Tích vô hướng của 2 vector và ứng dụng – Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ
Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐẾN 0 180 1. Định nghĩa
Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn α =
xOM . Giaû söû M(x; y).
sinα = y (tung ñoä)
cosα = x (hoaønh ñoä) y
y  tung ñoä  tanα =   (x ≠ 0) y M
x  hoaønh ñoä  O x 1 -1 x
x  hoaønh ñoä  cotα =   (y ≠ 0)
y  tung ñoä  Chú ý:
– Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
– tanα chỉ xác định khi α ≠ 900, cotα chỉ xác định khi α ≠ 00 và α ≠ 1800. 2. Tính chất • Góc phụ nhau • Góc bù nhau 0 sin(90 −α) = cosα 0 sin(180 −α) = sinα 0 cos(90 −α) = sinα 0 cos(180 −α) = − cosα 0 tan(90 −α) = cotα 0 tan(180 −α) = − tanα 0 cot(90 −α) = tanα 0 cot(180 −α) = − cotα
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 1 2 3 sinα 0 2 2 2 1 0 3 2 1 cosα 1 2 2 2 0 –1 3 tanα 0 3 1 3 | 0 3 cotα | 3 1 3 0 |
4. Các hệ thức cơ bản sin tan α α = (cosα ≠ 0) cosα 2 2 sin α + cos α = 1 cosα 2 1 cotα = (sinα ≠ 0) 1+ tan α = (cosα ≠ 0) sinα 2 cos α
tanα.cotα = 1 (sinα.cosα ≠ 0) 2 1 1+ cot α = (sinα ≠ 0) 2 sin α Chú ý:
0 ≤ sinα ≤ 1; −1≤ cosα ≤ 1. Trang 12
Trần Sĩ Tùng
Tích vô hướng của hai vectơ
Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 0 0 0 0 0 0
a) a sin 0 + b cos 0 + c sin 90
b) a cos 90 + b sin 90 + c sin180 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
c) a sin 90 + b cos 90 + c cos180
d) 3 − sin 90 + 2 cos 60 − 3 tan 45 2 2 0 0 2 0 2
e) 4a sin 45 − 3(a tan 45 ) + (2a cos 45 )
Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x + cos x khi x bằng 00; 450; 600.
b) 2 sin x + cos 2x khi x bằng 450; 300.
Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: 1 1 a) sin β = cosα = − tan = 2 2 4 , β nhọn. b) 3 c) x 0 6 − 2 0 0 0 Baøi 4. Biết sin15 = cos15 , tan15 , cot15 4 . Tinh .
Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: 1 0 0
tan x + 3cot x +1
a) sin x = , 90 < x < 180 A = 3 . Tính tan . x + cot x sinα − cosα
b) tanα = 2 . Tính B = 3 3 sin α + 3cos α + 2sinα
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 4 4 2 2
a) (sin x + cos x) = 1+ 2 sin x.cos x
b) sin x + cos x = 1− 2 sin x.cos x 2 2 2 2 6 6 2 2
c) tan x − sin x = tan x.sin x
d) sin x + cos x = 1− 3sin x.cos x
e) sin x. cos x(1 + tan x)(1+ cot x) = 1+ 2 sin x.cos x
Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau: 2
a) cos y + sin y.tan y
b) 1+ cos b. 1− cos b
c) sin a 1+ tan a 2 1− cos x 2 1− 4sin x 2 .cos x d) + tan x.cot x 2 e) 1−sin x (sin x + cos x 2 ) 0 0 2 2 2
f) sin(90 − x) + cos(180 − x) + sin x(1+ tan x) − tan x
Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
a) cos 12 + cos 78 + cos 1 + cos 89
b) sin 3 + sin 15 + sin 75 + sin 87 Baøi 9. a)
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Trang 13
Tích vô hướng của hai vectơ
Trần Sĩ Tùng
1. Góc giữa hai vectơ a b
Cho a, b ≠ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a,OB = b . A a Khi đó ( , )
a b = AOB với 00 ≤ AOB ≤ 1800. O Chú ý: b B
+ (a,b ) = 900 ⇔ a ⊥ b
+ (a,b ) = 00 ⇔ a,b cùng hướng
+ (a,b ) = 1800 ⇔ a,b ngược hướng
+ (a,b ) = (b,a)
2. Tích vô hướng của hai vectơ • Định nghĩa: a b
. = a . b .cos(a,b) . 2 2 Đặc biệt: a a . = a = a . • Tính chất:
Với a, b,c bất kì và ∀k∈R, ta có:
+ a.b = b.a ;
a (b + c ) = a.b + a.c ;
(ka).b = k (a.b ) = a.(kb ) ; 2 2
a ≥ 0; a = 0 ⇔ a = 0 .
+ (a + b )2 2 2
= a + 2a.b + b ;
(a − b )2 2 2
= a − 2a.b + b ; 2 2
a − b = (a − b )(a + b ) .
+ a.b > 0 ⇔ (a,b ) nhoïn
+ a.b < 0 ⇔ (a,b) tuø
a.b = 0 ⇔ (a,b ) vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng • Cho a = (a . = +
1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a b a b a b 1 1 2 2 . 2 2 a b + a b 1 1 2 2
• a = a + a 1 2 ; cos(a,b) = ;
a ⊥ b ⇔ a b + a b 1 1 2 2 = 0
a2 + a2 . b2 + b2 1 2 1 2 2 2
• Cho A(x ; y ), B(x ; y )
AB = (x − x ) + (y − y ) A A B B . Khi đó: B A B A .
Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: a) AB.AC b) AC C . B c) AB B . C
Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: a) AB.AC b) AC C . B c) AB B . C
Baøi 3. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. a) Chứng minh: DA B . C + DB C
. A + DC.AB = 0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Baøi 4. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC.AD + CA B . E + AB C . F = 0.
Baøi 5. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: AM.AI = AB.AI, BN B . I = BA B . I .
b) Tính AM.AI + BN B . I theo R.
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra giá trị của góc A. Trang 14
Trần Sĩ Tùng
Tích vô hướng của hai vectơ b) Tính CA C . B .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD C . B .
Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau: a) AB.AC
b) (AB + AD)(BD + BC)
c) (AC − AB)(2AD − AB) d) AB B . D
e) (AB + AC + AD)(DA + DB + DC) HD: a) a2 b) a2 c) a2 2 d) a2 − e) 0
Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB.AC , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính AG B . C .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA G . B + GB G . C + GC G . A .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D ∈ BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra AD. 3 1 5 29
HD: a) AB.AC = − cos = − . = = − 2 , A 4 b) AG BC 3 c) S 6 AB 3 2 54
d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB = D
. C ⇒ AD = AB + AC , AD = AC 5 5 5
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC. a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA + IB = 0, JB = 2JC . 7 2
HD: a) BC = 19 , AM = 133 2 b) IJ = 3
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD. 2 2 2 2
a) Chứng minh AB − BC + CD − DA = 2AC D . B .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: 2 2 2 2
AB + CD = BC + DA .
Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: 1
MH.MA = BC2 4 .
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: 2 2 2 2
a) MA + MC = MB + MD
b) MA.MC = MB.MD 2
c) MA + MB.MD = 2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Baøi 13. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2AB − 3AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA + T 2 B − T 3 C = 0 Trang 15
Tích vô hướng của hai vectơ
Trần Sĩ Tùng
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho: 2
a) MA = 2MA.MB
b) (MA − MB)(2MB − MC) = 0 2
c) (MA + MB)(MB + MC) = 0 d) 2MA + MA M
. B = MA.MC
Baøi 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA MC + MB MD = a2 . .
b) MA MB + MC MD = a2 . . 5 2 2 2 2
c) MA + MB + MC = 3MD
d) MA + MB + MC MC − MB = a2 ( )( ) 3
Baøi 17. Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M 1
sao cho: MA.MB + MC.MD = IJ2 2 . Baøi 18. a)
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c Trang 16
Trần Sĩ Tùng
Tích vô hướng của hai vectơ
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S 1. Định lí côsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a = b + c − 2bc.cos A ;
b = c + a − 2ca.cos B ;
c = a + b − 2ab.cosC 2. Định lí sin a b c = = = 2R sin A sin B sinC
3. Độ dài trung tuyến
b2 + c2 − a2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2
2(a + c ) − b 2
2(a + b ) − c m = m = m = a 4 ; b 4 ; c 4
4. Diện tích tam giác 1 1 1 S =
ah = bh = ch a b c 2 2 2 1 1 1 =
bc sin A = casin B = absinC 2 2 2 abc = 4 R = pr =
p( p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao. 2 2 2 A
• BC = AB + AC (định lí Pi–ta–go) 2 2 • AB = BC B . H , AC = BC C . H 2 1 1 1 • AH = BH C . H , = + B H C AH 2 AB2 AC2 • AH B
. C = AB.AC
• b = a.sin B = a.cosC = c tan B = c cotC ; c = a.sinC = a.cos B = b tanC = b cotC T
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung) B
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. A R
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. O M 2 2 P . = . = − M/(O) = MA MB MC MD MO R C
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. 2 2 2 D P = − M/(O) = MT MO R Baøi 1.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a = b.cosC + c.cos B
b) sin A = sin B cosC + sin C cos B 2 2 2 3 2 2 2
c) h = 2R sin B sin C
m + m + m = (a + b + c ) a d) a b c 4 Trang 17
Tích vô hướng của hai vectơ
Trần Sĩ Tùng 2 1 S
AB2.AC2 ( AB.AC ) e) ∆ = − ABC 2 Baøi 2.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 1 1 2 2
a) Nếu b + c = 2a thì = +
b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C = sin A, h h = h h h h b c a a b c 2 2 2
c) A vuông ⇔ m + m = m 5 b c a Baøi 3.
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. 1
a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S = AC B . D.sinα 2 .
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Baøi 4.
Cho ∆ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH. 2 2
a) Chứng minh AH = a.sin B.cos B, BH = a.cos B, CH = a.sin B . 2 2
b) Từ đó suy ra AB = BC B
. H, AH = BH H . C . Baøi 5.
Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH = α .
a) Tính các cạnh của ∆OAK theo a và α.
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và α.
c) Từ đó tính sin 2α , cos 2α , tan 2α theo sinα , cosα , tanα . Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết: 0 0 0 0
a) c = 14; A = 60 ; B = 40
b) b = 4,5; A = 30 ; C = 75 0 0 0 0
c) c = 35; A = 40 ; C = 120
d) a = 137,5; B = 83 ; C = 57 Baøi 7. Giải tam giác ABC, biết: a) a = b = C 0 6,3; 6,3; = 54 b) b = c = A 0 32; 45; = 87 c) a = b = C 0 7; 23; =130 d) b = c = A 0 14; 10; = 145 Baøi 8. Giải tam giác ABC, biết:
a) a = 14; b = 18; c = 20
b) a = 6; b = 7,3; c = 4,8
c) a = 4; b = 5; c = 7
d) a = 2 3; b = 2 2; c = 6 − 2 Baøi 9. a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau: Trang 18
Trần Sĩ Tùng
Tích vô hướng của hai vectơ sin x 1+ cos x 2 3 x 3 sin + cos x a) + =
= 1− sin x.cos x 1 b) + cos x sin x sin x sin x + cos x 2  2 tan x 1 − 1 2 cos x 2 − sin x 2 c)   − = 1 − d) = 1+ tan x  2 tan x  2 4sin x 2 .cos x 4 sin x 4 + cos x 2 − sin x 2 x 2 sin cos x e) −
= sin x − cos x cos
x(1+ tan x) sin x(1+ cot x)  cos x   sin x  1 f)  tan x + . cot x +  =  1+ sin x  
1+ cos x  sin x.cos x 2 2 2 2 2
g) cos x(cos x + 2 sin x + sin x tan x) = 1 0 5 −1 Baøi 2. Biết sin18 =
4 . Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720.
Baøi 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2 2 4 2 2
a) A = cos x − cos x + sin x
b) B = sin x − sin x + cos x
Baøi 4. Cho các vectơ a, b .
a) Tính góc (a,b ) , biết a,b ≠ 0 và hai vectơ u = a + 2b, v = a 5 − 4b vuông góc.
b) Tính a + b , biết a = 11, b = 23, a − b = 30 .
c) Tính góc (a,b ) , biết (a + b
3 ) ⊥ (7a − b
5 ), (a − 4b) ⊥ (7a − 2b) .
d) Tính a − b , 2a + b 3 , biết a = b = a b 0 3, 2, ( , ) = 120 .
e) Tính a , b , biết a + b = 2, a − b = 4, (2a + b) ⊥ (a + b 3 ) .
Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính AB.AC và cosA. 2 3
b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM = AB, AN = AC 3 4 . Tính MN.
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD 0 = 60 .
a) Tính AB.AD, BA B . C .
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos ( AC, BD) .
Baøi 7. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân
đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ DE.
Baøi 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK ⊥ IJ.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo 3
AC lấy điểm N sao cho AN = AC 4 .
a) Chứng minh DN vuông góc với MN. b) Tính tổng DN N . C + MN C . B .
Baøi 10. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) AB.AM − AC.AM = 0
b) AB.AM + AC.AM = 0
c) (MA + MB)(MA + MC) = 0
d) (MA + MB + 2MC)(MA + 2MB + MC) = 0
Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 2 2 2 2
a) b − c = a(b.cosC − c.cos B)
b) (b − c ) cos A = a c
( .cosC − b.cos B)
b) sin A = sin B.cosC + sin C.cos B = sin(B + C) Trang 19
Tích vô hướng của hai vectơ
Trần Sĩ Tùng
Baøi 12. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a + b + c)(b + c − a) = b 3 c thì A 0 = 60 .
b3 + c3 − a3 2 b) Nếu = a thì A 0 = 60 .
b + c − a
c) Nếu cos(A + C) + 3 cos B = 1 thì B 0 = 60 . 2 2 2 2
d) Nếu b(b − a ) = c(a − c ) thì A 0 = 60 .
Baøi 13. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: b2 − a2 a) Nếu
= b cos A − a cos B 2 thì ∆ABC cân đỉnh C. c sin B b) Nếu = 2 cos A sin thì ∆ABC cân đỉnh B. C
c) Nếu a = 2b.cosC thì ∆ABC cân đỉnh A. b c a d) Nếu + = cos thì ∆ABC vuông tại A. B
cosC sin B.sinC 2
e) Nếu S = 2R sin B.sin C thì ∆ABC vuông tại A.
Baøi 14. Cho ∆ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông 2 2 2
góc với nhau là: b + c = a 5 . Baøi 15. Cho ∆ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK. 5 16 b) Có cos A = ABC = DAC =
9 , điểm D thuộc cạnh BC sao cho , DA = 6, BD 3 . Tính chu vi tam giác ABC. 8 30 25 HD: a) MK = 15
b) AC = 5, BC = 3 , AB = 10 2 2
Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x + x +1; 2x +1; x −1.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên. 0
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 120 .
Baøi 17. Cho ∆ABC có B 0
< 90 , AQ và CP là các đường cao, S = 9S ∆ABC ∆BPQ . a) Tính cosB.
b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 1 9 HD: a) cos B = = 3 b) R 2 Baøi 18. Cho ∆ABC. a) Có B 0
= 60 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ACI. b) Có A 0
= 90 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆BCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆BCM. 5 13 8 23 HD: a) R = 2 b) R = = 6 c) R 3 30
Baøi 19. Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng
tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa Trang 20
Trần Sĩ Tùng
Tích vô hướng của hai vectơ
A và N). Đặt AO C = α, AO D 1 2 = β .
a) Tính AC theo R và α; AD theo r và β.
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. α β HD:
a) AC = 2R sin 2 , AD = r
2 sin 2 b) Rr .
Baøi 20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB = α , CAD = β . a) Tính AC.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, α, β. a a2 cos(β −α ) HD: a) AC = S = sin(α b) . + β) 2sin(α + β )
Baøi 21. Cho ∆ABC cân đỉnh A, A = α , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD. a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosα 1
để bán kính của chúng bằng 2 bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. α m 11 HD: a) BC = 2m sin 5 + 4cosα cosα = − 2 , AD = 3 b) 16 . Baøi 22. a) Trang 21