Toán thực tế 12 có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông, Ngọc Huyền LB

Toán thực tế 12 có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông, Ngọc Huyền LB được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

46 23 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Ths. ĐẶNG VIỆT ĐÔNG - NGỌC HUYỀN LB

THE BEST or NOTHING

Đây là 1 cuốn ebook tâm huyết thầy Đông và chị

biên soạn dành tặng cho tất cả các em học sinh

thân yêu đã và đang tin tưởng ngày đêm đọc

Công Phá Toán. Chị tin rằng, ebook này sẽ giúp

ích cho các em rất nhiều!

Chị, thầy Đông và nhà sách Lovebook biết ơn

các em nhiều lắm! 

NGỌC HUYỀN LB

Tác giả “Công phá kĩ thuật Casio”, “Công Phá Toán”,

“Bộ đề chuyên môn Toán”, “Bộ đề tinh túy Toán”.

TOÁN THỰC TẾ

LỚP 12

(Có đáp án chi tiết)

(facebook.com/huyenvu2405)

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!

Đã nói là làm – Đã làm là không hời hợt – Đã làm là hết mình – Đã làm là không hối hận!

facebook.com/lovebook.vn

TOÁN THỰC TẾ LỚP 12

Đừng bao giờ bỏ cuộc Em nhé!

Chị tin EM sẽ làm được!

__Ngọc Huyền LB__

Mục lục

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ ------------------------- 5

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN ----------------------------------------------------- 28

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT -------------------------------------------- 39

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU --------------------------------------------- 52

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN ------------------------------------- 71

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ----------------------------------------------------- 82

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 5

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ

Câu 1: Một tên lửa bay vào không trung với

quãng đường đi được quãng đường

 

s t

(km) là

hàm phụ thuộc theo biến  (giây) theo quy tắc sau:

   

3 3 1

2 .

 

 

t t

s t e t e km

. Hỏi vận tốc của tên

lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận

tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo

thời gian).

(km/s) B.

(km/s)

(km/s) D.

10e

(km/s)

Hướng dẫn:

Ta có công thức vận tốc:

   





 

3 1

' 2 .



  

t t

v t s t e t e

 

3 3 1

2 . 6 2

 

  

t t

t e t e

Với

1t

ta có:

 

10 /e km s

. Đáp án đúng là D.

Sai lầm thường gặp:

   





 

3 1

' 2 .



  

t t

v t s t e t e

 

3 1

6 2 .



  

t t

e t e

(do không biết đạo hàm

→ đáp án C)

   





 

2 2

3 1 3 1

' 2 . 2.

 

    

t t t t

v t s t e t e e e

(do học vẹt đạo hàm

luôn không đổi) nên chọn

đáp án B.

Câu 2: Một người nông dân có 15 000 000 đồng

để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một

con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai

phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào

song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu

là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt

hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật

liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn

nhất của đất rào thu được.

A. 6250

B. 1250

C. 3125

. D. 50

Hướng dẫn:

Phân tích ta đặt các kích thước của hàng rào như

hình vẽ

Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:

Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả

cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt

nên ta có mối quan hệ:

3 .50000 2 .60000 15000000 

x y

15 12 1500  

x y

150 15 500 5

12 4

 

  

x x

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính

bằng công thức:

 

500 5 1

2. . 2 . 5 500

4 2



    

f x x y x x x

Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của

diện tích:

Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và

kết luận GTLN:

Xét hàm số

 

5 500

  

f x x x

trên

 

0;100

     

' 10 500 , ' 0 50

     

f x x f x x

Ta có BBT:

x 0 50 100

f’(x)

+ 0



f(x) 6250

Đáp án đúng là A.

Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng

 

 A g x A

với mọi x, nên ta có thể nhẩm

nhanh được:

 

100

2.50. 2500 2500

  

    

f x x x

x x

 

. 2500 5 6250

 

   

 

Công Phá Toán The Best or Nothing

6 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc

hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:

Câu 3: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường

kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có

tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ

được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều

rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo

tiết diện ngang là lớn nhất.

 

3 34 17 2





x cm

 

3 34 19 2





x cm

 

5 34 15 2





x cm

 

5 34 13 2





x cm

Hướng dẫn:

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là

4 

MNPQ

S S xy

Cạnh hình vuông

 

20 2

2 2

  

MN cm

 

20 2 4 800 4

    

S xy xy

(1)

Ta có

2 20 2 20 2 40 20 2

       x AB MN AB BD

0 20 10 2

   x

Lại có

 

2 2 2 2 2

40 2 20 2 1600

      AB AD BD x y

2 2 2

800 80 2 4 800 80 2 4

       

y x x y x x

Thế vào

 

2 3 4

800 4 800 80 2 4

    

   

S x x x

x x x

Xét hàm số

 

2 3 4

800 80 2 4

  

f x x x x

với

 

0;20 10 2

 x

có

 

2 3

' 1600 240 2 16

  

f x x x x

 

16 100 15 2  

x x x

Ta có

 

0;20 10 2

' 0



 











f x

 

0;20 10 2

5 34 15 2

16x 100 15x 2 0



 





  



  





Khi đó

5 34 15 2



x

chính là giá trị thỏa

mãn bài toán. Chọn C.

Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết

thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà

Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến.

Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng

về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn,

kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định

bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi

50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như

tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là

một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh

đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất

mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá

tiền

đất khi bán là 1500000 VN đồng.

A. 112687500 VN đồng.

B. 114187500 VN đồng.

C. 115687500 VN đồng.

D. 117187500 VN đồng.

Hướng dẫn:

Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được

càng cao

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình

chữ nhật ban đầu lần lượt là

   

, , , 0

x y m x y

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng

 

50 2 50 25

     m x y y x

y – x

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 7

Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình

chữ nhật có diện tích là

   

25 25 2

25 625 625

2 78,125

8 8

2 2

      

 

     

 

 

S x y x x x x x x

Dấu "=" xảy ra

2 0

2 2

  

25 25 175

8 8 8

     x y

Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất

78,125 m

Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận

được khi bán đất là

78,125.1500000 117187500

Câu 5: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho

thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá

2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có

người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn

hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị

bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công

ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu

một tháng.

A. 2.225.000. B. 2.100.000

C. 2.200.000 D. 2.250.000

Hướng dẫn:

Gọi số căn hộ bị bỏ trống là

 

 

0;50

x x

Số tiền 1 tháng thu được khi cho thuê nhà là

  

2000000 50000 50

 x x

Khảo sát hàm số trên với

 

0;50

x

ta được số

tiền lớn nhất công ty thu được khi

5

hay số

tiền cho thuê mỗi tháng là

2.250.000

. Chọn D

Câu 6: Người ta muốn sơn một cái hộp không

nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn

vị thể tích)? Tìm kích thước của hộp để dùng

lượng nước sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của

lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau.

A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều

cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài).

B. Cạnh ở đáy là

(đơn vị chiều dài), chiều

cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).

C. Cạnh ở đáy là

2 2

(đơn vị chiều dài), chiều

cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài).

D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều

cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).

Hướng dẫn:

Gọi x, l lần lượt là độ dài cạnh ở đáy và chiều cao

của hộp

0, 0 

x l

Khi đó tổng diện tích cần sơn là

   

4xl+x 1

S x

Thể tích của hộp là

4 

V x l

, suy ra

 

l

Từ (1) và (2) suy ra:

   

 

16 2 16

' ;

S' 0 2x 16 0 2



   

     

S x x S x

x x

Lập bảng biến thiên suy ra

   

MinS x S

. Vậy

cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài) và chiều cao của

hộp là 1 (đơn vị chiều dài).

Câu 7: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó

có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang

qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường

CH=0,5m là:

A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902

C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902

Hướng dẫn:

Đặt

 

0 

BH x x

. Ta có

2 2 2

16   

BD DH BH x

Vì

/ / AC

nên

. 16



   

DA HC DB HC x

DB HB HB x



   

AB x

Xét hàm số

 



  

f x x

Công Phá Toán The Best or Nothing

8 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

trên

 



. Ta có f(x) liên tục trên

 



và

 

2 2 2 2 2

.2 2 16

8 8

16 16 16

 



 





  

  

x x

f x

x x

x x x x x

 

   

' 0 2;

' 0 2; ' 0 0 2

  

      

f x x

f x x f x x

Suy ra

 

     

5 5

min min 2 5,5902

 

   

AB f x f m

Chọn D.

Câu 8: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó

có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang

qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách

tường

0,5CH m

là:

A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602

C. Xấp xỉ 5,5902 D. Xấp xỉ 6,5902

Hướng dẫn:

Đặt

 CB x CA y

khi đó ta có hệ thức:

1 4 4 2 1 8

2 2 2 1



     



x x

x y y x x

Ta có:

2 2

 AB x y

Bài toán quy về tìm min của

2 2 2

2 1

 

   

 



 

A x y x

Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy

GTNN đạt tại

; 5

 

x y

hay AB

5 5

min



Câu 9: Cho hai vị trí

cách nhau

615m

cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.

Khoảng cách từ

và từ

đến bờ sông lần lượt

là

118m

và

487m

Một người đi từ

đến bờ sông

để lấy nước mang về

. Đoạn đường ngắn nhất

mà người đó có thể đi là:

596,5m

671,4m

779,8m

741,2m

Hướng dẫn:

Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi

từ M về B.

dễ dàng tính được

369, 492. 

BD EF

Ta đặt

,EM x

khi đó ta được:

 

2 2

492 , 118 ,

492 487 .

   

  

MF x AM x

BM x

Như vậy ta có hàm số

 

f x

được xác định bằng

tổng quãng đường AM và MB:

   

2 2 2

118 492 487

    f x x x

với

 

0;492

x

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

 

f x

để có được

quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị

trí điểm M.

 

2 2 2

492

' .

118

492 487



 



 

x x

f x

 

2 2 2

492

' 0 0

118

492 487



   



 

x x

f x

 

2 2 2

492

118

492 487



 



 

x x

   

2 2 2

492 487 492 118

     x x x x

118m

Sông

615m

487m

118m

Sông

615m

487m

369m

118m

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 9

   

 

2 2

2 2 2 2

492 487 492 118

0 492



 

    



 







 



x x x x

   

2 2

487 58056 118

0 492



 







 





x x

58056 58056

58056

605 369

605

0 492



  



  





 



x hay x

Hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

0;492

So sánh các giá trị của

(0)f

58056

605

 

 

 

 

492

ta có giá trị nhỏ nhất là

58056

779,8

605

 



 

 

f m

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ

779,8m. Vậy đáp án là C.

Câu 10: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các

chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể

từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ

là

2 3

( ) 45

 f t t t

(kết quả khảo sát được trong

8 tháng vừa qua). Nếu xem

'( )f t

là tốc độ truyền

bệnh (người/ngày) tại thời điểm

. Tốc độ truyền

bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

A. 12 B. 30 C. 20 D. 15

Hướng dẫn:

( ) 90 3 ( ) 90 6 0 15

 

       

f t t t f t t t

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

(t)



lớn nhất khi

15

. Chọn D.

Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ

cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với

giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều

có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi

căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ

bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì

công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao

nhiêu một tháng.

A. 2.225.000. B. 2.100.000

C. 2.200.000 D. 2.250.000

Hướng dẫn:

Gọi số căn hộ bị bỏ trống là

 

 

0;50

x x

Số tiền 1 tháng thu được khi cho thuê nhà là

  

2000000 50000 50

 x x

Khảo sát hàm số trên với

 

0;50

x

ta được số

tiền lớn nhất công ty thu được khi

5

hay số

tiền cho thuê mỗi tháng là

2.250.000

. Chọn D.

Câu 12: Trên một đoạn đường giao thông có 2

con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ.

Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M

cách đường OE 125cm và cách đường Ox 1km.

Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn

đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị

để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí

của A và B để hoàn thành con đường với chi phí

thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con

đường là bao nhiêu?

A. 1,9063 tỷ đồng. B. 2,3965 tỷ đồng.

C. 2,0963 tỷ đồng. D. 3 tỷ đồng.

Hướng dẫn:

Để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì

phải chọn A, B sao cho đoạn thẳng AB là bé nhất.

⇒ Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm A, B và

tìm giá trị nhỏ nhất.

Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy.

Khi đó tọa độ

 

 

 

Gọi

     

;0 , 0; , 0

B m A n m n

. Khi đó ta có

phương trình theo đoạn chắn là:

1 

x y

m n

Do đường thẳng đi qua

 

 

 

nên

1 1 1 1 8 1 8

1 1

8 8 8 8 1



       



m m

m n n m m m

Có

2 2 2 2

8 1

 

   

 



 

AB m n m

Xét hàm số

 

;

8 1

 

 

 



 

f m m

 

   

2 3

8 8 64

' 2 2. . 2 . 1

8 1

8 1 8 1

 



 

   

 



 

 

f m m m

m m

Công Phá Toán The Best or Nothing

10 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

 

' 0

1 0

8 1

8 1 64







 



 







    

m L

f m

m m

 

5 5 25 25 125

8 8 64 16 64

8. 1

125 5 5

64 8

 

 

   

     

 

   

   

 



 

  

f m f

Vậy quãng đường ngắn nhất là

5 5

(km).

Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng=1,5 tỉ

đồng.

Khi đó chi phí để hoàn thành con đường là:

5 5

.1,5 2,0963



(tỷ đồng)

Đáp án C.

Câu 13: Một chất điểm chuyển động theo phương

trình

3 2

9 10    

S t t t

trong đó t tính bằng (s)

và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất

điểm đạt giá trị lớn nhất là:

5t s

6t s

2t s

3t s

Hướng dẫn:

Cần áp dụng 1 số tính chất trong vật lý như đạo

hàm của quãng đường là vận tốc => đưa ra được

hàm vận tốc theo t

' 3 18 1   S t t

Mà

' S v

. Suy ra

3 18 1   v t t

' 6 18  

V t

' 0 3  V t

BTT

Suy ra v đạt max tại

3t

Câu 14: Một người cần đi từ khách sạn

bên bờ

biển đến hòn đảo

. Biết rằng khoảng cách từ đảo

đến bờ biển là

10 km

, khoảng cách từ khách

sạn

đến điểm

trên bờ gần đảo

là

40km

Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ

rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết

kinh phí đi đường thủy là

5 /USD km

, đi đường

bộ là

3 /USD km

. Hỏi người đó phải đi đường bộ

một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất?

(

40 , 10 AB km BC km

. B.

10 km

. D.

40km

Hướng dẫn:

Ta bấm máy MODE



2:CMPLX

Ấn SHIFT+hyp (Abs) và nhập biểu thức

 

1 2 2 3

  i x i

máy hiện

Câu 15: Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần

lượt đặt tại hai vị trí

, .A B

Biết khoảng cách giữa

hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở

vị trí

trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để

giăng dây nối đến hai đỉnh

và

của cọc (như

hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt

đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

6 , 18 AM m BM m

7 , 17 AM m BM m

4 , 20 AM m BM m

12 , 12 AM m BM m

Hướng dẫn:

Ta có đặt

AM x

khi đó

 MB x

;

 

0;24

x

Khi đó

   

2 2 2

10 30 24      

CM DM f x x x

Lúc này ta thử xem đáp án nào Min.

Câu 16: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ

cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là

2,000,000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng

trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm

50,000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi

chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu

để có thu nhập mỗi tháng cao nhất ?

A. 2.200.000đ B. 2.250.000đ

C. 2.300.000đ D. 2.500.000đ





V’ 0

V 0

10km

40km

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 11

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 17: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút

bơm tính theo công thức

V( ) 30

100 4

 

 

 

 

t t

(0 90) 

. Tốc độ bơm nước tại thời điểm t

được tính bởi

( ) '( )v t V t

. Trong các khẳng định

sau, khẳng định nào đúng.

A. Tốc độ bơm giảm từ phút thứ 60 đến phút

thứ 90.

B. Tốc độ luôn bơm giảm.

C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống

dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên

một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để

xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và

130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là

điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ

biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C

trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì

số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:

A. 6.5km B. 6km C. 0km D. 9km

Hướng dẫn:

Đặt

Chi phí xây dựng đường ống là

Hàm , xác định, liên tục trên và

; ;

Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần

cách A một khoảng 6,5km.

Câu 19: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển

động



S gt

, trong đó

9,8m/s

g

và

tính

bằng giây

 

. Vận tốc của vật tại thời điểm

5s

bằng:

49m/s.

25m/s.

10m/s.

18m/s.

Hướng dẫn: v(5) = S

’

=gt =9,8.5 = 49 m/s

Câu 20: Cho chuyển động thẳng xác định bởi

phương trình S= t

- 3t

+ 4t, trong đó t tính bằng

giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của

chất điểm lúc t = 2s bằng:

4m/s .

6m/s .

8m/s .

12m/s .

Hướng dẫn: a(2)= v

’

= S

’’

=6t - 6 = 6 m/s

Câu 21: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo

là 1 parabol có phương trình

2 4   

y x x

. Vị

trí của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm

trong không gian Oxy. Khi đó vị trí cao nhất của

quả tạ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây ?

1 3 z i

5 z i

1 5 z i

3 z i

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 22: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt

thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình

vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường

tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông

và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số

nào sau đây

đúng ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 23: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà

sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện

tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mỗi con

cá sau một vụ cân nặng .

Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện

tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được

nhiều cá nhất ?

10 B. 12 C.

16 D.

' ( ) , [0;9] 

x B C km x

36; 9

   BC x AC x

( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( )

   

C x x x USD

( )C x

[0;9]

'( ) 10000. 5

 

 

 



 

C x

'( ) 0 13 5 36

   C x x x

2 2 2

25 5

169 25( 36)

4 2

      

x x x x

(0) 1.230.000

1.170.000

 



 

 

(9) 1.406.165

2,5

( ) 480 20 ( )P n n gam 

B’

đảo

biển

6km

x km

(9-x)km

bờ biển

Công Phá Toán The Best or Nothing

12 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Hướng dẫn:

Gọi là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ

. Khi đó:

Cân nặng của một con cá là:

Cân nặng của con cá là:

Xét hàm số: .

Ta có: , cho

Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một

đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là

con.

Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi

mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái

mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần

đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên

đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần

bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?

A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.

B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.

C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.

D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.

Hướng dẫn:

Gọi x là số ti vi mà cừa hàng đặt mỗi lần

(

 

1;2500

x

, đơn vị cái)

Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là

nên

chi phí lưu kho tương ứng là

10. 5



Số lần đặt hàng mỗi năm là

2500

và chi phí đặt

hàng là:

 

2500

20 9



Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:

   

2500 50000

20 9x 5x 5x 22500

     C x

x x

Lập bảng biến thiên ta được:

 

min

100 23500

 C C

Kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.

Câu 25: Người ta muốn rào quanh một khu đất

với một số vật liệu cho trước là mét thẳng

hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có

sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành

mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ

nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao

nhiêu?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu

và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu,

theo bài ra ta có . Diện tích của

miếng đất là .

Ta có:

   

180 2 .2 120 2

  

y y y y

 

2 180 2

1 180

. 4050

2 4 8

 

  

y y

Dấu xảy ra .

Vậy khi .

Câu 26: Một lão nông chia đất cho con trai để

người con canh tác riêng, biết người con sẽ được

chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng

. Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó

bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?

A. B.

C. D. Đáp án khác

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt

là: và

Diện tích miếng đất:

Theo đề bài thì: hay .

Do đó: với

Đạo hàm: .

Cho .

Lập bảng biến thiên ta được: khi

Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật

là (là hình vuông).

Câu 27: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6

cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình

vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 7 B. 5 C. D. .

( 0)n

( ) 480 20 ( )P n n gam 

. ( ) 480 20 ( )n P n n n gam 

( ) 480 20 , (0; )

f n n n n

   

'( ) 480 40f n n 

'( ) 0 12f n n  

180

3600

max

S m

4000

max

S m

8100

max

S m

4050

max

S m

2 180x y 

(180 2 )S y y 

'' ''

2 180 2 45y y y m    

4050

max

S m

90 , 45x m y m 

800( )m

200 200m m

300 100m m

250 150m m

( )x m

( ) ( , 0).y m x y 

S xy

2( ) 800x y 

400y x 

(400 ) 400S x x x x    

0x

'( ) 2 400S x x  

' 0 200y x  

max

40000



200 200x y  

200 200

7 2

4 2

x cm

2 cm

3 cm

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 13

Hướng dẫn:

Ta có nhỏ nhất

lớn nhất.

Tính được

(1)

Mặt khác đồng dạng nên

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.

Biểu thức nhỏ nhất

Vậy đáp án cần chọn là C.

Câu 28: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên

đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời

mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông

góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là

đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng

d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng

300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A.

Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và

độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình

(với x là độ dời của máy bay dọc theo

đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn

nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Xét hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là vị trí máy bay

rời mặt đất, trục Ox trùng với đường thẳng d và

chiều dương hướng sang phải, trục Oy vuông góc

với mặt đất.

Gọi là tọa độ của máy bay trong hệ

Oxy. Tọa độ của người A là .

Khoảng cách từ người A đến máy bay B bằng

Suy ra

Lập bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị

nhỏ nhất bằng 5 khi . Vậy khoảng cách nhỏ

nhất là

Câu 29: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có

khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển

có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng .

Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến

trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến C

với vận tốc .Vị trí của điểm cách B

một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho

nhanh nhất?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Đặt .

Ta có:

Thời gian chèo đò từ đến là:

Thời gian đi bộ đi bộ đến là:

Thời gian từ đến kho

Khi đó: ,

cho

EFGH

AEH CGF DGH

S S S S   

2 2 3 (6 )(6 y) xy 4x 3y 36

S x y x

        

AEH

CGF

AE AH

CG CF

  

2 42 (4 x )

  

4 x



4 x



18 3 2

4 2 2

x x y

     

y x

300( )m

100. 5( )m

200( )m

100 3( )m

( ; ) ( 0)

B t t t

(3;0)

2 4

(3 )

  d t t

 

2 4 2

6 9 .

    

d t t t f t

'( ) 4 2 6.

'( ) 0 1.

f t t t

f t t

  

  

( )



d f t

1t 

100 5( )m

5AB km

7km

4 /km h

6 /km h

0km

7km

2 5

14 5 5

( ) 7 ( )BM x km MC x km   

,(0 7)x 

( ).

t h





( )

t h





25 7

4 6

x x

 

 

4 25



 



0 2 5

t x



  

(C): y = x

-1

-2

7 km

Công Phá Toán The Best or Nothing

14 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho

nhanh nhất khi

Câu 30: Một vật chuyển động theo quy luật

  

s t

, với t (giây) là khoảng thời gian

tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là

quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian

đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc

bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao

nhiêu giây thì vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất?

A. t = 12 (giây) B. t = 6 (giây)

C. t = 3 (giây) D. t = 0 (giây)

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 31: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm.

Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng

của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng

số từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam

giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền

của tấm gỗ này là bao nhiêu?

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn:

Kí hiệu cạnh góc vuông

Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vuông

kia là

Diện tích tam giác ABC là:

. Ta tìm giá trị lớn nhất

của hàm số này trên khoảng

Ta có:

 

1 1 240

120 240

2 2

2 120 240

14400 360

0 40

2 120 240



  





    



S x x x

S x x

Lập bảng biến thiên ta có:

Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi

Từ đó chọn đáp án C.

Câu 32: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát

(điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết

khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km,

khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây

điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho

mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm

G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G

rồi từ G đến C chi phí ít nhất.

A. 40km B. 45km C. 55km D. 60km

Hướng dẫn:

Gọi BG = x (0<x<100)

Ta có

Chi phi mắc dây điện theo giải thiết là:

Khảo sát hàm ta được chọn phương án B.

Câu 33: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ

cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với

giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều

có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi

căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm

hai căn hộ bị bỏ trống.

Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải

cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một

tháng? (đồng/tháng)

A. 2 250 000 B. 2 450 000

C. 2 300 000 D. 2 225 000

Hướng dẫn:

Gọi (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá

cho thuê mỗi căn hộ. ( )

Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ).

Khi đó, số tiền công ti thu được là:

(đồng/tháng).

Khảo sát hàm số trên .

2 5( ).x km

120cm

40cm

40 3cm

80cm

40 2cm

,0 60  

AB x x

120

 BC x

2 2 2

120 240

   

AC BC AB x

 

. 120 240

 

S x x x

 

0;60

 

S' x





 

S x

 

80

100

AG x  

2 2 2

3600

GC BC GC x   

( ) 3000.(100 ) 5000. 3600

f x x x   



0x 

100 000

 

2 000 000 50

100 000

T x x

 









  













 

100 000 000 10

100 000

x  

 

T x











Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 15

Bảng biến thiên:

0 250 000

T’

Do đó .

Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê

một căn hộ mỗi tháng là 2 250 000 đồng.

Câu 34: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật

nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính , biết

một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường

kính của đường tròn.

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật không

nằm dọc theo đường kính đường tròn

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên

đường tròn là:

Diện tích hình chữ nhật:

Ta có

Suy ra là điểm cực đại của hàm .

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:

Câu 35: Trong bài thực hành của môn huấn luyện

quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một

con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên

kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận

tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy

trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao

nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu

như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ

1km theo đường chim bay.

400

100

200

Hướng dẫn:

Vấn đề là chọn thời gian bơi và thời gian đi bộ

sao cho “tối ưu”. Giả sử độ dài đoạn bơi là

và

tốc độ bơi của chiến sĩ là

. Ký hiệu

là độ dài

đoạn sông kể từ người chiến sĩ đến đồn địch, khi

ấy tổng thời gian bơi và chạy bộ của người chiến

sĩ là

2 2

100

 

 

l m l

v v

,m v

là cố định nên thời gian đạt cực tiểu khi

hàm số

2 2 2 2

100 2 100

( )

2 2

  

  

l l l l

f l

v v v

đạt cực tiểu, và cũng tức là khi hàm

2 2

( ) 2 100

  g l l l

đạt cực tiểu. Điều này xảy

ra khi

2 2

2 0

100

 



, hay

2 100

 l l

tức là

400 / 3 133,333333 

(met).

Câu 36: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên

và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a.

Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được

nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C

được biểu thị bởi công thức

sin

C k



(



là

góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng

số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).

 

'T x



100 000



 

' 0 1000000 4 0 250 000

T x x x

     







 

max 250 000

T x T





10cm

100

160

200

( )x cm

 

0 10

 

 

2 2

2 10 .x cm



2 2

2 10

S x x 

2 2 2 2

2 2

2 10 2.10 4

S x x



    



 











 



 





10 2

tâoûa

10 2

kâoâng tâoûa

10 2

8 40 2 0

S x S

 







 

     











 

10 2

x 

 

S x

 

2 2

S 10 2. 10 100

  

Công Phá Toán The Best or Nothing

16 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm



Hướng dẫn:

Ta có:

2 2

 r a h

(Định lý Py-ta-go)

2 2

sin  



h h

a h



 

2 2 2 2

sin

.  

 

C k k

a h a h



Xét hàm

 

2 2

0 



f h h

a h

, ta có:

 

2 2 2 2 2

2 2

2 .

  





a h h a h

f h

a h

 

2 2 2 2 2

' 0 3. .

    f h h a h a h

2 2 2

    

h a h h

Bảng biến thiên:



f '(h) + -

f(h)

Từ bảng biến thiên suy ra:

   

max max

2 2

     

a a

f h h C k f h h

Câu 37: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán

kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện

ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép

bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng

cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi

công thức ( là góc tạo bởi tia sáng

tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ

thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn

tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng

điện tính từ mặt bàn là

A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m

Hướng dẫn:

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h

> 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt

bàn. MN là đường kính của mặt bàn. (như hình

vẽ)

Ta có và , suy ra cường độ

sáng là: .

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất

khi , khi đó

Câu 38: Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào

thành hai chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát

một con sông, một chuồng cho cừu, một chuồng

cho gia súc. Đã có sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện

tích lớn nhất có thể bao quanh là bao nhiêu?

A. 4000 m

B. 8400 m

C. 4800 m

D. 2400 m

Hướng dẫn: Đáp án C.

sin

C c







sin





2 2

h l

 

( ) ( 2)

C l c l



 

 

4 2

' . 0 2

. 2

C l c l

l l



   



 

' 0 6 2

C l l l   

l 



sông

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 17

Câu 39: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo

thành một tam giác vuông tại B (như hình vẽ), AB

= 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở

nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên

đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến

điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn

A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với

tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B

bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

A. 5 km B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km

Hướng dẫn:

Đặt BM = x (km),

0

Thời gian để bạn A di chuyển từ A đến M rồi đến

nhà C là:

(h)

Lập bảng biến thiên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất

của là khi

Chọn đáp án B

Câu 40: Một đường dây điện được nối từ một nhà

máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách

ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B

đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất

5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi

diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây

điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

km B.

km C.

km D.

Hướng dẫn:

Trước tiên, ta xây dựng hàm số

 

f x

là hàm số

tính tổng chi phí sử dụng.

Đặt

BS x

thì ta được:

4 , 1   

SA x CS x

Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất

5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như

vậy ta có hàm số

 

f x

được xác định như sau:

   

3000. 4 5000. 1   

f x x x với

 

0;4

x

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

 

f x

để có được

số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được

vị trí điểm S.

 

' 3000 5000. .

  



f x

 

' 0 3000 5000. 0

3000 1 5000 0

    



    

f x

x x

16 9

3 1 5







   









x x



 



  









Hàm số

 

f x

liên tục trên đoạn

 

0;4 .

Ta có:

 

0 17000, 16000,

 

 

 

 

f f

 

4 20615,52813.

f

Vậy giá trị nhỏ nhất của

 

f x

là 16000 và tại



Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S nằm

cách A một đoạn

3 13

4 4 .

4 4

    SA x

Vậy đáp án là B.

Câu 41: Một cửa hàng bán thú kiềng cần làm một

chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm

hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này

có hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong

góc nhà nên không cần rào. Các cạnh cần rào của

hình chữ nhật là bao nhiêu để diệnh tích của nó là

lớn nhất ?

A. Mỗi cạnh là 10 m B. Mỗi cạnh là 9 m

C. Mỗi cạnh là 12 m D. Mỗi cạnh là 5 m

Hướng dẫn: Đáp án A.

100 25

30 50

( )

x x

t x

 

 

( )t x

x 

1km

4km

Công Phá Toán The Best or Nothing

18 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được

chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành

hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình

vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều

bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ

nhất?

9 4 3



(m) B.

36 3

4 3



(m)

4 3



(m) D.

18 3

4 3



(m)

Hướng dẫn:

Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó

độ dài cạnh hình vuông là

6 3

 x

Tổng diện tích khi đó là:

 

2 2

3 6 3 1

9 4 3 36 36

4 4 16



 

     

 

 

S x x x

Diện tích nhỏ nhất khi

9 4 3

  



Vậy diện tích Min khi

9 4 3





Hoặc đến đây ta có thể bấm máy tính giải phương

trình

 

9 4 3 36 36  

x x

ấn bằng và hiện giá

trị.

Đây chính là đáp án A mà ta vừa tìm được ở trên.

Câu 43: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong

nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật

lớn nhất khi tỉ số

bằng:

A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 44: Một người thợ mộc cần xây một căn

phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54m.

Các canh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích

của căn phòng là lớn nhất ?

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 45: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân

trong việc xác định giá vé xem các chương trình

được chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng,

nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay

bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta

xác định rằng: Nếu giá vé vào cửa Là 20$ thì trung

bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền

vé lên 1$ mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng

trong số trung bình. Trung bình mỗi khách hàng

dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy

giúp giám đốc nhà máy này xác định xem cần tính

giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn

nhất.

A. giá vé là 14,1 $ B. giá vé là 14 $

C. giá vé là 12,1 $ D. giá vé là 15 $

Câu 46: Bác Tôm có cái ao có diện tích

50m

để

nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ

20 con/m

và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm.

Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy cứ

thả giảm đi 8 con/

thì mỗi con cá thành phẩm

thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới bác phải

mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng

năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt

trong quá trình nuôi).

A. 488 con B. 512 con

C. 1000 con D. 215 con

Hướng dẫn: Đây là một bài toán thực tế dựa trên

kiến thức đã học, đó là tìm giá trị lớn nhất của hàm

số. Đề bài cho ta khá nhiều dữ kiện. Thực chất dữ

kiện diện tích mặt ao và mật độ ban đầu là cho ta

dữ kiện rằng năm đó bác đã thả bao nhiêu con

giống, ta bắt dầu tiền hành vào bài toán như sau:

Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là

20.50 100

con.

Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì

mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong hóa học

các quý độc giả đã học cách làm này rồi, và bây

giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý độc giả:

Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 19

Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.

Đến đây ta tính theo cách nhân chéo:

0,5.

0,0625

 

kg/con.

Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác

Tôm sẽ là :

    

1000 1,5 0,0625

  

f x x x

 

0,0625 1,5 1500 62,5

    

f x x x x

0,0625 62 1500

   x x

Vì đây là hàm số bậc 2 nên đến đây ta có thể tìm

nhanh GTNN của hàm số bằng cách bấm máy tính

như sau:

1. Ấn MODE



5:EQN



ấn 3 để giải

phương trình bậc 2.

2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng

cho đến khi máy hiện:

Lúc đó ta nhận được hàm số đạt GTNN tại

488

. Vậy số cá giảm đi là 488 con. Đến đây

nhiều độc giả có thể sẽ chọn ngay đáp án A. Tuy

nhiên đề bài hỏi “vụ tới bác phải mua bao nhiêu

con cá giống” thì đáp án chúng ta cần tìm phải là

1000 488 512 

. Đáp án B.

Câu 47: Từ một tấm bìa cứng hình vuông cạnh a,

người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau

rồi gấp lại tạo thành một hình hộp không nắp. Tìm

cạnh của hình vuông bị cắt để thể tích hình hộp

lớn nhất.

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 48: Xét các hình chữ nhật được lát khít bởi

các cặp gạch lát hình vuông có tổng diện tích là 1,

việc lát được thực hiện theo cách: hai hình vuông

được xếp nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà

phần trong của chúng không đè lên nhau, các cạnh

của hai hình vuông thì nằm trên hoặc song song

với các cạnh của hình chữ nhật. Khi đó giá trị bé

nhất của diện tích hình chữ nhật nêu trên là:

2 2



(1 2)



1 2



1 2



Hướng dẫn:

Hình chữ nhật nhỏ nhất chứa cặp gạch lát vuông

(có tổng diện tích là 1)

có diện tích

2 2

( ) . 1

  f x x x x

với

  x x

ta tìm đợc tại

1 2

2 4

 x

có giá trị bé nhát của

( ) (1 2) 1, 20711

  f x

Câu 49: Một chất điểm chuyển động theo quy luật

2 3

 s t t

. Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc

v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

2t

B. t=3 C. t=4 D. t=5

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 50: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016,

trường THPT Lương Tài số 2 có tổ chức cho học

sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong

số đó có lớp 12A11. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi

trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A11 đã

dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt

từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m

và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt

lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng

của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của

tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ).

Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn

nhất?

4

3 3

x

3

3 2

x

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 51: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt

một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng

nước là

6 /km h

. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước

đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của

cá trong t giờ được cho bởi công thức.

 



E v cv t

12m

Công Phá Toán The Best or Nothing

20 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun.

Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng

lượng tiêu hao là ít nhất.

A. 6km/h B. 9km/h C. 12km/h D. 15km/h

Hướng dẫn:

Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là: v- 6 (km/h).

Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là

300





Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách

đó là:

   

300

. 300 . , 6

6 6

  

 

E v cv c jun v

v v

 

' 2

600







E v cv

 



 







v loai

E v

Đáp án B.

Câu 52: Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều

dài cạnh là a. Cắt bỏ 3 phần như hình vẽ để được

một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Tính diện tích lớn nhất đó.

Hướng dẫn:

Gọi

, 0

   MN x x a

Khi đó :

( )

 

MNPQ

S x a x

Khảo sát hàm số ta tìm được GTLN là

khi



Câu 53: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi

phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày

thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi

lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2

phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới

là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày

là lớn nhất.

A. 480 ngàn. B. 50 ngàn.

C. 450 ngàn. D. 80 ngàn.

Hướng dẫn:

Gọi

(ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt

ra,

400

(đơn vị: ngàn đồng).

Giá chênh lệch sau khi tăng

400

Số phòng cho thuê giảm nếu giá là

 

400 2

400

20 10

 





Số phòng cho thuê với giá

là

400

50 90

10 10



  

x x

Tổng doanh thu trong ngày là:

( ) 90 90

10 10

 

    

 

 

x x

f x x x

( ) 90



  

f x

( ) 0 450



  

f x x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

( )f x

đạt giá trị

lớn nhất khi

450

Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có

doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng.

Câu 54: Cho chuyển động thẳng xác định bởi

phương trình S = t

+ 3t

– 9t + 27, trong đó t tính

bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia

tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu

là:

0m/s .

6m/s .

24m/s .

12m/s .

Hướng dẫn:

v = S

’

= 3t

+ 6t – 9 = 0



x= - 3 (loại) hoặc x = 1



a= v

’

= 6t +6 = 6+6 = 12 (m/s

)

(9)

E’(v)

E(v)

–

20250

f’(x)

f(x)

450

400

–

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 21

Câu 55: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân

được đo bởi công thức G(x) = 0,025x

(30 – x)

trong đó x (mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần

tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất

thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:

15mg

. B.

30mg

. C.

40mg

. D.

20mg

Hướng dẫn:

’

(x) = 1,5x – 0,075x

= 0



x = 0 (loại) hoặc x = 20 (nhận)

Câu 56: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện

tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng

bao nhiêu?

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, chiều rộng là y (x,

y >0). Ta có: xy = S

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

x+y ≥ 2



2 (x+y) ≥ 4 ≥ 4

Câu 57: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các

chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể

từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ

t là f(t) = 45t

– t

(kết quả khảo sát được trong 8

tháng vừa qua). Nếu xem f

’

(t) là tốc độ truyền

bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền

bệnh lớn nhất vào ngày thứ:

A. 12. B. 30. C. 20. D.

Hướng dẫn:

’’

(t) = 90 – 6t = 0



t = 15

Câu 58: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa

cần diện tích 384 cm

Lề trên và dưới là 3cm, lề

trái và phải là 2cm. Kích thước tối ưu của trang

giấy là:

A. Dài 24cm; rộng 16cm

B. Dài 24cm; rộng 17cm

C. Dài 25cm; rộng 15,36cm

D. Dài 25,6cm; rộng 15cm

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài của trang chữ là x, chiều rộng là y

Ta có: xy = 384

Diện tích trang giấy là: 384 + 4.2.3= 408 = 24.17.

Câu 59: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được

đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép

dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định

vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác

định vị trí đó ? (góc



BOC

gọi là góc nhìn)

2,4AO m

2AO m

2,6AO m

3AO m

Hướng dẫn: Gọi cạnh OA = x

OB = và OC =

Lại có: cos(



BOC

) =

2 2 2

2 .

 

OB OC BC

OB OC

Tìm giá trị lớn nhất ta được kết quả. Đáp án A.

Câu 60: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi

sinh sống) để vượt khoàng cách 300km (đến nơi

sinh sản).Vận tốc trong nước là 6 km/h. Giả sử

vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h

thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được

cho bởi công thức: E(v) = cv

t, trong đó c là hằng

số cho trước, E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá

khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao

ít nhất bằng:

A. 9 km/h B. 8 km/h

C. 10 km/h D. 12 km/h

Hướng dẫn: Ta có t =

E(v) = cv

’

(v) = = 0



600v

– 5400v

= 0



v = 9 (nhận) hoặc v = 0 (loại)

Câu 61: Hàng ngày, mực nước của một con kênh

lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực

nước trong kênh tính theo thời gian t (h) trong một

ngày cho bởi công thức h =

3cos 12

6 3

 

 

 

 

 

Khi nào mực nước của kênh là cao nhất ?

16

15

14

13

Hướng dẫn:

h(13) = 12; h(14) = 10,5; h(15) = 9,4;

h(16) = 9



t = 13

1,4

1,8

Công Phá Toán The Best or Nothing

22 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 62: Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự

chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với

vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5s tên lửa bay đến độ cao

bao nhiêu ? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chỉ

chịu tác động của trọng lực g = 9,8 m/s

)

A. 61,25(m) B. 6,875(m)

C. 68,125(m) D. 30,625(m)

Hướng dẫn: S = vt - gt

= 6,875 (m)

Câu 63: Cho chuyển động thẳng xác định bởi

phương trình S =

– 3t

), trong đó t tính bằng

giây, S được tính bằng mét (m). Vận tốc của

chuyển động tại thời điểm t = 4 s bằng.

280m/s.

232m/s.

140m/s.

116m/s.

Hướng dẫn:

v(t) = S

’

= 2t

– 3t.

Thời điểm t = 4: v(4) = 2.4.4.4 - 3.4 = 116 (m/s)

Câu 64: Một chất điểm chuyển động theo quy luật

S =

+ 2t – 100, chất điểm đạt giá trị nhỏ

nhất tại thời điểm.

1t

16

5t

3t

Hướng dẫn:

’

= t

– 3t + 2 = 0



t = 1 hoặc t = -2 (loại)

Câu 65: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây

đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m),

biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn

không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được

cứu chữa. Biết F

’

(m) =

1000

2 1t

và ban đầu bệnh

nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh

nhân phát hiện ra bị bệnh.Hỏi khi đó có bao nhiêu

con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập

phân thứ hai) và bệnh nhân đó có cứu chữa được

không ?

A. 5433,99 và không cứu được

B. 1499,45 và cứu được

C. 283,01 và cứu được

D. 3716,99 và cứu được

Hướng dẫn: F(m) = 500.ln(2t + 1) + C

Với t = 0



c = 2000

Với t = 15



500ln(2.15 + 1) + 2000

= 3716,99 < 4000



cứu được

Câu 66: Một giáo viên đang đau đầu về việc

lương thấp và phân vân xem có nên tạm dừng

niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang

kinh doanh đồ uống trà sữa hay không?Ước tính

nếu 1 li trà sữa là 20000đ thì trung bình hàng

tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại

quán, trung bình mỗi khách trả thêm 10000đ tiền

bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn

tăng thêm mỗi li trà sữa 5000đ thì sẽ mất khoảng

100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một

li trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn

nhất (Giả sử tổng thu chưa trừ vốn)

A. Giảm 15 ngàn đồng

B. Tăng 5 ngàn đồng

C. Giữ nguyên không tăng giá

D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng

Hướng dẫn: Gọi x là số tiền thay đổi

Thu nhập: F(x) = (30 + x).(1000 + 20x)

F(5) > F(2,5) > F(0) > F(-15)

Câu 67: Một vật chuyển động theo quy luật

3 2

+9 ,

 

s t t

với t (giây) là khoảng thời gian

tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là

quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi

trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu

chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được

bằng bao nhiêu ?

A. 216 (m/s). B. 30 (m/s).

C. 400 (m/s). D. 54 (m/s).

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 68: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở

vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng

nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng

3km

(như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình

trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B,

hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể

chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau

đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền

6 /km h

, chạy

8 /km h

và quãng đường

8BC km

Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so

với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm

khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người

đàn ông đến B.

3km

8km

Sông

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 23



. B.

Hướng dẫn:

Đặt

CD x

Quãng đường chạy bộ

 DB x

và quãng

đường chèo thuyền

9 

AD x

Khi đó, thời gian chèo thuyền là



và thời

gian chạy bộ là

 x

Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:

9 8

( ) , [0;8]

6 8

 

   

x x

T x x

Ta có:

'( )

6 9

 



T x

2 2 2

'( ) 0 4 3 9

6 9

16 9( 9) 7 81

     



      

T x x x

x x x x

Ta có:

(0)



;

9 7

 

 

 

 

;

(8)

T

Do đó:

[0;8]

9 7

min ( ) 1

 

  

 

 

T x T

Câu 69: Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt

cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây).

Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt

trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của

mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến

chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn

nhất.

9.

10.

11.

12.

Câu 70: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà

sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện

tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con

cá sau một vụ cân nặng

 

480 20

 

P n n

(gam).

Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện

tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được

nhiều cá nhất ?

A. 10 B. 12 C. 16 D. 24

Hướng dẫn:

Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ

0

. Khi đó:

Cân nặng của một con cá là:

   

480 20 

P n n gam

Cân nặng của n con cá là:

   

. 480 20 

n P n n n gam

Xét hàm số:

   

480 20 , 0;

  

f n n n n

Ta có:

 

' 480 40

 

f n n

, cho

 

' 0 12  

f n n

Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một

đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là

12 con.

Câu 71: Một chất điểm chuyển động theo qui luật

2 3

 s t t

(trong đó t là khoảng thời gian tính

bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động).

Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc

 

/m s

của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

2t

4t

1t

3t

Hướng dẫn: Như các bạn đã biết thì phương trình

vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất

của phương trình chuyển động (li độ) của vật nên

ta có phương trình vận tốc của vật là

' 12 3

  

v s t t

. Phương trình vận tốc là phương

trình bậc 2 có hệ số

3 0  

nên nó đạt giá trị

lớn nhất tại giá trị





hay tại

2t

Câu 72: Hằng ngày, mực nước của một con kênh

lên xuống theo thủy chiều. Độ sâu

 

h m

của mực

nước trong kênh tính theo thời gian

 

t h

trong

một ngày cho bởi công thức

3cos 12

6 3

 

  

 

 

 

. Khi nào mực nước của

kênh là cao nhất?

16

15

14

13

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 73: Một khúc gỗ tròn hình trụ xẻ thành một

chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4

miếng phụ như hình vẽ. ãy ác định kích thước của

Chốt

Công Phá Toán The Best or Nothing

24 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện

ngang là lớn nhất.

A. Rộng

34 3 2



, dài

7 17



B. Rộng

34 3 2



, dài

7 17



C. Rộng

34 3 2



, dài

7 17



D. Rộng

34 3 2



, dài

7 17



Hướng dẫn:

Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng phụ lần

lượt là x, y.

Đường kính của khúc gỗ là d khi đó tiết diện

ngang của thanh xà có độ dài cạnh là

và

 

2 2

0 ,0



   

x y

Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như

hình vẽ theo định lý Pitago ta có:

2 2

8 4 2

 

  

 

 

   

x y d

y d x x

Do đó, miếng phụ có diện tích là:

 

2 2

8 4 2

  

S x x d x dx

với

 

2 2



 

Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt giá trị lớn

nhất.

 

2 2

1 8 2 2

' 8 4 2

2 8 4 2

16 6 2

2 8 4 2

 

   

 

  



 

x x d

S x d x x

d x dx

x dx d

d x dx

 

2 2

' 0 16 6 2 0

16 6 2 1 0

34 3 2

     

   

    

   

   



 

S x x dx d

x x

d d

x d

Bảng biến thiên

34 3 2



2 2



y' + 0



y S

max

Vậy miếng phụ có kích thước

34 3 2 7 17

16 4

 

 

x d y d

Câu 74: Bác nông dân muốn làm một hàng rào

trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với

hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi

vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường (như

hình vẽ 1). Bác dự tính sẽ dùng 200 m lưới sắt để

làm nên toàn bộ hàng rào đó.

Diện tích đất trồng rau lớn nhất mà bác có thể rào

nên là

1500m

10000m

2500m

5000m

Hướng dẫn: Chọn D.

Đề bài cho ta dữ kiện về chu vi của hàng rào là

200 m. Từ đó ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x

và r, đến đây ta có thể đưa về hàm số một biến

theo l hoặc theo r như sau:

Ta có

2 200 100

    

x r r

Từ đây ta có

0 200  

r x

Diện tích đất rào được tính bởi:

 

. 100 100

2 2



 

   

 

 

x x

f x x x

Hàng

Bờ

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 25

Xét hàm số

 

100



 

f x x

trên khoảng

 

0;200 .

Đến đây áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn như ở phần lý

thuyết trên thì ta có phương trình:

 

' 0 100 0 100      f x x x

Từ đó ta có

 

100 5000f

là giá trị lớn nhất của

diện tích đất rào được.

Trên đây là cách làm áp dụng quy tắc chúng ta

vừa học, tuy nhiên tôi muốn phân tích thêm cho

quý độc giả như sau: Ta nhận thấy hàm số trên là

hàm số bậc hai có hệ số

  a

, vậy đồ thị

hàm số có dạng parabol và đạt giá trị lớn nhất tại

 

. Vậy áp dụng vào bài này thì hàm số đạt

giá trị lớn nhất tại

100



 



. Từ đó tìm

 

100f

luôn mà không cần đi tính

 

'f x

Câu 75: Một ca sĩ có buổi diễn âm nhạc với giá

vé đã thông báo là 600 đô la thì sẽ có 1000 người

đặt vé. Tuy nhiên sau khi đã có 1000 người đặt vé

với giá 600 đô la thì nhà quản lí kinh doanh của

ca sĩ này nhận thấy, cứ với mỗi 20 đô la giảm giá

vé thì sẽ thu hút được thêm 100 người mua vé nên

ông quyết định mở ra một chương trình giảm giá

vé. Tìm giá vé phù hợp để có được số tiền vé thu

vào là cao nhất và số tiền đó là bao nhiêu?

A. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 800 000 đô la

B. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 640 000 đô la

C. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 11 000 đô la

D. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 110 000 đô la

Hướng dẫn: Chọn A.

Gọi x là số lần giảm bớt đi 20 đô la trong giá vé.

Khi đó giá vé sẽ là

600 20 x

một người.

Số người mua vé sẽ là

1000 100 x

Khi đó số tiền thu được sẽ là:

    

600 20 1000 100

2000 40000 600000

  

   

f x x x

x x

Tương tự như Câu 74 thì hàm số là hàm số bậc hai

có hệ số

2000 0  a

ta sẽ áp dụng kết quả đã

được đưa ra đó là hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại

 

40000

10.

2 2. 2000

 

  



Khi đó

 

10 800000f

Giải thích thực tế: Nguyên lí của bài toán này

chính là càng giảm giá vé thì càng thu hút thêm

nhiều người mua.

Câu 76: Bác Tôm có cái ao có diện tích

50m để

nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20

/con m và thu được

1,5

tấn cá thành phẩm.

Theo kinh nghiệm nuôi cá của của mình, bác thấy

cứ thả giảm đi 8

/con m thì mỗi con cá thành

phẩm thu được tăng thêm

0,5 .kg

Vậy vụ tới bác

phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng

năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt

trong quá trình nuôi).

A. 488 con B. 512 con

C. 1000 con D. 215 con.

Hướng dẫn: Chọn B.

Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là

20.50 1000

con.

Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì

mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong hóa học

các quý độc giả đã học cách làm này rồi, và bây

giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý độc giả:

Khi giảm 8 con thì năng suất tăng

0,5 / .kg con

Khi giảm x con thì năng suất tăng

/ .a kg con

Đến đây ta tính theo cách nhân chéo:

0,5.

0,0625 /

 

a x kg con

Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác

Tôm sẽ là:

    

1000 1,5 0,0625  f x x x kg

 

0,0625 1,5 1500 62,5    f x x x x

0,0625 61 1500   x x

1. Ấn MODE



5: EQN



ấn 3 để giải phương

trình bậc 2.

2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng cho đến

khi máy hiện :

Lúc đó ta nhận được hàm số đạt GTLN tại

488x

Vậy số cá giảm đi là 488 con. Đến đây nhiều độc

Công Phá Toán The Best or Nothing

26 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

giả có thể sẽ chọn ngay đáp án A. Tuy nhiên đề

bài hỏi “vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá

giống” thì đáp án chúng ta cần tìm phải là

1000 488 512 

Câu 77: Một công ty kinh doanh thực phẩm ước

tính rằng số tiền thu vào ở việc kinh doanh rau

được tính xấp xỉ bằng công thức

 

29000 1000 100 000

  h x x x

và tiền lãi

được tính bằng công thức

 

1000 100000

 g x x

với

là số tiền cho mỗi

kg rau. Tìm x để số tiền vốn bỏ ra là ít nhất.

15000

đồng B. 30000 đồng

C. 10000 đồng D. 20000 đồng.

Hướng dẫn: Chọn A.

Khi đó số tiền vốn bỏ ra sẽ được tính bằng công

thức

     

 

f x h x g x

 

30000 1000000000

15000 775000000 775 000 000

  

   

x x

Dấu bằng xảy ra khi

15000

Câu 78: Chủ của một nhà hàng muốn làm tường

rào bao quanh 600

đất để làm bãi đỗ xe. Ba

cạnh của khu đất sẽ được rào bằng một loại thép

với chi phí 14 000 đồng một mét, riêng mặt thứ tư

do tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên được

xây bằng tường gạch xi măng với chi phí là 28000

đồng mỗi mét. Biết rằng cổng vào của khu đỗ xe

là 5 m. Tìm chu vi của khu đất sao cho chi phí

nguyên liệu bỏ ra là ít nhất, chi phí đó là bao

nhiêu?

