Ôn thi HSG Toán 6 chủ đề: Đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa

Ôn thi HSG Toán 6 chủ đề: Đánh giá để tìm thành phần chưa biết của lũy thừa. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 17 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Trang 1
ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VI S MŨ TỰ NHIÊN
CH ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIT CA
LŨY THỪA
PHN I. TÓM TT LÝ THUYT
1. KHÁI NIM:
Lu tha vi s mũ tự nhiên:
. ...=
n
a aa a
(
n
tha s
a
vi
0;a n N
).
2. QUI ƯỚC:
0
1 ( 0)=aa
1
aa=
2
a
: Bình phương của
a
3
a
: Lập phương của
a
3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA:
+ Nhân hai lu thưa cùng cơ số:
.
m n m n
a a a
+
=
+ Chia hai lu thừa cùng cơ số:
: ( 0; )
m n m n
a a a a m n
=
+ Lu tha ca một thương:
( : ) : ( 0)
n n n
a b a b b=
+ Lu tha ca lu tha:
.
()
m n m n
aa=
+ Lu tha tng:
()
nn
mm
aa=
+ Lu tha vi s mũ âm:
1
( 0)
n
n
aa
a
=
PHN II. CÁC DNG I
I. Phương pháp giải
Ni dung bài toán: Tìm
x
để
( )
VT x VP=
, ta đi đánh giá như sau
+ Nếu
( )
0
x x VT x VP
+ Nếu
( )
0
x x VT x VP
+ Nếu
( )
0
x x VT x VP= =
Kết lun:
0
xx=
là giá tr cn m.
II. Bài toán
Bài 1: Tìm các s nguyên n tha mãn
64 48 72
35n
Phân tích: s cần m đóng vai trò cơ số, phn s đã biết ta cn phân tích v lũy thừa cùng s
đểth so sánh được phần cơ số vi nhau.
Ta có: Hai lũy thừa đầu s
64,48
cùng chia hết cho
16
. Hai lũy thừa sau s
48,72
cùng
chia hết cho
24
Li gii
Trang 2
Vi
nZ
, ta có:
64 48
3 n
( ) ( )
16 16
34
3n
( )
16
3 16
81n
3
81 4 nn
( )
1
Mt khác, vi
nZ
, ta có:
48 72
5n
( ) ( )
24 24
23
5n
( )
24
2 24
125n
( )
2
125 11 11 n n n Z
( )
2
T (1); (2)
4 11 n
,
nZ
5;6;7;8;9;10;11n
Vy
n
nhn các giá tr nguyên là:
5;6;7;8;9;10;11
Bài 2: Tìm s nguyên dương
n
biết rng:
a)
64 2 512
n

b)
243 3 9
n

Phân ch: s cần tìm đóng vai trò số mũ trong lũy thừa, phần cơ số đã biết ta cn phân tích v lũy thừa có
cùng cơ số để có th so sánh được phn s mũ với nhau.
Li gii
a) Ta có:
64 2 512
n
68
2 2 2
n
68 n
7n Z n
+
=
b) Ta có:
243 3 9
n
52
3 3 3
n
52 n
2;3;4n Z n
+
Bài 3: Tìm s t nhiên n, biết rng:
a)
32 2 512
n

b)
18 12 8
3 20n
Phân ch: Nhận xét tương tự bài 1 và bài 2.
Câu a phân tích đưa về lũy thừa có cùng cơ số để so sánh s .
Câu b phân tích đưa v lũy thừa có cùng s mũ đ so sánh cơ số.
Li gii
Trang 3
a) Vi
,nN
ta có:
5
32 2 2 2 5
nn
n
( )
1
9
2 512 2 2 9
nn
n
( )
2
T
( )
1
( )
2
59n
,
6;7;8 nn
Vy
6;7;8n
b) Vi
nN
, ta :
( ) ( )
66
18 12 3 2 3 2 2
3 3 3 27n n n n
22
5 27 6 ,
nên
22
66nn
(1)
Vi
nN
, ta có:
( ) ( )
44
12 8 3 2 3 2 3
20 20 20 400n n n n
33
7 400 8 ,
nên
33
77nn
(2)
T
(1)
(2)
, suy ra
67n
,
nN
6;7n
Bài 4: Tìm s t nhiên
0x
tha mãn
a)
1
4 4 5
xx
+=
b)
21
3 3 2268
xx
+=
Phân tích: Các lũy thừa cùng số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa về cùng số để nhóm, rút
gọn đơn giản phép nh. D dàng thc hin được câu a. Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm
x
.
Câu b làm theo cách 1 thì s gp phi vấn đề xut hiện bình phương trong phép tính khó thu gn câu 4.
ng dn cách nhm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 câu a.
Li gii
a)
1
4 4 5
xx
+=
Cách 1.
1
4 4 5
+=
xx
4 :4 4 5 + =
xx
1
4 . 4 5
4
+ =
xx
5
4 . 5
4
=
x
44=
x
1=x
Vy
1x =
là giá tr cn m.
Cách 2.
Theo đề,
x
s t nhiên
0x
1x
+ TH1:
1x
Ta có:
1x
10 x
Trang 4
1 1 1
1
44
4 4 4
−−
=
x
x
10
44
44
x
x
1
41
44
x
x
1
4 4 5
+
xx
1x
không tha mãn
+ TH2:
1 0 1
1 4 4 4 4 5
= + = + = =
xx
x VP
(tha mãn)
Vy
1x =
là giá tr cn m.
b)
21
3 3 2268
xx
+=
Ta có:
+ Nếu
4 2.4 1
4 3 3 2268
= + = =x VT VP
(tha mãn)
+ Nếu
2 1 4 7
4 3 3 3 3 2268
xx
x
+ + =
(không tha mãn)
+ Nếu
21
4 3 3 226
xx
x VP
+ =
(không tha mãn)
Vy
4x =
là giá tr cn m.
Bài 5: Tìm s t nhiên
0x
tha mãn
a)
2 5 7 14
x x x
+ + =
b)
2 20
x
x+=
c)
2 46 3
x
x=−
Phân ch: Câu a các lũy thừa không cùng số nên không thu gn biến đôi được biu thc vế trái. Nhn
thy tổng các số
2 5 7 14+ + =
nên
1=x
mt giá tr thỏa mãn. Đánh giá với các giá tr
1x
(vì
0x
theo đề bài nên loi)
1x
Câu b c s cn tìm xut hin s trong lũy thừa c biu thc, ta thay các giá tr
x
lần t t
1,2,3,4,...
và nhn xét kết quả. Sau đó dựa vào kết qu nhận được để chia các trường hợp đánh giá.
Li gii
a)
2 5 7 14
x x x
+ + =
Ta có:
+ Nếu
0x =
thì
0 0 0
2 5 7 3 14+ + =
0=x
(loi)
+ Nếu
1x =
thì
1 1 1
2 5 7 14+ + =
1=x
(tha mãn)
+ Nếu
1x
thì
1 1 1
2 5 7 2 5 7 14+ + + + =
x x x
(loi)
Vy
1x =
là giá tr cn m.
b)
2 20
x
x+=
Trang 5
Ta có:
+ Nếu
4x =
thì
4
2 4 20+=
(tha mãn)
+ Nếu
4x
thì
4
2 2 4 20
x
x+ + =
(loi)
+ Nếu
04x
thì
4
2 2 4 20
x
x+ + =
(loi)
Vy
4x =
là giá tr cn m.
c)
2 46 3
x
x=−
Ta có:
2 46 3 2 3 46
xx
xx= + =
+ TH1:
5
5 2 2 21 =
x
x
mà
3 3.5 15=x
2 3 47 46 +
x
x
5x
(không tha mãn)
+ TH2:
4
0 4 2 2 16; =
x
x
3 3.4 12=x
2 3 28 46 +
x
x
(loi)
Vy không tn ti giá tr ca
x
tha mãn yêu cầu đề bài
Bài 6: Tìm s t nhiên
,x
biết
12
3 3 2 388
x x x++
+ + =
(1)
Phân tích: Các lũy thừa số khác nhau, không thc hiện được các phép biến đổi biu thc, ta thay
các giá tr
x
lần lượt t
1,2,3,4,...
nhn xét kết quả. Sau đó dựa vào kết qu nhn được để chia các
trường hợp đánh giá.
Li gii
+ TH1:
04x
1 2 4 4 1 4 2
3 3 2 3 3 2
+ + + +
+ + + +
x x x
12
3 3 2 388
++
+ +
x x x
(1) (1)VT VP
04x
không tha mãn
+ TH2:
4x
1 2 4 4 1 4 2
3 3 2 3 3 2
+ + + +
+ + + +
x x x
12
3 3 2 388
++
+ +
x x x
(1) (1)VT VP
4x
không tha mãn
+ TH3:
4=x
1 2 4 4 1 4 2
3 3 2 3 3 2
+ + + +
+ + = + +
x x x
12
3 3 2 388
++
+ + =
x x x
Trang 6
(1) (1)=VT VP
4=x
tha mãn
Vy
4x =
là giá tr cn m.
Bài 7: Tìm
, , ,x y z N
biết
x y z
2 3 5 156
xyz
+ + =
( )
1
Phân tích: Các lũy thừa số khác nhau, không thc hiện được các phép biến đổi biu thc, ta nhn
thy
2 3 5 156+ + =
xyz
5 156
z
3z
0;1;2;3z
. Chia các trường hp ca
x
để tìm
,xy
.
Li gii
Cách 1:
Ta có:
2 3 5 156+ + =
xyz
5 156
z
3z
0;1;2;3z
.
x y z
nên ta xét trường hp sau:
TH1:
0=z
00 = = =x y hay x y z
, thay vào (1) ta được:
( )
0 0 0
1 2 3 5 3 156= + + = VT
(loi)
TH2:
1=z
1 xy
, thay vào (1) ta được:
( )
1 156VT
(loi)
TH3:
2 2,= z x y
thay vào (1) ta được:
( )
2 2 2
1 2 3 5 156VT + +
(loi)
TH4:
3 3,z x y=
thay vào (1) ta được
2 3 125 156 2 3 31+ + = + =
x y x y
(2)
Ta có
3 31
y
3y
+ Nếu
3,y =
thay vào (2) ta được
2 4 2
x
x= =
(tha mãn)
+ Nếu
0,1,2y
thay vào (2) ta không tìm được giá tr ca x tha mãn.
Vy
2; 3; 3= = =x y z
Cách 2:
Ta có:
5 156 3
z
z
+ Nếu
2=z
2, xy
thay vào (1) ta được:
( )
2 2 2
1 2 3 5 156VT + +
loại trưng hp
2=z
+ Nếu
3=z
3 xy
, thay vào (1) ta được:
3
2 3 5 156+ + =
xy
2 3 31 + =
xy
( )
*
+ Nếu
22
2 2 2 3 2 3 13 31
xy
yx + + =
(loi)
3
3 2 3 31 2 4 2. = + = = =
xx
yx
Vy
( ) ( )
; ; 2;3;4x y z =
Bài 8: Tìm
, , ,x y z N
tha mãn
2
2 2 1
2 3 5 40
x y z++
+ + =
2 3 5 156
xyz
+ + =
Trang 7
Phân tích: Các lũy thừa số khác nhau, không thc hiện được các phép biến đổi biu thc, ta thy
22
2 2 5
2 32 2 2
++
xx
2
25 + x
2
3x
0
1
=
=
x
x
Chia các trường hp ca
x
để tìm
,yz
Li gii
Vi
,,x y z N
,
2
2 2 1
2 3 5 40
x y z++
+ + =
(1)
, nên ta có:
22
2 2 5
2 32 2 2
++
xx
2
25 + x
2
3x
0
1
=
=
x
x
TH1:
0=x
Vi
0=x
, t
( )
1
ta có
2 2 1
2 3 5 40
+
+ + =
yz
( )
21
3 5 36 2
+
+ =
yz
Ta có vế trái ca (2) không chia hết cho 3 và vế phi ca (2) chia hết cho 3 nên
0=x
loi
TH2:
1=x
Vi
1=x
, t
( )
1
ta có
3 2 1
:2 3 5 40
+
+ + =
yz
21
3 5 32
+
+ =
yz
(3)
Ta có
21
3 32 2 1 3 1
y
yy
+
+
+ Nếu
1=y
thay vào
( )
3
ta được
27 5 32 1+ = =
z
z
(tha mãn)
+ Nếu
0=y
thay vào
( )
3
ta được
3 5 32 5 29+ = =
zz
(loi)
Vy
1x y z= = =
Bài 9*: Tìm
, , ,x y z N
tha mãn
10
2 2 2 2
x y z
+ + =
Phân ch: Các lũy thừa cơ số ging nhau, vai tca x, y, z s như nhau nên không mt nh tng
quát, ta gi s
x y z
t đó đánh giá được
8x
. Tiếp tục để đánh giá lần lượt được
y
z
ta biến đổi
phân tích đặt
2
x
ra ngoài làm tha s chung đ đánh giá được
yx
zx
.
Nhn xét nếu
0−yx
n ta có được
=yx
, thay vào biu thc nhận xét và tìm được giá tr ca
z
T đó m được
x
y
Li gii
,,x y z
vai trò như nhau nên không mất tính tng quát, ta gi s
x y z
Ta có:
10
2 1024=
x y z
2 2 2 3.2 + +
x y z x
10
3.2 2 8
x
x
Trang 8
Li có:
10
2 2 2 2+ + =
x y z
( )
10
2 1 2 2 2
−−
+ + =
x y x z x
10
1 2 2 2 :2
−−
+ + =
y x z x x
10
1 2 2 2
+ + =
y x z x x
8x
10 10 8
1 2 2 2 2
+ + =
y x z x x
( )
10
1 2 2 2 4 *
+ + =
y x z x x
+ Nếu
yx
0 yx
1; 1 y x z x
Ta có VT(*) là s l và VP(*) là s chn
loi trưng hp
yx
,
do vy
yx=
, thay vào (*) ta được:
( ) ( )
0 10 10 8
* 1 2 2 2 2 **
z x x
+ + =
+ Nếu
0 (**) 3z x VT = =
còn
(**)VP
là s chn nên loi
1 zx
Do đó
10
(**) 2 2 2
−−
+ =
z x x
19
1 2 2 (***)
+ =
z x x
+ Nếu
1 1 (***)z x VT
là s l
(***)VP
là s chn
loi
10zx =
T (***)
9
22
=
x
8=x
8; 9 = =yz
Vy
8; 8; 9= = =x y z
Bài 10: Tìm các s nguyên dương
x
sao cho
3 4 5
x x x
+=
Phân tích: Các lũy thừa số khác nhau, không thc hiện được các phép biến đổi biu thc, ta thay
các giá tr
x
lần t t
1,2,3,4,...
nhn xét kết qu. Sau đó dựa vào kết qu nhận đưc đánh giá. Đ d
dàng đánh giá thì ta biến đổi mt vế không cha
x
bng cách chia c hai vế cho
5
x
.
Li gii
Ta có
34
3 4 5 1
55
xx
x x x
+ = + =
+ Vi
1x =
, ta có:
11
3 4 7
1
5 5 5
+ =
1=x
không tha mãn;
+ Vi
2x =
, ta có:
22
3 4 9 16 25
1
5 5 25 25 25
+ = + = =
2=x
tha mãn;
+ Vi
2x
, mà các cơ số
3
5
<
4
5
<1
Trang 9
2
2
33
55
44
55

x
x
22
3 4 3 4
1
5 5 5 5
+ +
xx
2x
không tha mãn;
Vy
2x =
là giá tr cn m.
Bài 11: Tìm các s nguyên dương x, y sao cho
3
5 3 317
y
x =+
Phân tích: Các lũy thừa số, s khác nhau đều cha s cn tìm, không thc hiện được các phép
biến đổi biu thc, ta thay các giá tr
,xy
lần lượt t
1,2,3,4,...
nhn xét kết qu. Sau đó dựa vào kết
qu nhận được đánh giá.
Li gii
+ Nếu
3
0 5 1yx= =
không có giá tr nguyên nào ca
x
tha mãn
+ Nếu
14yx= =
(tha mãn)
+ Nếu
2y
thì
3
y
chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2
3
5 3 317
y
x =+
nên
3
5x
chia 9 dư 2
Điu này mu thun vì
3
5x
chia 9 dư 0 hoặc 4
Vy
4; 1xy==
tha mãn bài toán
Bài 12: Tìm
xN
, biết
a)
4
16 128
x
b)
x x 1 x 2 18
18 chuso0
5 .5 .5 100.............0:2
++
Phân ch:
Câu a các lũy thừa số khác nhau, nhưng đều đưa được v lũy thừa số
2
. Dùng công thức lũy
thừa đưa về cùng cơ số để so sánh.
Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa s sau đó so sánh để tìm ra
giá tr ca
x
.
Li gii
a) Theo đ, ta có:
4
16 128
x
( ) ( )
4
47
22
x
4 28
22
x
4 28x
7x
Trang 10
xN
0;1;2;3;4;5;6x
b) Ta có:
x x 1 x 2 18
18 chu so 0
5 .5 .5 100.............0:2
++
3 3 18 18
5 10 2
+

x
:
3 3 18
55
+

x
3 3 18 + x
5x
xN
0 1 2 3 4 5x , , , , ,
Bài 13: Tìm các s nguyên dương
m
n
sao cho:
2 2 256
mn
−=
Phân ch: Các lũy thừa có cùng cơ số
2
, nhn thy
256 0
nên
mn
.
Đặt
2
n
ra ngoài làm tha s chung chia các trường hợp để nhận xét tính được
,mn
.
Li gii
Ta có:
( )
88
2 2 256 2 2 2 1 2
m n n m n
= = =
( )
1
D thy
m n,
ta xét 2 trường hp:
+ TH1:
1mn−=
, t
( )
1
ta có:
( )
1 8 8
2 2 1 2 2 2 8 = = =
nn
n
Do
1mn−=
9=m
89 = =n ;m
+ TH2:
2 2 1
mn
mn
là mt s l lớn hơn
1
nên vế trái ca
( )
1
cha tha s nguyên t l khi
phân tích ra tha s nguyên t. Còn vế phi ca
( )
1
ch cha tha s nguyên t
2
mâu thun.
Vy
98m ;n==
.
Bài 14: Tìm các s t nhiên
x
, biết :
2 1 6
100 5 5

x
Phân ch: Các lũy thừa ca
2 1 6
55
x
có cùngsố
5
, d dàng m được
27x
.
Không biến đổi được
100
v cơ số
5
5, ta so sánh được
2
5 100
.
Theo tính cht bc cu ta có:
2 2 1
5 100 5
+

x
T đó m được các s t nhiên
x
Li gii
Ta có:
2 1 6
100 5 5

x
2 2 1 6
5 100 5 5
x
2 2 1 6 x
3 2 7 x
Trang 11
x
là các s t nhiên
23x;
Bài 15: Tìm s t nhiên
a,b
sao cho:
( )
3
a b aba+=
Phân ch:
aba
là s t nhiên có 3 ch s nên
100 aba 999
( )
3
100 a b 999 +
5 a b 9 +
T đó ta có bẳng giá tr chia cá trưng hợp và tìm được s t nhiên a,b.
Li gii
aba
là s t nhiên có ba ch s nên
100 aba 999
( )
3
100 a b 999 +
5 a b 9 +
Ta có bng:
ab+
5
6
7
8
9
( )
3
aba a b=+
125
216
343
512
729
a
/
/
3
/
/
b
/
/
4
/
/
Vy
a 3;b 4==
.
Bài 16: Tìm s t nhiên
x,y
sao cho:
xy
5 11 26+=
Phân ch: Các lũy thừa số, s khác nhau, không thc hiện được các phép biến đi biu thc, ta
thay các giá tr
x,y
lần lượt t
1,2,3,4,...
nhn xét kết quả. Sau đó da vào kết qu nhận được để chia
các trưng hợp đánh giá.
Li gii
+ Vi
y0=
, ta có:
x0
5 11 26+=
x
5 1 26 + =
x
5 25=
x2
55=
x2=
(tha mãn)
+ Vi
y1=
, ta có:
x1
5 11 26+=
x
5 26 11 15 = =
Vì x là s t nhiên nên không có giá tr ca x tha mãn
x
5 15=
y1=
không tha mãn
+ Vi
y2
, ta có:
2
11 121 26=
, nên không có giá tr tha
xy
5 11 26+=
khi
y2
.
Trang 12
Vy
x 2;y 0==
.
Bài 17: Tìm
x,y
sao cho:
xy
2 624 5+=
Phân ch: Các lũy thừa số, s khác nhau, không thc hiện được các phép biến đi biu thc, ta
thay các giá tr x, y lần lượt t 1,2,3,4… nhận xét kết qu. Sau đó da vào kết qu nhận được để chia
các trưng hợp đánh giá.
Li gii
+ Vi
x0=
thì
0y
2 624 5+=
y
5 625=
y4
55=
y4=
+ Vi
x1
, ta có
x
2 624+
là s chn,
y
5
s l vi mi
y
: vô
Vy
x 0;y 4==
Bài 18: Chng minh rng:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1
4 6 8 4
2
= + + + + M ...
n
Phân ch: Nhn thy mẫu đều là các s chn chia hết cho
2
,khi bình phương lên xuất hin
1
4
,ta biến đổi
đặt được
1
4
ra ngoài làm tha s chung. Để
1
M
4
thì biu thc còn li so sánh
1
.
Bng nh cht ca phân s, ta so sánh biu thc còn li vi
1
chứng minh được
1
M
4
Li gii
Ta có:
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
4 6 8
2
= + + + +M ...
n
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 3 2 4 2
= + + + +...
. . . .n
2 2 2 2
1 1 1 1
4 2 4 3 4 4 4
= + + + +...
. . . .n
2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 2 3 4

= + + + +


. ...
n
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;
2 1.2 3 2.3 4 3.4 n (n 1).n
Suy ra
1 1 1 1 1
M ...
4 1.2 2.3 3.4 (n 1).n

+ + + +


1 1 1 1 1 1 1 1 1
M ...
4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n

+ + + +


1 1 1
M1
4 n 4



Trang 13
Vy
1
M
4
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm các s t nhiên
x,y
, sao cho
xy
7 12 50+=
(Trích đề thi Olympic lp 6 huyện Thanh Oai năm học 2017 2018)
Li gii
+ Vi
y0=
, ta có:
x0
7 12 50+=
x
7 1 50 + =
x
7 49=
x2
77=
x2=
(tha mãn)
+ Vi
y1=
, ta có:
x1
7 12 50+=
x
7 50 12 28 = =
Vì x là s t nhiên nên không có giá tr ca x tha mãn
x
7 38=
y1=
không tha mãn
+ Vi
y2
, ta có:
2
12 144 56=
,
VT VP
nên không giá tr tha
xy
7 12 50+=
khi
y2
.
Bài 2: Tìm
x,y
, sao cho
xy
2 624 5+=
(Trích đề thi HSG lp 6 trường THCS Nguyn Khuyến năm học 2016 2017)
Li gii
+ Vi
x0=
, ta có:
0y
2 624 5+=
y
5 625=
y4
55=
y4=
(tha mãn )
+ Vi mi
x
,
x0
, ta có: vế trái
x
2 624+
là s chn, vế phi
y
5
là s l
vô lí
Vy
x 0;y 4==
Bài 3: Tìm các s t nhiên
a,b
tha mãn
a
(100a 3b 1)(2 10a b) 225+ + + + =
(Trích đề thi HSG lp 6 huyn Thch Thành năm học 2018 2019)
Li gii
Ta có:
a
(100a 3b 1)(2 10a b) 225+ + + + =
(1)
225
là s l nên
a
(100a 3b 1)(2 10a b)+ + + +
là l
a
100a 3b 1
2 10a b
++
++
cùng là s l
(2)
+ Vi
a0=
, t
(1)
0
(100.0 3b 1)(2 10.0 b) 225 + + + + =
(3b 1)(b 1) 225 + + =
22
(3b 1)(b 1) 3 .5 + + =
(3)
Trang 14
3b 1+
chia 3 dư 1
3b 1 b 1+ +
nên
T
(3)
(3b 1)(b 1) 25.9 + + =
3b 1 25
b8
b 1 9
+=
=
+=
(tha mãn)
+ Vi
a , a 1
100a
chn, t
(2)
ta có
100a 3b 1++
là s l
3b 1+
là s l
b
là s chn
b
là s chn nên
a
2 10a b++
cũng số chn, trái vi (2)
vô lí vi gi thiết
b
Vy
a 0; b 8==
Bài 4: Tìm các s t nhiên
a,b
tha mãn
ab
2 124 5+=
(1)
(Trích đề thi HSG lp 6 huyn Nguyn Khuyến năm học 2018 2019)
Li gii
+ Vi
a0=
, t
(1)
suy ra
0b
2 124 5+=
b
5 125=
b3
55=
b3=
(tha mãn)
+ Vi
a1
, ta có vế trái
x
2 124+
luôn là s chn, mà vế phi
b
5
luôn là s l vi mi
a1
,
a,b N
,
điều này vô lí.
Vy
a 0;b 3==
Bài 5: Tìm
a,b
tha mãn
a2
10 168 b+=
(2)
(Trích đề thi HSG lp 6)
Li gii
+ Vi
a0=
, t
(2)
suy ra
02
10 168 b+=
2
b 169=
22
b 13=
a,b
b 13=
(tha mãn)
+ Vi
a1
, ta có
a
10
ch s tn cùng là 0
Vế trái
(2)
a
10 168+
ch s tn cùng là 8
Mà Vế phi
(2)
là s chính phương
2
b
nên không ch s tn cùng không th là 8
điều này vô lí.
Vy
a 0;b 13==
Trang 15
Bài 6: Tìm các s nguyên
x,y,z
sao cho:
( )
( ) ( )
2
22
2
2 3 0 + + + + =x y z y z
Phân ch:
Nhn thấy bình phương của mi s nguyên đều không âm nên ta có được
2
0
20
30
x y z
y
z
+ =
−=
+=
T đó m được các s nguyên x, y, z.
Li gii
Vi mi s nguyên
x,y,z
ta luôn có:
( )
( )
( )
2
2
2
2
0
20
30
+
−
+
x y z
y
z
Ta có:
( )
( ) ( )
2
22
2
2 3 0 + + + + =x y z y z
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
2
22
22
00
0
2 0 2 0 2 0
30
3 0 3 0

+ + =
+ =


= =
+=
+ + =


x y z x y z
x y z
y y y
z
zz
( )
2
2
2 3 0
07
2 2 2
3 3 3
+ =
+ = =
= = =
= = =
x
x y z x
y y y
z z z
Bài 7: Tìm các s nguyên
x
sao cho
2 2 2 2 2
1
2 3 4 5 4
x x x x x
+ + + =
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2008-2009)
Li gii
Vi mi giá tr ca
x
ta có:
2
0x
. Nên:
2
2
2
2
0
0
0
0
2 2 1
3 3 1
4 4 1
5 5 1
=
=
=
=
x
x
x
x
2 2 2 2
2 3 4 5 4 + + +
x x x x
2
1
44
x
nên để
VT VP=
thì
2
0x =
hay
0=x
Vy
0x =
là giá tr cn m.
Bài 8: Tìm các s nguyên dương
x
sao cho
6 2 32
xx
−=
(Trích đề thi HSG lp 6 THCS Nguyễn Du năm học 2007-2008)
Li gii
Trang 16
Ta có
11
32 2 6 32. 1
63
xx
xx
+ = + =
+ Vi
1x =
, ta có:
11
1 1 17
32 1
6 3 3
+ =
1=x
không tha mãn;
+ Vi
2x =
, ta có:
22
11
32. 1
63
+=
2=x
tha mãn;
+ Vi
2x
, mà các cơ số
1
6
<
1
3
<1
2
2
11
66
11
33

x
x
2
2
11
32. 32.
66
11
33
x
x
22
1 1 1 1
32. 32. 1
6 3 6 3
+ +
xx
2x
không tha mãn;
Vy
2x =
là giá tr cn m.
Bài 9: Tìm các s nguyên dương
x
sao cho
2 2 2
10 8 6
x x x
−=
(Trích đề thi HSG lp 6 THCS Nam Trc năm học 2005-2006)
Li gii
Ta có
2 2 2
10 8 6−=
x x x
2 2 2
6 8 10 + =
x x x
22
34
1
55
+ =
xx
+ Vi
1x =
, ta có:
22
34
1
55
+=
1=x
tha mãn;
+ Vi
1x
, mà các cơ số
3
5
<
4
5
<1
22
22
33
55
44
55

x
x
2 2 2 2
3 4 3 4
1
5 5 5 5
+ +
xx
1x
không tha mãn;
Vy
1x =
là giá tr cn m.
Bài 10: Tìm các s nguyên
x,y,z
sao cho:
( ) ( )
( )
2
22
2
1 3 0x y y x z + + =
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sóc Sơn năm học 2014-2015)
Trang 17
Li gii
Vi mi s nguyên
x,y,z
ta luôn có:
( )
( )
( )
2
2
2
2
10
30
0
x
y
y x z
−
−
Ta có:
( ) ( )
( )
2
22
2
1 3 0x y y x z + + =
( )
( )
( )
2
2
2
2
10
30
0
−=
=
=
x
y
y x z
2
10
30
0
−=
=
=
x
y
y x z
1
3
8
=
=
=
x
y
z
Bài 11: Tìm s nguyên dương
x
sao cho
2 52 4
x
x=−
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2011-2012)
Li gii
Ta có:
+ Nếu
5x =
thì
5
2 52 4.5=−
(tha mãn)
+ Nếu
5x
thì
5
22
52 4 52 4.5
x
x
2 32
52 4 32
−
x
x
(loi)
+ Nếu
05x
thì
5
22
52 4 52 4.5
x
x
2 32
52 4 32
−
x
x
(loi)
Vy
5x =
là giá tr cn m.
Bài 12: Tìm các s nguyên dương
a
b
sao cho:
2 2 16
ab
−=
(Trích đề thi HSG lp 6)
Li gii
Ta có:
( )
44
2 2 16 2 2 2 1 2
a b b a b
= = =
(1)
D thy
a b,
ta xét 2 trường hp:
+ TH1:
1ab−=
, t (1) ta có:
( )
14
2 2 1 2 2 2 4
b b a
b = = =
Do
4ab−=
5a=
45b ;a = =
+ TH2:
2 2 1
ab
ab
mt s l lớn hơn 1 nên vế trái ca (1) cha tha s nguyên t l khi phân
ch ra tha s nguyên t. Còn vế phi ca (1) ch cha tha s nguyên t 2
mâu thun.
Vy
45b ;a==
.
HT
| 1/17

Preview text:

ĐS6. CHUYÊN ĐỀ 2+ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA LŨY THỪA
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. KHÁI NIỆM:
Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: n a = . a .
a ..a ( n thừa số a với a  0;nN ). 2. QUI ƯỚC: 0
a = 1 (a  0) và 1 a = a 2
a : Bình phương của a (a  0) 3
a : Lập phương của a (a  0)
3. CÁC PHÉP TÍNH LŨY THỪA:
+ Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: m. n m n a a a + = −
+ Chia hai luỹ thừa cùng cơ số: m : n m n a a = a
(a  0; m n)
+ Luỹ thừa của một thương: ( : )n n = : n a b a b (b  0)
+ Luỹ thừa của luỹ thừa: m n m. ( ) n a = a n n
+ Luỹ thừa tầng: m (m ) a = an 1
+ Luỹ thừa với số mũ âm: a = (a  0) n a
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
I. Phương pháp giải
Nội dung bài toán: Tìm x để VT ( x) =VP , ta đi đánh giá như sau
+ Nếu x x VT x VP 0 ( )
+ Nếu x x VT x VP 0 ( )
+ Nếu x = x VT x = VP 0 ( )
Kết luận: x = x là giá trị cần tìm. 0 II. Bài toán
Bài 1: Tìm các số nguyên n thỏa mãn 64 48 72 3  n  5
Phân tích: số cần tìm đóng vai trò cơ số, phần số mũ đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có cùng số mũ
để có thể so sánh được phần cơ số với nhau.
Ta có: Hai lũy thừa đầu có số mũ là 64,48 cùng chia hết cho 16 . Hai lũy thừa sau có số mũ 48,72 cùng chia hết cho 24 Lời giải Trang 1
Với n Z , ta có: 64 48 3  n  (n )16  ( )16 3 4 3  (n )16 3 16  81 3
n  81 n  4 ( ) 1
Mặt khác, với n Z , ta có: 48 72 n  5  (n )24  ( )24 2 3 5  (n )24 2 24 125 2
n 125  −11 n 11 (nZ ) (2)
Từ (1); (2)  4  n  11 , mà n Z n5;6;7;8;9;10;1  1
Vậy n nhận các giá trị nguyên là: 5;6;7;8;9;10;11
Bài 2: Tìm số nguyên dương n biết rằng: a) 64 2n   512 b) 243 3n   9
Phân tích: số cần tìm đóng vai trò số mũ trong lũy thừa, phần cơ số đã biết ta cần phân tích về lũy thừa có
cùng cơ số để có thể so sánh được phần số mũ với nhau. Lời giải
a) Ta có: 64  2n  512 6 n 8  2  2  2  6  n  8 mà n Z +   n = 7
b) Ta có: 243  3n  9 5 n 2  3  3  3  5  n  2 +
n Z n 2;3;  4
Bài 3: Tìm số tự nhiên n, biết rằng: a) 32 2n   512 b) 18 12 8 3  n  20
Phân tích: Nhận xét tương tự bài 1 và bài 2.
Câu a phân tích đưa về lũy thừa có cùng cơ số để so sánh số mũ.
Câu b phân tích đưa về lũy thừa có cùng số mũ để so sánh cơ số. Lời giải Trang 2
a) Với n N, ta có: n 5
32  2  2  2n  5  n ( ) 1 n n 9
2  512  2  2  n  9 (2) Từ ( )
1 và (2)  5  n  9 , mà n  n6;7;  8 Vậy n 6;7;  8 6 6
b) Với n N , ta có: 18 12  n  ( 3)  ( 2 n ) 3 2 2 3 3
 3  n  27  n Vì 2 2 5  27  6 , nên 2 2
6  n  6  n (1) 4 4
Với n N , ta có: 12 8 n   ( 3 n )  ( 2 ) 3 2 3 20 20
n  20  n  400 Vì 3 3 7  400  8 , nên 3 3
n  7  n  7 (2)
Từ (1) và (2) , suy ra 6  n  7 , mà n N n 6;  7
Bài 4: Tìm số tự nhiên x  0 thỏa mãn a) x 1 4 − + 4x = 5 b) x 2x 1 3 3 − + = 2268
Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số, nên học sinh hướng tới nghĩ đến đưa về cùng cơ số để nhóm, rút
gọn đơn giản phép tính. Dễ dàng thực hiện được câu a. Hưỡng dấn cách đánh giá để có cách khác tìm x .
Câu b làm theo cách 1 thì sẽ gặp phải vấn đề xuất hiện bình phương trong phép tính khó thu gọn ở câu 4.
Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm và đánh giá so sánh để làm được theo cách 2 ở câu a. Lời giải a) x 1 4 − + 4x = 5 Cách 1. x 1 − x 4 + 4 = 5
 4x : 4+ 4x = 5 x 1  4 . + 4x = 5 4 x 5  4 . = 5  4x = 4 4  x =1
Vậy x =1 là giá trị cần tìm. Cách 2.
Theo đề, x số tự nhiên x  0  x 1 + TH1: x  1
Ta có: x  1  x −1  0 Trang 3 x 1 − 1 1 4 4 −     x 1 4  4 = 4 x 1 − 0 4  4   4x  4 x 1 4 −   1   4x  4 x 1 4 −  + 4x  5
x 1 không thỏa mãn + TH2: x 1 − x 0 1 x =1 4
+ 4 = 4 + 4 = 5 =VP (thỏa mãn)
Vậy x =1 là giá trị cần tìm. b) x 2x 1 3 3 − + = 2268 Ta có: + Nếu 4 2.4 1 x 4 3 3 − =  +
= 2268 VT =VP (thỏa mãn) + Nếu x 2x 1 − 4 7 x  4  3 + 3
 3 +3 = 2268 (không thỏa mãn) + Nếu x 2x 1 x 4 3 3 −   +
 226 =VP (không thỏa mãn)
Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.
Bài 5: Tìm số tự nhiên x  0 thỏa mãn a) 2x 5x 7x + + =14 b) 2x + x = 20
c) 2x = 46 −3x
Phân tích: Câu a các lũy thừa không cùng cơ số nên không thu gọn biến đôi được biểu thức vế trái. Nhận
thấy tổng các cơ số 2 + 5 + 7 = 14 nên x =1 là một giá trị thỏa mãn. Đánh giá với các giá trị x  1 (vì x  0
theo đề bài nên loại) và x 1
Câu b và c số cần tìm xuất hiện ở số mũ trong lũy thừa và cả ở biểu thức, ta thay các giá trị x lần lượt từ
1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải a) 2x 5x 7x + + =14 Ta có: + Nếu x = 0 thì 0 0 0
2 + 5 + 7 = 3  14  x = 0 (loại) + Nếu x =1 thì 1 1 1
2 + 5 + 7 =14  x = 1 (thỏa mãn)
+ Nếu x 1 thì x x x 1 1 1
2 + 5 + 7  2 + 5 + 7 =14 (loại)
Vậy x =1 là giá trị cần tìm. b) 2x + x = 20 Trang 4 Ta có: + Nếu x = 4 thì 4 2 + 4 = 20 (thỏa mãn)
+ Nếu x  4 thì x 4
2 + x  2 + 4 = 20 (loại)
+ Nếu 0  x  4 thì x 4
2 + x  2 + 4 = 20 (loại)
Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.
c) 2x = 46 −3x
Ta có: 2x = 46 −3  2x x +3x = 46 + TH1: x 5
x  5  2  2 = 21 mà 3x  3.5 = 15
 2x +3x  47  46
x  5 (không thỏa mãn) + TH2: x 4
0  x  4  2  2 = 16; mà 3x  3.4 = 12
 2x +3x  28  46 (loại)
Vậy không tồn tại giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết x x 1 + x+2 3 + 3 + 2 = 388 (1)
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay
các giá trị x lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia các trường hợp đánh giá. Lời giải + TH1: 0  x  4 x x 1 + x+2 4 4 1 + 4+2 3 +3 + 2  3 +3 + 2 x x 1 + x+2 3 +3 + 2  388 VT(1) V ( P 1)
 0  x  4 không thỏa mãn + TH2: x  4 x x 1 + x+2 4 4 1 + 4+2 3 +3 + 2  3 +3 + 2 x x 1 + x+2 3 +3 + 2  388 VT(1) V ( P 1)
x  4 không thỏa mãn + TH3: x = 4 x x 1 + x+2 4 4 1 + 4+2 3 +3 + 2 = 3 +3 + 2 x x 1 + x+2 3 +3 + 2 = 388 Trang 5VT(1) =V ( P 1)  x = 4 thỏa mãn
Vậy x = 4 là giá trị cần tìm. Bài 7: Tìm , x ,
y z N, biết x y z và 2x 3y 5z + + =156 ( ) 1
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta nhận
thấy 2x + 3y + 5z =156  5z 156  z  3  z 0;1;2; 
3 . Chia các trường hợp của x để tìm , x y . Lời giải Cách 1:
Ta có: 2x + 3y + 5z =156 5z 156  z  3  z 0;1;2;  3 .
x y z nên ta xét trường hợp sau:
TH1: z = 0  x y  0 hay x = y = z = 0 , thay vào (1) ta được: VT ( ) 0 0 0
1 = 2 + 3 + 5 = 3 156 (loại)
TH2: z =1  x y 1 , thay vào (1) ta được: VT ( ) 1  156 (loại)
TH3: z = 2  x y  2, thay vào (1) ta được: VT ( ) 2 2 2
1  2 + 3 + 5 156 (loại)
TH4: z = 3  x y  3, thay vào (1) ta được 2x + 3y +125 = 156  2x + 3y = 31 (2)
Ta có 3y  31 và y  3
+ Nếu y = 3, thay vào (2) ta được 2x = 4  x = 2 (thỏa mãn)
+ Nếu y 0,1, 
2 thay vào (2) ta không tìm được giá trị của x thỏa mãn.
Vậy x = 2; y = 3; z = 3 Cách 2: z
Ta có: 5  156  z  3
+ Nếu z = 2  x y  2, thay vào (1) ta được: VT ( ) 2 2 2
1  2 + 3 + 5 156  loại trường hợp z = 2 + Nếu z = 3  x y
x y  3, thay vào (1) ta được: 3
2 + 3 + 5 = 156  2x + 3y = 31 ( ) * + Nếu x y 2 2
y  2  x  2  2 + 3  2 + 3 = 13  31 (loại) x 3
 = 3  2 + 3 = 31 2x y = 4  x = 2. Vậy ( ; x ; y z) = (2;3;4) 2 + + Bài 8: Tìm , x ,
y z N, thỏa mãn x 2 2 y 1 2 + 3
+ 5z = 40 và 2x 3y 5z + + =156 Trang 6
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thấy x = 2 2 0 x +2 x +2 5 2  32  2  2 2  x + 2  5 2
x  3  x =1
Chia các trường hợp của x để tìm , y z Lời giải 2 + + Với , x ,
y z N , mà x 2 2 y 1 2 + 3
+ 5z = 40 (1) , nên ta có: 2 2 x +2 x +2 5 2  32  2  2 2  x + 2  5 2  x  3 x = 0   x = 1 TH1: x = 0 Với x = 0 , từ ( ) 1 ta có 2 2 y 1 y+ 2 3 + + +5z = 40 2 1  3 + 5z = 36 (2)
Ta có vế trái của (2) không chia hết cho 3 và vế phải của (2) chia hết cho 3 nên x = 0 loại TH2: x =1 Với x =1 , từ ( ) 1 ta có 3 2 y 1 : 2 3 + + +5z = 40 2 y 1 3 +  +5z = 32 (3) + Ta có 2y 1 3
 32  2y +1 3  y 1
+ Nếu y =1 thay vào (3) ta được 27 +5z = 32  z =1 (thỏa mãn)
+ Nếu y = 0  thay vào (3) ta được 3+5z = 32  5z = 29 (loại)
Vậy x = y = z =1 Bài 9*: Tìm , x ,
y z N, thỏa mãn x y z 10 2 + 2 + 2 = 2
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số giống nhau, vai trò của x, y, z sẽ như nhau nên không mất tính tổng
quát, ta giả sử x y z từ đó đánh giá được x  8 . Tiếp tục để đánh giá lần lượt được y z ta biến đổi
phân tích đặt 2x ra ngoài làm thừa số chung để đánh giá được y x z x .
Nhận xét nếu y x  0 vô lí nên ta có được y = x , thay vào biểu thức nhận xét và tìm được giá trị của z
Từ đó tìm được x y Lời giải Vì , x ,
y z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z Ta có: 10 2 =1024
x y z  2x + 2y + 2z  3.2x x 10
 3.2  2  x  8 Trang 7 Lại có: x y z 10 2 + 2 + 2 = 2 x ( y x z −  + + x ) 10 2 1 2 2 = 2 yx zx 10 1+ 2 + 2 = 2 : 2x yx zx 10 1 2 2 2 −  + + = x x  8 yx zx 10−x 10 8 1 2 2 2 2 −  + + =  yx zx 10 1 2 2 2 −  + + = x  4 ( ) *
+ Nếu y x y x  0  y x 1; z x 1
Ta có VT(*) là số lẻ và VP(*) là số chẵn  loại trường hợp y x ,
do vậy y = x , thay vào (*) ta được: ( ) 0 zx 10−x 10 8 * 1 2 2 2 2 −  + + =  (* ) *
+ Nếu z x = 0 VT(**) = 3 còn VP(**) là số chẵn nên loại
z x 1 Do đó zx 10 (**) 2 2 2 −  + = x zx 1 − 9 1 2 2 −  + = x (***)
+ Nếu z x −11VT(***) là số lẻ và (
VP ***) là số chẵn  loại  z x −1 = 0 Từ (***) 9 2 2 −  =
x x = 8  y = 8; z = 9
Vậy x = 8; y = 8; z = 9
Bài 10: Tìm các số nguyên dương x sao cho 3x 4x 5x + =
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta thay
các giá trị x lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được đánh giá. Để dễ
dàng đánh giá thì ta biến đổi một vế không chứa x bằng cách chia cả hai vế cho 5x . Lời giải x x     x x x 3 4 Ta có 3 + 4 = 5  + =1      5   5  1 1  3   4  7
+ Với x = 1 , ta có: + =  1      5   5  5
x =1 không thỏa mãn; 2 2  3   4  9 16 25
+ Với x = 2 , ta có: + = + = =1      5   5  25 25 25  x = 2 thỏa mãn; 3 4
+ Với x  2 , mà các cơ số < <1 5 5 Trang 8 x 2  3   3         5   5    x 2   4   4          5   5  x x 2 2  3   4   3   4   +  + 1          5   5   5   5 
x  2 không thỏa mãn;
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 11: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 3 5 3y x = +317
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau đều chứa số cần tìm, không thực hiện được các phép
biến đổi biểu thức, ta thay các giá trị ,
x y lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết
quả nhận được đánh giá. Lời giải + Nếu 3
y = 0  5x = 1  không có giá trị nguyên nào của x thỏa mãn
+ Nếu y =1 x = 4 (thỏa mãn)
+ Nếu y  2 thì 3y chia hết cho 9, mà 317 chia cho 9 dư 2 và 3 5 3y x = +317 nên 3 5x chia 9 dư 2
Điều này mẫu thuẫn vì 3
5x chia 9 dư 0 hoặc 4
Vậy x = 4; y =1 thỏa mãn bài toán
Bài 12: Tìm x N , biết a) x 4 16 128 b) x x 1 + x+2 18 5 .5 .5 100.............0: 2 18 chuso0 Phân tích:
Câu a các lũy thừa có cơ số khác nhau, nhưng đều đưa được về lũy thừa cơ số 2 . Dùng công thức lũy
thừa đưa về cùng cơ số để so sánh.
Câu b các lũy thừa có cùng một cơ số dùng phép biến đổi đưa về cùng lũy thừa số sau đó so sánh để tìm ra giá trị của x . Lời giải
a) Theo đề, ta có: x 4 16 128  ( )x  ( )4 4 7 2 2 4x 28  2  2  4x  28  x  7 Trang 9
x N x 0;1;2;3;4;5;  6 b) Ta có: x x 1 + x+2 18 5 .5 .5 100.............0: 2 18 chu so 0 3x+3 18 18 5 10 : 2 3x 3 + 18 5  5  3x +3 18  x  5
x N x 0 1
, ,2,3,4,  5
Bài 13: Tìm các số nguyên dương m n sao cho: 2m 2n − = 256
Phân tích: Các lũy thừa có cùng cơ số 2 , nhận thấy 256  0 nên m n .
Đặt 2n ra ngoài làm thừa số chung chia các trường hợp để nhận xét tính được , m n . Lời giải − Ta có: m n 8 n − = =  ( m n − ) 8 2 2 256 2 2 2 1 = 2 ( ) 1
Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp:
+ TH1: m n = 1, từ ( ) 1 ta có: n ( 1 − ) 8 n 8 2 2
1 = 2  2 = 2  n = 8
Do m n = 1  m = 9  n = 8;m = 9 + TH2: 2 2m n m n − −  
−1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của ( )
1 chứa thừa số nguyên tố lẻ khi
phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của ( )
1 chỉ chứa thừa số nguyên tố 2  mâu thuẫn.
Vậy m = 9;n = 8 . x
Bài 14: Tìm các số tự nhiên x , biết : 2 1 6 100  5  5 −
Phân tích: Các lũy thừa của 2x 1 6 5
 5 có cùng cơ số 5 , dề dàng tìm được 2x  7 .
Không biến đổi được 100 về cơ số 5 5, ta so sánh được 2 5 100 .
Theo tính chất bắc cầu ta có: 2 2 1 5 100 5 +   x
Từ đó tìm được các số tự nhiên x Lời giải x− Ta có: 2 1 6 100  5  5 2 2x 1 − 6 5 100  5  5  2  2x −1 6  3  2x  7 Trang 10
x là các số tự nhiên  x 2;  3
Bài 15: Tìm số tự nhiên a, b sao cho: ( + )3 a b = aba
Phân tích: aba là số tự nhiên có 3 chữ số nên 100  aba  999   ( + )3 100 a b  999  5  a + b  9
Từ đó ta có bẳng giá trị chia cá trường hợp và tìm được số tự nhiên a,b. Lời giải
Vì aba là số tự nhiên có ba chữ số nên 100  aba  999   ( + )3 100 a b  999  5  a + b  9 Ta có bảng: a + b 5 6 7 8 9 = ( + )3 aba a b 125 216 343 512 729 a / / 3 / / b / / 4 / / Vậy a = 3; b = 4.
Bài 16: Tìm số tự nhiên x, y sao cho: x y 5 +11 = 26
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta
thay các giá trị x, y lần lượt từ 1, 2,3, 4,... và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia
các trường hợp đánh giá. Lời giải + Với y = 0 , ta có: x 0 5 +11 = 26 x  5 +1= 26 x  5 = 25 x 2  5 = 5  x = 2(thỏa mãn) + Với y =1, ta có: x 1 5 +11 = 26 x  5 = 26−11=15
Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn x 5 = 15  y =1 không thỏa mãn + Với y  2 , ta có: 2
11 =121  26, nên không có giá trị thỏa x y 5 +11 = 26 khi y  2 . Trang 11 Vậy x = 2; y = 0 . Bài 17: Tìm x, y sao cho: x y 2 + 624 = 5
Phân tích: Các lũy thừa có cơ số, số mũ khác nhau, không thực hiện được các phép biến đổi biểu thức, ta
thay các giá trị x, y lần lượt từ 1,2,3,4… và nhận xét kết quả. Sau đó dựa vào kết quả nhận được để chia
các trường hợp đánh giá. Lời giải + Với x = 0 thì 0 y 2 + 624 = 5 y  5 = 625 y 4  5 = 5 y = 4 + Với x 1, ta có x 2 + 624 là số chẵn, y
5 là số lẻ với mọi y  : vô lí Vậy x = 0; y = 4 1 1 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng: M = + + + ...+  2 2 2 4 6 8 (2n)2 4 1
Phân tích: Nhận thấy mẫu đều là các số chẵn chia hết cho 2 ,khi bình phương lên xuất hiện ,ta biến đổi 4 đặt đượ 1 1 c
ra ngoài làm thừa số chung. Để M 
thì biểu thức còn lại so sánh 1. 4 4 1
Bằng tính chất của phân số, ta so sánh biểu thức còn lại với 1 và chứng minh được M  4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: M = + + + ...+ 2 2 2 4 6 8 (2n)2 1 1 1 1 = + + + ...+ ( 2 2 . )2 (2 3.)2 (2 4.)2 (2.n)2 1 1 1 1 = + + + ...+ 2 2 2 2 4 2 . 4 3 . 4 4 . 4.n 1  1 1 1 1  = . + + + ...+   2 2 2 2 4  2 3 4 n  1 1 1 1 1 1 1 1 Mà  ;  ;  ;  2 2 2 2 2 1.2 3 2.3 4 3.4 n (n − 1).n 1  1 1 1 1  Suy ra M  + + +...+   4 1.2 2.3 3.4 (n −1).n  1  1 1 1 1 1 1 1 1   M  − + − + − + ...+ −   4 1 2 2 3 3 4 (n −1) n  1  1  1  M  1−    4  n  4 Trang 12 1 Vậy M  4
PHẦN III. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: Tìm các số tự nhiên x, y , sao cho x y 7 +12 = 50
(Trích đề thi Olympic lớp 6 huyện Thanh Oai năm học 2017 – 2018) Lời giải + Với y = 0 , ta có: x 0 7 +12 = 50 x  7 +1= 50 x  7 = 49 x 2  7 = 7  x = 2(thỏa mãn) + Với y =1, ta có: x 1 7 +12 = 50 x  7 = 50−12 = 28
Vì x là số tự nhiên nên không có giá trị của x thỏa mãn x
7 = 38  y =1 không thỏa mãn + Với y  2 , ta có: 2
12 =144  56 ,  VT  VP nên không có giá trị thỏa x y 7 +12 = 50 khi y  2 . Bài 2: Tìm x, y , sao cho x y 2 + 624 = 5
(Trích đề thi HSG lớp 6 trường THCS Nguyễn Khuyến năm học 2016 – 2017) Lời giải + Với x = 0 , ta có: 0 y 2 + 624 = 5 y  5 = 625 y 4  5 = 5  y = 4 (thỏa mãn ) + Với mọi x
, x  0 , ta có: vế trái x
2 + 624 là số chẵn, vế phải y 5 là số lẻ  vô lí Vậy x = 0; y = 4
Bài 3: Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn a
(100a + 3b +1)(2 +10a + b) = 225
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Thạch Thành năm học 2018 – 2019) Lời giải Ta có: a
(100a + 3b +1)(2 +10a + b) = 225 (1) 1  00a + 3b +1 Vì 225 là số lẻ nên a
(100a + 3b +1)(2 +10a + b) là lẻ   cùng là số lẻ (2) a 2 +10a + b + Với a = 0 , từ (1) 0
 (100.0 + 3b +1)(2 +10.0 + b) = 225  (3b +1)(b +1) = 225 2 2  (3b +1)(b +1) = 3 .5 (3) Trang 13
Vì 3b +1 chia 3 dư 1 và 3b +1  b +1 nên
Từ (3)  (3b +1)(b +1) = 25.9 3  b +1 = 25    b = 8 (thỏa mãn) b +1 = 9
+ Với a  , a 1  100a chẵn, mà từ (2) ta có 100a + 3b +1 là số lẻ
 3b +1 là số lẻ  b là số chẵn Vì b là số chẵn nên a
2 +10a + b cũng là số chẵn, trái với (2)  vô lí với giả thiết  b Vậy a = 0; b = 8
Bài 4: Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn a b 2 +124 = 5 (1)
(Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Nguyễn Khuyến năm học 2018 – 2019) Lời giải
+ Với a = 0 , từ (1) suy ra 0 b 2 +124 = 5 b 5 =125 b 3 5 = 5  b = 3 (thỏa mãn)
+ Với a  1, ta có vế trái x
2 +124 luôn là số chẵn, mà vế phải b
5 luôn là số lẻ với mọi a  1, a, b  N , điều này vô lí. Vậy a = 0; b = 3 Bài 5: Tìm a, b thỏa mãn a 2 10 +168 = b (2)
(Trích đề thi HSG lớp 6) Lời giải
+ Với a = 0 , từ (2) suy ra 0 2 10 +168 = b 2  b =169 2 2  b =13 mà a,b  b =13 (thỏa mãn) + Với a  1, ta có a
10 có chữ số tận cùng là 0  Vế trái (2) là a
10 +168 có chữ số tận cùng là 8
Mà Vế phải (2) là số chính phương 2
b nên không chữ số tận cùng không thể là 8  điều này vô lí. Vậy a = 0; b =13 Trang 14 2 2 2
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y,z sao cho: ( 2
x y + z ) + ( y − 2) + ( z + 3) = 0 Phân tích: 2
x y + z = 0 
Nhận thấy bình phương của mọi số nguyên đều không âm nên ta có được  y − 2 = 0 z +3 = 0 
Từ đó tìm được các số nguyên x, y, z. Lời giải
(x y + z)2 2  0   2
Với mọi số nguyên x, y,z ta luôn có: ( y − 2)  0  ( z + 3)2  0  2 2 2 Ta có: ( 2
x y + z ) + ( y − 2) + ( z + 3) = 0 (x y z)2  − +  0
(xy + z)2 2 2 = 0 2  
x y + z = 0  (     y − 2)2  0  (  y − 2)2 = 0  y − 2 = 0 (   z + )   2  (  z + )2 z + 3 = 0 3 0 3 = 0    2 2
x y + z = 0 x − 2 + ( 3 − ) = 0 x = 7     y = 2  y = 2  y = 2    z = 3 − z = 3 − z = 3 −    2 2 2 2 2
Bài 7: Tìm các số nguyên x sao cho x x x x 1 2 + 3 + 4 + 5 = 4 −x
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2008-2009) Lời giải
Với mọi giá trị của x ta có: 2 x  0 . Nên: 2 x 0 2  2 =1  2x 0 3   3 = 1 2 2 2 2 x x x x   2 + 3 + 4 + 5  4 2 x 0 4  4 = 1  2x 0 5   5 = 1 2 Mà 1
4 −x  4 nên để VT = VP thì 2 x = 0 hay x = 0
Vậy x = 0 là giá trị cần tìm.
Bài 8: Tìm các số nguyên dương x sao cho 6x 2x − = 32
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Du năm học 2007-2008) Lời giải Trang 15 x x     x x 1 1 Ta có 32 + 2 = 6  32. + =1      6   3  1 1  1   1  17
+ Với x = 1 , ta có: 32 + = 1      6   3  3
x =1 không thỏa mãn; 2 2  1   1 
+ Với x = 2 , ta có: 32. + =1      6   3   x = 2 thỏa mãn; 1 1
+ Với x  2 , mà các cơ số < <1 6 3 x 2  1   1  x 2     1   1      3  2.  32.      6   6  x x 2 2    6   6           1 1 1 1    32. +  32. + 1         x 2   x 2 1   1   6   3   6   3     1   1               3   3    3   3 
x  2 không thỏa mãn;
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 9: Tìm các số nguyên dương x sao cho 2x 2x 2 10 8 6 x − =
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nam Trực năm học 2005-2006) Lời giải 2 x 2  x 3   4  Ta có 2x 2x 2 10 −8 = 6 x 2x 2x 2  6 +8 =10 x  + =1      5   5  2 2  3   4 
+ Với x = 1 , ta có: + =1      5   5   x =1thỏa mãn; 3 4
+ Với x 1 , mà các cơ số < <1 5 5 2 x 2  3  3         5   5  2 x 2 x 2 2           3 4 3 4  +  + 1         2 x 2   4   4   5   5   5   5          5   5 
x 1 không thỏa mãn;
Vậy x = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Tìm các số nguyên x, y,z sao cho: ( − x) + ( − y) + ( y x z)2 2 2 2 1 3 = 0
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sóc Sơn năm học 2014-2015) Trang 16 Lời giải (  1− x)2  0  2
Với mọi số nguyên x, y,z ta luôn có: (  3− y)  0
(y xz  )2 2  0
Ta có: ( − x) + ( − y) + ( y x z)2 2 2 2 1 3 = 0 (  1− x)2 = 0  1  − x = 0 x =1 (      3− y)2 = 0  3  − y = 0  y = 3 (   2 
y x z = z = 8 y x − 0   z )2 2 = 0
Bài 11: Tìm số nguyên dương x sao cho 2x = 52 − 4x
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Quang Trung năm học 2011-2012) Lời giải Ta có: + Nếu x = 5 thì 5 2 = 52 − 4.5 (thỏa mãn) x 5 2  2 2x  32
+ Nếu x  5 thì    (loại) 5
 2 − 4x  52 − 4.5 5  2 − 4x  32 x 5 2  2 2x  32
+ Nếu 0  x  5 thì    (loại) 5
 2 − 4x  52 − 4.5 5  2 − 4x  32
Vậy x = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 12: Tìm các số nguyên dương a b sao cho: 2a 2b − =16
(Trích đề thi HSG lớp 6) Lời giải − Ta có: a b 4 b − = =  ( a b − ) 4 2 2 16 2 2 2 1 = 2 (1)
Dễ thấy a b, ta xét 2 trường hợp:
+ TH1: a b = 1, từ (1) ta có: b ( 1 − ) 4 2 2
1 = 2  2b = 2a b = 4
Do a b = 4  a = 5  b = 4;a = 5 + TH2: 2 2a b a b − −  
−1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân
tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2  mâu thuẫn.
Vậy b = 4;a = 5.  HẾT Trang 17