Sách Bài tập môn xác suất thống kê | Học viện Ngân Hàng
Sách Bài tập môn xác suất thống kê | Học viện Ngân Hàng với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân BÀI TP
XÁC SUT THNG KÊ 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 1: XÁC SUT 1.1.
Mt hp có 100 tm th như nhau ñưc ghi các s t 1 ñn 100, Rút ngu
nhiên hai th ri ñt theo th t t trái qua phi. Tính xác sut ñn
a/ Rút ñưc hai th lp nên mt s có hai ch s.
b/ Rút ñưc hai th lp nên mt s chia ht cho 5. Gii
a/ A :“Hai th rút ñưc lp nên mt s có hai ch s” 2 A 9.8 P ( A) 9 = = ≈ 0,0073 2 A 100.99 100
b/ B : “Hai th rút ñưc lp nên mt s chia ht cho 5”
S chia ht cho 5 tn cùng phi là 0 hoc 5. Đ có bin c B thích hp vi ta rút
th th hai mt cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1
trong 99 th còn li ñt vào v trí ñâu. Do ñó s trưng hp thun li cho là 99.20 99.20 P (B) = = 0, 20 2 A100 1.2.
Mt hp có cha 7 qu cu trng và 3 qu cu ñen cùng kích thưc. Rút
ngu nhiên cùng mt lúc 4 qu cu. Tính xác sut ñ trong 4 qu cu rút ñưc có a/ Hai qu cu ñen. b/ Ít nht 2 cu ñen c/ Toàn cu trng Gii
Rút ngu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu cu nên s trưng hp ñng kh năng là 4 C 10
a/ A :”trong 4 qu cu rút có 2 qu cu ñen” 2 2 C .C P ( A) 3 7 = = 0,30 4 C10
b/ B :”trong 4 qu cu ñưc rút có ít nht 2 qu cu ñen” 2 2 3 1
C .C +C .C 1 P (B) 3 7 3 7 = = 4 C 3 10
c/ C:”trong 4 qu cu ñưc chn có toàn cu trng” 2 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 4 C 1 P (C ) 7 = = 4 C 6 10 1.3.
Mt hp thuc có 5 ng thuc tt và 3 ng kém cht lưng. Chn ngu
nhiên ln lưt không tr li 2 ng. Tính xác sut ñ:
a/ C hai ng ñưc chn ñu tt.
b/ Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt.
c/ trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt. Gii
Chn ngu nhiên ln lưt không tr li 2 trong 8 ng nên các trưng hp ñng kh năng là 2 A . 8 2 A
a/ A :” C hai ng ñưc chn ñu tt” P( ) 5 A = ≈ 0,357 2 A8 1 1 C C b/ .
B :” Ch ng ñưc chn ra ñu tiên là tt” P (B) 3 5 = ≈ 0,268 2 A8 2 A
c/ C:” trong hai ng có ít nht mt ng thuc tt” P(C) 3 = 1− ≈ 0,893 2 A8 1.4.
Mt hp ñng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu mi. Ln ñu ngưi ta ly
ngu nhiên 3 qu ñ thi ñu, sau ñó li tr vào hp. Ln th hai ly ngu nhiên 3
qu. Tính xác sut ñ c 3 qu ly ra ln sau ñu mi. Gii
Đt A :” c 3 qu ly ra ln sau ñu mi”
B :” Trong 3 qu ly ra ñ thi ñu có i qu mi” i ∈{0;1;2; } 3 i
Ta thy các {B ; B ; B ; B lp thành nhóm ñy ñ các bin c, theo công thc xác 0 1 2 3} sut toàn phn ( ) =
+
+
+
= ( + + + ) ≈ 1.5.
T mt lp có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngưi ta chn ngu nhiên
5 sinh viên ñ lp Ban cán b lp (BCB). Tính xác sut ñ 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ BCB gm 3 n và 2 nam,
b/ BCB có ít nht mt n,
c/ BCB có ít nht hai nam và hai n. Gii
Đt A : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ 0,1,2,3,4,5 ), k { } chúng ta có: k 5 k C . C − 12 8 P (A ) k = 5 2 C 0
a/ BCB gm 3 n và 2 nam. Xác sut phi tính: 2 3 C12. C 8 77 P( 2 A ) = = 5 323 C20
b/ Đt N: “BCB có ít nht mt n”, thì N = 5 A . Do ñó,
P(N ) = P( 5 A ) = 1 − P( 5 A ) 5 0 C 12. C 8 33 613 = − = 1 − = 5 646 646 C20
c/ Đt H: “BCB có ít nht hai nam và hai n”. Do ñó,
P (H ) = P( A + P A 2) ( 3) = + = 1.6.
T mt hp cha 8 viên bi ñ và 5 viên bi trng ngưi ta ly ngu nhiên 2
ln, m i ln 1 viên bi, không hoàn li. Tính xác sut ñ ly ñưc a/ 2 viên bi ñ; b/ hai viên bi khác màu;
c/ viên bi th hai là bi trng. Gii Vi i ∈{1, } 2 , ñăt:
T : “viên bi ly ra ln th i là bi trng”, i
D : “viên bi ly ra ln th i là bi ñ”. i
a/ Đt A :“ly ñưc 2 viên bi ñ”, chúng ta có:
P (A) = P ( 8 7 14 1 D D2 )= P ( 1
D ).P (D2 / 1 D )= . = 13 12 39
b/ Đt B : “ly ñưc hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân P (B ) =P (T D + D T = P T D + P D T 1 2 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
= P (T .P D / T + P D .P T / D 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 1 ) Suy ra: 5 8 8 5 20
P(B) = 1312 + 1312 = 39
c/ T = TT + D T , nên xác sut phi tính là: 2 1 2 1 2
P (T = P TT + P D T 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) = P (T P T T + P D P D T 1 ). ( 2 / 1 ) ( 1 ). ( 2 / 1 ) suy ra P (T2) 5 4 8 5 5 = 13 12 + 13 12 = 13 1.7.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a) có duy nht mt nam;
b) có ít nht mt n. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈ 1 3 Gi . 5
: “có duy nht 1 nam” () = ( ) 5 3 = = 1 4 70 8
a) Gi : “có ít nht 1 n” 4 13 () 5
= 1− ( ) = 1 4 − = 4 14 8 1.8.
Mt công ty cn tuyn 4 nhân viên. Có 8 ngưi, gm 5 nam và 3 n np
ñơn xin d tuyn, và m i ngưi ñu có cơ hi ñưc tuyn như nhau. Tính xác sut
ñ trong 4 ngưi ñưc tuyn, a/ có không quá hai nam;
b/ có ba n, bit r"ng có ít nht mt n ñã ñưc tuyn. Gii
Đt : “Có nam ñưc tuyn trong 4 nhân viên” ∈
a/ Gi : “có không quá 2 nam” 1 3 2 2
. + . 1 ( ) 5 3 5 3
= ( ) + ( ) 1 2 = = 4 2 8
b/ Gi : “chn ra 3 n, bit r"ng có ít nht 1 n ñưc tuyn”.
Gi B : “Có ít nht mt n ñưc chn”. 5 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 4 Ta có 13 () 5 =1 − ( ) =1 − = 4 4 14 8 ( ) 1 () 1
= ( | ) = = 1 ( ) 13 1.9.
Mt c#a hàng sách ưc lưng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñn c#a
hàng, có 30% khách cn hi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15%
khách thc hi%n c hai ñiu trên. Gp ngu nhiên mt khách trong nhà sách. Tính
xác sut ñ ngưi này
a/ không thc hi%n c hai ñiu trên;
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. Gii
Đt : “khách hàng cn tư vn”
: “khách hàng cn mua sách”
Theo ñ ta có: () = 0,3; () = 0,2; ( )= 0,15
a/ Xác sut khách hàng không cn mua sách cũng không cn tư vn là:
( ) = ( )
+ ( )− ( ) 3 2 15 13 . = 1− + 1− − 1− = 10 10 100 20
b/ không mua sách, bit r"ng ngưi này ñã hi nhân viên bán hàng. 3 15 () − ( )
() − ( ) 1 10 100 / = = = = ( ) ( ) 3 2 10 1.10.
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Không dùng , cũng không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207; ( ) = 0,5;(| ) = 0,365
a) Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () . ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b) Xác sut ngưi dân ñó không dùng c và là ( .
) = (). + () − ( )= 0,4755 1.11. 6 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
Mt cuc ñiu tra cho thy, ' mt thành ph, có 20,7% dân s dùng loi
sn ph(m , 50% dùng loi sn ph(m và trong s nhng ngưi dùng , có
36,5% dùng . Phng vn ngu nhiên mt ngưi dân trong thành ph ñó, tính xác sut ñ ngưi y
a/ Dùng c và ;
b/ Dùng , bit r"ng ngưi y không dùng . Gii
Đt : “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
: “ ngưi dân trong thành ph dùng sn ph(m ”
Theo ñ bài ta có: () = 0,207; ( )= 0,5; ( / ) = 0,365
a/ Xác sut ngưi dân ñó dùng c và là
() = () . ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825
b/ Xác sut ngưi dân ñó dùng , bit r"ng không dùng là
(. ) ( ) − ( ) ( ) 0,5 −0,1852 / = = = = 0,404 () ( ) 1 −0,207 1.12.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nhp trên 20 tri%u. Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52; () = 0,6; ( / ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( B ).P ( A/ B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính nhưng thu nhp ít hơn 20 tri%u là:
() = ( )
− ( ) = 0,52 − 0,45 = 0, 07 1.13.
Theo mt cuc ñiu tra thì xác sut ñ mt h gia ñình có máy vi tính nu
thu nhp hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñưc ñiu tra thì
60% có thu nhp trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác sut ñ mt h gia
ñình ñưc chn ngu nhiên
a/ Có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u;
b/ Có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u, bit r"ng h ñó không có máy vi tính. 7 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Đt : “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có máy vi tính”
: “H gia ñình ñưc chn ngu nhiên có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u”
Theo ñ bài ta có: () = 0,52; () = 0,6; ( / ) = 0,75
a/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có máy vi tính và có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u là:
P ( AB) = P( )
B .P( A / B) = 0,6.0,75 = 0, 45
b/ Xác sut ñ h gia ñình ñưc chn có thu nhp hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là: () ( )
( ) − ( ) 0,6 −0, 45 / = = = = 0,3125 ( ) () 1 0 − ,52 1.14.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau:
a/ Đi tuyn thng hai trn;
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ , }
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,8; ( / ) = 0,6; ( / )= 0,3
a/ Xác sut ñi tuyn thng 2 trn là ( ) = ( ) . ( /
) = 0, 8.0, 6 = 0, 48
b/ Đi tuyn thng ít nht mt trn nghĩa là có ít nht mt trong hai vn ñng viên
A, hoc B thng. Xác sut cn tính là: P (M ∪M = P M + P M − P M M A B ) ( B ) ( A) ( . A B ) = 0,54 + 0,8 − 0,48 = 0,86 1.15.
Trong mt ñi tuyn có hai vn ñng viên A và B thi ñu. A thi ñu trưc
và có hy vng 80% thng trn. Do nh hư'ng tinh thn, nu A thng trn thì có
60% kh năng B thng trn, còn nu A thua thì kh năng này ca B ch còn 30%.
Tính xác sut ca các bin c sau: a/ B thng trn;
b/ Đi tuyn ch thng có mt trn. Gii
Đt : “vn ñng viên thng” vi ∈{ , }
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,8; ( / ) = 0,6; ( / )= 0,3
a/ Xác sut B thng trn là: P( M ) = (
P M ) P( M | M .) + P(M ).P (M | M ) = 0,54 B A B A A B A 8 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đt : “ñi tuyn ch thng 1 trn”
Xác sut ñi tuyn ch thng 1 trn là:
P (D) = P (M .M B + P M M = P M − P M M + P M − P M M A
) ( A. B ) ( A) ( .A B) ( B) ( .A B ) = P (M + P M − P M M A) ( B) 2. (
.A B)= 0,8 + 0,54 − 2.0,48 = 0,38 ` 1.16.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi. Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th ba. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8; | = 0,7; | = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
( = . | . | = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng th III là ( 3
) = ( ). ( / ). ( 3 / 1 2 1 2 1 1 2 )
= ( . | . 1− | = 0,8.0, 7.0,55 = 0,308 1 ) ( 2 1 ) ( ( 3 1 2 )) 1.17.
Đ thành lp ñi tuyn quc gia v mt môn hc, ngưi ta t$ chc mt cuc
thi tuyn gm 3 vòng. Vòng th nht ly 80% thí sinh; vòng th hai ly 70% thí
sinh ñã qua vòng th nht và vòng th ba ly 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ
vào ñưc ñi tuyn, thí sinh phi vưt qua ñưc c 3 vòng thi Tính xác sut ñ mt thí sinh bt kỳ
a/ Đưc vào ñi tuyn;
b/ B loi ' vòng th hai, bit r"ng thí sinh này b loi. Gii
Đt : “thí sinh ñưc chn ' vòng ” vi { ∈ 1, 2, } 3 Theo ñ bài ta có:
( = 0,8; | = 0,7; | = 0, 45 1 ) ( 2 1) ( 3 1 2 )
a/ Xác sut ñ thí sinh ñó ñưc vào ñi tuyn là
( = . | . | = 0,8.0,7.0, 45 = 0,252 1 2 3 ) ( 1) ( 2 1 ) ( 3 1 2)
b/ Đt K: “Thí sinh ñó b loi”
( ) = ( 1
) + ( 2
) + ( 3
) =1− () + ( ) − ( ) + ( 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ) 9 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
=1 − ( ). ( / ) + ( 3 =1 −0,8.0,7 +0,308 =0,748 1 2 1 1 2 )
Vy, xác sut ñ thí sinh ñó b loi ' vòng II, bit r"ng thí si nh ñó b loi là:
( 2. ) ( .2 ) ( ) . (2 | 1 1 1 ) ( 0,8 1− 0,7 2 | ) ( ) = = = = = 0,3209 ( ) ( ) ( ) 0,748 1.18.
Mt lô hàng có 9 sn ph(m ging nhau. M i ln kim tra, ngưi ta chn
ngu nhiên 3 sn ph(m; kim tra xong tr sn ph(m li lô hàng. Tính xác sut ñ
sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra. Gii
Chia 9 sn ph(m thành 3 nhóm. Gi : “Kim tra nhóm ” { ∈ 1, 2, } 3
Đt :”Sau 3 ln kim tra, 9 sn ph(m ñu ñưc kim tra” ( )
= = = 1.19.
Mt lp hc ca Trưng Đi hc AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n
sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chim t l% 40% trong n sinh viên, và
chim t l% 60% trong nam sinh viên.
a) Chn ngu nhiên mt sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ chn ñưc mt
sinh viên quê ' An Giang. Nu bit r"ng sinh viên va chn quê ' An
Giang thì xác sut ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu?
b) Chn ngu nhiên không hoàn li hai sinh viên ca lp. Tính xác sut ñ
có ít nht mt sinh viên quê ' An Giang, bit r"ng lp hc có 60 sinh viên. Gii a) Đt : 2
: “Chn ñưc sinh viên nam” ()= 3 1
: “Chn ñưc sinh viên n” ( ) = 3
: “Chn ñưc sinh viên quê ' An Giang” 8
( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( )
( | ) = 15 Do ñó, ( ) ( ) ( | ) 3
( | ) = = = ( ) ( ) 4
b) Lp có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n
S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24
S sinh viên N quê ' An Giang: 8
Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên
: “ít nht mt sinh viên quê ' An Giang” 2 232 28
() = 1− () = 1− = 2 295 60 1.20. 10 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Có ba hp A, B và C ñng các l thuc. Hp A có 10 l tt và 5 l hng,
hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C có 5 l tt và 5 l hng
a/ Ly ngu nhiên t m i hp ra mt l thuc, tính xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi.
b/ Ly ngu nhiên mt hp ri t hp ñó ly ra 3 l thuc thì ñưc 1 l tt
và 2 l hng. Tính xác sut ñ hp A ñã ñưc chn. Gii
a/ và :“l ly ra t hp th là tt” ∈ {}
Nên, xác sut ñ ñưc 3 l cùng loi +
=
+ = + =
b/ Đt :“Ly ñưc hp th ” ∈ {
} ; :“Ly ñưc 2 l hng và 1 l tt”
= ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + =
Khi ñó xác sut ñ hp A ñưc chn ( ) ( ) ( )
= = = = ( ) ( ) 1.21.
Có hai hp B và C ñng các l thuc. Hp B có 6 l tt và 4 l hng, hp C
có 5 l tt và 5 l hng. Ly ngu nhiên hai l thuc t hp B b vào hp C, ri
tip theo ly ngu nhiên mt l thuc t hp C thì ñưc l hng. Tính xác sut ñ
a/ L hng ñó là ca hp B b sang;
b/ Hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng. Gii
Gi : “Hai l thuc ly t hp B b vào hp C có l hng” ∈ {}
và ñt : “l thuc ly t hp C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b hng”
= ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( = )
a/ l hng ñó là ca hp B b sang ( ) + ( ) ( ) ( )
= = () = + =
11 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ hai l thuc b t hp B vào hp C ñu là l hng
( )( ) = = = = ()
1.22.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ ñi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
= − (
)= − =
b/ Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
= (
)+ (
) + ( ) = 1.23.
Trong mt ñi tuyn có 3 vn ñng viên A, B và C thi ñu vi xác sut
chin thng ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngưi thi ñu mt trn ñc lp nhau.Tính xác sut ñ:
a/ Đi tuyn thng ít nht mt trn,
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn. Gii Đt :
: “vn ñng viên A chin thng” ( ) = 0,6
: “vn ñng viên B chin thng” ( ) = 0,7
: “vn ñng viên C chin thng” ( ) = 0,8
a/ Gi : “ ñi tuyn thng ít nht 1 trn”
= − (
)= − =
b/ A thua trong trưng hp ñi tuyn thng 2 trn
Gi : “ ñi tuyn thng 2 trn”
= (
)+ (
) + ( ) = 12 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
( ) = = = ≈ 1.24.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Gp ngu nhiên mt sinh viên ca trưng XYZ.
a/ Tính xác sut ñ anh ta trưt c hai môn Toán và Tâm lý; ñu c hai môn Toán và Tâm lý.
b/ Nu bit r"ng sinh viên này trưt môn Tâm lý thì xác sut ñ anh ta ñu môn Toán là bao nhiêu? Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” ( )= 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó ( | ) = 0,5
a/ Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý
= () ( ) = =
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý ( )
= −
∪ = − () − ( )
+ ( ) =
b/ Xác sut sinh viên ñu môn Toán, bit r"ng trưt môn Tâm Lý: ()
() − ()
( ) = = = . ( ) () 1.25.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Chn ngu nhiên 12 sinh viên ca
trưng XYZ. Nhiu kh năng nht là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trưt c hai môn
Toán và Tâm lý. Tính xác sut tương ng. Đáp s
Gi : “sinh viên thi trưt môn Toán” ( ) = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205 khi ñó ( | )= 0,5
Xác sut sinh viên trut môn c môn Toán và Tâm Lý
= ()( ) = =
Nên, Sinh viên trưt c Toán và Tâm lý vi xác sut không ñ$i = . 13 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, chn 12 sinh viên nghĩa là thc hi%n 12 phép th# Bernoulli vi xác
sut thành công (trưt c Toán và Tâm lý) không ñ$i = .s sinh viên nhiu
kh năng trưt c hai môn ( ) + = = .
Xác sut tương ng là (2 )= (0,17 )2 . (1 − 0,17 )10 2 = 0, 296 . 12 12 1.26.
Trong năm hc va qua, ' trưng ñi hc XYZ, t l% sinh viên thi trưt
môn Toán là 34%, thi trưt môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trưt
môn Toán, có 50% sinh viên trưt môn Tâm lý. Phi chn bao nhiêu sinh viên
ca trưng XYZ sao cho, vi xác sut không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nht
mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm lý. Gii
: “sinh viên thi trưt môn Toán” () = 0,34
và : “sinh viên thi trưt môn Tâm Lý” () = 0,205
khi ñó ( | ) = 0,5
Xác sut sinh viên ñu c môn Toán và Tâm Lý ( ) = −
∪ = − () − ()+ ( ) =
Gi n là s sinh viên cn chn. Xác sut ñ sinh viên ñu c hai môn Toán
và Tâm Lý không ñ$i = nên ta có quá trình Bernoulli B (n, p) .
Đt : “ ít nht mt sinh viên ñu c hai môn Toán và Tâm Lý ”.
Theo yêu cu bài toán ta ñưc
() = − ( ) = − − ≥ ( )
⇔ ≥ ( ) ⇔ ≥ ( ) ⇔ ≥
Vy, chn ít nht 5 sinh viên. 1.27.
Ba máy 1, 2 và 3 ca mt xí nghi%p sn xut, theo th t, 60%, 30% và
10% t$ng s sn ph(m ca mt xí nghi%p. T l% sn xut ra ph ph(m ca các máy
trên, theo th t, là 2%, 3% và 4%. Ly ngu nhiên mt sn ph(m t lô hàng ca
xí nghi%p, trong ñó ñ ln ln các sn ph(m do 3 máy sn xut.
a/ Tính xác sut ñ sn ph(m ly ra là sn ph(m tt. Ý nghĩa ca xác
sut ñó ñi vi lô hàng là gì?
b/ Nu sn ph(m ly ñưc là ph ph(m, thì nhiu kh năng nht là do máy nào sn xut? Gii
Đt : “sn ph(m ly ra do máy sn xut” vi ∈{1, 2, } 3
( = 0,6; = 0,3; = 0,1 1 ) ( 2) ( 3)
Và :“sn ph(m ly ra là ph ph(m”
( = = = ) ( ) ( ) 14 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ :”sn ph(m ly ra là sn ph(m tt”
( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( = )
Ý nghĩa, xác sut th hi%n t l% sn ph(m tt ca lô hàng.
b/ Xác sut ly ra sn ph(m là ph ph(m
() = − () = Theo công thc Bayes (
) ( )( )
( = = = = ) ( ) ()
(
) ( ) ( ) ( = = = = ) ( ) ( ) (
) ()( )
( = = = = ) () ( )
Do ñó, sn ph(m do máy 1 sn xut ra ph ph(m nhiu nht. 1.28.
Chia ngu nhiên 9 tm vé s, trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñu cho 3
ngưi (m i ngưi 3 tm). Tính xác sut ñ c 3 ngưi ñu ñưc trúng thư'ng. Gii
Đt : “Ngưi mua vé th ñưc vé trúng thư'ng” vi ∈{1, 2, } 3 ( ) = ( ) ( ) (
) = = 1.29.
Trong s các b%nh nhân ñang ñưc ñiu tr ti mt b%nh vi%n, có 50% ñiu
tr b%nh A, 30% ñiu tr b%nh B và 20% ñiu tr b%nh C. Ti b%nh vi%n này, xác
sut ñ cha khi các b%nh A, B và C, theo th t, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t
l% b%nh nhân ñưc cha khi b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñưc cha khi b%nh trong b%nh vi%n. Gii
Đt : “b%nh nhân ñiu tr b%nh ” vi {
∈ , , }
: “b%nh nhân ñưc khi b%nh”
Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,5; ( ) = 0,3; ( )= 0, 2
và ( / ) = 0,7; ( / ) = 0,8; ( / ) = 0,9
Xác sut ñ b%nh nhân khi b%nh là 15 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
( ) = ∑ ( = + + = ).
( / ) 0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77 =
Xác sut ñ b%nh nhân tr khi b%nh A là ( ) . ( | ) 0,5.0,7
( | = = = ) 45, 45% ( ) 0,77 1.30.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng. Gieo mt con xúc xc vô tư: Nu mt 3 hoc mt 5
xut hi%n thì chn ngu nhiên mt bi t bình B; các trưng hp khác thì chn ngu
nhiên mt bi t bình A. Tính xác sut ñ chn ñưc viên bi ñ. Nu viên bi trng
ñưc chn, tính xác sut ñ mt 5 ca con xúc xc xut hi%n. Gii Đt
: “Gieo con xúc xc ñưc mt 3 hoăc mt 5”, =
: “Ly t bình ra mt bi là bi ñ”. Ta có =
+
= + =
Gi : “mt viên bi ñưc chn là bi trng”
=
+ = + =
Đt : “gieo con xúc xc ñưc mt 5”.
Xác sut mt 5 xut hi%n, bit r"ng bi ñưc chn là bi trng là () ( ) = = = = ( ) () 1.31.
Có hai bình như sau: Bình A cha 5 bi ñ, 3 bi trng và 8 bi xanh; bình B
cha 3 bi ñ và 5 bi trng.
Ly ngu nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, ri t bình B ly ngu
nhiên 1 viên bi thì ñưc bi ñ. Theo ý bn, viên bi ñó vn thuc bình nào? Gii
Gi : “ có k bi ñ trong 3 viên bi ly t bình A b vào bình B” vi ∈{0,1,2, } 3
Đt : “Ly mt bi t bình B ra là bi ñ”. =
= + + ∑ = + + =
Đt : “bi ñ sau cùng ly t bình B”. 16 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân = = () () Do ñó = = = = > . ( ) ()
Vy, bi ñ sau cùng nhiu kh năng nht là ca bình B. 1.32.
Có hai chung nuôi th. Chung th nht có 1 con th trng và 5 con th
nâu; chung th hai có 9 con th trng và 1 con th nâu. T m i chung bt ngu
nhiên ra mt con ñ nghiên cu. Các con th còn li ñưc dn vào mt chung th
ba. T chung th ba này li bt ngu nhiên ra mt con th. Tính xác sut ñ con
th bt ra sau cùng là mt con th nâu. Gii Đt
: “Th bt ' chung 1 ra nghiên cu là th nâu ” =
: “Th bt ' chung 2 ra nghiên cu là th nâu” =
Gi : “Th bt ' chung 3 ra nghiên cu là th nâu ”
= (
) + (
) + (
)+ ( ) = (
) (
) + (
) ( ) +
+ ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( )
() (
) + ( )
( ) ( ) + + ( ) ( )
( )+ ( ) ( )
( ) = ( )
() + ( )
() + ( )
() + ( )
() = 1.33.
Ban giám ñc mt công ty liên doanh vi nưc ngoài ñang xem xét kh
năng ñình công ca công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh
nghi%m cho h bit cuc ñình công ' nhà máy A và B xy ra ln lưt vi xác sut
0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bit r"ng nu công nhân ' nhà máy B ñình công
thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h.
a/ Tính xác sut ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công.
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà
máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gii
Đt : : “ Công nhân ñình công ' nhà máy A” = 17 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
: “Công nhân ñình công ' nhà máy B”
= ( ) =
a/ Xác sut công nhân ñình công ' 2 nhà máy là
() = ( )
. ( | ) = , . , = ,
b/ Nu công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác sut ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là ( ) , ( | ) = = = , ( ) , 1.34.
Mt nhân viên kim toán nhn thy 15% các bn cân ñi thu chi cha các
sai lm. Trong các bn cha sai lm, 60% ñưc xem là các giá tr bt thưng so
vi các s xut phát t gc. Trong tt c các bn cân ñi thu chi thì 20% là nhng
giá tr bt thưng. Nu mt con s ' mt bng cân ñi t ra bt thưng thì xác sut
ñ s y là mt sai lm là bao nhiêu? Gii
Đt : “bn cân ñi thu chi cha sai lm” =
: “bn cân ñi thu chi cha giá tr bt thưng”
= ( ) =
Xác sut 1 con s ' 1 bng cân ñi t ra bt thưng là 1 sai lm: ( )
( ). ( |) , . ,
( | ) = = = = , ( ) ( ) , 1.35.
Mt hãng sn xut mt loi t lnh X ưc tính r"ng khong 80% s ngưi
dùng t lnh có ñc qung cáo t lnh do hãng y sn xut. Trong s nhng ngưi
ñc qung cáo, có 30% mua loi t lnh X; 10% không ñc qung cáo cũng mua
loi t lnh X. Tính xác sut ñ mt ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo. Gii
Đt : “ngưi ñó ñc qung cáo” =
: “ngưi ñó mua t lnh X” ( / ) = , ; ( / ) = ,
Trưc tiên tính xác sut ñ ngưi mua t lnh X
( ) = ( )
+ ( ) = ( )
. ( / ) + ( )
.( / ) = ,
Xác sut ñ 1 ngưi tiêu dùng ñã mua loi t lnh X mà có ñc qung cáo:
( ) (). ( | ) , . ,
(| ) = = = = () ( ) , 1.36.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ a/ H% thng I b hng; 18 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ H% thng II không b hng. Gii
a/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng I b hng =
+ + + = − ( )
= − =
b/ Đt :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {}.
Xác sut h% thng II không b hng
+ + = −
= − = 1.37.
Trên mt bng qung cáo, ngưi ta mc hai h% thng bóng ñèn ñc lp. H%
thng I gm 4 bóng mc ni tip, h% thng II gm 3 bóng mc song song. Kh
năng b hng ca m i bóng trong 18 gi thp sáng liên t,c là 0,1. Vi%c hng ca
m i bóng ca m i h% thng ñưc xem như ñc lp. Tính xác sut ñ
a/ C hai h% thng b hng;
b/ Ch có mt h% thng b hng. Gii
a/ Đt : “bóng ñèn th trong h% thng I bi hng” ∈ { } .
và :”bóng ñèn th trong h% thng II bi hng” ∈ {} .
Xác sut h% thng I b hng =
+ + + = − = − = ( )
Xác sut h% thng II b hng là: () = =
Nên, xác sut c hai h% thng b hng là =
= =
b/ Xác sut ch có mt h% thng b hng
+ = +
= 1.38.
Mt lô hàng gm rt nhiu bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xu. Mt
ngưi ñn mua hàng vi qui ñnh: Chn ngu nhiên 10 bóng ñèn ñem kim tra và
nu có nhiu hơn mt bóng ñèn xu thì không nhn lô hàng. Tính xác sut ñ lô hàng ñưc chp nhn. Gii
Vi%c kim tra 10 bóng ñèn, nghĩa là thc hi%n 10 phép th# Bernoulli, vi
xác sut “thành công” gp bóng xu = (không ñ$i). Khi ñó ( ; , ) , . , − = , = , , ,...,
( :s ln thành công trong 10 phép th#)
Đt : “nhn lô hàng” 19 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân ( )
= ( ) + ( ) =( ) − ( ) = 1.39.
Mt nhóm nghiên cu ñang nghiên cu v nguy cơ mt s c ti mt nhà
máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x. Nhóm nghiên cu nhn thy các
loi s c ch có th là: ho hon, s gãy ñ$ ca vt li%u hoc sai lm ca con
ngưi, và 2 hay nhiu hơn 2 s c không bao gi cùng xy ra.
Nu có ha hon thì s rò r phóng x xy ra khong 20% s ln. Nu có s
gãy ñ$ ca vt li%u thì s rò r phóng x xy ra khong 50% s ln, và nu có s
sai lm ca con ngưi thì s rò r s+ xy ra khong 10% s ln. Nhóm nghiên cu
cũng tìm ñưc xác sut ñ: Ho hon và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0010,
gãy ñ$ vt li%u và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0015, sai lm ca con ngưi
và s rò r phóng x cùng xy ra là 0,0012. Tìm xác sut ñ
a/ có ho hon; có gãy ñ$ vt li%u và có sai lm ca con ngưi;
b/ có mt s rò r phóng x;
c/ mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi. Gii
Đt : “xy ra ha hon”
: “xy ra gãy ñ$”
: “xy ra sai lm ca con ngưi”
: “s rò r phóng x” Ta có ( )
= ( )
= ( ) = ( )
= () = () =
a/ Xác sut có ho hon là ( ) ( ) = = ,
( |)
Xác sut có gãy ñ$ vt li%u là ( ) () = = ,
( | )
và xác sut sai lm ca con ngưi ( ) ( ) = = ,
( | )
b/ Xác sut có s rò r phóng x xy ra:
( ) = ( )+ ( ) + ( ) = , + ,
+ , = ,
c/ Xác sut mt s rò r phóng x ñưc gây ra b'i s sai lm ca con ngưi là () = = = () 1.40. 20 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt ña phương có t l% ngưi dân nghi%n thuc lá là 30%. Bit r"ng t l%
ngưi b viêm hng trong s ngưi nghi%n thuc lá là 60%, còn t l% ñó trong s
ngưi không nghi%n thuc lá là 40%. Chn ngu nhiên mt ngưi t ña phương trên.
a/ Nu ngưi ñó b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá.
b/ Nu ngưi ñó không b viêm hng, tính xác sut ñ ngưi ñó nghi%n thuc lá. Gii
Đt : “ngưi dân nghi%n thuc lá” ( ) = ,
: “ngưi dân b viêm hng” ( | ) = ,; ( | ) = ,
a/ Trưc tiên ta tính xác sut ngưi này viêm hng
( ) = ( )+ () = (). ( |)+ (). ( | ) = ,
Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu b viêm hng là ( )
(). ( | ) , . , ( | ) = = = = () () ,
b/ Xác sut ñ ngưi nghi%n thuc lá nu không b viêm hng là ( ) (
−
− | ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( | ) = = = = ( ) ( ) − () 1.41.
Mt nhà xut bn g#i bn gii thi%u sách mi ñn 80% ging viên ca mt
trưng ñi hc. Sau mt thi gian, nhà xut bn nhn thy: Có 30% ging viên
mua sách trong s nhng ngưi nhn ñưc bn gii thi%u, và trong s nhng ging
viên không nhn ñưc bn gii thi%u, có 10% mua sách . Tìm t l% nhng ging
viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách. Gii
Đt : “ging viên nhn ñưc bn gii thi%u sách mi” () = ,
: “ging viên mua sách” ( | ) = , ; ( | ) = ,
Trưc ht ta tính xác sut ñ ging viên mua sách
= ( )
+ ( ) = ( )
( ) + ( )
( ) =
Nên, xác sut ñ ging viên nhn ñưc bn gii thi%u trong s nhng ngưi mua sách: ( )
(). ( |) , . ,
(/ ) = = = = ( ) () , 1.42.
Nhà trưng mun chn mt s hc sinh t mt t$ gm 7 nam sinh và 6
n.sinh. Ln ñu chn ngu nhiên 2 hc sinh; sau ñó, chn tip 1 hc sinh na.
a/ Tính xác sut ñ hc sinh ñưc chn ln sau là nam sinh. 21 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Bit r"ng hc sinh ñưc chn ln sau là n sinh, tính xác sut ñ c hai
hc sinh ñưc chn ln ñu ñu là nam sinh. Gii
a/ Gi : “chn hc sinh nam trong 2 hc sinh ln ñu” ∈ { } = = =
:”hc sinh ñưc chn sau cùng là nam” ( )
= +
+
= + + =
b/ Xác sut hc sinh chn ln sau cùng là n là = () =
nên xác sut ñ 2 hc sinh ñưc chn ln ñu là nam:
( ) = = = ( ) 1.43.
S li%u thng kê v b%nh lao ph$i ti mt ña phương cho bit: Có 15% s
ngưi làm ngh ñ,c ñá (LNĐĐ) và b lao ph$i; có 50% s ngưi không LNĐĐ và
không b lao ph$i; có 25% s ngưi LNĐĐ nhưng không b lao ph$i. Ngoài ra, t
l% nhng ngưi không LNĐĐ nhưng b lao ph$i là 10%. Chúng ta có th kt lun
gì v mi quan h% gia ngh ñ,c ñá và b%nh lao ph$i? Gii
Đt : “làm ngh ñ,c ñá”
: “b lao ph$i”
Theo s li%u ñ bài ta có: () =
= = = Khi ñó, =
+ () = + = và =
+ () = + =
D- thy ( )
= ≠ = ( )
do ñó b%nh lao ph$i có liên quan ñn ngh ñ,c ñá. Xét ( ) ( )
( ) =
= ( )= = ( ) () 22 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta thy ( ) ≈ ( )
. Chng t r"ng, xác sut ngưi b lao ph$i khi
ngưi ñó làm ngh ñ,c ñá cao gn gp hai ln xác sut ngưi b lao ph$i nhưng
ngưi ñó không làm ngh ñ,c ñá. 1.44.
Gi s# mt xét nghi%m X cho kt qu dương tính (+) ñi vi nhng ngưi
nhi-m HIV vi xác sut 95% và cho kt qu (+) ñi vi nhng ngưi không nhi-m
HIV vi xác sut 1%. Mt ngưi ñn t ña phương có t l% nhi-m HIV là 1%
ñưc làm xét nghi%m X và cho kt qu (+). Tính xác sut ñ ngưi này thc s nhi-m HIV. Gii
Đt : “Ngưi b nhi-m HIV ñn t ña phương” ( ) =
: “ngưi ñn t ña phương làm xét nghi%m X cho kt qu dương tính vi HIV” ( ) = ( )
( )
+ ()( )
= + =
Xác sut ñ ngưi ñn t ña phương có t l% 1% ñưc xét nghi%m và cho kt qu dương tính là = = = 1.45.
Mt hp cha 15 l thuc, trong ñó có 6 l hng. Ly ln lưt tng l
không hoàn li ñ kim tra, cho ñn khi gp 3 l hng thì dng.
a/ Tính xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba; ' l th sáu
b/ Nu vi%c kim tra dng li ' l th sáu, tính xác sut ñ l ñưc kim
ra ñu tiên là l hng. Gii
Đt :” ln kim tra th ñưc l hng”
a/ Xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' l th ba ( = = )
Đt :” kim tra liên tip 5 ln ñưc 2 l hng và 3 tt” = = = =
:”kim tra dng li ' l th sáu” = ( =
= )
b/ Vi%c kim tra dng li ' l th sáu, xác sut ñ l ñưc kim ra ñu tiên là l hng.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) = = () () 23 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân = = ≈ 1.46.
T mt lô hàng có rt nhiu quyn v' vi t l% v' hng là 5%, ngưi ta
chn ngu nhiên tng quyn v' ñ kim tra.
a/ Hi phi kim tra ít nht bao nhiêu quyn v' ñ xác sut có ít nht mt
quyn v' hng không bé hơn 90% ?
b/ Gi s# vi%c kim tra s+ dng li khi phát hi%n 3 quyn v' hng. Tính
xác sut ñ vi%c kim tra dng li ' ln kim tra th 10, Gii
Gi là xác sut v' hng trong m i lô hàng. = và gi là s
quyn v' cn kim tra. Ta có dãy phép th# Bernoulli vi xác sut thành công (v'
hng) là 0,05. Do ñó, ( )
a/ Đt : “ít nht mt quyn v' hng”
= − = − ≥ ⇔ ≥
( ) ()
Nên phi kim tra ít nht 45 quyn v'.
b/ Vi%c kim tra phát hi%n 3 quyn v' hng suy ra 9 ln kim tra ñu phát hi%n 2
quyn v' hng và ln th 10 phi là v' hng.
Đt :”kim tra dng li ln th 10” ( )
= ( ) = (
= . ) 1.47.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
Ly ngu nhiên t m i hp ra 2 sp vi ∈ { }
và ∈ { }
Đt :” ly ñưc sp loi t hp th nht”
:” ly ñưc sp loi t hp th hai”
a/ : “ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”
( ) = ( ) + ( ) = + =
b/ Gi ( ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai 24 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân ( ) Ta có ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = = = ( )
Ta thy ( < nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th hai. ) ( ) 1.48.
Hp th nht có 8 sn ph(m loi và 2 sn ph(m loi ; hp th hai có 5
sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Ly ngu nhiên mt hp, ri ly ngu
nhiên t ñó ra 4 sn ph(m.
a/ Tính xác sut ñ ñưc 3 sn ph(m loi ;
b/ Gi s# ly ñưc mt sn ph(m loi và 3 sn ph(m loi . Nhiu
kh năng là sn ph(m loi thuc hp nào? Ti sao? Gii
a/ Ly ngu nhiên ra 1 hp, ri ly ngu nhiên t ñó ra 4 sp Đt
:” ly ñưc hp th ”, ∈ {} suy ra ( = = ) ( )
gi :” ly ñưc 3 sp loi và 1 sp loi ”
() = ( + ) ( ) ( ) ( ) = + = + =
b/ Gi ( ln lưt là xác sut ñ sp loi thuc hp th nht và hp ) ( ) th hai (
) ( )
Ta có ( ) = = = () ( )
( ) ( ) = = = ( )
Thy ( ) > nên sp loi nhiu kh năng thuc hp th nht. ( ) 1.49. 25 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt nhà máy sn xut linh ki%n ñi%n t# vi 96% sn ph(m có cht lưng
cao. Mt qui trình kim tra cht lưng sn ph(m có ñc ñim: 2% sn ph(m có
cht lưng cao li không ñưc công nhn và 5% sn ph(m không có cht lưng
cao li ñưc công nhn. Hãy tính xác sut ñ sau khi kim tra, mt sn ph(m
ñưc công nhn có cht lưng cao ñúng là sn ph(m có cht lưng cao. Gii
Gi : “sp cht lưng cao” và : “sp ñưc công nhn” ( )
= , ( )
= và ( ) =
() ()− ()
Ta có ( )= = = ( ) ()
suy ra ()= . ()
()− ( )
Li có ( ) = = = () ( ) suy ra ( )
=
Xs ñ 1 sp ñó ñưc công nhn cht lưng cao ñúng là sp cht lưng cao là () ( ) = = = () 1.50.
Gi s# bn ñem giao mt lô hàng, rt nhiu sn ph(m, mà bn bit r"ng nó
có t l% ph ph(m là 10%. Ngưi nhn hàng ñ ngh ly ngu nhiên 6 sn ph(m ñ
kim tra, và nu có quá ph ph(m thì không nhn lô hàng. Bn ñ ngh b"ng
bao nhiêu ñ va thuyt ph,c ñưc ngưi nhn, va hy vng kh năng lô hàng
không b t chi ít nht là 95%? Gii
T l% ph ph(m là =
Vi%c ly ngu nhiên 6 sp ñ kim tra nghĩa là thc hi%n 6 phép th#
Bernoulli vi xs thành công (gp ph ph(m) = (không ñ$i). Ta ñưc ( )
− = Nhn xét:
+ < ( ) ( )
và + + = > ( ) ( ) ( )
nên theo yêu cu bài toán = . 1.51.
Mt khu dân cư A có t l% mc b%nh B là 30%.
a/ Trong mt ñt ñiu tra, ngưi ta chn ngu nhiên 10 ngưi. Tính xác sut
trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B. 26 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Đưc bit trong khu vc ñó có 60% dân s có chích nga b%nh B. T. l%
ngưi kháng b%nh B ñi vi ngưi ñưc chích nga là 95%. Còn t. l% kháng b%nh
B ñi vi ngưi không chích nga là 20%. Chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi
này không mc b%nh B. Tính xác sut ngưi này có chích nga. Gii
Gi : “Ngưi ñưc chn mc b%nh B” ( ) = .
Chn ngu nhiên 10 ngưi là thc hi%n 10 phép th# Bernuolli vi xác sut thành
công (mc b%nh B) ()= (không ñ$i). Ta có ( ) − = .
a/ Xác sut trong ñó có nhiu nht ba ngưi mc b%nh B
+ + + = ( ) ( ) ( ) ( )
= + + + =
b/ :” chích nga b%nh B” ()= ( )
= và ( ) =
Xác sut chn ngu nhiên mt ngưi thy ngưi này không mc b%nh B: ( )
= () ( )
+ () ( ) =
xác sut ngưi này có chích nga: ( )
() ( ) ( ) = = = . () () 1.52.
T l% sn xut ra ph ph(m ca mt máy là 8%. Kho sát mt lô hàng gm 75
sn ph(m do máy ñó sn xut ra.
a/ Tính xác sut ñ trong lô hàng, có 10 ph ph(m
b/ Trong lô hàng, nhiu kh năng nht là có bao nhiêu ph ph(m? Tính xác sut tương ng. Gii
Nu xem vi%c máy sn xut ra mt sn ph(m là mt phép th# Bernoulli, vi
xác sut cho “thành công” là p = 0,08 , thì khi máy ñó sn xut 75 sn ph(m, nó ñã
thc hi%n quá trình P ; k 0,08 75 ( ) a/ Xác sut phi tính: 10 10 65 7 P 5 1
0 = C75 0 08 0 92 = 0 03941
b/ S ph ph(m nhiu kh năng nht trong lô hàng là: ( 75 +1 ).0,08 6 =
vi xác sut tương ng: 27 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 6 6 69
P (6) = C (0,08) .(0,92) = 0,16745 75 75 1.53.
Ngưi ta mun ly ngu nhiên mt s ht ging t mt lô ht ging có t l%
ht lép là 3% ñ nghiên cu. Hi phi ly ít nht bao nhiêu ht sao cho xác sut
ñ có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?. Gii
Gi n là s ht phi ly, chúng ta có P k
. Xác sut ñ có ít nht mt ht n ( ; 0, 03) lép là 1 1 ( 0,03) 1 (0,97 )n n − − = − .
Theo gi thit, chúng ta có: n n ln 0,05
1 − (0,97 ) ≥0,95 ⇔ (0,97 ) ≤ 0,05 ⇔ n ≥ = 98,3523 ln 0, 97
Vy, phi ly ít nht 99 ht ging. 28 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 2: BIN NGU NHIÊN 2.1. Có ba hp
và ñng các l thuc. Hp có 10 l tt và 5 l hng,
hp có 6 l tt và 4 l hng, hp có 5 l tt và 7 l hng. Ly ngu nhiên t
m i hp ra mt l thuc.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s l thuc tt trong 3 l ly ra.
b/ Tìm xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt; ñưc 3 l cùng loi. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s l thuc tt trong 3 l ly ra
= { }
a) : “ l thuc ly ra t hp th là l tt”. ( = )
= = = ( ) ( ) ( ) ( = ) =
+ + = ( = ) =
+ + = ( = )
= = = ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca 0 1 2 3
( )
b) Xác sut ñ ñưc ít nht 2 l tt
( ≥ ) = ( = ) + ( = ) =
Xác sut ñưc 3 l cùng loi
( = ) + ( = ) = 2.2.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên
và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn. Tính xác sut ñ
ñi tuyn thng ít nht mt trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn. 29 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
= { }
Gi : “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng”
: “Vn ñng viên thng” Ta có
( = ) =
= ( )
= = ( = ) = + +
=
( = )= + +
=
( = )=
= ( )
=
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
( )
b/ Xác sut ñ ñi tuyn thua nhiu nht mt trn:
( ≥ ) = ( = )+ ( = ) =
Xác sut ñ ñi tuyn thng ít nht mt trn : ( ≥ )
= − ( = ) = 2.3.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên
và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Sau ñt thi ñu, ñi tuyn có hai trn thng; tính xác sut ñ A thua trn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
= {}
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
( = ) =
= ( )
= = ( = ) =
+
+
=
( = )= + +
=
( = )=
= ( )
=
Bng phân phi xác sut : 30 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 0 1 2 3
( )
b/ Xác sut ñ thua trn, bit r"ng ñi tuyn có hai trn thng (
{ = }) ( ) ( = )
= = = = ( = ) ( = ) 2.4.
Trong mt ñi tuyn, 3 vn ñng viên
và thi ñu vi xác xut thng
trn ca m i ngưi ln lưt là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong mt ñt thi ñu, m i vn ñng
viên thi ñu mt trn ñc lp nhau.
a/ Tìm lut phân phi xác sut cho s trân thng ca ñi tuyn.
b/ Tính s trn thng trung bình và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn. Gii
a/ Gi là bin ngu nhiên ch s trn thng ca ñi tuyn.
= { }
Gi : “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng”;
: “Vn ñng viên thng” Ta có
( = ) =
= ( )
= = ( = ) = + +
=
( = )= + +
=
( = )=
= ( )
=
Bng phân phi xác sut : 0 1 2 3
( )
b/ S trn thng trung bình
= + + + =
và phương sai ca s trn thng ca ñi tuyn
() = ( ) − ( ) = Trong ñó, ( )
= + + + = . 2.5.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau: 31 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao.
b/ Chi phí sn xut ca m bao k/o là 3X + 16, trong ñó X là bin ngu
nhiên ch s k/o trong bao. Tin bán m i bao k/o là 100$. Không phân bi%t s k/o
trong bao. Tìm li nhun trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Trung bình và phương sai ca s viên k/o trong m i bao : () =
∑ ( = ) = =
và phương sai ca s viên k/o trong m i bao:
() = ( )− () =
b/ Gi là bin ngu nhiên ch li nhun cho m i bao k/o. Ta có:
= − li nhun trung bình
() = ( − )= − ( )=
và ñ l%ch chu(n ca li nhun cho m i bao k/o
σ ( ) = ( ) = ( − ) = ( ) = 2.6.
Mt cơ s' sn xut các bao k/o. S k/o trong m i bao là mt bin ngu
nhiên có phân phi xác sut như sau:
S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác sut 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09
a/ Tìm xác sut ñ mt bao k/o ñưc chn ngu nhiên s+ cha t 19 ñn 21 viên k/o.
b/ Hai bao k/o ñưc chn ngu nhiên. Tính xác sut ñ ít nht mt trong
hai bao cha ít nht 20 viên k/o. Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s k/o trong bao.
a/ Xác sut ñ bao ñưc chn ngu nhiên có t 19 ñn 21 viên k/o:
≤ ≤ = ( = ) + ( = )
+ ( = ) =
b/ Đt : “Bao cha ít nht 20 viên k/o” ( )
= + + =
Xác sut ñ ít nht mt trong hai bao cha ít nht 20 viên k/o: 32 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
(+ ) = ( ) + ( )= ( ) + ( ) ( )
= 2.7.
Mt hp ñng 5 sn ph(m, trong ñó có hai ph ph(m. Ngưi ta ln lưt
kim tra tng sn ph(m (không hoàn li) cho ñn khi gp hai ph ph(m thì dng
li. Tìm lut phân phi xác sut cho s sn ph(m ñưc kim tra. Tính s ln kim tra trung bình. Gii
Goi là BNN ch s s sn ph(m kim tra.
= { }
:“ ln kim tra ln th ñưc ph ph(m”.( = )
( = ) = (
= = ) ( ) ( ) ( = )
= ( + ) ( ) = ( )
+ = ( ) ( )
( ) ( ) ( ) Tương t ( = ) = ( = ) =
Bng phân phi xác sut : 2 3 4 5
()
S ln kim tra trung bình: ()=
∑ ( = )= = 2.8.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Sau sn xut, ngưi ñiu khin báo r"ng sut ca ch có mt máy hot
ñng tt. Tính xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
= { }
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
( = = = ) ( ) ( )
( = ) = ( = = = ) ( ) ( ) ( ) 33 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
( = )= ( + ) ( ) ( )
+ ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = ( + ) ( ) ( )
+ ( + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = ( = = ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
()
b/ Xác sut ñ máy hot ñng tt ñó là máy mt, bit r"ng sut ca ch có mt máy hot ñng tt.
( =
{ }) ( ) (
= = = = = ) ( = ) ( = ) 2.9.
Mt ngưi ñiu khin 3 máy t ñng hot ñông ñc lp vi nhau. Xác sut
b hng trong mt ca sn xut ca máy 1,2 và 3 ln lưt là 0,1; 0,2 và 0,3.
a/ Lp bng phân phi xác sut cho s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut.
b/ Trung bình, trong mt ca, có bao nhiêu máy hot ñng tt? Tính ñ
l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut. Gii
a/ Gi là BNN ch s máy hot ñng tt trong 1 ca sn xut.
= {}
Đt “ máy th b hng trong 1 ca”. Suy ra,
( = = = ) ( ) ( )
( = ) = ( = = = ) ( ) ( ) ( )
( = )= ( + ) ( ) ( )
+ ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = ( + ) ( ) ( )
+ ( + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( = ) = ( = = ) ( ) ( ) ( )
Bng phân phi xác sut ca : 0 1 2 3
() 34 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Trung bình s máy hot ñng tt trong mt ca: ( )=
và ñ l%ch chu(n ca s máy hot ñng tt trong mt ca sn xut σ .
() = 2.10.
Mt công ty có 3 t$ng ñi lý. Gi và theo th t là khi lưng hàng
bán ñưc trong mt này ca 3 t$ng ñi lý trên (tính b"ng tn). Bit phân phi xác
sut ca các BNN và như sau: 5 6 7 8
( = 0,1 0,3 0,4 0,2 ) 4 5 6 7 8
( = 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 ) 7 8 9 10
( = 0,2 0,3 0,4 0,1 )
Tính khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong mt tháng (30 ngày) ca công ty trên. Gii
Trung bình khi lưng hàng hóa C bán ñưc trong 1 tháng. ( ) =
∑ = = ( ) =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng.
() =
= = ∑ ( ) =
Trung bình khi lưng hàng hóa bán ñưc trong 1 tháng.
() =
∑ = = ( ) =
Nên khi lưng hàng hóa bán ñưc trung bình trong 1 tháng ca công ty là ( )
+ ( ) + ( ) = 2.11.
Tin hành kho sát s khách trên mt chuyn xe buýt (SK/1C) ti mt
chuyn giao thông, ngưi ta thu ñưc s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45
Xác sut 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1
a/ Tính kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca SK/1C.
b/ Gi s# chi phí cho m i chuyn xe buýt là 200 ngàn ñng, không ph,
thuc vào s khách ñi trên xe, th2 công ty phi quy ñnh giá vé là bao nhiêu ñ có
th thu ñưc s tin li trung bình cho m i chuyn xe là 100 ngàn ñng? 35 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s khách trên mt chuyn xe. = {} a/ Kỳ vng ca SK/1C: (
) =
Đ l%ch chu(n ca SK/1C.: σ ( )= () = ( )− ( ) =
b/ Gi là BNN ch s tin li cho m i chuyn xe.
= −
trong ñó, (ñng) là s tin quy ñnh giá vé.
Yêu cu bài toán, ( ) = ( −) = ⇔ ( ) = ⇔ ≈ .
Vy, công ty phi quy ñnh giá vé là 8,6 ñng. 2.12.
Mt ngưi tham gia trò chơi gieo 3 ñng tin vô tư. Anh ta ñưc 500ñ nu
xut hi%n 3 mt sp, 300ñ nu xut hi%n 2 mt sp, và 100ñ nu ch có mt mt sp
xut hi%n. Mc khác, anh ta mt 900ñ nu xut hi%n 3 mt nga. Trò chơi này có
công băng vi ngưi này không? ( Trò chơi ñưc gi là công b"ng ñi vi ngưi
chơi nu tham gia chơi nhiu ln thì trung bình anh ta hòa vn). Gii
Gi là bin ngu nhiên ch s tin nhn ñưc khi tham gia trò chơi = {
− }
Đt :”Gieo ln th xut hi%n mt sp” ∈ {} ( = − ) = (
= = ) ( ) ( ) ( ) ( = ) = (
+ + = = ) ( ) ( )
Tương t, ( = )
= = =
Bng phân phi xác sut ca -900 100 300 500 ()
Và ( ) =
nên m i ln chơi anh ta thng ñưc 100ñ. Vy trò chơi không công b"ng. 2.13.
Mt ngưi tham gia trò chơi sau: Gieo mt con xúc xc vô tư ba ln ñc lp
nhau. Nu xut hiên “ mt 1” c 3 ln thì ñưc thư'ng 6 ngàn ñng; nu xut hi%n
“ mt 1” 2 ln thì ñưc thư'ng 4 ngàn ñng; xut hi%n “mt 1” 1 ln thì ñưc
thư'n 2 ngàn ñng; khi không có “mt 1” nào xut hi%n thì không ñưc thư'ng.
M i ln tham gia trò chơi, ngưi chơi phi ñóng ngàn ñng. Hãy ñnh ñ trò chơi công b"ng. 36 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi là BNN ch s tin còn li sau m i ln tham gia trò chơi.
= { − − − } Ta có
= − = =
; = − = =
= − = = ;
= =
Bng phân phi xác sut ca
− − − ()
và ( ) = − . ( )
Trò chơi công b"ng ( ) = ⇔ − = ⇔ = .
Vy, m i ln chơi ngưi tham gia ñóng 1 ngàn ñng thì trò chơi công b"ng. 2.14.
Theo thng kê dân s, xác sut ñ mt ngưi ' ñ tu$i 40 s+ sng thêm 1
năm na là 0,995. Mt công ty bo him nhân th bán bo him mt năm cho
nhng ngưi ' ñ tu$i ñó là 10 ngàn, và trong trưng hp ngưi mua bo him b
cht thì s tin bi thưng là 1 tri%u. Hi li nhun trung bình ca công ty khi bán
m i th bo him là boa nhiêu? Gii
Gi là BNN ch li nhun ca công ty khi bán m i th bo him.
= {−}
Bng phân phi xác sut ca −
( )
và ( ) = .
Vy, trung bình công ty li 5 ngàn ñng khi bán 1 th bo him. 2.15.
S lưng xe ô tô mà mt ñi lý bán ñưc trong mt tun là mt BNN có
phân phi xác sut như sau: S xe bán ñưc 0 1 2 3 4 5 Xác sut tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
a/ Tính xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun.
Tính kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm. 37 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b/ Gi s# chi phí cho hot ñng ca ñi lý b"ng căn bc hai ca s xe bán
ñưc vi 5 (tri%u ñng). Tìm chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca
ñi lý trong mt tun.
Gi X là BNN s xe bán ra trong 1 tun.
a/ Xác sut ñ ñi lý ñó bán ñưc nhiu nht 3 xe trong mt tun P ( X ≤ )
3 = 1− P (X = 4)− P (X = 5) = 0,6
Kỳ vng và phương sai ca s xe mà ñi lý bán ñưc trong mt năm.
E ( X ) = 2,8;D (X )= 2,16
b/ Gi là chi phí cho hot ñng ca ñi lý trong 1 tun Y = X + 5
Nên chi phí cho hot ñng trung bình cho hot ñng ca ñi lý trong mt tun
E(Y) = E( X ) + 5= 6,55 2.16.
2x ,x ∈[0; ] 1
Cho hàm f (x) = 0 , x ∉ [0;1]
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X .
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X 1 c/ Tính xác sut
P 0 < X < . 2 Gii +∞ 1 1
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và 2 f (x)dx ∫ = 2xdx x ∫ = = 1 . Do ñó, f ( )
x là hàm mt ñ xác 0 −∞ 0
sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 0 x b/ F ( ) 2
x = ∫ f (t)dt =x ,0 < x ≤1 −∞ 1 , x >1 1 2 1 1
c/ P0 < X < = ∫2xdx = . 2 4 0 2.17. 2 , x >1 Cho hàm 3
f (x) = x 0 , x ≤1
a/ Chng t f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X .
c/ Tính xác sut P(0 < X < ) 3 Gii 38 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân +∞ +∞ 2 1 b
a/ f (x) ≥ 0,∀x∈ và ∫ f (x)dx =∫ dx = − 2 lim
= 1 . Do ñó, f (x) là 3 2 b x →+∞ 2 x 1 −∞ 1
hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X . 0 , x ≤ 1 x 1 b/ F ( x) = f (t )dt ∫ = 1 − ,1< x < +∞ 2 x −∞ 1 , x = +∞ 3 8
c/ P(0 < X < 3) = ∫ f ( ) x dx = . 9 0 2.18. a , x >1 Cho hàm 3
f (x) = x ( a là h"ng s) 0 , x ≤1
a/ Tìm a ñ f (x) là hàm mt ñ xác sut ca mt bin ngu nhiên liên t,c X
b/ Tìm hàm phân phi xác sut F (x) ca X . Gii a/ x ∀ R
∈ , f (x ) ≥ 0 ⇔a ≥ 0 và +∞ +∞ a 1 b a
∫ f (x)dx = ∫ dx = − a lim =
. Do ñó, f (x) là hàm mt ñ xác sut ca 3 2 b x →+∞ 2x 1 2 −∞ 1 a ≥ 0
mt bin ngu nhiên liên t,c X khi và ch khi ⇔ a a = 2 . = 1 2 0 , x ≤ 1 x 1 b/ F ( x) = f (t )dt ∫ = 1 − ,1< x < +∞ 2 x −∞ 1 , x = +∞ 2.19.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ
2x , x ∈[0;1] f (x) = 0 , x ∉ [0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 2 E ( X ) 2 = ∫ xf ( )
x dx =∫2 x dx = 3 −∞ 0 +∞ 1 E ( 1 2 X ) 2 3
= ∫ x f (x)dx =∫ 2x dx = 2 −∞ 0 do ñó, 39 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 4 1
D( X) = E ( X ) − (E( X) )2 2 = − = 2 9 18 2.20.
Cho X là bin ngu nhiên liên t,c có hàm mt ñ 2
3x , x ∈ [0; ] 1 f (x) = 0 , x ∉ [0; ] 1
Tìm kỳ vng và phương sai ca X . Gii +∞ 1 3 E ( X ) 2 = xf
∫ ( )xdx =∫3x dx = 4 −∞ 0 +∞ 1 E ( 3 2 X ) 2 4
= ∫ x f (x)dx =∫ 3x dx = 5 −∞ 0 do ñó, 3 9 3
D( X ) = E ( X ) − (E( X ) )2 2 = − = . 5 16 80 40 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Chương 3: MT S PHÂN PHI THƯNG DÙNG 3.1.
Mt ki%n hàng có 10 sn ph(m, trong ñó có 8 sn ph(m loi A. Ly ngu
nhiên 2 sn ph(m. Đt X là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các
sn ph(m ly ra. Tìm lut phân phi xác sut ca X . Tính E( X ) ,D( X ) . Gii
Gi X là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th nht. Im X = {0;1; } 2 k k− 2 C .C M
Ta có X ~ H (10;8;2) ta có 8 2
P(X = k ) = ; p = = 0,8 2 C N 10 N − n 64
Nên E( X ) = np = 1,6; D( X ) = np(1− p) = . N 1 − 225 3.2.
Có 2 ki%n hàng, ki%n th nht và ki%n th 2. Bit r"ng, ki%n th hai có 8 sn
ph(m, trong ñó có 5 sn ph(m loi A. Ln ñu, ly ngu nhiên 2 sn ph(m ' ki%n
th nht b vào ki%n th hai, sau ñó ly ngu nhiên t ki%n th hai ra 2 sn ph(m.
Đt X và Y ln lưt là bin ngu nhiên ch s sn ph(m loi A có trong các sn
ph(m ly ra ' ln th nht và ln th hai. Bit r"ng bng phân phi xác sut ca 0 1 2
( )
Tìm lut phân phi xác sut ca Y ; tính E (Y ) và D (Y ) . Bài gii
Gi Y là BNN ch s sn ph(m loi A trong các sn ph(m ly ra ln th hai. ImY = {0;1; } 2 1 16 28
Ta thy P (X = 0) = ;P (X = 1) = ; P ( X = 2) = 45 45 45 Trong ñó, 0 2 C .C 10 6 3
P(Y = 0 | X = 0) 5 5 = =
; P Y = 0 | X = 1 =
; P Y = 0 | X = 2 = 2 ( ) ( ) C 45 45 45 10 Mt khác 41 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (Y = 0) = P (X =0).P (Y = 0 | X = 0) + P ( X = )
1 .P (Y = 0 | X =1) 190
+ P (X = 2 ).P (Y = 0 | X = 2 ) = 2025 997 838
Tương t P (Y = ) 1 = ; P (Y = 2) = . 2025 2025
Bng phân phi xác sut ca Y Y 0 1 2 190 997 838 P (Y ) 2025 2025 2025 2673 Nên E(Y) =
= 1,32; D( X ) = 0,40525. 2025 3.3.
Mt ki%n hàng cha 8 sn ph(m, trong ñó có 3 sn ph(m xu và 5 sn ph(m
tt. Ly ngu nhiên t ki%n hàng ra 4 sn ph(m (không hoàn li).
a/ Hãy lp bng phân phi xác sut cho s sn ph(m xu có trong 4 sn
ph(m ly ra, và tính xác sut ñ trong ñó có ít nht 2 sn ph(m tt.
b/ Đem 4 sn ph(m va ly ra ñi bán. Bit r"ng bán mt sn ph(m tt ñưc
li 50 ngàn ñng, và bán mt sn ph(m xu b l 15 ngàn ñng. Tính li nhun thu
ñưc trung bình và ñ l%ch chu(n ca li nhun khi bán 4 sn ph(m trên. Gii
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m xu có trong 4 sn ph(m ly ra. Im X = {0;1;2; } 3 0 4 1 3 2 2 C .C 1 C .C 6 C .C 6 P( X = 0) 3 5 = = ;P( X = ) 3 5 1 = = ; P( X = 2) 3 5 = = ; 4 4 4 C 14 C 14 C 14 8 8 8 3 1 C .C 1 P( X = ) 3 5 3 = = 4 C 14 8
Bng phân phi xác sut ca X X 0 1 2 3 1 6 6 1 P (X ) 14 14 14 14 13
Xác sut ñ có ít nht 2 sn ph(m tt: ( P X ≤ 2) =1− ( P X = ) 3 = . 14
b/ Gi Y là BNN ch li nhun thu ñưc khi bán 4 sn ph(m. Y = 200 − 65X 6 6 1 15
khi ñó E ( X ) = + 2. + 3.
= 1,5; D ( X ) = E ( X ) − E( X )2 2 = 14 14 14 28 42 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
E(Y ) = E( 200 − 65X ) = 200 − 65E( X ) = 102,5 và
σ(Y ) = D(Y) = D(200 −65 X ) = 65 D( X ) = 47,5735 3.4.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s
sn ph(m tht ñã kim tra Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m tht ñã kim tra. 1
Ta có Im Y = 0;1;2;... Ta thy P Y = 0 = 0,3;P Y = 1 = 0,7.0,3 theo quy np 1 { } ( 1 ) ( 1 ) ( = = 0,7n P Y n .0,3. 1 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m tht ñã kim tra: +∞ +∞ 1 7 E (Y ) = ∑ .
n P (Y = n) n− 1 = 0,7.0,3∑ . n 0,7 = 0,21. 1 1 = n= n= (1− 0,7)2 0 1 3 3.5.
Mt lô hàng có rt nhiu sn ph(m, vi t l% hàng gi là 30%.
a/ Ly ngu nhiên t lô hàng ra 10 sn ph(m, tính xác sut ñ có nhiu nht 2 sn ph(m gi.
b/ Ngưi ta ly ngu nhiên ra t ng sn ph(m mt ñ kim tra cho ñn khi
nào gp sn ph(m gi thì dng. Tìm lu t phân phi xác su t và tính kỳ v ng ca s sn ph(m ñã kim tra. Gii
Gi p là xác sut ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3.
a/ Gi X là BNN ch s sn ph(m gi. X B(10;0,3)
Xác sut ñ có nhiu nht 2 s n ph(m gi 43 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
P (X ≤ 2) = P( X = 0) + P( X = 1)+ P( X = 2) 10 9 2 8
= 0,7 + 0,3.0,7 + 0,3 .0,7 = 0,0455
b/ Gi Y là BNN ch s sn ph(m ñã kim tra. 2
Ta có Im Y = 1;2;3;... 2 { }
P (Y = 1 = 0,3; P Y = 2 = 0,7.0,3 theo quy np ( 0,7n P Y n − = = .0,3 . 2 ) 1 2 ) ( 2 )
Nên kỳ vng c a s s n ph(m ñã kim tra: +∞ +∞ n − 1 10
E (Y ) = ∑n.P (Y = n) 1 = ∑ . n 0,7 .0,3 = 0,3. 2 2 = n = n = (1− 0, )2 1 1 7 3 3.6.
Mt khách hàng mua xe ti m t ñi lý, nu xe có s c k4 thut thì ñưc
quyn tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñưc ly li nguyên s tin mau
xe. M i chic xe b tr li như th làm thi%t hi cho ñi lý 250 ngàn VNĐ. Có 50
xe ñưc bán ra. Xác sut ñ mt xe b tr li là 0,1.
a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xut ñ có nhiu nht 2 xe b tr li.
b/ Tìm kỳ vng và ñ l%ch chu(n ca t$ ng thi%t hi mà t$ng ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Gii
Gi p là xác sut ñ mt xe b tr li. Nên p = 0,1.
Gi X là BNN ch s xe b tr li. X B(50;0, ) 1
ta thy ( n = 50 > 30;n.p = 5 ≤ 5;npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X Po (5)
Suy ra E (X ) = np = 5;D (X ) = np (1− p) = 4,5.
Xác sut nhiu nht 2 xe b tr li:
P (X ≤ 2) = Po (5) + Po (5) + Po (5) = 0,1246 (0 ) (1 ) (2 )
b/ Gi Y là BNN ch t$ng thi%t hi c a ñi lý phi chu do vi%c tr li xe. Y = 250X
suy ra E (Y ) = E (250X ) = 250E ( X ) =1250 và
σ(Y ) = D(Y) = D(250 X ) = 250 D( X ) = 530,330 3.7.
Mt thí sinh tên M tham d mt kỳ thi môn XSTK . M phi làm mt ñ thi
trc nghi%m khách quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch
có m t li Gii ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
(a) Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
(b) Gi s M chc ch n tr li ñúng ñưc 2 câu; còn các câu khác, M chn
ngu nhiên mt trong 4 li Gii ca mi câu. Tính xác sut ñ M thi rt. 44 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
Gi p là xác sut ñ M tr l i ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25.
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ M chc chn tr li dung 2 câu, mà các câu ñưc ñc lp nhau và xác sut tr li dung m i câu là 0,25.
Do ñó, Xác sut ñ M rt trong trưng hp tr li ñúng 2 câu có ngh ĩa là ta tính xác sut ñ M rt tro
Gi Y là BNN ch s câu tr li ñúng trong 8 câu. Y B(8;0,25) .
Đt R :” M thi rt”
P (R) = P (Y ≤ )
3 = P (Y = 0 )+ P (Y = ) 1 + P (Y = ) 2 + P (Y = 3) 0 0 8 3 3 5
= C 0,25 0,75 + ... + C 0, 25 0,75 = 0,8862. 8 8 3.8.
Mt thí sinh M tham d mt kỳ . M phi làm mt ñ thi trc nghi% m khách
quan gm 10 câu; m i câu có 4 li Gii khác nhau, trong ñó ch có mt li Gii
ñúng. M s+ ñưc chm ñu nu tr li ñúng ít nht 6 câu.
a/ Gi s# M không hc bài, mà ch chn ngu nhiên li Gii trong c 10
câu. Tính xác sut ñ M thi ñu.
b/ Hi M phi d thi ít nht my l n ñ xác sut có ít nht mt ln thi ñu không nh hơn 97%? Gii
a/ Gi p là xác sut ñ M tr li ñúng mt câu hi. Nên p = 0,25 .
Gi X là BNN ch s câu tr li ñúng trong 10 câu. X B (10;0,25) .
Đt A :”M thi ñu”
P (A) = P (X ≥ 6)= P (X = 6) + P (X = 7)+
+ P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X =10 ) = 0,0197
b/ Gi n là s ln d thi ca M. Và B:“ít nht mt ln ñu”
( ) =1− ( = 0 )=1− (1− 0,0197) n P B P X
≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176,238
Vy, M phi thi th# 177 ln. 3.9.
Nhà máy d%t mun tuyn d,ng ngưi bit rành v mt loi si. Nhà máy
th# thách ngưi d tuyn 7 ln. M i ln nhà máy ñem ra 4 si ging nhau, trong
ñó ch có mt s i tht và yêu cu ngưi này chn ra si tht. Nu chn ñúng ít 45 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
nht 6 ln thì ñưc tuyn d,ng. Mt ngưi ñn xin tuyn d,ng nói: "Ch cn nhìn
qua là có th phân bi%t si tht hay gi vi xác sut 80% ".
a/ Nu ngưi này nói ñúng kh năng ca mình thì xác sut ñưc tuyn d,ng là bao nhiêu?
b/ Tính xác sut ñ ñưc tuyn d,ng trong trưng hp, tht ra, ngưi
này không bit gì v s i c . Gii
a/ Gi B :” năng lc nhn ra si tht ca ngưi d tuyn” suy ra P( ) B = 0,8 .
Gi X là BNN ch s si tht trong 7 ln th. X B (7;0,8) .
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P (A) = P ( X = 6)+ P( X = 7 ) 6 6 7 7
= C .0,8 .0, 2 + C .0,8 = 0,5767 7 7
b/ Gi p là xác su t chn ñưc si tht trong mt ln th# (không bit gì v si). p = 0,25 . Khi ñó X B(7;0,25)
Đt A :”Ngưi này ñưc chn”
P( A) = P( X = 6) + P( X = 7) 6 6 7 7
= C .0,25 .0,75 + C .0, 25 = 0,0014. 7 7 3.10.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác sut có ít nht mt chai h ng không nh hơn 94% ? Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0, ) 1 vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Gi n là s chai ly ra. Ta có X B( ; n 0,1)
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7 46 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Do ñó, ít nht ly 27 chai. 3.11.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân ph i xác sut ca s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1,2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P (X = 0) = 0,271.
b/ Ta có X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i ∈{1;2; } 3 i 1
Đt H :”lô i ñưc chn” i∈ {1;2; }
3 ⇒ P (H = . và i ) i 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥ i ). ( | i ) ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 1 3 1 =
3− P( X = 0 − P X = 0 + P X = 0 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 1 =1 − ( 3 3 3 0,9 +0,92 + 0,85 ) = 0,2927 3 3.12.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân C
phi xác sut r i tính kỳ vng và phương sai ca s chai hng trong 3 chai ly ra. Gii
Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. 47 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
Suy ra E (Y ) = 0,2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33
và D(Y) = E(Y ) − E(Y)2 2 = ( + + ) 2
0,2636 4.0,0314 9.0,0012 − 0,33 = 0,2911. 3.13.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân phi xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
b/ Mt c #a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai '
lô C ri ñ ln l n. M t ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X = 1 .P X = 0 + P X = 1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng” P( )
A = P( H P A | H + P H P A | H + P H P A| H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) = 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 = 0,104 500 300 200 1000 1000 1000
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 48 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.14.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Chn ngu nhiên 1 trong 3 lô ri ly t lô ñó ra 3 chai. Tính xác sut ñ có ít nht 1 chai hng.
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Đt H :”lô i ñưc ch n” i∈ ⇒ P H = . và i { } ( i ) 1 1;2;3 3
Đt H :” ít nh t 1 chai hng trong 3 chai ly ra” 3 1
P (H ) = ∑ P (H P H H = P X ≥ + P X ≥ + P X ≥ i ). ( | i ) ( 1 1 1 1 ) ( 2 ) ( 3 ) i= 3 1 1 = 3− P
( X = 0 − P X = 0 + P X = 0 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 1 = 1− ( 3 3 3 0,9 + 0,92 + 0,85 )= 0,2927 3
Trong ñó X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô i vi i∈ 1;2;3 i { }
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.15.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân phi xác sut ca s chai hng có trong 3
chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
Phi ly bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nht mt chai
hng không nh hơn 94% ?
b/ Mt c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. 49 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3 Và X B(3;0,1) vi ( = ) k k 3 = 0,1 .0,9 −k P X k C (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { }
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
Gi n là s chai l y ra. Ta có X B (n;0, ) 1
1− ( = 0) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n P X ⇔ n ≥ 26,7
Do ñó, ít nht ly 27 chai.
b/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 1 499 300 1 299 200 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.16.
T l% thuc h ng ' lô A là P = 0,1 ' lô B là P = 0,08 và ' lô C là A B
P = 0,15 . Gi s# m i lô có rt nhiu chai thuc. C
a/ Ly 3 chai ' lô A. Tìm lut phân phi xác sut c a s chai hng có trong
3 chai. Tính xác sut ñ có 2 chai hng; có ít nht 1 chai hng.
b/ Ly ' m i lô mt chai. Tìm phân ph i xác sut ca s chai hng trong 3 chai ly ra.
c/ M t c#a hàng nhn v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô
C ri ñ ln ln. Mt ngưi ñn mua 1 chai v dùng. Tính xác sut ñ ñưc chai tt. Gii
a/ Gi X là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra ' lô A. Im X = {0;1;2; } 3
Và X ~ B(3;0,1) vi ( ) k k 3 0,1 .0,9 k P X k C − = = (k ∈ 0,1, 2,3 ) 3 { } 50 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Bng phân phi xác sut c a X : X 0 1 2 3
P( X ) 0,729 0,243 0,027 0,001
Xác sut ñ có 2 chai hng: P( X = 2) = 0,027
và xác sut có ít nht 1 chai hng P( X ≥ )
1 = 1− P ( X = 0) = 0,271.
b/ Gi Y là BNN ch s chai hng có trong 3 chai ly ra. Im X ={0;1;2;3}
P(Y = 0) = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 0 = 0,7038 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(Y = )
1 = P( X = 0 .P X = 0 .P X = 1 1 ) ( 2 ) ( 3 )+
+ P ( X = 0 .P X =1 .P X = 0 + P X =1 .P X = 0 .P X = 0 = 0,2636 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Tương t P (Y = 2) = 0,0314; P (Y = ) 3 = 0,0012 Y 0 1 2 3
P (Y ) 0,7038 0,2636 0,0314 0,0012
c/ Đt A :” Chn 1 chai hng”
P (A) = P (H P A | H + P H P A | H + P H P A | H 1) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3 ) 500 300 200 1 499 1 299 1 199 = .C .0,1.0,9 + .C .0,08.0,92 + .C .0,15.0,85 500 300 200 1000 1000 1000 = 0,104
Do ñó xác sut ñưc 1 chai tt:
P (A) =1− P (A) = 0,896 3.17.
Gi s# ngày sinh ca ngưi dân trong mt thành ph ln có th rơi
ngu nhiên vào mt ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Chn ngu nhiên 1095
ngưi trong thành ph ñ ó. Tính xác sut ñ :
a/ Có hai ngưi có cùng ngày sinh ñã cho.
b/ Có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho. Gii
Gi X là BNN ch s ngưi có cùng ngày sinh trong 1095 ngưi . 1 X ~ B 1 095; 365
a/ Xác sut ñ có 2 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho: 51 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 1093 1 364 1 P (X = 2) 2 = C ≈ Po 1095. = Po 3 =0, 2565 1095 2 2 ( ) 365 365 365
b/ Xác sut ñ có không quá 7 ngưi có cùng ngày sinh ñã cho:
P (X ≤ 7 ) = Po 3 + Po 3 +Po 3 + Po 3 + Po 3 + Po 3 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( )
+Po 3 + Po 3 = 0,988 6 ( ) 7 ( ) 3.18.
M t trm bưu ñi%n chuyn ñi%n trong khong thi gian 10 -5 giây.
Trong quá trình tránh ñi%n có các ting n ngu nhiên. S tín hi%u n ngu nhiên
trong 1 giây là 104 . nu trong thi gian truyn tín hi%u có dù cjir mt tín hi%u n
ngu nhiên thì trm s+ ngng làm vi%c. tính xác sut ñ cho vi%c truyn tính hi%u
b gián ñon. bit r"ng s tín hi%u n ngu nhiên rơi vào trong khong thi gian
truyn tín hi%u là bin ngu nhiên tuân theo lut phân phi poison. Gii
Gi X là BNN ch s các tín hi%u n trong khong thi gian 5 10− truyn tin. X P ( 4 −5
~ o 10 .10 )⇔ X ~ Po(0, ) 1 Trong ñó,
s tín hi%u n trong khong th i gian 5 10− giây truyn tin là 4 5 10 .10− = 0,1.
Do ñó, xác su t vi%c truyn tin b gián ñon 0,1 0,1 ( )0 P (X ) 1
1 P (X 0) 1 e− ≥ = − = = − = 0,0952 0! 3.19.
S l i trên 1 mét vuông vi là mt bin ngu nhiên tuân theo lu t phân
phi poison. Kim tra lô vi, ngưi ta thy 98% có l i. Vy trung bình m i mét
vuông vi có bao nhiêu l i? Gii
Gi X là BNN ch s l i trên 1mét vuông vi X P ( o λ) Lô vi thy có 98% l i P (X ) 1 0,98 1 P ( X 0 ) 0,98 e −λ ≥ = ⇔ − = = ⇔ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 (1,5ñ)
Vy, trung bình m i mét vuông vi có 3,9 l i. 3.20.
Mt công nhân qun lý 12 máy d%t. Các máy d%t hot ñng ñc lp
nhau, và xác sut ñ m i máy, trong ca làm vi%c, cn s chăm sóc ca công nhân
(vit tt là CCN) là 0,3. 52 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a/ Tính xác sut ñ, trong ca làm vi%c, có a1/ 4 máy CCN a2/ t 3 ñn 7 máy CCN
b/ Trung bình, trong ca làm vi%c, có bao nhiêu máy CCN?
c/ Trong ca làm vi%c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nht; tính xác sut tương ng. Gii.
a/ Gi X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi%c thì X ~ B (12;0,3) k k 12
P( X = k) = C (0,3) (0,7) − k , k∈ 0,1, 2,… ,12 , k 12 { } ∈ {0,1,2,…,12} a1/ Xác sut phi tính: 4 4 8
P(X = 4) = C (0,3) (0,7) = 0, 23 1 1 12 b2/ Xác sut phi tính: 7
P(3 ≤ X ≤ 7) = ∑P(X =k ) k = 3
= 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ S máy CCN trung bình:
E (X ) =12 ×0,3 =3,6
c/ S máy CCN nhiu kh năng nht: Mod ( X ) = 1 [ 3 ×0,3] = . 3
Xác sut tương ng: P (X = ) 3 = 0,2397. 3.21.
Ngưi ta mun ly mt s ht lúa t mt kho lúa có t l% ht lép là
0,2 ñ kim tra. Bit r"ng kho lúa có rt nhiu ht.
a/ Phi ly ít nht bao nhiêu ht lúa ñ xác sut có ít nht mt ht lép không bé hơn 95% ?
b/ Ly ngu nhiên 100 ht lúa, tính xác sut ñ trong ñó có 25 ht lép; có t 10 ñn 40 ht lép. Gii.
a/ Gi n là s ht lúa cn ly. Vì s ht lúa trong kho rt ln, nên các ln ly xem
như ñc lp. Xác sut ñ trong n ht lúa ly ra, không có ht lép nào là (0,8)n. Theo gi thit: 53 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân n n ln (0,05) 1− (0, ) 8 ≥ 0,95 ⇔( 0, ) 8 ≤ 0, 05 ⇔ n≥ ln (0,8)
Vy, phi ly ít nht 14 ht lúa.
b/ Gi X là bin ngu nhiên ch s ht lép trong mu thì X ~ B (n, p ) , vi
n = 100 và p = 0,2 . Vì n > 30;n.p = 20 > 5 và . n (1 − )
p = 80 > 5 nên chúng ta có
th áp d,ng các công thc gn ñ úng DeMoivre − Laplace.
(i) Xác sut ñ có 25 ht lép: 25 25 75
P(X = 25) = C (0,2) (0,8) = 0,04388 100
(ii) Xác sut ñ có t 10 ñn 40 ht lép: 40 100 0,2 10 100 0,2 − × − × P(10 ≤ X ≤ 0 4 ) ≈ Φ − Φ 100 0,2 0,8 100 0, 2 0,8 × × × × = ( Φ 5) − ( Φ 2 − ,5) =1 − (1 − ( Φ 2,5)) = ( Φ 2,5) ⇒ P 1
( 0 ≤ X ≤ 40 )≈ 0,9938 3.22.
Cn xét nghi%m máu cho 5000 ngưi ñ tìm du hi%u mt loi b%nh
B ti mt ña phương có t l% ng ưi mc b%nh B theo thng kê là 10%. Có 2 phương pháp:
a/ Xét nghi%m tng ngưi mt.
b/ M i ln ly máu mt nhóm 10 ngưi trn ln vào nhau r i xét nghi%m.
Nu kt qu âm tính thì thông qua, nu dương tính thì phi làm thêm 10 xét
nghi%m ñ xét nghi%m li tng ngưi mt trong nhóm.
Hi phương pháp nào có li hơn, bi t r"ng m i xét nghi%m ñu tn kém như
nhau và kh năng mc b%nh ca m i ngưi ñc l p nhau? Gii.
a/ Nu dùng phương pháp (1) thì phi thc hi%n 5000 xét nghi%m.
b/ Bây gi chúng ta xem ph ương pháp (2):
Đt X ch s nhóm có kt qu dương tính thì X B( −( 0, )10 ~ 500; 1 9 )
Đt Y ch s xét nghi%m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X
S xét nghi%m trung bình theo phương pháp (2) là: E(Y )= + E ( X )= + ( − ( )10 500 10 500 5000 1 0,9 )≈ 37 7 5 .
Vy, áp d,ng theo phương pháp (2) có li hơn. 54 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.23.
Mt cơ s' sn xut, trung bình trong mt tun, nhn ñưc 4 ñơn ñt
hàng. Bit r"ng s ñơn ñt hàng X mà cơ s' nhn ñư c trong mt tun là mt
BNN có phân phi Poisson. Tính xác sut ñ cơ s' ñó
a/ Nhn ñưc h ơn 5 ñơn ñt hàng trong mt tun
b/ Nhn ñưc 6 ñơn ñt hàng trong hai tun liên tip Gii. a/ X ~ Po( ) 4 . Xác sut phi tính:
P( X > 5) =1 − P(X ≤ 5) 5 4k = − 4 1 − ∑ e =1 − 0,7851 =0,2149 k = k ! 0
b/ Gi Y là BNN ch s ñơn ñt hàng ca cơ s' trong hai tun liên tip thì
Y ~ Po (8). Xác sut phi tính: 6 8 ( P Y = ) − 8 6 = e = 0,1221 6! 3.24.
Mt xe ti vn chuyn 1000 chai rưu vào kho. Xác sut ñ m i chai
b v5 trong khi vn chuyn là 0,0035. Tính xác sut ñ sau khi vn chuyn, có 6
chai rưu b v5; có t 2 ñn 8 chai rưu b v 5. (gi s# r"ng s ki%n các chai rưu
b v5 là ñc lp nhau, do ch t lưng riêng ca m i chai) Gii.
Gi X là BNN ch s chai rư u b v5 sau khi vn chuyn, thì
X ~ B (1000; 0,0035).
Xác sut ñ có 6 chai rưu b v5: 6 6 994 P( X = 6) = C (0,0035) (0,9965) = 0,07709 1000 Tính gn ñúng:
Vì n =1000 và n.p = 3,5 < 5 , nên có th xem: X ~ Po (3,5) . Do ñó: 6 (3,5) 3,5 P(X 6) e− = ≈ = 0,0771 6!
Xác sut ñ có t 2 ñn 8 chai rưu b v5 8 (3,5)k 3 − ,5
P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0,8543 k = 2 k ! 55 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.25.
Thi gian ñ sn xut m t sn ph(m loi A là mt BNN tuân theo lut
phân phi chu(n vi các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút)
a/ Tính xác sut ñ m t sn ph(m loi A nào ñó ñưc sn xut trong khong
thi gian t 9 phút ñn 12 phút.
b/ Tính thi gian cn thit ñ sn xut m t sn ph(m loi A bt kỳ. Gii.
Gi X là BNN ch thi gian d sn xut mt sn ph(m loi A , X ~ N (10; ) 1 . a/ Xác sut phi tính: 12−10 9−10 P(9 ≤ X ≤12) = Φ − Φ 1 1 = Φ ( ) 2 – Φ(− ) 1 = Φ( 2) + Φ( ) 1 –1
= 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185.
b/ Theo qui tc 3σ, hu như ch c chn X ly giá tr trong khong: [10 −3 1 × ; 10 + 3 1 × ]= [7; 13]
Vy, thi gian cn thit ñ sn xut mt sn ph(m loi A bt kỳ là t 7 phút ñn
13 phút (hu như chc chn). 3.26.
Cho bin ngu nhiên X tuân theo lut phân phi 2 N ( , µ σ ) . Bit r"ng
X ly giá tr nh hơn 60 vi xác sut 0,1003 và ly giá tr ln hơn 90 vi xác sut 0,0516, hãy tính µ và σ. Gii. Theo gi thit, 60 − µ Φ = 0,1003 ( P X < 60) = 0,1003 σ ⇔ ( P X >90) = 0,0516 90 − µ 1 − Φ = 0, 0516 σ µ − 60 Φ µ − 60 = 0,8997 = 1, 28 σ σ ⇔ ⇔ 90 − µ 90 − µ Φ = 0,9484 = 1, 64 σ σ
Vy, µ = 73,15 và σ = 10,27 . 56 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 3.27.
Đưng kính ca mt loi chi tit do mt máy sn xut có phân
phi chu(n, kỳ vng 20mm, phương sai ( )2
0,2 mm. Tính xác sut ly ngu nhiên mt chi tit
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm.
b/ Có ñưng kính sai khác vi kỳ vng không quá 0,3mm. Gii
Gi X là BNN ch ñưng kính ca mt chi ti t, ta có X N( ( )2 ~ 20; 0,2 )
a/ Có ñư ng kính trong khong 19,9mm ñn 20,3mm 20,3 − 20 19,9 −20
P (19,9 < X < 20,3) = Φ − Φ 0,2 0,2 = Φ(1, ) 5 + ( Φ 0, ) 5 = 0,6247
b/ Có ñưng kính sai khác vi k ỳ vng không quá 0,3mm P ( X − < ) 0,3 20 0,3 = 2Φ −1 = 0,8664 0,2 57 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: LÝ THUYT MU 4. 1.
Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ' ña phương A,
ngưi ta ñiu tra s con c a m i gia ñ ình trong 30 gia ñình ñưc chn ngu nhiên
' ña phương A. Kt qu ñưc ghi li như sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2
a) Hãy lp bng phân phi tn s và tn sut tích lu4 cho d li%u trên mu.
b) Trên mu va nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l%ch chu(n ca SCTMGĐ. Gii:
a) Gi X là BNN ch s con trong mt gia ñình. Bng phân b tn s, tn sut
và tn sut tích lũy cho X t d li%u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 Tn s 3 6 6 6 4 3 1 1 Tn sut
0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033
Tn sut tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000
b) Giá tr trung bình mu là: = 2,67
Giá tr phương sai mu: 2 = 3,2644 Đ l%ch chu(n: 1 = ,81 . 4. 2.
Đ nghiên cu v thâm niên công tác (tính tròn năm) ca nhân viên ' mt
công ty ln, ngưi ta kho sát thâm niên ca 100 nhân viên ñưc chn ngu nhiên
trong công ty. Kt qu như sau: Thâm niên 5 - 7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 S nhân 8 21 36 25 10 viên
a) Hãy tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu.
b) Gi s# thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên là BNN X có kỳ
vng là 12 năm và ñ l %ch chu(n là 3 năm. Tính xác sut ñ trung bình mu
nhn giá tr ln hơn 12,5 năm. Gii
Gi X là BNN ch thâm niên công tác ca nhân viên ca công ty trên.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 12.24 58 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 3,27 .
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là: − µ − µ ( > ) 12,5 12,5 = >
= ( > 1,67) = 1− ( ≤ 1,67) = 0,0478 σ σ 4. 3.
Đ nghiên cu chiu cao ca thanh niên la
tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX, ngưi ta Chiu cao S thanh
ño trên mt m u gm mt s thanh niên ñưc (cm) niên
ch n ngu nhiên ' thành ph LX. Kt qu như sau [154, 158) 10 (ñơ n v cm): [158, 162) 16
a) Tính giá tr trung bình mu và giá tr ñ l%ch chu(n mu. [162, 166) 29
b) Theo tài li%u kho sát trưc ñ ó chiu cao ca [166, 170) 37
nhng thanh niên la tu $i trên tuân theo lut phân [170, 174) 15
phi chu(n vi kỳ vng là µ = 166 cm và ñ l%ch chu(n là [174, 178) 10
σ = 7 cm. Hãy tính xác sut ñ trung
bình mu có giá tr ln 167 cm. [178, 182) 4 Gii:
Gi X là BNN ch chiu cao c a thanh niên la tu$i t 18 ñn 22 tu$i ' thành ph LX.
a) T d li%u ta tính ñưc:
- Giá tr trung bình mu: = 166,55 cm
- Giá tr ñ l%ch chu(n mu: = 5,865 cm.
b) Theo ñnh lý gii hn trung tâm ta có: − µ = ~ (0,1) σ
Do ñó xác sut ñ trung bình mu nhn giá tr ln h ơn 12,5 là: − µ − µ ( > ) 167 167 = >
= ( > 1,57 ) = 1− ( ≤ 1,57) = 0,058 σ σ . 4. 4.
Gi s# ñ tăng theo phn trăm lương hàng năm ca m i công nhân viên
chc trong công ty Alpha tuân theo lut phân phi chu(n vi trung bình 12,2% và 59 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
ñ l%ch chu(n 3,6%. Mt mu ngu nhiên gm 9 phn t# ñưc chn t t$ng th y.
Tìm xác sut ñ trung bình mu nh hơn 10%. Gii:
Gi X là BNN ch ñ tăng lương theo phn trăm. Ta có ( 2 ~ 12,2; 3,6 ) và − µ = ~ (0,1) σ − − − ( < ) 12,2 10 12,2 10 12,2 10 = 9 < 9 = Φ 9 = 0,0334 . 3,6 3,6 3,6 4. 5.
Đ nghiên cu tu$i th ca m t loi bóng ñ èn, ngưi ta thp th # 100 bóng
ñèn trưc ci tin k4 thut. Sau khi ci tin k4 thu t, ngưi ta thp li 100 bóng.
S li%u có ñưc cho trong b ng sau:
Mu 1: Trưc ci tin Mu 2: Sau ci tin Tu$ i th (gi) S bóng Tu$i th S bóng ñèn (gi) ñèn < 1030 2 1150 10 [1030, 1050) 3 1160 15 [1050, 1070) 8 1170 20 [1070, 1090) 13 1180 30 [1090, 1110) 25 1190 15 [1110, 1130) 20 1200 10 [1130, 1150) 12 [1150, 1170) 10 [1170, 1200] 5 > 1200 2
a) Tính giá tr ñi di%n cho m i lp ' mu 1 và lp bng tn s, tn sut cho mu 1.
b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l%ch chu(n ca hai mu trên. 60 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii: a) (1 ñ) Trưc ci tin Tu$i th Giá tr ñi di%n Tn s Tn sut (gi ) < 1030 1020 2 0,02 [1030, 1050) 1040 3 0,03 [1050, 1070) 1060 8 0,08 [1070, 1090) 1080 13 0,13 [1090, 1110) 1100 25 0,25 [1110, 1130) 1120 20 0,20 [1130, 1150) 1140 12 0,12 [1150, 1170) 1160 10 0,10 [1170, 1200] 1185 5 0,05 > 1200 1215 2 0,02 Tng s 100 1
b) Gi và ln lưt là các BNN ch tu$i th ca bóng ñèn trưc và sau
ci tin k4 thut. Ta có = 1112,15; = 1175,5 ; = 39,26 và = 14,38
Như vy, trung bình mu 1 bé hơn trung bình mu 2 và ñ l%ch chu(n mu 1
ln hơn ñ l%ch chu(n mu 2. 4. 6.
Theo Hi sinh viên ' thành ph LX thì có 60% sinh viên hi%n ñang theo hc
ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi h c. M t mu g m 205 sinh viên ñưc chn
ngu nhiên. Tìm xác sut ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi hc. Gii:
Gi là t l% sinh viên hi%n ñang theo hc ñi hc mun tìm vi%c làm ngoài gi hc, = 0,6 .
T l% sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi trên mu là = . 205
Xác sut có hơn 135 sinh viên mun tìm vi%c làm ngoài gi: 61 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 135 27
( > 13 ) 5 = >
= > 205 205 41 − Vì 0 ~ ( 0, ) 1 1 − 0 ( 0 ) Do ñó 27 − 0 − ( > ) 0 41 135 = >
1 − 1 0 ( 0 ) 0 ( − 0 ) 27 27 − − 0,6 0 41 41 =1 − Φ =1 − Φ 205
1 − 0,6 1 −0,6 0 ( 0 ) ( ) =1 − Φ(1, ) 71 =1 −0,9564 = 0,0436 4. 7.
Mt mu kích thưc n ñưc thành lp t t$ng th tuân theo phân phi chu(n
vi kỳ vng µ và ñ l%ch chu(n là 8. Hãy xác ñnh n sao cho, v i xác su t b"ng
0,9524, trung bình mu n"m trong khong t µ - 4 ñn µ + 4. Gii: Ta có
( µ − 4 ≤ ≤ µ + 4) = 0,9524
⇔ ( − µ ≤4) =0,9524 (1 ñ) µ 4 − ⇔ ≤ = 0,9524 σ σ ⇔ 2Φ 1 − = 0,9524 2 ⇔ Φ = 0,9762 (1 ñ) 2 ⇔ =1,98 2 ⇒ =16 4. 8. 62 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
S li%u thng kê cho bit có 40% các h gia ñình ' thành ph A có thu nhp
hàng năm n"m trong khng t 1200 USD ñn 2000 USD. Vy, phi ñiu tra mt
mu gm bao nhiêu h gia ñình ñ, vi xác sut 0,95, t l% các gia ñình có thu nhp
trong khong nói trên, sai l%ch so vi t l% chung ca thành ph không quá 4%? Gii:
Ta có t l% h gia ñình ' thành ph A có thu nhp hàng năm n "m trong khng t
1200 USD ñn 2000 USD là = 0,4 . Gi là t l% mu:
( − 0,4 < 0,0 ) 4 = 0,95 − 0,4 0,04 ⇔ < = 0,95 0, ( 4 1 0, ) 4 0, ( 4 1 0, ) 4 − − 0,04 2 ⇔ Φ −1 = 0,95 0,4(1 0,4) − 0,04 ⇔ Φ = 0,975 0,4(1 0,4) − 0,04 ⇔ =1,96 0,4(1− 0,4)
⇔ ≈ 576,24 ⇒ =577 4. 9.
Mt lô hàng ñt tiêu chu(n xut kh(u nu t l% ph ph(m không quá 5%. Nu
kim tra ngu nhiên 100 sn ph(m thì vi t l% ph ph(m thc t ti ña là bao
nhiêu, chúng ta có th cho phép lô hàng ñưc xut kh(u mà kh n ăng không mc sai lm là 95%? Gii: Gi 0
là t. l% ph ph(m thc t ti ña.
Lô hàng ñưc phép xut kh(u mà không mc sai lm khi < . Theo ñ 0 bài:
( < = 0,95 0 ) −0,05 −0,05 0 100 100 ⇔ < = 0.95 0,05(1 0,05) 0,05(1 0,05) − − − 0,05 Vì 100 ~ (0, )
1 nên ñ6ng thc trên tương ñương: 0,05 (1− 0,05) 63 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân −0,05 0 Φ 100 = 0,95 0,05(1 0,05) − − 0,05 0 ⇒ 100 = =1,65 0,05 (1− 0,05 ) 0,95 1,65 0,05(1 −0,05) ⇔ = +0,05 ⇔ =0,086 0 0 100 4. 10.
Chiu cao (ñơn v cm) ca mt thanh niên ' thành ph ln A là BNN tuân theo
lut phân phi N(165; 100). Ngưi ta ño ngu nhiên chiu cao ca 100 thanh niên ' thành ph A (TP.A).
c) Xác sut ñ chiu cao trung bình ca 100 thanh niên ñó l%ch so v i chiu
cao trung bình ca thanh niên TP.A không vưt quá 2cm là bao nhiêu?
d) Nu mun chu cao trung bình ño ñưc sai l%ch so vi chiu cao trung bình
ca t$ng th không vưt quá 1cm vi xác sut không d ưi 99% thì chúng ta
phi tin hành ño chiu cao ca bao nhiêu thanh niên? Gii:
a) Gi là BNN ch chiu cao ca m i thanh niên ' thành ph A. Ta có
~ (165;100) .
Do ñó ~ (165; )
1 và −165 ~ ( 0, ) 1
⇒ ( −165 < 2)= 2Φ(2)−1= 0,9545 − 165
b) Gi là s thanh niên cn ño chi u cao. Khi ñó, ~ (0, ) 1 10
Theo ñ bài ta có: ( − 165 < ) 1 ≥ 0,99 165 − ⇔ < ≥ 0,99 10 10 ⇔ 2 Φ −1 ≥ 0,99 10 1,99 ⇔ Φ ≥ = 0,995 10 2 64 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 − ⇒ ≥ Φ ( 0,99 ) 5 = 2,5758 10 ⇒ ≥ 663,47
CHƯƠNG 5: ƯC LƯNG THAM S 5. 1.
a) Hãy thit lp công thc tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th
trong trưng hp t$ng th có phân phi chu(n ñã bit ñ l%ch chu(n.
b) Tìm khong tin cy 95% cho trung bình t$ng th X bit X ( 2 ~ µ ,σ ) vi
σ = 3 và mu ñc trưng X có kích thưc n = 25 trung bình mu x = 10 . Gii
a) Vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm khong (x − ;e x +e) sao cho
P ( X − e < µ < X + e) = γ
⇔ P (| X − µ |<e ) = γ | X − µ | n ⇔ P n < e = γ σ σ n
⇔ P |U |< e = γ σ n Vì U ~ N (0, )
1 nên ta có 2Φ (a ) 1 − = γ , a =e σ 1 ⇔ Φ (a) + γ = ⇒ a = u 1 2 + γ 2 n Suy ra: u = e ⇒ e = u . σ 1 γ + 1 γ σ + n 2 2 Vy, khong tin cy σ
γ cho µ là (x −e;x + e) vi e = u . . 1 γ + n 2
b) Áp d,ng công thc trên, khong tin cy 95% cho trung bình ca X là:
(x −e;x + e) σ 3 3 e = u . = u . = u . = 1,176 1+γ 1 0 + ,95 0,975 n 25 5 2 2 65 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vy khong tin cy cn tìm là: (8,824;11,176). 5. 2.
a) Gi s # r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l% ch chu(n
b"ng 500, nhưng chưa bit trung bình. Ngoài ra, tu$i th ca loi bóng ñèn
ñó tuân theo lut phân phi chu(n. Kho sát trên mt mu ngu nhiên gm
15 bóng loi trên, ngưi ta tính ñưc tu$i th trung bình là 8900 gi. Hãy tìm
khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñ èn hình nói trên.
a) Mt t$ng th X có phân phi chu(n. Quan sát mt mu ngu nhiên kích
thưc 25 ngưi ta tính ñư c trung bình là 15 và ñ l%ch chu(n là 3. Hãy ưc
lưng kỳ vng ca X b"ng khong tin cy 95%. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x +e) σ 500 500
Vi x = 8900 , và e = u . = u . = 1,96. = 253 1+ γ 0,975 n 15 15 2
Do ñó ( )
b) Khong tin cy cho kỳ vng ca X là: (x -e;x +e ) vi x =15
Vì X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu (n nên: s 3 3 (24 ) (24 ) e = t . = t . = 2,0639. = 1, 24 1+ γ 1+0 ,95 n 25 5 2 2
Vy, khong tin cy cn tìm là ( ) 5. 3.
Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng
500, nhưng chưa bit trung bình. Tuy nhiên, trung bình mu b"ng 8900 ñưc
tính trên mu c5 = 35 .
a) Hãy tìm khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca loi bóng ñèn hình ñang kho sát.
b) Gi s# r"ng tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên có phân phi
chu(n. Hãy tìm khong tin cy 90% cho trung bình t$ng th. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình: (x − ;
e x + e) , vi x = 8900 và σ 500 500 e = u . = u . =1,96. =165,65 1+γ 0,975 n 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm là: (8734; 9066) (gi). 66 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Khong tin cy 90% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 .
Do X có phân phi chu(n chưa bit ñ l%ch chu(n nên: − s n 500 500 ( ) 1 ( ) 34 e = t . = t . = 1, 6909. = 142,9 1+ γ 1+0 ,9 n 2 2 35 35
Vy, khong tin cy cn tìm: (8757; 9043) (gi). 5. 4.
a) Kim tra tu$i th ca mt loi bóng ñèn hình TV trên mt mu ngu nhiên
gm 100 bóng ñèn tính ñưc giá tr trung bình mu là 8900 gi và ñ l%ch
chu(n mu b"ng 500 gi. Hãy tìm khong tin cy 95% cho trung bình t $ng th.
b) Đ tin cy s+ là bao nhiêu nu cùng mu trên sai s ưc lưng b"ng 130 gi. Gii
a) Khong tin cy 95% cho tu$i th trung bình ca bóng ñèn hình:
(x −e;x + e) , vi x =8900 . s 500 500 e = u . = u . =1,96. = 98 1+ γ 1+0,95 2 n 2 100 100
Khong tin cy cn tìm: (8802; 8998) (gi).
b) Gi s# γ là ñ tin cy, khi sai s ưc lưng 500 100 = . = 130 ⇒ = 130. = 2, 6 1 γ + 1 100 γ + 500 2 2 1
Tra bng 4 ta tìm ñưc + γ = 0,9953⇔ γ = 0,9906. 2
(1+ γ = <
= < 2,6 v i ~ 0,1 ) 1 ( ) + γ ( ) 2 2
Vy, ñ tin cy γ = 99,06%. 5. 5.
Khi lưng X ca m t sn ph(m do m t nhà máy sn xut tuân theo lut phân
phi chu(n. Ly mt mu ngu nhiên (không hoàn li) gm 10% ca mt lô hàng
gm 300 sn ph(m ca nhà máy ñó, ngưi ta tính ñưc x = 148,50 gam và s = 35,75 gam.
a) Hãy xây dng công th c tìm khong tin cy γ cho trung bình t$ng th hu
hn trong trưng hp ly mu không hoàn li.
b) Tìm khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình ca m i sn ph(m trong lô hàng nói trên. 67 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii
a) Gi N là kích thưc t$ng th, n là kích thưc mu. σ N −n
Vì ly mu có hoàn li thì X σ = X n N −1 X − µ X − µ N −1
Theo ñnh lý gii hn trung tâm, U = = n ~ N (0, ) 1 σ σ N − n X X U X − µ N −1 Và T = = n ~ t (n 1 − ) / −1 S N −n Y n ( n 1 − ) 2 S 7 ñây 2 Y = ~ χ n −1 2 ( ) σX
Do ñó vi ñ tin cy γ cho trưc ta tìm e sao cho P ( X −µ < e) = γ e N −1
T ñó P( T < a) = γ vi a = n s N − n 1
Suy ra P (T <a) + γ =
vi T là BNN có phân phi student n− 1 bc t do. 2 Suy ra ( − ) 1 = n a t 1+ γ 2 s N n Vy ta tính ñưc (n − − ) 1 e = t 1+ γ n N − 1 2
b) Theo ñ bài ta có n = 30; s = 35,75; N = 300; x =148,5; γ = 0,95 35, 75 270 Ta tính ñưc (29 ) e = t . = 12,685 1+ 0,95 30 299 2
Khong tin cy 95% cho khi lưng trung bình là (135,815;161,185) 5. 6.
Mt lô bút bi ca xí nghi%p A sn xu t ra gm 1000 hp, m i hp 10 cây.
Kim tra ngu nhiên 50 hp, thy có 45 cây bút b hng.
a) Tìm khong tin cy 95% cho t l% bút b hng và s bút b hng ca lô hàng.
b) Vi mu trên, nu mun ư c lưng t l% bút hng vi ñ chính xác 1,5%
thì ñ tin cy ñt ñưc là bao nhiêu? Gii
a) Gi p là t l% bút hng ca lô bút. 68 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 45
T. l% bút hng trên mu p = = 0,09 500
Khong tin cy 95% cho t. l% bút hng ca mu: p (1− p) 0, 09(1− 0,09) ( p− ; e p+ ) e vi e = 1 u + 0,95 = 1,96. = 0,025 n 500 2
Khong tin cy 95% cho t. l% bút h ng cn tìm là: (0,065;0,115) và cho s bút
hng là (650;1150 ) (cây).
b) Gi s# e = 0,015 , ta có p(1− p) n u ⇒ 1 = 0,015 u +γ 1 = 0,015 = 1,172 n +γ p (1 − p) 2 2 1 + γ ⇒
= ⇒ γ = −1 = 0,7588 =75,88%. 2 5. 7.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Đ ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó ' ñ tin cy 95%, vi
sai s không quá 2 dm thì cn phi quan sát thêm bao nhiêu cây na? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và ñ l%ch chu(n mu s = .
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là: s 1, 206 1, 206 ( x − ;
e x + e) , e = u = u . = 1,65. 1+ γ 0,95 100 10 10 2
Do ñó ()
b) Gi s# n là s cây cn quan sát vi ñ tin cy 95% và sai s không quá 1 0,2 (m) ta có: 1, 45 u ≤ 0, 2 0,975 n1 69 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 1,206 1, 206 ⇔ n ≥ u ⇔ n ≥ 1, 96. = 139,6 ⇒ n = 140 1 0,975 1 0,2 1 0, 2
Vy ta cn quan sát thêm ít nht 140 – 100 = 40 (cây) na. 5. 8.
Quan sát ' mt m u, ng ưi ta có kt qu v chiu cao X(m) ca loi cây công
nghi%p ' mt nông trưng như sau: xi 3 4 5 6 7 8 s cây 2 8 23 32 23 12
a) Hãy ưc lưng chiu cao trung bình ca loi cây ñó b"ng khong tin cy 90%.
b) Nhng cây cao t 7 m tr' lên gi là cây loi A. Hãy tìm khong tin cy
95,44% cho t l% cây loi A ca nông trưng. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 6,02 và phương sai mu 2s =
Khong tin cy 90% cho chiu cao trung bình ca loi cây ñó là:
(x −e;x +e ), s 1, 2059 1, 2059 e = u = u . = 1,65. 1+ γ 0,95 100 10 10 2
Do ñó K = ()
b) T. l% cây loi A trên mu là: 35 p = = 0,35 100
Khong tin cy 95,44% cho t. l% cây loi A ca nông trưng là: ( p − ; e p + e) p(1− p) vi 0,35.0,65 0,35.0,65 e = u = u = 2. = 0,0954 1 0 + ,9544 0,9772 n 100 10 2
Khong tin cy cn tìm là: (0,2546;0,4454). 5. 9.
Đ sâu ca bin ñưc xác ñnh b"ng mt máy ño có sai s h% thng b"ng 0,
còn sai s ngu nhiên ca nó tuân theo lut phân phi chu(n vi ñ l% ch chu(n 20m.
a) Cn phi tin hành bao nhiêu ln ño ñ xác ñnh ñưc ñ sâu ca bin vi
sai s cho phép không quá 15m ' ñ tin cy 90% ? 70 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
b) Tìm khong tin cy 95% cho sai s ngu nhiên trung bình. Bit r"ng khi
tin hành ño ' m t ña ñim xác ñnh 25 ln ngưi ta tính ñưc sai s ngu
nhiên trung bình mu là 100m. Gii
a) Gi là s ln ño cn thit. 2 2 σ σ 20 Ta có 2 2 e =u ≤15 ⇔n ≥ u = .1, 65 = 4,84 1+γ 2 1 n 15 + γ 225 2 2
Vy cn ño ít nht 5 ln.
b) Khong tin cy 95% cho sai s trung bình ngu nhiên là: σ 20 20
( − ; + ) vi = . = . = 1,96. = 7,8 1+0,95 0,975 25 5 2
Vy khong tin cy cn tìm là: (92,2;107,8) . 5. 10.
Ngưi ta mun ưc lưng t l% viên thuc b st m trong mt lô thuc rt nhiu viên.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin cy 95% thì phi quan sát ít nht my viên?
b) Quan sát ngu nhiên 200 viên, thy có 20 viên b s t m. Hãy tìm khong
tin cy 95% cho t l% t$ng th. Nu mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ
tin cy 95% thì ph i quan sát ít nht my viên? Gii a) Theo ñ bài ta có: 2 2 u u 1+ γ 1+0,95 e ≤ ε = 0,01; 2 2 ⇔ n ≥ = = 2.0,01 0,02
Vy, phi quan sát ít nht 9604 viên.
b) Gi p là t l% viên thuc b st m. Khong tin cy 95% cho p : ( p − ; e p +e) p (1 − p) 0,1 (0,9 ) 0,09 e = u = u =1,96. = 1 +γ 1 0 + ,95 n 200 200 2 2
Vy khong tin cy 95% cho t l% viên thuc b st m là: ()
Nu sai s không quá 1% ' ñ tin cy 95% ta cn quan sát bao nhiêu: 71 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 u u 1+ γ 1+0,95 2 n p( p) 2 . 1 ≥ − =
.0,1.0,9= 0,01 ε
Vy, phi quan sát ít nht 3458. 5. 11.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày ca mt con bò b"ng khong tin cy 97%.
b) Vi ñ tin cy 97%, có th nói sn lưng sa trung bình hàng ngày ca
mt con bò nhiu nht b"ng bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Khong tin cy 97% cho SLSHN trung bình: (x −e;x +e) s 1,79 1, 79 Vi e = u . = u . = 2,1707. = 0,39 1+ 0,97 0,985 n 100 10 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (11,39; 12,17) (kg)
b) Ta tìm khong tin cy mt bên: (−∞;x +e) : s 1,79 1, 79 vi e =u =u =1,88. = 0,337 γ 0,97 n 100 10
T ñó suy ra s n lưng sa trung bình hàng ngày nhiu nht: 11,78 + 0,337 =12,117 (kg) 5. 12.
Đ nghiên cu sn lưng sa hàng ngày (SLSHN) ca mt ñàn bò, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên trên 100 con bò ca nông trưng và có kt qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8
a) Tìm khong tin cy 90% cho t l% bò cho SLSHN trên 11kg.
Mun sai s khi ưc lưng sn lưng sa trung bình m i ngày không
vưt quá 0,5kg và sai s khi ưc lưng t l% bò cho SLSHN trên 11kg không
vưt quá 12%, vi cùng ñ tin cy 98%, thì cn ñiu tra bao nhiêu con bò? Gii 72 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc x = 11,78, s =1,79
Gi p là t l% bò cho SLSHN trên 11 kg. 66
T l% này trên mu kho sát là: p = = 0,66 100
Khong tin cy 90% cho p: ( p −e; p +e) Vi p (1− p) 0,66 (1− 0,66) 0,66 (1− 0,66) e = u = u . = 1,6449. = 0,0779 1+0,9 0,95 n 100 100 2
Vy, t l% bò cho SLSHN trên 11 kg t 58,21% ñn 73,79%.
b) Gi n là s bò cn ñiu tra. Ta phi có: 1 2 2 2 s 2 1, 79 n ≥ u . 1 1 0 + ,98 2 n ≥ 2,3263 . = 69, 4 1 2 0,5 2 0,5 ⇔ p 1− p 0,66.0,34 2 ( ) 2 n ≥ u . n ≥ 2,3263 . = 84,33 1 1 0 + ,98 1 2 2 0,12 0,12 2
Chn n = 85. Vy cn ñiu tra 85 con bò. 1 5. 13.
Đ dài ca mt loi chi tit máy ñưc ño 25 ln b"ng mt máy ño có sai s
h% thng b"ng 0. Bit r"ng sai s ngu nhiên ca vi%c ño có phân phi chu(n vi
phương sai 100cm2 và ñ dài trung bình trong 25 ln ño là 100cm.
a) Hãy tìm khong tin cy 99% cho ñ dài ca loi chi tit máy trên.
b) Phi tin hành bao nhiêu l n ño ñ b rng khong tin cy 99% cho ñ dài
c a loi chi tit máy trên không quá 8 cm. Gii
a) Khong tin cy 99% cho ñ dài chi tit máy nói trên: (x − ;e x +e) . σ 10 10 Vi e = u . = u . = 2,5758. = 5,15 1+γ 0,995 n 25 5 2 Đáp s: (94,85; 105,15).
b) Gi n là s ln ño. Ta cn có: 1
2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 σ ⇔ u . ≤ 4 1+ γ n 2 1 2 2 2 σ σ 100 ⇔ n ≥ u . = u . = 2,5758 . = 41,47 +γ 2 ( )2 2 1 1 0,995 4 16 16 2 73 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Suy ra, n = 42. 1
Vy, cn tin hành ño ít nht 42 ln. 5. 14.
Gi s# ñưng kính c a mt loi sn ph(m là bin ngu nhiên có phân phi
N(µ, σ2). Đo 10 sn ph(m, ngưi ta có bng s li%u:
4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0
Tìm khong tin cy 95% cho µ và khong tin c y 99% cho µ và σ2. Gii
T s li%u ñã cho ta tính ñưc:
x = s =
♣ Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình: − s n 1 9 e = t = t = 1+0,95 0,975 10 10 2 (4,0257; 4 ,5543 )
♣ Khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình: ( 3,9102; 4,6698)
♣ Khong tin cy 99% cho phương sai là: 2 χ (n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (9) 2 9 23,589 1 1 0,99 0,995 ( ) 2 2 2 χ (n − = χ = χ = −γ ) 2 1 − (9) 2 9 1,735 1 1 0,99 0,005 ( ) 2 2 ( n − ) 2
1 s = 9. (n − ) 2 1 s ( n − ) 2 1 s ; = 0,0521;0, 7084 2 2 ( ) n 1 n 1 χ − χ − 1+γ ( ) 1−γ ( ) 2 2 5. 15.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 74 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên.
b) S+ ñt ñ tin c y bao nhiêu nu mun ưc lưng ñ bn trung bình ca
loi thép trên b"ng khong tin cy có ñ dài b"ng 6? Gii
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: ( x − ; e x + e) s e = u = u = = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7)
b) Gi γ là ñ tin cy cn tìm s n 144 Ta có: e = u = 3 ⇒ u = 3. = 3. = 1,0814 1+γ 1 n + γ s 33,0476 2 2 1+ γ ⇒ = 0,86 ⇒ γ = 72% 2 5. 16.
Nghiên cu v ñ bn X (kg/mm2) ca mt loi thép, ngưi tin hành mt s
quan sát mt s tm thép trên mu và có kt qu cho trong bng sau: Đ bn (kg/mm2) S tm thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6
a) Tìm khong tin cy 97% cho ñ bn trung bình ca loi thép trên. b) 2
Thép có ñ bn trên 195kg/mm ñư c gi là thép loi A. Tìm khong tin
cy 98% cho t l% thép loi A. Gii 75 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
a) T s li%u trên ta tính ñưc: x =162,6389; s = 33,4076
Khong tin cy 97% cho trung bình ñ bn: s e = u = u = = 6,0412 1+ γ 0,985 n 144 12 2 ( x − ;
e x + e) = (156,6;168,7 )
b) Gi p là t. l% thép loi A. T l% mu: 27 p = = 0,1875 . 144
Khong tin cy 98% cho p: ( p − ; e p + ) e p (1− p ) 0,1875(1− 0,1875) e = u . = u . 1 0 + ,98 0,99 n 144 2 0,1875(1− 0,1875) = 2,3263. = 0,0106 144
Vy, khong tin cy cn tìm: (0,1769; 0,1981) . 5. 17.
Mc tiêu hao nguyên li%u cho mt ñơn v sn ph(m là mt bin ngu nhiên X
tuân theo qui lut chu (n. Quan sát 28 sn ph(m ñưc chn ngu nhiên, ngưi ta
thu ñưc k t qu cho trong b ng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 s sn ph(m 5 6 14 3
Hãy xây dng khong tin c y 90% cho phương sai t$ng th trong hai trưng hp: a) bit E(X) = 20g; b) chưa bit E(X). Gii n n ∑(x − µ x k )2 ∑( − µ k )2
a) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: =k1 = k 1 ; 2 χ n χ n γ + ( ) 2 1 1 γ − ( ) 2 2 2 χ ( n = χ = χ = + γ ) 2 + ( ) 2 28 28 41,337 1 1 0 ,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( ) 2 n = χ = χ = −γ − (28) 2 28 16,928 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 n ∑ (x −µ = k )2 7,25 k 1 =
Khong tin cy cn tìm: 76 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 7,25 7, 25 ; = ( 0,175;0, 428) 41,337 16,928 (n−1) 2 s (n− ) 2 1 s
b) Khong tin cy γ cho phương sai t$ng th: ; 2 χ n − χ n − + γ ( ) 2 1 1 1 1− γ ( ) 2 2 2 χ ( n − = χ = χ = + γ ) 2 1 + (27) 2 27 40,113 1 1 0,9 0,95 ( ) 2 2 2 χ ( n− = χ = χ = −γ ) 2 1 − (27) 2 27 16,151 1 1 0,9 0,05 ( ) 2 2 ( n − ) 2 1 s = 5,74
Khong tin cy cn tìm: 5,74 5,74 ; =(0,143;0,355) . 40,113 16,151 5. 18.
X (ñơn v tính b"ng %) là ch tiêu c a mt loi s n ph(m. Điu tra ' mt s
sn ph(m (s.ph), ngưi ta có s li%u: Xi S sn ph(m [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) 5
a) Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và ñ chính xác
0,3% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Ngưi ta xem các sn ph(m có ch tiêu X dưi mt mc qui ñ nh là loi 2.
T s li%u trên, b "ng phương pháp ưc lưng khong t l% (loi 2), ngưi ta
tính ñưc khong tin cy là (4%, 16%). Tìm ñ tin cy ca ưc lưng này. Gii
a) T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x =13,52; s = 3,35.
Đ ưc lưng trung bình ch tiêu X vi ñ tin cy 95% và sai s 0,3 ta cn: 77 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 u 2 1 + γ u 2 2 0,975 2 n ≥ .s =
.s = ×11, 2420 = 1 0,3 0,3
Vy cn ñiu tra thêm 283 sn ph(m na.
b) Gi p là t l% sn ph(m loi 2 ' mu t khong tin cy γ c a t. l% sn ph(m loi 2 ta có: p −e =0,04 p =0,1 ⇔ p + e =0,16 e =0,06 Mt khác, p (1− p ) e = u1+γ n 2 p(1 − p) 0,06 0,06 ⇒ u = e / = 100 = 10 = 2 1 +γ n 0,1×0,9 0,3 2
1+ γ = ⇔ γ 2 5. 19.
Vi%n thng kê mu n ưc lưng t l% p ngưi dân không ñng ý v m t ñiu
lut mi ñưc ñ ngh.
a) Nu mun sai s cho phép không quá 2% ' ñ tin cy 90% thì phi hi ý
kin ít nht my ngưi?
b) Trên mt mu ngu nhiên 344 ngưi ñưc hi ý kin, có 83 ngưi không
ñng ý. Hãy tìm khong tin cy 90% cho p . Da vào s li%u ca mu này, hãy gii l i câu a). Gii
a) Gi n là s ngưi cn h i ý kin. Ta phi có: 2 2 1 1 n ≥ u . = u . = 1691,1 1+0,9 1+0,9 2ε 2.0,02 2 2
Vy, phi hi ý kin ít nht 1692 ngưi. b) T l% mu: 83 p =
= 0,241. Kho ng tin cy 90% cho p : ( p− ; e p+ ) e 344 p (1− p) 0, 241(1− 0,241) e = u . = 1,6449. = 0,0379 1 0 + ,9 n 344 2
Vy, khong tin cy cn tìm là: (0,2031;0,2789) tc là t 20,31% ñn 27,89%. 78 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gii li câu a), trên cơ s' có mu thăm dò, kích thưc mu cn tìm: p 1− p 0, 241 1− 0,241 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1, 6449 . = 752, 2 1 1+0,9 2 2 ε 0,02 2
Vy, cn hi ý kin ít nht 753 ngưi. 5. 20.
Đ nghiên cu ñư ng kính X (mm) ca mt loi sn ph(m do m t xí nghi%p
sn xut, ngưi ta ño ngu nhiên 100 sn ph(m ca xí nghi%p và có kt qu cho trong bng sau: xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 Tn s 8 12 20 30 14 10 6
Theo qui ñnh, nhng sn ph(m có ñưng kính t 9,9 mm ñn 10,1 mm là
nhng sn ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Tìm kho ng tin cy 95% cho t l% và
ñưng kính trung bình c a nhng s n ph(m ñt tiêu chu(n k4 thut. Gii
Bng s li%u cho các sn ph(m ñt tckt: xi 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 Tn s 12 20 30 14 10
♣ Gi p là t l% sn ph(m ñt tckt, t l% này trên mu là: 86 p = = 0,86 100
Khong tin cy 95% cho p : ( p− ; e p+ ) e p (1− p ) 0,86(1− 0,86) e = u . = 1,96. = 0,068 1 0 + ,95 n 100 2
Vy, khong tin c y cho p là: (0,792; 92,8) nghĩa là t 79,2% ñn 92,8%.
♣ Gi X là BNN ch ñưng kính ca nhng s n ph(m ñt tckt. T s 1 li%u ta có:
x = 9,994; s = 0,06. 1 1
Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình nhng sn ph(m ñt tckt:
(x −e;x + e 1 1 ) s 0,06 1 e = u . = 1, 96. = 0,012 1+ 0,95 n 2 86 1
Khong tin cy cn tìm:(9,982;10,006) (mm). 79 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 21.
X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu ca mt loi sn ph(m.
Kim tra ngu nhiên ' mt s sn ph(m, ngưi ta có kt qu sau: x i 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Đ ưc lưng trung bình ca ch tiêu Y vi sai s cho phép 0,5 cm và ñ
tin cy 90% thì cn ñiu tra thêm bao nhiêu sn ph(m na?
b) Cho bit khong tin cy 96% ca ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n m u ca ch tiêu X. Gii
a) Bng phân b tn s ch tiêu Y: (100, y (90, 95] (95, 100] (105, k 105] 110] n 20 65 29 7 k
T ñó: y = 98,4504; s = 3,89 y
Gi n là s sn ph(m cn ñiu tra: 1 2 2 2 sY 2 3,89 n ≥ u . = 1, 6449 . = 163,8 1 1+ 0,9 2 2 ε 0,5 2 ⇒ n = 164 1
Vy, cn ñiu tra thêm 43 sn ph(m na. b) Theo ñ bài ta có:
x − e = 1,59 x = 2,1 ⇔ x + e = 2,61 e = 0,51 s e n Mt khác, 0,51. 121 e = u . ⇒ s = = = 2,732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2 5. 22. 80 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu ca mt loi sn ph(m.
Kim tra ngu nhiên ' mt s sn ph(m, ngưi ta có kt qu sau: x i 1 2 x x 3 4 yk (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 8 (100, 105] 12 10 7 (105, 110] 5 2
a) Cho bit khong tin cy 96% ca ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính
giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n c a ch tiêu X.
b) Hãy tìm các giá tr x và x . 3 4 Gii
a) Bng d li%u ch tiêu X: Theo ñ bài ta có: x −e = 1,59 x = 2,1 ⇔ x + e = 2,61 e = 0,51 s e n 0,51. 121
Mt khác, e = u . ⇒ s = = = 2,732 1+0,96 n u 2,0537 2 1+0,96 2
b) Bng d li%u ch tiêu X: x 1 2 x x i 3 4 n 36 46 29 10 i
Ta có nx = 36.1+ 46.2 + 29.x +10.x ⇒ 29x + 10x = 126,1 (1) 3 4 3 4 4 2 1 2 2 s = ∑ n x − nx n 1 i i − i 1 = ⇒ (n −1) 2 2 2 2 2 2
s = n x +n x +n x +n x −nx 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2
⇔ n x + n x = (n 1 − ) 2 2 2 2
s −n x − n x + nx 3 3 4 4 1 1 2 2 2 2 2 2
⇔ 29x +10 x =120.2,732 −36 − 46.4 +121.2,1 3 4 2 2 2 2
⇔ 29x +10 x =120.2,732 −36 −46.4 +121.2,1 =1209, 27 3 4 2 2
⇔ 29x +10x =1209,27 (2) 3 4 T (1) suy ra: 10 x 1 = 26,1 −29 x 4 3 Thay vào (2) ta ñưc: 81 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 ⇔ 29x + (126,1− 29x )2 2 = 1209, 27 3 3 10
⇔ 290x +( 126,1− 29x ) 2 2 = 12092,7 3 3 2
⇔ 1131x − 7313,8x + 3808,51 = 0 3 3 x = 5,9 3 ⇔ x =0,57 3 Vi 126,1 29.5,9 x = 5,9 suy ra x − = = 4 − ,5 (loi) 3 4 10 126,1 29.0,57
Vi x = 0,57 suy ra x − = = 10,957 (nh n). 3 4 10
Vy, x = 0,57 và x = 10,957. 3 4 5. 23.
Mt ging lúa mi ñưc gieo trong 10 ming ñt thí nghi%m có các
ñiu ki%n gi ng nhau, cho các sn lưng tính theo cùng mt ñơn v như sau:
25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4.
Bit r"ng sn l ưng lúa là bin ngu nhiên có phân ph i chu(n N(µ, σ2).
Hãy tìm khong tin cy 90% cho µ và σ 2. Gii
T s li%u ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x = 25,4
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 2,24
Khong tin cy 90% cho sn lưng trung bình µ : (x −e;x + e) s Vi ( ) 9 e = t . = = + 1,3 1 0,9 n 2
Vy, Khong tin cy 90% cho µ : (24,1; 26,7) Khong tin cy 90% cho 2 σ : (n −1) 2 s (n −1) 2 s ; 2 2 χ χ 1+0,9 1−0,9 2 2 2 2
9.2,24 9.2,24 45,1584 45,1584 = ; = ; = 2, 67; 13,58 2 2 ( ) χ χ 0,95 0,05 5. 24. 82 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Đ ñánh giá tr lưng cá trong m t h ln, ngưi ta ñánh bt 2000 con
cá t h ñó, ñánh du ri th li xung h. Vài ngày sau, h ñánh bt li 400 con
thì thy có 80 con có ñánh du.
a) Hãy ưc lưng tr lưng cá trong h b"ng khong tin cy 95%.
b) Nu mun sai s ca ưc lưng gim ñi mt n#a thì ln sau phi ñánh bt bao nhiêu con cá? Gii
a) Gi p là t l% cá dưc ñánh du trong h. 2000 Khi ñó, p =
vi N là tr lưng cá trong h. N
Khong tin cy 95% cho t l% cá ñưc ñánh du trong h: ( p − e; p + e) . 80 p(1− p) 0, 2 (.1− 0, ) 2 Vi p = và e = u . = u . = 0, 0392 400 1+0,95 0,975 n 400 2
Vy khong tin cy cho p : ( 0,1608;0,239 )
2 tc là t 16,08% ñn 23,92%.
Do ñó, lưng cá trong h ưc lưng khong t 8361 ñn 12438 con.
b) Gi n là s cá cn ñánh bt. Ta có: 1 p 1− p 0,2 1 − 0,2 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 1,96 . = 1600 1 1 0 + ,95 (e/ 2)2 ( 0,0392 / )2 2 2
Vy, ln sau cn bt 1600 con. 5. 25.
Mt máy sn xut t ñng có t l% sn xut ra sn ph(m loi A lúc ñu là
48%. Máy ñư c ci tin và sau mt thi gian áp d,ng, ngưi ta ki m tra 40 hp,
m i hp gm 10 sn ph(m và ghi li s sn ph(m loi A trong m i hp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S hp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy ưc lưng t l% sn ph(m loi A sau khi máy ñưc ci tin b"ng khong tin cy 95% Gii
T$ng s sn ph(m loi A trong 40 hp là 215. T l% s n ph(m loi A trên mu kho sát: 215 43 p = = 400 80 83 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Khong tin cy 95% cho t l% sn ph(m loi A: ( p − ; e p + e) p (1− p ) p (1− p ) Vi e = u . = u . 1+0,95 0,975 n n 2 43 43 1− 80 80 1,96 = = 0,0489 400
Vy, t l% sn ph(m loi A t 48,86% ñn 58,64% 5. 26.
Đ nghiên cu s phát trin ca mt loi cây trng, ngưi ta quan tâm ñn
ñưng kính X (cm) và chiu cao Y (m) ca loi cây ñó. Đo chiu cao và ñưng
kính ca 100 cây cùng ñ tu$i ñưc chn ngu nhiên, kt qu thu ñưc cho trong bng sau: yk 3 4 5 6 7 x i (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
a) Tìm khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình ca loi cây này.
b) Đ ưc l ưng ñưng kính trung bình c a loi cây này vi ñ chính xác ñt
ñưc ' câu (a) và ñ tin c y 99% thì cn ño thêm bao nhiêu cây na? Gii
a) Bng phân b tn s cho ñưng kính trung bình ca cây: x (20, (22, 24] (24, 26] (26, 28] i 22] n 5 54 30 11 i
T ñó giá tr trung bình mu: x = 23,94 và ñ l%ch chu(n mu: s =1,52 . X
Khong tin cy 95% cho ñưng kính trung bình ca cây: (x − e;x + e) s X 1,52 e = u . = 1,96. = 0, 298 1+0,95 n 2 100
Khong tin cy cn tìm: (23,64;24,24) .
b) Gi s# n là s cây cn ño, ta phi có: 1 84 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 2 s 1,52 X 2 n ≥ u . = 2,5758 . = 172,6 1 1+0,99 2 2 e 0,298 2 Suy ra, n =173 1
Vy, s cây cn ño thêm là n = 73 cây. t 5. 27.
Đ nghiên cu s phát trin ca mt loi cây trng, ngưi ta quan tâm ñn
ñưng kính X (cm) và chiu cao Y (m) ca loi cây ñó. Đo chiu cao và ñưng
kính ca 100 cây cùng ñ tu$i ñưc chn ngu nhiên, kt qu thu ñưc cho trong bng sau: yk 3 4 5 6 7 x i (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 (26, 28] 7 4
Nhng cây cao t 6m tr' lên là cây loi A. Hãy ưc lưng t l% và ñưng kính
trung bình ca cây loi A b"ng khong tin cy 99% (gi thit ñưng kính cây
loi A là bin ngu nhiên phân phi theo qui lut chu(n). Gii
S cây loi A trên mu: 29. Giá tr t l% cây loi mu p = 0,29 .
Khong tin cy 99% cho t l% cây loi A: ( p− ;e p+ ) e p(1− ) p 0, 29(1− 0,29) e = u = 2,5758. = 0,117 1+0,99 n 100 2
Khong tin cy 99% cho t. l % cây loi A là: ( 0,173;0,407) tc là t 17,3% ñn 40,7%. S li%u cho cây loi A: x (22, 24] i (24, 26] (26, 28] n 10 8 11 i
Gi X là ñưng kính cây loi A, µ là ñư ng kính trung bình ca cây loi A. Giá 1 1
tr trung bình mu: x =25,07 , s =1.73. 1 1
Khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình ca cây loi A: (x − ; e x + e 1 1 ) 85 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân s (28) 1 e = t = = 0,89 1+0,99 n 2 1
Vy, khong tin cy 99% cho ñưng kính trung bình ca cây loi A: (24,18; 25,96) (cm). 5. 28.
Đ kho sát mc tiêu hao nguyên li%u (tính b"ng gam) ñ sn xut ra mt
ñơn v s n ph(m ca m t nhà máy, ngư i ta quan sát mc tiêu hao nguyên li%u
trên mt mu, và thu ñưc kt qu sau: (ñơn v gam) x 18 19 20 21 22 i n 13 21 27 21 18 i
a) Tìm khong tin cy 98% cho s tin trung bình ñưc dùng ñ mua nguyên
li%u ñ sn xut trong m i quí ca nhà máy. Bit r"ng giá loi nguyên li%u
này là 800 ngàn ñ/kg và sn lưng ca nhà máy trong mt quí là 40.000 sn ph(m.
b) Nu mun ưc lưng s tin trung bình ñ mua nguyên li%u trong m i quí
c a nhà máy b"ng khong tin cy 99% và sai s không quá 8 tri%u ñng thì
phi l y mu vi kích thưc là bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ban ñu ta xây dng ñưc bng sau: x = 20,1 s =1,29
Khong tin cy 98% cho mc tiêu hao nguyên li%u trung bình ca m i sn ph(m: (x − ; e x + e ) s 1,29 e = u = u . = = 0,3 1+0,98 0,99 n 100 10 2 Do ñó ( x − ;
e x + e) = (19,8;20,4)
T ñó suy ra khong tin cy 98% cho s tin trung bình cho m i quý: ( 3 3
19,8× 4× 8×10 ;20,4× 4× 8×10 ) = (633600;65280 ) 0 (ngàn ñng)
b) Nu sai s ưc lưng s tin trung bình m i quý là 8 tri%u ñng thì sai s 6 ư 8.10
c lưng mc tiêu hao nguyên li%u là ε = = 0,25 (g) 40000.800
Khi ñó kích thưc mu quy ñnh: 2 s n ≥ u . = 176,65 1 1+0,99 ε 2 Chn n =177 . 1 86 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 29.
Đ nghiên cu lãi sut ngân hàng gia hai nhóm nưc công nghi%p phát
trin và ñang phát trin, ngưi ta ñiu tra lãi sut ngân hàng trong m t năm ca 7
nưc phát trin và 11 nưc ñang phát trin ñưc chn ngu nhiên.
Vi các nưc phát trin, lãi sut trung bình là 17,5% và ñ l %ch chu(n là
3,2%; còn ñi vi các nưc ñang phát trin, lãi sut trung bình là 15,3% và ñ l%ch
chu(n là 2,9%. Vi ñ tin cy 95%, hãy ưc lưng s chênh l%ch v lãi sut trung
bình gia hai nhóm nưc trên. Bit r"ng lãi sut ngân hàng ca ca hai nhóm
nưc trên là các BNN tuân theo qui lut chu(n có cùng phương sai. Gii
Gi X, Y ln lưt là các bi n ngu nhiên ch lãi sut ngân hàng ca hai nhóm
nưc phát trin và ñang phát trin. X, Y tuân theo lut phân phi chu(n vi cùng phương sai.
Theo bài ta có x = 17,5%, s = n = y = s = m = X 3, 2%; 7; 15,3%, Y 2,9%; 11 x − y = 2,2
n− 1 s + m− 1 s X Y 6.3, 2 + 10.2,9 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 Ta tính ñưc s = = = n + m − 2 16 1 1 1 1 16 2 e = t
s + = + = 1+ 0,95 n m 7 11 2
Khong tin cy 95% cho s chênh l%ch lãi sut ngân hàng trung bình gi a hai
nhóm nưc trên là: ( -0,8912%;5,2912%) 5. 30.
Đ nghiên cu lưng tin g#i tit ki%m vào ngân hàng ca hai thành ph, ngưi ta
ñiu tra ngu nhiên 23 ngân hàng ' thành ph A và tìm ñưc lưng tin g#i trung
bình ca m i khách là 1,317 tri%u ñng. 7 thành ph B, nghiên cu 32 ngân hàng,
tìm ñưc lưng tin g#i trung bình ca m i khách là 1,512 tri%u ñng. Hãy ưc
lưng s chênh l%ch trung bình gi a lưng tin g#i tit ki%m trung bình ca dân
hai thành ph A và B b"ng khong tin cy 95%. Bit r "ng tin tit ki%m c a ngưi
dân hai thành ph A và B là các BNN tuân theo lun phân phi chu(n, vi ñ l%ch
chu(n theo th t, là 0,517 tri%u và 0,485 tri%u. Gii
Gi X, Y ln lưt là bin ngu nhiên ch tin g#i ca ngưi dân thành ph A, B.
Ta có x =1,317 , n = 23 , σ = 0,517; y 1
= ,512; m =32; σ =0, 485 . X Y
Khong tin cy 95% cho hi%u trung bình tin g# i tit ki%m ca dân hai thành ph A, B là: (x − y − ;
e x − y + e) t m u và ñ tin cy ta tính ñưc x − y = 1,317− 1,512 = 0,195 87 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 2 2 2 σ σ X Y 0,517 0, 485 e = u . + = u + 1+ γ 0,975 n m 23 32 2
Do ñó ( x − y − ;e x − y + e) = ( ) 5. 31.
Mt k4 sư lâm nghi%p nghiên c u chiu cao ca mt loi cây vi gi thit là nó có
phân phi chu(n. Trên mt mu có kích thưc n = 10, anh ta tính ñưc chiu cao
trung bình ca m i cây là 13,78 và khong tin cy 90% ca trung bình t$ng th là
(13,063; 14,497). Không may, b s li%u ca mu b tht lc, anh ta ch còn nh các s sau:
12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2.
Bn có th giúp anh ta tìm li ñưc các s li%u b tht lc không? Gii
Gi s# hai s li%u tht lc là x và y ta có: 108, 9 x y x + + = = 13, 78 10
Suy ra x + y = 137,8− 108,9 = 28,9
Mt khác t khong tin cy và trung bình mu ta tính ñưc e = 0,717 s s 1,8331 Mà ( ) 9 ( ) 9 e = t = t = s = 0,5797s suy ra 1 0 + ,9 0,95 10 10 10 2 e 0,717 s = = = 1, 2368 0,5797 0,5797 Suy ra 2 s = 1,5298 Mt khác 1 1 2 s = ( 2 2 2
1495,01+ x + y −10.13,78 ) = ( 2 2
x + y − 403,87 ) 4 9 9
Như vy ta có h% phương trình: x + y = 28, 9 2 2
x + y = 417, 6422
Gii h% phương trình ta ñưc x =14,59; y = 14,31. 5. 32.
Công ty ABC mun nghiên cu nhu cu tiêu dùng v loi hàng ca
công ty ' mt khu vc có 4000 h gia ñình, h tin hành ñiu tra v nhu cu ca
mt hàng ñó ' 400 h gia ñình, ñưc chn ngu nhiên ' khu vc ñó. Kt qu ñiu tra như sau: Nhu cu (kg/tháng) S gia ñ ình < 1 10 88 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [1, 2) 35 [2,3) 86 [3,4) 132 [4,5) 78 [5,6) 34 [6,8) 15 > 8 10
a) Hãy ưc lưng nhu cu trung bình v mt hàng này ca toàn khu vc
trong mt năm b"ng kho ng tin cy 95%.
b) Vi mu trên, khi ưc lưng nhu cu trung bình v mt hàng này ca toàn
khu vc trong mt năm, nu mun sai s ưc lưng là 5,7 tn, thì ñt ñưc
ñ tin cy b"ng bao nhiêu? Gii
a) T s li%u ta tính ñưc: n = 400 ; x =3,6688 (kg/tháng); s =1,5870
Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca m i h là: s N − n 1,5870 3600 (x − ;
e x + e) vi e = u = 1, 96. = 0,1476 0,975 n N − 1 20 3999 Vy (x − ;
e x + e) = (3,5212; 3,8164) .
Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca toàn khu vc:
(3,5212× 4000×12; 3,8164× 4000×1 ) 2 = (169017;18318 ) 7
b) Khong tin cy cho nhu cu trung bình ca m i h: ( x − ;e x +e)
Do ñó khong tin cy cho nhu cu trung bình ca toàn khu vc là: (x − ;
e x + e)× 4000×12 . Như vy sai s ưc lưng nhu cu trung bình cho toàn khu vc là 4000 1 × 2 ×e . Theo ñ bài 5,7
4000×12e = 5700 ⇒ e = = 0,1188 4×12 T ñó ta có: s N −n n N 1 u . 0,1188 u . − = ⇒ = .0,1188 = 1,578 1+γ 1 n N − 1 + γ s N − n 2 2 1 + γ ⇒
= ⇔ γ 2
Vy, ñ tin cy cn tìm là 88,54%. 5. 33. 89 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Mt lô trái cây ca mt c#a hàng ñng trong các st, m i st 100 trái.
Ngưi ta tin hành kim tra ngu nhiên 50 st, thì thy có 450 trái không ñ t tiêu chu(n.
a) Tìm khong tin cy 96% cho t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng.
b) Nu mun ưc lưng t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng, vi
sai s b"ng 0,5% thì ñ tin cy ñt ñưc là bao nhiêu? Gii
a) Gi p là t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng. Giá tr t l% mu: 450 p = = 0,09 5000
Khong tin cy 96% cho p : ( p − ; e p +e) p(1− p) 0,09 (1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0,09 (1− 0,09) = 2,0537. = 0,008 5000
Khong tin cy cho p : (0,082;0,098) tc là t 8,2% ñn 9,8%.
b) Gi s# γ là ñ tin cy cm tìm. Theo ñ bài: p (1 − p ) n e = u . = 0,005 ⇔ u = 0, 005. = 1, 2354 1+ γ 1 n + γ p 1− p 2 2 ( ) 1+γ ⇒ = 0,8917 ⇔ γ = 0, 7833 2
Do ñó ñ tin cy là: 78,33%. 5. 34.
Mt lô trái cây c a m t c#a hàng ñng trong các st, m i s t 100 trái.
Ngưi ta tin hành kim tra ngu nhiên 50 st, thì thy có 450 trái không ñ t tiêu chu(n.
a) Tìm khong tin cy 96% cho t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng.
b) Nu mun ưc lưng t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng, vi
ñ tin cy 99% và sai s không ln h ơn 1%, thì c n kim tra bao nhiêu st? Gii
a) Gi p là t l% trái cây không ñt tiêu chu(n ca lô hàng. Giá tr t l% mu: 450 p = = 0,09 5000 90 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Khong tin cy 96% cho p : ( p − ; e p +e) p(1− p) 0,09 (1− 0,09) e = u . = u 1+0,96 0,98 n 5000 2 0,09 (1− 0,09) = 2,0537. = 0,008 5000
Khong tin cy cho p : (0,082;0,098) tc là t 8,2% ñn 9,8%.
b) Gi n là s trái cây cn kim tra. Khi ñó: 1 p 1 − p 0,09 1 −0,09 2 ( ) 2 ( ) n ≥ u . = 2,5758 . = 5433,9 1 1 0 + ,99 2 2 ε 0,01 2
Do ñó, n =5434 trái, do ñó s st cn kim tra là: S = 5434/100 + 1= 55 (st) 1 [ ] 5. 35.
Mt công ty sn xu t bt git mun thăm dò mc ñ tiêu th, sn ph(m
này trong thành ph H. Công ty tin hành ñiu tra 500 h gia ñình và có kt qu sau: Nhu cu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) 2) 2,5) 3) 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñ ình.
a) Hãy ưc lưng nhu cu bt git trung bình ln nht ca toàn thành ph H
trong mt năm vi ñ tin cy 96%
b) Đ ưc lưng nhu cu bt git trung bình ca m t h trong mt tháng vi
sai s ưc lưng không quá 50 gam và ñ tin cy 95% thì cn ñiu tra thêm
bao nhiêu h gia ñình na? Gii
a) T d li%u ñã cho ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x =1,803
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 0,6233 Sai s ưc lưng cho khong tin cy 96% là: s s e = u = = = 0,96 n n
Do ñó nhu cu bt gic trung bình c a mt h ln nht là:
x + e =1,803 +0,0488 =1,8518 (kg)
Vy nhu cu ln nht ca thành ph trong mt năm là: 91 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
×× (). 2 2 s u 1,96.0,6233 b) 0,975 Ta có u ≤ 0,05 ⇒ n ≥ .s = = 596,9134 0,975 n 0,05 0,05 Suy ra, n =597 1
Vy cn ñiu tra thêm ít nht 97 h na. 5. 36.
Mt công ty sn xu t bt git mun thăm dò mc ñ tiêu th, sn ph(m
này trong thành ph H. Công ty tin hành ñiu tra 500 h gia ñình và có kt qu sau: Nhu cu [1,5; [2; [2,5; [3; (kg/tháng) < 1 [1; 1,5) 2) 2,5) 3) 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12
Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñ ình.
a) Nhng h có nhu cu trên 2 kg trong mt tháng ñưc gi là nh ng h có
nhu cu sao. Tìm khong tin cy 95% cho t l% nhng h có nhu cu cao ' thành ph H.
b) Đ ưc lưng nhu cu bt git trung bình ca m t h trong mt tháng vi
sai s ưc lưng không quá 50 gam và ñ tin cy 95% thì cn ñiu tra thêm
bao nhiêu h gia ñình na? Gii
a) T d li%u ñã cho ta tính ñưc:
Giá tr trung bình mu: x =1,803
Giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = 0,6233 Giá tr t l% mu: 140 p = = 0, 28 500
Khong tin cy 95% cho t. l% nhng h có nhu cu cao: ( x − ;e x+ e) p(1− p) sai s e = u . = u .0,0201 = 1+ γ 0,975 n 2
Khong tin cy 95%: (0,2406;0,3194 ) 2 2 s u b) 1,96.0,6233 0,975 Ta có u ≤ 0,05 ⇒ n ≥ .s = = 596,9134 0,975 n 0,05 0,05 Suy ra n = 597 1
Vy cn ñiu tra thêm ít nht 97 h na. 92 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 5. 37.
Đ ñánh giá mc tiêu hao nhiên li%u ca mt loi xe ô tô, ngưi ta theo
dõi lưng tiêu hao nhiên li%u (lít/100 km) ca 100 chuyn xe và có kt qu sau: Lưng tiêu [55; 60) hao
[35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) S chuyn xe 14 20 36 22 8
a) Tìm khong tin cy 95% cho lưng tiêu hao nhiên li%u trung bình ca loi xe nói trên
b) Xe cn ñưa vào ki m tra k4 thut là xe có mc tiêu hao nhiên li%u t 55
lít/100 km tr' lên. Hãy ưc lư ng t l% xe cn ñưa vào kim tra k4 thut ti
thiu ' ñ tin cy 95%. Gii
a) Gi X là bin ngu nhiên ch mc tiêu hao nguyên li%u cho m i chuyn
xe. T s li%u trên ta xây dng ñưc bng sau: x = 47 5 1 2 2 2 s =
∑n x −nx = i i 99 i 1 = s e = u . = u . = 1+ γ 1+0,95 n 2 2 100 100
Do ñó khong tin cy 95% cho lưng tiêu hao nguyên li%u trung bình: (45,88;48,12)
b) T. l% xe cn kim tra k4 thut ca mu: 8 p = = 0,08 100
T l% xe cn ñưa vào kim tra k4 thut ti thiu ' ñ tin cy 95% là p ≥ p − e p (1− p ) vi 0,08.0,92 e = u = u = 0,045 γ 0,95 n 10
Suy ra p ≥ 0,08 − 0,045 = 0,035 . 93 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 6: KIM ĐNH GI THIT 6. 1.
Trong mt cuc ñi u tra v nhp mch ca 64 thanh niên làm ngh A, kt qu
là nhp mch trung bình 74 ln/phút và ñ l%ch chu(n b"ng 9 ln/phút. Hãy kim
ñnh xem ñc ñim ngh A có làm cho nh p mch ca thanh niên tăng quá mc
bình thưng không, bit r"ng nhp mch bình thưng ca thanh niên là 72 ln /
phút. ( kt lun v i mc α =1% ). Gii:
Gi X là bin ngu nhiên ch nhp m ch ca thanh niên làm ngh A. Ta cn kim ñnh gi thit:
H : µ = 72; H : µ > 72 , ' mc α = 1% . 0 1 X Nu − 72
H ñúng thì bin ngu nhiên U = 64 ~ N (0, ) 1 . 0 s
Vi α =1%, gtth = u = u = 2,5758. 1 α − 0,99 74 − 72 16
Vi mu c, th ta có u = .8 = = 1,778 < gtth . 9 9
Vy, ta chp nhn gi thit H nghĩa ngh A không làm tăng nhp ñ p ca thanh 0 niên. 6. 2.
Điu tra Cholesterol toàn phn trong huyt thanh c a 25 b%nh nhân b
mt loi b%nh B, ta có trung bình cng ca lưng Cholesterol là 172 mg% và ñ
l%ch chu(n b"ng 40 mg%. Theo tài li %u v h"ng s sinh hoá bình thưng ca
ngưi Vi %t Nam thì lưng Cholesterol trung bình toàn phn trong huyt thanh là
156 mg% và tuân theo lut phân ph i chu(n.
Hi lưng Cholesterol ca các b%nh nhân mc b%nh B có cao hơn bình thưng
không? (kt lun ' mc α = 5% ) . Gii: Kim ñnh gi thi t
H : µ = 156 mg% ; H : µ > 156 mg ' m c α = 5% . 0 ( ) 1 ( ) Nu X −156
H thì bin ngu nhiên T = 25 ~ t( 2 ) 4 0 S
Vi mc α = 0,05 ta có (24) (24 ) t = t =1,7109 1−0,05 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: 172 1 − 56 24 t = 5 =2 > t
. Vy H b bác b nghĩa là lưng Cholesterol c a b%nh 0,95 40 0
nhân mc b%nh B cao hơn bình thưng. 6. 3.
Mt công ty bào ch mt loi thuc cha d ng tuyên b r"ng thuc
ca h có hi%u qu không dưi 90% trong vi%c làm gim cơn d ng trong vòng 8
gi. Mt mu gm 200 ngưi b d ng s# d,ng loi thuc trên, có 160 ngưi
gim cơn d ng. Hãy xác ñnh xem li tuyên b ca công ty có giá tr không? ( ' mc ý nghĩa α = 0,07). Gii: 94 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi p là t l% ngưi gi m d ng khi dùng thuc ca công ty trong vòng 8 gi. Ta
cn xác ñnh xem p có b"ng 90% tr' lên hay không. Mun vy ta kim ñnh gi thit:
H : p = p = 90%; H : p < p = 90% ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α = 0,07. P − p
Nu H ñúng thì bin ngu nhiên 0 U = n ~ N (0, ) 1 0 p 1 − p 0 ( 0 )
Vi mc α = 0,07 ta có gtth = u − = u − = −1, 4758 . 1 −α 0,93 Vi mu c, th ta có: 160 / 200 −0,9 u = 200 = 4 − ,714 < gtth = 1 − , 4758 . 0,9.0,1
Vy ta bác b gi thit H nghĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr. Kt lun 0 ' mc ý nghĩa 0,07. 6. 4.
(3 ñim) Trưc ñây, Nhà máy Alpha sn xut ra mt loi sn ph(m vi
t l % ph ph(m 5%. Năm nay, sau ñt ci tin k4 thut, ñ kim tra hi%u qu, ngưi
ta ly ra ra mt mu g m 800 sn ph(m ñ kim tra thì thy có 24 ph ph(m.
a) Vi mc ý nghĩa α = 5%, hãy kim ñnh xem ñt ci tin k4 thut có
thc s làm gim t l% ph ph(m không?.
b) Sau ñt ci tin k4 thu t, nu nhà máy báo cáo t l% ph ph(m là 2% thì
có chp nhn ñưc không? (' mc ý nghĩa α = 3%). Gii:
a) Gi p là t. l% ph ph (m sau ñt ci tin kĩ thut, t l% mu . Ta cn kim ñnh gi thit sau:
H : p = p = 5%; ñi thit H : p < p ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α = 5%. Nu P − p H ñúng thì 0 U = n ~ N (0,1) 0 p 1− p 0 ( 0 )
Vi mc α =5% ta có gtth = u − = u − = 1 − ,65 . 1−α 0,95
Vi mu c , th ta tính ñưc p − p 0,03 − 0,05 0 u = n =
800 = −2,6 < gtth p 1− p 0,05.0,95 0 ( 0 )
Vy, ta bác b H nghĩa là ñt ci tin kĩ thut tht s làm gim t. l% ph 0 ph(m.
b) Ta kim ñnh gi thit H : p = p =2%; ñi thit H : p ≠ p ' mc 0 0 1 0 α =3% . Nu P − p H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 . 0 ( ) p 1 − p 0 ( 0 ) 95 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vơi s mc α =3% ta có gtth = u = u = 2,17 . α 0,985 1− 2
T mu c, th ta tính ñưc. p − p0 0,03 − 0,02 u = n = 800 = 2,02 < gtth p 1− p 0,02.0,98 0 ( 0 )
Vy ta ch p nhn H nghĩa là chp nhn li tuyên b ca công ty. 0 6. 5.
Tin lương hàng tun trung bình trên mt mu gm 30 công nhân trong
mt xí nghi%p ln là 180 (ngàn ñng) vi vi ñ l%ch chu(n 14 (ngàn ñng).
Trong mt xí nghi%p ln khác, mt mu g m 40 công nhân ñưc chn ngu nhiên
có tin lương hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñng) vi ñ l%ch chu(n 10 (ngàn
ñng). Tin lương hàng tun trung bình ' hai xí nghi%p trên có khác nhau không?
( ' mc ý nghĩa α = 5%). Gi s# tin lương hàng tun ca hai xí nghi%p là bin
ngu nhiên có phân phi chu (n có cùng phương sai.
Gii: Gi X, Y là tin lương hàng tun ca m i công nhân ca hai xí nghi%p
trên tương ng. Kim ñnh gi thit H : µ = µ ; H : . 0 µ ≠ µ ' mc α = 5% X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì T =
~ t( n + m −2) 0 2 S ( 1 1 n + m ) 2 2 n − S + m − S vi 2 ( 1) ( 1) X Y S = n + m − 2 vi mc α = 5% ta có ( n+ m− ) 2 ( 6 ) 8 gtth =t = t =1,9955 α 0,975 1−2 2 2 . + .
Vi mu c , th ta tính ñưc 2 29 14 39 10 s = = 140 9 , 4 78 x − y 180 −170 Do ñó t = =
= 3,4876 > gtth tn 2 s ( 1 1 n + m ) 1 1 140,94 + 30 40
Vy ta bác b H nghĩa là tin lương hàng tun trung bình ' hai xí nghi%p 0 trên là khác nhau. 6. 6.
Gi X và Y ln lưt là bin ngu nhiên ch khi lưng ca tr sơ sinh
trai và tr sơ sinh gái. Cho bit X và Y tuân theo lut phân phi chu(n có cùng
phương sai. Kho sát ngu nhiên 20 tr sơ sinh trai, ngưi ta tính ñư c x = 3200
g, s = 400 g và 17 tr sơ sinh gái, ngưi ta tính ñưc y = 3000 g, s = 380 g. X Y
Phi chăng khi lưng ca tr sơ sinh trai ln hơn khi lưng ca tr sơ sinh gái?
(kt lun vi m c ý nghĩa α = 5%) Gii: 96 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Kim ñnh gi thit H : µ = µ ; H : µ > µ ' mc α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì T =
~ t( n + m −2) 0 2 S ( 1 1 n + m ) 2 2 n − S + m − S vi 2 ( 1) ( 1) X Y S =
; n = 20; m =17 . n + m − 2 Giá tr ti hn (n+ m− 2) 35 gtth = t = t = 1, 6896 1−α 0 9 , 5 2 2 . + .
Vi mu c , th ta có 2 19 400 16 380 s = =152868 5 , 7 35 x − y 3200− 3000 t = =
= 1, 55 < gtth tn 2 s ( 1 1 n + m ) 1 1 152868,57 + 20 17
Ta chp nhn H nghĩa là trng lưng ca tr sơ sinh trai không ln hơn 0
trng lưng ca tr sơ sinh gái (α = 5%). 6. 7.
Khi lưng ca mt loi s n ph(m do mt nhà máy sn xut là mt
bin ngu nhiên tuân lut phân ph i chu(n N(500; (8,5)2). Sau mt thi gian sn
xut, ban lãnh ño nhà máy nghi ng r"ng khi lưng ca loi sn ph(m này có xu
hưng gim, nên tin hành cân th# 25 sn ph(m và thu ñư c kt qu sau: Khi lưng (g) 480 485 490 495 500 510 S sn ph(m 2 3 8 5 3 4
Vi mc ý nghĩa α = 5% , hãy cho kt lun v ñiu nghi ng trên. Gii:
T s li%u ta tính ñưc x = 494 ; s = 8,9 n = 25 .
Ta kim ñnh gi thit H : µ = µ = 500;H : ' mc α = 5% . 0 0 1 µ < µ 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N 0 1
, vi n = 25;σ =8 5 , ;µ =500 0 ( ) σ 0
Vi mc α =5% ta có gtth = u − = u − = − , −α , 1 65 1 0 95
Vi mu c, th giá tr ca U là 494 −500 u = 5 . = −3 5
, 3 < gtth nên H b bác 8,5 0
b nghĩa là ñiu nghi ng trên là ñúng. 6. 8.
Mt công ty mu n ñánh giá v hi%u qu c a mt ñt qung cáo ñi vi
s sn ph(m bán ra ca công ty. 10 c#a hàng bán sn ph(m ca công ty ñưc chn
ngu nhiên ñ theo dõi s lưng sn ph(m bán ra trong m t tun trưc ñt qung
cáo (TĐQC) và mt tun sau ñ t qung cáo (SĐQC). C#a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 97 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân hàng TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111 SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144
Hãy cho kt lun v hi%u qu ca ñt qung cáo (' mc α = 5%). Gii:
Gi D là hi%u s gia s sn ph (m bán ra sau qung cáo và trưc qung cáo
ca m i ca hàng. Bng hi%u s: D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33
T ñó ta tính ñưc d = 21;s = 32,98 . D
Ta c n kim ñnh gi thit sau ' m c α = 5% .
H : µ = 0; H : µ > 0 0 D 1 D Nu D n
H ñúng thì T = ~ t n 0 ( − ) 1 SD Vi α 9 = 5% ( ) gtth = t = 1−α Vi mu c , th ta có 21 10 t = = 2,01> gtth 32,98
Nên H b bác b. 0
Vy, ñt qung cáo tht s làm tăng s lưng sn ph(m bán ra.
6. 9. M t máy sn xut t ñ ng có t l% sn xut ra sn ph(m loi A lúc ñu là
48%. Máy ñư c ci tin và sau mt thi gian áp d,ng, ngưi ta ki m tra 40 hp,
m i hp gm 10 sn ph(m và ghi li s sn ph(m loi A trong m i hp (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S hp 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0
Hãy cho kt lun v hi%u qu c a vi%c ci tin máy ' mc ý nghĩa α = 0,05. Gii:
Gi là t l% sn ph(m lo A sau ñt ci tin k4 thut.
T l% sn ph(m loi A trên mu kho sát: 215 43 p = = 400 80
Kim ñnh gi thi t:
H : p = p = 48%; H : p > p ' mc α = 5% . 0 0 1 0 98 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Nu H ñúng thì BNN 0 P − p0 U = n ~ N ( 0, ) 1 p 1− p 0 ( 0 )
Vi mc ý nghĩa α =0,05 giá tr ti hn b "ng: u =u =1,6449 1 α − 0,95
Vi mu c, th, ta tính ñưc: 43 −0,48 p − p 0 80 u = n = 400 = 2,3018 p 1− p 0, 48 1− 0,48 0 ( 0 ) ( )
Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa là vi%c ci tin k4 thut tht s mang li hi%u 0 qu.
6. 10. Khi lưng trung bình khi xut chung ' mt tri chăn nuôi gà công nghi%p
năm trưc là 3,3 kg/con. Năm nay ngưi ta s# d,ng loi thc ăn mi. Sau mt thi
gian, cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02;
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thit khi lưng gà là bin ngu nhiên phân ph i theo qui lut chu(n v i phương sai 0,04.
Vi mc ý nghĩa α = 0,05, hãy cho kt lun v tác d,ng ca loi thc ăn mi. Gii:
Gi X là BNN ch kh i lưng gà khi xu t chung. Theo gi thit X N ( 2 ~
µ;0, 2 ) . T s li%u ñã cho ta tính ñưc: x = 3,62; s = 0,405 .
Nu thc ăn mi có tác d,ng tt thì khi lưng trung bình c a gà xut
chung năm nay s+ cao hơn. Mu n kt lun v ñiu ñó ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 3,3 ; H : µ > µ ' mc ý nghĩa α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α =0,05 gtth = u = u = u = 1,6449 1− α 1= 0,05 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: x − µ 3,62 − 3,3 0 u = n = 15 = 6,2 σ 0,2
Vì u > gtth nên H b bác b . 0
Vy, khi lưng trung bình ca gà xut chung năm nay cao hơn năm trưc, nghĩa
là thc ăn mi có tác d,ng tăng trng lưng gà.
6. 11. Đ ñiu tra kh i lưng gà xut chung ' mt tri chăn nuôi gà công nghi%p
năm nay. Ngưi ta cân th# 15 con khi xut chung, có các s li%u sau: (ñơ n v kg)
3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50,
Gi thit khi lưng gà là bin ngu nhiên phân ph i theo qui lut chu(n v i phương sai 0,04.
Có nên báo cáo khi l ưng trung bình ca gà xut chung năm nay là 3,7 kg/con
hay không? (' mc ý nghĩa α = 0,05). Gii:
Gi X là BNN ch kh i lưng gà xut chung năm nay. Kim ñnh gi thi t
H : µ = µ =3,7 kg ; H : µ ≠ µ ' mc α = 5% . 0 0 ( ) 1 0 Nu X − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α =0,05 gtth = u = u = u = 1,96 1− α / 2 1= 0,025 0,975
Vi mu c, th ta tính ñưc: x − µ 3,62 − 3, 7 0 u = n = 15 = −1,55 σ 0,2
Vì |u |< gtth nên H không b bác b. 0
Vy, ' mc ý nghĩa 5% ta công nhn báo cáo ca tri chăn nuôi.
6. 12. M t cuc ñiu tra ca Hi ph, n ñ ñánh giá v mt dư lun xã hi cho
r"ng lương ca ph, n thp hơn lương ca nam gii. M t mu nhiên gm 4 ñàn
ông có lương trung bình là 78,0 (ngàn ñng), vi ñ l%ch chu(n mu là 24,4; mt
mu ngu nhiên khác ñc lp vi mu trên gm 4 ph, n có lương trung bình là
63,5 (ngàn ñng), vi ñ l%ch chu(n là 20,2. Gi s# r"ng lương ca c nam và n
gii ñu là các bin ngu nhiên tuân theo lut phân phi chu(n có cùng phương
sai. Hãy cho kt lun v cuc ñiu tra trên ' mc ý nghĩa 10%. Gii:
Gi X ,Y theo th t là lương ca ñ àn ông và ph, n. Ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ H µ > µ ' m c α = 10% . X Y ; : 0 1 X Y Nu X − Y
H ñúng thì BNN U =
~ t (n + m − 2) 0 2 1 1 S + n m 2 2
n − 1 S + m − 1 S Vơi 2 ( ) X ( ) Y S = n+ m− 2
Vi mc ý nghĩa α =10%, (n+ m 2 − ) (6) gtth = t = t = 1−α 0,9 Vi mu c, th: 2 2 s = 22,4 Và x − y 78 − 63,5 t = = = 0,915 2 1 1 2 1 1 s + 22,4 + n m 4 4 100 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Vì t < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, kt lu n ca cuc ñiu tra chưa ñúng.
6. 13. Ngưi ta mun nghiên cu tác d, ng ca vi%c cho sinh viên ñi thc t xem
s tip thu kin thc có tt hơn không b"ng cách so sánh ñim thi ca nhóm sinh
viên không ñi thc t (SVKĐTT) vi nhóm sinh viên có ñi thc t (SVCĐTT). Kt qu như sau: Đim 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SVCĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1 SVKĐTT 3 3 6 1 7 13 10 12 4 1 3 1
Gi X và Y ln l ưt là bin ngu nhiên biu th ñim s ca sinh viên có ñi
thc t và sinh viên không ñi thc t.
Đim thi ca nhóm sinh viên có ñi thc t có thc s tt hơn không? (kt
lun ' mc ý nghĩa α = 0,01 ) Gii:
Kim ñnh gi thit H : µ = µ ;H : α = 0,01 0 X Y 1 µX > ' mc ý nghĩa Y µ Nu X − Y
H ñúng thì BNN U = ~ N 0 1 , 0 ( ) 2 2 s s X Y + n m Vi α = 0 0
, 1 ta có gtth = u = u = u = 1−α 1− 0, 01 0, 99
Vi mu c , th ta tính ñưc
T bng s li%u ta có: n = 67 x =5 8 , 5 ; s
; m = 73; y = 4,88; s = , . Y 2 39 X = 2 5 8 , 5 −4 8 , 8 u = = , > gtth tn 2 6116 2 2 2 2,39 + 67 73
Nên H b bác b nghĩa là SVCĐTT có ñim cao hơn SVKĐTT. 0
6. 14. M t công ty vn ti, mun ñánh giá tác d,ng ca mt loi cht ph, gia pha
vào xăng, ñã chn 10 chic xe. Cho m i chic chy hai ln vi cùng ñiu ki%n
như nhau; nhưng ln ñu vi xăng không có cht ph, gia (KPG), ln sau, vi cùng
mt lưng xăng như ln ñu, có cht ph, gia (CPG). Ngưi ta ghi li s dm ñã
ñi ñưc ca 10 chic xe trên trong hai ln như sau: Xe KPG CPG Xe KPG CPG 101 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân 1 26,2 26,7 6 15,8 15,7 2 25,7 25,8 7 13,9 14,2 2 22,3 21,9 8 12,0 12,6 4 19,6 19,3 9 11,5 11,9 5 18,1 18,4 10 10,0 10,3
Có s khác nhau gia s dm trung bình ñi ñưc vi xăng không có cht ph,
gia và có cht ph, gia không? (kt lun ' mc ý nghĩa 5%) Gii:
Gi X ,Y ln lưt là các BNN ch s dăm ñi ñưc ca xe KPG và xe CPG.
Đt D = X −Y . Bng s li%u cho D : Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3 i
T ñó ta tính ñưc: d = −0,17, s = 0,3368 D
Đ xét xem khác nhau v s dm trung bình gia xe KPG và xe CPG ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = 0; µ ≠ 0 ' mc α = 5% . 0 D D D
Nu H ñúng thì BNN T = 10 ~ t (9 ) 0 S D Vi α = 5% = 0,05: (9) ( ) 9 gtth = t = t = 2,2622 0,05 0,975 1− 2 Vi mu c , th ta có: 0 − ,17 t = 10 = 1,596 0,3368
Vì | t |< gtth nên H ñư c chp nhn. 0
Vy, ' mc ý nghĩa α = 5% không có s khác nhau gia s dm trung bình
ñi ñưc vi xăng không có cht ph, gia và có cht ph, gia.
6. 15. Khi lưng bao go (KLBG) là bin ngu nhiên có phân phi chu(n N (50;0,0 )
1 . Có nhiu ý kin ca khách hàng ph n ánh là khi lưng b thiu. Mt
nhóm thanh tra ñã cân ngu nhiên 25 bao go trong kho và ñưc kt qu như sau:
KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5] S bao go 2 5 10 6 2
Hãy kim ñnh xem ý kin ca khách hàng phn ánh có ñúng không? (kt
lun ' mc ý nghĩa α = 5%). Gii: 102 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi X là BNN ch khi lưng bao go. T s li%u ñã cho ta tính ñưc
x = 49,27; s = 0,53 .
Ta kim ñnh gi thit sau:
H :µ = µ = 50 ; H :µ < µ ' mc ý nghĩa 0 0 ( ) 1 0 α = 5% X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 σ
Vi mc ý nghĩa α = 5% gtth = u − = −1,6449 1− 0,05 Vi mu c, th: 49,27 −50 = 25 = − 36,5 0,1
Vì u < gtth nên H b bác b. Nghĩa là ý kin ca khách hàng phn ánh là ñúng ( 0 α = 5%).
6. 16. Mt mu gm 300 c# tri ' khu vc A và mt mu gm 200 c# tri ' khu vc
B cho thy có 56% và 48%, theo th t, ng h ng c# viên X. 7 mc ý nghĩa
5%, hãy kim ñnh gi thit:
a) Có s khác bi%t gia hai khu vc v s ng h ng c# viên X.
b) :ng c# viên X ñưc ng h hơn ' khu vc A. Gii:
Gi p và p theo th t là t. l% ng h ng c# viên X ' khu vc A và B. A B
a) Ta kim ñnh gi thit H : p = p ; H : p ≠ p ' mc ý nghĩa α =5% . 0 A B 1 A B P − P Nu H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , vi 0 ( ) 1 1 p 1− p 0 ( 0 ) + n m np +mp A B p = = 0 5 , 28 0 n + m
Vi α = 5% ta có gtth= u = u = 1 9 , 6 α 0,975 1− 2 0 5 , 6 −0 4 , 8
Giá tr th c nghi%m u = =1 7 , 55 < gtth 1 1
0, 528. 0, 472 + 300 200
Do ñó H không b bác b ngh ĩa là s khác nhau gia t. l% ng h gia hai 0
khu vc A, B ñi vi ng c# viên X không có ý nghĩa v mt thng kê.
b) Ta kim ñnh gi thit H : p = p ; H : p > p ' mc ý nghĩa α =5% . 0 A B 1 A B Nu P − P H ñúng thì A B U = ~ N 0 1 , 0 ( ) 1 1 p 1− p 0 ( 0 ) + n m 103 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân np + mp A B p = = 0 5 , 28 0 n + m
Vi α = 5% ta có gtth =u =u 1 = ,65 1−α 0 9 , 5 0,56 − 0,48 u =
= 1,755 > gtth 1 1
0,528.0,472 + 300 200
Nên H b bác b nghĩa là ng c# viên X ñưc ng h nhiu hơn ' khu vc 0 A.
6. 17. Điu tra ngu nhiên 200 ngưi có hút thuc lá, thy có 28 ngưi b lao
ph$i; 170 ngưi không hút thuc lá, thy có 12 ngưi b lao ph$i. T l% lao ph$i
gia nhng ngưi có và không hút thuc lá có khác khau không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 1%). Gii:
Gi p , p ln l ưt là t l% lao ph$ i nhng ngưi có hút thuc lá và không 1 2
hút thuc lá. Ta kim ñnh gi thi t sau:
H : p = p ; H : p ≠ p ' mc α = 1% . 0 1 2 1 1 2 P −P
Nu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0, ) 1 0 1 1 p 1− p + 0 ( 0 ) n m np + mp Vi 28+ 12 40 4 1 2 p = = = = 0 n + m 370 370 37
Vi mc α =1% , gtth = u = u = 2,5758 α 0,995 1−2 Vi mu c, th ta có: 28 12 p p − − 1 2 200 170 u = = = 2,1428 1 1 4 4 1 1 p 1− p + 1 − + 0 ( 0 ) n m 37 37 n m
Ta có | u |< gtth nên H không b bác b nghĩa là t l% lao ph$i gi a nhng 0
ngưi có và không hút thuc lá không khác khau (α = 1%).
6. 18. Mt nhà máy có hai phân xư'ng A và B cùng sn xu t mt loi tr,c máy.
Sau mt thi gian hot ñng, chn ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A sn
xut, ngưi ta ño ñưc ñưng kính ca chúng như sau (ñơn v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. 104 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Gi s# ñưng kính ca các tr,c máy ' hai phân xư'ng A và B tuân theo lut
phân phi chu(n có cùng phương sai.
Đo ngu nhiên ñưng kính 20 tr,c máy do phân xư'ng B sn xut, ngưi ta
tính ñưc ñưng kính trung bình là 249,8 vi phương sai 56,2. Hãy kim ñnh, '
mc ý ngh ĩa α = 5%, gi thit H cho r"ng ñưng kính trung bình các tr,c máy 0
ñưc sn xut ' hai phân xư'ng là như nhau ñi vi gi thit H cho r"ng chúng 1 khác nhau. Gii:
Gi X ,Y ln lưt là ñưng kính tr,c máy do phân xư'ng A, B tương ng sn xut. Kim ñnh gi thi t
H : µ = µ ; H : µ ≠ µ ' mc ý nghĩa α = 5%. 0 X Y 1 X Y X − Y
Nu H ñúng thì BNN T =
~ t( n+ m−2) 0 2 1 1 S + n m
n− 1 S + m− S X 1 2 ( ) 2 ( ) 2
Vi n =20; m =20 và Y S = n + m − 2
Vi ' mc ý nghĩa α = 5%, (n+m− ) 2 ( 38) gtth = t = t = α 0,975 1− 2
Vi m u c, th: x = 251,25 và s = 7,7111 X 2 2 2 s + s 2 19. + X 19 Y 19.7, 7111 19.56, 2 s = = = 57,83 38 38 x − y 251, 25 − 249,8 t = = = 0,6029 2 1 1 1 1 s + 57,83 + n m 20 20
Vì |t |< gtth nên H ñư c chp nhn.Đưng kính trung bình các tr,c máy ñưc 0
sn xut ' hai phân xư'ng là như nhau (' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 19. Phân xư'ng A ca mt nhà máy sn xut mt loi tr,c máy. Sau mt thi
gian hot ñng, chn ngu nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A sn xut, ngưi ta
ño ñưc ñưng kính c a chúng như sau (ñơn v mm)
250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245;
248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249.
Gi s# ñư ng kính ca các tr,c máy ca phân xư'ng A tuân theo lut phân
phi chu(n. Bit ñưng kính c a mt tr,c máy do phân xư'ng A sn xut, theo qui
ñnh là 250 mm. Hãy cho kt lun v cht lưng sn xut ca phân xư'ng A ' mc ý ngh ĩa α = 5%. 105 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Gii:
Gi X ln lưt là ñư ng kính tr, c máy do phân xư'ng A sn xut. T s li%u ta có:
x = 251, 25 và s = 7,7111
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 250;H : µ ≠ µ ' mc α = 5%. 0 X 0 1 X 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 T =
n ~ t( n 1 − ) 0 S Vi m c α = 5% (19) (19 ) gtth = t = t = 2,0930 α 0,975 1− 2 Vi m u c, th ta có: 251,25 250 t − = 20 =0,786 7,111
Vì | t |< gtth nên H ñư c chp nhn. Do ñó Tình hình sn xut c a phân 0
xư'ng A bình thưng (kt lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 20. Sn ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuyt tt trung bình cho
mt sn ph(m là 3. Sau mt ñ t ci tin k4 thut, ngưi ta ly ngu nhiên 36 sn
ph(m ñ kim tra s khuyt t t trên m i sn ph(m (SKTTMSP). Kt qu thu ñưc như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S sn ph (m 7 4 4 6 8 6 1
Hãy cho kt lun v hi%u qu ca ñt ci tin k4 thut ñi vi s khuyt tt
trung bình ca mt sn ph(m ' mc ý nghĩa α = 10%. Gii:
T s li%u ta tính ñưc x = 2,7222; s = 1,86
Đ kt lun v hi%u qu ñt ci tin k4 thut ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ =3; H : µ < µ ' mc ý nghĩa α = 10% 0 0 1 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ' mc ý nghĩa α = 10% gtth= −u = −u = − − 1 α 0,9 Vi mu c, th 2,722 3 u − = 36 = −0,896 1,86
Vì u > gtth nên H không b bác b nghĩa là ñt ci tin k4 thut không mang li 0
hi%u qu (kt lun ' mc ý nghĩa α = 10%). 106 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
6. 21. Sn ph(m ca mt xí nghi%p ñúc cho phép s khuyt tt trung bình cho mt
sn ph(m là 3. Sau m t ñt ci tin k4 thut, ng ưi ta ly ngu nhiên 36 sn
ph(m ñ kim tra s khuyt t t trên m i sn ph(m (SKTTMSP). Kt qu thu ñưc như sau: SKTTMSP 0 1 2 3 4 5 6 S sn ph (m 7 4 4 6 8 6 1
Sn ph(m có không quá 2 khuyt tt ñưc gi là sn ph(m loi A. T l% sn
ph(m loi A trưc ñt ci tin k4 thut là 40%. Đt ci tin k4 thut có thc s
làm tăng t l% sn ph(m loi A không? (kt lun ' mc ý nghĩa 5%). Gii: 15 5
Gi p là t l% sn ph(m loi A. T l% mu: p = = . 36 12 Kim ñnh gi thi t
H : p = p = 40%; H : p > p ' mc ý nghĩa α = 5% 0 0 1 0 P − p
N Nu H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) p 1 − p 0 ( 0 )
Vi ' mc ý nghĩa α = 5%, gtth= u = u = 1,6449 1− α 0,95 5 /12 −0, 4
Vi mu c, th ta có:u = 36 = 0,204 0,4 (1− 0,4 )
Vì u < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, ñt ci tin k4 thut không làm tăng t l% sn ph(m loi A. (kt lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 22. Nhng thng kê trong n ăm trưc cho thy mt ngưi M4 ñi du lch ' châu
Âu trong vòng 3 tun s+ chi ht 1010 USD cho vi%c mua sm. Năm nay, ngưi ta
thng kê trên 50 khách du lch thì thy s tin trung bình mà h chi tiêu là 1090
USD và ñ l%ch chu(n là 300 USD. Vi mc ý nghĩa α = 1% hãy cho bit mc chi
tiêu ca nhng khách du lch năm nay có tăng so vi năm trưc không? Gii:
Gi X là BNN ch mc chi tiêu ca m i khách du lch trong năm nay, µ = EX . Ta kim ñnh gi thit
H : µ = µ =1010; H : µ > µ ' ý nghĩa α =1% 0 0 1 0 X
Nu H ñúng thì BNN − µ0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ý nghĩa α =1% , gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99 107 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân Vi mu c, th ta có: 1090 1010 u − = 50 =1,8856 300
Vì u < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, chưa ñ cơ s' ñ kt lun mc chi tiêu ca nhng khách du lch năm nay tăng.
6. 23. Mt hãng bào ch thu c ñ ang th# nghi%m hai loi thuc gây mê A và B
mi. Vi%c th# nghi %m ñưc tin hành trên hai nhóm thú vt khác nhau. Nhóm th
nht gm 100 con dùng thuc A thì có 71 con b mê; nhóm th hai gm 90 con
dùng thuc B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mun kim ñnh xem tác d,ng
ca hai loi thuc trên có khác nhau không ' mc ý nghĩa 5%. Hãy cho bit kt lun. Gii:
Gi p và p ln lưt là t l% con vt b mê khi dùng thuc A, B tương ng. Giá tr 1 2 71 58
t l % mu ñi vi 2 loi thu c ñó là p = ; p = . 1 2 100 90 71 58 129 T l% chung là p + = =
= 0,6789. Ta kim ñnh gi thit 190 190
H : p = p ; H : p ≠ p ' mc ý nghĩa α = 5% . 0 1 2 1 1 2 P − P
Nu H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0,1) 0 1 1
p (1− p ) + n m
Vi ' mc ý nghĩa α = 5% , gtth = u = u =1,96 α 0,975 1− 2
Vi mu c, th ta tính ñưc: 71 58 p p − − 1 2 100 90 u = = = 0,017 1 1 129 129 1 1
p (1 − p ) + 1 − + n m 190 190 100 90
Vì |u |< gtth nên H không b bác b. 0
Vy, tác d,ng ca hai loi thuc trên không khác nhau ' mc ý nghĩa 5%.
6. 24. Vi ý mun làm tăng ch s m5 sa ca loi ging bò A, mt tri chăn nuôi
cho lai bò ging A vi m t loi bò ging B. Đo ch s m5 sa ca 130 con bò lai
ging ñưc chn ngu nhiên trong ñàn bò ca tri, ngưi ta có kt Ch s m5 sa S bò lai 108 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [3,0; 3,6) 2 [3,6; 4,2) 8 [4,2; 4,8) 35 [4,8; 5,4) 43 [5,4; 6,0) 22 [6,0; 6,6) 15 [6,6; 7,2) 5
Bit r"ng ch s m5 sa trung bình ca ging bò A thun chng là 4,95. Hãy cho
kt lun v hi%u qu ca vi%c lai ging ' mc ý nghĩa 1%. Gii:
Gi X là BNN ch ch s m5 sa ca ging bò lai. T s li%u ta tính ñưc: x = 5,15
và s= 0,77 . Ta kim ñnh gi thit:
H : µ = µ = 4,95; H : µ > µ ' mc ý nghĩa 0 0 1 0 α =1%. Nu X H ñúng thì BNN − µ0 U = n ~ N (0,1) 0 s
Vi ' mc ý nghĩa α = 1%, gtth = u = u = 2,3263 1−α 0,99
Vi mu c, th ta tính ñưc: 5,15 4,95 u − = 130 = 2,96 0,77
Vì u > gtth nên H b bác b . 0
Vy, ch s m5 s a c a gi ng bò lai cao hơn bò thun ch ng.
6. 25. Điu tra v mt nguyên nhân gây ung thư ph$i: Thăm dò trong 200 ngưi
có hút thuc lá, thy có 28 ngưi b K ph$i; trong 170 ng ưi không không hút
thuc lá, có 12 ngưi b K ph$i. Hi t l% ngưi b K ph$i trên nhng ngưi hút
thuc lá có cao hơn t l% ñó trên nhng ngưi không hút thuc lá không? (Kt lun ' mc α = 5%). Gii:
Gi p , p ln lưt là t l% ngưi b K ph$i trong s nhng ngưi hút thuc và 1 2
không hút thuc. Ta kim ñnh gi thit:
H : p = p ; H : p > p ' mc α = 5% 0 1 2 1 1 2 Nu P − P H ñúng thì BNN 1 2 U = ~ N (0,1) 0 1 1
p (1− p ) + n m
Vi α = 5%, gtth = u = u = 1, 6449 1 −α 0,95
Vi mu c, th ta tính ñưc: 28 7 6 28 +12 4 p = = ; p = ; p = = 1 2 200 50 85 200 + 170 37 109 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân p − p 1 2 u = = 2,14 1 1 p (1− p ) + 200 170
Ta có u > gtth nên H b bác b. Vy t l% b K ph$i trong s nhng ng ưi hút 0
thuc là cao hơn t l% ñó trên nhng nguoif không hút thuc lá.
6. 26. Nu máy móc hot ñng bình thưng thì khi lưng mt sn ph(m tuân
theo lut phân ph i chu(n vi ñ l%ch chu(n không quá 1kg. Có th coi máy móc
còn hot ñng bình th ưng hay không n u cân th# 30 s n ph(m do máy ñó sn
xut ra, thì tính ñưc ñ l%ch chu(n là 1,1 kg. Yêu cu kt lun ' mc ý nghĩa α = 1% .
Gii: Kim ñnh gi thit v phương sai: 2 2 2 2
H : σ = σ =1; H : ' mc ý nghĩa α 1% 0 0 1 σ ≠ σ0 = 2 (n 1 − ) S Nu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σ o 2 29.1,1
Vi mu c , th ta có y = =35,09 1 Vi α 2 2 = 0 01 ,
ta có χ (n − 1) = χ (29) =13,121 α 0,01 2 2 2 2 χ (n − 1) = χ (29) = 52,336 α 0,01 1− 2 1− 2 Do 2 2
χ ( n − 1) < y < χ
( n − 1) nên H không b bác b nghĩa là: α 1 α − 0 2 2
Chưa ñ cơ s' ñ nói r"ng máy móc hot ñng không bình thưng.
6. 27. Mt nhà sn xut bóng ñ èn cho r"ng cht lưng bóng ñèn ñưc coi là ñng
ñu nu tu $i th ca bóng ñèn có ñ l%ch chu(n b"ng 1000 hoc ít hơn. Ly ngu
nhiên 10 bóng ñ kim tra, thì ñưc ñ l%ch chu(n mu là 1150, Vy, vi mc ý
nghĩa 5%, có th coi cht lưng bóng ñèn do công ty ñó sn xut là ñng ñu
không? Bit r"ng tu$i th ca bóng ñèn là mt BNN có phân phi chu(n. Gii:
Kim ñnh gi thit v ph ương sai dng 2 2 2 2 2
H :σ =σ =1000 ;H :σ >σ ' 0 0 1 0 mc α = 5%. 2 (n 1 − ) S Nu H ñúng thì 2 Y = ~ χ (n − ) 1 0 2 σ o Giá tr tơi hn: 2 2 gtth = χ (n − 1) = χ (9) = 16,919 1−α 0,95 2 9 1 . 150
Vi mu c , th ta có y = 1 = 1 9
, 025 < gtth 2 1000 110 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
H ñưc chp nhn nghĩa là có th coi cht lưng bóng ñèn do công ty ñó 0
sn xut là ñng ñu.
6. 28. Ti mt nông trư ng, ñ ñiu tra khi lưng ca mt loi trái cây, sau mt
ñt bón mt loi phân mi, ngưi ta cân th# mt s trái cây ñưc ch n ngu nhiên và ñưc kt qu sau: Khi lưng (gam) S trái cây [45, 50) 2 [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 3
Trưc kia, khi lưng trung bình ca m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem loi
phân bón mi có mang li hi%u qu không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 1%). Gii:
T s li%u ñã cho ta tính ñưc n =361; x = 66,38; s =5, 41
Kim ñnh gi thi t H : µ = µ = 65(g); H : α 0 0 1 µ > µ ' mc = 1% 0 X − µ Nu H ñúng thì 0 U = n ~ N 0,1 0 ( ) s
Vi α = 0,01 ta suy ra: gtth = u = u = 2,33 1 −α 0,99
Vi mu c, th ta tính ñưc: 66,38 − 65 u = 361 = 4,85 > gtth 5, 41
Vy H b bác b nghĩa là: lo i phân bón mi có mang li hi%u qu. (kt lun ' 0 mc ý ngh ĩa α = 1%).
6. 29. Mt công ty thương mi, da vào kinh nghi%m quá kh, ñã xác ñnh r"ng
vào cui năm thì 80% s hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñy ñ, 10% kht li 1
tháng, 6% kht li 2 tháng, và 4% kht li hơn 2 tháng. Vào cui năm nay, công ty
kim tra mt mu ngu nhiên g m 400 hoá ñơn và thy r"ng: 287 hoá ñơn ñã ñưc
thanh toán ñy ñ, 49 kht li 1 tháng, 30 kht li 2 tháng và 34 kht l i hơn 2
tháng. Như vy, vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay có còn theo qui lut như nhng
năm trưc không? (kt lun ' m c ý nghĩa α =5% ).
Gii: Ta kim ñnh gi thit v phân phi.
H : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay theo qui lut năm trưc 0 111 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
H : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không theo qui lut năm trưc. 1 7 m c ý nghĩa α = 5%.
Bng tn s lý thuyt và th c nghi%m:
Thanh toán Khut li 1 Khut li 2 Khut li
ñy ñ (x ) tháng (x ) tháng (x ) hơn 2 tháng 1 2 3 ( x ) 4 Tn s quan 287 49 30 34 sát Tn s lý 320 40 24 16 thuyt Ta có: (o −e − − − − i i )2 (287 320)2 (49 40)2 (30 24 )2 (34 16 )2 4 2 Q = ∑ = + + + = 27,178 i 1 = e 320 40 24 16 i
Vi α = 5% , gtth = 2 χ = χ = −α ( 3 ) 2 3 7,815 1 0,95 ( ) Ta thy 2 2 Q > χ 3 nên: 1−α ( )
Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không còn theo qui lut như nhng năm
trưc. (k t lun ' mc ý nghĩa α = 5%).
6. 30. Đ lp k hoch sn xut mt hàng mi, mt công ty ñã tin hành ñiu tra
v s' thích ca khách hàng v 3 loi mu khác nhau ca cùng mt loi hàng. Kt
qu ñưc trình bày ' bng sau: Mu A B C hàng Ý kin Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý kin 22 17 19
Có hay không s phân bi%t v s' thích c a khách hàng ñi vi 3 loi mu nói
trên? Kt lun ' mc ý nghĩa 5%.
Gii: Ta kim ñnh gi thi t v phân phi.
H : Không có s phân bi%t v s ' thích 0
H : Có s phân bi %t v s' thích ñi vi 3 mt hàng (mc ý nghĩa 5%). 1
Bng ñi chiu tn s: Trong ngoc là tn s lý thuyt: Mu A B C 112 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân hàng Ý kin Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Không thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Không có ý kin 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) (o −e i i )2 9 2 Q = ∑ = 7,606 i 1 e = i 2 χ = χ = −α ( ) 2 4 4 9, 488 1 0,95 ( ) Ta thy 2 2 Q < χ
8 nên H ñưc chp nh n nghĩa là: 1−α ( ) 0
Không có s phân bi%t v s ' thích ñi vi 3 mt hàng.
6. 31. Điu tra mt s sn ph (m ca mt xí nghi%p v chiu dài (X (cm)) và hàm
lưng cht A (Y (%)), ngưi ta có kt qu sau: Y 8 10 12 14 16 X 100 5 5 110 4 6 7 120 5 9 8 130 4 6 9 140 5 7
Các sn ph(m có chiu dài không quá 110cm và hàm lưng cht A không
hơn 12% ñưc gi là s n ph(m loi II. Nu xí nghi%p báo cáo r"ng sn ph(m loi
II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th chp nhn ñưc không? Kt lun '
mc ý ngh ĩa 5% (gi thi t hàm lưng này có phân phi chu (n) Gii:
Bng s li%u cho ch tiêu Y ca nhng sn ph(m loi A. y 8 10 12 j n 9 11 7 j
Giá tr trung bình mu: y = 9,85 và
giá tr ñ l%ch chu(n mu: s = , c5 mu n = 27 . Y 1, 56 113 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ =10 % ; H : µ ≠ µ ' mc ý ngh ĩa 5% 0 Y 0 ( ) 1 Y 0 Y Nu − µ H ñúng thì BNN 0 T = n ~ t n − 1 0 ( ) SY
Vi mc ý nghĩa α =5% ta tính ñưc (26) gtth = t = 2,0555 0,05 1− 2
Vi mu c, th ta tính ñưc: 9,85 10 t − = 27 = 0, − 5 1, 56
Ta có t < gtth nên H không b bác b. 0
Vy, chp nhn báo cáo ca xí nghi%p (' mc ý nghĩa 5%).
6. 32. Go ñ tiêu chu(n xut kh(u là go có t l% ht nguyên, ht v5 và tm, theo
th t, là: 90%, 6% và 4%.
Kim tra 1000 ht go ca mt lô go, ngưi ta thy trong ñó có:
Ht nguyên: 880; ht v5: 60 và tm: 60
Hi lô go có ñ tiêu chu(n xut kh(u không? Cho kt lun ' mc ý nghĩa 5%. Gii:
Đ kt lun v tiêu chu(n c a lô go ta kim ñnh gi thit sau:
H : Lô go ñ tiêu chu(n xut kh(u. 0
H : Lô go không ñ tiêu chu(n xut kh(u (' mc ý nghĩa 5%). 1
Nu H ñúng thì trong 1000 ht go có 900 ht nguyên, 60 ht v5 và 40 ht 0 tm. 880− 900 60− 60 60− 40 2 ( )2 ( )2 ( )2 Ta có Q = + + = 10,44 900 60 40 Vi α = 5%, ( ) 3 gtth = χ = 1−0,05 Vì 2
Q > gtth nên H b bác b. 0
Vy, lô go không ñ tiêu chu(n xut kh(u (kt lun ' mc ý nghĩa 5%).
6. 33. Giám ñc tri gà Alpha xem l i h sơ ca mt ñt kho sát v khi lưng
ca gà xut chung ' tri gà thì thy s li%u ñưc ghi như sau: Khi lưng (kg) S con gà 114 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân [2,3; 2,7) 5 [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) 5 [3,7; 3,9) 5
Ban giám ñc tri gà Alpha báo cáo r"ng kh i lưng trung bình ca gà trên 3 kg.
Hãy cho nhn xét v báo cáo trên ' mc ý nghĩa 2%. Gii:
T s li%u ta tính ñưc:
n = 121; x = 3,06; s = 0, 2826 .
Ta kim ñnh gi thit sau:
H : µ = µ = 3; H : µ > µ ' m c α = 2% . 0 X 0 1 X 0 X Nu − µ H ñúng thì BNN 0 U = n ~ N (0,1) 0 sX
Vi α = 2%, gtth = u = u = 1,6449 1−α 0,95 x Vi mu c, th: −µ 3, 06 −3 0 u = n = 121 = 2,3354 sX 0,2826
Vì u > gtth nên H b bác b nghĩa là báo cáo ca Ban giám ñc là ñúng ( ' mc ý 0 nghĩa 5%).
6. 34. Đ so sánh thi gian ct trung bình ca mt máy ti%n loi cũ vi mt máy
ti%n loi mi, ngưi ta cho m i máy ct th# 10 ln và ño thi gian ct (tính b"ng
giây) . Kt qu thu ñư c như sau:
Máy loi c ũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67.
Máy loi mi: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54..
Bit r"ng thi gian ct ca máy loi cũ và ca máy loi mi là các bin
ngu nhiên tuân theo lut phân phi chu(n có ñ l %ch chu(n, theo th t, là 13,5 giây và 14,5 giây.
Vi mc ý nghĩa 5%, có th cho r"ng máy loi mi t t hơn (có thi gian ct
trung bình ít hơn) máy loi cũ hay không? Gii:
Gi X ,Y theo th t là BNN ch th i gian ct ca máy ti%n cũ và máy ti%n mi. 115 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut th ng kê Dip Hoàng Ân
Ta kim ñnh gi thit sau: H : µ = µ ; H ;µ > µ ' mc ý nghĩa 5%. 0 X Y 1 X Y Nu X − Y
H ñúng thù BNN U = ~ N (0,1) 0 2 2 σ σ X Y + n m
Vi α = 5% , gtth =u =u =1,6449 1−0 ,05 0,95
Vi mu c , th ta tính ñưc:
x = 57;s = 13, 6; y = 52; s = 14, 46 X Y Do ñó 57 52 u − = = 2,988 13,5 14,5 + 10 10
Vì u > gtth nên H b bác b. 0
Vy, có th cho r"ng máy loi mi tt hơn (có thi gian ct trung bình ít hơn) máy loi cũ. 116 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ HI QUY 7.1.
Xem vectơ ngu nhiên (X,Y) tuân theo lut phân phi chu(n hai chiu mà
mt mu ngu nhiên gm 8 cp ñưc chn ra như sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 5 7 11 17 21 25 29 32
a) Hãy tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y và cho nhn xét.
b) Hãy kim ñnh gi thit v s tương quan gia X à Y ' mc α =5% .
c) Hãy lp hàm hi quy tuyn tính mu và d ñoán nu X ly giá tr b"ng
20 thì Y nhn giá tr bao nhiêu? Gii:
∑ x y − n .x y a) i i r =
= 0,996 . X và Y có quan h% gn như tuy n tính. (n 1 − )sX .sY
b) Kim ñnh gi thit
: ρ = 0; : ρ ≠ 0 ' mc α = 5% 0 1 n −2
Nu ñúng thì T = R ~ t( n− 2) 0 2 1 − R (
∑ − ).( − ) ( = 8 và 1 ! = =
là h% s tương quan mu) ( − 1) Vi α = 5% , gtth (6) = " = 2,4469. 1 α − / 2 Vi mu c , th, ta có − 2 6
# = 0,996 và " = # = 0,996 = 27,3 2 2 1− # 1− 0,996
Vì " > $""% nên b bác b nghĩa là , 0
th t s t ương quan.
c) Phương trình hi quy tuyn tính mu: y = 0
− .107 + 4,107 x. T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2.
Mt cơ s' sn xut ñã ghi li s tin ñã chi cho vi %c nghiên cu phát trin
và li nhun hàng năm ca cơ s' trong 6 năm va qua như sau: (ñơn v 106 VNĐ ) Chi nghiên cu 5 11 4 5 3 2 Li nhun 31 40 30 34 25 20 117 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
a) Hãy tính giá tr h% s tương quan mu gia chi nghiên cu và li nhun.
b) Chi nghiên cu và li nhun có thc s tương quan không? (kt lun ' mc ý nghĩa α = 2%).
c) Vit phương trình ñưng hi qui tuyn tính mu ca li nhun theo chi phí nghiên cu. Gii: a) r = 0,909
b) Kim ñnh gi thit
H :ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa α = 1% 0 1 n −2
Nu H ñúng thì BNN T = R ~ t n − 2 0 ( ) 2 1 − R gtth = t t − 2 = t 4 = 3,7469 1−α/ 2 ( ) 0,99 ( ) 4
Vi mu c, th ta có t = 0,909 = 4,361 2 1− 0,909
Vì t > gthh nên H b bác b. Nghĩa là X và Y th c s tương quan. 0
(kt lun ' mc ý nghĩa α = 2%).
c) Phương trình ñưng hi quy tuyn tính mu: y = 2 x + 20 7.3.
Đo chiu cao Y (cm) và chiu dài chi dưi X (cm) ca m t nhóm thanh
niên, ngưi ta thu ñưc s li%u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85
(a). Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y.
(b). 7 mc ý nghĩa α = 5%, hãy cho nhn xét v tài li%u cho r"ng h% s
tương quan c a X và Y là 0,9.
(c). Vit phương trình ñưng hi quy mu c a Y theo X. Đáp s: (a) r = 0,996
(b) Kim ñ nh gi thit H :
0 ρ = 0,9 ñi vi H1: ρ ≠ 0,9.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi 118 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân Z − Z U µ = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ;
vi mu c, th, chúng ta có : z = ln (1 + 0,996 1 = 3,106 , 2 1− 0,996 ) 1 µ = ln(1 + 0,9 + = σ = , − ) 0,9 1 1,5365; Z 2 1 0,9 2(8 1 − ) Z 5 và z Z u − µ = = 3,509 σZ
Vì u > gtth nên ' mc ý nghĩa α = 5%, gi thit H b 0 bác b, nghĩa là
tài li%u không ñưc chp nhn (' mc ý nghĩa α = 5%). (c) y = 1,768x + 21,857. 7.4.
M t ging viên dy môn thng kê yêu cu m i sinh viên phi làm mt
ñ án phân tích d li%u và d kỳ thi ht môn. Sau ñó, mt mu gm 10 sinh viên
ñưc chn ngu nhiên, ñim s ñưc ghi li như sau: Đim thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Đim ñ 92 79 76 71 69 76 87 62 80 75 án
(a) Tìm khong tin cy 95% cho ñim thi trung bình ca mt sinh viên (gi
thit ñim thi ca sinh viên tuân theo lut phân phi chu (n).
(b) 7 mc ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá v s tương quan tuyn tính gia hai loi ñim trên. Gii:
(a) Gi X là ñim thi ca sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 .
Khong tin cy 95% cho ñim thi trung bình ca mt sinh viên: (x − e;x + e ) (9) s 5,97 e = t . = 2,2622. = 4,27 1+γ 10 10 2
Khong tin cy cn tìm ( 74,33; 82,87) .
(b) Gi Y là ñi m ñ án ca sinh viên. Đ t ρ = ρ . ,
Chúng ta phi có quyt ñnh gia hai gi thit: H0: ρ = 0 và H1: ρ ≠ 0, Nu H0 ñúng thì BNN 119 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 10 2 T = R − ~ t(8) 2 1 − R
Vi mc α = 5% , giá tr ti hn là: (8) 0 t ,975 = 2,3060 ;
vi mu c, th, chúng ta có h% s tương quan mu: r = 0,776 . Do ñ ó: 0,776. 8 t = = 3, 48 2 1−(0,776)
Vì |t| >2,306 nên gi thit H b 0
bác b ' mc ý nghĩa α = 5%. Nói cách
khác, chúng ta chp nhn r"ng X và Y tương quan ' mc ý nghĩa 5%. 7.5.
Đ thc hi%n m t công trình nghiên cu v mi quan h% gia chiu
cao Y(m) và ñưng kính X(cm) ca mt loi cây, ngưi ta quan sát trên m t mu
ngu nhiên và có kt qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10
(a). Hãy tính giá tr h% s tương quan mu c a X và Y và cho nhn xét.
(b) Vit phương trình ñưng th6ng hi quy mu ca Y theo X. Hãy d báo
chiu cao ca cây có ñưng kính 45 cm. Gii: (a) r = 0,939.
Vì r rt gn 1 nên gia X và Y có hi qui tuyn tính.
(b) y = 0,166x + 1,041.
D báo chiu cao ca cây có ñưng kính 45 cm là:
y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Hãy tính các giá tr trung bình mu ca X, Y; phương sai mu ca X, Y
và h% s tương quan mu gia X và Y.
b) Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X. T ñó d ñoán xem nu ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gii: a) Ta có trung bình mu: 120 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
x = 5,93; y =15,17; Phương sai mu: 2 2 σ = 3, 44; σ = 28, 42 X Y
H% s tương quan mu: r = 0,66
b) Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nu X có giá tr là 9 thì Y s + nhn giá tr là 21. 7.7.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tính giá tr h% s tương quan mu gi X và Y. Vit Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X.
b) Kim ñnh gi thit xem X và Y có tương quan không ' mc ý nghĩa 5%? Gii:
a) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,66 .
Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86+ 1.91x.
b) Kim ñnh gi thit H : ρ = 0; H : ρ ≠ 0 ' mc ý nghĩa 5% 0 1
Nu H ñúng thì BNN 0 n −2 T = R ~ t (n − 2) 2 1 − R Vi mc ý nghĩa 5%, (28) gtth = t = 2,0484 0,975 Vi mu c, th ta có n − 2 t = r = 4, 69 2 1 − r
Vì t > gtth nên H b bác b, nghĩa là X và Y tương quan ' mc ý nghĩa 5%. 0 7.8.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Tìm khong tin cy 95% cho ch tiêu Y (gi thit ch tiêu Y tuân theo lut phân phi chu (n). 121 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân
b) Vit phương trình hi quy mu ca Y theo X. T ñó d ñoán xem nu ch
tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gii:
a) Trung bình mu ch tiêu Y là: y = 15,17;s = 5,33 Y
Khong tin cy 95% cho trung bình ch tiêu Y là:( y − ;e y + e) s 5,33 Vi ( 2 ) 9 e = t . Y = 2,0452. = 1,99 ≈ 2 0,975 30 30
Vy khong tin cy cn tìm là: (13,18;17,16)
b) Phương trình hi quy Y theo X: y = 3,86 +1.91x
Nu X có giá tr là 9 thì Y s + nhn giá tr là 21. 7.9.
X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu cht lưng ca mt loi sn
ph(m. Điu tra ' mt s sn ph(m, bng sau: X 2 2 4 6 4 6 8 6 8 6 8 Y
5 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tn s 2 1 2 4 2 6 4 3 3 1 2
a) Có tài li%u cho r"ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nhn xét v tài
li%u trên ' mc ý nghĩa 5%. Gi thit các ch tiêu X, Y tuân theo lut phân phi chu(n.
b) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng
th6ng hi quy mu ca Y theo X. Gii:
a) Kim ñnh gi thit H :µ = µ = 6,5; H : ' mc ý nghĩa 5%. 0 X 0 1 µ X ≠ µ 0 X − µ
Nu H ñúng thì BNN 0 T = n ~ t n −1 0 ( ) S Vi ' mc ý nghĩa 5%, (29) gtth = t = 2,0452 0,975 5,93 −6,5
Vói mu c , th ta tính ñưc: t = 30 = 0,908 3,44
Vì t < gtth nên H không b bác b nghĩa là ta chp nhn tài liêu trên ' 0 mc ý nghĩa 5%.
b) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,66.
Phương trình hi quy Y theo X: y= 3,86+ 1.91x. 122 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân 7.10.
Nghiên cu lưng phân bón (X kg) ñưc dùng ñ bón cho rung trong
mt v,; Y(kg/1000m2) là năng sut lúa. Thng kê ' 30 h gia ñình, kt qu như sau: S h 3 5 2 6 4 3 5 2 xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320
a) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình hi quy mu Y theo X.
b) Kim ñnh gi thit cho r"ng h% s tương quan ca X và Y b"ng 0,9 ' mc ý nghĩa α = 5%. Gii:
a) Giá tr h% s tương quan mu: r = 0,891.
Phương trình ñưng hi quy mu: Y = 210,15+ 1,64X .
b) Kim ñnh gi thit H : ρ = ρ = 0,9; H : 0 0 1 ρ ≠ ' mc ý nghĩa 0 ρ α = 5%.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi Z − Z U µ = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ; Vi mu c , th, ta có 1+ 0,891 1 z = z = ln = 1, 427 2 1 − 0,891 1 µ = ln(1 + 0,9 + = σ = − ) 0,9 1 1,488; Z 2 1 0,9 2(30 1 − ) Z 27 z − µ u = Z = 0,317 σZ
Vì |u |< gtth nên H ñưc ch p nhn ngh ĩa là gi thit h% s tương quan ca X và 0
Y b"ng 0,9 là ñúng ' mc ý nghĩa α = 5%. 7.11.
Đ nghiên cu s tương quan gia chiu cao X (cm) và sc nngY
(kg) con ngưi, quan sát trên mt mu ngu nhiên, ngưi ta có kt qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 123 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
(a) Hãy lp bng phân b tn s, tn sut cho các giá tr ca X, Y.
(b) Tính các giá tr trung bình mu, ñ l%ch chu(n mu và h% s tương quan
mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng th6ng hi quy tuyn tính mu ca Y theo X. Gii:
a) Bng tn s, tn sut ca X và Y: Bin X Bin Y Lp Tn s Tn su t Lp Tn s Tn sut [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113
b) = 152,69; = 54,23; = 5,14; = 4,41 # = 0,6544 Phương trình hi quy: = 3 − 1,59 + 0,56 7.12.
Đ nghiên cu s tương quan gia chiu cao X (cm) và sc nngY
(kg) con ngưi, quan sát trên mt mu ngu nhiên, ngưi ta có kt qu sau:
yk [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60) [60, xi 65) 124 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bài tp Xác sut thng kê Dip Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 [160, 165) 1 1
a) Tính giá tr h% s tương quan mu ca X và Y. Vit phương trình ñưng th6ng
hi quy tuyn tính mu ca Y theo X.
b) Có tài li%u cho bit h% s tương quan gia X và Y là 0,65. Hãy cho nhn xét v
tài li%u ñó, ' mc α = 5%. Gii: a) # = 0,6544 Phương trình hi quy: = 3 − 1,59 + 0,56
b) Kim ñnh gi thit : 0
ρ = 0,65 ñi vi H1: ρ ≠ 0,65 ' mc α = 5%.
Trc nghi%m U 2 ñ uôi ñưc s# d,ng, vi Z − Z µ U = ~ ( N 0,1) . Z σ Vi mc α = 5% , gtth = 0 u ,975 = 1,96 ;
vi mu c, th, chúng ta có : z = ln(1 +0,6544 1 = 0,783, 2 1 − 0,6544 ) 1 µ = ln(1 + 0,65 + = σ = Z − ) 0,65 1 0,7816; 2 1 0,65 2(53 1 − ) Z , 50 và z − µ u = Z = 0,01 σZ
Vì u < gtth nên ' mc ý nghĩa α = 5%, gi thit ñưc chp nhn, nghĩa là 0
tài li%u ñưc chp nhn (' m c ý nghĩa α = 5%). 125 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt