Phương pháp giải toán về phân số tối giản Toán 6 (có lời giải chi tiết)
Phương pháp giải toán về phân số tối giản có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 32 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Preview text:
ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN
PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
-Phân số tối giản hay còn gọi là phân số không thể rút gọn được nữa là phân số mà tử và mẫu chỉ
có ước chung là 1 và -1. a a -Giả sử ta có phân số . Phân số
được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi ÖCLN ( , a b) =1. b b a b - Nếu phân số
là phân số tối giản thì phân số
cũng là phân số tối giản. b a
- Tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. -Tính chất: a m + a b m b m + a m . a k m
-Thuật toán Ơclit tìm ƯCLN(a;b):
Ta tìm UCLN(a ;b) bằng cách dùng thuật toán Euclide như sau :
a = bq0 + r1 với 0 < r1 < b
b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 .... rn-1 = rnqn .
Thuật toán phải kết thúc với một số dư bằng 0
Do đó ta có: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) =...=(rn-1; rn) = rn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1:Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản.
I.Phương pháp giải a
Chứng minh phân số là phân số tối giản, ta cần chứng minh ÖCLN ( , a b) = 1 , hoặc dùng b
thuật toán Euclide hoặc tổng (hiệu) của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. II.Bài toán Trang 1
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì các phân số sau là phân số tối giản. 1 n + 1 n −1 a. b. c. n n n Lời giải 1 a. n 1
Vì ÖCLN (1,n) = 1nên là phân số tối giản. n n + 1 b. n
*Cách 1: Theo thuật toán Euclide: ÖCLN (n+1,n) = ÖCLN ( ; n ) 1 = 1 +
do đó n 1 là phân số tối giản. n
*Cách 2: Giả sử ÖCLN (n+1,n) = d ( n+1) d n d n+1− n d
1 d d = 1 n + 1 Vậy là phân số tối giản. n n +1 1 1 n + 1 *Cách 3: Ta có:
= 1+ mà là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản. n n n n
Bài 2: Chứng minh rằng với n Z các phân số sau tối giản. n 1 n + 5 n + 1 a. 2n + b. 1 7n + c. 1 n + d. 6 2n + 3 3n + 2 7n + 1 2n + 7 2n + 3 e. f. 5n + 3 14n + g. 3 3n + h. 10 4n + 4 Lời giải n a. 2n+ 1 Trang 2 Giả sử ÖCLN ( , n 2n+ ) 1 = d n d 2n d 2n+1 d 2n+1 d
(2n+1) −2n d
2n+1−2n d
1 d d = 1 n Vậy phân số là phân số tối giản. 2n +1 1 b. 7n + 1 1
Vì ÖCLN (1,7n+ ) 1 = 1nên là phân số tối giản. 7n + 1 n + 5 c. n + 6
Giả sử ÖCLN (n+ 5,n+ 6) = . d n+ 5 d n+ 6 d
(n+ 6) −(n+ 5) d
n+ 6− n− 5 d
1 d d = 1 n + Vậy phân số 5
n + là phân số tối giản. 6 n + 1 d. 2n + 3
Giả sử ÖCLN (n+1,2n+ ) 3 = . d n+1 d 2 n+ 2 d 2n+ 3 d 2 n+ 3 d
(2n+ 3) −(2n+ 2) d Trang 3
2n+3−2n−2 d
1 d d = 1 n + 1 Vậy phân số là phân số tối giản. 2n + 3 3n + 2 e. 5n + 3
Giả sử ÖCLN (3n+ 2,5n+ ) 3 = . d 3 n+ 2 d 5(3n+ 2) d 1 5n+10 d 5n+ 3 d 3 (5n+ 3) d 1 5n+ 9 d
(15n+10) −(10n+ 9) d
15n+10−15n− 9 d
1 d d = 1 3n + 2 Vậy phân số là phân số tối giản. 5n + 3 7n + 1 f. 14n+ 3
Giả sử ÖCLN (7n +1,14n + ) 3 = . d 7n+1 d 2(7n+1) d 1 4n+ 2 d 1 4n+ 3 d 1 4n+ 3 d 1 4n+ 3 d
(14n+3) −(14n+ 2) d
14n+3−14n−2 d
1 d d = 1 7n + 1
Vậy phân số 14n+ là phân số tối giản. 3 2n + 7 g. 3n+ 10
Giả sử ÖCLN (2n+ 7,3n+10) = . d Trang 4 2n+ 7 d 3 (2n+ 7) d 6 n+ 21 d 3 n+10 d 2(3n+10) d 6 n+ 20 d
(6n+ 21) −(6n+ 20) d
6n+ 21−6n−20 d
1 d d = 1 n + Vậy phân số 2
7 là phân số tối giản. 3n + 10 2n + 3 h. 4n + 4
Giả sử ÖCLN (2n+ 3,4n+ 4) = . d 2 n+ 3 d 2 (2n+ 3) d 4n+ 6 d 4n+ 4 d 4n+ 4 d 4n+ 4 d
(4n+ 6) −(4n+ 4) d
4n+ 6− 4n− 4 d 2 d
Vì 2n + 3là số lẻ, 4n+ 4 là số chẵn nên suy ra d = 1 n + Vậy phân số 2 3 4n + là phân số tối giản. 4
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 2 n + 1 n 7n +1 n 2 2n + n + 1 a. b. c. d. e. n 2 n +1 2 7n + n +1 3 n +1 n Lời giải 2 n + 1 a. n
Ta có: Theo thuật toán Euclide: ÖCLN ( 2 n +1, ) n = ÖCLN ( ; n ) 1 = 1. 2 n + 1 Do đó: phân số là phân số tối giản. n Trang 5 n b. 2 n +1 2 n + 1 n Vì phân số
là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản. n 2 n +1 7n +1 c. 2 7n + n +1
Ta có: Theo thuật toán Euclide: ÖCLN ( 2
7n + n+1,7n+ )
1 = ÖCLN (7n+1; ) 1 = 1. 2 + + Do đó: phân số 7n n 1 là phân số tối giản. 7n + 1 2 7n + n + 1 7n +1 Vì phân số
là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản. 7n + 1 2 7n + n +1 n d. 3 n +1
Ta có: Theo thuật toán Euclide: ÖCLN ( 3 n +1, ) n = ÖCLN ( ; n ) 1 = 1. 3 + Do đó: phân số n 1 là phân số tối giản. n 3 n + 1 n Vì phân số
là phân số tối giản nên phân số là phân số tối giản. n 3 n +1 2 2n + n + 1 e. n
Ta có: Theo thuật toán Euclide: ÖCLN ( 2 2n + n+1, ) n = ÖCLN ( ; n ) 1 = 1. 2 2n + n + 1 Do đó: phân số là phân số tối giản. n a
Bài 4: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số a+ có là phân số tối giản không? 2 Lời giải Giả sử ÖCLN ( , a a + 2) = . d a d a+ 2 d Trang 6
(a+ 2) − a d
a+ 2− a d 2 d
Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ. Suy ra: d = 1 a Vậy phân số là phân số tối giản. a + 2 3 2 a + 2a −1
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a là số nguyên khác -1 thì giá trị của biểu thức A = là phân 3 2
a + 2a + 2a +1 số tối giản. Lời giải (a+ )1( 2 3 2 a + a a a − + − ) 2 1 2 1 a + a −1 Ta có: A = = = 3 2
a + 2a + 2a +1
(a+ )1( 2a +a+ ) 2 1 a + a +1 Gọi 2 2
d = ÖCLN(a + a −1,a + a +1) 2
a + a−1 d 2
a + a+1 d 2
a + a+ − ( 2 1 a + a − )1 d 2 d Mà 2 a + a + 1 = (
a a + 1) + 1 là số lẻ nên d lẻ d = 1
Vậy với a khác -1 thì giá trị của A là phân số tối giản. 2n +1
Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyên n khác không thì phân số 2 ( n n + là phân số tối giản. 1) Lời giải
Giả sử d = ÖCLN 2n +1,2n(n+ )1 2n+1 d 2 ( n n +1) d Trang 7 2n+1 d (
n 2n + 2) d
Mà ÖCLN (2n+1,2n+ 2) = 1nên 2n+1 d 2n+1 d n d 2n d
2n+1− 2n d 1 d d = 1 2n +1 Vậy phân số 2 ( n n + là phân số tối giản. 1)
Dạng 2:Tìm tham số n để phân số tối giản. I.Phương pháp giải
- Bước 1: Giả sử d là ước chung của tử và mẫu Tử và mẫu cùng chia hết cho d.
-Bước 2: Vận dụng các tính chất quan hệ chia hết để tìm các giá trị của d.
- Bước 3: Xác định giá trị khác -1 và 1 của d tử hoặc mẫu không chia hết cho các giá trị đó từ đó tìm
các điều kiện của ẩn.
Hoặc biến đổi phân số thành tổng hoặc hiệu của số nguyên với phân số tối giản. II.Bài toán
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản. 2n + 3 3n + 2 2n + 7 a. 4n+ b. 1 7n + c. 1 5n + 2 Lời giải 2n + 3 a. 4n+ 1
Giả sử d ÖC (2n+ 3,4n+ ) 1 2n+ 3 d 2 (2n+ 3) d 4n+ 6 d 4n+1 d 4n+1 d 4n+1 d
(4n+ 6) − (4n+1) d
4n+ 6− 4n−1 d
5 d d 1 ; 5 2n + 3 Để phân số
là phân số tối giản thì d 5 4n + 1
Hay 2n + 3 không chia hết cho 5. Trang 8
Ta có: 2n+ 3 5k 2n+ 3− 5 5k (k ) Z
2(n−1) 5k
n−1 5k n 5k +1 2n + 3
Vậy: với n 5k +1thì phân số là phân số tối giản. 4n + 1 3n + 2 b. 7n + 1
Giả sử d ÖC (3n+ 2,7n+ ) 1 3 n+ 2 d 7(3n+ 2) d 2 1n+14 d 7n+1 d 3 (7n+1) d 2 1n+ 3 d
(21n+14) −(21n+ 3) d
21n+14− 21n− 3 d
11 d d 1 ; 1 1 + Để 3n 2 phân số
là phân số tối giản thì d 11 7n + 1
Hay 7n +1 không chia hết cho 11.
Ta có: 7n+1 11k 7n+1− 22 11k (k ) Z
7(n−3) 11k
n−3 11k n 11k + 3 2n + 3
Vậy: với n 11k + 3thì phân số 4n+ là phân số tối giản. 1 2n + 7 c. 5n+ 2
Giả sử d ÖC (2n + 7,5n + 2) 2n+ 7 d 5 (2n+ 7) d 1 0n+ 35 d 5n+ 2 d 2 (5n+ 2) d 1 0n+ 4 d
(10n+ 35) − (10n+ 4) d
10n+ 35−10n− 4 d Trang 9
31 d d 1 ; 3 1 + Để 2n 7 phân số
là phân số tối giản thì d 31 5n + 2
Hay 2n+ 7 không chia hết cho 31.
Ta có: 2n+ 7 31k 2n+ 7−31 31k (k ) Z
2(n−12) 31k
n−12 31k n 31k +12 2n + 3
Vậy: với n 31k +12thì phân số là phân số tối giản. 4n + 1
Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản. 3n + 4 2n − 9 2 n − n − 7 a. b. c. n − 1 n − 1 n −1 Lời giải 3n + 4 a. n− 1 3n + 4 3n − 3+ 7 7 Ta có: = = 3+ n ) n −1 n −1 n − ( với 1 1 + Để 3n 4 7
n− là phân số tối giản thì 1
n − là phân số tối giản. 1 7 Mà
ÖCLN 7,n−1 = 1
n − là phân số tối giản ta phải có ( ) 1
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ÖCLN (7,n− )
1 1 thì n −1 7 hay n−1= 7k (k ) Z do đó
n = 7k +1 (k )
Z nên ÖCLN (7,n− )
1 = 1 khi n 7k +1 (k ) Z 3n + 4 Vậy: phân số n k + kZ n −
là phân số tối giản khi 7 1 ( ) 1 2n − 9 b. n− 1 2n − 9 2n − 2 − 7 7 Ta có: = = 2− n ) n −1 n −1 n − ( với 1 1 Trang 10 − Để 2n 9 7
là phân số tối giản thì là phân số tối giản. n − 1 n −1 7 Mà
là phân số tối giản ta phải có ÖCLN (7,n− ) 1 = 1 n −1
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ÖCLN (7,n− )
1 1 thì n −1 7 hay n−1= 7k (k ) Z do đó
n = 7k +1 (k )
Z nên ÖCLN (7,n− )
1 = 1 khi n 7k +1 (k ) Z 3n + 4 Vậy: phân số
là phân số tối giản khi n 7k +1 (k ) Z n − 1 2 n − n − 7 c. n −1 2 n − n − 7 7 Ta có: = n− ( với n 1) n −1 n −1 2 − − Để n n 7 7
là phân số tối giản thì là phân số tối giản. n −1 n −1 7 Mà
ÖCLN 7,n−1 = 1
n − là phân số tối giản ta phải có ( ) 1
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ÖCLN (7,n− )
1 1 thì n −1 7 hay n−1= 7k (k ) Z do đó
n = 7k +1 (k )
Z nên ÖCLN (7,n− )
1 = 1 khi n 7k +1 (k ) Z 2 n − n − 7 Vậy: phân số n k + kZ n −
là phân số tối giản khi 7 1 ( ) 1 3
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 2n+ là phân số tối giản. 3 Lời giải 3
Vì 3 là số nguyên tố nên
n + không chia hết cho 3.
2n + là phân số tối giản khi 2 3 3
Do 3 3 nên 2n 3 khi n 3hay n 3k (k ) Z
Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản. 2 4n + 6n + 3 18n + 3 8n + 193 a. n + b. 3 21n + c. 7 4n + 3 Lời giải Trang 11 2 4n + 6n + 3 a. 2n + 3
Giả sử d ÖC( 2
4n + 6n + 3,2n + ) 3 2 2 2
4n + 6n+ 3 d
4n + 6n+ 3 d
4n + 6n+ 3 d 2 2n+ 3 d 2 (
n 2n + 3) d 4n + 6n d 2 2
(4n + 6n+ 3) − (4n + 6 ) n d 2 2
4n + 6n+3− 4n −6n d
3 d d 1 ; 3 2 + + Để 4n 6n 3 phân số
là phân số tối giản thì d 3 2n + 3
Hay 2n + 3 không chia hết cho 3.
Ta có: 2n+ 3 3k 2n+ 3− 9 3k 2n− 6 3k (k ) Z
2(n−3) 3k
n−3 3k n 3k + 3 2 4n + 6n + 3
Vậy: với n 3(k +1) thì phân số 2n + là phân số tối giản. 3 18n + 3 b. 21n+ 7
Giả sử d là ước chung nguyên tố của (18n + ) 3 và (21n+ ) 7 1 8n+ 3 d 7(18n+ 3) d 1 26n+ 21 d 21n+ 7 d 6(21n+ 7) d 1 26n+ 42 d
(126n+ 42) − (126n+ 21) d
126n+ 42−126n− 21 d
21 d d 3; 7
+ d = 3 21n + 7 3 7 3 (vô lí)
+ d = 3 18n + 3 7 18n + 3n − 3n + 3 7 21n − 3n + 3 7 3− 3n 7 n −1 7
n−1= 7k n = 7k +1 Trang 12 18n + 3
Vậy: với n 7k +1thì phân số là phân số tối giản. 21n + 7 8n + 193 c. 4n + 3
Giả sử d là ước chung nguyên tố của (8n +19 ) 3 và (4n + ) 3 8 n+193 d 8 n+193 d 8 n+193 d 4n+ 3 d 2 (4n+ 3) d 8 n+ 6 d
(8n+193) − (8n+ 6) d
8n+193− 8n− 6 d
187 d d 11;1 7
+ d = 11 4n + 3 11 4n + 3−11 11 4n − 8 11
4(n−2) 11 n−2 11 n =11k + 2 (kZ)
+ d = 17 4n+ 3 17 4n+ 3+17 17 4n+ 20 17 4(n+ 5) 17
n+ 5 17 n = 17l − 5 (l Z) 8n + 193
Vậy: với n 11k + 2, n 17l − 5 ( ,
k l Z)thì phân số 4n+ là phân số tối giản. 3
Bài 5: Tìm tất cả số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản. 3 − 2n 16n + 5 a. 4n+ b. 5 6n + 1 Lời giải 3 − 2n a. 4n+ 5
Giả sử d ÖC (3− 2 , n 4n + ) 5 3 − 2n d 2(3− 2 ) n d 6− 4n d 4n+ 5 d 4n+ 5 d 4n+ 5 d (6− 4 )
n + (4n+ 5) d
6− 4n+ 4n+ 5 d
11 d d 1 ; 1 1 Trang 13 − Để 3 2n phân số
là phân số tối giản thì d 11 4n + 5
Hay 3− 2n không chia hết cho 11.
Ta có: 3− 2n 11k 3− 2n−11 11k (k Z) 2
− (n+ 4) 11k (k Z)
n+ 4 11k n 11k − 4 (kZ) 3 − 2n
Vậy: với n 11k − 4 (k Z) thì phân số là phân số tối giản. 4n + 5 16n + 5 b. 6n +1
Giả sử d ÖC (16n+ 5,6n+ ) 1 1 6n+ 5 d 3 (16n+ 5) d 48n+15 d 6n+1 d 8 (6n+1) d 48n+ 8 d
(48n+15) −(48n+8) d
48n+15− 48n− 8 d
7 d d 1 ; 7 + Để 16n 5 phân số
là phân số tối giản thì d 7 6n +1
Hay 6n +1 không chia hết cho 7.
Ta có: 6n+1 7k 6n+1− 7n 7k (k Z) 1
− (n−1) 7k (k Z)
n−1 7k n 7k +1(kZ) 3 − 2n
Vậy: với n 11k − 4 (k Z) thì phân số 4n+ là phân số tối giản. 5 2 3n + 2n + 3
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 2n + tối giản. 1 Lời giải Trang 14
Giả sử d ÖC( 2
3n + 2n+ 3,2n+ ) 1 2 2 2 3
n + 2n+ 3 d
2(3n + 2n+ 3) d
6n + 4n+ 6 d 2 2n+1 d 3 (
n 2n +1) d 6n + 3n d 2 2
(6n + 4n+ 6) − (6n + 3 ) n d 2 2
6n + 4n+ 6−6n −3n d
n+ 6 d 2(n+ 6) d 2n+12 d
11 d d 1 ; 1 1 2 + + Để 3n 2n 3 phân số
là phân số tối giản thì d 11 2n + 1
Hay 2n +1 không chia hết cho 11.
Ta có: 2n+1 11k 2n+1+11 11k (k Z)
2(n+ 6) 11k (k Z)
n+ 6 11k n 11k − 6 (kZ) 2 3n + 2n + 3
Vậy: với n 11k − 6 (k Z)thì phân số 2n + là phân số tối giản. 1
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản.
I.Phương pháp giải
Để một phân số không tối giản thì tử số và mẫu số phải có ít nhất một ước chung là một số nguyên tố. II.Bài toán 7
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên n để (n )1 n −
là phân số chưa tối giản. 1 Lời giải 7 Để (n )1 UCLN n −1;7 1 n −
không là phân số tối giản ta phải có ( ) 1
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu UCLN (n −1;7) 1thì n −1 7
hay n –1 = 7k (k , k 0) , do đó n = 7k +1 (k , k 0) Trang 15 63
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên n để A =
không là phân số tối giản. 3n +1 Lời giải Ta có 2
63 = 3 .7 nên A không phải là phân số tối giản khi 3n +1chia hết cho 3 hoặc 7 .
Vì 3n +1không chia hết cho 3 nên 3n +1phải chia hết cho 7 .
hay 3n +1− 7 = 3(n − 2) 7 n − 2 7 (vì (3;7) = 1)
do đó n = 7k + 2 (k ,k 0) 63
Vậy n = 7k + 2 để A =
không là phân số tối giản. 3n +1 6n + 7
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n đểphân số B =
không là phân số tối giản. 3n + 2 Lời giải
Gọi d là ước nguyên tố chung (nếu có) của 6n + 7 và 3n + 2 6n + 7 d 6n + 7 d 3 n + 2 d 6n + 4 d
(6n +7)−(6n+ 4) d hay 3 d
Vì d là ước nguyên tố nên d = 3
Khi đó (3n + 2) 3 2 3 vô lý 6n + 7
Vậy không có số tự nhiên n để phân số B =
không là phân số tối giản. 3n + 2 2 3n + 2n + 3
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 2n +
không là phân số tối giản. 1 Lời giải
Gọi d là ước nguyên tố chung (nếu có) của 2
3n + 2n + 3và 2n +1 Trang 16 3
n + 2n + 3 d ( 2 2
2 3n + 2n + 3) d 2n +1 d 3 n (2n + ) 1 d ( 2
2 3n + 2n + 3) −3n(2n + ) 1 d
hay 2n +12 d 2n +1+11 d
Suy ra 11 d d = 11 Khi đó (2n +1−1 )
1 11 hay 2(n − 5) 11 n − 5 11
n =11k +5(k ) 2 3n + 2n + 3
Vậy với n =11k + 5(k ) để phân số
không là phân số tối giản. 2n +1 abab
Bài 5: Chứng minh rằng:
là phân số chưa tối giản. cdcd Lời giải abab a . b 101 ab Ta có = = cdcd cd.101 cd abab Vậy
là phân số chưa tối giản. cdcd 4n + 7 Bài 6: Phân số
(n ) rút gọn cho những số nguyên dương nào? 6n + 5 Lời giải Gọi ( * d d
)là ước chung (nếu có) của 4n+7và 6n+5 4n + 7 d 3
(4n + 7) d 6n + 5 d 2 (6n + 5) d 3
(4n + 7) − 2(6n + 5) d
Suy ra 11 d d = 11 4n + 7 Vậy phân số
(n ) hoặc tối giản hoặc chỉ rút gọn được cho 11. 6n + 5
Dạng 4:Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước Trang 17
I.Phương pháp giải
- Dùng phương pháp phản chứng.
- Dùng định nghĩa phân số tối giản. II.Bài toán p p + q Bài 1: Cho phân số *
(q N ) tối giản.Chứng minh rằng phân số tối giản. q q Lời giải
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. p + q Giả sử
không tối giản tức là tử p + q và mẫu q có một ước chung d 1. q
suy ra p + q d; q d p d
như vậy p và q có một ước chung d 1.
Điều này trái với đề bài đã có p tối giản q p + q Vậy là phân số tối giản. q a a + b Bài 2: Cho phân số
(a,b ,b 0)là phân số chưa tối giản.Chứng minh rằng phân số cũng chưa b b tối giản. Lời giải a Vì phân số
là phân số chưa tối giản nên UCLN ( ,
a b) = d (d ,d 0,d ) 1 b
a d, b d (a + ) b d
d UC (a + ,
b b) mà d 0,d 1 a + b Do đó phân số cũng chưa tối giản. b a 11a + 2b
Bài 3: Cho phân số tối giản *
(a, b N ) xét xem phân số b 18a +
có là phân số tối giản không? 5b Trang 18 Lời giải GọiU LN C
(11a+2 ;b 1 8a+5b) = d thì 1 8a + 5 b d 1 1 ( 1 8a + 5 b) d 1 1.18a + 5 5 b d 1 1a + 2b d 1 8
(11a + 2b) d 1 1.18a + 3 6b d (11.18n+ 55 )
b − (11.18b + 36 ) b d
55b − 36b =19b d b d hoặc 19 d . + Nếu b d ta có 1 8a + 5 b d 3 . ( 1 8a + 5 b) d 5 4a + 5 1 b d 1 1a + 2b d 5 .
(11a + 2b) d 5 5a + 1 0b d
a − 5b d mà b d nên 5b d a d a Mặt khác do
tối giản nên d = 1 ( ) 1 b
+ Nếu 19 d thì d = 19 hoặc d =1 (2) 11a + 2b
Từ (1) và (2) suy ra 18a + hoặc tối giản hoặc rút gọn được cho 19. 5b 15 28
Bài 4: Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất khác 1 để các phân số ; đều tối giản. m m Lời giải 15 Xét phân số , có 15 = 3.5 m 15 Nên phân số tối giản khi m 3k; m 5k (k + ) m 28 Xét phân số , có 2 28 = 2 .7 m 28 Nên phân số tối giản khi m 2k; m 7k (k + ) m 15 28 Vậy các phân số ;
cùng tối giản khi m 3k; m 5k; m 2k; m 7k (k + ) m m
Mặt khác, m là số tự nhiên nhỏ nhất khác 1nên ta chọn m = 11. Trang 19 15 28
Vậy m = 11thì các phân số ; đều tối giản. m m 7 10 11
Bài 5: Tìm các số nguyên b(21 b 3 ) 1 sao cho các phân số ; ;
đều là phân số tối giản. b b b Lời giải 7 10 11
Ta có 10 = 2.5 nên để các phân số ; ;
đều là phân số tối giản thì b b b b 2k;b 5k;b 7k;b 11k (k + )
Vì b , 21 b 31 nên ta chọn b 23;27;29;3 1 . 7 10 11
Vậy b 23;27;29;3 1 thì các phân số ; ;
đều là phân số tối giản. b b b 7 8 31
Bài 6: Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất để các phân số ; ; ....; đều tối giản. m + 9 m +10 m + 33 Lời giải 7 7 Ta có = m + 9 7 + (m + 2) 8 8 = m +10 8 + (m + 2) ......................... 31 31 = m + 33 31+ (m + 2) a
Các phân số trên có dạng a +(m+ 2)
Để các phân số trên tối giản thì a và m + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau( vì nếu chúng không là hai số
nguyên tố cùng nhau thì chúng cùng chia hết cho số d 1suy ra phân số rút gọn được cho d )
Ta cần tìm số tự nhiên m sao cho m + 2 nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số 7;8;.....;31
Như vậy m + 2 phải là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn 31đó là số 37
m + 2 = 37 m = 35 7 8 31
Vậy với m = 35 thì các phân số ; ; ....; m + 9 m +10 m + đều tối giản. 33 5 6 17
Bài 7: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số ; ; ....; n + 8 n + 9 n + đều tối giản. 20 Lời giải 5 5 Ta có = n + 8 5 + (n + 3) Trang 20 6 6 = n + 9 6 + (n + 3) ......................... 17 17 = n + 20 17 + (n + 3) a
Các phân số trên có dạng a + (n + 3)
Để các phân số trên tối giản thì a và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau( vì nếu chúng không là hai số
nguyên tố cùng nhau thì chúng cùng chia hết cho số d 1suy ra phân số rút gọn được cho d )
Ta cần tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số 5;6;.....;17
Như vậy n + 3 phải là số nguyên tố nhỏ nhất mà lớn hơn 17 đó là số 19
n + 3 = 19 n = 16 5 6 17
Vậy với n = 16 thì các phân số ; ; ....; đều tối giản. n + 8 n + 9 n + 20 n + 7
Bài 8: Tìm n , n 2 để phân số n− tối giản. 2 Lời giải n + 7 Ta có phân số
UCLN n + 7, n − 2 = 1
n − tối giản nên ( ) 2
Mà (n + 7) − (n − 2) = 9 nên UCLN (n − 2;9) =1 Do đó n − 2 3
Đặt n − 2 3a(a )
Vậy n 2 + 3a (a ) n n
Bài 9: Chứng minh rằng 2 5n + 1 6 , với n thì
; là các phân số tối giản. 2 3 Lời giải Vì với mọi n thì 2 5n +1 6 2
n lẻ n lẻ và n không chia hết cho 3 n n
Vậy ; là các phân số tối giản. 2 3 a
Bài 10: Chứng tỏ rằng nếu
là phân số tối giản thì: b Trang 21 a + b 246913579 a) Phân số
cũng là phân số tối giản, suy ra là tối giản. b 123456790 a − b b − a b) Phân số hoặc
cũng là phân số tối giản. b b Lời giải a a) Vì phân số
là phân số tối giản nên UCLN ( , a b) =1 b mà UCLN ( ,
a b) = UCLN (a + , b b) =1 + Do đó a b phân số là phân số tối giản. b 246913579 123456789 Suy ra = +1 123456790 123456790 123456789 Mà là phân số tối giản 123456790 246913579 Vậy là phân số tối giản. 123456790 a b) Ta có phân số
là phân số tối giản nên UCLN ( , a b) =1 b mà UCLN ( ,
a b) =UCLN (a − ,
b b) =UCLN (b − , a b) =1 a − b b − a nên phân số hoặc là phân số tối giản. b b 3a + 5b + 2
Bài 11: CMR nếu (a –1; b + ) 1 =1thì A = là phân số tối giản. 5a + 8b + 3 Lời giải
Gọi d = UCLN (3a + 5b + 2; 5 a + 8b + )
3 5(3a + 5b + 2) −3(5a +8b + 3) d b +1 d ( ) 1
Và 8(3a + 5b + 2) – 5(5a +8b + 3) d a –1 d (2) Từ ( ) 1 và (2) d U
C(a –1; b + ) 1
Mà UCLN (a –1; b + ) 1 =1 d = 1 3a + 5b + 2
Vậy nếu (a –1; b + ) 1 =1thì A = là phân số tối giản. 5a + 8b + 3
Dạng 5:Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước Trang 22
I.Phương pháp giải
Dùng định nghĩa hai phân số a c bằng nhau = ad = bc . b d II.Bài toán a
Bài 1: Tìm phân số tối giản
( b 0) mà giá trị của nó không đổi khi cộng thêm tử với 4 , mẫu với 10 . b Lời giải Với b 0, ta có: a a + 4
Khi cộng thêm tử với 4 , mẫu với 10 vào phân số ta được phân số b b +10 a a + 4 Lúc này ta có: = b b +10
Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có a(b +10) = b(a + 4) a 4 2
Suy ra 10a = 4b nên = = . b 10 5
Vậy phân số cần tìm là a 2 = . b 5
Bài 2: Tìm phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và cộng mẫu vào mẫu thì giá trị của phân số đó tăng lên gấp 2 lần. Lời giải a a + b 2a a + b 2a
Gọi phân số cần tìm là
(b 0) , theo đề bài ta có: = = b b + hay b b 2b b
suy ra ab + bb = 4ab hay 3ab = bb ab 1 a 1 suy ra = hay = (vì b 0 ) bb 3 b 3 a 1
Vậy phân số cần tìm là = . b 3 Trang 23 a
Bài 3: Tìm phân số dương tối giản
(b 0) nhỏ nhất sao cho khi nhân phân số này với các phân số b 14 12 ;
thì kết quả là các số nguyên dương. 5 25 Lời giải a 14 14a Ta có . = b 5 5b Mà UCLN ( ,
a b) =1nên a là bội của 5 và b là ước của 14 ( ) 1
Lại có a 12 12a . = b 25 25b Mà UC ( .
a b) =1nên a là bội của 25 và b là ước của 12 (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra a = BCNN(5;25) = 25; b =UCLN(14;12) = 2
Vậy phân số cần tìm là a 25 = . b 2 a
Bài 4: Tìm phân số tối giản *
(b N ) biết rằng lấy tử cộng với 6 , lấy mẫu cộng với 14 thì được một b phân số bằng 3 . 7 Lời giải a + 6 3 Ta có = b + 14 7
Suy ra 7(a + 6) = 3(b +14)
7a + 42 = 3b + 42 7a = 3b a 3 = . b 7 a 3
Vậy phân số cần tìm là = . b 7 a
Bài 5: Tìm phân số tối giản *
(b N ) biết rằng lấy tử cộng với 7 , lấy mẫu cộng với 20 thì giá trị của b phân số không đổi. Lời giải a + 7 a Ta có = b + 20 b Trang 24
Suy ra b(a + 7) = a(b + 20)
ab + 7b = ab + 20a 7b = 20a a 7 = . b 20
Vậy phân số cần tìm là a 7 = . b 20
Bài 6: Tìm một phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử để có tử mới và lấy mẫu trừ tử để có mẫu
mới thì được một số chính phương chẵn bé nhất. Lời giải a a + b
Gọi phân số cần tìm là *
(b N , a b) , theo đề bài ta có: = 4 b b − a
suy ra a + b = 4b 4
− a hay 5a = 3b a 3 suy ra = b 5 a 3
Vậy phân số cần tìm là = . b 5
Bài 7: Tìm phân số tối giản có mẫu là 11, biết rằng khi cộng tử với 18
− , nhân mẫu với 7 thì được một
phân số bằng phân số ban đầu. Lời giải
Gọi phân số cần tìm là x (x ) . Theo đề bài ta có: 11 x x + (−18) = 11 11.7 7x x + ( 18 − ) =
7x = x −18 11.7 11.7 6x = 1 − 8 x = 3 − −
Vậy phân số cần tìm là 3 . 11 3
Bài 8: Tìm một phân số khi chưa tối giản có tổng của tử và mẫu là 1100 , sau khi rút gọn được . Tìm 7 phân số ban đầu. Lời giải Trang 25 3n
Phân số ban đầu cần tìm
và 3n + 7n = 1100 (n ) * 7n
Hay 10n = 1100 n = 110 330
Vậy phân số ban đầu là . 770 a
Bài 9: a) Với a là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản. 74 b
b) Với b là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản. 225 Lời giải a a a) Ta có =
là phân số tối giản khi a là số nguyên tố khác 2 và 37 . 74 2.37 b b b) Ta có =
là phân số tối giản khi b là số nguyên tố khác 3 và 5 . 2 2 225 3 .5 3 n + 5n +1 255
Bài 10: Tìm n để = . 4 2
n + 6n + n + 5 1083 Lời giải Gọi UCLN ( 3 4 2
n + n + ; n + n + n + ) = d ( * 5 1 6 5 d )suy ra 3
n + 5n +1 d ( 4 2
n + 6n + n + 5) − n ( 3
n + 5n +1 d 4 2 )
n + 6n + n + 5 d Hay 2 n + 5 d Do đó ( 3 n + n + )−n( 2 5 1 n + 5) d
hay 1 d d =1 255 85 Ta có = 1083 361 3 n + 5n +1 85 3 n + 5n +1 85 ; = 4 2
n + 6n + n + tối giản và 5 361 4 2
n + 6n + n + 5 361
Vì dạng tối giản của phân số là duy nhất nên 3 3
n +5n +1= 85 n + 5n +1= 85 4 2
n + 6n + n +5 = 361 n ( 3 n + 5n + ) 2 1 + n + 5 = 361 2
n +85n −356 = 0 2
n − 4n + 89n − 365 = 0 Trang 26
n(n − 4) +89(n − 4) = 0
(n−4)(n+89) = 0
n − 4 = 0 (vì n +89 0 ) n = 4 3 n + 5n +1 255 Vậy với n = 4 thì = 4 2
n + 6n + n + 5 1083
PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.
Bài 1: (HUYỆN HOA LƯ NĂM 2020-2021) 2n + 5 Cho A =
. Chứng tỏ A là phân số tối giản. n + 3 Lời giải ĐK: n 3
Gọi UCLN(n + 3, 2n + 5) d (n + )
3 d;(2n + 5) d 2(n + )
3 d;(2n + 5) d
(2n + 6) −(2n +5) d 1 d d =1
Vậy A là phân số tối giản
Bài 2: (HUYỆN PHÙ CÁT NĂM 2020-2021) n + 1 Tìm n để phân số là phân số tối giản. 3n − 1 Lời giải
Gọi UCLN (n +1,3n − ) 1 = d n +1 d 3 n + 3 d 3 n −1 d 3 n −1 d
(3n + 3) − (3n − ) 1 d 4 d d 1;2; 4 n + 1 Để
là phân số tối giản thì d 2; 4 3n − 1 Trang 27 n +1 2 n +1 2 n +1 4
n +1 2k (k ) *
n 2k −1 n + 1
Vậy n 2k − ( 1 k ) * thì phân số là phân số tối giản 3n − 1
Bài 3: (HUYỆN THANH BA NĂM 2020-2021) 12n + 1
Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n : 30n + . 2 Lời giải
Gọi UCLN (12n +1,30n + 2) = d 12 n +1 d 5 (12n + ) 1 d 30 n + 2 d 2 (30n + 2) d
(60n + 5) − (60n + 4) d 1 d d =1 12n + 1 Vậy phân số
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n . 30n + 2
Bài 4: (HUYỆN CHƯƠNG MỸ NĂM 2020-2021) n + Cho phân số 3 5 P = (n N ) n + 2
a) Chứng tỏ rằng phân số P tối giản.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của biểu thức P. Lời giải 3n + 5 Cho phân số P =
(n N ) n + 2
a) Gọi UCLN (3n +5,n + 2) = d 3n + 5 d M và n + 2 d M
3.(n + 2) −(3n +5) d M 1 d M d = 1 − d =1 3n + 5 Suy ra phân số P =
(n ¢ ) tối giản. n + 2 3n + 5 b) Ta có: P = (n ¢ ) n + 2 Trang 28 3(n + 2) −1 P = n + 2 1 P = 3 − n + 2
Để P đạt giá trị lớn nhất thì 1 đạt giá trị âm nhỏ nhất, mà n¢ nên n + 2 đạt giá trị nguyên âm lớn n + 2 nhất khi n = 3 − .
Khi đó giá trị lớn nhất của 1 P là: P = 3 − = 4 . 3 − + 2
Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì 1 đạt giá trị dương lớn nhất; mà n¢ nên n + 2 đạt giá trị nguyên n + 2
dương nhỏ nhất khi n = 1 − .
Khi đó giá trị nhỏ nhất của 1
P là: P = 3 − = 2 . 1 − + 2
Vậy giá trị lớp nhất của P bằng 4 , đạt tại n = 3 −
Giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 , đạt tại n = 1 − .
Bài 5: (HSG SƠN TỊNH NĂM 2020-2021) 12n + 5
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n , phân số 15n + là phân số tối giản. 6 Lời giải
Gọi UCLN (12n + 5,15n + 6) = d 12 n + 5 d 5
(12n + 5) d 15 n + 6 d 4 (15n + 6) d
(60n + 25) − (60n + 24) d 1 d d =1 12n + 5
Vậy phân số 15n + là phân số tối giản. 6
Bài 6: (HUYỆN NHO QUAN NĂM 2020-2021) 14n + 3
Chứng tỏ rằng với n là số nguyên dương thì 24n+ là phân số tối giản. 5 Lời giải
Gọi d = ÖCLN (14n+ 3;24n+ ) 5 1 4n+ 3 d + + 12.(14n 3) d 168n 36 d 24n+ 5 d 7.(24n+ 5) d 1 68n+ 35 d
(168n+36) −(168n+35) d Trang 29
168n+ 36−168n− 35 d
1 d d = 1 14n + 3 Vậy: phân số phân số
là phân số tối giản với n . N 24n + 5
Bài 7: (HUYỆN TRIỆU SƠN NĂM 2020-2021) 1− 3n
Tìm các số tự nhiên n để phân số là phân số tối giản. 2n − 3 Lời giải
Gọi d = ÖC (1− 3 ; n 2n − ) 3 1 − 3n d − − 2.(1 3 ) n d 2 6n d 2n− 3 d 3 .(2n−3) d 6n− 9 d (2−6 )
n + (6n− 9) d
2− 6n+ 6n− 9 d 7
− d d = 1 ; 7 − Để n phân số 1 3 d
2n − là phân số tối giản thì 7 3
Hay 2n − 3 không chia hết cho 7
2n−3 7k
2n−3− 7 7k
2n−10 7k
n− 5 7k
n 7k + 5 1− 3n
Vậy: với n 7k + 5phân số 2n− là phân số tối giản. 3
Bài 8: (THỊ XÃ THÁI HÒA NĂM 2020-2021) 4n +1
Chứng minh rằng phân số 6n+ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 1 Lời giải Trang 30
Gọi d = ÖCLN (4n+1;6n+ ) 1 4n+1 d + + 3.(4n 1) d 12n 3 d 6n+1 d 2.(6n+1) d 1 2n+ 2 d
(12n+3) −(12n+ 2) d
12n+ 3−12n− 2 d
1 d d = 1 4n +1 Vậy phân số phân số
là phân số tối giản với n . N 6n +1
Bài 9: (HUYỆN ANH SƠN NĂM 2020-2021) 3n + 2
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì là phân số tối giản. 5n + 3 Lời giải
Gọi d = ÖCLN (3n+ 2;5n+ ) 3 3 n+ 2 d + + 5.(3n 2) d 15n 10 d 5n+ 3 d 3 .(5n+ 3) d 1 5n+ 9 d
(15n+10) −(15n+ 9) d
15n+10−15n− 9 d
1 d d = 1 3n + 2 Vậy phân số phân số nZ
5n + là phân số tối giản với . 3
Bài 10: (HUYỆN PHÚ LƯƠNG NĂM 2020-2021)
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản: 7 8 9 100 ; ; ;...;
n + 9 n + 10 n +11 n + 102 Lời giải x
Ta có các phân số đã cho đều có dạng x 7;8; 9;...;100 x + (n + với 2)
Do đó để các phân số đều tối giản thì x và n + 2 phải nguyên tố cùng nhau. Trang 31
Suy ra n + 2 phải nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số 7;8; 9;...;100
n+ 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và lớn hơn 100 n + 2 = 101 n = 99 HẾT Trang 32