Tổng ôn chuyên đề cung và góc lượng giác, công thức lượng giác

Tài liệu gồm 42 trang, bao gồm kiến thức trọng tâm, hệ thống ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề cung và góc lượng giác, công thức lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 10 tổng ôn chương trình Đại số 10 chương 6.

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

42 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
TỔNG ÔN CHUYÊN ĐỀ
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản
•
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
•
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
x x
•
2 2
2 2
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
•
1
tan .cot 1 cot
tan
x x x
x
•
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cos
x x x x
;
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cos
x x x x
•
3 3
sin cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x
;
3 3
sin cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x
2) Dấu của hàm số lượng giác
Góc I Góc II Góc III Góc IV
sin
x
cos
x
tan
x
cot
x
3) Mối quan hệ giữa các cung lượng giác đặc biệt
▪ Cung đối nhau:
và
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
▪ Cung bù nhau:
và
cos cos
sin sin
tan tan
Trang 2
cot cot
▪ Cung hơn kém
:
và
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
▪ Cung phụ nhau:
và
2
cos sin
2
sin cos
2
tan cot
2
cot tan
2
4) Công thức cộng
▪
cos cos cos sin sin
a b a b a b
▪
cos cos cos sin sin
a b a b a b
▪
sin sin cos sin cos
a b a b b a
▪
sin sin cos sin cos
a b a b b a
▪
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
▪
tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
a b
5) Công thức góc nhân đôi, nhân ba
▪ Công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tan
tan 2
1 tan
Trang 3
▪ Công thức góc nhân ba:
3
3
3
2
sin3 3sin 3sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 tan
6) Công thức hạ bậc hai, bậc ba
▪ Công thức hạ bậc hai:
2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
▪ Công thức hạ bậc ba:
3
3
3
3sin sin
sin
4
3cos cos3
cos
4
7) Công thức biến đổi tích sang tổng và ngược lại
▪ Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
▪ Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
u v u v
u v
cos cos 2sin sin
2 2
u v u v
u v
sin sin 2sin cos
2 2
u v u v
u v
sin sin 2cos sin
2 2
u v u v
u v
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung
x
sau:
a)
1
sin
3
x
;
0
2
x
b)
2
cos
5
x
;
2
x
c)
tan 2
x
;
3
2
x
d)
1
cot
2
x
;
3
2
2
x
Lời giải:
Trang 4
a) Từ
1
sin
3
x
2 2
1 8
cos 1 sin 1
9 9
x x
2 2
cos
3
x
Do
0
2
x
cos 0
x
2 2
cos
3
x
Từ đó ta được:
sin 1 2
tan
cos 4
2 2
1
cot 2 2
tan
x
x
x
x
x
b) Từ
2
cos
5
x
2 2
4 1
sin 1 cos 1
5 5
x x
1
sin
5
x
Do
2
x
sin 0
1
sin
5
x
Từ đó ta được
sin 1
tan
cos 2
1
cot 2
tan
x
x
x
x
x
c) Từ
tan 2
x
1 1
cot
tan 2
x
x
Ta có
2
2
2
2 2
2
1
sin
sin
cos
sin 2cos
tan 2
5
5
cos
4 1
5cos 1
sin cos
sin cos 1
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
Do
3
2
x
2
sin
sin 0
5
cos 0 1
cos
5
x
x
x
x
d)
1
cot
2
x
1
tan 2
cot
x
x
Ta có:
2
2
2
2 2
2
1
sin
sin
cos
sin 2cos
tan 2
5
5
cos
4 1
5cos 1
sin cos
sin cos 1
5
5
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
Do
3
2
2
x
2
sin
sin 0
5
cos 0 1
cos
5
x
x
x
x
Ví dụ 2. Tính giá trị của các hàm số lượng giác
a)
1
sin
3
x
;
0
2
x
b)
cot 2
x
;
0
2
x
Trang 5
c)
tan cot 2
x x
;
0
2
x
d)
2
cos
6
x
;
3
2
x
Lời giải:
a) Ta có:
1
sin
3
x
2
2
cos 1 sin
3
x x
;
1
tan
2
x
;
cot 2
x
b) Ta có:
cot 2
x
2
1 1 1 1
tan sin
cot 1 cot
2 3
x x
x x
;
2
cos
3
x
c)
tan cot 2
x x
1
tan 2 tan 1 cot 1
tan
x x x
x
Khi đó
2
1 1
sin
2
1 cot
x
x
;
1
cos
2
x
d) Ta có:
2
cos
6
x
2
2
sin 1 cos
6
x x
1
tan
2
x
;
cot 2
x
Ví dụ 3. Tính giá trị của các hàm số lượng giác
a)
2
tan cot
3
x x
;
3
2
x
b)
1
tan
3
x
;
2
x
Lời giải:
a) Ta có:
2
tan cot
3
x x
1 2
tan
tan
3
x
x
2
3 tan 2tan 3 0
x x
tan 3
x
1 1
cot
tan
3
x
x
;
2
1 3
sin
2
1 cot
x
x
1
cos
2
x
b) Ta có:
1
tan
3
x
1
cot 3
tan
x
x
2
1 1
sin
2
1 cot
x
x
3
cos
2
x
Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau
a)
2
1 cos 1
sin 1 cos
x
A
x x
b)
2 2
2
2
1 sin .cos
cos
cos
x x
B x
x
Lời giải:
a) Ta có:
2 2
1 cos 1 1 cos 1 1 1
0
sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
x x
A
x x x x x x
b)Ta có:
2 2 2 2 2 2
2
2 2
1 sin .cos sin cos sin cos
cos
cos cos
x x x x x x
B x
x x
2 2 2 2
tan 1 sin cos tan
x x x x
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau
a)
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x x
A
x x
b)
2 2
1 cot .sin 1
B x x
Lời giải:
Trang 6
a)
2
2cot , 0 sin 1
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 2cos
1 cos 1 cos sin
2cot , 1 sin 0
1 cos
x x
x x
x x x
A
x x x
x x
x
b)
2 2 2
1 cot .sin 1 1 cos 1 sin 1
B x x x x
Ví dụ 6. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2 2 2
tan sin tan sin
x x x x
b)
sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
c)
2 2
sin cos
1 sin cos
1 cot 1 tan
x x
x x
x x
d)
tan tan
tan . tan
cot cot
x y
x y
x y
Lời giải:
a)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
sin 1 cos
sin sin sin cos
tan sin sin tan sin
cos cos cos
x x
x x x x
x x x x x
x x x
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ta được:
2
2
2sin cos sin
2sin cos 2sin cos sin
sin cos 1
2 2 2
2 2 2 2 2
, 1
sin cos 1
2sin cos 2sin cos sin
2sin cos sin
2 2 2 2 2
2 2 2
x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x
Mặt khác
2 2
2
cos sin cos sin
cos
2 2 2 2
, 2
1 sin
cos sin
sin cos
2 2
2 2
x x x x
x
x x
x
x x
Từ
1
và
2
suy ra điều phải chứng minh.
c) Ta có:
2 2 2 2 3 3
sin cos sin cos sin cos
1 1 1
cos sin
1 cot 1 tan sin cos sin cos
1 1
sin cos
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
2 2
3 3
sin cos sin sin cos cos
sin cos
1 1
sin cos sin cos
x x x x x x
x x
x x x x
1 1 sin cos sin cos
x x x x
đpcm.
d)
sin sin sin cos sin cos
tan tan sin sin
cos cos cos cos
tan tan
cos cos sin cos sin cos
cot cot cos cos
sin sin sin sin
x y x y y x
x y x y
x y x y
x y
x y x y y x
x y x y
x y x y
đpcm
Ví dụ 7. Rút gọn các biểu thức sau
2 2 2
2 2 2
cos cos cot
sin sin tan
x x x
A
x x x
2
cos 2 sin 1 sin 2 1 sin
.
1 sin cos 1 sin cos 1 sin
x x x x
B
x x x x x
3 3
1 cot sin 1 tan cos sin cos
C x x x x x x
Trang 7
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin
D x x x x
Lời giải:
•
2 2 2
2
2 2
2 2 2 4
2 2
4
2
2 2 2 4
2 2 2
2 2
2
2
cos sin cos
cos
cos cos .
cos cos cot cos
sin sin
cot
sin
sin sin tan sin
sin cos sin
sin sin .
cos
cos
x x x
x
x x
x x x x
x x
A x
x
x x x x
x x x
x x
x
x
• Xét
2 2
cos 2sin 1 sin 1 sin 2 sin 1 sin
1 sin cos 1 sin cos 1 sin 1 sin cos
x x x x x x
x x x x x x x
2
1 sin 1 sin 2sin 1 sin
2cos 2cos
x x x x
x x
2
2
1 sin 2 1 sin 1 sin 1 sin
1 sin
. cos
2cos 1 sin cos cos
x x x x
x
B x
x x x x
•
3 3
1 cot sin 1 tan cos sin cos
C x x x x x x
3 3
cos sin
1 sin 1 cos sin cos
sin cos
x x
x x x x
x x
3 3 2 2
sin cos cos sin cos sin sin cos
x x x x x x x x
2 2
sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos
x x x x x x x x x x x x
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 1
x x x x x x x x
sin cos sin cos
x x x x
•
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sin
D x x x x
2 2
2 2 2 2
1 cos 4 cos 1 sin 4 sin
x x x x
4 2 4 2
cos 2cos 1 sin 2sin 1
x x x x
2 2
2 2
cos 1 sin 1
x x
2 2
sin cos 2 3
x x
Ví dụ 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2
2
2
1 sin
2 cot
1 cos
x
x
x
b)
2
2 1 sin 1 cos 1 sin cos
x x x x
Lời giải:
a) Ta có
2 2 2 2
2
2 2 2
1 sin 1 sin 2 sin cos
2 cot
1 cos sin sin
x x x x
x
x x x
b) Ta có
2
2 2
1
1 sin cos cos sin 1 2sin 2sin cos 2cos
VP x x x x x x x x
2 1 sin 1 cos
x x VT
. Suy ra đpcm.
Ví dụ 9. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
2
2
1 4sin cos
sin cos
sin cos
x x
x x
x x
b)
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
x x x
x
x x x
Trang 8
Lời giải:
a)
2
2 2
2 2
sin cos 2sin cos 1 2sin cos
1 4sin cos
sin cos sin cos
x x x x x x
x x
VT
x x x x
2
2 2
2
sin cos 1 2sin cos
1 2sin cos sin cos 2sin cos
sin cos
x x x x
x x x x x x
x x
2
sin cos
x x VP
. Suy ra đpcm.
b)
2 2 2
2 2 4 2 2 2
2 2 4 2 2 2
2 2 2
sin cos 1 cos
sin cos cos sin cos sin
cos sin sin cos sin cos
cos sin 1 sin
x x x
x x x x x x
VT
x x x x x x
x x x
2 2
4
4
4
2 2
sin 1 cos
sin
tan
cos
cos 1 sin
x x
x
x VP
x
x x
. Suy ra đpcm.
Ví dụ 10. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
tan sin
cos
sin cot
x x
x
x x
b)
4 4
6 6
sin cos 1 2
3
sin cos 1
x x
x x
Lời giải:
a)
2
tan sin 1 sin
cos
sin cot cos
x x x
VT x VP
x x x
b)
2 2 2 2
4 4
6 6 3
2 2 2 2 2 2
sin cos 2sin cos 1
sin cos 1 2
3
sin cos 1
sin cos 3sin cos sin cos 1
x x x x
x x
VT VP
x x
x x x x x x
Ví dụ 11. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
sin cos 1 2 cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
b)
2 2
2 2
1
2 tan cot
sin .cos
x x
x x
Lời giải:
a) Ta có
2 2
sin cos 1 2 cos
sin cos 2cos 1 2 cos 1 cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x x x
x x x
Nhận xét:
2 2 2
sin cos 2cos 1 2cos 2cos 2cos 1 cos
x x x x x x x
. Suy ra đpcm.
b)
2 2 2 2 4 4
2 2
2 2 2 2
sin cos 2sin cos sin cos
2 tan cot 2
cos sin sin .cos
x x x x x x
VP x x
x x x x
2
2 2
2 2 2 2
sin cos
1
sin .cos sin .cos
x x
VT
x x x x
đpcm.
