Tóm tắt lý thuyết Cấu trúc đại số Nhóm - Vành - trường | Toán cao cấp

CẤU TRÚC ðẠI SỐ
NHÓM – VÀNH – TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết:
Cho tập G và một phép toán ký hiệu * trên G nghĩa là: x * y ∈ G nếu x, y ∈ G
1. G lập thành một nhóm ñối với phép toán * nếu:
(G1) ∀ a, b, c ∈ G: a * (b * c) = (a * b) * c (tính kết hợp)
(G2) ∀ a ∈ G, ∃ phần tử trung hòa Θ sao cho: a+Θ = Θ+ a = a
(G3) ∀ a ∈ G, thì có một phần tử ñối xứng a’ sao cho a * a’ = a’ * a = Θ
G là nhóm giao hoán (hay nhóm Aben) nếu:
(G4) ∀ a, b ∈ G: a * b = b * a (tính giao hoán)
2. Cho tập A và trên ñó cho hai phép toán: phép cộng ký hiệu là + và phép nhân ký
hiệu • . (A,+, •) lập thành một vành nếu:
(A1) (A,+) lập thành một nhóm Aben
(A2) ∀ a, b, c ∈ A: a • (b • c) = (a • b) • c (tính kết hợp)
(A3) ∀ a, b, c ∈ A: (a + b) • c = a • c + b • c
a • (b + c) = a • b + a • c (tính chất phân phối)
Vành A gọi là vành giao hoán nếu:
(A4) ∀ a, b ∈ A: a • b = b • a
Nếu tồn tại phần tử trung hòa ñối với phép nhân (phần tử ñơn vị) ký hiệu e:
∀ a∈ A: a • e = e • a = a
thì A ñược gọi là vành có ñơn vị.
3. (K, +, .) lập thành một trường nếu:
(K1) K là một vành giao hoán có ñơn vị
(K2) ∀ a∈ K: a ≠ Θ , ∃ a’ : a • a’ = a’ • a = e; a’ gọi là phần tử nghịch ñảo của a và ký hiệu a-1
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý Bài tập: A/ NHÓM:
Bài 1.1: Xét các tập hợp sau ñây, ñối với phép toán xác ñịnh trên các tập hợp ấy có lập thành nhóm hay không?
a. Tập hợp số nguyên, bội của một số tự nhiên n ñối với phép cộng (N)
b. Tập hợp các lũy thừa của một số a ≠ 0 với số mũ tự nhiên, ñối với phép nhân
c. Tập hợp các số phức có môñun bằng 1, ñối với phép nhân số phức (N)
d. Tập hợp số hữu tỉ ñối với phép nhân
e. Tập hợp số hữu tỉ khác không với phép chia thông thường
f. Tập hợp các căn bậc n (thực hoặc phức) của ñơn vị với phép nhân (N)
g. Tập hợp các số thực dương, nếu phép toán quy ñịnh là a* b = ab
h. Tập hợp các số thực dương, nếu phép toán quy ñịnh là a* b = a2b2
i. Tập hợp các ña thức bậc không lớn hơn n (gồm cả bậc 0) của ẩn x ñối với phép cộng. (N)
j. Tập hợp các ña thức bậc n của ẩn x ñối với phép cộng. Bài 1.2:
a. Tập hợp các ma trận thực cấp n ñối với phép nhân.
b. Tập hợp các ma trận không suy biến cấp n với phần tử thực, ñối với phép nhân. (N)
c. Tập hợp các ma trận cấp n suy biến hoặc không suy biến với phần tử nguyên, ñối với phép nhân.
d. Tập hợp các ma trận chéo phần tử phức, không suy biến ñối với phép nhân (N)
e. Tập hợp các ma trận vuông thực, cấp 3, có ñịnh thức bằng 1 ñối với phép nhân.
Bài 1.3: Cho F = {(a,b): a, b ∈ R, a ≠ 0 } và xác ñịnh trên F phép toán như sau:
(a,b) * (a’, b’) = (aa’, ab’ + b)
Chứng tỏ (F,*) là một nhóm. Nhóm ñó có giao hoán không?
Bài 1.4 Cho (G,.) lập thành một nhóm sao cho: ∀ x ∈ G : x2 = e. CmR: (G,.) lập thành nhóm giao hoán.
B/ VÀNH – TRƯỜNG:
Bài 1.5: Xét các tập hợp sau ñây, xem tập hợp nào là vành (nhưng không phải là trường),
tập hợp nào là trường ñối với những phép toán xác ñịnh trong tập hợp ấy (nếu không nói
ñến phép toán thì ñó là phép cộng và phép nhân thông thường)
a. Các số dạng a + b 2 với a, b nguyên (V)
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
b. Các số dạng a + b 3 với a, b hữu tỉ (T) 3
c. Tập hợp các số dạng a + b 2 với a, b hữu tỉ
d. Tập hợp các hàm số thực của biến số thực, liên tục trên ñoạn [ -1, 1] ñối với phép
cộng và nhân thông thường. (V)
e. C[a,b] với hai phép cộng và nhân thông thường. (C[a,b] là tập hợp các hàm liên tục trong [a,b]) (V) Bài 1.6:
a. Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các phần tử là số nguyên, ñối với phép cộng và phép nhân ma trận.
b. Tập hợp các ma trận vuông cấp n với các phần tử là số thực, ñối với phép cộng và phép nhân ma trận.  a b 
c. Tập hợp các ma trận dạng   
với a, b là các số hữu tỉ, hay số thực ñối với phép 2b a 
cộng và phép nhân ma trận.
Bài 1.7: Chứng minh rằng các cặp số dạng (a,b) với a, b nguyên, ñối với các phép toán (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) (a,b) . (c,d) = (ac,bd) lập thành một vành.
Bài 1.8: Chứng minh rằng các cặp số dạng (a,b) với a, b thực, ñối với các phép toán: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
(a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc) lập thành một trường.
C/ KHÔNG GIAN VECTƠ:
Bài 1.9. Trong các câu dưới ñây với các phép toán ñược ñịnh nghĩa kèm theo, tập nào là
không gian vectơ (không gian tuyến tính), tập nào không phải là không gian vectơ? Vì sao?
a. Tập tất cả bộ 3 số thực (x,y,z) với 2 phép tính:
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) = (kx, y, z)
b. Tập tất cả bộ 3 số thực (x,y,z) với 2 phép tính:
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’) k(x, y, z) = (2kx, 2ky, 2kz)
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý
c. Tập các cặp số thực có dạng (x, y) trong ñó x ≥ 0 với các phép toán thông thường trong R2
d. Tập hợp các vectơ trên mặt phẳng mà gốc ở gốc toạ ñộ, còn ñầu mút chạy trong góc phần tư thứ nhất.
e. Tập hợp R+ các số thực dương với phép toán như sau:
Phép cộng ⊕ : R+ x R+ R+: (x,y) x ⊕ y = xy λ
Phép nhân ⊗ : R+ x R+ R+: (λ,x) λ ⊗ x = x
Bài 1.10 Cho S là một tập hợp khác rỗng. Xét tập hợp KS = {f: S K} các ánh xạ từ S ñến
K. Ta ñịnh nghĩa phép cộng trên KS và phép nhân với vô hướng như sau:
(f + g) (s) = f(s) + g(s), (λf)(s) = λ(f(s)), ∀ s ∈ S, ∀f,g ∈ KS, ∀λ∈ K
Chứng minh rằng: KS là không gian véctơ trên K với hai phép toán trên.
Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ bộ môn Toán - Lý