Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số

Tài liệu gồm 31 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số, có đáp án và lời giải chi tiết

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

31 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ
Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình
toán 11, và khảo sát hàm số của lớp 12 để giải quyết).
Phương pháp giải toán này tác giả xin trình bày chi tiết thông qua hệ thống ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập
E 3; 2; 1;0;1;2
để phương trình
2
2 sin cos 4 cos 5
m x x x m
có nghiệm?
a) 2. b) 3.
c) 4. d) 5.
Lời giải:
Phương trình tương đương với
sin 2 2cos 2 3
m x x m
Phương trình có nghiệm
2
2 2
5
2 3 6 5 0
6
m m m m
Mà
3; 2; 1
m E m

Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình
2 2
sin 2 sin cos 3 cos 1.
m x x x m x
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m để phương trình có nghiệm.
a)
4
0; .
3
m
b)
4
\ 0; .
3
m
c)
4
0; .
3
m
d)
4
0; .
3
m
Lời giải:
Phương trình
1 cos2 1 cos 2
. sin 2 3 . 1 sin 2 cos 2 1 2
2 2
x x
m x m x m x m
Phương trình có nghiệm
2 2 2
4
1 1 4 4 3 4 0 0 .
3
m m m m m m
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho phương trình
2
3
5 4 sin
6 tan
2
.
sin 1 tan
x
x
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của
thuộc đoạn
[0;2 ]
để phương trình có nghiệm. Tổng các phần tử của tập S bằng
a)
.
b)
2 .
c)
4 .
d)
6 .
Lời giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
Phương trình tương đương với
4 cos
3sin 2 3sin 2 sin 4 cos 5 (1)
sin
x
x x
x
Trang 2
Nếu
sin 0 cos :
x x
không thỏa (1). Do đó phương trình nếu có nghiệm thì luôn thỏa mãn điều
kiện
sin 0
x
Để phương trình có nghiệm
2
cos 0
(3sin 2 ) 16 25
2 2
cos 0 cos 0
cos 2 0 , :
4 2
sin 2 1 sin 2 1
k
k
thỏa điều kiện.
5 7
; ; ;
4 4 4 4
S
 
tổng
3 5 7
4 .
4 4 4 4
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho phương trình
2
4 sin .cos 3 sin 2 cos 2 .
3 6
x x m x x
Gọi
[ ; ]
S a b
là tập tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a + b.
a) a + b = - 2. b)
1
.
2
a b
c) a + b = 0. d) a + b = 4.
Lời giải:
Ta có
1
sin . cos sin 2 sin
3 6 2 6 2
x x x
2
2
1 1 3 1
sin 2 cos sin cos 2 1 sin 2 cos 2 1
2 6 6 2 2 2
2
3 sin 2 cos 2 2 3 sin 2 cos 2 cos 2
2
x x x x
m
PT x x m x x x
Phương trình có nghiệm
2
2
2
1 1 0 4 2 2
2
m
m m
2
2;2 0.
2
a
S a b
b
  
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho phương trình
6 6
sin cos 3sin cos 2 0.
4
m
x x x x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số m để phương trình có nghiệm?
a) 7. b) 9.
c) 13. d) 15.
Lời giải:
Ta có
3
6 6 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
x x x x x x x x
2 2 2
3
1 3sin cos 1 sin 2
4
x x x
Phương trình
2 2
3
1 sin 2 3sin cos 2 0 3sin 2 6 sin 2 12
4 4
m
x x x x x m
Trang 3
Đặt
2
1;1
2
sin 2 3 6 12 3 1 15
t
t x t t m t m

Vì
2
1 1 0 3 1 12
t t
Do đó để phương trình có nghiệm
0 15 12
m
3 15 3;4;5;...;15
m
m m

Chọn C.
Ví dụ 6. Cho phương trình
2
2
3
3tan tan cot .
sin
x x m
x
Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 2018
để phương trình có nghiệm?
a) 2004. b) 2008.
c) 2011. d) 2012.
Lời giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 0 2
x
k
x k
x
Phương trình viết lại
2
2
1
3 tan tan cot
sin
x x x m
x
2 2
3 tan cot 1 tan cot
x x x x m
Đặt
tan cot .
t x x
Điều kiện:
2.
t
Phương trình trở thành
2 2
3 1 3 3
t t m t t m
Xét hàm
2
( ) 3
f t t t
tren
( ; 2] [2; ).
 
Bảng biến thiên
T

-2 2

'( )
f t
- +
( )
f t

10

14
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có n ghiệm
3 10 7
m m
2018
7;8;9;..;2017
m
m
m
 
có 2011 giá trị.
Chọn C.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
sin 4 . tan
x m x
có nghiệm
.
x k
a)
1
;4 .
2
m
b)
1
;4 .
2
m
c)
1
;4 .
2
m
d)
1;4 .
m
Lời giải:
Điều kiện
cos 0.
x
Trang 4
Phương trình
.sin sin
2sin 2 .cos2 4.sin cos .cos2 . . (*)
cos cos
m x x
x x x x x m
x x
Vì
x k
nên
sin 0
x
. Khi đó (*)
2 2
4 cos 2 cos 1
x x m
Đặt
2
cos
t x
, với
cos 0
x k
x
suy ra
0;1
t . Phương trình trở thành
2
8 4
m t t
Xét hàm
2
( ) 8 4
f x t t
với
(0;1),
t
ta được
1
( ) 4
2
f t
Do đó phương trình có nghiệm
1
4.
2
m
Chọn A
Ví dụ 8. Cho phương trình
cos2 2 1 cos 1 0.
x m x m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình có nghiệm thuộc khoảng
3
;
2 2
a)
1 1.
m
b)
1 0.
m
c)
1 0.
m
d)
1 0.
m
Lời giải:
Phương trình
2
1
cos
2 cos 2 1 cos 0
2
cos
x
x m x m
x m
Nhận thấy phương trình
1
cos
2
x
không có nghiệm trên khoảng
3
;
2 2
(Hình vẽ).
Do đó yêu cầu bài toán
cos
x m
có nghiệm thuộc khoảng
3
; 1 0
2 2
m
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho phương trình
2
cos 2 1 cos 2 1 0
x m x m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m thuộc đoạn
10;10
để phương trình có nghiệm?
a) 8. b) 9.
c) 10. d) 11.
Lời giải:
Đặt
cos 1 1
t x x
Phương trình trở thành
2 2
2 1 2 1 0 2 1 2 1 (1)
t m t m t t m t
Trang 5
Xét
1: (1)
t
trở thành 2 = 0 (không thỏa mãn).
Xét
2
2 1
1: (1) 2
1
t t
t m
t
Xét hàm
2
2 1
( )
1
t t
f t
t
với
[ 1;1),
t
ta có
2
2
2 3
'( ) 0 1;1
1
t t
f t t
t
Bảng biến thiên
t -1 1
'( )
f t
-
( )
f t
1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm
1
2 1
2
m m
10;10
10; 9; 8;...;0
m
m
m

có 11 giá trị.
Chọn D.
Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2 2
cos 4 cos 3 sin
x x m x
có nghiệm
thuộc khoảng
0; .
12
a)
1
0; .
2
m
b)
1
;2 .
2
m
c)
0;1 .
m d)
1
1; .
4
m
Lời giải:
Ta có:
3
2
1 cos6 1 4 cos 2 3cos 2
cos 3
2 2
x x x
x
và
2
cos 4 2 cos 2 1
x x
Phương trình đã cho
3
2
1 4 cos 2 3cos 2 1 cos 2
2 cos 2 1
2 2
x x x
x m
2 3
3 2
4 cos 2 2 1 4 cos 2 3cos2 1 cos2
cos2 1 4 cos 2 4cos 2 3cos 2 3 (*)
x x x x m
x m x x x
Đặt
cos2
t x
, với
3
0; ;1 .
12 2
x t

Khi đó (*)
3 2
2
4 4 3 3
4 3.
1
t t t
m t
t
Trang 6
Xét hàm
2
( ) 4 3
f t t
trên đoạn
3
;1
2
, ta được
3
;1
2
3
;1
2
min ( ) 0
max ( ) 1
f t
f t
Vậy để phương trình
( )
m f t
có nghiệm khi và chỉ khi
0;1
m .
Chọn C.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2sin cos 1
x m x m
có nghiệm x thuộc
đoạn
;
2 2
a)
3
.
2
m
b)
3
2
m
.
c)
1 3.
m
d)
1 3.
m
Lời giải:
Nếu dùng điều kiện có nghiệm:
2
2
3
4 1 4 1 2
2
m m m m
(đáp án A) thì sai hoàn toàn
bởi vì
;
2 2
x
thì sin x quét hết tập giá trị [-1; 1] nhưng với cos x thì không.
Lời giải đúng. Đặt
tan ,
2
x
t
với
; [ 1;1]
2 2
x t

Phương trình trở thành
2
2
2 2
2 1
2 1 4 1 2
1 1
t t
m m t t m
t t
Xét hàm
2
( ) 4 1
f t t t
trên đoạn [-1;1]. Tìm được
1;1
1;1
max ( ) 6
min ( ) 2
f t
f t
Do đó yêu cầu bài toán
2 2 6 1 3.
m m
Chọn C.
Ví dụ 12. Cho phương trình
2 2 2
4 4 cos .
mx x
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có nghiệm thuộc khoảng
0;
2
bằng
a) – 54. b) – 35.
c) 35. d) 51.
Lời giải:
Vì
0;
2
x
nên phương trình
2
2
4 cos 1
x
x
Xét hàm
2
cos 1
x
f x
x
với
0;
2
x
, ta có
3
2 1 cos sin
'( ) 0, 0;
2
x x x
f x x
x
Suy ra f(x) đồng biến trên
0;
2
nên
2
0
2
1 4
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
2
x
x
f x f x f x f x
Trang 7
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì
2
2 16
m
19; 18; 17
m
m

.
Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số
( )
y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ
x

-2 -1 1 4

f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 3

1
0
-1

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình
3cos 1 1
2
m
f x
có nghiệm?
a) 2. b) 3.
c) 9. d) 13.
Lời giải:
Đặt
3cos 1 1 2 4.
t x x t
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với
2;4
t thì
1 ( ) 3.
f t
Do đó để phương trình có nghiệm
1 3 6 2.
2
m
m
6; 5; 4;...; 2
m
m

có 9 giá trị.
Chọn C.
Ví dụ 14. Cho hàm số
( )
y f x
có bảng biến thiên như hình vẽ
x

-1 0 2 3

f’(x) + 0 - 0 +
f(x)

1 2
0
-2

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình
2sin 1 ( )
f x f m
có nghiệm?
a) 2. b) 3.
Trang 8
c) 4. d) 5.
Lời giải:
Đặt
2sin 1 1 3.
t x t

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với
1;3
t thì
2 2.
f t
Do đó để phương trình có nghiệm
2 ( ) 2.
f m
Cũng từ bảng biến thiên suy ra f(m) nhận mọi giá trị
từ - 2 đến 2 khi và chỉ khi
1 3.
m
1;2;3
m
m
 
có 3 giá trị.
Chọn B.
Ví dụ 15. Cho phương trình
2
2cos 3 3 2 cos3 2 0
x m x m
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng
; .
6 3
a)
1 1.
m
b)
1 2.
m
c)
1 2.
m
d)
1 2.
m
Lời giải:
Với
; 3 ;
6 3 2
x x

Đặt
cos3 1 1 .
t x t
Phương trình trở thành
2
2 3 2 2 0
t m t m
Ta có
2
2 5m
phương trình có hai nghiệm
1
2
1
2
2
t
t m
Ta thấy ứng với một nghiệm
1
1
2
t
thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng
;
6 3
Do đó yêu cầu bài toán
2
1 0
t
(tham khảo hình vẽ)
1 2 0 1 2
m m
Chọn B.
Cách khác:
Trang 9
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
2
2 3 2 2 0
t m t m
có hai nghiệm t
1
; t
2
thỏa mãn
2
0
1 0 1 . 1 0
. 1 0
P
t a f
a f
Ví dụ 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
sin 2 2 sin 2
4
x x m
có đúng 2
nghiệm thuộc khoảng
3
0;
4
a)
3 1 2.
m
b)
3 1 2.
m
c)
1 1 2.
m d)
1 1 2.
m
Lời giải:
Phương trình viết lại
sin 2 sin cos 2
x x x m
Đặt
sin cos 2 sin
4
t x x x
, suy ra
2
sin 2 1
x t
Với
3
0; ; 0; 2
4 4 4
x x t

Phương trình trở thành
2
3 (*)
t t m
Xét hàm
2
( ) 3
f t t t
trên
0; 2
. Ta có
' 2 1 0, 0; 2
f t t t
Suy ra
f t
đồng biến trên
0; 2
và kết luận
0 2 3 1 2
f m f m
Thử lại
1 2 sin 1
4
m x
 
có một nghiệm
4
x
duy
nhất thuộc
3
0;
4
Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có
nghiệm.
Dựa vào đường tròn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán
phương trình (*) có đúng một
nghiệm t thuộc
1; 2
1 2 1 2
f m f m
Chọn D.
Ví dụ 17. Cho phương trình
2
sin 3sin cos 1 0
m x x x m
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m
thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc
3
0;
2
. Tổng các phần tử của S bằng
a) -15. b) -14.
c) 0. d) 15.
Lời giải:
Trang 10
Phương trình
2 2
sin 1 3sin cos 1 0 3sin cos cos 1 0
m x x x x x m x
Nhận thấy
cos 0
x
không thỏa phương trình. Chia hai vế cho phương trình
2
cos
x
ta được
2
tan 3tan 1 0
x x m
Đặt
tan
t x
, ta được phương trình bậc hai
2
3 1 0
t t m
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuốc
3
0;
2
phương trình
2
3 1 0
t t m
có hai nghiệm
trái dấu
[ 5;5]
1 0 1 5; 4; 3; 2 14.
m
m
m m m S

Chọn B.
Ví dụ 18. Cho phương trình
2
cos 1 4cos 2 cos sin .
x x m x m x
Số các giá trị nguyên của tham số
m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3
là
a) 1. b) 2.
c) 3. d) 4.
Lời giải:
Phương trình
2
1 cos 4 cos2 cos 1 cos
x x m x x
cos 1
1 cos 4 cos2 0
cos2
4
x x m
m
x
Với
2
0;
3
x

phương trình
cos 1
x
vô nghiệm.
Với
2 4
0; 2 0;
3 3
x x

Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu bài toán
1
1 4 2.
4 2
m
m
Vì
3; 2
m m
.
Chọn B.
Ví dụ 19. Có bao nhiêu số thực m để phương trình
2
sin 1 2 cos 2 1 cos 0
x x m m
có đúng 4
nghiệm thuộc đoạn
0;2
?
a) 1. b) 2.
c) 3. d) 4.
Lời giải:
Phương trình
sin 1
1
sin 1 2 cos 1 cos 0 cos
2
cos
x
x x x m x
x m
Trang 11
Với
sin 1 2 ,
2
x x k k
mà
0;2
2
x x

Với
2
1
3
cos ,
2
2
3
x k
x k
x k
mà
5
0;2 ,
3 3
x x x

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
cos
x m
có đúng
một nghiệm
0;2
khác
5
; ;
3 2 3
(xem hình vẽ). Từ đường tròn lượng
giác ta suy ra chỉ có hai giá trị m thỏa mãn là m= -1 và m =0 . Bởi vì:
Với m= - 1, phương trình
cos 1
chỉ có nghiệm duy nhất
x
thuộc
0;2 .
Với m = 0, phương trình
cos 0
x
có hai nghiệm
2
x
(trùng với nghiệm đã tính) và
3
2
x
thuộc
0;2
.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. Chọn B.
Ví dụ 20. Cho phương trình
4 4 2
sin cos cos 4
x x x m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn
;
4 4
a) 1. b) 2.
c) 3. d) 4.
Lời giải:
Ta có
4 4
3 1
sin cos cos 4
4 4
x x x
Phương trình
2 2
3 1
cos 4 cos 4 4 cos 4 cos 4 4 3
4 4
x x m x x m
Đặt
cos 4 ,
t x
với
; 4 ;
4 4
x x

nen
1;1
t
Khi đó phương trình trở thành
2
4 4 3 (*)
t t m
Ứng với mỗi
[ 1;1)
t
thì phương trình
cos 4
x t
sẽ có ta hai giá trị của
;
4 4
x
Với t = 1 thì phương trình
cos 4
x t
cho ta đúng một giá trị của
;
4 4
x
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm t phân biệt thuộc [-1; 1).
Xét hàm
2
( ) 4
f t t t
trên [-1; 1). Ta có
1
'( ) 8 1 '( ) 8 1
8
f t t f t t t

Bảng biến thiên
Trang 12
t
-1
1
8
1
f’(t) - 0 +
f(t) 5
3
1
16
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán
1 47 3
4 3 3
16 64 2
m m
1.
m
m

Vậy có 1 giá trị nguyên.
Chọn A.
Ví dụ 21. Cho phương trình
2
sin 1 cos cos 0
x x x m
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn
0;2
a)
1
0 .
4
m
b)
1
0.
4
m
c)
1
0 .
4
m
d)
1
0.
4
m
Lời giải:
Phương trình tương đương với
2
sin 1
cos cos 0 (1)
x
x x m
Đặt
cos
t x
, với

0; 2 1; 1
x t . Phương trình (1) trở thành
2
(2)
t t m
Phuowng trình
sin 1
x
có đúng 1 nghiệm
2
x
thuộc đoạn
0;2
Do đó yêu cầu bài toán
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (khác
2
) thuộc đoạn
0;2
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc
1;1 \ 1;0
Xét hàm
2
f t t t
trên
1;0 0;1
. Ta có
1
'( ) 2 1 '( ) 0
2
f t t f t t
Bảng biến thiên
t
-1 0
1
2
1
'( )
f t
- -
0
+
f t
2
0
0
Trang 13
1
4
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán
1 1
0 0.
4 4
m m
Chọn C.
Ví dụ 22. Biết rằng khi
o
m m
thì phương trình
2 2
2sin 5 1 sin 2 2 0
x m x m m
có đúng 5 nghiệm
phân biệt thuộc khoảng
; 3
2
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a)
3.
o
m
b)
1
.
2
o
m
c)
3 7
; .
5 10
o
m
d)
2 2
; .
3 5
o
m
Lời giải:
Đặt
sin 1 1
t x t
Phương trình trở thành
2 2
2 5 1 2 2 0 (*)
t m t m m
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Trường hợp 1: Phương trình (*) có một nghiệm
1
1
t
(cho ra một nghiệm x) và một nghiệm
2
0 1
t
(cho ra bốn nghiệm x) (Hình 1).
Do
2
1 2
1
c
t t m m
a
Thay
1
1
t
vào phương trình (*), ta được
2
2
3 6 0;1 (lo¹i)
1 1
0;1 (tháa)
2 4
m t
m t
Trường hợp 2: Phương trình (*) có một nghiệm
1
1
t
(cho ra hai nghiệm x) và một nghiệm
2
1 0
t
(cho ra ba nghiệm x) (Hình 2).
Do
2
1 2
1
c
t t m m
a
Thay
1
1
t
vào phương trình (*), ta được
2
2
1 2 1;0 (lo¹i)
1 3
1;0 (lo¹i)
2 4
m t
m t


Trang 14
Vậy
1
2
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do
1 3 2
;
2 5 5
m
.
Chọn D.
Ví dụ 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để số vị trí biểu diễn các
nghiệm của phương trình
2
1 2cos 2 3 sin 4 sin 2
3
x x m m x
trên đường tròn lượng giác là 4?
a) 8. b) 9.
c) 10. d) 12.
Lời giải:
Phương trình đã cho
2
sin 2 3 cos 2 sin 2
3
x x m m x
Đặt
sin 2 3 cos 2 2sin 2 sin 2
3 3 2
t
t x x x x

. (điều kiện
2 2)
t
.
Phương trình trở thành:
2 2
2 2 0 (*)
2
t
t m m t mt m
Ứng với mỗi
2;2
t thì phương trình
sin 2
3 2
t
x
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn
trên đường tròn lượng giác là 4.
Ứng với t =2 thì phương trình
2 1
3
x
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễ trên đường tròn
lượng giác là 2.
Với t = -2 thì phương trình
sin 2 1
3
x
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên đường
tròn lượng giác là 2.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (*) có duy nhất một nghiệm t thuộc khoảng (-2;2)
hoặc phương trình (*) có hai nghiệm là -2 và 2.
Trường hợp 1: Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thuộc (-2;2)
Với mọi
2;2
t , ta có (*)
2
2
2
t
m f t
t
Bảng biến thiên
t -2 0 2
f’(t) - 0 +
f(t)

2
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này
2
0
m
m
Trường hợp 2: Phương trình (*) nhận -2 và 2 làm nghiệm
Trang 15
2
2
2 2 2 2 0
:
2.2 2 2 0
m m
m m
vô lí
Vậy
2
0;3;4;5;...;10
0
m
m
m
m
 
có 9 giá trị.
Chọn B.
Ví dụ 24. Cho phương trình
1 cos 1 sin 2 3
m x m x m
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để
phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2
3
x x
a) 0. b) 1.
c) 2 d) Vô số.
Lời giải:
Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
6 22 6 22
1 1 2 3
2 2
m m m m
Phương trình
2 2 2
1 1 2 3
cos sin
2 2 2 2 2 2
m m m
x x
m m m
2
cos cos
2
x k
x
x

với
2 2
1 2 3
;cos
2 2 2 2
m m
cox
m m
Yêu cầu bài toán:
1 2
2 2
2 2
3 3
x x k

2
2
2
2
2
2 1 1
cos 2 2 cos cos 2 2 cos 1
3 2 2
1(tháa m·n)
2 3
2 3 1 1
2 1
17
2 2 2 4
(tháa m·n)
2 2
7
k
m
m
m
m
m
m
Chọn C.
Ví dụ 25. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình
3
sin sin 3 sin 3sin 4 sin
m m x x x
có
nghiệm thực?
a) 4. b) 5.
c) 8. d) 9.
Lời giải:
Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trình ta được
3
sin 3 sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 3
sin 3 sin sin 3 (3sin ) sin 3sin
m x m x x x x
m x m x x x
Xét hàm
sin
f t t t
trên
. Ta có
' 1 cot ,f t t

hàm số f(t) đồng biến.
Suy ra
3
sin 3 3sin 4 sin 4;4
m x x m x  .
Chọn D.
Trang 16
Ví dụ 26. Cho phương trình
3
3
8sin 162sin 27 .
x m x m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
0; ?
3
a) 1. b) 2.
c) 3. d) Vô số.
Lời giải:
Đặt
2 sin ,
u x
vì

0; 2sinx 0; 3
3
x
nên
0; 3
u
Phương trình trở thành:
3
3
81 27
u m u m
3
3
3 3
27 3 27 3 (*)
u m u m u u
Xét hàm
3
27
f t t t
trên
. Ta có
2
' 3 27 0,f t t t
hàm số f(t) đồng biến.
Nhận thấy (*) có dạng
3 3 3
3 3 3
f u m f u u m u u u m
Xét hàm
3
3 , 0; 3 .
g u u u u
Khảo sát ta được
2 0
g u
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2 0
m
2; 1
m
m
.
Chọn B.
Ví dụ 27. Cho phương trình
3
3
3 3sin sin .
m m x x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình có nghiệm?
a) 2. b) 3.
c) 5. d) 7.
Lời giải:
Phương trình
3 3
3 3
3 3 sin sin 3 sin 3 3 sin sin 3 sin
m m x x m x m x x x
Xét hàm
3
3 , .
f t t t t
Hàm đồng biến nên suy ra
3
3 3
3sin sin 3sin sin sin 3sin
f m x f x m x x m x x
Đặt
sin 1 1 ,
u x u
phương trình trở thành
3
3
m u u
Xét hàm
3
3 , 1;1 .
g u u u u Ta tìm được
1;1
1;1
max 2
min 2
g u
g u
Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm
1;1 1;1
min max 2 2
g u m g u m
2; 1;0;1;2 .
m
m

Chọn C.
Ví dụ 28. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
1 1 sin sin
m m x x
có nghiệm
Trang 17
là
;
a b
. Giá trị của a + b bằng
a) 4. b)
1
2.
2
c) 3. d)
1
2.
4
Lời giải:
Phương trình
1 1 sin 1 1 sin 1 sin 1 sin
m x m x x x
Xét hàm số
2
f t t t
với
[0; ).
t

Hàm này đồng biến trên
[0; )

nên suy ra
1 1 sin 1 sin 1 1 sin 1 sin
f m x f x m x x
1 1 sin 1 sin
sin 1 sin
m x x
m x x
Đặt
1 sin ,
u x
vì
sin 1;1 0; 2
x u

Phương trình trở thành:
2
1
m u u
Xét hàm
2
1
g u u u
với
0; 2 .
u
Ta có
1
' 2 1; ' 0
2
g u u g u u
Bảng biến thiên
u
0
1
2
2
g’(u) - 0 +
g(u)
1 2
-1
5
4
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
5
1 2
4
m
5
1
4
2
4
1 2
a
a b
b
 
Chọn D.
Ví dụ 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3 3 2
sin 2 cos2 2 2 cos 1 2 cos 2 3 2 cos 2
x x x m x m x m
có đúng một nghiệm thuộc
2
0; ?
3
a) 1. b) 2.
c) 3. d) 4.
Trang 18
Lời giải:
Phương trình tương đương với
3 3 3 3
2sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
x x x m x m x m
Xét hàm
3
2
f t t t
với
0.
t
Ta có
2
' 6 1 0
f t t f t
đồng biến
Mà
3
sin 2cos 2 ,
f x f x m
suy ra
3
2 3
sin 0
sin 2cos 2
sin 2cos 2
x
x x m
x x m
2 3
sin 2 cos 2
x x m
(vì
2
sin 0, 0;
3
x
)
2 3 3 2
1 cos 2 cos 2 2cos cos 1
x x m m x x
Đặt
cos ,
u x
vì
2 1
0; ;1 .
3 2
x u
Khi đó phương trình trở thành:
3 2
2 1
m u u
Xét
3 2
2 1,
g u u u
có
2
1
0 ;1
2
' 6 2 ; ' 0
1 1
;1
3 2
u
g u u u g u
u
Bảng biến thiên
u
1
2
1
3
0 1
g’(u) - 0 0 -
g(u) 1 1
28
27
4
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi
1
28
4
27
m
m
4; 3; 2; 1
m
m

Chọn D.
Ví dụ 30. Cho phương trình
2
sin 2 cos2 sin cos 2 cos 0
x x x x x m m
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
a) 2. b) 3.
c) 5. d) 9.
Lời giải:
Điều kiện:
2
2 cos 0
x m
Phương trình đã cho tương đương với
2
2 sin 2 sin cos 1 cos 2 2 cos
x x x x m x m
Trang 19
2
2 2
sin cos sin cos 2 cos 2 cos
x x x x x m m
2
2
2 2
sin cos sin cos 2 cos 2 cos
x x x x x m x m
Xét hàm
2
f t t t
với
0
t
. Ta có
' 2 1 0, 0f t t t
hàm số f(t) đồng biến.
Mà
2
sin cos 2 cos ,
f x x f m
suy ra
2
sin cos cos
x x x m
2
2 2
sin cos 2 cos 1 sin 2 2 cos sin 2 cos 2
x x m x x m x x m
Vì
sin 2 cos 2 2 sin 2 2; 2
4
x x x

phương trình đã cho có nghiệm
2 2 1;0;1
m
m m
Chọn B.
Ví dụ 31. Cho phương trình
3 3
3
4sin sin sin 4 sin 8 2.
x m x x x m
Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
a) 18. b) 19.
c) 20. d) 21.
Lời giải:
Đặt
3
4sin
sin
a x m
b x
Phương trình trở thành:
3 3 3
8 2
a b a b
3
3 3
3 2
2 2
2 8
6 12 0
3 6 6 12 0
3 2 2 0
a b a b
a b a b a b a b a ab b
a b ab a b
a b a b
Với
2 sin 2 :
b x

vô nghiệm
Với
3
8
2 4 sin 2 sin
4
m
a x m x

Phương trình có nghiệm khi
8
1 1 4 12 4;5;6;...;12
4
m
m
m m

Với
3
3
0 4sin sin 0 sin 4 sin
a b x m x m x x
Đặt
sin 1 1 ,
t x t
ta được
3
4
m t t
Xét hàm
3
4
f t t t
trên đoạn [-1;1], ta được
5 5
f t
với mọi
1;1
t
Suy ra phương trình có nghiệm
5 5 5; 4;...;4;5
m
m m
Hợp hai trường hợp ta được 18 giá trị nguyên của m (vì
4; 5
m m
lặp lại).
Chọn A.
Trang 20
Ví dụ 32. Cho phương trình
3 tan 1 sin 2 cos sin 3cos .
x x x m x x
Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m thuộc đoạn [-2018; 2018] để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc
0; ?
2
a) 2015. b)2016.
c) 2018. d)4036.
Lời giải:
Điều kiện:
cos 0
x
Vì
cos 0
x
nên phương trình tương đương với
3 tan 2 tan 1 tan 3
x x m x
Đặt
tan 1,
t x
vì
0; 1;
2
x t

Khi đó phương trình trở thành
3
2 2
2
3 3
3 1 2
2
t t
t t m t m
t
Xét hàm
3
2
3 3
2
t t
f t
t
với
1;t

. Ta có
4 2
2 2
3 5 2
' 0, 1;
( 2)
t t
f t t
t

Bảng biến thiên
t 1

f’(t) +
f(t)

2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi m > 2
2018;2018
3;4;...;2018
m
m
m

có 2016 giá trị.
Chọn B.
Ví dụ 33. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2
cos cos
x x m m
có nghiệm là
a) 2. b) 3.
c) 4. d) 5.
Lời giải:
Đặt cos
u x m
, ta có hệ
2
2
cos
cos
x u m
u x m
Trừ vế theo vế ta được
2 2
cos
cos cos 0 cos cos 1 0
cos 1
u x
x u u x u x x u
u x
Với
cos 1
u x
ta được
cos cos 1
m x x
2
2
3
(1) cos cos 1 cos cos 1 ;3
4
khao sat
m x x m x m

Trang 21
Với
cos ,
u x
ta được
2
cos 0
cos cos
cos cos
x
m x x
m x x
2
cos 0
cos cos 0;2
khao sat
x
m x x m
0;1;2;3m

có 4 số nguyên dương thỏa mãn.
Chọn C.
Ví dụ 34. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
1 2 cos 1 2 sin
3
m
x x
có nghiệm
là
a) 2. b) 3.
c) 4. d) 5.
Lời giải:
Điều kiện:
1 2 cos 0
2
2 2
1 2 sin 0 6 3
x
k x k
x
(Hình vẽ)
2
0
2 2 sin cos 2 1 2 sin cos 4 sin cos
9
m
PT
m
x x x x x x
Đặt
1 3
sin cos ; 2
2
dieu kien
t x x t
Phương trình (1) trở thành
2
2
2 2 2 2 2 1
9
m
t t t
Xét hàm
2
2 2 2 2 2 1
f t t t t
với
1 3
; 2
2
t
Ta có
2
4 2 1 3
' 2 0, ; 2
2
2 2 1
t
f t t
t t
Suy ra
max 2 4 2 4
1 3
min 1 3
2
f t f
f t f
Do đó để phương trình có nghiệm
2
3 1 4 2 1
3 3 1 6 2 1
9
0
m
m
m
5;6;7;8;9
m
m

Chọn D.
Cách khác:
Bài toán cô lập m một vế nên dùng MODE 7 nhanh hơn.
Trang 22
Nhập hàm d
( ) 1 2 cos 1 2 sin
F X X X
với
2 5
; ; :
6 3 114
Start End Step
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2
3sin 2 5 0
x m
có nghiệm?
A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
Câu 2. Tìm m để phương trình
sin 2 cos 2 2 1
m x x x m
vô nghiệm
A.
4
0 .
3
m
B.
4
0 .
3
m m
C.
4
0 .
3
m
D.
4
0 .
3
m m
Câu 3. Với giá trị nào sau đây của tham số m thì phương trình
sin cos 14
x m x có nghiệm?
A. 2. B. – 4. C. 3. D. – 3.
Câu 4. Tìm giá trị của tham số m để phương trình
3sin cos 5
x m x
vô nghiệm
A.
4;4 .
m B.
4; .
m
C.
( ; 4] [4; )
m
 
D.
; 4 .
m
Câu 5. Tìm m để phương trình
3sin 4 cos 2
x x m
có nghiệm
A.
5 5
.
2 2
m
B.
5 5
.
2 2
m
C.
5
.
2
m
D.
5
.
2
m
Câu 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
sin 3cos 5
m x x
có nghiệm?
A.
34.
m
B.
4 4.
m
C.
4
.
4
m
m
D.
4.
m
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3sin 4 cos
x x m
có nghiệm
A.
5.
m
B.
5 5.
m
C.
5.
m
D.
1 1.
m
Câu 8. Tìm m để phương trình
cos 2 sin 3
2 cos sin 4
x x
m
x x
có nghiệm
A.
2 0.
m
B.
0 1.
m
C.
2
2.
11
m
D.
2 1.
m
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương tình
2 sin 1 cos 2 2 0
m x m x
vô
nghiệm
A.
7
1 .
5
m m
B.
2 1.
m m
C.
7
1.
5
m
D.
7
1.
5
m m
Câu 10. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
sin 1 cos 2 1
x m x m
có nghiệm là
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
2018;2018
m để phương trình
2
1 sin sin 2 cos2 0
m x x x
có nghiệm?
A. 4036. B. 2020. C. 4037. D. 2019.
Trang 23
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
cos2 2 1 cos 1 0
x m x m
có
nghiệm trên khoảng
3
;
2 2
?
A.
1 0.
m
B.
1 0.
m
C.
1 0.
m
D.
1
1 .
2
m
Câu 13. Tìm m để phương trình
2
sin 1 2cos 2 1 cos 0
x x m x m
có đúng 4 nghiệm thực phân
biệt thuộc đoạn
0;2
?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 14. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình
2
sin 1 cos cos 0
x x x m
có đúng 5
nghiệm thuộc đoạn
0;2 ?
A.
1
0 .
4
m
B.
1
0.
4
m
C.
1
0.
4
m
D.
1
0 .
4
m
Câu 15. Cho phương trình
2
2sin 3 sin 2 2 3 sin cos 0.
x x x x m
Để phương trình chỉ có hai
nghiệm x
1
; x
2
thuộc đoạn
;
3 2
thì
;
m a b
. Giá trị của b – a là
A.
3 3.
B.
4 2 3.
C.
4.
D.
4 3 2.
Câu 16. Cho phương trình
2
2sin 1 3 cos 2 sin 2 sin 3sin 1.
x x x x x
Tính tổng tất cả các
nghiệm thuộc đoạn
0;2
của phương trình đã cho
A.
7
.
2
B.
2 .
C.
16
.
3
D.
.
Câu 17. Tìm m để phương trình
2
cos 1 cos2 cos sin
x x m x m x
có đúng hai nghiệm
2
0;
3
x
là
( ; ]
a b
. Giá trị của a + b là
A. – 1. B.
5
.
2
C.
3
.
2
D. 0.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
4 4 2
sin cos cos 4
s x x m
có bốn nghiệm
phân biệt thuộc đoạn
;
4 4
A.
3
2
.
47
64
m
m
B.
47 3
.
64 2
m
C.
47 3
.
64 2
m
D.
47 3
.
64 2
m
Câu 19. Tìm m nguyên để phương trình
3
2 cos3 2 cos 6 cos
x m x m x
có nghiệm?
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Trang 24
Câu 20. Tìm tất cả các tập giá trị của tham số m để phương trình
1 1 sin sin
m m x x
có
nghiệm là
;
. Giá trị
bằng
A.
1
2.
4
B.
1
2.
4
C.
1
2.
2
D.
1
2.
2
Câu 21. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình
2
sin sin
x m x m
có nghiệm
thực?
A. 3. B. 2. C. 5. D. 4.
Câu 22. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình
2
cos cos
x m x m
có nghiệm
thực?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
Câu 23. Cho phương trình
2 2
3
2 2
3 3
sin sin 2 sin .
x m x m x m
Gọi
;
S a b
là tập hợp tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực. Tính giá trị của
2 2
P a b
A.
162
.
49
P B.
49
.
162
P C.
4.
P
D.
2.
P
Câu 24. Tìm tất cả các số thực m để phương trình
cos3 1 cos cos 2 1
x m x x
có 7 nghiệm phân
biệt trong khoảng
;2
2
A.
0 2.
m
B.
1 1.
m
C.
1 3.
m
D.
2 2.
m
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-B 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-B 8-C 9-C 10-C
11-B 12-B 13-A 14- 15-B 16-A 17-C 18-B 19-A 20-A
21-D 22-A 23-A 24-A
Câu 1: Chọn B
Ta có
2
2
5
3sin 2 5 0 sin 2
3
m
x m x
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
5
1 1 2 8
3
m
m
Kết hợp
2
m m
.
Câu 2: Chọn B
Phương trình vô nghiệm
2 2
2 2
4
1 2 1 3 4 0
3
0
m
m m m m
m
Trang 25
Câu 3: Chọn B
Phương trình có nghiệm
2 2
1 14 13
m m
Vậy trong 4 giá trị của tham số m ở các phương án trên thì
4
m
là giá trị cần tìm.
Câu 4: Chọn A
Phương trình vô nghiệm
2 2 2
3 5 16 4 4.
m m m
Câu 5: Chọn A
Phương trình có nghiệm
2 2
2 2
25 5 5
3 4 2
4 2 2
m m m
Câu 6: Chọn C
Phương trình có nghiệm
2
2 2 2
4
3 5 16
4
m
m m
m
Câu 7: Chọn B
Phương trình có nghiệm
2
2 2 2
3 4 25 5 5
m m m
Câu 8: Chọn C
Dễ thấy
2 cos sin 4 0x x x
Do đó phương trình
2 cos sin 4 cos 2sin 3
m x x x x
2 1 cos 2 sin 3 4
m x m x m
Phương trình đã cho có nghiệm
2 2 2
2 1 2 3 4
m m m
2
2
11 24 4 0 2
11
m m m
Câu 9: Chọn C
Phương trình
2 sin 1 cos 2 2
m x m x vô nghiệm khi và chỉ khi
2
2 2
2 2 2
2 1 2 2 4 2 1 8 5 2 7 0
7
1
5
m m m m m m m
m
Câu 10: Chọn C
Phương trình đã cho có nghiệm
2 2
2
1 1 2 1 3 2 1 0
m m m m
1
1
3
m
. Kết hợp
0;1
m m
Câu 11: Chọn B
1 cos 2
1 . sin 2 cos2 0
2
x
PT m x x
1 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 cos2 0 1 cos 2 2 sin 2 1
m m x x x x m x x m
Trang 26
Phương trình đã cho có nghiệm
2 2
2
1 2 1 4 4 1
m m m m
Kết hợp
[[ 2018;2018]
m
m
có 2020 giá trị của tham số m.
Câu 12: Chọn B
Phương trình
2
1 cos2 2 1 cos 0 2 cos 2 1 cos 0
x m x m x m x m
2
2 cos 2 cos cos 0 2 cos cos cos 0
1
cos
2 cos 1 cos 0
2
cos
x m x x m x x m x m
x
x x m
x m
Với
3
; cos 1;0
2 2
x x
nên phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
3
;
2 2
khi và chỉ
chi
1 0
m
.
Câu 13: Chọn A
Phương trình
sin 1 2 cos cos cos 0
x x x m x m
2
sin 1
2
1
sin 1 2cos 1 cos 0 cos 2
2 3
cos cos
x k
x
x x x m x x k
x m x m
Trên đoạn
0;2
thì các phuowngt rình
2
2
x k
và
2
3
x k
có các nghiệm ;
2 3
x x
do
đó phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm thực khi và chỉ khi
TH1: Phương trình
cos
x m
có đúng 1 nghiệm thực khác
;
2 3
x x
khi và chỉ khi
1
1
m
m
TH2: Phương trình
cos
x m
có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm
0
2
x m
Vậy có 3 giá trị của m.
Câu 14: Chọn A
Phương trình
2
2
sin 1
2
2
cos cos 0
cos cos 0
x
x k
x x m
x x m
Trang 27
Với
0;2
xc
thì phương trình
2
2
x k
có 1 nghiệm
2
x
do đó để phương trình đã cho có 5
nghiệm thuộc đoạn
0;2
thì phương trình
2
cos cos 0
x x m
có 4 nghiệm thuộc đoạn
0;2
khác
nghiệm
2
x
.
Đặt
cos
t x
thì
1;1
t
Điều kiện bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình
2 2
0
t t m m t t
có 2 nghiệm phân biệt
1;1 \ 0
t . Lập bảng biến thiên cho hàm số
2
f t t t
với
1;1
t
T
-1 + 0 -
1
2
+ 1
f(t)
1
4
0
0
-2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi
1
0
4
m
Câu 15: Chọn B
Phương trình
1 cos 2 3 sin 2 4sin
6
x x x m
2
1 2 cos 2 4 sin 1 2 1 2 sin 4 sin
3 6 6 6
x x m x x
2
4 sin 4sin 1
6 6
x x m
Với
2
; ;
3 2 6 6 3
x x
và đặt
sin
6
t x
thì
1
;1
2
t
Khi đó
2
4 4 1
f t t t m
Để phương trình có đúng 2 nghiệm x
1
, x
2
thuộc đoạn
;
3 2
ta xét
TH1:
f t m
có nghiệm kép
3
;1
2
t
, mà
1 3
;1
2 2 2
b
t
a
nên trường hợp này loại.
TH2:
f t m
có 2 nghiệm
1 2
1 3
, ;
2 2
t t
khi và chỉ khi
2;2 2 3
m
Suy ra
4 2 3
b a
Câu 16: Chọn A
Trang 28
Phương trình
2sin 1 3 cos 2 sin 2 sin 1 sin 1
x x x x x
1
sin
2
2sin 1 3 cos sin 1 0
3 cos sin 1 2 cos 1
6
x
x x x
x x x
Với
2
1
6
sin
2 7
2
6
x k
x
x k
Với
2 2
1
6 3 2
2 cos 1 cos
6 6 2
2 2
6 3 6
x k x k
x x x
x k x k
Với
11 7
0;2 ; ;
6 6 2
x x
suy ra tổng các nghiệm của phuowngt rình là
7
2
Câu 17: Chọn C
Phươn trình
2
cos 1 cos 2 cos 1 sin 1 cos 1 cos
x x m x m x m x x
1 cos cos 2 cos 1 cos cos
1 cos 0 cos 1
cos2 cos cos cos 2
x x m x x m m x
x x
x m x m m x x m
Với
cos 1 2 ,
x x k
kết hợp
2
0;
3
x
vô nghiệm.
Với
cos 2
x m
và
2 3
0; 2 0;
3 4
x x
, dựa vào đường tròn lượng giác thì để phương
trình có đúng 2 nghiệm thì
1
cos 2 1;
2
x
Do đó
1 3
1;
2 2
S a b
Câu 18: Chọn B
Phương trình
2
2 2 2 2 2
sin cos 2sin cos cos 4
x x x x x m
2 2 2
2 2
1 1 1 cos 4
1 sin 2 cos 4 1 . cos 4
2 2 2
4 1 cos 4 4 cos 4 4 4 cos 4 cos 4 3 4
x
x x m x m
x x m x x m
Với
; 4 ;
4 4
x x
, đặt
cos 4
t x
suy ra
2
4 3 4
f t t t m
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì phương trình
4
f t m
có 2 nghiệm phân biệt thuộc
1;1
Trang 29
Ta có bảng biến thiên
t
-1
1
8
1
f(t) 8
6
47
16
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
47 47 3
4 6
16 64 2
m m
Câu 19: Chọn A
Phương trình
3
2 cos3 cos 6 cos
x x m m x
2
3 3
3
3
4 cos 2 .cos 6 cos 4 2 cos 1 cos 6 cos
2 cos 2cos 6 cos 6 cos
x x m m x x x m m x
x x m x m x
Đặt
3
2 cos , 6 cos
a x b m x
ta có:
3 3 2 2
0
a a b b a b a ab b
2 2
0
a b a ab b a b
Do đó
3 3
3
2 cos 6 cos 8cos 6 cos 2 4 cos 3cos 2 cos3
x m x m x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm
2;2
km , kết hợp
m
suy ra có 5 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 20: Chọn A
Đặt
1 sin
a x
thì
0; 2
a
do
sin 1;1
x
Khi đó
2 2
1 1 1 1
m m a a m m a a
2 2
2
2
2
1 1 1 1
1 1 1
4 4 2 2
1 1 5 1
1 1 1
2 2 4 2
m a m a a a m a a
m a a m a a m a a m a
Với
0; 2
a
thì
2
1 9
0; 2
2 4
a
nên phương trình có nghiệm
5 9
0 2
4 4
m
5 1
;1 2 2
4 4
m
Câu 21: Chọn D
Phương trình
2
sin sin sin sin
x x m x m x
2
1 1
sin sin sin sin
4 4
x x m x m x
Trang 30
2 2
1 1
sin sin
sin 1 sin
1 1
2 2
sin sin
2 2 1 1
sin sin
sin sin
2 2
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
TH1:
2
2
sin 1 sin sin 1 sin sin sin 1
x m x m x x x
Với
sin 1;1
x thì
2
2
1 3 3
sin sin 1 sin ; 3
2 4 4
m x x x
Suy ra phương trình có nghiệm khi
3 9
;
4 4
m
, kết hợp
1;2;3
m m
TH2:
2
1 sin 0
sin sin
sin sin
x
x m x
m x x
Với
2
sin 1;0 sin sin 0;2
x m x x
Suy ra phương trình có nghiệm khi
0;2
n , kết hợp
0; 1; 2
m m
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
0; 1; 2; 3
m
Câu 22: Chọn A
Phương trình
2
1 1
cos cos cos cos
4 4
x x m x m x
2 2
1 1
cos cos
cos 1 cos
1 1
2 2
cos cos
2 2 1 1
cos cos
cos cos
2 2
x m x
m x
x m x
x m x
x m x
TH1: Với
2
2
2
1 3
cos 1 cos cos 1 cos cos cos 1 cos
2 4
x m x m x x x x x
Với
cos 1;1
x thì
2
3 1 3
cos 3
4 2 4
x
phương trình có nghiệm khi
3
;3
4
m
Kết hợp
1;2;3
m m
TH2: Với
2
1 cos 0
cos cos
cos cos
x
x m x
m x x
Với
2
1 cos 0 cos cos 0;2x x x
phương trình có nghiệm khi
0; 2
m
Suy ra phương trình có nghiệm khi
0; 2
m
, kết hợp
1; 2
m m
Kết hợp 2 trường hợp suy ra
1;2;3
m
Câu 23: Chọn A
Dễ thấy với
sin
x m
thì phương trình
3 2
8sin 0 sin 0
x x m
Trang 31
Với
sin
x m
chia cả 2 vế của phương trình cho
2
3
sin
x m
ta được
2
3
3
sin sin
2
sin sin
x m x m
x m x m
Đặt
2
3
1
sin
2 0
sin 2
t
x m
t t t
x m t
Với
1 sin sin 0
t x m x m m
Với
sin
2 8 sin 8sin 8 9sin 7
sin
x m
t x m x m x m
x m
có nghiệm khi và chỉ khi
9 9 9 9 162
9 7 9 ;
7 7 7 7 49
m m S P
Câu 24: Chọn A
Phương trình
3
4 cos 3cos 1 cos 1 cos2
x x m x x
3 2 3 2
2
2
4 cos 3cos 1 cos 2 cos 4 cos 2 cos 2 cos
cos 0
2
4 cos 2 2 cos
4 cos 2 cos 2
x x m x x x m x x
x
x k
m x
x x x m
Với
2
x k
và
3
;2 ;
2 2 2
x x
, để phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt trong
khoảng
;2
2
thì phương trình
2
4 cos 2 cos 2
x x m
có 5 nghiệm thuộc
;2
2
Đặt
cos , 1;1
t x t thì bài toán thỏa mãn khi phương trình
2
4 2 2
f t t t m
có 1 nghiệm
1
1;0
t và
2
0;1
t
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
0 2 2 0 2
m m
| 1/31
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ
Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình
toán 11, và khảo sát hàm số của lớp 12 để giải quyết).
Phương pháp giải toán này tác giả xin trình bày chi tiết thông qua hệ thống ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E  3;2;1;0;1;  2 để phương trình 2
2m sin x cos x  4 cos x  m  5 có nghiệm? a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. Lời giải:
Phương trình tương đương với m sin 2x  2 cos 2x  m  3 5
Phương trình có nghiệm  m  2  m  32 2 2
 6m  5  0  m   6 Mà m  E   m  3  ;2;  1 Chọn B.
Ví dụ 2. Cho phương trình 2 2
m sin x  2sin x cos x  3m cos x  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
m để phương trình có nghiệm.  4   4  a) m  0  ; . b) m   \ 0; .  3  3  4   4  c) m  0; .  d) m  0; .   3     3  Lời giải: 1 cos 2x 1 cos 2x Phương trình  . m  sin 2x  3 . m
 1  sin 2x  m cos2x  1 2m 2 2 4 Phương trình có nghiệm 2 2 2
 1 m  1 4m  4m  3m  4m  0  0  m  . 3 Chọn C.  3  5  4 sin   x   2  6 tan 
Ví dụ 3. Cho phương trình 
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của  2 sin x 1 tan 
thuộc đoạn [0;2] để phương trình có nghiệm. Tổng các phần tử của tập S bằng a) .  b) 2 .  c) 4 .  d) 6 .  Lời giải: s  in x  0 Điều kiện:  cos  0   4cos x
Phương trình tương đương với
 3sin 2  3sin 2 sin x  4 cos x  5 (1) sin x Trang 1 Nếu sin x  0 
cos x   : không thỏa (1). Do đó phương trình nếu có nghiệm thì luôn thỏa mãn điều kiện sin x  0 cos  0
Để phương trình có nghiệm   2 (  3sin 2) 16  25 cos  0 cos  0  k    
 cos2  0    
,k   : thỏa điều kiện. 2 2 s  in 2  1 s  in 2  1 4 2   5 7       3 5 7 S   ; ; ;    tổng     4 .   4 4 4 4  4 4 4 4 Chọn C.      
Ví dụ 4. Cho phương trình 2 4 sin x  .cos x   m  3 sin 2x  cos2 . x     Gọi S  [ ; a b]là tập tất cả  3   6 
các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a + b. 1 a) a + b = - 2. b) a  b   . 2 c) a + b = 0. d) a + b = 4. Lời giải:       1      Ta có sin x  .cos x   sin 2x   sin        3 6 2  6 2         1     1  3 1  
sin 2x cos  sin cos2x 1     sin 2x  cos2x 1 2  6 6  2 2 2   2 m  2 2
PT  3 sin 2x  cos2x  2  m  3 sin 2x  cos 2x  cos2x  2 2 m  2 Phương trình có nghiệm 2  1 
 1  0  m  4  2  m  2 2      S    a 2 2;2     a  b  0. b  2 Chọn C. m
Ví dụ 5. Cho phương trình 6 6
sin x  cos x  3sin x cos x 
 2  0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 4
số m để phương trình có nghiệm? a) 7. b) 9. c) 13. d) 15. Lời giải: 3 Ta có 6 6 x  x   2 2 x  x 2 2  x x  2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin x  cos x 3 2 2 2
 1 3sin x cos x 1 sin 2x 4 3 m Phương trình 2 2
 1 sin 2x  3sin x cos x   2  0  3sin 2x  6sin 2x  12  m 4 4 Trang 2 Đặt t   1;  1 2
t  sin 2x 3t  6t  12  m  3t  2 1  15  m Vì   t     t  2 1 1 0 3
1  12 Do đó để phương trình có nghiệm  0  15  m  12 3 15 m m      m 3;4;5;...;1  5 Chọn C. 3
Ví dụ 6. Cho phương trình 2 3tan  tan x  cot x   .
m Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 2018 2 sin x
để phương trình có nghiệm? a) 2004. b) 2008. c) 2011. d) 2012. Lời giải: s  in x  0 k Điều kiện:   x  k cos x  0 2  1 2 
Phương trình viết lại 3 tan x   tan x  cot x   m 2   sin x    2 2 3 tan x  cot x   1  tan x  cot x  m
Đặt t  tan x  cot x. Điều kiện: t  2.
Phương trình trở thành  2t   2 3
1  t  m  3t  t  m  3 Xét hàm 2 f (t)  3t  t tren ( ;  2  ][2;). Bảng biến thiên T  -2 2  f '(t) - + f (t)   14 10
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có n ghiệm  m  3  10  m  7 m 
  m  7;8;9;..;2017   có 2011 giá trị. m2018   Chọn C.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4x  . m tan x có nghiệm x  k .   1   1  a) m   ;4 .   b) m  ;4 .  2   2     1  c) m   ;4 .   d) m  1  ;4.  2  Lời giải: Điều kiện cos x  0. Trang 3 . m sin x sin x
Phương trình  2sin 2x.cos2x   4.sin x cos . x cos2x  . m . (*) cos x cos x
Vì x  k nên sin x  0 . Khi đó (*) 2  x  2 4 cos 2cos x   1  m x  k Đặt 2 t  cos x , với  suy ra t 0; 
1 . Phương trình trở thành 2 m  8t  4t cos x  0 1 Xét hàm 2
f (x)  8t  4t với t (0;1), ta được   f (t)  4 2 1
Do đó phương trình có nghiệm    m  4. 2 Chọn A
Ví dụ 8. Cho phương trình cos 2x  2m  
1 cos x  m 1  0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để   3 
phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;    2 2  a) 1  m  1. b) 1  m  0. c) 1  m  0. d) 1  m  0. Lời giải:  1 cos x  Phương trình 2 2 cos x 2m  1 cos x m 0        2  cos x  m 1   3 
Nhận thấy phương trình cos x  không có nghiệm trên khoảng ; (Hình vẽ). 2    2 2    3 
Do đó yêu cầu bài toán  cos x  m có nghiệm thuộc khoảng ;  1  m    0  2 2  Chọn C.
Ví dụ 9. Cho phương trình 2
cos x  21 mcos x  2m 1  0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m thuộc đoạn 10;10 để phương trình có nghiệm? a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. Lời giải: Đặt t  cos x  1   x   1 Phương trình trở thành 2 t    m 2 2 1
t  2m 1  0  t  2t 1  2m t   1 (1) Trang 4
 Xét t  1: (1) trở thành 2 = 0 (không thỏa mãn). 2    t 2t 1 Xét t  1: (1)   2m t 1 2 t  2t 1 2 t  2t  3 Xét hàm f (t) 
với t [ 1;1), ta có f '(t)   0 t   1;1 2   t 1 t  1 Bảng biến thiên t -1 1 f '(t) - f (t) 1  1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm  2m  1  m  2 m
 m  10;9;8;...;0   có 11 giá trị. m 10;10     Chọn D.
Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2
cos 4x  cos 3x  m sin x có nghiệm    thuộc khoảng 0; .    12   1   1  a) m  0; .   b) m  ;2 .    2   2   1  c) m 0;  1 . d) m  1; .    4  Lời giải: 3
1 cos6x 1 4 cos 2x  3cos2x Ta có: 2 cos 3x   và 2 cos 4x  2 cos 2x 1 2 2 3
1 4 cos 2x  3cos2x 1 cos2x Phương trình đã cho 2  2 cos 2x 1   m 2 2 2 3
 4 cos 2x  2  1 4 cos 2x  3cos2x  1 cos2xm  cos2x   3 2
1 m  4cos 2x  4 cos 2x  3cos2x  3 (*)     3  3 2 4t  4t  3t  3
Đặt t  cos2x , với x  0;     t  ;1. Khi đó (*) 2  m   4t  3. 12  2      t 1 Trang 5 min f (t)  0    3  3   ;1  2 Xét hàm 2
f (t)  4t  3 trên đoạn    ;1 , ta được   2   max f (t)  1  3   ;1  2 
Vậy để phương trình m  f (t) có nghiệm khi và chỉ khi m 0;  1 . Chọn C.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x  m cos x  1 m có nghiệm x thuộc     đoạn  ;  2 2    3 3 a) m   . b) m   . 2 2 c) 1  m  3. d) 1  m  3. Lời giải: 3
Nếu dùng điều kiện có nghiệm: 4  m  1 m2 2
 4 1 2m  m   (đáp án A) thì sai hoàn toàn 2     bởi vì x   ; 
thì sin x quét hết tập giá trị [-1; 1] nhưng với cos x thì không. 2 2    x   
Lời giải đúng. Đặt t  tan , với x   ;  t [1;1] 2  2 2   2 2t 1 t Phương trình trở thành 2 2  m
 1 m  t  4t 1  2m 2 2 1 t 1 t max f (t)  6  1;  Xét hàm 2
f (t)  t  4t 1 trên đoạn [-1;1]. Tìm được 1  min f (t)  2   1; 1
Do đó yêu cầu bài toán 2  2m  6  1   m  3. Chọn C.
Ví dụ 12. Cho phương trình 2 2 2 mx  4  4 cos .
x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để   
phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;   bằng  2  a) – 54. b) – 35. c) 35. d) 51. Lời giải:    2 4 cos x   1 Vì x  0;   nên phương trình   2  2 x cos x 1    21 cos x  xsin x    Xét hàm f  x  với x  0; , ta có f '(x)   0, x   0; 2     x  2  3 x  2     1 4
Suy ra f(x) đồng biến trên 0; 
 nên lim f (x)  f (x)  lim f (x)   f (x)    2    2 x0  2  x 2 Trang 6
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 2  m  16 m   m19; 1  8; 1   7 . Chọn A.
Ví dụ 13. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x  -2 -1 1 4  f’(x) + 0 - 0 + f(x) 3  1 0 -1  m
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f 3cos  x   1 1    có nghiệm? 2 a) 2. b) 3. c) 9. d) 13. Lời giải:
Đặt t  3cos x  x   1 1 2  t  4.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t 2;4 thì 1 f (t)  3. m
Do đó để phương trình có nghiệm  1    3  6  m  2. 2 m  m 6  ;5;4;...;  2   có 9 giá trị. Chọn C.
Ví dụ 14. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ x  -1 0 2 3  f’(x) + 0 - 0 + f(x)  1 2 0 -2 
Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f 2sin x   1  f (m) có nghiệm? a) 2. b) 3. Trang 7 c) 4. d) 5. Lời giải:
Đặt t  2sin x 1   1  t  3.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t 1; 
3 thì 2  f t  2.
Do đó để phương trình có nghiệm  2  f (m)  2. Cũng từ bảng biến thiên suy ra f(m) nhận mọi giá trị
từ - 2 đến 2 khi và chỉ khi 1  m  3. m     m1;2;  3   có 3 giá trị. Chọn B.
Ví dụ 15. Cho phương trình 2
2 cos 3x  3  2mcos3x  m  2  0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số    
m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng  ; .    6 3  a) 1  m 1. b) 1  m  2. c) 1  m  2. d) 1  m  2. Lời giải:        Với x   ;  3x   ;      6 3   2  Đặt t  cos 3x  1   t  
1 . Phương trình trở thành 2
2t  3 2mt  m  2  0  1 t  Ta có    m  2 2 5 
 phương trình có hai nghiệm  1 2 t  m2  2 1    
Ta thấy ứng với một nghiệm t  thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng  ; 1 2    6 3 
Do đó yêu cầu bài toán  1  t  0 (tham khảo hình vẽ) 2
 1  m  2  0  1  m  2 Chọn B. Cách khác: Trang 8
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình 2
2t  3 2mt  m  2  0 có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn P  0 
1  t  0  1   . a f 1  0 2    .af    1  0   
Ví dụ 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 2x  2 sin x   2  m   có đúng 2  4   3  nghiệm thuộc khoảng 0;    4  a) 3  m  1 2. b) 3  m  1 2. c) 1  m  1   2. d) 1  m  1 2. Lời giải:
Phương trình viết lại sin 2x  sin x  cos x  2  m   
Đặt t  sin x  cos x  2 sin x    , suy ra 2 sin 2x  t 1  4   3      Với x  0;   x   ;  t      0; 2 4 4 4      Phương trình trở thành 2 t  t  3  m (*) Xét hàm 2
f (t)  t  t  3 trên 0; 2 . Ta có f 't  2t 1 0, t  0; 2
Suy ra f t đồng biến trên 0; 2 và kết luận f 0  m  f  23  m  1   2    
Thử lại m  1 2  sin x   1     có một nghiệm x  duy  4  4  3  nhất thuộc 0;    4 
Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm.
Dựa vào đường tròn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán  phương trình (*) có đúng một
nghiệm t thuộc 1; 2    f  
1  m  f  2 1 m  2 Chọn D.
Ví dụ 17. Cho phương trình 2
m sin x  3sin x cos x  m 1  0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m  3 
thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc 0; 
 . Tổng các phần tử của S bằng  2  a) -15. b) -14. c) 0. d) 15. Lời giải: Trang 9
Phương trình  m  2 x   2 sin
1  3sin x cos x 1  0  3sin x cos x  m cos x 1  0
Nhận thấy cos x  0 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho phương trình 2 cos x ta được 2
tan x  3tan x  m 1  0
Đặt t  tan x , ta được phương trình bậc hai 2 t  3t  m 1  0  3 
Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuốc 0;    phương trình 2
t  3t  m 1  0 có hai nghiệm  2 
trái dấu  m 1  0  m  1 m     m  5;4; 3  ;2   S  14. m [  5  ;5]   Chọn B.
Ví dụ 18. Cho phương trình  x   x  m x 2 cos 1 4 cos 2 cos
 msin x. Số các giá trị nguyên của tham số  2
m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;  là 3    a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: Phương trình    x x  m x   2 1 cos 4 cos 2 cos 1 cos x cos  1 
1 cos x4cos2x m 0       m cos2x   4  2  Với x  0;   
phương trình cos x  1 vô nghiệm. 3     2  4   Với x  0;  2x  0;  3   3     
Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu bài toán m 1 1 
   4  m  2. Vì m   m 3;  2 . 4 2 Chọn B.
Ví dụ 19. Có bao nhiêu số thực m để phương trình  x   2 sin 1 2 cos x  2m  
1 cos m  0 có đúng 4
nghiệm thuộc đoạn 0;2 ? a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: sin x  1  1
Phương trình  sin x   1 2 cos x  
1 cos x  m  0  cos x   2 cos x  m  Trang 10  
 Với sin x  1  x   k2k , mà x 0;2   x  2 2   x   k2 1     Với 3 cos x   
k , mà x  5 0;2   x  , x  2   3 3 x    k2  3
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình cos x  m có đúng   5
một nghiệm 0;2 khác  ; ;
 (xem hình vẽ). Từ đường tròn lượng  3 2 3 
giác ta suy ra chỉ có hai giá trị m thỏa mãn là m= -1 và m =0 . Bởi vì:
Với m= - 1, phương trình cos  1 chỉ có nghiệm duy nhất x   thuộc 0;2.  3
Với m = 0, phương trình cos x  0 có hai nghiệm x  (trùng với nghiệm đã tính) và x  thuộc 2 2 0;2.
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. Chọn B.
Ví dụ 20. Cho phương trình 4 4 2
sin x  cos x  cos 4x  m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để   
phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn  ;  4 4    a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Lời giải: 3 1 Ta có 4 4
sin x  cos x   cos 4x 4 4 3 1 Phương trình 2 2
 cos 4x  cos 4x  m  4 cos 4x  cos 4x  4m  3 4 4   
Đặt t  cos 4x, với x   ;   4x  ;      nen t1; 1  4 4 
Khi đó phương trình trở thành 2 4t  t  4m  3 (*)    
 Ứng với mỗi t [ 1;1) thì phương trình cos 4x  t sẽ có ta hai giá trị của x   ;  4 4       
 Với t = 1 thì phương trình cos 4x  t cho ta đúng một giá trị của x   ;  4 4   
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm t phân biệt thuộc [-1; 1). 1 Xét hàm 2
f (t)  4t  t trên [-1; 1). Ta có f '(t)  8t 1 
 f '(t)  8t 1  t   8 Bảng biến thiên Trang 11 t 1 -1 1 8 f’(t) - 0 + f(t) 5 3 1  16 1 47 3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán    4m  3  3   m  16 64 2 m 
 m  1. Vậy có 1 giá trị nguyên. Chọn A.
Ví dụ 21. Cho phương trình  x   2 sin
1 cos x  cos x  m  0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn 0;2 1 1 a) 0  m  . b)   m  0. 4 4 1 1 c) 0  m  . d)   m  0. 4 4 Lời giải: sin x  1
Phương trình tương đương với  2
cos x  cos x  m  0 (1)
Đặt t  cos x , với x 0;  2   t 1; 
1 . Phương trình (1) trở thành 2 t  t  m (2) 
Phuowng trình sin x  1 có đúng 1 nghiệm x  thuộc đoạn 0;2 2 
Do đó yêu cầu bài toán  phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (khác
) thuộc đoạn 0;2  2
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc 1;  1 \  1  ;  0 1 Xét hàm   2 f t  t  t trên  1  ;0 0; 
1 . Ta có f '(t)  2t 1   f '(t)  0  t  2 Bảng biến thiên t 1 -1 0 1 2 f '(t) - - 0 + 2 f t 0 0 Trang 12 1  4 1 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán   m  0   m  0. 4 4 Chọn C.
Ví dụ 22. Biết rằng khi m  m thì phương trình 2 x   m   2 2sin 5
1 sin x  2m  2m  0 có đúng 5 nghiệm o   
phân biệt thuộc khoảng  ; 3 
 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  2  1 a) m  3. b) m  . o o 2  3 7   2 2  c) m  ; . d) m   ; . o    5 10    o  3 5  Lời giải: Đặt t  sin x  1   t   1 Phương trình trở thành 2 t   m   2 2 5 1 t  2m  2m  0 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với:
 Trường hợp 1: Phương trình (*) có một nghiệm t  1 (cho ra một nghiệm x) và một nghiệm 1
0  t  1 (cho ra bốn nghiệm x) (Hình 1). 2 c  Do 2 t  1  t    m  m 1 2 a m  3   t  6   0;1 (lo¹i) 2  
 Thay t  1 vào phương trình (*), ta được  1  1 1 m    t   0;1 (tháa) 2    2 4
 Trường hợp 2: Phương trình (*) có một nghiệm t  1 (cho ra hai nghiệm x) và một nghiệm 1
1  t  0 (cho ra ba nghiệm x) (Hình 2). 2 c  Do 2 t  1  t   m  m 1 2 a m  1 t  2 1;0 (lo¹i) 2  
 Thay t  1 vào phương trình (*), ta được  1  1 3 m   t   1  ;0 (lo¹i) 2    2 4 Trang 13 1 1  3 2 
Vậy m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m     ; . 2   2  5 5  Chọn D.
Ví dụ 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để số vị trí biểu diễn các   
nghiệm của phương trình 2
1 2cos 2x  3 sin 4x  m  m sin 2x  
 trên đường tròn lượng giác là 4?  3  a) 8. b) 9. c) 10. d) 12. Lời giải:   
Phương trình đã cho   x  x2 sin 2 3 cos 2  m  msin 2x     3        t
Đặt t  sin 2x  3 cos 2x  2sin 2x   sin 2x      
. (điều kiện 2  t  2) .  3   3  2 t
Phương trình trở thành: 2 2
t  m  m  2t  mt  2m  0 (*) 2    t
 Ứng với mỗi t 2;2 thì phương trình sin 2x    
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn  3  2
trên đường tròn lượng giác là 4.   
 Ứng với t =2 thì phương trình 2x   1  
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễ trên đường tròn  3  lượng giác là 2.   
 Với t = -2 thì phương trình sin 2x   1  
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên đường  3  tròn lượng giác là 2.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (*) có duy nhất một nghiệm t thuộc khoảng (-2;2)
hoặc phương trình (*) có hai nghiệm là -2 và 2.
 Trường hợp 1: Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thuộc (-2;2) 2 2t
Với mọi t 2;2 , ta có (*)  m   f t t  2 Bảng biến thiên t -2 0 2 f’(t) - 0 + f(t)  2 0 m  2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này   m  0
 Trường hợp 2: Phương trình (*) nhận -2 và 2 làm nghiệm Trang 14 222  m 2    2m  0   : vô lí 2 2.2  2m  2m  0 m  2 Vậy m  m0;3;4;5;...;1  0    có 9 giá trị. m  0 Chọn B.
Ví dụ 24. Cho phương trình m   1 cos x  m  
1 sin x  2m  3 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để 2
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x  x  1 2 3 a) 0. b) 1. c) 2 d) Vô số. Lời giải:    
Điều kiện có nghiệm: m  2  m  2   m  2 6 22 6 22 1 1 2 3   m  2 2 m 1 m 1 2m  3 Phương trình  cos x  sin x  2 2 2 2m  2 2m  2 2m  2            m 1 2m 3 x   x k2 cos  cos   với cox  ;cos 
x      2 2 2 2m  2 2m  2 2 2
Yêu cầu bài toán: x  x  
 2  k   2  1 2   3 3 cos 2 k  2     2  cos  cos  2   1  1 2 2 cos 1   3 2 2  m 1(tháa m·n) 2m  3 2 1 2m 32    1   2  1      17  2m  2 2 2 2 2m  2 4 m    (tháa m·n)  7 Chọn C.
Ví dụ 25. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m  m  x   x 3 sin sin 3 sin 3sin  4sin x có nghiệm thực? a) 4. b) 5. c) 8. d) 9. Lời giải:
Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trình ta được m  x  m  x   x 3 sin 3 sin sin 3 sin 3sin  4sin x  sin 3x
 m  sin3x  sinm  sin3x  (3sin x)  sin3sin x
Xét hàm f t  t  sint trên  . Ta có f 't  1 cot ,  t    
 hàm số f(t) đồng biến. Suy ra 3 m  sin 3x  3sin x 
m  4sin x 4;4 . Chọn D. Trang 15
Ví dụ 26. Cho phương trình  x  m3 3 8sin  162sin x  27 .
m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   
để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0; ?    3  a) 1. b) 2. c) 3. d) Vô số. Lời giải:   
Đặt u  2 sin x, vì x  0;   2sinx   0; 3nên u0; 3  3 
Phương trình trở thành: u  m3 3  81u  27m
 u  m3  u  m   u3 3 3 27 3  273u (*) Xét hàm f t 3
 t  27t trên  . Ta có f t 2 '  3t  27  0, t
    hàm số f(t) đồng biến.
Nhận thấy (*) có dạng f  3 u  m  f  u 3 3
3  u  m  3u  u  3u  m Xét hàm g u  3 u  3 ,
u u 0; 3. Khảo sát ta được 2  gu  0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2  m  0 m   m 2;  1 . Chọn B.
Ví dụ 27. Cho phương trình 3 3
m  3 m  3sin x  sin x. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? a) 2. b) 3. c) 5. d) 7. Lời giải: Phương trình  m  m  x  3 x  m  x  m  x  3 3 3 3 3sin sin 3sin 3 3sin sin x  3 sin x Xét hàm f t 3  t  3t, t   .
 Hàm đồng biến nên suy ra
f  3 m  3sin x   f sin x 3 3
 m  3sin x  sin x  m  sin x  3sin x
Đặt u  sin x 1  u  
1 , phương trình trở thành 3 m  u  3u max g u  2   1; 1 Xét hàm g u 3  u  3 , u u 1  ;  1 . Ta tìm được  min g u  2  1; 1
Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm  min g u  m  max g u  2   m  2  1  ;  1  1  ;  1 m  m  2  ; 1  ;0;1;  2 . Chọn C.
Ví dụ 28. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m  m 1 1 sin x  sin x có nghiệm Trang 16 là  ;
a b . Giá trị của a + b bằng 1 a) 4. b)  2. 2 1 c) 3. d)   2. 4 Lời giải:
Phương trình  m 1 1sin x   m 1 1 sin x  1 sin x 1 sin x Xét hàm số   2
f t  t  t với t [0;). Hàm này đồng biến trên [0;) nên suy ra
f  m 1 1sin x   f  1sin x   m 1 1sin x  1sin x
 m 1 1 sin x  1 sin x  m  sin x  1 sin x
Đặt u  1 sin x, vì sin x  1  ;  1  u  0; 2    Phương trình trở thành: 2 m  u  u  1 Xét hàm g u 2
 u  u 1 với u  0; 2 . 
 Ta có g u  u  g u 1 ' 2 1; '  0  u  2 Bảng biến thiên u 1 0 2 2 g’(u) - 0 + g(u) 1 2 -1 5  4 5
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm    m  1 2 4  5 a   1    4   a  b    2 4 b 1 2 Chọn D.
Ví dụ 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x   x   3 x  m   3 2 sin 2 cos2 2 2 cos
1 2 cos x  m  2  3 2 cos x  m  2  2 
có đúng một nghiệm thuộc 0; ?    3  a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Trang 17 Lời giải:
Phương trình tương đương với 3 x  x   3 x  m   3 3 2sin sin 2 2 cos 2
2 cos x  m  2  2 cos x  m  2 Xét hàm f t 3
 2t  t với t  0. Ta có f t 2 '  6t 1  0   f t đồng biến s  in x  0 Mà f  x  f  3 sin
2cos x  m  2 , suy ra 3
sin x  2 cos x  m  2   2 3 s
 in x  2cos x  m  2  2  2 3
sin x  2 cos x  m  2 (vì sin x  0, 0;   )  3    2 x  3 x  m   m   3 x  2 1 cos 2cos 2 2cos cos x  1  2   1 
Đặt u  cos x, vì x  0;  u   ;1 .   
Khi đó phương trình trở thành: 3 2 m  2  u  u 1 3 2        1  u  0  ;1   2    Xét g u 3 2  2
 u  u 1, có g 'u 2  6u  2 ; u g 'u  0    1  1  u     ;1   3 2    Bảng biến thiên u 1 1   0 1 2 3 g’(u) - 0 0 - g(u) 1 1 28  27 4 m  1 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi  28  4   m    27 m   m 4; 3  ; 2  ;  1 Chọn D.
Ví dụ 30. Cho phương trình 2
sin 2x  cos2x  sin x  cos x  2 cos x  m  m  0 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? a) 2. b) 3. c) 5. d) 9. Lời giải: Điều kiện: 2 2 cos x  m  0
Phương trình đã cho tương đương với 2
2  sin 2x  sin x  cos x  1 cos2x  m  2 cos x  m Trang 18   x  x2 2 2 sin cos
 sin x  cos x  2cos x  m  2cos  m   x  x   x  x   x  m 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 cos  2 cos x  m Xét hàm   2
f t  t  t với t  0 . Ta có f 't  2t 1  0, t   0 
 hàm số f(t) đồng biến. Mà f  x  x   f  2 sin cos 2cos  m , suy ra 2
sin x  cos x  cos x  m   x  x 2 2 2 sin cos
 2 cos  m  1 sin 2x  2 cos x  m  sin 2x  cos2x  m   
Vì sin 2x  cos2x  2 sin 2x    2; 2    4     
 phương trình đã cho có nghiệm 2 2 m m       m 1;0;  1 Chọn B.
Ví dụ 31. Cho phương trình 3 3 3
4sin x  m  sin x  sin x  4sin x  m  8  2. Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? a) 18. b) 19. c) 20. d) 21. Lời giải:  3 a  4sin x  m Đặt  b  sin x Phương trình trở thành: 3 3 3
a  b  a  b  8  2  a  b  23  3 a  3 b  8
 a  b3  6a  b2  12a  b  a  b 2 a  ab  2 b   0
 a  b3ab  6a  6b  12  0
 3a  ba  2b  2  0  Với b  2  sin x  2 : vô nghiệm   8 m Với 3 a  2 
 4sin x  m  2  sin x  4 8  m
Phương trình có nghiệm khi 1   1  4  m  12 m  m 4;5;6;...;1  2 4  Với 3 3 a  b  0 
 4sin x  m  sin x  0  m  sin x  4sin x
Đặt t  sin x 1  t   1 , ta được 3 m  t  4t Xét hàm f t 3
 t  4t trên đoạn [-1;1], ta được 5  f t  5 với mọi t 1;  1
Suy ra phương trình có nghiệm 5 5 m m       m5; 4  ;...;4;  5
Hợp hai trường hợp ta được 18 giá trị nguyên của m (vì m  4;m  5 lặp lại). Chọn A. Trang 19
Ví dụ 32. Cho phương trình 3 tan x 1sin x  2 cos x  msin x  3cos x. Có bao nhiêu giá trị nguyên   
của tham số m thuộc đoạn [-2018; 2018] để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc 0; ?    2  a) 2015. b)2016. c) 2018. d)4036. Lời giải: Điều kiện: cos x  0
Vì cos x  0 nên phương trình tương đương với  3tan x  2 tan x 1  m tan x  3   
Đặt t  tan x 1, vì x  0;  t 1;     2  3t  3t
Khi đó phương trình trở thành 3t t   1  m t  2 3 2 2  m  2 t  2 3 3t  3t 3 4 2 t  5t  2 Xét hàm f t 
với t 1;. Ta có f 't   0, t   1; 2 2   2 t  2 (t  2) Bảng biến thiên t 1  f’(t) + f(t)  2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi m > 2 m   2018;2018  m    có 2016 giá trị. m 3;4;...;201  8  Chọn B.
Ví dụ 33. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
cos x  cos x  m  m có nghiệm là a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. Lời giải: 2 cos x  u  m
Đặt u  cos x  m , ta có hệ  2 u  cos x  m u  cos x
Trừ vế theo vế ta được 2 2
cos x  u  u  cos x  0  u  cos xcos x  u   1  0   u  cos x 1
 Với u  cos x 1 ta được m  cos x  cos x 1  
(1)  m  cos x  cos x  2 khao sat 3 2
1  m  cos  cos x 1  m  ;3  4    Trang 20  cos x  0
 Với u   cos x, ta được m  cos x   cos x   2 m  cos x  cos x cos x  0    2 m  cos x  cos khao sat x  m   0;2 m 0;1;2;  3 
 có 4 số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C. m
Ví dụ 34. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 1 2 cos x  1 2sin x  có nghiệm 3 là a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. Lời giải: 1   2 cos x  0  2 Điều kiện:     k2  x   k2 (Hình vẽ) 1   2sin x  0 6 3 m  0  2 PT   m
2  2 sin x  cos x  2 1 2sin x  cos x  4sin x cos x   9    dieu kien 1 3
Đặt t  sin x  cos x  t   ; 2  2   2 m
Phương trình (1) trở thành 2
2  2t  2 2t  2t 1  9 1 3  Xét hàm f t 2
 2  2t  2 2t  2t 1 với t   ; 2  2  4t  2  1   3  Ta có f 't  2   0, t    ; 2  2 2t  2t 1 2  
max f t  f  2  4 2  4  Suy ra       f t 1 3 min  f    1 3  2     2  m  3 1   4 2   1
Do đó để phương trình có nghiệm   9  3 3 1  m  6 2 1 m  0 m   m 5;6;7;8;  9 Chọn D. Cách khác:
Bài toán cô lập m một vế nên dùng MODE 7 nhanh hơn. Trang 21  2 5
Nhập hàm d F(X )  1 2 cos X  1 2sin X với Start   ; End  ;Step : 6 3 114 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
3sin 2x  m  5  0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
Câu 2. Tìm m để phương trình m sin 2x  cos x2x  2m 1 vô nghiệm 4 4 4 4 A. 0  m  . B. m  0  m  . C. 0  m  . D. m  0  m  . 3 3 3 3
Câu 3. Với giá trị nào sau đây của tham số m thì phương trình sin x  m cos x  14 có nghiệm? A. 2. B. – 4. C. 3. D. – 3.
Câu 4. Tìm giá trị của tham số m để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm A. m  4  ;4. B. m 4;. C. m ( ;  4
 ][4;) D. m  ;  4  .
Câu 5. Tìm m để phương trình 3sin x  4 cos x  2m có nghiệm 5 5 5 5 5 5 A.   m  . B.   m  . C. m   . D.  . m 2 2 2 2 2 2
Câu 6. Tìm điều kiện của m để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm? m  4  A. m  34. B. 4  m  4. C. .  D. m  4. m  4
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3sin x  4 cos x  m có nghiệm A. m  5  . B. 5  m  5. C. m  5. D. 1  m  1. cos x  2sin x  3
Câu 8. Tìm m để phương trình m  có nghiệm 2 cos x  sin x  4 2 A. 2  m  0. B. 0  m  1. C.  m  2. D. 2  m  1. 11
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương tình 2m sin x  m   1 cos x  2 2  0 vô nghiệm 7 7 A. m    m  7 1 . B. m  2   m  1. C.   m  1. D. m    m  1. 5 5 5
Câu 10. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x  m  
1 cos x  2m 1 có nghiệm là A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2018;2018 để phương trình m   2
1 sin x  sin 2x  cos2x  0 có nghiệm? A. 4036. B. 2020. C. 4037. D. 2019. Trang 22
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x  2m   1 cos x  m 1  0 có   3  nghiệm trên khoảng ;   ?  2 2  1 A. 1  m  0. B. 1  m  0. C. 1  m  0. D. 1  m  . 2
Câu 13. Tìm m để phương trình  x   2 sin 1 2 cos x  2m  
1 cos x  m  0 có đúng 4 nghiệm thực phân
biệt thuộc đoạn 0;2 ? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 14. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình  x   2 sin
1 cos x  cos x  m  0 có đúng 5
nghiệm thuộc đoạn 0;2? 1 1 1 1 A. 0  m  . B.   m  0. C.   m  0. D. 0  m  . 4 4 4 4 Câu 15. Cho phương trình 2
2sin x  3 sin 2x  2  3 sin x  cos x  m  0. Để phương trình chỉ có hai   
nghiệm x1; x2 thuộc đoạn  ;  thì m  ;
a b . Giá trị của b – a là 3 2    A. 3 3. B. 4  2 3. C. 4. D. 4 3  2.
Câu 16. Cho phương trình  x   x  x  2 2sin 1 3 cos 2sin
 2sin x  3sin x 1. Tính tổng tất cả các
nghiệm thuộc đoạn 0;2 của phương trình đã cho 7 16 A. . B. 2 .  C. . D. .  2 3  2
Câu 17. Tìm m để phương trình  x   x  m x 2 cos 1 cos 2 cos
 m sin x có đúng hai nghiệm x  0;  3    là ( ;
a b]. Giá trị của a + b là 5 3 A. – 1. B. . C.  . D. 0. 2 2
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 4 2
sin s  cos x  cos 4x  m có bốn nghiệm   
phân biệt thuộc đoạn  ;  4 4     3 m   47 3 47 3 47 3 A. 2  . B.  m  . C.  m  . D.  m  . 47  64 2 64 2 64 2 m   64
Câu 19. Tìm m nguyên để phương trình 3
2 cos3x  m  2 cos x  m  6 cos x có nghiệm? A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Trang 23
Câu 20. Tìm tất cả các tập giá trị của tham số m để phương trình m  m 1 1 sin x  sin x có nghiệm là  ;
 . Giá trị    bằng 1 1 1 1 A.   2. B.   2. C.   2. D.   2. 4 4 2 2
Câu 21. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2
sin x  m  sin x  m có nghiệm thực? A. 3. B. 2. C. 5. D. 4.
Câu 22. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2
cos x  m  cos x  m có nghiệm thực? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
Câu 23. Cho phương trình  x  m2  x  m   x m2 3 2 2 3 3 sin sin 2 sin . Gọi S   ;
a b là tập hợp tất cả
các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thực. Tính giá trị của 2 2 P  a  b 162 49 A. P  . B. P  . C. P  4. D. P  2. 49 162
Câu 24. Tìm tất cả các số thực m để phương trình cos3x  m  
1 cos x  cos2x  1 có 7 nghiệm phân   
biệt trong khoảng  ;2    2  A. 0  m  2. B. 1  m  1. C. 1  m  3. D. 2  m  2.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-B 3-B 4-A 5-A 6-C 7-B 8-C 9-C 10-C 11-B 12-B 13-A 14- 15-B 16-A 17-C 18-B 19-A 20-A 21-D 22-A 23-A 24-A Câu 1: Chọn B 2 m  5 Ta có 2
3sin 2x  m  5  0  sin 2x  3 2 m  5
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 1   1  2  m  8 3
Kết hợp m    m    2 . Câu 2: Chọn B  4 m  Phương trình vô nghiệm m  2 1 2m 2 2 2 1 3m 4m 0           3  m  0 Trang 24 Câu 3: Chọn B Phương trình có nghiệm 2 2
 1 m  14  m  13
Vậy trong 4 giá trị của tham số m ở các phương án trên thì m  4
 là giá trị cần tìm. Câu 4: Chọn A Phương trình vô nghiệm 2 2 2
 3  m  5  m  16  4   m  4. Câu 5: Chọn A 25 5 5
Phương trình có nghiệm  3  42  2m2 2  2 m     m  4 2 2 Câu 6: Chọn C m  4
Phương trình có nghiệm  m   3  2 2 2 2  5  m  16   m  4 Câu 7: Chọn B Phương trình có nghiệm   2 2 2 2 3 4  m  m  25  5   m  5 Câu 8: Chọn C
Dễ thấy 2 cos x  sin x  4  0 x   
Do đó phương trình  m 2 cos x  sin x  4  cos x  2sin x  3  2m  
1 cos x  m  2sin x  3 4m
Phương trình đã cho có nghiệm   m  2  m  2    m2 2 1 2 3 4 2 2
 11m  24m  4  0   m  2 11 Câu 9: Chọn C
Phương trình  2m sin x  m  
1 cos x  2 2 vô nghiệm khi và chỉ khi
 m   m   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2
 4m  m  2m 1  8  5m  2m  7  0 7    m  1 5 Câu 10: Chọn C
Phương trình đã cho có nghiệm   m  2   m  2 2 1 1 2 1  3m  2m 1  0 1
   m  1. Kết hợp m   m  0;  1 3 Câu 11: Chọn B     1 cos2x PT m 1 .  sin 2x  cos2x  0 2
 m 1 m cos2x  cos2x  2sin 2x  2 cos2x  0  m  
1 cos 2x  2 sin 2x  m 1 Trang 25
Phương trình đã cho có nghiệm  m  2   m  2 2 1 2 1  4m  4  m  1 m  Kết hợp 
 có 2020 giá trị của tham số m. m [[2018;2018] Câu 12: Chọn B Phương trình   x   m   2 1 cos 2 2
1 cos x  m  0  2 cos x  2m 1cos x  m  0 2
 2 cos x  2m cos x  cos x  m  0  2cos x cos x  m  cos x  m  0  1   x  x m cos x 2 cos 1 cos 0       2  cos x  m   3    3  Với x  ;  cos x     1
 ;0 nên phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng ;   khi và chỉ  2 2   2 2  chi 1  m  0 . Câu 13: Chọn A
Phương trình  sin x   1 2 cos x 
cos x  mcos x  m  0    x   k2 sin x  1  2             x  x  x m 1 sin 1 2cos 1 cos 0 cos x   x    k2  2  3   cos x  m cos x  m       
Trên đoạn 0;2 thì các phuowngt rình x   k2 và x    k2 có các nghiệm x  ; x   do 2 3 2 3
đó phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm thực khi và chỉ khi   m  1
TH1: Phương trình cos x  m có đúng 1 nghiệm thực khác x  ; x   khi và chỉ khi 2 3  m  1 
TH2: Phương trình cos x  m có 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm x   m  0 2
Vậy có 3 giá trị của m. Câu 14: Chọn A   sin x  1 x   k2 Phương trình     2 2 cos x  cos x  m  0  2
cos x  cos x  m  0 Trang 26  
Với xc 0;2 thì phương trình x   k2 có 1 nghiệm x  do đó để phương trình đã cho có 5 2 2
nghiệm thuộc đoạn 0;2 thì phương trình 2
cos x  cos x  m  0 có 4 nghiệm thuộc đoạn 0;2 khác  nghiệm x  . 2
Đặt t  cos x thì t 1;  1
Điều kiện bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình 2
t  t  m   m  t  2 0 t có 2 nghiệm phân biệt t  1  ;  1 \  
0 . Lập bảng biến thiên cho hàm số   2
f t  t  t với t  1  ;  1 T 1 -1 + 0 -  + 1 2 f(t) 1 4 0 0 -2 1
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi 0  m  4 Câu 15: Chọn B   
Phương trình  1 cos2x  3 sin 2x  4sin x   m    6              2   1 2cos 2x   4sin x 
 m  1 2 1 2sin x   4sin x            3   6    6   6       2   4sin x   4sin x  1  m      6   6        2     1  Với x   ;  x    ;  và đặt t  sin x    thì t   ;1  3 2  6  6 3       6  2    Khi đó f t 2  4t  4t 1  m   
Để phương trình có đúng 2 nghiệm x1, x2 thuộc đoạn  ;  ta xét 3 2     3  b 1  3 
TH1: f t  m có nghiệm kép t   ;1 , mà t    
;1 nên trường hợp này loại. 2     2a 2 2    1 3 
TH2: f t  m có 2 nghiệm t ,t   ;
 khi và chỉ khi m  2  ;2  2 3 1 2  2 2    Suy ra b  a  4  2 3 Câu 16: Chọn A Trang 27
Phương trình  2sin x  
1  3 cos x  2sin x  2sin x   1 sin x 1  1 sin x      x   x  x   2 2sin 1 3 cos sin 1  0      
3 cos x  sin x  1  2 cos x   1      6    x    k2 1  Với 6 sin x     2 7   x   k2  6      x    k2 x   k2     1     Với 6 3 2 2 cos x  x   1  cos   x         6   6  2      x     k2 x    k2  6 3  6     7 Với x   11 7 0;2  x   ;
;  suy ra tổng các nghiệm của phuowngt rình là  6 6 2  2 Câu 17: Chọn C Phươn trình   x   x  m x  m 2 cos 1 cos 2 cos
1 sin x  m1 cos x1 cos x
 1 cos xcos2x  mcos x  1 cos xm  m cos x 1   cos x  0 cos x  1     cos2x m cos x m m cos x     cos2x  m  2 
 Với cos x  1  x    k2 ,  kết hợp x  0;    vô nghiệm.  3   2  3
 Với cos 2x  m và x  0;  2x    0;
 , dựa vào đường tròn lượng giác thì để phương  3   4   1 
trình có đúng 2 nghiệm thì cos x2  1;  2     1  3 Do đó S  1;  a  b    2    2 Câu 18: Chọn B 2
Phương trình   2 x  2 x  2 2 x x  2 sin cos 2sin cos cos 4x  m 1 1 1 cos 4 2 2 x 2
 1 sin 2x  cos 4x  m  1 .  cos 4x  m 2 2 2 2 2
 4 1 cos 4x  4 cos 4x  4m  4cos 4x  cos 4x  3  4m    Với x   ;  4x  ;    
, đặt t  cos4x suy ra f t 2  4t  t  3  4m  4 4 
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì phương trình f t  4m có 2 nghiệm phân biệt thuộc 1;  1 Trang 28 Ta có bảng biến thiên t 1 -1  1 8 f(t) 8 6 47 16 47 47 3
Dựa vào bảng biến thiên suy ra  4m  6   m  16 64 2 Câu 19: Chọn A Phương trình   x  x 3 2 cos3 cos  m m  6 cos x 3
 4 cos2x.cos x  m  m  6 cos x  4 2 2 cos x   3
1 cos x  m  m  6 cos x  2cos x3 3
 2cos x  m  6cos x  m  6 cos x Đặt 3
a  2 cos x, b  m  6 cos x ta có: 3 3
a  a  b  b  a  b 2 2 a  ab  b   0  a  b 2 2
a  ab  b   0  a  b Do đó 3 3
2 cos x  m  6 cos x  m  8cos x  6 cos x  2 3
4 cos x  3cos x  2cos3x
Vậy phương trình có nghiệm km  2
 ;2, kết hợp m  suy ra có 5 giá trị nguyên của tham số m. Câu 20: Chọn A
Đặt a  1 sin x thì a  0; 2    do sin x 1;  1 Khi đó 2 2
m  m 1 a  a 1  m 1 m 1 a  a  1   1 1 1 2   2  2
 m  1 a  m  1 a    a  a     m  1 a    a    4   4   2   2  1 1 5 1 2  2
 m  1 a   a   m  1 a  a  m  1  a  a  m   a    2 2 4  2  2  1   9  5 9 Với a  0; 2    thì a   0;  2  
nên phương trình có nghiệm  0  m    2 2  4      4 4  5  1
 m   ;1 2        2  4    4 Câu 21: Chọn D Phương trình 2
 sin x  sin x  m  sin x  m  sin x  1 1 2
sin x  sin x   m  sin x  m  sin x  4 4 Trang 29  1 1 2 2 sin x   m  sin x   1   1   2 2 sin x 1  m  sin x  sin  x     m  sin x        2   2  1 1       sin x   m  sin sin sin x x m x  2 2  TH1: x   m  x  m   x  2 2 sin 1 sin sin
1  sin x  sin  sin x 1  1 2 3 3 2   Với sin x 1; 
1 thì m  sin x  sin x  1  sin x       ; 3  2  4  4   3 9
Suy ra phương trình có nghiệm khi m  ; 
, kết hợp m    m  1;2;  3 4 4     1   sin x  0
 TH2: sin x   m  sin x   2 m  sin x  sin x Với x   2 sin
1;0  m  sin x  sin x 0;2
Suy ra phương trình có nghiệm khi n 0;2 , kết hợp m   m  0; 1;  2
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m  0; 1; 2;  3 Câu 22: Chọn A 1 1 Phương trình 2
 cos x  cos x   m  cos x  m  cos x  4 4  1 1 2 2 cos x   m  cos x   1   1   2 2 cos1  m  cos x  cos  x     m  cos x        2   2  1 1       cos x   m  cos cos cos x x m x  2 2 2  1  3
 TH1: Với cos x 1  m  cos x  m  cos x  2 2
1  cos x  cos x  cos x 1  cos x      2  4 2 3  1  3  3  Với cos x  1  ;  1 thì  cos x    3   
phương trình có nghiệm khi m  ;3 4  2  4  4    Kết hợp m    m  1;2;  3  1   cos x  0
 TH2: Với cos x   m  cos x   2 m  cos x  cos x Với 2
1  cos x  0  cos x  cos x 0;2  phương trình có nghiệm khi m0;  2
Suy ra phương trình có nghiệm khi m 0;  2 , kết hợp  m    m  1;  2
Kết hợp 2 trường hợp suy ra m  1;2;  3 Câu 23: Chọn A
Dễ thấy với sin x  m thì phương trình 3 2
 8sin x  0  sin x  m  0 Trang 30
Với sin x  m chia cả 2 vế của phương trình cho   2 3 sin x m ta được 2  sin x  m   sin x  m  3  3  2      sin x  m   sin x  m   sin x  m  t  1 Đặt 2 t  3  t  t  2  0     sin x m    t  2 
Với t  1  sin x  m  sin x  m  m  0 sin x  m Với t  2  
 8  sin x  m  8sin x  8m  9sin x  7m có nghiệm khi và chỉ khi sin x  m 9 9 9 9    m    m   S  ;  P  162 9 7 9   7 7  7 7  49 Câu 24: Chọn A Phương trình 3
 4 cos x  3cos x  m   1 cos x  1 cos2x 3
 4 cos x  3cos x  m   2 3
1 cos x  2 cos x  4 cos x  m  2 2 cos x  2 cos x   cos x  0 x   k     2 2
4 cos  m  2  2 cos x  2
4cos x  2x cos x  2  m      3
Với x   k và x   ;2  x     ;
 , để phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt trong 2  2  2 2        khoảng  ;2   thì phương trình 2
4 cos x  2 cos x  2  m có 5 nghiệm thuộc  ;2    2   2 
Đặt t  cos x, t 1; 
1 thì bài toán thỏa mãn khi phương trình f t 2
 4t  2t  2  m có 1 nghiệm t  1  ;0 và t  0;1 2   1  
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0  2  m  2  0  m  2 Trang 31