42 trang 35 lượt tải

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề lượng giác – Lưu Huy Thưởng

69

Tài liệu gồm 42 trang trình bày các dạng toán Lượng giác thường gặp kèm theo phương pháp giải và hệ thống bài tập được giải chi tiết. Tài liệu do thầy Lưu Huy Thưởng biên soạn

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT) 134 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Kim Oanh

1 năm trước
Danh sách Quiz
/42
TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HÀ N
ỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Giải các phương trình:
1)
2
2 cos 3 cos 0
x x
+ =
2)
2 2
sin sin 2 2 cos 2
x x x
+ + =
3)
2 2
3 sin sin 2 cos 3
x x x
+ + =
4)
2
x x
− − =
5)
cos2 3sin 2 0
x x
+ − =
6)
2 cos2 3 cos 1 0
x x
− + =
Bài giải
1)
2
2 cos 3 cos 0
x x
+ =
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
x k
k
x
x k
π
π
π
π
=
= +
⇔ ⇔ ∈
= −
= ± +
2)
2 2
sin sin 2 2 cos 2
x x x
⇔
sin (2 cos sin ) 0
x x x
− =
sin 0
tan 2 arctan2
x x k
x x k
π
π
= =
⇔ ⇔
= = +
3)
2 2
3 sin sin2 cos 3
x x x
+ + =
2
2 sin cos 2 cos 0 2 cos (sin cos ) 0
x x x x x x
⇔ − = ⇔ − =
2
cos 0
2
tan 1
4
x k
x
x
x k
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔
=
= +
4)
2
x x
− − =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔ = − + ∈
= −
= +
5)
cos2 3sin 2 0
x x
+ − =
2 2
1 2sin 3 sin 2 0 2sin 3 sin 1 0
x x x x
⇔ − + − = ⇔ − + =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔ = + ∈
=
= +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
6)
2 cos2 3 cos 1 0
x x
− + =
2
4 cos 3cos 1 0
x x
⇔ − − =
cos 1 2
,
1 1
cos arccos( ) 2
4 4
x x k
k
x x k
π
π
= =
⇔ ⇔ ∈
= − = ± − +
HT 2.Giải các phương trình sau:
1)
3 sin 3 cos 3 2
x x
− =
2)
sin 5 cos 5 2
x x
+ = −
3)
3 sin cos 2
x x
+ =
4)
3 sin cos 2
x x
− =
Bài giải
1)
3 sin 3 cos 3 2
x x
− =
3 1
sin 3 cos 3 1
2 2
x x
⇔ − =
⇔
sin
(3 )
6
x
π
−
= 1
⇔
3 2
6 2
x k
π π
π
− = +
⇔
2 2
9 3
k
x
π π
= +
2)
sin 5 cos 5 2
x x
+ = −
1 1
sin 5 cos 5 1
2 2
x x
⇔ + = −
⇔
sin
(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π
π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x
π π
= − +
3)
3 sin cos 2
x x
+ =
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x⇔ + =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
π π
⇔ + =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ + =
⇔
2 2
6 4 12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k x k
k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π
+ = + = +
⇔ ∈
+ = + = +
4)
3 sin cos 2
x x
− =
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x⇔ − =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
π π
⇔ − =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ − =
5
2 2
6 4 12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k x k
k
x k x k
π π π
π
π π π
π π
− = + = +
⇔ ⇔ ∈
− = + = +
HT 3.Giải phương trình:
1)
3
3 sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3
x x x
− = +
2)
1
tan sin 2 cos 2 2(2 cos ) 0
cos
x x x x
x
− − + − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
3)
3 1
8 sin
cos sin
x
x x
= +
4)
9 sin 6 cos 3 sin2 cos2 8
x x x x
+ − + =
5)
sin2 2cos2 1 sin 4 cos
x x x x
+ = + −
6)
2 sin2 cos2 7 sin 2cos 4
x x x x
− = + −
7)
sin2 cos2 3sin cos 2
x x x x
− = + −
8)
2
(sin 2 3 cos 2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
π
+ − = −
9)
3
2 cos cos2 sin 0
x x x
+ + =
10)
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
−
+ =
11)
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2
x x x
+ + =
12)
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x
+ + =
13)
tan 3 cot 4(sin 3 cos )
x x x x
− = +
14)
3 3
sin cos sin cos
x x x x
+ = −
15)
4 4
1
cos sin ( )
4 4
x x
π
+ + =
16)
3 3
4 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3
x x x x x
+ + =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
3
3 sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3
x x x
− = +
3
(3 sin 3 4 sin 3 ) 3 cos 9 1
x x x
⇔ − − =
sin 9 3 cos 9 1
x x
⇔ − =
sin(9 ) sin
3 6
x
π π
⇔ − =
2
18 9
7 2
54 9
x k
x k
π π
π π
= +
⇔
= +
2)
1
tan sin 2 cos 2 2(2 cos ) 0
cos
x x x x
x
− − + − =
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
sin 2
(1) sin2 cos2 4 cos 0
cos cos
x
x x x
x x
⇔ − − + − =
2 2
sin 2 sin cos cos 2 cos 2(2 cos 1) 0
x x x x x x
⇔ − − + − =
2
sin (1 2 cos ) cos 2 cos 2 cos 2 0
x x x x x
⇔ − − + =
sin cos2 cos2 cos 2 cos2 0
x x x x x
⇔ − − + =
cos 2 (sin cos 2) 0
x x x
⇔ + − =
cos2 0
sin cos 2( )
4 2
x
x k
x x vn
π π
=
⇔ ⇔ = +
+ =
3)
3 1
8 sin
cos sin
x
x x
= +
(*)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
(*) 8 sin cos 3 sin cos
x x x x
⇔ = +
4(1 cos 2 ) cos 3 sin cos
x x x x
⇔ − = +
4 cos 2 cos 3 sin 3 cos
x x x x
⇔ − = −
2(cos 3 cos ) 3 sin 3 cos
x x x x
⇔ − + = −
1 3
cos 3 cos sin
2 2
x x x
⇔ = −
cos 3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= − +
C2
2
(*) 8 sin cos 3 sin cos
x x x x
⇔ = +
2
8(1 cos )cos 3 sin cos
x x x x
⇔ − = +
3
8 cos 8 cos 3 sin 3cos
x x x x
⇔ − = −
3
6 cos 8 cos 3 sin cos
x x x x
⇔ − = −
3
1 3
4 cos 3 cos cos sin
2 2
x x x x
⇔ − = −
cos 3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= − +
4)
9 sin 6 cos 3 sin2 cos2 8
x x x x
+ − + =
2
6 sin cos 6 cos 2 sin 9 sin 7 0
x x x x x
⇔ − + − + =
6 cos (sin 1) (sin 1)(2 sin 7) 0
x x x x
⇔ − + − − =
(sin 1)(6 cos 2 sin 7) 0
x x x
⇔ − + − =
sin 1
6 cos 2sin 7
x
x x
=
⇔
+ =
2
2
x k
π
π
⇔ = +
5)
sin2 2cos2 1 sin 4 cos
x x x x
+ = + −
2
2 sin cos 2(2 cos 1) 1 sin 4 cos 0
x x x x x
⇔ + − − − + =
2
sin (2 cos 1) 4 cos 4 cos 3 0
x x x x
⇔ − + + − =
sin (2 cos 1) (2 cos 1)(2 cos 3) 0
x x x x
⇔ − + − + =
(2 cos 1)(2 sin 2 cos 3) 0
x x x
⇔ − + + =
1
cos
2
2 sin 2 cos 3,( )
x
x x vn
=
⇔
+ = −
2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
6)
2 sin2 cos2 7 sin 2cos 4
x x x x
− = + −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
2
4 sin cos (1 2 sin ) 7 sin 2 cos 4 0
x x x x x
⇔ − − − − + =
2
2 cos (2 sin 1) (2 sin 7 sin 3) 0
x x x x
⇔ − + − + =
2 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 3) 0
x x x x
⇔ − + − − =
(2 sin 1)(2 cos sin 3) 0
x x x
⇔ − + − =
2 sin 1 0
2 cos sin 3,( )
x
x x vn
− =
⇔
+ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
7)
sin2 cos2 3sin cos 2
x x x x
− = + −
2
2 sin cos (1 2 sin ) 3 sin cos 2 0
x x x x x
⇔ − − − − + =
2
(2 sin cos cos ) (2 sin 3 sin 1) 0
x x x x x
⇔ − + − + =
cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 1) 0
x x x x
⇔ − + − − =
(2 sin 1)(cos sin 1) 0
x x x
⇔ − + − =
2 sin 1
cos sin 1
x
x x
=
⇔
+ =
2
6
2 sin 1
5
2
6
x k
x
x k
π
π
π
π
= +
+ = ⇔
= +
2
2
cos sin 1 cos( )
4 2
2
2
x k
x x x
x k
π
π
π
π
=
+ + = ⇔ − = ⇔
= +
8)
2
(sin 2 3 cos 2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
π
+ − = −
Ta có:
1 3
sin 2 3 cos 2 2( sin 2 cos2 ) 2 cos(2 )
2 2 6
x x x x x
π
+ = + = −
Đặt:
sin2 3 cos 2 , 2 2
t x x t
= + − ≤ ≤
Phương trình trở thành:
2
5
2
t
t
− =
2
2 10 0
t t
⇔ − − =
2
5
2
t
t
= −
⇔
=
5
:
2
t+ =
loại
7
2 : 2 cos(2 ) 2
6 12
t x x k
π π
π
+ = − − = − ⇔ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
9)
3
2 cos cos 2 sin 0
x x x
+ + =
3 2
2 cos 2 cos 1 sin 0
x x x
⇔ + − + =
2
2 cos (cos 1) (1 sin ) 0
x x x
⇔ + − − =
2
2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0
x x x
⇔ − + − − =
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0
x x x x
⇔ − + + − − =
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0
x x x
⇔ − + + − =
(1 sin )[1 2 sin cos 2(sin cos )] 0
x x x x x
⇔ − + + + =
sin 1
1 2 sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
=
⇔
+ + + =
sin 1 2
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
1 2 sin cos 2(sin cos ) 0
x x x x
+ + + + =
2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0
x x x x
⇔ + + + =
(sin cos )(sin cos 2) 0
x x x x
⇔ + + + =
sin cos 0
x x
⇔ + =
tan 1
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
10)
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
−
+ =
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
1 cos2
(*) 1 cot2
1 cos 2
x
x
x
−
⇔ + =
−
1
1 cot2
1 cos2
x
x
⇔ + =
+
cos2 1
1
sin 2 1 cos2
x
x x
⇔ + =
+
sin 2 (1 cos 2 ) cos 2 (1 cos2 ) sin 2
x x x x x
⇔ + + + =
sin 2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0
x x x x
⇔ + + =
cos2 (sin 2 cos 2 1) 0
x x x
⇔ + + =
cos2 0
sin 2 cos2 1
x
x x
=
⇔
+ = −
cos2 0
4 2
x x k
π π
+ = ⇔ = +
sin2 cos2 1
x x
+ + = −
sin(2 ) sin( )
4 4
x
π π
⇔ + = −
4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Vậy,phương trình có nghiệm:
4 2
x k
π π
= +
11)
4 4
4(sin cos ) 3 sin 4 2
x x x
+ + =
2 2 2 2 2
4[(sin cos ) 2 sin cos ] 3 sin 4 2
x x x x x
⇔ + − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
2
1
4(1 sin 2 ) 3 sin 4 2
2
x x
⇔ − + =
cos 4 3 sin 4 2
x x
⇔ + = −
4 2
12 2
x k
x k
π π
π π
= +
⇔
= − +
12)
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x
+ + =
2 sin 4 2(sin 2 cos2 )(1 sin 2 cos 2 ) 0
x x x x x
⇔ − + + − =
(2 sin 4 ) (sin 2 cos 2 )(2 sin 4 ) 0
x x x x
⇔ − + + − =
(2 sin 4 )(sin 2 cos 2 1) 0
x x x
⇔ − + + =
sin2 cos2 1
x x
⇔ + = −
2
sin(2 )
4 2
x
π
⇔ + = −
4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
13)
tan 3 cot 4(sin 3 cos )
x x x x
− = +
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
sin cos
(*) 3 4(sin 3 cos )
cos sin
x x
x x
x x
⇔ − = +
2 2
sin 3 cos 4 sin cos (sin 3 cos ) 0
x x x x x x
⇔ − − + =
(sin 3 cos )(sin 3 cos ) 4 sin cos (sin 3 cos ) 0
x x x x x x x x
⇔ − + − + =
(sin 3 cos )(sin 3 cos 4 sin cos ) 0
x x x x x x
⇔ + − − =
sin 3 cos 0
sin 3 cos 4 sin cos 0
x x
x x x x
+ =
⇔
− − =
sin 3 cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
+ + = ⇔ = − ⇔ = − +
sin 3 cos 4 sin cos 0
x x x x
+ − − =
2 sin 2 sin 3 cos
x x x
⇔ = −
1 3
sin 2 sin cos
2 2
x x x
⇔ = −
sin 2 sin( )
3
x x
π
⇔ = −
2
3
4 2
9 3
x k
x k
π
π
π π
= − +
⇔
= +
Vậy,phương trình có nghiệm là:
;
3
x k
π
π
= − +
4 2
9 3
x k
π π
= +
14)
3 3
sin cos sin cos
x x x x
+ = −
2 3
sin (sin 1) cos cos 0
x x x x
⇔ − + + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
2 3
sin cos cos cos 0
x x x x
⇔ − + + =
2
cos ( sin cos cos 1) 0
x x x x
⇔ − + + =
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
=
⇔
− + = −
cos 0
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
2
sin cos cos 1
x x x
+ − + = −
1 1 cos2
sin 2 1
2 2
x
x
+
⇔ − + = −
sin 2 cos2 3,( )
x x vn
⇔ − =
Vậy,phương trình có nghiệm là:
,
2
x k k
π
π
= + ∈
15)
4 4
1
cos sin ( )
4 4
x x
π
+ + =
2 2
1 1 1
(1 cos 2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
x x
π
⇔ + + − + =
2 2
(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1
x x
⇔ + + + =
sin2 cos2 1
x x
⇔ + = −
3
cos(2 ) cos
4 4
x
π π
⇔ − =
2
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= − +
16)
3 3
4 sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 3
x x x x x
+ + =
3 3 3 3
4 sin (4 cos 3 cos ) 4 cos (3 sin 4 sin ) 3 3 cos 4 3
x x x x x x x
⇔ − + − + =
3 3
12 sin cos 12 cos sin 3 3 cos 4 3
x x x x x
⇔ − + + =
2 2
4 sin cos (cos sin ) 3 cos 4 1
x x x x x
⇔ − + =
2 sin2 cos2 3 cos 4 1
⇔ + =
sin 4 3 cos 4 1
x x
⇔ + =
1 3 1
sin 4 cos 4
2 2 2
x x
⇔ + =
sin(4 ) sin
3 6
x
π π
⇔ + =
24 2
,
8 2
x k
k
x k
π π
π π
= − +
⇔ ∈
= +
HT 4.Giải phương trình:
1)
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + − − − =
2)
2
5 sin 2 3(1 sin ) tan
x x x
− = −
3)
1 1
2 sin 3 2cos 3
sin cos
x x
x x
− = +
4)
2
cos (2 sin 3 2) 2 cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
5)
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x
− =
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8 cos
x x x
+ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
7)
cos(2 ) cos(2 ) 4 sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
+ + − + = + −
8)
2 2
3 cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = +
9)
2 2
4 sin 2 6 sin 9 3 cos 2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
10)
cos cos 3 2 cos5 0
x x x
+ + =
11)
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
12)
3
5
sin 5 cos sin
2 2
x x
x=
13)
2
sin 2 (cot tan 2 ) 4 cos
x x x x
+ =
14)
3
tan ( ) tan 1
4
x x
π
− = −
15)
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
16)
4 2
1 2
48 (1 cot2 cot ) 0
cos sin
x x
x x
− − + =
17)
8 8 10 10
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x
+ = + +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + − − − =
2 2 2 2 2
1 3
(sin cos ) 2 sin cos [sin(4 ) sin 2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
π
⇔ + − + − + − =
2
1 1 3
1 sin 2 ( cos 4 sin 2 ) 0
2 2 2
x x x
⇔ − + − + − =
2 2
1 1 1 1
sin 2 (1 2 sin 2 ) sin 2 0
2 2 2 2
x x x
⇔ − − − + − =
2
sin 2 sin 2 2 0
x x
⇔ + − =
sin2 1
x
⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = +
2)
2
5 sin 2 3(1 sin ) tan
x x x
− = −
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
2
2
sin
(1) 5 sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
⇔ − = −
2
2
sin
5 sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
⇔ − = −
−
2
3 sin
5 sin 2
1 sin
x
x
x
⇔ − =
+
2
2 sin 3 sin 2 0
x x
⇔ + − =
1
sin
2
x
⇔ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
3)
1 1
2 sin 3 2cos 3
sin cos
x x
x x
− = +
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
1 1
(*) 2(sin 3 cos 3 )
sin cos
x x
x x
⇔ − = +
3 3
1 1
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + = +
2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x
+
⇔ + − − + =
sin cos
2(sin cos )( 1 4 sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x
+
⇔ + − + − =
1
(sin cos )( 2 8 sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + − =
2
(sin cos )(4 sin 2 2) 0
sin 2
x x x
x
⇔ + − − =
2
(sin cos )(4 sin 2 2 sin 2 2) 0
x x x x
⇔ + − − =
2
sin cos 0
4 sin 2 2 sin 2 2 0
x x
x x
+ =
⇔
− − =
tan 1
sin 2 1
sin 2 1 / 2
x
x
x
= −
⇔ =
= −
4
12
7
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= ± +
⇔ = − +
= +
4)
2
cos (2 sin 3 2) 2 cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
(*)
Điều kiện:
sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2
(*) 2 sin cos 3 2 cos 2 cos 1 1 sin 2
x x x x x
⇔ + − − = +
2
