Phương pháp giải hình 9 tỉ số lượng giác của góc nhọn (có đáp án và lời giải chi tiết)

Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa
 Với  là góc nhọn trong tam giác vuông ta có  canh doi canh doi sin   ;  tan  ; canh huyen canh ke  canh ke canh ke cos  ;  cot  . canh huyen canh doi Cách ghi nhớ
“Tìm sin lấy đối chia huyền,
Cô-sin hai cạnh kề huyền chia nhau,
Còn tang thì phải tính sao?
Đối trên kề dưới chia nhau ra liền,
Cô-tang cũng dễ ăn tiền,
Kề trên đối dưới chia liền bạn ơi!”
2. Một số hệ thức và tính chất cơ bản
 Với hai góc nhọn  ,  và     90 thì
sin   cos  ; cos  sin  ; tan   tan  ; cot   cot  .
Với góc nhọn  0    90 , ta có
 0  sin  1;0  cos  1.
 Nếu  tăng thì sin và tan tăng; còn cos và cot giảm.    sin cos tan  ;  cot  ; cos sin   tan cot 1;  2 2 sin   cos   1 .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh
 Bước 1: Tính độ dài cạnh thứ ba theo định lý Py-ta-go (nếu cần).
 Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn theo yêu cầu đề bài.
Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A , AB  1, 5 ; BC  3, 5 . Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi
suy ra các tỉ số lượng giác của góc B . Lời giải Ta có 2 2 2 2 2
AC  BC  AB  3,5 1,5 10  AC  10 . Do đó AB 1, 5
cos B  sin C    0, 4286 BC 3, 5 Trang 1 AC 10
sin B  cos C    0,9035 BC 3, 5 AB 1, 5
cot B  tan C    0, 4743 AC 10 AC 10
tan B  cot C    2,1082 AB 1, 5
Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình bên. Lời giải Ta có 2 2 2 2 2
BC  AB  AC  5 12  169  BC  13 . Do đó AC 12 AB 5 sin B   ; cos B   ; BC 13 BC 13 AC 12 AB 5 tan B   ; cot B   . AB 5 AC 12
Ví dụ 3. ABC vuông tại A có BC  2AB . Tính các tỉ số lượng giác của góc C . Lời giải
Ta đặt AB  m thì BC  2m, suy ra 2 2 2 2 2 2
AC  BC  AB  4m  m  3m  AC  m 3 . AB m 1 AC m 3 3 Ta có sin C    ;cosC    ; BC 2m 2 BC 2m 2 AB m 1 AC m 3 tan C    ; cot C    3 . AC m 3 3 AB m
Ví dụ 4. Tam giác ABC cân tại A , có BC  6 , đường cao AH  4 . Tính các tỉ số lượng giác của góc B . Lời giải
Ta có BH  6 : 2  3 ; 2 2
AB  4  3  5 . Do đó AH 4 sin B    0,8; AB 5 BH 3 cos B    0,6; AB 5 AH 4 tan B   ; AB 3 BH 3 cot B    0,75. AH 4 Trang 2
Ví dụ 5. Tính tan C trong hình bên. Lời giải Ta có 2 2 2 2 2
AH  AB  BH  6  3  27  AH  3 3 . Do đó BH 3 1
tan C  cot B    . AH 3 3 3
Ví dụ 6. Tính sin M  cos N trong hình bên. Lời giải Ta có 2
OH  HM  HN  13  3  OH  3 ; OM  1 3  2 . Do đó OH 3 sin M   . OM 2 3
Mặt khác cos N  sin M 
nên sin M  cos N  3 . 2 m
Dạng 2: Dựng góc nhọn  khi biết tỉ số lượng giác của góc nhọn đó bằng . n
 Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc  .
Ví dụ 7. Dựng góc  , biết sin  0, 25 . Lời giải 1 Ta có 0, 25  . 4
Dựng góc vuông xOy ;
Trên cạnh Ox đặt OA 1; Dựng đường tròn ( ;
A 4) cắt cạnh Oy tại B .   Khi đó OA 1
ABO   vì sin      .  AB 4 
Ví dụ 8. Dựng góc  , biết cos  0, 75 . Lời giải 3 Ta có 0, 75  . 4
Dựng góc vuông xOy ;
Trên cạnh Oy đặt OB  3; Trang 3 Dựng đường tròn ( ;
B 4) cắt cạnh Ox tại A .   Khi đó OB 3
ABO   vì cos     .  AB 4 
Ví dụ 9. Dựng góc  , biết tan   1, 5 . Lời giải 3 Ta có 1, 5  . 2
Dựng góc vuông xOy ;
Trên cạnh Ox đặt OA  3;
Trên cạnh Oy đặt OB  2 .   Khi đó OA 3
ABO   vì tan      .  OB 2 
Ví dụ 10. Dựng góc  , biết cot  2 . Lời giải
Dựng góc vuông xOy ;
Trên cạnh Ox đặt OA 1;
Trên cạnh Oy đặt OB  2 .   Khi đó OB
ABO   vì cot    2   .  OA 
Dạng 3: Chứng minh hệ thức lượng giác
 Sử dụng định nghĩa và một số hệ thức lượng giác cơ bản để chứng minh.
Ví dụ 11. Cho góc nhọn  . Chứng minh rằng a) sin  tan ; b) cos  cot . Lời giải
a) Xét ABC vuông tại A , ˆ
C   (hình bên). AB AB Ta có sin   ; tan   . BC AC AB AB
Vì BC  AC nên  , suy ra sin  tan . BC AC AC AC b) Ta có cos  ; cot   . BC AB Trang 4 AC AC
Vì BC  AB nên  , suy ra cos  cot . BC AB
Ví dụ 12. Chứng minh các hệ thức 1 1 a) 2 1 tan   ; b) 2 1 cot   . 2 cos  2 sin  Lời giải 2 2 2  sin  cos   sin  1 a) 2 1 tan   1     . 2 2  cos  cos  cos  2 2 2  cos  sin   cos  1 b) 2 1 cot   1     . 2 2  sin  sin  sin 
Ví dụ 13. Chứng minh rằng 1 cos sin  tan  1 1 cot  a)  ; b)  . sin  1 cos tan  1 1 cot  Lời giải 1 cos sin  a) Ta có 2 
 (1 cos)(1 cos)  sin  sin  1 cos 2 2 2 2
 1 cos   sin   sin   sin  .
Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho là đúng. tan  1 1 cot 
b) Xét vế trái T  ; vế phải P  . tan  1 1 cot   1   1
 1 cot 1 cot 1 cot T  1 : 1  :       cot   cot  cot  cot  1 cot 
Rõ ràng T  P .
Ví dụ 14. Chứng minh rằng 2 2 2 2
tan   sin   tan   sin  . Lời giải Ta biến đổi vế trái 2  sin   2 2 1 cos sin   2 2 sin  sin  2 2 2 2 2
T  tan   sin    sin     tan  sin  2 2 2 cos  cos  cos 
Ta thấy vế trái bằng vế phải. 2 2 1 4 sin   cos  2
Ví dụ 15. Chứng minh rằng  sin  cos . 2   sin cos  Lời giải Trang 5 Xét vế trái
(1 2sin   cos )(1 2sin   cos ) T  2 (sin  cos )  2 2
sin   cos   2sin  cos  2 2
sin   cos   2sin   cos   2 (sin  cos ) 2 2
(sin   cos ) (sin  cos )  2 (sin  cos ) 2  (sin  cos)
Ta thấy vế trái đúng bằng vế phải.
Dạng 4: Biết một giá trị lượng giác của góc nhọn, tính các tỉ số lượng giác khác của góc đó
 Vận dụng các hệ thức cơ bản đã học.
Ví dụ 16. Cho biết sin   0, 6 ; tính cos , tan  , cot . Lời giải Ta có 2 2
cos  1 sin   1 (0, 6)  0,8 sin 0, 6 cos 0,8 4 tan    0,75;cot    . cos 0,8 sin 0, 6 3 2
Ví dụ 17. Cho biết cos 
; tính sin , tan  , cot . 3 Lời giải 2 2 5 Ta có 2 sin 1 cos       1     3  3 sin  5 2 5 cos 2 5 2 tan    :  ; cot    :  . cos 3 3 2 sin  3 3 5 1
Ví dụ 18. Cho biết tan  
, tính cot , sin , cos . 3 Lời giải 2 1 1 1  1  2 Ta có cot   1:  3 ; 2  1 tan   1    . tan 3 cos  3  3 2   Do đó 3 3 1 cos  ; 2
sin   1 cos   1    . 2   2 2  
Ví dụ 19. Cho biết cot x  2, tính tan x , sin x , cos x . Lời giải Trang 6 1 1 1 Ta có tan x   ; 2 2
 1 cot x  1 2  5 . cot x 2 sin x 2   Do đó 1 1 2 sin x  ; 2
cos x  1 sin x  1    . 5  5  5
Dạng 5: Tính giá trị lượng giác với các góc đặc biệt (không dùng máy tính hoặc bảng số)
 Căn cứ vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 30;45;60 .
 Căn cứ vào tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
 Căn cứ vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ 20. Tính giá trị của biểu thức a) 2   3 M 4 cos 45 3 cot 30 16 cos 60    ; 2sin 30  sin 60 b) N  . 2 cos 30  cos 60 Lời giải 2 3      2  1  a) 2 3
M  4 cos 45  3 cot 30 16 cos 60  4     3  3 16  2  3  2  3     . 2    2  1 3 3   2   1 2 sin 30  sin 60 b) 2 2 2 N      4  2 3 . 2   2 cos 30  cos 60 3 1  3  1     4 2 2 2  
Ví dụ 21. Tính giá trị của biểu thức     a) 2 2 2 2
P  sin 30  sin 40  sin 50  sin 60 ; b) 2  2  2  2  2 Q cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65      . Lời giải     a) 2 2 2 2
P  sin 30  sin 40  sin 50  sin 60   2  2
sin 30  sin 60    2  2 sin 40  sin 50    2  2
sin 30  cos 30    2  2 sin 40  cos 40  11  0 b) 2  2  2  2  2 Q cos 25 cos 35 cos 45 cos 55 cos 65      Trang 7   2  2
cos 25  cos 65    2  2 cos 35  cos 55  2  cos 45 2         2 2 2 cos 25  sin 25    2 2 cos 35  sin 35      2    1 1 11  2 2
Ví dụ 22. Tính giá trị của biểu thức sau với 0 0  90   : 2    2 2
A  cos   tan 60  cot 45  2sin 30  cos   tan  . Lời giải 2    2 2 A
 cos   tan 60  cot 45  2sin 30  cos   tan  1 2 2 2
 cos   cos   tan   3 1 2 2 2  cos   2
1 tan    3 11 1 2  cos    3 2 cos   1 3.
Ví dụ 23. Rút gọn các biểu thức sau với 0  90   a) 4 4 2 2
B  sin   cos   2sin  cos  ; b) 6 6 2 2
C  sin   cos   3sin  cos  . Lời giải a) B             2 4 4 2 2 2 2 sin cos 2sin cos sin cos 1. 6 6 2 2
C  sin   cos   3sin  cos  b) 6 6 2 2
 sin   cos   3sin  cos   2 2 sin   cos  
 sin   cos  3 2 2 1 2 2 sin   cos 
Ví dụ 24. Cho biểu thức A  . 1 2sin  cos sin   cos
a) Chứng minh rằng A  ; sin   cos 2
b) Tính giá trị của A , biết tan   . 3 Lời giải 2 2 sin   cos 
(sin  cos )(sin  cos ) sin  cos a) A    . 2 1 2sin cos (sin  cos ) sin  cos Trang 8
b) Chia cả tử và mẫu của A cho cos ta được sin cos 2  1   tan 1 1 cos cos 3 A      . sin cos tan 1 2 5  1 cos cos 3
Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng số 
Ví dụ 25. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) sin 70, cos 30, cos 40,sin 51 ;
b) cos 34,sin 57, cot 32 . Lời giải a) Ta có cos 30 sin 60  ; cos 40 sin 50  . Vì sin 50 sin 51 sin 60 sin 70    nên cos 40 sin 51 cos 30 sin 70    . b) Ta có cos 34 sin 56  ; cot 32 tan 58  . Vì sin 56 sin 57 sin 58 tan 58    nên cos 34 sin 57 cot 32   .
Ví dụ 26. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần
a) cot 40,sin 40, cot 43, tan 42 ;
b) tan 52, cot 63, tan 72, cot 31,sin 27 . Lời giải a) Ta có cot 40 tan 50  ; cot 43 tan 47  .         
Vì sin 40  tan 40  tan 42  tan 47  tan 50 nên sin 40  tan 42  cot 43  cot 40 . b) Ta có cot 63 tan 27  ; cot 31 tan 59  .          
Vì sin 27  tan 27  tan 52  tan 59  tan 72 nên sin 27  cot 63  tan 52  cot 31  tan 72 . Ví dụ 27. Cho 25  50  
, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
sin; cos  40 ; tan  10   . Lời giải    
Vì 25    50 nên  10    50   .  
Mặt khác góc 50   phụ với góc a  40 .
Ta có tan  10  sin  10  sin sin 50       ,
do đó tan  10  sin cos 40      . Trang 9 sin 50 cot 70
Ví dụ 28. So sánh hai số m và n , biết m  ; n  . cos 65 tan 35 Lời giải sin 50 sin 50 sin 25 Ta có m    1; (1) cos 65 sin 25 sin 25 cot 70 tan 20 tan 35 n    1    . (2) tan 35 tan 35 tan 35
Từ (1) và ( 2 ) suy ra m  n .
Dạng 7: Tìm góc nhọn  thỏa đẳng thức cho trước
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng cơ bản
 Dùng MTBT hoặc bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tìm.
Cách dùng MTBT tìm  khi biết sin (tương tự đối với cos và tan  )
Nếu sin  m thì bấm các phím sau
shift sin m  ' ' .
Ví dụ 29. Tìm góc nhọn x , biết a) 4sin x 1 1;
b) 2 3  3 tan x  3 . Lời giải a) 4sin x 1  1 b) 2 3  3 tan x  3 1  3
4sin x  2  sin x   3
 tan x  3  2 3  tan x  2 3
 sin x  sin 30  x  30 .       tan x tan 30 x 30 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bên. Tính sin C và tan B . Lời giải Ta có 2
AB  BC  BH  31 suy ra AB  3 . Tương tự 2
AH  BH  CH  1 2 suy ra AH  2 . Do đó AB 3 AH 2 sin C   và tan B    2 . BC 3 BH 1 2 1 2  cos  sin   cos
Bài 2. Chứng minh đẳng thức  . 1 2 sin  cos sin   cos Lời giải Ta có Trang 10 2 2 2 2 2 2 1 2  cos 
cos   sin   2  cos  sin   cos    2 2 1 2 sin  cos
cos   sin   2  sin cos cos sin 2 
sin  cos sin  cos  sin  cos   cos sin  . 2 sin  cos
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho góc nhọn  . 1 a) Biết cos 
, hãy tính sin và tan  . 3
b) Biết tan  2 , hãy tính sin và cos . Lời giải 1 a) Do 2 2
cos   sin   1 mà cos  nên 3  2 2    2 sin  1  8 2 2 3
 sin  1 sin        3  9  2 2 sin    3
vì  là góc nhọn nên sin  0 do đó 2 2 sin   . 3 2 2 sin  Mặt khác 3 tan     2 2 . cos 1 3  1 cos   1 1 1 5 b) Do 2
1 tan  mà tan  2 nên 2  1 2 suy ra 2 cos     . 2 cos  2 cos  5  1 cos    5
Vì  là góc nhọn nên cos  0 do đó 1 cos  . 5
Bài 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy      
a) Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2
M  sin 20  cos 30  sin 40  sin 50  cos 60  sin 70 .
b) Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần sin 41 ; cos 58 ; cot 49 ; cos 75 ; sin 25 . Lời giải a) Ta có 2  2     2 sin 70 sin 90 20 cos 20    . Trang 11 Tương tự 2  2     2 sin 50 sin 90 40 cos 40    và 2  2     2 cos 60 cos 90 30 sin 30    . Do đó 2  2  2  2  2  2 M
 sin 20  cos 30 sin 40  cos 40  sin 60  cos 20   2  2
sin 20  cos 20    2  2
cos 30  sin 30    2  2
sin 40  cos 40  111 1. b) Ta có cos 58 sin 32  , cos 49 sin 41  và cos 75 sin 25  . Mà sin 25 sin 32 sin 41   mà cos 49 cot 49  nên sin 25 cos 75 cos 58 sin 41 cos 49 cot 49 .       Vậy sin 25 cos 75 cos 58 sin 41 cot 49 .     
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC , độ dài các cạnh BC , CA , AB lần lượt bằng a , b , c . a b c a) Chứng minh rằng   . sin A sin B sin C
b) Chứng minh rằng nếu a  b  2c thì sin A sin B  2sin C . Lời giải CH CH
a) Kẻ CH  AB . Ta có sin A  ; sin B  . AC BC Do đó sin A CH  CH BC a và   . sin B AC BC AC b a b Suy ra  . sin A sin B b c b) Chứng minh tương tự  . sin B sin C a b c Vậy   . sin A sin B sin C a b c 2c a  b Theo chứng minh trên   suy ra  . sin A sin B sin C 2 sin C sin A  sin B
Vì a  b  2c thì sin A sin B  2sin C . --- HẾT --- Trang 12