10 trang 10 lượt tải

Tài liệu toán. Đề 2- Đạo hàm của hàm số (có đáp án)

19

Tài liệu toán. Đề 2- Đạo hàm của hàm số (có đáp án). Tài liệu sưu tầm được tổng hợp. Mời các bạn tham khảo

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 393 tài liệu

Môn: Toán 12 4.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Hạnh

1 tháng trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/10
Câu 1 [Q677533473] Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa
Câu 2 [Q166454064] Tính đạo hàm của hàm số tại điểm bằng định nghĩa
Câu 3 [Q962031090] Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa.
Câu 4 [Q064825562] Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa.
Câu 5 [Q487612604] Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa.
Câu 6 [Q777000920] Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng bằng định nghĩa.
Câu 7 [Q236095333] Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa.
Câu 8 [Q628886800] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 9 [Q076574763] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 10 [Q006728145] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 11 [Q624684691] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 12 [Q613584533] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 13 [Q383396778] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 14 [Q880860184] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 15 [Q888362478] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 16 [Q336839783] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 17 [Q570596687] Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại mọi
Câu 18 [Q466509467] Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số liên tục tại điểm
Ngược lại nếu hàm số liên tục tại điểm thì hàm số chưa chắc có đạo hàm tại điểm
Câu 19 [Q693463033] Hàm số có đạo hàm tại mọi hay không? Tính đạo hàm
của hàm số tại mọi điểm hàm số có đạo hàm.
Câu 20 [Q680909698] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 21 [Q337667352] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm
hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 22 [Q657527649] Cho tính
Câu 23 [Q379393339] Tìm để hàm số có đạo hàm tại mọi
Câu 24 [Q573688000] Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 25 [Q536832279] Cho hàm số Chứng minh rằng:
a) Hàm số có đạo hàm tại mọi
b) Không tồn tại số thực sao cho và
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
THI ONLINE - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
f
(
x
) =
3
√
3
x
+ 2
x
= 2
f
(
x
) = 10
x
x
= 0
f
(
x
) = log
x
(0; +∞)
f
(
x
) = arcsin
x
(−1; 1)
f
(
x
) = arctan
x
f
(
x
) = arccos
x
(−1; 1)
f
(
x
) =
arccotx
f
(
x
) = (3 + cos
x
)
sin
x
.
f
(
x
) =
(
1 +
x
2
)
sin
x
.
f
(
x
) = log
x
(
x
2
− 1).
f
(
x
) = √
a
2
−
x
2
+ arcsin (
a
> 0) .
x
2
a
2
2
x
a
f
(
x
) =
(
x
2
−
)
arcsin
x
+
x
√
1 −
x
2
− .
1
2
1
2
1
4
πx
2
12
f
(
x
) =
(
x
2
+ 1
)
arctan
x
− − .
1
2
πx
2
8
x
− 1
2
f
(
x
) = (arctan
x
)
x
.
f
(
x
) =
(
arccos(2
x
−
x
2
)
)
10
.
f
(
x
) =
(
2019
x
+ 2020
x
2
)
.
1
x
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
x
2
. sin ,
x
≠ 0
0,
x
= 0
1
x
x
∈
R
.
f
(
x
)
x
0
f
(
x
)
x
0
.
f
(
x
)
x
0
f
(
x
)
x
0
.
f
(
x
) = |
x
− 2| . sin
2
(3
x
+ 1)
x
∈
R
f
(
x
) = |
x
| + |
x
− 2| .
f
(
x
) =
{
x
2
∣
∣
cos
∣
∣
,
x
≠ 0
0,
x
= 0
.
π
x
x
= 0;
x
= .
2
2021
f
′
(0) = 1, lim
x
→0
.
f
(
x
) −
f
(2019
x
)
x
(
a
;
b
)
f
(
x
) =
{
x
2
,
x
⩽
1
ax
+
b
,
x
> 1
x
∈
R
.
f
(
x
) =
x
x
x
(0; +∞).
f
(
x
) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2 −
x
2
(
2 + sin
)
;
x
≠ 0
2;
x
= 0
.
1
x
x
∈
R
.
ε
> 0
f
′
(
x
) > 0, ∀
x
∈ (−
ε
; 0)
f
′
(
x
) < 0, ∀
x
∈ (0;
ε
).
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 26 [Q343565448] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số không có đạo
hàm tại điểm
Câu 27 [Q747565503] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 28 [Q623797600] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 29 [Q276337623] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 30 [Q333606335] Cho hàm số Giả sử liên tục tại và giới hạn
tồn tại hữu hạn. Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại
Câu 31 [Q083252520] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 32 [Q807018326] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 33 [Q069399305] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 34 [Q749209437] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm tại điểm
Câu 35 [Q970307374] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 36 [Q081393698] Cho có đạo hàm trên thỏa mãn và . Chứng minh
rằng và tìm một hàm để đẳng thức xảy ra?
Câu 37 [Q517868015] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn .
Chứng minh rằng là hàm đơn điệu trên .
Câu 38 [Q033703707] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 39 [Q190722219] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn với
Chứng minh rằng là hàm số hằng.
Câu 40 [Q036937796] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm
Câu 41 [Q673667333] Tính đạo hàm của hàm số
Câu 42 [Q332408464] Chứng minh rằng với mọi thì
Câu 43 [Q711601373] Cho hàm số có đạo hàm tại điểm Biết rằng
Tính
Câu 44 [Q433740373] Cho hàm số có đạo hàm tại điểm Biết rằng
Tính
Câu 45 [Q999799263] Cho hàm số Tính
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
f
(
x
) =
{
1;
x
⩽
0
a
x
+
x
a
;
x
> 0
(
a
> 0) .
x
= 0.
f
(
x
) = arctan
√
.
1 −
x
1 +
x
f
(
x
) = sin(ln
x
). cos(ln
x
) − ln .
1
x
f
(
x
) = arccos
( )
.
9 −
x
2
9 +
x
2
f
: (−
a
;
a
) →
R
,
a
> 0.
f x
= 0
lim
x
→0
, 0 <
k
< 1
f
(
x
) −
f
(
kx
)
x
x
= 0.
f
(
x
) = arcsin .
2
x
3
1 +
x
6
f
(
x
) = (tan
x
)
x
.
f
(
x
) =
3
√
(2
x
2
− 6
x
+ 1)
2
3
√−5
x
+ 2.
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
(
e
3
x
− 1) sin ;
x
≠ 0
0;
x
= 0
.
1
3
x
x
= 0.
f
(
x
) = (
x
2
− 6
x
)
arccot
2
x
− arctan2
x
− ln(1 + 4
x
2
) − +
(
+ 2
√
3
)
x
.
1
4
3
2
x
2
√3
1
2
f
(
x
)
R
f
(
x
) +
f
′
(
x
) < 1, ∀
x
∈
R
f
(0) = 0
f
(1) ≤
e
− 1
e
f
(
x
)
R
f
′
(
x
) ≤
f
′
(
x
+
)
, ∀
x
∈
R
, ∀
n
∈
N
∗
1
n
f
′
(
x
)
R
f
(
x
) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
;
x
≠ −2
0;
x
= −2
.
2
x
+ 4
e
+ 2
1
x
+ 2
y
=
f
(
x
)
R
|
f
(
x
+
h
) −
f
(
x
−
h
)| ≤
h
2
∀
x
∈
R
, ∀
h
> 0.
y
=
f
(
x
)
f
(
x
) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
e
−
;
x
≠ 0
0;
x
= 0
.
1
x
2
x
= 0.
f
(
x
) = |
x
− 1| . |
x
− 2| . . . |
x
− 2020| .
α
≤ 3
( )
α
≥ cos
x
, ∀
x
∈
(
0;
)
.
sin
x
x
π
2
f
(
x
)
x
= 1.
lim
x
→0
= 2.
f
(1 + 7
x
) −
f
(1 + 2
x
)
x
f
′
(1).
f
(
x
)
x
= 1.
lim
x
→0
= 1.
f
(1 + 5
x
) −
f
(1 + 3
x
)
x
f
′
(1).
f
(
x
) =
{
(2 −
x
)(3 −
x
);
x
⩽
3
x
− 3;
x
> 3
.
f
′
(3).
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 46 [Q077516631] Cho hàm số Tính
Câu 47 [Q695683363] Tìm tất cả các hàm số có đạo hàm trên thoả mãn:
Câu 48 [Q870586915] Tìm tất cả các hàm số có đạo hàm trên thoả mãn:
Câu 49 [Q317433274] Cho hàm số Tính và xét tính liên tục của hàm số
tại điểm
Câu 50 [Q724093529] Cho hàm số Tìm để hàm số
a) liên tục tại điểm b) có đạo hàm tại điểm c) có đạo hàm liên tục tại điểm .
Câu 51 [Q225031176] Cho hàm số thoả mãn Chứng minh rằng
Câu 52 [Q714777126] Cho hàm số . Tính .
Câu 53 [Q385388386] (Putnam 1967) Cho hàm số , trong đó
là các số thực. Chứng minh rằng nếu thì ta luôn có
.
Câu 54 [Q653923036] Chứng minh rằng hàm số liên tục tại điểm nhưng không có đạo
hàm tại điểm
Câu 55 [Q015677367] Chứng minh rằng hàm số với và liên tục tại mọi điểm,
nhưng không có đạo hàm tại điểm
Câu 56 [Q092570479] Chứng minh rằng hàm số với và liên tục tại điểm
nhưng không có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm
Câu 57 [Q845752117] Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm với trong đó liên tục tại
điểm
Câu 58 [Q355575773] Tính đạo hàm của các hàm số sau:
Câu 59 [Q353865870] Tính đạo hàm trái và đạo hàm phải của hàm số tại điểm
Câu 60 [Q407344004] Tính đạo hàm trái và đạo hàm phải của hàm số tại điểm
Câu 61 [Q172128370] Dùng định nghĩa, tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 tại điểm của hàm số
với và
HƯỚNG DẪN
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
f
(
x
) =
{
(3 −
x
)(
x
− 4);
x
⩽
4
4 −
x
;
x
> 4
.
f
′
(4).
f
(
x
)
R
|
f
(
a
) −
f
(
b
)| ≤ |
a
−
b
| . |sin(
a
−
b
)| , ∀
a
,
b
∈
R
.
f
(
x
)
R
|
f
(
a
) −
f
(
b
)| ≤ |
a
−
b
| .
∣
∣
e
a
−
b
− 1
∣
∣
, ∀
a
,
b
∈
R
.
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
ln(1 +
x
2
) cos ;
x
≠ 0
0;
x
= 0
.
1
x
f
′
(
x
)
f
′
(
x
)
x
= 0.
f
(
x
) =
⎧
⎨
⎩
x
a
. sin ;
x
≠ 0
0;
x
= 0
, (
a
∈
R
) .
1
x
a
x
= 0
x
= 0
x
= 0
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
=
x
.
f
′
(
x
) =
(
1 +
)
−1
.
1
x
ln
x
f
(
x
)
f
(
x
) =
2020
∏
k
=1
(
x
−
k
)
f
′
(1)
f
(
x
) =
a
1
sin
x
+
a
2
sin 2
x
+. . . +
a
n
sin
nx
a
1
,
a
2
, . . . ,
a
n
|
f
(
x
)| ≤ |sin
x
| , ∀
x
∈
R
|
a
1
+ 2
a
2
+. . . +
na
n
| ≤ 1
f
(
x
) = |
x
− 1| .
e
x
2
x
= 1
x
= 1.
f
(
x
) =
x
1 +
e
1
x
x
≠ 0
f
(0) = 0
x
= 0.
f
(
x
) =
x
sin
1
x
x
≠ 0
f
(0) = 0
x
= 0
x
= 0.
f
′
(
a
)
f
(
x
) = (
x
−
a
).
g
(
x
)
g
(
x
)
x
=
a
.
y
= |
x
| ;
y
=
x
|
x
| ;
y
= ln|
x
| (
x
≠ 0) .
y
= |sin
x
|
x
= 0.
y
= |cos
x
|
x
= .
π
2
x
= 0
f
(
x
) =
sin
x
x
x
≠ 0
f
(0) = 1.
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 1 Có
Vậy
Câu 2 Có
Câu 3 Với mọi có
Câu 4 Với mọi ta có
Câu 5 Với mọi ta có
Câu 6 Với mọi ta có
Câu 8 Có
Do đó
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
lim
x
→2
= lim
x
→2
= lim
x
→2
= lim
x
→2
= .
f
(
x
) −
f
(2)
x
− 2
3
√3
x
+ 2 − 2
x
− 2
3
x
+ 2 − 8
(
x
− 2)
(
3
√3
x
+ 2
2
+ 2
3
√3
x
+ 2 + 4
)
3
3
√3
x
+ 2
2
+ 2
3
√3
x
+ 2 + 4
1
4
f
′
(2) = .
1
4
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
= ln 10. lim
x
→0
= ln 10 ⇒
f
′
(0) = ln 10.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
10
x
−1
x
e
x
ln 10
−1
x
e
x
ln 10
−1
x
ln 10
x
0
∈ (0; +∞)
lim
x
→
x
0
= lim
x
→
x
0
= lim
x
→
x
0
= . lim
x
→
x
0
= . lim
x
→
x
0
= ⇒
f
′
(
x
0
) = ⇒
f
′
(
x
) = .
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
log
x
− log
x
0
x
−
x
0
log
( )
x
x
0
x
−
x
0
1
x
0
log
(
1 +
)
x
−
x
0
x
0
x
−
x
0
x
0
1
x
0
ln 10
ln
(
1 +
)
x
−
x
0
x
0
x
−
x
0
x
0
1
x
0
ln 10
1
x
0
ln 10
1
x
ln 10
x
0
∈ (−1; 1)
lim
x
→
x
0
= lim
x
→
x
0
= lim
y
→
y
0
(
y
= arcsin
x
;
y
0
= arcsin
x
0
)
= lim
y
→
y
0
= lim
y
→
y
0
.
= = = ⇒
f
′
(
x
0
) = ⇒
f
′
(
x
) = .
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
arcsin
x
− arcsin
x
0
x
−
x
0
y
−
y
0
sin
y
− sin
y
0
y
−
y
0
2 cos
( )
sin
( )
y
+
y
0
2
y
−
y
0
2
y
−
y
0
2
sin
( )
y
−
y
0
2
1
cos
( )
y
+
y
0
2
1
cos
y
0
1
√
1 − sin
2
y
0
1
√
1 −
x
2
0
1
√
1 −
x
2
0
1
√
1 −
x
2
x
0
∈
R
lim
x
→
x
0
= lim
x
→
x
0
= lim
y
→
y
0
(
y
= arctan
x
;
y
0
= arctan
x
0
)
= lim
y
→
y
0
= lim
y
→
y
0
. cos
y
. cos
y
0
= cos
2
y
0
= = ⇒
f
′
(
x
0
) = ⇒
f
′
(
x
) = .
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
arctan
x
− arctan
x
0
x
−
x
0
y
−
y
0
tan
y
− tan
y
0
y
−
y
0
sin(
y
−
y
0
)
cos
y
.cos
y
0
y
−
y
0
sin(
y
−
y
0
)
1
1 + tan
2
y
0
1
1 +
x
2
0
1
1 +
x
2
0
1
1 +
x
2
x
0
∈ (−1; 1)
lim
x
→
x
0
= lim
x
→
x
0
= lim
y
→
y
0
(
y
= arccos
x
;
y
0
= arccos
x
0
)
= lim
y
→
y
0
= lim
y
→
y
0
.
= − = − = − ⇒
f
′
(
x
0
) = − ⇒
f
′
(
x
) = − .
f
(
x
) −
f
(
x
0
)
x
−
x
0
arccos
x
− arccos
x
0
x
−
x
0
y
−
y
0
cos
y
− cos
y
0
y
−
y
0
−2 sin
( )
sin
( )
y
+
y
0
2
y
−
y
0
2
y
−
y
0
2
sin
( )
y
−
y
0
2
−1
sin
( )
y
+
y
0
2
1
sin
y
0
1
√
1 − cos
2
y
0
1
√
1 −
x
2
0
1
√
1 −
x
2
0
1
√
1 −
x
2
ln
f
(
x
) = sin
x
. ln(3 + cos
x
) ⇒ = cos
x
. ln(3 + cos
x
) + sin
x
. .
f
′
(
x
)
f
(
x
)
− sin
x
3+cos
x
f
′
(
x
) =
(
cos
x
. ln(3 + cos
x
) + sin
x
.
)
(3 + cos
x
)
sin
x
.
− sin
x
3+cos
x
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 9 Có
Do đó
Câu 10 Có
Câu 11
Câu 12 Có
Câu 13 Có
Câu 14 Có
Do đó
Câu 15 Có
Câu 16 Có
Do đó
Câu 17 Với
Tại điểm có
Ta có điều phải chứng minh.
Câu 18 Với ta có biến đổi:
Suy ra Do đó liên tục
tại điểm
Điều ngược lại ta chỉ cần lấy một phản ví dụ:
Xét hàm số liên tục tại điểm nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm vì
Câu 19 Với
Với
Xét tại có và
Vậy hàm số không có đạo hàm tại
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
ln
f
(
x
) = sin
x
ln(1 +
x
2
) ⇒ = cos
x
. ln(1 +
x
2
) + sin
x
. .
f
′
(
x
)
f
(
x
)
2
x
1+
x
2
f
′
(
x
) =
(
cos
x
. ln(1 +
x
2
) + sin
x
.
)
(
1 +
x
2
)
sin
x
.
2
x
1+
x
2
f
(
x
) = log
x
(
x
2
− 1) = ⇒
f
′
(
x
) = .
ln(
x
2
−1)
ln
x
ln
x
− ln(
x
2
−1)
2
x
x
2
−1
1
x
ln
2
x
f
′
(
x
) =
(
1.√
a
2
−
x
2
+
x
.
)
+ . = + = √
a
2
−
x
2
.
1
2
−2
x
2√
a
2
−
x
2
a
2
2
1
a
√
1−
( )
2
x
a
a
2
−
x
2
−
x
2
2√
a
2
−
x
2
a
2
2√
a
2
−
x
2
f
′
(
x
) =
[
2
x
. arcsin
x
+
(
x
2
−
)
.
]
+
(
√1 −
x
2
+
x
.
)
− =
x
arcsin
x
− .
1
2
1
2
1
√
1−
x
2
1
4
−
x
√
1−
x
2
πx
6
πx
6
f
′
(
x
) =
(
2
x
. arctan
x
+ (
x
2
+ 1).
)
− − =
x
arctan
x
− .
1
2
1
1+
x
2
πx
4
1
2
πx
4
ln
f
(
x
) =
x
. ln(arctan
x
) ⇒ = ln(arctan
x
) +
x
. .
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
1+
x
2
arctan
x
f
′
(
x
) =
(
ln(arctan
x
) +
)
(arctan
x
)
x
.
x
(1+
x
2
).arctan
x
f
′
(
x
) = 10
(
arccos(2
x
−
x
2
)
)
9
. − = .
2−2
x
√
1−(2
x
−
x
2
)
2
20(
x
−1)
(
arccos(2
x
−
x
2
)
)
9
√
1−(2
x
−
x
2
)
2
ln
f
(
x
) = ln
(
2019
x
+ 2020
x
2
)
⇒ = − . ln
(
2019
x
+ 2020
x
2
)
+ . .
1
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
x
2
1
x
2019
x
ln 2019+4040
x
2019
x
+2020
x
2
f
′
(
x
) =
(
− . ln
(
2019
x
+ 2020
x
2
)
+ .
)
(
2019
x
+ 2020
x
2
)
.
1
x
2
1
x
2019
x
ln 2019+4040
x
2019
x
+2020
x
2
1
x
x
≠ 0 ⇒
f
′
(
x
) = 2
x
. sin +
x
2
. − . cos = 2
x
sin − cos .
1
x
1
x
2
1
x
1
x
1
x
x
= 0 lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
x
sin = 0 ⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
x
2
sin −0
1
x
x
−0
1
x
f
′
(
x
0
) = lim
x
→
x
0
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
f
(
x
) = (
f
(
x
) −
f
(
x
0
)) +
f
(
x
0
) = . (
x
−
x
0
) +
f
(
x
0
).
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
lim
x
→
x
0
f
(
x
) = lim
x
→
x
0
[
. (
x
−
x
0
) +
f
(
x
0
)
]
=
f
′
(
x
0
).0 +
f
(
x
0
) =
f
(
x
0
).
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
f
(
x
)
x
0
.
f
(
x
) = |
x
|
x
= 0
x
= 0
f
′
(0
+
) = 1 ≠
f
′
(0
−
) = −1.
x
> 2 ⇒
f
(
x
) = (
x
− 2)sin
2
(3
x
+ 1) ⇒
f
′
(
x
) = sin
2
(3
x
+ 1) + 6(
x
− 2) sin(3
x
+ 1) cos(3
x
+ 1).
x
< 2 ⇒
f
(
x
) = −(
x
− 2)sin
2
(3
x
+ 1) ⇒
f
′
(
x
) = −sin
2
(3
x
+ 1) − 6(
x
− 2) sin(3
x
+ 1) cos(3
x
+ 1).
x
= 2 lim
x
→2
+
= lim
x
→2
+
= sin
2
7 ⇒
f
′
(2
+
) = sin
2
7
f
(
x
)−
f
(2)
x
−2
(
x
−2)sin
2
(3
x
+1)−0
x
−2
lim
x
→2
−
= lim
x
→2
−
= −sin
2
7 ⇒
f
′
(2
−
) = −sin
2
7.
f
(
x
)−
f
(2)
x
−2
−(
x
−2)sin
2
(3
x
+1)−0
x
−2
x
= 2.
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 21 Có
Vì
Vậy hàm số có có đạo hàm tại điểm
Tại điểm còn lại ta kiểm tra đạo hàm phải và đạo hàm trái:
Do đó Tương tự có Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 22 Có
Câu 24 Có
Do đó
+) Nếu
+) Nếu
Vậy Ta có điều phải chứng minh.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
x
∣
∣
cos
∣
∣
= 0 ⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
x
2
∣
∣
cos
∣
∣
−0
π
x
x
−0
π
x
0 ≤
∣
∣
x
∣
∣
cos
∣
∣
∣
∣
= |
x
| .
∣
∣
cos
∣
∣
≤ |
x
| → 0 ⇒ lim
x
→0
x
∣
∣
cos
∣
∣
= 0.
π
x
π
x
π
x
x
= 0;
lim
x
→
+
= lim
x
→
+
= lim
x
→
+
= lim
x
→
+
= lim
x
→
+
. =
π
.
2
2021
f
(
x
) −
f
( )
2
2021
x
−
2
2021
2
2021
x
2
∣
∣
cos
∣
∣
π
x
x
−
2
2021
2
2021
x
2
∣
∣
sin
(
−
)
∣
∣
2021
π
2
π
x
(
−
)
.
2021
π
2
π
x
2
x
2021
π
2
2021
2021
πx
2
∣
∣
sin
(
−
)
∣
∣
2021
π
2
π
x
−
2021
π
2
π
x
2
2021
2021
πx
2
sin
(
−
)
2021
π
2
π
x
−
2021
π
2
π
x
f
′
(
+
)
=
π
.
2
2021
f
′
(
−
)
= −
π
.
2
2021
x
= .
2
2021
lim
x
→0
= lim
x
→0
− lim
x
→0
= lim
x
→0
− 2019 lim
2019
x
→0
=
f
′
(0) − 2019
f
′
(0) = −2018.
f
(
x
) −
f
(2019
x
)
x
f
(
x
) −
f
(0)
x
f
(2019
x
) −
f
(0)
x
f
(
x
) −
f
(0)
x
− 0
f
(2019
x
) −
f
(0)
2019
x
− 0
y
=
x
x
⇒ ln
y
=
x
ln
x
⇒ = ln
x
+ 1 ⇒
y
′
= (ln
x
+ 1)
x
x
.
y
′
y
ln
f
(
x
) =
x
x
ln
x
⇒ =
x
x
. + (
x
x
)
′
. ln
x
=
x
x
−1
+ (ln
x
+ 1)
x
x
ln
x
=
x
x
(
+ ln
x
(ln
x
+ 1)
)
.
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
x
1
x
x
≥ 1 ⇒ + ln
x
(ln
x
+ 1) ≥ > 0 ⇒
f
′
(
x
) > 0.
1
x
1
x
0 <
x
< 1 ⇒ + (ln
x
+ 1) ln
x
=
(
ln
x
+
)
2
+ − =
(
ln
x
+
)
2
+ > 0 ⇒
f
′
(
x
) > 0.
1
x
1
2
1
x
1
4
1
2
4−
x
4
x
f
′
(
x
) > 0, ∀
x
> 0.
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 25 a) Với
Và
Vì
Ta có điều phải chứng minh.
Câu 26 Có
Và
Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 27 Có
Câu 28
Câu 29 Có
Câu 31 Có
Câu 32 Có
Do đó
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
x
≠ 0 ⇒
f
′
(
x
) = −4
x
− 2
x
sin + cos .
1
x
1
x
lim
x
→0
= lim
x
→0
= − lim
x
→0
x
(
2 + sin
)
= 0 ⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
2−
x
2
(
2+sin
)
−2
1
x
x
−0
1
x
0 ≤
∣
∣
x
(
2 + sin
)
∣
∣
≤ 3 |
x
| → 0 ⇒ lim
x
→0
x
(
2 + sin
)
= 0.
1
x
1
x
lim
x
→0
− = lim
x
→0
− = 0 ⇒
f
′
(0
−
) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
1−1
x
−0
lim
x
→0
+
= lim
x
→0
+
= lim
x
→0
+
(
ax
a
−1
+
a
x
ln
a
)
=
⎧
⎨
⎩
ln
a
;
a
> 1
1;
a
= 1
+∞; 0 <
a
< 1
⇒
f
′
(0
+
) >
f
′
(0
−
).
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
x
a
+
a
x
−1
x
x
= 0.
f
′
(
x
) = = = − .
(
√
)
′
1−
x
1+
x
1+
(
√
)
2
1−
x
1+
x
− .
2
(
x
+1)
2
1
2
√
1−
x
1+
x
1+
1−
x
1+
x
1
2
√
1−
x
2
f
′
(
x
) = . cos(ln
x
). cos(ln
x
) + sin(ln
x
). . − sin(ln
x
) +
=
(
cos
2
(ln
x
) − sin
2
(ln
x
) + 1
)
= (cos(2 ln
x
) + 1) = .
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
2cos
2
(ln
x
)
x
f
′
(
x
) = − = = .
( )
′
9−
x
2
9+
x
2
√
1−
( )
2
9−
x
2
9+
x
2
36
x
(
x
2
+9)
√
36
x
2
6
x
(
x
2
+9)
√
x
2
f
′
(
x
) = = = − .
( )
′
2
x
3
1+
x
6
√
1−
( )
2
2
x
3
1+
x
6
−
6
x
2
(
x
6
−1)
(
x
6
+1)
2
√
1−
( )
2
2
x
3
1+
x
6
6
x
2
√
(
x
6
−1)
2
(
x
6
+1)(
x
6
−1)
ln
f
(
x
) =
x
ln(tan
x
) ⇒ = ln(tan
x
) +
x
. = ln(tan
x
) + .
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
cos
2
x
tan
x
x
(1+tan
2
x
)
tan
x
f
′
(
x
) =
(
ln(tan
x
) +
)
(tan
x
)
x
.
x
(1+tan
2
x
)
tan
x
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 34 Có Vì
vậy hàm số liên tục tại điểm
Giới hạn trên không tồn tại vì xét và
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 35 Có
Câu 36 Xét có do đó hàm số này nghịch biến
trên . Suy ra hay Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi là hàm hằng
suy ra . Thử lại ta có khôngthỏa mãn điều
kiện đề bài. Do đó không tồn tại hàm thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 37 Xét hàm số ta có nên tăng.
Suy ra với mọi ta có .
Suy ra hay
Cho ta được tức là hàm đơn điệu tăng. Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Câu 38 Với
Tại điểm có và
Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 39 Có
Do đó theo định nghĩa giới hạn có và theo định nghĩa đạo hàm có
Ta có điều phải chứng minh.
Câu 40 Có
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8
0 ≤
∣
∣
(
e
3
x
− 1). sin
∣
∣
≤
∣
∣
e
3
x
− 1
∣
∣
→ 0 ⇒ lim
x
→0
f
(
x
) = lim
x
→0
(
e
3
x
− 1). sin = 0 =
f
(0).
1
3
x
1
3
x
x
= 0.
lim
x
→0
= lim
x
→0
= 3 lim
x
→0
. sin = 3 lim
x
→0
sin .
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
(
e
3
x
−1).sin
1
3
x
x
(
e
3
x
−1)
3
x
1
3
x
1
3
x
x
n
= → 0 (
n
→ ∞) ⇒ lim
n
→∞
sin = lim
n
→∞
sin(
n
2
π
) = 0
1
3
n
2
π
1
3
x
n
y
n
= → 0 (
n
→ ∞) ⇒ lim
n
→∞
sin = lim
n
→∞
sin
(
n
2
π
+
)
= 1.
1
3
(
n
2
π
+
)
π
2
1
3
y
n
π
2
x
= 0.
f
′
(
x
) = (2
x
− 6)
arccot
2
x
+ (
x
2
− 6
x
). − . − . − + + 2
√
3 = (2
x
− 6)
arccot
2
x
− + 2
√
3.
−2
1+(2
x
)
2
1
4
2
1+(2
x
)
2
3
2
8
x
1+4
x
2
2
x
√
3
1
2
2
x
√
3
g
(
x
) =
e
x
(
f
(
x
) − 1)
g
′
(
x
) =
(
f
′
(
x
) +
f
(
x
) − 1
)
e
x
< 0, ∀
x
∈
R
R
g
(1) ≤
g
(0)
e
(
f
(1) − 1) ≤ −1 ⇔
f
(1) ≤ .
e
−1
e
g
(
x
)
g
(
x
) =
e
x
(
f
(
x
) − 1) =
g
(0) = −1 ⇒
f
(
x
) = 1 −
e
−
x
f
(
x
) +
f
′
(
x
) = 1
f
F
(
x
) =
f
(
x
+
)
−
f
(
x
)
1
n
F
′
(
x
) =
f
′
(
x
+
)
−
f
′
(
x
) ≥ 0
1
n
F
x
1
,
x
2
∈
R
,
x
1
>
x
2
F
(
x
1
) >
F
(
x
2
)
f
(
x
1
+
)
−
f
(
x
1
) >
f
(
x
2
+
)
−
f
(
x
2
)
1
n
1
n
>
f
(
x
1
+
)
−
f
(
x
1
)
1
n
1
n
f
(
x
2
+
)
−
f
(
x
2
)
1
n
1
n
n
→ +∞
f
′
(
x
1
) >
f
′
(
x
2
)
f
′
x
≠ −2 ⇒
f
′
(
x
) = .
2
⎛
⎜
⎝
e
+ 2
⎞
⎟
⎠
+
e
(2
x
+ 4)
1
x
+ 2
1
(
x
+ 2)
2
1
x
+ 2
⎛
⎜
⎝
e
+ 2
⎞
⎟
⎠
2
1
x
+ 2
x
= −2 lim
x
→−2
+
= lim
x
→−2
+
= lim
x
→−2
+
= 0 ⇒
f
′
(−2
+
) = 0
f
(
x
)−
f
(−2)
x
+2
2
x
+4
e
+2
1
x
+2
x
+2
2
e
+2
1
x
+2
lim
x
→−2
−
= lim
x
→−2
−
= lim
x
→−2
−
= 1 ⇒
f
′
(−2
−
) = 1.
f
(
x
)−
f
(−2)
x
+2
2
x
+4
e
+2
1
x
+2
x
+2
2
e
+2
1
x
+2
x
= −2.
|
f
(
x
+
h
) −
f
(
x
−
h
)| ≤
h
2
, ∀
x
∈
R
, ∀
h
> 0 ⇔
∣
∣
∣
∣
≤
h
, ∀
x
∈
R
, ∀
h
> 0.
f
(
x
+
h
)−
f
(
x
−
h
)
h
lim
h
→0
= 0
f
(
x
+
h
)−
f
(
x
−
h
)
h
lim
h
→0
+ lim
h
→0
= 0 ⇔
f
′
(
x
) +
f
′
(
x
) = 0 ⇔
f
′
(
x
) = 0.
f
(
x
+
h
)−
f
(
x
)
(
x
+
h
)−
x
f
(
x
)−
f
(
x
−
h
)
x
−(
x
−
h
)
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
t
→∞
= lim
t
→∞
= 0
(
t
=
)
⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
) −
f
(0)
x
− 0
e
−
1
x
2
x
t
e
t
2
1
2
te
t
2
1
x
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 43
Câu 44
Câu 45 Có
Câu 47 Theo giả thiết thì với mọi
Mặt khác
Thử lại thấy thoả mãn. Vậy hàm số cần tìm là hàm số hằng.
Câu 49 Với
Và
Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Xét giới hạn:
+) Chọn dãy
+) Chọn dãy
Do đó không tồn tại, vì vậy hàm số không liên tục tại điểm
Câu 51 Có
Lấy đạo hàm hai vế có:
Câu 52 Theo định nghĩa đạo hàm ta có
Câu 53 Ta có và vậy ta xét
Do đó
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9
2 = lim
x
→0
= lim
x
→0
− lim
x
→0
= 7 lim
x
→0
− 2 lim
x
→0
= 7
f
′
(1) − 2
f
′
(1) ⇔
f
′
(1) = .
f
(1 + 7
x
) −
f
(1 + 2
x
)
x
f
(1 + 7
x
) − 1
x
f
(1 + 2
x
) − 1
x
f
(1 + 7
x
) − 1
7
x
f
(1 + 2
x
) − 1
2
x
2
5
1 = lim
x
→0
= lim
x
→0
− lim
x
→0
= 5 lim
x
→0
− 3 lim
x
→0
= 5
f
′
(1) − 3
f
′
(1) ⇔
f
′
(1) = .
f
(1 + 5
x
) −
f
(1 + 3
x
)
x
f
(1 + 5
x
) − 1
x
f
(1 + 3
x
) − 1
x
f
(1 + 5
x
) − 1
5
x
f
(1 + 3
x
) − 1
3
x
1
2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
lim
x
→3
+
= lim
x
→3
+
= 1 ⇒
f
′
(3
+
) = 1
lim
x
→3
−
= lim
x
→3
−
= 1 ⇒
f
′
(3
−
) = 1
⇒
f
′
(3) =
f
′
(3
+
) =
f
′
(3
−
) = 1.
f
(
x
) −
f
(3)
x
− 3
x
− 3 − 0
x
− 3
f
(
x
) −
f
(3)
x
− 3
(2 −
x
)(3 −
x
) − 0
x
− 3
x
0
∈
R
⇒ |
f
(
x
) −
f
(
x
0
)| ≤ |
x
−
x
0
| |sin(
x
−
x
0
)| ⇒ 0 ≤
∣
∣
∣
∣
≤ |sin(
x
−
x
0
)| , ∀
x
≠
x
0
.
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
|sin(
x
−
x
0
)| → 0 (
x
→
x
0
) ⇒
x
0
∈
R
⇒ lim
x
→
x
0
= 0 ⇒
f
′
(
x
0
) = 0, ∀
x
0
∈
R
⇒
f
(
x
) =
const.
f
(
x
)−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
x
≠ 0 ⇒
f
′
(
x
) = cos + sin ln(1 +
x
2
).
2
x
1+
x
2
1
x
1
x
2
1
x
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
.
x
cos = 1.0 = 0 ⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
ln(1+
x
2
) cos −0
1
x
x
−0
ln(1+
x
2
)
x
2
1
x
f
′
(
x
)
x
= 0.
lim
x
→0
f
′
(
x
) = lim
x
→0
(
cos + sin ln(1 +
x
2
)
)
.
2
x
1+
x
2
1
x
1
x
2
1
x
x
n
= → 0 (
n
→ +∞) ⇒ lim
n
→+∞
f
′
(
x
n
) = 0.
1
2
nπ
y
n
= → 0 (
n
→ +∞) ⇒ lim
n
→+∞
f
′
(
y
n
) = 1.
1
+2
nπ
π
2
lim
x
→0
f
′
(
x
)
f
′
(
x
)
x
= 0.
f
(
x
)
f
(
x
)
=
x
⇒
f
(
x
) ln
f
(
x
) = ln
x
.
f
′
(
x
) ln
f
(
x
) +
f
(
x
). = ⇔
f
′
(
x
) = ⇒
f
′
(
x
) = .
f
′
(
x
)
f
(
x
)
1
x
1
x
(1+ln
f
(
x
))
1
x
(
1+
)
ln
x
f
(
x
)
f
′
(1) = lim
x
→1
= lim
x
→1
2020
∏
k
=2
(
x
−
k
) = −2019!.
f
(
x
)−
f
(1)
x
−1
f
(0) = 0
f
′
(0) =
a
1
+ 2
a
2
+. . . +
na
n
|
f
′
(0)| = lim
x
→0
∣
∣
∣
∣
= lim
x
→0
∣
∣
∣
∣
≤ lim
x
→0
∣
∣
∣
∣
= 1.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
f
(
x
)
x
sin
x
x
|
a
1
+ 2
a
2
+. . . +
na
n
| ≤ 1.
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
Câu 54 Có liên tục tại điểm
Mặt khác Do đó hàm số không
có đạo hàm tại điểm
Câu 55 Có liên tục tại mọi điểm xét tại điểm có
Do đó hàm
số liên tục tại mọi điểm.
Xét đạo hàm không có đạo hàm tại điểm
Câu 57 Có
Câu 61 Có
với
Có
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10
f
(
x
) =
{
(
x
− 1)
e
x
2
;
x
⩾
1
(1 −
x
)
e
x
2
;
x
< 1
⇒ lim
x
→1
+
f
(
x
) = lim
x
→1
−
f
(
x
) =
f
(1) = 0 ⇒
f
(
x
)
x
= 1.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
lim
x
→1
+
= lim
x
→1
+
= lim
x
→1
+
e
x
2
=
e
⇒
f
′
(1
+
) =
e
lim
x
→1
−
= lim
x
→1
−
= lim
x
→1
−
−
e
x
2
= −
e
⇒
f
′
(1
−
) = −
e
.
f
(
x
) −
f
(1)
x
− 1
(
x
− 1)
e
x
2
− 0
x
− 1
f
(
x
) −
f
(1)
x
− 1
(1 −
x
)
e
x
2
− 0
x
− 1
x
= 1.
f
(
x
) =
x
1+
e
1
x
x
≠ 0;
x
= 0
lim
x
→0
+
f
(
x
) = lim
x
→0
+
= 0; lim
x
→0
−
f
(
x
) = lim
x
→0
−
= 0 ⇒ lim
x
→0
f
(
x
) =
f
(0) = 0.
x
1+
e
1
x
x
1+
e
1
x
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
lim
x
→0
+
= lim
x
→0
+
= 0 ⇒
f
′
(0
+
) = 0
lim
x
→0
−
= lim
x
→0
−
= 1 ⇒
f
′
(0
−
) = 1
⇒
f
(
x
)
f
(
x
) −
f
(0)
x
− 0
1
1 +
e
1
x
f
(
x
) −
f
(0)
x
− 0
1
1 +
e
1
x
x
= 0.
lim
x
→
a
= lim
x
→
a
= lim
x
→
a
g
(
x
) =
g
(
a
) ⇒
f
′
(
a
) =
g
(
a
).
f
(
x
)−
f
(
a
)
x
−
a
(
x
−
a
).
g
(
x
)−0
x
−
a
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
= 0 ⇒
f
′
(0) = 0.
f
(
x
)−
f
(0)
x
−0
−1
sin
x
x
x
sin
x
−
x
x
2
cos
x
−1
2
x
− sin
x
2
f
′
(
x
) =
x
cos
x
−sin
x
x
2
x
≠ 0.
lim
x
→0
= lim
x
→0
= lim
x
→0
= − lim
x
→0
= − ⇒
f
′′
(0) = − .
f
′
(
x
)−
f
′
(0)
x
−0
x
cos
x
−sin
x
x
3
(cos
x
−
x
sin
x
)−cos
x
3
x
2
1
3
sin
x
x
1
3
1
3
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
THI ONLINE - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
Câu 1 [Q677533473] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3√3x + 2 tại điểm x = 2 bằng định nghĩa
Câu 2 [Q166454064] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 10x tại điểm x = 0 bằng định nghĩa
Câu 3 [Q962031090] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = log x trên khoảng (0; +∞) bằng định nghĩa.
Câu 4 [Q064825562] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arcsin x trên khoảng (−1; 1) bằng định nghĩa.
Câu 5 [Q487612604] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arctan x bằng định nghĩa.
Câu 6 [Q777000920] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arccos x trên khoảng (−1; 1) bằng định nghĩa.
Câu 7 [Q236095333] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arccotx bằng định nghĩa.
Câu 8 [Q628886800] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (3 + cos x)sinx.
Câu 9 [Q076574763] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (1 + x2)sinx.
Câu 10 [Q006728145] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = logx(x2 − 1). x a2 x
Câu 11 [Q624684691] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = √a2 − x2 + arcsin (a > 0) . 2 2 a 1 1 1 πx2
Câu 12 [Q613584533] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (x2 − ) arcsin x + x√1 − x2 − . 2 2 4 12 1 πx2 x − 1
Câu 13 [Q383396778] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (x2 + 1) arctan x − − . 2 8 2
Câu 14 [Q880860184] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (arctan x)x.
Câu 15 [Q888362478] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (arccos(2x − x2))10. 1
Câu 16 [Q336839783] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (2019x + 2020x2) x . ⎧ 1
Câu 17 [Q570596687] Chứng minh rằng hàm số f(x) = ⎨ x2. sin , x ≠ 0 có đạo hàm tại mọi ⎩ x x ∈ R. 0, x = 0
Câu 18 [Q466509467] Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0.
Ngược lại nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì hàm số f(x) chưa chắc có đạo hàm tại điểm x0.
Câu 19 [Q693463033] Hàm số f(x) = |x − 2| . sin2(3x + 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ R hay không? Tính đạo hàm
của hàm số tại mọi điểm hàm số có đạo hàm.
Câu 20 [Q680909698] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = |x| + |x − 2| . π
Câu 21 [Q337667352] Cho hàm số f(x) = { x2 ∣∣cos ∣∣ , x ≠ 0 x
. Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm 0, x = 0 2
x = 0; hàm số không có đạo hàm tại điểm x = . 2021f(x)−f(2019x)
Câu 22 [Q657527649] Cho f ′(0) = 1, tính limx→0 . x
Câu 23 [Q379393339] Tìm (a; b) để hàm số f(x) = { x2, x ⩽ 1 có đạo hàm tại mọi x ∈ R. ax + b, x > 1
Câu 24 [Q573688000] Chứng minh rằng hàm số f(x) = xxx đồng biến trên khoảng (0; +∞). ⎧ ⎪ 1 2 − x2 (2 + sin ) ; x ≠ 0
Câu 25 [Q536832279] Cho hàm số f(x) = ⎨ x . Chứng minh rằng: ⎪ ⎩ 2; x = 0
a) Hàm số có đạo hàm tại mọi x ∈ R.
b) Không tồn tại số thực ε > 0 sao cho f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−ε; 0) và f ′(x) < 0, ∀x ∈ (0; ε).
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 1; x ⩽ 0
Câu 26 [Q343565448] Cho hàm số f(x) = {
(a > 0) . Chứng minh rằng hàm số không có đạo ax + xa; x > 0 hàm tại điểm x = 0. 1 − x
Câu 27 [Q747565503] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arctan √ . 1 + x 1
Câu 28 [Q623797600] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(ln x). cos(ln x) − ln . x 9 − x2
Câu 29 [Q276337623] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arccos( ). 9 + x2
Câu 30 [Q333606335] Cho hàm số f : (−a; a) → R, a > 0. Giả sử f liên tục tại x = 0 và giới hạn f(x) − f(kx) limx→0
, 0 < k < 1 tồn tại hữu hạn. Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại x = 0. x 2x3
Câu 31 [Q083252520] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = arcsin . 1 + x6
Câu 32 [Q807018326] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = (tan x)x.
Câu 33 [Q069399305] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3
√(2x2 − 6x + 1)2 3√−5x + 2. ⎧ 1
Câu 34 [Q749209437] Cho hàm số f(x) = ⎨ (e3x − 1) sin ; x ≠ 0 3x
. Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng ⎩ 0; x = 0
không có đạo hàm tại điểm x = 0. Câu 35 [Q970307374] Tính đạo hàm của hàm số 1 x2 1
f(x) = (x2 − 6x)arccot2x − arctan 2x − 3 ln(1 + 4x2) − + ( + 2√3) x. 4 2 √3 2
Câu 36 [Q081393698] Cho f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x) + f ′(x) < 1, ∀x ∈ Rvà f(0) = 0. Chứng minh e − 1 rằng f(1) ≤
và tìm một hàm để đẳng thức xảy ra? e 1
Câu 37 [Q517868015] Cho hàm sốf(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f ′(x) ≤ f ′ (x + ) , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗. n
Chứng minh rằng f ′(x) là hàm đơn điệu trên R. ⎧ ⎪ 2x + 4 ⎪ ⎪ ; x ≠ −2 1
Câu 38 [Q033703707] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = ⎨ . ⎪ ⎪ x + 2 ⎪ ⎩ e + 2 0; x = −2
Câu 39 [Q190722219] Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h2 với
∀x ∈ R, ∀h > 0. Chứng minh rằng y = f(x) là hàm số hằng. ⎧ ⎪ 1 −
Câu 40 [Q036937796] Cho hàm số f(x) = ⎨ e x2 ; x ≠ 0 . Chứng minh rằng hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0. ⎪ ⎩ 0;x = 0
Câu 41 [Q673667333] Tính đạo hàm của hàm số f(x) = |x − 1| . |x − 2| . . . |x − 2020| . α sin x
Câu 42 [Q332408464] Chứng minh rằng với mọi α ≤ 3 thì (
) ≥ cos x, ∀x ∈ (0; π ) . x 2
Câu 43 [Q711601373] Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1. Biết rằng f(1 + 7x) − f(1 + 2x) lim Tính x→0 = 2. f′(1). x
Câu 44 [Q433740373] Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1. Biết rằng f(1 + 5x) − f(1 + 3x) limx→0 = 1. Tính f′(1). x (2 − x)(3 − x); x ⩽ 3
Câu 45 [Q999799263] Cho hàm số f(x) = { . Tính f′(3). x − 3; x > 3
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 (3 − x)(x − 4); x ⩽ 4
Câu 46 [Q077516631] Cho hàm số f(x) = { . Tính f′(4). 4 − x; x > 4
Câu 47 [Q695683363] Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm trên R thoả mãn:
|f(a) − f(b)| ≤ |a − b| . |sin(a − b)| , ∀a, b ∈ R.
Câu 48 [Q870586915] Tìm tất cả các hàm số f(x) có đạo hàm trên R thoả mãn:
|f(a) − f(b)| ≤ |a − b| . ∣ea−b − 1∣ , ∀a, b ∈ R. ⎧ 1
Câu 49 [Q317433274] Cho hàm số f(x) = ⎨ ln(1 + x2) cos ; x ≠ 0 x
. Tính f′(x) và xét tính liên tục của hàm số ⎩ 0; x = 0 f′(x) tại điểm x = 0. ⎧ 1
Câu 50 [Q724093529] Cho hàm số f(x) = ⎨ xa. sin ; x ≠ 0 x
, (a ∈ R) . Tìm a để hàm số ⎩ 0; x = 0
a) liên tục tại điểm x = 0
b) có đạo hàm tại điểm x = 0
c) có đạo hàm liên tục tại điểm x = 0. −1 1 ln x
Câu 51 [Q225031176] Cho hàm số f(x) thoả mãn f(x)f(x) = x. Chứng minh rằng f ′(x) = (1 + ) . x f(x) 2020
Câu 52 [Q714777126] Cho hàm số f(x) = ∏ (x − k). Tính f ′(1). k=1
Câu 53 [Q385388386] (Putnam 1967) Cho hàm số f(x) = a1 sin x + a2 sin 2x+. . . +an sin nx, trong đó
a1, a2, . . . , anlà các số thực. Chứng minh rằng nếu |f(x)| ≤ |sin x| , ∀x ∈ Rthì ta luôn có
|a1 + 2a2+. . . +nan| ≤ 1.
Câu 54 [Q653923036] Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − 1| . ex2 liên tục tại điểm x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 1. x
Câu 55 [Q015677367] Chứng minh rằng hàm số f(x) =
với x ≠ 0 và f(0) = 0 liên tục tại mọi điểm, 1 1 + e x
nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0. 1
Câu 56 [Q092570479] Chứng minh rằng hàm số f(x) = x sin với x ≠ 0 và f(0) = 0 liên tục tại điểm x = 0 x
nhưng không có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.
Câu 57 [Q845752117] Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm f ′(a) với f(x) = (x − a). g(x) trong đó g(x) liên tục tại điểm x = a.
Câu 58 [Q355575773] Tính đạo hàm của các hàm số sau: y = |x| ; y = x |x| ; y = ln|x| (x ≠ 0) .
Câu 59 [Q353865870] Tính đạo hàm trái và đạo hàm phải của hàm số y = |sin x| tại điểm x = 0.π
Câu 60 [Q407344004] Tính đạo hàm trái và đạo hàm phải của hàm số y = |cos x| tại điểm x = . 2
Câu 61 [Q172128370] Dùng định nghĩa, tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 tại điểm x = 0 của hàm số sin x f(x) = với x ≠ 0 và f(0) = 1. x HƯỚNG DẪN
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Câu 1 Có f(x) − f(2) 3 √3x + 2 − 2 3x + 2 − 8 lim = lim = lim x→2 x − 2 x→2 x − 2
x→2 (x − 2) ( 3√3x + 22 + 2 3√3x + 2 + 4) 3 1 = lim = .
x→2 3√3x + 22 + 2 3√3x + 2 + 4 4 1 Vậy f ′(2) = . 4 Câu 2 Có lim f(x)−f(0) 10x−1 exln10−1 exln10−1 x→0 = limx→0 = limx→0 = ln 10. limx→0 = ln 10 ⇒ f′(0) = ln 10. x−0 x x x ln 10
Câu 3 Với mọi x0 ∈ (0; +∞) có x x−x0 f(x) − f(x log x − log x log( ) x 1 log(1 + ) x lim 0) = lim 0 = lim 0 = . lim 0 x→x0 x→x x − x 0 x→x x − x 0 x→x x − x x 0 0 0 0 0 x−x0 x0 x−x0 1 ln(1 + ) x 1 1 1 = . lim 0 = ⇒ f′(x x→x 0) = ⇒ f′(x) = . x 0 0 ln 10 x−x0 x x x ln 10 x 0 ln 10 0 ln 10 0
Câu 4 Với mọi x0 ∈ (−1; 1) ta có f(x) − f(x arcsin x − arcsin x y − y lim 0) = lim 0 = lim 0 (y = arcsin x; y x→x 0 = arcsin x0) 0 x→x0 y→y0 x − x0 x − x0 sin y − sin y0 y−y y − y 0 1 = lim 0 = lim 2 . y→y0 y→y y+y y−y 0 2 cos( 0 ) sin( 0 ) sin( y−y0 ) cos( y+y0 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = = = ⇒ f′(x0) = ⇒ f′(x) = . cos y0 √1 − sin2y √1 − x2 0 √1 − x20 √1 − x20
Câu 5 Với mọi x0 ∈ R ta có f(x) − f(x arctan x − arctan x y − y lim 0) = lim 0 = lim 0 (y = arctan x; y x→x 0 = arctan x0) 0 x→x0 y→y0 x − x0 x − x0 tan y − tan y0 y − y y − y = lim 0 = lim 0 . cos y. cos y y→y 0 0 sin(y−y0) y→y0 sin(y − y0) cos y.cos y0 1 1 1 1 = cos2y0 = = ⇒ f′(x0) = ⇒ f′(x) = . 1 + tan2y0 1 + x2 1 + x2 0 1 + x20
Câu 6 Với mọi x0 ∈ (−1; 1) ta có f(x) − f(x arccos x − arccos x y − y lim 0) = lim 0 = lim 0 (y = arccos x; y x→x 0 = arccos x0) 0 x→x0 y→y0 x − x0 x − x0 cos y − cos y0 y−y y − y 0 −1 = lim 0 = lim 2 . y→y0 y→y y+y y−y 0 −2 sin( 0 ) sin( 0 ) sin( y−y0 ) sin( y+y0 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = − = − = − ⇒ f′(x0) = − ⇒ f′(x) = − . sin y0 √1 − cos2y0 √1 − x2 √1 − x2 0 √1 − x20
Câu 8 Có ln f(x) = sin x. ln(3 + cos x) ⇒ f′(x) = cos x. ln(3 + cos x) + sin x. −sinx . f(x) 3+cos x
Do đó f ′(x) = (cos x. ln(3 + cos x) + sin x. −sinx ) (3 + cos x)sinx. 3+cos x
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
Câu 9 Có ln f(x) = sin x ln(1 + x2) ⇒ f′(x) = cos x. ln(1 + x2) + sin x. 2x . f(x) 1+x2
Do đó f ′(x) = (cos x. ln(1 + x2) + sin x. 2x ) (1 + x2)sinx. 1+x2 2x ln x− 1x ln(x2−1) Câu 10 Có f(x) = log ln(x2−1) x2−1 x(x2 − 1) = ⇒ f′(x) = . ln x ln2x 1
Câu 11 f ′(x) = 1 (1.√a2 − x2 + x. −2x ) + a2 . a = a2−x2−x2 + a2 = √a2 − x2. 2 2√a2−x2 2 √1−( x 2√a2−x2 2√a2−x2 a )2
Câu 12 Có f ′(x) = 1 [2x. arcsin x + (x2 − 1 ) . 1
] + 1 (√1 − x2 + x. −x ) − πx = x arcsin x − πx . 2 2 √1−x2 4 √1−x2 6 6
Câu 13 Có f ′(x) = 1 (2x. arctan x + (x2 + 1). 1 ) − πx − 1 = x arctan x − πx . 2 1+x2 4 2 4 1
Câu 14 Có ln f(x) = x. ln(arctan x) ⇒ f′(x) = ln(arctan x) + x. 1+x2 . f(x) arctan x
Do đó f ′(x) = (ln(arctan x) + x ) (arctan x)x. (1+x2).arctan x 20(x−1)(arccos(2x−x2))9
Câu 15 Có f ′(x) = 10(arccos(2x − x2))9. − 2−2x = . √1−(2x−x2)2 √1−(2x−x2)2
Câu 16 Có ln f(x) = 1 ln(2019x + 2020x2) ⇒ f′(x) = − 1 . ln(2019x + 2020x2) + 1 . 2019x ln2019+4040x . x f(x) x2 x 2019x+2020x2 1
Do đó f ′(x) = (− 1 . ln(2019x + 2020x2) + 1 . 2019x ln2019+4040x ) (2019x + 2020x2) x . x2 x 2019x+2020x2
Câu 17 Với x ≠ 0 ⇒ f ′(x) = 2x. sin 1 + x2. − 1 . cos 1 = 2x sin 1 − cos 1 . x x2 x x x 1 Tại điểm x = 0 có lim f(x)−f(0) x2 sin x −0 1 x→0 = limx→0
= limx→0 x sin = 0 ⇒ f′(0) = 0. x−0 x−0 x
Ta có điều phải chứng minh. Câu 18 Với f ′(x
f(x)−f(x0) ta có biến đổi: 0) = limx→x0 x−x0 f(x) = (f(x) − f(x f(x)−f(x0) 0)) + f(x0) = . (x − x x−x 0) + f(x0). 0 Suy ra lim f(x)−f(x0) x→x f(x) = limx→x [ x−x
. (x − x0) + f(x0)] = f′(x0).0 + f(x0) = f(x0). Do đó f(x) liên tục 0 0 0 tại điểm x0.
Điều ngược lại ta chỉ cần lấy một phản ví dụ:
Xét hàm số f(x) = |x| liên tục tại điểm x = 0 nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 vì
f′(0+) = 1 ≠ f′(0−) = −1.
Câu 19 Với x > 2 ⇒ f(x) = (x − 2)sin2(3x + 1) ⇒ f ′(x) = sin2(3x + 1) + 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1).
Với x < 2 ⇒ f(x) = −(x − 2)sin2(3x + 1) ⇒ f ′(x) = −sin2(3x + 1) − 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1). Xét tại x = 2 có lim f(x)−f(2) (x−2)sin2(3x+1)−0 và x→2+ = lim x−2 x→2+ = sin27 ⇒ f′(2+) = sin27 x−2 lim f(x)−f(2) −(x−2)sin2(3x+1)−0 x→2− = lim x−2 x→2−
= −sin27 ⇒ f′(2−) = −sin27. x−2
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 2.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 π Câu 21 Có lim f(x)−f(0) x2∣cos ∣ x −0 π x→0 = limx→0 = limx→0 x ∣ x−0 x−0 cos ∣ x = 0 ⇒ f ′(0) = 0.
Vì 0 ≤ ∣x ∣cos π ∣∣ = |x| . ∣cos π ∣ ≤ |x| → 0 ⇒ lim π x→0 x ∣cos ∣ = 0. x x x
Vậy hàm số có có đạo hàm tại điểm x = 0;
Tại điểm còn lại ta kiểm tra đạo hàm phải và đạo hàm trái: f(x) − f ( 2 ) 2021π π 2021 x2 ∣cos π ∣ x2 ∣∣sin( − )∣ 2 x ∣ lim = lim x = lim x→ + 2 x − 2 x→ + 2 x − 2 x→ + 2 2021π π 2x 2021 2021 2021 2021 2021 ( − ) . 2 x 2021π ∣ 2021π π 2021π π 2021πx ∣sin( − )∣ sin( − ) 2 x ∣ 2021πx 2 x = lim = lim . = π. x→ + 2 2 2021π − π x→ + 2 2 2021π − π 2021 2 x 2021 2 x Do đó f ′ ( + 2
) = π. Tương tự có f′ ( − 2
) = −π. Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 2 . 2021 2021 2021 f(x) − f(2019x) f(x) − f(0) f(2019x) − f(0) lim = lim − lim Câu 22 Có x→0 x→0 x→0 x x x f(x) − f(0) f(2019x) − f(0) = lim − 2019 lim
= f′(0) − 2019f′(0) = −2018. x→0 x − 0 2019x→0 2019x − 0
Câu 24 Có y = xx ⇒ ln y = x ln x ⇒ y′ = ln x + 1 ⇒ y′ = (ln x + 1) xx. y
Do đó ln f(x) = xx ln x ⇒ f′(x) = xx. 1 + (xx)′. ln x = xx−1 + (ln x + 1) xx ln x = xx ( 1 + ln x (ln x + 1)) . f(x) x x
+) Nếu x ≥ 1 ⇒ 1 + ln x(ln x + 1) ≥ 1 > 0 ⇒ f ′(x) > 0. x x
+) Nếu 0 < x < 1 ⇒ 1 + (ln x + 1) ln x = (ln x + 1 )2 + 1 − 1 = (ln x + 1 )2 + 4−x > 0 ⇒ f ′(x) > 0. x 2 x 4 2 4x
Vậy f ′(x) > 0, ∀x > 0. Ta có điều phải chứng minh.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
Câu 25 a) Với x ≠ 0 ⇒ f ′(x) = −4x − 2x sin 1 + cos 1 . x x 2−x2(2+sin 1x )−2 Và lim f(x)−f(0) 1 x→0 = limx→0
= − limx→0 x (2 + sin ) = 0 ⇒ f′(0) = 0. x−0 x−0 x
Vì 0 ≤ ∣∣x (2 + sin 1 )∣ 1
x ∣ ≤ 3 |x| → 0 ⇒ limx→0 x (2 + sin ) = 0. x
Ta có điều phải chứng minh. Câu 26 Có lim f(x)−f(0) 1−1 x→0− = lim x−0 x→0− = 0 ⇒ f′(0−) = 0. x−0 ⎧ ln a; a > 1
Và lim f(x)−f(0) = lim xa+ax−1 = lim (axa−1 + ax ln a) = ⎨ 1; a = 1 ⇒ f′(0+) > f′(0−). x→0+ x−0 x→0+ x x→0+ ⎩ +∞;0 < a < 1
Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. ′ 2 1 (√ 1−x ) − . (x+1)2 1+x 2√ 1−x Câu 27 Có f ′(x) = 1+x 1 2 = = − . 1+ 1−x 2√1−x2 1+(√ 1−x ) 1+x 1+x 1 1 1
f′(x) = . cos(ln x). cos(ln x) + sin(ln x). . − sin(ln x) + Câu 28 x x x 1 1 2cos2 (ln x)
= (cos2 (ln x) − sin2 (ln x) + 1) = (cos(2 ln x) + 1) = . x x x ′ ( 9−x2 )
Câu 29 Có f ′(x) = − 9+x2 = 36x = 6x . 2 √ (x2+9)√36x2 (x2+9)√x2 1−( 9−x2 ) 9+x2 ′ ( 2x3 ) − 6x2(x6−1) 6x2√(x6−1)2 Câu 31 Có f ′(x) = 1+x6 = (x6+1)2 = − . 2 2 (x6+1)(x6−1) √1−( 2x3 ) √1−( 2x3 ) 1+x6 1+x6 1
Câu 32 Có ln f(x) = x ln(tan x) ⇒ f′(x) = ln(tan x) + x. cos2x x(1+tan2x) tan x = ln(tan x) + tan x . f(x)
Do đó f ′(x) = (ln(tan x) + x(1+tan2x) ) (tan x)x. tan x
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8 Câu 34 Có 0 ≤ ∣ 1 1 Vì ∣(e3x − 1). sin ∣
3x ∣ ≤ ∣e3x − 1∣ → 0 ⇒ limx→0 f(x) = limx→0 (e3x − 1). sin = 0 = f(0). 3x
vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0. lim f(x)−f(0) (e3x−1).sin 13x (e3x−1) 1 1 x→0 = limx→0 = 3 limx→0 . sin = 3 limx→0 sin . x−0 x 3x 3x 3x
Giới hạn trên không tồn tại vì xét x 1 1 n =
→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin
= limn→∞ sin(n2π) = 0 và 3n2π 3xn y 1 1 π n =
→ 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + ) = 1. 3(n2π+ π ) 3yn 2 2
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0. Câu 35 Có
f′(x) = (2x − 6)arccot2x + (x2 − 6x). −2 − 1 . 2
− 3 . 8x − 2x + 1 + 2√3 = (2x − 6)arccot2x − 2x + 2√3. 1+(2x)2 4 1+(2x)2 2 1+4x2 √3 2 √3
Câu 36 Xét g(x) = ex (f(x) − 1) có g′(x) = (f ′(x) + f(x) − 1) ex < 0, ∀x ∈ R do đó hàm số này nghịch biến
trên R. Suy ra g(1) ≤ g(0) haye (f(1) − 1) ≤ −1 ⇔ f(1) ≤ e−1 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi g(x)là hàm hằng e
suy ra g(x) = ex (f(x) − 1) = g(0) = −1 ⇒ f(x) = 1 − e−x. Thử lại ta có f(x) + f ′(x) = 1khôngthỏa mãn điều
kiện đề bài. Do đó không tồn tại hàm fthỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 37 Xét hàm số F(x) = f (x + 1 ) − f(x)ta có F ′(x) = f ′ (x + 1 ) − f ′(x) ≥ 0nên F tăng. n n
Suy ra với mọi x1, x2 ∈ R, x1 > x2 ta có F(x1) > F(x2). Suy ra f (x 1 1 1 +
) − f(x1) > f (x2 + ) − f(x2) hay n n f(x 1 1 1+ n )−f(x1) f(x2+ n )−f(x2) 1 > 1 n n
Cho n → +∞ ta được f ′(x1) > f ′(x2)tức f ′là hàm đơn điệu tăng. Bài toán được chứng minh hoàn toàn. ⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎜e x + 2 1 + 2⎟ + e x + 2 (2x + 4) ⎝ ⎠ (x + 2)2
Câu 38 Với x ≠ −2 ⇒ f ′(x) = . 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜e x + 2 + 2⎟ ⎝ ⎠ 2x+4 1 Tại điểm x = −2 có lim f(x)−f(−2) e x+2 +2 2 và x→−2+ = lim x+2 x→−2+ = lim x+2 x→−2+ 1 = 0 ⇒ f′(−2+) = 0 e x+2 +2 2x+4 1 lim f(x)−f(−2) e x+2 +2 2 x→−2− = lim x+2 x→−2− = lim x+2 x→−2− 1 = 1 ⇒ f′(−2−) = 1. e x+2 +2
Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = −2.
Câu 39 Có |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h2, ∀x ∈ R, ∀h > 0 ⇔ ∣ f(x+h)−f(x−h) ∣ ∣ h
∣ ≤ h, ∀x ∈ R, ∀h > 0.
Do đó theo định nghĩa giới hạn có lim f(x+h)−f(x−h) h→0
= 0 và theo định nghĩa đạo hàm có h lim f(x+h)−f(x) f(x)−f(x−h) h→0 + limh→0
= 0 ⇔ f′(x) + f′(x) = 0 ⇔ f′(x) = 0. (x+h)−x x−(x−h)
Ta có điều phải chứng minh. 1 − f(x) − f(0) e x2 t 1 1 Câu 40 Có limx→0 = limx→0 = limt→∞ = limt→∞ = 0 (t = ) ⇒ f′(0) = 0. x − 0 x et2 2tet2 x
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|8
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9 f(1 + 7x) − f(1 + 2x) f(1 + 7x) − 1 f(1 + 2x) − 1 2 = lim = lim − lim Câu 43 x→0 x x→0 x x→0 x f(1 + 7x) − 1 f(1 + 2x) − 1 2 = 7 lim − 2 lim
= 7f′(1) − 2f′(1) ⇔ f′(1) = . x→0 7x x→0 2x 5 f(1 + 5x) − f(1 + 3x) f(1 + 5x) − 1 f(1 + 3x) − 1 1 = lim = lim − lim Câu 44 x→0 x x→0 x x→0 x f(1 + 5x) − 1 f(1 + 3x) − 1 1 = 5 lim − 3 lim
= 5f′(1) − 3f′(1) ⇔ f′(1) = . x→0 5x x→0 3x 2 Câu 45 Có ⎧ f(x) − f(3) ⎪ x − 3 − 0 ⎪ ⎪ lim = lim = 1 ⇒ f′(3+) = 1 x→3+ x − 3 x→3+ x − 3 ⎨
⇒ f′(3) = f′(3+) = f′(3−) = 1. ⎪ ⎪ f(x) − f(3) (2 − x)(3 − x) − 0 ⎪ ⎩ lim = lim = 1 ⇒ f′(3−) = 1 x→3− x − 3 x→3− x − 3
Câu 47 Theo giả thiết thì với mọi x f(x)−f(x0) ∣
0 ∈ R ⇒ |f(x) − f(x0)| ≤ |x − x0| |sin(x − x0)| ⇒ 0 ≤ ∣∣ x−x0 ∣ ≤ |sin(x − x0)| , ∀x ≠ x0. Mặt khác |sin(x − x f(x)−f(x0)
0)| → 0 (x → x0) ⇒ x0 ∈ R ⇒ limx→x x−x = 0 ⇒ f′(x 0
0) = 0, ∀x0 ∈ R ⇒ f(x) = const. 0
Thử lại thấy thoả mãn. Vậy hàm số cần tìm là hàm số hằng.
Câu 49 Với x ≠ 0 ⇒ f ′(x) = 2x cos 1 + 1 sin 1 ln(1 + x2). 1+x2 x x2 x ln(1+x2) cos 1x −0 Và lim f(x)−f(0) ln(1+x2) 1 x→0 = limx→0 = limx→0
. x cos = 1.0 = 0 ⇒ f′(0) = 0. x−0 x−0 x2 x
Để xét tính liên tục của hàm số f ′(x) tại điểm x = 0. Xét giới hạn: lim 2x 1 1 1 x→0 f ′(x) = limx→0 ( cos + sin ln(1 + x2)) . 1+x2 x x2 x +) Chọn dãy x 1 n =
→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(xn) = 0. 2nπ +) Chọn dãy y 1 n = π
→ 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(yn) = 1. +2nπ 2 Do đó lim
không tồn tại, vì vậy hàm số
không liên tục tại điểm x→0 f ′(x) f′(x) x = 0.
Câu 51 Có f(x)f(x) = x ⇒ f(x) ln f(x) = ln x.
Lấy đạo hàm hai vế có: f ′(x) ln f(x) + f(x). f′(x) = 1 ⇔ f ′(x) = 1 ⇒ f′(x) = 1 . f(x) x x(1+ln f(x)) x(1+ lnx ) f(x) 2020
Câu 52 Theo định nghĩa đạo hàm ta cóf ′(1) = lim f(x)−f(1) x→1
= limx→1 ∏ (x − k) = −2019!. x−1 k=2
Câu 53 Ta có f(0) = 0và f ′(0) = a1 + 2a2+. . . +nanvậy ta xét |f′(0)| = lim ∣ f(x)−f(0) ∣ ∣ f(x) ∣ sin x
x→0 ∣ x−0 ∣ = limx→0 ∣ x ∣ ≤ limx→0 ∣∣ ∣ x ∣ = 1.
Do đó |a1 + 2a2+. . . +nan| ≤ 1.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|9
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10 (x − 1)ex2; x ⩾ 1 Câu 54 Có f(x) = {
⇒ lim f(x) = lim f(x) = f(1) = 0 ⇒ f(x) liên tục tại điểm x = 1. (1 − x)ex2; x < 1 x→1+ x→1− ⎧ ⎪ f(x) − f(1) (x − 1)ex2 − 0 ⎪ ⎪ lim = lim = lim ex2 = e ⇒ f′(1+) = e x − 1 x − 1 Mặt khác x→1+ x→1+ x→1+
. Do đó hàm số không ⎨ ⎪ ⎪ (1 − x)ex2 − 0 ⎪ f(x) − f(1) ⎪ ⎩ lim = lim
= lim −ex2 = −e ⇒ f′(1−) = −e x→1− x − 1 x→1− x − 1 x→1−
có đạo hàm tại điểm x = 1.
Câu 55 Có f(x) = x liên tục tại mọi điểm x ≠ 0; xét tại điểm x = 0 có 1 1+e x lim x x Do đó hàm x→0+ f(x) = limx→0+
1 = 0; limx→0− f(x) = limx→0−
1 = 0 ⇒ limx→0 f(x) = f(0) = 0. 1+e x 1+e x
số liên tục tại mọi điểm. ⎧ ⎪ f(x) − f(0) 1 ⎪ ⎪ lim = lim = 0 ⇒ f′(0+) = 0 x→0+ x − 0 x→0+ Xét đạo hàm 1 + e 1x
⇒ f(x) không có đạo hàm tại điểm ⎨ x = 0. ⎪ ⎪ f(x) − f(0) 1 ⎪ ⎪ ⎩ lim = lim = 1 ⇒ f′(0−) = 1 x→0− x − 0 x→0− 1 + e 1x Câu 57 Có lim f(x)−f(a) (x−a).g(x)−0 x→a = limx→a
= limx→a g(x) = g(a) ⇒ f′(a) = g(a). x−a x−a Câu 61 Có sin x lim f(x)−f(0) x −1 sin x−x cos x−1 − sin x x→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 = limx→0 = 0 ⇒ f′(0) = 0. x−0 x x2 2x 2
f′(x) = xcosx−sinx với x ≠ 0. x2 Có lim f′(x)−f′(0) x cos x−sin x (cos x−x sin x)−cos x 1 sin x 1 1 x→0 = limx→0 = limx→0 = − limx→0 = − ⇒ f′′(0) = − . x−0 x3 3x2 3 x 3 3
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|10
sites.google.com/view/thichhocchuiofficial/

Tài liệu liên quan: