Trang 1
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình
sin
x m
Nếu 1m

phương trình vô nghiệm, vì
1 sin 1
x
với mọi
x
.
Nếu 1m
phương trình có nghiệm
- Với m đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
Khi đó
2
sin sin sin ,
2
x k
x m x a k
x k
.
- Với m không đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
.
Khi đó
arcsin 2
sin , .
arcsin 2
x m k
x m k
x m k
Loại 2: Phương trình
cos
x m
Nếu 1m

phương trình vô nghiệm, vì
1 cos 1
x
với mọi x.
Nếu 1m
phương trình có nghiệm
- Với m đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
.
Khi đó
2
cos cos cos ,
2
x k
x m x a k
x k
.
- Với m không đẹp, cụ thể
1 2 3
0; ; ; ; 1
2 2 2
m
Khi đó
arccos 2
cos , .
arccos 2
x m k
x m k
x m k
Loại 3: Phương trình
tan
x m
Điều kiện:
.
2
x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
tan tan tan , .
x m x x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
tan arctan , .
x m x m k k
Loại 4: Phương trình
cot
x m
Điều kiện:
.
x k k
Trang 2
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
cot cot cot , .
x m x x k k
Nếu
1
0; ; 1; 3
3
m
. Khi đó
cot arccot , .
x m x m k k
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2
cos
4 2
x
b)
2cos 2 3 0
6
x
c)
2cos 3 0
3
x
d)
2
cos
3 2
x
Lời giải:
a)
3
2
2
2 3
4 4
cos cos
3
4 2 4
2
2
2
4 4
x k
x k
x k
x k
x k
b)
5
2 2
3 5
6 6 2
cos 2 cos
5
6 2 6
2 2
3
6 6
x k
x k
PT x k
x kx k
c)
2
2
3
3 6 6
cos cos
3 2 6
2
2
3 6
2
x k
x k
PT x k
x k
x k
d)
2
2
2
3 4
12
cos cos
7
3 2 4
2 2
3 4 12
x k
x k
x k
x k x k
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
cos 2 0
6
x
b)
cos 4 1
3
x
c)
cos 1
5
x
d)
sin 3 0
3
x
Lời giải:
a)
cos 2 0 2
6 6 2 6 2
x x k x k k
b)
cos 4 1 4 2
3 3 12 2
x x k x k k
Trang 3
c)
4
cos 1 2 2
5 5 5
x x k x k k
d)
4
cos 1 2 2
5 5 5
x x k x k k
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
sin 1
2 4
x
b)
sin 2 1
6
x
c)
1
sin 3 1
2
x
d)
2
cos 15
2
x
Lời giải:
a)
3
sin 1 2 4
2 4 2 4 2 2
x x
k x k k
b)
sin 2 1 2 2
6 6 2 3
x x k x k k
c)
1 2
3 1 2
1
6 18 3 3
sin 3 1
5 5 1 2
2
3 1 2
6 18 3 3
x k x k
x k
x k x k
d)
2
15 45 .360 60 .360
cos 15
2
15 45 .360 30 .360
x k x k
x k
x k x k
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
a)
3
sin
2 3 2
x
b)
1
cos 2
6 2
x
c)
tan 2 1 3
x d)
0
3
cot 3 10
3
x
Lời giải:
a)
2
4
3
2 3 3
sin
10
4
2 3 2
4
2
3
2 3 3
x
k
x k
x
k
x
x k
k
b)
2
2 2
1
6 3
4
cos 2
2 5
6 2
2 2
6 3 12
x k
x k
x k
x k x k
c)
1
tan 2 1 3 2 1
3 6 2 2
x x k x k k
d)
3 50
cot 3 10 3 10 60 .180 60
3 3
x x k x k k
Trang 4
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
sin 3 1 sin 2
x x
b)
cos cos 2
3 6
x x
c)
cos 2 cos 0
3 3
x x
d)
0
sin 120 cos 2 0
x x
Lời giải:
a)
3
3 1 2 2
2
sin 3 1 sin 2
3
3 1 2 2
4 4 2
x k
x x k
x x k
x x k
x k
b)
2 2
2
6 3 2
cos cos 2
3 6
2 2
18
6 3
x x k
x k
x x k
x kx x k
c)
cos 2 cos 0 cos 2 cos
3 3 3 3
x x x x
2
2 2 2
3 3 3
2
2 2
3 3 3
x x k x k
k
x x k x k
d)
sin 120 cos 2 0 sin 120 cos 2 sin 120 sin 2 90
x x x x x x
120 2 90 .360 70 .180
120 2 90 .360 210 .360
x x k x k
k
x x k x k
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
tan 3 cot 2
4 6
x x
b)
2
tan 2 3 tan 2
x x
c)
1
cos
2
x
d)
2
1
sin
2
x
Lời giải:
a)
7
tan 3 tan 2 3 2 ,
4 3 4 3 60 5
k
PT x x x x k x k
b)
2
2 *
2 3 2 1 1,PT x x k x k x k k
.
c)
2
1 1 1 2
cos cos cos2 2 2 ,
2 4 2 3 3
PT x x x x k x k k
d) Ta có
2 2
1
sin 2sin 1 0 cos 2 0 ,
2 4 2
k
x x x x k
.
Trang 5
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
a)
3 cos 2
0
2sin 1
x
x
b)
3 tan 1
0
2cos 3
x
x
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với
2
cos 1
3 cos 2
3
0 .
2sin 1
1
sin
2
x
x
x
x
x
b) Phương trình tương đương với
1
tan
3
3 tan 1
0 , .
6
3
2cos 3
cos 0;
2
x
x
x k k
x
x
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a)
3 cot
0
2sin 2 3
x
x
b)
2
4cos 2sin 5
0
tan 3
x x
x
Lời giải:
a) PT tương đương với
cot 3
3 cot
0 , .
3
6
sin 2 0;
2sin 2 3
2
x
x
x k k
x
x
b) PT tương đương với
2 2
4cos 2sin 5 4 4sin 2sin 5
0 0
tan 3 tan 3
x x x x
x x
2
2
3sin sin 1 2 0
4sin 2sin 1 0
tan 3;cos 0
tan 3;cos 0
x x
x x
x
x x
x x
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a)
2sin 2 1
0
tan 1
x
x
b)
2
2 tan 3 tan 3
0
2cos 1
x x
x
Lời giải:
a) PT tương đương
1
sin 2
2sin 2 1
6
0 .
2
7
tan 1
tan 1
6
x k
x
x
k
x
x
x k
b) PT tương dương
3
tan 3 2tan 3 0
tan
2
2
1
1
cos
cos
3
2
2
x x
x k
x
x k
x
x
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
Trang 6
a)
3 2cos2
0
1 2 sin 3
x
x
b)
2cos 2 1
0
3 tan
x
x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương
5
3
cos2
3 2cos2 5
12
2
0 ,
1
12
1
1 2 sin3
sin3
sin3
2
2
x k
x
x
x k k
x
x
x
b) Phương trình tương đương
tan 3
2cos 2 1
0 .
1
3
3 tan
cos2
2
x
x
x k
x
x
dụ 11. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
1
sin 2
3 2
x
trên đường tròn lượng giác
là?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
Lời giải:
Phương trình
2 2
3 6
12
sin 2 sin .
3 6
2 2
3 6 4
x k
x k
x k
x k x k
Biểu diễn nghiệm
12
x k
trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).
Biểu diễn nghiệm
4
x k
trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).
12
0
s
0
s
12
Hình 1 Hình 2
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình. Chọn C.
Cách giải nhanh trắc nghiệm.
Ta đưa về dạng
2
x k
n
số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là n.
Trang 7
Xét
2
12 12 2
x k x k
có 2 vị trí biểu diễn.
Xét
2
4 4 2
x k x k
có 2 vị trí biểu diễn.
dụ 12. Gọi
0
x
nghiệm dương nhnhất của phương trình
2cos2
0
1 sin 2
x
x
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
0
0;
4
x
. B.
0
;
4 2
x
. C.
0
3
;
2 4
x
. D.
0
3
;
4
x
.
Lời giải:
Điều kiện
1 sin 2 0 sin 2 1.
x x
Phương trình
2 2
sin 2 cos 2 1
sin 2 1 loai
2cos2
0 cos 2 0
1 sin 2
sin 2 1 thoa man
x x
x
x
x
x
x

sin 2 1 2 2 .
2 4
x x k x k k
Cho
1
0
4 4
k k
.
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với
3 3
1 ;
4 4
k x
. Chọn D.
dụ 13. Hỏi trên đoạn
2017;2017
, phương trình
sin 1 sin 2 0
x x
có tất cả bao nhiêu
nghiệm?
A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.
Lời giải:
Phương trình
sin 1
sin 1 2
2
sin 2(vo nghiem)
x
x x k k
x
.
Theo giả thiết
2017 2017
2 2
2017 2 2017
2 2 2
k k
xap xi
320,765 321,265 320; 319;...;321 .
k
k k

Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của
k
tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
d14. Tổng nghiệm âm lớn nhất nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3
sin 3
4 2
x x
bằng:
A.
9
. B.
6
. C.
6
. D.
9
.
Trang 8
Lời giải:
Ta có
3 2
3
4 3
sin 3 sin 3 sin
4 2 4 3
3 2
4 3
x k
x x
x k
7 2
7
3 2
36 3
12
.
11 11 2
3 2
12 36 3
k
x
x k
k
k
x k x
TH1. Với
min
max
7 7
0 0
7 2
24 36
.
7 17
36 3
0 1
24 36
Cho
x k k x
k
x
x k k x
TH2. Với
min
max
11 11
0 0
11 2
24 36
11 13
36 3
0 1
24 36
Cho
x k k x
k
x
x k k x

