Tài liệu toán. Đề 1- Hàm số liên tục (có đáp án)

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
THI ONLINE - HÀM SỐ LIÊN TỤC
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
Câu 1 [Q151383163] Hàm số sau đây có liên tục tại điểm x = 0 hay không? Tại sao? ⎧ ⎪ 4x2 − x ⎪ ⎪ , x ≠ 0 f(x) = ⎨ sin 6x − sin 3x . ⎪ ⎪ ⎩ 1 − , x = 0 3 ⎧ 1 − cos 2x
Câu 2 [Q899393884] Tìm m để hàm số f(x) = ⎨
, x ≠ 0 liên tục tại điểm ⎩ x2 x = 0. m, x = 0 ⎧ ex − x − 1
Câu 3 [Q588756766] Tìm m để hàm số f(x) = ⎨
, x ≠ 0 liên tục tại điểm ⎩ x2 x = 0. m, x = 0 ⎧ 1 x2. sin ; x ≠ 0
Câu 4 [Q553009000] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ x tại điểm ⎩ x = 0. 0; x = 0
Câu 5 [Q700606502] Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x0; hàm số g(x) gián đoạn tại điểm x0 thì
hàm số f(x) + g(x) gián đoạn tại điểm x0. ⎧ ⎪ sin x ; x ≠ 0
Câu 6 [Q856067069] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ |x| tại điểm x = 0. ⎪ ⎩ 1;x = 0 ⎧
⎪ (1 − cos ax)(e3x − e5x) ;x ≠ 0
Câu 7 [Q677340863] Tìm a ∈ R để hàm số f(x) = ⎨ liên tục tại điểm x5 + x3 x = 0. ⎪ ⎩ 2019a − 1;x = 0
arctan(x − 2). sin 1 ; x ≠ 2
Câu 8 [Q100109159] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x−2 tại điểm x = 2. 0; x = 2 ⎧ ln(1 + x) − ln(1 − x)
Câu 9 [Q870605801] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨
; x ∈ (−1; 1)∖{0} trên khoảng ⎩ x a; x = 0 (−1; 1). ⎧ 1 sin ; x ≠ 0
Câu 10 [Q501611164] Hàm số f(x) = ⎨ x
có liên tục tại điểm x = 0 hay không? Tại sao? ⎩ 0;x = 0 ⎧ ⎪ ax + b; x > 1
Câu 11 [Q395706969] Tìm a, b ∈ R để hàm số f(x) = ⎨ 2; x = 1 liên tục trên R. ⎪ ⎩ ax2 − bx + 3;x < 1 ⎧ 1 x2. cos ; x ≠ 0
Câu 12 [Q393004070] Cho hàm số f(x) = ⎨ x . Chứng minh rằng: ⎩ 0;x = 0
a) Hàm số liên tục tại điểm x = 0.
b) Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0.
c) Đạo hàm của hàm số không liên tục tại điểm x = 0.
Câu 13 [Q775415610] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x2; x ≤ 1 tại điểm x = 1. ax + 2; x > 1
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 ⎧ ⎪ x2 − 4x + 3 ;x ≠ 1
Câu 14 [Q053433103] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ |x − 1| tại điểm x = 1. ⎪ ⎩ a;x = 1 ⎧ 1 − cos 4x ;x ≠ 0
Câu 15 [Q013922609] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ x sin x tại điểm ⎩ x = 0. 8; x = 0
Câu 16 [Q555401565] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số f(x); g(x) đều gián đoạn tại điểm x0 mà hàm số
f(x) + g(x) liên tục tại điểm x0.
Câu 17 [Q626161027] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số f(x); g(x) đều gián đoạn tại điểm x0 mà hàm số
f(x) + g(x) cũng gián đoạn tại điểm x0. ⎧ 2x − 4 ;x ≠ 2
Câu 18 [Q907206171] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ x − 2 trên R. ⎩ a;x = 2 ⎧ πx cos ; |x| ≤ 1
Câu 19 [Q291339036] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ ⎩ 2 . |x − 1| ; |x| > 1 ⎧ arctan x ;x ≠ 0
Câu 20 [Q896706989] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ x tại điểm ⎩ x = 0. 0; x = 0 ⎧ ⎪ 3x − 9 ; x ≠ 2
Câu 21 [Q405504148] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ sin(x − 2) tại điểm x = 2. ⎪ ⎩ 1;x = 2 ⎧ ⎪ ln(2 − cos23x) ;x ≠ 0
Câu 22 [Q090602209] Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ⎨ tại điểm ⎪ ⎩ tan2x x = 0. 0; x = 0 ⎧ ⎪ ln(ax2 + x + 1) − x
Câu 23 [Q060208002] Tìm số thực a để hàm số f(x) = ; x ≠ 0 ⎨ liên tục tại điểm x2 x = 0. ⎪ ⎩ 1;x = 0 ⎧
⎪ e2x − 1 + ax + bx2 ;x ≠ 0
Câu 24 [Q904433338] Tìm a, b ∈ R để hàm số f(x) = ⎨ liên tục tại điểm x2 x = 0. ⎪ ⎩ 0;x = 0 ⎧ ⎪ ln(1 + 3x) + ax + bx2
Câu 25 [Q205760667] Tìm a, b ∈ R để hàm số f(x) = ; x ≠ 0 ⎨ liên tục tại điểm x2 x = 0. ⎪ ⎩ 0;x = 0 ⎧
⎪ arcsin x + ax + bx2 ;x ∈ [−1;1]∖{0}
Câu 26 [Q036450460] Tìm a, b ∈ R để hàm số f(x) = ⎨ liên tục trên x2 ⎪ ⎩ 0;x = 0 [−1; 1]. ⎧
⎪ ex + sin x − 1 + ax + bx2 ;x ≠ 0
Câu 27 [Q041513700] Tìm a, b ∈ R để hàm số f(x) = ⎨ liên tục tại điểm x2 ⎪ ⎩ 0;x = 0 x = 0. ⎧ 1
Câu 28 [Q260431663] Cho hàm số f(x) = ⎨ xa. sin ; x ≠ 0 x
, (a ∈ R). Tìm a để hàm số liên tục tại điểm ⎩ x = 0. 0; x = 0 ⎧ 1
Câu 29 [Q538790581] Cho hàm số f(x) = ⎨ (e3x − 1) sin ; x ≠ 0 3x
. Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng ⎩ 0; x = 0
không có đạo hàm tại điểm x = 0.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 ⎧ 1
Câu 30 [Q467578771] Cho hàm số f(x) = ⎨ ln(1 + x2) cos ; x ≠ 0 x
. Tính f′(x) và xét tính liên tục của hàm số ⎩ 0; x = 0 f′(x) tại điểm x = 0. HƯỚNG DẪN 4x2 − x 8x − 1 −1 Câu 1 Có lim 1 Do đó x→0 f(x) = limx→0 = limx→0 = = − = f(0). sin 6x − sin 3x 6 cos 6x − 3 cos 3x 6 − 3 3
hàm số liên tục tại điểm x = 0. 2 1 − cos 2x 2sin2x sin x
Câu 2 Có limx→0 f(x) = limx→0 = limx→0 = limx→0 2( ) = 2. x2 x2 x
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0 ⇔ f(0) = limx→0 f(x) ⇔ m = 2.
Câu 3 Có ycbt ⇔ f(0) = lim ex−x−1 ex−1 1 x→0 f(x) ⇔ m = limx→0 = limx→0 = . x2 2x 2 Câu 4 Có f(0) = 0 và lim 1 x→0 f(x) = limx→0 x2. sin = 0 vì x 0 ≤ ∣∣x2. sin 1 ∣ 1 1 x ∣ = x2 ∣∣sin ∣
x ∣ ≤ x2 → 0 (x → 0) ⇒ limx→0 x2. sin = 0. x
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
Câu 5 Giả sử ngược lại f(x) + g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:limx→x (f(x) + g(x)) = f(x 0 0) + g(x0). Mặt khác
lim g(x) = lim ((f(x) + g(x)) − f(x)) = lim (f(x) + g(x)) − lim f(x) x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 = lim (f(x) + g(x)) = f(x x→x 0) + g(x0) − f(x0) = g(x0). 0
Suy ra hàm số g(x) liên tục tại điểm x0, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 6 Có f(0) = 1; lim sin x sin x x→0+ f(x) = limx→0+ = 1; lim x x→0− f(x) = limx→0− = −1 ⇒ lim −x
x→0+ f(x) ≠ limx→0− f(x) ⇒ f(x)
gián đoạn tại điểm x = 0.
Câu 7 Có f(0) = 2019a − 1 và 2sin2( ax )(e3x−e5x)
lim f(x) = lim (1−cosax)(e3x−e5x) = lim 2 x→0 x→0 x5+x3 x→0 x5+x3 2 sin( ax ) = a2 lim ( 2 e3x−e5x a2 e3x−e5x a2 3e3x−5e5x ax ) . = lim = lim = −a2. 2 x→0 x3+x 2 x3+x 2 3x2+1 2 x→0 x→0
Hàm số liên tục tại điểm x = 0 ⇔ f(0) = lim 2019±√20192+4
x→0 f(x) ⇔ −a2 = 2019a − 1 ⇔ a = . 2
Câu 8 Có f(2) = 0; lim 1
x→2 f(x) = limx→2 arctan(x − 2). sin
= 0 ⇒ f(2) = limx→2 f(x) ⇒ f(x) liên tục x−2 tại điểm x = 2.
Vì 0 ≤ ∣∣arctan(x − 2). sin 1 ∣ 1
x−2 ∣ ≤ |arctan(x − 2)| → 0 (x → 2) ⇒ limx→2 arctan(x − 2). sin = 0. x−2
Câu 9 Có x ∈ (−1; 1)∖{0} ⇒ f(x) = ln(1+x)−ln(1−x) liên tục trên (−1; 1)∖{0}. x Xét tại điểm x = 0 có: f(0) = a; lim ln(1+x)−ln(1−x) ln(1+x) ln(1−x) x→0 f(x) = limx→0 = limx→0 + limx→0 −x = 1 + 1 = 2. x x
+) Nếu f(0) = limx→0 f(x) ⇔ a = 2 ⇒ f(x) liên tục tại điểm x = 0 ⇒ f(x) liên tục trên khoảng (−1; 1).
+) Nếu f(0) ≠ limx→0 f(x) ⇔ a ≠ 2 ⇒ f(x) gián đoạn tại điểm x = 0 ⇒ f(x) liên tục chỉ trên miền (−1; 1)∖{0}.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
Câu 11 Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (1; +∞); (−∞; 1).
Có f(1) = 2; limx→1+ f(x) = limx→1+ (ax + b) = a + b; limx→1− f(x) = limx→1− (ax2 − bx + 3) = a − b + 3. Vậy hàm số liên tục trên R ⇔ f(1) = lim 1 3
x→1+ f(x) = limx→1− f(x) ⇔ a + b = a − b + 3 = 2 ⇔ (a; b) = ( ; ) . 2 2
Câu 13 Có f(1) = 1; limx→1+ f(x) = limx→1+ x2 = 1; limx→1− f(x) = limx→1− (ax + 2) = a + 2.
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 ⇔ f(1) = limx→1+ f(x) = limx→1− f(x) ⇔ a + 2 = 1 ⇔ a = −1.
Nếu a ≠ −1 hàm số gián đoạn tại điểm x = 1. ⎧ ⎪ x2−4x+3 ⎪ lim f(x) = lim = lim (x − 3) = −2 x→1+ x→1+ (x−1) x→1+ Câu 14 Có ⎨
⇒ lim f(x) ≠ lim f(x) nên hàm số gián đoạn tại ⎪ ⎪
⎩ lim f(x) = lim x2−4x+3 = lim −(x − 3) = 2 x→1+ x→1− x→1− x→1− −(x−1) x→1− điểm x = 1. 2 Câu 15 Có lim 1−cos 4x 2sin22x sin 2x x x→0 f(x) = limx→0 = limx→0 = 8 limx→0 ( ) . = 8 = f(0). x sin x x sin x 2x sin x
Vì vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.
Câu 18 Có x ≠ 2 ⇒ f(x) = 2x−4 liên tục trên R∖{2}. x−2 Xét lim 2x−4 2x ln 2 x→2 f(x) = limx→2 = limx→2 = 4 ln 2. x−2 1
+) Nếu a = 4 ln 2 ⇒ f(x) liên tục tại điểm x = 2.
+) Nếu a ≠ 4 ln 2 ⇒ f(x) gián đoạn tại điểm x = 2.
lim f(x) = lim ln(2−cos23x) = lim ln(1+sin23x) = lim ln(1+sin23x) . sin23x x→0 x→0 tan2x x→0 tan2x x→0 sin23x tan2x Câu 22 Có 2 2
= 9 lim ln(1+sin23x) . ( sin3x ) . ( x ) . cos2x = 9.1.1.1.1 = 9 ≠ f(0) = 0. x→0 sin23x 3x sin x
Vì vậy hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.
Câu 23 Ta cần tìm điều kiện để lim ln(ax2+x+1)−x
x→0 f(x) = f(0) = 1 ⇔ limx→0 = 1. x2 2ax+1 −1 Có lim ln(ax2+x+1)−x ax2+x+1 (2a−1)x−ax2 2a−1−ax 2a−1 x→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 = . x2 2x 2x(ax2+x+1) 2(ax2+x+1) 2 Vậy 2a−1 = 1 ⇔ a = 3 . 2 2
Câu 24 Ta cần tìm điều kiện để: lim e2x−1+ax+bx2 x→0 = 0. x2
Theo giả thiết có: 0 = lim e2x−1+ax+bx2 x→0 x; 0 = limx→0 . x2 Suy ra 0 = lim e2x−1+ax+bx2 e2x−1 e2x−1 x→0 x. = limx→0 ( + a + bx) = a + 2 limx→0 = a + 2 ⇒ a = −2. x2 x 2x Khi đó: 0 = lim e2x−1−2x+bx2 e2x−1−2x e2x−1−2x x→0 = limx→0 ( + b) = b + limx→0 = b + 2 ⇒ b = −2. x2 x2 x2 Vậy a = −2; b = −2.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
Câu 25 Ta cần tìm điều kiện để: lim ln(1+3x)+ax+bx2 x→0 = 0. x2 Có lim ln(1+3x)+ax+bx2 Suy ra: x→0 x = 0; limx→0 = 0. x2 0 = lim ln(1+3x)+ax+bx2 ln(1+3x) ln(1+3x) x→0 x. = limx→0 ( + a + bx) = a + limx→0 = a + 3 ⇔ a = −3. x2 x x Khi đó: lim ln(1+3x)−3x+bx2 ln(1+3x)−3x 9 9 x→0 = 0 ⇔ b + limx→0 = 0 ⇔ b − = 0 ⇔ b = . x2 x2 2 2 Vậy a = −3; b = 9 . 2 Câu 29 Có 0 ≤ ∣ 1 1 Vì ∣(e3x − 1). sin ∣
3x ∣ ≤ ∣e3x − 1∣ → 0 ⇒ limx→0 f(x) = limx→0 (e3x − 1). sin = 0 = f(0). 3x
vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0. (e3x−1).sin 1 lim f(x)−f(0) 3x (e3x−1) 1 1 x→0 = limx→0 = 3 limx→0 . sin = 3 limx→0 sin . x−0 x 3x 3x 3x
Giới hạn trên không tồn tại vì xét x 1 1 n =
→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin
= limn→∞ sin(n2π) = 0 và 3n2π 3xn y 1 1 π n =
→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + ) = 1. 3(n2π+ π ) 3yn 2 2
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Câu 30 Với x ≠ 0 ⇒ f ′(x) = 2x cos 1 + 1 sin 1 ln(1 + x2). 1+x2 x x2 x ln(1+x2) cos 1x −0 Và lim f(x)−f(0) ln(1+x2) 1 x→0 = limx→0 = limx→0
. x cos = 1.0 = 0 ⇒ f′(0) = 0. x−0 x−0 x2 x
Để xét tính liên tục của hàm số f ′(x) tại điểm x = 0. Xét giới hạn: lim 2x 1 1 1 x→0 f ′(x) = limx→0 ( cos + sin ln(1 + x2)) . 1+x2 x x2 x +) Chọn dãy x 1 n =
→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(xn) = 0. 2nπ +) Chọn dãy y 1 n = π
→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(yn) = 1. +2nπ 2
Do đó limx→0 f ′(x) không tồn tại, vì vậy hàm số f ′(x) không liên tục tại điểm x = 0.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/