Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác sơ cấp

Tài liệu gồm 40 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chủ đề phương trình lượng giác sơ cấp, có đáp án và lời giải chi tiết

24 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

17 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình
sin
x m
Nếu 1m

phương trình vô nghiệm, vì
1 sin 1
x
với mọi
x
.
Nếu 1m
phương trình có nghiệm
- Với m đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
Khi đó
2
sin sin sin ,
2
x k
x m x a k
x k
.
- Với m không đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
.
Khi đó
arcsin 2
sin , .
arcsin 2
x m k
x m k
x m k
Loại 2: Phương trình
cos
x m
Nếu 1m

phương trình vô nghiệm, vì
1 cos 1
x
với mọi x.
Nếu 1m
phương trình có nghiệm
- Với m đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
.
Khi đó
2
cos cos cos ,
2
x k
x m x a k
x k
.
- Với m không đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
Khi đó
arccos 2
cos , .
arccos 2
x m k
x m k
x m k
Loại 3: Phương trình
tan
x m
Điều kiện:
.
2
x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
tan tan tan , .
x m x x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
tan arctan , .
x m x m k k
Loại 4: Phương trình
cot
x m
Điều kiện:
.
x k k
Trang 2
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
cot cot cot , .
x m x x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
cot arccot , .
x m x m k k
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2
cos
4 2
x
b)
2cos 2 3 0
6
x
c)
2cos 3 0
3
x
d)
2
cos
3 2
x
Lời giải:
a)
3
2
2
2 3
4 4
cos cos
3
4 2 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
x k
b)
5
2 2
3 5
6 6 2
cos 2 cos
5
6 2 6
2 2
3
6 6
x k
x k
PT x k
x kx k
c)
2
2
3
3 6 6
cos cos
3 2 6
2
2
3 6
2
x k
x k
PT x k
x k
x k
d)
2
2
2
3 4
12
cos cos
7
3 2 4
2 2
3 4 12
x k
x k
x k
x k x k
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
cos 2 0
6
x
b)
cos 4 1
3
x
c)
cos 1
5
x
d)
sin 3 0
3
x
Lời giải:
a)
cos 2 0 2
6 6 2 6 2
x x k x k k
b)
cos 4 1 4 2
3 3 12 2
x x k x k k
Trang 3
c)
4
cos 1 2 2
5 5 5
x x k x k k
d)
4
cos 1 2 2
5 5 5
x x k x k k
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
sin 1
2 4
x
b)
sin 2 1
6
x
c)
1
sin 3 1
2
x
d)
2
cos 15
2
x
Lời giải:
a)
3
sin 1 2 4
2 4 2 4 2 2
x x
k x k k
b)
sin 2 1 2 2
6 6 2 3
x x k x k k
c)
1 2
3 1 2
1
6 18 3 3
sin 3 1
5 5 1 2
2
3 1 2
6 18 3 3
x k x k
x k
x k x k
d)
2
15 45 .360 60 .360
cos 15
2
15 45 .360 30 .360
x k x k
x k
x k x k
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a)
3
sin
2 3 2
x
b)
1
cos 2
6 2
x
c)
tan 2 1 3
x d)
0
3
cot 3 10
3
x
Lời giải:
a)
2
4
3
2 3 3
sin
10
4
2 3 2
4
2
3
2 3 3
x
k
x k
x
k
x
x k
k
b)
2
2 2
1
6 3
4
cos 2
2 5
6 2
2 2
6 3 12
x k
x k
x k
x k x k
c)
1
tan 2 1 3 2 1
3 6 2 2
x x k x k k
d)
3 50
cot 3 10 3 10 60 .180 60
3 3
x x k x k k
Trang 4
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
sin 3 1 sin 2
x x
b)
cos cos 2
3 6
x x
c)
cos 2 cos 0
3 3
x x
d)
0
sin 120 cos 2 0
x x
Lời giải:
a)
3
3 1 2 2
2
sin 3 1 sin 2
3
3 1 2 2
4 4 2
x k
x x k
x x k
x x k
x k
b)
2 2
2
6 3 2
cos cos 2
3 6
2 2
18
6 3
x x k
x k
x x k
x kx x k
c)
cos 2 cos 0 cos 2 cos
3 3 3 3
x x x x
2
2 2 2
3 3 3
2
2 2
3 3 3
x x k x k
k
x x k x k
d)
sin 120 cos 2 0 sin 120 cos 2 sin 120 sin 2 90
x x x x x x
120 2 90 .360 70 .180
120 2 90 .360 210 .360
x x k x k
k
x x k x k
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
tan 3 cot 2
4 6
x x
b)
2
tan 2 3 tan 2
x x
c)
1
cos
2
x
d)
2
1
sin
2
x
Lời giải:
a)
7
tan 3 tan 2 3 2 ,
4 3 4 3 60 5
k
PT x x x x k x k
b)
2
2 *
2 3 2 1 1,PT x x k x k x k k
.
c)
2
1 1 1 2
cos cos cos2 2 2 ,
2 4 2 3 3
PT x x x x k x k k
d) Ta có
2 2
1
sin 2sin 1 0 cos 2 0 ,
2 4 2
k
x x x x k
.
Trang 5
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
a)
3 cos 2
0
2sin 1
x
x
b)
3 tan 1
0
2cos 3
x
x
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với
2
cos 1
3 cos 2
3
0 .
2sin 1
1
sin
2
x
x
x
x
x
b) Phương trình tương đương với
1
tan
3
3 tan 1
0 , .
6
3
2cos 3
cos 0;
2
x
x
x k k
x
x
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a)
3 cot
0
2sin 2 3
x
x
b)
2
4cos 2sin 5
0
tan 3
x x
x
Lời giải:
a) PT tương đương với
cot 3
3 cot
0 , .
3
6
sin 2 0;
2sin 2 3
2
x
x
x k k
x
x
b) PT tương đương với
2 2
4cos 2sin 5 4 4sin 2sin 5
0 0
tan 3 tan 3
x x x x
x x
2
2
3sin sin 1 2 0
4sin 2sin 1 0
tan 3;cos 0
tan 3;cos 0
x x
x x
x
x x
x x
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a)
2sin 2 1
0
tan 1
x
x
b)
2
2 tan 3 tan 3
0
2cos 1
x x
x
Lời giải:
a) PT tương đương
1
sin 2
2sin 2 1
6
0 .
2
7
tan 1
tan 1
6
x k
x
x
k
x
x
x k
b) PT tương dương
3
tan 3 2tan 3 0
tan
2
2
1
1
cos
cos
3
2
2
x x
x k
x
x k
x
x
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
Trang 6
a)
3 2cos2
0
1 2 sin 3
x
x
b)
2cos 2 1
0
3 tan
x
x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương
5
3
cos2
3 2cos2 5
12
2
0 ,
1
12
1
1 2 sin3
sin3
sin3
2
2
x k
x
x
x k k
x
x
x
b) Phương trình tương đương
tan 3
2cos 2 1
0 .
1
3
3 tan
cos2
2
x
x
x k
x
x
Ví dụ 11. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
1
sin 2
3 2
x
trên đường tròn lượng giác
là?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Lời giải:
Phương trình
2 2
3 6
12
sin 2 sin .
3 6
2 2
3 6 4
x k
x k
x k
x k x k
Biểu diễn nghiệm
12
x k
trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).
Biểu diễn nghiệm
4
x k
trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).
12
0
s
0
s
12
Hình 1 Hình 2
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình. Chọn C.
Cách giải nhanh trắc nghiệm.
Ta đưa về dạng
2
x k
n
số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là n.
Trang 7
Xét
2
12 12 2
x k x k
có 2 vị trí biểu diễn.
Xét
2
4 4 2
x k x k
có 2 vị trí biểu diễn.
Ví dụ 12. Gọi
0
x
là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2cos2
0
1 sin 2
x
x
. Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
0
0;
4
x
. B.
0
;
4 2
x
. C.
0
3
;
2 4
x
. D.
0
3
;
4
x
.
Lời giải:
Điều kiện
1 sin 2 0 sin 2 1.
x x
Phương trình
2 2
sin 2 cos 2 1
sin 2 1 loai
2cos2
0 cos 2 0
1 sin 2
sin 2 1 thoa man
x x
x
x
x
x
x

