Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Xét tính đơn điệu của hàm số Toán 12 có đáp án
I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng
biến, nghịch biến trên khoảng
- Định lí: Cho hàm số
y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b): + Hàm số
y=f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi
f′(x)≥0 với mọi giá trị x thuộc khoảng
(a,b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. + Hàm số
y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi
f′(x)≤0 với mọi giá trị x thuộc khoảng
(a,b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
1. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng xác định
Chương trình phổ thông ta thường gặp dạng bài này đối với hàm số đa thức bậc 1 trên
bậc 1, ta sẽ áp dụng chú ý sau: - Hàm số
f(x)=ax+bcx+d,(ad−bc≠0,c≠0) đồng biến trên
từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad−bc>0 - Hàm số
f(x)=ax+bcx+d,(ad−bc≠0,c≠0) nghịch biến trên
từng khoảng xác định khi và chỉ khi ad−bc<0
2. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng cho trước. Cách 1: - Hàm số
g(x)=ax+bcx+d,(ad−bc≠0,c≠0) đồng biến trên khoảng (p,q) khi và chỉ khi
{−cx+d≠0,∀x∈(p,q)−ad−bc>0 - Hàm số
g(x)=ax+bcx+d,(ad−bc≠0,c≠0) nghịch biến trên khoảng (p,q) khi và chỉ khi
{−cx+d≠0,∀x∈(p,q)−ad−bc<0
Cách 2: Cô lập tham số m Bước 1: Tìm y’
Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ m≥f(x)
Bước 3: Xét dấu với hàm
f(x) theo bảng quy tắc sau:
m≥f(x),∀x∈(p,q)⇔m≥max(p,q)f(x)
m>f(x),∀x∈(p,q)⇔m>max(p,q)f(x)
m≤f(x),∀x∈(p,q)⇔m≤min(p,q)f(x)
mII. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch
biến trên khoảng cho trước.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
y=−x3+3x2+3mx−1 nghịch biến trên khoảng (0,+∞) A.m≥1 B.m≤−1 C.m≥−1 D.m≤0 Hướng dẫn giải Ta có: y′=−3x2+6x+3m
Hàm số nghịch biến trên
(0,+∞)⇔y′≤0 với mọi x∈(0,+∞)
⇔−3x2+6x+3m≤0,∀x∈(0,+∞)⇔m≤x2−2x,∀x∈(0,+∞) Xét f(x)=x2−2x với
x∈(0,+∞)f′(x)=2x−2,f′(x)=0⇔x=1
Học sinh tự vẽ bảng biến thiên và áp dụng quy tắc ta nhận được kết quả m≤−1 Đáp án B
Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số
y=−13x3+(m−1)x2+(m+3)x−1 đồng biến trên khoảng (0,3). A.m≤−3 B.m≥15 C.m≥113 D.m≥127 Hướng dẫn giải Ta có: y′=−x2+2(m−1)x+3+m
Hàm số đồng biến trên (0,3)⇒y′≥0,∀x∈(0,3)
⇒−x2+2(m−1)x+3+m≥0⇔m≥x2+2x+32x+1 Xét hàm số: f(x)=x2+2x+32x+1 với
∀x∈(0,3)⇒f(x)=x2+2x+32x+1,∀x∈(0,3)
Lập bảng biến thiên kết luận m≥127 Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
y=tan⁡x−2tan⁡x−m đồng biến trên (0,π4) A.m≥2 B.m≤0 C.1≤m<2 D.[m≤01≤m<2 Hướng dẫn giải
y′=−m+2(tan⁡x−m)2(tan⁡x)′=−m+2(tan⁡x−m)2.1cos2x
Để hàm số đồng biến trên (0,π4) thì:
y′>0,∀x∈(0,π4)⇔{−m+2>0m≠tan⁡x,x∈(0,π4)⇔{m<2m∉(0,1)⇔[m≤01≤m<2 Đáp án D
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số:
y=m−sin⁡xcos2x nghịch biến trên khoảng (0,π6) A.m≥54 B.m≤54 C.m≥52 D.m≤52
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y=(m+1)x+2m+2x+m nghịch biến trên khoảng (−1,+∞) A.−1B.m≥1 C.1≤m<2 D.[m>2m<1
Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y=mx+4x+m nghịch biến trên (−∞,1) A.−2≤m≤1 B.−2≤m≤−1 C.m∈∅
D.−2Câu 4: Tìm m để hàm số
y=2x2−3x+mx−1 đồng biến trên (2,+∞) A.m≥−1 B.m≥2 C.m≤3 D.m≤7
Câu 5: Tìm m để hàm số
y=sin⁡x+mx đồng biến trên R A.m≥−1 B.m≥2 C.m≥1 D.m≤7
Câu 6: Tìm m để hàm số
y=sin⁡x−1sin⁡x+m nghịch biến trên (0,π2) A.m≥0 B.m≤0 C.m≥−1 D.m≤1
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=ex−m−2ex−m2 nghịch biến trên khoảng (ln⁡14,0) A.1B.−1≤m≤2 C.−12≤m≤12 D.[−12≤m≤121≤m<2 Câu 8: Cho hàm số
y=(m−1)x−1+2x−1−1. Tìm tất cả các giá
trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37). A. m ∈ [-4; -1]
B. m ∈ (-∞; -6] ∪ [-4; -1) ∪ (2; +∞)
C. m ∈ (-∞; -4] ∪ (2; +∞) D. m ∈ (-1; 2)
Câu 9: Hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi giá trị m là? A. m ≤ 2 B. m ≥ 2 C. m ≤ 1 D. m ≥ 1
Câu 10: Cho hàm số:
y=x2−2mx+3m2x−2m đồng biến trên
từng khoảng xác định của nó khi giá trị của tham số m là: A. m < 0 B. m > 0 C. m = 0 D. m ∈ R
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm
số y = (m - 2)x + 2m đồng biến trên R. A. 2014 B. 2016 C. vô số D. 2015
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2017;2017 ] để hàm
số y =(m2-4)x + 2m đồng biến trên R. A. 4030 B. 4034 C. Vô số D. 2015
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số số m để hàm số
y=cot⁡x−1mcot⁡x−1 đồng biến trên khoảng (π4;π2)
A. m ∈ (-∞ ; 0) ∪ (1 ;+∞) B. m ∈ (-∞ ; 0) C. m ∈ (1 ; +∞) D. m ∈ (-∞ ; 1)
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = ln (16x2 + 1) - (m +1)x + m +
2 nghịch biến trên khoảng ( -∞; +∞) A. m ∈ (-∞ ; -3] B. m ∈ [3 ; +∞ ) C. m ∈ (-∞ ; -3) D. m ∈ [-3 ; 3]
Câu 15: Cho hàm số y = x3 + 3x2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -2) và (0 ;+∞)
B. Hàm số nghịch biến trên (-2 ; 1)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ; 0) và (2 ;+∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -2) và (0 ;+∞)