bảng biến thiên.c)
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa về tính đồng biến, tính nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D . Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f(a) < f(b).
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f(a) > f (b).
2. Mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên D . Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f
0
(x) > 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu f
0
(x) < 0 với mọi x ∈ D.
Chú ý. Nếu biết chắc chắn hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến (hàm nhất biến là hàm có dạng
y =
ax + b
cx + d
) thì
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f
0
(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f
0
(x) ≤ 0 với mọi x ∈ D.
7
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
3. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba
Hàm số bậc ba là hàm số có dạng y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0) có các tính chất sau
a) Nếu y
0
= 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số đồng biến (khi a > 0) hoặc nghịch biến (khi a < 0)
trên R.
b) Nếu y
0
= 0 có 2 nghiệm thì hàm số không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Lúc này, muốn xét tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số nên dựa vào bảng biến thiên.
c) Hàm số đồng biến trên R ⇔
(
a > 0
∆ ≤ 0
.
d) Hàm số nghịch biến trên R ⇔
(
a < 0
∆ ≤ 0
.
4. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trùng phương
Hàm số trùng phương là hàm số có dạng y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 6= 0) có các tính chất sau
a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
5. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số nhất biến
Hàm số nhất biến là hàm số có dạng y =
ax + b
cx + d
(ad − bc 6= 0) có các tính chất sau
a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad −bc > 0.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad −bc < 0.
d) Hàm số đồng biến trên khoảng (m; n) ⇔
ad − bc > 0
−
d
c
/∈ (m; n)
.
e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (m; n) ⇔
ad − bc < 0
−
d
c
/∈ (m; n)
.
V. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Viết lại công thức đạo hàm của 7 hàm số sơ cấp?
Câu 2. Viết lại 6 công thức đạo hàm mở rộng?
Câu 3. Viết lại 5 quy tắc tính đạo hàm?
Câu 4. Viết lại 4 công thức tính nhanh đạo hàm?
Câu 5. Nêu lại điều kiện xác định của 5 hàm số đã học?
Câu 6. Có mấy bước để tìm tập xác định của hàm số? Là những bước nào?
Câu 7. Các hàm số nào luôn có tập xác định là tập R?
Câu 8. Nêu lại các bước lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)?
Câu 9. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f (x) đồng biến biến trên D” có
nghĩa là?
Câu 10. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập D ”
có nghĩa là?
Câu 11. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 12. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 13. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f(x) đồng biến trên
(a; b) là gì?
8
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Câu 14. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f(x) nghịch biến
trên (a; b) là gì?
Câu 15. Trong ba hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào có thể (không
thể) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R? Điều kiện để hàm số đó đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R là gì?
Câu 16. Điều kiện để hàm số y =
ax + b
cx + d
(ad − bc 6= 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên từng khoảng xác định
là gì?
Câu 17. Điều kiện để hàm số y =
ax + b
cx + d
(ad − bc 6= 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên tập (s; t) là gì?
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞)
a) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
) với mọi x ∈ (x
0
− h; x
0
+ h) và x 6= x
0
thì ta nói hàm số đạt cực
đại tại x
0
.
b) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x
0
) với mọi x ∈ (x
0
− h; x
0
+ h) và x 6= x
0
thì ta nói hàm số đạt cực
tiểu tại x
0
.
II. MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) và x
0
∈ (a; b). Khi đó,
a) Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x
0
thì f
0
(x
0
) = 0.
b) Nếu f
0
(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x
0
) và f
0
(x) < 0 với mọi x ∈ (x
0
; b) thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
c) Nếu
(
f
0
(x
0
) = 0
f
00
(x
0
) < 0
thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x
0
.
d) Nếu f
0
(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x
0
) và f
0
(x) > 0 với mọi x ∈ (x
0
; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
e) Nếu
(
f
0
(x
0
) = 0
f
00
(x
0
) > 0
thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
III. PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM
a) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là x
0
.
b) Giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu, cực trị) của hàm số là f (x
0
).
c) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là (x
0
; f(x
0
)).
IV. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
1. Quy tắc 1
a) Vẽ bảng biến thiên hàm số.
b) Kết luận.
2. Quy tắc 2
a) Tính y
0
= f
0
(x), y
00
= f
00
(x).
b) Giải phương trình y
0
= 0 tìm nghiệm x
0
.
c) Tính f
00
(x
0
)
(a) Nếu f
00
(x
0
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
(b) Nếu f
00
(x
0
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
9
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
V. MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1. Hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0)
a) Hàm số bậc ba hoặc có hai cực trị hoặc không có cực trị.
b) Hàm số bậc ba có hai cực trị khi chỉ khi ∆
y
0
> 0.
c) Hàm số bậc ba không có cực trị khi chỉ khi ∆
y
0
≤ 0 (hơi giống điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến (nghịch
biến) trên R).
2. Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 6= 0)
a) Hàm số trùng phương luôn có 1 cực trị hoặc 3 cực trị (đây là lý do khiến hàm trùng phương không đơn điệu
trên R).
b) Hàm số trùng phương có 1 cực trị khi chỉ khi a · b ≥ 0 (a, b cùng dấu).
c) Hàm số trùng phương có 3 cực trị khi chỉ khi a · b < 0 (a, b trái dấu).
3. Hàm nhất biến y =
ax + b
cx + d
(ad − bc 6= 0)
a) Hàm nhất biến không bao giờ có cực trị.
VI. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa cực đại của hàm số y = f (x) tại điểm x
0
?
Câu 2. Nêu (viết lại) định nghĩa cực tiểu của hàm số y = f (x) tại điểm x
0
?
Câu 3. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực trị của hàm số y = f(x) tại x
0
?
Câu 4. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực đại của hàm số y = f(x) tại x
0
∈ (a; b)?
Câu 5. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực tiểu của hàm số y = f(x) tại x
0
∈ (a; b)?
Câu 6. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực đại của hàm số y = f (x) tại x
0
?
Câu 7. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực tiểu của hàm số y = f (x) tại x
0
?
Câu 8. Phân biệt các khái niệm thường dùng liên quan đến cực trị hàm số và đồ thị hàm số?
Câu 9. Nêu các bước của quy tắc 1 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 1 để tim
cực trị hàm số?
Câu 10. Nêu các bước của quy tắc 2 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 2 để tim
cực trị hàm số?
Câu 11. Trong các hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào luôn không
có cực trị? Hàm số nào luôn luôn có cực trị? Hàm số nào lúc có, lúc không có cực trị?
Câu 12. Hàm số bậc ba có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng?
Câu 13. Hàm trùng phương có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng?
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D ,tập hợp K là tập hợp con của D .
• Số M được gọi là GTLN của hàm số trên K nếu
(
f(x) ≤ M, x ∈ K
∃x
0
∈ K : f (x
0
) = M
Kí hiệu: M = Max
x∈K
f(x)
• m được gọi là GTNN của hàm số trên K nếu
(
f(x) ≥ m, x ∈ K
∃x
0
∈ K : f (x
0
) = m
Kí hiệu: m = Min
x∈K
f(x)
Chú ý. Khi đề bài không chỉ rõ tìm GTLN, GTNN trên tập hợp nào thì ta hiểu K = D.
10
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
II. THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN
1. Thuật toán 1.
Thuật toán này thường được dùng chung cho các dạng toán tìm GTLN, GTNN.
Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f()x trên K .
Thuật toán
a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên K .
b) So sánh các giá trị của y để chọn GTLN, GTNN.
2. Thuật toán 2.
Thuật toán này chỉ dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn.
Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b].
Thuật toán.
a) Giải phương trình f
0
(x) = 0, giả sử tìm được hai nghiệm x
1
, x
2
.
b) So sánh các giá trị f (a), f (b), f(x
1
), f(x
2
) để chọn GTLN, GTNN.
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Hãy phân biệt cách dùng của hai thuật toán tìm GTLN, GTNN?
Câu 2. Nêu các bước của thuật toán 1.
Câu 3. Nêu các bước của thuật toán 2.
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D .
• Đồ thị có tiệm cận ngang y = y
0
nếu lim
x→+∞
f(x) = y
0
hoặc lim
x→−∞
f(x) = y
0
.
• Đồ thị có tiệm cận đứng x = x
0
nếu lim
x→x
−
0
f(x) = ±∞ hoặc lim
x→x
+
0
f(x) = ±∞.
II. THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bài toán. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
f(x)
g(x)
Thuật toán.
a) Giải phương trình g(x) = 0, giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Kiểm tra tiệm cận đứng
(a) Nhập biểu thức
f(x)
g(x)
vào máy tính bỏ túi.
(b) Lần lượt CALC các giá trị x = a ± 10
−10
để kiểm tra x = a có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm
máy là ∞ thì x = a là TCĐ.
(c) Lần lượt CALC các giá trị x = b ±10
−10
để kiểm tra x = b có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm máy
là ∞ thì x = b là TCĐ.
11
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bài toán. Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = f(x)
Thuật toán.
a) Nhập biểu thức f(x) vào máy tính bỏ túi.
b) Bấm CALC với x = 10
10
. Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé a (thông thường dưới 10) thì y = a là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN.
c) Bấm CALC với x = −10
10
. Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé b (thông thường dưới 10) thì y = b là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN.
3. Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
a) Đồ thị hàm số y =
ax + b
cx + d
có tiệm cận đứng là x = −
d
c
.
b) Đồ thị hàm số y =
ax + b
cx + d
có tiệm cận ngang là y =
a
c
.
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận đứng của đồi thị hàm số?
Câu 2. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?
Câu 3. Nêu (viết lại) đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
?
§5. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
1. Đồ thị hàm số bậc ba
Bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0) là
O
x
y
a > 0, ∆
y
0
> 0
O
x
y
a < 0, ∆
y
0
> 0
O
x
y
a > 0, ∆
y
0
≤ 0
O
x
y
a < 0, ∆
y
0
≤ 0
2. Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba
• Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0.
• Về hệ số b
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên phải trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên trái trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” thuộc trục Oy −→ b = 0.
• Về hệ số c
– Đồ thị không có cực trị −→ c = 0 hoặc ac > 0.
12
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
– Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy −→ ac < 0.
– Có một điểm cực trị thuộc trục Oy −→ c = 0
• Về hệ số d
– Giao điểm với trục Oy nằm phía trên điểm O −→ d > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm phía dưới điểm O −→ d < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm trùng điểm O −→ d = 0.
II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
1. Đồ thị hàm số trùng phương
Bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 6= 0) là
O
x
y
a > 0, b < 0
O
x
y
a < 0, b > 0
O
x
y
a > 0, b ≥ 0
O
x
y
a < 0, b ≤ 0
2. Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương
• Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0.
• Về hệ số b
– Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị −→ ab < 0.
– Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị −→ ab ≥ 0.
• Về hệ số c
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía trên điểm O −→ c > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía dưới điểm O −→ c < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm trùng điểm O −→ c = 0.
III. ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
1. Đồ thị hàm số nhất biến
Hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
(ad − bc 6= 0) là
O
x
y
−
b
a
b
d
ad − bc > 0
O
x
y
ad − bc < 0
13
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2. Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến
a) Hàm số không chứa tham số, lần lượt dựa vào các tiêu chí
• Dựa vào tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
• Dựa vào giao điểm với Ox, Oy.
• Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến.
b) Hàm số có chứa tham số, dựa vào “dấu” của các cặp tích số
• Cặp tích số “ab”
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên phải điểm O −→ ab < 0.
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên trái điểm O −→ ab > 0.
– Đồ thị không cắt Ox −→ a = 0
• Cặp tích số “ac”
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac > 0.
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac < 0.
– Tiệm cận ngang nằm trùng Ox −→ a = 0
• Cặp tích số “bd”
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd > 0.
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd < 0.
– Giao của đồ thị với Oy trùng điểm O −→ b = 0.
• Cặp tích số “cd”
– Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy −→ cd < 0.
– Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy −→ cd > 0.
– Tiệm cận đứng trùng Oy −→ d = 0.
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx+ d (ghi kèm điều kiện của a, ∆
y
0
tương
ứng)?
Câu 2. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (ghi kèm điều kiện của a, b tương
ứng)?
Câu 3. Vẽ lại hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
(ghi kèm mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c,
d tương ứng)?
§6. SỰ TƯƠNG GIAO
I. TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C
1
): y = f (x) và (C
2
): y = g(x). Hãy tìm tọa độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)?
Thuật toán.
a) Giải phương trình f(x) = g(x), giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Thay x = a vào y = f(x) hoặc y = g(x) để tính y = f(a). Tương tự, tính y = f(b).
c) Kết luận giao điểm là (a; f (a)), (b; f (b)).
14
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2. Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (bấm máy tính bỏ túi được)
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C
1
): y = f (x) và (C
2
): y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)?
Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f(x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Bấm máy và đếm nghiệm của phương trình F (x) = 0.
c) Kết luận số giao điểm (phương trình F (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm là có bấy nhiêu giao điểm).
Chú ý. Trường hợp F (x) = 0 không bấm máy đếm nghiệm được thì ta chuyển sang dạng toán bên dưới.
3. Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (không bấm máy tính bỏ túi được)
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C
1
): y = f (x) và (C
2
): y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)?
Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f(x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
c) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số giao điểm.
II. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
1. Đếm số nghiệm của một phương trình
Bài toán. Đếm số nghiệm của phương trình F (x) = 0.
Thuật toán.
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
b) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số nghiệm phương trình
F (x) = 0.
2. Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm
Bài toán. Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm.
Thuật toán.
a) Thực hiện “cô lập” x và m để thu được phương trình f(x) = g(m).
b) Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x).
c) Dựa vào các y
CĐ
, y
CT
để tìm m thỏa yêu cầu bài toán.
Chú ý. Thuật toán đang xét chỉ giải quyết được những phương trình có thể cô lập x và m.
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Phát biểu và nêu thuật toán của dạng toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số?
Câu 2. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp bấm máy tính được)?
Câu 3. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp không bấm máy tính
được)?
Câu 4. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số nghiệm phương trình cho trước?
Câu 5. Phát biểu và nêu thuật toán tìm m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm?
15
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
§7. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
I. Đồ thị hàm số y = |f (x)|
Giả sử hàm số y = |f(x)| có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|, ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D.
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng lên trên”, nghĩa là, toàn bộ phần đồ
thị nằm phía trên trục Ox được giữ nguyên, toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox lấy đối xứng lên
trên.
O
x
y
y = f(x)
O
x
y
y = |f(x)|
II. Đồ thị hàm số y = f (|x|)
Giả sử hàm số y = f(|x|) có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|), ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D ∩ [0; +∞).
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “lấy đối xứng phần bên phải sang bên trái”.
O
x
y
y = f(x)
O
x
y
y = f(|x|)
III. Đồ thị hàm số y = |x −a| · f(x)
Giả sử hàm số y = |x − a| · f(x) có tập xác định là D . Để vẽ đồ thị hàm số y = |x − a| · f(x), ta thực hiện theo
hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = (x − a)f(x) trên D .
• Giữ nguyên phần đồ thị ứng với x ≥ a, lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị ứng với x < a.
O
x
y
y = (x − a) · f(x)
O
x
y
y = |x − a| · f(x)
16
Chương 2
HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ.
HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
§1. LŨY THỪA
I. ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA
Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó
• a
n
= a · a · · · a
| {z }
n số a nhân với nhau
.
•
n
√
a
m
= a
m
n
.
4
!
Với mọi a 6= 0 thì a
0
= 1.
II. CÔNG THỨC
1. Công thức lũy thừa không chứa căn
a
−n
=
1
a
n
a) a
n
· a
m
= a
n+m
.b)
a
n
a
m
= a
n−m
.c) (a
n
)
m
= a
n
· m.d)
(ab)
n
= a
n
b
n
.e)
a
b
n
=
a
n
b
n
.f)
a
b
−n
=
b
a
n
g)
2. Công thức lũy thừa chứa căn
m
√
a ·
n
√
a = a
1
m
+
1
n
.a)
m
√
a
n
√
a
= a
1
m
−
1
n
.b)
m
p
n
√
a = a
1
mn
=
mn
√
a.c)
III. SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ
a) Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
⇔ m > n.
b) Nếu 0 < a < 1 thì a
m
> a
n
⇔ m < n.
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) 7 công thức lũy thừa không chứa căn?
Câu 3. Nêu (viết lại) 2 tính chất được dùng để so sánh hai lũy thừa cùng cơ số?
17
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
I. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA
Hàm số y = x
α
(α là số thực cho trước) được gọi là hàm số lũy thừa.
4
!
Điều kiện xác định của hàm số lũy thừa y = [f(x)]
α
a) Nếu α là số nguyên dương (tức là α = 1, 2, 3, 4, ···) thì f (x) không cần thêm điều kiện.
b) Nếu α = 0 hoặc α là số nguyên âm (tức là α = 0, −1, −2, −3, ···) thì f (x) 6= 0.
c) Nếu α không là số nguyên (tức α 6= 0, ±1, ±2, ±3, ···) thì f (x) > 0.
!
a) Biểu thức
f(x)
g(x)
có điều kiện là g(x) 6= 0.
b) Biểu thức
2n
p
f(x) có điều kiện là f (x) ≥ 0.
II. ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA
a) Nếu hàm số y = x
α
thì y
0
= α · x
α−1
.
b) Nếu hàm số y = u
α
thì y
0
= α · u
0
· u
α−1
.
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
y = x
α
, α > 0. y = x
α
, α < 0.
a) Sự biến thiên
y
0
= αx
α−1
> 0, ∀x > 0.
Do đó, hàm số đồng biến trên (0; +∞).
b) Giới hạn đặc biệt
lim
x→0
+
x
α
= 0, lim
x→+∞
x
α
= +∞.
Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
+
00
+∞+∞
a) Sự biến thiên
y
0
= αx
α−1
< 0, ∀x > 0.
Do đó, hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
b) Giới hạn đặc biệt:
lim
x→0
+
x
α
= +∞, lim
x→+∞
x
α
= 0.
Do đó, Ox là tiệm cận ngang, Oy là tiệm cận đứng
của đồ thị.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
−
+∞+∞
00
Đồ thị hàm số lũy thừa y = x
α
trên (0; +∞)
18
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
x
y
O
1
1
α > 1
α = 1
0 < α < 1
α = 0
α < 0
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x
α
luôn đi qua điểm I(1; 1).
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu 3 điều kiện xác định của hàm số lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lũy thừa?
Câu 4. Đồ thị hàm số lũy thừa có đường tiệm cận khi nào? Nêu đường tiệm cận ứng với trường hợp đó?
§3. LÔ-GA-RÍT
I. ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT
Cho a, b là hai số thực dương, a 6= 1. Khi đó, α = log
a
b ⇔ a
α
= b.
4
!
Với mọi số dương a 6= 1, ta có
log
a
a = 1.a) log
a
1 = 0.b)
II. CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT
1. Công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít
Cho a > 0, a 6= 1, b, b
1
, b
2
> 0. Ta có
log
a
(b
1
b
2
) = log
a
b
1
+ log
a
b
2
.a) log
a
b
1
b
2
= log
a
b
1
− log
a
b
2
.b)
log
a
b
α
= α log
a
b (chú ý α không cần điều kiện).c)
2. Công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít
Cho a, b, c > 0, a 6= 1 và c 6= 1. Ta có
log
a
b =
log
c
a
log
c
b
.a) log
a
b =
1
log
b
a
.b)
log
a
c · log
c
b = log
a
b.c) log
a
α
b =
1
α
log
a
b (chú ý α 6= 0).d)
19
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
3. Công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lô-ga-rít?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu (viết lại) công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 4. Nêu (viết lại) công thức đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu (viết lại) các công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít?
§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
I. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1.Hàm số y = a
x
(a > 0, a 6= 1) được gọi là hàm số mũ.
2. Đạo hàm của hàm số mũ
Nếu y = a
x
thì y
0
= a
x
· ln a.a) Nếu y = a
u
thì y
0
= u
0
· a
u
· ln a.b)
Nếu y = e
x
thì y
0
= e
x
.c) Nếu y = e
u
thì y
0
= u
0
· e
u
.d)
3. Khảo sát hàm số mũ y = a
x
a) Tập xác định D = R.
b) Tập giá trị T = (0; +∞).
c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y
0
> 0 ⇒ hàm số đồng biến trên R.
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y
0
< 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên R.
d) Giới hạn, tiệm cận
(a) Nếu a > 1 thì lim
x→−∞
a
x
= 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
(b) Nếu 0 < a < 1 thì lim
x→+∞
a
x
= 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
e) Đồ thị
20
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
y = a
x
(a > 1) y = a
x
(0 < a < 1)
x
y
O
a
1
y = a
x
(a > 1)
1
1
x
y
O
a
1
y = a
x
(0 < a < 1)
1
1
II. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
1. Định nghĩa hàm số lô-ga-rít
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = log
a
x được gọi là hàm số logarit cơ số a.
Chú ý. Biểu thức log
a
f(x) có điều kiện là f (x) > 0.
2. Đạo hàm của hàm số lô-ga-rít
Nếu y = log
a
x thì y
0
=
1
x ln a
.a) Nếu y = log
a
u thì y
0
=
u
0
u ln a
.b)
Nếu y = ln x thì y
0
=
1
x
.c) Nếu y = ln u thì y
0
=
u
0
u
.d)
3. Khảo sát hàm số lô-ga-rít
a) Tập xác định D = (0; +∞).
b) Tập giá trị T = R \ {0}.
c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y
0
> 0 ⇒ hàm số đồng biến trên (0; +∞).
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y
0
< 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
d) Đồ thị
21
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
y = log
a
x (a > 1) y = log
a
x (0 < a < 1)
x
y
O
1
1
a
y = log
a
x
(a > 1)
x
y
O
1
1
a
y = log
a
x
(0 < a < 1)
III. BÀI TOÁN LÃI SUẤT
1. Bài toán lãi suất đơn
Định nghĩa lãi đơn.
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền
lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến
lấy tiền ra.
Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi
sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A + nAr = A(1 + nr)
Chú ý: Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là
r
100
.
2. Bài toán lãi suất kép
Định nghĩa lãi kép.
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi
sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A(1 + r)
n
Từ công thức trên ta có thể tính được
n = log
1+r
S
n
A
r =
n
r
S
n
A
− 1
A =
S
n
(1 + r)
n
22
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
3. Bài toán gửi tiền hàng tháng vào ngân hàng
Phát biểu bài toán.
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng, thì số tiền khách hàng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N
∗
) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S
n
.
Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S
1
= A(1 + r) =
A
r
(1 + r)
1
− 1
(1 + r)
Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là
T
1
= A(1 + r) + A = A [(1 + r) + 1] = A
(1 + r)
2
− 1
(1 + r) − 1
=
A
r
(1 + r)
2
− 1
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
S
2
=
A
r
(1 + r)
2
− 1
(1 + r)
Từ đó ta có công thức tổng quát
S
n
=
A
r
[(1 + r)
n
− 1] (1 + r)
Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được
n = log
(1+r)
S
n
r
A(1 + r)
+ 1
A =
S
n
r
(1 + r) [(1 + r)
n
− 1]
4. Bài toán gửi tiền vào ngân hàng và rút tiền hàng tháng
Phát biểu bài toán.
Một người gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,
người đó rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu.
Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T
1
= A(1+r)
và sau khi rút số tiền còn lại là
S
1
= A(1 + r) − X = A(1 + r) − X
(1 + r) − 1
r
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T
2
= [A(1 + r) − X] (1 + r) = A(1 + r)
2
− X(1 + r)
và sau khi rút số tiền còn lại là
S
2
= A(1 + r)
2
− X(1 + r) − X = A(1 + r)
2
− X [(1 + r) + 1] = A(1 + r)
2
− X
(1 + r)
2
− 1
r
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là
S
n
= A(1 + r)
n
− X
(1 + r)
n
− 1
r
Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được
X = [A(1 + r)
n
− S
n
]
r
(1 + r)
n
− 1
23
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
5. Bài toán vay vốn trả góp
Phát biểu bài toán.
Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ,
hai lần hoàn nợ cách nhau một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
Công thức sử dụng.
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính tiền gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng
nên ta có
S
n
= A(1 + r)
n
− X
(1 + r)
n
− 1
r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S
n
= 0 nên
A(1 + r)
n
− X
(1 + r)
n
− 1
r
= 0
và
X =
A(1 + r)
n
· r
(1 + r)
n
− 1
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) 4 công thức đạo hàm của hàm số mũ?
Câu 2. Nêu (viết lại) 6 công thức đạo hàm của hàm số lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số mũ?
Câu 4. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu các đường tiệm cận của hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít?
§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN
1. Phương trình mũ cơ bản
Cho a, b > 0, a 6= 1. Ta có
a
x
= b ⇔ x = log
a
b
2. Phương trình lô-ga-rít cơ bản
Cho a, b > 0, a 6= 1. Ta có
log
a
x = b ⇔ x = a
b
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình mũ
a) Sử dụng 7 công thức lũy thừa không chứa căn, biến đổi phương trình về dạng a
f(x)
= a
g(x)
.
b) Áp dụng công thức
a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f (x) = g(x)
2. Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng các công thức lô-ga-rít, biến đổi phương trình về dạng log
a
f(x) = log
a
g(x).
b) Áp dụng công thức
log
a
f(x) = log
a
g(x) ⇔ f(x) = g(x)
24
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ cho phương trình mũ
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · a
2f(x)
+ n · a
f(x)
+ p = 0.
b) Đặt t = a
f(x)
, điều kiện t > 0, phương trình trở thành mt
2
+ nt + p = 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ cho phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · log
2
a
f(x) + n · log
a
f(x) + p = 0.
b) Đặt t = log
a
f(x), phương trình trở thành mt
2
+ nt + p = 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x.
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức nghiệm của phương trình lô-ga-rít cơ bản?
Câu 3. Nêu các bước giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 4. Nêu các bước giải phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 5. Nêu các bước giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
Câu 6. Nêu các bước giải phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LÔ-GA-RÍT
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN
1. Bất phương trình mũ cơ bản
Cho a > 0 và a 6= 1. Xét bất phương trình a
x
> b. Khi đó,
a) Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm bất phương trình là S = R.
b) Nếu b > 0
(a) Nếu a > 1 thì a
x
> b ⇔ x > log
a
b. Do đó, tập nghiệm là S = (log
a
b; +∞).
(b) Nếu 0 < a < 1 thì a
x
> b ⇔ x < log
a
b. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; log
a
b).
2. Bất phương trình lô-ga-rít cơ bản
Cho a > 0 và a 6= 1. Xét bất phương trình log
a
x > b. Khi đó,
a) Nếu a > 1 thì log
a
x > b ⇔ x > a
b
. Do đó, tập nghiệm là S = (a
b
; +∞).
b) Nếu 0 < a < 1 thì log
a
x > b ⇔ 0 < x < a
b
. Do đó, tập nghiệm là S = (0; a
b
).
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số cho bất phương trình mũ
a) Sử dụng 7 công thức lũy thừa không chứa căn, biến đổi phương trình về dạng a
f(x)
> a
g(x)
.
b) Áp dụng công thức
(a) Nếu a > 1 thì công thức là
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f (x) > g(x)
25
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
(b) Nếu 0 < a < 1 thì công thức là
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f (x) < g(x)
2. Phương pháp đưa về cùng cơ số cho bất phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng các công thức lô-ga-rít, biến đổi phương trình về dạng log
a
f(x) > log
a
g(x).
b) Áp dụng công thức
(a) Nếu a > 1 thì công thức là
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
(
f(x) > g(x)
g(x) > 0
(b) Nếu 0 < a < 1 thì công thức là
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
(
f(x) < g(x)
f(x) > 0
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ cho bất phương trình mũ
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · a
2f(x)
+ n · a
f(x)
+ p > 0.
b) Đặt t = a
f(x)
, điều kiện t > 0, phương trình trở thành mt
2
+ nt + p > 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ cho bất phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · log
2
a
f(x) + n · log
a
f(x) + p > 0.
b) Đặt t = log
a
f(x), phương trình trở thành mt
2
+ nt + p > 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x.
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) các công thức nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản a
x
> b?
Câu 2. Nêu (viết lại) các công thức nghiệm của bất phương trình lô-ga-rít cơ bản log
a
x > b?
Câu 3. Nêu các bước giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 4. Nêu các bước giải bất phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 5. Nêu các bước giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
Câu 6. Nêu các bước giải bất phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
26
Chương 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
§1. NGUYÊN HÀM
I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa nguyên hàm
F (x) được gọi là nguyên hàm của f(x) khi chỉ khi F
0
(x) = f(x), ta viết
Z
f(x) dx = F (x) + C. Do đó,
Z
f(x) dx = F (x) + C ⇔ F
0
(x) = f(x)
2. Tính chất nguyên hàm
a) Tính chất 1
Z
f(x) dx
0
= f(x) và
Z
f
0
(x) dx = f (x) + C.
b) Tính chất 2
Z
kf(x) dx = k
Z
f(x) dx, k là một số thực.
c) Tính chất 3
Z
f(x) ± g(x) dx =
Z
f(x) dx ±
Z
g(x) dx.
3. Nguyên hàm cơ bản
Z
0 dx = C.a)
Z
dx = x + C.b)
Z
x
n
dx =
1
n + 1
x
n+1
+ C (n 6= −1).c)
Z
1
x
dx = ln |x| + C.d)
Z
e
x
dx = e
x
+ C.e)
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C (a > 0, a 6= 1).f)
Z
cos x dx = sin x + C.g)
Z
sin x dx = −cos x + C.h)
Z
1
cos
2
x
dx = tan x + C.i)
Z
1
sin
2
x
dx = −cot x + Cj)
27
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý. Nếu
Z
f(x) = F (x) + C thì
Z
f(t)dt = F (t) + C.
Hệ quả. Công thức nguyên hàm mở rộng
Z
(ax + b)
n
dx =
1
a
1
n + 1
(ax + b)
n+1
+ C (n 6= −1).a)
Z
1
ax + b
dx =
1
a
ln |ax + b| + C.b)
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C.c)
Z
cos(ax + b) dx =
1
a
sin(ax + b) + C.d)
Z
sin(ax + b) dx = −
1
a
cos(ax + b) + C.e)
Z
1
cos
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax + b) + C.f)
Z
1
sin
2
(ax + b)
dx = −
1
a
cot(ax + b) + C.g)
Phương pháp đổi biến số
• Đặt t = (biểu thức).
• Tính dt = (biểu thức)
0
dx.
• Thay t và dt vào nguyên hàm ban đầu.
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
a. Bốn dạng nguyên hàm được tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Z
P (x) sin x dx.a)
Z
P (x) cos x dx.b)
Z
P (x)e
x
dx.c)
Z
P (x) ln x dx.d)
b. Công thức nguyên hàm từng phần
Z
u · v
0
dx = v · u −
Z
v · u
0
dx
c. Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho ba dạng a), b) và c)
Đặt u = P (x), v
0
=
sin x
cos x
e
x
. Suy ra u
0
= P
0
(x), v =
Z
sin x dx = −cos x
Z
cos x dx = sin x
Z
e
x
dx = e
x
.
Thay u, v, u
0
, v
0
vào công thức
Z
u · v
0
dx = v · u −
Z
v · u
0
dx.
d. Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho dạng d)
Đặt u = ln x, v
0
= P (x). Suy ra u
0
=
1
x
, v =
Z
P (x) dx.
Thay u, v, u
0
, v
0
vào công thức
Z
u · v
0
dx = v · u −
Z
v · u
0
dx.
§2. TÍCH PHÂN
I. CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì
Z
b
a
f(x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
28
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Sử dụng kết quả nguyên hàm cơ bản và mở rộng
Phương pháp.
a) Sử dụng công thức nguyên hàm để tính nguyên hàm.
b) Áp dụng công thức Newton-Leibniz tính tích phân.
2. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp.
a) Đặt t = (biểu thức), tính dt = (biểu thức)
0
dx.
b) Đổi cận.
c) Thay t, dt và cận mới vào tích phân ban đầu.
3. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần cũng được áp dụng cho 4 dạng tích phân
Z
b
a
P (x) sin x dx,
Z
b
a
P (x) cos x dx,
Z
b
a
P (x)e
x
dx,
Z
b
a
P (x) ln x dx.
Công thức tích phân từng phần
Z
b
a
u · v
0
dx = v · u
b
a
−
Z
b
a
v · u
0
dx
Phương pháp.
a) Đặt u, v
0
thích hợp.
b) Suy ra u
0
, v.
c) Áp dụng công thức tích phân từng phần.
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường: y = f(x), trục hoành, x = a, x = b
Công thức tính diện tích
Z
b
a
|f(x)| dx
x
y
0
a
b
y = f(x)
29
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
Công thức tính diện tích
S =
Z
b
a
|f(x) − g(x)| dx
O
x
y
f(x)
g(x)
a
b
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y = f(x), y = g(x)
Phương pháp.
a) Giải phương trình f(x) = g(x) và chọn nghiệm nhỏ nhất (giả sử x = a), chọn nghiệm lớn nhất (giả sử
x = b).
b) Áp dụng công thức tính diện tích
S =
Z
b
a
|f(x) − g(x)| dx
II. THỂ TÍCH
1. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H ) quanh trục Ox, hình (H ) giới hạn với bốn đường
y = f(x), trục hoành, x = a và x = b.
Công thức thể tích
V = π
Z
b
a
[f(x)]
2
dx
x
y
O
a
b
y = f(x)
M
O
N
I
y
x
S(x)
30
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H ) quanh trục Ox, hình (H ) giới hạn bởi bốn đường
y = f(x), y = g(x), x = a và x = b.
Công thức thể tích
V = π
Z
b
a
[f(x)]
2
− [g(x)]
2
dx
x
y
O
a
b
y = f(x)
y = g(x)
31
Chương 4
SỐ PHỨC
§1. SỐ PHỨC
I. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
• Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i
2
= −1 . Kí
hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
• i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.
• Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
Chú ý.
a) Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a = a + 0i.
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có R ⊂ C.
b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi, tức là bi = 0 + bi.
c) i
n
=
1 nếu n = 4k
i nếu n = 4k + 1
−1 nếu n = 4k + 2
−i nếu n = 4k + 3
(k ∈ N)
II. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
Hai số phức z = a + bi, z
0
= c + di được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng
nhau, tức là
a + bi = c + di ⇔
(
a = c
b = d
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Điểm M(a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là
điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
O
x
y
b
a
M
32
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
IV. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Định nghĩa.
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu
là z = a − bi. Tức là
a + bi = a − bi .
Tính chất.
• z = z.
• z = z ⇔ z có phần ảo bằng 0.
O
x
y
b
a
z = a + bi
−b
z = a − bi
V. MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của véc-tơ
−−→
OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Từ định nghĩa, suy ra |z| =
−−→
OM
hay |a + bi| =
−−→
OM
. Khi đó
|a + bi| =
p
a
2
+ b
2
.
O
x
y
b
a
M
§2. CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
I. PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC
1. Phép cộng hai số phức
Định nghĩa. Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R). Khi đó, ta có
(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i.
Tính chất của phép cộng số phức. Phép cộng số phức có tất cả các tính chất của phép cộng số thực.
• Tính chất kết hợp
(x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ C.
Do đó ta kí hiệu chung các số (x + y) + z và x + (y + z) là x + y + z.
Nếu z
1
= a
1
+ b
1
i, z
2
= a
2
+ b
2
i, . . . , z
n
= a
n
+ b
n
i (a
i
, b
i
∈ R, i = 1, 2, . . . , n) thì
z
1
+ z
2
+ ··· + z
n
= (a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
) + (b
1
+ b
2
+ ··· + b
n
)i.
• Tính chất giao hoán
x + y = y + x, ∀x, y ∈ C.
• Cộng với 0
z + 0 = 0 + z = z, ∀z ∈ C.
• Với mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức −a − bi là −z thì ta có
z + (−z) = (−z) + z = 0.
Số phức −z được gọi là số đối của số phức z. Điểm biểu diễn số phức z và điểm biểu diễn số đối của nó đối
xứng qua gốc tọa độ.
33
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
• Với mọi số phức z và w ta có
z + w = z + w.
• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
• |z + w| ≥ ||z| − |w||, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k < 0.
• |z + w| ≤ |z| + |w|, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k > 0.
2. Phép trừ hai số phức
Định nghĩa. Hiệu của hai số phức z và w là tổng của z với −w, tức là
z − w = z + (−w).
Nếu z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R) thì
z − w = (a − c) + (b − d)i.
Tính chất phép trừ hai số phức. Với mọi số phức z và w ta có
• z − w = z − w.
• |z − w| ≥ ||z| − |w||, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k > 0.
• |z − w| ≤ |z| + |w|, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k < 0.
3. Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức
Nếu z = a + bi, w = c + di (a, b, c, d ∈ R) lần lượt được biểu diễn bởi các véc-tơ
−→
u ,
−→
v thì z + w được biểu diễn bởi
−→
u +
−→
v , z −w được biểu diễn bởi
−→
u −
−→
v .
x
y
O
z
w
z + w
II. PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC
1. Định nghĩa.
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R). Khi đó ta có
z · w = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Chú ý. Với mọi số thực k ta có kz = ka + kbi. Đặc biệt 0 · z = 0.
2. Tính chất phép nhân hai số phức.
Phép nhân hai số phức có tất cả các tính chất của phép nhân hai số thực.
• Tính chất kết hợp
(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ C.
Do đó ta kí hiệu các số phức (xy)z và x(yz) là xyz.
Đặc biệt ta kí hiệu z
n
= z · z · z ···z
| {z }
n số phức z
(n ∈ N
∗
).
• Tính chất giao hoán
xy = yx, ∀x, y ∈ C.
34
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
• Nhân với 1
1 · z = z · 1 = z, ∀z ∈ C.
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ C.
• Với mọi số phức z, w ta đều có
zw = z ·w,
zz = |z|
2
,
|z · w| = |z| · |w|.
§3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC
I. ĐỊNH NGHĨA
Nếu c + di = (a + bi)z thì số phức z được gọi là thương của phép chia c + di cho a + bi khác 0.
II. CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
Cho hai số phức z
1
= a + bi, z
2
= c + di trong đó z
2
6= 0. Khi đó thương của phép chia z
1
cho z
2
được xác định
như sau
z
1
z
2
=
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
c
2
+ d
2
=
(ac + bd) − (ad + bc)i
c
2
+ d
2
.
III. TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
Cho hai số phức z, w trong đó w 6= 0. Khi đó,
•
z
w
=
z
w
.
•
z
w
=
|z|
|w|
.
§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
Cho a là số thực âm. Hai căn bậc hai của a là ±i
p
|a|.
II. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt thức ∆ = b
2
− 4ac của phương trình.
Khi đó:
• Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = −
b
2a
.
• Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x
1,2
=
−b ±
√
∆
2a
.
• Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x
1,2
=
−b ± i
p
|∆|
2a
.
III. ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C
Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0 thì
x
1
+ x
2
= −
b
a
x
1
x
2
=
c
a
.
35
Phần II
HÌNH HỌC 12
36
Chương 1
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
§1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
I. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh
chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
2. Mặt phẳng đối xứng của một hình
Mặt phẳng (P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H) khi phép đối xứng qua (P ) biến hình (H) thành
chính nó.
3. Khái niệm khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Ví dụ Những hình sau đây là khối đa diện
Ví dụ Những hình sau đây là không phải là khối đa diện
37
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
II. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN
Khối đa diện ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
được chia thành nhiều tứ
diện nhỏ, đó là các tứ diện A.A
0
B
0
D
0
, C.B
0
C
0
D
0
, B
0
.ABC,
D
0
.ACD và C.AB
0
D
0
.
Do đó, V
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
= V
A.A
0
B
0
D
0
+ V
C.B
0
C
0
D
0
+ V
B
0
.ABC
+
V
D
0
.ACD
+ V
C.AB
0
D
0
A
B
C
0
CD
A
0
B
0
D
0
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu định nghĩa hình đa diện, khối đa diện?
Câu 2. Nêu định nghĩa mặt phẳng đối xứng của một hình?
§2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Định nghĩa. Một khối đa diện được gọi là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía với mỗi
mặt phẳng chứa một mặt bên của nó.
II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
1. Định nghĩa khối đa diện đều
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Một khối đa diện có đặc điểm như trên được ký hiệu là {p; q}.
2. Phân loại khối đa diện lồi
Có 5 loại khối đa diện đều
Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt Số mặt phẳng đối xứng
{3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 6
{4; 3} Lập phương 8 12 6 9
{3; 4} Bát diện đều 6 12 8 9
{5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12
{3;5} Hai mươi mặt đều 12 30 20
38
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng số mặt của khối đa diện đều loại {p; q}.
Ta có qĐ = 2C = pM.
III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Định nghĩa khối đa diện lồi?
Câu 2. Định nghĩa khối đa diện đều?
Câu 3. Vẽ bảng phân loại 5 khối đa diện đều?
§3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1. Công thức thể tích khối chóp tổng quát
Trong hình bên, hình chóp S.ABCD có SH ⊥ (ABCD). Khi đó, SH là
đường cao có chiều dài h, ABCD là đáy có diện tích S
đáy
.
Thể tích khối chóp là
V =
1
3
· S
đáy
· h
B
A H
C
S
D
2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc mặt đáy
Trong hình bên, chình chóp S.ABCD có cạnh bên SB ⊥ (ABCD) nên
công thức thể tích là
V =
1
3
· S
đáy
· SB
B
A
C
S
D
39
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
3. Khối chóp tam giác đều
Cho hình chóp đều S.ABC.
• Trong hình vẽ là hình chóp tam giác đều S.ABC. Khi đó,
X SA = SB = SC.
X 4ABC là tam giác đều.
X 4SAB, 4SAC, 4SBC cân tại S.
X SG ⊥ (ABC) tại G với G là trọng tâm 4ABC.
• Công thức thể tích V =
1
3
· S
4ABC
· SG
B
N
A
M
S
C
G
4. Khối chóp tứ giác đều
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
• Trong hình vẽ là hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khi đó,
X SA = SB = SC = SD.
X ABCD là hình vuông.
X SO ⊥ (ABCD).
• Công thức thể tích V =
1
3
· S
ABCD
· SO
B
A
D
S
C
O
5. Công thức tỉ số thể tích
Cho khối chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm
A
0
, B
0
, C
0
. Khi đó
V
S.ABC
V
S.A
0
B
0
C
0
=
SA
SA
0
·
SB
SB
0
·
SC
SC
0
.
A
A
0
C
C
0
B
0
B
S
II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
1. Công thức thể tích khối lăng trụ tổng quát
40
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong hình bên, hình lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có
A
0
H ⊥ (ABCD). Khi đó, A
0
H là đường cao có độ
dài h, ABCD là đáy có diện tích S
đáy
.
Thể tích khối lăng trụ là
V = S
đáy
· h
B
A
A
0
H
C
B
0
C
0
D
0
D
2. Khối lăng trụ đứng
Hình bên là khối lăng trụ đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khi đó, A
0
A
là đường cao của hình lăng trụ, ABCD là đáy có diện tích S
đáy
.
Thể tích khối lăng trụ là
V = S
đáy
· A
0
A
B
A
A
0
C
B
0
C
0
D
0
D
III. ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ
1. Công thức trong tam giác vuông
Trong hình vẽ bên là tam giác ABC vuông tại A.
A
B C
cạnh góc vuông 1
cạnh góc vuông 2
đường cao
đường trung tuyến
cạnh huyền
a) Công thức Pi-ta-go
(cạnh huyền)
2
= (cạnh góc vuông 1)
2
+ (cạnh góc vuông 2)
2
b) Đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A
(đường trung tuyến) =
(cạnh huyền)
2
41
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
c) Đường cao vẽ từ đỉnh A
(đường cao) =
(cạnh góc vuông 1) · (cạnh góc vuông 2)
(cạnh huyền)
d) Công thức lượng giác của góc
’
ABC
(a) sin
’
ABC =
(đối)
(huyền)
=
AC
BC
.
(b) cos
’
ABC =
(kề)
(huyền)
=
AB
BC
.
(c) tan
’
ABC =
(đối)
(kề)
=
AC
AB
.
2. Công thức trong tam giác đều
Trong hình bên là tam giác ABC đều, CM vừa là đường trung tuyến, vừa là
đường cao, vừa là đường phân giác vẽ từ đỉnh C của tam giác ABC. Khi đó, một
số tính chất của tam giác cần được ghi nhớ
• Cả ba đường cao của tam giác đều thì bằng nhau, hơn nữa chúng cũng là
đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác
• Công thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác đều
CM =
(cạnh) ·
√
3
2
C
BA M
3. Công thức diện tích thường gặp
a) Công thức diện tích của tam giác vuông
S =
1
2
(cạnh góc vuông 1) · (cạnh góc vuông 2)
cạnh góc vuông 1
cạnh góc vuông 2
b) Công thức diện tích của tam giác đều
Cho tam giác ABC đều. Khi đó, diện tích tam giác được tính bằng công thức
S
4ABC
=
(cạnh)
2
·
√
3
4
cạnh
cạnh
cạnh
c) Công thức diện tích của hình vuông
S = (cạnh)
2
(đường chéo) = (cạnh) ·
√
2
cạnh
cạnh
cạnh
cạnh
đường chéo
42
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
d) Công thức diện tích của hình chữ nhật
S = (chiều dài) · (chiều rộng)
chiều rộng
chiều dài
e) Công thức diện tích của hình thang vuông
S =
(đáy lớn) + (đáy bé)
2
· (đường cao)
đường cao
đáy lớn
đáy bé
f) Công thức diện tích của hình thoi
S =
1
2
· (đường chéo 1) · (đường chéo 2)
đường chéo 1
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tổng quát?
Câu 2. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy?
Câu 3. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tam giác đều?
Câu 4. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tứ giác đều?
Câu 5. Nêu (viết) công thức tỉ số thể tích?
Câu 6. Nêu (viết) công thức thể tích khối lăng trụ tổng quát?
Câu 7. Nêu (viết) công thức thể tích khối lăng trụ đứng?
Câu 8. Nêu (viết) 4 nhóm công thức trong tam giác vuông?
Câu 9. Nêu (viết) công thức tính đường trung tuyến, đường cao của tam giác đều? Công thức tính đường chéo
của hình vuông?
Câu 10. Nêu (viết) các công thức tính diện tích hình tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật,
hình thang vuông và hình thoi?
43
Chương 2
KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
§1. KHỐI NÓN
I. KHÁI NIỆM HÌNH NÓN
Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh
cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình gọi là
hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
I
O
M
II. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN
• r là bán kính đường tròn đáy.
• h là chiều cao của hình nón.
• l là đường sinh của hình nón.
h
r
I
O
M
l
III. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN
1. Diện tích xung quanh hình nón
S
xq
= π · r · l
2. Diện tích toàn phần hình nón
S
tp
= π · r · l + π · r
2
44
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
3. Thể tích khối nón
V =
1
3
· π · r
2
· h
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Cho tam giác OIM vuông tại I, nêu cách tạo hình nón? Nêu các yếu tố của hình nón?
Câu 2. Nêu các công thức tính diện tích của hình nón?
Câu 3. Nêu công thức tính thể tích khối nón?
§2. KHỐI TRỤ
I. KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ
Cho hình chữ nhật AOO
0
D quay xung quanh cạnh OO
0
, thì đường gấp khúc OADO
0
tạo
thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.
A
D
O
O
0
II. CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ
• l là đường sinh của hình trụ.
• r là bán kính đường tròn đáy của hình trụ.
• h là chiều cao của hình trụ.
hl
r
A
D
O
O
0
III. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ
1. Diện tích xung quanh hình trụ
S
xq
= 2π · r · l
2. Diện tích toàn phần hình trụ
S
tp
= 2π · r · l + 2π · r
2
3. Thể tích khối trụ
V = π · r
2
· h
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu cách tạo ra hình trụ từ hình chữ nhật OO
0
DA? Nêu các yếu tố của hình trụ?
Câu 2. Nêu công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ?
Câu 3. Nêu công thức tính thể tích của khối trụ?
45
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
§3. KHỐI CẦU
I. KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU
r là bán kính của hình cầu.
r
II. DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1. Diện tích hình cầu
S = 4π · r
2
2. Thể tích khối cầu
V =
4
3
π · r
3
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R, d là khoảng cách từ tâm O đến (P ).
So sánh Vị trí tương đối
Đặc điểm
Hình minh họa
d < R (P ) và (S) cắt nhau
Thiết diện là đường tròn có bán
kính r =
√
R
2
− d
2
d = R (P ) và (S) tiếp xúc nhau
(P ) gọi là tiếp diện
O
H
P
d > R (P ) và (S) không cắt nhau
O
H
P
46
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu công thức tính diện tích hình cầu? Nêu công thức tính thể tích khối cầu?
Câu 2. Mô tả các vị trí tương đối của khối cầu với mặt phẳng?
47
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ba tia Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc nhau như
hình vẽ bên.
• Các véc-tơ
~
i,
~
j,
~
k là các véc-tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz.
• |
~
i| = 1, |
~
j| = 1, |
~
k| = 1.
•
~
i ·
~
j = 0,
~
i ·
~
k = 0,
~
j ·
~
k = 0.
•
~
i = (1; 0; 0),
~
j = (0; 1; 0),
~
k = (0; 0; 1).
x
−→
i
y
−→
j
z
−→
k
O
M
x
M
y
M
z
M
II. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ
Cho A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
) và C(x
C
; y
C
; z
C
)
a) ~a = (a
1
; a
2
; a
3
) ⇔ ~a = a
1
·
~
i + a
2
·
~
j + a
3
·
~
k.
b) M(x; y; z) ⇔
−−→
OM = x ·
~
i + y ·
~
j + z ·
~
k.
• M ≡ O ⇒ x = y = z = 0 −→ M(0; 0; 0).
• M ∈ (Oxy) ⇒ z = 0 −→ M(x; y; 0).
• M ∈ (Oxz) ⇒ y = 0 −→ M(x; 0; z).
• M ∈ (Oyz) ⇒ x = 0 −→ M (0; y; z).
• M ∈ Ox ⇒ y = z = 0 −→ M(x; 0; 0).
• M ∈ Oy ⇒ x = z = 0 −→ M(0; y; 0).
• M ∈ Oz ⇒ x = y = 0 −→ M(0; 0; z).
c)
−−→
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
; z
B
− z
A
).
d) M là trung điểm của đoạn AB, ta có
x
M
=
x
A
+ x
B
2
; y
M
=
y
A
+ y
B
2
; z
M
=
z
A
+ z
B
2
.
e) G là trọng tâm của 4ABC, ta có
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
; y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
; z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
3
.
48
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
f) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k 6= 0), nghĩa là
−−→
MA = k
−−→
MB, toa độ điểm M là
x
M
=
x
A
− kx
B
1 − k
; y
M
=
y
A
− ky
B
1 − k
; z
M
=
z
A
− kz
B
1 − k
.
III. HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU
Cho hai véc-tơ ~a = (a
1
; a
2
; a
3
) và
~
b = (b
1
; b
2
; b
3
). Khi đó,
a) ~a =
~
b ⇔
a
1
= b
1
a
2
= b
2
a
3
= b
3
(hoành = hoành; tung = tung; cao = cao).
b) ~a +
~
b = (a
1
+ b
1
; a
2
+ b
2
; a
3
+ b
3
).
c) ~a −
~
b = (a
1
− b
1
; a
2
− b
2
; a
3
− b
3
).
d) k ·~a = (ka
1
; ka
2
; ka
3
).
e) m~a ± n
~
b = (ma
1
± nb
1
; ma
2
± nb
2
; ma
3
± nb
3
).
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
a) ~a ·
~
b = |~a| · |
~
b|cos(~a,
~
b) = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
.
b) |~a| =
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
.
c) AB =
p
(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z
B
− z
A
)
2
.
d) cos(~a,
~
b) =
~a ·
~
b
|~a| · |
~
b|
=
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
·
p
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
.
e) ~a⊥
~
b ⇔ ~a ·
~
b = 0 ⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0.
V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
a) [~a,
~
b] = ~a ∧
~
b =
a
2
a
3
b
2
b
3
;
a
3
a
1
b
3
b
1
;
a
1
a
2
b
1
b
2
= (a
2
b
3
− a
3
b
2
; a
3
b
1
− a
1
b
3
; a
1
b
2
− a
2
b
1
).
b) [~a,
~
b] = −[
~
b,~a].
c) [~a,
~
b]⊥~a; [~a,
~
b]⊥
~
b.
d)
[~a,
~
b]
= |~a| ·
~
b · sin(~a,
~
b).
e) ~a cùng phương
~
b ⇔ [~a,
~
b] =
~
0 ⇔
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
a
3
b
3
(nếu b
1
b
2
b
3
6= 0).
f) ~a,
~
b, ~c đồng phẳng ⇔ [~a,
~
b] ·~c = 0.
g) A, B, C thẳng hàng ⇔
−−→
AB cùng phương
−→
AC ⇔
h
−−→
AB,
−→
AC
i
=
~
0.
h) A, B, C, D đồng phẳng ⇔
h
−−→
AB,
−→
AC
i
·
−−→
AD = 0.
i) Diện tích tam giác ABC là S
4ABC
=
1
2
h
−−→
AB,
−→
AC
i
.
A
B C
D
49
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
j) Thể tích khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
là V
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
=
h
−−→
AB,
−−→
AD
i
·
−−→
AA
0
.
A
0
A D
B
C
D
0
C
0
B
0
k) Thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
là V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
1
2
h
−−→
AB,
−→
AC
i
·
−−→
AA
0
A
B C
A
0
B
0
C
0
l) Thể tích khối tứ diện SABC là V
SABC
=
1
6
h
−→
SA,
−→
SB
i
·
−→
SC
.
A
B
C
S
VI. QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ
Cho ~a = (a
1
; a
2
; a
3
),
~
b = (b
1
; b
2
; b
3
). Khi đó,
1. Hai véc-tơ vuông góc
~a⊥
~
b ⇔ ~a ·
~
b = 0 ⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0.
Chú ý.
• Tam giác ABC vuông tại A ⇔
−−→
AB⊥
−→
AC = 0.
• Đường thẳng d⊥(ABC) ⇔
(
d⊥AB
d⊥AC
.
2. Hai véc-tơ cùng phương
~a cùng phương
~
b ⇔
h
~a,
~
b
i
=
~
0 ⇔
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
a
3
b
3
(nếu b
1
b
2
b
3
6= 0)
Chú ý.
• A, B, C thẳng hàng ⇔
−−→
AB cùng phương với
−→
AC.
• A, B, C là ba đỉnh của tam giác ⇔ A, B, C không thẳng hàng ⇔
−−→
AB và
−→
AC không cùng phương ⇔
h
−−→
AB,
−→
AC
i
6=
~
0 ⇔ Hai trong ba tỉ lệ
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
3
b
3
khác nhau (b
1
b
2
b
3
6= 0).
• ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD ⇔
−−→
AB cùng phương với
−−→
DC.
50
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3. Hai véc-tơ bằng nhau
~a =
~
b ⇔
a
1
= b
1
a
2
= b
2
a
3
= b
3
; ~a = k
~
b ⇔
a
1
= kb
1
a
2
= kb
2
a
3
= kb
3
; m~a = n
~
b ⇔
ma
1
= nb
1
ma
2
= nb
2
ma
3
= nb
3
Chú ý. ABCD là hình bình hành ⇔
−−→
AB =
−−→
DC hoặc
−−→
AD =
−−→
BC.
4. Góc
cos(~a,
~
b) =
~a ·
~
b
|~a| · |
~
b|
=
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
·
p
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
Chú ý.
• Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng AC và BD. Khi đó
cos φ =
|
−−→
AB ·
−−→
CD|
AB · CD
.
• Góc
b
A của tam giác ABC được tính bằng công thức
cos
b
A =
−−→
AB ·
−→
AC
AB · AC
.
5. Ba véc-tơ đồng phẳng
Ba véc-tơ ~a,
~
b,~c đồng phẳng ⇔
h
~a,
~
b
i
·~c = 0.
Chú ý.
• A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔ A, B, C, D không đồng phẳng ⇔
h
−−→
AB,
−→
AC
i
·
−−→
AD 6= 0.
• A, B, C, D lập thành tứ giác ⇔ A, B, C, D đồng phẳng ⇔
h
−−→
AB,
−→
AC
i
·
−−→
AD = 0.
VII. CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN
1. Trung điểm đoạn thẳng
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
x
M
=
x
A
+ x
B
2
y
M
=
y
A
+ y
B
2
z
M
=
z
A
+ z
B
2
.
2. Các điểm đặc biệt trong tam giác
Cho tam giác ABC, một số điểm đặc biệt trong tam giác được xác định như sau
• Trọng tâm G của 4ABC ⇔
−−→
OG =
1
3
−→
OA +
−−→
OB +
−−→
OC
=
~
0 ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
3
.
• H là trực tâm của 4ABC ⇔
−−→
AH⊥
−−→
BC
−−→
BH⊥
−→
AC
−−→
AH ·
h
−−→
AB,
−→
AC
i
= 0
.
51
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• A
0
là chân đường cao của 4ABC ⇔
−−→
AA
0
⊥
−−→
BC
−−→
BA
0
= k
−−→
BC
.
• D là chân đường phân giác trong của góc
b
A của 4ABC ⇔
−−→
DB = −
AB
AC
−−→
DC.
• E là chân đường phân giác ngoài của góc
b
A của 4ABC ⇔
−−→
EB =
AB
AC
−−→
EC.
• I là tâm đường tròn nội tiếp 4ABC ⇔ a ·
−→
IA + b ·
−→
IB + c ·
−→
IC =
~
0 trong đó a = BC, b = AC và c = AB.
3. Các điểm đặc biệt trong tứ diện
Cho tứ diện ABCD, một số điểm đặc biệt thường gặp
• G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
4
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
+ y
D
4
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
+ z
D
4
.
• H là hình chiếu của A lên (BCD) ⇔
−−→
AH⊥
−−→
BC
−−→
BH⊥
−−→
BD
−−→
BH ·
h
−−→
BC,
−−→
BD
i
= 0
.
§2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
• Véc-tơ ~n 6=
~
0 được gọi là véc-tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) nếu giá của nó vuông góc với (α).
~n
~n =
h
~a,
~
b
i
~
b
~a
• Nếu hai véc-tơ ~a,
~
b (khác
~
0 và không cùng phương với nhau) có giá song song hoặc nằm trên (α) thì ~a,
~
b được
gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của (α).
Khi đó, (α) có một véc-tơ pháp tuyến là ~n =
h
~a,
~
b
i
.
II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng
ax + by + cz + d = 0
trong đó a
2
+ b
2
+ c
2
6= 0, véc-tơ ~n = (a; b; c) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTPT là ~n = (a; b; c) có phương trình là
(α): a(x − x
0
) + b(y − y
0
) + c(z −z
0
) = 0.
52
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN
Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; b; 0) ∈ Oy, C(0; 0; c) ∈ Oz
(a, b, c 6= 0). Phương trình mặt phẳng có dạng
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
x
y
z
O
A
B
C
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT
(α): ax + by + d = 0 −→ (α) k Oz.a) (α): ax + by = 0 −→ (α) ⊃ Oz.b)
(α): ax + d = 0 −→ (α) k (Oyz).c) (α): ax = 0 −→ (α) ≡ (Oyz).d)
(α): ax + by + cz = 0 −→ (α) đi qua gốc tọa độ.e)
Các trường hợp còn lại tương tự.
V. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Cho hai mặt phẳng (α) k (β) và mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0. Khi đó, mặt phẳng (β) có phương trình
tổng quát là
ax + by + cz + d
0
= 0
trong đó d 6= d
0
.
§3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
• Véc-tơ ~a 6=
~
0 được gọi là véc-tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó cùng phương (song
song hoặc trùng) với d.
d
−→
a
−→
b
• Nếu hai véc-tơ ~u, ~v (khác
~
0, có giá vuông góc với d và không cùng phương với nhau) thì đường thẳng d
có véc-tơ chỉ phương là ~a = [~u, ~v].
II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có véc-tơ chỉ phương ~a = (a; b; c), có phương trình tham số là
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
(t ∈ R).
53
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT
• Đường thẳng x
0
Ox có phương trình tham số là
x = t
y = 0
z = 0.
• Đường thẳng y
0
Oy có phương trình tham số là
x = 0
y = t
z = 0.
• Đường thẳng z
0
Oz có phương trình tham số là
x = 0
y = 0
z = t.
IV. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có véc-tơ chỉ phương ~a = (a; b; c) (abc 6= 0) thì phương trình chính
tắc của d là
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
.
V. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Nếu d:
x = x
0
+ a
1
t
y = y
0
+ a
2
t
z = z
0
+ a
3
t
và d k d
0
thì d
0
có véc-tơ chỉ phương là ~u
d
0
= (a
1
; a
2
; a
3
).
VI. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Nếu đường thẳng d⊥(P ) và (P ) : ax + by + cz + d = 0 thì ~u
d
= (a; b; c) là véc-tơ chỉ phương của d.
§4. KHOẢNG CÁCH
I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG
Khoảng cách từ điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0 được tính bằng công thức
d(M, (P )) =
|ax
0
+ by
0
+ cz
0
+ d|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
II. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Khoảng cách từ điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) đến đường thẳng ∆ :
x = x
1
+ at
y = y
1
+ bt
z = z
1
+ ct
được tính bằng công thức
d(M, ∆) =
h
−−−→
MM
1
, ~u
i
|~u|
trong đó M
1
(x
1
; y
1
; z
1
) là điểm tùy ý trên đường thẳng ∆, véc-tơ ~u là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Hai mặt phẳng (P ): ax + by + cz + d = 0, (Q): ax + by + cz + d
0
= 0 song song với nhau. Khoảng cách giữa (P )
và (Q) được tính bằng công thức
d((P ), (Q)) =
|d − d
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
54
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• ∆
0
đi qua điểm M
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
) và có VTCP là
~
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
).
song song nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆
0
là khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) đến đường thẳng
∆.
V. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• ∆
0
đi qua điểm M
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
) và có VTCP là
~
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
).
chéo nhau. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d
0
được tính bằng công thức
d(∆, ∆
0
) =
h
~u,
~
u
0
i
·
−−−→
MM
0
h
~u,
~
u
0
i
.
VI. KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT
MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng và mặt phẳng
• đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• mặt phẳng (P ): ax + by + cz + d = 0.
song song nhau. Khoảng cách giữa ∆ và (P ) là khoảng cách từ M (x
0
; y
0
; z
0
) đến (P ).
§5. TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM
I. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp. Tìm hình chiếu của điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) lên mặt phẳng (P ): ax + by + cz + d = 0, thực hiện theo
các bước
• Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P ), viết phương trình đường thẳng d.
• Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ).
• Kết luận tọa độ hình chiếu.
II. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG
Giả sử H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (α) và M
0
đối xứng với M qua (α). Khi đó, H là trung điểm
của đoạn MM
0
.
III. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp. Tìm hình chiếu của điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) lên đường thẳng d:
x = x
1
+ at
y = y
1
+ bt
z = z
1
+ ct
, thực hiện theo các bước
• Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d, viết phương trình mặt phẳng (P ).
• Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ).
• Kết luận tọa độ hình chiếu.
55
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng ∆ và M
0
đối xứng với M qua ∆. Khi đó, H là trung điểm
của đoạn MM
0
.
V. ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM
Giả sử M
0
đối xứng với M qua điểm I. Khi đó, I là trung điểm của đoạn MM
0
.
§6. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
• Mặt cầu (S) tâm là điểm I(a; b; c), bán kính R có bán kính là
(S): (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
I
M
R
• Phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by − 2cz + d = 0
là phương trình mặt cầu khi điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
− d > 0 được thỏa mãn. Khi điều kiện được thỏa mãn,
phương trình trên là phương trình mặt cầu có tâm là điểm I(a; b; c), bán kính R =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
− d.
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP
XÚC
Giả sử mặt cầu (S) có tâm là điểm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (α): mx + ny + pz + r = 0. Khi đó, phương
trình mặt cầu (S) là
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
trong đó R = d(I, (α)) =
|ma + nb + pc + r|
p
m
2
+ n
2
+ p
2
.
III. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
TIẾP XÚC
Giả sử mặt cầu (S) có tâm là điểm I(a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng ∆:
x = x
0
+ mt
y = y
0
+ nt
z = z
0
+ pt
. Khi đó, phương trình
mặt cầu (S) là
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
trong đó R = d(I, ∆) =
h
−−→
IM , ~u
i
|~u|
, điểm M(x
0
; y
0
; z
0
), ~u = (m; n; p).
56
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cách 1.
Cho hai mặt phẳng (α) : ax + by + cz + d = 0 và (α
0
): a
0
x + b
0
y + c
0
z + d
0
= 0 (a
0
b
0
c
0
d
0
6= 0). Khi đó
• Nếu
a
a
0
=
b
b
0
=
c
c
0
6=
d
d
0
thì (α) k (α
0
).
• Nếu
a
a
0
=
b
b
0
=
c
c
0
=
d
d
0
thì (α) ≡ (α
0
).
• Các trường hợp còn lại thì (α) cắt (α
0
).
Cách 2.
Cho hai mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) nhận ~n = (a; b; c) làm VTPT; (α
0
) đi qua điểm M
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
)
nhận
~
n
0
= (a
0
; b
0
; c
0
) làm VTPT. Khi đó
• Nếu
h
~n,
~
n
0
i
6=
~
0 thì (α) cắt (α
0
).
• Nếu
h
~n,
~
n
0
i
=
~
0 và M ∈ (α
0
) thì (α) ≡ (α
0
).
• Nếu
h
~n,
~
n
0
i
=
~
0 và M /∈ (α
0
) thì (α) k (α
0
).
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có véc-tơ chỉ phương ~u = (a; b; c).
• ∆
0
đi qua điểm M
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
) và có véc-tơ chỉ phương
~
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
).
Khi đó,
• Nếu
h
~u,
~
u
0
i
6=
~
0 thì ∆ và ∆
0
cắt hoặc chéo nhau.
– Nếu
h
~u,
~
u
0
i
·
−−−→
MM
0
6= 0 thì ∆ và ∆
0
chéo nhau.
– Nếu
h
~u,
~
u
0
i
·
−−−→
MM
0
= 0 thì ∆ và ∆
0
cắt nhau.
• Nếu
h
~u,
~
u
0
i
=
~
0 thì ∆ và ∆
0
song song hoặc trùng nhau.
– Nếu
h
~u,
−−−→
MM
0
i
6=
~
0 thì ∆ và ∆
0
song song nhau.
– Nếu
h
~u,
−−−→
MM
0
i
=
~
0 thì ∆ và ∆
0
trùng nhau.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt cầu (S
0
) tâm I
0
bán kính R
0
. Khi đó,
• R + R
0
= II
0
thì (S) và (S
0
) tiếp xúc nhau (tiếp xúc ngoài).
• |R − R
0
| = II
0
thì (S) và (S
0
) tiếp xúc nhau (tiếp xúc trong).
• R + R
0
< II
0
thì (S) và (S
0
) không có điểm chung.
• R + R
0
> II
0
thì (S) và (S
0
) cắt nhau.
57
Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng ∆ :
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
và mặt phẳng (α) : mx+ny+pz+r = 0. Xét hệ phương trình
x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
z = z
0
+ ct
mx + ny + pz + r = 0
.
Khi đó,
• Nếu hệ phương trình có một nghiệm (x; y; z) thì ∆ cắt (α) tại một điểm M(x; y; z).
• Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì ∆ k (α).
• Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì ∆ ⊂ (α).
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt phẳng (α). Khi đó,
• Nếu d(I, (α)) = R thì (α) tiếp xúc (S).
• Nếu d(I, (α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung.
• Nếu d(I, (α)) < R thì (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I
0
(I
0
là hình chiếu của I lên (α)) bán
kính r =
p
R
2
− d
2
(I, (α)).
§8. GÓC
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) có VTPT là ~n = (a; b; c) và mặt phẳng (α
0
) có VTPT là
~
n
0
= (a
0
; b
0
; c
0
). Khi đó, góc φ giữa
(α) và (α
0
) được tính bằng công thức
cos φ =
|~n ·
~
n
0
|
|~n| · |
~
n
0
|
=
|aa
0
+ bb
0
+ cc
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
√
a
02
+ b
02
+ c
02
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng ∆ có VTCP là ~u = (a; b; c) và đường thẳng ∆
0
có VTCP là
~
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
). Khi đó, góc φ giữa
∆ và ∆
0
được tính bằng công thức
cos φ =
|~u ·
~
u
0
|
|~u| · |
~
u
0
|
=
|aa
0
+ bb
0
+ cc
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
√
a
02
+ b
02
+ c
02
III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) có VTPT là ~n = (a; b; c) và đường thẳng ∆ có VTCP là ~u = (a
0
; b
0
; c
0
). Khi đó, góc φ giữa (α)
và ∆ được tính bằng công thức
sin φ =
|~n · ~u|
|~n| · |~u|
=
|aa
0
+ bb
0
+ cc
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
√
a
02
+ b
02
+ c
02
58
| 1/59
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THĂNG LONG NỘI DUNG KHẢO BÀI TOÁN 12 LƯU HÀNH NỘI BỘ Mục lục I GIẢI TÍCH 12 5 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 6 1.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.
ÔN TẬP ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.
ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III.
BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 V.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I. ĐỊNH NGHĨA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.
MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.
PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 IV. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V.
MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.
ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.
THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.
ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.
THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.
SỰ TƯƠNG GIAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I.
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.
SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.
Đồ thị hàm số y = |f (x)|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.
Đồ thị hàm số y = f (|x|)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.
Đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2
HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 17 1.
LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.
ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II. CÔNG THỨC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.
SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.
HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC I.
ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.
ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.
KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.
LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.
ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II.
CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.
HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 I.
HÀM SỐ MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.
HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III. BÀI TOÁN LÃI SUẤT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . 24 II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN . . . . . . . . . 25 II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 27 1. NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.
TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.
CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.
THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 SỐ PHỨC 32 1.
SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I.
ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 II.
HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV.
SỐ PHỨC LIÊN HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 V. MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.
CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I.
PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.
PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.
PHÉP CHIA SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I. ĐỊNH NGHĨA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II.
CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 III.
TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 II.
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC . . . . . . . 35 III.
ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C . . . . . . . . 35 2 Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC II HÌNH HỌC 12 36 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 37 1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.
KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.
PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.
KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 III.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III.
ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2
KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU 44 1.
KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 I.
KHÁI NIỆM HÌNH NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.
KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I.
KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.
KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 I.
KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . 46 II.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 IV.
CÂU HỎI KHẢO BÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 48 1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II.
TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.
HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU . . . . . . . . . . 49 IV.
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 V.
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 VI.
QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 VII.
CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I.
VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 IV.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 V.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.
VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 II.
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 IV.
PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Trường THPT Thăng Long MỤC LỤC V.
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 VI.
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.
KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 54 III.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . . . . . 54 IV.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU . . . . . . . . . . 55 V.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 VI.
KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG . 55 5.
TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 IV.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . 56 V.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 II.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC . . . . 56 III.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC . . 56 7.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 I.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 IV.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 58 V.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.
GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 II.
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Phần I GIẢI TÍCH 12 5 Chương 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM §1.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. ÔN TẬP ĐẠO HÀM 1.
Đạo hàm một số hàm số sơ cấp
a) (c)0 = 0 trong đó c là một số bất kỳ.
b) (xn)0 = nxn−1 trong đó n là số cho trước. √ 1 c) ( x)0 = √ . d) (sin x)0 = cos x. 2 x 1 e) (cos x)0 = − sin x. f) (tan x)0 = . cos2 x 1 g) (cot x)0 = − . sin2 x 2.
Công thức đạo hàm mở rộng √ u0
a) (un)0 = nun−1 · u0 trong đó n là số cho trước. b) ( u)0 = √ . 2 u c) (sin u)0 = u0 · cos u. d) (cos u)0 = −u0 · sin u. u0 u0 e) (tan u)0 = . f) (cot u)0 = − . cos2 u sin2 u 3. Quy tắc tính đạo hàm
a) (k · u)0 = k · u0 trong đó k là số cho trước. b) (u + v)0 = u0 + v0. c) (u − v)0 = u0 − v0.
d) (u · v)0 = u0 · v + u · v0. u 0 u0 · v − u · v0 e) = . v v2 4.
Công thức tính nhanh đạo hàm 1 0 1 1 0 u0 a) = − . b) = − . x x2 u u2 ax + b 0 ad − bc ax2 + bx + c 0
(ab0 − a0b)x2 + 2(ac0 − a0c)x + (bc0 − b0c) c) = . d) = . cx + d (cx + d)2 a0x2 + b0x + c0 (a0x2 + b0x + c0)2 6 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM II.
ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ 1.
Điều kiện có nghĩa của một biểu thức f (x) a) Biểu thức dạng
có điều kiện là g(x) 6= 0.
b) Biểu thức dạng pf (x) có điều kiện là f (x) ≥ 0. g(x) f (x) π c) Biểu thức dạng
có điều kiện là g(x) > 0.
d) Biểu thức chứa tan α có điều kiện là α 6= + kπ. pg(x) 2
e) Biểu thức chứa cot α có điều kiện là α 6= kπ. 2.
Các bước tìm tập xác định hàm số
a) Tìm điều kiện có nghĩa cho hàm số. b) Giải điều kiện.
c) Kết luận tập xác định. 3. Chú ý
a) Trường hợp hàm số không có điều kiện xác định, nghĩa là hàm số có tập xác định là R.
b) Các hàm đa thức đều có tập xác định là R. III.
BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Các bước lập bảng biến thiên của một hàm số y = f (x) gồm
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính y0, giải phương trình y0 = 0 tìm nghiệm x. c) Vẽ bảng biến thiên. IV.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.
Định nghĩa về tính đồng biến, tính nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D. Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f (a) < f (b).
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu với a, b ∈ D mà a < b thì f (a) > f (b). 2.
Mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số với đạo hàm
Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên D. Khi đó,
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f 0(x) > 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên D nếu f 0(x) < 0 với mọi x ∈ D.
Chú ý. Nếu biết chắc chắn hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến (hàm nhất biến là hàm có dạng ax + b y = ) thì cx + d
a) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f 0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D.
b) Hàm số y = f (x) đồng biến trên D nếu f 0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ D. 7 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 3.
Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc ba
Hàm số bậc ba là hàm số có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có các tính chất sau
a) Nếu y0 = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số đồng biến (khi a > 0) hoặc nghịch biến (khi a < 0) trên R.
b) Nếu y0 = 0 có 2 nghiệm thì hàm số không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Lúc này, muốn xét tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số nên dựa vào bảng biến thiên. (a > 0
c) Hàm số đồng biến trên R ⇔ . ∆ ≤ 0 (a < 0
d) Hàm số nghịch biến trên R ⇔ . ∆ ≤ 0 4.
Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trùng phương
Hàm số trùng phương là hàm số có dạng y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có các tính chất sau
a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R. 5.
Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số nhất biến ax + b
Hàm số nhất biến là hàm số có dạng y =
(ad − bc 6= 0) có các tính chất sau cx + d
a) Không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên R.
b) Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc > 0.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad − bc < 0. ad − bc > 0 
d) Hàm số đồng biến trên khoảng (m; n) ⇔ d .  − / ∈ (m; n) c ad − bc < 0 
e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (m; n) ⇔ d .  − / ∈ (m; n) c V. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Viết lại công thức đạo hàm của 7 hàm số sơ cấp?
Câu 2. Viết lại 6 công thức đạo hàm mở rộng?
Câu 3. Viết lại 5 quy tắc tính đạo hàm?
Câu 4. Viết lại 4 công thức tính nhanh đạo hàm?
Câu 5. Nêu lại điều kiện xác định của 5 hàm số đã học?
Câu 6. Có mấy bước để tìm tập xác định của hàm số? Là những bước nào?
Câu 7. Các hàm số nào luôn có tập xác định là tập R?
Câu 8. Nêu lại các bước lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x)?
Câu 9. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f (x) đồng biến biến trên D” có nghĩa là?
Câu 10. Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến củ hàm số, khi nói “Hàm số y = f (x) nghịch biến trên tập D” có nghĩa là?
Câu 11. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 12. Mối liên hệ giữa tính đồng biến của hàm số y = f (x) trên tập D với đạo hàm của nó là gì?
Câu 13. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) là gì? 8 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Câu 14. Nếu biết hàm số y = f (x) không phải là hàm nhất biến thì điều kiện để hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) là gì?
Câu 15. Trong ba hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào có thể (không
thể) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R? Điều kiện để hàm số đó đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R là gì? ax + b
Câu 16. Điều kiện để hàm số y =
(ad − bc 6= 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên từng khoảng xác định cx + d là gì? ax + b
Câu 17. Điều kiện để hàm số y =
(ad − bc 6= 0) đồng biến (hoăc nghịch biến) trên tập (s; t) là gì? cx + d §2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞)
a) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f (x) < f (x0) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x0.
b) Nếu tồn tại h > 0 sao cho f (x) > f (x0) với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) và x 6= x0 thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0. II.
MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) và x0 ∈ (a; b). Khi đó,
a) Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f 0(x0) = 0.
b) Nếu f 0(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f 0(x) < 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số đạt cực đại tại x0. (f0(x0) = 0 c) Nếu
thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0. f 00(x0) < 0
d) Nếu f 0(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x0) và f 0(x) > 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. (f0(x0) = 0 e) Nếu
thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0. f 00(x0) > 0 III. PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM
a) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số là x0.
b) Giá trị cực trị (giá trị cực đại, giá trị cực tiểu, cực trị) của hàm số là f (x0).
c) Điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số là (x0; f (x0)). IV. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ 1. Quy tắc 1
a) Vẽ bảng biến thiên hàm số. b) Kết luận. 2. Quy tắc 2
a) Tính y0 = f 0(x), y00 = f 00(x).
b) Giải phương trình y0 = 0 tìm nghiệm x0. c) Tính f 00(x0)
(a) Nếu f 00(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
(b) Nếu f 00(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0. 9 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM V.
MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1.
Hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0)
a) Hàm số bậc ba hoặc có hai cực trị hoặc không có cực trị.
b) Hàm số bậc ba có hai cực trị khi chỉ khi ∆y0 > 0.
c) Hàm số bậc ba không có cực trị khi chỉ khi ∆y0 ≤ 0 (hơi giống điều kiện để hàm số bậc ba đồng biến (nghịch biến) trên R). 2.
Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0)
a) Hàm số trùng phương luôn có 1 cực trị hoặc 3 cực trị (đây là lý do khiến hàm trùng phương không đơn điệu trên R).
b) Hàm số trùng phương có 1 cực trị khi chỉ khi a · b ≥ 0 (a, b cùng dấu).
c) Hàm số trùng phương có 3 cực trị khi chỉ khi a · b < 0 (a, b trái dấu). ax + b 3. Hàm nhất biến y = (ad − bc 6= 0) cx + d
a) Hàm nhất biến không bao giờ có cực trị. VI. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa cực đại của hàm số y = f (x) tại điểm x0?
Câu 2. Nêu (viết lại) định nghĩa cực tiểu của hàm số y = f (x) tại điểm x0?
Câu 3. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực trị của hàm số y = f (x) tại x0?
Câu 4. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực đại của hàm số y = f (x) tại x0 ∈ (a; b)?
Câu 5. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 với cực tiểu của hàm số y = f (x) tại x0 ∈ (a; b)?
Câu 6. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực đại của hàm số y = f (x) tại x0?
Câu 7. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1, cấp 2 với cực tiểu của hàm số y = f (x) tại x0?
Câu 8. Phân biệt các khái niệm thường dùng liên quan đến cực trị hàm số và đồ thị hàm số?
Câu 9. Nêu các bước của quy tắc 1 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 1 để tim cực trị hàm số?
Câu 10. Nêu các bước của quy tắc 2 để tìm cực trị hàm số? Cho ví dụ một hàm số và sử dụng quy tắc 2 để tim cực trị hàm số?
Câu 11. Trong các hàm số thường gặp (hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm nhất biến), hàm số nào luôn không
có cực trị? Hàm số nào luôn luôn có cực trị? Hàm số nào lúc có, lúc không có cực trị?
Câu 12. Hàm số bậc ba có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng?
Câu 13. Hàm trùng phương có tối đa, tối thiểu bao nhiêu cực trị? Nêu điều kiện tương ứng? §3.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D,tập hợp K là tập hợp con của D. (f(x) ≤ M, x ∈ K
• Số M được gọi là GTLN của hàm số trên K nếu ∃x0 ∈ K : f(x0) = M Kí hiệu: M = Maxf (x) x∈K (f(x) ≥ m, x ∈ K
• m được gọi là GTNN của hàm số trên K nếu ∃x0 ∈ K : f(x0) = m Kí hiệu: m = Min f (x) x∈K
Chú ý. Khi đề bài không chỉ rõ tìm GTLN, GTNN trên tập hợp nào thì ta hiểu K = D. 10 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM II. THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN 1. Thuật toán 1.
Thuật toán này thường được dùng chung cho các dạng toán tìm GTLN, GTNN. Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ()x trên K . Thuật toán
a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên K .
b) So sánh các giá trị của y để chọn GTLN, GTNN. 2. Thuật toán 2.
Thuật toán này chỉ dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn. Phát biểu bài toán.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên [a; b]. Thuật toán.
a) Giải phương trình f 0(x) = 0, giả sử tìm được hai nghiệm x1, x2.
b) So sánh các giá trị f (a), f (b), f (x1), f (x2) để chọn GTLN, GTNN. III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Hãy phân biệt cách dùng của hai thuật toán tìm GTLN, GTNN?
Câu 2. Nêu các bước của thuật toán 1.
Câu 3. Nêu các bước của thuật toán 2. §4.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.
ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D.
• Đồ thị có tiệm cận ngang y = y0 nếu lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0. x→+∞ x→−∞
• Đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 nếu lim f (x) = ±∞ hoặc lim f (x) = ±∞. x→x− x→x+ 0 0 II.
THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG 1.
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f (x)
Bài toán. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g(x) Thuật toán.
a) Giải phương trình g(x) = 0, giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Kiểm tra tiệm cận đứng f (x) (a) Nhập biểu thức vào máy tính bỏ túi. g(x)
(b) Lần lượt CALC các giá trị x = a ± 10−10 để kiểm tra x = a có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm
máy là ∞ thì x = a là TCĐ.
(c) Lần lượt CALC các giá trị x = b ± 10−10 để kiểm tra x = b có là TCĐ hay không, nếu kết quả bấm máy là ∞ thì x = b là TCĐ. 11 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bài toán. Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = f (x) Thuật toán.
a) Nhập biểu thức f (x) vào máy tính bỏ túi.
b) Bấm CALC với x = 1010. Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé a (thông thường dưới 10) thì y = a là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN.
c) Bấm CALC với x = −1010. Nếu kết quả làm tròn là số có giá trị bé b (thông thường dưới 10) thì y = b là
TCN, ngược lại máy báo lỗi hoặc ra giá trị lớn (thường là có giá trị vài trăm trở lên) thì không có TCN. ax + b 3.
Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nhất biến y = cx + d ax + b d a) Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận đứng là x = − . cx + d c ax + b a b) Đồ thị hàm số y = có tiệm cận ngang là y = . cx + d c III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận đứng của đồi thị hàm số?
Câu 2. Nêu (viết lại) thuật toán tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số? ax + b
Câu 3. Nêu (viết lại) đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của hàm số nhất biến y = ? cx + d §5. ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 1. Đồ thị hàm số bậc ba
Bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) là y y y y O x O x O x O x a > 0, ∆ a < 0, ∆ a > 0, ∆ a < 0, ∆ y0 > 0 y0 > 0 y0 ≤ 0 y0 ≤ 0 2.
Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba • Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0. • Về hệ số b
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên phải trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” nằm bên trái trục Oy −→ ab < 0.
– Đồ thị có “điểm uốn” thuộc trục Oy −→ b = 0. • Về hệ số c
– Đồ thị không có cực trị −→ c = 0 hoặc ac > 0. 12 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
– Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy −→ ac < 0.
– Có một điểm cực trị thuộc trục Oy −→ c = 0 • Về hệ số d
– Giao điểm với trục Oy nằm phía trên điểm O −→ d > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm phía dưới điểm O −→ d < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm trùng điểm O −→ d = 0. II.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 1.
Đồ thị hàm số trùng phương
Bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) là y y y y O x O x O x O x a > 0, b < 0 a < 0, b > 0 a > 0, b ≥ 0 a < 0, b ≤ 0 2.
Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số trùng phương • Về hệ số a
– Đồ thị “thăng thiên” −→ a > 0.
– Đồ thị “độn thổ” −→ a < 0. • Về hệ số b
– Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị −→ ab < 0.
– Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị −→ ab ≥ 0. • Về hệ số c
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía trên điểm O −→ c > 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm phía dưới điểm O −→ c < 0.
– Giao điểm với trục Oy nằm là điểm nằm trùng điểm O −→ c = 0. III.
ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN 1.
Đồ thị hàm số nhất biến ax + b
Hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y = (ad − bc 6= 0) là cx + d y y b − a O b x O x d ad − bc > 0 ad − bc < 0 13 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.
Gợi ý nhận dạng đồ thị hàm số nhất biến
a) Hàm số không chứa tham số, lần lượt dựa vào các tiêu chí
• Dựa vào tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
• Dựa vào giao điểm với Ox, Oy.
• Dựa vào sự đồng biến, nghịch biến.
b) Hàm số có chứa tham số, dựa vào “dấu” của các cặp tích số • Cặp tích số “ab”
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên phải điểm O −→ ab < 0.
– Giao của đồ thị với Ox nằm bên trái điểm O −→ ab > 0.
– Đồ thị không cắt Ox −→ a = 0 • Cặp tích số “ac”
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac > 0.
– Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox −→ ac < 0.
– Tiệm cận ngang nằm trùng Ox −→ a = 0 • Cặp tích số “bd”
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd > 0.
– Giao của đồ thị với Oy nằm bên trên điểm O −→ bd < 0.
– Giao của đồ thị với Oy trùng điểm O −→ b = 0. • Cặp tích số “cd”
– Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy −→ cd < 0.
– Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy −→ cd > 0.
– Tiệm cận đứng trùng Oy −→ d = 0. IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (ghi kèm điều kiện của a, ∆y0 tương ứng)?
Câu 2. Vẽ lại bốn hình dạng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (ghi kèm điều kiện của a, b tương ứng)? ax + b
Câu 3. Vẽ lại hai hình dạng của đồ thị hàm số nhất biến y =
(ghi kèm mối quan hệ giữa các hệ số a, b, c, cx + d d tương ứng)? §6. SỰ TƯƠNG GIAO I.
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.
Bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1) : y = f (x) và (C2) : y = g(x). Hãy tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2)? Thuật toán.
a) Giải phương trình f (x) = g(x), giả sử tìm được nghiệm x = a, x = b.
b) Thay x = a vào y = f (x) hoặc y = g(x) để tính y = f (a). Tương tự, tính y = f (b).
c) Kết luận giao điểm là (a; f (a)), (b; f (b)). 14 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.
Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (bấm máy tính bỏ túi được)
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1) : y = f (x) và (C2) : y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C1) và (C2)? Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f (x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Bấm máy và đếm nghiệm của phương trình F (x) = 0.
c) Kết luận số giao điểm (phương trình F (x) = 0 có bao nhiêu nghiệm là có bấy nhiêu giao điểm).
Chú ý. Trường hợp F (x) = 0 không bấm máy đếm nghiệm được thì ta chuyển sang dạng toán bên dưới. 3.
Bài toán tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (không bấm máy tính bỏ túi được)
Bài toán. Cho hai đồ thị hàm số (C1) : y = f (x) và (C2) : y = g(x). Hãy đếm số giao điểm của (C1) và (C2)? Thuật toán.
a) Rút gọn phương trình f (x) = g(x) về dạng F (x) = 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
c) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số giao điểm. II.
SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 1.
Đếm số nghiệm của một phương trình
Bài toán. Đếm số nghiệm của phương trình F (x) = 0. Thuật toán.
a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = F (x).
b) Đếm số giao điểm của đồ thị hàm số y = F (x) với trục hoành (y = 0) để kết luận số nghiệm phương trình F (x) = 0. 2.
Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm
Bài toán. Tìm tham số m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm. Thuật toán.
a) Thực hiện “cô lập” x và m để thu được phương trình f (x) = g(m).
b) Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x).
c) Dựa vào các yCĐ, yCT để tìm m thỏa yêu cầu bài toán.
Chú ý. Thuật toán đang xét chỉ giải quyết được những phương trình có thể cô lập x và m. III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Phát biểu và nêu thuật toán của dạng toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số?
Câu 2. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp bấm máy tính được)?
Câu 3. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số (trường hợp không bấm máy tính được)?
Câu 4. Phát biểu và nêu thuật toán đếm số nghiệm phương trình cho trước?
Câu 5. Phát biểu và nêu thuật toán tìm m để phương trình F (x, m) = 0 có n nghiệm? 15 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM §7. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ I.
Đồ thị hàm số y = |f (x)|
Giả sử hàm số y = |f (x)| có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|, ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D.
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “trên giữ nguyên, dưới lấy đối xứng lên trên”, nghĩa là, toàn bộ phần đồ
thị nằm phía trên trục Ox được giữ nguyên, toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox lấy đối xứng lên trên. y y y = |f (x)| y = f (x) O x O x II.
Đồ thị hàm số y = f (|x|)
Giả sử hàm số y = f (|x|) có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|), ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên tập D ∩ [0; +∞).
• Thực hiện biến đổi theo nguyên tắc “lấy đối xứng phần bên phải sang bên trái”. y y O x O x y = f (x) y = f (|x|) III.
Đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x)
Giả sử hàm số y = |x − a| · f (x) có tập xác định là D. Để vẽ đồ thị hàm số y = |x − a| · f (x), ta thực hiện theo hai bước sau
• Vẽ đồ thị hàm số y = (x − a)f (x) trên D.
• Giữ nguyên phần đồ thị ứng với x ≥ a, lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị ứng với x < a. y y = |x − a| · f (x) y y = (x − a) · f (x) O x O x 16 Chương 2
HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT §1. LŨY THỪA I. ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA
Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó • an = a · a · · · a . | {z } n số a nhân với nhau √ m • n am = a n . 4 !
Với mọi a 6= 0 thì a0 = 1. II. CÔNG THỨC 1.
Công thức lũy thừa không chứa căn 1 a) a−n = b) an · am = an+m. an an c) = an−m. d) (an)m = an · m. am a n an e) (ab)n = anbn. f) = . b bn n a −n b g) = b a 2.
Công thức lũy thừa chứa căn √ √ √ m √ √ 1 a 1 1 m a) a · n a = a + 1 − 1 m p m n . b) √ = a m n . n c) a = a mn = mn a. n a III.
SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ
a) Nếu a > 1 thì am > an ⇔ m > n.
b) Nếu 0 < a < 1 thì am > an ⇔ m < n. IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) 7 công thức lũy thừa không chứa căn?
Câu 3. Nêu (viết lại) 2 tính chất được dùng để so sánh hai lũy thừa cùng cơ số? 17 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT §2. HÀM SỐ LŨY THỪA I.
ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA
Hàm số y = xα (α là số thực cho trước) được gọi là hàm số lũy thừa. 4 !
Điều kiện xác định của hàm số lũy thừa y = [f (x)]α
a) Nếu α là số nguyên dương (tức là α = 1, 2, 3, 4, · · · ) thì f (x) không cần thêm điều kiện.
b) Nếu α = 0 hoặc α là số nguyên âm (tức là α = 0, −1, −2, −3, · · · ) thì f (x) 6= 0.
c) Nếu α không là số nguyên (tức α 6= 0, ±1, ±2, ±3, · · · ) thì f (x) > 0. f (x) a) Biểu thức
có điều kiện là g(x) 6= 0. ! g(x) b) Biểu thức 2n
pf(x) có điều kiện là f(x) ≥ 0. II.
ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA
a) Nếu hàm số y = xα thì y0 = α · xα−1.
b) Nếu hàm số y = uα thì y0 = α · u0 · uα−1. III.
KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = xα, α > 0. y = xα, α < 0. a) Sự biến thiên a) Sự biến thiên
y0 = αxα−1 > 0, ∀x > 0.
y0 = αxα−1 < 0, ∀x > 0.
Do đó, hàm số đồng biến trên (0; +∞).
Do đó, hàm số nghịch biến trên (0; +∞). b) Giới hạn đặc biệt b) Giới hạn đặc biệt: lim xα = 0, lim xα = +∞. lim xα = +∞, lim xα = 0. x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞
Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Do đó, Ox là tiệm cận ngang, Oy là tiệm cận đứng của đồ thị. c) Bảng biến thiên x c) Bảng biến thiên 0 +∞ y0 + x 0 +∞ +∞ y0 − y +∞ y 0 0
Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα trên (0; +∞) 18 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT y α > 1 α = 1 0 < α < 1 1 α = 0 α < 0 x O 1
Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1). IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu 3 điều kiện xác định của hàm số lũy thừa?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lũy thừa?
Câu 4. Đồ thị hàm số lũy thừa có đường tiệm cận khi nào? Nêu đường tiệm cận ứng với trường hợp đó? §3. LÔ-GA-RÍT I. ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT
Cho a, b là hai số thực dương, a 6= 1. Khi đó, α = log b ⇔ aα = b. a 4 !
Với mọi số dương a 6= 1, ta có a) log a = 1. b) log 1 = 0. a a II. CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT 1.
Công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít
Cho a > 0, a 6= 1, b, b1, b2 > 0. Ta có a) log (b b b b) log b1 = log b b a 1b2) = loga 1 + loga 2. a b a 1 − loga 2. 2
c) log bα = α log b (chú ý α không cần điều kiện). a a 2.
Công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít
Cho a, b, c > 0, a 6= 1 và c 6= 1. Ta có log a 1 a) log b = c . b) log b = . a log b a log a c b 1 c) log c · log b = log b. d) log log b (chú ý α 6= 0). a c a aα b = α a 19 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 3.
Công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) định nghĩa lô-ga-rít?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức biến đổi biểu thức trong lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu (viết lại) công thức biến đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 4. Nêu (viết lại) công thức đổi cơ số của lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu (viết lại) các công thức lũy thừa có mũ chứa lô-ga-rít? §4.
HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1.Hàm số y = ax (a > 0, a 6= 1) được gọi là hàm số mũ. 2.
Đạo hàm của hàm số mũ
a) Nếu y = ax thì y0 = ax · ln a.
b) Nếu y = au thì y0 = u0 · au · ln a. c) Nếu y = ex thì y0 = ex.
d) Nếu y = eu thì y0 = u0 · eu. 3.
Khảo sát hàm số mũ y = ax a) Tập xác định D = R.
b) Tập giá trị T = (0; +∞). c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y0 > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên R.
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y0 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên R. d) Giới hạn, tiệm cận (a) Nếu a > 1 thì
lim ax = 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→−∞ (b) Nếu 0 < a < 1 thì
lim ax = 0 nên Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→+∞ e) Đồ thị 20 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT y = ax (a > 1) y = ax (0 < a < 1) y y y = ax (a > 1) a 1 1 y = ax(0 < a < 1) a x O 1 x O 1 II. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 1.
Định nghĩa hàm số lô-ga-rít
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = log x được gọi là hàm số logarit cơ số a. a
Chú ý. Biểu thức log f (x) có điều kiện là f (x) > 0. a 2.
Đạo hàm của hàm số lô-ga-rít 1 u0 a) Nếu y = log x thì y0 = . b) Nếu y = log u thì y0 = . a x ln a a u ln a 1 u0 c) Nếu y = ln x thì y0 = . d) Nếu y = ln u thì y0 = . x u 3.
Khảo sát hàm số lô-ga-rít
a) Tập xác định D = (0; +∞).
b) Tập giá trị T = R \ {0}. c) Tính đơn điệu
(a) Nếu a > 1 thì y0 > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên (0; +∞).
(b) Nếu 0 < a < 1 thì y0 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên (0; +∞). d) Đồ thị 21 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT y = log x (a > 1) y = log x (0 < a < 1) a a y y 1 1 a x O 1 a x O 1 y = log x a y = log x a (0 < a < 1) (a > 1) III. BÀI TOÁN LÃI SUẤT 1. Bài toán lãi suất đơn Định nghĩa lãi đơn.
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền
lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến lấy tiền ra. Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là Sn = A + nAr = A(1 + nr) r
Chú ý: Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là . 100 2. Bài toán lãi suất kép Định nghĩa lãi kép.
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Phát biểu bài toán.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là Sn = A(1 + r)n
Từ công thức trên ta có thể tính được S n n = log1+r A r Sn r = n − 1 A Sn A = (1 + r)n 22 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 3.
Bài toán gửi tiền hàng tháng vào ngân hàng Phát biểu bài toán.
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng, thì số tiền khách hàng
nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ∗
N ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn. Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là A S 1 = A(1 + r) = (1 + r)1 − 1 (1 + r) r
Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là (1 + r)2 − 1 A T
1 = A(1 + r) + A = A [(1 + r) + 1] = A = (1 + r)2 − 1 (1 + r) − 1 r
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là A S 2 = (1 + r)2 − 1 (1 + r) r
Từ đó ta có công thức tổng quát A Sn = [(1 + r)n − 1] (1 + r) r
Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được S nr n = log + 1 (1+r) A(1 + r) Snr A = (1 + r) [(1 + r)n − 1] 4.
Bài toán gửi tiền vào ngân hàng và rút tiền hàng tháng Phát biểu bài toán.
Một người gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,
người đó rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu. Công thức sử dụng.
Ý tưởng hình thành công thức. Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T1 = A(1+r)
và sau khi rút số tiền còn lại là (1 + r) − 1
S1 = A(1 + r) − X = A(1 + r) − X r
Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T2 = [A(1 + r) − X] (1 + r) = A(1 + r)2 − X(1 + r)
và sau khi rút số tiền còn lại là (1 + r)2 − 1
S2 = A(1 + r)2 − X(1 + r) − X = A(1 + r)2 − X [(1 + r) + 1] = A(1 + r)2 − X r
Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là (1 + r)n − 1 Sn = A(1 + r)n − X r
Chú ý. Từ công thức trên ta có thể tính được r
X = [A(1 + r)n − Sn] (1 + r)n − 1 23 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT 5.
Bài toán vay vốn trả góp Phát biểu bài toán.
Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ,
hai lần hoàn nợ cách nhau một tháng, mỗi lần hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. Công thức sử dụng.
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính tiền gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có (1 + r)n − 1 Sn = A(1 + r)n − X r
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên (1 + r)n − 1 A(1 + r)n − X = 0 r và A(1 + r)n · r X = (1 + r)n − 1 IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) 4 công thức đạo hàm của hàm số mũ?
Câu 2. Nêu (viết lại) 6 công thức đạo hàm của hàm số lô-ga-rít?
Câu 3. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số mũ?
Câu 4. Nêu kết quả về tính đơn điệu của hàm số lô-ga-rít?
Câu 5. Nêu các đường tiệm cận của hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít? §5.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT I.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN 1. Phương trình mũ cơ bản
Cho a, b > 0, a 6= 1. Ta có ax = b ⇔ x = log b a 2.
Phương trình lô-ga-rít cơ bản
Cho a, b > 0, a 6= 1. Ta có log x = b ⇔ x = ab a II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1.
Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình mũ
a) Sử dụng 7 công thức lũy thừa không chứa căn, biến đổi phương trình về dạng af(x) = ag(x). b) Áp dụng công thức af(x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) 2.
Phương pháp đưa về cùng cơ số cho phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng các công thức lô-ga-rít, biến đổi phương trình về dạng log f (x) = log g(x). a a b) Áp dụng công thức
log f (x) = log g(x) ⇔ f (x) = g(x) a a 24 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.
Phương pháp đặt ẩn phụ cho phương trình mũ
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · a2f(x) + n · af(x) + p = 0.
b) Đặt t = af(x), điều kiện t > 0, phương trình trở thành mt2 + nt + p = 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x. 2.
Phương pháp đặt ẩn phụ cho phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · log2 f (x) + n · log f (x) + p = 0. a a
b) Đặt t = log f (x), phương trình trở thành mt2 + nt + p = 0. a
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x. IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản?
Câu 2. Nêu (viết lại) công thức nghiệm của phương trình lô-ga-rít cơ bản?
Câu 3. Nêu các bước giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 4. Nêu các bước giải phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 5. Nêu các bước giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
Câu 6. Nêu các bước giải phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đặt ẩn phụ? §6.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT I.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN 1.
Bất phương trình mũ cơ bản
Cho a > 0 và a 6= 1. Xét bất phương trình ax > b. Khi đó,
a) Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm bất phương trình là S = R. b) Nếu b > 0
(a) Nếu a > 1 thì ax > b ⇔ x > log b. Do đó, tập nghiệm là S = (log b; +∞). a a
(b) Nếu 0 < a < 1 thì ax > b ⇔ x < log b. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞; log b). a a 2.
Bất phương trình lô-ga-rít cơ bản
Cho a > 0 và a 6= 1. Xét bất phương trình log x > b. Khi đó, a
a) Nếu a > 1 thì log x > b ⇔ x > ab. Do đó, tập nghiệm là S = (ab; +∞). a
b) Nếu 0 < a < 1 thì log x > b ⇔ 0 < x < ab. Do đó, tập nghiệm là S = (0; ab). a II.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1.
Phương pháp đưa về cùng cơ số cho bất phương trình mũ
a) Sử dụng 7 công thức lũy thừa không chứa căn, biến đổi phương trình về dạng af(x) > ag(x). b) Áp dụng công thức
(a) Nếu a > 1 thì công thức là
af(x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x) 25 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
(b) Nếu 0 < a < 1 thì công thức là
af(x) > ag(x) ⇔ f (x) < g(x) 2.
Phương pháp đưa về cùng cơ số cho bất phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng các công thức lô-ga-rít, biến đổi phương trình về dạng log f (x) > log g(x). a a b) Áp dụng công thức
(a) Nếu a > 1 thì công thức là (f(x) > g(x) log f (x) > log g(x) ⇔ a a g(x) > 0
(b) Nếu 0 < a < 1 thì công thức là (f(x) < g(x) log f (x) > log g(x) ⇔ a a f (x) > 0 III.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.
Phương pháp đặt ẩn phụ cho bất phương trình mũ
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · a2f(x) + n · af(x) + p > 0.
b) Đặt t = af(x), điều kiện t > 0, phương trình trở thành mt2 + nt + p > 0.
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x. 2.
Phương pháp đặt ẩn phụ cho bất phương trình lô-ga-rít
a) Sử dụng công thức biến đổi đưa phương trình về dạng m · log2 f (x) + n · log f (x) + p > 0. a a
b) Đặt t = log f (x), phương trình trở thành mt2 + nt + p > 0. a
c) Giải phương trình tìm t, sau đó tìm x. IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết lại) các công thức nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản ax > b?
Câu 2. Nêu (viết lại) các công thức nghiệm của bất phương trình lô-ga-rít cơ bản log x > b? a
Câu 3. Nêu các bước giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 4. Nêu các bước giải bất phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đưa về cùng cơ số?
Câu 5. Nêu các bước giải bất phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
Câu 6. Nêu các bước giải bất phương trình lô-ga-rít bằng phương pháp đặt ẩn phụ? 26 Chương 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1. NGUYÊN HÀM I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa nguyên hàm Z
F (x) được gọi là nguyên hàm của f (x) khi chỉ khi F 0(x) = f (x), ta viết f (x) dx = F (x) + C. Do đó, Z
f (x) dx = F (x) + C ⇔ F 0(x) = f (x) 2. Tính chất nguyên hàm Z 0 Z a) Tính chất 1 f (x) dx = f (x) và f 0(x) dx = f (x) + C. Z Z b) Tính chất 2 kf (x) dx = k
f (x) dx, k là một số thực. Z Z Z c) Tính chất 3 f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx. 3. Nguyên hàm cơ bản Z Z a) 0 dx = C. b) dx = x + C. Z 1 Z 1 c) xn dx = xn+1 + C (n 6= −1). d) dx = ln |x| + C. n + 1 x Z Z ax e) ex dx = ex + C. f) ax dx = + C (a > 0, a 6= 1). ln a Z Z g) cos x dx = sin x + C. h) sin x dx = − cos x + C. Z 1 Z 1 i) dx = tan x + C. j) dx = − cot x + C cos2 x sin2 x 27 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.
Phương pháp đổi biến số Z Z Định lý. Nếu f (x) = F (x) + C thì f (t)dt = F (t) + C.
Hệ quả. Công thức nguyên hàm mở rộng Z 1 1 Z 1 1 a) (ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + C (n 6= −1). b) dx = ln |ax + b| + C. a n + 1 ax + b a Z 1 Z 1 c) eax+b dx = eax+b + C. d) cos(ax + b) dx = sin(ax + b) + C. a a Z 1 Z 1 1 e) sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C. f) dx = tan(ax + b) + C. a cos2(ax + b) a Z 1 1 g) dx = − cot(ax + b) + C. sin2(ax + b) a
Phương pháp đổi biến số
• Đặt t = (biểu thức).
• Tính dt = (biểu thức)0 dx.
• Thay t và dt vào nguyên hàm ban đầu. 2.
Phương pháp nguyên hàm từng phần
a. Bốn dạng nguyên hàm được tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần Z Z a) P (x) sin x dx. b) P (x) cos x dx. Z Z c) P (x)ex dx. d) P (x) ln x dx.
b. Công thức nguyên hàm từng phần Z Z u · v0 dx = v · u − v · u0 dx
c. Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho ba dạng a), b) và c)  Z sin x dx = − cos x  sin x   Z Đặt u = P (x), v0 = 
 cos x . Suy ra u0 = P 0(x), v =  cos x dx = sin x .   ex  Z  ex dx = ex Z Z
Thay u, v, u0, v0 vào công thức u · v0 dx = v · u − v · u0 dx.
d. Áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho dạng d) 1 Z
Đặt u = ln x, v0 = P (x). Suy ra u0 = , v = P (x) dx. x Z Z
Thay u, v, u0, v0 vào công thức u · v0 dx = v · u − v · u0 dx. §2. TÍCH PHÂN I. CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ
Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì Z b b
f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) a a 28 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II.
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.
Sử dụng kết quả nguyên hàm cơ bản và mở rộng Phương pháp.
a) Sử dụng công thức nguyên hàm để tính nguyên hàm.
b) Áp dụng công thức Newton-Leibniz tính tích phân. 2.
Phương pháp đổi biến số Phương pháp.
a) Đặt t = (biểu thức), tính dt = (biểu thức)0 dx. b) Đổi cận.
c) Thay t, dt và cận mới vào tích phân ban đầu. 3.
Phương pháp tích phân từng phần Z b Z b
Phương pháp tích phân từng phần cũng được áp dụng cho 4 dạng tích phân P (x) sin x dx, P (x) cos x dx, a a Z b Z b P (x)ex dx, P (x) ln x dx. a a
Công thức tích phân từng phần Z b b Z b u · v0 dx = v · u − v · u0 dx a a a Phương pháp. a) Đặt u, v0 thích hợp. b) Suy ra u0, v.
c) Áp dụng công thức tích phân từng phần. §3.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường: y = f (x), trục hoành, x = a, x = b y
Công thức tính diện tích Z b y = f (x) |f (x)| dx a x 0 a b 29 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b y
Công thức tính diện tích f (x) Z b S = |f (x) − g(x)| dx a g(x) O a x b 3.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y = f (x), y = g(x) Phương pháp.
a) Giải phương trình f (x) = g(x) và chọn nghiệm nhỏ nhất (giả sử x = a), chọn nghiệm lớn nhất (giả sử x = b).
b) Áp dụng công thức tính diện tích Z b S = |f (x) − g(x)| dx a II. THỂ TÍCH 1.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H ) quanh trục Ox, hình (H ) giới hạn với bốn đường
y = f (x), trục hoành, x = a và x = b. y Công thức thể tích y = f (x) Z b V = π [f (x)]2 dx a x O a b y N M ) (x S O I x 30 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H ) quanh trục Ox, hình (H ) giới hạn bởi bốn đường
y = f (x), y = g(x), x = a và x = b. Công thức thể tích y y = f (x) Z b V = π [f (x)]2 − [g(x)]2 dx a y = g(x) x O a b 31 Chương 4 SỐ PHỨC §1. SỐ PHỨC I. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
• Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = −1 . Kí
hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi.
• i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.
• Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Chú ý.
a) Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a = a + 0i.
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có R ⊂ C.
b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi, tức là bi = 0 + bi.  1 nếu n = 4k      i nếu n = 4k + 1 c) in = (k ∈ N) −1 nếu n = 4k + 2      −i nếu n = 4k + 3 II. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
Hai số phức z = a + bi, z0 = c + di được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau, tức là (a = c a + bi = c + di ⇔ b = d III.
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC y
Điểm M (a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là
điểm biểu diễn số phức z = a + bi. M b O a x 32 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC IV. SỐ PHỨC LIÊN HỢP y Định nghĩa. z = a + bi
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu b là z = a − bi. Tức là a + bi = a − bi . a Tính chất. O x • z = z. −b z = a − bi
• z = z ⇔ z có phần ảo bằng 0. V. MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ. −−→ y
Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|. −−→ −−→
Từ định nghĩa, suy ra |z| = OM hay |a + bi| = OM . Khi đó M b p |a + bi| = a2 + b2. O a x §2.
CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC I.
PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC 1. Phép cộng hai số phức
Định nghĩa. Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R). Khi đó, ta có
(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i.
Tính chất của phép cộng số phức. Phép cộng số phức có tất cả các tính chất của phép cộng số thực. • Tính chất kết hợp
(x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ C.
Do đó ta kí hiệu chung các số (x + y) + z và x + (y + z) là x + y + z.
Nếu z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, . . . , zn = an + bni (ai, bi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n) thì
z1 + z2 + · · · + zn = (a1 + a2 + · · · + an) + (b1 + b2 + · · · + bn)i. • Tính chất giao hoán x + y = y + x, ∀ x, y ∈ C. • Cộng với 0
z + 0 = 0 + z = z, ∀ z ∈ C.
• Với mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức −a − bi là −z thì ta có z + (−z) = (−z) + z = 0.
Số phức −z được gọi là số đối của số phức z. Điểm biểu diễn số phức z và điểm biểu diễn số đối của nó đối xứng qua gốc tọa độ. 33 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
• Với mọi số phức z và w ta có z + w = z + w.
• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
• |z + w| ≥ ||z| − |w||, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k < 0.
• |z + w| ≤ |z| + |w|, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k > 0. 2. Phép trừ hai số phức
Định nghĩa. Hiệu của hai số phức z và w là tổng của z với −w, tức là z − w = z + (−w).
Nếu z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R) thì
z − w = (a − c) + (b − d)i.
Tính chất phép trừ hai số phức. Với mọi số phức z và w ta có • z − w = z − w.
• |z − w| ≥ ||z| − |w||, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k > 0.
• |z − w| ≤ |z| + |w|, dấu “=” xảy ra khi chỉ khi z = kw với k < 0. 3.
Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức − → y
Nếu z = a + bi, w = c + di (a, b, c, d ∈ R) lần lượt được biểu diễn bởi các véc-tơ u , − → − → − → − →
v thì z + w được biểu diễn bởi u + v , z − w được biểu diễn bởi u − − → v . z + w z w x O II. PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC 1. Định nghĩa.
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R). Khi đó ta có
z · w = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Chú ý. Với mọi số thực k ta có kz = ka + kbi. Đặc biệt 0 · z = 0. 2.
Tính chất phép nhân hai số phức.
Phép nhân hai số phức có tất cả các tính chất của phép nhân hai số thực. • Tính chất kết hợp
(xy)z = x(yz), ∀ x, y, z ∈ C.
Do đó ta kí hiệu các số phức (xy)z và x(yz) là xyz.
Đặc biệt ta kí hiệu zn = z · z · z · · · z (n ∈ ∗ N ). | {z } n số phức z • Tính chất giao hoán xy = yx, ∀ x, y ∈ C. 34 Trường THPT Thăng Long CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC • Nhân với 1
1 · z = z · 1 = z, ∀ z ∈ C.
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
x(y + z) = xy + xz, ∀ x, y, z ∈ C.
• Với mọi số phức z, w ta đều có zw = z · w, zz = |z|2, |z · w| = |z| · |w|. §3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC I. ĐỊNH NGHĨA
Nếu c + di = (a + bi)z thì số phức z được gọi là thương của phép chia c + di cho a + bi khác 0. II.
CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di trong đó z2 6= 0. Khi đó thương của phép chia z1 cho z2 được xác định như sau z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) − (ad + bc)i = = = . z2 c + di c2 + d2 c2 + d2 III.
TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
Cho hai số phức z, w trong đó w 6= 0. Khi đó, z z • = . w w z |z| • = . w |w| §4.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC I.
CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
Cho a là số thực âm. Hai căn bậc hai của a là ±ip|a|. II.
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt thức ∆ = b2 − 4ac của phương trình. Khi đó: b
• Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = − . 2a √ −b ± ∆
• Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = . 2a −b ± ip|∆|
• Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = . 2a III.
ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C  b x  1 + x2 = − Cho x a
1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0 thì . c  x1x2 = a 35 Phần II HÌNH HỌC 12 36 Chương 1 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN §1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN I. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có 1 đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. 2.
Mặt phẳng đối xứng của một hình
Mặt phẳng (P ) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H) khi phép đối xứng qua (P ) biến hình (H) thành chính nó. 3. Khái niệm khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Ví dụ Những hình sau đây là khối đa diện
Ví dụ Những hình sau đây là không phải là khối đa diện 37 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN
Khối đa diện ABCD.A0B0C0D0 được chia thành nhiều tứ D C
diện nhỏ, đó là các tứ diện A.A0B0D0, C.B0C0D0, B0.ABC, D0.ACD và C.AB0D0. Do đó, V A
ABCD.A0B0C0D0 = VA.A0B0D0 + VC.B0C0D0 + VB0.ABC + B VD0.ACD + VC.AB0D0 D0 C0 A0 B0 III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu định nghĩa hình đa diện, khối đa diện?
Câu 2. Nêu định nghĩa mặt phẳng đối xứng của một hình? §2.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Định nghĩa. Một khối đa diện được gọi là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía với mỗi
mặt phẳng chứa một mặt bên của nó. II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 1.
Định nghĩa khối đa diện đều
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Một khối đa diện có đặc điểm như trên được ký hiệu là {p; q}. 2.
Phân loại khối đa diện lồi
Có 5 loại khối đa diện đều Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt
Số mặt phẳng đối xứng {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 6 {4; 3} Lập phương 8 12 6 9 {3; 4} Bát diện đều 6 12 8 9 {5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12 {3;5} Hai mươi mặt đều 12 30 20 38 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng số mặt của khối đa diện đều loại {p; q}. Ta có qĐ = 2C = pM . III. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Định nghĩa khối đa diện lồi?
Câu 2. Định nghĩa khối đa diện đều?
Câu 3. Vẽ bảng phân loại 5 khối đa diện đều? §3. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 1.
Công thức thể tích khối chóp tổng quát
Trong hình bên, hình chóp S.ABCD có SH ⊥ (ABCD). Khi đó, SH là S
đường cao có chiều dài h, ABCD là đáy có diện tích S . đáy Thể tích khối chóp là 1 V = · S · h 3 đáy B C A H D 2.
Khối chóp có một cạnh bên vuông góc mặt đáy
Trong hình bên, chình chóp S.ABCD có cạnh bên SB ⊥ (ABCD) nên S công thức thể tích là 1 V = · S · SB 3 đáy B C A D 39 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 3. Khối chóp tam giác đều Cho hình chóp đều S.ABC. S
• Trong hình vẽ là hình chóp tam giác đều S.ABC. Khi đó, X SA = SB = SC. X 4ABC là tam giác đều.
X 4SAB, 4SAC, 4SBC cân tại S.
X SG ⊥ (ABC) tại G với G là trọng tâm 4ABC. 1 A B
• Công thức thể tích V = · S4ABC · SG 3 M G N C 4. Khối chóp tứ giác đều
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. S
• Trong hình vẽ là hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khi đó, X SA = SB = SC = SD. X ABCD là hình vuông. X SO ⊥ (ABCD). 1
• Công thức thể tích V = · SABCD · SO A 3 B O D C 5.
Công thức tỉ số thể tích
Cho khối chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm S A0, B0, C0. Khi đó VS.ABC SA SB SC = · · . VS.A0B0C0 SA0 SB0 SC0 C0 A0 B0 A C B II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 1.
Công thức thể tích khối lăng trụ tổng quát 40 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Trong hình bên, hình lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có B0 C0
A0H ⊥ (ABCD). Khi đó, A0H là đường cao có độ
dài h, ABCD là đáy có diện tích S . đáy A0
Thể tích khối lăng trụ là D0 V = S · h đáy B C A H D 2. Khối lăng trụ đứng
Hình bên là khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0. Khi đó, A0A B0 C0
là đường cao của hình lăng trụ, ABCD là đáy có diện tích S . đáy
Thể tích khối lăng trụ là A0 D0 V = S · A0A đáy B C A D III. ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ 1.
Công thức trong tam giác vuông
Trong hình vẽ bên là tam giác ABC vuông tại A. A cạnh 1 đường góc vuông cao 2 trung vuông c gó tuy đường ến cạnh B C cạnh huyền a) Công thức Pi-ta-go
(cạnh huyền)2 = (cạnh góc vuông 1)2 + (cạnh góc vuông 2)2
b) Đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A (cạnh huyền) (đường trung tuyến) = 2 41 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
c) Đường cao vẽ từ đỉnh A
(cạnh góc vuông 1) · (cạnh góc vuông 2) (đường cao) = (cạnh huyền)
d) Công thức lượng giác của góc ’ ABC (đối) AC (a) sin ’ ABC = = . (huyền) BC (kề) AB (b) cos ’ ABC = = . (huyền) BC (đối) AC (c) tan ’ ABC = = . (kề) AB 2.
Công thức trong tam giác đều
Trong hình bên là tam giác ABC đều, CM vừa là đường trung tuyến, vừa là C
đường cao, vừa là đường phân giác vẽ từ đỉnh C của tam giác ABC. Khi đó, một
số tính chất của tam giác cần được ghi nhớ
• Cả ba đường cao của tam giác đều thì bằng nhau, hơn nữa chúng cũng là
đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác
• Công thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác đều √ (cạnh) · 3 CM = A M B 2 3.
Công thức diện tích thường gặp
a) Công thức diện tích của tam giác vuông 1 cạnh góc 1 vuông S =
(cạnh góc vuông 1) · (cạnh góc vuông 2) vuông 2 c 2 gó cạnh
b) Công thức diện tích của tam giác đều
Cho tam giác ABC đều. Khi đó, diện tích tam giác được tính bằng công thức √ (cạnh)2 · 3 S cạnh 4ABC = 4 cạnh cạnh
c) Công thức diện tích của hình vuông cạnh S = (cạnh)2 √
(đường chéo) = (cạnh) · 2 chéo cạnh cạnh đường cạnh 42 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
d) Công thức diện tích của hình chữ nhật chiều dài
S = (chiều dài) · (chiều rộng) rộng chiều
e) Công thức diện tích của hình thang vuông đáy lớn (đáy lớn) + (đáy bé) S = · (đường cao) 2 cao đường đáy bé
f) Công thức diện tích của hình thoi 1 S =
· (đường chéo 1) · (đường chéo 2) 2 đường chéo 1 IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tổng quát?
Câu 2. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy?
Câu 3. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tam giác đều?
Câu 4. Nêu (viết) công thức thể tích khối chóp tứ giác đều?
Câu 5. Nêu (viết) công thức tỉ số thể tích?
Câu 6. Nêu (viết) công thức thể tích khối lăng trụ tổng quát?
Câu 7. Nêu (viết) công thức thể tích khối lăng trụ đứng?
Câu 8. Nêu (viết) 4 nhóm công thức trong tam giác vuông?
Câu 9. Nêu (viết) công thức tính đường trung tuyến, đường cao của tam giác đều? Công thức tính đường chéo của hình vuông?
Câu 10. Nêu (viết) các công thức tính diện tích hình tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật,
hình thang vuông và hình thoi? 43 Chương 2
KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU §1. KHỐI NÓN I. KHÁI NIỆM HÌNH NÓN
Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh O
cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OM I tạo thành một hình gọi là
hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. I M II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN
• r là bán kính đường tròn đáy. O
• h là chiều cao của hình nón.
• l là đường sinh của hình nón. h l r I M III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN 1.
Diện tích xung quanh hình nón Sxq = π · r · l 2.
Diện tích toàn phần hình nón Stp = π · r · l + π · r2 44 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU 3. Thể tích khối nón 1 V = · π · r2 · h 3 IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Cho tam giác OIM vuông tại I, nêu cách tạo hình nón? Nêu các yếu tố của hình nón?
Câu 2. Nêu các công thức tính diện tích của hình nón?
Câu 3. Nêu công thức tính thể tích khối nón? §2. KHỐI TRỤ I. KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ
Cho hình chữ nhật AOO0D quay xung quanh cạnh OO0, thì đường gấp khúc OADO0 tạo D O0
thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ. A O II.
CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ
• l là đường sinh của hình trụ. D O0
• r là bán kính đường tròn đáy của hình trụ. l h
• h là chiều cao của hình trụ. A O r III.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ 1.
Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π · r · l 2.
Diện tích toàn phần hình trụ
Stp = 2π · r · l + 2π · r2 3. Thể tích khối trụ V = π · r2 · h IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu cách tạo ra hình trụ từ hình chữ nhật OO0DA? Nêu các yếu tố của hình trụ?
Câu 2. Nêu công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ?
Câu 3. Nêu công thức tính thể tích của khối trụ? 45 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU §3. KHỐI CẦU I.
KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU
r là bán kính của hình cầu. r II.
DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU 1. Diện tích hình cầu S = 4π · r2 2. Thể tích khối cầu 4 V = π · r3 3 III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R, d là khoảng cách từ tâm O đến (P ). So sánh Vị trí tương đối Đặc điểm Hình minh họa
Thiết diện là đường tròn có bán d < R (P ) và (S) cắt nhau √ kính r = R2 − d2 O R d P H r M O d = R (P ) và (S) tiếp xúc nhau (P ) gọi là tiếp diện P H O d > R (P ) và (S) không cắt nhau P H 46 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 2. KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU IV. CÂU HỎI KHẢO BÀI
Câu 1. Nêu công thức tính diện tích hình cầu? Nêu công thức tính thể tích khối cầu?
Câu 2. Mô tả các vị trí tương đối của khối cầu với mặt phẳng? 47 Chương 3
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY Z z
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm ba tia Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc nhau như zM hình vẽ bên.
• Các véc-tơ ~i, ~j, ~k là các véc-tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. M − → k
• |~i| = 1, |~j| = 1, |~k| = 1. yM O − → i − → y j
• ~i · ~j = 0, ~i · ~k = 0, ~j · ~k = 0. xM
• ~i = (1; 0; 0), ~j = (0; 1; 0), ~k = (0; 0; 1). x II.
TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và C(xC ; yC ; zC )
a) ~a = (a1; a2; a3) ⇔ ~a = a1 ·~i + a2 · ~j + a3 · ~k. −−→
b) M (x; y; z) ⇔ OM = x ·~i + y · ~j + z · ~ k.
• M ≡ O ⇒ x = y = z = 0 −→ M (0; 0; 0).
• M ∈ (Oxy) ⇒ z = 0 −→ M (x; y; 0).
• M ∈ (Oxz) ⇒ y = 0 −→ M (x; 0; z).
• M ∈ (Oyz) ⇒ x = 0 −→ M (0; y; z).
• M ∈ Ox ⇒ y = z = 0 −→ M (x; 0; 0).
• M ∈ Oy ⇒ x = z = 0 −→ M (0; y; 0).
• M ∈ Oz ⇒ x = y = 0 −→ M (0; 0; z). − − →
c) AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
d) M là trung điểm của đoạn AB, ta có xA + xB yA + yB zA + zB xM = ; yM = ; zM = . 2 2 2
e) G là trọng tâm của 4ABC, ta có xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC xG = ; yG = ; zG = . 3 3 3 48 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN −−→ −−→
f) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k 6= 0), nghĩa là M A = kM B, toa độ điểm M là xA − kxB yA − kyB zA − kzB xM = ; yM = ; zM = . 1 − k 1 − k 1 − k III.
HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU
Cho hai véc-tơ ~a = (a1; a2; a3) và ~b = (b1; b2; b3). Khi đó, a1 = b1   a) ~a = ~b ⇔
a2 = b2 (hoành = hoành; tung = tung; cao = cao).  a3 = b3
b) ~a + ~b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3).
c) ~a − ~b = (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3). d) k · ~a = (ka1; ka2; ka3).
e) m~a ± n~b = (ma1 ± nb1; ma2 ± nb2; ma3 ± nb3). IV.
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
a) ~a · ~b = |~a| · |~b| cos(~a,~b) = a1b1 + a2b2 + a3b3. b) |~a| = pa2 + a2 + a2. 1 2 3
c) AB = p(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2. ~a · ~b a1b1 + a2b2 + a3b3 d) cos(~a,~b) = = . | p ~a| · |~b| a2 + a2 + a2 · pb2 + b2 + b2 1 2 3 1 2 3
e) ~a⊥~b ⇔ ~a · ~b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0. V.
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG a a a a) [~a,~b] = ~a ∧ ~b = 2 a3 3 a1 1 a2 ; ;
= (a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1). b2 b3 b3 b1 b1 b2 b) [~a,~b] = −[~b, ~a]. c) [~a,~b]⊥~a; [~a,~b]⊥~b.
d) [~a,~b] = |~a| · ~b · sin(~a,~b). a1 a2 a3
e) ~a cùng phương ~b ⇔ [~a,~b] = ~0 ⇔ = = (nếu b1b2b3 6= 0). b1 b2 b3 f) ~a, ~b, ~
c đồng phẳng ⇔ [~a,~b] · ~ c = 0. − − → −→ h− − → −→i
g) A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC ⇔ AB, AC = ~0. h− − → −→i − − →
h) A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD = 0. 1 h− − → −→i
i) Diện tích tam giác ABC là S4 ABC = AB, AC . 2 B C A D 49 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN h− − → − − →i −−→
j) Thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 là V ABCD.A0B0C0D0 = AB, AD · AA0 . B C A D C0 B0 A0 D0 1 h− − → −→i −−→
k) Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 là V ABC.A0B0C0 = AB, AC · AA0 2 B0 C0 A0 B C A 1 h−→ −→i −→
l) Thể tích khối tứ diện SABC là V SABC = SA, SB · SC . 6 S A C B VI. QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ
Cho ~a = (a1; a2; a3), ~b = (b1; b2; b3). Khi đó, 1. Hai véc-tơ vuông góc
~a⊥~b ⇔ ~a · ~b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0. Chú ý. − − → −→
• Tam giác ABC vuông tại A ⇔ AB⊥AC = 0. (d⊥AB
• Đường thẳng d⊥(ABC) ⇔ . d⊥AC 2. Hai véc-tơ cùng phương h i a1 a2 a3
~a cùng phương ~b ⇔ ~a,~b = ~0 ⇔ = = (nếu b1b2b3 6= 0) b1 b2 b3 Chú ý. − − → −→
• A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương với AC. − − → −→
• A, B, C là ba đỉnh của tam giác ⇔ A, B, C không thẳng hàng ⇔ AB và AC không cùng phương ⇔ h− − → −→i a1 a2 a3
AB, AC 6= ~0 ⇔ Hai trong ba tỉ lệ , , khác nhau (b1b2b3 6= 0). b1 b2 b3 − − → −−→
• ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD ⇔ AB cùng phương với DC. 50 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3. Hai véc-tơ bằng nhau a   1 = b1 a1 = kb1 ma1 = nb1       ~a = ~b ⇔ a2 = b2 ; ~a = k~b ⇔ a2 = kb2 ; m~a = n~b ⇔ ma2 = nb2    a   3 = b3 a3 = kb3 ma3 = nb3 − − → −−→ − − → − − →
Chú ý. ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC hoặc AD = BC. 4. Góc ~a · ~b a1b1 + a2b2 + a3b3 cos(~a,~b) = = | p ~a| · |~b| a2 + a2 + a2 · pb2 + b2 + b2 1 2 3 1 2 3 Chú ý.
• Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng AC và BD. Khi đó − − → −−→ |AB · CD| cos φ = . AB · CD • Góc b
A của tam giác ABC được tính bằng công thức − − → −→ AB · AC cos b A = . AB · AC 5. Ba véc-tơ đồng phẳng h i Ba véc-tơ ~a,~b, ~
c đồng phẳng ⇔ ~a,~b · ~ c = 0. Chú ý. h− − → −→i − − →
• A, B, C, D lập thành tứ diện ⇔ A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD 6= 0. h− − → −→i − − →
• A, B, C, D lập thành tứ giác ⇔ A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC · AD = 0. VII.
CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN 1. Trung điểm đoạn thẳng  xA + xB x  M =  2    y
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì A + yB yM = . 2    z  A + zB  zM = 2 2.
Các điểm đặc biệt trong tam giác
Cho tam giác ABC, một số điểm đặc biệt trong tam giác được xác định như sau  xA + xB + xC x  G =  3  − − → 1  −→ − − → − − →  y
• Trọng tâm G của 4ABC ⇔ OG = OA + OB + OC = ~0 ⇔ A + yB + yC y . 3 G = 3    z  A + zB + zC  zG = 3 − −→ − − → AH⊥BC    − −→ −→
• H là trực tâm của 4ABC ⇔ BH⊥AC . − −→ h− − → −→i   AH · AB, AC = 0 51 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN − −→ −−→ AA0⊥BC
• A0 là chân đường cao của 4ABC ⇔ −−→ − − → . BA0 = kBC −−→ AB − −→
• D là chân đường phân giác trong của góc b A của 4ABC ⇔ DB = − DC. AC − − → AB − − →
• E là chân đường phân giác ngoài của góc b A của 4ABC ⇔ EB = EC. AC − → −→ − →
• I là tâm đường tròn nội tiếp 4ABC ⇔ a · IA + b · IB + c · IC = ~0 trong đó a = BC, b = AC và c = AB. 3.
Các điểm đặc biệt trong tứ diện
Cho tứ diện ABCD, một số điểm đặc biệt thường gặp  xA + xB + xC + xD x  G =  4    y
• G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ A + yB + yC + yD yG = . 4    z  A + zB + zC + zD  zG = 4 − −→ − − → AH⊥BC    − −→ −−→
• H là hình chiếu của A lên (BCD) ⇔ BH⊥BD . − −→ h− − → −−→i   B H · BC, BD = 0 §2.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I.
VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG • Véc-tơ ~
n 6= ~0 được gọi là véc-tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) nếu giá của nó vuông góc với (α). h i ~ n = ~a,~b ~b ~ n ~a
• Nếu hai véc-tơ ~a, ~b (khác ~0 và không cùng phương với nhau) có giá song song hoặc nằm trên (α) thì ~a, ~b được
gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của (α). h i
Khi đó, (α) có một véc-tơ pháp tuyến là ~ n = ~a,~b . II.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng ax + by + cz + d = 0
trong đó a2 + b2 + c2 6= 0, véc-tơ ~
n = (a; b; c) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTPT là ~n = (a; b; c) có phương trình là
(α) : a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. 52 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN z
Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; b; 0) ∈ Oy, C(0; 0; c) ∈ Oz
(a, b, c 6= 0). Phương trình mặt phẳng có dạng C x y z + + = 1. a b c B O y A x IV.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT
a) (α) : ax + by + d = 0 −→ (α) k Oz.
b) (α) : ax + by = 0 −→ (α) ⊃ Oz.
c) (α) : ax + d = 0 −→ (α) k (Oyz).
d) (α) : ax = 0 −→ (α) ≡ (Oyz).
e) (α) : ax + by + cz = 0 −→ (α) đi qua gốc tọa độ.
Các trường hợp còn lại tương tự. V. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Cho hai mặt phẳng (α) k (β) và mặt phẳng (α) : ax + by + cz + d = 0. Khi đó, mặt phẳng (β) có phương trình tổng quát là ax + by + cz + d0 = 0 trong đó d 6= d0. §3.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I.
VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
• Véc-tơ ~a 6= ~0 được gọi là véc-tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó cùng phương (song song hoặc trùng) với d. − → b − → a d • Nếu hai véc-tơ ~ u, ~
v (khác ~0, có giá vuông góc với d và không cùng phương với nhau) thì đường thẳng d
có véc-tơ chỉ phương là ~a = [~ u, ~ v]. II.
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có véc-tơ chỉ phương ~a = (a; b; c), có phương trình tham số là x = x0 + at   y = y0 + bt (t ∈ R).  z = z0 + ct 53 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT x = t  
• Đường thẳng x0Ox có phương trình tham số là y = 0  z = 0. x = 0  
• Đường thẳng y0Oy có phương trình tham số là y = t  z = 0. x = 0  
• Đường thẳng z0Oz có phương trình tham số là y = 0  z = t. IV.
PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có véc-tơ chỉ phương ~a = (a; b; c) (abc 6= 0) thì phương trình chính tắc của d là x − x0 y − y0 z − z0 = = . a b c V.
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG x = x0 + a1t   Nếu d :
y = y0 + a2t và d k d0 thì d0 có véc-tơ chỉ phương là ~ud0 = (a1; a2; a3).  z = z0 + a3t VI.
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Nếu đường thẳng d⊥(P ) và (P ) : ax + by + cz + d = 0 thì ~
ud = (a; b; c) là véc-tơ chỉ phương của d. §4. KHOẢNG CÁCH I.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG
Khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0 được tính bằng công thức |ax0 + by0 + cz0 + d| d(M, (P )) = √ . a2 + b2 + c2 II.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG x = x1 + at  
Khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0) đến đường thẳng ∆ :
y = y1 + bt được tính bằng công thức  z = z1 + ct h−−−→ i M M 1, ~ u d(M, ∆) = |~ u|
trong đó M1(x1; y1; z1) là điểm tùy ý trên đường thẳng ∆, véc-tơ ~u là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ∆. III.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
Hai mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0, (Q) : ax + by + cz + d0 = 0 song song với nhau. Khoảng cách giữa (P )
và (Q) được tính bằng công thức |d − d0| d((P ), (Q)) = √ . a2 + b2 + c2 54 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN IV.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• ∆0 đi qua điểm M 0(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP là ~ u0 = (a0; b0; c0). 0 0 0
song song nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆0 là khoảng cách từ điểm M (x0; y0; z0) đến đường thẳng ∆. V.
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• ∆0 đi qua điểm M 0(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP là ~ u0 = (a0; b0; c0). 0 0 0
chéo nhau. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d0 được tính bằng công thức h i −−−→ ~ u, ~ u0 · M M 0 d(∆, ∆0) = . h i ~ u, ~ u0 VI.
KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng và mặt phẳng
• đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTCP là ~u = (a; b; c).
• mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0.
song song nhau. Khoảng cách giữa ∆ và (P ) là khoảng cách từ M (x0; y0; z0) đến (P ). §5.
TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM I.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp. Tìm hình chiếu của điểm M (x0; y0; z0) lên mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = 0, thực hiện theo các bước
• Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P ), viết phương trình đường thẳng d.
• Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ).
• Kết luận tọa độ hình chiếu. II.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG
Giả sử H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (α) và M 0 đối xứng với M qua (α). Khi đó, H là trung điểm của đoạn M M 0. III.
HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG x = x1 + at  
Phương pháp. Tìm hình chiếu của điểm M (x0; y0; z0) lên đường thẳng d :
y = y1 + bt , thực hiện theo các bước  z = z1 + ct
• Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với d, viết phương trình mặt phẳng (P ).
• Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ).
• Kết luận tọa độ hình chiếu. 55 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN IV.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng ∆ và M 0 đối xứng với M qua ∆. Khi đó, H là trung điểm của đoạn M M 0. V.
ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM
Giả sử M 0 đối xứng với M qua điểm I. Khi đó, I là trung điểm của đoạn M M 0. §6.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
• Mặt cầu (S) tâm là điểm I(a; b; c), bán kính R có bán kính là
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I R M • Phương trình
x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
là phương trình mặt cầu khi điều kiện a2 + b2 + c2 − d > 0 được thỏa mãn. Khi điều kiện được thỏa mãn, √
phương trình trên là phương trình mặt cầu có tâm là điểm I(a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d. II.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC
Giả sử mặt cầu (S) có tâm là điểm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : mx + ny + pz + r = 0. Khi đó, phương trình mặt cầu (S) là
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 |ma + nb + pc + r| trong đó R = d(I, (α)) = . pm2 + n2 + p2 III.
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC x = x0 + mt  
Giả sử mặt cầu (S) có tâm là điểm I(a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :
y = y0 + nt . Khi đó, phương trình  z = z0 + pt mặt cầu (S) là
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 h− − → i IM , ~ u trong đó R = d(I, ∆) = , điểm M (x | 0; y0; z0), ~ u = (m; n; p). ~ u| 56 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI I.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cách 1.
Cho hai mặt phẳng (α) : ax + by + cz + d = 0 và (α0) : a0x + b0y + c0z + d0 = 0 (a0b0c0d0 6= 0). Khi đó a b c d • Nếu = = 6= thì (α) k (α0). a0 b0 c0 d0 a b c d • Nếu = = = thì (α) ≡ (α0). a0 b0 c0 d0
• Các trường hợp còn lại thì (α) cắt (α0). Cách 2.
Cho hai mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) nhận ~n = (a; b; c) làm VTPT; (α0) đi qua điểm M 0(x0 ; y0 ; z0 ) 0 0 0 nhận ~
n0 = (a0; b0; c0) làm VTPT. Khi đó h i • Nếu ~ n, ~
n0 6= ~0 thì (α) cắt (α0). h i • Nếu ~ n, ~
n0 = ~0 và M ∈ (α0) thì (α) ≡ (α0). h i • Nếu ~ n, ~ n0 = ~0 và M / ∈ (α0) thì (α) k (α0). II.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng
• ∆ đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có véc-tơ chỉ phương ~u = (a; b; c).
• ∆0 đi qua điểm M 0(x0 ; y0 ; z0 ) và có véc-tơ chỉ phương ~ u0 = (a0; b0; c0). 0 0 0 Khi đó, h i • Nếu ~ u, ~
u0 6= ~0 thì ∆ và ∆0 cắt hoặc chéo nhau. h i −−−→ – Nếu ~ u, ~
u0 · M M 0 6= 0 thì ∆ và ∆0 chéo nhau. h i −−−→ – Nếu ~ u, ~
u0 · M M 0 = 0 thì ∆ và ∆0 cắt nhau. h i • Nếu ~ u, ~
u0 = ~0 thì ∆ và ∆0 song song hoặc trùng nhau. h −−−→i – Nếu ~
u, M M 0 6= ~0 thì ∆ và ∆0 song song nhau. h −−−→i – Nếu ~
u, M M 0 = ~0 thì ∆ và ∆0 trùng nhau. III.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt cầu (S0) tâm I0 bán kính R0. Khi đó,
• R + R0 = II0 thì (S) và (S0) tiếp xúc nhau (tiếp xúc ngoài).
• |R − R0| = II0 thì (S) và (S0) tiếp xúc nhau (tiếp xúc trong).
• R + R0 < II0 thì (S) và (S0) không có điểm chung.
• R + R0 > II0 thì (S) và (S0) cắt nhau. 57 Trường THPT Thăng Long
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN IV.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x = x  0 + at x = x  0 + at     y = y0 + bt Cho đường thẳng ∆ :
y = y0 + bt và mặt phẳng (α) : mx+ny+pz+r = 0. Xét hệ phương trình . z = z   0 + ct z = z  0 + ct  mx + ny + pz + r = 0 Khi đó,
• Nếu hệ phương trình có một nghiệm (x; y; z) thì ∆ cắt (α) tại một điểm M (x; y; z).
• Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì ∆ k (α).
• Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì ∆ ⊂ (α). V.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt phẳng (α). Khi đó,
• Nếu d(I, (α)) = R thì (α) tiếp xúc (S).
• Nếu d(I, (α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung.
• Nếu d(I, (α)) < R thì (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I0 (I0 là hình chiếu của I lên (α)) bán kính r = pR2 − d2(I, (α)). §8. GÓC I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) có VTPT là ~
n = (a; b; c) và mặt phẳng (α0) có VTPT là ~
n0 = (a0; b0; c0). Khi đó, góc φ giữa
(α) và (α0) được tính bằng công thức |~ n · ~ n0| |aa0 + bb0 + cc0| cos φ = = √ √ |~ n| · | ~ n0| a2 + b2 + c2 a02 + b02 + c02 II.
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng ∆ có VTCP là ~
u = (a; b; c) và đường thẳng ∆0 có VTCP là ~
u0 = (a0; b0; c0). Khi đó, góc φ giữa
∆ và ∆0 được tính bằng công thức |~ u · ~ u0| |aa0 + bb0 + cc0| cos φ = = √ √ |~ u| · | ~ u0| a2 + b2 + c2 a02 + b02 + c02 III.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng (α) có VTPT là ~
n = (a; b; c) và đường thẳng ∆ có VTCP là ~
u = (a0; b0; c0). Khi đó, góc φ giữa (α)
và ∆ được tính bằng công thức |~ n · ~ u| |aa0 + bb0 + cc0| sin φ = = √ √ |~ n| · |~ u| a2 + b2 + c2 a02 + b02 + c02 58
Document Outline

  • I GIẢI TÍCH 12
    • ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
      • TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
        • ÔN TẬP ĐẠO HÀM
        • ÔN TẬP VỀ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
        • BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
        • TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
        • CÂU HỎI KHẢO BÀI
        • CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
          • ĐỊNH NGHĨA
          • MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VỚI ĐẠO HÀM
          • PHÂN BIỆT CÁC KHÁI NIỆM
          • QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
          • MỘT VÀI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
          • CÂU HỎI KHẢO BÀI
          • GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
            • ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN
            • THUẬT TOÁN TÌM GTLN, GTNN
            • CÂU HỎI KHẢO BÀI
            • ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
              • ĐỊNH NGHĨA TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
              • THUẬT TOÁN TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG, TIỆM CẬN NGANG
              • CÂU HỎI KHẢO BÀI
            • ĐỒ THỊ HÀM SỐ
              • ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
              • ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
              • ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN
              • CÂU HỎI KHẢO BÀI
            • SỰ TƯƠNG GIAO
              • TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
              • SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
              • CÂU HỎI KHẢO BÀI
            • BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
              • Đồ thị hàm số y=|f(x)|
              • Đồ thị hàm số y=f(|x|)
              • Đồ thị hàm số y=|x-a|f(x)
          • HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
            • LŨY THỪA
              • ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA
              • CÔNG THỨC
              • SO SÁNH HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ
              • CÂU HỎI KHẢO BÀI
              • HÀM SỐ LŨY THỪA
                • ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LŨY THỪA
                • ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA
                • KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA
                • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                • LÔ-GA-RÍT
                  • ĐỊNH NGHĨA LÔ-GA-RÍT
                  • CÔNG THỨC LÔ-GA-RÍT
                  • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                  • HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
                    • HÀM SỐ MŨ
                    • HÀM SỐ LÔ-GA-RÍT
                    • BÀI TOÁN LÃI SUẤT
                    • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                  • PHƯƠNG TRÌNH MŨ. PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT
                    • PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN
                    • PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
                    • PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
                    • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                  • BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT
                    • BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔ-GA-RÍT CƠ BẢN
                    • PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
                    • PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
                    • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                  • NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
                    • NGUYÊN HÀM
                      • KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
                      • PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
                      • TÍCH PHÂN
                        • CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ
                        • PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
                        • ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
                          • DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
                          • THỂ TÍCH
                          • SỐ PHỨC
                            • SỐ PHỨC
                              • ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
                              • HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
                              • BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
                              • SỐ PHỨC LIÊN HỢP
                              • MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
                            • CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
                              • PHÉP CỘNG, TRỪ HAI SỐ PHỨC
                              • PHÉP NHÂN HAI SỐ PHỨC
                            • PHÉP CHIA SỐ PHỨC
                              • ĐỊNH NGHĨA
                              • CÁCH THỰC HIỆN PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
                              • TÍNH CHẤT PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC
                            • PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
                              • CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
                              • CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
                              • ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC C
                          • II HÌNH HỌC 12
                            • THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
                              • KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
                                • KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
                                • PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN
                                • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                • KHỐI ĐA DIỆN LỒI - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
                                  • KHỐI ĐA DIỆN LỒI
                                  • KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
                                  • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                  • THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
                                    • THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
                                    • THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
                                    • ÔN TẬP KIẾN THỨC CŨ
                                    • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                    • KHỐI NÓN - KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU
                                      • KHỐI NÓN
                                        • KHÁI NIỆM HÌNH NÓN
                                        • CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA KHỐI NÓN
                                        • DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI NÓN
                                        • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                        • KHỐI TRỤ
                                          • KHÁI NIỆM HÌNH TRỤ
                                          • CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH TRỤ
                                          • DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI TRỤ
                                          • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                          • KHỐI CẦU
                                            • KHÁI NIỆM HÌNH CẦU, YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH CẦU
                                            • DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI CẦU
                                            • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
                                            • CÂU HỎI KHẢO BÀI
                                            • PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
                                              • HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
                                                • HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
                                                • TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC-TƠ
                                                • HAI VÉC-TƠ BẰNG NHAU. TỌA ĐỘ VÉC-TƠ TỔNG, VÉC-TƠ HIỆU
                                                • TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
                                                • TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
                                                • QUAN HỆ GIỮA CÁC VÉC-TƠ
                                                • CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TỨ DIỆN
                                                • VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
                                                  • VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
                                                  • PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
                                                  • PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN
                                                  • PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐẶC BIỆT
                                                  • HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
                                                  • VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
                                                    • VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
                                                    • PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
                                                    • PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT
                                                    • PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
                                                    • HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
                                                    • ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
                                                    • KHOẢNG CÁCH
                                                      • KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MĂT PHẲNG
                                                      • KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
                                                      • KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU
                                                      • KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI NHAU
                                                      • KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
                                                      • KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
                                                    • TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM
                                                      • HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
                                                      • ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG
                                                      • HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
                                                      • ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
                                                      • ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM
                                                  • VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
                                                    • PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
                                                    • VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ MẶT PHẲNG TIẾP XÚC
                                                    • VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC
                                                • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
                                                  • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG
                                                  • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
                                                  • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT CẦU
                                                  • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
                                                  • VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
                                              • GÓC
                                                • GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
                                                • GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
                                                • GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG