Trang 1
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm s
sin
y x D R
* Hàm s
cos
y x D R
* Hàm s
tan \
2
y x D R k
* Hàm s
cot \
y x D R k
* Hàm s
u x
y
v x
điều kiện xác định là
0
v x
* Hàm s
u x
y
v x
điều kiện xác định là
0
v x
2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
Hàm số
y f x
tập xác định D được gọi hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
0
T
sao cho với
mọi
x D
ta có:
*
x T D
x T D
*
f x T f x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm s
sin
y x
tuần hoàn với chu
2
T
; hàm số
cos
y x
tuần
hoàn với chu
2
T
; hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu
T
; m số
cot
y x
tuần hoàn với
chu kì T
.
- Chú ý
* Hàm s
sin
y ax b
tuần hoàn với chu kì
0
2
T
a
* Hàm s
cos
y ax b
tuần hoàn với chu kì
0
2
T
a
* Hàm s
tan
y ax b
tuần hoàn với chu kì
0
T
a
* Hàm s
cot
y ax b
tuần hoàn với chu kì
0
T
a
Trang 2
* m số
1
y f x
tuần hoàn với chu
1
T
m s
2
y f x
tuần hoàn với chu
2
T
thì hàm số
1 2
y f x f x
tuần hoàn với chu kì
0
T
là bội chung nhỏ nhất của
1
T
2
T
.
3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
- Định nghĩa
* Hàm s
y f x
tập xác định D được gọi hàm số chẵn nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau:
x D x D
f x f x
* Hàm số
y f x
có tập xác định D được gọi hàm số lnếu thỏa n đồng thời hai điều kiện
sau:
x D x D
f x f x
- Chú ý
* Các hàm số chẵn thường gặp:
2 2 2
cos ; cos ; sin ; sin ; cos
x kx x kx kx
* Các hàm số lẻ thường gặp:
3 3
sin ; tan ; cot ; sin ; tan ...
x x x x x
* Hàm s
f x
chẵn và
g x
lẻ thì hàm
.
f x g x
f x
g x
đều là hàm số lẻ.
* Hàm s
f x
g x
đều là hàm lẻ thì hàm
.
f x g x
f x
g x
đều là hàm số chẵn.
4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác
a) Hàm số y = sinx
* Tập xác định:
D R
* Tập giá trị
1; 1
T , có nghĩa là
1 sin 1
x
* Là hàm số tuần hoàn chu kì
2
, có nghĩa
2 sin
x k x
với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2 ,
2 2
k k k
* Là hàm slẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm snhư hình vẽ bên
dưới.
Trang 3
b) Hàm số y = cosx
* Tập xác định:
D R
* Tập giá trị
1; 1
T , có nghĩa
1 sin 1
x
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
2
, có nghĩa
cos 2 cos
x k x
với
k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
k k
nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 ,k k k
* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
c) Hàm số y = tanx
* Tập xác định
\ ,
2
D k k
* Tập giá trị
T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
, có nghĩa
tan tan
x k x
với
k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
; ,
2 2
k k k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
Trang 4
d) Hàm số y = cotx
* Tập xác định
\ ,D k k
* Tập giá trị
T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì
, có nghĩa
tan tan
x k x
với
k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
; ,k k k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
2
sin
1
x
y
x
b)
sin
y x
Lời giải:
a) ĐK xác định:
1
x
TXĐ:
\ 1
D
Trang 5
b) ĐK xác định:
sin 0 2 2 1
x k x k
Suy ra TXĐ:
2 ; 2 1D k k
Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a)
2
1 cos
y x
b)
1
sin 1
y
x
Lời giải:
a) ĐK xác định:
2
1 cos 0
x
(luôn đúng)
TXĐ:
Lại có:
2 2
0 cos 1 0 1 cos 1 0 1
x x y
Tập giá trị là
0, 1
T
b) ĐK xác định:
sin 1 0 sin 1 sin 2 \ 2
2 2
x x x k D R k
Ta có:
1
0 sin 1 2
2
x y
Tập giá trị là
1
,
2
T
Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm s
1 sin
cos 1
x
y
x
a)
D
. b)
\ ,
2
D k k
.
c)
\ ,D k k
. d)
\ 2 ,D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi
cos 1 0 cos 1 2 ,x x x k k
Vậy tập xác định
\ 2 ,D k k
. Chọn D
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm s
1
sin
2
y
x
a)
\ ,
2
D k k
. b)
\ ,D k k
.
c)
\ 1 2 ,
2
D k k
. d)
\ 1 2 ,D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định
sin 0 ,
2 2 2
x x k x k k
Vậy tập xác định
\ ,
2
D k k
. Chọn C
Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm s
1
sin cos
y
x x
a)
D
. b)
\ ,
4
D k k
.
Trang 6
c)
\ 2 ,
4
D k k
. d)
\ ,
4
D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định
sin cos 0 tan 1 ,
4
x x x x k k
Vậy tập xác định
\ ,
4
D k k
. Chọn D
Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm s
cot 2 sin 2
4
y x x
a)
\ ,
4
D k k
. b) D
Ø
.
c)
\ ,
8 2
D k k
. d)
D
.
Lời giải:
Hàm số xác định
sin 2 0 2 ,
4 4 8 2
k
x x k x k
Vậy tập xác định
\ ,
8 2
D k k
. Chọn C
Ví dụ 7. Tìm tập xác định D của hàm s
2
3tan
2 4
x
y
a)
3
\ 2 ,
2
D k k
. b)
\ 2 ,
2
D k k
.
c)
3
\ ,
2
D k k
. d)
\ ,
2
D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định
2
3
cos 0 2 ,
2 4 2 4 2 2
x x
k x k k
Vậy tập xác định
3
\ 2 ,
2
D k k
. Chọn A
Ví dụ 8. Tìm tập xác định D của hàm s
1 sin 2 1 sin 2
y x x
a) D
Ø
. b)
D
.
c)
5
2 ; 2 ,
6 6
D k k k
. d)
5 13
2 ; 2 ,
6 6
D k k k
.
Lời giải:
Ta có:
1 sin 2 0
1 sin 2 1 ,
1 sin 2 0
x
x x
x
.
Vậy tập xác định
D
. Chọn B
Trang 7
Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm s
2
5 2cot sin cot
2
y x x x
a)
\ ,
2
k
D k
. b)
\ ,
2
D k k
.
c)
D
. d)
\ ,D k k
.
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời
2
5 2cot sin 0, cot
2
x x x
xác định và
cot
x
xác định.
Ta có:
2
2
2cot 0
5 2cot sin 0,
1 sin 1 5 sin 0
x
x x x
x x
*
cot
2
x
xác định
sin 0 ,
2 2 2
x x k x k k
*
cot
x
xác định
sin 0 ,x x k k
Do đó hàm số xác định ,
2
2
x k
k
x k
x k
Vậy tập xác định
\ ,
2
k
D k
. Chọn A
dụ 10. Hàm số
1 1
tan cot
sin cos
y x x
x x
không xác định trong khoảng o trong các khoảng
sau đây?
a)
2 , 2
2
k k
với k
. b)
3
2 , 2
2
k k
với k
.
c)
2 , 2
2
k k
với
k
. d)
2 , 2 2
k k
với
k
.
Lời giải:
Hàm số xác định
sin 0
sin 2 0 2 ,
cos 0
2
x
k
x x k x k
x
.
Ta chọn
3
3
2
k x
nhưng điểm
3
2
thuộc khoảng
2 ; 2 2
k k
.
Vậy hàm số không xác định trong khoảng
2 ; 2 2
k k
. Chọn D
Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a)
sin 2
y x
b)
2sin 3
y x
Trang 8
Lời giải:
a)
sin 2 sin 2
f x x x f x
. Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
b) Ta có
2sin 3 2sin 3 2sin 3 9 9
f x x x x f x
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a)
sin cos
y x
b)
tan cot
y x x
Lời giải:
a)
sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos
f x x x x x x x x f x x
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
b)
sin cos
sin cos
tan cot
cos sin cos sin
x x
x x
f x x x
x x x
tan cot tan cot
x x x x f x
Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau
a)
sin tan
sin cot
x x
y
x x
b)
3
3
cos 1
sin
x
y
x
Lời giải:
a) Ta có
sin tan
sin tan sin tan
sin cot sin cot sin cot
x x
x x x x
f x f x
x x x x x x
Suy ra hàm số đã cho là hàm chẵn.
b) Ta có
3
3
3 3
cos 1
cos 1
sin sin
x
x
f x f x
x x
. Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn
a)
sin
y x
b)
cos sin
y x x
c)
2
cos sin
y x x
d)
cos sin
y x x
Lời giải:
Tất cả các hàm số đề có TXĐ:
D
. Do đó
x D x D
.
Bây giờ ta kiểm tra
f x f x
hoặc
f x f x
* Với
sin
y f x x
. Ta có
sin sin sin
f x x x x
f x f x
. Suy ra hàm số
sin
y x
là hàm số lẻ.
* Với
cos sin
y f x x x
. Ta có:..
,
f x f x f x
. Suy ra hàm số
cos sin
f x x x
không chẵn không lẻ.
* Với
2
cos sin
y f x x x
. Ta có
2
cos sin
f x x x
Trang 9
2
2
2
cos sin cos sin cos sin
x x x x x x
f x f x
. Suy ra hàm số
2
cos sin
y x x
là hàm chẵn. Chọn C.
* Với
cos sin
y f x x x
. Ta có
cos .sin cos sin
f x x x x x
f x f x
. Suy ra hàm số
cos sin
y x x
là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
a)
sin 2
y x
b)
cos
y x x
c)
cos .cot
y x x
d)
tan
sin
x
y
x
Lời giải:
* Xét hàm số
sin 2
y f x x
.
TXĐ:
D
. Do đó
x D x D
.
Ta có
sin 2 sin 2
f x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
cos
y f x x x
.
TXĐ:
D
. Do đó
x D x D
.
Ta có:
.cos cos
f x x x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
cos cot
y f x x x
TXĐ:
\
D k k
. Do đó
x D x D
.
Ta có
cos .cot cos cot
f x x x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
tan
sin
x
y f x
x
TXĐ:
\
2
D k k
. Do đó
x D x D
.
Ta có
tan
tan tan
sin sin sin
x
x x
f x f x f x
x x x
là hàm số chẵn. Chọn D.
Ví dụ 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
a)
sin
y x
b)
2
sin
y x x
c)
cos
x
y
x
d)
sin
y x x
Lời giải:
Dựa vào c dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ phần lí thuyết ta dễ ng thấy rằng ở phương án A hàm
số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A.
Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
Trang 10
a)
2
cos sin
y x x
. b)
sin cos
y x x
.
c)
cos
y x
. d)
sin .cos3
y x x
.
Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ phần thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A C là
các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số
sin 2
f x x
2
tan
g x x
. Chọn mệnh đề đúng
a)
f x
là hàm số chẵn,
g x
là hàm số lẻ. b)
f x
là hàm số lẻ,
g x
là hàm số chẵn.
c)
f x
là hàm số chẵn,
g x
là hàm số chẵn. d)
f x
g x
đều là hàm số lẻ.
Lời giải:
* Xét hàm số
sin 2
f x x
.
TXĐ:
D
. Do đó
x D x D
.
Ta có
sin 2 sin 2
f x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
2
tan
g x x
TXĐ:
\
2
D k k
. Do đó
x D x D
.
Ta có
2
2
2
tan tan tan
g x x x x g x f x
là hàm số chẵn. Chọn B.
Ví dụ 9. Cho hai hàm số
2
cos 2
1 sin 3
x
f x
x
2
sin 2 cos3
2 tan
x x
g x
x
.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a)
f x
lẻ và
g x
chẵn. b)
f x
g x
chẵn.
c)
f x
chẵn,
g x
lẻ. d)
f x
g x
lẻ.
Lời giải:
* Xét hàm số
2
cos 2
1 sin 3
x
f x
x
TXĐ:
D
. Do đó
x D x D
.
Ta có
2 2
cos 2
cos2
1 sin 3 1 sin 3
x
x
f x f x f x
x x
là hàm số chẵn.
* Xét hàm số
2
sin 2 cos3
2 tan
x x
g x
x
.
TXĐ:
\
2
D k k
. Do đó
x D x D
.
Ta có
2 2
sin 2 cos 3
sin 2 cos3
2 tan 2 tan
x x
x x
g x g x g x
x x
là hàm số chẵn.
Vậy
f x
g x
chẵn. Chọn B.
Trang 11
Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
a) Hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
b) Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
c) Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
d) Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu
.
Lời giải:
Vì hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
. Chọn C.
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?
a)
cos
y x
. b)
cos2
y x
.
c)
2
cos
y x x
. d)
1
sin 2
y
x
.
Lời giải:
* Hàm s
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
* Hàm s
cos2
y x
tuần hoàn với chu kì
T
.
* Hàm s
1
sin 2
y
x
tuần hoàn với chu kì
T
.
* Hàm s
2
cos
y x x
không phải là hàm tuần hoàn. Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số
sin 5
4
y x
a)
2
5
T
b)
5
2
T
c)
2
T
d)
8
T
Lời giải:
Hàm số
sin
y ax b
tuần hoàn với chu kì
2
T
a
.
Áp dụng: Hàm số
sin 5
4
y x
tuần hoàn với chu kì
2
5
T
. Chọn A.
Ví dụ 4. Tìm chu kì T của hàm số
cos 2016
2
x
y
a)
4
T
b)
2
T
c)
2
T
d)
T
Lời giải:
Trang 12
Hàm số
cos
y ax b
tuần hoàn với chu kì
2
T
a
Áp dụng: Hàm số
cos 2016
2
x
y
tuần hoàn với chu kì
4
T
. Chọn A.
Ví dụ 5. Tìm chu kì T của hàm số
cos 2 sin
2
x
y x
.
a)
4
T
. b)
T
.
c)
2
T
. d)
2
T
.
Lời giải:
Hàm số
cos 2
y x
tuần hoàn với chu kì
1
2
2
T
.
Hàm số
sin
2
x
y
tuần hoàn với chu kì
2
2
4
1
2
T
Suy ra hàm số
cos 2 sin
2
x
y x tuần hoàn với chu kì
4
T
. Chọn A.
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của
1
T
2
T
.
Ví dụ 6. Tìm chu kì T của hàm số
cos3 cos 5
y x x
.
a)
T
b)
3
T
c)
2
T
d)
5
T
Lời giải:
Hàm số
cos3
y x
tuần hoàn với chu kì
1
2
3
T
.
Hàm số
cos5
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
5
T
.
Suy ra hàm số
cos3 cos 5
y x x
tuần hoàn với chu kì
2
T
. Chọn C.
Ví dụ 7. Tìm chu kì T của hàm số
sin 2 2cos 3
3 4
y x x
.
a)
2
T
. b)
T
.
c)
3
T
. d)
4
T
.
Lời giải:
Hàm số
sin 2
3
y x
tuần hoàn với chu kì
1
2
2
T
.
Hàm số
2cos 3
4
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
3
T
.
Suy ra hàm số
sin 2 2cos 3
3 4
y x x
tuần hoàn với chu kì
2
T
. Chọn A
Trang 13
Ví dụ 8. Tìm chu kì T của hàm số
tan 3 cot
y x x
.
a)
4
T
. b)
T
.
c)
3
T
. d)
3
T
.
Lời giải:
Hàm số
cot
y ax b
tuần hoàn với chu kì
T
a
Áp dụng: Hàm số
tan 3
y x
tuần hoàn với chu kì
1
3
T
.
Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
Suy ra hàm số
tan 3 cot
y x x
tuần hoàn với chu kì
T
. Chọn B.
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của
1
T
2
T
.
Ví dụ 9. Tìm chu kì T của hàm số
cot sin 2
3
x
y x
a)
4
T
. b)
T
.
c)
3
T
. d)
3
T
.
Lời giải:
Hàm số
cot
3
x
y tuần hoàn với chu kì
1
3
T
.
Hàm số
sin 2
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
Suy ra hàm số
cot sin 2
3
x
y x
tuần hoàn với chu kì
3
T
. Chọn C.
Ví dụ 10. Tìm chu kì T của hàm số
2 2
2sin 3cos 3
y x x
a)
T
. b)
2
T
.
c)
3
T
. d)
3
T
.
Lời giải:
Ta có
1 cos 2 1 cos6 1
2. 3. 3cos 6 2cos 2 5
2 2 2
x x
y x x
Hàm số
3cos6
y x
tuần hoàn với chu kì
1
2
6 3
T
.
Hàm số
2cos 2
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì
T
. Chọn A.
Ví dụ 11. Tìm chu kì T của hàm số
2
tan 3 cos 2
y x x
Trang 14
a)
T
. b)
3
T
.
c)
2
T
. d)
2
T
.
Lời giải:
Ta có
1 cos 4 1
tan 3 2 tan3 cos 4 1
2 2
x
y x x x
.
Hàm số
2 tan3
y x
tuần hoàn với chu kì
1
3
T
.
Hàm số
cos 4
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
4 2
T
.
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì
T
. Chọn C.
Ví dụ 12. Hàm số nào sau đây có chu kì khác
2
?
a)
3
cos
y x
. b)
sin cos
2 2
x x
y
.
c)
2
sin 2
y x . d)
2
cos 1
2
x
y
.
Lời giải:
Hàm số
3
1
cos cos3 3cos
4
y x x x
có chu kì là
2
.
Hàm số
1
sin cos sin
2 2 2
x x
y x
có chu kì là
2
.
Hàm số
2
1 1
sin 2 cos 2 4
2 2
y x x có chu kì là
.
Hàm số
2
1 1
cos 1 cos 2
2 2 2
x
y x
có chu kì là
2
. Chọn C.
Ví dụ 13. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
a)
cos
y x
cot
2
x
y
. b)
sin
y x
tan 2
y x
.
c)
sin
2
x
y
cos
2
x
y . d)
tan 2
y x
cot 2
y x
.
Lời giải:
Hàm số
cos
y x
cot
2
x
y có cùng chu kì là
2
.
Hàm số
sin
y x
có chu kì là
2
, hàm số
tan 2
y x
có chu kì là
2
.
Hàm số
sin
2
y
cos
2
x
y có cùng chu kì là
4
.
Trang 15
Hàm số
tan 2
y x
cot 2
y x
có cùng chu kì là
2
. Chọn B.
Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
* Miền giá trị:
2 2
1 sin 1; 1 cos 1; 0 sin 1; 0 cos 1
kx kx kx kx
* Với hàm số
2 2 2 2
.sin .cos
y a x b x a b y a b
* Với hàm số
.sin .cos
.sin .cos
a x b x c
y
m x n x p
nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
2
4sin 4sin 3
y x
b)
2
cos 2sin 2
y x x
Lời giải:
a)
2
2
4sin 4sin 3 2sin 1 2
y x x x
Ta có:
2
1 sin 1 3 2sin 1 1 0 2sin 1 9 2 9
x x x y
max 9 sin 1 2
2
,
1 5
min 2 sin 2 , 2
2 6 6
y x x k
k l
y x x l x l
b)
2
2 2
cos 2sin 2 sin 2sin 3 4 sin 1
y x x x x x
Ta có:
2
1 sin 1 2 sin 1 0 0 2sin 1 4 0 4
x x x y
max 4 sin 1 2
2
,
min 0 sin 1 2
2
y x x k
k l
y x x l
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)
4 2
sin 2cos 1
y x x
b)
3 sin 2 cos 2
y x x
Lời giải:
a)
2
4 2 4 2 2
sin 2cos 1 sin 2sin 1 sin 1 2
y x x x x x
Ta có:
2
2 2 2
0 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1 2 1 2
x x x y
2
2
max 2 sin 1 2
,
2
min 1 sin 0
y x x k
k l
y x x l
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Trang 16
2 2
2
2 2 2
3 sin 2 cos 2 3 1 sin cos 4 2 2
y x x x x y
sin 2 cos 2
max 2 0
1 6
3
,
sin 2 cos 2
min 2 0
1 6
3
x x
y x k
k l
x x
y x k
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin 3 cos 3
y x x
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2 2
2
2 2
sin 3 cos 1 3 sin cos 4 2 sin 3 cos 2 1 5
x x x x x x y
sin cos
max 5 0 2
1 6
3
,
sin cos 5
min 1 0 2
1 6
3
x x
y x k
k l
x x
y x k
Ví dụ 4. Cho hàm số
2sin 2
3
y x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a)
4,
y x
. b)
4,
y x
.
c)
0,
y x
. d)
2,
y x
.
Lời giải:
Ta có:
1 sin 1 2 2sin 2
3 3
x x
4 2sin 2 0 4 0
3
x y
. Chọn C.
Ví dụ 5. Hàm số
5 4sin 2 cos 2
y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
a) 3. b) 4.
c) 5. d) 6.
Lời giải:
Ta có
5 4sin 2 cos 2 5 2sin 4
y x x x
.
1 sin 4 1 2 2sin 4 2 3 5 2sin 4 7
x x x
3 7 3; 4; 5; 6; 7

y
y y nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C
Ví dụ 6. Hàm số
sin sin
3
y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
a) 1. b) 2.
c) 3. d) 4.
Lời giải:
Trang 17
Áp dụng công thức
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
, ta có
sin sin 2cos sin cos
3 6 6 6
x x x x
Ta có
1 cos 1 1 1 1; 0; 1
6

y
x y
. Chọn C
Ví dụ 7. Hàm số
4 4
sin cos
y x x
đạt giá trị nhỏ nhất tại
0
x x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a)
0
2 ,
x k k
. b)
0
,
x k k
.
c)
0
2 ,
x k k
. d)
0
,
2
x k k
.
Lời giải:
Ta có
4 4 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos cos 2
y x x x x x x x
.
1 cos 2 1 1 cos 2 1 1 1
x x y
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Đẳng thức xảy ra
cos2 1 2 2
x x k x k k
. Chọn B
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
2
4sin 2 sin 2
4
y x x
.
a)
2
M . b)
2 1
M .
c)
2 1
M
. d)
2 2
M
.
Lời giải:
Ta có
2
1 cos2
4sin 2 sin 2 4 sin 2 cos2
4 2
x
y x x x x
sin 2 cos2 2 2 sin 2 2
4
x x x
.
1 sin 2 1 2 2 2 sin 2 2 2 2
4 4
x x
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
2 2
. Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số
6 6
sin cos
y x x
a)
0; 2
T . b)
1
; 1
2
T
.
c)
1
; 1
4
T
. d)
1
0;
4
T
.
Lời giải:
Ta có
2
6 6 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
y x x x x x x x x
Trang 18
2 2 2
3 3 1 cos 4 5 3
1 3sin cos 1 sin 2 1 . cos 4
4 4 2 8 8
x
x x x x
.
1 5 3 1
1 cos 4 1 cos 4 1 1
4 8 8 4
x x y . Chọn C
dụ 10. Gọi M, m lần lượt là g trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củam số
2
8sin 3cos 2
y x x
. Tính
2
2
P M m
.
a)
1
P
. b)
2
P
.
c)
112
P
. d)
130
P
.
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2
8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin 3
y x x x x x
.
2 2
1 sin 1 0 sin 1 3 2sin 3 5
x x
2
5
3 5 2 1
3
M
y P M m
m
. Chọn A.
Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
2
2sin 3 sin 2
y x x
.
a)
2 3
m . b)
1
m .
c)
1
m
. d)
3
m
.
Lời giải:
Ta có
2
2sin 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2
y x x x x
3 1
3 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 cos2 1
2 2
x x x x
2 sin 2 cos sin cos 2 1 2sin 2 1
6 6 6
x x x
1 sin 2 1 1 1 2sin 2 3 1 3
6 6
x x y
.
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B.
Trang 19
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm tập xác định D củam s
1 sin
cos 1
x
y
x
A.
D
. B.
\ ,
2
D k k
.
C.
\ ,D k k
. D.
\ 2 ,D k k
.
Câu 2.m tp xác định D củam số
1
sin
2
y
x
A.
\ ,
2
D k k
. B.
\ ,D k k
.
C.
\ 1 2 ,
2
D k k
. D.
\ 1 2 ,D k k
.
Câu 3.m tp xác định D củam số
cot 2 sin 2
4
y x x
.
A.
\ ,
4
D k k
. B. D
Ø
.
C.
\ ,
8 2
D k k
. D.
D
.
Câu 4.m tp xác định D củam số
2
3tan
2 4
x
y
.
A.
3
\ 2 ,
2
D k k
. B.
\ 2 ,
2
D k k
.
C.
3
\ ,
2
D k k
. D.
\ ,
2
D k k
.
Câu 5. Tìm tập xác định D củam s
2
3tan 5
1 sin
x
y
x
.
A.
\ 2 ,
2
D k k
. B.
\ ,
2
D k k
.
C.
\ ,D k k
. D.
cos 1 sin 0 ,x x x k k
.
Câu 6.m tp xác định D củam số
sin 2
y x
A.
D
. B.
2;D
. C.
0; 2
D
. D. D
Ø
.
Câu 7.m tp xác định D củam số
1
1 sin
y
x
Trang 20
A.
\ ,D k k
. B.
\ ,
2
D k k
.
C.
\ 2 ,
2
D k k
. D. D
Ø
.
Câu 8. Tập xác định củam số
1 cos
sin 1
x
y
x
A.
\
2
k k
. B.
\ k k
.
C.
\ 2k k
. D.
\ 2
2
k k
.
Câu 9. Tập xác định của m số
cot
cos 1
x
y
x
A.
\ ,
2
k
D k
. B.
\ ,
2
k
D k k
.
C.
\ ,D k k
. D.
\ 2 ,D k k
.
Câu 10. Tập xác định của hàm số
1
1 cos
f x
x
A.
\ 2 1 ,
2
D k k
. B.
\ 2 1 ,D k k
.
C.
\ ,D k k
. D.
\ 2 ,D k k
.
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số
cot sin 5 cos
y x x x
.
A.
\
2
k k
. B.
\ 2
2
k k
.
C.
\ k k
. D.
\ 2k k
.
Câu 12.m tp giá trị của hàm số
2cos3 1
y x
.
A.
3; 1
. B.
3; 1
. C.
1; 3
. D.
1; 3
.
Câu 13.m tp xác định D của hàm số
3sin
2cos 1
x
y
x
A.
4
\ 2 , 2 ,
3 3
D k k k
. B.
2
\ 2 ,
3
D k k
.
C.
5
\ 2 ,
6
D k k
. D.
\ 2 ,
3
D k k
.
Câu 14. Tìm điều kiện xác định của hàm số
tan
cos 1
x
y
x
Trang 21
A.
2
x k
. B.
2
3
x k
. C.
2
2
x k
x k
. D.
2
3
x k
x k
.
Câu 15. Tìm điều kiện đểm số
2cos
sin 1
x
y
x
có nghĩa.
A.
2
x k k
. B.
2x k k
.
C.
2
2
x k k
. D.
x k k
.
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số
sin 1
sin 2
x
y
x
A.
2;
. B.
. C.
2;
. D.
\ 2
.
Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định là
?
A.
1 sin 2
y x
. B.
2
tan
cos 1
x
y
x
. C.
sin cot 2
y x x
. D.
sin
y x
.
Câu 18. Tìm tập giá trị của hàm số
cos 2 1
y x
A.
1; 1
. B.
1; 1
. C.
. D.
2; 2
.
Câu 19. Tìm tập xác định của hàm số
2
cot
sin 3
1 sin
x
y x
x
.
A.
\ ,
2
k
k
. B.
\ ,k k
.
C.
\ 2 ,
2
k k
. D.
\ 2 ,
2
k k
Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số
2cos3 1
cos 1
x
y
x
A.
\D k k
. B.
\ 2D k k
.
C. \
2
D k k
. D.
\ 2D k k
.
Câu 21. Tìm tập xác định của hàm s
sin 2 2
1 cos
x
f x
x
A.
D
. B.
\ 2 ,D k k
.
C.
2 ,D k k
. D.
\ ,D k k
.
Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
sin
y x
. B.
cos
y x
. C.
tan
y x
. D.
cot
y x
.
Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
Trang 22
A.
sin
y x
. B.
cos sin
y x x
. C.
2
cos sin
y x x
. D.
cos sin
y x x
.
Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A.
sin 2
y x
. B.
cos
y x x
. C.
cos cot
y x x
. D.
tan
sin
x
y
x
.
Câu 25. Trongc hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A.
sin cos2
y x x
. B.
3
sin cos
2
y x x
.
C.
2
tan
tan 1
x
y
x
. D.
3
cos sin
y x x
.
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.
2
cos sin
y x x
. B.
sin cos
y x x
. C.
cos
y x
. D.
sin cos3
y x x
.
Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.
sin
2
y x
. B.
2
sin
y x
. C.
cot
cos
x
y
x
. D.
tan
sin
x
y
x
.
Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.
2
1 sin
y x
. B.
2
cot .sin
y x x
.
C.
2
tan 2 cot
y x x x
. D.
1 cot tan
y x x
.
Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A.
3
1
sin
y
x
. B.
sin
4
y x
.
C.
2 cos
4
y x
. D.
sin 2
y x
.
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số
sin
y x
đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số
cos
y x
đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số
tan
y x
đối xứng qua truc Oy.
D. Đồ thị hàm số
tan
y x
đối xứng qua gốc tọa độ O.
Câu 31. Trongc hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A.
4
cos
3
y x x
. B.
2017
cos
2
y x x
.
C.
2018
2015 cos sin
y x x
. D.
2017 2018
tan sin
y x x
.
Câu 32. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
B. Hàm số
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
Trang 23
C. Hàm số
tan
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
D. Hàm số
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A.
sin
y x
. B.
sin
y x x
. C.
cos
y x x
. D.
sin
x
y
x
.
Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số
cos 2016
2
x
y
A.
4
T
. B.
2
T
. C.
2
T
. D.
T
.
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số
1
sin 100 50
2
y x
.
A.
1
50
T . B.
1
100
T . C.
50
T
. D.
2
200
T
.
Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số
sin 2 2cos 3
3 4
y x x
A.
2
T
. B.
T
. C.
3
T
. D.
4
T
.
Câu 37. Tìm chu kì T của hàm số
sin tan 2
2 4
x
y x
.
A.
4
T
. B.
T
. C.
3
T
. D.
2
T
.
Câu 38. Tìm chu kì T của hàm số
2
2cos 2017
y x
.
A.
3
T
. B.
2
T
C. T
. D.
4
T
.
Câu 39. Hàm số nào sau đây có chu kì khác
?
A.
sin 2
3
y x
. B.
cos 2
4
y x
. C.
tan 2 1
y x
. D.
cos .sin
y x x
.
Câu 40. Với
0;
4
x
, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Cả hai hàm số
sin 2
y x
1 cos 2
y x
đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số
sin 2
y x
1 cos 2
y x
đều đồng biến.
C. Hàm số
sin 2
y x
nghịch biến, hàm số
1 cos 2
y x
đồng biến.
D. Hàm số
sin 2
y x
đồng biến, hàm số
1 cos 2
y x
nghịch biến.
Câu 41. Hàm số
sin 2
y x
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
0;
4
. B.
;
2
. C.
3
;
2
. D.
3
; 2
2
.
Câu 42. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng
;
3 6
A.
tan 2
6
y x
. B.
cot 2
6
y x
. C.
sin 2
6
y x
. D.
cos 2
6
y x
.
Trang 24
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
3sin 2
y x
A.
1; 5
M m
. B.
3; 1
M m
. C.
2; 2
M m
. D.
0; 2
M m
.
Câu 44. Tìm tập giá trị T của hàm số
3cos 2 5
y x
.
A.
1; 1
T . B.
1; 11
T . C.
2; 8
T . D.
5; 8
T .
Câu 45. Tìm tập giá trị T của hàm số
5 3sin
y x
.
A.
1; 1
T . B.
3; 3
T . C.
2; 8
T . D.
5; 8
T .
Câu 46. Cho hàm số
2sin 2
3
y x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
4,y x
B.
4,y x
C.
0,y x
D.
2,y x
Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
1
cos 1
y
x
A.
1
2
m
. B.
1
2
m . C.
1
m
. D.
2
m .
Câu 48. Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cos
y x x
. Tính
P M m
.
A.
4
P
. B.
2 2
P . C.
2
P . D.
2
P
.
Câu 49. Tập giá trị T của hàm số
sin 2017 cos2017
y x x
.
A.
2; 2
T . B.
4034; 4034
T . C.
2; 2
T
. D.
0; 2
T
.
Câu 50. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
1 2 cos3
y x
A.
3; 1
M m
. B.
1; 1
M m
. C.
2; 2
M m
. D.
0; 2
M m
.
Câu 51. Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
8sin 3cos 2
y x x
. Tính
2
2
M m
A. 1. B. 2. C. 112. D. 130.
Câu 52. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
2
2sin 3 sin 2
y x x
A.
2 3
. B. -1. C. 1. D.
3
.
Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số
12sin 5cos
y x x
A.
1; 1
. B.
7; 7
. C.
13; 13
. D.
17; 17
.
Câu 54. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
4sin 2 3cos 2
y x x
A. 3. B. 1. C. 5. D. 4.
Câu 55. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củam số
2
sin 4sin 5
y x x
. Tính
2
2
M m
A. 1. B. 7. C. 8. D. 2.
Trang 25
Câu 56. Hàm số
2
cos cos
y x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 57. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số
4 2
sin 2cos 1
y x x
A.
2, 2
M m
. B.
1, 0
M m
. C.
4, 1
M m
. D.
2, 1
M m
.
Câu 58. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
4sin cos 4
y x x
A. -3 B. -1 C. 3 D. -5
Câu 59. Cho hàm số
cos 2 cos 1
f x x x
. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
A.
1
min
8
f x
. B.
1
min
4
f x
. C.
1
min
8
f x
. D.
1
min
4
f x
.
Câu 60. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 sin
cos 2
x
y
x
. Tính M. m.
A. 2. B. 0. C. -2. D. -1.
Câu 61. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
.
A.
3 5
2
. B. 1. C.
1
3
. D.
2 6
2
.
Câu 62. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
sin 2cos 3
2sin cos 4
x x
P
x x
.
A. 2. B. 3. C.
9
11
. D.
2
11
.
Câu 63. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
sin cos
2sin cos 3
x x
y
x x
lần lượt là
A.
1
1;
2
m M
. B.
1; 2
m M
. C.
1
; 1
2
m M
. D.
1; 2
m M
.
Câu 64. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
.
A.
2
M
. B.
3
M
. C.
3
M
. D.
1
M
.
Câu 65. Gọi T tập giá trị của hàm số
2
1 3
sin cos2 3
2 4
y x x
. Tìm tổng các giá trị nguyên của T
A. 4. B. 6. C. 7. D. 3.
Câu 66. Tập giá trị của hàm số
cos 1
sin 1
x
y
x
trên
0;
2
A.
1
; 2
2
B.
0; 2
C.
1
; 2
2
D.
1
; 2
2
Câu 67. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 2
1 1
1 cos 5 2sin
2 2
y x x
Trang 26
A.
11
2
B.
1 5
C.
5
1
2
D.
22
2
Câu 68. Cho hàm số
1 sin
cos 2
m x
y
x
. bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
0; 10
để
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2?
A. 1. B. 9. C. 3. D. 6.
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
3sin 1 0
x m
có nghiệm?
A. 7. B. 6. C. 3. D. 5.
Câu 70. bao nhiêu giá trị nguyên của tham sm để hàm số
5 sin 1 cos
y m x m x
c định
trên
?
A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.
Câu 71. Số gicó ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi
một hàm s
4sin 60 10,
178
y t t
0 365
t
. Vào ngày nào trong năm thành phố A
nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
A. 28 tháng 5 B. 29 tháng 5 C. 30 tháng 5 D. 31 tháng 5
Câu 72. Hàng ngày, mực nước của con kênh n xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong
kênh nh theo thời gian t(h) được cho bởi công thức
3cos 12
8 4
t
h
. Mực nước của kênh cao
nhất khi
A.
13
t h
B.
14
t h
C.
15
t h
D.
16
t h
Câu 73. Hàng ngày, mực nước của con kênh n xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong
kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức
3cos 12
6 3
t
h
. Khi nào mực nước của
kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A.
22
t h
. B.
15
t h
. C.
14
t h
. D.
10
t h
.
Câu 74. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
sin
2
x
y
B.
cos
2
x
y
C.
cos
4
x
y
D.
sin
2
x
y
Câu 75. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Trang 27
A.
2
cos
3
x
y
B.
2
sin
3
x
y
C.
3
cos
2
x
y
D.
3
sin
2
x
y
Câu 76. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
sin
4
y x
B.
3
cos
4
y x
C.
2 sin
4
y x
D.
cos
4
y x
Câu 77. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
sin
4
y x
B.
cos
4
y x
C.
2 sin
4
y x
D.
2 cos
4
y x
Câu 78. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
sin
y x
B.
sin
y x
C.
sin
y x
D.
sin
y x
Câu 79. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
Trang 28
A.
cos
y x
B.
cos
y x
C.
cos
y x
D.
cos
y x
Câu 80. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
sin 1
2
y x
B.
2sin
2
y x
C.
sin 1
2
y x
D.
sin 1
2
y x
Câu 81. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A.
1 sin
y x
B.
sin
y x
C.
1 cos
y x
D.
1 sin
y x
Câu 82. Cho hàm số
y f x
c định trên
\ ,
2
k k
và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm
số
y f x
hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
tan
y x
B.
cos
y x
C.
sin
y x
D.
cot
y x
Trang 29
Câu 83. y nêu tất cả các m số trong c hàm số
sin , cos , tan , cot
y x y x y x y x
thỏa mãn
điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng
; 0
2
A.
tan
y x
B.
cos , cot
y x y x
C.
tan , sin
y x y x
D.
cos , tan
y x y x
Câu 84. Hình chữ nhật ABCD hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số
cos
y x
(như hình vẽ). Biết rằng
2
3
AB
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu?
A.
2
3
B.
2
3
C.
3
D.
2
2
3
Câu 85. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm s
sin
y x
trên đoạn
0;
, các điểm C, D thuộc trục Ox
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và
2
3
CD
. Tính độ dài đoạn BC
A.
2
2
B.
1
2
C. 1 D.
3
2
Trang 30
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-D 2-C 3-C 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-D 10-D
11-C 12-C 13-B 14-C 15-C 16-B 17-A 18-A 19-A 20-D
21-B 22-B 23-C 24-D 25-B 26-D 27-C 28-C 29-A 30-A
31-B 32-C 33-A 34-A 35-A 36-A 37-A 38-C 39-C 40-A
41-A 42-C 43-A 44-C 45-C 46-C 47-A 48-B 49-C 50-B
51-A 52-B 53-C 54-C 55-D 56-C 57-D 58-B 59-A 60-D
61-D 62-A 63-A 64-D 65-C 66-A 67-D 68-D 69-A 70-B
71-B 72-B 73-D 74-D 75-A 76-A 77-D 78-D 79-B 80-A
81-D 82-A 83-C 84-C 85-B
Câu 1: Hàm số xác định khi
cos 1 2
x x k
. Vậy
\ 2 ,D k k
. Chọn D
Câu 2: Hàm số xác định khi
sin 0
2 2
x x k
.
Vậy
\ ,
2
D k k
. Chọn C.
Câu 3: Hàm số xác định
sin 2 0 2 ,
4 4 8 2
k
x x k x k
.
Vậy tập xác định
\ ,
8 2
D k k
. Chọn C.
Câu 4: Hàm số xác định khi
2
3
cos 0 2 ,
2 4 2 4 2 2
x x
k x k k
.
Vậy tập xác định
3
\ 2 ,
2
D k k
. Chọn A
Câu 5: Hàm số xác định khi
2
1 sin 0
x
tan
x
xác định
2
sin 1
cos 0 ,
2
cos 0
x
x x k k
x
.
Vậy tập xác định
\ ,
2
D k k
. Chọn B.
Câu 6: Ta có 1 sin 1 1 sin 2 3,x x
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của
sin 2
x
với mọi
x
.
Vậy tập xác định
D
. Chọn A
Câu 7: Hàm số xác định khi và chỉ khi
1 sin 0 sin 1
x x
(*)
1 sin 1
x
nên
* sin 1 2 ,
2
x x k k
.
Trang 31
Vậy tập xác định
\ 2 ,
2
D k k
. Chọn C.
Câu 8: Hàm số xác định khi
sin 1 ,
2
x x k k
. Chọn D.
Câu 9: Hàm số xác định khi
sin 0
cos 1 2 ,
cos 1 0
x
x x k k
x
. Chọn D.
Câu 10: Hàm số xác định khi
cos 1 2 ,x x k k
. Chọn D.
Câu 11: Hàm số xác định khi
sin 0 ,x x k k
Chọn C.
Câu 12: Ta có
1 cos3 1 2 2cos3 2 1 3
x x y
. Vậy
1; 3
T . Chọn C.
Câu 13: Hàm số xác định khi
1 2
cos ,
2 3
x x k k
. Chọn B.
Câu 14: Hàm số xác định khi
cos 0
2
cos 1
2
x
x k
x
x k
. Chọn C.
Câu 15: Hàm số xác định khi
sin 1 2 ,
2
x x k k
. Chọn C.
Câu 16: Hàm số xác định khi
sin 2
x
(luôn đúng). Vậy
D
. Chọn B.
Câu 17: Ta có
sin 2 1; 1 1 sin 2 0;x x x
nên
1 sin 2
y x
D
. Chọn A.
Câu 18: Ta có
1 cos 2 1 1 1; 1
x T . Chọn A.
Câu 19: Hàm số xác định khi
2
sin 0
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
1 sin 0
x
x
k
x x
x
x
. Chọn A.
Câu 20: Hàm số xác định khi
cos 1 2
x x k
Vậy
\ 2 ,D k k
. Chọn D.
Câu 21: Hàm số xác định khi
sin 2 2
0
1 cos
x
x
sin 2 1; 1 sin 2 2 1; 3
x x
Do đó
1 cos 0 cos 1 cos 1
x x x
(vì
cos 1
x
)
2
x k
. Chọn B.
Câu 22: Nhắc lại kiến thức cơ bản:
* Hàm s
sin
y x
là hàm số lẻ.
* Hàm s
cos
y x
là hàm số chẵn.
* Hàm s
tan
y x
là hàm số lẻ.
* Hàm s
cot
y x
là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng. Chọn B.
Câu 23: Kiểm tra
f x f x
hoặc
f x f x
.
* Với
sin
y f x x
. Ta
sin sin sin
f x x x x
Trang 32
f x f x
. Suy ra hàm số
sin
y x
là hàm số lẻ.
* Với
cos sin
y f x x x
. Ta có
cos sin cos sin
f x x x x x
,
f x f x f x
. Suy ra hàm số
cos sin
y x x
không chẵn không lẻ.
* Với
2
cos sin
y f x x x
. Ta có
2
cos sin
f x x x
2
2
2
cos sin cos sin cos sin
x x x x x x
f x f x
. Suy ra hàm số
2
cos sin
y x x
là hàm số chẵn. Chọn C
* Với
cos sin
y f x x x
. Ta có
cos .sin cos sin
f x x x x x
f x f x
. Suy ra hàm số
cos sin
y x x
là hàm số lẻ.
Câu 24:
* Xét hàm số
sin 2
y f x x
.
Ta có
sin 2 sin 2
f x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
cos
y f x x x
Ta có
.cos cos
f x x x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
cos cot
y f x x x
.
Ta có
cos .cot cos cot
f x x x x x f x f x
là hàm số lẻ.
* Xét hàm số
tan
sin
x
y f x
x
Ta có
tan
tan tan
sin sin sin
x
x x
f x f x f x
x x x
là hàm số chẵn. Chọn D.
Câu 25: Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Xét đáp án B, ta có
3 3 4
sin .cos sin .sin sin
2
y f x x x x x x
Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Chọn B.