2 cos 3 2 cos 2 0
x x
⇔ − + =
2
cos
2
x⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = ± +
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:
,
4
x k k
π
π
= + ∈
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
5)
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x
− =
1 1 1
cos (cos 2 cos ) sin (cos 2 cos )
2 2 2
x x x x x x
⇔ + + − =
2
cos cos2 cos sin cos 2 sin cos 1
x x x x x x x
⇔ + + − =
2
cos 2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0
x x x x x x
⇔ + + − − − =
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0
x x x x x x
⇔ + − + =
(sin cos )(cos2 sin ) 0
x x x x
⇔ + − =
2
(sin cos )( 2 sin sin 1) 0
x x x x
⇔ + − − + =
2
sin cos 0
2 sin sin 1 0
x x
x x
+ =
⇔
+ − =
tan 1
sin 1
sin 1 / 2
x
x
x
= −
⇔ = −
=
4
2
2
5
2 2
6 6
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π
= − +
⇔ = − +
= + ∨ = +
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8 cos
x x x
+ =
3
4 cos 6 2 sin cos 8 cos 0
x x x x
⇔ + − =
2
2 cos (2 cos 3 2 sin 4) 0
x x x
⇔ + − =
2
2 cos (2 sin 3 2 sin 2) 0
x x x
⇔ − + =
cos 0
2
sin
2
x
x
=
⇔
=
2
2
4
3
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= +
⇔ = +
= +
7)
cos(2 ) cos(2 ) 4 sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
+ + − + = + −
2 cos 2 cos 4 sin 2 2 2 sin 0
4
x x x
π
⇔ + − − + =
2
2(1 2 sin ) 4 sin 2 2 2 sin 0
x x x
⇔ − + − − + =
2
2 2 sin (4 2)sin 2 0
x x
⇔ − + + =
1
sin
2
x
⇔ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
8)
2 2
3 cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = +
(1)
Điều kiện:
sin 0
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
4 2
cos cos
(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x
x x
⇔ + = +
Đặt:
2
cos
sin
x
t
x
=
phương trình trở thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
t t
t
=
− + + = ⇔
=
2
2 cos 2
:
3 3
sin
x
t
x
+ = =
2
3 cos 2(1 cos )
x x
⇔ = −
2
2 cos 3 cos 2 0
x x
⇔ + − =
1
cos
2
x
⇔ =
2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
+ = =
2
cos 2(1 cos )
x x
⇔ = −
2
2 cos cos 2 0
x x
⇔ + − =
2
cos
2
x⇔ =
2
4
x k
π
π
⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2 , 2
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
9)
2 2
4 sin 2 6 sin 9 3 cos 2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
(*)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
2
(*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos 2 ) 9 3 cos 0
x x x
⇔ − + − − − =
2
4 cos 2 6 cos 2 0
x x
⇔ + + =
cos 2 1
1
cos 2
2
x
x
= −
⇔
= −
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
3
x k
π
π
= ± +
10)
cos cos 3 2 cos5 0
x x x
+ + =
(cos 5 cos ) (cos 5 cos 3 ) 0
x x x x
⇔ + + + =
2 cos3 cos2 2 cos 4 cos 0
x x x x
⇔ + =
3 2
(4 cos 3 cos )cos 2 (2 cos 2 1)cos 0
x x x x x
⇔ − + − =
2 2
cos [(4 cos 3)cos2 2 cos 2 1] 0
x x x x
⇔ − + − =
2
cos {[2(1 cos 2 ) 3]cos 2 2 cos 2 1} 0
x x x x
⇔ + − + − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
2
cos (4 cos 2 cos2 1) 0
x x x
⇔ − − =
cos 0
1 17
cos
8
1 17
cos
8
x
x
x
=
−
⇔ =
+
=
2
1 17
arccos 2
8
1 17
arccos 2
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
= +
−
⇔ = ± +
+
= ± +
11)
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
(*)
8 8 4 4 2 4 4
sin cos (sin cos ) 2 sin cos
x x x x x x
+ = + −
2 2 2 2 2 2 4
1
[(sin cos ) 2 sin cos )] sin 2
8
x x x x x
= + − −
2 2 4
1 1
(1 sin 2 ) sin 2
2 8
x x
= − −
2 4
1
1 sin 2 sin 2
8
x x
= − +
2 4 2
1
(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8
x x x
⇔ − + = −
4 2
2 sin 2 sin 2 1 0
x x
⇔ + − =
2
1
sin 2
2
x
⇔ =
2
1 2 sin 2 0
x
⇔ − =
cos 4 0
x
⇔ =
8 4
x k
π π
⇔ = +
12)
3
5
sin 5 cos sin
2 2
x x
x=
(*)
Ta thấy:
cos 0 2 cos 1
2
x
x k xπ π
= ⇔ = + ⇔ = −
Thay vào phương trình (*) ta được:
5
sin( 5 ) sin( )
2 2
k k
π π
π π
+ = − +
không thỏa mãn với mọi k
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
3
5
(*) sin cos 5 cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x⇔ =
3
1 5
(sin 3 sin 2 ) cos sin
2 2
x x x x
⇔ + =
3 3
3 sin 4 sin 2 sin cos 5 cos sin 0
x x x x x x
⇔ − + − =
2 3
sin (3 4 sin 2 cos 5 cos ) 0
x x x x
⇔ − + − =
3 2
sin (5 cos 4 cos 2 cos 1) 0
x x x x
⇔ − − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21
cos
10
x
x
x
x
=
=
− +
⇔
=
− −
=
2
1 21
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
=
=
− +
⇔
= ± +
− −
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
=
,
1 21
arccos 2
10
x k
π
− +
= ± +
1 21
arccos 2
10
x k
π
− −
= ± +
13)
2
sin 2 (cot tan 2 ) 4 cos
x x x x
+ =
(1)
Điều kiện:
sin 0
cos 2 0
4 2
x k
x
x
x k
π
π π
≠
≠
⇔
≠
≠ +
Ta có:
cos sin 2
cot tan 2
sin cos2
x x
x x
x x
+ = +
cos2 cos sin 2 sin
sin cos 2
x x x x
x x
+
=
cos
sin cos 2
x
x x
=
2
cos
(1) 2 sin cos 4 cos
sin cos 2
x
x x x
x x
⇔ =
2
2
cos
2 cos
cos 2
x
x
x
⇔ =
2
cos (1 2 cos 2 ) 0
x x
⇔ − =
cos 0
cos2 1 / 2
x
x
=
⇔
=
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
π
= +
,
6
x k
π
π
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
5
2
x k
π
=
,
5 1 21 5
arccos
4 4 2
x k
π
−
= ± +
14)
3
tan ( ) tan 1
4
x x
π
− = −
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
3
cos( ) 0
4
4
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
≠
≠ +
⇔
− ≠
≠ +
3
3
(tan 1)
(1) tan 1
(1 tan )
x
x
x
−
⇔ = −
+
3 3
(tan 1) (tan 1)(1 tan )
x x x
⇔ − = − +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
3 2
(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0
x x x
⇔ − + − − =
3 2
(tan 1)(tan 2 tan 5 tan ) 0
x x x x
⇔ − + + =
2
tan (tan 1)(tan 2 tan 5) 0
x x x x
⇔ − + + =
tan 0
tan 1
x
x
=
⇔
=
4
x k
x k
π
π
π
=
⇔
= +
C2: Đặt:
4
t x
π
= −
15)
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
(1)
Điều kiện:
sin( )cos( ) 0
4 4
sin( )cos( ) 0
4 4
x x
x x
π π
π π
− − ≠
+ + ≠
sin( 2 ) 0
4
cos 2 0
sin( 2 ) 0
4
x
x
x
π
π
− ≠
⇔ ⇔ ≠
+ ≠
1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
x x
x x
x x
π π
− +
− + = =
+ −
4 4 4
(1) sin 2 cos 2 cos 4
x x x
⇔ + =
2 2 4
1 2 sin 2 cos 2 cos 4
x x x
⇔ − =
2 4
1
1 sin 4 cos 4
2
x x
⇔ − =
2 4
1
1 (1 cos 4 ) cos 4
2
x x
⇔ − − =
4 2
2 cos 4 cos 4 1 0
x x
⇔ − − =
2
cos 4 1
x
⇔ =
2
1 cos 4 0
x
⇔ − =
sin 4 0
x
⇔ =
4
x k
π
⇔ =
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
=
16)
4 2
1 2
48 (1 cot2 cot ) 0
cos sin
x x
x x
− − + =
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Ta có:
cos2 cos
1 cot2 cot 1
sin 2 sin
x x
x x
x x
+ = +
cos2 sin sin 2 sin
sin 2 cos
x x x x
x x
+
=
2
cos
2 sin cos
x
x x
=
2
1
2 sin
x
=
4 4
1 1
(*) 48 0
cos sin
x x
⇔ − − =
4 4
1 1
48
cos sin
x x
⇔ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
4 4 4 4
48 sin cos sin cos
x x x x
⇔ = +
4 2
1
3 sin 2 1 sin 2
2
x x
⇔ = −
4 2
6 sin 2 sin 2 2 0
x x
⇔ + − =
2
1
sin 2
2
x
⇔ =
2
1 2 sin 2 0
x
⇔ − =
cos 4 0
x
⇔ =
8 4
x k
π π
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm:
8 4
x k
π π
= +
17)
8 8 10 10
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x
+ = + +
8 2 8 2
5
sin (1 2 sin ) cos (2 cos 1) cos 2
4
x x x x x
⇔ − − − =
8 8
5
sin cos 2 cos cos 2 cos2
4
x x x x x
⇔ − =
8 8
4 cos 2 (cos sin ) 5 cos 2 0
x x x x
⇔ − + =
4 4 4 4
4 cos 2 (cos sin )(cos sin ) 5 cos 2 0
x x x x x x
⇔ − + + =
2 2 2 2 4 4
4 cos 2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5 cos 2 0
x x x x x x x x
⇔ − + + + =
2 2 2
1
4 cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5 cos 2 0
2
x x x x x
⇔ − − + =
2 2
1
4 cos 2 (1 sin 2 ) 5 cos 2 0
2
x x x
⇔ − + =
2
4 cos 2 (4 cos 2 2 cos 2 sin 2 5) 0
x x x x
⇔ − + =
2
4 cos 2 [4 cos 2 2 cos 2 (1 cos 2 ) 5] 0
x x x x
⇔ − − + =
3
4 cos 2 (2 cos 2 2 cos 2 5) 0
x x x
⇔ + + =
cos2 0
x
⇔ =
4 2
x k
π π
⇔ = +
HT 5.Giải các phương trình sau:
1)
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
2)
2 2
1 sin sin cos sin 2 cos
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −
3)
in
2
17
sin(2 ) 16 2 3.s cos 20 sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
4)
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +
5)
os
5
2 2 sin 1
12
c x x
π
− =
6)
os
sin 2 1
2
sin cos
2. tan
x
c x
x x
x
+ =
+
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
7)
2
cos
2
1
sin sin 4 sin 4
4
x x x x
+ − =
8)
2 cos 4 ( 3 2)cos 2 sin 2 3
x x x
− − = +
9)
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ − − + =
10)
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)
Điều kiện:
sin 2 0
x
≠
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
⇔ = +
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2)
2 2
1 sin sin cos sin 2 cos (1)
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −
( )
2
1 1 sin sin cos sin 1 cos 1 sin
2 2 2
x x
x x x x
π
⇔ + − = + − = +
sin sin cos sin 1 0 sin sin cos .2 sin cos 1 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x
⇔ − − = ⇔ − − =
2
sin sin 1 2 sin 2 sin 1 0
2 2 2
x x x
x
⇔ − + + =
⇔
2
sin 0, sin 1,2 sin 2 sin 1 0
2 2 2
x x x
x
= = + + =
, 2
4
2 2
x k
x
x k k x k
x k
π
π
π π π
π π
=
⇔ = = + ⇔ ⇔ =
= +
3)
in
2
17
sin(2 ) 16 2 3.s cos 20 sin ( )
2 2 12
x
x x x
π π
+ + = + +
Biến đổi phương trình đó cho tương đương với
os os
2 3 sin 2 10 ( ) 6 0
6
c x x c x
π
− + + + =
os os
(2 ) 5 ( ) 3 0
3 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
os os
2
2 ( ) 5 ( ) 2 0
6 6
c x c x
π π
⇔ + + + + =
.Giải được
os
1
( )
6 2
c x
π
+ = −
và
os
( ) 2
6
c x
π
+ = −
(loại)
*Giải
os
1
( )
6 2
c x
π
+ = −
được nghiệm
2
2
x k
π
π
= +
và
5
2
6
x k
π
π
= − +
4)
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =
⇔ − + + + = ⇔
+ + + =
+ Với
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π− = ⇔ = + ∈
+ Với
2 2(sin ) sin . 0
x cosx x cosx
+ + + =
, đặt t =
(t )
sin 2; 2
x cosx
+ ∈ −
được pt :
2
1
4 3 0
3( )
t
t t
t loai
= −
+ = = ⇔
= −
t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +
⇒ ∈
= − +
Vậy :
, 2 , 2 ( , )
4 2
x k x m x m m Z k Z
π π
π π π π= + = + = − + ∈ ∈
5)
os
5
2 2 sin 1
12
c x x
π
− =
os
5
2 2 sin 1
12
c x x
π
− =
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
π π
⇔ − + =
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2 cos sin sin
3 12 12
x x
π π π π π π
π π π
⇔ − + = = ⇔ − = − =
= − = −
( )
5
2 2
5
12 12 6
sin 2 sin
5 13 3
12 12
2 2
12 12 4
x k x k
x k
x k x k
π π π
π π
π π
π π π
π π
− = − + = +
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈
− = + = +
6)
os
sin 2 1
2
sin cos
2. tan
x
c x
x x
x
+ =
+
Điều kiện:
sin 0, cos 0, sin cos 0.
x x x x
≠ ≠ + ≠
Pt đã cho trở thành
cos 2 sin cos
2 cos 0
sin cos
2 sin
x x x
x
x x
x
+ − =
+
2
cos 2 cos
0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4
2 sin
x x
x x x
x x
x
π
⇔ − = ⇔ + − =
+
+)
Z
cos 0 , .
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
+)
Z
2 2 2
4 4
sin 2 sin( ) ,
2
4
2 2
4 4 3
x x m x m
x x m n
n
x x n x
π π
π π
π
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z
2
, .
4 3
t
x t
π π
⇔ = + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là :
2
x k
π
π
= +
;
Z
2
, , .
4 3
t
x k t
π π
= + ∈
7)
2
cos
2
1
sin sin 4 sin 4
4
x x x x
+ − =
pt đã cho tương đương với pt:
1 1 1 1
(1 cos2 ) (cos 3 cos5 ) (1 cos 8 )
2 2 2 4
x x x x
+ + − − − =
1 1 1
cos 3 cos 5 cos 3 cos 5 0
2 2 2
x x x x
⇔ + − + =
1
cos 5 0
1 1
2
cos 5 cos 3 0
1
2 2
cos 3 0
2
x
x x
x
+ =
⇔ + − = ⇔
− =
⇔
2 2
15 5
2
9 3
x k
x k
π π
π π
= ± +
= ± +
8)
2 cos 4 ( 3 2)cos 2 sin 2 3
x x x
− − = +
2(cos 4 cos 2 ) (cos 2 1) sin 2
x x x x
⇔ + = + +
2
=2 3cos
cos 0
4 cos 3 .cos 2 sin cos
2 cos 3 3 cos sin
x
x x x x x
x x x
=
⇔ + ⇔
= +
+
=
2
cos 0
x x k
π
π
= ⇔ +
+
=
3 2
6
2 cos 3 3 cos sin cos 3 cos
6
3 2
6
x x k
x x x x x
x x k
π
π
π
π
π
= − +
+ ⇔ = − ⇔
= − +
12
24 2
x k
k
x
π
π
π π
= − +
⇔
= +
9)
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ − − + =
2 2
(1 sin 2 ) (sin cos ) (cos sin ) 0
x x x x x
⇔ − + − + − =
(sin cos ) (sin cos ) 1 (sin cos ) 0
x x x x x x
⇔ − − + − + =
⇔
(
(sin cos )(1 2 cos ) 0
x x x
− − =
⇔
tan 1
1
cos
2
x
x
=
=
⇔
( )
.
4
,
.
3
x k
k l
x l
π
π
π
π
= +
∈
= ± +
( k,l
∈
Z).
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
10)
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
Điều kiện
cos 0
x
≠
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
⇔
(
)
2 2 3
sin 1 2 sin 2 sin 1 2 sin 0
x x x x
− + − + =
2
2
2
sin 1
2 sin sin 1 0 2
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x x x k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= − +
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ = +
=
= +
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm
5
2 ; 2
6 6
S k k
π π
π π
= + +
HT 6.Giải các phương trình sau:
1)
1 1
2.cos2 (1)
sin cos
x
x x
= +
2)
2
+ 3 )=2 3
2 cos 3 .cos (1 sin 2 cos (2 )
4
x x x x
π
+ +
3)
cos cos 3 1 2 sin 2
4
x x x
π
+ = + +
4)
2(sin cos )
1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
5)
2
5
4 3 sin cos 2 cos cos 3 sin 2 3 cos 2
2 2
0 (1)
2 sin 3
x x
x x x x
x
− + + +
=
−
6)
2 sin 2 2 sin 2 5 sin 3 cos 3
4
x x x x
π
+ + + − =
7)
2
(tan 1)sin cos 2 2 3(cos sin )sin .
x x x x x x
+ + + = +
8)
2 sin 2 3 sin cos 2
4
x x x
π
+ = + +
9)
(
)
(
)
(
)
1 sin 5 2 sin
3
2 sin 3 cos
x x
x x
+ −
=
+
10)
1
tan 2 tan (sin 4 sin 2 )(1)
6
x x x x− = +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
1 1
2.cos2 (1)
sin cos
x
x x
= +
Điều kiện:
2
x k
π
≠
cos sin
(1) 2. cos2 0
sin .cos
x x
x
x x
+
⇔ − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
2
(cos sin )(cos sin )sin 2 (cos sin ) 0
2
x x x x x x x
⇔ − + − + =
(cos sin ) (cos sin )sin 2 2 0
x x x x x
⇔ + − − =
(
)
2
2 sin 0
cos sin 0
4
(cos sin )sin 2 2 0
(cos sin ) 1 (cos sin ) 2 0
x
x x
x x x
x x x x
π
+ =
+ =
⇔ ⇔
− − =
− − − − =
3
sin 0
4
(cos sin ) (cos sin ) 2 0
x
x x x x
π
+ =
⇔
− − − + =
⇔
4
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
−
= +
= +
ĐS:
4
x k
π
π
−
= +
,
k Z
∈
2)
2
+ 3 )=2 3
2 cos 3 .cos (1 sin 2 cos (2 )
4
x x x x
π
+ +
os4x+cos2x+ 3 os(4x+ + 3 + 3
2
(1 sin 2 ) 3 1 ) cos 4 sin 4 cos 2 sin 2 0
PT c x c x x x x
π
⇔ + = + ⇔ + =
=0
2
18 3
sin(4 ) sin(2 ) 0 2 sin(3 ).cos
6 6 6
x k
x x x x
x k
π π
π π π
π
π
= − +
⇔ + + + = ⇔ + ⇔
= +
Vậy PT có hai nghiệm
2
x k
π
π
= +
và
18 3
x k
π π
= − +
.
