Sổ tay Toán học lớp 12 – Nguyễn Chín Em

Sổ tay Toán học lớp 12 – Nguyễn Chín Em được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

27 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN
SỔ TAY TOÁN HỌC-12
Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LƯU HÀNH NỘI BỘ
1 | Sổ tay toán học-12
SỔ TAY TOÁN HỌC-LỚP 12
Đạo hàm
(x
n
)
0
= n.x
n−1
1 (u
n
)
0
= n.u
0
.u
n−1
2
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
3 (
√
u)
0
=
u
0
2
√
u
4
Å
1
x
ã
0
= −
1
x
2
5
Å
1
u
ã
0
= −
u
0
u
2
6
(sin x)
0
= cos x7 (sin u)
0
= u
0
. cos x8
(cos x)
0
= −sin x9 (cos u)
0
= −u
0
. sin x10
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
11 (tan u)
0
=
u
0
cos
2
u
12
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
13 (cot u)
0
= −
u
0
sin
2
u
14
(e
x
)
0
= e
x
15 (e
u
)
0
= u
0
.e
u
16
(a
x
)
0
= a
x
ln a17 (a
u
)
0
= u
0
.a
u
ln a18
(ln x)
0
=
1
x
19 (ln u)
0
=
u
0
u
20
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
21 (log
a
u)
0
=
u
0
u ln a
22
Quy tắc tính đạo hàm
(u ± v)
0
= u
0
± v
0
1 (k.u)
0
= k.u
0
2
(u.v)
0
= u
0
.v + u.v
0
3
u
v
0
=
u
0
.v − u.v
0
v
2
4
Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
• Nếu f
0
(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f
0
(x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
1
2 | Sổ tay toán học-12
hàm số y = f(x) đồng biến trên K
• Nếu f
0
(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f
0
(x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số y = f(x) nghịch biến trên K
Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f
0
(x) và tìm nghiệm f
0
(x) = 0, (x
1
.x
2
... ∈ D )
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Cực trị hàm số
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại x
0
thì f
0
(x
0
) = 0
Qúy tắc 1
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f
0
(x)
• Bước 2: Tìm các điểm x
i
(i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f
0
(x). Nếu f
0
(x)
đổi dấu khi đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qúy tắc 2
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f
0
(x)
• Bước 2: Tìm nghiệm x
i
(i = 1; 2; ...) của phương trình f
0
(x) = 0
• Bước 3: Tính f
00
(x) và tình f
00
(x
i
)
+ Nếu f
00
(x
i
) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại x
i
.
+ Nếu f
00
(x
i
) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x
i
.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
2
3 | Sổ tay toán học-12
Hàm bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d
y
0
; ∆ a > 0 a < 0
y
0
= 0; ∆
y
0
> 0
(có 2 nghiệm)
x
y
O
x
y
O
y
0
= 0, ∆
y
0
= 0
(có nghiệm kép)
x
y
O
x
y
O
y
0
= 0; ∆
y
0
< 0
(vô nghiệm)
x
y
O
x
y
O
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
3
4 | Sổ tay toán học-12
Hàm trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c
y
0
; a; b a > 0 a < 0
y
0
= 0; a.b < 0
(có 3 cực trị)
x
y
O
x
y
O
y
0
= 0; a.b ≥ 0
(có 1 cực trị)
x
y
O
x
y
O
Hàm số hữu tỉ y =
ax + b
cx + d
y
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
> 0 y
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
< 0
x
y
O
TCĐ: x = −
d
c
TCN: y =
a
c
x
y
O
TCN: y =
a
c
TCĐ: x = −
d
c
Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3
1 Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, đồng biến trên R.
y
0
≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
a > 0
∆
y
0
≤ 0
⇔
a > 0
b
2
− 3a.c ≤ 0
2 Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, nghịch biến trên R.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
4
5 | Sổ tay toán học-12
y
0
≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
a < 0
∆
y
0
≤ 0
⇔
a > 0
b
2
− 3a.c ≤ 0
Điều kiện cực trị hàm bậc 3-trùng phương
1 Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, đạt cực đại tại x
0
⇔
y
0
(x
0
) = 0
y
00
(x
0
) < 0
2 Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, đạt cực tiểu tại x
0
⇔
y
0
(x
0
) = 0
y
00
(x
0
) > 0
3 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0
4 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c
có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔
a > 0
b < 0
5 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c
có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔
a < 0
b > 0
6 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trị.
a = 0
b 6= 0
hoặc
a 6= 0
a.b ≥ 0
7 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực tiểu.
a = 0
b > 0
hoặc
a > 0
a.b ≥ 0
8 Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực đại.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
5
6 | Sổ tay toán học-12
a = 0
b < 0
hoặc
a < 0
a.b ≤ 0
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Tính y
0
, cho y
0
= 0, nhận nghiệm x
1
, x
2
, ··· ∈ [a; b]
Tính y(a), y(b), y(x
1
), y(x
2
), ···
So sánh y(a), y(b), y(x
1
), y(x
2
), ···
Suy ra max
[a;b]
y; min
[a;b]
y
Đường tiệm cận
lim
x→x
+
0
y = ±∞
Ç
lim
x→x
−
0
y = ±∞
å
⇒ TCĐ: x = x
0
lim
x→+∞
y = y
0
lim
x→−∞
y = y
0
⇒ TCN: y = y
0
Lũy thừa (a > 0)
1 a
m
.a
n
= a
m+n
2 (a.b)
n
= a
n
.b
n
3
√
a
k
= a
k
2
4
a
m
a
n
= a
m−n
5
a
b
n
=
a
n
b
n
6
n
√
a
k
= a
k
n
7 (a
m
)
n
= a
m.n
8 a
−n
=
1
a
n
9
m
p
n
√
a
k
= a
k
m.n
Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1)
1 log
a
1 = 0 2 log
a
(x.y) = log
a
x + log
a
y.
3
log
a
a = 1
4 log
a
Å
x
y
ã
= log
a
x − log
a
y.
5 log
a
a
α
= α 6 log
a
x
α
= α log
a
x.
7 log
x
a =
1
log
a
x
8 log
a
m
x =
1
m
log
a
x.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
6
7 | Sổ tay toán học-12
9 log
a
x = log
a
b. log
b
x
10 log
a
x =
log
b
x
log
b
a
.
Hàm số lũy thừa y = x
α
, α ∈ R
Tập xác định:
• D = R khi α nguyên dương
• D = R \ {0} khi α nguyên âm
• D = (0; +∞) khi α không
nguyên
x
y
O
α < 0
α = 0
0 < α < 1
α = 1
α > 1
1
1
Hàm số mũ y = a
x
a > 1 0 < a < 1
•D = R •D = R
x
y
O
a > 1
1
TCN: y = 0
x
y
O
0 < a < 1
1
TCN: y = 0
Hàm số logarit y = log
a
x
a > 0 0 < a < 1
•D = (0; +∞) •D = (0; +∞)
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
7
8 | Sổ tay toán học-12
x
y
O
a > 1
1
TCĐ: x = 0
x
y
O
0 < a < 1
1
TCĐ: x = 0
Phương trình, bất phương trình mũ
a
x
= b ⇔ x = log
a
b
a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x)
a > 1 0 < a < 1
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) > g(x) a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) < g(x)
Phương trình và bất phương trình logarit
log
a
x = b ⇔ x = a
b
log
a
f(x) = log
b
g(x)
⇔ f(x) = g(x)
a > 1 0 < a < 1
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
⇔ f(x) > g(x)
log
a
f(x) > log
a
g(x) ⇔
⇔ f(x) < g(x)
Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không
tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
8
9 | Sổ tay toán học-12
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A + n.A.r = A(1 + nr)
2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A(1 + r)
n
; n = log
1+r
Å
S
n
A
ã
; r% =
n
…
S
n
A
− 1 ; A =
S
n
(1 + r)
n
Bảng nguyên hàm
1
Z
dx = x + C 2
Z
kdx = kx + C
3
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C
4
Z
(ax + b)
n
dx =
1
a
(ax + b)
n+1
n + 1
+ C
5
Z
dx
x
2
= −
1
x
+ C 6
Z
dx
(ax + b)
2
= −
1
a
.
1
ax + b
+ C
7
Z
dx
x
= ln |x| + C 8
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
9
Z
e
x
dx = e
x
+ C
10
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
11
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
12
Z
a
αx+β
dx =
1
α
a
αx+β
ln a
+ C
13
Z
cos xdx = sin x + C
14
Z
cos(ax + b)dx =
1
a
sin(ax + b) + C
15
Z
sin xdx = −cos x + C
16
Z
sin(ax+b)dx = −
1
a
cos(ax+b)+C
17
Z
dx
cos
2
x
= tan x + C 18
Z
dx
cos
2
(ax + b)
=
1
a
tan(ax + b) + C
19
Z
dx
sin
2
x
= −cot x + C 20
Z
dx
sin
2
(ax + b)
= −
1
a
cot(ax+b)+C
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
9
10 | Sổ tay toán học-12
21
Z
tan xdx = − ln |cos x| + C
22
Z
tan(ax + b)dx = −
1
a
ln |cos x| + C
23
Z
cot xdx = ln |sin x|+ C
24
Z
cot(ax + b)dx =
1
a
ln |sin x| + C
25
Z
1
x
2
− a
2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+C
26
Z
1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C
Tích phân
b
Z
a
f(x)dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
1
a
Z
a
dx = 0 2
b
Z
a
f(x)dx = −
a
Z
b
f(x)dx
3
b
Z
a
k.f(x)dx = k
a
Z
b
f(x)dx
4
b
Z
a
[f(x) ± g(x)] dx =
b
Z
a
f(x)dx ±
b
Z
a
g(x)dx
5
b
Z
a
f(x)dx =
c
Z
a
f(x)dx +
b
Z
c
f(x)dx
Tích phân từng phần
b
Z
a
u.v
0
dx = u.v
b
a
−
b
Z
a
u
0
.vdx
hay
b
Z
a
udv = u.v
b
a
−
b
Z
a
v.du
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
10
11 | Sổ tay toán học-12
Diện tích phẳng phẳng
1 Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi
2 Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi
y = f (x)
y = 0; x = a; x = b
y = f (x)
y = g(x); x = a; x = b
x
y
O
y = f (x)
a
b
x
y
O
y = f (x)
y = g(x)
a
b
S =
b
Z
a
|f(x)|dx S =
b
Z
a
|f(x) − g(x)|dx
3 Diện tích hình phẳng 4 Diện tích hình phẳng
x
y
O
a
bc
y = h(x)
x
y
O
a
b
c d
y = f (x)
S =
c
Z
a
|h(x)|dx +
b
Z
c
|h(x)|dx
S =
c
Z
a
f(x)dx−
d
Z
c
f(x)dx+
d
Z
b
f(x)dx
S =
c
Z
a
h(x)dx −
b
Z
c
h(x)dx
Thể tích vật thể tròn xoay
1 Thể tích của vật thể giới
bạn bởi
2 Thể tích của vật thể giới
bạn bởi
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
11
12 | Sổ tay toán học-12
(P ), (Q)⊥Ox
x = a; x = b
y = f (x), Ox
x = a; x = b
V =
b
Z
a
S(x)dx V = π.
b
Z
a
f
2
(x)dx
Số phức
1 Định nghĩa và tính chất
• z = a + bi, (i
2
= −1) là số phức
– Phần thực: a
– Phần ảo: b
• Cho z = a + bi và z
0
= a
0
+ b
0
i thì
– z + z
0
= (a + a
0
) + (b + b
0
)i
– z − z
0
= (a − a
0
) + (b − b
0
)i
– z.z
0
= (aa
0
− bb
0
) + (ab
0
+ a
0
b)i
–
z
z
0
=
aa
0
+ bb
0
a
02
+ b
02
+
a
0
b − a − b
0
a
02
+ b
02
2 Số phức liên hợp
• Cho z = a + bi thì z = a − bi là số phức liên hợp của z.
• Tính chất
– z.z = a
2
+ b
2
; z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
; z
1
.z
2
= z
1
.z
2
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
12
13 | Sổ tay toán học-12
–
Å
z
1
z
2
ã
=
z
1
z
2
; z + z = 2a; z − z = 2bi
3 Môdun số phức
• Cho z = a + bi thì |z| =
√
a
2
+ b
2
• |z| = |z|; |z
1
.z
2
| = |z
1
|.|z
2
|
•
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
; |z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|; |z
1
− z
2
| ≥ |z
1
| − |z
2
|
4 Biểu diễn hình học số phức
z = a + bi ⇒ M (a; b)
x
y
O
a
b
M
OM = |z| =
p
a
2
+ b
2
5 Phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0, ∆ = b
2
− 4ac.
• ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x
1,2
=
−b ±
√
∆
2a
• ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x
1,2
=
−b ±
p
|∆|i
2a
Thể Khối đa diện
1 Thể tích khối lập phương cạnh a:
V = a
3
2 Thể tích khối hộp chữ nhật
V = a.b.c
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
13
14 | Sổ tay toán học-12
3 Thể tích khối lăng trụ
V = S
đáy
.h
S
đáy
: Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
4 Thể tích khối chóp
V =
1
3
S
đáy
.h
S
đáy
: Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
5 Tỉ số thể tích khối chóp
Hình chóp S.ABC, gọi A
0
, B
0
, C
0
lần lượt
là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC
V
S.A
0
B
0
C
0
V
S.ABC
=
SA
0
SA
SB
0
SB
SC
0
SC
6 a =
SA
SA
0
, b =
SB
SB
0
, c =
SC
SC
0
, d =
SD
SD
0
V
S.A
0
B
0
C
0
D
0
V
S.ABCD
=
a + b + c + d
4abc
7 a =
AM
AA
0
, b =
BN
BB
0
, c =
CP
CC
0
V
ABC.MNP
V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
a + b + c
3
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
14
15 | Sổ tay toán học-12
8 a =
AM
AA
0
, b =
BN
BB
0
, c =
CP
CC
0
, d =
DQ
DD
0
và a + c = b + d
V
ABCD.MNP Q
V
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
=
a + b + c + d
4
Khối tròn xoay
1 Diện tích mặt cầu: S = 4πR
2
2 Thể tích khối cầu: V =
4
3
πR
2
3 Thể tích chỏm cầu:
V = πh
2
Å
R −
h
3
ã
=
πh
6
3r
2
+ h
2
4 Diện tích xung quanh chỏm cầu
S
xq
= 2πRh = π
r
2
+ h
2
5 Diện tích xung quanh: S
xq
= 2πRl
6 Diện tích toàn phần: S
tp
= 2πR(l + R)
7 Thể tích khối trụ: V = πRh
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
15
16 | Sổ tay toán học-12
8 Diện tích xung quanh: S
xq
= πRl
9 Diện tích toàn phần: S
tp
= πR(l + R)
10 Thể tích khối nón: V =
1
3
πR
2
.h
l =
√
h
2
+ R
2
; h =
√
l
2
− R
2
11 V =
π.h
3
R
2
+ r
2
+ R.r
12 S
xq
= π (R + r) l
13 S
tp
= π
R
2
+ r
2
+ R.l + r.l
Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay
Hình trụ có thiết diện qua trục OO
0
là hình
chữ nhật ABB
0
A
0
• Chiều rộng: AB = 2R
• Chiều dài: AA
0
= h = l
• Diện tích: S
ABB
0
A
0
= AB.AA
0
= 2.R.l
Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam
cân SAB tại S
• Cạnh bên: SA = SB = l
• Cạnh đáy: AB = 2R
• Diện tích: S
4SAB
=
1
2
R.h
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
16
17 | Sổ tay toán học-12
Hình học phẳng
• 4ABC vuông tại A: BC
2
= AB
2
+ AC
2
•
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
• Diện tích: S
4ABC
=
1
2
AB.AC
• 4ABC vuông cân tại tại A
+ S
4ABC
=
BC
2
4
+ BC = AB
√
2
• S
4ABC
=
1
2
h
a
.a =
1
2
h
b
.b =
1
2
h
c
.c
• S
4ABC
=
1
2
bc sin A =
1
2
ca sin B =
1
2
ab sin C
• S
4ABC
=
p
p(p − a)(p − b)(p − c)
• S
4ABC
= pr, p =
a + b + c
2
• S
4ABC
=
abc
4R
• a
2
= b
2
+ c
2
− 2b.c cos A
•
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R
• Hình vuông ABCD cạnh a
+ AC = BD = a
√
2
+ S
ABCD
= a
2
• Tam giác ABC đều cạnh a
+ Đường cao: AM =
a
√
3
2
+ GA = GB = GC =
a
√
3
3
+ Diện tích: S
4ABC
=
a
2
√
3
4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
17
18 | Sổ tay toán học-12
Công thức tính nhanh thể tích
1 Hình chóp S.ABC có SA =
c, AB = a, AC = b đôi một vuông
góc: V
S.ABC
=
abc
6
2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là
tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b:
V
S.ABC
=
a
2
√
3b
2
− a
2
12
Khi a = b thì V
S.ABC
=
a
3
√
2
12
3 Hình chóp tam giác đều có cạnh
đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
V
S.ABC
=
a
3
tan α
12
4 Hình chóp tam giác đều có cạnh
bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
V
S.ABC
=
√
3b sin α cos
2
α
4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
18
19 | Sổ tay toán học-12
5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α:
V
S.ABC
=
a
3
tan α
24
6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD
là hình vuông cạnh a, cạnh bên b:
V
S.ABCD
=
a
2
√
4b
2
− 2a
2
6
Khi a = b thì V
S.ABCD
=
a
3
√
2
6
7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
α: V
S.ABCD
=
a
3
√
2 tan α
6
8
Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên
bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α: V
S.ABCD
=
4b
3
. tan α
3
»
(2 + tan
2
α)
3
9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
α: V
S.ABCD
=
a
2
√
tan
2
α − 1
6
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
19
20 | Sổ tay toán học-12
Hệ tọa độ trong không gian
1 Tọa độ vec-tơ
• Vec-tơ đơn vị:
#»
i = (1, 0, 0);
#»
j = (0, 1, 0);
#»
k = (0, 0, 1)
• Vec-tơ
#»
a = a
1
.
#»
i + a
2
.
#»
j + a
2
+ a
3
.
#»
k ⇒
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
)
• Tính chất: Cho hai vec-tơ
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
),
#»
b = (b
1
; b
2
; b
3
)
+ Tổng-hiệu:
#»
a ±
#»
b = (a
1
± b
1
; a
2
± b
2
; a
3
± b
3
)
+ Tích 1 số với 1 vec-tơ: k
#»
a = (k.a
1
; k.a
2
; k.a
3
)
+ Độ dài vec-tơ: |
#»
a | =
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ Hai vec bằng nhau:
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
),
#»
b = (b
1
; b
2
; b
3
)
#»
a =
#»
b ⇔
a
1
= b
1
b
1
= b
2
a
3
= b
3
+ Hai vec-tơ cùng phương:
#»
a = k.
#»
b
⇔
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
a
3
b
3
= k
+ Tích vô hướng của hai vec-tơ
#»
a .
#»
b = a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
+ Vec-tơ
#»
a vuông góc
#»
b
#»
a ⊥
#»
b ⇔
#»
a .
#»
b = 0 ⇔ a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
= 0
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
20
21 | Sổ tay toán học-12
+ Tích có hướng của 2 vec-tơ
î
#»
a ,
#»
b
ó
=
Ñ
a
2
a
3
b
2
b
3
;
a
3
a
1
b
3
b
1
;
a
1
a
2
b
1
b
2
é
= (a
2
b
3
− a
3
b
2
; a
3
b
1
− a
1
b
3
; a
1
b
2
− a
2
b
1
)
+ Góc giữa hai vec-tơ: 0
◦
≤ α ≤ 180
◦
cos α = cos
Ä
#»
a ,
#»
b
ä
=
a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
+ a
3
.b
3
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
.
p
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
2 Tọa độ điểm
•
# »
OM = x.
#»
i + y.
#»
j + z.
#»
j ⇒ M(x; y; z).
• Tính chất:
Cho các điểm A (x
A
; y
A
; z
A
); B (x
B
; y
B
; z
B
); C (x
C
; y
C
; z
C
)
+ Độ dài đoạn thẳng AB
AB =
»
(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z
B
− z
A
)
2
+ Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
I :
x
I
=
x
A
+ x
B
2
y
I
=
y
A
+ y
B
2
z
I
=
z
A
+ z
B
2
+ Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k:
# »
MA = k.
# »
MB
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
21
22 | Sổ tay toán học-12
x
M
=
x
A
− k.x
B
1 − k
; y
M
=
y
A
− k.y
B
1 − k
; z
M
=
z
A
− k.z
B
1 − k
+ Tọa độ trong tâm G của 4ABC
G :
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
3
Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ
1
#»
a và
#»
b cùng phương:
î
#»
a ,
#»
b
ó
=
#»
0
2
#»
a ,
#»
b ,
#»
c đồng phẳng:
î
#»
a ,
#»
b
ó
.
#»
c = 0
3 Diện tích 4ABC:
S
4ABC
=
1
2
î
# »
AB,
# »
AC
ó
4 Diện tích hình bình hành ABCD:
S
4ABCD
=
î
# »
AB,
# »
AC
ó
5 Thể tích hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
:
V =
î
# »
AB,
# »
AC
ó
.
# »
AA
0
6 Thể tích tứ diện ABCD:
V =
1
6
î
# »
AB,
# »
AC
ó
.
# »
AD
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
22
23 | Sổ tay toán học-12
Phương trình mặt cầu
1 Mặt cầu (S) :
tâm I(a; b; c)
bán kính R
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
2 Phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
− 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện:
a
2
+ b
2
+ c
2
− d = 0 > 0 là phương trình mặt cầu (S)
tâm I(a; b; c)
bán kình R =
p
a
2
+ b
2
+ c
2
− d
Phương trình mặt phẳng
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ):
Ax + By + Cz + D = 0 có vec-tơ pháp tuyến
#»
n = (A; B; C)
2 Mặt phẳng
(P ) :
qua M(x
0
; y
0
; z
0
)
vtpt
#»
n = (A; B; C)
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0
3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương
#»
a và
#»
b thì vtpt của (P ) là
#»
n =
î
#»
a ,
#»
b
ó
4 Mặt phẳng (ABC) với A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(0; 0; c)
(ABC) :
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
23
24 | Sổ tay toán học-12
5 Các mặt phẳng đặc biệt
(Oyz) : x = 0 (Oxz) : y = 0 (Oxy) : z = 0
(Oyz) ∥ x = a (Oxz) ∥ y = b (Oxy) ∥ z = c
6 Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến
mặt phẳng
(P ) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M
0
; (P )) =
|A.x
0
+ B.y
0
+ C.z
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
(P
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
# »
n
1
= (A
1
; B
1
; C
1
)
(P
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
# »
n
2
= (A
2
; B
2
; C
2
)
• (P
1
) ∥ (P
2
):
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
6=
D
1
D
2
.
• (P
1
) ≡ (P
2
):
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
=
D
1
D
2
.
• (P
1
)⊥(P
2
): A
1
.A
2
+ B
1
.B
2
+ C
1
.C
2
= 0
• Góc giữa 2 mặt phẳng: 0
◦
≤ (P
1
, P
2
) ≤ 90
◦
cos(P
1
, P
2
) =
|A
1
.A
2
+ B
1
.B
2
+ C
1
.C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
.
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
Phương trình đường thẳng
1 Phương trình tham số
Đường thẳng (∆) :
qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
vtcp:
#»
u = (a; b; c)
Phương trình tham số (∆) :
x = x
0
+ a.t
y = y
0
+ b.t
z = z
0
+ c.t
, (t ∈ R)
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
24
25 | Sổ tay toán học-12
2 Phương trình chính tắc:
(∆) :
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
(∆) :
x = x
0
+ a.t
y = y
0
+ b.t
z = z
0
+ c.t
, (∆
0
) :
x = x
0
0
+ a
0
.t
0
y = y
0
0
+ b
0
.t
0
z = z
0
0
+ c
0
.t
0
• (∆) cắt (∆
0
):
x
0
+ at = x
0
0
+ a
0
t
y
0
+ bt = y
0
0
+ b
0
t
z
0
+ ct = z
0
0
+ c
0
t
có đúng 1 nghiệm t, t
0
• (∆) chéo (∆
0
):
x
0
+ at = x
0
0
+ a
0
t
y
0
+ bt = y
0
0
+ b
0
t
z
0
+ ct = z
0
0
+ c
0
t
vô nghiệm
và
a
a
0
6=
b
b
0
6=
c
c
0
• (∆) ∥ (∆
0
):
x
0
+ at = x
0
0
+ a
0
t
y
0
+ bt = y
0
0
+ b
0
t
z
0
+ ct = z
0
0
+ c
0
t
vô nghiệm
và
a
a
0
=
b
b
0
=
c
c
0
• (∆) ≡ (∆
0
):
x
0
+ at = x
0
0
+ a
0
t
y
0
+ bt = y
0
0
+ b
0
t
z
0
+ ct = z
0
0
+ c
0
t
vô số nghiệm
4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0
◦
≤ (∆; ∆
0
) ≤ 90
◦
)
cos(∆; ∆
0
) =
|a.a
0
+ b.b
0
+ c.c
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
√
a
02
+ b
02
+ c
02
5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
25
26 | Sổ tay toán học-12
(∆) :
x = x
0
+ a.t
y = y
0
+ b.t
z = z
0
+ c.t
và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0
Thế (∆) vào (P )
A(x
0
+ a.t) + B(y
0
+ b.t) + C(z
0
+ c.t) + D = 0 (1)
+ Nếu (1) có đúng nghiệm t = t
0
suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm
M
0
(x
0
+ at
0
; y
0
+ bt
0
; z
0
+ zt
0
)
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P )
+ Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P )
6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0
◦
≤ (∆; P ) ≤ 180
◦
)
sin(∆, P ) =
|A.a + B.b + C.c|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
√
a
2
+ b
2
+ c
2
7 Đường thẳng song (vuông góc) với mặt phẳng
(∆) có vtcp:
#»
u = (a; b; c); (P ) có vtpt:
#»
n = (A; B; C)
• (∆) ∥ (P ) khi A.a + B.b + C.c = 0
• (∆)⊥(P ) khi
A
a
=
B
b
=
C
c
.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
26
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN SỔ TAY TOÁN HỌC-12
Họ và tên: ................................. Lớp:
................................. LƯU HÀNH NỘI BỘ
1 | Sổ tay toán học-12
SỔ TAY TOÁN HỌC-LỚP 12 Đạo hàm (xn)0 = n.xn−1 1
(un)0 = n.u0.un−1 2 √ 0 1 √ 0 u0 3 ( x) = √ 4 ( u) = √ 2 x 2 u Å 1 ã0 1 Å 1 ã0 u0 5 = − 6 = − x x2 u u2
7 (sin x)0 = cos x
8 (sin u)0 = u0. cos x
9 (cos x)0 = − sin x
10 (cos u)0 = −u0. sin x 1 u0 11 (tan x)0 = 12 (tan u)0 = cos2 x cos2 u 1 u0
13 (cot x)0 = −
14 (cot u)0 = − sin2 x sin2 u (ex)0 = ex 15
(eu)0 = u0.eu 16
17 (ax)0 = ax ln a
18 (au)0 = u0.au ln a 1 u0 19 (ln x)0 = 20 (ln u)0 = x u 1 u0 21 (log x)0 = 22 (log u)0 = a x ln a a u ln a
Quy tắc tính đạo hàm
(u ± v)0 = u0 ± v0 1 (k.u)0 = k.u0 2 u 0
u0.v − u.v0
(u.v)0 = u0.v + u.v0 3 4 = v v2
Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K
• Nếu f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f 0(x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 1
2 | Sổ tay toán học-12
hàm số y = f (x) đồng biến trên K
• Nếu f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f 0(x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số y = f (x) nghịch biến trên K
Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f 0(x) và tìm nghiệm f 0(x) = 0, (x1.x2... ∈ D)
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x) Cực trị hàm số
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f 0(x0) = 0 Qúy tắc 1
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0(x)
• Bước 2: Tìm các điểm xi(i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f 0(x). Nếu f 0(x)
đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Qúy tắc 2
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0(x)
• Bước 2: Tìm nghiệm xi(i = 1; 2; ...) của phương trình f 0(x) = 0
• Bước 3: Tính f 00(x) và tình f 00(xi)
+ Nếu f 00(xi) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại xi.
+ Nếu f 00(xi) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại xi.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 2
3 | Sổ tay toán học-12
Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d y0; ∆ a > 0 a < 0 y y O y0 = 0; ∆ x y0 > 0 (có 2 nghiệm) O x y y
y0 = 0, ∆y0 = 0 x O (có nghiệm kép) x O y y
y0 = 0; ∆y0 < 0 x O (vô nghiệm) x O
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 3
4 | Sổ tay toán học-12
Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c y0; a; b a > 0 a < 0 y y
y0 = 0; a.b < 0 O x (có 3 cực trị) x O y y
y0 = 0; a.b ≥ 0 O O x (có 1 cực trị) x ax + b
Hàm số hữu tỉ y = cx + d ad − bc ad − bc y0 = > 0 y0 = < 0 (cx + d)2 (cx + d)2 y d TCĐ: x = − d y c TCĐ: x = − c a TCN: y = c O a x
O TCN: y = cx
Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đồng biến trên R.   a > 0 a > 0  
y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ∆  y0 ≤ 0
b2 − 3a.c ≤ 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, nghịch biến trên R.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 4
5 | Sổ tay toán học-12   a < 0 a > 0  
y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔ ∆  y0 ≤ 0
b2 − 3a.c ≤ 0
Điều kiện cực trị hàm bậc 3-trùng phương
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực đại tại x0  y0(x  0) = 0 ⇔
y00(x0) < 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực tiểu tại x0  y0(x  0) = 0 ⇔
y00(x0) > 0
3 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0
4 Hàm số y = ax4 + bx2 + ca > 0 
có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔ b < 0
5 Hàm số y = ax4 + bx2 + ca < 0 
có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔ b > 0
6 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị.   a = 0 a 6= 0   hoặc b 6= 0 a.b ≥ 0
7 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu.   a = 0 a > 0   hoặc b > 0 a.b ≥ 0
8 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 5
6 | Sổ tay toán học-12   a = 0 a < 0   hoặc b < 0 a.b ≤ 0
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Tính y0, cho y0 = 0, nhận nghiệm x1, x2, · · · ∈ [a; b]
Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · ·
So sánh y(a), y(b), y(x1), y(x2), · · ·
Suy ra max y; min y [a;b] [a;b] Đường tiệm cận Ç å lim y = ±∞ lim y = ±∞ ⇒ TCĐ: x = x0 x→x+ x→x− 0 0 lim y = y0
lim y = y0 ⇒ TCN: y = y0 x→+∞ x→−∞
Lũy thừa (a > 0) √ k
1 am.an = am+n
2 (a.b)n = an.bn 3 ak = a 2 am √ a n an k 4 = am−n 5 =
6 n ak = a n an b bn 1 √ k m p
7 (am)n = am.n 8 a−n = 9 n ak = a m.n an
Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1) 1 log 1 = 0
(x.y) = log x + log y. a 2 loga a a Å x ã 3 log a = 1 a 4 log
= log x − log y. a y a a
5 log aα = α
xα = α log x. a 6 loga a 1 1 7 log a = log x. x 8 log log x am x = m a a
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 6
7 | Sổ tay toán học-12 log x
9 log x = log b. log x b a a b 10 log x = . a log a b
Hàm số lũy thừa y = xα, α ∈ R y α > 1 Tập xác định: α = 1
• D = R khi α nguyên dương
• D = R \ {0} khi α nguyên âm 0 < α < 1 1 α = 0
• D = (0; +∞) khi α không α < 0 nguyên O x 1
Hàm số mũ y = ax a > 1 0 < a < 1 • D = R • D = R y y a > 1 1 1 O O 0 < a < 1 TCN: y = 0 x TCN: y = 0 x
Hàm số logarit y = log x a a > 0 0 < a < 1 • D = (0; +∞) • D = (0; +∞)
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 7
8 | Sổ tay toán học-12 y y a > 1 O 0 x 1 O = x 0 x 1 = x TCĐ: 0 < a < 1 TCĐ:
Phương trình, bất phương trình mũ
af(x) = ag(x)
ax = b ⇔ x = log b a
⇔ f (x) = g(x) a > 1 0 < a < 1
af(x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x)
af(x) > ag(x) ⇔ f (x) < g(x)
Phương trình và bất phương trình logarit
log f (x) = log g(x) a b
log x = b ⇔ x = ab a
⇔ f (x) = g(x) a > 1 0 < a < 1
log f (x) > log g(x) ⇔
log f (x) > log g(x) ⇔ a a a a
⇔ f (x) > g(x)
⇔ f (x) < g(x) Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không
tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 8
9 | Sổ tay toán học-12
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là
Sn = A + n.A.r = A(1 + nr)
2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là Å S ã … n Sn Sn
Sn = A(1 + r)n ; n = log ; − 1 ; 1+ r% = n A = r A A (1 + r)n Bảng nguyên hàm Z Z 1
dx = x + C 2
kdx = kx + C Z xn+1 Z
1 (ax + b)n+1 3 xndx = + C 4
(ax + b)n dx = + C n + 1 a n + 1 Z dx 1 Z dx 1 1 5 = − + C 6 = − . + C x2 x (ax + b)2 a ax + b Z dx Z dx 1 7 = ln |x| + C 8 =
ln |ax + b| + C x ax + b a Z Z 1 9
exdx = ex + C 10 eax+bdx = eax+b + C a Z ax Z 1 aαx+β 11 axdx = + C 12
aαx+βdx = + C ln a α ln a Z Z 1 13
cos xdx = sin x + C 14
cos(ax + b)dx =
sin(ax + b) + C a Z Z 1 15
sin xdx = − cos x + C 16
sin(ax+b)dx = −
cos(ax+b)+C a Z dx Z dx 1 17 = tan x + C 18 =
tan(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a Z dx Z dx 1 19 = − cot x + C 20 = −
cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 9
10 | Sổ tay toán học-12 Z Z 1 21
tan xdx = − ln |cos x| + C 22
tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C a Z Z 1 23
cot xdx = ln |sin x| + C 24
cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C a Z Z 1 1 x 25 1 1 x − a dx = ln dx = arctan + C +C 26 x2 − a2 2a x + a x2 + a2 a a Tích phân b b Z
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a) a a a b a Z Z Z 1 dx = 0 2
f (x)dx = − f (x)dx a a b b a Z Z 3
k.f (x)dx = k f (x)dx a b b b b Z Z Z 4
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x)dx ± g(x)dx a a a b c b Z Z Z 5 f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c
Tích phân từng phần b b b Z Z
u.v0dx = u.v − u0.vdx a a a b b b Z Z hay
udv = u.v − v.du a a a
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 10
11 | Sổ tay toán học-12
Diện tích phẳng phẳng
1 Diện tích hình phẳng
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi   y = f (x) y = f (x)  
y = 0; x = a; x = b
y = g(x); x = a; x = b y y y = f (x) y = f (x) y = g(x) O a x b a x O b b b Z Z S =
|f (x)| dx S =
|f (x) − g(x)| dx a a
3 Diện tích hình phẳng
4 Diện tích hình phẳng y y y = f (x) y = h(x) c b x O a c d x O a b c b c d d Z Z Z Z Z S =
|h(x)| dx + |h(x)| dx S =
f (x)dx− f (x)dx+ f (x)dx a c a c b c b Z Z S =
h(x)dx − h(x)dx a c
Thể tích vật thể tròn xoay
1 Thể tích của vật thể giới
2 Thể tích của vật thể giới bạn bởi bạn bởi
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 11
12 | Sổ tay toán học-12  
(P ), (Q)⊥Ox
y = f (x), Ox  
x = a; x = b
x = a; x = b b b Z Z V = S(x)dx V = π. f 2(x)dx a a Số phức
1 Định nghĩa và tính chất
• z = a + bi, (i2 = −1) là số phức
– Phần thực: a
– Phần ảo: b
• Cho z = a + bi và z0 = a0 + b0i thì
– z + z0 = (a + a0) + (b + b0)i
– z − z0 = (a − a0) + (b − b0)i
– z.z0 = (aa0 − bb0) + (ab0 + a0b)i z aa0 + bb0
a0b − a − b0 – = + z0 a02 + b02 a02 + b02
2 Số phức liên hợp
• Cho z = a + bi thì z = a − bi là số phức liên hợp của z. • Tính chất
– z.z = a2 + b2; z1 + z2 = z1 + z2; z1.z2 = z1.z2
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 12
13 | Sổ tay toán học-12 Å z ã 1 z1 – =
; z + z = 2a; z − z = 2bi z2 z2 3 Môdun số phức √
• Cho z = a + bi thì |z| = a2 + b2
• |z| = |z|; |z1.z2| = |z1|.|z2| z |z • 1 1| =
; |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|; |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2| z2 |z2|
4 Biểu diễn hình học số phức
z = a + bi ⇒ M (a; b) y b M 2 b 2 + a p |z| = = M O x O a
5 Phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0, ∆ = b2 − 4ac. √ −b ± ∆
• ∆ > 0 phương trình có 2 nghiệm thực: x1,2 = 2a −b ± p|∆|i
• ∆ < 0 phương trình có 2 nghiệm phức: x1,2 = 2a Thể Khối đa diện
1 Thể tích khối lập phương cạnh a: V = a3
2 Thể tích khối hộp chữ nhật V = a.b.c
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 13
14 | Sổ tay toán học-12
3 Thể tích khối lăng trụ
V = Sđáy.h
Sđáy : Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
4 Thể tích khối chóp 1 V = Sđáy.h 3
Sđáy : Diện tích đáy
h: chiều cao lăng trụ
5 Tỉ số thể tích khối chóp
Hình chóp S.ABC, gọi A0, B0, C0 lần lượt
là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC VS.A0B0C0
SA0 SB0 SC0 = VS.ABC SA SB SC SA SB SC SD 6 a = , b = , c = , d = SA0 SB0 SC0 SD0
VS.A0B0C0D0
a + b + c + d = VS.ABCD 4abc AM BN CP 7 a = , b = , c = AA0 BB0 CC0 VABC.MNP a + b + c =
VABC.A0B0C0 3
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 14
15 | Sổ tay toán học-12 AM BN CP DQ 8 a = , b = , c = , d = AA0 BB0 CC0 DD0
và a + c = b + d VABCD.MNP Q
a + b + c + d =
VABCD.A0B0C0D0 4 Khối tròn xoay
1 Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 4
2 Thể tích khối cầu: V = πR2 3
3 Thể tích chỏm cầu: Å h ã πh
V = πh2 R − = 3r2 + h2 3 6
4 Diện tích xung quanh chỏm cầu
Sxq = 2πRh = π r2 + h2
5 Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRl
6 Diện tích toàn phần: Stp = 2πR(l + R)
7 Thể tích khối trụ: V = πRh
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 15
16 | Sổ tay toán học-12
8 Diện tích xung quanh: Sxq = πRl
9 Diện tích toàn phần: Stp = πR(l + R) 1
10 Thể tích khối nón: V = πR2.h 3 √ √ l =
h2 + R2; h = l2 − R2 π.h 11 V =
R2 + r2 + R.r 3
12 Sxq = π (R + r) l
13 Stp = π R2 + r2 + R.l + r.l
Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay
Hình trụ có thiết diện qua trục OO0 là hình
chữ nhật ABB0A0
• Chiều rộng: AB = 2R
• Chiều dài: AA0 = h = l
• Diện tích: SABB0A0 = AB.AA0 = 2.R.l
Hình nón có thiết diện qua trục SO là tam cân SAB tại S
• Cạnh bên: SA = SB = l
• Cạnh đáy: AB = 2R 1
• Diện tích: S4SAB = R.h 2
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 16
17 | Sổ tay toán học-12 Hình học phẳng
• 4ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2 1 1 1 • = + AH2 AB2 AC21
• Diện tích: S4ABC = AB.AC 2
• 4ABC vuông cân tại tại A BC2 + S4ABC = 4 √ + BC = AB 2 1 1 1
• S4ABC = ha.a = hb.b = hc.c 2 2 2 1 1 1
• S4ABC = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2
• S4ABC = pp(p − a)(p − b)(p − c) a + b + c
• S4ABC = pr, p = 2 abc
• S4ABC = 4R
• a2 = b2 + c2 − 2b.c cos A a b c • = = = 2R sin A sin B sin C
• Hình vuông ABCD cạnh a √
+ AC = BD = a 2 + SABCD = a2
• Tam giác ABC đều cạnh a √ a 3 + Đường cao: AM = 2√ a 3
+ GA = GB = GC = 3√ a2 3
+ Diện tích: S4ABC = 4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 17
18 | Sổ tay toán học-12
Công thức tính nhanh thể tích 1 Hình chóp S.ABC có SA = c, AB = a, AC = b đôi một vuông abc góc: VS.ABC = 6
2 Hình chóp S.ABC có đáy 4ABC là
tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b: √
a2 3b2 − a2 VS.ABC = 12 √ a3 2
Khi a = b thì VS.ABC = 12
3 Hình chóp tam giác đều có cạnh
đáy a, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α: a3 tan α VS.ABC = 12
4 Hình chóp tam giác đều có cạnh
bên b, cạnh bên tạo với đáy 1 góc α:
√3bsinαcos2 α VS.ABC = 4
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 18
19 | Sổ tay toán học-12
5 Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy
bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc α: a3 tan α VS.ABC = 24
6 Hình chóp đều S.ABCD có ABCD
là hình vuông cạnh a, cạnh bên b: √
a2 4b2 − 2a2 VS.ABCD = 6 √ a3 2
Khi a = b thì VS.ABCD = 6
7 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng √ a3 2 tan α α: VS.ABCD = 6
8 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên
bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
4b3. tan α α: VS.ABCD = » 3 (2 + tan2 α)3
9 Hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng √ a2 tan2 α − 1 α: VS.ABCD = 6
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 19
20 | Sổ tay toán học-12
Hệ tọa độ trong không gian 1 Tọa độ vec-tơ • Vec-tơ đơn vị: #» #» #»
i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) #» #» #» • Vec-tơ #»
a = a1. i + a2. j + a2 + a3. k ⇒ #»
a = (a1; a2; a3) #»
• Tính chất: Cho hai vec-tơ #»
a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) #» + Tổng-hiệu: #»
a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
+ Tích 1 số với 1 vec-tơ: #»
k a = (k.a1; k.a2; k.a3) + Độ dài vec-tơ: | #»
a | = pa2 + a2 + a2 1 2 3 #» + Hai vec bằng nhau: #»
a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3)  a  1 = b1  #» #»   a = b ⇔ b1 = b2     a3 = b3 #»
+ Hai vec-tơ cùng phương: #» a = k. b a a a ⇔ 1 = 2 = 3 = k b1 b2 b3
+ Tích vô hướng của hai vec-tơ #» #»
a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 #» + Vec-tơ #» a vuông góc b #» #» #» a ⊥ b ⇔ #»
a . b = 0 ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 20
21 | Sổ tay toán học-12
+ Tích có hướng của 2 vec-tơ Ñ é a a a î #» #»ó 2
a3 3 a1 1 a2 a , b = ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2
= (a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1)
+ Góc giữa hai vec-tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦ Ä #»ä a cos #»
1.b1 + a2.b2 + a3.b3 α = cos a , b
= pa2 + a2 + a2.pb2 + b2 + b2 1 2 3 1 2 3 2 Tọa độ điểm # » #» #» #»
• OM = x. i + y. j + z. j ⇒ M (x; y; z). • Tính chất:
Cho các điểm A (xA; yA; zA); B (xB; yB; zB); C (xC; yC; zC)
+ Độ dài đoạn thẳng AB » AB =
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
+ Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng ABxA + xBxI =  2    y I : A + yB yI = 2    zA + zB  zI = 2 # » # »
+ Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k.M B
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 21
22 | Sổ tay toán học-12 xA − k.xB yA − k.yB zA − k.zB xM = ; yM = ; zM = 1 − k 1 − k 1 − k
+ Tọa độ trong tâm G của 4ABC
xA + xB + xCxG =  3    y G :
A + yB + yC yG = 3    z
A + zB + zC  zG = 3
Ứng dụng tích có hướng của 2 vec-tơ #» #» î #» #»ó #»
1 a và b cùng phương: a , b = 0 #» #» î #» #»ó #»
2 a , b , #» c đồng phẳng: a , b . c = 0
3 Diện tích 4ABC: 1 î # » # »ó S4 ABC = AB, AC 2
4 Diện tích hình bình hành ABCD: î # » # »ó S4 ABCD = AB, AC
5 Thể tích hình hộp ABCD.A0B0C0D0: # » î # » # »ó V = AB, AC .AA0
6 Thể tích tứ diện ABCD: 1 î # » # »ó # » V = AB, AC .AD 6
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 22
23 | Sổ tay toán học-12
Phương trình mặt cầu
tâm I(a; b; c) 
1 Mặt cầu (S) :  bán kính R
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
2 Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện:
a2 + b2 + c2 − d = 0 > 0 là phương trình mặt cầu (S) 
tâm I(a; b; c)  p bán kình R =
a2 + b2 + c2 − d
Phương trình mặt phẳng
1 Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ):
Ax + By + Cz + D = 0 có vec-tơ pháp tuyến #»
n = (A; B; C) 2 Mặt phẳng  qua M (x  0; y0; z0) (P ) : vtpt #»
n = (A; B; C)
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0
3 Mặt phẳng (P ) có cặp vec-tơ chỉ phương #» #» î #» #»ó
a và b thì vtpt của (P ) là #» n = a , b 4 Mặt phẳng (ABC) với A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(0; 0; c) x y z (ABC) : + + = 1 a b c
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 23
24 | Sổ tay toán học-12
5 Các mặt phẳng đặc biệt (Oyz) : x = 0 (Oxz) : y = 0 (Oxy) : z = 0
(Oyz) ∥ x = a
(Oxz) ∥ y = b
(Oxy) ∥ z = c
6 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng
(P ) : Ax + By + Cz + D = 0
|A.x0 + B.y0 + C.z0 + D|
d(M0; (P )) =
√A2 + B2 + C2
7 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
(P1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, # »
n1 = (A1; B1; C1)
(P2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, # »
n2 = (A2; B2; C2) A B C D • ( 1 1 1 1 P1) ∥ (P2): = = 6= . A2 B2 C2 D2 A B C D • ( 1 1 1 1 P1) ≡ (P2): = = = . A2 B2 C2 D2
• (P1)⊥(P2): A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
• Góc giữa 2 mặt phẳng: 0◦ ≤ (P1, P2) ≤ 90◦ |A cos(
1.A2 + B1.B2 + C1.C2|
P1, P2) = pA2 + B2 + C2.pA2 + B2 + C2 1 1 1 2 2 2
Phương trình đường thẳng
1 Phương trình tham số  qua M
0(x0; y0; z0) Đường thẳng (∆) : vtcp: #»
u = (a; b; c)  x = x  0 + a.t   
Phương trình tham số (∆) : y = y , (t ∈ 0 + b.t R)    
z = z0 + c.t
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 24
25 | Sổ tay toán học-12
2 Phương trình chính tắc: x − x y − y z − z (∆) : 0 = 0 = 0 a b c
3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng   x = x
x = x0 + a0.t0  0 + a.t  0       (∆) : y = y , (∆0) : 0 + b.t
y = y0 + b0.t0 0        
z = z0 + c.t
z = z0 + c0.t0 0  x + a0t  0 + at = x00    • (∆) cắt (∆0): y
có đúng 1 nghiệm t, t0
0 + bt = y0 + b0t 0    
z0 + ct = z0 + c0t 0  x + a0t  0 + at = x00    • (∆) chéo (∆0): y vô nghiệm
0 + bt = y0 + b0t 0    
z0 + ct = z0 + c0t 0 a b c và 6= 6= a0 b0 c0  x + a0t  0 + at = x00    • (∆) ∥ (∆0): y vô nghiệm
0 + bt = y0 + b0t 0    
z0 + ct = z0 + c0t 0 a b c và = = a0 b0 c0  x + a0t  0 + at = x00    • (∆) ≡ (∆0): y vô số nghiệm
0 + bt = y0 + b0t 0    
z0 + ct = z0 + c0t 0
4 Góc giữa 2 đường thẳng: (0◦ ≤ (∆; ∆0) ≤ 90◦)
|a.a0 + b.b0 + c.c0| cos(∆; ∆0) = √ √
a2 + b2 + c2. a02 + b02 + c02
5 Vị trị tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 25
26 | Sổ tay toán học-12  x = x  0 + a.t    (∆) : y = y
và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 0 + b.t    
z = z0 + c.t Thế (∆) vào (P )
A(x0 + a.t) + B(y0 + b.t) + C(z0 + c.t) + D = 0 (1)
+ Nếu (1) có đúng nghiệm t = t0 suy ra (∆) cắt (P ) tại điểm
M0(x0 + at0; y0 + bt0; z0 + zt0)
+ Nếu (1) vô nghiệm thì (∆) ∥ (P )
+ Nếu (1) vô số nghiệm thì (∆) thuộc (P )
6 Góc của đường thẳng và mặt phẳng: (0◦ ≤ (∆; P ) ≤ 180◦)
|A.a + B.b + C.c| sin(∆, P ) = √ √
A2 + B2 + C2. a2 + b2 + c2
7 Đường thẳng song (vuông góc) với mặt phẳng (∆) có vtcp: #»
u = (a; b; c); (P ) có vtpt: #»
n = (A; B; C)
• (∆) ∥ (P ) khi A.a + B.b + C.c = 0 A B C • (∆)⊥(P ) khi = = . a b c
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em 26
Document Outline

  • 124 0.1: Thể Khối đa diện
  • 124 0.2: Khối tròn xoay
  • 124 0.3: Thiết diện của mặt phẳng cắt hình tròn xoay
  • 124 0.4: Hình học phẳng
  • 124 0.5: Công thức tính nhanh thể tích