







































Preview text:
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
* Hàm số y sin x D R
* Hàm số y cos x D R
* Hàm số y tan x D R \ k 2
* Hàm số y cot x D R \ k u x * Hàm số y
điều kiện xác định là vx 0 v x u x * Hàm số y
điều kiện xác định là vx 0 v x
2) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác - Định nghĩa
Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T 0 sao cho với mọi x D ta có:
* x T D và x T D
* f x T f x
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số y cos x tuần
hoàn với chu kì T 2 ; hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì T ; hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì T . - Chú ý 2
* Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T 0 a 2
* Hàm số y cos ax b tuần hoàn với chu kì T 0 a
* Hàm số y tan ax b tuần hoàn với chu kì T 0 a
* Hàm số y cot ax b tuần hoàn với chu kì T 0 a Trang 1
* Hàm số y f x tuần hoàn với chu kì T và hàm số y f x tuần hoàn với chu kì T thì hàm số 2 1 1 2
y f x f x tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1 2 0 1 2
3) Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác - Định nghĩa
* Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện x D x D sau: f x f x
* Hàm số y f x có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện x D x D sau: f
x f x - Chú ý
* Các hàm số chẵn thường gặp: 2 2 x kx x kx 2 cos ; cos ; sin ; sin ; cos kx
* Các hàm số lẻ thường gặp: 3 3 sin ; x tan ; x cot ; x sin ; x tan . x .. f x
* Hàm số f x chẵn và g x lẻ thì hàm f x.g x và đều là hàm số lẻ. g x f x
* Hàm số f x và g x đều là hàm lẻ thì hàm f x.g x và đều là hàm số chẵn. g x
4) Sự biến thiên và đồ thị các hàm số lượng giác a) Hàm số y = sinx * Tập xác định: D R * Tập giá trị T 1 ;
1 , có nghĩa là 1 sin x 1
* Là hàm số tuần hoàn chu kì 2 , có nghĩa x k2 sin x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2
và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 3 k2 ; k2 , k 2 2
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Trang 2 b) Hàm số y = cosx * Tập xác định: D R * Tập giá trị T 1 ;
1 , có nghĩa 1 sin x 1
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos x k2 cos x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
k2; k2 và nghịch biến trên mỗi khoảng
k2; k2 , k
* Là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới c) Hàm số y = tanx
* Tập xác định D \ k , k 2 * Tập giá trị T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k 2 2
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Trang 3 d) Hàm số y = cotx
* Tập xác định D \ k , k * Tập giá trị T
* Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k
* Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k
* Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
- Dạng 1: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 2x a) y sin b) y sin x x 1 Lời giải:
a) ĐK xác định: x 1 TXĐ: D \ 1 Trang 4
b) ĐK xác định: sin x 0 2k x 2k 1
Suy ra TXĐ: D 2k ; 2k 1
Ví dụ 2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: 1 a) 2 y 1 cos x b) y sin x 1 Lời giải: a) ĐK xác định: 2
1 cos x 0 (luôn đúng) TXĐ: Lại có: 2 2
0 cos x 1 0 1 cos x 1 0 y 1 Tập giá trị là T 0, 1
b) ĐK xác định: sin x 1 0 sin x 1
sin x 2k D R \ 2k 2 2 1 1
Ta có: 0 sin x 1 2 y Tập giá trị là T , 2 2 1 sin x
Ví dụ 3. Tìm tập xác định D của hàm số y cos x 1 a) D .
b) D \ k , k . 2
c) D \ k , k .
d) D \ k2, k . Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x 1 0 cos x 1 x k2 , k
Vậy tập xác định D \ k2 , k . Chọn D 1
Ví dụ 4. Tìm tập xác định D của hàm số y sin x 2
a) D \ k , k .
b) D \ k , k . 2 c) D \
1 2k , k . d) D \ 1 2k, k . 2 Lời giải:
Hàm số xác định sin x
0 x k x k , k 2 2 2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn C 2 1
Ví dụ 5. Tìm tập xác định D của hàm số y sin x cos x a) D .
b) D \ k, k . 4 Trang 5
c) D \ k2 , k .
d) D \ k , k . 4 4 Lời giải:
Hàm số xác định sin x cos x 0 tan x 1 x k , k 4
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn D 4
Ví dụ 6. Tìm tập xác định D của hàm số y cot 2x sin 2x 4
a) D \ k , k . b) D Ø . 4
c) D \ k , k . d) D . 8 2 Lời giải: k
Hàm số xác định sin 2x 0 2x k x , k 4 4 8 2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn C 8 2 x
Ví dụ 7. Tìm tập xác định D của hàm số 2 y 3tan 2 4 3 a) D \ k2 , k .
b) D \ k2 , k . 2 2 3 c) D \ k , k .
d) D \ k, k . 2 2 Lời giải: x x 3 Hàm số xác định 2 cos
0 k x k2 , k 2 4 2 4 2 2 3
Vậy tập xác định D \
k2 , k . Chọn A 2
Ví dụ 8. Tìm tập xác định D của hàm số y 1 sin 2x 1 sin 2x a) D Ø . b) D . 5 5 13 c) D k2 ; k2 , k . d) D k2 ; k2 , k . 6 6 6 6 Lời giải: 1 sin 2x 0
Ta có: 1 sin 2x 1 , x . 1 sin 2x 0
Vậy tập xác định D . Chọn B Trang 6
Ví dụ 9. Tìm tập xác định D của hàm số 2
y 5 2cot x sin x cot x 2 k a) D \ , k .
b) D \ k , k . 2 2 c) D .
d) D \ k , k . Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 2
5 2cot x sin x 0, cot x
xác định và cot x xác định. 2 2 2cot x 0 Ta có: 2
5 2cot x sin x 0, x
1 sin x 1 5 sin x 0 * cot x xác định sin x 0
x k x k , k 2 2 2 2
* cot x xác định sin x 0 x k , k x k k
Do đó hàm số xác định 2 x , k 2 x k k
Vậy tập xác định D \ , k . Chọn A 2 1 1
Ví dụ 10. Hàm số y tan x cot x
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây? 3 a) k2 , k2 với k . b) k2 , k2 với k . 2 2 c) k2 , k2 với k .
d) k2 , 2 k2 với k . 2 Lời giải: s in x 0 k Hàm số xác định
sin 2x 0 2x k x , k . cos x 0 2 3 3 Ta chọn k 3 x nhưng điểm
thuộc khoảng k2; 2 k2 . 2 2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng k2; 2 k2 . Chọn D
Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y sin 2x b) y 2sin x 3 Trang 7 Lời giải:
a) f x sin 2x sin 2x f x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ.
b) Ta có f x 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 9 f x 9
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ)
Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau a) y sin x cos b) y tan x cot x Lời giải:
a) f x sin x cosx sin x cos x sin x cos x 2cos x f x 2cos x
Suy ra hàm số đã cho không phải là hàm chẵn (lẻ) sin x cos x sin x cos x
b) f x tan x cot x cos x sin x cos sin x
tan x cot x tan x cot x f x
Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ .
Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau sin x tan x 3 cos 1 a) y b) x y sin x cot x 3 sin x Lời giải: sin x tan x
sin x tan x sin x tan x a) Ta có f x f x
sin x cot x sin x cot x sin x cot x
Suy ra hàm số đã cho là hàm chẵn. 3 3 cos x 1 cos x 1 b) Ta có f x
f x . Suy ra hàm số đã cho là hàm lẻ. 3 sin x 3 sin x
Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn a) y sin x b) y cos x sin x c) 2 y cos x sin x d) y cos x sin x Lời giải:
Tất cả các hàm số đề có TXĐ: D . Do đó x D x D .
Bây giờ ta kiểm tra f x f x hoặc f x f x
* Với y f x sin x . Ta có f x sin x sin x sin x
f x f x . Suy ra hàm số y sin x là hàm số lẻ.
* Với y f x cos x sin x . Ta có:..
f x f x, f x. Suy ra hàm số f x cos x sin x không chẵn không lẻ. * Với y f x 2
cos x sin x . Ta có f x x 2 cos sin x Trang 8
x x 2 x x2 2 cos sin cos sin cos x sin x
f x f x . Suy ra hàm số 2
y cos x sin x là hàm chẵn. Chọn C.
* Với y f x cos xsin x . Ta có f x cosx.sin x cos xsin x
f x f x . Suy ra hàm số y cos xsin x là hàm số lẻ.
Ví dụ 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y sin 2x b) y x cos x tan c) y cos . x cot x d) x y sin x Lời giải:
* Xét hàm số y f x sin 2x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có f x sin 2x sin 2x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x x cos x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có: f x x.cosx x cos x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x cos x cot x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D .
Ta có f x cosx.cot x cos xcot x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số tan x y f x sin x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D . 2 tan x tan x tan x Ta có f x
f x f x là hàm số chẵn. Chọn D. sin x sin x sin x
Ví dụ 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? a) y sin x b) 2 y x sin x c) x y d) y x sin x cos x Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A là hàm
số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A.
Ví dụ 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? Trang 9 a) 2 y cos x sin x . b) y sin x cos x . c) y cos x . d) y sin . x cos 3x . Lời giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hàm chẵn lẻ ở phần lí thuyết ta dễ dàng thấy rằng ở phương án A và C là
các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số f x sin 2x và g x 2
tan x . Chọn mệnh đề đúng
a) f x là hàm số chẵn, g x là hàm số lẻ.
b) f x là hàm số lẻ, g x là hàm số chẵn.
c) f x là hàm số chẵn, g x là hàm số chẵn. d) f x và g x đều là hàm số lẻ. Lời giải:
* Xét hàm số f x sin 2x .
TXĐ: D . Do đó x D x D .
Ta có f x sin 2x sin 2x f x f x là hàm số lẻ. * Xét hàm số g x 2 tan x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D . 2
Ta có g x x 2 x2 2 tan tan
tan x g x f x là hàm số chẵn. Chọn B. cos 2x sin 2x cos 3x
Ví dụ 9. Cho hai hàm số f x và g x . 2 1 sin 3x 2 2 tan x
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) f x lẻ và g x chẵn.
b) f x và g x chẵn.
c) f x chẵn, g x lẻ.
d) f x và g x lẻ. Lời giải: cos 2x
* Xét hàm số f x 2 1 sin 3x
TXĐ: D . Do đó x D x D . cos 2 x cos 2x Ta có f x
f x f x là hàm số chẵn. 2 1 sin 3 x 2 1 sin 3x sin 2x cos3x
* Xét hàm số g x . 2 2 tan x
TXĐ: D \ k k . Do đó x D x D . 2 sin 2x cos 3 x sin 2x cos3x Ta có g x
g x g x là hàm số chẵn. 2 2 tan x 2 2 tan x
Vậy f x và g x chẵn. Chọn B. Trang 10
Dạng 3: Chu kì của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
a) Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
b) Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
c) Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
d) Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì . Lời giải:
Vì hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì . Chọn C.
Ví dụ 2. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn? a) y cos x . b) y cos 2x . 1 c) 2 y x cos x . d) y . sin 2x Lời giải:
* Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì T 2 .
* Hàm số y cos 2x tuần hoàn với chu kì T . 1 * Hàm số y
tuần hoàn với chu kì T . sin 2x * Hàm số 2
y x cos x không phải là hàm tuần hoàn. Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số y sin 5x 4 2 5 a) T b) T 5 2 c) T d) T 2 8 Lời giải: 2
Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T . a 2
Áp dụng: Hàm số y sin 5x
tuần hoàn với chu kì T . Chọn A. 4 5 x
Ví dụ 4. Tìm chu kì T của hàm số y cos 2016 2 a) T 4 b) T 2 c) T 2 d) T Lời giải: Trang 11 2
Hàm số y cos ax b tuần hoàn với chu kì T a x
Áp dụng: Hàm số y cos 2016
tuần hoàn với chu kì T 4 . Chọn A. 2
Ví dụ 5. Tìm chu kì T của hàm số cos 2 x y x sin . 2 a) T 4 . b) T . c) T 2 . d) T . 2 Lời giải: 2
Hàm số y cos 2x tuần hoàn với chu kì T . 1 2 2 Hàm số x
y sin tuần hoàn với chu kì T 4 2 2 1 2 Suy ra hàm số cos 2 x y
x sin tuần hoàn với chu kì T 4 . Chọn A. 2
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1 2
Ví dụ 6. Tìm chu kì T của hàm số y cos3x cos 5x . a) T b) T 3 c) T 2 d) T 5 Lời giải: 2
Hàm số y cos3x tuần hoàn với chu kì T . 1 3 2
Hàm số y cos5x tuần hoàn với chu kì T . 2 5
Suy ra hàm số y cos3x cos 5x tuần hoàn với chu kì T 2 . Chọn C.
Ví dụ 7. Tìm chu kì T của hàm số y sin 2x 2cos 3x . 3 4 a) T 2 . b) T . c) T 3 . d) T 4 . Lời giải: 2 Hàm số y sin 2x
tuần hoàn với chu kì T . 3 1 2 2 Hàm số y 2cos 3x
tuần hoàn với chu kì T . 4 2 3
Suy ra hàm số y sin 2x 2cos 3x
tuần hoàn với chu kì T 2 . Chọn A 3 4 Trang 12
Ví dụ 8. Tìm chu kì T của hàm số y tan 3x cot x . a) T 4 . b) T . c) T 3 . d) T . 3 Lời giải:
Hàm số y cot ax b tuần hoàn với chu kì T a
Áp dụng: Hàm số y tan 3x tuần hoàn với chu kì T . 1 3
Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì T . 2
Suy ra hàm số y tan 3x cot x tuần hoàn với chu kì T . Chọn B.
Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của T và T . 1 2 x
Ví dụ 9. Tìm chu kì T của hàm số y cot sin 2x 3 a) T 4 . b) T . c) T 3 . d) T . 3 Lời giải: Hàm số x
y cot tuần hoàn với chu kì T 3 . 3 1
Hàm số y sin 2x tuần hoàn với chu kì T . 2 x
Suy ra hàm số y cot sin 2x tuần hoàn với chu kì T 3 . Chọn C. 3
Ví dụ 10. Tìm chu kì T của hàm số 2 2 y 2sin x 3cos 3x a) T . b) T 2 . c) T 3 . d) T . 3 Lời giải: 1 cos 2x 1 cos 6x 1 Ta có y 2. 3.
3cos6x 2cos 2x 5 2 2 2 2
Hàm số y 3cos6x tuần hoàn với chu kì T . 1 6 3 Hàm số y 2
cos 2x tuần hoàn với chu kì T . 2
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T . Chọn A.
Ví dụ 11. Tìm chu kì T của hàm số 2 y tan 3x cos 2x Trang 13 a) T . b) T . 3 c) T . d) T 2 . 2 Lời giải: 1 cos 4x 1 Ta có y tan 3x
2 tan 3x cos 4x 1 . 2 2
Hàm số y 2 tan 3x tuần hoàn với chu kì T . 1 3 2
Hàm số y cos 4x tuần hoàn với chu kì T . 2 4 2
Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T . Chọn C.
Ví dụ 12. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2 ? a) 3 y cos x . b) x x y sin cos . 2 2 x c) 2 y sin x 2 . d) 2 y cos 1 . 2 Lời giải: 1 Hàm số 3
y cos x cos3x 3cos x có chu kì là 2 . 4 x x 1
Hàm số y sin cos sin x có chu kì là 2 . 2 2 2 1 1 Hàm số 2
y sin x 2 cos2x 4 có chu kì là . 2 2 x 1 1 Hàm số 2 y cos 1 cos
x 2 có chu kì là 2 . Chọn C. 2 2 2
Ví dụ 13. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? a) y cos x và x y cot .
b) y sin x và y tan 2x . 2 c) x y sin và x y cos .
d) y tan 2x và y cot 2x . 2 2 Lời giải: Hàm số y cos x và x
y cot có cùng chu kì là 2 . 2
Hàm số y sin x có chu kì là 2 , hàm số y tan 2x có chu kì là . 2 Hàm số y sin và x
y cos có cùng chu kì là 4 . 2 2 Trang 14
Hàm số y tan 2x và y cot 2x có cùng chu kì là . Chọn B. 2
Dạng 4: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác * Miền giá trị: kx kx 2 kx 2 1 sin 1; 1 cos 1; 0 sin
1; 0 cos kx 1 * Với hàm số 2 2 2 2 y . a sin x .
b cos x a b y a b . a sin x . b cos x c * Với hàm số y
nhân chéo và đưa về trường hợp trên để tìm miền giá trị. . m sin x . n cos x p
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 2 y 4sin 4sin x 3 b) 2 y cos x 2sin x 2 Lời giải: a) y x x x 2 2 4sin 4sin 3 2sin 1 2 Ta có: x x x 2 1 sin 1 3 2sin 1 1 0 2sin 1 9 2 y 9 max y 9 sin x 1 x 2 k 2 k,l 1 5 min y 2 sin x x 2l , x 2 l 2 6 6 b) y x x x x x 2 2 2 cos 2sin 2 sin 2sin 3 4 sin 1 Ta có: x x x 2 1 sin 1 2 sin 1 0 0 2sin 1 4 0 y 4
max y 4 sin x 1 x 2 k 2 k,l min y 0 sin x 1 x 2 l 2
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 4 2 y sin x 2 cos x 1 b) y 3 sin 2x cos 2x Lời giải: a) y x x x x x 2 4 2 4 2 2 sin 2cos 1 sin 2sin 1 sin 1 2 Ta có: x x x 2 2 2 2 0 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1 2 1 y 2 2
max y 2 sin x 1 x 2k 2 k,l 2
min y 1 sin x 0 x l
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Trang 15 y x
x2 2 2 2 2 2 3 sin 2 cos 2 3 1 sin x cos x 4 2 y 2 sin 2x cos 2x max y 2 0 x k 3 1 6 k,l sin 2x cos 2x min y 2 0 x k 3 1 6
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 3 cos x 3 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có x
x2 2 2 2 2 sin 3 cos 1 3
sin x cos x 4 2 sin x 3 cos x 2 1 y 5 sin x cos x max y 5 0 x 2 k 1 3 6 k,l sin x cos x 5 min y 1 0 x 2k 1 3 6
Ví dụ 4. Cho hàm số y 2 sin x 2
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 a) y 4, x . b) y 4, x . c) y 0, x . d) y 2, x . Lời giải: Ta có: 1 sin x 1 2 2 sin x 2 3 3 4 2 sin x 2 0 4 y 0 . Chọn C. 3
Ví dụ 5. Hàm số y 5 4sin 2x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. Lời giải:
Ta có y 5 4sin 2x cos 2x 5 2sin 4x .
Mà 1 sin 4x 1 2
2sin 4x 2 3 5 2sin 4x 7 3 7 y y y 3; 4; 5; 6;
7 nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C
Ví dụ 6. Hàm số y sin x sin
x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? 3 a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: Trang 16
Áp dụng công thức sin sin a b a b a b 2 cos sin , ta có 2 2 sin x sin x 2cos x sin cos x 3 6 6 6 Ta có 1 cos 1 1 1 y x y 1; 0; 1 . Chọn C 6 Ví dụ 7. Hàm số 4 4
y sin x cos x đạt giá trị nhỏ nhất tại x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 a) x k2 , k . b) x k , k . 0 0
c) x k2 , k . d) x k , k . 0 0 2 Lời giải: Ta có 4 4 y x x 2 2 x x 2 2 sin cos sin cos
sin x cos x cos 2x .
Mà 1 cos 2x 1 1
cos 2x 1 1 y 1
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Đẳng thức xảy ra cos 2x 1 2x k2 x k k . Chọn B
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 y 4sin x 2 sin 2x . 4 a) M 2 . b) M 2 1. c) M 2 1. d) M 2 2 . Lời giải: 1 cos 2x Ta có 2 y 4sin x 2 sin 2x 4 sin 2x cos 2 x 4 2
sin 2x cos 2x 2 2 sin 2x 2 . 4 Mà 1 sin 2x
1 2 2 2 sin 2x 2 2 2 . 4 4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 . Chọn D.
Ví dụ 9. Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6 y sin x cos x 1 a) T 0; 2. b) T ; 1 . 2 1 1 c) T ; 1 . d) T 0; . 4 4 Lời giải: 2 Ta có 6 6 y x x 2 2 x x 2 2 x x 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin x cos x Trang 17 3 3 1 cos 4x 5 3 2 2 2
1 3sin x cos x 1 sin 2x 1 . cos 4x . 4 4 2 8 8 1 5 3 1 Mà 1 cos 4x 1
cos 4x 1 y 1. Chọn C 4 8 8 4
Ví dụ 10. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y 8sin x 3cos 2x . Tính 2 P 2M m . a) P 1. b) P 2 . c) P 112 . d) P 130 . Lời giải: Ta có 2 2 y x x x 2 x 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2sin 2sin x 3 . Mà 2 2
1 sin 1 0 sin x 1 3 2sin x 3 5 M 5 2 3 y 5
P 2M m 1. Chọn A. m 3
Ví dụ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y 2sin x 3 sin 2x . a) m 2 3 . b) m 1. c) m 1. d) m 3 . Lời giải: Ta có 2
y 2sin x 3 sin 2x 1 cos 2x 3 sin 2x 3 1
3 sin 2x cos 2x 1 2 sin 2x cos 2x 1 2 2
2 sin 2x cos sin cos 2x 1 2sin 2x 1 6 6 6 Mà 1 sin 2x 1 1 1 2sin 2x 3 1 y 3 . 6 6
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1. Chọn B. Trang 18 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 sin x
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y cos x 1 A. D .
B. D \ k , k . 2
C. D \k , k .
D. D \ k2 , k . 1
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y sin x 2
A. D \ k , k .
B. D \ k , k . 2 C. D \
1 2k , k . D. D \ 1 2k, k . 2
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y cot 2x sin 2x . 4
A. D \ k , k . B. D Ø . 4
C. D \ k , k . D. D . 8 2 x
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số 2 y 3tan . 2 4 3 A. D \ k2 , k .
B. D \ k2 , k . 2 2 3 C. D \ k , k .
D. D \ k, k . 2 2 3 tan x 5
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số y . 2 1 sin x
A. D \ k2 , k .
B. D \ k , k . 2 2
C. D \ k , k .
D. cos x 1 sin x 0 x k , k .
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y sin x 2 A. D .
B. D 2; . C. D 0; 2 . D. D Ø . 1
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y 1 sin x Trang 19
A. D \ k , k .
B. D \ k , k . 2
C. D \ k2 , k . D. D Ø . 2 1 cos x
Câu 8. Tập xác định của hàm số y là sin x 1
A. \ k k . B. \ k k . 2 C. \ k2 k .
D. \ k2 k . 2 cot x
Câu 9. Tập xác định của hàm số y là cos x 1 k k A. D \ , k . B. D \ k , k . 2 2
C. D \ k , k .
D. D \ k2 , k .
Câu 10. Tập xác định của hàm số f x 1 là 1 cos x A. D \ 2k 1 , k . B. D \ 2k 1 , k . 2
C. D \ k , k .
D. D \ k2 , k .
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y cot x sin 5x cos x .
A. \ k k .
B. \ k2 k . 2 2 C. \ k k . D. \ k2 k .
Câu 12. Tìm tập giá trị của hàm số y 2cos 3x 1. A. 3; 1 . B. 3; 1 . C. 1; 3 . D. 1; 3 . 3sin x
Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y 2cos x 1 4 2
A. D \ k2 , k2 , k . B. D \ k2 , k . 3 3 3 5 C. D \ k2 , k .
D. D \ k2 , k . 6 3 tan x
Câu 14. Tìm điều kiện xác định của hàm số y cos x 1 Trang 20 x k x k A. x k 2 . B. x k2 . C. 2 . D. 2 . 3 x k2 x k 3 2 cos x
Câu 15. Tìm điều kiện để hàm số y có nghĩa. sin x 1 A. x k k .
B. x k2 k . 2 C. x k2 k .
D. x k k . 2 sin x 1
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y là sin x 2 A. 2; . B. . C. 2; . D. \ 2 .
Câu 17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định là ? tan x A. y 1 sin 2x . B. y . C. y sin x cot 2x . D. y sin x . 2 cos x 1
Câu 18. Tìm tập giá trị của hàm số y cos2x 1 là A. 1; 1 . B. 1; 1 . C. . D. 2; 2 . cot x
Câu 19. Tìm tập xác định của hàm số y sin 3x . 2 1 sin x k A. \ , k .
B. \ k, k . 2
C. \ k2 , k .
D. \ k2 , k 2 2 2 cos 3x 1
Câu 20. Tìm tập xác định của hàm số y là cos x 1
A. D \ k k .
B. D \k2 k .
C. D \ k k .
D. D \ k2 k . 2 x
Câu 21. Tìm tập xác định của hàm số f x sin 2 2 1 cos x A. D .
B. D \ k2, k .
C. D k2, k .
D. D \k, k .
Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y sin x . B. y cos x . C. y tan x . D. y cot x .
Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? Trang 21 A. y sin x . B. y cos x sin x . C. 2 y cos x sin x . D. y cos x sin x .
Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? tan x A. y sin 2x . B. y x cos x . C. y cos x cot x . D. y . sin x
Câu 25. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? A. y sin x cos 2x . B. 3 y sin x cos x . 2 tan x C. y . D. 3 y cos x sin x . 2 tan x 1
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y cos x sin x . B. y sin x cos x . C. y cos x . D. y sin x cos 3x .
Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? cot x tan x A. y sin x . B. 2 y sin x . C. y . D. y . 2 cos x sin x
Câu 28. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 y 1 sin x . B. 2 y cot x .sin x . C. 2 y x tan 2x cot x .
D. y 1 cot x tan x .
Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? 1 A. y . B. y sin x . 3 sin x 4 C. y 2 cos x . D. y sin 2x . 4
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số y sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y tan x đối xứng qua truc Oy.
D. Đồ thị hàm số y tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Câu 31. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 4 y x cos x . B. 2017 y x cos x . 3 2 C. 2018 y 2015 cos x sin x . D. 2017 2018 y tan x sin x .
Câu 32. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Trang 22
C. Hàm số y tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
D. Hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì .
Câu 33. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? sin x A. y sin x . B. y x sin x . C. y x cos x . D. y . x x
Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số y cos 2016 2 A. T 4 . B. T 2 . C. T 2 . D. T . 1
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số y sin 100 x 50 . 2 1 1 A. T . B. T . C. T . D. 2 T 200 . 50 100 50
Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số y sin 2x 2cos 3x 3 4 A. T 2 . B. T . C. T 3 . D. T 4 . x
Câu 37. Tìm chu kì T của hàm số y sin tan 2x . 2 4 A. T 4 . B. T . C. T 3 . D. T 2 .
Câu 38. Tìm chu kì T của hàm số 2 y 2cos x 2017 . A. T 3 . B. T 2 C. T . D. T 4 .
Câu 39. Hàm số nào sau đây có chu kì khác ? A. y sin 2x . B. y cos 2 x . C. y tan 2x 1 . D. y cos . x sin x . 3 4 Câu 40. Với x 0;
, mệnh đề nào sau đây là đúng? 4
A. Cả hai hàm số y sin 2x và y 1
cos 2x đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số y sin 2x và y 1
cos 2x đều đồng biến.
C. Hàm số y sin 2x nghịch biến, hàm số y 1
cos 2x đồng biến.
D. Hàm số y sin 2x đồng biến, hàm số y 1
cos 2x nghịch biến.
Câu 41. Hàm số y sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 3 3 A. 0; . B. ; . C. ; . D. ; 2 . 4 2 2 2
Câu 42. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng ; 3 6 A. y tan 2x . B. y cot 2x . C. y sin 2x . D. y cos 2x . 6 6 6 6 Trang 23
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 3sin x 2 A. M 1; m 5 . B. M 3; m 1. C. M 2; m 2 . D. M 0; m 2 .
Câu 44. Tìm tập giá trị T của hàm số y 3cos 2x 5 . A. T 1; 1 . B. T 1; 1 1 . C. T 2; 8. D. T 5; 8 .
Câu 45. Tìm tập giá trị T của hàm số y 5 3sin x . A. T 1; 1 . B. T 3 ; 3 . C. T 2; 8. D. T 5; 8 . Câu 46. Cho hàm số y 2 sin x 2
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. y 4 , x B. y 4, x C. y 0, x D. y 2, x 1
Câu 47. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y cos x 1 1 1 A. m . B. m . C. m 1. D. m 2 . 2 2
Câu 48. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x . Tính P M m . A. P 4 . B. P 2 2 . C. P 2 . D. P 2 .
Câu 49. Tập giá trị T của hàm số y sin 2017x cos 2017x . A. T 2 ; 2 .
B. T 4034; 4034 . C. T 2; 2 . D. T 0; 2 .
Câu 50. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 1 2 cos 3x A. M 3; m 1. B. M 1; m 1. C. M 2; m 2 . D. M 0; m 2 .
Câu 51. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y 8sin x 3cos 2x . Tính 2 2M m A. 1. B. 2. C. 112. D. 130.
Câu 52. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 y 2sin x 3 sin 2x A. 2 3 . B. -1. C. 1. D. 3 .
Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y 12sin x 5cos x A. 1; 1 . B. 7; 7 . C. 13; 1 3 . D. 17; 17 .
Câu 54. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 4sin 2x 3cos 2x A. 3. B. 1. C. 5. D. 4.
Câu 55. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y sin x 4sin x 5. Tính 2 M 2m A. 1. B. 7. C. 8. D. 2. Trang 24 Câu 56. Hàm số 2
y cos x cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 57. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2 y sin x 2cos x 1 A. M 2, m 2 . B. M 1, m 0 . C. M 4, m 1 . D. M 2, m 1 .
Câu 58. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y 4sin x cos 4x A. -3 B. -1 C. 3 D. -5
Câu 59. Cho hàm số f x cos 2x cos x 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là A. f x 1 min . B. f x 1 min . C. f x 1 min . D. f x 1 min . 8 4 8 4 3 sin x
Câu 60. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y . Tính M. m. cos x 2 A. 2. B. 0. C. -2. D. -1. sin x cos x 1
Câu 61. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y . sin x cos x 2 3 5 1 2 6 A. . B. 1. C. . D. . 2 3 2 sin x 2 cos x 3
Câu 62. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . 2sin x cos x 4 9 2 A. 2. B. 3. C. . D. . 11 11 sin x cos x
Câu 63. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y lần lượt là 2sin x cos x 3 1 1 A. m 1; M . B. m 1 ; M 2 . C. m ; M 1. D. m 1; M 2 . 2 2 sin x 2cos x 1
Câu 64. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y . sin x cos x 2 A. M 2 . B. M 3 . C. M 3 . D. M 1. 1 3
Câu 65. Gọi T là tập giá trị của hàm số 2
y sin x cos 2x 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của T 2 4 A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. cos x 1
Câu 66. Tập giá trị của hàm số y trên 0; sin x 1 2 1 1 1 A. ; 2 B. 0; 2 C. ; 2 D. ; 2 2 2 2 1 1
Câu 67. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 y 1 cos x 5 2sin x 2 2 Trang 25 11 5 22 A. B. 1 5 C. 1 D. 2 2 2 1 msin x Câu 68. Cho hàm số y
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 0; 10 để cos x 2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6.
Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 3sin x m 1 0 có nghiệm? A. 7. B. 6. C. 3. D. 5.
Câu 70. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 5 msin x m 1 cos x xác định trên ? A. 5. B. 8. C. 7. D. 6.
Câu 71. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số y 4sin t 60 10, t
và 0 t 365 . Vào ngày nào trong năm thành phố A có 178
nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? A. 28 tháng 5 B. 29 tháng 5 C. 30 tháng 5 D. 31 tháng 5
Câu 72. Hàng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong t
kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức h 3cos 12
. Mực nước của kênh cao 8 4 nhất khi A. t 13h B. t 14h C. t 15h D. t 16h
Câu 73. Hàng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong t
kênh tính theo thời gian t(h) được cho bởi công thức h 3cos 12
. Khi nào mực nước của 6 3
kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? A. t 22h . B. t 15h . C. t 14h . D. t 10h .
Câu 74. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? x x x x A. y sin B. y cos C. y cos D. y sin 2 2 4 2
Câu 75. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? Trang 26 2x 2x 3x 3x A. y cos B. y sin C. y cos D. y sin 3 3 2 2
Câu 76. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 3 A. y sin x B. y cos x C. y 2 sin x D. y cos x 4 4 4 4
Câu 77. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y sin x B. y cos x C. y 2 sin x D. y 2 cos x 4 4 4 4
Câu 78. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y sin x B. y sin x C. y sin x D. y sin x
Câu 79. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? Trang 27 A. y cos x B. y cos x C. y cos x D. y cos x
Câu 80. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y sin x 1 B. y 2sin x 2 2 C. y sin x 1 D. y sin x 1 2 2
Câu 81. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y 1 sin x B. y sin x C. y 1 cos x D. y 1 sin x
Câu 82. Cho hàm số y f x xác định trên \ k , k và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm 2
số y f x là hàm số nào trong các hàm số sau đây? A. y tan x B. y cos x C. y sin x D. y cot x Trang 28
Câu 83. Hãy nêu tất cả các hàm số trong các hàm số y sin x, y cos x, y tan x, y cot x thỏa mãn
điều kiện đồng biến và nhận giá trị âm trong khoảng ; 0 2 A. y tan x B. y cos x, y cot x C. y tan x, y sin x D. y cos x, y tan x
Câu 84. Hình chữ nhật ABCD có hai đỉnh A, B thuộc trục Ox, hai đỉnh C, D thuộc đồ thị hàm số 2
y cos x (như hình vẽ). Biết rằng AB
. Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng bao nhiêu? 3 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 85. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y sin x trên đoạn 0; , các điểm C, D thuộc trục Ox 2
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD . Tính độ dài đoạn BC 3 2 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2 Trang 29
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-C 3-C 4-A 5-B 6-A 7-C 8-D 9-D 10-D 11-C 12-C 13-B 14-C 15-C 16-B 17-A 18-A 19-A 20-D 21-B 22-B 23-C 24-D 25-B 26-D 27-C 28-C 29-A 30-A 31-B 32-C 33-A 34-A 35-A 36-A 37-A 38-C 39-C 40-A 41-A 42-C 43-A 44-C 45-C 46-C 47-A 48-B 49-C 50-B 51-A 52-B 53-C 54-C 55-D 56-C 57-D 58-B 59-A 60-D 61-D 62-A 63-A 64-D 65-C 66-A 67-D 68-D 69-A 70-B 71-B 72-B 73-D 74-D 75-A 76-A 77-D 78-D 79-B 80-A 81-D 82-A 83-C 84-C 85-B
Câu 1: Hàm số xác định khi cos x 1 x k 2 . Vậy D \ k2 , k . Chọn D
Câu 2: Hàm số xác định khi sin x 0 x k . 2 2
Vậy D \ k , k . Chọn C. 2 k
Câu 3: Hàm số xác định sin 2x 0 2x k x , k . 4 4 8 2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn C. 8 2 x x 3
Câu 4: Hàm số xác định khi 2 cos 0 k x k2 , k . 2 4 2 4 2 2 3
Vậy tập xác định D \
k2 , k . Chọn A 2
Câu 5: Hàm số xác định khi 2
1 sin x 0 và tan x xác định 2 s in x 1 cos x 0 x k , k . cos x 0 2
Vậy tập xác định D \ k , k . Chọn B. 2
Câu 6: Ta có 1 sin 1 1 sin x 2 3, x
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin x 2 với mọi x .
Vậy tập xác định D . Chọn A
Câu 7: Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin x 0 sin x 1 (*)
Mà 1 sin x 1 nên * sin x 1 x k2 , k . 2 Trang 30
Vậy tập xác định D \ k2 , k . Chọn C. 2
Câu 8: Hàm số xác định khi sin x 1 x
k , k . Chọn D. 2 s in x 0
Câu 9: Hàm số xác định khi
cos x 1 x k2 , k . Chọn D. cos x 1 0
Câu 10: Hàm số xác định khi cos x 1 x k2 , k . Chọn D.
Câu 11: Hàm số xác định khi sin x 0 x k , k Chọn C.
Câu 12: Ta có 1 cos3x 1 2 2cos3x 2 1
y 3. Vậy T 1; 3 . Chọn C. 1 2
Câu 13: Hàm số xác định khi cos x x k , k . Chọn B. 2 3 cos x 0 x k
Câu 14: Hàm số xác định khi 2 . Chọn C. cos x 1 x k2
Câu 15: Hàm số xác định khi sin x 1 x
k2 , k . Chọn C. 2
Câu 16: Hàm số xác định khi sin x 2 (luôn đúng). Vậy D . Chọn B.
Câu 17: Ta có sin 2x 1; 1 1 sin 2x 0; x
nên y 1 sin 2x có D . Chọn A.
Câu 18: Ta có 1 cos2x 1 1 T 1 ; 1 . Chọn A. s in x 0 s in x 0 k
Câu 19: Hàm số xác định khi sin 2x 0 x . Chọn A. 2 1 sin x 0 cos x 0 2
Câu 20: Hàm số xác định khi cos x 1 x k2
Vậy D \ k2 , k . Chọn D. sin 2x 2
Câu 21: Hàm số xác định khi
0 mà sin 2x 1;
1 sin 2x 2 1; 3 1 cos x
Do đó 1 cos x 0 cos x 1 cos x 1 (vì cos x 1 ) x k 2 . Chọn B.
Câu 22: Nhắc lại kiến thức cơ bản:
* Hàm số y sin x là hàm số lẻ.
* Hàm số y cos x là hàm số chẵn.
* Hàm số y tan x là hàm số lẻ.
* Hàm số y cot x là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng. Chọn B.
Câu 23: Kiểm tra f x f x hoặc f x f x .
* Với y f x sin x . Ta có f x sin x sin x sin x Trang 31
f x f x . Suy ra hàm số y sin x là hàm số lẻ.
* Với y f x cos x sin x . Ta có f x cosx sin x cos x sin x
f x f x, f x. Suy ra hàm số y cos x sin x không chẵn không lẻ. * Với y f x 2
cos x sin x . Ta có f x x 2 cos sin x
x x 2 x x2 2 cos sin cos sin cos x sin x
f x f x . Suy ra hàm số 2
y cos x sin x là hàm số chẵn. Chọn C
* Với y f x cos xsin x . Ta có f x cosx.sin x cos xsin x
f x f x . Suy ra hàm số y cos xsin x là hàm số lẻ. Câu 24:
* Xét hàm số y f x sin 2x .
Ta có f x sin 2x sin 2x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x x cos x
Ta có f x x.cosx x cos x f x f x là hàm số lẻ.
* Xét hàm số y f x cos x cot x .
Ta có f x cosx.cot x cos x cot x f x f x là hàm số lẻ. x
* Xét hàm số y f x tan sin x tan x tan x tan x Ta có f x
f x f x là hàm số chẵn. Chọn D. sin x sin x sin x
Câu 25: Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Xét đáp án B, ta có y f x 3 3 4 sin . x cos x sin . x sin x sin x 2
Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Chọn B. Câu 26: Hàm số 2 y x x y x
x x x 2 cos sin cos sin cos sin x y x
Hàm số y sin x cos x y x sin x cosx sin x cos x
Hàm số y cos x y x cosx cos x
Hàm số y sin x cos 3x y x sin x.cos 3
x sin xcos3x y x
Do đó hàm số y sin x cos 3x là hàm số lẻ. Chọn D. Trang 32 Câu 27: Ta có y sin x cos x y x yx 2 Hàm số y
x y x x 2 2 2 sin sin sin x tan x tan x tan x tan x Hàm số y y x sin x sin x sin x sin x cot x cot x cot x Hàm số y y x
y x hàm số là hàm số lẻ. Chọn C. cos x cos x cos x Câu 28: Hàm số f x 2 x tan 2x cot x có f x x2 x x 2 tan 2 cot x tan 2x cot x
Suy ra f x f x nên hàm số f x 2
x tan 2x cot x là hàm số lẻ. Chọn C.
Câu 29: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 1 1 1 1 Ta có: f x f x 3 sin x
sinx3 sin x3 3 sin x 1 Suy ra hàm số y
là hàm số lẻ. Chọn A. 3 sin x
Câu 30: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm số y sin x có y x sin x sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy.Vậy
khẳn định sai là A. Chọn A. Câu 31: Hàm số y x x
y x x4 4 4 cos cos x x cos x 3 3 3
Suy ra hàm số không là hàm lẻ. Hàm số 2017 2017 2017 y x cos x x cos x x sin x 2 2
Suy ra y x x2017 x 2017 sin x
sin x y x nên hàm số ở ý B là hàm số lẻ. Chọn B
Câu 32: Hàm số y sin x và y cos x tuần hoàn với chu kì 2 .
Hàm số y tan x và y cot x tuần hoàn với chu kì .
Khẳng định sai là C. Chọn C
Câu 33: Ta có sin x k2 sin x nên hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 . Chọn A. x 2 Câu 34: Hàm số y cos 2016
tuần hoàn với chu kì T 4 . Chọn A. 2 1 2 Trang 33 1 2 1
Câu 35: Hàm số y sin 100 x 50 tuần hoàn với chu kì T . Chọn A. 2 100 50
Câu 36: Hàm số y sin 2x
tuần hoàn với chu kì T . 3 1 2 Hàm số y 2cos 3x
tuần hoàn với chu kì T 4 2 3
Bội số chung nhỏ nhất của T và T là 2 Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là T 2 . Chọn A 1 2 x 2
Câu 37: Hàm số y sin tuần hoàn với chu kì T 4 . 2 1 1 2 Hàm số y tan 2x
tuần hoàn với chu kì T . 4 2 2
Bội số chung nhỏ nhất của T và T là 4 Chu kì tuần hoàn của hàm số đã cho là T 4 . Chọn A. 1 2 Câu 38: Ta có 2
y 2cos x 2017 1 cos 2x 2017 2018 cos 2x 2
Do đó hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T . Chọn C. 2 2 Câu 39: Hàm số y sin 2x
tuần hoàn với chu kì T . 3 2 2 Hàm số y cos 2 x cos 2x
tuần hoàn với chu kì T 4 2 2 Hàm số y tan 2 x
1 tuần hoàn với chu kì T . 2 1 2 Hàm số y cos .
x sin x sin 2x tuần hoàn với chu kìT . Chọn C. 2 2
Câu 40: Trên khoảng x 0; 2x 0;
nên hàm số y sin 2x đồng biến, hàm số y cos 2x 4 2 nghịch biến.
Do đó hàm số y sin 2x nghịch biến và hàm số y 1
cos 2x cũng nghịch biến trên khoảng x 0; . Chọn A. 4
Câu 41: Hàm số y sin 2x đồng biến khi 2x ; x ; 2 2 4 4
Do đó hàm số y sin 2x đồng biến trên khoảng 0; . Chọn A. 4 Câu 42: Do x ; nên 2x ; 3 6 6 2 2 Trang 34
Mặt khác trên khoảng ;
thì hàm sin x là hàm đồng biến. 2 2 Vậy trên khoảng ;
thì hàm số y sin 2x
là hàm đồng biến. Chọn C. 3 6 6
Câu 43: Do sin x 1; 1 nên 3.
1 2 3sin x 2 3 2 5 y 1.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là M 1, m 5 . Chọn A.
Câu 44: Do 1 cos 2x 1 suy ra 3 5 3cos 2x 5 3 5 2 y 8 .
Vậy tập giá trị của hàm số là T 2; 8. Chọn C.
Câu 45: Do sin x 1;
1 nên 5 3.1 5 3sin x 5 3 1 2 y 8
Vậy tập giá trị của hàm số là T 2; 8. Chọn C.
Câu 46: Ta có 1 sin x 1 2 2sin x 2 3 3 Do đó 4 2 sin x 2 0 y 0; 4. Chọn C. 3 1 1 x Câu 47: Ta có y , điều kiện cos 0 cos x 1 x 2 2 cos 2 2 x 1 1 1 Mặt khác 2 0 cos 1 2 x 2 2.1 2 2cos 2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất m của hàm số là y . Chọn A. min 2
Câu 48: Ta có y sin x cos x 2 sin x 4 M 2
Suy ra 2 y 2
M m 2 2 . Chọn B. m 2
Câu 49: y sin 2017x cos 2017x 2 sin 2017x 4
Suy ra 2 y 2 nên tập giá trị của hàm số đã cho là T 2; 2 . Chọn C.
Câu 50: Ta có 0 cos 3x 1
Suy ra 1 2.1 1 2 cos 3x 1 2.0 1 y 1
Do đó M 1; m 1. Chọn B. 1 cos 2x Câu 51: Ta có y 8.
3cos 2x 4 cos 2x mà cos 2x 1; 1 2 Trang 35
Suy ra 3 4 cos 2x 5 M 5; m 3 nên 2 2
2M m 2.5 3 1. Chọn A. 1 cos 2x Câu 52: Ta có y 2.
3 sin 2x 3 sin 2x cos 2x 1 2 2 2 Lại có x x 2 2 2 3 sin 2 cos 2 3 1 . sin 2x cos 2x 4 Suy ra y 2 2
1 4 y 2y 3 0 y 1; 3 . Chọn B. Câu 53: y x x2 2 2 2 2 2 x x 2 12sin 5cos 12 5 . sin cos 13 y 1 3; 1 3 . Chọn C. Câu 54: y x x2 2 2 2 2 2 x x 2 4sin 2 3cos 2 4 3 . sin 2 cos 2 5 y 5 ; 5 . Chọn C.
Câu 55: Đặt t sin x 1 ;
1 nên hàm số trở thành: f t 2 t 4t 5 b Ta có t 2 1; 1 . Tính f 1 10; f 1 2 M 10; m 2 2a Vậy 2 2
M 2m 10 2.2 2 . Chọn D.
Câu 56: Đặt t cos x 1;
1 nên hàm số trở thành: 2 f t t t b 1 Ta có t 1; 1 . Tính f f 1 1 1 2; 1 0; f 2a 2 2 4 1
Suy ra f t 2 nên có tất cả 3 giá trị nguyên: f t 0; 1; 2 . Chọn C. 4 Câu 57: Ta có 4 y x 2 x 4 2 sin 2. 1 sin
1 sin x 2sin x 1 Đặt 2 t sin x 0;
1 nên hàm số trở thành: f t 2 t 2t 1 b Lại có t 1 0;
1 . Tính f 0 1; f
1 2 M 2, m 1. Chọn D. 2a Câu 58: Ta có y x x x x2 4 2 4 2 4sin 2 cos 2 1 4sin 2. 1 2sin 1 4 x 4 2 x x 4 2 4sin 2. 4sin 4sin 1 1 4 sin x 8sin x 1 Đặt 2 t sin x 0;
1 nên hàm số trở thành: f t 2 4 t 8t 1 b Lại có t 10; 1 . Tính f 0 1 ; f
1 3 min y 1. Chọn B 2a Câu 59: Ta có 2 2
y 2cos x 1 cos x 1 2cos x cos x
Đặt t cos x 1;
1 nên hàm số trở thành: f t 2 2t t b 1 Lại có t 1; 1 . Tính f f 1 1 1 3, 1 1, f 2a 4 4 8
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là f x 1 min . Chọn A. 8 Trang 36 Câu 60: Ta có .
y cos x 2 3 sin x 3 sin x . y cos x 2 y 2
Phương trình có nghiệm khi y2 y2 2 3 2 y 1 y 1 ; 1 . Chọn D. Câu 61: Ta có .
y sin x cos x 2 sin x cos x 1 1 ysin x 1 ycos x 2y 1 2 6
Phương trình có nghiệm khi: 1 y2 1 y2 2y 2 2
1 2 y 4 y 1 0 y . 2 Chọn D. sin x 2 cos x 3 Câu 62: Ta có P .
P 2sin x cos x 4 sin x 2cos x 3 2sin x cos x 4 2 . P sin x .
P cos x 4P sin x 2cos x 3 2P
1 .sin x P 2.cos x 4P 3
Phương trình có nghiệm khi: P 2 P 2 P 2 2 2 1 2 4 3 P 2 . Chọn A. 11
Câu 63: Ta có 2sin x cos x 3 0 x sin x cos x Khi đó y
sin x cos x y 2sin x cos x 3 2sin x cos x 3 2y 1 sin x y 1 cos x 3y *
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi y 2 y 2 y2 2 1 1 3 1 2 2 2
5y 2y 2 9y 4y 2y 2 0 1 y 2 1
Vậy m 1; M . Chọn A. 2
Câu 64: Ta có sin x cos x 2 0 x sin x 2cos x 1 Khi đó: y
y sin x y cos x 2y sin x 2cos x 1 sin x cos x 2 y
1 sin x y 2cos x 1 2y *
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi y 2 y 2 y2 1 2 1 2 2 2 2
2y 6y 5 4y 4y 1 2y 2y 4 0 2 y 1. Vậy M 1. Chọn D. 1 cos 2x 3 7 5 14 5cos 2x Câu 65: Ta có y
cos 2x 3 cos 2x 2 4 2 4 4 9 14 5cos 2x 19
Vì 1 cos 2x 1 nên
y y 3; 4 4 4 4
Do đó tổng các giá trị nguyên của T là 7. Chọn C. 0 cos x 1 0 1 cos x 1 1 1 1 Câu 66: Ta có x 0; nên y 2 . Chọn A. 0 sin x 1 2 1 1 sin x 1 0 1 2 Trang 37 1 1 1 5 1 Câu 67: Ta có 2 2 2 2 y 1 cos x
5 2sin x 1 cos x sin x 2 2 2 4 2
Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2 2 a b a b 1 5 1 9 1 11 22 Do đó 2 2 2 2 2 1 cos x sin x y y 2. y 2 4 2 4 2 2 2 1 5 1 1 1 1 Dấu bằng xảy ra 2 2
1 cos x sin x cos 2x cos 2x . Chọn D. 2 4 2 2 4 2 Câu 68: Ta có . y cos x 2 1 . m sin x . m sin x . y cos x 1 2y
Phương trình có nghiệm khi: m y y 2 2 2 2 2 2
1 3y 4y 1 m 0 2 2 3m 1
Nghiệm của phương trình 2 2
3y 4y 1 m 0 là x 3 2 2 2 2 3m 1 2 3m 1 2 3m 1 Suy ra y min y 3 3 3 2 2 3m 1 m 21 Yêu cầu bài toán 2 2 3m 1 8 3 m 21
Kết hợp với m 0; 10 m 5; 6; 7; 8; 9; 1 0 . Chọn D. 1 m Câu 69: Ta có sin x 1; 1 3
1 m 3 2 m 4 3
Kết hợp với m có 4 2
1 7 giá trị nguyên m. Chọn A.
Câu 70: Hàm số đã cho xác định khi: 5 msin x m 1 cos x 0; x . m x m x m m 2 2 2 5 max .sin 1 .cos 5
1 m m 12 0 m 4 ; 3
Kết hợp với m m 4
; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Chọn B. Câu 71: Ta có y 4sin
t 60 10 4.110 14 178
Như vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi sin t 60 1 178 t 60
k t 60 89 178k t 149 178k 178 2
Do 0 t 365 Vào ngày thứ 149 tức là ngày 29 tháng 5 thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất. Chọn B. t t Câu 72: Ta có h 3cos
12 3 12 15 cos 1 8 4 8 4 Trang 38 t t
Do đó mực nước của kênh cao nhất khi cos 1 k2 t 16k 2 8 4 8 4
Vì 0 t 24 k 1 t 14
Vậy mực nước của kênh cao nhất khi t 14h . Chọn B. t Câu 73: Ta có cos 1 nên h 3.1 12 15 6 3 t t Dấu bằng xảy ra khi cos 1 k2 t 12k 2 6 3 6 3 Để t
12k 2 0 và 12k 2
nên k 1 t 10h . Chọn D. min min
Câu 74: Dựa vào đồ thị hàm số y f x như hình vẽ ta thấy:
f 0 0 nên ta loại đáp án B và C.
Mặt khác dựa vào đồ thị suy ra f 0 nên loại đáp án A. Chọn D.
Câu 75: Dựa vào đồ thị hàm số y f x như hình vẽ ta thấy: f 0 0 nên ta loại các đáp án B và D. 2x
Mặt khác hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì 3 , trong 2 hàm số ở ý A và C thì hàm số y cos thỏa 3
mãn điều kiện trên. Chọn A.
Câu 76: Dựa vào đồ thị hàm số y f x như hình vẽ ta thấy: 3 f 1
nên ta loại các đáp án B, C và D. Chọn A. 4 3
Câu 77: Dựa vào đồ thị hàm số y f x như hình vẽ ta thấy: f 2
nên ta loại các đáp án A, 4 B, và C. Chọn D. Trang 39
Câu 78: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng 0; nên ta loại các đáp án A, B, và C. Chọn D.
Câu 79: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số nhận giá trị âm trên khoảng 0; nên ta loại các đáp 2 án A, C và D. Chọn B.
Câu 80: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y f x trong hình vẽ luôn thỏa mãn f x 0 nên ta loại đáp án B.
Lại có: f 0 0 nên ta loại đáp án D và f 0 nên ta loại đáp án C. Chọn A
Câu 81: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y f x trong hình vẽ có tập giá trị là T 0; 2 ta loại đáp án A và B.
Ta có: f 0 1 nên loại đáp án C. Chọn D.
Câu 82: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đã cho xác định và đồng biến trên khoảng ; do 2 2
đó hàm số cần chọn là hàm số y tan x . Chọn A.
Câu 83: Hàm số y tan x đồng biến và nhận giá trị âm trên khoảng ; 0 (loại đáp án B). 2 Trên khoảng ; 0
hàm số y sin x đồng biến và nhận giá trị âm. Chọn C 2 Câu 84: Gọi C a a 2 2 ; cos D a ; cos a 3 3 2
Do ABCD là hình chữ nhật nên AB / /CD y y cos a cos a C D 3 2 1 a a
a AD cos 3 3 3 2
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng A . B BC . Chọn C. 3 2 x a B 3 Câu 85: Gọi A ; a sin a 2 y sin a B 3 2 2
Mặt khác y y sin a sin a a a a A B 3 3 6 1 Do đó BC AD sin . Chọn B. 6 2 Trang 40