



















Preview text:
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác Với phương trình 2 . a sin kx .
b sin kx c 0 thì ta đặt t sin kx với 1 t 1 , quy về phương trình bậc hai: 2 . a t .
b t c 0 t sin kx x Với phương trình 2 . a cos kx .
b coskx c 0 thì ta đặt t coskx với 1 t 1 , quy về phương trình bậc hai: 2 . a t .
b t c 0 t coskx x Với phương trình 2 . a tan kx .
b tan kx c 0 thì ta đặt t tan kx quy về phương trình bậc hai: 2 . a t .
b t c 0 t tan kx x . Tương tự cho phương trình ẩn t cot kx
Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!
Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung
Với phương trình f x 0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được g x 0
nhân tử chung và quy về dạng g x.h x 0 hx 0
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2
3 tan x 1 3tan x 1 0 b) 2 4cos x 2 3 1 cos x 3 0 Lời giải: a) 2
3 tan x 1 3tan x 1 0 tan x 1 3 tan x 1 0 tan x 1 x k 4 1 tan x 3 x k 6
Vây phương trình có họ nghiệm x k , x k , 4 6 b) 2 4cos x 2 3
1 cos x 3 0 2cos x 32cos x 1 0 3 cos x x k2 2 6 1 cos x x k2 2 3
Vây phương trình có họ nghiệm x
k2 , x k2 , 3 6 Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau a) 4 4 2 sin x cos x cos 2x 0 b) 6 6 sin x cos x cos4x 2 Lời giải: a) x cos x cos x x cos x2 4 4 2 2 2 2 2 sin 2 0 2 sin 2sin xcos x sin 2x 0 2 1 x k2 sin x 2
2 sin x sin 2x 0 sin 2x 1 sin 2x 2 6 0 2 x loai 5 sin 2 x k2 6 5
Vây phương trình có họ nghiệm x k2 , x k2 , 6 6 b) sin x cos x2 3 2 2 2 2 2 2 2
3sin xcos x 2sin 2x 1 0 sin 2x 2sin 2x 0 4 sin 2x 0 x k 2 k
Vây phương trình có họ nghiệm x , 2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1 x x a) 4 4
sin x cos x sin 2x b) 4 4 sin cos 1 2sin x 2 2 2 Lời giải: 1 1
a) sin x cos x sin 2x sin x cos x2 4 4 2 2 2 2
2sin xcos x sin 2x 0 2 2 2 sin 2x 3 1
sin 2x 0 sin 2x 1 sin 2x 3 0 2 2 2 sin x 1 x k , x loai 2 sin 3 2
Vây phương trình có họ nghiệm x k2 , 2 2 x x x x x x b) 4 4 2 2 2 2 sin cos 1 2sin x sin cos 2sin cos 1 2sin x 0 2 2 2 2 2 2 2 sin x 1 x
sin x 0 sin xsin x 2 sin 0 0 x k , 2 2 sin x 2 loai k
Vậy phương trình có họ nghiệm x , 2
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau Trang 2 6 6
2 sin x cos x sin .xcos x a) 0 b) 4 4 sin x cos x sin . x cos x 0 2 2sin x Lời giải: 3
a) Điều kiện: x k2 , k2 4 4 2 6 6
sin x cos x sin .xcos x PT 0 2 6 6
sin x cos x sin .xcos x 0 2 2sin x
x cos x x cos x2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 3sin xcos x sin xcosx 0 xcosx2 6 sin
sin xcosx 2 0 3sin xcosx 22sin xcosx 1 0 2 sin xcosx 4 3 sin 2x loai 3 x k , 1 4 sin xcosx sin 2x 1 2
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x 2m 1 4 2 b) x x x x x cos x xcosx2 4 4 2 2 sin cos sin .cos 0 sin 2 sin sin xcosx 0 xcosx2 2 sin
sin xcosx 1 0 sin xcosx 1 2sin xcosx 1 0 sin xcosx 1 sin 2x 2loai 1 x k , sin xcosx sin 2x 1 4 2
Vây phương trình có họ nghiệm x k , 4
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 1 a) b) 4 2 cos sin x 4 Lời giải: a) ĐKXĐ: x k2 3
sinx 3 cos x 0 2cos x
0 x k x k , 6 6 2 3
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm x k với k lẻ 3 b) Trang 3
Vây phương trình có họ nghiệm x k , 4 2
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau 6 6 sin x cos x 1 x x 5 a) tan 2x b) 4 4 sin cos 2 2 cos x sin x 4 3 3 8 Lời giải:
a) Với cos2x 0 , phương trình đã cho tương đương sin xcos x3 2 2 2 2 3sin xcos x 2 2 6 6 sin sin 1 x cos x x cos x sin2 x tan 2x 2 2 cos x sin x 4 cos2x 4cos2x sin 2x 1 4
sin 2x 1 x k , sin 2x 1 4 3
b) Phương trình đã cho tương đương với 4x 1 2 3 cos x 3 4x 1 4x 2 k3 2 3 sin cos k2 x , 3 4 2 4 3 2 3 3 2 2
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau x x a) 2 2 2 sin tan x cos 0
b) cos3x cos2x cos x 1 0 2 4 2 Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương với 2 1 sin x 1 cos x 1 cos x 1sin x 2 sin x 1 cos x 2 cos x 2 2 2 cos x 2
1sin x1 cos x1 cos x 1 cos x1 sin x1 sin x
1sin x1 cos xsin x cos x 0 2 cos x 0 x k2 cosx 1 cosx 1 , tan x 1 x k2 tanx 1 4
b) Phương trình đã cho tương đương với 3 2 3 2
4cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0 4cos x 2cos x 4cos x 2 0 2 x x x 2 2 cos 2 cos 1 2 2 cos 1 0 2 cos x 1 2cos x 1 0 Trang 4 sinx 0 x k2 1 2 , k cosx x k2 2 3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau x a) 2
tan x cos x cos x sin x 1 tan . x tan b) 1 i
s n x cos x sin 2x cos 2x 0 2 Lời giải: x
a) Điều kiện: cos x cos 0 2 x sin sin x sin x
Phương trình đã cho tương đương 2 2
cosx cos x sin x1 . cos x cos x x cos 2
b) Phương trình đã cho tương đương với 1 i
s n x cos x sin 2x cos 2x 0 2
sin x sin 2x 1 cos x cos 2x 0 sin x 2sin x cos x 1 cos x 2cos x 1 0
sin x1 2cos x cos x1 2cos x 0 1 2cos xsin x c s o x 0 2 1 x k2 cos x 3 2 , tan x 1 x k 4
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau a) 2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x b) 6 6 sin x cos x cos 4x Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương 2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
2cos5x cos3x 2cos5x cos x 0 cos5xcos x cos3x 0 k x 10 5 cos5x 0
cos5x cos x cos 2x 0 cos x 0 x k , 2 cos 2x 0 k x 4 2
b) Phương trình đã cho tương đương với Trang 5 x cos x x x cos x3 6 6 2 2 2 2 xcos x 2 2 sin cos 4 sin 3sin sin x cos x cos 4x 3 3 k 2
1 sin 2x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x cos 4x 1 x , 4 8 2
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau 1 3 a)
3 3 tan x 3 3 0 b) 2 tan x 9 2 cos x cos x Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương với 1 3 3 2
tan x 3 3 0 1 tan x 3 3 tan x 3 3 0 2 cos x 2
tan x 3 3tan x 3 2 0 3 3 20 2 3 tan x tan m 2 x m k , 3 3 20 2 3 x n k tan x tan n 2
b) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương 2 3 3 1 cos x 2 2 2 tan x 9
9 3cos x 1 cos x 9cos x 2 cos x cos x cos x 1 cos x 2 x 2k 2 10cos x 3cos x 1 0 3 , 1 cos x x m k2 5
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau 4 1 a) 9 13cos x 0 b) cot x 3 2 1 tan x 2 sin x Lời giải:
a) Với điều kiện cos x 0 phương trình đã cho tương đương 4 2 9 13cos x
0 9 13cos x 4cos x 0 2 1 tan x cos x 1 9
cos x 1 x k2 , cos x 1 4
b) Với điều kiện sin x 0 phương trình đã cho tương đương 1 2 2
cot x 3 1 cot x cot x 3 cot x cot x 2 0 2 sin x cot x 1 x k 4 , cot x 2 x m k Trang 6
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau x a) 2 cos2x 3cos x 4cos b) 2 Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với x 2 2 cos2x 3cos x 4cos
2cos x 1 3cos x 21 cos x 2 cos x 3 1 2
2cos x 5cos x 3 0 1 x k2 cos x 3 2
b) Với điều kiện sin 2x 0 phương trình đã cho tương đương với tan x 1 x k tan 2x 1 tan x 1 4 , tan 2x 3 tan x 3 x k tan x 3 3
Ví dụ 13. Giải phương trình 2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x Lời giải: 2
PT 4sin xcos x 2sin x cos x 1 2cos x sin 2x 2cos x 1 1 2cos x 2 1 x k2 x x cos x 3 1 2cos sin 2 1 0 2 sin 2x 1 x k 4 2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x k2 ; k , 3 4 x
Ví dụ 14. Giải phương trình cot x sin x 1 tan x tan 4 2 Lời giải: sinx 0 k sin 2x 0 x
Điều kiện: cos x 0 2 x 2 k x x 2k cos 0 2
Phương trình tương đương: x x x sin . x sin cos . x cos cos cos x cos x cos x sin 2 2 2 x sin . x 4 sin . x 4 sin x x sin x x sin x cos cos .cos cos .cos x x x 2 2 Trang 7 x 1 k 2 2 12
cos x sin x 4sinxcosx 2sin 2 x sinx 2 5 x k 12 5
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x k; k , 1 2 12
Ví dụ 15. Giải phương trình 3 3 2
cos x sin x 2sin x 1 Lời giải:
PT sin x cos x1 sin x cos x sin x cos xsin x cos x 0 x x x x x x x x sin cos 0 1 sin cos 1 sin cos sin cos 0 1
sin xcos x sin x cos x 0 2 Giải 1 sin x
0 x k x k 4 4 4 t
Giải (2): Đặt sin x cos x t , t 2 1 2; 2 sin x cos x ta có: 2 2 x k2 1 t 2 1 t 0 t 2 1 0 t 1 2sin x 1 3 2 4 x k2 2 3
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x
k2 ; k ;k2 , 2 4 2cos 4
Ví dụ 16. Giải phương trình cot tan x x x sin 2x Lời giải:
Điều kiện: sin 2 0 k x x 2 cos x sinx cos 4x 2 2 PT
cos x sin x cos 4x cos 2x cos 4x sinx cos x sinx cos x cos x 1 x k2 2
cos 2x 2cos 2x 1 cos x 1 2cos x 1 0 1 2 cos x x k2 2 3 2
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x k; k2 , 3
sin 2x 2cos x sin x 1
Ví dụ 17. Giải phương trình 0 tan x 3 Lời giải: Trang 8 cos 0 x k x Điều kiện: 2 tan x 3 x k 3
Ta có phương trình sin 2x 2cos x sin x 1 0 sin x 1 2cos x 1 0
Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x k2; k2 , 3 2 3 sin x
Ví dụ 18. Giải phương trình tan x 2 2 1 cos x Lời giải: sin x 0 x k Điều kiện: cos x 1
xk2 . Ta có phương trình tương đương: sin x cos x sin x 2 2 cot x 2
2 cos x cos x sin x 2sin x 2sin x cos x 1 cos x sin x 1 cos x x k2 x x 1 6 cos 1 2sin 1 sin x 2 5 x k2 6 5
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k2; k2 , 6 6 2 x 2 3 cos x 2sin 2 4
Ví dụ 19. Giải phương trình 1 2cos x 1 Lời giải: 1 Điều kiện: cos x
x k2 . Phương trình đã cho tương đương 2 3 x x 2 2 2 3 cos x 2sin 2cos x 1 1 2sin 3 cos x 0 2 4 2 4 cos x
3 cosx 0 sin x 3 cos x 0 sin x 0 x k 2 3 3 2
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x k2 , 3 2
2sin x 3 2 sin x sin 2x 1
Ví dụ 20. Giải phương trình 1 0 sin 2x 1 Lời giải: Trang 9
Điều kiện: sin 2x 1 x k . Phương trình tương đương 4 2 x x x x 2 2sin 3 2 sin sin 2 1 sin 2
1 0 2sin x 3 2 sin x 2 0 x k x x 2 2 4 2sin 2 sin 2 0 sin x 2 5 x k2 4 3
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x k2 , 4 4 4 sin x cos x 1 1
Ví dụ 21. Giải phương trình cot 2x 5sin 2x 2 8sin 2x Lời giải:
Điều kiện: sin 2 0 k x x
. Phương trình tương đương: 2 2 2
4 4cos 2x 20cos2x 5 4cos 2x 20cos2x 9 0 2cos x 1 2cos x 9 0 1
cos x x k2 . Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x k2 , 2 3 3 2 2 sin 2x sin 3x 4
Ví dụ 22. Giải phương trình tan x 1 4 cos x Lời giải:
Điều kiện: cos x 0 x
k . Phương trình tương đương: 2 1 4 4 sin x cos x 2 2 sin 2x 2 sin 3x 1 sin 2x 2 2 sin 2xsin 3x 2 k 2 17 k2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x ; , 1 8 3 18 3 x
Ví dụ 23. Giải phương trình x 3 2sin 2 cos 1 cot x sin x cos x 1 Lời giải: x Điều kiện: sin 0
cos x . Phương trình tương đương: 1 x x x x 2 x 3 2 2 cos 1 cos 1 cos 3 cos 1 2 1 cos
2cos x cos x 2cos x 1 0 Trang 10 2cos x 1 1 2 cos x 1 0 cos x x k2 2 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x k2 , 3 sin 2x cos 2x
Ví dụ 24. Giải phương trình tan x cot x cos x sin x Lời giải:
Điều kiện: sin 2 0 k x x
. Phương trình tương đương: 2 2 2 2 2 sin 2 . x sin x cos2 .
x cos x sin x cos x 1 2cos x cos x 1 2cos x x x 1 cos 1 2cos 1 0 cos x x k2 2 3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x k2 , 3 1 sin 2x cos 2x
Ví dụ 25. Giải phương trình 2 sin xsin 2x 2 1 cot x Lời giải:
Điều kiện: sin x 0 x k . Phương trình tương đương:
1 sin 2x cos 2x 2 sin x sin 2x 1 2
1 cot x 2 sin xsin 2 .x 2 2 cos x 2 sin x 2
sin 2x cos2x 2 2 cos x 1 0 sin x cos x cos x 2 cos x 0 x x x x cos 0 cos sin cos 2 sin x cos x 2
Với cos x 0 x k 2
Với sin x cos x 2 sin x 1 x k2 4 4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x k ; k2 , 2 4 cos x cos 5x
Ví dụ 26. Giải phương trình 8sin x sin 3x cos 3x cos x Lời giải: x
Điều kiện: cos 0 . Phương trình tương đương: cos 3x 0 2 2 cos x cos5 . x cos 3x 8sin . x cos . x sin 3 . x cos3x cos x cos 3 . x cos 5x 2sin 2 . x sin 6x
1 cos 2x cos8x cos 2x 2cos 4x cos8x cos8x 2cos 4x 1 0 Trang 11 k x x x k 2 cos 4 0 4 x x 8 4 cos 4 cos 4 0 2 cos 4x 1 k 4x k2 x 2 k k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x ; , 2 8 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình sau 4 4 sin x cos x 0 A. x k , B. x k , 4 2 4 C. x k2 , D. x k , 4 2
Câu 2. Phương trình 2cos x 1
có số nghiệm thuộc đoạn 0;2 là 3 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x 1 , x 5 là 4 A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 3
Câu 4. Phương trình sin 3x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0; ? 3 2 2 A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 3
Câu 5. Cho phương trình sin 2x
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;3 thì 2 giá trị của n là A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
Câu 6. Số nghiệm của phương trình cos2x sin 3x 0 thuộc 0;2 là A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
Câu 7. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x sin 2x 0 trên đoạn 0;2 . A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
Câu 8. Cho phương trình sin 2x 2 cos x 0 , nghiệm của phương trình là A. x k , B. x k , 2 8 3 C. x k2 , D. x k , 4 6
Câu 9. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x 2 2 sin x cos x 0 là 3 A. B. C. D. 4 4 Trang 12
Câu 10. Phương trình sin 5x sin x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 2018;2018 ? A. 16145 B. 20181 C. 16144 D. 20179
Câu 11. Phương trình cos x cos2x cos3x 1 0 có mấy nghiệm thuộc nửa khoảng ;0 ? A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 3
Câu 12. Phương trình sin 2x sin x
có tổng các nghiệm thuộc khoảng 0; bằng 4 4 7 3 A. B. C. D. 2 2 4
Câu 13. Tìm số nghiệm thuộc khoảng ; của phương trình cos x sin 2x 0 A. 4 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 14. Tìm số nghiệm của phương trình sin cos x 0 trên đoạn x 0;2 A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Câu 15. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin x 1 thuộc đoạn 0;2 A. 2 B. 0 C. D. 3
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 2 2
sin x sin 2x cos x 0 trên đoạn 0;2018 là 4071315 4075351 8142627 A. B. C. D. 2 2 2
Câu 17. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y sin x trên đoạn 0; , các điểm C, D thuộc trục Ox 2
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD . Tính độ dài đoạn BC 3 2 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2 3
Câu 18. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3cot x 3 là 2 sin x 5 2 A. B. C. D. 6 6 2 3
Câu 19. Nghiệm của phương trình lượng giác 2
cos x cos x 0 thỏa mãn điều kiện 0 x là Trang 13 3 A. x 0 B. x C. x D. x 4 2 2
Câu 20. Phương trình cos2x 2 cos x 3 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2019 ? A. 320 B. 1009 C. 1010 D. 321
Câu 21. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x cos 2x 2sin 3 .
x sin 2x 0 trên đoạn 0;3 là 16 11 25 37 A. B. C. D. 3 3 3 3 sin x Câu 22. Cho phương trình
0 . Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn 0;2018 2 cos x 3cos x 2 của phương trình trên. A. 1018018 B. 1018080 C. 1018081 D. 1020100 2 2
2 1 3sin x cos x sin xcos x Câu 23. Cho phương trình
0 có x là nghiệm dương lớn nhất 2 2sin x 0
trên khoảng 0;100 và có dạng x a , . Tính tổng a b 0 b A. 100 B. 101 C. 102 D. 103
Câu 24. Số nghiệm của phương trình 2
3sin 2x cos2x 1 0 trên nửa khoảng 0;4 là A. 8 B. 2 C. 4 D. 12
Câu 25. Gọi x là một nghiệm của phương trình sin 2x cos x trên
; . Tính giá trị của biểu thức 0 2
S sin x sin 2x sin 3x .. sin 2018x 0 0 0 0 1 3 1 1 3 A. S B. S C. S 0 D. S 2 2 2
Câu 26. Tính tổng các nghiệm của phương trình cos x 4 4 2 2
5 sin x cos x 3 0 trong khoảng 0;2018 A. 2010.2018 B. 1010.2018 C. 2 2018 D. 2016.2018
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B 11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D 21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30- Câu 1: 4 4 x cos x 2 2 x cos x 2 2 sin 0 sin . sin x cos x 0 Trang 14 k 2 2
sin x cos x 0 cos2x 0 2x k x . Chọn A. 2 4 2 x k2 x k2 2 Câu 2: 3 4 12 cos x 3 2 7 x k2 x k2 3 4 12 1 25 TH1. Với 0 2 0 2 2 k x k k k 1 12 24 24 7 7 31 TH2. Với 0 2 0 2 2 k x k k k 1 12 24 24
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B. Câu 3: sin x
1 x k2 x k2 4 4 2 4 3 19 Mà x 5
k2 5 k k 1; 2 . Chọn B. 4 8 8 2 k2 3x k2 3 x Câu 4: 3 3 9 3 sin 3x 3 2 k2
3x k2 x 3 3 3 3 2 k2 0 9 3 2 4 Mà 0 x x ; . Chọn D. 2 k2 3 9 0 3 3 2 2x k2 3 x k Câu 5: 3 6 sin 2x 2 2x k2 x k 3 3 7 13 4 7 Mà 0 x 3 x ; ; ; ; ; . Chọn C. 6 3 6 6 3 3
Câu 6: cos2x sin 3x sin 3 x cos 3x 2 3x 2x k2 x k2 2 2 k2 3x 2x k2 x 2 10 5 Mà x 3 3 7 11 3 19 0; 2 x ; ; ; ; ; . Chọn A. 2 10 10 10 2 10 sin x 0
Câu 7: Phương trình sin x 2sin x cos x 0 sin x 1 2cos x 0 1 cos x 2 Trang 15 x k 2 x k2 3 x 0 x k TH1: Với x x 0; 2 x 2 2 x 2 2 TH2: Với x k2 ta giải 3 0 k2 2 3 3 4 x 3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2 là 5 . Chọn B. cosx Câu 8: x x x x x x x 0 sin 2 2cos 0 2sin cos 2 cos 0 2cos sin 1 0 sin x 1
cosx 0 x k , . Chọn A. 2 x Câu 9: x x x x x sin 0 2sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 2 cos 0 1 2 cos x 0 x k x k 1 3 cos x x k2 2 4 3
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là . Chọn D. 4 k 5 2 x x x k Câu 10: 2 sin 5x sin x 5x x k2 k x 6 3 k k TH1: Với x mà x 2 018;2018 2 018 2018 2 2 có 4036 4
036 1 8073 nghiệm k. k TH2: Với x mà 6 3 12109 k 12107 k 12109 12107 k 6 3 6 2 2 k có 6053 6
054 112108 nghiệm k.
Vậy phương trình đã cho có 8073 12108 20181 nghiêm. Chọn B. Câu 11: 2 3
cos x cos2x cos3x 1 0 cos x 2 cos x 1 4 cos x 3cos x 1 0 Trang 16 sinx 0 3 2 4 cos x 2cos x 4cos x 2 0 2 cos x 12cosx 1 0 1 cos x 2 x k 2 mà . Chọn D. x k2 3 3 2x x k2 x k2 3 Câu 12: 4 4 sin 2x sin x k2 4 4 3 x 2x x k2 6 3 4 4
TH1. Với x k 2 mà x 0; 0 k2 1 2 0 0 k k k k 2 k2 k TH2. Với x mà x 2 0; 0 6 3 6 3 k 2 5 1 15 k k k 5 0;1 x ; 6 3 6 4 12 6 6
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là . Chọn B.
Câu 13: cos x sin 2x sin 2x cos 2x 2 2x x k2 x k2 2 2 k k2 2x x k2 x 2 6 3
TH1. Với x k 2 mà x ; k2 2 2 3 1 3 2 k k k k 0 x 2 2 4 4 2 k2 k TH2. Với x mà x 2 ; 6 3 6 3 5 k2 7 5 21 k k k 1 ;0; 1 6 3 6 12 12
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm. Chọn A.
Câu 14: sin cos x 0 cos x k mà cos x 1 ; 1 1 1 Suy ra 1 1 k k k k 0 Do đó cos x 0 x . n mà x 3 0; 2
x ; . Chọn C. 2 2 2 Trang 17
Câu 15: cos sin x 1 sin x k2 mà sin x 1; 1 1 1 Suy ra 1 2 1 k k k k 0 2 2
Do đó sin x 0 x .
n mà x 0;2
x 0;;2. Chọn D.
Câu 16: sin 2x 1 2x
k2 x k k 2 4 1 8071 Mà 0 x 2018
0 k 2018 k 4 4 4 Suy ra k 4071315 0;1; 2;...; 2017 x . Chọn A. 2 2 CD Câu 17: Vì CD OD x D ;0 3 2 6 D 6 6 1 1 1 Do đó x y sin A ; BC AD . Chọn B. A 6 A 6 2 6 2 2 Câu 18: Phương trình 2 x 2 3 1 cot
3cot x 3 cot x 3 cot x 0 . Chọn C. x Câu 19: Phương trình 2 cos 0 cos 0 x k cos x x 2 k cos x 1 x k2 1 1 Với x
k mà 0 x
k k 0 x 2 2 2 2 1
Với x k 2 mà 0 x
9 k k . Chọn C. 2 Câu 20: Phương trình 2 2
2cos x 1 2cos x 3 0 cos x cos x 2 0 cos x 1 mà x 2019 0; 2019 0 k x l cos x 1 x k2 cos 2 2
Mặt khác k k 1;2;...;32
1 nên có 321 nghiệm cần tìm. Chọn D.
Câu 21: Phương trình cos 5x cos 2x cos x cos 5x 0 cos 2x cos x x k2 2x x k2 k2 mà x 0;3
2x x k2 x 3 3 5 7 37 x ;3 ; ; ; ;3 x . Chọn D. 3 3 3 3 Trang 18 sin x 0 sin x 0
Câu 22: Phương trình cos x 1 2
cos x 3cos x 2 0 cosx1 Do đó cos x 1
x k2 mà x 1 2017 0; 2018 k 2 2 1008 Mặt khác k k 0;1;2;...;100
8 k2 1018081 . Chọn C. k 0 2
Câu 23: Điều kiện: 2 2sin x 0 sin x 2 Phương trình trở thành: 2 2 2
2 6sin x cos x sin x cos x 0 4 3sin 2x sin 2x 0 k Với x 1 399 0;100
0 k 100 k 4 4 4 Mà k k
99 x 99 (thỏa mãn) a b 99 4 103. Chọn D. max 4 Câu 24: Phương trình 2 cos x 2 3 1 2 cos2x 1 0 3
cos 2x cos2x 2 0 cos2x 1 2x k2 x k 2 2 1 2 cos2x 2x arccos k2 x arccos k 3 3 2 3
TH1. Với x k 0;4 0 k 4 k 0;1;2; 3 nên có 4 nghiệm. 1 2 TH2. Với x arccos k
0;4 0,116 k 3,883 2 3 k 0;1;2; 3 nên có 4 nghiệm. 1 2
TH3. Với x arccos k
0;4 0,116 k 4,116 2 3
nên có 4 nghiệm. Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm. Chọn D. k2 2x x k2 x Câu 25: Phương trình 2 6 3 sin 2x sin x 2
2x x k2 x k2 2 2 Với x ;
x S sin sin 2. .. sin 2018. 0 2 6 6 6 6 n 1 sin x nx Ta có 2
sin x sin 2x sin 3x ... sin nx .sin x 2 sin 2 Trang 19 2019 sin . 2018. 1 3 1 1 3 Với 2 6 6 x ; n 2018 S .sin : . Chọn D. 6 2 2 2 2 2 2 sin 12
Câu 26: Phương trình cos x 2 2 x cos x 2 2 2 2 5 sin
sin x cos x 3 0 cos x cos x 2 2 . 2 2
5 3 0 2cos 2x 5cos2x 3 0 1 2x k2 x k cos2x 3 6 2 cos2x 3 2x k2 x k 3 6 TH1. Với x k 1 12107 0; 2018
0 k 2018 k 6 6 6 6
Mà k nên k 0;1;2;...;201 2017 7
k 2018. 2035153 k 0 6 6
TH2. Với x k 1 12109 0; 2018
0 k 2018 k 6 6 6 6
Mà k nên k 0;1;2;...;2017;201 2018 8 k 2 018. 2037171 k 0 6 6
Vậy tổng các nghiệm cần tính là 2
4072324 2018 . Chọn C. Trang 20