Trang 1
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác
Với phương trình
2
.sin .sin 0
a kx b kx c thì ta đặt
sin
với
1 1
t
, quy về phương trình
bậc hai:
2
. . 0 sin
a t b t c t kx x
Với phương trình
2
.cos .cos 0
a kx b kx c thì ta đặt
cos
t kx
với
1 1
t
, quy v phương
trình bậc hai:
2
. . 0 cos
a t b t c t kx x
Với phương trình
2
.tan .tan 0
a kx b kx c t ta đặt
tan
t kx
quy về phương trình bậc hai:
2
. . 0 tan
a t b t c t kx x
. Tương tự cho phương trình ẩn
cot
t kx
Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!
Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung
Với phương trình
0
f x , bằng c kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được
nhân tử chung và quy về dạng
0
. 0
0
g x
g x h x
h x
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2
3 tan 1 3 tan 1 0
x x b)
2
4 2 3 1 cos 3 0
cos x x
Lời giải:
a)
2
3 tan 1 3 tan 1 0 tan 1 3 tan 1 0
x x x x
tan 1
4
1
tan
3
6
x
x k
x
x k
Vây phương trình có họ nghiệm
,
4 6
x k x k
,
b)
2
4 2 3 1 cos 3 0 2cos 3 2cos 1 0
cos x x x x
3
2
cos
6
2
1
2
cos
3
2
x k
x
x k
x
Vây phương trình có họ nghiệm
2
3
x k
,
2
6
x k
,
Trang 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
4 4
2 sin 2 0
2
x cos x cos x
b)
6 6
sin 4
x cos x cos x
Lời giải:
a)
2
4 4 2 2 2 2
2 sin 2 0 2 sin 2sin sin 2 0
2
x cos x cos x x cos x xcos x x
2
1
2
sin
6
2
2 sin sin 2 0 sin 2 1 sin 2 2 0
5
sin 2
2
6
x k
x
x x x x
x loai
x k
Vây phương trình có họ nghiệm
5
2
6
x k
,
2
6
x k
,
b)
2
2 2 2 2 2 2 2
3
sin 3sin 2sin 2 1 0 sin 2 2sin 2 0
4
x cos x xcos x x x x
sin 2 0
2
x x k
Vây phương trình có họ nghiệm
2
k
x ,
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
4 4
1
sin sin 2
2
x cos x x b)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x
Lời giải:
a)
2
4 4 2 2 2 2
1 1
sin sin 2 sin 2sin sin 2 0
2 2
x cos x x x cos x xcos x x
2
sin 2 3 1
sin 2 0 sin 2 1 sin 2 3 0
2 2 2
x
x x x
sin 1
2
sin 3
2
x
x k
x loai
,
Vây phương trình có họ nghiệm
2
2
x k
,
b)
2
4 4 2 2 2 2
sin cos 1 2sin sin 2sin 1 2sin 0
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x cos cos x
2
sin 0
sin 1
sin 0 sin sin 2 0
sin 2
2 2
x
x
x x x x k
x loai
,
Vậy phương trình có họ nghiệm
2
k
x
,
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau
Trang 3
a)
6 6
2 sin cos sin .cos
0
2 2sin
x x x x
x
b)
4 4
sin cos sin .cos 0
x x x x
Lời giải:
a) Điều kiện:
3
2 , 2
4 4
x k k
6 6
6 6
2 sin cos sin .cos
0 2 sin cos sin .cos 0
2 2sin
x x x x
PT x x x x
x
2
2 2 2 2 2 2
2 sin sin 3sin sin 0
x cos x x cos x xcos x xcosx
2
6 sin sin 2 0 3sin 2 2sin 1 0
xcosx xcosx xcosx xcosx
2
4
sin
sin 2
3
3
1 4
sin 2 1
sin
2
xcosx
x loai
x k
x
xcosx
,
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là
2 1
4
x m
b)
2
2
4 4 2 2
sin cos sin .cos 0 sin 2 sin sin 0
x x x x x cos x xcosx xcosx
2
2 sin sin 1 0 sin 1 2sin 1 0
xcosx xcosx xcosx xcosx
sin 1
sin 2 2
1
4
sin
sin 2 1
2
xcosx
x loai
x k
xcosx
x
,
Vây phương trình có họ nghiệm
4
x k
,
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) b)
4 2
1
sin
4
cos x
Lời giải:
a) ĐKXĐ:
2
3
x k
sinx 3 cos 0 2 0
6 6 2 3
x cos x x k x k
,
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm
3
x k
với k lẻ
b)
Trang 4
Vây phương trình có họ nghiệm
4 2
x k
,
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
6 6
2 2
sin 1
tan 2
sin 4
x cos x
x
cos x x
b)
4 4
5
sin
3 3 8
x x
cos
Lời giải:
a) Với
2 0
cos x
, phương trình đã cho tương đương
3
2 2 2 2 2 2
6 6
2 2
sin 3sin sin
sin 1 sin 2
tan 2
sin 4 2 4 2
x cos x xcos x x cos x
x cos x x
x
cos x x cos x cos x
sin 2 1
sin 2 1
4
4
sin 2 1
3
x
x x k
x
,
b) Phương trình đã cho tương đương với
2
4
1
2 3 3 4 1 4 2 3
3
sin 2
3 4 2 4 3 2 3 3 2 2
x
cos
x x x k
cos k x
,
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
a)
2 2 2
sin tan 0
2 4 2
x x
x cos
b)
3 2 cos 1 0
cos x cos x x
Lời giải:
a) Với điều kiện
cos 0
x
phương trình đã cho tương đương với
2
2 2
2
1 sin 1 cos
1 1 sin sin 1 cos
2 2 2
x x
cos x x x x cos x
cos x
1 sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin
x x x x x x
1 sin 1 cos sin cos 0
x x x x
2
0
2
1
1
tan 1
2
tanx 1
4
cos x
x k
cosx
cosx
x
x k
,
b) Phương trình đã cho tương đương với
3 2 3 2
4 3cos 2 1 cos 1 0 4 2 4cos 2 0
cos x x cos x x cos x cos x x
2 2
2cos 2cos 1 2 2cos 1 0 2 cos 1 2cos 1 0
x x x x x
Trang 5
2
sinx 0
2
1
2
cosx
3
2
x k
x k
,
k
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a)
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
b)
cos sin 21
c 0
i 2s sn ox xx x
Lời giải:
a) Điều kiện:
cos cos 0
2
x
x
Phương trình đã cho tương đương
2
sin
sin
2
cosx cos sin 1 .
cos co
o
sin
s
c s
2
x
x
x x
x
x x
x
b) Phương trình đã cho tương đương với cos sin 21
c 0
i 2s sn ox xx x
2
cos cos 2 0 sin 2sin cosin s 1 cos 2cossin 2 11
0
xx x x x x x x x
cos cos 1 2cos 0 1 2cos sin cn s1
o 0
si 2 x xx x x x x
1
2
2
3
4
cos
2
tan 1
x
x
x k
x k
,
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
a)
2 2 2 2
sin sin 3 2 4
x x cos x cos x
b)
6 6
sin cos 4
x cos x x
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương
2 2 2 2
sin sin 3 2 4
x x cos x cos x
2cos5 cos3 2cos5 cos 0 cos5 cos cos3 0
x x x x x x x
10 5
cos5 0
cos5 cos cos 2 0 cos 0
2
cos2 0
4 2
k
x
x
x x x x x k
x
k
x
,
b) Phương trình đã cho tương đương với
Trang 6
3
6 6 2 2 2 2 2 2
sin cos 4 sin 3sin sin cos 4
x cos x x x cos x xcos x x cos x x
2
3 3
1 sin 2 cos 4 1 1 cos 4 cos 4 cos 4 1
4 8 2
k
x x x x x x
,
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau
a)
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
b)
2
3
tan 9
cos
x
x
Lời giải:
a) Với điều kiện
cos 0
x
phương trình đã cho tương đương với
2
2
1
3 3 tan 3 3 0 1 tan 3 3 tan 3 3 0
cos
x x x
x
2
tan 3 3 tan 3 2 0
x x
3 3 20 2 3
tan tan
2
3 3 20 2 3
tan tan
2
x m
x m k
x n k
x n
,
b) Với điều kiện
cos 0
x
phương trình đã cho tương đương
2
2 2 2
2
3 3 1
tan 9 9 3cos 1 9
cos cos
cos x
x x cos x cos x
x x cos x
2
1
cos
2
2
10 3cos 1 0
3
1
2
cos
5
x
x k
cos x x
x m k
x
,
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau
a)
2
4
9 13cos 0
1 tan
x
x
b)
2
1
cot 3
sin
x
x
Lời giải:
a) Với điều kiện
cos 0
x
phương trình đã cho tương đương
2
2
4
9 13cos 0 9 13cos 4 0
1 tan
x x cos x
x
cos 1
cos 1 2
9
cos 1
4
x
x x k
x
,
b) Với điều kiện
sin 0
x
phương trình đã cho tương đương
2 2
2
1
cot 3 1 cot cot 3 cot cot 2 0
sin
x x x x x
x
cot 1
4
cot 2
x
x k
x
x m k
,
Trang 7
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau
a)
2
2 3cos 4
2
x
cos x x cos
b)
Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 3cos 4 2 1 3cos 2 1 cos
2
x
cos x x cos cos x x x
2
cos 3 1
2cos 5cos 3 0 2
1
cos
3
2
x
x x x k
x
b) Với điều kiện
sin 2 0
x
phương trình đã cho tương đương với
tan 1
tan 1
tan 2 1
4
tan 2 3 tan 3
3
tan 3
x
x k
x
x
x x
x k
x
,
Ví dụ 13. Giải phương trình
2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cos
x x x x
Lời giải:
2
4sin 2sin cos 1 2cos sin 2 2cos 1 1 2cos
PT xcos x x x x x x x
2
1
2
cos
3
1 2cos sin 2 1 0
2
sin 2 1
4
x k
x
x x
x
x k
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm:
2
2 ;
3 4
x k k
,
Ví dụ 14. Giải phương trình
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
Lời giải:
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
2
2
cos 0
2
x
k
x
x
x
x k
x
x k
Phương trình tương đương:
sin .sin cos .cos cos
cos cos cos sin
2 2 2
sin . 4 sin . 4
sin sin sin cos
cos .cos cos .cos
2 2
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x
Trang 8
2 2
1
12
sin 4sinxcosx 2sin 2 x sinx
5
2
12
x k
cos x x
x k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
5
;
12 12
x k k
,
Ví dụ 15. Giải phương trình
3 3 2
sin 2sin 1
cos x x x
Lời giải:
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0
PT x x x x x x x x
sin cos 0 1
sin cos 1 sin cos sin cos 0
1 sin cos sin cos 0 2
x x
x x x x x x
x x x x
Giải
1 sin 0
4 4 4
x x k x k
Giải (2): Đặt
sin cos
x x t
,
2
1
2; 2 sin cos
2
t
t x x ta có:
2
2
2
1
2 1 0 1 0 1 2 1
3
2
2 4
2
x k
t
t t t sin x
x k
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm:
3
2 ; k ; 2
2 4
x k k
,
Ví dụ 16. Giải phương trình
