125 trang 136 lượt tải

Sách Bài tập môn xác suất thống kê | Học viện Ngân Hàng

271

Sách Bài tập môn xác suất thống kê | Học viện Ngân Hàng với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Xác suất thống kê (HVNH) 6 tài liệu

Trường: Học viện Ngân hàng 1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thanh Hoa

1 năm trước
Danh sách Quiz
/125
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
1
BÀI T P
XÁC SU T TH NG KÊ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
2
CHƯƠNG 1: XÁC SU T
1.1.
M t h p có 100 t m th nh nhau c ghi các s t 1 n 100, Rút ng u ư ñư ñ
nhiên hai th r i t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t n ñ ñ
a/ Rút c hai th l p nên m t s có hai ch s . ñư
b/ Rút c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. ñư
Gii
a/
A
:“Hai th rút c l p nên m t s có hai ch s ” ñư
( )
2
9
2
100
9.8
0,0073
100.99
A
P A
A
= = ≈
b/
B
: “Hai th rút c l p nên m t s chia h t cho 5” ñư
S chia h t cho 5 t i là 0 ho c 5. có bi n c n cùng ph Đ
B
thích h p v i ta rút
th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn l i t vào v trí âu. Do ó s tr ng h p thu n l i cho là 99.20 ñ ñ ñ ư
( )
2
100
99.20
0,20
P B
A
= =
1.2.
Mt h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u en cùng kích th c. Rút ñ ư
ngu nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñưc có
a/ Hai qu c u en. ñ
b/ Ít nh t 2 c u en ñ
c/ Toàn c u tr ng
Gii
Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s tr ng h p ng kh ư ñ
năng là
4
10
C
a/
A
:”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u en” ñ
( )
2 2
3 7
4
10
.
C C
P A
C
= =
b/
B
:”trong 4 qu c u c rút có ít nh t 2 qu c u en” ñư ñ
( )
2 2 3 1
3 7 3 7
4
10
. .
1
3
C C C C
P B
C
+
= =
c/
C
:”trong 4 qu c u c ch n có toàn c u tr ng” ñư
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
3
( )
4
7
4
10
1
6
C
P C
C
= =
1.3.
Mt h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t l ng. Ch n ng u ư
nhiên l n l t không tr l i 2 ng. Tính xác su t : ư ñ
a/ C hai ng c ch n u t t. ñư ñ
b/ Ch ng c ch n ra u tiên là t t. ñư ñ
c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t.
Gii
Chn ng u nhiên l n l ưt không tr l i 2 trong 8 ng nên các tr ưng hp
ñng kh năng là
2
8
A
.
a/
A
:” C hai c ch n u t t” ng ñư ñ
( )
2
5
2
8
0,357
A
P A
A
= ≈
b/
B
:” Ch c ch n ra u tiên là t t” ng ñư ñ
( )
1 1
3 5
2
8
.
0,268
C C
P B
A
= ≈
c/
C
:” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t”
( )
2
3
2
8
1 0,893
A
P C
A
= − ≈
1.4.
Mt h p ng 15 qu bóng bàn trong ó có 9 qu m i. L n u ng i ta l y ñ ñ ñ ư
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 ñ
qu. Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau u m i. ñ
Gii
Đt
A
:” c 3 qu l y ra l n sau u m i” ñ
i
B
:” Trong 3 qu l y ra thi u có ñ ñ
i
qu m i”
{
}
0;1;2;3
i ∈
Ta th y các
{
}
0 1 2 3
; ; ;
B B B B
lp thành nhóm y các bi n c , theo công th c xác ñ ñ
sut toàn ph n
(
)
= + + +
( )
    

= + + + ≈
1.5.
T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ng i ta ch n ng u nhiên ư
5 sinh viên l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ ñ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
4
a/ BCB g m 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nh t m t n ,
c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n .
Gii
Đt
k
A
: “BCB có k nam sinh viên” (
{
}
0,1,2,3,4,5
k ∈
),
chúng ta có:
5
12 8
5
20
.
C
C
( )
C
k
k
k
P A
−
=
a/ BCB g m 3 n và 2 nam.
Xác sut ph i tính:
3
2
12 8
5
20
.
77
2
323
( )
C
C
P A
C
= =
b/ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì Đ
5
N A
=
.
Do ñó,
0
5
12 8
5
20
5 5
.
33 613
646 646
( ) ( ) 1 ( )
1
P N P A P A
C
C
C
= = −
= − = − =
c/ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Đ
Do ó, ñ
(
)
(
)
(
)
2 3
P H P A P A
= +
=


 
 
+ =
1.6.
T m t h p ch a 8 viên bi và 5 viên bi tr i ta l y ng u nhiên 2 ñ ng ngư
ln, m i l i. Tính xác su t l y c n 1 viên bi, không hoàn l ñ ñư
a/ 2 viên bi ; ñ
b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi tr ng.
Gii
Vi
{
}
1, 2 ,
i ∈
ñăt:
i
T
: “viên bi l y ra l n th
i
là bi tr ng”,
i
D
: “viên bi l y ra l n th
i
là bi ”. ñ
a/ t Đ
A
:“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
8 7
14
13 12 3
1
9
. . /P A P D D P D P D D = ===
b/ t Đ
B
: “l y c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: ñư
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
5
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P B P T D D T P T D P DT
P T P D T P D P T D
= + = +
= +
Suy ra:
5 8 8 5 20
13 12 13 12 39
( )P B = + =
c/
2 1 2 1 2
T TT D T
= +
, nên xác su t ph i tính là:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1
. / . /
P T P TT P D T
P T P T T P D P D T
= +
= +
suy ra
(
)
5 8 5 5
4
2
13 12 13 12 13
P T
= + =
1.7.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ng i, g m 5 nam và 3 n n p ư
ñơn xin d tuyn, và m i ng i u có c hư ñ ơ i c tuyñư n như nhau. Tính xác su t
ñ ư ñư trong 4 ng i c tuyn,
a) có duy nh t m t nam;
b) có ít nh t m t n .
Gii
Đt
: “Có
nam c tuy n trong 4 nhân viên” ñư
 
∈
Gi
: “có duy nh t 1 nam”
( ) ( )
1 3
5 3
1
4
8
.
5
70
= = =
a) Gi
: “có ít nh t 1 n ”
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
1.8.
M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ng i, g m 5 nam và 3 n n p ư
ñơn xin d tuyn, và m i ng i u có c hư ñ ơ i c tuyñư n như nhau. Tính xác su t
ñ ư ñư trong 4 ng i c tuyn,
a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n , bi t r ng có ít nh t m t n ã c tuy n. " ñ ñư
Gii
Đt
: “Có
nam c tuy n trong 4 nhân viên” ñư
 
∈
a/ G i
: “có không quá 2 nam”
( )
1 3 2 2
5 3 5 3
1 2
4
8
. .
1
( ) ( )
2
+
= + = =
b/ G i
: “ch n ra 3 n , bi t r ng có ít nh t 1 n c tuy n”. " ñư
Gi
B
: “Có ít nh t m t n c ch n”. ñư
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
6
Ta có
( )
4
5
4
4
8
13
1 ( ) 1
14
= − = − =
( )
1
1
( )
1
( | )
( ) 13
= = =
1.9.
M t c a hàng sách c l ng r ng: Trong t ng s các khách hàng n c a # ư ư " $ ñ #
hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách th c hi n c hai u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính % ñi
xác su t ng i này ñ ư
a/ không th c hi n c hai u trên; % ñi
b/ không mua sách, bi t r i này ã h i nhân viên bán hàng. "ng ngư ñ
Gii
Đt
: “khách hàng c n t v n” ư
: “khách hàng c n mua sách”
Theo ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,3; 0,2; 0,15
= = =

a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách c n t v n là: ũng không c ư
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 15 13
. 1 1 1
10 10 100 20
= + − = − + − − − =

b/ không mua sách, bi t r i này ã h i nhân viên bán hàng. "ng ngư ñ
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 15
1
10 100
/
3
2
10
−
−
= = = =

1.10.
M t cu c u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i ñi '
sn ph m (
, 50% dùng lo i s n ph m (
và trong s nh ng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ng i dân trong thành ph ó, tính xác ư ñ
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Không dùng
, cũng không dùng
.
Gii
Đt
: “ ng i dân trong thành ph n ph m ư dùng s (
”
: “ ng i dân trong thành ph dùng s n ph m ư (
”
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; | 0,365
= = =
a) Xác su t ng ưi dân ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b) Xác su t ng ưi dân ñó không dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
(
)
. . 0,4755
= + − =

1.11.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
7
M t cu c u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i ñi '
sn ph m (
, 50% dùng lo i s n ph m (
và trong s nh ng ngưi dùng
, có
36,5% dùng
. Ph ng v n ng u nhiên m t ng i dân trong thành ph ó, tính xác ư ñ
sut ñ ngưi y
a/ Dùng c
và
;
b/ Dùng
, bi t r ng ng i " ư y không dùng
.
Gii
Đt
: “ ng i dân trong thành ph n ph m ư dùng s (
”
: “ ng i dân trong thành ph dùng s n ph m ư (
”
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,207; 0,5; / 0,365
= = =
a/ Xác su t ng i dân ư ñó dùng c
và
là
(
)
(
)
(
)
. / 0,5.0,365 0,1825
= = =

b/ Xác su t ng i dân ư ñó dùng
, bi t r "ng không dùng
là
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
.
0,5 0,1852
/ 0,404
1 0,207
−
−
= = = =
−
1.12.
Theo m t cu c u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u ñi ñ ñ
thu nh p hàng n m trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h c u tra thì ă % Đ ñư ñi
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia % ñ
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên 20 tri u; ă %
b/ có máy vi tính, nh p trên 20 tri u. ưng không có thu nh %
Gii
Đt
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” ñ ñư
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng n m trên 20 tri u” ñ ñư ă %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên ñ ñ ñư ă
20 tri u là: %
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0, 45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính nh p ít h ñ ñ ñư ưng thu nh ơn 20
tri%u là:
(
)
( ) ( )
0,52 0,45 0,07
= − = − = 
1.13.
Theo m t cu c u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u ñi ñ ñ
thu nh p hàng n m trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h c u tra thì ă % Đ ñư ñi
60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia % ñ
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên 20 tri u; ă %
b/ Có thu nh p hàng n m trên 20 tri u, bi t r ng h ó không có máy vi ă % " ñ
tính.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
8
Gii
Đt
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có máy vi tính” ñ ñư
: “H gia ình c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng n m trên 20 tri u” ñ ñư ă %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,52; 0,6; / 0,75
= = =
a/ Xác su t h gia ình c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng n m trên ñ ñ ñư ă
20 tri u là: %
(
)
(
)
(
)
. / 0,6.0,75 0, 45
P AB P B P A B= = =
b/ Xác su t h gia ình c ch n có thu nh p hàng n m trên 20 tri u nh ñ ñ ñư ă % ưng
không có máy vi tính là:
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
0,6 0, 45
/ 0,3125
1 0,52
−
−
= = = =
−

1.14.
Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u tr c ñ ñ ñ ñ ư
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có ư'
60% kh n ng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh n ng này c a B ch còn 30%. ă ă
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ i tuyĐ n thng hai trn;
b/ i tuyĐ n thng ít nht mt trn.
Gii
Đt
: “v n ng viên ñ
th ng” v i
{
}
,
∈
Theo bài ta có:ñ
( ) ( )
(
)
0,8; / 0, 6; / 0,3
= = =
a/ Xác su t i tuy n th ng 2 tr n là ñ
(
)
(
)
(
)
. / 0,8.0,6 0,48
= = =
b/ i tuyĐ n th ng ít nh t mt tr n nghĩa là có ít nh t mt trong hai v n ng viên ñ
A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0,54 0,8 0,48 0,86
A B B A A B
P M M P M P M P M M
∪ = + −
= + − =
1.15.
Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u tr c ñ ñ ñ ñ ư
và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh h ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có ư'
60% kh n ng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh n ng này c a B ch còn 30%. ă ă
Tính xác su t c a các bi n c sau:
a/ B th ng tr n;
b/ i tuyĐ n ch thng có mt trn.
Gii
Đt
: “v n ng viên ñ
th ng” v i
{
}
,
∈
Theo bài ta có:ñ
( ) ( )
(
)
0,8; / 0, 6; / 0,3
= = =
a/ Xác su t B th ng tr n là:
( ) ( )
(
)
(
)
( ) | . . | 0,54
B A B A A B A
P M P M P M M P M P M M
= + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
9
b/ t Đ
: “ i tuyñ n ch th ng 1 tr n”
Xác su t i tuy n ch th ng 1 tr n là: ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. . . .
B A
A B A A B B A B
P D P M M P M M P M P M M P M P M M
= + = − + −
(
)
(
)
(
)
2. . 0,8 0,54 2.0,48 0,38
A B A B
P M P M P M M= + − = + − =
`
1.16.
Đ thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ng i ta t ch c m t cu c ñ ư $
thi tuy n gm 3 vòng. Vòng th nh t ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. ñ ñ Đ
vào c i tuy n, thí sinh ph i v t qua c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñư ñ ư ñư ñ
mt thí sinh b t k ỳ
a/ c vào i tuy n; Đư ñ
b/ B lo i vòng th ba. '
Gii
Đt
: “thí sinh c ch n vòng ñư '
” v i
{
}
1, 2,3
∈
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0, 45
= = =
a/ Xác su t thí sinh ó c vào i tuy n là ñ ñ ñư ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ Xác su t thí sinh ó b lo i vòng th III là ñ ñ '
(
)
( ) ( )
(
)
3 3
1 2 1 2 1 1 2
. / . /=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
. | . 1 | 0,8.0,7.0,55 0,308
= − = =
1.17.
Đ thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ng i ta t ch c m t cu c ñ ư $
thi tuy n gm 3 vòng. Vòng th nh t ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. ñ ñ Đ
vào c i tuy n, thí sinh ph i v t qua c c 3 vòng thi Tính xác su t ñư ñ ư ñư ñ
mt thí sinh b t k ỳ
a/ Đưc vào i tuy n; ñ
b/ B lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i. ' "
Gii
Đt
: “thí sinh c ch n vòng ñư '
” v i
{
}
1, 2,3
∈
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 1 2
0,8; | 0,7; | 0, 45
= = =
a/ Xác su t thí sinh ó c vào i tuy n là ñ ñ ñư ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 1 3 1 2
. | . | 0,8.0,7.0,45 0,252
= = =
b/ t K: “Thí sinh ó b lo i” Đ ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 3
1 1 2 1 1 1 2 1 2
1= + + = − + − +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
10
( ) ( )
(
)
3
1 2 1 1 2
1 . / 1 0,8.0,7 0,308 0,748
= − + = − + =
Vy, xác su t thí sinh ó b lo i vòng II, bi t r ng thí sinh ó b lo i là: ñ ñ ' " ñ
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
2
. . . |
0,8 1 0,7
| 0,3209
0,748
−
= = = = =
1.18.
M t lô hàng có 9 s n ph m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ng i ta ch n ( ư
ngu nhiên 3 s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lô hàng. Tính xác su t ( ( ñ
sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u c ki m tra. ( ñ ñư
Gii
Chia 9 s n ph m thành 3 nhóm. G i (
: “Ki m tra nhóm
”
{
}
1, 2,3
∈
Đt
:”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u c ki m tra” ( ñ ñư
( )


= = =
1.19.
M t l p h c c a Tr ng i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n ư Đ
sinh viên. S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% trong n sinh viên, và ' %
chim t l 60% trong nam sinh viên. %
a)
Chn ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñưc m t
sinh viên quê An Giang. N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An ' " '
Giang thì xác su t sinh viên ó là nam b ng bao nhiêu? ñ ñ "
b)
Chn ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ
có ít nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c có 60 sinh viên. ' "
Gii
a)
Đt :
: “Ch n c sinh viên nam” ñư
( )
2
3
=
: “Ch n c sinh viên n ” ñư
( )
1
3
=
: “Ch n c sinh viên quê An Giang” ñư '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) | |
15
= + = + =
 
Do ó, ñ
( ) ( ) ( | ) 3
( | )
( ) ( ) 4
= = =

b)
Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê An Giang: 24 '
S sinh viên N quê An Giang: 8 '
Nên t ng s sinh viên quê An Giang là 32 sinh viên $ '
: “ít nh t m t sinh viên quê An Giang” '
2
28
2
60
232
( ) 1 ( ) 1
295
= − = − =
1.20.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
11
Có ba h p A, B và C ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng, ñ
hp B có 6 l t t và 4 l hng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng
a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t c 3 l ñ ñư
cùng lo i.
b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 3 l thu c thì c 1 l t t ñ ñư
và 2 l h ng. Tính xác su t h p A ã c ch n. ñ ñ ñư
Gii
a/ và
:“l l y ra t h p th
là t t”
{
}
∈
Nên, xác su t c 3 l cùng lo i ñ ñư

     
+ = +
= + =
b/ t Đ
:“Ly ñưc h p th
”
{
}
∈
;
:“Ly ñưc 2 l h ng và 1 l
tt”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  


= + +
= + + =
Khi ó xác su t h p A c ch n ñ ñ ñư
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)




= = = =
1.21.
Có hai h p B và C ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C ñ
có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i
tip theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñưc l h ng. Tính xác su t ñ
a/ L h ó là c a h p B b sang; ng ñ
b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ng. ñ
Gii
Gi
: “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có
l h ng”
{
}
∈
và t ñ
: “l thu c l y t h p C (sau khi ã b 2 l t B b sang) b h ng” ñ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


= + + =
a/ l h ó là c a h p B b sang ng ñ
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
 

   
+
= =
= + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
12
b/ hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ñ ng
(
)
(
)
(
)
 
 
 
= = = =
1.22.
Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t ñ ñ ñ
chin th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng # ưi thi ñu m t tr n ñc l p
nhau.Tính xác su t : ñ
a/ i tuyñ n th ng ít nh t mt tr n,
b/ i tuyñ n thng 2 tr n.
Gii
Đt :
: “v n ng viên A chi n th ng” ñ
(
)
0,6
=
: “v n ng viên B chi n th ñ ng”
(
)
0,7
=
: “v n ng viên C chi n th ñ ng”
(
)
0,8
=
a/ G i
: “ i tuyñ n thng ít nht 1 tr n”
(
)

= − = − =
b/ G i
: “ i tuyñ n th ng 2 trn”
(
)
(
)
(
)

= + + =
1.23.
Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t ñ ñ ñ
chin th ng l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ng # ưi thi ñu m t tr n ñc l p
nhau.Tính xác su t : ñ
a/ i tuyĐ n thng ít nht mt tr n,
b/ A thua trong tr ng h p i tuyư ñ n thng 2 trn.
Gii
Đt :
: “v n ng viên A chi n th ng” ñ
(
)
0,6
=
: “v n ng viên B chi n th ñ ng”
(
)
0,7
=
: “v n ng viên C chi n th ñ ng”
(
)
0,8
=
a/ G i
: “ i tuyñ n thng ít nht 1 tr n”
(
)

= − = − =
b/ A thua trong tr ng h p i tuyư ñ n thng 2 trn
Gi
: “ i tuyñ n thng 2 tr n”
(
)
(
)
(
)

= + + =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
13
(
)

  


= = = ≈
1.24.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên ư
ca tr ng XYZ. ư
a/ Tính xác su t anh ta tr t c hai môn Toán và Tâm lý; u c hai môn ñ ư ñ
Toán và Tâm lý.
b/ N u bi t r ng sinh viên này tr t môn Tâm lý thì xác su t anh ta u " ư ñ ñ
môn Toán là bao nhiêu?
Gii
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
b/ Xác su t sinh viên u môn Toán, bi t r ng tr t môn Tâm Lý: ñ " ư
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



−
= = =
.
1.25.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a ư
trưng XYZ. Nhi u kh n t là s có bao nhiêu sinh viên thi tr ăng nh + ưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác su t t ng ng. ươ
Đáp s
G i
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý
(
)
(
)
 
= = =
Nên, Sinh viên tr t c Toán và Tâm lý v i xác su t không i ư ñ$

=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
14
Do ó, ch n 12 sinh viên ngh a là th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác ñ ĩ % #
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i

=
.s sinh viên nhi u
kh n ng tră ưt c hai môn
(
)

+ = =
.
Xác su t t ng ng là ươ
( ) ( ) ( )
2 10
2
12 12
2 0,17 . 1 0,17 0, 296
= − = .
1.26.
Trong n m h c v a qua, tr i h c XYZ, t l sinh viên thi tr t ă ' ưng ñ % ư
môn Toán là 34%, thi tr t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên tr t ư ư
môn Toán, có 50% sinh viên tr t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên ư
ca tr ng XYZ sao cho, v i xác suư t không bé h n 99%, trong s ó có ít nhơ ñ t
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
Gii
: “sinh viên thi tr t môn Toán” ư
(
)
0,34
=
và
: “sinh viên thi tr t môn Tâm Lý” ư
(
)
0,205
=
khi ó ñ
( | ) 0,5
=
Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

= − ∪ = − − + =
G i
n
là s sinh viên c n ch n. Xác su t sinh viên u c hai môn Toán ñ ñ
và Tâm Lý không i ñ$

=
nên ta có quá trình Bernoulli
(
)
,
B n p
.
Đt
: “ ít nh t m t sinh viên u c hai môn Toán và Tâm Lý ”. ñ
Theo yêu c u bài toán ta c ñư
(
)
(
)
(
)
  
= − = − − ≥
(
)
(
)
      
⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Vy, ch n ít nh t 5 sinh viên.
1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và %
10% t ng s s n ph m c a m t xí nghi p. T l s n xu t ra ph ph m c a các máy $ ( % % (
trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lô hàng c a (
xí nghi%p, trong ó l n l n các s n ph m do 3 máy s n xu t. ñ ñ (
a/ Tính xác su t s n ph m l y ra là s n ph m t t. Ý ngh a c a xác ñ ( ( ĩ
sut ó ñ ñi vi lô hàng là gì?
b/ N u s n ph m l y c là ph ph m, thì nhi u kh n t là do ( ñư ( ăng nh
máy nào s n xu t?
Gii
Đt
: “s n ph m l y ra do máy (
s n xu t” v i
{
}
1, 2,3
∈
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0,6; 0,3; 0,1
= = =
Và
:“sn ph m l y ra là ph ph m” ( (
(
)
(
)
(
)
  
= = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
15
a/
:”sn ph m l y ra là s n ph m t t” ( (
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= + + =
Ý ngh a, xác su t th hi n t l s n ph m t t c a lô hàng. ĩ % % (
b/ Xác su t l y ra s n ph m là ph ph m ( (
(
)
(
)

= − =
Theo công th c Bayes
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



= = = =
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 


= = = =
Do ó, s n ph m do máy 1 s n xu t ra ph ph m nhi u nh t. ñ ( (
1.28.
Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ó có 3 vé trúng th ng, u cho 3 ñ ư' ñ
ngưi (m i ng ưi 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ng ưi ñu ñưc trúng thư'ng.
Gii
Đt
: “Ng i mua vé th ư
ñưc vé trúng th ng” v i ư'
{
}
1, 2,3
∈
( ) ( ) ( ) ( )

= = =
1.29.
Trong s các b nh nhân ang c u tr t i m t b n, có 50% u % ñ ñư ñi %nh vi% ñi
tr b nh A, 30% u tr b nh B và 20% u tr b nh C. T i b nh vi n này, xác % ñi % ñi % % %
sut ñ ch a kh i các b nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t %
l% b c ch a kh i b nh A trong t ng s b nh nhân ã c ch a kh i %nh nhân ñư % $ % ñ ñư
b%nh trong b n. %nh vi%
Gii
Đt
: “b u tr b%nh nhân ñi %nh
” v i
{
}
, ,
∈
: “b c kh i b nh” %nh nhân ñư %
Theo bài ta có: ñ
(
)
(
)
(
)
0,5; 0,3; 0, 2
= = =
và
(
)
(
)
(
)
/ 0,7; / 0,8; / 0,9
= = =
Xác su t b nh nhân kh i b nh là ñ % %
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
16
( ) ( ) ( )
. / 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0, 77
=
= = + + =
∑
Xác su t b nh nhân tr kh i b nh A là ñ % %
( )
(
)
(
)
. |
0,5.0,7
| 45,45%
( ) 0,77
= = =
1.30.
Có hai bình nh sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ư ñ
cha 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô t : N u m t 3 ho c m t 5 ư
xut hi n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các tr% ưng hp khác thì ch n ng u
nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ch n c viên bi u viên bi tr ñ ñư ñ. N ng
ñư ñc chn, tính xác sut mt 5 ca con xúc xc xut hi%n.
Gii
Đt
: “Gieo con xúc x c c m t 3 ho c m t 5”, ñư ă
=
: “L y t bình ra m t bi là bi ”. Ta có ñ

= + = + =
Gi
: “m t viên bi c ch n là bi tr ng” ñư

= + = + =
Đt
: “gieo con xúc x c c m t 5”. ñư
Xác su t m t 5 xu t hi n, bi t r ng bi c ch n là bi tr ng là % " ñư
( )
(
)
(
)
(
)



= = = =
1.31.
Có hai bình nh sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ư ñ
cha 3 bi ñ và 5 bi tr ng.
L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u
nhiên 1 viên bi thì c bi . Theo ý b n, viên bi ó v n thu c bình nào? ñư ñ ñ
Gii
Gi
: “ có
k
bi trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i ñ
{
}
0,1, 2,3
∈
Đt
: “L y m t bi t bình B ra là bi ”. ñ
 
 

 
 

  
=
= = + +
+ + =
∑
Đt
: “bi sau cùng l y t bình B”. ñ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
17


= =
Do ó ñ
(
)
(
)
(
)
(
)

 
  
= = = = >
.
Vy, bi sau cùng nhi u kh n ng nh t là c a bình B. ñ ă
1.32.
Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th
nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u
nhiên ra m t con nghiên c u. Các con th còn l i c d n vào m t chu ng th ñ ñư
ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t con ñ
th b t ra sau cùng là m t con th nâu.
Gii
Đt
: “Th b t chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” '
=
: “Th b t chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” '

=
Gi
: “Th b t chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” '
(
)
(
)
(
)
(
)
= + + +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= + +
+ +
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)

    
= + + + =
1.33.
Ban giám c m t công ty liên doanh v i n c ngoài ang xem xét kh ñ ư ñ
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi t ng l hai nhà máy A và B. Kinh ă ương '
nghi%m cho h bi t cu c ình công nhà máy A và B x y ra l n l t v i xác su t ñ ' ư
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h c t r ng n nhà máy B ũng bi " u công nhân ' ñình công
thì có 90% kh n ng nhà máy A ình công ng h . ă ñ công nhân ' ñ
a/ Tính xác su t công nhân c hai nhà máy ình công. ñ ' ñ
b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t công nhân nhà ' ñ ñ '
máy B ình công ng h b ng bao nhiêu? ñ ñ "
Gii
Đt :
: “ Công nhân nhà máy A” ñình công '

=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
18
: “Công nhân ình công nhà máy B” ñ '
(
)

= =
a/ Xác su t công nhân 2 nhà máy là ñình công '
(
)
(
)
(
)
. | , . , ,

 
= = =
b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t nhà máy B ' ñ ñ công nhân '
ñình công là
( )
(
)
( )
,
| ,
,




= = =
1.34.
M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân i thu chi ch ñ a các
sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% c xem là các giá tr b t th ng so ñư ư
vi các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân i thu chi thì 20% là nh ñ ng
giá tr b t th ng. N u m t con s m t b ng cân i t ra b t th ng thì xác su t ư ' ñ ư
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu?
Gii
Đt
: “b n cân i thu chi ch a sai l m” ñ

=
: “b n cân i thu chi ch a giá tr b t th ng” ñ ư
(
)
= =
Xác su t 1 con s 1 b ng cân i t ra b t th ng là 1 sai l m: ' ñ ư
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
| ,
,



= = = =
1.35.
M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X c tính r ng 80% s ng i ư "ng kho ư
dùng t nh do hãng ng ng l nh có c qu ng cáo t l ñ y s n xu t. Trong s nh ưi
ñ ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không c qung cáo cũng mua
loi t l nh X. Tính xác su t ñ m t ng ưi tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có ñ
ñc qung cáo.
Gii
Đt
: “ng i ó c qu ng cáo” ư ñ ñ
=
: “ng i ó mua t l nh X” ư ñ
( )
(
)
/ , ; / ,
= =
Trưc tiên tính xác su t ñ ngưi mua t l nh X
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
. / . / ,

= + = + =
Xác su t 1 ng i tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có c qu ng cáo: ñ ư ñ ñ
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,


 
= = = =
1.36.
Trên m t b ng cáo, ng i ta m c hai h th èn c l p. H ng qu ư % ng bóng ñ ñ %
thng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh %
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t ,c là 0,1. Vi c h% ng ca
m i bóng c a m i h th % ng ñưc xem như ñc l p. Tính xác su t ñ
a/ H th ng I b h ng; %
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
19
b/ H th ng II không b h ng. %
Gii
a/ t Đ
:”bóng ñèn th
trong h th ng I bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng I b h % ng
(
)

= + + + = − = − =
b/ t Đ
:”bóng ñèn th
trong h th ng II bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng II không b h ng %
 
+ + = − = − =
1.37.
Trên m t b ng cáo, ng i ta m c hai h th èn c l p. H ng qu ư % ng bóng ñ ñ %
thng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh %
năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t ,c là 0,1. Vi c h% ng ca
m i bóng c a m i h th % ng ñưc xem như ñc l p. Tính xác su t ñ
a/ C hai h th ng b h ng; %
b/ Ch có m t h th ng b h ng. %
Gii
a/ t Đ
: “bóng èn th ñ
trong h th ng I bi h ng” %
{
}
∈
.
và
:”bóng ñèn th
trong h th ng II bi h ng” %
{
}
∈
.
Xác su t h th ng I b h % ng
(
)
 
= + + + = − = − =
Xác su t h th ng II b h ng là: %
(
)

= =
Nên, xác su t c hai h th ng b h ng là %
  

= = =
b/ Xác su t ch có m t h th ng b h % ng


+ = + =
1.38.
M t lô hàng g m r t nhi èn, trong ó có 8% bóng èn x u. M t u bóng ñ ñ ñ
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Ch n ng èn em ki m tra và u nhiên 10 bóng ñ ñ
nu có nhi u h n m ơ t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t lô ñ
hàng ñưc ch p nh n.
Gii
Vi%c ki m tra 10 bóng èn, ngh a là th c hi n 10 phép th Bernoulli, v ñ ĩ % # i
xác su t “thành công” g u p bóng x

=
(không ñ$i).
Khi ó ñ
(
)
; , , . , , , , ,...,
−
= =


   
(
:s l n thành công trong 10 phép th ) #
Đt
: “nh n lô hàng”
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
20
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

  
     
= + = − =
1.39.
Mt nhóm nghiên c u ang nghiên c u v nguy c m t s c t i m t nhà ñ ơ
máy n nguyên t s gây ra s rò r . Nhóm nghiên c u nh n th y các ñi% # + phóng x
loi s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ$ c a v t li u ho c sai l m c a con %
ngưi, và 2 hay nhi u h ơn 2 s c không bao gi cùng x y ra.
Nu có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s
gãy c a v t li u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s ñ$ %
sai l m c a con ng i thì s rò r s x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u ư +
cũng tìm c xác su t : Hoñư ñ hon và s rò r cùng x y ra là 0,0010, phóng x
gãy v t li u và s rò r cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ng i ñ$ % phóng x ư
và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ
a/ có ho ho n; có gãy v t li u và có sai l m c a con ng ñ$ % ưi;
b/ có m t s rò r phóng x ;
c/ m t s rò r phóng x c gây ra b i s sai l m c a con ng i. ñư ' ư
Gii
Đt
: “x y ra h a ho n”
: “x y ra gãy ” ñ$
: “x y ra sai l m c a con ng i” ư
: “s rò r ” phóng x
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
 
  
  
= = =
= = =
a/ Xác su t có ho ho n là
( )
(
)
( )
,
|


= =
Xác su t có gãy v t li u là ñ$ %
( )
(
)
( )
,
|


= =
và xác su t sai l m c a con ng i ư
( )
(
)
( )
,
|


= =
b/ Xác su t có s rò r x y ra: phóng x
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
  
   
= + + = + + =
c/ Xác su t m t s rò r c gây ra b i s sai l m c a con ng i là phóng x ñư ' ư
(
)
(
)
 
 

= = =
1.40.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
21
M t a ph ng có t l ng i dân nghi n thu c lá là 30%. Bi t r ng t l ñ ươ % ư % " %
ngưi b viêm h ng trong s ng ưi nghi n thu c lá là 60%, còn t l % % ñó trong s
ngưi không nghi%n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ng ưi t ña phương
trên.
a/ N u ng i ó b viêm h ng, tính xác su t ng i ó nghi n thu c lá. ư ñ ñ ư ñ %
b/ N u ng i ó không b viêm h ng, tính xác su t ng i ó nghi n ư ñ ñ ư ñ %
thuc lá.
Gii
Đt
: “ng i dân nghi n thu c lá”ư %
(
)
,
=
: “ng i dân b viêm h ng” ư
( )
(
)
| , ; | ,
= =
a/ Tr c tiên ta tính xác su t ng i này viêm hư ư ng
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
. | . | ,

= + = + =
Xác su t ng i nghi n thu c lá n u b viêm h ng là ñ ư %
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
|
,

 
= = = =
b/ Xác su t ng i nghi n thu c lá n viêm h ng là ñ ư % u không b
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
. |
|
− −
= = = =
−

1.41.
Mt nhà xu t b n g i b n gi i thi u sách m i n 80% gi ng viên c a m t # % ñ
trưng ñi h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Có 30% gi ng viên
mua sách trong s nh i nh n c b n gi i thi u, và trong s nh ng ng ngư ñư % ng gi
viên không nh ng gi ng n c b n gi i thi u, có 10% mua sách . Tìm t l nhñư % %
viên nh n c b n gi i thi u trong s nh ng ng i mua sách. ñư % ư
Gii
Đt
: “gi ng viên nh n c b n gi i thi u sách m i” ñư %
(
)
,
=
: “gi ng viên mua sách”
( )
(
)
| , ; | ,
= =
Trưc h t ta tính xác su t ñ gi ng viên mua sách
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

 = + = + =
Nên, xác su t gi ng viên nh n c b n gi i thi u trong s nh ng ng i mua ñ ñư % ư
sách:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
. |
, . ,
/
,



= = = =
1.42.
Nhà tr ng mu n ch n m t s h c sinh t m t t g m 7 nam sinh và 6 ư $
n.sinh. L n u ch ñ n ng u nhiên 2 h c sinh; sau ó, ch n ti p 1 h c sinh n a. ñ
a/ Tính xác su t h c sinh c ch n l n sau là nam sinh. ñ ñư
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
22
b/ Bi t r ng h c sinh c ch n l n sau là n sinh, tính xác su t c hai " ñư ñ
hc sinh c chñư n l n u u là nam sinh. ñ ñ
Gii
a/ G i
: “ch n
hc sinh nam trong 2 h c sinh l n u” ñ
{
}

∈
  
= = =
:”hc sinh ñưc ch n sau cùng là nam”
(
)
  
   
= + +
= + + =
b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là
( )

= =
nên xác su t 2 h c sinh c ch n l n u là nam: ñ ñư ñ
( )
( )
 



= = =
1.43.
S li u th ng kê v b nh lao ph i t i m t a ph t: Có 15% s % % $ ñ ương cho bi
ngưi làm ngh ñ,c á (LNñ ĐĐ) và b lao ph i; có 50% s ng $ ưi không LNĐĐ và
không b ng không b lao ph i; có 25% s ng i LN nh$ ư ĐĐ ư lao ph i. Ngoài ra, t $
l% nh i không LN nh ng bng ngư ĐĐ ư lao ph i là 10%. Chúng ta có th k t lu n $
gì v m i quan h gi a ngh c á và b nh lao ph i? % ñ, ñ % $
Gii
Đt
: “làm ngh c á” ñ, ñ
: “b lao ph i” $
Theo s li u bài ta có: % ñ
(
)
  

= = = =
Khi ó, ñ
(
)
 

= + = + =
và
(
)
 

= + = + =
D- th y
(
)
(
)
 

= ≠ =
do ó b nh lao ph i có liên quan ñ % $
ñ ñ,n ngh c ñá. Xét
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)



= = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
23
Ta th y
(
)
(
)
≈
. Ch ng t r ng, xác su t ng i b lao ph i khi " ư $
ngưi ó làm nghñ ñ,c á cao g n g p hai l n xác su t ngñ ưi b lao ph i nh $ ưng
ngưi ó không làm nghñ ñ,c á. ñ
1.44.
Gi s m t xét nghi m X cho k t qu d ng tính (+) i v i nh ng ng i # % ươ ñ ư
nhi-m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) i v i nh m ñ ng ngưi không nhi-
HIV v i xác su t 1%. M t ng i n t a ph ng có t l nhi m HIV là 1% ư ñ ñ ươ % -
ñư ñ ưc làm xét nghi%m X và cho kt qu (+). Tính xác sut ng i này thc s
nhi-m HIV.
Gii
Đt
: “Ng i b nhi m HIV n t a ph ng” ư - ñ ñ ươ
(
)

=
: “ng i n t a ph ng làm xét nghi m X cho k t qu d ng tính v i ư ñ ñ ươ % ươ
HIV”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
    
= + = + =
Xác su t ng i n t a ph ng có t l 1% c xét nghi m và cho k t qu ñ ư ñ ñ ươ % ñư %
dương tính là
   
 
= = =
1.45.
M t h p ch a 15 l thu c, trong ó có 6 l h ng. L y l n l t t ng l ñ ư
không hoàn li ki m tra, cho n khi g p 3 l h ng thì d ng. ñ ñ
a/ Tính xác su t vi c ki m tra d ng l i l th ba; l th sáu ñ % ' '
b/ N u vi c ki m tra d ng l i l th sáu, tính xác su t l c ki m % ' ñ ñư
ra u tiên là l h ng. ñ
Gii
Đt
:” l n ki m tra th
ñưc l h ng”
a/ Xác su t vi c ki m tra d ng l i l th ba ñ % '
( )
   
= =
Đt
:” ki m tra liên ti p 5 l n c 2 l h ng và 3 t t” ñư
 

 
= = = =
:”kim tra d ng l i ' l th sáu”
( )



= = =
b/ Vi c ki m tra d ng l i l th sáu, xác su t l c ki m ra u tiên là l % ' ñ ñư ñ
hng.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
24

 

 

= = ≈
1.46.
T m t lô hàng có r t nhi u quy n v v' i t l% v h' ng là 5%, ng i ta ư
chn ng u nhiên t ng quy n v ki' ñ m tra.
a/ H i ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v xác su' ñ t có ít nh t mt
quyn v' ơ hng không bé h n 90% ?
b/ Gi s vi c ki m tra s d ng l i khi phát hi n 3 quy n v h ng. Tính # % + % '
xác su t vi c ki m tra d ng l i l n ki m tra th 10, ñ % '
Gii
Gi
là xác su t v h ng trong m i lô hàng. '

=
và g i
là s
quy n v' c n kim tra. Ta có dãy phép th Bernoulli v i xác su t thành công (v # '
hng) là 0,05. Do ó, ñ
(
)

a/ t Đ
: “ít nh t m t quy n v h ng” '
(
)
(
)
  
= − = − ≥ ⇔ ≥
Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v . '
b/ Vi c ki m tra phát hi n 3 quy n v h ng suy ra 9 l n ki m tra u phát hi n 2 % % ' ñ %
quy n v' hng và l n th 10 phi là v' hng.
Đt
:”kim tra d ng l i l n th 10”
(
)
(
)
(
)
      
= = =
.
1.47.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i (
và 2 s n ph m lo i (
; h p th hai có 5
sn ph m lo i (
và 3 s n ph m lo i (
. Ly ng u nhiên t m i h p ra 2 s n ph m. (
a/ Tính xác su t c 3 s n ph m lo i ñ ñư (
;
b/ Gi s l y c m t s n ph m lo i # ñư (
và 3 s n ph m lo i (
. Nhi u
kh n ng là s n ph m lo i ă (
thu c h p nào? T i sao?
Gii
Ly ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i
{
}
∈
và
{
}
∈
Đt
:” l y c ñư
sp lo i
t h p th nh t”
:” l y c ñư
sp lo i
t h p th hai”
a/
: “l y c 3 sp lo i ñư
và 1 sp lo i
”
( ) ( ) ( )
 


= + = + =
b/ G i
(
)
(
)
ln l t là xác su t sp lo i ư ñ
thu c h p th nh t và h p
th hai
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
25
Ta có
( )
( )
( )

 

= = =
( )
( )
( )


 

= = =
Ta th y
(
)
(
)
<
nên sp lo i
nhi u kh n ng thu c h p th hai. ă
1.48.
H p th nh t có 8 s n ph m lo i (
và 2 s n ph m lo i (
; h p th hai có 5
sn ph m lo i (
và 3 s n ph m lo i (
. Ly ng u nhiên m t h p, r i l y ng u
nhiên t ó ra 4 s n ph m. ñ (
a/ Tính xác su t c 3 s n ph m lo i ñ ñư (
;
b/ Gi s l y c m t s n ph m lo i # ñư (
và 3 s n ph m lo i (
. Nhi u
kh n ng là s n ph m lo i ă (
thu c h p nào? T i sao?
Gii
a/ L y ng u nhiên ra 1 h p, r i l y ng u nhiên t ó ra 4 sp ñ
Đt
:” l y c h p th ñư
”,
{
}
∈
suy ra
( ) ( )
= =
gi
:” l y c 3 sp lo i ñư
và 1 sp lo i
”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= +


 
= + = + =
b/ G i
(
)
(
)
ln l t là xác su t sp lo i ư ñ
thu c h p th nh t và h p
th hai
Ta có
( )
( ) ( )
( )


 

= = =
( )
( ) ( )
( )

 

= = =
Thy
(
)
(
)
>
nên sp lo i
nhi u kh n ng thu c h p th nh t. ă
1.49.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
26
M t nhà máy s n xu t linh ki n n t v i 96% s n ph m có ch t l % ñi% # ( ưng
cao. M t qui trình ki m tra ch t l ng s n ph m có c m: 2% s n ph m có ư ( ñ ñi (
cht lưng cao l i không ñưc công nh n và 5% s n ph m không có ch t l ( ưng
cao l i c công nh n. Hãy tính xác su t sau khi ki m tra, m t s n ph m ñư ñ (
ñư ư ưc công nhn có cht l ng cao ñúng là sn ph(m có cht l ng cao.
Gii
G i
: “sp ch t l ng cao” và ư
: “sp c công nh n” ñư
(
)
=
,
(
)

=
và
(
)

=
Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


−
= = =
suy ra
(
)


=
.
Li có
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


−
= = =
suy ra
(
)

=
Xs 1 sp ó c công nh n ch t l ng cao úng là sp ch t l ng cao là ñ ñ ñư ư ñ ư
( )
(
)
(
)




= = =
1.50.
Gi s b n em giao m t lô hàng, r t nhi u s n ph m, mà b n bi t r # ñ ( "ng nó
có t l ph ph m là 10%. Ng i nh ngh l y ng u nhiên 6 s n ph m % ( ư n hàng ñ ( ñ
kim tra, và n u có quá
ph ph m thì không nh n lô hàng. B n ngh ( ñ
b"ng
bao nhiêu v a thuy t ph c c ng i nh n, v a hy v ng kh n ng lô hàng ñ , ñư ư ă
không b t ch i ít nh t là 95%?
Gii
T l ph ph m là % (
=
Vi%c l y ng u nhiên 6 sp ñ ki m tra ngh a là th c hi n 6 phép th ĩ % #
Bernoulli v i xs thành công (g p ph ph m) (
=
(không ñ$i). Ta c ñư
(
)
 
−
=
Nhn xét:
(
)
(
)

+ <
và
(
)
(
)
(
)
 
+ + = >
nên theo yêu c u bài toán
=
.
1.51.
M t khu dân c A có t l m c b nh B là 30%. ư % %
a/ Trong m t t u tra, ng i ta ch n ng u nhiên 10 ng i. Tính xác su t ñ ñi ư ư
trong ó có nhi u nh t ba ng i m c b nh B. ñ ư %
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Dip Hoàng Ân
27
b/ c bi t trong khu v c ó có 60% dân s có chích ng a b nh B. T l Đư ñ % . %
ngưi kháng b nh B % ñi vi ngưi ñưc chích ng a là 95%. Còn t . l kháng b nh % %
B i v i ng i không chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ng i th y ng i ñ ư ư ư
này không mc b nh B. Tính xác su t ng i này có chích ng a. % ư
Gii
Gi
: “Ng i c ch n m c b nh B” ư ñư %
(
)
=
.
Chn ng u nhiên 10 ng ưi là th c hi n 10 phép th Bernuolli v % # i xác su t thành
công (m c b nh B) %
(
)
=
(không ñ$i). Ta có
(
)

 
 
−
=
.
a/ Xác su t trong ó có nhi u nh t ba ng i m c b nh B ñ ư %
(
)
(
)
(
)
(
)
   

    
+ + + =
= + + + =
b/
:” chích ng a b nh B” %
(
)
=
(
)

= và
(
)
=
Xác su t ch n ng u nhiên m t ng i th y ng i này không m c b nh B: ư ư %
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= + =
xác su t ng i này có chích ng a: ư
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = .
1.52.
T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75 % (
sn ph m do máy ó s n xu t ra. ( ñ
a/ Tính xác su t trong lô hàng, có 10 ph ph m ñ (
b/ Trong lô hàng, nhi u kh n ng nh t là có bao nhiêu ph ph m? Tính xác ă (
sut tương ng.
Gii
Nu xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i % ( #
xác su t cho “thành công” là
0,08
p
=
, thì khi máy ó s n xu t 75 s n ph m, nó ñ (
ñã
thc hi n quá trình %
(
)
75
;0,08
P k
a/ Xác su t ph i tính:
10 10 65
75 75
10 0 08 0 92 0 03941
P C= =
b/ S ph ph m nhi u kh n ng nh t trong lô hàng là: ( ă
(
)
75 1 .0,08 6
+
=
vi xác su t t ng: ương
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
28
6 6 69
75 75
(6) (0,08) .(0,92) 0,16745
P C
= =
1.53.
Ngưi ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l %
ht lép là 3% nghiên cñ u. Hi ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t
ñ ơ có ít nht mt ht lép không bé h n 95% ?.
Gii
Gi
n
là s h t ph i l y, chúng ta có
(
)
;0,03
n
P k
. Xác su t có ít nh t m t h t ñ
lép là
( )
1 1 0,03 1 0,97
( )
n
n
− − = −
.
Theo gi thi t, chúng ta có:
( ) ( )
1 0,97 0,95 0,97 0,05
ln 0,05
98,3523
ln 0,97
n n
n
− ≥ ⇔ ≤ =⇔ ≥
Vy, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
29
CHƯƠNG 2: BI N NG U NHIÊN
2.1.
Có ba h p
và
ñng các l thuc. Hp
có 10 l t t và 5 l h ng,
hp
có 6 l t t và 4 l h ng, h p
có 5 l t t và 7 l h ng. L y ng u nhiên t
m i h p ra m t l thu c.
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra.
b/ Tìm xác su t c ít nh t 2 l t c 3 l cùng lo i. ñ ñư t; ñư
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra
{
}

=
a)
: “ l thu c l y ra t h p th
là l t
t
”.
( )
(
)
(
)
(
)

= = = =
( )


= = + + =
( )


= = + + =
( ) ( ) ( ) ( )
= = = =
Bng phân phi xác su t c a
0 1 2 3
(
)





b) Xác su t ñ ñưc ít nh t 2 l t t
( ) ( ) ( )


≥ = = + = =
Xác su t c 3 l cùng lo ñư i
( ) ( )


= + = =
2.2.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Tính xác su t i tuy ñ ñ n thua nhi u nht mt tr n. Tính xác su t ñ
ñi tuy n th ng ít nh t mt tr n.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
30
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”
: “V n ng viên ñ
th ng”
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t i tuy ñ ñ n thua nhi u nht mt trn:
(
)
(
)
(
)

≥ = = + = =
Xác su t i tuy n th ng ít nh t m t tr n : ñ ñ
(
)
(
)

≥ = − = =
2.3.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Sau t thi u, i tuy n có hai tr n th ng; tính xác su t A thua ñ ñ ñ ñ
trn.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
31
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t ñ
thua tr n, bi t r i tuy n có hai tr n th "ng ñ ng
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
 
 
=
= = = = =
= =
2.4.
Trong m t i tuy n, 3 v n ng viên ñ ñ
và
thi u v i xác xu t thñ ng
trn c a m i ng ưi l n l ưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñt thi ñu, m i v n ñng
viên thi u m t tr n c l p nhau. ñ ñ
a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a i tuy n. ñ
b/ Tính s tr n th ng trung bình và ph ng sai c a s tr n th ng c a i ươ ñ
tuyn.
Gii
a/ G i
là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a i tuy n. ñ
{
}

=
Gi
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”;
: “V n ng viên ñ
th ng”
Ta có
(
)
(
)
   
= = = = =
(
)

= = + + =
(
)

= = + + =
(
)
(
)
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
0 1 2 3
(
)




b/ S tr n th ng trung bình
    
= + + + =
và ph ng sai c a s tr n th ng c a i tuy n ươ ñ
(
)
(
)
(
)

= − =
Trong ó, ñ
(
)
     
= + + + = .
2.5.
Mt c s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u ơ ' / /
nhiên có phân ph i xác su t nh sau: ư
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
32
S k o trong bao/
18 19 20 21 22
Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao. ươ /
b/ Chi phí s n xu t c a m bao k o là 3X + 16, trong ó X là bi n ng u / ñ
nhiên ch s k o trong bao. Ti n bán m i bao k o là 100$. Không phân bi t s k o / / % /
trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao ñ % (
k/o.
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. /
a/ Trung bình và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao : ươ /
( ) ( )


 
=
= = =
∑
và ph ng sai c a s viên k o trong m i bao: ươ /
(
)
(
)
(
)

= − =
b/ G i
là bi n ng u nhiên ch l i nhu n cho m i bao k o. Ta có: /

= −
li nhu n trung bình
(
)
(
)
(
)
   
= − = − =
và l ch chu n c a l i nhu n cho m i bao k o ñ % ( /
(
)
(
)
(
)
(
)
 
σ = = − = =
2.6.
Mt c s s n xu t các bao k o. S k o trong m i bao là m t bi n ng u ơ ' / /
nhiên có phân ph i xác su t nh sau: ư
S k o trong bao/
18 19 20 21 22
Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác su t m t bao k o c ch n ng u nhiên s ch a t 19 n ñ / ñư + ñ
21 viên k o. /
b/ Hai bao k o c ch n ng u nhiên. Tính xác su t ít nh t m t trong / ñư ñ
hai bao ch a ít nh t 20 viên k o. /
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s k o trong bao. /
a/ Xác su t bao c ch n ng u nhiên có t 19 n 21 viên k o: ñ ñư ñ /
(
)
(
)
(
)
     
≤ ≤ = = + = + = =
b/ t Đ
: “Bao ch a ít nh t 20 viên k o” /
(
)
   
= + + =
Xác su t ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k o: ñ /
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
33
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

+ = + = + =
2.7.
Mt h p ng 5 s n ph m, trong ó có hai ph ph m. Ng i ta l n l t ñ ( ñ ( ư ư
kim tra t ng s n ph m (không hoàn l i) cho ( ñn khi g p hai ph ph m thì d ( ng
li. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m c ki m tra. Tính s l n ki m ( ñư
tra trung bình.
Gii
Goi
là BNN ch s s s n ph m ki m tra. (
{
}
 
=
:“ l n ki m tra l n th
ñưc ph ph (m”.(
=
)
( ) ( ) ( ) ( )

= = = =
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
= + =
Tương t
( ) ( )
 
= = = =
Bng phân phi xác su t
:
2 3 4 5
(
)




S l n ki m tra trung bình:
( ) ( )
=
= = =
∑
2.8.
Mt ng i n 3 máy t ng ho t ông c l p v i nhau. Xác su t ư ñiu khi ñ ñ ñ
b hng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l t là 0,1; 0,2 và 0,3. ư
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ng t t trong m t ca ñ
sn xu t.
b/ Sau s n xu t, ng i n báo r ng su t ca ch có m t máy ho t ư ñiu khi "
ñ ñ ñng tt. Tính xác sut máy hot ng tt ñó là máy mt.
Gii
a/ G i
là BNN ch s máy ho t ng t t trong 1 ca s n xu t. ñ
{
}

=
Đt
“ máy th
b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)

= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  
= = = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
34
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = =
Bng phân phi xác su t c a
:
0 1 2 3
(
)




b/ Xác su t máy ho t ng t t ó là máy m t, bi t r ng su t ca ch có m t máy ñ ñ ñ "
hot ñng t t.
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
 
 
=
= = = = =
= =
2.9.
Mt ng i n 3 máy t ng ho t ông c l p v i nhau. Xác su t ư ñiu khi ñ ñ ñ
b hng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n l t là 0,1; 0,2 và 0,3. ư
a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ng t t trong m t ca ñ
sn xu t.
b/ Trung bình, trong m t ca, có bao nhiêu máy ho t ng t t? Tính ñ ñ
l%ch chu n c a s máy ho t ng t t trong m t ca s n xu t. ( ñ
Gii
a/ G i
là BNN ch s máy ho t ng t t trong 1 ca s n xu t. ñ
{
}

=
Đt
“ máy th
b h ng trong 1 ca”. Suy ra,
(
)
(
)
(
)

= = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
  
= = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = +
+ + =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

= = = =
Bng phân phi xác su t c a
:
0 1 2 3
(
)




CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
35
b/ Trung bình s máy ho t ng t t trong m t ca: ñ
(
)
=
và l ch chu n c a s máy ho t ng t t trong m t ca s n xu t ñ % ( ñ
(
)

σ
=
.
2.10.
Mt công ty có 3 t i lý. G i $ng ñ
và
theo th t là kh i l ng hàng ư
bán c trong m t này c a 3 t ng i lý trên (tính b ng t n). Bi t phân ph i xác ñư $ ñ "
sut c a các BNN
và
nh sau: ư
5 6 7 8
(
)
=
0,1
0,3
0,4
0,2
4 5 6 7 8
(
)
=
0,15
0,2
0,4
0,1
0,15
7 8 9 10
(
)
=
0,2
0,3
0,4
0,1
Tính kh i l ng hàng hóa bán c trung bình trong m t tháng (30 ngày) ư ñư
ca công ty trên.
Gii
Trung bình kh i l ng hàng hóa C bán c trong 1 tháng. ư ñư
( ) ( )
 
=
= = =
∑
Trung bình kh i l ưng hàng hóa
bán c trong 1 tháng. ñư
( )
( )
 
=
= = =
∑
Trung bình kh i l ưng hàng hóa
bán c trong 1 tháng. ñư
( ) ( )

 
=
= = =
∑
Nên kh i l ng hàng hóa bán c trung bình trong 1 tháng c a công ty là ư ñư
(
)
(
)
(
)

+ + =
2.11.
Tin hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) ti mt
chuyn giao thông, ngư ñưi ta thu c s liêu sau:
SK/1C 25 30 35 40 45
Xác su t
0,15
0,2
0,3
0,25
0,1
a/ Tính k v ng và l ch chu n c a SK/1C. ỳ ñ % (
b/ Gi s chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn ng, không ph # ñ ,
thuc vào s khách i trên xe, công ty ph i quy nh giá vé là bao nhiêu có ñ th2 ñ ñ
th thu ñưc s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn ñng?
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
36
Gii
Gi
là BNN ch s khách trên m t chuy n xe.
{
}
    
=
a/ Kỳ v ng c a SK/1C:
(
)
 
=
Đ l%ch chu(n ca SK/1C.:
(
)
(
)
(
)
(
)

σ
= = − =
b/ G i
là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe.

= −
trong ó, ñ
(ñng) là s ti n quy nh giá vé. ñ
Yêu c u bài toán,
(
)
(
)
(
)
   
= − = ⇔ = ⇔ ≈
.
Vy, công ty ph i quy nh giá vé là 8,6 ng. ñ ñ
2.12.
Mt ng i tham gia trò ch i gieo 3 ng ti n vô t . Anh ta c 500 n u ư ơ ñ ư ñư ñ
xut hi n 3 m t s p, 300 n u xu t hi n 2 m t s p, và 100 n u ch có m t m t s p % ñ % ñ
xut hi n. M c khác, anh ta m t 900 n u xu t hi n 3 m t ng a. Trò ch% ñ % ơi này có
công b ng v i ng i này không? ( Trò ch i c g i là công b i v i ng i ă ư ơ ñư "ng ñ ư
chơi n u tham gia ch ơi nhi u l n thì trung bình anh ta hòa v n).
Gii
Gi
là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n c khi tham gia trò ch i ñư ơ
{
}
  
= −
Đt
:”Gieo l n th
xu t hi n m t s p” %
{
}

∈
( )
(
)
(
)
(
)
(
)

= − = = =
( )
(
)
(
)
(
)
 
= = + + = =
Tương t ,
( )
 
= = = =
Bng phân phi xác su t c a
-900
100
300
500
(
)
Và
(
)

=
nên m i l n ch i anh ta th c 100 y trò ch i không công b ng. ơ ng ñư ñ. V ơ "
2.13.
Mt ng i tham gia trò ch i sau: Gieo m t con xúc x c vô t ba l n c l p ư ơ ư ñ
nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì c th ng 6 ngàn ng; n u xu t hi n ñư ư' ñ %
“ m t 1” 2 l n thì c th ng; xu t hi n “m t 1” 1 l n thì c ñư ư'ng 4 ngàn ñ % ñư
thư'n 2 ngàn ñng; khi không có “mt 1” nào xu t hi n thì không % ñưc thư'ng.
M i l n tham gia trò ch i, ng i ch i ph i ơ ư ơ ñóng
ngàn nh ñng. Hãy ñ
ñ trò
chơi công b ng. "
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
37
Gii
Gi
là BNN ch s ti n còn l i sau m i l n tham gia trò ch i. ơ
{
}

= − − −
Ta có

= − = =
;
  
= − = =
  
= − = =
;
= =
Bng phân phi xác su t c a
−
−
−
(
)


và
( ) ( )

= −
.
Trò ch i công b ng ơ "
(
)
= ⇔ − = ⇔ =
.
Vy, m i l n ch i ng i tham gia ng thì trò ch i công b ng. ơ ư ñóng 1 ngàn ñ ơ "
2.14.
Theo th ng kê dân s , xác su t m t ng i tu i 40 s s ng thêm 1 ñ ư ' ñ $ +
năm n a là 0,995. M t công ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t n m cho ă
nhng ngưi ' ñ tu i ó là 10 ngàn, và trong tr$ ñ ưng hp ngưi mua b o hi m b
cht thì s ti n b i th ưng là 1 tri u. H i l% i nhu n trung bình c a công ty khi bán
m i th b o hi m là boa nhiêu?
Gii
Gi
là BNN ch l i nhu n c a công ty khi bán m i th b o hi m.
{
}
 
= −
Bng phân phi xác su t c a

−

(
)


và
(
)
=
.
Vy, trung bình công ty l i 5 ngàn ng khi bán 1 th b o hi m. ñ
2.15.
S l ng xe ô tô mà m t i lý bán c trong m t tu n là m t BNN có ư ñ ñư
phân phi xác su t nh sau: ư
S xe bán c 0 1 2 3 4 5 ñư
Xác su t t ng ươ ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác su t i lý ó bán c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n. ñ ñ ñ ñư
Tính kỳ v ng và ph ng sai c a s xe mà i lý bán c trong m t n m. ươ ñ ñư ă
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
38
b/ Gi s chi phí cho ho t ng c a i lý b ng c n b c hai c a s xe bán # ñ ñ " ă
ñư ñ ñ ñc v i 5 (tri%u ng). Tìm chi phí cho hot ng trung bình cho hot ng ca
ñi lý trong mt tun.
Gi
X
là BNN s xe bán ra trong 1 tu n.
a/ Xác su t i lý ó bán c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n ñ ñ ñ ñư
(
)
(
)
(
)
3 1 4 5 0,6
P X P X P X≤ = − = − = =
Kỳ v ng và ph ng sai c a s xe mà i lý bán c trong m t n m. ươ ñ ñư ă
(
)
(
)
2,8; 2,16
E X D X= =
b/ G i là chi phí cho ho t ng c a i lý trong 1 tu n ñ ñ
5
Y X
= +
Nên chi phí cho ho t ng trung bình cho ho t ng c a i lý trong m t tu n ñ ñ ñ
( )
(
)
5 6,55
E Y E X
= + =
2.16.
Cho hàm
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
a/ Ch ng t
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
.
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
c a
X
c/ Tính xác su t
1
0
2
P X
< <
.
Gii
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
1
2
0
1
( ) 2 1
0
f x dx xdx x
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là hàm m t xác ñ
sut c a m t bi n ng u nhiên liên t c ,
X
.
b/
( )
2
0 , 0
( ) , 0 1
1 , 1
x
x
F x f t dt x x
x
−∞
≤
= = < ≤
>
∫
c/
1
2
0
1 1
0 2
2 4
P X xdx
< < = =
∫
.
2.17.
Cho hàm
3
2
, 1
( )
0 , 1
x
f x
x
x
>
=
≤
a/ Ch ng t
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
ca
X
.
c/ Tính xác su t
(
)
0 3
P X
< <
Gii
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
39
a/
( ) 0,f x x
≥ ∀ ∈
và
3 2
1
2 1
( ) 2 lim 1
12
b
b
f x dx dx
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là
hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
c/
( )
3
0
8
0 3 ( )
9
P X f x dx
< < = =
∫
.
2.18.
Cho hàm
3
, 1
( )
0 , 1
a
x
f x
x
x
>
=
≤
(
a
là h ng s ) "
a/ Tìm
a
ñ
( )
f x
là hàm m t xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t c ñ ,
X
b/ Tìm hàm phân ph i xác su t
( )
F x
ca
X
.
Gii
a/
, ( ) 0 0
x R f x a
∀ ∈ ≥ ⇔ ≥
và
3 2
1
1
( ) lim
1
2 2
b
b
a a
f x dx dx a
x x
+∞ +∞
→+∞
−∞
= = − =
∫ ∫
. Do ó, ñ
( )
f x
là hàm m t xác su t c a ñ
mt bi n ng u nhiên liên t c ,
X
khi và ch khi
0
2
1
2
a
a
a
≥
⇔ =
=
.
b/
( )
2
0 , 1
1
( ) 1 ,1
1 ,
x
x
F x f t dt x
x
x
−∞
≤
= = − < < +∞
= +∞
∫
2.19.
Cho
X
là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t , ñ
[
]
[ ]
2 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a ươ
X
.
Gii
( )
1
2
0
2
( ) 2
3
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 3
0
1
( ) 2
2
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
40
( )
( )
( )
( )
2
2
1 4 1
2 9 18
D X E X E X= − = − =
2.20.
Cho
X
là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t , ñ
[
]
[ ]
2
3 , 0;1
( )
0 , 0;1
x x
f x
x
∈
=
∉
Tìm kỳ v ng và ph ng sai c a ươ
X
.
Gii
( )
1
2
0
3
( ) 3
4
E X xf x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
( )
1
2 2 4
0
3
( ) 3
5
E X x f x dx x dx
+∞
−∞
= = =
∫ ∫
do ñó,
( )
( )
( )
( )
2
2
3 9 3
5 16 80
D X E X E X= − = − =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
41
Chương 3: M T S PHÂN PH I TH NG DÙNG Ư
3.1.
Mt ki n hàng có 10 s n ph m, trong ó có 8 s n ph m lo i A. L y ng u % ( ñ (
nhiên 2 s n ph m. t ( Đ
X
là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các (
sn ph m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a (
X
. Tính
(
)
(
)
,
E X D X
.
Gii
Gi
X
là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th nh t. ( (
{
}
Im 0;1;2
X
=
Ta có
(
)
~ 10;8;2
X H
ta có
2
8 2
2
10
.
( ) ; 0,8
k k
C C M
P X k p
C N
−
= = = =
Nên
( ) ( ) ( )
1,6; 1 .
1 225
N n
E X np D X np p
N
−
= = = − =
−
3.2.
Có 2 ki n hàng, ki n th nh t và ki n th 2. Bi t r ng, ki n th hai có 8 s n % % % " %
ph(m, trong ó có 5 s n ph m lo n ñ ( i A. L ñu, l y ng u nhiên 2 s n ph m ( ' ki n %
th nh t b vào ki n th hai, sau ó l y ng u nhiên t ki n th hai ra 2 s n ph m. % ñ % (
Đt
X
và
Y
l n l t là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các s n ư (
ph(m l y ra l n th nh t và l n th hai. Bi t r ng b ng phân ph i xác su t c a ' "
0 1 2
(
)





Tìm lu t phân ph i xác su t c a
Y
; tính
(
)
E Y
và
(
)
D Y
.
Bài gi i
Gi
Y
là BNN ch s s n ph m lo i A trong các s n ph m l y ra l n th hai. ( (
{
}
Im 0;1;2
Y
=
Ta th y
( ) ( ) ( )
1 16 28
0 ; 1 ; 2
45 45 45
P X P X P X= = = = = =
Trong ó, ñ
( ) ( ) ( )
0 2
5 5
2
10
.
10 6 3
0 | 0 ; 0 | 1 ; 0 | 2
45 45 45
C C
P Y X P Y X P Y X
C
= = = = = = = = = =
Mt khác
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
42
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 0 . 0 | 0 1 . 0 | 1
190
2 . 0 | 2
2025
P Y P X P Y X P X P Y X
P X P Y X
= = = = = + = = =
+ = = = =
Tương t
( ) ( )
997 838
1 ; 2
2025 2025
P Y P Y= = = =
.
Bng phân phi xác su t c a
Y
Y
0 1 2
(
)
P Y
190
2025
997
2025
838
2025
Nên
( ) ( )
2673
1,32; 0,40525.
2025
E Y D X= = =
3.3.
Mt ki n hàng ch a 8 s n ph m, trong ó có 3 s n ph m x u và 5 s n ph m % ( ñ ( (
tt. L y ng u nhiên t ki n hàng ra 4 s n ph i). % (m (không hoàn l
a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph m x u có trong 4 s n (
ph(m l y ra, và tính xác su t trong ó có ít nh t 2 s n ph m t t. ñ ñ (
b/ em 4 s n ph m v a l y ra i bán. Bi t r ng bán m t s n ph m t t c Đ ( ñ " ( ñư
li 50 ngàn ng, và bán m t s n ph m x u bñ ( l ng. Tính l i nhu n thu 15 ngàn ñ
ñư ñ c trung bình và l%ch chu(n ca l i nhun khi bán 4 sn ph(m trên.
Gii
a/ G i
X
là BNN ch s s n ph m x u có trong 4 s n ph m l y ra. ( (
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
( ) ( ) ( )
( )
0 4 1 3 2 2
3 5 3 5 3 5
4 4 4
8 8 8
3 1
3 5
4
8
. . .
1 6 6
0 ; 1 ; 2 ;
14 14 14
. 1
3
14
C C C C C C
P X P X P X
C C C
C C
P X
C
= = = = = = = = =
= = =
Bng phân phi xác su t c a
X
X
0 1 2 3
(
)
P X
1
14
6
14
6
14
1
14
Xác su t có ít nh t 2 s n ph m t ñ ( t:
( ) ( )
13
2 1 3
14
P X P X
≤ = − = =
.
b/ G i
Y
là BNN ch l i nhu n thu c khi bán 4 s n ph m. ñư (
200 65
Y X
= −
khi ñ
ó
( ) ( )
( )
( )
2
2
6 6 1 15
2. 3. 1,5;
14 14 14 28
E X D X E X E X= + + = = − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
43
(
)
(
)
(
)
200 65 200 65 102,5
E Y E X E X
= − = − =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
200 65 65 47,5735
Y D Y D X D Xσ = = − = =
3.4.
M
t lô hàng có r
t nhi
u s
n ph
(
m, v
i t
l
%
hàng gi
là 30%.
a/ L
y ng
u nhiên t
lô hàng ra 10 s
n ph
(
m, tính xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t
2 s
n ph
(
m gi
.
b/ Ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên ra t
ng s
n ph
(
m m
t
ñ
ki
m tra cho
ñ
n khi
nào g
p s
n ph
(
m gi
thì d
ng. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t và tính k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra
Gii
G
i
p
là xác su
t ch
hàng gi
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
s
n ph
(
m gi
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t 2 s
n ph
(
m gi
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
i
1
Y
là BNN ch
s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra.
Ta có
{
}
1
Im 0;1;2;...
Y
=
Ta th
y
(
)
(
)
1 1
0 0,3; 1 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
p
(
)
1
0,7 .0,3
n
P Y n= =
.
Nên k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m th
t
ñ
ã ki
m tra:
( ) ( )
( )
1
1 1
2
0 1
1 7
. 0,7.0,3 .0,7 0,21.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.5.
M
t lô hàng có r
t nhi
u s
n ph
(
m, v
i t
l
%
hàng gi
là 30%.
a/ L
y ng
u nhiên t
lô hàng ra 10 s
n ph
(
m, tính xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t
2 s
n ph
(
m gi
.
b/ Ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên ra t
ng s
n ph
(
m m
t
ñ
ki
m tra cho
ñ
n khi
nào g
p s
n ph
(
m gi
thì d
ng. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t và tính k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra.
Gii
G
i
p
là xác su
t ch
hàng gi
trong 1 lô hàng nên
0,3
p
=
.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
s
n ph
(
m gi
.
(
)
10;0,3
X B
Xác su
t
ñ
có nhi
u nh
t 2 s
n ph
(
m gi
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
44
(
)
(
)
(
)
(
)
10 9 2 8
2 0 1 2
0,7 0,3.0,7 0,3 .0,7 0,0455
P X P X P X P X≤ = = + = + =
= + + =
b/ G
i
2
Y
là BNN ch
s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra.
Ta có
{
}
2
Im 1;2;3;...
Y
=
(
)
(
)
2 2
1 0,3; 2 0,7.0,3
P Y P Y
= = = =
theo quy n
p
(
)
1
2
0,7 .0,3
n
P Y n
−
= =
.
Nên k
ỳ
v
ng c
a s
s
n ph
(
m
ñ
ã ki
m tra:
( ) ( )
( )
1
2 2
2
1 1
1 10
. .0,7 .0,3 0,3.
3
1 0,7
n
n n
E Y n P Y n n
+∞ +∞
−
= =
= = = = =
−
∑ ∑
3.6.
M
t khách hàng mua xe t
i m
t
ñ
i lý, n
u xe có s
c
k
4
thu
t thì
ñư
c
quy
n tr
xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và
ñư
c l
y l
i nguyên s
ti
n mau
xe. M
i chi
c xe b
tr
l
i nh
ư
th
làm thi
%
t h
i cho
ñ
i lý 250 ngàn VN
Đ
. Có 50
xe
ñư
c bán ra. Xác su
t
ñ
m
t xe b
tr
l
i là 0,1.
a/ Tìm k
ỳ
vong và ph
ươ
ng sai c
a s
xe b
tr
. Tính xác xu
t
ñ
có nhi
u
nh
t 2 xe b
tr
l
i.
b/ Tìm k
ỳ
v
ng và
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a t
$
ng thi
%
t h
i mà t
$
ng
ñ
i lý ph
i ch
u
do vi
%
c tr
l
i xe.
Gii
G
i
p
là xác su
t
ñ
m
t xe b
tr
l
i. Nên
0,1
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
xe b
tr
l
i.
(
)
50;0,1
X B
ta th
y (
50 30; . 5 5; 4,5 5
n n p npq
= > = ≤ = ≤
) nên
(
)
5
X Po
Suy ra
(
)
(
)
(
)
5; 1 4,5.
E X np D X np p
= = = − =
Xác su
t nhi
u nh
t 2 xe b
tr
l
i:
(
)
( ) ( ) ( )
0 1 2
P X 2 (5) (5) (5) 0,1246
Po Po Po≤ = + + =
b/ G
i
Y
là BNN ch
t
$
ng thi
%
t h
i c
a
ñ
i lý ph
i ch
u do vi
%
c tr
l
i xe.
250
Y X
=
suy ra
(
)
(
)
(
)
250 250 1250
E Y E X E X
= = =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
250 250 530,330
Y D Y D X D Xσ = = = =
3.7.
M
t thí sinh tên M tham d
m
t k
ỳ
thi môn XSTK . M ph
i làm m
t
ñ
thi
tr
c nghi
%
m khách quan g
m 10 câu; m
i câu có 4 l
i
Gi i
khác nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t l
i
Gi i
ñ
úng. M s
+
ñư
c ch
m
ñ
u n
u tr
l
i
ñ
úng ít nh
t 6 câu.
(a) Gi
s
#
M không h
c bài, mà ch
ch
n ng
u nhiên l
i
Gi i
trong c
10
câu. Tính xác su
t
ñ
M thi
ñ
u.
(b) Gi
s
M ch
c ch
n tr
l
i
ñ
úng
ñư
c 2 câu; còn các câu khác, M ch
n
ng
u nhiên m
t trong 4 l
i
Gi i
c
a m
i câu. Tính xác su
t
ñ
M thi r
t.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
45
Gii
G
i
p
là xác su
t
ñ
M tr
l
i
ñ
úng m
t câu h
i. Nên
0,25
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đ
t
A
:”M thi
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ M ch
c ch
n tr
l
i dung 2 câu, mà các câu
ñư
c
ñ
c l
p nhau và xác su
t tr
l
i dung m
i câu là 0,25.
Do
ñ
ó, Xác su
t
ñ
M r
t trong tr
ư
ng h
p tr
l
i
ñ
úng 2 câu có ngh
ĩ
a là ta tính xác su
t
ñ
M r
t tro
G
i
Y
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 8 câu.
(
)
8;0,25
Y B
.
Đ
t
R
:” M thi r
t”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 8 3 3 5
8 8
3 0 1 2 3
0,25 0,75 ... 0,25 0,75 0,8862.
P R P Y P Y P Y P Y P Y
C C
= ≤ = = + = + = + =
= + + =
3.8.
M
t thí sinh M tham d
m
t k
ỳ
. M ph
i làm m
t
ñ
thi tr
c nghi
%
m khách
quan g
m 10 câu; m
i câu có 4 l
i
Gi i
khác nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t l
i
Gi i
ñ
úng. M s
+
ñư
c ch
m
ñ
u n
u tr
l
i
ñ
úng ít nh
t 6 câu.
a/ Gi
s
#
M không h
c bài, mà ch
ch
n ng
u nhiên l
i
Gi i
trong c
10
câu. Tính xác su
t
ñ
M thi
ñ
u.
b/ H
i M ph
i d
thi ít nh
t m
y l
n
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t l
n thi
ñ
u
không nh
h
ơ
n 97%?
Gii
a/ G
i
p
là xác su
t
ñ
M tr
l
i
ñ
úng m
t câu h
i. Nên
0,25
p
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
câu tr
l
i
ñ
úng trong 10 câu.
(
)
10;0,25
X B
.
Đ
t
A
:”M thi
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
6 6 7
8 9 10 0,0197
P A P X P X P X
P X P X P X
= ≥ = = + = +
+ = + = + = =
b/ G
i
n
là s
l
n d
thi c
a M. Và
B
:“ít nh
t m
t l
n
ñ
u”
(
)
(
)
(
)
1 0 1 1 0,0197 0,97 176,238
n
P B P X n= − = = − − ≥ ⇔ ≥
V
y, M ph
i thi th
#
177 l
n.
3.9.
Nhà máy d
%
t mu
n tuy
n d
,
ng ng
ư
i bi
t rành v
m
t lo
i s
i. Nhà máy
th
#
thách ng
ư
i d
tuy
n 7 l
n. M
i l
n nhà máy
ñ
em ra 4 s
i gi
ng nhau, trong
ñ
ó ch
có m
t s
i th
t và yêu c
u ng
ư
i này ch
n ra s
i th
t. N
u ch
n
ñ
úng ít
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
46
nh
t 6 l
n thì
ñư
c tuy
n d
,
ng. M
t ng
ư
i
ñ
n xin tuy
n d
,
ng nói: "Ch
c
n nhìn
qua là có th
phân bi
%
t s
i th
t hay gi
v
i xác su
t 80% ".
a/ N
u ng
ư
i này nói
ñ
úng kh
n
ă
ng c
a mình thì xác su
t
ñư
c tuy
n d
,
ng
là bao nhiêu?
b/ Tính xác su
t
ñ
ñư
c tuy
n d
,
ng trong tr
ư
ng h
p, th
t ra, ng
ư
i
này không bi
t gì v
s
i c
.
Gii
a/ G
i
B
:” n
ă
ng l
c nh
n ra s
i th
t c
a ng
ư
i d
tuy
n” suy ra
(
)
0,8
P B
=
.
G
i
X
là BNN ch
s
s
i th
t trong 7 l
n th
.
(
)
7;0,8
X B
.
Đ
t
A
:”Ng
ư
i này
ñư
c ch
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,8 .0,2 .0,8 0,5767
P A P X P X C C= = + = = + =
b/ G
i p là xác su
t ch
n
ñư
c s
i th
t trong m
t l
n th
#
(không bi
t gì v
s
i).
0,25
p
=
.
Khi
ñ
ó
(
)
7;0,25
X B
Đ
t
A
:”Ng
ư
i này
ñư
c ch
n”
(
)
(
)
(
)
6 6 7 7
7 7
6 7 .0,25 .0,75 .0,25 0,0014.
P A P X P X C C= = + = = + =
3.10.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ Ph
i l
y bao nhiêu chai (
'
lô A)
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t chai h
ng
không nh
h
ơ
n 94% ?
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
i
n
là s
chai l
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
47
Do
ñ
ó, ít nh
t l
y 27 chai.
3.11.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ Ch
n ng
u nhiên 1 trong 3 lô r
i l
y t
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
t
ñ
có ít nh
t 1 chai h
ng.
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ Ta có
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô
i
v
i
{
}
1;2;3
i
∈
Đ
t
i
H
:”lô
i
ñư
c ch
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈
⇒
=
. và
Đ
t
H
:” ít nh
t 1 chai h
ng trong 3 chai l
y ra”
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
1 2 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
∑
( )
3 3 3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
= − + + =
3.12.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c. L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân
ph
i xác su
t r
i tính k
ỳ
v
ng và ph
ươ
ng sai c
a s
chai h
ng trong 3 chai l
y
ra.
Gii
G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
48
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
Suy ra
(
)
0,2636 2.0,0314 3.0,0012 0,33
E Y
= + + =
và
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 0,33 0,2911.
D Y E Y E Y= − = + + − =
3.13.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng trong 3
chai l
y ra.
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c
chai t
t.
Gii
a/ G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
| | |P A P H P A H P H P A H P H P A H
= + + =
1 499 1 299 1 199
500 300 200
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85 0,104
1000 1000 1000
C C C= + + =
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
49
3.14.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ Ch
n ng
u nhiên 1 trong 3 lô r
i l
y t
lô
ñ
ó ra 3 chai. Tính xác su
t
ñ
có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
Gii
a/
Đ
t
i
H
:”lô
i
ñư
c ch
n”
{ }
( )
1
1;2;3
3
i
i P H
∈ ⇒ =
. và
Đ
t
H
:” ít nh
t 1 chai h
ng trong 3 chai l
y ra”
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3
1 2 3
1
1 2 3
3 3 3
1
. | 1 1 1
3
1
3 0 0 0
3
1
1 0,9 0,92 0,85 0,2927
3
i i
i
P H P H P H H P X P X P X
P X P X P X
=
= = ≥ + ≥ + ≥
= − = − = + =
= − + + =
∑
Trong
ñ
ó
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô
i
v
i
{
}
1;2;3
i
∈
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.15.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong 3
chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
Ph
i l
y bao nhiêu chai (
'
lô A)
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t chai
h
ng không nh
h
ơ
n 94% ?
b/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
50
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
G
i
n
là s
chai l
y ra. Ta có
(
)
;0,1
X B n
(
)
1 0 0,94 0,06 0,9 26,7
n
P X n− = ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Do
ñ
ó, ít nh
t l
y 27 chai.
b/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.16.
T
l
%
thu
c h
ng
'
lô A là
0,1
A
P
=
'
lô B là
0,08
B
P
=
và
'
lô C là
0,15
C
P
=
. Gi
s
#
m
i lô có r
t nhi
u chai thu
c.
a/ L
y 3 chai
'
lô A. Tìm lu
t phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng có trong
3 chai. Tính xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng; có ít nh
t 1 chai h
ng.
b/ L
y
'
m
i lô m
t chai. Tìm phân ph
i xác su
t c
a s
chai h
ng trong 3
chai l
y ra.
c/ M
t c
#
a hàng nh
n v
500 chai
'
lô A, 300 chai
'
lô B và 200 chai
'
lô
C r
i
ñ
l
n l
n. M
t ng
ư
i
ñ
n mua 1 chai v
dùng. Tính xác su
t
ñ
ñư
c chai
t
t.
Gii
a/ G
i
X
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra
'
lô A.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
Và
(
)
~ 3;0,1
X B
v
i
(
)
{
}
3
3
0,1 .0,9 ( 0,1,2,3 )
k k k
P X k C k
−
= = ∈
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
51
B
ng phân ph
i xác su
t c
a
X
:
X
0 1 2 3
(
)
P X
0,729
0,243
0,027
0,001
Xác su
t
ñ
có 2 chai h
ng:
(
)
2 0,027
P X
= =
và xác su
t có ít nh
t 1 chai h
ng
(
)
(
)
1 1 0 0,271
P X P X
≥ = − = =
.
b/ G
i
Y
là BNN ch
s
chai h
ng có trong 3 chai l
y ra.
{
}
Im 0;1;2;3
X
=
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3
0 0 . 0 . 0 0,7038
P Y P X P X P X= = = = = =
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 . 0 . 1
0 . 1 . 0 1 . 0 . 0 0,2636
P Y P X P X P X
P X P X P X P X P X P X
= = = = = +
+ = = = + = = = =
T
ươ
ng t
(
)
(
)
2 0,0314; 3 0,0012
P Y P Y
= = = =
Y
0 1 2 3
(
)
P Y
0,7038
0,2636
0,0314
0,0012
c/
Đ
t
A
:” Ch
n 1 chai h
ng”
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 3 3
1 499 1 299 1 199
500 300 200
| | |
500 300 200
. .0,1.0,9 . .0,08.0,92 . .0,15.0,85
1000 1000 1000
0,104
P A P H P A H P H P A H P H P A H
C C C
= + +
= + +
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñư
c 1 chai t
t:
(
)
(
)
1 0,896
P A P A= − =
3.17. G
i
s
#
ngày sinh c
a ng
ư
i dân trong m
t thành ph
l
n có th
r
ơ
i
ng
u nhiên vào m
t ngày b
t k
ỳ
trong m
t n
ă
m (365) ngày. Ch
n ng
u nhiên 1095
ng
ư
i trong thành ph
ñ
ó. Tính xác su
t
ñ
:
a/ Có hai ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
b/ Có không quá 7 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho.
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
ng
ư
i có cùng ngày sinh trong 1095 ng
ư
i .
1
~ 1095;
365
X B
a/
Xác su
t
ñ
có 2 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
52
( ) ( )
2 1093
2
1095 2 2
1 364 1
2 1095. 3 =0,2565
365 365 365
P X C Po Po
= = ≈ =
b/ Xác su
t
ñ
có không quá 7 ng
ư
i có cùng ngày sinh
ñ
ã cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 1 2 3 4 5
6 7
7 3 3 3 3 3 3
3 3 0,988
P X Po Po Po Po Po Po
Po Po
≤ = + + + + +
+ + =
3.18.
M
t tr
m b
ư
u
ñ
i
%
n chuy
n
ñ
i
%
n trong kho
ng th
i gian 10
-5
giây.
Trong quá trình tránh
ñ
i
%
n có các ti
ng
n ng
u nhiên. S
tín hi
%
u
n ng
u nhiên
trong 1 giây là 10
4
. n
u trong th
i gian truy
n tín hi
%
u có dù cjir m
t tín hi
%
u
n
ng
u nhiên thì tr
m s
+
ng
ng làm vi
%
c. tính xác su
t
ñ
cho vi
%
c truy
n tính hi
%
u
b
gián
ñ
o
n. bi
t r
"
ng s
tín hi
%
u
n ng
u nhiên r
ơ
i vào trong kho
ng th
i gian
truy
n tín hi
%
u là bi
n ng
u nhiên tuân theo lu
t phân ph
i poison.
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
các tín hi
%
u
n trong kho
ng th
i gian
5
10
−
truy
n tin.
(
)
(
)
4 5
~ 10 .10 ~ 0,1
X Po X Po
−
⇔
Trong
ñ
ó,
s
tín hi
%
u
n trong kho
ng th
i gian
5
−
giây truy
n tin là
4 5
10 .10 0,1
−
= .
Do
ñ
ó, xác su
t vi
%
c truy
n tin b
gián
ñ
o
n
( ) ( )
(
)
0
0,1
0,1
1 1 0 1 0,0952
0!
P X P X e
−
≥ = − = = − =
3.19.
S
l
i trên 1 mét vuông v
i là m
t bi
n ng
u nhiên tuân theo lu
t phân
ph
i poison. Ki
m tra lô v
i, ng
ư
i ta th
y 98% có l
i. V
y trung bình m
i mét
vuông v
i có bao nhiêu l
i?
Gii
G
i
X
là BNN ch
s
l
i trên 1mét vuông v
i
(
)
X Po
λ
Lô v
i th
y có 98% l
i
(
)
(
)
1 0,98 1 0 0,98 0,02 3,9
P X P X e
−λ
≥ = ⇔ − = = ⇔ = ⇔ λ ≈
(1,5
ñ
)
V
y, trung bình m
i mét vuông v
i có 3,9 l
i.
3.20.
M
t công nhân qu
n lý 12 máy d
%
t. Các máy d
%
t ho
t
ñ
ng
ñ
c l
p
nhau, và xác su
t
ñ
m
i máy, trong ca làm vi
%
c, c
n s
ch
ă
m sóc c
a công nhân
(vi
t t
t là CCN) là 0,3.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
53
a/ Tính xác su
t
ñ
, trong ca làm vi
%
c, có
a
1
/ 4 máy CCN
a
2
/ t
3
ñ
n 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi
%
c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi
%
c, tìm s
máy CCN nhi
u kh
n
ă
ng nh
t; tính xác su
t
t
ươ
ng
ng.
Gi i.
a/ G
i
X
là BNN ch
s
máy CCN trong ca làm vi
%
c thì
(
)
~ 12;0,3
X B
{
}
12
12
P( ) C (0,3) (0, 0,1,2,7) ,
k k k
kX k
−
∈ …= =
, k
∈
{0,1,2,…,12}
a
1
/ Xác su
t ph
i tính:
4 4 8
12
P( 4) C (0,3) (0,7
2 1
)
0, 31
X
= = =
b
2
/ Xác su
t ph
i tính:
7
= 3
P(3 7) P( )
k
X X k
≤ ≤ = =
∑
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291
= 0,7376.
b/ S
máy CCN trung bình:
(
)
12 0,3 3,6
E X
= × =
c/ S
máy CCN nhi
u kh
n
ă
ng nh
t:
(
)
13 0 .
[ ]
,3 3
Mod X
= × =
Xác su
t t
ươ
ng
ng:
(
)
3 0,2397
P X
= =
.
3.21.
Ng
ư
i ta mu
n l
y m
t s
h
t lúa t
m
t kho lúa có t
l
%
h
t lép là
0,2
ñ
ki
m tra. Bi
t r
"
ng kho lúa có r
t nhi
u h
t.
a/ Ph
i l
y ít nh
t bao nhiêu h
t lúa
ñ
xác su
t có ít nh
t m
t h
t lép không
bé h
ơ
n 95% ?
b/ L
y ng
u nhiên 100 h
t lúa, tính xác su
t
ñ
trong
ñ
ó có 25 h
t lép; có t
10
ñ
n 40 h
t lép.
Gi i.
a/ G
i
n
là s
h
t lúa c
n l
y. Vì s
h
t lúa trong kho r
t l
n, nên các l
n l
y xem
nh
ư
ñ
c l
p. Xác su
t
ñ
trong n h
t lúa l
y ra, không có h
t lép nào là (0,8)
n
.
Theo gi
thi
t:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
54
( ) ( )
1 0,8 0,95 0,8 0,
ln(0,05)
ln (0,8)
05
n n
n− ≥ ⇔ ≤ ≥⇔
V
y, ph
i l
y ít nh
t 14 h
t lúa.
b/ G
i
X
là bi
n ng
u nhiên ch
s
h
t lép trong m
u thì
(
)
~ ,
X B n p
, v
i
100
n
=
và
0,2
p
=
. Vì
30; . 20 5
n n p
> = >
và
(
)
. 1 80 5
n p
− = >
nên chúng ta có
th
áp d
,
ng các công th
c g
n
ñ
úng DeMoivre
−
Laplace.
(i) Xác su
t
ñ
có 25 h
t lép:
25 25 75
100
P( 25) C (0,2) (0,8) 0,04388
X = = =
(ii) Xác su
t
ñ
có t
10
ñ
n 40 h
t lép:
40 100 0,2 10 100 0,2
( )
100 0,2 0,8 100 0,2
10 0
,
4
0 8
P X
− × − ×
Φ − Φ
≤ ≤ ≈
× × × ×
(5) ( 2,5) 1 (1 (2,5)) (2,5)
= Φ − Φ − = − − Φ = Φ
10 40 (
0,9938
)P X
⇒ ≤ ≤ ≈
3.22.
C
n xét nghi
%
m máu cho 5000 ng
ư
i
ñ
tìm d
u hi
%
u m
t lo
i b
%
nh
B t
i m
t
ñ
a ph
ươ
ng có t
l
%
ng
ư
i m
c b
%
nh B theo th
ng kê là 10%. Có 2
ph
ươ
ng pháp:
a/ Xét nghi
%
m t
ng ng
ư
i m
t.
b/ M
i l
n l
y máu m
t nhóm 10 ng
ư
i tr
n l
n vào nhau r
i xét nghi
%
m.
N
u k
t qu
âm tính thì thông qua, n
u d
ươ
ng tính thì ph
i làm thêm 10 xét
nghi
%
m
ñ
xét nghi
%
m l
i t
ng ng
ư
i m
t trong nhóm.
H
i ph
ươ
ng pháp nào có l
i h
ơ
n, bi
t r
"
ng m
i xét nghi
%
m
ñ
u t
n kém nh
ư
nhau và kh
n
ă
ng m
c b
%
nh c
a m
i ng
ư
i
ñ
c l
p nhau?
Gii.
a/ N
u dùng ph
ươ
ng pháp (1) thì ph
i th
c hi
%
n 5000 xét nghi
%
m.
b/ Bây gi
chúng ta xem ph
ươ
ng pháp (2):
Đ
t
X
ch
s
nhóm có k
t qu
d
ươ
ng tính thì
(
)
10
~ 500; 1
)
0,9(X B −
Đ
t
Y
ch
s
xét nghi
%
m theo ph
ươ
ng pháp (2) thì
500 10
Y X
= +
S
xét nghi
%
m trung bình theo ph
ươ
ng pháp (2) là:
(
)
(
)
(
)
10
500 10 500 5000 1 0,9 37 7
( )
5
E Y E X= + = + − ≈
.
V
y, áp d
,
ng theo ph
ươ
ng pháp (2) có l
i h
ơ
n.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
55
3.23.
M
t c
ơ
s
'
s
n xu
t, trung bình trong m
t tu
n, nh
n
ñư
c 4
ñơ
n
ñ
t
hàng. Bi
t r
"
ng s
ñơ
n
ñ
t hàng
X
mà c
ơ
s
'
nh
n
ñư
c trong m
t tu
n là m
t
BNN có phân ph
i Poisson. Tính xác su
t
ñ
c
ơ
s
'
ñ
ó
a/ Nh
n
ñư
c h
ơ
n 5
ñơ
n
ñ
t hàng trong m
t tu
n
b/ Nh
n
ñư
c 6
ñơ
n
ñ
t hàng trong hai tu
n liên ti
p
Gii.
a/
(
)
~ 4
X Po
. Xác su
t ph
i tính:
(
)
5 1 (
)
5
P X P X> = − ≤
=
5
4
0
1 0,7851 0,214
4
1 e
!
9
k
k
k
−
=
= − =−
∑
b/ G
i
Y
là BNN ch
s
ñơ
n
ñ
t hàng c
a c
ơ
s
'
trong hai tu
n liên ti
p thì
(
)
~ 8
Y Po
. Xác su
t ph
i tính:
( )
6
8
8
6 e 0,1221
6!
P Y
−
= = =
3.24.
M
t xe t
i v
n chuy
n 1000 chai r
ư
u vào kho. Xác su
t
ñ
m
i chai
b
v
5
trong khi v
n chuy
n là 0,0035. Tính xác su
t
ñ
sau khi v
n chuy
n, có 6
chai r
ư
u b
v
5
; có t
2
ñ
n 8 chai r
ư
u b
v
5
. (gi
s
#
r
"
ng s
ki
%
n các chai r
ư
u
b
v
5
là
ñ
c l
p nhau, do ch
t l
ư
ng riêng c
a m
i chai)
Gi i.
G
i
X
là BNN ch
s
chai r
ư
u b
v
5
sau khi v
n chuy
n, thì
(
)
~ 1000; 0,0035 .
X B
Xác su
t
ñ
có 6 chai r
ư
u b
v
5
:
6 6 994
1000
P( 6) (0,0035) (0,9965) 0,07709
X C= = =
Tính g
n
ñ
úng:
Vì
1000
n
=
và
. 3,5 5
n p
= <
, nên có th
xem:
(
)
~ 3,5
X Po
. Do
ñ
ó:
6
3,5
(3,5)
P( 6) 0,0771
6!
X e
−
= ≈ =
Xác su
t
ñ
có t
2
ñ
n 8 chai r
ư
u b
v
5
8
3,5
2
(3,5)
P 0,(2 8
!
85
)
43
k
k
X e
k
−
=
≤ ≤ ≈ =
∑
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
56
3.25.
Th
i gian
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A là m
t BNN tuân theo lu
t
phân ph
i chu
(
n v
i các tham s
µ
= 10 và
σ
= 1 (
ñơ
n v
là phút)
a/ Tính xác su
t
ñ
m
t s
n ph
(
m lo
i A nào
ñ
ó
ñư
c s
n xu
t trong kho
ng
th
i gian t
9 phút
ñ
n 12 phút.
b/ Tính th
i gian c
n thi
t
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A b
t k
ỳ
.
Gi i.
G
i
X
là BNN ch
th
i gian d
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A ,
(
)
~ 10;1
X N
.
a/ Xác su
t ph
i tính:
12 10 9 10
( )
1
9
1
12 P X
− −
Φ − Φ
≤ ≤
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2 – 1 2 1 –1
=Φ Φ − =Φ + Φ
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui t
c 3
σ
, h
u nh
ư
ch
c ch
n
X
l
y giá tr
trong kho
ng:
[
]
[
]
10 3 1; 10 3 1 7; 13
− × + × =
V
y, th
i gian c
n thi
t
ñ
s
n xu
t m
t s
n ph
(
m lo
i A b
t k
ỳ
là t
7 phút
ñ
n
13 phút (h
u nh
ư
ch
c ch
n).
3.26.
Cho bi
n ng
u nhiên
X
tuân theo lu
t phân ph
i
2
( )
,
N
µ σ
. Bi
t r
"
ng
X
l
y giá tr
nh
h
ơ
n 60 v
i xác su
t 0,1003 và l
y giá tr
l
n h
ơ
n 90 v
i xác su
t
0,0516, hãy tính
µ
và
σ
.
Gi i.
Theo gi
thi
t,
60
0,1003
( 60) 0,1003
( 90) 0,0516
90
1 0,0516
P X
P X
− µ
Φ =
< =
σ
⇔
> =
− µ
− Φ =
σ
60
0,8997
90
0,9484
µ −
Φ =
σ
⇔
− µ
Φ =
σ
60
1,28
90
1,64
µ −
=
σ
⇔
− µ
=
σ
V
y,
73,15
µ =
và
10,27
σ =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
57
3.27. Đư
ng kính c
a m
t lo
i chi ti
t do m
t máy s
n xu
t có phân
ph
i chu
(
n, k
ỳ
v
ng 20mm, ph
ươ
ng sai
(
)
2
0,2
mm. Tính xác su
t l
y ng
u
nhiên m
t chi ti
t
a/ Có
ñư
ng kính trong kho
ng 19,9mm
ñ
n 20,3mm.
b/ Có
ñư
ng kính sai khác v
i k
ỳ
v
ng không quá 0,3mm.
Gii
G
i
X
là BNN ch
ñư
ng kính c
a m
t chi ti
t, ta có
( )
(
)
2
~ 20; 0,2
X N
a/ Có
ñư
ng kính trong kho
ng 19,9mm
ñ
n 20,3mm
( )
( ) ( )
20,3 20 19,9 20
19,9 20,3
0,2 0,2
1,5 0,5 0,6247
P X
− −
< < = Φ − Φ
= Φ + Φ =
b/ Có
ñư
ng kính sai khác v
i k
ỳ
v
ng không quá 0,3mm
( )
0,3
20 0,3 2 1 0,8664
0,2
P X
− < = Φ − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
58
CHƯƠNG 7: LÝ THUY T M U
4. 1.
Đ
nghiên c
u v
s
con trong m
t gia
ñ
ình (SCTMG
Đ
)
'
ñ
a ph
ươ
ng A,
ng
ư
i ta
ñ
i
u tra s
con c
a m
i gia
ñ
ình trong 30 gia
ñ
ình
ñư
c ch
n ng
u nhiên
'
ñ
a ph
ươ
ng A. K
t qu
ñư
c ghi l
i nh
ư
sau:
0 2 5 3 7 4 3 3 1 4
2 4 3 1 6 1 0 2 4 1
1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a)
Hãy l
p b
ng phân ph
i t
n s
và t
n su
t tích lu
4
cho d
li
%
u trên m
u.
b)
Trên m
u v
a nêu, tính SCTMG
Đ
trung bình
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a SCTMG
Đ
.
Gii:
a)
G
i X là BNN ch
s
con trong m
t gia
ñ
ình. B
ng phân b
t
n s
, t
n su
t
và t
n su
t tích l
ũ
y cho X t
d
li
%
u trên.
X 0 1 2 3 4 5 6 7
T
n s
3 6 6 6 4 3 1 1
T
n su
t
0,100
0,200
0,200
0,200
0,133
0,100
0,033
0,033
T
n su
t tích l
ũ
y
0,100
0,300
0,500
0,700
0,833
0,933
0,967
1,000
b)
Giá tr
trung bình m
u là:
2,67
=
Giá tr
ph
ươ
ng sai m
u:
2
3,2644
=
Đ
l
%
ch chu
(
n:
1,81
=
.
4. 2.
Đ
nghiên c
u v
thâm niên công tác (tính tròn n
ă
m) c
a nhân viên
'
m
t
công ty l
n, ng
ư
i ta kh
o sát thâm niên c
a 100 nhân viên
ñư
c ch
n ng
u nhiên
trong công ty. K
t qu
nh
ư
sau:
Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19
S
nhân
viên
8 21 36 25 10
a)
Hãy tính giá tr
trung bình m
u và giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u.
b)
Gi
s
#
thâm niên công tác c
a nhân viên c
a công ty trên là BNN X có k
ỳ
v
ng là 12 n
ă
m và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 3 n
ă
m. Tính xác su
t
ñ
trung bình m
u
nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 n
ă
m.
Gii
G
i X là BNN ch
thâm niên công tác c
a nhân viên c
a công ty trên.
a)
T
d
li
%
u ta tính
ñư
c:
- Giá tr
trung bình m
u:
12.24
=
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
59
- Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
3,27
=
.
b)
Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
12,5
12,5 1,67 1 1,67 0,0478
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
4. 3.
Đ
nghiên c
u chi
u cao c
a thanh niên l
a
tu
$
i t
18
ñ
n 22 tu
$
i
'
thành ph
LX, ng
ư
i ta
ñ
o trên m
t m
u g
m m
t s
thanh niên
ñư
c
ch
n ng
u nhiên
'
thành ph
LX. K
t qu
nh
ư
sau
(
ñơ
n v
cm):
a) Tính giá tr
trung bình m
u và giá tr
ñ
l
%
ch
chu
(
n m
u.
b) Theo tài li
%
u kh
o sát tr
ư
c
ñ
ó chi
u cao c
a
nh
ng thanh niên l
a tu
$
i trên tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n v
i k
ỳ
v
ng là
166 cm
µ
=
và
ñ
l
%
ch
chu
(
n là
7 cm.
σ
=
Hãy tính xác su
t
ñ
trung
bình m
u có giá tr
l
n 167 cm.
Gii:
G
i X là BNN ch
chi
u cao c
a thanh niên l
a tu
$
i t
18
ñ
n 22 tu
$
i
'
thành ph
LX.
a) T
d
li
%
u ta tính
ñư
c:
- Giá tr
trung bình m
u:
166,55 cm
=
- Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
5,865 cm.
=
b) Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm ta có:
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
Do
ñ
ó xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
n giá tr
l
n h
ơ
n 12,5 là:
( )
( ) ( )
167
167 1,57 1 1,57 0,058
µ µ
σ σ
− −
> = > = > = − ≤ =
.
4. 4.
Gi
s
#
ñ
t
ă
ng theo ph
n tr
ă
m l
ươ
ng hàng n
ă
m c
a m
i công nhân viên
ch
c trong công ty Alpha tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n v
i trung bình 12,2% và
Chi
u cao
(cm)
S
thanh
niên
[154, 158) 10
[158, 162) 16
[162, 166) 29
[166, 170) 37
[170, 174) 15
[174, 178) 10
[178, 182) 4
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
60
ñ
l
%
ch chu
(
n 3,6%. M
t m
u ng
u nhiên g
m 9 ph
n t
#
ñư
c ch
n t
t
$
ng th
y.
Tìm xác su
t
ñ
trung bình m
u nh
h
ơ
n 10%.
Gi i
:
G
i X là BNN ch
ñ
t
ă
ng l
ươ
ng theo ph
n tr
ă
m. Ta có
(
)
2
~ 12,2; 3,6
và
( )
~ 0,1
µ
σ
−
=
( )
12,2 10 12,2 10 12,2
10 9 9 9 0,0334
3,6 3,6 3,6
− − −
< = < = Φ =
.
4. 5.
Đ
nghiên c
u tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn, ng
ư
i ta th
p th
#
100 bóng
ñ
èn tr
ư
c c
i ti
n k
4
thu
t. Sau khi c
i ti
n k
4
thu
t, ng
ư
i ta th
p l
i 100 bóng.
S
li
%
u có
ñư
c cho trong b
ng sau:
a)
Tính giá tr
ñ
i di
%
n cho m
i l
p
'
m
u 1 và l
p b
ng t
n s
, t
n su
t cho
m
u 1.
b)
Hãy so sánh giá tr
trung bình và giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a hai m
u trên.
M
u 1: Tr
ư
c c
i ti
n M
u 2: Sau c
i ti
n
Tu
$
i th
(gi
)
S
bóng
ñ
èn
Tu
$
i th
(gi
)
S
bóng
ñ
èn
< 1030 2 1150 10
[1030, 1050) 3 1160 15
[1050, 1070) 8 1170 20
[1070, 1090) 13 1180 30
[1090, 1110) 25 1190 15
[1110, 1130) 20 1200 10
[1130, 1150) 12
[1150, 1170) 10
[1170, 1200] 5
> 1200 2
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
61
Gi i
:
a)
(1
ñ
)
b)
G
i
và
l
n l
ư
t là các BNN ch
tu
$
i th
c
a bóng
ñ
èn tr
ư
c và sau
c
i ti
n k
4
thu
t. Ta có
1112,15
=
;
1175,5
=
;
39,26
=
và
14,38
=
Nh
ư
v
y, trung bình m
u 1 bé h
ơ
n trung bình m
u 2 và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u 1
l
n h
ơ
n
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u 2.
4. 6.
Theo H
i sinh viên
'
thành ph
LX thì có 60% sinh viên hi
%
n
ñ
ang theo h
c
ñ
i h
c mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
h
c. M
t m
u g
m 205 sinh viên
ñư
c ch
n
ng
u nhiên. Tìm xác su
t
ñ
trong s
ñ
ó có h
ơ
n 135 sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm
ngoài gi
h
c.
Gii:
G
i
là t
l
%
sinh viên hi
%
n
ñ
ang theo h
c
ñ
i h
c mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
h
c,
0,6
=
.
T
l
%
sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
trên m
u là
205
=
.
Xác su
t có h
ơ
n 135 sinh viên mu
n tìm vi
%
c làm ngoài gi
:
Tr
ư
c c
i ti
n
Tu
$
i th
(gi
)
Giá tr
ñ
i di
%
n T
n s
T
n su
t
< 1030 1020 2 0,02
[1030, 1050) 1040 3 0,03
[1050, 1070) 1060 8 0,08
[1070, 1090) 1080 13 0,13
[1090, 1110) 1100 25 0,25
[1110, 1130) 1120 20 0,20
[1130, 1150) 1140 12 0,12
[1150, 1170) 1160 10 0,10
[1170, 1200] 1185 5 0,05
> 1200 1215 2 0,02
Tng s 100 1
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
62
( )
135 27
135
205 205 41
> = > = >
Vì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
−
−
Do
ñ
ó
( )
( ) ( )
0
0
0 0 0 0
27
41
135
1 1
−
−
> = >
− −
( )
( )
( )
0
0 0
27 27
0,6
41 41
1 1 205
0,6 1 0,61
1 1,71 1 0,9564 0,0436
− −
= − Φ = − Φ
−
−
= − Φ = − =
4. 7.
M
t m
u kích th
ư
c n
ñư
c thành l
p t
t
$
ng th
tuân theo phân ph
i chu
(
n
v
i k
ỳ
v
ng
µ
và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 8. Hãy xác
ñ
nh n sao cho, v
i xác su
t b
"
ng
0,9524, trung bình m
u n
"
m trong kho
ng t
µ
- 4
ñ
n
µ
+ 4.
Gii:
Ta có
(
)
( )
4 4 0,9524
4 0,9524
4
0,9524
µ µ
µ
µ
σ σ
− ≤ ≤ + =
⇔ − ≤ =
−
⇔ ≤ =
(1
ñ
)
2 1 0,9524
2
0,9762
2
1,98
2
16
⇔ Φ − =
⇔ Φ =
⇔ =
⇒ =
(1
ñ
)
4. 8.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
63
S
li
%
u th
ng kê cho bi
t có 40% các h
gia
ñ
ình
'
thành ph
A có thu nh
p
hàng n
ă
m n
"
m trong kh
ng t
1200 USD
ñ
n 2000 USD. V
y, ph
i
ñ
i
u tra m
t
m
u g
m bao nhiêu h
gia
ñ
ình
ñ
, v
i xác su
t 0,95, t
l
%
các gia
ñ
ình có thu nh
p
trong kho
ng nói trên, sai l
%
ch so v
i t
l
%
chung c
a thành ph
không quá 4%?
Gi i
:
Ta có t
l
%
h
gia
ñ
ình
'
thành ph
A có thu nh
p hàng n
ă
m n
"
m trong kh
ng t
1200 USD
ñ
n 2000 USD là
0,4
=
. G
i
là t
l
%
m
u:
(
)
0,4 0,04 0,95
− < =
( ) ( )
0,4 0,04
0,95
0,4 1 0,4 0,4 1 0,4
−
⇔ < =
− −
( )
( )
0,04
2 1 0,95
0,4 1 0,4
0,04
0,975
0,4 1 0,4
⇔ Φ − =
−
⇔ Φ =
−
( )
0,04
1,96
0,4 1 0,4
576,24 577
⇔ =
−
⇔ ≈ ⇒ =
4. 9.
M
t lô hàng
ñ
t tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u n
u t
l
%
ph
ph
(
m không quá 5%. N
u
ki
m tra ng
u nhiên 100 s
n ph
(
m thì v
i t
l
%
ph
ph
(
m th
c t
t
i
ñ
a là bao
nhiêu, chúng ta có th
cho phép lô hàng
ñư
c xu
t kh
(
u mà kh
n
ă
ng không m
c
sai l
m là 95%?
Gi i:
G
i
0
là t
.
l
%
ph
ph
(
m th
c t
t
i
ñ
a.
Lô hàng
ñư
c phép xu
t kh
(
u mà không m
c sai l
m khi
0
<
. Theo
ñ
bài:
(
)
0
0,95
< =
( ) ( )
0
0,050,05
100 100 0.95
0,05 1 0,05 0,05 1 0,05
−−
⇔ < =
− −
Vì
( )
( )
0,05
100 ~ 0,1
0,05 1 0,05
−
−
nên
ñ6
ng th
c trên t
ươ
ng
ñươ
ng:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
64
( )
0
0,05
100 0,95
0,05 1 0,05
−
Φ =
−
( )
( )
0
0,95
0 0
0,05
100 1,65
0,05 1 0,05
1,65 0,05 1 0,05
0,05 0,086
100
−
⇒ = =
−
−
⇔ = + ⇔ =
4. 10.
Chi
u cao (
ñơ
n v
cm) c
a m
t thanh niên
'
thành ph
l
n A là BNN tuân theo
lu
t phân ph
i N(165; 100). Ng
ư
i ta
ñ
o ng
u nhiên chi
u cao c
a 100 thanh niên
'
thành ph
A (TP.A).
c)
Xác su
t
ñ
chi
u cao trung bình c
a 100 thanh niên
ñ
ó l
%
ch so v
i chi
u
cao trung bình c
a thanh niên TP.A không v
ư
t quá 2cm là bao nhiêu?
d)
N
u mu
n ch
u cao trung bình
ñ
o
ñư
c sai l
%
ch so v
i chi
u cao trung bình
c
a t
$
ng th
không v
ư
t quá 1cm v
i xác su
t không d
ư
i 99% thì chúng ta
ph
i ti
n hành
ñ
o chi
u cao c
a bao nhiêu thanh niên?
Gi i
:
a)
G
i
là BNN ch
chi
u cao c
a m
i thanh niên
'
thành ph
A. Ta có
(
)
~ 165;100
.
Do
ñ
ó
(
)
~ 165;1
và
(
)
165 ~ 0,1
−
⇒
(
)
(
)
165 2 2 1 0,9545
− < = Φ 2 − =
b)
G
i
là s
thanh niên c
n
ñ
o chi
u cao. Khi
ñ
ó,
( )
165
~ 0,1
10
−
Theo
ñ
bài ta có:
(
)
165 1 0,99
− < ≥
165
0,99
10 10
−
⇔ < ≥
2 1 0,99
10
⇔ Φ − ≥
1,99
0,995
10 2
⇔ Φ ≥ =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
65
( )
1
0,995 2,5758
10
663,47
−
⇒
≥ Φ =
⇒
≥
CHƯƠNG 5: C L NG THAM S Ư Ư
5. 1.
a)
Hãy thi
t l
p công th
c tìm kho
ng tin c
y
γ
cho trung bình t
$
ng th
trong tr
ư
ng h
p t
$
ng th
có phân ph
i chu
(
n
ñ
ã bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n.
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho trung bình t
$
ng th
X
bi
t
(
)
2
~ ,
µ σ
X
v
i
3
σ
=
và m
u
ñ
c tr
ư
ng
X
có kích th
ư
c
25
=
n
trung bình m
u
10
=
x
.
Gi i
a)
V
i
ñ
tin c
y
γ
cho tr
ư
c ta tìm kho
ng
(
)
;
− +
x e x e
sao cho
(
)
µ γ
− < < + =
P X e X e
(
)
| |
| |
| |
µ γ
µ
γ
σ σ
γ
σ
⇔ − < =
−
⇔ < =
⇔ < =
P X e
X n
P n e
n
P U e
Vì
(
)
~ 0,1
U N
nên ta có
( )
2 1 ,
γ
σ
Φ − = =
n
a a e
( )
1
2
1
2
γ
γ
+
+
⇔ Φ =
⇒
=
a a u
Suy ra:
1 1
2 2
.
γ γ
σ
σ
+ +
=
⇒
=
n
u e e u
n
V
y, kho
ng tin c
y
γ
cho
µ
là
(
)
;
− +
x e x e
v
i
1
2
γ
σ
+
=
e u
n
.
b)
Áp d
,
ng công th
c trên, kho
ng tin c
y 95% cho trung bình c
a
X
là:
(
)
;
− +
x e x e
1 1 0,95 0,975
2 2
3 3
. . . 1,176
525
γ
σ
+ +
= = = =
e u u u
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
66
V
y kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
8,824;11,176
.
5. 2.
a)
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñ
l
%
ch chu
(
n
b
"
ng 500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
t trung bình. Ngoài ra, tu
$
i th
c
a lo
i bóng
ñ
èn
ñ
ó tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n. Kh
o sát trên m
t m
u ng
u nhiên g
m
15 bóng lo
i trên, ng
ư
i ta tính
ñư
c tu
$
i th
trung bình là 8900 gi
. Hãy tìm
kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a lo
i bóng
ñ
èn hình nói trên.
a)
M
t t
$
ng th
X có phân ph
i chu
(
n. Quan sát m
t m
u ng
u nhiên kích
th
ư
c 25 ng
ư
i ta tính
ñư
c trung bình là 15 và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 3. Hãy
ư
c
l
ư
ng k
ỳ
v
ng c
a X b
"
ng kho
ng tin c
y 95%.
Gii
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
V
i
8900
x
=
, và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 253
15 15
e u u
n
+ γ
σ
= = = =
Do
ñ
ó
(
)

b)
Kho
ng tin c
y cho k
ỳ
v
ng c
a X là:
(
)
- ;
+
x e x e
v
i
15
=
x
Vì X có phân ph
i chu
(
n ch
ư
a bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n nên:
( ) ( )
24 24
1 1 0,95
2 2
3 3
. . 2,0639. 1, 24
5
25
+ γ +
= = = =
s
e t t
n
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là
(
)

5. 3.
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV có
ñ
l
%
ch chu
(
n b
"
ng
500, nh
ư
ng ch
ư
a bi
t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m
u b
"
ng 8900
ñư
c
tính trên m
u c
5
35
=
.
a)
Hãy tìm kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a lo
i bóng
ñ
èn
hình
ñ
ang kh
o sát.
b)
Gi
s
#
r
"
ng tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV trên có phân ph
i
chu
(
n. Hãy tìm kho
ng tin c
y 90% cho trung bình t
$
ng th
.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
và
1 0,975
2
500 500
. . 1,96. 165,65
35 35
e u u
n
+γ
σ
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là: (8734; 9066) (gi
).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
67
b)
Kho
ng tin c
y 90% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
.
Do X có phân ph
i chu
(
n ch
ư
a bi
t
ñ
l
%
ch chu
(
n nên:
( ) ( )
1 34
1 1 0 ,9
2 2
500 500
. . 1,6909. 142,9
35 35
n
s
e t t
n
−
+ γ +
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm: (8757; 9043) (gi
).
5. 4.
a)
Ki
m tra tu
$
i th
c
a m
t lo
i bóng
ñ
èn hình TV trên m
t m
u ng
u nhiên
g
m 100 bóng
ñ
èn tính
ñư
c giá tr
trung bình m
u là 8900 gi
và
ñ
l
%
ch
chu
(
n m
u b
"
ng 500 gi
. Hãy tìm kho
ng tin c
y 95% cho trung bình t
$
ng
th
.
b)
Đ
tin c
y s
+
là bao nhiêu n
u cùng m
u trên sai s
ư
c l
ư
ng b
"
ng 130
gi
.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 95% cho tu
$
i th
trung bình c
a bóng
ñ
èn hình:
(
)
;
− +
x e x e
, v
i
8900
x
=
.
1 1 0,95
2 2
500 500
. . 1,96. 98
100 100
+ γ +
= = = =
s
e u u
n
Kho
ng tin c
y c
n tìm: (8802; 8998) (gi
).
b)
Gi
s
#
γ
là
ñ
tin c
y, khi sai s
ư
c l
ư
ng
1 1
2 2
500 100
. 130 130. 2,6
500
100
γ γ
+ +
= =
⇒
= =
Tra b
ng 4 ta tìm
ñư
c
1
0,9953 0,9906
2
γ
γ
+
= ⇔ =
.
(
( )
1
2
1
2,6
2
γ
γ
+
+
= < = <
v
i
(
)
~ 0,1
)
V
y,
ñ
tin c
y
99,06%
γ
=
.
5. 5.
Kh
i l
ư
ng X c
a m
t s
n ph
(
m do m
t nhà máy s
n xu
t tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n. L
y m
t m
u ng
u nhiên (không hoàn l
i) g
m 10% c
a m
t lô hàng
g
m 300 s
n ph
(
m c
a nhà máy
ñ
ó, ng
ư
i ta tính
ñư
c
x
= 148,50 gam và s =
35,75 gam.
a)
Hãy xây d
ng công th
c tìm kho
ng tin c
y
γ
cho trung bình t
$
ng th
h
u
h
n trong tr
ư
ng h
p l
y m
u không hoàn l
i.
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho kh
i l
ư
ng trung bình c
a m
i s
n ph
(
m
trong lô hàng nói trên.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
68
Gi i
a)
G
i N là kích th
ư
c t
$
ng th
, n là kích th
ư
c m
u.
Vì l
y m
u có hoàn l
i thì
1
X
X
N n
N
n
σ
−
σ =
−
Theo
ñ
nh lý gi
i h
n trung tâm,
( )
1
~ 0,1
X
X
X X N
U n N
N n
− µ −µ −
= =
σ σ −
Và
( )
1
~ 1
/ 1
U X N
T n t n
S N n
Y n
− µ −
= = −
−
−
7
ñ
ây
(
)
( )
2
2
2
1
~ 1
X
n S
Y n
−
= χ −
σ
Do
ñ
ó v
i
ñ
tin c
y
γ
cho tr
ư
c ta tìm e sao cho
(
)
P X e
− µ < = γ
T
ñ
ó
(
)
P T a
< = γ
v
i
1
e N
a n
s N n
−
=
−
Suy ra
( )
1
2
γ
+
< =
P T a
v
i
T
là BNN có phân ph
i student
1
−
n
b
c t
do.
Suy ra
(
)
1
1
2
−
+ γ
=
n
a t
V
y ta tính
ñư
c
( )
1
1
2
1
γ
−
+
−
=
−
n
s N n
e t
N
n
b)
Theo
ñ
bài ta có
30; 35,75; 300; 148,5; 0,95
n s N x
= = = = γ =
Ta tính
ñư
c
( )
29
1 0,95
2
35,75 270
. 12,685
299
30
+
= =
e t
Kho
ng tin c
y 95% cho kh
i l
ư
ng trung bình là
(
)
135,815;161,185
5. 6.
M
t lô bút bi c
a xí nghi
%
p A s
n xu
t ra g
m 1000 h
p, m
i h
p 10 cây.
Ki
m tra ng
u nhiên 50 h
p, th
y có 45 cây bút b
h
ng.
a)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
bút b
h
ng và s
bút b
h
ng c
a lô
hàng.
b)
V
i m
u trên, n
u mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
bút h
ng v
i
ñ
chính xác 1,5%
thì
ñ
tin c
y
ñ
t
ñư
c là bao nhiêu?
Gii
a)
G
i
p
là t
l
%
bút h
ng c
a lô bút.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
69
T
.
l
%
bút h
ng trên m
u
45
0,09
500
p
= =
Kho
ng tin c
y 95% cho t
.
l
%
bút h
ng c
a m
u:
(
)
;
p e p e
− +
v
i
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,09 1 0,09
1,96. 0,025
500
p p
e u
n
+
− −
= = =
Kho
ng tin c
y 95% cho t
.
l
%
bút h
ng c
n tìm là:
(
)
0,065;0,115
và cho s
bút
h
ng là
(
)
650;1150
(cây).
b)
Gi
s
#
0,015
e
=
, ta có
( )
( )
1 1
2 2
1
0,015 0,015 1,172
1
p p
n
u u
n p p
+γ +γ
−
=
⇒
= =
−
1
1 0,7588
2
 
+ γ
⇒
=
⇒
γ = − =
=75,88%.
5. 7.
Quan sát
'
m
t m
u, ng
ư
i ta có k
t qu
v
chi
u cao X(m) c
a lo
i cây công
nghi
%
p
'
m
t nông tr
ư
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó b
"
ng kho
ng tin c
y
90%.
b)
Đ
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó
'
ñ
tin c
y 95%, v
i
sai s
không quá 2 dm thì c
n ph
i quan sát thêm bao nhiêu cây n
a?
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
6,02
x
=
và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u
=

s
.
Kho
ng tin c
y 90% cho chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
− +
x e x e
,
1 0,95
2
1,206 1,206
. 1,65.
10 10
100
+ γ
= = =

s
e u u
Do
ñ
ó
(
)

b)
Gi
s
#
1
n
là s
cây c
n quan sát v
i
ñ
tin c
y 95% và sai s
không quá
0,2 (m) ta có:
0,975
1
1,45
0,2
≤
u
n
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
70
2
1 0,975 1
1,206 1, 206
1,96. 139,6
0,2 0, 2
⇔ ≥ ⇔ ≥ =
n u n
1
140
⇒
=
n
V
y ta c
n quan sát thêm ít nh
t 140 – 100 = 40 (cây) n
a.
5. 8.
Quan sát
'
m
t m
u, ng
ư
i ta có k
t qu
v
chi
u cao X(m) c
a lo
i cây công
nghi
%
p
'
m
t nông tr
ư
ng nh
ư
sau:
x
i
3 4 5 6 7
8
s
cây
2 8 23 32 23
12
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó b
"
ng kho
ng tin c
y
90%.
b)
Nh
ng cây cao t
7 m tr
'
lên g
i là cây lo
i A. Hãy tìm kho
ng tin c
y
95,44% cho t
l
%
cây lo
i A c
a nông tr
ư
ng.
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
6,02
x
=
và ph
ươ
ng sai m
u
2

s
=
Kho
ng tin c
y 90% cho chi
u cao trung bình c
a lo
i cây
ñ
ó là:
(
)
;
x e x e
− +
,
1 0,95
2
1,2059 1,2059
. 1,65.
10 10
100

s
e u u
+ γ
= = =
Do
ñ
ó
(
)

K =
b)
T
.
l
%
cây lo
i A trên m
u là:
35
100
p
= =
Kho
ng tin c
y 95,44% cho t
.
l
%
cây lo
i A c
a nông tr
ư
ng là:
(
)
;
p e p e
− +
v
i
( )
1 0,9544 0,9772
2
1
0,35.0,65 0,35.0,65
2. 0,0954
100 10
p p
e u u
n
+
−
= = = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
0,2546;0,4454
.
5. 9.
Đ
sâu c
a bi
n
ñư
c xác
ñ
nh b
"
ng m
t máy
ñ
o có sai s
h
%
th
ng b
"
ng 0,
còn sai s
ng
u nhiên c
a nó tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n
v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n
20m.
a)
C
n ph
i ti
n hành bao nhiêu l
n
ñ
o
ñ
xác
ñ
nh
ñư
c
ñ
sâu c
a bi
n v
i
sai s
cho phép không quá 15m
'
ñ
tin c
y 90% ?
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
71
b)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho sai s
ng
u nhiên trung bình. Bi
t r
"
ng khi
ti
n hành
ñ
o
'
m
t
ñ
a
ñ
i
m xác
ñ
nh 25 l
n ng
ư
i ta tính
ñư
c sai s
ng
u
nhiên trung bình m
u là 100m.
Gii
a)
G
i
là s
l
n
ñ
o c
n thi
t.
Ta có
2 2
2 2
1 1
2
2 2
20
15 .1,65 4,84
15 225
e u n u
n
+γ +γ
σ σ
= ≤ ⇔ ≥ = =
V
y c
n
ñ
o ít nh
t 5 l
n.
b)
Kho
ng tin c
y 95% cho sai s
trung bình ng
u nhiên là:
(
)
;
− +
v
i
1 ,95 0,975
2
20 20
. . 1,96. 7,8
5
25
σ
+0
= = = =
V
y kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
92,2;107,8
.
5. 10.
Ng
ư
i ta mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
viên thu
c b
s
t m
trong m
t lô thu
c r
t
nhi
u viên.
a)
N
u mu
n sai s
cho phép không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% thì ph
i quan
sát ít nh
t m
y viên?
b)
Quan sát ng
u nhiên 200 viên, th
y có 20 viên b
s
t m
. Hãy tìm kho
ng
tin c
y 95% cho t
l
%
t
$
ng th
. N
u mu
n sai s
cho phép không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% thì ph
i quan sát ít nh
t m
y viên?
Gi i
a)
Theo
ñ
bài ta có:
0,01
e
≤ ε =
;
2 2
1 1 0,95
2 2
2.0,01 0,02

u u
n
+ γ +
⇔ ≥ = =
V
y, ph
i quan sát ít nh
t 9604 viên.
b)
G
i
p
là t
l
%
viên thu
c b
s
t m
. Kho
ng tin c
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 1 0,95
2 2
1 0,1 0,9
0,09
1,96.
200 200

p p
e u u
n
+γ +
−
= = = =
V
y kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
viên thu
c b
s
t m
là:
(
)

N
u sai s
không quá 1%
'
ñ
tin c
y 95% ta c
n quan sát bao nhiêu:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
72
( )
2 2
1 1 0,95
2 2
. 1 .0,1.0,9
0,01

u u
n p p
+ γ +
≥ − = =
ε
V
y, ph
i quan sát ít nh
t 3458.
5. 11.
Đ
nghiên c
u s
n l
ư
ng s
a hàng ngày (SLSHN) c
a m
t
ñ
àn bò, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra ng
u nhiên trên 100 con bò c
a nông tr
ư
ng và có k
t qu
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
con bò 10 24 42 16 8
a)
Ư
c l
ư
ng s
n l
ư
ng s
a trung bình m
i ngày c
a m
t con bò b
"
ng
kho
ng tin c
y 97%.
b)
V
i
ñ
tin c
y 97%, có th
nói s
n l
ư
ng s
a trung bình hàng ngày c
a
m
t con bò nhi
u nh
t b
"
ng bao nhiêu?
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
Kho
ng tin c
y 97% cho SLSHN trung bình:
(
)
;
x e x e
− +
V
i
1 0,97 0,985
2
1,79 1, 79
. . 2,1707. 0,39
10
100
s
e u u
n
+
= = = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b)
Ta tìm kho
ng tin c
y m
t bên:
(
)
;
x e
−∞ +
:
v
i
0,97
1,79 1,79
1,88. 0,337
10
100
s
e u u
n
γ
= = = =
T
ñ
ó suy ra s
n l
ư
ng s
a trung bình hàng ngày nhi
u nh
t:
11,78 0,337 12,117
+ =
(kg)
5. 12.
Đ
nghiên c
u s
n l
ư
ng s
a hàng ngày (SLSHN) c
a m
t
ñ
àn bò, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra ng
u nhiên trên 100 con bò c
a nông tr
ư
ng và có k
t qu
sau:
SLSHN (kg) 9 10 12 14 15
S
con bò 10 24 42 16 8
a)
Tìm kho
ng tin c
y 90% cho t
l
%
bò cho SLSHN trên 11kg.

Mu
n sai s
khi
ư
c l
ư
ng s
n l
ư
ng s
a trung bình m
i ngày không
v
ư
t quá 0,5kg và sai s
khi
ư
c l
ư
ng t
l
%
bò cho SLSHN trên 11kg không
v
ư
t quá 12%, v
i cùng
ñ
tin c
y 98%, thì c
n
ñ
i
u tra bao nhiêu con bò?
Gi i
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
73
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
11,78
x
=
,
1,79
s
=
G
i p là t
l
%
bò cho SLSHN trên 11 kg.
T
l
%
này trên m
u kh
o sát là:
66
0,66
100
p
= =
Kho
ng tin c
y 90% cho p:
(
)
;
p e p e
− +
V
i
( ) ( ) ( )
1 0,9 0,95
2
1 0,66 1 0,66 0,66 1 0,66
. 1,6449. 0,0779
100 100
p p
e u u
n
+
− − −
= = = =
V
y, t
l
%
bò cho SLSHN trên 11 kg t
58,21%
ñ
n 73,79%.
b)
G
i
1
n
là s
bò c
n
ñ
i
u tra. Ta ph
i có:
( )
2
2
2
2
1 1 0,98
2
1
2
2
2
2
1
21 1 0,98
2
2
1,79
.
2,3263 . 69, 4
0,5
0,5
1 0,66.0,34
2,3263 . 84,33
.
0,12
0,12
s
n u
n
p p
n
n u
+
+
≥
≥ =
⇔
−
≥ =
≥
Ch
n
1
85
n
=
. V
y c
n
ñ
i
u tra 85 con bò.
5. 13.
Đ
dài c
a m
t lo
i chi ti
t máy
ñư
c
ñ
o 25 l
n b
"
ng m
t máy
ñ
o có sai s
h
%
th
ng b
"
ng 0. Bi
t r
"
ng sai s
ng
u nhiên c
a vi
%
c
ñ
o có phân ph
i chu
(
n v
i
ph
ươ
ng sai 100cm và
2
ñ
dài trung bình trong 25 l
n
ñ
o là 100cm.
a)
Hãy tìm kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài c
a lo
i chi ti
t máy trên.
b)
Ph
i ti
n hành bao nhiêu l
n
ñ
o
ñ
b
r
ng kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài
c
a lo
i chi ti
t máy trên không quá 8 cm.
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y 99% cho
ñ
dài chi ti
t máy nói trên:
(
)
;
x e x e
− +
.
V
i
1 0,995
2
10 10
. . 2,5758. 5,15
5
25
e u u
n
γ
σ
+
= = = =
Đ
áp s
: (94,85; 105,15).
b)
G
i
1
n
là s
l
n
ñ
o. Ta c
n có:
( )
1
2
1
2
2 2
2
2
1 1 0,995
2
2
2 8 4
. 4
100
. . 2,5758 . 41,47
4 16 16
e e
u
n
n u u
γ
γ
σ
σ σ
+
+
≤ ⇔ ≤
⇔ ≤
⇔ ≥ = = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
74
Suy ra,
1
42
n
=
.
V
y, c
n ti
n hành
ñ
o ít nh
t 42 l
n.
5. 14.
Gi
s
#
ñư
ng kính c
a m
t lo
i s
n ph
(
m là bi
n ng
u nhiên có phân ph
i
N(
µ
,
σ
2
).
Đ
o 10 s
n ph
(
m, ng
ư
i ta có b
ng s
li
%
u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho
µ
và kho
ng tin c
y 99% cho
µ
và
σ
2
.
Gi i
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:

x
=

s
=
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình:
1 9
1 0,95 0,975
2
10 10


n
s
e t t
−
+
= = =
(
)
4,0257; 4,5543
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 99% cho
ñư
ng kính trung bình:
(
)
3,9102; 4,6698
♣♣♣♣
Kho
ng tin c
y 99% cho ph
ươ
ng sai là:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,995
2 2
1 9 9 23,589
n
+ γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,99 0,005
2 2
1 9 9 1,735
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 9.

n s− =
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
; 0,0521;0, 7084
1 1
+γ − γ
− −
=
χ − χ −
n s n s
n n
5. 15.
Nghiên c
u v
ñ
b
n (kg/mm ) cX
2
a m
t lo
i thép, ng
ư
i ti
n hành m
t s
quan sát m
t s
t
m thép trên m
u và có k
t qu
cho trong b
ng sau:
Đ
b
n (kg/mm )
2 S
t
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
15
19
23
31
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
75
(175,195]
(195,215]
> 215
29
21
6
a)
Tìm kho
ng tin c
y 97% cho
ñ
b
n trung bình c
a lo
i thép trên.
b)
S
+
ñ
t
ñ
tin c
y bao nhiêu n
u mu
n
ư
c l
ư
ng
ñ
b
n trung bình c
a
lo
i thép trên b
"
ng kho
ng tin c
y có
ñ
dài b
"
ng 6?
Gi i
a)
T
s
li
%
u trên ta tính
ñư
c:
162,6389; 33,4076
x s
= =
Kho
ng tin c
y 97% cho trung bình
ñ
b
n:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,985
2
6,0412
12
144
 

s
e u u
n
+ γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
i
γ
là
ñ
tin c
y c
n tìm
Ta có:
1 1
2 2
144
3 3. 3. 1,0814
33,0476
s n
e u u
s
n
+γ + γ
= = ⇒ = = =
1
0,86 72%
2
+ γ
⇒ = ⇒ γ =
5. 16.
Nghiên c
u v
ñ
b
n (kg/mm ) cX
2
a m
t lo
i thép, ng
ư
i ti
n hành m
t s
quan sát m
t s
t
m thép trên m
u và có k
t qu
cho trong b
ng sau:
Đ
b
n (kg/mm )
2 S
t
m thép
(95, 115]
(115,135]
(135,155]
(155,175]
(175,195]
(195,215]
> 215
15
19
23
31
29
21
6
a)
Tìm kho
ng tin c
y 97% cho
ñ
b
n trung bình c
a lo
i thép trên.
b)
Thép có
ñ
b
n trên 195kg/mm
2
ñư
c g
i là thép lo
i A. Tìm kho
ng tin
c
y 98% cho t
l
%
thép lo
i A.
Gi i
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
76
a)
T
s
li
%
u trên ta tính
ñư
c:
162,6389; 33,4076
x s
= =
Kho
ng tin c
y 97% cho trung bình
ñ
b
n:
1 0,985
2
6,0412
12
144
 

s
e u u
n
+ γ
= = = =
(
)
(
)
; 156,6;168,7
x e x e− + =
b)
G
i
p
là t
.
l
%
thép lo
i A. T
l
%
m
u:
27
0,1875
144
p = =
.
Kho
ng tin c
y 98% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
( )
1 0,98 0,99
2
1 0,1875 1 0,1875
. .
144
0,1875 1 0,1875
2,3263. 0,0106
144
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm:
(
)
0,1769; 0,1981
.
5. 17.
M
c tiêu hao nguyên li
%
u cho m
t
ñơ
n v
s
n ph
(
m là m
t bi
n ng
u nhiên X
tuân theo qui lu
t chu
(
n. Quan sát 28 s
n ph
(
m
ñư
c ch
n ng
u nhiên, ng
ư
i ta
thu
ñư
c k
t qu
cho trong b
ng sau:
x (gam) 19 19,5 20 20,5
s
s
n ph
(
m 5 6 14 3
Hãy xây d
ng kho
ng tin c
y 90% cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
trong hai tr
ư
ng
h
p:
a)
bi
t E(X) = 20g;
b)
ch
ư
a bi
t E(X).
Gi i
a)
Kho
ng tin c
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
:
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
;
γ γ
µ µ
χ χ
= =
+ −
− −
∑ ∑
n n
k k
k k
x x
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0 ,9 0,95
2 2
28 28 41,337
n
+ γ +
χ = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
28 28 16,928
n
−γ −
χ = χ = χ =
( )
2
1
7,25
n
k
k
x
=
− µ =
∑
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
77
( )
7,25 7,25
; 0,175;0,428
41,337 16,928
=
b)
Kho
ng tin c
y
γ
cho ph
ươ
ng sai t
$
ng th
:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
;
1 1
γ γ
χ χ
+ −
− −
− −
n s n s
n n
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,95
2 2
1 27 27 40,113
n
+ γ +
χ − = χ = χ =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 0,9 0,05
2 2
1 27 27 16,151
n
−γ −
χ − = χ = χ =
(
)
2
1 5,74
n s− =
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
( )
5,74 5,74
; 0,143;0,355
40,113 16,151
=
.
5. 18.
X (
ñơ
n v
tính b
"
ng %) là ch
tiêu c
a m
t lo
i s
n ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m (s.ph), ng
ư
i ta có s
li
%
u:
X
i
S
s
n ph
(
m
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15)
[15,17)
[17,19)
[19,21)
2
8
14
19
22
20
10
5
a)
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình ch
tiêu vX
i
ñ
tin c
y 95% và
ñ
chính xác
0,3% thì c
n
ñ
i
u tra thêm bao nhiêu s
n ph
(
m n
a?
b)
Ng
ư
i ta xem các s
n ph
(
m có ch
tiêu dX
ư
i m
t m
c qui
ñ
nh là lo
i 2.
T
s
li
%
u trên, b
"
ng ph
ươ
ng pháp
ư
c l
ư
ng kho
ng t
l
%
(lo
i 2), ng
ư
i ta
tính
ñư
c kho
ng tin c
y là (4%, 16%). Tìm
ñ
tin c
y c
a
ư
c l
ư
ng này.
Gi i
a)
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:
13,52
x
=
;
3,35
s
=
.
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình ch
tiêu
X
v
i
ñ
tin c
y 95% và sai s
0,3 ta c
n:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
78
2
2
1
0,9752 2
2
1
. . 11,2420
0,3 0,3
 
u
u
n s s
+ γ
≥ = = × =
V
y c
n
ñ
i
u tra thêm 283 s
n ph
(
m n
a.
b)
G
i
p
là t
l
%
s
n ph
(
m lo
i 2
'
m
u t
kho
ng tin c
y
γ
c
a t
.
l
%
s
n
ph
(
m lo
i 2 ta có:
0,04 0,1
0,16 0,06
p e p
p e e
− = =
⇔
+ = =
M
t khác,
( )
( )
1
2
1
2
1
1
0,06 0,06
/ 100 10 2
0,3
0,1 0,9
p p
e u
n
p p
u e
n
+γ
+γ
−
=
−
⇒ = = = =
×
1
2
 
+ γ
= ⇔ γ
5. 19.
Vi
%
n th
ng kê mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
p
ng
ư
i dân không
ñ
ng ý v
m
t
ñ
i
u
lu
t m
i
ñư
c
ñ
ngh
.
a)
N
u mu
n sai s
cho phép không quá 2%
'
ñ
tin c
y 90% thì ph
i h
i ý
ki
n ít nh
t m
y ng
ư
i?
b)
Trên m
t m
u ng
u nhiên 344 ng
ư
i
ñư
c h
i ý ki
n, có 83 ng
ư
i không
ñ
ng ý. Hãy tìm kho
ng tin c
y 90% cho
p
. D
a vào s
li
%
u c
a m
u này,
hãy gi
i l
i câu a).
Gi i
a)
G
i
n
là s
ng
ư
i c
n h
i ý ki
n. Ta ph
i có:
2 2
1 0,9 1 0,9
2 2
1 1
. . 1691,1
2 2.0,02
n u u
ε
+ +
≥ = =
V
y, ph
i h
i ý ki
n ít nh
t 1692 ng
ư
i.
b)
T
l
%
m
u:
83
0,241
344
p = =
. Kho
ng tin c
y 90% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,9
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449. 0,0379
344
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
y, kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
0,2031;0,2789
t
c là t
20,31%
ñ
n
27,89%.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
79
Gi
i l
i câu a), trên c
ơ
s
'
có m
u th
ă
m dò, kích th
ư
c m
u c
n tìm:
(
)
(
)
2 2
1 1 0,9
2 2
2
1 0,241 1 0,241
. 1,6449 . 752,2
0,02
p p
n u
ε
+
− −
≥ = =
V
y, c
n h
i ý ki
n ít nh
t 753 ng
ư
i.
5. 20.
Đ
nghiên c
u
ñư
ng kính X (mm)
c
a m
t lo
i s
n ph
(
m do m
t xí nghi
%
p
s
n xu
t, ng
ư
i ta
ñ
o ng
u nhiên 100 s
n ph
(
m c
a xí nghi
%
p và có k
t qu
cho
trong b
ng sau:
x
i
9,85 9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
10,15
T
n s
8 12 20 30 14 10 6
Theo qui
ñ
nh, nh
ng s
n ph
(
m có
ñư
ng kính t
9,9 mm
ñ
n 10,1 mm là
nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tiêu chu
(
n k
4
thu
t. Tìm kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
và
ñư
ng kính trung bình c
a nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tiêu chu
(
n k
4
thu
t.
Gi i
B
ng s
li
%
u cho các s
n ph
(
m
ñ
t tckt:
x
i
9,90 9,95 10,00
10,05
10,10
T
n s
12 20 30 14 10
♣♣♣♣
G
i
p
là t
l
%
s
n ph
(
m
ñ
t tckt, t
l
%
này trên m
u là:
86
0,86
100
p = =
Kho
ng tin c
y 95% cho
p
:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,95
2
1 0,86 1 0,86
. 1,96. 0,068
100
p p
e u
n
+
− −
= = =
V
y, kho
ng tin c
y cho
p
là:
(
)
0,792; 92,8
ngh
ĩ
a là t
79,2%
ñ
n
92,8%.
♣♣♣♣
G
i
1
X
là BNN ch
ñư
ng kính c
a nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tckt. T
s
li
%
u ta có:
1 1
9,994; 0,06
x s= =
.
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình nh
ng s
n ph
(
m
ñ
t tckt:
(
)
1 1
;
x e x e
− +
1
1 0,95
2
1
0,06
. 1,96. 0,012
86
s
e u
n
+
= = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
(
)
9,982;10,006
(mm).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
80
5. 21.
X (tính b
"
ng %) và Y (tính b
"
ng cm) là 2 ch
tiêu c
a m
t lo
i s
n ph
(
m.
Ki
m tra ng
u nhiên
'
m
t s
s
n ph
(
m, ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
x
i
y
k
1 2
3
x
4
x
(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
a)
Đ
ư
c l
ư
ng trung bình c
a ch
tiêu Y v
i sai s
cho phép 0,5 cm và
ñ
tin c
y 90% thì c
n
ñ
i
u tra thêm bao nhiêu s
n ph
(
m n
a?
b)
Cho bi
t kho
ng tin c
y 96% c
a ch
tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr
trung bình và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u c
a ch
tiêu X.
Gi i
a)
B
ng phân b
t
n s
ch
tiêu Y:
k
y
(90, 95] (95, 100]
(100,
105]
(105,
110]
k
n
20 65 29 7
T
ñ
ó:
98,4504; 3,89
y
y s= =
G
i
1
n
là s
s
n ph
(
m c
n
ñ
i
u tra:
2
2 2
2
1 1 0,9
2 2
2
3,89
. 1,6449 . 163,8
0,5
Y
s
n u
ε
+
≥ = =
1
164
n⇒ =
V
y, c
n
ñ
i
u tra thêm 43 s
n ph
(
m n
a.
b)
Theo
ñ
bài ta có:
1,59 2,1
2,61 0,51
x e x
x e e
− = =
⇔
+ = =
M
t khác,
1 0,96
1 0,962
2
0,51. 121
. 2,732
2,0537
s e n
e u s
u
n
+
+
= ⇒ = = =
5. 22.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
81
X (tính b
"
ng %) và Y (tính b
"
ng cm) là 2 ch
tiêu c
a m
t lo
i s
n ph
(
m.
Ki
m tra ng
u nhiên
'
m
t s
s
n ph
(
m, ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
x
i
y
k
1 2
3
x
4
x
(90, 95] 5 13 2
(95, 100] 19 23 15 8
(100, 105] 12 10 7
(105, 110] 5 2
a)
Cho bi
t kho
ng tin c
y 96% c
a ch
tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr
trung bình và
ñ
l
%
ch chu
(
n c
a ch
tiêu X.
b)
Hãy tìm các giá tr
3
x
và
4
x
.
Gi i
a)
B
ng d
li
%
u ch
tiêu X:
Theo
ñ
bài ta có:
1,59 2,1
2,61 0,51
x e x
x e e
− = =
⇔
+ = =
M
t khác,
1 0,96
1 0,962
2
0,51. 121
. 2,732
2,0537
s e n
e u s
u
n
+
+
= ⇒ = = =
b)
B
ng d
li
%
u ch
tiêu X:
i
x
1 2
3
x
4
x
i
n
36 46 29 10
Ta có
3 4
36.1 46.2 29. 10.
nx x x
= + + +
3 4
29 10 126,1
x x⇒ + =
(1)
( )
( )
4
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 2 2
3 3 4 4 1 1 2 2
2 2 2 2
3 4
2 2 2 2
3 4
1
1
1
1
29 10 120.2,732 36 46.4 121.2,1
29 10 120.2,732 36 46.4 121.2,1 1209,27
i i
i
s n x nx
n
n s n x n x n x n x nx
n x n x n s n x n x nx
x x
x x
=
= −
−
⇒ − = + + + −
⇔ + = − − − +
⇔ + = − − +
⇔ + = − − + =
∑
2 2
3 4
29 10 1209,27
x x⇔ + =
(2)
T
(1) suy ra:
4 3
10 126,1 29
x x
= −
Thay vào (2) ta
ñư
c:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
82
( )
2
2
3 3
1
29 126,1 29 1209,27
10
x x⇔ + − =
( )
2
2
3 3
2
3 3
3
3
290 126,1 29 12092,7
1131 7313,8 3808,51 0
5,9
0,57
x x
x x
x
x
⇔ + − =
⇔ − + =
=
⇔
=
V
i
3
5,9
x =
suy ra
4
126,1 29.5,9
4,5
10
x
−
= = −
(lo
i)
V
i
3
0,57
x =
suy ra
4
126,1 29.0,57
10,957
10
x
−
= =
(nh
n).
V
y,
3
0,57
x =
và
4
10,957
x =
.
5. 23.
M
t gi
ng lúa m
i
ñư
c gieo trong 10 mi
ng
ñ
t thí nghi
%
m có các
ñ
i
u ki
%
n gi
ng nhau, cho các s
n l
ư
ng tính theo cùng m
t
ñơ
n v
nh
ư
sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Bi
t r
"
ng s
n l
ư
ng lúa là bi
n ng
u nhiên có phân ph
i chu
(
n N(
µ
,
σ
2
).
Hãy tìm kho
ng tin c
y 90% cho
µ
và
σ
2
.
Gii
T
s
li
%
u ta tính
ñư
c:
Giá tr
trung bình m
u:
25,4
x
=
Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
2,24
s
=
Kho
ng tin c
y 90% cho s
n l
ư
ng trung bình
µ
:
(
)
;
x e x e
− +
V
i
( )
9
1 0,9
2
. 1,3



s
e t
n
+
= = =
V
y, Kho
ng tin c
y 90% cho
µ
: (24,1; 26,7)
Kho
ng tin c
y 90% cho
2
σ
:
( ) ( )
2 2
2 2
1 0,9 1 0,9
2 2
1 1
;
n s n s
χ χ
+ −
− −
( )
2 2
2 2
0,95 0,05
9.2,24 9.2,24 45,1584 45,1584
; ; 2,67; 13,58
 
χ χ
= = =
5. 24.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
83
Đ
ñ
ánh giá tr
l
ư
ng cá trong m
t h
l
n, ng
ư
i ta
ñ
ánh b
t 2000 con
cá t
h
ñ
ó,
ñ
ánh d
u r
i th
l
i xu
ng h
. Vài ngày sau, h
ñ
ánh b
t l
i 400 con
thì th
y có 80 con có
ñ
ánh d
u.
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng tr
l
ư
ng cá trong h
b
"
ng kho
ng tin c
y 95%.
b)
N
u mu
n sai s
c
a
ư
c l
ư
ng gi
m
ñ
i m
t n
#
a thì l
n sau ph
i
ñ
ánh b
t
bao nhiêu con cá?
Gi i
a)
G
i
p
là t
l
%
cá d
ư
c
ñ
ánh d
u trong h
.
Khi
ñ
ó,
2000
p
N
=
v
i
N
là tr
l
ư
ng cá trong h
.
Kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
cá
ñư
c
ñ
ánh d
u trong h
:
(
)
;
p e p e
− +
.
V
i
80
400
p =
và
( ) ( )
1 0,95 0,975
2
1 0, 2. 1 0,2
. . 0,0392
400
p p
e u u
n
+
− −
= = =
V
y kho
ng tin c
y cho
p
:
(
)
0,1608;0,2392
t
c là t
16,08%
ñ
n 23,92%.
Do
ñ
ó, l
ư
ng cá trong h
ư
c l
ư
ng kho
ng t
8361
ñ
n 12438 con.
b)
G
i
1
n
là s
cá c
n
ñ
ánh b
t. Ta có:
(
)
( )
(
)
( )
2 2
1 1 0,95
2 2
2
1 0,2 1 0,2
. 1,96 . 1600
/ 2 0,0392 / 2
p p
n u
e
+
− −
≥ = =
V
y, l
n sau c
n b
t 1600 con.
5. 25.
M
t máy s
n xu
t t
ñ
ng có t
l
%
s
n xu
t ra s
n ph
(
m lo
i A lúc
ñ
u là
48%. Máy
ñư
c c
i ti
n và sau m
t th
i gian áp d
,
ng, ng
ư
i ta ki
m tra 40 h
p,
m
i h
p g
m 10 s
n ph
(
m và ghi l
i s
s
n ph
(
m lo
i A trong m
i h
p (SSPLA/h)
nh
ư
sau :
SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S
h
p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy
ư
c l
ư
ng t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A sau khi máy
ñư
c c
i ti
n b
"
ng
kho
ng tin c
y 95%
Gi i
T
$
ng s
s
n ph
(
m lo
i A trong 40 h
p là 215. T
l
%
s
n ph
(
m lo
i A trên m
u
kh
o sát:
215 43
400 80
p = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
84
Kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A:
(
)
;
p e p e
− +
V
i
( ) ( )
1 0,95 0,975
2
1 1
. .
+
− −
= =
p p p p
e u u
n n
43 43
1
80 80
1,96 0,0489
400
−
= =
V
y, t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A t
48,86%
ñ
n 58,64%
5. 26.
Đ
nghiên c
u s
phát tri
n c
a m
t lo
i cây tr
ng, ng
ư
i ta quan tâm
ñ
n
ñư
ng kính X (cm) và chi
u cao Y (m) c
a lo
i cây
ñ
ó.
Đ
o chi
u cao và
ñư
ng
kính c
a 100 cây cùng
ñ
tu
$
i
ñư
c ch
n ng
u nhiên, k
t qu
thu
ñư
c cho trong
b
ng sau:
y
k
x
i
3 4 5 6 7
(20, 22] 5
(22, 24] 19 25 10
(24, 26] 5 17 8
(26, 28] 7 4
a)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình c
a lo
i cây này.
b)
Đ
ư
c l
ư
ng
ñư
ng kính trung bình c
a lo
i cây này v
i
ñ
chính xác
ñ
t
ñư
c
'
câu (a) và
ñ
tin c
y 99% thì c
n
ñ
o thêm bao nhiêu cây n
a?
Gi i
a)
B
ng phân b
t
n s
cho
ñư
ng kính trung bình c
a cây:
i
x
(20,
22]
(22, 24]
(24, 26]
(26, 28]
i
n
5 54 30 11
T
ñ
ó giá tr
trung bình m
u:
23,94
x
=
và
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
1,52
X
s =
.
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñư
ng kính trung bình c
a cây:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,95
2
1,52
. 1,96. 0,298
100
X
s
e u
n
+
= = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm:
(
)
23, 64;24,24
.
b)
Gi
s
#
1
n
là s
cây c
n
ñ
o, ta ph
i có:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
85
2
2 2
2
1 1 0,99
2 2
2
1,52
. 2,5758 . 172,6
0,298
X
s
n u
e
+
≥ = =
Suy ra,
1
173
n =
V
y, s
cây c
n
ñ
o thêm là
73
t
n
=
cây.
5. 27.
Đ
nghiên c
u s
phát tri
n c
a m
t lo
i cây tr
ng, ng
ư
i ta quan tâm
ñ
n
ñư
ng kính X (cm) và chi
u cao Y (m) c
a lo
i cây
ñ
ó.
Đ
o chi
u cao và
ñư
ng
kính c
a 100 cây cùng
ñ
tu
$
i
ñư
c ch
n ng
u nhiên, k
t qu
thu
ñư
c cho trong
b
ng sau:
y
k
x
i
3 4 5 6 7
(20, 22] 5
(22, 24] 19 25 10
(24, 26] 5 17 8
(26, 28] 7 4
Nh
ng cây cao t
6m tr
'
lên là cây lo
i A. Hãy
ư
c l
ư
ng t
l
%
và
ñư
ng kính
trung bình c
a cây lo
i A b
"
ng kho
ng tin c
y 99% (gi
thi
t
ñư
ng kính cây
lo
i A là bi
n ng
u nhiên phân ph
i theo qui lu
t chu
(
n).
Gii
S
cây lo
i A trên m
u: 29. Giá tr
t
l
%
cây lo
i m
u
0,29
p
=
.
Kho
ng tin c
y 99% cho t
l
%
cây lo
i A:
(
)
;
p e p e
− +
( ) ( )
1 0,99
2
1 0,29 1 0,29
2,5758. 0,117
100
p p
e u
n
+
− −
= = =
Kho
ng tin c
y 99% cho t
.
l
%
cây lo
i A là:
(
)
0,173;0,407
t
c là t
17,3%
ñ
n
40,7%.
S
li
%
u cho cây lo
i A:
i
x
(22, 24]
(24, 26]
(26, 28]
i
n
10 8 11
G
i
1
X
là
ñư
ng kính cây lo
i A,
1
µ
là
ñư
ng kính trung bình c
a cây lo
i A. Giá
tr
trung bình m
u:
1
25,07
x =
,
1
1.73
s =
.
Kho
ng tin c
y 99% cho
ñư
ng kính trung bình c
a cây lo
i A:
(
)
1 1
;
x e x e
− +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
86
( )
28
1
1 0,99
2
1
0,89



s
e t
n
+
= = =
V
y, kho
ng tin c
y 99% cho
ñư
ng kính trung bình c
a cây lo
i A: (24,18;
25,96) (cm).
5. 28.
Đ
kh
o sát m
c tiêu hao nguyên li
%
u (tính b
"
ng gam)
ñ
s
n xu
t ra m
t
ñơ
n v
s
n ph
(
m c
a m
t nhà máy, ng
ư
i ta quan sát m
c tiêu hao nguyên li
%
u
trên m
t m
u, và thu
ñư
c k
t qu
sau: (
ñơ
n v
gam)
i
x
18 19 20 21 22
i
n
13 21 27 21 18
a)
Tìm kho
ng tin c
y 98% cho s
ti
n trung bình
ñư
c dùng
ñ
mua nguyên
li
%
u
ñ
s
n xu
t trong m
i quí c
a nhà máy. Bi
t r
"
ng giá lo
i nguyên li
%
u
này là 800 ngàn
ñ
/kg và s
n l
ư
ng c
a nhà máy trong m
t quí là 40.000 s
n
ph
(
m.
b)
N
u mu
n
ư
c l
ư
ng s
ti
n trung bình
ñ
mua nguyên li
%
u trong m
i quí
c
a nhà máy b
"
ng kho
ng tin c
y 99% và sai s
không quá 8 tri
%
u
ñ
ng thì
ph
i l
y m
u v
i kích th
ư
c là bao nhiêu?
Gi i
a)
T
s
li
%
u ban
ñ
u ta xây d
ng
ñư
c b
ng sau:
20,1
x
=
1,29
s
=
Kho
ng tin c
y 98% cho m
c tiêu hao nguyên li
%
u trung bình c
a m
i s
n
ph
(
m:
(
)
;
x e x e
− +
1 0,98 0,99
2
1,29
. 0,3
10
100


s
e u u
n
+
= = = =
Do
ñ
ó
(
)
(
)
; 19,8;20,4
x e x e− + =
T
ñ
ó suy ra kho
ng tin c
y 98% cho s
ti
n trung bình cho m
i quý:
(
)
(
)
3 3
19,8 4 8 10 ;20,4 4 8 10 633600;652800
× × × × × × =
(ngàn
ñ
ng)
b)
N
u sai s
ư
c l
ư
ng s
ti
n trung bình m
i quý là 8 tri
%
u
ñ
ng thì sai s
ư
c l
ư
ng m
c tiêu hao nguyên li
%
u là
6
8.10
0,25
40000.800
ε
= =
(g)
Khi
ñ
ó kích th
ư
c m
u quy
ñ
nh:
2
1 1 0,99
2
. 176,65
s
n u
ε
+
≥ =
Ch
n
1
177
n =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
87
5. 29.
Đ
nghiên c
u lãi su
t ngân hàng gi
a hai nhóm n
ư
c công nghi
%
p phát
tri
n và
ñ
ang phát tri
n, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra lãi su
t ngân hàng trong m
t n
ă
m c
a 7
n
ư
c phát tri
n và 11 n
ư
c
ñ
ang phát tri
n
ñư
c ch
n ng
u nhiên.
V
i các n
ư
c phát tri
n, lãi su
t trung bình là 17,5% và
ñ
l
%
ch chu
(
n là
3,2%; còn
ñ
i v
i các n
ư
c
ñ
ang phát tri
n, lãi su
t trung bình là 15,3% và
ñ
l
%
ch
chu
(
n là 2,9%. V
i
ñ
tin c
y 95%, hãy
ư
c l
ư
ng s
chênh l
%
ch v
lãi su
t trung
bình gi
a hai nhóm n
ư
c trên. Bi
t r
"
ng lãi su
t ngân hàng c
a c
a hai nhóm
n
ư
c trên là các BNN tuân theo qui lu
t chu
(
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Gi i
G
i X, Y l
n l
ư
t là các bi
n ng
u nhiên ch
lãi su
t ngân hàng c
a hai nhóm
n
ư
c phát tri
n và
ñ
ang phát tri
n. X, Y tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n v
i cùng
ph
ươ
ng sai.
Theo bài ta có
17,5%, 3,2%; 7; 15,3%, 2,9%; 11
X Y
x s n y s m
= = = = = =
2,2
x y
− =
Ta tính
ñư
c
(
)
(
)
2 2
2 2
2
1 1
6.3, 2 10.2,9
2 16

X Y
n s m s
s
n m
− + −
+
= = =
+ −
16 2
1 0,95
2
1 1 1 1
7 11
  
e t s
n m
+
= + = + =
Kho
ng tin c
y 95% cho s
chênh l
%
ch lãi su
t ngân hàng trung bình gi
a hai
nhóm n
ư
c trên là:
(
)
-0,8912%;5,2912%
5. 30.
Đ
nghiên c
u l
ư
ng ti
n g
#
i ti
t ki
%
m vào ngân hàng c
a hai thành ph
, ng
ư
i ta
ñ
i
u tra ng
u nhiên 23 ngân hàng
'
thành ph
A và tìm
ñư
c l
ư
ng ti
n g
#
i trung
bình c
a m
i khách là 1,317 tri
%
u
ñ
ng.
7
thành ph
B, nghiên c
u 32 ngân hàng,
tìm
ñư
c l
ư
ng ti
n g
#
i trung bình c
a m
i khách là 1,512 tri
%
u
ñ
ng. Hãy
ư
c
l
ư
ng s
chênh l
%
ch trung bình gi
a l
ư
ng ti
n g
#
i ti
t ki
%
m trung bình c
a dân
hai thành ph
A và B b
"
ng kho
ng tin c
y 95%. Bi
t r
"
ng ti
n ti
t ki
%
m c
a ng
ư
i
dân hai thành ph
A và B là các BNN tuân theo lu
n phân ph
i chu
(
n, v
i
ñ
l
%
ch
chu
(
n theo th
t
, là 0,517 tri
%
u và 0,485 tri
%
u.
Gi i
G
i X, Y l
n l
ư
t là bi
n ng
u nhiên ch
ti
n g
#
i c
a ng
ư
i dân thành ph
A, B.
Ta có
1,317
x
=
,
23
n
=
,
0,517
X
σ =
;
1,512; 32; 0,485
Y
y m= = σ =
.
Kho
ng tin c
y 95% cho hi
%
u trung bình ti
n g
#
i ti
t ki
%
m c
a dân hai thành ph
A, B là:
(
)
;
x y e x y e
− − − +
t
m
u và
ñ
tin c
y ta tính
ñư
c
1,317 1,512 0,195
x y
− = − =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
88
2 2 2
1 0,975
2
0,517 0,485
.
23 32
X Y
e u u
n m
+ γ
σ σ
= + = +
Do
ñ
ó
(
)
(
)
;

x y e x y e− − − + =
5. 31.
M
t k
4
s
ư
lâm nghi
%
p nghiên c
u chi
u cao c
a m
t lo
i cây v
i gi
thi
t là nó có
phân ph
i chu
(
n. Trên m
t m
u có kích th
ư
c n = 10, anh ta tính
ñư
c chi
u cao
trung bình c
a m
i cây là 13,78 và kho
ng tin c
y 90% c
a trung bình t
$
ng th
là
(13,063; 14,497). Không may, b
s
li
%
u c
a m
u b
th
t l
c, anh ta ch
còn nh
các s
sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
B
n có th
giúp anh ta tìm l
i
ñư
c các s
li
%
u b
th
t l
c không?
Gi i
Gi
s
#
hai s
li
%
u th
t l
c là x và y ta có:
108, 9
13, 78
10
x y
x
+ +
= =
Suy ra
137,8 108,9 28,9
x y
+ = − =
M
t khác t
kho
ng tin c
y và trung bình m
u ta tính
ñư
c
0,717
e
=
Mà
( ) ( )
9 9
1 0,9 0,95
2
1,8331
0,5797
10 10 10
s s
e t t s s
+
= = = =
suy ra
0,717
1, 2368
0,5797 0,5797
e
s = = =
Suy ra
2
1,5298
s =
M
t khác
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1
1495,01 10.13,78 403,874
9 9
s x y x y= + + − = + −
Nh
ư
v
y ta có h
%
ph
ươ
ng trình:
2 2
28, 9
417,6422
x y
x y
+ =
+ =
Gi
i h
%
ph
ươ
ng trình ta
ñư
c
14,59; 14,31
x y
= =
.
5. 32.
Công ty ABC mu
n nghiên c
u nhu c
u tiêu dùng v
lo
i hàng c
a
công ty
'
m
t khu v
c có 4000 h
gia
ñ
ình, h
ti
n hành
ñ
i
u tra v
nhu c
u c
a
m
t hàng
ñ
ó
'
400 h
gia
ñ
ình,
ñư
c ch
n ng
u nhiên
'
khu v
c
ñ
ó. K
t qu
ñ
i
u
tra nh
ư
sau:
Nhu c
u (kg/tháng) S
gia
ñ
ình
< 1 10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
89
[1, 2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,8)
> 8
35
86
132
78
34
15
10
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng nhu c
u trung bình v
m
t hàng này c
a toàn khu v
c
trong m
t n
ă
m b
"
ng kho
ng tin c
y 95%.
b)
V
i m
u trên, khi
ư
c l
ư
ng nhu c
u trung bình v
m
t hàng này c
a toàn
khu v
c trong m
t n
ă
m, n
u mu
n sai s
ư
c l
ư
ng là 5,7 t
n, thì
ñ
t
ñư
c
ñ
tin c
y b
"
ng bao nhiêu?
Gi i
a)
T
s
li
%
u ta tính
ñư
c:
400
n
=
;
3, 6688
x
=
(kg/tháng);
1,5870
s
=
Kho
ng tin c
y cho nhu c
u trung bình c
a m
i h
là:
(
)
;
x e x e
− +
v
i
0,975
1,5870 3600
1,96. 0,1476
1 20 3999
s N n
e u
N
n
−
= = =
−
V
y
(
)
(
)
; 3,5212; 3,8164
x e x e− + =
.
Kho
ng tin c
y cho nhu c
u trung bình c
a toàn khu v
c:
(
)
(
)
3,5212 4000 12; 3,8164 4000 12 169017;183187
× × × × =
b)
Kho
ng tin c
y cho nhu c
u trung bình c
a m
i h
:
(
)
;
x e x e
− +
Do
ñ
ó kho
ng tin c
y cho nhu c
u trung bình c
a toàn khu v
c là:
(
)
; 4000 12
x e x e
− + × ×
. Nh
ư
v
y sai s
ư
c l
ư
ng nhu c
u trung bình
cho toàn khu v
c là
4000 12
e
× ×
. Theo
ñ
bài
5,7
4000 12 5700 0,1188
4 12
e e× =
⇒
= =
×
T
ñ
ó ta có:
1 1
2 2
1
. 0,1188 . .0,1188 1,578
1
s N n n N
u u
N s N n
n
+γ +γ
− −
= ⇒ = =
− −
1
2
 
+ γ
⇒
= ⇔ γ
V
y,
ñ
tin c
y c
n tìm là 88,54%.
5. 33.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
90
M
t lô trái cây c
a m
t c
#
a hàng
ñ
ng trong các s
t, m
i s
t 100 trái.
Ng
ư
i ta ti
n hành ki
m tra ng
u nhiên 50 s
t, thì th
y có 450 trái không
ñ
t tiêu
chu
(
n.
a)
Tìm kho
ng tin c
y 96% cho t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô
hàng.
b)
N
u mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô hàng, v
i
sai s
b
"
ng 0,5% thì
ñ
tin c
y
ñ
t
ñư
c là bao nhiêu?
Gi i
a)
G
i
p
là t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô hàng.
Giá tr
t
l
%
m
u:
450
0,09
5000
p = =
Kho
ng tin c
y 96% cho
:
p
(
)
;
p e p e
− +
(
)
(
)
( )
1 0,96 0,98
2
1 0,09 1 0,09
.
5000
0,09 1 0,09
2,0537. 0,008
5000
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
Kho
ng tin c
y cho
p
:
(
)
0,082;0,098
t
c là t
8,2%
ñ
n 9,8%.
b)
Gi
s
#
γ
là
ñ
tin c
y c
m tìm. Theo
ñ
bài:
( )
( )
1 1
2 2
1
. 0,005 0,005. 1,2354
1
p p
n
e u u
n p p
γ γ
+ +
−
= = ⇔ = =
−
1
0,8917 0, 7833
2
γ
γ
+
⇒
= ⇔ =
Do
ñ
ó
ñ
tin c
y là:
78,33%
.
5. 34.
M
t lô trái cây c
a m
t c
#
a hàng
ñ
ng trong các s
t, m
i s
t 100 trái.
Ng
ư
i ta ti
n hành ki
m tra ng
u nhiên 50 s
t, thì th
y có 450 trái không
ñ
t tiêu
chu
(
n.
a)
Tìm kho
ng tin c
y 96% cho t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô
hàng.
b)
N
u mu
n
ư
c l
ư
ng t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô hàng, v
i
ñ
tin c
y 99% và sai s
không l
n h
ơ
n 1%, thì c
n ki
m tra bao nhiêu s
t?
Gi i
a)
G
i
p
là t
l
%
trái cây không
ñ
t tiêu chu
(
n c
a lô hàng.
Giá tr
t
l
%
m
u:
450
0,09
5000
p = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
91
Kho
ng tin c
y 96% cho
:
p
(
)
;
p e p e
− +
(
)
(
)
( )
1 0,96 0,98
2
1 0,09 1 0,09
.
5000
0,09 1 0,09
2,0537. 0,008
5000
p p
e u u
n
+
− −
= =
−
= =
Kho
ng tin c
y cho
p
:
(
)
0,082;0,098
t
c là t
8,2%
ñ
n 9,8%.
b)
G
i
1
n
là s
trái cây c
n ki
m tra. Khi
ñ
ó:
(
)
(
)
2 2
1 1 0,99
2 2
2
1 0,09 1 0,09
. 2,5758 . 5433,9
0,01
p p
n u
ε
+
− −
≥ = =
Do
ñ
ó,
1
5434
n =
trái, do
ñ
ó s
s
t c
n ki
m tra là:
[
]
5434/100 1 55
S
= + =
(s
t)
5. 35.
M
t công ty s
n xu
t b
t gi
t mu
n th
ă
m dò m
c
ñ
tiêu th
,
s
n ph
(
m
này trong thành ph
H. Công ty ti
n hành
ñ
i
u tra 500 h
gia
ñ
ình và có k
t qu
sau:
Gi
s
#
thành ph
H có 10.000 h
gia
ñ
ình.
a)
Hãy
ư
c l
ư
ng nhu c
u b
t gi
t trung bình l
n nh
t c
a toàn thành ph
H
trong m
t n
ă
m v
i
ñ
tin c
y 96%
b)
Đ
ư
c l
ư
ng nhu c
u b
t gi
t trung bình c
a m
t h
trong m
t tháng v
i
sai s
ư
c l
ư
ng không quá 50 gam và
ñ
tin c
y 95% thì c
n
ñ
i
u tra thêm
bao nhiêu h
gia
ñ
ình n
a?
Gi i
a)
T
d
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:
Giá tr
trung bình m
u:
1,803
x
=
Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
0,6233
s
=
Sai s
ư
c l
ư
ng cho kho
ng tin c
y 96% là:
0,96

 

s s
e u
n n
= = = =
Do
ñ
ó nhu c
u b
t gi
c trung bình c
a m
t h
l
n nh
t là:
1,803 0,0488 1,8518
x e
+ = + =
(kg)
V
y nhu c
u l
n nh
t c
a thành ph
trong m
t n
ă
m là:
Nhu c
u
(kg/tháng)
< 1 [1; 1,5)
[1,5;
2)
[2;
2,5)
[2,5;
3)
[3;
3,5)
≥
3,5
S
h
gia
ñ
ình
21 147 192 78 34 16 12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
92
(
)
   
× ×
.
b)
Ta có
2
2
0,975
0,975
1,96.0,6233
0,05 . 596,9134
0,05 0,05
u
s
u n s
n
≤ ⇒ ≥ = =
Suy ra,
1
597
n =
V
y c
n
ñ
i
u tra thêm ít nh
t 97 h
n
a.
5. 36.
M
t công ty s
n xu
t b
t gi
t mu
n th
ă
m dò m
c
ñ
tiêu th
,
s
n ph
(
m
này trong thành ph
H. Công ty ti
n hành
ñ
i
u tra 500 h
gia
ñ
ình và có k
t qu
sau:
Gi
s
#
thành ph
H có 10.000 h
gia
ñ
ình.
a)
Nh
ng h
có nhu c
u trên 2 kg trong m
t tháng
ñư
c g
i là nh
ng h
có
nhu c
u sao. Tìm kho
ng tin c
y 95% cho t
l
%
nh
ng h
có nhu c
u cao
'
thành ph
H.
b)
Đ
ư
c l
ư
ng nhu c
u b
t gi
t trung bình c
a m
t h
trong m
t tháng v
i
sai s
ư
c l
ư
ng không quá 50 gam và
ñ
tin c
y 95% thì c
n
ñ
i
u tra thêm
bao nhiêu h
gia
ñ
ình n
a?
Gi i
a)
T
d
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:
Giá tr
trung bình m
u:
1,803
x
=
Giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
0,6233
s
=
Giá tr
t
l
%
m
u:
140
0,28
500
p = =
Kho
ng tin c
y 95% cho t
.
l
%
nh
ng h
có nhu c
u cao:
(
)
;
x e x e
− +
sai s
( )
1 0,975
2
1
. .0,0201

p p
e u u
n
+ γ
−
= = =
Kho
ng tin c
y 95%:
(
)
0,2406;0,3194
b)
Ta có
2
2
0,975
0,975
1,96.0,6233
0,05 . 596,9134
0,05 0,05
u
s
u n s
n
≤ ⇒ ≥ = =
Suy ra
1
597
n =
V
y c
n
ñ
i
u tra thêm ít nh
t 97 h
n
a.
Nhu c
u
(kg/tháng)
< 1 [1; 1,5)
[1,5;
2)
[2;
2,5)
[2,5;
3)
[3;
3,5)
≥
3,5
S
h
gia
ñ
ình
21 147 192 78 34 16 12
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
93
5. 37.
Đ
ñ
ánh giá m
c tiêu hao nhiên li
%
u c
a m
t lo
i xe ô tô, ng
ư
i ta theo
dõi l
ư
ng tiêu hao nhiên li
%
u (lít/100 km) c
a 100 chuy
n xe và có k
t qu
sau:
L
ư
ng tiêu
hao
[35; 40)
[40; 45)
[45; 50)
[50; 55)
[55; 60)
S
chuy
n xe 8
14 20 36 22
a)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho l
ư
ng tiêu hao nhiên li
%
u trung bình c
a lo
i
xe nói trên
b)
Xe c
n
ñư
a vào ki
m tra k
4
thu
t là xe có m
c tiêu hao nhiên li
%
u t
55
lít/100 km tr
'
lên. Hãy
ư
c l
ư
ng t
l
%
xe c
n
ñư
a vào ki
m tra k
4
thu
t
ti
thi u
'
ñ
tin c
y 95%.
Gii
a)
G
i
X
là bi
n ng
u nhiên ch
m
c tiêu hao nguyên li
%
u cho m
i chuy
n
xe. T
s
li
%
u trên ta xây d
ng
ñư
c b
ng sau:
47
x
=
5
2 2 2
1
1
99

i i
i
s n x nx
=
= − =
∑
1 1 0,95
2 2
. .
100 100
 
 
s
e u u
n
+ γ +
= = =
Do
ñ
ó kho
ng tin c
y 95% cho l
ư
ng tiêu hao nguyên li
%
u trung bình:
(
)
45,88;48,12
b)
T
.
l
%
xe c
n ki
m tra k
4
thu
t c
a m
u:
8
0,08
100
p = =
T
l
%
xe c
n
ñư
a vào ki
m tra k
4
thu
t
ti thi u
'
ñ
tin c
y 95% là
p p e
≥ −
v
i
( )
0,95
1
0,08.0,92
0,045
10
p p
e u u
n
γ
−
= = =
Suy ra
0,08 0,045 0,035
p
≥ − =
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
94
CHƯƠNG 6: KI M NH GI THI T Đ
6. 1.
Trong m
t cu
c
ñ
i
u tra v
nh
p m
ch c
a 64 thanh niên làm ngh
A, k
t qu
là nh
p m
ch trung bình 74 l
n/phút và
ñ
l
%
ch chu
(
n b
"
ng 9 l
n/phút. Hãy ki
m
ñ
nh xem
ñ
c
ñ
i
m ngh
A có làm cho nh
p m
ch c
a thanh niên t
ă
ng quá m
c
bình th
ư
ng không, bi
t r
"
ng nh
p m
ch bình th
ư
ng c
a thanh niên là 72 l
n /
phút. ( k
t lu
n v
i m
c
1%
α
=
).
Gi i
:
G
i X là bi
n ng
u nhiên ch
nh
p m
ch c
a thanh niên làm ngh
A. Ta c
n ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 1
: 72; : 72
H H
µ µ
= >
,
'
m
c
1%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì bi
n ng
u nhiên
( )
72
64 ~ 0,1
−
=
X
U N
s
.
V
i
1%
α
=
,
1 0,99
2,5758
α
−
= = =gtth u u
.
V
i m
u c
,
th
ta có
74 72 16
.8 1,778
9 9
u gtth
−
= = = <
.
V
y, ta ch
p nh
n gi
thi
t
0
H
ngh
ĩ
a ngh
A không làm t
ă
ng nh
p
ñ
p c
a thanh
niên.
6. 2.
Đ
i
u tra Cholesterol toàn ph
n trong huy
t thanh c
a 25 b
%
nh nhân b
m
t lo
i b
%
nh B, ta có trung bình c
ng c
a l
ư
ng Cholesterol là 172 mg% và
ñ
l
%
ch chu
(
n b
"
ng 40 mg%. Theo tài li
%
u v
h
"
ng s
sinh hoá bình th
ư
ng c
a
ng
ư
i Vi
%
t Nam thì l
ư
ng Cholesterol trung bình toàn ph
n trong huy
t thanh là
156 mg% và tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n.
H
i l
ư
ng Cholesterol c
a các b
%
nh nhân m
c b
%
nh B có cao h
ơ
n bình th
ư
ng
không? (k
t lu
n
'
m
c
5%
α
=
) .
Gi i
:
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
(
)
(
)
0 1
: 156 % ; : 156
H mg H mg
µ µ
= >
'
m
c
5%
α
=
.
N
u
0
H
thì bi
n ng
u nhiên
( )
156
25 ~ 24
X
T t
S
−
=
V
i m
c
0,05
α
=
ta có
(
)
(
)
24 24
1 0,05 0,95
1,7109
t t
−
= =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
24
0,95
172 156
5 2
40
t t
−
= = >
. V
y
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là l
ư
ng Cholesterol c
a b
%
nh
nhân m
c b
%
nh B cao h
ơ
n bình th
ư
ng.
6. 3.
M
t công ty bào ch
m
t lo
i thu
c ch
a d
ng tuyên b
r
"
ng thu
c
c
a h
có hi
%
u qu
không d
ư
i 90% trong vi
%
c làm gi
m c
ơ
n d
ng trong vòng 8
gi
. M
t m
u g
m 200 ng
ư
i b
d
ng s
#
d
,
ng lo
i thu
c trên, có 160 ng
ư
i
gi
m c
ơ
n d
ng. Hãy xác
ñ
nh xem l
i tuyên b
c
a công ty có giá tr
không? (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,07).
Gi i
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
95
G
i
p
là t
l
%
ng
ư
i gi
m d
ng khi dùng thu
c c
a công ty trong vòng 8 gi
. Ta
c
n xác
ñ
nh xem
p
có b
"
ng 90% tr
'
lên hay không. Mu
n v
y ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 0 1 0
: 90%; : 90%
H p p H p p= = < =
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,07.
N
u
0
H
ñ
úng thì bi
n ng
u nhiên
( )
( )
0
0 0
~ 0, 1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
i m
c
0,07
α
=
ta có
1 0,93
1,4758
gtth u u
−
= − = − = −
α
.
V
i m
u c
,
th
ta có:
160 / 200 0,9
200 4,714 1,4758
0,9.0,1
u gtth
−
= = − < = −
.
V
y ta bác b
gi
thi
t
0
H
ngh
ĩ
a là tuyên b
c
a công ty không có giá tr
. K
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 0,07.
6. 4.
(3
ñ
i
m) Tr
ư
c
ñ
ây, Nhà máy Alpha s
n xu
t ra m
t lo
i s
n ph
(
m v
i
t
l
%
ph
ph
(
m 5%. N
ă
m nay, sau
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t,
ñ
ki
m tra hi
%
u qu
, ng
ư
i
ta l
y ra ra m
t m
u g
m 800 s
n ph
(
m
ñ
ki
m tra thì th
y có 24 ph
ph
(
m.
a)
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, hãy ki
m
ñ
nh xem
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t có
th
c s
làm gi
m t
l
%
ph
ph
(
m không?.
b)
Sau
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t, n
u nhà máy báo cáo t
l
%
ph
ph
(
m là 2% thì
có ch
p nh
n
ñư
c không? (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 3%).
Gi i
:
a)
G
i
p
là t
.
l
%
ph
ph
(
m sau
ñ
t c
i ti
n k
ĩ
thu
t, t
l
%
m
u . Ta c
n ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0 0
: 5%;
H p p= =
ñ
i thi
t
1 0
:
H p p
<
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
i m
c
5%
α =
ta có
1 0,95
1,65
gtth u u
−α
= − = − = −
.
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c
( )
0
0 0
0,03 0,05
800 2,6
0,05.0,95
1
p p
u n gtth
p p
−
−
= = = − <
−
V
y, ta bác b
0
H
ngh
ĩ
a là
ñ
t c
i ti
n k
ĩ
thu
t th
t s
làm gi
m t
.
l
%
ph
ph
(
m.
b)
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0
: 2%;
H p p= =
ñ
i thi
t
1 0
:
H p p
'
m
c
3%
α =
.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê
Di
p Hoàng Ân
96
V
ơ
i s m
c
3%
α =
ta có
0,985
1
2
2,17
gtth u u
α
−
= = =
.
T
m
u c
,
th
ta tính
ñư
c.
( )
0
0 0
0,03 0,02
800 2,02
0,02.0,98
1
p p
u n gtth
p p
−
−
= = = <
−
V
y ta ch
p nh
n
0
H
ngh
ĩ
a là ch
p nh
n l
i tuyên b
c
a công ty.
6. 5.
Ti
n l
ươ
ng hàng tu
n trung bình trên m
t m
u g
m 30 công nhân trong
m
t xí nghi
%
p l
n là 180 (ngàn
ñ
ng) v
i v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n 14 (ngàn
ñ
ng).
Trong m
t xí nghi
%
p l
n khác, m
t m
u g
m 40 công nhân
ñư
c ch
n ng
u nhiên
có ti
n l
ươ
ng hàng tu
n trung bình là 170 (ngàn
ñ
ng) v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n 10 (ngàn
ñ
ng). Ti
n l
ươ
ng hàng tu
n trung bình
'
hai xí nghi
%
p trên có khác nhau không?
(
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%). Gi
s
#
ti
n l
ươ
ng hàng tu
n c
a hai xí nghi
%
p là bi
n
ng
u nhiên có phân ph
i chu
(
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Gi i
: G
i X, Y là ti
n l
ươ
ng hàng tu
n c
a m
i công nhân c
a hai xí nghi
%
p
trên t
ươ
ng
ng. Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
X Y X Y
H : ; H :
= ≠
µ µ µ µ
'
m
c
5%
α =
.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
2
1 1
~ 2
n m
X Y
T t n m
S
−
= + −
+
v
i
2 2
2
( 1) ( 1)
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
v
i m
c
5%
α =
ta có
( ) ( )
2 68
0,975
1
2
1,9955
n m
gtth t t
+ −
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c
2 2
2
29 14 39 10
140 94
78
. .
s ,
+
= =
Do
ñ
ó
( )
2
1 1
180 170
3 4876
1 1
140 94
30 40
tn
n m
x y
t , gtth
s
,
− −
= = = >
+
+
V
y ta bác b
0
H
ngh
ĩ
a là ti
n l
ươ
ng hàng tu
n trung bình
'
hai xí nghi
%
p
trên là khác nhau.
6. 6.
G
i X và Y l
n l
ư
t là bi
n ng
u nhiên ch
kh
i l
ư
ng c
a tr
s
ơ
sinh
trai và tr
s
ơ
sinh gái. Cho bi
t X và Y tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n có cùng
ph
ươ
ng sai. Kh
o sát ng
u nhiên 20 tr
s
ơ
sinh trai, ng
ư
i ta tính
ñư
c
x
= 3200
g,
X
s
= 400 g và 17 tr
s
ơ
sinh gái, ng
ư
i ta tính
ñư
c
y
= 3000 g,
Y
s
= 380 g.
Ph
i ch
ă
ng kh
i l
ư
ng c
a tr
s
ơ
sinh trai l
n h
ơ
n kh
i l
ư
ng c
a tr
s
ơ
sinh gái?
(k
t lu
n v
i m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%)
Gi i
:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
97
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
X Y X Y
H : ; H :
µ µ µ µ
= >
'
m
c
α
= 5%.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
2
1 1
~ 2
n m
X Y
T t n m
S
−
= + −
+
v
i
2 2
2
( 1) ( 1)
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
;
20 17
n ; m
= =
.
Giá tr
t
i h
n
( )
2
35
1 0 95
1 6896
n m
,
gtth t t ,
α
+ −
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta có
2 2
2
19 400 16 380
152868 57
35
. .
s ,
+
= =
( )
2
1 1
3200 3000
1 55
1 1
152868 57
20 17
tn
n m
x y
t , gtth
s
,
− −
= = = <
+
+
Ta ch
p nh
n
0
H
ngh
ĩ
a là tr
ng l
ư
ng c
a tr
s
ơ
sinh trai không l
n h
ơ
n
tr
ng l
ư
ng c
a tr
s
ơ
sinh gái (
α
= 5%).
6. 7.
Kh
i l
ư
ng c
a m
t lo
i s
n ph
(
m do m
t nhà máy s
n xu
t là m
t
bi
n ng
u nhiên tuân lu
t phân ph
i chu
(
n N(500; (8,5) ). Sau m
2
t th
i gian s
n
xu
t, ban lãnh
ñ
o nhà máy nghi ng
r
"
ng kh
i l
ư
ng c
a lo
i s
n ph
(
m này có xu
h
ư
ng gi
m, nên ti
n hành cân th
#
25 s
n ph
(
m và thu
ñư
c k
t qu
sau:
Kh
i l
ư
ng (g) 480 485 490 495 500 510
S
s
n ph
(
m 2 3 8 5 3 4
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5% , hãy cho k
t lu
n v
ñ
i
u nghi ng
trên.
Gi i
:
T
s
li
%
u ta tính
ñư
c
494
x
=
;
8 9
s ,
=
25
n
=
.
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
500H : ;H :
µ µ µ µ
= = <
'
m
c
5%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
0 1
X
U n ~ N ,
µ
σ
−
=
v
i
0
25 8 5 500
n ; , ;
σ µ
= = =
V
i m
c
5
%
α
=
ta có
1 0 95
,
gtth u u ,
α
−
= − = − = −
V
i m
u c
,
th
giá tr
c
a U là
494 500
5 3 53
8 5
u . , gtth
,
−
= = − <
nên
0
H
b
bác
b
ngh
ĩ
a là
ñ
i
u nghi ng
trên là
ñ
úng.
6. 8.
M
t công ty mu
n
ñ
ánh giá v
hi
%
u qu
c
a m
t
ñ
t qu
ng cáo
ñ
i v
i
s
s
n ph
(
m bán ra c
a công ty. 10 c
#
a hàng bán s
n ph
(
m c
a công ty
ñư
c ch
n
ng
u nhiên
ñ
theo dõi s
l
ư
ng s
n ph
(
m bán ra trong m
t tu
n tr
ư
c
ñ
t qu
ng
cáo (T
Đ
QC) và m
t tu
n sau
ñ
t qu
ng cáo (S
Đ
QC).
C
#
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
98
hàng
T
Đ
QC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111
S
Đ
QC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho k
t lu
n v
hi
%
u qu
c
a
ñ
t qu
ng cáo (
'
m
c
α
= 5%).
Gii:
G
i D là hi
%
u s
gi
a s
s
n ph
(
m bán ra sau qu
ng cáo và tr
ư
c qu
ng cáo
c
a m
i c
a hàng. B
ng hi
%
u s
:
D 84 21 2 39 13 -20
25 44 -31
33
T
ñ
ó ta tính
ñư
c
21 32 98
D
d ;s ,
= =
.
Ta c
n ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau
'
m
c
5
%
α
=
.
0 1
0 0
D D
H : ; H :
µ µ
= >
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
1
D
D n
T ~ t n
S
= −
V
i
5
%
α
=
( )
9
1

gtth t
α
−
= =
V
i m
u c
,
th
ta có
21 10
2 01
32 98
t , gtth
,
= = >
Nên
0
H
b
bác b
.
V
y,
ñ
t qu
ng cáo th
t s
làm t
ă
ng s
l
ư
ng s
n ph
(
m bán ra.
6. 9.
M
t máy s
n xu
t t
ñ
ng có t
l
%
s
n xu
t ra s
n ph
(
m lo
i A lúc
ñ
u là
48%. Máy
ñư
c c
i ti
n và sau m
t th
i gian áp d
,
ng, ng
ư
i ta ki
m tra 40 h
p,
m
i h
p g
m 10 s
n ph
(
m và ghi l
i s
s
n ph
(
m lo
i A trong m
i h
p (SSPLA/h)
nh
ư
sau :
SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S
h
p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho k
t lu
n v
hi
%
u qu
c
a vi
%
c c
i ti
n máy
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05.
Gii:
G
i
là t
l
%
s
n ph
(
m l
o A sau
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t.
T
l
%
s
n ph
(
m lo
i A trên m
u kh
o sát:
215 43
400 80
p = =
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 0 1 0
: 48%; :
H p p H p p
= = >
'
m
c
5%
α
=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
99
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
giá tr
t
i h
n b
"
ng:
1 0,95
1,6449
u u
α
−
= =
V
i m
u c
,
th
, ta tính
ñư
c:
( ) ( )
0
0 0
43
0,48
80
400 2,3018
1 0,48 1 0,48
p p
u n
p p
−
−
= = =
− −
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là vi
%
c c
i ti
n k
4
thu
t th
t s
mang l
i hi
%
u
qu
.
6. 10.
Kh
i l
ư
ng trung bình khi xu
t chu
ng
'
m
t tr
i ch
ă
n nuôi gà công nghi
%
p
n
ă
m tr
ư
c là 3,3 kg/con. N
ă
m nay ng
ư
i ta s
#
d
,
ng lo
i th
c
ă
n m
i. Sau m
t th
i
gian, cân th
#
15 con khi xu
t chu
ng, có các s
li
%
u sau: (
ñơ
n v
kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi
thi
t kh
i l
ư
ng gà là bi
n ng
u nhiên phân ph
i theo qui lu
t chu
(
n v
i
ph
ươ
ng sai 0,04.
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05, hãy cho k
t lu
n v
tác d
,
ng c
a lo
i th
c
ă
n m
i.
Gi i
:
G
i
X
là BNN ch
kh
i l
ư
ng gà khi xu
t chu
ng. Theo gi
thi
t
(
)
2
~ ;0,2
X N
µ
. T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c:
x
=
;
0,405
s
=
.
N
u th
c
ă
n m
i có tác d
,
ng t
t thì kh
i l
ư
ng trung bình c
a gà xu
t
chu
ng n
ă
m nay s
+
cao h
ơ
n. Mu
n k
t lu
n v
ñ
i
u
ñ
ó ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 3,3 ; :H H
µ µ µ µ
= = >
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
1 1 0,05 0,95
1,6449
gtth u u u
α
− =
= = = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
0
3,62 3,3
15 6,2
0,2
x
u n
µ
σ
− −
= = =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
.
V
y, kh
i l
ư
ng trung bình c
a gà xu
t chu
ng n
ă
m nay cao h
ơ
n n
ă
m tr
ư
c, ngh
ĩ
a
là th
c
ă
n m
i có tác d
,
ng t
ă
ng tr
ng l
ư
ng gà.
6. 11. Đ
ñ
i
u tra kh
i l
ư
ng gà xu
t chu
ng
'
m
t tr
i ch
ă
n nuôi gà công nghi
%
p
n
ă
m nay. Ng
ư
i ta cân th
#
15 con khi xu
t chu
ng, có các s
li
%
u sau: (
ñơ
n v
kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
100
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi
thi
t kh
i l
ư
ng gà là bi
n ng
u nhiên phân ph
i theo qui lu
t chu
(
n v
i
ph
ươ
ng sai 0,04.
Có nên báo cáo kh
i l
ư
ng trung bình c
a gà xu
t chu
ng n
ă
m nay là 3,7 kg/con
hay không? (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,05).
Gii:
G
i X là BNN ch
kh
i l
ư
ng gà xu
t chu
ng n
ă
m nay.
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
(
)
0 0 1 0
: 3,7 ; :H kg H
µ µ µ µ
= = ≠
'
m
c
5%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
0,05
α
=
1 / 2 1 0,025 0,975
1,96
gtth u u u
α
− =
= = = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
0
3,62 3,7
15 1,55
0,2
x
u n
µ
σ
− −
= = = −
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y,
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
ta công nh
n báo cáo c
a tr
i ch
ă
n nuôi.
6. 12.
M
t cu
c
ñ
i
u tra c
a H
i ph
,
n
ñ
ñ
ánh giá v
m
t d
ư
lu
n xã h
i cho
r
"
ng l
ươ
ng c
a ph
,
n
th
p h
ơ
n l
ươ
ng c
a nam gi
i. M
t m
u nhiên g
m 4
ñ
àn
ông có l
ươ
ng trung bình là 78,0 (ngàn
ñ
ng), v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u là 24,4; m
t
m
u ng
u nhiên khác
ñ
c l
p v
i m
u trên g
m 4 ph
,
n
có l
ươ
ng trung bình là
63,5 (ngàn
ñ
ng), v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n là 20,2. Gi
s
#
r
"
ng l
ươ
ng c
a c
nam và n
gi
i
ñ
u là các bi
n ng
u nhiên tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n có cùng ph
ươ
ng
sai. Hãy cho k
t lu
n v
cu
c
ñ
i
u tra trên
'
m
c ý ngh
ĩ
a 10%.
Gi i:
G
i
,
X Y
theo th
t
là l
ươ
ng c
a
ñ
àn ông và ph
,
n
. Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 1
: ; :
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= >
'
m
c
10%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
~ 2
1 1
X Y
U t n m
S
n m
−
= + −
+
V
ơ
i
(
)
(
)
2 2
2
1 1
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
10%
α
=
,
(
)
(
)
2 6
1 0,9

n m
gtth t t
α
+ −
−
= = =
V
i m
u c
,
th
:
2 2
22,4
s =
Và
2 2
78 63,5
0,915
1 1 1 1
22,4
4 4
x y
t
s
n m
− −
= = =
+ +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
101
Vì
t gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y, k
t lu
n c
a cu
c
ñ
i
u tra ch
ư
a
ñ
úng.
6. 13.
Ng
ư
i ta mu
n nghiên c
u tác d
,
ng c
a vi
%
c cho sinh viên
ñ
i th
c t
xem
s
ti
p thu ki
n th
c có t
t h
ơ
n không b
"
ng cách so sánh
ñ
i
m thi c
a nhóm sinh
viên không
ñ
i th
c t
(SVK
Đ
TT) v
i nhóm sinh viên có
ñ
i th
c t
(SVC
Đ
TT).
K
t qu
nh
ư
sau:
Đ
i
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SVC
Đ
TT
0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1
SVK
Đ
TT
3 3 6 1
1
7 13 10 12 4 1 3
G
i X và Y l
n l
ư
t là bi
n ng
u nhiên bi
u th
ñ
i
m s
c
a sinh viên có
ñ
i
th
c t
và sinh viên không
ñ
i th
c t
.
Đ
i
m thi c
a nhóm sinh viên có
ñ
i th
c t
có th
c s
t
t h
ơ
n không? (k
t
lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,01 )
Gi i:
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
X Y X Y
H : ; H :
µ µ µ µ
= >
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 0,01
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2 2
0 1
X Y
X Y
U ~ N ,
s s
n m
−
=
+
V
i
,
α
=
ta có
1 1 0 01 0 99

, ,
gtth u u u
α
− −
= = = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c
T
b
ng s
li
%
u ta có:
67
n
=
5 85
x ,
=
;
2
X
s
=
;
73
m
;
4 88 2 39
Y
y , ; s ,
= =
.
2 2
5 85 4 88
2 6116
2 2 39
67 73
tn
, ,
u , gtth
,
−
= = >
+
Nên
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là SVC
Đ
TT có
ñ
i
m cao h
ơ
n SVK
Đ
TT.
6. 14.
M
t công ty v
n t
i, mu
n
ñ
ánh giá tác d
,
ng c
a m
t lo
i ch
t ph
,
gia pha
vào x
ă
ng,
ñ
ã ch
n 10 chi
c xe. Cho m
i chi
c ch
y hai l
n v
i cùng
ñ
i
u ki
%
n
nh
ư
nhau; nh
ư
ng l
n
ñ
u v
i x
ă
ng không có ch
t ph
,
gia (KPG), l
n sau, v
i cùng
m
t l
ư
ng x
ă
ng nh
ư
l
n
ñ
u, có ch
t ph
,
gia (CPG). Ng
ư
i ta ghi l
i s
d
m
ñ
ã
ñ
i
ñư
c c
a 10 chi
c xe trên trong hai l
n nh
ư
sau:
Xe KPG CPG Xe KPG CPG
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
102
1
2
2
4
5
26,2
25,7
22,3
19,6
18,1
26,7
25,8
21,9
19,3
18,4
6
7
8
9
10
15,8
13,9
12,0
11,5
10,0
15,7
14,2
12,6
11,9
10,3
Có s
khác nhau gi
a s
d
m trung bình
ñ
i
ñư
c v
i x
ă
ng không có ch
t ph
,
gia và có ch
t ph
,
gia không? (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%)
Gi i:
G
i
,
X Y
l
n l
ư
t là các BNN ch
s
d
ă
m
ñ
i
ñư
c c
a xe KPG và xe CPG.
Đ
t
D X Y
= −
. B
ng s
li
%
u cho
D
:
Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
i
d
-0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3
T
ñ
ó ta tính
ñư
c:
0,17, 0,3368
D
d s= − =
Đ
xét xem khác nhau v
s
d
m trung bình gi
a xe KPG và xe CPG ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0
: 0; 0
D D
H
µ µ
= ≠
'
m
c
5%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
10 ~ 9
D
D
T t
S
=
V
i
5% 0,05
α
= =
:
(
)
(
)
9 9
0,05 0,975
1
2
2,2622
gtth t t
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta có:
0,17
10 1,596
0,3368
t
−
= =
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñư
c ch
p nh
n.
V
y,
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
không có s
khác nhau gi
a s
d
m trung bình
ñ
i
ñư
c v
i x
ă
ng không có ch
t ph
,
gia và có ch
t ph
,
gia.
6. 15.
Kh
i l
ư
ng bao g
o (KLBG) là bi
n ng
u nhiên có phân ph
i chu
(
n
(
)
50;0,01
N
. Có nhi
u ý ki
n c
a khách hàng ph
n ánh là kh
i l
ư
ng b
thi
u. M
t
nhóm thanh tra
ñ
ã cân ng
u nhiên 25 bao g
o trong kho và
ñư
c k
t qu
nh
ư
sau:
KLBG (kg) (48; 48,5]
(48,5; 49]
(49; 49,5]
(49,5; 50]
(50; 50,5]
S
bao g
o 2 5 10 6 2
Hãy ki
m
ñ
nh xem ý ki
n c
a khách hàng ph
n ánh có
ñ
úng không? (k
t
lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
Gii:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
103
G
i
X
là BNN ch
kh
i l
ư
ng bao g
o. T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
49,27; 0,53
x s
= =
.
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 50 ; :H H
µ µ µ µ
= = <
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
µ
σ
−
=
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
1 0,05
1,6449
gtth u
−
= − = −
V
i m
u c
,
th
:
49,27 50
25 36,5
0,1
−
= = −
Vì
u gtth
<
nên
0
H
b
bác b
. Ngh
ĩ
a là ý ki
n c
a khách hàng ph
n ánh là
ñ
úng (
α
= 5%).
6. 16.
M
t m
u g
m 300 c
#
tri
'
khu v
c A và m
t m
u g
m 200 c
#
tri
'
khu v
c
B cho th
y có 56% và 48%, theo th
t
,
ng h
ng c
#
viên X.
7
m
c ý ngh
ĩ
a
5%, hãy ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
a)
Có s
khác bi
%
t gi
a hai khu v
c v
s
ng h
ng c
#
viên X.
b)
:
ng c
#
viên X
ñư
c
ng h
h
ơ
n
'
khu v
c A.
Gi i:
G
i
A
p
và
B
p
theo th
t
là t
.
l
%
ng h
ng c
#
viên X
'
khu v
c A và B.
a)
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
A B A B
H : p p ; H : p p
= ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5
%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0 0
0 1
1 1
1
A B
P P
U ~ N ,
p p
n m
−
=
− +
v
i
0
0 528
A B
np mp
p ,
n m
+
= =
+
V
i
5
%
α
=
ta có
0 975
1
2
1 96
,
gtth u u ,
α
−
= = =
Giá tr
th
c nghi
%
m
0 56 0 48
1 755
1 1
0 528 0 472
300 200
, ,
u , gtth
, . ,
−
= = <
+
Do
ñ
ó
0
H
không b
bác b
ngh
ĩ
a là s
khác nhau gi
a t
.
l
%
ng h
gi
a hai
khu v
c A, B
ñ
i v
i
ng c
#
viên X không có ý ngh
ĩ
a v
m
t th
ng kê.
b)
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
A B A B
H : p p ; H : p p
= >
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5
%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
( )
0 0
0 1
1 1
1
A B
P P
U ~ N ,
p p
n m
−
=
− +
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
104
0
0 528
A B
np mp
p ,
n m
+
= =
+
V
i
5
%
α
=
ta có
1 0 95
1 65
,
gtth u u ,
α
−
= = =
0 56 0 48
1 755
1 1
0 528 0 472
300 200
, ,
u , gtth
, . ,
−
= = >
+
Nên
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là
ng c
#
viên X
ñư
c
ng h
nhi
u h
ơ
n
'
khu v
c
A.
6. 17. Đ
i
u tra ng
u nhiên 200 ng
ư
i có hút thu
c lá, th
y có 28 ng
ư
i b
lao
ph
$
i; 170 ng
ư
i không hút thu
c lá, th
y có 12 ng
ư
i b
lao ph
$
i. T
l
%
lao ph
$
i
gi
a nh
ng ng
ư
i có và không hút thu
c lá có khác khau không? (k
t lu
n
'
m
c
ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
Gii:
G
i
1
p
,
2
p
l
n l
ư
t là t
l
%
lao ph
$
i nh
ng ng
ư
i có hút thu
c lá và không
hút thu
c lá. Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= ≠
'
m
c
1%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
0 0
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
i
1 2
0
28 12 40 4
370 370 37
np mp
p
n m
+ +
= = = =
+
V
i m
c
1%
α
=
,
0,995
1
2
2,5758
gtth u u
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta có:
( )
1 2
0 0
28 12
200 170
2,1428
1 1 4 4 1 1
1 1
37 37
p p
u
p p
n m n m
−
−
= = =
− + − +
Ta có
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
ngh
ĩ
a là t
l
%
lao ph
$
i gi
a nh
ng
ng
ư
i có và không hút thu
c lá không khác khau (
α
= 1%).
6. 18.
M
t nhà máy có hai phân x
ư'
ng A và B cùng s
n xu
t m
t lo
i tr
,
c máy.
Sau m
t th
i gian ho
t
ñ
ng, ch
n ng
u nhiên 20 tr
,
c máy do phân x
ư'
ng A s
n
xu
t, ng
ư
i ta
ñ
o
ñư
c
ñư
ng kính c
a chúng nh
ư
sau (
ñơ
n v
mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
105
Gi
s
#
ñư
ng kính c
a các tr
,
c máy
'
hai phân x
ư'
ng A và B tuân theo lu
t
phân ph
i chu
(
n có cùng ph
ươ
ng sai.
Đ
o ng
u nhiên
ñư
ng kính 20 tr
,
c máy do phân x
ư'
ng B s
n xu
t, ng
ư
i ta
tính
ñư
c
ñư
ng kính trung bình là 249,8 v
i ph
ươ
ng sai 56,2. Hãy ki
m
ñ
nh,
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
thi
t
0
H
cho r
"
ng
ñư
ng kính trung bình các tr
,
c máy
ñư
c s
n xu
t
'
hai phân x
ư'
ng là nh
ư
nhau
ñ
i v
i gi
thi
t
1
H
cho r
"
ng chúng
khác nhau.
Gi i
:
G
i
,
X Y
l
n l
ư
t là
ñư
ng kính tr
,
c máy do phân x
ư'
ng A, B t
ươ
ng
ng s
n
xu
t.
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
: ; :
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
~ 2
1 1
X Y
T t n m
S
n m
−
= + −
+
V
i
20; 20
n m
= =
và
(
)
(
)
2 2
2
1 1
2
X Y
n S m S
S
n m
− + −
=
+ −
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%,
(
)
(
)
2 38
0,975
1
2

n m
gtth t t
α
+ −
−
= = =
V
i m
u c
,
th
:
251,25
x
=
và
7,7111
X
s =
2 2 2
2
19. 19 19.7, 7111 19.56,2
57,83
38 38
X Y
s s
s
+ +
= = =
2
251, 25 249,8
0,6029
1 1 1 1
57,83
20 20
x y
t
s
n m
− −
= = =
+ +
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñư
c ch
p nh
n.
Đư
ng kính trung bình các tr
,
c máy
ñư
c
s
n xu
t
'
hai phân x
ư'
ng là nh
ư
nhau (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 19.
Phân x
ư'
ng A c
a m
t nhà máy s
n xu
t m
t lo
i tr
,
c máy. Sau m
t th
i
gian ho
t
ñ
ng, ch
n ng
u nhiên 20 tr
,
c máy do phân x
ư'
ng A s
n xu
t, ng
ư
i ta
ñ
o
ñư
c
ñư
ng kính c
a chúng nh
ư
sau (
ñơ
n v
mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Gi
s
#
ñư
ng kính c
a các tr
,
c máy c
a phân x
ư'
ng A tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n. Bi
t
ñư
ng kính c
a m
t tr
,
c máy do phân x
ư'
ng A s
n xu
t, theo qui
ñ
nh là 250 mm. Hãy cho k
t lu
n v
ch
t l
ư
ng s
n xu
t c
a phân x
ư'
ng A
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
106
Gi i
:
G
i
X
l
n l
ư
t là
ñư
ng kính tr
,
c máy do phân x
ư'
ng A s
n xu
t. T
s
li
%
u ta
có:
251,25
x
=
và
7,7111
=
s
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0 0 1 0
: 250; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = ≠
'
m
c
5%.
α
=
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
µ
−
= −
X
T n t n
S
V
i m
c
5%
α
=
(
)
(
)
19 19
0,975
1
2
2,0930
gtth t t
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta có:
251,25 250
20 0,786
7,111
t
−
= =
Vì
| |
t gtth
<
nên
0
H
ñư
c ch
p nh
n. Do
ñ
ó Tình hình s
n xu
t c
a phân
x
ư'
ng A bình th
ư
ng (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 20.
S
n ph
(
m c
a m
t xí nghi
%
p
ñ
úc cho phép s
khuy
t t
t trung bình cho
m
t s
n ph
(
m là 3. Sau m
t
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t, ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên 36 s
n
ph
(
m
ñ
ki
m tra s
khuy
t t
t trên m
i s
n ph
(
m (SKTTMSP). K
t qu
thu
ñư
c nh
ư
sau:
SKTTMSP
0 1 2 3 4 5
6
S
s
n ph
(
m
7 4 4 6 8 6
1
Hãy cho k
t lu
n v
hi
%
u qu
c
a
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t
ñ
i v
i s
khuy
t t
t
trung bình c
a m
t s
n ph
(
m
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%.
Gii:
T
s
li
%
u ta tính
ñư
c
2,7222; 1,86
x s
= =
Đ
k
t lu
n v
hi
%
u qu
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 0 1 0
: 3; :H H
µ µ µ µ
= = <
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
µ
−
=
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%
1 0,9

gtth u u
α
−
= − = − = −
V
i m
u c
,
th
2,722 3
36 0,896
1,86
u
−
= = −
Vì
u gtth
>
nên
0
H
không b
bác b
ngh
ĩ
a là
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t không mang l
i
hi
%
u qu
(k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 10%).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
107
6. 21.
S
n ph
(
m c
a m
t xí nghi
%
p
ñ
úc cho phép s
khuy
t t
t trung bình cho m
t
s
n ph
(
m là 3. Sau m
t
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t, ng
ư
i ta l
y ng
u nhiên 36 s
n
ph
(
m
ñ
ki
m tra s
khuy
t t
t trên m
i s
n ph
(
m (SKTTMSP). K
t qu
thu
ñư
c nh
ư
sau:
SKTTMSP
0 1 2 3 4 5
6
S
s
n ph
(
m
7 4 4 6 8 6
1
S
n ph
(
m có không quá 2 khuy
t t
t
ñư
c g
i là s
n ph
(
m lo
i A. T
l
%
s
n
ph
(
m lo
i A tr
ư
c
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t là 40%.
Đ
t c
i ti
n k
4
thu
t có th
c s
làm t
ă
ng t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A không? (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%).
Gi i
:
G
i
p
là t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A. T
l
%
m
u:
15 5
36 12
p = =
.
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
: 40%; :
H p p H p p
= = >
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%
N N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
0
0 0
~ 0,1
1
P p
U n N
p p
−
=
−
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%,
1 0,95
1,6449
gtth u u
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta có:
( )
5/12 0,4
36 0,204
0,4 1 0, 4
u
−
= =
−
Vì
u gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y,
ñ
t c
i ti
n k
4
thu
t không làm t
ă
ng t
l
%
s
n ph
(
m lo
i A. (k
t lu
n
'
m
c ý
ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 22.
Nh
ng th
ng kê trong n
ă
m tr
ư
c cho th
y m
t ng
ư
i M
4
ñ
i du l
ch
'
châu
Âu trong vòng 3 tu
n s
+
chi h
t 1010 USD cho vi
%
c mua s
m. N
ă
m nay, ng
ư
i ta
th
ng kê trên 50 khách du l
ch thì th
y s
ti
n trung bình mà h
chi tiêu là 1090
USD và
ñ
l
%
ch chu
(
n là 300 USD. V
i m
c ý ngh
ĩ
a
1%
α =
hãy cho bi
t m
c chi
tiêu c
a nh
ng khách du l
ch n
ă
m nay có t
ă
ng so v
i n
ă
m tr
ư
c không?
Gi i
:
G
i
X
là BNN ch
m
c chi tiêu c
a m
i khách du l
ch trong n
ă
m nay,
EX
µ =
. Ta
ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
: 1010; :H H
µ = µ = µ > µ
'
ý ngh
ĩ
a
1%
α =
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
i ý ngh
ĩ
a
1%
α =
,
1 0,99
2,3263
gtth u u
−α
= = =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
108
V
i m
u c
,
th
ta có:
1090 1010
50 1,8856
300
u
−
= =
Vì
u gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y, ch
ư
a
ñ
c
ơ
s
'
ñ
k
t lu
n m
c chi tiêu c
a nh
ng khách du l
ch n
ă
m nay
t
ă
ng.
6. 23.
M
t hãng bào ch
thu
c
ñ
ang th
#
nghi
%
m hai lo
i thu
c gây mê A và B
m
i. Vi
%
c th
#
nghi
%
m
ñư
c ti
n hành trên hai nhóm thú v
t khác nhau. Nhóm th
nh
t g
m 100 con dùng thu
c A thì có 71 con b
mê; nhóm th
hai g
m 90 con
dùng thu
c B thì có 58 con b
mê. Hãng bào ch
mu
n ki
m
ñ
nh xem tác d
,
ng
c
a hai lo
i thu
c trên có khác nhau không
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%. Hãy cho bi
t k
t
lu
n.
Gi i:
G
i
1
p
và
2
p
l
n l
ư
t là t
l
%
con v
t b
mê khi dùng thu
c A, B t
ươ
ng
ng. Giá tr
t
l
%
m
u
ñ
i v
i 2 lo
i thu
c
ñ
ó là
1 2
71 58
;
100 90
p p= =
.
T
l
%
chung là
71 58 129
0,6789
190 190
p
+
= = =
. Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α =
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α =
,
0,975
1
2
gtth u u
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
( )
1 2
71 58
100 90
0,017
1 1 129 129 1 1
1 1
190 190 100 90
p p
u
p p
n m
−
−
= = =
− + − +
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y, tác d
,
ng c
a hai lo
i thu
c trên không khác nhau
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
6. 24.
V
i ý mu
n làm t
ă
ng ch
s
m
5
s
a c
a lo
i gi
ng bò A, m
t tr
i ch
ă
n nuôi
cho lai bò gi
ng A v
i m
t lo
i bò gi
ng B.
Đ
o ch
s
m
5
s
a c
a 130 con bò lai
gi
ng
ñư
c ch
n ng
u nhiên trong
ñ
àn bò c
a tr
i, ng
ư
i ta có k
t
Ch
s
m
5
s
a S
bò lai
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
109
[3,0; 3,6)
[3,6; 4,2)
[4,2; 4,8)
[4,8; 5,4)
[5,4; 6,0)
[6,0; 6,6)
[6,6; 7,2)
2
8
35
43
22
15
5
Bi
t r
"
ng ch
s
m
5
s
a trung bình c
a gi
ng bò A thu
n ch
ng là 4,95. Hãy cho
k
t lu
n v
hi
%
u qu
c
a vi
%
c lai gi
ng
'
m
c ý ngh
ĩ
a 1%.
Gi i:
G
i X là BNN ch
ch
s
m
5
s
a c
a gi
ng bò lai. T
s
li
%
u ta tính
ñư
c:
x
=
và
0,77
s
=
. Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 0 1 0
: 4,95; :H H
µ = µ = µ > µ
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α =
1%.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α =
1%,
1 0,99
2,3263
gtth u u
−α
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
5,15 4,95
130 2,96
0,77
u
−
= =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
.
V
y, ch
s
m
5
s
a c
a gi
ng bò lai cao h
ơ
n bò thu
n ch
ng.
6. 25. Đ
i
u tra v
m
t nguyên nhân gây ung th
ư
ph
$
i: Th
ă
m dò trong 200 ng
ư
i
có hút thu
c lá, th
y có 28 ng
ư
i b
K ph
$
i; trong 170 ng
ư
i không không hút
thu
c lá, có 12 ng
ư
i b
K ph
$
i. H
i t
l
%
ng
ư
i b
K ph
$
i trên nh
ng ng
ư
i hút
thu
c lá có cao h
ơ
n t
l
%
ñ
ó trên nh
ng ng
ư
i không hút thu
c lá không? (K
t lu
n
'
m
c
5%
α =
).
Gi i
:
G
i
1 2
,
p p
l
n l
ư
t là t
l
%
ng
ư
i b
K ph
$
i trong s
nh
ng ng
ư
i hút thu
c và
không hút thu
c. Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t:
0 1 2 1 1 2
: ; :
H p p H p p
= >
'
m
c
5%
α =
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
( )
1 2
~ 0,1
1 1
1
P P
U N
p p
n m
−
=
− +
V
i
5%
α =
,
1 0,95
1,6449
gtth u u
−α
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
1 2
28 7 6 28 12 4
; ;
200 50 85 200 170 37
p p p
+
= = = = =
+
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
110
( )
1 2
2,14
1 1
1
200 170
p p
u
p p
−
= =
− +
Ta có
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
. V
y t
l
%
b
K ph
$
i trong s
nh
ng ng
ư
i hút
thu
c là cao h
ơ
n t
l
%
ñ
ó trên nh
ng nguoif không hút thu
c lá.
6. 26.
N
u máy móc ho
t
ñ
ng bình th
ư
ng thì kh
i l
ư
ng m
t s
n ph
(
m tuân
theo lu
t phân ph
i chu
(
n v
i
ñ
l
%
ch chu
(
n không quá 1kg. Có th
coi máy móc
còn ho
t
ñ
ng bình th
ư
ng hay không n
u cân th
#
30 s
n ph
(
m do máy
ñ
ó s
n
xu
t ra, thì tính
ñư
c
ñ
l
%
ch chu
(
n là 1,1 kg. Yêu c
u k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
1%
α
=
.
Gi i:
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t v
ph
ươ
ng sai:
2 2 2 2
0 0 1 0
1H : ;H :
σ σ σ σ
= = ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
1%
α
=
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
2
2
2
( 1)
~ 1
o
n S
Y n
−
= χ −
σ
V
i m
u c
,
th
ta có
2
29 1 1
35 09
1
. ,
y ,
= =
V
i
,
α
=
ta có
0,01
2
2
2 2
( 1) (29) 13,121
n
α
χ − = χ =
0,01
2
2
2 2
1
1
( 1) (29) 52,336
n
α
−
−
χ − = χ =
Do
2 2
1
2 2
1 1
( n ) y ( n )
α α
χ χ
−
− < < −
nên
0
H
không b
bác b
ngh
ĩ
a là:
Ch
ư
a
ñ
c
ơ
s
'
ñ
nói r
"
ng máy móc ho
t
ñ
ng không bình th
ư
ng.
6. 27.
M
t nhà s
n xu
t bóng
ñ
èn cho r
"
ng ch
t l
ư
ng bóng
ñ
èn
ñư
c coi là
ñ
ng
ñ
u n
u tu
$
i th
c
a bóng
ñ
èn có
ñ
l
%
ch chu
(
n b
"
ng 1000 ho
c ít h
ơ
n. L
y ng
u
nhiên 10 bóng
ñ
ki
m tra, thì
ñư
c
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u là 1150, V
y, v
i m
c ý
ngh
ĩ
a 5%, có th
coi ch
t l
ư
ng bóng
ñ
èn do công ty
ñ
ó s
n xu
t là
ñ
ng
ñ
u
không? Bi
t r
"
ng tu
$
i th
c
a bóng
ñ
èn là m
t BNN có phân ph
i chu
(
n.
Gi i
:
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t v
ph
ươ
ng sai d
ng
2 2 2 2 2
0 0 1 0
1000H : ;H :
σ σ σ σ
= = >
'
m
c
5%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
2
2
2
( 1)
~ 1
o
n S
Y n
−
= χ −
σ
Giá tr
t
ơ
i h
n:
2 2
1 0,95
( 1) (9) 16,919
gtth n
−α
= χ − = χ =
V
i m
u c
,
th
ta có
2
2
9 1150
11 9025
1000
.
y , gtth
= = <
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
111
0
H
ñư
c ch
p nh
n ngh
ĩ
a là có th
coi ch
t l
ư
ng bóng
ñ
èn do công ty
ñ
ó
s
n xu
t là
ñ
ng
ñ
u.
6. 28.
T
i m
t nông tr
ư
ng,
ñ
ñ
i
u tra kh
i l
ư
ng c
a m
t lo
i trái cây, sau m
t
ñ
t bón m
t lo
i phân m
i, ng
ư
i ta cân th
#
m
t s
trái cây
ñư
c ch
n ng
u nhiên
và
ñư
c k
t qu
sau:
Kh
i l
ư
ng (gam) S
trái cây
[45, 50)
[50, 55)
[55, 60)
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75)
[75, 80)
≥
80
2
11
25
74
187
43
16
3
Tr
ư
c kia, kh
i l
ư
ng trung bình c
a m
i trái là 65 gam. Hãy
ñ
ánh giá xem lo
i
phân bón m
i có mang l
i hi
%
u qu
không? (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
Gi i:
T
s
li
%
u
ñ
ã cho ta tính
ñư
c
361; 66,38; 5,41
n x s
= = =
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
: 65( ); :H g H
µ = µ = µ > µ
'
m
c
1%
α
=
N
u
0
H
ñ
úng thì
( )
0
~ 0,1
X
U n N
s
− µ
=
V
i
0,01
α =
ta suy ra:
1 0,99
2,33
gtth u u
−α
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
66,38 65
361 4,85
5,41
u gtth
−
= = >
V
y
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là: lo
i phân bón m
i có mang l
i hi
%
u qu
. (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 1%).
6. 29.
M
t công ty th
ươ
ng m
i, d
a vào kinh nghi
%
m quá kh
,
ñ
ã xác
ñ
nh r
"
ng
vào cu
i n
ă
m thì 80% s
hoá
ñơ
n
ñ
ã
ñư
c thanh toán
ñ
y
ñ
, 10% kh
t l
i 1
tháng, 6% kh
t l
i 2 tháng, và 4% kh
t l
i h
ơ
n 2 tháng. Vào cu
i n
ă
m nay, công ty
ki
m tra m
t m
u ng
u nhiên g
m 400 hoá
ñơ
n và th
y r
"
ng: 287 hoá
ñơ
n
ñ
ã
ñư
c
thanh toán
ñ
y
ñ
, 49 kh
t l
i 1 tháng, 30 kh
t l
i 2 tháng và 34 kh
t l
i h
ơ
n 2
tháng. Nh
ư
v
y, vi
%
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay có còn theo qui lu
t nh
ư
nh
ng
n
ă
m tr
ư
c không? (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
).
Gi i
: Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t v
phân ph
i.
0
:
H
Vi
%
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay theo qui lu
t n
ă
m tr
ư
c
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
112
1
:
H
Vi
%
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay không theo qui lu
t n
ă
m tr
ư
c.
7
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
B
ng t
n s
lý thuy
t và th
c nghi
%
m:
Thanh toán
ñ
y
ñ
(
1
x
)
Khu
t l
i 1
tháng (
2
x
)
Khu
t l
i 2
tháng (
3
x
)
Khu
t l
i
h
ơ
n 2 tháng
(
4
x
)
T
n s
quan
sát
287 49 30 34
T
n s
lý
thuy
t
320 40 24 16
Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
4
2
1
287 320 49 40 30 24 34 16
27,178
320 40 24 16
i i
i
i
o e
Q
e
=
− − − − −
= = + + + =
∑
V
i
5%
α
=
,
gtth
=
(
)
(
)
2 2
1 0,95
3 3 7,815
−α
χ = χ =
Ta th
y
(
)
2 2
1
3
Q
−α
> χ
nên:
Vi
%
c thanh toán hoá
ñơ
n n
ă
m nay không còn theo qui lu
t nh
ư
nh
ng n
ă
m
tr
ư
c. (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
6. 30.
Đ
l
p k
ho
ch s
n xu
t m
t hàng m
i, m
t công ty
ñ
ã ti
n hành
ñ
i
u tra
v
s
'
thích c
a khách hàng v
3 lo
i m
u khác nhau c
a cùng m
t lo
i hàng. K
t
qu
ñư
c trình bày
'
b
ng sau:
M
u
hàng
Ý ki
n
A B C
Thích 43 30 42
Không thích 35 53 39
Không có ý ki
n 22 17 19
Có hay không s
phân bi
%
t v
s
'
thích c
a khách hàng
ñ
i v
i 3 lo
i m
u nói
trên? K
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
Gii:
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t v
phân ph
i.
0
:
H
Không có s
phân bi
%
t v
s
'
thích
1
:
H
Có s
phân bi
%
t v
s
'
thích
ñ
i v
i 3 m
t hàng (m
c ý ngh
ĩ
a 5%).
B
ng
ñ
i chi
u t
n s
: Trong ngo
c là t
n s
lý thuy
t:
M
u A B C
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
113
hàng
Ý ki
n
Thích 43
(38,33)
30
(38,33)
42
(38,33)
Không thích 35
(42,33)
53
(42,33)
39
(42,33)
Không có ý ki
n 22
(19,33)
17
(19,33)
19
(19,33)
( )
2
9
2
1
7,606
i i
i
i
o e
Q
e
=
−
= =
∑
(
)
(
)
2 2
1 0,95
4 4 9, 488
−α
χ = χ =
Ta th
y
(
)
2 2
1
8
Q
−α
< χ
nên
0
H
ñư
c ch
p nh
n ngh
ĩ
a là:
Không có s
phân bi
%
t v
s
'
thích
ñ
i v
i 3 m
t hàng.
6. 31. Đ
i
u tra m
t s
s
n ph
(
m c
a m
t xí nghi
%
p v
chi
u dài (X (cm)) và hàm
l
ư
ng ch
t A (Y (%)), ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
Y
X
8 10 12 14 16
100 5 5
110 4 6 7
120 5 9 8
130 4 6 9
140 5 7
Các s
n ph
(
m có chi
u dài không quá 110cm và hàm l
ư
ng ch
t A không
h
ơ
n 12%
ñư
c g
i là s
n ph
(
m lo
i II. N
u xí nghi
%
p báo cáo r
"
ng s
n ph
(
m lo
i
II có ch
tiêu Y trung bình là 10% thì có th
ch
p nh
n
ñư
c không? K
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5% (gi
thi
t hàm l
ư
ng này có phân ph
i chu
(
n)
Gi i:
B
ng s
li
%
u cho ch
tiêu
Y
c
a nh
ng s
n ph
(
m lo
i A.
j
y
8 10 12
j
n
9 11 7
Giá tr
trung bình m
u:
9,85
y
=
và
giá tr
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u:
1,56
Y
s =
, c
5
m
u
27
n
=
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
114
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
(
)
0 0 1 0
: 10 % ; :
Y Y
H H
µ µ µ µ
= = ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
Y
Y
T n t n
S
µ
−
= −
V
i m
c ý ngh
ĩ
a
5%
α
=
ta tính
ñư
c
(
)
26
0,05
1
2
2,0555
gtth t
−
= =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
9,85 10
27 0,5
1,56
t
−
= = −
Ta có
t gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
.
V
y, ch
p nh
n báo cáo c
a xí nghi
%
p (
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%).
6. 32.
G
o
ñ
tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u là g
o có t
l
%
h
t nguyên, h
t v
5
và t
m, theo
th
t
, là: 90%, 6% và 4%.
Ki
m tra 1000 h
t g
o c
a m
t lô g
o, ng
ư
i ta th
y trong
ñ
ó có:
H
t nguyên: 880; h
t v
5
: 60 và t
m: 60
H
i lô g
o có
ñ
tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u không? Cho k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
5%.
Gii:
Đ
k
t lu
n v
tiêu chu
(
n c
a lô g
o ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0
:
H
Lô g
o
ñ
tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u.
1
:
H
Lô g
o không
ñ
tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u (
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%).
N
u
0
H
ñ
úng thì trong 1000 h
t g
o có 900 h
t nguyên, 60 h
t v
5
và 40 h
t
t
m.
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
880 900 60 60 60 40
10,44
900 60 40
Q
− − −
= + + =
V
i
5%,
α
=
(
)
3
1 0,05

gtth
χ
−
= =
Vì
2
Q gtth
>
nên
0
H
b
bác b
.
V
y, lô g
o không
ñ
tiêu chu
(
n xu
t kh
(
u (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%).
6. 33.
Giám
ñ
c tr
i gà Alpha xem l
i h
s
ơ
c
a m
t
ñ
t kh
o sát v
kh
i l
ư
ng
c
a gà xu
t chu
ng
'
tr
i gà thì th
y s
li
%
u
ñư
c ghi nh
ư
sau:
Kh
i l
ư
ng (kg) S
con gà
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
115
[2,3; 2,7)
[2,7; 2,9)
[2,9; 3,1)
[3,1; 3,3)
[3,3; 3,5)
[3,5; 3,7)
[3,7; 3,9)
5
30
41
25
10
5
5
Ban giám
ñ
c tr
i gà Alpha báo cáo r
"
ng kh
i l
ư
ng trung bình c
a gà trên 3 kg.
Hãy cho nh
n xét v
báo cáo trên
'
m
c ý ngh
ĩ
a 2%.
Gii:
T
s
li
%
u ta tính
ñư
c:
121; 3,06; 0, 2826
n x s
= = =
.
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0 0 1 0
: 3; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = >
'
m
c
2%
α
=
.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 0,1
X
X
U n N
s
µ
−
=
V
i
2%
α
=
,
1 0,95
1,6449
gtth u u
α
−
= = =
V
i m
u c
,
th
:
0
3, 06 3
121 2,3354
0,2826
X
x
u n
s
µ
−
−
= = =
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
ngh
ĩ
a là báo cáo c
a Ban giám
ñ
c là
ñ
úng (
'
m
c ý
ngh
ĩ
a 5%).
6. 34. Đ
so sánh th
i gian c
t trung bình c
a m
t máy ti
%
n lo
i c
ũ
v
i m
t máy
ti
%
n lo
i m
i, ng
ư
i ta cho m
i máy c
t th
#
10 l
n và
ñ
o th
i gian c
t (tính b
"
ng
giây) . K
t qu
thu
ñư
c nh
ư
sau:
Máy lo
i c
ũ
: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy lo
i m
i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Bi
t r
"
ng th
i gian c
t c
a máy lo
i c
ũ
và c
a máy lo
i m
i là các bi
n
ng
u nhiên tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n có
ñ
l
%
ch chu
(
n, theo th
t
, là 13,5
giây và 14,5 giây.
V
i m
c ý ngh
ĩ
a 5%, có th
cho r
"
ng máy lo
i m
i t
t h
ơ
n (có th
i gian c
t
trung bình ít h
ơ
n) máy lo
i c
ũ
hay không?
Gi i:
G
i
,
X Y
theo th
t
là BNN ch
th
i gian c
t c
a máy ti
%
n c
ũ
và máy ti
%
n
m
i.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t
p Xác su
t th
ng kê Di
p Hoàng Ân
116
Ta ki
m
ñ
nh gi
thi
t sau:
0 1
: ; ;
X Y X Y
H H
µ µ µ µ
= >
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
N
u
0
H
ñ
úng thù BNN
( )
2 2
~ 0,1
X Y
X Y
U N
n m
σ σ
−
=
+
V
i
5%
α
=
,
1 ,05 0,95
1,6449
gtth u u
−0
= = =
V
i m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
57; 13,6; 52; 14, 46
X Y
x s y s= = = =
Do
ñ
ó
57 52
2,988
13,5 14,5
10 10
u
−
= =
+
Vì
u gtth
>
nên
0
H
b
bác b
.
V
y, có th
cho r
"
ng máy lo
i m
i t
t h
ơ
n (có th
i gian c
t trung bình ít h
ơ
n)
máy lo
i c
ũ
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
117
CHƯƠNG 7:
TƯƠNG QUAN VÀ H I QUY
7.1.
Xem vect
ơ
ng
u nhiên (X,Y) tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n hai chi
u mà
m
t m
u ng
u nhiên g
m 8 c
p
ñư
c ch
n ra nh
ư
sau:
x
i
1 2 3 4 5 6 7 8
y
i
5 7 11 17 21 25 29 32
a)
Hãy tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y và cho nh
n xét.
b)
Hãy ki
m
ñ
nh gi
thi
t v
s
t
ươ
ng quan gi
a X à Y
'
m
c
5%
α
=
.
c)
Hãy l
p hàm h
i quy tuy
n tính m
u và d
ñ
oán n
u
X
l
y giá tr
b
"
ng
20 thì
Y
nh
n giá tr
bao nhiêu?
Gii:
a)
.
r 0,996
( 1)s .s
−
= =
−
∑
i i
X Y
x y n x y
n
.
X
và
Y
có quan h
%
g
n nh
ư
tuy
n tính.
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
: 0; : 0
ρ ρ
= ≠
'
m
c
5%
α
=
N
u
0
ñ
úng thì
( )
2
2
1
T ~ 2
−
−
= −
n
R
R t n
(
8
=
và
1
( ).( )
( 1)
!
=
− −
−
∑
=
là h
%
s
t
ươ
ng quan m
u)
V
i
5%
α
=
, gtth
(
)
6
1 / 2
2,4469
"
α
−
= =
.
V
i m
u c
,
th
, ta có
0,996
#
=
và
2 2
2 6
0,996 27,3
1 1 0,996
" #
#
−
= = =
− −
Vì
" $""%
>
nên
0
b
bác b
ngh
ĩ
a là
,
th
t s
t
ươ
ng quan.
c)
Ph
ươ
ng trình h
i quy tuy
n tính m
u:
0.107 4,107
y x
= − +
. T
ñ
ó, n
u
20
X
=
thì
82,036
Y
=
.
7.2.
M
t c
ơ
s
'
s
n xu
t
ñ
ã ghi l
i s
ti
n
ñ
ã chi cho vi
%
c nghiên c
u phát tri
n
và l
i nhu
n hàng n
ă
m c
a c
ơ
s
'
trong 6 n
ă
m v
a qua nh
ư
sau: (
ñơ
n v
10
6
VN
Đ
)
Chi nghiên c
u 5 11 4 5 3 2
L
i nhu
n
31 40 30 34 25 20
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
118
a)
Hãy tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u gi
a chi nghiên c
u và l
i
nhu
n.
b)
Chi nghiên c
u và l
i nhu
n có th
c s
t
ươ
ng quan không? (k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 2%).
c)
Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng h
i qui tuy
n tính m
u c
a l
i nhu
n theo
chi phí nghiên c
u.
Gii:
a)
0,909
r
=
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
: 0; : 0
H H
ρ = ρ ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
1%
α =
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
2
2
1
T ~ 2
n
R
R t n
−
−
= −
(
)
(
)
1 / 2 0,99
2 4 3,7469
gtth t t t
−α
= − = =
V
i m
u c
,
th
ta có
2
4
0,909 4,361
1 0,909
t = =
−
Vì
t gthh
>
nên
0
H
b
bác b
. Ngh
ĩ
a là
X
và
Y
th
c s
t
ươ
ng quan.
(k
t lu
n
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 2%).
c)
Ph
ươ
ng trình
ñư
ng h
i quy tuy
n tính m
u:
2 20
y x
= +
7.3.
Đ
o chi
u cao Y (cm) và chi
u dài chi d
ư
i X (cm) c
a m
t nhóm thanh
niên, ng
ư
i ta thu
ñư
c s
li
%
u sau:
y
i
160 161,5
163 165 167 168 171 172
x
i
78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y.
(b).
7
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, hãy cho nh
n xét v
tài li
%
u cho r
"
ng h
%
s
t
ươ
ng quan c
a X và Y là 0,9.
(c). Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng h
i quy m
u c
a Y theo X.
Đ
áp s
:
(a)
r = 0,996
(b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t H :
0
ρ
= 0,9
ñ
i v
i H
1
:
ρ
≠
0,9.
Tr
c nghi
%
m U 2
ñ
uôi
ñư
c s
#
d
,
ng, v
i
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
119
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
i m
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
v
i m
u c
,
th
, chúng ta có :
(
)
1 0,996
1
2 1 0,996
ln 3,106
z
+
−
= = ,
(
)
1 0,9
0,9
1 1
2 1 0,9 2(8 1)
5
ln 1,5365;
Z Z
+
− −
µ = + = σ =
,
và
3,509
Z
Z
z
u
− µ
σ
= =
Vì
gtth
u
>
nên
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
thi
t H b
0
bác b
, ngh
ĩ
a là
tài li
%
u không
ñư
c ch
p nh
n (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
(c)
y = 1,768x + 21,857.
7.4.
M
t gi
ng viên d
y môn th
ng kê yêu c
u m
i sinh viên ph
i làm m
t
ñ
án phân tích d
li
%
u và d
k
ỳ
thi h
t môn. Sau
ñ
ó, m
t m
u g
m 10 sinh viên
ñư
c ch
n ng
u nhiên,
ñ
i
m s
ñư
c ghi l
i nh
ư
sau:
Đ
i
m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84
Đ
i
m
ñ
án
76 71 69 76 87 62 80 75
92 79
(a) Tìm kho
ng tin c
y 95% cho
ñ
i
m thi trung bình c
a m
t sinh viên (gi
thi
t
ñ
i
m thi c
a sinh viên tuân theo lu
t phân ph
i chu
(
n).
(b)
7
m
c ý ngh
ĩ
a 5%, hãy
ñ
ánh giá v
s
t
ươ
ng quan tuy
n tính gi
a hai
lo
i
ñ
i
m trên.
Gi i
:
(a) G
i là X
ñ
i
m thi c
a sinh viên. Ta có:
78,6
x
=
9,57
s
=
.
Kho
ng tin c
y 95% cho
ñ
i
m thi trung bình c
a m
t sinh viên:
(
)
;
x e x e
− +
( )
9
1
2
5,97
. 2,2622. 4,27
10 10
s
e t
+γ
= = =
Kho
ng tin c
y c
n tìm
(
)
74,33; 82,87
.
(b) G
i Y là
ñ
i
m
ñ
án c
a sinh viên.
Đ
t
,
ρ ρ
=
.
Chúng ta ph
i có quy
t
ñ
nh gi
a hai gi
thi
t:
H
0
:
ρ
= 0 và H
1
:
ρ
≠
0,
N
u H
0
ñ
úng thì BNN
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
120
2
10 2
1
T
R
R
−
−
=
~ t(8)
V
i m
c
α
= 5% , giá tr
t
i h
n là:
(8)
0,975
2,3060
t =
;
v
i m
u c
,
th
, chúng ta có h
%
s
t
ươ
ng quan m
u:
0,776
r
=
. Do
ñ
ó:
2
0,776. 8
3, 48
1 (0,776)
t = =
−
Vì
|
t
|
>2,306 nên gi
thi
t H b
0
bác b
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%. Nói cách
khác, chúng ta ch
p nh
n r
"
ng X và Y t
ươ
ng quan
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
7.5. Đ
th
c hi
%
n m
t công trình nghiên c
u v
m
i quan h
%
gi
a chi
u
cao Y(m) và
ñư
ng kính X(cm) c
a m
t lo
i cây, ng
ư
i ta quan sát trên m
t m
u
ng
u nhiên và có k
t qu
sau:
x
i
28 28 24 30 60 30 32 42
43 49
y
i
5 6 5 6 10 5 7 8
9 10
(a). Hãy tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y và cho nh
n xét.
(b) Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng th
6
ng h
i quy m
u c
a Y theo X. Hãy d
báo
chi
u cao c
a cây có
ñư
ng kính 45 cm.
Gi i
:
(a) r = 0,939.
Vì r r
t g
n 1 nên gi
a X và Y có h
i qui tuy
n tính.
(b) = 0,166 + 1,041. y x
D
báo chi
u cao c
a cây có
ñư
ng kính 45 cm là:
y = 0,166
×
45 + 1,041 = 8,5 m
7.6.
X (%) và Y(kg/mm ) là hai ch
2
tiêu ch
t l
ư
ng c
a m
t lo
i s
n
ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m, b
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
n s
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Hãy tính các giá tr
trung bình m
u c
a X, Y; ph
ươ
ng sai m
u c
a X, Y
và h
%
s
t
ươ
ng quan m
u gi
a X và Y.
b)
Vi
t ph
ươ
ng trình h
i quy m
u c
a Y theo X. T
ñ
ó d
ñ
oán xem n
u ch
tiêu X là 9 thì ch
tiêu Y là bao nhiêu?
Gi i
:
a)
Ta có trung bình m
u:
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
121
5,93; 15,17;
x y
= =
Ph
ươ
ng sai m
u:
2 2
3,44; 28,42
X Y
σ σ
= =
H
%
s
t
ươ
ng quan m
u:
0,66
r
=
b)
Ph
ươ
ng trình h
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
N
u X có giá tr
là 9 thì Y s
+
nh
n giá tr
là 21.
7.7.
X (%) và Y(kg/mm ) là hai ch
2
tiêu ch
t l
ư
ng c
a m
t lo
i s
n
ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m, b
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
n s
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u gi
X và Y. Vi
t Vi
t ph
ươ
ng trình h
i
quy m
u c
a Y theo X.
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t xem X và Y có t
ươ
ng quan không
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%?
Gi i
:
a)
Giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u:
0,66
r
=
.
Ph
ươ
ng trình h
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
.
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 1
: 0; : 0
H H
ρ ρ
= ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
2
2
1
T ~ ( 2)
n
R
R t n
−
−
= −
V
i m
c ý ngh
ĩ
a 5%,
(
)
28
0,975
2,0484
gtth t= =
V
i m
u c
,
th
ta có
2
2
4,69
1
n
t r
r
−
= =
−
Vì
>
t gtth
nên
0
H
b
bác b
, ngh
ĩ
a là X và Y t
ươ
ng quan
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
7.8.
X (%) và Y(kg/mm ) là hai ch
2
tiêu ch
t l
ư
ng c
a m
t lo
i s
n
ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m, b
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
n s
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Tìm kho
ng tin c
y 95% cho ch
tiêu Y (gi
thi
t ch
tiêu Y tuân theo lu
t
phân ph
i chu
(
n).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
122
b)
Vi
t ph
ươ
ng trình h
i quy m
u c
a Y theo X. T
ñ
ó d
ñ
oán xem n
u ch
tiêu X là 9 thì ch
tiêu Y là bao nhiêu?
Gi i
:
a) Trung bình m
u ch
tiêu Y là:
15,17; 5,33
= =
Y
y s
Kho
ng tin c
y 95% cho trung bình ch
tiêu Y là:
(
)
;
y e y e
− +
V
i
( )
29
0,975
5,33
. 2,0452. 1,99 2
30 30
Y
s
e t
= = = ≈
V
y kho
ng tin c
y c
n tìm là:
(
)
13,18;17,16
b) Ph
ươ
ng trình h
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
N
u X có giá tr
là 9 thì Y s
+
nh
n giá tr
là 21.
7.9.
X (%) và Y(kg/mm ) là hai ch
2
tiêu ch
t l
ư
ng c
a m
t lo
i s
n
ph
(
m.
Đ
i
u tra
'
m
t s
s
n ph
(
m, b
ng sau:
X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8
Y 5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25
T
n s
2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a)
Có tài li
%
u cho r
"
ng trung bình ch
tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh
n xét v
tài
li
%
u trên
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%. Gi
thi
t các ch
tiêu X, Y tuân theo lu
t phân
ph
i chu
(
n.
b)
Tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y. Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng
th
6
ng h
i quy m
u c
a Y theo X.
Gi i
:
a) Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
: 6,5; :
X X
H H
µ µ µ µ
= = ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
N
u
0
H
ñ
úng thì BNN
( )
0
~ 1
X
T n t n
S
µ
−
= −
V
i
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%,
(
)
29
0,975
2,0452
gtth t= =
Vói m
u c
,
th
ta tính
ñư
c:
5,93 6,5
30 0,908
3,44
t
−
= =
Vì
t gtth
<
nên
0
H
không b
bác b
ngh
ĩ
a là ta ch
p nh
n tài liêu trên
'
m
c ý ngh
ĩ
a 5%.
b) Giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u:
0,66
r
=
.
Ph
ươ
ng trình h
i quy Y theo X:
3,86 1.91
y x
= +
.
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
123
7.10.
Nghiên c
u l
ư
ng phân bón (X kg)
ñư
c dùng
ñ
bón cho ru
ng trong
m
t v
,
; Y(kg/1000m2) là n
ă
ng su
t lúa. Th
ng kê
'
30 h
gia
ñ
ình, k
t qu
nh
ư
sau:
S
h
3 5 2 6 4 3 5 2
x
i
40 40 50 50 50 60 60 60
y
i
270 280 280 290 300 300 310 320
a)
Tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y. Vi
t ph
ươ
ng trình h
i quy
m
u Y theo X.
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t cho r
"
ng h
%
s
t
ươ
ng quan c
a X và Y b
"
ng 0,9
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
Gi i
:
a)
Giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u:
0,891
r
=
.
Ph
ươ
ng trình
ñư
ng h
i quy m
u:
210,15 1,64
Y X
= +
.
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0 0 1 0
: 0,9; :H H
ρ ρ ρ ρ
= = ≠
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
Tr
c nghi
%
m U 2
ñ
uôi
ñư
c s
#
d
,
ng, v
i
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
i m
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
V
i m
u c
,
th
, ta có
1
2
1 0,891
ln 1,427
1 0,891
+
= = =
−
z z
(
)
1 0,9
0,9
1 1
2 1 0,9 2(30 1)
27
ln 1,488;
Z Z
+
− −
µ = + = σ =
0,317
− µ
σ
= =
Z
Z
z
u
Vì
| |
u gtth
<
nên
0
H
ñư
c ch
p nh
n ngh
ĩ
a là gi
thi
t h
%
s
t
ươ
ng quan c
a X và
Y b
"
ng 0,9 là
ñ
úng
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%.
7.11. Đ
nghiên c
u s
t
ươ
ng quan gi
a chi
u cao X (cm) và s
c n
ngY
(kg) con ng
ư
i, quan sát trên m
t m
u ng
u nhiên, ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
y
k
x
i
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
65)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
124
[140, 145)
[145, 150)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)
1 4
2 6 1
10 8 2
8 6 3
1 1
(a) Hãy l
p b
ng phân b
t
n s
, t
n su
t cho các giá tr
c
a X, Y.
(b) Tính các giá tr
trung bình m
u,
ñ
l
%
ch chu
(
n m
u và h
%
s
t
ươ
ng quan
m
u c
a X và Y. Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng th
6
ng h
i quy tuy
n tính m
u c
a Y
theo X.
Gi i
:
a) B
ng t
n s
, t
n su
t c
a X và Y:
Bi
n X Bi
n Y
L
p T
n s
T
n su
t L
p T
n s
T
n su
t
[140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019
[145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113
[150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453
[155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302
[160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b)
152,69; 54,23; 5,14; 4,41
= = = =
0,6544
#
=
Ph
ươ
ng trình h
i quy:
31,59 0,56
= − +
7.12. Đ
nghiên c
u s
t
ươ
ng quan gi
a chi
u cao X (cm) và s
c n
ngY
(kg) con ng
ư
i, quan sát trên m
t m
u ng
u nhiên, ng
ư
i ta có k
t qu
sau:
y
k
x
i
[40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60,
65)
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Bài t p Xác su t th ng kê Dip Hoàng Ân
125
[140, 145)
[145, 150)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)
1 4
2 6 1
10 8 2
8 6 3
1 1
a) Tính giá tr
h
%
s
t
ươ
ng quan m
u c
a X và Y. Vi
t ph
ươ
ng trình
ñư
ng th
6
ng
h
i quy tuy
n tính m
u c
a Y theo X.
b) Có tài li
%
u cho bi
t h
%
s
t
ươ
ng quan gi
a X và Y là 0,65. Hãy cho nh
n xét v
tài li
%
u
ñ
ó,
'
m
c
α
= 5%.
Gi i
:
a)
0,6544
#
=
Ph
ươ
ng trình h
i quy:
31,59 0,56
= − +
b)
Ki
m
ñ
nh gi
thi
t
0
:
ρ
= 0,65
ñ
i v
i H
1
:
ρ
≠
0,65
'
m
c
α
=
5%.
Tr
c nghi
%
m U 2
ñ
uôi
ñư
c s
#
d
,
ng, v
i
~ (0,1)
Z
Z
Z
U N
− µ
=
σ
.
V
i m
c
α
= 5% ,
0,975
gtth 1,96
u= =
;
v
i m
u c
,
th
, chúng ta có :
(
)
1 0,6544
1
2 1 0,6544
ln 0,783
+
−
= =z
,
(
)
1 0,65
0,65
1 1
2 1 0,65 2(53 1)
50
ln 0,7816;
+
− −
µ = + = σ =
Z Z
,
và
0,01
− µ
σ
= =
Z
Z
z
u
Vì
gtth
<
u
nên
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%, gi
thi
t
0
ñư
c ch
p nh
n, ngh
ĩ
a là
tài li
%
u
ñư
c ch
p nh
n (
'
m
c ý ngh
ĩ
a
α
= 5%).
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Tài liệu khác của Học viện Ngân hàng

Preview text:

Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân BÀI TP
XÁC SUT THNG KÊ 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 1: XÁC SUT 1.1.
Mt hp có 100 tm th như nhau ñưc ghi các s t 1 ñn 100, Rút ngu
nhiên hai th ri ñt theo th t t trái qua phi. Tính xác sut ñn
a/ Rút ñưc hai th lp nên mt s có hai ch s.
b/ Rút ñưc hai th lp nên mt s chia ht cho 5. Gii
a/ A :“Hai th rút ñưc lp nên mt s có hai ch s” 2 A 9.8 P ( A) 9 = = ≈ 0,0073 2 A 100.99 100
b/ B : “Hai th rút ñưc lp nên mt s chia ht cho 5”
S chia ht cho 5 tn cùng phi là 0 hoc 5. Đ có bin c B thích hp vi ta rút
th th hai mt cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn li ñt vào v trí ñâu. Do ñó s trưng hp thun li cho là 99.20 99.20 P (B) = = 0, 20 2 A100 1.2.
Mt hp có cha 7 qu cu trng và 3 qu cu ñen cùng kích thưc. Rút
ngu nhiên cùng mt lúc 4 qu cu. Tính xác sut ñ trong 4 qu cu rút ñưc có a/ Hai qu cu ñen. b/ Ít nht 2 cu ñen c/ Toàn cu trng Gii
Rút ngu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu cu nên s trưng hp ñng kh năng là 4 C 10
a/ A :”trong 4 qu cu rút có 2 qu cu ñen” 2 2 C .C P ( A) 3 7 = = 0,30 4 C10
b/ B :”trong 4 qu cu ñưc rút có ít nht 2 qu cu ñen” 2 2 3 1
C .C +C .C 1 P (B) 3 7 3 7 = = 4 C 3 10
c/ C:”trong 4 qu cu ñưc chn có toàn cu trng” 2 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 4 C 1 P (C ) 7 = = 4 C 6 10 1.3.
Mt hp thuc có 5 ng thuc tt và 3 ng kém cht lưng. Chn ngu
nhiên ln lưt không tr li 2 ng. Tính xác sut ñ:
a/ C hai ng ñưc chn ñu tt.
b/ Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt.
c/ trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt. Gii
Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 trong 8 ng nên các trưng hp ñng kh năng là 2 A . 8 2 A
a/ A :” C hai ng ñưc chn ñu tt” P( ) 5 A = ≈ 0,357 2 A8 1 1 C C b/ .
B :” Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt” P (B) 3 5 = ≈ 0,268 2 A8 2 A
c/ C:” trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt” P(C) 3 = 1− ≈ 0,893 2 A8 1.4.
Mt hp ñng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu mi. Ln ñu ngưi ta ly
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ñó li tr vào hp. Ln th hai ly ngu nhiên 3
qu. Tính xác sut ñ c 3 qu ly ra ln sau ñu mi. Gii
Đt A :” c 3 qu ly ra ln sau ñu mi”
B :” Trong 3 qu ly ra ñ thi ñu có i qu mi” i ∈{0;1;2; } 3 i
Ta thy các {B ; B ; B ; B lp thành nhóm ñy ñ các bin c, theo công thc xác 0 1 2 3} sut toàn phn ( ) =     
   +     
  +  
   +     
           = ( + + + )      ≈    1.5.
T mt lp có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngưi ta chn ngu nhiên
5 sinh viên ñ lp Ban cán b lp (BCB). Tính xác sut ñ 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ BCB gm 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nht mt n,
c/ BCB có ít nht hai nam và hai n. Gii
Đt A : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ 0,1,2,3,4,5 ), k { } chúng ta có: k 5 k C . C − 12 8 P (A ) k = 5 2 C 0
a/ BCB gm 3 n và 2 nam. Xác sut phi tính: 2 3 C12. C 8 77 P( 2 A ) = = 5 323 C20
b/ Đt N: “BCB có ít nht mt n”, thì N = 5 A . Do ñó,
P(N ) = P( 5 A ) = 1 − P( 5 A ) 5 0 C 12. C 8 33 613 = − = 1 − = 5 646 646 C20
c/ Đt H: “BCB có ít nht hai nam và hai n”. Do ñó,
P (H ) = P( A + P A 2) ( 3)      =     + =     1.6.
T mt hp cha 8 viên bi ñ và 5 viên bi trng ngưi ta ly ngu nhiên 2
ln, m i ln 1 viên bi, không hoàn li. Tính xác sut ñ ly ñưc a/ 2 viên bi ñ; b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi trng. Gii Vi i ∈{1, } 2 , ñăt:
T : “viên bi ly ra ln th i là bi trng”, i
D : “viên bi ly ra ln th i là bi ñ”. i
a/ Đt A :“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
P (A) = P ( 8 7 14 1 D D2 )= P ( 1
D ).P (D2 / 1 D )= . = 13 12 39
b/ Đt B : “ly ñưc hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân P (B ) =P (T D + D T = P T D + P D T 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P D / T + P D .P T / D 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) Suy ra: 5 8 8 5 20
P(B) = 1312 + 1312 = 39
c/ T = TT + D T , nên xác sut phi tính là: 2 1 2 1 2
P (T = P TT + P D T 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) = P (T P T T + P D P D T 1 ). ( 2 / 1 ) ( 1 ). ( 2 / 1 ) suy ra P (T2) 5 4 8 5 5 = 13 12 + 13 12 = 13 1.7.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a) có duy nht mt nam;
b) có ít nht mt n. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈    1 3 Gi . 5
: “có duy nht 1 nam” () = () 5 3 = = 1 4 70 8
a) Gi : “có ít nht 1 n” 4 13 () 5
= 1− () = 1 4 − = 4 14 8 1.8.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n, bit r"ng có ít nht mt n ñã ñưc tuyn. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈   
a/ Gi : “có không quá 2 nam” 1 3 2 2
.+. 1 () 5 3 5 3
= () + () 1 2 = = 4 2 8
b/ Gi : “chn ra 3 n, bit r"ng có ít nht 1 n ñưc tuyn”.
Gi B : “Có ít nht mt n ñưc chn”. 5 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 4 Ta có 13 () 5 =1 − (   ) =1 − = 4 4 14 8 () 1 () 1
= (| ) = = 1 ( ) 13 1.9.
Mt c#a hàng sách ưc lưng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñn c#a
hàng, có 30% khách cn hi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thc hi%n c hai ñiu trên. Gp ngu nhiên mt khách trong nhà sách. Tính
xác sut ñ ngưi này
a/ không thc hi%n c hai ñiu trên;
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. Gii
Đt : “khách hàng cn tư vn”
: “khách hàng cn mua sách”
Theo ñ ta có: () = 0,3;() = 0,2;( )= 0,15
a/ Xác sut khách hàng không cn mua sách cũng không cn tư vn là:
( ) = ( )
+ ( )− ( ) 3 2  15  13 . = 1− + 1− − 1−  = 10 10  100  20
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. 3 15 () − ( )
() −( ) 1 10 100 / = = = = ( ) ( ) 3 2 10 1.10.
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Không dùng , cũng không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207;() = 0,5;(| ) = 0,365
a) Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () .(/ ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b) Xác sut ngưi dân ñó không dùng c và là ( .
) = (). + () − ( )= 0,4755 1.11. 6 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Dùng , bit r"ng ngưi y không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207;()= 0,5;(/) = 0,365
a/ Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () .(/ ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b/ Xác sut ngưi dân ñó dùng , bit r"ng không dùng là
(.) () −( ) ( ) 0,5 −0,1852 / = = = = 0,404 () ( ) 1 −0,207 1.12.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhp trên 20 tri%u. Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52;() = 0,6;(/ ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( B ).P ( A/ B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính nhưng thu nhp ít hơn 20 tri%u là:
() = ( )
− ( ) = 0,52 − 0,45 = 0, 07 1.13.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ Có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u, bit r"ng h ñó không có máy vi tính. 7 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52;() = 0,6;(/ ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( )
B .P( A / B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là: () ( )
() −( ) 0,6 −0, 45 / = = = = 0,3125 ( ) () 1 0 − ,52 1.14.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau:
a/ Đi tuyn thng hai trn;
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ ,  }
Theo ñ bài ta có:() = 0,8;(/ ) = 0,6;(/   )= 0,3
a/ Xác sut ñi tuyn thng 2 trn là (      ) = ( ) . ( /
) = 0, 8.0, 6 = 0, 48
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn nghĩa là có ít nht mt trong hai vn ñng viên
A, hoc B thng. Xác sut cn tính là: P (M ∪M = P M + P M − P M M A B ) ( B ) ( A) ( . A B ) = 0,54 + 0,8 − 0,48 = 0,86 1.15.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau: a/ B thng trn;
b/ Đi tuyn ch thng có mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ ,  }
Theo ñ bài ta có:() = 0,8;(/ ) = 0,6;(/   )= 0,3
a/ Xác sut B thng trn là: P( M ) = (
P M ) P( M | M .) + P(M ).P (M | M ) = 0,54 B A B A A B A 8 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đt : “ñi tuyn ch thng 1 trn”
Xác sut ñi tuyn ch thng 1 trn là:
P (D) = P (M .M B + P M M = P M − P M M + P M − P M M A
) ( A. B ) ( A) ( .A B) ( B) ( .A B ) = P (M + P M − P M M A) ( B) 2. (
.A B)= 0,8 + 0,54 − 2.0,48 = 0,38 ` 1.16.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi. Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th ba. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8;  | = 0,7;  |  = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(   =   .  | .  |  = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng th III là (  3
) = ( ).(/ ).( 3 / 1 2 1 2 1 1 2 )
= (.  | . 1−   |  = 0,8.0, 7.0,55 = 0,308 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 1 2 )) 1.17.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th hai, bit r"ng thí sinh này b loi. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8;  | = 0,7;  |  = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
(   =   .  | .  |  = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Đt K: “Thí sinh ñó b loi”
( ) = ( 1
) + (2
) + ( 3
) =1− () + ( ) − (  ) + ( 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ) 9 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
=1 − ().(/ ) + (  3 =1 −0,8.0,7 +0,308 =0,748 1 2 1 1 2 )
Vy, xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng II, bit r"ng thí si nh ñó b loi là:
( 2.) (.2 ) ( ) .(2 | 1 1 1 ) ( 0,8 1− 0,7 2 | ) ( ) = = = = = 0,3209 ( ) () ( ) 0,748 1.18.
Mt lô hàng có 9 sn ph(m ging nhau. M i ln kim tra, ngưi ta chn
ngu nhiên 3 sn ph(m; kim tra xong tr sn ph(m li lô hàng. Tính xác sut ñ
sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra. Gii
Chia 9 sn ph(m thành 3 nhóm. Gi : “Kim tra nhóm ” { ∈ 1, 2, } 3
Đt :”Sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra”   ( )
    =              =   =              1.19.
Mt lp hc ca Trưng Đi hc AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chim t l% 40% trong n sinh viên, và
chim t l% 60% trong nam sinh viên.
a) Chn ngu nhiên mt sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ chn ñưc mt
sinh viên quê ' An Giang. Nu bit r"ng sinh viên va chn quê ' An
Giang thì xác sut ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu?
b) Chn ngu nhiên không hoàn li hai sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ
có ít nht mt sinh viên quê ' An Giang, bit r"ng lp hc có 60 sinh viên. Gii a) Đt : 2
: “Chn ñưc sinh viên nam” ()= 3 1
: “Chn ñưc sinh viên n” () = 3
: “Chn ñưc sinh viên quê ' An Giang” 8
() = ( ) + ( ) = ( )  (| ) + ( )
 (| ) = 15 Do ñó, (  ) ( ) (   | ) 3
(|) = = = () () 4
b) Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24
S sinh viên N quê ' An Giang: 8
Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên
: “ít nht mt sinh viên quê ' An Giang” 2 232 28
() = 1− () = 1− = 2 295 60 1.20. 10 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Có ba hp A, B và C ñng các l thuc. Hp A có 10 l tt và 5 l hng,
hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng
a/ Ly ngu nhiên t m i hp ra mt l thuc, tính xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi.
b/ Ly ngu nhiên mt hp ri t hp ñó ly ra 3 l thuc thì ñưc 1 l tt
và 2 l hng. Tính xác sut ñ hp A ñã ñưc chn. Gii
a/ và :“l ly ra t hp th là tt” ∈ {}
Nên, xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi    +  
  =     
  +                           =   +   =       
b/ Đt :“Ly ñưc hp th ” ∈ { 
 } ; :“Ly ñưc 2 l hng và 1 l tt”
 = ()   +     +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                    = + + =          
Khi ñó xác sut ñ hp A ñưc chn (      ) ( ) ( ) 
 = = = =  () ()  1.21.
Có hai hp B và C ñng các l thuc. Hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C
có 5 l tt và 5 l hng. Ly ngu nhiên hai l thuc t hp B b vào hp C, ri
tip theo ly ngu nhiên mt l thuc t hp C thì ñưc l hng. Tính xác sut ñ
a/ L hng ñó là ca hp B b sang;
b/ Hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng. Gii
Gi : “Hai l thuc ly t hp B b vào hp C có l hng” ∈ {}
và ñt : “l thuc ly t hp C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b hng” 
 = () () + () () + () (=       ) 
a/ l hng ñó là ca hp B b sang    ()  +   (  )  ()  (  )
  = =      ()               = + =
          11 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng       
( )( )           = = = =     ()
        1.22.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ ñi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
 =  − (
 )= −        =  
b/ Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
 = (
 )+ (
 ) + (  ) =  1.23.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ Đi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
 =  − (
 )= −        =  
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn
Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
 = (
 )+ (
 ) + (  ) =  12 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
(  )      = = = ≈            1.24.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Gp ngu nhiên mt sinh viên ca trưng XYZ.
a/ Tính xác sut ñ anh ta trưt c hai môn Toán và Tâm lý; ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
b/ Nu bit r"ng sinh viên này trưt môn Tâm lý thì xác sut ñ anh ta ñu môn Toán là bao nhiêu? Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” ()= 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó (|) = 0,5
a/ Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý  
  = () () =    = 
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý ( )
=  −  
 ∪  =  − () − ( )
+ ( ) = 
b/ Xác sut sinh viên ñu môn Toán, bit r"ng trưt môn Tâm Lý: ()
() −() 
() = = = . ( ) ()  1.25.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Chn ngu nhiên 12 sinh viên ca
trưng XYZ. Nhiu kh năng nht là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác sut tương ng. Đáp s
Gi : “sinh viên thi trưt môn Toán” () = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205 khi ñó (|)= 0,5
Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý  
  = ()() =    = 
Nên, Sinh viên trưt c Toán và Tâm lý vi xác sut không ñ$i =  . 13 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, chn 12 sinh viên nghĩa là thc hi%n 12 phép th# Bernoulli vi xác
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i =  .s sinh viên nhiu
kh năng trưt c hai môn (  )    + = =  .      
Xác sut tương ng là (2 )=(0,17 )2 . (1 − 0,17 )10 2 = 0, 296 . 12 12 1.26.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Phi chn bao nhiêu sinh viên
ca trưng XYZ sao cho, vi xác sut không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nht
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý. Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” () = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó (|) = 0,5
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý (   ) =  −  
 ∪  =  − () − ()+ ( ) =  
Gi n là s sinh viên cn chn. Xác sut ñ sinh viên ñu c hai môn Toán
và Tâm Lý không ñ$i =  nên ta có quá trình Bernoulli B (n, p) .
Đt : “ ít nht mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cu bài toán ta ñưc
() =  − ( )  =  − − ≥ ( )  
⇔   ≥ ( )⇔    ≥  ( )⇔ ≥  
Vy, chn ít nht 5 sinh viên. 1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 ca mt xí nghi%p sn xut, theo th t, 60%, 30% và
10% t$ng s sn ph(m ca mt xí nghi%p. T l% sn xut ra ph ph(m ca các máy
trên, theo th t, là 2%, 3% và 4%. Ly ngu nhiên mt sn ph(m t lô hàng ca
xí nghi%p, trong ñó ñ ln ln các sn ph(m do 3 máy sn xut.
a/ Tính xác sut ñ sn ph(m ly ra là sn ph(m tt. Ý nghĩa ca xác
sut ñó ñi vi lô hàng là gì?
b/ Nu sn ph(m ly ñưc là ph ph(m, thì nhiu kh năng nht là do máy nào sn xut? Gii
Đt : “sn ph(m ly ra do máy sn xut” vi ∈{1, 2, } 3
( = 0,6;  = 0,3;   = 0,1 1 ) ( 2) ( 3)
Và :“sn ph(m ly ra là ph ph(m”
(=     =    =  ) (  ) (  ) 14 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ :”sn ph(m ly ra là sn ph(m tt”
() = ()() + ()() + ()(=        )
Ý nghĩa, xác sut th hi%n t l% sn ph(m tt ca lô hàng.
b/ Xác sut ly ra sn ph(m là ph ph(m
() =  − () =  Theo công thc Bayes (    
) ( )( ) 
(= = = =    ) () ()  
(
     ) ( ) (  ) (    = = = =    ) () ()   (    
) ()( ) 
(= = = =   ) () (  )  
Do ñó, sn ph(m do máy 1 sn xut ra ph ph(m nhiu nht. 1.28.
Chia ngu nhiên 9 tm vé s, trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñu cho 3
ngưi (m i ngưi 3 tm). Tính xác sut ñ c 3 ngưi ñu ñưc trúng thư'ng. Gii
Đt : “Ngưi mua vé th ñưc vé trúng thư'ng” vi ∈{1, 2, } 3       ( ) = ( ) (  ) ( 
)                         =   =               1.29.
Trong s các b%nh nhân ñang ñưc ñiu tr ti mt b%nh vi%n, có 50% ñiu
tr b%nh A, 30% ñiu tr b%nh B và 20% ñiu tr b%nh C. Ti b%nh vi%n này, xác
sut ñ cha khi các b%nh A, B và C, theo th t, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l% b%nh nhân ñưc cha khi b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñưc cha khi b%nh trong b%nh vi%n. Gii
Đt : “b%nh nhân ñiu tr b%nh ” vi {
∈ ,,}
: “b%nh nhân ñưc khi b%nh”
Theo ñ bài ta có: () = 0,5;() = 0,3;()= 0, 2
và ( / ) = 0,7; (/ ) = 0,8; (/ ) = 0,9
Xác sut ñ b%nh nhân khi b%nh là 15 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
() = ∑ (    = + + = ).
( / ) 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77 =
Xác sut ñ b%nh nhân tr khi b%nh A là (    ) . ( | ) 0,5.0,7
(| = = = ) 45, 45% () 0,77 1.30.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng. Gieo mt con xúc xc vô tư: Nu mt 3 hoc mt 5
xut hi%n thì chn ngu nhiên mt bi t bình B; các trưng hp khác thì chn ngu
nhiên mt bi t bình A. Tính xác sut ñ chn ñưc viên bi ñ. Nu viên bi trng
ñưc chn, tính xác sut ñ mt 5 ca con xúc xc xut hi%n. Gii Đt 
: “Gieo con xúc xc ñưc mt 3 hoăc mt 5”,     = 
: “Ly t bình ra mt bi là bi ñ”. Ta có           =    
   + 
  =  +  =      
Gi : “mt viên bi ñưc chn là bi trng”       
  =  
   +        =  +  =       
Đt : “gieo con xúc xc ñưc mt 5”.
Xác sut mt 5 xut hi%n, bit r"ng bi ñưc chn là bi trng là  () (  )              = = =   =  ()  ()     1.31.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng.
Ly ngu nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, ri t bình B ly ngu
nhiên 1 viên bi thì ñưc bi ñ. Theo ý bn, viên bi ñó vn thuc bình nào? Gii
Gi : “ có k bi ñ trong 3 viên bi ly t bình A b vào bình B” vi ∈{0,1,2, } 3
Đt : “Ly mt bi t bình B ra là bi ñ”.            =     
   =  +  + ∑    =               +  +  =       
Đt : “bi ñ sau cùng ly t bình B”. 16 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân        = =    () () Do ñó         = = =  = > . () ()    
Vy, bi ñ sau cùng nhiu kh năng nht là ca bình B. 1.32.
Có hai chung nuôi th. Chung th nht có 1 con th trng và 5 con th
nâu; chung th hai có 9 con th trng và 1 con th nâu. T m i chung bt ngu
nhiên ra mt con ñ nghiên cu. Các con th còn li ñưc dn vào mt chung th
ba. T chung th ba này li bt ngu nhiên ra mt con th. Tính xác sut ñ con
th bt ra sau cùng là mt con th nâu. Gii Đt 
: “Th bt ' chung 1 ra nghiên cu là th nâu ”   =  
: “Th bt ' chung 2 ra nghiên cu là th nâu” = 
Gi : “Th bt ' chung 3 ra nghiên cu là th nâu ” 
  = ( 
 ) + ( 
 ) + ( 
  )+ (   ) = ( 
  )( 
 ) +( 
  )(    ) +
+()() +()() = ( )
  ()( 
  ) +( )
  ()(   ) + + ( )   ( )
 (   )+ ( )  ( )
  (   ) = ( )
  ()  + ( )
  ()  + ( )
  ()  + ( )
  ()   =      1.33.
Ban giám ñc mt công ty liên doanh vi nưc ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh
nghi%m cho h bit cuc ñình công ' nhà máy A và B xy ra ln lưt vi xác sut
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bit r"ng nu công nhân ' nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h.
a/ Tính xác sut ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công.
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà
máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gii
Đt : : “ Công nhân ñình công ' nhà máy A”   =   17 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
: “Công nhân ñình công ' nhà máy B” 
=   () =  
a/ Xác sut công nhân ñình công ' 2 nhà máy là
() = ( )
.(| ) = , . , = ,
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là ( ) ,   ( | ) = = = ,   ( ) ,   1.34.
Mt nhân viên kim toán nhn thy 15% các bn cân ñi thu chi cha các
sai lm. Trong các bn cha sai lm, 60% ñưc xem là các giá tr bt thưng so
vi các s xut phát t gc. Trong tt c các bn cân ñi thu chi thì 20% là nhng
giá tr bt thưng. Nu mt con s ' mt bng cân ñi t ra bt thưng thì xác sut
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu? Gii
Đt : “bn cân ñi thu chi cha sai lm”   = 
: “bn cân ñi thu chi cha giá tr bt thưng” 
=  ( ) =  
Xác sut 1 con s ' 1 bng cân ñi t ra bt thưng là 1 sai lm: ( )
().(|) ,   .  ,  
( | ) = = = = ,   ( ) () ,   1.35.
Mt hãng sn xut mt loi t lnh X ưc tính r"ng khong 80% s ngưi
dùng t lnh có ñc qung cáo t lnh do hãng y sn xut. Trong s nhng ngưi
ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không ñc qung cáo cũng mua
loi t lnh X. Tính xác sut ñ mt ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo. Gii
Đt : “ngưi ñó ñc qung cáo”   =  
: “ngưi ñó mua t lnh X” (/ ) = , ;  (/ ) = ,
Trưc tiên tính xác sut ñ ngưi mua t lnh X
( ) = ( )
+ ( ) = ( )
.(/ ) + ( )
.( / ) = ,  
Xác sut ñ 1 ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo:
( ) ().(| ) ,  .  ,   
(| ) = = = = () ( ) ,  1.36.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ a/ H% thng I b hng; 18 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ H% thng II không b hng. Gii
a/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng I b hng  = 
  + + +  =  − () 
=  −   =          
b/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng II không b hng 
  + +  =  − 
   =  −  =         1.37.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ
a/ C hai h% thng b hng;
b/ Ch có mt h% thng b hng. Gii
a/ Đt : “bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ { }  .
và :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {} .
Xác sut h% thng I b hng  = 
  + + +  = −  = −  =       (    )
Xác sut h% thng II b hng là: () = =    
Nên, xác sut c hai h% thng b hng là    =  
=    =  
b/ Xác sut ch có mt h% thng b hng 
  + =  +     
=   1.38.
Mt lô hàng gm rt nhiu bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xu. Mt
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Chn ngu nhiên 10 bóng ñèn ñem kim tra và
nu có nhiu hơn mt bóng ñèn xu thì không nhn lô hàng. Tính xác sut ñ lô hàng ñưc chp nhn. Gii
Vi%c kim tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thc hi%n 10 phép th# Bernoulli, vi
xác sut “thành công” gp bóng xu =   (không ñ$i). Khi ñó            (; , ) , . ,  − =  , = , , ,...,
(:s ln thành công trong 10 phép th#)
Đt : “nhn lô hàng” 19 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân ( )
= (  ) + (  ) =( ) − (  )   =      1.39.
Mt nhóm nghiên cu ñang nghiên cu v nguy cơ mt s c ti mt nhà
máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x. Nhóm nghiên cu nhn thy các
loi s c ch có th là: ho hon, s gãy ñ$ ca vt li%u hoc sai lm ca con
ngưi, và 2 hay nhiu hơn 2 s c không bao gi cùng xy ra.
Nu có ha hon thì s rò r phóng x xy ra khong 20% s ln. Nu có s
gãy ñ$ ca vt li%u thì s rò r phóng x xy ra khong 50% s ln, và nu có s
sai lm ca con ngưi thì s rò r s+ xy ra khong 10% s ln. Nhóm nghiên cu
cũng tìm ñưc xác sut ñ: Ho hon và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0010,
gãy ñ$ vt li%u và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0015, sai lm ca con ngưi
và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0012. Tìm xác sut ñ
a/ có ho hon; có gãy ñ$ vt li%u và có sai lm ca con ngưi;
b/ có mt s rò r phóng x;
c/ mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi. Gii
Đt : “xy ra ha hon”
: “xy ra gãy ñ$”
: “xy ra sai lm ca con ngưi”
: “s rò r phóng x” Ta có ( )
=  ( )
=  () =  ()
=   () =   () =  
a/ Xác sut có ho hon là ( ) ( ) = = ,  
(|)
Xác sut có gãy ñ$ vt li%u là ( ) () = = ,
(| )
và xác sut sai lm ca con ngưi ( ) () = = ,
(|)
b/ Xác sut có s rò r phóng x xy ra:
( ) = (  )+ (  ) + ( ) = ,   + ,
  + , = ,  
c/ Xác sut mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi là ()         = = = ()    1.40. 20 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt ña phương có t l% ngưi dân nghi%n thuc lá là 30%. Bit r"ng t l%
ngưi b viêm hng trong s ngưi nghi%n thuc lá là 60%, còn t l% ñó trong s
ngưi không nghi%n thuc lá là 40%. Chn ngu nhiên mt ngưi t ña phương trên.
a/ Nu ngưi ñó b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá.
b/ Nu ngưi ñó không b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá. Gii
Đt : “ngưi dân nghi%n thuc lá” ( ) = ,
: “ngưi dân b viêm hng” (| ) = ,;(| ) = , 
a/ Trưc tiên ta tính xác sut ngưi này viêm hng
() = ( )+ () = ().(|)+ ().(| ) = ,  
Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu b viêm hng là ()
().(| ) ,  .  ,    ( | ) = = = = () () ,   
b/ Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu không b viêm hng là ( ) (
  − 
  −     | ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( | ) = = = = () () − ()  1.41.
Mt nhà xut bn g#i bn gii thi%u sách mi ñn 80% ging viên ca mt
trưng ñi hc. Sau mt thi gian, nhà xut bn nhn thy: Có 30% ging viên
mua sách trong s nhng ngưi nhn ñưc bn gii thi%u, và trong s nhng ging
viên không nhn ñưc bn gii thi%u, có 10% mua sách . Tìm t l% nhng ging
viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách. Gii
Đt : “ging viên nhn ñưc bn gii thi%u sách mi” () = ,  
: “ging viên mua sách” ( | ) = , ;  (| ) = ,
Trưc ht ta tính xác sut ñ ging viên mua sách 
= ()
+ () = ( )
( ) + ( )
( ) =  
Nên, xác sut ñ ging viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách: ( )
().(|)      , . ,
(/ ) = = = = ( ) () ,    1.42.
Nhà trưng mun chn mt s hc sinh t mt t$ gm 7 nam sinh và 6
n.sinh. Ln ñu chn ngu nhiên 2 hc sinh; sau ñó, chn tip 1 hc sinh na.
a/ Tính xác sut ñ hc sinh ñưc chn ln sau là nam sinh. 21 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Bit r"ng hc sinh ñưc chn ln sau là n sinh, tính xác sut ñ c hai
hc sinh ñưc chn ln ñu ñu là nam sinh. Gii
a/ Gi : “chn hc sinh nam trong 2 hc sinh ln ñu” ∈ { }                =     =      =         
:”hc sinh ñưc chn sau cùng là nam” ( )
=  +  
   + 
                     =  +  +  =          
b/ Xác sut hc sinh chn ln sau cùng là n là   = ()      = 
nên xác sut ñ 2 hc sinh ñưc chn ln ñu là nam:  
  ()                = = =  ( )    1.43.
S li%u thng kê v b%nh lao ph$i ti mt ña phương cho bit: Có 15% s
ngưi làm ngh ñ,c ñá (LNĐĐ) và b lao ph$i; có 50% s ngưi không LNĐĐ và
không b lao ph$i; có 25% s ngưi LNĐĐ nhưng không b lao ph$i. Ngoài ra, t
l% nhng ngưi không LNĐĐ nhưng b lao ph$i là 10%. Chúng ta có th kt lun
gì v mi quan h% gia ngh ñ,c ñá và b%nh lao ph$i? Gii
Đt : “làm ngh ñ,c ñá”
: “b lao ph$i”
Theo s li%u ñ bài ta có:() =  
=      =  =  Khi ñó,  = 
+ () = +  =   và  =  
+ () = +  = 
D- thy ()
=  ≠   = ( )
do ñó b%nh lao ph$i có liên quan ñn ngh ñ,c ñá. Xét () ( )
() =
=   ()= =  () () 22 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta thy () ≈ ( )
. Chng t r"ng, xác sut ngưi b lao ph$i khi
ngưi ñó làm ngh ñ,c ñá cao gn gp hai ln xác sut ngưi b lao ph$i nhưng
ngưi ñó không làm ngh ñ,c ñá. 1.44.
Gi s# mt xét nghi%m X cho kt qu dương tính (+) ñi vi nhng ngưi
nhi-m HIV vi xác sut 95% và cho kt qu (+) ñi vi nhng ngưi không nhi-m
HIV vi xác sut 1%. Mt ngưi ñn t ña phương có t l% nhi-m HIV là 1%
ñưc làm xét nghi%m X và cho kt qu (+). Tính xác sut ñ ngưi này thc s nhi-m HIV. Gii
Đt : “Ngưi b nhi-m HIV ñn t ña phương” ( ) =  
: “ngưi ñn t ña phương làm xét nghi%m X cho kt qu dương tính vi HIV” ( ) = ( )
( )
+ ()( )
=    +    =  
Xác sut ñ ngưi ñn t ña phương có t l% 1% ñưc xét nghi%m và cho kt qu dương tính là                 = = =     1.45.
Mt hp cha 15 l thuc, trong ñó có 6 l hng. Ly ln lưt tng l
không hoàn li ñ kim tra, cho ñn khi gp 3 l hng thì dng.
a/ Tính xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba; ' l th sáu
b/ Nu vi%c kim tra dng li ' l th sáu, tính xác sut ñ l ñưc kim
ra ñu tiên là l hng. Gii
Đt :” ln kim tra th ñưc l hng”
a/ Xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba (        =   =    )    
Đt :” kim tra liên tip 5 ln ñưc 2 l hng và 3 tt”            = =      = =        
:”kim tra dng li ' l th sáu” = ( =  
 =  )  
b/ Vi%c kim tra dng li ' l th sáu, xác sut ñ l ñưc kim ra ñu tiên là l hng.
(         ) (  ) ( ) ( ) ( )
()  = =  () () 23 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân                = = ≈      1.46.
T mt lô hàng có rt nhiu quyn v' vi t l% v' hng là 5%, ngưi ta
chn ngu nhiên tng quyn v' ñ kim tra.
a/ Hi phi kim tra ít nht bao nhiêu quyn v' ñ xác sut có ít nht mt
quyn v' hng không bé hơn 90% ?
b/ Gi s# vi%c kim tra s+ dng li khi phát hi%n 3 quyn v' hng. Tính
xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' ln kim tra th 10, Gii
Gi là xác sut v' hng trong m i lô hàng. =   và gi là s
quyn v' cn kim tra. Ta có dãy phép th# Bernoulli vi xác sut thành công (v'
hng) là 0,05. Do ñó, ( )
a/ Đt : “ít nht mt quyn v' hng”
=  − = − ≥ ⇔ ≥
(  )  ()    
Nên phi kim tra ít nht 45 quyn v'.
b/ Vi%c kim tra phát hi%n 3 quyn v' hng suy ra 9 ln kim tra ñu phát hi%n 2
quyn v' hng và ln th 10 phi là v' hng.
Đt:”kim tra dng li ln th 10” ( )
= ( )  = (   
      =   .   ) 1.47.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sp vi ∈ { }
 và ∈ { }  
Đt :” ly ñưc sp loi t hp th nht”
:” ly ñưc sp loi t hp th hai”
a/ : “ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”      
() = (  ) + (  )        =  +  =             
b/ Gi (  ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai 24 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân       (      )   Ta có()    = = =  ()          (     )   ()     = = =  ()   
Ta thy (<   nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th hai. ) ( ) 1.48.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên mt hp, ri ly ngu
nhiên t ñó ra 4 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
a/ Ly ngu nhiên ra 1 hp, ri ly ngu nhiên t ñó ra 4 sp Đt 
:” ly ñưc hp th ”, ∈ {} suy ra (=   =  ) (  )
gi :” ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”
() = (  +     ) (  ) (  ) (  )                          = + =  +  =                
b/ Gi (  ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai      ( 
    ) (  ) 
Ta có ()   = = =  ()         () 
    ( )  ()   = = =  ()   
Thy () >   nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th nht.  ( ) 1.49. 25 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt nhà máy sn xut linh ki%n ñi%n t# vi 96% sn ph(m có cht lưng
cao. Mt qui trình kim tra cht lưng sn ph(m có ñc ñim: 2% sn ph(m có
cht lưng cao li không ñưc công nhn và 5% sn ph(m không có cht lưng
cao li ñưc công nhn. Hãy tính xác sut ñ sau khi kim tra, mt sn ph(m
ñưc công nhn có cht lưng cao ñúng là sn ph(m có cht lưng cao. Gii
Gi : “sp cht lưng cao” và : “sp ñưc công nhn” ( )
=   , ( )
=   và ( ) =  
() ()−()
Ta có ()= = =   ( ) ()
suy ra ()=  . ()
()− ( )
Li có ( ) = = =   () ( ) suy ra ( )
=  
Xs ñ 1 sp ñó ñưc công nhn cht lưng cao ñúng là sp cht lưng cao là () ( )   = = =  ()  1.50.
Gi s# bn ñem giao mt lô hàng, rt nhiu sn ph(m, mà bn bit r"ng nó
có t l% ph ph(m là 10%. Ngưi nhn hàng ñ ngh ly ngu nhiên 6 sn ph(m ñ
kim tra, và nu có quá ph ph(m thì không nhn lô hàng. Bn ñ ngh b"ng
bao nhiêu ñ va thuyt ph,c ñưc ngưi nhn, va hy vng kh năng lô hàng
không b t chi ít nht là 95%? Gii
T l% ph ph(m là = 
Vi%c ly ngu nhiên 6 sp ñ kim tra nghĩa là thc hi%n 6 phép th#
Bernoulli vi xs thành công (gp ph ph(m) = (không ñ$i). Ta ñưc ( )
    − =   Nhn xét:
 +   <  ( ) ( )
và  +  +  =  >   ( )  ( )  ( )
nên theo yêu cu bài toán = . 1.51.
Mt khu dân cư A có t l% mc b%nh B là 30%.
a/ Trong mt ñt ñiu tra, ngưi ta chn ngu nhiên 10 ngưi. Tính xác sut
trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B. 26 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đưc bit trong khu vc ñó có 60% dân s có chích nga b%nh B. T. l%
ngưi kháng b%nh B ñi vi ngưi ñưc chích nga là 95%. Còn t. l% kháng b%nh
B ñi vi ngưi không chích nga là 20%. Chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi
này không mc b%nh B. Tính xác sut ngưi này có chích nga. Gii
Gi : “Ngưi ñưc chn mc b%nh B” () = .
Chn ngu nhiên 10 ngưi là thc hi%n 10 phép th# Bernuolli vi xác sut thành
công (mc b%nh B) ()=  (không ñ$i). Ta có (  )       − = .  
a/ Xác sut trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B
  +    +   +   =  ( )  ( )  ( )  ( )
=   +  +  +  =  
b/ :” chích nga b%nh B” ()=  ( )
=  và ( ) = 
Xác sut chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi này không mc b%nh B: ( )
= ()( )
+ ()( ) =  
xác sut ngưi này có chích nga: (    )
()() ()   = = = . () ()  1.52.
T l% sn xut ra ph ph(m ca mt máy là 8%. Kho sát mt lô hàng gm 75
sn ph(m do máy ñó sn xut ra.
a/ Tính xác sut ñ trong lô hàng, có 10 ph ph(m
b/ Trong lô hàng, nhiu kh năng nht là có bao nhiêu ph ph(m? Tính xác sut tương ng. Gii
Nu xem vi%c máy sn xut ra mt sn ph(m là mt phép th# Bernoulli, vi
xác sut cho “thành công” là p = 0,08 , thì khi máy ñó sn xut 75 sn ph(m, nó ñã
thc hi%n quá trình P ; k 0,08 75 ( ) a/ Xác sut phi tính: 10 10 65 7 P 5 1
 0 = C75 0 08 0 92 = 0 03941
b/ S ph ph(m nhiu kh năng nht trong lô hàng là: (  75 +1  ).0,08 6  =
vi xác sut tương ng: 27 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 6 6 69
P (6) = C (0,08) .(0,92) = 0,16745 75 75 1.53.
Ngưi ta mun ly ngu nhiên mt s ht ging t mt lô ht ging có t l%
ht lép là 3% ñ nghiên cu. Hi phi ly ít nht bao nhiêu ht sao cho xác sut
ñ có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?. Gii
Gi n là s ht phi ly, chúng ta có P k
. Xác sut ñ có ít nht mt ht n ( ; 0, 03) lép là 1 1 ( 0,03) 1 (0,97 )n n − − = − .
Theo gi thit, chúng ta có: n n ln 0,05
1 − (0,97 ) ≥0,95 ⇔ (0,97 ) ≤ 0,05 ⇔ n ≥ = 98,3523 ln 0, 97
Vy, phi ly ít nht 99 ht ging. 28 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 2: BIN NGU NHIÊN 2.1. Có ba hp 
  và ñng các l thuc. Hp có 10 l tt và 5 l hng,
hp có 6 l tt và 4 l hng, hp có 5 l tt và 7 l hng. Ly ngu nhiên t
m i hp ra mt l thuc.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s l thuc tt trong 3 l ly ra.
b/ Tìm xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt; ñưc 3 l cùng loi. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s l thuc tt trong 3 l ly ra
 = {  }  
a) : “ l thuc ly ra t hp th là l tt”. (= ) 
 =  =       =    ( ) ( ) ( )  (= )   = 
  + +  =           (= )   = 
  + +  =           (= ) 
 =  =       =    ( ) ( ) ( ) 
Bng phân phi xác sut ca 0 1 2 3
()        
b) Xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt
(≥ ) = (= ) + (= )     = 
Xác sut ñưc 3 l cùng loi
(= ) + (= )    =  2.2.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn. Tính xác sut ñ
ñi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn. 29 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
 = {  }
Gi : “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =    +   + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn:
(≥ ) = (= )+ (= ) = 
Xác sut ñ ñi tuyn thng ít nht mt trn : (≥ )
 = − (= )  =   2.3.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Sau ñt thi ñu, ñi tuyn có hai trn thng; tính xác sut ñ A thua trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
 = {}
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =  
 + 
 + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 30 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ thua trn, bit r"ng ñi tuyn có hai trn thng ( 
{=  }) (   ) (  = )
       = = = = (= )  (= )     2.4.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên 
  và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính s trn thng trung bình và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
 = { }
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
(= ) =  
  = ( )
 =    =   (= )  =    +   + 
  = 
(= )=    +    + 
  =  
(= )= 
  = ( )    
  =  
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
()       
b/ S trn thng trung bình 
  =   +  +   +  = 
và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn
() = () − ()  =   Trong ñó, (  )    
=    +   +   +   =  . 2.5.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau: 31 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao.
b/ Chi phí sn xut ca m bao k/o là 3X + 16, trong ñó X là bin ngu
nhiên ch s k/o trong bao. Tin bán m i bao k/o là 100$. Không phân bi%t s k/o
trong bao. Tìm li nhun trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao :  () =
∑ (= ) =   = 
và phương sai ca s viên k/o trong m i bao:
() = ()− ()  =  
b/ Gi là bin ngu nhiên ch li nhun cho m i bao k/o. Ta có:
=  −  li nhun trung bình
() = ( − )=  − ()=  
và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o
σ () = () = ( − ) =  () =   2.6.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau:
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác sut ñ mt bao k/o ñưc chn ngu nhiên s+ cha t 19 ñn 21 viên k/o.
b/ Hai bao k/o ñưc chn ngu nhiên. Tính xác sut ñ ít nht mt trong
hai bao cha ít nht 20 viên k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Xác sut ñ bao ñưc chn ngu nhiên có t 19 ñn 21 viên k/o: 
 ≤ ≤  = (= ) + (=  )
 + (=  )  =  
b/ Đt : “Bao cha ít nht 20 viên k/o” ( )
=   +  +   =  
Xác sut ñ ít nht mt trong hai bao cha ít nht 20 viên k/o: 32 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
(+ ) = ( ) + (  )= ( ) + ( )   ( )
=   2.7.
Mt hp ñng 5 sn ph(m, trong ñó có hai ph ph(m. Ngưi ta ln lưt
kim tra tng sn ph(m (không hoàn li) cho ñn khi gp hai ph ph(m thì dng
li. Tìm lut phân phi xác sut cho s sn ph(m ñưc kim tra. Tính s ln kim tra trung bình. Gii
Goi là BNN ch s s sn ph(m kim tra.
 = {   }  
:“ ln kim tra ln th ñưc ph ph(m”.(=     )
(= ) = (  
=     =   ) ( ) (  )  (= )
 = (+     ) (   ) = () 
    +       =  (  ) (   )
( ) (  ) (    )  Tương t (= )  = (= )     =  
Bng phân phi xác sut : 2 3 4 5
()         
S ln kim tra trung bình: ()= 
∑ (= )=  = 2.8.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Sau sn xut, ngưi ñiu khin báo r"ng sut ca ch có mt máy hot
ñng tt. Tính xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
 = { }
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
(=    =     =   ) ( ) ( )
(= ) = (=       =  =     ) ( ) ( ) ( ) 33 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
( = )= (    + ) ( ) ( )
+ ()    +       =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = (    +  ) ( ) ( )
+ (    +       =  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (  =       =      ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
()       
b/ Xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt, bit r"ng sut ca ch có mt máy hot ñng tt.
(= 
   { }) (   ) (
   
=  = = = =  ) (= ) (= )     2.9.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Trung bình, trong mt ca, có bao nhiêu máy hot ñng tt? Tính ñ
l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
 = {}
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
(=    =     =   ) ( ) ( )
(= ) = (=       =  =     ) ( ) ( ) ( )
( = )= (    + ) ( ) ( )
+ ()    +       =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (    +  ) ( ) (  )
+ (    +       =  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(= ) = (  =       =      ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
()        34 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Trung bình s máy hot ñng tt trong mt ca: ()= 
và ñ l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut σ .
() =  2.10.
Mt công ty có 3 t$ng ñi lý. Gi và theo th t là khi lưng hàng
bán ñưc trong mt này ca 3 t$ng ñi lý trên (tính b"ng tn). Bit phân phi xác
sut ca các BNN và như sau: 5 6 7 8
(= 0,1 0,3 0,4 0,2 ) 4 5 6 7 8
(= 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 )  7 8 9 10
(= 0,2 0,3 0,4 0,1 )
Tính khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong mt tháng (30 ngày) ca công ty trên. Gii
Trung bình khi lưng hàng hóa C bán ñưc trong 1 tháng.  ( ) = 
∑   = = ( )   =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng. 
() = 
  = = ∑ ( )  =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng. 
() = 
∑   = = ( )  = 
Nên khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong 1 tháng ca công ty là ( )
 + () + () =  2.11.
Tin hành kho sát s khách trên mt chuyn xe buýt (SK/1C) ti mt
chuyn giao thông, ngưi ta thu ñưc s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45
Xác sut 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a/ Tính kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca SK/1C.
b/ Gi s# chi phí cho m i chuyn xe buýt là 200 ngàn ñng, không ph,
thuc vào s khách ñi trên xe, th2 công ty phi quy ñnh giá vé là bao nhiêu ñ có
th thu ñưc s tin li trung bình cho m i chuyn xe là 100 ngàn ñng? 35 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s khách trên mt chuyn xe.  = {} a/ Kỳ vng ca SK/1C: (
  ) = 
Đ l%ch chu(n ca SK/1C.: σ ()= () = ()− ()  =  
b/ Gi là BNN ch s tin li cho m i chuyn xe.
= − 
trong ñó, (ñng) là s tin quy ñnh giá vé.
Yêu cu bài toán, () =(−) = ⇔ () =  ⇔≈  .
Vy, công ty phi quy ñnh giá vé là 8,6 ñng. 2.12.
Mt ngưi tham gia trò chơi gieo 3 ñng tin vô tư. Anh ta ñưc 500ñ nu
xut hi%n 3 mt sp, 300ñ nu xut hi%n 2 mt sp, và 100ñ nu ch có mt mt sp
xut hi%n. Mc khác, anh ta mt 900ñ nu xut hi%n 3 mt nga. Trò chơi này có
công băng vi ngưi này không? ( Trò chơi ñưc gi là công b"ng ñi vi ngưi
chơi nu tham gia chơi nhiu ln thì trung bình anh ta hòa vn). Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s tin nhn ñưc khi tham gia trò chơi  = { 
−   }  
Đt :”Gieo ln th xut hi%n mt sp” ∈ {} (= − ) = (  
=       =    ) ( ) ( ) ( )  ( = ) = (   
+   +  =  =   ) (   ) (   )  
Tương t, (= )  
 = =  =  
Bng phân phi xác sut ca -900 100 300 500 ()        
Và () = 
nên m i ln chơi anh ta thng ñưc 100ñ. Vy trò chơi không công b"ng. 2.13.
Mt ngưi tham gia trò chơi sau: Gieo mt con xúc xc vô tư ba ln ñc lp
nhau. Nu xut hiên “ mt 1” c 3 ln thì ñưc thư'ng 6 ngàn ñng; nu xut hi%n
“ mt 1” 2 ln thì ñưc thư'ng 4 ngàn ñng; xut hi%n “mt 1” 1 ln thì ñưc
thư'n 2 ngàn ñng; khi không có “mt 1” nào xut hi%n thì không ñưc thư'ng.
M i ln tham gia trò chơi, ngưi chơi phi ñóngngàn ñng. Hãy ñnh ñ trò chơi công b"ng. 36 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s tin còn li sau m i ln tham gia trò chơi.
 = {− − − } Ta có         
  = −  =   =
; = − =    =                   
  = − =    =  ; 
  =  =       
Bng phân phi xác sut ca
−  −  −        ()          
và ()  = −  .  ( ) 
Trò chơi công b"ng () =  ⇔ − =  ⇔ = .
Vy, m i ln chơi ngưi tham gia ñóng 1 ngàn ñng thì trò chơi công b"ng. 2.14.
Theo thng kê dân s, xác sut ñ mt ngưi ' ñ tu$i 40 s+ sng thêm 1
năm na là 0,995. Mt công ty bo him nhân th bán bo him mt năm cho
nhng ngưi ' ñ tu$i ñó là 10 ngàn, và trong trưng hp ngưi mua bo him b
cht thì s tin bi thưng là 1 tri%u. Hi li nhun trung bình ca công ty khi bán
m i th bo him là boa nhiêu? Gii
Gi là BNN ch li nhun ca công ty khi bán m i th bo him.
 = {−}
Bng phân phi xác sut ca  −  
()   
và () =  .
Vy, trung bình công ty li 5 ngàn ñng khi bán 1 th bo him. 2.15.
S lưng xe ô tô mà mt ñi lý bán ñưc trong mt tun là mt BNN có
phân phi xác sut như sau: S xe bán ñưc 0 1 2 3 4 5 Xác sut tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun.
Tính kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm. 37 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Gi s# chi phí cho hot ñng ca ñi lý b"ng căn bc hai ca s xe bán
ñưc vi 5 (tri%u ñng). Tìm chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca
ñi lý trong mt tun.
Gi X là BNN s xe bán ra trong 1 tun.
a/ Xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun P ( X ≤ )
3 = 1− P (X = 4)− P (X = 5) = 0,6
Kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm.
E ( X ) = 2,8;D (X )= 2,16
b/ Gi là chi phí cho hot ñng ca ñi lý trong 1 tun Y = X + 5
Nên chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca ñi lý trong mt tun
E(Y) = E( X ) + 5= 6,55 2.16.
2x ,x ∈[0; ] 1
Cho hàm f (x) =  0 , x ∉ [0;1]
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X .
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X  1 c/ Tính xác sut 
P 0 < X <  .  2  Gii +∞ 1 1
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và 2 f (x)dx ∫ = 2xdx x ∫ = = 1 . Do ñó, f ( )
x là hàm mt ñ xác 0 −∞ 0
sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 0 x  b/ F ( ) 2
x = ∫ f (t)dt =x ,0 < x ≤1 −∞ 1  , x >1  1 2  1  1
c/ P0 < X <  = ∫2xdx = .  2  4 0 2.17.  2  , x >1 Cho hàm 3
f (x) =  x 0 , x ≤1
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X .
c/ Tính xác sut P(0 < X < ) 3 Gii 38 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân +∞ +∞ 2  1 b
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và ∫ f (x)dx =∫ dx = − 2 lim 
 = 1 . Do ñó, f (x) là 3 2 b x →+∞ 2  x 1 −∞ 1 
hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 1 x  1 b/ F ( x) = f (t )dt ∫ = 1  − ,1< x < +∞ 2  x −∞ 1  ,  x = +∞ 3 8
c/ P(0 < X < 3) = ∫ f ( ) x dx = . 9 0 2.18.  a  , x >1 Cho hàm 3
f (x) =  x ( a là h"ng s) 0 , x ≤1
a/ Tìm a ñ f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X . Gii a/ x ∀ R
∈ , f (x ) ≥ 0 ⇔a ≥ 0 và +∞ +∞ a  1 b a
∫ f (x)dx = ∫ dx = − a lim   =
. Do ñó, f (x) là hàm mt ñ xác sut ca 3 2 b x →+∞ 2x 1 2 −∞ 1   a ≥ 0 
mt bin ngu nhiên liên t,c X khi và ch khi  ⇔ a a = 2 .  = 1  2 0 , x ≤ 1 x  1 b/ F ( x) = f (t )dt ∫ = 1  − ,1< x < +∞ 2  x −∞ 1  ,  x = +∞ 2.19.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ
2x , x ∈[0;1] f (x) =  0 , x ∉  [0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 2 E ( X ) 2 = ∫ xf ( )
x dx =∫2 x dx = 3 −∞ 0 +∞ 1 E ( 1 2 X ) 2 3
= ∫ x f (x)dx =∫ 2x dx = 2 −∞ 0 do ñó, 39 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 4 1
D( X) = E ( X ) − (E( X) )2 2 = − = 2 9 18 2.20.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ 2
3x , x ∈ [0; ] 1 f (x) =  0 , x ∉  [0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 3 E ( X ) 2 = xf
∫ ( )xdx =∫3x dx = 4 −∞ 0 +∞ 1 E ( 3 2 X ) 2 4
= ∫ x f (x)dx =∫ 3x dx = 5 −∞ 0 do ñó, 3 9 3
D( X ) = E ( X ) − (E( X ) )2 2 = − = . 5 16 80 40 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Chương 3: MT S PHÂN PHI THƯNG DÙNG 3.1.
Mt ki%n hàng có 10 sn ph(m, trong ñó có 8 sn ph(m loi A. Ly ngu
nhiên 2 sn ph(m. Đt X là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các
sn ph(m ly ra. Tìm lut phân phi xác sut ca X . Tính E( X ) ,D( X ) . Gii
Gi X là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th nht. Im X = {0;1; } 2 k k− 2 C .C M
Ta có X ~ H (10;8;2) ta có 8 2
P(X = k ) = ; p = = 0,8 2 C N 10 N − n 64
Nên E( X ) = np = 1,6; D( X ) = np(1− p) = . N 1 − 225 3.2.
Có 2 ki%n hàng, ki%n th nht và ki%n th 2. Bit r"ng, ki%n th hai có 8 sn
ph(m, trong ñó có 5 sn ph(m loi A. Ln ñu, ly ngu nhiên 2 sn ph(m ' ki%n
th nht b vào ki%n th hai, sau ñó ly ngu nhiên t ki%n th hai ra 2 sn ph(m.
Đt X và Y ln lưt là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các sn
ph(m ly ra ' ln th nht và ln th hai. Bit r"ng bng phân phi xác sut ca 0 1 2
()      
Tìm lut phân phi xác sut ca Y ; tính E (Y ) và D (Y ) . Bài gii
Gi Y là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th hai. ImY = {0;1; } 2 1 16 28
Ta thy P (X = 0) = ;P (X = 1) = ; P ( X = 2) = 45 45 45 Trong ñó, 0 2 C .C 10 6 3
P(Y = 0 | X = 0) 5 5 = =
; P Y = 0 | X = 1 =
; P Y = 0 | X = 2 = 2 ( ) ( ) C 45 45 45 10 Mt khác 41 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (Y = 0) = P (X =0).P (Y = 0 | X = 0) + P ( X = )
1 .P (Y = 0 | X =1) 190
+ P (X = 2 ).P (Y = 0 | X = 2 ) = 2025 997 838
Tương t P (Y = ) 1 = ; P (Y = 2) = . 2025 2025
Bng phân phi xác sut ca Y Y 0 1 2 190 997 838 P (Y ) 2025 2025 2025 2673 Nên E(Y) =
= 1,32; D( X ) = 0,40525. 2025 3.3.
Mt ki%n hàng cha 8 sn ph(m, trong ñó có 3 sn ph(m xu và 5 sn ph(m
tt. Ly ngu nhiên t ki%n hàng ra 4 sn ph(m (không hoàn li).
a/ Hãy lp bng phân phi xác sut cho s sn ph(m xu có trong 4 sn
ph(m ly ra, và tính xác sut ñ trong ñó có ít nht 2 sn ph(m tt.
b/ Đem 4 sn ph(m va ly ra ñi bán. Bit r"ng bán mt sn ph(m tt ñưc
li 50 ngàn ñng, và bán mt sn ph(m xu b l 15 ngàn ñng. Tính li nhun thu
ñưc trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun khi bán 4 sn ph(m trên. Gii
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m xu có trong 4 sn ph(m ly ra. Im X = {0;1;2; } 3 0 4 1 3 2 2 C .C 1 C .C 6 C .C 6 P( X = 0) 3 5 = = ;P( X = ) 3 5 1 = = ; P( X = 2) 3 5 = = ; 4 4 4 C 14 C 14 C 14 8 8 8 3 1 C .C 1 P( X = ) 3 5 3 = = 4 C 14 8
Bng phân phi xác sut ca X X 0 1 2 3 1 6 6 1 P (X ) 14 14 14 14 13
Xác sut ñ có ít nht 2 sn ph(m tt: ( P X ≤ 2) =1− ( P X = ) 3 = . 14
b/ Gi Y là BNN ch li nhun thu ñưc khi bán 4 sn ph(m. Y = 200 − 65X 6 6 1 15
khi ñó E ( X ) = + 2. + 3.
= 1,5; D ( X ) = E ( X ) − E( X )2 2 = 14 14 14 28 42 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
E(Y ) = E( 200 − 65X ) = 200 − 65E( X ) = 102,5 và
σ(Y ) = D(Y) = D(200 −65 X ) = 65 D( X ) = 47,5735 3.4.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s
sn ph(m tht ñã kim tra Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m tht ñã kim tra. 1
Ta có Im Y = 0;1;2;... Ta thy P Y = 0 = 0,3;P Y = 1 = 0,7.0,3 theo quy np 1 { } ( 1 ) ( 1 ) ( = = 0,7n P Y n .0,3. 1 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m tht ñã kim tra: +∞ +∞ 1 7 E (Y ) = ∑ .
n P (Y = n) n− 1 = 0,7.0,3∑ . n 0,7 = 0,21. 1 1 = n= n= (1− 0,7)2 0 1 3 3.5.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s sn ph(m ñã kim tra. Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi 43 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m ñã kim tra. 2
Ta có Im Y = 1;2;3;... 2 { }
P (Y = 1 = 0,3; P Y = 2 = 0,7.0,3 theo quy np ( 0,7n P Y n − = = .0,3 . 2 ) 1 2 ) ( 2 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m ñã kim tra: +∞ +∞ n − 1 10
E (Y ) = ∑n.P (Y = n) 1 = ∑ . n 0,7 .0,3 = 0,3. 2 2 = n = n = (1− 0, )2 1 1 7 3 3.6.
Mt khách hàng mua xe ti m t ñi lý, nu xe có s c k4 thut thì ñưc
quyn tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñưc ly li nguyên s  tin mau
xe. M i chic xe b tr li như th làm thi%t hi cho ñi lý 250 ngàn VNĐ. Có 50
xe ñưc bán ra. Xác sut ñ mt xe b tr li là 0,1.
a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xut ñ có nhiu nht 2 xe b tr li.
b/ Tìm kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca t$ ng thi%t hi mà t$ng ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Gii
Gi p là xác sut ñ mt xe b tr li. Nên p = 0,1.
Gi X là BNN ch s xe b tr li. X B(50;0, ) 1
ta thy ( n = 50 > 30;n.p = 5 ≤ 5;npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X Po (5)
Suy ra E (X ) = np = 5;D (X ) = np (1− p) = 4,5.
Xác sut nhiu nht 2 xe b tr li:
P (X ≤ 2) = Po (5) + Po (5) + Po (5) = 0,1246 (0 ) (1 ) (2 )
b/ Gi Y là BNN ch t$ng thi%t hi c a ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Y = 250X
suy ra E (Y ) = E (250X ) = 250E ( X ) =1250 và
σ(Y ) = D(Y) = D(250 X ) = 250 D( X ) = 530,330 3.7.
Mt thí sinh tên M tham d mt kỳ thi môn XSTK . M phi làm mt ñ thi
trc nghi%m khách quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch
có m t li Gii ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
(a) Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
(b) Gi s  M chc ch n tr li ñúng ñưc 2 câu; còn các câu khác, M chn
ngu nhiên mt trong 4 li Gii ca mi câu. Tính xác sut ñ M thi rt. 44 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi p là xác sut ñ M tr l i ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25.
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ M chc chn tr  li dung 2 câu, mà các câu ñưc ñc lp nhau và xác sut tr li dung m i câu là 0,25.
Do ñó, Xác sut ñ M rt trong trưng hp tr li ñúng 2 câu có ngh ĩa là ta tính xác sut ñ M rt tro
Gi Y là BNN ch s câu tr li ñúng trong 8 câu. Y B(8;0,25) .
Đt R :” M thi rt”
P (R) = P (Y ≤ )
3 = P (Y = 0 )+ P (Y = ) 1 + P (Y = ) 2 + P (Y = 3) 0 0 8 3 3 5
= C 0,25 0,75 + ... + C 0, 25 0,75 = 0,8862. 8 8 3.8.
Mt thí sinh M tham d mt kỳ . M phi làm mt ñ thi trc nghi% m khách
quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch có mt li Gii
ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
a/ Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
b/ Hi M phi d thi ít nht my l n ñ xác sut có ít nht mt ln thi ñu không nh hơn 97%? Gii
a/ Gi p là xác sut ñ M tr li ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25 .
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ Gi n là s ln d thi ca M. Và B:“ít nht mt ln ñu”
( ) =1− ( = 0 )=1− (1− 0,0197) n P B P X
≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176,238
Vy, M phi thi th# 177 ln. 3.9.
Nhà máy d%t mun tuyn d,ng ngưi bit rành v mt loi si. Nhà máy
th# thách ngưi d tuyn 7 ln. M i ln nhà máy ñem ra 4 si ging nhau, trong
ñó ch có mt s i tht và yêu cu ngưi này chn ra si tht. Nu chn ñúng ít 45 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
nht 6 ln thì ñưc tuyn d,ng. Mt ngưi ñn xin tuyn d,ng nói: "Ch cn nhìn
qua là có th phân bi%t si tht hay gi vi xác sut 80% ".
a/ Nu ngưi này nói ñúng kh năng ca mình thì xác sut ñưc tuyn d,ng là bao nhiêu?
b/ Tính xác sut ñ ñưc tuyn d,ng trong trưng hp, tht ra, ngưi
này không bit gì v s i c . Gii
a/ Gi B :” năng lc nhn ra si tht ca ngưi d tuyn” suy ra P( ) B = 0,8 .
Gi X là BNN ch s si tht trong 7 ln th. X B (7;0,8) .
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P (A) = P ( X = 6)+ P( X = 7 ) 6 6 7 7
= C .0,8 .0, 2 + C .0,8 = 0,5767 7 7
b/ Gi p là xác su t chn ñưc si tht trong mt ln th# (không bit gì v si). p = 0,25 . Khi ñó X B(7;0,25)
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P( A) = P( X = 6) + P( X = 7) 6 6 7 7
= C .0,25 .0,75 + C .0, 25 = 0,0014. 7 7 3.10.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác sut có ít nht mt chai h ng không nh hơn 94% ? Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0, ) 1 vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Gi n là s chai ly ra. Ta có X B( ; n 0,1)
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7 46 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, ít nht ly 27 chai. 3.11.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Ta có X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i ∈{1;2; } 3 i 1
Đt H :”lô i ñưc chn” i∈ {1;2; }
3 ⇒ P (H = . và i ) i 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥  i ). ( | i ) ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 1 3 1 =
3− P( X = 0 − P X = 0 + P X = 0  1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 1 =1 − ( 3 3 3 0,9 +0,92 + 0,85 ) = 0,2927 3 3.12.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân C
phi xác sut r i tính kỳ vng và phương sai ca s chai hng trong 3 chai ly ra. Gii
Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. 47 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
Suy ra E (Y ) = 0,2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33
và D(Y) = E(Y ) − E(Y)2 2 = ( + + ) 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 − 0,33 = 0,2911. 3.13.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân phi xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
b/ Mt c #a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai '
lô C ri ñ ln l n. M t ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ G i Y là BNN ch  s chai h ng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng” P( )
A = P( H P A | H + P H P A | H + P H P A| H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) = 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 = 0,104 500 300 200 1000 1000 1000
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 48 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.14.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng.
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Đt H :”lô i ñưc ch n” i∈ ⇒ P H = . và i { } ( i ) 1 1;2;3 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥  i ). ( | i )  ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 3 1 1 = 3− P
( X = 0 − P X = 0 + P X = 0  1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3  1 = 1− ( 3 3 3 0,9 + 0,92 + 0,85 )= 0,2927 3
Trong ñó X là BNN ch  s  chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i∈ 1;2;3 i { }
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.15.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân phi xác sut ca s chai hng có trong 3
chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nht mt chai
hng không nh hơn 94% ?
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. 49 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0,1) vi ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
Gi n là s chai l y ra. Ta có X B (n;0, ) 1
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7
Do ñó, ít nht ly 27 chai.
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.16.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân phi xác sut c a s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân ph i xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
c/ M t c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v  dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { } 50 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
b/ Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X =1 .P X = 0 + P X =1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
c/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.17.
Gi s# ngày sinh ca ngưi dân trong mt thành ph ln có th rơi
ngu nhiên vào mt ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Chn ngu nhiên 1095
ngưi trong thành ph  ñ ó. Tính xác sut ñ :
a/ Có hai ngưi có cùng ngày sinh ñã cho.
b/ Có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho. Gii
Gi X là BNN ch s ngưi có cùng ngày sinh trong 1095 ngưi .  1  X ~ B 1  095;   365 
a/ Xác sut ñ có 2 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho: 51 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 1093  1   364   1  P (X = 2) 2 = C     ≈ Po 1095.  = Po 3 =0, 2565 1095 2 2 ( )  365   365   365 
b/ Xác sut ñ có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho:
P (X ≤ 7 ) = Po 3 + Po 3 +Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( )
+Po 3 + Po 3 = 0,988 6 ( ) 7 ( ) 3.18.
M t trm bưu ñi%n chuyn ñi%n trong khong thi gian 10 -5 giây.
Trong quá trình tránh ñi%n có các ting n ngu nhiên. S tín hi%u n ngu nhiên
trong 1 giây là 104 . nu trong thi gian truyn tín hi%u có dù cjir mt tín hi%u n
ngu nhiên thì trm s+ ngng làm vi%c. tính xác sut ñ cho vi%c truyn tính hi%u
b gián ñon. bit r"ng s tín hi%u n ngu nhiên rơi vào trong khong thi gian
truyn tín hi%u là bin ngu nhiên tuân theo lut phân phi poison. Gii
Gi X là BNN ch s  các tín hi%u n trong khong thi gian 5 10− truyn tin. X P ( 4 −5
~ o 10 .10 )⇔ X ~ Po(0, ) 1 Trong ñó,
s tín hi%u n trong khong th i gian 5 10− giây truyn tin là 4 5 10 .10− = 0,1.
Do ñó, xác su t vi%c truyn tin b gián ñon 0,1 0,1 ( )0 P (X ) 1
1 P (X 0) 1 e− ≥ = − = = − = 0,0952 0! 3.19.
S l i trên 1 mét vuông vi là mt bin ngu nhiên tuân theo lu t phân
phi poison. Kim tra lô vi, ngưi ta thy 98% có l i. Vy trung bình m i mét
vuông vi có bao nhiêu l i? Gii
Gi X là BNN ch s l i trên 1mét vuông vi X P ( o λ) Lô vi thy có 98% l i P (X ) 1 0,98 1 P ( X 0 ) 0,98 e −λ ≥ = ⇔ − = = ⇔ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 (1,5ñ)
Vy, trung bình m i mét vuông vi có 3,9 l i. 3.20.
Mt công nhân qun lý 12 máy d%t. Các máy d%t hot ñng ñc lp
nhau, và xác sut ñ m i máy, trong ca làm vi%c, cn s chăm sóc ca công nhân
(vit tt là CCN) là 0,3. 52 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ Tính xác sut ñ, trong ca làm vi%c, có a1/ 4 máy CCN a2/ t 3 ñn 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi%c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi%c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nht; tính xác sut tương ng. Gii.
a/ Gi X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi%c thì X ~ B (12;0,3) k k 12
P( X = k) = C (0,3) (0,7) − k , k∈ 0,1, 2,… ,12 , k 12 { } ∈ {0,1,2,…,12} a1/ Xác sut phi tính: 4 4 8
P(X = 4) = C (0,3) (0,7) = 0, 23 1 1 12 b2/ Xác sut phi tính: 7
P(3 ≤ X ≤ 7) = ∑P(X =k ) k = 3
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ S máy CCN trung bình:
E (X ) =12 ×0,3 =3,6
c/ S máy CCN nhiu kh năng nht: Mod ( X ) = 1 [ 3 ×0,3] = . 3
Xác sut tương ng: P (X = ) 3 = 0,2397. 3.21.
Ngưi ta mun ly mt s ht lúa t mt kho lúa có t l% ht lép là
0,2 ñ kim tra. Bit r"ng kho lúa có rt nhiu ht.
a/ Phi ly ít nht bao nhiêu ht lúa ñ xác sut có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?
b/ Ly ngu nhiên 100 ht lúa, tính xác sut ñ trong ñó có 25 ht lép; có t 10 ñn 40 ht lép. Gii.
a/ Gi n là s ht lúa cn ly. Vì s ht lúa trong kho rt ln, nên các ln ly xem
như ñc lp. Xác sut ñ trong n ht lúa ly ra, không có ht lép nào là (0,8)n. Theo gi thit: 53 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân n n ln (0,05) 1− (0, ) 8 ≥ 0,95 ⇔( 0, ) 8 ≤ 0, 05 ⇔ n≥ ln (0,8)
Vy, phi ly ít nht 14 ht lúa.
b/ Gi X là bin ngu nhiên ch s ht lép trong mu thì X ~ B (n, p ) , vi
n = 100 và p = 0,2 . Vì n > 30;n.p = 20 > 5 và . n (1 − )
p = 80 > 5 nên chúng ta có
th áp d,ng các công thc gn ñ úng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác sut ñ có 25 ht lép: 25 25 75
P(X = 25) = C (0,2) (0,8) = 0,04388 100
(ii) Xác sut ñ có t 10 ñn 40 ht lép:  40 100 0,2   10 100 0,2  − × − × P(10 ≤ X ≤ 0 4 ) ≈ Φ   − Φ    100 0,2 0,8     100 0, 2 0,8  × × × ×  = ( Φ 5) − ( Φ 2 − ,5) =1 − (1 − ( Φ 2,5)) = ( Φ 2,5) ⇒ P 1
( 0 ≤ X ≤ 40 )≈ 0,9938 3.22.
Cn xét nghi%m máu cho 5000 ngưi ñ tìm du hi%u mt loi b%nh
B ti mt ña phương có t l% ng ưi mc b%nh B theo thng kê là 10%. Có 2 phương pháp:
a/ Xét nghi%m tng ngưi mt.
b/ M i ln ly máu mt nhóm 10 ngưi trn ln vào nhau r i xét nghi%m.
Nu kt qu âm tính thì thông qua, nu dương tính thì phi làm thêm 10 xét
nghi%m ñ xét nghi%m li tng ngưi mt trong nhóm.
Hi phương pháp nào có li hơn, bi t r"ng m i xét nghi%m ñu tn kém như
nhau và kh năng mc b%nh ca m i ngưi ñc l p nhau? Gii.
a/ Nu dùng phương pháp (1) thì phi thc hi%n 5000 xét nghi%m.
b/ Bây gi chúng ta xem ph ương pháp (2):
Đt X ch s nhóm có kt qu dương tính thì X B( −( 0, )10 ~ 500; 1 9 )
Đt Y ch s xét nghi%m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X
S xét nghi%m trung bình theo phương pháp (2) là: E(Y )= + E ( X )= + ( − ( )10 500 10 500 5000 1 0,9 )≈ 37 7 5 .
Vy, áp d,ng theo phương pháp (2) có li hơn. 54 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.23.
Mt cơ s' sn xut, trung bình trong mt tun, nhn ñưc 4 ñơn ñt
hàng. Bit r"ng s ñơn ñt hàng X mà cơ s' nhn ñư c trong mt tun là mt
BNN có phân phi Poisson. Tính xác sut ñ cơ s' ñó
a/ Nhn ñưc h ơn 5 ñơn ñt hàng trong mt tun
b/ Nhn ñưc 6 ñơn ñt hàng trong hai tun liên tip Gii. a/ X ~ Po( ) 4 . Xác sut phi tính:
P( X > 5) =1 − P(X ≤ 5) 5 4k = − 4 1 − ∑ e =1 − 0,7851 =0,2149 k = k ! 0
b/ Gi Y là BNN ch s ñơn ñt hàng ca cơ s' trong hai tun liên tip thì
Y ~ Po (8). Xác sut phi tính: 6 8 ( P Y = ) − 8 6 = e = 0,1221 6! 3.24.
Mt xe ti vn chuyn 1000 chai rưu vào kho. Xác sut ñ m i chai
b v5 trong khi vn chuyn là 0,0035. Tính xác sut ñ sau khi vn chuyn, có 6
chai rưu b v5; có t 2 ñn 8 chai rưu b v 5. (gi s# r"ng s ki%n các chai rưu
b v5 là ñc lp nhau, do ch t lưng riêng ca m i chai) Gii.
Gi X là BNN ch s  chai rư u b v5 sau khi vn chuyn, thì
X ~ B (1000; 0,0035).
Xác sut ñ có 6 chai rưu b v5: 6 6 994 P( X = 6) = C (0,0035) (0,9965) = 0,07709 1000 Tính gn ñúng:
Vì n =1000 và n.p = 3,5 < 5 , nên có th xem: X ~ Po (3,5) . Do ñó: 6 (3,5) 3,5 P(X 6) e− = ≈ = 0,0771 6!
Xác sut ñ có t 2 ñn 8 chai rưu b v5 8 (3,5)k 3 − ,5
P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0,8543 k = 2 k ! 55 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.25.
Thi gian ñ sn xut m t sn ph(m loi A là mt BNN tuân theo lut
phân phi chu(n vi các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút)
a/ Tính xác sut ñ m t sn ph(m loi A nào ñó ñưc sn xut trong khong
thi gian t 9 phút ñn 12 phút.
b/ Tính thi gian cn thit ñ sn xut m t sn ph(m loi A bt kỳ. Gii.
Gi X là BNN ch thi gian d sn xut mt sn ph(m loi A , X ~ N (10; ) 1 . a/ Xác sut phi tính:  12−10   9−10  P(9 ≤ X ≤12) = Φ  − Φ   1   1  = Φ ( ) 2 – Φ(− ) 1 = Φ( 2) + Φ( ) 1 –1
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui tc 3σ, hu như ch c chn X ly giá tr trong khong: [10 −3 1 × ; 10 + 3 1 × ]= [7; 13]
Vy, thi gian cn thit ñ sn xut mt sn ph(m loi A bt kỳ là t 7 phút ñn
13 phút (hu như chc chn). 3.26.
Cho bin ngu nhiên X tuân theo lut phân phi 2 N ( , µ σ ) . Bit r"ng
X ly giá tr nh hơn 60 vi xác sut 0,1003 và ly giá tr ln hơn 90 vi xác sut 0,0516, hãy tính µ và σ. Gii. Theo gi thit,   60 − µ  Φ    = 0,1003  ( P X < 60) = 0,1003   σ   ⇔   ( P X >90) = 0,0516  90  − µ  1 − Φ   = 0, 0516   σ    µ − 60  Φ µ − 60    = 0,8997 = 1, 28   σ   σ ⇔  ⇔    90 − µ  90 − µ  Φ   = 0,9484 = 1, 64   σ   σ
Vy, µ = 73,15 và σ = 10,27 . 56 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.27.
Đưng kính ca mt loi chi tit do mt máy sn xut có phân
phi chu(n, kỳ vng 20mm, phương sai ( )2
0,2 mm. Tính xác sut ly ngu nhiên mt chi tit
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm.
b/ Có ñưng kính sai khác vi kỳ vng không quá 0,3mm. Gii
Gi X là BNN ch ñưng kính ca mt chi ti t, ta có X N( ( )2 ~ 20; 0,2 )
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm  20,3 − 20   19,9 −20 
P (19,9 < X < 20,3) = Φ  − Φ    0,2   0,2  = Φ(1, ) 5 + ( Φ 0, ) 5 = 0,6247
b/ Có ñưng kính sai khác vi k ỳ vng không quá 0,3mm   P ( X − < ) 0,3 20 0,3 = 2Φ   −1 = 0,8664  0,2  57 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: LÝ THUYT MU 4. 1.
Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ' ña phương A,
ngưi ta ñiu tra s con c a m i gia ñ ình trong 30 gia ñình ñưc chn ngu nhiên
' ña phương A. Kt qu ñưc ghi li như sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a) Hãy lp bng phân phi tn s và tn sut tích lu4 cho d li%u trên mu.
b) Trên mu va nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l%ch chu(n ca SCTMGĐ. Gii:
a) Gi X là BNN ch s con trong mt gia ñình. Bng phân b tn s, tn sut
và tn sut tích lũy cho X t d li%u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 Tn s 3 6 6 6 4 3 1 1 Tn sut
0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033
Tn sut tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000
b) Giá tr trung bình mu là: = 2,67
Giá tr phương sai mu: 2 = 3,2644 Đ l%ch chu(n: 1 = ,81 . 4. 2.
Đ nghiên cu v thâm niên công tác (tính tròn năm) ca nhân viên ' mt
công ty ln, ngưi ta kho sát thâm niên ca 100 nhân viên ñưc chn ngu nhiên
trong công ty. Kt qu như sau: Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 S nhân 8 21 36 25 10 viên
a) Hãy tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu.
b) Gi s# thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên là BNN X có kỳ
vng là 12 năm và ñ l %ch chu(n là 3 năm. Tính xác sut ñ trung bình mu
nhn giá tr  ln hơn 12,5 năm. Gii
Gi X là BNN ch thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 12.24 58 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 3,27 .
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là:  − µ − µ  ( > ) 12,5 12,5 = >
= (> 1,67) = 1− (≤ 1,67) = 0,0478  σ σ  4. 3.
Đ nghiên cu chiu cao ca thanh niên la
tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX, ngưi ta Chiu cao S thanh
ño trên mt m u gm mt s thanh niên ñưc (cm) niên
ch n ngu nhiên ' thành ph LX. Kt qu như sau [154, 158) 10 (ñơ n v cm): [158, 162) 16
a) Tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu. [162, 166) 29
b) Theo tài li%u kho sát trưc ñ ó chiu cao ca [166, 170) 37
nhng thanh niên la tu $i trên tuân theo lut phân [170, 174) 15
phi chu(n vi kỳ vng là µ = 166 cm và ñ l%ch chu(n là [174, 178) 10
σ = 7 cm. Hãy tính xác sut ñ trung
bình mu có giá tr ln 167 cm. [178, 182) 4 Gii:
Gi X là BNN ch chiu cao c a thanh niên la tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 166,55 cm
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 5,865 cm.
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là:  − µ − µ  ( > ) 167 167 = >
 = (> 1,57 ) = 1− (≤ 1,57) = 0,058  σ σ  . 4. 4.
Gi s# ñ tăng theo phn trăm lương hàng năm ca m i công nhân viên
chc trong công ty Alpha tuân theo lut phân phi chu(n vi trung bình 12,2% và 59 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
ñ l%ch chu(n 3,6%. Mt mu ngu nhiên gm 9 phn t# ñưc chn t t$ng th y.
Tìm xác sut ñ trung bình mu nh hơn 10%. Gii:
Gi X là BNN ch ñ tăng lương theo phn trăm. Ta có   ( 2 ~ 12,2; 3,6 ) và − µ = ~ (0,1) σ  − −   −  ( < ) 12,2 10 12,2 10 12,2 10 =  9 < 9 = Φ 9 = 0,0334 .  3,6 3,6   3,6    4. 5.
Đ nghiên cu tu$i th ca m t loi bóng ñ èn, ngưi ta thp th # 100 bóng
ñèn trưc ci tin k4 thut. Sau khi ci tin k4 thu t, ngưi ta thp li 100 bóng.
S li%u có ñưc cho trong b ng sau:
Mu 1: Trưc ci tin Mu 2: Sau ci tin Tu$ i th (gi) S bóng Tu$i th S bóng ñèn (gi) ñèn < 1030 2 1150 10 [1030, 1050) 3 1160 15 [1050, 1070) 8 1170 20 [1070, 1090) 13 1180 30 [1090, 1110) 25 1190 15 [1110, 1130) 20 1200 10 [1130, 1150) 12 [1150, 1170) 10 [1170, 1200] 5 > 1200 2
a) Tính giá tr ñi di%n cho m i lp ' mu 1 và lp bng tn s, tn sut cho mu 1.
b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l%ch chu(n ca hai mu trên. 60 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii: a) (1 ñ) Trưc ci tin Tu$i th Giá tr ñi di%n Tn s Tn sut (gi ) < 1030 1020 2 0,02 [1030, 1050) 1040 3 0,03 [1050, 1070) 1060 8 0,08 [1070, 1090) 1080 13 0,13 [1090, 1110) 1100 25 0,25 [1110, 1130) 1120 20 0,20 [1130, 1150) 1140 12 0,12 [1150, 1170) 1160 10 0,10 [1170, 1200] 1185 5 0,05 > 1200 1215 2 0,02 Tng s 100 1
b) Gi và ln lưt là các BNN ch tu$i th ca bóng ñèn trưc và sau
ci tin k4 thut. Ta có = 1112,15; = 1175,5 ; = 39,26 và = 14,38
Như vy, trung bình mu 1 bé hơn trung bình mu 2 và ñ l%ch chu(n mu 1
ln hơn ñ l%ch chu(n mu 2. 4. 6.
Theo Hi sinh viên ' thành ph LX thì có 60% sinh viên hi%n ñang theo hc
ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi h c. M t mu g m 205 sinh viên ñưc chn
ngu nhiên. Tìm xác sut ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi hc. Gii:
Gi là t l% sinh viên hi%n ñang theo hc ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi hc, = 0,6 .
T l% sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi trên mu là = . 205
Xác sut có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi: 61 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 135   27 
( > 13 ) 5 =  >
 = >   205 205   41  − Vì 0 ~ ( 0, ) 1 1 − 0 ( 0 ) Do ñó  27  −  0  − ( > ) 0 41 135 = >
1 − 1 0 ( 0 ) 0 ( − 0 )     27   27  − − 0,6  0 41   41  =1 − Φ  =1 − Φ 205 
1 −   0,6 1 −0,6 0 ( 0 ) ( )      =1 − Φ(1, ) 71 =1 −0,9564 = 0,0436 4. 7.
Mt mu kích thưc n ñưc thành lp t t$ng th tuân theo phân phi chu(n
vi kỳ vng µ và ñ l%ch chu(n là 8. Hãy xác ñnh n sao cho, v i xác su t b"ng
0,9524, trung bình mu n"m trong khong t µ - 4 ñn µ + 4. Gii: Ta có
( µ − 4 ≤ ≤ µ + 4) = 0,9524
⇔ ( − µ ≤4) =0,9524 (1 ñ)  µ 4  − ⇔ ≤  = 0,9524  σ σ      ⇔ 2Φ  1 − = 0,9524 2     ⇔ Φ  = 0,9762 (1 ñ)  2  ⇔ =1,98 2 ⇒=16 4. 8. 62 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S li%u thng kê cho bit có 40% các h gia ñình ' thành ph A có thu nhp
hàng năm n"m trong khng t 1200 USD ñn 2000 USD. Vy, phi ñiu tra mt
mu gm bao nhiêu h gia ñình ñ, vi xác sut 0,95, t l% các gia ñình có thu nhp
trong khong nói trên, sai l%ch so vi t l% chung ca thành ph không quá 4%? Gii:
Ta có t l% h gia ñình ' thành ph A có thu nhp hàng năm n "m trong khng t
1200 USD ñn 2000 USD là = 0,4 . Gi là t l% mu:
( − 0,4 < 0,0 ) 4 = 0,95   − 0,4 0,04  ⇔ < = 0,95  0, ( 4 1 0, ) 4 0, ( 4 1 0, ) 4  − −    0,04  2   ⇔ Φ −1 = 0,95  0,4(1 0,4)  −    0,04    ⇔ Φ = 0,975  0,4(1 0,4)  −   0,04 ⇔ =1,96 0,4(1− 0,4)
⇔ ≈ 576,24 ⇒ =577 4. 9.
Mt lô hàng ñt tiêu chu(n xut kh(u nu t l% ph ph(m không quá 5%. Nu
kim tra ngu nhiên 100 sn ph(m thì vi t l% ph ph(m thc t ti ña là bao
nhiêu, chúng ta có th cho phép lô hàng ñưc xut kh(u mà kh n ăng không mc sai lm là 95%? Gii: Gi 0
là t. l% ph ph(m thc t ti ña.
Lô hàng ñưc phép xut kh(u mà không mc sai lm khi < . Theo ñ 0 bài:
(< = 0,95 0 )   −0,05 −0,05 0  100 100  ⇔ < = 0.95  0,05(1 0,05) 0,05(1 0,05)  − −   − 0,05 Vì 100 ~ (0, )
1 nên ñ6ng thc trên tương ñương: 0,05 (1− 0,05) 63 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân   −0,05 0 Φ 100  = 0,95  0,05(1 0,05)  −   − 0,05 0 ⇒ 100 = =1,65 0,05 (1− 0,05 ) 0,95 1,65 0,05(1 −0,05) ⇔ = +0,05 ⇔ =0,086 0 0 100 4. 10.
Chiu cao (ñơn v cm) ca mt thanh niên ' thành ph ln A là BNN tuân theo
lut phân phi N(165; 100). Ngưi ta ño ngu nhiên chiu cao ca 100 thanh niên ' thành ph  A (TP.A).
c) Xác sut ñ chiu cao trung bình ca 100 thanh niên ñó l%ch so v i chiu
cao trung bình ca thanh niên TP.A không vưt quá 2cm là bao nhiêu?
d) Nu mun chu cao trung bình ño ñưc sai l%ch so vi chiu cao trung bình
ca t$ng th không vưt quá 1cm vi xác sut không d ưi 99% thì chúng ta
phi tin hành ño chiu cao ca bao nhiêu thanh niên? Gii:
a) Gi là BNN ch chiu cao ca m i thanh niên ' thành ph A. Ta có
~ (165;100) .
Do ñó ~ (165; )
1 và −165 ~ ( 0, ) 1
⇒ (−165 < 2)= 2Φ(2)−1= 0,9545 − 165
b) Gi là s thanh niên cn ño chi u cao. Khi ñó, ~ (0, ) 1 10
Theo ñ bài ta có: ( − 165 < ) 1 ≥ 0,99  165  − ⇔ <  ≥ 0,99  10 10    ⇔ 2 Φ   −1 ≥ 0,99  10    1,99 ⇔ Φ  ≥ = 0,995  10  2 64 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 − ⇒ ≥ Φ ( 0,99 ) 5 = 2,5758 10 ⇒≥ 663,47
CHƯƠNG 5: ƯC LƯNG THAM S 5. 1.
a) Hãy thit lp công thc tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th
trong trưng hp t$ng th  có phân phi chu(n ñã bit ñ l%ch chu(n.
b) Tìm khong tin cy 95% cho trung bình t$ng th X bit X ( 2 ~ µ ,σ ) vi
σ = 3 và mu ñc trưng X có kích thưc n = 25 trung bình mu x = 10 . Gii
a) Vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm khong (x − ;e x +e) sao cho
P ( X − e < µ < X + e) = γ
⇔ P (| X − µ |<e ) = γ  | X − µ |  n ⇔ P n < e  = γ  σ σ      n
⇔ P  |U |< e  = γ  σ    n Vì U ~ N (0, )
1 nên ta có 2Φ (a ) 1 − = γ , a =e σ 1 ⇔ Φ (a) + γ = ⇒ a = u 1 2 + γ 2 n Suy ra: u = e ⇒ e = u . σ 1 γ + 1 γ σ + n 2 2 Vy, khong tin cy σ
γ cho µ là (x −e;x + e) vi e = u . . 1 γ + n 2
b) Áp d,ng công thc trên, khong tin cy 95% cho trung bình ca X là:
(x −e;x + e) σ 3 3 e = u . = u . = u . = 1,176 1+γ 1 0 + ,95 0,975 n 25 5 2 2 65 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vy khong tin cy cn tìm là: (8,824;11,176). 5. 2.
a) Gi s # r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l% ch chu(n
b"ng 500, nhưng chưa bit trung bình. Ngoài ra, tu$i th ca loi bóng ñèn
ñó tuân theo lut phân phi chu(n. Kho sát trên mt mu ngu nhiên gm
15 bóng loi trên, ngưi ta tính ñưc tu$i th trung bình là 8900 gi. Hãy tìm
khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñ èn hình nói trên.
a) Mt t$ng th X có phân phi chu(n. Quan sát mt mu ngu nhiên kích
thưc 25 ngưi ta tính ñư c trung bình là 15 và ñ l%ch chu(n là 3. Hãy ưc
lưng kỳ vng ca X b"ng khong tin cy 95%. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x +e) σ 500 500
Vi x = 8900 , và e = u . = u . = 1,96. = 253 1+ γ 0,975 n 15 15 2
Do ñó ( ) 
b) Khong tin cy cho kỳ vng ca X là: (x -e;x +e ) vi x =15
Vì X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu (n nên: s 3 3 (24 ) (24 ) e = t . = t . = 2,0639. = 1, 24 1+ γ 1+0 ,95 n 25 5 2 2
Vy, khong tin cy cn tìm là ( )  5. 3.
Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng
500, nhưng chưa bit trung bình. Tuy nhiên, trung bình mu b"ng 8900 ñưc
tính trên mu c5 = 35 .
a) Hãy tìm khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñèn hình ñang kho sát.
b) Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên có phân phi
chu(n. Hãy tìm khong tin cy 90% cho trung bình t$ng th. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình: (x − ;
e x + e) , vi x = 8900 và σ 500 500 e = u . = u . =1,96. =165,65 1+γ 0,975 n 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm là: (8734; 9066) (gi). 66 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Khong tin cy 90% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 .
Do X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu(n nên: − s n 500 500 ( ) 1 ( ) 34 e = t . = t . = 1, 6909. = 142,9 1+ γ 1+0 ,9 n 2 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm: (8757; 9043) (gi). 5. 4.
a) Kim tra tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên mt mu ngu nhiên
gm 100 bóng ñèn tính ñưc giá tr trung bình mu là 8900 gi và ñ l%ch
chu(n mu b"ng 500 gi. Hãy tìm khong tin cy 95% cho trung bình t $ng th.
b) Đ tin cy s+ là bao nhiêu nu cùng mu trên sai s ưc lưng b"ng 130 gi. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 . s 500 500 e = u . = u . =1,96. = 98 1+ γ 1+0,95 2 n 2 100 100
Khong tin cy cn tìm: (8802; 8998) (gi).
b) Gi s# γ là ñ tin cy, khi sai s ưc lưng 500 100 = . = 130 ⇒ = 130. = 2, 6 1 γ + 1 100 γ + 500 2 2 1
Tra bng 4 ta tìm ñưc + γ = 0,9953⇔ γ = 0,9906. 2  
(1+ γ = <
 =   < 2,6 v i ~ 0,1 ) 1 ( ) + γ ( ) 2  2 
Vy, ñ tin cy γ = 99,06%. 5. 5.
Khi lưng X ca m t sn ph(m do m t nhà máy sn xut tuân theo lut phân
phi chu(n. Ly mt mu ngu nhiên (không hoàn li) gm 10% ca mt lô hàng
gm 300 sn ph(m ca nhà máy ñó, ngưi ta tính ñưc x = 148,50 gam và s = 35,75 gam.
a) Hãy xây dng công th c tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th hu
hn trong trưng hp ly mu không hoàn li.
b) Tìm khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình ca m i sn ph(m trong lô hàng nói trên. 67 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a) Gi N là kích thưc t$ng th, n là kích thưc mu. σ N −n
Vì ly mu có hoàn li thì X σ = X n N −1 X − µ X − µ N −1
Theo ñnh lý gii hn trung tâm, U = = n ~ N (0, ) 1 σ σ N − n X X U X − µ N −1 Và T = = n ~ t (n 1 − ) / −1 S N −n Y n ( n 1 − ) 2 S 7 ñây 2 Y = ~ χ n −1 2 ( ) σX
Do ñó vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm e sao cho P ( X −µ < e) = γ e N −1
T ñó P( T < a) = γ vi a = n s N − n 1
Suy ra P (T <a) + γ =
vi T là BNN có phân phi student n− 1 bc t  do. 2 Suy ra ( − ) 1 = n a t 1+ γ 2 s N n Vy ta tính ñưc (n − − ) 1 e = t 1+ γ n N − 1 2
b) Theo ñ bài ta có n = 30; s = 35,75; N = 300; x =148,5; γ = 0,95 35, 75 270 Ta tính ñưc (29 ) e = t . = 12,685 1+ 0,95 30 299 2
Khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình là (135,815;161,185) 5. 6.
Mt lô bút bi ca xí nghi%p A sn xu t ra gm 1000 hp, m i hp 10 cây.
Kim tra ngu nhiên 50 hp, thy có 45 cây bút b hng.
a) Tìm khong tin cy 95% cho t l% bút b hng và s bút b hng ca lô hàng.
b) Vi mu trên, nu mun ư c lưng t l% bút hng vi ñ chính xác 1,5%
thì ñ tin cy ñt ñưc là bao nhiêu? Gii
a) Gi p là t l% bút hng ca lô bút. 68 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 45
T. l% bút hng trên mu p = = 0,09 500
Khong tin cy 95% cho t. l% bút hng ca mu: p (1− p) 0, 09(1− 0,09) ( p− ; e p+ ) e vi e = 1 u + 0,95 = 1,96. = 0,025 n 500 2
Khong tin cy 95% cho t. l% bút h ng cn tìm là: (0,065;0,115) và cho s bút
hng là (650;1150 ) (cây).
b) Gi s# e = 0,015 , ta có p(1− p) n u ⇒ 1 = 0,015 u +γ 1 = 0,015 = 1,172 n +γ p (1 − p) 2 2 1 + γ ⇒
=  ⇒ γ =  −1 = 0,7588 =75,88%. 2 5. 7.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Đ ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó ' ñ tin cy 95%, vi
sai s không quá 2 dm thì cn phi quan sát thêm bao nhiêu cây na? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và ñ l%ch chu(n mu s = .
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là: s 1, 206 1, 206 ( x − ;
e x + e) , e = u = u . = 1,65.  1+ γ 0,95 100 10 10 2
Do ñó ()
b) Gi s# n là s cây cn quan sát vi ñ tin cy 95% và sai s không quá 1 0,2 (m) ta có: 1, 45 u ≤ 0, 2 0,975 n1 69 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2   1,206 1, 206 ⇔ n ≥ u ⇔ n ≥ 1, 96. =   139,6 ⇒ n = 140 1 0,975 1 0,2 1  0, 2 
Vy ta cn quan sát thêm ít nht 140 – 100 = 40 (cây) na. 5. 8.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Nhng cây cao t 7 m tr' lên gi là cây loi A. Hãy tìm khong tin cy
95,44% cho t l% cây loi A ca nông trưng. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và phương sai mu 2s =
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là:
(x −e;x +e ), s 1, 2059 1, 2059 e = u = u . = 1,65.  1+ γ 0,95 100 10 10 2
Do ñó K = ()
b) T. l% cây loi A trên mu là: 35 p = = 0,35 100
Khong tin cy 95,44% cho t. l% cây loi A ca nông trưng là: ( p − ; e p + e) p(1− p) vi 0,35.0,65 0,35.0,65 e = u = u = 2. = 0,0954 1 0 + ,9544 0,9772 n 100 10 2
Khong tin cy cn tìm là: (0,2546;0,4454). 5. 9.
Đ sâu ca bin ñưc xác ñnh b"ng mt máy ño có sai s h% thng b"ng 0,
còn sai s ngu nhiên ca nó tuân theo lut phân phi chu(n vi ñ l% ch chu(n 20m.
a) Cn phi tin hành bao nhiêu ln ño ñ xác ñnh ñưc ñ sâu ca bin vi
sai s cho phép không quá 15m ' ñ tin cy 90% ? 70 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Tìm khong tin cy 95% cho sai s ngu nhiên trung bình. Bit r"ng khi
tin hành ño ' m t ña ñim xác ñnh 25 ln ngưi ta tính ñưc sai s ngu
nhiên trung bình mu là 100m. Gii
a) Gi là s ln ño cn thit. 2 2 σ σ 20 Ta có 2 2 e =u ≤15 ⇔n ≥ u = .1, 65 = 4,84 1+γ 2 1 n 15 + γ 225 2 2
Vy cn ño ít nht 5 ln.
b) Khong tin cy 95% cho sai s trung bình ngu nhiên là: σ 20 20
(−;+) vi = . = . = 1,96. = 7,8 1+0,95 0,975 25 5 2
Vy khong tin cy cn tìm là: (92,2;107,8) . 5. 10.
Ngưi ta mun ưc lưng t l% viên thuc b st m trong mt lô thuc rt nhiu viên.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin cy 95% thì phi quan sát ít nht my viên?
b) Quan sát ngu nhiên 200 viên, thy có 20 viên b s t m. Hãy tìm khong
tin cy 95% cho t l% t$ng th. Nu mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ
tin cy 95% thì ph i quan sát ít nht my viên? Gii a) Theo ñ bài ta có: 2 2  u   u  1+ γ 1+0,95 e     ≤ ε = 0,01; 2 2 ⇔ n ≥ = =   2.0,01  0,02         
Vy, phi quan sát ít nht 9604 viên.
b) Gi p là t l% viên thuc b st m. Khong tin cy 95% cho p : ( p − ; e p +e) p (1 − p) 0,1 (0,9 ) 0,09 e = u = u =1,96. =  1 +γ 1 0 + ,95 n 200 200 2 2
Vy khong tin cy 95% cho t l% viên thuc b  st m là: ()
Nu sai s không quá 1% ' ñ tin cy 95% ta cn quan sát bao nhiêu: 71 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2  u  u  1+ γ 1+0,95  2 np( p)  2 . 1  ≥ − =
.0,1.0,9=        0,01  ε     
Vy, phi quan sát ít nht 3458. 5. 11.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày ca mt con bò b"ng khong tin cy 97%.
b) Vi ñ tin cy 97%, có th  nói sn lưng sa trung bình hàng ngày ca
mt con bò nhiu nht b"ng bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Khong tin cy 97% cho SLSHN trung bình: (x −e;x +e) s 1,79 1, 79 Vi e = u . = u . = 2,1707. = 0,39 1+ 0,97 0,985 n 100 10 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b) Ta tìm khong tin cy mt bên: (−∞;x +e) : s 1,79 1, 79 vi e =u =u =1,88. = 0,337 γ 0,97 n 100 10
T ñó suy ra s n lưng sa trung bình hàng ngày nhiu nht: 11,78 + 0,337 =12,117 (kg) 5. 12.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Tìm khong tin cy 90% cho t l% bò cho SLSHN trên 11kg.
 Mun sai s khi ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày không
vưt quá 0,5kg và sai s khi ưc lưng t l% bò cho SLSHN trên 11kg không
vưt quá 12%, vi cùng ñ tin cy 98%, thì cn ñiu tra bao nhiêu con bò? Gii 72 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Gi p là t l% bò cho SLSHN trên 11 kg. 66
T l% này trên mu kho sát là: p = = 0,66 100
Khong tin cy 90% cho p: ( p −e; p +e) Vi p (1− p) 0,66 (1− 0,66) 0,66 (1− 0,66) e = u = u . = 1,6449. = 0,0779 1+0,9 0,95 n 100 100 2
Vy, t l% bò cho SLSHN trên 11 kg t 58,21% ñn 73,79%.
b) Gi n là s bò cn ñiu tra. Ta phi có: 1 2  2 2 s  2 1, 79 n ≥  u . 1 1 0 + ,98 2 n ≥  2,3263 . = 69, 4 1 2  0,5 2  0,5  ⇔  p 1−  p  0,66.0,34 2 ( ) 2 n ≥ u . n ≥ 2,3263 . = 84,33 1 1 0 + ,98 1 2 2  0,12  0,12 2
Chn n = 85. Vy cn ñiu tra 85 con bò. 1 5. 13.
Đ dài ca mt loi chi tit máy ñưc ño 25 ln b"ng mt máy ño có sai s
h% thng b"ng 0. Bit r"ng sai s  ngu nhiên ca vi%c ño có phân phi chu(n vi
phương sai 100cm2 và ñ dài trung bình trong 25 ln ño là 100cm.
a) Hãy tìm khong tin cy 99% cho ñ dài ca loi chi tit máy trên.
b) Phi tin hành bao nhiêu l n ño ñ b rng khong tin cy 99% cho ñ dài
c a loi chi tit máy trên không quá 8 cm. Gii
a) Khong tin cy 99% cho ñ dài chi tit máy nói trên: (x − ;e x +e) . σ 10 10 Vi e = u . = u . = 2,5758. = 5,15 1+γ 0,995 n 25 5 2 Đáp s: (94,85; 105,15).
b) Gi n là s ln ño. Ta cn có: 1
2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 σ ⇔ u . ≤ 4 1+ γ n 2 1 2 2 2   σ σ 100 ⇔ n ≥ u  . = u . = 2,5758 . = 41,47 +γ 2 ( )2 2 1 1 0,995   4 16 16 2 73 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Suy ra, n = 42. 1
Vy, cn tin hành ño ít nht 42 ln. 5. 14.
Gi s# ñưng kính c a mt loi sn ph(m là bin ngu nhiên có phân phi
N(µ, σ2). Đo 10 sn ph(m, ngưi ta có bng s li%u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khong tin cy 95% cho µ và khong tin c y 99% cho µ và σ2. Gii
T s li%u ñã cho ta tính ñưc:
x =  s = 
♣ Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình: − s n  1 9 e = t = t =  1+0,95 0,975 10 10 2 (4,0257; 4  ,5543 )
♣ Khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình: ( 3,9102; 4,6698)
♣ Khong tin cy 99% cho phương sai là: 2 χ (n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (9) 2 9 23,589 1 1 0,99 0,995 ( ) 2 2 2 χ (n − = χ = χ = −γ ) 2 1 − (9) 2 9 1,735 1 1 0,99 0,005 ( ) 2 2 ( n − ) 2
1 s = 9.    (n − ) 2 1 s ( n − ) 2 1 s  ; = 0,0521;0, 7084  2 2 ( ) n 1 n 1  χ − χ −  1+γ ( ) 1−γ ( )  2 2  5. 15.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 74 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên.
b) S+ ñt ñ tin c y bao nhiêu nu mun ưc lưng ñ bn trung bình ca
loi thép trên b"ng khong tin cy có ñ dài b"ng 6? Gii
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: ( x − ; e x + e) s   e = u = u =  = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7)
b) Gi γ là ñ tin cy cn tìm s n 144 Ta có: e = u = 3 ⇒ u = 3. = 3. = 1,0814 1+γ 1 n + γ s 33,0476 2 2 1+ γ ⇒ = 0,86 ⇒ γ = 72% 2 5. 16.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên. b) 2
Thép có ñ bn trên 195kg/mm ñư c gi là thép loi A. Tìm khong tin
cy 98% cho t l% thép loi A. Gii 75 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: s   e = u = u =  = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7 )
b) Gi p là t. l% thép loi A. T l% mu: 27 p = = 0,1875 . 144
Khong tin cy 98% cho p: ( p − ; e p + ) e p (1− p ) 0,1875(1− 0,1875) e = u . = u . 1 0 + ,98 0,99 n 144 2 0,1875(1− 0,1875) = 2,3263. = 0,0106 144
Vy, khong tin cy cn tìm: (0,1769; 0,1981) . 5. 17.
Mc tiêu hao nguyên li%u cho mt ñơn v sn ph(m là mt bin ngu nhiên X
tuân theo qui lut chu (n. Quan sát 28 sn ph(m ñưc chn ngu nhiên, ngưi ta
thu ñưc k t qu cho trong b ng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 s sn ph(m 5 6 14 3
Hãy xây dng khong tin c y 90% cho phương sai t$ng th trong hai trưng hp: a) bit E(X) = 20g; b) chưa bit E(X). Gii  n n   ∑(x − µ x k )2 ∑( − µ k )2 
a) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: =k1 = k 1  ;  2  χ n χ n γ + ( ) 2 1 1 γ − ( )    2 2   2 χ ( n = χ = χ = + γ ) 2 + ( ) 2 28 28 41,337 1 1 0 ,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( ) 2 n = χ = χ = −γ − (28) 2 28 16,928 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 n ∑ (x −µ = k )2 7,25 k 1 =
Khong tin cy cn tìm: 76 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân  7,25 7, 25   ;  = ( 0,175;0, 428)  41,337 16,928     (n−1) 2 s (n− ) 2 1 s
b) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: ;  2  χ n − χ n −  + γ ( ) 2 1 1 1 1− γ ( )   2 2  2 χ ( n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (27) 2 27 40,113 1 1 0,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( n− = χ = χ = −γ ) 2 1 − (27) 2 27 16,151 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 ( n − ) 2 1 s = 5,74  
Khong tin cy cn tìm: 5,74 5,74  ;  =(0,143;0,355) .  40,113 16,151  5. 18.
X (ñơn v tính b"ng %) là ch  tiêu c a mt loi s n ph(m. Điu tra ' mt s
sn ph(m (s.ph), ngưi ta có s li%u: Xi S sn ph(m [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) 5
a) Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và ñ chính xác
0,3% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Ngưi ta xem các sn ph(m có ch tiêu X dưi mt mc qui ñ nh là loi 2.
T s li%u trên, b "ng phương pháp ưc lưng khong t l% (loi 2), ngưi ta
tính ñưc khong tin cy là (4%, 16%). Tìm ñ tin cy ca ưc lưng này. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x =13,52; s = 3,35.
Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và sai s 0,3 ta cn: 77 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2  u  2 1 + γ  u   2  2 0,975 2 n ≥ .s = 
 .s = ×11, 2420 =  1  0,3     0,3   
Vy cn ñiu tra thêm 283 sn ph(m na.
b) Gi p là t l% sn ph(m loi 2 ' mu t khong tin cy γ c a t. l% sn ph(m loi 2 ta có:  p −e =0,04  p =0,1  ⇔   p + e =0,16 e =0,06 Mt khác, p (1− p ) e = u1+γ n 2 p(1 − p) 0,06 0,06 ⇒ u = e / = 100 = 10 = 2 1 +γ n 0,1×0,9 0,3 2
1+ γ =  ⇔ γ 2 5. 19.
Vi%n thng kê mu n ưc lưng t l% p ngưi dân không ñng ý v m t ñiu
lut mi ñưc ñ ngh.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 2% ' ñ tin cy 90% thì phi hi ý
kin ít nht my ngưi?
b) Trên mt mu ngu nhiên 344 ngưi ñưc hi ý kin, có 83 ngưi không
ñng ý. Hãy tìm khong tin cy 90% cho p . Da vào s li%u ca mu này, hãy gii l i câu a). Gii
a) Gi n là s ngưi cn h i ý kin. Ta phi có: 2 2  1   1  n ≥ u .  = u .  = 1691,1 1+0,9 1+0,9  2ε   2.0,02 2 2 
Vy, phi hi ý kin ít nht 1692 ngưi. b) T l% mu: 83 p =
= 0,241. Kho ng tin cy 90% cho p : ( p− ; e p+ ) e 344 p (1− p) 0, 241(1− 0,241) e = u . = 1,6449. = 0,0379 1 0 + ,9 n 344 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (0,2031;0,2789) tc là t 20,31% ñn 27,89%. 78 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gii li câu a), trên cơ s' có mu thăm dò, kích thưc mu cn tìm: p 1− p 0, 241 1− 0,241 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1, 6449 . = 752, 2 1 1+0,9 2 2 ε 0,02 2
Vy, cn hi ý kin ít nht 753 ngưi. 5. 20.
Đ nghiên cu ñư ng kính X (mm) ca mt loi sn ph(m do m t xí nghi%p
sn xut, ngưi ta ño ngu nhiên 100 sn ph(m ca xí nghi%p và có kt qu cho trong bng sau: xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Tn s 8 12 20 30 14 10 6
Theo qui ñnh, nhng sn ph(m có ñưng kính t 9,9 mm ñn 10,1 mm là
nhng sn ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Tìm kho ng tin cy 95% cho t l% và
ñưng kính trung bình c a nhng s n ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Gii
Bng s li%u cho các sn ph(m ñt tckt: xi 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 Tn s 12 20 30 14 10
♣ Gi p là t  l% sn ph(m ñt tckt, t l% này trên mu là: 86 p = = 0,86 100
Khong tin cy 95% cho p : ( p− ; e p+ ) e p (1− p ) 0,86(1− 0,86) e = u . = 1,96. = 0,068 1 0 + ,95 n 100 2
Vy, khong tin c y cho p là: (0,792; 92,8) nghĩa là t 79,2% ñn 92,8%.
♣ Gi X là BNN ch  ñưng kính ca nhng s n ph(m ñt tckt. T s 1 li%u ta có:
x = 9,994; s = 0,06. 1 1
Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình nhng sn ph(m ñt tckt:
(x −e;x + e 1 1 ) s 0,06 1 e = u . = 1, 96. = 0,012 1+ 0,95 n 2 86 1
Khong tin cy cn tìm:(9,982;10,006) (mm). 79 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 21.
X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu ca mt loi sn ph(m.
Kim tra ngu nhiên ' mt s sn ph(m, ngưi ta có kt qu sau: x i 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Đ ưc lưng trung bình ca ch tiêu Y vi sai s cho phép 0,5 cm và ñ
tin cy 90% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Cho bit khong tin cy 96% ca ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n m u ca ch tiêu X. Gii
a) Bng phân b tn s ch tiêu Y: (100, y (90, 95] (95, 100] (105, k 105] 110] n 20 65 29 7 k
T ñó: y = 98,4504; s = 3,89 y
Gi n là s sn ph(m cn ñiu tra: 1 2 2 2   sY 2 3,89 n ≥ u  . = 1, 6449 . = 163,8 1 1+ 0,9 2 2   ε 0,5 2 ⇒ n = 164 1
Vy, cn ñiu tra thêm 43 sn ph(m na. b) Theo ñ bài ta có:
x − e = 1,59 x = 2,1  ⇔  x + e = 2,61 e  = 0,51 s e n Mt khác, 0,51. 121 e = u . ⇒ s = = = 2,732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2 5. 22. 80 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu ca mt loi sn ph(m.
Kim tra ngu nhiên ' mt s sn ph(m, ngưi ta có kt qu sau: x i 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Cho bit khong tin cy 96% ca ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n c a ch tiêu X.
b) Hãy tìm các giá tr x và x . 3 4 Gii
a) Bng d li%u ch tiêu X: Theo ñ bài ta có: x −e = 1,59 x = 2,1  ⇔  x + e = 2,61 e  = 0,51 s e n 0,51. 121
Mt khác, e = u . ⇒ s = = = 2,732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2
b) Bng d li%u ch tiêu X: x 1 2 x x i 3 4 n 36 46 29 10 i
Ta có nx = 36.1+ 46.2 + 29.x +10.x ⇒ 29x + 10x = 126,1 (1) 3 4 3 4 4 2 1  2 2  s = ∑ n x − nx n 1  i i  −  i 1 =  ⇒ (n −1) 2 2 2 2 2 2
s = n x +n x +n x +n x −nx 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2
⇔ n x + n x = (n 1 − ) 2 2 2 2
s −n x − n x + nx 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 2
⇔ 29x +10 x =120.2,732 −36 − 46.4 +121.2,1 3 4 2 2 2 2
⇔ 29x +10 x =120.2,732 −36 −46.4 +121.2,1 =1209, 27 3 4 2 2
⇔ 29x +10x =1209,27 (2) 3 4 T (1) suy ra: 10 x 1 = 26,1 −29 x 4 3 Thay vào (2) ta ñưc: 81 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 ⇔ 29x + (126,1− 29x )2 2 = 1209, 27 3 3 10
⇔ 290x +( 126,1− 29x ) 2 2 = 12092,7 3 3 2
⇔ 1131x − 7313,8x + 3808,51 = 0 3 3 x = 5,9 3 ⇔ x =0,57 3 Vi 126,1 29.5,9 x = 5,9 suy ra x − = = 4 − ,5 (loi) 3 4 10 126,1 29.0,57
Vi x = 0,57 suy ra x − = = 10,957 (nh n). 3 4 10
Vy, x = 0,57 và x = 10,957. 3 4 5. 23.
Mt ging lúa mi ñưc gieo trong 10 ming ñt thí nghi%m có các
ñiu ki%n gi ng nhau, cho các sn lưng tính theo cùng mt ñơn v như sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Bit r"ng sn l ưng lúa là bin ngu nhiên có phân ph i chu(n N(µ, σ2).
Hãy tìm khong tin cy 90% cho µ và σ 2. Gii
T s li%u ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x = 25,4
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 2,24
Khong tin cy 90% cho sn lưng trung bình µ : (x −e;x + e) s  Vi ( ) 9 e = t . = = +  1,3 1 0,9 n  2
Vy, Khong tin cy 90% cho µ : (24,1; 26,7) Khong tin cy 90% cho 2 σ :    (n −1) 2 s (n −1) 2 s  ;  2 2  χ χ  1+0,9 1−0,9   2 2  2 2
 9.2,24 9.2,24   45,1584 45,1584  =  ;  =    ;  = 2, 67; 13,58 2 2 ( ) χ χ      0,95 0,05  5. 24. 82 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Đ ñánh giá tr lưng cá trong m t h ln, ngưi ta ñánh bt 2000 con
cá t h ñó, ñánh du ri th li xung h. Vài ngày sau, h ñánh bt li 400 con
thì thy có 80 con có ñánh du.
a) Hãy ưc lưng tr lưng cá trong h b"ng khong tin cy 95%.
b) Nu mun sai s ca ưc lưng gim ñi mt n#a thì ln sau phi ñánh bt bao nhiêu con cá? Gii
a) Gi p là t l% cá dưc ñánh du trong h. 2000 Khi ñó, p =
vi N là tr lưng cá trong h. N
Khong tin cy 95% cho t l% cá ñưc ñánh du trong h: ( p − e; p + e) . 80 p(1− p) 0, 2 (.1− 0, ) 2 Vi p = và e = u . = u . = 0, 0392 400 1+0,95 0,975 n 400 2
Vy khong tin cy cho p : ( 0,1608;0,239 )
2 tc là t 16,08% ñn 23,92%.
Do ñó, lưng cá trong h ưc lưng khong t 8361 ñn 12438 con.
b) Gi n là s cá cn ñánh bt. Ta có: 1 p 1− p 0,2 1 − 0,2 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1,96 . = 1600 1 1 0 + ,95 (e/ 2)2 ( 0,0392 / )2 2 2
Vy, ln sau cn bt 1600 con. 5. 25.
Mt máy sn xut t ñng có t l% sn xut ra sn ph(m loi A lúc ñu là
48%. Máy ñư c ci tin và sau mt thi gian áp d,ng, ngưi ta ki m tra 40 hp,
m i hp gm 10 sn ph(m và ghi li s sn ph(m loi A trong m i hp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S hp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy ưc lưng t l% sn ph(m loi A sau khi máy ñưc ci tin b"ng khong tin cy 95% Gii
T$ng s sn ph(m loi A trong 40 hp là 215. T l% s n ph(m loi A trên mu kho sát: 215 43 p = = 400 80 83 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Khong tin cy 95% cho t l% sn ph(m loi A: ( p − ; e p + e) p (1− p ) p (1− p ) Vi e = u . = u . 1+0,95 0,975 n n 2 43  43  1− 80  80  1,96  = = 0,0489 400
Vy, t l% sn ph(m loi A t 48,86% ñn 58,64% 5. 26.
Đ nghiên cu s phát trin ca mt loi cây trng, ngưi ta quan tâm ñn
ñưng kính X (cm) và chiu cao Y (m) ca loi cây ñó. Đo chiu cao và ñưng
kính ca 100 cây cùng ñ tu$i ñưc chn ngu nhiên, kt qu thu ñưc cho trong bng sau: yk 3 4 5 6 7 x i (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
a) Tìm khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình ca loi cây này.
b) Đ ưc l ưng ñưng kính trung bình c a loi cây này vi ñ chính xác ñt
ñưc ' câu (a) và ñ tin c y 99% thì cn ño thêm bao nhiêu cây na? Gii
a) Bng phân b tn s cho ñưng kính trung bình ca cây: x (20, (22, 24] (24, 26] (26, 28] i 22] n 5 54 30 11 i
T ñó giá tr trung bình mu: x = 23,94 và ñ l%ch chu(n mu: s =1,52 . X
Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình ca cây: (x − e;x + e) s X 1,52 e = u . = 1,96. = 0, 298 1+0,95 n 2 100
Khong tin cy cn tìm: (23,64;24,24) .
b) Gi s# n là s cây cn ño, ta phi có: 1 84 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 2   s 1,52 X 2 n ≥ u  . = 2,5758 . = 172,6 1 1+0,99 2 2   e 0,298 2 Suy ra, n =173 1
Vy, s cây cn ño thêm là n = 73 cây. t 5. 27.
Đ nghiên cu s phát trin ca mt loi cây trng, ngưi ta quan tâm ñn
ñưng kính X (cm) và chiu cao Y (m) ca loi cây ñó. Đo chiu cao và ñưng
kính ca 100 cây cùng ñ tu$i ñưc chn ngu nhiên, kt qu thu ñưc cho trong bng sau: yk 3 4 5 6 7 x i (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
Nhng cây cao t 6m tr' lên là cây loi A. Hãy ưc lưng t  l% và ñưng kính
trung bình ca cây loi A b"ng khong tin cy 99% (gi thit ñưng kính cây
loi A là bin ngu nhiên phân phi theo qui lut chu(n). Gii
S cây loi A trên mu: 29. Giá tr t l% cây loi mu p = 0,29 .
Khong tin cy 99% cho t l% cây loi A: ( p− ;e p+ ) e p(1− ) p 0, 29(1− 0,29) e = u = 2,5758. = 0,117 1+0,99 n 100 2
Khong tin cy 99% cho t. l % cây loi A là: ( 0,173;0,407) tc là t 17,3% ñn 40,7%. S li%u cho cây loi A: x (22, 24] i (24, 26] (26, 28] n 10 8 11 i
Gi X là ñưng kính cây loi A, µ là ñư ng kính trung bình ca cây loi A. Giá 1 1
tr trung bình mu: x =25,07 , s =1.73. 1 1
Khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình ca cây loi A: (x − ; e x + e 1 1 ) 85 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân s  (28) 1 e = t =  = 0,89 1+0,99 n  2 1
Vy, khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình ca cây loi A: (24,18; 25,96) (cm). 5. 28.
Đ kho sát mc tiêu hao nguyên li%u (tính b"ng gam) ñ sn xut ra mt
ñơn v s n ph(m ca m t nhà máy, ngư i ta quan sát mc tiêu hao nguyên li%u
trên mt mu, và thu ñưc kt qu sau: (ñơn v gam) x 18 19 20 21 22 i n 13 21 27 21 18 i
a) Tìm khong tin cy 98% cho s tin trung bình ñưc dùng ñ mua nguyên
li%u ñ sn xut trong m i quí ca nhà máy. Bit r"ng giá loi nguyên li%u
này là 800 ngàn ñ/kg và sn lưng ca nhà máy trong mt quí là 40.000 sn ph(m.
b) Nu mun ưc lưng s tin trung bình ñ mua nguyên li%u trong m i quí
c a nhà máy b"ng khong tin cy 99% và sai s không quá 8 tri%u ñng thì
phi l y mu vi kích thưc là bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ban ñu ta xây dng ñưc bng sau: x = 20,1 s =1,29
Khong tin cy 98% cho mc tiêu hao nguyên li%u trung bình ca m i sn ph(m: (x − ; e x + e ) s 1,29  e = u = u . =  = 0,3 1+0,98 0,99 n 100 10 2 Do ñó ( x − ;
e x + e) = (19,8;20,4)
T ñó suy ra khong tin cy 98% cho s tin trung bình cho m i quý: ( 3 3
19,8× 4× 8×10 ;20,4× 4× 8×10 ) = (633600;65280 ) 0 (ngàn ñng)
b) Nu sai s ưc lưng s tin trung bình m i quý là 8 tri%u ñng thì sai s 6 ư 8.10
c lưng mc tiêu hao nguyên li%u là ε = = 0,25 (g) 40000.800
Khi ñó kích thưc mu quy ñnh: 2  s n ≥ u .  = 176,65 1 1+0,99  ε 2  Chn n =177 . 1 86 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 29.
Đ nghiên cu lãi sut ngân hàng gia hai nhóm nưc công nghi%p phát
trin và ñang phát trin, ngưi ta ñiu tra lãi sut ngân hàng trong m t năm ca 7
nưc phát trin và 11 nưc ñang phát trin ñưc chn ngu nhiên.
Vi các nưc phát trin, lãi sut trung bình là 17,5% và ñ l %ch chu(n là
3,2%; còn ñi vi các nưc ñang phát trin, lãi sut trung bình là 15,3% và ñ l%ch
chu(n là 2,9%. Vi ñ tin cy 95%, hãy ưc lưng s chênh l%ch v lãi sut trung
bình gia hai nhóm nưc trên. Bit r"ng lãi sut ngân hàng ca ca hai nhóm
nưc trên là các BNN tuân theo qui lut chu(n có cùng phương sai. Gii
Gi X, Y ln lưt là các bi n ngu nhiên ch lãi sut ngân hàng ca hai nhóm
nưc phát trin và ñang phát trin. X, Y tuân theo lut phân phi chu(n vi cùng phương sai.
Theo bài ta có x = 17,5%, s = n = y = s = m = X 3, 2%; 7; 15,3%, Y 2,9%; 11 x − y = 2,2
n− 1 s + m− 1 s X Y 6.3, 2 + 10.2,9 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 Ta tính ñưc s = = =  n + m − 2 16  1 1   1 1  16 2 e = t
s  +  =   +  =  1+ 0,95  n m   7 11 2 
Khong tin cy 95% cho s chênh l%ch lãi sut ngân hàng trung bình gi a hai
nhóm nưc trên là: ( -0,8912%;5,2912%) 5. 30.
Đ nghiên cu lưng tin g#i tit ki%m vào ngân hàng ca hai thành ph, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên 23 ngân hàng ' thành ph A và tìm ñưc lưng tin g#i trung
bình ca m i khách là 1,317 tri%u ñng. 7 thành ph B, nghiên cu 32 ngân hàng,
tìm ñưc lưng tin g#i trung bình ca m i khách là 1,512 tri%u ñng. Hãy ưc
lưng s chênh l%ch trung bình gi a lưng tin g#i tit ki%m trung bình ca dân
hai thành ph A và B b"ng khong tin cy 95%. Bit r "ng tin tit ki%m c a ngưi
dân hai thành ph A và B là các BNN tuân theo lun phân phi chu(n, vi ñ l%ch
chu(n theo th t, là 0,517 tri%u và 0,485 tri%u. Gii
Gi X, Y ln lưt là bin ngu nhiên ch tin g#i ca ngưi dân thành ph A, B.
Ta có x =1,317 , n = 23 , σ = 0,517; y 1
= ,512; m =32; σ =0, 485 . X Y
Khong tin cy 95% cho hi%u trung bình tin g# i tit ki%m ca dân hai thành ph A, B là: (x − y − ;
e x − y + e) t m u và ñ tin cy ta tính ñưc x − y = 1,317− 1,512 = 0,195 87 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 2 σ σ X Y 0,517 0, 485 e = u . + = u + 1+ γ 0,975 n m 23 32 2
Do ñó ( x − y − ;e x − y + e) = ( ) 5. 31.
Mt k4 sư lâm nghi%p nghiên c u chiu cao ca mt loi cây vi gi thit là nó có
phân phi chu(n. Trên mt mu có kích thưc n = 10, anh ta tính ñưc chiu cao
trung bình ca m i cây là 13,78 và khong tin cy 90% ca trung bình t$ng th là
(13,063; 14,497). Không may, b s li%u ca mu b tht lc, anh ta ch còn nh các s sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
Bn có th giúp anh ta tìm li ñưc các s li%u b tht lc không? Gii
Gi s# hai s li%u tht lc là x và y ta có: 108, 9 x y x + + = = 13, 78 10
Suy ra x + y = 137,8− 108,9 = 28,9
Mt khác t khong tin cy và trung bình mu ta tính ñưc e = 0,717 s s 1,8331 Mà ( ) 9 ( ) 9 e = t = t = s = 0,5797s suy ra 1 0 + ,9 0,95 10 10 10 2 e 0,717 s = = = 1, 2368 0,5797 0,5797 Suy ra 2 s = 1,5298 Mt khác 1 1 2 s = ( 2 2 2
1495,01+ x + y −10.13,78 ) = ( 2 2
x + y − 403,87 ) 4 9 9
Như vy ta có h% phương trình: x + y = 28, 9  2 2
x + y = 417, 6422
Gii h% phương trình ta ñưc x =14,59; y = 14,31. 5. 32.
Công ty ABC mun nghiên cu nhu cu tiêu dùng v loi hàng ca
công ty ' mt khu vc có 4000 h  gia ñình, h tin hành ñiu tra v nhu cu ca
mt hàng ñó ' 400 h gia ñình, ñưc chn ngu nhiên ' khu vc ñó. Kt qu ñiu tra như sau: Nhu cu (kg/tháng) S gia ñ ình < 1 10 88 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [1, 2) 35 [2,3) 86 [3,4) 132 [4,5) 78 [5,6) 34 [6,8) 15 > 8 10
a) Hãy ưc lưng nhu cu trung bình v mt hàng này ca toàn khu vc
trong mt năm b"ng kho ng tin cy 95%.
b) Vi mu trên, khi ưc lưng nhu cu trung bình v mt hàng này ca toàn
khu vc trong mt năm, nu mun sai s ưc lưng là 5,7 tn, thì ñt ñưc
ñ tin cy b"ng bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ta tính ñưc: n = 400 ; x =3,6688 (kg/tháng); s =1,5870
Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca m i h là: s N − n 1,5870 3600 (x − ;
e x + e) vi e = u = 1, 96. = 0,1476 0,975 n N − 1 20 3999 Vy (x − ;
e x + e) = (3,5212; 3,8164) .
Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca toàn khu vc:
(3,5212× 4000×12; 3,8164× 4000×1 ) 2 = (169017;18318 ) 7
b) Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca m i h: ( x − ;e x +e)
Do ñó khong tin cy cho nhu cu trung bình ca toàn khu vc là: (x − ;
e x + e)× 4000×12 . Như vy sai s ưc lưng nhu cu trung bình cho toàn khu vc là 4000 1 × 2 ×e . Theo ñ bài 5,7
4000×12e = 5700 ⇒ e = = 0,1188 4×12 T ñó ta có: s N −n n N 1 u . 0,1188 u . − = ⇒ = .0,1188 = 1,578 1+γ 1 n N − 1 + γ s N − n 2 2 1 + γ ⇒
=  ⇔ γ  2
Vy, ñ tin cy cn tìm là 88,54%. 5. 33. 89 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt lô trái cây ca mt c#a hàng ñng trong các st, m i st 100 trái.
Ngưi ta tin hành kim tra ngu nhiên 50 st, thì thy có 450 trái không ñ t tiêu chu(n.
a) Tìm khong tin cy 96% cho t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng.
b) Nu mun ưc lưng t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng, vi
sai s b"ng 0,5% thì ñ tin cy ñt ñưc là bao nhiêu? Gii
a) Gi p là t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng. Giá tr t l% mu: 450 p = = 0,09 5000
Khong tin cy 96% cho p : ( p − ; e p +e) p(1− p) 0,09 (1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0,09 (1− 0,09) = 2,0537. = 0,008 5000
Khong tin cy cho p : (0,082;0,098) tc là t 8,2% ñn 9,8%.
b) Gi s# γ là ñ tin cy cm tìm. Theo ñ bài: p (1 − p ) n e = u . = 0,005 ⇔ u = 0, 005. = 1, 2354 1+ γ 1 n + γ p 1− p 2 2 ( ) 1+γ ⇒ = 0,8917 ⇔ γ = 0, 7833 2
Do ñó ñ tin cy là: 78,33%. 5. 34.
Mt lô trái cây c a m t c#a hàng ñng trong các st, m i s t 100 trái.
Ngưi ta tin hành kim tra ngu nhiên 50 st, thì thy có 450 trái không ñ t tiêu chu(n.
a) Tìm khong tin cy 96% cho t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng.
b) Nu mun ưc lưng t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng, vi
ñ tin cy 99% và sai s không ln h ơn 1%, thì c n kim tra bao nhiêu st? Gii
a) Gi p là t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng. Giá tr t l% mu: 450 p = = 0,09 5000 90 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Khong tin cy 96% cho p : ( p − ; e p +e) p(1− p) 0,09 (1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0,09 (1− 0,09) = 2,0537. = 0,008 5000
Khong tin cy cho p : (0,082;0,098) tc là t 8,2% ñn 9,8%.
b) Gi n là s trái cây cn kim tra. Khi ñó: 1 p 1 − p 0,09 1 −0,09 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 2,5758 . = 5433,9 1 1 0 + ,99 2 2 ε 0,01 2
Do ñó, n =5434 trái, do ñó s st cn kim tra là: S = 5434/100 + 1= 55 (st) 1 [ ] 5. 35.
Mt công ty sn xu t bt git mun thăm dò mc ñ tiêu th, sn ph(m
này trong thành ph H. Công ty tin hành ñiu tra 500 h gia ñình và có kt qu sau: Nhu cu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) 2) 2,5) 3) 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Gi s# thành ph  H có 10.000 h gia ñ ình.
a) Hãy ưc lưng nhu cu bt git trung bình ln nht ca toàn thành ph  H
trong mt năm vi ñ tin cy 96%
b) Đ ưc lưng nhu cu bt git trung bình ca m t h trong mt tháng vi
sai s ưc lưng không quá 50 gam và ñ tin cy 95% thì cn ñiu tra thêm
bao nhiêu h gia ñình na? Gii
a) T d li%u ñã cho ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x =1,803
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 0,6233 Sai s ưc lưng cho khong tin cy 96% là: s s  e = u = =  =  0,96 n n 
Do ñó nhu cu bt gic trung bình c a mt h ln nht là:
x + e =1,803 +0,0488 =1,8518 (kg)
Vy nhu cu ln nht ca thành ph trong mt năm là: 91 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
×× (). 2 2 su  1,96.0,6233  b) 0,975 Ta có u ≤ 0,05 ⇒ n ≥ .s = =   596,9134 0,975   n  0,05   0,05  Suy ra, n =597 1
Vy cn ñiu tra thêm ít nht 97 h na. 5. 36.
Mt công ty sn xu t bt git mun thăm dò mc ñ tiêu th, sn ph(m
này trong thành ph H. Công ty tin hành ñiu tra 500 h gia ñình và có kt qu sau: Nhu cu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) 2) 2,5) 3) 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Gi s# thành ph  H có 10.000 h gia ñ ình.
a) Nhng h có nhu cu trên 2 kg trong mt tháng ñưc gi là nh ng h có
nhu cu sao. Tìm khong tin cy 95% cho t l% nhng h có nhu cu cao ' thành ph H.
b) Đ ưc lưng nhu cu bt git trung bình ca m t h trong mt tháng vi
sai s ưc lưng không quá 50 gam và ñ tin cy 95% thì cn ñiu tra thêm
bao nhiêu h gia ñình na? Gii
a) T d li%u ñã cho ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x =1,803
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 0,6233 Giá tr t l% mu: 140 p = = 0, 28 500
Khong tin cy 95% cho t. l% nhng h có nhu cu cao: ( x − ;e x+ e) p(1− p) sai s e = u . = u .0,0201 =  1+ γ 0,975 n 2
Khong tin cy 95%: (0,2406;0,3194 ) 2 2 su    b) 1,96.0,6233 0,975 Ta có u ≤ 0,05 ⇒ n ≥  .s  =   = 596,9134 0,975 n  0,05   0,05  Suy ra n = 597 1
Vy cn ñiu tra thêm ít nht 97 h na. 92 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 37.
Đ ñánh giá mc tiêu hao nhiên li%u ca mt loi xe ô tô, ngưi ta theo
dõi lưng tiêu hao nhiên li%u (lít/100 km) ca 100 chuyn xe và có kt qu sau: Lưng tiêu [55; 60) hao
[35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) S chuyn xe 14 20 36 22 8
a) Tìm khong tin cy 95% cho lưng tiêu hao nhiên li%u trung bình ca loi xe nói trên
b) Xe cn ñưa vào ki m tra k4 thut là xe có mc tiêu hao nhiên li%u t 55
lít/100 km tr' lên. Hãy ưc lư ng t l% xe cn ñưa vào kim tra k4 thut ti
thiu ' ñ tin cy 95%. Gii
a) Gi X là bin ngu nhiên ch mc tiêu hao nguyên li%u cho m i chuyn
xe. T s li%u trên ta xây dng ñưc bng sau: x = 47 5 1   2 2 2 s =
∑n x −nx  = i i  99  i 1  = s   e = u . = u . =   1+ γ 1+0,95 n 2 2 100 100
Do ñó khong tin cy 95% cho lưng tiêu hao nguyên li%u trung bình: (45,88;48,12)
b) T. l% xe cn kim tra k4 thut ca mu: 8 p = = 0,08 100
T l% xe cn ñưa vào kim tra k4 thut ti thiu ' ñ tin cy 95% là p ≥ p − e p (1− p ) vi 0,08.0,92 e = u = u = 0,045 γ 0,95 n 10
Suy ra p ≥ 0,08 − 0,045 = 0,035 . 93 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 6: KIM ĐNH GI THIT 6. 1.
Trong mt cuc ñi u tra v nhp mch ca 64 thanh niên làm ngh A, kt qu
là nhp mch trung bình 74 ln/phút và ñ l%ch chu(n b"ng 9 ln/phút. Hãy kim
ñnh xem ñc ñim ngh A có làm cho nh p mch ca thanh niên tăng quá mc
bình thưng không, bit r"ng nhp mch bình thưng ca thanh niên là 72 ln /
phút. ( kt lun v i mc α =1% ). Gii:
Gi X là bin ngu nhiên ch nhp m ch ca thanh niên làm ngh A. Ta cn kim ñnh gi thit:
H : µ = 72; H : µ > 72 , ' mc α = 1% . 0 1 X Nu − 72
H ñúng thì bin ngu nhiên U = 64 ~ N (0, ) 1 . 0 s
Vi α =1%, gtth = u = u = 2,5758. 1 α − 0,99 74 − 72 16
Vi mu c, th ta có u = .8 = = 1,778 < gtth . 9 9
Vy, ta chp nhn gi thit H nghĩa ngh A không làm tăng nhp ñ p ca thanh 0 niên. 6. 2.
Điu tra Cholesterol toàn phn trong huyt thanh c a 25 b%nh nhân b
mt loi b%nh B, ta có trung bình cng ca lưng Cholesterol là 172 mg% và ñ
l%ch chu(n b"ng 40 mg%. Theo tài li %u v h"ng s sinh hoá bình thưng ca
ngưi Vi %t Nam thì lưng Cholesterol trung bình toàn phn trong huyt thanh là
156 mg% và tuân theo lut phân ph i chu(n.
Hi lưng Cholesterol ca các b%nh nhân mc b%nh B có cao hơn bình thưng
không? (kt lun ' mc α = 5% ) . Gii: Kim ñnh gi thi t
H : µ = 156 mg% ; H : µ > 156 mg ' m c α = 5% . 0 ( ) 1 ( ) Nu X −156
H thì bin ngu nhiên T = 25 ~ t( 2 ) 4 0 S
Vi mc α = 0,05 ta có (24) (24 ) t = t =1,7109 1−0,05 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: 172 1 − 56 24 t = 5 =2 > t
. Vy H b bác b nghĩa là lưng Cholesterol c a b%nh 0,95 40 0
nhân mc b%nh B cao hơn bình thưng. 6. 3.
Mt công ty bào ch mt loi thuc cha d ng tuyên b r"ng thuc
ca h có hi%u qu không dưi 90% trong vi%c làm gim cơn d ng trong vòng 8
gi. Mt mu gm 200 ngưi b d ng s# d,ng loi thuc trên, có 160 ngưi
gim cơn d ng. Hãy xác ñnh xem li tuyên b ca công ty có giá tr không? ( ' mc ý nghĩa α = 0,07). Gii: 94 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi p là t  l% ngưi gi m d ng khi dùng thuc ca công ty trong vòng 8 gi. Ta
cn xác ñnh xem p có b"ng 90% tr' lên hay không. Mun vy ta kim ñnh gi thit:
H : p = p = 90%; H : p < p = 90% ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α = 0,07. P − p
Nu H ñúng thì bin ngu nhiên 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 p 1 − p 0 ( 0 )
Vi mc α = 0,07 ta có gtth = u − = u − = −1, 4758 . 1 −α 0,93 Vi mu c, th ta có: 160 / 200 −0,9 u = 200 = 4 − ,714 < gtth = 1 − , 4758 . 0,9.0,1
Vy ta bác b gi thit H nghĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr. Kt lun 0 ' mc ý nghĩa 0,07. 6. 4.
(3 ñim) Trưc ñây, Nhà máy Alpha sn xut ra mt loi sn ph(m vi
t l % ph ph(m 5%. Năm nay, sau ñt ci tin k4 thut, ñ kim tra hi%u qu, ngưi
ta ly ra ra mt mu g m 800 sn ph(m ñ kim tra thì thy có 24 ph ph(m.
a) Vi mc ý nghĩa α = 5%, hãy kim ñnh xem ñt ci tin k4 thut có
thc s làm gim t l% ph  ph(m không?.
b) Sau ñt ci tin k4 thu t, nu nhà máy báo cáo t l% ph ph(m là 2% thì
có chp nhn ñưc không? (' mc ý nghĩa α = 3%). Gii:
a) Gi p là t. l% ph ph (m sau ñt ci tin kĩ thut, t l% mu . Ta cn kim ñnh gi thit sau:
H : p = p = 5%; ñi thit H : p < p ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α = 5%. Nu P − p H ñúng thì 0 U = n ~ N (0,1) 0 p 1− p 0 ( 0 )
Vi mc α =5% ta có gtth = u − = u − = 1 − ,65 . 1−α 0,95
Vi mu c , th ta tính ñưc p − p 0,03 − 0,05 0 u = n =
800 = −2,6 < gtth p 1− p 0,05.0,95 0 ( 0 )
Vy, ta bác b H nghĩa là ñt ci tin kĩ thut tht s làm gim t. l% ph 0 ph(m.
b) Ta kim ñnh gi thit H : p = p =2%; ñi thit H : p ≠ p ' mc 0 0 1 0 α =3% . Nu P − p H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 . 0 ( ) p 1 − p 0 ( 0 ) 95 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vơi s mc α =3% ta có gtth = u = u = 2,17 . α 0,985 1− 2
T mu c, th ta tính ñưc. p − p0 0,03 − 0,02 u = n = 800 = 2,02 < gtth p 1− p 0,02.0,98 0 ( 0 )
Vy ta ch p nhn H nghĩa là chp nhn li tuyên b ca công ty. 0 6. 5.
Tin lương hàng tun trung bình trên mt mu gm 30 công nhân trong
mt xí nghi%p ln là 180 (ngàn ñng) vi vi ñ l%ch chu(n 14 (ngàn ñng).
Trong mt xí nghi%p ln khác, mt mu g m 40 công nhân ñưc chn ngu nhiên
có tin lương hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñng) vi ñ l%ch chu(n 10 (ngàn
ñng). Tin lương hàng tun trung bình ' hai xí nghi%p trên có khác nhau không?
( ' mc ý nghĩa α = 5%). Gi s# tin lương hàng tun ca hai xí nghi%p là bin
ngu nhiên có phân phi chu (n có cùng phương sai.
Gii: Gi X, Y là tin lương hàng tun ca m i công nhân ca hai xí nghi%p
trên tương ng. Kim ñnh gi thit H : µ = µ ; H : . 0 µ ≠ µ ' mc α = 5% X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì T =
~ t( n + m −2) 0 2 S ( 1 1 n + m ) 2 2 n − S + m − S vi 2 ( 1) ( 1) X Y S = n + m − 2 vi mc α = 5% ta có ( n+ m− ) 2 ( 6 ) 8 gtth =t = t =1,9955 α 0,975 1−2 2 2 . + .
Vi mu c , th ta tính ñưc 2 29 14 39 10 s = = 140 9 , 4 78 x − y 180 −170 Do ñó t = =
= 3,4876 > gtth tn 2 s ( 1 1 n +   m ) 1 1 140,94  +   30 40 
Vy ta bác b  H nghĩa là tin lương hàng tun trung bình ' hai xí nghi%p 0 trên là khác nhau. 6. 6.
Gi X và Y ln lưt là bin ngu nhiên ch khi lưng ca tr sơ sinh
trai và tr sơ sinh gái. Cho bit X và Y tuân theo lut phân phi chu(n có cùng
phương sai. Kho sát ngu nhiên 20 tr sơ sinh trai, ngưi ta tính ñư c x = 3200
g, s = 400 g và 17 tr sơ sinh gái, ngưi ta tính ñưc y = 3000 g, s = 380 g. X Y
Phi chăng khi lưng ca tr sơ sinh trai ln hơn khi lưng ca tr sơ sinh gái?
(kt lun vi m c ý nghĩa α = 5%) Gii: 96 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Kim ñnh gi thit H : µ = µ ; H : µ > µ ' mc α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì T =
~ t( n + m −2) 0 2 S ( 1 1 n + m ) 2 2 n − S + m − S vi 2 ( 1) ( 1) X Y S =
; n = 20; m =17 . n + m − 2 Giá tr ti hn (n+ m− 2) 35 gtth = t = t = 1, 6896 1−α 0 9 , 5 2 2 . + .
Vi mu c , th ta có 2 19 400 16 380 s = =152868 5 , 7 35 x − y 3200− 3000 t = =
= 1, 55 < gtth tn 2 s ( 1 1 n +   m ) 1 1 152868,57  +   20 17 
Ta chp nhn H nghĩa là trng lưng ca tr sơ sinh trai không ln hơn 0
trng lưng ca tr sơ sinh gái (α = 5%). 6. 7.
Khi lưng ca mt loi s n ph(m do mt nhà máy sn xut là mt
bin ngu nhiên tuân lut phân ph i chu(n N(500; (8,5)2). Sau mt thi gian sn
xut, ban lãnh ño nhà máy nghi ng r"ng khi lưng ca loi sn ph(m này có xu
hưng gim, nên tin hành cân th# 25 sn ph(m và thu ñư c kt qu sau: Khi lưng (g) 480 485 490 495 500 510 S sn ph(m 2 3 8 5 3 4
Vi mc ý nghĩa α = 5% , hãy cho kt lun v ñiu nghi ng trên. Gii:
T s  li%u ta tính ñưc x = 494 ; s = 8,9 n = 25 .
Ta kim ñnh gi thit H : µ = µ = 500;H : ' mc α = 5% . 0 0 1 µ < µ 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N 0 1
, vi n = 25;σ =8 5 , ;µ =500 0 ( ) σ 0
Vi mc α =5% ta có gtth = u − = u − = − , −α , 1 65 1 0 95
Vi mu c, th giá tr ca U là 494 −500 u = 5 . = −3 5
, 3 < gtth nên H b bác 8,5 0
b nghĩa là ñiu nghi ng trên là ñúng. 6. 8.
Mt công ty mu n ñánh giá v hi%u qu c a mt ñt qung cáo ñi vi
s sn ph(m bán ra ca công ty. 10 c#a hàng bán sn ph(m ca công ty ñưc chn
ngu nhiên ñ theo dõi s lưng sn ph(m bán ra trong m t tun trưc ñt qung
cáo (TĐQC) và mt tun sau ñ t qung cáo (SĐQC). C#a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân hàng TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111 SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho kt lun v hi%u qu ca ñt qung cáo (' mc α = 5%). Gii:
Gi D là hi%u s gia s sn ph (m bán ra sau qung cáo và trưc qung cáo
ca m i ca hàng. Bng hi%u s: D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33
T ñó ta tính ñưc d = 21;s = 32,98 . D
Ta c n kim ñnh gi thit sau ' m c α = 5% .
H : µ = 0; H : µ > 0 0 D 1 D Nu D n
H ñúng thì T = ~ t n 0 ( − ) 1 SD Vi α 9 = 5% ( ) gtth = t =  1−α Vi mu c , th ta có 21 10 t = = 2,01> gtth 32,98
Nên H b bác b. 0
Vy, ñt qung cáo tht s làm tăng s lưng sn ph(m bán ra.
6. 9. M t máy sn xut t ñ ng có t l% sn xut ra sn ph(m loi A lúc ñu là
48%. Máy ñư c ci tin và sau mt thi gian áp d,ng, ngưi ta ki m tra 40 hp,
m i hp gm 10 sn ph(m và ghi li s sn ph(m loi A trong m i hp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S hp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho kt lun v hi%u qu c a vi%c ci tin máy ' mc ý nghĩa α = 0,05. Gii:
Gi là t l% sn ph(m lo A sau ñt ci tin k4 thut.
T l% sn ph(m loi A trên mu kho sát: 215 43 p = = 400 80
Kim ñnh gi thi t:
H : p = p = 48%; H : p > p ' mc α = 5% . 0 0 1 0 98 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Nu H ñúng thì BNN 0 P − p0 U = n ~ N ( 0, ) 1 p 1− p 0 ( 0 )
Vi mc ý nghĩa α =0,05 giá tr ti hn b "ng: u =u =1,6449 1 α − 0,95
Vi mu c, th, ta tính ñưc: 43 −0,48 p − p 0 80 u = n = 400 = 2,3018 p 1− p 0, 48 1− 0,48 0 ( 0 ) ( )
Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa là vi%c ci tin k4 thut tht s mang li hi%u 0 qu.
6. 10. Khi lưng trung bình khi xut chung ' mt tri chăn nuôi gà công nghi%p
năm trưc là 3,3 kg/con. Năm nay ngưi ta s# d,ng loi thc ăn mi. Sau mt thi
gian, cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thit khi lưng gà là bin ngu nhiên phân ph i theo qui lut chu(n v i phương sai 0,04.
Vi mc ý nghĩa α = 0,05, hãy cho kt lun v tác d,ng ca loi thc ăn mi. Gii:
Gi X là BNN ch kh i lưng gà khi xu t chung. Theo gi thit X N ( 2 ~
µ;0, 2 ) . T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x = 3,62; s = 0,405 .
Nu thc ăn mi có tác d,ng tt thì khi lưng trung bình c a gà xut
chung năm nay s+ cao hơn. Mu n kt lun v ñiu ñó ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 3,3  ; H : µ > µ ' mc ý nghĩa α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α =0,05 gtth = u = u = u = 1,6449 1− α 1= 0,05 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: x − µ 3,62 − 3,3 0 u = n = 15 = 6,2 σ 0,2
Vì u > gtth nên H b bác b . 0
Vy, khi lưng trung bình ca gà xut chung năm nay cao hơn năm trưc, nghĩa
là thc ăn mi có tác d,ng tăng trng lưng gà.
6. 11. Đ ñiu tra kh i lưng gà xut chung ' mt tri chăn nuôi gà công nghi%p
năm nay. Ngưi ta cân th# 15 con khi xut chung, có các s li%u sau: (ñơ n v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thit khi lưng gà là bin ngu nhiên phân ph i theo qui lut chu(n v i phương sai 0,04.
Có nên báo cáo khi l ưng trung bình ca gà xut chung năm nay là 3,7 kg/con
hay không? (' mc ý nghĩa α = 0,05). Gii:
Gi X là BNN ch kh i lưng gà xut chung năm nay. Kim ñnh gi thi t
H : µ = µ =3,7 kg ; H : µ ≠ µ ' mc α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α =0,05 gtth = u = u = u = 1,96 1− α / 2 1= 0,025 0,975
Vi mu c, th ta tính ñưc: x − µ 3,62 − 3, 7 0 u = n = 15 = −1,55 σ 0,2
Vì |u |< gtth nên H không b bác b. 0
Vy, ' mc ý nghĩa 5% ta công nhn báo cáo ca tri chăn nuôi.
6. 12. M t cuc ñiu tra ca Hi ph, n ñ ñánh giá v mt dư lun xã hi cho
r"ng lương ca ph, n  thp hơn lương ca nam gii. M t mu nhiên gm 4 ñàn
ông có lương trung bình là 78,0 (ngàn ñng), vi ñ l%ch chu(n mu là 24,4; mt
mu ngu nhiên khác ñc lp vi mu trên gm 4 ph, n có lương trung bình là
63,5 (ngàn ñng), vi ñ l%ch chu(n là 20,2. Gi s# r"ng lương ca c nam và n
gii ñu là các bin ngu nhiên tuân theo lut phân phi chu(n có cùng phương
sai. Hãy cho kt lun v cuc ñiu tra trên ' mc ý nghĩa 10%. Gii:
Gi X ,Y theo th t là lương ca ñ àn ông và ph, n. Ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ H µ > µ ' m c α = 10% . X Y ; : 0 1 X Y Nu X − Y
H ñúng thì BNN U =
~ t (n + m − 2) 0 2 1 1  S  +  n m  2 2
n − 1 S + m − 1 S Vơi 2 ( ) X ( ) Y S = n+ m− 2
Vi mc ý nghĩa α =10%, (n+ m 2 − ) (6) gtth = t = t =  1−α 0,9 Vi mu c, th: 2 2 s = 22,4 Và x − y 78 − 63,5 t = = = 0,915 2  1 1  2  1 1  s + 22,4 +      n m   4 4  100 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vì t < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, kt lu n ca cuc ñiu tra chưa ñúng.
6. 13. Ngưi ta mun nghiên cu tác d, ng ca vi%c cho sinh viên ñi thc t xem
s tip thu kin thc có tt hơn không b"ng cách so sánh ñim thi ca nhóm sinh
viên không ñi thc t (SVKĐTT) vi nhóm sinh viên có ñi thc t (SVCĐTT). Kt qu như sau: Đim 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SVCĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1 SVKĐTT 3 3 6 1 7 13 10 12 4 1 3 1
Gi X và Y ln l ưt là bin ngu nhiên biu th ñim s ca sinh viên có ñi
thc t và sinh viên không ñi thc t.
Đim thi ca nhóm sinh viên có ñi thc t có thc s tt hơn không? (kt
lun ' mc ý nghĩa α = 0,01 ) Gii:
Kim ñnh gi thit H : µ = µ ;H : α = 0,01 0 X Y 1 µX > ' mc ý nghĩa Y µ Nu X − Y
H ñúng thì BNN U = ~ N 0 1 , 0 ( ) 2 2 s s X Y + n m Vi α = 0 0
, 1 ta có gtth = u = u = u =  1−α 1− 0, 01 0, 99
Vi mu c , th ta tính ñưc
T bng s li%u ta có: n = 67 x =5 8 , 5 ; s
; m = 73; y = 4,88; s = , . Y 2 39 X = 2 5 8 , 5 −4 8 , 8 u = = , > gtth tn 2 6116 2 2 2 2,39 + 67 73
Nên H b bác b nghĩa là SVCĐTT có ñim cao hơn SVKĐTT. 0
6. 14. M t công ty vn ti, mun ñánh giá tác d,ng ca mt loi cht ph, gia pha
vào xăng, ñã chn 10 chic xe. Cho m i chic chy hai ln vi cùng ñiu ki%n
như nhau; nhưng ln ñu vi xăng không có cht ph, gia (KPG), ln sau, vi cùng
mt lưng xăng như ln ñu, có cht ph, gia (CPG). Ngưi ta ghi li s dm ñã
ñi ñưc ca 10 chic xe trên trong hai ln như sau: Xe KPG CPG Xe KPG CPG 101 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 26,2 26,7 6 15,8 15,7 2 25,7 25,8 7 13,9 14,2 2 22,3 21,9 8 12,0 12,6 4 19,6 19,3 9 11,5 11,9 5 18,1 18,4 10 10,0 10,3
Có s khác nhau gia s dm trung bình ñi ñưc vi xăng không có cht ph,
gia và có cht ph, gia không? (kt lun ' mc ý nghĩa 5%) Gii:
Gi X ,Y ln lưt là các BNN ch s dăm ñi ñưc ca xe KPG và xe CPG.
Đt D = X −Y . Bng s li%u cho D : Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3 i
T ñó ta tính ñưc: d = −0,17, s = 0,3368 D
Đ xét xem khác nhau v  s  dm trung bình gia xe KPG và xe CPG ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = 0; µ ≠ 0 ' mc α = 5% . 0 D D D
Nu H ñúng thì BNN T = 10 ~ t (9 ) 0 S D Vi α = 5% = 0,05: (9) ( ) 9 gtth = t = t = 2,2622 0,05 0,975 1− 2 Vi mu c , th ta có: 0 − ,17 t = 10 = 1,596 0,3368
Vì | t |< gtth nên H ñư c chp nhn. 0
Vy, ' mc ý nghĩa α = 5% không có s khác nhau gia s dm trung bình
ñi ñưc vi xăng không có cht ph, gia và có cht ph, gia.
6. 15. Khi lưng bao go (KLBG) là bin ngu nhiên có phân phi chu(n N (50;0,0 )
1 . Có nhiu ý kin ca khách hàng ph n ánh là khi lưng b thiu. Mt
nhóm thanh tra ñã cân ngu nhiên 25 bao go trong kho và ñưc kt qu  như sau:
KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5] S bao go 2 5 10 6 2
Hãy kim ñnh xem ý kin ca khách hàng phn ánh có ñúng không? (kt
lun ' mc ý nghĩa α = 5%). Gii: 102 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi X là BNN ch khi lưng bao go. T s li%u ñã cho ta tính ñưc
x = 49,27; s = 0,53 .
Ta kim ñnh gi thit sau:
H :µ = µ = 50  ; H :µ < µ ' mc ý nghĩa 0 0 ( ) 1 0 α = 5% X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α = 5% gtth = u − = −1,6449 1− 0,05 Vi mu c, th: 49,27 −50 = 25 = − 36,5 0,1
Vì u < gtth nên H b bác b. Nghĩa là ý kin ca khách hàng phn ánh là ñúng ( 0 α = 5%).
6. 16. Mt mu gm 300 c# tri ' khu vc A và mt mu gm 200 c# tri ' khu vc
B cho thy có 56% và 48%, theo th t, ng h ng c# viên X. 7 mc ý nghĩa
5%, hãy kim ñnh gi thit:
a) Có s khác bi%t gia hai khu vc v s ng h ng c# viên X.
b) :ng c# viên X ñưc ng h hơn ' khu vc A. Gii:
Gi p và p theo th t là t. l% ng h ng c# viên X ' khu vc A và B. A B
a) Ta kim ñnh gi thit H : p = p ; H : p ≠ p ' mc ý nghĩa α =5% . 0 A B 1 A B P − P Nu H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , vi 0 ( )  1 1  p 1− p 0 ( 0 )  +   n m np +mp A B p = = 0 5 , 28 0 n + m
Vi α = 5% ta có gtth= u = u = 1 9 , 6 α 0,975 1− 2 0 5 , 6 −0 4 , 8
Giá tr th c nghi%m u = =1 7 , 55 < gtth  1 1 
0, 528. 0, 472 +   300 200 
Do ñó H không b bác b ngh ĩa là s khác nhau gia t. l% ng h gia hai 0
khu vc A, B ñi vi ng c# viên X không có ý nghĩa v mt thng kê.
b) Ta kim ñnh gi thit H : p = p ; H : p > p ' mc ý nghĩa α =5% . 0 A B 1 A B Nu P − P H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , 0 ( )  1 1  p 1− p 0 ( 0 )  +   n m  103 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân np + mp A B p = = 0 5 , 28 0 n + m
Vi α = 5% ta có gtth =u =u 1 = ,65 1−α 0 9 , 5 0,56 − 0,48 u =
= 1,755 > gtth  1 1 
0,528.0,472 +   300 200 
Nên H b bác b nghĩa là ng c# viên X ñưc  ng h nhiu hơn ' khu vc 0 A.
6. 17. Điu tra ngu nhiên 200 ngưi có hút thuc lá, thy có 28 ngưi b lao
ph$i; 170 ngưi không hút thuc lá, thy có 12 ngưi b lao ph$i. T l% lao ph$i
gia nhng ngưi có và không hút thuc lá có khác khau không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 1%). Gii:
Gi p , p ln l ưt là t l% lao ph$ i nhng ngưi có hút thuc lá và không 1 2
hút thuc lá. Ta kim ñnh gi thi t sau:
H : p = p ; H : p ≠ p ' mc α = 1% . 0 1 2 1 1 2 P −P
Nu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0, ) 1 0  1 1  p 1− p  + 0 ( 0 )   n mnp + mp Vi 28+ 12 40 4 1 2 p = = = = 0 n + m 370 370 37
Vi mc α =1% , gtth = u = u = 2,5758 α 0,995 1−2 Vi mu c, th ta có: 28 12 p p − − 1 2 200 170 u = = = 2,1428  1 1  4  4   1 1  p 1− p  +  1  −   + 0 ( 0 )   n m  37  37  n m
Ta có | u |< gtth nên H không b bác b nghĩa là t  l% lao ph$i gi a nhng 0
ngưi có và không hút thuc lá không khác khau (α = 1%).
6. 18. Mt nhà máy có hai phân xư'ng A và B cùng sn xu t mt loi tr,c máy.
Sau mt thi gian hot ñng, chn ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A sn
xut, ngưi ta ño ñưc ñưng kính ca chúng như sau (ñơn v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. 104 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi s# ñưng kính ca các tr,c máy ' hai phân xư'ng A và B tuân theo lut
phân phi chu(n có cùng phương sai.
Đo ngu nhiên ñưng kính 20 tr,c máy do phân xư'ng B sn xut, ngưi ta
tính ñưc ñưng kính trung bình là 249,8 vi phương sai 56,2. Hãy kim ñnh, '
mc ý ngh ĩa α = 5%, gi thit H cho r"ng ñưng kính trung bình các tr,c máy 0
ñưc sn xut ' hai phân xư'ng là như nhau ñi vi gi thit H cho r"ng chúng 1 khác nhau. Gii:
Gi X ,Y ln lưt là ñưng kính tr,c máy do phân xư'ng A, B tương ng sn xut. Kim ñnh gi thi t
H : µ = µ ; H : µ ≠ µ ' mc ý nghĩa α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì BNN T =
~ t( n+ m−2) 0 2  1 1  S  +   n m
n− 1 S + m− S X 1 2 ( ) 2 ( ) 2
Vi n =20; m =20 và Y S = n + m − 2
Vi ' mc ý nghĩa α = 5%, (n+m− ) 2 ( 38) gtth = t = t =  α 0,975 1− 2
Vi m u c, th: x = 251,25 và s = 7,7111 X 2 2 2 s + s 2 19. + X 19 Y 19.7, 7111 19.56, 2 s = = = 57,83 38 38 x − y 251, 25 − 249,8 t = = = 0,6029 2  1 1   1 1  s  +  57,83  +   n m   20 20 
Vì |t |< gtth nên H ñư c chp nhn.Đưng kính trung bình các tr,c máy ñưc 0
sn xut ' hai phân xư'ng là như nhau (' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 19. Phân xư'ng A ca mt nhà máy sn xut mt loi tr,c máy. Sau mt thi
gian hot ñng, chn ngu nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A sn xut, ngưi ta
ño ñưc ñưng kính c a chúng như sau (ñơn v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Gi s# ñư ng kính ca các tr,c máy ca phân xư'ng A tuân theo lut phân
phi chu(n. Bit ñưng kính c a mt tr,c máy do phân xư'ng A sn xut, theo qui
ñnh là 250 mm. Hãy cho kt lun v cht lưng sn xut ca phân xư'ng A ' mc ý ngh ĩa α = 5%. 105 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii:
Gi X ln lưt là ñư ng kính tr, c máy do phân xư'ng A sn xut. T s li%u ta có:
x = 251, 25 và s = 7,7111
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 250;H : µ ≠ µ ' mc α = 5%. 0 X 0 1 X 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 T =
n ~ t( n 1 − ) 0 S Vi m c α = 5% (19) (19 ) gtth = t = t = 2,0930 α 0,975 1− 2 Vi m u c, th ta có: 251,25 250 t − = 20 =0,786 7,111
Vì | t |< gtth nên H ñư c chp nhn. Do ñó Tình hình sn xut c a phân 0
xư'ng A bình thưng (kt lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 20. Sn ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuyt tt trung bình cho
mt sn ph(m là 3. Sau mt ñ t ci tin k4 thut, ngưi ta ly ngu nhiên 36 sn
ph(m ñ kim tra s khuyt t t trên m i sn ph(m (SKTTMSP). Kt qu thu ñưc như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S  sn ph (m 7 4 4 6 8 6 1
Hãy cho kt lun v hi%u qu ca ñt ci tin k4 thut ñi vi s khuyt tt
trung bình ca mt sn ph(m ' mc ý nghĩa α = 10%. Gii:
T s li%u ta tính ñưc x = 2,7222; s = 1,86
Đ kt lun v hi%u qu ñt ci tin k4 thut ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ =3; H : µ < µ ' mc ý nghĩa α = 10% 0 0 1 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ' mc ý nghĩa α = 10% gtth= −u = −u = − −  1 α 0,9 Vi mu c, th 2,722 3 u − = 36 = −0,896 1,86
Vì u > gtth nên H không b bác b nghĩa là ñt ci tin k4 thut không mang li 0
hi%u qu (kt lun ' mc ý nghĩa α = 10%). 106 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
6. 21. Sn ph(m ca mt xí nghi%p ñúc cho phép s khuyt tt trung bình cho mt
sn ph(m là 3. Sau m t ñt ci tin k4 thut, ng ưi ta ly ngu nhiên 36 sn
ph(m ñ kim tra s khuyt t t trên m i sn ph(m (SKTTMSP). Kt qu thu ñưc như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S  sn ph (m 7 4 4 6 8 6 1
Sn ph(m có không quá 2 khuyt tt ñưc gi là sn ph(m loi A. T l% sn
ph(m loi A trưc ñt ci tin k4 thut là 40%. Đt ci tin k4 thut có thc s
làm tăng t l% sn ph(m loi A không? (kt lun ' mc ý nghĩa 5%). Gii: 15 5
Gi p là t l% sn ph(m loi A. T l% mu: p = = . 36 12 Kim ñnh gi thi t
H : p = p = 40%; H : p > p ' mc ý nghĩa α = 5% 0 0 1 0 P − p
N Nu H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) p 1 − p 0 ( 0 )
Vi ' mc ý nghĩa α = 5%, gtth= u = u = 1,6449 1− α 0,95 5 /12 −0, 4
Vi mu c, th ta có:u = 36 = 0,204 0,4 (1− 0,4 )
Vì u < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, ñt ci tin k4 thut không làm tăng t l% sn ph(m loi A. (kt lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 22. Nhng thng kê trong n ăm trưc cho thy mt ngưi M4 ñi du lch ' châu
Âu trong vòng 3 tun s+ chi ht 1010 USD cho vi%c mua sm. Năm nay, ngưi ta
thng kê trên 50 khách du lch thì thy s tin trung bình mà h chi tiêu là 1090
USD và ñ l%ch chu(n là 300 USD. Vi mc ý nghĩa α = 1% hãy cho bit mc chi
tiêu ca nhng khách du lch năm nay có tăng so vi năm trưc không? Gii:
Gi X là BNN ch mc chi tiêu ca m i khách du lch trong năm nay, µ = EX . Ta kim ñnh gi thit
H : µ = µ =1010; H : µ > µ ' ý nghĩa α =1% 0 0 1 0 X
Nu H ñúng thì BNN − µ0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ý nghĩa α =1% , gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99 107 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Vi mu c, th ta có: 1090 1010 u − = 50 =1,8856 300
Vì u < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, chưa ñ cơ s' ñ kt lun mc chi tiêu ca nhng khách du lch năm nay tăng.
6. 23. Mt hãng bào ch thu c ñ ang th# nghi%m hai loi thuc gây mê A và B
mi. Vi%c th# nghi %m ñưc tin hành trên hai nhóm thú vt khác nhau. Nhóm th
nht gm 100 con dùng thuc A thì có 71 con b mê; nhóm th hai gm 90 con
dùng thuc B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mun kim ñnh xem tác d,ng
ca hai loi thuc trên có khác nhau không ' mc ý nghĩa 5%. Hãy cho bit kt lun. Gii:
Gi p và p ln lưt là t l% con vt b mê khi dùng thuc A, B tương ng. Giá tr 1 2 71 58
t l % mu ñi vi 2 loi thu c ñó là p = ; p = . 1 2 100 90 71 58 129 T l% chung là p + = =
= 0,6789. Ta kim ñnh gi  thit 190 190
H : p = p ; H : p ≠ p ' mc ý nghĩa α = 5% . 0 1 2 1 1 2 P − P
Nu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0,1) 0  1 1 
p (1− p )  +  n m
Vi ' mc ý nghĩa α = 5% , gtth = u = u =1,96 α 0,975 1− 2
Vi mu c, th ta tính ñưc: 71 58 p p − − 1 2 100 90 u = = = 0,017  1 1  129 129 1 1 
p (1 − p ) +  1 −  +   n m  190  190 100 90 
Vì |u |< gtth nên H không b bác b. 0
Vy, tác d,ng ca hai loi thuc trên không khác nhau ' mc ý nghĩa 5%.
6. 24. Vi ý mun làm tăng ch s m5 sa ca loi ging bò A, mt tri chăn nuôi
cho lai bò ging A vi m t loi bò ging B. Đo ch  s m5 sa ca 130 con bò lai
ging ñưc chn ngu nhiên trong ñàn bò ca tri, ngưi ta có kt Ch  s m5 sa S bò lai 108 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [3,0; 3,6) 2 [3,6; 4,2) 8 [4,2; 4,8) 35 [4,8; 5,4) 43 [5,4; 6,0) 22 [6,0; 6,6) 15 [6,6; 7,2) 5
Bit r"ng ch s m5 sa trung bình ca ging bò A thun chng là 4,95. Hãy cho
kt lun v  hi%u qu ca vi%c lai ging ' mc ý nghĩa 1%. Gii:
Gi X là BNN ch ch s m5 sa ca ging bò lai. T s li%u ta tính ñưc: x = 5,15
và s= 0,77 . Ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ = 4,95; H : µ > µ ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α =1%. Nu X H ñúng thì BNN − µ0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ' mc ý nghĩa α = 1%, gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99
Vi mu c, th ta tính ñưc: 5,15 4,95 u − = 130 = 2,96 0,77
Vì u > gtth nên H b bác b . 0
Vy, ch s m5 s a c a gi ng bò lai cao hơn bò thun ch ng.
6. 25. Điu tra v mt nguyên nhân gây ung thư ph$i: Thăm dò trong 200 ngưi
có hút thuc lá, thy có 28 ngưi b K ph$i; trong 170 ng ưi không không hút
thuc lá, có 12 ngưi b K ph$i. Hi t l% ngưi b K ph$i trên nhng ngưi hút
thuc lá có cao hơn t l% ñó trên nhng ngưi không hút thuc lá không? (Kt lun ' mc α = 5%). Gii:
Gi p , p ln lưt là t l% ngưi b K ph$i trong s nhng ngưi hút thuc và 1 2
không hút thuc. Ta kim ñnh gi thit:
H : p = p ; H : p > p ' mc α = 5% 0 1 2 1 1 2 Nu P − P H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0,1) 0  1 1 
p (1− p )  +  n m
Vi α = 5%, gtth = u = u = 1, 6449 1 −α 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: 28 7 6 28 +12 4 p = = ; p = ; p = = 1 2 200 50 85 200 + 170 37 109 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân p − p 1 2 u = = 2,14  1 1  p (1− p ) +   200 170 
Ta có u > gtth nên H b bác b. Vy t l% b K ph$i trong s nhng ng ưi hút 0
thuc là cao hơn t l% ñó trên nhng nguoif không hút thuc lá.
6. 26. Nu máy móc hot ñng bình thưng thì khi lưng mt sn ph(m tuân
theo lut phân ph i chu(n vi ñ l%ch chu(n không quá 1kg. Có th coi máy móc
còn hot ñng bình th ưng hay không n u cân th# 30 s n ph(m do máy ñó sn
xut ra, thì tính ñưc ñ l%ch chu(n là 1,1 kg. Yêu cu kt lun ' mc ý nghĩa α = 1% .
Gii: Kim ñnh gi thit v phương sai: 2 2 2 2
H : σ = σ =1; H : ' mc ý nghĩa α 1% 0 0 1 σ ≠ σ0 = 2 (n 1 − ) S Nu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σ o 2 29.1,1
Vi mu c , th ta có y = =35,09 1 Vi α 2 2 = 0 01 ,
ta có χ (n − 1) = χ (29) =13,121 α 0,01 2 2 2 2 χ (n − 1) = χ (29) = 52,336 α 0,01 1− 2 1− 2 Do 2 2
χ ( n − 1) < y < χ
( n − 1) nên H không b bác b nghĩa là: α 1 α − 0 2 2
Chưa ñ cơ s' ñ nói r"ng máy móc hot ñng không bình thưng.
6. 27. Mt nhà sn xut bóng ñ èn cho r"ng cht lưng bóng ñèn ñưc coi là ñng
ñu nu tu $i th ca bóng ñèn có ñ l%ch chu(n b"ng 1000 hoc ít hơn. Ly ngu
nhiên 10 bóng ñ kim tra, thì ñưc ñ l%ch chu(n mu là 1150, Vy, vi mc ý
nghĩa 5%, có th coi cht lưng bóng ñèn do công ty ñó sn xut là ñng ñu
không? Bit r"ng tu$i th  ca bóng ñèn là mt BNN có phân phi chu(n. Gii:
Kim ñnh gi thit v ph ương sai dng 2 2 2 2 2
H :σ =σ =1000 ;H :σ >σ ' 0 0 1 0 mc α = 5%. 2 (n 1 − ) S Nu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σ o Giá tr tơi hn: 2 2 gtth = χ (n − 1) = χ (9) = 16,919 1−α 0,95 2 9 1 . 150
Vi mu c , th ta có y = 1 = 1 9
, 025 < gtth 2 1000 110 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
H ñưc chp nhn nghĩa là có th coi cht lưng bóng ñèn do công ty ñó 0
sn xut là ñng ñu.
6. 28. Ti mt nông trư ng, ñ ñiu tra khi lưng ca mt loi trái cây, sau mt
ñt bón mt loi phân mi, ngưi ta cân th# mt s trái cây ñưc ch n ngu nhiên và ñưc kt qu sau: Khi lưng (gam) S trái cây [45, 50) 2 [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 3
Trưc kia, khi lưng trung bình ca m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem loi
phân bón mi có mang li hi%u qu không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 1%). Gii:
T s li%u ñã cho ta tính ñưc n =361; x = 66,38; s =5, 41
Kim ñnh gi thi t H : µ = µ = 65(g); H : α 0 0 1 µ > µ ' mc = 1% 0 X − µ Nu H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) s
Vi α = 0,01 ta suy ra: gtth = u = u = 2,33 1 −α 0,99
Vi mu c, th ta tính ñưc: 66,38 − 65 u = 361 = 4,85 > gtth 5, 41
Vy H b bác b nghĩa là: lo i phân bón mi có mang li hi%u qu. (kt lun ' 0 mc ý ngh ĩa α = 1%).
6. 29. Mt công ty thương mi, da vào kinh nghi%m quá kh, ñã xác ñnh r"ng
vào cui năm thì 80% s hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñy ñ, 10% kht li 1
tháng, 6% kht li 2 tháng, và 4% kht li hơn 2 tháng. Vào cui năm nay, công ty
kim tra mt mu ngu nhiên g m 400 hoá ñơn và thy r"ng: 287 hoá ñơn ñã ñưc
thanh toán ñy ñ, 49 kht li 1 tháng, 30 kht li 2 tháng và 34 kht l i hơn 2
tháng. Như vy, vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay có còn theo qui lut như nhng
năm trưc không? (kt lun ' m c ý nghĩa α =5% ).
Gii: Ta kim ñnh gi  thit v phân phi.
H : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay theo qui lut năm trưc 0 111 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
H : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không theo qui lut năm trưc. 1 7 m c ý nghĩa α = 5%.
Bng tn s lý thuyt và th c nghi%m:
Thanh toán Khut li 1 Khut li 2 Khut li
ñy ñ (x ) tháng (x ) tháng (x ) hơn 2 tháng 1 2 3 ( x ) 4 Tn s quan 287 49 30 34 sát Tn s lý 320 40 24 16 thuyt Ta có: (o −e − − − − i i )2 (287 320)2 (49 40)2 (30 24 )2 (34 16 )2 4 2 Q = ∑ = + + + = 27,178 i 1 = e 320 40 24 16 i
Vi α = 5% , gtth = 2 χ = χ = −α ( 3 ) 2 3 7,815 1 0,95 ( ) Ta thy 2 2 Q > χ 3 nên: 1−α ( )
Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không còn theo qui lut như nhng năm
trưc. (k t lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 30. Đ lp k hoch sn xut mt hàng mi, mt công ty ñã tin hành ñiu tra
v s' thích ca khách hàng v  3 loi mu khác nhau ca cùng mt loi hàng. Kt
qu ñưc trình bày ' bng sau: Mu A B C hàng Ý kin Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý kin 22 17 19
Có hay không s phân bi%t v s' thích c a khách hàng ñi vi 3 loi mu nói
trên? Kt lun ' mc ý nghĩa 5%.
Gii: Ta kim ñnh gi thi t v phân phi.
H : Không có s phân bi%t v s ' thích 0
H : Có s phân bi %t v s' thích ñi vi 3 mt hàng (mc ý nghĩa 5%). 1
Bng ñi chiu tn s: Trong ngoc là tn s lý thuyt: Mu A B C 112 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân hàng Ý kin Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Không thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Không có ý kin 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) (o −e i i )2 9 2 Q = ∑ = 7,606 i 1 e = i 2 χ = χ = −α ( ) 2 4 4 9, 488 1 0,95 ( ) Ta thy 2 2 Q < χ
8 nên H ñưc chp nh n nghĩa là: 1−α ( ) 0
Không có s phân bi%t v s ' thích ñi vi 3 mt hàng.
6. 31. Điu tra mt s  sn ph (m ca mt xí nghi%p v chiu dài (X (cm)) và hàm
lưng cht A (Y (%)), ngưi ta có kt qu sau: Y 8 10 12 14 16 X 100 5 5 110 4 6 7 120 5 9 8 130 4 6 9 140 5 7
Các sn ph(m có chiu dài không quá 110cm và hàm lưng cht A không
hơn 12% ñưc gi là s n ph(m loi II. Nu xí nghi%p báo cáo r"ng sn ph(m loi
II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th chp nhn ñưc không? Kt lun '
mc ý ngh ĩa 5% (gi thi t hàm lưng này có phân phi chu (n) Gii:
Bng s li%u cho ch tiêu Y ca nhng sn ph(m loi A. y 8 10 12 j n 9 11 7 j
Giá tr trung bình mu: y = 9,85 và
giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = , c5 mu n = 27 . Y 1, 56 113 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ =10 % ; H : µ ≠ µ ' mc ý ngh ĩa 5% 0 Y 0 ( ) 1 Y 0 Y Nu − µ H ñúng thì BNN 0 T = n ~ t n − 1 0 ( ) SY
Vi mc ý nghĩa α =5% ta tính ñưc (26) gtth = t = 2,0555 0,05 1− 2
Vi mu c, th ta tính ñưc: 9,85 10 t − = 27 = 0, − 5 1, 56
Ta có t < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, chp nhn báo cáo ca xí nghi%p (' mc ý nghĩa 5%).
6. 32. Go ñ tiêu chu(n xut kh(u là go có t l% ht nguyên, ht v5 và tm, theo
th t, là: 90%, 6% và 4%.
Kim tra 1000 ht go ca mt lô go, ngưi ta thy trong ñó có:
Ht nguyên: 880; ht v5: 60 và tm: 60
Hi lô go có ñ tiêu chu(n xut kh(u không? Cho kt lun ' mc ý nghĩa 5%. Gii:
Đ kt lun v tiêu chu(n c a lô go ta kim ñnh gi thit sau:
H : Lô go ñ tiêu chu(n xut kh(u. 0
H : Lô go không ñ tiêu chu(n xut kh(u (' mc ý nghĩa 5%). 1
Nu H ñúng thì trong 1000 ht go có 900 ht nguyên, 60 ht v5 và 40 ht 0 tm. 880− 900 60− 60 60− 40 2 ( )2 ( )2 ( )2 Ta có Q = + + = 10,44 900 60 40 Vi α = 5%, ( ) 3 gtth = χ =  1−0,05 Vì 2
Q > gtth nên H b bác b. 0
Vy, lô go không ñ tiêu chu(n xut kh(u (kt lun ' mc ý nghĩa 5%).
6. 33. Giám ñc tri gà Alpha xem l i h sơ ca mt ñt kho sát v khi lưng
ca gà xut chung ' tri gà thì thy s li%u ñưc ghi như sau: Khi lưng (kg) S con gà 114 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [2,3; 2,7) 5 [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) 5 [3,7; 3,9) 5
Ban giám ñc tri gà Alpha báo cáo r"ng kh i lưng trung bình ca gà trên 3 kg.
Hãy cho nhn xét v báo cáo trên ' mc ý nghĩa 2%. Gii:
T s li%u ta tính ñưc:
n = 121; x = 3,06; s = 0, 2826 .
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 3; H : µ > µ ' m c α = 2% . 0 X 0 1 X 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 sX
Vi α = 2%, gtth = u = u = 1,6449 1−α 0,95 x Vi mu c, th: −µ 3, 06 −3 0 u = n = 121 = 2,3354 sX 0,2826
Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa là báo cáo ca Ban giám ñc là ñúng ( ' mc ý 0 nghĩa 5%).
6. 34. Đ so sánh thi gian ct trung bình ca mt máy ti%n loi cũ vi mt máy
ti%n loi mi, ngưi ta cho m i máy ct th# 10 ln và ño thi gian ct (tính b"ng
giây) . Kt qu thu ñư c như sau:
Máy loi c ũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy loi mi: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Bit r"ng thi gian ct ca máy loi cũ và ca máy loi mi là các bin
ngu nhiên tuân theo lut phân phi chu(n có ñ l %ch chu(n, theo th t, là 13,5 giây và 14,5 giây.
Vi mc ý nghĩa 5%, có th cho r"ng máy loi mi t t hơn (có thi gian ct
trung bình ít hơn) máy loi cũ hay không? Gii:
Gi X ,Y theo th t là BNN ch th i gian ct ca máy ti%n cũ và máy ti%n mi. 115 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta kim ñnh gi thit sau: H : µ = µ ; H ;µ > µ ' mc ý nghĩa 5%. 0 X Y 1 X Y Nu X − Y
H ñúng thù BNN U = ~ N (0,1) 0 2 2 σ σ X Y + n m
Vi α = 5% , gtth =u =u =1,6449 1−0 ,05 0,95
Vi mu c , th ta tính ñưc:
x = 57;s = 13, 6; y = 52; s = 14, 46 X Y Do ñó 57 52 u − = = 2,988 13,5 14,5 + 10 10
Vì u > gtth nên H b bác b. 0
Vy, có th cho r"ng máy loi mi tt hơn (có thi gian ct trung bình ít hơn) máy loi cũ. 116 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ HI QUY 7.1.
Xem vectơ ngu nhiên (X,Y) tuân theo lut phân phi chu(n hai chiu mà
mt mu ngu nhiên gm 8 cp ñưc chn ra như sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 5 7 11 17 21 25 29 32
a) Hãy tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y và cho nhn xét.
b) Hãy kim ñnh gi thit v s tương quan gia X à Y ' mc α =5% .
c) Hãy lp hàm hi quy tuyn tính mu và d ñoán nu X ly giá tr b"ng
20 thì Y nhn giá tr bao nhiêu? Gii:
∑ x y − n .x y a) i i r =
= 0,996 . X và Y có quan h% gn như tuy n tính. (n 1 − )sX .sY
b) Kim ñnh gi thit
: ρ = 0; : ρ ≠ 0 ' mc α = 5% 0 1 n −2
Nu ñúng thì T = R ~ t( n− 2) 0 2 1 − R (
∑ −).(−) (= 8 và 1 ! = =
là h% s tương quan mu) (− 1) Vi α = 5% , gtth (6) = " = 2,4469. 1 α − / 2 Vi mu c , th, ta có − 2 6
# = 0,996 và " = # = 0,996 = 27,3 2 2 1− # 1− 0,996
Vì " > $""% nên b bác b nghĩa là , 0
th t s t ương quan.
c) Phương trình hi quy tuyn tính mu: y = 0
− .107 + 4,107 x. T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2.
Mt cơ s' sn xut ñã ghi li s tin ñã chi cho vi %c nghiên cu phát trin
và li nhun hàng năm ca cơ s' trong 6 năm va qua như sau: (ñơn v 106 VNĐ ) Chi nghiên cu 5 11 4 5 3 2 Li nhun 31 40 30 34 25 20 117 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
a) Hãy tính giá tr h% s tương quan mu gia chi nghiên cu và li nhun.
b) Chi nghiên cu và li nhun có thc s tương quan không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 2%).
c) Vit phương trình ñưng hi qui tuyn tính mu ca li nhun theo chi phí nghiên cu. Gii: a) r = 0,909 
b) Kim ñnh gi thit
H :ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa α = 1% 0 1 n −2
Nu H ñúng thì BNN T = R ~ t n − 2 0 ( ) 2 1 − R gtth = t t − 2 = t 4 = 3,7469 1−α/ 2 ( ) 0,99 ( ) 4
Vi mu c, th ta có t = 0,909 = 4,361 2 1− 0,909
Vì t > gthh nên H b bác b. Nghĩa là X và Y th c s tương quan. 0
(kt lun ' mc ý nghĩa α = 2%).
c) Phương trình ñưng hi quy tuyn tính mu: y = 2 x + 20 7.3.
Đo chiu cao Y (cm) và chiu dài chi dưi X (cm) ca m t nhóm thanh
niên, ngưi ta thu ñưc s li%u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá tr h% s  tương quan mu ca X và Y.
(b). 7 mc ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhn xét v tài li%u cho r"ng h% s
tương quan c a X và Y là 0,9.
(c). Vit phương trình ñưng hi quy mu c a Y theo X. Đáp s: (a) r = 0,996
(b) Kim ñ nh gi thit H :
0 ρ = 0,9 ñi vi H1: ρ ≠ 0,9.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi 118 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân Z − Z U µ = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ;
vi mu c, th, chúng ta có : z = ln (1 + 0,996 1 = 3,106 , 2 1− 0,996 ) 1 µ = ln(1 + 0,9 + = σ = , − ) 0,9 1 1,5365; Z 2 1 0,9 2(8 1 − ) Z 5 và z Z u − µ = = 3,509 σZ
Vì u > gtth nên ' mc ý nghĩa α = 5%, gi thit H b 0  bác b, nghĩa là
tài li%u không ñưc chp nhn (' mc ý nghĩa α = 5%). (c) y = 1,768x + 21,857. 7.4.
M t ging viên dy môn thng kê yêu cu m i sinh viên phi làm mt
ñ án phân tích d li%u và d kỳ thi ht môn. Sau ñó, mt mu gm 10 sinh viên
ñưc chn ngu nhiên, ñim s  ñưc ghi li như sau: Đim thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Đim ñ 92 79 76 71 69 76 87 62 80 75 án
(a) Tìm khong tin cy 95% cho ñim thi trung bình ca mt sinh viên (gi
thit ñim thi ca sinh viên tuân theo lut phân phi chu (n).
(b) 7 mc ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá v s tương quan tuyn tính gia hai loi ñim trên. Gii:
(a) Gi X là ñim thi ca sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 .
Khong tin cy 95% cho ñim thi trung bình ca mt sinh viên: (x − e;x + e ) (9) s 5,97 e = t . = 2,2622. = 4,27 1+γ 10 10 2
Khong tin cy cn tìm ( 74,33; 82,87) .
(b) Gi Y là ñi m ñ án ca sinh viên. Đ t ρ = ρ . ,
Chúng ta phi có quyt ñnh gia hai gi thit: H0: ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0, Nu H0 ñúng thì BNN 119 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 10 2 T = R − ~ t(8) 2 1 − R
Vi mc α = 5% , giá tr ti hn là: (8) 0 t ,975 = 2,3060 ;
vi mu c, th, chúng ta có h% s tương quan mu: r = 0,776 . Do ñ ó: 0,776. 8 t = = 3, 48 2 1−(0,776)
Vì |t| >2,306 nên gi thit H b 0
 bác b ' mc ý nghĩa α = 5%. Nói cách
khác, chúng ta chp nhn r"ng X và Y tương quan ' mc ý nghĩa 5%. 7.5.
Đ thc hi%n m t công trình nghiên cu v mi quan h% gia chiu
cao Y(m) và ñưng kính X(cm) ca mt loi cây, ngưi ta quan sát trên m t mu
ngu nhiên và có kt qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10
(a). Hãy tính giá tr h% s tương quan mu c a X và Y và cho nhn xét.
(b) Vit phương trình ñưng th6ng hi quy mu ca Y theo X. Hãy d báo
chiu cao ca cây có ñưng kính 45 cm. Gii: (a) r = 0,939.
Vì r rt gn 1 nên gia X và Y có hi qui tuyn tính.
(b) y = 0,166x + 1,041.
D báo chiu cao ca cây có ñưng kính 45 cm là:
y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Hãy tính các giá tr trung bình mu ca X, Y; phương sai mu ca X, Y
và h% s tương quan mu gia X và Y.
b) Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X. T ñó d ñoán xem nu ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gii: a) Ta có trung bình mu: 120 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
x = 5,93; y =15,17; Phương sai mu: 2 2 σ = 3, 44; σ = 28, 42 X Y
H% s  tương quan mu: r = 0,66
b) Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nu X có giá tr là 9 thì Y s + nhn giá tr là 21. 7.7.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tính giá tr h% s tương quan mu gi X và Y. Vit Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X.
b) Kim ñnh gi thit xem X và Y có tương quan không ' mc ý nghĩa 5%? Gii:
a) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,66 .
Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86+ 1.91x.
b) Kim ñnh gi thit H : ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ' mc ý nghĩa 5% 0 1
Nu H ñúng thì BNN 0 n −2 T = R ~ t (n − 2) 2 1 − R Vi mc ý nghĩa 5%, (28) gtth = t = 2,0484 0,975 Vi mu c, th ta có n − 2 t = r = 4, 69 2 1 − r
Vì t > gtth nên H b bác b, nghĩa là X và Y tương quan ' mc ý nghĩa 5%. 0 7.8.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tìm khong tin cy 95% cho ch tiêu Y (gi thit ch tiêu Y tuân theo lut phân phi chu (n). 121 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
b) Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X. T ñó d ñoán xem nu ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gii:
a) Trung bình mu ch tiêu Y là: y = 15,17;s = 5,33 Y
Khong tin cy 95% cho trung bình ch tiêu Y là:( y − ;e y + e) s 5,33 Vi ( 2 ) 9 e = t . Y = 2,0452. = 1,99 ≈ 2 0,975 30 30
Vy khong tin cy cn tìm là: (13,18;17,16)
b) Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nu X có giá tr là 9 thì Y s + nhn giá tr là 21. 7.9.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Có tài li%u cho r"ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nhn xét v tài
li%u trên ' mc ý nghĩa 5%. Gi thit các ch tiêu X, Y tuân theo lut phân phi chu(n.
b) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng
th6ng hi quy mu ca Y theo X. Gii:
a) Kim ñnh gi thit H :µ = µ = 6,5; H : ' mc ý nghĩa 5%. 0 X 0 1 µ X ≠ µ 0 X − µ
Nu H ñúng thì BNN 0 T = n ~ t n −1 0 ( ) S Vi ' mc ý nghĩa 5%, (29) gtth = t = 2,0452 0,975 5,93 −6,5
Vói mu c , th ta tính ñưc: t = 30 = 0,908 3,44
Vì t < gtth nên H không b bác b  nghĩa là ta chp nhn tài liêu trên ' 0 mc ý nghĩa 5%.
b) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,66.
Phương trình hi quy Y theo X: y= 3,86+ 1.91x. 122 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 7.10.
Nghiên cu lưng phân bón (X kg) ñưc dùng ñ bón cho rung trong
mt v,; Y(kg/1000m2) là năng sut lúa. Thng kê ' 30 h gia ñình, kt qu như sau: S h 3 5 2 6 4 3 5 2 xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320
a) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình hi quy mu Y theo X.
b) Kim ñnh gi thit cho r"ng h% s tương quan ca X và Y b"ng 0,9 ' mc ý nghĩa α = 5%. Gii:
a) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,891.
Phương trình ñưng hi quy mu: Y = 210,15+ 1,64X .
b) Kim ñnh gi thit H : ρ = ρ = 0,9; H : 0 0 1 ρ ≠ ' mc ý nghĩa 0 ρ α = 5%.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi Z − Z U µ = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ; Vi mu c , th, ta có 1+ 0,891  1 z = z = ln  = 1, 427 2 1 − 0,891  1 µ = ln(1 + 0,9 + = σ = − ) 0,9 1 1,488; Z 2 1 0,9 2(30 1 − ) Z 27 z − µ u = Z = 0,317 σZ
Vì |u |< gtth nên H ñưc ch p nhn ngh ĩa là gi thit h% s tương quan ca X và 0
Y b"ng 0,9 là ñúng ' mc ý nghĩa α = 5%. 7.11.
Đ nghiên cu s tương quan gia chiu cao X (cm) và sc nngY
(kg) con ngưi, quan sát trên mt mu ngu nhiên, ngưi ta có kt qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 123 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
(a) Hãy lp bng phân b tn s, tn sut cho các giá tr ca X, Y.
(b) Tính các giá tr trung bình mu, ñ l%ch chu(n mu và h% s tương quan
mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng th6ng hi quy tuyn tính mu ca Y theo X. Gii:
a) Bng tn s, tn sut ca X và Y: Bin X Bin Y Lp Tn s Tn su t Lp Tn s Tn sut [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b) = 152,69;= 54,23;= 5,14;= 4,41 # = 0,6544 Phương trình hi quy: = 3 − 1,59 + 0,56 7.12.
Đ nghiên cu s tương quan gia chiu cao X (cm) và sc nngY
(kg) con ngưi, quan sát trên mt mu ngu nhiên, ngưi ta có kt qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 124 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
a) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng th6ng
hi quy tuyn tính mu ca Y theo X.
b) Có tài li%u cho bit h% s tương quan gia X và Y là 0,65. Hãy cho nhn xét v
tài li%u ñó, ' mc α = 5%. Gii: a) # = 0,6544 Phương trình hi quy: = 3 − 1,59 + 0,56
b) Kim ñnh gi thit : 0
ρ = 0,65 ñi vi H1: ρ ≠ 0,65 ' mc α = 5%.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi Z − Z µ U = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ;
vi mu c, th, chúng ta có : z = ln(1 +0,6544 1 = 0,783, 2 1 − 0,6544 ) 1 µ = ln(1 + 0,65 + = σ = Z − ) 0,65 1 0,7816; 2 1 0,65 2(53 1 − ) Z , 50 và z − µ u = Z = 0,01 σZ
Vì u < gtth nên ' mc ý nghĩa α = 5%, gi thit ñưc chp nhn, nghĩa là 0
tài li%u ñưc chp nhn (' m c ý nghĩa α = 5%). 125 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt

Tài liệu liên quan: