Tài liệu học tập Toán 12 học kì 1 phần Hình học

Tài liệu học tập Toán 12 học kì 1 phần Hình học được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK1 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

117 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHINH PHỤC TOÁN THPT
Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI
ĐT: 0909 461 641
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
HỌCKÌ I
scale=0.7
x
y
−3
−2
1
2
3
4
0
HÌNH HỌC
Blog của Fanpage
Thầy Khôi 10-11-12 và LTĐH
Phone
0909 461 641
Contact
nguyenbinhkhoi160788@gmail.com
Q
LƯU HÀNH NỘI BỘ
MỤC LỤC
PHẦN I HÌNH HỌC
Chương1. KHỐI ĐA DIỆN 2
Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 2
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
| Dạng 1. Nhận biết hình đa diện.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
| Dạng 2. Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
| Dạng 3. Phân chia, lắp ghép khối đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bài 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 15
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
| Dạng 1. Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
| Dạng 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Bài 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 23
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 2. Khối chóp có mặt phẳng chứa đỉnh vuông góc với đáy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
| Dạng 3. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
| Dạng 4. Khối chóp đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Bài 4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 40
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
| Dạng 1. Khối lăng trụ đứng tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
| Dạng 2. Khối lăng trụ đứng tứ giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
| Dạng 3. Khối lăng trụ xiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
Bài 5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH 55
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
| Dạng 1. Tỉ số thể tích trong khối chóp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
| Dạng 2. Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
ii
Trang
Bài 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP 67
A ĐỀ ÔN SỐ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B ĐỀ ÔN SỐ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C ĐỀ ÔN SỐ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chương2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU 78
Bài 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN 78
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình nón, khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
| Dạng 2. Xoay hình phẳng quanh trục tạo thành khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
| Dạng 3. Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
| Dạng 4. Khối nón ngoại tiếp, nội tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
| Dạng 5. Gấp hình quạt để tạo thành mặt nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Bài 2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ 91
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình trụ, khối trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
| Dạng 2. Xoay hình phẳng quanh trục tạo khối trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
| Dạng 3. Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
| Dạng 4. Khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
| Dạng 5. Gấp hình chữ nhật để tạo thành mặt trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Bài 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 103
A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu, khối cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
| Dạng 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
| Dạng 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
| Dạng 4. Tổng hợp nón, trụ, cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Chương3. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 113
Bài 1. TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM 113
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
| Dạng 1. Tọa độ véc tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
| Dạng 2. Tọa độ điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
| Dạng 3. Hình chiếu, đối xứng qua các trục, các mặt toạ độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
| Dạng 4. Tính diện tích và thể tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
Trang
iii
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 124
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
| Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
| Dạng 2. Mặt cầu dạng khai triển. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
| Dạng 3. Lập phương trình mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
| Dạng 4. Vị trí tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 133
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
| Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
| Dạng 2. Lập phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
| Dạng 3. Phương trình theo đoạn chắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
| Dạng 4. Khoảng cách và góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
| Dạng 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
| Dạng 6. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
Bài 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 145
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
| Dạng 1. Xác định điểm thuộc và véc tơ chỉ phương của đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
| Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết vài yếu tố liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
| Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
| Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
| Dạng 5. Góc và khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
| Dạng 6. Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
| Dạng 7. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
Bài 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 159
A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
| Dạng 1. Tìm max - min bằng cách thiết lập hàm và khảo sát hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
| Dạng 2. Tìm max - min bằng mối quan hệ giữa đường cao và đường xiên. . . . . . . . . . . . . . . . . 159
| Dạng 3. Tìm max – min bằng cách quy về tìm hình chiếu của điểm lên mặt.. . . . . . . . . . . .160
| Dạng 4. Tìm max - min bằng cách quy về tìm điều kiện ba điểm thẳng hàng. . . . . . . . . . . 161
| Dạng 5. Max min liên quan đến phương trình theo đoạn chắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
Bài 6. BỘ ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 169
A ĐỀ SỐ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B ĐỀ SỐ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C ĐỀ SỐ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
D ĐỀ SỐ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
E ĐỀ SỐ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
PHẦNI
HÌNH HỌC
KHỐI ĐA DIỆN
1
1
Chương
KHỐI ĐA DIỆN
§1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
AA
1. Khái niệm về hình đa diện
a) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu
hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
○ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung,
hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
○ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai
đa giác.
b) Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của
các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa
diện.
đỉnh
cạnh
mặt
2. Khái niệm về khối đa diện
○ Khối đa diện là phần không gian được giới
hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện
đó.
○ Những điểm không thuộc khối đa diện
được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
N
M
điểm trong
điểm ngoài
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong
của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài
được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
○ Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là
miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn
một đường thẳng nào đó.
3. Một số phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M
0
xác định duy nhất được gọi là
một phép biến hình trong không gian.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
3
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý.
Một số phép dời hình trong không gian:
3.1. Phép tịnh tiến theo vectơ
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M
0
sao cho
# »
MM
0
=
#»
v .
#»
v
M
M
0
3.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P)
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành
điểm M
0
sao cho (P) là mặt phẳng trung tr ực của
MM
0
.
M
M
0
I
P
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H
thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng
của H.
3.3. Phép đối xứng qua tâm O
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O t hành chính nó, biến mỗi điểm
M khác O thành điểm M
0
sao cho O là trung điểm MM
0
.
M
M
0
O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O
được gọi là tâm đối xứng của (H).
3.4. Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆ )
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M
0
sao
cho ∆ là đường trung trực của MM
0
.
M
M
0
O
∆
Nếu phép đối xứng tr ục ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆
được gọi là trục đối xứng của (H).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
4
Trang
o
○ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
○ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H
0
), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh,
cạnh, mặt tương ứng của (H
0
).
4. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
5. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa
diện (H
1
), (H
2
) sao cho (H
1
) và (H
2
) không
có chung điểm trong nào thì ta nói có thể
chia được khối đa diện (H) thành hai khối
đa diện (H
1
) và (H
2
), hay có thể lắp ghép
hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) với nhau để
được khối đa diện (H).
(H)
(H
1
)
(H
2
)
Một số lưu ý về khối đa diện
Khi cho một hình đa diện, ta cần xác định được:
1 Đỉnh, mặt; điểm thuộc, điểm trong, điểm ngoài.
2 Mặt bên, cạnh bên.; mặt đáy, cạnh đáy (nếu có).
Các khối đa diện cần nhớ rõ tính chất:
1 Khối tứ diện đều, khối chóp.
2 Khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối lập phương.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BB
1
Dạng
Nhận biết hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung,
hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
5
Ví dụ 1
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh hoặc các mặt bất kỳ hình đa diện nào
cũng
A lớn hơn hoặc bằng 4. B lớn hơn 4.
C lớn hơn hoặc bằng 5. D lớn hơn 5.
Ví dụ 2
Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện?
A Không có mặt nào. B Ba mặt.
C Bốn mặt. D Hai mặt.
Ví dụ 3
Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đề đúng. Trong một khối đa diện thì
A hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung. B hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
C hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung. D mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Ví dụ 4
Mỗi đỉnh của một đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
A Ba mặt. B Hai mặt. C Bốn mặt. D Năm mặt.
Ví dụ 5
Cho các hình vẽ sau:
Số các hình đa diện trong các hình trên là
A 3. B 0. C 1. D 2.
Ví dụ 6
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hình không là hình đa diện.
A B C D
Ví dụ 7
Vật thể nào trong các hình sau đây không phải là khối đa diện?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
6
Trang
A . B . C . D .
Ví dụ 8
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
A . B . C . D .
2
Dạng
Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện
Số cạnh của hình chóp (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 2 lần số đỉnh của mặt đáy.
Trong hình chóp, Số cạnh bên bằng số cạnh của mặt đáy.
Số cạnh của hình lăng trụ (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 3 lần số đỉnh của một mặt đáy.
Số cạnh (C), số đỉnh (Đ) và số mặt (M) trong đa diện lồi liên hệ bởi hệ thức
(Đ) + (M) = (C) + 2
Ví dụ 1
Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên.
A 11. B 10.
C 12. D 9.
Ví dụ 2
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?
A 10. B 15.
C 8. D 11.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
7
Ví dụ 3
Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt?
A 12.
B 10.
C 6.
D 11.
Ví dụ 4
Khối chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
A 20. B 15. C 5. D 10.
Ví dụ 5
Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
A 20. B 25. C 10. D 15.
Ví dụ 6
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
A 20. B 11. C 12. D 10.
Ví dụ 7
Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?
A 2018. B 2016. C 2017. D 2015.
3
Dạng
Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Ví dụ 1
Mặt phẳng
AB
0
C
0
chia khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
thành các
khối đa diện nào?
A Hai khối chóp tứ giác.
B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C Hai khối chóp tam giác.
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
A
B
C
A
0
B
0
C
0
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
8
Trang
Ví dụ 2
Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
thành hai
khối lăng trụ?
A (A
0
B C
0
). B (ABC
0
).
C (AB
0
C). D (A
0
BD).
D
A
B
C
A
0
B
0
C
0
D
0
Ví dụ 3
Cắt khối lăng trụ MNP.M
0
N
0
P
0
bởi các mặt phẳng
MN
0
P
0
và
MNP
0
ta được những khối đa diện nào?
A Ba khối tứ diện.
B Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.
C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
D Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
M
N
P
P
0
M
0
N
0
Ví dụ 4
Cho khối tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung
điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện
ABCD thành
A Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
B Hai khối tứ diện.
C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác.
D Hai khối chóp tứ giác.
B
C
M
A
D
N
Ví dụ 5
Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật?
A 4. B 3. C 5. D 6.
—–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
9
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CC
Câu 1
Hình chóp có 20 cạnh thì có bao nhiêu mặt?
A 12 mặt. B 11 mặt. C 10 mặt. D 19 mặt.
Câu 2
Khối đa diện đều loại {4; 3} là
A Khối bát diện đều. B Khối tứ diện đều.
C Khối hộp chữ nhật. D Khối lập phương.
Câu 3
Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau
A Nếu có tổng số mặt bằng nhau.
B Nếu có diện tích các mặt bằng nhau.
C Nếu có thể tích bằng nhau.
D Nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Câu 4
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
B Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Câu 5
Số cạnh của khối tứ diện đều là
A 5. B 7. C 8. D 6.
Câu 6
Số cạnh của một hình lăng tr ụ có thể là số nào dưới đây?
A 2019. B
2020. C 2017. D 2018.
Câu 7
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của
đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A 3C = 2M . B C = M + 2 . C M ≤ C . D 3M = 2C .
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
10
Trang
Câu 8
Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D.
Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB) ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện
A AMCN, AMND, BMCN, BMND. B AMCN, AMND, AMCD, BMCN.
C BMCD, BMND, AMCN, AMDN. D AMCD, AMND, BMCN, BMND.
Câu 9
Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
thành hai khối lăng trụ?
A (A
0
B C
0
). B (ABC
0
). C (AB
0
C). D (A
0
BD).
Câu 10
Khối đa diện bất kỳ có ít nhất
A 6 đỉnh. B 6 mặt. C 4 đỉnh. D 8 đỉnh.
Câu 11
Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là
A 0. B 1. C 3. D 2.
Câu 12
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
(như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây
là đúng?
A Phép tịnh tiến theo
# »
DC biến điểm A
0
thành điểm B
0
.
B Phép tịnh tiến theo
# »
AB
0
biến điểm A
0
thành điểm C
0
.
C Phép tịnh tiến theo
# »
A C biến điểm A
0
thành điểm D
0
.
D Phép tịnh tiến theo
# »
AA
0
biến điểm A
0
thành điểm B
0
.
A
0
A
D
D
0
C
B
C
0
B
0
Câu 13
Khẳng định nào sau đây đúng? Cắt khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bởi mp(A
0
B C) ta được
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B Hai khối chóp tứ giác.
C Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
D Hai khối chóp tam giác.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
11
Câu 14
Cho các hình vẽ sau:
Số các hình đa diện trong các hình trên là
A 3. B 0. C 1. D 2.
Câu 15
Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
B là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó.
C là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp.
D là khối đa diện có hình dạng là hình chóp.
Câu 16
Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau
A Nếu có tổng số mặt bằng nhau.
B Nếu có diện tích các mặt bằng nhau.
C Nếu có thể tích bằng nhau.
D Nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Câu 17
Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D.
Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB) ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện
A AMCN, AMND, BMCN, BMND. B AMCN, AMND, AMCD, BMCN.
C BMCD, BMND, AMCN, AMDN. D AMCD, AMND, BMCN, BMND.
Câu 18
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A Hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác được gọi là hình đa diện.
B Khối đa diện bao gồm không gian được giới hạn bởi hình đa diện và cả hình đa diện đó.
C Mỗi cạnh của một đa giác trong hình đa diện là cạnh chung của đúng hai đa giác.
D Hai đa giác bất kì trong hình đa diện hoặc là không có điểm chung, hoặc là có một điểm
chung, hoặc là có một cạnh chung.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
12
Trang
Câu 19
Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào?
A loại {3; 5}. B loại {5; 3}. C loại {3; 4}. D loại {4; 3}.
Câu 20
Mặt phẳng (A
0
B C) chia khối lăng trụ ABC .A
0
B
0
C
0
thành các khối đa diện nào?
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B Hai khối chóp tam giác.
C Hai khối chóp tứ giác.
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
Câu 21
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a, cạch bên bằng 2a. Gọi M là trung
điểm AA
0
. Gọi góc giữa đường thẳng MB
0
và mặt phẳng (BCC
0
B
0
) là α, góc α thỏa mãn đẳng
thức nào dưới đây?
A sin α =
√
6
4
. B sin α = −
√
6
4
. C cos α =
√
6
4
. D sin α =
√
3
2
.
Câu 22
Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật?
A 4. B 3. C 5. D 6.
Câu 23
Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh?
A 10. B 8. C 12. D 20.
Câu 24
Khối đa diện bên dưới có bao nhiêu đỉnh?
A 9. B 3. C 11. D 12.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Trang
13
Câu 25
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện đều.
B Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
C Khối hộp là khối đa diện lồi.
D Khối lập phương là khối đa diện lồi.
Câu 26
Mặt phẳng (A
0
B C) chia khối lăng trụ ABC .A
0
B
0
C
0
thành các khối đa diện nào?
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B Hai khối chóp tam giác.
C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
D Hai khối chóp tứ giác.
Câu 27
Hình bát diện đều (tham khảo hình vẽ bên) có bao nhiêu mặt?
A 8. B 9. C 6. D 4.
Câu 28
Khối đa diện có tất cả các mặt là hình vuông có bao nhiêu đỉnh?
A 8. B 4. C 16. D 20.
Câu 29
Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện,
A mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh.
B hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung.
C mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt.
D mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.
Câu 30
Hình chóp tứ giác có tổng số cạnh và số đỉnh bằng
A 12. B 13. C 8. D 5.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
14
Trang
Câu 31
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều.
Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều Khối 20 mặt đều
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
B Khối mười hai mặt đều và khối 20 mặt đều có cùng số đỉnh.
C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
Câu 32
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết hai mặt phẳng ( SAB ) và (SAD) cùng
vuông góc với mặt đáy. Hình chóp này có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 4. B 1. C 0. D 2.
Câu 33
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
A . B .
C . D .
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Trang
15
§2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
AA
Một số lưu ý về khối đa diện đặc biệt
Khối đa diện (H) là khối đa diện lồi nếu đoạn nối hai điểm bất kì thuộc (H) thì luôn thuộc (H)
(đoạn đó nằm trên mặt hoặc nằm trong (H)).
Khối đa diện đều
— Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh;
— Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
— Khối đa diện đều như vậy được kí hiệu loại (p; q).
Hình ảnh năm khối đa diện đều và các tóm tắt:
Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều Khối 20 mặt đều
Loại {3;3} Loại {4;3} Loại {3;4} Loại {5;3} Loại {3;5}
Đ,C,M: 4, 6, 4 Đ,C,M: 8, 12, 6 Đ,C,M: 6, 12, 8 Đ,C,M: 20, 30, 12 Đ,C,M: 12, 30, 20
Bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnh a Số
đỉnh
Số
cạnh
Số
mặt
Thể tích V Bán kính R mặt
cầu ngoại tiếp
Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4
√
2a
3
12
a
√
6
4
Lập phương {4; 3} 8 12 6 a
3
a
√
3
2
Bát diện đều {3; 4} 6 12 8
√
2a
3
3
a
√
2
2
Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12
15 + 7
√
5
4
a
3
√
3 +
√
15
4
a
Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20
15 + 5
√
5
12
a
3
√
10 +
√
20
4
a
1. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
1.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
○ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
○ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
16
Trang
đều).
1.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
1.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
1.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc
một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều.
Khi đó:
○ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
○ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
○ Ba đường chéo bằng nhau.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
BB
1
Dạng
Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Ví dụ 1
Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là
A 3. B 0. C 1. D 2.
Ví dụ 2
Hỏi khối đa diện đều loại {4; 3} có bao nhiêu mặt?
A 4. B 20. C 6. D 12.
Ví dụ 3
Khối mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây?
A {3; 4}. B {4; 3}. C {3; 5}. D {5; 3}.
Ví dụ 4
Số cạnh của khối 12 mặt đều là bao nhiêu?
A 14. B 20. C 30. D 16.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Trang
17
Ví dụ 5
Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh?
A 8. B 6. C 12. D 10.
Ví dụ 6
Số cạnh của hình bát diện đều là
A 8. B 10. C 12. D 24.
Ví dụ 7
Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào?
A loại {3; 5}. B loại {5; 3}. C loại {3; 4}. D loại {4; 3}.
Ví dụ 8
Số đỉnh của hình hai mươi mặt đều là
A 12. B 20. C 30. D 16.
Ví dụ 9
Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó
được làm từ các que tre có độ dài 8 cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)?
A 96 m. B 960 m. C 192 m. D 128 m.
Ví dụ 10
Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?
A Khối lập phương. B Khối bát diện đều.
C
Khối mười hai mặt đều. D Khối tứ diện đều.
Ví dụ 11
Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?
A Hình hộp chữ nhật. B Hình bát diện đều.
C Hình lập phương. D Hình tứ diện đều.
Ví dụ 12
Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành các đỉnh của khối đa diện nào sau đây?
A Khối bát diện đều. B Khối lăng tr ụ tam giác đều.
C Khối chóp lục giác đều. D Khối tứ diện đều.
2
Dạng
Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
18
Trang
Ví dụ 1
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 5. B 6. C 3. D 4.
Ví dụ 2
Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt
phẳng đối xứng?
A 4. B 3. C 2. D 1.
Ví dụ 3
Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6. B 4. C 3. D 2.
Ví dụ 4
Hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6. B 4. C 3. D 7.
Ví dụ 5
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 3 mặt phẳng. B 2 mặt phẳng. C 5 mặt phẳng. D 4 mặt phẳng.
Ví dụ 6
Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6 mặt phẳng. B 4 mặt phẳng. C 10 mặt phẳng. D 8 mặt phẳng.
Ví dụ 7
Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là
A 8. B 9. C 6. D 7.
—–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Trang
19
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CC
Câu 1
Hình lập phương thuộc loại khối đa diện nào?
A {5; 3}. B {3; 4}. C {4; 3}. D {3; 5}.
Câu 2
Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó
được làm từ các que tre có độ dài 8 cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)?
A 96 m. B 960 m. C 192 m. D 128 m.
Câu 3
Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 6. B 7. C 8. D 9.
Câu 4
Một hình chóp ngũ giác đều có bao nhiêu mặt và bao nhiêu cạnh?
A 6 mặt và 8 cạnh. B 5 mặt và 8 cạnh. C 5 mặt và 10 cạnh. D 6 mặt và 10 cạnh.
Câu 5
Hình lập phương có bao nhiêu mặt?
A 6. B 7. C 8. D 5.
Câu 6
Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?
Hình (I) Hình (II) Hình (II I) Hình (IV)
A Hình (IV). B Hình (I II). C Hình (I I). D
Hình (I).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
20
Trang
Câu 7
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại
A {5; 3}. B {3; 5}. C {4; 3}. D {3; 4}.
Câu 8
Số cạnh của một hình lập phương là
A 8. B 12. C
16. D 10.
Câu 9
Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là
A 1. B 2. C 3. D 4.
Câu 10
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong một mặt cầu?
A Hình chóp tam giác (tứ diện). B Hình chóp tứ giác.
C Hình chóp đều ngũ giác. D Hình hộp chữ nhật.
Câu 11
Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A S = 4
√
3a
2
. B S =
√
3a
2
. C S = 2
√
3a
2
. D S = 8a
2
.
Câu 12
Cho khối đa diện đều (H) loại
{
4; 3
}
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A (H) có 3 đỉnh và 4 mặt. B (H) có 6 đỉnh và 6 mặt.
C (H) có 4 đỉnh và 4 mặt. D (H) có 8 đỉnh và 6 mặt.
Câu 13
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
B Khối chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện đều.
C Khối chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện đều.
D Khối lập phương là khối đa diện đều.
Câu 14
Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là
A 30, 20, 12. B 20, 12, 30. C 12, 30, 20. D 20, 30, 12.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Trang
21
Câu 15
Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại
A {5; 3}. B {4; 3}. C {2; 4}. D {3; 5}.
Câu 16
Số cạnh của hình bát diện đều bằng
A 12. B 16. C 30. D 8.
Câu 17
Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đêu loại {5; 3} là
A
12π. B 18π. C 24π. D 36π.
Câu 18
Khối đa diện đều nào có loại {5; 3}?
A Khối lập phương. B Khối bát diện đều.
C Khối mười hai mặt đều. D Khối hai mươi mặt đều.
Câu 19
Khối lập phương là khối đa diện đều loại nào?
A {3; 4}. B {4; 3}. C {5; 3}. D {3; 5}.
Câu 20
Khối tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 3. B 2. C 6. D 4.
Câu 21
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
A . B .
C . D .
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
22
Trang
Câu 22
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào?
A
{
5; 3
}
. B
{
3; 5
}
. C
{
4; 3
}
. D
{
3; 4
}
.
Câu 23
Số mặt phẳng đối xứng của hình chóp đều S.ABC là bao nhiêu?
A 4. B 2. C 6. D 3.
Câu 24
Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt
phẳng đối xứng?
A 4. B 3. C 2. D 1.
Câu 25
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại
A {5; 3}. B {3; 5}. C {4; 3}. D {3; 4}.
Câu 26
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
A 8. B 20. C 12. D 6.
Câu 27
Khối đa diện đều nào có loại {5; 3}?
A Khối lập phương. B Khối bát diện đều.
C Khối mười hai mặt đều. D Khối hai mươi mặt đều.
Câu 28
Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng n mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A n = 2. B n = 5. C n = 3. D n = 4.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
23
§3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
AA
1. Công thức tính (độ dài, diện tích,...) cho các hình phẳng đặc biệt
Tam giác ABC vuông tại A:
— Diện tích S
ABC
=
1
2
· AB · AC;
— M là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC;
— Pi–ta–go: BC
2
= AB
2
+ AC
2
;
— AM =
1
2
B C;
B
C
MH
A
— AC
2
= CH ·CB;
— AB
2
= BH · BC;
—
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
A C
2
;
— AH
2
= HB · HC;
— AH =
AB · AC
√
AB
2
+ AC
2
;
— AB · AC = BC · AH;
Tam giác đều ABC cạnh bằng a:
— Diện tích S
ABC
=
(cạnh)
2
·
√
3
4
=
a
2
√
3
4
;
— Đường cao AM =
(cạnh) ·
√
3
2
=
a
√
3
2
;
— G là trọng tâm và là tâm đường tròn ngoại
tiếp ABC;
— GA =
2
3
AM =
a
√
3
3
; GM =
1
3
AM =
a
√
3
6
.
B
C
M
A
G
Hình vuông ABCD cạnh bằng a:
— Diện tích S
ABCD
= (cạnh)
2
= a
2
;
— Đường chéo AC = (cạnh) ·
√
2 = a
√
2;
— I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD;
— AC ⊥ BD; AN ⊥ DM.
A
BM
C
D
I
N
Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB = a
và BC = b:
— Diện tích S
ABCD
= AB · BC = a ·b;
— Đường chéo AC = BD =
√
a
2
+ b
2
;
— I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD;
— Chú ý: AC không vuông BD.
A
B
C
D
I
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
24
Trang
Hình thang ABCD có hai đáy AB và CD:
— DH là chiều cao của hình thang ABCD;
— Diện tích S
ABCD
=
AB + CD
2
· DH.
A
BH
C
D
Hình thoi ABCD:
— Các cạnh của hình thoi bằng nhau;
— Diện tích S
ABCD
=
1
2
A C · BD;
— Nếu có một góc bằng 60
◦
hoặc 120
◦
thì hình
thoi này thực chất là ghép của hai tam giác
đều. Suy ra
S
ABCD
= 2 ·(cạnh)
2
·
√
3
4
= (cạnh)
2
·
√
3
2
.
B
D
A
C
I
2. Các công thức tính trong tam giác thường (không đặc biệt)
Các hệ thức lượng cần nhớ
— Định lý cô–sin: a
2
= b
2
+ c
2
−2bc · cos A;
— Tính góc: cos A =
b
2
+ c
2
− a
2
2bc
;
— Đường trung tuyến m
2
a
=
b
2
+ c
2
2
−
a
2
4
;
— Định lý sin:
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
B
C
MH
A
Công thức tính diện tích tam giác
— S
ABC
=
1
2
a · h;
— S
ABC
=
p
p(p − a)(p − b)(p − c), với p =
a + b + c
2
.
— S
ABC
=
1
2
b · c ·sin A;
— S
ABC
=
abc
4R
; S
ABC
= p ·r, với R, r là bán kính đ.tròn ngoại, nội tiếp.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
25
3. Cách xác định góc trong không gian
Góc giữa đường thẳng SM với mặt
phẳng (α)
S
MH
α
— Dựng hình chiếu của SM là
MH;
— Góc cần tìm là
’
SMH.
Góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và
(α).
S
N
KH
M
α
— Kẻ HK ⊥ MN và SK ⊥ MN
— Góc cần tìm là
’
SKH.
4. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB),
(SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là
S
1
, S
2
, S
3
. Khi đó
V
S.ABC
=
√
2S
1
·S
2
·S
3
3
.
S
B
C
A
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với
(ABC), hai mặt phẳng (SAB ) và (SBC) vuông góc
với nhau,
‘
ASB = α,
‘
BSC = β. Khi đó
V
S.ABC
=
SB
3
·sin 2α ·tan β
12
.
A
B
C
S
Cho hình chóp đều S .AB C có đáy AB C là tam
giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó
V
S.ABC
=
a
2
√
3b
2
− a
2
12
.
A
B
G
C
M
S
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
26
Trang
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α.
Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
tan α
24
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh
bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
√
3b
3
·sin β · cos
2
β
4
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh
đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
·tan β
12
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC =
SD = b. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
2
√
4b
2
−2a
2
6
.
C
D
O
A
B
M
S
Cho hình chóp tứ giác đều S .AB CD có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là
α. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
3
tan α
6
.
A
B
C
O
M
D
S
Cho hình chóp tứ giác đều S .AB CD có cạnh đáy
bằng a,
‘
SAB = α với α ∈
(
45
◦
; 90
◦
)
. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
3
√
tan
2
α −1
6
.
S
B
C
O
D
A
α
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
27
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh
bên bằng a, góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy
bằng α với α ∈
(
0
◦
; 90
◦
)
. Khi đó
V
S.ABCD
=
4a
3
tan α
3
p
(2 + tan
2
α)
3
.
S
B
C
O
D
M
A
α
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, song song với
B C và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết α là
góc giữa (P) và mặt phẳng đáy. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
cot α
24
.
S
B
G
A
C
F
M
N
E
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của
hình lập phương cạnh a. Khi đó thể tích khối bát
diện đều là
V =
a
3
6
.
A
0
D
0
C
0
C
B
B
0
D
A
Tâm các mặt bên của một bát diện đều cạnh a là
đỉnh của một khối lập phương. Khi đó thể tích
của khối lập phương là
V =
2a
3
√
2
27
.
S
B
S
0
D
A
C
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung một đỉnh
và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh đó
V
SABC
=
abc
6
»
1 − x
2
−y
2
−z
2
+ 2xyz.
Trong đó x = cos α, y = cos β, z = cos γ.
S
B
G
M
A
C
B
0
C
0
®
SA = a, SB = b, SC = c
‘
ASB = α,
‘
BSC = β,
‘
CSA = γ.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
28
Trang
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối, khoảng
cách và góc giữa cặp cạnh đó
V
ABCD
=
1
6
abd sin α.
B D
0
M
C
M
0
C
0
D
A
α
AB = a, CD = b
d(AB, CD) = d
(AB, CD) = α.
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
BB
Công thức tính thể tích khối chóp
Ta có thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích
đáy nhân với đường cao hình chóp.
V
chóp
=
1
3
·S
đáy
· h
Trong đó
Ë S
đáy
= S
ABCD
là diện tích mặt đáy của khối
chóp.
Ë h = SH là chiều cao của khối chóp.
S
A
B
C
D
h
H
1
Dạng
Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
¬ Khi vẽ hình, nên vẽ cạnh vuông góc với đáy thẳng đứng.
Xác định mặt đáy và tính diện tích S
đáy
.
® Xác định và tính chiều cao h là cạnh bên vuông với đáy.
¯ Thay vào công thức V
chóp
=
1
3
·S
đáy
· h.
S
B
A
C
Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B,
AB = a, AC = a
√
3. Biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30
◦
. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
A
a
3
√
6
9
. B
a
3
√
6
6
. C
a
3
√
6
18
. D
2a
3
√
6
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
29
Ví dụ 2
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại C, AB = a
√
5, AC = a. Cạnh bên SA = 3a
và vuông góc với mặt phẳng
(
ABC
)
. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A 2a
3
. B 3a
3
. C
a
3
√
5
3
. D a
3
.
Ví dụ 3
Cho hình chóp tam giác S.AB C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy và
AB = a, AC = 2a, SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A V = 6a
3
. B V = a
3
. C V = 2a
3
. D V = 3a
3
.
Ví dụ 4
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân AB = AC = a, góc BAC bằng 120
◦
, cạnh
bên SA = a
√
3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
A
√
3
12
a
3
. B
3
4
a
3
. C
√
3
4
a
3
. D
1
4
a
3
.
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.AB C có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA =
A C = 2a. Tính t hể tích khối chóp S.ABC.
A
2
3
a
3
. B
1
3
a
3
. C
2
√
2
3
a
3
. D
4
3
a
3
.
Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA =
√
2a. Tính thể tích V của khối chóp S .ABCD.
A V =
√
2a
3
6
. B V =
√
2a
3
4
. C V =
√
2a
3
. D V =
√
2a
3
3
.
Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (AB CD) và SB = a
√
3. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A
a
3
√
2
6
. B
a
3
√
2
2
. C a
3
√
2. D
a
3
√
2
3
.
Ví dụ 8
Khối chóp S.AB C có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, SA = 2a, SB = 3a,SC =
4a. Thể tích khối chóp S.AB C tính theo a là
A 32a
3
. B 12a
3
. C 4a
3
. D 8a
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
30
Trang
2
Dạng
Khối chóp có mặt phẳng chứa đỉnh vuông góc với đáy
¬ Xác định giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt đáy.
Từ đỉnh S, kẻ đoạn SH vuông góc với giao tuyến. Suy ra SH là đường cao của khối chóp.
Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A V =
a
3
√
3
6
. B V =
a
3
√
3
3
. C V =
a
3
√
3
2
. D V =
a
3
√
3
4
.
Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAD
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD, biết SA = a
√
3 và SD = a.
A
B
H
D
C
S
3
Dạng
Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Với các khối chóp có giả thiết mặt phẳng vuông góc với đáy ta sử dụng các định lý về giao tuyến
dưới đây:
○ Hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy thì đoạn giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.
Tính chất này dựa trên định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng củng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.
Kí hiệu
(P) ⊥ (R)
(Q) ⊥ (R)
(P) ∩(Q) = a
⇒ a ⊥ (R).
○ Mặt bên nào vuông góc với đáy thì đường cao của mặt bên đó vuông góc với đáy. Tính
chất này dựa trên định lý sau
(P) ⊥ (Q)
(P) ∩(Q) = a
d ⊂ (P), d ⊥ a
⇒ d ⊥ (Q).
Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V =
a
3
√
3
2
. B V =
a
3
√
3
6
. C V =
a
3
12
. D V =
a
3
4
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
31
Ví dụ 2
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên (SAD) là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V =
a
3
6
. B V =
a
3
√
2
3
. C V =
a
3
√
2
6
. D V =
a
3
2
.
Ví dụ 3
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
√
3, mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V =
a
3
√
3
3
. B V =
a
3
√
3
2
. C V =
3a
3
√
3
2
. D V =
a
3
√
3
6
.
Ví dụ 4
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
√
3. Mặt bên (SAD ) là tam
giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp
đã cho.
A V =
a
3
√
3
2
. B V =
a
3
√
3
2
. C V =
3a
3
2
. D V =
a
3
2
.
Ví dụ 5
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a
√
2. Tam giác SAD cân tại
S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
4
3
a
3
.
Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).
A h =
2
3
a. B h =
4
3
a. C h =
8
3
a. D h =
3
4
a.
Ví dụ 6
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng a
√
2. Tam giác SAD cân tại S
và mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách h từ B đến mặt phằng (SCD) bằng
4a
3
.
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A V =
2a
3
3
. B V =
a
3
3
. C V =
8a
3
3
. D V =
4a
3
3
.
Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Tam giác SAD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết SC =
3a
2
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
a
3
3
. B
a
3
9
. C
4a
3
9
. D
2a
3
9
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
32
Trang
Ví dụ 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a
√
3. Tam giác SAD cân tại S,
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SC = 2a . Tính thể tích khối chóp S.AB CD.
A
a
3
√
3
6
. B
3a
3
√
3
2
. C
9a
3
√
3
2
. D
a
3
√
3
2
.
Ví dụ 9
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi AC = a, BD = a
√
3. Tam giác SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
3a
3
4
. B
a
3
2
. C
a
3
4
. D
3a
3
2
.
4
Dạng
Khối chóp đều
Chóp tam giác đều S.ABC, với cạnh đáy bằng a
S
A
M
C
B
G
N
¬ SG là đường cao, với G là trọng tâm 4ABC.
AN =
a
√
3
2
, AG =
a
√
3
3
, GN =
a
√
3
6
.
Diện tích đáy S
4ABC
=
a
2
·
√
3
4
.
® Góc giữa cạnh bên với đáy là
‘
S CG.
¯ Góc giữa mặt bên với đáy là
’
SMG hoặc
’
SNG .
° Công thức giải nhanh:
V
S.ABC
=
a
3
·tan
‘
S CG
12
; V
S.ABC
=
a
3
·tan
’
SNG
24
.
± Tứ diện đều cạnh a: V =
a
3
√
2
12
.
Chóp tứ giác đều S.ABCD, với cạnh đáy bằng a.
S
B
D
C
M
O
A
¬ SO là đường cao của khối chóp.
A C = BD = a
√
2, OA = OB = OC = OD =
a
√
2
2
.
Diện tích đáy S
4ABCD
= a
2
® Góc giữa cạnh bên với đáy là
’
SDO.
¯ Góc giữa mặt bên với đáy là
’
SMO.
Ví dụ 1
Thể tích V của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là
A V =
√
3a
3
12
. B V =
√
2a
3
12
. C V =
√
3a
3
4
. D V =
√
2a
3
4
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
33
Ví dụ 2
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
◦
.
Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V =
a
3
√
3
48
. B V =
a
3
√
3
8
. C V =
a
3
√
3
24
. D V =
a
3
√
3
16
.
Ví dụ 3
Thể tích V của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên gấp đôi cạnh đáy là
A V =
√
11a
3
12
. B V =
√
13a
3
12
. C V =
√
11a
3
4
. D V =
√
13a
3
4
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
34
Trang
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CC
Câu 1
Cho khối chóp có đường cao và diện tích đáy lần lượt là h và S. Khi đó, thể tích V của khối
chóp đó là
A V = Sh. B
V =
1
2
Sh. C V =
1
3
Sh. D V =
1
6
Sh.
Câu 2
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Biết SA vuông góc
với mặt đáy và SA = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC
A V =
a
3
2
. B V =
a
3
3
. C V =
a
3
4
. D V =
4a
3
3
.
Câu 3
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA⊥(ABC) và SA = a
√
3. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC.
A V =
a
3
4
. B V =
a
3
2
. C V =
3a
3
4
. D V =
a
3
√
3
3
.
Câu 4
Cho khối chóp S.ABCD có đáy AB CD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD và SA = 3a. Biết AB = 2a, AD = 4a, BC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD
A V = 21a
3
. B V = 7a
3
. C V = 9a
3
. D V = 12a
3
.
Câu 5
Cho khối tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Tính thể
tích khối tứ diện S.ABC.
A
a
3
2
. B 2a
3
. C a
3
. D 6a
3
.
Câu 6
Cho hình chóp S .AB C có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 1, SB = 2, SC = 3.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A 2. B 3. C 6. D 1.
Câu 7
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
A V = 40. B V = 192. C V = 32. D V = 24.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
35
Câu 8
Một hình chóp có diện tích đáy bằng 4a
2
, cạnh bên SA = 2a và tạo với đáy một góc 60
◦
. Tính
thể tích khối chóp đó.
A 4a
3
√
3. B
4a
3
3
. C
4a
3
√
3
3
. D 4a
3
.
Câu 9
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = a
√
5, AC = a. Cạnh bên
SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối chóp S.ABC.
A V = 3a
3
. B V =
√
5
2
a
3
. C V = a
3
. D V = 2a
3
.
Câu 10
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB =
3a, AD = 2a, SB = 5a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
A V = 8a
2
. B V = 24a
3
. C V = 10a
3
. D V = 8a
3
.
Câu 11
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 3a, AC = 5a. Biết SA vuông góc
với đáy và SC tạo cới mặt đáy một góc 60
◦
. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A V = 20
√
3a
3
. B V = 60
√
3a
3
. C V = 25
√
3a
3
. D V = 75
√
3a
3
.
Câu 12
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60
◦
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
a
3
√
2
6
. B
a
3
√
3
6
. C
a
3
√
6
2
. D
a
3
√
6
6
.
Câu 13
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 60
◦
. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A
a
3
√
3
2
. B
a
3
√
6
2
. C
a
3
√
2
6
. D
a
3
√
3
6
.
Câu 14
Kim tự t háp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m.
Tính thể tích của Kim tự tháp.
A 2 592 100 m
3
. B 2 592 009 m
3
. C 7 776 300 m
3
. D 3 888 150 m
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
36
Trang
Câu 15
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
A
a
3
√
11
96
. B
a
3
3
. C
a
3
√
11
12
. D
a
3
√
11
4
.
Câu 16
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30
◦
.
Thể tích khối chóp bằng
A a
3
√
3. B
a
3
√
3
12
. C
a
3
√
3
36
. D
a
3
√
3
3
.
Câu 17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
√
3, mặt bên (SAB) là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
9a
3
√
3
2
. B
a
3
2
. C
3a
3
2
. D
a
3
√
3
3
.
Câu 18
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a,
SA = 2a
√
3,
‘
SAC = 30
◦
và mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt đáy.
A V = 3a
3
√
2. B V =
a
3
√
3
3
. C V = a
3
√
3. D V = 2a
3
√
3.
Câu 19
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên (SAB), (SAC) cùng
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = a
√
3.
A
a
3
√
3
2
. B
a
3
√
3
4
. C
2a
3
√
6
9
. D
a
3
√
6
12
.
Câu 20
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60
◦
. Tính theo a
thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A V =
a
3
√
15
2
. B V =
a
3
√
15
6
. C V =
a
3
√
5
4
. D V =
a
3
√
5
6
√
3
.
Câu 21
Cho hình chóp S.AB C có đáy là tam giác đều cạnh a và thể tích bằng 3a
3
. Tính chiều cao h của
khối chóp S.ABC.
A h = 12
√
3a. B h = 6
√
3a. C h = 4
√
3a. D h = 2
√
3a.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
37
Câu 22
Cho hình chóp S.ABC có V
S.ABC
=
a
3
√
2
36
và mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách
từ A đến (SBC) bằng
A
a
√
2
9
. B
a
√
6
3
. C
a
√
6
9
. D
a
√
6
27
.
Câu 23
Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, có thể tích là
a
3
√
3
8
. Khoảng cách từ S đến
(
A CD
)
bằng
A
3a
2
. B
3
√
3a
8
. C
a
2
. D
3
√
3a
4
.
Câu 24
Cho hình chóp đều S.ABC. Khi tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần, để thể tích khối chóp giữ nguyên
thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi bao nhiêu lần?
A 8 lần. B 2 lần. C 3 lần. D 4 lần.
Câu 25
Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V và M là trọng tâm tam giác SAB. Tính thể tích khối chóp
M.ABCD.
A
V
3
. B
2V
3
. C
V
2
. D 2V.
Câu 26
Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 3a, AB = a và
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A V
S.ABC
=
4a
3
9
. B V
S.ABC
=
a
3
√
2
6
. C V
S.ABC
=
a
3
√
2
2
. D V
S.ABC
=
2a
3
9
.
Câu 27
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2AB = 2a. Gọi H là trung điểm của
AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài đoạn thẳng SA = a
√
5. Tính thể tích V
của khối chóp S.ABCD.
A V =
4a
3
3
. B V =
4a
3
√
3
3
. C V =
2a
3
√
3
3
. D V =
2a
3
3
.
Câu 28
Cho hình chóp S.AB CD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của
S lên đáy là tr ung điểm H của cạnh AB, góc tạo bởi SC và đáy là 45
◦
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
A
a
3
√
3
2
. B
2a
3
3
. C
a
3
3
. D
2a
3
√
2
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
38
Trang
Câu 29
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60
◦
và SA = a
√
3, đáy là tứ giác
có 2 đường chéo vuông góc, AC = BD = 2a. Tính thể tích V của khối chóp theo a.
A V =
2a
3
√
3
3
. B V = a
3
. C V = 3a
3
. D V =
3a
2
2
.
Câu 30
Cho khối chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng
√
2. Thể
tích của khối chóp đó là
A
4
√
3
3
. B 4. C
4
3
. D
4
√
2
3
.
Câu 31
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 2a
3
và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích
tam giác SAB bằng a
2
. Tính khoảng cách giữa hai đường t hẳng SA và CD?
A a. B 6a. C 3a. D 4a.
Câu 32
Cho hình chóp S.ABCD có SA = x, các cạnh còn lại đều bằng 18. Tìm giá trị lớn nhất của thể
tích khối chóp S.ABCD.
A 648
√
2. B 6481458. C 1458. D 243
√
2.
Câu 33
Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn
x
2
+ y
2
+ z
2
= 12. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.AB C.
A
√
2
3
. B
8
3
. C
2
√
2
3
. D
8
√
2
3
.
Câu 34
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng 30
◦
. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là
hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM. Khi điểm M di động trên cạnh CD, tìm thể
tích lớn nhất của khối chóp S.ABH?
A
a
3
√
3
13
. B
5a
3
√
2
36
. C
a
3
√
2
12
. D
a
3
√
2
6
.
Câu 35
Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính cos α khi thể
tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
A cos α =
2
3
. B cos α =
√
5
3
. C cos α =
√
2
3
. D cos α =
√
3
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang
39
—–HẾT—–
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
40
Trang
§4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
AA
Lăng trụ có:
¬ Hai đáy song song và là hai đa giác bằng nhau.
Các cạnh bên song song và bằng nhau.
® Các mặt bên là các hình bình hành.
Thể tích khối lăng trụ: V = S
đáy
· h . Trong đó
¬ S
đáy
là diện tích đáy của khối lăng trụ;
h là chiều cao của khối lăng trụ. Trong trường hợp lăng trụ
đứng thì h sẽ trùng với cạnh bên.
B
0
B
H
C
A
0
A
D
D
0
C
0
h
Hình lăng trụ tứ giác
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA
BB
1
Dạng
Khối lăng trụ đứng tam giác
Minh họa hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều (lăng trụ tam giác đều)
B
0
B
M
A
0
A
C
C
0
h
1 Chiều cao h là cạnh bên AA
0
.
2 Diện tích đáy S
4ABC
=
AB
2
·
√
3
4
.
3 Góc giữa A
0
B, A
0
C với đáy lần lượt là
’
A
0
BA
và
÷
A
0
CA.
4 Góc giữa A
0
B với (AA
0
C
0
C) là
’
BA
0
A.
5 Diện tích hình chiếu S
4ABC
= S
4A
0
BC
·cos ϕ.
6 Góc giữa (A
0
B C) với (ABC) là ϕ =
÷
A
0
MA; với
M là trung điểm BC.
• Trường hợp ABC không phải là tam giác
đều thì M không là trung điểm của BC.
Ví dụ 1
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a,
’
BAC = 120
◦
,
mặt phẳng
AB
0
C
0
tạo với đáy một góc 60
◦
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A V =
3a
3
8
. B V =
9a
3
8
. C V =
a
3
4
. D V =
3a
3
4
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
41
Ví dụ 2
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có BB
0
= a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
A C = a
√
2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho
A V =
a
3
2
. B V = a
3
. C V =
a
3
6
. D V =
a
2
3
.
Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC đều cạnh bằng a
và chu vi của mặt bên ABB
0
A
0
bằng 6a. Tính thể tích của khối lăng
trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V =
a
3
√
3
2
.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
Ví dụ 4
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
với đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A. Biết AB = 3a, góc giữa đường t hẳng A
0
B và mặt đáy lăng tr ụ
bằng 30
◦
. Tính thể tích V của khối chóp A
0
.ABC.
Đáp số: V =
3
√
3a
3
2
.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
Ví dụ 5
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác vuông tại
A, AB = a, AC = a
√
3. Góc giữa (A
0
B C) và (AB C) bằng 45
◦
. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V =
3a
3
4
.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
42
Trang
Ví dụ 6
Cho hình lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
có diện tích tam giác A
0
B C bằng
8
√
3. Góc giữa (A
0
B C) và (ABC) bằng 60
◦
. Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V = 24
√
3.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
Ví dụ 7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt
phẳng (A
0
B C) bằng
a
6
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Đáp số: V =
3a
3
√
2
16
.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
Ví dụ 8
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với
B C = 2a
√
2. Biết khoảng cách từ điểm C
0
đến mặt phẳng (A
0
B C) bằng
4a
3
. Tính thể tích V
của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
A V = 4a
3
. B V =
8a
3
3
. C V = 8a
3
. D V =
4a
3
3
.
Ví dụ 9
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác vuông cân tại A, khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (A
0
B C) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A
0
B C) và (ABC). Tìm cos α khi thể
tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
nhỏ nhất.
A cos α =
2
3
. B cos α =
√
3
3
. C cos α =
1
3
. D cos α =
√
2
2
.
Ví dụ 10
Cho hình lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB C
0
) bằng
a góc giữa hai mặt phẳng (ABC
0
) và (BCC
0
B) bằng α với cos α =
1
2
√
3
. Thể tích khối lăng trụ
ABC.A
0
B
0
C
0
là
A
a
3
√
2
2
. B
3a
3
√
2
2
. C
3a
3
√
2
4
. D
3a
3
√
2
8
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
43
2
Dạng
Khối lăng trụ đứng tứ giác
Hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
B
0
D
0
A
0
C
M
A
D
B
C
0
a
b
c
1 Các mặt đáy và mặt bên là các hình chữ nhật.
2 Thể tích V = AB · AD · AA
0
= abc.
3 Đường chéo A
0
C =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
4 Góc giữa A
0
B, A
0
D, A
0
C với (ABCD) lần lượt
là
’
A
0
BA,
÷
A
0
DA và
÷
A
0
CA.
5 Góc giữa (A
0
BD) với (ABCD) là
÷
A
0
MA.
6 Hình hộp chữ nhật có 3 mặt phẳng đối xứng
7 Trong trường hợp đáy ABCD là hình vuông
thì ta gọi ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
là lăng trụ tứ giác
đều.
Hình lập phương
B
0
D
0
A
0
C
O
A
D
B
C
0
a
a
a
1 Các mặt của hình lập phương là hình vuông.
2 Thể tích V = AB
3
= a
3
.
3 Đường chéo AC
0
= A
0
C = a
√
3, AC = BD =
a
√
2.
4 Góc giữa A
0
B, A
0
D, A
0
C với (ABCD) lần lượt
là
’
A
0
BA,
÷
A
0
DA và
÷
A
0
CA.
5 Góc giữa (A
0
BD) với (ABCD) là
÷
A
0
OA.
6 Hình lập phương có 8 mặt phẳng đối xứng
Ví dụ 1
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB = a, AD = a
√
3 và mặt phẳng
A
0
D
0
CB
tạo
với đáy một góc 60
◦
. Thể tích V của khối hộp chữ nhật là
A V = a
3
. B V = 3a
3
. C V =
√
3a
3
. D V = 9a
3
.
Ví dụ 2
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB = AD = a và A
0
C tạo với mặt phẳng (ABB
0
A
0
)
một góc 30
◦
. Thể tích V của khối hộp chữ nhật là
A V = 3a
3
√
2. B V = 2 a
3
. C V = a
3
√
2. D V = a
3
√
6.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
44
Trang
Ví dụ 3
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có độ dài đường chéo
A
0
C = 3a. Tính thể tích khối lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
Đáp số: V = 3a
3
√
3.
B
0
D
0
A
0
C
A
D
B
C
0
Ví dụ 4
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh đáy bằng a. Góc
giữa đường chéo với đáy bằng 60
◦
. Tính thể tích khối lăng trụ này
theo a.
Đáp số: V = a
3
√
6.
B
0
D
0
A
0
C
A
D
B
C
0
Ví dụ 5
Khối hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có độ dài AD; AD
0
; AC
0
lần lượt là 1; 2; 3. Tính t hể tích V của khối chóp A.A
0
B
0
C
0
D
0
.
Đáp số: V =
√
15
3
.
B
0
D
0
A
0
C
A
D
B
C
0
Ví dụ 6
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AA
0
= a
√
3, A
0
C
hợp với (ABCD) một góc bằng 30
◦
, (A
0
B C) hợp với (ABCD)
một góc bằng 60
◦
. Tính thể tích khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
Đáp số: V = 2a
3
√
6.
B
0
D
0
A
0
C
A
D
B
C
0
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
45
Ví dụ 7
Một hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a , góc
’
DAB = 120
◦
và đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích của khối
hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
Đáp số: V =
a
3
√
6
2
.
B
0
D
0
A
0
C
A
D
B
C
0
Ví dụ 8
Người ta cắt một phần của tấm nhôm hình chữ nhật có
kích thước 30 cm × 48 cm để làm thành một cái hộp có nắp
như hình vẽ. Tìm x để thể tích của cái hộp lớn nhất.
Đáp số: x = 6 cm.
x
x
x
x
x
x
x
x
30 cm
48 cm
Ví dụ 9
Cho lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
√
6, AD =
√
3, A
0
C = 3
và mặt phẳng (AA
0
C
0
C) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng (AA
0
C
0
C), (AA
0
B
0
B) tạo với
nhau góc α thỏa mãn tan α =
3
4
. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
bằng?
A V = 6. B V = 8. C V = 12. D V = 10.
3
Dạng
Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác đều
cạnh bằng 2a
√
3, AA
0
= 4a, AA
0
tạo với (ABC) một góc bằng
30
◦
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V = 6
√
3a
3
.
B
A
0
A
B
0
C
C
0
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
46
Trang
Ví dụ 2
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB = A C = a. Biết
A
0
A = A
0
B = A
0
C = a. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V =
a
3
√
2
4
.
B
G
B
0
A
0
A
C
C
0
Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A
0
xuống (ABC)
là trung điểm của AB. Mặt bên (A CC
0
A
0
) tạo với đáy góc
45
◦
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
Đáp số: V =
3a
2
16
.
A
0
B
0
C
0
I
A
B
C
M
H
Ví dụ 4
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình
chữ nhật với AB =
√
3, AD =
√
7. Hai mặt
bên (ABB
0
A
0
) và (ADD
0
A
0
) lần lượt tạo với
đáy những góc 45
◦
và 60
◦
. Tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Đáp số: V = 3.
B
0
C
0
D
0
A
0
C
A
K
B
I
D
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
47
Ví dụ 5
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt
phẳng
B CC
0
B
0
vuông góc với đáy và
’
B
0
B C = 30
◦
. Thể tích khối chóp A ·CC
0
B
0
bằng
A
a
3
√
3
6
. B
a
3
√
3
2
. C
a
3
√
3
12
. D
a
3
√
3
18
.
Ví dụ 6
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại A. cạnh BC = 2a và ABC =
60
◦
. Biết tứ giác BCC
0
B
0
là hình thoi có
’
B
0
B C nhọn. Biết
B CC
0
B
0
vuông góc với (ABC) và
ABB
0
A
0
tạo với (AB C) góc 45
◦
. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bằng
A
a
3
3
√
7
. B
a
3
√
7
. C
3a
3
√
7
. D
6a
3
√
7
.
Ví dụ 7
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
’
ABC = 30
◦
. Điểm M là trung
điểm cạnh AB, tam giác MA
0
C đều cạnh 2a
√
3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
là
A
72
√
2a
3
7
. B
24
√
3a
3
7
. C
72
√
3a
3
7
. D
24
√
2a
3
7
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
48
Trang
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CC
Câu 1
Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao là h và diện tích đáy bằng B là
A V = Bh. B V = 3Bh. C V =
1
6
Bh. D V =
1
3
Bh.
Câu 2
Nếu tăng chiều dài hai cạnh đáy của khối hộp chữ nhật lên 10 lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu
lần?
A 100. B 20. C 10. D 1000.
Câu 3
Cho khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích là V. Thể tích của khối tứ diện CA
0
B
0
C
0
bằng
A
2V
3
. B
V
2
. C
V
6
. D
V
3
.
Câu 4
Thể tích hình lập phương cạnh
√
3 là
A
√
3. B 3. C 6
√
3. D 3
√
3.
Câu 5
Cho hình lập phương có thể tích bằng 27. Diện tích toàn phần của hình lập phương là
A 36. B 72. C 45. D 54.
Câu 6
Tính thể tích của khối lập phương có diện tích toàn phần bằng 24a
2
.
A
8a
3
. B 64a
3
. C 4a
3
. D a
3
.
Câu 7
Tính thể tích V của khối lập phương AB CD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đường chéo AC
0
=
√
6.
A V = 3
√
3. B V = 2
√
3. C V =
√
2. D V = 2
√
2.
Câu 8
Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
biết AB = 3a, AC = 5 a, AA
0
= 2a.
A 12a
3
. B 30a
3
. C 8a
3
. D 24a
3
.
Câu 9
Biết thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
bằng 2022. Thể tích khối tứ diện A
0
ABC
0
là
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
49
A 764. B 674. C 1348. D 1011.
Câu 10
Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là 15 cm
2
, 24 cm
2
, 40 cm
2
. Thể tích của khối
hộp đó là
A 120 cm
3
. B 100 cm
3
. C 140 cm
3
. D 150 cm
3
.
Câu 11
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB = a, BC = 2a,
AA
0
= 2a
√
3. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A
0
B
0
C
0
theo a.
A V = 2
√
3a
3
. B V =
√
3
3
a
3
. C V =
2
√
3
3
a
3
. D V = 4
√
3a
3
.
Câu 12
Thể tích của khối lăng trụ đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình vuông cạnh a, A
0
B = 2a.
A V =
a
3
√
3
3
. B V =
a
3
√
3
6
. C V =
a
3
√
3
2
. D V = a
3
√
3.
Câu 13
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a
√
3. Diện tích toàn
phần S của lăng trụ là
A S = 3a
2
√
3. B S =
7a
2
√
3
2
. C S =
3a
2
√
3
2
. D S =
13a
2
√
3
4
.
Câu 14
Cho hình lăng tr ụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của khối
lăng trụ đó theo a.
A V =
a
3
√
3
12
. B V =
a
3
√
3
6
. C V =
a
3
√
3
2
. D V =
a
3
√
3
4
.
Câu 15
Cho khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có t hể tích bằng 60. M là một điểm thuộc mặt phẳng
(
ABCD
)
.
Thể tích khối chóp M.A
0
B
0
C
0
D
0
bằng bao nhiêu?
A 10. B 20. C 30. D 40.
Câu 16
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = a, A
0
B tạo
với đáy (ABC) một góc 60
◦
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
A
√
3a
3
2
. B
√
3a
3
6
. C
√
3a
3
. D
a
3
4
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
50
Trang
Câu 17
Cho khối lăng trụ và khối chóp có diện tích đáy bằng nhau, chiều cao của khổi lăng trụ bằng
nửa chiều cao khối chóp. Tỉ số t hể tích giữa khối lăng trụ và khối chóp đó là
A
3
2
. B
1
2
. C
1
3
. D
1
6
.
Câu 18
Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có diện tích mặt bên ABB
1
A
1
bằng 4; khoảng cách giữa cạnh CC
1
và
mặt phẳng
(
ABB
1
A
1
)
bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
.
A 14. B
28
3
. C
14
3
. D 28.
Câu 19
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
’
A CB = 60
◦
.
Đường chéo BC
0
của mặt bên (BB
0
C
0
C) tạo với mặt phẳng
AA
0
C
0
C
một góc 30
◦
. Tính thể tích
của khối lăng trụ theo a.
A V =
2a
3
√
6
3
. B V = a
3
√
6. C V =
a
3
√
6
3
. D V =
4a
3
√
6
3
.
Câu 20
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A
0
B C)
và mặt phẳng (ABC) bằng 45
◦
. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bằng
A
a
3
√
3
2
. B
3a
3
8
. C
a
3
√
3
8
. D
a
3
√
3
4
.
Câu 21
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (A
0
B C) bằng
a
2
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
A
√
2a
3
16
. B
3
√
2a
3
48
. C
3
√
2a
3
16
. D
3
√
2a
3
12
.
Câu 22
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB
0
và CC
0
. Mặt phẳng
(AEF) chia khối trụ thành hai phần có thể tích V
1
và V
2
như hình vẽ. Tỉ số
V
1
V
2
là
A 1. B
1
3
. C
1
4
. D
1
2
.
Câu 23
Cho hình lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt
phẳng (ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa mặt phẳng (A
0
CD) và mặt phẳng (ABCD) là
60
◦
. Tính theo a độ dài đoạn thẳng A C, biết thể tích khối chóp B.ABCD bằng
8
√
3a
3
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
51
A 2a
3
√
2. B
√
2a. C 2a. D 2
√
2a.
Câu 24
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Góc
giữa đường thẳng A
0
B và mặt (ABC) bằng 60
◦
. Gọi G là trọng tâm tam giác ACC
0
. Thể tích của
khối tứ diện GABA
0
là
A
√
3
9
a
3
. B
2
√
3
3
a
3
. C
2
√
3
9
a
3
. D
√
3
6
a
3
.
Câu 25
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a
√
3,
hình chiếu của A
0
xuống mặt đáy (ABC) là tr ung điểm H của đoạn AC. Biết thể tích khối lăng
trụ đã cho là
a
3
√
3
6
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A
0
B C).
A
a
√
13
13
. B
a
√
3
3
. C
2a
√
3
3
. D
2a
√
3
13
.
Câu 26
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là 3, 4, 5. Nối tâm 6 mặt của hình hộp chữ nhật ta
được khối 8 mặt. Thể tích của khối 8 mặt đó là
A 10. B 10
√
2. C 12. D
75
12
.
Câu 27
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
A CC
0
và
AB
0
C
0
bằng 60
◦
(tham khảo hình vẽ bên). Tính t hể tích khối chóp
B
0
.ACC
0
A
0
.
A
a
3
3
. B
a
3
6
. C
a
3
2
. D
a
3
√
3
3
.
B
0
C
0
B
C
A
0
A
Câu 28
Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Người ta ấn (đẩy) lăng trụ đó trở t hành
một lăng trụ xiên (vẫn giữ nguyên đáy và cạnh bên như hình vẽ) để thể tích giảm đi một nửa lúc
ban đầu. Hỏi cạnh bên của lăng trụ xiên lúc này tạo với đáy góc α bằng bao nhiêu?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
52
Trang
H
α
A 60
◦
. B 30
◦
. C 45
◦
. D 40
◦
.
Câu 29
Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc
tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành
một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả
sử t hể tích của cái hộp đó là 4800 cm
3
thì cạnh của
tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu?
A 44 cm. B 42 cm. C 36 cm. D 38 cm.
Câu 30
Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của khối lăng trụ là V . Để diện
tích toàn phần của hình lăng tr ụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là
A
3
√
V. B
3
√
4V. C
3
√
2V. D
3
√
V6.
Câu 31
Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông và thể
tích khối hộp được tạo thành là 10 m
2
. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế để diện tích
toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là
A
3
√
20 m. B
3
√
10 m. C
3
√
15 m. D
3
√
9 m.
Câu 32
Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích
thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1 : 3, t hể tích của hộp bằng 18 lít. Để tốn ít
vật liệu nhất thì kích thước của thùng là
A x = 2; y = 6; z = 1.5. B x = 1; y = 3; z = 6.
C x = 1.5; y = 4.5; z = 2.5. D x = 0.5; y = 1.5; z = 24.
Câu 33
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC
0
có diện tích là
√
3 và
nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc α. Tìm α để thể tích lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
đạt giá trị
lớn nhất.
A α = arctan
1
√
6
. B α = arctan
√
6. C α = arctan
√
2. D α = arctan
1
√
2
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Trang
53
Câu 34
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để
góc tạo bởi đường thẳng B
1
D và (B
1
D
1
C) lớn nhất.
A x = 1. B x = 0,5. C x = 2. D x =
√
2.
Câu 35
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm. Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN
và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình
lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
B
M
Q
C
A
N P D
x x
M
Q
A
N P
B
C
, D
A x = 30. B x = 20. C x = 15. D x = 25.
Câu 36
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường
chéo AC
0
bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?
A 8. B 8
√
2. C 16
√
2. D 24
√
3.
Câu 37
(THPT Quốc gia 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6,5 m
2
kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần
trăm)?
A 2,26 m
3
. B 1,61 m
3
. C 1,33 m
3
. D 1,50 m
3
.
Câu 38
(THPT Quốc gia 2018) Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều
cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi
có dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính 1 mm. Giả
định 1 m
3
gỗ có giá trị a (triệu đồng), 1 m
3
than chì có giá trị 8a (triệu đồng). khi đó giá nguyên
vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?
A
9,7.a (đồng). B 97,03.a (đồng). C 90,7.a (đồng). D 9,07.a (đồng).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
54
Trang
Câu 39
Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
bằng 200 m
3
. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300
nghìn đồng/m
2
(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích
xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây
bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).
A 36 triệu đồng. B 75 triệu đồng. C 46 triệu đồng. D 51 triệu đồng.
Câu 40
Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15 cm
và 5 cm. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây
nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng
A 1500 ml. B 750
√
3 ml. C 600
√
6 ml. D 1800 ml.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
55
§5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
AA
1. Tính thể tích 1 phần của khối đa diện
Tính thể tích 1 phần của khối đa diện
Khi phân chia một khối đa diện thành nhiều khối nhỏ. Muốn tính thể tích một phần khối nhỏ đó, ta
thường dùng một trong hai cách sau:
○ Cách 1. Giả sử khối lớn có thể tích V và được phân làm ba mảnh có thể tích lần lượt là V
1
, V
2
và V
3
. Khi đó V
2
= V −V
1
−V
3
.
○ Cách 2. So sánh thể tích V
0
của phần khối nhỏ cần tính so với thể tích V của khối lớn.
¬ Nếu thể tích giảm k lần thì V
0
=
1
k
V.
Nếu diện tích mặt đáy giảm m lần, chiều cao giảm n lần thì V
0
=
1
m.n
V.
® Nếu phép đồng dạng tỉ số k biến khối H thành khối H
0
thì V
H
0
= k
3
·V
H
.
2. Công thức tỉ số diện tích, tỉ số thể tích (dùng để so sánh tỉ số của phần nhỏ so với
tổng thể)
Tỉ số diện tích trong tam giác.
Theo hình bên thì
S
∆AMN
S
∆ABC
=
AM
AB
·
AN
A C
A
M B
N
C
Tỉ số thể tích trong khối chóp.
Cho hình chóp tam giác S.ABC, trên các tia SA , SB, SC lấy các
điểm A
0
, B
0
, C
0
không trùng với điểm S khi đó ta có công thức sau
V
S.A
0
B
0
C
0
V
S.ABC
=
SA
0
SA
·
SB
0
SB
·
S C
0
S C
.
S
C
A
A
0
C
0
B
B
0
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
56
Trang
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một
mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD của hình
chóp lần lượt tại các điểm A
0
, B
0
, C
0
, D
0
. Đặt
SA
0
SA
= x,
SB
0
SB
= y,
S C
0
S C
= z,
SD
0
SD
= t. Khi đó
• Công thức 1.
1
x
+
1
z
=
1
y
+
1
t
.
• Công thức 2.
V
S.A
0
B
0
C
0
D
0
V
S.ABCD
=
xyzt
4
Å
1
x
+
1
y
+
1
z
+
1
t
ã
.
S
I
A
D
A
0
D
0
B
C
B
0
O
C
0
Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác AB C.A
0
B
0
C
0
, M, N, P lần lượt là các
điểm thuộc cạnh AA
0
, BB
0
, CC
0
Khi đó ta có:
V
ABC.MNP
V
ABC.A
0
B
0
C
0
=
1
3
Å
AM
AA
0
+
BN
BB
0
+
CP
CC
0
ã
.
B
0
B
A
0
A
M
C
0
C
P
N
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M, , N, P, Q lần lượt là các
điểm trên cạnh AA
0
.BB
0
, CC
0
, DD
0
. Khi đó ta có công thức:
• Công thức 1.
AM
AA
0
+
CP
CC
0
=
BN
BB
0
+
DQ
DD
0
.
• Công thức 2.
V
ABCD.MNPQ
V
ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
=
1
2
Å
AM
AA
0
+
CP
CC
0
ã
=
1
2
Å
BN
BB
0
+
DQ
DD
0
ã
.
A B
C
D
0
C
0
A
0
D
M
Q
B
0
P
N
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
BB
1
Dạng
Tỉ số thể tích trong khối chóp
Ví dụ 1
Cho khối chóp SABC có thể tích V, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng độ dài mỗi cạnh đáy lên
3 lần thì thể tích khối chóp thu được bằng bao nhiêu?
Đáp số: 9V
Ví dụ 2
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
NA = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
57
theo V có giá trị là
A 4V. B 6V. C 12V. D 8V.
Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
NA = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính
theo V có giá trị là
A 4V. B 6V. C 12V. D 8V.
Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O.
Gọi H và K lần lượt là trung điểm SB và SD. Tính tỉ số thể tích
k =
V
OAHK
V
S.ABCD
.
H
K
O
A
B
C
D
S
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA,
SB . Tính tỉ số
V
S.ABC
V
S.MNC
.
Đáp số: 4.
S
B
A
M
N
C
Ví dụ 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích
bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể
tích V của khối tứ diện SEBD.
Đáp số: V =
1
3
.
S
A
B
D
C
E
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
58
Trang
Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =
a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SC. Tính thể tích hình chóp S.AHK.
Đáp số:
8a
3
45
.
A
H
C
S
K
B
Ví dụ 8
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh
đáy bằng a . Góc giữa cạnh bên với đáy bằng
60
◦
. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng
qua AM đồng thời song song với BD, cắt SB,
SD lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp
S.AEMF theo a.
A
B
O
S
M
E
C
G
D
F
2
Dạng
Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ
Nếu khối chóp và khối lăng trụ có cùng mặt đáy và chiều cao thì V
chóp
=
1
3
V
trụ
.
Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích V cạnh bên
bằng 2a. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh AA
0
, BB
0
, CC
0
thỏa mãn MA =
1
2
AA
0
, NB =
1
3
BB
0
, PC =
1
3
CC
0
.V
1
là thể tích
khối đa diện ABC.MNP . Tính tỉ số k =
V
1
V
.
Đáp số: k =
7
18
.
B
0
C
0
B
C
A
0
A
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
59
Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là các điểm trên cạnh AA
0
, BB
0
, CC
0
, DD
0
thỏa mãn: M là
trung điểm AA
0
, NB =
1
2
NB
0
, P là trung điểm CC
0
, QD =
2
3
DD
0
.V
1
là thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ. Tính tỉ số k =
V
1
V
.
Đáp số: k =
1
2
.
A B
C
D
0
C
0
A
0
D
B
0
Ví dụ 3
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích là V. Tính thể tích
khối chóp A. BCC
0
B
0
theo V.
Đáp số:
2
3
V.
B
0
C
0
B
C
A
0
A
Ví dụ 4
Cho khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích là V. Gọi M là điểm
tuỳ ý trên cạnh AA
0
. Tính thể tích của khối đa diện M.BCC
0
B
0
theo V.
Đáp số:
2V
3
.
C
0
C
B
0
A
B
A
0
M
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
60
Trang
Ví dụ 5
Cho khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích bằng a
3
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên BB
0
, CC
0
. Tính thể tích
V của khối chóp A
0
.B
0
C
0
NM.
B
A
M
C
B
0
A
0
C
0
N
Ví dụ 6
Cho hình lập phương OBCD.O
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng
a, M là điểm bất kỳ thuộc đoạn OO
1
. Tính tỉ số thể
tích hình chóp MBCC
1
B
1
và hình lăng tr ụ OBCO
1
B
1
C
1
.
Đáp số:
2
3
.
O
1
B
1
B
D
1
D
O
C
C
1
M
Ví dụ 7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam
giác vuông tại B, AB = 4, BC = 6; chiều cao của lăng trụ
bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
BB
1
, A
1
B
1
, BC. Tính thể tích khối tứ diện C
1
KMN.
A
B
C
A
1
B
1
C
1
M
N
K
4
3
3
5
10
5
2
6
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
61
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CC
Câu 1
Cho một khối chóp có thể tích bằng V. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống 3 lần thì thể tích
khối chóp lúc đó bằng
A
V
9
. B
V
6
. C
V
3
. D
V
27
.
Câu 2
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên bao
nhiêu lần?
A 64 lần. B 16 lần. C 192 lần. D 4 lần.
Câu 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD,
mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60
◦
, M là trung điểm BC. Tính thể tích hình chóp
S.ABMD.
A V =
a
3
√
3
4
. B V =
a
3
√
3
6
. C V =
a
3
√
3
3
. D V = a
3
√
3.
Câu 4
Cho hình chóp S.AB C. Gọi A
0
, B
0
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích
V
S.ABC
V
S.A
0
B
0
C
.
A
1
2
. B 2. C
1
4
. D 4.
Câu 5
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB, N nằm giữa đoạn
A C sao cho AN = 2NC. Gọi V
1
là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỷ số
V
1
V
.
A
V
1
V
=
1
3
. B
V
1
V
=
2
3
. C
V
1
V
=
1
2
. D
V
1
V
=
1
6
.
Câu 6
Cho khối chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tỉ số thể tích
V
S.ABC
V
S.AGC
bằng:
A 3. B
1
3
. C
2
3
. D
3
2
.
Câu 7
Cho tứ diện S.ABC có thể tích V. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Thể
tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (ABC)
bằng
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
62
Trang
A
V
2
. B
V
3
. C
V
4
. D
V
8
.
Câu 8
Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi I là trung điểm của cạnh đáy BC. Tính thể
tích của khối chóp S.ABI theo V.
A V. B
V
2
. C
V
3
. D
V
4
.
Câu 9
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
SA, SB , SC, SD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD.
A
1
4
. B
1
36
. C
1
8
. D
1
2
.
Câu 10
Cho hình chóp S.ABC có đáy là 4ABC vuông cân ở B, AC = a
√
2, SA ⊥ (ABC), SA = a. Gọi
G là trọng tâm của 4SBC, mặt phẳng ( α) đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành
hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V.
A
5a
3
54
. B
4a
3
9
. C
2a
3
9
. D
4a
3
27
.
Câu 11
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B, AC = a
√
2, SA ⊥ (ABC ), SA = a . Gọi
G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (α) đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt
tại M và N. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN.
A V =
a
3
9
. B V =
a
3
6
. C V =
2a
3
27
. D V =
2a
3
9
.
Câu 12
Gọi V là thể tích của khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và V
0
là thể tích của khối đa diện A
0
ABC
0
D
0
.
Tính tỉ số
V
0
V
.
A
V
0
V
=
2
5
. B
V
0
V
=
2
7
. C
V
0
V
=
1
3
. D
V
0
V
=
1
4
.
Câu 13
Cho hình lăng tr ụ ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích là V. Điểm M nằm trên cạnh AA
0
sao cho AM =
2MA
0
. Gọi V
0
là thể tích của khối chóp M.BCC
0
B
0
. Tính tỉ số
V
0
V
.
A
V
0
V
=
1
3
. B
V
0
V
=
1
2
. C
V
0
V
=
3
4
. D
V
0
V
=
2
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
63
Câu 14
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng
36. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA
0
, BB
0
, CC
0
sao cho
AM
AA
0
=
1
2
,
BN
BB
0
=
2
3
;
CP
CC
0
=
1
3
. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) (trong đó
(H
1
) là đa diện có chứa đỉnh A). Tính t hể tích của khối đa diện (H
1
).
A 15 . B 18 . C 24 . D 16.
Câu 15
Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA = a. Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho SI =
1
3
SB . Tính thể tích khối
tứ diện SAIC.
A
a
3
6
. B
2a
3
3
. C
a
3
9
. D
a
3
3
.
Câu 16
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM
và S.ABC thì
V
1
V
2
bằng
A
1
8
. B
1
2
. C
1
4
. D
1
6
.
Câu 17
Cho hình chóp S .AB CD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V, V
0
lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính
tỉ số
V
V
0
A
V
V
0
=
3
2
. B
V
V
0
=
4
3
. C
V
V
0
=
5
3
. D
V
V
0
=
2
3
.
Câu 18
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, A
0
C
0
, BB
0
. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
A
5
24
V. B
1
4
V. C
7
24
V. D
1
3
V.
Câu 19
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và
P lần lượt là tâm các mặt bên ABB
0
A
0
, ACC
0
A
0
và BCC
0
B
0
. Thể tích V của khối đa diện lồi có
các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng
A V = 12
√
3. B V = 16
√
3. C V =
28
√
3
3
. D V =
40
√
3
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
64
Trang
Câu 20
Cho hình chóp S.AB CD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
SM
SA
= k, 0 < k < 1. Khi đó giá trị của k để mặt
phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là
A k =
−1 +
√
5
2
. B k =
1 +
√
5
4
. C k =
−1 +
√
5
4
. D k =
−1 +
√
2
2
.
Câu 21
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48. Trên các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A
0
, B
0
, C
0
và D
0
sao cho
SA
0
SA
=
S C
0
S C
=
1
3
và
SB
0
SB
=
SD
0
SD
=
3
4
. Tính thể tích V của khối đa diện S.A
0
B
0
C
0
D
0
.
A V = 4. B V = 9. C V =
3
2
. D V = 6.
Câu 22
Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V
0
là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của
khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số
V
0
V
.
A
V
0
V
=
2
3
. B
V
0
V
=
1
4
. C
V
0
V
=
5
8
. D
V
0
V
=
1
2
.
Câu 23
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy,
SA = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD . Thể tích khối đa diện ABCDMN.
A V = a
3
. B V = 3a
3
. C V =
15a
3
2
. D V =
5a
3
2
.
Câu 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA,
SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
A
a
3
3
. B
a
3
2
. C a
3
. D 2a
3
.
Câu 25
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
NA = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính
theo V có giá trị là
A 4V. B 6V. C 12V. D 8V.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
Trang
65
Câu 26
Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là
9
4
thì độ dài mỗi cạnh
bằng
A
√
3. B
3
√
243. C 3
√
3. D 3.
Câu 27
Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các
đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương?
A 2. B 8. C 4. D 6.
Câu 28
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48. Trên các cạnh
SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A
0
, B
0
, C
0
và D
0
sao cho
SA
0
SA
=
S C
0
S C
=
1
3
và
SB
0
SB
=
SD
0
SD
=
3
4
. Tính thể tích V của khối đa diện S.A
0
B
0
C
0
D
0
.
A V = 4. B V = 9. C V =
3
2
. D V = 6.
Câu 29
Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A
0
, B
0
, C
0
sao cho SA =
2SA
0
, SB = 3SB
0
và SC = 4SC
0
. Gọi V
0
và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.A
0
B
0
C
0
và
S.ABC. Khi đó tỉ số
V
0
V
bằng bao nhiêu?
A
1
6
. B
1
12
. C
1
24
. D
1
9
.
Câu 30
Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
a
3
√
3
2
. Gọi M là trung điểm SA, điểm N trên cạnh SC sao
cho NS = 2NC. Thể tích V của khối chóp S.BMN.
A V =
a
3
√
3
3
. B V =
a
3
√
3
6
. C V =
a
3
√
3
12
. D V =
a
3
√
3
2
.
Câu 31
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích là 3V. Tính thể tích khối đa diện ABCA
0
C
0
theo V.
A 2V. B V. C
3V
2
. D
2V
3
.
Câu 32
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh BB
0
. Mặt phẳng (A
0
MD)
chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện trên.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
66
Trang
A
7
17
. B
8
17
. C
9
17
. D
10
17
.
Câu 33
Nếu độ dài cạnh của một hình lập phương tăng gấp k lần, với k ∈ R thì thể tích của nó tăng lên
gấp bao nhiêu lần?
A k
2
lần. B k lần. C k
3
lần. D
k
3
3
lần.
Câu 34
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM
và S.ABC thì
V
1
V
2
bằng
A
1
8
. B
1
2
. C
1
4
. D
1
6
.
Câu 35
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM
và S.ABC thì
V
1
V
2
bằng
A
1
8
. B
1
2
. C
1
4
. D
1
6
.
—–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
67
§6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
ĐỀ ÔN SỐ 1
AA
Câu 1
Thể tích của một khối chóp có diện tích đáy bằng 4 dm
2
và chiều cao bằng 6 dm là
A 4 dm
3
. B 24 dm
3
. C 12 dm
3
. D 8 dm
3
.
Câu 2
Thể tích của một khối lăng tr ụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là
A V = 3Bh. B V =
1
3
Bh. C V = Bh. D V =
1
6
Bh.
Câu 3
Tính thể tích V của khối lập phương có cạnh bằng 2cm.
A V = 8 cm
3
. B V = 4 cm
3
. C V = 2 cm
3
. D V = 16 cm
3
.
Câu 4
Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng
a.
A
a
3
√
3
12
. B a
3
. C
a
3
3
. D
a
3
√
3
4
.
Câu 5
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A
0
B
0
C
0
biết thể tích của khối chóp C
0
.ABC bằng a
3
.
A V =
a
3
9
. B V = 3a
3
. C V =
a
3
3
. D V = 9a
3
.
Câu 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a ; AD = 3a. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy
(
ABCD
)
và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S.AB CD.
A V = 6a
3
. B V = a
3
. C V = 3a
3
. D V = 2a
3
.
Câu 7
Cho tứ diện OAB C có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a , OB = b, OC = c.
Tính thể tích khối tứ diện OABC.
A abc. B
abc
3
. C
abc
2
. D
abc
6
.
Câu 8
Gọi V
1
là thể tích của khối lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, V
2
là thể tích khối tứ diện A
0
ABD. Hệ
thức sào sau đây là đúng?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
68
Trang
A V
1
= 4 V
2
. B V
1
= 6 V
2
. C V
1
= 2 V
2
. D V
1
= 8 V
2
.
Câu 9
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a
√
3 bằng
A
a
3
√
6
8
. B
a
3
√
6
6
. C
3a
3
√
6
8
. D
a
3
√
6
4
.
Câu 10
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Thể tích của khối lập phương đó
là
A 145. B 125. C 25. D 625.
Câu 11
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng 58 cm
3
và diện tích đáy bằng 16 cm
2
. Chiều cao của lăng trụ
là
A
8
87
cm. B
87
8
cm. C
8
29
cm. D
29
8
cm.
Câu 12
Cho khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có t hể tích bằng 60. M là một điểm thuộc mặt phẳng
(
ABCD
)
.
Thể tích khối chóp M.A
0
B
0
C
0
D
0
bằng bao nhiêu?
A 10. B 20. C 30. D 40.
Câu 13
Cho hình chóp S.AB CD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABCD) bằng 60
◦
và SC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A V =
4a
3
3
. B V =
a
3
8
√
6
3
. C V = 2
√
3a
3
. D V =
a
3
√
2
3
.
Câu 14
Cho khối chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60
◦
. Thể
tích V của khối chóp đó là
A V =
a
3
√
6
2
. B V =
a
3
6
. C V =
a
3
√
6
. D V =
a
3
√
6
3
.
Câu 15
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có BB
0
= a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
A C = a
√
2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A
V = a
3
. B V =
a
3
3
. C V =
a
3
6
. D V =
a
3
2
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
69
Câu 16
Cho lăng trụ AB C.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A
0
lên (ABC) trùng với
trung điểm của B C. Thể tích của khối lăng trụ là
a
3
√
3
8
, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là
A a
√
6. B 2a. C a. D a
√
3.
Câu 17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2AB = 2a. Gọi H là trung điểm của
AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài đoạn thẳng SA = a
√
5. Tính thể tích V
của khối chóp S.ABCD.
A V =
4a
3
3
. B V =
4a
3
√
3
3
. C V =
2a
3
√
3
3
. D V =
2a
3
3
.
Câu 18
Cho khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, biết thể tích của khối chóp A
0
.ABC bằng 12. Tính thể tích của
khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
A 144. B 24. C 36. D 72.
Câu 19
Cho hình chóp S.ABCD có đáy AB CD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A V =
a
3
√
3
6
. B V =
a
3
√
3
3
. C V =
a
3
√
3
2
. D V =
a
3
√
3
4
.
Câu 20
Cho hình chóp S.ABC có V
S.ABC
=
a
3
√
2
36
và mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách
từ A đến (SBC) bằng.
A
a
√
2
9
. B
a
√
6
3
. C
a
√
6
9
. D
a
√
6
27
.
Câu 21
Cho hình chóp S.AB C. Gọi A
0
, B
0
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích
V
S.ABC
V
S.A
0
B
0
C
.
A
1
2
. B 2. C
1
4
. D 4.
Câu 22
Một khối gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước (9 cm ×6 cm ×5 cm) như hình vẽ. Người
ta cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 4 cm. Tính thể tích phần gỗ còn
lại.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
70
Trang
4 cm
9 cm
6 cm
5 cm
A 206 cm
3
. B 145 cm
3
. C 54 cm
3
. D 262 cm
3
.
Câu 23
Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông,
chứa được thể tích t hực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản
xuất vỏ hộp là ít nhất?
A
3
√
180
2
cm. B
3
√
360cm. C
3
√
180cm. D
3
√
720cm.
Câu 24
Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD,
ABD, BCD. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ.
A
V
27
. B
V
9
. C
4V
27
. D
4V
9
.
Câu 25
Cho khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
) trùng với trọng tâm của tam giác A
0
B
0
C
0
, mặt phẳng (ABB
0
A
0
) tạo với đáy
một góc 60
◦
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A V =
a
3
√
3
3
. B
V =
a
3
√
3
8
. C
V =
a
3
√
3
6
. D
V =
a
3
√
3
24
.
—–HẾT—–
ĐỀ ÔN SỐ 2
BB
Câu 1
Mặt phẳng
AB
0
C
0
chia khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
thành các khối đa diện nào?
A Hai khối chóp tứ giác.
B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C Hai khối chóp tam giác.
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
Câu 2
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 3 mặt phẳng. B 4 mặt phẳng. C 1 mặt phẳng. D 6 mặt phẳng.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
71
Câu 3
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy 156 cm
2
và chiều cao h = 0,3 m bằng
A
234
5
cm
3
. B
78
5
cm
3
. C 1560 cm
3
. D 156 cm
3
.
Câu 4
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A
a
3
6
. B
a
3
√
3
4
. C
a
3
√
3
12
. D
a
3
√
3
6
.
Câu 5
Diện tích một mặt của một hình lập phương là 9. Thể tích khối lập phương là
A 9. B 27. C 81. D 729.
Câu 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy
(ABCD). Biết AB = a, AD = 3a, SA = 2a, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A V = 3a
3
. B V = 2a
3
. C V = a
3
. D V = 6a
3
.
Câu 7
Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 50 m. Lượng nước trong hồ cao
1,5 m. Thể tích nước trong hồ là
A 1875 m
3
. B
2500 m
3
. C 1250 m
3
. D 3750 m
3
.
Câu 8
Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp 2 lần thì thể tích của hình lập phương đó sẽ tăng
lên bao nhiêu lần?
A 9. B 6. C 8. D 4.
Câu 9
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích
khối lăng trụ bằng bao nhiêu?
A 100. B 20. C 64. D 80.
Câu 10
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh 2a?
A
2
√
2
3
a
3
. B 2
√
2a
3
. C
√
2
4
a
3
. D
√
2
12
a
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
72
Trang
Câu 11
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có BB
0
= a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
A C = a
√
2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A V = a
3
. B V =
a
3
3
. C V =
a
3
6
. D V =
a
3
2
.
Câu 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a, SA vuông góc
với mặt đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 30
◦
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo
a.
A V =
2
√
15a
3
3
. B V =
√
15a
3
3
. C V =
2
√
15a
3
9
. D V =
√
15a
3
9
.
Câu 13
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC theo a.
A V =
√
26a
3
12
. B V =
√
78a
3
12
. C V =
√
26a
3
3
. D V =
√
78a
3
3
.
Câu 14
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo của các mặt lần lượt là
√
5,
√
10,
√
13. Tính thể
tích của hình hộp đã cho.
A V = 6. B V = 4.
C V = 8. D V =
√
5 ·
√
10 ·
√
18
6
.
Câu 15
Cho lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a, BC = 2a. Biết lăng trụ
có thể tích V = 2a
3
. Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ theo a.
A d = 3a. B d = a. C d = 6a. D d = 2a.
Câu 16
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a, thể tích bằng
3a
3
4
. Tính độ dài
cạnh AB
0
.
A 3
√
3a. B 3
√
7a. C 2a. D
√
3a.
Câu 17
Cho hình chóp S.AB C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy
(ABC). Biết góc tạo vởi hai mặt phẳng (SBC) và (AB C) bằng
d
60
◦
, tính thể tích V của khối chóp
S.ABC.
A
a
3
√
3
24
. B
3
√
3a
3
8
. C
a
3
√
3
8
. D
a
3
√
3
12
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
73
Câu 18
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên (SAB), (SAC) cùng
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = a
√
3.
A
a
3
√
3
2
. B
a
3
√
3
4
. C
2a
3
√
6
9
. D
a
3
√
6
12
.
Câu 19
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a. Biết SA ⊥ (ABC)
và SB tạo với đáy một góc bằng 60
◦
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A V =
a
3
√
6
48
. B V =
a
3
√
6
24
. C V =
a
3
√
6
8
. D V =
a
3
√
3
24
.
Câu 20
Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối bát diện đều
cạnh a.
A V =
8a
3
27
. B V =
a
3
27
. C V =
16a
3
√
2
27
. D V =
2a
3
27
.
Câu 21
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có diện tích các mặt ABCD , B CC
0
B
0
, CDD
0
C
0
lần lượt
là 2a
2
, 3a
2
, 6a
2
. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
A 36a
3
. B 6a
3
. C 36a
6
. D 6a
2
.
Câu 22
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng 60
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A
a
3
6
. B
a
3
√
6
3
. C
a
3
√
6
6
. D
a
3
√
6
2
.
Câu 23
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường
kính AB = 2R, biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), (SBC) hợp với đáy (ABCD) một góc
45
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
3R
3
4
. B 3R
3
. C
3R
3
6
. D
3R
3
2
.
Câu 24
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB
0
, CC
0
. Mặt
phẳng (A
0
MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt V
1
là thể tích của phần đa diện chứa
điểm B, V
2
là phần còn lại. Tính tỉ số
V
1
V
2
.
A
V
1
V
2
=
7
2
. B
V
1
V
2
= 2. C
V
1
V
2
= 3. D
V
1
V
2
=
5
2
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
74
Trang
Câu 25
Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích
thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1 : 3 và thể tích của hộp bằng 18 (dm
3
). Để
tốn ít vật liệu nhất thì tổng x + y + z bằng
A
26
3
. B 10. C
19
2
. D 26.
—–HẾT—–
ĐỀ ÔN SỐ 3
CC
Câu 1
Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?
A Hình hộp chữ nhật. B Hình bát diện đều.
C Hình lập phương. D Hình tứ diện đều.
Câu 2
Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào?
A
{
5; 3
}
. B
{
3; 4
}
. C
{
4; 3
}
. D
{
3; 5
}
.
Câu 3
Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên.
A 11. B 10. C 12. D 9.
Câu 4
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 5. B 6. C 3. D 4.
Câu 5
Cho hình chóp có thể tích V, diện tích mặt đáy là S. Chiều cao h tương ứng của hình chóp là
A h =
3V
S
. B h =
3S
V
. C h =
V
S
. D h =
3V
S
2
.
Câu 6
Kim tự tháp Ê-kốp ở Ai Cập được xây dựng khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự tháp
này là một khối chóp đều có chiều cao bằng 147 m, cạnh đáy bằng 230 m. Tính thể tích của kim
tự tháo Ê-Kốp.
A 11270 (m
3
). B 7776300 (m
3
). C 3068200 (m
3
). D 2592100 (m
3
).
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
75
Câu 7
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối chóp
A.BCC
0
B
0
.
A V = 20. B V = 10. C V = 25. D V = 15.
Câu 8
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có cạnh bằng a. Gọi O, O
0
lần lượt là tâm các hình vuông
ABCD và A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh B
0
C
0
và CD. Tính thể tích khối
tứ diện OO
0
MN.
A
a
3
8
. B a
3
. C
a
3
12
. D
a
3
24
.
Câu 9
Cho hình chóp tam giác S.AB C với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Tính
thể tích của khối chóp S.ABC.
A
1
3
a
3
. B
1
2
a
3
. C
1
6
a
3
. D
2
3
a
3
.
Câu 10
Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có tất cả các cạnh bằng a.
A V = 3a
3
. B V =
a
3
√
3
2
. C V = a
3
. D V =
a
3
√
3
4
.
Câu 11
Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu
vuông góc của A
0
trên mặt phẳng
(
ABC
)
là trung điểm H của cạnh AB và AA
0
= a
√
2. Tính thể
tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
theo a.
A V =
a
3
√
6
6
. B V = a
3
√
3. C V =
a
3
√
6
2
. D V = a
3
√
2.
Câu 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình t hoi cạnh AB = a,
’
ABC = 60
◦
, tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh SC hợp với mặt đáy một góc 45
◦
. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
A a
3
√
2. B
a
3
4
. C 3a
3
. D
a
3
2
.
Câu 13
Cần xây một hồ cá có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có các cạnh 40 cm và 30 cm. Để trang trí
người ta đặt vào đó một quả cầu thủy tinh có bán kính 5 cm. Sau đó đổ đầy hồ 30 lít nước. Hỏi
chiều cao của hồ cá là bao nhiêu cm? (Lấy chính xác đến chữ số thập phân thứ 2).
A 25,66. B 24,55. C 24,56. D 25,44.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN
76
Trang
Câu 14
Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d =
√
21. Độ dài kích t hước của hình hộp chữ nhật lập
thành một cấp số nhận có công bội q = 2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là
A V =
8
3
. B V = 8. C V =
4
3
. D V = 6.
Câu 15
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
A V = 40. B V = 24. C V = 32. D V = 192.
Câu 16
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O có cạnh bằng a, góc
’
BAC = 60
◦
,
SO ⊥ (AB CD) và SO =
3a
4
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A
a
3
√
3
8
. B
a
3
√
3
4
. C
a
3
4
. D
3a
3
√
3
8
.
Câu 17
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên
ABB
0
A
0
là AB
0
= a
√
2. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
đó là
A
a
3
√
6
4
. B
a
3
√
3
4
. C
a
3
√
3
12
. D
a
3
√
6
12
.
Câu 18
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC
và mặt đáy bằng 30
◦
. Thể tích khối chóp S.ABC là
A
a
3
6
. B
√
3a
3
6
. C
√
3a
3
3
. D
a
3
12
.
Câu 19
Cho khối chóp tam giác S.AB C có thể tích là V, gọi I, J lần lượt là trung điểm hai cạnh bên SB
và SC. Tính thể tích V
0
của khối chóp S.AIJ theo V.
A V
0
=
V
2
. B V
0
=
V
4
. C V
0
=
V
3
. D V
0
=
2V
3
.
Câu 20
Cho hình lăng trụ đứng ABC .A
0
B
0
C
0
có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC ) và (A
0
B C)
bằng 60
◦
. Biết diện tích của 4A
0
B C bằng 2a
2
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
.
A V = 3a
3
. B V = a
3
√
3. C V =
2a
3
3
. D V =
a
3
√
3
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
Trang
77
Câu 21
Tính thể tích V của khối chóp C
0
.ABC biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bằng a
3
.
A V = 3a
3
. B V =
a
3
3
. C V =
a
3
9
. D V = 9a
3
.
Câu 22
Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.
Biết rằng ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = AB = 2a, BC =
3a
2
. Gọi I là tr ung điểm
cạnh đáy AB. Tính thể tích V của khối chóp S .ICD.
A V =
7a
3
√
3
2
. B V =
7a
3
√
3
12
. C V =
7a
3
√
3
6
. D V =
7a
3
√
3
4
.
Câu 23
Cho hình hộp đứng ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
’
BAD = 60
◦
, AB
0
hợp
với đáy (ABCD) một góc 30
◦
. Thể tích V của khối hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
là
A V =
a
3
2
. B V =
3a
3
2
. C V =
a
3
6
. D V =
a
3
√
2
6
.
Câu 24
Một phòng học có dạng một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m, thể tích
là 192 m
3
. Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường phía trong phòng. Biết diện tích
các cửa bằng 10 m
2
, hãy tính diện tích cần quét vôi bằng m
2
.
A 144. B 96. C 150. D 182.
Câu 25
Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng
hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 220500 cm
3
nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều
rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
A 2220 cm
2
. B 1880 cm
2
. C 2100 cm
2
. D 2200 cm
2
.
—–HẾT—–
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
2
2
Chương
MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT
CẦU
§1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
AA
1. Mặt nón, hình nón, khối nón
Khi quay đoạn SM quanh trục cố định SO, ta được
mặt nón.
Khi quay đường gấp khúc SMO quanh trục cố định
SO, ta được hình nón.
Hình nón và phần không gian bên trong nó tạo thành
khối nón.
O
M
S
2. Các công thức tính
Các đại lượng cần nhớ
SM = l là đường sinh;• SO = h là đường cao;• OM = r là bán kính đáy.•
Khi đó
¬ Diện tích xung quanh: S
xq
= πrl;
Diện tích đáy: S
đ
= πr
2
;
® Diện tích toàn phần: S
tp
= S
xq
+ S
đ
;
¯ Thể tích: V =
1
3
·S
đ
· h =
1
3
πr
2
h.
O
M
S
l
h
r
3. Khối nón cụt
¬ Đường cao OI = h;
Bán kính đáy hớn OB = R;
® bán kính đáy nhỏ IB
0
= r;
¯ Thể tích: V
cụt
=
1
3
π
R
2
+ r
2
+ R ·r
h.
O
B
B
0
A
A
0
I
h
R
r
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
79
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
BB
1
Dạng
Xác định các yếu tố cơ bản của hình nón, khối nón
¬ Diện tích xung quanh: S
xq
= πrl;
Diện tích đáy: S
đ
= πr
2
;
® Diện tích toàn phần: S
tp
= S
xq
+ S
đ
;
¯ Thể tích: V =
1
3
·S
đ
· h =
1
3
πr
2
h.
° Mối quan hệ giữa đường sinh, đường cao và bán kính l
2
= r
2
+ h
2
Ví dụ 1
Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy r =
√
3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối
nón đã cho.
A V = 16π
√
3. B V = 12π. C V = 4. D V = 4π.
Ví dụ 2
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa
2
và có bán kính đáy bằng a. Độ dài đường
sinh của hình nón đã cho bằng
A 2a
√
2. B 3a. C 2a. D
3a
2
.
Ví dụ 3
Tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12.
A 90π. B 65π. C 60π. D 65.
Ví dụ 4
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần bằng 3πa
2
. Độ dài đường sinh l
của hình nón bằng
A l = 2a. B l = a. C l = 4a. D l = a
√
3.
Ví dụ 5
Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
◦
, bán kính đáy bằng 2a, diện tích toàn phần của hình
nón trên là
A S
tp
= 10πa
2
. B S
tp
= 8πa
2
. C S
tp
= 20πa
2
. D S
tp
= 12πa
2
.
Ví dụ 6
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
◦
, diện tích xung quanh bằng 6πa
2
. Tính thể tích V của
khối nón đã cho.
A V =
3πa
3
√
2
4
. B V =
πa
3
√
2
4
. C V = 3πa
3
. D V = πa
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
80
Trang
Ví dụ 7
Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của
lượng nước trong phễu bằng
1
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược
phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là
15cm.
h
r
h
r
A 0, 501(cm). B 0, 302(cm). C 0, 216(cm). D 0, 188(cm).
2
Dạng
Xoay hình phẳng quanh trục tạo thành khối nón
Ví dụ 1
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc
’
IOM = 45
◦
và cạnh IM = a. Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón
tròn xoay. Tính diện tích xung quanh S
xq
của hình nón tròn xoay đó theo a.
A S
xq
= πa
2
√
2. B S
xq
= πa
2
. C S
xq
= πa
2
√
3. D S
xq
=
πa
2
√
2
2
.
Ví dụ 2
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường cao AH. Tính diện tích xung quanh của hình
nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AH.
A
1
2
πa
2
. B
3
4
πa
2
. C πa
2
. D 2πa
2
.
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = a,
“
A = 120
◦
, đường cao AH. Tính thể tích khối
nón sinh ra bởi tam giác ABC khi quay quanh đường cao AH.
A
πa
3
2
. B πa
3
. C
πa
3
3
. D
πa
3
8
.
Ví dụ 4
Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 6, AC = 8 và M là trung điểm của cạnh A C. Khi
đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quay quanh cạnh AB là
A 96π. B 106π. C 98π. D 86π.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
81
Ví dụ 5
Cho tam giác OAB vuông cân tại O, có OA = 4. Lấy điểm M thuộc cạnh AB (M không trùng
với A, B ) và gọi H là hình chiếu của M trên OA. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay
được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh OA.
A
128π
81
. B
81π
256
. C
256π
81
. D
64π
81
.
3
Dạng
Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng cho trước
Loại 1: Thiết diện qua trục của hình nón.
Thiết diện qua trục là tam giác cân SMN. Khi giải bài tập, ta chỉ
quan tâm tam giác SMN có tính chất gì, để phục vụ cho việc
tính toán ba thông số r, l, h.
r = OM• l = SM• h = OS•
S
O
M
N
Loại 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung AB
Thiết diện là tam giác cân SAB với các t hông số cần quan tâm
•
‘
SIO là góc giữa (SAB ) với đáy.
• OH là khoảng cách từ O đến (SAB) và OH =
OI ·OS
√
OI
2
+ OS
2
H
B
A
I
S
O
Ví dụ 1
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối nón.
A
√
3πa
3
. B
√
3πa
3
3
. C
√
3πa
3
6
. D
√
3πa
3
2
.
Ví dụ 2
Cho hình nón có thiết diện qua tr ục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính diện
tích xung quanh S
xq
của hình nón.
A S
xq
= 2π
√
2a
2
. B S
xq
= π
√
2a
2
. C S
xq
= πa
2
. D S
xq
= 2πa
2
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
82
Trang
Ví dụ 3
Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính
R = 3cm, góc ở đỉnh của hình nón là ϕ = 120
◦
. Cắt hình nón
bởi một mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB,
trong đó A, B t huộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác
SAB bằng
A 3
√
3 cm
2
. B 6
√
3 cm
2
.
C 6 cm
2
. D
3 cm
2
.
B
A
S
O
Ví dụ 4
Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm O, SA và SB là hai
đường sinh biết SO = 3, khoảng cách từ O đến ( SAB) là 1 và
diện tích tam giác SAB là 18. Tính bán kính đáy của hình nón
trên.
A
√
674
4
. B
√
530
4
.
C
9
√
2
4
. D
23
4
.
B
A
S
O
Ví dụ 5
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh
góc vuông bằng 2. Mặt phẳng (α) qua đỉnh S của hình nón đó và
cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN biết góc
giữa (α) và đáy hình nón bằng 60
◦
.
A
2
√
2
3
. B 2.
C
8
√
6
9
. D
4
√
2
3
.
S
N
O
M
H
Ví dụ 6
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O và có
thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a, A và B là hai
điểm bất kỳ trên (O). Thể tích của khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn
nhất bằng
A
a
3
√
3
48
. B
a
3
√
3
96
.
C
a
3
√
3
24
. D
a
3
96
.
A
S
B
O
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
83
4
Dạng
Khối nón ngoại tiếp, nội tiếp
Ví dụ 1
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh
A, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính theo a diện
tích xung quanh S
xq
của (N).
A S
xq
= 3
√
3πa
2
. B S
xq
= 12
√
3πa
2
.
C S
xq
= 6
√
3πa
2
. D
S
xq
= 6πa
2
.
A
B
C
O
D
Ví dụ 2
Cho hình chóp tứ giác đều S .AB CD có độ dài cạnh đáy
bằng a và (N) là hình nón có đỉnh là S với đáy là hình
tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Tỉ số thể tích của khối chóp
S.ABCD và khối nón (N) bằng
A
2
π
. B
2
√
2
π
. C
π
√
2
2
. D
π
4
.
B
C
D
A
S
O
Ví dụ 3
Gọi (T) là hình chóp lục giác đều có cạnh bên bằng 9 cm, cạnh đáy
bằng 8 cm và (N) là hình nón có đỉnh là đỉnh của (T) và đáy là đường
tròn ngoại tiếp đáy của (T). Thể tích của khối nón (N) (tính bằng cm
3
)
là
A 72π. B 64
√
17π. C
64
√
17π
3
. D
72π
3
.
A
S
O
5
Dạng
Gấp hình quạt để tạo thành mặt nón
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
84
Trang
Ví dụ 1
Trải mặt xung quanh của một hình nón lên một mặt phẳng ta được
hình quạt (xem hình bên) là phần của hình tròn có bán kính bằng 3
cm. Bán kính đáy r của hình nón ban đầu gần nhất với số nào dưới
đây?
A 2,23. B 2,24.
C 2,25. D 2,26.
3 cm
Ví dụ 2
Cho miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R . Cắt bớt
từ miếng tôn một hình quạt OAB và gò phần còn lại
thành một hình nón đỉnh O không đáy (OA tr ùng với
OB ) như hình vẽ. Gọi S và S
0
lần lượt là diện tích của
miếng tôn ban đầu và miếng tôn còn lại sau khi cắt
bớt. Tìm tỷ số
S
0
S
để thể tích khối nón lớn nhất.
x
R
O
B
A
O
A ≡ B
A
S
0
S
=
√
2
3
. B
S
0
S
=
√
6
3
. C
S
0
S
=
√
6
2
. D
S
0
S
=
1
4
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
85
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CC
Câu 1
Cho hình nón có bán kính đáy là 4a , chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A 24πa
2
. B 12πa
2
. C 40πa
2
. D 20πa
2
.
Câu 2
Thể tích của khối nón tròn xoay có đường kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 là
A 60π. B 45π. C 15π. D 180π.
Câu 3
Cho hình nón có chiều cao h = a
√
3 và bán kính đáy bằng a. Diện tích toàn phần của hình nón
đã cho là
A π(1 +
√
2)a
2
. B 3πa
2
. C πa
2
. D πa
2
√
3.
Câu 4
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần bằng 3πa
2
. Độ dài đường sinh l
của hình nón bằng
A l = 2a. B l = 4a. C l = a
√
3. D l = a.
Câu 5
Cho hình nón có bán kính đáy R = 4 và diện tích xung quanh bằng 20π. Thể tích của khối nón
đã cho bằng
A 4π. B 16π. C
16π
3
. D
80π
3
.
Câu 6
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 60
◦
. Thể tích V của hình nón là
A V =
8π
√
3
2
cm
3
. B V =
8π
√
3
9
cm
3
. C V = 8π
√
3 cm
3
. D V =
8π
√
3
3
cm
3
.
Câu 7
Một khối nón tròn xoay có chu vi đáy bằng 4π, độ dài đường sinh bằng 4, khi đó thể tích V của
khối nón tròn xoay bằng
A V =
16π
3
. B V =
8π
√
3
3
. C V =
π
√
14
3
. D V =
2π
√
14
3
.
Câu 8
Một khối nón có diện tích toàn phần bằng 10π và diện tích xung quanh bằng 6π. Tính thể tích
V của khối nón đó.
A V =
4π
√
5
3
. B V = 4π
√
5. C V = 12π. D V = 4π.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
86
Trang
Câu 9
Nếu giữ nguyên bán kính đáy của khối nón và giảm chiều cao của nó 2 lần thì thể tích khối nón
này thay đổi như thế nào?
A Giảm 4 lần. B Giảm 2 lần. C Tăng 2 lần. D Không đổi.
Câu 10
Một hình nón có diện tích mặt đáy bằng 4π cm
2
, diện tích xung quanh bằng 8π cm
2
. Khi đó
đường cao của hình nón đó bằng bao nhiêu centimet?
A 4. B 2
√
5. C 2. D 2
√
3.
Câu 11
Cho hình nón có chiều cao 2a và góc ở đỉnh bằng 90
◦
. Tính thể tích của khối nón xác định bởi
hình nón trên.
A 8πa
3
. B
2πa
3
3
. C
πa
3
3
. D
8πa
3
3
.
Câu 12
Cho hình nón có bán kính đáy r = 1, chiều cao h =
4
3
. Ký hiệu góc ở đỉnh hình nón là 2α. Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A sin α =
3
5
. B cos α =
3
5
. C tan α =
3
5
. D cot α =
3
5
.
Câu 13
Cho hình nón có chiều cao bằng 3 cm, góc giữa trục và đường sinh bằng 60
◦
. Thể tích của khối
nón là:
A V = 9π (cm
3
). B V = 54π (cm
3
). C V = 27π (cm
3
). D V = 18π (cm
3
).
Câu 14
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có thể tích V =
√
3
3
πa
3
. Diện tích xung
quanh S của hình nón đó là
A S = 2 πa
2
. B S = 3πa
2
. C S = 4πa
2
. D S =
1
2
πa
2
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
87
Câu 15
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân
có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón.
S
O
A
B
A
πa
2
√
2
4
. B
πa
2
√
2
2
. C πa
2
√
2. D
2πa
2
√
2
3
.
Câu 16
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = 2a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón
nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB.
A l = a
√
2. B l = a
√
5. C l = 2a. D l = a
√
3.
Câu 17
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC tại H, HB = 3,6 cm, HC = 6,4 cm.
Quay miền tam giác ABC quanh đường t hẳng AH ta thu được khối nón có thể tích V bằng bao
nhiêu?
A V = 205,89 cm
3
. B V = 65,14 cm
3
. C V = 65,54 cm
3
. D V = 617,66 cm
3
.
Câu 18
Gọi (H) là hình tròn xoay thu được khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB. Thể
tích khối tròn xoay giới hạn bởi (H) có thể tích bằng
A
πa
3
√
3
6
. B
πa
3
4
. C
πa
3
√
3
12
. D
πa
3
8
.
Câu 19
Cho khối nón tròn xoay đỉnh S có đường cao h = 20 cm, bán
kính đáy r = 25 cm. Một mặt phẳng (P) đi qua S và có khoảng
cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Thiết diện của (P) với khối
nón là tam giác SAB, với A, B thuộc đường tròn đáy. Tính diện
tích S
4SAB
của tam giác SAB.
A S
4SAB
= 300 cm
2
. B S
4SAB
= 500 cm
2
.
C S
4SAB
= 400 cm
2
. D S
4SAB
= 600 cm
2
.
B
A
S
O
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
88
Trang
Câu 20
Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng
2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao
cho AB = 2
√
3a. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy
đến (P).
A
2a
√
5
. B
a
√
5
. C a. D
a
√
2
a
.
B
A
S
O
Câu 21
Cho hình nón có đường sinh bằng 2a và góc ở đỉnh bằng 90
◦
.
Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc
giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng 60
◦
. Tính diện tích S của
thiết diện tạo thành.
A S =
4
√
2a
2
3
. B S =
√
2a
2
3
.
C S =
5
√
2a
2
3
. D S =
8
√
2a
2
3
.
B
A
S
O
Câu 22
Cho hình chóp tứ giác đều S · ABCD có tất cả các cạnh bằng 3. Tính diện tích xung quanh của
hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình
chóp.
A S
xq
=
9π
2
. B S
xq
= 9π. C S
xq
=
9
√
2π
2
. D S
xq
=
9
√
2π
4
.
Câu 23
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
A
πa
2
√
15
4
. B
πa
2
√
17
8
. C
πa
2
√
17
4
. D
πa
2
√
17
6
.
Câu 24
Cho tứ diện đều AB CD có cạnh bằng 4. Tính thể tích V
(N)
của khối nón có một đường tròn đáy
là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.
A V
(N)
=
16
√
6π
27
. B V
(N)
=
16
√
6π
9
. C V
(N)
=
8
√
6π
9
. D V
(N)
=
16
√
6π
81
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN
Trang
89
Câu 25
Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón (H
1
), (H
2
) xếp chồng
lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r
1
, h
1
,
r
2
, h
2
thỏa mãn r
1
=
1
2
r
2
, h
1
=
1
2
h
2
(tham khảo hình vẽ). Biết rằng
thể tích của khối (H
1
) bằng 10 cm
3
. Thể tích toàn bộ của khối pha lê
bằng
A 30 cm
3
. B 50 cm
3
.
C 90 cm
3
. D 80 cm
3
.
Câu 26
Cho mô hình gồm hai tam giác vuông ABC và ADE cùng nằm
trong một mặt phẳng như hình vẽ. Biết rằng BD cắt CE tại A,
DE = 2BC = 6, BD = 15. Tính thể tích V của khối tròn xoay
tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục BD.
A V = 135π. B V = 105π.
C V = 120π. D V = 15π.
A
C
B
D E
Câu 27
Bạn An có một cốc nước uống có dạng một hình nón cụt, đường kính miệng cốc là 8 cm, đường
kính đáy cốc là 6 cm, chiều cao của cốc là 12 cm. An dùng cốc đó để đong 10 lít nước. Hỏi An
phải đong ít nhất bao nhiêu lần?
A 24 lần. B 26 lần. C 20 lần. D 22 lần.
Câu 28
Cho hình vuông ABCD cạnh 1, điểm M là trung điểm của CD. Cho hình
vuông (tính cả điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng AM ta
được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
A
7
√
2π
15
. B
7
√
5π
30
. C
7
√
10π
15
. D
7
√
2π
30
.
A B
C
D M
Câu 29
Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng
1
3
chiều cao của phễu.
Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên t hì chiều cao của mực
nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
90
Trang
A 0,5 cm. B 0,3 cm. C 0,188 cm. D 0,216 cm.
Câu 30
Cho một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. Ta cắt bỏ hình quạt
AOB (phần gạch chéo) rồi dán hai bán kính OA và OB lại
với nhau để biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón.
Gọi x rad là số đo góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu.
Tìm x để thể tích của phễu đạt giá trị lớn nhất.
A
√
6
3
π. B
2
√
6
3
π.
C
π
3
. D
2π
3
.
h
r
A
O
x
B
R
R
A, B
——————HẾT——————
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
91
§2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
AA
1. Xoay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB
¬ Đoạn CD tạo thành mặt trụ;
Đường gấp khúc ADCB tạo thành hình tr ụ;
® Hình trụ và phần không gian bên trong nó tạo thành
khối trụ.
A
B
D
C
2. Các đại lượng cần nhớ
r = AD = CB là bán kính đáy;¬ l = CD là đường sinh;
h = AB là đường cao;® Chú ý h = l.¯
3. Công thức tính
¬ Diện tích xung quanh: S
xq
= 2πrl;
Diện tích đáy: S
đ
= πr
2
;
® Diện tích toàn phần: S
tp
= S
xq
+ 2 · S
đ
;
¯ Thể tích: V = S
đ
· h = πr
2
h.
A
B
D
C
r
h
l
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
BB
1
Dạng
Xác định các yếu tố cơ bản của hình trụ, khối trụ
Ví dụ 1
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2.
A V = 4π. B V = 2π. C V = 6π. D V = 8π.
Ví dụ 2
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Tính diện tích xung quanh của
hình trụ.
A 85π cm
2
. B 35π cm
2
. C
35
3
π cm
2
. D 70π cm
2
.
Ví dụ 3
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 3πa
2
và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ
đã cho bằng
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
92
Trang
A 2a. B
2
3
a. C 3a. D
3
2
a.
Ví dụ 4
Cho khối trụ có thể tích bằng 45π cm
3
, chiều cao bằng 5 cm. Tính bán kính R của khối trụ đã
cho
A R = 3 cm. B R = 4,5 cm. C R = 9 cm. D R = 3
√
3 cm.
Ví dụ 5
Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên
bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Tính bán kính đáy
r của hình trụ ban đầu.
A r = 15. B r = 5. C r = 10. D r = 2.
Ví dụ 6
Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên
bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Tính bán kính đáy
r của hình trụ ban đầu.
A r = 15. B r = 5. C r = 10. D r = 2.
Ví dụ 7
Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên
một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều
cao tương ứng là r
1
, h
1
, r
2
, h
2
thỏa mãn r
2
= 2r
1
, h
1
= 2h
2
(hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng 20cm
3
.
Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng
A 140cm
3
. B 120cm
3
. C 30cm
3
. D 50cm
3
.
Ví dụ 8
Bác An cần làm một cái bể đựng nước hình trụ (có đáy và nắp đậy) có thể tích 16 π m
3
. Tính
bán kính đáy của hình trụ để nguyên vật liệu làm bể ít nhất.
A 0,8 m. B 1,2 m. C 2 m. D 2,4 m.
2
Dạng
Xoay hình phẳng quanh trục tạo khối trụ
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
93
Ví dụ 1
Quay hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 quanh tr ục là đường thẳng chứa cạnh MN (M, N lần
lượt là trung điểm của AB, CD) được hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A 32π. B 24π. C 8π. D 16π.
Ví dụ 2
Hình trụ
(
T
)
được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết A C = 2
√
2a và
’
A CB = 45
0
. Diện tích toàn phần của hình tr ụ
(
T
)
bằng
A 16πa
2
. B 10πa
2
. C 12πa
2
. D 8πa
2
.
Ví dụ 3
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ)
quanh trục DF.
A
10πa
3
9
. B
10πa
3
7
.
C
5πa
3
2
. D
πa
3
3
.
D
C
A
B
E
F
a
a
a
30
◦
Ví dụ 4
Cho lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Quay lục giác đều đó quanh
đường thẳng AD. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra.
A V = 128π. B V = 32π.
C V = 16π. D V = 64π.
I
O
B
C
E
F
A
D
3
Dạng
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng cho trước
Ví dụ 1
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6 cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua
trục bằng
A 5 cm. B 10 cm. C 6 cm. D 8 cm.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
94
Trang
Ví dụ 2
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ
đã cho bằng
A πa
3
. B 5πa
3
. C 4πa
3
. D 3πa
3
.
Ví dụ 3
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông và diện tích toàn phần bằng 64πa
2
. Tính
bán kính đáy của hình trụ.
A r =
4
√
6a
3
. B r =
8
√
6a
3
. C r = 4a. D r = 2a.
Ví dụ 4
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 cm và có chiều cao bằng 3 cm. Một
mặt phẳng song song với trục của hình trụ và khoảng cách giữa chúng
bằng 1 cm. Tính diện tích t hiết diện tạo bởi mặt phẳng đó và mặt trụ.
A 6
√
3 cm
2
. B 3
√
3 cm
2
.
C 9
√
3 cm
2
. D
2
√
3
5
cm
2
.
O
A
O
0
B
C
D
Ví dụ 5
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình
vuông ABCD có AB, CD là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt
phẳng (ABCD) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó
bằng
A
5a
2
4
. B
5a
2
2
. C
5a
2
√
2
2
. D 5a
2
.
B
C
A
D
4
Dạng
Khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp
Ví dụ 1
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O
0
) chiều cao R
√
3 và bán
kính R. Một hình nón đỉnh O
0
và đáy là hình tròn (O; R). Tỉ lệ thể tích xung
quanh của hình trụ và hình nón bằng.
A 3. B
√
2. C 2. D
√
3.
A
O
O
0
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
95
Ví dụ 2
Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có diện tích tứ giác ACA
0
C
0
là 4
√
2a
2
. Tính thể tích khối
trụ tròn xoay có một đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD và đường cao của khối trụ tròn
xoay là đường cao hình lập phương đã cho.
A πa
3
. B 4πa
3
. C
π
4
a
3
. D 2πa
3
.
Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ tứ giác đều AB CD.A
0
B
0
C
0
D
0
có độ dài cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng
h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A V =
2πa
2
h
3
. B V = πa
2
h. C V = 2πa
2
h. D V = 8πa
2
h.
Ví dụ 4
Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h. Bán kính r của hình
trụ nội tiếp hình nón mà có thể tích lớn nhất là
A r =
R
4
. B r =
R
2
.
C r =
2R
3
. D r =
R
3
.
A
K
Q
P
B
C
HM N
5
Dạng
Gấp hình chữ nhật để tạo thành mặt trụ
Ví dụ 1
Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích 4π. Người ta cuốn tròn hình chữ nhật đó sao cho có
một cặp cạnh đối dính vào nhau để tạo thành một hình trụ không đáy. Biết chiều cao hình trụ
bằng đường kính mặt đáy. Tính thể tích khối trụ tương ứng.
A π. B 2π. C 3π. D 4 π.
Ví dụ 2
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách như sau:
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
96
Trang
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành
mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành
hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm
đó t hành mặt xung quanh của một
thùng.
Kí hiệu V
1
là thể tích của thùng gò
được theo cách 1 và V
2
là tổng thể tích
của hai thùng gò được theo cách 2.
Tính tỉ số
V
1
V
2
.
A
V
1
V
2
= 1. B
V
1
V
2
= 2. C
V
1
V
2
=
1
2
. D
V
1
V
2
= 4.
Ví dụ 3
Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không
đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh
tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên
liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng
thuộc cạnh AC và AB) để tạo t hành hình trụ có
chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc
thùng mà bạn A có thể làm được là
A
91125
4π
(cm
3
). B
91125
2π
(cm
3
).
C
13500
√
3
π
(cm
3
). D
108000
√
3
π
(cm
3
).
C
M N
A
P
Q
B
—HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
97
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CC
Câu 1
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 3πa
2
và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ
đã cho bằng
A 2a. B
2
3
a. C 3a. D
3
2
a.
Câu 2
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 8 cm. Diện tích xung
quanh của hình trụ là
A
40π cm
2
. B 144π cm
2
. C 72π cm
2
. D 80π cm
2
.
Câu 3
Một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng 90π. Tính diện tích
xung quanh của khối trụ.
A 60π. B 78π. C 81π. D 90π.
Câu 4
Cho khối trụ (T) có chiều cao và đường kính đáy cùng bằng 2a. Tính diện tích toàn phần S
tp
của (T).
A S
tp
= 5πa
2
. B S
tp
= 6πa
2
. C S
tp
= 4πa
2
. D S
tp
= 3πa
2
.
Câu 5
Nếu tăng chiều cao của một khối trụ lên 8 lần và giảm bán kính đáy đi 2 lần thì thể tích của nó
tăng hay giảm bao nhiêu lần?
A Giảm 2 lần. B Tăng 4 lần.
C Không tăng, không giảm. D Tăng 2 lần.
Câu 6
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABCD có AC = 4a. Tính thể tích khối trụ.
A V =
8πa
3
3
. B V = 2πa
3
. C V = 4
√
2πa
3
. D V =
4
√
2πa
3
3
.
Câu 7
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông và diện tích toàn phần bằng 64πa
2
. Tính
bán kính đáy của hình trụ.
A r =
4
√
6a
3
. B r =
8
√
6a
3
. C r = 4a. D r = 2a.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
98
Trang
Câu 8
Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết A C = 2a
√
2 và
’
A CB = 45
◦
. Diện tích toàn phần S
tp
của hình trụ (T) là
A S
tp
= 16πa
2
. B S
tp
= 10πa
2
. C S
tp
= 12πa
2
. D S
tp
= 8πa
2
.
Câu 9
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có
cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD = a
√
2,
’
DAC = 60
◦
. Tính t hể tích
khối trụ.
A
3
√
6
16
πa
3
. B
3
√
2
16
πa
3
. C
3
√
2
32
πa
3
. D
3
√
2
48
πa
3
.
Câu 10
Cắt mặt xung quanh của một hình tr ụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng
ta được hình vuông có chu vi bằng 8π. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A 2π
2
. B 2π
3
. C 4π. D 4π
2
.
Câu 11
Một cái bánh kem gồm hai khối tr ụ T
1
và T
2
cùng trục và xếp chồng lên nhau. Bán kính, chiều
cao tương ứng của hai khối tr ụ là r
1
, h
1
, r
2
, h
2
. Biết rằng r
1
= 3r
2
và h
2
= 3h
1
và thể tích của
bánh kem là 120π cm
3
. Thể tích của khối kem T
1
là
A 12π cm
3
. B 108π cm
3
. C 30π cm
3
. D 90π cm
3
.
Câu 12
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và
cách trục một khoảng
a
2
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P).
A 2
√
3a
2
. B a
2
. C πa
2
. D
√
3a
2
.
Câu 13
Một cái cốc hình trụ cao 15 cm đựng được 0, 5 lít nước. Hỏi bán kính đường tròn đáy của cái
cốc xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)?
A 3, 26 cm. B 3, 27 cm. C 3, 25 cm. D 3, 28 cm.
Câu 14
Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng
5 cm vào một cái bình hình tr ụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều
tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên
dưới cùng tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối
cùng là đổ rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau
đây
A 1,57. B 1,7. C 1570. D 1,2.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
99
Câu 15
Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích 4π. Người ta cuốn tròn hình chữ nhật đó sao cho có
một cặp cạnh đối dính vào nhau để tạo thành một hình trụ không đáy. Biết chiều cao hình trụ
bằng đường kính mặt đáy. Tính thể tích khối trụ tương ứng.
A π. B 2π. C 3π. D 4 π.
Câu 16
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng có chiều dài
100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đường thẳng đó
đến trục của hình trụ.
A d = 50 cm. B d = 50
√
3 cm. C d = 25 cm. D d = 25
√
3 cm.
Câu 17
Một hình trụ có hai đáy là hình tròn (O; r ) và (O
0
; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO
0
= r
√
3.
Một hình nón có đỉnh O
0
và có đáy là hình trình (O; r). Gọi S
1
là diện tích xung quanh của hình
trụ và S
2
là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số
S
1
S
2
.
A
S
1
S
2
=
2
√
3
. B
S
1
S
2
= 2
√
3. C
S
1
S
2
= 2. D
S
1
S
2
=
√
3.
Câu 18
Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là
hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương. Gọi S
1
, S
2
lần
lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần
của hình trụ. Tính S = S
1
+ S
2
(cm
2
).
A S = 4(2400 + π). B S = 2400(4 + π).
C S = 2400(4 + 3π). D S = 4(2400 + 3π).
Câu 19
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5 cm, 13 cm, 12 cm. Một
hình trụ có chiều cao bằng 8 cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng bao nhiêu?
A 386π cm
3
. B 314π cm
3
. C 507π cm
3
. D 338π cm
3
.
Câu 20
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC = 2a
√
2 và
AA
0
= h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
A V = 2πa
2
h. B V = πa
2
h. C V =
4
3
πa
2
h. D V =
2
3
πa
2
h.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
100
Trang
Câu 21
Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R, độ dài đường sinh là R
√
17.
Một hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R và lồng nhau với
hình nón (hình vẽ). Tính thể tích V
0
của phần khối trụ không giao nhau với
khối nón.
A V
0
=
7
12
πR
3
. B V
0
=
5
6
πR
3
.
C V
0
=
5
12
πR
3
. D V
0
=
7
6
πR
3
.
Câu 22
Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần là 6π. Tìm bán kính đáy của khối trụ có thể tích
lớn nhất.
A R = 1. B R =
1
3
. C R =
1
√
3
. D R = 3.
Câu 23
Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình tr ụ với chiều cao 2 m, độ dày thành ống là 10
cm. Đường kính ống là 50 cm. Tính lượng bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước đó.
A 0,18π m
3
. B 0,045π m
3
. C 0,5π m
3
. D 0,08π m
3
.
Câu 24
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O
0
), chiều cao
2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của
OO
0
và tạo với OO
0
một góc 30
◦
. Hỏi (α) cắt đường tròn đáy theo
một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A
2R
√
2
√
3
. B
4R
3
√
3
.
C
2R
√
3
. D
2R
3
.
C
D
N
A
B
M
O
I
O
0
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
Trang
101
Câu 25
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ. Một
hình vuông ABCD cạnh a và có hai cạnh AB và CD lần lượt là
các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không
phải là đường sinh của hình trụ. Thể tích khối trụ trên bằng
A
√
10πa
3
5
. B
√
10πa
3
25
.
C
2
√
10πa
3
5
. D
2
√
10πa
3
25
.
D
C
N
A
B
M
I
O
O
0
Câu 26
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O
0
, bán kính
đáy bằng chiều cao và bằng 4 cm. Gọi A và B
0
lần lượt là hai điểm trên
đường tròn đáy tâm O và tâm O
0
sao cho AB
0
= 4
√
3 cm. Tính thể tích
khối tứ diện AB
0
OO
0
.
A
32
3
cm
3
. B
8
3
cm
3
.
C 8 cm
3
. D 32 cm
3
.
A
B
0
O
O
0
B
Câu 27
Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày
1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật là 480π
cm
3
thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm
3
thủy tinh?
A 80,16π. B 85,66π.
C 75,66π. D 70,16π.
D
C
Câu 28
Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4, 2m. Trong số
các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bố đều
hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính 26cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây
cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380000/1m
2
(kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi
người chủ nhà phải chi trả ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
(lấy π = 3, 14159)
A 15642000. B 12521000. C 10400000. D 11833000.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
102
Trang
Câu 29
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O
0
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a.
Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O
0
lấy điểm B. Đặt α là góc
giữa AB và đáy. Tính tan α khi thể tích khối tứ diện OO
0
AB đạt giá trị lớn nhất.
A tan α =
1
√
2
. B tan α =
1
2
. C tan α = 1. D tan α =
√
2.
Câu 30
Cắt một khối trụ cao 18 cm bởi một mặt phẳng, ta được khối
hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ
điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa
mặt đáy nhất lần lượt là 8 cm và 14 cm. Tính tỉ số thể tích của
hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn).
A
2
11
. B
1
2
.
C
5
11
. D
7
11
.
8 cm
14 cm
—HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Trang
103
§3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
AA
1. Công thức tính diện tích, thể tích khối cầu
Cho mặt cầu tâm O và bán kính R. Khi đó:
¬ Diện tích mặt cầu S = 4πR
2
Thể tích khối cầu V =
4
3
πR
3
O
M
R
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu
Xét mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng
(α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt
phẳng (α). Khi đó IH = d(I, (α)).
Nếu d(I, ( α)) > R thì (α) và (S) không có điểm
chung.
Nếu d(I, (α)) = R thì (α) và (S) tiếp xúc nhau tại
H.
O
H
M
R
r
d
Nếu d(I, (α)) < R thì (α) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn .
¬ H là tâm đường tròn giao tuyến.
HM là bán kính đường tròn giao tuyến với HM
2
= IM
2
− IH
2
hay r
2
= R
2
−d
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
BB
1
Dạng
Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu, khối cầu
Công thức cần nhớ:
S = 4πR
2
¬ V =
4
3
πR
3
Ví dụ 1
Thể tích V của khối cầu bán kính 6cm là
A V = 216π(cm
3
). B V = 288π(cm
3
). C V = 432π(cm
3
). D V = 864π(cm
3
).
Ví dụ 2
Một mặt cầu đường kính bằng 6 cm. Khi đó mặt cầu có diện tích là
A 36π cm
2
. B 144π cm
2
. C 9π cm
2
. D 12π cm
2
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
104
Trang
Ví dụ 3
Mặt cầu (S) có diện tích bằng 20π, thể tích khối cầu (S) bằng
A
20π
√
5
3
. B 20π
√
5. C
20π
3
. D
4π
√
5
3
.
Ví dụ 4
Cho mặt cầu (S
1
) có bán kính R
1
, mặt cầu (S
2
) có bán kính R
2
= 2R
1
. Tính tỉ số diện tích của
mặt cầu (S
2
) và (S
1
).
A
1
2
. B 3. C 4. D 2.
Ví dụ 5
Cho một hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối
cầu có thể tích bằng thể tích khối nón (N) thì có bán kính bằng
A
2a
√
3
4
. B
a
3
p
2
√
3
4
. C a. D
a
2
.
Ví dụ 6
Từ một khối đất sét hình trụ có chiều cao bằng 36 cm và đường tròn đáy có đường kính bằng
24 cm, bạn Toán muốn chế tạo khối đất đó thành nhiều khối cầu và chúng có cùng bán kính 6
cm. Hỏi bạn Toán có thể làm ra được tối đa bao nhiêu khối cầu như thế?
A 108. B 54. C 72. D 18.
2
Dạng
Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu
Ví dụ 1
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) không có điểm chung. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường
thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)?
A Không có mặt phẳng nào. B Vô số.
C 1. D 2.
Ví dụ 2
Mặt cầu (S) bán kính bằng 5 có tâm J cách mặt phẳng (P ) một khoảng bằng 3 thì giao tuyến của
(S) và (P) là một đường tròn có chu vi bằng bao nhiêu?
A 8π
2
. B 4π
2
. C 16π. D 8 π.
Ví dụ 3
Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4 cm được thiết diện là một
hình tròn có diện tích 9π cm
2
. Tính thể tích khối cầu (S).
A
250π
3
cm
3
. B
2500π
3
cm
3
. C
25π
3
cm
3
. D
500π
3
cm
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Trang
105
Ví dụ 4
Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba
điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm. Tính khoảng cách từ O đến (P).
A 7 dm. B 8 dm. C 14 dm. D 16 dm.
3
Dạng
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Ví dụ 1
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có độ dài cạnh bằng
√
3.
A V =
9π
2
. B V = 9 π. C V = π
√
6. D V = 6π.
Ví dụ 2
Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a.
Diện tích của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp OABC bằng
A 14πa
2
. B 12πa
2
. C 10πa
2
. D 8πa
2
.
Ví dụ 3
Một mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD · A
0
B
0
C
0
D
0
có kích thước AB = 4a, AD =
5a, AA
0
= 3a. Mặt cầu ( S) có bán kính R bằng
A R =
5a
√
2
2
. B R = 6 a. C R = 2a
√
3. D R =
3a
√
2
2
.
Ví dụ 4
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương
có bán kính là
A 2
√
2. B
√
2. C 1. D
√
3.
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); SA = a; đáy ABC là tam giác
vuông tại B,
’
BAC = 60
◦
và AB =
a
2
(tham khảo hình vẽ bên). Gọi (S) là
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai.
A Diện tích của (S) là
2πa
2
3
. B Tâm của (S) là trung điểm SC.
C (S) có bán kính
a
√
2
2
. D Thể tích khối cầu là
√
2πa
3
3
.
S
A
B
C
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
106
Trang
Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho bằng
A
√
2πa
3
6
. B
√
2πa
3
12
. C
√
2πa
3
3
. D
√
2πa
3
2
.
Ví dụ 7
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a t hì mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện đó có bán kính bằng
A
a
√
2
6
. B
a
√
2
4
. C
a
√
6
4
. D
a
√
6
6
.
Ví dụ 8
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ BC; BC ⊥ CD; CD ⊥ AB, biết AB = 5, BC = 4, CD = 3. Bán kính
khối cầu đi qua các điểm A, B, C, D là
A R =
√
41
2
. B R =
5
√
2
2
. C R =
5
2
. D R = 5.
Ví dụ 9
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E
có bán kính là
A
a
√
41
8
. B
a
√
41
24
. C
a
√
41
16
. D
a
√
2
16
.
Ví dụ 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB vuông tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD.
A V =
4πa
3
√
2
3
. B V =
8πa
3
√
2
3
. C V =
8a
3
√
2
3
. D V =
πa
3
√
2
3
.
Ví dụ 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đoạn thẳng SA = a
√
2
vuông góc với đáy ABCD. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A và M
đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S,
A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?
A a. B
a
2
. C
a
√
2
2
. D a
√
2.
Ví dụ 12
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB = a, góc giữa
đường thẳng A
0
B và mặt đáy bằng 45
◦
. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
B CC
0
A
0
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Trang
107
A R =
a
√
3
2
. B R =
a
√
2
2
. C R =
a
2
. D R =
a
√
3
3
.
Ví dụ 13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA ⊥ (ABCD), AB =
B C = a, AD = 2a, SA = a
√
2. Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các
điểm S, A, B, C, E.
A
a
√
3
2
. B a. C
a
√
6
3
. D
a
√
30
6
.
4
Dạng
Tổng hợp nón, trụ, cầu
Ví dụ 1
Một cốc nước hình trụ có đường kính bằng 8 cm, chiều cao từ đáy bên trong cốc đến miệng cốc
bằng 16 cm. Giả sử mức nước trong cốc cao 10 cm so với đáy bên trong cốc. Người ta thả một
viên bi hình cầu bán kính bằng 3 cm vào cốc nước đó. Hỏi mức nước dâng lên trong cốc so với
ban đầu là bao nhiêu cm biết rằng viên bi ngập hoàn toàn trong nước?
A
4
9
. B
9
4
. C
16
3
. D
27
64
.
Ví dụ 2
Một khối pha lê gồm một hình cầu (H
1
), bán kính R và một hình nón (H
2
)
có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r, l thỏa mãn r =
l
2
và l =
3R
2
xếp
chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu (H
1
) và diện tích toàn
phần của hình nón (H
2
) là 91 cm
2
. Tính diện tích của khối cầu (H
1
).
A
26
5
cm
2
. B 64 cm
2
. C 16 cm
2
. D
104
5
cm
2
.
Ví dụ 3
Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn. Người
ta đặt quả bóng lên chiếc cốc thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao
bằng
3
4
chiều cao của nó. Gọi V
1
, V
2
lần lượt là thể tích của quả bóng và
chiếc cốc. Khi đó?
A 27V
1
= 8 V
2
. B 3V
1
= 2 V
2
.
C 16V
1
= 9 V
2
. D 9V
1
= 8 V
2
.
O
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
108
Trang
Ví dụ 4
Cho khối cầu tâm O và bán kính R. Xét hai mặt phẳng (P), (Q) thay đổi song song với nhau có
khoảng cách là R và cùng cắt khối cầu theo thiết diện là hai hình tròn. Tổng diện tích của hai
hình tròn này có giá trị lớn nhất là
A
5
4
πR
2
. B πR
2
. C
7
4
πR
2
. D
3
2
πR
2
.
Ví dụ 5
Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R bằng
A
8πR
3
√
3
3
. B
8πR
3
27
.
C
4πR
3
√
3
9
. D
8πR
3
√
3
9
.
R
Ví dụ 6
Một hình nón ngoại tiếp một hình cầu có bán kính r = 5. Biết thiết diện
qua trục của hình nón là một tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (hình
vẽ). Tính thể tích khối nón tương ứng.
A V = 325π. B V = 375π.
C V = 350π. D V = 425π.
r = 5
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Trang
109
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
CC
Câu 1
Cho một hình tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một trục đi qua tâm hình tròn ta được một
khối cầu. Diện tích mặt cầu đó là
A 2π. B 4π. C π. D
4
3
π.
Câu 2
Cho khối cầu có thể tích V = 4πa
3
(a > 0). Tính theo a bán kính R của khối cầu.
A R = a. B R = a
3
√
3. C R = a
3
√
4. D R = a
3
√
2.
Câu 3
Thể tích khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng 36π là
A 9π. B 36π. C
π
9
. D
π
3
.
Câu 4
Một mặt cầu có diện tích bằng 16π. Bán kính của mặt cầu đó bằng
A 4π. B 2π.
C 4. D 2.
Câu 5
Thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a
√
2 là
A
π
√
2a
3
6
. B
π
√
2a
3
3
. C
πa
3
3
. D
πa
3
6
.
Câu 6
Cho khối cầu có thể tích bằng 36πa
3
. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
A
36πa
2
. B 12πa
2
. C 12a
2
. D 36a
2
.
Câu 7
Cho hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B.
A Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
B Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB.
C Đường tròn đường kính AB.
D Chỉ có một tâm duy nhất đó là tr ung điểm của AB.
Câu 8
Một cái bồn gồm hai nửa hình cầu đường kính 18dm và một hình trụ có chiều cao 36dm (như
hình vẽ). Tính thể tích V của cái bồn đó.
A V = 9216πdm
3
. B V =
1024π
9
dm
3
. C V =
16π
243
dm
3
. D V = 3888πdm
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
110
Trang
Câu 9
Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30
◦
Đông là 40πcm. Độ dài đường xích đạo là
A 40π
√
3 cm. B 40π cm. C
80π
√
3
cm. D 80π cm.
Câu 10
Cho A là điểm nằm trên mặt cầu (S) tâm O, có bán kính R = 6 cm. I, K là 2 điểm trên đoạn OA
sao cho OI = IK = KA. Các mặt phẳng (α), (β) lần lượt qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt
mặt cầu (S) theo các đường tròn có bán kính r
1
, r
2
. Tính tỉ số
r
1
r
2
.
A
r
1
r
2
=
3
√
10
4
. B
r
1
r
2
=
4
√
10
. C
r
1
r
2
=
3
√
10
5
. D
r
1
r
2
=
5
3
√
10
.
Câu 11
Người ta thả một viên bi dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một
chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc
với mặt nước sau khi dâng (tham khảo thêm hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của
phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc
bằng 4,5 cm. Tính bán kính của viên bi?
A 4,2 cm. B 3,6 cm. C 2,7 cm. D 2,6 cm.
Câu 12
Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R, chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc
với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và dưới cùng tiếp xúc
với hai nắp hộp. Tính phần thể tích của khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm
chỗ.
A 5πR
3
. B
3πR
3
4
. C 0. D
10πR
3
3
.
Câu 13
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là
A
7πa
2
3
. B
πa
3
8
. C πa
2
. D
7πa
2
9
.
Câu 14
Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc.
Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là
A
125
√
2π
3
3
. B
125
√
2π
3
. C
1000
√
2π
3
. D
1000
√
2π
3
3
.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Trang
111
Câu 15
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a thì có bán kính là
A a
√
2. B a
…
3
2
. C
a
√
3
2
. D a.
Câu 16
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có AB = AC = a , BC = a
√
3. Cạnh bên AA
0
= 2a. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB
0
C
0
C bằng
A a. B a
√
5. C a
√
3. D a
√
2.
Câu 17
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AB = a , AD = AA
0
= 2a. Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng
A 9πa
2
. B
9πa
2
4
. C 3πa
2
. D
3πa
2
4
.
Câu 18
Cho lăng tr ụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a, AA
0
= a
√
3.
Tính bán kính R của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của lăng trụ theo a.
A R =
a
√
5
2
. B R =
a
2
. C R = 2a. D R =
a
√
2
2
.
Câu 19
Cho hình chóp tam giác đều S.AB C có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên hợp với đáy góc 30
◦
. Hãy
tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A
32
√
3a
3
π
27
. B
32a
3
π
27
. C
8a
3
π
81
. D
32a
3
π
81
.
Câu 20
Hình chóp S.ABCD có đáy AB CD là hình thoi có cạnh bằng 1,
’
BAD = 60
◦
, (SCD) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt đáy (AB CD) bằng 45
◦
. Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.
A
7π
4
. B
7π
2
. C
7π
6
. D
7π
3
.
Câu 21
Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C, BC = CD = a
√
3, góc
’
ABC =
’
ADC =
90
◦
, khoảng cách từ điểm B đến (ACD) là a
√
2. Khi đó thể tích mặt cầu ngoại tiếp ABCD bằng
bao nhiêu?
A 4πa
3
√
3. B 12π
3
. C 12πa
3
√
3. D
4πa
3
√
3
3
.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU
112
Trang
Câu 22
Cho hình chóp S.ABCD có đáy AB CD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN bằng
A
a
√
93
12
. B
a
√
29
8
. C
5a
√
3
12
. D
a
√
37
6
.
Câu 23
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CH vuông góc AB tại H, I là trung điểm
của đoạn thẳng HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy,
‘
ASB = 90
◦
. Gọi O là trung điểm của
AB , O
0
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI. Góc tạo bởi OO
0
và (ABC) bằng
A 45
◦
. B 90
◦
. C 30
◦
. D 60
◦
.
Câu 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, AB = 2AD = 2DC = 2BC = 2a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB. Mặt
phẳng (α) cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R. Tính thể tích V của khối cầu đi qua các điểm A ,
B, C, P, Q, R.
A V =
32πa
3
3
. B V =
8πa
3
3
. C V =
4πa
3
3
. D V =
16πa
3
3
.
Câu 25
Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng
mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng
là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Chiều cao mô hình dưới 2 mét. B Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
C Chiều cao mô hình không quá 1, 5 mét. D Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét.
—HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH
| 1/117
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHINH PHỤC TOÁN THPT Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI ĐT: 0909 461 641 TÀI LIỆU HỌC TẬP y 4 TOÁN 12 scale=0.7 2 −3 0 1 3 x HỌCKÌ I −2 HÌNH HỌC  Q Blog của Fanpage Phone Contact
Thầy Khôi 10-11-12 và LTĐH 0909 461 641 nguyenbinhkhoi160788@gmail.com LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC LỤC PHẦN I HÌNH HỌC Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN 2 Bài 1.
KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN 2 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B
BÀI TẬP RÈN LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
| Dạng 1. Nhận biết hình đa diện ................................................................................................... 4
| Dạng 2. Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện ............................................................. 6
| Dạng 3. Phân chia, lắp ghép khối đa diện.................................................................................7 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Bài 2.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 15 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
| Dạng 1. Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều..........................................................16
| Dạng 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện................................................................17 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Bài 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 23 A
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 B
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy ............................................................. 28
| Dạng 2. Khối chóp có mặt phẳng chứa đỉnh vuông góc với đáy.......................................30
| Dạng 3. Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy...............................................30
| Dạng 4. Khối chóp đều.................................................................................................................32 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Bài 4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 40 A
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 B
MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
| Dạng 1. Khối lăng trụ đứng tam giác.......................................................................................40
| Dạng 2. Khối lăng trụ đứng tứ giác .......................................................................................... 43
| Dạng 3. Khối lăng trụ xiên .......................................................................................................... 45 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Bài 5.
PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH 55 A
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 B
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
| Dạng 1. Tỉ số thể tích trong khối chóp ................................................................................... 56
| Dạng 2. Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ..............................................................................58 C
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Trang ii Bài 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP 67 A
ĐỀ ÔN SỐ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B
ĐỀ ÔN SỐ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 C
ĐỀ ÔN SỐ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU 78 Bài 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN 78 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình nón, khối nón ............................................ 79
| Dạng 2. Xoay hình phẳng quanh trục tạo thành khối nón..................................................80
| Dạng 3. Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng cho trước ........................................ 81
| Dạng 4. Khối nón ngoại tiếp, nội tiếp ...................................................................................... 83
| Dạng 5. Gấp hình quạt để tạo thành mặt nón.......................................................................83 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 Bài 2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ 91 A
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình trụ, khối trụ ............................................... 91
| Dạng 2. Xoay hình phẳng quanh trục tạo khối trụ ............................................................... 92
| Dạng 3. Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng cho trước ......................................... 93
| Dạng 4. Khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp........................................................................................94
| Dạng 5. Gấp hình chữ nhật để tạo thành mặt trụ ................................................................ 95 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Bài 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 103 A
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
| Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu, khối cầu............................................103
| Dạng 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu........................................................104
| Dạng 3. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện..............................................................................105
| Dạng 4. Tổng hợp nón, trụ, cầu .............................................................................................. 107 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Chương 3. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 113 Bài 1.
TỌA ĐỘ VÉC TƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM 113 A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
| Dạng 1. Tọa độ véc tơ ............................................................................................................... 113
| Dạng 2. Tọa độ điểm..................................................................................................................114
| Dạng 3. Hình chiếu, đối xứng qua các trục, các mặt toạ độ ........................................... 117
| Dạng 4. Tính diện tích và thể tích..........................................................................................117 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang iii Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 124 A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
| Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu cho trước..................................................124
| Dạng 2. Mặt cầu dạng khai triển ............................................................................................ 124
| Dạng 3. Lập phương trình mặt cầu.........................................................................................125
| Dạng 4. Vị trí tương đối ............................................................................................................ 127 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 133 A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
| Dạng 1. Xác định véc tơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng.....................................133
| Dạng 2. Lập phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan ............................. 133
| Dạng 3. Phương trình theo đoạn chắn...................................................................................135
| Dạng 4. Khoảng cách và góc ................................................................................................... 136
| Dạng 5. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ........................................................................ 137
| Dạng 6. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu........................................................138 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 Bài 4.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 145 A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
| Dạng 1. Xác định điểm thuộc và véc tơ chỉ phương của đường thẳng..........................145
| Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết vài yếu tố liên quan .......................... 145
| Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.....................................................................147
| Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.................................................148
| Dạng 5. Góc và khoảng cách....................................................................................................149
| Dạng 6. Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) ......................................................... 150
| Dạng 7. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng....................................................................150 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 Bài 5.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 159 A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
| Dạng 1. Tìm max - min bằng cách thiết lập hàm và khảo sát hàm .............................. 159
| Dạng 2. Tìm max - min bằng mối quan hệ giữa đường cao và đường xiên ................. 159
| Dạng 3. Tìm max – min bằng cách quy về tìm hình chiếu của điểm lên mặt.............160
| Dạng 4. Tìm max - min bằng cách quy về tìm điều kiện ba điểm thẳng hàng ........... 161
| Dạng 5. Max min liên quan đến phương trình theo đoạn chắn ....................................... 161 B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 Bài 6.
BỘ ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 169 A
ĐỀ SỐ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 B
ĐỀ SỐ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 C
ĐỀ SỐ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 D
ĐỀ SỐ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 E
ĐỀ SỐ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 I PHẦN HÌNH HỌC Chương KHỐI ĐA DIỆN 1 KHỐI ĐA DIỆN 1
§1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm về hình đa diện đỉnh
a) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu
hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
○ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung,
hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
○ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. cạnh mặt
b) Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của
các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
○ Khối đa diện là phần không gian được giới
hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện điểm trong điểm ngoài đó.
○ Những điểm không thuộc khối đa diện M
được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. N
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong
của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài
được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
○ Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là
miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn
một đường thẳng nào đó.
3. Một số phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M0 xác định duy nhất được gọi là
một phép biến hình trong không gian.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 3
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
Một số phép dời hình trong không gian:
3.1. Phép tịnh tiến theo vectơ Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M0 sao cho #» M0 # » v #» MM0 = v . M
3.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Nội dung Hình vẽ M
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành
điểm M0 sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của I MM0. P M0
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H
thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của H.
3.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm
M khác O thành điểm M0 sao cho O là trung điểm MM0. M M0 O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O
được gọi là tâm đối xứng của (H).
3.4. Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành ∆
chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M0 sao
cho ∆ là đường trung trực của MM0. M M0 O
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆
được gọi là trục đối xứng của (H).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 4 o
○ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
○ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H0), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh,
cạnh, mặt tương ứng của (H0). 4. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
5. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa
diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không
có chung điểm trong nào thì ta nói có thể
chia được khối đa diện (H) thành hai khối
đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép
hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để (H1)
được khối đa diện (H). (H) (H2)
Một số lưu ý về khối đa diện
Khi cho một hình đa diện, ta cần xác định được:
1 Đỉnh, mặt; điểm thuộc, điểm trong, điểm ngoài.
2 Mặt bên, cạnh bên.; mặt đáy, cạnh đáy (nếu có).
Các khối đa diện cần nhớ rõ tính chất:
1 Khối tứ diện đều, khối chóp.
2 Khối lăng trụ, khối hộp chữ nhật, khối lập phương. B BÀI TẬP RÈN LUYỆN Dạng 1
Nhận biết hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung,
hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 5
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ 1
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh hoặc các mặt bất kỳ hình đa diện nào cũng
A lớn hơn hoặc bằng 4. B lớn hơn 4.
C lớn hơn hoặc bằng 5. D lớn hơn 5. Ví dụ 2
Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của bao nhiêu mặt của khối đa diện?
A Không có mặt nào. B Ba mặt. C Bốn mặt. D Hai mặt. Ví dụ 3
Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đề đúng. Trong một khối đa diện thì
A hai mặt bất kì có ít nhất một cạnh chung.
B hai cạnh bất kì có ít nhất một điểm chung.
C hai mặt bất kì có ít nhất một điểm chung.
D mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Ví dụ 4
Mỗi đỉnh của một đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A Ba mặt. B Hai mặt. C Bốn mặt. D Năm mặt. Ví dụ 5 Cho các hình vẽ sau:
Số các hình đa diện trong các hình trên là A 3. B 0. C 1. D 2. Ví dụ 6
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hình không là hình đa diện. A B C D Ví dụ 7
Vật thể nào trong các hình sau đây không phải là khối đa diện?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 6 A . B . C . D . Ví dụ 8
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A . B . C . D . Dạng 2
Đếm số cạnh, số mặt của một hình đa diện
Số cạnh của hình chóp (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 2 lần số đỉnh của mặt đáy.
Trong hình chóp, Số cạnh bên bằng số cạnh của mặt đáy.
Số cạnh của hình lăng trụ (cạnh đáy, cạnh bên) bằng 3 lần số đỉnh của một mặt đáy.
Số cạnh (C), số đỉnh (Đ) và số mặt (M) trong đa diện lồi liên hệ bởi hệ thức (Đ) + (M) = (C) + 2 Ví dụ 1
Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên. A 11. B 10. C 12. D 9. Ví dụ 2
Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A 10. B 15. C 8. D 11.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 7
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ 3
Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt? A 12. B 10. C 6. D 11. Ví dụ 4
Khối chóp ngũ giác có bao nhiêu cạnh? A 20. B 15. C 5. D 10. Ví dụ 5
Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh? A 20. B 25. C 10. D 15. Ví dụ 6
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. A 20. B 11. C 12. D 10. Ví dụ 7
Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây? A 2018. B 2016. C 2017. D 2015. Dạng 3
Phân chia, lắp ghép khối đa diện Ví dụ 1
Mặt phẳng AB0C0 chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các A C khối đa diện nào? B
A Hai khối chóp tứ giác.
B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C Hai khối chóp tam giác. A0 C0
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. B0
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 8 Ví dụ 2
Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A0B0C0D0 thành hai A0 B0 khối lăng trụ? A (A0BC0). B (ABC0). C0 D0 C (AB0C). D (A0BD). A B D C Ví dụ 3
Cắt khối lăng trụ MNP.M0N0P0 bởi các mặt phẳng MN0P0 và P0 M0
MNP0 ta được những khối đa diện nào? N0
A Ba khối tứ diện.
B Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác.
C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. M P
D Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. N Ví dụ 4
Cho khối tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung D
điểm của BC và BD. Mặt phẳng (AMN) chia khối tứ diện ABCD thành
A Một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. N
B Hai khối tứ diện. A
C Hai khối tứ diện và một khối chóp tứ giác. C M
D Hai khối chóp tứ giác. B Ví dụ 5
Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật? A 4. B 3. C 5. D 6. —–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 9
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1
Hình chóp có 20 cạnh thì có bao nhiêu mặt? A 12 mặt. B 11 mặt. C 10 mặt. D 19 mặt. Câu 2
Khối đa diện đều loại {4; 3} là
A Khối bát diện đều.
B Khối tứ diện đều.
C Khối hộp chữ nhật.
D Khối lập phương. Câu 3
Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau
A Nếu có tổng số mặt bằng nhau.
B Nếu có diện tích các mặt bằng nhau.
C Nếu có thể tích bằng nhau.
D Nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Câu 4
Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
B Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Câu 5
Số cạnh của khối tứ diện đều là A 5. B 7. C 8. D 6. Câu 6
Số cạnh của một hình lăng trụ có thể là số nào dưới đây? A 2019. B 2020. C 2017. D 2018. Câu 7
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của
đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng. A 3C = 2M . B C = M + 2 . C M ≤ C . D 3M = 2C .
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 10 Câu 8
Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D.
Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (N AB) ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện
A AMCN, AMND, BMCN, BMND.
B AMCN, AMND, AMCD, BMCN.
C BMCD, BMND, AMCN, AMDN.
D AMCD, AMND, BMCN, BMND. Câu 9
Mặt phẳng nào sau đây chia khối hộp ABCD.A0B0C0D0 thành hai khối lăng trụ? A (A0BC0). B (ABC0). C (AB0C). D (A0BD). Câu 10
Khối đa diện bất kỳ có ít nhất A 6 đỉnh. B 6 mặt. C 4 đỉnh. D 8 đỉnh. Câu 11
Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là A 0. B 1. C 3. D 2. Câu 12
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 (như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây D0 C0 là đúng? # »
A Phép tịnh tiến theo DC biến điểm A0 thành điểm B0. A0 B0 # »
B Phép tịnh tiến theo AB0 biến điểm A0 thành điểm C0. # » D C
C Phép tịnh tiến theo AC biến điểm A0 thành điểm D0. # » A B
D Phép tịnh tiến theo AA0 biến điểm A0 thành điểm B0. Câu 13
Khẳng định nào sau đây đúng? Cắt khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bởi mp(A0BC) ta được
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
B Hai khối chóp tứ giác.
C Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
D Hai khối chóp tam giác.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 11
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Câu 14 Cho các hình vẽ sau:
Số các hình đa diện trong các hình trên là A 3. B 0. C 1. D 2. Câu 15
Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
B là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó.
C là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp.
D là khối đa diện có hình dạng là hình chóp. Câu 16
Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau
A Nếu có tổng số mặt bằng nhau.
B Nếu có diện tích các mặt bằng nhau.
C Nếu có thể tích bằng nhau.
D Nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Câu 17
Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D.
Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (N AB) ta chia khối tứ diện đã cho thành bốn khối tứ diện
A AMCN, AMND, BMCN, BMND.
B AMCN, AMND, AMCD, BMCN.
C BMCD, BMND, AMCN, AMDN.
D AMCD, AMND, BMCN, BMND. Câu 18
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A Hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác được gọi là hình đa diện.
B Khối đa diện bao gồm không gian được giới hạn bởi hình đa diện và cả hình đa diện đó.
C Mỗi cạnh của một đa giác trong hình đa diện là cạnh chung của đúng hai đa giác.
D Hai đa giác bất kì trong hình đa diện hoặc là không có điểm chung, hoặc là có một điểm
chung, hoặc là có một cạnh chung.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 12 Câu 19
Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào? A loại {3; 5}. B loại {5; 3}. C loại {3; 4}. D loại {4; 3}. Câu 20
Mặt phẳng (A0BC) chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các khối đa diện nào?
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B Hai khối chóp tam giác.
C Hai khối chóp tứ giác.
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. Câu 21
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a, cạch bên bằng 2a. Gọi M là trung
điểm AA0. Gọi góc giữa đường thẳng MB0 và mặt phẳng (BCC0B0) là α, góc α thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây? √ √ √ √ 6 6 6 3 A sin α = . B sin α = − . C cos α = . D sin α = . 4 4 4 2 Câu 22
Có thể dùng ít nhất bao nhiêu khối tứ diện để ghép thành một hình hộp chữ nhật? A 4. B 3. C 5. D 6. Câu 23
Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A 10. B 8. C 12. D 20. Câu 24
Khối đa diện bên dưới có bao nhiêu đỉnh? A 9. B 3. C 11. D 12.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 13
1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN Câu 25
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện đều.
B Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
C Khối hộp là khối đa diện lồi.
D Khối lập phương là khối đa diện lồi. Câu 26
Mặt phẳng (A0BC) chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các khối đa diện nào?
A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
B Hai khối chóp tam giác.
C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.
D Hai khối chóp tứ giác. Câu 27
Hình bát diện đều (tham khảo hình vẽ bên) có bao nhiêu mặt? A 8. B 9. C 6. D 4. Câu 28
Khối đa diện có tất cả các mặt là hình vuông có bao nhiêu đỉnh? A 8. B 4. C 16. D 20. Câu 29
Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện,
A mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh.
B hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung.
C mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt.
D mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. Câu 30
Hình chóp tứ giác có tổng số cạnh và số đỉnh bằng A 12. B 13. C 8. D 5.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 14 Câu 31
Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều Khối 20 mặt đều
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
B Khối mười hai mặt đều và khối 20 mặt đều có cùng số đỉnh.
C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4. Câu 32
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng
vuông góc với mặt đáy. Hình chóp này có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 4. B 1. C 0. D 2. Câu 33
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A . B . C . D .
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 15
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
§2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Một số lưu ý về khối đa diện đặc biệt
Khối đa diện (H) là khối đa diện lồi nếu đoạn nối hai điểm bất kì thuộc (H) thì luôn thuộc (H)
(đoạn đó nằm trên mặt hoặc nằm trong (H)). Khối đa diện đều
— Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh;
— Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
— Khối đa diện đều như vậy được kí hiệu loại (p; q).
Hình ảnh năm khối đa diện đều và các tóm tắt: Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều Khối 20 mặt đều Loại {3;3} Loại {4;3} Loại {3;4} Loại {5;3} Loại {3;5} Đ,C,M: 4, 6, 4 Đ,C,M: 8, 12, 6 Đ,C,M: 6, 12, 8 Đ,C,M: 20, 30, 12 Đ,C,M: 12, 30, 20
Bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnh a Số Số Số Thể tích V Bán kính R mặt đỉnh cạnh mặt cầu ngoại tiếp √ √ 2a3 a 6 Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 12 4 √ a 3 Lập phương {4; 3} 8 12 6 a3 √ 2 √ 2a3 a 2 Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 3√ √ 2√ 15 + 7 5 3 + 15
Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 a3 a 4 √ √ 4 √ 15 + 5 5 10 + 20 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 a3 a 12 4
1. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 1.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
○ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
○ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 16 đều). 1.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 1.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 1.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc
một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
○ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
○ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
○ Ba đường chéo bằng nhau. B
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1
Nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều Ví dụ 1
Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là A 3. B 0. C 1. D 2. Ví dụ 2
Hỏi khối đa diện đều loại {4; 3} có bao nhiêu mặt? A 4. B 20. C 6. D 12. Ví dụ 3
Khối mười hai mặt đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây? A {3; 4}. B {4; 3}. C {3; 5}. D {5; 3}. Ví dụ 4
Số cạnh của khối 12 mặt đều là bao nhiêu? A 14. B 20. C 30. D 16.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 17
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Ví dụ 5
Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh? A 8. B 6. C 12. D 10. Ví dụ 6
Số cạnh của hình bát diện đều là A 8. B 10. C 12. D 24. Ví dụ 7
Khối hai mươi mặt đều thuộc khối đa diện loại nào? A loại {3; 5}. B loại {5; 3}. C loại {3; 4}. D loại {4; 3}. Ví dụ 8
Số đỉnh của hình hai mươi mặt đều là A 12. B 20. C 30. D 16. Ví dụ 9
Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó
được làm từ các que tre có độ dài 8 cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)? A 96 m. B 960 m. C 192 m. D 128 m. Ví dụ 10
Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau?
A Khối lập phương.
B Khối bát diện đều.
C Khối mười hai mặt đều.
D Khối tứ diện đều. Ví dụ 11
Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?
A Hình hộp chữ nhật.
B Hình bát diện đều. C Hình lập phương.
D Hình tứ diện đều. Ví dụ 12
Tâm các mặt của hình lập phương tạo thành các đỉnh của khối đa diện nào sau đây?
A Khối bát diện đều.
B Khối lăng trụ tam giác đều.
C Khối chóp lục giác đều.
D Khối tứ diện đều. Dạng 2
Số mặt phẳng đối xứng của hình đa diện
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 18 Ví dụ 1
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 5. B 6. C 3. D 4. Ví dụ 2
Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 4. B 3. C 2. D 1. Ví dụ 3
Hình hộp chữ nhật với ba kích thước phân biệt có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 6. B 4. C 3. D 2. Ví dụ 4
Hình lăng trụ lục giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 6. B 4. C 3. D 7. Ví dụ 5
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 3 mặt phẳng. B 2 mặt phẳng. C 5 mặt phẳng. D 4 mặt phẳng. Ví dụ 6
Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 6 mặt phẳng. B 4 mặt phẳng. C 10 mặt phẳng. D 8 mặt phẳng. Ví dụ 7
Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là A 8. B 9. C 6. D 7. —–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 19
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1
Hình lập phương thuộc loại khối đa diện nào? A {5; 3}. B {3; 4}. C {4; 3}. D {3; 5}. Câu 2
Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng hình bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó
được làm từ các que tre có độ dài 8 cm. Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái
đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)? A 96 m. B 960 m. C 192 m. D 128 m. Câu 3
Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 6. B 7. C 8. D 9. Câu 4
Một hình chóp ngũ giác đều có bao nhiêu mặt và bao nhiêu cạnh? A 6 mặt và 8 cạnh. B 5 mặt và 8 cạnh.
C 5 mặt và 10 cạnh.
D 6 mặt và 10 cạnh. Câu 5
Hình lập phương có bao nhiêu mặt? A 6. B 7. C 8. D 5. Câu 6
Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? Hình (I) Hình (I I) Hình (I I I) Hình (IV) A Hình (IV). B Hình (I I I). C Hình (I I). D Hình (I).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 20 Câu 7
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại A {5; 3}. B {3; 5}. C {4; 3}. D {3; 4}. Câu 8
Số cạnh của một hình lập phương là A 8. B 12. C 16. D 10. Câu 9
Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là A 1. B 2. C 3. D 4. Câu 10
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong một mặt cầu?
A Hình chóp tam giác (tứ diện).
B Hình chóp tứ giác.
C Hình chóp đều ngũ giác.
D Hình hộp chữ nhật. Câu 11
Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh
đề nào dưới đây đúng? √ √ √ A S = 4 3a2. B S = 3a2. C S = 2 3a2. D S = 8a2. Câu 12
Cho khối đa diện đều (H) loại {4; 3}. Khẳng định nào sau đây đúng?
A (H) có 3 đỉnh và 4 mặt.
B (H) có 6 đỉnh và 6 mặt.
C (H) có 4 đỉnh và 4 mặt.
D (H) có 8 đỉnh và 6 mặt. Câu 13
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
B Khối chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện đều.
C Khối chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện đều.
D Khối lập phương là khối đa diện đều. Câu 14
Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là A 30, 20, 12. B 20, 12, 30. C 12, 30, 20. D 20, 30, 12.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 21
2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Câu 15
Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại A {5; 3}. B {4; 3}. C {2; 4}. D {3; 5}. Câu 16
Số cạnh của hình bát diện đều bằng A 12. B 16. C 30. D 8. Câu 17
Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đêu loại {5; 3} là A 12π. B 18π. C 24π. D 36π. Câu 18
Khối đa diện đều nào có loại {5; 3}?
A Khối lập phương.
B Khối bát diện đều.
C Khối mười hai mặt đều.
D Khối hai mươi mặt đều. Câu 19
Khối lập phương là khối đa diện đều loại nào? A {3; 4}. B {4; 3}. C {5; 3}. D {3; 5}. Câu 20
Khối tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 3. B 2. C 6. D 4. Câu 21
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A . B . C . D .
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 22 Câu 22
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào? A {5; 3}. B {3; 5}. C {4; 3}. D {3; 4}. Câu 23
Số mặt phẳng đối xứng của hình chóp đều S.ABC là bao nhiêu? A 4. B 2. C 6. D 3. Câu 24
Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 4. B 3. C 2. D 1. Câu 25
Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại A {5; 3}. B {3; 5}. C {4; 3}. D {3; 4}. Câu 26
Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh? A 8. B 20. C 12. D 6. Câu 27
Khối đa diện đều nào có loại {5; 3}?
A Khối lập phương.
B Khối bát diện đều.
C Khối mười hai mặt đều.
D Khối hai mươi mặt đều. Câu 28
Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng n mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A n = 2. B n = 5. C n = 3. D n = 4.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 23 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
§3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Công thức tính (độ dài, diện tích,...) cho các hình phẳng đặc biệt Tam giác ABC vuông tại A: 1 — Diện tích SABC = · AB · AC; 2 A
— M là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC;
— Pi–ta–go: BC2 = AB2 + AC2; 1 — AM = BC; B H M C 2 1 1 1 AB · AC = + — AH = √ ; — AC2 = CH · CB; — ; AH2 AB2 AC2 AB2 + AC2 — AB2 = BH · BC; — AH2 = HB · HC;
— AB · AC = BC · AH;
Tam giác đều ABC cạnh bằng a: √ √ (cạnh)2 · 3 a2 3 — Diện tích S A ABC = = ; 4 4 √ √ (cạnh) · 3 a 3 — Đường cao AM = = ; 2 2
— G là trọng tâm và là tâm đường tròn ngoại G tiếp ABC; √ √ 2 a 3 1 a 3 — GA = AM = ; GM = AM = . B M C 3 3 3 6 D C
Hình vuông ABCD cạnh bằng a:
— Diện tích SABCD = (cạnh)2 = a2; √ √ I N
— Đường chéo AC = (cạnh) · 2 = a 2;
— I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD;
— AC ⊥ BD; AN ⊥ DM. A M B
Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB = a và BC = b: — Diện tích S D C ABCD = AB · BC = a · b; √
— Đường chéo AC = BD = a2 + b2; I
— I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD;
— Chú ý: AC không vuông BD. A B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 24 D C
Hình thang ABCD có hai đáy AB và CD:
— DH là chiều cao của hình thang ABCD; AB + CD — Diện tích S H ABCD = · DH. A B 2 Hình thoi ABCD:
— Các cạnh của hình thoi bằng nhau; 1
— Diện tích SABCD = AC · BD; 2
— Nếu có một góc bằng 60◦ hoặc 120◦ thì hình D
thoi này thực chất là ghép của hai tam giác đều. Suy ra A C √ √ I 3 3 SABCD = 2 · (cạnh)2 · = (cạnh)2 · . 4 2 B
2. Các công thức tính trong tam giác thường (không đặc biệt)
Các hệ thức lượng cần nhớ
— Định lý cô–sin: a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A; A b2 + c2 − a2 — Tính góc: cos A = ; 2bc b2 + c2 a2
— Đường trung tuyến m2a = − ; 2 4 a b c — Định lý sin: = = = 2R. B H M C sin A sin B sin C
Công thức tính diện tích tam giác 1 — SABC = a · h; 2 a + b + c
— SABC = pp(p − a)(p − b)(p − c), với p = . 2 1
— SABC = b · c · sin A; 2 abc — SABC = ; S 4R
ABC = p · r, với R, r là bán kính đ.tròn ngoại, nội tiếp.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 25 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
3. Cách xác định góc trong không gian
Góc giữa đường thẳng SM với mặt
Góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và phẳng (α) (α). S S N H M H K α α M
— Dựng hình chiếu của SM là MH;
— Kẻ HK ⊥ MN và SK ⊥ MN
— Góc cần tìm là ’ SMH.
— Góc cần tìm là ’ SKH.
4. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng (SAB), A
(SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S1, S2, S3. Khi đó √2S S C V 1 · S2 · S3 S.ABC = . 3 B
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với S
(ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, ‘ ASB = α, ‘ BSC = β. Khi đó
SB3 · sin 2α · tan β A C VS.ABC = . 12 B
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam S
giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Khi đó √ a2 3b2 − a2 VS.ABC = . 12 A C G M B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 26 S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α. Khi đó a3 tan α VS.ABC = . 24 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh S
bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó
√3b3 · sin β · cos2 β V C S.ABC = . A 4 G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh S
đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó a3 · tan β VS.ABC = A C 12 G M B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là S
hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = b. Khi đó √ a2 4b2 − 2a2 V D A S.ABCD = . 6 M O C B S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Khi đó a3 tan α V D S.ABCD = . A 6 M O B C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy S bằng a, ‘
SAB = α với α ∈ (45◦; 90◦). Khi đó √ a3 tan2 α − 1 VS.ABCD = . α 6 D A O B C
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 27 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh S
bên bằng a, góc tạo bởi giữa mặt bên và mặt đáy
bằng α với α ∈ (0◦; 90◦). Khi đó 4a3 tan α V A S.ABCD = . D p 3 (2 + tan2 α)3 α O M B C
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng S
a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, song song với
BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết α là F
góc giữa (P) và mặt phẳng đáy. Khi đó N E a3 cot α A C VS.ABC = . 24 G M B A0 D0
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của C0 B0
hình lập phương cạnh a. Khi đó thể tích khối bát diện đều là a3 V = . 6 A D B C S
Tâm các mặt bên của một bát diện đều cạnh a là
đỉnh của một khối lập phương. Khi đó thể tích
của khối lập phương là D √ A 2a3 2 V = . 27 B C S0 S
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung một đỉnh
và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh đó abc » V A C0 SABC = 1 − x2 − y2 − z2 + 2xyz. 6 G C M
Trong đó x = cos α, y = cos β, z = cos γ. B0 B ®SA = a, SB = b, SC = c ‘ ASB = α, ‘ BSC = β, ‘ CSA = γ.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 28
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối, khoảng B D0
cách và góc giữa cặp cạnh đó M0 C0 1 VABCD = abd sin α. A 6 α D M C  AB = a, CD = b   d(AB, CD) = d  (AB, CD) = α. B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Công thức tính thể tích khối chóp
Ta có thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích
đáy nhân với đường cao hình chóp. 1 S V = · · chóp S h 3 đáy Trong đó h Ë S = đáy
SABCD là diện tích mặt đáy của khối A D chóp. H C
Ë h = SH là chiều cao của khối chóp. B Dạng 1
Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
¬ Khi vẽ hình, nên vẽ cạnh vuông góc với đáy thẳng đứng. S
­ Xác định mặt đáy và tính diện tích Sđáy.
® Xác định và tính chiều cao h là cạnh bên vuông với đáy. 1
¯ Thay vào công thức Vchóp = · S 3 đáy · h. A C B Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B, √
AB = a, AC = a 3. Biết rằng góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 6 a3 6 a3 6 2a3 6 A . B . C . D . 9 6 18 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 29 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Ví dụ 2 √
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại C, AB = a 5, AC = a. Cạnh bên SA = 3a
và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ a3 5 A 2a3. B 3a3. C . D a3. 3 Ví dụ 3
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy và
AB = a, AC = 2a, SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. A V = 6a3. B V = a3. C V = 2a3. D V = 3a3. Ví dụ 4
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân AB = AC = a, góc BAC bằng 120◦, cạnh √
bên SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC. √ √ 3 3 3 1 A a3. B a3. C a3. D a3. 12 4 4 4 Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA =
AC = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ 2 1 2 2 4 A a3. B a3. C a3. D a3. 3 3 3 3 Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc √
với mặt phẳng đáy và SA =
2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ 2a3 2a3 √ 2a3 A V = . B V = . C V = 2a3. D V = . 6 4 3 Ví dụ 7 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SB = a 3. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ a3 2 a3 2 √ a3 2 A . B . C a3 2. D . 6 2 3 Ví dụ 8
Khối chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, SA = 2a, SB = 3a,SC =
4a. Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là A 32a3. B 12a3. C 4a3. D 8a3.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 30 Dạng 2
Khối chóp có mặt phẳng chứa đỉnh vuông góc với đáy
¬ Xác định giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt đáy.
­ Từ đỉnh S, kẻ đoạn SH vuông góc với giao tuyến. Suy ra SH là đường cao của khối chóp. Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 6 3 2 4 Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAD S
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích √
khối chóp S.ABCD, biết SA = a 3 và SD = a. C D H A B Dạng 3
Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Với các khối chóp có giả thiết mặt phẳng vuông góc với đáy ta sử dụng các định lý về giao tuyến dưới đây:
○ Hai mặt phẳng cùng vuông góc với đáy thì đoạn giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.
Tính chất này dựa trên định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng củng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (P) ⊥ (R)   Kí hiệu (Q) ⊥ (R) ⇒ a ⊥ (R).  (P) ∩ (Q) = a
○ Mặt bên nào vuông góc với đáy thì đường cao của mặt bên đó vuông góc với đáy. Tính (P) ⊥ (Q)  
chất này dựa trên định lý sau (P) ∩ (Q) = a ⇒ d ⊥ (Q).  d ⊂ (P), d ⊥ a Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ a3 3 a3 3 a3 a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 2 6 12 4
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 31 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Ví dụ 2
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ a3 a3 2 a3 2 a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 6 3 6 2 Ví dụ 3 √
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3, mặt bên (SAD) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ √ √ a3 3 a3 3 3a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 2 2 6 Ví dụ 4 √
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Mặt bên (SAD) là tam
giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ a3 3 a3 3 3a3 a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 2 2 2 2 Ví dụ 5 √
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2. Tam giác SAD cân tại 4
S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a3. 3
Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD). 2 4 8 3 A h = a. B h = a. C h = a. D h = a. 3 3 3 4 Ví dụ 6 √
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình vuông cạnh bằng a 2. Tam giác SAD cân tại S 4a
và mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách h từ B đến mặt phằng (SCD) bằng . 3
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2a3 a3 8a3 4a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Tam giác SAD cân tại S và nằm 3a
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết SC =
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2 a3 a3 4a3 2a3 A . B . C . D . 3 9 9 9
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 32 Ví dụ 8 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3. Tam giác SAD cân tại S,
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 3a3 3 9a3 3 a3 3 A . B . C . D . 6 2 2 2 Ví dụ 9 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi AC = a, BD = a 3. Tam giác SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3a3 a3 a3 3a3 A . B . C . D . 4 2 4 2 Dạng 4 Khối chóp đều
Chóp tam giác đều S.ABC, với cạnh đáy bằng a
¬ SG là đường cao, với G là trọng tâm 4ABC. √ √ √ a 3 a 3 a 3 AN = , AG = , GN = . 2 3 6 √ S a2 · 3 ­ Diện tích đáy S4ABC = . 4
® Góc giữa cạnh bên với đáy là ‘ SCG. A C
¯ Góc giữa mặt bên với đáy là ’ SMG hoặc ’ SNG. M G N ° Công thức giải nhanh: a3 · tan ‘ SCG a3 · tan ’ SNG B VS.ABC = ; V . 12 S.ABC = 24 √ a3 2
± Tứ diện đều cạnh a: V = . 12
Chóp tứ giác đều S.ABCD, với cạnh đáy bằng a. S
¬ SO là đường cao của khối chóp. √ √ a 2
AC = BD = a 2, OA = OB = OC = OD = . 2
­ Diện tích đáy S4ABCD = a2 D A M
® Góc giữa cạnh bên với đáy là ’ SDO. O B C
¯ Góc giữa mặt bên với đáy là ’ SMO. Ví dụ 1
Thể tích V của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là √ √ √ √ 3a3 2a3 3a3 2a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 12 12 4 4
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 33 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Ví dụ 2
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦.
Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 48 8 24 16 Ví dụ 3
Thể tích V của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên gấp đôi cạnh đáy là √ √ √ √ 11a3 13a3 11a3 13a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 12 12 4 4
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 34 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1
Cho khối chóp có đường cao và diện tích đáy lần lượt là h và S. Khi đó, thể tích V của khối chóp đó là 1 1 1 A V = Sh. B V = Sh. C V = Sh. D V = Sh. 2 3 6 Câu 2
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = a. Biết SA vuông góc
với mặt đáy và SA = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC a3 a3 a3 4a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 2 3 4 3 Câu 3 √
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA⊥(ABC) và SA = a 3. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC. √ a3 a3 3a3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 4 2 4 3 Câu 4
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD và SA = 3a. Biết AB = 2a, AD = 4a, BC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD A V = 21a3. B V = 7a3. C V = 9a3. D V = 12a3. Câu 5
Cho khối tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; SA = 3a, SB = 2a, SC = a. Tính thể
tích khối tứ diện S.ABC. a3 A . B 2a3. C a3. D 6a3. 2 Câu 6
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 1, SB = 2, SC = 3.
Tính thể tích khối chóp S.ABC. A 2. B 3. C 6. D 1. Câu 7
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC. A V = 40. B V = 192. C V = 32. D V = 24.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 35 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 8
Một hình chóp có diện tích đáy bằng 4a2, cạnh bên SA = 2a và tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích khối chóp đó. √ √ 4a3 4a3 3 A 4a3 3. B . C . D 4a3. 3 3 Câu 9 √
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = a 5, AC = a. Cạnh bên
SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối chóp S.ABC. √5 A V = 3a3. B V = a3. C V = a3. D V = 2a3. 2 Câu 10
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB =
3a, AD = 2a, SB = 5a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a. A V = 8a2. B V = 24a3. C V = 10a3. D V = 8a3. Câu 11
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 3a, AC = 5a. Biết SA vuông góc
với đáy và SC tạo cới mặt đáy một góc 60◦. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. √ √ √ √ A V = 20 3a3. B V = 60 3a3. C V = 25 3a3. D V = 75 3a3. Câu 12
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 2 a3 3 a3 6 a3 6 A . B . C . D . 6 6 2 6 Câu 13
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 60◦ . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 a3 6 a3 2 a3 3 A . B . C . D . 2 2 6 6 Câu 14
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m.
Tính thể tích của Kim tự tháp. A 2 592 100 m3. B 2 592 009 m3. C 7 776 300 m3. D 3 888 150 m3.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 36 Câu 15
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ a3 11 a3 a3 11 a3 11 A . B . C . D . 96 3 12 4 Câu 16
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30◦.
Thể tích khối chóp bằng √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 A a3 3. B . C . D . 12 36 3 Câu 17 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3, mặt bên (SAB) là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ 9a3 3 a3 3a3 a3 3 A . B . C . D . 2 2 2 3 Câu 18
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a, √ SA = 2a 3, ‘
SAC = 30◦ và mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt đáy. √ √ a3 3 √ √ A V = 3a3 2. B V = . C V = a3 3. D V = 2a3 3. 3 Câu 19
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên (SAB), (SAC) cùng √
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = a 3. √ √ √ √ a3 3 a3 3 2a3 6 a3 6 A . B . C . D . 2 4 9 12 Câu 20
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60◦. Tính theo a
thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 15 a3 15 a3 5 a3 5 A V = . B V = . C V = . D V = √ . 2 6 4 6 3 Câu 21
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và thể tích bằng 3a3. Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ A h = 12 3a. B h = 6 3a. C h = 4 3a. D h = 2 3a.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 37 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Câu 22 √ a3 2
Cho hình chóp S.ABC có VS.ABC =
và mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách 36 từ A đến (SBC) bằng √ √ √ √ a 2 a 6 a 6 a 6 A . B . C . D . 9 3 9 27 Câu 23 √ a3 3
Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, có thể tích là . Khoảng cách từ S đến 8 (ACD) bằng √ √ 3a 3 3a a 3 3a A . B . C . D . 2 8 2 4 Câu 24
Cho hình chóp đều S.ABC. Khi tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần, để thể tích khối chóp giữ nguyên
thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi bao nhiêu lần? A 8 lần. B 2 lần. C 3 lần. D 4 lần. Câu 25
Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V và M là trọng tâm tam giác SAB. Tính thể tích khối chóp M.ABCD. V 2V V A . B . C . D 2V. 3 3 2 Câu 26
Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 3a, AB = a và
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. √ √ 4a3 a3 2 a3 2 2a3 A VS.ABC = . B V . C V . D V . 9 S.ABC = 6 S.ABC = 2 S.ABC = 9 Câu 27
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2AB = 2a. Gọi H là trung điểm của √
AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài đoạn thẳng SA = a 5. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 4a3 4a3 3 2a3 3 2a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Câu 28
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của
S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB, góc tạo bởi SC và đáy là 45◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.√ √ a3 3 2a3 a3 2a3 2 A . B . C . D . 2 3 3 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 38 Câu 29 √
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60◦ và SA = a 3, đáy là tứ giác
có 2 đường chéo vuông góc, AC = BD = 2a. Tính thể tích V của khối chóp theo a. √ 2a3 3 3a2 A V = . B V = a3. C V = 3a3. D V = . 3 2 Câu 30 √
Cho khối chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2. Thể
tích của khối chóp đó là √ √ 4 3 4 4 2 A . B 4. C . D . 3 3 3 Câu 31
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 2a3 và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích
tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD? A a. B 6a. C 3a. D 4a. Câu 32
Cho hình chóp S.ABCD có SA = x, các cạnh còn lại đều bằng 18. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ A 648 2. B 6481458. C 1458. D 243 2. Câu 33
Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = BC = x, SB = AC = y, SC = AB = z thỏa mãn
x2 + y2 + z2 = 12. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ 2 8 2 2 8 2 A . B . C . D . 3 3 3 3 Câu 34
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng 30◦. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là
hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM. Khi điểm M di động trên cạnh CD, tìm thể
tích lớn nhất của khối chóp S.ABH? √ √ √ √ a3 3 5a3 2 a3 2 a3 2 A . B . C . D . 13 36 12 6 Câu 35
Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính cos α khi thể
tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. √ √ √ 2 5 2 3 A cos α = . B cos α = . C cos α = . D cos α = . 3 3 3 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 39 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP —–HẾT—–
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 40
§4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Lăng trụ có:
¬ Hai đáy song song và là hai đa giác bằng nhau. A0 D0 C0
­ Các cạnh bên song song và bằng nhau. B0
® Các mặt bên là các hình bình hành. h
Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy · h . Trong đó A D H
¬ Sđáy là diện tích đáy của khối lăng trụ; C B
­ h là chiều cao của khối lăng trụ. Trong trường hợp lăng trụ Hình lăng trụ tứ giác
đứng thì h sẽ trùng với cạnh bên. ABCD.A0B0C0D0 B MỘT SỐ VÍ VỤ MINH HỌA Dạng 1
Khối lăng trụ đứng tam giác
Minh họa hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều (lăng trụ tam giác đều)
1 Chiều cao h là cạnh bên AA0. √ AB2 · 3 2 Diện tích đáy S4ABC = . 4 A0 C0
3 Góc giữa A0B, A0C với đáy lần lượt là ’ A0BA và ÷ A0CA. B0
4 Góc giữa A0B với (AA0C0C) là ’ BA0 A. h
5 Diện tích hình chiếu S4ABC = S4A0BC · cos ϕ. A C
6 Góc giữa (A0BC) với (ABC) là ϕ = ÷ A0 MA; với M là trung điểm BC. M B
• Trường hợp ABC không phải là tam giác
đều thì M không là trung điểm của BC. Ví dụ 1
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, ’ BAC = 120◦,
mặt phẳng AB0C0 tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3a3 9a3 a3 3a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 8 8 4 4
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 41
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 2
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có BB0 = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và √
AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho a3 a3 a2 A V = . B V = a3. C V = . D V = . 2 6 3 Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC đều cạnh bằng a A0 C0
và chu vi của mặt bên ABB0 A0 bằng 6a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ B0 a3 3 Đáp số: V = . 2 A C B Ví dụ 4
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 với đáy ABC là tam giác vuông cân A0 C0
tại A. Biết AB = 3a, góc giữa đường thẳng A0B và mặt đáy lăng trụ
bằng 30◦. Tính thể tích V của khối chóp A0.ABC. √ B0 3 3a3 Đáp số: V = . 2 A C B Ví dụ 5
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông tại √ A0 C0
A, AB = a, AC = a 3. Góc giữa (A0BC) và (ABC) bằng 45◦. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. B0 3a3 Đáp số: V = . 4 A C B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 42 Ví dụ 6
Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có diện tích tam giác A0BC bằng √ A0 C0
8 3. Góc giữa (A0BC) và (ABC) bằng 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ B0 Đáp số: V = 24 3. A C B Ví dụ 7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác A0 C0
đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt a
phẳng (A0BC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ. 6 √ B0 3a3 2 Đáp số: V = . 16 A C B Ví dụ 8
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với √ 4a
BC = 2a 2. Biết khoảng cách từ điểm C0 đến mặt phẳng (A0BC) bằng . Tính thể tích V 3
của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. 8a3 4a3 A V = 4a3. B V = . C V = 8a3. D V = . 3 3 Ví dụ 9
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác vuông cân tại A, khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (A0BC) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC). Tìm cos α khi thể
tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 nhỏ nhất. √ √ 2 3 1 2 A cos α = . B cos α = . C cos α = . D cos α = . 3 3 3 2 Ví dụ 10
Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC0) bằng 1
a góc giữa hai mặt phẳng (ABC0) và (BCC0B) bằng α với cos α = √ . Thể tích khối lăng trụ 2 3 ABC.A0B0C0 √ là √ √ √ a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A . B . C . D . 2 2 4 8
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 43
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng 2
Khối lăng trụ đứng tứ giác
Hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0.
1 Các mặt đáy và mặt bên là các hình chữ nhật.
2 Thể tích V = AB · AD · AA0 = abc. A0 B0 √ 3 Đường chéo A0C = a2 + b2 + c2. D0
4 Góc giữa A0B, A0D, A0C với (ABCD) lần lượt C0 là ’ A0BA, ÷ A0DA và ÷ A0CA. c
5 Góc giữa (A0BD) với (ABCD) là ÷ A0 MA. a
6 Hình hộp chữ nhật có 3 mặt phẳng đối xứng A B b
7 Trong trường hợp đáy ABCD là hình vuông M D
thì ta gọi ABCD.A0B0C0D0 là lăng trụ tứ giác C đều. Hình lập phương
1 Các mặt của hình lập phương là hình vuông. A0 B0 2 Thể tích V = AB3 = a3. √ D0
3 Đường chéo AC0 = A0C = a 3, AC = BD = √ C0 a 2. a
4 Góc giữa A0B, A0D, A0C với (ABCD) lần lượt a A B là ’ A0BA, ÷ A0DA và ÷ A0CA. a O
5 Góc giữa (A0BD) với (ABCD) là ÷ A0OA. D C
6 Hình lập phương có 8 mặt phẳng đối xứng Ví dụ 1 √
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = a 3 và mặt phẳng A0D0CB tạo
với đáy một góc 60◦. Thể tích V của khối hộp chữ nhật là √ A V = a3. B V = 3a3. C V = 3a3. D V = 9a3. Ví dụ 2
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = AD = a và A0C tạo với mặt phẳng (ABB0 A0)
một góc 30◦. Thể tích V của khối hộp chữ nhật là √ √ √ A V = 3a3 2. B V = 2a3. C V = a3 2. D V = a3 6.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 44 Ví dụ 3
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có độ dài đường chéo A0 B0
A0C = 3a. Tính thể tích khối lập phương ABCD.A0B0C0D0. √ Đáp số: V = 3a3 3. D0 C0 A B D C Ví dụ 4
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có cạnh đáy bằng a. Góc A0 B0
giữa đường chéo với đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối lăng trụ này theo a. √ D0 Đáp số: V = a3 6. C0 A B D C Ví dụ 5
Khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có độ dài AD; AD0; AC0 A0 B0
lần lượt là 1; 2; 3. Tính thể tích V của khối chóp A.A0B0C0D0. √15 Đáp số: V = . D0 3 C0 A B D C Ví dụ 6 √
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = a 3, A0C A0 B0
hợp với (ABCD) một góc bằng 30◦, (A0BC) hợp với (ABCD)
một góc bằng 60◦. Tính thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0. √ D0 Đáp số: V = 2a3 6. C0 A B D C
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 45
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 7
Một hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình A0 B0 thoi cạnh a , góc ’
DAB = 120◦ và đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích của khối D0 hộp ABCD.A0B0C0D0. C0 √ a3 6 Đáp số: V = . A B 2 D C Ví dụ 8
Người ta cắt một phần của tấm nhôm hình chữ nhật có x x
kích thước 30 cm × 48 cm để làm thành một cái hộp có nắp x x
như hình vẽ. Tìm x để thể tích của cái hộp lớn nhất. 30 cm Đáp số: x = 6 cm. x x x x 48 cm Ví dụ 9 √ √
Cho lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 6, AD = 3, A0C = 3
và mặt phẳng (AA0C0C) vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng (AA0C0C), (AA0B0B) tạo với 3
nhau góc α thỏa mãn tan α = . Thể tích khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 bằng? 4 A V = 6. B V = 8. C V = 12. D V = 10. Dạng 3
Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều √ A0 C0
cạnh bằng 2a 3, AA0 = 4a, AA0 tạo với (ABC) một góc bằng
30◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ B0 Đáp số: V = 6 3a3. A C B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 46 Ví dụ 2
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là A0 C0
tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Biết
A0 A = A0B = A0C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ a3 2 Đáp số: V = . B0 4 A C G B Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác A0 C0
đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A0 xuống (ABC)
là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC0 A0) tạo với đáy góc
45◦. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0. 3a2 Đáp số: V = . B0 16 I M A C H B Ví dụ 4
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình √ √ B0 C0 chữ nhật với AB = 3, AD = 7. Hai mặt
bên (ABB0 A0) và (ADD0 A0) lần lượt tạo với
đáy những góc 45◦ và 60◦. Tính thể tích khối D0 A0
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Đáp số: V = 3. B C I D A K
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 47
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Ví dụ 5
Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt
phẳng BCC0B0 vuông góc với đáy và ’
B0BC = 30◦. Thể tích khối chóp A · CC0B0 bằng √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A . B . C . D . 6 2 12 18 Ví dụ 6
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A. cạnh BC = 2a và ABC =
60◦. Biết tứ giác BCC0B0 là hình thoi có ’
B0BC nhọn. Biết BCC0B0 vuông góc với (ABC) và
ABB0 A0 tạo với (ABC) góc 45◦. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng a3 a3 3a3 6a3 A √ . B √ . C √ . D √ . 3 7 7 7 7 Ví dụ 7
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ’
ABC = 30◦. Điểm M là trung √
điểm cạnh AB, tam giác MA0C đều cạnh 2a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 là √ √ √ √ 72 2a3 24 3a3 72 3a3 24 2a3 A . B . C . D . 7 7 7 7
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 48 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1
Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao là h và diện tích đáy bằng B là 1 1 A V = Bh. B V = 3Bh. C V = Bh. D V = Bh. 6 3 Câu 2
Nếu tăng chiều dài hai cạnh đáy của khối hộp chữ nhật lên 10 lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần? A 100. B 20. C 10. D 1000. Câu 3
Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Thể tích của khối tứ diện CA0B0C0 bằng 2V V V V A . B . C . D . 3 2 6 3 Câu 4 √
Thể tích hình lập phương cạnh 3 là √ √ √ A 3. B 3. C 6 3. D 3 3. Câu 5
Cho hình lập phương có thể tích bằng 27. Diện tích toàn phần của hình lập phương là A 36. B 72. C 45. D 54. Câu 6
Tính thể tích của khối lập phương có diện tích toàn phần bằng 24a2. A 8a3. B 64a3. C 4a3. D a3. Câu 7 √
Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0 có đường chéo AC0 = 6. √ √ √ √ A V = 3 3. B V = 2 3. C V = 2. D V = 2 2. Câu 8
Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 biết AB = 3a, AC = 5a, AA0 = 2a. A 12a3. B 30a3. C 8a3. D 24a3. Câu 9
Biết thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 bằng 2022. Thể tích khối tứ diện A0 ABC0 là
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 49
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A 764. B 674. C 1348. D 1011. Câu 10
Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt là 15 cm2, 24 cm2, 40 cm2. Thể tích của khối hộp đó là A 120 cm3. B 100 cm3. C 140 cm3. D 150 cm3. Câu 11
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết AB = a, BC = 2a, √
AA0 = 2a 3. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. √ √ √ 3 2 3 √ A V = 2 3a3. B V = a3. C V = a3. D V = 4 3a3. 3 3 Câu 12
Thể tích của khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông cạnh a, A0B = 2a. √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 √ A V = . B V = . C V = . D V = a3 3. 3 6 2 Câu 13 √
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3. Diện tích toàn phần S của lăng trụ là √ √ √ √ 7a2 3 3a2 3 13a2 3 A S = 3a2 3. B S = . C S = . D S = . 2 2 4 Câu 14
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó theo a. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 12 6 2 4 Câu 15
Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tích bằng 60. M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABCD).
Thể tích khối chóp M.A0B0C0D0 bằng bao nhiêu? A 10. B 20. C 30. D 40. Câu 16
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = a, A0B tạo
với đáy (ABC) một góc 60◦. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ 3a3 3a3 √ a3 A . B . C 3a3. D . 2 6 4
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 50 Câu 17
Cho khối lăng trụ và khối chóp có diện tích đáy bằng nhau, chiều cao của khổi lăng trụ bằng
nửa chiều cao khối chóp. Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ và khối chóp đó là 3 1 1 1 A . B . C . D . 2 2 3 6 Câu 18
Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có diện tích mặt bên ABB1A1 bằng 4; khoảng cách giữa cạnh CC1 và
mặt phẳng (ABB1A1) bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1. 28 14 A 14. B . C . D 28. 3 3 Câu 19
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ’ ACB = 60◦.
Đường chéo BC0 của mặt bên (BB0C0C) tạo với mặt phẳng AA0C0C một góc 30◦. Tính thể tích
của khối lăng trụ theo a. √ √ √ 2a3 6 √ a3 6 4a3 6 A V = . B V = a3 6. C V = . D V = . 3 3 3 Câu 20
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A0BC)
và mặt phẳng (ABC) bằng 45◦. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng √ √ √ a3 3 3a3 a3 3 a3 3 A . B . C . D . 2 8 8 4 Câu 21
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt a
phẳng (A0BC) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ 2 √ √ √ 2a3 3 2a3 3 2a3 3 2a3 A . B . C . D . 16 48 16 12 Câu 22
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB0 và CC0. Mặt phẳng V
(AEF) chia khối trụ thành hai phần có thể tích V 1
1 và V2 như hình vẽ. Tỉ số là V2 1 1 1 A 1. B . C . D . 3 4 2 Câu 23
Cho hình lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A0 lên mặt
phẳng (ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa mặt phẳng (A0CD) và mặt phẳng (ABCD) là √ 8 3a3
60◦. Tính theo a độ dài đoạn thẳng AC, biết thể tích khối chóp B.ABCD bằng . 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 51
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ √ √ √ A 2a 3 2. B 2a. C 2a. D 2 2a. Câu 24
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Góc
giữa đường thẳng A0B và mặt (ABC) bằng 60◦. Gọi G là trọng tâm tam giác ACC0. Thể tích của khối tứ diện GABA0 là √ √ √ √ 3 2 3 2 3 3 A a3. B a3. C a3. D a3. 9 3 9 6 Câu 25 √
Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a 3,
hình chiếu của A0 xuống mặt đáy (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Biết thể tích khối lăng √ a3 3 trụ đã cho là
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A0BC). √ 6 √ √ √ a 13 a 3 2a 3 2a 3 A . B . C . D . 13 3 3 13 Câu 26
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là 3, 4, 5. Nối tâm 6 mặt của hình hộp chữ nhật ta
được khối 8 mặt. Thể tích của khối 8 mặt đó là √ 75 A 10. B 10 2. C 12. D . 12 Câu 27
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông, A
AB = BC = a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ACC0 và C
AB0C0 bằng 60◦ (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối chóp B0.ACC0 A0. √ a3 a3 a3 a3 3 B A . B . C . D . 3 6 2 3 A0 C0 B0 Câu 28
Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Người ta ấn (đẩy) lăng trụ đó trở thành
một lăng trụ xiên (vẫn giữ nguyên đáy và cạnh bên như hình vẽ) để thể tích giảm đi một nửa lúc
ban đầu. Hỏi cạnh bên của lăng trụ xiên lúc này tạo với đáy góc α bằng bao nhiêu?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 52 α H A 60◦. B 30◦. C 45◦. D 40◦. Câu 29
Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc
tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành
một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả
sử thể tích của cái hộp đó là 4800 cm3 thì cạnh của
tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu? A 44 cm. B 42 cm. C 36 cm. D 38 cm. Câu 30
Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của khối lăng trụ là V . Để diện
tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là √ √ √ √ A 3 V. B 3 4V. C 3 2V. D 3 V6. Câu 31
Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông và thể
tích khối hộp được tạo thành là 10 m2. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế để diện tích
toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là √ √ √ √ A 3 20 m. B 3 10 m. C 3 15 m. D 3 9 m. Câu 32
Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích
thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1 : 3, thể tích của hộp bằng 18 lít. Để tốn ít
vật liệu nhất thì kích thước của thùng là
A x = 2; y = 6; z = 1.5. B x = 1; y = 3; z = 6.
C x = 1.5; y = 4.5; z = 2.5.
D x = 0.5; y = 1.5; z = 24. Câu 33 √
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều. Tam giác ABC0 có diện tích là 3 và
nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc α. Tìm α để thể tích lăng trụ ABC.A0B0C0 đạt giá trị lớn nhất. 1 √ √ 1
A α = arctan √ . B α = arctan 6. C α = arctan 2.
D α = arctan √ . 6 2
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 53
4. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Câu 34
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để
góc tạo bởi đường thẳng B1D và (B1D1C) lớn nhất. √ A x = 1. B x = 0,5. C x = 2. D x = 2. Câu 35
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm. Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN
và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình
lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? M Q B M Q C B C N P A x N P x D A, D A x = 30. B x = 20. C x = 15. D x = 25. Câu 36
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường
chéo AC0 bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? √ √ √ A 8. B 8 2. C 16 2. D 24 3. Câu 37
(THPT Quốc gia 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6,5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A 2,26 m3. B 1,61 m3. C 1,33 m3. D 1,50 m3. Câu 38
(THPT Quốc gia 2018) Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều
cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi
có dạng khối trụ có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính 1 mm. Giả
định 1 m3 gỗ có giá trị a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá trị 8a (triệu đồng). khi đó giá nguyên
vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây? A 9,7.a (đồng). B 97,03.a (đồng). C 90,7.a (đồng). D 9,07.a (đồng).
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 54 Câu 39
Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
bằng 200 m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300
nghìn đồng/m2 (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích
xung quanh, không tính chiều dày của đáy và thành bể). Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây
bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng). A 36 triệu đồng. B 75 triệu đồng. C 46 triệu đồng. D 51 triệu đồng. Câu 40
Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15 cm
và 5 cm. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây
nến nằm khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng √ √ A 1500 ml. B 750 3 ml. C 600 6 ml. D 1800 ml.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 55
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH
§5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Tính thể tích 1 phần của khối đa diện
Tính thể tích 1 phần của khối đa diện
Khi phân chia một khối đa diện thành nhiều khối nhỏ. Muốn tính thể tích một phần khối nhỏ đó, ta
thường dùng một trong hai cách sau:
○ Cách 1. Giả sử khối lớn có thể tích V và được phân làm ba mảnh có thể tích lần lượt là V1, V2
và V3. Khi đó V2 = V − V1 − V3.
○ Cách 2. So sánh thể tích V0 của phần khối nhỏ cần tính so với thể tích V của khối lớn. 1
¬ Nếu thể tích giảm k lần thì V0 = V. k 1
­ Nếu diện tích mặt đáy giảm m lần, chiều cao giảm n lần thì V0 = V. m.n
® Nếu phép đồng dạng tỉ số k biến khối H thành khối H0 thì VH = k3 · V 0 H.
2. Công thức tỉ số diện tích, tỉ số thể tích (dùng để so sánh tỉ số của phần nhỏ so với tổng thể)
Tỉ số diện tích trong tam giác. Theo hình bên thì S C ∆AMN AM AN = · S∆ABC AB AC N A M B
Tỉ số thể tích trong khối chóp.
Cho hình chóp tam giác S.ABC, trên các tia SA, SB, SC lấy các S
điểm A0, B0, C0 không trùng với điểm S khi đó ta có công thức sau V A0 S.A0B0C0 SA0 SB0 SC0 = · · . B0 VS.ABC SA SB SC A C0 B C
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 56
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một S
mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD của hình SA0
chóp lần lượt tại các điểm A0, B0, C0, D0. Đặt = x, SA SB0 SC0 SD0 = y, = z, = t. Khi đó A0 I SB SC SD D0 B0 A B 1 1 1 1 C0 • Công thức 1. + = + . x z y t O D C V xyzt Å 1 1 1 1 ã • Công thức 2. S.A0B0C0D0 = + + + . VS.ABCD 4 x y z t
Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0, M, N, P lần lượt là các A0 C0
điểm thuộc cạnh AA0, BB0, CC0 Khi đó ta có: B0 M P V Å ã ABC.MNP 1 AM BN CP = + + . VABC.A0B0C0 3 AA0 BB0 CC0 A N C B
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, , N, P, Q lần lượt là các A B
điểm trên cạnh AA0.BB0, CC0, DD0. Khi đó ta có công thức: C AM CP BN DQ D M N • Công thức 1. + = + . AA0 CC0 BB0 DD0 • Q Công thức 2. P A0 B0 V Å ã Å ã ABCD.MNPQ 1 AM CP 1 BN DQ = + = + . V D0 C0 ABCD.A0B0C0D0 2 AA0 CC0 2 BB0 DD0 B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1
Tỉ số thể tích trong khối chóp Ví dụ 1
Cho khối chóp SABC có thể tích V, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng độ dài mỗi cạnh đáy lên
3 lần thì thể tích khối chóp thu được bằng bao nhiêu? Đáp số: 9V Ví dụ 2
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
N A = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 57
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH theo V có giá trị là A 4V. B 6V. C 12V. D 8V. Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
N A = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính theo V có giá trị là A 4V. B 6V. C 12V. D 8V. Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. S
Gọi H và K lần lượt là trung điểm SB và SD. Tính tỉ số thể tích V k = OAHK . VS.ABCD K H A D O B C Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, S V SB. Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC Đáp số: 4. M A N C B Ví dụ 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích S
bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể
tích V của khối tứ diện SEBD. 1 E Đáp số: V = . 3 B C A D
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 58 Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = S
a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông K
góc của A lên SB, SC. Tính thể tích hình chóp S.AHK. 8a3 Đáp số: . 45 H A C B Ví dụ 8
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh S
đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên với đáy bằng
60◦. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng
qua AM đồng thời song song với BD, cắt SB, M
SD lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF theo a. F G D E C O A B Dạng 2
Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ 1
Nếu khối chóp và khối lăng trụ có cùng mặt đáy và chiều cao thì Vchóp = V 3 trụ. Ví dụ 1
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích V cạnh bên A
bằng 2a. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh AA0, BB0, CC0 C 1 1 1 thỏa mãn MA = AA0, NB = BB0, PC = CC0.V 2 3 3 1 là thể tích V B
khối đa diện ABC.MNP. Tính tỉ số k = 1 . V 7 Đáp số: k = . 18 A0 C0 B0
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 59
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần A B
lượt là các điểm trên cạnh AA0, BB0, CC0, DD0 thỏa mãn: M là 1 C trung điểm AA0, NB =
NB0, P là trung điểm CC0, QD = D 2 2 DD0.V 3
1 là thể tích khối đa diện ABCD.MN PQ. Tính tỉ số k = V1 . A0 B0 V 1 Đáp số: k = . D0 C0 2 Ví dụ 3
Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Tính thể tích A khối chóp A.BCC0B0 theo V. C 2 Đáp số: V. 3 B A0 C0 B0 Ví dụ 4
Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Gọi M là điểm A0 C0
tuỳ ý trên cạnh AA0. Tính thể tích của khối đa diện M.BCC0B0 theo V. 2V M Đáp số: . B0 3 A C B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 60 Ví dụ 5
Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích bằng a3. Gọi M, N A0 C0
lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên BB0, CC0. Tính thể tích
V của khối chóp A0.B0C0N M. B0 N M A C B Ví dụ 6
Cho hình lập phương OBCD.O1B1C1D1 có cạnh bằng O1 D1
a, M là điểm bất kỳ thuộc đoạn OO1. Tính tỉ số thể
tích hình chóp MBCC1B1 và hình lăng trụ OBCO1B1C1. 2 Đáp số: . B1 3 C1 M O D B C Ví dụ 7
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam A1 C1
giác vuông tại B, AB = 4, BC = 6; chiều cao của lăng trụ
bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh M 6 BB 2
1, A1B1, BC. Tính thể tích khối tứ diện C1K MN. B1 10 5 K A C 5 3 4 N 3 B
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 61
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1
Cho một khối chóp có thể tích bằng V. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống 3 lần thì thể tích khối chóp lúc đó bằng V V V V A . B . C . D . 9 6 3 27 Câu 2
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần? A 64 lần. B 16 lần. C 192 lần. D 4 lần. Câu 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD,
mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60◦, M là trung điểm BC. Tính thể tích hình chóp S.ABMD. √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 √ A V = . B V = . C V = . D V = a3 3. 4 6 3 Câu 4
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0, B0 lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích VS.ABC . VS.A0B0C1 1 A . B 2. C . D 4. 2 4 Câu 5
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB, N nằm giữa đoạn V AC sao cho AN = 2NC. Gọi V 1
1 là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỷ số . V V 1 V 2 V 1 V 1 A 1 = . B 1 = . C 1 = . D 1 = . V 3 V 3 V 2 V 6 Câu 6 V
Cho khối chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tỉ số thể tích S.ABC bằng: VS.AGC 1 2 3 A 3. B . C . D . 3 3 2 Câu 7
Cho tứ diện S.ABC có thể tích V. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Thể
tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (ABC) bằng
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 62 V V V V A . B . C . D . 2 3 4 8 Câu 8
Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích V. Gọi I là trung điểm của cạnh đáy BC. Tính thể
tích của khối chóp S.ABI theo V. V V V A V. B . C . D . 2 3 4 Câu 9
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD. 1 1 1 1 A . B . C . D . 4 36 8 2 Câu 10 √
Cho hình chóp S.ABC có đáy là 4ABC vuông cân ở B, AC = a 2, SA ⊥ (ABC), SA = a. Gọi
G là trọng tâm của 4SBC, mặt phẳng (α) đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành
hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V. 5a3 4a3 2a3 4a3 A . B . C . D . 54 9 9 27 Câu 11 √
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ở B, AC = a 2, SA ⊥ (ABC), SA = a. Gọi
G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (α) đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt
tại M và N. Tính thể tích V của khối chóp S.AMN. a3 a3 2a3 2a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 9 6 27 9 Câu 12
Gọi V là thể tích của khối hộp ABCD.A0B0C0D0 và V0 là thể tích của khối đa diện A0 ABC0D0. V0 Tính tỉ số . V V0 2 V0 2 V0 1 V0 1 A = . B = . C = . D = . V 5 V 7 V 3 V 4 Câu 13
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích là V. Điểm M nằm trên cạnh AA0 sao cho AM = V0
2MA0. Gọi V0 là thể tích của khối chóp M.BCC0B0. Tính tỉ số . V V0 1 V0 1 V0 3 V0 2 A = . B = . C = . D = . V 3 V 2 V 4 V 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 63
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu 14
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng AM 1 BN 2
36. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA0, BB0, CC0 sao cho = , = ; AA0 2 BB0 3 CP 1 =
. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện (H CC0 3 1) và (H2) (trong đó
(H1) là đa diện có chứa đỉnh A). Tính thể tích của khối đa diện (H1). A 15 . B 18 . C 24 . D 16. Câu 15
Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông góc với mặt 1
phẳng (ABC) và SA = a. Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho SI = SB. Tính thể tích khối 3 tứ diện SAIC. a3 2a3 a3 a3 A . B . C . D . 6 3 9 3 Câu 16
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM V và S.ABC thì 1 bằng V2 1 1 1 1 A . B . C . D . 8 2 4 6 Câu 17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V, V0 lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính V tỉ số V0V 3 V 4 V 5 V 2 A = . B = . C = . D = . V0 2 V0 3 V0 3 V0 3 Câu 18
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, A0C0, BB0. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng 5 1 7 1 A V. B V. C V. D V. 24 4 24 3 Câu 19
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi M, N và
P lần lượt là tâm các mặt bên ABB0 A0, ACC0 A0 và BCC0B0. Thể tích V của khối đa diện lồi có
các đỉnh là các điểm A, B, C, M, N, P bằng √ √ √ √ 28 3 40 3 A V = 12 3. B V = 16 3. C V = . D V = . 3 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 64 Câu 20
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SM
và SA = a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
= k, 0 < k < 1. Khi đó giá trị của k để mặt SA
phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là √ √ √ √ −1 + 5 1 + 5 −1 + 5 −1 + 2 A k = . B k = . C k = . D k = . 2 4 4 2 Câu 21
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48. Trên các cạnh SA0 SC0 1
SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A0, B0, C0 và D0 sao cho = = và SA SC 3 SB0 SD0 3 = =
. Tính thể tích V của khối đa diện S.A0B0C0D0. SB SD 4 3 A V = 4. B V = 9. C V = . D V = 6. 2 Câu 22
Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V0 là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của V0
khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số . V V0 2 V0 1 V0 5 V0 1 A = . B = . C = . D = . V 3 V 4 V 8 V 2 Câu 23
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy,
SA = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Thể tích khối đa diện ABCDMN. 15a3 5a3 A V = a3. B V = 3a3. C V = . D V = . 2 2 Câu 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA,
SD. Tính thể tích khối chóp S.BCN M theo a. a3 a3 A . B . C a3. D 2a3. 3 2 Câu 25
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho MA = MB,
N A = 2NC, PA = 3PD. Biết thể tích khối tứ diện AMNP bằng V thì khối tứ diện ABCD tính theo V có giá trị là A 4V. B 6V. C 12V. D 8V.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 65
5. PHÂN CHIA KHỐI ĐA DIỆN, TỈ SỐ THỂ TÍCH Câu 26 9
Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là thì độ dài mỗi cạnh 4 bằng √ √ √ A 3. B 3 243. C 3 3. D 3. Câu 27
Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích bằng nhau mà các
đỉnh của tứ diện cũng là đỉnh của hình lập phương? A 2. B 8. C 4. D 6. Câu 28
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48. Trên các cạnh SA0 SC0 1
SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A0, B0, C0 và D0 sao cho = = và SA SC 3 SB0 SD0 3 = =
. Tính thể tích V của khối đa diện S.A0B0C0D0. SB SD 4 3 A V = 4. B V = 9. C V = . D V = 6. 2 Câu 29
Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A0, B0, C0 sao cho SA =
2SA0, SB = 3SB0 và SC = 4SC0. Gọi V0 và V lần lượt là thể tích của khối chóp S.A0B0C0 và V0 S.ABC. Khi đó tỉ số bằng bao nhiêu? V 1 1 1 1 A . B . C . D . 6 12 24 9 Câu 30 √ a3 3
Cho khối chóp S.ABC có thể tích là
. Gọi M là trung điểm SA, điểm N trên cạnh SC sao 2
cho NS = 2NC. Thể tích V của khối chóp S.BMN. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 6 12 2 Câu 31
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích là 3V. Tính thể tích khối đa diện ABCA0C0 theo V. 3V 2V A 2V. B V. C . D . 2 3 Câu 32
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là trung điểm của cạnh BB0. Mặt phẳng (A0 MD)
chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện trên.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 66 7 8 9 10 A . B . C . D . 17 17 17 17 Câu 33
Nếu độ dài cạnh của một hình lập phương tăng gấp k lần, với k ∈ R thì thể tích của nó tăng lên gấp bao nhiêu lần? k3 A k2 lần. B k lần. C k3 lần. D lần. 3 Câu 34
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM V và S.ABC thì 1 bằng V2 1 1 1 1 A . B . C . D . 8 2 4 6 Câu 35
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với BC = 2AB, SA ⊥ (ABCD) và M là
điểm trên cạnh AD sao cho AM = AB. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.ABM V và S.ABC thì 1 bằng V2 1 1 1 1 A . B . C . D . 8 2 4 6 —–HẾT—–
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 67 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP
§6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP A ĐỀ ÔN SỐ 1 Câu 1
Thể tích của một khối chóp có diện tích đáy bằng 4 dm2 và chiều cao bằng 6 dm là A 4 dm3. B 24 dm3. C 12 dm3. D 8 dm3. Câu 2
Thể tích của một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là 1 1 A V = 3Bh. B V = Bh. C V = Bh. D V = Bh. 3 6 Câu 3
Tính thể tích V của khối lập phương có cạnh bằng 2cm. A V = 8 cm3. B V = 4 cm3. C V = 2 cm3. D V = 16 cm3. Câu 4
Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng a. √ √ a3 3 a3 a3 3 A . B a3. C . D . 12 3 4 Câu 5
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 biết thể tích của khối chóp C0.ABC bằng a3. a3 a3 A V = . B V = 3a3. C V = . D V = 9a3. 9 3 Câu 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; AD = 3a. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A V = 6a3. B V = a3. C V = 3a3. D V = 2a3. Câu 7
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c.
Tính thể tích khối tứ diện OABC. abc abc abc A abc. B . C . D . 3 2 6 Câu 8
Gọi V1 là thể tích của khối lập phương ABCD.A0B0C0D0, V2 là thể tích khối tứ diện A0 ABD. Hệ
thức sào sau đây là đúng?
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 68 A V1 = 4V2. B V1 = 6V2. C V1 = 2V2. D V1 = 8V2. Câu 9 √
Thể tích khối tứ diện đều cạnh a 3 bằng √ √ √ √ a3 6 a3 6 3a3 6 a3 6 A . B . C . D . 8 6 8 4 Câu 10
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150. Thể tích của khối lập phương đó là A 145. B 125. C 25. D 625. Câu 11
Cho khối lăng trụ có thể tích bằng 58 cm3 và diện tích đáy bằng 16 cm2. Chiều cao của lăng trụ là 8 87 8 29 A cm. B cm. C cm. D cm. 87 8 29 8 Câu 12
Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tích bằng 60. M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABCD).
Thể tích khối chóp M.A0B0C0D0 bằng bao nhiêu? A 10. B 20. C 30. D 40. Câu 13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABCD) bằng 60◦ và SC = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 4a3 a38 6 √ a3 2 A V = . B V = . C V = 2 3a3. D V = . 3 3 3 Câu 14
Cho khối chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦. Thể
tích V của khối chóp đó là √ √ a3 6 a3 a3 a3 6 A V = . B V = . C V = √ . D V = . 2 6 6 3 Câu 15
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có BB0 = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và √
AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A V = a3. B V = . C V = . D V = . 3 6 2
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 69 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Câu 16
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A0 lên (ABC) trùng với √ a3 3
trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là
, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là 8 √ √ A a 6. B 2a. C a. D a 3. Câu 17
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = 2AB = 2a. Gọi H là trung điểm của √
AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài đoạn thẳng SA = a 5. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ 4a3 4a3 3 2a3 3 2a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Câu 18
Cho khối hộp ABCD.A0B0C0D0, biết thể tích của khối chóp A0.ABC bằng 12. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A0B0C0D0. A 144. B 24. C 36. D 72. Câu 19
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 6 3 2 4 Câu 20 √ a3 2
Cho hình chóp S.ABC có VS.ABC =
và mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách 36 từ A đến (SBC) bằng. √ √ √ √ a 2 a 6 a 6 a 6 A . B . C . D . 9 3 9 27 Câu 21
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A0, B0 lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích VS.ABC . VS.A0B0C1 1 A . B 2. C . D 4. 2 4 Câu 22
Một khối gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước (9 cm ×6 cm ×5 cm) như hình vẽ. Người
ta cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 4 cm. Tính thể tích phần gỗ còn lại.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 70 5 cm 4 cm 6 cm 9 cm A 206 cm3. B 145 cm3. C 54 cm3. D 262 cm3. Câu 23
Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông,
chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản
xuất vỏ hộp là ít nhất? √ √ √ √ A 3 1802cm. B 3 360cm. C 3 180cm. D 3 720cm. Câu 24
Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD,
ABD, BCD. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ. V V 4V 4V A . B . C . D . 27 9 27 9 Câu 25
Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A trên
mặt phẳng (A0B0C0) trùng với trọng tâm của tam giác A0B0C0, mặt phẳng (ABB0 A0) tạo với đáy
một góc 60◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 8 6 24 —–HẾT—– B ĐỀ ÔN SỐ 2 Câu 1
Mặt phẳng AB0C0 chia khối lăng trụ ABC.A0B0C0 thành các khối đa diện nào?
A Hai khối chóp tứ giác.
B Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.
C Hai khối chóp tam giác.
D Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. Câu 2
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 3 mặt phẳng. B 4 mặt phẳng. C 1 mặt phẳng. D 6 mặt phẳng.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 71 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Câu 3
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy 156 cm2 và chiều cao h = 0,3 m bằng 234 78 A cm3. B cm3. C 1560 cm3. D 156 cm3. 5 5 Câu 4
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ a3 a3 3 a3 3 a3 3 A . B . C . D . 6 4 12 6 Câu 5
Diện tích một mặt của một hình lập phương là 9. Thể tích khối lập phương là A 9. B 27. C 81. D 729. Câu 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy
(ABCD). Biết AB = a, AD = 3a, SA = 2a, tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A V = 3a3. B V = 2a3. C V = a3. D V = 6a3. Câu 7
Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 50 m. Lượng nước trong hồ cao
1,5 m. Thể tích nước trong hồ là A 1875 m3. B 2500 m3. C 1250 m3. D 3750 m3. Câu 8
Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên gấp 2 lần thì thể tích của hình lập phương đó sẽ tăng lên bao nhiêu lần? A 9. B 6. C 8. D 4. Câu 9
Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Hỏi thể tích
khối lăng trụ bằng bao nhiêu? A 100. B 20. C 64. D 80. Câu 10
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh 2a? √ √ √ 2 2 √ 2 2 A a3. B 2 2a3. C a3. D a3. 3 4 12
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 72 Câu 11
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có BB0 = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và √
AC = a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A V = a3. B V = . C V = . D V = . 3 6 2 Câu 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a, SA vuông góc
với mặt đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 30◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a. √ √ √ √ 2 15a3 15a3 2 15a3 15a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 9 9 Câu 13
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a √. √ √ √ 26a3 78a3 26a3 78a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 12 12 3 3 Câu 14 √ √ √
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo của các mặt lần lượt là 5, 10, 13. Tính thể
tích của hình hộp đã cho. A V = 6. B V = 4. √ √ √ 5 · 10 · 18 C V = 8. D V = . 6 Câu 15
Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Biết lăng trụ
có thể tích V = 2a3. Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ theo a. A d = 3a. B d = a. C d = 6a. D d = 2a. Câu 16 3a3
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a, thể tích bằng . Tính độ dài 4 cạnh AB0. √ √ √ A 3 3a. B 3 7a. C 2a. D 3a. Câu 17
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy
(ABC). Biết góc tạo vởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng d
60◦, tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 3 3 3a3 a3 3 a3 3 A . B . C . D . 24 8 8 12
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 73 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Câu 18
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên (SAB), (SAC) cùng √
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SC = a 3. √ √ √ √ a3 3 a3 3 2a3 6 a3 6 A . B . C . D . 2 4 9 12 Câu 19
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a. Biết SA ⊥ (ABC)
và SB tạo với đáy một góc bằng 60◦. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 6 a3 6 a3 6 a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 48 24 8 24 Câu 20
Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối bát diện đều cạnh a. √ 8a3 a3 16a3 2 2a3 A V = . B V = . C V = . D V = . 27 27 27 27 Câu 21
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có diện tích các mặt ABCD , BCC0B0, CDD0C0 lần lượt
là 2a2, 3a2, 6a2. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. A 36a3. B 6a3. C 36a6. D 6a2. Câu 22
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD √ √ √ a3 a3 6 a3 6 a3 6 A . B . C . D . 6 3 6 2 Câu 23
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường
kính AB = 2R, biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), (SBC) hợp với đáy (ABCD) một góc
45◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3R3 3R3 3R3 A . B 3R3. C . D . 4 6 2 Câu 24
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0, CC0. Mặt
phẳng (A0 MN) chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt V1 là thể tích của phần đa diện chứa V điểm B, V 1
2 là phần còn lại. Tính tỉ số . V2 V 7 V V V 5 A 1 = . B 1 = 2. C 1 = 3. D 1 = . V2 2 V2 V2 V2 2
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 74 Câu 25
Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích
thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1 : 3 và thể tích của hộp bằng 18 (dm3). Để
tốn ít vật liệu nhất thì tổng x + y + z bằng 26 19 A . B 10. C . D 26. 3 2 —–HẾT—– C ĐỀ ÔN SỐ 3 Câu 1
Trung điểm của tất cả các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh khối đa diện nào?
A Hình hộp chữ nhật.
B Hình bát diện đều. C Hình lập phương.
D Hình tứ diện đều. Câu 2
Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào? A {5; 3}. B {3; 4}. C {4; 3}. D {3; 5}. Câu 3
Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên. A 11. B 10. C 12. D 9. Câu 4
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A 5. B 6. C 3. D 4. Câu 5
Cho hình chóp có thể tích V, diện tích mặt đáy là S. Chiều cao h tương ứng của hình chóp là 3V 3S V 3V A h = . B h = . C h = . D h = . S V S S2 Câu 6
Kim tự tháp Ê-kốp ở Ai Cập được xây dựng khoảng 2500 năm trước công nguyên. Kim tự tháp
này là một khối chóp đều có chiều cao bằng 147 m, cạnh đáy bằng 230 m. Tính thể tích của kim tự tháo Ê-Kốp. A 11270 (m3). B 7776300 (m3). C 3068200 (m3). D 2592100 (m3).
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 75 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Câu 7
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích bằng 30. Tính thể tích khối chóp A.BCC0B0. A V = 20. B V = 10. C V = 25. D V = 15. Câu 8
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a. Gọi O, O0 lần lượt là tâm các hình vuông
ABCD và A0B0C0D0. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh B0C0 và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO0 MN. a3 a3 a3 A . B a3. C . D . 8 12 24 Câu 9
Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Tính
thể tích của khối chóp S.ABC. 1 1 1 2 A a3. B a3. C a3. D a3. 3 2 6 3 Câu 10
Tính thể tích V của khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có tất cả các cạnh bằng a. √ √ a3 3 a3 3 A V = 3a3. B V = . C V = a3. D V = . 2 4 Câu 11
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu √
vuông góc của A0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB và AA0 = a 2. Tính thể
tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a. √ √ a3 6 √ a3 6 √ A V = . B V = a3 3. C V = . D V = a3 2. 6 2 Câu 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh AB = a, ’
ABC = 60◦, tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh SC hợp với mặt đáy một góc 45◦. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD. √ a3 a3 A a3 2. B . C 3a3. D . 4 2 Câu 13
Cần xây một hồ cá có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có các cạnh 40 cm và 30 cm. Để trang trí
người ta đặt vào đó một quả cầu thủy tinh có bán kính 5 cm. Sau đó đổ đầy hồ 30 lít nước. Hỏi
chiều cao của hồ cá là bao nhiêu cm? (Lấy chính xác đến chữ số thập phân thứ 2). A 25,66. B 24,55. C 24,56. D 25,44.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương 1. KHỐI ĐA DIỆN Trang 76 Câu 14 √
Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d =
21. Độ dài kích thước của hình hộp chữ nhật lập
thành một cấp số nhận có công bội q = 2. Thể tích của khối hộp chữ nhật là 8 4 A V = . B V = 8. C V = . D V = 6. 3 3 Câu 15
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC. A V = 40. B V = 24. C V = 32. D V = 192. Câu 16
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O có cạnh bằng a, góc ’ BAC = 60◦, 3a SO ⊥ (ABCD) và SO =
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ 4 √ √ a3 3 a3 3 a3 3a3 3 A . B . C . D . 8 4 4 8 Câu 17
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều cạnh a, đường chéo của mặt bên √
ABB0 A0 là AB0 = a 2. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 đó là √ √ √ √ a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A . B . C . D . 4 4 12 12 Câu 18
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC
và mặt đáy bằng 30◦. Thể tích khối chóp S.ABC là √ √ a3 3a3 3a3 a3 A . B . C . D . 6 6 3 12 Câu 19
Cho khối chóp tam giác S.ABC có thể tích là V, gọi I, J lần lượt là trung điểm hai cạnh bên SB
và SC. Tính thể tích V0 của khối chóp S.AI J theo V. V V V 2V A V0 = . B V0 = . C V0 = . D V0 = . 2 4 3 3 Câu 20
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có cạnh BC = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A0BC)
bằng 60◦. Biết diện tích của 4A0BC bằng 2a2. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A0B0C0. √ √ 2a3 a3 3 A V = 3a3. B V = a3 3. C V = . D V = . 3 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 77 6. MỘT SỐ ĐỀ ÔN TẬP Câu 21
Tính thể tích V của khối chóp C0.ABC biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng a3. a3 a3 A V = 3a3. B V = . C V = . D V = 9a3. 3 9 Câu 22
Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. 3a
Biết rằng ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = AB = 2a, BC = . Gọi I là trung điểm 2
cạnh đáy AB. Tính thể tích V của khối chóp S.ICD. √ √ √ √ 7a3 3 7a3 3 7a3 3 7a3 3 A V = . B V = . C V = . D V = . 2 12 6 4 Câu 23
Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ’ BAD = 60◦, AB0 hợp
với đáy (ABCD) một góc 30◦. Thể tích V của khối hộp ABCD.A0B0C0D0 là √ a3 3a3 a3 a3 2 A V = . B V = . C V = . D V = . 2 2 6 6 Câu 24
Một phòng học có dạng một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m, thể tích
là 192 m3. Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường phía trong phòng. Biết diện tích
các cửa bằng 10 m2, hãy tính diện tích cần quét vôi bằng m2. A 144. B 96. C 150. D 182. Câu 25
Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng
hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 220500 cm3 nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều
rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất. A 2220 cm2. B 1880 cm2. C 2100 cm2. D 2200 cm2. —–HẾT—–
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641 Chương
MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT 2
MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU 2 CẦU
§1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Mặt nón, hình nón, khối nón
Khi quay đoạn SM quanh trục cố định SO, ta được S mặt nón.
Khi quay đường gấp khúc SMO quanh trục cố định
SO, ta được hình nón.
Hình nón và phần không gian bên trong nó tạo thành O khối nón. M 2. Các công thức tính
Các đại lượng cần nhớ • SM = l là đường sinh; • SO = h là đường cao;
• OM = r là bán kính đáy. S
¬ Diện tích xung quanh: Sxq = πrl;
­ Diện tích đáy: Sđ = πr2; h l
® Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđ; O 1 1 r Khi đó ¯ Thể tích: V = · S M πr2h. 3 đ · h = 3 3. Khối nón cụt r ¬ Đường cao OI = h; A0 I B0
­ Bán kính đáy hớn OB = R; h
® bán kính đáy nhỏ IB0 = r; A B 1 R
¯ Thể tích: Vcụt = π R2 + r2 + R · r h. O 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 79 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1
Xác định các yếu tố cơ bản của hình nón, khối nón
¬ Diện tích xung quanh: Sxq = πrl;
­ Diện tích đáy: Sđ = πr2;
® Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđ; 1 1 ¯ Thể tích: V = · S πr2h. 3 đ · h = 3
° Mối quan hệ giữa đường sinh, đường cao và bán kính l2 = r2 + h2 Ví dụ 1 √
Cho khối nón tròn xoay có bán kính đáy r =
3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối nón đã cho. √ A V = 16π 3. B V = 12π. C V = 4. D V = 4π. Ví dụ 2
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và có bán kính đáy bằng a. Độ dài đường
sinh của hình nón đã cho bằng √ 3a A 2a 2. B 3a. C 2a. D . 2 Ví dụ 3
Tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy bằng 5 và chiều cao bằng 12. A 90π. B 65π. C 60π. D 65. Ví dụ 4
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần bằng 3πa2. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng √ A l = 2a. B l = a. C l = 4a. D l = a 3. Ví dụ 5
Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60◦, bán kính đáy bằng 2a, diện tích toàn phần của hình nón trên là A Stp = 10πa2. B Stp = 8πa2. C Stp = 20πa2. D Stp = 12πa2. Ví dụ 6
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60◦, diện tích xung quanh bằng 6πa2. Tính thể tích V của khối nón đã cho.√ √ 3πa3 2 πa3 2 A V = . B V = . C V = 3πa3 . D V = πa3. 4 4
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 80 Ví dụ 7
Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của 1
lượng nước trong phễu bằng
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược 3
phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. r h h r A 0, 501(cm). B 0, 302(cm). C 0, 216(cm). D 0, 188(cm). Dạng 2
Xoay hình phẳng quanh trục tạo thành khối nón Ví dụ 1
Trong không gian cho tam giác OI M vuông tại I, góc ’
IOM = 45◦ và cạnh I M = a. Khi quay
tam giác OI M quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón
tròn xoay. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón tròn xoay đó theo a. √ √ √ πa2 2 A Sxq = πa2 2. B Sxq = πa2. C Sxq = πa2 3. D Sxq = . 2 Ví dụ 2
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường cao AH. Tính diện tích xung quanh của hình
nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AH. 1 3 A πa2. B πa2. C πa2. D 2πa2. 2 4 Ví dụ 3
Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = a, “
A = 120◦, đường cao AH. Tính thể tích khối
nón sinh ra bởi tam giác ABC khi quay quanh đường cao AH. πa3 πa3 πa3 A . B πa3. C . D . 2 3 8 Ví dụ 4
Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 6, AC = 8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi
đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quay quanh cạnh AB là A 96π. B 106π. C 98π. D 86π.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 81 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN Ví dụ 5
Cho tam giác OAB vuông cân tại O, có OA = 4. Lấy điểm M thuộc cạnh AB (M không trùng
với A, B) và gọi H là hình chiếu của M trên OA. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay
được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh OA. 128π 81π 256π 64π A . B . C . D . 81 256 81 81 Dạng 3
Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng cho trước
Loại 1: Thiết diện qua trục của hình nón.
Thiết diện qua trục là tam giác cân SMN. Khi giải bài tập, ta chỉ S
quan tâm tam giác SMN có tính chất gì, để phục vụ cho việc
tính toán ba thông số r, l, h. • r = OM • l = SM • h = OS N O M
Loại 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung AB
Thiết diện là tam giác cân SAB với các thông số cần quan tâm S • ‘
SIO là góc giữa (SAB) với đáy. OI · OS H
• OH là khoảng cách từ O đến (SAB) và OH = √ O OI2 + OS2 A I B Ví dụ 1
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2a. Tính thể tích của khối nón. √ √ √ √ 3πa3 3πa3 3πa3 A 3πa3 . B . C . D . 3 6 2 Ví dụ 2
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính diện
tích xung quanh Sxq của hình nón. √ √ A Sxq = 2π 2a2. B Sxq = π 2a2. C Sxq = πa2. D Sxq = 2πa2.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 82 Ví dụ 3
Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính S
R = 3cm, góc ở đỉnh của hình nón là ϕ = 120◦. Cắt hình nón
bởi một mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB,
trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác SAB bằng √ √ A 3 3 cm2. B 6 3 cm2. O C 6 cm2 . D 3 cm2 . A B Ví dụ 4
Cho hình nón đỉnh S đáy là hình tròn tâm O, SA và SB là hai S
đường sinh biết SO = 3, khoảng cách từ O đến (SAB) là 1 và
diện tích tam giác SAB là 18. Tính bán kính đáy của hình nón trên. √ √ 674 530 A . B . 4 √ 4 9 2 23 O C . D . A 4 4 B Ví dụ 5
Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh S
góc vuông bằng 2. Mặt phẳng (α) qua đỉnh S của hình nón đó và
cắt đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN biết góc
giữa (α) và đáy hình nón bằng 60◦. √ 2 2 A . B 2. 3 √ √ N 8 6 4 2 C . D . 9 3 H O M Ví dụ 6
Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O và có S
thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng a, A và B là hai
điểm bất kỳ trên (O). Thể tích của khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng √ √ a3 3 a3 3 A . B . 48 √ 96 O B a3 3 a3 C . D . A 24 96
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 83 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN Dạng 4
Khối nón ngoại tiếp, nội tiếp Ví dụ 1
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A
A, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính theo a diện
tích xung quanh Sxq của (N). √ √ A Sxq = 3 3πa2.
B Sxq = 12 3πa2. √ C Sxq = 6 3πa2. D Sxq = 6πa2. B O D C Ví dụ 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy
bằng a và (N) là hình nón có đỉnh là S với đáy là hình S
tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Tỉ số thể tích của khối chóp
S.ABCD và khối nón (N) bằng √ √ 2 2 2 π 2 π A . B . C . D . π π 2 4 B O C A D Ví dụ 3
Gọi (T) là hình chóp lục giác đều có cạnh bên bằng 9 cm, cạnh đáy S
bằng 8 cm và (N) là hình nón có đỉnh là đỉnh của (T) và đáy là đường
tròn ngoại tiếp đáy của (T). Thể tích của khối nón (N) (tính bằng cm3) là √ √ 64 17π 72π A 72π. B 64 17π. C . D . 3 3 A O Dạng 5
Gấp hình quạt để tạo thành mặt nón
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 84 Ví dụ 1
Trải mặt xung quanh của một hình nón lên một mặt phẳng ta được
hình quạt (xem hình bên) là phần của hình tròn có bán kính bằng 3
cm. Bán kính đáy r của hình nón ban đầu gần nhất với số nào dưới 3 cm đây? A 2,23. B 2,24. C 2,25. D 2,26. Ví dụ 2
Cho miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bớt O
từ miếng tôn một hình quạt OAB và gò phần còn lại B
thành một hình nón đỉnh O không đáy (OA trùng với R
OB) như hình vẽ. Gọi S và S0 lần lượt là diện tích của x O
miếng tôn ban đầu và miếng tôn còn lại sau khi cắt S0 bớt. Tìm tỷ số
để thể tích khối nón lớn nhất. A S A ≡ B √ √ √ S0 2 S0 6 S0 6 S0 1 A = . B = . C = . D = . S 3 S 3 S 2 S 4
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 85 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1
Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón bằng A 24πa2. B 12πa2. C 40πa2. D 20πa2. Câu 2
Thể tích của khối nón tròn xoay có đường kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 là A 60π. B 45π. C 15π. D 180π. Câu 3 √
Cho hình nón có chiều cao h = a 3 và bán kính đáy bằng a. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là √ √ A π(1 + 2)a2. B 3πa2. C πa2. D πa2 3. Câu 4
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và diện tích toàn phần bằng 3πa2. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng √ A l = 2a. B l = 4a. C l = a 3. D l = a. Câu 5
Cho hình nón có bán kính đáy R = 4 và diện tích xung quanh bằng 20π. Thể tích của khối nón đã cho bằng 16π 80π A 4π. B 16π. C . D . 3 3 Câu 6
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 cm, góc ở đỉnh bằng 60◦. Thể tích V của hình nón là √ √ √ 8π 3 8π 3 √ 8π 3 A V = cm3. B V = cm3. C V = 8π 3 cm3. D V = cm3. 2 9 3 Câu 7
Một khối nón tròn xoay có chu vi đáy bằng 4π, độ dài đường sinh bằng 4, khi đó thể tích V của khối nón tròn xoay bằng √ √ √ 16π 8π 3 π 14 2π 14 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Câu 8
Một khối nón có diện tích toàn phần bằng 10π và diện tích xung quanh bằng 6π. Tính thể tích V của khối nón đó. √ 4π 5 √ A V = . B V = 4π 5. C V = 12π. D V = 4π. 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 86 Câu 9
Nếu giữ nguyên bán kính đáy của khối nón và giảm chiều cao của nó 2 lần thì thể tích khối nón
này thay đổi như thế nào? A Giảm 4 lần. B Giảm 2 lần. C Tăng 2 lần. D Không đổi. Câu 10
Một hình nón có diện tích mặt đáy bằng 4π cm2, diện tích xung quanh bằng 8π cm2. Khi đó
đường cao của hình nón đó bằng bao nhiêu centimet? √ √ A 4. B 2 5. C 2. D 2 3. Câu 11
Cho hình nón có chiều cao 2a và góc ở đỉnh bằng 90◦. Tính thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên. 2πa3 πa3 8πa3 A 8πa3. B . C . D . 3 3 3 Câu 12 4
Cho hình nón có bán kính đáy r = 1, chiều cao h = . Ký hiệu góc ở đỉnh hình nón là 2α. Trong 3
các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 3 3 3 3 A sin α = . B cos α = . C tan α = . D cot α = . 5 5 5 5 Câu 13
Cho hình nón có chiều cao bằng 3 cm, góc giữa trục và đường sinh bằng 60◦. Thể tích của khối nón là: A V = 9π (cm3).
B V = 54π (cm3).
C V = 27π (cm3).
D V = 18π (cm3). Câu 14 √3
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều và có thể tích V = πa3. Diện tích xung 3
quanh S của hình nón đó là 1 A S = 2πa2. B S = 3πa2. C S = 4πa2. D S = πa2. 2
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 87 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN Câu 15
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân S
có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón. A B O √ √ √ πa2 2 πa2 2 √ 2πa2 2 A . B . C πa2 2. D . 4 2 3 Câu 16
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = 2a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón
nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB. √ √ √ A l = a 2. B l = a 5. C l = 2a. D l = a 3. Câu 17
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC tại H, HB = 3,6 cm, HC = 6,4 cm.
Quay miền tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được khối nón có thể tích V bằng bao nhiêu? A V = 205,89 cm3. B V = 65,14 cm3. C V = 65,54 cm3. D V = 617,66 cm3. Câu 18
Gọi (H) là hình tròn xoay thu được khi cho tam giác đều ABC có cạnh a quay quanh AB. Thể
tích khối tròn xoay giới hạn bởi (H) có thể tích bằng √ √ πa3 3 πa3 πa3 3 πa3 A . B . C . D . 6 4 12 8 Câu 19
Cho khối nón tròn xoay đỉnh S có đường cao h = 20 cm, bán S
kính đáy r = 25 cm. Một mặt phẳng (P) đi qua S và có khoảng
cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Thiết diện của (P) với khối
nón là tam giác SAB, với A, B thuộc đường tròn đáy. Tính diện
tích S4SAB của tam giác SAB. A S4SAB = 300 cm2. B S4SAB = 500 cm2. O C S A 4SAB = 400 cm2. D S4SAB = 600 cm2. B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 88 Câu 20
Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng S
2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao √
cho AB = 2 3a. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P). √ 2a a a 2 A √ . B √ . C a. D . 5 5 a O A B Câu 21
Cho hình nón có đường sinh bằng 2a và góc ở đỉnh bằng 90◦. S
Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) đi qua đỉnh sao cho góc
giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng 60◦. Tính diện tích S của thiết diện tạo thành. √ √ 4 2a2 2a2 A S = . B S = . 3 √ 3 √ 5 2a2 8 2a2 O C S = . D S = . A 3 3 B Câu 22
Cho hình chóp tứ giác đều S · ABCD có tất cả các cạnh bằng 3. Tính diện tích xung quanh của
hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. √ √ 9π 9 2π 9 2π A Sxq = . B S . D S . 2 xq = 9π. C Sxq = 2 xq = 4 Câu 23
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tứ giác ABCD. √ √ √ √ πa2 15 πa2 17 πa2 17 πa2 17 A . B . C . D . 4 8 4 6 Câu 24
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính thể tích V(N) của khối nón có một đường tròn đáy
là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. √ √ √ √ 16 6π 16 6π 8 6π 16 6π A V(N) = . B V . C V . D V . 27 (N) = 9 (N) = 9 (N) = 81
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 89 1. MẶT NÓN – KHỐI NÓN Câu 25
Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nón (H1), (H2) xếp chồng
lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1, h1, 1 1 r2, h2 thỏa mãn r1 = r h
2 2, h1 = 2 2 (tham khảo hình vẽ). Biết rằng
thể tích của khối (H1) bằng 10 cm3. Thể tích toàn bộ của khối pha lê bằng A 30 cm3. B 50 cm3. C 90 cm3. D 80 cm3. Câu 26
Cho mô hình gồm hai tam giác vuông ABC và ADE cùng nằm C B
trong một mặt phẳng như hình vẽ. Biết rằng BD cắt CE tại A,
DE = 2BC = 6, BD = 15. Tính thể tích V của khối tròn xoay A
tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục BD. A V = 135π. B V = 105π. C V = 120π. D V = 15π. D E Câu 27
Bạn An có một cốc nước uống có dạng một hình nón cụt, đường kính miệng cốc là 8 cm, đường
kính đáy cốc là 6 cm, chiều cao của cốc là 12 cm. An dùng cốc đó để đong 10 lít nước. Hỏi An
phải đong ít nhất bao nhiêu lần? A 24 lần. B 26 lần. C 20 lần. D 22 lần. Câu 28
Cho hình vuông ABCD cạnh 1, điểm M là trung điểm của CD. Cho hình A B
vuông (tính cả điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng AM ta
được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. √ √ √ √ 7 2π 7 5π 7 10π 7 2π A . B . C . D . 15 30 15 30 D M C Câu 29
Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu 1
sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. 3
Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực
nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 90 A 0,5 cm. B 0,3 cm. C 0,188 cm. D 0,216 cm. Câu 30
Cho một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. Ta cắt bỏ hình quạt r
AOB (phần gạch chéo) rồi dán hai bán kính OA và OB lại A, B x O
với nhau để biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón.
Gọi x rad là số đo góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. R h R
Tìm x để thể tích của phễu đạt giá trị lớn nhất. B A √ √ 6 2 6 A π. B π. 3 3 π 2π C . D . 3 3
——————HẾT——————
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 91
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ
§2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Xoay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB
¬ Đoạn CD tạo thành mặt trụ; D A
­ Đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ;
® Hình trụ và phần không gian bên trong nó tạo thành khối trụ. B C
2. Các đại lượng cần nhớ
¬ r = AD = CB là bán kính đáy; ­ l = CD là đường sinh; ® h = AB là đường cao; ¯ Chú ý h = l. 3. Công thức tính
¬ Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl; A D
­ Diện tích đáy: Sđ = πr2;
® Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 · Sđ; l h
¯ Thể tích: V = Sđ · h = πr2h. B r C B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1
Xác định các yếu tố cơ bản của hình trụ, khối trụ Ví dụ 1
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 2. A V = 4π. B V = 2π. C V = 6π. D V = 8π. Ví dụ 2
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. 35 A 85π cm2. B 35π cm2. C π cm2. D 70π cm2. 3 Ví dụ 3
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ đã cho bằng
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 92 2 3 A 2a. B a. C 3a. D a. 3 2 Ví dụ 4
Cho khối trụ có thể tích bằng 45π cm3, chiều cao bằng 5 cm. Tính bán kính R của khối trụ đã cho √ A R = 3 cm. B R = 4,5 cm. C R = 9 cm. D R = 3 3 cm. Ví dụ 5
Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên
bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Tính bán kính đáy
r của hình trụ ban đầu. A r = 15. B r = 5. C r = 10. D r = 2. Ví dụ 6
Một khối trụ có thể tích bằng 25π. Nếu chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên
bán kính đáy thì được một hình trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25π. Tính bán kính đáy
r của hình trụ ban đầu. A r = 15. B r = 5. C r = 10. D r = 2. Ví dụ 7
Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên
một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều
cao tương ứng là r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r2 = 2r1, h1 = 2h2
(hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng 20cm3.
Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng A 140cm3. B 120cm3. C 30cm3. D 50cm3. Ví dụ 8
Bác An cần làm một cái bể đựng nước hình trụ (có đáy và nắp đậy) có thể tích 16π m3. Tính
bán kính đáy của hình trụ để nguyên vật liệu làm bể ít nhất. A 0,8 m. B 1,2 m. C 2 m. D 2,4 m. Dạng 2
Xoay hình phẳng quanh trục tạo khối trụ
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 93
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Ví dụ 1
Quay hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 quanh trục là đường thẳng chứa cạnh MN (M, N lần
lượt là trung điểm của AB, CD) được hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng A 32π. B 24π. C 8π. D 16π. Ví dụ 2 √
Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = 2 2a và ’
ACB = 450. Diện tích toàn phần của hình trụ (T) bằng A 16πa2. B 10πa2. C 12πa2. D 8πa2. Ví dụ 3
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) E F quanh trục DF. 10 ◦ πa3 10πa3 A . B . 30 a 9 7 5πa3 πa3 A B C . D . 2 3 a D a C Ví dụ 4
Cho lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 4. Quay lục giác đều đó quanh A
đường thẳng AD. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra. A V = 128 I π. B V = 32π. B F C V = 16π. D V = 64π. O C E D Dạng 3
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng cho trước Ví dụ 1
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6 cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng A 5 cm. B 10 cm. C 6 cm. D 8 cm.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 94 Ví dụ 2
Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng A πa3. B 5πa3. C 4πa3. D 3πa3. Ví dụ 3
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông và diện tích toàn phần bằng 64πa2. Tính
bán kính đáy của hình trụ. √ √ 4 6a 8 6a A r = . B r = . C r = 4a. D r = 2a. 3 3 Ví dụ 4
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 cm và có chiều cao bằng 3 cm. Một
mặt phẳng song song với trục của hình trụ và khoảng cách giữa chúng A O
bằng 1 cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng đó và mặt trụ. B √ √ A 6 3 cm2. B 3 3 cm2. √ √ 2 3 C 9 3 cm2. D cm2. 5 O0 D C Ví dụ 5
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình B
vuông ABCD có AB, CD là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt
phẳng (ABCD) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó A bằng √ 5a2 5a2 5a2 2 A . B . C . D 5a2. C 4 2 2 D Dạng 4
Khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp Ví dụ 1 √
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O0) chiều cao R 3 và bán
kính R. Một hình nón đỉnh O0 và đáy là hình tròn (O; R). Tỉ lệ thể tích xung O0
quanh của hình trụ và hình nón bằng. √ √ A 3. B 2. C 2. D 3. A O
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 95
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Ví dụ 2 √
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có diện tích tứ giác ACA0C0 là 4 2a2. Tính thể tích khối
trụ tròn xoay có một đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD và đường cao của khối trụ tròn
xoay là đường cao hình lập phương đã cho. π A πa3. B 4πa3. C a3. D 2πa3. 4 Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 có độ dài cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng
h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 2πa2h A V = . B V = πa2h. C V = 2πa2h. D V = 8πa2h. 3 Ví dụ 4
Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h. Bán kính r của hình A
trụ nội tiếp hình nón mà có thể tích lớn nhất là R R A r = . B r = . 4 2 2R R C r = . D r = . K 3 3 Q P B M H N C Dạng 5
Gấp hình chữ nhật để tạo thành mặt trụ Ví dụ 1
Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích 4π. Người ta cuốn tròn hình chữ nhật đó sao cho có
một cặp cạnh đối dính vào nhau để tạo thành một hình trụ không đáy. Biết chiều cao hình trụ
bằng đường kính mặt đáy. Tính thể tích khối trụ tương ứng. A π. B 2π. C 3π. D 4π. Ví dụ 2
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách như sau:
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 96
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành
hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm
đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò
được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích
của hai thùng gò được theo cách 2. V Tính tỉ số 1 . V2 V V V 1 V A 1 = 1. B 1 = 2. C 1 = . D 1 = 4. V2 V2 V2 2 V2 Ví dụ 3
Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không A
đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh
tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên
liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng Q P
thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có
chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc
thùng mà bạn A có thể làm được là 91125 91125 B A (cm3). B (cm3). M N C 4π √ 2π √ 13500 3 108000 3 C (cm3). D (cm3). π π —HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 97
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 3πa2 và bán kính đáy bằng a. Chiều cao của hình trụ đã cho bằng 2 3 A 2a. B a. C 3a. D a. 3 2 Câu 2
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 8 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ là A 40π cm2. B 144π cm2. C 72π cm2. D 80π cm2. Câu 3
Một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng 90π. Tính diện tích xung quanh của khối trụ. A 60π. B 78π. C 81π. D 90π. Câu 4
Cho khối trụ (T) có chiều cao và đường kính đáy cùng bằng 2a. Tính diện tích toàn phần S tp của (T). A S tp = 5πa2. B S tp = 6πa2. C S tp = 4πa2. D S tp = 3πa2. Câu 5
Nếu tăng chiều cao của một khối trụ lên 8 lần và giảm bán kính đáy đi 2 lần thì thể tích của nó
tăng hay giảm bao nhiêu lần? A Giảm 2 lần. B Tăng 4 lần.
C Không tăng, không giảm. D Tăng 2 lần. Câu 6
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABCD có AC = 4a. Tính thể tích khối trụ. √ 8πa3 √ 4 2πa3 A V = . B V = 2πa3. C V = 4 2πa3. D V = . 3 3 Câu 7
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông và diện tích toàn phần bằng 64πa2. Tính
bán kính đáy của hình trụ. √ √ 4 6a 8 6a A r = . B r = . C r = 4a. D r = 2a. 3 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 98 Câu 8 √
Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = 2a 2 và ’
ACB = 45◦. Diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T) là A Stp = 16πa2. B Stp = 10πa2. C Stp = 12πa2. D Stp = 8πa2. Câu 9
Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có √
cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết BD = a 2, ’ DAC = 60◦. Tính thể tích khối trụ.√ √ √ √ 3 6 3 2 3 2 3 2 A πa3. B πa3. C πa3. D πa3. 16 16 32 48 Câu 10
Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng
ta được hình vuông có chu vi bằng 8π. Thể tích của khối trụ đã cho bằng A 2 2 3 2 π . B 2π . C 4π. D 4π . Câu 11
Một cái bánh kem gồm hai khối trụ T1 và T2 cùng trục và xếp chồng lên nhau. Bán kính, chiều
cao tương ứng của hai khối trụ là r1, h1, r2, h2. Biết rằng r1 = 3r2 và h2 = 3h1 và thể tích của
bánh kem là 120π cm3. Thể tích của khối kem T1 là A 12π cm3. B 108π cm3. C 30π cm3. D 90π cm3. Câu 12
Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a. Mặt phẳng (P) song song với trục và a
cách trục một khoảng . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P). 2 √ √ A 2 3a2. B a2. C πa2. D 3a2. Câu 13
Một cái cốc hình trụ cao 15 cm đựng được 0, 5 lít nước. Hỏi bán kính đường tròn đáy của cái
cốc xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)? A 3, 26 cm. B 3, 27 cm. C 3, 25 cm. D 3, 28 cm. Câu 14
Người ta ngâm một loại rượu trái cây bằng cách xếp 6 trái cây hình cầu có cùng bán kính bằng
5 cm vào một cái bình hình trụ sao cho hai quả nằm cạnh nhau tiếp xúc với nhau, các quả đều
tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt xung quanh của hình trụ, đồng thời quả nằm bên
dưới cùng tiếp xúc với mặt đáy trụ, quả nằm bên trên cùng tiếp xúc với nắp của hình trụ, cuối
cùng là đổ rượu vào đầy bình. Số lít rượu tối thiểu cần đổ vào bình gần nhất với số nào sau đây A 1,57. B 1,7. C 1570. D 1,2.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 99
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Câu 15
Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích 4π. Người ta cuốn tròn hình chữ nhật đó sao cho có
một cặp cạnh đối dính vào nhau để tạo thành một hình trụ không đáy. Biết chiều cao hình trụ
bằng đường kính mặt đáy. Tính thể tích khối trụ tương ứng. A π. B 2π. C 3π. D 4π. Câu 16
Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng có chiều dài
100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đường thẳng đó
đến trục của hình trụ. √ √ A d = 50 cm. B d = 50 3 cm. C d = 25 cm. D d = 25 3 cm. Câu 17 √
Một hình trụ có hai đáy là hình tròn (O; r) và (O0; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO0 = r 3.
Một hình nón có đỉnh O0 và có đáy là hình trình (O; r). Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình S trụ và S 1
2 là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số . S2 S 2 S √ S S √ A 1 = √ . B 1 = 2 3. C 1 = 2. D 1 = 3. S2 3 S2 S2 S2 Câu 18
Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là
hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương. Gọi S1, S2 lần
lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần
của hình trụ. Tính S = S1 + S2 (cm2).
A S = 4(2400 + π).
B S = 2400(4 + π).
C S = 2400(4 + 3π).
D S = 4(2400 + 3π). Câu 19
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt 5 cm, 13 cm, 12 cm. Một
hình trụ có chiều cao bằng 8 cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng bao nhiêu? A 386π cm3. B 314π cm3. C 507π cm3. D 338π cm3. Câu 20 √
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC = 2a 2 và
AA0 = h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho. 4 2 A V = 2πa2h. B V = πa2h. C V = πa2h. D V = πa2h. 3 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 100 Câu 21 √
Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R, độ dài đường sinh là R 17.
Một hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R và lồng nhau với
hình nón (hình vẽ). Tính thể tích V0 của phần khối trụ không giao nhau với khối nón. 7 5 A V0 = πR3. B V πR3. 12 0 = 6 5 7 C V0 = πR3. D V πR3. 12 0 = 6 Câu 22
Trong các khối trụ có cùng diện tích toàn phần là 6π. Tìm bán kính đáy của khối trụ có thể tích lớn nhất. 1 1 A R = 1. B R = . C R = √ . D R = 3. 3 3 Câu 23
Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình trụ với chiều cao 2 m, độ dày thành ống là 10
cm. Đường kính ống là 50 cm. Tính lượng bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước đó. A 0,18π m3. B 0,045π m3. C 0,5π m3. D 0,08π m3. Câu 24
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O0), chiều cao D
2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của N
OO0 và tạo với OO0 một góc 30◦. Hỏi (α) cắt đường tròn đáy theo C
một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? √ O0 2R 2 4R A √ . B √ . I 3 3 3 2R 2R C √ . D . 3 3 O A M B
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 101
2. MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ Câu 25
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao của hình trụ. Một D
hình vuông ABCD cạnh a và có hai cạnh AB và CD lần lượt là
các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không N
phải là đường sinh của hình trụ. Thể tích khối trụ trên bằng O0 √ √ C 10πa3 10πa3 A . B . √ 5 25 √ I 2 10πa3 2 10πa3 C . D . 5 25 A O M B Câu 26
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O0, bán kính B0
đáy bằng chiều cao và bằng 4 cm. Gọi A và B0 lần lượt là hai điểm trên √ O0
đường tròn đáy tâm O và tâm O0 sao cho AB0 = 4 3 cm. Tính thể tích khối tứ diện AB0OO0. 32 8 A cm3. B cm3. 3 3 C 8 cm3. D 32 cm3. B O A Câu 27
Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày
1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật là 480π
cm3 thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh? A 80,16 D π. B 85,66π. C 75,66π. D 70,16π. C Câu 28
Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4, 2m. Trong số
các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bố đều
hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính 26cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây
cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380000/1m2 (kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi
người chủ nhà phải chi trả ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy π = 3, 14159) A 15642000. B 12521000. C 10400000. D 11833000.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 102 Câu 29
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O0, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a.
Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O0 lấy điểm B. Đặt α là góc
giữa AB và đáy. Tính tan α khi thể tích khối tứ diện OO0 AB đạt giá trị lớn nhất. 1 1 √ A tan α = √ . B tan α = . C tan α = 1. D tan α = 2. 2 2 Câu 30
Cắt một khối trụ cao 18 cm bởi một mặt phẳng, ta được khối
hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một elip, khoảng cách từ
điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa
mặt đáy nhất lần lượt là 8 cm và 14 cm. Tính tỉ số thể tích của
hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn). 2 1 A . B . 11 2 14 cm 5 7 C . D . 8 cm 11 11 —HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 103
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
§3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Công thức tính diện tích, thể tích khối cầu
Cho mặt cầu tâm O và bán kính R. Khi đó:
¬ Diện tích mặt cầu S = 4πR2 M 4
­ Thể tích khối cầu V = R πR3 3 O
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu
Xét mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng
(α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt
phẳng (α). Khi đó I H = d(I, (α)).
Nếu d(I, (α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung. O Nếu d(I, ( d R
α)) = R thì (α) và (S) tiếp xúc nhau tại H. H r M
Nếu d(I, (α)) < R thì (α) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn .
¬ H là tâm đường tròn giao tuyến.
­ HM là bán kính đường tròn giao tuyến với HM2 = I M2 − IH2 hay r2 = R2 − d2 . B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1
Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu, khối cầu Công thức cần nhớ: 4 S = 4πR2 ¬ V = πR3 ­ 3 Ví dụ 1
Thể tích V của khối cầu bán kính 6cm là
A V = 216π(cm3).
B V = 288π(cm3).
C V = 432π(cm3).
D V = 864π(cm3). Ví dụ 2
Một mặt cầu đường kính bằng 6 cm. Khi đó mặt cầu có diện tích là A 36π cm2. B 144π cm2. C 9π cm2. D 12π cm2.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 104 Ví dụ 3
Mặt cầu (S) có diện tích bằng 20π, thể tích khối cầu (S) bằng √ √ 20π 5 √ 20π 4π 5 A . B 20π 5. C . D . 3 3 3 Ví dụ 4
Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1). 1 A . B 3. C 4. D 2. 2 Ví dụ 5
Cho một hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối
cầu có thể tích bằng thể tích khối nón (N) thì có bán kính bằng √ √ 2a 3 a 3 p2 3 a A . B . C a. D . 4 4 2 Ví dụ 6
Từ một khối đất sét hình trụ có chiều cao bằng 36 cm và đường tròn đáy có đường kính bằng
24 cm, bạn Toán muốn chế tạo khối đất đó thành nhiều khối cầu và chúng có cùng bán kính 6
cm. Hỏi bạn Toán có thể làm ra được tối đa bao nhiêu khối cầu như thế? A 108. B 54. C 72. D 18. Dạng 2
Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu Ví dụ 1
Cho đường thẳng ∆ và mặt cầu (S) không có điểm chung. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường
thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)?
A Không có mặt phẳng nào. B Vô số. C 1. D 2. Ví dụ 2
Mặt cầu (S) bán kính bằng 5 có tâm J cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 thì giao tuyến của
(S) và (P) là một đường tròn có chu vi bằng bao nhiêu? A 8 2 2 π . B 4π . C 16π. D 8π. Ví dụ 3
Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4 cm được thiết diện là một
hình tròn có diện tích 9π cm2. Tính thể tích khối cầu (S). 250π 2500π 25π 500π A cm3. B cm3. C cm3. D cm3. 3 3 3 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 105
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU Ví dụ 4
Mặt cầu tâm O bán kính R = 17 dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba
điểm A, B, C mà AB = 18 dm, BC = 24 dm, CA = 30 dm. Tính khoảng cách từ O đến (P). A 7 dm. B 8 dm. C 14 dm. D 16 dm. Dạng 3
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Ví dụ 1 √
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có độ dài cạnh bằng 3. 9π √ A V = . B V = 9π. C V = π 6. D V = 6π. 2 Ví dụ 2
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a.
Diện tích của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp OABC bằng A 14πa2. B 12πa2. C 10πa2. D 8πa2. Ví dụ 3
Một mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD · A0B0C0D0 có kích thước AB = 4a, AD =
5a, AA0 = 3a. Mặt cầu (S) có bán kính R bằng √ √ 5a 2 √ 3a 2 A R = . B R = 6a. C R = 2a 3. D R = . 2 2 Ví dụ 4
Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương có bán kính là √ √ √ A 2 2. B 2. C 1. D 3. Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); SA = a; đáy ABC là tam giác S a vuông tại B, ’ BAC = 60◦ và AB =
(tham khảo hình vẽ bên). Gọi (S) là 2
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tìm mệnh đề sai. 2πa2
A Diện tích của (S) là .
B Tâm của (S) là trung điểm SC. √ 3 √ a 2 2πa3 C (S) có bán kính .
D Thể tích khối cầu là . 2 3 A C B
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 106 Ví dụ 6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng √ √ √ √ 2πa3 2πa3 2πa3 2πa3 A . B . C . D . 6 12 3 2 Ví dụ 7
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện đó có bán kính bằng √ √ √ √ a 2 a 2 a 6 a 6 A . B . C . D . 6 4 4 6 Ví dụ 8
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ BC; BC ⊥ CD; CD ⊥ AB, biết AB = 5, BC = 4, CD = 3. Bán kính
khối cầu đi qua các điểm A, B, C, D là √ √ 41 5 2 5 A R = . B R = . C R = . D R = 5. 2 2 2 Ví dụ 9
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có bán kính √ là √ √ √ a 41 a 41 a 41 a 2 A . B . C . D . 8 24 16 16 Ví dụ 10
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB vuông tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. √ √ √ √ 4πa3 2 8πa3 2 8a3 2 πa3 2 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Ví dụ 11 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đoạn thẳng SA = a 2
vuông góc với đáy ABCD. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A và M
đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S,
A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây? √ a a 2 √ A a. B . C . D a 2. 2 2 Ví dụ 12
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, góc giữa
đường thẳng A0B và mặt đáy bằng 45◦. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCC0 A0.
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 107
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU √ √ √ a 3 a 2 a a 3 A R = . B R = . C R = . D R = . 2 2 2 3 Ví dụ 13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA ⊥ (ABCD), AB = √
BC = a, AD = 2a, SA = a 2. Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E. √ √ √ a 3 a 6 a 30 A . B a. C . D . 2 3 6 Dạng 4
Tổng hợp nón, trụ, cầu Ví dụ 1
Một cốc nước hình trụ có đường kính bằng 8 cm, chiều cao từ đáy bên trong cốc đến miệng cốc
bằng 16 cm. Giả sử mức nước trong cốc cao 10 cm so với đáy bên trong cốc. Người ta thả một
viên bi hình cầu bán kính bằng 3 cm vào cốc nước đó. Hỏi mức nước dâng lên trong cốc so với
ban đầu là bao nhiêu cm biết rằng viên bi ngập hoàn toàn trong nước? 4 9 16 27 A . B . C . D . 9 4 3 64 Ví dụ 2
Một khối pha lê gồm một hình cầu (H1), bán kính R và một hình nón (H2) l 3R
có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r, l thỏa mãn r = và l = xếp 2 2
chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu (H1) và diện tích toàn
phần của hình nón (H2) là 91 cm2. Tính diện tích của khối cầu (H1). 26 104 A cm2. B 64 cm2. C 16 cm2. D cm2. 5 5 Ví dụ 3
Một chiếc cốc hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn. Người
ta đặt quả bóng lên chiếc cốc thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao 3 bằng chiều cao của nó. Gọi V O 4
1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc cốc. Khi đó? A 27V1 = 8V2. B 3V1 = 2V2. C 16V1 = 9V2. D 9V1 = 8V2.
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 108 Ví dụ 4
Cho khối cầu tâm O và bán kính R. Xét hai mặt phẳng (P), (Q) thay đổi song song với nhau có
khoảng cách là R và cùng cắt khối cầu theo thiết diện là hai hình tròn. Tổng diện tích của hai
hình tròn này có giá trị lớn nhất là 5 7 3 A πR2. B πR2. C πR2. D πR2. 4 4 2 Ví dụ 5
Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R bằng √ 8πR3 3 8πR3 A . B . 3 √ 27 √ 4πR3 3 8πR3 3 C . D . 9 9 R Ví dụ 6
Một hình nón ngoại tiếp một hình cầu có bán kính r = 5. Biết thiết diện
qua trục của hình nón là một tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (hình
vẽ). Tính thể tích khối nón tương ứng. A V = 325π. B V = 375π. C V = 350π. D V = 425π. r = 5
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 109
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1
Cho một hình tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một trục đi qua tâm hình tròn ta được một
khối cầu. Diện tích mặt cầu đó là 4 A 2π. B 4π. C π. D π. 3 Câu 2
Cho khối cầu có thể tích V = 4πa3(a > 0). Tính theo a bán kính R của khối cầu. √ √ √ A R = a. B R = a 3 3. C R = a 3 4. D R = a 3 2. Câu 3
Thể tích khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng 36π là π π A 9π. B 36π. C . D . 9 3 Câu 4
Một mặt cầu có diện tích bằng 16π. Bán kính của mặt cầu đó bằng A 4π. B 2π. C 4. D 2. Câu 5 √
Thể tích của khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh bằng a 2 là √ √ π 2a3 π 2a3 πa3 πa3 A . B . C . D . 6 3 3 6 Câu 6
Cho khối cầu có thể tích bằng 36πa3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng A 36πa2. B 12πa2. C 12a2. D 36a2. Câu 7
Cho hai điểm phân biệt A, B. Tìm tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm A, B.
A Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
B Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB.
C Đường tròn đường kính AB.
D Chỉ có một tâm duy nhất đó là trung điểm của AB. Câu 8
Một cái bồn gồm hai nửa hình cầu đường kính 18dm và một hình trụ có chiều cao 36dm (như
hình vẽ). Tính thể tích V của cái bồn đó. 1024π 16π A V = 9216πdm3. B V = dm3. C V = dm3. D V = 3888πdm3. 9 243
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 110 Câu 9
Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30◦ Đông là 40πcm. Độ dài đường xích đạo là √ 80π A 40π 3 cm. B 40π cm. C √ cm. D 80π cm. 3 Câu 10
Cho A là điểm nằm trên mặt cầu (S) tâm O, có bán kính R = 6 cm. I, K là 2 điểm trên đoạn OA
sao cho OI = IK = KA. Các mặt phẳng (α), (β) lần lượt qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt r
mặt cầu (S) theo các đường tròn có bán kính r 1 1, r2. Tính tỉ số . r √ √ 2 r 3 10 r 4 r 3 10 r 5 A 1 = . B 1 = √ . C 1 = . D 1 = √ . r2 4 r2 10 r2 5 r2 3 10 Câu 11
Người ta thả một viên bi dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một
chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc
với mặt nước sau khi dâng (tham khảo thêm hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của
phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc
bằng 4,5 cm. Tính bán kính của viên bi? A 4,2 cm. B 3,6 cm. C 2,7 cm. D 2,6 cm. Câu 12
Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R, chứa được 5 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc
với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và dưới cùng tiếp xúc
với hai nắp hộp. Tính phần thể tích của khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chỗ. 3πR3 10πR3 A 5πR3. B . C 0. D . 4 3 Câu 13
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là 7πa2 πa3 7πa2 A . B . C πa2. D . 3 8 9 Câu 14
Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc.
Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là √ √ √ √ 125 2 3 3 π 125 2π 1000 2π 1000 2π A . B . C . D . 3 3 3 3
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH Trang 111
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU Câu 15
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a thì có bán kính là √ √ … 3 a 3 A a 2. B a . C . D a. 2 2 Câu 16 √
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có AB = AC = a, BC = a 3. Cạnh bên AA0 = 2a. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB0C0C bằng √ √ √ A a. B a 5. C a 3. D a 2. Câu 17
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = a, AD = AA0 = 2a. Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng 9πa2 3πa2 A 9πa2. B . C 3πa2. D . 4 4 Câu 18 √
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a, AA0 = a 3.
Tính bán kính R của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của lăng trụ theo a. √ √ a 5 a a 2 A R = . B R = . C R = 2a. D R = . 2 2 2 Câu 19
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên hợp với đáy góc 30◦. Hãy
tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. √ 32 3a3π 32a3π 8a3π 32a3π A . B . C . D . 27 27 81 81 Câu 20
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1, ’ BAD = 60◦, (SCD) và (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng 45◦. Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD. 7π 7π 7π 7π A . B . C . D . 4 2 6 3 Câu 21 √
Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C, BC = CD = a 3, góc ’ ABC = ’ ADC = √
90◦, khoảng cách từ điểm B đến (ACD) là a 2. Khi đó thể tích mặt cầu ngoại tiếp ABCD bằng bao nhiêu? √ √ √ 4πa3 3 A 4 3 πa3 3. B 12π . C 12πa3 3. D . 3
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI - ĐT: 0909 461 641
Chương 2. MẶT NÓN, MẶT TRỤ VÀ MẶT CẦU Trang 112 Câu 22
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN bằng √ √ √ √ a 93 a 29 5a 3 a 37 A . B . C . D . 12 8 12 6 Câu 23
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CH vuông góc AB tại H, I là trung điểm
của đoạn thẳng HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy, ‘
ASB = 90◦. Gọi O là trung điểm của
AB, O0 là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI. Góc tạo bởi OO0 và (ABC) bằng A 45◦. B 90◦. C 30◦. D 60◦. Câu 24
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, AB = 2AD = 2DC = 2BC = 2a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB. Mặt
phẳng (α) cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R. Tính thể tích V của khối cầu đi qua các điểm A, B, C, P, Q, R. 32πa3 8πa3 4πa3 16πa3 A V = . B V = . C V = . D V = . 3 3 3 3 Câu 25
Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng
mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng
là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Chiều cao mô hình dưới 2 mét.
B Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
C Chiều cao mô hình không quá 1, 5 mét.
D Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét. —HẾT—
LỚP TOÁN THẦY KHÔI - 10,11,12 - LTĐH