Phân loại và giải chi tiết các dạng bài tập Toán 8 KNTTVCS (tập 2)

Tài liệu gồm 360 trang, được biên tập bởi Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam, phân loại và giải chi tiết các dạng bài tập môn Toán 8 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 2). Mời bạn đọc đón xem!

13 7 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8

Môn: Toán 8

Thông tin:

275 trang 1 tuần trước

Tác giả:

Profile Lê Phương
CHƯƠNG VI. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phân thức đại số
• Một phân thức đại số (hay nói là phân thức) là một biểu thức có dạng
A
B
, trong đó
,AB
là hai đa
thức và
B
khác đa thức 0 .
•
A
được gọi là tử thức (hoặc tử) và
B
được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).
Nhận xét. Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1 . Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng
là những phân thức đại số.
2. Hai phân thức bằng nhau
• Hai phân thức
A
B
và
C
D
gọi là bằng nhau nếu
AD BC=
.
•
AC
BD
=
nếu
3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
Giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
• Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức số (nếu mẫu số
nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã
cho của biến.
• Điều kiện xác định của phân thức
A
B
và
C
D
là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức
0B ≠
.
B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
I. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
Bài toán 1. Chứng tỏ
a)
2
2
1 43
3 69
x xx
x xx
+ ++
=
+ ++
b)
2
49 3 2
46 2
xx
x
−+
=
−
c)
2
52 1
4 20 25 2 5
x
xx x
−−
=
−+ −
Hướng dẫn:
AC
BD
=
nếu
.
Lời giải
a) Ta có:
( )
2 32 2
(1) 69 6 9 69x xx xxxxx+ ++=+ ++++
32
7 15 9xx x=+++
(1)
( )
2 32 2
(3) 43 4 33 129x x x x x xx x+ ++=+ ++ + +
32
7 15 9xx x=+++
(2)
Từ (1) và
2
2
1 43
(2)
3 69
x xx
x xx
+ ++
⇒=
+ ++
b) Ta có:
( )
22
4 9 2 8 18xx−=−
(1)
22
(4 6 )(3 2) 12 8 18 12 8 18
xx x x x x− + = +− − =−
(2)
Từ (1) và
2
49 3 2
(2)
46 2
xx
x
−+
⇒=
−
c) Ta có:
2
(5 2 )(2 5) 10 25 4 10
xx x x x− −= −− +
2
20 25 4xx= −−
(1)
( )
22
4 20 25 4 20 25xx xx
− − + =−+ −
(2)
Từ (1) và (2)
2
52 1
4 20 25 2 5
x
xx x
−−
⇒=
−+ −
Bài toán 2. Chứng minh rằng:
a)
3
2
1
1
1
x
xx
x
−
= ++
−
b)
2
33a b ac bc
cc
++
=
c)
22
22
44 2
42
x xy y y x
y x xy
−+ −
=
−+
Hướng dẫn:
AC
BD
=
nếu
.
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
32
1 1 ( 1) 1x x xx− = − ++
(hằng đẳng thức
)
33
ab−
32 3
2
1 11
1
11 1
x xx x
xx
xx
− ++ −
⇒= ⇒=++
−−
Bài toán tương tự:
1.
3
2
1
1
1
x
xx
x
+
= −+
+
2.
4
32
1
1
1
x
xxx
x
−
= + ++
−
3.
5
432
1
1
1
x
xxxx
x
−
= + + ++
−
Hoặc
5
234
1
1
1
x
xx x x
x
−
=++ + +
−
4.
5
432
1
1;
1
x
xxxx
x
+
= − + −+
+
v.v...
b) Ta có
22 2
( 3) 3a b c ac bc+=+
22
2
( 3) 3
33
c ac bc ac bc
a b ac bc
cc
+=+
++
⇒=
Cách khác:
Ta
có
2
( 3 ) ( 3 )
c ac bc c a b
+=+
2
33
a b ac bc
cc
++
⇒=
Ta cũng có
2
3
3
ab c
ac bc c
+
=
+
Vì nếu
;
A CA B
AD BC
B DC D
= ⇒= =
c) Ta có:
( )
22 2
4 4 (2 ) (2 ) (2 )
x xyy xy xy xy− + += − +
(1)
Lại có
( )
22
4 ( 2) ( 2)( 2)( 2)y xyx yxyxyx− −=+ − −
22
(2 )( 2 ) (2 )(2 )xyy x xy xy=+−=+ −
(2)
Từ (1) và (2)
22
22
44 2
42
x xy y y x
y x xy
−+ −
⇒=
−+
Cách khác: Thực hiện các phép nhân đa thức và so sánh hai kết quả:
Ta còn có:
2 22 2
44 4
22
x xy y y x
y x xy
−+ −
=
−+
2 22 2
22
,
44 4
y x xy
x xy y y x
−+
= …
−+ −
Bài toán 3. Chứng tỏ rằng:
a)
3
42
55 5
11
xx x
xx
+
=
−−
b)
2 2 33
2
3 33
x xy y x y
x x xy
++ −
=
−
Lời giải
a) Ta có:
( )( ) ( )( ) ( )
32224
5 5 15 1 15 1x x x xx x xx+ −= + −= −
3
42
55 5
11
xx x
xx
+
⇒=
−−
Chú ý: Có thể thực hiện phép nhân đa thức.
b) Ta có:
( )( ) ( )
222 22
33 3 ( )x xy y x xy x x xy y x y++ − = ++ −
( )
33
3xx y= −
2 2 33
2
3 33
x xy y x y
x x xy
++ −
⇒=
−
II. Tìm đa thức, phân thức thoả mãn điều kiện cho trước
Bài toán 4.
a) Tìm đa thức
P
, biết:
2
4 3 74 7
23
xx x
Px
−− −
=
+
b) Tìm đa thức
A
, biết:
33
1ab
ab A
+
=
+
.
Hướng dẫn:
AC
BD
=
nếu
.
Lời giải
a) Ta có:
2
4 3 74 7
23
xx x
Px
−− −
=
+
nếu
( )
2
4 3 7 (2 3) (4 7)xx x xP−− += −
Hay
(
)
32
8 6 23 21 (4 7)xx x xP
+−−=−
Vậy
(
)
32
8 6 23 21 :(4 7)
Pxx x x= +−− −
Ta có:
32
32
2
2
8 6 23 21 4 7
2 14 5 3
20 23 21
20 35
12 21
12 21
0
xx x x
x xx
xx
xx
x
x
−+ − − −
− −+
−−
−
−
−
Vậy
2
2 53Px x= −+
.
b) Ta có:
33
1ab
ab A
+
=
+
, nên
33
()
a bA a b+=+
;
vì
( )
33 22 22
()a b a b a ab b A a ab b
+=+ −+ ⇒=−+
Chú ý: Với các phân thức có nhiều biến, ta thường phân tích thành nhân tử.
Chẳng hạn bài toán sau:
Tìm đa thức
P
biết:
22
4 12 9
23
a ab b P
ac bc c
−+
=
−+
Xét
( )
22
4 12 9 ( 2 3 )a ab b c ac bc P− + =−+
(2 3 )ab⇒−
hay
32Pba= −
Ta có thể tìm một phân thức thoả mãn điều kiện cho trước như bài toán sau.
Bài toán 5. Tìm
P
, biết:
( )
22
1 23x Px+=+
Hương dẫn: Nếu
AC
AD BC
BD
= ⇒=
.
Lời giải
Ta có
( )
22
1 23x Px+=+
hay
( ) ( )
22
1 2 31x Px+= +
22
22
23 23
hay
11 1
Px x
P
xx
++
⇒= =
++
Bài toán 6. Tìm
P
biết:
a)
3
1 ( 1)
x xP
−= +
b)
4
1 ( 1)x xP−= +
Lời giải
a) Ta có:
3
3
1
1 ( 1)
1
x
x x PP
x
−
−= + ⇒ =
+
Bài toán tương tự:
Tìm
P
, biết:
3
1 ( 1)
x xP
−= −
( )
2 23
1 vì ( 1) 1 1Pxx x xx x
⇒ = ++ − ++ = −
b) Ta có:
4
4
1
1 ( 1)
1
x
x x PP
x
−
−= + ⇒ =
+
.
(Ta có bài toán nếu
4 32
1 ( 1) 1
x x P Px x x
−= − ⇒ = + + +
)
III. Hai phân thức không bằng nhau
Bài toán 7. Chứng tỏ hai phân thức
2
2
44
24
xx
xx
++
+
và
2
2
x +
không bằng nhau.
Hướng dẫn: Nếu
AC
AD BC
BD
≠ ⇒≠
.
Lời giải
Ta có:
( )
22
4 4 2 2( 2)xx x++ = +
(1)
( )
22
2 4 ( 2) 2 ( 2)x x x xx+ += +
(2)
Từ (1) và
2
2
44
(2)
24
xx
xx
++
⇒
+
và
2
2
x +
không bằng nhau.
Ta có bài toán:
Tìm giá trị của
x
, biết:
2
2
44 2
24 2
xx x
xx
++ +
=
+
Mẫu thức
2
2 40xx+≠
hay
2 ( 2) 0 0xx x+ ≠⇒≠
và
2x ≠−
.
Từ giả thiết, ta có:
( ) ( )
22
4 4 2 2 4 ( 2)xx xxx+ + ⋅= + +
22
( 2) 2 2 ( 2)x xx⇒ + ⋅= +
22
2 ( 2) 2( 2) 0xx x⇒ +−+=
2
2( 2) ( 1) 0
xx⇒ + −=
20 10 1x xx+≠⇒−=⇒=
nhận
Bài toán 8. Hai phân thức sau có bằng nhau không?
2
2
22
và
11
xx
xx
−+
−+
Hướng dẫn: Tích
(
)
2
2 ( 1)
xx
−+
và
(
)
2
1 ( 2)xx−+
Lời giải
Ta có
( )
2 32
2 ( 1) 2 2x x xx x− += + − −
(1)
( )
2 32
1 ( 2) 2 2x x x xx− + = + −−
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
22
11
xx
xx
−+
⇒≠
−+
Ta có bài toán:
1. Tìm giá trị của
x
, biết
2
2
22
11
xx
xx
−+
=
−+
( 1)x ≠
Lời giải
Ta có:
2
2
22
11
xx
xx
−+
=
−+
( ) ( )
22
32 3 2
2
2 ( 1) 1 ( 2)
22 2 2
0 ( 1) 0 0( vì 1 1 0)
x x xx
xx x x xx
x x xx x x x
⇒ − += − +
⇒ + − −= + −−
⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ≠− ⇒ + =
2. Hai phân thức sau có bằng nhau không:
