Phương Pháp Giải Hình 9 Liên Hệ Giữa Cung Và Dây

Bài 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Lý thuyết bổ trợ
▪ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
▪ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
▪ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của
cung bị căng bởi dây ấy.
▪ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây
căng cung ấy và ngược lại.
Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
▪ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
▪ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
▪ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
▪ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh hai cung
▪ Sử dụng định nghĩa góc ở tâm, kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) . Cho biết BAC 50 = . So sánh
các cung nhỏ AB , AC và BC . Lời giải Vì ABC cân tại A và BAC 50 = nên
180 − BAC 180 − 50 CAB = ABC = = = 65 . 2 2
Ta thấy CAB = ABC  BAC nên sdBC = sdAC  sdAB .
Vậy BC = AC  AB .
Ví dụ 2. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau. Lời giải.
Đặt BD và AC là hai cung bị chắn bởi hai dây song song AB,CD .
Vì OAB cân tại O và OH là đường cao của OAB nên HOB = HOA (1)
Vì OCD cân tại O và OK là đường cao của OCD nên Trang 1 KOD = KOC (2)
Ta thấy BOD = HOB − KOD = HOA − KOC = AOC (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ BD = sđ AC .
Vậy BD = AC (đpcm). Ví dụ 3.
a) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
b) Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại Lời giải
a) Ta có CB = CA  CB = CA
 CBA = CAB (do CBA cân tại C ). Mà OBC 
= OAC (c-c-c)  OCB = OCA. Do đó M
 BC = MAC (g-c-g)  MB = MA (đpcm).
b) Chiều thuận: Vì CBA cân tại C và CM là trung tuyến
(cmt) nên CM ⊥ AB .
Chiều ngược: Vì CM ⊥ AB và OAB cân tại O nên
BOM = AOM  BOC = AOC  sñBC = sñAC  B C = AC .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC . Vẽ đường
tròn (O) ngoại tiếp tam giác BCD . Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH , OK với BC và
BD(H  BC, K  BD) .
a) Chứng minh OH  OK ;
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC . Lời giải
a) Xét ABC , có BC  AB + AC (bđt tam giác) (1)
Mà BD = AB + AD (2)
Từ (1), (2) suy ra BC  BD
Vậy OH  OK
b) Vì BC  BD (cmt) nên BC  BD (liên hệ giữa cung và dây căng cung).
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Trang 2
Bài 1. Trên dây cung AB của một đường tròn (O) , lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn
bằng nhau AC = CD = DB . Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E, F . Chứng minh a) AE = FB ; b) AE  EF . Lời giải
a) Vì OAB cân tại O nên OAB = OBA .
Xét OAC và OBD , ta có
▪ OA = OB (giả thiết);
▪ OAC = ABD (chứng minh trên);
▪ AC = BD (giả thiết).
 OAC = OBD (cạnh – góc – cạnh).
 AOC = BOD (hai góc tương ứng) hay AOE = FOB .
Vậy AE = FB (đpcm). b) Vì OAC 
= OBD nên OC = OD . Do đó OCD cân tại O . OCD 90   hay ECD 90 
(do OCD và ECD kề bù). Xét CDE , ta có
ECD  CED  ED  CD  ED  AC .
Xét AOC và EOD , ta có ▪ OA = OE ; ▪ OC = OD ; ▪ AC  ED ;
 AOC  EOD  AE  EF .
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O) . Cho biết BAC 75 = . So sánh các
cung nhỏ AB , AC và BC . Lời giải Vì ABC cân tại A và BAC 75 = nên
180 − BAC 180 − 75 CAB = ABC = = = 52,5 . 2 2
Ta thấy CAB = ABC  BAC nên sñBC = sñAC  sñAB .
Vậy BC = AC  AB . Trang 3
Bài 3. Cho hai đường tron bằng nhau (O) và (O )
 cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các đường kính AOC , AO D
 . Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O ) .
a) So sánh các cung nhỏ BC và BD.
b) Chứng minh B là điểm chính giữa của cung EBD ( BE = BD ). Lời giải
a) Xét ABC và ABD , ta có
▪ ABC = ABD = 90 ; ▪ AB : cạnh chung;
▪ AC = AD (giả thiết).
 ABC = ABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
 BC = BD (hai cạnh tương ứng);  BC = BD .
b) Vì AED có AED 90 =
nên AED vuông tại E . 1
Mà BC = BD = BE = CD 2  BE = BD
 B là điểm chính giữa của cung EBD .
Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB . Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ BN 90 
. Vẽ dây MD song song với AB . Dây DN cắt AB tại E . Chứng minh a) BM = AD ; b) DN ⊥ AB ; c) DE = EN . Lời giải
a) Ta có MD AB  MB = AD .
b) AM BN  BM = AN .
 AD = AN  AD = AN .
 AO là trung trực DN  AO ⊥ DN .
Vì DN ⊥ AB = E và AE là trung trực DN
 DE = EN (đpcm). Trang 4
Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D . Kẻ CH
vuông góc với AB tại H , CH cắt (O) tại điểm thứ hai E . Kẻ AK vuông góc với CD tại K , AK
cắt (O) tại điểm thứ hai F . Chứng minh
a) Hai cung nhỏ CF, DB bằng nhau.
b) Hai cung nhỏ BF, DE bằng nhau. c) DE = BF Lời giải.
a) BF CD  BC = DF
 BC + CD = DF + CD  BD = CF
b) A B là đường trung trực của CE
 BC = BE  BC = BE  DF = BE .
 BE + EF = DF + EF  BF = DE
BF = DE  BF = DE .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
bài 6. Cho tam giác MNP cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O) . Cho biết NMP 30 = . So sánh
các cung nhỏ MN , MP và NP . Lời giải Vì MNP cân tại M và NMP 30 = nên
180 − NMP 180 − 30 NPM = MNP = = = 75 . 2 2
Ta thấy NPM = MNP  NMP nên sdMN = sdMP  sdNP .
Vậy MN = MP  NP .
Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB , kẻ hai dây CD và EF cùng song song với AB . Chứng minh
a) Hai cặp cung nhỏ AC , BD và AE , BF bằng nhau;
b) Hai cung nhỏ CE và DF bằng nhau. Lời giải
a) Vì OAB cân tại O và OH là đường cao của OAB nên HOB = HOA (1) Trang 5
Vì OCD cân tại O và OK là đường cao của OCD nên KOD = KOC (2)
Ta thấy BOD = HOB − KOD = HOA − KOC = AOC (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra sđ BD = sđ AC hay BD = AC .
Mặc khác BOF = KOB − KOF = KOA − KOE = AOE (4)
Từ (1), (2) và (4), suy ra sđ BF = sđ AE hay BF = AE .
b) Ta có sđ AE = sđ AC + sđ CE .  s CE ñ
= sñAE − sñAC = sñBF − sñBD = sñDF . Vậy CE = DF .
Bài 8. Cho đường tròn (O) , kẻ dây AB bất kì. M là điểm chính giữa cung AB , OM cắt dây AB tại I . Chứng minh
a) I là trung điểm của dây AB ;
b) OM vuông góc AB . Lời giải
a) Ta có BM = AM  BOM = AOM hay BOI = AOI .
Do đó OBI = OAI (c-g-c)  IB = IA .
Vậy I là trung điểm của dây AB (đpcm).
b) Vì OAB cân tại O và OI là trung tuyến của OAB (cmt)
nên OI ⊥ AB .
Vậy OM ⊥ AB (đpcm). --- HẾT --- Trang 6