Toan 8 on tap giua ki 2 gom cac kien thuc chung

Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
TÀI LIỆU ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 8 A. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. Kiến thức trọng tâm 1. Phân thức đại số
a) Khái niệm phân thức đại số
 Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có
dạng P , trong đó, P,Q là những đa thức và Q khác đa thức 0. Q
P được gọi là tử thức (hay tử), Q được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
 Hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức A và C được gọi là bằng nhau nếu B D A C . A D  . B C, viết là  . B D
b) Tính chất cơ bản của phân thức đại số
 Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0
thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho P . P M 
với M là một đa thức khác đa thức 0. Q . Q M
 Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì
được một phân thức bằng phân thức đã cho P P : N 
với N là một nhân tử chung của P và Q. Q Q : N
c) Điều kiện xác định và giá trị của phân thức
 Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện
xác định của phân thức.
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 1 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống  P
Cho phân thức . Giá trị của biểu thức P tại những giá trị cho trước của các biến Q Q
sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức P tại những Q
giá trị cho trước của các biến đó.
2. Các phép toán với phân thức đại số
a) Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
 Muốn cộng hai phân thức, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng hai phân thức có cùng
mẫu thức vừa tìm được.
 Muốn trừ hai phân thức, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Lưu ý: Phép cộng, phép trừ các đa thức có tính kết hợp.
 Phân thức A được gọi là phân thức đối của phân thức B nếu tổng của hai phân
thức này bằng 0: A B  0.
b) Phép nhân, phép chia phân thức đại số
 Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: A C . A C   . B D . B D
 Phân thức B được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức A với , A B là các A B
đa thức khác đa thức 0.
 Muốn chia phân thức A cho phân thức C khác 0, ta nhân A với phân thức B D B nghịch đảo của C : D A C A D :   với C khác 0. B D B C D
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Câu 1. Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau a) 5 , 4 , 7 2x  4 3x  9 50  25x
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 2 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống b) x , y , z 4  2a 4  2a 2 4  a Hướng dẫn a) 5 5 5.75(x  3) 375(x  3)    . 2x  4
2 x  2 150(x  2)(x  3) 150(x  2)(x  3) 4 4 4.50(x  2) 200(x  2)    . 3x  9
3 x  3 150(x  2)(x  3) 150(x  2)(x  3) 7 7 7.( 6  )(x  3) 42(x  3)    . 50  25x
252  x 150(x  2)(x  3) 150 x  2 x  3 x x 2  a y y a  2 b)   ,  , z z  4  2a
22  a2  a 4  2a 2a  2a  2 2 4  a a  2a  2
Câu 2. Rút gọn rồi tính giá trị các phân thức sau 2 2 a) (2x  2x)(x  2) A  với 1 x  3 (x  4x)(x 1) 2 3 2 2 b) x  x y  xy B  với x  5, y  10 3 3 x  y Hướng dẫn (2x  2x)(x  2) 2x  x   1  x  22 2 2 2 x  2 a) 1 4 6  A      với 1 x  3 (x  4x)(x 1)
x  x  2 x  2 x   1 x  2 5 5 2 2 x    2 2 3 2 2 x  xy  y x x y xy  b) x 5  B      1
 với x  5, y  10 3 3 x  y x  y 2 2
x  xy  y  x  y 510   Câu 3. Cho đa thức 3 2 2x 1 x 4
B  x  6x 11x  6 và hai phân thức , 2 x  3x  2 2 x  5x  6
a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức của 2 phân thức đã cho Hướng dẫn
a)Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho ta được: B  2
: x  3x  2  x 3
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 3 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống B  2
: x  5x  6  x 1
b) Quy đồng mẫu thức của 2 phân thức đã cho 2x 1 2x   1  x  3  2 x  3x  2 B x  4 x  4x   1  2 x  5x  6 B  2 2x  2xx 32
Câu 4. Cho biểu thức: P  . x  2 x  9x   1
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn biểu thức P và tính giá trị của P khi 1 x  2 Hướng dẫn x  3  x  3  a) ĐKXĐ:  x  0  x  1   2 2x  2xx 32 2x  x   1  x  32 2 x  3 b) P    x  2 x  9x   1
x  x  3 x  3 x   1 x  3  1  2  3   Khi 1  2  1  0 x  thì P   2 1 7  3 2  
Câu 5. Cho 2 phân thức 2x 1 ; x 5
. Hãy xác định a, b biết rằng khi quy đồng 2 x  x  a 2 x  bx  2
mẫu thức chúng trở thành những phân thức có mẫu thức chung là 3 2 x  2x  x  2 . Viết
tường minh hai phân thức đã cho và 2 phân thức thu được sau khi quy đồng với mẫu thức chung là 3 2 x  2x  x  2 Hướng dẫn Ta tìm điều kiện để 3 2
x  2x  x  2 chia hết cho 2 đa thức 2 x  x  a và 2 x  bx  2
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 4 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thực hiện phép chia ta tìm được a=2 và b=3 2x 1 2x 1 2x   1  x   Khi đó 1   2 2 3 2 x  x  a x  x  2 x  2x  x  2 x  5 x  5 x 5x   Và 1   2 2 3 2 x  bx  2 x  3x  2 x  2x  x  2
Dạng 2. Bài toán thực tế
Câu 1. Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại
tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70 km. Vận
tốc của dòng nước là 5 km/h. Vận tốc riêng của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h . a) Hãy biểu diễn qua x :
* Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
* Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
* Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc
ngược dòng của con tàu là 20 km/h. Hướng dẫn
a) Công thức chuyển động: s  . v t .
(s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian).
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng;
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng;
* Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì: 70 (giờ) x  5
* Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội: 70 (giờ) x  5
* Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội: 70 70   2 (giờ) x  5 x  5
b) Vận tốc ngược dòng bằng 20 km/h suy ra vận tốc riêng của tàu là x  20  5  25 (km/h).
Thay x  25 vào biểu thức 70 70   2 ta được 70 70 47   2  giờ hay 7 giờ 50 x  5 x  5 25  5 25  5 6 phút.
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 5 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
Câu 2. Một chiếc ca nô đi xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 6 km rồi đi ngược
lại từ B về A. Biết tốc độ của ca nô gấp 3,15 lần tốc độ của dòng nước. Tính tỉ số của thời
gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A. Hướng dẫn
Gọi x x  0km/h là tốc độ dòng nước.
Khi đó: 3,15x km/h là tốc độ của ca nô.
Tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là: 3,15x  x  4,15x km/h .
Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là: 6 h . 4,15x
Tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là: 3,15x  x  2,15x km/h .
Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là: 6 h . 2,15x
Tỉ số của thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là: 6 6 6 2,15x 6.2,15x 43 :  .   . 4,15x 2,15x 4,15x 6 4,15 . x 6 83
Câu 3. Máy A cắt được 0,5x cuộn vải trong 5 giờ, máy B cắt được x cuộn vải trong 7 giờ.
Công suất của máy A gấp bao nhiêu lần công suất của máy B? Hướng dẫn
Công suất của máy A là: 0,5x (cuộn vải/giờ). 5
Công suất của máy B là: x (cuộn vải/giờ). 7
Công suất của máy A gấp số lần công suất của máy B là: 0,5x x 0,5x 7 0,5 .x7 7 :  .   5 7 5 x 5.x 10 (lần).
Dạng 3. Một số bài tập nâng cao
Câu 1. Dùng định nghĩa 2 phân thức bằng nhau tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 6 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống 2 4x  7x  3 A a)  2 2 x 1 x  2x 1 2 2 x  2x x  2x b)  2 2x  3x  2 A Hướng dẫn 2 4x  7x  3 A a)    2 4x  7x  3 2
x  2x 1  A x 1 x 1 2 2     x 1 x  2x 1
 x   x  x  2 1 4 3 1  A x   1  x  
1  A  4x  3 x   1 2 2 x  2x x  2x b) 
 xx  2 A  xx  2x  22x  
1  A  x  22x   1 . 2 2x  3x  2 A  Câu 2. Cho biểu thức x 2 5 1 P    2 x  3 x  x  6 2  x
a) Tìm điều kiện xác định của P . b) Rút gọn biểu thức P c) Tìm x để 3  P  . 4
d) Tính giá trị của biểu thức P khi 2 x – 9  0 . Hướng dẫn a) x  3; x  2 2 b) x  2 5 1 (x  2)(x  2) 5 x  3 x  4  5  x  3 P        2 x  3 x  x  6 2  x
(x  3)(x  2)  x  3 x  2  x  2 x  3 x  3x  2 2 x  x 12
x 3x  4 x  4    
x  3 x  2  x  3 x  2 x  2 c) 3 x  4 3 22 P   
 4x 16  3x  6  7x  22  x  (t / m) 4 x  2 4 7 d) 2 x  9  0 suy ra x  3  Thay x  3, P  1
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 7 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống Thay 7 x  3, P  5 2 Câu 3. Cho 2 2 x M    . 2 x x  2 x  2x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M ;
b) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên. Hướng dẫn
a) M xác định khi x  0, x  2 . 2 2 2 x 2 x  2 2 2  2x  x 2x  4  2x  x M      2 x x  2 x  2x x  x  2 x  x  2 x  4x  4 x  22 2 x  2    x  x   x  x   . 2 2 x b) x  2 2  1 ; x x 2
M      xU (2)  1;  2 x Do x  2  nên x 1;  2 . 2
Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của 2x  6x  7 B  2 x  3x  3 Hướng dẫn 2 2 2x  6x  7 2(x  3x  3) 1 1 B    2  2 2 2 x  3x  3 x  3x  3 x  3x  3 Suy ra B đạt GTLN khi 1 đạt GTLN, hay 2 x  3x  3 đạt GTNN. 2 x  3x  3 Ta có 3 3 3 2 2
x  3x  3  (x  )   2 4 4 Biểu thức 2
x  3x  3 đạt GTNN bằng 3 khi 3 3 x   0  x   . 4 2 2 Khi đó, B = 1 1 10 2   2   . 2 x  3x  3 3 3 4 Vậy GTLN của B là 10 khi 3 x   . 3 2
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 8 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống B. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. Kiến thức trọng tâm
1. Hai tam giác đồng dạng a) Khái niệm
Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu: A A' B ' B 'C ' A'C '   ; AB BC AC A  A', B   B ',  C   C '
Kí hiệu: A' B 'C '∽ABC (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương B C A' ứng) Tỉ số A' B ' B 'C ' A'C ' k   
được gọi là tỉ số đồng dạng AB BC AC B' C' của A'B'C ' và ABC . b) Tính chất Tính chất 1 (phản xạ):
Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó theo tỉ số k 1
Hai tam giác bằng nhau đồng dạng với nhau theo tỉ số k 1.
Tính chất 2 (đối xứng):
Nếu A'B 'C '∽ ABC với tỉ số k thì ABC ∽ A'B 'C ' với tỉ số 1 k Tính chất 3 (bắc cầu):
Nếu A' B ' C ' ∽ A'B 'C ' với tỉ số k và A'B 'C '∽ ABC với tỉ số m thì
A' B ' C ' ∽ ABC với tỉ số k.m
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 9 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống c) Định lí
1. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song
song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng A
dạng với tam giác đã cho. M N
GT ABC,MN ∥ BC M  AB, N  AC  KL AMN ∽ ABC B C
2. Định lí vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác
và song song với cạnh còn lại. M N
GT ABC,MN ∥ BC M  AC, N  AB A  ∽  KL AMN ABC A B C
GT ABC,MN ∥ BC M  AB, N  AC  B C KL ABC ∽ AMN M N
2. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác
a) Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác (Cạnh – Cạnh – Cạnh)
Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác
đó đồng dạng với nhau. A A' GT A'B ' B 'C ' A'C ' ABC, A'B 'C ',   AB BC AC KL A'B'C '∽ABC B C B' C'
b) Trường hợp đồng dạng thứ hai (Cạnh – Góc – Cạnh)
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 10 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai A
cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh A'
đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. B C B' C' GT A'B ' A'C ' A  BC, A'B 'C ',  , A   A' AB AC KL A'B'C '∽ABC
c) Trường hợp đồng dạng thứ ba (Góc – Góc)
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc A
của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. A' GT A  BC, A  'B'C ', A   A', B   B' KL A'B'C '∽ABC B C B' C' 3. Định lí Pythagore
a) Định lí: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Với tam giác ABC vuông tại A , ta có 2 2 2 BC = AB + AC hay 2 2 2 a  b  c .
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm và AC = 8 cm. Tính độ dài của cạnh BC.
b) Định lí Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng
tổng bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 11 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
II. Một số dạng bài thường gặp
Dạng 1. Tính toán các yếu tố hình học
Câu 1. Cho tam giác ABC , đường cao AH . Biết AC  20 cm, AH 12 cm , BH  9 c ,
m HC  16 cm . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? Hướng dẫn A 20 cm 12 cm B 9 cm C H 16 cm
Tam giác ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có 2 2 2 2 2
AB  AH  BH  12  9  225  AB  15 cm .
Ta có: BC  BH  HC  25 cm Xét ABC ta có: 2 2 2 2 2
AB  AC  15  20  635  BC
 ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo)
 ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).
Câu 2. Cho tam giác ABC với O là một điểm trong tam giác. Gọi P, Q, R là trung điểm của O , A OB,OC .
a) Chứng minh tam giác PQR đồng dạng với ABC.
b) Tính chu vi tam giác PQR viết chu vi tam giác ABC có chu vi bằng 543 cm. Hướng dẫn A P O Q R B C
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 12 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
a) PQ là đường trung bình tam giác OAB nên 1 PQ  AB . 2 Chứng minh tương tự 1 QR  BC và 1 PR  AC . 2 2 Do đó PQ PR QR 1  
 . Suy ra tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC . AB AC BC 2
b) Do tỷ số chu vi bằng tỷ số đồng dạng nên 1 C  bằng 271,5cm PQR C  2 ABC
Câu 3. Cho góc xOy với tia phân giác Oz . Các điểm ,
A B,C lần lượt nằm trên Ox,Oz,Oy sao cho OA  9c , m OB  12c ,
m OC  16cm . Biết AB  6cm . Tính độ dài BC . Hướng dẫn z C y B x O A
Xét 2 tam giác OAB và OBC có  OA OB AOB   BOC và 9 3 12     OB 12 4 16 OC
Do đó OAB ∽ OBC (c – g – c) Suy ra AB OA 3   . Do đó BC  8cm . BC OB 4
Câu 4. Cho hình vuông ABCD, cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại
I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM  D . A
a) Chứng minh EMC ∽  ECB . b) Chứng minh 2 E . B MC  2a
c) Tính diện tích tam giác EMC theo a . Hướng dẫn
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 13 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống A B M I O E D C
a) Vì DM  DA nên MD  DE  DE . Do đó tam giác EMC vuông tại M
Xét tam giác EMC và ECB có: chung góc E,  EMC   0
ECB  90 . Do đó EMC ∽ ECB (g – g) b) EMC ∽ ECB nên EC EB 2   E . B MC  EC.BC  2 . a a  2a MC BC
c) Xét tam giác vuông EBC có 2 2 2 EB  EC  BC   a2 2 2 2  a  5a 2 2 Do đó 2a 2a 2 EB  5a . Suy ra MC    a EB 5a 5 Xét tam giác vuông EMC có 2 2 2 2 4 2 16 2
EM  EC  MC  4a  a  a 5 5 Suy ra 4 EM  a 5 Do đó 1 1 4 2 4 2 S  EM .MC .  . EMC a a a   2 2 5 5 5
Dạng 2. Bài toán thực tế
Câu 1. Màn hình một chiếc ti vi có dạng hình chữ nhật với kích thước màn hình ti vi được
tính bằng độ dài đường chéo của màn hình (đơn vị: inch, trong đó 1 inch = 2,54cm ). Người
ta đưa ra công thức tính khoảng cách an toàn khi xem ti vi để giúp khách hàng chọn được
chiếc ti vi phù hợp với căn phòng của mình như sau:
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 14 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
Khoảng cách tối thiểu  5,08.d cm;
Khoảng cách tối đa  7,62.d cm .
Trong đó, d là kích thước màn hình ti vi tính theo inch.
Với một chiếc ti vi có chiều dài màn hình là 74,7cm ; chiều rộng màn hình là 32cm :
a) Kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
b) Khoảng cách tối thiểu và khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là bao nhiêu mét (làm
tròn kết quả đến hàng phần mười)? Hướng dẫn a) A B D C
Giả sử màn hình ti vi như hình vẽ.
Kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là : d  AC   2 2 AB  AC    2 2 : 2,54 : 2,54
74,7  32 :2,54  32inch
b) Khoảng cách tối thiểu để xem chiếc Tivi đó
5,0832  162,56  1,6cm
Khoảng cách tối đa để xem chiếc Tivi đó
7,6232  243,84  2, 4cm Đáp số : a) 32inch b) 1,6m và 2,4m
Câu 2. Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh ,
A B,C của tam giác ABC lần lượt mô
tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ trong đó dùng ba đỉnh
A'; B ';C ' của tam giác A' B 'C ' lần lượt mô tả ba vị trí M , N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng
và bác Duy vẽ lần lượt là 1:1000 000 và 1:1500000 . Chứng minh ABC ∽A'B 'C ' và tính tỉ số đồng dạng. Hướng dẫn  AB BC AC
ABC ∽MNP theo tỉ số đồng dạng: 1    1  AB  MN MN NP MP 1000000 1000000
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 15 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
A' B 'C '∽MNP theo tỉ số đồng dạng: A' B ' B 'C ' A'C ' 1    1  A' B '  MN MN NP MP 1500000 1500000 AB BC AC 1500000 3      A' B ' B 'C ' A'C ' 1000000 2  ABC ∽ A
 ' B 'C ' theo tỉ số đồng dạng là 3 . 2
Câu 3. Đố. Chỉ sử dụng thước thẳng có chia đơn vị đến milimét và thước đo góc, làm thế
nào đo được khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế, biết rằng có vị trí A thoả mãn AB  20 , m AC  50 m ,  BAC  135 .
Bạn Vy làm như sau: Vẽ tam giác ’ A ’ B C’ có 
B ' A'C '  135 , A' B '  2 c , m ’ A C’  5 cm . Bạn
Vy lấy thước đo khoảng cách giữa hai điểm ’ B , ’
C và nhận được kết quả B 'C '  6,6 cm. Từ
đó, bạn Vy kết luận khoảng cách giữa hai vị trí B,C trên thực tế khoảng 66 m. Em hãy giải
thích tại sao bạn Vy có thể kết luận như vậy. Hướng dẫn Xét ABC và A'B'C '  BAC   B ' A 'C ' 135 AB AC  10 A' B ' A'C ' Vậy A  BC ∽ A  ' B 'C '( . c g.c) BC BC   10   10  BC  66 B 'C ' 6,6
Câu 4. Cho hình vẽ, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng
cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH  2,8m và AK 1,6m . Em hãy tính chiều cao của cây.
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 16 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống Hướng dẫn C A H B K
Xét hai tam giác AHB và CHA có  AHB   CHA  90 ;   BAH   ACH (cùng phụ với  ABH )   AH CH AHB  CHA (g.g) 2    AH  BH.CH BH AH Thay số  CH  4,9
 BC  BH  CH 1,6  4,9  6,5m.
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 17 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
Dạng 3. Bài toán chứng minh
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tạiA. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với
BC tại H. Chứng minh rằng CH2 – BH2 = AC2. Hướng dẫn
Nối C với M ta được tam giác vuông CMH
Áp dụng định lí Pythagore ta có: 2 2 2 CM  CH MH 2 2 2  CH  CM – MH Do đó: 2 2 CH BH   2 2 CM MH  2 – – – BH 2  CM  2 2 MH  BH  2 2 –  CM – BM
(do tam giác MBH vuông tại H nên 2 2 2 MH  BH  BM )
Mà MA  MB (do M là trung điểm của AB ) Nên 2 2 2 2 2
CH – BH  CM – MA  AC (do tam giác ACM vuông tại A ) Vậy 2 2 2 CH – BH  AC .
Câu 2. Cho tam giác ABC . Trên các cạnh BC,C ,
A AB lấy lần lượt các điểm M , N, P sao cho
AM , BN,CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.
a)Chứng minh: FCM đồng dạng với OBM và PAE đồng dạng với PBO. b)Chứng minh: MB NC PA . . 1. MC NA PB Hướng dẫn
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 18 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống A E N P O M C B F
a)Vì CF / /BO nên theo định lý Thales ta có: OB MO MB   . Do đó FCM O  ∽ BM FC MF MC
Tương tự vì AE / /BO nên PAE đồng dạng với PBO
b)Vì FCM đồng dạng với OBM và PAE đồng dạng với PBO nên MB OB  và MC CF PA AE 
. Lại có ON//AE và AE//CF nên NC OC CF   . PB OB NA OE AE Do đó MB NC PA OB CF AE . .  . .  1. MC NA PB FC AE OB
Câu 3. Cho hình thang vuông ABCD có AB / /CD và góc  0
A  90 , AB  4cm , CD  9cm , AD  6cm .
a) Chứng minh tam giác BAD đồng dạng với tam giác ADC .
b) Chứng minh AC vuông góc với BD. Hướng dẫn A 4 B 6 D C 9
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 19 -
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực
Khóa học Toán 8 Kết nối tri thức với cuộc sống
a) Xét tam giác BAD và ADC có  AB AD BAC   0 ADC  90 , 4 6    AD 6 9 DC
Do đó BAD ∽ ADC (c – g – c)
b) BAD ∽ ADC suy ra  ABD   DAC   ABD   BAC   DAC   0 BAC  90
Do đó AC vuông góc với BD.
Câu 4. Cho tam giác đều ABC, các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Trên
cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó. Vẽ DE vuông góc với AB cắt OB
tại M; Vẽ DF vuông góc với AC cắt OC tại N. Chứng minh rằng: a) M . D DF  N . D DE ;
b) OD đi qua trung điểm của EF. Hướng dẫn A O F E N M B C D
a) Xét tam giác BED và tam giác CFD có:     90o ;     60o BED CFD EBD FCD  B  ED  C  FD (g.g) BE BD BE CF     . (1) CF CD BD CD
Xét tam giác BED có BM là tia phân giác của  DBE EM BE   . (2) MD BD
Xét tam giác CDF có CN là tia phân giác của  DCF NF CF   . (3) ND CD
Hệ thống giáo dục HOCMAI
Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 20 -