sin 2 1 2 2 .
2 4
x x k x k k
Cho
1
0
4 4
k k
.
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với
3 3
1 ;
4 4
k x
. Chọn D.
Ví dụ 13. Hỏi trên đoạn
2017;2017
, phương trình
sin 1 sin 2 0
x x
có tất cả bao nhiêu
nghiệm?
A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Lời giải:
Phương trình
sin 1
sin 1 2
2
sin 2(vo nghiem)
x
x x k k
x
.
Theo giả thiết
2017 2017
2 2
2017 2 2017
2 2 2
k k
xap xi
320,765 321,265 320; 319;...;321 .
k
k k

Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của
k
tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Ví dụ 14. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3
sin 3
4 2
x x
bằng:
A.
9
. B.
6
. C.
6
. D.
9
.
Trang 8
Lời giải:
Ta có
3 2
3
4 3
sin 3 sin 3 sin
4 2 4 3
3 2
4 3
x k
x x
x k
7 2
7
3 2
36 3
12
.
11 11 2
3 2
12 36 3
k
x
x k
k
k
x k x
TH1. Với
min
max
7 7
0 0
7 2
24 36
.
7 17
36 3
0 1
24 36
Cho
x k k x
k
x
x k k x
TH2. Với
min
max
11 11
0 0
11 2
24 36
11 13
36 3
0 1
24 36
Cho
x k k x
k
x
x k k x

So sánh bốn nghiệm âm lớn nhất là
13
36
x
và nghiệm dương nhỏ nhất là
7
.
36
x
Khi đó tổng hai
nghiệm này bằng
13 7
.
36 36 6
Chọn B.
Ví dụ 15. Gọi
0
x
là nghiệm âm lớn nhất của phương trình
3
cos 5 45
2
x . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
0
30 ;0
x
B.
0
45 ; 30
x
C.
0
60 ; 45
x
D.
0
90 ; 60
x
Lời giải:
Ta có
5 45 30 360
3
cos 5 45 cos 5 45 cos30
5 45 30 360
2
x k
x x
x k
5 75 360 15 72
.
5 15 360 3 72
x k x k
k
x k x k
TH1. Với
max
5
15 72 0 1 57 .
24
x k k k x
TH2. Với
max
1
3 72 0 1 69 .
24
x k k k x
So sánh 2 nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
57 .
x
Chọn C.
Ví dụ 16. Gọi
X
là tập nghiệm của phương trình
cos 15 sin
2
x
x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
290
X
. B.
20
X
. C.
220
X
. D.
240
X
.
Trang 9
Lời giải:
Ta có
cos 15 sin cos 15 cos 90
2 2
x x
x x
15 90 360
50 240
2
210 720
15 90 360
2
x
x k
x k
k
x x k
x k
Nhận thấy
290
X
(do ứng với
1
k
của nghiệm
50 240
x k
). Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giải phương trình
2
sin 0
3 3
x
.
A.
.
x k k
B.
2 3
3 2
k
x k
.
C.
.
3
x k k
D.
3
.
2 2
k
x k
Câu 2. Số nghiệm của phương trình
3
sin 2 40
2
x
với
180 180
x
là
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 3. Với những giá trị nào của
x
thì giá trị của các hàm số
sin 3
y x
và
sin x
y
bằng nhau?
A.
2
.
2
4
x k
k
x k
B.
.
4 2
x k
k
x k
C.
.
4
x k k
D.
.
2
x k k
Câu 4. Tính tổng
T
các nghiệm của phương trình
sin 2 cos 0
x x
trên
0;2 .
A.
3 .
T
B.
5
.
2
T
C.
2 .
T
D.
.
T
Câu 5. Trên khoảng
;2
2
, phương trình
cos 2 sin
6
x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình
tan 2 15 1
x
trên khoảng
90 ;90
bằng
A.
0
B.
30
C.
30
D.
60
Câu 7. Giải phương trình
cot 3 1 3.
x
A.
1 5
.
3 18 3
x k k
B.
1
.
3 18 3
x k k
Trang 10
C.
5
.
18 3
x k k
D.
1
.
3 6
x k k
Câu 8. Với những giá trị nào của
x
thì giá trị của các hàm số
tan
4
y x
và
tan 2
y x
bằng nhau?
A.
.
4 2
x k k
B.
.
12 3
x k k
C.
.
12
x k k
D.
3 1
; , .
12 3 2
m
x k k k m
Câu 9. Số nghiệm của phương trình
3
tan tan
11
x
trên khoảng
;2
4
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình
tan 5 tan 0
x x
trên nửa khoảng
0;
bằng
A.
. B.
3
2
. C.
2
. D.
5
.
2
Câu 11. Giải phương trình
tan 3 cot 2 1.
x x
A.
.
2
x k k
B.
.
4 2
x k k
C.
.
x k k
D. Vô nghiệm.
Câu 12. Cho
tan 1 0
2
x
. Tính
sin 2 .
6
x
A.
1
sin 2
6 2
x
. B.
3
sin 2 .
6 2
x
C.
3
sin 2 .
6 2
x
D.
1
sin 2 .
6 2
x
Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
tan 1
x
?
A.
2
sin .
2
x
B.
2
cos .
2
x
C.
cot 1.
x
D.
2
cot 1.
x
Câu 14. Giải phương trình
cos 2 tan 0.
x x
A.
.
2
x k k
B.
.
2
x k
k
x k
C.
.
4 2
x k
k
x k
D.
.
2
x k k
Câu 15. Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình
tan tan3x
x
.
Trang 11
A.
55
. B.
171
.
2
C.
45 .
D.
190
.
2
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình
3cos 1 0
x
trên đoạn
0;4
là
A.
15
.
2
S
B.
6 .
S
C.
17
.
2
S
D.
8 .
S
Câu 17. Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình
tan t an3
x x
.
A.
55
B.
171
.
2
C.
45 .
D.
190
.
2
Câu 18. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A.
2sin 2 3 0.
x
B.
3
cos 1 0.
2
x
C.
2sin 3 0.
x
D.
sin cos 1 0.
x x
Câu 19. Khẳng định nào đúng?
A.
cot 1 2 .
4
x x k
B.
cot 2 0 .
4
x x k
C.
sin 0 2 .
x x k
D.
3
sin 2 1 .
4
x x k
Câu 20. Cho phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;
của
phương trình trên.
A.
7
.
2
B.
.
C.
3
.
2
D.
.
4
Câu 21. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
A.
tan 99
x
. B.
2
cos 2
2 3
x
. C.
cot 2018 2017
x
. D.
3
sin 2
4
x
.
Câu 22. Số nghiệm của phương trình
2sin 3 0
x
trên đoạn
0;2
là
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 23. Số nghiệm của phương trình
sin3
0
1 cos
x
x
trên đoạn
0;
là
A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
sin
x m
có nghiệm.
A.
1.
m
B.
1.
m
C.
1 1.
m
D.
1.
m
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
cos 0
x m
vô nghiệm.
A.
; 1 1; .
m
 
B.
1; .
m

C.
1;1 .
m D.
; 1 .
m

Câu 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos 1
x m
có nghiệm?
Trang 12
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos 2 2
3
x m
có
nghiệm. Tính tổng
T
của các phần tử trong
S
.
A.
6.
T
B.
3.
T
C.
2.
T
D.
6.
T
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
3sin 2 5 0
x m
có nghiệm?
A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Ta có
2 2 3
sin 0 .
3 3 3 3 2 2
x x k
k x k
Chọn D.
Câu 2: Phương trình
2 40 60 .360
2 40 180 60 .360
x k
x k
50 .180
80 .180
o
x k
x k
Mặt khác
180 180
x
130 ;50
.
100 ;80
x
x

Chọn B.
Câu 3: Có
3 2
sin 3 sin x .
3 2
4 2
x k
x x k
x k
k
x x k
x
Chọn B.
Câu 4: Ta có
sin 2 cos 0 sin 2 os sin 2 sin
2
x x x c x x x
2
2 2
2
6 3
2 2
2
2
2
k
x x k
x
x x k
x k
Vì
0;2
x
, suy ra
2
1 11
0 2
0;1;2
6 3 4 4
1 3
0
0 2 2
4 42
k
k k
k k
k
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn
0;2
là
5 3
; ; ; 3 .
6 6 2 2
T
Chọn A.
Câu 5: Ta có
cos 2 sin cos 2 cos
6 6 2
x x x x
2 2
2
6 2
3
.
2 2
2 2
6 2
9 3
x x k
x k
k
k
x x k
x
Trang 13
Vì
;2
2
x
, suy ra
7 5
2 2 1
2 3 6 12
2 2 8 5
2 2; 1
2 9 3 3 12
k
k
k k k
k
k k


Vậy phương trình đã có 3 nghiệm trên khoảng
;2 .
2
Chọn A.
Câu 6: Ta có
tan 2 15 1 2 15 45 .180 30 .90
x x k x k
Do
4 2
90 ;90 90 30 .90 90
3 3
x k k

1 60
60 30 30 .
0 30
k
k x
k x

Chọn B.
Câu 7: Ta có
cot 3 1 3 cot 3 1 cot
6
x x
1
1 1 5
3 1 .
6 3 18 3 3 18
k
x k x k k x
 Chọn A.
Câu 8: Điều kiện:
cos 0
4
.
4
4 2
cos2 0
4 2
x m
x
x m
x m
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
tan 2 tan
4
x x
2 .
4 12 3
x x k x k k
Đối chiếu điều kiện, ta cần có
3 1
, .
12 3 4 2 2
m
k m k k m
Vậy phương trình có nghiệm
3 1
; , .
12 3 2
m
x k k k m
Chọn D.
Câu 9: Ta có
3 3
tan tan .
11 11
x x k k
Do
xap xi
3
;2 2 0,027 1,72 0;1 .
4 4 11
CASIO k
x k k k

Chọn B.
Câu 10: Ta có
tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 .
4
k
x x x x x x k x k
Vì
0;
x
, suy ra
0 0 4 0;1;2;3 .
4
k
k
k k

Suy ra các nghiệm của phương trình trên
0;
là
3
0; ; ; .
4 2 4
Trang 14
Suy ra
3 3
0 .
4 2 4 2
Chọn B.
Câu 11: Điều kiện
cos3 0
6 3
.
sin 2 0
2
x k
x
k
x
x k
Phương trình
1
tan3 tan 3 tan 2 3 2 .
cot 2
x x x x x k x k k
x
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm
x k
không thỏa mãn
.
2
x k
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D.
Câu 12: Phương trình
tan 1 0 tan 1
2 2
x x
.
2 4 4
x k x k k
Suy ra
2
2 k2 2 k2 k Z
2 6 3
x x
Do đó
2 3
sin 2 sin 2 sin .
6 3 3 2
x k
Chọn C.
Câu 13: Ta có
tan 1 .
4
x x k k
Xét đáp án C, ta có
cot 1 .
4
x x k k
Chọn C.
Câu 14: Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k k
Phương trình
cos2 0
cos2 .tan 0
tan 0
x
x x
x
2
.
2 4 2
x k x k
k
x k x k
Chọn C.
Câu 15: Phương trình
tan 3 tan 3
2
k
x x x x k x k
Ta có
60
0 30 0 30 0
2
k
x k
mà
0;1;...;19
k k
Vậy tổng các nghiệm cần tính là
19
0
95 .
2
k
k
Chọn D.
Câu 16: Ta có
1 1
3cos 1 0 cos arccos 2 .
3 3
x x x k k
Trang 15
TH1. Với
0;4
1
arccos
1
3
arccos 2 0;1
1
3
arccos 2
3
x
k
x
x k k
x

TH2. Với
0;4
1
arccos 2
1
3
arccos 2 1;2
1
3
arccos 4
3
x
k
x
x k k
x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
8 .
S
Chọn D.
Câu 17: Điều kiện
3 2
cos 0
4cos 3cos 0 cos 4cos 3 0
cos3 0
x
x x x x
x
Khi đó phương trình
sin sin 3
sin .cos3 cos .sin 3
cos cos3
x x
x x x x
x x
sin cos3 cos sin 3 0 sin 3 0 sin 2 0 2sin cos 0
x x x x x x x x
cos 0
sin 0
x
x x k
 (thỏa mãn)
Kết hợp
0;30 0 30 0 9
k k
Tổng các nghiệm của phương trình là
0 1 2 ... 9 45 .
Chọn C.
Câu 18: Phương trình
3
2sin 2 3 0 sin 2
2
x x có nghiệm.
Phương trình
3 2
cos 1 0 cos 1
2
3
x x
vô nghiệm.
Phương trình
3
2sin 3 0 sin 1
2
x x
vô nghiệm.
Phương trình
1
sin cos 1 0 sin 2 1 sin 2 2
2
x x x x
vô nghiệm. Chọn A.
Câu 19: Ta có
cot 1 ,
4
x x k
cos 2 0 2 .
2 4 2
x x k x k
sin 0
x x k
và
3
sin 2 1 2 2 .
2 4 4
x x k x k x k
Chọn D.
Câu 20: Phương trình
3
2
2
2 2
4 4
2
3
3 2
2 2
6 3
2
4 4
x k
x k
x x k
x k
x k
x x k
Với
0;
x
ta giải điều kiện
2 1
0 1,25 0;1
6 3 4
k k k
Suy ra nghiệm của phương trình là
5
,
6 6
Trang 16
Tổng các nghiệm của phương trình là
.
Chọn B.
Câu 21: Do
2
1
3
nên phương trình
2
cos 2
2 3
x
vô nghiệm. Chọn B.
Câu 22: Phương trình
2
3
3
2sin 3 0 sin
2
2
2
3
x k
x x
x k
Kết hợp
2
0;2 ; .
3 3
x x
Chọn D.
Câu 23: Điều kiện
cos 1 2
x x k
Phương trình
sin 3 0 3
3
k
x x k x
Với
0
3
0; ,
2
3
x
x
x
x
x
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có 3 nghiệm
2
; ;
3 3
x
trên đoạn
0; .
Chọn C.
Câu 24: Với mọi
,
x
ta luôn có
1 sin 1.
x
Do đó, phương trình sin
x m
có nghiệm khi và chỉ khi
1 1.
m
Chọn C.
Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm của phương trình
cos .
x a
Phương trình có nghiệm khi
1.
a
Phương trình vô nghiệm khi
1.
a
Phương trình
cos 0 cos .
x m x m
Do đó, phương trình
cos
x m
vô nghiệm
1
1 .
1
m
m
m
Chọn A.
Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
cos .
x a
Phương trình có nghiệm khi
1.
a
Phương trình vô nghiệm khi
1.
a
Do đó, phương trình
cos 1
x m
có nghiệm khi và chỉ khi
1 1
m
1 1 1 2 0 2; 1;0 .
m
m m m

Chọn C.
Câu 27: Phương trình
cos 2 2 cos 2 2.
3 3
x m x m
Phương trình có nghiệm
1 2 1 3 1
m m
Trang 17
3; 2; 1 3 2 1 6.
m
S T

Chọn D.
Câu 28:
2
5
sin 2
3
m
PT x
có nghiệm
2
2
5
1 1 2 8
3
m
m
Kết hợp
2m m
có 2 giá trị nguyên của
m
. Chọn B.
| 1/17
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Loại 1: Phương trình sin x  m  Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  sin x  1với mọi x .  Nếu m  1
 phương trình có nghiệm  1 2 3 
- Với m đẹp, cụ thể m  0; ; ; ; 1    2 2 2   x    k2
Khi đó sin x  m  sin x  sin a  ,k   . x     k2  1 2 3 
- Với m không đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1  .  2 2 2   x  arcsin m  k2 Khi đó sin x  m  , k  .  
x    arcsin m  k2
 Loại 2: Phương trình cos x  m  Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  cos x 1 với mọi x.  Nếu m  1
 phương trình có nghiệm  1 2 3 
- Với m đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1  .  2 2 2   x     Khi đó k2
cos x  m  cos x  cos a  ,k     . x    k2  1 2 3 
- Với m không đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1    2 2 2       Khi đó x arccos m k2 cos x  m  , k  .   x  arccos m  k2
 Loại 3: Phương trình tan x  m   Điều kiện: x   k k . 2  1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó tan x  m  tan x  tan  x    k,k    .  3   1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó tan x  m  x  arctan m  k,k .  3 
 Loại 4: Phương trình cot x  m
 Điều kiện: x    k k . Trang 1  1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó cot x  m  cot x  cot  x    k,k    .  3   1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó cot x  m  x  arccot m  k ,k .  3 
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau    2    a) cos x      b) 2 cos 2x   3  0    4  2  6        2 c) 2 cos x   3  0   d) cos x      3   3  2 Lời giải:   3 x    2k   x    k2   2 3    a) 4 4 cos x cos            k   4  2 4  3   x    k 2 x     2k  2  4 4   5   2x    2k x   k  3 5     b) 6 6 2 PT  cos 2x     cos       k   6  2 6   5  2x     2k x    k  6 6  3      x    2k x    k2  3      c) 3 6 6 PT  cos x    cos       k     3  2 6     x 2      k x    k2    3 6  2      x    2k x   k2  2      d) 3 4 12 cos x    cos       k   3  2 4    7 x 2k       x   k2  3 4  12
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau       a) cos 2x   0   b) cos 4x   1    6   3        c) cos  x  1   d) sin 3x   0    5   3  Lời giải:        a) cos 2x 
 0  2x    k  x   k k      6  6 2 6 2       b) cos 4x 
 1  4x   2k  x   k k      3  3 12 2 Trang 2     4 c) cos
 x  1   x    2k  x   k2 k      5  5 5     4 d) cos
 x  1   x    2k  x    k2 k      5  5 5
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau  x      a) sin  1   b) sin  2x  1     2 4   6  c)  x   1 sin 3 1  d) x   2 cos 15  2 2 Lời giải:  x   x   3 a) sin 
 1     2k  x   k4 k      2 4  2 4 2 2       b) sin
 2x  1   2x    2k  x    k k       6  6 2 3     1 2 3x 1   2k x    k 1   c)  x   6 18 3 3 sin 3 1      k  2  5 5 1 2 3x 1 2k     x    k  6  18 3 3 2             d) x   x 15 45 k.360 x 60 k.360 cos 15      k  2
x 15  45  k.360 x  3  0  k.360
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau  x   3    1 a) sin      b) cos  2x      2 3  2  6  2 3 c) tan 2x   1  3 d) cot  0 3x 10   3 Lời giải:  x       k2   x  k4  x   3 a) 2 3 3 sin          10 k   2 3  2 x   4 x   k4    k2  3 2 3 3  2    2x   k2 x    k  1     b) 6 3 4 cos  2x         k   6  2  2 5 2x k2      x   k  6 3  12   1  c) tan 2x   1  3  2x 1 
 k  x    k k  3 6 2 2 3 50    d) cot 3x 10 
 3x 10  60  k.180  x   k60k     3  3  Trang 3
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau       a) sin 3x   1  sin  x  2 b) cos x   cos 2x       3   6        c) cos 2x   cos x   0     d)  0
sin x 120   cos 2x  0  3   3  Lời giải:   3 x     k x   x    a)  x    x   3 1 2 k2 2 sin 3 1 sin 2     k   
3x 1    x  2  k2  3   x      k   4 4 2      2x   x   k2 x    k2         b) 6 3 2 cos x   cos 2x          k   3   6      2x   x   k2 x   k  6 3  18             c) cos 2x   cos x   0  cos 2x   cos x           3   3   3   3      2 2x   x   k2 x    k2   3 3  3     k    2   2x x k2        x   k  3 3  3
d) sin  x 120  cos 2x  0  sin  x 120  cos 2
 x  sin  x 120  sin  2  x  90 x 120  2  x  90  k.360 x  70  k.180   k    
x 120  2x  90  k.360 x  2  10  k.360
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau       a) tan 3x   cot 2x      b)  2
tan x  2x  3  tan 2  4   6  1 1 c) cos x  d) 2 sin x  2 2 Lời giải:         7 k a) PT  tan 3x   tan
 2x  3x    2x  k  x   ,k        4   3  4 3 60 5
b) PT  x  x    k   x  2 2
 k  x   k   * 2 3 2 1 1, k   . 1 1 1 2  c) 2 PT  cos x 
 cos x   cos 2x    2x 
 k2  x   k ,k  2 4 2 3 3 1  k d) Ta có 2 2 sin x 
 2sin x 1  0  cos 2x  0  x   ,k  . 2 4 2 Trang 4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 3 cos x  2 3 tan x 1 a)  0 b)  0 2sin x 1 2cos x  3 Lời giải:  2 cos x   1 3 cos x 2   
a) Phương trình tương đương với 3  0    x  .  2sin x 1 1 s  in x   2  1 tan x    3 3 tan x 1  
b) Phương trình tương đương với  0    x   k , k  .  2cos x  3  3  6 cos x0;    2  
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau 3  cot x 2 4cos x  2sin x  5 a)  0 b)  0 2sin 2x  3 tan x  3 Lời giải: cot x  3 3  cot x   a) PT tương đương với  0    3   x   k , k  .  2sin 2x  3 sin 2x   0;  6   2   2 2 4cos x  2sin x  5 4  4sin x  2sin x  5 b) PT tương đương với  0   0 tan x  3 tan x  3 2  2
4sin x  2sin x 1  0 3
 sin x  sin x   1 2  0      x  tan x   3;cos x  0 
tan x   3;cos x  0
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau 2sin 2x 1 2 2 tan x  3 tan x  3 a)  0 b)  0 tan x 1 2cos x 1 Lời giải:    1 x   k 2sin 2x 1 s  in 2x   a) PT tương đương 6  0   2   k . tan x 1 7    tan x  1 x   k  6  x  x    3 tan 3 2 tan 3  0 tan x   x    k  b) PT tương dương 2      2 1     1 cos x    k x  cos x    3  2  2
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau Trang 5 3  2cos 2x 2cos 2x 1 a)  0 b)  0 1 2 sin 3x 3  tan x Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương  3  5 cos 2x   x    k 3 2cos 2x 2     12 5  0      x    k , k  1 2 sin3x 1 1 12 s  in3x  s  in3x   2  2 tan x  3 2cos 2x 1  
b) Phương trình tương đương  0    x    k. 1 3  tan x cos 2x   3  2    1
Ví dụ 11. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x    
trên đường tròn lượng giác  3  2 là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải:      2x    k2 x    k       Phương trình 3 6 12  sin 2x   sin       k .  3  6     2x  k 2      x   k  3 6  4 
Biểu diễn nghiệm x  
 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). 12  Biểu diễn nghiệm x 
 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4   12 0 s 0 s   12 Hình 1 Hình 2
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình. Chọn C.
Cách giải nhanh trắc nghiệm. 2
Ta đưa về dạng x    k 
 số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là n. n Trang 6   2  Xét x    k  x    k 
 có 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2   2  Xét x   k  x   k 
 có 2 vị trí biểu diễn. 4 4 2 2 cos 2x
Ví dụ 12. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
 0 . Mệnh đề nào sau đây là 0 1 sin 2x đúng?         3  3  A. x  0; . B. x  ; . C. x  ; . D. x  ; . 0      4  0  4 2    0  2 4  0  4    Lời giải:
Điều kiện 1 sin 2x  0  sin 2x  1. 2 cos 2x sin 2x  1 loai 2 2   Phương trình sin 2 xcos 2 x 1  0  cos 2x  0     1 sin 2x sin 2x  1   thoa man  
 sin 2x  1  2x    k2  x    k k . 2 4  1 Cho   k  0   k  . 4 4 3 3 
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k  1  x   ; . Chọn D. 4  4   
Ví dụ 13. Hỏi trên đoạn 2017;2017 , phương trình sin x  
1 sin x  2  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải: sin x  1  Phương trình  
 sin x  1  x    k2 k . sin x  2(vo nghiem) 2   2  017  2017   Theo giả thiết 2 2
2017    k2  2017   k  2 2 2 xap xi 320,765 321, 265 k k        k 320; 3  19;...;32  1 .
Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.    3
Ví dụ 14. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x 3x      4  2 bằng:     A. . B.  . C. . D.  . 9 6 6 9 Trang 7 Lời giải:    3x    k2  3        Ta có 4 3 sin 3x    sin 3x   sin        4  2  4  3    3x      k2  4 3  7  7 k 2 3x   k2 x    12  36 3     k . 11 11    k2 3x   k2 x    12  36 3  7 7 x  0  k    k  0  x   min 7 k2 TH1. Với Cho 24 36 x     . 36 3 7 17   x  0  k    k  1   x   max  24 36  11 11 x  0  k    k  0  x   min 11 k2 TH2. Với Cho 24 36 x     36 3 11 13   x  0  k    k  1   x   max  24 36 13 7
So sánh bốn nghiệm âm lớn nhất là x  
và nghiệm dương nhỏ nhất là x  . Khi đó tổng hai 36 36 13 7  nghiệm này bằng     . Chọn B. 36 36 6
Ví dụ 15. Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình  x   3 cos 5 45 
. Mệnh đề nào sau đây là 0 2 đúng? A. x  30 ;  0 B. x  45 ;  30 0   0   C. x  6  0 ;  4  5 D. x  9  0 ;  6  0 0   0   Lời giải: 3  x      k 
Ta có cos 5x  45   cos5x  45 5 45 30 360  cos30  2
5x  45  30 k360  5x  75  k360 x  15  k72   k    . 5x  15  k360 x  3  k72 5
TH1. Với x  15  k72  0  k    k  1   x  57 .  max 24 1
TH2. Với x  3  k72  0  k    k  1   x  69. max 24
So sánh 2 nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x  57 .  Chọn C.  x 
Ví dụ 16. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15  sin x  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  2  A. 290 X . B. 20 X . C. 220 X . D. 240 X . Trang 8 Lời giải:  x   x  Ta có cos 15  sin x  cos 15  cos     90 x  2   2 
 x 15  90 x  k360   x  50  k240 2      k   
 x      x x  210  k720 15 90  k360 2
Nhận thấy 290 X (do ứng với k  1của nghiệm x  50  k 240 ). Chọn A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2x  
Câu 1. Giải phương trình sin   0   .  3 3  2 k3
A. x  k k . B. x   k . 3 2   k3 C. x 
 k k . D. x   k . 3 2 2
Câu 2. Số nghiệm của phương trình  x   3 sin 2 40 
với 180  x  180 là 2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 3. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y  sin 3x và y  sin x bằng nhau? x  k2 x  k A.   k . B.    k . x   k2 x   k  4  4 2  
C. x  k k . D. x  k k . 4 2
Câu 4. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x  cos x  0 trên 0;2 . 5 A. T  3. B. T  .
C. T  2 . D. T   . 2       Câu 5. Trên khoảng ;2   , phương trình cos  2x  sin x   có bao nhiêu nghiệm?  2   6  A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 15 1 trên khoảng 90 ;  90 bằng A. 0 B. 30 C. 30 D. 60
Câu 7. Giải phương trình cot 3x   1   3. 1 5  1   A. x    k k . B. x    k k . 3 18 3 3 18 3 Trang 9 5  1  C. x 
 k k . D. x    k k . 18 3 3 6   
Câu 8. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y  tan  x 
 và y  tan 2x bằng nhau?  4      A. x   k k . B. x   k k . 4 2 12 3     3m 1  C. x 
 k k . D. x   k k  ; k, m   .   12 12 3  2  3   
Câu 9. Số nghiệm của phương trình tan x  tan trên khoảng ; 2   là 11  4  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x  tan x  0 trên nửa khoảng 0;  bằng 3 5 A.  . B. . C. 2 . D. . 2 2
Câu 11. Giải phương trình tan 3x cot 2x  1.    A. x  k k .
B. x    k k . 2 4 2
C. x  k k . D. Vô nghiệm.       Câu 12. Cho tan x  1  0   . Tính sin 2x  .    2   6     1    3 A. sin 2x      . B. sin 2x   .    6  2  6  2    3    1 C. sin 2x    .   D. sin 2x   .    6  2  6  2
Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x  1? 2 2 A. sin x  . B. cos x  . C. cot x  1. D. 2 cot x  1. 2 2
Câu 14. Giải phương trình cos 2x tan x  0.    x   k A. x  k k . B.  2 k . 2  x  k    x   k  C.  4 2 k  . D. x   k k .  2 x  k
Câu 15. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình tan x  tan 3x . Trang 10 171 190 A. 55 . B. . C. 45 . D. . 2 2
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 3cos x 1  0 trên đoạn 0;4  là 15 17 A. S  . B. S  6 . C. S  . D. S  8. 2 2
Câu 17. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình tan x  t an3x . 171 190 A. 55 B. . C. 45 . D. . 2 2
Câu 18. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? 3 A. 2sin 2x  3  0. B. cos x 1  0. 2 C. 2sin x  3  0. D. sin x cos x 1  0.
Câu 19. Khẳng định nào đúng?   A. cot x  1  x   k2. B. cot 2x  0  x   k. 4 4 3
C. sin x  0  x  k2 . D. sin 2x  1  x    k. 4     3 
Câu 20. Cho phương trình sin 2x   sin x    
 . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;  của  4   4  phương trình trên. 7 3  A. . B. . C. . D. . 2 2 4
Câu 21. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?    2 3 A. tan x  99 . B. cos 2x     . C. cot 2018x  2017 . D. sin 2x   .  2  3 4
Câu 22. Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn 0;2  là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. s in3x
Câu 23. Số nghiệm của phương trình
 0 trên đoạn 0;  là 1 cos x A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x  m có nghiệm. A. m  1. B. m  1. C. 1  m  1. D. m  1.
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x  m  0 vô nghiệm. A. m  ;    1  1;. B. m 1;. C. m 1;  1 . D. m  ;    1 .
Câu 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x  m 1 có nghiệm? Trang 11 A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.   
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x   m  2   có  3 
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S . A. T  6. B. T  3. C. T  2. D. T  6.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
3sin 2x  m  5  0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7. LỜI GIẢI CHI TIẾT  2x   2x   k3 Câu 1: Ta có sin   0    k  x   k    . Chọn D.  3 3  3 3 2 2
2x  40  60  k.360 x  50  k.180
Câu 2: Phương trình    
2x  40 180  60  k.360 x  80o  k.180 x  130;50 Mặt khác 180 x 180       . Chọn B. x  100 ;80 x  k 3x  x  k2 Câu 3: Có sin 3x sin x      k k   .Chọn B. 3x    x  k2 x    4 2   
Câu 4: Ta có sin 2x  cos x  0  sin 2x  cos x  sin 2x  sin  x    2      k2 2x   x  k2 x    2  6 3           2x     x  k2   x   k2   2    2   k2  1 11 0    2   k   k 0;1;  2  
Vì x 0;2 , suy ra 6 3 4 4     1 3 0   k2  2
  k   k   0  2  4 4  5 3 
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2  là ; ; ;  T  3. Chọn A. 6 6 2 2          Câu 5: Ta có cos  2x  sin x  cos  2x  cos  x        6   6   2       2x   x  k2 x    k2  6 2  3     k .     2 k2 2x x k 2         x    6  2    9 3 Trang 12    7 5    k2  2 k    k     k  1      Vì x  ; 2 2 3 6 12   , suy ra     2   2 k2 8 5    2  k    k     k  2;  1  2 9 3  3 12   
Vậy phương trình đã có 3 nghiệm trên khoảng ; 2 .   Chọn A.  2 
Câu 6: Ta có tan 2x 15  1 2x 15 45 k.180 x 30 k.90          Do x          4 2 90 ;90   9
 0  30  k.90  90    k  3 3 k  1  x  6  0 k      6
 0  30  30. Chọn B. k  0  x  30   
Câu 7: Ta có cot 3x  
1   3  cot 3x   1  cot     6   1    
 3x 1    k  x    k k  k 1 5 1  x   . Chọn A. 6 3 18 3 3 18           cos   0 x m x       Câu 8: Điều kiện: 4   4     x   m .   4 2 cos2x  0 x   m  4 2   
Xét phương trình hoành độ giao điểm: tan 2x  tan  x    4    
 2x   x  k  x   k k . 4 12 3     3m 1
Đối chiếu điều kiện, ta cần có  k   m  k  k,m. 12 3 4 2 2    3m 1 
Vậy phương trình có nghiệm x   k k  ; k, m   .   Chọn D. 12 3  2  3 3 Câu 9: Ta có tan x  tan  x   k k . 11 11     3 Do  ; 2      2 CASIO
 0,027  1,72 k x k k    k  0;1 .   Chọn B. xap xi    4  4 11 k
Câu 10: Ta có tan 5x  tan x  0  tan 5x  tan x  5x  x  k  x  k . 4 k
Vì x 0;  , suy ra 0  0 k 4 k       k  0;1;2;  3 . 4    3 
Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0;  là 0; ; ; .  4 2 4  Trang 13   3 3 Suy ra 0     . Chọn B. 4 2 4 2      cos3  0 x k x  Câu 11: Điều kiện 6 3    k . s  in 2x  0  x  k  2 1 Phương trình  tan 3x 
 tan 3x  tan 2x  3x  2x  k  x  k k . cot 2x 
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x  k không thỏa mãn x  k . 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D.      
Câu 12: Phương trình tan x  1  0  tan x  1      2   2    
 x    k  x    k k . 2 4 4   2
Suy ra 2x    k2  2x     k2 k  Z 2 6 3     2     3 Do đó sin 2x   sin   k2   sin    .       Chọn C.  6   3   3  2 
Câu 13: Ta có tan x  1  x   k k . 4 
Xét đáp án C, ta có cot x  1  x 
 k k . Chọn C. 4 
Câu 14: Điều kiện: cos x  0  x   k k . 2 cos 2x  0 Phương trình cos 2 . x tan x  0   tan x  0      2x   k x   k  2    4 2 k  . Chọn C.   x  k x  k k
Câu 15: Phương trình tan 3x  tan x  3x  x  k  x  k  2 k 60
Ta có 0  x  30  0   30  0  k 
mà k    k  0;1;...;1  9 2  19  k 
Vậy tổng các nghiệm cần tính là   95.   Chọn D. k 0  2  1 1
Câu 16: Ta có 3cos x 1  0  cos x   x   arccos  k2 k . 3 3 Trang 14  1 x  arccos 1  TH1. Với x   0;4  x   k    k    k   3 arccos 2 0;1 3  1 x  arccos  2  3  1 x   arccos  2 1  TH2. Với x   0;4  x    k    k    k   3 arccos 2 1; 2 3  1 x  arccos  4  3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là S  8. Chọn D. cos x  0 Câu 17: Điều kiện 3 
 4cos x  3cos x  0  cos x 2 4cos x  3  0 cos3x  0 sin x sin 3x Khi đó phương trình    sin . x cos 3x  cos . x sin 3x cos x cos 3x
 sin x cos3x  cos xsin 3x  0  sin 3x  x  0  sin 2x  0  2sin xcos  0 cos x0
sin x  0  x  k (thỏa mãn)
Kết hợp 0;30  0  k  30  0  k  9
Tổng các nghiệm của phương trình là 0 1 2 ... 9  45. Chọn C. 3
Câu 18: Phương trình 2sin 2x  3  0  sin 2x  có nghiệm. 2 3 2 Phương trình cos x 1  0  cos x  1 vô nghiệm. 2 3 3
Phương trình 2sin x  3  0  sin x  1 vô nghiệm. 2 1
Phương trình sin x cos x 1  0  sin 2x  1  sin 2x  2 vô nghiệm. Chọn A. 2    
Câu 19: Ta có cot x  1  x 
 k , cos 2x  0  2x   k  x   k . 4 2 4 2   3
sin x  0  x  k và sin 2x  1  2x 
 k2  x   k  x    k. Chọn D. 2 4 4   3 2x   x   k2 x    k2 x    k2  Câu 20: Phương trình 4 4         2  3   3x   k2 x   k  2x     x   k2  2  6 3  4 4  2 1
Với x 0;  ta giải điều kiện 0   k       k 1, 25  k  0;  1 6 3 4  5
Suy ra nghiệm của phương trình là , 6 6 Trang 15
Tổng các nghiệm của phương trình là . Chọn B. 2    2 Câu 21: Do
 1 nên phương trình cos 2x     vô nghiệm. Chọn B. 3  2  3   x   k2 3  Câu 22: Phương trình 3
2sin x  3  0  sin x    2 2   x   k2  3    Kết hợp x    2 0; 2  x   ; . Chọn D.  3 3 
Câu 23: Điều kiện cos x  1  x  k2 k
Phương trình  sin 3x  0  3x  k  x  3 x  0   x   2  Với x     3 0;  , 
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có 3 nghiệm x   ; ;  trên đoạn 2   3 3 x    3 x   0; . Chọn C.
Câu 24: Với mọi x  , ta luôn có 1 sin x 1.
Do đó, phương trình sin x  m có nghiệm khi và chỉ khi 1  m  1. Chọn C.
Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm của phương trình cos x  . a
 Phương trình có nghiệm khi a  1.
 Phương trình vô nghiệm khi a  1.
Phương trình cos x  m  0  cos x  . m m  1
Do đó, phương trình cos x  m vô nghiệm  m  1  .  Chọn A. m 1
Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x  . a
 Phương trình có nghiệm khi a  1.
 Phương trình vô nghiệm khi a  1.
Do đó, phương trình cos x  m 1 có nghiệm khi và chỉ khi m 1  1 1 1 1 2 0 m m m 
           m2; 1  ;  0 . Chọn C.      
Câu 27: Phương trình cos 2x   m  2  cos 2x   m  2.      3   3 
Phương trình có nghiệm  1  m  2  1  3   m  1  Trang 16 m   S   3  ; 2  ;  1  T   3     2      1  6. Chọn D. 2 m  5 2 m  5 Câu 28: PT  sin 2x  có nghiệm 2  1   1  2  m  8 3 3
Kết hợp m    m   
2  có 2 giá trị nguyên của m . Chọn B. Trang 17