Bài Tập Số Học
1. Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a+bc,b+ac và a  b đều khác 0 và thoả mãn 1 1 1   . a+bc b+ac a  b Chứng minh rằng (  c ) 3 (  c ) 1 là số hữu tỉ. Giải 1 1 1  
 (a b)(b  ac)  (a b)(a bc) (
 a bc)(b  ac)
Ta có: a+bc b+ac a b 2 2     ab a b 2 2   abc abc (  a )2  b a (  b c ) 1 2.   a b a b  2 ( )2 ( a b  c ) 3 (  c ) 1  (  c ) 1  4   4   .(c  ) 1 . Khi đó: ab ab a  b
2. Cho số nguyên dương n không phải là luỹ thừa của 2, ta gọi t(n) là ước nguyên
dương lẻ lớn nhất của n và r(n) là ước nguyên dương lẻ nhỏ nhất của n (khác 1).
Xác định tất cả các số nguyên dương n trên và thoả mãn n 3
 t(n)  5r(n). Chú ý rằng: Nếu r n s.2 n 3
 t(n)  5r(n 8s n   3 với là số lẻ mà ) nên . s Do đó có thể là 2 hoặc 3. . 3  r s t  (n) r  (n Trường hợp 1: Nếu Do đó
) nên là số lẻ. Vậy có số thoả mãn có
dạng là 8 p , p là số nguyên tố. r( ) s n  .  r . 2 s t  (n 5 Trường hợp 2: Nếu Do đó ) và
3. Cho hai số nguyên dương a, 2  b với gcd(a, )  b .
1 Gọi r là giá trị dương nhỏ nhất a c 
mà b d có thể đạt được, với c, d là hai số nguyên dương thoả mãn c a  , d  . b 1
Chứng minh rằng r là số nguyên.
4. Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình sau
lcm(m, n)  gcd( , m n) k  (m  ) n
không có nghiệm nguyên dương (m, n) với m  . n