3)
cos cos 3 1 2 sin 2
4
x x x
π
+ = + +
2 cos 2 cos 1 sin 2 cos 2
x x x x
⇔ = + +
cos 2 (2 cos 1) 1 2 sin cos
x x x x
⇔ − = +
2 2 2
(cos sin )(2 cos 1) (cos sin )
x x x x x
⇔ − − = +
cos sin 0 (1)
(cos sin )(2 cos 1) cos sin (2)
x x
x x x x x
+ =
⇔
− − = +
(1) 2 sin 0
4 4 4
x x k x k
π π π
π π
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − +
cos 0
2
(2) 2 cos (cos sin 1) 0
2 cos 1
2
4
4 4
x
x k
x x x
x
x k
π
π
π
π π
π
=
= +
⇔ − − = ⇔ ⇔
+ =
+ = ± +
Vậy pt có nghiệm là
4
x k
π
π
= − +
,
2
x k
π
π
= +
,
2
x k
π
=
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
4)
2(sin cos )
1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Điều kiện : sinx.cosx
inx
s .cos 0
cot 1
x
x
≠
≠
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
(
)
2 sin cos
1
sin cos2 cos sin
cos sin 2 sin
x x
x x x x
x x x
−
=
−
+
2(sin cos )sin
cos .sin 2
cos cos sin
x x x
x x
x x x
−
⇔ =
−
3
2
2
4
cos ( )
3
2
2
4
x k
x k Z
x k
π
π
π
π
= − +
⇔ = − ⇔ ∈
= +
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
3
2 ,( )
4
x k k Z
π
π= + ∈
5)
2
5
4 3 sin cos 2 cos cos 3 sin 2 3 cos 2
2 2
0 (1)
2 sin 3
x x
x x x x
x
− + + +
=
−
Điều kiện :
3
sin
2
x ≠
2 3 sin 2 cos cos 3 cos 2 3 sin 2 3 cos 2 0
x x x x x x
− − + + + =
(
)
(
)
(
)
3 sin 2 2 cos 1 cos 3 cos cos2 1 2 cos 1 0
x x x x x x
⇔ + − − − − + + =
(
)
2 2
3 sin 2 2 cos 1 4 cos . sin 2 sin 2 cos 1 0
x x x x x x
⇔ + + + + + =
(
)
(
)
(
)
2
3 sin 2 2 cos 1 2 sin 2 cos 1 2 cos 1 0
x x x x x
⇔ + + + + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 cos 1 3 sin 2 2 sin 1 0 2 cos 1 3 sin 2 cos 2 2 0
x x x x x x
⇔ + + + = ⇔ + − + =
( )
1
2
cos
2
2 cos 1 0
2
3
1
3 sin 2 cos 2 2 0
cos 2
;
3 2
3
x
x k
x
k
x x
x
x k x k
π
π
π
π
π π
−
=
= ± +
+ =
⇔ ⇔ ⇔ ∈ Ζ
−
− + =
+ =
= = +
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
2
; 2 ; 2 ( )
3 3
x k x k x k k Z
π π
π π π
− −
= = + = + ∈
6)
2 sin 2 2 sin 2 5 sin 3 cos 3
4
x x x x
π
+ + + − =
(1)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
os
(1) 2 sin 2 sin 2 2 5 sin 3 cos 3
x x c x x x
⇔ + + + − =
2
6 sin cos 3 cos (2 sin 5 sin 2) 0
x x x x x
⇔ − − − + =
3 cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 2) 0
x x x x
⇔ − − − − =
(2 sin 1)(3 cos sin 2) 0
x x x
⇔ − − + =
1
sin , sin 3 cos 2
2
x x x
⇔ = − =
+
1 5
sin 2 , 2 ;
2 6 6
x x k x k k
π π
π π
= ⇔ = + = + ∈
inx os
2 1 2
s 3 cos 2 sin( ) ,( ) arcsin 2
10 10 10
2
arcsin 2 ,
10
x x c x k
x k k
α α α π
π α π
− = ⇔ − = = ⇔ = + +
= + − + ∈
Vậy pt có 4 họ nghiệm :
5 2 2
2 , 2 , arcsin 2 , arcsin 2 ;
6 6
10 10
x k x k x k k k
π π
π π α π π α π
= + = + = + + + − + ∈
7)
2
(tan 1)sin cos 2 2 3(cos sin )sin .
x x x x x x
+ + + = +
Điều kiện:
cos 0,
x
≠
hay
.
2
x k
π
π
≠ +
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 2
(tan 1)sin 1 2 sin 2 3(cos sin )sin
x x x x x x
+ + − + = +
2 2
(tan 1)sin 3 3(cos sin )sin 6 sin
x x x x x x
⇔ − + = − +
2
(tan 1) sin 3 cos 2 3(cos sin ) sin
x x x x x x
⇔ − + = −
2
(tan 1)sin 3(cos sin )cos 0
x x x x x
⇔ − + − =
2 2
(sin cos )(sin 3 cos ) 0 (sin cos )(2 cos 2 1) 0
x x x x x x x
⇔ − − = ⇔ − + =
sin cos
4
1
cos 2
, .
2
3
x x
x k
x
x k k
π
π
π
π
=
= +
⇔ ⇔
= −
= ± + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm
, ,
4 3
x k x k k Z
π π
π π
= + = ± + ∈
8)
2 sin 2 3 sin cos 2
4
x x x
π
+ = + +
sin 2 cos 2 3 sin cos 2
x x x x
⇔ + = + +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
⇔
2
2 sin cos 2 cos 1 3 sin cos 2
x x x x x
+ − = + +
⇔
(
)
2
sin 2 cos 3 2 cos cos 3 0
x x x x
− + − − =
⇔
(
)
(
)
(
)
sin 2 cos 3 cos 1 2 cos 3 0
x x x x
− + + − =
⇔
(
)
(
)
2 cos 3 sin cos 1 0
x x x
− + + =
⇔
1
sin cos 1 0 sin cos 1 sin
4
2
x x x x x
π
+ + = ⇔ + = − ⇔ + = −
⇔
2
4 4
5
2
4 4
x k
x k
π π
π
π π
π
+ = − +
+ = +
, (k ∈ Z )
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= − +
⇔
= +
(k ∈ Z.)
9)
(
)
(
)
(
)
1 sin 5 2 sin
3
2 sin 3 cos
x x
x x
+ −
=
+
cos 0 ,
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈
Z
(
)
(
)
(
)
2
1 sin 5 2 sin
3 5 3 sin 2 sin 3 sin 2 3 3 cos
2 sin 3 cos
x x
x x x x
x x
+ −
= ⇔ + − = +
+
⇔
(
)
(
)
cos 2 3 sin 2 3 sin 3 cos 4 0 cos 2 3 cos 2 0
3 6
x x x x x x
π π
− + − + = ⇔ + − + + =
2
2
6
cos 1
6
2 cos 3 cos 1 0 2 ,
1
6 6 6
cos
6 2
2
2
x k
x
x x x k k
x
x k
π
π
π
π π π
π
π
π
π
= − +
+ =
⇔ + − + + = ⇔ ⇔ = + ∈
+ =
= − +
Z
Ñoái chieáu ñieàu kieän ta coù caùc nghieäm 2 ,
6
x k k
π
π
= ± + ∈
Z
10)
1
tan 2 tan (sin 4 sin 2 )(1)
6
x x x x− = +
Điều kiện:
cos2 0
4 2
cos 0
2
m
x
x
m Z
x
x m
π π
π
π
≠ +
≠
⇔ ∈
≠
≠ +
2 2 2
2
3 2
(1) 6 sin cos 2 cos (sin 4 sin 2 )
6 sin cos cos2 (4 sin cos cos 2 2 sin cos )
sin (4 cos cos 2 2 cos cos 2 6) 0
sin (2 cos 2 (1 cos2 ) cos 2 (1 cos 2 ) 6 0
sin (2 cos 2 3 cos 2 cos2 6) 0
sin (cos 2
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
⇔ = +
⇔ = +
⇔ + − =
⇔ + + + − =
⇔ + + − =
⇔ −
2
1)(2 cos 2 5 cos 2 6) 0
x x
+ + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
2
sin 0
cos 2 1 ( )
2 cos 2 5 cos 2 6 0( )
x
x x k tm k Z
x x VN
π
=
⇔ = ⇔ = ∈
+ + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
HT 7.Giải các phương trình sau:
1)
2(sin cos ) sin 3 cos 3 3 2(2 sin 2 )
x x x x x
− + + = +
2)
os
2 2
3
4 sin 3 2 1 2 cos ( )
2 4
x
c x x
π
− = + −
3)
2 2
3 cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = +
4)
(
)
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
5)
(
)
2 3 sin 2 3 sin cos 2 3 cos
x x x x
+ − = +
6)
2
2
1 sin 2 cos 2
cos (sin 2 2 cos )
1 tan
x x
x x x
x
+ −
= +
+
7)
(
)
(
)
2 2
tan 1 tan 2 3 sin 1 0
x x x
+ + − − =
8)
1
cos cos cos 2 1
4 4 3
x x x
π π
− + + = −
9)
cos 2 5 2 2(2 cos )sin( )
4
x x x
π
+ = − −
10)
( )
3 2
cos cos
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
2(sin cos ) sin 3 cos 3 3 2(2 sin 2 )
x x x x x
− + + = +
⇔
3 3
2(sin cos ) 3 sin 4 sin 4 cos 3 cos 3 2(2 sin 2 )
x x x x x x x
− + − + − = +
⇔
5(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos ) 3 2(2 sin 2 )
x x x x x x x
− − − + = +
⇔
(sin cos )(1 4 sin cos ) 3 2(2 sin 2 )
x x x x x
− − = +
(1)
+ Đặt
sin cos
t x x
= −
2 2
t
− ≤ ≤
thì
2
1 sin 2
t x
= −
+ (1) trở thành
2 2
1 2( 1) 3 2(3 )
t t t
+ − = −
⇔
3 2
2 3 2 9 2 0
t t t
+ − − =
⇔
2
( 2)(2 5 2 9) 0
t t t
− + + =
⇔
t =
2
+
sin cos 2
x x
− =
⇔
3
sin( ) 1 2
4 4
x x k
π π
π
− = ⇔ = +
2)
os
2 2
3
4 sin 3 2 1 2 cos ( )
2 4
x
c x x
π
− = + −
Ta có:
os os os
2 2
3 3
4 sin 3 2 1 2 cos ( ) 2(1 cos ) 3 2 1 1 (2 )
2 4 2
x
c x x x c x c x
π π
− = + − ⇔ − − = + + −
os os
2(1 cos ) 3 2 2 sin 2 3 2 sin 2 2 cos
x c x x c x x x
⇔ − − = − ⇔ − = −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
os os os
3 1
2 sin 2 cos (2 ) ( )
2 2 6
c x x x c x c x
π
π⇔ − = − ⇔ + = −
5 2
2 2
6 18 3
,
7
2 2 2
6 6
x x k x k
k Z
x x k x k
π π π
π π
π π
π π π
+ = − + = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = − +
3)
2 2
3 cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = +
Điều kiện :
x k
π
≠
2
2
cos
3 cos 2 2(cos 2 sin )
sin
x
x x x
x
− = −
⇔
2 2
(cos 2 sin )(3 cos 2 sin ) 0
x x x x
− − =
⇔
2
2
2 cos cos 2 0
2 cos 3 cos 2 0
x x
x x
+ − =
+ − =
2 1
cos 2 ( ); cos ;cos 2 ( );cos
2 2
x loai x x loai x
⇔ = − = = − =
2
4
x k
π
π
= ± +
&
2
3
x k
π
π
= ± +
4)
(
)
2 cos sin
1
tan cot2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠
≠
Từ (1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin2
2 sin
sin cos2 cos cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2 sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔ = ⇔ ∈
= − +
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π= − + ∈
5)
(
)
2 3 sin 2 3 sin cos 2 3 cos
x x x x
+ − = +
Phương trình đã cho tương đương với:
3 1 3 1
1 .sin 2 cos2 3 sin cos 0
2 2 2 2
x x x x
+ − − + =
1 cos 2 3 sin 0
3 6
x x
π π
⇔ − + − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
(loai)
2
3
2 sin 3 sin 0 sin 0;sin
6 6 6 6 2
x x x x
π π π π
⇔ + − + = ⇔ + = + =
Với
sin 0 , .
6 6
x x k k
π π
π
+ = ⇒ = − + ∈
7)
2
2
1 sin 2 cos 2
cos (sin 2 2 cos )
1 tan
x x
x x x
x
+ −
= +
+
Điều kiện: cosx ≠ 0.
Biến đổi PT về:
cos
2
x(1 + sin2x − cos2x) = cos
2
x (2sinx + 2cosx)
⇔ 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vı cosx ≠ 0)
⇔ (sinx + cosx)
2
– (cos
2
x − sin
2
x) − 2(sinx + cosx) = 0
⇔ (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
⇔ (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 ⇔ sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
⇔ tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) ⇔ x =
4
k
π
π
− +
, (k ∈ )
8)
(
)
(
)
2 2
tan 1 tan 2 3 sin 1 0
x x x
+ + − − =
Điều kiện
cos 0
x
≠
Phương trình viết lại
2
2
1 tan
2 3 sin
1 tan
x
x
x
−
− =
+
os sin
2
2 3 sin 2 2 3 sin 1 0
x c x x x
⇔ − = ⇔ − + =
1
sin 1 ; sin
2
x x
⇔ = =
So sánh đ/k chọn
1
sin
2
x
=
( )
5
2 ; 2
6 6
x k x k k
π π
π π⇔ = + = + ∈
9)
1
cos cos cos 2 1
4 4 3
x x x
π π
− + + = −
⇔
(
)
2
1
2 cos .cos 2 cos 1 1
4 3
x x
π
= − −
⇔
osx
2
3 2 2 cos 4
c x
= −
⇔
2
2 cos 3 2 cos 4 0
x x
− − =
⇔
)( )=0
2
(cos 2 2 cos
2
x x− +
2
cos
2
x⇔ = −
⇔
3
2
4
x k
π
π
= ± +
.
10)
cos2 5 2 2(2 cos )sin( )
4
x x x
π
+ = − −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −
⇔
− = − ≤
2 sin 1 sin sin
4 4 4
x x
π π π
⇔ − = ⇔ − =
2
( )
2
2
x k
k Z
x k
π
π
π π
= +
⇔ ∈
= +
10)
( )
3 2
cos cos
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
ĐK:
sin cos 0
x x
+ ≠
Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
PT x x x x x
⇔ − − = + +
(
)
(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0
x x x x x
⇔ + + + + =
(
)
(
)
(
)
1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
⇔ + + + =
sin 1
cos 1
x
x
= −
⇔
= −
(thoả mãn điều kiện)
2
2
2
x k
x m
π
π
π π
= − +
⇔
= +
(
)
,k m
∈
Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
2
2
x k
π
π
= − +
và
2
x m
π π
= +
(
)
,k m
∈
Z
HT 8.Giải các phương trình sau:
1)
4 4
4 sin 4 cos ( ) 1
4
2
cos 2
x x
x
π
+ − −
=
2)
4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2)
3
1
1 2 cos
x x x x
x
π
+ + + +
=
−
3)
(
)
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
4)
( )
2
2
2
sin cos 2 sin
2
sin sin 3
2 4 4
1 cot
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
5)
os
sin 2 1
2 (1)
sin cos
2. tan
x
c x
x x
x
+ =
+
6)
.tan
2
sin( ) cos( )
1
6 3
(cos sin )
2 cos
cos
x x
x
x x
x
x
π π
− + −
− + =
7)
2
2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )
x x x x x
+ + = +
8)
(1 sin 2 cos 2 )sin( )
1
4
sin (cos 1)
1 cot
2
x x x
x x
x
π
− + +
= +
+
9)
( )
2
2
2
sin cos 2 sin
2
sin sin 3
2 4 4
1 cot
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
10)
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
Bài giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
1)
4 4
4 sin 4 cos ( ) 1
4
2
cos 2
x x
x
π
+ − −
=
(1)
ĐK:
os x
2 0 ( )
4 2
c x k k
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
-
2
2
(1) (1 cos 2 ) 1 cos(2 ) 1 2 cos2
2
x x x
π
⇔ − + + − =
x
2 2
(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 2 cos 2
x x
⇔ − + + − =
+
2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 1
x x x x x
⇔ − = ⇔ − =
os osx+ inx
2 2 2
2( sin ) ( s ) 0
c x x c
⇔ − − =
cos sin 0
(cos sin )(cos 3 sin ) 0 ( )
4
cos 3 sin 0
arctan 3
x x
x k
x x x x k
x x
x k
π
π
π
+ =
= − +
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
− =
= +
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là
arctan 3 ( )
x k k
π
= + ∈
2)
4 sin .sin( ) 5 3 sin 3(cos 2)
3
1
1 2 cos
x x x x
x
π
+ + + +
=
−
Điều kiện:
2
3
x k
π
π
≠ ± +
2
1 2.cos(2 ) 5( 3 sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10 sin( ) 4 0
3 6 6
PT x x x x x
π π π
⇔ − + + + + = ⇔ + + + + =
(L)
sin( ) 1 / 2
2
6
3
2
sin( ) 2 ( )
6
x
x k
x k
x VN
π
π
π
π
π π
+ = −
= − +
⇔ ⇔
= +
+ = −
Vậy,
{
}
2
S k
π π
= +
3)
(
)
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
ĐK:
4
x k
π
π
≠ − +
.
PT ⇔
(1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )
x x x x x x
+ − − = + +
1 sin 0
sin cos sin cos 1 0
x
x x x x
+ =
⇔
+ + + =
(
)
(
)
1 sin 0
1 sin cos 1 0
x
x x
+ =
⇔
+ + =
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= − +
⇔
= +
( Thoả mãn điều kiện)
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
4)
( )
2
2
2
sin cos 2 sin
2
sin sin 3
2 4 4
1 cot
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
.
Điều kiện xác định
sin 0
x
≠
hay
;
x k k
π
≠ ∈
Z
.
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( )
2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 0
4 4
3
cos 2 0
8 2
,
4
2
sin 1 0
2
x x x x x x x
k
x
x
k m Z
x m
x
π π
π π
π
π
π
+ = − ⇔ − − =
= +
− =
⇔ ⇔ ∈
= +
− =
So với điều kiện nghiệm của phương trình là
( )
3
; 2 ; ,
8 2 2
k
x x m k m Z
π π π
π= + = + ∈
5)
os
sin 2 1
2 (1)
sin cos
2. tan
x
c x
x x
x
+ =
+
Điều kiện:
sin 0, cos 0, sin cos 0.
x x x x
≠ ≠ + ≠
cos 2 sin cos
(1) 2 cos 0
sin cos
2 sin
x x x
x
x x
x
⇔ + − =
+
2
cos 2 cos
0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4
2 sin
x x
x x x
x x
x
π
⇔ − = ⇔ + − =
+
+)
Z
cos 0 , .
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈
+)
Z
2 2 2
4 4
sin 2 sin( ) ,
2
4
2 2
4 4 3
x x m x m
x x m n
n
x x n x
π π
π π
π
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z
2
, .
4 3
t
x t
π π
⇔ = + ∈
So sánh điều kiện, nghiệm của phương trình:
2
x k
π
π
= +
;
Z
2
, , .
4 3
t
x k t
π π
= + ∈
6)
.tan
2
sin( ) cos( )
1
6 3
(cos sin )
2 cos
cos
x x
x
x x
x
x
π π
− + −
− + =
Điều kiện
cos
cos 0
0
2
x
x
≠
≠
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
Phương trình
⇔
cos
2
2
2
cos( ) cos( )
1
3 3
(cos 2 sin )
2 cos
x x
x
x
x
x
π π
− + −
− + =
cos cos
2
2 2
2 cos( )cos
1 1 3 sin
2 6
(cos 1 cos ) 1 tan 3 tan
cos cos
x
x
x x x x
x x
x x
π π
−
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ =
2
tan 0
tan 3 tan 0 ( )
tan 3
3
x k
x
x x k Z
x
x k
π
π
π
=
=
− = ⇔ ⇔ ∈
=
= +
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là
2
( )
3
x l
l Z
x l
π
π
π
=
∈
= +
7) Giải phương trình
2
2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )
x x x x x
+ + = +
.
2
2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )
x x x x x
+ + = +
2
(sin 3 cos ) 3(sin 3 cos ) 0
x x x x
⇔ + − + =
sin 3 cos 0 sin 3 cos 3
x x x x
⇔ + = ∨ + =
(1)
Phương trình
sin 3 cos 3
x x
+ =
vô nghiệm vì
2 2 2
1 ( 3) 3
+ <
Nên (1)
tan 3
3
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
(
k
∈
). Vậy, PT có nghiệm là:
3
x k
π
π
= − +
(
k
∈
).
8)
(1 sin 2 cos 2 )sin( )
1
4
sin (cos 1)
1 cot
2
x x x
x x
x
π
− + +
= +
+
Đk :
sin 0
cot 1
x
x
≠
≠ −
pt
(1 sin 2 cos2 )(sin cos )
1
.sin .(cos 1)
sin cos
2
2.
sin
x x x x
x x
x x
x
− + +
= +
+
1 – sinx +
2
cos2x = cosx + 1 sinx + cosx =
2
cos2x
sinx + cosx =
2
(cosx + sinx)(cosx – sinx)
2
(cosx – sinx) = 1
2cos
4
x
π
+
= 1 cos
4
x
π
+
= cos
3
π
Kết hợp đk => nghiệm phương trình : x =
2
12
k
π
π
+
hoặc x =
7
2
12
k
π
π
− +
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
9)
( )
2
2
2
sin cos 2 sin
2
sin sin 3
2 4 4
1 cot
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
Điều kiện:
sin 0
x
≠
(*). Khi đó:
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
in2
2
s cos 2 .sin 2 cos 2 .sin
4
x x x x x
π
+ = −
( )
cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 0
4 4 4
x x x x x
π π π
⇔ − = − ⇔ − − =
+
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
(
)
k
∈
, thỏa (*) +
3
cos 2 0
4 8 2
k
x x
π π π
− = ⇔ = +
(
)
k
∈
, thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm:
( )
3
2 ; .
2 8 2
k
x k x k
π π π
π= + = + ∈
10)
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
Điều kiện
cos 0
x
≠
(
)
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2 sin 0
x x x x x
+ − + =
⇔
(
)
2 2 3
sin 1 2 sin 2 sin 1 2 sin 0
x x x x
− + − + =
2
sin 1
5
2 sin sin 1 0 2 ; 2 ; 2
1
2 6 6
sin
2
x
x x x k x k x k
x
π π π
π π π
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ = − + = + = +
=
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm
5
2 ; 2
6 6
S k k
π π
π π
= + +
HT 9.Giải các phương trình sau:
1)
2 sin 2 sin 3 cos 2 0
4
x x x
π
+ − − + =
2)
(
)
2
2
2
2 cos 3 sin 2 3
3 tan 1
2 cos . sin
3
x x
x
x x
π
+ +
= +
+
3)
4
3 4 cos 2 8 sin 1
sin 2 cos 2 sin 2
x x
x x x
− −
=
+
4)
2 2 2
3
sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2
x x x x x
π π π
+ − + + = + −
5)
(
)
2 2
3 cot 2 2 sin 2 3 2 cos
0
2 sin 3
x x x
x
+ − +
=
+
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
6)
inx inx inxcos (cos 2 s ) 3 s (s 2)
1
sin2 1
x x
x
+ + +
=
−
7)
1 sin 2
cot 2 sin( )
sin cos 2
2
x
x x
x x
π
+ = +
+
8)
2
2 cos 2 3 sin cos 1
3 cos sin
2 cos 2
x x x
x x
x
− +
= −
9)
os
2 2 2
7
sin tan (3 ) 0.
2 4 2
x x
x c
π
π
+ − − =
10)
3 3
sin sin 3 cos .cos 3 1
8
tan tan
6 3
x x x x
x x
π π
+
= −
− +
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
2 sin 2 sin 3 cos 2 0
4
x x x
π
+ − − + =
2 sin 2 sin 3 cos 2 0
4
x x x
π
+ − − + =
⇔
sin 2 cos 2 sin 3 cos 2 0
x x x x
+ − − + =
⇔
2
2 sin cos sin 2 cos 3 cos 1 0
x x x x x
− + − + =
⇔
(
)
(
)
(
)
sin 2 cos 1 cos 1 2 cos 1 0
x x x x
− + − − =
⇔
(
)
(
)
2 cos 1 sin cos 1 0
x x x
− + − =
⇔
1
cos
2
x
=
,
1
sin
4
2
x
π
+ =
Nghiệm phương trình:
2
3
x k
π
π
= ± +
,
2
x k
π
=
,
2
2
x k
π
π
= +
2)
(
)
2
2
2
2 cos 3 sin 2 3
3 tan 1
2 cos .sin
3
x x
x
x x
π
+ +
= +
+
.
Điều kiện:
cos 0
2
sin 0
3
3
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
≠
≠ +
⇔
+ ≠
≠ − +
(
)
k Z
∈
(*).
Khi đó:Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
3
cos 2 3 sin 2 4 2 cos sin
3
cos
x x x x
x
π
+ + = +
cos 2 .cos sin 2 . sin 2 3 sin
3 3 3
x x x
π π π
⇔ + + = +
2
cos 2 3 sin 2 0 2 cos 3 cos 1 0
3 3 6 6
x x x x
π π π π
⇔ − − + + = ⇔ − − − + =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
⇔
cos 1
6
x
π
− =
,
1
cos
6 2
x
π
− =
Với
cos 1 2 2
6 6 6
x x k x k
π π π
π π
− = ⇔ − = ⇔ = +
(
)
k
∈
, thỏa (*)
Với
2
1
6 3
cos 2
6 2 6
2
6 3
x k
x x k
x k
π π
π
π π
π
π π
π
− = +
− = ⇔ ⇒ = − +
− = − +
(
)
k
∈
, thỏa (*)
Vậy, phương trình có nghiệm:
( )
2 .
6
x k k
π
π= ± + ∈
3)
4
3 4 cos 2 8 sin 1
sin 2 cos 2 sin 2
x x
x x x
− −
=
+
Điều kiện:
( )
sin 2 cos 2 0
8 2
sin 2 0
2
x l
x x
l
x
x l
π π
π
≠ − +
+ ≠
⇔ ∈
≠
≠
Z
Ta có:
2
4
1 cos 2
8 sin 8 3 4 cos2 cos 4
2
x
x x x
−
= = = − +
Phương trình
(
)
3 4 cos 2 3 4 cos 2 cos 4
1
sin 2 cos 2 sin 2
x x x
x x x
− − − +
⇔ =
+
( )
cos 4 1
sin 2 cos2 0, sin 2 0
sin 2 cos2 sin 2
x
do x x x
x x x
−
⇔ = + ≠ ≠
+
( ) ( )
1
cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0
sin 2
x x x x x
x
⇔ − − = ⇔ + =
( ) ( )
cos2 0 sin 2 cos 2 0 2
2 4 2
x x x loai x k x k k
π π π
π⇔ = ∨ + = ⇔ = + ⇔ = + ∈
Vậy nghiệm của phương trình:
( )
4 2
x k k
π π
= + ∈
Z
4)
2 2 2
3
sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2
x x x x x
π π π
+ − + + = + −
Ta co
2 2 2
3
sin sin sin 2 3 sin .cos
3 3 6 2
x x x x x
π π π
+ − + + = + −
(
)
2 2
1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2
3 3
3
3 3 sin cos cos
2 2
x x x
x x x
π π
− + − − + + −
⇔ = + −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
2
2
3 cos 2 2 cos cos2
3
3
3 sin cos 3 cos
2 2
x x
x x x
π
− −
⇔ = + −
(
)
2
3 3 sin 2 3 2 cos 1
x x
⇔ = + −
3 sin 2 cos2 3
x x
⇔ + =
3 1 3
sin 2 . cos 2 . sin 2 sin
2 2 2 6 3
x x x
π π
⇔ + = ⇔ + =
( )
2 2
6 3 12
2 2
6 3 4
x k x k
k
x k x k
π π π
π π
π π π
π π π
+ = + = +
⇔ ⇔ ∈
+ = − + = +
5)
(
)
2 2
3 cot 2 2 sin 2 3 2 cos
0
2 sin 3
x x x
x
+ − +
=
+
Điều kiện: cosx
≠
0,
3
sin
2
x ≠ −
Khi đó pt đã cho
(
)
(
)
2 2
3 cot 3 2 cos 2 2 sin 2 cos 0
x x x x
⇔ − + − =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
cos
3 cos 2 2 2 sin cos 0 3 cos 2 sin 2 sin cos 0
sin
x
x x x x x x x
x
⇔ − + − = ⇔ − − =
2 2
)cos 2 sin 0 2 cos cos 2 0
x x x x
+ − = ⇔ + − =
( )
1
cos 2 , cos 2
4
2
x L x x k
π
π
= − = ⇔ = ± +
2 2
)3 cos 2 sin 0 2 cos 3 cos 2 0
x x x x
+ − = ⇔ + − =
( )
1
cos 2 , cos 2
2 3
x L x x k
π
π
⇔ = − = ⇔ = ± +
.
Đối chiếu với đ/k bài toán thì pt chỉ có 3 họ nghiệm:.
2 , 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈
6)
inx inx inx
cos (cos 2 s ) 3 s (s 2)
1
sin 2 1
x x
x
+ + +
=
−
Điều kiện: sin2x ≠ 1.
Pt ⇔
2 2
cos 2 sin cos 3 sin 3 2 sin sin 2 1
x x x x x x
+ + + = −
⇔
2
2 sin 3 2 sin 2 0
x x
+ + =
⇔
2
sin
2
sin 2
x
x
−
=
= −
⇔
2
4
5
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= − +
= +
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm:
2
4
x k
π
π
= − +
.
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
7)
1 sin 2
cot 2 sin( )
sin cos 2
2
x
x x
x x
π
+ = +
+
Điều kiện:
sin 0, sin cos 0.
x x x
≠ + ≠
PT:
cos 2 sin cos
2 cos 0
sin cos
2 sin
x x x
x
x x
x
+ − =
+
2
cos 2 cos
0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4
2 sin
x x
x x x
x x
x
π
⇔ − = ⇔ + − =
+
+)
Z
cos 0 , .
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈
+)
Z
2 2 2
4 4
sin 2 sin( ) ,
2
4
2 2
4 4 3
x x m x m
x x m n
n
x x n x
π π
π π
π
π π π
π π
= + + = +
= + ⇔ ⇔ ∈
= − − + = +
Z
2
, .
4 3
t
x t
π π
⇔ = + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là :
2
x k
π
π
= +
;
Z
2
, , .
4 3
t
x k t
π π
= + ∈
8)
2
2 cos 2 3 sin cos 1
3 cos sin
2 cos 2
x x x
x x
x
− +
= −
Điều kiện: cos2x
≠
0 (*)
Pt đã cho
2 2
3 cos 2 3 sin cos sin
2 cos 2
x x x x
x
− +
⇔ =
3 cos sin
x x
−
2
( 3 cos sin ) 2 cos 2
x x x
⇔ − =
(
3 cos sin
x x
−
)
⇔
3 cos sin 0
2 cos 2 3 cos sin
x x
x x x
− =
⇔
= −
tan 3
cos 2 cos( )
6
x
x x
π
=
= +
3
2
2 ,
6 18 3
x k
x k x k
π
π
π π π
π
= +
⇔
= + =− +
Các nghiệm đều TMĐK ( *) nên phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:
2
, 2 , ( )
3 6 18 3
x k x k x k k Z
π π π π
π π
= + = + =− + ∈
.
9)
os
2 2 2
7
sin tan (3 ) 0.
2 4 2
x x
x c
π
π
+ − − =
Đ/k:
cos 0
x
≠
Pt đã cho
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )
os os
os
inx inx inx
inx
anx
2
2 2 2
2
2 2
1 sin 1
sin tan 0 1 1 cos 0
2 4 2 2 2 2
1 s 1 cos 1 cos 1 sin 0 1 s 1 cos s cos 0
s 1
2 1
cos 1
t 1
4
x x x
x c c x x
c x
x x x x x
loai
x k
x k
x k
π π
π
π
π
⇔ − − = ⇔ − − − + =
⇔ − − − + − = ⇔ − + + =
=
= +
⇔ = − ⇔
= − +
= −
Z∈
10)
3 3
sin sin 3 cos .cos 3 1
8
tan tan
6 3
x x x x
x x
π π
+
= −
− +
Điều kiện:
6 2
k
x
π π
≠ +
Ta có
tan tan tan cot 1
6 3 6 6
x x x x
π π π π
− + = − − + = −
Phương trình tương đương với:
3 3
1
sin sin 3 cos cos 3
8
x x x x
+ =
1 cos 2 cos 2 cos 4 1 cos 2 cos2 cos 4 1
. .
2 2 2 2 8
x x x x x x
− − + +
⇔ + =
1
2(cos 2 cos2 . cos 4 )
2
x x x
⇔ − =
3
1 1
cos cos 2
8 2
x x
⇔ = ⇔ =
6
x k
π
π
= − +
và
6
x k
π
π
= +
( loại)
Vậy :
6
x k
π
π
= − +
HT 10.Giải các phương trình sau:
1)
sin 3 sin 2 sin 1 cos 3 cos 2 cos .
x x x x x x
+ + + = + −
2)
2
(tan 1)sin cos 2 2 3(cos sin )sin .
x x x x x x
+ + + = +
3)
5
2. cos 5 sin( 2 ) sin 2 .cot 3 .
2
x x x x
π
π
− + = +
4)
3 3
17
6 2 sin 2 8 cos 3 2 cos( 4 )cos 2
2
16
cos
x x x x
x
π
+ + −
=
5)
cot
3 4
2( 3)
2
sin 2
cos
x
x
x
+ = +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
6)
os
2 2 sin 1 2 sin cos 2 0
c x x x x
+ − − =
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
Bài giải
1)
sin 3 sin 2 sin 1 cos 3 cos 2 cos .
x x x x x x
+ + + = + −
2
2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos
x x x x x x x
⇔ + + = −
sin 2 (cos sin ) sin (cos sin ) 0
x x x x x x
⇔ + + + =
sin (2 cos 1)(cos sin ) 0.
x x x x
⇔ + + =
Từ đó ta có các trường hợp sau
*)
sin 0 ,
x x k k Z
π
= ⇔ = ∈
*)
1 2
2 cos 1 0 cos 2 ,
2 3
x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = ± + ∈
*)
cos sin 0 ,
4
x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = − + ∈
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2
, 2 , ,
3 4
x k x k x k k Z
π π
π π π
= = ± + = − + ∈
2)
2
(tan 1)sin cos 2 2 3(cos sin )sin .
x x x x x x
+ + + = +
Điều kiện:
cos 0,
x
≠
hay
.
2
x k
π
π
≠ +
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
2 2
(tan 1)sin 1 2 sin 2 3(cos sin )sin
x x x x x x
+ + − + = +
2 2
(tan 1)sin 3 3(cos sin )sin 6 sin
x x x x x x
⇔ − + = − +
2
2
2 2
(tan 1)sin 3 cos 2 3(cos sin )sin
(tan 1)sin 3(cos sin )cos 0
(sin cos )(sin 3 cos ) 0 (sin cos )(2 cos 2 1) 0
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + = −
⇔ − + − =
⇔ − − = ⇔ − + =
1
sin cos , cos 2 , ,
2 4 3
x x x x k x k k
π π
π π
⇔ = = − ⇔ = + = ± + ∈
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm
, ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= + = ± + ∈
3)
5
2. cos 5 sin( 2 ) sin 2 .cot 3 .
2
x x x x
π
π
− + = +
ĐK:
sin 3 0
x
≠
pt
⇔
cos
2 5 sin 2 cos2 .cot3
x x x x
+ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
⇔
cos
2 5 sin 3 sin 2 cos 3 cos 2 .cos 3
x x x x x x
+ =
⇔
cos cos
2 5 sin 3 5 0
x x x
− =
⇔
cos
5 ( 2 sin 3 1) 0
x x
− =
+)
1
sin 3 0
2
x
= ≠
(t/m đk)
⇔
2
12 3
2
4 3
k
x
k
x
π π
π π
= +
= +
+)
cos
5 0
x
=
⇔
10 5
k
x
π π
= +
t/m đk
4)
3 3
17
6 2 sin 2 8 cos 3 2 cos( 4 )cos 2
2
16
cos
x x x x
x
π
+ + −
=
với
5
( ; )
2 2
x
π π
∈
Ta có:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Với đk pt(1)
⇔
(
)
3 2 2
8 cos 6 2 sin 2 sin 2 cos 2 16 cos
x x x x x
+ + =
3
4 cos 3 2 sin 2 8 cos
x x x
⇔ + =
2
(2 cos 3 2 sin 4) 0
x x
⇔ + − =
2
2 sin 3 2 sin 2 0
x x
⇔ − + =
( )
3
2 , 2
4 4
x k x k k
π π
π π⇔ = + = + ∈
Vậy phương trình đă cho có 2 nghiệm
5
( ; )
2 2
x
π π
∈
là
3 9
;
4 4
x x
π π
= =
5)
cot
3 4
2( 3)
2
sin 2
cos
x
x
x
+ = +
Đie^u kien
sin 2 0
2
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
.
Ta co
(
)
tan cot
4
2
3 1 2 3 2
sin 2
x x
x
+ + − =
tan cotg
2 2
2(sin cos )
2
3 3 2
sin cos
x x
x x
x x
+
⇔ + − =
tan tan
2
3 2 3 0
x x
⇔ + − =
tan
3
x
= −
3
x k
π
π
⇔ = − +
tan
1
3
x =
6
x k
π
π
⇔ = +
6) Giải phương trình:
os
2 2 sin 1 2 sin cos 2 0
c x x x x
+ − − =
(1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
os os
1 2 1 2 sin 1 2 sin 0 2 1 1 2 sin 0
c x x x c x x
⇔ − − − = ⇔ − − =
Khi cos2x = 1<=>
x k
π
=
,
k Z
∈
Khi
1
sin
2
x
=
⇔
2
6
x k
π
π
= +
hoặc
5
2
6
x k
π
π
= +
,
k Z
∈
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:


TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HỌ VÀ TÊN: ……
…………………………………………………………… LỚP
:…………………… ……………………………………………. TR
ƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
HT 1.Giải các phương trình: 1) 2 2 2 2 cos x 3 cos x + = 0 2) 2 2 sin x sin 2x 2 cos x + + = 2 3) 3 sin x sin 2x cos x + + = 3 4) 2 2 sin x sin x − − 1 = 0 5) cos2x 3 sin x + − 2 = 0 6) 2 cos 2x 3 cos x − + 1 = 0 Bài giải 1) 2 2 cos x 3 cos x + = 0   cosx = 0 π  x k π  = +   2 ⇔ ⇔  ,  3 k ∈ x  = −  5 cos π x k  = ± + 2  2 π  6 2) 2 2 sin x sin 2x 2 cos x + + = 2  sin x = 0  x k π = ⇔ sin x(2 cos x sin x − ) = 0   ⇔ ⇔  tan x 2 x  = = arctan 2 k π +     3) 2 2 3 sin x sin 2x cos x + + = 3 2 2 sin x cos x 2 cos x 0 2 cos x(sin x cos x ⇔ − = ⇔ − ) = 0   π  x k x = + 2 cos = 0 π  2 ⇔  ⇔  tan x = 1 π  x k π   = +     4  π  x k = + 2π   x 2 sin = 1   π 4) 2 2 sin  x sin x − − 1 = 0 ⇔  x k ⇔  = − + 2π, 1 k ∈ sin x = −  6  2  7π  x k = + 2π  6  5) cos 2x 3 sin x + − 2 = 0 2 2 1 2 sin x 3 sin x 2 0 2 sin x 3 sin x ⇔ − + − = ⇔ − + 1 = 0  π  x k = + 2π   x 2 sin = 1   π  ⇔  x k ⇔  = + 2π , 1 k ∈ sin x =  6  2  5π x k = + 2π  6 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6) 2 cos 2x 3 cos x − + 1 = 0 2 4 cos x 3 cos x ⇔ − − 1 = 0  cos x = 1  x k = 2π   ⇔  ⇔  , 1 1 k ∈ cos x x = − = ± arccos(− ) k + 2π  4    4
HT 2.Giải các phương trình sau: 1) 3 sin 3x cos 3x − = 2 2) sin 5x cos 5x + = − 2 3) 3 sin x cos x + = 2 4) 3 sin x cos x − = 2 Bài giải 1) 3 sin 3x cos 3x − = 2 3 1 π π π 2π k2π sin 3x cos 3x ⇔ −
= 1 ⇔ sin (3x − ) = 1 ⇔ 3x k2π − = + ⇔ x = + 2 2 6 6 2 9 3 2) sin 5x cos 5x + = − 2 1 1 π π π 3π k2π sin 5x cos 5x ⇔ +
= −1 ⇔ sin (5x + ) = - 1 ⇔ 5x k2π + = − + ⇔ x = − + 2 2 4 4 2 20 5 3 1 2 3) 3 sin x cos x + = 2 sin x cos x ⇔ + = 2 2 2 π π 2 π π ⇔ sin x cos + cos x sin = ⇔ sin(x + ) = sin 6 6 2 6 4   π π π  x k + = + 2π x k = + 2π   ⇔ 6 4 12  ⇔  ,k ∈ π  3π  7π x k  + = + 2π x k  = + 2π  6 4  12 3 1 2 4) 3 sin x cos x − = 2 sin x cos x ⇔ − = 2 2 2 π π 2 π π ⇔ sin x cos − cos x sin = ⇔ sin(x − ) = sin 6 6 2 6 4   π π 5π  x k − = + 2  x k = + 2π  6 4  12 ⇔  ⇔  ,k ∈ π  3π  11π x k  − = + 2π x k  = + 2π  6 4  12 HT 3.Giải phương trình: 1 1) 3 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3x − = +
2) tan x − sin 2x − cos 2x + 2(2 cos x − ) = 0 cos x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 1 3) 8 sin x = + 4) 9 sinx 6 cos x 3 sin 2x cos 2x + − + = 8 cos x sin x 5) sin 2x 2 cos 2x 1 sin x 4 cos x + = + − 6) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x − = + − 4 π 7) sin 2x cos 2x 3 sin x cos x − = + − 2 8) 2
(sin 2x + 3 cos 2x) − 5 = cos(2x − ) 6 1 − cos 2x 9) 3 2 cos x cos 2x sin x + + = 0 10) 1 + cot 2x = 2 sin 2x 11) 4 4 4(sin x cos x) 3 sin 4x + + = 2 3 3 1 x x x 12) 1 + sin 2 + cos 2 = sin 4 2 13) x x x x x x x x
tan − 3 cot = 4(sin + 3 cos ) 14) 3 3 sin + cos = sin − cos π 15) 4 4 1 cos x + sin (x + ) = 16) 3 3 4 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x + + = 3 4 4
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) 3 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3x − = + 3 (3 sin 3x 4 sin 3x) 3 cos 9x ⇔ − − = 1  π 2π x k = + π π  sin 9x 3 cos 9x ⇔ − = 1 ⇔ sin(9x − ) = sin 18 9 ⇔  3 6  7π 2π x k  = +  54 9 1
2) tan x − sin 2x − cos 2x + 2(2 cos x − ) = 0 (1) cos x π Điều kiện: cos x 0 x k π ≠ ⇔ ≠ + 2 sin x 2 (1) ⇔
− sin 2x − cos 2x + 4 cos x − = 0 cos x cos x 2 2 sin x 2 sin x cos x cos 2x cos x 2(2 cos x ⇔ − − + − 1) = 0 2 sin x(1 2 cos x) cos 2x cos x 2 cos 2x ⇔ − − + = 0 sin x cos 2x cos 2x cos x 2 cos 2x ⇔ − − + = 0  cos 2x = 0 π π cos 2x(sin x cos x ⇔ + − 2) = 0  x k ⇔ ⇔ = +  sin x + cos x = 2(vn) 4 2  3 1 3) 8 sin x = + (*) cos x sin x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π Điều kiện: sin 2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ 2 2 (*) 8 sin x cos x 3 sin x cos x ⇔ = + 4(1 cos 2x) cos x 3 sin x cos x ⇔ − = + 4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x ⇔ − = − 2(cos 3x cos x) 3 sin x 3 cos x ⇔ − + = −  π  x k 1 3 π = + π  cos 3x cos x sin x ⇔ = − ⇔ cos 3x = cos(x + ) 6 ⇔  2 2 3 π π x k  = − +  12 2 C2 2 (*) 8 sin x cos x 3 sin x cos x ⇔ = + 2 8(1 cos x) cos x 3 sin x cos x ⇔ − = + 3 8 cos x 8 cos x 3 sin x 3 cos x ⇔ − = − 3 6 cos x 8 cos x 3 sin x cos x ⇔ − = − π 3 1 3 4 cos x 3 cos x cos x sin x ⇔ − = − ⇔ cos 3x = cos(x + ) 2 2 3  π  x k π = +  6 ⇔  π π x k  = − +  12 2 4) 9 sin x 6 cos x 3 sin 2x cos 2x + − + = 8 2 6 sin x cos x 6 cos x 2 sin x 9 sin x ⇔ − + − + 7 = 0 6 cos x(sin x 1) (sin x 1)(2 sin x ⇔ − + − − 7) = 0 (sin x 1)(6 cos x 2 sin x ⇔ − + − 7) = 0  sin x = 1 π  ⇔  x k2π ⇔ = + 6 cos x + 2 sin x = 7  2 5) sin 2x 2 cos 2x 1 sin x 4 cos x + = + − 2 2 sin x cos x 2(2 cos x 1) 1 sin x 4 cos x ⇔ + − − − + = 0 2 sin x(2 cos x 1) 4 cos x 4 cos x ⇔ − + + − 3 = 0 sin x(2 cos x 1) (2 cos x 1)(2 cos x ⇔ − + − + 3) = 0 (2 cos x 1)(2 sin x 2 cos x ⇔ − + + 3) = 0  1  cos x = π ⇔  2 x k2π ⇔ = ± + 
2 sin x + 2 cos x = −3,(vn) 3  6) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x − = + − 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 4 sin x cos x (1 2 sin x) 7 sin x 2 cos x ⇔ − − − − + 4 = 0 2 2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 7 sin x ⇔ − + − + 3) = 0 2 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x ⇔ − + − − 3) = 0 (2 sin x 1)(2 cos x sin x ⇔ − + − 3) = 0  π  2 sin x − 1 = 0  x k = + 2π   ⇔ 6  ⇔  2 cos x + sin x = 3,(vn)   5π  x k  = + 2π  6 7) sin 2x cos 2x 3 sin x cos x − = + − 2 2 2 sin x cos x (1 2 sin x) 3 sin x cos x ⇔ − − − − + 2 = 0 2 (2 sin x cos x cos x) (2 sin x 3 sin x ⇔ − + − + 1) = 0 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x ⇔ − + − − 1) = 0  2 sin x = 1 (2 sin x 1)(cos x sin x ⇔ − + − 1) = 0  ⇔  cos x + sin x = 1   π  x k = + 2π  x 6 +2 sin = 1 ⇔   5π x k  = + 2π  6  x k = 2π π 2 
+ cos x + sin x = 1 ⇔ cos(x − ) = ⇔  π 4 2 x k = + 2π  2 π 8) 2
(sin 2x + 3 cos 2x) − 5 = cos(2x − ) 6 1 3 π
Ta có: sin 2x + 3 cos 2x = 2( sin 2x + cos 2x) = 2 cos(2x − ) 2 2 6 Đặt: t sin 2x 3 cos 2x, 2 t = + − ≤ ≤ 2 t  = −2 t 
Phương trình trở thành: 2 t − 5 = 2 2t t ⇔ − − 10 = 0 ⇔  5 2  t =  2 5 t + = : loại 2 π 7π t 2 : 2 cos(2x ) 2 x k π + = − − = − ⇔ = + 6 12
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 9) 3 2 cos x cos 2x sin x + + = 0 3 2 2 cos x 2 cos x 1 sin x ⇔ + − + = 0 2 2 cos x(cos x 1) (1 sin x ⇔ + − − ) = 0 2 2(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x ⇔ − + − − ) = 0 2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x ⇔ − + + − − ) = 0 (1 sin x)[2(1 sin x)(cos x ⇔ − + + 1) − 1] = 0 (1 sin x)[1 2 sin x cos x 2(sin x cos x ⇔ − + + + )] = 0  sin x = 1  ⇔ 1
 + 2sinx cosx + 2(sinx + cosx) = 0  π sin x 1 x k 2π + = ⇔ = + 2 1 2 sin x cos x 2(sin x cos x + + + + ) = 0 2 (sin x cos x) 2(sin x cos x ⇔ + + + ) = 0 (sin x cos x)(sin x cos x ⇔ + + + 2) = 0 sin x cos x ⇔ + = 0 π tan x 1 x k π ⇔ = − ⇔ = − + 4 1 − cos 2x π 10) 1 + cot 2x =
(*) Điều kiện: sin 2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ 2 sin 2x 2 1 − cos 2x 1 cos 2x 1 (*) ⇔ 1 + cot2x = ⇔ 1 + cot2x = ⇔ 1 + = 2 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2x 1 + cos 2x sin 2x(1 cos 2x) cos 2x(1 cos 2x) sin 2x ⇔ + + + = sin 2x cos 2x cos 2x(1 cos 2x ⇔ + + ) = 0 cos 2x(sin 2x cos 2x ⇔ + + 1) = 0  cos 2x = 0  ⇔  sin 2x + cos 2x = 1 −  π π + cos 2x = 0 x k ⇔ = + 4 2  π x k π = − + π π  sin 2x cos 2x + + = 1
− ⇔ sin(2x + ) = sin(− ) 4 ⇔  4 4 π  x k π  = +  2 π π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k = + 4 2 11) 4 4 4(sin x cos x) 3 sin 4x + + = 2 2 2 2 2 2 4[(sin x cos x) 2 sin x cos x ] 3 sin 4x ⇔ + − + = 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 4(1 sin 2x) 3 sin 4x ⇔ − + = 2 cos 4x 3 sin 4x ⇔ + = 2 − 2  π π  x k = +  4 2 ⇔  π π x k  = − +  12 2 12) 3 3 1 1 sin 2x cos 2x sin 4x + + = 2 2 sin 4x 2(sin 2x cos 2x)(1 sin 2x cos 2x ⇔ − + + − ) = 0 (2 sin 4x) (sin 2x cos 2x)(2 sin 4x ⇔ − + + − ) = 0 (2 sin 4x)(sin 2x cos 2x ⇔ − + + 1) = 0 sin 2x cos 2x ⇔ + = 1 −  π x k π = − + π 2  ⇔ sin(2x + ) = − 4 ⇔  4 2 π  x k π  = +  2 π 13) tan x 3 cot x 4(sin x 3 cos x − = + ) (*) Điều kiện: sin 2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ 2 sin x cos x (*) ⇔ − 3 = 4(sin x + 3 cos x) cos x sin x 2 2 sin x 3 cos x 4 sin x cos x(sin x 3 cos x ⇔ − − + ) = 0 (sin x 3 cos x)(sin x 3 cos x) 4 sin x cos x(sin x 3 cos x ⇔ − + − + ) = 0 (sin x 3 cos x)(sin x 3 cos x 4 sin x cos x ⇔ + − − ) = 0  sin x + 3 cos x = 0  ⇔ 
sin x − 3 cos x − 4 sin x cos x = 0  π sin x 3 cos x 0 tan x 3 x k π + + = ⇔ = − ⇔ = − + 3 sin x 3 cos x 4 sin x cos x + − − = 0 2 sin 2x sin x 3 cos x ⇔ = −  π x k 1 3 = − + 2π π  sin 2x sin x cos x ⇔ = − ⇔ sin 2x = sin(x − ) 3 ⇔  2 2 3  4π 2π x k  = +  9 3 π 4π 2π
Vậy,phương trình có nghiệm là: x k ; π = − + x k = + 3 9 3 14) 3 3 sin x cos x sin x cos x + = − 2 3 sin x(sin x 1) cos x cos x ⇔ − + + = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 3 sin x cos x cos x cos x ⇔ − + + = 0 2 cos x( sin x cos x cos x ⇔ − + + 1) = 0  cos x = 0  ⇔  2 −  sin x cos x + cos x = −1  π cos x 0 x k π + = ⇔ = + 2 2 1 1 + cos 2x sin x cos x cos x + − + = 1 − ⇔ − sin 2x + = −1 sin 2x cos 2x 3,(vn ⇔ − = ) 2 2 π
Vậy,phương trình có nghiệm là: x k = + , π k ∈ 2 π 1 1 π 1 15) 4 4 1 cos x + sin (x + ) = 2 2 ⇔
(1 + cos 2x) + [1 − cos(2x + )] = 4 4 4 4 2 4 2 2 (1 cos 2x) (1 sin 2x ⇔ + + + ) = 1 sin 2x cos 2x ⇔ + = 1 −  π  x k = + 2π π 3π  ⇔ cos(2x − ) = cos 2 ⇔  4 4 π x k π  = − +  4 16) 3 3 4 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x + + = 3 3 3 3 3 4 sin x(4 cos x 3 cos x) 4 cos x(3 sin x 4 sin x) 3 3 cos 4x ⇔ − + − + = 3 3 3 12 sin x cos x 12 cos x sin x 3 3 cos 4x ⇔ − + + = 3 2 2 4 sin x cos x(cos x sin x) 3 cos 4x ⇔ − + = 1 2 sin 2x cos 2x 3 cos 4x ⇔ + = 1 sin 4x 3 cos 4x ⇔ + = 1  π π x k 1 3 1 = − + π π  sin 4x cos 4x ⇔ + = ⇔ sin(4x + ) = sin 24 2 ⇔  ,k ∈ 2 2 2 3 6 π π  x k  = +  8 2 HT 4.Giải phương trình: π π 1) 4 4 3
cos x + sin x + cos(x − )sin(3x − ) − = 0 2) 2 x x x
5 sin − 2 = 3(1 − sin ) tan 4 4 2 1 1 2
cos x(2 sin x + 3 2) − 2 cos x − 1 3) 2 sin 3x − = 2 cos 3x + 4) = 1 sin x cos x 1 + sin 2x x 3x x 3x 1 5) cos x cos cos sin x − sin sin = 6) 3 4 cos x 3 2 sin 2x 8 cos x + = 2 2 2 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π
7) cos(2x + ) + cos(2x − ) + 4 sin x = 2 + 2(1 − sin x) 8) 2 2 3 cot x 2 2 sin x (2 3 2) cos x + = + 4 4 2 2
4 sin 2x + 6 sin x − 9 − 3 cos 2x 9) = 0 10) cos x cos 3x 2 cos 5x + + = 0 cos x 17 5x x 11) 8 8 2 sin x cos x cos 2x + = 12) 3 sin 5 cos x = sin 16 2 2 π 13) 2 sin 2x(cot x tan 2x) 4 cos x + = x x 14) 3 tan ( − ) = tan − 1 4 4 4 sin 2x + cos 2x 1 2 15) 4 = cos 4x 16) 48 − − (1 + cot2x cotx) = 0 π π 4 2 tan( x − ) tan( x + ) cos x sin x 4 4 17) 8 8 10 10 5 sin x cos x 2(sin x cos x) cos 2x + = + + 4
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải π π 1) 4 4 3
cos x + sin x + cos(x − )sin(3x − ) − = 0 4 4 2 π 2 2 2 2 2 1 3
⇔ (sin x + cos x) − 2 sin x cos x + [sin(4x − ) + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 3 2 1 sin 2x ( cos 4x sin 2x ⇔ − + − + ) − = 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 sin 2x (1 2 sin 2x) sin 2x ⇔ − − − + − = 0 2 2 2 2 π 2 sin 2x sin 2x ⇔ + − 2 = 0 sin 2x ⇔ = 1 x k π ⇔ = + 4 2) 2 5 sin x 2 3(1 sin x) tan x − = − (1) π Điều kiện: cos x 0 x k π ≠ ⇔ ≠ + 2 2 sin x 2 sin x
(1) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x)
⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) 2 cos x 2 1 − sin x 2 3 sin x 1 ⇔ 5 sin x − 2 = 2 2 sin x 3 sin x ⇔ + − 2 = 0 sin x ⇔ = 1 + sin x 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  π  x k = + 2π  6 ⇔   5π x k  = + 2π  6 1 1 3) 2 sin 3x − = 2 cos 3x + (*) sin x cos x π Điều kiện: sin 2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ 2 1 1 (*) ⇔ 2(sin 3x − cos 3x) = + sin x cos x 3 3 1 1
⇔ 2[3(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x ] = + sin x cos x x x + 2 2 sin cos
⇔ 2(sin x + cos x)[3 − 4(sin x − sin x cos x + cos x)] = sin x cos x sin x + cos x
⇔ 2(sin x + cos x)(−1 + 4 sin x cos x) − = 0 sin x cos x 1
⇔ (sin x + cos x)(−2 + 8 sin x cos x − ) = 0 sin x cos x 2
⇔ (sin x + cos x)(4 sin 2x − − 2) = 0 sin 2x 2 (sin x cos x)(4 sin 2x 2 sin 2x ⇔ + − − 2) = 0  π  x k π = ± +    tan x = −1 4 sin x + cos x = 0   π   ⇔   ⇔ sin 2x = 1 x k ⇔  = − + 2  π
4 sin 2x − 2 sin 2x − 2 = 0  12   sin 2x = −1 / 2   7π  x k π = +  12  2
cos x(2 sin x + 3 2) − 2 cos x − 1 4) = 1 (*) 1 + sin 2x π Điều kiện: sin 2x 1 x k π ≠ − ⇔ ≠ − + 4 2 (*) 2 sin x cos x 3 2 cos x 2 cos x 1 1 sin 2x ⇔ + − − = + 2 π 2 2 cos x 3 2 cos x ⇔ − + 2 = 0 cos x ⇔ = x k π ⇔ = ± + 2 4 π
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: x k = + , π k ∈ 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x 3x x 3x 1 5) cos x cos cos sin x − sin sin = 2 2 2 2 2 1 1 1 cos x(cos 2x cos x) sin x(cos 2x cos x ⇔ + + − ) = 2 2 2 2 cos x cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x ⇔ + + − = 1 2 cos 2x(sin x cos x) 1 sin x sin x cos x ⇔ + + − − − 1 = 0 cos 2x(sin x cos x) sin x(sin x cos x ⇔ + − + ) = 0 (sin x cos x)(cos 2x sin x ⇔ + − ) = 0 2 (sin x cos x)( 2 sin x sin x ⇔ + − − + 1) = 0  sin x + cos x = 0  ⇔  2 2 sin x + sin x − 1 = 0   π  x k π = − +  tan x = −1   4  π  ⇔ sin  x = −1  x k ⇔  = − + 2π   2 sin x = 1 / 2   π 5π x k = + 2π x k ∨ = + 2π  6 6  6) 3 4 cos x 3 2 sin 2x 8 cos x + = 3 4 cos x 6 2 sin x cos x 8 cos x ⇔ + − = 0 2 2 cos x(2 cos x 3 2 sin x ⇔ + − 4) = 0 2 2 cos x(2 sin x 3 2 sin x ⇔ − + 2) = 0  π  x k π = +   cos x = 0 2   π   ⇔ x k  2 ⇔  = + 2π sin x =   4  2  3π x k = + 2π  4  π π
7) cos(2x + ) + cos(2x − ) + 4 sin x = 2 + 2(1 − sin x) 4 4 π ⇔ 2 cos 2x cos
+ 4 sin x − 2 − 2 + 2 sin x = 0 4 2 2(1 2 sin x) 4 sin x 2 2 2 sin x ⇔ − + − − + = 0 2 2 2 sin x (4 2) sin x ⇔ − + + 2 = 0  π  x k 1 = + 2π  sin x ⇔ = 6 ⇔  2  5π x k  = + 2π  6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 8) 2 2 3 cot x 2 2 sin x (2 3 2) cos x + = + (1) Điều kiện: sin x 0 x kπ ≠ ⇔ ≠ 2 cos x cos x (1) ⇔ 3 + 2 2 = (2 + 3 2) 4 2 sin x sin x t cos = 2 x  Đặt: t = phương trình trở thành: 2 3t (2 3 2)t 2 2 0  − + + = ⇔ 2  2 sin x t =   3 2 cos x 2 t + = : = 2 3 cos x 2(1 cos x ⇔ = − ) 2 2 cos x 3 cos x ⇔ + − 2 = 0 2 3 x 3 sin 1 π cos x ⇔ = x k2π ⇔ = ± + 2 3 cos x t + = 2 : = 2 2 cos x 2(1 cos x ⇔ = − ) 2 2 cos x cos x ⇔ + − 2 = 0 2 sin x 2 π cos x ⇔ = x k2π ⇔ = ± + 2 4 π π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k2 , π x k2π = ± + = ± + 3 4 2 2
4 sin 2x + 6 sin x − 9 − 3 cos 2x 9) = 0 (*) cos x π Điều kiện: cos x 0 x k π ≠ ⇔ ≠ + 2 2 (*) 4(1 cos 2x) 3(1 cos 2x) 9 3 cos x ⇔ − + − − − = 0 2 4 cos 2x 6 cos x ⇔ + + 2 = 0   cos 2 π x = −1   x k π = +  ⇔  1 2 ⇔   cos 2x = − π  x k  2 π  = ± +  3 π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k π = ± + 3 10) cos x cos 3x 2 cos 5x + + = 0 (cos 5x cos x) (cos 5x cos 3x ⇔ + + + ) = 0 2 cos 3x cos 2x 2 cos 4x cos x ⇔ + = 0 3 2 (4 cos x 3 cos x) cos 2x (2 cos 2x 1) cos x ⇔ − + − = 0 2 2 cos x[(4 cos x 3) cos 2x 2 cos 2x ⇔ − + − 1] = 0 2 cos x{[2(1 cos 2x) 3]cos 2x 2 cos 2x ⇔ + − + − 1} = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 cos x(4 cos 2x cos 2x ⇔ − − 1) = 0   π   cos x = 0 x k π = +   2    1 − 17  1 − 17 ⇔ cos x = ⇔ x = ± arccos k + 2π  8  8   1 + 17   1 + 17 cos x =  x  = ± arccos k + 2π  8  8  17 11) 8 8 2 sin x cos x cos 2x + = (*) 16 8 8 4 4 2 4 4 sin x cos x (sin x cos x) 2 sin x cos x + = + − 1 2 2 2 2 2 2 4 [(sin x cos x) 2 sin x cos x)] sin 2x = + − − 8 1 1 1 2 2 4 (1 sin 2x) sin 2x = − − 2 4 1 sin 2x sin 2x = − + 2 8 8 1 2 4 2 (*) 16(1 sin 2x sin 2x) 17(1 sin 2x ⇔ − + = − ) 4 2 2 sin 2x sin 2x ⇔ + − 1 = 0 8 π π 2 1 sin 2x ⇔ = 2 1 2 sin 2x ⇔ − = 0 cos 4x ⇔ = 0 x k ⇔ = + 2 8 4 5x x 12) 3 sin 5 cos x = sin (*) 2 2 x Ta thấy: cos 0 x π k2π = ⇔ = + ⇔ cos x = −1 2
Thay vào phương trình (*) ta được: 5π π sin( 5kπ) sin( k π + = − +
) không thỏa mãn với mọi k 2 2 x Do đó cos
không là nghiệm của phương trình nên: 2 5x x x x 1 5 3 (*) sin cos 5 cos x ⇔ = sin cos 3 (sin 3x sin 2x) cos x sin x ⇔ + = 2 2 2 2 2 2 3 3 3 sin x 4 sin x 2 sin x cos x 5 cos x sin x ⇔ − + − = 0 2 3 sin x(3 4 sin x 2 cos x 5 cos x ⇔ − + − ) = 0 3 2 sin x(5 cos x 4 cos x 2 cos x ⇔ − − + 1) = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  sin x = 0  x k  π =   cos x = 1   x k = 2π    ⇔  −1 + 21 ⇔  −1 + 21 cos x = x  = ± arccos k + 2π  10  10    −1 − 21  −1 − 21 cos x =  x = ± arccos k + 2π   10  10 1 − + 21
Vậy,phương trình có nghiệm: x k 2π = , x = ± arccos k + 2π 10 1 − − 21 x = ± arccos k + 2π 10 13) 2 sin 2x(cot x tan 2x) 4 cos x + = (1)   x k sin ≠  x ≠ 0 π   Điều kiện:    ⇔  c  os 2x ≠ 0 π π x  k ≠ +       4 2 cos x sin 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x cos x Ta có: cot x + tan 2x = + = = sin x cos 2x sin x cos 2x sin x cos 2x cos x 2 (1) ⇔ 2 sin x cos x = 4 cos x sin x cos 2x 2 cos x 2 ⇔ = 2 cos x 2 cos x(1 2 cos 2x ⇔ − ) = 0 cos 2x  π  cosx = 0  x k π = +   ⇔ 2  ⇔  cos 2x = 1 / 2  π  x k π  = ± +  6 π π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k π = + , x k π = ± + 2 6 5π 5 1 21 5π −
Vậy,phương trình có nghiệm: x k = , x = ± arccos k + 2 4 4 2 π 14) 3 tan (x − ) = tan x − 1 (1) 4   cos x ≠ 0 π  x k π   ≠ +   Điều kiện: 2  ⇔ π  c  os(x ) 0  − ≠ 3π    4 x k π  ≠ +  4 3 (tan x − 1) (1) ⇔ = tan x − 1 3 3 (tan x 1) (tan x 1)(1 tan x ⇔ − = − + ) 3 (1 + tan x)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 2 (tan x 1)[(1 tan x) (tan x ⇔ − + − − 1) ] = 0 3 2 (tan x 1)(tan x 2 tan x 5 tan x ⇔ − + + ) = 0 2 tan x(tan x 1)(tan x 2 tan x ⇔ − + + 5) = 0   tan x k x = 0 π =   ⇔  ⇔  tan x = 1 π    x k π = +  4 π C2: Đặt: t x = − 4 4 4 sin 2x + cos 2x 15) 4 = cos 4x (1) π π tan( x − ) tan( x + ) 4 4   π π   π sin( x − ) cos( x − ) ≠ 0 sin( − 2x) ≠ 0   Điều kiện:  4 4  4 ⇔  ⇔ cos 2x ≠ 0 π π  π  s  in( x + ) cos( x + ) ≠ 0 s  in( + 2x) ≠ 0  4 4  4 π π 1 − tan x 1 + tan x tan( x − ) tan( x + ) = . = 1 4 4 1 + tan x 1 − tan x 4 4 4 (1) sin 2x cos 2x cos 4x ⇔ + = 2 2 4 1 2 sin 2x cos 2x cos 4x ⇔ − = 1 1 2 4 1 sin 4x cos 4x ⇔ − = 2 4 1 (1 cos 4x) cos 4x ⇔ − − = 2 2 4 2 2 cos 4x cos 4x ⇔ − − 1 = 0 2 cos 4x ⇔ = 1 π 2 1 cos 4x ⇔ − = 0 sin 4x ⇔ = 0 x k ⇔ = 4 π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k = 2 1 2 16) 48 − − (1 + cot2x cotx) = 0 (*) 4 2 cos x sin x π Điều kiện: sin 2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ 2 cos 2x cos x cos 2x sin x + sin 2x sin x Ta có: 1 + cot2x cotx = 1 + = sin 2x sin x sin 2x cos x cos x 1 = = 2 2 sin x cos x 2 2 sin x 1 1 1 1 (*) ⇔ 48 − − = 0 ⇔ 48 = + 4 4 cos x sin x 4 4 cos x sin x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 4 4 4 4 48 sin x cos x sin x cos x ⇔ = + 4 2 3 sin 2x 1 sin 2x ⇔ = − 2 4 2 6 sin 2x sin 2x ⇔ + − 2 = 0 2 1 sin 2x ⇔ = 2 1 2 sin 2x ⇔ − = 0 2 π π cos 4x ⇔ = 0 x k ⇔ = + 8 4 π π
Vậy,phương trình có nghiệm: x k = + 8 4 17) 8 8 10 10 5 sin x cos x 2(sin x cos x ) cos 2x + = + + 4 8 2 8 2 5 sin x(1 2 sin x) cos x(2 cos x 1) cos 2x ⇔ − − − = 4 8 8 5 sin x cos 2x cos x cos 2x cos 2x ⇔ − = 4 8 8 4 cos 2x(cos x sin x) 5 cos 2x ⇔ − + = 0 4 4 4 4 4 cos 2x(cos x sin x)(cos x sin x) 5 cos 2x ⇔ − + + = 0 2 2 2 2 4 4 4 cos 2x(cos x sin x)(cos x sin x)(cos x sin x) 5 cos 2x ⇔ − + + + = 0 1 2 2 2 4 cos 2x(cos x sin x)(1 sin 2x) 5 cos 2x ⇔ − − + = 0 2 1 2 2 4 cos 2x(1 sin 2x) 5 cos 2x ⇔ − + = 0 2 4 cos 2x(4 cos 2x 2 cos 2x sin 2x ⇔ − + 5) = 0 2 2 4 cos 2x[4 cos 2x 2 cos 2x(1 cos 2x ⇔ − − ) + 5] = 0 π π 3 4 cos 2x(2 cos 2x 2 cos 2x ⇔ + + 5) = 0 cos 2x ⇔ = 0 x k ⇔ = + 4 2
HT 5.Giải các phương trình sau: 4 4 sin x + cos x 1 x x   π x 1) = (tanx + cotx) 2) 2 2 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos    −    sin 2x 2 2 2  4 2  17π x π 3) sin(2x + ) + 16 = 2 3.s in 2 x cos x + 20 sin ( + ) 2 2 12 4) 2 3 4 2 3 4 sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x + + + = + + +   π sin 2x 1 5) cos 5 2 2  x   −  sin x = 1 c x   6) + = 2 os 12  sin x + cos x x 2. tan
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 7) cos 2 1 x sin x sin 4x sin 4x + − = 8) 2 cos 4x ( 3 2) cos 2x sin 2x − − = + 3 4 9) 1 sin x cos x sin 2x cos 2x + − − + = 0 10) 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 4 4 sin x + cos x 1 1) = (tanx + cotx) (1) sin 2x 2 Điều kiện: sin 2x ≠ 0 1 2 1 1 − sin 2x 2 1 − sin 2x 1  sin x cos 2 x  1 1 (1)   ⇔ =  +  2 2 x x   ⇔ = ⇔ 1 − sin 2 = 1 ⇔ sin 2 = 0 sin 2x 2 cos x sin x  sin 2x sin 2x 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. x x   π x 2) 2 2 1 + sin sin x − cos sin x = 2 cos    −  (1)   2 2  4 2    ( ) x x 2 π 1 ⇔ 1 + sin sin x − cos sin x = 1 + cos  x   −  = 1 + sin x   2 2  2   x x   x x x x 
⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = 0 ⇔ sin x   sin − cos .2 sin cos − 1 = 0       2 2     2 2 2 2   x  x x  x x x   2 ⇔ sin x sin − 1 2  sin + 2 sin + 1 = 0 x   ⇔ 2 sin = 0, sin = 1, 2 sin + 2 sin + 1 = 0    2    2 2  2 2 2 x k x π π = x k ⇔ = ,  π k = + 2π x k π ⇔ ⇔ = 2 2 x π k = + 4π  17π x π 3) sin(2x + ) + 16 = 2 3.s in 2 x cos x + 20 sin ( + ) 2 2 12
Biến đổi phương trình đó cho tương đương với π π π
cos2x − 3 sin 2x + 10cos(x + ) + 6 = 0 c
⇔ os(2x + ) + 5cos(x + ) + 3 = 0 6 3 6 π π π π c ⇔ os2 2
(x + ) + 5cos(x + ) + 2 = 0 .Giải được cos 1
(x + ) = − và cos(x + ) = −2 (loại) 6 6 6 2 6 π π 5π *Giải cos 1
(x + ) = − được nghiệm x k 2π = + và x k2π = − + 6 2 2 6 4) 2 3 4 2 3 4 sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x + + + = + + +
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 3 4 2 3 4 sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x + + + = + + + 2 3 4 2 3 4 sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x + + + = + + + sin x cosx − = 0 (sin x cosx ). 2  2(sin x cosx ) sin x.cosx  ⇔ − + + + = 0  ⇔    2 + 2(sin x cosx + ) + sin x.cosx = 0  π + Với sin x cosx 0 x k π − = ⇔ = + (k Z ∈ ) 4 + Với 2 2(sin x cosx ) sin x.cosx + + + = 0 , đặt t = sin   x cosx + (t ∈ − 2; 2 )     x  π m = + 2 t  = − π  được pt : 2 1 t 4t 3 0  + = = ⇔ t = -1 ⇒  ∈ π (m Z ) t  = −3(loai)  x  m  = − + 2π  2 π π Vậy : x k = + , π x π m = + 2 , π x m = − + 2 ( π m Z ∈ ,k Z ∈ ) 4 2   π 5) cos 5 2 2  x   −  sin x = 1   12        π 5π 5π cos 5 2 2  x   −  sin x = 1   x  ⇔  −     2 sin 2 + sin = 1      12     12  12     5    π 5π 1 π 5π π 5π ⇔ sin 2  x   − + sin = = sin ⇔ sin 2   x   −  = sin − sin =       12 12 4     12  4 12 2     π π π = 2 cos sin   −   = sin   −         3 12     12  5  π π π 2x k − = − + 2π x k 5 π = +     π π       x 12 12 6 ⇔ sin 2  −  = sin −   ⇔        ⇔  (k ∈ )  12    12  5π 13π  3π 2x k − = + 2π x k π  = +  12 12  4 sin 2x 1 6) + = 2cosx sin x + cos x 2. tan x Điều kiện: sin x 0, cos x 0, sin x cos x ≠ ≠ + ≠ 0. cos x 2 sin x cos x Pt đã cho trở thành + − 2 cos x = 0 sin x + cos 2 sin x x 2 cos x 2 cos x   π ⇔ −
= 0 ⇔ cos x sin(x + ) − sin 2x = 0   sin x + cos x x  4 2 sin  π +) cos x = 0 x k ⇔ = + , π k ∈ Z. 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   π π 2x x m = + + 2π x m = + 2π π   π t2π +) x x 4 4 sin 2 = sin( + ) m ⇔  ⇔  , n ∈ Z x ⇔ = + , t ∈ Z. 4 π π n   2π 4 3 2x π x n = − − + 2π x  = +  4  4 3 π π t2π
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : x k π = + ; x = + , k, t ∈ Z. 2 4 3 2 7) cos 2 1 x sin x sin 4x sin 4x + − = 4
pt đã cho tương đương với pt: 1 1 1 1 (1 cos 2x) (cos 3x cos 5x) (1 cos 8x + + − − − ) = 2 2 2 4 1 1  1 ⇔ cos 3x cos 5x + cos 3x  − cos 5x  +  = 0   2 2  2  1   2π 2π cos 5x + = 0   x k 1 1 = ± +      x ⇔  +  x 2 cos 5 cos 3 −  = 0 ⇔ 15 5   ⇔       2   2  1 π  2π cos 3x − = 0 x k  = ± +  2  9 3 8) 2 cos 4x ( 3 2) cos 2x sin 2x − − = + 3 2(cos 4x cos 2x) (cos 2x 1) sin 2x ⇔ + = + +  2 cos x = 0 
⇔ 4 cos 3x.cos x =2 3cos x + 2 sin x cos x ⇔  2 cos 3x = 3 cos x + sin x  π + cos x 0 x = k 2 π = ⇔ +   π  π 3x x k = − + 2π   x k π = − + π     + x = x x x x 6 2 cos 3 3 cos + sin ⇔ cos 3 = cos −  ⇔ 12    ⇔   6  π   π k π  3x x k = − + 2π x  = +  6  24 2 9) 1 sin x cos x sin 2x cos 2x + − − + = 0 2 2 (1 sin 2x) (sin x cos x) (cos x sin x ⇔ − + − + − ) = 0 (sin x cos x) (  sin x cos x) 1 (sin x cos x) ⇔ − − + − + = 0    ⇔ ( (sin x cos x)(1 2 cos x − − ) = 0   tan x = 1 π  x k = + .π  ⇔  4 1 ⇔  (k,l ∈ ) ( k,l ∈Z). cosx = π  x l  2  = ± + .π  3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 10) 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0 Điều kiện cos x ≠ 0 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0 ⇔ x ( 2 x) 2 3 sin 1 2 sin 2 sin x 1 2 sin x − + − + = 0  π x  k = − + 2π   x 2 sin = −1   2 π 
⇔ 2 sin x + sin x − 1 = 0 ⇔  x k ⇔  = + 2 1 π . sin x =  6  2  5π x  k = + 2π  6    π 5π 
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S  k =  + 2 ;  π k + 2π  6 6   
HT 6.Giải các phương trình sau: 1 1 2 π 1) 2.cos 2x = + (1)
2) 2 cos 3x.cos x + 3(1 + sin 2x )=2 3 cos (2x + ) sin x cos x 4   π 1 2(sin x − cos x)
3) cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2  x   +    4) =  4  tan x + cot2x cotx − 1 2 5x x 4 3 sin x cos x − 2 cos cos + 3 sin 2x + 3 cos x + 2 5) 2 2 = 0 (1) 2 sin x − 3   π 6) 2 sin 2x + 2 sin 2  x  
+  + 5 sin x − 3 cos x = 3    4    π 7) 2 (tan x 1) sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sin x + + + = + .  x   +  x x 8) 2 sin 2 = 3 sin + cos + 2    4  (1 + sinx)(5 −2sinx) 1 9) = 3 10) tan 2x tan x (sin 4x sin 2x − = + )(1) (2sinx + ) 3 cos x 6
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1 1 π 1) 2.cos 2x = + (1) Điều kiện: x k ≠ sin x cos x 2 cos x + sin x (1) ⇔ 2. cos 2x − = 0 sin x. cos x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2 (cosx sinx)(cosx sinx)sin2x (cosx sinx ⇔ − + − + ) = 0 2 ⇔ (cos  
x + sin x) (cos x − sin x) sin 2x − 2 = 0        π     cos x + sin x = 0 2 sin x  +  = 0      ⇔ ⇔  4    (
 cos x − sin x) sin 2x − 2 = 0   (  cos x − sin x)  ( 2
1 − (cos x − sin x) )− 2 = 0     π − π sin x    +  = 0 x k π = +     ⇔  4   ⇔ 4  3 3 π (
 cos x − sin x) − (cos x − sin x) + 2 = 0 x k = + 2π  4 π − ĐS: x k π = + , k Z ∈ 4 2 π
2) 2 cos 3x.cos x + 3(1 + sin 2x )=2 3 cos (2x + ) 4   π PT c
⇔ os4x+cos2x+ 3(1 + sin 2x) = 3 1  c
 + os(4x+ ) ⇔ cos 4x + 3 sin 4x + cos 2x + 3 sin 2x = 0   2   π π x  k = − + π π π  x x x x ⇔ + + + = ⇔ + =0 18 3 sin(4 ) sin(2 ) 0 2 sin(3 ).cos ⇔  6 6 6 π x k  = +  2 π π π π Vậy PT có hai nghiệm x k π = + và x k = − + . 2 18 3   π
3) cos x + cos 3x = 1 + 2 sin 2  x   +     4  2 cos 2x cos x 1 sin 2x cos 2x ⇔ = + + cos 2x(2 cos x 1) 1 2 sin x cos x ⇔ − = + cosx + sin x = 0 (1) 2 2 2 (cos x sin x)(2 cos x 1) (cos x sin x ⇔ − − = + )  ⇔ (
 cos x − sin x)(2 cos x −1) = cos x + sin x (2)    π π π (1) ⇔ 2 sin x    +  = 0 x k π x k π ⇔ + = ⇔ = − +    4  4 4  cos x = 0 π x k π  = +  x x x  ⇔ − − = ⇔   2 (2) 2 cos (cos sin 1) 0 π ⇔   2 cos x    +  = 1 π π     x k       + = ± + 2 4 π   4 4 π π Vậy pt có nghiệm là x k π = − + , x k π = + , x k 2π = 4 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2(sin x − cos x) 4) = tan x + cot 2x cotx − 1 s  inx.cosx ≠ 0
Điều kiện : sinx.cosx   c  otx ≠ 1 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 (sin x − cos 1 x ) = sin x cos 2x cos x − sin x + cos x sin 2x sin x cos x.sin 2x 2(sin x − cos x)sin x ⇔ = cos x cos x − sin x  3π x k = − + 2 2 π  x 4 ⇔ cos = − ⇔  (k Z ∈ ) 2  3π x k  = + 2π  4 3π
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x k 2 , π = + (k Z ∈ ) 4 2 5x x 4 3 sin x cos x − 2 cos cos + 3 sin 2x + 3 cos x + 2 5) 2 2 = 0 (1) 2 sin x − 3 3 Điều kiện : sin x ≠ 2 2 3 sin 2x cos x cos 3x cos 2x 3 sin 2x 3 cos x − − + + + 2 = 0 3 sin 2x (2 cos x ) 1 (cos 3x cosx) (cos2x ) 1 2 cos x ⇔ + − − − − + + 1 = 0 x ( x ) 2 2 3 sin 2 2 cos 1 4 cos x. sin x 2 sin x 2 cos x ⇔ + + + + + 1 = 0 x ( x ) 2 3 sin 2 2 cos 1 2 sin x (2 cos x ) 1 (2cosx ⇔ + + + + + ) 1 = 0 ( x )( 2 2 cos 1 3 sin 2x 2 sin x )1 0 (2cosx )1( 3 sin2x cos2x ⇔ + + + = ⇔ + − + 2) = 0  −1  2   cos π 2 cos + 1 = 0 x = x = ± + 2k x π    2 3 ⇔ ⇔  ⇔     (k ∈ ) Ζ x x π  − + =  1 3 sin 2 cos 2 2 0    −  cos 2 π x  +  = x k    = ; π x k π = +   3  2    3 −2π π −
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x k = ; π x k = + 2 ; π x k = + 2 ( π k Z ∈ ) 3 3   π 6) 2 sin 2x + 2 sin 2  x  
+  + 5 sin x − 3 cos x = 3   (1)  4 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 (1) 2 sin 2x sin 2x cos2x 5 sin x 3 cos x ⇔ + + + − = 3 2 6 sin x cos x 3 cos x (2 sin x 5 sin x ⇔ − − − + 2) = 0 3 cos x(2 sin x 1) (2 sin x 1)(sin x ⇔ − − − − 2) = 0 (2 sin x 1)(3 cos x sin x ⇔ − − + 2) = 0 1 x x x ⇔ sin = , sin − 3 cos = 2 2 π 1 5π + sin x x k = ⇔ = + 2 , π x k = + 2 ; π k ∈ 2 6 6 inx 2 x x α c − = ⇔ − = os 1 2 s 3 cos 2 sin( ) ,( α = ) x α ⇔ = + arcsin k + 2π 10 10 10 2 x π α = + − arcsin k + 2 , π k ∈ 10
Vậy pt có 4 họ nghiệm : π 5π 2 2 x k = + 2 , π x k = + 2 , π x α = + arcsin k + 2 , π π α + − arcsin k + 2 ; π k ∈ 6 6 10 10 7) 2 (tan x 1) sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sin x + + + = + . π
Điều kiện: cos x ≠ 0, hay x k . π ≠ + 2
Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 2 (tan x 1) sin x 1 2 sin x 2 3(cos x sin x)sin x + + − + = + 2 2 (tan x 1) sin x 3 3(cos x sin x) sin x 6 sin x ⇔ − + = − + 2 (tan x 1) sin x 3 cos 2x 3(cos x sin x) sin x ⇔ − + = − 2 (tan x 1) sin x 3(cos x sin x) cos x ⇔ − + − = 0 2 2 (sin x cos x)(sin x 3 cos x) 0 (sin x cos x)(2 cos 2x ⇔ − − = ⇔ − + 1) = 0  sin x = cosx π x k π = +   ⇔  4 1 ⇔  cos 2x π = −   x k  = ± + , π k ∈ .  2  3 π π
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x k = + , π x k = ± + , π k Z ∈ 4 3   π 8) 2 sin 2  x   +  = 3 sin x + cos x + 2    4  sin 2x cos 2x 3 sin x cos x ⇔ + = + + 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ 2 2 sin x cos x 2 cos x 1 3 sin x cos x + − = + + 2 ⇔ x ( x ) 2 sin 2 cos 3 2 cos x cos x − + − − 3 = 0 ⇔ sin x (2 cos x ) 3 (cosx ) 1 (2 cos x − + + − ) 3 = 0 ⇔ (2 cos x ) 3 (sin x cos x − + + ) 1 = 0   π 1
⇔ sin x + cos x + 1 = 0 ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ sin x    +  = −    4  2  π π x k + = − + 2  π π   4 4 x k = − + 2π ⇔  , (k ∈ Z ) ⇔  2 (k ∈ Z.) π  5π  x k  + = + 2 x π k π  = + 2π  4 4  (1 + sinx)(5 −2sinx) 9) = 3 (2sinx + ) 3 cos x π cos x ≠ 0 x k ⇔ ≠ + , π k ∈ Z 2 (1 + sinx)(5 − 2sinx) 2
= 3 ⇔ 5 + 3 sin x − 2 sin x = 3 sin 2x + 3 3 cos x ⇔ (2sinx + ) 3 cos x (     π π
cos 2x − 3 sin 2x ) + 3(sin x − 3 cosx) + 4 = 0 ⇔ cos 2  x   +  − 3 cos x    +  + 2 = 0       3     6   π x k    = − + 2π π     x  +  6 cos = 1         2 π π       6  π   ⇔ 2 cos x  +  − 3 cos x  +  + 1 = 0  x k ⇔ ⇔   Z      = + 2π ,k ∈ 6     6     π  1     6 cos x  +  =        6  2 π x k  = − + 2π  2 
Ñoái chieáu ñieàu kieän ta coù caùc nghieäm π x k = ± + 2 , π k ∈ Z 6 1 10) tan 2x tan x (sin 4x sin 2x − = + )(1) 6  π mπ  c  os2 ≠ 0 x x  ≠ +   Điều kiện: 4 2 m Z  ⇔  ∈ c  os x ≠ 0 π   x  m π  ≠ +  2
(1) ⇔ 6 sin x = cos 2x cos x(sin 4x + sin 2x)
⇔ 6 sin x = cos x cos 2x(4 sin x cos x cos 2x + 2 sin x cos x) 2 2 2
⇔ sin x(4 cos x cos 2x + 2 cos x cos 2x − 6) = 0  2  ⇔ sin x (
 2 cos 2x(1 + cos 2x) + cos 2x(1 + cos 2x) − 6 = 0   3 2
⇔ sin x(2 cos 2x + 3 cos 2x + cos 2x − 6) = 0 ⇔ sin x(cos 2x − 2 1)(2 cos 2x 5 cos 2x + + 6) = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  sin x = 0  ⇔ cos 2x = 1 x k ⇔ = ( π tm)k Z ∈   2
2 cos 2x + 5 cos 2x + 6 = 0(VN ) 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 25
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
HT 7.Giải các phương trình sau: 1) 2(sin x cos x) sin 3x cos 3x 3 2(2 sin 2x − + + = + ) x π 2) 2 c − os 2 3 4 sin 3 2x = 1 + 2 cos (x − ) 2 4 2 (cos x − sin 1 x ) 3) 2 2 x x x 3 cot + 2 2 sin = (2 + 3 2) cos 4) = tan x + cot 2x cot x − 1 1 + sin 2x − cos 2x 5) 2 3 (sin 2x 3 sin x ) cos 2x 3 cos x + − = + 6) 2 = cos x(sin 2x + 2 cos x) 2 1 + tan x     π π 1 7) 2 x ( 2 tan 1 tan x )(2 3 sinx + + − )−1 = 0 8) cos x    −  + cos x    +  = cos 2x − 1       4     4  3 3 2 π cos x − cos x
9) cos 2x + 5 = 2 2(2 − cos x) sin(x − ) 10) = 2(1 + sin x). 4 sin x + cos x
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) 2(sin x cos x) sin 3x cos 3x 3 2(2 sin 2x − + + = + ) ⇔ 3 3 2(sin x cos x) 3 sin x 4 sin x 4 cos x 3 cos x 3 2(2 sin 2x − + − + − = + ) ⇔ 5(sin x cos x) 4(sin x cos x)(1 sin x cos x) 3 2(2 sin 2x − − − + = + ) ⇔ (sin x cos x)(1 4 sin x cos x) 3 2(2 sin 2x − − = + ) (1) + Đặt t sin x cos x = − 2 t − ≤ ≤ 2 thì 2 t 1 sin 2x = − + (1) trở thành  2  2 t 1  + 2(t − 1) = 3 2(3 t − )   ⇔ 3 2 2t 3 2t t + − − 9 2 = 0 ⇔ 2 (t 2)(2t 5 2t − + + 9) = 0 ⇔ t = 2 π 3π + sin x cos x − = 2 ⇔ sin(x ) 1 x k2π − = ⇔ = + 4 4 x π 2) 2 c − os 2 3 4 sin 3 2x = 1 + 2 cos (x − ) 2 4 x π 3π Ta có: 2 4 sin − 3cos 2 3 2x = 1 + 2 cos (x −
) ⇔ 2(1 − cos x) − 3cos2x = 1 + 1 c + os(2x − ) 2 4 2 2(1 cos x) 3cos2x 2 sin 2x 3cos2x sin 2x 2 cos x ⇔ − − = − ⇔ − = −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 26
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3 1 π c ⇔ os2x − sin2x = −cos x c ⇔ os(2x + ) c = os(π x − ) 2 2 6   π 5π 2π 2x π x k + = − + 2π x  k = +  6  18 3 ⇔  ⇔  ,k Z ∈ π   7π 2x x π k + = − + 2π x k  = − + 2π  6  6 3) 2 2 x x x 3 cot + 2 2 sin = (2 + 3 2) cos Điều kiện : x k π ≠  cos x    2 3 cos x 
− 2 = 2(cos x − 2 sin x)    2 sin  x   2  2 cos x + cos x − 2 = 0 ⇔ 2 2 (cos x 2 sin x)(3 cos x 2 sin x − − ) = 0 ⇔  2
 2 cos x + 3 cos x − 2 = 0  2 1 cos x 2 (loai); cos x ; cos x 2 (loai); cos x ⇔ = − = = − = 2 2 π π x k2π = ± + & x k2π = ± + 4 3 2 (cos x − sin 1 x ) 4) = tan x + cot 2x cot x − 1 c  os x.sin 2x.sin x.  (tanx + cot2x) ≠ 0 Điều kiện:  c  otx ≠ 1  2 (cos x − sin 1 x ) cos x. sin 2x Từ (1) ta có: = ⇔ = 2 sin x 2 sin x.cos x 2 sin x ⇔ = sin x cos 2x cos x cos x + − 1 cos x sin 2x sin x  π x k = + 2 2 π  x 4 ⇔ cos = ⇔  (k ∈ ) 2 π x k  = − + 2π  4 π
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x k2π = − + (k ∈ ) 4 5) 2 3 (sin 2x 3 sin x ) cos 2x 3 cos x + − = +
Phương trình đã cho tương đương với: 3 1   3 1      π π 1 + . sin 2x − cos 2x − 3 sin x + cos x        = 0 ⇔ 1 − cos 2x  +  − 3 sin x  +  = 0       2 2  2 2      3     6 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 27
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899         2 π π π π 3 ⇔ 2 sin x    +  − 3 sin x    +  = 0 ⇔ sin x    +  = 0; sin x    +  = (loai)               6 6 6         6  2   π π Với sin x    +  = 0 x k ⇒ = − + , π k ∈ .    6  6 1 + sin 2x − cos 2x 7) 2 = cos x(sin 2x + 2 cos x) 2 1 + tan x Điều kiện: cosx ≠ 0. Biến đổi PT về:
cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)
⇔ 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vı̀ cosx ≠ 0)
⇔ (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0
⇔ (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
⇔ (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 ⇔ sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0 π
⇔ tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) ⇔ x = k π − + , (k ∈ ) 4 8) 2 x ( 2 tan 1 tan x )(2 3 sinx + + − )−1 = 0 Điều kiện cos x ≠ 0 2 1 − tan x
Phương trình viết lại 2 − 3 sin x = 2 1 + tan x 1 x cos x sin2 2 3 sin 2 2 x 3 sin x ⇔ − = ⇔ − + 1 = 0 sin x 1 ; sin x ⇔ = = 2 1 π 5π So sánh đ/k chọn sin x = x k2π ; x k2π ⇔ = + = + (k ∈ ) 2 6 6     π π 1 π 1 9) cos x    −  + cos x    +  = cos 2x − 1 2 x x   ⇔ 2 cos . cos = (2cos − )1−1     4     4  3 4 3 ⇔ cosx 2 3 2 2 cos x = − 4 ⇔ 2 2 cos x 3 2 cos x − − 4 = 0 2 2 3π ⇔ (cos x 2 2)( cos x − + )=0 cos x ⇔ = − ⇔ x 2kπ = ± + . 2 2 4 π
10) cos 2x + 5 = 2 2(2 − cos x) sin(x − ) 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 28
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 cosx − sin x = 1 − Phương trình 
⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 ⇔ 
cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x ≤ 2)       π  π π π x k = + 2π ⇔ 2 sin x    −  = 1 ⇔ sin x    −  = sin ⇔  k Z   2 ( ∈ )     4     4  4 x π k  = + 2π  3 2 cos x − cos x 10) = 2(1 + sin x). sin x + cos x ĐK: sin x cos x + ≠ 0 Khi đó PT ( 2 1 sin x )(cosx ) 1 2(1 sin x)(sin x cos x ⇔ − − = + + ) (1 sinx)(1 cosx sinx sinx.cosx ⇔ + + + + ) = 0 (1 sinx)(1 cosx)(1 sinx ⇔ + + + ) = 0   sin x = −1 π  x k = − + 2π ⇔ 
(thoả mãn điều kiện) ⇔  2 (k,m ∈ Z) cos x = −1    x π m  = + 2π  π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x k2π = − + và x π m2π = + (k,m ∈ Z) 2
HT 8.Giải các phương trình sau: 4 4 π π 4 sin x + 4 cos (x − ) − 1
4 sin x. sin(x + ) + 5 3 sin x + 3(cos x + 2) 1) 4 = 2 2) 3 = 1 cos 2x 1 − 2 cos x 2 cos x.(cos x − ) 1 (sinx + cosx)2 2 − 2 sin x 2       π π 3) = 2(1 + sin x) 4)  = sin  x 
 −  − sin  − 3x          sin x + cos x  2 x 2 4  +     4    1 cot  π π sin(x − ) + cos( x − ) sin 2x 1 1 x 5) + = 2cosx (1) 6) x x − + .tan 6 3 (cos sin ) = sin x + cos x 2. tan x 2 x 2 cos x cos 7) 2 2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x + + = + ) π
(1 − sin x + 2 cos 2x) sin(x + ) 1 8) 4 = sin x(cos x + 1) 1 + cot x 2 (sinx + cosx)2 2 − 2 sin x 2       π π      9) = sin x
 −  − sin  − 3x            2   x 2 +   4   4  1 cot 10) 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0 Bài giải
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 29
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 4 4 π 4 sin x + 4 cos (x − ) − 1 1) 4 = 2 (1) cos 2x π π ĐK: cos2x ≠ 0 x k ⇔ ≠ + (k ∈ ) 4 2 2   π 2 (1) ⇔ (1 − cos 2x) + 1
 + cos(2x- ) −1 = 2 cos2x    2  2 x x 2 (1 cos 2 ) (1 sin 2 ) 1 2 cos 2x ⇔ − + + − = 2 2 cos 2x +2 sin 2x 2 cos 2x 2 cos 2x sin 2x ⇔ − = ⇔ − = 1 cos2 2 x x c ⇔ − − osx+ inx 2 2( sin ) ( s ) = 0  cosx + sin x = 0 π x k π = − +
⇔ (cos x + sin x)(cos x − 3 sin x) = 0  ⇔ ⇔   4 (k ∈ ) cos x − 3 sin x = 0   x   = arctan 3 k π + 
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là x arctan 3 k π = + (k ∈ ) π
4 sin x. sin(x + ) + 5 3 sin x + 3(cos x + 2) 2) 3 = 1 1 − 2 cos x π Điều kiện: x k2π ≠ ± + 3 π 2 π π
PT ⇔ 1 − 2. cos(2x + ) + 5( 3 sin x + cos x) + 5 = 0 ⇔ 4. sin (x + ) + 10 sin(x + ) + 4 = 0 3 6 6  π  sin(x + ) = −1 / 2 π x k  = − + 2π (L) 6 ⇔  ⇔  3 π   sin( + ) = −2 ( ) x π k x VN  = + 2π 6   Vậy, S {π k2π = + } 2 cos x.(cos x − ) 1 3) = 2(1 + sin x) sin x + cos x π ĐK: x k π ≠ − + . 4 PT ⇔ (1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) 2(1 sin x)(sin x cos x + − − = + + ) 1  + sin x = 0 1  + sin x = 0  ⇔   ⇔
sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0   (1 + sinx  )(cosx + ) 1 = 0    π x k = − + 2π ⇔  2
( Thoả mãn điều kiện) x π k  = + 2π 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 30
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 (sinx + cosx)2 2 − 2 sin x 2       π π 4)  = sin  x 
 −  − sin  − 3x   . 2        x 2 4  +     4 1 cot   
Điều kiện xác định sin x ≠ 0 hay x k ≠ ; π k ∈ Z .
Phương trình đã cho tương đương với     ( π π x x + ) 2 cos 2 sin 2
sin x = 2 cos − 2xsin x ⇔ cos   − 2x       (sin x − ) 1 = 0 4     4      3π k π π     cos − 2  = 0 x x = +     ⇔   8 2  4  ⇔   (k,m Z ∈ ) π  sin x −1 = 0 x m  = + 2π   2 3π k π π
So với điều kiện nghiệm của phương trình là x ; x m2π = + = + ; (k,m Z ∈ ) 8 2 2 sin 2x 1 5) + = 2cosx (1) sin x + cos x 2. tan x Điều kiện: sin x 0, cos x 0, sin x cos x ≠ ≠ + ≠ 0. cos x 2 sin x cos x (1) ⇔ + − 2 cos x = 0 sin x + cos 2 sin x x 2 cos x 2 cos x   π ⇔ −
= 0 ⇔ cos x sin(x + ) − sin 2x = 0   sin x + cos x x  4 2 sin  π +) cos x = 0 x k ⇔ = + , π k ∈ Z. 2   π π 2x x m = + + 2π x m = + 2π π   π t2π +) x x 4 4 sin 2 = sin( + ) ⇔  ⇔  , m n ∈ Z x ⇔ = + , t ∈ Z. 4 π π n   2π 4 3 2x π x n = − − + 2π x  = +  4  4 3 π π t2π
So sánh điều kiện, nghiệm của phương trình: x k π = + ; x = + , k, t ∈ Z. 2 4 3 π π sin(x − ) + cos( x − ) 1 x 6) x x − + .tan 6 3 (cos sin ) = 2 2 cos cos x x c  os x ≠ 0  Điều kiện   . cos x ≠ 0  2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 31
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2π π cos( x − ) + cos( x − ) 1 x Phương trình ⇔ 2 3 3 − (cos x + 2 sin ) = cos2 2 cos x x π π 2 cos( x − ) cos 1 1 3 sin 2 6 x 2 ⇔ − (cos x + 1 − cos x) = ⇔ − 1 = ⇔ tan x = 3 tan x cos2 cos x cos2 cos x x x  tan = 0 x k x π =  2 tan x − 3 tan x = 0  ⇔ ⇔  ∈ π (k Z )  tan x 3  = x k π = +   3 x = 2lπ 
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là  ∈ π (l Z ) x l π = +  3 7) Giải phương trình 2 2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x + + = + ) . 2 2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x + + = + ) 2 (sin x 3 cos x) 3(sin x 3 cos x ⇔ + − + ) = 0 sin x 3 cos x 0 sin x 3 cos x ⇔ + = ∨ + = 3 (1) Phương trình sin x 3 cos x + = 3 vô nghiệm vì 2 2 2 1 + ( 3) < 3 π π Nên (1) tan x 3 x k π ⇔ = − ⇔ = − +
( k ∈ ). Vậy, PT có nghiệm là: x k π = − + ( k ∈ ). 3 3 π
(1 − sin x + 2 cos 2x) sin(x + ) 1 8) 4 = sin x(cos x + 1) 1 + cot x 2  sin x ≠ 0 Đk :   c  otx ≠ −1 
(1 − sin x + 2 cos 2x)(sin x + cos x) 1 pt = . sin x.(cos x + 1) sin x + cos x 2 2. sin x
1 – sinx + 2 cos2x = cosx + 1 sinx + cosx = 2 cos2x
sinx + cosx = 2 (cosx + sinx)(cosx – sinx) 2 (cosx – sinx) = 1     π π π 2cos x    +  x    +    = 1 cos = cos     4   4  3 π 7π
Kết hợp đk => nghiệm phương trình : x = k2π + hoặc x = k2π − + 12 12 .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 32
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 (sinx + cosx)2 2 − 2 sin x 2       π π      9) = sin x
 −  − sin  − 3x       2        x 2 +   4   4 1 cot 
Điều kiện: sin x ≠ 0 (*). Khi đó:   π
Phương trình đã cho tương đương với: ( in2x x + ) 2 s
cos 2 . sin x = 2 cos  − 2x. sin x    4        π π π ⇔ cos 2  x   − . sin x = cos 2  x   − ⇔       (sinx − ) 1 . cos 2    x   −  = 0     4 4       4    π π 3π k π + sin x 1 x k2   π = ⇔ = +
(k ∈ ) , thỏa (*) + cos 2x  −  = 0 x ⇔ = + k   ( ∈ ) , thỏa (*) 2  4  8 2 π 3π k π
Vậy, phương trình có nghiệm: x k = + 2 ; π x = + (k ∈ ). 2 8 2 10) 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0 Điều kiện cos x ≠ 0 2 x x x ( 2 x ) 3 sin cos 2 cos tan 1 2 sin x + − + = 0 ⇔ x ( 2 x) 2 3 sin 1 2 sin 2 sin x 1 2 sin x − + − + = 0 sin x = −1  2 π π 5π
⇔ 2 sin x + sin x − 1 = 0 ⇔  x k ⇔ = − + 2 ; π x k = + 2 ; π x k = + 2 1 π . sin x = 2 6 6  2   π 5π 
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S  k =  + 2 ;  π k + 2π  6 6   
HT 9.Giải các phương trình sau:   π 1) 2 sin 2  x  
+  − sin x − 3 cos x + 2 = 0    4  2 2 cos x + 3 sin 2x + 3 2) = 3( 2 tan x +   )1 2 π 2 cos x. sin x    +     3  4 3 − 4 cos 2x − 8 sin x 1 3) = sin 2x + cos 2x sin 2x       π π π 4) 2 2   2 3 sin x + sin x  −  + sin  x   +  = 2 3 sin x    + .cos x −           3 3       6  2 2 2
3 cot x + 2 2 sin x − (2 + 3 2)cosx 5) = 0 2 sin x + 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 33
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
cos x(cos x + 2 s inx) + 3 s inx(s inx + 2) 6) = 1 sin 2x − 1 1 sin 2x π 7) cot x + = 2 sin(x + ) sin x + cos x 2 2 2
2 cos x − 2 3 sin x cos x + 1 8) = 3 cos x − sin x 2 cos 2x x 7  π x 9) 2   2 sin  +  tan (3π x − ) c − os2 = 0.   2 4  2 3 3 sin x sin 3x + cos x. cos 3x 1 10) = −     π π 8 tan x    −  tan x    +        6     3 
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải   π 1) 2 sin 2  x  
+  − sin x − 3 cos x + 2 = 0    4    π 2 sin 2  x  
+  − sin x − 3 cos x + 2 = 0 x x x x  
⇔ sin 2 + cos 2 − sin − 3 cos + 2 = 0  4  2 ⇔ 2 sin x cos x sin x 2 cos x 3 cos x − + − + 1 = 0 ⇔ sin x (2 cos x ) 1 (cosx ) 1 (2 cos x − + − − ) 1 = 0 1   π 1   ⇔ (2 cos x ) 1 (sin x cos x − + − ) 1 = 0 ⇔ cos x = , sin x  +  =   2  4  2 π π Nghiệm phương trình: x k2π = ± + , x k 2π = , x k 2π = + 3 2 2 2 cos x + 3 sin 2x + 3 2) = 3( 2 tan x + .   )1 2 π 2 cos x. sin x    +     3   c  os x ≠ 0  π x  k π   ≠ +   Điều kiện:   2 k Z π  ⇔  ( ∈ )(*). s  in x    +  ≠ 0 π       3 x  k π   ≠ − +   3   π 3
Khi đó:Phương trình đã cho tương đương với: 2
cos 2x + 3 sin 2x + 4 = 2 cos x sin x    +      2  3  cos x   π π π ⇔ cos 2x. cos + sin 2x. sin + 2 = 3 sin x    +    3 3  3          π π     2 π π ⇔ cos 2x  −  − 3 sin x  +  + 2 = 0 ⇔ 2 cos x    −  − 3 cos x    −  + 1 = 0               3 3 6         6 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 34
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     π π 1 ⇔ cos x    −  = 1 x    −    , cos =     6   6  2   π π π Với cos x    −  = 1 x k ⇔ − = 2π x k ⇔ = + 2π k   ( ∈ ), thỏa (*)  6  6 6  π π x k − = + 2   1 π π π    Với x 6 3 cos −  x k = ⇔ k    ⇒ = − + 2π ( ∈ ) , thỏa (*)  6  2 π π  6 x k  − = − + 2π  6 3 π
Vậy, phương trình có nghiệm: x k2π = ± + (k ∈ ). 6 4 3 − 4 cos 2x − 8 sin x 1 3) = sin 2x + cos 2x sin 2x  π π  s  in 2 + cos 2 ≠ 0 x l x x  ≠ − +   Điều kiện: 8 2  ⇔  (l ∈ Z) s  in 2x ≠ 0 π   x  l  ≠  2 2  x  − Ta có: 4 1 cos 2 8 sin x = 8  
 = = 3 − 4 cos 2x + cos 4x    2 
3 − 4 cos 2x − (3 − 4 cos 2x + cos 4x) 1 Phương trình ⇔ = sin 2x + cos 2x sin 2x − cos 4x 1 ⇔ =
(do sin2x + cos2x ≠ 0,sin2x ≠ ) 0 sin 2x + cos 2x sin 2x ⇔ −( x x − ) 1 cos 2 sin 2 =
⇔ cos 2x (sin 2x + cos2x) = 0 sin 2x π π π
⇔ cos 2x = 0 ∨ sin 2x + cos 2x = 0(loai) ⇔ 2x k π x k = + ⇔ = + (k ∈ ) 2 4 2 π π
Vậy nghiệm của phương trình: x k = + (k ∈ Z) 4 2       π π π 4) 2 2   2 3 sin x + sin x  −  + sin  x   +  = 2 3 sin x    + .cos x −           3 3       6  2       π π π Ta có 2 2   2 3 sin x + sin x  −  + sin  x   +  = 2 3 sin x    + .cos x −           3 3       6  2 2    π 2π 1 − cos 2x + 1 − cos − 2x + 1 + cos   − 2x   3      3  ⇔ = ( x x + ) 3 3 3 sin cos cos x − 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 35
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2π 3 − cos 2x − 2 cos cos 2x 2 3 3 ⇔ = 3 sin x cos x + 3 cos x − x ( 2 3 3 sin 2 3 2 cos x ⇔ = + − ) 1 2 2 3 1 3   π π 3 sin 2x cos 2x ⇔ + = 3 ⇔ sin 2x. + cos 2x. = ⇔ sin 2  x   +  = sin   2 2 2  6  3   π π π 2x k + = + 2π x k π = +  6 3  12 ⇔  ⇔  (k ∈ ) π π π   2x π k + = − + 2π x k π  = +  6 3  4 2 2
3 cot x + 2 2 sin x − (2 + 3 2)cosx 5) = 0 2 sin x + 3 3
Điều kiện: cosx ≠ 0, sin x ≠ − 2 Khi đó pt đã cho ( 2 x x ) ( 2 3 cot 3 2 cos 2 2 sin x 2 cos x ⇔ − + − ) = 0  cos x  ⇔ 3 cos   x  − 2 + 2     ( 2 2 sin x − cos x ) = 0 ⇔ ( 2 3 cos x − 2 sin x )( 2 2 sin x − cos x = 0 2 ) sin x  2 2 ) cos x 2 sin x 0 2 cos x cos x + − = ⇔ + − 2 = 0 π x (L) 1 cos 2 , cos x x k 2π = − = ⇔ = ± + 4 2 2 2 )3 cos x 2 sin x 0 2 cos x 3 cos x + − = ⇔ + − 2 = 0 π x (L) 1 cos 2 , cos x x k 2π ⇔ = − = ⇔ = ± + . 2 3 π π
Đối chiếu với đ/k bài toán thì pt chỉ có 3 họ nghiệm:. x k = ± + 2 , π x k = + 2 , π k ∈ 4 3
cos x(cos x + 2 s inx) + 3 s inx(s inx + 2) 6) = 1 sin 2x − 1 Điều kiện: sin2x ≠ 1. Pt ⇔ 2 2 cos x 2 sin x cos x 3 sin x 3 2 sin x sin 2x + + + = − 1 ⇔ 2 2 sin x 3 2 sin x + + 2 = 0   − 2 π  x  k sin x = = − + 2π   4 ⇔  2 ⇔    5π sin x = − 2 x k   = + 2π   4 π
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm: x k2π = − + . 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 36
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 sin 2x π 7) cot x + = 2 sin(x + ) sin x + cos x 2 2 Điều kiện: sin x 0, sin x cos x ≠ + ≠ 0. cos x 2 sin x cos x 2 cos x 2 cos x   π PT: + − 2 cos x = 0 ⇔ −
= 0 ⇔ cos x sin(x + ) − sin 2x = 0   sin x + cos 2 sin x x sin x + cos x x  4 2 sin  π +) cos x = 0 x k ⇔ = + , π k ∈ Z. 2   π π 2x x m = + + 2π x m = + 2π π   π t2π +) x x 4 4 sin 2 = sin( + ) m ⇔  ⇔  , n ∈ Z x ⇔ = + , t ∈ Z. 4 π π n   2π 4 3 2x π x n = − − + 2π x  = +  4  4 3 π π t2π
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : x k π = + ; x = + , k, t ∈ Z. 2 4 3 2
2 cos x − 2 3 sin x cos x + 1 8) = 3 cos x − sin x 2 cos 2x
Điều kiện: cos2x ≠ 0 (*) 2 2
3 cos x − 2 3 sin x cos x + sin x Pt đã cho ⇔ = 3 cos x sin x − 2 cos 2x 2 ( 3 cos x sin x ) 2 cos 2x ⇔ − = ( 3 cos x sin x − )    π 3 cos  x − sin x = 0 tan x = 3 x k π = +    ⇔  ⇔  3 ⇔   π 2 cos 2x = 3 cos x − sin x cos2x =cos(x + ) π π  2π   x k  = + 2 , π x k =− +  6  6 18 3
Các nghiệm đều TMĐK ( *) nên phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: π π π 2π x k = + , π x k = + 2 , π x k =− + (k Z ∈ ) . 3 6 18 3 x 7  π x 9) 2   2 sin  +  tan (3π x − ) c − os2 = 0.   2 4  2 Đ/k: cos x ≠ 0 Pt đã cho
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 37
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899      2  2 x π   2 π ⇔  −  x c − os2 x 1  c = ⇔ − os  sin x 1 sin tan 0 1 x   −  −        (1 + cosx) = 0 2 4 2 2      2     c  os2x 2 ⇔ (1 − s inx)( 2 1 − cos x )−(1 + cosx)( 2
1 − sin x ) = 0 ⇔ (1− s inx)(1 + cosx)(s inx + cosx) = 0 s inx = 1 loai x  =  (2k + ) 1 π  ⇔ cos x = −1 ⇔  k Z ∈ π  x k π  = − + t anx 1  = −  4  3 3 sin x sin 3x + cos x. cos 3x 1 10) = −     π π 8 tan x    −  tan x    +        6     3  π k π Điều kiện: x ≠ + 6 2         π π π π Ta có tan x    − tan x    + = tan x    − cot    x  −  +  = −1               6 3 6         6 
Phương trình tương đương với: 3 3 1 sin x sin 3x cos x cos 3x + = 8 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x − − + + 1 ⇔ . + . = 2 2 2 2 8 1 2(cos 2x cos 2x. cos 4x ⇔ − ) = 2 3 1 1 cos x cos 2x ⇔ = ⇔ = 8 2 π π x k π = − + và x k π = + ( loại) 6 6 π Vậy : x k π = − + 6
HT 10.Giải các phương trình sau: 1) sin 3x sin 2x sin x 1 cos 3x cos 2x cos x + + + = + − . 2) 2 (tan x 1) sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sin x + + + = + . 5  π 3) 2. cos 5x − sin(   π + 2x ) = sin  + 2x .cot 3x.    2  3 3 17π
6 2 sin 2x + 8 cos x + 3 2 cos( − 4x) cos 2x 4) 2 = 16 cos x 3 4 5) + = 2 c ( ot x + 3) 2 sin 2 cos x x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 38
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6) cos2x 2 sin x 1 2 sin x cos 2x + − − = 0
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) sin 3x sin 2x sin x 1 cos 3x cos 2x cos x + + + = + − . 2 2 sin 2x cos x 2 sin x cos x 2 sin x 2 sin 2x cos x ⇔ + + = − sin 2x(cos x sin x) sin x(cos x sin x ⇔ + + + ) = 0 sin x(2 cos x 1)(cos x sin x ⇔ + + ) = 0.
Từ đó ta có các trường hợp sau *) sin x = 0 x k ⇔ = , π k Z ∈ 1 2π *) 2 cos x + 1 = 0 ⇔ cos x x k = − ⇔ = ± + 2 , π k Z ∈ 2 3 π *) cos x + sin x = 0 x k ⇔ = − + , π k Z ∈ 4 2π π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k = , π x k = ± + 2 , π x k = − + , π k Z ∈ 3 4 2) 2 (tan x 1) sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sin x + + + = + . π
Điều kiện: cos x ≠ 0, hay x k . π ≠ + 2
Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 2 (tan x 1) sin x 1 2 sin x 2 3(cos x sin x)sin x + + − + = + 2 2 (tan x 1) sin x 3 3(cos x sin x) sin x 6 sin x ⇔ − + = − + 2
⇔ (tan x − 1) sin x + 3 cos 2x = 3(cos x − sin x) sin x 2
⇔ (tan x − 1) sin x + 3(cos x − sin x) cos x = 0 2 2
⇔ (sin x − cos x)(sin x − 3 cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(2 cos 2x + 1) = 0 1 π π ⇔ sin x = cos x, cos 2x x k = − ⇔ = + , π x k = ± + , π k ∈ 2 4 3 π π
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x k = + , π x k = ± + , π k ∈ 4 3 5  π 3) 2. cos 5x − sin(   π + 2x ) = sin  + 2x .cot 3x.    2  ĐK: sin 3x ≠ 0 pt ⇔ 2cos5x sin 2x cos 2x. cot 3x + =
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 39
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ 2cos5x sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x.cos 3x + = ⇔ 2cos5x sin 3x cos5x −
= 0 ⇔ cos5x( 2 sin 3x − 1) = 0  π k2π x 1 = +  π k π +) sin 3x = ≠ 0 (t/m đk) ⇔ 12 3  +) cos5x = 0 ⇔ x = + t/m đk 2 π k  2π 10 5 x  = +  4 3 3 3 17π
6 2 sin 2x + 8 cos x + 3 2 cos( − 4x) cos 2x π 5π 4) 2 = 16 với x ∈ ( ; ) cos x 2 2 π Ta có: cos x 0 x k π ≠ ⇔ ≠ + 2 Với đk pt(1) ⇔ 3 x x ( 2 2 8 cos 6 2 sin 2 sin 2x cos 2x ) 16 cosx + + = 3 4 cos x 3 2 sin 2x 8 cos x ⇔ + = 2 (2 cos x 3 2 sin x ⇔ + − 4) = 0 2 π 3π 2 sin x 3 2 sin x ⇔ − + 2 = 0 x k 2 , π x k 2π ⇔ = + = + (k ∈ ) 4 4 π 5π 3π 9π
Vậy phương trình đă cho có 2 nghiệm x ∈ ( ; ) là x = ;x = 2 2 4 4 3 4 5) + = 2 c ( ot x + 3) 2 x sin 2x cos k π Đie^u kiện sin 2x ≠ 0 x ⇔ ≠ . 2 2 4 Ta có 3 (1 + tan x) + − 2 3 = 2cot x sin 2x 2 2 ta x x + ⇔ 3 n2 2(sin cos ) x + − 3 = 2cotg x sin x cos x tan2 3 x 2tan x ⇔ + − 3 = 0 tan π π x = − 3 x k π ⇔ = − + tan 1 x = x k π ⇔ = + 3 3 6
6) Giải phương trình: cos2x 2 sin x 1 2 sin x cos 2x + − − = 0 (1) ( ) 1 cos2x (1 2 sin x) (1 2 sin x) 0 (cos2x ) 1 (1 2 sin x ⇔ − − − = ⇔ − − ) = 0 Khi cos2x = 1<=> x k π = , k ∈ Z 1 π 5π Khi sin x = ⇔ x k 2π = + hoặc x k 2π = + , k ∈ Z 2 6 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 40
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn học sinh đã đọc tài liệu này!
Mọi sự góp ý xin gửi về: huythuong2801@gmail.com
Toàn bộ tài liệu ôn thi môn toán của Lưu Huy Thưởng ở địa chỉ sau:
http://www.Luuhuythuong.blogspot.com
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 41

Tài liệu liên quan: