Ôn thi đánh giá năng lực(Đề 6) | Trường đại học Quốc gia Hà Nội
Ôn thi đánh giá năng lực(Đề 6) | Trường đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489 ĐỀ Đ Ề SỐ S 6. 6 ÔN THI T ĐG Đ NL ĐHQ Đ G H À NỘI I202 0 1 2 -2 - 02 0 2 2
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Thống kê điểm môn toán trong một kì thi của 500 em học sinh thấy số bài được điểm 9 tỉ lệ
2%. Hỏi tần số của giá trị xi =9 là bao nhiêu? A. 10 B. 20 C. 30 D. 5
Câu 2. Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với
vận tốc v t 12t 24 m / s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 20 m . B. 18 m . C. 24 m . D. 15 m .
Câu 3. Nghiệm của phương trình logx 1 2 là. A. 1025. B. 2e 1. C. 2 e 1. D. 101. xy x y 5
Câu 4. Nghiệm của hệ phương trình: là: 2 2 x y y x 6 A. 1;2,2; 1 . B. 0; 1 ,1; 0 . C. 0; 2,2;0. D. 1 1 2; , ;2 . 2 2
Câu 5. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình 1 i z 3 5i . A. M 1 ; 4. B. M 1; 4 . C. M 1; 4 . D. M 1; 4 .
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;1; 2 và mặt phẳng
:3x y 2z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ?
A. 3x y 2z 6 0 . B. 3x y 2z 6 0 .
C. 3x y 2z 4 0 . D. 3x y 2z 14 0. x 1 y 1 z 3
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A4;1;3 và đường thẳng d : . Tọa độ 2 1 1
điểm M là điểm đối xứng với điểm A qua d là A. M 2;5;3 . B. M 1 ; 0; 2 . C. M 2;3;5 . D. M 0;1;2 . x 2 x 4
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình là: x 1 x 3 A. 1 1 ; 1;3. B. S ;1 1;3 . 2 2 1 1 C. S ;1 3; . D. S ; 1;3. 2 2 x x x 2 1 cos cos 2 cos sin Câu 9. Cho phương trình
x 0 . Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng cos x 1
0;2018 của phương trình đã cho? A. 2035153 . B. 1017072 . C. 1019090 . D. 2037171 . Câu 10.
Cho cấp số nhân u cố công bội q và u 0 . Điểu kiện của q để cấp số nhân u có ba số n n 1
hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác là :
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 1 5 A. 0 q 1 B. 1 q 2 1 5 1 5 C. q 1. q D. 2 2 x
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2 1
trên khoảng ;1 là x 1 3 A. 2 x . B. 2x 3ln x 1 C C . x 12 3 C. 2x . D. 2x 3l n x 1 C C. x 2 1
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f 6 6
4 sin x cos x 1 m có nghiệm. A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3.
Câu 13. Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180(km / h). Tay đua nhấn ga để
về đích, kể từ đó xe chạy với gia tốc 2
a(t) 2t 1 (m / s ) . Hỏi rằng sau 4s sau khi tay đua nhấn
ga thì xe đua chạy với vận tốc bao nhiêu km/h A. 200(km / ) h . B. 252(km / ) h . C. 288(km / h) . D. 243(km / ) h .
Câu 14. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng 20 triệu với lãi suất không đổi là 7,2% trên năm và tiền lãi
hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu về được tổng số tiền
lớn hơn 345 triệu đồng? A. 33 năm. B. 41 năm. C. 50 năm. D. 10 năm.
Câu 15. Giải phương trình log x 2 211. 3 A. 211 x 3 2 . B. 3 x 211 2 . C. 3 x 211 2 . D. 211 x 3 2 .
Câu 16. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x, y x và x 4 . Thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây: 38 41 41 40 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 2 3 x 3
Câu 17. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2; x 4m A. 2 B. 1 C. 3 D. Vô số
Câu 18. Tìm số phức z thỏa mãn z z i 2 2 1 1 1 z và z 1. 3 1 3 1 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 10 10 10 10
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Câu 19. Trên mặt phẳng tạo độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i iz là
A. Đường thẳng y 2 . B. Đường thẳng 1 y . 2 C. Đường thẳng 1
y . D. Đường tròn tâm I 0; 1 . 2 x 2 t
Câu 20. Cho đường thẳng d :
và 2 điểm A 1 ; 2, B(2 ; m .) Định m để A và B nằm cùng y 1 3t phía đối với d . A. m 13 . B. m 13 . C. m 13. D. m 13.
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm ( A 4; 0), (
B 0; 2),C(1, 6;3, 2) . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. 5 . B. 4,75. C. 2 5 . D. 4,5.
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho các điểm M 1;0; 1 ; N5;2;
3 và mặt phẳngQ:2x y z7 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Pđi qua các điểm M , N và vuông góc với mặt phẳng Q là A. n 1 ;0; 2 . B. n 1;0; 2 . C. n 4;0; 8 . D. n 8;0; 4 .
Câu 23. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi 1 V , 2
V lần lượt là thể tích của khối cầu
ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số 1 V . 2 V A. 4 . B. 16 . C. 8. D. 2.
Câu 24. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước
được ghi (cùng đơn vị dm ). Tính thể tích của bồn chứa. . 3 4 2 4 A. 5 2 4 3 . B. . C. 2 5 4 .3 . D. . 3 3 5 3 3
Câu 25. Cho hình lăng trụ a ABC.A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a , AA . Biết rằng hình chiếu 2
vuông góc của A lên ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. 3 2a 3 3a A. V . B. V . C. 3 3 V a . D. 3 V a . 3 4 2 2
Câu 26. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB 8a, SA SB SC SD 8a .
Gọi N là trung điểm cạnh SD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S .ABCD cắt bởi mặt phẳng ABN . A. 2 24a . B. 2 12 a 11 . C. 2 12a . D. 2 6a 11. Câu 27. Trong không gian 2 2 2
Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 1 9 và điểm
M a;b;c S sao cho biểu thức P a 2b 2c đạt giái trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T a b c bằng A. T 1 . B. T 2 . C. T 1 . D. T 2.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;1;1, B 4; 3;1 và
C 1;1; 2 . Đường phân giác trong của góc A có phương trình là: x 1 3t x 4 3t x 1 3t x 4 3t A. y 1 4t . B. y 3 4 t . C. y 1 4t . D. y 3 4t . z 1 5t z 6 5t z 1 5t z 6 5t
Câu 29. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên , phương trình f x 0 có 4 nghiệm thực và đồ thị hàm số 2
f x như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . y 2 4 O x 1 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . A 1; 2;1
B 5; 0; 1 C 3;1; 2
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , , và mặt phẳng
Q :3x y z 3 0 M ; a ; b c Q . Gọi là điểm thuộc thỏa mãn 2 2 2 MA MB 2MC nhỏ
nhất. Tính tổng a b 5c. A. 14 . B. 11. C. 9 . D. 15 .
Câu 31. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu của f x như hình vẽ.
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x m có đúng 3cực trị. A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 32. Tìm 4 2 2
m để phương trình: x m 3 x m 3 0 có đúng 3 nghiệm: A. m . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 .
Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục trên \0; 1 thoả mãn: 2 x 2 x 1 2 x x 1
f x x x 2 f x , x 0; 1 và f 4 3 ln 3 . x 9 Biết f 2 a bln 2 , a b . Giá trị 2 a 9b bằng. A. 4. B. 7. C. 2. D. 8.
Câu 34. Một hộp đựng 3 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen.
Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên được chọn không nhiều hơn 3
màu và luôn có bi màu xanh? 2085 2058 2295 2259 A. . B. . C. . D. . 5985 5985 5985 5985
Câu 35. Cho hình lăng trụ AB . CD A B C D
có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác A A D , A CD , A CB
, A BA . Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt đáy ABCD . Biết thể tích khối chóp .
O MNPQ bằng V . Tính theo V thể tích khối lăng trụ AB . CD ABC D . 27 81 81 27 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 4 2 4
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU)
Câu 36. Tiếp tuyến với đồ thị 3 2
y x x 1 tại điểm có hoành độ x 1 có phương trình là: 0 Đáp án: ………….. Câu 37. Cho hàm số 2
y f x có đạo hàm f x x x
1 2x 3 . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? Đáp án: …………..
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A1; 2; 1 , B0; 3; 4 ,
C 2; 1; 1 . Độ dài đường cao từ A đến BC bằng: Đáp án: …………..
Câu 39. Lớp 10A4 cử đại diện 3 học sinh, 11A5 cử đại diện 4 học sinh, 12A6 cử đại diện 5 học sinh đi đại
hội (ngồi bàn tròn). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh vào bàn sao cho các thành viên của
mỗi lớp ngồi cạnh nhau ? Đáp án: ………….. f (x ) 5
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn lim
2 . Tìm m để hàm số x 1 x 1 2 2 f (x) 7 f (x) 15 g x khi x 1 x 1 liên tục tại x 1 ? m x 2 khi x 1 Đáp án: ………….. a 0
Câu 41. Cho a , b , c là 3 số thực thỏa mãn
. Gọi x , x lần lượt là hoành độ giao điểm 4a 9b 24c 0 1 2 của parabol 2
P : y 2ax 3bx 4c với trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . 1 x x2 Đáp án: ………….. 1 1
Câu 42. Tìm tất cả tham số thực của m để hàm số y m 2 3 2 x x
mx 2 có cực đại, cực tiểu. 3 3 Đáp án: …………..
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị f x như hình vẽ
Đặt S f 0 f 6 f a f a 2 . Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên? Đáp án: …………..
Câu 44. Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng biến thiên như sau
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Số nghiệm thuộc đoạn 3 ;3 của phương trình f cos x 1 là Đáp án: …………..
Câu 45. Cho z , z là hai trong các số phức
, đồng thời z z 8 . 1 2
z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5 1 2
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có 1 2
phương trình nào dưới đây? Đáp án: …………..
Câu 46. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . Đáp án: ………….. x 1 y 2 z 3
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và điểm 2 2 1
A1; 2; 0 . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng bằng: Đáp án: ………….. 1 Câu 48. Cho ba số thực a, b , c ;1
. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức. 4 min 1 1 1 P log b log c log a . a 4 b 4 c 4 Đáp án: …………..
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm các cạnh , AB S , A SD
và G là trọng tâm tam giác SBC. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) biết khối chóp 3 a S.ABCD có thể tích V 4 Đáp án: …………..
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật AB . CD A B C D có A D 2 , A B
x, (x 0) . Góc giữa đường thẳng
AC và mặt phẳng ABB A
bằng 60. Tính giá trị lớn nhất m V
của thể tích khối hộp chữ nhật ax ABCD .A B C D . Đáp án: …………..
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Lời giải tham khảo
A. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (35 CÂU)
Câu 1. Thống kê điểm môn toán trong một kì thi của 500 em học sinh thấy số bài được điểm 9 tỉ lệ
2%. Hỏi tần số của giá trị xi =9 là bao nhiêu? A.10 B. 20 C. 30 D. 5 Lời giải: Chọn A 2%.500 tần số xi =9 là: 10 100%
Câu 2. Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt 1
2t 24 m/ s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 20 m . B. 18 m . C. 24 m . D. 15 m . Lời giải Chọn C Ta có: v t 1
2t 24 0 t 2 . Quản đường ôtô di chuyển từ lúc đạp phanh đến lúc dừng 2 hẳn là : S 1 2t 24 dt 24 . 0
Câu 3. Nghiệm của phương trình logx 1 2 là. A. 1025 . B. 2e 1 . C. 2 e 1 . D. 101. Lời giải Chọn D log 2
x1 2 x 1 10 x 101 x y x y 5
Câu 4. Nghiệm của hệ phương trình: là: 2 2 x y y x 6 A. 1;2, 2; 1 . B. 0;1, 1; 0. C. 0; 2, 2;0. D. 1 1 2; , ; 2 . 2 2 Lời giải Chọn A
Đặt S x y P xy 2 , S 4P 0 P S 5 Ta có : PS 6
S, P là nghiệm của phương trình 2
X 5X 6 0 X 2; X 3 Khi S 2, P 3 (loại)
Khi S 3, P 2 thì x, y là nghiệm phương trình 2
X 3 X 2 0 X 1; X 2
Vậy nghiệm của hệ là 1;2, 2;1 .
Câu 5. Tìm tọa độ điểm M là điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn phương trình 1 i z 3 5i . A. M 1 ; 4 . B. M 1 ; 4 . C. M 1; 4 . D. M 1; 4 . Lời giải Chọn B 3 5 Ta có: i z
1 4i z 1 4i M 1 ;4 . 1 i
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;1; 2 và mặt phẳng
:3x y 2z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ?
A. 3x y 2z 6 0 . B. 3x y 2z 6 0 .
C. 3x y 2z 4 0 . D. 3x y 2z 14 0 . Lời giải Chọn A
Mặt phẳng đi qua M 3;1;
2 và song song với có phương trình: 3 x 3 y
1 2 z 2 0 3x y 2z 6 0. x 1 y 1 z 3
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 4;1;3 và đường thẳng d : . Tọa độ điểm 2 1 1
M là điểm đối xứng với điểm A qua d là A. M 2;5;3 . B. M 1;0;2 . C. M 2; 3 ;5 . D. M 0; 1 ;2 . Lời giải Chọn C x 1 2t
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a (2;1;1) và phương trình tham số y 1 t . z 3 t
Gọi H là trung điểm của AM, khi đó H nằm trên đường thẳng d nên H 1 2t;1 t;3 t AH 2t 3; t ;t
AH d AH . a 0 2(2t 3) t t 0 6t 6 0 t 1
Do đó tọa độ điểm H 3;2;4.
Mà H là trung điểm của AM nên M 2; 3;5 . x 2 x 4
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình là: x 1 x 3 1 1 A. ;
1;3 . B. S ;1 1;3 . 2 2 1 1 C. S ;1 3; . D. S ; 1;3. 2 2 Lời giải Chọn A
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 x 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 3 x 1 x 4 Ta có 0 0 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 2 x x 2 6 x 3 x 4 4x 2 2x 1 0 0 x x 0 1 3 x 1 x 3 x 1 x 3 1
Lập bảng xét dấu ta có x ; 1; 3. 2 x x x 2 1 cos cos 2 cos sin Câu 9. Cho phương trình
x 0 . Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng cos x1
0;2018 của phương trình đã cho? A. 2035153 . B. 1017072 . C. 1019090 . D. 2037171 . Lời giải Chọn B
Điều kiện: x k 2 , k . 2 x x x 2 1 cos cos 2 cos sin x
1 cos xcos2x cos x 1 cos x 0 0 cos x 1 cos x1
cos 2x cosx 1 cosx 0 cos 2x 1 x k , k . Đối chiếu điều kiện ta thấy với k
lẻ sẽ không thỏa. Vậy các nghiệm thuộc 0;2018 của phương trình là
Khi đó, 2 ;4 ; 6 ;...;2016, có tất cả 1008 nghiệm.
Tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 : 1008 S x x ... x 2 2016 1017072 . 1 2 1008 2
Câu 10. Cho cấp số nhân u cố công bội
u 0 . Điểu kiện của u có ba số n q và 1
q để cấp số nhân n
hạng liên tiếp là độ dài ba cạnh của một tam giác là : 1 5 A. 0 q 1 B. 1 q 2 1 5 1 5 C. q 1 . q D. 2 2 Lời giải Chọn D
Giả sử ba số hạng liên tiếp là n n 1 n 2 u q , u q ,
. Ba số hạng này là độ dài ba cạnh của một tam 1 1 1 u q n n 2 n 1 2 1 u q 1 u q 1 u q 0 q q 1 0 1 5 1 5 giác n n 1 n 2 2 1 u q 1 u q 1 u q 0 1 q q 0 q . 2 2 n1 n 2 n 2 u q u q u q 0 q q 1 0 1 1 1 x
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2 1
trên khoảng ;1 là x 1 3 A. 2x . B. 2x 3ln x 1 C C . x 2 1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ 3 C. 2 x C. D. 2x 3ln x 1 C. x 2 1 Lời giải Chọn D 2x 1 3 Ta có f xdx dx 2 d x 2x 3ln x 1 C . x 1 x 1
Câu 12. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f 6 6
4 sin x cos x 1 m có nghiệm. A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn B 3 Đặt t 4 6 6 sin x cos x 2 2
1 4 1 sin 2x 1 3 3sin 2x t 0; 3 4 Phương trình f 6 6 4 sin x cos x
1 m có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t m có
nghiệm thuộc 0;3 4
m 0 có 5 giá trị nguyên
Câu 13. Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180(km / h). Tay đua nhấn ga để
về đích, kể từ đó xe chạy với gia tốc 2
a(t) 2t 1 (m / s ) . Hỏi rằng sau 4s sau khi tay đua nhấn
ga thì xe đua chạy với vận tốc bao nhiêu km/h A. 200(km / ) h . B. 252(km / ) h . C. 288(km / h) . D. 243(km / ) h . Lời giải Chọn B
Đổi đơn vị 180(km / h) 50(m/ s) .
Từ khi tay đua nhấn ga, xe chạy với vận tốc 2
v(t) (2t 1)dt t t C .
Tại t 0, v(0) C 50(m/ s) 2 v(t) t t 50.
Sau khi tay đua nhấn ga 4s thì xe chạy với vận tốc 2
v(4) 4 4 50 70(m / s).
Đổi đơn vị 70(m / s) 252(km / h).
Câu 14. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng 20 triệu với lãi suất không đổi là 7,2% trên năm và tiền lãi
hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu về được tổng số tiền
lớn hơn 345 triệu đồng? A. 33 năm. B. 41 năm. C. 50 năm. D. 10 năm.
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra người đó đã gửi ngân hàng theo hình thức lãi kép nên ta có công thức 1 n T A r
với A 20 triệu là số tiền ban đầu, T 345 triệu là số tiền người đó nhận được sau
n năm gửi, r 7, 2% 0, 072 là lãi xuất hàng năm. 69 69
Ta có 345 20.1,072n 1,072n n log 40,96 1,072 4 4
Vậy sau ít nhất 41 năm người đó thu về được tổng số tiền lớn hơn 345 triệu đồng
Câu 15. Giải phương trình log x 2 211. 3 A. 211 x 3 2 . B. 3 x 211 2 . C. 3 x 211 2 . D. 211 x 3 2. Lời giải Chọn D Ta có: log x 2 211 211 x 2 3 211 x 3 2 . 3
Câu 16. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x, y x và x 4. Thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây: 38 41 41 40 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 2 3 Lời giải Chọn B x 0
Phương trình hoành độ giao điểm: x x x 0. 2 x x 4
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2 V x x dx . Ox 0 x 0 Xét phương trình 2 x x 0 . x 1 1 4 1 4 Do đó 2 2 V
x x dx x x dx x x dx x x dx . Ox 2 2 0 1 0 1 1 4 3 2 3 2 x x x x 41 (đvtt). 3 2 3 2 3 0 1
Câu 17. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x m để hàm số 3 y
nghịch biến trên khoảng 2; x 4m A. 2 B. 1 C. 3 D. Vô số Lời giải Chọn B TXĐ: D \ 4 m 4m 3 y ' x 4m2 x 3 Hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2; y 0x 2; x 4m 3 3 m 4m3 0 m 4 1 3 4 m m 2; 4 1 4 m 2 m 2 4 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Vì m nên m 0. Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Tìm số phức z thỏa mãn z z i 2 2 1 1 1 z và z 1. 3 1 3 1 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 10 10 10 10 Lời giải Chọn C
Gọi z x yi với x , y . Ta có 2 2 z 1 x y 1.
Và 2 2 2 2 z 1 z 1 1 i z 2 x yi 1 x yi 1 1 i x y 2 2 2 2 x y 3x 1 y x y i 0 3 2 2 x x y 3x 1 0 2 10x 3x 0 10 2 2 x y y 0 y 3x 1 1 y 10 3 1 Vậy z i . 10 10
Câu 19. Trên mặt phẳng tạo độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i iz là 1
A. Đường thẳng y 2 . B. Đường thẳng y . 2 1
C. Đường thẳng y . D. Đường tròn tâm I 0; 1 . 2 Lời giải Chọn C
Gọi số phức z a bi a,b .
Ta có: z i iz a bi i i a bi a b 1 i b ai a b 2 2 2 2 1 b a 2 b 1 0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện bài toán là đường thẳng 1 y . 2 x 2 t
Câu 20. Cho đường thẳng d : và 2 điểm A 1 ; 2 , B( 2
; m .) Định m để A và B nằm cùng y 1 3t phía đối với d . A. m 13. B. m 13 . C. m 13 . D. m 13 . Lời giải Chọn B
Phương trình tổng quát của đường thẳng d : 3(x 2) 1(y 1) 0. hay d : 3x y 7 0. ,
A B cùng phía với d (3x y 7)(3x y 7) 0 2(13 m) 0 m 13. A A B B
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(4;0),B (0; 2),C(1,6;3, 2) . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. 5 . B. 4,75 . C. 2 5 . D. 4,5 . Lời giải Chọn A
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Gọi I (a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I A IB x 2 2 2
4 y x y 2 2 Ta có I A IC x 2 4 y x 1, 2 6 y 3, 2 2 2 2x y 3 x 2 I(2;1) IA2; 1 R IA 5 . 0, 3x 0, 4y 0, 2 y 1
Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho các điểm M 1;0; 1 ; N5;2;
3 và mặt phẳngQ:2x y z7 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Pđi qua các điểm M , N và vuông góc với mặt phẳng Q là A. n 1 ;0; 2 . B. n 1;0; 2 . C. n 4;0;8 . D. n 8;0;4 . Lời giải Chọn B Ta có MN 4;2;
2 và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là n Q 2; 1; 1 .
Mà MN P vàP
Q nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n thỏa mãn: n MN n MN , ( n Q) 4;0; 8 . n n(Q)
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P là n 1;0; 2 .
Câu 23. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi 1 V , 2
V lần lượt là thể tích của khối cầu V
ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính tỉ số 1 . 2 V A. 4 . B. 16 . C. 8. D. 2. Lời giải Chọn C a r R
Giả sử hình nón đã cho có đường sinh l a . a 3
Ta có khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp hình nón có bán kính lần lượt là R và 3 a 3 r . 6 Gọi 1 V , 2
V lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón. 4 3 R 3 Ta có 1 V 3 R 8 . V 4 3 2 r r 3
Câu 24. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước
được ghi (cùng đơn vị dm ). Tính thể tích của bồn chứa.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ . 3 4 2 4 A. 5 2 4 3 . B. . C. 2 5 4 .3 . D. . 3 3 5 3 Lời giải Chọn C
Gọi V là thể tích hình trụ có đường cao 36 dm và bán kính đường tròn đáy 9 (dm). 1
V là thể tích nửa hình cầu có bán kính 9 dm . 2 2 Ta có 2
V .9 .36 2916 3 dm và 3 V .9 486 3 cm .. 1 2 3 Do đó V V 2V 3888 3 2 5 3 dm 4 .3 dm . 1 2 3
Câu 25. Cho hình lăng trụ a AB . C A B C
có đáy là tam giác đều cạnh a , AA . Biết rằng hình chiếu 2
vuông góc của A lên ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. 3 2 3 3a A. a V . B. V . C. 3 3 V a . D. 3 V a . 3 4 2 2 Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm BC , ta có: A H ABC. a 3
Xét tam giác ABC ta có: AH . 2 Xét tam giác a AA H vuông tại H , 2 2 6 A H AA AH . 2 2 3 3 a 3 a 6 3a 2 3
Vậy thể tích khối lăng trụ: . . a V S A H . LT ABC 4 2 8 4 2
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AB 8a , SA SB SC SD 8a .
Gọi N là trung điểm cạnh SD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ABN . A. 2 24a . B. 2 12a 11 . C. 2 12a . D. 2 6a 11. Lời giải Chọn B
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 S M N B C I O A D
Mặt phẳng ABN chứa AB//CD nên cắt mặt phẳng SCD theo giao tuyến NM //CD và M
cũng là trung điểm của SC . Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang cân ABMN . 8a 3 Hạ NI AB . Ta có 2 2 2 NI AN AI với AN 4a 3 . 2
2AI AB MN 8a 4a 4a AI 2a . Từ đó suy ra NI 2 a 11 . 1 1 Vậy S AB MN NI 8a 4a 2 2a 11 12a 11 . ABMN . 2 2 Câu 27. Trong không gian 2 2 2
Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 1 z 1 9 và điểm
M a;b;c S sao cho biểu thức P a 2b 2c đạt giái trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T a b c bằng A. T 1 . B. T 2 . C. T 1 . D. T 2. Lời giải Chọn A
Ta có P a 2b 2c P 6 a 2 2b 1 2c 1 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có P 2 a
b c 2
a 2 b 2 c 2 2 2 2 6 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 P 2
6 81 9 P 6 9 3 P 15. Từ đó a 2 b 1 c 1 9 a 2 9 a 1 P 3 1 2 2 b 1 min a 2 b 1 c 1
a 2 2 b 1 2 c 1 9 1 2 2 c 1
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi M 1; 1 ; 1 T a b c 1 .
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1;1; 1 , B 4; 3 ;1 và
C 1;1; 2 . Đường phân giác trong của góc A có phương trình là: x 1 3t x 4 3 t x 1 3t x 4 3t A. y 1 4t . B. y 3 4t . C. y 1 4t . D. y 3 4t . z 1 5t z 6 5t z 1 5t z 6 5t Lời giải Chọn B
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ C D A B' B AB 3; 4 ;
0 , AC 0;0;1 , AB AB 5, AC AC 1.
Nhận xét: AB AC 0 ⇒ AB AC ⇒ A BC vuông tại A. 1 1 3 4
Trên cạnh AB lấy B sao cho AB 1 ⇒ AB AB 3; 4 ;0 ; ;0 . 5 5 5 5
Đường phân giác trong của góc A là AD có một vectơ chỉ phương là: 3 4 1 AD AC AB ; ;1
3;4; 5 3;4; 5 . 5 5 5 x 1 3t
Vậy phương trình đường phân giác của góc
A là: AD : y 1 4t . z 1 5t x 4 3t Cho t 1 E 4; 3
;6 AD AD: y 3 4t . z 6 5t
Câu 29. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên , phương trình f x 0 có 4 nghiệm thực và đồ thị hàm số 2
f x như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x . y 2 4 O x 1 A. 3. B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có: y x f 2 2 . x 2 x 0 x 0 2 x 0 x 0 y 0 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 x 4 x 2 x 2 2 x 4 Do f 2 x 0 x 2 2 0 x 1 1 x 1
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
A 1; 2;1 B 5; 0; 1 C 3;1; 2
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , , và mặt phẳng
Q :3x y z 3 0 M ; a ; b c Q . Gọi là điểm thuộc thỏa mãn 2 2 2 MA MB 2MC nhỏ
nhất. Tính tổng a b 5c . A. 14. B. 11. C. 9 . D. 15 . Lời giải Chọn C
Gọi E là điểm thỏa mãn EA EB 2EC 0 E 3;0; 1 . 2 2 2 Ta có: 2 2 2
S MA MB 2MC MA MB 2MC
ME EA2 ME EB2 ME EC 2 2 2 2 2 2
4ME EA EB 2EC . Vì 2 2 2
EA EB 2EC không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi ME nhỏ nhất.
M là hình chiếu vuông góc của E lên Q . x 3 3t
Phương trình đường thẳng ME : y t . z 1 t x 3 3t x 0 y t y 1
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: . z 1 t z 2 3 x y z 3 0 t 1
M 0;1;2 a 0, b 1, c 2.
a b 5c 0 1 5.2 9 .
Câu 31. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu của f x như hình vẽ.
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x m có đúng 3cực trị. A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B
Ta có bảng xét dấu của hàm số y f x m :
Hàm số y f x m có đúng 3cực trị khi và chỉ khi hàm số y f x m có đúng 1 cực trị m 4 0 dương 4 m 2. m 2 0
Vì m nguyên nên m ; 3 2 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Vậy có 2 giá trị m cần tìm. Câu 32. Tìm 4 2 2
m để phương trình: x m 3 x m 3 0 có đúng 3 nghiệm: A. m . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . Lời giải Chọn B Đặt 2 2 2
t x ,t 0 , phương trình trở thành t m 3t m 3 0 (*)
Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi phương trình (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. Khi 2
t 0 x 0 m 3 0 m 3 . m 3 phương trình 4
x 0 x 0 (không thỏa). x 0
m 3 phương trình 4 2 2 x 2 3x 0 x 2 x 2 3 0 (thỏa). x 2 3
Vậy m 3 thỏa yêu cầu.
Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục trên \0; 1 thoả mãn: 2 x 2 x 1 2
x x 1 f x x x 2 f x ,x 0; 1 và f 4 3 ln 3 . x 9 Biết f 2 a bln 2 , a b . Giá trị 2 a 9b bằng. A. 4. B. 7. C. 2. D. 8. Lời giải Xét x 1ta có: 2 x 2 x 1 2
x x 1 f x x x 2 f x . x x 2 x 2 x 1 f x f x x x 3 1 x 2 2 x 2 f x x x 2x 1 x f x x x . 3 1 x 1 x x 1 2 2 x f x x 2x x 2 2 f x x 1 x 1 x 2 x f x x 2 x1 x 2 x f x x 2 dx x 1 x 2 x
f x x 2ln x C x 1 Mà f 9 3 ln 3 nên ta có 9 9
. ln 3 3 2 ln 3 C C 3 . 4 2 4 x 2ln x 3 x 1 1 1 Suy ra f x f 2 2
ln2 a 9b 2. 2 x 4 2
Câu 34. Một hộp đựng 3 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đen.
Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên được chọn không nhiều hơn 3
màu và luôn có bi màu xanh? 2085 2058 2295 2259 A. . B. . C. . D. . 5985 5985 5985 5985
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Lời giải Chọn C
Tổng số bi là: 3 5 6 7 21 (viên).
Tổng số bi không tính màu xanh là: 5 6 7 18 (viên).
Chọn ngẫu nhiên 4 viên có: 4 C 5985 (cách). 21
Số cách chọn 4 viên có đủ 4 màu là: 3.5.6.7 630 (cách).
Số cách chọn 4 viên không có viên bi màu xanh là: 4 C 3060 (cách). 18
Số cách chọn để 4 viên được chọn không nhiều hơn 3 màu và luôn có bi màu xanh là:
5985 630 3060 2295. 2295
Vậy xác suất cần tìm là: . 5985
Câu 35. Cho hình lăng trụ AB . CD A B C D
có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác A A D , A CD , A CB
, ABA . Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt đáy ABCD. Biết thể tích khối chóp .
O MNPQ bằng V . Tính theo V thể tích khối lăng trụ AB . CD ABC D . 27 81 81 27 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 4 2 4 Lời giải Chọn C
Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , DC ,CB, BA . 2 2 1 2 Ta có S S . MNPQ . MNP Q . .S ABCD .S 3 9 2 9 ABCD 1 2
Đường cao của khối chóp . O MNPQ là: h . . h V V O MNPQ A. 3 ABCD . 27 A ABCD 1 Ta lại có V V . A .ABCD ABCDA 'B 'C 'D ' 3 2 81 Suy ra V V V V . ABCD .A B C D ABCD . 81 A B C D 2 B. ĐIỀN KHUYẾT (15 CÂU)
Câu 36. Tiếp tuyến với đồ thị 3 2
y x x 1 tại điểm có hoành độ x 1 có phương trình là: 0 Đáp án: ………….. Lời giải.
Tọa độ tiếp điểm: x 1 y 1. Tiếp điểm M 1; 1 . 0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến: 2
y 3x 2x y 1 1.
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 có phương trình: y x 1 1 . 0 y x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ Câu 37. Cho hàm số 2
y f x có đạo hàm f x x x
1 2x 3 . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? Đáp án: ………….. Lời giải
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm đơn của f x 0 x 0
x x 122x 3 0 x 1 3 x 2 3
x 1là nghiệm kép, x 0, x là nghiệm đơn. 2
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A1; 2; 1 , B 0; 3; 4 , C 2; 1;
1 . Độ dài đường cao từ A đến BC bằng: Đáp án: ………….. Lời giải BC 2; 2 ; 5 ,BA 1; 1 ; 5 . BC, BA 50 AH . BC 33
Câu 39. Lớp 10A4 cử đại diện 3 học sinh, 11A5 cử đại diện 4 học sinh, 12A6 cử đại diện 5 học sinh đi đại
hội (ngồi bàn tròn). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh vào bàn sao cho các thành viên của
mỗi lớp ngồi cạnh nhau ? Đáp án: ………….. Lời giải
Ghép 3 học sinh lớp 10A4 thành một nhóm.
Ghép 4 học sinh lớp 11A5 thành một nhóm.
Ghép 5 học sinh lớp 12A6 thành một nhóm.
Xếp 3 nhóm quanh bàn tròn có 2! cách, hoán vị 3 học sinh lớp 10A4 có 3!cách, hoán vị 4 học
sinh lớp 11A5 có 4!cách, hoán vị 5 học sinh lớp 12A6 có 5!cách. Theo quy tắc nhân có 2.3!4!5!
cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 40. Cho hàm số f (x) 5 f x liên tục trên thỏa mãn lim
2 . Tìm m để hàm số x 1 x 1 2 2 f (x) 7 f (x) 1 5 g x khi x 1 x 1 liên tục tạix 1 ? mx 2 khi x 1 Đáp án: ………….. Lời giải. f (x) 5 Vì lim
2 lim[ f (x) 5] 0 lim f (x) 5 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có: +) g 1 m 2 2 2 f ( ) x 7 f( ) x 1 5 [2 f( ) x 3][ f( ) x 5] +) lim g x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f ( ) x 5 lim lim[2 f ( )
x 3] 2(2.5 3) 26 x 1 x1 x 1
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Hàm số g x liên tục tại x 1 khi: lim g x g 1 x 1
m 2 26 m 24 a 0
Câu 41. Cho a , b, c là 3 số thực thỏa mãn . Gọi 4 1 x , 2
x lần lượt là hoành độ giao điểm a 9b 24c 0 của parabol P 2
: y 2ax 3bx 4c với trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . 1 x x2 Đáp án: ………….. Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của P với trục hoành là 2 2 ax 3bx 4 c 0 (1).
P cắt trục hoành tại hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, tức là ta có 2 9b 32ac 0
Khi đó hoành độ giao điểm
với trục hoành là nghiệm của (1), suy ra 1 x , 2 x của P 2 9b 32ac T x (2) 1 x 2 2 2 a 4a Theo bài ra ta có 1 9
4a 9b 24c 0 c a b (3). 6 24 2 2 Thay (3) vào (2) ta có 9 b b 4 3b 1 1 T 3 1 , 2 4 a a 3 2a 3 3 3b 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 0 a b 12c . 2a 2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng . 3 1 1
Câu 42. Tìm tất cả tham số thực của m để hàm số y m 2 3 2 x x
mx 2 có cực đại, cực tiểu. 3 3 Đáp án: ………….. Lời giải y m 2 1 2 x 2x m . 3
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 0 2 1 m m 0 3 m 1 3 3 3 m 2 hoặc 2 m 1. m 2 0 m 2 m 2
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị f x như hình vẽ
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Đặt S f 0 f 6 f a f a 2 . Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên? Đáp án: ………….. Lời giải a 6
Ta có: S f xdx f xdx S . 1 S 2 S 3 S4 0 a 2
(m 0)4 a m2 n a 24 6 n2 Do đó: S
3 n m a 10 . 2 2 2 2 0 m a Do nên 2 n m 6 a 2 n 6 Suy ra: 4
a 3n m a 10 8 a
Vậy S có tối đa 11 giá trị nguyên.
Câu 44. Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thuộc đoạn 3 ;3 của phương trình f cos x 1 là Đáp án: ………….. Lời giải
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Ta có 0 cos x 1. Khi đó từ bảng biến thiên ta được f cos x f x 1 cos x 0 cos 1 f cos x 1 cos x a 0 a 1
Vẽ đồ thị hàm số g x cos x ; x 3 ; 3 . Từ đồ thị ta có
Phương trình cos x 0 có 6 nghiệm.
Phương trình cos x a (0 a 1) có 12 nghiệm.
Vậy ta có tổng cộng 18 nghiệm.
Câu 45. Cho z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5 , đồng thời z z 8 . 1 2 1 2
Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z
trong mặt phẳng tọa độ 1 z 2 Oxy là đường tròn có
phương trình nào dưới đây? Đáp án: ………….. Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z , z , w. Khi đó 1 2 A , B thuộc đường tròn
C x 2 y 2 : 5
3 25 và AB z z 8. 1 2
C có tâm I 5;3 và bán kính R 5, gọi T là trung điểm của $AB$ khi đó T là trung điểm của $OM$ và 2 2 IT IA TA 3 .
Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra J 10;6 và $IT$ là đường trung bình của tam giác
OJM , do đó JM 2 IT 6 . Vậy 2 2
M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình x 1 0 y 6 36 .
Câu 46. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . Đáp án: ………….. Lời giải S K x H A D I C B
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó SI ABCD . AD AB Ta có
AD SAB mà AD SAD suy ra SAD SAB . AD SI
Dựng BH SA tại H suy ra SH SAD .
Trong mặt phẳng SAD kẻ Hx / / AD. Trong mặt phẳng BC, Hx qua C kẻ đường thẳng song
song với BH cắt Hx tại K thì CK SAD . Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
mặt phẳng SAD nên góc giữa đường thẳng là góc
SC và mặt phẳng SAD CSK . Ta có a 3 2 2 3a 5a BH CK . Trong tam giác SCI có 2 2 SC SI IC a 2 . 2 4 4 a 3 CK 6 Suy ra 2 sin CSK SC a 2 4 x 1 y 2 z 3
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và điểm 2 2 1 A 1
; 2; 0 . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng bằng: Đáp án: ………….. Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , ta có H 1 2t; 2 2t; 3 t , t .
AH 2 2t; 2t; 3 t
Một vectơ chỉ phương của là u 2; 2; 1.
AH.u 0 4 4t 4t 3 t 7 0 t . 9 4 14 20 16 196 400 2 17 AH ; ; AH . 9 9 9 81 81 81 3 Vậy d A 2 17 ; . 3 Câu 48. Cho ba số thực a , b , 1 c ;1
. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức. 4 min 1 1 1 P log b log c log a . a 4 b 4 c 4 Đáp án: ………….. Lời giải 2 1 1 1 Vợi mọi 1 2 2 x ;1
ta có x x x 0 x x . 4 4 2 4
Lấy logarit 2 vế, ta được 2 1 log x log x (với t 0;1 (*). t t 4 1
Áp dụng BĐT (*) ta được: 2 log b log b 2 log b . a 4 a a 1 2 log c c c . b logb 2log 4 b 1 2 log a log a 2 log a . c 4 c c
Suy ra P 2 log b log c log a 3 2.3 log . b log . c log a 6 P . a b c a b c min
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có ABC 60, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M , N lần lượt là trung điểm các cạnh A , B S , A SD
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
và G là trọng tâm tam giác SBC. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (HMN) biết khối chóp 3 a S.ABCD có thể tích V 4 Đáp án: ………….. Lời giải S N M J A D G K H I O P B C
Gọi x là cạnh hình thoi, ta có: x 3 AC , x BD x 3, SH 2 3 3 1 1 . . . x a V AC BD SH x a 3 2 4 4
Dựng MK / /SH , KI HO, KJ MI KJ HMN .
Chứng minh được SB C / /
d G; d S; d ;
A 2d K; 2KJ . 1 a 3 a 3 SH a 3 Tính được KI . , MK . 4 2 8 2 4 K . I KM a 15 Suy ra KJ . 2 2 20 KI KM Vậyd G a 15 a 15 ; 2KJ 2. . 20 10
Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật AB . CD A B C D có A D 2 , A B
x, (x 0) . Góc giữa đường thẳng
AC và mặt phẳng ABB A
bằng 60. Tính giá trị lớn nhất m V
của thể tích khối hộp chữ nhật ax ABCD.A B C D . Đáp án: ………….. Lời giải
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489
TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Ta có AC, ABB A
AC,AB B AC 60.
Xét tam giác ABC vuông tại B có 2
AB B C.cot 60 . 3
Xét tam giác ABB vuông tại B có 2 2 4 2 BB AB AB x . 3
Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D là 4 2 2 4 x x 3 4 2 V AA .A D .BB 2x x 2. 3 2 3
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật 4 ABCD.A B C D là m V . ax 3
• XEM THÊM ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TẠI:
• https://www.nbv.edu.vn/2022/01/de-cuong-danh-gia-nang-luc-dhqg-ha-noi.html
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương
https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/
Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27