A. 100 m, 1 610 000 đồng

B. 100 m, 1 680 000 đồng

C. 50 m, 1 610 000 đồng

D. 50 m, 1 680 000 đồng

Hướng dẫn: Chọn A.

Ta có các kích thước được kí hiệu như sau

Do đề đã cho diện tích khu đất nên

600

600  xy y

Chi phí nguyên liệu được tính bằng công thức

 

600

5 2. .14000 28000

16800000

42000 70000

 

   

 

 

  

f x x x

với

5

Nhận thấy x dương, do vậy ở đây ta có thể nhận

ra ngay bất đẳng thức Cauchy với hai số dương.

Vậy

 

16800000

2 42000 . 70000 1610000

  f x x

Dấu bằng xảy ra khi

16800000

42000 20  

x x

Vậy chu vi của khu đất là:

 

600

2. 2. 20 100

 

   

 

 

x y m

Chú ý: Nhiều độc giả quên trừ đi đoạn cổng vào

nên sẽ chọn nhầm phương án B hoặc D.

Câu 79: Một công ty sản xuất khoai tây chiên giới

hạn về kích thước hộp sao cho tổng chiều dài l của

hộp khoai tây chiên và chu vi đường tròn đáy

không vượt quá 84 cm (để phù hợp với phương

thức vận chuyển và chiều dài truyền thống của

dòng sản phẩm). Công ty đang tìm kích thước để

thiết kế hộp sao cho thể tích đựng khoai tây chiên

là lớn nhất, thể tích đó là:

29152



B. 29152

14576



Hướng dẫn: Chọn A.

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 27

Do đề bài yêu cầu tìm thể tích lớn nhất của hộp

khoai tây chiên và tổng chiều dài l và chu vi

đường tròn đáy không vượt quá 84 cm nên:

Nếu muốn thể tích lớn nhất ta sẽ lấy giới hạn max

của tổng độ dài tức là

84 2 84    

l P l r



với r là bán kính

đường tròn đáy

84 2  l r



Thể tích của hộp khoai tây chiên được tính bằng

công thức:

 

2 2

2 2 3

84 2

  

  

V r l r r

r r f r

  

 

Ta có

   

2 2

' 168 6 . 6 28 0    

f r r r r r

   



 













Giống như trong cuốn Bộ đề tinh túy ôn thi THPT

quốc gia năm 2017 tôi đã viết thì quý độc giả có

thể nhận ra ngay

 

là giá trị cực tiểu của hàm

số,

 

 

 



là giá trị cực đại của hàm số.

Vậy đến đây ta tư duy nhanh.

 

28 29152

 

 

 

 



Max f r f cm

 

Câu 80: Một người phải đi đến một cái cây quí

trong rừng càng nhanh càng tốt. Con đường mòn

chính mà người ta hay đi được miêu tả như sau:

Từ vị trí người đó đi thẳng 300 m gặp một cái ao

nên không đi tiếp được nữa , sau khi rẽ trái đi

thẳng 600 m đường rừng sẽ đến cái cây quí đó.

Biết rằng nếu đi đường mòn thì anh ta có thể chạy

với tốc độ

160 /m

phút, còn khi đi qua rừng anh ta

chỉ có thể đi với tốc độ

70 /m

phút.

Đó là con đường đi truyền thống mà người ta hay

đi, vậy con đường đi mà mất ít thời gian nhất được

miêu tả

A. đi thẳng từ vị trí người đó đứng đến cái cây.

B. đi theo đường mòn 292 m rồi rẽ trái đi đến

cái cây.

C. đi theo cách truyền thống ở trên.

A. đi thẳng 8 m rồi rẽ trái đi đến cái cây.

Hướng dẫn: Chọn D.

Ta có hình vẽ:

Kí hiệu như hình vẽ trên ta có

Tổng thời gian người đó đi đến cái cây được tính

theo công thức:

 

2 2

300 600

160 70

 

 

x x

f x

với

0 300 

Đến đây công việc của ta là đi tìm giá trị nhỏ nhất

của hàm số

 

f x

trên

 

0;300

. Ta lần lượt làm

theo các bước:

 

2 2

1 1 2

' .

160 70

2 600

  



f x

 

2 2

' 0 16 7 600

   f x x x

 

2 2 2

256 49. 600  

x x

2 2

207 49.600

 x

49.600 7.600

292

207

    

x x m

Đến đây nhiều độc giả có thể vội chọn B. Tuy

nhiên nhìn kĩ thì thấy D mới đúng, vì theo miêu tả

thì người đó sẽ đi 300 – x mét sau đó thì đi thẳng

đến cái cây.

300 m

600 m

300 m

600 m

300 –x

Công Phá Toán The Best or Nothing

28 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN

Câu 1: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng

một hầm biogas với thể tích 12 m

để chứa chất

thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm

chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp

rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy

(dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm

nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của

thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo

đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu

phẩy) phù hợp yêu cầu là:

A. Dài 2,42m và rộng 1,82m

B. Dài 2,74m và rộng 1,71m

C. Dài 2,26m và rộng 1,88m

D. Dài 2,19m và rộng 1,91m

Hướng dẫn:

Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x

và 2x (m)

Chiều dài của bể là

 

12 2

2 .3



x x

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn

phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có

 

2 2

3 3

2 2 10

2 2 .3 2 . . 2 6

5 5

6 3 150 6 150

 

   

 

 

    

S x x x x

x x

x S m

x x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

5 5

  x x

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là

2 1,88 ; 2,26

 

x m m

. Chọn C.

Câu 2: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có

hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một

phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một

lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy

chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình

vẽ, gọi

x x

là giá trị làm cho hộp kim loại có

thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên

chất có giá trị là

. Tìm

A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D.

đvtt

Hướng dẫn:

Phân tích: Đây là một dạng bài toán ứng dụng

thực thể kết hợp với cả phần tính thể tích khối đa

diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I

phần giải thích.

Trước tiên ta nhận thấy

    

6 12 2 2 6

    V x x x x x

 

2 3 2

2 12 36 2 24 72

     

x x x x x x

Xét hàm số

 

3 2

2 24 72

  

f x x x x

trên

 

0;6

   

' 6 48 72; ' 0





    







f x x x f x

Khi đó

 

   

0;6

max 2 64 

f x f

đvtt.

Đến đây nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà

không đắn đo gì. Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy

là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích

chocolate nguyên chất mà không phải là thể tích

hộp do đó ta cần. Tức là

1 3

4 4

 

thể tích hộp.

tức là

.64 48



đvtt

Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của

rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình

vuông trên một mặt) là 4cm.

A. 27 cm

. B. 1728 cm

C. 1 cm

. D. 9 cm

Hướng dẫn:

Đây là một bài toán ăn điểm, nhưng nếu đọc

không kĩ từng câu chữ trong đề bài các độc giả rất

có thể sai.

Ta có khối rubic như sau:

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 29

Hướng sai 1: Nghĩ rằng mỗi cạnh của ô vuông là

4 nên chiều dài mỗi cạnh của khối rubic là

4.3 12 12 1728     

a V B

Hướng sai 2: Nghĩ rằng chu vi mỗi ô vuông là

tổng độ dài của cả 12 cạnh nên chiều dài mỗi cạnh

là

, nên độ dài của khối rubik là

.3 1 1 1

     

a V C

Hướng sai 3: Nhầm công thức thể tích sang công

thức tính diện tích nên suy ra ý D.

Cách làm đúng: Chu vi của một ô nhỏ là 4 cm nên

độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1cm, vậy độ dài cạnh của

khối rubic là

3.1 3 3.3.3 27    

a cm V cm

. Đáp án A.

Câu 4: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các

thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ

giác đều không nắp có thể tích là

62,5

. Để

tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế

thùng sao cho có tổng

diện tích xung quanh và

diện tích mặt đáy là nhỏ nhất,

bằng

106,25

. B.

50 5

. D.

125

Hướng dẫn:

Gọi

là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.

Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là

62,5

Suy ra

2 2

62.5 250

4. .

   S a a a

2 2

125 125 125 125

3 . . 75    

a a

a a a a

Dấu bằng xảy ra khi

125 5 

. Vậy

là nhỏ

nhất bằng

Chọn đáp án B.

Câu 5: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình

hộp chữ nhật có thể tích

 

V m

, hệ số k cho trước

(k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của

đáy). Gọi

, , 0

x y h

lần lượt là chiều rộng, chiều

dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định

, , 0

x y h

xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

x,y,h lần lượt là

 

2 2

2 1 2 1

2 ; ;

2 1

 

  



k V k k V

x y h

 

2 2

2 1 2 1

; ; 2

2 1

 

  



k V k k V

x y h

 

2 2

2 1 2 1

; 2 ;

2 1

 

  



k V k k V

x y h

 

2 2

2 1 2 1

; 6 ;

2 1

 

  



k V k k V

x y h

Hướng dẫn:

Gọi

 

, , , , 0

x y h x y h

lần lượt là chiều rộng,

chiều dài và chiều cao của hố ga.

Ta có:

x  

k h k

và

   

V V

V xyh y

Nên diện tích toàn phần của hố ga là:

 

2 1

2 2x 2 x



    

k V

S xy yh h k

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi

 

2 1





k V

Khi đó

 

2 1

2 ,

2 1



 



k k V

y h

Câu 6: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố

ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể

tích , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều

rộng của đáy bằng . Hãy xác định diện tích của

đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu

nhất?

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

3200cm

1200cm

160cm

1600cm

120cm

Công Phá Toán The Best or Nothing

30 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều

dài của đáy hố ga.

Gọi là chiều cao của hố ga ( ).

Ta có

suy ra thể tích của hố ga là:

Diện tích toàn phần của hố ga là:

 

6400 1600

2 2 4

8000

     

  

S xh yh xy x

x x

x f x

Khảo sát hàm số suy ra diện

tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng

khi

Suy ra diện tích đáy

của hố ga là

Câu 7: Một công ty Container cần thiết kế cái

thùng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình

vuông, thể tích 108 m

. Các cạnh hình hộp và đáy

là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện

tích tích của một mặt đáy là nhỏ nhất.

A. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 3 m

B. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 6 m

C. Cạnh đáy hình hộp là 9 m, chiều cao là 3 m

D. Cạnh đáy hình hộp là 6 m, chiều cao là 3 m

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 8: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng

vào khoảng 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp

này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao

154m; độ dài cạnh đáy là 270m. Khi đó thể tích

của khối kim tự tháp là:

A. 3.742.200 B. 3.640.000

C. 3.500.000 D. 3.545.000

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 9: Do nhu cầu sử dụng các nguyên liệu thân

thiện với môi trường. Một công ty sản suất bóng

tenis muốn thiết kế một hộp làm bằng giấy cứng

để đựng 4 quả bóng tenis có bán kính bằng r, hộp

đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo 2 cách như

Cách 1: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được đặt

dọc, đáy là hình vuông cạnh 2r, cạnh bên bằng 8r.

Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được xếp

theo một hình vuông, đáy của hộp là hình vuông

cạnh bằng 4r, cạnh bên bằng 2r.

Gọi

là diện tích toàn phần của hộp theo cách

là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2.

Tính tỉ số

B. 1 C. 2 D.

Câu 10: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình

hộp chữ nhật có thể tích 3(m

). Tỉ số giữa chiều

cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4.

Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức

không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất

với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên

vật liệu để xây hố ga.

A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 11: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ

nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp

đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần

chiều rộng và không nắp, có chiều cao là

và có

thể tích là V. Hãy tính chiều cao của hồ nước sao

cho chi phí xây dựng là thấp nhất?

A. m B.

2h m



h m



h m

Hướng dẫn:

, ( , 0)x y x y 

0h 

 

2 2 1

h x

  

 

3200 1600

3200 2V xyh y

    

 

( ), 0

y f x x

 

1200cm

10 16x cm y cm  

10.16 160cm

h – chiều cao

x – chiều dài

y – chiều rộng

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 31

Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và

chiều cao của hình hộp

Theo đề bài ta có

3y x

và

   

V V

V hxy h

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các

kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ

nước là nhỏ nhất.

Khi đó ta có:

2 2

2 2.3 . .3 3

3 3

  

    

S xh yh xy

V V V

x x x x x

x x

Ta có

2 2

8 4 4 16

3 3 3 36

3 3 3 3

      

Cauchy

V V V V

S x x

x x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

4 4 3

3 2

3 9 2

      

V V V

x x h

Vậy chọn C.

Câu 12: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn,

không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m

Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể

cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b,

c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích

thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất,

giả sử độ dầy của kính không đáng kể.

3,6 ; 0,6 ; 0,6  a m b m c m

2,4 ; 0,9 ; 0,6  a m b m c m

1,8 ; 1,2 ; 0,6  a m b m c m

1,2 ; 1,2 ; 0,9  a m b m c m

Hướng dẫn:

Thể tích bể cá là:

1, 296 

V abc

Diện tích tổng các miếng kính là

2 3  S ab ac bc

(kể cả miếng ở giữa)

Ta có:

3 3

1 2 3

3 , ,

1 2 3 1 2 3 3 6 3 6

3 . .

1,296

     



Cauchy cho so

c b a

abc c b a c b a

abc

Dấu “=” xảy ra khi

1,8

1 2 3

1,2

1,296

0,6





 

 

 

 

 





c b a

abc

Đáp án: C.

Câu 13: Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m

người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt

là hình thang ABCD có hinh dưới. Tính thể tích

lớn nhất của máng xối.

40500 3

40500 2

40500 6

40500 5

Hướng dẫn:

Thể tích máng xối:

.300 ( )



ABCD

V S cm

Vậy thể tích lớn nhất khi diện tích hình thang là

lớn nhất.

( ).

 

ABCD

S BC AD CE

CE CDsin



30.

 sin



2 30 60

   AD BC ED cos



90 2

 

ABCD

S sin sin

 

30cm

90cm

30cm

Công Phá Toán The Best or Nothing

32 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Đặt

( ) 90 2 , [0; ]

  f sin sin

    

'( ) 90 .2 2

 

f cos cos

  

'( ) 0 cos cos2 0

2cos cos 1 0

cos

cos 1

   

   







 



 





  

 





 

(0) ( ) 0; 135 3

 

  

 

 

f f f



Vậy GTLN của diện tích ABCD là

135 3

Vậy thể tích máng xối lớn nhất bằng

40500 3

khi ta cạnh CD tạo với BC góc

Câu 14: Một người thợ xây cần xây một bể

chứa 108

nước, có dạng hình hộp chữ nhật với

đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài,

chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao

nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết

thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ

dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên

gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên

một đơn vị diện tích là bằng nhau.

A. 6; 6; 3. B.

2 3;2 3;9.

3 2;3 2;6

3 3;3 3;4

Hướng dẫn:

Gọi x(m) là cạnh của đáy bể, y(m) là chiều cao bể,

x, y > 0

Ta có:

108

108  x y y

Diện tích xây dựng:

2 2

432

4   S x xy x

432

' 2 ; ' 0 6 3      

S x S x y

Câu 15: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh

bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau

và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một

khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem

hình). Nếu chiều cao khối chóp tứ giác đều này

bằng

thì x bằng:

A. x=1. B. x=2. C. x=3. D. x= 4

Câu 16: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một

bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là

hình chữ nhật chiều dài

 

d m

và chiều rộng

 

r m

với

2 .d r

Chiều cao bể nước là

 

h m

và

thể tích bể là

2 .m

Hỏi chiều cao bể nước như thế

nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

 

3 3

2 2

. B.

 

. D.

 

2 2

3 3

Hướng dẫn:

Gọi

 

0

x x

là chiều rộng của đáy suy ra thể tích

bể nước bằng

2 . 2   V x h h

Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là

 

2 2

6 . 2 2 0    

S x h x x x

Xét hàm số

 

 

f x x

với

0.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

x

Vậy chiều cao cần xây là

 

1 1 2 2

3 3

  

 

 

 

h m

Câu 17: Một người dự định làm một thùng đựng

đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là

. Để

làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều

cao của thùng đựng đồ bằng



x V



x V



x V

D. 

x V

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 33

Hướng dẫn:

Gọi

là độ dài cạnh đáy,

là độ dài đường cao

của thùng đựng đồ

 

, 0

a x

Khi đó,

  

V a x a

2a 4 2 4    

S ax Vx

Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì

nhỏ nhất

2 4 

nhỏ nhất.

Cách 1: Xét hàm số

 

2 4 

f x Vx

trên

 



Ta có

 

2 2

' ;



 

V V

f x

 

' 0    

f x x V V x x V

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên

liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng

Cách 2: Ta có

2 4 2 2 2 6    

V V

Vx Vx Vx V

x x

Dấu

" "

xảy ra tại



   

x V x V

Câu 18: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như

hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó dán

các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích

V a

. Tính độ dài cạnh của miếng bìa theo

B. 2a C.

Hướng dẫn:

Đặt

là cạnh của miếng bìa. Khi đó cạnh của tứ

diện đều là

, suy ra thể tích tứ diện đều là:

3 3

2 2

12 12

 V x a

. Do đó

x a

, suy ra cạnh

của miếng bìa là

. Chọn B.

Lưu ý: Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích

của nó là

V a

Câu 19: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh

bằng

5 2

để gấp thành một hình chóp tứ giác đều

sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành

đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp

để thể tích lớn nhất.

A. 4 B. 4

D. A, B, C đều sai

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 20: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập

do trường phát động, bạn An đã nhờ bố làm một

hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn

hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn

theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD và DHA;

sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH

sao cho 4 đỉnh A;B;C;D trùng nhau (Như hình).

Thể tích lớn nhất của khối tứ diện đều tạo được là:

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 21: Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông cạnh

bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều

sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành

đỉnh của hình chóp.Tính cạnh đáy của khối chóp

để thể tích lớn nhất.

2 2

Hướng dẫn:

f’(x)

f(x)

–

Công Phá Toán The Best or Nothing

34 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

* Gọi cạnh đáy hình chóp là x,

x (0; )



Chiều cao của hình chóp là:

2 1 2

2 2 2 2

 



 

   

 

 

x x x

Thể tích của khối chóp:

4 5

1 1 2 1 2

3 2 3 2

 

 

x x x

V x

* Xét hàm số:

4 5

 y x x

trên

(0; )

3 4

0 ( )

' 4x 5x 2 ; ' 0

2 2

( )







   









x l

y y

x n

BBT:

2 2

y’ ║ + 0 - ║

║ ║

Vậy khi

2 2

x

thì khối chóp đạt GTLN

Câu 22: Người ta muốn mạ vàng bên ngoài cho

một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể

tích hộp là lít. Giả sử đồ dày của lớp mạ tại một

điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh

đáy lần lượt là và . Giá trị của và để

lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 23: Có một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều

dài bằng , chiều rộng bằng . Người

ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông

bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để

được một cái hộp không nắp. Hỏi thể tích lớn nhất

của cái hộp là bao nhiêu?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Chiều dài, chiều rộng đáy của cái hộp lần lượt là:

và

Diện tích đáy của cái hộp: .

Thể tích cái hộp là:

với

Ta có: Cho ,

giải ta nhận nghiệm

Lập bảng biến thiên ta thấy

khi

Câu 24: Một công ti chuyên sản xuất container

muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng bên trong

dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình

vuông, có V = 62,5 cm

. Hỏi các cạnh hình hộp

và cạnh đáy là bao nhiêu để S xung quanh và S

đáy nhỏ nhất ?

A. Cạnh bên 2,5m, cạnh đáy 5m

B. Cạnh bên 4m, cạnh đáy

5 10

C. Cạnh bên 3m, cạnh đáy

5 30

D. Cạnh bên 5m, cạnh đáy

5 2

Hướng dẫn:

Gọi đáy là a (a > 0)

Gọi cạnh bên là h (h > 0)

V = a

.h = 62,5



h = 62,5/a

S = S

+ S

đáy

= 4ah + a

’

= 0



a =5



h = 2,5

Câu 25: Một cái hộp hình hộp chữ nhật không

nắp được làm từ một mảnh bìa cứng (xem hình

bên dưới đây). Hộp có đáy là hình vuông cạnh

(cm), chiều cao là

(cm) và có thể tích là 500

. Gọi S(

) là diện tích của mảnh bìa cứng theo

. Tìm

sao cho S(

) nhỏ nhất (tức là tìm

để

tốn ít nguyên liệu nhất).

x h 

12;

144

x h 

2; 1x h 

1; 2x h 

24( )cm

18( )cm

( )x cm

640

max

V cm

617,5

max

V cm

845

max

V cm

645

max

V cm

24 2x

18 2 .x

(24 2 )(18 2 )x x 

3 2

(24 2 )(18 2 ) 4( 21 108 )V x x x x x x     

0 9x 

'( ) 4(3 42 108).

V x x x

  

'( ) 0V x 

7 13 3,4

  

(7 13) 645

max

V V  

7 13 3,4

  

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 35

8

9

10

11

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 26: Một khối tháp gồm 20 bậc. Mỗi bậc là

một khối đá hình lăng trụ đứng tam giác. Bậc trên

cùng là khối lăng trụ

1 1 1 1 1 1

. ' ' 'A B C A B C

có:

1 1 1 1 1 1

3 , 2 , ' 2 ,  A B dm B C dm A A dm

1 1 1

 A B C

. Với i = 1, 2,..., 20, các cạnh

i i

B C

lập thành một cấp số cộng có công sai 1dm, các

góc



i i i

A B C

lập thành một cấp số cộng có công

sai 3

, các chiều cao

i i

A A

lập thành một cấp số

cộng có công sai 0,1dm. Các mặt

' '

i i i i

B C C B

cùng nằm trên một mặt phẳng. Cạnh

1 1 



i i i i

A B A C

, đỉnh





i i

B B

i = 1, 2,..., 19.

Thể tích V toàn bộ của khối tháp gần số nào nhất

sau đây:

A. V = 17560 B. V = 17575

C. V = 16575 D. V = 17755

Hướng dẫn:

Gọi các biến: X là số thứ tự khối lăng trụ tam giác,

A là độ dài các cạnh

i i

B C

, Y là các góc

,

i i i

A B C

B là độ dài các cạnh

1 1 



i i i i

A C A B

, C là độ dài

i i

A A

, D là tổng thể tích. Khi đó, thể tích mỗi lăng

trụ là

'. . . '.sin



 

i i i

i i A B C i i i i i i i i i

V A A S A B A C A A A B C

Để máy ở chế độ đơn vị độ. Nhập vào máy tính

biểu thức:

2 2

1: 1:

3: 2 cos :

0,1: . . .sin

   

    

   

X X A A Y

Y B A B AB Y C

C D D A B C Y

Ấn CALC, nhập X = 1, A = 2, Y = 90, B = 3, C =

2, D = 6.

Ấn = cho đến khi được X = 19 ta được D =

17575,2103.

Câu 27: Một thùng đựng thư được thiết kế như

hình bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích

thùng đựng thư là:

A. 640 +

160



B. 640 +



C. 640 +



D. 320 +



Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 28: Người ta cần xây một hồ chứa nước với

dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích

bằng

500

. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều

dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây

hồ là

500.000

đồng/m

. Hãy xác định kích thước

của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp

nhất. Chi phí đó là ?

A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng

C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 29: Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo ra

một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và

chiều cao h, có thể tích

. Với a, h như thế nào

để đỡ tốn nhiêu vật liệu nhất?

1; 1 a h

1 1

;

3 3

 

a h

1 1

;

2 2

 

a h

2; 2 

a h

Hướng dẫn: Đáp án A.

A’

B’

≡ B

A’

C’

B’

≡ B

B’

≡ B

Công Phá Toán The Best or Nothing

36 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 30: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD

có AD=60cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN

và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng

nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng

trụ khuyết 2 đáy.

Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?

A. x=20 B. x=30 C. x=45 D. x=40

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 31: Một công ty chuyên sản xuất gỗ muốn

thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình

lăng trụ tứ giác đều không nắp, có thể tích là

62,5 .dm

Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người

ta cần thiết kế thùng sao cho tổng

của diện tích

xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất,

bằng:

106,25

125

50 5

Câu 32: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp

chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng

bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có

kích thước như nhau. Phần không gian còn trống

trong hộp chiếm:

A. 65,09% B. 47,64%

C. 82,55% D. 83,3%

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 33: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước

dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao,

rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét,

3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để

xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có

chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10

(cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây)

A. 2080 viên B. 2000 viên

C. 2160 viên D. 4160 viên

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 34: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước

dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao,

rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét,

3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để

xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có

chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10

(cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây)

A. 2080 viên B. 2000 viên

C. 2160 viên D. 4160 viên

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 35: Hai miếng giấy hình vuông bằng nhau

được hai bạn Việt và Nam cắt ra và tạo thành một

hình chóp tứ giác đều như sau.

Việt: Cắt bỏ miếng giấy như Hình 1 (với M là

trung điểm OA) rồi tạo thành một hình chóp tứ

giác đều.

Nam: Cắt bỏ miếng giấy như Hình 2 (với M nằm

trên OA thỏa

OM MA

) rồi tạo thành một hình

chóp tứ giác đều.

Hình 1 Hình 2

B, C

A, D

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 37

Gọi

là thể tích khối chóp của Việt,

là thể

tích khối chóp của Nam. Tính tỉ số



4 2



Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 36: Một xưởng sản xuất những thùng bằng

kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các

kích thước

, ,x y z

(dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là

: 1:3,

x y

thể tích của hộp bằng 18 lít. Để tốn ít

vật liệu nhất thì kích thước của thùng là:

2; 6;

  

x y z

1; 3; 6  

x y z

3 9 8

; ;

2 2 3

  

x y z

1 3

; ; 24

2 2

  

x y z

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 37: Người ta sản xuất các hộp bánh hình hộp

chữ nhật có các kích thước 7cm, 25cm, 35cm. Khi

đó, một thùng gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước

42x50x70 (đơn vị cm

) sẽ chứa được nhiều nhất

số hộp bánh là

A. 12 B. 16 C. 18 D. 24

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 38: Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể

tích

3dm

. Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm

3 dm

thì thể tích của hộp giấy là

24dm

. Hỏi

nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên

2 3 dm

thì thể tích hộp giấy mới là:

48dm

. B.

192dm

72dm

. D.

81dm

Hướng dẫn:

Chọn kích thước 3 cạnh là

3dm

thỏa mãn giả thiết bài toán. Khi đó tăng thêm mỗi

kích thước

2 3 dm

thì thể tích khối hộp là

3 3 3

3 3.3 3.3 3 81 

V dm

Câu 39: Người ta xây một đoạn cống bằng gạch

thiết diên hình chữ U, bề dày

10cm

(như hình vẽ).

Một viên gạch có kích thước là

20cm*10cm*5cm.

Hỏi số lượng viên gạch tối

thiểu dùng để xây cống là bao nhiêu? (Giả sử

lượng vữa là không đáng kể).

A. 260000. B. 26000. C. 2600. D. 260.

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 40: Người ta muốn xây một bồn chứa nước

dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết

chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó

lần lượt là 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi

viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm,

chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao

nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của

bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi

măng và cát không đáng kể)

A. 1180 viên, 8820 lít B. 1180 viên, 8800 lít

C. 1182 viên, 8820 lít D. 1180 viên, 8800 lít

Hướng dẫn:

Phân tích:

* Theo mặt trước của bể:

Số viên gạch xếp theo chiều dài của bể mỗi hàng

là

500

 

viên

Số viên gạch xếp theo chiều cao của bể mỗi hàng

là:

200



. Vậy tính theo chiều cao thì có 40

hàng gạch mỗi hàng 25 viên. Khi đó theo mặt

trước của bể.

25.40 1000 

viên.

50cm

200cm

1dm

H’

Công Phá Toán The Best or Nothing

38 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

* Theo mặt bên của bể: ta thấy, nếu hàng mặt

trước của bể đã được xây viên hoàn chỉnh đoạn

nối hai mặt thì ở mặt bên viên gạch còn lại sẽ được

cắt đi còn

viên. Tức là mặt bên sẽ có

1 100 20

.40 .40 180

2 20



 

viên.

Vậy tổng số viên gạch là 1180 viên.

Khi đó thể tích bờ tường xây là

1180.2.1.0,5 1180

lít

Vậy thể tích bốn chứa nước là:

50.10.20 1180 8820 

lít

Câu 41: Thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh

1

đơn vị là:

5 14 6 5



(đơn vị thể tích);

5 14 6 5



(đơn vị thể tích);

5 14 6 5



(đơn vị thể tích);

5 14 6 5



(đơn vị thể tích)

Hướng dẫn:

Xét ngũ giác đều ABCDE cạnh là 1 và có tâm

đường tròn H.

G, I lần lượt là trung điểm AC, DC. Gọi AC và

BD cắt nhau tại F, đặt AC =d

tam giác ADC có DF là phân giác

(1)

 

  



DC DA DC DA d

FC FA FC FA d

Có

(2)

    

DC AC

CDA d

FC DC

CDF

Từ 1, 2

1 5 5 5

2 8

 

   d GB

5 5

   



 AGB HCHIC

+ 5 mặt có một điểm chung của hình khối tại thành

hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE có cạnh bên

=cạnh đáy, H là tâm ngoại tiếp ABCDE. Có SH

vuông góc HA

2 2 2

5 5



  SH SA HA

gọi O là tâm khối 20 mặt đều, gọi M là trung điểm

SA có

   

SO SH

SHA

SMO

2(5 5)

  SO

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB,

2 2 2

3 7 3 5

; OJ =OS

3 24



  JS JS

Suy ra

5 14 6 5



V

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 39

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT

Câu 1: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo

công thức



N r

S Ae

( trong đó

là dân số của

năm lấy làm mốc tính,

là dân số sau

năm,

là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010

dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến

đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người.

Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì

đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng

nào?

 

1.424.300;1.424.400

 

1.424.000;1.424.100

 

1.424.200;1.424.300

 

1.424.100;1.424.200

Hướng dẫn:

Gọi

là dân số năm 2015,

ta có

1.153.600, 5, 1.038.229  

S N A

Ta có:

. .

    

N r N r

S A e e r

Gọi

là dân số đầu năm 2025, ta có

15.

. 1.038.229. 1.424.227,71

  

S Ae e

Chọn đáp án C.

Câu 2: Các loài cây xanh trong quá trình quang

hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một

đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị

chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và

nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng

cacbon 14 của bộ phạn đó sẽ phân hủy một cách

chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi

 

P t

là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ

phận của một cây sinh trưởng từ

năm trước đây

thì

 

P t

được cho bởi công thức:

     

5750

100. 0,5 % .



P t

Phân tích một mẫu gỗ

từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng

cacbon 14 còn lại trong gỗ là 65,21(%). Hãy xác

định niên đại của công trình kiến trúc đó.

A. 3574 năm B. 3754 năm

C. 3475 năm D. 3547 năm

Hướng dẫn:

Đề bài tuy khá là dài, tuy nhiên đây thực chất chỉ

là bài toán giải phương trình mũ.

Ta thay

65,21%

vào sau đó tìm t.

Ta có

 

5750

100. 0,5 65, 21 0.5 0,6521

  

0.5

log 0,6521

5750

 

Câu 3: Huyện A có 100 000 người. Với mức tăng

dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số

sẽ vượt lên 130 000 người. Hỏi n nhỏ nhất là bao

nhiêu?

A. 18 năm B. 17 năm

C. 19 năm D. 16 năm

Hướng dẫn:

+ áp dụng công thức

+ trong đó A = 100 000; r = 1,5; S

= 130 000

Câu 4: Một máy tính được lập trình để vẽ một

chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất

của trục tọa độ Oxy, nội tiếp dưới đường cong

y = e

-x

. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật

có thể được vẽ bằng cách lập trình trên

A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt)

C. 0,1353

( đvdt) D. 0,5313

( đvdt)

Hướng dẫn: Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là

S=xe

-x

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Smax = khi x=1

Câu 5: Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ

Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được

tính theo công thức . Trong đó A là số

lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy

hằng năm (r<0),t là thời gian phân hủy, S là lượng

còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam

Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam

A. 80922 năm B. 24360 năm

C. 35144 năm D. 48720 năm

Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có:

100

1 log

100

S A n

 



 

 

 

   

 

 

17,6218



'( ) (1 )

S x e x



 

'( ) 0 1S x x  

0,3679





S A e



Công Phá Toán The Best or Nothing

40 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Với A=10 gam, gọi t là thời gian phân hủy để còn

lại S=1gam ta có phương trình

(năm).

Câu 6: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều

hát với cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một

ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp

ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là

80dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết

mức cường độ âm L được tính theo công thức

10log



trong đó I là cường độ âm và

là

cường độ âm chuẩn

A. 16 người B. 12 người

C. 10 người D. 18 người

Hướng dẫn:

Gọi lần lượt là cường độ âm của một người

và của n người.

Ta có

Ta có ;

Khi đó

Vậy có 16 ca sĩ.

Câu 7: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được

tính theo công thức

( ) 

f x Ae

, trong đó

là

số lượng vi khuẩn ban đầu,

là tỷ lệ tăng trưởng

 

0

(tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng.

Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10

giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi

khuẩn tăng gấp 10 lần

5ln 20

(giờ) B.

5ln10

(giờ)

10log 10

(giờ) D.

10log 20

(giờ)

Hướng dẫn:

Gọi thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e

10r

nên r =

ln5

Do đó, 10000 = 1000. e

suy ra

t =

ln10 10ln10

10log 10

ln5

 

giờ nên chọn C.

Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước

Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn

cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích

quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một

phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì

nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng

cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn

cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một

hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp

đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần

thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua

rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn

nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt

thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì

nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc

này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số

thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn

cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt

thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số

có bao nhiêu chữ số?

A. 21 B. 22 C. 19 D. 20

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 9: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi

kép như sau: Mỗi tháng người này tiết kiệm một

số tiền cố định là X đồng rồi gửi vào ngân hàng

theo kì hạn một tháng với lãi suất

0,8%

/tháng.

Tìm X để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên

người đó có được tổng số tiền là 500 triệu đồng.

4.10

1,008 1





4.10

1 0,008





 

4.10

1,008 1,008 1





4.10

1,008 1





Câu 10: Một tên lửa bay vào không trung với

quãng đường đi được quãng đường

 

s t

(km) là

hàm phụ thuộc theo biến  (giây) theo quy tắc sau:

   

3 3 1

2 .

 

 

t t

s t e t e km

. Hỏi vận tốc của tên

lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận

tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo

thời gian).

(km/s) B.

(km/s)

(km/s) D.

10e

(km/s)

24360. 24360.

2 2

r r

Ae e

  

24360. .

24360

1 10 0,1

e e  

80922

 

;

I I

  

I nI n

 

10 68

L log

 

10 80

L log

   

0 0 1

10 10 10

n n

I I I

L L log log log

I I I



   

10 5

10 10 15, 89

L L

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 41

Hướng dẫn:

Ta có công thức vận tốc:

   





 

3 1

' 2 .



  

t t

v t s t e t e

 

3 3 1

2 . 6 2

 

  

t t

t e t e

Với

1t

ta có:

 

10 /e km s

. Đáp án đúng là D.

Sai lầm thường gặp:

   





 

3 1

' 2 .



  

t t

v t s t e t e

 

3 1

6 2 .



  

t t

e t e

(do không biết đạo hàm

-> đáp án C)

   





 

2 2

3 1 3 1

' 2 . 2.

 

    

t t t t

v t s t e t e e e

(do học vẹt đạo hàm

luôn không đổi)

Câu 11: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không

đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ

hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế,

mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao

nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết.

A. 45 năm B. 50 năm

C. 41 năm D. 47 năm

Hướng dẫn: Giả sử số lượng dầu của nước A là

100 đơn vị.

Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm mới hết

thì suy ra số dầu nước A dùng 1 năm là 1 đơn vị.

Gọi n là số năm tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi

năm tăng 4%, ta có

   





1.04

1. 1 0,04 . 1 0,04 1

100

0,04

4,846 40,23

  



  

n log

Vậy sau 41 năm thì số dầu sẽ hết.

Câu 12: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 3000 con,

và tăng 20% một ngày. Đồ thị nào sau đây mô tả

hàm số lượng vi khuẩn sau t ngày?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Công thức số vi khuẩn:

( ) 3000.1,2



Q x

Hàm mũ nên loại A, D.

Xét

(5) 3000.(1, 2) 7460

 Q

nên chọn B.

Câu 13: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh

Bình Phước đạt gần 905. 300, mức tăng dân số là

1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương

100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm

học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn

bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi

phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm

sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có

2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi

không đáng kể)

A. 458. B. 222. C. 459. D. 221.

Hướng dẫn:

Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi đi học

(6 tuổi) vào lớp 1 năm học 2024-2025.

Áp dụng công thức

 

1 

S A r

để tính dân số

năm 2018.

Trong đó:

905300; 1,37; 8  

A r n

Dân số năm 2018 là:

1,37

905300. 1 1009411

100

 

  

 

 

Dân số năm 2017 là:

1,37

905300. 1 995769

100

 

  

 

 

Số trẻ vào lớp 1 là:

1009411 995769 2400 16042  

Số phòng học cần chuẩn bị là:

16042: 35 458,3428571

Câu 14: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học

sinh được cho xem cùng một danh sách các loài

động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao

nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ

trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công

thức

   

75 20ln 1 , 0   M t t t

(đơn vị %).

Số vi khuẩn

Số ngày

3000

4000

5000

6000

7000

Số vi khuẩn

Số ngày

3000

4000

5000

6000

7000

Số vi khuẩn

Số ngày

3000

4000

5000

6000

7000

Số vi khuẩn

Số ngày

3000

4000

5000

6000

7000

Công Phá Toán The Best or Nothing

42 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ

được danh sách đó dưới 10%?

A. 25 tháng. B. 23 tháng.

C. 24 tháng. D. 22 tháng.

Hướng dẫn:

Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:

 

75 20ln 1 10

ln 1 3.25 24.79

  

    

t t

Câu 15: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các

tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ

thời điểm tháng 2 năm 2004. Bảng dưới đây mô

tả số lượng

 

U x

là số tài khoản hoạt động, trong

đó x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004. Biết

số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ

xấp xỉ như sau:

   

. 1 0,04

 

U x A

với A là số

tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004. Hỏi

đến sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động xấp xỉ

là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài

khoản hoạt động là 108 160 người.

A. 1 năm 5 tháng. B. 1 năm 2 tháng.

C. 1 năm. D. 11 tháng.

Hướng dẫn:

Do đề đã cho công thức tổng quát và có dữ kiện

là sau hai tháng số tài khoản hoạt động là

108 160 người. Do đó thay vào công thức tổng

quát ta sẽ tìm được A. Khi đó

 

1 0.04 108160

 A

100000. 

Khi đó công việc của ta chỉ là tìm

sao cho

 

100000 1 0.04 194790

 

 

1 0.04

194790

log 17

100000



  

hay 1 năm 5 tháng.

Câu 16: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là

 

6 3

3.10

. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây

trong khu rừng đó là

mỗi năm. Sau 10 năm

nữa, trữ lượng gỗ trong rừng là

 

4886683,88

 

4668883

 

4326671,91

 

4499251

Hướng dẫn: Gọi

là trữ lượng gỗ ban đầu của

khu rừng

 

;

là tốc độ sinh trưởng hàng

năm(%);

là trữ lượng gỗ sau n năm

 

Năm đầu tiên,

. (1 )   M A A r A r

Năm thứ hai,

2 1 1 1

. (1 ) (1 )

     

M M M r M r A r

Năm thứ ba,

3 2 2 2

. (1 ) (1 )

     

M M M r M r A r

Tương tự năm thứ n,

(1 )

 

M A r

Áp dụng công thức ta có

 

10 6

(1 ) 3.10 1 0,05

4886683,88

   



M A r

Câu 17: Thang đo Richter được Charles Francis

Richter đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm

1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các

cơn động đất với đơn vị là độ Richter. Công thức

tính độ chấn động như sau:

lg lg 

L o

M A A

, với

là độ chấn động, A là biên độ tối đa đo được

bằng địa chấn kế và

là một biên độ chuẩn.

(nguồn: Trung tâm tư liệu khí tượng thủy văn).

Hỏi theo thang độ Richter, với cùng một biên độ

chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động đất 7

độ Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của

một trận động đất 5 độ Richter ?

A. 2. B. 20. C.

. D. 100.

Hướng dẫn: Gọi

và

lần lượt là biên độ tối

đa của hai trận động đất 7 độ Richter và 5 độ

Richter. Theo công thức, ta có:

7 lg lg

5 lg lg

 





 



A A

Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên, ta có :

1 1

1 2

2 2

2 lg lg lg 10 100

     

A A

Câu 18: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn

tuân theo công thức



S A e

, trong đó A là số

lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r

> 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rẳng số lượng

vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300

con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ

tăng gấp đôi.

A. 3 giờ 16 phút B. 3 giờ 9 phút

C. 3 giờ 30 phút D. 3 giờ 2 phút

Hướng dẫn: 300 = 100. e

r. 5



r = 3 giờ 16 phút

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 43

Câu 19: Chất phóng xạ

có chu kỳ bán rã

 

62

T s

. Sau bao lâu chất phóng xạ chỉ còn

độ phóng xạ ban đầu ?

ln5

62ln 2

t

(s) B.

62 ln 2

ln5



t

(s)

62ln 5

ln 2

t

(s) D.

62log 2

t (s)

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 20: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng

xạ Plutôni Pu

239

là 24360 năm (tức là một lượng

239

sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một

nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S =

, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu,

r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian

phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân

hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu

239

sẽ

phân hủy còn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị

nào sau?

A. 82135 B. 82335 C. 82235 D. 82435

Hướng dẫn: Vì Pu

239

có chu kì bán hủy là 24360

năm nên e

r24360

=  r  0,000028

 Công thức phân hủy của Pu

239

là

S = A. e

0,000028t

Theo giả thiết: 1 = 10. e

0,000028t

 t  82235,18 năm

Câu 21: Trong vật lí, sự phân rã của các chất

phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

, trong đó là khối lượng ban

đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là

chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa

khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất

khác). Chu kì bán rã của Cabon là khoảng

5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng

100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng

còn bao nhiêu?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn: Theo công thức ta có:

suy ra

Câu 22: Trong vật lí, sự phân rã của các chất

phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:

, trong đó là khối lượng ban

đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là

chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa

khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất

khác). Chu kì bán rã của Cabon là khoảng

5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ

cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất

khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi

mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?

A. 2378 năm B. 2300 năm

C. 2387 năm D. 2400 năm

Hướng dẫn: Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu

đồ cổ chứa Cabon là , tại thời điểm t tính từ

thời điểm ban đầu ta có:

(năm)

Câu 23: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học

sinh được cho xem cùng một danh sách các loài

động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao

nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ

trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công

thức (đơn vị

%). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ

được danh sách đó dưới 10%?

A. 24,79 tháng B. 23 tháng

C. 24 tháng D. 22 tháng

Hướng dẫn: Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần

tìm t thỏa mãn:

Câu 24: Một công ty vừa tung ra thị trường sản

phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền

S 1

A 2



 

m t m

 



















 

 

ln 2

5730

100.

m t e





 

5730

100.

m t

 



















 

 

100

5730

100

m t



 



















 

 

100

5730

100.

m t e





 

m t m e





 

.5730

100 ln2

5730 50 100.

2 5730

m e k



    

 

ln2

5730

100

m t e





 

m t m

 



















 

 

ln 2 ln 2

5730 5730

0 0

4 ln 2

t t

m t m e m e t

 

     

ln2 ln2

5730 5730

5730 ln

2378

4 ln 2

t t

m t m e m e t

 

















 

     



   

75 20 ln 1 , 0

M t t t

   

 

75 20 ln 1 10 ln 1 3.25 24.79t t t       

 

75 20 ln 1 10 ln 1 3.25 24.79t t t       

Công Phá Toán The Best or Nothing

44 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho

thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số %

người xem mua sản phẩm là

. Hãy tính số quảng

cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn

75%.

A. 333 B. 343 C. 330 D. 323

Hướng dẫn: Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ

lệ người xem mua sản phẩm là:

Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem

mua sản phẩm là:

Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem

mua sản phẩm là:

Câu 25: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước.

Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ bèo sẽ sinh sôi

kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo

tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ

tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ

kín cái hồ ?

A. 3 B.

C. 9 – log3 D. .

Hướng dẫn: Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín

cái hồ. Vì tốc độ tăng không đổi nên, 1 giờ tăng

gấp 10 lần nên ta có .

Câu 26: Một lon nước soda 80

F được đưa vào

một máy làm lạnh chứa đá tại 32

F. Nhiệt độ của

soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton

bởi công thức

( ) 32 48.(0.9)

 

T t

. Phải làm mát

soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50

F ?

A. 1,56 B. 9,3 C. 2 D. 4

Hướng dẫn: T(t) = 32 + 48. (0,9)

= 50



t = 9,3

Câu 27: Cường độ một trận động đất M (richter)

được cho bởi công thức

log log M A A

, với A

là biên độ rung chấn tối đa và

là một biên độ

chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất

ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter.

Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ

có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận

động đất ở Nam Mỹ là:

A. 8,9 B. 33,2 C. 2,075 D. 11

Hướng dẫn:

log log log  

M A A

Trận động đất ở San Francisco:

8,3 log (1)

 

Ở Nam Mỹ:

log (2)



Biên độ ở Nam Mỹ gấp 4 lần ở San Francisco nên

2 1

4 4  

A A

Lấy (2) - (1) ta được:

2 1 2

0 0 1

8,3 log log log log 4

log4 8,3 8,9

    

   

A A A

Câu 28: Biết rằng năm 2001 dân số Việt Nam là

78. 685. 800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là

1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo

công thức S= A. e

(trong đó A là dân số của năm

lấy

làm mốc tính

S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ

tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số như vậy

đến thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120

triệu người.

A. 2026 B. 2022 C. 2020 D. 2025

Hướng dẫn: S = A. e

N. r



N = 25 năm

Đáp án A.

Câu 29: Một loại virus có số lượng cá thể tăng

trưởng mũ với tốc độ

% / ,x h

tức là cứ sau 1 giờ

thì số lượng của chúng tăng lên

%.x

Người ta thả

vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ số lượng cá

thể virus đếm được trong ống nghiệm là 1,2 triệu.

Tìm x? (tính chính xác đến hàng phần trăm)

13,17%

23,07%

7,32%

71,13%

Hướng dẫn: Đáp án B.

0.015

100

( ) , 0

1 49

P x x



 



 

1.5

100

100 9.3799%

1 49



 



 

100

200 29.0734%

1 49



 



 

7.5

100

500 97.3614%

1 49



 



log3

10 10 9 log3

t   

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 45

Câu 30: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một

phòng thí nghiệm được tính theo công thức

( ) (0).2 ,



s t s

trong đó

(0)s

là số lượng vi khuẩn

A lúc ban đầu,

( )s t

là số lượng vi khuẩn A có

sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn

A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt

đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút. B. 19 phút.

C. 7 phút. D. 12 phút.

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 31: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước.

Giả sử sau

giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ.

Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10

lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không

đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín

cái

hồ?

. B.

. C.

log3.

log3

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 32: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số

ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn

Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi

suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất

tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và

bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất

giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục

gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn

Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng

(chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết

kiệm trong bao nhiêu tháng ?

A. 15 B. 12 C. 10 D. 20

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 33: Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định

kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm bà

rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số

tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số

tiền lãi thu được sau 10 năm.

A. 81,412tr B. 115,892tr

C. 119tr D. 78tr

Hướng dẫn: Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số

tiền là:

 

100 1 8% 146.932

 

triệu

Suy ra số tiền lãi là:

 

100 1 8% 100

   L

Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào

ngân hàng.

Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là:

 

73.466 1 8% 107.946

 

triệu. Suy ra số tiền

lãi là

107.946 73.466

  L

Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sao 10 năm là:

1 2

81, 412  



L L L tr

Câu 34: An vừa trúng tuyển đại học được ngân

hàng cho vay vốn trong bốn năm đại học, mỗi năm

10. 000. 000 đồng để nộp học phí với lãi xuất ưu

đãi 7,8% một năm. Sau khi tốt nghiệp đại học An

phải trả góp cho ngân hàng số tiền m đồng (không

đổi) cũng với lãi xuất 7,8% một năm trong vòng

5 năm. Tính số tiền m hàng tháng An phải trả cho

ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 1005500 B. 100305

C. 1003350 D. 1005530

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 35: Ông Đông gửi 100 triệu vào tài khoản

định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính

số tiền lãi thu được sau 10 năm

215,892tr

. B.

115,892tr

215,802tr

. D.

115,802tr

Hướng dẫn: Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1

+ 2%)

Số tiền thu được sau 2 năm: 100. (1 + 2%)

. . . . . .

Số tiền thu được sau 10 năm: 100. (1 + 2%)

Số tiền lãi thu được sau 10 năm:

100. (1 + 2%)

– 100 = 115,892 triệu

Câu 36: Một người gửi ngân hàng lần đầu 100

triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý

theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người

đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất

như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1

năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?

A. 210 triệu. B. 220 triệu.

C. 212 triệu. D. 216 triệu.

Hướng dẫn:

Số tiền thu được sau 3 tháng: 100. (1 + 2%))

Số tiền thu được sau 6 tháng: 100. (1 + 2%)

Số tiền thu được sau 9 tháng:

(100. (1 + 2%)

+ 100). (1 + 2%)

= 100. (1 + 2%)((1+2%) +1)

Công Phá Toán The Best or Nothing

46 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Số tiền thu được sau 12 tháng:

100. (1 + 2%)

. ((1 + 2%) + 1) = 212 triệu

Câu 37: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất

8,4%

/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.

Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi

số tiền ban đầu?

. B.

. C.

. D.

Hướng dẫn: Gọi n là số năm sau đó số tiền thu

được gấp đôi, gọi a là số tiền ban đầu

Ta có: a. (1 +8,4%)

= 2ª



(1 + 8,4%)

= 2



n = 9

Câu 38: Anh Thắng gửi ngân hàng 100 triệu đồng

với lãi suất ban đầu là 4%/năm và lãi hàng năm

được nhập vào vốn. Cứ sau 1 năm lãi suất tăng

0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền anh Thắng có là

bao nhiêu ?

119

triệu. B.

119,5

triệu.

120

triệu. D.

120,5

triệu

Hướng dẫn:

Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1 + 4%)

Số tiền thu được sau 2 năm:

100. (1 + 4%). (1 +4,3%)

. . . . . . . . . . . . . . . .

Số tiền thu được sau 4 năm:

100. (1 + 4%). (1 + 4,3%). (1 + 4,6%). (1 + 4,9%)

= 199 triệu

Câu 39: Anh Nam mong muốn rằng 6 năm sẽ có

2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân

hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau với lãi

suất hàng năm gần nhất với giá trị nào biết rằng

lãi của ngân hàng là 8% / năm và lãi hàng năm

được nhập vào vốn.

253,5

triệu. B.

251

triệu.

253

triệu. D.

252,5

triệu.

Hướng dẫn: Gọi a là số tiền gửi vào hàng năm

Số tiền thu được sau 1 năm là: a(1 + 8%)

Số tiền thu được sau 2 năm là:

a. ((1 + 8%)

+ (1 + 8%))

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số tiền thu được sau 6 năm là:

a((1 + 8%)

+ (1 +8%)

+. . . . . + (1 + 8%)

)

= 2000



a = 252,5 triệu

Câu 40: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân

hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi

suất 1,65%/ quý. Hỏi sau bao lâu người gửi có ít

nhất 20 triệu đồng?(Bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số

vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

A. 16 quý B. 18 quý

C. 17 quý D. 19 quý

Hướng dẫn:

Số tiền thu được sau n quý: 15. (1 + 1,65%)

= 20



n = 18

Câu 41: Số tiền 58 000 000 đồng gủi tiết kiệm

trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đồng,

lãi xuất hàng tháng là bao nhiêu ?

A. 0,8% B. 0,6% C. 0,5% D. 0,7%

Hướng dẫn:

58 000 000. (1 + r)

= 61 329 000



r =0,7%

Câu 42: Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại

kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi xuất 6,9%

một năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy

văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết

rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước

và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi xuất theo loại

lãi suất không kì hạn là 0,002% một ngày(1 tháng

tính 30 ngày).

A. 471688328,8 B. 302088933,9

C. 311392005,1 D. 321556228,1

Hướng dẫn: 1 năm: 6,9%



6 tháng: 3,45%

Tổng số tiền 200. 10

. (1 + 3,45%)

. (1 + 0,002%.

90) = 311392005,1

Câu 43: Một bác nông dân vừa bán một con trâu

được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần

dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ

số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn 6

tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm. Hỏi sau 5

năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu

tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết

rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi

trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời

hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì

hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)

A. 31803311 B. 32833110

C. 33083311 D. 30803311

Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính tiền tiết

kiệm thu được:

 

1 

A a r

Với a là số tiền gửi vào, r là lãi suất mỗi kì, n là kì

Lãi suất 1 năm là

8,5%



lãi suất 6 tháng là

4,25%

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 47

Vì bác nông dân gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên

sau 5 năm 6 tháng có 11 lần bác được tính lãi

=> Số tiền bác nhận được sau 5 năm 6 tháng là:

 

1 0,0425 .20 31,61307166

 

( triệu đồng)

Do bác rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân

lãi suất 0,01% mỗi ngày (2 tháng=60 ngày)

=> Số tiền cuối cùng bác nhận được là

 

31,61307166. 1 0,0001 31,803311

 

(triệu đồng)

Câu 44: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học

A nhưng vì do không đủ nộp học phí nên Hùng

quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm

vay

3.000.000

đồng để nộp học phí với lãi suất

3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hùng

phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi)

cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm.

Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho

ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là:

232518

đồng . B.

309604

đồng.

215456

đồng. D.

232289

đồng.

Hướng dẫn:

Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:

       

4 3 2

3000000 3% 3% 3%

12927407,43

 

       

 



Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản

tiền ban đầu là

12.927.407,43

đồng, số tiền này

bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm.

Ta có công thức:

 

. 12927407,4 0,0025 .0,0025

0,0025

 

 

   

N r r

232289

Câu 45: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X,

mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10

triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học

tại trường này, để có số tiền đó, gia đình đã tiết

kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền

không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức

lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải

gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12

tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm

tròn tới hàng ngìn)

A. 796. 000

B. 833. 000

C. 794. 000

D. 798. 000

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 46: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng

các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000

đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ

khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với

lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông

Bách mua là bao nhiêu ?

A. 32.412.582 đồng B. 35.412.582 đồng

C. 33.412.582 đồng D. 34.412.582 đồng

Hướng dẫn:

Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua là

5.000.000 đồng, qua năm 2 sẽ thanh toán

6.000.000 đồng, năm 3: 10.000.000 đồng và năm

4:20.000.000 đồng. Các khoản tiền này đã có lãi

trong đó. Do đó giá trị chiếc xe phải bằng tổng các

khoản tiền lúc chưa có lãi. Gọi

là tiền ban đầu

mua chiếc xe. Giá trị của chiếc xe là:

1 2 3 4

5.1,08 6.1,08 10.1,08 20.1,08

   

   V

32.412.582

đồng

Câu 47: Anh Bách vay ngân hàng 100 triêu đồng,

với lãi suất 1,1% / tháng. Anh Bách muốn hoàn

nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng

kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những

liên tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền

hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau

đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó,

tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu

(làm tròn kết quả hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất

ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh

Bách vay.

A. 10773700 (đồng). B. 10774000 (đồng).

C. 10773000 (đồng). D. 10773800 (đồng).

Hướng dẫn:

Bài toán này người vay trả cuối tháng nên ta có:

Số tiền mà anh Bách phải trả hàng tháng là:

 

100.0,011. 1,011

.10

1,011 1





Tổng số tiền lãi anh Bách phải trả là:

 

.18 100 10 10774000

 m

(đồng).

Câu 48: Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng

theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt

đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và

chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao

nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ?

A. 53 tháng B. 54 tháng

C. 55 tháng D. 56 tháng

Công Phá Toán The Best or Nothing

48 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Hướng dẫn:

Đặt

1,005; 10,5 

x y

* Cuối tháng thứ 1, số tiền còn lại (tính bằng triệu

đồng) là

500

x y

* Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là

   

500 500 1

    

x y x y x x y

* Cuối tháng thứ 3, số tiền còn lại là

 

3 2

500 1

  

x x x y

* Cuối tháng thứ n, số tiền còn lại là

 

500 ... 1



   

n n

x x x y

Giải phương trình

 

500 ... 1 0



    

n n

x x x y

thu được

54,836

nên chọn C.

Câu 49: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng

100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một

quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng,

người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và

lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận

được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết

quả nào sau đây ?

A. 210 triệu. B. 220 triệu.

C. 212 triệu. D. 216 triệu.

Hướng dẫn:

3 tháng là 1 quý nên 6 tháng bằng 2 quý và 1 năm

ứng với 4 quý. Sau 6 tháng người đó có tổng số

tiền là:

 

100. 1 2% 104,04tr

 

. Người đó gửi

thêm 100tr nên sau tổng số tiền khi đó là: 104,04

+ 100 = 204,04 tr. Suy ra số tiền sau 1 năm nữa

là:

 

204,04 1 2% 220

 

Câu 50: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số

ngân hàng trong thời gian vừa qua liên tục thay

đổi. Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền

ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng

chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15%

tháng trong nửa năm tiếp theo và ông A tiếp tục

gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9%

tháng, ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa,

khi rút tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi là 5 747

478,359 đồng (chưa làm tròn). Khi đó tổng số

tháng mà ông A gửi là

A. 13 tháng B. 14 tháng

C. 15 tháng D. 16 tháng

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 51: Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của

ngân hàng cho con với số tiền là 500000000

VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không

lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết kiệm. Hỏi

sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao

nhiêu? (Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm,

nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào

thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì

hạn 1 năm tiếp theo)

A. 4.689.966.000

VNĐ

B. 3.689.966.000

VNĐ

C. 2.689.966.000

VNĐ

D. 1.689.966.000

VNĐ

Hướng dẫn:

Gọi a là số tiền gửi vào hàng tháng gửi vào ngân

hàng x là lãi suất ngân hàng n là số năm gửi

Ta có

Sau năm 1 thì số tiền là:

 

1  

a ax a x

Sau năm 2:

        

1 1 1 1 1       

a x a x x a x x a x

Sau năm 3:

         

2 2 2 3

1 1 1 1 1       

a x a x x a x x a x

Sau năm 4:

         

3 3 3 4

1 1 1 1 1       

a x a x x a x x a x

Sau n năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là:

 

1

a x

Vậy sau 18 năm, số tiền người ý nhận được là:

 

500.000.000 0,07 1 1,689,966,000

 

Câu 52: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu

đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ

cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể

từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ

liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn

nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau

đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó,

số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng

trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi

suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông

A hoàn nợ.

100.(1,01)

m

(triệu đồng).

(1,01)

(1,01) 1





(triệu đồng).

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 49

100.1,03

m

(triệu đồng).

120.(1,12)

(1,12) 1





(triệu đồng).

Hướng dẫn:

Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng (do vay ngắn

hạn)

Sau tháng 1, ông A còn nợ: 100. 1,01 – m (triệu)

Sau tháng 2, ông còn nợ: (100. 1,01 – m). 1,01 –

m = 100. 1,01

– 2,01m (triệu)

Sau tháng 3, ông hết nợ do đó

(100. 1,01

– 2,01m). 1,01 – m

= 100. 1,01

– 3,0301m = 0

=> m

100.1,01



(triệu đồng)

Câu 53: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được

hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng

(chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào

đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút

tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1%

trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ

rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số

tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao

nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn

đồng).

A. 50 triệu 730 nghìn đồng

B. 48 triệu 480 nghìn đồng

C. 53 triệu 760 nghìn đồng

D. 50 triệu 640 nghìn đồng

Hướng dẫn:

Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến

đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả vốn lẫn lãi

do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là:

(triệu đồng).

Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra:

(triệu đồng)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu

đồng).

Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là:

(50 triệu 730 nghìn đồng).

Đáp án A.

Câu 54: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20

triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất

0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn

lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất

0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn

6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một

số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc

lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm

tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất

được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo

hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi

suất là:

A. 0,4% B. 0,3% C. 0,5% D. 0,6%

Hướng dẫn:

. Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3

tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền khi đó là:

. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B

tháng khi đó số tiền là:

. Lưu ý: và B nguyên dương, nhập máy

tính:

thử với rồi thử B từ 1 đến 5,

sau đó lại thử rồi thử B từ 1 đến 5, . . . cứ

như vậy đến bao giờ kết quả đúng bằng 0 hoặc

xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Kết quả:

Câu 55: Cô giáo Thảo ra trường xa quê lập

nghiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết

kiệm được x(triệu đồng) và định dùng số tiền đó

để mua nhà nhưng trên thực tế cô giáo phải cần

1,55x (triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm

vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm với lãi

hàng tháng nhập gốc và cô không rút trước kì hạn.

Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết

rằng chủ nhà đó vẫn bán giá như cũ.

A. Năm 2019 B. Năm 2020

C. Năm 2021 D. Năm 2022

Hướng dẫn:

Tiền lãi sau n (năm) tiết kiệm là

Theo giả thiết ta có

11 11

4.(1 ) 4 1,01

100

  

4 1,01



11 10

1 1,01

4 1,01 4 1,01 ... 4 1,01 4 4 50,730

1 1,01



        



   

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100

 

    

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100 1 :100

   

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100 1 : 10 23263844,90

   

1 5B 

    

20000000. 1 0,72.3:100 1 0,78.6:100 1 : 10

   

20000000. 1 0,72.3 : 100 1 0,78.6 : 100 1 : 10 23263844, 90

   

0,3A 

0,5A 

0, 5; 4A B 

.(1 0,069) (1,069) .

n n

x x x

  

1,55 (1,069) 1,55 log 1,55 6,56

x x n     

1,069

1,55 (1,069) 1,55 log 1,55 6,56x x n     

Công Phá Toán The Best or Nothing

50 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Vì do đó sau 7 năm cô giáo Thảo mua được

nhà, năm đó là 2021, đáp án C.

Câu 56: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một

ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng cứ

sau mỗi một quý (3 tháng) thì lãi sẽ được cộng

dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm

thì người đó nhận lại được số tiền (bao gồm cả

vốn lẫn lãi) gấp ba lần số tiền ban đầu.

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

Hướng dẫn:

Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là

0,03

. Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là:

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm.

Vậy đáp án là C.

Câu 57: Một Bác nông dân vừa bán một con trâu

được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần

dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ

số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào

ngân hàng với lãi suất 8. 5% một năm thì sau 5

năm 8 tháng Bác nông dân nhận được bao nhiêu

tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng Bác nông dân đó

không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và

nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất

theo loại không kì hạn 0. 01% một ngày (1 tháng

tính 30 ngày)

Hướng dẫn:

Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là

. Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là

11 kỳ hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi Bác nôn dân nhận

được là: . Vì 5

năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay

dư 60 ngày nên số tiền A được tính lãi suất không

kỳ hạn trong 60 ngày là:

Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân

nhận được là

Câu 58: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng gửi

vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Ông B

cũng đem 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với

lãi suất

% một tháng. Sau 10 năm, hai ông A

và B cùng đến ngân hàng rút tiền ra. Khẳng định

nào sau đây là đúng ? ( Lưu ý: tiền lãi được tính

theo công thức lãi kép và được làm tròn đến hàng

hàng triệu)

A. Số tiền của hai ông A, B khi rút ra là như nhau.

B. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 1 triệu.

C. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 2 triệu.

D. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 3 triệu.

Hướng dẫn: Sau 10 năm:

- Số tiền của ông A có được:

100. 000. 000(1+5%)

163. 000. 000.

(làm tròn đến hàng triệu)

- Số tiền của ông B có được:

100. 000. 000(1+5/12%)

120

165. 000. 000.

(làm tròn đến hàng triệu)

Chọn đáp án C.

Câu 59: Một gia đình có con vào lớp một, họ

muốn để dành cho con một số tiền là 250.000.000

để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con

mình. Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số

tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền

trên biết lãi suất của ngân hàng là 6,7% một năm

và lãi suất này không đổi trong thời gian trên?

250.000.000

(0,067)

P

(triệu đồng)

250.000.000

(1 6,7)





(triệu đồng)

250.000.000

(1,067)

P

(triệu đồng)

250.000.000

(1,67)

P

(triệu đồng)



 

A 1 0,03



 

ycbt A 1 0,03 3A n log 3 37,16     

1,03

ycbt A 1 0,03 3A n log 3 37,16     

 

31802750 09, ®ång

 

30802750 09, ®ång

 

32802750 09, ®ång

 

33802750 09, ®ång

8.5% 4.25

12 100



4 25

20000000 1

100

 





 









 

. (®ång)

0 01 4 25

60 120000 1

100 100

B A

 





  









 

. .

. . . (®ång)

C A B      

11 11

4 25 4 25

20000000 1 120000 1 31802750 09

100 100

C A B

   

 

 

      

 

 

 

 

   

. .

. . , ®ång

 

11 11

4 25 4 25

20000000 1 120000 1 31802750 09

100 100

   

 

      

 

   

. . , ®ång



Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 51

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 60: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với

lãi kép là 12%/năm. Hỏi người đó phải trả ngân

hàng hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm

người đó trả xong nợ ngân hàng?

A. 88 848 789 đồng. B. 14 673 315 đồng.

C. 47 073 472 đồng . D. 111 299 776 đồng.

Hướng dẫn:

Gọi

là số tiền người đó vay ngân hàng ( đồng),

là số tiền phải trả hàng tháng và

 

là lãi

suất kép. Ta có:

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất:

 

 R A r

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai:

 

     

1 1 1 1

       R A r a r A r a r

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba:

   





 

     

3 2

1 1 1

     

R A r a r a r

A r a r a r

….

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ

     

1 1 ... 1



      

n n

R A r a r a r

Tháng thứ

trả xong nợ:

 

. . 1

1 1



  

 

A r r

R a a

Áp dụng với

1.10

A

đồng,

0,01

và

24

, ta có

47073472

Đáp án: C

Câu 61: Ông Năm gửi triệu đồng ở hai ngân

hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ

nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất một quý

trong thời gian tháng. Số tiền còn lại gửi ở

ngân hàng Y với lãi suất một tháng trong

thời gian tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai

ngân hàng là (chưa làm tròn). Hỏi

số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y

là bao nhiêu?

A. triệu và triệu.

B. triệu và triệu.

C. triệu và triệu.

D. triệu và triệu.

Hướng dẫn: Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính

là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng

là triệu đồng.

Gọi (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X,

khi đó (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân

hàng Y. Theo giả thiết ta có:

Ta được . Vậy ông Năm gửi triệu ở

ngân hàng X và triệu ở ngân hàng Y.

Câu 62: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu

đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo

hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng

vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50

triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho

biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức

(1 )

 

T A r

, trong đó A là số tiền gửi, r là lãi

suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người

đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền.

176,676

triệu đồng

178,676

triệu đồng

177,676

triệu đồng

179,676

triệu đồng

Hướng dẫn: Sau 6 tháng: 100. (1 + 5 %)

Sau 1 năm:

100. (1 + 5%)

+ 50. (1 + 5%)

= 176,676

Câu 63: Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100

triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn

nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng

kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ liên tiếp cách

nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần

là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể

từ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông

Việt sẽ phải trả trong mỗi lần là bao nhiêu?

 

100. 1,01

m

(triệu đồng).

 

1,01

1,01 1





(triệu đồng).

100 1,03



m

(triệu đồng).

 

120. 1,12

1,12 1





(triệu đồng).

Hướng dẫn: Lãi suất 1 tháng: 12: 12 = 1% /tháng

Sau 1 tháng: 100 – m

Sau 2 tháng: (100 – m). 1,01 – m

Sau 3 tháng: ((100 – m). 1,01 – m). 1,01 – m = 0



 

1,01

1,01 1





320

2,1

0, 73

27 507 768,13

140

180

140

200

120

200

347, 507 76813

320 x

5 9

(1 0,021) (320 )(1 0,0073) 347,50776813

x x

    

140x 

140

180

Công Phá Toán The Best or Nothing

52 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU

Câu 1: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính

đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ

cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn

đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình

trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu

hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều

tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn.

Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là:

r h



r h



r h



r h



Hướng dẫn:

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho

như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng

3 ,R r

đề bài thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý

kĩ thì lại rất đơn giản.

Vậy khi đó

 

. 3 . . 9 .

  

V B h r h r h

 

Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ,

các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí

sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt

tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích

toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản

xuất muốn thể tích của hộp là

V cm

















Hướng dẫn:

Đây là bài toán vừa kết hợp yếu tố hình học và

yếu tố đại số. Yếu tố hình học ở đây là các công

thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung

quanh, thể tích của hình trụ. Còn yếu tố đại số ở

đây là tìm GTNN của

Ta có yếu tố đề bài cho

. .   

V B h R h h



(*)

2 2. R 2 .

   

tp xq day

S S S R h

 

2 2

2 . 2

 

   

 

 

V V

R R R

  



Đến đây ta có hai hướng giải quyết, đó là tìm đạo

hàm rồi xét

' 0

rồi vẽ BBT tìm GTNN. Tuy

nhiên ở đây tôi giới thiệu đến quý độc giả cách

làm nhanh bằng BĐT Cauchy.

Ta nhận thấy ở đây chỉ có một biến R và bậc của

R ở hạng tử thứ nhất là bậc 2, nhưng bậc của R ở

hạng tử thứ 2 chỉ là 1. Vậy làm thế nào để khi áp

dụng BĐT Cauchy triệt tiêu được biến R. Ta sẽ

tìm cách tách

thành 2 hạng tử bằng nhau để

khi nhân vào triệt tiêu được R

ban đầu. Khi đó ta

có như sau:

2. 2.3

2 2 4

 

   

 

 

V V V

S R

R R



=> Đáp án B.

Câu 3: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt

như hình vẽ có kích thước bán kính

5

và chu

vi của hình quạt là

8 10 



, người ta gò tấm

kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh

của một cái phễu

Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau

rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu

Gọi

là thể tích của cái phễu thứ nhất,

là tổng

thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính



2 21



Hướng dẫn:

Do chu vi của hình quạt tròn là

P = độ dài cung + 2R.

Do đó độ dài cung tròn là

8



Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 53

Theo cách thứ nhất:



chính là chu vi đường

tròn đáy của cái phễu. Tức là

2 8 4  

r r

 

Khi đó

2 2 2 2

5 4 3    

h R r

.3 .4

 V



Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường

tròn đáy của hai cái phễu là



 chu vi của một

đường tròn đáy là

4 4 2 r 2   

  

Khi đó

2 2 2 2

5 2 21

    h R r

2. 21.2 .

 V



Khi đó

4 2 21

8 21

 

Câu 4: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam

giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và

khối cầu nội tiếp khối nón là:

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

Hướng dẫn:

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G

là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách

đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên

G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội

tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu

ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt

là

3 3

3 6

a a

. Gọi

lần lượt là thể tích của

khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón.

Vậy

8 

V R

Câu 5: Có một hộp nhựa hình lập phương người

ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số

trong đó V

là tổng thế tích của quả bóng đá, V

là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng

đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp 1 mặt

hình vuông của chiếc hộp.

















Hướng dẫn:

Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của

hình lập phương là 2R

Ta được

Thể tích hình lập phương là



V R

, thể tích quả

bóng là

3 6

  

 

Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước

như hình vẽ.

Diện tích xung quanh của phễu là:

360

S cm



424

S cm



296

S cm



960

S cm



Hướng dẫn:

2. .8.10 .8.17 296  

S cm

  

Câu 7: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta

đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao

của lượng nước trong phễu bằng

chiều cao của

phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược

phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ?

Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm.

10cm

Công Phá Toán The Best or Nothing

54 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

A. 0,188(cm). B. 0,216(cm).

C. 0,3(cm). D. 0,5 (cm).

Hướng dẫn:

Tính thể tích của phần hình nón không chứa

nước, từ đó suy ra chiều cao h’, chiều cao của

nước bằng chiều cao phễu trừ đi h’

Công thức thể tích khối nón:

R .



V h



Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là

 

15

h cm

, do chiều cao nước trong phễu ban

đầu bằng

nên bán kính đáy hình nón tạo bởi

lượng nước là

. Thể tích phễu và thể tích nước

lần lượt là

 

2 2 3

R .15 5 R

 

V cm

 

và

 

2 3

1 15 5

. R

3 3 3 27

 

 

 

 

V cm

 

. Suy ra thể

tích phần khối nón không chứa nước là

 

2 2 2 3

2 1

5 130

5 R R R

27 27

    

V V V cm

  

 

 

. Gọi h’ và r là chiều cao và bán

kính đáy của khối nón không chứa nước, có

 

3 3

' ' '

   

Vh r h h

h R V

Từ (1) và (2) suy ra

 

3 3

' 5 26 15 5 26 0,188    

h h cm

Câu 8: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ

vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của

hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều

cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả

banh. Gọi V

là tổng thể tích của 2016 quả banh

và V

là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số



D. Một kết quả khác.

Hướng dẫn:

Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta

có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao của

hình trụ là 2016.2r

Thể tích của 2016 quả banh là

2016.



V r



Thể tích của khối trụ là

.2016.2



V r r



Tỉ số

2016.

2 .2016

 



Câu 9: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một

công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể

tích

. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai

mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình

vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình

nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và

thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?

A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh

đáy

B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy

C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần

cạnh đáy

D. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy.

Hướng dẫn:

Đối với các bài toán liên quan đến diện tích của

khối tròn xoay như thế này, cần áp dụng các công

thức tính diện tích của từng khối một cách chính

xác rồi đem so sánh

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích xung

quanh bao bì phải là nhỏ nhất.

Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng

dm, diện tích tính bằng dm2.

Xét mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình

vuông cạnh a và chiều cao h.

Khi đó ta có a2h=1 và diện tích toàn phần bằng

2 4

 

S a ah

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số

2 ,2 ,2ah

a ah

ta có:

S 3 2 .2 .2 6 

a ah ah

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Xét mô hình hình trụ có đáy là hình tròn bán kính

r và chiều cao là h. Ta có

1

r h



và diện tích

toàn phần bằng

2 2 

S r rh

 

Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:

2 2

2 2 3 2 . . 5,536

   S r rh r rh rh

    

Khi

2h r

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 55

Vậy mô hình hình trụ là tốt nhất. Hơn nữa ta còn

thấy trong mô hình hình hộp thì hình lập phương

là tiết kiệm nhất, trong mô hình hình trụ thì hình

trụ có chiều cao bằng đường kính đáy là tiết kiệm

nhất.

Câu 10: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy

hình nón có thể tích 27 cm

. Với chiều cao h và

bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít

nhất.

r



r



r



r



Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 11: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình

cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một

hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước

chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính

đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước

nhất.



Hướng dẫn:

Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình

trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo

R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình

tròn (O,R) thay đổi về



V r h



đạt giá trị lớn

nhất.

Ta có:

2 2 2 2 2 2

4 4

    AC AB BC R r h

 

2 2 3 2

1 1

0 2R

4 4

   

      

   

   

V R h h h R h h

 

2 2

3 2

 

     

 

 

V h R h



Vậy

max

4 2

   

V V R h



Câu 12: Cho hình chữ nhật

ABCD

và nửa đường

tròn đường kính

như hình vẽ. Gọi

,I J

lần

lượt là trung điểm của

AB CD

. Biết

4; 6 

AB AD

Thể tích

của vật thể tròn xoay

khi quay mô hình trên quanh trục

là:

V



. B.

104

V



V



. D.

V



Hướng dẫn: Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì

nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có

2R

;

hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ có

2; 6 

r h



Thể tích nửa khối cầu là

1 4 16

2 3 3

 V R



Thể tích khối trụ là

 V r h

 

1 2

   V V V



Câu 13: Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ

ba quả bóng tennis hình cầu, biết rằng đáy hình

trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao

của hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng.

Gọi

là tổng diện tích của ba quả bóng,

là

diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích

là:

A. 2 B. 5 C. 3 D. 1

Hướng dẫn:

Tổng diện tích xung quanh của ba quả bóng là

3.4

S R



(với R là bán kính của khối cầu).

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

 

2 .3.2 12 

S R R R

 

Từ đây suy ra

1

Câu 14: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với

các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện

tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể

viền, mép, phần thừa).

Công Phá Toán The Best or Nothing

56 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

 

700



 

754,25



 

750,25



 

756,25



Hướng dẫn:

Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung

quanh của hình trụ và diện tích một đáy, với diện

tích hình vành khăn.

Ta có

 

2 2 2

2 .7,5.30 .7,5 . 17,5 7,5

756,25

   



  



Đáp án D.

Câu 15: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao

bằng đường kính quả bóng bàn. Người ta đặt quả

bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả

bóng có chiều cao bằng

chiều cao của nó. Gọi

1 2

,V V

lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc

chén, khi đó:

1 2

9 8V V

1 2

3 2V V

1 2

16 9V V

1 2

27 8V V

Hướng dẫn:

Gọi h là đường cao của hình trụ, r là bán kính của

quả bóng, R là bán kính của chén hình trụ

=>h=2r

   

r OA OB

Theo giả thiết:

4 4

  

h h

IB OI

( vì phần bên

ngoài =

)

Bán kính đáy của chén hình trụ là

2 2

  

R OA OI

Tỉ số thể tích là

1 2

2 2

3 2

9 8

 

 

 

    

 

 

 

V V

R h



Câu 16: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các

nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí

nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích

toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích

của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình

trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?

A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52.

Hướng dẫn:

Gọi

 

0

là bán kính đáy của lon sữa.

Khi đó

  

V x h h



Diện tích toàn phần của lon sữa là

2 2

( ) 2 2 2 2

2 4

2 2 2 , 0

   

    

S x x xh x x

x x x

x x

   



 

Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số

( ) 2

 

S x x



0

 

0 0,6827



 



   

S x x



Câu 17: Một bình đựng nước dạng hình nón

(không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao

của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta

thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước

tràn ra ngoài là



. Biết rằng một mặt của

khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm

trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường

sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có

35cm

10cm

30cm

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 57

chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón.

Diện tích xung quanh

của bình nước là:

9 10



S dm



. B.

4 10

S dm



4

S dm



. D.



S dm



Hướng dẫn:

Xét hình nón :

3 h SO r

 r OB l SA

Xét hình trụ :

 h r NQ

 r ON QI

 SQI SBO

3 3

    

QI SI r

BO SO

Thể tích khối trụ là:

1 1

2 16

2 6

9 9

      

V r h r h

 



2 2

2 10

   l h r

4 10  

S rl dm

 

Câu 18: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng

 

song song với đáy. Mặt phẳng

 

chia hình nón

làm hai phần

 

và

 

. Cho hình cầu nội

tiếp

 

như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu

bằng một nửa thể tích của

 

. Một mặt phẳng

đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt

 

theo thiết diện là hình thang cân, tang góc

nhọn của hình thang cân là

Hướng dẫn:

Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại

lượng như hình vẽ.

Gọi



là góc cần tìm.

Xét

AHD

vuông tại

có

  DH h AH R r

   

2 .tan tan 1

    h r AH R r

 

Thể tích khối cầu là

1 0

3 6

 

V r



Thể tích của

 

là

 

2 2

  

V h R r Rr



 

2 2 2

    

h R r Rr

Ta có

 BC R r

(tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau)

Mà

   

2 2

4 3

   h BC R r Rr

Từ

       

2 , 3 4

  R r Rr

Từ

     

1 , 3 , 4

   

2 2

.tan 4    

h R r R r



tan 4 tan 2   

 

(vì



là góc nhọn)

Câu 19: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính

50cm

. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện

tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng

tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là

10 2cm

20cm

50 2cm

25cm

Hướng dẫn:

Đặt

50a cm

Công Phá Toán The Best or Nothing

58 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần

lượt là

 

, , 0

x y x y

Ta có

2 2 2 2

   

SA SH AH x y

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là

2 2 2

  

S x x x y

 

Theo giả thiết ta có

 

2 2 2 2

2 2 2 4 4 2 2

2 2

2 , :

  

   

   

     

 



x x x y a

x x y x a

x x y a x

x x y a x a x DK x a

y a

  

Khi đó thể tích khối nón là

2 2 2 2

1 1

. . .

3 3

2 2

 

 

a y

V y a

y a y a

 

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

2 2



y a

đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có

2 2 2 2

2 2 2

2 . 2 2



   

y a a a

y y a

y y y

Vậy

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi



tức là

2 25

   

y a x cm

Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng

biến thiên cũng được nhé

Câu 20: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính

r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi

đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp

xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung

quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình

trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:



Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 21: Người ta cắt một miếng tôn hình tròn ra

làm 3 miềng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn và

gò 3 miếng tôn để được 3 hình nón. Tính góc ở

đỉnh của hình nón?

2 120





2 60





2 2arcsin





2 2arcsin





Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 22: Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ.

Chiều cao của cốc là 30cm, bán kính đáy cốc là

3cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến

đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò

ba vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm

B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể

thực hiện được dự định của mình.

76l cm

75,9324l cm

74l cm

74,6386

Hướng dẫn:

Đặt

1 2

, ,r r h

lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng

cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên

hình vẽ. Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên

mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên

với cung nhỏ

3 1

( ) 6 18 

l BB r

 

và cung lớn

3 2

( ) 6 30 

l AA r

 

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 59

Hướng dẫn:

Con kiến muốn đi từ A tới B phải vòng 3 vòng

quanh cốc. Đường đi ngắn nhất là đi theo đoạn

, Theo định lý Côsin ta có

2 2

3 3 3

2 . .cos3

  AB OA OB OAOB



(1)

với





AOA



Độ dài

2 2

2 1

( ) 2 226

   AB h r r

( )

3 226

( ) 5

    



l BB

OB OB

OA l AA OB BA

5 226

   OA OB BA

Lại có

1 1

( ) 2 .

( ) .

3 226 226

    

l BB r

l BB OB

 

 

Thay vào công thức (1) có kết quả.

ĐS: 74,6386cm

Câu 23: Một người thợ xây, muốn xây dựng một

bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là

(như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành

làm bằng tôn và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi

phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến

hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau:

bê tông nghìn đồng một , tôn một

và nhôm nghìn đồng một .

A. đồng. B. đồng.

C. đồng. D. đồng.

Hướng dẫn:

Gọi lần lượt là bán kính

đường tròn đáy và đường cao của hình trụ. theo

đề ta có . Khi đó chi phí

làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm

số

(nghìn đồng).

BBT:

Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là

nghìn đồng.

Câu 24: Khi sản xuất cái phễu hình nón (không

có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục

tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phễu là ít

nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là

nhỏ nhất. Giá trị gần đúng diện tích xung quanh

của phễu khi ta muốn có thể tích của phễu là 1dm

là ? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 4.18 dm

B. 4.17 dm

C. 4.19 dm

D. 4.1 dm

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 25: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn

chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích . Tìm

bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được

làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Gọi là bán kính đáy của hình trụ .

Ta có:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S(x) =

Khi đó: S’(x) = ,

cho

150m

100

120

15037000

15038000

15039000

15040000

,r h

 

0, 0

r h

 

150

150r h h



  

 

2 2

150 27000

220 90.2 220f r r r r

r r

  



   

 

27000

' 440f r r



 

 

675

' 0

f r r a



   

 

675

15038,38797

f a f



 

 

 

 

m

0,8m

1,2m

2, 4m

( )x m

( 0)x 

.V x h h

  

2 2

( ) 2 2 . 2 ,( 0)

S x x x h x x



  

    

'( ) 4S x x



 

'( ) 0 2S x x  

f(a)

f’(r)

f(r)

–

Công Phá Toán The Best or Nothing

60 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị

nhỏ nhất khi nghĩa là bán kính là

Câu 26: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc

thùng phi với thể tích theo yêu cầu là lít mỗi

chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng

lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

A. và B. và

C. và D. và

Hướng dẫn:

Đổi . Gọi bán kính đáy và

chiều cao lần lượt là và .

Ta có thể tích thùng phi

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta

chỉ cần tìm để diện tích toàn phần bé nhất.

Đạo hàm lập BBT ta tìm đc GTNN tại

khi đó

Câu 27: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn

chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích . Tìm

bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được

làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Gọi là bán kính đáy của hình trụ .

Ta có:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S(x) =

Khi đó: S’(x) = ,

cho

Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị

nhỏ nhất khi nghĩa là bán kính là

Câu 28: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô

bằng nhôm hình trụ không nắp chứa 10 lít nước.

Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng

phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa

hàng tốn ít vật liệu nhất.

A. 14,7cm. B. 15cm.

C. 15,2cm. D. 14cm.

Hướng dẫn:

. Gọi x(cm) là bán kính đáy của chiếc xô. x > 0

. khi đó

. Để tiết kiện vật liệu thì diện tích toàn phần của

chiếc xô bé nhất

. Ta có: 1lít = 1dm

= 1000cm

. Diện tích toàn phần của chiếc xô là

. Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích toàn phần

của chiếc xô bé nhất khi

Câu 29: Làm 1 m

mặt nón cần: 120 lá nón (Đã

qua sơ chế). Giá 100 lá nón là 25.000 đồng. Vậy

để làm 100 cái nón có chu vi vành nón là 120 cm,

và khoảng từ đỉnh nón tới 1 điểm trên vành nón là

25 cm thì cần bao nhiêu tiền mua lá nón?

A. 400.000đ B. 450.000đ

C. 500.000đ D. 550.000đ

Hướng dẫn:

Làm 100 cái nón hết 450.000 đ tiền để mua lá nón.

Câu 30: Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là

một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng

hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo

cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh

tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất,

khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Gọi một chiều dài là , khi đó

chiều còn lại là , giả sử quấn cạnh có

chiều dài là x lại thì bán kính đáy là

Ta có:

Xét hàm số:

2( )x m

2( ).m

2000

1dm

2dm

1dm

2000 ( ) 2 ( )lit m 

( )x m

( )h m

. 2V x h  





2 2

2 2 . 2 ( ) 2 ( )

S x x h x x x

        

( )f x

1x 

2.h 

m

0,8m

1,2m

2,4m

( )x m

( 0)x 

.V x h h

  

2 2

( ) 2 2 . 2 ,( 0)

S x x x h x x



  

    

'( ) 4S x x



 

'( ) 0 2S x x  

2( )x m

2( ).m

V x h h



  

20000

S x



 

2 2

20000 2 20000

2 .

S x

x x







  

0 10 14,2 .S x cm





   

14,2x cm

35 ; 25cm cm

40 ; 20cm cm

50 ;10cm cm

30 ; 30cm cm

 

x cm

(0 60)x 

 

x cm

; 60 .

r h x



  

3 2

. .

x x

V r h



 

 

 

3 2

( ) 60 , 0; 60

f x x x x

   

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 61

Lập bảng biến thiên, ta thấy

lớn nhất khi x=40.

60-x=20. Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là

20 cm.

Câu 31: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm

có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình

hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn

một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h =

4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu

bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín

viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần số

nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm

cầu là

 

 

 

 

V h R



)

A. 2 B. 4 C. 7 D. 10

Hướng dẫn:

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu.

Điều kiện:

0 < 2x <10 0 < x < 5

-Thể tích viên bi là



V x



-Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả

viên bi vào

4 416

16 10

3 3 3

   

    

   

   

V h R



 

-Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối

nước và viên bi có thể tích là:

2 4 (30 2 )

(2 )

3 3



 

  

 

 

x x x

V x R



-Ta có phương trình:

2 1

2 3

3 2

4 (30 2 ) 416 4

3 3 3

4 (30 2 ) 416 4

3 30 104 0



    

   

   

x x

V V V x

x x x

x x

 



  

-Giải phương trình ta có các nghiệm: x

 9,6257

> 5 (loại)

 2,0940 < 5 (thỏa mãn), và x

 -1,8197 (loại).

Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm).

Câu 32: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản

phẩm sữa nhận đơn đặt hàng sản xuất hộp đựng

sữa có thể tích . Các nhân viên thiết kế phân

vân giữa làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp

chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty sẽ làm hộp

hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất.

A. Hình trụ

B. Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông

C. Cả hai như nhau

D. Hình lập phương

Hướng dẫn:

TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là

và chiều cao là

Ta có

TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình

vuông cạnh và cao

Kết luận: Chọn đáp án A.

Lời bình: Thực tế các loại thực phẩm, nước uống

có loại dùng hình trụ (các loại nước giải khát như

coca, pepsi…) có loại hình hộp (như sữa…). Nếu

tính toán chi tiết ta thấy cùng 1 đơn vị thể tích,

nếu làm hình hộp thì đó sẽ là hình lập

phương,nhưng đa số chúng ta thấy các hộp đựng

sữa là dạng hình hộp thường (là do đặc tính riêng

về chi tiết quảng cáo trên sản phẩm,do cách bảo

quản sữa trong tủ lạnh và đôi khi do tính tiện dụng

cầm nắm) vì thế các bài toán về chi phí sản xuất

vật liệu cần phải đi sâu sát hơn vào đời sống, tìm

hiểu kĩ nhu cầu tiêu dùng,sự hài lòng khách hàng.

Do đó nhiều khi cần phải “tốn tiền cho vật liệu”.

Câu 33: (Thể tích – mặt cầu – mặt nón – mặt trụ)

Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm,

một người dự tính tạo thành các hình trụ (không

đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung

quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối

trụ đó là V

'( ) 3 120 ; '( ) 0

f x x x f x







    







 

3 2

( ) 60 , 0; 60

f x x x x

   

( )x dm

( )h dm

1V x h h



   

2 2

2 2 2 3 2

AM GM

S xh x x

   



    

5,5

( )dm

( )x dm

( )h dm

. 1V x h h

   

2 2

4 2 2 6

AM GM

S xh x x



     

Công Phá Toán The Best or Nothing

62 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt

xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của

chúng là V

Khi đó, tỉ số là:

A. 3 B. 2 C. D.

Hướng dẫn:

.Gọi R

là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

. Gọi R

là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

Vậy đáp án là A.

Câu 34: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính

bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu

bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này

và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ).

Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung

tròn của hình quạt bằng

A. cm B. cm

C. cm D. cm

Hướng dẫn:

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được

xếp làm hình nón.

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường

sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón

sẽ có độ dài là x.

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago

là: h = .

Thể tích của khối nón:

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá

trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn)

Câu 35: Một người có một dải duy băng dài 130

cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh

một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này

dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp

hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có

thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao

nhiêu ?

4000 cm



32000 cm



1000 cm



16000 cm



Hướng dẫn:

1 1

2 R 3 R

   



1 1

V R h

   



2 1

2 R 1 R

   



2 1

V 3 R h

   



6 6



2 6



8 6



r x r



  

2 2 2

R r R



  

2 2

3 3 2 4

x x

V r H R



 

 

  

 

 

2 2 2 2 2 2 6

2 2

2 2 2

4 4 4

. . ( ) .

9 8 8 4 9 3 9 27

x x x R

V R

  

   

2 2 2

2 2 2 2 2 2 6

2 2 2

4 4 4

8 8 4

. . ( ) .

9 8 8 4 9 3 9 27

x x x

x x x R

  

 

  

 

   

 

 

2 2

8 4

x x

 

 

6 6 6

x R x



   

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 63

Một bài toán thực tế khá hay trong ứng dụng của

việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Ta nhận thấy,

dải duy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh

cái hộp, do đó chiều dài của dải duy băng chính là

tổng chu vi của hai hình chữ nhật đó. Tất nhiên

chiều dài duy băng đã phải trừ đi phần duy băng

dùng để thắt nơ, có nghĩa là:

 

22 2 120 30 2    r h h r

Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công

thức:

 

2 3 2

. . 30 2 2 30     

V B h r r r r

 

Xét hàm số

 

3 2

2 30

  

f r r r

trên

 

0;15

   

 

' 6 60 ; ' 0

 

    







r l

f r r r f r

Khi đó vẽ BBT ta nhận ra

 

   

0;10

Max f r f

Khi đó thể tích của hộp quà

. .10 .10 1000

  V B h

 

Câu 36: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước

50cm  240cm, người ta làm các thùng đựng nước

hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách

sau (xem hình minh họa dưới đây):

 Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung

quanh của thùng.

 Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng

nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh

của một thùng.

Kí hiệu V

là thể tích của thùng gò được theo cách

1 và V

là tổng thể tích của hai thùng gò được theo

cách 2. Tính tỉ số



1.

2.

4.

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 37: Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm

và chiều cao bằng 9 cm. Tính thể tích lớn nhất của

khối trụ nội tiếp trong hình nón.



Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích

thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy

bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao

bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi

là

tổng diện tích của ba quả bóng bàn,

là diện

tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

bằng

B. 1 C. 2 D.

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 39: Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản

xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để

nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp

mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp

mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa).

Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có

dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có

chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất

đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích

lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách

hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó ?

36



54



48



V



Hướng dẫn: Đây thực chất là bài toán khối trụ nội

tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:

Công Phá Toán The Best or Nothing

64 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng

. .

 

V B h r h



Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN

trên một khoảng (đoạn) xác định:

Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc

r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r.

Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông

góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:

6 18 3

9 6 2

 

  

h r r

Khi đó

 

2 2

18 3 3

. 9

2 2



    

r r

V f r r r



 

với

0 6 

 

' 18 0





    







f r r r

 

Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể

suy ra được với

4r

thì V đạt GTLN, khi đó

48



Câu 40: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các

nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí

nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích

toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích

khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần

hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng:

















Câu 40.1: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy

hình nón có thể tích 27cm

. Với chiều cao h và

bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít

nhất.

r



r



r



r



Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 41: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x

180cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ

có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách(Xem hình

minh họa dưới)

Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh

của thùng

Cách 2.Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng

nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh của

thùng.

Ký hiệu

là thể tích của thùng gò được theo cách

thứ nhất và

là tổng thể tích của ba thùng gò

được theo cách thứ 2.Tính tỉ số

C. 3 D. 2

Hướng dẫn: Vì các thùng đều có chung chiều

cao nên:

2 2



day

V S

+) Diện tích đáy 1:

1day

Chu vi đáy 1:

2 r



=180



;

1day

r



+) Diện tích đáy 1:

2day

Chu vi đáy 1:



=60=>



;

2day

r



=>3

2day

3.30



Vậy

2 2



day

V S

Câu 42: Cối xay gió của Đôn ki hô tê (từ tác phẩm

của Xéc van téc). Phần trên của cối xay gió có

dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40

cm và thể tích của nó là 18000 cm

. Tính bán kính

của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số

thập phân thứ hai).

A. 12 cm B. 21 cm C. 11 cm D. 20 cm

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 65

Hướng dẫn:

Theo đề bài ta có:

18000 , 40

 

V cm h cm

Do đó, ta có:

1 3 3.18000

3 40

   

V r h r



 

20,72 r cm

Vậy bán kính của hình tròn là

21r cm

Câu 43: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh

a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và

hai hình tròn có cùng đường kính để làm thân và

các đáy của một hình trụ. Hỏi khối trụ được tạo

thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết

rằng các cạnh của hình chữ nhật song song hoặc

trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn.

 

4 1





 





 





Hướng dẫn:

Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ.

+) Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích

thước x và a. Một phần có kích thước a-x và a.

Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần

có kích thước a-x và a cuộn dọc để tạo thành thân

(tạo thành hình trụ có chiều cao bằng a). Điều kiện

là







thì

 

2 3

4 1

 



ax a

 



+) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích

thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo

thành hình trụ có chiều cao là a-x). Điều kiện là





do chu vi của hình tròn cắt ra phải bằng với

phần đáy của hình chữ nhật. Khi đó

 





a x x



Xét hàm số

 





a x x



, với





Ta có

   

2 3

 

 

a x x a

 



Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành

là:

 





Câu 44: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy

bạc có thể tích



(cm

) và chiều cao là 4cm.

Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên

4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích

miếng giấy bạc cần thêm là.

 

(12 13 15)



. B.

 

12 13



 

12 13

. D.

 

(12 13 15)



Hướng dẫn: Gọi R

là bán kính đường tròn đáy

hình nón lúc đầu; h

là chiều cao của hình nón lúc

đầu.

Gọi R

là bán kính đường tròn đáy hình nón sau

khi tăng thể tích; h

là chiều cao của hình nón sau

khi tăng thể tích.

Ta có:

2 2

1 1 1 1 1

1 1

12 4 3

3 3

    

V R h R R

  

1 1 1

2 2

2 2 2 2 1

2 1

4 2 6







      











V R h

V R

V R h R R

h h



Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:

 

1 1 1

3 16 9 15   

S R l cm

  

Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể

tích:

 

2 2 2

6 16 36 12 13   

S R l cm

  

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:

 

12 13 15 

S cm



Đáp án: A.

Câu 45: Một tấm vải được quấn 357 vòng quanh

một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5,678cm,

bề dày vải là 0,5234cm. Khi đó chiều dài tấm vải

gần số nguyên nào nhất sau đây:

A. 330 B.

336

C. 332 D. 334

Hướng dẫn: Gọi r là bán kính lõi gỗ, d là chiều

dài vải,

chiều dài vải vòng thứ k

Ta có

1 2

2 ; 2 ( );...; 2 ( ( 1) )     

l r l r d l r n d

  

Ta có tổng chiều dài của n vòng

1 2

( 1)

... 2



 

     

 

 

n n d

S l l l nr



Suy ra

336,3417S m

Công Phá Toán The Best or Nothing

66 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 46: Một khối gạch hình lập phương (không

thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong

một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước

theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm

trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt

này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của

viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể

tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số

thập phân).

A. V = 22,27 B. V = 22,30

C. V = 23.10 D. V = 20,64

Hướng dẫn: Gọi

,R h

lần lượt là bán kính và

chiều cao của hình nón (phễu).

Thiết diện của hình nón song song với đáy của

hình nón, qua tâm của viên gạch là hình tròn có

bán kính

R

thỏa mãn

 

2 2

. 3 1

 

  

h h

R h h

Thiết diện của hình nón song song với đáy hình

nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy

của hình nón là hình tròn có bán kính

1

R thỏa

mãn

 

2 2 2 2

. 1 2

 

  

h h

R h h

Từ (1) và (2) suy ra

2 5 2 6

2 2

 

  



và

2 3 1 

Thể tích lượng nước còn lại trong phễu là

V

nón

- V

gạch

2 3

2 22,2676

  R h



Câu 47: Cho 4 hình cầu có cùng bán kính bằng

2006

-1

và chúng được sắp xếp sao cho đôi một tiếp

xúc nhau. Ta dựng 4 mặt phẳng sao cho mỗi mặt

phẳng đều tiếp xúc với 3 hình cầu và không có

điểm chung với hình cầu còn lại. Bốn mặt phẳng

đó tạo nên một hình tứ diện. Gọi V là thể tích của

khối tứ diện đó (làm tròn 2 chữ số thập phân), khi

đó thể tích V là:

A. V = 1,45 B. V = 1,55

C. V = 1,43 D. V = 1,44

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 48: Trong quá trình làm đèn chùm pha lê,

người ta cho mài những viên bi thuỷ tinh pha lê

hình cầu để tạo ra những hạt thủy tinh pha lê hình

đa diện đều có độ chiết quang cao hơn. Biết rằng

các hạt thủy tinh pha lê được tạo ra có hình đa diện

đều nội tiếp hình cầu với 20 mặt là những tam giác

đều mà cạnh của tam giác đều này bằng hai lần

cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn lớn của

hình cầu. Khối lượng thành phẩm có thể thu về từ

1 tấn phôi các viên bi hình cầu gần số nào sau đây:

A. 355,689kg B. 433,563 kg

C. 737,596 kg D. 625,337kg

Hướng dẫn:

Lấy bán kính viên bi hình cầu làm đơn vị độ dài

thì thể tích của viên bi là



tính cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn

lớn của hình cầu.

tính cạnh của hình đa điện đều 20 mặt. tính thể

tích hình chóp tam giác đều có đỉnh là tâm hình

cầu, đáy là mặt của hình đa diện đều. nhân số đo

thể tích đó với 20 rồi chia cho



Nhân kết quả này với 1000kg.

Ta có m  737,59644 kg

Câu 49: Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng

sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000

. Biết rằng bán kính nắp đậy sao cho nhà sản

xuất tiết kiệm vật liệu nhất có giá trị a. Hỏi giá trị

a gần với giá trị nào gần nhất?

11.677

11.674

11.676

11.675

Hướng dẫn:

V =1000 = a

hπ



h =

1000



= 2πh + 2πa

2000

+2πa



S’=0



a = 11.675

Câu 50: Bốn quả cầu đặc bán kính

112



r e

tiếp xúc nhau từng đôi một, ba quả nằm trên mặt

bàn phẳng và quả thứ tư nằm trên ba quả kia. Một

tứ diện đều ngoại tiếp với 4 quả cầu này. Độ dài

cạnh

của tứ diện gần số nào sau đây nhất:

22.

Hướng dẫn: Chiều cao

của tứ diện đều mà 4

đỉnh là 4 tâm của 4 quả cầu:

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 67

2 2

2 3 2 6

(2 ) ( )

3 3

  

h r r

Chiều cao

của tứ diện ngoại tiếp 4 mặt cầu:

1 1

2 6

3 4 4

 

      

 

 

h h r r h r r

Cạnh của tứ diện muốn tìm

sin







 

2 6 2 22,4452

   a r a

Câu 51: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi

di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn

5(dem) có kích thước 1m x 20m (biết giá 1m

tôn

là 90000đ) bằng 2 cách:

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1)

Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng

nhau rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật

như (hình 2).

Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước

chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp

là 9955đ/m

. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu

đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào để không

vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí

theo dữ kiện trong bài toán).

A. Cả 2 cách như nhau

B. Không chọn cách nào

C. Cách 2

D. Cách 1

Hướng dẫn:

Tiền tôn: S. 90000 = 20.90000=1800000(đ)

Cách 1: Chu vi đáy C: 2πr = 20



Tiền nước: V.9955 = πr

h9955 = 253501,99(đ)

Cách 2:

Tiền nước: V.9955 = 20.0,8.9955 = 159280 đ

Tổng tiền = 1800000 + 159280 = 1959280

(thỏa mãn)

Câu 52: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các

nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí

nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích

toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích

khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần phần

hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào

nhất?

A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.5

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 53: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính

r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi

đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp

xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung

quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình

trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:



Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 54: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy

hình nón có thể tích 27cm

. Vói chiều cao h và

bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít

nhất.

r



r



r



r



Hướng dẫn:

Ta có:

1 3

  

V r h h



=> độ dài đường

sinh là:

2 2 2 2

( )

   

l h r r



2 2 2

2 2 4

81 3

( )

   r r

r r

 

Diện tích xung quanh của hình nòn là:

8 8

2 4

2 4 2 2

3 3

    

S rl r r r

r r

  

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là

khi

r



Câu 55: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn

đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với

đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo

đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L),

đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng

với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn

nhất.



Hướng dẫn:

Hình 1

20m

Hình 2

Công Phá Toán The Best or Nothing

68 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Gọi r là bán kính của (L).

Ta có

 



   

r h d R

r h d

R h h

    

   

2 2

. .2

3 27

     

    

 

 

 

R R

V h d d h d h d d

h h

h d h d d

R R h

 



Dấu bằng xảy ra khi

   

h d d d

Câu 56: Người ta cần đổ một ống bi thoát nước

hình trụ với chiều cao

200 cm

, độ dày của thành

bi là

10 cm

và đường kính của bi là

60 cm

Lượng bê tông cần phải đổ của bi đó là:

0,1 m .



0,18 m .



0,14 m .



m .



Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 57: Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính

vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên

bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa

tiếp xúc với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi

xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của

bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình

hình trụ là:



Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 58: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình

trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam

giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn

cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn

nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q

tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành

hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất

của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:

91125

( )



91125

( )



108000 3

( )cm



13500. 3

( )cm



Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 59: Một quả bóng bàn và một chiếc chén

hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng

lên chiếc chén thấy phần ngoài của quả bóng có

chiều cao bằng 3/4 chiều cao của nó. Gọi

1 2

, V V

lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén,

khi đó:

1 2

9 8V V

1 2

3 2V V

1 2

16 9V V

1 2

27 8V V

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 60: Khi cắt mặt cầu

 

, S O R

bởi một mặt

kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của

mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu.

Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu

 

, S O R

nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa

mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của

hình trụ với nửa mặt cầu. Biết

1R

, tính bán kính

đáy

và chiều cao

của hình trụ nội tiếp nửa

mặt cầu

 

, S O R

để khối trụ có thể tích lớn nhất.

3 6

2 2

 r h

. B.

6 3

2 2

 r h

6 3

3 3

 r h

. D.

3 6

3 3

 r h

Hướng dẫn:

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết

đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của

O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt

cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới

hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có:

2 2 2

 

h r R

 

0 1  

h R

2 2

  r h

Thể tích khối trụ là:

2 2

(1 h ) h (h)

   

V r h f

 

'(h) (1 3h ) 0 h

     f



O’

A’

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 69

f'(h)

+ 0



f(h)

2 3



Vậy:





0;1

2 3

MaxV



(đvtt) khi

r

và

h

Câu 61: Phần không gian bên trong của chai rượu

có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy

bằng

4,5cm,

bán kính cổ

1,5cm,

4,5cm, 6,5cm, 20cm.  

AB BC CD

Thể tích

phần không gian bên trong của chai rượu đó bằng

 

3321



. B.

 

7695



 

957



. D.

 

478 cm



Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 62: Phần không gian bên trong của chai nước

ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy

bằng

5 ,R cm

bán kính cổ

2 , 3 , r cm AB cm

6 ,BC cm

16 .CD cm

Thể tích phần không gian

bên trong của chai nước ngọt đó bằng:

 

495



. B.

 

462



 

490



. D.

 

412



Hướng dẫn:

Thể tích khối trụ có đường cao

 

2 3

. 400 

V R CD cm

 

Thể tích khối trụ có đường cao

 

2 3

. 12 

V r AB cm

 

Ta có

   

MC CF

MB BE

Thể tích phần giới hạn giữa

   

2 2 3

. . 78

  

V R MC r MB cm



Suy ra:

 

1 2 3

490   

V V V V cm



Chọn C.

Câu 63: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn

tròn lại theo chiều dài, được một khối trụ đường

kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ

và in tranh cổ động, khối còn lại là một khối trụ

có đường kính 45 cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao

nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị) ?

373

(m) B.

119

(m)

187

(m) D.

(m)

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 64: Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có

độ dài cạnh bằng 3; K là trung điểm BC. Người ta

dùng compha có tâm là S, bán kính SK vạch một

cung tròn MN. Lấy phần hình quạt gò thành hình

nón không có mặt đáy với đỉnh là S, cung MN

thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính

thể tích khối nón trên.

105



3 3



141



Hướng dẫn: Đáp án A.

r = 2

= 5

Công Phá Toán The Best or Nothing

70 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 65: Cho một hình cầu bán kính 5cm, cắt hình

cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo

thành là một đường kính 4cm. Tính thể tích của

khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là

tâm hình cầu đã cho. (lấy

3,14



, kết quả làm

tròn tới hàng phần trăm).

50,24ml

19,19ml

12,56ml

76,74ml

Hướng dẫn:

Ta có:

4MN cm

2 2

2 21

     

MA cm OA MO MA cm

 

2 2

3,14.4 

S R cm



 

21.3,14.4 19,185 19,19

  

V ml ml

Câu 66: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng

hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa

nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện

tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:

R



R



R



R



Hướng dẫn: Gọi h và R lần lượt là chiều cao và

bán kính đáy (đơn vị: met)

Ta có:

1   V h R h



 

2 2

2 2 2 2

2 0

   

  

S R Rh R R

R R

   



Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được

 

min

1 1

   f R R h



Cách 2: Dùng bất đẳng thức:

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 2 . . 3 2

   

    

S R Rh R R

R R

R R R R

   



  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

R



Câu 67: Một người nông dân có một tấm cót hình

chữ nhật có chiều dài

 



, chiều rộng

 

1 .m

Người nông dân muốn quây tấm cót thành

một chiếc bồ đựng thóc không có đáy, không có

nắp đậy, có chiều cao bằng chiều rộng của tấm cót

theo các hình dáng sau:

(I). Hình trụ.

(II). Hình lăng trụ tam giác đều.

(III). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật

có chiều dài gấp đôi chiều rộng.

(IV). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.

Hỏi theo phương án nào trong các phương án trên

thì bồ đựng được nhiều thóc nhất (Bỏ qua riềm,

khớp nối).

A. (I) B. (II). C. (III). D. (IV).

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 68: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình

cầu đường kính 18dm, và một hình trụ có chiều

cao 36dm. Tính thể tích của bồn chứa (đơn vị

)dm

3888



9216 .



243



1024



Hướng dẫn: Đáp án A.

(I)

(II)

(III)

(IV)

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 71

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN

Câu 1: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí

cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt

đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển

động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động

theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy

luật

( ) 10

 v t t t

, trong đó

(phút) là thời gian

tính từ lúc bắt đầu chuyển động,

( )v t

được tính

theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi

bắt đầu tiếp đất vận tốc

của khí cầu là:

 

7 /



v m p

 

9 /



v m p

 

5 /



v m p

 

3 /



v m p

Hướng dẫn:

Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quảng

đường là

162s m

Ta có:

 

3 3

2 2 2

10 5 5

3 3

 

     

 

 



t t

s t t dt t t

(trong đó

là thời điểm vật tiếp đất )

Cho

5 162 9

   

t t

(Do

 

10 0 10    

v t t t t

)

Khi đó vận tốc của vật là:

   

9 10.9 9 9 /

  

v m p

. Chọn B.

Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi

theo thời gian được tính bởi công thức

( ) 3 2 v t t

, thời gian tính theo đơn vị giây,

quãng đường vật đi được tính theo đơn vị

. Biết

tại thời điểm

2t s

thì vật đi được quãng đường

là

10m

. Hỏi tại thời điểm

30t s

thì vật đi được

quãng đường là bao nhiêu?

1410m

1140m

300m

240m

Hướng dẫn:

Ta có:

     

   

3 2 2 ,

2 10 0 30 1410

     

     

 

s t v t dt t dt t t C

s C S A

Câu 3: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ

 

D t

đô la mỗi năm, với

   

' 90 1 6 12

  

D t t t

trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể

từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công

ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm

hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này?

 

30 12

  f t t t C

 

30 12 1610640

  f t t t

 

30 12 1595280

  f t t t

 

30 12 1610640

  f t t t

Hướng dẫn:

Thực chất đây là bài toán tìm nguyên hàm. Ta có

thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho đạo hàm của

một hàm số, công việc của chúng ta là đi tìm

nguyên hàm:

 

2 2 2

90 6 12 45 12 12

    

 

t t tdt t td t t

   

2 2

45 12 2

  



t t d t t

 

45. 12



 



t t

 

30. 12

 

t t

Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền

nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ

được tính

 

1610640 30 4 12.4 1595280

  

Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:

 

30 12 1595280

  D t t t

Phân tích sai lầm: Nhiều quý độc giả khi tìm ra

được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C

luôn như bài toán tìm nguyên hàm bình thường.

Tuy nhiên ở đây khoản nợ vay ban đầu đã cố

định, tức là hằng số C đã cố định. Ta cần tìm hằng

số để cộng thêm vào công thức.

Sai lầm thứ hai: Nhiều quý độc giả cộng luôn với

1610640 luôn nên dẫn đến sai lầm.

Sai lầm thứ ba: Không nhớ công thức



a a

Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa

nước. Gọi

 

h t

là thể tích nước bơm được sau

giây. Cho

 

' 3

 h t at bt

và ban đầu bể không

có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là

Công Phá Toán The Best or Nothing

72 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

150m

. Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là

1100m

. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm

được 20 giây.

A. 8400

B. 2200

C. 600

D. 4200

Hướng dẫn:

Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây

là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên

từ các dữ kiện đề cho ta có:

 

2 3 2

 

  

 

 



at bt dt at bt

125 150

  a b

Tương tự ta có

1000 50 1100 

a b

Vậy từ đó ta tính được

1; 2 

a b

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là

 

3 2

' 8400.

  



h t dt t t

Câu 5: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa

nước. Gọi

 

h t

là thể tích nước bơm được sau t

giây. Cho

 

' 3

 h t at bt

và ban đầu bể không

có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là

150m

, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là

1100m

. Tính thể tích của nước trong bể sau khi

bơm được 20 giây.

A. 8400 m

B. 2200 m

C. 600 m

D. 4200 m

Hướng dẫn:

Ta có:

   

 

2 3

' 3

     

 

h t h t dt at bt dt at b C

Do ban đầu hồ không có nước nên

   

0 0 0

     

h C h t at b

Lúc 5 giây

 

5 .5 . 150

  h a b

Lúc 10 giây

 

10 .10 . 1100

  h a b

Suy ra

1, 2 

a b

   

3 2 3 2 3

20 20 20 8400

      

h t t t h m

Câu 6: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận

tốc

20 /m s

thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc

( ) 5 20  

v t t

, trong đó

là khoảng thời gian

tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết

xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu

mét?

A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m

Hướng dẫn:

Khi ca nô dừng thì

 

0 5 20 0 4      v t t t

Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là

Ta có

 

5 20 20 40



 

     

 

 



s t dt t t m

Câu 7: Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước.

Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt

hồ và sau mỗi giờ lượng lá bèo tăng gấp 10 so với

trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy

giờ thì lá bèo phủ kín

mặt hồ?

9 log3

9 log3

9 log3



3 log3

Hướng dẫn:

Gọi

là thời gian các lá bèo phủ kín

cái hồ.Vì

tốc độ tăng không đổi, 1 giờ tăng gấp 10 lần nên

ta có

9 9

1 1

10 10 log10 log 10 9 log3

3 3

     

t t

Câu 8: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả

sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của

chuông, được thiết diện có đường viền là một

phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và

bán kính của miệng chuông là

2 2

. Tính thể tích

chuông?



Hướng dẫn:

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 73

Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba

điểm

 

   

0;0 , 4;2 2 , 4; 2 2



nên có phương

trình



. Thể tích của chuông là thể tích của

khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng

2 , 0, 4  

y x x x

quay quanh trục Ox. Do đó

Ta có

 

2 16

  



V xdx x

  

Câu 9: Một mảnh vườn hình tròn tâm

bán kính

. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng

nhận

làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây

là

70000

đồng

/ m

Hỏi cần bao nhiêu tiền để

trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn

đến hàng đơn vị)

8412322

đồng. B.

8142232

đồng.

4821232

đồng. D.

4821322

đồng

Hướng dẫn:

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi

đó phương trình đường tròn tâm O là

2 2

x y 36 

. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có

phương trình

36 ( )

  

y x f x

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện

tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị

( )y f x

và hai đường thẳng

3; 3  

x x

2 36



  



S x dx

Đặt

6sin 6cos  x t dx tdt

. Đổi cận:

    

x t



;

  

x t



6 6

2 36cos 36 (cos 2t+1)dt

18(sin 2 t 2 t) 18 3 12

 



  

   

 

S tdt

 



Do đó số tiền cần dùng là

70000. 4821322

đồng

Câu 10: Cho mạch điện như hình vẽ dưới. Lúc

đầu tụ điện có điện tích

 

.Q C

Khi đóng khóa

tụ điện phóng điện qua cuộn dây

Giả sử

cường độ dòng điện tại thời diểm

phụ thuộc vào

thời gian theo công thức

   

cos 

I I t Q t

 

(A), trong đó



(rad/s) là tần số góc,

0t

có đơn

vị là giây

 

Tính điện lượng chạy qua một thiết

diện thẳng của dây từ lúc bắt đầu đóng khóa

 

0

đến thời điểm

6t

 

sin 6

 

 

sin 6



(C)

 

cos 6

 

 

cos 6



(C)

Hướng dẫn:

Ta có biểu thức của cường độ dòng điện tại thời

điểm t phụ thuộc vào thời gian là biểu thức đạo

hàm của biểu thức điện lượn chạy qua tiết diện

thẳng của dây, hay nói cách khác

Điện lượng chạy qua tiết diện S trong thời gian từ

đến

là

 



q i dt

Vậy

 

cos 



q Q t dt

 

    

sin sin 6

 

Q t Q C

 

Đáp án B.

Câu 11: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một

chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm.

Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10

cm đến 13 cm?

A. 1,95J B. 1,59 J C. 1000 J D. 10000 J

–

Công Phá Toán The Best or Nothing

74 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Hướng dẫn:

Theo định luật Hooke, khi chiếc lò xo bị kéo căng

thêm

m so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo trì

lại với một lực

( )

f x kx

.Khi kéo căng lò xo từ 5

cm đến 10 cm, thì nó bị kéo căng thêm 5 cm =

0,05 m. Bằng cách này, ta được

(0,05) 50

bởi

vậy:

0.05 50 1000

0.05

   k k

Do đó:

( ) 1000f x x

và công được sinh ra khi

kéo căng lò xo từ 10 cm đến 13 cm là:

0,08

0,05

W 1000 1000 1,95

  



xdx J

Vậy chọn A.

Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa

nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t

giây. Cho

 

’ 3

 

ath t

và ban đầu bể không

có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là

150m

. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là

1100m

. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm

được 20 giây là bao nhiêu.

8400m

2200m

6000m

4200m

Hướng dẫn:

Ta có

 

2 3

(3 )

   



at bt dt ath t

Khi đo ta có hệ:

3 2

5 . . .5 150

1 2

10 . . .10 1100



 











 







 





a b

Khi đó

 

3 2

 

h t

t t

Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20

giây là

 

20 8400



h m

Đáp án: B.

Câu 13: Một người có mảnh đất hình tròn có bán

kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất

đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được

giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần có khoảng trống để

dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây

6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn

xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch

được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ

phần số thập phân).

3722

7445

7446

3723

Hướng dẫn:

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ là

2 2

25 

x y

Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích phần tô

đậm phía trên.

Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong có

phương trình là

 y x

, trục

; 5; 4  

Ox x x

(trong đó giá trị 4 có được dựa

vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung bằng 6)

Vậy diện tích cần tính là

2 25 74,45228...



  



S x dx

Do đó, đáp án là câu B.

Câu 14: Một người đứng từ sân thượng một tòa

nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương

thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận

tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất

một đoạn bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng

trường )

A. 35 m B. 36 m C. 37 m D. 40 m

Hướng dẫn:

Quả bi sắt chịu tác dụng của trọng lực hướng

xuống nên có gia tốc trọng trường

Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là:

Ở đây, với:

Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng:

Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta sẽ được

biểu thức quãng đường:

d

 

10 /a m s



 

10 /a m s



10 10

v adt dt t C   

 

0, 20 /

t v m s

 

 

 

10 20 /v t m s

 

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 75

Theo đề bài, ta được khi

Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là:

Khi , ta sẽ được

Vậy quả bi cách mặt đất .

Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như

hình vẽ dưới đây.

Đáy là hình tròn bán kính 4 cắt vật bởi các mặt

phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là

tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

256

V

256 3

V

32 3

V

Hướng dẫn:

Chọn tâm đường tròn làm gốc.

Diện tích thiết diện là

2 2

3(4 )

  

S AB x

2 2

( ) 4 (4 )

 

   

 

V S x dx x dx

Câu 16: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc

100Km/h thì đạp phanh dừng lại, vận tốc của xe

giảm dần theo công thức

 

5000 100

  v t t

(Km/h) cho đến khi dừng lại. Hỏi xe chạy thêm

được bao nhiêu met thì dừng lại.

A. 25 B. 1 C. 10

D. 10

-3

Hướng dẫn:

Xe dừng lại nên

  v t

Phương trình quãng đường

   

2500 100

   



S t v t dt t t

Quảng đường xe đi được

1 1

2500. 100. 1 10

50 50

 

    

 

 

S Km m

Câu 17: Khi quan sát một đám vi khuẩn trong

phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có

số lượng là

 

N x

. Biết rằng

 

2000







N x

và lúc

đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con .Vậy ngày thứ

12 số lượng vi khuẩn là?

A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10129.

Hướng dẫn:

Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm.

Cho

 



N x

và đi tìm

 

N x

Ta có

2000

d 2000.ln 1 5000

  





x x

( Do ban

đầu khối lượng vi khuẩn là 5000) .

Với

12

thì số lượng vi khuẩn là

10130

con

Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s

thì tăng tốc với gia tốc

( ) 3

 a t t t

. Tính quãng

đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

4300

4300 m.

430 m.

430

Hướng dẫn:

 Hàm vận tốc

   

 

2 3

d 3 d

2 3

     

 

t t

v t a t t t t t C

 Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc

 

0 10 10   

v C

Ta được:

 

2 3

  

t t

v t

 Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là:

2 3 3 4

10 d 10

2 3 2 12

4300

   

     

   

   





t t t t

s t t

 

10 20

5 20

s vdt

t dt

t t K



 

  



0 0 0

t s K

    

 

2 2

5 20 /s t t m s

 

5t s

 

225

s m



 

262 225 37

d m

   

Công Phá Toán The Best or Nothing

76 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 19: Một viên đạn được bắn lên theo phương

thẳng đứng với vận tốc ban đầu là

 

24,5 /m s

và

gia tốc trọng trường là

 

9,8 /m s

. Quãng đường

viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống

đất là (coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất)

 

61,25

 

30,625

 

29,4

 

59,5

Hướng dẫn:

Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc

thời gian

0t

bắt đầu từ khi vật chuyển động.

Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian

là

   

24,5 9,8 /

   

v t v gt t m s

Khi vật ở vị trí cao nhất thì có vận tốc bằng 0

tương ứng tại thời điềm



Quãng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị

trí cao nhất là

   

5 5

2 2

0 0

245

24,5 9,8

   

 

S t v t dt t dt

Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho

tới khi rơi xuống đất là

 

245

2. 61,25



Câu 20: Một ô tô xuất phát với vận tốc

sau khi đi được một khoảng

thời gian t

thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên

tài xế phanh gấp với vận tốc

và đi thêm một khoảng thời gian t

nữa thì dừng

lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc

dừng lại là 4 (s). Hỏi xe đã đi được quãng đường

bao nhiêu mét.

A. 57 m B. 64 m C. 50 m D. 47 m

Hướng dẫn:

Đến lúc phanh vận tốc của xe là: 2t

+10 đó cũng

là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh;

sau khi đi thêm t

thì vận tốc là 0 nên

Lại có lập hệ được t

=3 s; t

=1 s.

Tổng quãng đường đi được là:

Chọn A.

Câu 21: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối

trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một

mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường

kính của đáy và tạo với đáy góc . Thể tích của

khối gỗ bé là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Cắt khối gỗ bé bởi

các mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có

hoành độ x ta được thiết diện là tam giác vuông

có diện tích bằng . Vậy thể tích

khối gỗ bé bằng:

Đáp án A.

Câu 22: Một vật di chuyển với gia tốc

. Khi thì vận

tốc của vật là Tính quãng đường vật đó di

chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số

hàng đơn vị).

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn:

Ta có

Theo đề ta có

Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:

   

2 10 /v t t m s 

   

20 4 /v t t m s 

1 2 1 2

2 10 20 4 2 5

t t t t

     

1 2

t t

 

     

3 1

0 0

2 10 20 4 57

S x dx x dx m

    

 

V 





V 





2 2

( )

A x R x 

2 2

1 2

2 3

V R x



  



   

20 1 2

a t t



  

 

/m s

0t 

30 /m s

106S m

107S m

108S m

109S m

     

20 1 2

1 2

v t a t dt t dt C



     



 

 

0 30 10 30 20

v C C

     

 

20 5ln 1 2 20 5ln5 100 108

1 2

S dt t t m

 

       

 



 



20 5ln 1 2 20 5ln 5 100 108S dt t t m       

2 2

R x

2 2

R x

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 77

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc v(t)

(m/s) có gia tốc (m/s

). Vận tốc

ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau

2s.

A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s.

Hướng dẫn:

Ta có

(m/s).

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s)

Vậy vận tốc của vật sau 2s là:

(m/s).

Câu 24: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì

người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”.

Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần

đều với vận tốc Trong đó

t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt

đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển từ

lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?

A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m

Hướng dẫn:

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t=0)

Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc

lúc dừng là v(T) = 0

Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng

thời gian T.

Ta có suy ra s(t) là nguyên hàm của

v(t)

Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là:

Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu

 

'w t

là tốc độ tăng trưởng cân

nặng/năm của một đứa trẻ, thì

 

' d



w t t

là sự cân

nặng của đứa trẻ giữa

và

tuổi.

B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ

 

r t

tính bằng galông/phút tại thời gian

, thì

 

120



r t t

biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong

giờ đầu tiên.

C. Nếu

 

r t

là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới,

trong đó

được bằng năm, bắt đầu tại

0t

vào

ngày

tháng

năm

2000

và

 

r t

được tính bằng

thùng/năm,

 



r t t

biểu thị số lượng thùng dầu

tiêu thụ từ ngày

tháng

năm

2000

đến ngày

tháng

năm

2017

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 26: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta

cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán

kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng.

Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.

A. (dm

) B. (dm

)

C. (dm

) D. (dm

)

Hướng dẫn:

Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường

thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn

lớn có phương trình .

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong

, quay quanh Ox.

= (bấm máy)

Câu 27: Một vật đang chuyển động với vận tốc

10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t

(m/s

Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời

gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?

A. 11100 B.

6800

4300

5800

Hướng dẫn:

( ) 3

a t t t 

2 3

(t) ( )dt (3t t)dt

v a t t C     

 

(0) 2 C 2

   

(2) 2 2 12

   

( ) 40 20( / ).v t t m s  

( ) 0 40 20 0

v T T T

      

( ) '( )v t s t

1/2

( ) ( 40 20) ( 20 20 ) 5( )

v t dt t dt t t m

      

 

132



100



2 2

x y

 

y x 

3, 3

x x

  

(25 )V x dx





 



132



3 dm

Công Phá Toán The Best or Nothing

78 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Ta có v(t) = t

+ t

+ c

v(0) = 10



c = 10



v(t) = t

+ t

+ 10

S =

( 10)dt  



t t

(m)

Đáp án C.

Câu 28: Một vật chuyển động chậm dần với vận

tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Hỏi rằng trong 3s trước

khi dừng hẳn vật chuyển động được bao nhiêu

mét ?

A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m

Hướng dẫn:

v = 0



160 – 10t = 0



t = 16

Quãng đường vật đi được trong 3s trước khi dừng

hẳn là: S =

(

160 – 10 ) 45





t dt m

Câu 29: Ông An có một mảnh vườn hình elip có

độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng

10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

8m và nhận trục bé của elip làm trụ đối xứng( như

hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa 100.000

đồng/1 m

. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để

trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn

đến hàng nghìn)

A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng

C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng

Hướng dẫn:

Phương trình elip là:

2 2

64 25

 

x y

Ta có: diện tích mảnh vườn cần tìm được chia làm

2 qua trục lớn, gọi diện tích 1 phần là S.

Gắn tâm elip là O, trục lớn là Ox, trục bé là Oy.

Sử dụng ứng dụng tích phân, diện tích phần này

sẽ giới hạn qua đường cong

 

và 2

đường

4; 4  

x x

Ta có:

25 38,2644591



  



S dx

(Sử dụng CASIO, tuy nhiên có thể giải thông

thường qua đặt

8sinx t

)

Như vậy số tiền cần có là:

38, 2644591.2.100000 7652891 7653000 

Câu 30: Gọi

  

h t

là mực nước ở bồn chứa

sau khi bơm nước được

giây. Biết rằng

 

' 8

 h t t

và lúc đầu bồn không có nước.

Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6

giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

A. 2,33 cm. B. 5,06 cm.

C. 2,66 cm. D. 3,33 cm.

Hướng dẫn: h(t) =





t dt

, h(0) = 0



h(6) = 2,66

Câu 31: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang

con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây

cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp

cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối

nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày

nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như

hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là

bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp

cầu)

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là

chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25;

2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với

chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình

( ): (do (P) đi qua O)

là phương

trình parabol dưới

20m

50m

40m

100m

2 2

y ax bx c ax bx    

2 2

20 1

100 5

y ax bx ax bx

      

40m

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 79

Ta có ) đi qua I và A

Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với

là phần giới hạn bởi trong khoảng

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là

tích diện tích và bề dày

số lượng bê tông

cần cho mỗi nhip cầu . Vậy 10 nhịp cầu 2

bên cần bê tông. Chọn đáp án C.

Câu 32: Có một người cần làm một cái của cổng

cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình

vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ

như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện

tích của cánh cửa cổng.

A. B. C. 16 D.

Hướng dẫn:

.Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của

hàm số là .

.Diện tích là: .

Vậy đáp án là B.

Câu 33:

Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB

vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ

nhất. A nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc

Khi quay tam giác đó

quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay. Thể

tích của khối nón lớn nhất khi:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng

Khi đó thể tích nón tròn xoay là:

Đặt

Xét hàm số .

Ta tìm được lớn nhất khi

Câu 34:

Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính

30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi

qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc

để lấy một hình nêm (xem hình minh họa

dưới đây)

Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).

Tính .

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm

có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

2 2

1 1 2

2 4 2 4 1

( ):

625 25 625 25 5

P y x x y x x

        

2S S

1 2

;y y

(0;25)

0,2

0 0,2

2 4 1

2 ( )

625 25 5

( )

S x x dx dx

   

 

9,9m



.0,2 9,9.0, 2 1,98V S m

  





40m



y 4 x 

 

S 4 x dx



  





, 0 .

AOB



 

 

  

 

 

sin





cos





cos





sin





: .tan ; 2017cos .OB y x OA

 

 

2017.cos

3 3

2 2 2 2

2017 . 2017 .

tan . .cos .sin .cos 1 cos .

3 3

V x dx



 

     

   



 

3 3

2 2 2 2

2017 . 2017 .

tan . .cos .sin .cos 1 cos .

3 3

 

     

   

cos 0; .

t t



 

  

 

 

 

1 , 0;

f t t t t

 

  

 

 

 

f t

3 3 6

cos sin .

3 3 3

 

    

 

V cm

2250

 

V cm

225





 

V cm

1250

 

V cm

1350

y x x

225 , 15;15

 

   

 

-2

Hình 1

Hình 2

Công Phá Toán The Best or Nothing

80 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại

điểm có hoành độ ,

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

(xem hình).

Dễ thấy

và

Khi đó

Suy ra thể tích hình nêm là:

Câu 35: Cho parabol (P) và hai điểm A, B

thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện

tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng

AB đạt giá trị lớn nhất

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Giả sử sao cho

AB = 2

Phương trình đường thẳng AB:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có

Vì AB = 2 nên

Câu 36: Cho hàm số có đồ thị

là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục

hoành. Với giá trị nào của m thì ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm

(*)

Đặt , phương trình trở thành:

(**)

Để S>0, S’>0 thì 0<m<4. Khi đó (*) có 4 nghiệm

phân biệt với

là hai nghiệm dương phân biệt của (**)

Do đồ thị hàm số hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối

xứng nên

Kết hợp với (**) ta được .

Câu 37: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc

a(m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó,

ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) =

-5t + a(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây

kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu a của

ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi

dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét.

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên

Ta có

Câu 38: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu

người ta giữ thanh ở góc nghiêng



 

, một đầu

thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng.

Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng

của trọng lực. Hãy biểu diễn góc



theo thời gian

t (Tính bằng công thức tính phân)

(sin sin )

 







 

(sin sin )

 







 

 

15;15

 

 

 

 

S x

NP y

   

0 2

tan 45 15MN NP y x

 

  

1 1

. . 225

2 2

S x MN NP x

 







V S x dx

   

x dx cm

2 3

. 225 2250



  



y x

   

  

2 2

; , ,

A a a B b b P b a 

 

y b a x ab  

 

2 2

| | [ ]

b b

a a

S b a x ab x dx b a x ab x dx b a         

 

   

2 2

| | [ ]

b b

a a

S b a x ab x dx b a x ab x dx b a         

 

| b a | b a 2   

 

4 2

y x x m  

'S S

2m 



m 

1m 

4 2

4 0x x m  

; 0x t t 

4 0t t m  

2 1 1 2

; ; ;t t t t

 

 

1 2 1 2

; ,

t t t t

   

 

1 1

4 2 4 2

4 2

2 2

' 4 4

4 0 0

5 3

t t

S S x x m dx x x m dx

t t

x x m dx m

      

       

 



m 

 20a

 10a

 40a

 25a

    

5 t 0

a t

    

 

5 5

0 0

(t) ( 5 t )

a a

S v dt a dt a

    

40 40 20

S a a

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 81

(sin sin )

 







 

(sin sin )

 







 

Hướng dẫn:

Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh

được bảo toàn

sin sin  

o q tt

mga mga K K

 

(1)

Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O

bán kính a nên:

2 2

 

K ma





Động năng quay quanh khối tâm:

2 2 2 2 2

1 1 1 1

(2 ) ' '

2 2 12 6

  

K I m a ma

  

Thay vào (1) ta được:

' (sin sin )

 

a g

  

' (sin sin )

  

  

(sin sin )

 







 

Câu 39: Một vật chuyển động với vận tốc thay

đổi theo thời gian được tính bởi công thức

( ) 5 1 v t t

, thời gian tính theo đơn vị giây,

quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét.

Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu

tiên là:

15m

. B.

620m

. C.

51m

. D.

260m

Hướng dẫn:

(5t 1)dt 260 ( )  



S m

Câu 40: Một vật chuyển động với gia tốc

 

( ) 20 1 2 ( / )



  a t t m s

. Khi

0t

thì vận tốc

của vật là

30( / )m s

. Tính quãng đường vật đó di

chuyển sau 2 giây (

là mét,

là giây).

A. 46

. B. 48

. C. 47

. D. 49

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 41: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng

là

 

N t

. Biết rằng

 

4000

1 0,5





N t

và lúc đầu

đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số

lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị):

A. 264.334 con. B. 257.167 con.

C. 258.959 con D. 253.584 con.

Hướng dẫn:

N(t) =

4000

1 0,5



= 8000.ln(1 + 0,5t) + C

N(0) = 250000



C = 250000

N(10) = 264.334 con

Câu 42: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá

có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa

kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện

tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao

8m và rộng 8m (như hình vẽ)

( )

128

( )

131

( )

Hướng dẫn:

Đáp án đúng: C.

Các phương án nhiễu:

A. HS tính tích phân sai:

1 28

2 3



   



S x dx

( )m

B. HS tính tích phân sai

1 26

2 3



   



S x dx

( )m

D. HS nhầm a =



, b= 8, c = 0

1 131

2 3



   



S x x dx

( )m

Công Phá Toán The Best or Nothing

82 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC

Câu 1: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được

dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới

đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát

hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất

ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ

trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả

nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng

bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng

cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần

lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi

thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ

vừa phủ kín mặt hồ?

7 log 25.

3 .

7 .



7 log 24.

Hướng dẫn:

Gọi

là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ

thì lượng bèo là

100

Sau 1 tuần số lượng bèo là

suy ra sau

tuần

lượng bèo là:

3 .

Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì

3 3

100 100

3 . . log log 25

4 4

   

A A n



thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là:

7log 25

. Chọn A.

Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ

thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm

17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là

một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác

đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách

trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột

là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 cm.

Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn

thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng

(tính theo đơn vị m

, làm tròn đến 1 chữ số thập

phân sau dấu phẩy). Ta có kết quả:

A. 1,3 m

B. 2,0 m

C. 1,2 m

D. 1,9 m

Hướng dẫn:

Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là

hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đều

cạnh 14 cm, mỗi tam giác có diện tích là

 

14 3

Với cột bê tông đã trái vữa hình trụ: Đáy của mỗi

cột là hình tròn bán kính 15 cm nên có diện tích

là

 

2 2



Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi

cột cao 290 cm là:

2 6 3 3

14 3

17.390 15 6. 1,31.10 1,31

 

  

 

 

cm m



Chọn A.

Câu 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM

năm không nhuận được cho bởi

4sin ( 60) 10

178

 

  

 

 

y x



với

1 365 

là

số ngày trong năm. Ngày

25 / 5

của năm thì số

giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con

số nào nhất ?

12h

13 30h

14h

Hướng dẫn:

Ngày 25/5 là ngày thứ 145 của năm

Số giờ y = 14

Câu 4: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một

phòng thí nghiệm được tính theo công thức

( ) (0).2 ,



s t s

trong đó

(0)s

là số lượng vi khuẩn

A lúc ban đầu,

( )s t

là số lượng vi khuẩn A có

sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn

A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt

đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?

A. 48 phút. B. 19 phút.

C. 7 phút. D. 12 phút.

Hướng dẫn:

Đáp án C.

Theo giả thiết

   

625000

62500 0 .2 0

   s s

Khi số vi khuẩn là 10 triệu con thì

 

10 0 .2 2 128 7    

t t

s t

(phút)

Câu 5: Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật

thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng

giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây

thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 83

một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi

trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10

được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc

lớn nhất?

A. giây thứ nhất B. giây thứ 3

C. giây thứ 10 D. giây thứ 7

- Phương pháp:

+ a là đạo hàm của v, v đạt cực trị khi a = 0

Vậy nên vận tốc của vật sẽ lớn nhất tại thời điểm

mà a=0 và gia tốc đổi từ dương sang âm (vận tốc

của vật sẽ nhỏ nhất tại thời điểm mà a=0 và gia

tốc đổi từ âm sang dương)

Hướng dẫn:

+ Nhìn vào đồ thị ta thấy Trong thời gian từ giây

thứ nhất đến giây thứ 10 thì chỉ có tại giây thứ 3

gia tốc a = 0 và gia tốc đổi từ dương sang âm

Vậy nên tại giây thứ 3 thì vận tốc của vật là lớn

nhất.

Câu 6: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng

nạp được tính theo công thức

 



 

 

 

 

 

Q t Q e

với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q

là

dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại

nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc

bắt đầu nạp là 0%) thì sau bao lâu sẽ nạp được

90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

1,54t h

1, 2t h

1t h

1,34t h

- Phương pháp:

  

e a x a

Hướng dẫn:

+ Pin nạp được 90% tức là

 

.0,9

Q t Q

 

0 0

.0,9 1

0,1 ln0,1 1,54



 

 

   

 

 



     

Q t Q Q e

e t h

Câu 7: Hai thành phố A và B cách nhau một con

sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắt qua

sông biết rằng thành phố A cách con sông một

khoảng là 5 km và thành phố B cách con sông một

khoảng là 7 km (hình vẽ), biết tổng độ dài

 

24 

HE HF km

. Hỏi cây cầu cách thành phố

A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ thành

phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo

đường AEFB)

5 3km

10 2km

5 5km

7,5km

Hướng dẫn:

Đặt

HE x

và

KF y

, theo giả thiết ta có

24   

HE KF x y

Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được

2 2 2



   







   



AE AH HE x

BF BK KF y

Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ

thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo

con đường AEFB thì

 AE EF FB

ngắn nhất.

Hay

AE BF

ngắn nhất.

Ta có

2 2

25 49     

P AE BF x y

với

24, 0, 0   

x y x y

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức

   

2 2

2 2 2 2

      

a b c d a c b d

với mọi

, , ,



a b c d

Vì

   

2 2

2 2 2 2

      

a b c d a c b d

 

0, , , ,

     

ad bc a b c d

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được

   

2 2

2 2 2 2

5 7 5 7 12 5

        P x y x y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

5 7



x y

suy ra

10, y 14 

nên

AE 5 5



Cách 2: Với

24 24

    x y y x

 

2 2

25 48 625

      P f x x x x

với

0 24 

Có

 

2 2

' ,

25 48 625



 

  

x x

f x

x x x

   

0;24 ; ' 0 10    

x f x x

5km

Công Phá Toán The Best or Nothing

84 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Do đó

 

min 12 5 10  

f x x

5 5 

AE km

. Chọn C.

Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước

Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn

cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích

quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một

phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì

nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng

cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn

cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một

hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp

đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần

thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua

rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn

nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt

thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì

nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc

này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số

thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn

cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt

thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số

có bao nhiêu chữ số?

A. 21 B. 22 C. 19 D. 20

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 9: E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu

chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số

lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ

có 40 vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau

bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là 671088640

con?

A. 48 giờ. B. 24 giờ. C. 12 giờ. D. 8 giờ.

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 10: Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng

207,5 m. Một học sinh nam muốn đo chiều cao

của cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm nào đó,

cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo

được bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5

m. Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao

của cái tháp dài bao nhiêu m?

51,875

103,75 h



51,87

103 h



25,94

103,75 h



103,75

Hướng dẫn:

Đáp án A.

Ta có:

1,66 51,875

103,75

207,5

3,32

207,5

   





Câu 11: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm

phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính

bằng

và phía trong của Elip có độ dài trục lớn

bằng

2 2

và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ).

Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón

 

100

2 2 1





kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao

nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

A. 30 kg B. 40 kg C. 50 kg D. 45 kg

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 12: Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn

chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành

một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một

hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu

để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?

9 4 3



180

9 4 3



120

9 4 3



9 4 3



Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 13: Một bể nước có dung tích 1000 lít. Người

ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn

nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là

1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước

chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau

khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả

gần đúng nhất).

A. 3,14 giờ B. 4,64 giờ

C. 4,14 giờ D. 3,64 giờ

Hướng dẫn: Đáp án C.

-1

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 85

Câu 14: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu

người ta giữ thanh ở góc nghiêng



 

, một đầu

thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng.

Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng

của trọng lực. Tính góc

sin



khi thanh rời khỏi

tường

sin sin



 

sin sin



 

sin sin



 

sin sin



 

Hướng dẫn:

Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương

Ox:

''N mx

. Tại thời điểm thanh rời tường thì

0 '' 0  

N x

Toạ độ khối tâm theo phương x là:

cosx a



Đạo hàm cấp 1 hai vế:

' sin . ' 

x a

 

Đạo hàm cấp 2 hai vế:

   

2 2

'' cos . ' sin . '' cos . ' sin . ''

   x a a

   

Khi

'' 0 

cos . ' sin . ''

 

   

(2)

Từ (1) suy ra:

' sin sin

 

a g g

  

Lấy đạo hàm 2 vế:

''. ' cos . ' 0

 

a g

   

Hay:

'' cos

 

 

Thay vào (2) ta có phương trình:

3 3

cos . (sin sin ) sin . cos

2 4

 

   

 

 

g g

a a

    

sin 2(sin sin ) 

  

sin sin

 

 

Câu 15: Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có

bán kính

3

, người ta muốn cắt ra một hình

chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện

tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ

nhật là:

6 3

6 2

C. 9 D. 7

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm hình bán nguyệt,

2 2

   MQ x OQ x

2 2 2 2 2

4 2 . 3 3 9      

hcn MQO

S S x x x x

(áp dụng bđt côsi).

Vậy

9

hcn

Câu 16: Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có

dạng hình hộp chữ nhật có nắp. Thể tích của hộp

là 1000 cm

, chiều cao của hộp là 10cm. Biết rằng

đơn giá mạ vàng là 10.000 đ/ cm

. Gọi

(triệu

đồng) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên

trong và mặt bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ

nhất của

A. 12 triệu. B. 6 triệu.

C. 8 triệu. D. 4 triệu.

Hướng dẫn: Đáp án A.

Câu 17: Anh Phong có một cái ao với diện tích

50m

để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi

với mật độ 20 con/

và thu được 1,5 tấn cá

thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,

anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/

thì mỗi con cá

thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng

năng suất cao nhất thì vụ tới ông nên mua bao

nhiêu cá giổng để thả ? (giả sử không có hao hụt

trong quá trình nuôi).

488

con B.

658

con

342

con D.

512

con

Hướng dẫn: Đáp án D.

Câu 18: Trong phòng thí nghiệm sinh học người

ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm

với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp

k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên

phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần

cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k?

6

8

9

7

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 19: Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người

ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn

nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là

1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước

chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau

khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả

gần đúng nhất).

3,14

giờ. B.

4,64

giờ.

C. 4,14 giờ. D.

3,64

giờ.

Hướng dẫn: Đáp án C.

Công Phá Toán The Best or Nothing

86 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm

Câu 20: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất

hai lần. Ký hiệu là kết quả xảy ra sau khi

gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện

lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm

xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các

kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của

tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

điều kiện nào sau đây?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn:

Ta có

Gọi

khi đó

Giả sử

. Khi đó tập hợp các

điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc

miền trong và trên đường tròn tâm và

bán kính R.

Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là

tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số

phức z thì

Khi đó ta được R=13

Câu 21: Trong phòng thí nghiệm sinh học người

ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm

với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp

k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên

phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần

cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k?

6

8

9

7

Hướng dẫn: Đáp án B.

Câu 22: Một đoàn tàu chuyển động trên một

đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi

.Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực

hãm và lực cản tổng hợp cả đoàn tàu bằng 1/10

trọng lượng P của nó. Hãy xác định chuyển động

của đoàn tàu khi tắt máy và hãm.

 

g t

x v t

 

g t

x v t

 

g t

x v t

 

x v t

Hướng dẫn:

- Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có khối

lượng m, chịu tác dụng của

, ,

  

P N F

- Phương trình động lực học là:

  

   

ma P N F

(1)

Chọn trục Ox nằm ngang, chiều (+) theo chiều

chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy. Do vậy

chiếu (1) lên trục Ox ta có:

 

x c

ma F

hay viết:

 mx F

hay



;

 

(2)

hay

10 10

   

dv g g

)

nguyên hàm hai vế (2

) ta có:

  

V t C

hay

1 1

10 10

     

dx g g

t C dx t dt C dx

nguyên hàm tiếp 2 vế ta được

1 2

   

x t C t C

(3)

Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các

hằng số C

và C

như sau:

= 0; v = v

; v

= 0 Ta có: C

= 0 và C

= v

thay C

và C

vào (3):

 

g t

x v t

Câu 23: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn

sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho

trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần

lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình

trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất

thì giá trị của tổng x + h là:



Hướng dẫn:

Đây là một bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-

GM !

Thể tích hình trụ được tính theo công thức



V x h



Ta có:

 

2 2

2 4

2 3 54

 

 

 

  

 

 

V x h x h

x x h

x h



 

3 3

4 2

   

V V

x h

 

 

;a b

2 3 12

z i

  

2 3 10

z i

  

2 3 13

z i

  

2 3 11

z i

  

           

 

1;1 , 2;2 , 3;3 , 4;4 , 5;5 , 6;6

A 

; ,z x yi x y R  

   

2 2

2 3 2 3

z i x y     

   

2 2

2 3 2 3

z i R x y R       

   

2 2

2 3

x y R    

 

2; 3

 

;IM R M A  

Tài liệu Toán thực tế 12 Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB

Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 87

Lưu ý: Với bài toán này, các bạn biết sử dụng bất

đẳng thức AM-GM

1 2

...

....

  

 



 

 

x x x

Câu 24: Khi quan sát qua trình sao chéo tế bào

trong phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học

nhận thấy các tế báo tăng gấp đôi mỗi phút. Biết

sau một thời gian t giờ thì có 100 000 tế bào và

ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t:

16,61

phút B.

16,5

phút

15

phút D.

15,5

phút

Hướng dẫn:

Đây là bài toán đơn giản sử dụng ứng dụng của số

mũ.

Do ban đầu có một tế bào duy nhất nên:

Sau phút sao chép thứ nhất số tế bào là:

2

Sau phút sao chép thứ hai số tế bào là:

2

…

Sau phút sao chép thứ t số tế bào là:

2 100000

 

log 100000 16,61  

t phút.

Câu 25: Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong

10 năm qua là 5%. Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là

12000VND/lít. Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao

nhiêu tiền một lít?

A. 11340,00 VND/lít B. 113400 VND/lít

C. 18616,94 VND/lít D. 18615,94 VND/lít

Hướng dẫn:

Đây là bài toán ứng dụng về hàm số mũ mà chúng

ta đã học, bài toán rất hơn giản. Tuy nhiên nhiều

độc giả có thể mắc sai lầm như sau:

Lời giải sai

Giá xăng 9 năm sau là

 

12000 1 0.05 .9 113400 /

 

VND lit

Và chọn A hay B (do nhìn nhầm chẳng hạn)

Lời giải đúng:

Giá xăng năm 2008 là

 

12000 1 0.05



Giá xăng năm 2009 là

 

12000 1 0.05



………………………

Giá xăng năm 2016 là

 

12 1 0.05 18615,94 / lit

  VND

Câu 26: Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ là

4.10

mét khối gỗ. Gọi tốc độ sinh trưởng mỗi

năm của khu rừng đó là

. Biết sau năm năm thì

sản lượng gỗ là xấp xỉ

4,8666.10

mét khối. Giá

trị của

xấp xỉ:

A. 3,5%. B. 4%. C. 4,5%. D. 5%

Hướng dẫn:

Trữ lượng gỗ sau một năm của khu rừng là:

 

5 5 5

4.10 4.10 . % 4.10 1 %

   

N a a

Trữ lượng gỗ sau năm thứ hai của khu rừng là:

 

4.10 1 %

...

 N a

Trữ lượng gỗ sau năm năm của khu rừng là:

 

5 5

4.10 1 % 4,8666.10

  N a

4% 

Chọn B.

Câu 27: Trong một trận mưa, cứ một mét vuông

mặt đất thì hứng thì hứng 1,5 lít nước mưa rơi

xuống. Hỏi mực nước trong một bể bơi ngoài trừi

tăng lên bao nhiêu ?

A. 1,5 (cm)

B. 0,15 (cm)

C. Phụ thuộc vào kích thước của bể bơi

D. 15 (cm)

Hướng dẫn: Đáp án C.

Câu 28: Các kích thước của một bể bơi được cho

trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật).

Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối

nước khi nó đầy ắp nước ?

A. 1000m

B. 640m

C. 570m

D. 500m

Hướng dẫn:

Đáp án đúng: C.

HD:

10.25.2 .7.2.10 570

  V

(dvtt)

Các phương án nhiễu:

A. HS nhầm V = 10.25.4=1000

B. HS nhầm

10.25.2 7.2.10 640  

D. HS nhầm V = 10.25.2=500

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/86

| | Tải xuống

Preview text:

Ths. ĐẶNG VIỆT ĐÔNG - NGỌC HUYỀN LB THE BEST or NOTHING
Đây là 1 cuốn ebook tâm huyết thầy Đông và chị
TOÁN THỰC TẾ biên soạn dành tặng cho tất cả các em học sinh
thân yêu đã và đang tin tưởng ngày đêm đọc
Công Phá Toán. Chị tin rằng, ebook này sẽ giúp LỚP 12
ích cho các em rất nhiều!
(Có đáp án chi tiết)
Chị, thầy Đông và nhà sách Lovebook biết ơn
các em nhiều lắm!  NGỌC HUYỀN LB
Tác giả “Công phá kĩ thuật Casio”, “Công Phá Toán”,
“Bộ đề chuyên môn Toán”, “Bộ đề tinh túy Toán”.
(facebook.com/huyenvu2405) TOÁN THỰC TẾ LỚP 12
Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố!
Đừng bao giờ bỏ cuộc Em nhé!
Chị tin EM sẽ làm được! __Ngọc Huyền LB__
Đã nói là làm – Đã làm là không hời hợt – Đã làm là hết mình – Đã làm là không hối hận! facebook.com/lovebook.vn Mục lục
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ ------------------------- 5
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN ----------------------------------------------------- 28
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT -------------------------------------------- 39
DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU --------------------------------------------- 52
DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN ------------------------------------- 71
DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ----------------------------------------------------- 82
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Một tên lửa bay vào không trung với
Phân tích ta đặt các kích thước của hàng rào như
quãng đường đi được quãng đường s t  (km) là hình vẽ
hàm phụ thuộc theo biến (giây) theo quy tắc sau: 2 s t  t 3 3t 1 e 2t.    e
km . Hỏi vận tốc của tên x x x y
lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận
tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo
Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau: thời gian).
Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả A. 4 5e (km/s) B. 4 3e (km/s)
cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt C. 4 9e (km/s) D. 4 10e (km/s) nên ta có mối quan hệ: 3 .5 x 0000  2 .6 y 0000  15000000 Hướng dẫn:
Ta có công thức vận tốc:
 15x 12 y  1500 2 150 15x 500  5x
v t  s t   te   3t 1 ' 2t.     e   y   12 4 2 t 3 t e  t  3t 1 2 . 6 2     e
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức: Với t  1 ta có: 4
10e km / s . Đáp án đúng là D. 500  5x 1
f  x  2. . x y  2 . x   2 5
 x  500x
Sai lầm thường gặp: 4 2 2
Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của
v t  s t   te   3t 1 ' 2t.     e  diện tích: 2 t e  t  3t 1 6 2 .     e
Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN: 2
(do không biết đạo hàm t e → đáp án C) 1 2 2 2 Xét hàm số
f  x   5
 x  500x trên
v t  s t   te   3t 1  t e  t 3t 1 ' 2 . e 2.       e 2 0;100
(do học vẹt đạo hàm x
e luôn không đổi) nên chọn 1 đáp án B.
f ' x   10 
x  500, f ' x  0  x  50 2
Câu 2: Một người nông dân có 15 000 000 đồng Ta có BBT:
để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một x 0 50 100
con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai
phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào f’(x) + 0 
song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu f(x) 6250
là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt
hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật Đáp án đúng là A.
liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn
Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng
nhất của đất rào thu được. 2
A  g  x  A với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được: 5
f  x   2 x 100x 2 5 2 A. 6250 2 m B. 1250 2 m 
x  2.50.x  2500 2500 2 C. 3125 2 m . D. 50 2 m
5 .2500 x 52     6250 Hướng dẫn: 2  
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 5 Công Phá Toán The Best or Nothing
Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc
với x  0;20 10 2 có
hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:
Câu 3: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường f  x 2 3 '
 1600x  240x 2 16x
kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có  x  2 16
100 15x 2  x 
tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ
được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều x   0;20 10 2
rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo Ta có 
 f ' x  0
tiết diện ngang là lớn nhất.  x   0;2010 2 5 34 15 2    x    2   x  2 16x 100 15x 2  0  5 34 15 2 Khi đó x  chính là giá trị thỏa 2
mãn bài toán. Chọn C.
Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết 3 34 17 2
thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà A. x  cm 2
Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. 3 34 19 2
Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng B. x  cm 2
về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn,
kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định 5 34 15 2 C. x  cm
bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 2
50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như 5 34 13 2 D. x  cm
tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là 2
một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh Hướng dẫn:
đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là
mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá S  S  4 MNPQ xy tiền 2
1m đất khi bán là 1500000 VN đồng. MP 40
A. 112687500 VN đồng.
Cạnh hình vuông MN    20 2 cm 2 2
B. 114187500 VN đồng.
C. 115687500 VN đồng.  S   2 20 2
 4xy  800  4xy (1)
D. 117187500 VN đồng. Ta có Hướng dẫn:
2x  AB  MN  AB  20 2  BD  20 2  40  20 2 Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao
 0  x  20 10 2 Lại có x y – x
AB  AD  BD    x  2 2 2 2 2 2 40 2 20 2  y  1600 x x x 2 2 2
 y  800  80x 2  4x  y  800  80x 2  4x x y – x Thế vào   1
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình 2
 S  800  4x 800  80x 2  4x
chữ nhật ban đầu lần lượt là ,
x y m, x, y  0 2 3 4
 800  4 800x  80x 2  4x
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng
50m  2 x  y  50  y  25  x
Xét hàm số f  x 2 3 4  800x  80x 2  4x ,
6 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình Hướng dẫn:
chữ nhật có diện tích là
Gọi x, l lần lượt là độ dài cạnh ở đáy và chiều cao
S  x  y  x  x 25  x  x 2  25x  2x
của hộp x  0,l  0 . 2
Khi đó tổng diện tích cần sơn là  25  625 625   x 2     78,125 2  
S  x  4xl+x   1  2 2  8 8 4 25 Thể tích của hộp là 2
V  x l  4 , suy ra l  2
Dấu "=" xảy ra  x 2   0 2 x 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: 25 25 175  x   y  25   3 8 8 8 16 2x 16 S  x 2  x 
 S ' x  ; 2
Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất x x 78,125 m2. S' x 3
 0  2x 16  0  x  2
Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận
Lập bảng biến thiên suy ra MinS  x  S 2 . Vậy được khi bán đất là 78,125.1500000  117187500
cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài) và chiều cao của
hộp là 1 (đơn vị chiều dài).
Câu 5: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho
Câu 7: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó
thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang
2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có
qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường
người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn CH=0,5m là:
hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị
bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công A D
ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 C B Hướng dẫn: H
Gọi số căn hộ bị bỏ trống là x  x 0;50 A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902 C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902
Số tiền 1 tháng thu được khi cho thuê nhà là Hướng dẫn:
2000000  50000x50  x A
Khảo sát hàm số trên với x 0;50 ta được số D
tiền lớn nhất công ty thu được khi x  5 hay số
tiền cho thuê mỗi tháng là 2.250.000 . Chọn D
Câu 6: Người ta muốn sơn một cái hộp không
nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn C B H x
vị thể tích)? Tìm kích thước của hộp để dùng
Đặt BH  x  x  0 . Ta có
lượng nước sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của
lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau. 2 2 2 BD  DH  BH  x 16
A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều Vì DH / / AC nên
cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài). 2 DA HC . DB HC x 16
B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều   DA   DB HB HB 2x
cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). 2 x 
C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều 2 16  AB  x 16  2x
cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài). 2
D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều x 
Xét hàm số f  x 2 16  x 16 
cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). 2x
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 7 Công Phá Toán The Best or Nothing
trên 0;  . Ta có f(x) liên tục trên 0;  và B x 615m 2
.2x  2 x 16 2 x A f  x x 16 '   2 487m 2 4 16 x x 118m 3 x 8 x  8    2 2 2 2 2 x 16 x x 16 x x 16 E Sông F
f ' x  0  x  2;
A. 596, 5m
B. 671, 4m
f ' x  0  x  2; f ' x  0  0  x  2
C. 779,8m D. 741, 2m Suy ra Hướng dẫn: 5 5 B min AB  min
f  x  f 2   5, 5902m x   0; 2 615m Chọn D. 369m
Câu 8: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó A 487m D
có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang
qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách 118m 118m
tường CH  0, 5m là: M A E Sông F D
Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B.
dễ dàng tính được BD  369, EF  492.
Ta đặt EM  x, khi đó ta được: C B 2 2 H MF  492  , x AM  x 118 , A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602
BM  492  x2 2  487 . C. Xấp xỉ 5,5902 D. Xấp xỉ 6,5902 Hướng dẫn:
Như vậy ta có hàm số f  x được xác định bằng
Đặt CB  x, CA  y khi đó ta có hệ thức:
tổng quãng đường AM và MB: 1 4 4 2x 1 8x   1    y  f  x 2 2  x     x2 2 118 492  487 2x y y 2x 2x 1
với x 0; 492 Ta có: 2 2
AB  x  y
Bài toán quy về tìm min của
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x để có được 2
quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị 2 2 2  8x 
A  x  y  x    trí điểm M.  2x 1  x 492  x
Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy f ' x   . 2 2 2 2 5 5 5 x 118 492  x  487 GTNN đạt tại x 
; y  5 hay AB min  2 2 x 492  x
f ' x  0    0
Câu 9: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , 2 2 x 118 492  x2 2  487
cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.
Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt x 492  x
là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông   2 2 2
để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất x 118 492  x 2  487
mà người đó có thể đi là:  x   x2 2     x 2 2 492 487 492 x 118
8 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB  2 
Khảo sát hàm số trên với x 0;50 ta được số x  x2 2       x2  2 2 492 487 492 x 118     
tiền lớn nhất công ty thu được khi x  5 hay số 0  x  492 
tiền cho thuê mỗi tháng là 2.250.000 . Chọn D.   x2    x2 487 58056 118
Câu 12: Trên một đoạn đường giao thông có 2   0  x  492 
con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ.
Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M  58056 58056 x  hay x   58056
cách đường OE 125cm và cách đường Ox 1km.   605 369  x  605
Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn 0  x  492 
đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị
Hàm số f  x liên tục trên đoạn 0; 492 .
để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí
của A và B để hoàn thành con đường với chi phí  58056 
So sánh các giá trị của f (0) , f   ,
thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con  605  đường là bao nhiêu?
f 492 ta có giá trị nhỏ nhất là E  58056  f  779,8   m A  605  M
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ
779,8m. Vậy đáp án là C.
Câu 10: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các
chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể
từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ O B X t là 2 3
f (t)  45t  t (kết quả khảo sát được trong
A. 1,9063 tỷ đồng.
B. 2,3965 tỷ đồng.
C. 2,0963 tỷ đồng. D. 3 tỷ đồng.
8 tháng vừa qua). Nếu xem f '(t) là tốc độ truyền Hướng dẫn:
bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền
Để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì
bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?
phải chọn A, B sao cho đoạn thẳng AB là bé nhất. A. 12 B. 30 C. 20 D. 15
⇒ Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm A, B và Hướng dẫn: tìm giá trị nhỏ nhất. 2 f (
 t)  90t  3t  f  (
 t)  90  6t  0  t  15 .
Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (t  ) lớn nhất khi  1  Khi đó tọa độ M ;1   .
t  15 . Chọn D.  8 
Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ Gọi B  ;
m 0, A0; n  ,
m n  0 . Khi đó ta có
cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với x y
giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều
phương trình theo đoạn chắn là:   1 m n
có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi  1 
căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ
Do đường thẳng đi qua M ;1   nên  8
bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì 
công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao 1 1 1 1 8m 1 8m   1   1   n  nhiêu một tháng. 8m n n 8m 8m 8m 1 A. 2.225.000. B. 2.100.000 2  m  Có 2 2 2 2 8
AB  m  n  m  C. 2.200.000 D. 2.250.000    8m 1 Hướng dẫn: 2 2  8m 
Gọi số căn hộ bị bỏ trống là x  x 0;50
Xét hàm số f m  m  ;    8m 1
Số tiền 1 tháng thu được khi cho thuê nhà là 8m 8  64  
2000000  50000x50  x f '  m  2m 2. .  2 . m 1   
8m1 8m 2 1  8m 3 1   
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 9 Công Phá Toán The Best or Nothing
m  0 L
rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết 
kinh phí đi đường thủy là 5 USD / km , đi đường
f 'm  0  64 1    0  bộ là 
3 USD / km . Hỏi người đó phải đi đường bộ 8m  3 1 
một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? 5  8m  3 1  64  m 
( AB  40 km, BC  10 km ). 8 2 C  5  2 8. 5 5       25 25 125 f m 8  f             8   8 5  64 16 64 10km  8. 1  8  125 5 5 D B A  AB   40km 64 8 15 65 5 5 A. km . B. km .
Vậy quãng đường ngắn nhất là (km). 2 2 8 C. 10 km . D. 40 km .
Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng=1,5 tỉ Hướng dẫn: đồng.
Ta bấm máy MODE  2:CMPLX
Khi đó chi phí để hoàn thành con đường là:
Ấn SHIFT+hyp (Abs) và nhập biểu thức
5 5 .1,5  2,0963 (tỷ đồng)
1 2i  2x 3  i máy hiện 65 8 Đáp án C.
Câu 15: Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần
Câu 13: Một chất điểm chuyển động theo phương
lượt đặt tại hai vị trí ,
A B. Biết khoảng cách giữa
hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở trình 3 2
S  t  9t  t 10 trong đó t tính bằng (s) vị trí
và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất
M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để
điểm đạt giá trị lớn nhất là:
giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như
hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt
A. t  5s B. t  6s C. t  2s D. t  3s
đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? Hướng dẫn:
A. AM  6m, BM  18m
Cần áp dụng 1 số tính chất trong vật lý như đạo
hàm của quãng đường là vận tốc => đưa ra được
B. AM  7m, BM  17m hàm vận tốc theo t
C. AM  4m, BM  20m 2 S '  3
 t 18t 1
D. AM  12m, BM  12m
Mà S '  v . Suy ra 2
v  3t 18t 1 Hướng dẫn: V '  6  t 18
Ta có đặt AM  x khi đó MB  24  x ;
V '  0  t  3 x  0; 24 BTT Khi đó t  3 
CM  DM  f  x 2 2 2
 10  x  30  24  x2 V’ 0
Lúc này ta thử xem đáp án nào Min. V 0
Câu 16: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ
cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là
2,000,000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng
Suy ra v đạt max tại t  3
trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm
Câu 14: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ
50,000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi
biển đến hòn đảo C . Biết rằng khoảng cách từ đảo
chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu
C đến bờ biển là 10 km , khoảng cách từ khách
để có thu nhập mỗi tháng cao nhất ?
sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40 km . A. 2.200.000đ B. 2.250.000đ C. 2.300.000đ D. 2.500.000đ
Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ
10 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Hướng dẫn: Đáp án B.  5 
C(0)  1.230.000 ; C  1.170.000 ;    2
Câu 17: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút  C(9)  1.406.165 4 1  t  bơm tính theo công thức 3 V(t)   30t  
Vậy chi phí thấp nhất khi x  2,5 . Vậy C cần 100  4   
cách A một khoảng 6,5km.
(0  t  90) . Tốc độ bơm nước tại thời điểm t
Câu 19: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển
được tính bởi v(t)  V '(t) . Trong các khẳng định 1
sau, khẳng định nào đúng. động 2 S  gt , trong đó 2
g  9,8m/s và t tính 2
A. Tốc độ bơm giảm từ phút thứ 60 đến phút
bằng giây  s . Vận tốc của vật tại thời điểm thứ 90.
B. Tốc độ luôn bơm giảm. t  5s bằng:
C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
A. 49m/s. B. 25m/s. C. 10m/s. D. 18m/s.
D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn: v(5) = S’=gt =9,8.5 = 49 m/s
Hướng dẫn: Đáp án A.
Câu 20: Cho chuyển động thẳng xác định bởi
Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống
phương trình S= t3 - 3t2 + 4t, trong đó t tính bằng
dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên
giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của
một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để
chất điểm lúc t = 2s bằng:
xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và A. 2 4m/s . B. 2 6m/s . C. 2 8m/s . D. 2 12m/s .
130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là
Hướng dẫn: a(2)= v’ = S’’=6t - 6 = 6 m/s2
điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ
biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C
Câu 21: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo
trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì
là 1 parabol có phương trình 2
y  x  2x  4 . Vị
số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
trí của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm
trong không gian Oxy. Khi đó vị trí cao nhất của đ ảo
quả tạ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây ? B
A. z  1 3i
B. z  5  i biển
C. z  1 5i
D. z  3  i 6km
Hướng dẫn: Đáp án C. B’ x km C (9-x)km
Câu 22: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt A bờ biển
thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình
A. 6.5km B. 6km C. 0km D. 9km
vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường Hướng dẫn:
tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông
Đặt x  B ' C (km) , x [0;9] a
và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số nào sau đây r 2 BC 
x  36; AC  9  x đúng ?
Chi phí xây dựng đường ống là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 2
C(x)  130.000 x  36  50.000(9  x) (US ) D
Hướng dẫn: Đáp án A.
Hàm C( x) , xác định, liên tục trên [0;9] và
Câu 23: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà  13x 
sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện
C '(x)  10000.  5   2
tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con  x  36 
cá sau một vụ cân nặng ( P ) n  480  20 ( n gam) . 2
C '( x)  0  13x  5 x  36
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện 25 5 2 2 2
 169x  25( x  36)  x   x 
tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được 4 2 nhiều cá nhất ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 11 Công Phá Toán The Best or Nothing Hướng dẫn: Hướng dẫn:
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu
(n  0) . Khi đó:
và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu,
Cân nặng của một con cá là: ( P ) n  480  20 ( n gam)
theo bài ra ta có x  2y  180 . Diện tích của
Cân nặng của n con cá là:
miếng đất là S  ( y 1802y) . 2 . n ( P )
n  480n 20n (ga ) m 1 Xét hàm số: 2 f ( )
n  480n  20n ,n  (0; )  .
Ta có: y 180  2 y  .2 y 120  2 y 2 Ta có: f '( )
n  480  40n , cho f '( )
n  0  n  12 1  y   y 2 2 2 180 2 180
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một  .   4050
đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 2 4 8  12 con. Dấu '
' xảy ra  2y  180  2y  y  45m .
Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi Vậy 2 S
 4050m khi x  90m, y  45m. max
mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái
Câu 26: Một lão nông chia đất cho con trai để
mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần
người con canh tác riêng, biết người con sẽ được
đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên
chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng
đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần
800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó
bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
A. 200m200m
B. 300m100m
B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
C. 250m150m D. Đáp án khác
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.
D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. Hướng dẫn:
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt Hướng dẫn: là: ( x )
m và y(m) (x, y  0).
Gọi x là số ti vi mà cừa hàng đặt mỗi lần
( x 1; 2500 , đơn vị cái)
Diện tích miếng đất: S  xy     x
Theo đề bài thì: 2(x y) 800 hay y 400 x .
Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là nên 2 2 Do đó: S  (
x 400  x)  x
  400x với x 0 x
chi phí lưu kho tương ứng là    10.  5x
Đạo hàm: S'(x) 2x 400 . 2
Cho y'  0  x  200 . 2500
Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt
Lập bảng biến thiên ta được: S  40000 khi x max 2500
x  200  y  200 . hàng là: 20  9x x
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật
Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:
là 200200 (là hình vuông). 2500 50000 C  x 
20  9x  5x  5x   22500
Câu 27: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 x x
cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình
Lập bảng biến thiên ta được:
vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH m
C in  C 100  23500
đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi. A 2 cm E B
Câu 25: Người ta muốn rào quanh một khu đất x cm
với một số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng 3 cm H
hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có
sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành F
mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ
nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? D C G A. 2 S  3600m B. 2 S  4000m max max 7 2 4 2 C. 2 S  8100m D. 2 S  4050m A. 7 B. 5 C. D. . max max 2
12 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Hướng dẫn:
chiều dương hướng sang phải, trục Oy vuông góc với mặt đất. Ta có S nhỏ nhất EFGH Gọi 2
B(t;t ) (t  0) là tọa độ của máy bay trong hệ  S  S  S  S AEH CGF DGH lớn nhất.
Oxy. Tọa độ của người A là (3 A ;0) . Tính được
Khoảng cách từ người A đến máy bay B bằng
2S  2x3y (6 )
x (6 y)  xy4x3y36 (1) 2 4 d 
(3  t)  t .
Mặt khác AEH đồng dạng C  GF nên Suy ra 2 4 2
d  t  t  6t  9  f t . AE AH   xy  6 (2) 3 CG CF
f '(t)  4t  2t  6. 18
f '(t)  0  t  1.
Từ (1) và (2) suy ra 2S  42  (4 x ) . x
Lập bảng biến thiên, ta thấy 2
d  f (t) đạt giá trị 18
nhỏ nhất bằng 5 khi t 1 . Vậy khoảng cách nhỏ
Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4 x nhỏ nhất. x nhất là 100 5(m) 18 Biểu thức 4 x nhỏ nhất
Câu 29: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có x
khoảng cách đến bờ biển AB  5km .Trên bờ biển 18 3 2  4x   x   y  2 2 .
có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km . x 2
Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M
Vậy đáp án cần chọn là C.
trên bờ biểnvới vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C
Câu 28: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên
với vận tốc 6km / h .Vị trí của điểm M cách B
đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời
một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho
mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông nhanh nhất?
góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là A
đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng
d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng
300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. 5 km
Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và 7 km
độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình B M C 2
y  x (với x là độ dời của máy bay dọc theo A. 0 km B. 7 km
đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn 14  5 5
nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là: C. 2 5 km D. km 12 y Hướng dẫn: Đặt BM  ( x k )
m  MC  7  ( x k )
m ,(0  x  7) . 5 (C): y = x2 Ta có: 4
Thời gian chèo đò từ A đến M là: 3 2 x  25 2 t  (h). AM 4 B 1 7  x A
Thời gian đi bộ đi bộ đến C là: t  (h) MC 6 -2 -1 O 1 2 3 x 2 x  25 7  x
Thời gian từ A đến kho t   A. 300( ) m B. 100. 5( ) m 4 6 C. 200(m) D. 100 3( ) m x 1 Khi đó: t   , 2 6 Hướng dẫn: 4 x  25
Xét hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là vị trí máy bay
cho t  0  x  2 5
rời mặt đất, trục Ox trùng với đường thẳng d và
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 13 Công Phá Toán The Best or Nothing
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho
Câu 32: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát
nhanh nhất khi x  2 5(k ) m .
(điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết
khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km,
Câu 30: Một vật chuyển động theo quy luật
khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây 3 t 2 s  
 9t , với t (giây) là khoảng thời gian
điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho 2
mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm
tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là
G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G
quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian
rồi từ G đến C chi phí ít nhất.
đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc
A. 40km B. 45km C. 55km D. 60km
bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao Hướng dẫn:
nhiêu giây thì vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất?
A. t = 12 (giây)
B. t = 6 (giây) C
C. t = 3 (giây)
D. t = 0 (giây)
Hướng dẫn: Đáp án B.
Câu 31: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm.
Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng G A
của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng B
số 120cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam
Gọi BG = x (0AG  100  x
giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền Ta có 2 2 2 GC  BC  GC  x  3600
của tấm gỗ này là bao nhiêu?
Chi phi mắc dây điện theo giải thiết là:
A. 40cm . B. 40 3cm . 2
f (x)  3000.(100  x)  5000. x  3600
C. 80cm .
D. 40 2cm .
Khảo sát hàm ta được x  45 chọn phương án B. Hướng dẫn:
Câu 33: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ
Kí hiệu cạnh góc vuông AB  x,0  x  60
cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với
Khi đó cạnh huyền BC  120  x , cạnh góc vuông
giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều kia là 2 2 2 AC 
BC  AB  120  240x
có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi
Diện tích tam giác ABC là:
căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm 1
hai căn hộ bị bỏ trống. S  x 2  .
x 120  240x . Ta tìm giá trị lớn nhất
Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải 2
của hàm số này trên khoảng 0;60
cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? (đồng/tháng) Ta có: A. 2 250 000 B. 2 450 000 1 1 240 S  x 2  120  240x  x C. 2 300 000 D. 2 225 000 2 2 2 2 120  240x Hướng dẫn: 14400  360x x 
 S x  0  x  40 Gọi
(đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá 2 2 120  240x
cho thuê mỗi căn hộ. ( x  0 )
Lập bảng biến thiên ta có: 2x
Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ). x 0 40 60 100 000 S' x  0 
Khi đó, số tiền công ti thu được là: S 40  x      S  x 
T x 2 000 000 x 2 50     100 000   2 2x
 100 000 000  10x  (đồng/tháng).
Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi BC  80 100 000
Từ đó chọn đáp án C.
Khảo sát hàm số T x  trên 0;   . 
14 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB x 2 T 'x  4 10  10 . 2 S  10 2. 10  100  2 cm  100 000 2
T 'x  0  1000000 4x  0  x  250000.
Câu 35: Trong bài thực hành của môn huấn luyện
quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một Bảng biến thiên:
con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên x 0 250 000 
kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận T’  0 
tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy T
trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao
nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu
như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ
Do đó maxT x   T 250  000 . 1km theo đường chim bay. x 0 
Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê
một căn hộ mỗi tháng là 2 250 000 đồng. l
Câu 34: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật m
nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm , biết
một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường 400 40 100 200 A. B. C. D. kính của đường tròn. 3 33 3 3 A. 2 80cm B. 2 100cm Hướng dẫn: 2 2
Vấn đề là chọn thời gian bơi và thời gian đi bộ C. 160cm D. 200cm
sao cho “tối ưu”. Giả sử độ dài đoạn bơi là l và Hướng dẫn:
tốc độ bơi của chiến sĩ là v . Ký hiệu m là độ dài
đoạn sông kể từ người chiến sĩ đến đồn địch, khi
ấy tổng thời gian bơi và chạy bộ của người chiến x 2 2 10 cm l m  l 100 sĩ là t   . O v 2v
Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình chữ nhật không
Do m, v là cố định nên thời gian đạt cực tiểu khi
nằm dọc theo đường kính đường tròn 2 2 2 2 l l 100 2l  l 100
hàm số f (l)    0  x 10. v 2v 2v
Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên
đạt cực tiểu, và cũng tức là khi hàm 2 2 2 2
đường tròn là: 2 10  x cm.
g(l)  2l  l 100 đạt cực tiểu. Điều này xảy l
Diện tích hình chữ nhật: 2 2
S  2x 10  x ra khi 2   0 , hay 2
l  2 l 100 , 2 2 l 100 2 2x Ta có 2 2 2 2
S  2 10 x   2.10 4x
tức là l  400 / 3  133, 333333 (met). 2 2 10  x
Câu 36: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên   10 2
và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. x   tâoû  a S    2 0
Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được   10 2
nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C x    kâoâng tâoû  a  2 sin
được biểu thị bởi công thức C  k ( là 2   r 10 2 
S   8x  S    40 2  0   .  
góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng  2 
số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng). 10 2 Suy ra x 
là điểm cực đại của hàm S x . 2
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 15 Công Phá Toán The Best or Nothing
bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng Đ
cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi sin 
công thức C  c
(  là góc tạo bởi tia sáng 2 l r
tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ h
thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn
tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng N M
điện tính từ mặt bàn là a a I A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m 3a a 2 Hướng dẫn: A. h  B. h  2 2 Đ a a 3 C. h  D. h  2 2 Hướng dẫn: l h Ta có: 2 2
r  a  h (Định lý Py-ta-go) h h sin    R 2 2 α a  h N M I sin  h  C  k.  k 2 2 2 R
Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h a  h  2 2 a  h 
> 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt h
Xét hàm f h 
h  0 , ta có:
bàn. MN là đường kính của mặt bàn. (như hình  a h 3 2 2 vẽ) h sin   2 2 3 Ta có
và h  l  2 , suy ra cường độ  2 2 l a  h  2 3 2 2  2h . a  h f h 2 '  2 l  2 
sáng là: C(l)  c (l  2) . a  h 3 2 2 3 l 3 2 6  l
f h    2 2 h  a  2 2 2 ' 0
 3.h . a  h
C 'l   . c  0 l   2 4 2   l . l  2 2 2 2 a 2
 h  a  3h  h 
C 'l   0  l  6 l  2   2 Bảng biến thiên:
Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất
khi l  6 , khi đó h  2 h a 2
Câu 38: Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào 0  2
thành hai chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát f '(h) + -
một con sông, một chuồng cho cừu, một chuồng f(h)
cho gia súc. Đã có sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện
tích lớn nhất có thể bao quanh là bao nhiêu?
Từ bảng biến thiên suy ra: sông A D a 2 a 2 f h  h 
 C  k. f h  h  max max 2 2 B C
Câu 37: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán A. 4000 m2 B. 8400 m2
kính bằng 2 m. Nam muốn mắc một bóng điện C. 4800 m2 D. 2400 m2
ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép
Hướng dẫn: Đáp án C.
16 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Câu 39: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo 2
SA  4  x, CS  x 1
thành một tam giác vuông tại B (như hình vẽ), AB
Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất
= 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở
5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như
nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên
vậy ta có hàm số f  x được xác định như sau:
đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến
điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn f  x    x 2 3000. 4
 5000. x 1 với x 0; 4
A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x để có được
tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B
bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?
số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. A x
f ' x  3000   5000. . 2 x 1 x
f ' x  0  3000  5000.  0 2 x 1 B C M 2 A. 5 km
B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km
 3000 x 1  5000x  0 2  Hướng dẫn: 2 16  x  9
 3 x 1  5x   x  0
Đặt BM = x (km), x  0 
Thời gian để bạn A di chuyển từ A đến M rồi đến  3 x   3  2  4  x  100  x 25  x 4 
nhà C là: t(x)   (h) x  0  30 50
Hàm số f  x liên tục trên đoạn 0;4.
Lập bảng biến thiên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất 23 15  3  của t(x) là khi x 
Ta có: f 0  17000, f  16000,   30 2  4  Chọn đáp án B
f 4  20615,52813.
Câu 40: Một đường dây điện được nối từ một nhà
Vậy giá trị nhỏ nhất của f  x là 16000 và tại
máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách
ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B 3 x 
. Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S nằm
đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 4
5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi 3 13
cách A một đoạn SA  4  x  4   .
diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây 4 4
điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. Vậy đáp án là B.
Câu 41: Một cửa hàng bán thú kiềng cần làm một C
chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm
hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này 1km
có hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong
góc nhà nên không cần rào. Các cạnh cần rào của S A
hình chữ nhật là bao nhiêu để diệnh tích của nó là B lớn nhất ? 4km 15 13 10 19 A. km B. km C. km D. km 4 4 4 4 Hướng dẫn:
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x là hàm số
A. Mỗi cạnh là 10 m
B. Mỗi cạnh là 9 m
tính tổng chi phí sử dụng.
C. Mỗi cạnh là 12 m
D. Mỗi cạnh là 5 m
Đặt BS  x thì ta được:
Hướng dẫn: Đáp án A.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 17 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được
Câu 44: Một người thợ mộc cần xây một căn
chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành
phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54m.
hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình
Các canh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích
vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều
của căn phòng là lớn nhất ?
bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ 21 27 25 27 A. B. C. D. nhất? 4 2 2 4
Hướng dẫn: Đáp án B.
Câu 45: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân
trong việc xác định giá vé xem các chương trình 18 36 3 A. (m) B. (m)
được chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, 9  4 3 4  3
nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay 12 18 3
bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta C. (m) D. (m) 4  3 4  3
xác định rằng: Nếu giá vé vào cửa Là 20$ thì trung
bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền Hướng dẫn:
vé lên 1$ mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng
Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó
trong số trung bình. Trung bình mỗi khách hàng 6  3x
độ dài cạnh hình vuông là
dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy 4
giúp giám đốc nhà máy này xác định xem cần tính
Tổng diện tích khi đó là:
giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn 2 3 2  6  3x  1 nhất. S  x    
94 3 2x 36x36 4  4  16 A. giá vé là 14,1 $ B. giá vé là 14 $ C. giá vé là 12,1 $ D. giá vé là 15 $ b 18
Diện tích nhỏ nhất khi x    2a 9  4 3
Câu 46: Bác Tôm có cái ao có diện tích 2 50m để 18
Vậy diện tích Min khi x 
nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 9  4 3 2
20 con/m và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm.
Hoặc đến đây ta có thể bấm máy tính giải phương
Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy cứ trình    2
9 4 3 x  36x  36 ấn bằng và hiện giá thả giảm đi 8 con/ 2
m thì mỗi con cá thành phẩm trị.
thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới bác phải
mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng
năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi). A. 488 con B. 512 con C. 1000 con D. 215 con
Đây chính là đáp án A mà ta vừa tìm được ở trên.
Hướng dẫn: Đây là một bài toán thực tế dựa trên
Câu 43: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong
kiến thức đã học, đó là tìm giá trị lớn nhất của hàm
nửa đường tròn bán kính R. Chu vi hình chữ nhật
số. Đề bài cho ta khá nhiều dữ kiện. Thực chất dữ MN
kiện diện tích mặt ao và mật độ ban đầu là cho ta lớn nhất khi tỉ số bằng: MQ
dữ kiện rằng năm đó bác đã thả bao nhiêu con
giống, ta bắt dầu tiền hành vào bài toán như sau: Q P
Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là 20.50  100 con.
Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì
mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong hóa học M N
các quý độc giả đã học cách làm này rồi, và bây A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5
giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý độc giả:
Hướng dẫn: Đáp án B.
Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.
18 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.
với các cạnh của hình chữ nhật. Khi đó giá trị bé
Đến đây ta tính theo cách nhân chéo:
nhất của diện tích hình chữ nhật nêu trên là: 0, 5.x 1 a   0, 0625 kg/con. A. 2  2 B. (1 2) 4 8 2
Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác C. 1 2 D. 1 2
Tôm sẽ là : f  x  1000  x1,5  0,0625x kg Hướng dẫn:
Hình chữ nhật nhỏ nhất chứa cặp gạch lát vuông f  x 2
 0, 0625x 1, 5x 1500  62,5x
(có tổng diện tích là 1) 2  0
 , 0625x  62x 1500 có diện tích 2 2
f (x)  x  . x 1  x
Vì đây là hàm số bậc 2 nên đến đây ta có thể tìm 1 1 2
nhanh GTNN của hàm số bằng cách bấm máy tính với 2 x 
 1 x ta tìm đợc tại x   2 2 4 như sau: 1
1. Ấn MODE  5:EQN  ấn 3 để giải
có giá trị bé nhát của f (x)  (1 2)  1, 20711 2 phương trình bậc 2.
2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng
Câu 49: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3 cho đến khi máy hiện:
s  6t  t . Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
A. t  2 B. t=3 C. t=4 D. t=5
Hướng dẫn: Đáp án A.
Câu 50: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016,
Lúc đó ta nhận được hàm số đạt GTNN tại
trường THPT Lương Tài số 2 có tổ chức cho học
x  488 . Vậy số cá giảm đi là 488 con. Đến đây
sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong
nhiều độc giả có thể sẽ chọn ngay đáp án A. Tuy
số đó có lớp 12A11. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi
nhiên đề bài hỏi “vụ tới bác phải mua bao nhiêu
trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A11 đã
con cá giống” thì đáp án chúng ta cần tìm phải là
dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt 1000  488  512
từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m . Đáp án B.
và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt
Câu 47: Từ một tấm bìa cứng hình vuông cạnh a,
lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng
người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau
của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của
rồi gấp lại tạo thành một hình hộp không nắp. Tìm
tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ).
cạnh của hình vuông bị cắt để thể tích hình hộp
Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn lớn nhất. nhất? 12m 12m a 3m 3m x a a a a A. x  4 B. x  3 3 A. B. C. D. 2 8 3 6 C. x  3 D. x  3 2
Hướng dẫn: Đáp án D.
Hướng dẫn: Đáp án D.
Câu 48: Xét các hình chữ nhật được lát khít bởi
Câu 51: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt
các cặp gạch lát hình vuông có tổng diện tích là 1,
một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng
việc lát được thực hiện theo cách: hai hình vuông
nước là 6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước
được xếp nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà
đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của
phần trong của chúng không đè lên nhau, các cạnh
cá trong t giờ được cho bởi công thức.
của hai hình vuông thì nằm trên hoặc song song E v 3  cv t
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 19 Công Phá Toán The Best or Nothing
Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun.
Câu 53: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi
Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng
phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày
lượng tiêu hao là ít nhất.
thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi
A. 6km/h B. 9km/h C. 12km/h D. 15km/h
lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 Hướng dẫn:
phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới
Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là: v- 6 (km/h).
là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày
Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là là lớn nhất. 300 A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. t  v  6 C. 450 ngàn. D. 80 ngàn.
Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách Hướng dẫn: đó là:
Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt 3 x  v ra,
400 (đơn vị: ngàn đồng). E v 3 300  cv .  300 . c
 jun,v  6
Giá chênh lệch sau khi tăng x  400 . v  6 v  6
Số phòng cho thuê giảm nếu giá là x : ' v  9 E v 2  600cv   x  400  2 v  62 x  400  . 20 10 V 6 9
Số phòng cho thuê với giá x E’(v) – + x  400 x là 50   90  . 10 10 E(v) E(9)
Tổng doanh thu trong ngày là: 2 v  0 loai  x  x '  
E v  0  
f (x)  x 90     90   x . v  9  10  10  Đáp án B. x f (  x)    90 . f (
 x)  0  x  450 . 5
Câu 52: Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều Bảng biến thiên:
dài cạnh là a. Cắt bỏ 3 phần như hình vẽ để được x 400 450
một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. f’(x) + 0 –
Tính diện tích lớn nhất đó. 20250 f(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f (x) đạt giá trị
lớn nhất khi x  450 .
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có
doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng.
Câu 54: Cho chuyển động thẳng xác định bởi 2 a 3 2 a 2 a 3 2 a 6 A. B. C. D.
phương trình S = t3 + 3t2 – 9t + 27, trong đó t tính 8 8 4 8
bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia Hướng dẫn:
tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu
Gọi MN  x, 0
  x  a là: 3 A. 2 0m/s . B. 2 6m/s . Khi đó : S 
x(a  x) MNPQ 2 C. 2 24m/s . D. 2 12m/s . 2 a 3
Khảo sát hàm số ta tìm được GTLN là khi Hướng dẫn: 8 v = S’ = 3t2 + 6t – 9 = 0 a x 
 x= - 3 (loại) hoặc x = 1 2
 a= v’ = 6t +6 = 6+6 = 12 (m/s2)
20 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Câu 55: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân
Câu 59: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được
được đo bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x)
đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
trong đó x (mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần
dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định
tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất
vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác
thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:
định vị trí đó ? (góc 
BOC gọi là góc nhìn)
A. 15mg . B. 30mg . C. 40mg . D. 20mg . C Hướng dẫn:
G’(x) = 1,5x – 0,075x2 = 0 1,4
 x = 0 (loại) hoặc x = 20 (nhận) B
Câu 56: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện
tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng 1,8 bao nhiêu?
A. 2 S . B. 4 S . C. 2S . D. 4S . A O Hướng dẫn:
A. AO  2, 4m
B. AO  2m
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, chiều rộng là y (x,
C. AO  2, 6m
D. AO  3m y >0). Ta có: xy = S
Hướng dẫn: Gọi cạnh OA = x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: OB = và OC =
x+y ≥ 2  2 (x+y) ≥ 4 ≥ 4 2 2 2
OB  OC  BC
Câu 57: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các Lại có: cos(  BOC ) = 2 . OB OC
chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể
Tìm giá trị lớn nhất ta được kết quả. Đáp án A.
từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ
Câu 60: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi
t là f(t) = 45t2 – t3 (kết quả khảo sát được trong 8
sinh sống) để vượt khoàng cách 300km (đến nơi
tháng vừa qua). Nếu xem f’(t) là tốc độ truyền
sinh sản).Vận tốc trong nước là 6 km/h. Giả sử
bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền
vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h
bệnh lớn nhất vào ngày thứ:
thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được A. 12. B. 30. C. 20. D. 15 .
cho bởi công thức: E(v) = cv3t, trong đó c là hằng Hướng dẫn:
số cho trước, E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá
f’’(t) = 90 – 6t = 0  t = 15
khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao
Câu 58: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa ít nhất bằng:
cần diện tích 384 cm2. Lề trên và dưới là 3cm, lề A. 9 km/h B. 8 km/h
trái và phải là 2cm. Kích thước tối ưu của trang
C. 10 km/h D. 12 km/h giấy là:
Hướng dẫn: Ta có t = E(v) = cv3.
E’(v) = = 0  600v3 – 5400v2 = 0
 v = 9 (nhận) hoặc v = 0 (loại)
Câu 61: Hàng ngày, mực nước của một con kênh
lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực
nước trong kênh tính theo thời gian t (h) trong một
A. Dài 24cm; rộng 16cm   t  
B. Dài 24cm; rộng 17cm
ngày cho bởi công thức h = 3cos  12   .  6 3 
C. Dài 25cm; rộng 15,36cm
Khi nào mực nước của kênh là cao nhất ?
D. Dài 25,6cm; rộng 15cm
A. t  16 B. t  15 C. t  14 D. t  13 Hướng dẫn: Hướng dẫn:
Gọi chiều dài của trang chữ là x, chiều rộng là y
h(13) = 12; h(14) = 10,5; h(15) = 9,4; Ta có: xy = 384
h(16) = 9  t = 13
Diện tích trang giấy là: 384 + 4.2.3= 408 = 24.17.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 21 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 62: Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự
niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang
chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với
kinh doanh đồ uống trà sữa hay không?Ước tính
vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5s tên lửa bay đến độ cao
nếu 1 li trà sữa là 20000đ thì trung bình hàng
bao nhiêu ? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chỉ
tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại
chịu tác động của trọng lực g = 9,8 m/s2)
quán, trung bình mỗi khách trả thêm 10000đ tiền A. 61,25(m) B. 6,875(m)
bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn
C. 68,125(m) D. 30,625(m)
tăng thêm mỗi li trà sữa 5000đ thì sẽ mất khoảng
Hướng dẫn: S = vt - gt2 = 6,875 (m)
100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một
li trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn
Câu 63: Cho chuyển động thẳng xác định bởi
nhất (Giả sử tổng thu chưa trừ vốn) 1
A. Giảm 15 ngàn đồng phương trình S =
(t 4 – 3t2), trong đó t tính bằng 2
B. Tăng 5 ngàn đồng
giây, S được tính bằng mét (m). Vận tốc của
C. Giữ nguyên không tăng giá
chuyển động tại thời điểm t = 4 s bằng.
D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng A. 280m/s. B. 232m/s.
Hướng dẫn: Gọi x là số tiền thay đổi C. 140m/s. D.116m/s.
Thu nhập: F(x) = (30 + x).(1000 + 20x) Hướng dẫn:
F(5) > F(2,5) > F(0) > F(-15) v(t) = S’ = 2t3 – 3t.
Câu 67: Một vật chuyển động theo quy luật
Thời điểm t = 4: v(4) = 2.4.4.4 - 3.4 = 116 (m/s) 1 3 2
s   t +9t , với t (giây) là khoảng thời gian
Câu 64: Một chất điểm chuyển động theo quy luật 3 1 3
tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là S = t4 -
t2 + 2t – 100, chất điểm đạt giá trị nhỏ 4 2
quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi nhất tại thời điểm.
trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu
A. t  1
B. t  16 C. t  5
D. t  3
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được Hướng dẫn: bằng bao nhiêu ?
S’ = t3 – 3t + 2 = 0  t = 1 hoặc t = -2 (loại)
A. 216 (m/s). B. 30 (m/s).
Câu 65: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây
C. 400 (m/s). D. 54 (m/s).
đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m),
Hướng dẫn: Đáp án D.
biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn
Câu 68: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở
không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được
vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng 1000
cứu chữa. Biết F’(m) = và ban đầu bệnh
nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km 2t 1
(như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình
nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh
trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B,
nhân phát hiện ra bị bệnh.Hỏi khi đó có bao nhiêu
hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể
con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập
chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau
phân thứ hai) và bệnh nhân đó có cứu chữa được
đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền không ?
6km / h , chạy 8km / h và quãng đường BC  8km
A. 5433,99 và không cứu được
Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so
B. 1499,45 và cứu được
với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm
C. 283,01 và cứu được
khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người
D. 3716,99 và cứu được đàn ông đến B.
Hướng dẫn: F(m) = 500.ln(2t + 1) + C A Với t = 0  c = 2000
Với t = 15  500ln(2.15 + 1) + 2000 3km Sông
= 3716,99 < 4000  cứu được
Câu 66: Một giáo viên đang đau đầu về việc C D B
lương thấp và phân vân xem có nên tạm dừng 8km
22 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện 7 9 73 3 A. 1 . B. C. D.
tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được 8 7 6 2 nhiều cá nhất ? Hướng dẫn: A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
Đặt CD  x . Hướng dẫn:
Quãng đường chạy bộ DB  8  x và quãng
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ đường chèo thuyền 2
AD  9  x . n  0 . Khi đó: 2
Cân nặng của một con cá là: 9  x
Khi đó, thời gian chèo thuyền là và thời
P n  480  20n  gam 6 8  x
Cân nặng của n con cá là: gian chạy bộ là . 2 8 .
n P n  480n  20n  gam
Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:
Xét hàm số: f n 2
 480n  20n , n 0;  . 2 x  9 8  x T (x)   , x [0;8] . Ta có:
f 'n  480  40n , cho 6 8 x 1
f 'n  0  n  12
Ta có: T '(x)   . 2 8
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một 6 x  9
đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là x 1 2 T '(x)  0  
 4x  3 x  9 12 con. 2 8 6 x  9
Câu 71: Một chất điểm chuyển động theo qui luật 2 2 2 9
 16x  9(x  9)  7x  81  x  2 3
s  6t  t (trong đó t là khoảng thời gian tính 7
bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). 3  9  7 73 Ta có: T (0)  ; T  1   ; T (8) 
Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc m / s 2  7  8 6
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.  9  7
Do đó: min T (x)  T  1   . A. t  2 B. t  4 C. t  1 D. t  3 [0;8]  7  8
Hướng dẫn: Như các bạn đã biết thì phương trình
Câu 69: Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt
vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất
cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây).
của phương trình chuyển động (li độ) của vật nên
Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt
ta có phương trình vận tốc của vật là
trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của 2
v  s '  12t  3t . Phương trình vận tốc là phương
mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến
trình bậc 2 có hệ số a  3
  0 nên nó đạt giá trị
chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn b nhất.
lớn nhất tại giá trị t  hay tại t  2 2a
Câu 72: Hằng ngày, mực nước của một con kênh
lên xuống theo thủy chiều. Độ sâu h m của mực 28
nước trong kênh tính theo thời gian t h trong một ngày cho bởi công thức 12   t   h  3cos  12  
. Khi nào mực nước của Chốt  6 3  kênh là cao nhất? A. x  9.
B. x  10. C. x  11. D. x  12.
A. t  16 B. t  15 C. t  14 D. t  13
Hướng dẫn: Đáp án D.
Câu 70: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà
sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện
Câu 73: Một khúc gỗ tròn hình trụ xẻ thành một
tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con
chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4
cá sau một vụ cân nặng P n  480  20n (gam).
miếng phụ như hình vẽ. ãy ác định kích thước của
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 23 Công Phá Toán The Best or Nothing
các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện S ' x 2 2
 0  16x  6 2dx  d  0 ngang là lớn nhất. 2  x   x  34  3 2 7  17  16  6 2 1  0     A. Rộng d , dài d  d   d  16 4 34  3 2 34  3 2 7  17  x  d B. Rộng d , dài d 16 15 4 Bảng biến thiên 34  3 2 7  17 x C. Rộng d , dài d 34  3 2 2  2 0 d d 14 4 16 4 34  3 2 7  17 y' + 0  D. Rộng d , dài d 13 4 y Smax Hướng dẫn: x y A B
Vậy miếng phụ có kích thước d 34  3 2 7  17 x  d , y  d 16 4 D C
Câu 74: Bác nông dân muốn làm một hàng rào
trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với
Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng phụ lần
hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi lượt là x, y.
vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường (như
Đường kính của khúc gỗ là d khi đó tiết diện
hình vẽ 1). Bác dự tính sẽ dùng 200 m lưới sắt để d
ngang của thanh xà có độ dài cạnh là và
làm nên toàn bộ hàng rào đó. 2
Diện tích đất trồng rau lớn nhất mà bác có thể rào d 2  2  nên là d 0  x  , 0  y  A. 2 1500m B. 2 10000m 4 2
Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như C. 2 2500m D. 2 5000m
hình vẽ theo định lý Pitago ta có: Hàng 2  d  2 2 2x   y    d r  2  1 2 2  y 
d  8x  4 2x 2 Bờ x
Do đó, miếng phụ có diện tích là:
Hướng dẫn: Chọn D. 1
Đề bài cho ta dữ kiện về chu vi của hàng rào là S  x 2 2 
x d  8x  4 2dx 2
200 m. Từ đó ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x
và r, đến đây ta có thể đưa về hàm số một biến d 2  2 với 0  x 
theo l hoặc theo r như sau: 4 x
Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt giá trị lớn
Ta có x  2r  200  r  100  . 2 nhất.
Từ đây ta có r  0  x  200 . 1
x 8x  2 2d
Diện tích đất rào được tính bởi: S ' x 2 2 
d 8x  4 2x  2 2 2
2 d 8x  4 2dx 2  x  x f  x  . x 100   100   x . 2 2 1
 6x  6 2dx  d  2  2  2 2
2 d 8x  4 2dx
24 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB 2 x
được đưa ra đó là hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại
Xét hàm số f  x 
100x trên khoảng 2 b 4  0 000 x    10. 0;200. 2a 2. 2  000
Đến đây áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá
Khi đó f 10  800000 .
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn như ở phần lý
Giải thích thực tế: Nguyên lí của bài toán này
thuyết trên thì ta có phương trình:
chính là càng giảm giá vé thì càng thu hút thêm
f ' x  0  x 100  0  x  100 nhiều người mua.
Từ đó ta có f 100  5000 là giá trị lớn nhất của
Câu 76: Bác Tôm có cái ao có diện tích 2 50m để
diện tích đất rào được.
nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 2
Trên đây là cách làm áp dụng quy tắc chúng ta
con / m và thu được 1, 5 tấn cá thành phẩm.
vừa học, tuy nhiên tôi muốn phân tích thêm cho
Theo kinh nghiệm nuôi cá của của mình, bác thấy
quý độc giả như sau: Ta nhận thấy hàm số trên là cứ thả giảm đi 8 2
con / m thì mỗi con cá thành 1
hàm số bậc hai có hệ số a    0 , vậy đồ thị
phẩm thu được tăng thêm 0, 5 kg. Vậy vụ tới bác 2
phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng
hàm số có dạng parabol và đạt giá trị lớn nhất tại
năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt b x  
. Vậy áp dụng vào bài này thì hàm số đạt trong quá trình nuôi). 2a A. 488 con B. 512 con 100 
giá trị lớn nhất tại x   100 . Từ đó tìm C. 1000 con D. 215 con. 1  .2
Hướng dẫn: Chọn B. 2
Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là 20.50  1000
f 100 luôn mà không cần đi tính f ' x . con.
Câu 75: Một ca sĩ có buổi diễn âm nhạc với giá
Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì
vé đã thông báo là 600 đô la thì sẽ có 1000 người
mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong hóa học
đặt vé. Tuy nhiên sau khi đã có 1000 người đặt vé
các quý độc giả đã học cách làm này rồi, và bây
với giá 600 đô la thì nhà quản lí kinh doanh của
giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý độc giả:
ca sĩ này nhận thấy, cứ với mỗi 20 đô la giảm giá
Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0, 5kg / co . n
vé thì sẽ thu hút được thêm 100 người mua vé nên
Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg / co . n
ông quyết định mở ra một chương trình giảm giá
Đến đây ta tính theo cách nhân chéo:
vé. Tìm giá vé phù hợp để có được số tiền vé thu 0, 5.x
vào là cao nhất và số tiền đó là bao nhiêu? a 
 0, 0625x kg / con . 8
A. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 800 000 đô la
Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác
B. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 640 000 đô la
Tôm sẽ là: f  x  1000  x1,5  0,0625x kg
C. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 11 000 đô la
D. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 110 000 đô la f  x 2
 0, 0625x 1, 5x 1500  62, 5x
Hướng dẫn: Chọn A. 2  0
 , 0625x  61x 1500
Gọi x là số lần giảm bớt đi 20 đô la trong giá vé.
1. Ấn MODE  5: EQN  ấn 3 để giải phương
Khi đó giá vé sẽ là 600  20x một người. trình bậc 2.
Số người mua vé sẽ là 1000 100x .
2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng cho đến
Khi đó số tiền thu được sẽ là: khi máy hiện :
f  x  600  20x1000 100x 2
 2000x  40 000x  600 000
Tương tự như Câu 74 thì hàm số là hàm số bậc hai có hệ số a  2
 000  0 ta sẽ áp dụng kết quả đã
Lúc đó ta nhận được hàm số đạt GTLN tại x  488
Vậy số cá giảm đi là 488 con. Đến đây nhiều độc
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 25 Công Phá Toán The Best or Nothing
giả có thể sẽ chọn ngay đáp án A. Tuy nhiên đề x
bài hỏi “vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá
giống” thì đáp án chúng ta cần tìm phải là 1000  488  512 .
Câu 77: Một công ty kinh doanh thực phẩm ước
tính rằng số tiền thu vào ở việc kinh doanh rau y được tính xấp xỉ bằng công thức 5 m h  x 2
 x  29 000x 1000 100 000 và tiền lãi
Do đề đã cho diện tích khu đất nên được tính bằng công thức 600
g  x  1000x 100 000
xy  600  y 
với x là số tiền cho mỗi x
kg rau. Tìm x để số tiền vốn bỏ ra là ít nhất.
Chi phí nguyên liệu được tính bằng công thức A. 15000 đồng B. 30000 đồng  600 f  x   x  5  2. .14 000  28 000x C. 10000 đồng D. 20000 đồng.    x 
Hướng dẫn: Chọn A. 16800 000  42 000x   70 000
Khi đó số tiền vốn bỏ ra sẽ được tính bằng công x
thức f  x  h  x  g  x với x  5 .
Nhận thấy x dương, do vậy ở đây ta có thể nhận 2
 x  30 000x 1000 000 000
ra ngay bất đẳng thức Cauchy với hai số dương.
  x 150002  775000 000  775 000 000 Vậy 16800000
Dấu bằng xảy ra khi x  15000 .
f  x  2 42000 . x  70 000  1610 000 x
Câu 78: Chủ của một nhà hàng muốn làm tường Dấu bằng xảy ra khi rào bao quanh 600 2
m đất để làm bãi đỗ xe. Ba 16800000 42000x   x  20
cạnh của khu đất sẽ được rào bằng một loại thép x
với chi phí 14 000 đồng một mét, riêng mặt thứ tư
Vậy chu vi của khu đất là:
do tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên được  600 
2. x  y  2. 20   100   m .
xây bằng tường gạch xi măng với chi phí là 28000  20 
đồng mỗi mét. Biết rằng cổng vào của khu đỗ xe
Chú ý: Nhiều độc giả quên trừ đi đoạn cổng vào
là 5 m. Tìm chu vi của khu đất sao cho chi phí
nên sẽ chọn nhầm phương án B hoặc D.
nguyên liệu bỏ ra là ít nhất, chi phí đó là bao
Câu 79: Một công ty sản xuất khoai tây chiên giới nhiêu?
hạn về kích thước hộp sao cho tổng chiều dài l của
hộp khoai tây chiên và chu vi đường tròn đáy
không vượt quá 84 cm (để phù hợp với phương
thức vận chuyển và chiều dài truyền thống của
dòng sản phẩm). Công ty đang tìm kích thước để
thiết kế hộp sao cho thể tích đựng khoai tây chiên
là lớn nhất, thể tích đó là: 29152 A. 3 cm B. 29152 3 cm
A. 100 m, 1 610 000 đồng 
B. 100 m, 1 680 000 đồng 14576 C. 3 14576 cm D. 3 cm
C. 50 m, 1 610 000 đồng 
D. 50 m, 1 680 000 đồng
Hướng dẫn: Chọn A.
Hướng dẫn: Chọn A.
Ta có các kích thước được kí hiệu như sau l r
26 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Do đề bài yêu cầu tìm thể tích lớn nhất của hộp
A. đi thẳng từ vị trí người đó đứng đến cái cây.
khoai tây chiên và tổng chiều dài l và chu vi
B. đi theo đường mòn 292 m rồi rẽ trái đi đến
đường tròn đáy không vượt quá 84 cm nên: cái cây.
Nếu muốn thể tích lớn nhất ta sẽ lấy giới hạn max
C. đi theo cách truyền thống ở trên.
của tổng độ dài tức là
A. đi thẳng 8 m rồi rẽ trái đi đến cái cây.
l  P  84  l  2 r  84 với r là bán kính
Hướng dẫn: Chọn D.
đường tròn đáy  l  84  2 r . Ta có hình vẽ:
Thể tích của hộp khoai tây chiên được tính bằng công thức: 2 2
V   r l   r 84  2 r  2 2 3
 84 r  2 r  f r  600 m Ta có f r  2 2 '
 168 r  6 .r  6 r 28   r   0 300 –x x ao  28 r   0    300 m r  0
Kí hiệu như hình vẽ trên ta có 
Tổng thời gian người đó đi đến cái cây được tính
Giống như trong cuốn Bộ đề tinh túy ôn thi THPT theo công thức:
quốc gia năm 2017 tôi đã viết thì quý độc giả có 2 2
thể nhận ra ngay f 0 là giá trị cực tiểu của hàm 300  x 600  x f  x   với 0  x  300 160 70  28  số, f 
 là giá trị cực đại của hàm số.
Đến đây công việc của ta là đi tìm giá trị nhỏ nhất   
của hàm số f  x trên 0;300 . Ta lần lượt làm
Vậy đến đây ta tư duy nhanh. 1 1 2x  28  29152
theo các bước: f ' x    . Max f r  3  f    cm . 160 70 2 2      2 600  x
Câu 80: Một người phải đi đến một cái cây quí f  x 2 2 '
 0  16x  7 600  x
trong rừng càng nhanh càng tốt. Con đường mòn 2  x   2 2 256 49. 600  x  2 2  207x  49.600
chính mà người ta hay đi được miêu tả như sau:
Từ vị trí người đó đi thẳng 300 m gặp một cái ao 2 2 49.600 7.600
nên không đi tiếp được nữa , sau khi rẽ trái đi  x   x   292 m 207 207
thẳng 600 m đường rừng sẽ đến cái cây quí đó.
Đến đây nhiều độc giả có thể vội chọn B. Tuy
Biết rằng nếu đi đường mòn thì anh ta có thể chạy
nhiên nhìn kĩ thì thấy D mới đúng, vì theo miêu tả
với tốc độ 160 m / phút, còn khi đi qua rừng anh ta
thì người đó sẽ đi 300 – x mét sau đó thì đi thẳng
chỉ có thể đi với tốc độ 70 m / phút. đến cái cây. 600 m ao 300 m
Đó là con đường đi truyền thống mà người ta hay
đi, vậy con đường đi mà mất ít thời gian nhất được miêu tả
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 27 Công Phá Toán The Best or Nothing
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN
Câu 1: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng
một hầm biogas với thể tích 12 m3 để chứa chất
thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm
chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp
rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy
(dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của
thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo 64
A. 48 đvtt B. 16 đvtt C. 64 đvtt D. đvtt
đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu 3
phẩy) phù hợp yêu cầu là: Hướng dẫn:
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
Phân tích: Đây là một dạng bài toán ứng dụng
B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
thực thể kết hợp với cả phần tính thể tích khối đa
C. Dài 2,26m và rộng 1,88m
diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá
D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I Hướng dẫn: phần giải thích.
Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x
Trước tiên ta nhận thấy và 2x (m)
V    x
 x x  x  x  2 6 12 2 2 6 12 2 Chiều dài của bể là  m 2 3 2 2 2 .3 x x
 2x  x 12x  36  2x  24x  72x x
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn
Xét hàm số f  x 3 2
 2x  24x  72x trên 0;6
phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có x   2 2   2 6 2 10 
f ' x  6x  48x  72; f ' x  0  S  2 2 . x 3x  2 . x .  2 6x   tp  2 2    x  2  x x   x  
Khi đó max f  x  f 2  64 đvtt. 2 5 5 3 3 6x    3 150  S  6 150 xq  2 m  0;6 x x
Đến đây nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
không đắn đo gì. Tuy nhiên, nếu vội vã như vậy 2 5 5 3 6x   x 
là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích x 6
chocolate nguyên chất mà không phải là thể tích
Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 1 3
hộp do đó ta cần. Tức là 2 1  thể tích hộp. 2x  1,88 ; m
 2, 26m . Chọn C. 4 4 2 x 3 tức là .64  48 đvtt
Câu 2: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có 4
hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một
Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của
phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một
rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình
lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy
vuông trên một mặt) là 4cm.
chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình A. 27 cm3. B. 1728 cm3. vẽ, gọi x  0
x là giá trị làm cho hộp kim loại có C. 1 cm3. D. 9 cm3.
thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên Hướng dẫn: chất có giá trị là 0 V . Tìm 0 V .
Đây là một bài toán ăn điểm, nhưng nếu đọc
không kĩ từng câu chữ trong đề bài các độc giả rất có thể sai. Ta có khối rubic như sau:
28 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
x, y, h  0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là 2k   1 V 2kV k 2k   1 V A. 3 3 x  2 ; y  3 ;h  2 2 4k 2k   4 1
Hướng sai 1: Nghĩ rằng mỗi cạnh của ô vuông là
4 nên chiều dài mỗi cạnh của khối rubic là 2k   1 V 2kV k 2k   1 V B. 3 3 x  ; y  3 ;h  2 3 2 2
a  4.3  12  V  12  1728  B 4k 2k   4 1
Hướng sai 2: Nghĩ rằng chu vi mỗi ô vuông là 2k   1 V 2kV k 2k   1 V
tổng độ dài của cả 12 cạnh nên chiều dài mỗi cạnh C. 3 3 x  ; y  3 2 ;h  2 2 4k 4 1 2k   1 là
, nên độ dài của khối rubik là 3 2k   1 V 2kV k 2k   1 V 3 3 1 D. x  ; y  6 ;h  3 3
a  .3  1  V  1  1  C 2 4k 2k  2 4 1 3
Hướng sai 3: Nhầm công thức thể tích sang công Hướng dẫn:
thức tính diện tích nên suy ra ý D.
Cách làm đúng: Chu vi của một ô nhỏ là 4 cm nên
độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1cm, vậy độ dài cạnh của h khối rubic là y 3
a  3.1  3cm  V  3.3.3  27 cm . Đáp án A. x
Câu 4: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các
Gọi x, y, h  x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng,
thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ
chiều dài và chiều cao của hố ga.
giác đều không nắp có thể tích là 2 62,5dm . Để h Ta có: k   h  x k
tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế x
thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và V V
và V  xyh  y   .
diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng 2 xh x k A. 2 106, 25dm . B. 2 75dm .
Nên diện tích toàn phần của hố ga là: 2k   1 V 2 C. 2 50 5dm . D. 2 125dm .
S  xy  2 yh  2xh   2 x k x k Hướng dẫn:
Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. 2k   1 V 62, 5 3 x 
Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . 2 2 4k a 62.5 250 2kV k 2k   1 V Suy ra 2 2 S  4. .a  a   a Khi đó 3 y  2 , h  2 3 a a  k  2 4 2 1 125 125 125 125 2 2 3    a  3 . .a  75 .
Câu 6: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố a a a a
ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể Dấu bằng xảy ra khi 3
a  125  5 . Vậy S là nhỏ tích 3
3200cm , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều nhất bằng 75 .
rộng của đáy bằng 2 . Hãy xác định diện tích của Chọn đáp án B.
đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu
Câu 5: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình nhất? A. 2 1200cm B. 2 160cm C. 2 1600cm D. 2 120cm
hộp chữ nhật có thể tích  3
V m  , hệ số k cho trước Hướng dẫn:
(k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của
đáy). Gọi x, y, h  0 lần lượt là chiều rộng, chiều
dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 29 Công Phá Toán The Best or Nothing
Hướng dẫn: Đáp án A. h
Câu 9: Do nhu cầu sử dụng các nguyên liệu thân
thiện với môi trường. Một công ty sản suất bóng
tenis muốn thiết kế một hộp làm bằng giấy cứng x
để đựng 4 quả bóng tenis có bán kính bằng r, hộp y
đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo 2 cách như
Gọi x, y (x, y  0) lần lượt là chiều rộng, chiều sau: dài của đáy hố ga.
Cách 1: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được đặt
Gọi h là chiều cao của hố ga (h  0 ).
dọc, đáy là hình vuông cạnh 2r, cạnh bên bằng 8r. h
Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được xếp Ta có
 2  h  2x   1
theo một hình vuông, đáy của hộp là hình vuông x
suy ra thể tích của hố ga là:
cạnh bằng 4r, cạnh bên bằng 2r. 3200 1600 Gọi 1
S là diện tích toàn phần của hộp theo cách
V  xyh  3200  y     2 2 xh x
1, S2 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2.
Diện tích toàn phần của hố ga là: S Tính tỉ số 1 . 2 6400 1600
S  2xh  2 yh  xy  4x   S2 x x 9 2 2 8000 A. B. 1 C. 2 D.  4x   f  x 8 3 x
Khảo sát hàm số y  f (x ),x  0 suy ra diện
Câu 10: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình
tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng 2 1200cm
hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số giữa chiều khi
cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4.
x  10cm  y  16cm Suy ra diện tích đáy
Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức của hố ga là 2 10.16  160cm
không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất
Câu 7: Một công ty Container cần thiết kế cái
với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên
thùng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình
vật liệu để xây hố ga.
vuông, thể tích 108 m3. Các cạnh hình hộp và đáy
là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện
h – chiều cao
tích tích của một mặt đáy là nhỏ nhất.
x – chiều dài h
y – chiều rộng y x A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
Hướng dẫn: Đáp án B.
A. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 3 m
B. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 6 m
Câu 11: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ
C. Cạnh đáy hình hộp là 9 m, chiều cao là 3 m
nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp
D. Cạnh đáy hình hộp là 6 m, chiều cao là 3 m
đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần
Hướng dẫn: Đáp án D.
chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có
thể tích là V. Hãy tính chiều cao của hồ nước sao
Câu 8: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng
cho chi phí xây dựng là thấp nhất?
vào khoảng 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp A. m
B. h  2 m
này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 3 5
154m; độ dài cạnh đáy là 270m. Khi đó thể tích C. h 
m D. h  m
của khối kim tự tháp là: 2 2 A. 3.742.200 B. 3.640.000 Hướng dẫn: C. 3.500.000 D. 3.545.000
30 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB A E Hướng dẫn: D
Thể tích bể cá là: V  abc  1, 296 θ
Diện tích tổng các miếng kính là 30cm 30cm
S  ab  2ac  3bc (kể cả miếng ở giữa) θ Ta có: 3 3 B 30cm C S 1 2 3 1 2 3 3 6 3 6 3     3 . .  
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và abc c b a c b a abc 1, 296  chiều cao của hình hộp 1 2 3
Cauchy cho 3 so , , c b a
Theo đề bài ta có y  3x 1 2 3 a  1,8 V V    
và V  hxy  h  
Dấu “=” xảy ra khi c b a  b  1, 2 . 2 xy 3x abc 1, 296    c  0, 6
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các 
kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ Đáp án: C. nước là nhỏ nhất.
Câu 13: Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m Khi đó ta có:
người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt  2  2 
là hình thang ABCD có hinh dưới. Tính thể tích tp S xh yh xy
lớn nhất của máng xối. V V 8V 2  2x  2.3 . x  .3 x x   3x 2 2 3x 3x 3x 3m Ta có Cauchy 2 8V 2 4V 4V 2 16V 3 S   3x    3x  3  36 tp 3x 3x 3x 3 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 90cm 4V 2 4V V 3 3  3x  x   2  h   . 2 3x 9 3x 2 3m Vậy chọn C. A D
Câu 12: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn,
không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3.
Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể 30cm 30cm
cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b,
c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích B 30cm C
thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, A. 3 40500 3cm B. 3 40500 2cm
giả sử độ dầy của kính không đáng kể. C. 3 40500 6cm D. 3 40500 5cm Hướng dẫn: Thể tích máng xối: 2 V  S .300 (cm ) ABCD .
Vậy thể tích lớn nhất khi diện tích hình thang là lớn nhất. c 1 S  (BC  AD). ABCD CE a 2 b
CE  CDsin  30.sin A. a  3, 6 ; m b  0, 6 ; m c  0, 6m
AD  BC  2ED  30  60cos B. a  2, 4 ; m b  0,9 ; m c  0, 6m 90 S  90sin  sin2 C. a  1,8 ; m b  1, 2 ; m c  0, 6m ABCD 2 D. a  1, 2 ; m b  1, 2 ; m c  0,9m
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 31 Công Phá Toán The Best or Nothing 90
Đặt f ( )  90sin 
sin2 ,  [0; ] 2 90
f '( )  90cos  .2cos2 2
f '( )  0  cos  cos 2  0 2
 2 cos   cos 1  0  1   cos      2   3 A. x=1. B. x=2. C. x=3. D. x= 4   cos  1         
Câu 16: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một
f (0)  f ( )  0; f  135 3   .
bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là  3 
hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng
Vậy GTLN của diện tích ABCD là 2 135 3cm .
Vậy thể tích máng xối lớn nhất bằng
r m với d  2r. Chiều cao bể nước là h m và 3
40500 3cm khi ta cạnh CD tạo với BC góc 0 60 thể tích bể là 3
2 m .Hỏi chiều cao bể nước như thế
Câu 14: Một người thợ xây cần xây một bể
nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất? chứa 108 3
m nước, có dạng hình hộp chữ nhật với 3 3 2 A. m . B. 3 m .
đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài, 2 2 3
chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao 3 2 2
nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết C. 3 m . D. m . 2 3 3
thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ Hướng dẫn:
dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên
gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên
Gọi x  x  0 là chiều rộng của đáy suy ra thể tích
một đơn vị diện tích là bằng nhau. bể nước bằng A. 6; 6; 3. B. 2 3; 2 3;9. 2 1
V  2x .h  2  h  2 x C. 3 2;3 2; 6 D. 3 3;3 3; 4
Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là Hướng dẫn: 2 6 2
Gọi x(m) là cạnh của đáy bể, y(m) là chiều cao bể, S  6 . x h  2x 
 2x  x  0 x x, y > 0 6 108
Xét hàm số f  x 2 
 2x với x  0. Ta có: 2
x y  108  y  x 2 x 3
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 3 x  . Diện tích xây dựng: 2 2 432
S  x  4xy  x  2 x
Vậy chiều cao cần xây là 432 S '  2x 
; S '  0  x  6  y  3 2 1 1 2 2 x h    m. 2 2 x 3 3
Câu 15: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh  3  3  
bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau  2 
và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một
Câu 17: Một người dự định làm một thùng đựng
khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem
đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để
hình). Nếu chiều cao khối chóp tứ giác đều này
làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều 5
cao của thùng đựng đồ bằng bằng thì x bằng: 2 2 A. 3 x  V B. 3 x  V 1 C. 4 x  V
D. x  V
32 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Hướng dẫn: Hướng dẫn:
Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao
Đặt 2x là cạnh của miếng bìa. Khi đó cạnh của tứ
của thùng đựng đồ a, x  0
diện đều là x , suy ra thể tích tứ diện đều là: V 2 2 Khi đó, 2
V  a x  a  3 3 V  x  a
. Do đó x  a , suy ra cạnh x 12 12 2 V
của miếng bìa là 2a . Chọn B.  S  2a  4ax  2  4 tp Vx x
Lưu ý: Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích
Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì Stp của nó là 3 2 V  a . V 12 nhỏ nhất  2
 4 Vx nhỏ nhất. x
Câu 19: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh V
Cách 1: Xét hàm số f  x  2  4 Vx
bằng 5 2 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều x
sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành trên 0; 
đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp 2  V 2 V
để thể tích lớn nhất.
Ta có f ' x   ; 2 x x A. 4 B. 4 1 C. 2 D. A, B, C đều sai f  x 2 3 '  0  x
V  V x  x  V
Hướng dẫn: Đáp án A. x 0
Câu 20: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập f’(x) – 0 +
do trường phát động, bạn An đã nhờ bố làm một
hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn f(x)
hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn
theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD và DHA;
Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên
sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH
liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng
sao cho 4 đỉnh A;B;C;D trùng nhau (Như hình). 1 3 V . B Cách 2: Ta có V V 3 2 2  4 Vx  2
 2 Vx  2 Vx  6 V E F x x A C V Dấu "  " xảy ra tại  Vx x G H 3 3
 x  V  x  V
Câu 18: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như D
hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó dán
Thể tích lớn nhất của khối tứ diện đều tạo được là:
các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích 3 a 3 a 3 a 3 a A. B. C. D. 3 2 V  a
. Tính độ dài cạnh của miếng bìa theo 36 24 54 48 12
Hướng dẫn: Đáp án D. a ?
Câu 21: Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông cạnh
bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều
sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành
đỉnh của hình chóp.Tính cạnh đáy của khối chóp
để thể tích lớn nhất. 2 2 2 2 2 2 A. B. C. D. a 5 5 3 5 A. a B. 2a C. D. 3a 2 Hướng dẫn:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 33 Công Phá Toán The Best or Nothing
được một cái hộp không nắp. Hỏi thể tích lớn nhất
của cái hộp là bao nhiêu? x A. 3 V  640cm B. 3 V  617,5cm max max 1 C. 3 V  845cm D. 3 V  645cm max max Hướng dẫn:
Chiều dài, chiều rộng đáy của cái hộp lần lượt là: 2  
* Gọi cạnh đáy hình chóp là x, x  (0; ) . 24 2x và 18 2 . x 2
Diện tích đáy của cái hộp: (24  2x)(18  2x) .
Chiều cao của hình chóp là: Thể tích cái hộp là: 2 2 3 2  2 x         x  1 x 2 V (24 2x)(18 2x)x 4(x 21x 108x) h          2 2   2  2 với 0  x  9   Ta có: 2
V '(x)  4(3x  42x  108). Cho V '(x)  0 ,
Thể tích của khối chóp: 4 5
giải ta nhận nghiệm x  7  13  3,4 1 2 1 x 2 1 x  x 2 V  x 
Lập bảng biến thiên ta thấy 3 2 3 2 V
 V (7  13)  645 khi x  7  13  3,4 2 max * Xét hàm số: 4 5
y  x  x 2 trên (0; ) 2
Câu 24: Một công ti chuyên sản xuất container
muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng bên trong  x  0 (l) 3 4
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình y ' 4x 5x 2 ; y ' 0      2 2  x  (n)
vuông, có V = 62,5 cm3. Hỏi các cạnh hình hộp  5
và cạnh đáy là bao nhiêu để S xung quanh và S BBT: đáy nhỏ nhất ? x 2 2 2
A. Cạnh bên 2,5m, cạnh đáy 5m 0 5 2 5 10
B. Cạnh bên 4m, cạnh đáy m y’ ║ + 0 - ║ 4 y ║ ║ 5 30
C. Cạnh bên 3m, cạnh đáy ║ ║ 6 2 2 5 2 Vậy khi x 
thì khối chóp đạt GTLN
D. Cạnh bên 5m, cạnh đáy 5 2
Câu 22: Người ta muốn mạ vàng bên ngoài cho Hướng dẫn:
một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể Gọi đáy là a (a > 0)
tích hộp là 4 lít. Giả sử đồ dày của lớp mạ tại một
Gọi cạnh bên là h (h > 0)
điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh
V = a2.h = 62,5  h = 62,5/a2
đáy lần lượt là x và h . Giá trị của x và h để S = Sxq + Sđáy = 4ah + a2
lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là:
S’ = 0  a =5  h = 2,5 3 4 3 12
Câu 25: Một cái hộp hình hộp chữ nhật không
A. x  4; h 
B. x  12; h  3 16 3 144
nắp được làm từ một mảnh bìa cứng (xem hình
C. x  2; h  1
D. x  1; h  2
bên dưới đây). Hộp có đáy là hình vuông cạnh x
Hướng dẫn: Đáp án C.
(cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500
cm3. Gọi S( x ) là diện tích của mảnh bìa cứng theo
Câu 23: Có một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều
x . Tìm x sao cho S( x ) nhỏ nhất (tức là tìm x để dài bằng 24( )
cm , chiều rộng bằng 18( ) cm . Người
tốn ít nguyên liệu nhất).
ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông
bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng ( x cm)
rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để
34 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Để máy ở chế độ đơn vị độ. Nhập vào máy tính h biểu thức: h
X  X 1: A  A 1: Y 2 2
 Y  3 : B 
A  B  2AB cosY : C x 1 x
 C  0,1: D  D  . A . B C.sin Y 2 h h
Ấn CALC, nhập X = 1, A = 2, Y = 90, B = 3, C = 2, D = 6.
A. x  8 B. x  9
C. x  10 D. x  11
Ấn = cho đến khi được X = 19 ta được D =
Hướng dẫn: Đáp án C. 17575,2103.
Câu 26: Một khối tháp gồm 20 bậc. Mỗi bậc là
Câu 27: Một thùng đựng thư được thiết kế như
một khối đá hình lăng trụ đứng tam giác. Bậc trên
hình bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích cùng là khối lăng trụ thùng đựng thư là: 1 A 1 B 1 C . 1 A ' 1 B ' 1 C ' có: S 1 A 1 B  3 , dm 1 B 1 C  2 , dm 1 A 1 A '  2 , dm T R 0  1 A 1 B 1
C  90 . Với i = 1, 2,..., 20, các cạnh i B i C
lập thành một cấp số cộng có công sai 1dm, các P Q góc  D i A i B i
C lập thành một cấp số cộng có công E
sai 3o, các chiều cao A A ' C
i i lập thành một cấp số 40 4
cộng có công sai 0,1dm. Các mặt B C C ' B ' i i i i
cùng nằm trên một mặt phẳng. Cạnh A M B A 4 1  B 1   i i i A i
C , đỉnh B 1 B ',   i i i = 1, 2,..., 19.
Thể tích V toàn bộ của khối tháp gần số nào nhất A. 640 + 160 B. 640 + 80 sau đây:
C. 640 + 40 D. 320 + 80
Hướng dẫn: Đáp án B. B1 C1 A1
Câu 28: Người ta cần xây một hồ chứa nước với B’1 ≡ B2
dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích C’1 A’ C 1 2 500 bằng 3
m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều B’2 ≡ B3 3 A2 C’2
dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây C3 A’2
hồ là 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước B’3 ≡ B4
của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp A3 nhất. Chi phí đó là ? C’3 A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng A’3
C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng A. V = 17560 B. V = 17575
Hướng dẫn: Đáp án B. C. V = 16575 D. V = 17755
Câu 29: Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo ra Hướng dẫn:
một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và
Gọi các biến: X là số thứ tự khối lăng trụ tam giác,
chiều cao h, có thể tích 3
1m . Với a, h như thế nào
A là độ dài các cạnh i B i
C , Y là các góc A B C , i i i
để đỡ tốn nhiêu vật liệu nhất?
B là độ dài các cạnh A C  i i i A 1  i B 1  , C là độ dài 1 1
A. a  1; h  1
B. a  ; h  A A '
i i , D là tổng thể tích. Khi đó, thể tích mỗi lăng 3 3 trụ là 1 1 C. a  ; h 
D. a  2; h  2 1 2 2
V  A A '.S 
A B .A C .A A '.sin i i A B C i i i i i i i A i B i C . i i i 2
Hướng dẫn: Đáp án A.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 35 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 30: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD
Câu 33: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước
có AD=60cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN
dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao,
và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng
rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét,
nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng
3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để trụ khuyết 2 đáy.
xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có
chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10 M Q B C
(cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây) A. 2080 viên B. 2000 viên C. 2160 viên D. 4160 viên
Hướng dẫn: Đáp án A. A D N P x x
Câu 34: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước 60cm
dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao,
rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét, A Q
3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để B, C
xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có
chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10
(cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây) A. 2080 viên B. 2000 viên P C. 2160 viên D. 4160 viên N
Hướng dẫn: Đáp án A. A, D
Câu 35: Hai miếng giấy hình vuông bằng nhau
Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ?
được hai bạn Việt và Nam cắt ra và tạo thành một A. x=20 B. x=30 C. x=45 D. x=40
hình chóp tứ giác đều như sau.
Hướng dẫn: Đáp án A.
Việt: Cắt bỏ miếng giấy như Hình 1 (với M là
trung điểm OA) rồi tạo thành một hình chóp tứ
Câu 31: Một công ty chuyên sản xuất gỗ muốn giác đều.
thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình
Nam: Cắt bỏ miếng giấy như Hình 2 (với M nằm
lăng trụ tứ giác đều không nắp, có thể tích là
trên OA thỏa OM  3MA ) rồi tạo thành một hình 3
62, 5dm . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người
chóp tứ giác đều.
ta cần thiết kế thùng sao cho tổng S của diện tích A A
xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S M M bằng: A. 2 106, 25dm B. 2 125dm O O C. 2 75dm D. 2 50 5dm
Hình 1 Hình 2
Câu 32: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp
chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng
bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có
kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: A. 65,09% B. 47,64% C. 82,55% D. 83,3%
Hướng dẫn: Đáp án B.
36 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Gọi
Câu 39: Người ta xây một đoạn cống bằng gạch 1
V là thể tích khối chóp của Việt, 2 V là thể V
thiết diên hình chữ U, bề dày 10cm (như hình vẽ).
tích khối chóp của Nam. Tính tỉ số 1 . Một viên gạch có kích thước là 2 V
20cm *10cm *5cm. Hỏi số lượng viên gạch tối V 3 V 2 A. 1  B. 1 
thiểu dùng để xây cống là bao nhiêu? (Giả sử 2 V 8 2 V 3
lượng vữa là không đáng kể). V 2 V 4 2 C. 1  D. 1  2 V 3 2 V 9
Hướng dẫn: Đáp án D. 50cm
Câu 36: Một xưởng sản xuất những thùng bằng 50cm
kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các 200cm
kích thước x, y, z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là 50cm
x : y  1: 3, thể tích của hộp bằng 18 lít. Để tốn ít
vật liệu nhất thì kích thước của thùng là: A. 260000.
B. 26000. C. 2600. D. 260. 3
Hướng dẫn: Đáp án D.
A. x  2; y  6; z 
B. x  1; y  3; z  6 2
Câu 40: Người ta muốn xây một bồn chứa nước 3 9 8 C. x  ; y  ; z  D.
dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết 2 2 3
chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó 1 3 x  ; y  ; z  24
lần lượt là 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi 2 2
viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm,
Hướng dẫn: Đáp án A.
chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao
nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của
Câu 37: Người ta sản xuất các hộp bánh hình hộp
bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi
chữ nhật có các kích thước 7cm, 25cm, 35cm. Khi
măng và cát không đáng kể)
đó, một thùng gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước
42x50x70 (đơn vị cm ) sẽ chứa được nhiều nhất 1dm số hộp bánh là VH ’ A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 1dm VH
Hướng dẫn: Đáp án C.
Câu 38: Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể 2m tích 3
3dm . Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy thêm 1m
3 3 dm thì thể tích của hộp giấy là 3 24 dm . Hỏi 5m
nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu lên
A. 1180 viên, 8820 lít
B. 1180 viên, 8800 lít 3
2 3 dm thì thể tích hộp giấy mới là:
C. 1182 viên, 8820 lít
D. 1180 viên, 8800 lít A. 3 48dm . B. 3 192 dm . Hướng dẫn: Phân tích: C. 3 72 dm . D. 3 81dm
* Theo mặt trước của bể: Hướng dẫn:
Số viên gạch xếp theo chiều dài của bể mỗi hàng
Chọn kích thước 3 cạnh là 3 3dm , 3 3dm , 3 3dm 500 là x   25 viên
thỏa mãn giả thiết bài toán. Khi đó tăng thêm mỗi 20
Số viên gạch xếp theo chiều cao của bể mỗi hàng kích thước 3
2 3 dm thì thể tích khối hộp là 200 3 3 3 3
V  3 3.3 3.3 3  81dm là:
 40 . Vậy tính theo chiều cao thì có 40 5
hàng gạch mỗi hàng 25 viên. Khi đó theo mặt
trước của bể. N  25.40  1000 viên.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 37 Công Phá Toán The Best or Nothing
* Theo mặt bên của bể: ta thấy, nếu hàng mặt S
trước của bể đã được xây viên hoàn chỉnh đoạn M
nối hai mặt thì ở mặt bên viên gạch còn lại sẽ được A H 1 cắt đi còn
viên. Tức là mặt bên sẽ có 2 O 1 100  20 .40  .40  180 viên. 2 20
Vậy tổng số viên gạch là 1180 viên.
Xét ngũ giác đều ABCDE cạnh là 1 và có tâm
Khi đó thể tích bờ tường xây là đường tròn H. 1180.2.1.0,5  1180 lít
G, I lần lượt là trung điểm AC, DC. Gọi AC và
Vậy thể tích bốn chứa nước là:
BD cắt nhau tại F, đặt AC =d
50.10.20 1180  8820 lít
tam giác ADC có DF là phân giác
Câu 41: Thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh DC DA DC  DA 1 d    (1)
a  1 đơn vị là: FC FA FC  FA d DC AC 5 14  6 5
Có CDF  CDA    d (2) A. (đơn vị thể tích); FC DC 3 1 5 5  5 5 14  6 5 Từ 1, 2  d   GB  B. (đơn vị thể tích); 2 8 3 2 5 14  6 5
HIC  AGB  HC  C. (đơn vị thể tích); 5  5 3
+ 5 mặt có một điểm chung của hình khối tại thành 5 14  6 5 D. (đơn vị thể tích)
hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE có cạnh bên 3
=cạnh đáy, H là tâm ngoại tiếp ABCDE. Có SH Hướng dẫn: vuông góc HA A 2 2 2 5  5
SH  SA  HA  10
gọi O là tâm khối 20 mặt đều, gọi M là trung điểm B G E H SO SH
SA có SMO  SHA   F SM SA 1 I  SO  2(5  5) D C 4
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB, 3 2 2 2 7  3 5 JS  ; OJ =OS  JS  3 24 5 14  6 5 Suy ra V  3
38 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT
Câu 1: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo
Đề bài tuy khá là dài, tuy nhiên đây thực chất chỉ
là bài toán giải phương trình mũ. công thức N.  . r S A e
( trong đó A là dân số của
Ta thay 65, 21% vào sau đó tìm t.
năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, t
r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 t Ta có 100.0,5 5750  65, 21  0.5  0, 6521
dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến 5750
đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. t   log0.5 0,6521
Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì 5750
đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng
Câu 3: Huyện A có 100 000 người. Với mức tăng nào?
dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số
A. 1.424.300;1.424.400 .
sẽ vượt lên 130 000 người. Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu?
B. 1.424.000;1.424.100 . A. 18 năm B. 17 năm
C. 1.424.200;1.424.300 . C. 19 năm D. 16 năm
D. 1.424.100;1.424.200 . Hướng dẫn:
+ áp dụng công thức Hướng dẫn: n Gọi  r   S  1
S là dân số năm 2015, S  A 1  n  log n n    r    1  100      A  ta có  100  1
S  1.153.600, N  5, A  1.038.229
+ trong đó A = 100 000; r = 1,5; Sn = 130 000 1 S ln S + n  17, 6218 Ta có: N.r N .r 1 A 1 S  . A e  e   r  A 5
Câu 4: Một máy tính được lập trình để vẽ một Gọi S
chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất
2 là dân số đầu năm 2025, ta có S
của trục tọa độ Oxy, nội tiếp dưới đường cong ln 15. A
y = e-x. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật 15.r 5 S2  . A e  1.038.229.e  1.424.227, 71
có thể được vẽ bằng cách lập trình trên Chọn đáp án C. A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt)
Câu 2: Các loài cây xanh trong quá trình quang C. 0,1353 ( đvdt) D. 0,5313 ( đvdt)
hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một
Hướng dẫn: Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là
đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị S=xe-x
chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và '( )  x
S x  e (1 x)
nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng
S '(x)  0  x  1
cacbon 14 của bộ phạn đó sẽ phân hủy một cách
Dựa vào bảng biến thiên ta có
chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi P t  Smax = 1
e  0,3679 khi x=1
là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ
Câu 5: Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ
phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây
Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được
thì P t  được cho bởi công thức: tính theo công thức  . rt S
A e . Trong đó A là số t
P t   100.0,5
lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy
5750 %. Phân tích một mẫu gỗ
hằng năm (r<0),t là thời gian phân hủy, S là lượng
từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng
còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam
cacbon 14 còn lại trong gỗ là 65,21(%). Hãy xác
Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam
định niên đại của công trình kiến trúc đó. A. 80922 năm B. 24360 năm A. 3574 năm B. 3754 năm C. 35144 năm D. 48720 năm C. 3475 năm D. 3547 năm
Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có: Hướng dẫn:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 39 Công Phá Toán The Best or Nothing A r r 1 24360. 24360. ln10 10 ln10  Ae  e  t = 
 10 log510 giờ nên chọn C. 2 2 r ln 5
Với A=10 gam, gọi t là thời gian phân hủy để còn
Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước
lại S=1gam ta có phương trình
Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn t 24360.r. rt 24360
1  10e  0,1  e
cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích
 t  80922 (năm).
quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một
phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì
Câu 6: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều
nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng
hát với cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một
cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn
ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp
cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một
ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là
hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp
80dB. Tính số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết
đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần
mức cường độ âm L được tính theo công thức
thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua I L  10 log
trong đó I là cường độ âm và I0 là
rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn I0
nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt cường độ âm chuẩn
thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì A. 16 người B. 12 người
nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc C. 10 người D. 18 người
này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số Hướng dẫn:
thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn
Gọi I ;I lần lượt là cường độ âm của một người
cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt 1 n và của n người.
thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? I
Ta có I  nI  n  n n 1 A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 I1
Hướng dẫn: Đáp án D. I I Ta có L  1 10log  68 ; L  10 n log  80 1 I n I
Câu 9: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi 0 0 Khi đó
kép như sau: Mỗi tháng người này tiết kiệm một
số tiền cố định là X đồng rồi gửi vào ngân hàng I I I L  L  10 n log  1 10log  10 n log n 1
theo kì hạn một tháng với lãi suất 0,8% /tháng. I I I 0 0 1
Tìm X để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên L L n 1 6 I n  n  10 10  5 10  15, 89
người đó có được tổng số tiền là 500 triệu đồng. I 6 1 4.10 6 4.10 Vậy có 16 ca sĩ. A. X  B. X  37 1, 008 1 37 1 0, 008
Câu 7: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được 6 4.10 6 4.10 tính theo công thức ( )  rx f x
Ae , trong đó A là C. X  D. X  1,008 36 1,008   1 36 1, 008 1
số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng
r  0 , x (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng.
Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10
Câu 10: Một tên lửa bay vào không trung với
giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi
quãng đường đi được quãng đường s t  (km) là khuẩn tăng gấp 10 lần
hàm phụ thuộc theo biến (giây) theo quy tắc sau:
A. 5 ln 20 (giờ) B. 5 ln10 (giờ) 2 s t  t 3 3t 1 e 2t.    e
km . Hỏi vận tốc của tên
C. 10 log5 10 (giờ) D. 10log5 20 (giờ)
lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận Hướng dẫn:
tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo
Gọi thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e10r thời gian). ln 5 nên r = . 10 A. 4 5e (km/s) B. 4 3e (km/s)
Do đó, 10000 = 1000. ert suy ra C. 4 9e (km/s) D. 4 10e (km/s)
40 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Hướng dẫn: Số vi khuẩn Số vi khuẩn
Ta có công thức vận tốc: 7000 7000 6000 6000 2
v t  s t   te   3t 1 ' 2t.     e  5000 5000 4000 4000 3000 3000 2 t 3 t e  t  3t 1 2 . 6 2     e Số ngày Số ngày O 1 2 3 4 5 6 7 O 1 2 3 4 5 6 7 Với t  1 ta có: 4
10e km / s . Đáp án đúng là D. C. D.
Sai lầm thường gặp: Hướng dẫn: 2
v t  s t   te   3t 1 ' 2t.     e 
Công thức số vi khuẩn: ( )  3000.1, 2x Q x 2 Hàm mũ nên loại A, D. t e  t  3t 1 6 2 .     e Xét 5
Q(5)  3000.(1, 2)  7460 nên chọn B. 2
(do không biết đạo hàm t e -> đáp án C)
Câu 13: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh 2 2
v t  s t   te   3t 1  t e  t 3t 1 ' 2 . e 2.       e
Bình Phước đạt gần 905. 300, mức tăng dân số là
1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương
(do học vẹt đạo hàm x
e luôn không đổi)
100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm
học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn
Câu 11: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không
bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi
đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ
phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm
hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế,
sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có
mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao
2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi
nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết. không đáng kể)
A. 45 năm B. 50 năm A. 458. B. 222. C. 459. D. 221.
C. 41 năm D. 47 năm Hướng dẫn:
Hướng dẫn: Giả sử số lượng dầu của nước A là
Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi đi học 100 đơn vị.
(6 tuổi) vào lớp 1 năm học 2024-2025.
Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm mới hết n
Áp dụng công thức S  n
A1 r  để tính dân số
thì suy ra số dầu nước A dùng 1 năm là 1 đơn vị. năm 2018.
Gọi n là số năm tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi
Trong đó: A  905300; r  1, 37; n  8 năm tăng 4%, ta có n Dân số năm 2018 là:
1.1 0, 04.1 0,04   1 8  100  1,37  0, 04 A  905300. 1  1009411    100   n  l 1.04 og 4,846  40, 23 Dân số năm 2017 là:
Vậy sau 41 năm thì số dầu sẽ hết. 7  1,37  A  905300. 1  995769    100 
Câu 12: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 3000 con, Số trẻ vào lớp 1 là:
và tăng 20% một ngày. Đồ thị nào sau đây mô tả
1009411 995769  2400  16042
hàm số lượng vi khuẩn sau t ngày?
Số phòng học cần chuẩn bị là: Số vi khuẩn Số vi khuẩn 16042 : 35  458,3428571 . 7000 7000 6000 6000 5000 5000
Câu 14: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học 4000 4000 3000 3000
sinh được cho xem cùng một danh sách các loài Số ngày Số ngày
động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao O 1 2 3 4 5 6 7 O 1 2 3 4 5 6 7
nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ A. B.
trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công
thức M t   75  20 ln t  
1 , t  0 (đơn vị %).
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 41 Công Phá Toán The Best or Nothing
Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ Năm thứ hai,
được danh sách đó dưới 10%? 2
M 2  M1  M1.r  M1(1 r)  ( A 1 r) A. 25 tháng. B. 23 tháng. Năm thứ ba, C. 24 tháng. D. 22 tháng. 3
M  M  M .r  M (1 r)  ( A 1 r) Hướng dẫn: 3 2 2 2
Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:
Tương tự năm thứ n, M  (
A 1 r)n n
75  20 ln 1 t   10
Áp dụng công thức ta có  ln t  
1  3.25  t  24.79 10 6 M10  ( A 1 r)  3.10 1 0, 0510
Câu 15: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các  4886683,88 3 m 
tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ
thời điểm tháng 2 năm 2004. Bảng dưới đây mô
Câu 17: Thang đo Richter được Charles Francis
tả số lượng U  x là số tài khoản hoạt động, trong
Richter đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm
1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các
đó x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004. Biết
cơn động đất với đơn vị là độ Richter. Công thức
số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ
tính độ chấn động như sau: M  lg A  lg A , với x L o
xấp xỉ như sau: U  x  .
A 1 0,04 với A là số
M L là độ chấn động, A là biên độ tối đa đo được
tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004. Hỏi bằng địa chấn kế và
đến sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động xấp xỉ o
A là một biên độ chuẩn.
là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài
(nguồn: Trung tâm tư liệu khí tượng thủy văn).
khoản hoạt động là 108 160 người.
Hỏi theo thang độ Richter, với cùng một biên độ A. 1 năm 5 tháng. B. 1 năm 2 tháng.
chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động đất 7 C. 1 năm. D. 11 tháng.
độ Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của
một trận động đất 5 độ Richter ? Hướng dẫn: 7
Do đề đã cho công thức tổng quát và có dữ kiện A. 2. B. 20. C. 5 10 . D. 100.
là sau hai tháng số tài khoản hoạt động là
108 160 người. Do đó thay vào công thức tổng
Hướng dẫn: Gọi 1 A và 2
A lần lượt là biên độ tối
quát ta sẽ tìm được A. Khi đó
đa của hai trận động đất 7 độ Richter và 5 độ A  2 1 0.04
 108160  A  100000.
7  lg A  lg A
Richter. Theo công thức, ta có: 1 o 
Khi đó công việc của ta chỉ là tìm x sao cho 5  lg  2 A  lg o A x
Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên, ta có :
1000001 0.04  194790 1 A 1 A 2 194790 2  lg 1 A  lg 2 A  lg   10  100 .  x  log A A 
 17 hay 1 năm 5 tháng. 10.04 2 2 100000
Câu 18: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn
Câu 16: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là rt 6  3
tuân theo công thức S  .
A e , trong đó A là số 3.10
m  . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây
lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r
trong khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm
> 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rẳng số lượng
nữa, trữ lượng gỗ trong rừng là
vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300
con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ A.  3
4886683,88 m  B.  3 4668883 m  tăng gấp đôi. C.  3
4326671,91 m  D.  3 4499251 m  A. 3 giờ 16 phút B. 3 giờ 9 phút
C. 3 giờ 30 phút D. 3 giờ 2 phút
Hướng dẫn: Gọi A là trữ lượng gỗ ban đầu của
Hướng dẫn: 300 = 100. er. 5 khu rừng  3
m  ; r là tốc độ sinh trưởng hàng  r = 3 giờ 16 phút năm(%); M 3
n là trữ lượng gỗ sau n năm  m  .
Năm đầu tiên, M1  A  . A r  ( A 1 r)
42 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB mt kt
Câu 19: Chất phóng xạ 25Na có chu kỳ bán rã
Hướng dẫn: Theo công thức m e  ta có: 0 1
T  62 s . Sau bao lâu chất phóng xạ chỉ còn m573  100 k  ln2 .5730 0   50  100.e  k  5 2 5730
độ phóng xạ ban đầu ? ln 2  t ln 5 62  ln 2 suy ra m t 5730  100e A. t  (s) B. t  (s) 62 ln 2 ln 5
Câu 22: Trong vật lí, sự phân rã của các chất 62 ln 5 C. t  (s) D. t  62 log
phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: 5 2 (s) ln 2 t  T 
Hướng dẫn: Đáp án C. m t 1  m  
  , trong đó m là khối lượng ban 0 2 0
Câu 20: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng
đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là
xạ Plutôni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng
chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa
Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một
khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất
nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = 14
Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu,
khác). Chu kì bán rã của Cabon C là khoảng
r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian
5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ
phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân
cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất
hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239 sẽ
khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi
phân hủy còn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị
mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? nào sau? A. 2378 năm B. 2300 năm
A. 82135 B. 82335 C. 82235 D. 82435 C. 2387 năm D. 2400 năm
Hướng dẫn: Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360
Hướng dẫn: Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu S 1
đồ cổ chứa Cabon là m , tại thời điểm t tính từ 0 năm nên er24360 =   r  0,000028 A 2
thời điểm ban đầu ta có:
 Công thức phân hủy của Pu239 là ln 2 ln 2   m t t 3m t 5730 0 5730       S = A. e0,000028t m e m e t 0 0 4 ln 2
Theo giả thiết: 1 = 10. e0,000028t 3    t  82235,18 năm 5730 ln  ln 2 ln 2   t t 4 5730 5730 Câu 21: Trong vật m lít, sự  phân m e rã củ a các ch  ất m e  t   2378 (năm) 4 ln 2
phóng xạ được biểu diễn bởi công thức:
Câu 23: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học t 1 T 
sinh được cho xem cùng một danh sách các loài
m t  m  
  , trong đó m là khối lượng ban 0    
động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao 2 0
nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ
đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là
trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công
chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa
M t  75  20 lnt   1 ,t  0
khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất thức (đơn vị
khác). Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng
%). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ
5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng
được danh sách đó dưới 10%?
100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng A. 24,79 tháng B. 23 tháng còn bao nhiêu? C. 24 tháng D. 22 tháng 5730 t ln 2
Hướng dẫn: Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần  1  
A. m t 5730  100.e
B. m t  100.    tìm t thỏa mãn: 2
75  20 ln 1  t  10  ln t  1  3.25  t  24.79 100t    5730 1 100t   
75  20 ln 1  t  10  ln t  
1  3.25  t  24.79
C. m t  100 
D. m t 5730  100.e 2
Câu 24: Một công ty vừa tung ra thị trường sản
phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 43 Công Phá Toán The Best or Nothing
hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho
Câu 27: Cường độ một trận động đất M (richter)
thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số %
được cho bởi công thức M  log A  log 0 A , với A
người xem mua sản phẩm là
là biên độ rung chấn tối đa và 0
A là một biên độ 100 P(x) 
,x  0 . Hãy tính số quảng
chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất 0.015 1  49 x e
ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter.
cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn
Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ 75%.
có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận A. 333 B. 343 C. 330 D. 323
động đất ở Nam Mỹ là:
Hướng dẫn: Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ A. 8,9 B. 33,2 C. 2,075 D. 11
lệ người xem mua sản phẩm là: A
Hướng dẫn: M  log A  log 0 A  log P   100 100   9.3799% 0 A 1.5 1  49e
Trận động đất ở San Francisco:
Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem 1 A mua sản phẩm là: M1  8,3  log (1) 0 A P   100 200   29.0734% A 3 Ở Nam Mỹ: 2 M 2  log (2) 1  49e 0 A
Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem
Biên độ ở Nam Mỹ gấp 4 lần ở San Francisco nên mua sản phẩm là: 2 A 2 A  4 1 A   4 P   100 500   97.3614% 1 A 7.5 1  49e Lấy (2) - (1) ta được:
Câu 25: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. 2 A 1 A 2 A M  8, 3  log  log  log  log 4
Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ bèo sẽ sinh sôi 2 0 A 0 A 1 A
kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo
 M 2  log 4  8,3  8,9
tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ
Câu 28: Biết rằng năm 2001 dân số Việt Nam là
tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ
78. 685. 800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1 kín cái hồ ?
1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo 3
công thức S= A. eNr (trong đó A là dân số của năm 9 10 A. 3 B.
lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ 3
tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số như vậy 9 C. 9 – log3 D. .
đến thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 log 3 triệu người.
Hướng dẫn: Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín A. 2026 B. 2022 C. 2020 D. 2025 1
Hướng dẫn: S = A. eN. r  N = 25 năm
cái hồ. Vì tốc độ tăng không đổi nên, 1 giờ tăng 3 Đáp án A. t 1 9
Câu 29: Một loại virus có số lượng cá thể tăng
gấp 10 lần nên ta có 10  10  t  9  log 3 . 3
trưởng mũ với tốc độ x% / ,
h tức là cứ sau 1 giờ
Câu 26: Một lon nước soda 800F được đưa vào
thì số lượng của chúng tăng lên x%. Người ta thả
một máy làm lạnh chứa đá tại 320F. Nhiệt độ của
vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ số lượng cá
soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton
thể virus đếm được trong ống nghiệm là 1,2 triệu.
bởi công thức ( )  32  48.(0.9)t T t . Phải làm mát
Tìm x? (tính chính xác đến hàng phần trăm)
soda trong bao lâu để nhiệt độ là 500F ? A. B. x  13,17% x  23, 07% A. 1,56 B. 9,3 C. 2 D. 4 C. x  7, 32% D. x  71,13%
Hướng dẫn: T(t) = 32 + 48. (0,9)t = 50
Hướng dẫn: Đáp án B.  t = 9,3
44 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Câu 30: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một
Suy ra số tiền lãi là: 100 1 8%5 100  1 L
phòng thí nghiệm được tính theo công thức
Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ( )  (0).2t s t s
, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn ngân hàng.
A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có
Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là:
sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn   5 73.466 1 8%
 107.946 triệu. Suy ra số tiền
A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt
lãi là 107.946  73.466  L
đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? 2 A. 48 phút. B. 19 phút.
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sao 10 năm là: C. 7 phút. D. 12 phút.   L 1 L  2
L  81, 412tr
Hướng dẫn: Đáp án C.
Câu 34: An vừa trúng tuyển đại học được ngân
hàng cho vay vốn trong bốn năm đại học, mỗi năm
Câu 31: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước.
10. 000. 000 đồng để nộp học phí với lãi xuất ưu
Giả sử sau t giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ.
đãi 7,8% một năm. Sau khi tốt nghiệp đại học An
Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10
phải trả góp cho ngân hàng số tiền m đồng (không
lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không
đổi) cũng với lãi xuất 7,8% một năm trong vòng 1
đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín cái
5 năm. Tính số tiền m hàng tháng An phải trả cho 3
ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị). hồ? A. 1005500 B. 100305 t 10t
C. 1003350 D. 1005530 A. . B. . C. t  log 3. D. 3 3
Hướng dẫn: Đáp án D. t .
Câu 35: Ông Đông gửi 100 triệu vào tài khoản log 3
định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính
Hướng dẫn: Đáp án C.
số tiền lãi thu được sau 10 năm
Câu 32: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số A. 215,892tr . B. 115,892tr .
ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn C. 215,802tr . D. 115,802tr .
Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi
Hướng dẫn: Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1
suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất + 2%)
tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và
Số tiền thu được sau 2 năm: 100. (1 + 2%)2
bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất . . . . . .
giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục
Số tiền thu được sau 10 năm: 100. (1 + 2%) 10
gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn
Số tiền lãi thu được sau 10 năm:
Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng
100. (1 + 2%)10 – 100 = 115,892 triệu
(chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết
Câu 36: Một người gửi ngân hàng lần đầu 100
kiệm trong bao nhiêu tháng ?
triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý A. 15 B. 12 C. 10 D. 20
theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người
Hướng dẫn: Đáp án A.
đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất
Câu 33: Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định
như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1
kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm bà
năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?
rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số A. 210 triệu. B. 220 triệu.
tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số C. 212 triệu. D. 216 triệu.
tiền lãi thu được sau 10 năm. Hướng dẫn: A. 81,412tr B. 115,892tr
Số tiền thu được sau 3 tháng: 100. (1 + 2%)) C. 119tr D. 78tr
Số tiền thu được sau 6 tháng: 100. (1 + 2%)2
Hướng dẫn: Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số
Số tiền thu được sau 9 tháng: tiền là:   5 100 1 8%  146.932 triệu
(100. (1 + 2%)2 + 100). (1 + 2%) = 100. (1 + 2%)((1+2%) +1)
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 45 Công Phá Toán The Best or Nothing
Số tiền thu được sau 12 tháng:
nhất 20 triệu đồng?(Bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số
100. (1 + 2%)2. ((1 + 2%) + 1) = 212 triệu
vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
Câu 37: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất A. 16 quý B. 18 quý
8, 4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
C. 17 quý D. 19 quý
Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi Hướng dẫn: số tiền ban đầu?
Số tiền thu được sau n quý: 15. (1 + 1,65%)n = 20 A. 9 . B. 10 . C. 8 . D. 7 .  n = 18
Hướng dẫn: Gọi n là số năm sau đó số tiền thu
Câu 41: Số tiền 58 000 000 đồng gủi tiết kiệm
được gấp đôi, gọi a là số tiền ban đầu
trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đồng, Ta có: a. (1 +8,4%)n = 2ª
lãi xuất hàng tháng là bao nhiêu ?
 (1 + 8,4%)n = 2  n = 9 A. 0,8% B. 0,6% C. 0,5% D. 0,7%
Câu 38: Anh Thắng gửi ngân hàng 100 triệu đồng Hướng dẫn:
với lãi suất ban đầu là 4%/năm và lãi hàng năm
58 000 000. (1 + r)8 = 61 329 000
được nhập vào vốn. Cứ sau 1 năm lãi suất tăng  r =0,7%
0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền anh Thắng có là
Câu 42: Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại bao nhiêu ?
kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi xuất 6,9% A. 119 triệu. B. 119, 5 triệu.
một năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy C. 120 triệu. D. 120, 5 triệu
văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết
rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước Hướng dẫn:
và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi xuất theo loại
Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1 + 4%)
lãi suất không kì hạn là 0,002% một ngày(1 tháng
Số tiền thu được sau 2 năm: tính 30 ngày). 100. (1 + 4%). (1 +4,3%)
A. 471688328,8 B. 302088933,9
. . . . . . . . . . . . . . . .
C. 311392005,1 D. 321556228,1
Số tiền thu được sau 4 năm:
100. (1 + 4%). (1 + 4,3%). (1 + 4,6%). (1 + 4,9%)
Hướng dẫn: 1 năm: 6,9%  6 tháng: 3,45% = 199 triệu
Tổng số tiền 200. 106. (1 + 3,45%)13. (1 + 0,002%. 90) = 311392005,1
Câu 39: Anh Nam mong muốn rằng 6 năm sẽ có
2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân
Câu 43: Một bác nông dân vừa bán một con trâu
hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau với lãi
được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần
suất hàng năm gần nhất với giá trị nào biết rằng
dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ
lãi của ngân hàng là 8% / năm và lãi hàng năm
số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn 6 được nhập vào vốn.
tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm. Hỏi sau 5 A. 253, 5 triệu. B. 251 triệu.
năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu
tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết C. 253 triệu. D. 252, 5 triệu.
rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi
Hướng dẫn: Gọi a là số tiền gửi vào hàng năm
trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời
Số tiền thu được sau 1 năm là: a(1 + 8%)
hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì
Số tiền thu được sau 2 năm là:
hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) a. ((1 + 8%)2 + (1 + 8%)) A. 31803311 B. 32833110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. 33083311 D. 30803311
Số tiền thu được sau 6 năm là:
Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính tiền tiết
a((1 + 8%)6 + (1 +8%)5 +. . . . . + (1 + 8%)1) n = 2000
kiệm thu được: A  a 1 r   a = 252,5 triệu
Với a là số tiền gửi vào, r là lãi suất mỗi kì, n là kì
Câu 40: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân
Lãi suất 1 năm là 8,5%  lãi suất 6 tháng là
hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi 4,25%
suất 1,65%/ quý. Hỏi sau bao lâu người gửi có ít
46 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Vì bác nông dân gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên
Câu 46: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng
sau 5 năm 6 tháng có 11 lần bác được tính lãi
các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000
=> Số tiền bác nhận được sau 5 năm 6 tháng là:
đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ   11 1 0, 0425
.20  31, 61307166 ( triệu đồng)
khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với
lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông
Do bác rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân Bách mua là bao nhiêu ?
lãi suất 0,01% mỗi ngày (2 tháng=60 ngày) A. 32.412.582 đồng B. 35.412.582 đồng
=> Số tiền cuối cùng bác nhận được là C. 33.412.582 đồng D. 34.412.582 đồng   60 31, 61307166. 1 0, 0001  31,803311 Hướng dẫn: (triệu đồng)
Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua là
Câu 44: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học
5.000.000 đồng, qua năm 2 sẽ thanh toán
A nhưng vì do không đủ nộp học phí nên Hùng
6.000.000 đồng, năm 3: 10.000.000 đồng và năm
quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm
4:20.000.000 đồng. Các khoản tiền này đã có lãi
vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất
trong đó. Do đó giá trị chiếc xe phải bằng tổng các
3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hùng
khoản tiền lúc chưa có lãi. Gọi 0
V là tiền ban đầu
phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi)
mua chiếc xe. Giá trị của chiếc xe là:
cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. 1 2  3  4  V    
Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho 0 5.1, 08 6.1, 08 10.1, 08 20.1, 08
ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là:  32.412.582 đồng A. 232518 đồng . B. 309604 đồng.
Câu 47: Anh Bách vay ngân hàng 100 triêu đồng, C. 215456 đồng. D. 232289 đồng.
với lãi suất 1,1% / tháng. Anh Bách muốn hoàn
nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng Hướng dẫn:
Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:
kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những
liên tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền s   4  3  2 3000000 3% 3%  3  %           
hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau 12927407,43
đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó,
tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu
Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản
(làm tròn kết quả hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất
tiền ban đầu là 12.927.407, 43 đồng, số tiền này
ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh
bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm. Bách vay. Ta có công thức:
A. 10773700 (đồng). B. 10774000 (đồng). N n
r .r 12927407,40,002 60 5 .0,0025
C. 10773000 (đồng). D. 10773800 (đồng).     n r  0,002 60 5  Hướng dẫn:  232289
Bài toán này người vay trả cuối tháng nên ta có:
Số tiền mà anh Bách phải trả hàng tháng là:
Câu 45: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, 18
mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10 100.0, 011.1,  011 6 m  .10
triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học 1, 18 011 1
tại trường này, để có số tiền đó, gia đình đã tiết
Tổng số tiền lãi anh Bách phải trả là:
kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền
không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức m   6
.18 100 10  10774000 (đồng).
lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải
Câu 48: Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng
gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12
theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt
tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm
đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và tròn tới hàng ngìn)
chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao A. 796. 000đ B. 833. 000đ
nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ? C. 794. 000đ D. 798. 000đ A. 53 tháng B. 54 tháng
Hướng dẫn: Đáp án A. C. 55 tháng D. 56 tháng
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 47 Công Phá Toán The Best or Nothing Hướng dẫn:
Câu 51: Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của
Đặt x  1, 005; y  10, 5
ngân hàng cho con với số tiền là 500000000
* Cuối tháng thứ 1, số tiền còn lại (tính bằng triệu
VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không
đồng) là 500x  y
lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết kiệm. Hỏi
* Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là
sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao 
nhiêu? (Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, x  y  2 500
x  y  500x   x   1 y
nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào
* Cuối tháng thứ 3, số tiền còn lại là
thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì 3 x   2 500 x  x   1 y hạn 1 năm tiếp theo) A. 4.689.966.000 VNĐ
* Cuối tháng thứ n, số tiền còn lại là B. 3.689.966.000 VNĐ n 1 500    n x
x  ...  x   1 y C. 2.689.966.000 VNĐ D. 1.689.966.000 VNĐ Giải phương trình n 1 500    n x
x  ...  x   1 y  0 Hướng dẫn:
thu được n  54,836 nên chọn C.
Gọi a là số tiền gửi vào hàng tháng gửi vào ngân
Câu 49: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng
hàng x là lãi suất ngân hàng n là số năm gửi
100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một Ta có
quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng,
Sau năm 1 thì số tiền là: a  ax  a  x   1
người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và Sau năm 2:
lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận
a  x    a  x   x  a  x   x    a  x  2 1 1 1 1 1
được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây ? Sau năm 3: A. 210 triệu. B. 220 triệu.
a  x  2  a  x  2 x  a  x  2  x    a  x  3 1 1 1 1 1 C. 212 triệu. D. 216 triệu. Sau năm 4: Hướng dẫn:
a  x  3  a  x  3 x  a  x  3  x    a  x  4 1 1 1 1 1
3 tháng là 1 quý nên 6 tháng bằng 2 quý và 1 năm
ứng với 4 quý. Sau 6 tháng người đó có tổng số n
Sau n năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là: a  x   1 tiền là:   2 100. 1 2%
 104, 04 tr . Người đó gửi
Vậy sau 18 năm, số tiền người ý nhận được là:
thêm 100tr nên sau tổng số tiền khi đó là: 104,04   18 500.000.000 0, 07 1  1, 689,966, 000
+ 100 = 204,04 tr. Suy ra số tiền sau 1 năm nữa
Câu 52: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu là:   4 204, 04 1 2%  220tr
đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ
Câu 50: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số
cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể
ngân hàng trong thời gian vừa qua liên tục thay
từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ
đổi. Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn
ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng
nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau
chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15%
đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó,
tháng trong nửa năm tiếp theo và ông A tiếp tục
số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng
gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9%
trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi
tháng, ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa,
suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông
khi rút tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 A hoàn nợ.
478,359 đồng (chưa làm tròn). Khi đó tổng số 3 100.(1, 01) A. m  (triệu đồng). tháng mà ông A gửi là 3
A. 13 tháng B. 14 tháng 3 (1, 01)
C. 15 tháng D. 16 tháng B. m  (triệu đồng). 3 (1, 01) 1
Hướng dẫn: Đáp án C.
48 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB 100.1, 03
Câu 54: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 C. m  (triệu đồng). 3
triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 3 120.(1,12)
0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn D. m  (triệu đồng). 3
lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất (1,12) 1
0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn Hướng dẫn:
6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một
Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng (do vay ngắn
số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc hạn)
lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm
Sau tháng 1, ông A còn nợ: 100. 1,01 – m (triệu)
tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất
Sau tháng 2, ông còn nợ: (100. 1,01 – m). 1,01 –
được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo
m = 100. 1,012 – 2,01m (triệu)
hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi
Sau tháng 3, ông hết nợ do đó suất là:
(100. 1,012 – 2,01m). 1,01 – m A. 0,4% B. 0,3% C. 0,5% D. 0,6% = 100. 1,013 – 3,0301m = 0 Hướng dẫn: 3 100.1, 01 => m  (triệu đồng)
. Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3 3
tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền khi đó là:
Câu 53: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được   4 20000000. 1
0,72.3 : 100 1  0,78.6 : 100
hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng
. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B
(chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào
tháng khi đó số tiền là:
đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút   4 B
20000000. 1 0,72.3 : 100 10,78.6 :10  0 1 A :10  
tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% 0 trên B 2một tháng 0000000. 1. Đ  0ế,n 72 đầu .3 : th 100 áng 1 12  0, năm 78.6 :2016 100 1m ẹ : 100  23263844,9
rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số
. Lưu ý: 1 B  5 và B nguyên dương, nhập máy
tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao tính:
nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn   4 B
20000000. 1 0,72.3 : 100 10,78.6 :10  0 1 A:10  0  đồng). B 20000000. 1  0,72.3 : 100 1  0,78.6 : 100 1 
: 100  23263844,9 thử với A  0,3 rồi thử B từ 1 đến 5,
A. 50 triệu 730 nghìn đồng
B. 48 triệu 480 nghìn đồng
sau đó lại thử A  0,5 rồi thử B từ 1 đến 5, . . . cứ
C. 53 triệu 760 nghìn đồng
như vậy đến bao giờ kết quả đúng bằng 0 hoặc
D. 50 triệu 640 nghìn đồng
xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Hướng dẫn:
Kết quả: A  0,5; B  4
Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến
Câu 55: Cô giáo Thảo ra trường xa quê lập
đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả vốn lẫn lãi
nghiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết
do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là:
kiệm được x(triệu đồng) và định dùng số tiền đó 1 11 11
để mua nhà nhưng trên thực tế cô giáo phải cần 4.(1 
)  4 1, 01 (triệu đồng). 100
1,55x (triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm
Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: 10 4 1,01
vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm với lãi (triệu đồng)
hàng tháng nhập gốc và cô không rút trước kì hạn.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết
Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu
rằng chủ nhà đó vẫn bán giá như cũ. đồng).
A. Năm 2019 B. Năm 2020
Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là:
C. Năm 2021 D. Năm 2022 12 Hướng dẫn: 1 1  ,01 11 10 4 1  ,01 4 1  ,01 .  ..4 1  ,0144 50,730
Tiền lãi sau n (năm) tiết kiệm là 1 1  ,01 n n
(50 triệu 730 nghìn đồng). x  .
x (1 0, 069)  (1, 069) .x n n Đáp án A.
Theo giả thiết ta có x  1,55x  (1, 069)  1,55  n  log 1,55  6, 56 n
x  1,55x  (1, 069)  1,55  n  log 1,55  6, 56 1,069
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 49 Công Phá Toán The Best or Nothing
Vì n   do đó sau 7 năm cô giáo Thảo mua được 11 0 0 . 1  4.25 B  A. .60  120000. 1     
nhà, năm đó là 2021, đáp án C. (®ång) . 100  100 
Câu 56: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một
Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân
ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng cứ
nhận được là C  A  B     
sau mỗi một quý (3 tháng) thì lãi sẽ được cộng
dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm 11 11  4 25 .   4.25      .     
thì người đó nhận lại được số tiền (bao gồm cả
C A B 20000000 1 120000. 1     31802750,09  ®ång  100   100 
vốn lẫn lãi) gấp ba lần số tiền ban đầu. 11 11  4 25  4 25 A. 8 B. 9 C. 10  D. 11 20000000. 1  120000. 1       
  31802750,09 ®ång 100  100      Hướng dẫn:
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là
Câu 58: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng gửi 0,03
vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Ông B
. Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là:
cũng đem 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với 5   n A 1 0, 03 . lãi suất
% một tháng. Sau 10 năm, hai ông A 12 .    n ycbt A 1 0, 03  3A  n  log 3  37,16
và B cùng đến ngân hàng rút tiền ra. Khẳng định ycbt  A 1  0, 03  3A  n  log 3  37,16
nào sau đây là đúng ? ( Lưu ý: tiền lãi được tính 1,03
Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm.
theo công thức lãi kép và được làm tròn đến hàng Vậy đáp án là C. hàng triệu)
A. Số tiền của hai ông A, B khi rút ra là như nhau.
Câu 57: Một Bác nông dân vừa bán một con trâu
B. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 1 triệu.
được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần
C. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 2 triệu.
dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ
D. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 3 triệu.
số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào
ngân hàng với lãi suất 8. 5% một năm thì sau 5
Hướng dẫn: Sau 10 năm:
năm 8 tháng Bác nông dân nhận được bao nhiêu
- Số tiền của ông A có được:
tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng Bác nông dân đó
100. 000. 000(1+5%)10  163. 000. 000.
không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và
(làm tròn đến hàng triệu)
nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất
- Số tiền của ông B có được:
theo loại không kì hạn 0. 01% một ngày (1 tháng
100. 000. 000(1+5/12%)120  165. 000. 000. tính 30 ngày)
(làm tròn đến hàng triệu) Chọn đáp án C.
A. 31802750,09 ®ån  g
Câu 59: Một gia đình có con vào lớp một, họ
B. 30802750,09 ®ån  g
muốn để dành cho con một số tiền là 250.000.000
C. 32802750,09 ®ån  g
để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con
mình. Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số
D. 33802750,09 ®ån  g
tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền Hướng dẫn:
trên biết lãi suất của ngân hàng là 6,7% một năm
và lãi suất này không đổi trong thời gian trên? 8.5% 4.25
Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là .6  250.000.000 12 100 A. P  (triệu đồng) 12
. Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là (0, 067)
11 kỳ hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi Bác nôn dân nhận 250.000.000 B. P  (triệu đồng) 11 12  4 25 .  (1 6, 7)    được là: A 20000000. 1    (®ång). Vì 5  100  250.000.000 C. P  (triệu đồng)
năm 8 tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay 12 (1, 067)
dư 60 ngày nên số tiền A được tính lãi suất không 250.000.000
kỳ hạn trong 60 ngày là: D. P  (triệu đồng) 12 (1, 67)
50 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Hướng dẫn: Đáp án C.
Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X,
khi đó 320  x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân
Câu 60: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với
hàng Y. Theo giả thiết ta có:
lãi kép là 12%/năm. Hỏi người đó phải trả ngân 5 9 ( x 10,021) (  320 )
x (10,0073) 347,50776813
hàng hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm
Ta được x  140 . Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở
người đó trả xong nợ ngân hàng?
ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng Y.
A. 88 848 789 đồng. B. 14 673 315 đồng.
C. 47 073 472 đồng . D. 111 299 776 đồng.
Câu 62: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu Hướng dẫn:
đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo
Gọi A là số tiền người đó vay ngân hàng ( đồng),
hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng
a là số tiền phải trả hàng tháng và r % là lãi
vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 suất kép. Ta có:
triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho
- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất:
biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức n 1
R  A1 r  T  (
A 1 r) , trong đó A là số tiền gửi, r là lãi
- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai:
suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người
R   A  r   a  r   A  r2 2 1 1 1
 a 1 r 
đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền.
- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba:
A.  176, 676 triệu đồng
R   A1 r2
B.  178, 676 triệu đồng 3
 a 1 r   a1 r
C.  177, 676 triệu đồng
 A1 r 3  a 1 r 2  a 1 r 
D.  179, 676 triệu đồng ….
Hướng dẫn: Sau 6 tháng: 100. (1 + 5 %)2
- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ n : n n 1  Sau 1 năm:  n R
A1 r   a 1 r 
 ...  a 1 r 
100. (1 + 5%)2 + 50. (1 + 5%)2 = 176,676
Tháng thứ n trả xong nợ: n
Câu 63: Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 .
A r.1 r 
R  a  a  n
triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn  n 1 r  1
nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng Áp dụng với 9
A  1.10 đồng, r  0, 01,
kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ liên tiếp cách
và n  24 , ta có a  47 073 472
nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần Đáp án: C
là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể
Câu 61: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân
từ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông
hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ
Việt sẽ phải trả trong mỗi lần là bao nhiêu?
nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,  1 một quý  3 100. 1, 01 A. m  (triệu đồng).
trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở 3
ngân hàng Y với lãi suất 0, 73 một tháng trong 1, 3 01 B. m  (triệu đồng).
thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai 1, 3 01 1
ngân hàng là 27 507 768,13 (chưa làm tròn). Hỏi 1001, 03 C. m  (triệu đồng).
số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y 3 là bao nhiêu? 120.1,123
A. 140 triệu và 180 triệu. D. m  (triệu đồng). 1,123 1
B. 180 triệu và 140 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu.
Hướng dẫn: Lãi suất 1 tháng: 12: 12 = 1% /tháng
D. 120 triệu và 200 triệu. Sau 1 tháng: 100 – m
Sau 2 tháng: (100 – m). 1,01 – m
Hướng dẫn: Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính
Sau 3 tháng: ((100 – m). 1,01 – m). 1,01 – m = 0
là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng 1, 3 01
là 347, 507 76813 triệu đồng.  m  1, 3 01 1
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 51 Công Phá Toán The Best or Nothing
DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU
Câu 1: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính  2 V   2 V   2  R   . R  2  R     
đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ 2   R   R 
cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn
Đến đây ta có hai hướng giải quyết, đó là tìm đạo
đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình
hàm rồi xét y '  0 rồi vẽ BBT tìm GTNN. Tuy
trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu
nhiên ở đây tôi giới thiệu đến quý độc giả cách
hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều
làm nhanh bằng BĐT Cauchy.
tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn.
Ta nhận thấy ở đây chỉ có một biến R và bậc của
Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là:
R ở hạng tử thứ nhất là bậc 2, nhưng bậc của R ở A. 2 16 r h B. 2 18 r h
hạng tử thứ 2 chỉ là 1. Vậy làm thế nào để khi áp C. 2 9 r h D. 2 36 r h
dụng BĐT Cauchy triệt tiêu được biến R. Ta sẽ V Hướng dẫn: tìm cách tách
thành 2 hạng tử bằng nhau để R
khi nhân vào triệt tiêu được R2 ban đầu. Khi đó ta có như sau: 3r 2  2 V V  V 3 S  2.  R    2.3 tp    2R 2R  4
Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho => Đáp án B.
như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng R  3r,
Câu 3: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt
đề bài thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý
như hình vẽ có kích thước bán kính R  5 và chu
kĩ thì lại rất đơn giản.
vi của hình quạt là P  8 10 , người ta gò tấm
kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
Vậy khi đó V  B h   r 2 2 . 3
. .h  9 r . h
Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh
Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, của một cái phễu
các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí
Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau
sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt
rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích Gọi 1
V là thể tích của cái phễu thứ nhất, 2 V là tổng
toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản V
xuất muốn thể tích của hộp là 3 V cm
thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính 1 ? 2 V 2 V 2 V A. 3 S  3 3 tp B. S  6 tp 4 4 2 V 2 V C. S  3 tp D. S  6 tp 4 4 Hướng dẫn:
Đây là bài toán vừa kết hợp yếu tố hình học và
yếu tố đại số. Yếu tố hình học ở đây là các công V 21 V 2 21 A. 1  B. 1 
thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung 2 V 7 2 V 7
quanh, thể tích của hình trụ. Còn yếu tố đại số ở V 2 V 6 đây là tìm GTNN của C. 1  D. 1  tp S 2 V 6 2 V 2
Ta có yếu tố đề bài cho Hướng dẫn: 2 V V  .
B h   R .h  h  (*)
Do chu vi của hình quạt tròn là 2  R P = độ dài cung + 2R. 2 S  S  2S  2. R  2 .
Do đó độ dài cung tròn là l  8 tp xq day R h
52 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Theo cách thứ nhất: 8 chính là chu vi đường
tròn đáy của cái phễu. Tức là 2 r  8  r  4 Khi đó 2 2 2 2 h 
R  r  5  4  3 1 2  1 V  .3 .4 3
Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường
tròn đáy của hai cái phễu là 8  chu vi của một V  V  A. 1  B. 1 
đường tròn đáy là 4  4  2 r  r  2 2 V 2 2 V 4 Khi đó 2 2 2 2 h 
R  r  5  2  21 V  V  C. 1  D. 1  1 V V 2 2 6 2 8  2 V  2. 21.2 . 3 Hướng dẫn: 2 V 4 2 21
Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của Khi đó 1   hình lập phương là 2R 2 V 8 21 7 3 Ta được
Câu 4: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam
Thể tích hình lập phương là 3 2
V  8R , thể tích quả
giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và 3 4 R 1 V 
khối cầu nội tiếp khối nón là: bóng là 1 V    3 2 V 6 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước Hướng dẫn: như hình vẽ. R r 10cm 8cm
Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G 17cm
là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách
đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên
G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội
Diện tích xung quanh của phễu là:
tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu
ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt A. 2 S  360 xq  cm B. 2 S  424 xq  cm a 3 a 3 là , . Gọi C. 2 S  296 xq  cm D. 2 S  960 xq  cm 3 6 1 V , 2
V lần lượt là thể tích của
khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. Hướng dẫn: 3 V R 2 S
 2. .8.10   .8.17  296 xq  cm Vậy 1   8 3 2 V r
Câu 7: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta
Câu 5: Có một hộp nhựa hình lập phương người
đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao V 1
ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số 1 ,
của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của 3 2 V
phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược
trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2
phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ?
là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng
Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm.
đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp 1 mặt
hình vuông của chiếc hộp.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 53 Công Phá Toán The Best or Nothing Hướng dẫn:
Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta
có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao của hình trụ là 2016.2r 4
Thể tích của 2016 quả banh là 3 1
V  2016.  r 3 A. 0,188(cm). B. 0,216(cm). C. 0,3(cm). D. 0,5 (cm).
Thể tích của khối trụ là 2  2
V  r .2016.2r Hướng dẫn: 4 3 2016.  r
Tính thể tích của phần hình nón không chứa V 2 Tỉ số 1 3   3
nước, từ đó suy ra chiều cao h’, chiều cao của 2 V 2 r .2016 3
nước bằng chiều cao phễu trừ đi h’
Câu 9: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một 1
công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể
Công thức thể tích khối nón: 2 V   R .h 3 tích 2
1dm . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai
Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là
mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình
h  15cm , do chiều cao nước trong phễu ban
vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình 1
nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và đầu bằng
h nên bán kính đáy hình nón tạo bởi 3
thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? 1
A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh
lượng nước là R . Thể tích phễu và thể tích nước 3 đáy 1
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy lần lượt là 2 2
V   R .15  5 R  3 cm  và
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần 3 cạnh đáy 2 1  R  15 5 2 V   .   R
D. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy.    3 1 cm  . Suy ra thể 3  3  3 27 Hướng dẫn:
tích phần khối nón không chứa nước là
Đối với các bài toán liên quan đến diện tích của 2 5 2 130 2
V  V V  5 R   R   R  3
khối tròn xoay như thế này, cần áp dụng các công 2 1 cm  27 27
thức tính diện tích của từng khối một cách chính 2 V 26    
1 . Gọi h’ và r là chiều cao và bán xác rồi đem so sánh V 27
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích xung
kính đáy của khối nón không chứa nước, có
quanh bao bì phải là nhỏ nhất. 3 3 h ' r
Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng 2 V h ' h '     2 3 3 h R V h 15
dm, diện tích tính bằng dm2. Từ (1) và (2) suy ra
Xét mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình 3 3
vuông cạnh a và chiều cao h. h '  5 26  1
h  15  5 26  0,188cm
Khi đó ta có a2h=1 và diện tích toàn phần bằng
Câu 8: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ 2
S  2a  4ah .
vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số
hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều 2
cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả 2a , 2a , h 2 ah ta có: 3 2 S  3 2a .2 .2 ah ah  6 .
banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh
Dấu bằng xảy ra khi a = b. V
Xét mô hình hình trụ có đáy là hình tròn bán kính
và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số 1 ? 2 V
r và chiều cao là h. Ta có 2
 r h  1 và diện tích V 1 V 2 A. 1  B. 1  toàn phần bằng 2
S  2 r  2 rh 2 V 3 2 V 3
Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có: V 1 2 2 C. 1 
D. Một kết quả khác. 3
S  2 r  2 rh  3 2 r . .
rh  rh  5,536 2 V 2 Khi h  2r
54 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Vậy mô hình hình trụ là tốt nhất. Hơn nữa ta còn
Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường
thấy trong mô hình hình hộp thì hình lập phương
tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần
là tiết kiệm nhất, trong mô hình hình trụ thì hình
lượt là trung điểm của AB, CD . Biết
trụ có chiều cao bằng đường kính đáy là tiết kiệm
AB  4; AD  6 Thể tích V của vật thể tròn xoay nhất.
khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:
Câu 10: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy
hình nón có thể tích 27 cm3. Với chiều cao h và A
bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít B I nhất. 6 3 8 3 A. 4 r  B. 6 r  2 2 2 2 J D C 8 3 6 3 56 104 C. 4 r  D. 6 r  A. V   . B. V   . 2 2 2 2 3 3
Hướng dẫn: Đáp án A. 40 88 C. V   . D. V   . 3 3
Câu 11: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình
Hướng dẫn: Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì
cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một
nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R  2 ;
hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước
hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ có
chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính
r  2; h  6 .
đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước 1 4 16 nhất.
 Thể tích nửa khối cầu là 3 1 V  .  R  2 3 3 R 6 2R A. r  B. r  Thể tích khối trụ là 2
V   r h   3 3 2 24 2R R 88 C. r  D. r   V  1 V  2 V  3 3 3
Câu 13: Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ Hướng dẫn:
ba quả bóng tennis hình cầu, biết rằng đáy hình D C
trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao
của hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi 1
S là tổng diện tích của ba quả bóng, S2 là O h
diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích R 1 S là: S r B 2 A A. 2 B. 5 C. 3 D. 1
Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình
trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo Hướng dẫn:
Tổng diện tích xung quanh của ba quả bóng là
R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình 2 S 
 R (với R là bán kính của khối cầu). tròn (O,R) thay đổi về 2
V   r h đạt giá trị lớn 1 3.4 nhất.
Diện tích xung quanh của hình trụ là: Ta có: 2 2 2 2 2 2
AC  AB  BC  4R  4r  h
S    R 2 2 2
.3.2R  12 R .  2 1 2   1 3 2  S
V   R  h
h    h    
R h  0  h  2R Từ đây suy ra 1  1  4   4  S2  3 2 2  2R
V '    h  R  h  
Câu 14: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với    4  3
các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện 4 2R
tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể Vậy 3 V  m V ax   R 3  h  9 3 viền, mép, phần thừa).
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 55 Công Phá Toán The Best or Nothing h h
Theo giả thiết: IB   OI  ( vì phần bên 4 4 3 ngoài = h ) 30cm 4 10cm
Bán kính đáy của chén hình trụ là 2 2 h 3
R  OA  OI  4 Tỉ số thể tích là 35cm 3 4 4 h 3   A.   2 700 cm  B.   2 754, 25 cm   r    1 V 3 3  2  8     9 1 V  8 2 V 2 2 V  R h 9 C.   2 750, 25 cm  D.   2 756, 25 cm  2  h 3     h 4   Hướng dẫn:
Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung
Câu 16: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các
quanh của hình trụ và diện tích một đáy, với diện
nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí tích hình vành khăn.
nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích Ta có
toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích 2
của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình S        2 2 2 .7, 5.30 .7,5 . 17, 5  7, 5  .
trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?  756, 25 A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52. Đáp án D. Hướng dẫn:
Câu 15: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao
Gọi x  x  0 là bán kính đáy của lon sữa.
bằng đường kính quả bóng bàn. Người ta đặt quả V
bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả Khi đó 2
V   x h  h  . 2  x 3 bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi
Diện tích toàn phần của lon sữa là 4 2 2 V
S (x)  2 x  2 xh  2 x  2 x 1 V , 2
V lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc 2  x chén, khi đó: 2 2 2 4 A. 9  2 x  2  2 x  , x  0 1 V  8 2 V B. 3 1 V  2 2 V x x C. 16 1 V  9 2 V D. 27 1 V  8 2 V
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số Hướng dẫn: 2 4
S(x)  2 x  , x  0 x 4
S x  4 x  2 x O 1 I S x 3  0  x   0, 6827 A 
Câu 17: Một bình đựng nước dạng hình nón B
(không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao
của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta
thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước 16 tràn ra ngoài là 3
dm . Biết rằng một mặt của 9
Gọi h là đường cao của hình trụ, r là bán kính của
khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm
quả bóng, R là bán kính của chén hình trụ
trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường h
=>h=2r  r  OA  OB 
sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có 2
56 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. D r C
Diện tích xung quanh Sxq của bình nước là: r0 M O N A O B h α H K A B R I
Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại P Q lượng như hình vẽ.
Gọi  là góc cần tìm. S
Xét AHD vuông tại H có 9 10 A. 2 S   DH  ,
h AH  R  r xq dm . B. 2 S  4 10 dm . 2 xq  h  2 0
r  AH.tan    R  r  tan   1 3 C. 2 S  4 xq dm . D. 2 S  xq dm . 3 2 4  h Thể tích khối cầu là 3  1 V  0 r  Hướng dẫn: 3 6 1
Xét hình nón : h  SO  3r , r  OB, l  SA . Thể tích của  N 2 2 2  là 2
V   h R  r  Rr 3 Xét hình trụ : 1
h  2r  NQ , 1
r  ON  QI V 1 1 2 2 2 
 h  R  r  Rr 2 QI SI   1 r
SQI  SBO     V 2 1 r  2 BO SO 3 3
Ta có BC  R  r (tính chất hai tiếp tuyến cắt Thể tích khối trụ là: nhau) 3 2 2 r 16 2 2 2 V  
Mà h  BC   R  r   4Rr 3 t 1 r 1 h  
 r  2  h  6 9 9 2 2 2
Từ 2,3   R  r   Rr 4  l  h  r  2 10 2 Từ   1 ,3,4  S   rl  4 10 xq dm 2
 h   R  r 2 2
. tan   4  R  r 2
Câu 18: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng  P 2
song song với đáy. Mặt phẳng  P chia hình nón
 tan   4  tan  2 (vì  là góc nhọn) làm hai phần 
Câu 19: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 1
N  và  N2  . Cho hình cầu nội
50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện
tiếp  N2  như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu
tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng
bằng một nửa thể tích của  N2  . Một mặt phẳng
tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là
đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt A. 10 2cm B. 20cm
 N2  theo thiết diện là hình thang cân, tang góc C. 50 2cm D. 25cm
nhọn của hình thang cân là Hướng dẫn: N S 1 I J O N 2 H A A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Hướng dẫn:
Đặt a  50cm
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 57 Công Phá Toán The Best or Nothing
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần
lượt là x, y  x, y  0 . Ta có 2 2 2 2 SA  SH  AH  x  y
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là 2 2 2 S
  x   x x  tp y Theo giả thiết ta có B 2 2 2 2
 x   x x  y   a 2 2 2 2
 x x  y  x  a c 2 2 2 2
 x x  y  a  x 2  x  2 2 x  y  4 4 2 2
 a  x  2a x ,  DK : x  a C 4 A b 2 a  x  2 2 y  2a A. 0 2  120 B. 0 2  60
Khi đó thể tích khối nón là 1 1 4 C. 2  2 arcsin D. 2  2 arcsin 1 a 1 4 y 2 3 V   . .y   a . 2 2 2 2 3 y  2a 3 y  2a
Hướng dẫn: Đáp án A. 2 2 y  2a
V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
Câu 22: Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ. y
Chiều cao của cốc là 30cm, bán kính đáy cốc là
đạt giá trị nhỏ nhất
3cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến 2 2 2 2
đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò y  2a 2a 2a Ta có  y   2 . y  2 2a
ba vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm y y y
B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể 2 2a
Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi y 
thực hiện được dự định của mình. y B a
tức là y  a 2  x   25cm 2
Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng
biến thiên cũng được nhé A
Câu 20: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính
r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi
A. l  76cm
B. l  75,9324cm
đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp
C. l  74cm
D. l  74, 6386cm
xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung
quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình Hướng dẫn:
trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: Đặt 1 r , 2
r , h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng A. 2 16 r B. 2 18 r C. 2 36 r D. 2 9 r
cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên
Hướng dẫn: Đáp án C.
hình vẽ. Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên
mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên
Câu 21: Người ta cắt một miếng tôn hình tròn ra với cung nhỏ l( 3 BB )  6 1
r  18 và cung lớn
làm 3 miềng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn và
l( AA )  6 r  30 .
gò 3 miếng tôn để được 3 hình nón. Tính góc ở 3 2 đỉnh của hình nón?
58 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB 150 O đề ta có 2
 r h  150  h  . Khi đó chi phí 2  r
làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm 150 27000 số f r 2 2
 220 r  90.2 r  220 r  2  r r B B3 (nghìn đồng). B1 B2 27000
f 'r   440 r  , 2 r A3 A 675 f 'r  3  0  r   a . 11 A1 A2 BBT: Hướng dẫn: 0 a
Con kiến muốn đi từ A tới B phải vòng 3 vòng r
quanh cốc. Đường đi ngắn nhất là đi theo đoạn f’(r) – 0 +
AB3, Theo định lý Côsin ta có f(r) 2 2 A f(a) 3
B  OA  O 3 B  2O . A 3 OB .cos 3 (1)
Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là với    A 1 OA  675  f a 3  f 
  15038, 38797 nghìn đồng. Độ dài 2 2 AB  h  ( 2 r  1 r )  2 226  11    OB l( 3 BB ) 3 OB     OB  3 226
Câu 24: Khi sản xuất cái phễu hình nón (không OA l( A 3 A ) 5 OB  BA
có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục
 OA  OB  BA  5 226
tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phễu là ít Lại có
nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là l(
nhỏ nhất. Giá trị gần đúng diện tích xung quanh 1 BB ) 2 . 1 r 2 l(B 1 B )  . OB       OB 3 226 226
của phễu khi ta muốn có thể tích của phễu là 1dm3
là ? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Thay vào công thức (1) có kết quả. A. 4.18 dm2 B. 4.17 dm2 ĐS: 74,6386cm C. 4.19 dm2 D. 4.1 dm2
Câu 23: Một người thợ xây, muốn xây dựng một
Hướng dẫn: Đáp án C.
bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 3 150m
(như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành
Câu 25: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn
làm bằng tôn và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi
chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 3 16m . Tìm
phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến
bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được
hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau:
làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.
bê tông 100 nghìn đồng một 2 m , tôn 90 một 2 m A. 0,8m
B. 1,2m C. 2m D. 2,4m
và nhôm 120 nghìn đồng một 2 m . Hướng dẫn: Gọi ( x )
m là bán kính đáy của hình trụ (x  0) . 16 Ta có: 2
V  x .h  h  2 r
Diện tích toàn phần của hình trụ là:  S(x) = 2 2 32 (
S x)  2x  2 .
x h  2x  ,(x  0) A. 15037000 đồng. B. 15038000 đồng. x C. 15039000đồng. D. 15040000 đồng. 32
Khi đó: S’(x) = S'(x)  4x  , Hướng dẫn: 2 x
Gọi r, h  2
m  r  0, h  0 lần lượt là bán kính
cho S'(x)  0  x  2
đường tròn đáy và đường cao của hình trụ. theo
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 59 Công Phá Toán The Best or Nothing
Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị V . khi đó 2
V   x h  h 
nhỏ nhất khi x  2(m) nghĩa là bán kính là 2(m). 2  x
Câu 26: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc
. Để tiết kiện vật liệu thì diện tích toàn phần của
thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc xô bé nhất
chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng
. Ta có: 1lít = 1dm3 = 1000cm3.
lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
. Diện tích toàn phần của chiếc xô là
A. 1m và 2m
B. 1dm và 2dm 20000 2 S   x 
C. 2m và 1m
D. 2dm và 1dm x 3 Hướng dẫn: 20000 2 x  20000
. S  2 x   . 2 2 Đổi 3 2000 (  lit)  2 (
 m ) . Gọi bán kính đáy và x x
chiều cao lần lượt là ( x m) và ( h m) . 10 . 3
S  0  x  10  14, 2c . m 2  Ta có thể tích thùng phi 2
V  x .h  2  h  2
. Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích toàn phần x
Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta
của chiếc xô bé nhất khi x  14, 2cm
chỉ cần tìm x để diện tích toàn phần bé nhất.
Câu 29: Làm 1 m2 mặt nón cần: 120 lá nón (Đã 2 2 2 2
qua sơ chế). Giá 100 lá nón là 25.000 đồng. Vậy
S  2x  2 . x h  2 ( x x  )  2 (  x  ) tp 2 x x
để làm 100 cái nón có chu vi vành nón là 120 cm,
Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f (x) GTNN tại x  1
và khoảng từ đỉnh nón tới 1 điểm trên vành nón là khi đó h  2.
25 cm thì cần bao nhiêu tiền mua lá nón?
Câu 27: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn A. 400.000đ B. 450.000đ
chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 3 16m . Tìm C. 500.000đ D. 550.000đ
bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được Hướng dẫn:
làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.
Làm 100 cái nón hết 450.000 đ tiền để mua lá nón. A. 0,8m
B. 1,2m C. 2m D. 2,4m
Câu 30: Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là Hướng dẫn:
một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng Gọi ( x )
m là bán kính đáy của hình trụ (x  0) .
hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo 16 cách dưới đây: Ta có: 2
V  x .h  h  2 r
Diện tích toàn phần của hình trụ là:  S(x) = 2 2 32 (
S x)  2x  2 .
x h  2x  ,(x  0) x 32
Khi đó: S’(x) = S'(x)  4x  , 2 x
Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh
cho S'(x)  0  x  2
tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất,
Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị
khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
nhỏ nhất khi x  2(m) nghĩa là bán kính là A. 35c ; m 25cm B. 40c ; m 20cm 2(m).
Câu 28: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô C. 50c ; m 10 cm D. 30c ; m 30cm
bằng nhôm hình trụ không nắp chứa 10 lít nước. Hướng dẫn:
Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng
Gọi một chiều dài là xc 
m (0  x  60) , khi đó
phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa
chiều còn lại là 60  xcm, giả sử quấn cạnh có
hàng tốn ít vật liệu nhất. A. 14,7cm. B. 15cm.
chiều dài là x lại thì bán kính đáy là 3 2 C. 15,2cm. D. 14cm. x x   x r  ; h  60  . x Ta có: 2 60
V  r .h  . 2 4 Hướng dẫn: 3 2
f (x)  x
  60x ,x 0;60
. Gọi x(cm) là bán kính đáy của chiếc xô. x > 0 Xét hàm số:
60 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB x  0
Câu 32: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản 2 f '(x)  3
 x 120x; f '(x)  0   x  40
phẩm sữa nhận đơn đặt hàng sản xuất hộp đựng  3
Lập bảng biến thiên, ta thấy
sữa có thể tích 1dm . Các nhân viên thiết kế phân 3 2
f (x)  x
  60x ,x 0; 60lớn nhất khi x=40.
vân giữa làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp
chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty sẽ làm hộp
60-x=20. Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là
hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất. 20 cm. A. Hình trụ
Câu 31: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm
B. Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông
có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình C. Cả hai như nhau
hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn
D. Hình lập phương
một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = Hướng dẫn:
4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu
TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x(dm)
bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín
viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần số
và chiều cao là h(dm)
nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm 1 Ta có 2
V   x h  1  h  2  h   x cầu là 2 V   h R    )  3  2 AM GM 2 2 3
S  2 xh  2 x   2 x  3 2  5, 5 tp x 2 (dm )
TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình R R
vuông cạnh x(dm) và cao h(dm) h 1 2
V  x .h  1  h  A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 2 x Hướng dẫn: 4 AM GM 2 2
 S  4xh  2x   2x  6
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. tp x
Điều kiện: 0 < 2x <10  0 < x < 5
Kết luận: Chọn đáp án A. 4
Lời bình: Thực tế các loại thực phẩm, nước uống -Thể tích viên bi là 3 V  bi  x . 3
có loại dùng hình trụ (các loại nước giải khát như
-Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả
coca, pepsi…) có loại hình hộp (như sữa…). Nếu viên bi vào
tính toán chi tiết ta thấy cùng 1 đơn vị thể tích,
nếu làm hình hộp thì đó sẽ là hình lập 2  h   4  416 1 V   h R   16 10        3   3  3
phương,nhưng đa số chúng ta thấy các hộp đựng
-Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối
sữa là dạng hình hộp thường (là do đặc tính riêng
nước và viên bi có thể tích là:
về chi tiết quảng cáo trên sản phẩm,do cách bảo
quản sữa trong tủ lạnh và đôi khi do tính tiện dụng 2 2  2x 
4 x (30  2x)
cầm nắm) vì thế các bài toán về chi phí sản xuất 2 V   (2x) R      3  3
vật liệu cần phải đi sâu sát hơn vào đời sống, tìm -Ta có phương trình:
hiểu kĩ nhu cầu tiêu dùng,sự hài lòng khách hàng. 2
4 x (30  2x) 416 4 3
Do đó nhiều khi cần phải “tốn tiền cho vật liệu”. 2 V  1 V  V    bi  x 3 3 3
Câu 33: (Thể tích – mặt cầu – mặt nón – mặt trụ) 2 3
 4 x (30  2x)  416  4 x
Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, 3 2
một người dự tính tạo thành các hình trụ (không
 3x  30x 104  0 đáy) theo hai cách sau:
-Giải phương trình ta có các nghiệm: x1  9,6257
Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung > 5 (loại)
quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối
x2  2,0940 < 5 (thỏa mãn), và x3  -1,8197 (loại). trụ đó là V1
Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm).
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 61 Công Phá Toán The Best or Nothing
Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường
sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức
xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của x chúng là V2.
2 r  x  r  . 2
Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago 2 x là: h = 2 2 2 R  r  R  . 2 4
Thể tích của khối nón: V 2 2 Khi đó, tỉ số 1 là: 1   x  x 2 2 V   r .H  R  . V   2 2 3 3  2  4 1 1 A. 3 B. 2 C. D.
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: 2 3 2 2 2 2 2 2 6 4 x x x 4 4 R 2 2 Hướng dẫn: V  . . (R  )   . 2 2 2 9 8 8 4 9 3 9 27
.Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 3 2 2 2 3 27  x x x  2 2 R   3  R  2  V  R  h2  2 2 2 2   R  2 6   1 1 2 2 2 4 x x x 4 4 R 2 1 1  4 8 8 4 . . (  )      . 2 2 2    . Gọi R 9 8 8 4 9 3 9 27  
1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có   1 9   2 R   1  R  2  V  3 R  h  2 1 2 1
Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi 2 4 Vậy đáp án là A. 2 2 x x 2  R  2
Câu 34: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính 8 4
bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu 2  x 
R 6  x  6 6
bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này 3
và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ).
(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá
Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung
trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn)
tròn của hình quạt bằng
Câu 35: Một người có một dải duy băng dài 130
cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh
một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này
dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp
hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có
thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao A.  6 cm B. 6 6 cm nhiêu ? C. 2 6 cm D. 8 6 cm Hướng dẫn: I r N M h R A. 3 4000 cm B. 3 32000 cm C. 3 1000 cm D. 3 16000 cm S Hướng dẫn:
62 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Một bài toán thực tế khá hay trong ứng dụng của
việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Ta nhận thấy,
dải duy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh
cái hộp, do đó chiều dài của dải duy băng chính là 9cm
tổng chu vi của hai hình chữ nhật đó. Tất nhiên
chiều dài duy băng đã phải trừ đi phần duy băng
dùng để thắt nơ, có nghĩa là:
22 2r  h  120  h  30  2r
Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công 6cm thức: 2
V  B h   r   r     3 2 . . 30 2
2r  30r  81 A. 36 B. 54 C. 48 D.  2
Xét hàm số f r  3 2
 2r  30r trên 0;15
Hướng dẫn: Đáp án C. 2
r  0 l 
f 'r   6
 r  60r; f 'r   0  
Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích r  10 
thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy
Khi đó vẽ BBT ta nhận ra Max f r   f 10 .
bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao 0;10
bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi 1 S là
Khi đó thể tích của hộp quà
tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S là diện 2 2 V  .
B h   .10 .10  1000 S
Câu 36: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 1 bằng S2
50cm  240cm, người ta làm các thùng đựng nước 3 6
hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách A. B. 1 C. 2 D. 2 5
sau (xem hình minh họa dưới đây):
 Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung
Hướng dẫn: Đáp án B. quanh của thùng.
Câu 39: Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản
 Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng
xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để
nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp của một thùng.
mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách
mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa).
1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo
Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có V
dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có cách 2. Tính tỉ số 1
chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất 2 V
đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích
lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách
hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó ? V 1 V A. 1  . B. 1  1. 2 V 2 2 V V V C. 1  2. D. 1  4. 2 V 2 V
Hướng dẫn: Đáp án C. A. V  36 B. V  54 81
Câu 37: Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm C. V  48 D. V   2
và chiều cao bằng 9 cm. Tính thể tích lớn nhất của
Hướng dẫn: Đây thực chất là bài toán khối trụ nội
khối trụ nội tiếp trong hình nón.
tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 63 Công Phá Toán The Best or Nothing
Hướng dẫn: Đáp án A. 9
Câu 41: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x
180cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ
có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách(Xem hình minh họa dưới) 6
Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng 2 V  .
B h   r .h
Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN
trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc
r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r.
Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông
Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh
góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có: của thùng h 6  r 18  3r
Cách 2.Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng   h  9 6 2
nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh của 3 thùng. 18  3r 3 r
Khi đó V  f r  2 2   r .    9 r Ký hiệu 2 2 1
V là thể tích của thùng gò được theo cách với 0  r  6 thứ nhất và 2
V là tổng thể tích của ba thùng gò 9 r  V f 'r  2 0
   r 18 r  0 
được theo cách thứ 2.Tính tỉ số 1  2 r  4  2 V
Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể 1 1 A. B. C. 3 D. 2
suy ra được với r  4 thì V đạt GTLN, khi đó 2 3 V  48
Hướng dẫn: Vì các thùng đều có chung chiều
Câu 40: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các V Sda 1 y cao nên: 1 
nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí 2 V Sday2
nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích
+) Diện tích đáy 1: Sda 1 y
toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích
Chu vi đáy 1: 2 r =180
khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần 1 2
hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng: 90 90 => 2 1 r = ; S = r   1 day 1  V V A. 3 R  B. 3 R 
+) Diện tích đáy 1: Sday2 2  30 V V Chu vi đáy 1: 2 2 r =60=> 2 r = ; C. R  D. R   2  2 2 2 30 3.30  Sday2 = 2 r  =>3 S = .  day2 
Câu 40.1: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy V Sda 1 y Vậy 1  =3
hình nón có thể tích 27cm3. Với chiều cao h và 2 V Sday2
bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít
Câu 42: Cối xay gió của Đôn ki hô tê (từ tác phẩm nhất.
của Xéc van téc). Phần trên của cối xay gió có 6 3 8 3
dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 A. 4 r  B. 6 r  2 2 2 2
cm và thể tích của nó là 18000 cm3. Tính bán kính 8
của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số 3 6 3 C. 4 r  D. 6 r  thập phân thứ hai). 2 2 2 2
A. 12 cm B. 21 cm C. 11 cm D. 20 cm
64 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Hướng dẫn:
Câu 44: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy Theo đề bài ta có: 3
V  18000 cm , h  40 cm .
bạc có thể tích 12 (cm3) và chiều cao là 4cm. Do đó, ta có:
Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên
4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích 1 2 3V 3.18000
V  . r h  r  
miếng giấy bạc cần thêm là. 3  h 40 2 2
 r  20, 72 cm
A. (12 13 15) cm  . B. 12 13 cm  .
Vậy bán kính của hình tròn là r  21cm 12 13 C.  2 cm . D.    2 (12 13 15) cm 
Câu 43: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh 15
a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và
Hướng dẫn: Gọi R1 là bán kính đường tròn đáy
hai hình tròn có cùng đường kính để làm thân và
hình nón lúc đầu; h1 là chiều cao của hình nón lúc
các đáy của một hình trụ. Hỏi khối trụ được tạo đầu.
thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết
Gọi R2 là bán kính đường tròn đáy hình nón sau
rằng các cạnh của hình chữ nhật song song hoặc
khi tăng thể tích; h2 là chiều cao của hình nón sau
trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn. khi tăng thể tích. 3 3 a  a    1 1 1 A. B. Ta có: 2 2 1 V   1 R 1 h  12   1 R 4  1 R  3  2  2 4 1 4 3 3 1  3 2 a    1 3 a  1 V   1 R 1 h  C. D. 3 2 4 2 4  2 1  V R 2 2 2
V   R h   
 4  R  2R  6 Hướng dẫn: 2 2 2 2 1 2 3  1 V 1 R
Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ. 2 h  1 h 
+) Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích  
thước x và a. Một phần có kích thước a-x và a.
Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:
Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần S   R l     xp   2 1 1 1 3 16 9 15 cm 
có kích thước a-x và a cuộn dọc để tạo thành thân
(tạo thành hình trụ có chiều cao bằng a). Điều kiện
Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể a 2 3  ax a  tích: là x  thì V   .  1  2   2 4 4 1 Sxp2   2 R 2
l   6 16  36  12 13 cm 
+) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích
Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:
thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo S      2 12 13 15 cm  .
thành hình trụ có chiều cao là a-x). Điều kiện là a Đáp án: A. x 
do chu vi của hình tròn cắt ra phải bằng với 
Câu 45: Một tấm vải được quấn 357 vòng quanh
phần đáy của hình chữ nhật. Khi đó
một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5,678cm,
 a  x 2 x
bề dày vải là 0,5234cm. Khi đó chiều dài tấm vải V  .
gần số nguyên nào nhất sau đây: 4 A. 330 B. 336 C. 332 D. 334
 a  x 2 x a Xét hàm số V  , với x  .
Hướng dẫn: Gọi r là bán kính lõi gỗ, d là chiều 4  dài vải, k
l chiều dài vải vòng thứ k
 a  x 2 3 x a    1 Ta có V   . Ta có 2 4 4
l  2 r;l  2 (r  d );...;l  2 (r  (n 1)d )
Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành 1 2 n
Ta có tổng chiều dài của n vòng 3 a    1 là: . 
n(n 1)d  2 4 S  1 l  2
l  ...  l  2 nr  n  2   
Suy ra S  336,3417m
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 65 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 46: Một khối gạch hình lập phương (không
Hướng dẫn: Đáp án D.
thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong
Câu 48: Trong quá trình làm đèn chùm pha lê,
một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước
người ta cho mài những viên bi thuỷ tinh pha lê
theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm
hình cầu để tạo ra những hạt thủy tinh pha lê hình
trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt
đa diện đều có độ chiết quang cao hơn. Biết rằng
này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của
các hạt thủy tinh pha lê được tạo ra có hình đa diện
viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể
đều nội tiếp hình cầu với 20 mặt là những tam giác
tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số
đều mà cạnh của tam giác đều này bằng hai lần thập phân).
cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn lớn của
hình cầu. Khối lượng thành phẩm có thể thu về từ
1 tấn phôi các viên bi hình cầu gần số nào sau đây: A. 355,689kg B. 433,563 kg
C. 737,596 kg D. 625,337kg Hướng dẫn:
Lấy bán kính viên bi hình cầu làm đơn vị độ dài 4
thì thể tích của viên bi là . A. V = 22,27 B. V = 22,30 3
tính cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn C. V = 23.10 D. V = 20,64 lớn của hình cầu.
Hướng dẫn: Gọi R, h lần lượt là bán kính và
tính cạnh của hình đa điện đều 20 mặt. tính thể
chiều cao của hình nón (phễu).
tích hình chóp tam giác đều có đỉnh là tâm hình
Thiết diện của hình nón song song với đáy của
cầu, đáy là mặt của hình đa diện đều. nhân số đo
hình nón, qua tâm của viên gạch là hình tròn có 4
thể tích đó với 20 rồi chia cho . 3 bán kính 1 R  3 thỏa mãn
Nhân kết quả này với 1000kg. Ta có m  737,59644 kg 1 R h  2 h  2   .R  3   1 R h h
Câu 49: Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng
Thiết diện của hình nón song song với đáy hình
sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000
nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy
cm3. Biết rằng bán kính nắp đậy sao cho nhà sản
của hình nón là hình tròn có bán kính 2 R  1 thỏa
xuất tiết kiệm vật liệu nhất có giá trị a. Hỏi giá trị R h  h 
a gần với giá trị nào gần nhất? mãn 2 2 2 2 2  
.R  12 R h h A. 11.677 B. 11.674 Từ (1) và (2) suy ra
C. 11.676 D. 11.675 h  2 5 2  6 Hướng dẫn:  3  h  và R  2 3 1 1000 h  2 2 2 V =1000 = a2hπ  h = 2
Thể tích lượng nước còn lại trong phễu là  a 1 2000
V  Vnón - Vgạch 2 3
  R h  2  22, 2676 Stp = 2πh + 2πa2 = +2πa2 3 2 a
Câu 47: Cho 4 hình cầu có cùng bán kính bằng  S’=0  a = 11.675
2006-1 và chúng được sắp xếp sao cho đôi một tiếp
Câu 50: Bốn quả cầu đặc bán kính 5 2 r  112e
xúc nhau. Ta dựng 4 mặt phẳng sao cho mỗi mặt
tiếp xúc nhau từng đôi một, ba quả nằm trên mặt
phẳng đều tiếp xúc với 3 hình cầu và không có
bàn phẳng và quả thứ tư nằm trên ba quả kia. Một
điểm chung với hình cầu còn lại. Bốn mặt phẳng
tứ diện đều ngoại tiếp với 4 quả cầu này. Độ dài
đó tạo nên một hình tứ diện. Gọi V là thể tích của
cạnh a của tứ diện gần số nào sau đây nhất:
khối tứ diện đó (làm tròn 2 chữ số thập phân), khi A. 22. B. 25 C. 30 D.15 đó thể tích V là: A. V = 1,45 B. V = 1,55
Hướng dẫn: Chiều cao 1
h của tứ diện đều mà 4 C. V = 1,43 D. V = 1,44
đỉnh là 4 tâm của 4 quả cầu:
66 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào 2 2r 3 2 2 6 1 h  (2r)  ( )  r . nhất? 3 3 A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.5
Chiều cao h của tứ diện ngoại tiếp 4 mặt cầu:
Hướng dẫn: Đáp án A.  2 6  h  1
h  r  3r  1
h  4r   4   r 
Câu 53: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính 3   
r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi h
Cạnh của tứ diện muốn tìm
đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp a  sin 
xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung
 a  2 6  2r  a  22, 4452
quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình
trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
Câu 51: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi A. 2 16 r B. 2 18 r C. 2 9 r D. 2 36 r
di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn
5(dem) có kích thước 1m x 20m (biết giá 1m2 tôn
Hướng dẫn: Đáp án C. là 90000đ) bằng 2 cách:
Câu 54: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1)
hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và
Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng
bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít
nhau rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật nhất. như (hình 2). 6 3 8 3
Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước A. 4 r  B. 6 r  2 2
chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp 2 2
là 9955đ/m3. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu 8 3 6 3 4 6
đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào để không C. r  D. r  2 2 2 2
vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí Hướng dẫn:
theo dữ kiện trong bài toán). 1 3V Ta có: 2
V   r h  h  => độ dài đường Hình 1 2 3  r 1m 20 m 3V sinh là: 2 2 2 2
l  h  r  ( )  r 2 Hình 2  r 1m 8 81 3 2 2 2  ( )  r   r 6m 4m 6m 4m 2 2 4  r  r
A. Cả 2 cách như nhau
Diện tích xung quanh của hình nòn là:
B. Không chọn cách nào 8 8 C. Cách 2 3 2 3 4 S
  rl   r  r    xq r 2 4 2 2 D. Cách 1  r  r Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là
Tiền tôn: S. 90000 = 20.90000=1800000(đ) 8 3 khi 6 r  .
Cách 1: Chu vi đáy C: 2πr = 20  r 2 2
Tiền nước: V.9955 = πr2h9955 = 253501,99(đ)
Câu 55: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn Cách 2:
đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với
Tiền nước: V.9955 = 20.0,8.9955 = 159280 đ
đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo
Tổng tiền = 1800000 + 159280 = 1959280
đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), (thỏa mãn)
đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng
Câu 52: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các
với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn
nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nhất.
nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích h h h h
toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích A. d  B. d  C. d  D. d  3 2 6 4
khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần phần
Hướng dẫn:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 67 Công Phá Toán The Best or Nothing
Gọi r là bán kính của (L).
Hướng dẫn: Đáp án D. r h  d R Ta có   r  h  d 
Câu 59: Một quả bóng bàn và một chiếc chén R h h
hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng 2 2 R R  V  
h  d 2 .d  
h  d h  d .2d
lên chiếc chén thấy phần ngoài của quả bóng có 2 2 h 2h
chiều cao bằng 3/4 chiều cao của nó. Gọi 1 V , 2 V
R  h  d   h  d  3 2 2  2d  4 R h
lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén,    2   2h 3 27 khi đó:  
A. 9V  8V
B. 3V  2V h 1 2 1 2
Dấu bằng xảy ra khi h  d  2d  d  . 3 C. 16 1 V  9 2 V D. 27 1 V  8 2 V
Câu 56: Người ta cần đổ một ống bi thoát nước
Hướng dẫn: Đáp án A.
hình trụ với chiều cao 200 cm , độ dày của thành
Câu 60: Khi cắt mặt cầu S O, R bởi một mặt
bi là 10 cm và đường kính của bi là 60 cm .
Lượng bê tông cần phải đổ của bi đó là:
kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của
mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. A. 3 0,1 m . B. 3 0,18 m .
Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S O, R C. 3 0,14 m . D. 3  m .
nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa
Hướng dẫn: Đáp án A.
mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của
Câu 57: Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính
hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R  1 , tính bán kính
r vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên
đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa
bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa
mặt cầu S O, R để khối trụ có thể tích lớn nhất.
tiếp xúc với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi 3 6 6 3
xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của A. r  , h  . B. r  , h  . 2 2 2 2
bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là: 6 3 3 6 C. r  , h  . D. r  , h  . 3 3 3 3 A. 2 36 r B. 2 16 r C. 2 18 r D. 2 9 r Hướng dẫn:
Hướng dẫn: Đáp án D.
Câu 58: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình O’
trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam A’ R
giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn h
cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn r
nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q O A
tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành
hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất
của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết A
đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của
O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt
cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới Q P
hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: 2 2 2
h  r  R 0  h  R   1 2 2
 r  1 h B C M N Thể tích khối trụ là: 2 2 91125 91125
V   r h   (1 h ) h  f (h) A. 3 (cm ) B. 3 (cm ) 4 2 2 3
 f '(h)   (1 3 h )  0  h  108000 3 13500. 3 3 C. 3 (cm ) D. 3 (cm )  
68 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB 3 2
V   R CD    3 1 . 400 cm  . h 0 1 3
Thể tích khối trụ có đường cao AB : f'(h) + 0  2
V   r AB    3 2 . 12 cm  . 2 3 f(h) 9 M 0 0 B E r = 2 2 3 6 Vậy: MaxV  (đvtt) khi r  và 0;  1 9 3 R = 5 C F 3 h  MC CF 5 3 Ta có    MB  4 MB BE 2
Câu 61: Phần không gian bên trong của chai rượu
Thể tích phần giới hạn giữa BC :
có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy 
bằng R  4,5 cm, bán kính cổ r  1,5 cm, V   2 2
R MC  r MB    3 3 . . 78 cm  . 3
AB  4,5 cm, BC  6, 5cm, CD  20 cm. Thể tích
Suy ra: V  V V  V    3 1 2 3 490 cm .
phần không gian bên trong của chai rượu đó bằng 3321 7695 Chọn C. A.  3 cm  . B.  3 cm  . 8 16
Câu 63: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn 957
tròn lại theo chiều dài, được một khối trụ đường C.  3 cm  . D.   3 478 cm  . 2
kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ
Hướng dẫn: Đáp án C.
và in tranh cổ động, khối còn lại là một khối trụ
có đường kính 45 cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao
Câu 62: Phần không gian bên trong của chai nước
nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị) ?
ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy A. 373 (m) B. 119 (m)
bằng R  5c ,
m bán kính cổ r  2cm, AB  3c , m C. 187 (m) D. 94 (m)
BC  6cm, CD  16c .
m Thể tích phần không gian
Hướng dẫn: Đáp án A.
bên trong của chai nước ngọt đó bằng:
Câu 64: Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có A
độ dài cạnh bằng 3; K là trung điểm BC. Người ta r B
dùng compha có tâm là S, bán kính SK vạch một
cung tròn MN. Lấy phần hình quạt gò thành hình C
nón không có mặt đáy với đỉnh là S, cung MN
thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính
thể tích khối nón trên. S D R M N A.   3 495 cm . B.   3 462 cm  . B C K C.   3 490 cm  . D.   3 412 cm  .  105 3 3 3  141 A. B. C. D. Hướng dẫn: 64 32 32 64
Thể tích khối trụ có đường cao CD :
Hướng dẫn: Đáp án A.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 69 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 65: Cho một hình cầu bán kính 5cm, cắt hình
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 1 R 
cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo 2
thành là một đường kính 4cm. Tính thể tích của
Câu 67: Một người nông dân có một tấm cót hình
khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là
chữ nhật có chiều dài 12 dm , chiều rộng
tâm hình cầu đã cho. (lấy   3,14 , kết quả làm
1m.Người nông dân muốn quây tấm cót thành
tròn tới hàng phần trăm). A. 50, 24 ml B. 19,19 ml
một chiếc bồ đựng thóc không có đáy, không có
nắp đậy, có chiều cao bằng chiều rộng của tấm cót C. 12, 56 ml D. 76, 74 ml theo các hình dáng sau: Hướng dẫn: (I). Hình trụ. O
(II). Hình lăng trụ tam giác đều.
(III). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật
có chiều dài gấp đôi chiều rộng. 5
(IV). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông.
Hỏi theo phương án nào trong các phương án trên 2 N M A
thì bồ đựng được nhiều thóc nhất (Bỏ qua riềm, khớp nối).
Ta có: MN  4cm 2 2
 MA  2cm  OA  MO  MA  21cm 2 S   R  d  2 3,14.4 cm  1m 1m 1 V 
21.3,14.4  19,185ml   19,19 ml (II) ( I) 3
Câu 66: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng
hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa
nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện
tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: 1m 1m 3 1 A. 3 R  B. 3 R  (IV) (III) 2  1 2 C. 3 R  D. 3 R  2  A. (I) B. (II).
C. (III). D. (IV).
Hướng dẫn: Gọi h và R lần lượt là chiều cao và
Hướng dẫn: Đáp án A.
bán kính đáy (đơn vị: met) 1
Câu 68: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình Ta có: 2
V  h R  1  h  2
cầu đường kính 18dm, và một hình trụ có chiều  R
cao 36dm. Tính thể tích của bồn chứa (đơn vị 2 2 1  2  2  2  2 tp S R Rh R  R 2 3  R dm ) ? 2 2  2 R  R  0 R
Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được 18 1 1 36 f  R 3  R   h  min 2 1  3 2 4
Cách 2: Dùng bất đẳng thức: A. 3888 B. 9216 . 2 2 1  2  2  2  2 tp S R Rh R  R 2  R 16 1024 C. . D. . 243 9 2 1 1 2 1 1 3 3  2 R    3 2 R . .  3 2 R R R R
Hướng dẫn: Đáp án A.
70 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN
Câu 1: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí
ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm
cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt
hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này?
đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển
A. f t   t  t3 2 30 12  C
động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động
theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy
B. f t   t  t2 2 3 30 12 1610640 luật 2
v(t)  10t  t , trong đó t (phút) là thời gian
tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính
C. f t   t  t3 2 30 12 1595280
theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi
bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:
D. f t   t  t2 2 3 30 12 1610640
A. v  7 m / p
B. v  9 m / p
C. v  5 m / p
D. v  3 m / p Hướng dẫn:
Thực chất đây là bài toán tìm nguyên hàm. Ta có Hướng dẫn:
thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho đạo hàm của
Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quảng
một hàm số, công việc của chúng ta là đi tìm
đường là s  162m nguyên hàm: Ta có:  t   2 2 t  tdt  t   td  2 90 6 12 45 12 t 12t  t 3 t 3 t t s      2 10t  t  2 2
dt   5t    5t  1  3  3 2 2 0   0 
 t  t2 45 12
d t  2t
(trong đó t là thời điểm vật tiếp đất ) 1 3 1 1  t  45.
 2t 12t 2  t  t3 2 30. 12 Cho 2 5t   162  t  9 1 3 1 2 (Do v t  2
 10t  t  0  t  10 )
Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền
Khi đó vận tốc của vật là:
nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính v   2
9  10.9  9  9 m / p . Chọn B.
Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi    3 2 1610640 30 4 12.4  1595280
theo thời gian được tính bởi công thức
Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:
v(t)  3t  2 , thời gian tính theo đơn vị giây, D t   t  t3 2 30 12 1595280
quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m . Biết
tại thời điểm t  2s thì vật đi được quãng đường
Phân tích sai lầm: Nhiều quý độc giả khi tìm ra
là 10m . Hỏi tại thời điểm t  30s thì vật đi được
được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C
quãng đường là bao nhiêu?
luôn như bài toán tìm nguyên hàm bình thường.
A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m
Tuy nhiên ở đây khoản nợ vay ban đầu đã cố
định, tức là hằng số C đã cố định. Ta cần tìm hằng Hướng dẫn:
số để cộng thêm vào công thức. Ta có:
Sai lầm thứ hai: Nhiều quý độc giả cộng luôn với 3
s t    vt dt   3t  2 2 dt 
t  2t  C,
1610640 luôn nên dẫn đến sai lầm. 2 m
s 2  10  C  0  S 30  1410  A
Sai lầm thứ ba: Không nhớ công thức  n m n a a
Câu 3: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ
Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa
nước. Gọi h t  là thể tích nước bơm được sau t
D t  đô la mỗi năm, với D t     2 ' 90 1 6 t 12t
trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể
giây. Cho h t  2 '
 3at  bt và ban đầu bể không
từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công
có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 71 Công Phá Toán The Best or Nothing 3
150m . Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là
v(t)  5t  20 , trong đó t là khoảng thời gian 3
tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết
1100m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm
xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu được 20 giây. mét? A. 8400 3 m B. 2200 3 m A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m C. 600 3 m D. 4200 3 m Hướng dẫn: Hướng dẫn: Khi ca nô dừng thì
Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây
v t   0  5
 t  20  0  t  4
là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên
Khi đó quãng đường đi được từ khi hết xăng là
từ các dữ kiện đề cho ta có: 4 4 5  5  Ta có s   5  t  20 2 dt  t  20t  40 m .   1  5 2 3at  bt  3 2 dt  at     bt   2   2  0 0 0 0 25
Câu 7: Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước.  125a  b  150 2
Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt
Tương tự ta có 1000a  50b  1100
hồ và sau mỗi giờ lượng lá bèo tăng gấp 10 so với
Vậy từ đó ta tính được a  1;b  2
trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy
Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là 1
giờ thì lá bèo phủ kín mặt hồ? 20 20 3 '
 h t dt   3 2 t  t   8400. A. 9  log 3 B. 9  log 3 0 0 9  log 3
Câu 5: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa C. D. 3  log 3 3
nước. Gọi h t  là thể tích nước bơm được sau t Hướng dẫn:
giây. Cho h t  2 '
 3at  bt và ban đầu bể không 1
Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín cái hồ.Vì 3
có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là
tốc độ tăng không đổi, 1 giờ tăng gấp 10 lần nên 3
150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là ta có
1100m3. Tính thể tích của nước trong bể sau khi t 1 9 t 1 9 bơm được 20 giây.
10  10  log10  log 10  t  9  log 3 . 3 3 A. 8400 m3 B. 2200 m3
Câu 8: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả C. 600 m3 D. 4200 m3
sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của Hướng dẫn:
chuông, được thiết diện có đường viền là một Ta có:
phần parabol (hình vẽ). Biết chuông cao 4m, và 2 t
h t   h t  dt   2 at  bt  3 ' 3
dt  at  b    C
bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích 2 chuông?
Do ban đầu hồ không có nước nên 2 t
h     C   h t  3 0 0 0  at  b 2 2 Lúc 5 giây h   3 5 5  . a 5  . b  150 2 2 Lúc 10 giây h   3 10 10  . a 10  . b  1100 2
Suy ra a  1,b  2 A. 6 B. 12 C. 3 2 D. 16  h t  3 2
 t  t  h   3 2 3
20  20  20  8400m Hướng dẫn:
Câu 6: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận
tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc
72 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB   y 6 6 2 4  S  2 36cos tdt  36 (cos 2t+1) dt       6 6 x  O 6  18 (sin 2 t 2 t)  18 3 12   6
Do đó số tiền cần dùng là 70000.S  4821322
Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba đồng
điểm 0;0,4;2 2,4; 2  2  nên có phương
Câu 10: Cho mạch điện như hình vẽ dưới. Lúc 2 y
đầu tụ điện có điện tích 0
Q C . Khi đóng khóa trình x 
. Thể tích của chuông là thể tích của 2
K , tụ điện phóng điện qua cuộn dây . L Giả sử khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng
cường độ dòng điện tại thời diểm t phụ thuộc vào y 
2x, x  0, x  4 quay quanh trục Ox. Do đó
thời gian theo công thức I  I t   0
Q  cos t  4 4
(A), trong đó  (rad/s) là tần số góc, t  0 có đơn
Ta có V   2xdx    2  x  16 0
vị là giây  s. Tính điện lượng chạy qua một thiết 0
Câu 9: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính
diện thẳng của dây từ lúc bắt đầu đóng khóa K
6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m
t  0 đến thời điểm t  6 s.
nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây K là 70000 đồng 2
/ m Hỏi cần bao nhiêu tiền để
trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn – đến hàng đơn vị) L + 6m A. 0
Q  sin 6  (C) B. 0
Q sin 6  (C) O C. 0
Q  cos 6  (C) D. 0
Q cos 6  (C) Hướng dẫn:
Ta có biểu thức của cường độ dòng điện tại thời A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng.
điểm t phụ thuộc vào thời gian là biểu thức đạo C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng
hàm của biểu thức điện lượn chạy qua tiết diện Hướng dẫn:
thẳng của dây, hay nói cách khác
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi
Điện lượng chạy qua tiết diện S trong thời gian từ t2
đó phương trình đường tròn tâm O là 2 2 x  y  36 1
t đến t2 là q  .  i dt .
. Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có t1 6 phương trình 2
y  36  x  f (x)
Vậy q  Q  cos  o t dt
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện 0
tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị 6  sin    o Q t 0
Q sin 6 C  .
y  f (x) và hai đường thẳng x  3  ; x  3 0 3 Đáp án B. 2  S  2 36   x dx
Câu 11: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một 3
chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm.
Đặt x  6 sin t  dx  6 cos tdt . Đổi cận:
Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10   x  3   t  
; x  3  t  cm đến 13 cm? 6 6 A. 1,95J B. 1,59 J
C. 1000 J D. 10000 J
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 73 Công Phá Toán The Best or Nothing Hướng dẫn: Hướng dẫn:
Theo định luật Hooke, khi chiếc lò xo bị kéo căng y
thêm x m so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo trì 5
lại với một lực f (x)  kx .Khi kéo căng lò xo từ 5 A
cm đến 10 cm, thì nó bị kéo căng thêm 5 cm =
0,05 m. Bằng cách này, ta được f (0, 05)  50 bởi O 4 5 x 50
vậy: 0.05k  50  k   1000 0.05 B
Do đó: f (x)  1000x và công được sinh ra khi
kéo căng lò xo từ 10 cm đến 13 cm là:
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. 2 0,08 x 0,08
Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ là W  1000xdx  1000  1, 95  J 0,05 0,05 2 2 2 x  y  25 Vậy chọn A.
Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích phần tô
Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa đậm phía trên.
nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t
Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong có
giây. Cho h t  2 ’
 3at  bt và ban đầu bể không phương trình là 2 y  25  x , trục
có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là ; Ox x  5
 ; x  4 (trong đó giá trị 4 có được dựa 3
150m . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là
vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung bằng 6) 3
1100m . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm
Vậy diện tích cần tính là
được 20 giây là bao nhiêu. 4 2 S  2
25  x dx  74, 45228... A. 3 8400m B. 3 2200m  5 C. 3 6000m D. 3 4200m
Do đó, đáp án là câu B. Hướng dẫn:
Câu 14: Một người đứng từ sân thượng một tòa 2 bt
nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương
Ta có h t  2 3
 (3at  bt)dt  at   . 2
thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận Khi đo ta có hệ:
tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất  3 1 2 một đoạn d
 bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng 5 .a  . .5 b  150   a  1 2 2   
trường a  10 m / s  ) 3 1 2 b  2 10  .a  . .10 b  1100   A. 35 m B. 36 m C. 37 m D. 40 m  2 Hướng dẫn:
Khi đó h t  3 2  t  t .
Quả bi sắt chịu tác dụng của trọng lực hướng
Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20
xuống nên có gia tốc trọng trường a   2 10 m / s  giây là h   3 20  8400m .
Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là: Đáp án: B.
v  adt  10dt  10t  C
Câu 13: Một người có mảnh đất hình tròn có bán  
kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất
t  0, v  20m / s Ở đây, với:
đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được  C  20
giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần có khoảng trống để
Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng:
dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
v  10t  20m / s
6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn
Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta sẽ được
xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch
biểu thức quãng đường:
được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ phần số thập phân). A. 3722 B. 7445 C. 7446 D. 3723
74 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB Hướng dẫn: s  vdt  1
 10t  20 dt
Xe dừng lại nên v  0  t   50 2
 5t  20t  K
Phương trình quãng đường
Theo đề bài, ta được khi t  0  s  0  K  0
S t    vt 2 dt  2500  t 100t
Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là:
Quảng đường xe đi được 2 s  t  t  2 5 20 m / s  2  1  1 3 S  250  0. 100.
 1Km  10 m
Khi t  5s , ta sẽ được s  225m    50  50
Vậy quả bi cách mặt đất d
  262  225  37  m .
Câu 17: Khi quan sát một đám vi khuẩn trong
phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có
Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như 2000 hình vẽ dưới đây.
số lượng là N  x . Biết rằng N x  và lúc 1 x
đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con .Vậy ngày thứ
12 số lượng vi khuẩn là?
A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10129. y Hướng dẫn:
Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm.
Cho N  x và đi tìm N  x . x 2000 Ta có d 2000.ln 1  5000 ( Do ban
Đáy là hình tròn bán kính 4 cắt vật bởi các mặt  x x 1 x
phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là
đầu khối lượng vi khuẩn là 5000) .
tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
Với x  12 thì số lượng vi khuẩn là  10130 con 256 64 A. V  . B. V  .
Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s 3 3
thì tăng tốc với gia tốc 2
a(t)  3t  t . Tính quãng 256 3 32 3 C. V  . D. V  .
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây 3 3
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hướng dẫn: 4300 A. m. B. 4300 m. 3 430 C. 430 m. D. m. 3 O x Hướng dẫn:  Hàm vận tốc 2 3
Chọn tâm đường tròn làm gốc. 3t t
v t   a t  dt   2
3t  t dt      C 2 3 3
Diện tích thiết diện là 2 2 S 
AB  3(4  x )
 Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc 4
 v 0  10  C  10 2 2 2 64 V 
S (x)dx  4 (4  x )dx    2 3 3 3t t 2  2
Ta được: v t    10 2 3
Câu 16: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc
 Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là:
100Km/h thì đạp phanh dừng lại, vận tốc của xe 10 10 2 3 3 4
giảm dần theo công thức v t   500  0t 100  3t t   t t  s    10  dt    10t      
(Km/h) cho đến khi dừng lại. Hỏi xe chạy thêm 2 3 2 12 0     0
được bao nhiêu met thì dừng lại. 4300  m. A. 25 B. 1 C. 103 D. 10-3 3
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 75 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 19: Một viên đạn được bắn lên theo phương
Câu 21: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối
thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 24,5m / s và
trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường
gia tốc trọng trường là  2
9,8 m / s  . Quãng đường
kính của đáy và tạo với đáy góc 0 45 . Thể tích của
viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống khối gỗ bé là:
đất là (coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất) 3 2R 3  R A. V  . B. V  .
A. 61, 25 m
B. 30, 625 m 3 6 3 3
C. 29, 4 m
D. 59,5 m R  R C. V  . D. V  . 3 3 Hướng dẫn:
Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc Hướng dẫn:
thời gian t  0 bắt đầu từ khi vật chuyển động.
Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t là O v t   y 0
v  gt  24,5  9,8t m / s
Khi vật ở vị trí cao nhất thì có vận tốc bằng 0 x 5
tương ứng tại thời điềm t  2 2 R  x 2 2 2 R  x
Quãng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Cắt khối gỗ bé bởi trí cao nhất là
các mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có 5 5
hoành độ x ta được thiết diện là tam giác vuông 2 2 245
S t   v t  dt  24,5  9,8t dt    1 2 2 8 có diện tích bằng ( A x) 
R  x . Vậy thể tích 0 0 2
Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho R 3 1 2R 2 2 245
khối gỗ bé bằng:V  R  x  . 
tới khi rơi xuống đất là 2.  61, 25 m 2 3  R 8 Đáp án A.
Câu 20: Một ô tô xuất phát với vận tốc
Câu 22: Một vật di chuyển với gia tốc
v t  2t  10 m / s 1   
 sau khi đi được một khoảng 
a t      t  2 20 1 2  2
m / s  . Khi t  0 thì vận
thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên
tài xế phanh gấp với vận tốc
tốc của vật là 30m / s Tính quãng đường vật đó di
v t  20  4t m / s 2    
chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số
và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng hàng đơn vị).
lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc
A. S  106m .
B. S  107m .
dừng lại là 4 (s). Hỏi xe đã đi được quãng đường
C. S  108m .
D. S  109m . bao nhiêu mét. A. 57 m B. 64 m C. 50 m D. 47 m Hướng dẫn: Ta có Hướng dẫn:
Đến lúc phanh vận tốc của xe là: 2t  1+10 đó cũng
v t   a t  dt     t  2 10 20 1 2 dt   C .  
là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; 1 2t sau khi đi thêm t Theo đề ta có
2 thì vận tốc là 0 nên
2t  10  20  4t  t  2t  5 .
v 0  30  C 10  30  C  20 . 1 2 1 2
Lại có t  t  4 lập hệ được t
Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 1=3 s; t2=1 s. 1 2 2
Tổng quãng đường đi được là:  10  S   20 dt     2
5 ln 1 2t   20t   5ln 5 100  108m 3 1 0  1 2t  0
S   2x 10dx   20  4xdx  57  m . 2 0 0 S 
 20 dt  5 ln 1 2t  20t
 5 ln 5 100  108m Chọn A. 0
76 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) 120  d 2
 r t t biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong 2
(m/s) có gia tốc a(t)  3t  t (m/s2). Vận tốc 0
ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau giờ đầu tiên. 2s.
C. Nếu r t  là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới,
A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s.
trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t  0 vào Hướng dẫn:
ngày 1 tháng 1 năm 2000 và r t  được tính bằng Ta có 17 2 t 2 3 thùng/năm,
v(t)  a(t) dt  (3t  t) dt  t   C
 r tdt biểu thị số lượng thùng dầu (m/s).   2 0
Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s)
tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày 1
 v(0)  2  C  2 . tháng 1 năm 2017 .
Vậy vận tốc của vật sau 2s là:
D. Cả A, B, C đều đúng. 2
Hướng dẫn: Đáp án D. 2 3 V (2)  2   2  12 (m/s). 2
Câu 26: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta
Câu 24: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì
cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán
người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”.
kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng.
Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần
Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
đều với vận tốc v(t)  40t  20(m / s). Trong đó
A. 132 (dm3) B. 41 (dm3)
t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt 100 C.  (dm3) D. 43 (dm3)
đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển từ 3
lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu? Hướng dẫn: A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m Hướng dẫn:
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t=0) 3 dm
Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc 5 dm lúc dừng là v(T) = 0 3 dm
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là 1
v(T )  0  40T  20  0  T  2
Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng
Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thời gian T.
thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn 2 2
Ta có v(t)  s '(t) suy ra s(t) là nguyên hàm của
lớn có phương trình x  y  25 . v(t)
Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong
Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là: 2 y 
25  x , x  3, x  3 quay quanh Ox. 1/ 2 1 3 T 2 2 2
V   (25  x )dx = (bấm máy)
v(t)dt  ( 4
 0t  20)dt  ( 2  0t  20t)  5( ) m    132 3 t 0 0
Câu 27: Một vật đang chuyển động với vận tốc
Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng?
10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t2 (m/s2).
A. Nếu w 't  là tốc độ tăng trưởng cân
Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời 10
gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?
nặng/năm của một đứa trẻ, thì '  d
 w t t là sự cân 6800 5 A. 11100 B. m 3
nặng của đứa trẻ giữa 5 và 10 tuổi. 4300 5800
B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ C. m D. m 3 3
r t  tính bằng galông/phút tại thời gian t , thì Hướng dẫn:
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 77 Công Phá Toán The Best or Nothing Ta có v(t) = t3 + t2 + c
Câu 30: Gọi h t cm là mực nước ở bồn chứa
v(0) = 10  c = 10  v(t) = t3 + t2 + 10 0 1
sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng S = 3 2 (   10) dt   t t (m) 0 1 Đáp án C. h 't  3 
t  8 và lúc đầu bồn không có nước. 5
Câu 28: Một vật chuyển động chậm dần với vận
Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6
tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Hỏi rằng trong 3s trước
giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):
khi dừng hẳn vật chuyển động được bao nhiêu A. 2,33 cm. B. 5,06 cm. mét ?
C. 2,66 cm. D. 3,33 cm.
A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m 1
Hướng dẫn: h(t) = 3  8 Hướng dẫn:  t
dt , h(0) = 0 5
v = 0  160 – 10t = 0  t = 16  h(6) = 2,66
Quãng đường vật đi được trong 3s trước khi dừng
Câu 31: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang 16 hẳn là: S = (160 – 10 )  45  t dt m
con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây 13
cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp
Câu 29: Ông An có một mảnh vườn hình elip có
cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối
độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng
nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày
10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như
8m và nhận trục bé của elip làm trụ đối xứng( như
hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa 100.000
bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp
đồng/1 m2. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để cầu)
trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn 20cm đến hàng nghìn) 2m 20m 20m 8m 40m 5m 5m A. 3 20m B. 3 50m C. 3 40m D. 3 100m A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là Hướng dẫn:
chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2 2 x y Phương trình elip là:   1 .
2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với 64 25 chân đế)
Ta có: diện tích mảnh vườn cần tìm được chia làm y
2 qua trục lớn, gọi diện tích 1 phần là S. I 20cm
Gắn tâm elip là O, trục lớn là Ox, trục bé là Oy.
Sử dụng ứng dụng tích phân, diện tích phần này 20m 20m A 2 25x
sẽ giới hạn qua đường cong y  25  và 2 O x 64
đường x  4; x  4 . 40m 5m 5m 4 2 25x Ta có: S  25  dx  38, 2644591 
Gọi Parabol trên có phương trình 64 2 2 4
( P ): y  ax  bx  c  ax  bx (do (P) đi qua O) 1 1
(Sử dụng CASIO, tuy nhiên có thể giải thông 20 1 2 2
thường qua đặt x  8sin t )
 y  ax  bx 
 ax  bx  là phương 2 100 5
Như vậy số tiền cần có là: trình parabol dưới
38, 2644591.2.100000  7652891  7653000
78 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Ta có (P ) đi qua I và A Hướng dẫn: 1
Phương trình đường thẳng 2 4 2 4 1 2 2
(P) : y   x  x  y   x  x  1 1 2 OB : y  .
x tan; OA  2017 cos. 625 25 625 25 5
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S  2S với S
Khi đó thể tích nón tròn xoay là: 1 1 2017.cos  3 3
là phần giới hạn bởi y ; y trong khoảng (0; 25) 2 2 2017 . 2 2017 . 2 1 2 V  
x tan  .dx  .cos .sin   .cos 1  cos  .  3 3 0,2 25 0 2 4 1 2 S  2( ( x  x)dx  dx)  3  2 2  2 9, 9m 3  625 25    tan  . 5 2017 . 2 2017 . 2 0 0,2  .cos  .sin   .cos  1  cos  . 3 3
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày  1 
Đặt t  cos  t  0; .   3
V  S.0, 2  9, 9.0, 2  1,98m  số lượng bê tông  2  cần cho mỗi nhip cầu 3
 2m . Vậy 10 nhịp cầu 2   Xét hàm số 2 1
f t  t 1  t , t  0; .       bên cần 3
 40m bê tông. Chọn đáp án C.  2 
Câu 32: Có một người cần làm một cái của cổng
Ta tìm được f t  lớn nhất khi
cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình 3 3 6
vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ t   cos   sin   . 3 3 3
như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện Câu 34:
tích của cánh cửa cổng.
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính
30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi y
qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 4 0
45 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây) -2 O 2 x 16 32 28 A. B. C. 16 D. 3 3 3 Hình 1 Hình 2 Hướng dẫn:
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2).
.Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của Tính V . hàm số là 2 y  4  x . 225 A. V  cm3 2250 B. V  cm3     2 32 4
.Diện tích là: S    2 4  x  dx  . 3 2 C. V  cm3 1250 D.   V  cm3 1350  Vậy đáp án là B. Hướng dẫn:
Câu 33: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB
vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ M
nhất. A nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc D y    
AOB   , 0    . Khi quay tam giác đó N   O  3  P C
quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay. Thể
tích của khối nón lớn nhất khi: x 6 3
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm A. sin   B. cos  3 2
có đáy là nửa hình tròn có phương trình: 1 2 y   x 2 225 ,x   15  ;15 C. cos  D. sin     2 3
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 79 Công Phá Toán The Best or Nothing
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại Hướng dẫn:
điểm có hoành độ x , x  15;15
Phương trình hoành độ giao điểm     4 2
x  4x  m  0 (*)
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S x  Đặt 2
x  t; t  0 , phương trình trở thành: (xem hình). 2
t  4t  m  0 (**)
Dễ thấy NP  y
Để S>0, S’>0 thì 0và MN  0 NP  y   2 tan 45 15 x
phân biệt  t ; t ; t ; t với t ; t , t  t 1 2  1 2  2 1 1 2 1 1
là hai nghiệm dương phân biệt của (**)
Khi đó S x   MN.NP  . 225  2 x  
Do đồ thị hàm số hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối 2 2 15 xứng nên
Suy ra thể tích hình nêm là: V   S x dx t t 1 1 4 2 4 2 15
S  S '    x  4x  mdx    x  4x  mdx 15 0 t2 1 
. 225  x2 dx  2250 cm3      t 2 2 2 t 4t 4 2 2 2 15
   x  4x  mdx  0    m  0 0 5 3
Câu 35: Cho parabol (P) 2
y  x và hai điểm A, B 20
thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện
Kết hợp với (**) ta được m  . 9
tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng
Câu 37: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
AB đạt giá trị lớn nhất
a(m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, 4 3 2 3 A. B. C. D.
ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 3 4 3 2
-5t + a(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây Hướng dẫn:
kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu a của y
ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét.
A. a  20 B. a  10 C. a  40 D. a  25 B Hướng dẫn: A
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên O 1 x a 5 
t a  0  t  5 Giả sử A 2 a a  B  2 ; ,
b, b  Pb  a sao cho a a 5 5 AB = 2 1 Ta có S  v(t)dt   ( 5  t a)dt  2 a  
Phương trình đường thẳng AB: y  b  a x  ab 10 0 0
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có 1 S  40  2
a  40  a  20 b b 10
S  | b  a 2
x  ab  x | dx 2
 [ b  a x  ab  x ]dx  b  a  
Câu 38: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu a a b b
người ta giữ thanh ở góc nghiêng    1 o , một đầu
S  | b  a x  ab  x |
dx  [ b  a x  ab  x ]dx  b  a3 2 2   6
thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. a a
Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng 4
Vì AB = 2 nên | b a | b a  2  S 
của trọng lực. Hãy biểu diễn góc  theo thời gian 3
t (Tính bằng công thức tính phân) 4 2
Câu 36: Cho hàm số y  x  4x  m có đồ thị  d
là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi A. t   
đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích 3 o (sin   sin  ) o
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục 2a 
hoành. Với giá trị nào của m thì S  S ' ? d B. t    2 20 3g 
A. m  2 B. m  C. m  D. m  1 o (sin  sin  ) 2 o a 9 9
80 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB 
Hướng dẫn: Đáp án B. d C. t    3g
Câu 41: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng o (sin  sin  ) o a 4000
là N t  . Biết rằng N 't   và lúc đầu  d 1 0, 5t D. t    3g
đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số o (sin  sin  ) 2 o a
lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị):
A. 264.334 con. B. 257.167 con. Hướng dẫn:
C. 258.959 con D. 253.584 con. y Hướng dẫn: N1 4000 N(t) = 
dt = 8000.ln(1 + 0,5t) + C 1 0, 5t N2 N(0) = 250000  C = 250000 mg α x N(10) = 264.334 con
Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh
Câu 42: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá được bảo toàn
có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa
mga sin   mga sin  K  o q Ktt (1)
kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện
Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O
tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 2 2 ma  1
8m và rộng 8m (như hình vẽ) bán kính a nên: 2 2 K   ma  ' tt 2 2
Động năng quay quanh khối tâm: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 K  I  m(2a)  '  ma  ' q 2 2 12 6 2 Thay vào (1) ta được: 2
a '  g(sin   sin ) o 3 8m 3g  '   (sin   sin  ) 28 26 o 2a A. 2 (m ) B. 2 (m ) 3 3  d t   128 131  C. 2 (m ) D. 2 (m ) 3g  3 3 o (sin  sin  ) 2 o a Hướng dẫn:
Câu 39: Một vật chuyển động với vận tốc thay Đáp án đúng: C.
đổi theo thời gian được tính bởi công thức Các phương án nhiễu:
v(t)  5t 1, thời gian tính theo đơn vị giây,
A. HS tính tích phân sai:
quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. 4 1 2 28 2
Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu S   x  8 dx   (m ) 2 3 tiên là: 4 
B. HS tính tích phân sai A. 15m .
B. 620m . C. 51m . D. 260m . 4 Hướng dẫn: 1 2 26 S   x  8 dx   2 (m ) 10 2 3 4  S 
(5 t1) dt  260 (m)  1 0 D. HS nhầm a =  , b= 8, c = 0 2
Câu 40: Một vật chuyển động với gia tốc 4 1 2 131 a t     t2 2 ( ) 20 1 2
(m / s ) . Khi t  0 thì vận tốc S   x  8x dx   2 (m ) 2 3 4 
của vật là 30 (m / s) . Tính quãng đường vật đó di
chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây).
A. 46 m . B. 48 m . C. 47 m . D. 49 m .
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 81 Công Phá Toán The Best or Nothing
DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC
Câu 1: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được
cạnh 14 cm, mỗi tam giác có diện tích là
dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới 2 14 3  3 cm 
đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát 4
hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất
Với cột bê tông đã trái vữa hình trụ: Đáy của mỗi
ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ
cột là hình tròn bán kính 15 cm nên có diện tích
trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả là 2  2 15 cm 
nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng
bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng
Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi
cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần cột cao 290 cm là:
lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi 2   2 14 3 6 3 3 17.39015   6.
  1,31.10 cm  1, 31m
thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ  4    vừa phủ kín mặt hồ? Chọn A. 25 A. 7  log 7
Câu 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM 3 25. B. 3 . năm không nhuận được cho bởi 24 C. 7  . D. 7  log 24.  3 3   y  4sin (x  60) 10  
với 1  x  365 là  178  Hướng dẫn: Gọi số ngày trong năm. Ngày
A là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ 25 / 5 của năm thì số
giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con 100 thì lượng bèo là A . số nào nhất ? 4 A. 2h B. 12h
C. 13h30 D. 14h
Sau 1 tuần số lượng bèo là 3A suy ra sau n tuần Hướng dẫn: lượng bèo là: 3 . n A
Ngày 25/5 là ngày thứ 145 của năm
Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì Số giờ y = 14 n 100 100 3 .A 
.A  n  log3  log3 25
Câu 4: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một 4 4
phòng thí nghiệm được tính theo công thức
 thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là: t t  7 log
s(t)  s(0).2 , trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn 3 25 . Chọn A.
A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có
Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ
thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm
sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn
17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là
A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt
một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác
đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?
đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách A. 48 phút. B. 19 phút.
trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột C. 7 phút. D. 12 phút.
là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 cm. Hướng dẫn:
Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn Đáp án C.
thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn hợp cần dùng Theo giả thiết
(tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập   s   3 625000 62500 0 .2  s 0 
phân sau dấu phẩy). Ta có kết quả: 8
A. 1,3 m3 B. 2,0 m3 C. 1,2 m3 D. 1,9 m3
Khi số vi khuẩn là 10 triệu con thì Hướng dẫn: 7
10  0.2t  2t s
 128  t  7 (phút)
Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là
Câu 5: Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật
hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đều
thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng
giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây
thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là
82 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi
phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo
trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 đường AEFB)
được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc 5km A lớn nhất? H A. giây thứ nhất B. giây thứ 3 F E C. giây thứ 10 D. giây thứ 7 - Phương pháp:
+ a là đạo hàm của v, v đạt cực trị khi a = 0 K B
Vậy nên vận tốc của vật sẽ lớn nhất tại thời điểm 7km
mà a=0 và gia tốc đổi từ dương sang âm (vận tốc A. 5 3km B. 10 2km
của vật sẽ nhỏ nhất tại thời điểm mà a=0 và gia C. 5 5km D. 7, 5km
tốc đổi từ âm sang dương) Hướng dẫn: Hướng dẫn:
+ Nhìn vào đồ thị ta thấy Trong thời gian từ giây
Đặt HE  x và KF  y , theo giả thiết ta có
thứ nhất đến giây thứ 10 thì chỉ có tại giây thứ 3
HE  KF  x  y  24
gia tốc a = 0 và gia tốc đổi từ dương sang âm
Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được
Vậy nên tại giây thứ 3 thì vận tốc của vật là lớn  2 2 2  AE  AH  HE  x  25 nhất. 
Câu 6: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng 2 2 2
BF  BK  KF  y  49  3   t 
Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ
nạp được tính theo công thức Qt 2  Q  e  0 1  
thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo  
con đường AEFB thì AE  EF  FB ngắn nhất.
với t là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là
Hay AE  BF ngắn nhất.
dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại Ta có 2 2
P  AE  BF  x  25  y  49 với
nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc
bắt đầu nạp là 0%) thì sau bao lâu sẽ nạp được
x  y  24, x  0, y  0
90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức
A. t  1, 54h
B. t  1, 2h 2 2 2 2 2 2
a  b  c  d  a  c  b  d 
C. t  1h
D. t  1, 34h với mọi a, , b c, d  
- Phương pháp: 2 2 2 2 2 2 x
e  a  x  ln a
Vì a  b  c  d  a  c  b  d  Hướng dẫn:
 ad  bc2  0,a, , b , c d  
+ Pin nạp được 90% tức là Q t   0 Q .0,9
Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được 3  t  2 2 2 2 2 2  Q t  2  Q  Q   e 
P  x 5  y 7   x y 5  7 12 5 0.0, 9 0 1     x y
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  suy ra 3t 3t 5 7 2  e  0,1 
 ln 0,1  t  1,54h 2
x  10, y  14 nên AE  5 5km
Câu 7: Hai thành phố A và B cách nhau một con
Cách 2: Với x  y  24  y  24  x ,
sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắt qua
 P  f  x 2 2  x  25 
x  48x  625
sông biết rằng thành phố A cách con sông một
khoảng là 5 km và thành phố B cách con sông một với 0  x  24
khoảng là 7 km (hình vẽ), biết tổng độ dài x x  24
Có f ' x   , 2 2
HE  HF  24 km . Hỏi cây cầu cách thành phố x  25
x  48x  625
A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ thành
x  0;24; f ' x  0  x  10
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 83 Công Phá Toán The Best or Nothing
Do đó min f  x  12 5  x  10 Đáp án A. Ta có:
 AE  5 5 km . Chọn C. 1, 66 h 51,875   h  103, 75 
Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước 3, 32 207,5   207, 5
Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn 2
cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích
Câu 11: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm
quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một
phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính
phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì 1
nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng bằng
và phía trong của Elip có độ dài trục lớn 2
cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn
cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một
bằng 2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ).
hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp
Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón
đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần 100
kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao
thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua 2 2  1
rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn
nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt A. 30 kg B. 40 kg C. 50 kg D. 45 kg
thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì
Hướng dẫn: Đáp án C.
nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc
này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số
Câu 12: Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn
thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn
chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành
cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt
một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một
thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số
hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu có bao nhiêu chữ số?
để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 y
Hướng dẫn: Đáp án D. 1
Câu 9: E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu
chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số
lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ -1 O 1 x
có 40 vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau
bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là 671088640 -1 con?
A. 48 giờ. B. 24 giờ. C. 12 giờ. D. 8 giờ. 40 180 A. m B. m
Hướng dẫn: Đáp án D. 9  4 3 9  4 3 120 60
Câu 10: Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng C. m D. m 9  4 3 9  4 3
207,5 m. Một học sinh nam muốn đo chiều cao
Hướng dẫn: Đáp án D.
của cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm nào đó,
cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo
Câu 13: Một bể nước có dung tích 1000 lít. Người
được bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5
ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn
m. Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao
nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là
của cái tháp dài bao nhiêu m?
1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước 51,875
A. h  103, 75  B.
chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau 
khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả 51,87 gần đúng nhất). h  103   A. 3,14 giờ B. 4,64 giờ 25,94 C. 4,14 giờ D. 3,64 giờ
C. h  103, 75 
D. h  103, 75 
Hướng dẫn: Đáp án C. Hướng dẫn:
84 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Câu 14: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu 2 2 2 2 2 S  4S  2 .
x 3  x  x  3  x  9 hcn MQO
người ta giữ thanh ở góc nghiêng   o , một đầu (áp dụng bđt côsi).
thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Vậy S  9 hcn
Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng
của trọng lực. Tính góc sin  khi thanh rời khỏi
Câu 16: Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có tường
dạng hình hộp chữ nhật có nắp. Thể tích của hộp
là 1000 cm3, chiều cao của hộp là 10cm. Biết rằng 1 2 A. sin   sin o B. sin   sin o
đơn giá mạ vàng là 10.000 đ/ cm2. Gọi x (triệu 3 3
đồng) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên 2 4 C. sin  sin o D. sin   sin o
trong và mặt bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ 5 3 nhất của x . Hướng dẫn: A. 12 triệu. B. 6 triệu.
Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương C. 8 triệu. D. 4 triệu. Ox: 1
N  mx ' . Tại thời điểm thanh rời tường thì
Hướng dẫn: Đáp án A. 1
N  0  x '  0
Câu 17: Anh Phong có một cái ao với diện tích
Toạ độ khối tâm theo phương x là: x  a cos 2
Đạo hàm cấp 1 hai vế: x '  a sin . '
50 m để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi Đạo hàm cấp 2 hai vế: với mật độ 20 con/ 2
m và thu được 1,5 tấn cá x  a 2        a 2 ' cos . ' sin . ' cos .   ' sin .   ' '
thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,
anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/ 2 m thì mỗi con cá Khi x '  0  2
cos. '   sin . ' (2)
thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng 2 Từ (1) suy ra: 2
a '  g sin   g sin 
năng suất cao nhất thì vụ tới ông nên mua bao o 3
nhiêu cá giổng để thả ? (giả sử không có hao hụt 4 Lấy đạo hàm 2 vế:
a ' . ' g cos. '  0 trong quá trình nuôi). 3 A. 488 con B. 658 con 3g Hay:  '   cos C. 342 con D. 512 con 4a
Hướng dẫn: Đáp án D.
Thay vào (2) ta có phương trình: 3g  3g 
Câu 18: Trong phòng thí nghiệm sinh học người cos.
(sin   sin  )   sin .  cos o    2a
ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm  4a 
với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp 2
sin   2(sin   sin ) o  sin   sino
k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên 3
phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần
Câu 15: Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có
cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k?
bán kính R  3 , người ta muốn cắt ra một hình A. k  6 B. k  8 C. k  9 D. k  7
chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện
Hướng dẫn: Đáp án B.
tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là:
Câu 19: Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người
ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn M N
nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là
1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước
chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau Q P
khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả A. 6 3 B. 6 2 C. 9 D. 7 gần đúng nhất). A. 3,14 giờ. B. 4, 64 giờ. Hướng dẫn:
Gọi O là tâm hình bán nguyệt, C. 4,14 giờ. D. 3, 64 giờ. 2 2
MQ  x  OQ  3  x
Hướng dẫn: Đáp án C.
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 85 Công Phá Toán The Best or Nothing
Câu 20: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất Hướng dẫn:
hai lần. Ký hiệu a;b là kết quả xảy ra sau khi
- Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có khối   
lượng m, chịu tác dụng của P, N , F .
gieo, trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện c
lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm
- Phương trình động lực học là:    
xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các
ma  P  N  c F (1)
kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của
Chọn trục Ox nằm ngang, chiều (+) theo chiều
tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn
chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy. Do vậy
điều kiện nào sau đây?
chiếu (1) lên trục Ox ta có:
A. z  2  3i  12
B. z  2  3i  10 ma   x c F hay viết: " mx  F
C. z  2  3i  13
D. z  2  3i  11 p g hay F  ; " x   (2) 10 10 Hướng dẫn: Ta có dv g g hay     dt (2') dt 10 10 A    1; 
1 ,2;2,3;3,4;4,5;5,6;6 g
Gọi z  x  yi; x, y  R
nguyên hàm hai vế (2') ta có: V   t  1 C 10 khi đó 2 2
z  2  3i  x  2  y  3     dx g g hay   t  1 C  dx  t.dt  1 C dx Giả sử dt 10 10 2 2
z  2  3i  R  x  2  y  3  R
nguyên hàm tiếp 2 vế ta được     g 2 2 2 2 x  
t  C .t  C (3)
  x  2   y  3  R . Khi đó tập hợp các 1 2 20
điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc
Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các
miền trong và trên đường tròn tâm I 2  ; 3  và  
hằng số C1 và C2 như sau: bán kính R.
t0 = 0; v = v0; v0 = 0 Ta có: C2 = 0 và C1 = v0
Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2 g.t
tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số
thay C1 và C2 vào (3): x  0 v .t  20 phức z thì IM  ; R M   A
Câu 23: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn Khi đó ta được R=13
sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho
Câu 21: Trong phòng thí nghiệm sinh học người
trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần
ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm
lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình
với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp
trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất
k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên
thì giá trị của tổng x + h là:
phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần V 3V V V
cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k? A. 3 B. 3 C. 3 2 D. 3 3. 2 2 2 2 A. k  6 B. k  8 C. k  9 D. k  7 Hướng dẫn:
Hướng dẫn: Đáp án B.
Đây là một bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-
Câu 22: Một đoàn tàu chuyển động trên một GM !
đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi
Thể tích hình trụ được tính theo công thức v 2
0.Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực V   x h
hãm và lực cản tổng hợp cả đoàn tàu bằng 1/10 Ta có:
trọng lượng P của nó. Hãy xác định chuyển động 2  2
V   x h  x 2h
của đoàn tàu khi tắt máy và hãm. 2 2 g.t 2 g.t 3 A. x 
  x  x  2h  4 3 0 v .t 
B. x  v .t     x    h 20 0 10 2  3  54 2 g.t 2 t C. x  54V V 0 v .t 
D. x  v t  30 0. 20 3 3  x  h   3 4 2
86 | Khai báo sách chính hãng tại: congphatoan.com để nhận 100 đề thi thử tặng kèm
Tài liệu Toán thực tế 12
Th.S Đặng Việt Đông – Ngọc Huyền LB
Lưu ý: Với bài toán này, các bạn biết sử dụng bất
sản lượng gỗ là xấp xỉ 5 4,8666.10 mét khối. Giá đẳng thức AM-GM
trị của a xấp xỉ: n  1 x  2 x  ...  n x  A. 3,5%. B. 4%. C. 4,5%. D. 5% 1 x 2 x ....x  n    n  Hướng dẫn:
Câu 24: Khi quan sát qua trình sao chéo tế bào
Trữ lượng gỗ sau một năm của khu rừng là:
trong phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học 5 5 5
N  4.10  4.10 .a%  4.10 1 a%
nhận thấy các tế báo tăng gấp đôi mỗi phút. Biết
Trữ lượng gỗ sau năm thứ hai của khu rừng là:
sau một thời gian t giờ thì có 100 000 tế bào và 5
ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t:
N  4.10 1 a%2
A. t  16, 61 phút
B. t  16, 5 phút ...
C. t  15 phút
D. t  15, 5 phút
Trữ lượng gỗ sau năm năm của khu rừng là: 5 5 Hướng dẫn:
N  4.10 1 a%5  4,8666.10  a  4%
Đây là bài toán đơn giản sử dụng ứng dụng của số Chọn B. mũ.
Câu 27: Trong một trận mưa, cứ một mét vuông
Do ban đầu có một tế bào duy nhất nên:
mặt đất thì hứng thì hứng 1,5 lít nước mưa rơi
Sau phút sao chép thứ nhất số tế bào là: 1 N  2
xuống. Hỏi mực nước trong một bể bơi ngoài trừi
Sau phút sao chép thứ hai số tế bào là: 2 N tăng lên bao nhiêu ? 2  2 A. 1,5 (cm) … B. 0,15 (cm)
Sau phút sao chép thứ t số tế bào là:
C. Phụ thuộc vào kích thước của bể bơi
N  2t  100000 t D. 15 (cm)
 t  log2 100000  16,61 phút.
Hướng dẫn: Đáp án C.
Câu 25: Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong
Câu 28: Các kích thước của một bể bơi được cho
10 năm qua là 5%. Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là
trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật).
12000VND/lít. Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao
Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nhiêu tiền một lít?
nước khi nó đầy ắp nước ?
A. 11340,00 VND/lít B. 113400 VND/lít 25m
C. 18616,94 VND/lít D. 18615,94 VND/lít Hướng dẫn: 10m 2m
Đây là bài toán ứng dụng về hàm số mũ mà chúng
ta đã học, bài toán rất hơn giản. Tuy nhiên nhiều
độc giả có thể mắc sai lầm như sau: 4m Lời giải sai Giá xăng 9 năm sau là 7m
12000 1 0.05.9  113400 VND / lit . A. 1000m3 B. 640m3
Và chọn A hay B (do nhìn nhầm chẳng hạn) C. 570m3 D. 500m3 Lời giải đúng: Hướng dẫn:
Giá xăng năm 2008 là 12000 1 0.05 Đáp án đúng: C. 1 Giá xăng năm 2009 là   2 12000 1 0.05
HD: V  10.25.2  .7.2.10  570 (dvtt) 2 ……………………… Các phương án nhiễu: Giá xăng năm 2016 là
A. HS nhầm V = 10.25.4=1000   9 12 1 0.05  18615,94 VND / lit
B. HS nhầm V  10.25.2  7.2.10  640
Câu 26: Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ là
D. HS nhầm V = 10.25.2=500 5
4.10 mét khối gỗ. Gọi tốc độ sinh trưởng mỗi
năm của khu rừng đó là a% . Biết sau năm năm thì
Đặt sách tại: Tiki.vn | Newshop.vn | Pibook.vn | Lovebook.vn | 87

Toán thực tế 12 có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông, Ngọc Huyền LB

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hình nón là gì? Công thức tính diện tích xung quanh hình nón | Toán 12

Đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025 môn Toán

Đề thi thử TN THPT 2025 lần 1 môn Toán trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh

Lời giải chi tiết đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025

Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Giang