Câu 26:
Hàm số
2 2
cos sin cos sin cos sin
y x x y x x x x x y x
Hàm số
sin cos sin cos sin cos
y x x y x x x x x
Hàm số
cos cos cos
y x y x x x
Hàm số
sin cos3 sin .cos 3 sin cos3
y x x y x x x x x y x
Do đó hàm số
sin cos3
y x x
là hàm số lẻ. Chọn D.
Trang 33
Câu 27: Ta có
sin cos
2
y x x y x y x
Hàm số
2
2 2
sin sin sin
y x y x x x
Hàm số
tan
tan tan tan
sin sin sin sin
x
x x x
y y x
x x x x
Hàm số
cot
cot cot
cos cos cos
x
x x
y y x y x
x x x
hàm số là hàm số lẻ. Chọn C.
Câu 28: Hàm số
2
tan 2 cot
f x x x x
2
2
tan 2 cot tan 2 cot
f x x x x x x x
Suy ra
f x f x
nên hàm số
2
tan 2 cot
f x x x x
là hàm số lẻ. Chọn C.
Câu 29: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ta có:
3 3 3 3
1 1 1 1
sin sin
sin
sin
f x f x
x x
x
x
Suy ra hàm số
3
1
sin
y
x
là hàm số lẻ. Chọn A.
Câu 30: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm s
sin
y x
sin sin
y x x x
hàm số chẵn nên đthị đối xứng qua trục Oy.Vậy
khẳn định sai là A. Chọn A.
Câu 31: Hàm số
4
4 4
cos cos cos
3 3 3
y x x y x x x x x
Suy ra hàm số khônghàm lẻ.
Hàm số
2017 2017 2017
cos cos sin
2 2
y x x x x x x
Suy ra
2017
2017
sin sin
y x x x x x y x
nên hàm số ở ý B là hàm số lẻ.
Chọn B
Câu 32: Hàm số
sin
y x
cos
y x
tuần hoàn với chu kì
2
.
Hàm số
tan
y x
cot
y x
tuần hoàn với chu kì
.
Khẳng định sai là C. Chọn C
Câu 33: Ta có
sin 2 sin
x k x
nên hàm số
sin
y x
tuần hoàn với chu kì
2
. Chọn A.
Câu 34: Hàm số
cos 2016
2
x
y
tuần hoàn với chu kì
2
4
1
2
T
. Chọn A.
Trang 34
Câu 35: Hàm số
1
sin 100 50
2
y x
tuần hoàn với chu kì
2 1
100 50
T
. Chọn A.
Câu 36: Hàm số
sin 2
3
y x
tuần hoàn với chu kì
1
T
.
Hàm số
2cos 3
4
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
3
T
Bội số chung nhỏ nhất của
1
T
2
T
2
Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là
2
T
. Chọn A
Câu 37: Hàm số
sin
2
x
y tuần hoàn với chu kì
1
2
4
1
2
T
.
Hàm số
tan 2
4
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
T
.
Bội số chung nhỏ nhất của
1
T
2
T
4
Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là
4
T
. Chọn A.
Câu 38: Ta có
2
2cos 2017 1 cos 2 2017 2018 cos 2
y x x x
Do đó hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì
2
2
T
. Chọn C.
Câu 39: Hàm số
sin 2
3
y x
tuần hoàn với chu kì
2
2
T
.
Hàm số
cos 2 cos 2
4 2
y x x
tuần hoàn với chu kì
2
2
T
Hàm số
tan 2 1
y x
tuần hoàn với chu kì
2
T
.
Hàm số
1
cos .sin sin 2
2
y x x x
tuần hoàn với chu kì
2
2
T
. Chọn C.
Câu 40: Trên khoảng
0; 2 0;
4 2
x x
nên m số
sin 2
y x
đồng biến, m số
cos 2
y x
nghịch biến.
Do đó hàm số
sin 2
y x
nghịch biến hàm số
1 cos 2
y x
cũng nghịch biến trên khoảng
0;
4
x
. Chọn A.
Câu 41: Hàm số
sin 2
y x
đồng biến khi
2 ; ;
2 2 4 4
x x
Do đó hàm số
sin 2
y x
đồng biến trên khoảng
0;
4
. Chọn A.
Câu 42: Do
;
3 6
x
nên
2 ;
6 2 2
x
Trang 35
Mặt khác trên khoảng
;
2 2
thì hàm
sin
x
là hàm đồng biến.
Vậy trên khoảng
;
3 6
thì hàm số
sin 2
6
y x
là hàm đồng biến. Chọn C.
Câu 43: Do
sin 1; 1
x nên
3. 1 2 3sin 2 3 2 5 1
x y
.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1, 5
M m
. Chọn A.
Câu 44: Do
1 cos 2 1
x
suy ra
3 5 3cos 2 5 3 5 2 8
x y
.
Vậy tập giá trị của hàm số là
2; 8
T . Chọn C.
Câu 45: Do
sin 1; 1
x nên
5 3.1 5 3sin 5 3 1 2 8
x y
Vậy tập giá trị của hàm số là
2; 8
T . Chọn C.
Câu 46: Ta có
1 sin 1 2 2sin 2
3 3
x x
Do đó
4 2sin 2 0 0; 4
3
x y
. Chọn C.
Câu 47: Ta có
2
1 1
cos 1
2cos
2
y
x
x
, điều kiện
cos 0
2
x
Mặt khác
2
2
1 1 1
0 cos 1
2 2.1 2
2cos
2
x
x
Vậy giá trị nhỏ nhất m của hàm số là
min
1
2
y
. Chọn A.
Câu 48: Ta có
sin cos 2 sin
4
y x x x
Suy ra
2
2 2 2 2
2
M
y M m
m
. Chọn B.
Câu 49:
sin 2017 cos 2017 2 sin 2017
4
y x x x
Suy ra
2 2
y
nên tập giá trị của hàm số đã cho là
2; 2
T
. Chọn C.
Câu 50: Ta có
0 cos3 1
x
Suy ra
1 2.1 1 2 cos3 1 2.0 1 1
x y
Do đó
1; 1
M m
. Chọn B.
Câu 51: Ta có
1 cos 2
8. 3cos 2 4 cos2
2
x
y x x
cos2 1; 1
x
Trang 36
Suy ra
3 4 cos 2 5 5; 3
x M m
nên
2 2
2 2.5 3 1
M m
. Chọn A.
Câu 52: Ta có
1 cos 2
2. 3 sin 2 3 sin 2 cos 2 1
2
x
y x x x
Lại có
2 2
2
2 2
3 sin 2 cos 2 3 1 . sin 2 cos 2 4
x x x x
Suy ra
2
2
1 4 2 3 0 1; 3
y y y y . Chọn B.
Câu 53:
2 2
2 2 2 2 2
12sin 5cos 12 5 . sin cos 13 13; 13
y x x x x y
. Chọn C.
Câu 54:
2 2
2 2 2 2 2
4sin 2 3cos 2 4 3 . sin 2 cos 2 5 5; 5
y x x x x y
. Chọn C.
Câu 55: Đặt
sin 1; 1
t x nên hàm số trở thành:
2
4 5
f t t t
Ta có
2 1; 1
2
b
t
a
. Tính
1 10; 1 2 10; 2
f f M m
Vậy
2 2
2 10 2.2 2
M m
. Chọn D.
Câu 56: Đặt
cos 1; 1
t x nên hàm số trở thành:
2
f t t t
Ta có
1
1; 1
2 2
b
t
a
. Tính
1 1
1 2; 1 0;
2 4
f f f
Suy ra
1
2
4
f t
nên có tất cả 3 giá trị nguyên:
0; 1; 2
f t . Chọn C.
Câu 57: Ta có
4 2 4 2
sin 2. 1 sin 1 sin 2sin 1
y x x x x
Đặt
2
sin 0; 1
t x nên hàm số trở thành:
2
2 1
f t t t
Lại có
1 0; 1
2
b
t
a
. Tính
0 1; 1 2 2, 1
f f M m
. Chọn D.
Câu 58: Ta có
2
4 2 4 2
4sin 2cos 2 1 4sin 2. 1 2sin 1
y x x x x
4 4 2 4 2
4sin 2. 4sin 4sin 1 1 4sin 8sin 1
x x x x x
Đặt
2
sin 0; 1
t x nên hàm số trở thành:
2
4 8 1
f t t t
Lại có
1 0; 1
2
b
t
a
. Tính
0 1; 1 3
f f
min 1
y
. Chọn B
Câu 59: Ta có
2 2
2cos 1 cos 1 2cos cos
y x x x x
Đặt
cos 1; 1
t x nên hàm số trở thành:
2
2
f t t t
Lại có
1
1; 1
2 4
b
t
a
. Tính
1 1
1 3, 1 1,
4 8
f f f
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
1
min
8
f x
. Chọn A.
Trang 37
Câu 60: Ta có
. cos 2 3 sin 3 sin .cos 2
y x x x y x y
Phương trình có nghiệm khi
2
2 2
2
3 2 1 1; 1
y y y y . Chọn D.
Câu 61: Ta có
. sin cos 2 sin cos 1 1 sin 1 cos 2 1
y x x x x y x y x y
Phương trình có nghiệm khi:
2 2 2
2
2 6
1 1 2 1 2 4 1 0
2
y y y y y y
.
Chọn D.
Câu 62: Ta có
sin 2cos 3
. 2sin cos 4 sin 2cos 3
2sin cos 4
x x
P P x x x x
x x
2 .sin .cos 4 sin 2cos 3 2 1 .sin 2 .cos 4 3
P x P x P x x P x P x P
Phương trình có nghiệm khi:
2 2 2
2
2 1 2 4 3 2
11
P P P P
. Chọn A.
Câu 63: Ta có
2sin cos 3 0x x x
Khi đó
sin cos
sin cos 2sin cos 3
2sin cos 3
x x
y x x y x x
x x
2 1 sin 1 cos 3 *
y x y x y
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
2 1 1 3
y y y
2 2 2
1
5 2 2 9 4 2 2 0 1
2
y y y y y y
Vậy
1
1;
2
m M
. Chọn A.
Câu 64: Ta có
sin cos 2 0x x x
Khi đó:
sin 2cos 1
sin cos 2 sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y y x y x y x x
x x
1 sin 2 cos 1 2 *
y x y x y
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
1 2 1 2
y y y
2 2 2
2 6 5 4 4 1 2 2 4 0 2 1
y y y y y y y
. Vậy
1
M
. Chọn D.
Câu 65: Ta có
1 cos 2 3 7 5 14 5cos 2
cos 2 3 cos 2
2 4 2 4 4
x x
y x x
1 cos 2 1
x
nên
9 14 5cos 2 19
3; 4
4 4 4
x
y y
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7. Chọn C.
Câu 66: Ta có
0 cos 1
0;
0 sin 1
2
x
x
x
nên
0 1 cos 1 1 1 1
2
1 1 sin 1 0 1 2
x
y
x
. Chọn A.
Trang 38
Câu 67: Ta có
2 2 2 2
1 1 1 5 1
1 cos 5 2sin 1 cos sin
2 2 2 4 2
y x x x x
Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
2
a b a b
Do đó
2 2 2 2
1 5 1 9 1 11 22
2 1 cos sin 2.
2 4 2 4 2 2 2
x x y y y
Dấu bằng xảy ra
2 2
1 5 1 1 1 1
1 cos sin cos 2 cos 2
2 4 2 2 4 2
x x x x
. Chọn D.
Câu 68: Ta có
. cos 2 1 .sin .sin .cos 1 2
y x m x m x y x y
Phương trình có nghiệm khi:
2
2 2 2 2
2 1 3 4 1 0
m y y y y m
Nghiệm của phương trình
2 2
3 4 1 0
y y m
2
2 3 1
3
m
x
Suy ra
2 2 2
2 3 1 2 3 1 2 3 1
min
3 3 3
m m m
y y
Yêu cầu bài toán
2
2
21
2 3 1
2 3 1 8
3
21
m
m
m
m
Kết hợp với
0; 10 5; 6; 7; 8; 9; 10
m m . Chọn D.
Câu 69: Ta có
1
sin 1; 1 3 1 3 2 4
3
m
x m m
Kết hợp với
m
4 2 1 7
giá trị nguyên m. Chọn A.
Câu 70: Hàm số đã cho xác định khi:
5 sin 1 cos 0;m x m x x
.
2
2 2
5 max .sin 1 .cos 5 1 12 0 4; 3
m x m x m m m m m
Kết hợp với
4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3
m m
. Chọn B.
Câu 71: Ta có
4sin 60 10 4.1 10 14
178
y t
Như vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi
sin 60 1
178
t
60 60 89 178 149 178
178 2
t k t k t k
Do
0 365
t
Vào ngày thứ 149 tức ngày 29 tháng 5 thì thành phố A nhiều giờ ánh sáng mặt
trời nhất. Chọn B.
Câu 72: Ta có
3cos 12 3 12 15 cos 1
8 4 8 4
t t
h
Trang 39
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi
cos 1 2 16 2
8 4 8 4
t t
k t k
0 24 1 14
t k t
Vậy mực nước của kênh cao nhất khi
14
t h
. Chọn B.
Câu 73: Ta có
cos 1
6 3
t
nên
3.1 12 15
h
Dấu bằng xảy ra khi
cos 1 2 12 2
6 3 6 3
t t
k t k
Để
min
12 2 0
t k
min
12 2
k nên
1 10
k t h
. Chọn D.
Câu 74: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
như hình vẽ ta thấy:
0 0
f
nên ta loại đáp án B và C.
Mặt khác dựa vào đồ thị suy ra
0
f
nên loại đáp án A. Chọn D.
Câu 75: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
như hình vẽ ta thấy:
0 0
f
nên ta loi các đáp án B và D.
Mặt khác hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì
3
, trong 2 hàm số ở ý A và C thì hàm số
2
cos
3
x
y thỏa
mãn điều kiện trên. Chọn A.
Câu 76: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
như hình vẽ ta thấy:
3
1
4
f
nên ta loại các đáp án B, C và D. Chọn A.
Câu 77: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
như nh vẽ ta thấy:
3
2
4
f
nên ta loại các đáp án A,
B, và C. Chọn D.
Trang 40
Câu 78: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng
0;
nên ta loại các đáp án
A, B, và C. Chọn D.
Câu 79: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng
0;
2
nên ta loại các đáp
án A, C và D. Chọn B.
Câu 80: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số
y f x
trong hình vẽ luôn thỏa mãn
0
f x
nên ta
loại đáp án B.
Lại có:
0 0
f
nên ta loi đáp án D và
0
f
nên ta loại đáp án C. Chọn A
Câu 81: Dựa vào đồ thị m sta thấy: Hàm s
y f x
trong hình vẽ có tập giá trị
0; 2
T ta
loại đáp án A và B.
Ta có:
0 1
f
nên loại đáp án C. Chọn D.
Câu 82: Dựa vào đồ thị m số ta thấy, hàm số đã cho xác định đồng biến trên khoảng
;
2 2
do
đó hàm số cần chọn là hàm s
tan
y x
. Chọn A.
Câu 83: Hàm số
tan
y x
đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng
; 0
2
(loại đáp án B).
Trên khoảng
; 0
2
hàm số
sin
y x
đồng biến và nhận giá trị âm. Chọn C
Câu 84: Gọi
2 2
; cos ; cos
3 3
C a a D a a
Do ABCD là hình chữ nhật nên
2
/ / cos cos
3
C D
AB CD y y a a
2 1
cos
3 3 3 2
a a a AD
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng
.
3
AB BC
. Chọn C.
Câu 85: Gọi
2
3
; sin
2
sin
3
B
B
x a
A a a
y a
Mặt khác
2 2
sin sin
3 3 6
A B
y y a a a a a
Do đó
1
sin
6 2
BC AD
. Chọn B.

Preview text:

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm số y  sin x  D  R
* Hàm số y  cos x  D  R  
* Hàm số y  tan x  D  R \   k   2 
* Hàm số y  cot x  D  R \ k u  x * Hàm số y 
 điều kiện xác định là vx  0 v  x u x * Hàm số y 
 điều kiện xác định là vx  0 v  x
2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác - Định nghĩa
Hàm số y  f  x có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T  0 sao cho với mọi x  D ta có:
* x  T  D và x  T  D
* f  x  T   f  x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  cos x tuần
hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì T   ; hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T   . - Chú ý 2
* Hàm số y  sin ax  b tuần hoàn với chu kì T  0 a 2
* Hàm số y  cos ax  b tuần hoàn với chu kì T  0 a 
* Hàm số y  tan ax  b tuần hoàn với chu kì T  0 a 
* Hàm số y  cot ax  b tuần hoàn với chu kì T  0 a Trang 1
* Hàm số y  f x tuần hoàn với chu kì T và hàm số y  f x tuần hoàn với chu kì T thì hàm số 2   1   1 2
y  f x  f x tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1   2   0 1 2
3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác - Định nghĩa
* Hàm số y  f  x có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện x   D  x  D sau:   f  x  f  x
* Hàm số y  f  x có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện x   D  x  D sau:   f
 x   f  x - Chú ý
* Các hàm số chẵn thường gặp: 2 2 x kx x kx 2 cos ; cos ; sin ; sin ; cos kx
* Các hàm số lẻ thường gặp: 3 3 sin ; x tan ; x cot ; x sin ; x tan . x .. f  x
* Hàm số f  x chẵn và g  x lẻ thì hàm f  x.g  x và đều là hàm số lẻ. g x f  x
* Hàm số f  x và g  x đều là hàm lẻ thì hàm f  x.g  x và đều là hàm số chẵn. g  x
4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác a) Hàm số y = sinx * Tập xác định: D  R * Tập giá trị T   1  ; 
1 , có nghĩa là 1  sin x  1
* Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 , có nghĩa  x  k2   sin x với k      
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ;  k2 
 và nghịch biến trên mỗi khoảng  2 2    3   k2 ;  k2 , k      2 2 
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Trang 2 b) Hàm số y = cosx * Tập xác định: D  R * Tập giá trị T   1  ; 
1 , có nghĩa 1  sin x  1
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos x  k2   cos x với k  
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  
  k2; k2  và nghịch biến trên mỗi khoảng
k2;   k2 , k 
* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới c) Hàm số y = tanx  
* Tập xác định D   \   k , k    2  * Tập giá trị T  
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x với k      
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   k ;  k , k      2 2 
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Trang 3 d) Hàm số y = cotx
* Tập xác định D   \ k , k    * Tập giá trị T  
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x với k  
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ;   k , k  
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:  2x  a) y  sin   b) y  sin x  x 1 Lời giải:
a) ĐK xác định: x  1  TXĐ: D   \   1 Trang 4
b) ĐK xác định: sin x  0  2k  x  2k   1 
Suy ra TXĐ: D  2k ; 2k   1    
Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 1 a) 2 y  1 cos x b) y  sin x 1 Lời giải: a) ĐK xác định: 2
1 cos x  0 (luôn đúng)  TXĐ:  Lại có: 2 2
0  cos x  1  0  1  cos x  1  0  y  1  Tập giá trị là T  0,  1    
b) ĐK xác định: sin x 1  0  sin x  1
  sin x    2k  D  R \   2k  2  2  1 1 
Ta có: 0  sin x  1  2  y   Tập giá trị là T  ,     2 2  1  sin x
Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số y  cos x 1   a) D   .
b) D   \   k , k   .  2 
c) D   \ k , k    .
d) D   \ k2, k    . Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x 1  0  cos x  1  x  k2 , k  
Vậy tập xác định D   \ k2 , k    . Chọn D 1
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm số y     sin x     2    
a) D   \ k , k   .
b) D   \ k , k    .  2     c) D   \ 
 1 2k  , k  . d) D   \   1 2k, k    .  2  Lời giải:     
Hàm số xác định  sin x 
 0  x   k  x   k , k      2  2 2  
Vậy tập xác định D   \   k , k   . Chọn C  2  1
Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm số y  sin x  cos x    a) D   .
b) D   \   k, k  .  4  Trang 5    
c) D   \   k2 , k  .
d) D   \   k , k  .  4   4  Lời giải: 
Hàm số xác định  sin x  cos x  0  tan x  1  x   k , k   4  
Vậy tập xác định D   \   k , k   . Chọn D  4    
Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot 2x   sin 2x    4   
a) D   \   k , k   . b) D  Ø .  4    
c) D   \   k , k   . d) D   .  8 2  Lời giải:      k
Hàm số xác định sin 2x   0  2x   k  x   , k      4  4 8 2   
Vậy tập xác định D   \   k , k   . Chọn C  8 2   x  
Ví dụ 7. Tìm tập xác định D của hàm số 2 y  3tan     2 4  3    a) D   \   k2 , k   .
b) D   \   k2 , k  .  2   2  3    c) D   \   k , k  .
d) D   \   k, k   .  2   2  Lời giải:  x   x   3 Hàm số xác định 2  cos 
 0     k  x   k2 , k      2 4  2 4 2 2 3 
Vậy tập xác định D   \ 
 k2 , k   . Chọn A  2 
Ví dụ 8. Tìm tập xác định D của hàm số y  1  sin 2x  1  sin 2x a) D  Ø . b) D   .  5  5 13  c) D   k2 ;  k2 , k    . d) D   k2 ;  k2 , k   . 6 6     6 6    Lời giải: 1   sin 2x  0
Ta có: 1  sin 2x  1   , x    . 1   sin 2x  0
Vậy tập xác định D   . Chọn B Trang 6   
Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm số 2
y  5  2cot x  sin x  cot  x    2  k     a) D   \  , k   .
b) D   \   k , k  .  2   2  c) D   .
d) D   \ k , k    . Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời   2 
5  2cot x  sin x  0, cot  x 
 xác định và cot x xác định.  2  2 2cot x  0 Ta có: 2 
 5  2cot x  sin x  0, x   
1  sin x  1  5  sin x  0          * cot  x   xác định  sin  x  0 
 x  k  x    k , k      2   2  2 2
* cot x xác định  sin x  0  x  k , k     x    k k
Do đó hàm số xác định   2  x  , k   2 x  k k 
Vậy tập xác định D   \  , k   . Chọn A  2  1 1
Ví dụ 10. Hàm số y  tan x  cot x  
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây?     3  a) k2 ,  k2   với k   . b)   k2 ,  k2   với k   .  2   2     c)  k2 ,   k2   với k   .
d)   k2 , 2  k2  với k   .  2  Lời giải: s  in x  0 k Hàm số xác định  
 sin 2x  0  2x  k  x  , k   . cos x  0 2 3 3 Ta chọn k  3  x  nhưng điểm
thuộc khoảng   k2; 2  k2  . 2 2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng   k2; 2  k2  . Chọn D
Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y  sin 2x b) y  2sin x  3 Trang 7 Lời giải:
a) f x  sin 2x  sin 2x   f  x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
b) Ta có f x  2sin x  3  2sin x  3  2sin x  3  9   f  x  9
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y  sin x  cos b) y  tan x  cot x Lời giải:
a) f x  sin x  cosx  sin x  cos x  sin x  cos x  2cos x   f  x  2cos x
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ) sin x cos x sin x cos x
b) f x  tan x  cot x       cos x sin x cos sin x
  tan x  cot x  tan x  cot x   f  x
Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau sin x  tan x 3 cos 1 a) y  b)  x y sin x  cot x 3 sin x Lời giải: sin x  tan x
sin x  tan x sin x  tan x a) Ta có f x         f x
sin x  cot x   sin x  cot x sin x  cot x
Suy ra hàm số đã cho là hàm chẵn. 3 3 cos x 1 cos x 1 b) Ta có f x     
  f x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ. 3 sin x 3   sin x
Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn a) y  sin x b) y  cos x  sin x c) 2 y  cos x  sin x d) y  cos x sin x Lời giải:
Tất cả các hàm số đề có TXĐ: D   . Do đó x  D  x  D .
Bây giờ ta kiểm tra f x  f  x hoặc f x   f  x
* Với y  f  x  sin x . Ta có f x  sin x  sin x  sin x
 f x   f  x . Suy ra hàm số y  sin x là hàm số lẻ.
* Với y  f  x  cos x  sin x . Ta có:..
 f x   f x, f x. Suy ra hàm số f x  cos x  sin x không chẵn không lẻ. * Với y  f  x 2
 cos x  sin x . Ta có f x  x 2 cos  sin x Trang 8 
x   x 2  x    x2 2 cos sin cos sin  cos x  sin x
 f x  f x . Suy ra hàm số 2
y  cos x  sin x là hàm chẵn. Chọn C.
* Với y  f  x  cos xsin x . Ta có f x  cosx.sin x   cos xsin x
 f x   f x . Suy ra hàm số y  cos xsin x là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y  sin 2x b) y  x cos x tan c) y  cos . x cot x d)  x y sin x Lời giải:
* Xét hàm số y  f  x  sin 2x .
TXĐ: D   . Do đó x  D  x  D .
Ta có f x  sin 2x  sin 2x   f  x  f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y  f  x  x cos x .
TXĐ: D   . Do đó x  D  x  D .
Ta có: f x  x.cosx  x cos x   f x  f  x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y  f  x  cos x cot x
TXĐ: D   \ k k  . Do đó x  D  x  D .
Ta có f x  cosx.cot x  cos xcot x   f  x  f  x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số    tan  x y f x sin x   
TXĐ: D   \ k k   . Do đó x  D  x  D .  2  tan x  tan x tan x Ta có f x     
 f x  f x là hàm số chẵn. Chọn D. sin x     sin x sin x
Ví dụ 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y  sin x b) 2 y  x sin x c)  x y d) y  x  sin x cos x Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A là hàm
số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A.
Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? Trang 9 a) 2 y  cos x  sin x . b) y  sin x  cos x . c) y   cos x . d) y  sin . x cos 3x . Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A và C là
các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số f  x  sin 2x và g  x 2
 tan x . Chọn mệnh đề đúng
a) f  x là hàm số chẵn, g  x là hàm số lẻ.
b) f  x là hàm số lẻ, g  x là hàm số chẵn.
c) f  x là hàm số chẵn, g  x là hàm số chẵn. d) f  x và g  x đều là hàm số lẻ. Lời giải:
* Xét hàm số f  x  sin 2x .
TXĐ: D   . Do đó x  D  x  D .
Ta có f x  sin 2x  sin 2x   f  x  f x là hàm số lẻ. * Xét hàm số g  x 2  tan x  
TXĐ: D   \   k k  . Do đó x  D  x  D .  2 
Ta có g x   x 2     x2 2 tan tan
 tan x  g x  f x là hàm số chẵn. Chọn B. cos 2x sin 2x  cos 3x
Ví dụ 9. Cho hai hàm số f  x  và g  x  . 2 1 sin 3x 2 2  tan x
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) f  x lẻ và g  x chẵn.
b) f  x và g  x chẵn.
c) f  x chẵn, g  x lẻ.
d) f  x và g  x lẻ. Lời giải: cos 2x
* Xét hàm số f  x  2 1  sin 3x
TXĐ: D   . Do đó x  D  x  D . cos 2  x cos 2x Ta có f x    
 f x  f x là hàm số chẵn. 2 1 sin  3  x 2     1 sin 3x sin 2x  cos3x
* Xét hàm số g  x  . 2 2  tan x  
TXĐ: D   \   k k  . Do đó x  D  x  D .  2  sin 2x  cos 3  x sin 2x  cos3x Ta có g x  
 g x  g x là hàm số chẵn. 2 2  tan x 2     2  tan x
Vậy f  x và g  x chẵn. Chọn B. Trang 10
Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
a) Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
b) Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
c) Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
d) Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  . Lời giải:
Vì hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì  . Chọn C.
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn? a) y  cos x . b) y  cos 2x . 1 c) 2 y  x cos x . d) y  . sin 2x Lời giải:
* Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì T  2 .
* Hàm số y  cos 2x tuần hoàn với chu kì T   . 1 * Hàm số y 
tuần hoàn với chu kì T   . sin 2x * Hàm số 2
y  x cos x không phải là hàm tuần hoàn. Chọn C.   
Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số y  sin 5x     4  2 5 a) T  b) T  5 2   c) T  d) T  2 8 Lời giải: 2
Hàm số y  sin ax  b tuần hoàn với chu kì T  . a    2
Áp dụng: Hàm số y  sin 5x  
 tuần hoàn với chu kì T  . Chọn A.  4  5  x 
Ví dụ 4. Tìm chu kì T của hàm số y  cos  2016    2  a) T  4 b) T  2 c) T  2 d) T   Lời giải: Trang 11 2
Hàm số y  cos ax  b tuần hoàn với chu kì T  a  x 
Áp dụng: Hàm số y  cos  2016 
 tuần hoàn với chu kì T  4 . Chọn A.  2 
Ví dụ 5. Tìm chu kì T của hàm số  cos 2  x y x sin . 2 a) T  4 . b) T   .  c) T  2 . d) T  . 2 Lời giải: 2
Hàm số y  cos 2x tuần hoàn với chu kì T    . 1 2 2 Hàm số  x
y sin tuần hoàn với chu kì T   4 2 2 1 2 Suy ra hàm số  cos 2  x y
x sin tuần hoàn với chu kì T  4 . Chọn A. 2
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1 2
Ví dụ 6. Tìm chu kì T của hàm số y  cos3x  cos 5x . a) T   b) T  3 c) T  2 d) T  5 Lời giải: 2
Hàm số y  cos3x tuần hoàn với chu kì T  . 1 3 2
Hàm số y  cos5x tuần hoàn với chu kì T  . 2 5
Suy ra hàm số y  cos3x  cos 5x tuần hoàn với chu kì T  2 . Chọn C.      
Ví dụ 7. Tìm chu kì T của hàm số y  sin 2x   2cos 3x      .  3   4  a) T  2 . b) T   . c) T  3 . d) T  4 . Lời giải:    2 Hàm số y  sin 2x  
 tuần hoàn với chu kì T    .  3  1 2    2 Hàm số y  2cos 3x  
 tuần hoàn với chu kì T  .  4  2 3      
Suy ra hàm số y  sin 2x   2cos 3x    
 tuần hoàn với chu kì T  2 . Chọn A  3   4  Trang 12
Ví dụ 8. Tìm chu kì T của hàm số y  tan 3x  cot x . a) T  4 . b) T   .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải: 
Hàm số y  cot ax  b tuần hoàn với chu kì T  a 
Áp dụng: Hàm số y  tan 3x tuần hoàn với chu kì T  . 1 3
Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì T   . 2
Suy ra hàm số y  tan 3x  cot x tuần hoàn với chu kì T   . Chọn B.
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1 2 x
Ví dụ 9. Tìm chu kì T của hàm số y  cot  sin 2x 3 a) T  4 . b) T   .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải: Hàm số  x
y cot tuần hoàn với chu kì T  3 . 3 1
Hàm số y  sin 2x tuần hoàn với chu kì T   . 2 x
Suy ra hàm số y  cot  sin 2x tuần hoàn với chu kì T  3 . Chọn C. 3
Ví dụ 10. Tìm chu kì T của hàm số 2 2 y  2sin x  3cos 3x a) T   . b) T  2 .  c) T  3 . d) T  . 3 Lời giải: 1 cos 2x 1  cos 6x 1 Ta có y  2.  3.
 3cos6x  2cos 2x  5 2 2 2 2 
Hàm số y  3cos6x tuần hoàn với chu kì T   . 1 6 3 Hàm số y  2
 cos 2x tuần hoàn với chu kì T   . 2
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T   . Chọn A.
Ví dụ 11. Tìm chu kì T của hàm số 2 y  tan 3x  cos 2x Trang 13  a) T   . b) T  . 3  c) T  . d) T  2 . 2 Lời giải: 1 cos 4x 1 Ta có y  tan 3x 
 2 tan 3x  cos 4x   1 . 2 2 
Hàm số y  2 tan 3x tuần hoàn với chu kì T  . 1 3 2 
Hàm số y   cos 4x tuần hoàn với chu kì T   . 2 4 2
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T   . Chọn C.
Ví dụ 12. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2 ? a) 3 y  cos x . b)  x x y sin cos . 2 2  x  c) 2 y  sin  x  2 . d) 2 y  cos 1   .  2  Lời giải: 1 Hàm số 3
y  cos x  cos3x  3cos x có chu kì là 2 . 4 x x 1
Hàm số y  sin cos  sin x có chu kì là 2 . 2 2 2 1 1 Hàm số 2
y  sin  x  2   cos2x  4 có chu kì là  . 2 2  x  1 1 Hàm số 2 y  cos 1   cos  
x  2 có chu kì là 2 . Chọn C.  2  2 2
Ví dụ 13. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? a) y  cos x và  x y cot .
b) y  sin x và y  tan 2x . 2 c)  x y sin và  x y cos .
d) y  tan 2x và y  cot 2x . 2 2 Lời giải: Hàm số y  cos x và  x
y cot có cùng chu kì là 2 . 2 
Hàm số y  sin x có chu kì là 2 , hàm số y  tan 2x có chu kì là . 2  Hàm số y  sin và  x
y cos có cùng chu kì là 4 . 2 2 Trang 14 
Hàm số y  tan 2x và y  cot 2x có cùng chu kì là . Chọn B. 2
Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Miền giá trị:  kx   kx 2   kx 2 1 sin 1; 1 cos 1; 0 sin
 1; 0  cos kx  1 * Với hàm số 2 2 2 2 y  . a sin x  .
b cos x   a  b  y  a  b . a sin x  . b cos x  c * Với hàm số y 
 nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị. . m sin x  . n cos x  p
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 2 y  4sin  4sin x  3 b) 2 y  cos x  2sin x  2 Lời giải: a) y  x  x    x  2 2 4sin 4sin 3 2sin 1  2 Ta có:   x     x      x  2 1 sin 1 3 2sin 1 1 0 2sin 1  9  2  y  9   max y  9  sin x  1   x    2  k  2   k,l  1  5   min y  2  sin x   x   2l , x   2   l  2 6 6 b) y  x  x    x  x     x  2 2 2 cos 2sin 2 sin 2sin 3 4 sin 1 Ta có:   x     x      x  2 1 sin 1 2 sin 1 0 0 2sin 1  4  0  y  4  
max y  4  sin x  1  x   2  k  2   k,l    min y  0  sin x  1   x    2   l  2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 4 2 y  sin x  2 cos x 1 b) y  3 sin 2x  cos 2x Lời giải: a) y  x  x   x  x    x  2 4 2 4 2 2 sin 2cos 1 sin 2sin 1 sin 1  2 Ta có:  x    x       x  2 2 2 2 0 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1  2  1  y  2   2
max y  2  sin x  1  x    2k   2 k,l  2
min y  1 sin x  0  x  l
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Trang 15 y   x 
x2   2   2 2  2 2 3 sin 2 cos 2 3 1 sin x  cos x  4  2   y  2  sin 2x cos 2x  max y  2    0  x   k  3 1 6   k,l  sin 2x cos 2x  min y  2     0  x    k  3 1 6
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  3 cos x  3 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  x
x2      2 2  2 2 sin 3 cos 1 3
sin x  cos x  4  2  sin x  3 cos x  2  1  y  5  sin x cos x  max y  5    0  x   2  k  1 3 6   k,l  sin x cos x 5   min y  1    0  x    2k  1 3 6   
Ví dụ 4. Cho hàm số y  2  sin x   2  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  3  a) y  4, x   . b) y  4, x   . c) y  0, x   . d) y  2, x   . Lời giải:       Ta có: 1  sin x   1  2  2  sin x   2      3   3      4  2  sin x   2  0  4  y  0   . Chọn C.  3 
Ví dụ 5. Hàm số y  5  4sin 2x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. Lời giải:
Ta có y  5  4sin 2x cos 2x  5  2sin 4x .
Mà 1  sin 4x  1  2
  2sin 4x  2  3  5  2sin 4x  7 3 7      y y   y 3; 4; 5; 6; 
7 nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C   
Ví dụ 6. Hàm số y  sin x   sin  
x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?  3  a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: Trang 16  
Áp dụng công thức sin  sin  a b a b a b 2 cos sin , ta có 2 2           sin x   sin x  2cos x  sin  cos x         3   6  6  6     Ta có 1  cos   1  1    1   y x y     1; 0;  1 . Chọn C  6  Ví dụ 7. Hàm số 4 4
y  sin x  cos x đạt giá trị nhỏ nhất tại x  x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 a) x  k2 , k   . b) x  k , k   . 0 0 
c) x    k2 , k   . d) x   k , k   . 0 0 2 Lời giải: Ta có 4 4 y  x  x   2 2 x  x 2 2 sin cos sin cos
sin x  cos x  cos 2x .
Mà 1  cos 2x  1  1
   cos 2x  1  1  y  1
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Đẳng thức xảy ra  cos 2x  1  2x  k2  x  k k   . Chọn B   
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 y  4sin x  2 sin 2x    .  4  a) M  2 . b) M  2 1. c) M  2  1. d) M  2  2 . Lời giải:    1 cos 2x  Ta có 2 y  4sin x  2 sin 2x   4  sin 2x  cos 2     x  4   2    
 sin 2x  cos 2x  2  2 sin 2x   2   .  4        Mà 1  sin 2x 
 1   2  2  2 sin 2x   2  2  2     .  4   4 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2  2 . Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6 y  sin x  cos x 1  a) T  0; 2. b) T  ; 1  . 2    1   1  c) T  ; 1  . d) T  0; . 4     4   Lời giải: 2 Ta có 6 6 y  x  x   2 2 x  x 2 2  x x  2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin x  cos x Trang 17 3 3 1 cos 4x 5 3 2 2 2
 1 3sin x cos x  1 sin 2x  1 .   cos 4x . 4 4 2 8 8 1 5 3 1 Mà 1  cos 4x  1 
  cos 4x  1   y  1. Chọn C 4 8 8 4
Ví dụ 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  8sin x  3cos 2x . Tính 2 P  2M  m . a) P  1. b) P  2 . c) P  112 . d) P  130 . Lời giải: Ta có 2 2 y  x  x  x   2  x 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin  2sin x  3 . Mà 2 2
1  sin  1  0  sin x  1  3  2sin x  3  5 M  5 2  3  y  5  
 P  2M  m  1. Chọn A. m  3
Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y  2sin x  3 sin 2x . a) m  2  3 . b) m  1. c) m  1. d) m   3 . Lời giải: Ta có 2
y  2sin x  3 sin 2x  1  cos 2x  3 sin 2x  3 1 
 3 sin 2x  cos 2x 1  2 sin 2x  cos 2x  1  2 2          
 2 sin 2x cos  sin cos 2x 1  2sin 2x  1      6 6   6        Mà 1  sin 2x   1  1   1  2sin 2x   3  1   y  3     .  6   6 
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B. Trang 18 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1  sin x
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y  cos x 1   A. D   .
B. D   \   k , k  .  2 
C. D   \k , k    .
D. D   \ k2 , k    . 1
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y     sin x     2    
A. D   \ k , k   .
B. D   \ k , k    .  2     C. D   \ 
 1 2k  , k   . D. D   \   1 2k, k    .  2    
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot 2x   sin 2x   .  4   
A. D   \   k , k   . B. D  Ø .  4    
C. D   \   k , k   . D. D   .  8 2   x  
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số 2 y  3tan    .  2 4  3    A. D   \   k2 , k   .
B. D   \   k2 , k  .  2   2  3    C. D   \   k , k  .
D. D   \   k, k   .  2   2  3 tan x  5
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y  . 2 1 sin x    
A. D   \   k2 , k  .
B. D   \   k , k   .  2   2 
C. D   \   k , k    .
D. cos x  1  sin x  0  x  k , k   .
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y  sin x  2 A. D   .
B. D  2;   . C. D  0; 2  . D. D  Ø . 1
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y  1 sin x Trang 19  
A. D   \ k , k    .
B. D   \   k , k   .  2   
C. D   \   k2 , k  . D. D  Ø .  2  1  cos x
Câu 8. Tập xác định của hàm số y  là sin x 1  
A.  \   k k   . B.  \ k k    .  2    C.  \ k2 k    .
D.  \   k2 k  .  2  cot x
Câu 9. Tập xác định của hàm số y  là cos x 1 k  k  A. D   \  , k  . B. D   \   k , k  .  2   2 
C. D   \ k , k    .
D. D   \ k2 , k    .
Câu 10. Tập xác định của hàm số f  x 1  là 1 cos x    A. D   \   2k   1 , k   . B. D   \   2k  1 , k    .  2 
C. D   \ k , k    .
D. D   \ k2 , k    .
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y  cot x  sin 5x  cos x .    
A.  \   k k   .
B.  \   k2 k   .  2   2  C.  \ k k    . D.  \ k2 k    .
Câu 12. Tìm tập giá trị của hàm số y  2cos 3x  1. A. 3;  1 . B. 3;   1 . C. 1;  3 . D. 1;  3 . 3sin x
Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y  2cos x  1   4   2 
A. D   \   k2 ,  k2 , k   . B. D   \   k2 , k  .  3 3   3   5     C. D   \   k2 , k  .
D. D   \   k2 , k   .  6   3  tan x
Câu 14. Tìm điều kiện xác định của hàm số y  cos x 1 Trang 20         x k x   k  A. x  k 2 . B. x   k2 . C.  2 . D. 2  . 3   x  k2 x   k  3 2 cos x
Câu 15. Tìm điều kiện để hàm số y  có nghĩa. sin x 1  A. x   k k  .
B. x  k2 k   . 2  C. x   k2 k   .
D. x  k k  . 2 sin x  1
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y  là sin x  2 A. 2;   . B.  . C. 2;   . D.  \   2 .
Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định là  ? tan x A. y  1 sin 2x . B. y  . C. y  sin x  cot 2x . D. y  sin x . 2 cos x  1
Câu 18. Tìm tập giá trị của hàm số y  cos2x   1 là A. 1;  1 . B. 1;  1 . C.  . D. 2; 2 . cot x
Câu 19. Tìm tập xác định của hàm số y   sin 3x . 2 1 sin x k  A.  \  , k   .
B.  \ k, k   .  2      
C.  \   k2 , k  .
D.  \   k2 , k    2   2  2 cos 3x 1
Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số y  là cos x  1
A. D   \   k k    .
B. D   \k2 k    .  
C. D   \   k k  .
D. D   \  k2 k    .  2  x 
Câu 21. Tìm tập xác định của hàm số f  x sin 2 2  1 cos x A. D   .
B. D   \ k2, k   .
C. D  k2, k  .
D. D   \k, k  .
Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y  sin x . B. y  cos x . C. y  tan x . D. y  cot x .
Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? Trang 21 A. y   sin x . B. y  cos x  sin x . C. 2 y  cos x  sin x . D. y  cos x sin x .
Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? tan x A. y  sin 2x . B. y  x cos x . C. y  cos x cot x . D. y  . sin x
Câu 25. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?    A. y  sin x cos 2x . B. 3 y  sin x cos x    .  2  tan x C. y  . D. 3 y  cos x sin x . 2 tan x  1
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y  cos x  sin x . B. y  sin x  cos x . C. y   cos x . D. y  sin x cos 3x .
Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?    cot x tan x A. y  sin  x   . B. 2 y  sin x . C. y  . D. y  .  2  cos x sin x
Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y  1  sin x . B. 2 y  cot x .sin x . C. 2 y  x tan 2x  cot x .
D. y  1  cot x  tan x .
Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1    A. y  . B. y  sin x  . 3   sin x  4     C. y  2 cos x    . D. y  sin 2x .  4 
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số y  sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y  cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y  tan x đối xứng qua truc Oy.
D. Đồ thị hàm số y  tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Câu 31. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?       A. 4 y  x  cos x    . B. 2017 y  x  cos x    .  3   2  C. 2018 y  2015  cos x  sin x . D. 2017 2018 y  tan x  sin x .
Câu 32. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Trang 22
C. Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
D. Hàm số y  cot x tuần hoàn với chu kì  .
Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? sin x A. y  sin x . B. y  x  sin x . C. y  x cos x . D. y  . x  x 
Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số y  cos  2016    2  A. T  4 . B. T  2 . C. T  2 . D. T   . 1
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số y   sin 100 x  50  . 2 1 1  A. T  . B. T  . C. T  . D. 2 T  200 . 50 100 50      
Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số y  sin 2x   2cos 3x       3   4  A. T  2 . B. T   . C. T  3 . D. T  4 . x   
Câu 37. Tìm chu kì T của hàm số y  sin  tan 2x    . 2  4  A. T  4 . B. T   . C. T  3 . D. T  2 .
Câu 38. Tìm chu kì T của hàm số 2 y  2cos x  2017 . A. T  3 . B. T  2 C. T   . D. T  4 .
Câu 39. Hàm số nào sau đây có chu kì khác  ?       A. y  sin  2x   . B. y  cos 2 x    . C. y  tan 2x   1 . D. y  cos . x sin x .  3   4     Câu 40. Với x  0; 
 , mệnh đề nào sau đây là đúng?  4 
A. Cả hai hàm số y   sin 2x và y  1
  cos 2x đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số y   sin 2x và y  1
  cos 2x đều đồng biến.
C. Hàm số y   sin 2x nghịch biến, hàm số y  1
  cos 2x đồng biến.
D. Hàm số y   sin 2x đồng biến, hàm số y  1
  cos 2x nghịch biến.
Câu 41. Hàm số y  sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?        3   3  A. 0;   . B. ;    . C.  ;   . D. ; 2   .  4   2   2   2     
Câu 42. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng  ;    3 6              A. y  tan 2x    . B. y  cot 2x    . C. y  sin 2x    . D. y  cos 2x    .  6   6   6   6  Trang 23
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  3sin x  2 A. M  1; m  5 . B. M  3; m  1. C. M  2; m  2 . D. M  0; m  2  .
Câu 44. Tìm tập giá trị T của hàm số y  3cos 2x  5 . A. T  1;  1 . B. T  1; 1  1 . C. T  2; 8. D. T  5;  8 .
Câu 45. Tìm tập giá trị T của hàm số y  5  3sin x . A. T  1;  1 . B. T   3  ;  3 . C. T  2; 8. D. T  5;  8 .    Câu 46. Cho hàm số y  2  sin x   2  
. Mệnh đề nào sau đây đúng?  3  A. y  4  , x   B. y  4, x   C. y  0, x    D. y  2, x    1
Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  cos x  1 1 1 A. m  . B. m  . C. m  1. D. m  2 . 2 2
Câu 48. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x . Tính P  M  m . A. P  4 . B. P  2 2 . C. P  2 . D. P  2 .
Câu 49. Tập giá trị T của hàm số y  sin 2017x  cos 2017x . A. T   2  ; 2 .
B. T  4034; 4034 . C. T   2; 2     . D. T 0; 2   .
Câu 50. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  1  2 cos 3x A. M  3; m  1. B. M  1; m  1. C. M  2; m  2 . D. M  0; m  2  .
Câu 51. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  8sin x  3cos 2x . Tính 2 2M  m A. 1. B. 2. C. 112. D. 130.
Câu 52. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y  2sin x  3 sin 2x A. 2  3 . B. -1. C. 1. D.  3 .
Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  12sin x  5cos x A. 1;  1 . B. 7; 7 . C. 13; 1  3 . D. 17; 17 .
Câu 54. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  4sin 2x  3cos 2x A. 3. B. 1. C. 5. D. 4.
Câu 55. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  sin x  4sin x  5. Tính 2 M  2m A. 1. B. 7. C. 8. D. 2. Trang 24 Câu 56. Hàm số 2
y  cos x  cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 57. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2 y  sin x  2cos x  1 A. M  2, m  2  . B. M  1, m  0 . C. M  4, m  1  . D. M  2, m  1  .
Câu 58. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y  4sin x  cos 4x A. -3 B. -1 C. 3 D. -5
Câu 59. Cho hàm số f  x  cos 2x  cos x 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  là A. f  x 1 min   . B. f  x 1 min   . C. f  x 1 min  . D. f  x 1 min  . 8 4 8 4 3 sin x
Câu 60. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . Tính M. m. cos x  2 A. 2. B. 0. C. -2. D. -1. sin x  cos x 1
Câu 61. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . sin x  cos x  2 3   5 1 2  6 A. . B. 1. C.  . D. . 2 3 2 sin x  2 cos x  3
Câu 62. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  . 2sin x  cos x  4 9 2 A. 2. B. 3. C. . D. . 11 11 sin x  cos x
Câu 63. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y  lần lượt là 2sin x  cos x  3 1 1 A. m  1; M  . B. m  1  ; M  2 . C. m   ; M  1. D. m  1; M  2 . 2 2 sin x  2cos x 1
Câu 64. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  . sin x  cos x  2 A. M  2 . B. M  3 . C. M  3 . D. M  1. 1 3
Câu 65. Gọi T là tập giá trị của hàm số 2
y  sin x  cos 2x  3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T 2 4 A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. cos x  1   
Câu 66. Tập giá trị của hàm số y  trên 0; sin x  1  2    1  1   1  A. ; 2  B. 0; 2 C. ; 2   D. ; 2   2    2   2  1 1
Câu 67. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 y  1  cos x  5  2sin x 2 2 Trang 25 11 5 22 A. B. 1 5 C. 1 D. 2 2 2 1 msin x Câu 68. Cho hàm số y 
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0; 10 để cos x  2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6.
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sin x  m 1  0 có nghiệm? A. 7. B. 6. C. 3. D. 5.
Câu 70. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  5  msin x  m   1 cos x xác định trên  ? A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.
Câu 71. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi    một hàm số y  4sin t  60 10, t  
 và 0  t  365 . Vào ngày nào trong năm thành phố A có 178   
nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? A. 28 tháng 5 B. 29 tháng 5 C. 30 tháng 5 D. 31 tháng 5
Câu 72. Hàng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong  t  
kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức h  3cos  12  
. Mực nước của kênh cao  8 4  nhất khi A. t  13h B. t  14h C. t  15h D. t  16h
Câu 73. Hàng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong  t  
kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức h  3cos  12  
. Khi nào mực nước của  6 3 
kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? A. t  22h . B. t  15h . C. t  14h . D. t  10h .
Câu 74. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? x x x  x  A. y  sin B. y  cos C. y   cos D. y  sin    2 2 4  2 
Câu 75. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? Trang 26 2x 2x 3x 3x A. y  cos B. y  sin C. y  cos D. y  sin 3 3 2 2
Câu 76. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?     3        A. y  sin x    B. y  cos x    C. y  2 sin x    D. y  cos x     4   4   4   4 
Câu 77. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?             A. y  sin x    B. y  cos x    C. y  2 sin x    D. y  2 cos x     4   4   4   4 
Câu 78. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y  sin x B. y  sin x C. y  sin x D. y  sin x
Câu 79. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? Trang 27 A. y  cos x B. y   cos x C. y  cos x D. y  cos x
Câu 80. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?       A. y  sin x  1   B. y  2sin x     2   2        C. y  sin x  1   D. y  sin x  1    2   2 
Câu 81. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y  1  sin x B. y  sin x C. y  1  cos x D. y  1 sin x  
Câu 82. Cho hàm số y  f  x xác định trên  \   k , k   và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm  2 
số y  f  x là hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. y  tan x B. y  cos x C. y  sin x D. y  cot x Trang 28
Câu 83. Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x thỏa mãn   
điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng  ; 0    2  A. y  tan x B. y  cos x, y  cot x C. y  tan x, y  sin x D. y  cos x, y  tan x
Câu 84. Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số 2
y  cos x (như hình vẽ). Biết rằng AB 
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu? 3 2  2  2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 85. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 0;  , các điểm C, D thuộc trục Ox 2
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD  . Tính độ dài đoạn BC 3 2 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2 Trang 29
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-C 3-C 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-D 10-D 11-C 12-C 13-B 14-C 15-C 16-B 17-A 18-A 19-A 20-D 21-B 22-B 23-C 24-D 25-B 26-D 27-C 28-C 29-A 30-A 31-B 32-C 33-A 34-A 35-A 36-A 37-A 38-C 39-C 40-A 41-A 42-C 43-A 44-C 45-C 46-C 47-A 48-B 49-C 50-B 51-A 52-B 53-C 54-C 55-D 56-C 57-D 58-B 59-A 60-D 61-D 62-A 63-A 64-D 65-C 66-A 67-D 68-D 69-A 70-B 71-B 72-B 73-D 74-D 75-A 76-A 77-D 78-D 79-B 80-A 81-D 82-A 83-C 84-C 85-B
Câu 1: Hàm số xác định khi cos x  1  x  k 2 . Vậy D   \ k2 , k    . Chọn D    
Câu 2: Hàm số xác định khi sin x   0  x   k   .  2  2  
Vậy D   \   k , k   . Chọn C.  2       k
Câu 3: Hàm số xác định sin 2x   0  2x   k  x   , k     .  4  4 8 2   
Vậy tập xác định D   \   k , k   . Chọn C.  8 2   x   x   3
Câu 4: Hàm số xác định khi 2 cos   0     k  x   k2 , k     .  2 4  2 4 2 2 3 
Vậy tập xác định D   \ 
 k2 , k   . Chọn A  2 
Câu 5: Hàm số xác định khi 2
1 sin x  0 và tan x xác định 2 s  in x  1     cos x  0  x   k , k   . cos x  0 2  
Vậy tập xác định D   \   k , k   . Chọn B.  2 
Câu 6: Ta có 1  sin  1  1  sin x  2  3, x   
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin x  2 với mọi x   .
Vậy tập xác định D   . Chọn A
Câu 7: Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin x  0  sin x  1 (*) 
Mà 1  sin x  1 nên *  sin x  1  x   k2 , k   . 2 Trang 30  
Vậy tập xác định D   \   k2 , k  . Chọn C.  2  
Câu 8: Hàm số xác định khi sin x  1  x 
 k , k  . Chọn D. 2 s  in x  0
Câu 9: Hàm số xác định khi 
 cos x  1  x  k2 , k  . Chọn D. cos x 1  0
Câu 10: Hàm số xác định khi cos x  1  x  k2 , k   . Chọn D.
Câu 11: Hàm số xác định khi sin x  0  x  k , k   Chọn C.
Câu 12: Ta có 1  cos3x  1  2   2cos3x  2  1
  y  3. Vậy T  1;  3 . Chọn C. 1 2
Câu 13: Hàm số xác định khi cos x    x    k   , k   . Chọn B. 2 3   cos x  0 x   k
Câu 14: Hàm số xác định khi    2 . Chọn C. cos x  1 x  k2 
Câu 15: Hàm số xác định khi sin x  1  x 
 k2 , k   . Chọn C. 2
Câu 16: Hàm số xác định khi sin x  2 (luôn đúng). Vậy D   . Chọn B.
Câu 17: Ta có sin 2x 1;  1  1  sin 2x  0; x
   nên y  1 sin 2x có D   . Chọn A.
Câu 18: Ta có 1  cos2x   1  1  T   1  ;  1 . Chọn A. s  in x  0 s  in x  0 k
Câu 19: Hàm số xác định khi     sin 2x  0  x  . Chọn A. 2 1 sin x  0  cos x  0 2
Câu 20: Hàm số xác định khi cos x  1  x    k2
Vậy D   \   k2 , k    . Chọn D. sin 2x  2
Câu 21: Hàm số xác định khi
 0 mà sin 2x 1; 
1  sin 2x  2 1;  3 1 cos x
Do đó 1 cos x  0  cos x  1  cos x  1 (vì cos x  1 )  x  k 2 . Chọn B.
Câu 22: Nhắc lại kiến thức cơ bản:
* Hàm số y  sin x là hàm số lẻ.
* Hàm số y  cos x là hàm số chẵn.
* Hàm số y  tan x là hàm số lẻ.
* Hàm số y  cot x là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng. Chọn B.
Câu 23: Kiểm tra f x  f  x hoặc f x   f  x .
* Với y  f  x  sin x . Ta có f x  sin x  sin x  sin x Trang 31
 f x   f x . Suy ra hàm số y  sin x là hàm số lẻ.
* Với y  f  x  cos x  sin x . Ta có f x  cosx  sin x  cos x  sin x
 f x   f x, f x. Suy ra hàm số y  cos x  sin x không chẵn không lẻ. * Với y  f  x 2
 cos x  sin x . Ta có f x  x 2 cos  sin x 
x   x 2  x    x2 2 cos sin cos sin  cos x  sin x
 f x  f x . Suy ra hàm số 2
y  cos x  sin x là hàm số chẵn. Chọn C
* Với y  f  x  cos xsin x . Ta có f x  cosx.sin x   cos xsin x
 f x   f  x . Suy ra hàm số y  cos xsin x là hàm số lẻ. Câu 24:
* Xét hàm số y  f  x  sin 2x .
Ta có f x  sin 2x  sin 2x   f  x  f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y  f  x  x cos x
Ta có f x  x.cosx  x cos x   f x  f  x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y  f  x  cos x cot x .
Ta có f x  cosx.cot x  cos x cot x   f  x  f  x là hàm số lẻ. x
* Xét hàm số y  f  x tan  sin x tan x  tan x tan x Ta có f x     
 f x  f x là hàm số chẵn. Chọn D. sin x     sin x sin x
Câu 25: Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.   
Xét đáp án B, ta có y  f  x 3 3 4  sin . x cos x   sin . x sin x  sin x    2 
Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Chọn B. Câu 26:  Hàm số 2 y  x  x  y x 
x   x   x 2 cos sin cos sin cos  sin x  y x
Hàm số y  sin x  cos x  y x  sin x  cosx  sin x  cos x
Hàm số y   cos x  y x  cosx  cos x
Hàm số y  sin x cos 3x  y x  sin x.cos 3
 x  sin xcos3x   y x
Do đó hàm số y  sin x cos 3x là hàm số lẻ. Chọn D. Trang 32    Câu 27: Ta có y  sin  x  cos x  y   x  yx  2  Hàm số y 
x  y x   x 2 2 2 sin sin   sin x  tan x tan x  tan x tan x Hàm số y   y x      sin x sin x sin x sin x cot x cot x cot x Hàm số y   y x    
 y x  hàm số là hàm số lẻ. Chọn C. cos x cos x   cos x Câu 28: Hàm số f  x 2  x tan 2x  cot x có f x  x2  x  x 2 tan 2 cot  x tan 2x  cot x
Suy ra f x   f  x nên hàm số f  x 2
 x tan 2x  cot x là hàm số lẻ. Chọn C.
Câu 29: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 1 1 1 1 Ta có: f  x   f x     3   sin x
sinx3 sin x3 3 sin x 1 Suy ra hàm số y 
là hàm số lẻ. Chọn A. 3 sin x
Câu 30: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm số y  sin x có y x  sin x  sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy.Vậy
khẳn định sai là A. Chọn A.          Câu 31: Hàm số y  x  x 
 y x  x4 4 4 cos  cos x   x  cos x         3   3   3 
Suy ra hàm số không là hàm lẻ.       Hàm số 2017 2017 2017 y  x  cos x   x  cos  x  x  sin x      2   2 
Suy ra y x  x2017  x 2017 sin  x
 sin x   y x nên hàm số ở ý B là hàm số lẻ. Chọn B
Câu 32: Hàm số y  sin x và y  cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
Hàm số y  tan x và y  cot x tuần hoàn với chu kì  .
Khẳng định sai là C. Chọn C
Câu 33: Ta có sin  x  k2   sin x nên hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2 . Chọn A.  x  2 Câu 34: Hàm số y  cos  2016 
 tuần hoàn với chu kì T   4 . Chọn A.  2  1 2 Trang 33 1 2 1
Câu 35: Hàm số y   sin 100 x  50  tuần hoàn với chu kì T   . Chọn A. 2 100 50   
Câu 36: Hàm số y  sin 2x  
 tuần hoàn với chu kì T   .  3  1    2 Hàm số y  2cos 3x  
 tuần hoàn với chu kì T   4  2 3
Bội số chung nhỏ nhất của T và T là 2  Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là T  2 . Chọn A 1 2 x 2
Câu 37: Hàm số y  sin tuần hoàn với chu kì T   4 . 2 1 1 2     Hàm số y  tan 2x  
 tuần hoàn với chu kì T  .  4  2 2
Bội số chung nhỏ nhất của T và T là 4  Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là T  4 . Chọn A. 1 2 Câu 38: Ta có 2
y  2cos x  2017  1  cos 2x  2017  2018  cos 2x 2
Do đó hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T    . Chọn C. 2    2 Câu 39: Hàm số y  sin  2x 
 tuần hoàn với chu kì T    .  3  2       2 Hàm số y  cos 2 x   cos 2x    
 tuần hoàn với chu kì T     4   2  2  Hàm số y  tan  2  x  
1 tuần hoàn với chu kì T  . 2 1 2 Hàm số y  cos .
x sin x  sin 2x tuần hoàn với chu kìT    . Chọn C. 2 2      
Câu 40: Trên khoảng x  0;  2x  0;   
 nên hàm số y  sin 2x đồng biến, hàm số y  cos 2x  4   2  nghịch biến.
Do đó hàm số y   sin 2x nghịch biến và hàm số y  1
  cos 2x cũng nghịch biến trên khoảng    x  0;   . Chọn A.  4         
Câu 41: Hàm số y  sin 2x đồng biến khi 2x   ;  x   ;      2 2   4 4    
Do đó hàm số y  sin 2x đồng biến trên khoảng 0;   . Chọn A.  4           Câu 42: Do x   ;   nên 2x    ;    3 6  6  2 2  Trang 34    
Mặt khác trên khoảng  ; 
 thì hàm sin x là hàm đồng biến.  2 2         Vậy trên khoảng  ; 
 thì hàm số y  sin 2x  
 là hàm đồng biến. Chọn C.  3 6   6 
Câu 43: Do sin x 1;  1 nên 3. 
1  2  3sin x  2  3  2  5   y  1.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M  1, m  5 . Chọn A.
Câu 44: Do 1  cos 2x  1 suy ra 3  5  3cos 2x  5  3  5  2  y  8 .
Vậy tập giá trị của hàm số là T  2; 8. Chọn C.
Câu 45: Do sin x 1; 
1 nên 5  3.1  5  3sin x  5  3  1  2  y  8
Vậy tập giá trị của hàm số là T  2; 8. Chọn C.      
Câu 46: Ta có 1  sin x   1   2  2sin x   2      3   3     Do đó 4  2  sin x   2  0  y    0; 4. Chọn C.  3  1 1 x Câu 47: Ta có y   , điều kiện cos  0 cos x  1 x 2 2 cos 2 2 x 1 1 1 Mặt khác 2 0  cos  1    2 x 2 2.1 2 2cos 2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất m của hàm số là y  . Chọn A. min 2   
Câu 48: Ta có y  sin x  cos x  2 sin x     4  M  2
Suy ra  2  y  2  
 M  m  2 2 . Chọn B. m   2   
Câu 49: y  sin 2017x  cos 2017x  2 sin 2017x     4 
Suy ra  2  y  2 nên tập giá trị của hàm số đã cho là T   2; 2    . Chọn C.
Câu 50: Ta có 0  cos 3x  1
Suy ra 1 2.1  1 2 cos 3x  1  2.0  1   y  1
Do đó M  1; m  1. Chọn B. 1  cos 2x Câu 51: Ta có y  8.
 3cos 2x  4  cos 2x mà cos 2x 1;  1 2 Trang 35
Suy ra 3  4  cos 2x  5  M  5; m  3 nên 2 2
2M  m  2.5  3  1. Chọn A. 1 cos 2x Câu 52: Ta có y  2.
 3 sin 2x  3 sin 2x  cos 2x 1 2 2 2 Lại có  x x     2      2 2 3 sin 2 cos 2 3 1 . sin 2x  cos 2x  4    Suy ra  y  2 2
1  4  y  2y  3  0  y 1;  3 . Chọn B. Câu 53: y   x  x2     2 2 2   2 2 x  x 2 12sin 5cos 12 5 . sin cos  13  y  1  3; 1  3   . Chọn C. Câu 54: y   x  x2     2 2 2   2 2 x  x 2 4sin 2 3cos 2 4 3 . sin 2 cos 2  5  y  5  ; 5   . Chọn C.
Câu 55: Đặt t  sin x  1  ; 
1 nên hàm số trở thành: f t  2  t  4t  5 b Ta có t    2 1;  1 . Tính f   1  10; f   1  2  M  10; m  2 2a Vậy 2 2
M  2m  10  2.2  2 . Chọn D.
Câu 56: Đặt t  cos x 1; 
1 nên hàm số trở thành:   2 f t  t  t b 1   Ta có t    1;  1 . Tính f    f   1 1 1 2; 1  0; f     2a 2  2  4 1
Suy ra   f t  2 nên có tất cả 3 giá trị nguyên: f t   0; 1;  2 . Chọn C. 4 Câu 57: Ta có 4 y  x   2  x 4 2 sin 2. 1 sin
1  sin x  2sin x 1 Đặt 2 t  sin x 0; 
1 nên hàm số trở thành: f t  2  t  2t 1 b Lại có t    1  0; 
1 . Tính f 0  1; f  
1  2  M  2, m  1. Chọn D. 2a Câu 58: Ta có y  x   x    x    x2 4 2 4 2 4sin 2 cos 2 1 4sin 2. 1 2sin 1 4  x   4 2 x  x   4 2 4sin 2. 4sin 4sin 1  1  4  sin x  8sin x 1 Đặt 2 t  sin x 0; 
1 nên hàm số trở thành: f t  2  4  t  8t 1 b Lại có t    10;  1 . Tính f 0  1  ; f  
1  3  min y  1. Chọn B 2a Câu 59: Ta có 2 2
y  2cos x 1  cos x 1  2cos x  cos x
Đặt t  cos x 1; 
1 nên hàm số trở thành: f t  2  2t  t b 1   Lại có t    1;  1 . Tính f    f   1 1 1 3, 1  1, f     2a 4  4  8
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là f  x 1 min   . Chọn A. 8 Trang 36 Câu 60: Ta có .
y cos x  2  3 sin x  3 sin x  . y cos x  2 y 2
Phương trình có nghiệm khi    y2   y2 2 3 2  y  1  y  1  ;  1 . Chọn D. Câu 61: Ta có .
y sin x  cos x  2  sin x  cos x 1  1 ysin x  1 ycos x  2y 1 2  6
Phương trình có nghiệm khi: 1 y2  1 y2  2y  2 2
1  2 y  4 y  1  0  y  . 2 Chọn D. sin x  2 cos x  3 Câu 62: Ta có P   .
P 2sin x  cos x  4  sin x  2cos x  3 2sin x  cos x  4  2 . P sin x  .
P cos x  4P  sin x  2cos x  3  2P  
1 .sin x  P  2.cos x  4P  3
Phương trình có nghiệm khi:  P  2  P  2   P  2 2 2 1 2 4 3   P  2 . Chọn A. 11
Câu 63: Ta có 2sin x  cos x  3  0 x    sin x  cos x Khi đó y 
 sin x  cos x  y 2sin x  cos x  3 2sin x  cos x  3  2y   1 sin x   y   1 cos x  3y *
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  y  2  y  2   y2 2 1 1 3 1 2 2 2
 5y  2y  2  9y  4y  2y  2  0  1   y  2 1
Vậy m  1; M  . Chọn A. 2
Câu 64: Ta có sin x  cos x  2  0  x    sin x  2cos x 1 Khi đó: y 
 y sin x  y cos x  2y  sin x  2cos x 1 sin x  cos x  2   y  
1 sin x   y  2cos x  1 2y *
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  y  2   y  2    y2 1 2 1 2 2 2 2
 2y  6y  5  4y  4y 1  2y  2y  4  0  2  y 1. Vậy M  1. Chọn D. 1 cos 2x 3 7 5 14  5cos 2x Câu 65: Ta có y 
 cos 2x  3   cos 2x  2 4 2 4 4 9 14  5cos 2x 19
Vì 1  cos 2x  1 nên  
 y    y  3;  4 4 4 4
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7. Chọn C. 0  cos x  1     0 1 cos x 1 1 1 1 Câu 66: Ta có  x   0; nên     y  2 . Chọn A. 0  sin x  1       2   1  1 sin x  1 0 1 2 Trang 37 1 1 1 5 1 Câu 67: Ta có 2 2 2 2 y  1  cos x 
5  2sin x  1  cos x   sin x 2 2 2 4 2
Áp dụng bất đẳng thức       2 2 2 2 a b a b  1   5 1   9 1  11 22 Do đó 2 2 2 2 2 1 cos x   sin x  y  y  2.    y         2   4 2   4 2  2 2 1 5 1 1 1 1 Dấu bằng xảy ra 2 2
 1 cos x   sin x  cos 2x   cos 2x  . Chọn D. 2 4 2 2 4 2 Câu 68: Ta có . y cos x  2  1 . m sin x  . m sin x  . y cos x  1 2y
Phương trình có nghiệm khi: m  y   y  2 2 2 2 2 2
1  3y  4y 1  m  0 2 2  3m 1
Nghiệm của phương trình 2 2
3y  4y 1 m  0 là x  3 2 2 2 2  3m  1 2  3m  1 2  3m 1 Suy ra  y   min y  3 3 3 2 2  3m  1 m  21 Yêu cầu bài toán 2   2   3m 1  8   3 m    21
Kết hợp với m 0; 10  m  5; 6; 7; 8; 9; 1  0 . Chọn D. 1 m Câu 69: Ta có sin x  1;  1  3
  1 m  3  2  m  4 3
Kết hợp với m    có 4   2
  1  7 giá trị nguyên m. Chọn A.
Câu 70: Hàm số đã cho xác định khi: 5  msin x  m   1 cos x  0; x    .   m x  m    x   m  m  2 2 2 5 max .sin 1 .cos 5
1  m  m 12  0  m  4  ;  3
Kết hợp với m    m   4
 ;  3;  2; 1; 0; 1; 2;  3 . Chọn B.    Câu 71: Ta có y  4sin
t  60 10  4.110 14  178      
Như vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi sin t  60  1  178        t  60 
 k  t  60  89 178k  t  149 178k 178 2
Do 0  t  365  Vào ngày thứ 149 tức là ngày 29 tháng 5 thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất. Chọn B.  t    t   Câu 72: Ta có h  3cos 
12  3 12  15  cos   1      8 4   8 4  Trang 38   t   t 
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi cos   1    k2  t  16k  2    8 4  8 4
Vì 0  t  24  k  1  t  14
Vậy mực nước của kênh cao nhất khi t  14h . Chọn B.   t   Câu 73: Ta có cos   1   nên h  3.1  12  15  6 3    t   t  Dấu bằng xảy ra khi cos   1    k2  t  12k  2    6 3  6 3 Để t
 12k  2  0 và 12k   2
nên k  1  t  10h . Chọn D. min min
Câu 74: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ ta thấy:
f 0  0 nên ta loại đáp án B và C.
Mặt khác dựa vào đồ thị suy ra f    0 nên loại đáp án A. Chọn D.
Câu 75: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ ta thấy: f 0  0 nên ta loại các đáp án B và D. 2x
Mặt khác hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 3 , trong 2 hàm số ở ý A và C thì hàm số y  cos thỏa 3
mãn điều kiện trên. Chọn A.
Câu 76: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ ta thấy:  3  f  1  
nên ta loại các đáp án B, C và D. Chọn A.  4   3 
Câu 77: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ ta thấy: f   2  
nên ta loại các đáp án A,  4  B, và C. Chọn D. Trang 39
Câu 78: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng 0;   nên ta loại các đáp án A, B, và C. Chọn D.   
Câu 79: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng 0;   nên ta loại các đáp  2  án A, C và D. Chọn B.
Câu 80: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y  f  x trong hình vẽ luôn thỏa mãn f x  0 nên ta loại đáp án B.
Lại có: f 0  0 nên ta loại đáp án D và f    0 nên ta loại đáp án C. Chọn A
Câu 81: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y  f  x trong hình vẽ có tập giá trị là T  0; 2 ta loại đáp án A và B.
Ta có: f 0  1 nên loại đáp án C. Chọn D.    
Câu 82: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đã cho xác định và đồng biến trên khoảng  ;   do  2 2 
đó hàm số cần chọn là hàm số y  tan x . Chọn A.   
Câu 83: Hàm số y  tan x đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng  ; 0   (loại đáp án B).  2     Trên khoảng  ; 0 
 hàm số y  sin x đồng biến và nhận giá trị âm. Chọn C  2       Câu 84: Gọi C a a 2 2 ; cos  D a  ; cos a      3  3   2 
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB / /CD  y  y  cos a  cos a  C D    3  2     1  a  a 
 a    AD  cos     3 3  3  2 
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng A . B BC  . Chọn C. 3  2 x  a   B  3 Câu 85: Gọi A ; a sin a    2   y  sin a  B     3   2  2 
Mặt khác y  y  sin a  sin a   a    a   a  A B    3  3 6  1 Do đó BC  AD  sin  . Chọn B. 6 2 Trang 40