Phương pháp giải phương trình lượng giác – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Tài liệu gồm 27 trang, với nội dung gồm:
+ Vấn đề 1. Phương trình lượng giác: Tóm tắt cách giải 5 dạng toán và 53 bài toán chọn lọc có lời giải
+ Vấn đề 2. Giải phương trình lượng giác trên một miền

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

27 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
70
Chuyeân ñeà 2: LÖÔÏNG GIAÙC
Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn
cosx = cos x =  + k2
sinx = sin
x k2
x k2
tanx = tan x = + k
cotx = cot x = + k (vôùi k )
2. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc
asin
2
x + bsinx + c = 0. Ñaët t = sinx, t 1
acos
2
x + bcosx + c = 0. Ñaët t = cosx, t 1
atan
2
x + btanx + c = 0. Ñaët t = tanx
acot
2
x + bcotx + c = 0. Ñaët t = cotx
3. Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx, cosx
asinx + bcosx = c (*)
Ñieàu kieän coù nghieäm: a
2
+ b
2
c
2
Caùch 1: Chia hai veá cho
22
ab
0
(*)
22
a
ab
sinx +
22
b
ab
cosx =
22
c
ab
Do
2
22
a
ab



+
2
22
b
ab



= 1
Neân coù theå ñaët
22
a
ab
= cos,
22
b
ab
= sin
Khi ñoù:
(*) sinxcos + sincosx =
22
c
ab
sin(x + ) =
22
c
ab
Caùch 2: Chia hai veá cho a (giaû söû a 0)
(*) sinx +
b
a
cosx =
c
a
Ñaët
b
a
= tan. Khi ñoù: (*) sinx +
cosx =
c
a
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
71
sinx cos + sin cosx =
c
a
cos sin(x + ) =
c
a
cos
Caùch 3: Ñaët aån soá phuï.
Xeùt x = (2k + 1) vôùi (k ) coù laø nghieäm 0
Xeùt x (2k + 1) vôùi (k )
Ñaët t = tan
x
2
Khi ñoù: (*) a
+ b
2
2
1t
1t
= c (b + c)t
2
– 2at + c – b = 0
4. Phöông trình ñoái xöùng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Ñaët t = sinx + cosx =
2
cos
x
4



Ñieàu kieän t
2
Khi ñoù: t
2
= 1 + 2sinxcosx sinxcosx =
Thay vaøo phöông trình ta ñöôïc phöông trình ñaïi soá theo t.
Chuù yù: a(sinx cosx) + bsinxcosx + c = 0
Ñaët t = sinx – cosx (vôùi
t2
)
5. Phöông trình ñaúng caáp baäc 2 ñoái vôùi sinx, cosx
asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x = 0
Xeùt cosx = 0 x =
2
+ k (k ) coù laø nghieäm khoâng?
Xeùt cosx 0. Chia 2 veá cho cos
2
x ta thu ñöôïc phöông trình baäc 2 theo tanx.
Chuù yù: Neáu laø phöông trình ñaúng caáp baäc k ñoái vôùi sinx, cosx thì ta xeùt cosx = 0
vaø xeùt cosx 0 chia 2 veá cuûa phöông trình cho cos
k
x vaø ta thu ñöôïc moät
phöông trình baäc k theo tanx.
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
Giaûi phöông trình:
2
1 sin2x cos2x
2sinx.sin2x
1 cot x

.
Giaûi
Ñieàu kieän: sinx 0. Khi ñoù:
(1)

2
1 sin2x cos2x
2sinx. 2sinxcosx
1
sin x
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
72
22
sin x 1 sin2x cos2x 2 2sin x.cosx
1 sin2x cos2x 2 2 cosx
(vì sinx 0)
2
2cos x 2sinxcosx 2 2cosx 0
cosx 0 cosx sinx 2



cosx 0 sin x 1
4

x k x k2
24
(k Z) (Thoûa ñieàu kieän sinx 0).
Vaäy nghieäm cuûa (1) laø

x k x k2
24
(k Z).
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Giaûi phöông trình:
sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx
Giaûi
sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx
2sinx.cos
2
x + sinx.cosx = 2cos
2
x – 1 + sinx + cosx
sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1
cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1
sinx – 1 = 0 hoaëc cosx (2cosx + 1) = 1
sinx = 1 hoaëc 2cos
2
x + cosx – 1 = 0
sinx = 1 hoaëc cosx = –1 hoaëc cosx =
1
2
x k2
2
hoaëc
x k2
hoaëc
x k2
3
x k2
2
hoaëc


2
xk
33
(k Z)
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011
Giaûi phöông trình:
sin2x 2cosx sinx 1
0
tanx 3
Giaûi
sin2x 2cosx sinx 1
0
tanx 3
. Ñieàu kieän: tanx
 3
vaø cosx 0.
sin2x 2cosx sinx 1 0
2sinxcosx 2cosx sinx 1 0
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
73
2cosx sinx 1 sinx 1 0
sinx 1 2cosx 1 0

sinx 1 (Loaïi vì khi ñoù cosx = 0)
1
cosx
2
x k2
3
(k Z).
So vôùi ñieàu kieän ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình laø
x k2
3
(k Z).
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: cos4x + 12sin
2
x – 1 = 0.
Giaûi
cos4x + 12sin
2
x – 1 = 0 2cos
2
2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0
cos
2
2x – 3cos2x + 2 = 0 cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)
2x = k2π x = kπ (k Z).
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010
Giaûi phöông trình:
(1 sinx cos2x)sin x
1
4
cosx
1 tanx
2



Giaûi
Ñieàu kieän:
cosx 0
vaø tanx ≠ – 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 sinx cos2x).(sinx cosx)
cosx
1 tanx
(1 sinx cos2x).(sinx cosx)
cosx cosx
sinx cosx
2
1 sinx cos2x 1 sinx cos2x 0
1
2sin x sinx 1 0 sinx 1(loaïi) hay sinx
2
7
x k2 hay x k2 (k Z)
66

Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Giaûi phöông trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos
2
x – 1) = 0
cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
74
cos2x (cosx + sinx + 2) = 0
cos2x 0
cosx sinx 2 0 (vn)
2x =
k
2

(k ) x =
k
42

(k ) .
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010
Giaûi phöông trình
sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
2
2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 1 0
cosx(2sinx 1) 2sin x 3sinx 2 0
cosx(2sinx 1) (2sinx 1)(sinx 2) 0
(2sinx 1)(cosx sinx 2) 0
1
x k2
sinx
6
(k )
2
5
cosx sinx 2 (VN)
x k2
6
.
Baøi 8: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010
Giaûi phöông trình
5x 3x
4cos cos 2(8sinx 1)cosx 5
22
.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5
2cos4x 8sin2x 5
2
2 4sin 2x 8sin2x 5
4sin
2
2x – 8sin2x + 3 = 0
3
sin2x
2
(loaïi ) hay
1
sin2x
2
2x k2
6
hay
5
2x k2
6
xk
12
hay
5
xk
12
(k ) .
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
Giaûi phöông trình:
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx

.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
75
Giaûi
Ñieàu kieän: sinx 1 vaø sinx
1
2
(*)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sinx)cosx =
3 1 2sinx 1 sinx
cosx 3sinx sin2x 3cos2x
cos x cos 2x
36

2
x k2 hoaëc x k
2 18 3
(k )
Keát hôïp (*), ta ñöôïc nghieäm:
2
x k k
18 3

Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: sinx + cosxsin2x +
3
3cos3x 2 cos4x sin x
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sin
2
x)sinx + cosxsin2x +
3cos3x 2cos4x
sinxcos2x + cosxsin2x +
3cos3x 2cos4x
sin3x +
3cos3x 2cos4x cos 3x cos4x
6



4x = 3x
k2 hoaëc 4x 3x k2
66

(k )
Vaäy: x =
2
k2 ; x k k
6 42 7
.
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình:
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
3cos5x sin5x sinx sinx 0
31
cos5x sin5x sinx
22

sin 5x sinx
3





5x x k2 hay 5x x k2
33
(k )
Vaäy: x =
k hay x k k
18 3 6 2
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
76
Baøi 12: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình (1 + 2sinx)
2
cosx = 1 + sinx + cosx
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 + 4sinx + 4sin
2
x)cosx = 1 + sinx + cosx
cosx + 4sinxcosx + 4sin
2
xcosx = 1 + sinx + cosx
1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1
sinx = 1 hay sin2x =
1
2
5
x k2 hay x k hay x k
2 12 12
(vôùi k ) .
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008
Giaûi phöông trình:
1 1 7
4sin x
3
sinx 4
sin x
2






Giaûi
Ta coù:
3
sin x cosx
2




Ñieàu kieän:
sinx 0
cosx 0
sin2x 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
11
4sin x
sinx cosx 4



cosx sinx 2 2 sinx cosx sinxcosx
cosx sinx 1 2sin2x 0
xk
4
tanx 1
cosx sinx 0
xk
1
2
sin2x
8
sin2x
2
2
5
xk
8




(k ) .
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
Giaûi phöông trình:
3 3 2 2
sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx
Giaûi
3 3 2 2
sin x 3cos x sinx.cos x 3sin x.cosx
(1)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
77
Caùch 1: Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2 2 2 2
sinx(cos x sin x) 3cosx(cos x sin x) 0
22
cos x sin x sinx 3cosx 0
k
x
cos2x 0
42
(k )
tanx 3
xk
3




Nghieäm cuûa phöông trình laø:
xk
42


vaø
x k (k )
3
Caùch 2: cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (1).
Chia hai veá cuûa phöông trình (1) cho cos
3
x ta ñöôïc:
33
tan x 3 tanx 3tan x
2
xk
tanx 3
3
(tanx 3)(tan x 1) 0 k
tanx 1
xk
4


Baøi 15: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
4sinx.cos
2
x + sin2x – 1 – 2cosx = 0
2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0
(sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0
1 2 2
sin2x 1haycosx x k hayx k2 hay x k2 (k )
2 4 3 3
Baøi 16: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình:
sin3x 3cos3x 2sin2x
.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
13
sin3x cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x
2 2 3 3

sin 3x sin2x
3




Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
78
3x 2x k2 x k2
33
(k )
4 k2
3x 2x k2 x
3 15 5








Baøi 17: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)
2
(sinx + cosx)(1 sinx)(1 cosx) = 0
x k , x k2 , x k2 (k )
42

.
Baøi 18: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
sin7x sinx + 2sin
2
2x 1 = 0 cos4x(2sin3x 1) = 0
cos4x = 0 x =
k
k
84


12
sin3x x k
2 18 3

hoaëc
52
x k (k )
18 3

.
Baøi 19: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007
Giaûi phöông trình:
2
xx
sin cos 3 cosx 2
22



Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1
1 sinx 3cosx 2 cos x
62



x k2 , x k2 (k )
26

Baøi 20: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007
Giaûi phöông trình:
2
1 sinx
3tan x 2
2 sinx


Giaûi
Ñieàu kieän: sinx 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
2
3cot x 2
sinx

2
32
10
sinx
sin x
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
79
1
1
sinx
11
voâ nghieäm
sinx 3

x k2 , k
2
Baøi 21: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 + sinx + cosx +
sinx
0
cosx
(ñieàu kieän: cosx 0)
1
sinx cosx 1 0
cosx



sinx cosx 0
cosx 1


3
xk
4
x k2
(k )
Baøi 22: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: cos
4
x – sin
4
x + cos4x = 0.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
cos
2
x – sin
2
x + 2cos
2
2x – 1 = 0
2cos
2
2x + cos2x – 1 = 0
cos2x 1
1
cos2x
2

xk
2
xk
6
(k )
Baøi 23: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin
3
x + 4cos
3
x = 3sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sin
3
x + 4cos
3
x – 3sinx(sin
2
x + cos
2
x) = 0
sin
3
x + 3sinxcos
2
x – 4cos
3
x = 0 (1)
Deã thaáy cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1)
Do ñoù cosx 0, ta chia hai veá cuûa (1) cho cos
3
x, ta ñöôïc:
(1) tan
3
x + 3tanx – 4 = 0 (tanx – 1)(tan
2
x + tanx + 4) = 0
tanx = 1 (do tan
2
x + tanx + 4 > 0 vôùi x)
xk
4
(k )
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
80
Baøi 24: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:
66
2 cos x sin x sinxcosx
0
2 2sinx

Giaûi
Ñieàu kieän:
2
sinx
2
(1).
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(cos
6
x + sin
6
x) – sinxcosx = 0
2
31
2 1 sin 2x sin2x 0
42



2
3sin 2x sin2x 4 0
sin2x = 1 x =
k
4

(k ).
Do ñieàu kieän (1) neân:
5
x 2m .
4
(m ).
Baøi 25: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:
x
cotx sinx 1 tanxtan 4
2



Giaûi
Ñieàu kieän: sinx 0, cosx 0, (1)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
xx
cosxcos sinxsin
cosx
22
sinx 4
x
sinx
cosxcos
2

cosx sinx 1 1
4 4 sin2x
sinx cosx sinxcosx 2

5
x k hay x k
12 12
(k ), thoûa maõn (1)
Baøi 26: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x + cos2x cosx 1 = 0.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2
2sin2x.sinx 2sin x 0
sinx hay sin2x sinx 0
sinx 0 hay 2cosx 1 0
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
81
x = k
2
hay x k2
3
(k )
Baøi 27: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x.cox
3
x – sin3x.sin
3
x =
2 3 2
8
Giaûi
Ta coù coâng thöùc: sin3x = 3sinx – 4sin
3
x
3
3sinx sin3x
sin x
4
vaø cos3x = 4cos
3
x – 3cosx
3
3cosx cos3x
cos x
4
Töø ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình
3cosx cos3x 3sinx sin3x 2 3 2
cos3x sin3x
4 4 8

22
2 3 2
cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)
2
2 3 2
1 3cos4x
2

2
cos4x x k (k )
2 16 2

Baøi 28: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: (2sin
2
x 1)tan
2
2x + 3(2cos
2
x 1) = 0
Giaûi
Ñieàu kieän cos2x 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cos2xtan
2
2x + 3cos2x = 0 cos2x(tan
2
2x – 3) = 0
2
cos2x 0 loaïi
tan2x 3 x k k
62
tan 2x 3 0


Baøi 29: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2
x = 1
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(sinx + cosx)(1 cosxsinx) cos2x = 0
(sinx + cosx)(1 sinx. cosx (cosx sinx)) = 0
(sinx + cosx)(1 cosx)(1 + sinx) = 0
x k x k2 x k2 , k
42

Baøi 30: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
82
Tìm nghieäm treân khoaûng (0; ) cuûa phöông trình:
22
x3
4sin 3 cos2x 1 2cos x
24



Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
3
2(1 cosx) 3cos2x 1 1 cos 2x
2



2 – 2cosx
3
cos2x = 2 – sin2x
3
cos2x – sin2x = 2cosx
31
cos2x sin2x cosx
22
cos 2x cos( x)
6



52
xk
18 3
7
x k2
6


(k )
Do x (0; ) neân ta coù nghieäm:
1 2 3
5 17 5
x , x , x
18 18 6
.
Baøi 31: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình:
2 2 3
sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0
.
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx 0 sinx 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
23
2
sin x
sinx.cos2x cos x 1 2sin x 0
cos x




2
sinx cos2x 2sin x cos2x 0
2
sinx(cos2x 1 cos2x) cos2x 0
2sin x sinx 1 0
sinx 1 (loaïi)
x k2
6
k
1
5
sinx
x k2
2
6

Baøi 32: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Giaûi phöông trình:
2
2
cos2x 1
tan x 3tan x
2
cos x




TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
83
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx 0 vaø sinx 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
2
2
2sin x
cotx 3tan x
cos x
23
1
tan x 0 tan x 1
tanx
tanx 1 x k
4

(k ) thoûa ñieàu kieän.
Baøi 33:
Giaûi phöông trình: 5sinx 2 = 3(1 sinx) tan
2
x
Giaûi
Ñieàu kieän cosx 0 sinx 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
22
22
sin x sin x
5sinx 2 3 1 sinx . 3 1 sinx
cos x 1 sin x
(5sinx 2) (1 + sinx) = 3sin
2
x
5sinx + 5sin
2
x 2 2sinx = 3sin
2
x
2sin
2
x + 3sinx 2 = 0
1
sinx (thoûa maõnñk)
2
sinx = 2 (loaïi)
x k2
6
5
x k2
6
(k )
Baøi 34:
Giaûi phöông trình (2cosx 1) (2sinx + cosx) = sin2x sinx.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(2cosx 1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx sinx
(2cosx 1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx 1)
(2cosx 1) (sinx + cosx) = 0
1
x = k2
cosx
3
2
tanx 1
xk
4

(k )
Baøi 35: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 4(sin
3
x + cos
3
x) = cosx + 3sinx.
Giaûi
cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân ta chia 2 veá cho cos
3
x
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
84
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
4tan
3
x + 4 = 1 + tan
2
x + 3tanx(1 + tan
2
x)
tan
3
x – tan
2
x – 3tanx + 3 = 0 (tanx – 1)(tan
2
x – 3) = 0
2
tanx 1haytan x 3 tanx 1 haytanx 3

x k hay x k k
43
Baøi 36: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình:
11
2 2 cos x
cosx sinx 4



Giaûi
Ñieàu kieän cosxsinx 0
k
x
2
(k )
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sinx cosx 2 2 cos x cosxsinx
4




2 cos x 2 cos x sin2x
44



cos x 0 hay sin2x 1
4
xk
42
2x k2
2

xk
4
xk
4
(k )
Baøi 37:
Giaûi phöông trình cotx 1 =
2
cos2x 1
sin x sin2x
1 tanx 2

.
Giaûi
Ñieàu kieän



xk
tanx 1
4
x k
sinx,cosx 0
2
xk
2
(k )
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
22
2
cos x sin x cosx
cosx sinx
sin x cosxsinx
sinx cosx sinx
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
85
cosx sinx
cosx sinx cosx sinx sinx cosx
sinx
2
cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x
22
tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x
2
xk
4
x k , k
4
2tan x tanx 1 0 voâ nghieäm
Baøi 38:
Giaûi phöông trình: cotx tanx + 4sin2x =
2
sin2x
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
2cos2x 2
4sin2x 2cos2x 4sin 2x 2
sin2x sin2x
2cos
2
2x cos2x 1 = 0
cos2x 1 loaïi
1
cos2x
2

cos2x =
1
2
x k k
3
Baøi 39:
Giaûi phöông trình
2 2 2
xx
sin tan x cos 0.
2 4 2



Giaûi
Ñieàu kieän:
x k , k
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2
1 cos x
1 cosx
2
tan x 0
22






2
2
sin x 1 cosx 1 cosx
(1 sinx) 1 cosx 0 1 cosx
1 sinx
cos x
1 cosx 0hay1 cosx 1 sinx
x k2 nhaän
cosx 1 hay tanx 1 k
x k nhaän
4
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
86
Baøi 40: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3 tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.
Giaûi
Ñieàu kieän: cosx 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sinx sinx
3 2sinx 6cosx 0
cosx cosx



3cos
2
x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos
3
x = 0
3cos
2
x(1 + 2cosx) – sin
2
x(1 + 2cosx) = 0
1 + 2cosx = 0 hay 3cos
2
x – sin
2
x = 0
2
1
cos2x hay tan x 3 x k k haytanx 3
23
x k k
3
Baøi 41: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3cos4x 8cos
6
x + 2cos
2
x + 3 = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
3(1 + cos4x) – 2cos
2
x
(4cos
4
x – 1) = 0
6cos
2
2x – 2cos
2
x(2cos
2
x – 1)(2cos
2
x + 1) = 0
6cos
2
2x – 2cos
2
x(cos2x)(2cos
2
x + 1) = 0
2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos
2
x(2cos
2
x + 1) = 0
42
cos2x 0
2cos x 5cos x 3 0
2
2
cos2x 0
k
2x k x
cos x 1
,k
2 4 2
3
x k x k
cos x loaïi
2




Baøi 42: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Giaûi phöông trình:
2
x
2 3 cosx 2sin
24
1
2cosx 1



.
Giaûi
Ñieàu kieän:
1
cosx
2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
87
(2 3)cosx 1 cos x 2cosx 1 3cosx sinx 0
2





tanx 3 x k ; (k )
3
Keát hôïp laïi ñieàu kieän
1
cosx .
2
Ta choïn
4
x m2 , m
3
Baøi 43: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: cotx = tanx +
2cos4x
sin2x
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x 0 cos2x 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cosx sinx 2cos4x
sinx cosx 2sinx.cosx

cos
2
x = sin
2
x + cos4x.
cos
2
x – sin
2
x – (2cos
2
2x – 1) = 0 2cos
2
2x – cos2x – 1 = 0
12
cos2x 1 loaïi haycos2x cos
23
x k k
3
Baøi 44:
Giaûi phöông trình sin
2
3x cos
2
4x = sin
2
5x cos
2
6x.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
cos7xcosx = cos11xcosx cosx = 0 hay cos11x = cos7x

x = k
2
x = k
2
x k
2
xk
9
xk
9
(k )
Baøi 45: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Giaûi phöông trình:
44
sin x cos x 1 1
cot2x
5sin2x 2 8sin2x

.
Giaûi
Ñieàu kieän sin2x 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
88
22
1 2sin x.cos x 1 cos2x 1
5sin2x 2 sin2x 8sin2x

2
9
cos2x loaïi
9
2
cos 2x 5cos2x 0
1
4
cos2x nhaän
2
cos2x =
1
cos
23
x =
k
6

(k )
Baøi 46: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình
2
4
4
2 sin 2x sin3x
tan x 1
cos x

.
Giaûi
Ñieàu kieän cosx 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin
4
x + cos
4
x = (2 – sin
2
2x).sin3x
1 – 2sin
2
x.cos
2
x = (2 – sin
2
2x).sin3x
(2 – sin
2
2x) = 2(2 – sin
2
2x).sin3x
2 – sin
2
2x =0( loại) hay 1 = 2sin3x
sin3x =
1
2




2
xk
18 3
52
xk
18 3
(k )
Baøi 47: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP I
Giaûi phöông trình:
22
2 3 sinx
sin x sin x
3 3 2
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
22
3 sinx
sin x sin x
3 3 2
22
1 cos 2x 1 cos 2x
3 sinx
33
2 2 2


22
1 sinx cos 2x cos 2x 0
33




1
1 sinx 2 cos2x 0
2
1 – cos2x – sinx = 0 2sin
2
x – sinx = 0
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
89
sinx 0
1
sinx
2
xk
x k2
6
5
x k2
6

(k )
Baøi 48: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP TP. HCM
Giaûi phöông trình: cos3x.tan5x = sin7x
Giaûi
Ñieàu kieän: cos5x 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin5x. cos3x = sin7x. cos5x
11
sin2x sin8x sin2x sin12x
22
sin12x = sin8x
k
x
2
(k )
k
x
20 10


Baøi 49: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM
Giaûi phöông trình:
11
2sin x
cosx sinx 4



Giaûi
Ñieàu kieän: cosx 0; sinx 0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)
sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( voâ nghieäm)
tanx = 1
xk
4
(k )
Baøi 50: CÑSP TW TP. HCM
Giaûi phöông trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sinxcosx + 1 – 2sin
2
x + 3sinx – cosx – 2 = 0
cosx(2sinx – 1) – (2sin
2
x 3sinx + 1) = 0
cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx 1) = 0
2sinx – 1 = 0 hay cosx – sinx +1 = 0
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
90
sinx =
1
2
hay sin
x
4



= sin
4
x k2
6
5
x k2
6
hay
x k2
2
x k2
(k )
Baøi 51: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI
Giaûi phöông trình: sin
6
x + cos
6
x =
2
2sin x
4



Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1
3
4
sin
2
2x = (sinx + cosx)
2
3sin
2
2x + 4sin2x = 0
sin2x = 0 hay sin2x =
4
3
(loaïi) x = k
2
(k )
Baøi 52: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM
Giaûi phöông trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =
1 cos8x
2
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 1 1 cos8x
cosx cos3x cos7x cos3x
2 2 2


cosx + cos7x = 1 + cos8x 2cos4xcos3x = 2cos
2
4x
k
x
cos4x 0
84
cos4x cos3x k2
x
7



(k )
Baøi 53: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN
Giaûi phöông trình: cosx.cos2x.sin3x =
1
4
sin2x
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx
cosx 0 hay2cos2xsin3x sinx
x =
2
+ k (k ) hay sin5x + sinx = sinx
x =
2
+ k hay x =
k
5
(k )
Vaán ñeà 2:
GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TREÂN MOÄT MIEÀN
ÑEÀ THI
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
91
Baøi 1:
Tìm nghieäm thuoäc khoaûng (0; 2) cuûa phöông trình:
cos3x sin3x
5 sinx cos2x 3
1 2sin2x



.
Giaûi
Ñieàu kieän 1 + 2sin2x 0 (1)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
5(sinx + cosx cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x 0)
5cosx = 2cos
2
x + 2 cosx =
1
2
(thoûa ñieàu kieän (1))
x k2
3
(k )
Vì nghieäm x thuoäc khoaûng (0; 2) neân
5
x x =
33


Baøi 2:
Tìm x thuoäc ñoaïn [0; 14] nghieäm ñuùng phöông trình:
cos3x 4cos2x + 3cosx 4 = 0.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
4cos
3
x 3cosx 4 (2cos
2
x 1) + 3cosx 4 = 0
4(cos
3
x 2cos
2
x) = 0
cosx = 0 cosx = 2 (loaïi) x =
2
+ k (k )
Vì x [0; 14] neân x =
2
, x =
3
2
, x =
5
2
, x =
7
2
.
Vaán ñeà 3:
ÑIEÀU KIEÄN COÙ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Phöông trình Asinx + Bcosx = C coù nghieäm
2 2 2
A B C
.
Söû duïng caùc phöông phaùp thöôøng gaëp nhö trong ñaïi soá.
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
92
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Xaùc ñònh m ñeå phöông trình 2(sin
4
x + cos
4
x) + cos4x + 2sin2x m = 0 coù ít nhaát
moät nghieäm thuoäc ñoaïn
0;
2



.
Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2(1 – 2sin
2
x.cos
2
x) + 1 – 2sin
2
2x + 2sin2x – m = 0



22
1
2 1 sin 2x 1 2sin 2x 2sin2x m
2
3sin
2
2x + 2sin2x + 3 = m (1)
Ñaët t = sin2x. Vì x
0;
2



0 2x 0 sin2x 1 0 t 1
(1) thaønh 3t
2
+ 2t + 3 = m (2); 0 t 1
Ñaët f(t) = 3t
2
+ 2t + 3
f'(t) = 6t + 2 f'(t) = 0 t =
1
3
Baûng bòeán thieân
t
 0
1
3
1 +
f'(t)
+ 0
f(t)
10
3
3 2
Nhaän xeùt: (2) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng : y = m
vaø ñöôøng cong (C). Töø ñoù (1) coù nghieäm x
0;
2



vaø (C) coù ñieåm chung treân [0;1] 2 m
10
3
.
Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Cho phöông trình
2sinx cosx 1
a
sinx 2cosx 3


(1) (a laø tham soá)
a/ Giaûi phöông trình (1) khi a =
1
3
.
b/ Tìm a ñeå phöông trình (1) coù nghieäm.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
93
Giaûi
Taäp xaùc ñònh cuûa phöông trình (1): D = . Do ñoù:
2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)
(2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1
a/ Khi a =
1
3
:
55
(1) sinx cosx 0 sinx cosx 0
33
sinx cosx tanx 1 x k (k )
4
b/ Do (2 – a)
2
+ (2a + 1) 0 neân ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå (1) coù nghieäm laø
(2 – a)
2
+ (2a + 1)
2
(3a – 1)
2
2a
2
– 3a – 2 0
1
a2
2
Vaán ñeà 4: BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Söû duïng coâng thöùc trong tam giaùc töông öùng
Nhaän daïng tam giaùc baèng caùch ruùt goïn heä thöùc ñaõ cho hay chöùng toû heä thöùc ñoù
laø ñieàu kieän daáu baèng cuûa baát ñaúng thöùc
Heä thöùc trong tam giaùc caàn chuù yù
a. Ñònh lí haøm soá sin:
a b c
2R
sinA sinB sinC
b. Ñònh lí haøm soá cosin: a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA; b
2
= a
2
+ c
2
– 2accosB
c
2
= a
2
+ b
2
– 2abcosC
c. Ñònh lí ñöôøng trung tuyeán:
2 2 2
2
a
2b 2c a
m
4

d. Ñònh lí ñöôøng phaân giaùc: l
a
=
A
2bc.cos
2
bc
e. Dieän tích tam giaùc:
S =
1
2
a.h
a
=
1
2
absinC =
abc
4R
= pr = (p – a).r
a
=
p(p a)(p b)(p c)
f. Baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp: r = (p – a)tan
A
2
= (p – b)tan
B
2
= (p – c)tan
C
2
g. Baùn kính ñöôøng troøn baøng tieáp: r
a
= p.tan
A
2
B.ÑEÀ THI
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
94
Baøi 1: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Tìm caùc goùc A, B, C cuûa tam giaùc ABC ñeå bieåu thöùc:
Q = sin
2
A + sin
2
B sin
2
C ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Giaûi
Ta coù:
2
11
Q (1 cos2A) (1 cos2B) sin C
22
2
1 cos(A B).cos(A B) sin C
= 1 + cosC cos(A B) 1 + cos
2
C
= cos
2
C + cosC. cos(A B)
=
2
2
1 1 1
cosC cos(A B) cos (A B)
2 4 4



Vaäy
0
min
0
AB
C 120
1
Q
1
4
cosC
A B 30
2




Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Xaùc ñònh hình daïng cuûa tam giaùc ABC, bieát raèng:
22
p a sin A p b sin B c.sinA.sinB
Trong ñoù BC = a, CA = b, AB = c,
a b c
p
2

.
Giaûi
(p – a)sin
2
A + (p – b)sin
2
B = c.sinA. sinB
(p – a)a
2
+ (p – b)b
2
= abc (ñònh lyù haøm sin)


p a a p b b
p p a a p p b b
p
bc ac bc ac
a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c
(
p. p a
p.r abc 1 a sinA 1 cosA
.
A A A A
bc 4R 2
b.c.tan b.c.tan 4.R.tan 2.tan
2 2 2 2
)
acosA + bcosB = c
sin2A + sin2B = 2sinC
2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC
cos (A – B) = 1 A = B ABC caân taïi C.
Baøi 3: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Xeùt tam giaùc ABC coù ñoä daøi caïnh AB = c, BC = a, CA = b.
Tính dieän tích tam giaùc ABC bieát raèng: bsinC (bcosC + c.cosB) = 20.
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
95
Giaûi
Tính dieän tích tam giaùc
Töø b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20
4R
2
sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20
4R
2
.sinB.sinC.sinA = 20 (1)
Ta coù:
3
2
abc 8R .sinA.sinB.sinC
S 2R .sinA.sinB.sinC
4R 4R
(2)
Theá (1) vaøo (2) S = 10 (ñvdt)
Baøi 4:
Goïi x, y, z laø khoaûng caùch töø caùc ñieåm M thuoäc mieàn trong cuûa ABC coù 3 goùc
nhoïn ñeán caùc caïnh BC, CA, AB. Chöùng minh raèng:
2 2 2
a b c
x y z
2R

. Daáu “=” xaûy ra khi naøo?
(a, b, c laø caùc caïnh cuûa ABC, R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp).
Giaûi
Ta coù:
2 2 2
a b c a b c
a b. c.
2R 2R 2R 2R

VP
asinA bsinB csinC
2S 2S 2S a b c
a b c 2S
bc ac ab bc ac ab



Maët khaùc ta coù: 2S = ax + by + cz, do ñoù:
2 2 2
a b c a b c
ax by cz
2R bc c ab




(1)
Ta coù:
a b c 1 b c 1 c a 1 a b
bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a
Vaäy
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
bc
Vì 2
ab




(2)
Töø (1) vaø (2) ta coù:




2 2 2
a b c 1 1 1
ax by cz
2R a b c



2
2
1 1 1
ax by cz x y z
a b c
Suy ra:
2 2 2
a b c
x y z
2R

.
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
96
Daáu “=” xaûy ra
b c a c a b
2
a b c
ABC ñeàu
c b c a b a
x y z
M: troïng taâm
a x b y c z



Baøi 5:
Goïi A, B, C laø 3 goùc cuûa tam giaùc ABC, chöùng minh raèng ñeå tam giaùc ABC
ñeàu thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø:
2 2 2
A B C 1 A B B C C A
cos cos cos 2 cos cos cos
2 2 2 4 2 2 2
Giaûi
2 2 2
A B C 1 A B B C C A
Ta coù: cos cos cos 2 cos cos cos
2 2 2 4 2 2 2
2 2 2
A B C A B B C C A
4cos 4cos 4cos 8 cos cos cos
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
2 2cosA 2 2cosB 2 2cosC 8 cos cos cos
2 2 2
A B B C C A
2 cosA cosB cosC 1 cos cos cos
2 2 2
A B C
Ta bietá cosA + cosB + cosC 1 = 4sin sin sin
2 2 2
A B C A B B C C A
8sin sin sin cos cos cos
2 2 2 2 2 2




Nhaân hai veá cho
A B C
8cos cos cos
2 2 2
8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP VT)
A = B = C ABC ñeàu.
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Chuyeân ñeà 2: LÖÔÏNG GIAÙC
Vaán ñeà 1:
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn cosx = cos  x =  + k2 x    k2 sinx = sin   x      k2
tanx = tan  x =  + k cotx = cot  x =  + k (vôùi k  )
2. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc
asin2x + bsinx + c = 0. Ñaët t = sinx,  t  1
acos2x + bcosx + c = 0. Ñaët t = cosx,  t  1
atan2x + btanx + c = 0. Ñaët t = tanx
acot2x + bcotx + c = 0. Ñaët t = cotx
3. Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx, cosx asinx + bcosx = c (*)
Ñieàu kieän coù nghieäm: a2 + b2  c2
Caùch 1: Chia hai veá cho 2 2 a  b  0 a b c (*)  sinx + cosx = 2 2 a  b 2 2 a  b 2 2 a  b 2  a  2  b  Do  + = 1 2 2     a  b  2 2  a  b  a b Neân coù theå ñaët = cos, = sin 2 2 a  b 2 2 a  b Khi ñoù: c c
(*)  sinxcos + sincosx =  sin(x + ) = 2 2 a  b 2 2 a  b
Caùch 2: Chia hai veá cho a (giaû söû a  0) b c (*)  sinx + cosx = a a b sin c
Ñaët = tan. Khi ñoù: (*)  sinx + cosx = a cos a 70
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN c c
 sinx cos + sin cosx = cos  sin(x + ) = cos a a
Caùch 3: Ñaët aån soá phuï.
 Xeùt x = (2k + 1) vôùi (k  ) coù laø nghieäm 0
 Xeùt x  (2k + 1) vôùi (k  ) x Ñaët t = tan 2 2t 2 1 t Khi ñoù: (*)  a + b
= c  (b + c)t2 – 2at + c – b = 0 2 1 t 2 1 t
4. Phöông trình ñoái xöùng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Ñaët t = sinx + cosx = 2 cos x    4   
Ñieàu kieän  t  2 2 t 1
Khi ñoù: t2 = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx = 2
Thay vaøo phöông trình ta ñöôïc phöông trình ñaïi soá theo t.
Chuù yù: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0
Ñaët t = sinx – cosx (vôùi t  2 )
5. Phöông trình ñaúng caáp baäc 2 ñoái vôùi sinx, cosx
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 
 Xeùt cosx = 0  x = + k (k  ) coù laø nghieäm khoâng? 2
 Xeùt cosx  0. Chia 2 veá cho cos2x ta thu ñöôïc phöông trình baäc 2 theo tanx.
Chuù yù: Neáu laø phöông trình ñaúng caáp baäc k ñoái vôùi sinx, cosx thì ta xeùt cosx = 0
vaø xeùt cosx  0 chia 2 veá cuûa phöông trình cho coskx vaø ta thu ñöôïc moät
phöông trình baäc k theo tanx. B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: 1 sin2x  cos2x  2 sinx.sin2x . 2 1 cot x Giaûi
Ñieàu kieän: sinx  0. Khi ñoù: 1 sin2x  cos2x (1)   2 sinx.2sinxcosx 1 2 sin x 71
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  2      2 sin x 1 sin2x cos2x 2 2 sin x.cosx
 1 sin2x  cos2x  2 2 cosx (vì sinx  0)  2
2cos x  2sinxcosx  2 2 cosx  0
 cosx  0  cosx  sinx  2   
 cosx  0  sinx   1  4     x   
k  x   k2 (k  Z) (Thoûa ñieàu kieän sinx  0). 2 4  
Vaäy nghieäm cuûa (1) laø x   
k  x   k2 (k  Z). 2 4
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: sin2xcosx  sinxcosx  cos2x  sinx  cosx Giaûi
sin2xcosx  sinxcosx  cos2x sinx  cosx
 2sinx.cos2x + sinx.cosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
 sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1
 cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1
 sinx – 1 = 0 hoaëc cosx (2cosx + 1) = 1
 sinx = 1 hoaëc 2cos2x + cosx – 1 = 0 1
 sinx = 1 hoaëc cosx = –1 hoaëc cosx = 2  
 x   k2 hoaëc x    k2 hoaëc x    k2 2 3   2
 x   k2 hoaëc x   k (k Z) 2 3 3
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 sin2x  2cosx  sinx 1 Giaûi phöông trình:  0 tanx  3 Giaûi sin2x  2cosx  sinx 1
 0 . Ñieàu kieän: tanx   3 vaø cosx  0. tanx  3
 sin2x  2cosx sinx 1 0  2sinxcosx  2cosx  sinx   1  0 72
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  2cosxsinx   1  sinx   1  0  sinx   1 2cosx   1  0
sinx  1 (Loaïi vì khi ñoù cosx = 0)    x k2  1      (k Z). cosx  3  2 
So vôùi ñieàu kieän ta ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình laø x   k2 (k Z). 3
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011
Giaûi phöông trình: cos4x + 12sin2x – 1 = 0. Giaûi
cos4x + 12sin2x – 1 = 0  2cos22x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0
 cos22x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)
 2x = k2π  x = kπ (k  Z).
Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010 (1 sinx cos2x)sin x       4    1 Giaûi phöông trình:  cosx 1 tanx 2 Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0 vaø tanx ≠ – 1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 sinx  cos2x).(sinx  cosx)  cosx 1 tanx
(1 sinx  cos2x).(sinx  cosx)  cosx  cosx sinx  cosx
 1 sin x  cos2x  1  sin x  cos2x  0 2 1
 2sin x  sin x  1  0  sin x  1(loaïi) hay sin x   2  7
 x    k2 hay x   k2 (k  Z) 6 6
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010
Giaûi phöông trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
 cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0
 cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0 73
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0 cos2x  0  
cosx  sinx  2  0 (vn)   
 2x =  k (k  )  x =  k (k  ) . 2 4 2
Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2010
Giaûi phöông trình sin2x  cos2x  3sinx  cosx 1 0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2
2sin x cosx 1 2sin x  3sin x  cosx 1  0 2
 cosx(2sin x 1)  2sin x  3sin x  2  0
 cosx(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  2)  0
 (2sin x 1)(cosx  sin x  2)  0  1   x   k2 sin x     6  2   (k  )  .  5 cosx sinx 2 (VN)     x   k2  6
Baøi 8: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 5x 3x Giaûi phöông trình 4cos cos  2(8sinx 1)cosx  5 . 2 2 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(cos4x  cosx) 16sinxcosx  2cosx  5
 2cos4x  8sin2x  5  2
2  4sin 2x  8sin2x  5 3 1
 4sin22x – 8sin2x + 3 = 0  sin2x  (loaïi ) hay sin2x  2 2  5
 2x   k2 hay 2x   k2 6 6  5  x   k hay x   k (k  ) . 12 12
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009 1 2sinxcosx Giaûi phöông trình:  .      3 1 2sinx 1 sinx 74
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi 1
Ñieàu kieän: sinx  1 vaø sinx   (*) 2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sinx)cosx = 31 2sinx1 sinx
 cosx  3sinx  sin2x  3 cos2x
cosx   cos2x        3   6        2 x k2 hoaëc x k         (k  ) 2 18 3
Keát hôïp (*), ta ñöôïc nghieäm:  2 x k     k  18 3
Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: sinx + cosxsin2x +   3 3 cos3x 2 cos4x  sin x Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 – 2sin2x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x  2cos4x
 sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x  2cos4x    sin3x + 3 cos3x 2cos4x cos 3x      cos4x  6     
 4x = 3x   k2 hoaëc 4x  3  x   k2 (k  ) 6 6 Vaäy: x =   2 k2 ; x k       k  . 6 42 7
Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình: 3 cos5x  2sin3xcos2x sinx  0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
3 cos5x  sin5x  sinx  sinx  0    3 1
cos5x  sin5x  sinx  sin 5x   sin x 2 2  3      
 5x  x  k2 hay  5x    x  k2 (k  ) 3 3 Vaäy: x =      k hay x    k k  18 3 6 2 75
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 12: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Giaûi phöông trình (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = 1 + sinx + cosx
 cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = 1 + sinx + cosx
 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1
 sinx = 1 hay sin2x = 1 2   5 x k2 hay x k hay x            k (vôùi k  ) . 2 12 12
Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008 Giaûi phöông trình: 1 1  7 4sin  x    sin x  3     4  sin x    2    Giaûi Ta coù:  3 sin x     cosx  2    s  in x  0 Ñieàu kieän:   sin2x  0 cosx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 1 1 4sinx       sinx cosx  4     cosx  sinx  2
 2 sinx  cosxsinxcosx
 cosx  sinx1 2sin2x  0 x     k  4 cosx  sin x  0 tan x  1        1   x    k 2   (k  ) . sin2x   sin2x    8  2  2  5 x     k  8
Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008 Giaûi phöông trình: 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sinxcos x  3sin xcosx Giaûi 3 3 2 2
sin x  3 cos x  sinx.cos x  3sin x.cosx (1) 76
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Caùch 1: Phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2 2 2 2
sinx(cos x  sin x)  3 cosx(cos x  sin x)  0   2 2
cos x  sin xsinx  3cosx  0   k x  cos2x  0     4 2    (k  ) tan x   3 x     k  3
Nghieäm cuûa phöông trình laø: x  k     vaø x    k (k  ) 4 2 3 Caùch 2:
 cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (1).
 Chia hai veá cuûa phöông trình (1) cho cos3x ta ñöôïc: 3 3
tan x  3  tanx  3 tan x x     k   tan x   3  2 3
(tan x  3)(tan x 1)  0     k   tan x  1  x     k  4
Baøi 15: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
4sinx.cos2x + sin2x – 1 – 2cosx = 0
 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0
 (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0 1  2 2
 sin2x 1haycosx    x    k hayx   k2 hay x    k2 (k  ) 2 4 3 3
Baøi 16: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008
Giaûi phöông trình: sin3x  3 cos3x  2sin2x . Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 1 3 sin3x cos3x sin2x cos  sin3x sin      cos3x  sin2x 2 2 3 3    sin 3x    sin2x  3    77
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 3x  2x k2      x    k2    3 3    (k  )    4 k2
3x     2x  k2 x     3    15 5
Baøi 17: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2
 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0    x    k ,  x   k2 ,  x  k2 (k  ) . 4 2
Baøi 18: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
sin7x  sinx + 2sin22x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0  k  cos4x = 0  x =  k  8 4      1 2 sin3x   x   k hoaëc 5 2 x   k (k  ) . 2 18 3 18 3
Baøi 19: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 2 Giaûi phöông trình:  x x sin cos    3 cosx  2  2 2    Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:    1 1  
 sinx  3 cosx  2  cos x     x   k2 ,
 x    k2 (k  ) 6    2 2 6
Baøi 20: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007 Giaûi phöông trình: 2    1 sinx 3tan x 2     2   sinx      Giaûi Ñieàu kieän: sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2 2 3 2 3cot x   2   1  0 sinx 2 sin x sinx 78
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  1 1    sin x   x   k2 ,  k    1 1 2   voâ nghieäm sinx 3
Baøi 21: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 + sinx + cosx + sin x  0 (ñieàu kieän: cosx  0) cosx    1 sinx cosx 1     0  cosx     3 sin x  cosx  0 x   k     4 (k  ) cosx  1   x    k2
Baøi 22: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: cos4x – sin4x + cos4x = 0. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
cos2x – sin2x + 2cos22x – 1 = 0   cos2x  1  x   k 
 2cos22x + cos2x – 1 = 0   2 1  (k  )   cos2x     2 x    k  6
Baøi 23: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sin3x + 4cos3x – 3sinx(sin2x + cos2x) = 0
 sin3x + 3sinxcos2x – 4cos3x = 0 (1)
Deã thaáy cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1)
Do ñoù cosx  0, ta chia hai veá cuûa (1) cho cos3x, ta ñöôïc:
(1)  tan3x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan2x + tanx + 4) = 0
 tanx = 1 (do tan2x + tanx + 4 > 0 vôùi x)   x   k (k  ) 4 79
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 24: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006  6 6
2 cos x  sin x sinxcosx Giaûi phöông trình:  0 2  2sinx Giaûi Ñieàu kieän: 2 sin x  (1). 2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
 2(cos6x + sin6x) – sinxcosx = 0  3  1  2 2 1 sin 2x  sin2x  0  4    2   2
3sin 2x  sin2x  4  0  sin2x = 1  x =  k (k  ). 4 Do ñieàu kieän (1) neân: 5 x    2m .  (m  ). 4
Baøi 25: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Giaûi phöông trình:  x cot x sinx 1 tanxtan     4  2    Giaûi
Ñieàu kieän: sinx  0, cosx  0, (1)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: x x cosx cos  sin xsin cosx 2 2  sin x  4 sin x x cosx cos 2  cosx sinx 1 1   4   4  sin2x  sinx cosx sinxcosx 2 5    x    k hay x    k (k  ), thoûa maõn (1) 12 12
Baøi 26: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: 2
 2sin2x.sin x  2sin x  0
 sin x hay sin2x  sin x  0
 sinx  0 hay 2cosx 1 0 80
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2  x = k  hay x    k2 (k  ) 3
Baøi 27: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x.cox3x – sin3x.sin3x = 2  3 2 8 Giaûi
Ta coù coâng thöùc: sin3x = 3sinx – 4sin3x   3 3sinx sin3x sin x  4
vaø cos3x = 4cos3x – 3cosx   3 3cosx cos3x cos x  4
Töø ñoù phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình  3cosx  cos3x 
 3sinx  sin3x  2  3 2 cos3x  sin3x   4   4      8   2 2 2 3 2
cos 3x  sin 3x  3(cos3xcosx  sin3xsinx)  2     2 3 2 1 3cos4x   2 cos4x   x    k (k  ) 2 2 16 2
Baøi 28: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: (2sin2x  1)tan22x + 3(2cos2x  1) = 0 Giaûi Ñieàu kieän cos2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
cos2xtan22x + 3cos2x = 0  cos2x(tan22x – 3) = 0 cos2x  0loaïi    
 tan2x   3  x    k k  2 tan 2x  3  0 6 2
Baøi 29: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0
 (sinx + cosx)(1  sinx. cosx  (cosx  sinx)) = 0
 (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0  
 x    k x  k2 x    k2 ,  k   4 2
Baøi 30: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 81
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Tìm nghieäm treân khoaûng (0; ) cuûa phöông trình: 2 x 2  3 4sin 3 cos2x 1 2cos x       2  4    Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:    3 2(1 cosx) 3 cos2x 1 1 cos 2x         2   
 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x
 3 cos2x – sin2x = 2cosx    3 1
cos2x  sin2x  cosx  cos 2x    cos(  x) 2 2  6     5 2 x   k    18 3  (k  )  7 x     k2  6 Do x 5 17 5
 (0; ) neân ta coù nghieäm: 1 x  , x2  , x3  . 18 18 6
Baøi 31: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Giaûi phöông trình: 2   2   3
sinxcos2x cos x tan x 1  2sin x  0 . Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0  sinx   1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2   2 sin x 3 sinx.cos2x  cos x 1  2sin x  0  2 cos x      2
sinx cos2x  2sin x  cos2x  0
 sinx(cos2x 1 cos2x)  cos2x  0 2  2sin x  sinx 1  0 sin x 1 (loaïi)    x    k2   6  1   k  sinx   5  2 x   k2  6
Baøi 32: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Giaûi phöông trình:    2 cos2x 1 tan  x  3tan x    2  2  cos x 82
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0 vaø sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2 2 2  sin x 1 cot x  3tan x  2 3  
 tan x  0  tan x  1  2 cos x tanx tanx 1 x      
 k (k  ) thoûa ñieàu kieän. 4 Baøi 33:
Giaûi phöông trình: 5sinx  2 = 3(1  sinx) tan2x Giaûi
Ñieàu kieän cosx  0  sinx   1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2 2      sin x     sin x 5sinx 2 3 1 sinx . 3 1 sinx 2 2 cos x 1 sin x
 (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin2x
 5sinx + 5sin2x  2  2sinx = 3sin2x  2sin2x + 3sinx  2 = 0    1 sin x x   k2  (thoûa maõnñk)     2  6 (k  )    5 sinx =  2 (loaïi) x   k2  6 Baøi 34:
Giaûi phöông trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx
 (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)
 (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0  1 x =    k2 cosx      3 2   (k  )  tan x 1    x     k  4
Baøi 35: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx. Giaûi
cosx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân ta chia 2 veá cho cos3x 83
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)
 tan3x – tan2x – 3tanx + 3 = 0  (tanx – 1)(tan2x – 3) = 0  2
tan x  1hay tan x  3  tan x  1 hay tan x   3    x    k hay x     k k  4 3
Baøi 36: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Giaûi phöông trình: 1 1 2 2 cosx      cosx sinx  4    Giaûi Ñieàu kieän cosxsinx   0  k x  (k  ) 2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: sinx cosx 2 2 cosx      cosxsinx  4            2 cos x   2 cos x     sin2x  4   4      cos x   0 hay sin2x     1  4  x        k  x   k   4 2   4  (k  ) 2x       k2  x    k  2  4 Baøi 37: Giaûi phöông trình cotx cos2x 1  1 = 2  sin x  sin2x . 1 tanx 2 Giaûi   x     k tan x  1  Ñieàu kieän  4      x  k (k  ) sin x,cosx  0   2 x  k  2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: cosx  sinx  2 2 cos x  sin xcosx 2   sin x  cosxsinx sinx cosx  sinx 84
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN cosx  sinx 
 cosx  sinxcosx  sinxsinx  cosx sinx      2
cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x   2   2
tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x   x    k    4  x    k , k    4  2 2tan x  tanx 1   0 voâ nghieäm Baøi 38:
Giaûi phöông trình: cotx  tanx + 4sin2x = 2 sin2x Giaûi
Ñieàu kieän sin2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 2cos2x 2  2  4sin2x   2cos2x  4sin 2x  2 sin2x sin2x
 2cos22x  cos2x  1 = 0 cos2x  1 loaïi 1    1 
 cos2x =   x    k k   cos2x   2 3  2 Baøi 39: Giaûi phöông trình 2  x   2 2 x sin  tan x  cos  0.  2 4    2 Giaûi Ñieàu kieän: x    k ,  k  2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 1 cosx       2  2 1 cosx tan x   0 2 2 2 sin x 1 cosx1 cosx  (1 sinx) 1 cosx  0  1 cosx 2 cos x 1 sinx
1 cosx  0hay1 cosx1 sinx
x    k2 nhaän 
 cosx  1 hay tan x  1    k   x     k nhaän  4 85
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 40: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0. Giaûi Ñieàu kieän: cosx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: sinx  sinx 3 2sinx    6cosx  0 cosx  cosx   
 3cos2x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos3x = 0
 3cos2x(1 + 2cosx) – sin2x(1 + 2cosx) = 0
 1 + 2cosx = 0 hay 3cos2x – sin2x = 0 1 2 
 cos2x   hay tan x  3  x    
k k   haytanx  3 2 3   x     k k   3
Baøi 41: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: 3cos4x  8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
3(1 + cos4x) – 2cos2x (4cos4x – 1) = 0
 6cos22x – 2cos2x(2cos2x – 1)(2cos2x + 1) = 0
 6cos22x – 2cos2x(cos2x)(2cos2x + 1) = 0
 2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos2x(2cos2x + 1) = 0 cos2x  0    4 2cos x  2 5cos x  3  0 cos2x  0      k 2 cos x  1 2x   k x      2   4 2 , k     2 3     x  k x  k cos x loaïi   2
Baøi 42: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2   2  x 2 3 cosx 2sin        Giaûi phöông trình:  2 4  1. 2cosx 1 Giaûi Ñieàu kieän: 1 cosx  2
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 86
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN (2  3)cosx  1  cosx  
 2cosx 1   3 cosx  sinx  0    2    
 tanx  3  x   k ;  (k  ) 3
Keát hôïp laïi ñieàu kieän 1 4 cosx  . Ta choïn  x   m2, m  2 3
Baøi 43: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Giaûi phöông trình: cotx = tanx + 2cos4x sin2x Giaûi
Ñieàu kieän sin2x  0  cos2x  1
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: cosx sinx 2cos4x    cos2x = sin2x + cos4x. sinx cosx 2sinx.cosx
 cos2x – sin2x – (2cos22x – 1) = 0  2cos22x – cos2x – 1 = 0 1 2   cos2x 1loaïi   haycos2x    cos  x     k k  2 3 3 Baøi 44:
Giaûi phöông trình sin23x  cos24x = sin25x  cos26x. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x    2 2 2 2
 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x
 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x   x =  k  2    x = k    x  k   2  (k  ) 2    x  k     9 x k  9
Baøi 45: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 4 4
Giaûi phöông trình: sin x  cos x 1 1  cot 2x  . 5sin2x 2 8sin2x Giaûi Ñieàu kieän sin2x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: 87
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 2 2 1 2sin x.cos x 1 cos2x 1   5sin2x 2 sin2x 8sin2x  9 cos2x  loaïi  9  2      2 cos 2x 5cos2x 0 4  1 cos2x  nhaän   2 cos2x = 1 cos   
 x =   k (k  ) 2 3 6
Baøi 46: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1  2 2  sin 2x sin3x 4 
Giaûi phöông trình tan x 1  . 4 cos x Giaûi Ñieàu kieän cosx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
sin4x + cos4x = (2 – sin22x).sin3x
 1 – 2sin2x.cos2x = (2 – sin22x).sin3x
 (2 – sin22x) = 2(2 – sin22x).sin3x
 2 – sin22x =0( loại) hay 1 = 2sin3x   2 1 x    k  sin3x =   18 3 (k  ) 2   5 2 x   k  18 3
Baøi 47: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP I Giaûi phöông trình: 2    2  2  3  sinx sin x   sin x    3   3      2 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: 2    2    3  sinx sin x   sin  x   3   3      2  2   2 1 cos 2x 1 cos  2x          3   3  3  sin x    2 2 2       2 2 1 sinx cos 2x cos 2x       0  3   3      1    1 sinx  2  cos2x    0  2 
 1 – cos2x – sinx = 0  2sin2x – sinx = 0 88
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN x  k sin x  0      x   k2 1  (k  ) sinx   6  2  5 x     k2  6
Baøi 48: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ - KYÕ THUAÄT COÂNG NGHIEÄP TP. HCM
Giaûi phöông trình: cos3x.tan5x = sin7x Giaûi Ñieàu kieän: cos5x  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông: sin5x. cos3x = sin7x. cos5x 1 1
 sin2x  sin8x  sin2x  sin12x 2 2  k x     sin12x = sin8x  2  (k  )   k x     20 10
Baøi 49: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM Giaûi phöông trình: 1 1 2 sinx      cosx sinx  4    Giaûi
Ñieàu kieän: cosx  0; sinx  0
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)
 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( voâ nghieäm) 
 tanx = 1  x    k (k  ) 4
Baøi 50: CÑSP TW TP. HCM
Giaûi phöông trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2sinxcosx + 1 – 2sin2x + 3sinx – cosx – 2 = 0
 cosx(2sinx – 1) – (2sin2x  3sinx + 1) = 0
 cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx  1) = 0
 2sinx – 1 = 0 hay cosx – sinx +1 = 0 89
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –   1  x   k2  x    k2 sinx = hay sin  6  x    = sin   hay  2 (k  ) 2 4    4  5  x    k2  x    k2  6
Baøi 51: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI
Giaûi phöông trình: sin6x + cos6x = 2 2sin x     4    Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
1  3 sin22x = (sinx + cosx)2  3sin22x + 4sin2x = 0 4 4 
 sin2x = 0 hay sin2x =  (loaïi)  x = k (k  ) 3 2
Baøi 52: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM 1 cos8x
Giaûi phöông trình: sin2xsinx + cos5xcos2x = 2 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: 1   1     1 cos8x cosx cos3x cos7x cos3x  2 2 2
 cosx + cos7x = 1 + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos24x   k x  cos4x  0     8 4    (k  ) cos4x  cos3x  k2 x    7
Baøi 53: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN 1
Giaûi phöông trình: cosx.cos2x.sin3x = sin2x 4 Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx
 cosx  0 hay2cos2xsin3x  sinx 
 x = + k (k  ) hay sin5x + sinx = sinx 2  
 x = + k hay x = k (k  ) 2 5
Vaán ñeà 2:
GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TREÂN MOÄT MIEÀN ÑEÀ THI 90
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Baøi 1:
Tìm nghieäm thuoäc khoaûng (0; 2) cuûa phöông trình:  cos3x  sin3x 5 sinx    cos2x  3  .  1 2sin2x    Giaûi
Ñieàu kieän 1 + 2sin2x  0 (1)
Vôùi ñieàu kieän treân, phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)
 5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x  0)
 5cosx = 2cos2x + 2  cosx = 1 (thoûa ñieàu kieän (1)) 2 
 x    k2 (k  ) 3
Vì nghieäm x thuoäc khoaûng (0; 2   ) neân 5 x   x = 3 3 Baøi 2:
Tìm x thuoäc ñoaïn [0; 14] nghieäm ñuùng phöông trình:
cos3x  4cos2x + 3cosx  4 = 0. Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
4cos3x  3cosx  4 (2cos2x 1) + 3cosx 4 = 0  4(cos3x  2cos2x) = 0 
 cosx = 0  cosx = 2 (loaïi)  x = + k (k  ) 2 Vì x    
 [0; 14] neân x = , x = 3 , x = 5 , x = 7 . 2 2 2 2
Vaán ñeà 3:
ÑIEÀU KIEÄN COÙ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
Phöông trình Asinx + Bcosx = C coù nghieäm 2 2 2  A  B  C .
Söû duïng caùc phöông phaùp thöôøng gaëp nhö trong ñaïi soá. 91
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Xaùc ñònh m ñeå phöông trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x  m = 0 coù ít nhaát
moät nghieäm thuoäc ñoaïn 0;   . 2    Giaûi
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi:
2(1 – 2sin2x.cos2x) + 1 – 2sin22x + 2sin2x – m = 0 1   2  2 1 sin 2x 1 2 2sin 2x  2sin2x    m  2 
 3sin22x + 2sin2x + 3 = m (1) Ñaët t = sin2x. Vì x    0;  
 0  2x    0  sin2x  1  0  t  1 2   
(1) thaønh  3t2 + 2t + 3 = m (2); 0  t  1
Ñaët f(t) = 3t2 + 2t + 3 1  f'(t) = 6t + 2  f'(t) = 0  t = 3  Baûng bòeán thieân t 1  0 1 + 3 f'(t) + 0  f(t) 10 3 3 2
 Nhaän xeùt: (2) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng : y = m
vaø ñöôøng cong (C). Töø ñoù (1) coù nghieäm x    0;   2   
  vaø (C) coù ñieåm chung treân [0;1]  2  m  10 . 3
Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Cho phöông trình 2sinx  cosx 1  a (1) (a laø tham soá) sinx  2cosx  3 1
a/ Giaûi phöông trình (1) khi a = . 3
b/ Tìm a ñeå phöông trình (1) coù nghieäm. 92
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Taäp xaùc ñònh cuûa phöông trình (1): D = . Do ñoù:
(1)  2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)
 (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1 a/ Khi a = 1 : 5 5
(1)  sinx  cosx  0  sinx  cosx  0 3 3 3 sinx cosx tanx 1 x     
      k (k  ) 4
b/ Do (2 – a)2 + (2a + 1)  0 neân ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå (1) coù nghieäm laø
(2 – a)2 + (2a + 1)2  (3a – 1)2  2a2 – 3a – 2  0  1   a  2 2
Vaán ñeà 4:
BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
 Söû duïng coâng thöùc trong tam giaùc töông öùng
 Nhaän daïng tam giaùc baèng caùch ruùt goïn heä thöùc ñaõ cho hay chöùng toû heä thöùc ñoù
laø ñieàu kieän daáu baèng cuûa baát ñaúng thöùc
Heä thöùc trong tam giaùc caàn chuù yù
a. Ñònh lí haøm soá sin: a b c    2R sinA sinB sinC
b. Ñònh lí haøm soá cosin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA; b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC 2 2 2
c. Ñònh lí ñöôøng trung tuyeán: 2 2b  2c  a ma  4 A 2bc.cos
d. Ñònh lí ñöôøng phaân giaùc: l 2 a = b  c
e. Dieän tích tam giaùc: S = 1 a.h
absinC = abc = pr = (p – a).r    2 a = 1 2 4R a = p(p a)(p b)(p c)
f. Baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp: r = (p – a)tan A = (p – b)tan B = (p – c)tan C 2 2 2
g. Baùn kính ñöôøng troøn baøng tieáp: ra = p.tan A 2 B.ÑEÀ THI 93
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
Baøi 1: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1
Tìm caùc goùc A, B, C cuûa tam giaùc ABC ñeå bieåu thöùc:
Q = sin2A + sin2B  sin2C ñaït giaù trò nhoû nhaát. Giaûi Ta coù: 1 1 2
Q  (1 cos2A)  (1 cos2B)  sin C 2 2 2
1 cos(A  B).cos(A  B)  sin C = 1 + cosC cos(A  B)  1 + cos2C = cos2C + cosC. cos(A  B) 2 =  1  1 2 1
cosC  cos(A  B)  cos (A B)    2    4 4 A  B 0 1   C  120 Vaäy Qmin     1   0 4 cosC    A  B  30  2
Baøi 2: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Xaùc ñònh hình daïng cuûa tam giaùc ABC, bieát raèng:
   2     2 p a sin A p b sin B  c.sinA.sinB
Trong ñoù BC = a, CA = b, AB = c, a  b  c p  . 2 Giaûi
(p – a)sin2A + (p – b)sin2B = c.sinA. sinB
 (p – a)a2 + (p – b)b2 = abc (ñònh lyù haøm sin)
p  aa p  bb pp  aa pp  bb      p bc ac bc ac
 a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c p.p  a ( p.r abc 1 a sinA 1  cosA   .    ) bc A 4R A A A 2 b.c.tan b.c.tan 4.R.tan 2.tan 2 2 2 2  acosA + bcosB = c  sin2A + sin2B = 2sinC
 2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC
 cos (A – B) = 1  A = B   ABC caân taïi C.
Baøi 3: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Xeùt tam giaùc ABC coù ñoä daøi caïnh AB = c, BC = a, CA = b.
Tính dieän tích tam giaùc ABC bieát raèng: bsinC (bcosC + c.cosB) = 20. 94
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi
Tính dieän tích tam giaùc
Töø b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20
 4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20  4R2.sinB.sinC.sinA = 20 (1) 3 Ta coù: abc 8R .sinA.sinB.sinC 2 S    2R .sinA.sinB.sinC (2) 4R 4R
Theá (1) vaøo (2)  S = 10 (ñvdt) Baøi 4:
Goïi x, y, z laø khoaûng caùch töø caùc ñieåm M thuoäc mieàn trong cuûa ABC coù 3 goùc
nhoïn ñeán caùc caïnh BC, CA, AB. Chöùng minh raèng: 2 2 2 a  b  c x  y  z 
. Daáu “=” xaûy ra khi naøo? 2R
(a, b, c laø caùc caïnh cuûa ABC, R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp). Giaûi 2 2 2 Ta coù: a  b  c a b c  a  b.  c. 2R 2R 2R 2R  VP 2S 2S 2S  a b c  asinA  bsinB csinC a b c 2S        bc ac ab  bc ac ab  
Maët khaùc ta coù: 2S = ax + by + cz, do ñoù: 2 2 2 a  b  c   a b c ax by cz       (1) 2R  bc c ab   Ta coù: a b c
1  b c  1  c a  1  a b         
bc ac ab 2a  c b  2b  a c  2c  b a        Vaäy a b c 1 1 1       b c Vì 2   (2) bc ac ab a b c  a b    Töø (1) vaø (2) ta coù: 2 2 2 a  b  c ax by cz 1 1 1        2R  a b c  2 1 1 1 2    ax  by  cz   x  y    z   a b c  2 2 2 Suy ra: a  b  c x  y  z  . 2R 95
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – b c a c a b       2  a  b  c  A  BC ñeàu
Daáu “=” xaûy ra  c b c a b a     x y z    M : troïng taâm a x  b y  c z  Baøi 5:
Goïi A, B, C laø 3 goùc cuûa tam giaùc ABC, chöùng minh raèng ñeå tam giaùc ABC
ñeàu thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø: 2 A 2 B 2 C 1 A  B B  C C  A cos  cos  cos  2  cos cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Giaûi 2 A 2 B 2 C 1 A  B B  C C  A Ta coù: cos  cos  cos  2  cos cos cos 2 2 2 4 2 2 2 2 A 2 B 2 C A  B B  C C  A  4cos  4cos  4cos  8  cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A  B B  C C  A
 2  2cosA  2  2cosB  2  2cosC  8  cos cos cos 2 2 2       A  B B  C C  A 2 cosA cosB cosC 1  cos cos cos 2 2 2  A B C
Ta bietá cosA + cosB + cosC 1 = 4sin sin sin      2 2 2  A B C A  B B  C C  A  8sin sin sin  cos cos cos 2 2 2 2 2 2 Nhaân hai veá cho A B C 8cos cos cos 2 2 2
 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
 sinA = sinB = sinC (Cauchy coù VP  VT)
 A = B = C  ABC ñeàu. 96