Ôn thi đánh giá năng lực(Đề 4) | Trường đại học Quốc gia Hà Nội

Ôn thi đánh giá năng lực(Đề 4) | Trường đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

117 59 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đánh giá năng lực

Trường: Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

28 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết giá trị
50x
thì giá trị
n
bằng bao nhiêu?
A. B. 8. 5.
C. D. 2. 3
Câu 2. Vận tốc của một vật chuyển động là
1 sin
/
2
t
v t m s
. Quãng đường di chuyển của vật đó
trong khoảng thời gian
1,5
giây chính xác đến
0,01 m
là?
A.
0.33
. B.
0.31
. C.
0.34
. D.
0.32
.
Câu 3.
Tập nghiệm của bất phương trình
1
2
log x 1 0
là
A.
1;2
. B.
1;2
. C.
;2
. D.
2;
.
Câu 4. Hệ phương trình
2 2
1
x y
y x m
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
A. B. m tuỳ ý.
2m
.
C.
2m
. D.
2 2m và m
.
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
1 2
z z z (với
1
5 3z i và)
2
6 4z i là
điểm nào dưới đây?
A.
11;7Q
. B.
1; 1P
. C.
11; 7N
. D.
1; 1M
.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;0; 2M
,
3; 4;1N
,
2;5;3P
. Mặt
phẳng
MNP
có một véctơ pháp tuyến là:
A.
3; 16;1n
. B.
1;3; 16n
. C.
1; 3;16n
. D.
16;1;3n
.
ĐỀ
ĐỀ
ĐỀ
ĐỀ ĐỀ
SỐ
SỐ
SỐ
SỐ SỐ
4. Ô
4. Ô
4. Ô
4. Ô4. Ô
N
N
N
N N
THI
THI
THI
THI THI
ĐGN
ĐGN
ĐGN
ĐGNĐGN
L
L
L
LL
ĐHQ
ĐHQ
ĐHQ
ĐHQĐHQ
G
G
G
G G
HÀ
HÀ
HÀ
HÀHÀ
NỘI
NỘI
NỘI
NỘINỘI
202
202
202
202202
1
1
1
11
-2
-2
-2
-2-2
0
0
0
00
22
22
22
2222
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
1; 2; 3M
và mặt phẳng
có phương trình là
2 12 0.
x y z
Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
.
A.
1; 6; 1
H
. B.
3; 2; 5
H
. C.
5; 6; 7
H
. D.
H
.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình:
4 5
2
5
x x
x
là
A.
5;6
. B.
5;6
. C.
;6

. D.
5;

.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
2018; 2018
để phương trình
2
1 sin sin 2 cos2 0m x x x
có nghiệm?
A.
4036
. B.
2020
. C.
4037
. D.
2019
.
Câu 10. Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian 24 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết
rằng cứ sau mỗi giờ thì lượng lá bèo sẽ tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng
không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo sẽ phủ kín nột nửa mặt hồ
A.
24
log2
. B.
12
. C.
24
10
2
. D.
24 log 2
.
Câu 11. Cho
F x
là nguyên hàm của
4
2
2 3x
f x
x
. Khi đó
A.
3
2
3ln
3
x
F x x C
. B.
3
2 3
3
x
F x C
x
.
C.
3
2 3
3
x
F x C
x
. D.
3
2
3ln
3
x
F x x C
.
Câu 12. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Bảng biến thiên của hàm số
y f x
như hình dưới
đây:
Tìm
m
để bất phương trình
2 3
1
3
m x f x x
nghiệm đúng với mọi
0;3x
.
A.
0m f
. B.
0m f
. C.
3m f
. D.
2
1
3
m f
.
Câu 13. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc thời gian (s) là t
2 7a t t
(m/s
2
). Biết vận tốc đầu bằng 10 (m/s), hỏi sau bao lâu thì chất điểm đạt vận tốc 18
(m/s)?
A. B. C. D. 5 (s). 7 (s). 6 (s). 8 (s).
Câu 14. Hai anh em An Bình và An Nhiên sau Tết có
3000000
(đồng) tiền mừng tuổi. Mẹ gửi ngân hàng
cho hai anh em với lãi suất
0,5% /
tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi
cho tháng sau). Hỏi sau một năm hai anh em được nhận bao nhiêu tiền biết trong một năm đó hai
anh em không rút tiền lần nào (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn)?
A.
3185000
. B.
3183000
. C.
3184000
. D.
3186000
.
Câu 15. Tìm số thực
x
biết
3
log 2 2x
.
A.
6
x
. B.
4
x
. C.
7
x
. D.
6
x
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Câu 16. Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
y x
và đường thẳng
2y x
. Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình
H
xung quanh trục hoành.
A.
20
3
. B.
4
3
. C.
64
15
. D.
16
15
.
Câu 17. Hàm số
1
x
y
x m
nghịch biến trên khoảng
;2

khi và chỉ khi:
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D.
1
m
.
Câu 18. Cho số phức
z
thỏa mãn
2 . 1 17z i z i
. Khi đó
z
bằng
A.
146
z
. B.
12
z
. C.
148
z
. D.
142
z
.
Câu 19. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số
z
phức thoả mãn điều kiện
1 2 4
z i
là:
A. B. C. D. Một hình vuông. Một đường tròn. Một đoạn thẳng. Một đường thẳng.
Câu 20. Cho đường thẳng
: 2 – 3 3 0
d x y
và
8; 2
M
. Tọa độ của điểm
M
đối xứng với
M
qua
d
là:
A.
(4;8)
. B.
(4
; )8
. C.
( 4 );8
. D.
(
8
4
; )
.
Câu 21. Đường tròn
2 2
5 0
x y y
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
5
. 25. B. C.
5
2
. D.
25
2
.
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;1;0
A
,
0; 1;2
B
. Biết rằng có hai
mặt phẳng cùng đi qua hai điểm
A
,
O
và cùng cách
B
một khoảng bằng
3
. Véctơ nào trong
các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó.
A.
1; 1;5
n
. B.
1; 1; 5
n
. C.
1; 1; 1
n
. D.
1; 1; 3
n
.
Câu 23. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy
3r cm
và thể tích của khối nón được tạo nên từ hình
nón là
3
9 3
V cm
. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A.
45
. B.
30
. C.
120
. D.
60
.
Câu 24. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao
3R
và bán kính đáy
R
. Một hình nón có đỉnh là
O
và đáy là hình tròn
;O R
. Tỷ số diện tích xung quanh của hình
trụ và hình nón bằng
A.
3
. B.
2
. C.
2
. D.
3
.
Câu 25. Cho lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
6
AB ,
3
AD ,
3
A C
và mặt phẳng
AA C C
vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng
AA C C
,
AA B B
tạo
với nhau góc
thỏa mãn
3
tan
4
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABCD A B C D
bằng?
A.
6
V
. B.
8
V
. C.
12
V
. D.
10
V
.
Câu 26. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là một điểm lấy trên cạnh
SA
(
M
không trùng với
S
và
A
).
Mp
qua ba điểm
, ,M B C
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện
là:
A. Tam giác. Hình thang. Hình bình hành. Hình chữ nhật. B. C. D.
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
xét đường thẳng
d
xác định bởi
1
2
x
y z
và đường
thẳng
d
xác định bởi
0
x
y z
. Tính bán kính nhỏ nhất
R
của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường
thẳng
d
và
d
.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
A.
1
2
R
. B.
2R
. C.
2.R
D.
1R
.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của
đường thẳng
1 2 3
2 3 1
x y z
trên mặt phẳng
Oxy
?
A.
1
2 3
0
x t
y t
z
. B.
1
2 3
0
x t
y t
z
. C.
1 2
2 3
0
x t
y t
z
. D.
1
2 3
0
x t
y t
z
.
Câu 29. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
và có đồ thị
f x
như hình vẽ
Hàm số
2
2g x f x x
có bao nhiêu điểm cực đại.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 30. Trong không gian
Oxyz
cho điểm
2;5;3A
và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
. Gọi
P
là mặt
phẳng chứa đường thẳng
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
P
lớn nhất. Khoảng cách từ điểm
1; 2; 1M
đến mặt phẳng
P
bằng
A.
7 2
6
. B.
11 2
6
. C.
3 2
. D.
11
18
.
Câu 31. Cho hàm số
( )y f x
có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để
hàm số
( ) 2 1y f x m
có 5 điểm cực trị.
A. B. C. D. 2. 3. 4. 5.
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:
2
2 2
2
0
1 1
x x
a
x x
có đúng 4 nghiệm.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 33. Cho hàm số
y f x
dương và liên tục trên khoảng
0; .
Biết
y f x
là một nguyên hàm
của hàm số
2
1.
x
e f x
f x
và
ln2 3f
họ nguyên hàm của hàm số
2
.
x
e f x
là
A.
5 3
2 2
1 1
5 3
x x
e e C
. B.
3
2 2
1
1 1
3
x x
e e C
.
C.
3
2
1
1
3
x
e C
. D.
3
1
1
3
x
e C
.
Câu 34. Một tiểu đội có
10
người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh
A
và anh
B
.
Tính xác suất để
A
và
B
đứng cạnh nhau.
x
y
-2
3
O
1
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
A.
1
4
. B.
1
6
. C.
1
5
. D.
1
10
.
Câu 35. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi
, ,M N P
lần lượt là
trung điểm của
, ,
AA BB CC
.
,
G G
lần lượt là trọng tâm của hai đáy
,
ABC A B C
. Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,G G M N P
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU)
Câu 36. Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm
của phương trình
0
y
có phương trình:
Đáp án: …………..
Câu 37. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
có bảng xét dấu
f x
như sau. Hàm số đã cho có bao
nhiêu cực tiểu?
Đáp án: …………..
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
2;1; 2
A
,
1; 3;1
B
,
3; 5;2
C
. Độ dài đường cao
AH
của tam giác
ABC
là.
Đáp án: …………..
Câu 39. Số tập con của tập
1;2;3
M
là
Đáp án: …………..
Câu 40. Cho
4
5
lim 5
4
x
f x
x
. Tính giới hạn
4
5
lim
2 6 6 4
x
f x
x f x
Đáp án: …………..
Câu 41. Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề
lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Khoảng cách giữa hai chân cổng là
162m
. Từ một điểm trên
thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là
43m
và khoảng cách tới điểm chân cổng
gần nhất là
10m
. Chiều cao của cổng gần với số nào sau đây?
Đáp án: …………..
Câu 42. Cho hàm số
4 2
1 3
y m x mx
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số có ba
điểm cực trị.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Đáp án: …………..
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng
: 6d y kx
. Hỏi có bao
nhiêu giá trị nguyên
k
để
1 2
S S (trong đó
1
S ,
2
S là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số bậc ba
y f x
và đường thẳng
6y kx
,
1
S là phần ghạch chéo).
Đáp án: …………..
Câu 44. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau
Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số
m
để phương trình
1 2 3 2f x f m có nghiệm
Đáp án: …………..
Câu 45. Cho các số phức
z
thỏa mãn
1z
. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
5 12 1 2 w i z i
trong mặt phẳng
Oxy
là
Đáp án: …………..
Câu 46. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a
,
3AD a
,
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy và
2SA a
. Góc giữa hai đường thẳng
SC
và
BD
nằm trong khoảng nào?
Đáp án: …………..
Câu 47. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
4
: 1 4
3 2
x t
d y t
z t
và mặt phẳng
: 2 9 0Q x y z
.
Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
1;2;3A
, vuông góc với
d
và song song với
Q
. Tính
khoảng cách từ giao điểm của
d
và
Q
đến
ta được
Đáp án: …………..
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Câu 48. Cho các số thực
m
.
n
thỏa mãn
1m n
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
2 2
log 3log
m n
n
m
P m
n
.
Đáp án: …………..
Câu 49. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
CD a
,
SD ABCD
. Gọi
,M N
lần lượt là
trung điểm của đoạn thẳng
,AB AD
và
G
là trọng tâm tam giác
SAC
. Mặt phẳng
GMN
cắt cạnh
SC
tại
E
. Khoảng cách từ
E
đến mặt phẳng
SAD
bằng
Đáp án: …………..
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là một hình vuông. Biết tổng diện tích
tất cả các mặt của khối hộp bằng
50.
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối hộp đã cho.
Đáp án: …………..
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải tham khảo
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết giá trị
50x
thì giá trị
n
bằng bao nhiêu?
A. 8. B. 5.
C. 2. 3 D.
Lời giải
Chọn D
Câu 2. Vận tốc của một vật chuyển động là
1 sin
/
2
t
v t m s
. Quãng đường di chuyển của vật đó
trong khoảng thời gian
1,5
giây chính xác đến
0,01 m
là?
A.
0.33
. B.
0.31
. C.
0.34
. D.
0.32
.
Lời giải
Chọn C
Quảng đường vật đi được trong
1,5
giây đầu tiên là.
3
3
2
2
2
0
0
cos
0,34
2
t t
s v t dt m
.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình
1
2
log x 1 0
là
A.
1;2
. B.
1;2
. C.
;2
. D.
2;
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
0
1
2
x 1 0
x 1
l .og x 1 0
1
x 2
x 1
2
1; 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trinh là
1; 2 .S
Câu 4. Hệ phương trình
2 2
1
x y
y x m
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
A. B. m tuỳ ý.
2m
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
C.
2
m
. D.
2 2
m và m
.
Lời giải
Chọn D
Thế
y x m
vào phương trình
2 2
1
x y
ta được
2 2
2 2 1 0
x mx m
(*) có
' 2
2
m
.Hệ có nghiệm duy nhất
(*)
có nghiệm kép
' 0 2
m
.
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
1 2
z z z
(với
1
5 3z i
và)
2
6 4z i
là
điểm nào dưới đây?
A.
11;7
Q
. B.
1; 1
P
. C.
11; 7
N
. D.
1; 1
M
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1 2
5 3 6 4 11 7z z z i i i
Vậy điểm biểu diễn số phức
z
là
11;7
Q
.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
1;0;2
M
,
3; 4;1
N
,
2;5;3
P
. Mặt phẳng
MNP
có một véctơ pháp tuyến là:
A.
3; 16;1
n
. B.
1;3; 16
n
. C.
1; 3;16
n
. D.
16;1;3
n
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
4; 4; 1 ; 1;5;1
MN MP
 
.
, 1;3; 16
MN MP

.
Vậy mặt phẳng
MNP
có một véctơ pháp tuyến là
1;3; 16
n
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
M
và mặt phẳng
có phương trình là
2 12 0.
x y z
Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
.
A.
1; 6; 1
H
. B.
3; 2; 5
H
. C.
5; 6; 7
H
. D.
H
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
d
là đường thẳng qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
. Suy ra
d
có
1
VTCP
1; 2;1
u
. Phương trình đường thẳng
d
là:
1
2 2
3
x t
y t t
z t
.
H
là hình chiếu của
M
lên
H d
.
H d
1 ;2 2 ;3
H t t t
.
H
1 2 2 2 3 12 0
t t t
2t
3; 2;5
H
.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình:
4 5
2
5
x x
x
là
A.
5;6
. B.
5;6
. C.
;6

. D.
5;

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
4 5
2
5
x x
x
5 5
5 6
4 2 6
x x
x
x x
.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Tập nghiệm của bất phương trình:
5;6
S
.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
2018; 2018
để phương trình
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
có nghiệm?
A.
4036
. B.
2020
. C.
4037
. D.
2019
.
Lời giải
Chọn B
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
1
1 cos2 sin 2 cos2 0
2
m
x x x
1 1 cos2 2sin 2 2cos2 0
m x x x
2sin 2 1 cos 2 1
x m x m
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2 2
4 1 1
m m
4 4 1
m m
Vậy có tất cả
2020
giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.
Câu 10. Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian 24 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết
rằng cứ sau mỗi giờ thì lượng lá bèo sẽ tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng
không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo sẽ phủ kín nột nửa mặt hồ
A.
24
log2
. B.
12
. C.
24
10
2
. D.
24 log 2
.
Lời giải
Chọn D
Gọi diện tích mặt hồ là
S
và diện tích bề mặt 1 lá bèo là
a
.
Sau 1 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là
10a
.
Sau 2 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là
2
10 .10 10a a
.
…
Sau 24 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là
24
10 a
.
Theo giả thiết ta có
24
10
a S
.
Suy ra
24
24
10
10 . 10 2.10 24 log 2
2 2
t t
a S
a t
.
Do đó để lá bèo phủ kín một nửa mặt hồ cần thời gian là
24 log 2
.
Câu 11. Cho
F x
là nguyên hàm của
4
2
2 3
x
f x
x
. Khi đó
A.
3
2
3ln
3
x
F x x C
. B.
3
2 3
3
x
F x C
x
.
C.
3
2 3
3
x
F x C
x
. D.
3
2
3ln
3
x
F x x C
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
4
2
2 2
2 3 3
d d 2 d
x
f x x x x x
x x
3
2 3
3
x
C
x
.
Vậy
3
2 3
3
x
F x C
x
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Câu 12. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Bảng biến thiên của hàm số
y f x
như hình dưới
đây:
Tìm
m
để bất phương trình
2 3
1
3
m x f x x
nghiệm đúng với mọi
0;3x
.
A.
0m f
. B.
0m f
. C.
3m f
. D.
2
1
3
m f
.
Lời giải
Chọn B
3 2
1
3
Ycbt m f x x x
nghiệm đúng với mọi
0;3x
.
0;3
minm g x
với
3 2
1
3
g x f x x x
.
Xét hàm số
3 2
1
3
g x f x x x
với
0;3x
.
Ta có
2
2g x f x x x
;
2
0 2g x f x x x
.
Từ bảng biến thiên ta có
1f x
với
0;3x
và
2
2
2 1 1 1, 0;3x x x x
0, 0;3g x x
.
Suy ra hàm số
g x
đồng biến trên
0;3
0;3
min 0g x g
.
Vậy
2 2
1
0 0 .0 0 0
3
m g f f
.
Câu 13. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc thời gian (s) là t
2 7a t t
(m/s
2
). Biết vận tốc đầu bằng 10 (m/s), hỏi sau bao lâu thì chất điểm đạt vận tốc 18
(m/s)?
A. 5 (s). 7 (s). 6 (s). 8 (s). B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
d 2 7 d 7v t a t t t t t t C
, mặt khác
0 10v
nên
0 10C v
.
2
7 10v t t t
.
Để chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s) thì
2
8 nhËn
18 7 8 0
1 lo¹i
t
v t t t
t
.
Vậy tại thời điểm
8t
(s) thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s).
Câu 14. Hai anh em An Bình và An Nhiên sau Tết có
3000000
(đồng) tiền mừng tuổi. Mẹ gửi ngân hàng
cho hai anh em với lãi suất
0,5% /
tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi
cho tháng sau). Hỏi sau một năm hai anh em được nhận bao nhiêu tiền biết trong một năm đó hai
anh em không rút tiền lần nào (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn)?
A.
3185000
. B.
3183000
. C.
3184000
. D.
3186000
.
Lời giải
Chọn A
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Sau một năm hai anh em được nhận được số tiền là:
12
3000000 1 0,5% 3185033, 436 3185000
T
(đồng).
Câu 15. Tìm số thực
x
biết
3
log 2 2
x
.
A.
6
x
. B.
4
x
. C.
7
x
. D.
6
x
.
Lời giải
Chọn C
Đk:
2
x
.
Ta có:
3
log 2 2
x
2
2 3 7
x x
.
Câu 16. Gọi
H
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
y x
và đường thẳng
2y x
. Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình
H
xung quanh trục hoành.
A.
20
3
. B.
4
3
. C.
64
15
. D.
16
15
.
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của paraboly
2
y x
và đường thẳng
2y x
ta có
2 2
0
2 2 0
2
x
x x x x
x
.
Do
2
2 0
x x
với
0 2
x
nên
2
2 0
x x
với
0 2
x
.
Gọi
V
là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
H
xung quanh trục hoành thì
2
2
5
2
2
2 3
0
0
4 64
2
3 5 15
x
V x x dx x
.
Câu 17. Hàm số
1
x
y
x m
nghịch biến trên khoảng
;2

khi và chỉ khi:
A.
1
m
. B.
2
m
. C.
2
m
. D.
1
m
.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
1
x
y
x m
.
Điều kiện xác định là
x m
.
Đạo hàm
2
1
m
y
x m
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
;2

khi và chỉ khi
1 0
1
2
;2
2
m
m
m
m
m

.
Câu 18. Cho số phức
z
thỏa mãn
2 . 1 17z i z i
. Khi đó
z
bằng
A.
146
z
. B.
12
z
. C.
148
z
. D.
142
z
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
z a bi
,
,a b
, khi đó ta có
2 . 1 17 2 1 17z i z i a bi i a bi i
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
2 2 1 17a b a b i i
2 1 11
2 17 5
a b a
a b b
Vậy
2
2
11 5 146
z
.
Câu 19. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số
z
phức thoả mãn điều kiện
1 2 4
z i
là:
A. B. C. D. Một hình vuông. Một đường tròn. Một đoạn thẳng. Một đường thẳng.
Lời giải
Chọn B
Giả sử
2
, ; 1
z x yi x y i
.
2 2
1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4
z i x yi i x y i x y
.
2 2
1 2 16
x y
. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn.
Câu 20. Cho đường thẳng
: 2 – 3 3 0
d x y
và
8; 2
M
. Tọa độ của điểm
M
đối xứng với
M
qua
d
là:
A.
(4;8)
. B.
(4
; )8
. C.
( 4 );8
. D.
(
8
4
; )
.
Lời giải
Chọn A
Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm
M
chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như sau:
Đường thẳng
d
có 1 VTPT
(2; 3)
n
, Gọi
'( ; )M x y
thì
'( 2; 3)
MM x y

M
đối xứng với
M
qua
d
nên
'( 2; 3)
MM x y

và
(2; 3)
n
cùng phương khi và chỉ khi
2 3 28 2
2 3 3
x y y
x
Thay
8
y
vào ta được
4
x
Thay
8
y
vào thấy không ra đúng
4
x
.
Cách 2:
+ptdt
đi qua
M
và vuông góc với
d
là:
3( 8) 2( 2) 0 3 2 28 0
x y x y
.
+ Gọi
(6;5)
H d H
.
+ Khi đó H là trung điểm của đoạn
MM
Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra
2 12 8 4
2 10 2 8
M H M
M H M
x x x
y y y
. Vậy
(4;8)
M
.
Câu 21. Đường tròn
2 2
5 0
x y y
có bán kính bằng bao nhiêu?
A.
5
. 25. B. C.
5
2
. D.
25
2
.
Lời giải
Chọn C
Đường tròn có tâm
5
0; ,
2
I
bán kính
2 2
25 5
0 0 .
4 2
R a b c
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
1;1;0
A
,
0; 1;2
B
. Biết rằng có hai
mặt phẳng cùng đi qua hai điểm
A
,
O
và cùng cách
B
một khoảng bằng
3
. Véctơ nào trong
các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó.
A.
1; 1;5
n
. B.
1; 1; 5
n
. C.
1; 1; 1
n
. D.
1; 1; 3
n
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình đường thẳng qua hai điểm
A
,
O
có dạng
0
0
0
x t
x y
y t
z
z
.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Gọi
P
là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm
A
,
O
nên
P
:
0m x y nz
,
2 2
0m n
. Khi
đó véctơ pháp tuyến của
P
có dạng
; ;n m m n
.
Ta có
2 2 2
2
, 3 3
m n
d B P
m m n
2 2
1
2 4 0
1
5
m
n
m mn n
m
n

.
Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là
1 1
; ; 1; 1;5
5 5 5
n
n n n n
.
Câu 23. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy
3r cm
và thể tích của khối nón được tạo nên từ hình
nón là
3
9 3V cm
. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A.
45
. B.
30
. C.
120
. D.
60
.
Lời giải
Chọn D
Xét hình nón đỉnh
O
như hình vẽ.Gọi chiều cao hình nón là
h cm
, đường sinh của hình nón là
l cm
, góc ở đỉnh của hình nón là
.
Thể tích hình nón
2
1
9 3 3 3
3
V r h h cm
.
Xét tam giác
OIM
vuông tại
I
:
3 1
tan 30 60
3 3 3
IM
IOM IOM
OI
Câu 24. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao 3R
và bán kính đáy
R
. Một hình nón có đỉnh là
O
và đáy là hình tròn
;O R
. Tỷ số diện tích xung quanh của hình
trụ và hình nón bằng
A.
3
. B.
2
. C.
2
. D. 3 .
Lời giải
Chọn D
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ là
2
1
2 2 . 3 2 3.
S Rh R R R
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2 2
2
. 3 2 .S Rl R R R R
Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng
2
1
2
2
2 3
3.
2
S R
S R
Câu 25. Cho lăng trụ
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
6
AB ,
3
AD ,
3
A C
và mặt phẳng
AA C C
vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng
AA C C
,
AA B B
tạo
với nhau góc
thỏa mãn
3
tan
4
. Thể tích khối lăng trụ
.
ABCD A B C D
bằng?
A.
6
V
. B.
8
V
. C.
12
V
. D.
10
V
.
Lời giải
Chọn B
Từ
B
kẻ
BI AC
BI AA C C
.
Từ
I
kẻ
IH AA
,
B
AA C C A B B
I
A
H
.
Theo giải thiết ta có
3
AC
.AB BC
BI
AC
2
.
Xét tam giác vuông
BIH
có
tan
BI
BHI
IH
tan
BI
IH
BHI
4 2
3
IH
.
Xét tam giác vuông
ABC
có
2
.
AI AC AB
2
2
AB
AI
AC
.
Gọi
M
là trung điểm cả
AA
, do tam giác
AA C
cân tại
C
nên
CM AA
//CM IH
.
Do
2
3
AI AH
AC AM
2
3
AH
AM
1
3
AH
AA
.
Trong tam giác vuông
AHI
kẻ đường cao
HK
ta có
4 2
9
HK
chiều cao của lăng trụ
.
ABCD A B C D
là
3
h HK
4 2
3
.
M
C'
B'
D'
C
D
A
B
A'
I
H
K
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Vậy thể tích khối lăng trụ
.ABCD A B C D
là
.
. .
ABCD A B C D
V AB AD h
4 2
6 3
3
8
.
Câu 26. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là một điểm lấy trên cạnh
SA
(
M
không trùng với
S
và
A
).
Mp
qua ba điểm
, ,M B C
cắt hình chóp
.S ABCD
theo thiết diện
là:
A. Tam giác. Hình thang. B. C. Hình bình hành. Hình chữ nhật. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có
/ /
/ / .
AD BC MBC
AD MBC
AD MBC
Ta có
/ /MBC AD
nên
MBC
và
SAD
có giao tuyến song song
.AD
Trong
SAD
, vẽ
/ /MN AD N SD
.MN MBC SAD
Thiết diện của
.S ABCD
cắt bởi
MBC
là tứ giác
.BCNM
Do
/ /MN BC
(cùng song song
AD
)
nên
BCNM
là hình thang.
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
xét đường thẳng
d
xác định bởi
1
2
x
y z
và đường
thẳng
d
xác định bởi
0x
y z
. Tính bán kính nhỏ nhất
R
của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường
thẳng
d
và
d
.
A.
1
2
R
. B.
2R
. C.
2.R
D.
1R
.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
d
có phương trình tham số là
1
2
x
y t
z t
,
t
đi qua điểm
1;0;2M
có véctơ
chỉ phương
0;1; 1
d
u
.
Đường thẳng
d
có phương trình tham số là
0x
y t
z t
,
t
đi qua điểm
0;0;0O
có véctơ chỉ
phương
0;1;1
d
u
.
, 2;0;0 , . 2.
d d d d
u u u u OM
Suy ra
, .
2
, 1.
2,
d d
d d
u u OM
d d d
u u

A
D
B
C
S
M
N
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Vì
d
và
d
chéo nhau nên bán kính nhỏ nhất
R
của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng
d
và
d
bằng
,
1
.
2 2
d d d
R
.
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của
đường thẳng
1 2 3
2 3 1
x y z
trên mặt phẳng
Oxy
?
A.
1
2 3
0
x t
y t
z
. B.
1
2 3
0
x t
y t
z
. C.
1 2
2 3
0
x t
y t
z
. D.
1
0
z
.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng
1 2 3
2 3 1
x y z
qua
1; 2;3
M
và
3;1; 4
N
.
Gọi
M
và
N
lần lượt là hình chiếu của
M
và
N
trên
Oxy
ta có
1; 2;0
M
,
3;1;0
N
.
Phương trình hình chiếu cần tìm là:
1 2
: 2 3
0
x t
M N y t
z
.
Câu 29. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
và có đồ thị
f x
như hình vẽ
Hàm số
2
2g x f x x
có bao nhiêu điểm cực đại.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2 2
2 2g x x x f x x
2
2 2 2x f x x
Giải phương trình
0
g x
2
2 2 0
2 0
x
f x x
2
2
2
2 2 0
2 2
2 1
2 3
x
x x
x x
x x
1
1 2
1 2
3
1
x
x
x
x
x
Từ đồ thị
f x
ta có
2
0
3
x
f x
x
nên
2
2
2
2 2
2 0
2 3
x x
f x x
x x
1
3
x
x
Bảng biến thiên
x
y
-2
3
O
1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Từ bảng biến thiên ta có hàm số
2
2g x f x x
có hai điểm cực đại.
Câu 30. Trong không gian
Oxyz
cho điểm
2;5;3A
và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
. Gọi
P
là mặt
phẳng chứa đường thẳng
d
sao cho khoảng cách từ
A
đến
P
lớn nhất. Khoảng cách từ điểm
1; 2; 1M
đến mặt phẳng
P
bằng
A.
7 2
6
. B.
11 2
6
. C.
3 2
. D.
11
18
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
1 2 ; ; 2 2I t t t
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
d
.
d
có véctơ chỉ phương là
2;1;2
d
u
Ta có
. 0
d
AI u
 
2 1 2 5 2 1 2 0 1t t t t
suy ra
3;1; 4I
.
Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
P
là
,
AH d A P AI
suy ra khoảng cách từ
A
đến
P
lớn nhất bằng
AI
. Khi đó mặt phẳng
P
qua
I
và nhận
1; 4;1AI
làm véctơ pháp
tuyến. Phương trình mặt phẳng
P
:
4 3 0x y z
Khoảng cách từ
1; 2; 1M
đến mặt phẳng
P
là
1 8 1 3
11 2
,
6
1 16 1
d M P
.
Câu 31. Cho hàm số
( )y f x
có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để
hàm số
( ) 2 1y f x m
có 5 điểm cực trị.
A. 2. 3. 5. B. C. 4. D.
(P)
d
I
H
A
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Lời giải
Chọn A
Ta có hàm số
( )y f x
có 2 điểm cực trị nên hàm số
( ) 2 1y f x m
có 2 điểm cực trị.
Hàm số
( ) 2 1y f x m
có 5 điểm cực trị
( ) 2 1 0f x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình
( ) 2 1 0f x m
có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng
2 1y m
cắt đồ thị
hàm số
( )y f x
tại 3 điểm phân biệt
1
2 1 2
2
2 1 2 3
2
m
m
m
m
Vậy hàm số
( ) 2 1y f x m
có 5 điểm cực trị thì
1 3
;
2 2
m
. Vì
m
nên
0,1m
.
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:
2
2 2
2
0
1 1
x x
a
x x
có đúng 4 nghiệm.
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn D
2
2 2
2
0
1 1
x x
a
x x
Đặt
2
2
0 2
1
x
t x tx t
x
Phương trình (1) trở thành:
2
2 0 3t t a
Phương trình (1) có đúng
4
nghiệm khi pt (3) có
2
nghiệm phân biệt t thoả pt (2) có
2
nghiệm
phân biệt.
Mà (2) có
2
nghiệm phân biệt
2
4
0 4 0
0
t
t t
t
.
Xét bài toán bù trừ sai.Ta nên xét trực tiếp 3 Th
TH1:
1 2
1
0 0
1 0
a
t t a a
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TH2:
1 2
1
4 8
1 4
a
t t a a
TH3:
1 2
0
0 4 8
8
a
t t a
a
Vậy có vô số giá trị nguyên a thoả yêu cầu bài toán.
Câu 33. Cho hàm số
y f x
dương và liên tục trên khoảng
0; .
Biết
y f x
là một nguyên hàm
của hàm số
2
1
.
x
e f x
f x
và
ln2 3
f
họ nguyên hàm của hàm số
2
.
x
e f x
là
A.
5 3
2 2
1 1
5 3
x x
e e C
. B.
3
2 2
1
1 1
3
x x
e e C
.
C.
3
2
1
1
3
x
e C
. D.
3
1
1
3
x
e C
.
Lời giải
2
1
.
x
e f x
f x
f x
2
.
1
x
f x f x
e
f x
2
.
1
x
f x f x
dx e
f x
dx
2
1
x
e C
f x
Ta có
ln2 3
f
n 2
2
l
0
3 1 e C C
2 2 2
1 1
x x
f x e f x e
0; .
x
2 2 2
. d . 1d
x x x
I e f x x e e x
Đặt
2 2
2
x x
t e dt e dx
3
3
2
1 1
1 1 1
2 3 3
x
dt
I t t C e C
.
Câu 34. Một tiểu đội có
10
người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh
A
và anh
B
.
Tính xác suất để
A
và
B
đứng cạnh nhau.
A.
1
4
. B.
1
6
. C.
1
5
. D.
1
10
.
Lời giải
Chọn C
Số cách xếp
10
người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc là
10!
.
Số cách xếp
A
và
B
đứng cạnh nhau là
9!.2
.
Xác suất để
A
và
B
đứng cạnh nhau là
9!.2 1
10! 5
.
Câu 35. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi
, ,M N P
lần lượt là
trung điểm của
, ,
AA BB CC
.
,
G G
lần lượt là trọng tâm của hai đáy
,
ABC A B C
. Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm
, , , ,G G M N P
bằng
A.
10
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Ta có:
.
3.5 15
ABC A B C
V
(đvtt).
Ta có
. '.
GG MNP G MNP G MNP
V V V
.
Do
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
, ,
AA BB CC
nên mp
MNP
chia khối lăng trụ
.
ABC A B C
thành hai khối lăng trụ bằng nhau
.
ABC MNP
và
.
MNP A B C
.
Lại có
G ABC
nên
. .
1
3
G MNP ABC MNP
V V
, tương tự ta có
. .
1
3
G MNP A B C MNP
V V
Do đó
. '. . .
1 1
3 3
GG MNP G MNP G MNP ABC MNP MNP A B C
V V V V V
. . .
1 1 1
.15 5
3 3 3
ABC MNP MNP A B C ABC A B C
V V V
.
Câu 36. Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm
của phương trình
0
y
có phương trình:
Đáp án: …………..
Lời giải
2
4 3
y x x
2 4 0 2
y x x
.
Gọi
0 0
( ; )M x y
là tiếp điểm
5
2;
3
M
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
5
(2) 2
3
y y x
11
3
y x
.
Câu 37. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
có bảng xét dấu
f x
như sau. Hàm số đã cho có bao
nhiêu cực tiểu?
Đáp án: …………..
Lời giải
2
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 38. Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
2;1; 2A
,
1; 3;1B
,
3; 5;2C
. Độ dài đường cao
AH
của tam giác
ABC
là.
Đáp án: …………..
Lời giải
Ta có
2; 2;1BC

và
1; 4;3AB

,
; 2;7;10BC AB
 
.
Do đó độ dài của đường cao
AH
là khoảng cách từ
A
đến
BC
.
Ta có
;
17
AB BC
AH
BC

.
Câu 39. Số tập con của tập
1;2;3
M
là
Đáp án: …………..
Lời giải
Số tập con không chứa phần tử nào của tập
M
là
0
3
C
Số tập con chứa 1 phần tử của tập M là
1
3
C
Số tập con chứa 2 phần tử của tập M là
2
3
C
Số tập con chứa 3 phần tử của tập M là
3
3
C
Vậy số tập con của tập
M
là
0 1 2 3
3 3 3 3
C C C C
Câu 40. Cho
4
5
lim 5
4
x
f x
x
. Tính giới hạn
4
5
lim
2 6 6 4
x
f x
x f x
Đáp án: …………..
Lời giải
Vì
4
5
lim 5
4
x
f x
x
nên
4 5f
.
Khi đó
4 4 4
5 5
2 4 2
lim lim .lim 5. 2
4
6 6 4 6. 4 6 4
2 6 6 4
x x x
f x f x
x
x
f x f
x f x
.
Câu 41. Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề
lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Khoảng cách giữa hai chân cổng là
162m
. Từ một điểm trên
thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là
43m
và khoảng cách tới điểm chân cổng
gần nhất là
10m
. Chiều cao của cổng gần với số nào sau đây?
Đáp án: …………..
Lời giải
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Chọn hệ trục tọa độ
Oxy
sao cho một chân cổng đi qua gốc
O
như hình vẽ trên, chân kia là điểm
162;0N
. Giả sử Parabol có phương trình
2
:P y ax bx c
.
Khi đó Parabol
P
đi qua các điểm
0;0 , 10;43 , 162;0O M N
nên ta có
43
0
1520
3483
26244 162 0
760
100 10 43
0
a
c
a b c
b
a b c
c
Do đó
2
43 3483
:
1520 760
P y x x
.
Khi đó chiều cao của cổng bằng tung độ đỉnh của
P
là
282123
81 185,6 .
4 1520
h y m
a
Câu 42. Cho hàm số
4 2
1 3y m x mx
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số có ba
điểm cực trị.
Đáp án: …………..
Lời giải
Để hàm số có ba điểm cực trị thì
1
1 0
0
m
m m
m
. Vậy
; 1 0;m 
.
Câu 43. Cho hàm số bậc ba
y f x
có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng
: 6d y kx
. Hỏi có bao
nhiêu giá trị nguyên
k
để
1 2
S S (trong đó
1
S ,
2
S là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số bậc ba
y f x
và đường thẳng
6y kx
,
1
S là phần ghạch chéo).
Đáp án: …………..
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Lời giải
Vì đồ thị
C
của hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ 1; 2; 3 nên có ta có
1 2 3y m x x x
.
Vì
C
cắt trục tung tại điểm có tung độ là
6
nên suy ra
1m
.
Vậy
3 2
6 11 6y x x x .
Điều kiện để tồn tại miền
1
S ,
2
S
thì phương trình tương giao
3 2
6 11 6 6x x x kx
có 3
nghiệm phân biệt
2
6 11 0x x k
Có hai nghiệm phân biệt khác
0
2
11
k
k
.
Gọi
a
,
b
là hai trong ba hoành độ giao điểm của
C
và
d
2 3a b
.
Từ hình vẽ có
3 2 3 2
0
6 11 6 6 d 6 11 6 6 d
a b
a
x x x kx x x x x kx x
4 4
3 2 2 3 2 2
0
4 3 2 2
2
11 11
2 2
4 2 2 4 2 2
8 22 2 0
8 22 2 0
a a
b
x k x k
x x x x x x
b b b kb
b b k
2
2 8 22k b b
.
Xét hàm số
2
8 22g b b b
. Ta có bảng biến thiên trên khoảng
3;
Từ bảng biến thiên ta có
2
2 8 22 3k b b b
2 6 3k k
. Mà
2k
nên không có số
nguyên
k
nào thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 44. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau
Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số
m
để phương trình
1 2 3 2f x f m có nghiệm
Đáp án: …………..
Lời giải
Đặt
1 2 2t x
thì phương trình
1 2 3 2f x f m (1) trở thành
3 2 2f t f m với
2t
.
Để phương trình (2) có nghiệm thì đường thẳng
3 2y f m phải cắt đồ thị hàm số
+∞
g b( )
3
4
6
b
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
y f t
tại ít nhất một điểm với
2t
1 3 2 2 3
f m m
.
Vì
m
nguyên dương nên
1; 2;3
m
. Vậy tổng các giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài
toán là
1 2 3 6
.
Câu 45. Cho các số phức
z
thỏa mãn
1
z
. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
5 12 1 2 w i z i
trong mặt phẳng
Oxy
là
Đáp án: …………..
Lời giải
Gọi
w x yi
,
x y
5-12 1- 2
x yi i z i
1 2 5 12
x y i i z
1 2 5 12
1 2
5 12 13
x y i i
x y i
z
i
5 1 12 2 2 5 1 12
13 13
x y y x
z i
5 12 29 12 5 2
13 13
x y x y
z i
Mà
1
z
nên
2 2
5 12 29 12 5 2
1
13 13
x y x y
2 2
1 2 169
x y
Câu 46. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a
,
3AD a
,
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy và
2SA a
. Góc giữa hai đường thẳng
SC
và
BD
nằm trong khoảng nào?
Đáp án: …………..
Lời giải
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
và
M
là trung điểm của
SA
.
Trong hình chữ nhật
ABCD
ta có
2 2 2 2
3
2 2 2
BD AD AB a a
OB OD a
.
Xét tam giác
MAB
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2
2MB AB MA a a a
.
Xét tam giác
MAO
vuông tại
O
, ta có:
2 2 2 2
2MO AO MA a a a
.
Do
/ /MO SC
nên góc giữa hai đường thẳng
SC
và
BD
là góc giữa hai đường thẳng
MO
và
BD
.
Áp dụng định lý cosin vào tam giác
MOB
ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 1
cos 69
2. .
2. . 2 2 2
o
OB OM BM a a a
MOB MOB
OB OM
a a
.
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Vậy góc giữa hai đường thẳng
SC
và
BD
bằng góc
69
o
MOB
.
Câu 47. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
4
: 1 4
3 2
x t
d y t
z t
và mặt phẳng
: 2 9 0Q x y z
.
Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
1;2;3A
, vuông góc với
d
và song song với
Q
. Tính
khoảng cách từ giao điểm của
d
và
Q
đến
ta được
Đáp án: …………..
Lời giải
Ta có: VTCP của
d
là
1; 4;2
d
u
và VTPT của
Q
là
1;1; 2
Q
n
.
Đường thẳng
đi qua điểm
1;2;3A
và có VTCP là
, 6;4;5
d Q
u u n
 
.
Gọi
B d Q
4 ;1 4 ;3 2B d B t t t
0 4;1;3B Q t B
3; 1;0 , 5;15; 6AB AB u
 
Vậy:
,
286 182
;
7
77
AB u
d B
u

.
Câu 48. Cho các số thực
m
.
n
thỏa mãn
1m n
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
2 2
log 3log
m n
n
m
P m
n
.
Đáp án: …………..
Lời giải
Do
1m n
nên ta có.
2
2 2
2 2
log 3log 2log 3 log 1
4 4 3
3 log 1 3
log
1 log
log
m n m n
n n
n
m
m
m
m
P m m m
n
m
n
m n
n
.
Do
1m n
nên
log log 1
log log 1 0
m m
m m
n m
n
.
Xét hàm số
2
4 3
3
1
y
x
x
trên
0;1
.
Ta có
3
2
8 3
1
y
x
x
.
3 2
3 32
2
8 3 3 9 3 1
0 0 0
3
1 1
x x x
y x
x
x x x
.
Bảng biến thiên.
.
Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Facebook Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
min
15P
.
Câu 49. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
CD a
,
SD ABCD
. Gọi
,M N
lần lượt là
trung điểm của đoạn thẳng
,AB AD
và
G
là trọng tâm tam giác
SAC
. Mặt phẳng
GMN
cắt cạnh
SC
tại
E
. Khoảng cách từ
E
đến mặt phẳng
SAD
bằng
Đáp án: …………..
Lời giải
Ta có
,C SAD
SD ABCD SD CD CD SAD d CD a
Trong mp
ABCD
, gọi
O BD AC
,
I MN AC
,
SC GI E
suy ra
E
là giao điểm của
GMN
với
SC
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác
SOC
, ta được:
1 2 2
. . 1 .3. 1
2 3 5
ES IC GO ES ES ES
EC IO GS EC EC CS
Ta có
, ,
5 2 2
,
2 5 5
E SAD C SAD
CE SAD S CS ES d d a
.
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là một hình vuông. Biết tổng diện tích
tất cả các mặt của khối hộp bằng
50.
Tính thể tích lớn nhất
max
V
của khối hộp đã cho.
Đáp án: …………..
Lời giải
Đặt
a
là độ dài cạnh của hình vuông đáy,
b
là chiều cao của khối hộp với
, 0.a b
Theo giả thiết ta có
2
1 25
2 4 50 2 2 50 2 25 .
2
a ab a a b a a b b a
a
Do
25
0 0 5.b a a
a
Khi đó thể tích của khối hộp
2 3
1 25 1 25
.
2 2 2
V a a a a
a
.
Xét hàm
3
1 25
2 2
f a a a
trên
0;5
, ta được
0;5
5 125 3
max .
9
3
f a f
B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU)
• XEM THÊM ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TẠI:
• https://www.nbv.edu.vn/2022/01/de-cuong-danh-gia-nang-luc-dhqg-ha-noi.html
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489 ĐỀ Đ Ề SỐ S 4. 4 Ô N THI T HI ĐGN Đ L ĐHQ Đ G HÀ NỘI 20 2 2 0 1-2 - 022 2
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết giá trị x  50 thì giá trị n bằng bao nhiêu? A. 8. B. 5. C. 2. D. 3 1 sin t
Câu 2. Vận tốc của một vật chuyển động là vt  
m / s . Quãng đường di chuyển của vật đó 2 
trong khoảng thời gian 1,5 giây chính xác đến 0,01 m là? A. 0.33 . B. 0.31 . C. 0.34 . D. 0.32 . Câu 3.
Tập nghiệm của bất phương trình log x 1  0 là 1   2 A. 1;2 . B. 1; 2. C.  ;  2. D. 2; . 2 2  x  y  1
Câu 4. Hệ phương trình 
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:  y  x  m A. m tuỳ ý. B. m  2 . C. m   2 . D. m  2 và m   2 .
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z  z  z (với z  5  3i và) z  6  4i là 1 2 1 2 điểm nào dưới đây? A. Q11;7. B. P 1  ;  1 . C. N  1  1;7. D. M 1;  1 .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 1;0;  2 , N 3; 4
 ;1, P 2;5;3. Mặt
phẳng MNP có một véctơ pháp tuyến là:     A. n  3; 1  6;1 . B. n  1;3; 1  6. C. n 1;3;16. D. n 16;1;3 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 
3 và mặt phẳng   có phương trình là
x 2y  z 12  0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  . A. H  1  ; 6; 1. B. H 3;  2;  5 . C. H 5;  6; 7. D. H 2; 0; 4.  x   4 x  5
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình:  2 là x 5 A. 5;  6 . B. 5;6. C. ;6 . D. 5; .
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2  018; 201  8 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos2x  0 có nghiệm? A. 4036 . B. 2020 . C. 4037 . D. 2019 .
Câu 10. Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian 24 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết
rằng cứ sau mỗi giờ thì lượng lá bèo sẽ tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng
không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo sẽ phủ kín nột nửa mặt hồ 24 24 10 A. . B. 12 . C. . D. 24  log 2 . log 2 2 4 2x 3
Câu 11. Cho F x  là nguyên hàm của f  x  . Khi đó 2 x 3 2x 3 2x 3 A. F  x   3ln x  C . B. F  x   C . 3 3 x 3 2x 3 3 2x C. F  x    C . D. F  x  3ln x  C . 3 x 3
Câu 12. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y  f  x như hình dưới đây: 1
Tìm m để bất phương trình 2 m  x  f   3
x  x nghiệm đúng với mọi x   0;  3 . 3 A. m  f 0 . B. m  f   0 . C. m  f   3 . D. m  f   2 1  . 3
Câu 13. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc thời gian t (s) là
at  2t  7 (m/s2). Biết vận tốc đầu bằng 10 (m/s), hỏi sau bao lâu thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s)? A. 5 (s). B. 7 (s). C. 6 (s). D. 8 (s).
Câu 14. Hai anh em An Bình và An Nhiên sau Tết có 3000000 (đồng) tiền mừng tuổi. Mẹ gửi ngân hàng
cho hai anh em với lãi suất 0,5% / tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi
cho tháng sau). Hỏi sau một năm hai anh em được nhận bao nhiêu tiền biết trong một năm đó hai
anh em không rút tiền lần nào (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn)? A. 3185000. B. 3183000. C. 3184000. D. 3186000 .
Câu 15. Tìm số thực x biết lo   . 3 g 2 x 2 A. x  6  . B. x  4  . C. x  7  . D. x 6 .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Câu 16. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  x và đường thẳng y  2x . Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hìnhH  xung quanh trục hoành.     A. 20 . B. 4 . C. 64 . D. 16 . 3 3 15 15 x 1  Câu 17. Hàm số y 
nghịch biến trên khoảng ;2 khi và chỉ khi: x m A. m 1. B. m  2 . C. m  2 . D. m 1.
Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z  2 .iz 117i . Khi đó z bằng A. z  146 . B. z  12 . C. z  148 . D. z  142 .
Câu 19. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số z phức thoả mãn điều kiện z1 2 i  4 là: A. Một hình vuông. B. Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng. D. Một đường thẳng.
Câu 20. Cho đường thẳng d : 2x – 3y  3  0 và M 8; 2 . Tọa độ của điểm M  đối xứng với M qua d là: A. (4;8) . B. (4;  ) 8 . C. (4; ) 8 . D. (4; 8  ) . Câu 21. Đường tròn 2 2 x y 5y
0 có bán kính bằng bao nhiêu? 5 25 A. 5 . B. 25. C. . D. . 2 2
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm 
A 1;1;0 , B 0;1;2 . Biết rằng có hai
mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O và cùng cách B một khoảng bằng 3 . Véctơ nào trong
các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó.     A. n 1; 1  ;  5 . B. n 1; 1  ;  5 . C. n 1; 1  ;   1 . D. n 1; 1  ; 3   .
Câu 23. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy r  3cm và thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón là 3
V  9 3cm . Tính góc ở đỉnh của hình nón đó. A. 45 . B. 30 . C. 120 . D. 60 .
Câu 24. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O  và O , chiều cao R 3 và bán kính đáy
R . Một hình nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn  ;
O R  . Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . Câu 25. Cho lăng trụ ABC . D ABC D
  có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3, A C   3 và mặt phẳng AAC C
  vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng AAC C   , AA B  B   tạo 3
với nhau góc  thỏa mãn tan   . Thể tích khối lăng trụ ABC . D AB C  D   bằng? 4 A. V  6 . B. V  8 . C. V 12 . D. V 10 .
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA ( M
không trùng với S và A). Mp  qua ba điểm M, ,
B C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là: A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. x 1
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét đường thẳng d xác định bởi  và đường y z   2  x  0
thẳng d xác định bởi 
. Tính bán kính nhỏ nhất R của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường y   z thẳng d và d .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 1 A. R  . B. R  2. C. R  2. D. R 1 . 2
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của x 1  y 2 z 3 đường thẳng  
trên mặt phẳng Oxy ? 2 3 1 x   1 t x 1  t x  1 2t  x  1 t     A. y   2  3t . B. y  2  3t . C.  y  2  3t . D.  y  2 3t . z  0     z  0  z  0  z  0 
Câu 29. Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên  và có đồ thị f  x như hình vẽ y 3 -2 O 1 x
Hàm số g  x  f  2
x  2x có bao nhiêu điểm cực đại. A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . x 1 y z  2
Câu 30. Trong không gian Oxyz cho điểm A2;5;3 và đường thẳng d :   . Gọi  P là mặt 2 1 2
phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến P  lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M 1; 2; 
1 đến mặt phẳng P bằng 7 2 11 A. . B. 11 2 . C. 3 2 . D. . 6 6 18
Câu 31. Cho hàm số y  f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để
hàm số y  f (x)  2m 1 có 5 điểm cực trị. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 2 2 2  x  2x
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:    
a  0 có đúng 4 nghiệm.  x 1   x 1  A. 0. B. 1 . C. 2 . D. Vô số.
Câu 33. Cho hàm số y  f  x dương và liên tục trên khoảng 0;. Biết y  f x  là một nguyên hàm x 2 e . f x 1 của hàm số và f  ln 
2  3 họ nguyên hàm của hàm số 2 .x e f xlà f x A. 2  1 x  5 2 1   x e e 1 3  C . B.  x  3 2 2 1 x e  e 1  C . 5 3 3 C. 1  1 x e   3 2 1  C . D.  xe  3 1  C . 3 3
Câu 34. Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B.
Tính xác suất để A và B đứng cạnh nhau.
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 5 10 Câu 35. Cho lăng trụ AB .
C ABC diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi M , N, P lần lượt là
trung điểm của AA,BB,CC . G,G lần lượt là trọng tâm của hai đáy AB , C ABC. Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G,G, M , N, P bằng A. 10 . B. 3. C. 5 . D. 6 . B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU) Câu 36. Cho hàm số 1 3 2
y  x  2x  3x 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm 3 của phương trình  y  0 có phương trình: Đáp án: ………….
Câu 37. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  có bảng xét dấu f x như sau. Hàm số đã cho có bao nhiêu cực tiểu? Đáp án: ………….
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2;1;  2 , B1; 3
 ;1 , C 3;5;2 . Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là. Đáp án: ………….
Câu 39. Số tập con của tập M   1;2;  3 là Đáp án: …………. f   x  5 f  x  5 Câu 40. Cho lim  5 . Tính giới hạn lim x 4  x  4 x 4
  x 2 6 f x 6 4 Đáp án: ………….
Câu 41. Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề
lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m. Từ một điểm trên
thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là 43m và khoảng cách tới điểm chân cổng
gần nhất là 10 m . Chiều cao của cổng gần với số nào sau đây? Đáp án: ………….
Câu 42. Cho hàm số y  m  4 2
1 x  mx  3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Đáp án: …………..
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y  f x có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng d :y  kx  6 . Hỏi có bao
nhiêu giá trị nguyên k để S  S (trong đó S , S là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 1 2 1 2
thị hàm số bậc ba y  f x và đường thẳng y  kx  6 , S là phần ghạch chéo). 1 Đáp án: …………..
Câu 44. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
f  x 1  2 f  3 m  2 có nghiệm Đáp án: …………..
Câu 45. Cho các số phức z thỏa mãn z  1. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w  512i z 1 2i trong mặt phẳng Oxy là Đáp án: …………..
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào? Đáp án: …………..  x  4 t 
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y  1 4t và mặt phẳng Q : x  y  2z  9  0.  z  3 2t  Gọi  
 là đường thẳng đi qua điểm A 1  ; 2; 
3 , vuông góc với  d và song song với   Q . Tính
khoảng cách từ giao điểm của  d và Q  đến  ta được Đáp án: …………..
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Câu 48. Cho các số thực m. n thỏa mãn m  n  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min  m 2  P   2 log m   3log . m n    n  n Đáp án: ………….
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, CD  a , SD   ABCD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của đoạn thẳng A ,
B AD và G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt phẳng GMN  cắt cạnh
SC tại E . Khoảng cách từ E đến mặt phẳng  SAD bằng Đáp án: ………….
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B'C ' D ' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết tổng diện tích
tất cả các mặt của khối hộp bằng 50. Tính thể tích lớn nhất V của khối hộp đã cho. max Đáp án: ………….
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Lời giải tham khảo
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Dựa vào biểu đồ trên, hãy cho biết giá trị x  50 thì giá trị n bằng bao nhiêu? A. 8. B. 5. C. 2. D. 3 Lời giải Chọn D 1 sint
Câu 2. Vận tốc của một vật chuyển động là vt  
m /s . Quãng đường di chuyển của vật đó 2 
trong khoảng thời gian 1,5 giây chính xác đến 0,01 m là? A. 0.33 . B. 0.31. C. 0.34 . D. 0.32 . Lời giải Chọn C
Quảng đường vật đi được trong 1,5 giây đầu tiên là. 3 3 2      2  t  cos t s v t dt    0,34 m   . 2    2   0 0
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình log x 1  0 là 1   2 A. 1;2 . B. 1;  2 . C.   ;   2 . D. 2;  . Lời giải Chọn B  x 1  0   x  1 Ta có log x 1 0  0   1     1; 2 . 1   x 1  x  2 2       2 
Vậy tập nghiệm của bất phương trinh là S  1; 2. 2 2  x  y  1
Câu 4. Hệ phương trình 
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:  y x m A. m tuỳ ý. B. m  2 .
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 C. m   2 . D. m  2 và m   2 . Lời giải Chọn D
Thế y  x  m vào phương trình 2 2 x  y  1 ta được 2 2
2x  2mx  m 1  0 (*) có ' 2   m 
 2 .Hệ có nghiệm duy nhất  (*)có nghiệm kép   '  0  m  2 .
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z  z  z (với z  5  3i và) z  6  4i là 1 2 1 2 điểm nào dưới đây? A.  Q 11;  7 . B.  P 1  ;  1 . C. N 1  1;  7 . D. M1;  1 . Lời giải Chọn A
Ta có: z  z  z  5  3i  6  4i 11 7i 1 2
Vậy điểm biểu diễn số phức z là  Q 11;  7 .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 1; 0; 2  , N  3  ; 4  ; 
1 , P 2;5;3 . Mặt phẳng
MNP có một véctơ pháp tuyến là:     A. n 3; 1  6;  1 . B. n 1;3; 1  6 . C. n1; 3  ;1  6 . D. n 1  6;1;3  . Lời giải Chọn B  
Ta có MN   4;4;   1 ; MP  1;5;  1 .    MN, MP  1;3; 1   6   . 
Vậy mặt phẳng MNP có một véctơ pháp tuyến là n  1;3;16 .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1; 2; 
3 và mặt phẳng  có phương trình là x 2y z 1
 2  0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng . A. H  1  ; 6; 1 . B. H3; 2;  5 . C. H5; 6; 7 . D. H2; 0; 4 . Lời giải Chọn B
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng  . Suy ra d có 1 VTCP x 1  t  u    1; 2
 ;1 . Phương trình đường thẳng d là: y  2  2t t   . z 3 t 
H là hình chiếu của M lên    H  d    .
H  d  H 1 t;2  2t;3  t  .
H    1  t 22 2t   3  t  12  0  t  2  H 3;2;  5 .  x  4 x  5
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình:  2 là x 5  A. 5;6 . B. 5;6 . C.  ;  6 . D. 5;  . Lời giải Chọn A x  4 x 5  x  5  x  5 Ta có:  2      5  x  6 . x 5 x   4  2 x   6
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Tập nghiệm của bất phương trình: S  5; 6.
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2018; 201  8 để phương trình m  2
1 sin x sin 2x  cos2x  0 có nghiệm? A. 4036 . B. 2020 . C. 4037 . D. 2019. Lời giải Chọn B m  2
1 sin x sin 2x  cos2x  0 m  1 
1cos2x sin2x cos2x  0 2   m  1 1cos2 
x  2sin 2 x 2cos2 x  0
 2sin 2x  1 mcos2x  m 1
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
   m2  m 2 4 1 1  4m  4  m  1
Vậy có tất cả 2020 giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.
Câu 10. Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Sau thời gian 24 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết
rằng cứ sau mỗi giờ thì lượng lá bèo sẽ tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng
không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo sẽ phủ kín nột nửa mặt hồ 24 24 10 A. . B. 12 . C. . D. 24  log 2. log 2 2 Lời giải Chọn D
Gọi diện tích mặt hồ là S và diện tích bề mặt 1 lá bèo là a.
Sau 1 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là 10a .
Sau 2 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là 2 10 . a 10  10 a . …
Sau 24 giờ diện tích mặt hồ bị phủ là 24 10 a . Theo giả thiết ta có 24 10 a  S . 24 10 a S Suy ra t 24 
10 .a 10  2.10t  t  24 log 2 . 2 2
Do đó để lá bèo phủ kín một nửa mặt hồ cần thời gian là 24  log 2 . 4 2 x 3
Câu 11. Cho F x  là nguyên hàm của f x  . Khi đó 2 x 3 2x 3 2x 3 A. F x   3ln x  C . B. F  x    C . 3 3 x 3 2x 3 3 2x C. F x    C . D. F x    3ln x  C . 3 x 3 Lời giải Chọn B 4 2x 3  3 3 2x 3 Ta có  f  x 2 dx  dx  2x  dx     C . 2   2 x x    3 x 3 2x 3 Vậy F x    C . 3 x
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 
 https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Câu 12. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  . Bảng biến thiên của hàm số y  f   x như hình dưới đây: 1
Tìm m để bất phương trình 2 m  x  f x  3
 x nghiệm đúng với mọi x 0;  3 . 3 A. m  f 0. B. m  f   0 . C. m  f   3 . D. m  f   2 1  . 3 Lời giải Chọn B Ycbt  m  f   1 3 2
x  x  x nghiệm đúng với mọi x  0;3 . 3 1
 m  min g  x với g  x  f  x 3 2  x  x . 0; 3 3 1
Xét hàm số g  x  f  x 3 2  x  x với x   0;  3 . 3 Ta có g  x  f  x 2  x  2x ; g  x   f  2 0 x  x  2x .
Từ bảng biến thiên ta có f x 1 với x 0; 
3 và x  x   x  2 2 2 1 1  1,x  0;3  g x   0, x   0;3.
Suy ra hàm số g  x đồng biến trên 0;3  min g x  g  0 . 0;3 1
Vậy m  g 0  f 0 2 2  .0  0  f 0 . 3
Câu 13. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc thời gian t (s) là
a t   2t  7 (m/s2). Biết vận tốc đầu bằng 10 (m/s), hỏi sau bao lâu thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s)? A. 5 (s). B. 7 (s). C. 6 (s). D. 8 (s). Lời giải Chọn D
Ta có v t   a t  t   t   2 d 2 7 dt  t  7t  C  
, mặt khác v 0 10 nên C  v  0 10 .  vt 2  t  7t 10 . t 8 nhËn
Để chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s) thì v t  18  2 t 7t 8 0   . t    1 lo¹i 
Vậy tại thời điểm t  8 (s) thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s).
Câu 14. Hai anh em An Bình và An Nhiên sau Tết có 3000000 (đồng) tiền mừng tuổi. Mẹ gửi ngân hàng
cho hai anh em với lãi suất 0,5% / tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi
cho tháng sau). Hỏi sau một năm hai anh em được nhận bao nhiêu tiền biết trong một năm đó hai
anh em không rút tiền lần nào (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn)? A. 3185000. B. 3183000. C. 3184000 . D. 3186000 . Lời giải Chọn A
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Sau một năm hai anh em được nhận được số tiền là: T    12 3000000 1 0,5%
 3185033, 436  3185000 (đồng).
Câu 15. Tìm số thực x biết lo . 3 g  2 x  2 A. x  6  . B. x  4  . C. x  7  . D. x 6 . Lời giải Chọn C Đk: x 2 . Ta có: log 2 x  2 2       . 3   2 x 3 x 7
Câu 16. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  x và đường thẳng y  2x . Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H  xung quanh trục hoành. 20 4 64 16 A. . B. . C. . D. . 3 3 15 15 Lời giải Chọn C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của paraboly 2
y  x và đường thẳng y  2x ta có x  0 2 2
x  2x  x 2x  0   . x  2 Do 2
x  2x  0 với 0  x  2 nên 2
2 x x  0 với 0 x  2.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hìnhH  xung quanh trục hoành thì      x  V 2x x   2 2 5 2 2 4 64 2 3 dx  x    . 3 5  15 0   0 x 1 Câu 17. Hàm số y 
nghịch biến trên khoảng   ; 2  khi và chỉ khi: x m A. m 1 . B. m 2. C. m  2. D. m 1. Lời giải Chọn B x 1 Xét hàm số y  . x m
Điều kiện xác định là x  m .  Đạo hàm 1 m y  .  x m 2 1   m 0  m 1 
Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2 khi và chỉ khi      . m     m 2 ;2 m   2 
Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z 2 .iz 1 1  7i . Khi đó z bằng A. z  146 . B. z  12 . C. z  148 . D. z  142 . Lời giải Chọn A
Đặt z  a  bi , a , b    , khi đó ta có z 2 .iz 1  1
 7i  a bi  2i a b  i  1  1  7i
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 
 https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022  a  2b 1 a 11
  a  2b   2a  b i  1 17i     2a  b  17 b  5   Vậy 2 z  11   5  2  146 .
Câu 19. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số z phức thoả mãn điều kiện z1 2 i  4 là: A. Một hình vuông. B. Một đường tròn. C. Một đoạn thẳng. D. Một đường thẳng. Lời giải Chọn B Giả sử z  x  yi 2 x, y ;  i    1 .
z   i   x  yi   i   x   y  i    x  2   y  2 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2  4 .
  x 2  y 2 1
2 16 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn.
Câu 20. Cho đường thẳng d : 2x – 3y  3  0 và M 8; 2 . Tọa độ của điểm M  đối xứng với M qua d là: A. (4;8) . B. (4;  ) 8 . C. (4; ) 8 . D. ( 4; 8) . Lời giải Chọn A
Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm M  chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như sau:  
Đường thẳng d có 1 VTPT n(2; 3
 ) , Gọi M '(x; y) thì MM '(x  2; y  3)  
M  đối xứng với M qua d nên MM '(x  2; y  3) và n(2;3) cùng phương khi và chỉ khi x 2 y 3 28 2 y   x  2 3  3
Thay y  8 vào ta được x  4
Thay y  8 vào thấy không ra đúng x  4  . Cách 2:
+ptdt  đi qua M và vuông góc với d là: 3(x  8) 2(y  2)  0  3x  2y  28  0.
+ Gọi H  d    H (6;5) .
+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM  Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra  x       2x x 12 8 4 M H M  . Vậy M (4;8) .
y  2y  y  10  2   8 M H M Câu 21. Đường tròn 2 2 x y 5y
0 có bán kính bằng bao nhiêu? A. 5 . B. 25. C. 5 . D. 25 . 2 2 Lời giải Chọn C Đường tròn có tâm 5 I 0; ,bán kính 2 2 25 5 R a b c 0 0 . 2 4 2
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm 
A 1;1;0 , B 0;1;2 . Biết rằng có hai
mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O và cùng cách B một khoảng bằng 3 . Véctơ nào trong
các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó.     A. n 1; 1  ;  5 . B. n 1; 1  ;  5 . C. n 1; 1  ;   1 . D. n 1; 1  ; 3   . Lời giải Chọn A x  t  x y  0
Phương trình đường thẳng qua hai điểm A , O có dạng y t   . z    0 z  0 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Gọi  
P là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O nên P : m x  y  nz  0 , 2 2 m  n  0. Khi 
đó véctơ pháp tuyến của P có dạng n  ; m  ; m  n .  m m 2n  1  Ta có d B,P n  3   3 2 2
 2m  4mn  n  0   . 2 2 2 m m n m 1    n 5   1 1   n
Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là n  ; n ; n n    1;1;5.  5 5  5
Câu 23. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy r  3cm và thể tích của khối nón được tạo nên từ hình nón là 3
V  9 3 cm . Tính góc ở đỉnh của hình nón đó. A. 45 . B. 30. C. 120 . D. 60 . Lời giải Chọn D
Xét hình nón đỉnh O như hình vẽ.Gọi chiều cao hình nón là h cm, đường sinh của hình nón là l c 
m , góc ở đỉnh của hình nón là . 1 Thể tích hình nón 2
V  r h 9 3 h 3 3cm . 3 IM 3 1
Xét tam giác OIM vuông tại I :   tan IOM   
 IOM  30    60 OI 3 3 3
Câu 24. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O  , chiều cao R 3 và bán kính đáy
R . Một hình nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn  ;
O R . Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng A. 3 . B. 2 . C. 2. D. 3 . Lời giải Chọn D
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ là 2 S  2 R  h  2 R  .R 3 2 R  3. 1
Diện tích xung quanh của hình nón là S  R  l   . R R 32 2 2  R  2 R  . 2 2 S 2 R  3
Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng 1   3. 2 S 2 R  2 Câu 25. Cho lăng trụ ABC . D AB C  D
  có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3, A C   3 và mặt phẳng AA C  C
  vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng AAC C   , AA B  B   tạo 3
với nhau góc  thỏa mãn tan  . Thể tích khối lăng trụ ABCD.AB C  D   bằng? 4 A. V  6 . B. V  8 . C. V 12 . D. V 10 . Lời giải Chọn B A' B' D' M C' H A B K I D C
Từ B kẻ BI  AC  BI  AA C  C   .
Từ I kẻ IH  AA  AA C  C   AA B  B     ,  B I H . AB BC
Theo giải thiết ta có AC  . 3  BI   2 . AC BI BI 4 2 Xét tam giác vuông BIH có  tan BHI   IH   IH  . IH  tanBHI 3 2 AB Xét tam giác vuông ABC có 2 AI.AC  AB  AI   2. AC
Gọi M là trung điểm cả AA , do tam giác AA C cân tại C nên CM  AA  CM // IH . Do AI AH 2 AH 2 AH 1       . AC AM 3 AM 3 AA  3 4 2
Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có HK 
 chiều cao của lăng trụ 9 4 2 ABC . D AB C  D   là h 3HK  . 3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 4 2
Vậy thể tích khối lăng trụ AB . CD ABCD là V   6 3  8     A . B A . D h . ABCD .A B C D 3
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA ( M
không trùng với S và A ). Mp  qua ba điểm M,B,C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là: A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Lời giải Chọn B S M N A D B C AD/ / BC   MBC Ta có   AD/ / MBC. AD  MBC   
Ta có MBC / / AD nên MBC và SAD có giao tuyến song song AD.
Trong SAD , vẽ MN / / AD N SD  MN  MBC  SAD .
Thiết diện của S.ABCD cắt bởi MBC là tứ giác BCNM . Do MN / /BC (cùng song song AD ) nên BCNM là hình thang. x  1
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét đường thẳng d xác định bởi  và đường y  z  2   x  0
thẳng d xác định bởi 
. Tính bán kính nhỏ nhất R của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường y   z thẳng d và d . 1 A. R  . B. R  2. C. R  2. D. R 1 . 2 Lời giải Chọn A x  1 
Đường thẳng d có phương trình tham số là  y  t , t  
 đi qua điểm M 1;0;  2 có véctơ z  2t   chỉ phương u  0;1; 1  . d  x   0 
Đường thẳng d có phương trình tham số là y  t, t  đi qua điểm O 0;0;0  có véctơ chỉ z  t   phương u  .   0;1; 1 d     u ,u  OM d d       . u ,u    2   
2;0;0 u ,u .OM 2.Suy ra d d,d       1. d d d d u ,u d d   2
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Vì d và d chéo nhau nên bán kính nhỏ nhất R của mặt cầu tiếp xúc cả hai đường thẳng d và d d ,d  1 d bằng R   . 2 2
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của x  y  z  đường thẳng 1 2 3  
trên mặt phẳng Oxy  ? 2 3 1 x  1  t  x   1 t x 1  2t x   1 t A.     y  2 3t . B. y  2 3t . C.  y  2 3t . D. y  2 3t . z      0 z   0 z   0 z   0 Lời giải Chọn C x  y  z  Đường thẳng 1 2 3   qua M 1; 2  ;3và N 3;1; 4 . 2 3 1
Gọi M  và N lần lượt là hình chiếu của M và N trên Oxy ta có M 1; 2
 ;0 , N 3;1;0 .  x 1  2  t
Phương trình hình chiếu cần tìm là:  M N  : y  2   3t .  z   0
Câu 29. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  và có đồ thị f  x  như hình vẽ y 3 -2 O 1 x
Hàm số g x f  2x  2 
x có bao nhiêu điểm cực đại. A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có g  x   2 x  x  f   2 2
x 2x   x   f  2 2 2 x  2x  x  1 2x  2  0  x  1 2 2 x 2  0  2  x  2x  2
Giải phương trình g  x  0       x  1 2 f    2    2 x 2 x 0 x  2x 1   x  3 2 x  2x 3   x  1   x   2 x  2x  2  x   1
Từ đồ thị f  x  ta có f   2 x  0  2 
nên f x 2x 0      x  3 2 x  2 x  3 x   3 Bảng biến thiên
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Từ bảng biến thiên ta có hàm số g  x  f  2
x  2 x có hai điểm cực đại. x 1 y z  2
Câu 30. Trong không gian Oxyz cho điểm A2;5;3 và đường thẳng d :   . Gọi  P là mặt 2 1 2
phẳng chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến  P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M 1; 2; 
1 đến mặt phẳng P bằng 7 2 11 2 11 A. . B. . C. 3 2 . D. . 6 6 18 Lời giải Chọn B A H d I (P)
Gọi I 1 2t;t; 2  2t là hình chiếu vuông góc của A trên d . 
d có véctơ chỉ phương là u  2;1;2 d   
Ta có AI.u  0 2t 12  t  5 2t 12  0  t  1 suy ra I 3;1;4. d
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P  là AH  d  , A  
P   AI suy ra khoảng cách từ A đến 
P  lớn nhất bằng AI . Khi đó mặt phẳng P qua I và nhận AI 1; 4  ;  1 làm véctơ pháp
tuyến. Phương trình mặt phẳng P  : x  4y  z  3  0   
Khoảng cách từ M 1; 2;1 đến mặt phẳng P  là d M P 1 8 1 3 11 2 ,   . 1 16 1 6
Câu 31. Cho hàm số y  f (x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để
hàm số y  f (x)  2m 1 có 5 điểm cực trị. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Lời giải Chọn A
Ta có hàm số y  f (x) có 2 điểm cực trị nên hàm số y  f (x)  2m 1 có 2 điểm cực trị.
Hàm số y  f (x)  2m 1 có 5 điểm cực trị  f (x)  2m 1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình f (x)  2m 1  0 có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y  2m 1 cắt đồ thị  1  2  1  2 m m   hàm số 2
y  f (x) tại 3 điểm phân biệt     2m 1   2 3 m  2   Vậy hàm số 
y  f (x)  2m 1 có 5 điểm cực trị thì 1 3 m  ; 
. Vì m   nên m  0,  1 . 2 2   2 2 2  x  2x
Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình:   a  0  có đúng 4 nghiệm.  x 1    x 1  A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. Lời giải Chọn D 2 2 2  x  2x   a  0    x 1 x 1 2 x Đặt 2 t 
 x  tx  t  0   2 x 1
Phương trình (1) trở thành: 2 t  2t  a  0   3
Phương trình (1) có đúng 4 nghiệm khi pt (3) có 2 nghiệm phân biệt t thoả pt (2) có 2 nghiệm phân biệt. t  4
Mà (2) có 2 nghiệm phân biệt 2
   0 t  4t  0   . t   0
Xét bài toán bù trừ sai.Ta nên xét trực tiếp 3 Th a  1 TH1:  t  t  0  a   0  a  1 2 1   0 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/  a  1 TH2:  4  t  t   a  8   a  1 2 1    4 a  0
TH3: t  0  4 t    a  8 1 2 a    8
Vậy có vô số giá trị nguyên a thoả yêu cầu bài toán.
Câu 33. Cho hàm số y  f  
x dương và liên tục trên khoảng 0;.Biết y  f   x là một nguyên hàm 2 .x e f x1 của hàm số
và f ln2  3 họ nguyên hàm của hàm số 2x e .f   x là f   x A. 2  1 x  5 2 1   x e e  3 1  C . B.  x  3 2 2 1 x e  e 1  C . 5 3 3 C. 1  1 x e  3 2 1  C . D.  x e  13  C . 3 3 Lời giải x 2 e . f x  f  x 1  f x f x.f x f   x . f   x x   e x  dx  e dx   2 f x 1 2 f x 1  2  f x  1 x  e  C Ta có f  2 ln 2  3   3 nl 2 1  e C  C  0 2    2x      2 1 x f x e f x  e  1 x    0;    . 2 x    2 x 2 . d  . x I e f x x e e 1dx   Đặt 2 x 2    2 x t e dt e dx dt 1 I  t    t  3 1 1 1  C   2x e  1 3  C . 2 3 3
Câu 34. Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B .
Tính xác suất để A và B đứng cạnh nhau. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 6 5 10 Lời giải Chọn C
Số cách xếp 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc là 10! .
Số cách xếp A và B đứng cạnh nhau là 9!.2. 9!.2 1
Xác suất để A và B đứng cạnh nhau là  . 10! 5
Câu 35. Cho lăng trụ ABC.A B  C
  diện tích đáy bằng 3 và chiều cao bằng 5. Gọi M , N, P lần lượt là
trung điểm của AA,BB,CC . G, G lần lượt là trọng tâm của hai đáy AB , C ABC . Thể tích
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm G,G , M , N , P bằng A. 10 . B. 3. C. 5. D. 6 . Lời giải Chọn C
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 
 https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Ta có: V  3.5 15 (đvtt). ABC.A B  C   Ta có V    V V . GG MNP G .MNP G '.MNP
Do M , N, P lần lượt là trung điểm của AA , BB ,CC  nên mp MNP chia khối lăng trụ
ABC.ABC thành hai khối lăng trụ bằng nhau ABC .MNP và MNP.AB C   . Lại có 1 1 G  ABC nên V  V , tương tự ta có V   V G .MNP ABC . 3 MNP G .MNP A B  C  . 3  MNP Do đó 1 1 V      V V V V GG MNP G.MNP G '.MNP ABC .MNP MNP. 3 3 A B  C   1   1 1 V  V    .    V ABC MNP MNP A B C ABC A BC .15 5 . .  . 3 3 3 1 Câu 36. Cho hàm số 3 2
y  x  2x  3x 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm 3 của phương trình  y  0 có phương trình: Đáp án: …………. Lời giải 2 y  x 4x 3
y  2x  4  0  x  2 .  5 
Gọi M (x ; y ) là tiếp điểm  M 2; 0 0  3    11
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  y x   5 (2) 2   y  x  . 3 3
Câu 37. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  có bảng xét dấu f x như sau. Hàm số đã cho có bao nhiêu cực tiểu? Đáp án: …………. Lời giải 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2;1; 2  , B 1; 3  ; 
1 , C 3; 5;2 . Độ dài đường cao AH của tam giác ABC là. Đáp án: ………….. Lời giải     Ta có BC  2; 2; 
1 và AB  1;  4;3 ,  BC; AB  2;7;10   .
Do đó độ dài của đường cao AH là khoảng cách từ A đến BC .    A ; B BC   Ta có AH    17 . BC
Câu 39. Số tập con của tập M 1;2;  3 là Đáp án: ………….. Lời giải
Số tập con không chứa phần tử nào của tập M là 0 C 3
Số tập con chứa 1 phần tử của tập M là 1 C 3
Số tập con chứa 2 phần tử của tập M là 2 C 3
Số tập con chứa 3 phần tử của tập M là 3 C 3
Vậy số tập con của tập M là 0 1 2 3 C  C  C  C 3 3 3 3 f  x  5 f x   5 Câu 40. Cho lim  5 . Tính giới hạn lim x  4 x  4
x4  x 2 6 f x6 4 Đáp án: ………….. Lời giải f  x 5 Vì lim  5 nên f   4  5 . x 4 x  4 f  x 5 f  x 5 x  2 4  2 Khi đó lim  lim .lim  5.  2 . x 4
  x  2 6 f  x  6  4 x 4 x 4 x 4  6 f   x 6 4 6. f   4 6  4
Câu 41. Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề
lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m . Từ một điểm trên
thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là 43m và khoảng cách tới điểm chân cổng
gần nhất là 10m . Chiều cao của cổng gần với số nào sau đây? Đáp án: ………….. Lời giải
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ trên, chân kia là điểm
N 162;0 . Giả sử Parabol có phương trình P  2 : y  ax  bx  c . Khi đó Parabol  
P đi qua các điểm O 0;0, M 10;43, N 162;0 nên ta có  43 a    c 0   1520   
 26244a 162b  c  0   3483 b  1   00a 10b c 43     760   c  0 43 3483 Do đó P  2 : y   x  x . 1520 760  282123
Khi đó chiều cao của cổng bằng tung độ đỉnh của P là h  y8  1     185, 6  m . 4a 1520
Câu 42. Cho hàm số y  m   4 2
1 x  mx  3 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị. Đáp án: ………….. Lời giải
Để hàm số có ba điểm cực trị thì m   m  1 1 m  0   . Vậy m ;    1 0;  . m  0
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng d : y  kx  6 . Hỏi có bao
nhiêu giá trị nguyên k để S  S (trong đó S , S là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 1 2 1 2
thị hàm số bậc ba y  f  x và đường thẳng y  kx  6, S là phần ghạch chéo). 1 Đáp án: …………..
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Lời giải
Vì đồ thị C của hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ 1; 2; 3 nên có ta có y  m x  
1 x  2x  3 .
Vì C cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6 nên suy ra m  1 . Vậy 3 2 y  x  6x 11x  6 .
Điều kiện để tồn tại miền S , S thì phương trình tương giao 3 2
x  6x 11x  6  kx  6 có 3 1 2  k  2 nghiệm phân biệt 2
 x  6x 11 k  0 Có hai nghiệm phân biệt khác 0   . k  11
Gọi a , b là hai trong ba hoành độ giao điểm của C và d 2  a  3  b  . a b Từ hình vẽ có  3 2
x  6x 11x 6  kx  6 dx   3 2
x  6x 11x  6  kx 6 dx 0 a a a 4 4  x 11 k   x 11 k  3 2 2 3 2 2   2x  x  x   2x  x  x  4 2 2   4 2 2      0 b 4 3 2 2
 b 8b  22b  2kb  0 2
 b 8b  22  2k  0 2  2k  b 8b  22 . Xét hàm số gb 2
 b  8b  22 . Ta có bảng biến thiên trên khoảng 3; b 3 4 +∞ g(b) 6
Từ bảng biến thiên ta có 2
2k  b 8b  22 b  3  2k  6  k  3 . Mà k  2 nên không có số
nguyên k nào thỏa mãn yêu cầu của bài.
Câu 44. Cho hàm số y  f x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau
Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
f  x 1  2 f  3 m  2 có nghiệm Đáp án: ………….. Lời giải
Đặt t  x 1  2  2 thì phương trình f  x 1  2  f  3 m   2 (1) trở thành
f t  f  3 m  2    2 với t  2.
Để phương trình (2) có nghiệm thì đường thẳng y  f  3 m  2 phải cắt đồ thị hàm số
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
y  f t tại ít nhất một điểm với t  2  1 f  3 m  2  2  m  3.
Vì m nguyên dương nên m1; 2; 
3 . Vậy tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài
toán là 1 2  3  6 .
Câu 45. Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w  5 12i z 1 2i trong mặt phẳng Oxy là Đáp án: …………. Lời giải Gọi w  x  yi  , x y   
x  yi  5 -12i z 1- 2i x 1
  y 2i  5 1  2i  z x   1   y  2i
 x  1  y   2 i5 12    i  z   5 12i 13 5x  
1 12 y  2  y   2 5 x   1 12 z   i 13 13
5x 12y  29 12x  5y  2 z   i 13 13 2 2  5x 12y  29   12x  5y  2 Mà z  1 nên   1 2 2    x   1   y  2 169 13   13     
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD a 3 , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào? Đáp án: …………. Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA . 2 2 2 2 BD AD  AB a  3a
Trong hình chữ nhật ABCD ta có OB  OD     a . 2 2 2
Xét tam giác MAB vuông tại A, ta có: 2 2 2 2
MB  AB  MA  a  a  a 2 .
Xét tam giác MAO vuông tại O , ta có: 2 2 2 2 MO 
AO  MA  a  a  a 2 .
Do MO/ / SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và BD.
Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có 2 2 2 2 2 2  OB OM BM a  2a  2a 1  cosMOB     MOB  69o . 2.OB.OM 2.a.a 2 2 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng góc  69o MOB  .  x  4 t 
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  d  : y  1 4t và mặt phẳng Q : x  y  2z  9  0.  z  3 2t  Gọi  
 là đường thẳng đi qua điểm A 1  ; 2; 
3 , vuông góc với  d và song song với   Q . Tính
khoảng cách từ giao điểm của  d và Q  đến  ta được Đáp án: ………….. Lời giải  
Ta có: VTCP của  d là u 1; 4;2 và VTPT của Q là n  1;1; 2 . Q  d        
Đường thẳng  đi qua điểm  A 1;2; 
3 và có VTCP là u  u , n   6;4;5 . d Q       
Gọi B  d  Q  B   d  B  4
 t;1 4t;3 2t    
BQ  t  0  B 4  ;1;  3  AB   3  ; 1
 ;0    AB,u   5  ;15; 6      AB,u    286 182 Vậy: d  ; B       . u 77 7
Câu 48. Cho các số thực m. n thỏa mãn m  n  1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min  m 2 P  2 log m  3log    . m n   n  n  Đáp án: ………….. Lời giải Do m  n  1 nên ta có. 2  m   2 P log m     m      m  m  2  3log 2log 3 n m log 1 n   n n   n  4 4 3 .   3 log m 1    3 2  n   m  1 log n2 log n log m m  m   n  log n  log m 1 Do m  n  1 nên m m  . log n  log 1  0  m m 4 3 Xét hàm số y    3 trên 0;  1 . 1  2 x x 8 3 Ta có y   . 1 x3 2 x 3 2  8 3 3x  x  9x  3 1 y  0    0   0  x  . 1 x 3 2 2 x x 1 x 3 3 Bảng biến thiên. .
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là P  15 min .
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, CD  a , SD  ABCD  . Gọi M, Nlần lượt là
trung điểm của đoạn thẳng A ,
B AD và G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt phẳng GMN  cắt cạnh
SC tại E . Khoảng cách từ E đến mặt phẳng SAD  bằng Đáp án: ………….. Lời giải
Ta có SD   ABCD  SD  CD  CD  SAD  d   CD  a C ,SAD 
Trong mp ABCD , gọi O  BD  AC , I  MN  AC , SC  GI  E suy ra E là giao điểm của GMN với SC
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC , ta được: ES IC GO ES 1 ES 2 ES 2 . .  1 .3.  1    EC IO GS EC 2 EC 3 CS 5 5 2 2 Ta có CE  SA  D  S, CS  ES  d  d  a . E ,SAD  C ,SAD  2 5 5
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật AB .
CD A'B 'C ' D' có đáy ABCD là một hình vuông. Biết tổng diện tích
tất cả các mặt của khối hộp bằng 50. Tính thể tích lớn nhất V của khối hộp đã cho. max Đáp án: ………….. Lời giải
Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với a, b  0. 1  25  Theo giả thiết ta có 2
2a  4 ab 50  2 aa 2b 50  aa 2b 25  b  a . 2  a    25 Do b  0   a  0  a  5. a 1 25  1 25
Khi đó thể tích của khối hộp 2 3 V  a .  a   a  a   . 2  a  2 2 1 25  5  125 3 Xét hàm f a 3   a  a trên  0; 
5 , ta được max f  a  f  . 2 2   0;5   3 9  B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU)
• XEM THÊM ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TẠI:
• https://www.nbv.edu.vn/2022/01/de-cuong-danh-gia-nang-luc-dhqg-ha-noi.html
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương 
 https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 
 https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/