2cos 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
Lời giải:
Điều kiện: sin 2 0
2
k
x x
2 2
cos sinx cos4
cos sin cos 4 cos 2 cos 4
sinx cos sinx cos
x x
PT x x x x x
x x
2
2
cos 1
cos2 2cos 2 1 cos 1 2cos 1 0
2
1
2
cos
3
2
x k
x
x x x x
x k
x
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm:
2
; 2
3
x k k
,
Ví dụ 17. Giải phương trình
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
Lời giải:
Trang 9
Điều kiện:
cos 0
2
tan 3
3
x k
x
x
x k
Ta có phương trình
sin 2 2cos sin 1 0 sin 1 2cos 1 0
x x x x x
Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm:
2 ; 2
3 2
x k k
,
Ví dụ 18. Giải phương trình
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
Lời giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 1 2
x x k
x x k
. Ta có phương trình tương đương:
2 2
sin cos sin
cot 2 2 cos cos sin 2sin 2sin cos
1 cos sin 1 cos
x x x
x x x x x x x
x x x
2
1
6
cos 1 2sin 1 sin
5
2
2
6
x k
x x x
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
5
2 ; 2
6 6
x k k
,
Ví dụ 19. Giải phương trình
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x
Lời giải:
Điều kiện:
1
cos 2
2 3
x x k
. Phương trình đã cho tương đương
2 2
2 3 cos 2sin 2cos 1 1 2sin 3 cos 0
2 4 2 4
x x
x x x
cos 3 cosx 0 sin 3 cos 0 sin 0
2 3 3
x x x x x k
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là:
2
2
3
x k
,
Ví dụ 20. Giải phương trình
2
2sin 3 2 sin sin 2 1
1 0
sin 2 1
x x x
x
Lời giải:
Trang 10
Điều kiện:
sin 2 1
4
x x k
. Phương trình tương đương
2 2
2sin 3 2 sin sin 2 1 sin 2 1 0 2sin 3 2 sin 2 0
x x x x x x
2
2
4
2sin 2 sin 2 0 sin
5
2
2
4
x k
x x x
x k
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là:
3
2
4
x k
,
Ví dụ 21. Giải phương trình
4 4
sin 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x cos x
x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
sin 2 0
2
k
x x
. Phương trình tương đương:
2 2
4 4 2 20 2 5 4 2 20 2 9 0 2cos 1 2cos 9 0
cos x cos x cos x cos x x x
1
cos 2
2 3
x x k
. Vậy phương trình có hai họ nghiệm là:
2
3
x k
,
Ví dụ 22. Giải phương trình
2
4
4
2 sin 2 sin 3
tan 1
x x
x
cos x
Lời giải:
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
. Phương trình tương đương:
4 4 2 2 2
1
sin 2 sin 2 sin3 1 sin 2 2 sin 2 sin 3
2
x cos x x x x x x
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là:
2 17 2
;
18 3 18 3
k k
x
,
Ví dụ 23. Giải phương trình
3 2sin
2cos 1 cot
sin cos 1
x
x x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 1
x
x
. Phương trình tương đương:
2 3 2
2cos 1 cos 1 cos 3 cos 1 2 1 cos 2cos cos 2cos 1 0
x x x x x x x x
Trang 11
2
1
2cos 1 cos 1 0 cos 2
2 3
x x x x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
2
3
x k
,
Ví dụ 24. Giải phương trình
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
sin 2 0
2
k
x x
. Phương trình tương đương:
2 2 2 2
sin 2 .sin 2 .cos sin 1 2 cos 1 2
x x cos x x x cos x cos x x cos x
1
cos 1 2cos 1 0 cos 2
2 3
x x x x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
2
3
x k
,
Ví dụ 25. Giải phương trình
2
1 sin 2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
Lời giải:
Điều kiện: sin 0
x x k
. Phương trình tương đương:
2
2
1
1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot 2 sin sin 2 . 2 2 cos
sin
x x x x x x x x
x
2
sin 2 2 2 2 cos 1 0 sin cos cos 2 cos 0
x cos x x x x x x
cos 0
cos sin cos 2
sin cos 2
x
x x x
x x
Với
cos 0
2
x x k
Với
sin cos 2 sin 1 2
4 4
x x x x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
; 2
2 4
x k k
,
Ví dụ 26. Giải phương trình
cos cos5
8sin sin3
cos3 cos
x x
x x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
cos 0
cos3 0
x
x
. Phương trình tương đương:
2 2
cos cos5 .cos3 8sin .cos .sin 3 . 3 cos cos3 .cos5 2
sin 2 .sin 6
x x x x x x cos x x x x x x
1 cos 2 cos8 cos2 2 cos4 cos8 cos8 2cos 4 1 0
x x x x x x x
Trang 12
2
cos4 0
4
8 4
cos 4 cos4 0
2
cos4 1
4 2
2
k
x
x
x k
x x
x
k
x k
x
Vậy phương trình có hai họ nghiệm :
;
2 8 4
k k
x
,
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình sau
4 4
sin 0
x cos x
A.
4 2
x k
, B.
4
x k
,
C.
2
4
x k
, D.
2
x k
,
Câu 2. Phương trình
2 1
3
cos x
có số nghiệm thuộc đoạn
0;2
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Câu 3. Số nghiệm của phương trình
sin 1
4
x
,
5
x
A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 4. Phương trình
3
sin 3
3 2
x
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0;
2
?
A. 3 B. 4 C. 1 D. 2
Câu 5. Cho phương trình
3
sin 2
2
x
. Gọi n số các nghiệm của phương trình trong đoạn
0;3
thì
giá trị của n
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
Câu 6. Số nghiệm của phương trình
2 sin 3 0
cos x x
thuộc
0;2
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
Câu 7. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin sin 2 0
x x
trên đoạn
0;2
.
A.
4
B.
5
C.
3
D.
2
Câu 8. Cho phương trình
sin 2 2cos 0
x x , nghiệm của phương trình là
A.
2
x k
, B.
8
x k
,
C.
3
2
4
x k
, D.
6
x k
,
Câu 9. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2sin 2 2 sin cos 0
x x x
A.
B.
4
C. D.
3
4
Trang 13
Câu 10. Phương trình
sin5 sin 0
x x
có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn
2018 ; 2018
?
A. 16145 B. 20181 C. 16144 D. 20179
Câu 11. Phương tnh
cos 2 3 1 0
x cos x cos x
mấy nghiệm thuộc nửa khoảng
;0
?
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
Câu 12. Phương trình
3
sin 2 sin
4 4
x x
có tổng các nghiệm thuộc khoảng
0;
bằng
A.
7
2
B.
C.
3
2
D.
4
Câu 13. Tìm số nghiệm thuộc khoảng
;
của phương trình
cos sin 2 0
x x
A. 4 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 14. Tìm số nghiệm của phương trình
sin cos 0
x trên đoạn
0;2
x
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Câu 15. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình
cos sin 1
x thuộc đoạn
0;2
A.
2
B. 0 C.
D.
3
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình
2 2
sin sin 2 0
x x cos x
trên đoạn
0;2018
A.
4071315
2
B. C.
4075351
2
D.
8142627
2
Câu 17. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số
sin
y x
trên đoạn
0;
, c điểm C, D thuộc trục Ox
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và
2
3
CD
. Tính độ dài đoạn BC
A.
2
2
B.
1
2
C. 1 D.
3
2
Câu 18. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình
2
3
3cot 3
sin
x
x
A.
6
B.
5
6
C.
2
D.
2
3
Câu 19. Nghiệm của phương trình lượng giác
2
cos 0
cos x x thỏa mãn điều kiện 0
x
Trang 14
A.
0
x
B.
3
4
x
C.
2
x
D.
2
x
Câu 20. Phương trình
2 2cos 3 0
cos x x có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
0;2019
?
A. 320 B. 1009 C. 1010 D. 321
Câu 21. Tổng tất cả các nghim của phương trình
cos5 cos 2 2sin 3 .sin 2 0
x x x x
trên đoạn
0;3
là
A.
16
3
B.
11
3
C.
25
3
D.
37
3
Câu 22. Cho phương trình
2
sin
0
cos 3cos 2
x
x x
. Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn
0;2018
của phương trình trên.
A.
1018018
B.
1018080
C.
1018081
D.
1020100
Câu 23. Cho phương trình
2 2
2 1 3sin cos sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
0
x
là nghiệm dương lớn nhất
trên khoảng
0;100
và có dạng
0
x a
b
, . Tính tổng
a b
A. 100 B. 101 C. 102 D. 103
Câu 24. Số nghiệm của phương trình
2
3sin 2 2 1 0
x cos x
trên nửa khoảng
0;4
A. 8 B. 2 C. 4 D. 12
Câu 25. Gọi
0
x
là một nghiệm của phương trình
sin 2 cos
x x
tn
;
2
. nh giá trị của biểu thức
0 0 0 0
sin sin 2 sin 3 .. sin 2018
S x x x x
A.
1 3
2
S
B.
1
2
S
C.
0
S
D.
1 3
2
S
Câu 26. Tính tổng các nghiệm của phương trình
4 4
2 2 5 sin 3 0
cos x x cos x
trong khoảng
0;2018
A.
2010.2018
B.
1010.2018
C.
2
2018
D.
2016.2018
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B
11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D
21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30-
Câu 1:
4 4 2 2 2 2
sin 0 sin . sin 0
x cos x x cos x x cos x
Trang 15
2 2
sin 0 2 0 2
2 4 2
k
x cos x cos x x k x
. Chọn A.
Câu 2:
2
2
2
3 4
12
7
3 2
2 2
3 4 12
x k
x k
cos x
x k x k
TH1. Với
1 25
0 2 0 2 2 1
12 24 24
k
x k k k
TH2. Với
7 7 31
0 2 0 2 2 1
12 24 24
k
x k k k
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.
Câu 3:
sin 1 2 2
4 4 2 4
x x k x k
3 19
5 2 5 1;2
4 8 8
x k k k

. Chọn B.
Câu 4:
2 2
3 2
3
3 3 9 3
sin 3
2
3 2
3 2
3 3 3 3
k
x k x
x
k
x k x
2 2
0
4
9 3 2
0 ;
2
2 3 9
0
3 3 2
k
x x
k
. Chọn D.
Câu 5:
2 2
3
3 6
sin 2
2
2 2
3 3
x k x k
x
x k x k
7 13 4 7
0 3 ; ; ; ; ;
6 3 6 6 3 3
x x

. Chọn C.
Câu 6:
2 sin 3 sin 3 3
2
cos x x x cos x
2
3 2 2
22
2
3 2 2
10 5
2
x k
x x k
k
x
x x k
3 3 7 11 3 19
0;2 ; ; ; ; ;
2 10 10 10 2 10
x x
. Chọn A.
Câu 7: Phương trình
sin 0
sin 2sin cos 0 sin 1 2cos 0
1
cos
2
x
x x x x x
x
Trang 16
2
2
3
x k
x k
TH1: Với
0
0;2
2
x
x k
x
x
x
TH2: Với
2
2
3
x k
ta giải
2
2
3
0 2 2
4
3
3
x
k
x
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn
0;2
5
. Chọn B.
Câu 8:
0
sin 2 2cos 0 2sin cos 2cos 0 2cos sin 1 0
sin 1
cosx
x x x x x x x
x
0
2
cosx x k
, . Chọn A.
Câu 9:
sin 0
2sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 2 cos 0
1 2 cos 0
x
x x x x x
x
1
3
cos
2
2 4
x k
x k
x
x k
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là
3
4
. Chọn D.
Câu 10:
5 2
2
sin 5 sin
5 2
6 3
k
x
x x k
x x
k
x x k
x
TH1: Với
2
k
x
2018 ;2018 2018 2018
2
k
x
4036 4036 1 8073
nghiệm k.
TH2: Với
6 3
k
x
12109 12107 12109 12107
6 3 6 2 2
k
k
k

k

6053 6054 1 12108
nghiệm k.
Vậy phương trình đã cho có
8073 12108 20181
nghiêm. Chọn B.
Câu 11:
2 3
cos 2 3 1 0 cos 2cos 1 4cos 3cos 1 0
x cos x cos x x x x x
Trang 17
3 2 2
sinx 0
4cos 2cos 4cos 2 0 cos 1 2cos 1 0
1
cos
2
x x x x x
x
2
2
3
x k
x k
mà . Chọn D.
Câu 12:
3
2
2 2
3
4 4
sin 2 sin
2
3
4 4
2 2
6 3
4 4
x k
x x k
x x
k
x
x x k
TH1. Với
2
x k
0; 0 2x k
1
2 0 0
2
k
k k k

TH2. Với
2
6 3
k
x
2
0; 0
6 3
k
x
2 5 1 15 5
0;1 ;
6 3 6 4 12 6 6
k
k
k k x
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là
. Chọn B.
Câu 13:
cos sin 2 sin 2 2
2
x x x cos x
2
2 2
2
2
2
2 2
6 3
2
x k
x x k
k
xx x k
k
TH1. Với
2
2
x k
; 2
2
x k
3 1 3
2 0
2 2 4 4 2
k
k k k x

TH2. Với
2
6 3
k
x
2
;
6 3
k
x
5 2 7 5 21
1;0;1
6 3 6 12 12
k
k
k k
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm. Chọn A.
Câu 14:
sin cos 0 cos
x x k
cos 1;1
x
Suy ra
1 1
1 1 0
k
k k k

Do đó
cos 0 .
2
x x n
3
0;2 ;
2 2
x x
. Chọn C.
Trang 18
Câu 15:
cos sin 1 sin 2
x x k
sin 1;1
x
Suy ra
1 1
1 2 1 0
2 2
k
k k k
Do đó
sin 0 .
x x n
0;2 0; ;2
x x
 . Chọn D.
Câu 16: sin 2 1 2 2
2 4
x x k x k
k
1 8071
0 2018 0 2018
4 4 4
x k k

Suy ra
4071315
0;1;2;...;2017
2
k x
. Chọn A.
Câu 17:
2
;0
3 2 6 6 6
D
CD
CD OD x D
Do đó
1 1 1
sin ;
6 6 2 6 2 2
A A
x y A BC AD
. Chọn B.
Câu 18: Phương trình
2 2
3 1 cot 3cot 3 cot 3 cot 0
x x x x
. Chọn C.
Câu 19: Phương trình
2
cos 0
cos 0
2
cos 1
2
x
x k
cos x x
x
x k
k
Với
2
x k
1 1
0 0
2 2 2
x k k x

Với
2
x k
1
0 9
2
x k k

. Chọn C.
Câu 20: Phương trình
2 2
2 1 2cos 3 0 cos cos 2 0
cos x x x x
cos 1
cos 1 2
cos 2
x
x x k
x l
2019
0;2019 0
2
x k
Mặt khác
k
1;2;...;321
k nên có 321 nghiệm cần tìm. Chọn D.
Câu 21: Phương trình
cos5 cos2 cos cos5 0 cos 2 cos
x x x x x x
2
2 2
2
2 2
3 3
x k
x x k
k
x x k
x
0;3
x
5 7 37
;3 ; ; ; ;3
3 3 3 3
x x

. Chọn D.
Trang 19
Câu 22: Phương trình
2
sin 0
sin 0
cos 1
cos 1
cos 3cos 2 0
x
x
x
x
x x
Do đó
cos 1 2
x x k
1 2017
0;2018
2 2
x k
Mặt khác
1008
0
0;1;2;...;1008 2 1018081
k
k k k

. Chọn C.
Câu 23: Điều kiện:
2
2 2sin 0 sin
2
x x
Phương trình trở thành:
2 2 2
2 6sin cos sin cos 0 4 3sin 2 sin 2 0
x x x x x x
k
Với
1 399
0;100 0 100
4 4 4
x k k
99 99
4
max
k k x
(thỏa mãn)
99 4 103
a b
. Chọn D.
Câu 24: Phương trình
2 2
3 1 2 2 1 0 3 2 2 2 0
cos x cos x cos x cos x
2 2
2 1
2 1 2
2
2 2
2
3 2 3
3
x k x k
cos x
x arccos k x arccos k
cos x
TH1. Với
0;4 0 4 0;1;2;3
x k k k
 nên có 4 nghiệm.
TH2. Với
1 2
0;4 0,116 3,883
2 3
x arccos k k
0;1;2;3
k nên có 4 nghiệm.
TH3. Với
1 2
0;4 0,116 4,116
2 3
x arccos k k
nên có 4 nghiệm. Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm. Chọn D.
Câu 25: Phương trình
2
2 2
6 3
2
sin 2 sin
2
2 2
2
2
2
k
x
x x k
x x
x x k
x k
Với
0
; sin sin 2. .. sin 2018.
2 6 6 6 6
x x S
Ta có
1
sin
2
sin sin 2 sin 3 ... sin .sin
2
sin
2
n
x
nx
x x x nx
x
Trang 20
Với
2019
sin . 2018.
1 3 1 1 3
2 6 6
; 2018 .sin :
6 2 2
2 2 2 2
sin
12
x n S
. Chọn D.
Câu 26: Phương trình
2 2 2 2
2 2 5 sin sin 3 0
cos x x cos x x cos x
2
2 . 2 2 5 3 0 2 2 5 2 3 0
cos x cos x cos x cos x
1
2 2
2
3 6
2
2 3
2 2
3 6
x k x k
cos x
cos x
x k x k
TH1. Với
1 12107
0;2018 0 2018
6 6 6 6
x k k k
k
nên
2017
0
0;1;2;...;2017 2018. 2035153
6 6
k
k k

TH2. Với
1 12109
0;2018 0 2018
6 6 6 6
x k k k
k
nên
2018
0
0;1;2;...;2017;2018 2018. 2037171
6 6
k
k k
Vậy tổng các nghiệm cần tính là
2
4072324 2018
. Chọn C.

Preview text:

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác Với phương trình 2 . a sin kx  .
b sin kx  c  0 thì ta đặt t  sin kx với 1  t  1 , quy về phương trình bậc hai: 2 . a t  .
b t  c  0  t  sin kx  x Với phương trình 2 . a cos kx  .
b coskx  c  0 thì ta đặt t  coskx với 1 t 1 , quy về phương trình bậc hai: 2 . a t  .
b t  c  0  t  coskx  x Với phương trình 2 . a tan kx  .
b tan kx  c  0 thì ta đặt t  tan kx quy về phương trình bậc hai: 2 . a t  .
b t  c  0  t  tan kx  x . Tương tự cho phương trình ẩn t  cot kx
Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!
Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung
Với phương trình f  x  0 , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được g x  0
nhân tử chung và quy về dạng g  x.h x  0   hx  0
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2
3 tan x  1 3tan x 1 0 b) 2 4cos x  2 3   1 cos x  3  0 Lời giải: a) 2
3 tan x  1 3tan x 1  0  tan x   1  3 tan x   1  0   tan x 1   x    k  4  1    tan x     3 x   k  6  
Vây phương trình có họ nghiệm x   k , x   k , 4 6 b) 2 4cos x  2 3  
1 cos x  3  0  2cos x  32cos x   1  0  3   cos x  x    k2   2 6      1  cos  x  x    k2    2  3  
Vây phương trình có họ nghiệm x  
 k2 , x    k2 , 3 6 Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau    a)  4 4 2 sin x  cos x  cos  2x  0   b) 6 6 sin x  cos x  cos4x  2  Lời giải:    a)  x cos x  cos  x   x cos x2 4 4 2 2 2 2 2 sin 2 0 2 sin 2sin         xcos x  sin 2x  0  2      1   x   k2 sin x   2
 2  sin x  sin 2x  0  sin 2x   1 sin 2x  2  6  0  2      x loai 5 sin 2    x   k2    6 5 
Vây phương trình có họ nghiệm x   k2 , x   k2 , 6 6 b)  sin x  cos x2 3 2 2 2 2 2 2 2
 3sin xcos x  2sin 2x 1  0   sin 2x  2sin 2x  0 4   sin 2x  0  x  k 2 k
Vây phương trình có họ nghiệm x  , 2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1 x x a) 4 4
sin x  cos x  sin 2x  b) 4 4 sin  cos 1 2sin x 2 2 2 Lời giải: 1 1
a) sin x  cos x  sin 2x   sin x  cos x2 4 4 2 2 2 2
 2sin xcos x  sin 2x   0 2 2 2 sin 2x 3 1  
 sin 2x   0   sin 2x   1 sin 2x  3  0 2 2 2 sin x  1    x k  , x    loai    2 sin 3 2 
Vây phương trình có họ nghiệm x   k2 , 2 2 x x  x x  x x b) 4 4 2 2 2 2 sin  cos 1 2sin x  sin  cos  2sin cos 1 2sin x  0   2 2  2 2  2 2 2 sin x 1  x   
 sin x  0   sin xsin x  2 sin 0  0    x  k , 2 2 sin x  2  loai k
Vậy phương trình có họ nghiệm x  , 2
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau Trang 2  6 6
2 sin x  cos x  sin .xcos x a)  0 b) 4 4 sin x  cos x  sin . x cos x  0 2  2sin x Lời giải:  3 
a) Điều kiện: x    k2 ,  k2   4 4  2 6 6
sin x  cos x  sin .xcos x PT   0  2 6 6
sin x  cos x sin .xcos x  0 2  2sin x
 x cos x x cos x2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 3sin      xcos x  sin xcosx  0       xcosx2 6 sin
 sin xcosx  2  0  3sin xcosx  22sin xcosx   1  0  2 sin xcosx    4  3 sin 2x   loai      3  x   k , 1  4 sin xcosx  sin 2x 1  2 
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là x   2m   1  4 2 b) x  x  x x    x  cos x   xcosx2 4 4 2 2 sin cos sin .cos 0 sin 2 sin  sin xcosx  0   xcosx2 2 sin
 sin xcosx 1  0  sin xcosx   1 2sin xcosx   1  0 sin xcosx  1 sin 2x  2loai    1    x     k , sin xcosx   sin 2x  1 4  2 
Vây phương trình có họ nghiệm x     k , 4
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 1 a) b) 4 2 cos  sin x  4 Lời giải:  a) ĐKXĐ: x    k2 3      
 sinx 3 cos x  0  2cos x 
 0  x    k  x     k ,  6  6 2 3 
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra phương trình có họ nghiệm x   k với k lẻ 3 b) Trang 3  
Vây phương trình có họ nghiệm x   k , 4 2
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau 6 6 sin x  cos x 1 x x 5 a)  tan 2x b) 4 4 sin  cos  2 2 cos x  sin x 4 3 3 8 Lời giải:
a) Với cos2x  0 , phương trình đã cho tương đương  sin xcos x3 2 2 2 2  3sin xcos x  2 2 6 6 sin sin 1 x  cos x x cos x  sin2  x tan 2x   2 2 cos x  sin x 4 cos2x 4cos2x sin 2x  1    4
 sin 2x 1  x   k , sin 2x    1  4  3
b) Phương trình đã cho tương đương với 4x 1 2 3 cos x 3 4x 1 4x 2  k3 2 3  sin     cos      k2  x   , 3 4 2 4 3 2 3 3 2 2
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau  x   x a) 2 2 2 sin  tan x  cos  0  
b) cos3x  cos2x  cos x 1  0  2 4  2 Lời giải:
a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương với 2 1     sin x 1 cos x 1 cos x       1sin x 2 sin x  1 cos x 2 cos x 2 2   2  cos x 2
 1sin x1 cos x1 cos x  1 cos x1 sin x1 sin x
 1sin x1 cos xsin x  cos x  0 2 cos x  0 x    k2  cosx  1 cosx 1          , tan x  1 x    k2   tanx  1   4 
b) Phương trình đã cho tương đương với 3 2 3 2
4cos x  3cos x  2cos x 1 cos x 1  0  4cos x  2cos x  4cos x  2  0 2  x  x     x      2 2 cos 2 cos 1 2 2 cos 1 0 2 cos x   1 2cos x   1  0 Trang 4 sinx  0 x  k2   1   2 , k    cosx   x    k2  2  3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau  x  a) 2
tan x  cos x  cos x  sin x 1 tan . x tan   b) 1 i
s n x  cos x  sin 2x  cos 2x  0  2  Lời giải: x
a) Điều kiện: cos x cos  0 2  x  sin sin x  sin x 
Phương trình đã cho tương đương 2 2
 cosx cos x  sin x1 .  cos x cos x x  cos   2 
b) Phương trình đã cho tương đương với 1 i
s n x  cos x  sin 2x  cos 2x  0 2
 sin x  sin 2x 1 cos x  cos 2x  0  sin x  2sin x cos x 1 cos x  2cos x 1  0
 sin x1 2cos x  cos x1 2cos x  0  1 2cos xsin x  c s o x  0  2  1 x    k2 cos x     3  2   ,   tan x  1 x    k  4
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau a) 2 2 2 2
sin x  sin 3x  cos 2x  cos 4x b) 6 6 sin x  cos x  cos 4x Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương 2 2 2 2
sin x  sin 3x  cos 2x  cos 4x
 2cos5x cos3x  2cos5x cos x  0  cos5xcos x  cos3x  0   k x    10 5 cos5x  0    
 cos5x cos x cos 2x  0  cos x  0  x   k   , 2 cos 2x  0    k x    4 2
b) Phương trình đã cho tương đương với Trang 5 x  cos x  x   x  cos x3 6 6 2 2 2 2  xcos x  2 2 sin cos 4 sin 3sin sin x  cos x  cos 4x 3 3 k 2
 1 sin 2x  cos 4x  1 1 cos 4x  cos 4x  cos 4x 1  x  , 4 8 2
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau 1 3 a)
 3  3 tan x  3  3  0 b) 2  tan x  9 2   cos x cos x Lời giải:
a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương với 1  3 3 2
tan x  3  3  0  1 tan x  3  3 tan x  3  3  0 2   cos x 2
 tan x  3 3tan x  3  2  0  3  3  20  2 3 tan x   tan m  2 x  m  k     , 3  3  20  2 3 x  n  k tan x   tan n  2
b) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương 2 3 3 1 cos x 2 2 2  tan x  9  
 9  3cos x 1 cos x  9cos x 2 cos x cos x cos x  1 cos x     2 x    2k 2 10cos x 3cos x 1 0         3 , 1  cos x   x  m  k2  5
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau 4 1 a) 9 13cos x   0 b)  cot x  3 2 1 tan x 2 sin x Lời giải:
a) Với điều kiện cos x  0 phương trình đã cho tương đương 4 2 9 13cos x 
 0  9 13cos x  4cos x  0 2 1 tan x cos x 1   9
 cos x 1  x  k2 , cos x  1  4
b) Với điều kiện sin x  0 phương trình đã cho tương đương 1 2 2
 cot x  3  1 cot x  cot x  3  cot x  cot x  2  0 2 sin x   cot x  1 x    k     4 , cot x  2  x  m  k Trang 6
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau x a) 2 cos2x  3cos x  4cos b) 2 Lời giải:
a) Phương trình đã cho tương đương với x 2 2 cos2x  3cos x  4cos
 2cos x 1 3cos x  21 cos x 2 cos x  3 1  2
 2cos x  5cos x  3  0   1  x    k2 cos x   3  2
b) Với điều kiện sin 2x  0 phương trình đã cho tương đương với tan x  1    x      k tan 2x  1 tan x  1  4      , tan 2x  3 tan x  3     x    k tan x   3  3
Ví dụ 13. Giải phương trình 2sin x 1 cos 2x  sin 2x 1 2cos x Lời giải: 2
PT  4sin xcos x  2sin x cos x  1 2cos x  sin 2x 2cos x   1 1 2cos x  2  1 x    k2    x x   cos x       3 1 2cos sin 2 1 0 2     sin 2x 1 x   k  4  2  
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x    k2 ;  k ,  3 4   x 
Ví dụ 14. Giải phương trình cot x  sin x 1 tan x tan  4    2  Lời giải: sinx  0    k sin 2x  0 x 
Điều kiện: cos x  0     2 x    2  k x x    2k cos  0  2
Phương trình tương đương:  x x   x  sin . x sin  cos . x cos cos cos x   cos x   cos x sin 2 2 2   x sin . x    4   sin . x      4 sin x x sin x x sin x cos  cos .cos   cos .cos  x x x  2   2  Trang 7   x    1  k 2 2 12
 cos x  sin x  4sinxcosx  2sin 2 x  sinx    2 5   x   k  12   5 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x    k;  k  , 1  2 12 
Ví dụ 15. Giải phương trình 3 3 2
cos x  sin x  2sin x  1 Lời giải:
PT  sin x  cos x1 sin x cos x  sin x  cos xsin x  cos x  0 x x   x  x  x x  x  x sin  cos  0  1 sin cos 1 sin cos sin cos  0  1
 sin xcos x sin x cos x  0  2      Giải   1  sin x 
 0  x   k  x      k  4  4 4  t
Giải (2): Đặt sin x  cos x  t , t   2 1 2; 2  sin x cos x    ta có: 2 2 x  k2   1 t    2  1  t  0  t  2 1  0  t  1   2sin x   1     3 2  4  x   k2  2 3  
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x  
 k2 ;  k ;k2 ,  2 4  2cos 4
Ví dụ 16. Giải phương trình cot  tan  x x x sin 2x Lời giải: 
Điều kiện: sin 2  0   k x x 2 cos x sinx cos 4x 2 2 PT   
 cos x  sin x  cos 4x  cos 2x  cos 4x sinx cos x sinx cos x cos x  1 x  k2 2
 cos 2x  2cos 2x 1  cos x   1 2cos x   1  0   1   2 cos x   x    k2  2  3  2 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: x  k;  k2 ,  3 
sin 2x  2cos x  sin x 1
Ví dụ 17. Giải phương trình  0 tan x  3 Lời giải: Trang 8   cos  0 x    k x  Điều kiện: 2    tan x   3   x    k  3
Ta có phương trình  sin 2x  2cos x  sin x 1  0  sin x   1 2cos x   1  0   
Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có 2 họ nghiệm: x    k2;  k2  ,  3 2   3  sin x
Ví dụ 18. Giải phương trình tan  x   2    2  1 cos x Lời giải: sin x  0 x  k Điều kiện:   cos x  1
xk2 . Ta có phương trình tương đương: sin x cos x sin x 2 2 cot x   2  
 2  cos x  cos x  sin x  2sin x  2sin x cos x 1 cos x sin x 1 cos x   x   k2   x   x   1  6 cos 1 2sin 1  sin x    2 5   x   k2  6  5 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x    k2;  k2  ,  6 6      2  x  2 3 cos x  2sin     2 4
Ví dụ 19. Giải phương trình  1 2cos x 1 Lời giải: 1  Điều kiện: cos x 
 x    k2 . Phương trình đã cho tương đương 2 3      x x 2   2    2 3 cos x  2sin   2cos x 1  1 2sin   3 cos x  0      2 4   2 4          cos x 
 3 cosx  0  sin x  3 cos x  0  sin x   0  x       k  2   3  3 2
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x    k2 , 3 2
2sin x  3 2 sin x  sin 2x 1
Ví dụ 20. Giải phương trình 1  0 sin 2x 1 Lời giải: Trang 9 
Điều kiện: sin 2x  1  x    k . Phương trình tương đương 4 2  x  x  x    x   2 2sin 3 2 sin sin 2 1 sin 2
1  0  2sin x  3 2 sin x  2  0   x k    x   x     2 2  4 2sin 2 sin 2  0  sin x     2 5   x   k2  4 3
Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trình là: x    k2 , 4 4 4 sin x  cos x 1 1
Ví dụ 21. Giải phương trình  cot 2x  5sin 2x 2 8sin 2x Lời giải: 
Điều kiện: sin 2  0   k x x
. Phương trình tương đương: 2 2 2
 4  4cos 2x  20cos2x  5  4cos 2x  20cos2x  9  0  2cos x   1 2cos x 9  0 1  
 cos x   x    k2 . Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x    k2 , 2 3 3  2 2  sin 2x sin 3x 4 
Ví dụ 22. Giải phương trình tan x 1  4 cos x Lời giải: 
Điều kiện: cos x  0  x 
 k . Phương trình tương đương: 2 1 4 4 sin x  cos x   2 2  sin 2x 2 sin 3x  1 sin 2x   2 2  sin 2xsin 3x 2   k 2 17 k2 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là: x    ;   , 1  8 3 18 3  x
Ví dụ 23. Giải phương trình  x   3 2sin 2 cos 1 cot x   sin x cos x 1 Lời giải: x  Điều kiện: sin 0
cos x  . Phương trình tương đương: 1   x   x   x   x     2  x 3 2 2 cos 1 cos 1 cos 3 cos 1 2 1 cos
 2cos x  cos x  2cos x 1  0 Trang 10   2cos x   1  1 2 cos x   1  0  cos x   x    k2 2 3 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k2 , 3 sin 2x cos 2x
Ví dụ 24. Giải phương trình   tan x  cot x cos x sin x Lời giải: 
Điều kiện: sin 2  0   k x x
. Phương trình tương đương: 2 2 2 2 2  sin 2 . x sin x  cos2 .
x cos x  sin x  cos x  1 2cos x  cos x  1 2cos x    x   x   1 cos 1 2cos 1  0  cos x   x    k2 2 3 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k2 , 3 1 sin 2x  cos 2x
Ví dụ 25. Giải phương trình  2 sin xsin 2x 2 1 cot x Lời giải:
Điều kiện: sin x  0  x  k . Phương trình tương đương:
 1 sin 2x  cos 2x  2 sin x sin 2x 1 2
1 cot x  2 sin xsin 2 .x  2 2 cos x 2 sin x 2
 sin 2x  cos2x  2 2 cos x 1  0  sin x cos x  cos x  2 cos x  0 x  x  x  x   cos 0 cos sin cos 2   sin x  cos x  2 
 Với cos x  0  x   k 2     
Với sin x  cos x  2  sin x   1  x   k2     4  4   
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x    k ;  k2  ,  2 4  cos x cos 5x
Ví dụ 26. Giải phương trình   8sin x sin 3x cos 3x cos x Lời giải: x 
Điều kiện: cos 0 . Phương trình tương đương: cos 3x  0 2 2  cos x  cos5 . x cos 3x  8sin . x cos . x sin 3 . x cos3x  cos x  cos 3 . x cos 5x  2sin 2 . x sin 6x
 1 cos 2x  cos8x  cos 2x  2cos 4x  cos8x  cos8x  2cos 4x 1  0 Trang 11   k   x    x  x   k  2 cos 4 0 4  x  x     8 4 cos 4 cos 4 0  2  cos 4x  1   k 4x  k2 x   2 k  k 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x   ;   ,  2 8 4  BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm nghiệm của phương trình sau 4 4 sin x  cos x  0    A. x   k , B. x   k , 4 2 4   C. x    k2 , D. x  k , 4 2   
Câu 2. Phương trình 2cos x   1  
có số nghiệm thuộc đoạn 0;2  là  3  A. 1 B. 2 C. 0 D. 3   
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x   1   ,   x  5 là  4  A. 0 B. 2 C. 3 D. 1    3   
Câu 4. Phương trình sin 3x     
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;   ?  3  2  2  A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 3
Câu 5. Cho phương trình sin 2x 
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn 0;3  thì 2 giá trị của n là A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
Câu 6. Số nghiệm của phương trình cos2x  sin 3x  0 thuộc 0;2  là A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
Câu 7. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin x  sin 2x  0 trên đoạn 0;2 . A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
Câu 8. Cho phương trình sin 2x  2 cos x  0 , nghiệm của phương trình là   A. x   k , B. x   k , 2 8 3  C. x   k2 , D. x    k , 4 6
Câu 9. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là  3 A.  B. C. D. 4 4 Trang 12
Câu 10. Phương trình sin 5x  sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 2018;2018  ? A. 16145 B. 20181 C. 16144 D. 20179
Câu 11. Phương trình cos x  cos2x  cos3x 1  0 có mấy nghiệm thuộc nửa khoảng ;0 ? A. 3 B. 1 C. 4 D. 2     3 
Câu 12. Phương trình sin 2x   sin x    
 có tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;  bằng  4   4  7 3  A. B.  C. D. 2 2 4
Câu 13. Tìm số nghiệm thuộc khoảng ;  của phương trình cos x  sin 2x  0 A. 4 B. 3 C. 1 D. 2
Câu 14. Tìm số nghiệm của phương trình sin cos x  0 trên đoạn x 0;2  A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Câu 15. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin x  1 thuộc đoạn 0;2  A. 2 B. 0 C.  D. 3
Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình 2 2
sin x  sin 2x  cos x  0 trên đoạn 0;2018  là 4071315 4075351 8142627 A. B. C. D. 2 2 2
Câu 17. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 0; , các điểm C, D thuộc trục Ox 2
thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và CD  . Tính độ dài đoạn BC 3 2 1 3 A. B. C. 1 D. 2 2 2 3
Câu 18. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình  3cot x  3 là 2 sin x  5  2 A.  B.  C.  D.  6 6 2 3
Câu 19. Nghiệm của phương trình lượng giác 2
cos x  cos x  0 thỏa mãn điều kiện 0  x   là Trang 13 3   A. x  0 B. x  C. x  D. x   4 2 2
Câu 20. Phương trình cos2x  2 cos x  3  0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2019 ? A. 320 B. 1009 C. 1010 D. 321
Câu 21. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x  cos 2x  2sin 3 .
x sin 2x  0 trên đoạn 0;3  là 16 11 25 37 A. B. C. D. 3 3 3 3 sin x Câu 22. Cho phương trình
 0 . Tính tổng tất cả các nghiệm trong đoạn 0;2018  2 cos x  3cos x  2 của phương trình trên. A. 1018018 B. 1018080 C. 1018081 D. 1020100  2 2
2 1 3sin x cos x sin xcos x Câu 23. Cho phương trình
 0 có x là nghiệm dương lớn nhất 2  2sin x 0 
trên khoảng 0;100  và có dạng x  a  , . Tính tổng a  b 0 b A. 100 B. 101 C. 102 D. 103
Câu 24. Số nghiệm của phương trình 2
3sin 2x  cos2x 1  0 trên nửa khoảng 0;4  là A. 8 B. 2 C. 4 D. 12   
Câu 25. Gọi x là một nghiệm của phương trình sin 2x  cos x trên
; . Tính giá trị của biểu thức 0    2 
S  sin x  sin 2x  sin 3x  ..  sin 2018x 0 0 0 0 1 3 1 1 3 A. S  B. S  C. S  0 D. S  2 2 2
Câu 26. Tính tổng các nghiệm của phương trình  cos x   4 4 2 2
5 sin x  cos x  3  0 trong khoảng 0;2018  A. 2010.2018 B. 1010.2018 C. 2 2018  D. 2016.2018
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 2-B 3-B 4-D 5-C 6-A 7-B 8-A 9-D 10-B 11-D 12-B 13-A 14-C 15-D 16-A 17-B 18-C 19-C 20-D 21-D 22-C 23-D 24-D 25-D 26-C 27- 28- 29- 30- Câu 1: 4 4 x  cos x    2 2 x  cos x  2 2 sin 0 sin . sin x  cos x  0 Trang 14   k 2 2
 sin x  cos x  0  cos2x  0  2x   k  x   . Chọn A. 2 4 2      x    k2 x    k2    2   Câu 2: 3 4 12 cos x          3  2   7 x     k2 x    k2  3 4  12  1 25 TH1. Với 0 2 0 2 2 k x k  k             k 1 12 24 24 7 7 31 TH2. Với 0 2 0 2 2 k x k  k              k  1 12 24 24
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.       Câu 3: sin x 
 1  x    k2  x   k2    4  4 2 4  3 19 Mà   x  5 
   k2  5   k    k  1;  2 . Chọn B. 4 8 8     2 k2 3x     k2       3 x   Câu 4: 3 3 9 3 sin 3x           3  2    k2
3x      k2 x    3 3  3 3  2 k2  0       9 3 2  4  Mà 0  x      x   ; . Chọn D. 2   k2   3 9  0     3 3 2     2x   k2    3 x k   Câu 5: 3 6 sin 2x      2   2x     k2 x   k  3  3   7 13 4 7 Mà 0 x 3       x   ; ; ; ; ;  . Chọn C.  6 3 6 6 3 3    
Câu 6: cos2x  sin 3x  sin  3  x  cos 3x     2      3x   2x  k2 x    k2  2  2       k2 3x   2x  k2 x     2  10 5         Mà x    3 3 7 11 3 19 0; 2  x   ; ; ; ; ;  . Chọn A.  2 10 10 10 2 10  sin x  0
Câu 7: Phương trình  sin x  2sin x cos x  0  sin x 1 2cos x  0   1 cos x    2 Trang 15 x  k   2 x    k2  3 x  0 x  k   TH1: Với      x   x 0; 2    x  2   2 x  2 2  TH2: Với x    k2 ta giải 3 0    k2  2   3 3 4   x   3
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn 0;2  là 5 . Chọn B. cosx  Câu 8: x  x   x x  x   x  x   0 sin 2 2cos 0 2sin cos 2 cos 0 2cos sin 1  0   sin x  1 
 cosx  0  x   k , . Chọn A. 2  x  Câu 9: x  x x   x   x sin 0 2sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 2 cos  0  1    2 cos x  0 x  k x  k  1    3  cos x   x   k2  2  4 3
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là . Chọn D. 4  k  5   2 x x x k   Câu 10: 2 sin 5x  sin x    5x    x  k2   k x    6 3 k k TH1: Với x  mà x  2  018;2018   2  018   2018 2 2 có 4036   4
 036 1 8073 nghiệm k.  k TH2: Với x   mà 6 3 12109 k 12107 k 12109 12107        k  6 3 6 2 2 k   có 6053  6
 054 112108 nghiệm k.
Vậy phương trình đã cho có 8073 12108  20181 nghiêm. Chọn B. Câu 11: 2 3
cos x  cos2x  cos3x 1  0  cos x  2 cos x 1 4 cos x  3cos x 1  0 Trang 16 sinx  0 3 2 4 cos x 2cos x 4cos x 2 0  2 cos x 12cosx 1 0            1 cos x    2 x  k   2 mà . Chọn D. x    k2  3   3 2x   x   k2 x    k2     3   Câu 12: 4 4 sin 2x   sin x           k2  4   4  3  x   2x     x   k2  6 3  4 4
TH1. Với x    k 2 mà x 0;   0    k2   1  2 0 0 k k k            k   2  k2  k  TH2. Với x   mà x    2 0;  0     6 3 6 3  k 2 5 1 15    k         k    k    5 0;1  x   ;  6 3 6 4 12  6 6 
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là  . Chọn B.   
Câu 13: cos x   sin 2x  sin 2x  cos 2x     2      2x   x  k2 x    k2  2  2       k  k2 2x   x  k2 x     2  6 3  
TH1. Với x    k 2 mà x    ;        k2   2 2  3 1 3      2 k k      k   k  0  x   2 2 4 4 2  k2  k  TH2. Với x    mà x      2 ;         6 3 6 3 5 k2 7 5 21 k k           k   1  ;0;  1 6 3 6 12 12
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm. Chọn A.
Câu 14: sin cos x  0  cos x  k mà cos x  1  ;  1 1 1 Suy ra 1  1 k k k          k  0       Do đó cos x  0  x   . n  mà x    3 0; 2 
 x   ; . Chọn C. 2  2 2  Trang 17
Câu 15: cos sin x 1  sin x  k2 mà sin x 1;  1 1 1 Suy ra 1 2 1 k k k           k  0 2 2
Do đó sin x  0  x  .
n  mà x 0;2  
 x  0;;2. Chọn D.  
Câu 16: sin 2x  1  2x 
 k2  x   k k  2 4  1 8071 Mà 0  x  2018 
0   k  2018    k  4 4 4  Suy ra k    4071315 0;1; 2;...; 2017   x  . Chọn A. 2 2   CD      Câu 17: Vì CD   OD    x   D ;0   3 2 6 D 6  6    1   1  1 Do đó x   y  sin   A ;  BC  AD  . Chọn B. A   6 A 6 2  6 2  2 Câu 18: Phương trình   2  x 2 3 1 cot
 3cot x  3  cot x  3 cot x  0 . Chọn C.    x     Câu 19: Phương trình 2 cos 0   cos  0 x k cos x x     2 k  cos x  1 x   k2  1 1  Với x 
 k mà 0  x   
   k   k  0  x  2 2 2 2 1
Với x  k 2 mà 0  x   
9  k   k   . Chọn C. 2 Câu 20: Phương trình 2 2
 2cos x 1 2cos x  3  0  cos x  cos x  2  0 cos x 1        mà x   2019 0; 2019  0  k  x    l cos x 1 x k2 cos 2 2
Mặt khác k   k  1;2;...;32 
1 nên có 321 nghiệm cần tìm. Chọn D.
Câu 21: Phương trình  cos 5x  cos 2x  cos x  cos 5x  0  cos 2x  cos   x x    k2 2x  x   k2     k2  mà x 0;3 
2x  x   k2 x     3 3   5 7  37  x    ;3 ; ; ; ;3    x  . Chọn D.  3 3 3  3 Trang 18 sin x  0 sin x  0
Câu 22: Phương trình     cos x  1  2
cos x  3cos x  2  0 cosx1 Do đó cos x  1
  x    k2 mà x    1 2017 0; 2018    k  2 2 1008 Mặt khác k     k  0;1;2;...;100 
8    k2  1018081 . Chọn C. k 0 2
Câu 23: Điều kiện: 2  2sin x  0  sin x  2 Phương trình trở thành: 2 2 2
2  6sin x cos x  sin x cos x  0  4  3sin 2x  sin 2x  0 k   Với x    1 399 0;100 
0   k  100    k  4 4 4  Mà k     k
 99  x   99 (thỏa mãn)  a  b  99  4  103. Chọn D. max 4 Câu 24: Phương trình  2  cos x 2 3 1 2  cos2x 1  0  3
 cos 2x  cos2x  2  0 cos2x  1 2x  k2 x  k   2    2    1  2  cos2x   2x  arccos   k2   x   arccos   k    3   3   2  3 
TH1. Với x  k 0;4   0  k  4   k  0;1;2;  3 nên có 4 nghiệm. 1  2  TH2. Với x  arccos   k   
0;4   0,116  k  3,883 2  3    k  0;1;2;  3 nên có 4 nghiệm. 1  2 
TH3. Với x   arccos   k   
0;4   0,116  k  4,116 2  3 
nên có 4 nghiệm. Vậy phương trình có tổng 12 nghiệm. Chọn D.     k2 2x   x  k2 x        Câu 25: Phương trình 2 6 3  sin 2x  sin  x        2   
2x     x  k2 x   k2  2  2            Với x  ; 
 x   S  sin  sin 2.  .. sin 2018.   0      2  6 6  6   6  n 1 sin x nx Ta có 2
sin x  sin 2x  sin 3x  ... sin nx  .sin x 2 sin 2 Trang 19 2019   sin . 2018.  1 3 1 1 3 Với 2 6 6 x  ; n  2018   S  .sin  :  . Chọn D. 6  2 2 2 2 2 2 sin 12
Câu 26: Phương trình   cos x   2 2 x  cos x 2 2 2 2 5 sin
sin x  cos x  3  0  cos x  cos x   2 2 . 2 2
5  3  0  2cos 2x  5cos2x  3  0      1 2x   k2 x   k cos2x     3  6 2        cos2x  3  2x    k2 x    k  3  6   TH1. Với x   k    1 12107 0; 2018
 0   k  2018    k  6 6 6 6    
Mà k   nên k  0;1;2;...;201  2017 7   
 k  2018.  2035153   k 0  6  6  
TH2. Với x    k    1 12109 0; 2018
 0    k  2018   k  6 6 6 6    
Mà k   nên k  0;1;2;...;2017;201  2018 8      k  2  018.  2037171   k 0  6  6
Vậy tổng các nghiệm cần tính là 2
4072324  2018  . Chọn C. Trang 20