Tài liệu Toán 9 chủ đề vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Tài liệu gồm 22 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem.

149 75 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

22 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trường hợp 1: Cho hai đường thẳng
( ) ( )
1 1 11
:0d y ax b a=+≠
và
( ) (
)
2 2 22
:0d y ax b a=+≠
Mối quan hệ
Kí hiệu
Điều kiện
Cắt nhau
( ) ( )
12
dd∩
12
aa≠
Song song
12
12
aa
bb
=
≠
Trùng nhau
( )
( )
12
dd≡
12
12
aa
bb
=
=
Vuông góc
12
.1aa = −
Trường hợp 2: Cho hai đường thẳng
(
)
(
)
1 1 1 1 111
: ;; 0
d ax by c a b c
+= ≠
và
( ) ( )
2 2 2 2 222
: ;; 0d ax by c a b c+= ≠
Mối quan hệ
Kí hiệu
Điều kiện
Cắt nhau
( )
( )
12
dd∩
11
22
ab
ab
≠
Song song
( ) ( )
12
//dd
11 1
22 2
abc
abc
= ≠
Trùng nhau
( ) ( )
12
dd≡
11 1
22 2
abc
abc
= =
Vuông góc
( ) ( )
12
dd⊥
1 2 12
. .0aa bb+=
*) Chú ý: Khi
12
12
aa
bb
≠
=
thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một
điểm trên trục tung có tung độ bằng
b
(hay
'b
).
2. Đường thẳng đi qua điểm cố định
Giả sử đường thẳng
y ax b= +
đi qua điểm cố định
( )
00
;Mx y
khi đó phương trình:
00
y ax b= +
nghiệm đúng với mọi
,ab
3. Ba đường thẳng đồng quy
2
Cho ba đường thẳng:
( ) ( ) ( )
1 1 12 2 23 3 3
: ;: ;:d y axbd y axb d y axb=+=+=+
Gọi
M
là giao điểm của
1
d
và
2
d
khi đó ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi
3
d
cũng đi
qua
M
.
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cách giải: Cho hai đường thẳng:
(
)
:d y ax b
= +
và
(
) (
)
' ' ' ,' 0
d y ax b aa
=+≠
Khi đó ta có:
a)
( ) ( )
'
// '
'
aa
dd
bb
=
⇔
≠
b)
( ) (
)
'
'
'
aa
dd
bb
=
≡⇔
=
c)
( ) ( )
''d d aa∩ ⇔≠
d)
( ) ( )
' .' 1
d d aa⊥⇔=−
Bài 1: Hãy nhận xét về vị trí tương đối hai đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau
a)
: 23dy x= −
và
': 2 5dy x= +
b)
21
:
34
dy x= +
và
31
':
24
dy x= −
c)
: 21dy x=−+
và
1
': 2
2
dy x= −
d)
:3 1dy x=−+
và
11
':
33
dy x
−
= +
Lời giải
a) Ta có:
// '
dd
vì
'; 'a ab b
= ≠
b) Ta có:
d
cắt
'd
vì
'aa
≠
c) Ta có:
'dd⊥
vì
.' 1aa = −
d) Ta có:
'dd≡
vì
'; 'a ab b= =
Bài 2:
Cho các đường thẳng
1 23 4
4
: 31,: ,: 10,:
5
dy x dy xdxy dyx= − =− + += = +
và
56
: 3 7, : 3
3
x
dy x dy
=+=−
. Trong các đường thẳng trên, hãy chi ra các cặp đường thẳng
a) Song song b) Vuông góc
3
Lời giải
a) Các cặp đường thẳng song song là:
1 52 3
// ; //d dd d
b) Các cặp đường thẳng vuông góc là:
2 43 4
;d dd d⊥⊥
Bài 3:
Cho hai thẳng
( ) ( )
: 1 2 20d mx m y m+ − − +=
và
(
)
( )
':3 3 1 5 4 0
d mx m y m
− + − +=
. Tìm m để hai
đường thẳng trên
a) Song song b) Cắt nhau c) Vuông góc
Lời giải
a) Ta có:
2( 2)
: ( 1)
11
mm
dy x m
mm
−+
=+≠
−−
và
3 54 1
': ( )
31 31 3
mm
dy x m
mm
+−
=−≠
++
0
1
3
'
1
3
13 1
// '
' 2( 2) (5 4)
3
0
1 31
13
11
m
mm
m
aa
mm
dd m
bb m m
m
mm
m
=
−
=
=
=
−+
⇔ ⇔ ⇔ ⇒=

≠ + −+
≠

≠
−+
−
≠
b)
( )
d
và
( )
'd
cắt nhau
0
3 11
' 0;1; ;
1
1 3 1 33
3
m
mm
aa m
mm
m
≠
−−
⇔≠ ⇔ ≠ ⇔ ⇒ ≠
−+
≠
c)
(
)
d
và
(
)
'd
vuông góc
31
.' 1 . 1
13 1 2
mm
aa m
mm
−−
⇔ =−⇔ =−⇔ =
−+
Bài 4: Cho thẳng
( )
2
: 21dy m x m= − +−
với m là tham số. Tìm m để:
a)
( )
d
song song với
( )
1
: 23dy x= −
b)
( )
d
trùng với
( )
2
:2dy x=−−
c)
( )
d
cắt
( )
3
: 32dyx= −
tại điểm có hoành độ
1x = −
d)
( )
d
vuông góc với
( )
4
41
:
52
dy x= −
Lời giải
a)
2
1
22
// 2
13
m
dd m
m
−=
⇔ ⇔=
− ≠−
4
b)
2
2
21
1
12
m
dd m
m
−=−
≡ ⇔ ⇔=−
−=−
c) Thay
1x = −
vào
(
)
3
d
ta được:
5
y
= −
Thay
1x = −
và
5y = −
vào
( )
d
ta được:
2m = −
và
3m =
(thỏa mãn)
d)
( ) ( )
( )
2
4
43
2. 1
52
dd m m
±
⊥ ⇔ − =−⇔ =
Bài 5: Cho các đường thẳng
( )
(
) ( ) ( )
2
12
: 3 4 1; : 5 2 3 ; : 2 2 4dym xm dymx mdy mxm=− +− = −+ =− +−
và
( )
34
13 1
: ,: 3 4 5
22 2
dy x dy m x=+ = −+
. Tìm m để:
a)
( )
d
song song với
(
)
1
d
b)
( )
d
trùng với
( )
2
d
c)
( )
d
cắt
( )
3
d
tại điểm
K
có
1
2
K
y =
d)
(
)
d
vuông góc với
( )
4
d
Lời giải
a)
( )
d
song song với
( )
1
3
4
dm
−
⇔=
b)
( )
d
trùng với
( )
2
3
2
dm
−
⇔=
c)
( )
d
cắt
( )
3
d
tại điểm
K
có
19
24
K
ym
−
=⇔=
d)
( )
d
vuông góc với
( )
4
2
7
3
m
d
m
=
⇔
=
Bài 6:
Tìm giá trị của m để hai đường thẳng
( ) (
)
1
: 22d y m xm= − +−
và
( )
2
2
:1
3
m
d y xm= ++
cắt nhau
tại
( )
3; 2M −−
Lời giải
5
Do
( ) ( )
12
d dM∩=
nên tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )
(
)
2 2. 3 2
2
2 .3 1
3
mm
m
m
−= − − + −
−= − + +
2 60
3
3
m
m
m
− +=
⇔ ⇔=
−=−
Vậy
3
m
=
thì
( )
(
) ( )
12
3; 2d dM∩ = −−
Bài 7:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng
( )
1
:2d y mx m= ++
và
(
)
( )
2
: 34d y m xm= + −+
cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 2
Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:
3 03mm≠ +⇔≠
(luôn đúng) (1)
Giả sử
( )
;2
M
Mx
là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó:
( ) (
)
( ) (
)
(
) ( )
( )
1
2
1
;2
2. 2 0
2
1
2 3. 4 3. 2 0
;2
2
M
M
MM
MM
M
x
Mx d
mxm mxm
m xm m xm
m
Mx d
= −
∈
= ++ +=


⇒⇔⇔

= + −+ + −+=
= −
∈


Từ
( )( )
1
12
2
m⇒=−
Bài 8:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng
( )
( )
1
: 13d y m xm= + ++
và
( )
( )
2
: 21 3d y m xm= + −+
cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư thứ
I
Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:
( )
1 2 1 01
mmm+≠ +⇔ ≠
Giả sử
( )
;
MM
Mx y
là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
; 13
0( )
1 32 1 3
2
; 21 3
MM M M
MM
M
MM M M
Mx y d y m x m
m loai
mxm mxm
x
Mx y d y m x m

∈ = + ++
=

⇒ ⇒ + + += + − +⇔

=
∈ = + −+


Với
( ) ( )
2 1.2 335 2;35
MM
x ym m m Mm=⇒ = + + += +⇒ +
Để điểm
( )
2;3 5Mm+
thuộc góc phần tư thứ nhất thì
( )
20
5
2
3 50
3
m
m
>
⇒ >−
+>
6
Từ
( )( )
5
12 0
3
m⇒− < ≠
Bài 9:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng
( )
1
:1d y mx= +
và
( )
2
: 23dyx= +
cắt nhau tại
điểm có tọa độ nguyên
Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:
( )
21m ≠
Giả sử
(
)
;
MM
Mx y
là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó:
(
) ( )
( ) ( )
1
2
;
1
2
12 3
23
;
MM
MM
MM M
MM
MM
Mx y d
y mx
mx x x
yx
m
Mx y d
∈
= +
−
⇒ ⇒ += +⇔ =

= +
∈
Với
22 2
. 1 1 ;1
MM
x ym M
mm m
−− −

= ⇒ = +=−⇒ −


Để điểm
2
;1M
m
−

−


có tọa độ nguyên thì
( )
{ } ( )
2
2
2
2; 1; 1; 2 2
1
Z
Z mU m
m
m
Z
−
∈
−
⇔ ∈ ⇒ ∈ ⇒ =−−
−∈
Từ
( )(
) { }
1 2 2; 1;1m
⇒ =−−
7
Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng
Cách giải: Để xác định phương trình đường thẳng ta thường làm như sau
Bước 1: gọi
(
)
:d y ax b= +
là phương trình đường thẳng cần tìm (a, b là hằng số)
Bước 2: Từ giả thiết của đề bài, tìm được a, b từ đó đi đến kết luận.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau
a)
( )
d
đi qua
( )
2;5M −
và vuông góc với
( )
1
1
2
2
dy x
−
= +
b)
( )
d
song song với đường thẳng
( )
1
: 34dy x=−+
và đi qua giao điểm hai đường thẳng
( )
2
: 23dyx= −
và
( )
3
7
:3
2
dyx= −
c)
(
)
d
đi qua hai điểm
( )
2; 7M −
và
( )
1; 2N
Lời giải
Gọi
( )
:d y ax b= +
với
,ab
là hằng số
a) Ta có:
1
2dd a⊥ ⇒=
,
d
đi qua
2 5 9 29M ab b y x⇒− + = ⇒ = ⇒ = +
b)
1
/ / 3; 4dd a b
⇒=− ≠
;
23
1
;2
2
ddI

≡−


, vì
2
d
đi qua
I
nên:
( )
11
2 :3
22
ab d y x+ =−⇒ =− −
c)
( )
d
đi qua hai điểm
( )
2; 7M −
và
( )
27
5 11
1; 2
2
33
ab
N yx
ab
− +=
−
⇒ ⇒= +
+=
Bài 2: Xác định hàm số
y ax b= +
, biết rằng
a) Khi
2a = −
đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
b) Khi
4a = −
đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
2; 2A −
c)
( )
d
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5
và cắt trụ hoành tại điểm có hoành độ bằng
2−
d)
( )
d
đi qua 2 điểm
( )
1; 3A −
và
( )
2;1
B
Lời giải
a) Thay
2; 2ay=−=
vào
y ax b= +
ta được:
2 22b yx= ⇒=− +
b) Với
4a = −
ta được
4y xb=−+
8
Thay
4; 2xy=−=
ta được
6b =
c) Vì
( )
d
cắt
Oy
tại điểm có tung độ bằng
5
nên
( )
d
đi qua điểm
(
)
0;5
từ đó tìm được
5b
=
Tương tự
( )
d
cắt
Ox
tại điểm có hoành độ bằng
1−
nên
( )
d
đi qua điểm
( )
2; 0−
từ đó tìm
được
55
5
22
a yx=⇒= +
Bài 3: Cho đường thẳng
:d y ax b= +
(a, b là hằng số). Tìm a và b biết:
a)
( )
d
đi qua điểm
A
nằm trên
Ox
có hoành độ bằng
1−
và song song với đường thẳng
( )
1
: 20d xy++=
b)
( )
d
vuông góc với đường thẳng
2
1
: 2017
3
dy x
−
= +
và đi qua giao điểm của
3
:2dyx= −
với
trục tung
Lời giải
a) Tìm được
( )
:1dy x=−−
b) Tìm được
( )
: 32dy x= −
Bài 4: Cho đường thẳng
:
d y ax b= +
(a, b là hằng số). Tìm a và b biết:
a)
(
)
d
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
5
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2−
b)
( )
d
đi qua hai điểm
A
và
B
với
( )
1; 3A −
và
( )
2;1B
Lời giải
a) Gọi
( )
:
d y ax b= +
, với
,ab
là hằng số
Vì
( )
d
cắt
Oy
tại điểm có tung độ bằng 5 nên
( )
d
đi qua điểm
( )
0;5 5b⇒=
Tương tự
( )
d
cắt
Oy
tại điểm có hoành độ bằng
1−
nên
( )
d
đi qua điểm
( )
2; 0−
Từ đó tìm được:
55
:5
22
a dy x=⇒=+
b) Gọi
( )
:d y ax b
= +
, với
,ab
là hằng số
Thay tọa độ điểm
,AB
vào
( )
d
ta được:
34
: 47
27
ab a
dy x
ab b
+=− =

⇒ ⇒=−

+=−

9
Bài 5: Tìm các số
a
và
b
để đường thẳng
:d y ax b= +
a) Cắt
1
: 36dy x= −
tại một điểm nằm trên trục
Ox
và cắt
2
; 21dy x= −
tại một điểm nằm trên
trục
Oy
b) Đi qua hai điểm
,IK
với
( ) ( )
1; 2 , 4; 2IK−
Lời giải
a) Tìm được đường thẳng
( )
1
:1
2
dy x= −
b) Tìm được đường thẳng
4 10
:
33
dy x= −
Bài 6: Cho hai đường thẳng
( )
1
: 21dy x= +
và
( )
2
:1d yx= +
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng
( )
1
d
và
( )
2
d
cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm I của
chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Lập phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua I và song song song với đường thẳng
41yx=−+
c) Lập phương trình đường thẳng
( )
'd
đi qua I và song song với đường thẳng
1
9
2
yx= +
Lời giải
a) Nhận xét rằng đường thẳng
( )
1
d
có
11
2; 1
ab= =
và đường thẳng
( )
2
d
có
22
1; 1ab= =
( ) (
)
1 21 2 1 2
;a a b b d d I Oy
⇒≠ =⇒ ∩ =∈
Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ
( )
0
0;Iy
, vì
( )
1
Id∈
hoặc
( )
2
d
, nên:
( )
00
2.0 1 1 0;1y yI= +⇔ =⇒
b) Đường thẳng
( )
d
song song với đường thẳng
41yx=−+
có phương trình
( )
:4d y xb=−+
Vì
( ) ( )
1 4.0 1 : 4 1I d b b dy x∈ ⇒=− +⇔ =⇒ =− +
c) Đường thẳng
(
)
'
d
song song với đường thẳng
1
9
2
yx= +
có phương trình
( ) ( )
1
': 9
2
d y x bb=+≠
. Vì
( ) ( )
11
' 1 .0 1 ' : 1
22
Id bb dy x∈ ⇒= +⇔ =⇒ = +
*) Nhận xét: Trong lời giải của bài toán trên
- Ở câu a, dựa trên nhận xét
( ) ( )
12
;dd
cắt nhau tại
I
trên
Oy
nên ta giả sử
( )
0
0;Iy
10
Trong trường hợp tổng quát, với hai đường thẳng:
( ) ( )
(
)
1 1 1 2 2 21 2
: ;:d y axbd y axba a=+ =+≠
Ta giả sử tọa độ giao điểm
( )
0
0;Iy
, rồi nhận xét
( ) ( )
( ) (
)
1 0 10 1
21
10 1 20 0
12
2 0 20 2
1
2
I d y ax b
bb
axbaxb x
aa
I d y ax b
∈ ⇒= +
−
⇒ + = +⇔ =
−
∈ ⇒= +
Thay
0
x
vào (1) hoặc (2) ta nhận được giá trị của
0
y
, từ đó suy ra tọa độ điểm I
Bài 7:
Cho đường thẳng
(
)
:6yx∆=+
. Lập phương trình đường thẳng
( )
d
song song với
∆
và
b) Đi qua điểm
( )
1; 2M
c) Khoảng cách từ
O
đến
( )
d
bằng
22
Lời giải
a) Đường thẳng
( )
d
song song với
( )
∆
có phương trình
( )
:
d y xb= +
Vì
( ) ( ) ( )
1; 2 2 1 1 : 1M d b b dyx∈ ⇒=+⇔=⇒ =+
b) Gọi
,AB
lần lượt là giao điểm của
( )
d
với
,OOy x
ta được:
- Với điểm
(
)
: 0 0 0;Ax y b b A b
=⇒ =+=⇒
- Với điểm
( )
: 0 0 ;0By x b x b B b= ⇒ = + ⇔ =−⇒ −
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
lên đường thẳng
( )
d
Trong tam giác
AOB
vuông tại
O
, ta có:
( )
222
22 2
2
.
1 11 .
22 4 4
2
bb b
OA OB
OH b b
OH OA OB
OA OB
bb
−
= + ⇔ = ⇔ = = ⇔ =⇔=±
+
+−
Khi đó :
- Với
( )
3
4:4b d yx=⇒=+
- Với
( )
4
4 :4b d yx=−⇒ = −
Vậy tồn tại hai đường thẳng
( )
3
d
và
( )
4
d
thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài 8:
Cho họ đường thẳng
( )
m
d
có phương trình:
( )
11
:
2323
m
mm
dy x
mm
−+
=−+
−−
11
1) Xác định m để:
a)
( )
m
d
đi qua
(
)
2;1A
b)
( )
m
d
có hướng đi lên (hàm số đồng biến)
c)
( )
m
d
song song với đường thẳng
(
)
: 2 12 0xy∆ −+=
2) Tìm điểm cố định mà họ
(
)
m
d
luôn đi qua.
Lời giải
Viết lại phương trình đường thẳng
( )
m
d
dưới dạng:
( ) ( ) ( )
: 1 2 3 10
m
d m x m ym− + − − −=
1) Ta lần lượt có:
a)
( )
m
d
đi qua
( )
2;1A
khi và chỉ khi:
( ) ( )
2 1 2 3 10 3 60 2m mm m m− + − − −= ⇔ − = ⇔ =
b)
( )
m
d
có hướng đi lên khi và chỉ khi nó có hệ số góc dương
1
10
3
2 30
11 3
2
00 1
23 23 2
10 1
2 30 3
2
m
m
m
m
mm
m
mm
mm
m
m
>
−>
<
−<
−−

⇔− >⇔ <⇔ ⇔ ⇔< <
−−
−< <

−>
>
c)
( )
m
d
song song với đường thẳng
(
)
11 5
: 2 12 0
2 32 4
m
xy m
m
−
∆ − + = ⇔− = ⇔ =
−
2) Giải sử
( )
00
;Mx y
là điểm cố định mà
( )
m
d
luôn đi qua, khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 00
1 2 3 10 2 1 3 10m x m y m m x y mx y m− + − − −=∀ ⇔ + − − − −=∀
00 0
00 0
2 10 5
3 10 2
xy x
xy y
+ −= =

⇔⇔

+ += =−

Vậy
( )
m
d
luôn đi qua điểm cố định.
Bài 9:
Gọi
( )
∆
là đường thẳng có phương trình
2
2
x
y = +
. Tồn tại duy nhất một đường thẳng
( )
'∆
đối
xứng với
( )
∆
qua trục hoành
Ox
. Tìm đường thẳng
( )
'∆
đó
Lời giải
12
(
)
∆
cắt trục
Ox
tại
( )
4; 0
M −
, cắt trục
Oy
tại
( )
0; 2N
Điểm đối xứng với điểm
N
qua
Ox
là
( )
' 0; 2N −
Suy ra đường thẳng
( )
'
∆
có tung độ gốc
2b = −
Phương trình đường thẳng
( )
'∆
có dạng
2y ax= −
Vì
( )
'∆
đi qua
( ) ( )
1
0 . 4 2 ': 2
22
x
Ma a y
−
⇔ = − − ⇔ =− ⇒∆ = −
13
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho các đường thẳng
( )
( )
( ) ( )
1 23 4
: 1;: ;: 5;:34
dy x dyxdy x dyx=−+ = =−+ = −
. Khẳng định nào
sau đây đúng
A)
( ) ( )
12
dd
⊥
B)
(
) (
)
13
//
dd
C)
( )
1
d
cắt
( )
4
d
D) Cả A, B, C đều đúng
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích: Ta có
-
( ) (
)
12
dd⊥
vì có
( )
. ' 1 .1 1aa
=−=−
-
( ) ( )
13
//
dd
vì có
'' 1aa= = −
và
( )
'' 1 5bb≠≠
-
( )
1
d
cắt
( )
4
d
vì có
( )
'' 1 3aa= −≠
Câu 2:
Với giá trị nào của m dưới đây thì hai đường thẳng
( ) (
)
1
:3 1d y mx
=−−
và
( )
2
: 42dy x=−+
cắt
nhau
A)
5m ≠
B)
7
m =
C)
6m
≠−
D)
7m ≠
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
Ta có :
( ) ( )
1
:3 1d y mx=−−
với
( )
3; 1a mb=−=−
và
( )
2
: 42dy x=−+
với
( )
' 4; ' 2ab=−=
Nếu
( )
1
d
cắt
( )
2
d
thì
'3 4 7aa m m≠ ⇔ − ≠− ⇔ ≠
Câu 3:
Cho hai đường thẳng
( )
1
1
:1
3
dy m x

= +


và
( )
2
1
:3
4
dy x
−
= +
. Với giá trị nào của m thì
( ) ( )
12
//dd
14
A)
15
4
m
−
=
B)
13
4
m
−
=
C)
11
3
m =
D)
14
5
m
=
Lời giải
Chọn đáp án A
Giải thích:
Ta có:
( )
1
1
:1
3
dy m x

= +


với
1
1; 0
3
a mb

= +=


và
( )
2
1
:3
4
dy x
−
= +
với
1
' ;' 3
4
ab

=−=


Nếu
( )
1
//d
( )
2
d
thì
'
1 1 15
1 4 12 3 4 15
'
34 4
bb
m m mm
aa
≠
−−
⇔ += ⇒ + =−⇔ =− ⇔ =

=
Vậy
15
4
m
−
=
thì
( ) ( )
12
//dd
Câu 4:
Cho hai đường thẳng
( )
1
: 58d y xm= ++
và
(
)
2
:2 1
d y xn= −+
. Khẳng định nào sau đây sai
A) Nếu
( ) ( )
12
//dd
thì
1; 7mn
=− ≠−
B) Nếu
( )
1
d
cắt
( )
2
d
thì
1m
≠−
và
5m >−
C) Nếu
( ) (
)
12
dd
≡
thì
1; 7mn=−=−
D) Nếu
(
) (
)
12
dd⊥
thì
79
16
m
= −
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
Ta có :
( )
( )
1
: 5 8 5; 8dy mx a m b= ++ = + =
và
( ) ( )
2
: 2 1 2; 1d y xn a b n= − + = =−+
A) Ta có:
(
) ( )
12
1
52
//
7
81
m
m
dd
n
n
= −
+=
⇔⇔

≠−
≠− +
B) Ta có:
( )
1
d
cắt
( )
2
d
khi và chỉ khi
( )
5 2 11mm+≠⇔ ≠
Đồng thời để
( )
1
d
là hàm bậc nhất khi và chỉ khi
( )
5 0 52mm+ > ⇔ >−
Từ
( )( )
12 5m⇒ >−
và
1m ≠
15
C) Ta có
( ) ( )
12
1
52
7
81
m
m
dd
n
n
= −
+=
≡⇔ ⇔

= −
=−+
D) Ta có
( )
( )
12
1
.'15.215
2
d d aa m m⊥ ⇔ =−⇔ + =−⇔ + =−
(vô lý). Vậy không tồn tại m.
Câu 5:
Tọa độ giao điểm
M
của hai đường thẳng
( )
1
: 35dy x=−+
và
( )
2
:4d yx= +
là
A)
1
0;
2
M
−



B)
1 13
;
34
M



C)
1 17
;
47
M



D)
13
2;
17
M

−


Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của
( )
1
d
và
( )
2
d
là:
1 17
35 4
44
xx x y− +=+⇔ = ⇒ =
Vậy
1 17
;
47
M



Câu 6:
Tọa độ giao điểm
N
của hai đường thẳng
( )
1
12
:
43
dy x= +
và
( )
2
2
:1
3
dy x= −
là
A)
3
4;
5
N

−


B)
5
4;
3
N



C)
4
;5
5
N

−


D)
1
2;
3
N

−


Lời giải
Chọn đáp án B
Giải thích:
Ta có:
( )
( )
1
12
:1
43
dy x= +
và
( ) ( )
2
2
: 12
3
dy x= −
Từ
( )( )
1 22
12 1 4
4 33
x xx⇒ + = −⇔ =
16
Thay
4
x =
vào
( )
1
ta được:
1 25 5
.4 4;
4 33 3
yN

= +=⇒


Câu 7:
Cho ba đường thẳng
( ) ( ) ( )
12 3
: 3 ; : 8; : 2 10d y xd y x d y x= =−+ =− +
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A)
( )
( )
(
)
123
,,ddd
cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
B)
( ) ( ) ( )
123
,,dd d
cắt nhau tại một điểm
C)
(
)
(
)
( )
123
// //ddd
D) A đúng; B và C sai
Lời giải
Chọn đáp án B
Giải thích:
Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm
A
của
( )
1
d
và
( )
2
d
Bước 2: Xét xem tọa độ
A
có nghiệm đúng phương trình
( )
3
d
hay không. Nếu tọa độ
A
nghiệm đúng của
( )
3
d
thì
( )
3
d
đi qua
A
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 3
: 3 1 ; : 8 2 ; : 2 10 3dy x dy x dy x= =−+ =− +
Tức là
( ) (
)
( )
123
,,
ddd
đồng quy tại
A
Gọi
A
là giao điểm của
( )
1
d
và
( )
2
d
Từ
( )( )
12 3 8 2xx x⇒ =−+ ⇔ =
Thay
2x =
vào
( )
1
ta được
3.2 6y = =
Vậy tọa độ điểm
(
)( )
2; 6 *A
Gọi
B
là giao điểm của
( )
2
d
và
( )
3
d
Từ
( )( )
2 3 8 2 10 2xxx⇒− + =− + ⇔ =
Thay
2x =
vào
( )
2
ta được:
( )
2 8 6 **y =−+ =
Từ
( ) ( )
* , ** AB⇒≡
Vậy
(
) ( )
( )
123
,,ddd
đồng quy tại
A
17
Câu 8:
Với giá trị nào của m dưới đây thì đường thẳng
( )
( )
12
13
:3 ; :2
24
dy x d y x=+=+
( ) ( )
3
: 44dym x=−+
đồng quy tại một điểm.
A)
7m = −
B)
8m =
C)
8m = −
D)
7
4
m = −
Lời giải
Chọn đáp án A
Giải thích: Ta có:
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
( )
12 3
13
: 3 1; : 2 2; : 4 4 3
24
dy x d y x dym x=+ =+ =−+
Gọi
M
là giao điểm của
( )
1
d
và
( )
2
d
Từ
( )(
)
1 3 3 1 1 5 15
12 3 2 ;
2 4 4 2 4 4 44
xxx yM

⇒ += +⇔=−=⇒=⇒


Vì
(
) ( )
(
)
123
,,ddd
đồng quy tại một điểm nên
M
thuộc
( )
3
d
Do đó tọa độ điểm
M
nghiệm đúng phương trình
(
)
3
d
, từ
( ) (
)
51
3 4. 4 7
44
mm⇒ = − +⇔ =−
Câu 9:
Để hai đường thẳng
( )
21 2ykx=++
và
4
1
5
yx
−
= +
song song với nhau thì giá trị cần tìm của k
là số nào?
A)
0, 6k = −
B)
0, 7k
= −
C)
0,8k = −
D)
0,9k = −
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
Đường thẳng
( )
21 2ykx=++
song song với đường thẳng
4
1
5
yx
−
= +
khi và chỉ khi:
4 49 9
2 1 2 1 0.9
5 5 5 10
kk k
−
+=− ⇔ =− −=− ⇔ = =−
18
Câu 10:
Cho hàm số
( )
32 4y ax=−+
có đồ thị là đường thẳng
(
)
d
và hàm số
8yx=−+
có đồ thị là
đường thẳng
( )
∆
cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng
2−
, giá trị của
a
là số nào?
A)
2
a
=
B)
2a = −
C)
3
a =
D)
3a
= −
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Thay
2x = −
vào
8yx=−+
ta được
10y =
Thay
2x = −
vào
( )
32 4y ax=−+
ta được
( ) ( )
10 3 2 . 2 4 3aa= − − +⇔=
Câu 11:
Hai đường thẳng
4
22
3
yx=−+
và
5
1
2
yx
= −
cắt nhau tại điểm nào?
A)
( )
6;14A −
B)
( )
6; 14B
−
C)
( )
6; 14C −
D)
( )
6;14D
Lời giải
Chọn đáp án D
Giải thích:
Ta có khi hai đường thẳng
4
22
3
yx=−+
và
5
1
2
yx= −
cắt nhau tại giao điểm, ta có:
45
22 1 6
32
x xx− + = −⇔ =
Thay
6x
=
vào
5
1
2
yx= −
ta được:
14y =
Vậy
4
22
3
yx=−+
cắt
5
1
2
yx= −
tại điểm
( )
6;14D
Câu 12:
Để hai đường thẳng
( )
15ya x=+−
và
23yx=−+
cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 7 thì giá trị
thích hợp của số
a
là?
19
A)
3a = −
B)
5
a = −
C)
7a = −
D)
9
a = −
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích:
Nếu tung độ của giao điểm là
7y =
thì hoành độ giao điểm sẽ thỏa mãn phương trình:
7 23 2xx=− +⇔ =−
Thay
2x = −
vào
( )
15ya x=+−
ta được:
7a
= −
Câu 13:
Gọi
( )
d
là đồ thị của hàm số
3
3
2
yx= +
tồn tại duy nhất một đường thẳng
(
)
'
d
đối xứng với
( )
d
qua trục tung
Oy
.
( )
'd
là đường thẳng nào?
A)
3
3
2
yx=−+
B)
3
3
2
yx=−−
C)
2
3
3
yx
=−+
D)
2
3
3
yx=−−
Lời giải
Chọn đáp án A
Giải thích:
Đường thẳng
( )
'd
đối xứng với đường thẳng
( )
d
qua trục
Oy
nên có cùng tung độ gốc với
( )
d
. Vậy phương trình
( )
'd
dạng
3
y ax= +
Đường thẳng
( )
d
cắt trục
Ox
tại
( )
2; 0A −
. Điểm đối xứng của
A
qua trục tung là
( )
' 2; 0A
Đường thẳng
( )
'd
đi qua
',A
nên ta có:
3
0 .2 3
2
aa
−
= +⇔ =
Vậy phương trình
( )
3
': 3
2
dy x=−+
Câu 14:
Hai đường thẳng
1
4
2
yx=−+
và
2yx= −
cắt nhau tại
A
. Cắt trục tung
Oy
lần lượt tại
B
và
C
. Giả sử mỗi độ chia trên mỗi trục tọa độ là
( )
1 cm
thì diện tích của tam giác
ABC
là số nào?
20
A)
(
)
2
19
cm
B)
( )
2
11 cm
C)
( )
2
12 cm
D)
( )
2
13 cm
Lời giải
Chọn đáp án C
Giải thích: Ta có
Đường thẳng
1
4
2
yx
=−+
cắt trục
Oy
tại
(
)
0; 4B
, đường thẳng
2yx= −
cắt trục
Oy
tại
( )
0; 2C −
. Khi đó
( )
6BC cm=
Hai đường thẳng
1
4
2
yx=−+
và
2yx= −
cắt nhau tại
( )
(
)
4; 2 4
A AH cm⇒=
(độ dài
AH
bằng
hoành độ giao điểm của
A
)
Diện tích tam giác
ABC
là:
( )
2
11
. .6.4 12
22
ABC
S BC AH cm= = =
.
21
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho các đường thẳng
12
( ) : (2 1) (2 3); ( ) : ( 1)d y m x m d y m xm= +− + =−+
. Tìm m để
a)
( )
1
d
cắt
( )
2
d
b)
(
)
(
)
12
//
dd
c)
( ) ( )
12
dd≡
d)
(
)
(
)
12
dd⊥
Hướng dẫn giải
a)
( )
1
d
cắt
( )
2
d
khi và chỉ khi
2m ≠−
b)
( ) ( )
12
// 2
dd m⇔=−
c) Không tồn tại
m
để
( ) ( )
12
dd≡
d)
( ) ( )
12
0
1
2
m
dd
m
=
⊥⇔
=
Bài 2:
Cho đường thẳng
( )
2
:21d y m mx m= + ++
(m là tham số). Tìm m để
a)
(
)
d
song song với
( )
1
: 62dy m x=+−
b)
( )
d
vuông góc với
2
1
:3
3
dy x
−
= −
c)
( )
d
trùng với
2
3
:1d y mx=−+
d)
( )
d
đi qua giao điểm của các đường thẳng
( )
4
: 23dyx= −
và
( )
5
: 38dy x
=−−
Hướng dẫn giải
a)
( )
d
song song với
( )
1
: 62dy m x=+−
khivà chỉ khi
2m =
b)
( )
d
vuông góc với
2
1
:3
3
dy x
−
= −
khi và chỉ khi
3
m = −
và
1m =
c)
( )
d
trùng với
2
3
:1
d y mx=−+
khi và chỉ khi
0m =
(
1m = −
loại vì khi đó
3
//dd
)
d) Ta có
( )
3
d
cắt
( )
4
d
tại
( )
1; 5I −−
, thay tọa độ điểm
I
vào
( )
d
tìm được
3m = −
hoặc
2m =
Bài 3:
Viết phương trình đường thẳng d trrong các trường hợp sau
22
a)
( )
d
đi qua
( )
1; 2M −
và song song với
1
:21
dx y
+=
b)
( )
d
cắt đường thẳng
2
: 10dxy− +=
tại điểm có tung độ bằng 2 và vuông góc với đường
thẳng
3
:3dy x= −
c)
(
)
d
đi qua gốc tọa độ và giao điểm của hai đường thẳng
45
; 4 3, : 3dy x d y x= − =−+
d)
( )
d
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và đi qua điểm
( )
2;3M
Hướng dẫn giải
a) Đưa
(
)
1
d
về dạng
(
)
1
11 13
:
22 22
dyx yx
−−
= +⇒= −
b)
( )
d
đi qua
(
)
1; 2A
và vuông góc với
( )
3
1
d yx
⇒=+
c)
(
)
d
đi qua
( )
0; 0O
và
69 3
;
55 2
B yx

⇒=


d)
( )
d
đi qua
( )
5; 0N
và
( )
2;3 5M yx⇒ =−+
Bài 4:
Cho các đường thẳng
12
( ): 2 ( 3);( ): (1 3 )d y mx m d y n x n= −+ =− +
a) Tìm điểm cố định mà
( )
1
d
luôn đi qua với mọi m
b) Gọi
I
là điểm cố định mà
( )
1
d
luôn đi qua. Tìm n để
( )
2
d
đi qua
I
c) Tìm m để
( )
1
d
đi qua điểm cố định của
(
)
2
d
d) Tìm m và n để
( )
1
d
và
( )
2
d
trùng nhau.
Hướng dẫn giải
a)
( )
1
d
luôn đi qua điểm cố định
1
;5
2
I

−


b) Thay tọa độ điểm
1
;5
2
I

−


vào
2
d
tìm được
11n =
c)
( )
2
d
luôn đi qua điểm cố định
11
;
33
K



, thay tọa độ điểm
11
;
33
K



vào
(
)
1
d
ta tìm được
16m = −
d) Tìm được
16; 11mn=−=
| 1/22
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A. Tóm tắt lý thuyết
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trường hợp 1: Cho hai đường thẳng (d : y = a x +b a ≠ 0 và (d : y = a x +b a ≠ 0 2 ) 2 2 ( 2 ) 1 ) 1 1 ( 1 ) Mối quan hệ Kí hiệu Điều kiện Cắt nhau (d ∩ d a ≠ a 1 ) ( 2) 1 2 Song song (d / / d a = a 1 ) ( 2) 1 2 b  ≠  b 1 2 Trùng nhau (d ≡ d a = a 1 ) ( 2) 1 2 b  =  b 1 2 Vuông góc (d ⊥ d a .a = 1 − 1 ) ( 2) 1 2
Trường hợp 2: Cho hai đường thẳng (d : a x +b y = c a ;b ;c ≠ 0 và 1 ) 1 1 1 ( 1 1 1 )
(d :a x +b y = c a ;b ;c ≠ 0 2 ) 2 2 2 ( 2 2 2 ) Mối quan hệ Kí hiệu Điều kiện Cắt nhau (d ∩ d a b 1 ) ( 2) 1 1 ≠ a b 2 2 Song song (d / / d a b c 1 ) ( 2) 1 1 1 = ≠ a b c 2 2 2 Trùng nhau (d ≡ d a b c 1 ) ( 2) 1 1 1 = = a b c 2 2 2 Vuông góc (d ⊥ d
a .a + b .b = 0 1 ) ( 2) 1 2 1 2  ≠ *) Chú ý: Khi a a 1
2 thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một b  =  b 1 2
điểm trên trục tung có tung độ bằng b (hay b' ).
2. Đường thẳng đi qua điểm cố định
Giả sử đường thẳng y = ax + b đi qua điểm cố định M (x ; y khi đó phương trình: y = ax + b 0 0 ) 0 0
nghiệm đúng với mọi a,b
3. Ba đường thẳng đồng quy 1
Cho ba đường thẳng: (d : y = a x +b ; d : y = a x +b ; d : y = a x +b 1 ) 1 1 ( 2 ) 2 2 ( 3 ) 3 3
Gọi M là giao điểm của d và d khi đó ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi d cũng đi 1 2 3 qua M .
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cách giải: Cho hai đường thẳng: (d ): y = ax +b và (d ') y = a'x +b'(a,a' ≠ 0) Khi đó ta có: a) (  = d ) (d ) a a ' / / ' ⇔ b   ≠ b ' b) (  = d ) ≡ (d ) a a ' ' ⇔ b   = b '
c) (d )∩(d ') ⇔ a ≠ a'
d) (d ) ⊥ (d ') ⇔ .aa' = 1 −
Bài 1: Hãy nhận xét về vị trí tương đối hai đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau
a) d : y = 2x −3 và d ': y = 2x +5 b) 2 1
d : y = x + và 3 1
d ': y = x − 3 4 2 4 c) − d : y = 2 − x +1 và 1
d ': y = x − 2 d) d :3y = −x +1 và 1 1 d ': y = x + 2 3 3 Lời giải
a) Ta có: d / /d ' vì a = a';b ≠ b'
b) Ta có: d cắt d ' vì a ≠ a'
c) Ta có: d ⊥ d ' vì .aa' = 1 −
d) Ta có: d ≡ d ' vì a = a';b = b' Bài 2: Cho các đường thẳng 4
d : y = 3x −1,d : y = −x,d : x + y +1 = 0,d : y = x + và 1 2 3 4 5 : = 3 + 7, : x d y x
d y = − 3. Trong các đường thẳng trên, hãy chi ra các cặp đường thẳng 5 6 3 a) Song song b) Vuông góc 2 Lời giải
a) Các cặp đường thẳng song song là: d / /d ;d / /d 1 5 2 3
b) Các cặp đường thẳng vuông góc là: d ⊥ d ;d ⊥ d 2 4 3 4 Bài 3:
Cho hai thẳng d : mx + (m − )
1 y − 2(m + 2) = 0 và d ':3mx −(3m + )
1 y − (5m + 4) = 0 . Tìm m để hai đường thẳng trên a) Song song b) Cắt nhau c) Vuông góc Lời giải a) Ta có: −m 2(m + 2) d + − : y = x + (m ≠ 1) và 3m 5m 4 1 d ': y = x − (m ≠ ) m −1 m −1 3m +1 3m +1 3 m = 0  m  3m  − 1  =  =  = ' m a a m−1 3m+1  3 1 d / /d ' ⇔  ⇔  ⇔  ⇒ m = b  ≠ b'
2(m + 2) −(5m + 4)  m ≠ 0 3 ≠  m −1 3m +1    13 m − ≠  11 m ≠ 0 b) ( −  − d ) và (d m m ') cắt nhau 3 1 1
⇔ a ≠ a ' ⇔ ≠ ⇔  1 ⇒ m ≠ 0;1; ; m −1 3m +1 m ≠ 3 3  3 c) ( − − d ) và (d m m ') vuông góc 3 1 ⇔ . a a ' = 1 − ⇔ . = 1 − ⇔ m = m −1 3m +1 2
Bài 4: Cho thẳng d y = ( 2 :
m − 2) x + m −1 với m là tham số. Tìm m để:
a) (d ) song song với (d : y = 2x −3 1 )
b) (d ) trùng với (d : y = −x − 2 2 )
c) (d ) cắt (d : y = 3x − 2 tại điểm có hoành độ x = 1 − 3 )
d) (d ) vuông góc với ( 4 1
d : y = x − 4 ) 5 2 Lời giải 2 a) m − 2 = 2 d / /d ⇔  ⇔ m = 2 1 m −1 ≠ 3 − 3 2 b) m − 2 = 1 − d ≡ d ⇔  ⇔ m = 1 − 2 m −1 = 2 − c) Thay x = 1
− vào (d ta được: y = 5 − 3 ) Thay x = 1 − và y = 5
− vào (d ) ta được: m = 2
− và m = 3 (thỏa mãn) d) (d ) (d ) ( 2 4 3 m 2 . 1 m ± ⊥ ⇔ − = − ⇔ = 4 ) 5 2
Bài 5: Cho các đường thẳng (d ): y = (m −3) x + 4m −1;(d ): y = 5mx − 2 +3 ; m (d ) 2 : y = 2
− m x + 2m − 4 1 2 và 1 3 1
d : y = x + ,d : y = 3m − 4 x + 5 . Tìm m để: 3 4 ( ) 2 2 2
a) (d ) song song với (d
b) (d ) trùng với (d 2 ) 1 )
c) (d ) cắt (d tại điểm K có 1
y = d) (d ) vuông góc với (d 4 ) 3 ) K 2 Lời giải
a) (d ) song song với ( 3 d m − ⇔ = 1 ) 4 b) (d ) trùng với ( 3 d m − ⇔ = 2 ) 2
c) (d ) cắt (d tại điểm K có 1 9 y m − = ⇔ = 3 ) K 2 4 m = 2
d) (d ) vuông góc với (d  ⇔ 4 ) 7 m =  3 Bài 6:
Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d 2m
: y = m − 2 x + m − 2 và (d : y =
x + m +1 cắt nhau 2 ) 1 ) ( ) 3 tại M ( 3 − ; 2 − ) Lời giải 4  2 − = (m − 2).( 3 − ) + m − 2 Do ( 
d ∩ d = M nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 1 ) ( 2)  2  2 m − = .( 3 − ) + m +1  3  2 − m + 6 = 0 ⇔  ⇔ m = 3 −m = 3 −
Vậy m = 3 thì (d ∩ d = M 3 − ; 2 − 1 ) ( 2) ( ) Bài 7:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (d : y = mx + m + 2 và (d : y = m + 3 x − m + 4 2 ) ( ) 1 )
cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 2 Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: m ≠ m + 3 ⇔ 0 ≠ 3 (luôn đúng) (1) Giả sử M (x
là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó: M ;2)  ( x M x ∈ d  =  m x + m + mx + m = − = M ) ( M 1 ;2 2 . M 2 M 0 1 )   ⇒  ⇔  ⇔  M  ( x ∈ d  = m + x − m +   m + x − m + =  m = − M ;2) ( 1 2 2 3 . M 4 3 . M 2 0 2 ) ( ) ( ) ( )  2 Từ ( )( ) 1 1 2 ⇒ m = − 2 Bài 8:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (d : y = m +1 x + m + 3 và 1 ) ( )
(d : y = 2m +1 x − m +3 cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư thứ I 2 ) ( ) Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: m +1≠ 2m +1⇔ m ≠ 0 ( ) 1
Giả sử M (x y là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó: M ; M )
M (x y ∈ d
y = m + x + m + M ; M ) ( M 1 M 3 1 ) ( )  ⇒  ⇒ ( + ) m = loai
m 1 x + m + = m + x − m + ⇔ M 3 (2 ) 0( ) M  ( x y ∈ d
y = m + x − m  +  x = M ; M ) ( 1 M 3 M 2 1 M 3 M 2 2 ) ( )
Với x = ⇒ y = m +
+ m + = m + ⇒ M m + M 2 M ( )1.2 3 3 5 (2;3 5) Để điểm 2 > 0
M (2;3m + 5) thuộc góc phần tư thứ nhất thì 5  ⇒ m > − (2) 3  m + 5 > 0 3 5 Từ ( )( ) 5
1 2 ⇒ − < m ≠ 0 3 Bài 9:
Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (d : y = mx +1 và (d : y = 2x + 3 cắt nhau tại 2 ) 1 )
điểm có tọa độ nguyên Lời giải
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: m ≠ 2( ) 1
Giả sử M (x y là giao điểm của hai đường thẳng, khi đó: M ; M )
M (x y ∈ d M ; M ) ( 1) y = mx + M M 1 2 −  ⇒  ⇒ + = + ⇔ = M  ( mx x x x y ∈ dy = x + m M ; M ) ( M 1 2 M 3 M 2 M 3 M 2 ) Với 2 −  2 −   2 x y m   M −  = ⇒ = + = − ⇒ − M M . 1 1  ; 1 m m m       2 −  ∈ Để điểm  2 Z − M − ; 1 − 2 
có tọa độ nguyên thì  m ⇔
∈ Z ⇒ m∈U ⇒ m = 2 − ; 1; − 1;2 2 2 { } ( ) m    ( )  1 m − ∈ Z Từ ( ) 1 (2) ⇒ m = { 2 − ; 1; − } 1 6
Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng
Cách giải: Để xác định phương trình đường thẳng ta thường làm như sau
Bước 1: gọi (d ): y = ax + b là phương trình đường thẳng cần tìm (a, b là hằng số)
Bước 2: Từ giả thiết của đề bài, tìm được a, b từ đó đi đến kết luận.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau a) ( −
d ) đi qua M ( 2; 1
− 5) và vuông góc với (d y = x + 2 1 ) 2
b) (d ) song song với đường thẳng (d : y = 3
− x + 4 và đi qua giao điểm hai đường thẳng 1 ) (d : y 7
= 2x − 3 và (d : y = 3x − 3 ) 2 ) 2
c) (d ) đi qua hai điểm M ( 2; − 7) và N (1;2) Lời giải
Gọi (d ): y = ax + b với a,b là hằng số
a) Ta có: d ⊥ d ⇒ a = 2 , d đi qua M ⇒ 2
− a + b = 5 ⇒ b = 9 ⇒ y = 2x + 9 1 b) d 1 1 / /d ⇒ a = 3 − ;b ≠ 4 ; 1 d d I  ; 2 ≡
− , vì d đi qua I nên: a + b = 2
− ⇒ (d ): y = 3 − x − 1 2 3 2    2 2 2 c) ( − a + b = −
d ) đi qua hai điểm M ( 2; − 7) và N ( ) 2 7 5 11 1;2 ⇒  ⇒ y = x + a + b = 2 3 3
Bài 2: Xác định hàm số y = ax +b , biết rằng a) Khi a = 2
− đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 b) Khi a = 4
− đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2; − 2)
c) (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trụ hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 −
d) (d ) đi qua 2 điểm A(1; 3 − ) và B(2; ) 1 Lời giải a) Thay a = 2;
− y = 2 vào y = ax + b ta được: b = 2 ⇒ y = 2 − x + 2 b) Với a = 4 − ta được y = 4 − x + b 7 Thay x = 4;
− y = 2 ta được b = 6
c) Vì (d ) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên (d ) đi qua điểm (0;5) từ đó tìm được b = 5
Tương tự (d ) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 1
− nên (d ) đi qua điểm ( 2; − 0) từ đó tìm được 5 5
a = ⇒ y = x + 5 2 2
Bài 3: Cho đường thẳng d : y = ax +b (a, b là hằng số). Tìm a và b biết:
a) (d ) đi qua điểm A nằm trên Ox có hoành độ bằng 1
− và song song với đường thẳng
(d : x + y + 2 = 0 1 ) b) ( −
d ) vuông góc với đường thẳng 1 d : y =
x + 2017 và đi qua giao điểm của d y = x − với 2 : 2 3 3 trục tung Lời giải
a) Tìm được (d ): y = −x −1
b) Tìm được (d ): y = 3x − 2
Bài 4: Cho đường thẳng d : y = ax +b (a, b là hằng số). Tìm a và b biết:
a) (d ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 −
b) (d ) đi qua hai điểm A và B với A(1; 3 − ) và B(2; ) 1 Lời giải
a) Gọi (d ): y = ax + b , với a,b là hằng số
Vì (d ) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên (d ) đi qua điểm (0;5) ⇒ b = 5
Tương tự (d ) cắt Oy tại điểm có hoành độ bằng 1
− nên (d ) đi qua điểm ( 2; − 0) Từ đó tìm được: 5 5
a = ⇒ d : y = x + 5 2 2
b) Gọi (d ): y = ax + b , với a,b là hằng số Thay tọa độ điểm a + b = − a = ,
A B vào (d ) ta được: 3 4  ⇒ 
⇒ d : y = 4x − 7 2a + b b  = 7 − 8
Bài 5: Tìm các số a và b để đường thẳng d : y = ax +b
a) Cắt d : y = 3x − 6 tại một điểm nằm trên trục Ox và cắt d ; y = 2x −1 tại một điểm nằm trên 1 2 trục Oy
b) Đi qua hai điểm I, K với I (1; 2 − ), K (4;2) Lời giải
a) Tìm được đường thẳng (d ) 1 : y = x −1 2
b) Tìm được đường thẳng 4 10
d : y = x − 3 3
Bài 6: Cho hai đường thẳng (d : y = 2x +1 và (d : y = x +1 2 ) 1 )
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d và (d cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm I của 2 ) 1 )
chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Lập phương trình đường thẳng (d ) đi qua I và song song song với đường thẳng y = 4 − x +1
c) Lập phương trình đường thẳng (d ') đi qua I và song song với đường thẳng 1 y = x + 9 2 Lời giải
a) Nhận xét rằng đường thẳng (d có a = 2;b =1 và đường thẳng (d có a =1;b =1 2 ) 1 ) 1 1 2 2
⇒ a ≠ a ;b = b ⇒ d ∩ d = I ∈Oy 1 2 1 2 ( 1) ( 2)
Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ I (0; y , vì I ∈(d hoặc (d , nên: 2 ) 1 ) 0 )
y = 2.0 +1 ⇔ y =1⇒ I 0;1 0 0 ( )
b) Đường thẳng (d ) song song với đường thẳng y = 4
− x +1 có phương trình (d ): y = 4 − x + b
Vì I ∈(d ) ⇒1= 4.0 −
+ b ⇔ b =1⇒ (d ): y = 4 − x +1
c) Đường thẳng (d ') song song với đường thẳng 1
y = x + 9 có phương trình 2 (d ) 1
' : y = x + b(b ≠ 9) . Vì I ∈(d ) 1 ⇒ =
+ b ⇔ b = ⇒ (d ) 1 ' 1 .0 1 ' : y = x +1 2 2 2
*) Nhận xét: Trong lời giải của bài toán trên
- Ở câu a, dựa trên nhận xét (d ; d cắt nhau tại I trên Oy nên ta giả sử I (0; y 0 ) 1 ) ( 2 ) 9
Trong trường hợp tổng quát, với hai đường thẳng: (d : y = a x +b ; d : y = a x +b a ≠ a 1 ) 1 1 ( 2 ) 2 2 ( 1 2 )
Ta giả sử tọa độ giao điểm I (0; y , rồi nhận xét 0 )
I ∈(d ⇒ y = a x + b 1  1 ) 0 1 0 1 ( )  b − b 2 1  ⇒ + = + ⇔ = I ∈( a x b a x b x
d ⇒ y = a x + b 2  a − a 2 ) 0 2 0 2 ( ) 1 0 1 2 0 0  1 2
Thay x vào (1) hoặc (2) ta nhận được giá trị của y , từ đó suy ra tọa độ điểm I 0 0 Bài 7:
Cho đường thẳng (∆): y = x + 6. Lập phương trình đường thẳng (d ) song song với ∆ và
b) Đi qua điểm M (1;2)
c) Khoảng cách từ O đến (d ) bằng 2 2 Lời giải
a) Đường thẳng (d ) song song với (∆) có phương trình (d ): y = x +b
Vì M (1;2)∈(d ) ⇒ 2 =1+b ⇔ b =1⇒ (d ): y = x +1 b) Gọi ,
A B lần lượt là giao điểm của (d ) với Oy,O x ta được:
- Với điểm A: x = 0 ⇒ y = 0 + b = b ⇒ A(0;b)
- Với điểm B : y = 0 ⇒ 0 = x + b ⇔ x = b − ⇒ B(− ;0 b )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d )
Trong tam giác AOB vuông tại O , ta có: 1 1 1 . OAOB b . b − b = + ⇔ OH = ⇔ 2 2 = =
⇔ b = 4 ⇔ b = 4 ± 2 2 2 2 2 OH OA OB OA + OB b + ( b − )2 2 2 Khi đó :
- Với b = 4 ⇒ (d : y = x + 4 3 ) - Với b = 4
− ⇒ (d : y = x − 4 4 )
Vậy tồn tại hai đường thẳng (d và (d thỏa mãn điều kiện đầu bài. 4 ) 3 ) Bài 8: Cho họ đường thẳng ( − +
d có phương trình: ( m m d y = − x + m ) 1 1 : m ) 2m − 3 2m − 3 10 1) Xác định m để:
a) (d đi qua A(2; ) 1 m )
b) (d có hướng đi lên (hàm số đồng biến) m )
c) (d song song với đường thẳng (∆): x − 2y +12 = 0 m )
2) Tìm điểm cố định mà họ (d luôn đi qua. m ) Lời giải
Viết lại phương trình đường thẳng (d dưới dạng: (d
m − x + m − y − m − = m ) : ( )1 (2 3) 1 0 m ) 1) Ta lần lượt có:
a) (d đi qua A(2; )
1 khi và chỉ khi: 2(m − )
1 + (2m −3) − m −1 = 0 ⇔ 3m − 6 = 0 ⇔ m = 2 m )
b) (d có hướng đi lên khi và chỉ khi nó có hệ số góc dương m ) m >1 m −1 > 0  3   − −  − < m < m 1 m 1 2m 3 0  2 3 ⇔ − > 0 ⇔ < 0 ⇔ ⇔ ⇔ − −   1< m < 2m 3 2m 3 m −1< 0 m <1 2     2m −3 > 0  3 m >  2 c) ( −
d song song với đường thẳng (∆) m 1 1 5
: x − 2y +12 = 0 ⇔ − = ⇔ m = m ) 2m − 3 2 4
2) Giải sử M (x ; y là điểm cố định mà (d luôn đi qua, khi đó ta có: m ) 0 0 )
(m − )1 x + 2m −3 y − m −1= 0 m
∀ ⇔ x + 2y −1 m − x − 3y −1 = 0 m ∀ 0 ( ) 0 ( 0 0 ) 0 0
x + 2y −1 = 0 x = 5 0 0 0 ⇔  ⇔ x 3y 1 0  + + = y = 2 −  0 0 0
Vậy (d luôn đi qua điểm cố định. m ) Bài 9: Gọi ( x
∆) là đường thẳng có phương trình y = + 2 . Tồn tại duy nhất một đường thẳng (∆') đối 2
xứng với (∆) qua trục hoành Ox . Tìm đường thẳng (∆') đó Lời giải 11
(∆) cắt trục Ox tại M ( 4;
− 0), cắt trục Oy tại N (0;2)
Điểm đối xứng với điểm N qua Ox là N '(0; 2 − )
Suy ra đường thẳng (∆') có tung độ gốc b = 2 −
Phương trình đường thẳng (∆') có dạng y = ax − 2 Vì ( 1 x ∆ ') đi qua M 0 . a ( 4) 2 a ( '): y − ⇔ = − − ⇔ = − ⇒ ∆ = − 2 2 2 12
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Cho các đường thẳng (d : y = −x +1; d : y = ;x d : y = −x +5; d : y = 3x − 4 . Khẳng định nào 1 ) ( 2) ( 3) ( 4) sau đây đúng A) (d ⊥ d B) (d / / d 1 ) ( 3) 1 ) ( 2)
C) (d cắt (d D) Cả A, B, C đều đúng 4 ) 1 ) Lời giải Chọn đáp án D
Giải thích: Ta có
- (d ⊥ d vì có .aa' = (− ) 1 .1 = 1 − 1 ) ( 2)
- (d / / d vì có a = a'' = 1
− và b ≠ b' (1 ≠ 5) 1 ) ( 3)
- (d cắt (d vì có a = a' ( 1 − ≠ 3) 4 ) 1 ) Câu 2:
Với giá trị nào của m dưới đây thì hai đường thẳng (d : y = 3− m x −1 và (d : y = 4 − x + 2 cắt 2 ) 1 ) ( ) nhau A) m ≠ 5 B) m = 7 C) m ≠ 6 − D) m ≠ 7 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích:
Ta có : (d : y = 3− m x −1 với (a = 3− ; m b = − ) 1 và (d : y = 4
− x + 2 với (a ' = 4; − b' = 2) 2 ) 1 ) ( )
Nếu (d cắt (d thì a ≠ a' ⇔ 3− m ≠ 4 − ⇔ m ≠ 7 2 ) 1 ) Câu 3: Cho hai đường thẳng (  1 − d : y m 1 = + 1 
x và (d : y =
x + 3. Với giá trị nào của m thì 2 ) 1 )  3  4 (d / / d 1 ) ( 2) 13 A) 15 m − = B) 13 m − = 4 4 C) 11 m = D) 14 m = 3 5 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: (  1 − d : y m 1 = +   1     x với 1
a = m +1;b =  0 và (d : y = x + 3 với 1 a ' = − ;b' =  3 2 ) 1 )    3   3  4  4  Nếu ( b  ≠ b d / / (d thì ' 1 1 − 15  ⇔  m − +1 = ⇒ 4m +12 = 3 − ⇔ 4m = 15 − ⇔ m = 2 ) 1 ) a = a ' 3 4 4 Vậy 15 m − = thì (d / / d 1 ) ( 2) 4 Câu 4:
Cho hai đường thẳng (d : y = x m +5 +8 và (d : y = 2x − n +1. Khẳng định nào sau đây sai 2 ) 1 )
A) Nếu (d / / d thì m = 1; − n ≠ 7 − 1 ) ( 2)
B) Nếu (d cắt (d thì m ≠ 1 − và m > 5 − 2 ) 1 )
C) Nếu (d ≡ d thì m = 1; − n = 7 − 1 ) ( 2)
D) Nếu (d ⊥ d thì 79 m = − 1 ) ( 2) 16 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích:
Ta có : (d : y = m +5x +8 a = m +5;b = 8 và (d : y = 2x − n +1 a = 2;b = −n +1 2 ) ( ) 1 ) ( ) A) Ta có: (  m + 5 = 2 m = 1 − d / / d ⇔  ⇔ 1 ) ( 2)  8  ≠ −n +1 n ≠ 7 −
B) Ta có: (d cắt (d khi và chỉ khi m +5 ≠ 2 ⇔ m ≠1( ) 1 2 ) 1 )
Đồng thời để (d là hàm bậc nhất khi và chỉ khi m + 5 > 0 ⇔ m > 5 − (2) 1 ) Từ ( ) 1 (2) ⇒ m > 5 − và m ≠ 1 14 C) Ta có (  m + 5 = 2 m = 1 − d ≡ d ⇔  ⇔ 1 ) ( 2)  8  = −n +1 n = 7 − D) Ta có ( 1 d ⊥ d ⇔ . a a ' = 1 − ⇔ m + 5.2 = 1
− ⇔ m + 5 = − (vô lý). Vậy không tồn tại m. 1 ) ( 2) 2 Câu 5:
Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng (d : y = 3
− x + 5 và (d : y = x + 4 là 2 ) 1 ) A)  1 M − 0;    B) 1 13 M  ; 2      3 4  C) 1 17 M  ;    D) 13 M  2; − 4 7      17  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d và (d là: 1 17 3
− x + 5 = x + 4 ⇔ x = ⇒ y = 2 ) 1 ) 4 4 Vậy 1 17 M  ;   4 7    Câu 6:
Tọa độ giao điểm N của hai đường thẳng ( 1 2
d : y = x + và ( 2
d : y = x −1 là 2 ) 1 ) 4 3 3 A) 3 N  4;  −   B) 5 N 4; 5      3  C) 4 N  ; 5 −   D) 1 N  2; − 5      3  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có: ( 1 2
d : y = x + 1 và ( 2
d : y = x −1 2 2 ) ( ) 1 ) ( ) 4 3 3 Từ ( )( ) 1 2 2
1 2 ⇒ x + = x −1 ⇔ x = 4 4 3 3 15 Thay x = 4 vào ( ) 1 ta được: 1 2 5 5 y .4 N 4;  = + = ⇒ 4 3 3 3    Câu 7:
Cho ba đường thẳng (d : y = 3 ;x d : y = −x +8; d : y = 2
− x +10 . Khẳng định nào sau đây 1 ) ( 2) ( 3) đúng?
A) (d , d , d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt 1 ) ( 2 ) ( 3 )
B) (d , d , d cắt nhau tại một điểm 1 ) ( 2 ) ( 3 )
C) (d / / d / / d 1 ) ( 2) ( 3) D) A đúng; B và C sai Lời giải Chọn đáp án B Giải thích:
Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A của (d và (d 2 ) 1 )
Bước 2: Xét xem tọa độ A có nghiệm đúng phương trình (d hay không. Nếu tọa độ A 3 )
nghiệm đúng của (d thì (d đi qua A 3 ) 3 )
Ta có: (d : y = 3x 1 ; d : y = −x +8 2 ; d : y = 2 − x +10 3 1 ) ( ) ( 2) ( ) ( 3) ( )
Tức là (d , d , d đồng quy tại A 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Gọi A là giao điểm của (d và (d 2 ) 1 ) Từ ( )
1 (2) ⇒ 3x = −x + 8 ⇔ x = 2 Thay x = 2 vào ( )
1 ta được y = 3.2 = 6
Vậy tọa độ điểm A(2;6)(*)
Gọi B là giao điểm của (d và (d 3 ) 2 )
Từ (2)(3) ⇒ −x +8 = 2
− x +10 ⇔ x = 2
Thay x = 2 vào (2) ta được: y = 2 − + 8 = 6(**)
Từ (*),(**) ⇒ A ≡ B
Vậy (d , d , d đồng quy tại A 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 16 Câu 8:
Với giá trị nào của m dưới đây thì đường thẳng ( 1 3
d : y = 3x + ; d : y = 2x + 1 ) ( 2) 2 4
(d : y = m − 4 x + 4 đồng quy tại một điểm. 3 ) ( ) A) m = 7 − B) m = 8 C) m = 8 − D) 7 m = − 4 Lời giải Chọn đáp án A
Giải thích: Ta có: ( 1 3
d : y = 3x +
1 ; d : y = 2x +
2 ; d : y = m − 4 x + 4 3 1 ) ( ) ( 2) ( ) ( 3) ( ) ( ) 2 4
Gọi M là giao điểm của (d và (d 2 ) 1 ) Từ ( )( ) 1 3 3 1 1 5 1 5 1 2 3x 2x x y M  ;  ⇒ + = + ⇔ = − = ⇒ = ⇒ 2 4 4 2 4 4 4 4   
Vì (d , d , d đồng quy tại một điểm nên M thuộc (d 3 ) 1 ) ( 2 ) ( 3 )
Do đó tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình (d , từ ( ) 5 ⇒ = (m − ) 1 3 4 . + 4 ⇔ m = 7 − 3 ) 4 4 Câu 9:
Để hai đường thẳng y − = (2k + ) 1 x + 2 và 4 y =
x +1 song song với nhau thì giá trị cần tìm của k 5 là số nào? A) k = 0, − 6 B) k = 0, − 7 C) k = 0, − 8 D) k = 0, − 9 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Đường thẳng y − = (2k + )
1 x + 2 song song với đường thẳng 4 y =
x +1 khi và chỉ khi: 5 4 4 9 9 2k 1 2k 1 k − + = − ⇔ = − − = − ⇔ = = 0.9 − 5 5 5 10 17 Câu 10:
Cho hàm số y = (3− 2a) x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d ) và hàm số y = −x +8 có đồ thị là
đường thẳng (∆) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2
− , giá trị của a là số nào? A) a = 2 B) a = 2 − C) a = 3 D) a = 3 − Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Thay x = 2
− vào y = −x + 8 ta được y =10 Thay x = 2
− vào y = (3− 2a) x + 4 ta được 10 = (3− 2a).( 2 − ) + 4 ⇔ a = 3 Câu 11: Hai đường thẳng 4
y = − x + 22 và 5
y = x −1 cắt nhau tại điểm nào? 3 2 A) A( 6; − 14) B) B(6; 1 − 4) C) C (6; 1 − 4) D) D(6;14) Lời giải Chọn đáp án D Giải thích:
Ta có khi hai đường thẳng 4
y = − x + 22 và 5
y = x −1 cắt nhau tại giao điểm, ta có: 3 2 4 5
− x + 22 = x −1 ⇔ x = 6 3 2 Thay x = 6 vào 5
y = x −1 ta được: y =14 2 Vậy 4
y = − x + 22 cắt 5
y = x −1 tại điểm D(6;14) 3 2 Câu 12:
Để hai đường thẳng y = (a + )
1 x − 5 và y = 2
− x + 3 cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 7 thì giá trị
thích hợp của số a là? 18 A) a = 3 − B) a = 5 − C) a = 7 − D) a = 9 − Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:
Nếu tung độ của giao điểm là y = 7 thì hoành độ giao điểm sẽ thỏa mãn phương trình: 7 = 2
− x + 3 ⇔ x = 2 − Thay x = 2
− vào y = (a + )
1 x − 5 ta được: a = 7 − Câu 13:
Gọi (d ) là đồ thị của hàm số 3
y = x + 3 tồn tại duy nhất một đường thẳng (d ') đối xứng với 2
(d) qua trục tung Oy . (d ') là đường thẳng nào? A) 3 y = − x + 3 B) 3 y = − x − 3 2 2 C) 2 y = − x + 3 D) 2 y = − x − 3 3 3 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích:
Đường thẳng (d ') đối xứng với đường thẳng (d ) qua trục Oy nên có cùng tung độ gốc với
(d ). Vậy phương trình (d ') dạng y = ax +3
Đường thẳng (d ) cắt trục Ox tại A( 2;
− 0) . Điểm đối xứng của A qua trục tung là A'(2;0)
Đường thẳng (d ') đi qua A', nên ta có: 3 0 .2 a 3 a − = + ⇔ = 2
Vậy phương trình (d ) 3
' : y = − x + 3 2 Câu 14: Hai đường thẳng 1
y = − x + 4 và y = x − 2 cắt nhau tại A . Cắt trục tung Oy lần lượt tại B và C 2
. Giả sử mỗi độ chia trên mỗi trục tọa độ là 1(cm) thì diện tích của tam giác ABC là số nào? 19 A) ( 2 19 cm ) B) ( 2 11 cm ) C) ( 2 12 cm ) D) ( 2 13 cm ) Lời giải Chọn đáp án C
Giải thích: Ta có Đường thẳng 1
y = − x + 4 cắt trục Oy tại B(0;4) , đường thẳng y = x − 2 cắt trục Oy tại 2 C (0; 2
− ). Khi đó BC = 6(cm) Hai đường thẳng 1
y = − x + 4 và y = x − 2 cắt nhau tại A(4;2) ⇒ AH = 4(cm) (độ dài AH bằng 2
hoành độ giao điểm của A )
Diện tích tam giác ABC là: 1 1 S = BC AH = = cm . ABC . .6.4 12( 2 ) 2 2 20
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:
Cho các đường thẳng (d ): y = (2m +1)x − (2m + 3);(d ): y = (m −1)x + m . Tìm m để 1 2
a) (d cắt (d b) (d / / d 1 ) ( 2) 2 ) 1 ) c) (d ≡ d d) (d ⊥ d 1 ) ( 2) 1 ) ( 2) Hướng dẫn giải
a) (d cắt (d khi và chỉ khi m ≠ 2 − 2 ) 1 )
b) (d / / d ⇔ m = 2 − 1 ) ( 2)
c) Không tồn tại m để (d ≡ d 1 ) ( 2) m = 0 d) (d d  ⊥ ⇔ 1 ) ( 2) 1 m =  2 Bài 2:
Cho đường thẳng d y = ( 2 :
m + 2m) x + m +1 (m là tham số). Tìm m để
a) (d ) song song với d : y = m + 6 x − 2 1 ( ) b) ( − d ) vuông góc với 1 d : y = x − 3 2 3 c) (d ) trùng với 2
d : y = −mx +1 3
d) (d ) đi qua giao điểm của các đường thẳng (d : y = 2x −3 và (d : y = 3 − x −8 5 ) 4 ) Hướng dẫn giải
a) (d ) song song với d : y = m + 6 x − 2 khivà chỉ khi m = 2 1 ( ) b) ( − d ) vuông góc với 1 d : y =
x − 3 khi và chỉ khi m = − và m = 2 3 1 3 c) (d ) trùng với 2
d : y = −mx +1 khi và chỉ khi m = 0 ( m = 1
− loại vì khi đó d / /d ) 3 3
d) Ta có (d cắt (d tại I ( 1; − 5
− ), thay tọa độ điểm I vào (d ) tìm được m = 3 − hoặc m = 2 4 ) 3 ) Bài 3:
Viết phương trình đường thẳng d trrong các trường hợp sau 21
a) (d ) đi qua M (1; 2
− ) và song song với d : x + 2y =1 1
b) (d ) cắt đường thẳng d : x − y +1= 0 tại điểm có tung độ bằng 2 và vuông góc với đường 2
thẳng d : y = 3− x 3
c) (d ) đi qua gốc tọa độ và giao điểm của hai đường thẳng d ; y = 4x −3,d : y = −x +3 4 5
d) (d ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và đi qua điểm M (2;3) Hướng dẫn giải a) Đưa ( − − d về dạng ( 1 1 1 3 d : y = x + ⇒ y = x − 1 ) 1 ) 2 2 2 2
b) (d ) đi qua A(1;2) và vuông góc với (d ⇒ y = x +1 3 )
c) (d ) đi qua O(0;0) và  6 9  3 B ; ⇒ y =   x  5 5  2
d) (d ) đi qua N (5;0) và M (2;3) ⇒ y = −x +5 Bài 4:
Cho các đường thẳng (d ): y = 2mx − (m + 3);(d ): y = (1−3n)x + n 1 2
a) Tìm điểm cố định mà (d luôn đi qua với mọi m 1 )
b) Gọi I là điểm cố định mà (d luôn đi qua. Tìm n để (d đi qua I 2 ) 1 )
c) Tìm m để (d đi qua điểm cố định của (d 2 ) 1 )
d) Tìm m và n để (d và (d trùng nhau. 2 ) 1 ) Hướng dẫn giải
a) (d luôn đi qua điểm cố định 1 I  ; 5 − 1 ) 2    b) Thay tọa độ điểm 1 I  ; 5 − 
vào d tìm được n =11 2    2
c) (d luôn đi qua điểm cố định 1 1 K  
 ;  , thay tọa độ điểm 1 1
K  ; vào (d ta tìm được 1 ) 2 ) 3 3      3 3  m = 16 − d) Tìm được m = 16 − ;n =11 22