Ôn tập cuối kỳ - Giải tích 2 | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Ôn tập cuối kỳ Đề số 9
1) Giải phương trình  =  
2) Giải phương trình  + 2 − 3 =  + 2 + 4 − 3 
3) Khảo sát sự hội tụ ∑      4) Tìm miền hội tụ ∑ ()   ( + 1) ()
5) Tính tích phân  = ∬   với (S) là phần mặt
x2 + y2 + z2 = 9 trong miền z  0, lấy hướng phía dưới. Giải 1)
  =  ≠ ±1,  =  + ′    =   
 z = 0  y = 0 là nghiệm (a)  z  0
∫  = ∫    
ln || = ln || ,  ≠ 0  2)
 k2 + 2k – 3 = 0  k = 1, k = – 3
∗ = () + ( +  + ) 3)   
() =         ln () =  ln 1 +  −  ~ →  − 
  −  → ⎯⎯⎯⎯ −        = 
 ⎯⎯  ≠ 0 : chuỗi phân kỳ   →
 ln(1 + ) ~  − 1 2 →0 2 4)
    = 3  ⎯⎯ 3 = R   →  x + 1 = 3, ∑ (  )  hội tụ theo TC Leibniz  x + 1 = –3, ∑    phân kỳ theo TC Riemann  5)
 Maple (1). Hàm R = xyz2 lớp C1(ℝ3), tích phân phía dưới
(S) :  = 9 −  − , (D) : x2 + y2  9 Theo công thức
 = − ∬ (9 −  − )   Chuyển qua TDC  =
 ∬ (9 − )cossin   ,
(E) : 0  r  3, –    
= ∫ cos  sin     ∫ (9 − )  Đề số 10
1) Giải phương trình 2x(1 +  − )dx =  − dy
2) Giải phương trình  + 2 +  = 2 + 4 + 8 + 2 
3) Khảo sát sự hội tụ ∑  1 −    4) Tìm miền hội tụ ∑ ()   ( + 2) 
5) Tính tích phân  = ∬   với (S) là phần mặt
x2 + y2 + z2 = 1 trong miền z  0, lấy hướng phía dưới. Giải 1)
 2x(1 +  − )dx –   − dy = 0  ′  = −  =  , (D) : x2 – y  0   
 (, ) = − ∫ 2 −   =  ( − ) + () 
 = 22 −  = 2 1 + 2 −  
C’(x) = 2x  C(x) = x 2 + C 
 u(x, y) =  ( − ) +  +   2)
 k2 + 2k + 1 = 0  k = – 1,  =  + . 
 ∗ = () + ( +  + ) 3)  
 () = 1 −    
ln () =  ln 1 −  +  ~  − −    +  ⎯⎯⎯⎯ −   →    →       = 
 ⎯⎯  ≠ 0 : chuỗi phân kỳ   → 4)      = (−1)   
   = ()  ⎯⎯ 1 = R 
()() →   |(±1)| = ⎯⎯ 1  →
 (±1) ⎯⎯ 0 chuỗi phân kỳ →
 D : – 1 < x + 2 < 1 5)
 Maple (1). Hàm R = yz2 lớp C1(ℝ3), tích phân phía dưới
(S) :  = 1 −  − , (D) : x2 + y2  1 Theo công thức
 = − ∬ (1 −  − )   Chuyển qua TDC  =
 ∬ (1 − )sin 
, (E) : 0  r  1, –     = ∫ sin     ∫ (1 − )  Đề số 11 1) Giải phương trình  =   
2) Giải phương trình  − 2 +  =  + 2 − 4 +  
3) Khảo sát sự hội tụ ∑ (!)   4 ()! 4) Tìm miền hội tụ ∑ (−1)   
5) Tính tích phân  = ∬ ( +  ) với (S) là phần 
mặt z = 9 – x2 – y2 trong miền z  0, lấy hướng phía trên. Giải 1)  
=  ,  −  +   ≠ 0, 2 −  ≠ 0    
 y = xz ( z  0, z  2), =  +   y ( )    
  =  −  = ( − 2) 2)
 k2 – 2k + 1 = 0  k = 1,  =  + . 
 ∗ = () + ( +  + ) 3)  )….   = ( )(
()()….
= 1 +   1 +   … (1 + 1) ≥ 2  
  ⎯⎯ 0 chuỗi phân kỳ → 4)   || =   ~  → 
   ~  ⎯⎯ 1 = R
 →  →   |(±1)| = ⎯⎯ 1  →
 (±1) ⎯⎯ 0 chuỗi phân kỳ →  D : – 1 < x < 1 5)
 Maple (1). Hàm R = ( + ) lớp C1(ℝ3), tích phân phía trên
(S) :  = 9 −  − , (D) : x2 + y2  9 Theo công thức
 = + ∬ (9 −  − )( + )   Chuyển qua TDC  =
 ∬ (9 − )sin 
, (E) : 0  r  3, –     = ∫ sin     ∫ (1 − )  = 0 Đề số 12
1) Giải phương trình 3x2(1 + lny)dx = (2y – )dy 
2) Giải phương trình  + 4 = 6 + 4 + 4
3) Khảo sát sự hội tụ ∑ ()‼   ()‼ 4) Tìm miền hội tụ ∑     ()
5) Tính tích phân  = ∬   với (S) là phần mặt
z2 = x2 + y2 trong miền 0  z  3, lấy hướng phía trên. Giải 1)   
3(1 + ln ) − 2 −    = 0  
 =  =  , (D) y > 0  
 (, ) = ∫ 3(1 + ln ) = (1 + ln ) + ()  = 2)
 k2 + 4k = 0  k = 0, k = - 4
 f(x) = (6 + 4) +  (4)  
∗ =  ( +  + ) +  () 3)
  = 1 −   … 1 −     ln(  
) =  ∑ ln(1 −  )   
⎯⎯ ∫ ln 1 −    →  = ln 2 − 1  
() ⎯⎯ = C → 
 C < 1 : chuỗi hội tụ
 (2n – 1)!! = (2n-1)(2n-3)...1 (2n)!! = (2n)(2n-2) ... 2 4)   =  , R = 1 ()  x2 = 1 : ∑    hội tụ theo TC Riemann ()  D : 0  x2  1 5)
 Maple (1). Hàm R = y2z lớp C1(ℝ3), tích phân phía trên
(S) :  =  + , (D) : x2 + y2  9 Theo công thức
 = + ∬  +    Chuyển qua TDC  =
 ∬  sin  
, (E) : 0  r  3, –    
= ∫ sin     ∫   Đề số 13
1) Giải phương trình ( − ) − 2 = 0
2) Giải phương trình  + 2 + 5 =  +  + 
3) Khảo sát sự hội tụ ∑   ln  4) Tìm miền hội tụ ∑    (1 − ) 
5) Tính tích phân  = ∬  + ( + 1)  với (S)
là phần mặt z +1 = x2 + y2, x2 + y2  1, lấy hướng phía dưới. Giải 1)  y = xz 2)  3)    = ln(1 +  ) ~ , .  ⎯⎯ 1  →   →
K = 1 > 0,  = 1 : chuỗi phân kỳ 4) 
 y = 1 – x,  =    ~  → 
   ~  ⎯⎯ 1 = R  →  →
 1 – x = –1 : u(x) =    ↓,⎯⎯⎯⎯ 0   →
 (−1) ↓,⎯⎯ 0 chuỗi hội tụ theo TC Leibniz →   1 – x = +1 :  ~
 chuỗi phân kỳ theo TC Riemann → 
 D : –1  1 – x < 1  5)  Maple (1). Cách 1
  = (0, y2, (z + 1)2)  C1(ℝ3)
div() = 0 + 2y + 2(z + 1) = 2y + 2z + 2  D+ : z = 0, x2 + y2  1
I1 = ∬  = ∬  = +∬  = , (D) : x2 + y2  1   
 + = D+ + S– . Áp dụng công thức Ostro
I1 + I = ∬  + ∬  = ∯  = ∭  = I2    
  : x 2 + y2 – 1  z  0 ()
I2 = ∭ (2 sin  + 2 + 1) ∆
 : 0  r  1, –    , r2 – 1  z  0      
I2 = ∫ sin ∫ 2∫ + ∫∫  ∫(2 + 1)   = ∫  ∫
 ( −  ) Cách 2
 Tham số tọa độ trụ
x = rcos , y = rsin, z = z, ... F
 = (r.cos, r.sin, r2 – 1), (D) : –    , 0  r  1 F
 = (cos, sin, 2r), F
 = (–r.sin, r.cos, 0)   = F  F
 = (–2r2.cos, –r2.sin, r > 0)    là pháp vecto trên
 = (0, r2.sin2, r4), .   = –r4.sin3 + r5 I = −∬ . 
dd = −∬ (− sin  + r)dd      
= ∫ sin  ∫  − ∫ ∫      Đề số 14
1) Giải phương trình ( + ) −  = 0
2) Giải phương trình  +  = 6 +  + 5
3) Khảo sát sự hội tụ ∑ ()‼   ()‼  4) Tìm miền hội tụ ∑
(−1)  ( + 1) 
5) Tính tích phân  = ∬   với (S) là phần mặt
z = 4 – x2 – y2 trong miền z  0, lấy hướng phía trên. Giải 1)   
 −  =  + 1, lấy  = (x)
∫ = − ∫    =     
 +   −  = 0   x  0
u(x, y) = − ∫  = − + ()
 =  + () =  +    () =    () = ln  + 
u(x, y) = − + ln  +  3)    = 1 +   1 +   … (1 + )  ()  ln(  
) =  ∑ ln 1 +         → ⎯ 
⎯ ∫ ln 1 +   = 3 ln   (  ) = C → ⎯  ⎯   
 C > 1 : chuỗi phân kỳ 4)
 || =  ⎯⎯  = R  →   
  ±  =  ⎯⎯    → 
 ± ⎯⎯ 0 : chuỗi phân kỳ  → Đề số 15 1) Giải phương trình y(1 + xy)dx – xdy = 0 2) Giải phương trình y” + y’ – 2y = 3xex  ()
3) Khảo sát sự hội tụ ∑
 ( ())  4) Tìm miền hội tụ ∑ !   ()!
5) Tính tích phân  = ∬  với (  S) là phía ngoài của
phâng mặt x2 + y2 + z2 = 1, x  0. Giải ... 3)   =  −  (())
(())
  () =   ~  = −
(())(()) → ()   .  =  ⎯⎯⎯ +∞ () → K = +,  = 1
chuỗi (V) phân kỳ theo TC Riemann  chuỗi (U) phân kỳ 4)       = ( )( )⎯⎯ 2 = R  () →
 (+2) = 4! :  = 2 ⎯⎯ 0 = D (2)!  2+1 →∞ D < 1 chuỗi hội tụ