16 trang 2 lượt tải

Ôn tập học kỳ 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Trãi – Hà Nội

4

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh nội dung ôn tập cuối học kỳ 1 môn Toán 11 năm học 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Trãi – Ba Đình, thành phố Hà Nội.

Chủ đề: Đề cương Toán 11 94 tài liệu

Môn: Toán 11 3.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

jang linh

19 giờ trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/16
1
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI - BA ĐÌNH
TỔ TOÁN
NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2025-2026
MÔN TOÁN – LỚP 11
A. NỘI DUNG ÔN TẬP
CHƯƠNG I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.
2. Công thức lượng giác.
3. Hàm số lượng giác.
4. Phương trình lượng giác cơ bản.
CHƯƠNG II. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
1. Dãy số.
2. Cấp số cộng.
3. Cấp số nhân.
CHƯƠNG III. Các số liệu đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.
1. Mẫu số liệu ghép nhóm.
2. Các số đặc trung đo xu thế trung tâm.
CHƯƠNG IV. Quan hệ song song trong không gian.
1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
2. Hai đường thẳng song song.
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
4. Hai mặt phẳng song song.
5. Phép chiếu song song.
CHƯƠNG V. Giới hạn, hàm số liên tục.
1. Giới hạn của dãy số.
2. Giới hạn của hàm số.
3. Hàm số liên tục.
B. CẤU TRÚC ĐỀ THI:
Thời gian kiểm tra 90 phút theo cấu trccủa BGD gm 4 phn TN(12 câu-3,0 điểm), Đ-S (2 câu-
2,0 điểm), Trả lời ngn (4 câu-2,0 điểm) và Tự luận (3 câu-3,0 điểm)
Chú ý: Yêu cầu học sinh ôn tập kỹ phần lý thuyết và làm tất cả bài tập tự luận và trắc nghiệm
cuối mỗi chương 1, 2, 3, 4, 5 trong sách giáo khoa, sách bài tập toán 11 kết nối tri thức với cuộc
sống.
C. BÀI TẬP THAM KHẢO
Phần 1: Bài tập trắc nghiệm
I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Câu 1: Đơn giản biểu thức
1 cos2 sin 2
1 cos2 sin 2
xx
K
xx
−−
=
+−
ta được
A.
cotKx=
. B.
tanKx=−
. C.
2
1 tanKx=−
. D.
tanKx=
.
Câu 2: Tập xác định của hàm số
là
A.
\,
2
D k k

= +



. B.
\ 2 ,
2
D k k

= − +



.
C.
\ 2 ,
2
D k k

= +



. D.
\,D k k
=
.
Câu 3: Hàm số
sinyx=
tun hoàn với chu kỳ
2
A.
2T
=
. B.
2T
=−
. C.
2
T
=
. D.
T
=
.
Câu 4: Tập giá trị của hàm số
sin 2yx=
là
A.
2;2−
. B.
0;2
. C.
1;1−
. D.
0;1
.
Câu 5: Có bao nhiêu hàm số chẵn trong các hàm số sau:
A. . B. . C. . D. .
Câu 6:Tất cả các nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng
A. B. C. D.
Câu 8: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A.
3
sin
5
x =
. B.
5
sin
2
x =
. C.
sin 3x =−
. D.
sin 2x =
.
Câu 9: Công thức nghiệm của phương trình
sin sinx
=
là
A.
( )
2
,
2
xk
k
xk

=+
= − +
. B.
( )
2,x k k

= +
.
C.
( )
,
xk
k
xk

=+
= − +
. D.
( )
,x k k

= +
.
Câu 10: Nghiệm của phương trình
( )
sin 10 1x + = −
là
A.
100 .360 ,x k k= − +
. B.
80 .180 ,x k k= − +
.
C.
100 .360 ,x k k= +
. D.
100 .180 ,x k k= − +
.
Câu 11: Tổng các nghiệm thuộc khoảng
( )
0;
của phương trình
cot3 tan
5
x
=
bằng
A.
11
10
. B.
13
10
. C.
6
5
. D.
7
5
.
Câu 12: Cho góc
thỏa mãn
3
cos
5
=
và
0
2
−
. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a)
tan . 0
b)
93
sin .
25

+ = −


c)
( )
4
tan 2017 .
3

+ = −
d)
5 3tan 6 4cot 4.P a a= + + − =
Câu 13: Trên đường tròn lượng giác, cho lục giác đều ANPQRS như hình vẽ.
sin , cos3 , tan , cot ?y x y x y x y x= = = =
4
2
3
1
tan 1 0
4
x

− − =


,x kk
=
2 ,
2
x kk
=+
2
,xkk
=+
4
,xkk
=+
3sin 2yx=+
3
2
1−
5
3
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Điểm biểu diễn góc
2
3
là
.R
b) Góc lượng giác (OA, ON) có số đo là
.
3
c) Các điểm biểu diễn các góc có số đo
( )kk
là A, Q.
d) Các điểm biểu diễn các góc có số đo
2
3
k
()k
tạo thành tam giác đều.
Câu 14: Trên một mảnh đất hình vuông
ABCD
, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí
A
chiếu chùm
sáng phân kì sang phía góc
C
. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia
AM
và
AN
, ở đó các điểm
,MN
ln lượt thuộc các cạnh sao cho
11
, .
23
BM BC DN DC==
.
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a)
( )
tan ta ta .n nBAM DAN BAM DAN++=
b)
1
tan .
2
BAM =
c)
1
tan
3
DAN =
.
d) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng
45
.
Câu 15: Cho hàm số
tanyx=
. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Đ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
b) Tập giá trị của hàm số là
[ 1;1]−
.
c) Tập xác định của hàm số là
\|D k k
=
.
d) Hàm số tun hoàn với chu kì
2
.
Câu 16: Cho phương trình
sin 2xm=
. Xét tính đng - sai của các phát biểu sau:
a) Với
0m =
, phương trình có nghiệm là
2
k
x
=
.
b) Phương trình có nghiệm là
3
x
=
khi
1
2
m
−
=
.
c) Phương trình có nghiệm khi
( )
1;1m−
.
d) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trên
0;
2



khi
( )
0;1m
.
II. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
Câu 1: Cho dãy số
( )
,
n
u
biết
2
2
21
.
3
n
n
u
n
−
=
+
Tìm số hạng
5
u
.
A.
5
1
4
u =
. B.
5
7
4
u =
. C.
5
17
12
u =
. D.
5
71
39
u =
.
Câu 2: Cho dãy số
( )
n
v
với
21
n
vn=−
. Khẳng định nào sau đây đng?
A. Dãy số
( )
n
v
là dãy tăng. B. Dãy số
( )
n
v
là dãy giảm.
4
C. Dãy số
( )
n
v
bị chặn dưới bởi 2. D. Dãy số
( )
n
v
bị chặn trên bởi 1.
Câu 3: Cho dãy số
( )
n
u
với
31
n
un=+
là cấp số cộng. Khi đó công sai của nó là
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Câu 4: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
3u =
và
2
1u =−
. Công sai của cấp số cộng đó bằng
A.
3−
. B.
3
. C.
4
. D.
4−
.
Câu 5: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đu và công sai ln lượt là
1
u
và d. Khi đó phát biểu nào sau
đây là sai?
A.
n1
u u d nd= − +
. B.
1
,1
nn
u u d n
+
= −
.
C.
11
2 , 2
n n n
u u u n
−+
+ =
. D.
1 2 1
... 2
2
n
n
u u u u nd+ + + = +
.
Câu 6: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đu
1
8u =
và công sai
5d =
. Số hạng thứ
6
của dãy số là
A.
6
33u =
. B.
6
30u =
. C.
6
13u =
. D.
6
35u =
.
Câu 7: Cho cấp số nhân
( )
n
u
thỏa mãn
15
3, 48uu==
. Công bội của cấp số nhân bằng
A.
16
. B.
2−
. C.
2
. D.
2
.
Câu 8: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có số hạng thứ hai
2
5u =
, công bội
2q =
. Tìm số hạng đu
1
u
.
A.
1
2
5
u =
. B.
1
2
5
u =−
. C.
1
5
2
u =
. D.
1
5
2
u =−
.
Câu 9: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với số hạng đu
1
2u =
và công bội
3q =
. Số hạng thứ
5
của cấp số nhân
đó là
A.
14
. B.
162
. C.
17
. D.
486
.
Câu 10: Cho cấp số nhân
( )
n
u
thỏa mãn
1 2 3
41
13
26
u u u
uu
+ + =
−=
. Tìm
8
u
.
A.
8
2187u =
. B.
8
128u =
. C.
8
256u =
. D.
8
6561u =
.
Câu 11: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
58
n
un=−
. Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
a)
1
3u =−
b) Công sai
8d =−
c) Số 492 là số hạng thứ 100 của
( )
n
u
d) Tổng của 10 số hạng đu tiên của cấp số cộng bằng
190
Câu 12: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có
12
2; 4uu= = −
. Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
a) Công bội
2q =
b)
5
32u =−
c) Số
64−
là số hạng thứ 6 của
( )
n
u
d) Tổng của 8 số hạng đu tiên của cấp số nhân bằng
170−
Câu 13: Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đu
1
5u =−
và công sai
3d =
.
Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
a) Số 100 là số hạng thứ
36
của cấp số cộng.
b) Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là
9
c) Tổng 10 số hạng đu của cấp số cộng là
85
d) Số hạng tổng quát cảu cấp số cộng
( )
n
u
là
( )
37
n
un=−
.
Câu 14: Cho cấp số nhân
( )
n
u
có tổng
n
số hạng đu tiên là
51
n
n
S =−
với
1,2,...n =
.
Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
a) Công bội của cấp số nhân đã cho là
6q =
.
b) Số hạng đu của cấp số nhân đã cho là
1
4u =
.
5
c) Tổng 5 số hạng đu của cấp số nhân là
3124
.
d) Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là
2600
.
III. Các số đặc trung đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Câu 1: Tìm hiểu thời gia xem tivi trong tun trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả
sau:
Thòi gian (giờ)
[0; 5)
[5; 10)
[10; 15)
[15; 20)
[20; 25)
Số học sinh
8
16
4
2
2
Giá trị đại diện của nhóm
)
20;25
là
A.
22,5
. B.
23
. C.
20
. D.
5
.
Câu 2: Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút)
)
9,5;12,5
)
12,5;15,5
)
15,5;18,5
)
18,5;21,5
)
21,5;24,5
Số học sinh
3
12
15
24
2
Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 pht đến dưới 21,5
phút?
A.
24
. B.
15
. C.
2
. D.
20
.
Câu 3: Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m)
6,6
7,5
8,2
8,2
7,8
7,9
9,0
8,9
8,2
7,2
7,5
8,3
7,4
8,7
7,7
7,0
9,4
8,7
8,0
7,7
7,8
8,3
8,6
8,1
8,1
8,5
6,9
8,0
7,6
7,9
7,3
8,5
8,4
8,0
8,8
Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, ghép các số liệu thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có
độ dài bằng nhau.Nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là:
A.
[7,0;7,5)
B.
[7,5;8,0)
C.
[8,0;8,5)
D.
[8,5;9,0)
Câu 4: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đng):
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
)
7; 9
.
B.
)
9; 11
.
C.
)
11; 13
.
D.
)
13; 15
.
Câu 5: Cho mẫu số liệu số liệu ghép nhóm về thời gian (pht) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân
viên của một công ty như sau:
Thời gian
)
15;20
)
20;25
)
25;30
)
30;35
)
35;40
)
45;50
)
45;50
Số nhân viên
6
14
25
37
21
13
9
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Cỡ mẫu là
5
. B. Tn số của lớp
)
30;35
là
37
.
C. Số nhân viên công ty là
125
. D. Độ dài nhóm là
5
.
Câu 6: Số lượng huy chương vàng tại Sea Games 31 được thống kê
Số huy chương
)
0;10
)
10;50
)
50;100
)
100;210
Quốc gia
5
2
3
1
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A.
10
B.
15
C.
20
D.
30
.
Câu 7: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên trong một công ty như sau:
Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
6
a) Giá trị đại diện của nhóm
)
9;12
là
10,5
.
b) Trung bình lương các nhân viên là
16,5
triệu đng.
c) Nhóm chứa trung vị là
)
15;18
.
d) Tứ phân vị thứ ba là
15,56
.
Câu 8: Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tun của sinh viên một trường đại học X được cho
bởi bảng sau:
Xét tính đng sai của các mệnh đề sau:
a) Số sinh viên được điều tra là
100
.
b) Số giờ làm thêm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X không ít hơn
6
.
c) Mốt của mẫu số liệu trên là
7,5
.
d) Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu lớn hơn
6,5
.
V. Quan hệ song song trong không gian
Câu 1: Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác?
A. Hình 4. B. Hình 2. C. Hình 1. D. Hình 3.
Câu 2: Cho tứ diện
ABCD
. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
A.
,AB AD
. B.
,AB CB
. C.
,BC BD
. D.
,BC AD
.
Câu 3: Cho tam giác
ABC
và điểm
I
thuộc tia đối của tia
.AC
Hỏi mệnh đề nào sau đây đng?
A.
( )
.I ABC
B.
( ) ( )
.ABI BIC
C.
( ).A ABC
D.
( )
BI .ABC
Câu 4: Cho tam giác
ABC
thì có bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác đó?
A.
3
. B.
2
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đng?
A. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung.
B. Qua hai điểm có một và chỉ một mặt phẳng.
C. Qua ba điểm không thẳng hàng có vô số mặt phẳng.
D. Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có tối đa một điểm chung.
Câu 6: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm O. Gọi
,MN
ln lượt là trung
điểm của các cạnh BC, CD và
P
là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Mặt phẳng
( )
MNP
ct cạnh SB và SD ln
lượt tại điểm R và Q, Giả sử
MR QN I=
. Mệnh đề nào sau đây đng?
A.
.I SC
B.
I SG
với G là trọng tâm tam giác
BCD
.
C.
.I SO
D.
I SK
với K là trung điểm MN.
Câu 7: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là tứ giác với các cặp cạnh đối không song song. Gọi
M
là giao điểm của
AC
và
,BD
gọi
N
là giao điểm của
AB
và
.CD
Khẳng định nào sau đây đng?
A.
( ) ( )
.SAD SBC SN=
B.
( ) ( )
.SAD SBC SM=
C.
( ) ( )
.SAB SCD SN=
D.
( ) ( )
.SAB SCD SM=
Câu 8: Cho hình chóp
..S ABCD
Trên cạnh
SB
lấy điểm
,L
gọi
O
là giao điểm của hai đường
thẳng
,AC BD
và
G
là giao điểm của
SO
và mặt phẳng
( )
ADL
(tham khảo hình vẽ).
7
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đng?
A.
G
là giao điểm của hai đường thẳng
SO
với
.DL
B.
G
là giao điểm của hai đường thẳng
SO
với
.AL
C.
G
là giao điểm của hai đường thẳng
DL
với
.SC
D.
G
là giao điểm của hai đường thẳng
SD
với
.AL
Câu 9: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SCD
song song với đường thẳng nào sau đây?
A.
.AB
B.
.AC
C.
.BC
D.
.AD
Câu 10: Cho tứ diện
.ABCD
Gọi
,IJ
ln lượt là trọng tâm các tam giác
ABC
và
.ABD
Khẳng định nào
sau đây đng?
A.
,IJ CD
song song với nhau. B.
,IJ AB
song song với nhau.
C.
,IJ CD
chéo nhau. D.
,IJ AB
ct nhau.
Câu 11: Cho hai đường thẳng
a
và
b
chéo nhau. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai đường thẳng
a
và
b
không có điểm chung.
B. Có một mặt phẳng chứa
a
và song song với
.b
C. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng
a
và
.b
D. Có vô số đường thẳng song song với
a
và ct
.b
Câu 12: Cho hình chóp
..S ABC
Gọi
,MN
ln lượt là trung điểm
,.SA SB
Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
CMN
song song với đường thẳng nào sau đây?
A.
.SC
B.
.AC
C.
.BC
D.
.AB
Câu 13: Cho tứ diện
ABCD
và ba điểm
,,P Q R
ln lượt lấy trên ba cạnh
,,AB CD BC
thỏa mãn
//PR AC
và
2.CQ QD=
Gọi giao điểm của
AD
và
( )
PQR
là
.S
Khẳng định nào sau đây đng?
A.
3.AD DS=
B.
2.AD DS=
C.
3.AS DS=
D.
.AS DS=
Câu 14: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( ) ( )
AB D A BD
. B.
( ) ( )
AB D C BD
. C.
( ) ( )
DA C ACB

. D.
( ) ( )
AB D BCD

.
Câu 15: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
, gọi
M
,
N
ln lượt là trung điểm của
các cạnh
SA
và
AD
. Mặt phẳng
( )
MNO
song song với mặt phẳng nào sau đây?
A.
( )
SBC
. B.
( )
SAB
. C.
( )
SAD
. D.
( )
SCD
.
Câu 16: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
A
theo phương
AB
lên mặt phẳng
( )
SBC
là điểm nào sau đây?
A.
S
. B. Trung điểm của
BC
.
C.
B
. D.
C
.
Câu 17: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang
( )
.ABCD AB CD
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Hình chóp
.S ABCD
có 4 mặt bên.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
là đường trung bình của
.ABCD
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SBD
là
,SO
(O
là giao điểm của
AC
và
).BD
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
là
,SI
(I
là giao điểm của
AD
và
).BC
O
S
B
A
C
L
D
8
Câu 18: Cho hình chóp
.,S ABC
gọi
,,D E F
ln lượt là trung điểm của
, , .AB BC SA
Gọi H, I ln lượt
là trọng tâm của tam giác ABC và SAB. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
SCD
và
( )
SAE
là SH.
b) Giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
SCD
và
( )
BFC
là CI.
c) Gọi O là giao điểm SH và CI. Khi đó SO = 2OH.
d) O là trung điểm EF.
Câu 19: Cho hình hộp
ABCD A B C D
. Gọi
12
,GG
là trọng tâm của các tam giác
,A BD B D C
.
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Đường thẳng
'AB
ct đường thẳng
CD
.
b)
A D CB

là hình bình hành
c)
( ) ( )
//A BD B D C
d)
12
2
3
G G AC
=
.
Câu 20: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
,
N
và
P
ln lượt là trung
điểm của
SC
,
SA
và
SD
. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a)
( )
//CD SAB
.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( )
SBC
là đường thẳng
d
đi qua
S
và song song
với
,AB CD
.
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
BMN
và
( )
ABCD
là đường thẳng
đi qua
B
và song
song với
AC
.
d) Gọi
,EF
ln lượt là giao điểm của mặt phẳng
( )
BMN
với các đường thẳng
,AD CD
. Khi
đó
1
4
MN
EF
=
.
V. Giới hạn, hàm số liên tục
Câu 1: Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng
0
?
A.
2
lim
3
n
n→+



. B.
5
lim
3
n
n→+



. C.
4
lim
3
n
n→+



. D.
( )
lim 2
n
n→+
.
Câu 2: Giới hạn dãy số
21
lim
32
n
n
n
→+
+
+
là
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 3: Giới hạn dãy số
19
lim
2 3 9
n
nn
n→+
+
+
là
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
+
. D.
1
.
Câu 4:
3
4
25
lim
22
n
nn
nn
→+
− + −
−+
có giá trị bằng
A.
−
. B.
2−
. C.
0
. D.
6−
.
Câu 5: Tính tổng
1 1 1 1
1 ... ...
2 4 8 2
n
S = + + + + + +
A.
1S =
. B.
2S =
. C.
3S =
. D.
1
2
S =
.
Câu 6: Giá trị của giới hạn
( )
2
lim 2 2023
n
nn
→+
− + +
là
A.
1−
. B.
−
. C.
+
. D.
2023
.
9
Câu 7: Tính giới hạn
( )
2
3 7 11 ... 4 7
lim
34
n
n
n
→+
+ + + + +
+
.
A.
0
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
4
3
.
Câu 8: Giới hạn
x0
1
lim
x
→
bằng
A.
−
. B.
+
. C.
0
. D. Một giá trị khá.
Câu 9: Giá trị của giới hạn là
A. B. C. D.
Câu 10: Tính
2
1
54
lim
1
x
xx
x
→
−+
−
bằng
A.
3.−
B.
4.
C.
.+
D.
.−
Câu 11: Tính
31
lim
2
x
x
x
→+
−
+
.
A.
+
. B.
0
. C.
−
. D.
3
.
Câu 12: Tính giới hạn
2
3
1
23
lim
1
x
xx
I
x
→
+−
=
−
.
A.
4
3
. B.
3
4
. C.
5
3
. D.
5
4
.
Câu 13: Biết
5
lim 3
21
x
ax
x
→+
+
=
−
. Chọn khẳng định đng.
A.
( )
2;4a
. B.
( )
3;5a
. C.
( )
4;6a
. D.
( )
5;7a
.
Câu 14: Tính giới hạn
2
41
lim .
21
x
x
x
→−
+
−
A.
1
2
. B.
1
. C.
1
2
−
. D.
1−
.
Câu 15: Biết
2
2
1
2
lim 1
2 3 1
x
x ax
xx
→
−+
=−
−+
, ở đó
a
là một số thực. Khẳng định nào sau đây là đng?
A.
2,5 3,5a
. B.
1,5 2,5a
C.
0,5 1,5a
. D.
3,5 4,5a
.
Câu 16: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 17: Với giá trị nào của
m
thì hàm số
( )
2
4
2
2
2
x
khi x
fx
x
m khi x
−
=
−
=
liên tục tại
0
2x =
A.
m 4
. B.
m 3
. C.
m 5
. D.
m 6
.
Câu 18: Cho dãy số
2
23
1
n
n
u
n
−
=
+
. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi
n
tiến đến
+
.
b) Dãy số trên có giới hạn là
+
khi
n
tiến đến
+
.
c) Giới hạn
1
lim . 2
n
n
u
n
→+
=
.
( )
2
2
lim 3 7 11
→
++
x
xx
37.
38.
39.
40.
( )
;− +
( )
tan 5f x x=+
( )
2
3
5
x
fx
x
+
=
−
( )
6f x x=−
( )
32
31f x x x= − +
10
d) Giới hạn
2
3
lim . 0
n
n
u
n
→+
−
=
.
Câu 19: Cho hàm số
21
()
57
x
fx
x
+
=
−+
. Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Hàm số trên có giới hạn hữu hạn tại
1x =
.
b) Hàm số trên có giới hạn vô cực tại
10x =−
.
c) Hàm số trên có giới hạn bằng
2
5
−
khi
x
tiến đến
+
.
d) Hàm số trên liên tục trên
.
Câu 20: Cho hàm số
( )
1
khi 1
32
khi 1
x
x
fx
xx
m x x
−
=
−−
−
với
m
là tham số và hàm số
( )
3
1g x x=−
.
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Hàm số
( )
fx
liên tục tại
2x =−
.
b) Hàm số
( )
fx
gián đoạn tại
2x =
.
c) Hàm số
( ) ( )
f x g x+
liên tục tại
3x =−
.
d) Hàm số
( )
fx
liên tục tại
1x =
khi
1m =
.
Câu 21: Cho hàm số
( )
2
31
khi 1
54
khi 1
xx
x
fx
xx
x m x
+ − −
=
−+
+
với
m
là tham số và hàm số
2
( ) 2 5 7.g x x x−=−
Các mệnh đề sau đng hay sai?
a) Hàm số
( )
fx
liên tục trên khoảng
( )
0;1
.
b) Hàm số
( )
fx
liên tục trên khoảng
( )
1; +
.
c) Hàm số
( )
( )
fx
gx
liên tục trên khoảng
( )
;1−
.
d) Với
3
4
m =−
thì hàm số
( )
fx
liên tục trên tập xác định.
Phần 2: Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a,
( )
0
2
cos 15
2
x −=
b,
tan 3 1
6
x

+ = −


c,
tan 3 tan
46
xx

− = +
d,
sin 3 sin 0
42
x
x

+ − =


Câu 2: Tìm số hạng đu và công sai của cấp số cộng biết:
a)
1 5 3
16
10
17
u u u
uu
+ − =
+=
b)
2 5 3
46
10
26
u u u
uu
+ − =
+=
Câu 3: Tìm số hạng đu và công bội của cấp số nhân biết:
a)
35
26
90
240
uu
uu
+=
−=
b)
1 2 3
1 2 3
14
. . 64
u u u
u u u
+ + =
=
Câu 4: Một câu lạc bộ thể dục thể thao đã ghi lại số giờ các thành viên của mình sử dụng cơ sở vật chất
của câu lạc bộ để tập luyện trong một tháng. Họ tổ chức dữ liệu thu được vào bảng
Thời gian (giờ)
)
1;5
)
5;9
)
9;13
)
13;17
)
17;21
)
21;25
Tần số (Số người)
10
14
31
2
5
23
Hãy tính (làm tròn kết quả đến hàng phn mười).
11
a) Tìm giá trị đại diện của các nhóm, tìm cỡ mẫu.
b) Tìm giá trị trung bình, trung vị của mẫu số liệu.
Câu 5: Cho hình chóp
S.ABCD
. Gọi
M,N
ln lượt là trung điểm của
AB
và
BC
;
12
G ,G
tương ứng là
trọng tâm các tam giác
SAB,SBC
.
a) Chứng minh
( )
AC SMN
.
b)
( )
12
G G SAC
.
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
12
BG G
.
Câu 6: Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang với đáy lớn
AB
. Gọi
M,N
theo thứ tự là
trọng tâm của các tam giác
SCD
và
SAB
.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :
( )
ABM
và
( )
SCD
;
( )
SMN
và
( )
ABC
.
b) Chứng minh
( )
MN ABC
.
c) Gọi
d
là giao tuyến của
( )
SCD
và
( )
ABM
còn
I,J
ln lượt là các giao điểm của
d
với
SD,SC
.
Chứng minh
( )
IN ABC
.
d) Tìm các giao điểm
P,Q
của
MC
với
( )
SAB
,
AN
với
( )
SCD
. Chứng minh
S,P,Q
thẳng hàng.
Câu 7: Cho hai hình vuông
ABCD
và
ABEF
ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo
AC
và
BF
ln lượt lấy các điểm
,MN
sao cho
AM BN=
. Các đường thẳng song song với
AB
vẽ từ
,MN
ln lượt ct
AD
và
AF
tại
'M
và
'N
. Chứng minh:
a)
( ) ( )
//ADF BCE
.
b)
( ) ( )
/ / ' 'DEF MM N N
.
Câu 8: Cho hình hộp
ABCD.A' B'C'D'
.
a) Chứng minh
( ) ( )
BDA' B'D'C
.
b) Chứng minh đường chéo
AC'
đi qua trọng tâm
12
G ,G
của các tam giác
BDA',B'D'C
đng
thời chia đường chéo
AC'
thành ba phn bằng nhau.
Câu 9: Cho hình bình hành
ABCD
. Qua
A
,
B
,
C
,
D
ln lượt vẽ các nửa đường thẳng
Ax
,
By
,
zC
,
Dt
ở cùng phía so với mặt phẳng
( )
ABCD
, song song với nhau và không nằm trong
( )
ABCD
. Một mặt
phẳng
( )
P
ct
Ax
,
By
,
zC
,
Dt
tương ứng tại
A
,
B
,
C
,
D
sao cho
3AA
=
,
5BB
=
,
4CC
=
.
Tính
DD
.
Câu 10: Cho tứ giác
ABCD
có
AC
và
BD
giao nhau tại
O
và một điểm
S
không thuộc mặt phẳng
( )
ABCD
. Trên đoạn
SC
lấy một điểm
M
không trùng với
S
và
C
. Xác định giao điểm của đường
thẳng
SD
với mặt phẳng
( )
.ABM
Câu 11: Một kệ để đ ( như hình vẽ) có hai mặt chứa đ
()ABCD
và
()EFGH
song song nhau. Người
thợ muốn lp thêm tng giữa
()IJKL
song song với hai mặt
()ABCD
và
()EFGH
. Người thợ đo chiều
dài đoạn
10 ; 12AE dm CG dm==
và xác định vị trí điểm
I
trên đoạn
AE
sao cho
4,2 .EI dm=
Tính độ
dài đoạn
?KC
(Đơn vị tính
dm
và làm tròn kết quả đến hàng phn trăm).
12
Câu 12: Tính giới hạn của các dãy số sau:
a,
2
2
42
lim
21
n
nn
nn
→+
− + +
++
b,
4
2
22
lim
1
n
nn
n
→+
++
+
c,
1
1
34
lim
43
nn
n
n
+
−
→+
−
+
d,
3
2
1
lim
23
n
n
nn
→+
+
−+
e,
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n
n→+
+ + + +
+ + + +
Câu 13: Tính giới hạn các hàm số sau:
a,
23
0
1
lim
1
x
x x x
x
→
+ + +
+
b,
2
1
31
lim
1
x
xx
x
→−
+−
−
c,
1
83
lim
2
x
x
x
→
+−
−
d,
2
2
1
lim
21
x
x
xx
→+
+
−+
e,
2
21
lim
2
x
xx
x
→−
−+
−
f,
2
1
lim
1
x
xx
xx
→+
+
++
Câu 14: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là
184 cm
, bánh xe trước có đường
kính là
92 cm
, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của
bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 pht.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/pht).
Câu 15: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn
cách bề mặt Trái Đất khoảng
400 km
.
Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc
45
ở tâm của quỹ đạo
tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó
đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là
6400 km
.
Câu 16 : Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một
khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thun
1
( ) 5sinf t t=
và phát lại được nốt thun
2
( ) 5cosf t t=
thì âm kết hợp là
12
( ) ( ) ( )f t f t f t=+
, trong đó
t
là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng
( ) sin( )f t k t
=+
, tức là âm kết hợp là
một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm
k
và pha ban đu
()
−
của sóng âm.
13
Câu 17 : Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thun, kết hợp với nhau
để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình cho thấy tn số thấp
1
f
và tn số cao
2
f
liên quan
đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm
( ) ( )
12
sin 2 sin 2y f t f t=+

, ở đó
t
là biến thời gian
(tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số
côsin.
Câu 18: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức
( ) cos( )x t A t=+

, trong đó
t
là thời điểm (tính bằng giây),
()xt
là li độ của vật tại thời điểm
,tA
là
biên độ dao động
( 0)A
và
[ ; ]−
là pha ban đu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:
12
( ) 2cos ( ), ( ) 2cos ( ).
3 6 3 3
π π π π
x t t cm x t t cm
= + = −
Tìm dao động tổng hợp
12
( ) ( ) ( )x t x t x t=+
và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ
và pha ban đu của dao động tổng hợp này.
Câu 19 : Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô
hình hoá bởi hàm số
( ) 90cos
10
h t t

=


, trong đó
()ht
là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển
trung bình tại thời điểm
t
giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của
sóng.
Câu 20 : Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời
chiếu sáng một phn. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phn bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu
sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là
( )
0 360

thì tỉ lệ
F
của phn Mặt
Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức
1
(1 cos ).
2
F α=−
(Theo trang usno.navy.mil).
Xác định góc
tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
a)
0F =
(trăng mới);
14
b)
0,25F =
(trăng lưỡi liềm);
c)
0,5F =
(trăng bán nguyệt đu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);
d)
1F =
(trăng tròn).
Câu 21 : Một quả đạn pháo được bn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đu
0
500 /v m s=
hợp với
phương ngang một góc
. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn
được bn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình
2
22
0
tan
2 cos
g
y x x
v
−
=+
, ở đó
2
9,8 /g m s=
là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bn
tm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bn đến điểm
quả đạn chạm đất).
b) Tìm góc bn
để quả đạn trng mục tiêu cách vị tí đặt khẩu pháo
22000 m
.
c) Tìm góc bn
để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Câu 22 : Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đu sẽ
là 200 triệu đng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đng.
Gọi
n
s
(triệu đng) là lương vào năm thứ
n
mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta
có:
11
200, 25; 2.
nn
s s s n
−
= = +
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh
( )
n
s
là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Câu 23 : Một gia đình cn khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết
giá của mét khoan đu tiên là
80.000
đng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm
5.000
đng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cn phải khoan sâu xuống
50m
mới có nước. Hỏi
phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Câu 24: Một kiến trc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngi ở hàng
thứ hai, 21 ghế ngi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở
hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngi thì kiến trc sư đó phải
thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Câu 25: Từ hình vuông đu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có
hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông
thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
15
Kí hiệu
n
p
là chu vi của hình vuông thứ
n
và
n
Q
là tổng chu vi của
n
hình vuông đu tiên. Viết công
thức tính
n
p
và
( )
1,2,3,
n
Qn=
và tìm lim
n
Q
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các
hình vuông).
Câu 26: Với hình vuông như hình vẽ bên, cách tô màu như phn gạch sọc được gọi là cách tô
màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông .
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông là hình vuông ở chính giữa khi chia hình
vuông thành phn bằng nhau như hình vẽ.
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông là hình vuông ở chính giữa khi chia hình
vuông thành phn bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cn ít nhất bao nhiêu
bước để tổng diện tích phn được tô màu chiếm .
Câu 27: Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đy 1 loại dung dịch chất độc nng độ 10 % đã được
chuyển sang bình chứa khác; nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 %. Để chất
độc còn trong lọ 0,001 gam (microgam), Người ta dùng nước cất xc rửa lọ thủy tinh này. Hỏi phải
xc rửa bao nhiêu ln nếu mỗi ln dùng 1000 ml nước cất? Giả thử rằng mỗi lấn xc rửa, chất độc hòa
tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.
Câu 28: Một hãng taxi đưa ra giá cước cho loại xe 4 chỗ như sau:
Loại xe
Giá cước cho 1
km
đầu tiên
Giá cước cho
km
thứ
2 đến
km
thứ 25
Giá cước cho
km
thứ
26 trở lên
VF 5 plus
20.000 đng/
km
15.000 đng/
km
15.000 đng/
km
(qua 1 km đu được tính cho km thứ hai, qua km thứ 25 được tính cho km thứ 26).
1 1 1 1
A B C D
1 1 1 1
A B C D
2 2 2 2
A B C D
1 1 1 1
A B C D
9
3 3 3 3
A B C D
2 2 2 2
A B C D
9
49,99%
16
Giá cước được biểu diễn bởi hàm số
20000 khi 0 1
( ) 20000 ( 1).15000 khi 1 25
380000 ( 25).14000 khi 25.
x
T x x x
xx

= + −
+ −
Xét tính liên tục của hàm số
()Tx
, với
( )
x km
.
Câu 29 : Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao
xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cu và căng một sợi dây dài
100 m
. Sau mỗi ln rơi xuống, nhờ sự đàn hi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng
đường có độ dài bằng
75%
so với ln rơi trước đó và lại bị rơi xuống đng bằng quãng đường
vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 ln kéo lên và lại
rơi xuống.

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI - BA ĐÌNH NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KỲ I TỔ TOÁN NĂM HỌC 2025-2026 MÔN TOÁN – LỚP 11 A. NỘI DUNG ÔN TẬP
CHƯƠNG I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác.
2. Công thức lượng giác. 3. Hàm số lượng giác.
4. Phương trình lượng giác cơ bản.
CHƯƠNG II. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. 1. Dãy số. 2. Cấp số cộng. 3. Cấp số nhân.
CHƯƠNG III. Các số liệu đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm.
1. Mẫu số liệu ghép nhóm.
2. Các số đặc trung đo xu thế trung tâm.
CHƯƠNG IV. Quan hệ song song trong không gian.
1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
2. Hai đường thẳng song song.
3. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
4. Hai mặt phẳng song song. 5. Phép chiếu song song.
CHƯƠNG V. Giới hạn, hàm số liên tục.
1. Giới hạn của dãy số.
2. Giới hạn của hàm số. 3. Hàm số liên tục.
B. CẤU TRÚC ĐỀ THI:
Thời gian kiểm tra 90 phút theo cấu trúccủa BGD gồm 4 phần TN(12 câu-3,0 điểm), Đ-S (2 câu-
2,0 điểm), Trả lời ngắn (4 câu-2,0 điểm) và Tự luận (3 câu-3,0 điểm)
Chú ý: Yêu cầu học sinh ôn tập kỹ phần lý thuyết và làm tất cả bài tập tự luận và trắc nghiệm
cuối mỗi chương 1, 2, 3, 4, 5 trong sách giáo khoa, sách bài tập toán 11 kết nối tri thức với cuộc sống. C. BÀI TẬP THAM KHẢO
Phần 1: Bài tập trắc nghiệm
I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
1− cos 2x − sin 2x
Câu 1: Đơn giản biểu thức K = ta được
1+ cos 2x − sin 2x
A. K = cot x . B. K = − tan x . C. 2
K =1− tan x .
D. K = tan x . 2022
Câu 2: Tập xác định của hàm số y = là sin x −1    A.   D = \
  + k , k   . B. D = \
 − + k2 , k   .  2   2   C. D = \
  + k2 , k   . D. D = \
 k , k   .  2 
Câu 3: Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 1 A. T = 2 . B. T = 2 −  . C. T = . D. T =  . 2
Câu 4: Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A.  2 − ;2. B. 0;2 . C.  1 −  ;1 . D. 0  ;1 .
Câu 5: Có bao nhiêu hàm số chẵn trong các hàm số sau: y = sin x , y = cos3x, y = tan , x y = cot x? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.  
Câu 6:Tất cả các nghiệm của phương trình  tan x − −1 = 0 là    4  
A. x = k , k  . B. x =
+ k2 , k  . 2   C. x =
+ k , k  . D. x =
+ k , k  . 2 4
Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sin x + 2 trên  bằng A. 3 B. 2 C. −1 D. 5
Câu 8: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? 3 5 A. sin x = . B. sin x = . C. sin x = 3 − . D. sin x = 2 . 5 2
Câu 9: Công thức nghiệm của phương trình sin x = sin là
x =  + k2 A. ,(k   ) . B. x = 
 + k2 ,(k ) .
x =  − + k2
x =  + kC. ,(k   ) . D. x = 
 + k,(k ) .
x =  − + k
Câu 10: Nghiệm của phương trình sin (x +10) = 1 − là A. x = 1 − 00 + k.360 ,  k . B. x = 8 − 0 + k.180 ,  k .
C. x =100 + k.360 ,  k . D. x = 1 − 00 + k.180 ,  k . 
Câu 11: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; ) của phương trình cot 3x = tan bằng 5 11 13 6 7 A. . B. . C. . D. . 10 10 5 5 3 
Câu 12: Cho góc  thỏa mãn cos = và −
   0 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? 5 2 a) tan . 0   b) 9  3 sin + = − .    2  5 c) (  + ) 4 tan 2017 = − . 3
d) P = 5 + 3tan a + 6 − 4cot a = 4.
Câu 13: Trên đường tròn lượng giác, cho lục giác đều ANPQRS như hình vẽ. 2
Các mệnh đề sau đúng hay sai? 2
a) Điểm biểu diễn góc là . R 3
b) Góc lượng giác (OA, ON) có số đo là . 3
c) Các điểm biểu diễn các góc có số đo k (k   ) là A, Q.
d) Các điểm biểu diễn các góc có số đo k2 (k   ) tạo thành tam giác đều. 3
Câu 14: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD , bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm
sáng phân kì sang phía góc C . Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia 1 1
AM và AN , ở đó các điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh sao cho BM = BC, DN = DC . 2 3 .
Các mệnh đề sau đúng hay sai? a)   (BAM +DAN)   tan
= tan BAM + tan DAN. b)  1 tanBAM = . 2 c)  1 tanDAN = . 3
d) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng 45 .
Câu 15: Cho hàm số y = tan x . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
b) Tập giá trị của hàm số là [ 1 − ;1].
c) Tập xác định của hàm số là D = \
 k | k   .
d) Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
Câu 16: Cho phương trình sin 2x = m . Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau: k
a) Với m = 0, phương trình có nghiệm là x = . 2  1 −
b) Phương trình có nghiệm là x = khi m = . 3 2
c) Phương trình có nghiệm khi m( 1 − ) ;1 .  
d) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trên  0;   khi m(0 ) ;1 .  2 
II. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. 2 2n −1
Câu 1: Cho dãy số (u ), biết u =
. Tìm số hạng u . n n 2 n + 3 5 1 7 17 71 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = . 5 4 5 4 5 12 5 39
Câu 2: Cho dãy số (v với v = 2n −1. Khẳng định nào sau đây đúng? n ) n
A. Dãy số (v là dãy tăng.
B. Dãy số (v là dãy giảm. n ) n ) 3
C. Dãy số (v bị chặn dưới bởi 2. D. Dãy số (v bị chặn trên bởi 1. n ) n )
Câu 3: Cho dãy số (u với u = 3n +1 là cấp số cộng. Khi đó công sai của nó là n ) n A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 4: Cho cấp số cộng (u có u = 3 và u = −1. Công sai của cấp số cộng đó bằng n ) 1 2 A. 3 − . B. 3 . C. 4 . D. −4 .
Câu 5: Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu và công sai lần lượt là u và d. Khi đó phát biểu nào sau n ) 1 đây là sai? A. u = u − d + nd . B. u = u − d, n  1. n 1 n n 1 + n C. u + u
= 2u , n  2 .
D. u + u + ...+ u = 2u + nd . 1 2 n  1  n 1 − n 1 + n 2
Câu 6: Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu u = 8 và công sai d = 5. Số hạng thứ 6 của dãy số là n ) 1
A. u = 33.
B. u = 30 .
C. u = 13 . D. u = 35 . 6 6 6 6
Câu 7: Cho cấp số nhân (u thỏa mãn u = 3,u = 48 . Công bội của cấp số nhân bằng n ) 1 5 A. 16. B. −2 . C. 2 . D. 2 .
Câu 8: Cho cấp số nhân (u có số hạng thứ hai u = 5 , công bội q = 2 . Tìm số hạng đầu u . n ) 2 1 2 2 5 5 A. u = .
B. u = − . C. u = . D. u = − . 1 5 1 5 1 2 1 2
Câu 9: Cho cấp số nhân (u với số hạng đầu u = 2 và công bội q = 3. Số hạng thứ 5 của cấp số nhân n ) 1 đó là A. 14 . B. 162. C. 17 . D. 486 . u  + u + u = 13
Câu 10: Cho cấp số nhân (u thỏa mãn 1 2 3 . Tìm u . n ) u −u = 26  8 4 1
A. u = 2187 . B. u = 128 . C. u = 256 . D. u = 6561 . 8 8 8 8
Câu 11: Cho cấp số cộng (u có u = 5n −8 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: n ) n a) u = −3 1 b) Công sai d = 8 −
c) Số 492 là số hạng thứ 100 của (u n )
d) Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng 190
Câu 12: Cho cấp số nhân (u có u = 2; u = −4 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: n ) 1 2 a) Công bội q = 2 b) u = −32 5 c) Số 64
− là số hạng thứ 6 của (u n )
d) Tổng của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 170 −
Câu 13: Cho cấp số cộng (u có số hạng đầu u = −5và công sai d = 3. n ) 1
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng.
b) Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là 9
c) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng là 85
d) Số hạng tổng quát cảu cấp số cộng (u là (u = n − . n ) 3 7 n )
Câu 14: Cho cấp số nhân (u có tổng n số hạng đầu tiên là S = 5n −1 với n =1,2,.... n ) n
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Công bội của cấp số nhân đã cho là q = 6 .
b) Số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là u = 4 1 . 4
c) Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là 3124 .
d) Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là 2600 .
III. Các số đặc trung đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Câu 1: Tìm hiểu thời gia xem tivi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau: Thòi gian (giờ) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) Số học sinh 8 16 4 2 2
Giá trị đại diện của nhóm 20;25)là A. 22,5. B. 23. C. 20 . D. 5 .
Câu 2: Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút) 9,5;12,5) 12,5;15,5) 15,5;18,5) 18,5;21,5) 21,5;24,5) Số học sinh 3 12 15 24 2
Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút? A. 24 . B. 15. C. 2 . D. 20 .
Câu 3: Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m)
6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2
7,5 8,3 7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7
7,8 8,3 8,6 8,1 8,1 8,5 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8
Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, ghép các số liệu thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có
độ dài bằng nhau.Nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là: A. [7,0;7,5) B. [7,5;8,0) C. [8,0;8,5) D. [8,5;9,0)
Câu 4: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 7; 9) . B. 9; 1 ) 1 . C. 11; 13). D. 13; 15) .
Câu 5: Cho mẫu số liệu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân
viên của một công ty như sau: Thời gian
15;20) 20;25) 25;30) 30;35) 35;40) 45;50) 45;50) Số nhân viên 6 14 25 37 21 13 9
Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Cỡ mẫu là 5 .
B. Tần số của lớp 30;35) là 37 .
C. Số nhân viên công ty là 125.
D. Độ dài nhóm là 5 .
Câu 6: Số lượng huy chương vàng tại Sea Games 31 được thống kê Số huy chương 0;10) 10;50) 50;100) 100;210) Quốc gia 5 2 3 1
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 .
Câu 7: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên trong một công ty như sau:
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: 5
a) Giá trị đại diện của nhóm 9;12) là 10,5.
b) Trung bình lương các nhân viên là 16,5 triệu đồng.
c) Nhóm chứa trung vị là 15;18).
d) Tứ phân vị thứ ba là 15,56 .
Câu 8: Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của sinh viên một trường đại học X được cho bởi bảng sau:
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Số sinh viên được điều tra là 100.
b) Số giờ làm thêm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X không ít hơn 6 .
c) Mốt của mẫu số liệu trên là 7,5.
d) Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu lớn hơn 6,5 .
V. Quan hệ song song trong không gian
Câu 1: Hình nào trong các hình sau là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác? A. Hình 4. B. Hình 2. C. Hình 1. D. Hình 3.
Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
A. AB, AD . B. A , B CB .
C. BC, BD .
D. BC, AD .
Câu 3: Cho tam giác ABC và điểm I thuộc tia đối của tia .
AC Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. I  ( ABC).
B. ( ABI )  (BIC).
C. A(ABC).
D. BI  ( ABC).
Câu 4: Cho tam giác ABC thì có bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác đó? A. 3 . B. 2 . C. Vô số. D. 1.
Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có vô số điểm chung.
B. Qua hai điểm có một và chỉ một mặt phẳng.
C. Qua ba điểm không thẳng hàng có vô số mặt phẳng.
D. Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có tối đa một điểm chung.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của các cạnh BC, CD và P là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh SB và SD lần
lượt tại điểm R và Q, Giả sử MR QN = I . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. I S . C
B. I SG với G là trọng tâm tam giác BCD. C. I S . O
D. I SK với K là trung điểm MN.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác với các cặp cạnh đối không song song. Gọi
M là giao điểm của AC và ,
BD gọi N là giao điểm của AB và .
CD Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (SAD) (SBC) = SN.
B. (SAD) (SBC) = SM.
C. (SAB) (SCD) = SN.
D. (SAB) (SCD) = SM.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC .
D Trên cạnh SB lấy điểm L, gọi O là giao điểm của hai đường
thẳng AC, BD và G là giao điểm của SO và mặt phẳng ( ADL) (tham khảo hình vẽ). 6 S L A O B C D
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. G là giao điểm của hai đường thẳng SO với . DL
B. G là giao điểm của hai đường thẳng SO với . AL
C. G là giao điểm của hai đường thẳng DL với . SC
D. G là giao điểm của hai đường thẳng SD với . AL
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD) song song với đường thẳng nào sau đây? A. . AB B. . AC C. . BC D. . AD
Câu 10: Cho tứ diện ABC .
D Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và .
ABD Khẳng định nào sau đây đúng?
A. IJ, CD song song với nhau.
B. IJ, AB song song với nhau.
C. IJ, CD chéo nhau.
D. IJ, AB cắt nhau.
Câu 11: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai đường thẳng a và b không có điểm chung.
B. Có một mặt phẳng chứa a và song song với . b
C. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và . b
D. Có vô số đường thẳng song song với a và cắt . b
Câu 12: Cho hình chóp S.AB .
C Gọi M , N lần lượt là trung điểm S , A S .
B Giao tuyến của hai mặt phẳng
(ABC) và (CMN ) song song với đường thẳng nào sau đây? A. . SC B. . AC C. . BC D. . AB
Câu 13: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC thỏa mãn
PR / / AC và CQ = 2Q .
D Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD =3DS.
B. AD = 2 DS.
C. AS = 3 DS.
D. AS = DS.
Câu 14: Cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( AB D  ) ( A B
D). B. ( AB D  ) (C B
D) . C. (DA C
 ) ( ACB) . D. ( AB D  ) (BCD) .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , gọi M , N lần lượt là trung điểm của
các cạnh SA và AD . Mặt phẳng (MNO) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (SBC).
B. (SAB) .
C. (SAD). D. (SCD) .
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo phương
AB lên mặt phẳng (SBC) là điểm nào sau đây? A. S .
B. Trung điểm của BC . C. B . D. C .
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB CD).
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABC . D
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO, (O là giao điểm của AC và BD).
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI, (I là giao điểm của AD và BC). 7
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC, gọi ,
D E, F lần lượt là trung điểm của A , B BC, S .
A Gọi H, I lần lượt
là trọng tâm của tam giác ABC và SAB. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SCD) và (SAE) là SH.
b) Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SCD) và (BFC) là CI.
c) Gọi O là giao điểm SH và CI. Khi đó SO = 2OH.
d) O là trung điểm EF.
Câu 19: Cho hình hộp ABCD ABCD 
. Gọi G ,G là trọng tâm c
ủa các tam giác ABD, BDC . 1 2
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng A' B cắt đường thẳng CD .
b) ADCB là hình bình hành
c) ( ABD) / / (BDC) 2 d) G G AC = . 1 2 3
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M , N và P lần lượt là trung
điểm của SC , SA và SD . Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) CD// (SAB) .
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB,CD .
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN ) và ( ABCD) là đường thẳng  đi qua B và song song với AC .
d) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (BMN ) với các đường thẳng A , D CD . Khi MN 1 đó = . EF 4
V. Giới hạn, hàm số liên tục
Câu 1: Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 ?  2 n   5 n   4 nA. lim n   . B. lim   . C. lim   . D. lim (2) . n→+  3  n→+  3  n→+  3  n→+ 2n +1
Câu 2: Giới hạn dãy số lim là n→+ 3n + 2 2 1 A. . B. . C. 2 . D. 1. 3 2 1+ 9n
Câu 3: Giới hạn dãy số lim là 2n + 39n n→+ 1 1 A. . B. . C. + . D. 1. 3 2 3 2 − n + n − 5 Câu 4: lim có giá trị bằng 4
n→+ n − 2n + 2 A. − . B. −2 . C. 0 . D. 6 − . 1 1 1 1
Câu 5: Tính tổng S = 1+ + + + ...+ +... 2 4 8 2n 1 A. S =1. B. S = 2 . C. S = 3. D. S = . 2
Câu 6: Giá trị của giới hạn ( 2
lim −n + 2n + 2023) là n→+ A. −1. B. − . C. + . D. 2023. 8
3 + 7 +11+ ...+ (4n + 7)
Câu 7: Tính giới hạn lim . 2 n→+ 3n + 4 2 1 4 A. 0 . B. . C. . D. . 3 3 3 1
Câu 8: Giới hạn lim bằng x→0 x A. − . B. + . C. 0 .
D. Một giá trị khá.
Câu 9: Giá trị của giới hạn lim( 2 3x + 7x +1 ) 1 là x→2 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. 2 Câu 10: Tính x − 5x + 4 lim bằng x 1 → x −1 A. 3. − B. 4. C. . + D. . − 3x −1 Câu 11: Tính lim . x→+ x + 2 A. + . B. 0 . C. − . D. 3 . 2
Câu 12: Tính giới hạn x + 2x − 3 I = lim . 3 x 1 → x −1 4 3 5 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 ax + 5 Câu 13: Biết lim
= 3. Chọn khẳng định đúng. x→+ 2x −1
A. a (2;4) . B. a (3;5) .
C. a (4;6) . D. a (5;7). 2 +
Câu 14: Tính giới hạn 4x 1 lim . x→− 2x −1 1 1 A. . B. 1. C. − . D. −1. 2 2 2 x − ax + 2 Câu 15: Biết lim = 1
− , ở đó a là một số thực. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 x 1
→ 2x − 3x + 1 A. 2,5 a  3,5 . B. 1,5 a  2,5 C. 0,5 a  1,5. D. 3,5 a  4,5 .
Câu 16: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên (− ;  +) ? 2 x + 3
A. f (x) = tan x + 5 .
B. f ( x) = . 5 − x
C. f ( x) = x − 6 . D. f (x) 3 2 = x − 3x +1. 2  x − 4  khi x  2
Câu 17: Với giá trị nào của m thì hàm số f ( x) =  x − 2
liên tục tại x = 2 0 m khi x = 2
A. m  4 .
B. m  3 .
C. m  5 . D. m  6 . 2 2n − 3
Câu 18: Cho dãy số n u =
. Các mệnh đề sau đúng hay sai? n +1
a) Dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến + .
b) Dãy số trên có giới hạn là + khi n tiến đến + . 1
c) Giới hạn lim u . = 2 n . n→+ n 9 3 −
d) Giới hạn lim u . = 0 n . 2 n→+ n 2x +1
Câu 19: Cho hàm số f (x) =
. Các mệnh đề sau đúng hay sai? 5 − x + 7
a) Hàm số trên có giới hạn hữu hạn tại x =1.
b) Hàm số trên có giới hạn vô cực tại x = 10 − . 2 −
c) Hàm số trên có giới hạn bằng
khi x tiến đến + . 5
d) Hàm số trên liên tục trên  .  x −1  khi x  1
Câu 20: Cho hàm số f ( x) =  3x − 2 − x
với m là tham số và hàm số g (x) 3 = x −1.
m− x khi x 1
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số f (x) liên tục tại x = 2 − .
b) Hàm số f (x) gián đoạn tại x = 2 .
c) Hàm số f (x) + g (x) liên tục tại x = 3 − .
d) Hàm số f (x) liên tục tại x =1 khi m =1.
x + 3 − x −1  khi x  1
Câu 21: Cho hàm số f ( x) 2
=  x −5x + 4
với m là tham số và hàm số 2
g(x) = 2x − 5x − 7.
x + m khi x 1
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số f ( x) liên tục trên khoảng (0 ) ;1 .
b) Hàm số f ( x) liên tục trên khoảng (1;+). f ( x) c) Hàm số liên tục trên khoảng ( ) ;1 − . g ( x) 3
d) Với m = − thì hàm số f ( x) liên tục trên tập xác định. 4
Phần 2: Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 2            x  a, cos ( 0 x −15 ) = b, tan 3x + = 1 − c, tan 3x − = tan x + d, sin 3x + sin − = 0 2          6   4   6   4 2 
Câu 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng biết: u
 + u − u =10 u
 + u − u = 10 a) 1 5 3  b) 2 5 3   1 u + 6 u = 17 u  4 + u6 = 26
Câu 3: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết: u  + u = 90
u + u + u = 14 a) 3 5 b) 1 2 3 u    2 − 6 u = 240  1 u .u2. 3 u = 64
Câu 4: Một câu lạc bộ thể dục thể thao đã ghi lại số giờ các thành viên của mình sử dụng cơ sở vật chất
của câu lạc bộ để tập luyện trong một tháng. Họ tổ chức dữ liệu thu được vào bảng Thời gian (giờ)
1;5) 5;9) 9;13) 13;17) 17;2 )1 21;25)
Tần số (Số người) 10 14 31 2 5 23
Hãy tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 10
a) Tìm giá trị đại diện của các nhóm, tìm cỡ mẫu.
b) Tìm giá trị trung bình, trung vị của mẫu số liệu.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC ; G ,G tương ứng là 1 2
trọng tâm các tam giác SAB,SBC .
a) Chứng minh AC (SMN) . b) G G SAC . 1 2 ( )
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (BG G . 1 2 )
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M,N theo thứ tự là
trọng tâm của các tam giác SCD và SAB .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : (ABM) và (SCD) ; (SMN) và (ABC) .
b) Chứng minh MN (ABC) .
c) Gọi d là giao tuyến của (SCD) và (ABM) còn I,J lần lượt là các giao điểm của d với SD,SC .
Chứng minh IN (ABC) .
d) Tìm các giao điểm P,Q của MC với (SAB) , AN với (SCD) . Chứng minh S,P,Q thẳng hàng.
Câu 7: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M, N lần lượt cắt AD và AF tại M ' và N ' . Chứng minh:
a) (ADF) / / (BCE) .
b) (DEF) / / (MM'N'N) .
Câu 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' .
a) Chứng minh (BDA') (B'D'C) .
b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G ,G của các tam giác BDA',B'D'C đồng 1 2
thời chia đường chéo AC' thành ba phần bằng nhau.
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các nửa đường thẳng Ax , By , z C ,
Dt ở cùng phía so với mặt phẳng ( ABCD) , song song với nhau và không nằm trong ( ABCD) . Một mặt
phẳng (P) cắt Ax , By , z
C , Dt tương ứng tại A , B , C , D sao cho AA = 3 , BB = 5 , CC = 4 . Tính DD.
Câu 10: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD) . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Xác định giao điểm của đường
thẳng SD với mặt phẳng ( ABM ).
Câu 11: Một kệ để đồ ( như hình vẽ) có hai mặt chứa đồ (ABCD) và (EFGH ) song song nhau. Người
thợ muốn lắp thêm tầng giữa (IJKL) song song với hai mặt (ABCD) và (EFGH ) . Người thợ đo chiều
dài đoạn AE =10d ;
m CG =12dm và xác định vị trí điểm I trên đoạn AE sao cho EI = 4, 2d . m Tính độ
dài đoạn KC ?(Đơn vị tính dm và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). 11
Câu 12: Tính giới hạn của các dãy số sau: 2 4 − n + n + 2 4 n + 2n + 2 n 1 3 + − 4n a, lim b, lim c, lim 2
n→+ 2n + n +1 2 n→+ n +1 n 1 n 4 − →+ + 3 3 n +1 2 1+ 2 + 2 + ...+ 2n d, lim e, lim 2
n→+ n − 2n + 3 2 1+ 3 + 3 + ...+ 3n n→+
Câu 13: Tính giới hạn các hàm số sau: 2 3
1+ x + x + x 2 3x +1 − x x + 8 − 3 a, lim b, lim c, lim x→0 1+ x x 1 →− x −1 x 1 → x − 2 2 x +1 2 2x − x +1 x x +1 d, lim e, lim f, lim 2
x→+ 2x − x +1 x→− x − 2 2
x→+ x + x +1
Câu 14: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm , bánh xe trước có đường
kính là 92 cm , xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của
bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
Câu 15: Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn
cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km .
Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45 ở tâm của quỹ đạo
tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó
đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6400 km .
Câu 16 : Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một
khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần
f (t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f (t) = 5cos t thì âm kết hợp là f (t) = f (t) + f (t) , trong đó t 1 2 1 2
là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f (t) = k sin(t +) , tức là âm kết hợp là
một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu ( 
−     ) của sóng âm. 12
Câu 17 : Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau
để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình cho thấy tần số thấp f và tần số cao f liên quan 1 2
đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin (2 f t + sin 2 f t , ở đó t là biến thời gian 1 ) ( 2 ) (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
Câu 18: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức
x(t) = Acos(t +) , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là
biên độ dao động (A  0) và  [− ; ] là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:  π π   π π x (t) = 2cos t +
(cm), x (t) = 2cos t − (cm). 1   2    3 6   3 3 
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x (t) + x (t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ 1 2
và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Câu 19 : Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô   
hình hoá bởi hàm số h(t) = 90 cos t
 , trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển 10 
trung bình tại thời điểm t giây. a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Câu 20 : Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời
chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu
sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là  (0    360) thì tỉ lệ F của phần Mặt 1
Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức F = (1− cos α). 2 (Theo trang usno.navy.mil).
Xác định góc  tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
a) F = 0 (trăng mới); 13
b) F = 0, 25 (trăng lưỡi liềm);
c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);
d) F = 1 (trăng tròn).
Câu 21 : Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v = 500 m / s hợp với 0
phương ngang một góc  . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn −g
được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình 2 y =
x + x tan , ở đó 2 2 2v cos  0 2
g = 9,8 m / s là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn  tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).
b) Tìm góc bắn  để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tí đặt khẩu pháo 22000 m .
c) Tìm góc bắn  để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
Câu 22 : Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ
là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng.
Gọi s (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta n
có: s = 200, s = s + 25;n  2. 1 n n 1 −
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh (s là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này. n )
Câu 23 : Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết
giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm
5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi
phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Câu 24: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng
thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở
hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải
thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Câu 25: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có
hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông
thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5). 14
Kí hiệu p là chu vi của hình vuông thứ n và Q là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công n n
thức tính p và Q (n =1,2,3, và tìm lim Q (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các n ) n n hình vuông).
Câu 26: Với hình vuông A B C D như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô 1 1 1 1
màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau:
Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D . 1 1 1 1
Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 2 2 2 2
vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ. 1 1 1 1
Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A B C D là hình vuông ở chính giữa khi chia hình 3 3 3 3
vuông A B C D thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu 2 2 2 2
bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% .
Câu 27: Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đầy 1 loại dung dịch chất độc nồng độ 10 % đã được
chuyển sang bình chứa khác; nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 %. Để chất
độc còn trong lọ  0,001  gam (microgam), Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này. Hỏi phải
xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng 1000 ml nước cất? Giả thử rằng mỗi lấn xúc rửa, chất độc hòa
tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.
Câu 28: Một hãng taxi đưa ra giá cước cho loại xe 4 chỗ như sau: Loại xe
Giá cước cho 1 km
Giá cước cho km thứ Giá cước cho km thứ đầu tiên
2 đến km thứ 25 26 trở lên VF 5 plus 20.000 đồng/ km 15.000 đồng/ km 15.000 đồng/ km
(qua 1 km đầu được tính cho km thứ hai, qua km thứ 25 được tính cho km thứ 26). 15 20000 khi 0  x  1 
Giá cước được biểu diễn bởi hàm số T (x) = 20000 + (x −1).15000 khi 1  x  25 3
 80000+ (x − 25).14000 khi x  25. 
Xét tính liên tục của hàm số T (x) , với x (km) .
Câu 29 : Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao
xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài
100 m . Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng
đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường
vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. 16

Tài liệu liên quan: