Sử dụng sơ đồ Hoocne (Horner) để chia đa thức dễ hiểu nhất
Sơ đồ Hoocne là một thuật toán được biểu diễn dưới dạng sơ đồ cho phép chúng ta tìm nhanh thương và
số dư trong phép chia một đa thức.
1. Giới thiệu về sơ đồ Hoocne
Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc
biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.
Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học
sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử.
Sơ đồ hoocne bản chất là một thuật toán được biểu diễn dưới dạng sơ đồ, cho phép chúng ta tìm nhanh
thương và dư trong phép chia một đa thức f(x) bất kỳ cho đa thức x−c, với c là một số thực bất kỳ.
2. các cách sử dụng
2.1 Sử dụng kiến thức Toán học
Sơ đồ Horner (Hoocne/ Hoắc - le/ Hắc - le) dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x)
cho đa thức x - α , khi đó ta thực hiện như sau: Giả sử cho đa thức
Khi đó đa thức thương và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:
Ta được cách làm theo các bước như sau:
Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo ẩn giảm dần và đặt số vào cột đầu tiên của hàng thứ 2.
Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào lược đồ.
Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số a0 ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của g(x) tìm được, tức là .
Bước 3: Lấy số nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn
tìm hệ số b1 ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy nhân với hệ số b0 sau đó cộng với hệ số a1 ở hàng trên;
tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số b2 ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy nhân với hệ số b1 sau đó
cộng với hệ số a2 ở hàng trên,….)
Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.
Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có hay * Chú ý:
+ Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia x- a có bậc là 1.
+ Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và x = a sẽ là một nghiệm của đa thức f(x). Trong
trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được , ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên
của đa thức f(x), chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.
2.2 Sử dụng máy tính CASIO
Thuật giải này sẽ rất hữu ích khi đa thức của chúng ta có bậc lớn hoặc hệ số lớn hoặc số “xấu”
Giả sử mình cần tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho đa thức g(x) = x +1 bằng máy tính CASIO fx-580VN X
Bước 1. Lập bảng như hình bên dưới (nếu bạn có trí nhớ tốt thì nhớ luôn trong đầu mà không cần lập bảng)
Bước 2. Nhập hệ số đầu tiên của dòng dưới => rồi nhấn phím =
Bước 3. Nhấn phím AC => rồi nhập cAns+X, c ở đây là -1
Bước 4. Nhấn CALC rồi nhập hệ số thứ hai của dòng trên, ở đây là 0 sau đó nhấn phím = chúng ta sẽ thu
được hệ số thứ hai của dòng dưới.
Bước 5. Thực hiện lại Bước 4 với các hệ số còn lại.
3. Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng
Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x3 - 7x + 42 ):( x2 - 2x + 3 ) là ? A. - 7x + 14 B. 7x + 14 C. 7x - 14 D. - 7x - 14 Lời giải: Ta có phép chia Chọn đáp án B.
Bài 2: Phép chia x3 + x2 - 4x + 7 cho x2 - 2x + 5 được đa thức dư là ? A. 3x - 7. B. - 3x - 8. C. - 15x + 7. D. - 3x - 7. Lời giải Ta có pchiai
Dựa vào kết quả của phép chia trên,, ta có đa thức dư là - 3x - 8. Chọn đáp án B.
Bài 3: Hệ số a thỏa mãn để 4x2 - 6x + a chia hết có x - 3 là ? A. a = - 18. B. a = 8. C. a = 18. D. a = - 8. Lời giải: Ta có phép chia
Phép chia trên có số dư là ( a + 18 )
Để 4x2 - 6x + a chia hết có x - 3 ⇔ a + 18 = 0 ⇔ a = - 18. Chọn đáp án A.
Bài 4: Thực hiện phép chia: (4x4 + x + 2x3 - 3x2) : (x2 + 1) ta được số dư là : A. – x + 7 B. 4x2 + 2x - 7 C. 4x2 – 2x + 7 D. x – 7 Lời giải:
Ta có: 4x4 + x + 2x3 - 3x2 = 4x4 + 2x3 – 3x2 + x
Vậy: (4x4 + x + 2x3 - 3x2) = (4x2 + 2x – 7 ).(x2 +1) – x + 7 Chọn đáp án A
Bài 5: Thực hiện phép chia (3x3 + 2x + 1 ) : (x + 2) ta được đa thức dư là : A. 10 B. -9 C. – 15 D. – 27 Lời giải: Ta có:
Vậy số dư của phép chia đã cho là –27 Chọn đáp án D
Bài 6: Thực hiện phép chia (-4x4 + 5x2 + x ) : (x2 + x) ta được kết quả là:
A. – 4x4 + 5x2 + x = (x2 + x).(-4x2 - 4x + 9) - 6x
B. – 4x4 + 5x2 + x = (x2 + x).(4x2 + 4x + 9) + 12x
C. – 4x4 + 5x2 + x = (x2 + x).(-4x2 + 4x + 9) - 8x
D. – 4x4 + 5x2 + x = (x2 + x). ( 4x2 - 4x + 9) + 10x Lời giải: Ta có:
Vậy –4x4 + 5x2 + x = (x2 + x).(-4x2 + 4x + 9) - 8x Chọn đáp án C
Bài 7: Cho phép chia: (x3 + 9x2 + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai? A. Đây là phép chia hết
B. Thương của phép chia là: (x + 3)2
C. Thương của phép chia là: x2 + 6x + 9
D. Số dư của phép chia là: x – 3 . Lời giải:
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta được:
(x3 + 9x2 + 27x + 27) : (x + 3) = (x + 3)3 : (x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 6x +9
Vậy phéo chia đã cho là phép chia hết có thương là: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Chọn đáp án D
Bài 8: Thực hiện phép chia: (x2y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là: A. xy + 3 B. x + 3y C. x + y + 3 D. y. (x + 3) Lời giải:
Ta có: x2y + 4xy + 3y = y.(x2 + 4x + 3) = y.[(x2 + x ) + (3x + 3)] = y.[x.(x + 1) + 3(x + 1)] = y.(x + 3).(x+1 )
Vậy: (x2y + 4xy + 3y ) : (x + 1) = y.(x + 3).(x + 1) : (x + 1) = y.(x + 3). Chọn đáp án D
Bài 9: Tìm a để phép chia (x3 – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết: A. a = 0 B. a = 4 C. a = -8 D. a = 8 Lời giải: Ta có:
Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi phần dư bằng 0. Do đó, a =0 Chọn đáp án A
Bài 10: Làm tính chia: (9x3y2 + 10x4y5 - 8x2y2) : x2y2
A. 9x + 10x2y2 B. 9 + 10x2y2 - 8
C. 9x + 10x2y3 – 8 D. Đáp án khác Lời giải:
Ta có: (9x3y2 + 10x4y5 - 8x2y2) : x2y2
= 9x3y2 : x2y2 + 10x4y5 : x2y2 - 8x2y2 : x2y2 = 9x + 10x2y3 - 8 Chọn đáp án C