2
2
31
69 3
xx
xx x
++
=
++ +
(Đáp số: Hai phân thức không bằng nhau)
3. Tìm
x
để
2
2
31
69 3
xx
xx x
++
=
++ +
(Đáp số: Không tồn tại giá trị nào của
x
).
C. BÀI TẬP
6.1. Viết tử thức và mẫu thức của phân thức
52
3
x −
.
6.2. Trong các phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?
a)
2
20
3
x
y
−
và
2
4
5
x
y
b)
2
31
2
x
x
−
+
và
31
1
x
x
−
+
c)
1
36
x
x
−
+
và
1
3( 2)
x
x
+
+
6.3. Vì sao các kết luận sau đúng?
a)
2
63
42
y
yy
−
=
−
b)
2
33
55
xx
x
++
=
c)
2
3 (4 1) 3
16 1 1 4
xx x
xx
+−
=
−−
6.4. Viết điều kiện xác định của phân thức
2
3
2
2
xx
x
+−
+
. Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại
0; 1; 2x xx= = =
.
6.5. Cho
A
là một da thức khác
0
tùy ý. Hãy giải thích vì sao
0
0
A
=
và
1
A
A
=
.
6.6. Một ô tô chạy với vận tốc trung bình là
( / )x km h
.
a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường
120 km
.
b) Tính thời gian ô tô đi được
120 km
trong trường hợp vận tốc trung bình của ô tô là
60 /km h
.
6.7. Các phân thức sau có bằng nhau không:
a)
( )
43
2
2 3 23
1 (2 3)
xxx
xx x
+ ++
−+ +
và
21
2
x +
b)
2
32
36
12 36
xx
xx x
−
++
và
6
6
x
x
−
+
6.8. Tìm đa thức
P
, biết:
a)
2
2
56
44 2
xx P
xx x
++
=
++ +
b)
2
1 ( 1)
1
aa
aP
++
=
−
c)
2
39
26 2
P aa
a
++
=
−
6.9. Tìm
P
, biết:
a)
33
()a b a bP
+=−
b)
( )
22
()x y x yP+=+
6.10. Tìm giá trị
x
, biết:
3
32
36 6
( 6)
12 36 6
xx x
x
xx x x
−−
= ≠−
++ +
6.11. Tìm
m
, biết:
a)
32 2
2 48 5 16
3
x xx x x
xm
− ++ − +
=
+
b)
32
2
3 56 2
6
xxx x
xx m
− +− −
=
−+
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI
6.1. Tử thức:
52x −
; mẫu thức là
3
.
6.2. Đáp số: c) Vì
3( 2) 3 6
xx+=+
6.3. a) Ta có
22
( 6).2 12yy−=−
và
2
( 4 ).3 12yy y−=−
b)
2
5 ( 3) 5 15xx x x+= +
2 22
5( 3) 5 15x xx+= +
c)
3 (4 1)(1 4 ) 3 (4 1)(4 1)xx x xx x
+−=− + −
2
3 (16 1)xx=−−
và
22
(16 1).( 3 ) 3 (16 1)x x xx−−=− −
6.4. Điều kiện xác định:
2
20
x +≠
* Với
0x =
, ta có
3
2
0 02
1
02
+−
= −
+
* Với
1x =
, ta có
3
2
1 12
0
12
+−
=
+
* Với
2x =
, ta có
3
2
22242
2
0 2 10 5
+−
= =
+
6.5. Ta có
.0 0A =
và
.1AA=
6.6. a) Biểu thức biểu thị thời gian
120
x
(h)
b) Ta có
120
2
60
=
(h)
6.7. a) Ta có:
43
2
2 3 2321
( 1)(2 3) 2
xxx x
xx x
+ ++ +
=
−+ +
Vì
43 43
2(2 3 2 3) 4 6 4 6xxx xxx+ ++= + ++
(1)
Mặt khác
2 22
( 1)(2 3)(2 1) ( 1)(4 10 3)
xx x x xx x x−+ + + = −+ + +
432
4 6 3 13 3xxx x=+−++
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
hai phân thức đã cho không bằng nhau.
Cách khác: Cho
1x
=
ta có
136 561 5
;
1 12 36 7 6 1 7
−−
=−=
++ +
mà
55
77
−≠
⇒
hai phân thức không thể bằng nhau.
Chú ý: Ta nên làm theo cách thứ hai vì không cần thực hiện phép nhân đa thức, nên những bai
2toán về loại này, ta kiểm tra trước bằng một vài giá trị của
x
xem hai phân thức có giá trị bằng
nhau hay không.
Ta xét bài toán sau:
Hai phân thức sau có bằng nhau không
1.
1
3
x
x
+
+
và
2
2
3
63
x
xx
+
++
Cho
01 1 03
0;1
0 3 3 0 6.0 3
x
++
=⇒= =
+ ++
mà
1
1
3
≠
nên hai phân thức không thể bằng nhau.
2.
2
2
2
1
x
x
−
−
và
2
1
x
x
+
+
Cho
422224
2;
413213
x
−+
=⇒= =
−+
và
24
33
≠
Vậy hai phân thức không bằng nhau
Nếu thay vào giá trị của x làm hai phân thức có giá trị bằng nhau thì ta phải chứng tỏ
..
AC
AD BC
BD
= ⇒=
6.8. a) Ta có:
2
2 22
5 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3)
4 4 ( 2) ( 2) 2
xx xx xx P
xx x x x
++ ++ ++
=⇒=
++ + + +
3Px⇒=+
b)
2
1Pa= −
c)
2
2 (2 6)( 3 9)Pa aa= − ++
2
( 3)( 3 9)Pa a a⇒=− + +
hay
3
27Pa= −
6.9. a)
33
ab
P
ab
+
=
−
b)
22
xy
P
xy
+
=
+
6.10.
3
32
36 6
12 36 6
xx x
xxx x
−−
=
++ +
3 32
43 2 43 2
432
32
2
(6 )( 3) (6 )( 12 36 )
6 36 216 6 36 216
2 12 72 432 0
2 ( 6 36 216) 0
2 ( 6)( 6) 0
xx xx x x
x x x xx x x x
xxx x
xx x x
xx x
⇒+ −=− + +
⇒ + − − =−− + +
⇒+ − − =
⇒ +−− =
⇒ − +=
0; 6xx⇒= =
hoặc
6
x = −
Vì
6x ≠−
nên ta lấy
0x
=
hoặc
6x =
.
6.11 a)
1m =
b)
1m =
HẾT
BÀI 22. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tính chất cơ bản của phân thức
• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho:
A AM
B BM
⋅
=
⋅
(
M
là một đa thức khác
0
)
• Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:
:
:
AN A
BN B
=
(
N
là một nhân tử chung)
2. Vận dụng
Cách rút gọn một phân thức
• Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản
hơn.
• Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Cách quy dồng mẫu thức nhiều phân thức
• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi phân thức đã cho thành những phân thức mới có
cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
• Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia mẫu thức chung cho mẫu thức đó;
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
I. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
Bài toán 1. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
a)
2
2
21 1xx x
xx x
++ +
=
+
b)
2
2
3 43x xx
x xx
− −+
=
−
Hướng dẫn:
AC
BD
=
, nếu
, có thể xét:
:
:
A AM A N
B BM B N
⋅
= =
⋅
Lời giải
a) Ta có:
( )
22
2 1 ( 1)x x xx x
++ =+
( )
22
( 1) ( 1)( 1) ( 1)x x x xx x x x+ += + += + ⋅
Từ (1) và (2)
2
2
21 1xx x
xx x
++ +
⇒=
+
Cách khác: Ta có:
2 22
2
2 1 ( 1) ( 1) : ( 1) 1
()
( 1) [ ( 1)] : ( 1)
xx x x x x
dpcm
x x xx xx x x
++ + + + +
= = =
+ + ++
Chú ý: Theo cách thứ hai, ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử.
b) Ta có:
22
2
4 3 3 3 ( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
xxxxxxx x
x x xx xx
− + −− + −− −
= =
−− −
( 1)( 3) 3
( 1)
xx x
xx x
−− −
= =
−
(đpcm)
Bài toán 2. Hai phân thức sau có bằng nhau không:
a)
32
32
2
xx
x xx
−
−+
và
1
x
x
−
b)
2
2
21
22
xx
x
++
−
và
1
22
x
x
+
−
Hướng dẫn: Xem lời giải bài toán 1.
Lời giải
a) Ta có
32 2
32 2
( 1)
2 ( 1)
x x xx
x x x xx
−−
=
−+ −
2
( 1) : ( 1)
( 1) : ( 1) 1
xx x x
xx x x
−−
= =
−− −
Vậy hai phân thức bằng nhau.
b) Ta có
2 22
2
2 1 ( 1) ( 1) : ( 1)
2 2 2( 1)( 1) [2( 1)( 1)] : ( 1)
xx x x x
x xx xx x
++ + + +
= =
− −+ −+ +
11
2( 1) 2 2
xx
xx
++
= =
−−
Vậy hai phân thức bằng nhau.
Bài toán 3. Chứng tỏ hai phân thức sau bằng nhau.
a)
1
1
m
m
+
−
và
2
2
21
1
mm
m
++
−
b)
( )
43
2
2 3 23
1 (4 6)
aaa
aa a
+ ++
−+ +
và
1
2
a +
Lời giải
a) Ta có
22
22
1 ( 1)( 1) ( 1) 2m 1
m 1 ( 1)( 1) m 1 m 1
m mm m m
mm
+ + + + ++
= = =
− −+ − −
Cách khác:
22
2
2m 1 ( 1) : ( 1) 1
m 1 ( 1)( 1) : ( 1) m 1
m mm m
mm m
++ + + +
= =
− +− + −
b)
( )
( )
43 3
22
2 3 23 (23)(23)
1 (4 6) 2 1 (2 3)
a a a aa a
aa a aa a
+ + + ++ +
=
−+ + −+ +
(
)
( )
3
2
(2 3) 1
2 1 (2 3)
aa
aa a
++
=
−+ +
( ) ( )
( ) ( )
22
22
(2 3)( 3) 1 : (2 3) 1
1
2
2 1 (2 3) : 1 (2 3)
a a aa a aa
a
aa a aa a

+ + −+ + −+
+

= =

−+ + −+ +

II. Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán 4. Tìm
P
, biết:
a)
23
23 6
1
x xx
xP
++
=
−
b)
2
2
22
2( )
P x xy
xy yx
−
=
−−
Hướng dẫn:
:
; .
:
AM A A N A
BM B B N B
⋅
= =
⋅
Lời giải
a) Ta có:
(
)
2
2
32
2
1 3 ( 1)
xx
x
x xx
+
+
=
−−
Theo giả thiết, ta có
23
23 6
1
x xx
xP
++
=
−
2
3 ( 1) hay 3 3Pxx Px x⇒= − = −
b) Viết lại
2
2
22
2( )
P x xy
xy yx
−
=
−−
(1), lại có
2
22
22 2():2()
2( ) 2( ) : 2( )
x xy xxy xy x
xy xy xy xy
− −−
= =
− − −−
(2)
Từ (1) và
(2) Px
⇒=
.
Bài toán 5. Tìm đa thức
P
, biết:
2
2
(2 ) 2
(2 ) 2
x P xy x y
y P xy xy
−−
=
++
Lời giải
Ta c6:
2
2 (2 )xy x y xy x−= −
2
2 (2 )xy xy xy y
+= +
Vậy
2
2
2 (2 ) (2 )
2 (2 ) (2 )
xy x y xy x x P
xy xy xy y y P
− −−
= =
+ ++
P xy⇒=
Bài toán 6. Điền vào chỗ trống:
a)
2
2
55
xx x
x
−
=
−
b)
22
22
2
x xy y
xy y x
−+ − …
=
+−
Hướng dẫn: Xem bài toán 4 và 5, áp dụng tính chất
:
;
:
AAMAAN
BBMBBN
⋅
= =
⋅
Lời giải
a)
( )
2
2
2
(1 ) ( 1)
5 5 5( 1)( 1)
51
x x x x xx
x xx
x
−− −
= =
− −− +
−
( 1) : ( 1)
[ 5( 1)( 1)] : ( 1) 5( 1)
xx x x
xx x x
−−
= =
−− + − −+
Vậy ta phải đặt vào chỗ trống đa thức
5( 1)x−+
.
b)
22 2 3
22
2 ()()()
( )( )
x xyy xy yx xy
xy xyyx y x
−+ − −− − −
= =
+ +− −
Vậy ta phải đặt vào chỗ trống đa thức
33 2 23
() 3 3x y x x y xy y−=− + −
.
III. Rút gọn phân thức
Bài toán 7. Rút gọn phân thức:
a)
2
2
1
( 1)
a
a
−
−
b)
2
4 41
24
yy
y
−+
−
c)
2
2
14 4
41
yy
y
−+
−
d)
2
52
4 20 25
x
xx
−
−+
Hướng dẫn: Xem tóm tắt ở trên.
Lời giải
a) Ta có:
2
22
1 (1 )(1 ) 1
( 1) (1 ) 1
a aa a
a aa
− −+ +
= =
−−−
b) Ta có:
2 22
4 4 1 (2 1) (12) 12
2 4 2(1 2 ) 2(1 2 ) 2
yy y y y
y yy
−+ − − −
= = =
− −−
c) Ta c6:
22 2
22
14 4 (12) (2 1) 2 1
4 1 (2 ) 1 (2 1)(2 1) 2 1
yy y y y
y y yy y
−+ − − −
= = =
− −+−+
d) Ta có:
2 22
52 52 52 1
4 20 25 (2 5) (5 2 ) 5 2
x xx
xx x x x
− −−
= = =
−+ − − −
.
Bài toán 8. Rút gọn phân thức:
a)
2
32
36
12 36
aa
aa a
−
++
b)
3
32
25 49
49 70 25
xx
xax
−
−+
c)
( )( )
52
2 24 3
2 128
2 83 4
xx
xx xx
−
++ −
Lời giải
a) Ta có:
2
32 2
36 (6 )(6 ) 6
12 36 ( 6) 6
aa a a a a
a a a aa a
− −+ −
= =
++ + +
b) Ta có:
3
32 2
25 49 (5 7 )(5 7 ) 5 7
49 70 25 (5 7 ) 5 7
xx x x x x
xa x xx x
− +− +
= =
−+ − −
c) Ta có:
( )
( )
( )
( )
23
52
2 2 4 3 32
2 64
2 128
2 8 3 4 2 4 16 ( 4)
xx
xx
x x x x xx x x
−
−
=
++ − ++ −
( )
( )
23
33
2 64
1
2 64
xx
x
xx
−
= =
−
Bài toán 9. Rút gọn phân thức
(, )mn∈
a)
2
n
n
a
a
b)
2
n
n
a
a
−
( 2)n >
c)
m nm
nm m
ab
ab
+
−
()mn>
Lời giải
a) Ta có:
2n nn
n
nn
a aa
a
aa
⋅
= =
b) Ta có:
22
2
22
nn
nn
a aa
a
aa
−
−−
⋅
= =
c) Ta có:
22mnm m mn m mn mn
nm m nm m m nmm n
ab a ab b a b a b
a b a ab a a
+
− − −+
⋅⋅
= = =
⋅⋅
.
IV. Tìm phân thức thoả mãn điều kiện cho trước
Bài toán 10. Tìm
P
, biết:
a)
22
3 9a P Pa a+ +=
b)
2
abP bP ab b c−=−
c)
22
24a P aP a+ +=
Lời giải
a) Ta có:
22
3 9a P Pa a+ +=
( )
22
39a aP a⇒+ =−
2
2
9 ( 3)( 3) 3
3 ( 3)
a aa a
P
a a aa a
− +− −
⇒= = =
++
b) Ta có:
2
abP bP ab b c−=−
2
2
()
()
( 1) 1
ab b P ab b c
ab b c b a bc a bc
P
ab b b a a
⇒− =−
− −−
⇒= = =
− −−
c) Ta có:
22
24a P aP a+ +=
( )
22
24
a aP a⇒+ =−
2
2
4 (2 )(2 ) 2
2 ( 2)
a aa a
P
a a aa a
− +− −
⇒= = =
++
V. Chứng minh một đẳng thức
Bài toán 11. Chứng minh rằng:
a)
2
32
32 2
11
xx x
x xx
−+ −
=
− ++
b)
2
32
26 2
7 12 4
xx
x x xx
+
=
++ +
c)
22
22
2
23
x xyy xy
x xy y x y
+− +
=
−+ −
Lời giải
a) Ta có:
22
33
32 22
11
x x xxx
xx
− + −− +
=
−−
( )
2
( 1) 2( 1)
( 1) 1
xx x
x xx
−− −
=
− ++
( )
2
2
( 1)( 2) 2
1
( 1) 1
xx x
xx
x xx
−− −
= =
++
− ++
b) Ta có:
2
32
2 6 2 ( 3) 2
7 12 ( 3)( 4) 4
x x xx
x x x xx x x
++
= =
++ + + +
c) Ta có
22
22
2 ()()()
23 2()()
x xyy xxy xyxy
x xyy xxy yxy
+− +++ −
=
− + −− −
( )(2 )
( )(2 )
xy xy xy
VP
xy xy xy
+− +
= = =
−− −
Cách khác: Ta chia tử và mẫu của phân thức ở vế trái cho
2
0
y ≠
(
0y =
đẳng thức luôn đúng:
2
2
2
1
2
xx
xx
= =
)
2
22
2
22
2 31
2
23
2 31
xx
yy
x xy y
x xy y
xx
yy
 
+−
 
+−
 
=
−+
 
−+
 
 
Đặt
22
22
2 312 2 1
2 312 2 1
x t t t tt
t
y t t t tt
+ − + −−
=⇒=
− + − −+
2 ( 1) ( 1) ( 1)(2 1)
2 ( 1) ( 1) ( 1)(2 1)
tt t t t
tt t t t
+−+ + −
= =
−−− − −
1
1
1
1
x
t xy
y
x
t xy
y
+
++
= = =
−−
−
(Có thể phân tích vế trái (VT) theo cách này mà không cần chia tử và mẫu cho
2
y
).
Bài toán 12. Cho
22
22 5x y xy+=
. Chứng minh rằng
1
( 0)
3
xy
xy
xy
−
= >>
+
Hướng dẫn: Xem cách giải thứ hai của bài toán 5.
Lời giải
Ta có:
2
22
2 2 5 2 25
xx
x y xy
yy
 
+ = ⇒ +=
 
 
Đặt
x
t
y
=
ta được:
22
2252250t tt t+= ⇒ +− =
( )
2
2 4 ( 2) 0 ( 2)(2 1) 0
t tt t t⇒ − −− =⇒− −=
2t⇒=
hoặc
1
2
t =
2
x
y
⇒=
hoặc
1
2
x
y
=
(vì
01
x
xy
y
>>⇒ >
nên ta lấy
2
x
y
=
)
Mặt khác:
1
( ):
( ):
1
x
xy xyy
y
x
xy xyy
y
−
−−
= =
++
+
Thay
2
x
y
=
vào biểu thức trên, ta có:
21 1
21 3
xy
xy
−−
= =
++
(đpcm)
Cách khác:
22 2 2
22 5 24 2 0x y xy x xy xy y+=⇒−−+=
2( 2) ( 2) 0xxyyxy⇒ −−−=
( 2 )(2 ) 0x y xy⇒− −=
2
xy⇒=
hoặc
2xy=
Vì
01
x
xy
y
>>⇒ >
, ta lấy
2xy=
Thay
2xy=
vào phân thức
xy
xy
−
+
ta được
1
3
xy
xy
−
=
+
Ta có bài toán sau:
1. Cho
22
6, 0x y xy x y+ = >>
. Chứng minh rằng:
2
xy
xy
+
=
−
2. Cho
21xy−=
. Tính
3
12
xy
xy
−
++
Đáp số:
1
3
VI. Tìm mẫu thức chung (MTC)
Bài toán 13. Tìm mẫu thức chung của các phân thức
a)
22
54 1
;;
4 4 13 3
x x xx−− +
b)
22 2 2 2 2
;;
2 4 23 6 3
ab c
x y x xy y x xy y− −+ ++
.
Hướng dẫn: Xem phần
A
.
Lời giải
a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
4 4 4( 1)xx−= −
2
1 ( 1)( 1)
x xx−= − +
2
3 3 3 ( 1)x x xx+= +
Vậy MTC:
12 ( 1)( 1)xx x−+
hay
( )
2
12 1xx−
b) Ta có:
22
( )( )x y x yx y−=+ −
2 22
2 4 2 2( )x xy y x y−+=−
2 22
3 6 3 3( )x xy y x y
++=+
MTC:
22
6( ) ( )xy xy−+
Bài toán 14. Tìm mẫu thức chung của các phân thức:
a)
2 2 22
;;
xzy
y yz y yz y z−+−
b)
22 2
1 11
;;
21 32 2x x x x xx− + − + −−
Lời giải
a) Ta có:
2
()y yz y y z−= −
2
22
()
( )( )
y yz y y z
y z y zy z
+= +
−=+ −
MTC:
( )( )yy z y z+−
hay
(
)
22
yy z
−
b) Ta có:
22
2 1 ( 1)xx x− += −
2
32xx−+
2
22x xx= − −+
( 1) 2( 1) ( 2)( 1)xx x x x= −− −= − −
2
2xx−−
2
2 2 ( 2)( 1)
x xx x x
= − +−= − +
MTC:
(
)(
)( )
211x xx− −+
VII. Quy đồng mẫu thức các phân thức
Bài toán 15. Quy đồng mẫu thức các phân thức
a)
5 34
17
;
12
xy xy
b)
2
13
;
5 10 2
xx x
−
−−
c)
2
24
;
9 11 3
x
xx−−
Hướng dẫn: Tìm MTC và dùng tính chất cơ bản của phân thức
A AM
B BM
⋅
=
⋅
.
Lời giải
a) MTC:
54
12xy
Ta có:
32
5 54 34 54
1 12 7 7
;
12 12 12
yx
xy xy xy xy
= =
b)
33
10 2 2 10xx
−
=
−−
Ta có
2
5 ( 5)x x xx
−= −
2 10 2( 5)xx−= −
MTC:
2 ( 5)xx
−
Vậy
2
12
5 2 ( 5)x x xx
=
−−
33
10 2 2 ( 5)
x
x xx
=
−−
c)
44
13 3 1
xx
xx
−
=
−−
MTC:
2
9 1 (3 1)(3 1)x xx−= − +
Vậy
2
22
4 4 (3 1) 12 4
31 91 91
x xx x x
xx x
− − +−−
= =
−− −
.
Bài toán 16. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a)
32
32
;;
1 11
x
x xx x− ++ −
b)
2
3 2 2 32
;
33
xx
x x y xy y y xy−+− −
Lời giải
a) MTC:
( )
32
1 ( 1) 1x x xx−= − + +
(hằng đẳng thức
)
33
ab−
Vậy
(
)
( )
( )
23
2
21
2 22
11
11
x
x
xx x
x xx
−
−
= =
++ −
− ++
( )
(
)
(
)
2
32
3
2
1
11
11
xx x
x xxx
xx
x xx
++
++
= =
−−
− ++
b)
3 2 23 3
3 3 ()x x y xy y x y− + −=−
22
()
xxx
y xy xy y y x y
−−
= =
−− −
Vậy MTC:
3
()yx y−
Ta có:
2
3
()
()()
x xx y
yx y yx y
− −−
=
−−
22
33
() ()
x xy
xy yxy
=
−−
Bài toán 17. Quy đồng mẫu thức các phân thức
a)
22
1
;
3 10 7 10
x
xx xx+− ++
b)
2 22
1 11
;;
32 21 2
x x x x xx− + − + −−
Lời giải
a) Ta có:
22
3 10 5 2 10 ( 5) 2( 5)xxxxxxx x+−=+−−= +− +
( 5)( 2)xx=+−
( ) ( ) ( )( )
22
7 10 5 2 10 5 2 5 5 2xxxxxxx x xx++=+++= ++ +=+ +
.
MTC:
(
)
(
)
2
54xx+−
.
Vậy
( )( )( )
( )
( )
2
2
122
3 10 5 2 2
54
xx
xx x x x
xx
++
= =
+− + − +
+−
(
)
( )(
)( )
( )
( )
2
2
2
2
12
710 522
54
xx
xx
xx x x x
xx
−
−
= =
++ + + −
+−
b) Ta có
( )( )
2
32 1 2xx x x− += − −
( )
2
2
21 1xx x− += −
( )( )
2
2 21xx x x−−= − +
MTC:
( )
( )( )
2
121x xx−− +
.
Vậy
( )( )
( ) (
)( ) ( ) ( )( )
2
22
2
11
11
32
1 21 1 21
xx
x
xx
x xx x xx
−+
−
= =
−+
− −+ − −+
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2
22
2
21
11
21
1 21 1 21
xx
xx
xx
x xx x xx
−+
−−
= =
−+
− −+ − −+
( )
( ) ( )( )
2
2
2
1
1
2
1 21
x
xx
x xx
−
=
−−
− −+
C. BÀI TẬP
6.12. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận đúng
a)
( )
(
)
22
2
22
2
xx
xx x
−−
=
−
b)
11
5 15 1
xx
xx
−−
=
−+ −
6.13. Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu”?”
?
44
yx
xx
−
=
−−
6.14. Rút gọn các phân thức sau:
a)
2
5 10
25 50
x
x
+
+
b)
( )
( )
2
45 3
15 3
xx
xx
−
−
c)
( )
( )
( )
2
2
3
1
11
x
xx
−
−+
6.15. Cho phân thức
2
1
1
x
P
x
+
=
−
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu
Q
là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của
P
và
Q
tại. So sánh hai kết quả đó.
6.16. Tìm
a
sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
5
1
x
x +
và
( )
( )( )
1
11
ax x
xx
−
−+
6.17. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
3
1
8
x −
và
3
42x−
b)
2
1
x
x −
và
2
1
21xx++
6.18. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a)
2
11
;
2 44
x
x xx
+
+ −+
và
5
2 x−
b)
22
12
;
33
x
x yx y+−
và
22
22
2
x xy y
x xy y
−+
−+
6.19. Cho hai phân thức
2
3
9 31
27 1
xx
x
++
−
và
2
2
4
16
xx
x
−
−
a) Rút gọn phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
6.20. Tìm
A
biết:
32 2
1
21
A
x x xx
=
+− −
6.21. Đưa về cùng mẫu thức:
a)
2
32
21
x
xx
+
−+
và
2
1
1x −
b)
1
1
x
x
+
−
và
2
3
1
x
x−
c)
2
11 1
;;
2 33 2 9 4x xx−+ −
d)
22 2
11 1
;;
55363242x xx xx− −+ ++
6.22. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
a)
2
2
56
44
xx
xx
++
++
và
3
2
x
x
+
+
b)
2 23
22
2
2
x y xy y
x xy y
++
+−
và
( )
2
yx y
xy
+
−
6.23. Điền vào chỗ trống:
a)
b)
2 ...
ab ba
=
−−
c)
33
2 ...
mm
m
−−
=
−
d)
22
4 9 23
2 3 ...
x y xy
xy
−+
=
−
6.24. Rút gọn phân thức:
a)
2
2
2
2
x xy
A
y xy
−
=
−
b)
32
32 4
2
2
a ab
B
ab ab
−
=
−
c)
2
69
3
aa
C
a
−+
=
−
d)
2
2
1
21
a
D
aa
−
=
−+
6.25. Rút gọn phân thức:
a)
33
ab
A
ab
+
=
+
b)
2
3
4 21
81
aa
B
a
++
=
−
c)
3
2
81
ab b
C
a
−
=
−
6.26. Rút gọn phân thức:
a)
222
222
2
2
a b c ab
A
a b c ac
+−+
=
−++
b)
32 2
33
x x y xy
B
xy
++
=
−
c)
32
32
2 11 12 9
253
xx x
C
xxx
+ +−
=
+−
6.27. Rút gọn phân thức:
a)
2
3
54
1
xx
A
x
−+
=
−
b)
2
3
32
1
xx
B
x
++
=
+
c)
2
3
43
27
xx
C
x
++
=
+
6.28. Cho
5xy
−=
. Chứng minh rằng
3
1
52
xy
y
−
=
−
6.29. Tìm mẫu thức chung của các phân thức:
a)
2 23 3
11 1
;;
x yx y x y−− −
b)
( )
33
22
11 1
;;
x yx y
x x xy y
++
−+
c)
22
1 11
;;
4 82aaa− −+
6.30. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a)
2
34 5
;;
2 32 34 9
aa b
a a ac c−+ −
b)
32
11 2
;;
2 8 24
xx
x x xx
++
+ + −+
c)
22
4 21
;;
2 44
ba
b bc c c b ac ab−+ − +
6.31. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a)
2
1
4xy
và
2
5
6xy
b)
2
9
4 36x −
và
2
1
69xx++
6.32. Cho phân thức
( )
2
2
4
2
xx
P
x
−
=
+
a) Viết điều kiện xác định của phân thức và tìm tất cả các giá trị của
x
thỏa mãn điều kiện này.
b) Rút gọn phân thức
P
c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại
98x =
.
| 1/275
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHƯƠNG VI. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 21. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phân thức đại số
• Một phân thức đại số (hay nói là phân thức) là một biểu thức có dạng A , trong đó , A B là hai đa B
thức và B khác đa thức 0 .
• A được gọi là tử thức (hoặc tử) và B được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).
Nhận xét. Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1 . Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng
là những phân thức đại số.
2. Hai phân thức bằng nhau
• Hai phân thức A và C gọi là bằng nhau nếu AD = BC . B D • A C = nếu AD = BC B D
3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
Giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
• Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức số (nếu mẫu số
nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.
• Điều kiện xác định của phân thức A và C là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B ≠ 0 . B D
B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
I. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
Bài toán 1. Chứng tỏ 2
a) x +1 x + 4x + 3 = 2
x + 3 x + 6x + 9 2 b) 4 − 9x 3x + 2 = 4 − 6x 2 c) 5 − 2x 1 − = 2
4x − 20x + 25 2x − 5 Hướng dẫn: A C =
nếu AD = BC . B D Lời giải a) Ta có: x + ( 2 x + x + ) 3 2 2 ( 1) 6
9 = x + 6x + 9x + x + 6x + 9 3 2
= x + 7x +15x + 9 (1) x + ( 2 x + x + ) 3 2 2 ( 3) 4
3 = x + 4x + 3x + 3x +12x + 9 3 2
= x + 7x +15x + 9 (2) 2 Từ (1) và
x +1 x + 4x + 3 (2) ⇒ = 2
x + 3 x + 6x + 9 b) Ta có: ( 2 − x ) 2 4 9 2 = 8 −18x (1) 2 2
(4 − 6x)(3x + 2) =12x + 8 −18x −12x = 8 −18x (2) 2 Từ (1) và 4 − 9x 3x + 2 (2) ⇒ = 4 − 6x 2 c) Ta có: 2
(5 − 2x)(2x − 5) =10x − 25 − 4x +10x 2
= 20x − 25 − 4x (1) −( 2 x − x + ) 2 4 20 25 = 4
− x + 20x − 25 (2) Từ (1) và (2) 5 − 2x 1 − ⇒ = 2
4x − 20x + 25 2x − 5
Bài toán 2. Chứng minh rằng: 3 a) x −1 2 = x + x +1 x −1
b) a + 3b ac + 3bc = 2 c c 2 2
c) 4x − 4xy + y y − 2x = 2 2 y − 4x 2x + y
Hướng dẫn: A C =
nếu AD = BC . B D Lời giải
a) Ta có: ( 3x − ) = x − ( 2
1 1 ( 1) x + x + ) 1 (hằng đẳng thức 3 3 a − b ) 3 2 3
x −1 x + x +1 x −1 2 ⇒ = ⇒ = x + x +1 x −1 1 x −1 Bài toán tương tự: 3 1. x +1 2 = x − x +1 x +1 4 2. x −1 3 2
= x + x + x +1 x −1 5 3. x −1 4 3 2
= x + x + x + x +1 x −1 5 Hoặc x −1 2 3 4
=1+ x + x + x + x x −1 5 4. x +1 4 3 2
= x − x + x − x +1; v.v... x +1 b) Ta có 2 2 2
(a + 3b)c = ac + 3bc 2 2
c(ac + 3bc) = ac + 3bc
a + 3b ac + 3bc ⇒ = 2 c c
Cách khác: Ta có 2
c(ac + 3bc) = c (a + 3 b)
a + 3b ac + 3bc ⇒ = 2 c c
Ta cũng có a + 3b c = 2 ac + 3bc c Vì nếu A C = ⇒ = ; A B AD BC = B D C D c) Ta có: ( 2 2
x − xy + y ) 2 4 4
(2x + y) = (2x − y) (2x + y) (1) Lại có ( 2 2
y − 4x )(y − 2x) = (y + 2x)(y − 2x)(y − 2x) 2 2
= (2x + y)(y − 2x) = (2x + y)(2x − y) (2) 2 2 Từ (1) và (2)
4x − 4xy + y y − 2x ⇒ = 2 2 y − 4x 2x + y
Cách khác: Thực hiện các phép nhân đa thức và so sánh hai kết quả: 2 2 2 2
Ta còn có: 4x − 4xy + y y − 4x = y − 2x 2x + y y − 2x 2x + y = ,… 2 2 2 2
4x − 4xy + y y − 4x
Bài toán 3. Chứng tỏ rằng: 3 a) 5x + 5x 5x = 4 2 x −1 x −1 2 2 3 3
b) x + xy + y x − y = 2 3x 3x − 3xy Lời giải
a) Ta có: ( 3x + x)( 2 x − ) = x( 2 x + )( 2 x − ) = x( 4 5 5 1 5 1 1 5 x − ) 1 3 5x + 5x 5x ⇒ = 4 2 x −1 x −1
Chú ý: Có thể thực hiện phép nhân đa thức. b) Ta có: ( 2 2
x + xy + y )( 2
x − xy) = x( 2 2 3 3
3 x + xy + y )(x − y) = ( 3 3 3x x − y ) 2 2 3 3
x + xy + y x − y ⇒ = 2 3x 3x − 3xy
II. Tìm đa thức, phân thức thoả mãn điều kiện cho trước Bài toán 4. 2 a) Tìm đa thức
4x − 3x − 7 4x − 7 P , biết: = P 2x + 3 b) Tìm đa thức + A , biết: a b 1 = . 3 3 a + b A Hướng dẫn: A C =
nếu AD = BC . B D Lời giải 2
a) Ta có: 4x − 3x − 7 4x − 7 = nếu ( 2
4x − 3x − 7)(2x +3) = (4x −7)P P 2x + 3 Hay ( 3 2
8x + 6x − 23x − )
21 = (4x − 7)P Vậy P = ( 3 2
8x + 6x − 23x − ) 21 : (4x − 7) Ta có: 3 2 8
− x + 6x − 23x − 21 4x − 7 3 2
2x −14x − 5x + 3 2
20x − 23x − 21 2 20x − 35x 12x − 21 12x − 21 0 Vậy 2
P = 2x − 5x + 3 . b) Ta có: a + b 1 = , nên 3 3
(a + b)A = a + b ; 3 3 a + b A vì 3 3
a + b = a + b ( 2 2
a − ab + b ) 2 2 ( )
⇒ A = a − ab + b
Chú ý: Với các phân thức có nhiều biến, ta thường phân tích thành nhân tử.
Chẳng hạn bài toán sau: 2 2 Tìm đa thức 4a −12ab + 9 P biết: b P = 2 − ac + 3bc c Xét ( 2 2
4a −12ab + 9b )c = ( 2
− ac + 3bc)P
⇒ (2a − 3b) hay P = 3b − 2a
Ta có thể tìm một phân thức thoả mãn điều kiện cho trước như bài toán sau.
Bài toán 5. Tìm P , biết: ( 2 x + ) 2 1 P = 2x + 3 Hương dẫn: Nếu A C AD = BC ⇒ = . B D Lời giải Ta có ( 2 x + ) 2
1 P = 2x + 3 hay ( 2 x + ) P = ( 2 1 2x + 3)1 2 2 P 2x + 3 2x + 3 ⇒ = hay P = 2 2 1 x +1 x +1
Bài toán 6. Tìm P biết: a) 3
x −1 = (x +1)P b) 4
x −1 = (x +1)P Lời giải 3 a) Ta có: 3 x −1
x −1 = (x +1)P ⇒ P = x +1 Bài toán tương tự: Tìm P , biết: 3
x −1 = (x −1)P 2
⇒ P = x + x + x − ( 2 x + x + ) 3 1 vì ( 1) 1 = x −1 4 b) Ta có: 4 x −1
x −1 = (x +1)P ⇒ P = . x +1 (Ta có bài toán nếu 4 3 2
x −1 = (x −1)P ⇒ P = x + x + x +1 )
III. Hai phân thức không bằng nhau 2
Bài toán 7. Chứng tỏ hai phân thức x + 4x + 4 và x + 2 không bằng nhau. 2 2x + 4x 2 Hướng dẫn: Nếu A C
AD ≠ BC ⇒ ≠ . B D Lời giải Ta có: ( 2 x + x + ) 2 4 4 2 = 2(x + 2) (1) ( 2x + x) 2 2
4 (x + 2) = 2x(x + 2) (2) 2 Từ (1) và x + 4x + 4 (2) ⇒
và x + 2 không bằng nhau. 2 2x + 4x 2 Ta có bài toán: 2 Tìm giá trị của + + + x , biết: x 4x 4 x 2 = 2 2x + 4x 2 Mẫu thức 2
2x + 4x ≠ 0 hay 2x(x + 2) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 2 − .
Từ giả thiết, ta có: ( 2
x + x + )⋅ = ( 2 4 4 2
2x + 4x)(x + 2) 2 2
⇒ (x + 2) ⋅2 = 2x(x + 2) 2 2
⇒ 2x(x + 2) − 2(x + 2) = 0 2
⇒ 2(x + 2) (x −1) = 0
x + 2 ≠ 0 ⇒ x −1 = 0 ⇒ x =1 nhận
Bài toán 8. Hai phân thức sau có bằng nhau không? 2 x − 2 x + 2 và 2 x −1 x +1
Hướng dẫn: Tích ( 2
x − 2)(x +1) và ( 2 x − ) 1 (x + 2) Lời giải Ta có ( 2 x − ) 3 2
2 (x +1) = x + x − 2x − 2 (1) ( 2x − ) 3 2
1 (x + 2) = x + 2x − x − 2 (2) 2 Từ (1) và (2) x − 2 x + 2 ⇒ ≠ 2 x −1 x +1 Ta có bài toán: 2 1. Tìm giá trị của − +
x , biết x 2 x 2 = (x ≠ 1) 2 x −1 x +1 Lời giải 2
Ta có: x − 2 x + 2 = 2 x −1 x +1 ⇒ ( 2
x − 2)(x +1) = ( 2 x − ) 1 (x + 2) 3 2 3 2
⇒ x + x − 2x − 2 = x + 2x − x − 2 2
⇒ x + x = 0 ⇒ x(x +1) = 0 ⇒ x = 0( vì x ≠ 1 − ⇒ x +1 = 0)
2. Hai phân thức sau có bằng nhau không: 2 x + 3 x +1 = 2
x + 6x + 9 x + 3
(Đáp số: Hai phân thức không bằng nhau) 2 3. Tìm + + x để x 3 x 1 = 2
x + 6x + 9 x + 3
(Đáp số: Không tồn tại giá trị nào của x ). C. BÀI TẬP 6.1.
Viết tử thức và mẫu thức của phân thức 5x − 2 . 3 6.2.
Trong các phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau? a) 20 − x và 4x
b) 3x −1 và 3x −1 c) x −1 và x +1 2 3y 2 5y 2 x + 2 x +1 3x + 6 3(x + 2) 6.3.
Vì sao các kết luận sau đúng? 2 a) 6 − 3y + + + − = b) x 3 x 3 = c) 3x(4x 1) 3x = 2 4 − y 2y 5 5x 2 16x −1 1− 4x 2 6.4.
Viết điều kiện xác định của phân thức x + x − 2 . Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại 3 x + 2
x = 0; x =1; x = 2. 6.5.
Cho A là một da thức khác 0 tùy ý. Hãy giải thích vì sao 0 = 0 và A =1. A A 6.6.
Một ô tô chạy với vận tốc trung bình là x( km / h) .
a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường 120 km .
b) Tính thời gian ô tô đi được 120 km trong trường hợp vận tốc trung bình của ô tô là 60 km / h . 6.7.
Các phân thức sau có bằng nhau không: 4 3 2
a) 2x + 3x + 2x + 3 x + x − 36x − x ( và 2 1 b) và 6 2 x − x + ) 1 (2x + 3) 2 3 2
x +12x + 36x 6 + x 6.8.
Tìm đa thức P , biết: 2 2 2 a) x + 5x + 6 P + + + + = b) a 1 (a 1) = c) P a 3a 9 = 2
x + 4x + 4 x + 2 a −1 P 2a − 6 2 6.9. Tìm P , biết: a) 3 3
a + b = (a − b)P b) ( 2 2
x + y ) = (x + y)P 3 6.10. Tìm giá trị − − x , biết: x 36x 6 x = (x ≠ 6) − 3 2
x +12x + 36x 6 + x 6.11. Tìm m , biết: 3 2 2 3 2
a) x − 2x + x + 48 x − 5x +16 − + − − =
b) x 3x 5x 6 x 2 = x + 3 m 2 x − x + 6 mHẾT HƯỚNG DẪN GIẢI 6.1.
Tử thức: 5x − 2 ; mẫu thức là3. 6.2.
Đáp số: c) Vì3(x + 2) = 3x 6 + 6.3. a) Ta có 2 2 ( 6) − .2y = 12 − y và 2 ( 4 − y).3y = 12 − y b) 2
5x(x + 3) = 5x +15x 2 2 2
5(x + 3) = 5x +15x
c) 3x(4x +1)(1− 4x) = 3
− x(4x +1)(4x −1) 2 = 3
− x(16x −1) và 2 2 (16x −1).( 3 − x) = 3 − x(16x −1) 6.4. Điều kiện xác định: 2 x + 2 ≠ 0 3 * Với + −
x = 0 , ta có 0 0 2 = 1 − 2 0 + 2 3 * Với x + − = 1, ta có 1 1 2 = 0 2 1 + 2 3 * Với x + − = 2 , ta có 2 2 2 4 2 2 = = 2 0 + 2 10 5 6.5. Ta có .0 A = 0 và A = .1 A 6.6.
a) Biểu thức biểu thị thời gian 120 (h) x b) Ta có 120 = 2(h) 60 4 3 6.7.
a) Ta có: 2x + 3x + 2x + 3 2x +1 = 2
(x − x +1)(2x + 3) 2 Vì 4 3 4 3
2(2x + 3x + 2x + 3) = 4x + 6x + 4x + 6 (1) Mặt khác 2 2 2
(x − x +1)(2x + 3)(2x +1) = (x − x +1)(4x +10x + 3) 4 3 2
= 4x + 6x − 3x +13x + 3 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ hai phân thức đã cho không bằng nhau.
Cách khác: Cho x =1ta có 1− 36 5 6 −1 5 = − ; = mà 5 5 − ≠ 1+12 + 36 7 6 +1 7 7 7
⇒ hai phân thức không thể bằng nhau.
Chú ý: Ta nên làm theo cách thứ hai vì không cần thực hiện phép nhân đa thức, nên những bai
2toán về loại này, ta kiểm tra trước bằng một vài giá trị của x xem hai phân thức có giá trị bằng nhau hay không. Ta xét bài toán sau:
Hai phân thức sau có bằng nhau không 2 1. x 1 + và x 3 + x + 3 2 x + 6x + 3 Cho 0 +1 1 0 + 3 x = 0 ⇒ = ;
= 1 mà 1 ≠ 1 nên hai phân thức không thể bằng nhau. 0 + 3 3 0 + 6.0 + 3 3 2
2. x − 2 và x + 2 2 x −1 x +1 Cho 4 − 2 2 2 + 2 4 x = 2 ⇒ = ; = và 2 4 ≠ 4 −1 3 2 +1 3 3 3
Vậy hai phân thức không bằng nhau
Nếu thay vào giá trị của x làm hai phân thức có giá trị bằng nhau thì ta phải chứng tỏ . = . A C A D B C ⇒ = B D 2 6.8.
a) Ta có: x + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) P = ⇒ = 2 2 2 x + 4x + 4 (x + 2) (x + 2) x + 2 ⇒ P = x + 3 b) 2 P = a −1 c) 2
2P = (2a − 6)(a + 3a + 9) 2
⇒ P = (a − 3)(a + 3a + 9) hay 3 P = a − 27 3 3 2 2 6.9. a) a + b P + = b) x y P = a − b x + y 3 6.10. x − 36x 6 − x = 3 2
x +12x + 36x 6 + x 3 3 2
⇒ (6 + x)(x − 3) = (6 − x)(x +12x + 36x) 4 3 2 4 3 2
⇒ x + 6x − 36x − 216x = −x − 6x + 36x + 216x 4 3 2
⇒ 2x +12x − 72x − 432x = 0 3 2
⇒ 2x(x + 6x − 36x − 216) = 0 2
⇒ 2x(x − 6)(x + 6) = 0
⇒ x = 0; x = 6 hoặc x = 6 − Vì x ≠ 6
− nên ta lấy x = 0 hoặc x = 6 . 6.11 a) m =1 b) m =1 HẾT
BÀI 22. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tính chất cơ bản của phân thức
• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân
thức bằng phân thức đã cho: A A⋅ M =
( M là một đa thức khác 0 ) B B ⋅ M
• Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho: A: N A =
( N là một nhân tử chung) B : N B 2. Vận dụng
Cách rút gọn một phân thức
• Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.
• Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Cách quy dồng mẫu thức nhiều phân thức
• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi phân thức đã cho thành những phân thức mới có
cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.
• Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia mẫu thức chung cho mẫu thức đó;
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP
I. Chứng minh hai phân thức bằng nhau
Bài toán 1. Chứng minh hai phân thức bằng nhau 2 2
a) x + 2x +1 x +1 − − + =
b) x 3 x 4x 3 = 2 x + x x 2 x x − x Hướng dẫn: A C ⋅ =
, nếu AD = BC , có thể xét: A A M A: N = = B D B B ⋅ M B : N Lời giải a) Ta có: ( 2 x + x + ) 2
2 1 x = (x +1) x ( 2x + x) 2
(x +1) = x(x +1)(x +1) = (x +1) ⋅ x 2 Từ (1) và (2)
x + 2x +1 x +1 ⇒ = 2 x + x x Cách khác: Ta có: 2 2 2
x + 2x +1 (x +1) (x +1) : (x +1) x +1 = = = (dpcm) 2 x + x
x(x +1) [x(x +1)]: (x +1) x
Chú ý: Theo cách thứ hai, ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử. 2 2
b) Ta có: x − 4x + 3 x − x − 3x + 3 x(x −1) − 3(x −1) = = 2 x − x x(x −1) x(x −1)
(x −1)(x − 3) x − 3 = = (đpcm) x(x −1) x
Bài toán 2. Hai phân thức sau có bằng nhau không: 3 2 2 a) x − x và x
b) x + 2x +1 và x +1 3 2
x − 2x + x x −1 2 2x − 2 2x − 2
Hướng dẫn: Xem lời giải bài toán 1. Lời giải 3 2 2 2
a) Ta có x − x x (x −1) − − =
x (x 1) : (x 1) x = = 3 2 2
x − 2x + x x(x −1)
x(x −1) : (x −1) x −1
Vậy hai phân thức bằng nhau. 2 2 2
b) Ta có x + 2x +1 (x +1) (x +1) : (x +1) x +1 x +1 = = = = 2 2x − 2
2(x −1)(x +1) [2(x −1)(x +1)]: (x +1) 2(x −1) 2x − 2
Vậy hai phân thức bằng nhau.
Bài toán 3. Chứng tỏ hai phân thức sau bằng nhau. 2 4 3
a) m +1 và m + 2m +1
b) 2a + 3a + 2a + 3 và a +1 m −1 2 m −1
( 2a −a+ )1(4a+6) 2 Lời giải 2 2
a) Ta có m +1 (m +1)(m +1) (m +1) m + 2m +1 = = = 2 2
m −1 (m −1)(m +1) m −1 m −1 2 2 Cách khác: m + 2m +1 (m +1) : (m +1) m +1 = = 2 m −1
(m +1)(m −1) : (m +1) m −1 4 3 3
b) 2a + 3a + 2a + 3
a (2a + 3) + (2a + 3) ( = 2 a − a + ) 1 (4a + 6) 2( 2 a − a + ) 1 (2a + 3) (2a + 3)( 3 a + ) 1 = 2( 2 a − a + ) 1 (2a + 3)
(2a + 3)(a + 3) 
( 2a −a+ )1:(2a+3)  
( 2a −a+ )1 a+1 = = 2  ( 2 a − a + ) 1 (2a + 3) :   ( 2 a − a + ) 1 (2a + 3) 2 
II. Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán 4. Tìm P , biết: 2 3 2
a) x + 2 3x + 6x − = b) P 2x 2xy = x −1 P 2
x − y 2(y − x)
Hướng dẫn: A⋅ M A A: = ; N A = . B ⋅ M B B : N B Lời giải x + 2 x( 2 2 3 x + 2) a) Ta có: = x −1 3x(x −1) 2 3
Theo giả thiết, ta có x + 2 3x + 6x = x −1 P 2
⇒ P = 3x(x −1) hay P = 3x − 3x 2 2 b) Viết lại P 2x − 2xy − − − =
(1), lại có 2x 2xy 2x(x y) : 2(x y) x = = (2) 2
x − y 2(y − x) 2 2 2(x − y)
2(x − y) : 2(x − y) x − y
Từ (1) và (2) ⇒ P = x . 2
Bài toán 5. Tìm đa thức − −
P , biết: (2 x)P 2xy x y = 2
(2 + y)P 2xy + xy Lời giải Ta c6: 2
2xy − x y = xy(2 − x) 2
2xy + xy = xy(2 + y) 2
Vậy 2xy − x y xy(2 − x) (2 − x)P = = 2 2xy + xy
xy(2 + y) (2 + y)P ⇒ P = xy
Bài toán 6. Điền vào chỗ trống: 2 2 2 a) x − x x − + − … = b) x 2xy y = 2 5x − 5  2 2 x + y y − x
Hướng dẫn: Xem bài toán 4 và 5, áp dụng tính chất A A⋅ M A A: = ; N =
B B ⋅ M B B : N Lời giải 2 a) x − x x(1− x) x(x −1) = = 2
5x − 5 5( 2x − )1 5
− (x −1)(x +1)
x(x −1) : (x −1) x = = [ 5
− (x −1)(x +1)]: (x −1) 5 − (x +1)
Vậy ta phải đặt vào chỗ trống đa thức 5 − (x +1) . 2 2 2 3
b) −x + 2xy − y
−(x − y) (y − x) (x − y) = = 2 2 x + y
(x + y)(y − x) y − x
Vậy ta phải đặt vào chỗ trống đa thức 3 3 2 2 3
(x − y) = x − 3x y + 3xy − y .
III. Rút gọn phân thức
Bài toán 7. Rút gọn phân thức: 2 2 2 a) 1− a b) 4y − 4y +1
c) 1− 4y + 4y d) 5 − 2x 2 (a −1) 2 − 4y 2 4y −1 2 4x − 20x + 25
Hướng dẫn: Xem tóm tắt ở trên. Lời giải 2 a) Ta có: 1− a
(1− a)(1+ a) 1+ a = = 2 2 (a −1) (1− a) 1− a 2 2 2
b) Ta có: 4y − 4y +1 (2y −1) (1− 2y) 1− 2y = = = 2 − 4y
2(1− 2y) 2(1− 2y) 2 2 2 2
c) Ta c6: 1− 4y + 4y (1− 2y) (2y −1) 2y −1 = = = 2 2 4y −1
(2y) −1 (2y +1)(2y −1) 2y +1 d) Ta có: 5 − 2x 5 − 2x 5 − 2x 1 = = = . 2 2 2
4x − 20x + 25 (2x − 5) (5 − 2x) 5 − 2x
Bài toán 8. Rút gọn phân thức: 2 3 5 2 a) 36a − a b) 25x − 49x c) 2x −128x 3 2
a +12a + 36a 3 2
49x − 70a + 25x ( 2 2 2x + 8x + 3 )( 4 3 x − 4x ) Lời giải 2 a) Ta có: 36a − a
a(6 − a)(6 + a) 6 − a = = 3 2 2
a +12a + 36a a(a + 6) a + 6 3 b) Ta có: 25x − 49x
x(5 + 7x)(5 − 7x) 5 + 7x = = 3 2 2
49x − 70a + 25x x(5 − 7x) 5 − 7x 2 2x −128x 2x ( 3 5 2 x − 64) 2 2x ( 3 x − 64) c) Ta có: 1 ( = = = 2 2 2x + 8x + 3 )( 4 3 x − 4x ) 3 2x ( 2
x + 4x +16)(x − 4) 3 2x ( 3 x − 64) x
Bài toán 9. Rút gọn phân thức ( , m n∈) 2n n m n+m a) a
b) a (n > 2) c) a b (m > n) n a n 2 a − n−m m a b Lời giải 2n n n a) Ta có: a a ⋅a n = = a n n a a n n−2 2 b) Ta có: a a ⋅a 2 = = a n−2 n−2 a a m n+m m m n m 2m n 2m n c) Ta có: a b
a ⋅a b ⋅b a b a b = = = . n−m m n−m m m n−m+m n a b a ⋅ a ⋅b a a
IV. Tìm phân thức thoả mãn điều kiện cho trước
Bài toán 10. Tìm P , biết: a) 2 2 a P + 3 Pa + 9 = a b) 2
abP − bP = ab − b c c) 2 2
a P + 2aP + a = 4 Lời giải a) Ta có: 2 2 a P + 3 Pa + 9 = a ⇒ ( 2 a + a) 2 3 P = a − 9 2 a − 9
(a + 3)(a − 3) a − 3 ⇒ P = = = 2 a + 3a a(a + 3) a b) Ta có: 2
abP − bP = ab − b c 2
⇒ (ab − b)P = ab − b c 2
ab − b c b(a − bc) a − bc ⇒ P = = = ab − b b(a −1) a −1 c) Ta có: 2 2
a P + 2aP + a = 4 ⇒ ( 2 a + a) 2 2 P = 4 − a 2 4 − a
(2 + a)(2 − a) 2 − a ⇒ P = = = 2 a + 2a a(a + 2) a
V. Chứng minh một đẳng thức
Bài toán 11. Chứng minh rằng: 2 2 a) x − 3x + 2 x − 2 + = b) 2x 6x 2 = 3 2 x −1 x + x +1 3 2
x + 7x +12x x + 4 2 2
c) 2x + xy − y x + y = 2 2
2x − 3xy + y x − y Lời giải 2 2
a) Ta có: x − 3x + 2 x − x − 2x + 2 = 3 3 x −1 x −1
x(x −1) − 2(x −1) = (x −1)( 2 x + x + ) 1
(x −1)(x − 2) x − 2 = = (x −1)( 2 x + x + ) 2 1 x + x +1 2
b) Ta có: 2x + 6x 2x(x + 3) 2 = = 3 2
x + 7x +12x x(x + 3)(x + 4) x + 4 2 2
c) Ta có 2x + xy − y
x(x + y) + (x + y)(x − y) = 2 2
2x − 3xy + y
2x(x − y) − y(x − y)
(x + y)(2x − y) x + y = = = VP
(x − y)(2x − y) x − y
Cách khác: Ta chia tử và mẫu của phân thức ở vế trái cho 2 y ≠ 0 2
( y = 0 đẳng thức luôn đúng: 2x x = = 1) 2 2x x 2
2 x  3 x  + −     1 2 2
2x + xy − yy   y  = 2 2 2
2x − 3xy + y
2 x  3 x  − +     1  y   y  2 2 Đặt x
2t + 3t −1 2t + 2t − t −1 t = ⇒ = 2 2 y
2t − 3t +1 2t − 2t − t +1
2t(t +1) − (t +1) (t +1)(2t −1) = =
2t(t −1) − (t −1) (t −1)(2t −1) x +1 t +1 y x + y = = =
t −1 x −1 x − y y
(Có thể phân tích vế trái (VT) theo cách này mà không cần chia tử và mẫu cho 2 y ). Bài toán 12. Cho 2 2 2 −
x + 2y = 5xy . Chứng minh rằng x y 1
= (x > y > 0) x + y 3
Hướng dẫn: Xem cách giải thứ hai của bài toán 5. Lời giải 2     Ta có: 2 2 2 + 2 = 5 ⇒ 2 x + 2 =   5 x x y xy yy      Đặt x t = ta được: 2 2
2t + 2 = 5t ⇒ 2t + 2 − 5t = 0 y ⇒ ( 2
2t − 4t) − (t − 2) = 0 ⇒ (t − 2)(2t −1) = 0 ⇒ t = 2 hoặc 1 t = 2 x ⇒ = 2 hoặc x 1 = y y 2 (vì > > 0 x x y
⇒ >1 nên ta lấy x = 2 ) y y x −1
Mặt khác: x − y (x − y) : y y = =
x + y (x + y) : y x +1 y Thay x − −
= 2 vào biểu thức trên, ta có: x y 2 1 1 = = (đpcm) y x + y 2 +1 3 Cách khác: 2 2 2 2
2x + 2y = 5xy ⇒ 2x − 4xy − xy + 2y = 0
⇒ 2x(x − 2y) − y(x − 2y) = 0
⇒ (x − 2y)(2x − y) = 0
⇒ x = 2y hoặc 2x = y Vì > > 0 x x y
⇒ >1, ta lấy x = 2y y Thay − −
x = 2y vào phân thức x y ta được x y 1 = x + y x + y 3 Ta có bài toán sau: 1. Cho 2 2 + x x y
+ y = 6xy, x > y > 0 . Chứng minh rằng: = 2 x − y 2. Cho 2 −
x − y =1. Tính 3x y x + y +12 Đáp số: 1 3
VI. Tìm mẫu thức chung (MTC)
Bài toán 13. Tìm mẫu thức chung của các phân thức a) 5 4 1 ; ; 2 2
4x − 4 x −1 3x + 3x b) a ; b ; c . 2 2 2 2 2 2
x − y 2x − 4xy + 2y 3x + 6xy + 3y
Hướng dẫn: Xem phần A . Lời giải
a) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:
4x − 4 = 4(x −1) 2
x −1 = (x −1)(x +1) 2
3x + 3x = 3x(x +1)
Vậy MTC: 12x(x −1)(x +1) hay x( 2 12 x − ) 1 b) Ta có: 2 2
x − y = (x + y)(x − y) 2 2 2
2x − 4xy + 2y = 2(x − y) 2 2 2
3x + 6xy + 3y = 3(x + y) MTC: 2 2
6(x − y) (x + y)
Bài toán 14. Tìm mẫu thức chung của các phân thức: a) x ; z ; y 2 2 2 2
y − yz y + yz y − z b) 1 1 1 ; ; 2 2 2
x − 2x +1 x − 3x + 2 x − x − 2 Lời giải a) Ta có: 2
y − yz = y(y − z) 2
y + yz = y(y + z) 2 2
y − z = (y + z)(y − z)
MTC: y(y + z)(y − z) hay ( 2 2 y y − z ) b) Ta có: 2 2
x − 2x +1 = (x −1) 2 x − 3x + 2 2
= x − 2x − x + 2 = x(x −1) − 2(x −1) = (x − 2)(x −1) 2 x − x − 2 2
= x − 2x + x − 2 = (x − 2)(x +1)
MTC: (x − 2)(x − ) 1 (x + ) 1
VII. Quy đồng mẫu thức các phân thức
Bài toán 15. Quy đồng mẫu thức các phân thức a) 1 7 ; b) 1 3 ; − c) 2 4 ; x 5 3 4 x y 12x y 2
x − 5x 10 − 2x 2 9x −1 1− 3x
Hướng dẫn: Tìm MTC và dùng tính chất cơ bản của phân thức A A⋅ M = . B B ⋅ M Lời giải a) MTC: 5 4 12x y 3 2 Ta có: 1 12y 7 7 = ; x = 5 5 4 3 4 5 4
x y 12x y 12x y 12x y b) 3 − 3 =
10 − 2x 2x −10 Ta có 2
x − 5x = x(x − 5)
2x −10 = 2(x − 5)
MTC: 2x(x − 5) Vậy 1 2 = 2
x − 5x 2x(x − 5) 3 3x =
10 − 2x 2x(x − 5) c) 4x 4 − x = 1− 3x 3x −1 MTC: 2
9x −1 = (3x −1)(3x +1) 2 Vậy 4 − x 4 − x(3x +1) 1 − 2x − 4x = = . 2 2 3x −1 9x −1 9x −1
Bài toán 16. Quy đồng mẫu thức các phân thức: 2 a) 3 2 ; ; x b) x ; x 3 2
x −1 x + x +1 x −1 3 2 2 3 2
x − 3x y + 3xy − y y − xy Lời giải a) MTC: 3
x − = x − ( 2 1 ( 1) x + x + ) 1 (hằng đẳng thức 3 3 a − b ) 2 2(x − ) 1 Vậy 2x − 2 = = 2
x + x +1 (x − ) 1 ( 2 x + x + ) 3 1 x −1 x x( 2 x + x + ) 3 2 1 x + x + x = = x −1 (x − ) 1 ( 2 x + x + ) 3 1 x −1 b) 3 2 2 3 3
x − 3x y + 3xy − y = (x − y) x −x −x = = 2 2
y − xy xy − y
y(x − y) Vậy MTC: 3
y(x − y) 2 Ta có: −x
−x(x − y) = 3
y(x − y)
y(x − y) 2 2 x x y = 3 3 (x − y)
y(x − y)
Bài toán 17. Quy đồng mẫu thức các phân thức a) 1 ; x b) 1 1 1 ; ; 2 2
x + 3x −10 x + 7x +10 2 2 2
x − 3x + 2 x − 2x +1 x − x − 2 Lời giải a) Ta có: 2 2
x + 3x −10 = x + 5x − 2x −10 = x(x + 5) − 2(x + 5) = (x + 5)(x − 2) 2 2
x + 7x +10 = x + 5x + 2x +10 = x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 5)(x + 2) . MTC: (x + )( 2 5 x − 4) . Vậy 1 x + 2 x + 2 = = 2
x + 3x −10 (x + 5)(x − 2)(x + 2) (x + 5)( 2x − 4) 1 x(x − 2) 2 x − 2x = = 2
x + 7x +10 (x + 5)(x + 2)(x − 2) (x + 5)( 2 x − 4) b) Ta có 2
x − 3x + 2 = (x − ) 1 (x − 2) 2
x − 2x +1 = (x − )2 1 2
x − x − 2 = (x − 2)(x + ) 1 MTC: ( 2 x − )
1 (x − 2)(x + ) 1 . 1 (x − ) 1 (x + ) 2 1 Vậy x −1 = = 2
x − 3x + 2 (x − )2
1 (x − 2)(x + ) 1 (x − )2
1 (x − 2)(x + ) 1 1 (x − 2)(x + ) 2 1 x − x −1 = = 2
x − 2x +1 (x − )2
1 (x − 2)(x + ) 1 (x − )2
1 (x − 2)(x + ) 1 1 (x − )2 1 = 2
x − x − 2 (x − )2
1 (x − 2)(x + ) 1 C. BÀI TẬP 6.12.
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận đúng
(x − 2)2 (x − 2)2 a) − x x − = b) 1 1 = 2 x − 2x x 5 − x +1 5x −1 6.13.
Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu”?” y − x ? = x − 4 x − 4 6.14.
Rút gọn các phân thức sau: 2 + 45x(3− x) ( 2x − )1 a) 5x 10 b) c) 2 25x + 50 (x − ) 1 ( 3 x + ) 15x(x −3)2 1 6.15. + Cho phân thức x 1 P = 2 x −1
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của P và Q tại. So sánh hai kết quả đó. ax(x − ) 1 6.16.
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau: 5x và x +1 (1− x)(x + )1 6.17.
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: a) 1 và 3 b) x và 1 3 x −8 4 − 2x 2 x −1 2 x + 2x +1 6.18.
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 2 2 a) 1 x +1 ; và 5 b) 1 2 ; x
và x − xy + y 2
x + 2 x − 4x + 4 2 − x 2 2
3x + 3y x − y 2 2
x − 2xy + y 2 2 6.19.
Cho hai phân thức 9x + 3x +1và x − 4x 3 27x −1 2 16 − x
a) Rút gọn phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a. 6.20. Tìm A biết: A 1 = 3 2 2
x + x − 2x x −1 6.21.
Đưa về cùng mẫu thức: + + a) 3x 2 và 1 b) x 1 và 3x 2 x − 2x +1 2 x −1 x −1 2 1− x c) 1 1 1 ; ; d) 1 1 1 ; ; 2
2x − 3 3+ 2x 9 − 4x 2 2 2
5x − 5 3x − 6x + 3 2x + 4x + 2 6.22.
Chứng minh hai phân thức bằng nhau 2 + 2 2 3 y (x + y)
a) x + 5x + 6 và x 3
b) x y + 2xy + y và 2 x + 4x + 4 x + 2 2 2
2x + xy − y 2x − y 6.23. Điền vào chỗ trống: a) 2x 8xy = b) 2 ... = y ...
a − b b − a − − 2 2 c) m 3 3 m = d) 4x − 9y 2x + 3y = m − 2 ... 2x − 3y ... 6.24. Rút gọn phân thức: 2 3 2 2 2 a) x − 2xy − − + − A a 2 a 6a 9 1 = b) a b B = c) C = d) a D = 2 2y − xy 3 2 4 2a b − a b 3− a 2 a − 2a +1 6.25. Rút gọn phân thức: + 2 − a) a b A + + = b) 4a 2a 1 B 2 = c) ab b C = 3 3 a + b 3 8a −1 3 8a −1 6.26. Rút gọn phân thức: 2 2 2 3 2 2 a)
a + b − c + 2ab A + + = b) x x y xy B = 2 2 2
a − b + c + 2ac 3 3 x − y 3 2 c)
2x +11x +12x − 9 C = 3 2
2x + 5x − 3x 6.27. Rút gọn phân thức: 2 2 2 a) x − 5x + 4 A + + + + = b) x 3x 2 B = c) x 4x 3 C = 3 x −1 3 x +1 3 x + 27 6.28. Cho −
x − y = 5 . Chứng minh rằng x 3y =1 5 − 2y 6.29.
Tìm mẫu thức chung của các phân thức: a) 1 1 1 ; ; b) 1 1 1 ; ; 2 2 3 3
x − y x − y x − y 3 3
x + y x + y x( 2 2
x − xy + y ) c) 1 1 1 ; ; 2 2
a − 4 a −8 a + 2 6.30.
Quy đồng mẫu thức các phân thức: a) 3a 4a 5 ; ; b b) 1 x +1 x + 2 ; ; 2
2a − 3 2a + 3 4a c − 9c 3 2
x + 2 x + 8 x − 2x + 4 c) 4b 2a 1 ; ; 2 2
b − 2bc + c c − b 4ac + 4ab 6.31.
Quy đồng mẫu thức các phân thức: a) 1 và 5 b) 9 và 1 2 4xy 2 6x y 2 4x − 36 2 x + 6x + 9 2 6.32. Cho phân thức x − 4x P = (x + 2)2
a) Viết điều kiện xác định của phân thức và tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn điều kiện này.
b) Rút gọn phân thức P
c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 98.