Phân dạng và bài tập định lí Thalès Toán 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

22

ĐỊNH LÍ THALÈS

4

Chûúng

ĐỊNH LÍ THALÈS

ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

15

Baâi söë

A–TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Đoạn thẳng tỉ lệ

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A

′

C

′

và C

′

D

′

nếu có hệ thức

AB

CD

=

A

′

B

′

C

′

D

′

hay

A

′

B

′

AB

=

C

′

D

′

CD

.

2 Định lí thalès trong tam giác

c Định lí 15.1 (Định lí Thalès trong tam giác).

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai

cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương

ứng tỉ lệ.

Trong hình bên

®

△ABC

B

′

C

′

∥ BC

⇒

AB

′

AB

=

AC

′

AC

;

AB

′

B

′

B

=

AC

′

C

′

C

;

B

′

B

AB

=

C

′

C

AC

A

B C

C

′

B

′

c Định lí 15.2 (Định lí Thalès đảo).

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định

ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì

đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Trong hình bên







△ABC

AB

′

B

′

B

=

AC

′

C

′

C

⇒ B

′

C

′

∥ BC.

A

B C

C

′

B

′

Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại

thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Trong hình trên

®

△ABC

B

′

C

′

∥ BC

⇒

AB

′

AB

=

AC

′

AC

=

B

′

C

′

BC

.

22/105 22/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

23



Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo

dài của hai cạnh còn lại.

a

A

B

′

C

′

B C

aB

′

C

′

A

B C

B–CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1. Tìm tỉ số của các đoạn thẳng

○ Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.

○ Sử dụng định lí Ta-lét.

c Ví dụ 1. Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = CD. Tìm tỉ số

AB

BD

,

AB

AD

,

AC

AD

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Cho △ABC có AM là đường trung tuyến. Điểm E thuộc AM sao cho AE = 3EM . Tia BE cắt

tia AC tại N . Tính tỉ số

AN

NC

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng

○ Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.

○ Sử dụng định lí Ta-lét.

○ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

23/105 23/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

15. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

24

c Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB = 10 cm. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho

CA

CB

=

3

2

. Lấy D thuộc

tia đối của tia BA sao cho

DA

DB

=

3

2

.

Tính độ dài CB.a) Tính độ dài DB.b) Tính độ dài CD.c)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4.

Tìm độ dài DE trong hình vẽ bên. Biết AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 7,5

cm và BD ∥ CE.

A

C E

DB

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5.

Cho hình bên, biết QR ∥ N P và M Q = 10 cm, QN = 5 cm, RP = 6 cm.

Tính độ dài M R.

M

N P

R

Q

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Cho △ABC có AB = 5 cm; AC = 9 cm. Kẻ đường thẳng d song song với BC cắt AB, AC thứ

tự tại E, F . Xác định vị trí điểm E sao cho AE = CF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24/105 24/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7.

Cho hình sau, biết M N ∥ BC và

AM

MB

=

3

2

; BC = 6 cm. Tính MN .

A

B C

M N

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Cho hình vẽ bên, có AB ∥ CD. Biết rằng EA = 4 cm, EB = 5 cm, ED + EC = 18 cm,

AB + CD = 22,5 cm. Tính EC, ED, AB, DC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), AC cắt BD tại O. Kẻ OM ∥ CD, biết CD = 9 cm, M O = 3

cm. Tính AB.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25/105 25/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

15. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 3. Chứng minh các hệ thức

○ Vận dụng định lí Ta-lét.

○ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

c Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD có điểm E thuộc AC. Kẻ EF ∥ AB (F ∈ BC), EI ∥ CD (I ∈ AD). Chứng

minh

EF

AB

+

EI

CD

= 1.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Cho △ABC. Lấy điểm D thuộc đoạn AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE,

DE cắt BC tại M. Chứng minh

DM

ME

=

AC

AB

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Cho △ABC có AD là đường trung tuyến, G là trọng tâm. Qua G kẻ đường thẳng d cắt AB,

AC thứ tự tại M , N . Chứng minh

AB

AM

+

AC

AN

= 3.a)

BM

AM

+

CN

AN

= 1.b)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26/105 26/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ điểm D bất kì trên cạnh BC kẻ đường thẳng song

song với AM, cắt đường thẳng AB ở E, cắt đường thẳng AC tại F . Chứng minh rằng: DE + DF = 2AM .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Cho tam giác ABC có

b

A = 120

◦

, AD là đường phân giác. Chứng minh rằng

1

AB

+

1

AC

=

1

AD

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27/105 27/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

15. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng song song

○ Xét các đoạn thẳng tỉ lệ.

○ Sử dụng định lí Ta-lét đảo.

c Ví dụ 15. Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC. Kẻ EM ∥ BC (M ∈ AB), EN ∥ CD

(N ∈ AD). Chứng minh MN ∥ BD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 16. Cho △ABC, lấy D tùy ý thuộc cạnh BC, M tùy ý thuộc cạnh AD, gọi I, K thứ tự là trung

điểm BM, CM. Các tia DI, DK cắt AB, AC thứ tự tại E, F . Chứng minh IK ∥ EF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1.

28/105 28/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

29

Cho hình vẽ bên, biết MN ∥ BC và AM = 6 cm, MB = 2 cm, AN = 7

cm. Tính N C.

