Phân dạng phương trình lượng giác – Trần Sĩ Tùng

Tài liệu gồm 30 trang trình bày các dạng toán về chuyên đề phương trình lượng giác. Trong mỗi dạng toán, tác giả trình bày các cách giải và các biến thể của dạng toán đó, đi kèm là phần bài tập rèn luyện.

39 20 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

30 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Naêm 2011
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 1
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:
OP
OQ
AT
BT
cos
sin
tan
'cot
a
a
a
a
=
=
=
=
Nhận xét:
·
aaa
"-££-££
· tana xác định khi
kkZ
,
2
p
ap
¹+Î
· cota xác định khi
kkZ
,
ap
¹Î
2. Dấu của các giá trị lượng giác:
Cung phần tư
Giá trị lượng giác
I II II IV
sin
a
+ + – –
cos
a
+ – – +
tan
a
+ – + –
cot
a
+ – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a
+ cos
2
a
= 1; tana.cota = 1
22
22
11
1tan;1cot
cossin
aa
aa
+=+=
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos()cos
aa
-=
sin()sin
paa
-=
sincos
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
sin()sin
aa
-=-
cos()cos
paa
-=-
cossin
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
tan()tan
aa
-=-
tan()tan
paa
-=-
tancot
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
cot()cot
aa
-=-
cot()cot
paa
-=-
cottan
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø
CHƯƠNG 0
ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC –
H
À
M S
Ố L
Ư
ỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin
tang
p
A
M
Q
B
T'
a
T
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 2
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
Cung hơn kém
p
Cung hơn kém
2
p
sin()sin
paa
+=-
sincos
2
p
aa
æö
+=
ç÷
èø
cos()cos
paa
+=-
cossin
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
tan()tan
paa
+=
tancot
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
cot()cot
paa
+=
cottan
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø
0
6
p
4
p
3
p
2
p
2
3
p
3
4
p
p
3
2
p
2
p
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
-
2
2
-
–1 0 1
tan
0
3
3
1
3
3
-
–1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
-
–1
0
sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+
sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-
cos()cos.cossin.sin
ababab
+=-
cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+
tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-
tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
-
-=
+
Hệ quả:
1tan1tan
tan,tan
41tan41tan
papa
aa
aa
æöæö
+-
+=-=
ç÷ç÷
-+
èøèø
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 3
III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin22sin.cos
aaa
=
2222
cos2cossin2cos112sin
aaaaa
=-=-=-
2
2
2tancot1
tan2;cot2
2cot
1tan
aa
aa
a
a
-
==
-
2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t =
tan
2
a
: (*)
Đặt:
tk
tan(2)
2
a
app
=¹+ thì:
t
t
2
2
sin
1
a
=
+
;
t
t
2
2
1
cos
1
a
-
=
+
;
t
t
2
2
tan
1
a
=
-
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos.coscos()cos()
2
1
sin.sincos()cos()
2
1
sin.cossin()sin()
2
ababab
ababab
ababab
éù
=-++
ëû
éù
=--+
ëû
éù
=-++
ëû
coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22
abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=
sinsin2cos.sin
22
abab
ab
+-
-=
sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
+
+=
sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
-
-=
sin()
cotcot
sin.sin
ab
ab
ab
+
+=
ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin33sin4sin
cos34cos3cos
3tantan
tan3
13tan
aaa
aaa
aa
a
a
=-
=-
-
=
-
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 4
TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
yx
sin
=
: Tập xác định D = R; tập giá trị
1,1
T
éù
=-
ëû
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2
T =
p
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
p
* y = sin(f(x)) xác định
()
fx
Û
xác định.
yx
cos
=
: Tập xác định D = R; tập giá trị
1,1
T
éù
=-
ëû
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2
T =
p
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
p
* y = cos(f(x)) xác định
()
fx
Û
xác định.
yx
tan
=
: Tập xác định
\,
2
DRkkZ
ìü
=+Î
íý
îþ
p
p
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
=
p
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
p
* y = tan(f(x)) xác định
()
fx
Û
()
2
kkZ
¹+Î
p
p
yx
cot
=
: Tập xác định
{
}
\,
DRkkZ
=Î
p
; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T
=
p
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
p
* y = cot(f(x)) xác định
()()
fxkkZ
Û¹Î
p
.
* y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
12
()()
yfxfx
=± có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 5
1. Phương trình sinx = sina
a)
2
sinsin()
2
xk
xkZ
xk
é
=+
=ÛÎ
ê
=-+
ë
ap
a
pap
b)
xaÑieàukieäna
sin.:11
=-££
xak
xakZ
xak
arcsin2
sin()
arcsin2
p
pp
é
=+
=ÛÎ
ê
=-+
ë
c)
sinsinsinsin()
uvuv
=-Û=-
d) sincossinsin
2
uvuv
æö
=Û=-
ç÷
èø
p
e) sincossinsin
2
uvuv
æö
=-Û=-
ç÷
èø
p
Các trường hợp đặc biệt:
sin0()
xxkkZ
=Û=Î
p
sin12()
2
xxkkZ
=Û=+Î
p
p
sin12()
2
xxkkZ
=-Û=-+Î
p
p
22
sin1sin1cos0cos0()
2
xxxxxkkZ
=±Û=Û=Û=Û=+Î
p
p
2. Phương trình cosx = cosa
a)
coscos2()
xxkkZ
=Û=±+Î
aap
b)
xaÑieàukieäna
cos.:11
=-££
xaxakkZ
cosarccos2()
p
=Û=±+Î
c)
coscoscoscos()
uvuv
=-Û=-
p
d) cossincoscos
2
uvuv
æö
=Û=-
ç÷
èø
p
e) cossincoscos
2
uvuv
æö
=-Û=+
ç÷
èø
p
Các trường hợp đặc biệt:
cos0()
2
xxkkZ
=Û=+Î
p
p
cos12()
xxkkZ
=Û=Î
p
cos12()
xxkkZ
=-Û=+Î
pp
xxxxxkkZ
22
cos1cos1sin0sin0()
p
=±Û=Û=Û=Û=Î
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
CHƯƠNG I
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 6
3. Phương trình tanx = tana
a)
tantan()
xxkkZ
=Û=+Î
aap
b)
tanarctan()
xaxakkZ
=Û=+Î
p
c)
tantantantan()
uvuv
=-Û=-
d) tancottantan
2
uvuv
æö
=Û=-
ç÷
èø
p
e) tancottantan
2
uvuv
æö
=-Û=+
ç÷
èø
p
Các trường hợp đặc biệt:
tan0()
xxkkZ
=Û=Î
p
tan1()
4
xxkkZ
=±Û=±+Î
p
p
4. Phương trình cotx = cota
cotcot()
xxkkZ
=Û=+Î
aap
cotarccot()
xaxakkZ
=Û=+Î
p
Các trường hợp đặc biệt:
cot0()
2
xxkkZ
=Û=+Î
p
p
cot1()
4
xxkkZ
=±Û=±+Î
p
p
5. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
().
2
xkkZ
¹+Î
p
p
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
()
xkkZ
¹Î
p
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
()
2
xkkZ
¹Î
p
* Phương trình có mẫu số:
·
sin0()
xxkkZ
¹Û¹Î
p
·
cos0()
2
xxkkZ
¹Û¹+Î
p
p
·
tan0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p
·
cot0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 7
Baøi 1. Giải các phương trình:
1)
cos20
6
x
æö
+=
ç÷
èø
p
2)
cos41
3
x
æö
-=
ç÷
èø
p
3)
cos1
5
x
æö
-=-
ç÷
èø
p
4)
sin30
3
x
æö
+=
ç÷
èø
p
5)
sin1
24
x
æö
-=
ç÷
èø
p
6)
sin21
6
x
æö
+=-
ç÷
èø
p
7)
( )
1
sin31
2
x
+=
8)
( )
0
2
cos15
2
x -= 9)
3
sin
232
x
æö
-=-
ç÷
èø
p
10)
1
cos2
62
x
æö
-=-
ç÷
èø
p
11)
(
)
tan213
x -= 12)
( )
0
3
cot310
3
x +=
13)
tan31
6
x
æö
+=-
ç÷
èø
p
14)
cot21
3
x
æö
-=
ç÷
èø
p
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
-
Baøi 2. Giải các phương trình:
1)
xx
sin(31)sin(2)
+=-
2)
coscos2
36
xx
æöæö
-=+
ç÷ç÷
èøèø
pp
3)
cos3sin2
xx
=
4) xx
0
sin(120)cos20
-+=
5)
cos2cos0
33
xx
æöæö
++-=
ç÷ç÷
èøèø
pp
6)
sin3sin0
42
x
x
æö
+-=
ç÷
èø
p
7)
tan3tan
46
xx
æöæö
-=+
ç÷ç÷
èøèø
pp
8)
cot2cot
43
xx
æöæö
-=+
ç÷ç÷
èøèø
pp
9)
xx
tan(21)cot0
++=
10) xx
2
cos()0
+=
11) xx
2
sin(2)0
-=
12) xx
2
tan(23)tan2
++=
13)
2
cot1
x
=
14)
2
1
sin
2
x
=
15)
1
cos
2
x
=
16)
22
sincos
4
xx
æö
-=
ç÷
èø
p
Baøi 3. Giải các phương trình:
1)
xxx
cos3.tan5sin7
=
2)
xx
tan5.tan21
=
3)
xxx
4cos2cos2cos41
--=
4)
xxx
3
3sin33cos914sin3
-=+
5) xxxx
33
2
cos.cos3sin.sin3
4
+= 6)
x
xx
13
8cos
cossin
+=
Baøi 4. Giải các phương trình:
1) xx
2cossin1
-=
2) xx
sincos30
+=
3)
x
x
x
2
1cos
tan
1sin
-
=
-
4) xx
x
1
cottan
sin
=+
Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình:
1)
mxm
(1)sin20
-+-=
2)
mx
sin.cos1
=
3) mxm
(4)tan20
--=
4) mxm
2
(1)sin210
++-=
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Cách 1:
· Chia hai vế phương trình cho
22
ab
+ ta được:
(1) Û
222222
sincos
abc
xx
ababab
+=
+++
· Đặt:
( )
2222
sin,cos0,2
ab
abab
éù
==Î
ëû
++
aaap
(1) trở thành:
22
sin.sincos.cos
c
xx
ab
+=
+
aa
22
cos()cos(2)
c
x
ab
Û-==
+
ab
· Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:
222
22
1.
c
abc
ab
£Û+³
+
· (2)
2()
xkkZ
Û=±+Î
abp
Cách 2:
a) Xét 2
22
x
xkk
=+Û=+
p
ppp
có là nghiệm hay không?
b) Xét
2cos0.
2
x
xk
¹+Û¹
pp
Đặt:
2
22
21
tan,sin,cos,
2
11
xtt
tthayxx
tt
-
===
++
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
()20(3)
bctatcb+-+-=
Vì
20,
xkbc
¹+Û+¹
pp
nên (3) có nghiệm khi:
222222
'()0.
acbabc
=--³Û+³
D
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan.
2
x
t
=
Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
.
abc
+³
3) Bất đẳng thức B.C.S:
222222
.sin.cos.sincos
yaxbxabxxab
=+£++=+
2222
sincos
minmaxtan
xxa
yabvaøyabx
abb
Û=-+=+Û=Û=
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
D
ạng:
a
.sin
x
+
b
.cos
x
=
c
(1)
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 9
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos3sin2
xx+=
2)
6
sincos
2
xx+=
3)
3cos3sin32
xx+=
4)
sincos2sin5
xxx
+=
5)
3sin2sin21
2
xx
æö
++=
ç÷
èø
p
6)
(
)
(
)
31sin31cos310
xx
--++-=
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin3sin23
xx
+=
2)
( )
sin8cos63sin6cos8
xxxx
-=+
3)
31
8cos
sincos
x
xx
=+ 4)
xxx
cos3sin2cos
3
p
æö
-=-
ç÷
èø
5)
xxx
sin5cos52cos13
+=
6)
xxxx
cos7sin53(cos5sin7)
-=-
7)
xxxx
sin8cos63(sin6cos8)
-=+
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) xxxx
2
(3cos4sin6)23(3cos4sin6)0
--++--=
2) 042)cos5sin4(13)cos5sin4(
2
=+--- xxxx
3) 08
14
sin
5
cos
12
5
sin5cos12 =+
++
++
x
x
xx
4) xx
xx
6
3cos4sin6
3cos4sin1
++=
++
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1)
xx
3sin2cos2
-=
2)
xx
3cos4sin30
+-=
3)
xx
cos4sin1
+=-
4)
xx
2sin5cos5
-=
5)
5cos3sin4
=
-
xx
6)
32cos22sin3
=
+
xx
7) xxx 14sin132cos32sin2 =+ 8)
2
9
sin32cos3 =+ xx
Baøi 5. Giải các phương trình sau:
1) xx
32
2sinsin
442
pp
æöæö
++-=
ç÷ç÷
èøèø
2)
3cos2sin22sin222
6
xxx
æö
++-=
ç÷
èø
p
Baøi 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
mxmx
(2)sincos2
++=
2)
mxmxm
(1)cos(1)sin23
++-=+
3)
mxmxm
2
(1)sin2cos-+= 4)
xxm
2
1
3sinsin2
2
+=
Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm:
1)
mxmxm
(2–1)sin(–1)cos–3
+=
2)
xmx
sincos1
+=
Baøi 8. Tìm x sao cho
x
y
x
1sin
2cos
+
=
+
là số nguyên.
Baøi 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) xxy 2cos2sin)32( +-= 2) xxxxxy cossin32cos2)cos(sin
2
++-=
3)
4
sin
cos
2
3sin2cos
+-
+
+
=
x
x
xx
y 4)
xx
y
xx
sin2cos1
sincos2
++
=
++
Baøi 10. Tìm các giá trị của
a
để phương trình có nghiệm
x
0
được chỉ ra:
1) 03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos
2
=+-+--+-+
aaaaaa
xx ; x
0
1
=
.
2) 0sin)33(cos2)sin3()1cossin2(
222
=--+-+-
aaaaa
xx ; x
0
3
= .
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Nếu đặt:
2
sinsin:01.
txhoaëctxthìñieàukieänt
==££
(tương tự đối với cosx)
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 032cos72sin3
2
=-+ xx 4) 07sin5cos6
2
=-+ xx
5)
03sin52cos
=
-
-
xx
6)
01cos2cos
=
+
+
xx
7) 1412cos3sin6
2
=+ xx 8) 7cos12sin4
24
=+ xx
9) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 10)
(
)
2
4sin231sin30
xx
-++=
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
2
tan13tan30
xx
+--=
2) 03cot)13(cot
2
=--+ xx
3)
xx
2
cot24cot230
-+=
4)
12cot4tan7
=
-
xx
5) tan
2
x + cot
2
x = 2 6) 3
4
2tan
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
p
x
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
xx
2
4sin3231cos334
++-=
2)
3
4cos32sin28cos
xxx
+=
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
33tan330
cos
x
x
-+-+=
5)
3
cos
x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1tan
x
+
= 0
7)
2
1
sin
x
= cotx + 3 8)
2
1
cos
x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Baøi 4. Cho phương trình
sin3cos33cos2
sin
12sin25
xxx
x
x
æö
++
+=
ç÷
+
èø
. Tìm các nghiệm của phương
trình thuộc
(
)
0;2
p
.
Baøi 5. Cho phương trình:
xxxxx
cos5.coscos4.cos23cos21
=++
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
(
)
;
-
pp
.
Baøi 6. Giải phương trình :
444
5
sinsinsin
444
xxx
æöæö
+++-=
ç÷ç÷
èøèø
pp
.
Baøi 7. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
44
1
sincossin.cos
2
xxmxx
++=
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng Đặt Điều kiện
axbxc
2
sinsin0
++=
t = sinx
11
t
-££
2
coscos0
axbxc
++=
t = cosx
11
t
-££
2
tantan0
axbxc
++=
t = tanx
()
2
xkkZ
¹+Î
p
p
2
cotcot0
axbxc
++=
t = cotx
()
xkkZ
¹Î
p
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 11
Cách 1:
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin1sin1.
2
xkxx
Û=+Û=Û=±
p
p
· Khi
cos0
x
¹
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos0
x
¹
ta được:
22
.tan.tan(1tan)
axbxcdx
++=+
· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
().0
adtbtcd
-++-=
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1cos2sin21cos2
(1)...
222
xxx
abcd
-+
Û++=
.sin2().cos22
bxcaxdac
Û+-=--
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
22
5sin23sin.cos3cos2
xxxx
++=
2)
22
3sin8sin.cos4cos0
xxxx
++=
3)
(
)
22
3sin8sin.cos839cos0
xxxx
++-=
4)
xxxx
22
2cos–3sin.cossin0
+=
5)
22
4sin33sin.cos2cos4
xxxx
+-=
6)
4224
3cos4sincossin0
xxxx
-+=
7)
22
1
sinsin22cos
2
xxx
+-=
8)
xxxx
22
cos3sinsin.cos–10
++=
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
22
2sin13sin.cos13cos1
xxxx
+-+-=
3)
(
)
(
)
xxxx
22
2sin33sin.cos31cos1
-++-=-
3)
(
)
(
)
22
21sinsin221cos2
xxx-+++=
4)
(
)
(
)
22
31sin23sin.cos31cos0
xxxx
+-+-=
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
323
sin2sin.cos–3cos0
+=
xxxx 2)
2
21
3sin.cossin
2
xxx
-
-=
3)
xxxxxx
3223
sin5sin.cos3sin.cos3cos0
--+=
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
22
1221
mxxx()sin–sincos
++=
2) mxmxmx
22
(3–2)sin–(5–2)sin23(21)cos0
++=
3)
mxxmx
22
sinsin23cos1
++=
4) mxmx
22
(2)cos2sin210
+-+=
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
D
ẠNG:
a.
sin
2
x
+
b
.
sin
x
.
cos
x
+
c
.cos
2
x
=
d
(1)
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
· Đặt: txxxt
sincos2.sin;2
4
p
æö
=±=±£
ç÷
èø
22
1
12sin.cossin.cos(1).
2
txxxxt
Þ=±Þ=±-
· Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa
2.
t £ Suy ra x.
Lưu ý: · xxxxsincos2sin2cos
44
pp
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
· xxxxsincos2sin2cos
44
pp
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
· Đặt: txxxÑkt
sincos2.sin;:02.
4
p
æö
=±=±££
ç÷
èø
2
1
sin.cos(1).
2
xxt
Þ=±-
· Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang.
Đặt txxxkt
tancot;2
2
p
æö
=+¹³
ç÷
èø
Baøi 1. Giải các phương trình:
1)
( )
2sin233sincos80
xxx
-++=
2)
(
)
2sincos3sin22
xxx
++=
3)
(
)
3sincos2sin23
xxx
++=-
4)
(
)
( )
121sincossin2
xxx
-++=
5)
xxxx
sincos–4sin.cos–10
+=
6)
(
)
( )
12sincossin212
xxx++-=+
Baøi 2. Giải các phương trình:
1)
(
)
sin24cossin4
xxx
--=
2)
xxx
5sin2–12(sin–cos)120
+=
3)
(
)
( )
121sincossin2
xxx
-+-= 4)
xxx
cos–sin3sin2–10
+=
5) xx
sin22sin1
4
p
æö
+-=
ç÷
èø
6)
xx
11
22
cos3sin3
-=
Baøi 3. Giải các phương trình:
1)
(
)
xxxx
33
sincos122sin.cos
+=+- 2)
xxx
33
3
1sincossin2
2
++=
3)
xxxx
22
3tan4tan3cot4cot20
++++=
4) xxx
2sin236sincos80
-++=
5)
xxx
sincos4sin21
-+=
6)
xxx
1sin2cossin
-=+
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
xxxxm
sin.cos6(sincos)
=++
2) xmxxm
sin222(sincos)140
+-+-=
3)
xxmxx
22
tancot(tancot)
+=- 4) xmxx
x
2
2
3
3tan(tancot)10
sin
+++-=
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 13
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Dạng:
A
AB
B
0
.0
0
é
=
=Û
ê
=
ë
Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác
không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích.
Các phép biến đổi thường sử dụng:
– Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích.
– Dùng công thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích.
– Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung
thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
xxxxx
1
sin.cos2sin2.cos3sin5
2
=- (*)
·
(*)
Û
xxxxx
11
sin.cos2(sin5sin)sin5
22
=--
Û
xx
sin(2cos21)0
+=
Û
xxk
xk
xxk
sin0
1
cos2
3
23
p
p
p
p
éé
==
êê
ÛÛ=
=-=±+
êê
ëë
Ví dụ 2: Giải phương trình:
xxx
cos2cos4cos60
++=
(*)
·
(*)
Û
xxxxx
2cos4.cos2cos40cos4(2cos21)0
+=Û+=
Û
x
xk
x
xk
cos40
84
1
cos2
2
3
pp
p
p
é
é
=
=+
ê
ê
Û
ê
=-
ê
ê
=±+
ë
ë
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x 8)
xxx
33
1
sincos1sin2
2
+=-
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4)
xxx
cos32cos2cos0
-+=
5)
xxx
cos10cos8cos610
--+=
6)
xxx
1coscos2cos30
+++=
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
5)
xxxx
4sin2.sin5.sin7sin4
=
6)
xxxxxx
1
cos3.cos4sin2.sin5cos2cos4
2
+=+
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3
2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
5) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Baøi 5. Giải các phương trình sau: (dùng công thức hạ bậc)
1) xx
66
1
sincos
4
+=
2) xx
88
1
sincos
8
+=
3) xx
66
5
sincos
8
+=
4)
xxx
46
cos2sincos2
+=
5) xxx
x
442
2
1
sincoscos10
4sin2
+-+-=
Baøi 6. Giải các phương trình sau:
1)
xxxxxx
33
1
sincossin2.sincossin3
4
2
p
æö
+++=+
ç÷
èø
2)
xxxxxxx
1sin22cos3(sincos)2sin2cos3cos2
+++=++
3)
xxxxxx
sinsin2sin32(coscos2cos3)
++=++
4)
xxxx
1sincossin22cos20
++++=
5)
xx
xxx
222
sin2sin2sin.sincot0
22
+-+=
6)
xxxxxxx
22
sin.coscos2sincos.sincos0
-+--=
7)
xxxx
2
(2sin1)(2cos22sin1)34cos
-++=-
8)
xxxxx
sin.sin42cos3cos.sin4
6
p
æö
=--
ç÷
èø
Baøi 7. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
sin3.sin6sin9
=
2)
xxxx
33
sincossincos
-=+
3)
xxxx
33
sincossincos
+=-
4)
xxxx
2
sin(1cos)1coscos
+=++
5)
xxxx
cottansincos
-=+
6)
xxxx
2cos2sin22(sincos)
-=+
7)
x
x
x
2
1sin2
1tan2
cos2
-
+= 8)
xxx
(1tan)(1sin2)1tan
-+=+
Baøi 8. Giải các phương trình sau:
1)
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 15
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
Dạng:
ABA
ABB
0;00
00
ìì
³³=
Û
íí
+==
îî
Đặc biệt:
·
A
AB
B
22
0
0
0
ì
=
+=Û
í
=
î
·
A
ABAB
B
ABAB
1
1,11,1
1
2(1)(1)0
ìì
ì
=
££££
ÛÛ
ííí
=
+=-+-=
î
îî
Ví dụ: Giải phương trình: xxxx
3
cos2cos64(3sin4sin1)0
-+-+=
(*)
(*)
Û
xk
x
xxxl
x
xk
22
cos0
2
cos(sin31)02
sin312
2
63
p
p
p
p
pp
ì
=+
ï
ì
=
++=ÛÛÛ=+
íí
=-
î
ï
=-+
î
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
xxxx
22
1
sinsin3sin.sin3
4
+= 2)
xxxx
222
1
sinsin3sin.sin3
4
+=
3)
xxxx
22
4cos3tan43cos23tan40
+-++=
4) xxxx
3
cos2cos64(3sin4sin1)0
-+-+=
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
x
x
2
sin2sin20
5
+-=
2)
xx
52
sincos1
-=
3)
xxxx
sin(cos2cos4cos6)1
++=
4)
xx
sin2.cos81
=
5)
xx
sin7cos22
+=-
6)
xx
33
sincos1
+=
7)
xxxx
sin2sin23sin34sin410
+++=
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 16
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Dạng:
AM
AM
BM
BM
AB
ì
³
ï
ì
=
£Û
í
í
=
î
ï
=
î
Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A
³
M và B
£
M.
Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:
·
Bất đẳng thức lượng giác cơ bản:
xxxx
22
1sin,cos1;0sin,cos1
-££££
·
Bất đẳng thức Cô–si: Với mọi a, b
³
0, ta có:
abab
2+³ .
·
Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta có:
axbyabxy
22222
()()()
+£++
Đặc biệt:
abab
222
()2()
+£+
Ví dụ: Giải phương trình:
xxx
sincos2(2sin3)
+=- (*)
·
Ta có: xxx
sincos2sin2
4
p
æö
+=+£
ç÷
èø
[
]
xx
2(2sin3)21(1sin3)2
-=+-³
Do đó: (*)
Û
xk
x
xl
x
2
sin1
4
4
2
sin31
63
p
p
p
pp
ì
ì
æö
=+
ï
ï
+=
ç÷
Û
íí
èø
ïï
=+
=
î
î
(vô nghiệm)
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
sincos2(2sin3)
+=- 2)
xxx
2
(cos4cos2)5sin3
-=+
3)
xxx
2
5sin3sin2cos
+=+ 4)
xxx
2
2cos2sin3cos3
+=-
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
2
sin2sin21cos4
+-=++ 2)
xxx
22
cos32cos32(1sin2)
+-=+
3)
x
x
sin
cos
p
= 4)
x
x
sin
3cos
=
5)
x
x
2
2sin
=
6)
xx
x
2cos22
3
-
=+
7)
xx
xx
2
2
2cos22
6
-
+
=+
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
2
cos()45
p
=-+
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 17
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Dạng:
AMBNAM
ABMNBN
,
ìì
££=
Û
íí
+=+=
îî
Ví dụ: Giải phương trình:
xx
74
cossin1
+=
(*)
·
Ta có:
xx
xx
72
42
coscos
sinsin
ì
ï
£
í
£
ï
î
. Suy ra: (*)
Û
xx
xx
72
42
coscos(1)
sinsin(2)
ì
ï
=
í
=
ï
î
Phương trình (1) cho ta
x
x
cos0
cos1
é
=
ê
=
ë
.
– Khi
x
cos0
=
thì
x
sin1
=±
: nghiệm đúng phương trình (2)
– Khi
x
cos1
=
thì
x
sin0
=
: nghiệm đúng phương trình (2)
Vậy (*)
Û
x
xk
x
xk
cos0
2
cos1
2
p
p
p
é
é
=
=+
ê
Û
ê
=
ê
ë
=
ë
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
xx
415
sincos1
+=
2)
xxx
334
sincos2sin
+=-
3)
xx
1314
cossin1
+=
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 18
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
·
Dự đoán nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có
nghiệm duy nhất.
·
Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (
a
;
b
). Khi đó, với mọi
a, b
Î
(
a
;
b
) ta có: f(a) = f(b)
Û
a = b.
Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét.
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
xx
cos1
=+
2)
xx
sin
=
3)
x
x
2
cos1
2
=- 4)
x
xx
sin
2cos,0;
2
p
éù
=Î
êú
ëû
5) xxxxsintan20,0
2
p
+-=£<
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) xmxmx
2
cos(1)cos1,(0;)
p
+-+-Î
2) xxxxmx
xx
111
sincos1tancot,0;
2sincos2
p
æöæö
++++++=Î
ç÷
ç÷
èø
èø
3)
xxxm
sin24(cossin)
+-=
4)
xxmxx
6644
sincos(sincos)
+=+
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 19
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
1tantan3(1tan)
+=-
2)
x
xxx
x
sin6
8.cos.cos2.cos4
sin
=
3)
xxx
4cos.cos2.cos410
+=
4) xxx
sin2sinsin322
--=
5) xxx
46
coscos22sin0
-+=
6) xxxxx
22
cos4cos2.sin30.
--++=
ĐS: 1)
xk
82
pp
=+ 2)
xk
147
pp
=+ 3)
xkxk
2;
2
p
ppp
=+=+
4) vô nghiệm 5)
xk
p
=
6) x = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
xx
tan2.tan71
=
2) xx
33
2
sincos
2
+=
3)
xxxx
xx
331
cos.cos.cossin.sin.sin
22222
-=
4)
xxx
xx
2
3cossin1
1tan
3cos1sin22
+-
=-
+-
5)
x
xx
x
4
5cos
2
3sintan
cos
-+= 6)
x
x
2sin
log(1cos)2
+=
ĐS: 1)
xk
189
pp
=+ 2) xkxk
31
2;2,cos
444
pp
papa
-
=+=++=
3)
xkxkxkxk
5
;2;2;2
4266
pppp
pppp
=-+=-+=+=+
4) xkxkxktg
2;22(tan51);22(51)
papabpb
==+=-=-+=+
5) vô nghiệm 6)
xk
2
3
p
p
=+
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1)
xxx
tantan42tan3
+=
2)
xxxxx
9cos3.cos579cos3.cos12cos4
+=+
3)
xxx
334
sincos2sin.
+=- 4)
xxx
xthoûa
3
sincos1sin.
22224
pp
-=--£
5)
xx
39
11
logcoslogsin
22
369
++
+= 6) xx
19941994
sincos1
+=
ĐS: 1)
xkxk
;
122
pp
p
==±+ 2) xkxl
2
2;2,cos21
3
ppapa
=+=±+=-
3)
xk
2
2
p
p
=+ 4) x
5
,,2,
22
pp
pp
= 5)
xk
5
2
12
p
p
=-+ 6)
xk
2
p
=
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1)
xxxx
2
3sin32sin23sin.cos2
-=
2)
xxxxx
3
2cos133(cos5cos3)8cos.cos4
++=
3)
xxx
x
xx
2
1cos2cos5cos32
2sin
32cos2cos1
+++
=-
+-
4) xxxxthoûax
1
2
sin.tan23(sin3.tan2)332log0
+-=+£
5) xxxx
22
3cot4cos23cot4cos20
+--+=
VI. BÀI TẬP ÔN
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 20
ĐS: 1)
xkxkxk
2
;2;2
33
pp
==+=+ 2)
xk
12
p
= 3)
xk
2
p
=
4) xkk
,3
62
pp
=-+³
5)
xk
2
3
p
p
=+
Baøi 5. Tìm m để phương trình:
1)
xmx
sin5.sin
=
có ít nhất một nghiệm
xkkZ
()
p
¹Î
.
2)
xxxxm
xx
111
sincos1tancot
2sincos
æö
++++++=
ç÷
èø
có nghiệm x 0;
2
p
æö
Î
ç÷
èø
.
3)
xxxmx
2
2sin1)(2cos22sin)34cos
-++=- có đúng 2 nghiệm thuộc
[
]
0;
p
.
4)
xxm
44
cos(1cos)
+-=
vô nghiệm.
5)
xxmxx
33
cossin.sin.cos
+= có nghiệm.
6) xxmx
222
sinsin3.cos20
+-=
có nghiệm.
ĐS: 1) m
5
5
4
-£<
2) m
2(21)
³+
3)
mhaymhaym
130.
<->=
4) mm
1
17
18
<Ú>
5)
mR
"Î
6)
m
0.
³
Baøi 6. Tìm m để phương trình:
1)
xxm
2
3cos2sin
+=
có nghiệm duy nhất thuộc đoạn
;
44
pp
éù
-
êú
ëû
.
2)
xxxm
sincos4sin2
-+=
có nghiệm.
3)
xxm
12cos12sin
+++=
có nghiệm.
ĐS: 1) 2) m
65
24.
16
-££ 3) m
13212.
+££+
Baøi 7. Giải các phương trình sau:
1)
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 21
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;
2
p
) của phương trình:
xx
xx
x
cos3sin3
5sincos23
12sin2
æö
+
+=+
ç÷
+
èø
HD: Điều kiện:
xm
xn
12
7
12
p
p
p
p
ì
¹-+
ï
í
ï
¹+
î
. PT
Û
xx
5cos2cos23
=+
Û
x
1
cos
2
=
Û
x
x
3
5
3
p
p
é
=
ê
ê
ê
=
ë
.
Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình:
xxxx
2222
sin3cos4sin5cos6
-=-
HD: PT
Û
xxx
cos.sin9.sin20
=
Û
xx
sin2.sin90
=
Û
xk
xk
9
2
p
p
é
=
ê
ê
ê
=
ê
ë
.
Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
xxx
cos34cos23cos40
-+-=
HD: PT
Û
xx
2
4cos(cos2)0
-=
Û
x
cos0
=
Û
xxxx
357
;;;
2222
pppp
====.
Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình:
xx
a
xx
2sincos1
sin2cos3
++
=
-+
(a là tham số).
1. Giải phương trình khi a
1
3
=
.
2. Tìm a để phương trình có nghiệm.
HD: 1)
xk
4
p
p
=-+
2) a
1
2
2
-££
(Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình:
x
xxxxx
2
tancoscossin1tan.tan
2
æö
+-=+
ç÷
èø
.
HD:
xk
2
p
=
. Chú ý: Điều kiện:
x
x
cos0
cos1
ì
¹
í
¹-
î
và
x
x
x
1
1tan.tan
2cos
+=.
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình:
(
)
xx
x
x
2
4
4
2sin2sin3
tan1
cos
-
+= .
HD: Điều kiện: cosx
¹
0. PT
Û
xxkxk
1252
sin3;
2183183
pppp
=Û=+=+ .
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình:
xx
x
xx
44
sincos11
cot2
5sin228sin2
+
=-.
HD: Điều kiện: sin2x
¹
0. PT
Û
xxxk
2
9
cos25cos20
46
p
p
-+=Û=±+ .
Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình:
x
x
2
1
sin
8cos
=
.
HD: Điều kiện:
x
x
cos0
sin0
ì
¹
í
>
î
PT
Û
xkxkxkxk
357
2;2;2;2
8888
pppp
pppp
=+=+=+=+
Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình:
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 22
(
)
xxxxm
44
2sincoscos42sin20
+++-=
(*)
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
p
éù
êú
ëû
.
HD: m
10
2
3
-££-
.
Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc
0;
2
p
éù
êú
ëû
Û
ftttm
2
()323
=-=+
có nghiệm t
Î
[0;1]
Baøi 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình:
x
xxx
x
2
cos21
cot1sinsin2
1tan2
-=+-
+
.
HD: Điều kiện:
xxx
sin0,cos0,tan1
¹¹¹-
.
PT
Û
xxxxx
2
(cossin)(1sin.cossin)0
--+=
Û
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: xxx
x
2
cottan4sin2
sin2
-+=.
HD: Điều kiện:
x
x
sin0
cos0
ì
¹
í
¹
î
. PT
Û
xx
2
2cos2cos210
--=
Û
xk
3
p
p
=±+ .
Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình:
xx
x
222
sintancos0
242
p
æö
--=
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
.
PT
Û
xxxx
(1sin)(1cos)(sincos)0
-++=
Û
xk
xk
2
4
pp
p
p
é
=+
ê
=-+
ê
ë
.
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình:
(
)
xxx
2
cos2cos2tan12
+-=
.
HD: Điều kiện: cosx
¹
0.
PT
Û
xxx
2
(1cos)(2cos5cos2)0
+-+=
Û
xkxk
(21),2
3
p
pp
=+=±+
Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình:
(
)
xxxx
3tantan2sin6cos0
-++=
.
HD: Điều kiện: cosx
¹
0. PT
Û
xxxxk
22
(1cos2)(3cossin)0
3
p
p
+-=Û=±+
Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình:
xxx
62
3cos48cos2cos30
-++=
.
HD: PT
Û
xxxxkxk
42
cos2(2cos5cos3)0,
42
pp
p
-+-=Û=+=
Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
( )
x
x
x
2
23cos2sin
24
1
2cos1
p
æö
---
ç÷
èø
=
-
.
HD: Điều kiện: x
1
cos
2
¹
. PT
Û
xxxk
3cossin0(21)
3
p
p
-+=Û=++
Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình:
(
)
xx
x
xx
2
coscos1
2(1sin)
sincos
-
=+
+
.
HD: Điều kiện: x
sin0
4
p
æö
+¹
ç÷
èø
.
PT
Û
xxxkxk
2
(1sin)(1cos)0,2
2
p
ppp
++=Û=-+=+
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 23
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình:
x
xx
x
2cos4
cottan
sin2
=+ .
HD: Điều kiện: sin2x
¹
0. PT
Û
xxxk
2
2cos2cos210
3
p
p
--=Û=±+ .
Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình:
xxx
2
5sin23(1sin)tan
-=- .
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xx
2
2sin3sin20
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình:
xxxxx
(2cos1)(2sincos)sin2sin
-+=-
.
HD: PT
Û
xxx
(2cos1)(sincos)0
-+=
Û
xk
xk
2
3
4
p
p
p
p
é
=±+
ê
ê
ê
=-+
ë
.
Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình:
(
)
xxxx
33
4sincoscos3sin
+=+ .
HD: PT
Û
xxx
32
tantan3tan30
--+=
Û
xkxk
;
43
pp
pp
=+=±+ .
Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: xx
1sin1cos1
-+-=
.
HD: Đặt
ux
vx
1sin
1cos
ì
ï
=-
í
=-
ï
î
. PT
Û
uv
uv
2222
1
(1)(1)1
ì
+=
í
-+-=
î
Û
u
v
0
1
ì
=
í
=
î
hoặc
u
v
1
0
ì
=
í
=
î
Û
xkxk
2;2
2
p
pp
=+=.
Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
xx
11
22cos
4sincos
p
æö
++=
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện:
x
x
sin0
cos0
ì
¹
í
¹
î
. PT
Û
xxx
(cossin)(1sin2)0
-+=
Û
xk
4
p
p
=±+ .
Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình:
xxxx
sin4.sin7cos3.cos6
=
.
HD:
xkxk
;
20102
ppp
p
=+=+ .
Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình:
xxxxxx
2sin.cos2sin2.cossin4.cos
+=
.
HD: PT
Û
xx
sin3(cos21)0
-=
Û
xk
3
p
= .
Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình:
xxxx
sinsin23(coscos2)
+=+.
HD: PT
Û
xkxk
22
2;
93
pp
pp
=+=+
Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình:
xxx
22
cos3.cos2cos0
-=
.
HD: PT
Û
xx
2
2cos4cos430
+-=
Û
xk
2
p
= .
Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình:
xxxx
1sincossin2cos20
++++=
.
HD: PT
Û
xxx
(sincos)(2cos1)0
++=
Û
xkxk
2
;2
43
pp
pp
=-+=±+ .
Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: xxxx
44
3
cossincossin30
442
pp
æöæö
++---=
ç÷ç÷
èøèø
.
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 24
HD: PT
Û
xx
2
sin2sin220
+-=
Û
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:
x
xx
22
3
4sin3cos212cos
24
p
æö
-=+-
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xx
cos2cos()
6
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
Û
xxx
5175
;;
18186
ppp
===.
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: xxx
3
22cos3cossin0
4
p
æö
---=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxxxxxxx
3322
cossin3cos.sin3cos.sin3cossin0
+++--=
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos0
=
thì PT
Û
x
xx
3
cos0
sinsin0
ì
=
í
-=
î
Û
xk
2
p
p
=+ .
b) Nếu
x
cos0
¹
thì ta chia 2 vế của PT cho
x
3
cos
.
Khi đó: PT
Û
x
x
cos0
tan1
ì
¹
í
=
î
Û
xk
4
p
p
=+ .
Vậy: PT có nghiệm:
xk
2
p
p
=+ hoặc
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :
(
)
xxxxx
223
sin.cos2costan12sin0
+-+=
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xx
2
2sinsin10
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình :
x
xx
x
2
2
cos21
tan3tan
2
cos
p
æö
-
+-=
ç÷
èø
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
x
3
tan1
=-
Û
xk
4
p
p
=-+
.
Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình:
x
x
x
3sin
tan2
21cos
p
æö
-+=
ç÷
èø+
.
HD: Điều kiện:
x
sin0
¹
. PT
Û
x
2sin1
=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình:
xxxx
sin2cos23sincos20
++--=
.
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(sincos1)0
---=
Û
x
x
1
sin
2
2
sin
42
p
é
=
ê
ê
æö
ê
-=
ç÷
ê
èø
ë
Û
xk
xk
xk
xk
2
6
5
2
6
2
2
2
p
p
p
p
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình:
(
)
xxxx
x
66
2cossinsin.cos
0
22sin
+-
=
-
.
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 25
HD: Điều kiện: x
2
sin
2
¹ . PT
Û
xx
2
3sin2sin240
+-=
Û
xk
4
p
p
=+ .
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm:
xm
5
2
4
p
p
=+ .
Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình:
x
xxx
cotsin1tan.tan4
2
æö
++=
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện:
x
xx
sin0,cos0,cos0
2
¹¹¹
.
PT
Û
xx
xx
cossin
4
sincos
+=
Û
x
1
sin2
2
=
Û
xk
xk
12
5
12
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình:
xxx
cos3cos2cos10
+--=
.
HD: PT
Û
xx
2
sin(2cos1)0
+=
Û
xk
xk
2
2
3
p
p
p
é
=
ê
=±+
ê
ë
.
Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: xxxx
33
232
cos3.cossin3.sin
8
+
-=.
HD: PT
Û
x
2
cos4
2
=
Û
xk
162
pp
=±+ .
Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: xx
2sin24sin10
6
p
æö
-++=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
(
)
xxx
sin3cossin20
++=
Û
xk
xk
7
2
6
p
p
p
é
=
ê
=+
ê
ë
.
Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:
(
)
(
)
xxx
222
2sin1tan232cos10
-+-=
.
HD: Điều kiện:
x
cos20
¹
. PT
Û
(
)
xx
2
cos2tan230
-=
Û
xk
62
pp
=±+ .
Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình:
xxxx
cos2(12cos)(sincos)0
++-=
.
HD: PT
Û
xxxx
(sincos)(cossin1)0
--+=
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình:
xxx
332
cossin2sin1
++=
.
HD: PT
Û
xxxx
(cossin)(1cos)(sin1)0
+-+=
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
=
ê
ê
=-+
ê
ë
.
Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình:
xxxx
32
4sin4sin3sin26cos0
+++=
.
HD: PT
Û
xxx
2
(sin1)(2cos3cos2)0
+-++=
Û
xk
xk
2
2
2
2
3
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=±+
ë
.
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 26
Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình:
(
)
(
)
xxxxx
22
1sincos1cossin1sin2
+++=+
HD: PT
Û
xxxx
(sincos)(1sin)(1cos)0
+--=
Û
xk
xk
xk
4
2
2
2
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=
ë
.
Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình:
xxx
2
2sin2sin71sin
+-=
.
HD: PT
Û
(
)
xx
cos42sin31)0
-=
Û
xk
xk
xk
84
2
183
52
183
pp
pp
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ê
ë
.
Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình:
xx
x
2
sincos3cos2
22
æö
++=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xx
1sin3cos2
++=
Û
x
1
cos
62
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
2
2
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ë
Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình:
xxx
xx
11
sin2sin2cot2
2sinsin2
+--= .
HD: Điều kiện
x
sin20
¹
. PT
Û
(
)
xxx
2
cos22coscos10
++=
Û
xk
42
pp
=+ .
Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
xxxxx
2
2cos23sincos13(sin3cos)
++=+ .
HD: PT
Û
xx
2
2cos3cos0
66
pp
æöæö
---=
ç÷ç÷
èøèø
Û
xk
2
3
p
p
=+
.
Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình:
53
sincos2cos
24242
xxx
æöæö
---=
ç÷ç÷
èøèø
pp
HD: PT
Û
x
x
3
cos2cos20
24
p
æö
æö
++=
ç÷
ç÷
èø
èø
Û
xk
xk
xk
2
33
2
2
2
pp
p
p
pp
é
=+
ê
ê
ê
=+
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình:
xx
xx
xx
sin2cos2
tancot
cossin
+=-.
HD: Điều kiện:
x
sin20
¹
. PT
Û
xx
coscos2
=-
Û
xk
2
3
p
p
=±+ .
Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình:
xx
22sincos1
12
p
æö
-=
ç÷
èø
HD: PT
Û
x
5
sin2cossin
121212
ppp
æö
-==
ç÷
èø
Û
xkhayxk
43
pp
pp
=+=+ .
Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình:
xxx
(1–tan)(1sin2)1tan
+=+
.
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 27
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
xxx
(cossin)(cos21)0
+-=
Û
xk
xk
4
p
p
p
é
=-+
ê
ê
=
ë
.
Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình:
x
x
x
117
4sin
sin4
3
sin
2
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
æö
-
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện: xx
3
sin0,sin0
2
p
æö
¹-¹
ç÷
èø
.
PT
Û
xx
xx
1
(sincos)220
sincos
æö
++=
ç÷
èø
Û
xk
xk
xk
4
8
5
8
p
p
p
p
p
p
é
=-+
ê
ê
ê
=-+
ê
ê
=+
ê
ë
Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình:
xxxxxx
3322
sin3cossincos3sincos
-=-
.
HD: PT
(
)
xxx
cos2sin3cos0
+=
Û
xkxk
;
423
ppp
p
=+=-+ .
Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình:
xxxx
2sin(1cos2)sin212cos
++=+
.
HD: PT
Û
xx
(2cos1)(sin21)0
+-=
Û
xkxk
2
2;
34
pp
pp
=±+=+ .
Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0;
p
) của phương trình:
x
xx
22
3
4sin3cos212cos
24
p
æö
-=+-
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxx
2cos3cos2sin2
-=-
Û
()
xx
cos2cos
6
p
p
æö
+=-
ç÷
èø
Û
xkhayxh
527
2
1836
ppp
p
=+=-+
Do
x
(0;)
p
Î
nên chỉ chọn xxx
5175
;;
18186
ppp
===.
Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: xxx
3
22cos3cossin0
4
p
æö
---=
ç÷
èø
.
HD: PT
Û
xxxxxxxx
3322
cossin3cos.sin3cos.sin3cossin0
+++--=
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu
x
cos0
=
thì PT
Û
x
xx
3
cos0
sinsin0
ì
=
í
-=
î
Û
xk
2
p
p
=+ .
b) Nếu
x
cos0
¹
thì ta chia 2 vế của PT cho
x
3
cos
.
Khi đó: PT
Û
x
x
cos0
tan1
ì
¹
í
=
î
Û
xk
4
p
p
=+ .
Vậy: PT có nghiệm:
xk
2
p
p
=+ hoặc
xk
4
p
p
=+ .
Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình:
(
)
xxxxx
223
sincos2costan12sin0
+-+=
.
HD: Điều kiện: cos0
2
xxk
¹Û¹+
p
p
.
Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 28
PT
Û
xx
2
2sinsin10
+-=
Û
xkxk
5
2;2
66
pp
pp
=+=+ .
Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình:
x
xx
x
2
2
cos21
tan3tan
2
cos
p
æö
-
+-=
ç÷
èø
.
HD: Điều kiện:
x
cos0
¹
. PT
Û
x
3
tan1
=-
Û
xk
4
p
p
=-+
.
Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình:
x
x
x
3sin
tan2
21cos
p
æö
-+=
ç÷
èø+
.
HD: Điều kiện:
x
sin0
¹
. PT
Û
xx
(cos1)(2sin1)0
+-=
Û
xk
xk
2
6
5
2
6
p
p
p
p
é
=+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình:
sin2cos23sincos20
xxxx
++--=
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(sincos1)0
---=
Û
x
x
1
sin
2
2
sin
42
p
é
=
ê
ê
æö
ê
-=
ç÷
ê
èø
ë
Û
xkxkxkxk
5
2;2;2;2
662
ppp
ppppp
=+=+=+=+ .
Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình:
xx
xx
(12sin)cos
3
(12sin)(1sin)
-
=
+-
.
HD: Điều kiện: xx
1
sin1,sin
2
¹¹-
.
PT
Û
xxxx
cos3sinsin23cos2
-=+
Û
xxcoscos2
36
pp
æöæö
+=-
ç÷ç÷
èøèø
Û
xk
2
183
pp
=-+ .
Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình:
(
)
xxxxxx
3
sincos.sin23cos32cos4sin++=+.
HD: PT
Û
xxx
sin33cos32cos4
+=
Û
xx
cos3cos4
6
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
2
6
2
427
p
p
pp
é
=-+
ê
ê
ê
=+
ë
.
Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình:
xxxx
3cos52sin3cos2sin0
--=
.
HD: PT
Û
xxx
31
cos5sin5sin
22
-=
Û
xx
sin5sin
3
p
æö
-=
ç÷
èø
Û
xk
xk
183
62
pp
pp
é
=+
ê
ê
ê
=-+
ë
.
Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình:
xxx
x
x
(1sincos2)sin
1
4
cos
1tan
2
p
æö
+++
ç÷
èø
=
+
HD: Điều kiện:
xx
cos0;1tan0
¹+¹
.
PT
Û
xx
sincos20
+=
Û
xkxk
7
2;2
66
pp
pp
=-+=+ .
Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình:
xxxxx
(sin2cos2)cos2cos2sin0
++-=
.
Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác
Trang 29
HD: PT
Û
xxx
(sincos2)cos20
++=
Û
xk
42
pp
=+ .
Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình:
xxxx
sin2cos23sincos10
-+--=
.
HD: PT
Û
xxx
(2sin1)(cossin2)0
-++=
Û
xkxk
5
2;2
66
pp
pp
=+=+ .
Baøi 69. (ĐH 2011A)
1.
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác CHƯƠNG 0
ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC –
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: T OP = cosa OQ = sina B T' cotang sin tang Q AT = tana M BT ' = cota a cosin Nhận xét: O p A · a
" , -1 £ cosa £ 1; -1 £ sina £ 1 p
· tana xác định khi a ¹ + kp ,k Î Z 2
· cota xác định khi a ¹ kp ,k Î Z
2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư I II II IV
Giá trị lượng giác sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 2 1 2 1 1+ tan a = ; 1+ cot a = 2 2 cos a sin a 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau æ ö cos( a p - ) = cosa
sin(p -a ) = sina
sinç -a ÷ = cosa è 2 ø æ ö sin( a p - ) = - sina
cos(p -a) = - cosa
cosç -a ÷ = sina è 2 ø æ ö tan( a p - ) = - tana
tan(p -a) = - tana
tanç -a ÷ = cota è 2 ø æ ö cot( a p - ) = - cota
cot(p -a ) = - cota
cot ç -a ÷ = tana è 2 ø Trang 1
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng p
Cung hơn kém p Cung hơn kém 2 æ ö sin( p
p +a ) = - sina
sinç +a ÷ = cosa è 2 ø æ ö cos( p
p +a ) = - cosa
cosç +a ÷ = - sina è 2 ø æ ö tan( p
p +a ) = tana
tanç +a ÷ = - cota è 2 ø æ ö cot( p
p +a) = cota
cot ç +a ÷ = - tana è 2 ø
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt p p p p 2p p 3p 0 3 p 2p 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 2 3 3 2 sin 0 2 1 0 –1 0 2 2 2 2 3 2 1 1 2 cos 1 0 - - –1 0 1 2 2 2 2 2 3 tan 0 1 3 - 3 3 –1 0 0 3 3 cot 3 1 0 - –1 0 3 3
II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng:
sin(a + b) = sin . a cos b + sin . b cosa tan a + tan b
sin(a - b) = sin . a cos b - sin . b cos a tan(a + b) = 1- tan . a tan b
cos(a + b) = cos . a cos b - sin . a sin b tan a - tan b
cos(a - b) = cos . a cos b + sin . a sin b tan(a - b) = 1+ tan . a tan b æ p ö 1+ tana æ p ö 1- tana
Hệ quả: tan ç +a ÷ = , tanç -a ÷ = è 4 ø 1- tana è 4 ø 1+ tana Trang 2
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi:
sin 2a = 2sina.cosa 2 2 2 2
cos2a = cos a - sin a = 2 cos a -1 = 1- 2sin a 2 2 tana cot a -1 tan 2a = ; cot 2a = 2 1- tan a 2 cota
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba (*) 2 1- cos2 3 sin a a =
sin 3a = 3sina - 4sin a 2 3
cos3a = 4 cos a - 3cosa 2 1+ cos2 cos a a = 3 2 3tana - tan tan 3 a a = 2 1- cos2 tan a a = 2 1- 3tan a 1+ cos2a a
2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : (*) 2 a 2t 1- t2 2t Đặt: t = tan
(a ¹ p + 2kp ) thì: sina = ; cosa = ; tana = 2 1+ t2 1+ t2 1- t2
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích: a + b a - b sin(a + b)
cos a + cos b = 2 cos .cos tan a + tan b = 2 2 cos . a cos b a + b a - b sin(a - b)
cos a - cos b = - 2sin .sin tan a - tan b = 2 2 cos . a cosb a + b a - b
sin a + sin b = 2sin .cos sin(a + b) cot a + cot b 2 2 = sin . a sin b a + b a - b
sin a - sin b = 2 cos .sin sin(b - a) 2 2 cot a - cot b = sin a.sin b æ ö æ ö sin + cos = 2.sin p ç + ÷ = 2.cos p a a a ça - 4 4 ÷ è ø è ø æ ö æ ö sin - cos = 2 sin p ç - ÷ = - 2 cos p a a a ça + 4 4 ÷ è ø è ø
2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos . a cos b =
écos(a - b) + cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin . a sin b =
écos(a - b) - cos(a + b)ù 2 ë û 1 sin . a cos b =
ésin(a - b) + sin(a + b) ù 2 ë û Trang 3
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = é-1, 1ù ë û ; hàm lẻ, chu kỳ 0 T = 2p . 2p
* y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 T = a
* y = sin(f(x)) xác định Û f (x) xác định.
y = cos x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = é-1, 1ù ë û ; hàm chẵn, chu kỳ 0 T = 2p . 2p
* y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 T = a
* y = cos(f(x)) xác định Û f (x) xác định. ìp ü
y = tan x : Tập xác định D = R \ í + kp,k Î Z ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 2 ý î þ 0 T = p . p
* y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T = a p
* y = tan(f(x)) xác định Û f (x) ¹
+ kp (k Î Z) 2
y = cot x : Tập xác định D = R \ {kp,k ÎZ}; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = p . p
* y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T = a
* y = cot(f(x)) xác định Û f (x) ¹ kp (k Î Z) .
* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số y = 1f(x) ± 2f(x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Trang 4
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác CHƯƠNG I
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sina
éx = a + k2p
a) sin x = sina Û (k Î Z)
êëx = p -a + k2p
b) sin x = a. Ñieàu kieän : -1 £ a £ 1
éx = arcsin a + k2p sin x = a Û (k Î Z) ê
ëx = p - arcsin a + k2p
c) sin u = - sin v Û sin u =sin(-v) æ p ö
d) sin u = cosv Û sin u = sin ç - v 2 ÷ è ø æ p ö
e) sin u = - cos v Û sin u = sin ç v - 2 ÷ è ø
Các trường hợp đặc biệt:
sin x = 0 Û x = kp (k Î Z) p p
sin x = 1 Û x =
+ k2p (k Î Z)
sin x = -1 Û x = - + k2p (k Î Z) 2 2 p 2 2
sin x = ±1 Û sin x = 1 Û cos x = 0 Û cos x = 0 Û x = + kp (k Î Z) 2
2. Phương trình cosx = cosa
a) cos x = cosa Û x = ±a + k2p (k Î Z)
b) cos x = a. Ñieàu kieän : -1 £ a £ 1
cos x = a Û x = ± arccos a + k2p (k Î Z)
c) cos u = - cos v Û cosu = cos(p - v) æ p ö
d) cos u = sin v Û cosu = cosç - v 2 ÷ è ø æ p ö
e) cos u = - sin v Û cosu = cosç + v 2 ÷ è ø
Các trường hợp đặc biệt: p
cos x = 0 Û x = + kp (k Î Z) 2
cos x = 1 Û x = k2p (k Î Z)
cos x = -1 Û x = p + k2p (k Î Z) x 2 = ± Û x 2 cos 1 cos
= 1 Û sin x = 0 Û sin x = 0 Û x = kp (k Î Z) Trang 5
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
3. Phương trình tanx = tana
a) tan x = tana Û x = a + kp (k Î Z)
b) tan x = a Û x = arctan a + kp (k Î Z)
c) tan u = - tan v Û tan u = tan(-v) æ p ö
d) tan u = cot v Û tan u = tan ç - v 2 ÷ è ø æ p ö
e) tan u = - cot v Û tan u = tan ç + v 2 ÷ è ø
Các trường hợp đặc biệt: p
tan x = 0 Û x = kp (k Î Z)
tan x = ±1 Û x = ± + kp (k Î Z) 4
4. Phương trình cotx = cota
cot x = cota Û x = a + kp (k Î Z)
cot x = a Û x = arccot a + kp (k Î Z)
Các trường hợp đặc biệt: p p cot x = 0 Û x =
+ kp (kÎ Z)
cot x = ±1 Û x = ± + kp (k Î Z) 2 4
5. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. p
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ¹
+ kp (k Î Z). 2
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ¹ kp (k Î Z) p
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ¹ k (k Î Z) 2
* Phương trình có mẫu số:
· sin x ¹ 0 Û x ¹ kp (k Î Z) p
· cos x ¹ 0 Û x ¹
+ kp (k ÎZ) 2 p
· tan x ¹ 0 Û x ¹ k (k Î Z) 2 p
· cot x ¹ 0 Û x ¹ k (k Î Z) 2
b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định. Trang 6
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
Baøi 1. Giải các phương trình: æ p ö æ p ö æ p ö 1) cosç2x + ÷ = 0 2) cosç4x - ÷ =1 3) cosç - x ÷ = 1 - è 6 ø è 3 ø è 5 ø æ p ö æ x p ö æ p ö 4) sin ç3x + ÷ = 0 5) sin ç - ÷ = 1 6) sin ç + 2x ÷ = -1 è 3 ø è 2 4 ø è 6 ø 2 æ x p ö 3 7) ( x + ) 1 sin 3 1 = 8) cos ( 0 x -15 ) = 9) sin ç - ÷ = - 2 2 è 2 3 ø 2 æ p ö 1 10) cos 0 3
ç - 2x ÷ = - 11) tan(2x - ) 1 = 3 12) cot (3x +10 ) = è 6 ø 2 3 æ p ö æ p ö 2 13) tan ç3x + ÷ = 1 - 14) cot ç2x - ÷ =1 15) cos(2x + 250) = - è 6 ø è 3 ø 2
Baøi 2. Giải các phương trình: æ p ö æ p ö
1) sin(3x +1) = sin(x - 2)
2) cosç x - ÷ = cosç2x + 3 6 ÷ è ø è ø
3) cos3x = sin 2x 4) x 0
sin( -120 ) + cos2x = 0 æ p ö æ p ö æ p x ö
5) cosç2x + ÷ + cosç x - ÷ = 0
6) sin 3x + sin ç - ÷ = 0 è 3 ø è 3 ø è 4 2 ø æ p ö æ p ö æ p ö æ p ö
7) tan ç3x - ÷ = tan ç x +
8) cot ç2x - ÷ = cot ç x + 4 6 ÷ ÷ è ø è ø è 4 ø è 3 ø
9) tan(2x +1) + cot x = 0 10) x2 cos( + x) = 0 11) x2 sin( - 2x) = 0 12) x2 tan( + 2x + 3) = tan 2 13) 2 cot x = 1 14) 2 1 sin x = 2 1 æ p ö 15) cos x = 16) 2 2
sin ç x - ÷ = cos x 2 è 4 ø
Baøi 3. Giải các phương trình:
1) cos3x.tan 5x = sin 7x
2) tan 5x.tan 2x = 1
3) 4 cos x - 2 cos2x - cos 4x = 1 4) x - x 3 3sin3 3 cos9 = 1+ 4sin 3x 1 3 5) 3 x x 3 2
cos .cos3 + sin x.sin 3x = 6) + = 8cos x 4 cos x sin x
Baøi 4. Giải các phương trình:
1) 2 cos x - sin x = 1
2) sin x + cos3x = 0 2 1- cos x 1 3) tan x =
4) cot x = tan x + 1- sin x sin x
Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình:
1) (m -1)sin x + 2 - m = 0
2) sin m.cos x = 1
3) (m - 4) tan 2x - m = 0 4) m + x + - m2 ( 1)sin 2 1 = 0 Trang 7
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1) Cách 1:
· Chia hai vế phương trình cho 2 2
a + b ta được: a b c (1) Û sin x + cos x = 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b a b · Đặt: sina = , cosa =
(a Î 0éë, 2p )ùû 2 2 2 2 a + b a + b c
(1) trở thành: sina.sin x + cosa.cos x = 2 2 a + b c Û cos(x -a ) = = cos b (2) 2 2 a + b
· Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: c 2 2 2
£ 1 Û a + b ³ c . 2 2 a + b
· (2) Û x = a ± b + k2p (k Î Z) Cách 2: x p
a) Xét x = p + k2p Û
= + kp có là nghiệm hay không? 2 2 x
b) Xét x ¹ p + k2p Û cos ¹ 0. 2 2 x 2t 1- t
Đặt: t = tan , thay sin x = , cos x =
, ta được phương trình bậc hai theo t: 2 2 2 1+ t 1+ t 2
(b + c)t - 2at + c - b = 0 (3)
Vì x ¹ p + k2p Û b + c ¹ 0, nên (3) có nghiệm khi: 2 2 2 2 2 2
D' = a - (c - b ) ³ 0 Û a + b ³ c . x
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan = 0t. 2 Ghi chú:
1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2
a + b ³ c .
3) Bất đẳng thức B.C.S: 2 2 2 2 2 2 y = . a sin x + .
b cos x £ a + b . sin x + cos x = a + b x x a 2 2 2 2 sin cos
Û min y = - a + b vaø max y = a + b Û = Û tan x = a b b Trang 8
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 6
1) cos x + 3 sin x = 2
2) sin x + cos x = 2
3) 3 cos3x + sin 3x = 2
4) sin x + cos x = 2 sin 5x æ p ö
5) 3 sin 2x + sin ç + 2x ÷ = 1 6) ( 3 - ) 1 sin x - ( 3 + ) 1 cos x + 3 -1 = 0 è 2 ø
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 2
2sin x + 3 sin 2x = 3
2) sin 8x - cos6x = 3 (sin 6x + cos8x) 3 1 æ p ö 3) 8 cos x = +
4) cos x - 3 sin x = 2 cosç - x sin x cos x 3 ÷ è ø
5) sin 5x + cos5x = 2 cos13x
6) cos 7x - sin 5x = 3(cos5x - sin 7x)
7) sin 8x - cos6x = 3(sin 6x + cos8x)
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) x - x 2 (3cos
4sin - 6) + 2 + 3(3cos x - 4sin x - 6) = 0
2) (4sin x - 5cos x)2 - (
13 4sin x - 5cos x) + 42 = 0 5
3) 12 cos x + 5sin x + + 8 = 0
12 cos x + 5sin x +14 6
4) 3 cos x + 4sin x + = 6
3cos x + 4sin x +1
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 3sin x - 2 cos x = 2
2) 3 cos x + 4 sin x - 3 = 0
3) cos x + 4sin x = 1 -
4) 2sin x - 5 cos x = 5
5) 4sin x - 3cos x = 5
6) 3sin 2x + 2cos 2x = 3 9
7) 2sin 2x + 3cos 2x = 13 sin 14x
8) 3cos x + 2 3 sin x = 2
Baøi 5. Giải các phương trình sau: æ p ö æ p ö 3 2 æ p ö
1) 2sin ç x + ÷ + sinç x - ÷ =
2) 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin ç2x - ÷ = 2 2 è 4 ø è 4 ø 2 è 6 ø
Baøi 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) (m + 2)sin x + m cos x = 2
2) (m +1) cos x + (m -1)sin x = 2m + 3 3) m - x + m x = m2 ( 1)sin 2 cos 4) 2 1
3 sin x + sin 2x = m 2
Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm:
1) (2m –1)sin x + m
( –1)cos x = m – 3 2) sin x + m cos x = 1 1+ sin x
Baøi 8. Tìm x sao cho y = là số nguyên. 2 + cos x
Baøi 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y = (2 - 3)sin 2x + cos2x
2) y = (sin x - cos x)2 + 2cos 2x + 3sin x cos x 3)
cos x + 2sin x + 3 sin + 2 cos +1 y = 4) x x y =
2cos x - sin x + 4
sin x + cos x + 2
Baøi 10. Tìm các giá trị của a để phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:
1) (cosa + 3sin a - 3) 2
x + ( 3 cosa - 3sin a - )
2 x + sin a - cosa + 3 = 0 ; x0 =1.
2) (2sin a - cos2 a + ) 1 2
x - ( 3 sin a)x + 2cos2 a - 3
( - 3)sin a = 0 ; x0 = 3 . Trang 9
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt Điều kiện a 2
sin x + bsin x + c = 0 t = sinx 1 - £ t £ 1 2
a cos x + b cos x + c = 0 t = cosx 1 - £ t £ 1 2 p
a tan x + b tan x + c = 0 t = tanx
x ¹ + kp (k Î Z) 2 2
a cot x + b cot x + c = 0 t = cotx
x ¹ kp (k ÎZ) Nếu đặt: 2
t = sin x hoaëc t = sin x thì ñieàu kieän : 0 £ t £ 1. (tương tự đối với cosx)
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0
2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0
3) 3sin 2 2x + 7 cos 2x - 3 = 0
4) 6cos2 x + 5sin x - 7 = 0
5) cos2x - 5sin x - 3 = 0
6) cos2x + cos x +1 = 0
7) 6sin 2 3x + cos12x = 14
8) 4sin 4 x +12cos2 x = 7
9) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 10) 2 4sin x - 2( 3 + ) 1 sin x + 3 = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 2
tan x + (1- 3) tan x - 3 = 0 2) cot2 x + ( 3 - ) 1 cot x - 3 = 0 3) 2
cot 2x - 4 cot 2x + 3 = 0
4) 7 tan x - 4 cot x = 12 æ p ö
5) tan2x + cot2x = 2 6) tan2 ç2x - ÷ = 3 è 4 ø
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) 2
4sin 3x + 2( 3 +1)cos3x - 3 = 4 2) 3
4 cos x + 3 2 sin 2x = 8cos x 1
3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4)
- (3 + 3) tan x - 3 + 3 = 0 2 cos x 3 4 5) + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + = 0 cos x 2 1+ tan x 1 1 7) = cotx + 3 8) + 3cot2x = 5 2 sin x 2 cos x x 4
9) cos2x – 3cosx = 2 4 cos
10) 2cos2x + tanx = 2 5 æ
sin3x + cos3x ö 3 + cos2x
Baøi 4. Cho phương trình çsin x + ÷ =
. Tìm các nghiệm của phương è 1+ 2sin 2x ø 5
trình thuộc(0; 2p ) .
Baøi 5. Cho phương trình: cos5x.cos x = cos 4x.cos2x + 3cos2x +1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc (-p ; p ) . æ p ö æ p ö
Baøi 6. Giải phương trình : 4 4 4 5
sin x + sin ç x + ÷ + sin ç x - ÷ = . è 4 ø è 4 ø 4
Baøi 7. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 4 4 1
sin x + cos x + m sin . x cos x = 2 Trang 10
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (1) Cách 1:
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? p
Lưu ý: cosx = 0 2
Û x = + kp Û sin x = 1 Û sin x = ±1. 2
· Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho 2
cos x ¹ 0 ta được: 2 2 . a tan x + .
b tan x + c = d(1+ tan x)
· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2
(a - d)t + .
b t + c - d = 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1- cos2x sin 2x 1+ cos2x (1) Û . a + . b + . c = d 2 2 2 Û .
b sin 2x + (c - a).cos2x = 2d - a - c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 2 2
5sin x + 2 3 sin x.cos x + 3cos x = 2 2) 2 2
3sin x + 8sin x.cos x + 4 cos x = 0 3) 2 x + x x + ( - ) 2 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos x = 0 4) 2 x x x 2 2 cos
– 3sin .cos + sin x = 0 5) 2 2
4sin x + 3 3 sin x.cos x - 2 cos x = 4 6) 4 2 2 4
3cos x - 4sin x cos x + sin x = 0 7) 2 2 1
sin x + sin 2x - 2 cos x = 8) 2 x 2 cos
+ 3sin x + sin x.cos x –1 = 0 2
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 2 x + ( - ) x x + ( - ) 2 2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos x = 1 3) 2 x -( + ) x x + ( - ) 2 2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos x = -1 3) ( - ) 2 x + x + ( + ) 2 2 1 sin sin 2 2 1 cos x = 2 4) ( + ) 2 x - x x + ( - ) 2 3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos x = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) 3 2 3 sin x + 2sin .
x cos x – 3cos x = 0 2) 2 2 1
3 sin x.cos x sin x - - = 2 3) 3 x 2 - x x - x 2 x 3 sin 5sin .cos 3sin .cos + 3cos x = 0
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 2 2
(m +1)sin x – sin 2x + 2cos x =1 2) m 2 x m x + m 2 (3 – 2)sin – (5 – 2)sin 2 3(2 +1)cos x = 0 3) m 2 x + x + m 2 sin sin 2 3 cos x = 1 4) m2 2 (
+ 2) cos x - 2msin 2x +1 = 0 Trang 11
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 æ p ö
· Đặt: t = sin x ± cos x = 2.sin ç x ± ÷; t £ 2 è 4 ø 1 2 2
Þ t = 1± 2sin x.cos x Þ sin x.cos x = ± (t -1). 2
· Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa t £ 2. Suy ra x. æ p ö æ p ö Lưu ý:
· sin x + cos x = 2 sin ç x + ÷ = 2 cosç x - 4 4 ÷ è ø è ø æ p ö æ p ö
· sin x - cos x = 2 sin ç x - ÷ = - 2 cosç x + 4 4 ÷ è ø è ø
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 æ p ö
· Đặt: t = sin x ± cos x = 2. sin ç x ± ÷ ; Ñk : 0 £ t £ 2. è 4 ø 1 2
Þ sin x.cos x = ± (t -1). 2
· Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang. æ p ö
Đặt t = tan x + cot x ç x ¹ k ; t ³ 2 2 ÷ è ø
Baøi 1. Giải các phương trình:
1) 2sin 2x - 3 3 (sin x + cos x) + 8 = 0 2) 2(sin x + cos x) + 3sin 2x = 2
3) 3(sin x + cos x) + 2 sin 2x = -3
4) (1- 2 )(1+ sin x + cos x) = sin 2x
5) sin x + cos x – 4sin x.cos x – 1 = 0
6) (1+ 2 )(sin x + cos x) - sin 2x = 1+ 2
Baøi 2. Giải các phương trình:
1) sin 2x - 4 (cos x - sin x) = 4
2) 5sin 2x –12(sin x – cos x) +12 = 0
3) (1- 2 )(1+ sin x - cos x) = sin 2x
4) cos x – sin x + 3sin 2x – 1 = 0 æ p ö 1 1
5) sin 2x + 2 sin ç x - ÷ = 1 6) - = 2 2 è 4 ø cos3x sin3x
Baøi 3. Giải các phương trình: 1) 3 x 3 sin
+ cos x = 1+ ( 2 - 2)sin x.cos x 2) 3 + x 3 3 1 sin
+ cos x = sin 2x 2 3) 2 x + x 2 3tan
4 tan + 3cot x + 4 cot x + 2 = 0 4) 2sin 2x - 3 6 sin x + cos x + 8 = 0
5) sin x - cos x + 4sin 2x = 1
6) 1- sin 2x = cos x + sin x
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) sin x.cos x = 6(sin x + cos x + m)
2) sin 2x + 2 2m(sin x - cos x) +1- 4m = 0 3 3) 2 x 2 tan
+ cot x = m(tan x - cot x) 4) 2
+ 3tan x + m(tan x + cot x) -1 = 0 2 sin x Trang 12
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH éA = 0 Dạng: A B . = 0 Û ê ëB = 0
Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác
không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích.
Các phép biến đổi thường sử dụng:
– Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích.
– Dùng công thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích.
– Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung
thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích. 1
Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x.cos 2x = sin 2x.cos3x - sin 5x (*) 2 1 1
· (*) Û sin x.cos2x = (sin 5x - sin x) - sin 5x Û sin x(2 cos2x +1) = 0 2 2 ésin x = 0 éx = kp p Û ê 1 Û ê p Û x = k êcos2x = - êx = ± + kp 3 ë 2 ë 3
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x = 0 (*)
· (*) Û 2 cos 4x.cos2x + cos4x = 0 Û cos4x(2 cos2x +1) = 0 cos 4x 0 é é = x p = + k p ê Û ê 8 4 Û ê x 1 cos2 ê = - p ë 2 êx = ± + kp ë 3
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx
2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin3x + cos3x = cos2x
4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x
6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) 3 x 3 1 sin
+ cos x = 1- sin 2x 2
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0
2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1
4) cos3x - 2 cos2x + cos x = 0
5) cos10x - cos8x - cos6x +1 = 0
6) 1+ cos x + cos2x + cos3x = 0
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 1
5) 4sin 2x.sin 5x.sin 7x = sin 4x 6) cos3x.cos 4x + sin 2x.sin 5x = cos2x + cos 4x 2
Baøi 4. Giải các phương trình sau: 3
1) sin2x = sin23x
2) sin2x + sin22x + sin23x = 2
3) cos2x + cos22x + cos23x = 1
4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Trang 13
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
Baøi 5. Giải các phương trình sau: (dùng công thức hạ bậc) 1) 6 x 6 1 sin + cos x = 2) 8 x 8 1 sin + cos x = 4 8 3) 6 x 6 5 sin + cos x = 4) 4 x 6 cos
+ 2sin x = cos2x 8 1 5) 4 sin x 4 + cos x 2 - cos x + -1 = 0 2 4sin 2x
Baøi 6. Giải các phương trình sau: æ p ö 1) 3 x 3 1 sin + cos x +
sin 2x.sinç x + ÷ = cos x + sin3x 2 è 4 ø
2) 1+ sin2x + 2cos x 3 (si x n + co x s ) = 2si x n + 2cos x 3 + co x s2 3) sinx + sin x 2 + sin x 3 = 2(co x s + cos x 2 + cos3x)
4) 1+ sin x + cos x + sin 2x + 2 cos2x = 0 2 2 x 2 x 5) sin x + 2 sin - 2sin x.sin + cot x = 0 2 2 6) 2 x x - x + x 2 sin .cos cos2
sin - cos x.sin x - cos x = 0 7) x - x + x 2 (2sin 1)(2 cos2
2sin +1) = 3 - 4 cos x æ p ö
8) sin x.sin 4x = 2 cosç - x ÷ - 3 cos x.sin 4x è 6 ø
Baøi 7. Giải các phương trình sau:
1) sin 3x.sin 6x = sin 9x 2) 3 x 3 sin
- cos x = sin x + cos x 3) 3 x 3 sin
+ cos x = sin x - cos x 4) x + x = + x 2
sin (1 cos ) 1 cos + cos x
5) cot x - tan x = sin x + cos x
6) 2 cos 2x - sin 2x = 2(sin x + cos x) 1- sin 2x 7) 1+ tan 2x =
8) (1- tan x)(1+ sin 2x) = 1+ tan x 2 cos 2x
Baøi 8. Giải các phương trình sau: 1) Trang 14
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM ìA ³ 0; B ³ 0 ìA = 0 Dạng: í Û îA B 0 í + = îB = 0 Đặc biệt: 2 2 ìA = 0 ì A £1, B £ 1
ì A £ 1, B £ 1 ìA = 1
· A + B = 0 Û í · í Û í Û í îB = 0 îA + B = 2
î(1- A) + (1- B) = 0 îB = 1
Ví dụ: Giải phương trình: x - x + x 3 cos2 cos6
4(3sin - 4sin x +1) = 0 (*) ìx p = + kp 2 2 ìcos x = 0 ï p (*) Û x + x 2 cos (sin 3 +1) = 0 Û í Û í
Û x = + l2p s î in3x = -1 p 2 ïx = - + k p 2 î 6 3
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1 1 1) 2 sin x 2
+ sin 3x = sin x.sin 3x 2) 2 sin x 2 + sin 3x = sin x 2 .sin 3x 4 4 3) 2 x 2 4 cos
+ 3tan x - 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 4) x - x + x 3 cos2 cos6
4(3sin - 4sin x +1) = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 2x 1) sin 2x + sin - 2 = 0 2) 5 x 2 sin - cos x = 1 5
3) sin x(cos 2x + cos 4x + cos6x) = 1
4) sin 2x.cos8x = 1
5) sin 7x + cos2x = 2 - 6) 3 x 3 sin + cos x = 1
7) sin x + 2 sin 2x + 3sin 3x + 4sin 4x = 10
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) Trang 15
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP ìA ³ M ï ìA = M Dạng: íB £ M Û í ï îB = M îA = B
Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A ³ M và B £ M.
Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:
· Bất đẳng thức lượng giác cơ bản: - £ x x 2 £ £ x 2 1 sin , cos
1; 0 sin , cos x £ 1
· Bất đẳng thức Cô–si: Với mọi a, b ³ 0, ta có: a + b ³ 2 ab .
· Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta có:
ax + by 2 £ a2 + b2 x2 + y2 ( ) ( )( ) Đặc biệt:
a + b 2 £ a2 + b2 ( ) 2( )
Ví dụ: Giải phương trình:
sin x + cos x = 2(2 - sin3x) (*) æ p ö
· Ta có: sin x + cos x = 2 sinç x + ÷ £ 2 è 4 ø
2(2 - sin 3x) = 2 [1+ (1- sin3x)] ³ 2 ì ì æ ö x p p = + k ï ç x 2 sin + ÷ =1 p ï Do đó: (*) Û 4 í è 4 Û ø í p 2p (vô nghiệm) s ïî in3x =1 ïx = + l î 6 3
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) sin x + cos x = 2(2 - sin 3x) 2) x - x 2 (cos 4 cos2 ) = 5 + sin 3x 3) 2
5 + sin 3x = sin x + 2 cos x 4) 2
2 + cos 2x = sin 3x - cos3x
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) x 2
sin + 2 - sin x = 2 + 1+ cos 4x 2) x 2 + - x 2 cos3 2 cos 3 = 2(1+ sin 2x) 3) sin x p = cos x 4) sin x 3 = cos x x 5) x = x2 2 sin 6) x -x 2 cos = 2 + 2 3 x2 2 + x 7) x -x 2 cos = 2 + 2 6
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) p x = x2 cos( ) - 4x + 5 Trang 16
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
ìA £ M, B £ N ìA = M Dạng: í Û îA B M N í + = + îB = N
Ví dụ: Giải phương trình: 7 x 4 cos + sin x = 1 (*) ì 7 ïcos x 2 £ cos x ì 7 ïcos x 2 = cos x (1) · Ta có: í 4 . Suy ra: (*) Û í s ïî in x 2 £ sin x 4 s ïî in x 2 = sin x (2) écos x = 0
Phương trình (1) cho ta ê . ëcos x = 1
– Khi cos x = 0 thì sin x = 1
± : nghiệm đúng phương trình (2)
– Khi cos x = 1 thì sin x = 0 : nghiệm đúng phương trình (2) cos x 0 é é = x p = + k Vậy (*) Û p Û ê ê ë x 2 cos = 1 ê ëx = k2p
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 4 x 15 sin + cos x = 1 2) 3 x 3 + x 4 sin cos = 2 - sin x 3) 13 x 14 cos + sin x = 1
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) Trang 17
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
· Dự đoán nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.
· Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi
a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b.
Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét.
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1) cos x = 1+ x 2) sin x = x x2 é p ù 3) cos x = 1- 4) sin x 2 = cos x, x Î 0; 2 ê 2 ú ë û p
5) sin x + tan x - 2x = 0, 0 £ x < 2
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 2
cos x + (1- m)cos x + m -1, x Î(0;p ) 1 æ 1 1 ö æ p ö
2) sin x + cos x +1+ ç tan x + cot x + +
÷ = m, x Îç 0; 2 è sin x cos x ø è 2 ÷ø
3) sin 2x + 4(cos x - sin x) = m 4) 6 x 6 + x = m 4 x 4 sin cos (sin + cos x)
Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) Trang 18
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác VI. BÀI TẬP ÔN
Baøi 1. Giải các phương trình sau: sin 6x
1) 1+ tan x = tan 3x(1- tan x)
2) 8.cos x.cos 2x.cos 4x = sin x
3) 4 cos x.cos 2x.cos 4x +1 = 0
4) sin x - 2sin x - sin 3x = 2 2 5) 4 x - x 6 cos cos2 + 2sin x = 0 6) 2 x - x - x x + x2 cos 4 cos 2 .sin + 3 = 0. p p p p p ĐS: 1) x = + k 2) x = + k
3) x = p + k2p; x = + kp 8 2 14 7 2 4) vô nghiệm 5) x = kp 6) x = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) tan 2x.tan 7x = 1 2) 3 x 3 2 sin + cos x = 2 x 3x x 3x 1
3 + cos x - sin x 1 2 x 3) cos x.cos .cos - sin x.sin .sin = 4) = 1- tan 2 2 2 2 2 3cos x +1- sin x 2 2 4 x 5cos 5) - x + x 2 3 sin tan = 6) log (1+ cos x) = 2 cos x 2 sin x p p p p 3 -1 ĐS: 1) x = + k 2) x =
+ k2p; x = +a + k2p , cosa = 18 9 4 4 4 p p p 5p
3) x = - + kp; x = - + k2p; x =
+ k2p; x = + k2p 4 2 6 6
4) x = k2p; x = 2a + k2p (tana = 5 -1); x = 2
- b + k2p (tgb = 5 +1) p 5) vô nghiệm 6) x = + k2p 3
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) tan x + tan 4x = 2 tan3x
2) 9 cos3x.cos 5x + 7 = 9 cos3x.cos x +12 cos 4x x x x p 3p 3) 3 x 3 + x 4 sin cos = 2 - sin x. 4) sin - cos = 1- sin x thoûa - £ . 2 2 2 2 4 1+ x 1 log cos +log sin x 5) 3 9 2 2 3 + 6 = 9 6) 1994 x 1994 sin + cos x = 1 p p 2
ĐS: 1) x = kp; x = ± + k
2) x = p + k2p; x = a
± + l2p , cosa = 2 -1 12 2 3 p p 5p 5p p 3) x = + k2p 4) x = , p , 2p , 5) x = - + k2p 6) x = k 2 2 2 12 2
Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) x 2
3 sin 3 - 2sin x = 2 3 sin x.cos2x 2) x + x + x = x 3 2 cos13 3(cos5 cos3 ) 8cos .cos 4x
1+ cos2x + cos5x + cos3x 2 3) = 2 - sin x 2
2 cos 2x + cos x -1 3
4) sin x.tan 2x + 3(sin x - 3.tan 2x) = 3 3 thoûa 2 + log x 1 £ 0 2 5) 2 x 2 3cot
+ 4 cos x - 2 3 cot x - 4 cos x + 2 = 0 Trang 19
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng p 2p p
ĐS: 1) x = kp; x =
+ k2p; x =
+ k2p 2) x = k
3) x = k2p 3 3 12 p p p
4) x = - + k , k ³ 3 5) x = + k2p 6 2 3
Baøi 5. Tìm m để phương trình:
1) sin 5x = m.sin x có ít nhất một nghiệm x ¹ kp (kÎZ). 1 æ 1 1 ö æ p ö
2) sin x + cos x +1+ ç tan x + cot x + +
÷ = m có nghiệm x Î ç 0; . 2 ÷ è sin x cos x ø è 2 ø 3) x - x + x + m 2 2sin 1)(2 cos2 2sin
) = 3 - 4 cos x có đúng 2 nghiệm thuộc [0;p ]. 4) 4 x + - x 4 cos
(1 cos ) = m vô nghiệm. 5) 3 x 3 cos
+ sin x = m.sin x.cos x có nghiệm. 6) 2 x 2 + x - m 2 sin sin 3
.cos 2x = 0 có nghiệm. 5 ĐS: 1) - £ m < 5
2) m ³ 2( 2 +1)
3) m < -1 hay m > 3 hay m = 0. 4 1 4) m <
Ú m > 17 5) m " Î R 6) m ³ 0. 18
Baøi 6. Tìm m để phương trình: é p p ù 1) 2
3cos x + 2 sin x = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn - ; ê . 4 4 ú ë û
2) sin x - cos x + 4sin 2x = m có nghiệm.
3) 1+ 2 cos x + 1+ 2sin x = m có nghiệm. 65 ĐS: 1) 2) 2 - 4 £ m £
. 3) 1+ 3 £ m £ 2 1+ 2 . 16
Baøi 7. Giải các phương trình sau: 1) Trang 20
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình: æ
cos3x + sin 3x ö 5çsin x + ÷ = cos2x + 3 è 1+ 2sin 2x ø ì é x p p ¹ - + mp ï 1 x = ê HD: Điều kiện: 12 í 5cos = 2 cos2 + 3 cos = 3 7 . PT Û x x Û x Û ê . ï 5 x p p ¹ + np 2 êx = î 12 ë 3
Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: 2 x 2 - x 2 = x 2 sin 3 cos 4 sin 5 - cos 6x éx = k p ê
HD: PT Û cos x.sin 9x.sin 2x = 0 Û sin 2x.sin 9x = 0 Û 9 ê . êx = k p êë 2
Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x - 4 cos2x + 3cos x - 4 = 0 p 3p 5p 7p HD: PT Û 2
4 cos x(cos x - 2) = 0 Û cos x = 0 Û x = ; x = ; x = ; x = . 2 2 2 2
2sin x + cos x +1
Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình:
= a (a là tham số).
sin x - 2 cos x + 3 1
1. Giải phương trình khi a = . 3
2. Tìm a để phương trình có nghiệm. p 1
HD: 1) x = - + kp
2) - £ a £ 2 (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx) 4 2 2 æ x ö
Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tan x + cos x - cos x = sin x ç1+ tan x.tan . 2 ÷ è ø ìcos x ¹ 0 x 1
HD: x = k2p . Chú ý: Điều kiện: í
và 1+ tan x.tan = . îcos x ¹ -1 2 cos x ( 2 4 2 - sin 2x)sin3x
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan x +1 = . 4 cos x 1 p 2p 5p 2p
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û sin 3x = Û x = + k ; x = + k . 2 18 3 18 3 4 x 4 sin + cos x 1 1
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: = cot 2x - . 5sin 2x 2 8sin 2x p
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û 2 9
cos 2x - 5cos2x + = 0 Û x = ± + kp . 4 6 1
Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: = sin x . 2 8cos x ìcos x ¹ 0 HD: Điều kiện: sí î in x > 0 p 3p 5p 7p PT Û x =
+ k2p; x =
+ k2p; x =
+ k2p; x = + k2p 8 8 8 8
Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: Trang 21
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng ( 4 x 4 2 sin
+ cos x) + cos 4x + 2sin 2x - m = 0 (*) é p ù
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; ê . 2 ú ë û 10 HD: - £ m £ 2 - . 3 é p ù
Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc 0; 2 ê
Û f (t) = t
3 - 2t = m + 3 có nghiệm tÎ[0;1] 2 ú ë û cos2x 1
Baøi 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x 2 -1 =
+ sin x - sin 2x . 1+ tan x 2
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, tan x ¹ -1. p PT Û x - x - x x 2 (cos
sin )(1 sin .cos + sin x) = 0 Û x = + kp . 4 2
Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x - tan x + 4sin 2x = . sin 2x s ì in x ¹ 0 p HD: Điều kiện: í . PT Û 2
2 cos 2x - cos2x -1 = 0 Û x = ± + kp . îcos x ¹ 0 3 2 æ x p ö 2 2 x
Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin ç - ÷tan x - cos = 0 . è 2 4 ø 2
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 .
éx = p + k2p
PT Û (1- sin x)(1+ cos x)(sin x + cos x) = 0 Û ê . êx p = - + kp ë 4
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: x + x ( 2 cos2 cos 2 tan x - ) 1 = 2 .
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. p PT Û + x 2
(1 cos )(2 cos x - 5cos x + 2) = 0 Û x = (2k +1)p , x = ± + k2p 3
Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 - tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0 . p
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û + x 2 x 2 (1 cos2 )(3cos
- sin x) = 0 Û x = ± + kp 3
Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: x 6 - x 2 3cos 4 8cos + 2 cos x + 3 = 0 . p p HD: PT Û x 4 - x 2 cos2 ( 2 cos
+ 5cos x - 3) = 0 Û x = + k , x = kp 4 2 (2 3) 2 æ x cos x 2sin p ö - - ç - ÷ Baøi 16. è 2 4 ø
(ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: = 1. 2 cos x -1 1 p
HD: Điều kiện: cos x ¹ . PT Û - 3 cos x + sin x = 0 Û x = + (2k +1)p 2 3 2 cos x (cos x - ) 1
Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: = 2(1+ sin x) . sin x + cos x æ p ö
HD: Điều kiện: sin ç x + ÷ ¹ 0 . è 4 ø p PT Û + x 2
(1 sin ) (1+ cos x) = 0 Û x = - + kp , x = p + k2p 2 Trang 22
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác 2 cos 4x
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x = tan x + . sin 2x p
HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û 2
2 cos 2x - cos2x -1 = 0 Û x = ± + kp . 3
Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: x - = - x 2 5sin 2 3(1 sin ) tan x . éx p = + k2p ê
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 2
2sin x + 3sin x - 2 = 0 Û 6 ê 5 . êx p = + k2p ë 6
Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cos x -1)(2sin x + cos x) = sin 2x - sin x . éx p = ± + k2p ê
HD: PT Û (2 cos x -1)(sin x + cos x) = 0 Û 3 ê . êx p = - + kp ë 4
Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: ( 3 x 3 4 sin
+ cos x) = cos x + 3sin x . p p HD: PT Û 3 x 2 tan
- tan x - 3tan x + 3 = 0 Û x = + kp; x = ± + kp . 4 3
Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1- sin x + 1- cos x = 1. ìïu = 1-sin x ìu + v = 1 ìu = 0 ìu = 1 HD: Đặt í . PT Û í Û í hoặc í ï 2 2 2 2 îv = 1- cos x (
î 1- u ) + (1- v ) = 1 îv = 1 îv = 0 p Û x =
+ k2p; x = k2p . 2 æ p ö 1 1
Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2 2 cosç x + ÷ + = . è 4 ø sin x cos x s ì in x ¹ 0 p HD: Điều kiện: í
. PT Û (cos x - sin x)(1+ sin 2x) = 0 Û x = ± + kp . îcos x ¹ 0 4
Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4x.sin 7x = cos3x.cos6x . p p p HD: x = + k ; x = + kp . 20 10 2
Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin x.cos2x + sin 2x.cos x = sin 4x.cos x . p
HD: PT Û sin 3x(cos2x -1) = 0 Û x = k . 3
Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x + sin 2x = 3(cos x + cos2x) . 2p 2p
HD: PT Û x = p + k2p; x = + k 9 3
Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: 2 x x 2
cos 3 .cos2 - cos x = 0 . p HD: PT Û 2
2 cos 4x + cos4x - 3 = 0 Û x = k . 2
Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos2x = 0 . p 2p
HD: PT Û (sin x + cos x)(2 cos x +1) = 0 Û x = - + kp; x = ± + k2p . 4 3 æ p ö æ p ö
Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: 4 x 4 3 cos
+ sin x + cosç x - ÷sinç3x - ÷ - = 0 . è 4 ø è 4 ø 2 Trang 23
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng p HD: PT Û 2
sin 2x + sin 2x - 2 = 0 Û x = + kp . 4
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: 2 x æ p ö - x 2 3 4sin
3 cos2 = 1+ 2 cos ç x - . 2 4 ÷ è ø æ p ö 5p 17p 5p
HD: PT Û cosç 2x + ÷ = cos(p - x) Û x = ; x = ; x = . è 6 ø 18 18 6 æ p ö
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 3
2 2 cos ç x - ÷ -3cos x -sin x = 0 . è 4 ø HD: PT Û 3 x 3 + x 2 + x x + x 2 cos sin 3cos .sin
3cos .sin x - 3cos x - sin x = 0
Xét 2 trường hợp: ìcos x = 0 p
a) Nếu cos x = 0 thì PT Û í 3 Û x = + kp . s
î in x - sin x = 0 2
b) Nếu cos x ¹ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho 3 cos x . ìcos x ¹ 0 p Khi đó: PT Û í Û x = + kp . îtan x = 1 4 p p
Vậy: PT có nghiệm: x =
+ kp hoặc x = + kp . 2 4
Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : x x 2 + x ( 2 x - ) 3 sin .cos2 cos tan 1 + 2sin x = 0 . éx p = + k2p ê
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 2
2sin x + sin x -1 = 0 Û 6 ê 5 . êx p = + k2p ë 6 æ p ö 2 cos2x -1
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan ç + x ÷ - 3tan x = 2 è 2 ø cos x p
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 3 tan x = 1
- Û x = - + kp . 4 æ 3p ö sin x
Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan ç - x ÷ + = 2 . è 2 ø 1+ cos x éx p = + k2p ê
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0 . PT Û 2sin x = 1 Û 6 ê 5 . êx p = + k2p ë 6
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x + cos2x + 3sin x - cos x - 2 = 0 . éx p = + k2p ê é 6 x 1 sin = ê ê êx 5p = + k2p
HD: PT Û (2 sin x -1)(sin x - cos x -1) = 0 Û 2 ê Û . æ p ö ê 6 ê 2 sinç x - ÷ = ê p êë è 4 ø 2 x = + k2p ê 2 ê
ëx = p + k2p ( 6 x 6 2 cos
+ sin x) - sin x.cos x
Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình: = 0 . 2 - 2sin x Trang 24
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác 2 p
HD: Điều kiện: sin x ¹ . PT Û 2
3sin 2x + sin 2x - 4 = 0 Û x = + kp . 2 4 5p
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x = + 2mp . 4 æ x ö
Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình: cot x + sin x ç1+ tan x.tan ÷ = 4 . è 2 ø x
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, cos ¹ 0 . 2 é p cos x sin x 1 x = + kp ê PT Û +
= 4 Û sin 2x = Û 12 . sin x cos x 2 ê 5 êx p = + kp ë 12
Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x + cos2x - cos x -1 = 0 . éx = kp HD: PT Û 2
sin x(2 cos x +1) = 0 Û ê . êx 2p = ± + k2p ë 3 +
Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: x 3 x - x 3 2 3 2 cos3 .cos sin3 .sin x = . 8 2 p p
HD: PT Û cos 4x = Û x = ± + k . 2 16 2 æ p ö
Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2sin ç2x - ÷ + 4sin x +1 = 0 . è 6 ø éx = kp
HD: PT Û sin x ( 3 cos x + sin x + 2) = 0 Û ê . êx 7p = + k2p ë 6
Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( 2 x - ) 2 x + ( 2 2sin 1 tan 2 3 2 cos x - ) 1 = 0 . p p
HD: Điều kiện: cos2x ¹ 0 . PT Û x ( 2
cos2 tan 2x - 3) = 0 Û x = ± + k . 6 2
Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x + (1+ 2 cos x)(sin x - cos x) = 0 . éx p = + kp ê 4 ê p
HD: PT Û (sin x - cos x)(cos x - sin x +1) = 0 Û êx = + k2p . ê 2
êëx = p + k2p
Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: 3 x 3 + x 2 cos sin + 2sin x = 1. éx p = - + kp ê 4 ê
HD: PT Û (cos x + sin x)(1- cos x)(sin x +1) = 0 Û x = k2p ê . êx p = - + k2p êë 2
Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 3 x 2 4sin
+ 4sin x + 3sin 2x + 6 cos x = 0 . éx p = - + k2p ê HD: PT Û x 2
(sin +1)(-2 cos x + 3cos x + 2) = 0 Û 2 ê 2 . êx p = ± + k2p ë 3 Trang 25
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng
Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình: ( 2 + x) x + ( 2 1 sin cos
1+ cos x)sin x = 1+ sin 2x éx p = - + kp ê 4 ê p
HD: PT Û (sin x + cos x)(1- sin x)(1- cos x) = 0 Û êx = + k2p . ê 2
êëx = k2p
Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình: 2
2sin 2x + sin 7x -1 = sin x . éx p = + k p ê 8 4 ê p 2p
HD: PT Û cos 4x (2sin 3x -1) = 0) Û êx = + k . ê 18 3 ê 5p 2 x = + k p êë 18 3 æ x x 2 ö
Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình: çsin + cos ÷ + 3 cos x = 2 . è 2 2 ø é p æ p ö 1 x = + k2p ê
HD: PT Û 1+ sin x + 3 cos x = 2 Û cosç x - ÷ = Û 2 è 6 ø 2 ê êx p = - + k2p ë 6 1 1
Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin 2x + sin x - - = 2 cot 2x . 2sin x sin 2x p p
HD: Điều kiện sin 2x ¹ 0 . PT Û x ( 2
cos2 2 cos x + cos x + )
1 = 0 Û x = + k . 4 2
Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: 2
2 cos x + 2 3 sin x cos x +1 = 3(sin x + 3 cos x) . æ p ö æ p ö 2p HD: PT Û 2
2 cos ç x - ÷ - 3cosç x - ÷ = 0 Û x = + kp . è 6 ø è 6 ø 3 æ 5x p ö æ x p ö 3x
Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sinç - ÷ - cosç - ÷ = 2 cos è 2 4 ø è 2 4 ø 2 é p 2 x = + k p ê 3 3 3x æ æ p ö ö ê p HD: PT Û cos
ç 2 cosç x + ÷ + 2 ÷ = 0 Û êx = + k2p . 2 è è 4 ø ø ê 2
êëx = p + k2p sin 2x cos2x
Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: +
= tan x - cot x . cos x sin x p
HD: Điều kiện: sin 2x ¹ 0 . PT Û cos x = - cos2x Û x = ± + k2p . 3 æ p ö
Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin ç x - ÷cos x = 1 è 12 ø æ p ö p 5p p p
HD: PT Û sin ç2x - ÷ = cos = sin Û x =
+ kp hay x = + kp . è 12 ø 12 12 4 3
Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1 – tan x)(1+ sin 2x) = 1+ tan x . Trang 26
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác éx p = - + k
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û (cos x + sin x)(cos2x -1) = 0 Û p ê 4 . ê ëx = kp 1 1 æ 7p ö
Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình: + = 4sin ç - x . sin x ÷ æ 3p ö è 4 ø sinç x - 2 ÷ è ø æ 3p ö
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, sin ç x - ÷ ¹ 0 . è 2 ø éx p = - + kp ê 4 æ 1 ö ê p
PT Û (sin x + cos x)ç
+ 2 2 ÷ = 0 Û êx = - + kp è sin x cos x ø ê 8 ê 5 x p = + kp êë 8
Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình: 3 x 3 - x = x 2 x 2 sin 3 cos sin cos
- 3 sin x cos x . p p p
HD: PT cos 2x (sin x + 3 cos x) = 0 Û x =
+ k ; x = - + kp . 4 2 3
Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin x(1+ cos2x) + sin 2x = 1+ 2 cos x . 2p p
HD: PT Û (2 cos x +1)(sin 2x -1) = 0 Û x = ±
+ k2p; x = + kp . 3 4
Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: 2 x æ p ö - x 2 3 4sin
3 cos2 = 1+ 2 cos ç x - . 2 4 ÷ è ø æ p ö HD: PT Û 2
- cos x = 3 cos2x - sin 2x Û cosç2x + ÷ = cos(p - x) è 6 ø 5p 2p 7p Û x = + k hay x = - + h2p 18 3 6 5p 17p 5p
Do x Î(0;p ) nên chỉ chọn x = ; x = ; x = . 18 18 6 æ p ö
Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 3
2 2 cos ç x - ÷ -3cos x -sin x = 0 . è 4 ø HD: PT Û 3 x 3 + x 2 + x x + x 2 cos sin 3cos .sin
3cos .sin x - 3cos x - sin x = 0
Xét 2 trường hợp: ìcos x = 0 p
a) Nếu cos x = 0 thì PT Û í 3 Û x = + kp . s
î in x - sin x = 0 2
b) Nếu cos x ¹ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho 3 cos x . ìcos x ¹ 0 p Khi đó: PT Û í Û x = + kp . îtan x = 1 4 p p
Vậy: PT có nghiệm: x =
+ kp hoặc x = + kp . 2 4
Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: x x 2 + x ( 2 x - ) 3 sin cos2 cos tan 1 + 2sin x = 0 . p
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp . 2 Trang 27
Phương trình lượng giác
Trần Sĩ Tùng p 5p PT Û 2
2sin x + sin x -1 = 0 Û x = + k2p; x = + k2p . 6 6 æ p ö 2 cos2x -1
Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: tan ç + x ÷ - 3tan x = . 2 è 2 ø cos x p
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 3 tan x = 1
- Û x = - + kp . 4 æ 3p ö sin x
Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: tan ç - x ÷ + = 2 . è 2 ø 1+ cos x éx p = + k2p ê
HD: Điều kiện: sin x ¹ 0 . PT Û (cos x +1)(2 sin x -1) = 0 Û 6 ê 5 . êx p = + k2p ë 6
Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x + cos2x + 3sin x - cos x - 2 = 0 é x 1 sin = ê
HD: PT Û (2 sin x -1)(sin x - cos x -1) = 0 Û 2 ê æ p ö ê 2 sinç x - ÷ = êë è 4 ø 2 p 5p p
Û x = + k2p; x =
+ k2p; x = + k2p; x = p + k2p . 6 6 2 (1- 2sin x)cos x
Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình: = 3 .
(1+ 2sin x)(1- sin x) 1
HD: Điều kiện: sin x ¹1, sin x ¹ - . 2 æ p ö æ p ö
PT Û cos x - 3 sin x = sin 2x + 3 cos2x Û cosç x + ÷ = cosç 2x - 3 6 ÷ è ø è ø p 2p Û x = - + k . 18 3
Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình: x + x x + x = ( x 3 sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos 4 + sin x) . é p æ p ö
x = - + k2p ê
HD: PT Û sin 3x + 3 cos3x = 2 cos4x Û cosç3x - ÷ = cos 4x Û 6 . è 6 ø ê p 2 êx = + k p ë 42 7
Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos5x - 2sin 3x cos2x - sin x = 0 . é p p 3 1 æ p ö x = + k ê HD: PT Û
cos5x - sin 5x = sin x Û sinç - 5x ÷ = sin x Û 18 3 . 2 2 è 3 ø ê êx p = - + k p ë 6 2
(1 sin x cos2x)sinæç x p ö + + + 4 ÷ è ø 1
Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình: = cos x 1+ tan x 2
HD: Điều kiện: cos x ¹ 0; 1+ tan x ¹ 0 . p 7p
PT Û sin x + cos2x = 0 Û x = - + k2p; x = + k2p . 6 6
Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình: (sin 2x + cos2x) cos x + 2 cos2x - sin x = 0 . Trang 28
Trần Sĩ Tùng
Phương trình lượng giác p p
HD: PT Û (sin x + cos x + 2) cos2x = 0 Û x = + k . 4 2
Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x - cos2x + 3sin x - cos x -1 = 0 . p 5p
HD: PT Û (2 sin x -1)(cos x + sin x + 2) = 0 Û x =
+ k2p; x = + k2p . 6 6 Baøi 69. (ĐH 2011A) 1. Trang 29
Document Outline

  • bia ptlgiac.doc
  • pt lgiac 00.doc
  • pt lgiac 01.doc
  • pt lgiac 02.doc
  • pt lgiac 03.doc