So sánh bốn nghiệm âm lớn nhất
13
36
x
nghiệm dương nhỏ nhất
7
.
36
x
Khi đó tổng hai
nghiệm này bằng
13 7
.
36 36 6
Chọn B.
dụ 15. Gọi
0
x
nghiệm âm lớn nhất của phương trình
3
cos 5 45
2
x . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A.
0
30 ;0
x
B.
0
45 ; 30
x
C.
0
60 ; 45
x
D.
0
90 ; 60
x
Lời giải:
Ta có
5 45 30 360
3
cos 5 45 cos 5 45 cos30
5 45 30 360
2
x k
x x
x k
5 75 360 15 72
.
5 15 360 3 72
x k x k
k
x k x k
TH1. Với
max
5
15 72 0 1 57 .
24
x k k k x
TH2. Với
max
1
3 72 0 1 69 .
24
x k k k x
So sánh 2 nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
57 .
x
Chọn C.
Ví dụ 16. Gọi
X
là tập nghiệm của phương trình
cos 15 sin
2
x
x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
290
X
. B.
20
X
. C.
220
X
. D.
240
X
.
Trang 9
Lời giải:
Ta có
cos 15 sin cos 15 cos 90
2 2
x x
x x
15 90 360
50 240
2
210 720
15 90 360
2
x
x k
x k
k
x x k
x k
Nhận thấy
290
X
(do ứng với
1
k
của nghiệm
50 240
x k
). Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giải phương trình
2
sin 0
3 3
x
.
A.
.
x k k
B.
2 3
3 2
k
x k
.
C.
.
3
x k k
D.
3
.
2 2
k
x k
Câu 2. Số nghiệm của phương trình
3
sin 2 40
2
x
với
180 180
x
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 3. Với những giá trị nào của
x
thì giá trị của các hàm số
sin 3
y x
sin x
y
bằng nhau?
A.
2
.
2
4
x k
k
x k
B.
.
4 2
x k
k
x k
C.
.
4
x k k
D.
.
2
x k k
Câu 4. Tính tổng
T
các nghiệm của phương trình
sin 2 cos 0
x x
trên
0;2 .
A.
3 .
T
B.
5
.
2
T
C.
2 .
T
D.
.
T
Câu 5. Trên khoảng
;2
2
, phương tnh
cos 2 sin
6
x x
có bao nhiêu nghiệm?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình
tan 2 15 1
x
trên khoảng
90 ;90
bằng
A.
0
B.
30
C.
30
D.
60
Câu 7. Giải phương trình
cot 3 1 3.
x
A.
1 5
.
3 18 3
x k k
B.
1
.
3 18 3
x k k
Trang 10
C.
5
.
18 3
x k k
D.
1
.
3 6
x k k
Câu 8. Với những giá trị nào của
x
thì giá trị của các hàm số
tan
4
y x
tan 2
y x
bằng nhau?
A.
.
4 2
x k k
B.
.
12 3
x k k
C.
.
12
x k k
D.
3 1
; , .
12 3 2
m
x k k k m
Câu 9. Số nghiệm của phương trình
3
tan tan
11
x
trên khoảng
;2
4
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình
tan 5 tan 0
x x
trên nửa khoảng
0;
bằng
A.
. B.
3
2
. C.
2
. D.
5
.
2
Câu 11. Giải phương trình
tan 3 cot 2 1.
x x
A.
.
2
x k k
B.
.
4 2
x k k
C.
.
x k k
D. Vô nghiệm.
Câu 12. Cho
tan 1 0
2
x
. Tính
sin 2 .
6
x
A.
1
sin 2
6 2
x
. B.
3
sin 2 .
6 2
x
C.
3
sin 2 .
6 2
x
D.
1
sin 2 .
6 2
x
Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình
tan 1
x
?
A.
2
sin .
2
x
B.
2
cos .
2
x
C.
cot 1.
x
D.
2
cot 1.
x
Câu 14. Giải phương trình
cos 2 tan 0.
x x
A.
.
2
x k k
B.
.
2
x k
k
x k
C.
.
4 2
x k
k
x k
D.
.
2
x k k
Câu 15. Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình
tan tan3x
x
.
Trang 11
A.
55
. B.
171
.
2
C.
45 .
D.
190
.
2
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình
3cos 1 0
x
trên đoạn
0;4
A.
15
.
2
S
B.
6 .
S
C.
17
.
2
S
D.
8 .
S
Câu 17. Tính tổng các nghiệm trong đoạn
0;30
của phương trình
tan t an3
x x
.
A.
55
B.
171
.
2
C.
45 .
D.
190
.
2
Câu 18. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
A.
2sin 2 3 0.
x
B.
3
cos 1 0.
2
x
C.
2sin 3 0.
x
D.
sin cos 1 0.
x x
Câu 19. Khẳng định nào đúng?
A.
cot 1 2 .
4
x x k
B.
cot 2 0 .
4
x x k
C.
sin 0 2 .
x x k
D.
3
sin 2 1 .
4
x x k
Câu 20. Cho phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
. Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;
của
phương trình trên.
A.
7
.
2
B.
.
C.
3
.
2
D.
.
4
Câu 21. Trong các phương trình sau, phương trìnho vô nghiệm?
A.
tan 99
x
. B.
2
cos 2
2 3
x
. C.
cot 2018 2017
x
. D.
3
sin 2
4
x
.
Câu 22. Số nghiệm của phương trình
2sin 3 0
x
trên đoạn
0;2
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 23. Số nghiệm của phương trình
sin3
0
1 cos
x
x
trên đoạn
0;
A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
sin
x m
có nghiệm.
A.
1.
m
B.
1.
m
C.
1 1.
m
D.
1.
m
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đphương trình
cos 0
x m
nghiệm.
A.
; 1 1; .
m
 
B.
1; .
m

C.
1;1 .
m D.
; 1 .
m

Câu 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos 1
x m
có nghiệm?
Trang 12
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos 2 2
3
x m
nghiệm. Tính tổng
T
của các phần tử trong
S
.
A.
6.
T
B.
3.
T
C.
2.
T
D.
6.
T
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
3sin 2 5 0
x m
có nghiệm?
A. 6. B. 2. C. 1. D. 7.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Ta có
2 2 3
sin 0 .
3 3 3 3 2 2
x x k
k x k
Chọn D.
Câu 2: Phương trình
2 40 60 .360
2 40 180 60 .360
x k
x k
50 .180
80 .180
o
x k
x k
Mặt khác
180 180
x
130 ;50
.
100 ;80
x
x

Chọn B.
Câu 3:
3 2
sin 3 sin x .
3 2
4 2
x k
x x k
x k
k
x x k
x
Chọn B.
Câu 4: Ta có
sin 2 cos 0 sin 2 os sin 2 sin
2
x x x c x x x
2
2 2
2
6 3
2 2
2
2
2
k
x x k
x
x x k
x k
0;2
x
, suy ra
2
1 11
0 2
0;1;2
6 3 4 4
1 3
0
0 2 2
4 42
k
k k
k k
k
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn
0;2
5 3
; ; ; 3 .
6 6 2 2
T
Chọn A.
Câu 5: Ta có
cos 2 sin cos 2 cos
6 6 2
x x x x
2 2
2
6 2
3
.
2 2
2 2
6 2
9 3
x x k
x k
k
k
x x k
x
Trang 13
;2
2
x
, suy ra
7 5
2 2 1
2 3 6 12
2 2 8 5
2 2; 1
2 9 3 3 12
k
k
k k k
k
k k


Vậy phương trình đã có 3 nghiệm trên khoảng
;2 .
2
Chọn A.
Câu 6: Ta có
tan 2 15 1 2 15 45 .180 30 .90
x x k x k
Do
4 2
90 ;90 90 30 .90 90
3 3
x k k

1 60
60 30 30 .
0 30
k
k x
k x

Chọn B.
Câu 7: Ta có
cot 3 1 3 cot 3 1 cot
6
x x
1
1 1 5
3 1 .
6 3 18 3 3 18
k
x k x k k x
 Chọn A.
Câu 8: Điều kiện:
cos 0
4
.
4
4 2
cos2 0
4 2
x m
x
x m
x m
x
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
tan 2 tan
4
x x
2 .
4 12 3
x x k x k k
Đối chiếu điều kiện, ta cần có
3 1
, .
12 3 4 2 2
m
k m k k m
Vậy phương trình có nghiệm
3 1
; , .
12 3 2
m
x k k k m
Chọn D.
Câu 9: Ta có
3 3
tan tan .
11 11
x x k k
Do
xap xi
3
;2 2 0,027 1,72 0;1 .
4 4 11
CASIO k
x k k k

Chọn B.
Câu 10: Ta có
tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 .
4
k
x x x x x x k x k
0;
x
, suy ra
0 0 4 0;1;2;3 .
4
k
k
k k

Suy ra các nghiệm của phương trình trên
0;
3
0; ; ; .
4 2 4
Trang 14
Suy ra
3 3
0 .
4 2 4 2
Chọn B.
Câu 11: Điều kiện
cos3 0
6 3
.
sin 2 0
2
x k
x
k
x
x k
Phương trình
1
tan3 tan 3 tan 2 3 2 .
cot 2
x x x x x k x k k
x
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm
x k
không thỏa mãn
.
2
x k
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D.
Câu 12: Phương trình
tan 1 0 tan 1
2 2
x x
.
2 4 4
x k x k k
Suy ra
2
2 k2 2 k2 k Z
2 6 3
x x
Do đó
2 3
sin 2 sin 2 sin .
6 3 3 2
x k
Chọn C.
Câu 13: Ta có
tan 1 .
4
x x k k
Xét đáp án C, ta có
cot 1 .
4
x x k k
Chọn C.
Câu 14: Điều kiện:
cos 0 .
2
x x k k
Phương trình
cos2 0
cos2 .tan 0
tan 0
x
x x
x
2
.
2 4 2
x k x k
k
x k x k
Chọn C.
Câu 15: Phương trình
tan 3 tan 3
2
k
x x x x k x k
Ta có
60
0 30 0 30 0
2
k
x k
0;1;...;19
k k
Vậy tổng các nghiệm cần tính là
19
0
95 .
2
k
k
Chọn D.
Câu 16: Ta có
1 1
3cos 1 0 cos arccos 2 .
3 3
x x x k k
Trang 15
TH1. Với
0;4
1
arccos
1
3
arccos 2 0;1
1
3
arccos 2
3
x
k
x
x k k
x

TH2. Với
0;4
1
arccos 2
1
3
arccos 2 1;2
1
3
arccos 4
3
x
k
x
x k k
x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là
8 .
S
Chọn D.
Câu 17: Điều kiện
3 2
cos 0
4cos 3cos 0 cos 4cos 3 0
cos3 0
x
x x x x
x
Khi đó phương trình
sin sin 3
sin .cos3 cos .sin 3
cos cos3
x x
x x x x
x x
sin cos3 cos sin 3 0 sin 3 0 sin 2 0 2sin cos 0
x x x x x x x x
cos 0
sin 0
x
x x k
 (thỏa mãn)
Kết hợp
0;30 0 30 0 9
k k
Tổng các nghiệm của phương trình là
0 1 2 ... 9 45 .
Chọn C.
Câu 18: Phương trình
3
2sin 2 3 0 sin 2
2
x x có nghiệm.
Phương trình
3 2
cos 1 0 cos 1
2
3
x x
vô nghiệm.
Phương trình
3
2sin 3 0 sin 1
2
x x
vô nghiệm.
Phương trình
1
sin cos 1 0 sin 2 1 sin 2 2
2
x x x x
vô nghiệm. Chọn A.
Câu 19: Ta có
cot 1 ,
4
x x k
cos 2 0 2 .
2 4 2
x x k x k
sin 0
x x k
3
sin 2 1 2 2 .
2 4 4
x x k x k x k
Chọn D.
Câu 20: Phương trình
3
2
2
2 2
4 4
2
3
3 2
2 2
6 3
2
4 4
x k
x k
x x k
x k
x k
x x k
Với
0;
x
ta giải điều kiện
2 1
0 1,25 0;1
6 3 4
k k k
Suy ra nghiệm của phương trình là
5
,
6 6
Trang 16
Tổng các nghiệm của phương trình là
.
Chọn B.
Câu 21: Do
2
1
3
nên phương trình
2
cos 2
2 3
x
vô nghiệm. Chọn B.
Câu 22: Phương trình
2
3
3
2sin 3 0 sin
2
2
2
3
x k
x x
x k
Kết hợp
2
0;2 ; .
3 3
x x
Chọn D.
Câu 23: Điều kiện
cos 1 2
x x k
Phương trình
sin 3 0 3
3
k
x x k x
Với
0
3
0; ,
2
3
x
x
x
x
x
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có 3 nghiệm
2
; ;
3 3
x
trên đoạn
0; .
Chọn C.
Câu 24: Với mọi
,
x
ta luôn
1 sin 1.
x
Do đó, phương trình sin
x m
có nghiệm khi và chỉ khi
1 1.
m
Chọn C.
Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm của phương trình
cos .
x a
Phương trình có nghiệm khi
1.
a
Phương trình vô nghiệm khi
1.
a
Phương trình
cos 0 cos .
x m x m
Do đó, phương trình
cos
x m
vô nghiệm
1
1 .
1
m
m
m
Chọn A.
Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
cos .
x a
Phương trình có nghiệm khi
1.
a
Phương trình vô nghiệm khi
1.
a
Do đó, phương trình
cos 1
x m
có nghiệm khi và chỉ khi
1 1
m
1 1 1 2 0 2; 1;0 .
m
m m m

Chọn C.
Câu 27: Phương trình
cos 2 2 cos 2 2.
3 3
x m x m
Phương trình có nghiệm
1 2 1 3 1
m m
Trang 17
3; 2; 1 3 2 1 6.
m
S T

Chọn D.
Câu 28:
2
5
sin 2
3
m
PT x
có nghiệm
2
2
5
1 1 2 8
3
m
m
Kết hợp
2m m
có 2 giá trị nguyên của
m
. Chọn B.

Preview text:

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Loại 1: Phương trình sin x  m  Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  sin x  1với mọi x .  Nếu m  1
 phương trình có nghiệm  1 2 3 
- Với m đẹp, cụ thể m  0; ; ; ; 1    2 2 2   x    k2
Khi đó sin x  m  sin x  sin a  ,k   . x     k2  1 2 3 
- Với m không đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1  .  2 2 2   x  arcsin m  k2 Khi đó sin x  m  , k  .  
x    arcsin m  k2
 Loại 2: Phương trình cos x  m  Nếu m  1 
 phương trình vô nghiệm, vì 1  cos x 1 với mọi x.  Nếu m  1
 phương trình có nghiệm  1 2 3 
- Với m đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1  .  2 2 2   x     Khi đó k2
cos x  m  cos x  cos a  ,k     . x    k2  1 2 3 
- Với m không đẹp, cụ thể m  0; ; ;  ; 1    2 2 2       Khi đó x arccos m k2 cos x  m  , k  .   x  arccos m  k2
 Loại 3: Phương trình tan x  m   Điều kiện: x   k k . 2  1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó tan x  m  tan x  tan  x    k,k    .  3   1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó tan x  m  x  arctan m  k,k .  3 
 Loại 4: Phương trình cot x  m
 Điều kiện: x    k k . Trang 1  1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó cot x  m  cot x  cot  x    k,k    .  3   1   Nếu m  0; ; 1
 ; 3. Khi đó cot x  m  x  arccot m  k ,k .  3 
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau    2    a) cos x      b) 2 cos 2x   3  0    4  2  6        2 c) 2 cos x   3  0   d) cos x      3   3  2 Lời giải:   3 x    2k   x    k2   2 3    a) 4 4 cos x cos            k   4  2 4  3   x    k 2 x     2k  2  4 4   5   2x    2k x   k  3 5     b) 6 6 2 PT  cos 2x     cos       k   6  2 6   5  2x     2k x    k  6 6  3      x    2k x    k2  3      c) 3 6 6 PT  cos x    cos       k     3  2 6     x 2      k x    k2    3 6  2      x    2k x   k2  2      d) 3 4 12 cos x    cos       k   3  2 4    7 x 2k       x   k2  3 4  12
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau       a) cos 2x   0   b) cos 4x   1    6   3        c) cos  x  1   d) sin 3x   0    5   3  Lời giải:        a) cos 2x 
 0  2x    k  x   k k      6  6 2 6 2       b) cos 4x 
 1  4x   2k  x   k k      3  3 12 2 Trang 2     4 c) cos
 x  1   x    2k  x   k2 k      5  5 5     4 d) cos
 x  1   x    2k  x    k2 k      5  5 5
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau  x      a) sin  1   b) sin  2x  1     2 4   6  c)  x   1 sin 3 1  d) x   2 cos 15  2 2 Lời giải:  x   x   3 a) sin 
 1     2k  x   k4 k      2 4  2 4 2 2       b) sin
 2x  1   2x    2k  x    k k       6  6 2 3     1 2 3x 1   2k x    k 1   c)  x   6 18 3 3 sin 3 1      k  2  5 5 1 2 3x 1 2k     x    k  6  18 3 3 2             d) x   x 15 45 k.360 x 60 k.360 cos 15      k  2
x 15  45  k.360 x  3  0  k.360
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau  x   3    1 a) sin      b) cos  2x      2 3  2  6  2 3 c) tan 2x   1  3 d) cot  0 3x 10   3 Lời giải:  x       k2   x  k4  x   3 a) 2 3 3 sin          10 k   2 3  2 x   4 x   k4    k2  3 2 3 3  2    2x   k2 x    k  1     b) 6 3 4 cos  2x         k   6  2  2 5 2x k2      x   k  6 3  12   1  c) tan 2x   1  3  2x 1 
 k  x    k k  3 6 2 2 3 50    d) cot 3x 10 
 3x 10  60  k.180  x   k60k     3  3  Trang 3
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau       a) sin 3x   1  sin  x  2 b) cos x   cos 2x       3   6        c) cos 2x   cos x   0     d)  0
sin x 120   cos 2x  0  3   3  Lời giải:   3 x     k x   x    a)  x    x   3 1 2 k2 2 sin 3 1 sin 2     k   
3x 1    x  2  k2  3   x      k   4 4 2      2x   x   k2 x    k2         b) 6 3 2 cos x   cos 2x          k   3   6      2x   x   k2 x   k  6 3  18             c) cos 2x   cos x   0  cos 2x   cos x           3   3   3   3      2 2x   x   k2 x    k2   3 3  3     k    2   2x x k2        x   k  3 3  3
d) sin  x 120  cos 2x  0  sin  x 120  cos 2
 x  sin  x 120  sin  2  x  90 x 120  2  x  90  k.360 x  70  k.180   k    
x 120  2x  90  k.360 x  2  10  k.360
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau       a) tan 3x   cot 2x      b)  2
tan x  2x  3  tan 2  4   6  1 1 c) cos x  d) 2 sin x  2 2 Lời giải:         7 k a) PT  tan 3x   tan
 2x  3x    2x  k  x   ,k        4   3  4 3 60 5
b) PT  x  x    k   x  2 2
 k  x   k   * 2 3 2 1 1, k   . 1 1 1 2  c) 2 PT  cos x 
 cos x   cos 2x    2x 
 k2  x   k ,k  2 4 2 3 3 1  k d) Ta có 2 2 sin x 
 2sin x 1  0  cos 2x  0  x   ,k  . 2 4 2 Trang 4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 3 cos x  2 3 tan x 1 a)  0 b)  0 2sin x 1 2cos x  3 Lời giải:  2 cos x   1 3 cos x 2   
a) Phương trình tương đương với 3  0    x  .  2sin x 1 1 s  in x   2  1 tan x    3 3 tan x 1  
b) Phương trình tương đương với  0    x   k , k  .  2cos x  3  3  6 cos x0;    2  
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau 3  cot x 2 4cos x  2sin x  5 a)  0 b)  0 2sin 2x  3 tan x  3 Lời giải: cot x  3 3  cot x   a) PT tương đương với  0    3   x   k , k  .  2sin 2x  3 sin 2x   0;  6   2   2 2 4cos x  2sin x  5 4  4sin x  2sin x  5 b) PT tương đương với  0   0 tan x  3 tan x  3 2  2
4sin x  2sin x 1  0 3
 sin x  sin x   1 2  0      x  tan x   3;cos x  0 
tan x   3;cos x  0
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau 2sin 2x 1 2 2 tan x  3 tan x  3 a)  0 b)  0 tan x 1 2cos x 1 Lời giải:    1 x   k 2sin 2x 1 s  in 2x   a) PT tương đương 6  0   2   k . tan x 1 7    tan x  1 x   k  6  x  x    3 tan 3 2 tan 3  0 tan x   x    k  b) PT tương dương 2      2 1     1 cos x    k x  cos x    3  2  2
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau Trang 5 3  2cos 2x 2cos 2x 1 a)  0 b)  0 1 2 sin 3x 3  tan x Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương  3  5 cos 2x   x    k 3 2cos 2x 2     12 5  0      x    k , k  1 2 sin3x 1 1 12 s  in3x  s  in3x   2  2 tan x  3 2cos 2x 1  
b) Phương trình tương đương  0    x    k. 1 3  tan x cos 2x   3  2    1
Ví dụ 11. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x    
trên đường tròn lượng giác  3  2 là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải:      2x    k2 x    k       Phương trình 3 6 12  sin 2x   sin       k .  3  6     2x  k 2      x   k  3 6  4 
Biểu diễn nghiệm x  
 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). 12  Biểu diễn nghiệm x 
 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4   12 0 s 0 s   12 Hình 1 Hình 2
Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình. Chọn C.
Cách giải nhanh trắc nghiệm. 2
Ta đưa về dạng x    k 
 số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là n. n Trang 6   2  Xét x    k  x    k 
 có 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2   2  Xét x   k  x   k 
 có 2 vị trí biểu diễn. 4 4 2 2 cos 2x
Ví dụ 12. Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
 0 . Mệnh đề nào sau đây là 0 1 sin 2x đúng?         3  3  A. x  0; . B. x  ; . C. x  ; . D. x  ; . 0      4  0  4 2    0  2 4  0  4    Lời giải:
Điều kiện 1 sin 2x  0  sin 2x  1. 2 cos 2x sin 2x  1 loai 2 2   Phương trình sin 2 xcos 2 x 1  0  cos 2x  0     1 sin 2x sin 2x  1   thoa man  
 sin 2x  1  2x    k2  x    k k . 2 4  1 Cho   k  0   k  . 4 4 3 3 
Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k  1  x   ; . Chọn D. 4  4   
Ví dụ 13. Hỏi trên đoạn 2017;2017 , phương trình sin x  
1 sin x  2  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải: sin x  1  Phương trình  
 sin x  1  x    k2 k . sin x  2(vo nghiem) 2   2  017  2017   Theo giả thiết 2 2
2017    k2  2017   k  2 2 2 xap xi 320,765 321, 265 k k        k 320; 3  19;...;32  1 .
Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương ứng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.    3
Ví dụ 14. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x 3x      4  2 bằng:     A. . B.  . C. . D.  . 9 6 6 9 Trang 7 Lời giải:    3x    k2  3        Ta có 4 3 sin 3x    sin 3x   sin        4  2  4  3    3x      k2  4 3  7  7 k 2 3x   k2 x    12  36 3     k . 11 11    k2 3x   k2 x    12  36 3  7 7 x  0  k    k  0  x   min 7 k2 TH1. Với Cho 24 36 x     . 36 3 7 17   x  0  k    k  1   x   max  24 36  11 11 x  0  k    k  0  x   min 11 k2 TH2. Với Cho 24 36 x     36 3 11 13   x  0  k    k  1   x   max  24 36 13 7
So sánh bốn nghiệm âm lớn nhất là x  
và nghiệm dương nhỏ nhất là x  . Khi đó tổng hai 36 36 13 7  nghiệm này bằng     . Chọn B. 36 36 6
Ví dụ 15. Gọi x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình  x   3 cos 5 45 
. Mệnh đề nào sau đây là 0 2 đúng? A. x  30 ;  0 B. x  45 ;  30 0   0   C. x  6  0 ;  4  5 D. x  9  0 ;  6  0 0   0   Lời giải: 3  x      k 
Ta có cos 5x  45   cos5x  45 5 45 30 360  cos30  2
5x  45  30 k360  5x  75  k360 x  15  k72   k    . 5x  15  k360 x  3  k72 5
TH1. Với x  15  k72  0  k    k  1   x  57 .  max 24 1
TH2. Với x  3  k72  0  k    k  1   x  69. max 24
So sánh 2 nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x  57 .  Chọn C.  x 
Ví dụ 16. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15  sin x  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  2  A. 290 X . B. 20 X . C. 220 X . D. 240 X . Trang 8 Lời giải:  x   x  Ta có cos 15  sin x  cos 15  cos     90 x  2   2 
 x 15  90 x  k360   x  50  k240 2      k   
 x      x x  210  k720 15 90  k360 2
Nhận thấy 290 X (do ứng với k  1của nghiệm x  50  k 240 ). Chọn A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN  2x  
Câu 1. Giải phương trình sin   0   .  3 3  2 k3
A. x  k k . B. x   k . 3 2   k3 C. x 
 k k . D. x   k . 3 2 2
Câu 2. Số nghiệm của phương trình  x   3 sin 2 40 
với 180  x  180 là 2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
Câu 3. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y  sin 3x và y  sin x bằng nhau? x  k2 x  k A.   k . B.    k . x   k2 x   k  4  4 2  
C. x  k k . D. x  k k . 4 2
Câu 4. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2x  cos x  0 trên 0;2 . 5 A. T  3. B. T  .
C. T  2 . D. T   . 2       Câu 5. Trên khoảng ;2   , phương trình cos  2x  sin x   có bao nhiêu nghiệm?  2   6  A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình tan 2x 15 1 trên khoảng 90 ;  90 bằng A. 0 B. 30 C. 30 D. 60
Câu 7. Giải phương trình cot 3x   1   3. 1 5  1   A. x    k k . B. x    k k . 3 18 3 3 18 3 Trang 9 5  1  C. x 
 k k . D. x    k k . 18 3 3 6   
Câu 8. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y  tan  x 
 và y  tan 2x bằng nhau?  4      A. x   k k . B. x   k k . 4 2 12 3     3m 1  C. x 
 k k . D. x   k k  ; k, m   .   12 12 3  2  3   
Câu 9. Số nghiệm của phương trình tan x  tan trên khoảng ; 2   là 11  4  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 10. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5x  tan x  0 trên nửa khoảng 0;  bằng 3 5 A.  . B. . C. 2 . D. . 2 2
Câu 11. Giải phương trình tan 3x cot 2x  1.    A. x  k k .
B. x    k k . 2 4 2
C. x  k k . D. Vô nghiệm.       Câu 12. Cho tan x  1  0   . Tính sin 2x  .    2   6     1    3 A. sin 2x      . B. sin 2x   .    6  2  6  2    3    1 C. sin 2x    .   D. sin 2x   .    6  2  6  2
Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x  1? 2 2 A. sin x  . B. cos x  . C. cot x  1. D. 2 cot x  1. 2 2
Câu 14. Giải phương trình cos 2x tan x  0.    x   k A. x  k k . B.  2 k . 2  x  k    x   k  C.  4 2 k  . D. x   k k .  2 x  k
Câu 15. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình tan x  tan 3x . Trang 10 171 190 A. 55 . B. . C. 45 . D. . 2 2
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 3cos x 1  0 trên đoạn 0;4  là 15 17 A. S  . B. S  6 . C. S  . D. S  8. 2 2
Câu 17. Tính tổng các nghiệm trong đoạn 0;30 của phương trình tan x  t an3x . 171 190 A. 55 B. . C. 45 . D. . 2 2
Câu 18. Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? 3 A. 2sin 2x  3  0. B. cos x 1  0. 2 C. 2sin x  3  0. D. sin x cos x 1  0.
Câu 19. Khẳng định nào đúng?   A. cot x  1  x   k2. B. cot 2x  0  x   k. 4 4 3
C. sin x  0  x  k2 . D. sin 2x  1  x    k. 4     3 
Câu 20. Cho phương trình sin 2x   sin x    
 . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;  của  4   4  phương trình trên. 7 3  A. . B. . C. . D. . 2 2 4
Câu 21. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?    2 3 A. tan x  99 . B. cos 2x     . C. cot 2018x  2017 . D. sin 2x   .  2  3 4
Câu 22. Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn 0;2  là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. s in3x
Câu 23. Số nghiệm của phương trình
 0 trên đoạn 0;  là 1 cos x A. 4. B. 2. C. 3. D. Vô số.
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x  m có nghiệm. A. m  1. B. m  1. C. 1  m  1. D. m  1.
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x  m  0 vô nghiệm. A. m  ;    1  1;. B. m 1;. C. m 1;  1 . D. m  ;    1 .
Câu 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x  m 1 có nghiệm? Trang 11 A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.   
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2x   m  2   có  3 
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S . A. T  6. B. T  3. C. T  2. D. T  6.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2
3sin 2x  m  5  0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7. LỜI GIẢI CHI TIẾT  2x   2x   k3 Câu 1: Ta có sin   0    k  x   k    . Chọn D.  3 3  3 3 2 2
2x  40  60  k.360 x  50  k.180
Câu 2: Phương trình    
2x  40 180  60  k.360 x  80o  k.180 x  130;50 Mặt khác 180 x 180       . Chọn B. x  100 ;80 x  k 3x  x  k2 Câu 3: Có sin 3x sin x      k k   .Chọn B. 3x    x  k2 x    4 2   
Câu 4: Ta có sin 2x  cos x  0  sin 2x  cos x  sin 2x  sin  x    2      k2 2x   x  k2 x    2  6 3           2x     x  k2   x   k2   2    2   k2  1 11 0    2   k   k 0;1;  2  
Vì x 0;2 , suy ra 6 3 4 4     1 3 0   k2  2
  k   k   0  2  4 4  5 3 
Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2  là ; ; ;  T  3. Chọn A. 6 6 2 2          Câu 5: Ta có cos  2x  sin x  cos  2x  cos  x        6   6   2       2x   x  k2 x    k2  6 2  3     k .     2 k2 2x x k 2         x    6  2    9 3 Trang 12    7 5    k2  2 k    k     k  1      Vì x  ; 2 2 3 6 12   , suy ra     2   2 k2 8 5    2  k    k     k  2;  1  2 9 3  3 12   
Vậy phương trình đã có 3 nghiệm trên khoảng ; 2 .   Chọn A.  2 
Câu 6: Ta có tan 2x 15  1 2x 15 45 k.180 x 30 k.90          Do x          4 2 90 ;90   9
 0  30  k.90  90    k  3 3 k  1  x  6  0 k      6
 0  30  30. Chọn B. k  0  x  30   
Câu 7: Ta có cot 3x  
1   3  cot 3x   1  cot     6   1    
 3x 1    k  x    k k  k 1 5 1  x   . Chọn A. 6 3 18 3 3 18           cos   0 x m x       Câu 8: Điều kiện: 4   4     x   m .   4 2 cos2x  0 x   m  4 2   
Xét phương trình hoành độ giao điểm: tan 2x  tan  x    4    
 2x   x  k  x   k k . 4 12 3     3m 1
Đối chiếu điều kiện, ta cần có  k   m  k  k,m. 12 3 4 2 2    3m 1 
Vậy phương trình có nghiệm x   k k  ; k, m   .   Chọn D. 12 3  2  3 3 Câu 9: Ta có tan x  tan  x   k k . 11 11     3 Do  ; 2      2 CASIO
 0,027  1,72 k x k k    k  0;1 .   Chọn B. xap xi    4  4 11 k
Câu 10: Ta có tan 5x  tan x  0  tan 5x  tan x  5x  x  k  x  k . 4 k
Vì x 0;  , suy ra 0  0 k 4 k       k  0;1;2;  3 . 4    3 
Suy ra các nghiệm của phương trình trên 0;  là 0; ; ; .  4 2 4  Trang 13   3 3 Suy ra 0     . Chọn B. 4 2 4 2      cos3  0 x k x  Câu 11: Điều kiện 6 3    k . s  in 2x  0  x  k  2 1 Phương trình  tan 3x 
 tan 3x  tan 2x  3x  2x  k  x  k k . cot 2x 
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x  k không thỏa mãn x  k . 2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D.      
Câu 12: Phương trình tan x  1  0  tan x  1      2   2    
 x    k  x    k k . 2 4 4   2
Suy ra 2x    k2  2x     k2 k  Z 2 6 3     2     3 Do đó sin 2x   sin   k2   sin    .       Chọn C.  6   3   3  2 
Câu 13: Ta có tan x  1  x   k k . 4 
Xét đáp án C, ta có cot x  1  x 
 k k . Chọn C. 4 
Câu 14: Điều kiện: cos x  0  x   k k . 2 cos 2x  0 Phương trình cos 2 . x tan x  0   tan x  0      2x   k x   k  2    4 2 k  . Chọn C.   x  k x  k k
Câu 15: Phương trình tan 3x  tan x  3x  x  k  x  k  2 k 60
Ta có 0  x  30  0   30  0  k 
mà k    k  0;1;...;1  9 2  19  k 
Vậy tổng các nghiệm cần tính là   95.   Chọn D. k 0  2  1 1
Câu 16: Ta có 3cos x 1  0  cos x   x   arccos  k2 k . 3 3 Trang 14  1 x  arccos 1  TH1. Với x   0;4  x   k    k    k   3 arccos 2 0;1 3  1 x  arccos  2  3  1 x   arccos  2 1  TH2. Với x   0;4  x    k    k    k   3 arccos 2 1; 2 3  1 x  arccos  4  3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là S  8. Chọn D. cos x  0 Câu 17: Điều kiện 3 
 4cos x  3cos x  0  cos x 2 4cos x  3  0 cos3x  0 sin x sin 3x Khi đó phương trình    sin . x cos 3x  cos . x sin 3x cos x cos 3x
 sin x cos3x  cos xsin 3x  0  sin 3x  x  0  sin 2x  0  2sin xcos  0 cos x0
sin x  0  x  k (thỏa mãn)
Kết hợp 0;30  0  k  30  0  k  9
Tổng các nghiệm của phương trình là 0 1 2 ... 9  45. Chọn C. 3
Câu 18: Phương trình 2sin 2x  3  0  sin 2x  có nghiệm. 2 3 2 Phương trình cos x 1  0  cos x  1 vô nghiệm. 2 3 3
Phương trình 2sin x  3  0  sin x  1 vô nghiệm. 2 1
Phương trình sin x cos x 1  0  sin 2x  1  sin 2x  2 vô nghiệm. Chọn A. 2    
Câu 19: Ta có cot x  1  x 
 k , cos 2x  0  2x   k  x   k . 4 2 4 2   3
sin x  0  x  k và sin 2x  1  2x 
 k2  x   k  x    k. Chọn D. 2 4 4   3 2x   x   k2 x    k2 x    k2  Câu 20: Phương trình 4 4         2  3   3x   k2 x   k  2x     x   k2  2  6 3  4 4  2 1
Với x 0;  ta giải điều kiện 0   k       k 1, 25  k  0;  1 6 3 4  5
Suy ra nghiệm của phương trình là , 6 6 Trang 15
Tổng các nghiệm của phương trình là . Chọn B. 2    2 Câu 21: Do
 1 nên phương trình cos 2x     vô nghiệm. Chọn B. 3  2  3   x   k2 3  Câu 22: Phương trình 3
2sin x  3  0  sin x    2 2   x   k2  3    Kết hợp x    2 0; 2  x   ; . Chọn D.  3 3 
Câu 23: Điều kiện cos x  1  x  k2 k
Phương trình  sin 3x  0  3x  k  x  3 x  0   x   2  Với x     3 0;  , 
kết hợp điều kiện suy ra phương trình có 3 nghiệm x   ; ;  trên đoạn 2   3 3 x    3 x   0; . Chọn C.
Câu 24: Với mọi x  , ta luôn có 1 sin x 1.
Do đó, phương trình sin x  m có nghiệm khi và chỉ khi 1  m  1. Chọn C.
Câu 25: Áp dụng điểu kiện có nghiệm của phương trình cos x  . a
 Phương trình có nghiệm khi a  1.
 Phương trình vô nghiệm khi a  1.
Phương trình cos x  m  0  cos x  . m m  1
Do đó, phương trình cos x  m vô nghiệm  m  1  .  Chọn A. m 1
Câu 26: Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cos x  . a
 Phương trình có nghiệm khi a  1.
 Phương trình vô nghiệm khi a  1.
Do đó, phương trình cos x  m 1 có nghiệm khi và chỉ khi m 1  1 1 1 1 2 0 m m m 
           m2; 1  ;  0 . Chọn C.      
Câu 27: Phương trình cos 2x   m  2  cos 2x   m  2.      3   3 
Phương trình có nghiệm  1  m  2  1  3   m  1  Trang 16 m   S   3  ; 2  ;  1  T   3     2      1  6. Chọn D. 2 m  5 2 m  5 Câu 28: PT  sin 2x  có nghiệm 2  1   1  2  m  8 3 3
Kết hợp m    m   
2  có 2 giá trị nguyên của m . Chọn B. Trang 17