A

B C

M N

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Cho tam giác ABC. Từ điểm M trên cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và

AC, chúng cắt các cạnh AC và AB thứ tự tại D và E. Tính tổng

AE

AB

+

AD

AC

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy D sao cho

AD

DC

=

1

2

. Gọi M là trung điểm của BD. Tia

AM cắt BC tại E. Tính tỉ số

EC

EB

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 2MA = M B. Qua M kẻ đường thẳng song

song với BC cắt AC tại N . Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P . Biết rằng P C = 6 cm.

Tính BC.

29/105 29/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

15. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

30

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Cho tam giác ABC. Đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Cho

biết AM = 5 cm, M B = 3 cm, BC − M N = 3,6 cm. Tính M N, BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Cho △ABC. Trên AB, AC lấy M , N sao cho BM =

2

3

AB, CN =

2

3

AC. Gọi O là giao điểm BN

và CM . Tính tỉ số

ON

OB

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB < CD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo, S là giao

điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên. Đường thẳng SO cắt AB, CD thứ tự tại M, N. Chứng minh

rằng

MA

ND

=

MB

NC

;

MA

NC

=

MB

ND

.a) MA = M B; N C = ND.b)

 Lời giải.

30/105 30/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Cho tam giác ABC cố định. Các điểm D, E di động trên các cạnh tương ứng AB, AC sao cho

AD

DB

=

CE

EA

. Chứng minh trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên đoạn thẳng cố định.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Cho tam giác ABC, hãy dựng hình vuông MN P Q nội tiếp tam giác ABC (M trên AB, N trên

AC, P và Q trên cạnh AC).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31/105 31/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

15. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc BC. Chứng minh rằng

MA · BC < M C · AB + M B · AC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32/105 32/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

33

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

16

Baâi söë

A–TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

1 Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam

giác.

A

B

NM

C

2 Tính chất đường trung bình của tam giác

c Định lí 16.1.

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh

ấy.

MN là đường trung bình của △ABC ⇒







MN ∥ BC

MN =

1

2

BC.

A

B

NM

C



Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm

của cạnh thứ ba.

B–CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh các quan hệ về độ dài

Phương pháp giải

Vận dụng các định lí về đường trung bình của tam giác, của hình thang.

c Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5; BC = 13. Qua trung điểm M của AB, vẽ một đường

thẳng song song với AC cắt BC tại N . Tính độ dài M N

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33/105 33/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

16. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

34

c Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD, AB = a; CD = b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng

minh rằng EF ≤

a + b

2

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho AM =

1

2

MC. Gọi O là giao điểm của BM với AD. Chứng minh rằng:

O là trung điểm của AD;a) OM =

1

4

BM .b)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 2. Chứng minh hai đuờng thẳng song song. Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

○ Có thể dùng lính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang để chứng minh hai đường thẳng

song song.

○ Có thể dùng tiên đề Ơ-clit dế chứng minh ba điểm thẳng hàng.

34/105 34/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

35

c Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi P và Q lần lượt là

trung điểm của BM và CN . Chứng minh rằng M N ∥ P Q.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi D, E lần lượt là

trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng:

MN ∥ DE;a) ND ∥ ME.b)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM . Gọi D, E, F lần lượt là trung diểm của AB, AC và

AM. Chứng minh rằng:

Ba điểm D, E, F thẳng hàng.a) F là trung điểm của DE.b)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35/105 35/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

16. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2.

Trong hình bên có DE ∥ F H ∥ BC. Hãy tìm các độ dài x và y.

A

B

E

H

D

F

C

x

y

6

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), AB =

1

2

CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và

BC. Đoạn thẳng MN cắt BD tại P , cắt AC tại Q. Chứng minh rằng M P = P Q = QN.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HA và

HC. Chứng minh rằng BM ⊥ AN .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua trung điểm O của AM , vẽ đường thẳng xy sao

cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ xy. Gọi A

′

, B

′

và C

′

lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên

xy. Chứng minh rằng AA

′

=

BB

′

+ CC

′

2

.

36/105 36/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

37

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37/105 37/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

38

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

17

Baâi söë

A–TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

c Định lí 17.1.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc trong chia cạnh đối diện thành

hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

△ABC

’

BAD =

’

CAD

)

⇒

DB

DC

=

AB

AC

.

A

D

B C



— Định lý vẫn đúng với đường phân giác góc ngoài của tam giác.

△ABC (AB = AC)

’

BAE =

÷

C

′

AE

)

⇒

EB

EC

=

AB

AC

.

A

C

′

E B C

— Các định lý trên có định lý đảo

DB

DC

=

AB

AC

⇒ AD là đường phân giác trong của tam giác.

EB

EC

=

AB

AC

⇒ AE là đường phân giác ngoài của tam giác.

B–CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đường phân giác của một tam giác và các tính chất của tỉ lệ thức.

c Ví dụ 1. Cho △ABC có AB = 30 cm, AC = 45 cm, BC = 50 cm, AD là đường phân giác trong. Tính độ

dài đoạn thẳng BD, CD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Cho △ABC có AD là đường phân giác. Biết AB = 15 cm, DC = 21 cm, BD = 9 cm. Tính độ

dài AC.

38/105 38/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

39

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3. Cho △ABC có AB = 6 cm, BC = 7 cm, AC = 8 cm. Các đường phân giác trong và ngoài của

b

A cắt đường thẳng BC tại D và E. Tính độ dài đoạn DE.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4. Cho △ABC có AD là đường phân giác. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho

BM = BD, CN = CD. Biết AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 12 cm. Tính chu vi △AMN.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5. Cho △ABC cân tại A có chu vi bằng 80 cm. Tia phân giác của

“

B cắt đường cao AH tại I. Biết

AI =

3

4

AH. Tính độ dài các cạnh của △ABC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39/105 39/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Cho △ABC có đường phân giác AD. Biết rằng BC = 10 cm và 2AB = 3AC. Tính độ dài đoạn

thẳng BD và CD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Cho △ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Biết AB = 10 cm, AC = 15 cm. Qua D kẻ đường

thẳng song song với AB cắt AC tại E. Tính độ dài đoạn thẳng AE, EC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 2. Chứng minh hệ thức hình học

Phương pháp giải: Lập các đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác của tam giác rồi biến đổi.

c Ví dụ 8. Cho △ABC có AD, BE, CF là các đường phân giác . Chứng minh rằng

AE

EC

·

CD

DB

·

BF

F A

= 1.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40/105 40/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

41

c Ví dụ 9. Đường trung tuyến BK và đường phân giác CD của △ABC cắt nhau tại P . Chứng minh rằng

P C

P D

−

AC

BC

= 1.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Cho △ABC cân tại A có BM, CN là các đường phân giác. Chứng minh rằng

MN ∥ BC.a)

1

BC

+

1

AB

=

1

MN

.b)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Cho △ABC cân tại A có

b

A = 36

◦

. Chứng minh AB

2

= BC

2

+ AC · BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41/105 41/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 3. Liên quan đến tỉ số diện tích tam giác

Phương pháp giải: Vân dụng công thức tính diện tích tam giác và tính chất đường phân giác của tam giác.

c Ví dụ 12. Cho △ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm và AD là đường phân giác. Tính tỉ số diện tích của

△ABD và △ACD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1. Cho △ABC có AD là đường phân giác, AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 7 cm. Tính độ dài đoạn

thẳng CD (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). ¤ 5,1 cm.

c Bài 2. Cho △ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác AD. Tính độ dài cạnh BD.

¤ BC = 5 cm, BD =

15

7

= 2

1

7

.

c Bài 3. Cho △ABC có AD là phân giác. Kẻ DE ∥ AB (E ∈ AC). Biết AB = 6 cm, AC = 9 cm. Tìm tỉ

số

AE

AC

. ¤

AE

AC

=

2

5

.

c Bài 4. Cho △ABC có AM là trung tuyến. Tia phân giác các góc

÷

AMB,

÷

AMC cắt AB, AC lần lượt tại

D, E. Chứng minh rằng DE ∥ BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42/105 42/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Cho △ABC có AD là đường phân giác. Biết AB = 18 cm, DC = 12 cm, BD = 8 cm. Tính chu vi

△ABC. ¤ 65 cm.

43/105 43/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

44

LUYỆN TẬP CHUNG

A–ĐỊNH LÍ THALÈS

1 Bài tập rèn luyện

c Bài 1. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm, BC = 6cm. Tổng quát với AB = c, BC = a.

b) Chứng minh rằng BD <

2ac

a + c

với AB = c, BC = a.

c) Tính độ dài AB, BC, biết AD = m, DC = n, cạnh hình thoi bằng d.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44/105 44/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2. Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC

sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Chứng minh rằng tỉ số

KE

KD

không

phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45/105 45/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nhận xét: Trong các bài tập vận dụng định lí Ta-lét, nhiều khi ta cần vẽ thêm một đường thẳng song song với

một đường thẳng cho trước.

Đây là một cách vẽ được phụ hay dùng, vì nhờ đó mà tạo thêm được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

c Bài 3. Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là

giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N . Chứng minh rằng:

MA

ND

=

MB

NC

;a)

MA

NC

=

MB

ND

;b) MA = M B; NC = ND.c)

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta suy ra:

Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua

giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai cạnh đáy.

Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi là bổ đề hình thang.

46/105 46/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

47

2 Bài tập bổ sung

c Bài 4. Trong hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB = 28cm, CD = 70cm, AD = 35cm, vẽ một đường

thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F . Tính độ dài EF biết rằng DE = 10cm.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC của hình thang ABCD. Đường

thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng

OM = ON .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 6. Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy AB = a, CD = b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ

đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng

1

OE

=

1

OG

=

1

a

+

1

b

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47/105 47/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

48

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Một đường thẳng d song song với hai cạnh đáy cắt hai cạnh

bên AD, BC theo thứ tự ở M , N và cắt hai đường chéo BD, AC theo thứ tự ở H, K.

a) Chứng minh rằng M H = KN .

b) Hãy nêu cách dựng đường thẳng d sao cho M H = KH = KN.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 8. Tam giác ABC có AC > AB, AC = 45cm. Hình chiếu của AC và AB trên BC theo thứ tự là 27cm

và 15cm. Đường trung trực của BC cắt AC ở N . Tính độ dài CN .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48/105 48/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Cho hình bình hành ABCD, điểm G chia trong cạnh DC theo tỉ số 1 : 2, điểm K chia trong cạnh

BC theo tỉ số 3 : 2. Tính độ dài ba đoạn thẳng do AG, AK định ra trên BD, biết rằng BD = 16cm.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vẽ đường thẳng song song trong các bài tập sau để tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

c Bài 10.

a) Cho tam giác ABC có

b

A = 120

◦

, AB = 3cm, AC = 6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.

b) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn

1

AD

=

1

AB

+

1

AC

. Tính số đo góc BAC.

49/105 49/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

50

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 11. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt cạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở

K và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho BD = CE thì tỉ số

KE

KD

không đổi.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Cho tam giác ABC, điểm D chia trong cạnh BA theo tỉ số 1 : 2, điểm E chia trong cạnh AC

theo tỉ số 2 : 5. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng ED và BC. Tính tỉ số F B : F C.

50/105 50/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

51

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 13. Cho tam giác ABC, điểm D chia trong cạnh BC theo tỉ số 1 : 2, điểm O chia trong AD theo tỉ

số 3 : 2. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số AK : KC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 14. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kì trên cạnh BC. Đường thẳng

đi qua I và song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM , AC theo thứ

tự ở D, E. Chứng minh rằng DE = BK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51/105 51/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

52

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 15. Tứ giác ABCD có E, F theo thức tự là trung điểm của CD, CB, O là giao điểm của AE, DF ;

OA = 4OE, OD =

2

3

OF . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 16. Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng

AD và BC theo thứ tự ở I và K. Chứng minh rằng:

IA : ID = KB : KC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 17.

a) Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng

cắt AB, AC theo thứ tự ở H, K. Chứng minh rằng tổng

AH

AB

+

AK

AC

không phụ thuộc vào vị trí của

điểm M trên cạnh BC.

b) Xét trường hợp tương tự khi điểm M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.

52/105 52/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

53

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 18.

a) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm O của AM , vẽ đường thẳng cắt các cạnh AB,

AC theo thứ tự ở B

′

, C

′

. Chứng minh rằng khi đường thẳng thay đổi vị trí mà vẫn đi qua O thì tổng

AB

′

+

AC

′

không đổi.

b) Tổng quát hóa bài toán trên khi O là một điểm cố định trên đoạn thẳng AM.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53/105 53/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 19. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết

AD = 10cm, AE = 15cm. Tính độ dài BC.

 Lời giải.

54/105 54/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại

B, ACF vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF . Chứng minh

rằng

a) AH = AK.

b) AH

2

= BH · CK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55/105 55/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 22. Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm của CD, N là trung điểm của CB. Biết rằng AM và AN

cắt đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 23. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2. Trên tia đối của tia

CD lấy điểm F sao cho CF = 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF . Tính

÷

AMC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56/105 56/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 24. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng cắt các cạnh BC, CA theo thứ tự ở D, E và cắt đường

thẳng BA ở F . Vẽ hình bình hành BDEF . Đường thẳng đi qua F và song song với BC cắt HA ở I. Chứng

minh rằng F I = DC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 25. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng

AD, kẻ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM . Chứng minh rằng

NI vuông góc với BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57/105 57/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

58

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 26. Cho tam giác có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC theo thứ tự

ở P , Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng HM vuông góc với P Q.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58/105 58/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 27. Hình chữ nhật ABCD có M , N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là một điểm bất

kì thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC. Chứng minh rằng N M là tia phân giác của góc

KNE.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59/105 59/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 28. Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho

BN = CM . Các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự ở E, F . Chứng minh rằng AE

2

= EB · EF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 29. Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E,

K, G. Chứng minh rằng:

a) AE

2

= EK · EG;

b)

1

AE

=

1

AK

+

1

AG

;

c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK · DG có giá trị không đổi.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60/105 60/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 30. Cho tam giác đều ABC. Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD = CE.

Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Vẽ MH song song với CD (H thuộc AB), vẽ M K song song với

BE (K thuộc AC). Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + M K có giá trị

không đổi.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61/105 61/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 31. Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G, M là một điểm bất kì nằm bên trong tam giác. Đường

thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A

′

, B

′

, C

′

. Chứng minh rằng

A

′

M

A

′

G

+

B

′

M

B

′

G

+

C

′

M

C

′

G

= 3.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC,

CA theo cùng một tỉ số. Chứng minh rằng

a) AE = DF ,

b) AE vuông góc với DF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62/105 62/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 33. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có diện tích S. AB =

2

3

CD. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE. N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ

giác EM F N theo S.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63/105 63/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 34. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có diện tích S. AB =

2

3

CD. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE. N là giao điểm của BF và CE. Tính diện tích tứ

giác EM F N theo S.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 35.

a) Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC. Điểm N trên cạnh CD sao cho

CN

ND

= 2. Gọi

giao điểm của AM , AN với BD là P , Q. Chứng minh rằng S

AP Q

=

1

2

S

AMN

.

b) Chứng minh rằng kết luận ở câu a vẫn đúng nếu thay điều kiện “M là trung điểm của BC, N trên

cạnh CD sao cho

CN

ND

= 2” bởi điều kiện tổng quát hơn “M trên cạnh BC. N trên cạnh CD sao cho

CN

ND

= 2

BM

MC

”.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64/105 64/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 36. Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng thay đổi vị trí

nhưng luôn đi qua M cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A, B. Gọi S

1

, S

2

theo thứ tự là diện tích các tam giác

MOA, MOB. Chứng minh rằng tổng

1

S

1

+

1

S

2

có giá trị không đổi.

Hướng dẫn: Xét vị trí giới hạn của đường thẳng khi nó song song với Ox để dự đoán giá trị không đổi.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65/105 65/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

66

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 37. Cho góc xOy. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho

1

OA

+

1

OB

=

1

k

(k là hằng số). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 38. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho

DE

DA

=

BF

BC

=

1

3

. Gọi M , N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC. Chứng minh rằng EM = N F .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66/105 66/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 39.

a) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A

′

sao cho

BA

′

A

′

C

= 3. Trên cạnh CA lấy điểm B

′

sao cho

CB

′

B

′

A

=

1

3

. Gọi C

′

là giao điểm của A

′

B

′

và AB. Chứng minh rằng C

′

là trung điểm của AB.

b) Chứng minh bài toán tổng quát: Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác ABC và cắt

các đường thằng BC, CA, AB theo thứ tự ở A

′

, B

′

, C

′

thì

AB

′

B

′

C

′

·

CA

′

A

′

B

′

·

BC

′

C

′

A

= 1 (định lí Mê-nê-la-uýt).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67/105 67/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 40.

a) Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta lấy các điểm

tương ứng A

′

, B

′

, C

′

sao cho AA

′

, BB

′

, CC

′

đồng quy thì

AB

′

B

′

C

′

·

CA

′

A

′

B

′

·

BC

′

C

′

A

= 1 (định lí Xê-va).

b) Chứng minh rằng kết luận trên vẫn đúng nếu các điểm A

′

, B

′

, C

′

thuộc các đường thẳng chứa các cạnh

của tam giác, trong đó có đúng hai điểm nằm ngoài tam giác.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68/105 68/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Các hệ thức viết ở định lý Mê-nê-la-uýt và định lí Xê-va như nhau. Chỗ khác nhau là vị trí các điểm A

′

,

B

′

, C

′

.

○ Ở định lí Mê-nê-la-uýt: có đúng một điểm, hoặc cả ba điểm nằm ngoài tam giác.

○ Ở định lí Xê-va: không có điểm nào, hoặc có đúng hai điểm nằm ngoài tam giác.

c Bài 41. Cho tam giác ABC. Tâm O của các hình chữ nhật M N P Q thay đổi nhưng luôn có M thuộc AB,

N thuộc AC, P và Q thuộc BC, chuyển động trên đường nào?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B–ĐỊNH LÍ THALÈS ĐẢO

1 Bài tập rèn luyện

c Bài 42. Cho tứ giác ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Lần lượt vẽ ME song song BD (E ∈ AD), EG

song song AC (G ∈ CD), GH song song BD (H ∈ BC).

a) Chứng minh M EGH là hình bình hành.

b) Tính chu vi tứ giác MEGH, nếu ABCD là hình chữ nhật có đường chéo bằng m.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69/105 69/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

70

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 43. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỉ số

1 : 2. Các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn ED, F E theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh IK ∥ BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70/105 70/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

71

2 Bài tập bổ sung

c Bài 44. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), M trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD,

K là giao điểm của BM và AC.

a) Chứng minh IK ∥ AB.

b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E, F . Chứng minh EI = IK = KF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 45. Điểm E thuộc cạnh bên BC của hình thang ABCD. Vẽ đường thẳng đi qua C và song song với

AE, cắt AD ở K. Chứng minh BK song song DE.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 46. Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Vẽ IM ∥ BK (M ∈ AC),

vẽ KN ∥ CI (N ∈ AB). Chứng minh MN ∥ BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71/105 71/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 47. Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại E. Đường thẳng đi qua

B song song với AD cắt AC tại G.

a) Chứng minh EG ∥ DC.

b) Giả sử AB ∥ CD. Chứng minh AB

2

= EG · DC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 48. Tứ giác ABCD có AC vuông góc và bằng BD. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các

cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1 : 2. Chứng minh rằng EG = F H và EG vuông góc F H.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72/105 72/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

73

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 49. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF . Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các

đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 50. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M nằm giữa A và D. Gọi I, K theo thứ tự

là trung điểm của M B, M C. Gọi E là giao điểm của DI và AB, gọi F là giao điểm của DK và AC. Chứng

minh EF ∥ IK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 51. Cho tam giác ABC, có đường trung tuyến BD, CE. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. Vẽ

MG song song BD (G ∈ AC), vẽ M H song song CE (H ∈ AB).

a) Chứng minh BD và CE chia HG thành ba phần bằng nhau.

b) Chứng minh OM đi qua trung điểm HG (O là trọng tâm △ABC).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73/105 73/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 52. Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD). Các điểm M, N thuộc cạnh AD, BC sao cho

AM

MD

=

CN

NB

.

Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F . Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt DC

ở H.

a) Chứng minh rằng HN ∥ BD.

b) Gọi I là giao điểm của HO và MN . Chứng minh rằng IE = IF, ME = N F (O là giao điểm hai đường

chéo AC và BD).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 53. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến BM. Gọi O là giao điểm các đường trung trực

của tam giác ABC, E là trọng tâm của tam giác ABM . Chứng minh EO vuông góc với BM.

 Lời giải.

74/105 74/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 54. Chia mỗi cạnh của tứ giác thành ba phần bằng nhau rồi nối các điểm chia tương ứng trên các

cạnh đối diện, ta được bốn đoạn thẳng (hai đoạn thẳng nối các điểm chia tương ứng trên một cặp cạnh đối

thì không cắt nhau). Chứng minh rằng

a) Mỗi đoạn thẳng trong bốn đoạn thẳng ấy đều bị chia thành ba phần bằng nhau.

b) Diện tích tứ giác ở giữa bằng

1

9

diện tích tứ giác ban đầu.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75/105 75/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

76

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

1 Bài tập rèn luyện

c Bài 55. Tính diện tích hình thang có hai đường chéo dài 6 m và 10 m, đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy

bằng 4 m.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 56. Tính diện tích tam giác ABC, biết AB = 3 cm, AC = 5 cm, đường trung tuyến AM = 2 cm.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 57. Tứ giác ABCD có E, F , G, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện

của tứ giác ABCD để EF GH là hình vuông.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76/105 76/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Bài tập bổ sung

c Bài 58. Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh

BC sao cho BM = M N = N C. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tính độ

dài IK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 59. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc

với HM cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F .

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác

DBH.

b) Chứng minh rằng HE = HF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77/105 77/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

78

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 60. Tứ giác ABCD có B và C nằm trên đường tròn có đường kính là AD. Tính độ dài CD biết rằng

AD = 8, AB = BC = 2.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 61. Cho hình thang vuông ABCD (

b

A =

“

D = 90

◦

), ta có AB =

1

2

CD. Gọi H là hình chiếu của D

trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng

÷

BM D = 90

◦

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 62. Cho tứ giác ABCD có A = 40

◦

, D = 80

◦

, AD = BC. Gọi E và F là trung điểm của AB và CD.

Tính

’

EF D,

’

EF C.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78/105 78/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

79

c Bài 63. Cho △ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M,

N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác M IN K là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 64. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD, lấy theo thứ tự các điểm E, M,

N, F sao cho BM = DN , BE = DF . Gọi I, O, K theo thứ tự là trung điểm của EF , BD, MN .

a) Chứng minh rằng ba điểm I, O, K thẳng hàng.

b) Trong trường hợp nào thì cả năm điểm A, I, O, K, C thẳng hàng?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79/105 79/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 65. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, DE, AE; gọi I

là trung điểm của N Q, K là trung điểm của MP . Chứng minh rằng IK ∥ CD, IK =

1

4

CD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D–TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

1 Bài tập rèn luyện

c Bài 66. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đường phân giác AD.

a) Tính độ dài BD, DC.

b) Tia phân giác của góc B cắt AD tại I. Tính tỉ số AI : ID.

80/105 80/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

81

c) Cho BC bằng trung bình cộng của AB và AC, gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG

song song BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 67. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Biết AD = 3 cm, DC = 5 cm. Tính độ

dài AB, BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 68. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao

cho BM = BD, CN = CD. Chứng minh rằng M N song song với BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81/105 81/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 69. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, đường phân giác AD. Điểm O chia trong AD

theo tỉ số 2 : 1. Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỉ số AK : KC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Bài tập bổ sung

c Bài 70. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Các tia phân giác của các góc AMB, AM C cắt AB

và AC theo thứ tự ở D, E. Gọi I là giao điểm của AM và DE.

a) Chứng minh rằng DE song song với BC.

b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE.

c) Điểm I chuyển động trên đường nào nếu tam giác ABC có BC cố định, đường trung tuyến AM bằng

m không đổi?

d) Tam giác ABC có điều kiện gì để DE là đường trung bình của tam giác đó?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82/105 82/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

83

c Bài 71. Trong tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng BD = 2

cm, DC = 4 cm. Đường trung trung trực của AD cắt đường thẳng BC ở K. Tính độ dài KD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 72. Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm,BC = 10 cm. Gọi I là giao điểm của các đường

phân giác, G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng IG ∥ BC.

b) Tính độ dài IG.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 73. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc BAD cắt BD ở M , tia phân giác của góc

ABC cắt AC ở N . Chứng minh rằng M N ∥ CD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83/105 83/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

84

c Bài 74. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở O và

BO

BE

·

CO

CF

=

1

2

. Chứng

minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 75. Tính diện tích tam giác ABC, biết rằng AB = 14 cm, AC = 35 cm, đường phân giác AD bằng

12 cm.

Hướng dẫn: Vẽ DE ∥ AB và tính diện tích tam giác ADE.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 76. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), các đường phân giác BD, CE.

a) Tính các độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.

b) Vẽ hình bình hành BEKD. Chứng minh rằng CE > EK.

c) Chứng minh rằng CE > BD.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84/105 84/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85/105 85/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

86

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

A–TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

✓ Đoạn thẳng tỉ lệ, định lí Ta-lét, định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét.

✓ Tính chất đường phân giác trong tam giác.

✓ Đường trung bình của tam giác.

B–CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Tỉ số

Vận dụng định lí, hệ quả định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác trong tam giác và tam giác đồng dạng để

thiết lập tỉ số từ đó tính được độ dài đoạn thẳng.

c Ví dụ 1.

Cho hình vẽ bên. Biết

b

A = 90

◦

, M N ∥ BC và AM = 3 cm,

AN = 4 cm, NC = 2 cm. Tính BC?

B

A

C

M

N

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Cho △ABC có AB = 8 cm, BC = 16 cm, AC = 12 cm. Một đường thẳng d song song với BC

cắt AB và AC tại M và N sao cho BM = AN. Tìm độ dài đoạn MN ?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86/105 86/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3.

Cho hình vẽ sau, biết AB ∥ M N ∥ CD; AB = 6 cm, CD = 9 cm

và

AM

MD

=

1

2

. Tính độ dài đoạn M N.

D C

A B

M

N

O

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 4. Cho △ABC vuông góc A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm và đường phân giác AD. Kẻ DE ∥ AB

(E thuộc AC) thì độ dài DE là bao nhiêu?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 5. Cho △ABC có AB = AC = 10 cm. Tia phân giác góc B cắt đường cao AH tại I. Biết

AI

IH

=

5

3

.

Tính chu vi △ABC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87/105 87/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 6. Cho △ABC có điểm D trên AB sao cho BD =

1

3

AB. Kẻ DE song song với BC (E ∈ AC). Gọi

O là giao điểm của BE và CD. Tìm tỉ số

OE

OB

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 2. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

○ Sử dụng định lí, hệ quả định lí Ta-lét.

○ Chú ý rằng:

a

m

=

b

m

thì a = b.

c Ví dụ 7. Cho ABCD là hình thang (AB ∥ CD). Gọi M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của

AM và BD; K là giao điểm của BM và AC.

a) Chứng minh IK ∥ AB.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng IK với AD và BC là F và E. Chứng minh rằng F I = IK = KE.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88/105 88/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Cho tam giác ABC có BM, CN là các đường trung tuyến (BM < CN ), G là trọng tâm. Từ

điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC, kẻ DE ∥ CN, DF ∥ BM (E ∈ AB; F ∈ AC). Gọi I, K là giao điểm của EF

với BM , CN . Chứng minh EI = IK = KF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC tại M, N. Qua A vẽ

đường thẳng song song với BC và cắt các đường thẳng BN , CM tại I, K. Chứng minh rằng AI = AK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 3. Tính tỉ số của hai đường thẳng

Vẽ thêm đường phụ song song để tạo thêm các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

c Ví dụ 10. Cho tam giác ABC, lấy điểm M trên BC sao cho BM =

1

2

MC. Trên AM lấy điểm N sao cho

89/105 89/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

90

MN =

1

2

AN. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BN và AC. Tính tỉ số

AP

P C

?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác ABC và cắt đường

thẳng BC, CA, AB tại M, N , P thì

AP

P B

·

BM

CM

·

CN

NA

= 1 (Định lý Mê-nê-la-uýt).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90/105 90/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C của tam giác ABC, lấy các điểm

M, N , P sao cho AM , BN, CP đồng quy tại O thì

AP

P B

·

BM

CM

·

CN

NA

= 1 (định lý Xê-va).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Dạng 4. Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh bài toán

c Ví dụ 13. Cho tam giác ABC (AB < AC). Lấy điểm D trên AC sao cho CD = AB. Gọi M , N , P , Q lần

lượt là trung điểm của AD, DB, BC và CA.

a) Chứng minh M P ⊥ N Q.

b) Vẽ tia phân giác của góc A cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE ∥ MP .

91/105 91/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

92

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 14. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Điểm C nằm giữa A và B. Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB các hình vuông ACDE và BCF H. Gọi K là giao điểm của AD và BF , O là giao điểm của AD và CE,

O

′

là giao điểm của CH và BE.

a) Tứ giác OKO

′

C là hình gì?

b) Khi điểm C di động thì giao điểm M của OO

′

và CK di động trên đường nào?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C–BÀI TẬP VẬN DỤNG

c Bài 1. Cho △ABC nhọn có đường cao BD; CE. Kẻ DF ⊥ AB, EG ⊥ AC. Chứng minh rằng F G ∥ BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92/105 92/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 2.

Cho hình vẽ bên. Biết DE ∥ BC, M N ∥ AB, P Q ∥ AC. Tính

tổng

DE

BC

+

P Q

AC

+

MN

AB

.

A

B C

O

D

P

M

E

N Q

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 3. Cho tam giác ABC với điểm M thuộc miền trong tam giác. Gọi I, J, K thứ tự là giao điểm của

các tia AM , BM, CM với các cạnh BC, CA, AB. Đường thẳng qua M và song song với BC cắt IK, IJ tại

E; F . Chứng minh M E = MF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93/105 93/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

94

c Bài 4. Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C của tam giác ABC, lấy các điểm

M, N , P sao cho AM , BN, CP đồng quy tại O thì

AO

OM

=

AP

P B

+

AN

NC

(định lý Van-Oben).

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 5. Cho hình thang cân ABCD (AB ∥ CD); AB = a; CD = 3a. Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung

điểm của AD, BC, BD và AC. Chứng minh rằng

a) Bốn điểm M , N, P , Q thẳng hàng.

b) Tứ giác ABQP là hình chữ nhật.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94/105 94/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D–BÀI TẬP BỔ SUNG

c Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = a, các đường trung tuyến BD, CE. Lấy các điểm M, N trên cạnh

BC sao cho BM = M N = N C. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. Tính độ

dài IK.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc

với HM cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F .

a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác

DBH.

b) Chứng minh rằng HE = HF .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95/105 95/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

96

c Bài 8. Tứ giác ABCD có B và C nằm trên đường tròn có đường kính là AD. Tính độ dài CD biết rằng

AD = 8, AB = BC = 2.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 9. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tịa O. Qua D vẽ đường thẳng xy sao cho

A và C nằm cùng phía với xy. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên xy. Chứng minh rằng

AH + CK = BI.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC và CA. Chứng

minh tứ giác M NP Q là hình bình hành.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96/105 96/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

97

c Bài 11. Cho tam giác đều ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ điểm M đối

xứng với D qua F . Chứng mình rằng

a) Tứ giác DF CB là hình thang cân.

b) Tứ giác DF CE là hình thoi.

c) Tứ giác AM CD là hình chữ nhật.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 12. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. Điểm C nằm giữa A và B. Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

các hình vuông ACDE và BCF H. Gọi K là giao điểm của AD và BF , O là giao điểm của AD và CE, O

′

là

giao điểm của CH và BE.

a) Tứ giác OKO

′

C là hình gì?

b) Khi điểm C di động thì giao điểm M của OO

′

và CK di động trên đường nào?

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97/105 97/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

98

c Bài 13. Cho tam giác ABC (AB < AC). Lấy điểm D trên AC sao cho CD = AB. Gọi M, N , P , Q lần

lượt là trung điểm của AD, DB, BC và CA.

a) Chứng minh M P ⊥ N Q.

b) Vẽ tia phân giác của góc A cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE ∥ MP .

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 14 (8H4K9). Cho hình thang cân ABCD (AB ∥ CD); AB = a; CD = 3a. Gọi M, N , P , Q lần lượt

là trung điểm của AD, BC, BD và AC. Chứng minh rằng

a) Bốn điểm M , N, P , Q thẳng hàng.

b) Tứ giác ABQP là hình chữ nhật.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98/105 98/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

99

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 15. Cho △ABC. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M,

N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, BC, DE.

a) Tứ giác M IN K là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 16. Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC.

Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM .

a) Xác định dạng của tứ giác DEIF .

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99/105 99/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 17. Tứ giác ABCD có E, F , G, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Tìm điều kiện

của tứ giác ABCD để EF GH là hình vuông.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 18. Cho hình vuông A

′

B

′

C

′

D

′

nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một

chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mỗi đường tròn đi qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều

đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A

′

lần lượt qua B

′

, C

′

, D

′

là như nhau). Chứng minh rằng

trung điểm các đoạn thẳng AA

′

, BB

′

, CC

′

, DD

′

là đỉnh của một hình vuông.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100/105 100/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 19. Vẽ ra phía ngoài của một tam giác các hình vuông cạnh là cạnh của tam giác. Chứng minh rằng

a) Các đoạn thẳng nối trung điểm một cạnh của tam giác với tâm các hình vuông dựng trên hai cạnh kia

bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với

đỉnh chung của hai hình vuông trước.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 20. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACF G có tâm theo tứ

tự M, N . Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.

a) Chứng minh rằng KMIN là hình vuông.

b) Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên

đường tròn nào?

101/105 101/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

102

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 21. Cho tứ giác ABCD có A = 40

◦

, D = 80

◦

, AD = BC. Gọi E và F là trung điểm của AB và CD.

Tính

’

EF D,

’

EF C.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 22. Cho tứ giác ABCD, AD = BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường thẳng

qua M và song song với AD cắt BD tại E. Đường thẳng qua M và song song với BC cắt AC tại F . Chứng

minh rằng M N ⊥ EF .

102/105 102/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

103

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng

minh rằng tứ giác AM NP là hình thoi.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 24. Tứ giác ABCD có

b

A +

“

B = 270

◦

. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và

CA. Chứng minh rằng tứ giác M NP Q là hình chữ nhật.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 25. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm M . Trên tia AM lấy điểm N sao cho

M là trung điểm của AN . Vẽ N E ⊥ BC, N F ⊥ CD. Chứng minh rằng

a) CN ∥ BD; EF ∥ AC.

b) Ba điểm M , E, F thẳng hàng.

103/105 103/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

17. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

104

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 26. Cho tam giác ABC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của A trên các đường phân giác trong

và ngoài của góc B. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A trên các đường phân giác trong và ngoài của

góc C. Chứng minh bốn điểm H, K, E, F thẳng hàng.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 27. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D và trên tia đối của tia AC lấy điểm E

sao cho AD = AE. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AE, AB và CD. Chứng minh rằng △MN P là

tam giác đều.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 28. Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là

điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành M DNE. Chứng minh rằng AN song song với BC.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104/105 104/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Chương 4. ĐỊNH LÍ THALÈS

LỚP TOÁN THẦY KHÔI 6 - 7 - 8 - 9

105

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Bài 29. Cho hình thang vuông ABCD (

b

A =

“

D = 90

◦

), ta có AB =

1

2

CD. Gọi H là hình chiếu của D

trên AC, M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng

÷

BM D = 90

◦

.

 Lời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105/105 105/105

 Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI –  0909 461 641

Phân dạng và bài tập định lí Thalès Toán 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Phân loại và giải chi tiết các dạng bài tập Toán 8 KNTTVCS (tập 2)

Phân loại và giải chi tiết các dạng bài tập Toán 8 KNTTVCS (tập 1)

Chuyên đề khai phóng năng lực môn Toán 8

Đường trung bình trong tam giác, hình thang - Hình học 8

Đề thi giữa kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Phúc Đồng – Hà Nội