Ví dụ 12. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
4 4
6 6 4
sin 3cos 1 3
2
sin cos 3cos 1
x x
x x x
b)
2 2 2 4
cos 2sin cos 1 sin
x x x x
Lời giải:
Trang 9
a) Ta có:
4 4 4 4
6 6 4 3
2 2 2 2 2 2 4
sin 3cos 1 sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
sin cos 3sin cos sin cos 3cos 1
x x x x
VT
x x x
x x x x x x x
2
2 4
4 4 4 2
2 2 4 4 2
4 2 2
1 cos 3cos 1
sin 3cos 1 4cos 2cos 2
3
3sin cos 3cos 6cos 3cos
3cos 3cos 1 cos
x x
x x x x
VP
x x x x x
x x x
b) Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 4
cos 2sin cos cos 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
x x x x x x x x
Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 cot 1
tan 1 cot 1
x
A
x x
b)
4 4 2 4 2
2cos sin sin cos 3sin
B x x x x x
Lời giải:
a)
2 cot 1
tan 1 cot 1
x
A
x x
2cos cos sin cos sin
1
sin cos cos sin sin cos
x x x x x
x x x x x x
b)
4 4 2 2 2
2cos sin sin cos 3sin
B x x x x x
4 2 2 2
2 cos 1 cos 3 cos 1 cos
x x x x
4 2 2 4 4
2 cos 1 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 cos 2
x x x x x
Ví dụ 14. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào
x
?
a)
2 2
6
2 2
tan sin
.cot
cot cos
x x
A x
x x
b)
2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cos
B x x x x x
Lời giải:
a)
2 2
6
2 2
tan sin
.cot
cot cos
x x
A x
x x
2
4 2 6
2
6
2 4 6
2
2
1
sin 1
sin sin cos
cos
.cot . . 1
1
cos cos sin
cos 1
sin
x
x x x
x
x
x x x
x
x
b)
2 2 2 2 2
sin .tan 4sin tan 3cos
B x x x x x
2 2 2 2 2
tan sin 1 3sin 3cos sin
x x x x x
2 2 2 2 2
tan cos 3 sin sin 3 sin 3
x x x x x
Ví dụ 15. Tính giá trị biểu thức
a)
3 2
3 3
cos cos .sin sin
sin cos
x x x x
A
x x
, với
tan 2
x
.
b)
1 cos sin
1 cos
x x
B
x
,với
12
cos
13
x
và
2
x
.
c)
2 2
4 4
2 sin sin cos cos
sin cos
x x x x
C
x x
, với
tan 3
x
.
Lời giải:
a)
3 2
3 3
cos cos .sin sin
sin cos
x x x x
A
x x
2 2
3
1 tan tan 1 tan
tan 1
x x x
x
1 4 2 1 4
5
8 1 7
Trang 10
b) Ta có:
2
12
144
cos
cos
5 6
13
sin
169
13 25
sin 0
2
x
x
x B
x
x
c)
2 2
4 4
2 sin sin cos cos
sin cos
x x x x
C
x x
2 2
2 2
2sin sin .cos cos
sin cos
x x x x
x x
2
2
2 tan tan 1 11
4
tan 1
x x
C
x
Ví dụ 16. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2
2 1 cos
x x x x
x
b)
2
2
2
1
1 cot 1
cos
1 tan
x
x
x
Lời giải:
a) Ta có:
4 4 2
2
sin cos cos
2 1 cos
x x x
x
2 2 2
2
sin cos cos 1
2
2 sin
x x x
x
b) Ta có:
2
2
2
1
1 cot 1
cos
1 tan
x
x
x
=
2
2
2 2
1 sin
. .cos 1
sin cos
x
x
x x
Ví dụ 17. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3
sin cos cot 2 tan
2 2
A x x x x
b)
3 5
sin .cos 3 .cot
2 2
B x x x
c)
2sin2550 .cos 188
1
tan368 2cos638 cos98
C
Lời giải:
a)
3
sin cos cot 2 tan
2 2
A x x x x
sin sin cot tan
2
x x x x
cot cot 0
x x
b)
3 5
sin .cos 3 .cot
2 2
B x x x
sin .cos 2 .cot 2
2 2
x x x
sin .cos . .cot
2 2
x x x
cos . cos . tan
x x x
sin cos
x x
c)
2sin2550 .cos 188
1
tan368 2cos638 cos98
C
2sin 7.360 30 .cos 180 8
1
7
tan 360 8
2 cos 180 . 8 cos 90 8
2
Trang 11
2sin30 . cos8
1 1 cos8 2
tan8 2sin8 sin8 tan8 sin8 tan8
Ví dụ 18. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
11 11
cos 5 2sin sin
2 2
A x x x
b)
3
cos cos cos cos 2
2 2
B x x x x
Lời giải:
a) Ta có :
cos 2sin sin
2 2
A x x x
cos 2cos cos 0
x x x
b) Ta có :
sin cos cos cos sin sin 0
2
B x x x x x x
Ví dụ 19. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 3 7 7
cos sin cos cos
2 2 2 2
A x x x x
b)
5 11 7
sin cos 3sin 5 tan .tan
2 2 2
B x x x x x
Lời giải:
a)
2 2
cos sin cos sin cos sin
2 2 2
A x x x x x x
b)
sin cos 3sin tan tan
2 2 2
B x x x x x
cos sin 3sin cot tan 4sin cos 1
x x x x x x x
Ví dụ 20. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 3
cos sin tan cot
2 2 2
A x x x x
b)
sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540
B x x x x x
Lời giải:
a) Ta có :
cos sin cot cot cos cos cot .tan 1
2 2
A x x x x x x x x
b) Ta có :
sin 90 2sin 90 cos 2sin cos cos 2sin
B x x x x x x x
Ví dụ 21. Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 12
3
3 7
tan .cos sin
2 2 2
3
cos .tan
2 2
x x x
A
x x
2 2
11 3 13
1 tan 1 cot 3 .cos sin 11 .cos sin 7
2 2 2
B x x x x x x
Lời giải:
3
3
cos
cot cos sin
sin cos
2 2
sin
sin . cot cos
x
x x x
x x
x
A
x x x
3
2 2
cos cos
1 cos sin
cos
x x
x x
x
2 2 2 2 4
1 tan 1 cot .sin .sin .sin . sin 1 cot 1 cot . sin
2
B x x x x x x x x x
4
4
1
.sin 1
sin
x
x
Ví dụ 22. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
11 21 9 29 2
sin sin sin sin 2cos
10 10 10 10 5
b)
2
sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408
1
cos 25
cot 415 .cot 505 tan197 .tan 73 2
c)
tan105 tan285 tan 435 tan 75 0
Lời giải:
a)
11 21 9 29
sin sin sin sin
10 10 10 10
A
9 21 9 21
sin 2 sin sin sin 5
10 10 10 10
9 21 9 21
sin sin sin sin
10 10 10 10
9 9 2
2sin 2cos 2cos
10 10 2 5
b)
sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408
cot 415 .cot 505 tan197 .tan 73
B
sin 360 180 25 .cos 360 90 25 cot 180 42 .cot 360 48
cot 360 55 .cot 360 90 55 tan 180 17 . tan 90 17
2 2
sin25 . sin25 cot 42 .cot 90 42
sin 25 1 cos 25
cot55 .tan55 tan17 .cot17 2 2
Trang 13
c)
tan105 tan285 tan 435 tan 75
C
tan 180 75 tan 360 75 tan 360 75 tan 75
tan75 tan75 tan75 tan75 0
Ví dụ 23. Tính giá trị các biểu thức sau
a)
tan
4
A x
, với
9
cos
41
x
;
3
2
x
b) Cho
a
,
b
là các góc nhọn thỏa mãn:
8
sin
17
a
,
5
tan
12
b
Tính:
sin
a b
,
cos
a b
,
tan
a b
Lời giải:
a)
9
cos
41
x
2 2
1 1600 40
sin 1 cos 1 sin
1681 1681 41
x x x
Do
3
2
x
40 sin 40
sin 0 sin tan
41 cos 9
x
x x x
x
Từ đó ta được
tan
4
A x
40
1
tan tan
31
9
4
40
49
1 tan tan 1
4 9
x
x
b) Ta có:
•
8 15
sin cos
17 17
a a
Do
a
là góc nhọn
15 8
cos 0 cos tan
17 15
a a a
•
5 5
tan sin cos
12 12
b b b
Từ đó ta có
2 2
5
5
sin
sin cos
13
12
12
cos
sin cos 1
13
b
b b
b
b b
Do
b
là góc nhọn nên
sin 0
b
,
cos 0
b
5
sin
13
12
cos
13
b
b
•
8 12 15 5 21
sin sin cos cos sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b
•
15 12 8 5 140
cos cos cos sin sin . .
17 13 17 13 221
a b a b a b
Trang 14
•
8 5
tan tan 21
15 12
tan
8 5
1 tan tan 220
1 .
15 12
a b
a b
a b
Ví dụ 24. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a)
2 2 2
cos cos cos
3 3
A x x x
b)
3 3
3 cos cos 3 3 sin sin 3
cos sin
x x x x
B
x x
Lời giải:
a) Cách 1: (Khai triển theo công thức cộng)
2 2 2
cos cos cos
3 3
A x x x
2 2
2
cos cos cos sin sin cos cos sin sin
3 3 3 3
x x x x x
2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
cos cos sin cos sin cos sin cos sin
4 2 4 4 2 4
x x x x x x x x x
2 2
3 3 3
cos sin
2 2 2
x x
Cách 2: (Sử dụng công thức hạ bậc)
2 2 2
cos cos cos
3 3
A x x x
2 2
1 cos 2 1 cos 2
1 cos2
3 3
2 2 2
x x
x
3 1 1 2 2
cos2 cos 2 cos 2
2 2 2 3 3
x x x
3 1 1 2
cos2 2cos2 .cos
2 2 2 3
x x
3 1 2
cos 2 cos 2 .cos
2 2 3
x x
3 1 1 3 3
cos 2 cos 2
2 2 2 2 2
x x A
Vậy biểu thức
A
không phụ thuộc vào biến
x
.
b)
3 3
3cos cos 3 3sin sin 3
cos sin
x x x x
B
x x
3 3 3 3
3cos 4 cos 3cos 3sin 4sin 3sin
cos sin
x x x x x x
x x
3 3
2 2
cos 3cos sin 3sin
cos sin 6 5
cos sin
x x x x
x x
x x
Vậy biểu thức
B
không phụ thuộc vào biến
x
.
Ví dụ 25. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
2 2
sin sin
tan tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
b)
4 4
1 3
sin cos cos 4
4 4
x x x
Trang 15
c)
2 2
6 2cos 4
cot tan
1 cos4
x
x x
x
Lời giải:
a)
2 2
tan tan
a b
2 2
2 2
sin sin
cos cos
a b
a b
2 2 2 2
2 2
sin .cos sin .cos
cos .cos
a b b a
a b
2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos
cos .cos
a b b a a b b a
a b
2 2
sin sin
cos .cos
a b a b
a b
b)
4 4
sin cos
x x
2
2
2 2
sin cos 2 sin cos
x x x x
2
1
1 2. sin 2
4
x
1
1 1 cos 4
4
x
3 1
cos 4
4 4
x
c)
2 2
cot tan
x x
2 2 4 4
2 2 2 2
sin cos sin cos
cos sin sin cos
x x x x
x x x x
2
2
2 2
2
sin cos 2 sin cos
1
sin 2
4
x x x x
x
2
2
1
4 1 sin 2
2
sin 2
x
x
1 1
4 1 cos 4
4 4
1 cos 4
2
x
x
6 2 cos 4
1 cos 4
x
x
Ví dụ 26. Cho
4 4
98
3sin 2cos
81
x x
. Tính giá trị biểu thức
4 4
2sin 3cos
A x x
Lời giải:
Đặt
2
sin
a x
,
2
cos
b x
, 1;1
a b
, ta có:
2
2 2 2
98 98
3 2 3 2 1
81 81
1 1
a b a a
a b b a
2 2
2 2
4 5 107
, 2 3
9 9 81
16 29 607
2 3
45 45 405
a b A a b
a b A a b
Ví dụ 27. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
2
sin sin sin 2
8 8 2
x x x
b)
sin 1 cos2 sin 2 .cos
x x x x
c)
1 2
tan
tan tan 2
x
x x
d)
1
tan 1 tan
2 cos
x
x
x
Lời giải:
a) Ta có:
1 cos 2 1 cos 2
4 4
2 2
x x
VT
cos 2 cos 2
4 4
2
x x
Trang 16
2sin sin 2
2
4
sin 2
2 2
x
x VP
b)
2
sin .2cos 2sin cos .cos sin 2 .cos 2
VT x x x x x x x VP
c)
2 2
sin cos sin cos cos 2 2
1
cos sin sin cos tan 2
sin 2
2
x x x x x
VT VP
x x x x x
x
d)
2
sin sin .2cos
1 cos 1
2 2 2
2sin cos tan
2cos 2 2 cos
cos 2cos .cos
2 2
x x x
x x x
VT x VP
x x
x x
x
Ví dụ 28. Rút gọn các biểu thức sau
2
1 sin 2sin
4 2
4 cos
2
x
x
E
x
3 3
cos .sin sin .cos
sin 2 .cos 2
x x x x
F
x x
sin 4 .cos2
1 cos4 1 cos2
x x
G
x x
2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 4sin 4
x x
H
x x
Lời giải:
• Ta có:
cos 0
2
x
1 sin 1 cos
2
sin sin
0
4cos 4cos
2 2
x x
x x
E
x x
• Với
sin2 .cos2 0
x x
ta có:
2 2
cos sin cos sin
sin 2 cos 2
x x x x
F
x x
cos sin .cos 2 1
2sin cos cos 2 2
x x x
x x x
• Với
1 cos4 1 cos2 0
x x
ta có:
2 2 2 2
2sin 2 cos 2 .cos2 sin 2 2sin cos
tan
2cos 2 .2cos 2cos 2cos
x x x x x x
G x
x x x x
•Ta có:
2 2
2 2 2 4
4
2 2 2 4
2 2
sin cos 1
4sin cos 4sin sin
tan
4sin cos 4cos cos
cos sin 1
x x
x x x x
H x
x x x x
x x
Ví dụ 29. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
2 2
tan 2a tan
tan .tan 3a
1 tan 2a.tan
a
a
a
b)
sin sin 2sin
4 4
a a a
Lời giải:
Trang 17
a)
2 2
2 2
tan 2 tan tan 2 tan
tan 2a tan
tan .tan 3
1 tan tan 2 1 tan tan 2
1 tan 2a.tan
a a a a
a
VT a a VP
a a a a
a
b)
1 1
sin sin sin cos sin cos 2sin
4 4
2 2
VT a a a a a b a VP
Ví dụ 30. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
2 2
2 2
sin sin
cos .sin
1 tan .cot
a b a b
a b
a b
b)
2 2
2 2
cos cos
1 tan .tan
cos .cos
a b a b
a b
a b
Lời giải:
a)
2 2
sin sin
1 tan .cot
a b a b
VT
a b
2 2
2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos
1
cos sin
a b b a a b b a
a b
a b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin sin cos
cos sin
a b b a
a b a b
a b
2 2
cos .sin
a b VP
b)
2 2
cos cos
cos .cos
a b a b
VT
a b
2 2
cos cos sin sin cos cos sin sin
cos .cos
a b a b a b a b
a b
2 2 2 2
2 2
cos .cos sin .sin
cos .cos
a b a b
a b
2 2
1 tan .tan
a b VP
Ví dụ 31. Chứng minh các đẳng thức sau
a)
cos
cot
1 sin 4 2
x x
x
b)
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan 3
1 tan .tan 2
x x
x x
x x
Lời giải:
a) Ta có:
1
cos cos sin
4 2 2 2
2
cot
1
4 2
sin cos sin
4 2 2 2
2
x x x
x
VT
x x x
2
cos sin cos sin
2 2 2 2
cos sin
2 2
x x x x
x x
2 2
cos sin
cos
2 2
1 sin
1 2sin cos
2 2
x x
x
VP
x x
x
b) Ta có:
2 2
2 2
tan 2 tan
1 tan . tan 2
x x
VT
x x
tan 2 tan tan 2 tan
tan tan 3
1 tan tan 2 1 tan tan 2
x x x x
x x VP
x x x x
Ví dụ 32. Cho tam giác, chứng minh các đẳng thức sau:
a)
sin sin .cos sin .cos
A B C C B
b)
tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C
Lời giải:
Trang 18
a)
sin cos cos sin sin sin sinB C B C B C A A
đpcm
b)
sin sin sin
tan tan tan
cos cos cos
A B C
A B C
A B C
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
cos cos cos
A B C B A C C A B
A B C
cos sin cos sin cos sin cos cos
cos cos cos
C A B B A C A B
A B C
cos sin sin cos cos
cos cos cos
C A B C A B
A B C
cos sin sin cos cos
cos cos cos
C C C A B
A B C
sin cos cos cos
cos cos cos
C C A B
A B C
sin cos cos cos
cos cos cos
C A B A B
A B C
sin sin sin
tan .tan .tan
cos cos cos
A B C
A B C
A B C
Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp.
Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hướng khác nhanh gọn hơn như sau
tan tan
tan tan tan
1 tan .tan
A B
A B C A B C A B C C
A B
tan tan tan tan .tan .tan tan tan tan tan .tan .tan
A B C A B C A B C A B C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho góc
thỏa mãn
4
sin
5
. Tính
cos4
P
.
A.
527
625
P
B.
527
625
P
C.
524
625
P
D.
524
625
P
Câu 2. Cho góc
thỏa mãn
4
sin 2
5
và
3
4
. Tính
sin cos
P
.
A.
3
5
P
B.
3
5
P
C.
5
3
P
D.
5
3
P
Câu 3. Cho góc
thỏa mãn
2
sin 2
3
. Tính
4 4
sin cos
P
A.
1
P
B.
17
81
P
C.
7
9
P
D.
9
7
P
Câu 4. Cho góc
thỏa mãn
2
và
4
sin
5
. Tính
sin2P
A.
24
25
P
B.
24
25
P
C.
12
25
P
D.
12
25
P
Câu 5. Cho góc
thỏa mãn
0
2
và
2
sin
3
. Tính
1 sin 2 cos 2
sin cos
P
A.
2 5
3
P
B.
3
2
P
C.
3
2
P
D.
2 5
3
P
Trang 19
Câu 6. Biết
3
sin
5
và
3
2
. Tính
sin
6
P
A.
3
5
P
B.
3
5
P
C.
4 3 3
10
P
D.
4 3 3
10
P
Câu 7. Cho góc
thỏa mãn
5
cos
13
và
3
2
2
. Tính
tan2
P
A.
120
119
P
B.
119
120
P
C.
120
119
P
D.
119
120
P
Câu 8. Cho góc
thỏa mãn
2
cos2
3
. Tính
2 2
1 3sin 1 4 cosP
A.
1 2
P
B.
21
2
P
C.
6
P
D.
7
6
P
Câu 9. Cho góc
thỏa mãn
3
cos
4
và
3
2
2
. Tính
cos
3
P
A.
3 21
8
P
B.
3 21
8
P
C.
3 3 7
8
P
D.
3 3 7
8
P
Câu 10. Cho góc
thỏa mãn
4
cos
5
và
3
2
. Tính
tan
4
P
A.
1
7
P
B.
1
7
P
C.
7
P
D.
7
P
Câu 11. Cho góc
thỏa mãn
4
cos2
5
và
4 2
. Tính
cos 2
4
P
A.
2
10
P
B.
2
10
P
C.
1
5
P
D.
1
5
P
Câu 12. Cho góc
thỏa mãn
4
cos
5
và
3
2
. Tính
3
sin .cos
2 2
P
A.
39
50
P
B.
49
50
P
C.
49
50
P
D.
39
50
P
Câu 13. Cho góc
thỏa mãn
5
cot 2
2
. Tính
tan
4
P
A.
1
2
P
B.
1
2
P
C.
3
P
D.
3
P
Câu 14. Cho góc
thỏa mãn
cot 15
. Tính
sin2
P
A.
11
113
P
B.
13
113
P
C.
15
113
P
D.
17
113
P
Câu 15. Cho góc
thỏa mãn
cot 3 2
và
2
. Tính
tan cot
2 2
P
Trang 20
A.
2 19
P
B.
2 19
P
C.
19
P
D.
19
P
Câu 16. Cho góc
thỏa mãn
4
tan
3
3
;2
2
. Tính
sin cos
2 2
P
A.
5
P
B.
5
P
C.
5
5
P
D.
5
5
P
Câu 17. Cho góc
thỏa mãn
tan 2
. Tính
sin 2
cos4 1
P
A.
10
9
P
B.
9
10
P
C.
10
9
P
D.
9
10
P
Câu 18. Cho góc
thỏa mãn
tan cot 0
và
1
sin
5
. Tính
sin2
P
A.
4 6
25
P
B.
4 6
25
P
C.
2 6
25
P
D.
2 6
25
P
Câu 19. Cho góc
thỏa mãn
2
và
sin 2cos 1
. Tính
sin2
P
A.
24
25
P
B.
2 6
5
P
C.
24
25
P
D.
2 6
5
P
Câu 20. Cho góc
thỏa mãn
3
sin
5
. Tính
sin sin
6 6
P
A.
11
100
P
B.
11
100
P
C.
7
25
P
D.
10
11
P
Câu 21. Cho góc lượng giác
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
2
cos 2 1 2sin
B.
2 2
cos 2 cos sin
C.
2
cos 2 1 2cos
D.
2
cos 2 2 cos 1
Câu 22. Cho
3
sin
5
,
3
;
2 2
. Tính giá trị
21
cos
4
A.
2
10
B.
7 2
10
C.
2
10
D.
7 2
10
Câu 23. Cho
tan 2
. Giá trị biểu thức
3
3
sin 3cos
cos 2 sin
P
là
A.
1
3
B.
5
21
C.
7
11
D.
2
7
Câu 24. Biết
5
sin
13
a
;
3
cos
5
b
;
2
a
;
0
2
b
. Hãy tính
sin
a b
A.
56
65
B.
63
65
C.
33
65
D.
0
Trang 21
Câu 25. Nếu biết rằng
5
sin
13 2
;
3
cos 0
5 2
thì giá trị đúng của biểu thức
cos
là
A.
16
65
B.
16
65
C.
18
65
D.
18
65
Câu 26. Cho hai góc nhọn
;
a b
và biết rằng
1
cos
3
a
,
1
cos
4
b
. Tính giá trị của biểu thức
cos .cos
P a b a b
A.
113
144
B.
115
144
C.
117
144
D.
119
144
Câu 27. Nếu
;
a b
là hai góc nhọn và
1
sin
3
a
,
1
sin
2
b
thì
cos2
a b
có giá trị bằng
A.
7 2 6
18
B.
7 2 6
18
C.
7 4 6
18
D.
7 4 6
18
Câu 28. Cho
0 ,
2
và thỏa mãn
1
tan
7
,
3
tan
4
. Góc
có giá trị bằng
A.
3
B.
4
C.
6
D.
2
Câu 29. Nếu
1
sin cos 135 180
5
a a a
thì giá trị của biểu thức
tan2a
bằng
A.
20
7
B.
20
7
C.
24
7
D.
24
7
Câu 30. Nếu
tan 7
a b
,
tan 4
a b
thì giá trị đúng của
tan2a
là
A.
11
27
B.
11
27
C.
13
27
D.
13
27
Câu 31. Cho
0
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
sin 0
B.
sin 0
C.
sin 0
D.
sin 0
Câu 32. Cho
0
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
cot 0
2
B.
cot 0
2
C.
tan 0
D.
tan 0
Câu 33. Cho
3
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
tan 0
2
B.
3
tan 0
2
C.
3
tan 0
2
D.
3
tan 0
2
Trang 22
Câu 34. Cho
2
. Xác định dấu của biểu thức
cos .tan
2
M
A.
0
M
B.
0
M
C.
0
M
D.
0
M
Câu 35. Cho
3
2
. Xác định dấu của biểu thức
sin .cot
2
M
A.
0
M
B.
0
M
C.
0
M
D.
0
M
Câu 36. Với góc
bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 2
sin 2 cos 2 1
B.
2 2
sin cos 1
C.
2 2
sin cos 180 1
D.
2 2
sin cos 180 1
Câu 37. Để
ta n
có nghĩa khi
A.
2
B.
0
C.
2
k
D.
k
Câu 38. Điều kiện trong đẳng thức
tan .cot 1
là
A.
,
2
k k Z
B.
,
2
k k Z
C.
,
k k Z
D.
2 ,
2
k k Z
Câu 39. Điều kiện để biểu thức P=
tan cot
3 6
xác định là
A.
2 ,
6
k k Z
B.
2
,
3
k k Z
C.
,
6
k k Z
D.
2 ,
3
k k Z
Câu 40. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
sin60 sin150
B.
cos30 cos60
C.
tan45 tan60
D.
cot60 cot240
Câu 41. Với mọi
R
thì
tan 2017
bằng
A.
ta n
B.
cot
C.
ta n
D.
co t
Câu 42. Đơn giản biểu thức
cos sin
2
A
, ta được
A.
cos sin
A
B.
2sin
A
C.
sin .cos
A
D.
0
A
Câu 43. Rút gọn biểu thức
cos sin sin cos
2 2
S x x x x
ta được
A.
0
S
B.
2 2
sin cos
S x x
C.
2sin cos
S x x
D.
1
S
Câu 44. Cho
sin .cosP
và
sin .cos
2 2
Q
. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A.
0
P Q
B.
1
P Q
C.
1
P Q
D.
2
P Q
Trang 23
Câu 45. Biểu thức lượng giác
2
2
3
sin sin 10 cos cos 8
2 2
x x x x
có giá trị
bằng?
A.
1
B.
2
C.
1
2
D.
3
4
Câu 46. Giá trị biểu thức P=
2
2
17 7 13
tan tan cot cot 7
4 2 4
x x
bằng
A.
2
1
sin
x
B.
2
1
cos
x
C.
2
2
sin
x
D.
2
2
cos
x
Câu 47. Cho góc
thỏa mãn
12
cos
13
và
2
. Tính
ta n
A.
12
tan
5
B.
5
tan
12
C.
5
tan
12
D.
12
tan
5
Câu 48. Cho góc
thỏa mãn
tan 2
và
180 270
. Tính
cos sin
A.
3 5
5
P
B.
1 5
P
C.
3 5
5
P
D.
5 1
2
P
Câu 49. Cho góc
thỏa mãn
3
sin
5
và
90 180
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
4
cot
5
B.
4
cos
5
C.
4
tan
5
D.
4
cos
5
Câu 50. Cho góc
thỏa mãn
3
cot
4
và
0 90
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
4
cos
5
B.
4
cos
5
C.
4
sin
5
D.
4
sin
5
Câu 51. Cho góc
thỏa mãn
3
sin
5
và
2
x
. Tính
2
tan
1 tan
P
A.
3
P
B.
3
7
P
C.
12
25
P
D.
12
25
P
Câu 52. Cho góc
thỏa mãn
1
sin
3
và
2
. Tính
7
tan
2
P
A.
2 2
P
B.
2 2
P
C.
2
4
P
D.
2
4
P
Câu 53. Cho góc
thỏa mãn
3
cos
5
và
0
2
. Tính
5 3 tan 6 4 cot
P
A.
4
P
B.
4
P
C.
6
P
D.
6
P
Câu 54. Cho góc
thỏa mãn
3
cos
5
và
4 2
. Tính
2
tan 2 tan 1
P
Trang 24
A.
1
3
P
B.
1
3
P
C.
7
3
P
D.
7
3
P
Câu 55. Cho góc
thỏa
2
2
và
tan 1
4
. Tính
cos sin
6
P
A.
3
2
P
B.
6 2 3
4
P
C.
3
2
P
D.
6 2 3
4
P
Câu 56. Cho góc
thỏa mãn
4
tan
3
và
2
. Tính
2
2
sin cos
sin cos
P
A.
30
11
P
B.
31
11
P
C.
32
11
P
D.
34
11
P
Câu 57. Cho góc
thỏa mãn
tan 2
. Tính
3sin 2 cos
5cos 7sin
P
A.
4
9
P
B.
4
9
P
C.
4
19
P
D.
4
19
P
Câu 58. Cho góc
thỏa mãn
1
cot
3
. Tính
3sin 4cos
2sin 5cos
P
A.
15
13
P
B.
15
13
P
C.
13
P
D.
13
P
Câu 59. Cho góc
thỏa mãn
tan 2
. Tính
2 2
2 2
2sin 3sin cos 4 cos
5sin 6 cos
P
A.
9
13
P
B.
9
65
P
C.
9
65
P
D.
24
29
p
Câu 60. Cho góc
thỏa mãn
1
tan
2
. Tính
2 2
2 2
2sin 3sin cos 4 cos
5cos sin
P
A.
8
13
P
B.
2
19
P
C.
2
19
P
D.
8
19
P
Câu 61. Cho góc
thỏa mãn
tan 5
. Tính
4 4
sin cos
P
A.
9
13
P
B.
10
13
P
C.
11
13
P
D.
12
13
P
Câu 62. Cho góc
thỏa mãn
5
sin cos
4
. Tính
sin .cos
P
A.
9
16
P
B.
9
32
P
C.
9
8
P
D.
1
8
P
Câu 63. Cho góc
thỏa mãn
12
sin cos
25
và
sin cos 0
. Tính
3 3
sin cos
P
A.
91
125
P
B.
49
25
P
C.
7
5
P
D.
1
9
P
Câu 64. Cho góc
thỏa mãn
0
4
5
sin cos
2
. Tính
sin cos
Trang 25
A.
3
2
P
B.
1
2
P
C.
1
2
P
D.
3
2
P
Câu 65. Cho góc
thỏa mãn
sin cos
m
. Tính
sin cos
P
A.
2
P m
B.
2
2
P m
C.
2
2
P m
D.
2
2
P m
Câu 66. Cho góc
thỏa mãn
tan cot 2
. Tính
2 2
tan cot
P
A.
1
P
B.
2
P
C.
3
P
D.
4
P
Câu 67. Cho góc
thỏa mãn
tan cot 5
. Tính
3 3
tan cot
P
A.
100
P
B.
110
P
C.
1 12
P
D.
115
P
Câu 68. Cho góc
thỏa mãn
2
sin cos
2
. Tính
2 2
tan cot
P
A.
1 2
P
B.
1 4
P
C.
16
P
D.
18
P
Câu 69. Cho góc
thỏa mãn
2
và
tan cot 1
. Tính
tan cot
P
A.
1
P
B.
1
P
C.
5
P
D.
5
P
Câu 70. Cho góc
thỏa mãn
3cos 2sin 2
và
sin 0
. Tính
sin
P
A.
5
sin
13
B.
7
sin
13
C.
9
sin
13
D.
12
sin
13
Câu 71. Rút gọn biểu thức
sin sin
2
1 cos cos
2
x
x
A
x
x
được kết quả là
A.
tan
2
x
B.
co t
x
C.
2
tan
4
x
D.
sin
x
Câu 72. Rút gọn biểu thức
5 5
sin .cos sin .cos
A
A.
1
sin 2
2
B.
1
sin 4
2
C.
3
sin 4
2
D.
1
sin4
4
Câu 73. Đơn giản biểu thức
1 cos cos2
sin 2 sin
A
thu được kết quả là
A.
sin2
B.
ta n
C.
cot
D.
cos2
Câu 74. Biến đổi biểu thức
sin 1
a
thành tích
A.
sin 1 2sin cos
2 4 2 4
a a
a
B.
sin 1 2cos sin
2 2
a a a
C.
sin 1 2sin cos
2 2
a a a
D.
sin 1 2cos sin
2 4 2 4
a a
a
Câu 75. Nếu
1
sin cos
2
x x
thì
sin2
x
bằng
Trang 26
A.
3
4
B.
3
8
C.
2
2
D.
3
4
Câu 76. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
B.
cos cos cos sin sin
a b a b a b
C.
sin sin cos cos sin
a b a b a b
D.
2cos cos cos cos
a b a b a b
Câu 77. Cho hai góc
,
thỏa mãn
5
sin ,
13 2
và
3
cos , 0
5 2
. Tính giá trị
đúng của
cos
A.
16
65
B.
18
65
C.
18
65
D.
16
65
Câu 78. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
1 sin 1; 1 cos 1
B.
sin
tan cos 0
cos
C.
cos
cot sin 0
sin
D.
2 2
sin 2018 cos 2018 2018
Câu 79. Rút gọn biểu thức
2 2
sin cos sin cos
M x x x x
A.
1
M
B.
2
M
C.
4
M
D.
4sin .cos
M x x
Câu 80. Rút gọn biểu thức
tan tan
M x y
A.
tan
M x y
B.
sin
cos .cos
x y
M
x y
C.
sin
cos .cos
x y
M
x y
D.
tan tan
1 tan . tan
x y
M
x y
Câu 81. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
4 4
1 3
sin cos cos 4
4 4
x x x
B.
4 4
5 3
sin cos cos 4
8 8
x x x
C.
4 4
3 1
sin cos cos 4
4 4
x x x
D.
4 4
1 1
sin cos cos 4
2 2
x x x
Câu 82. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
4 4 2
sin cos 1 2cos
x x x
B.
4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cos
x x x x
C.
4 4 2
sin cos 1 2sin
x x x
D.
4 4 2
sin cos 2cos 1
x x x
Câu 83. Rút gọn biểu thức
6 6
sin cos
M x x
A.
2 2
1 3sin cos
M x x
B.
2
1 3sin
M x
C.
2
3
1 sin
2
M x
D.
2
3
1 sin 2
4
M x
Câu 84. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
cos3 .cos5 cos8 cos 2
2
x x x x
B.
1
cos3 .cos5 cos8 cos 2
2
x x x x
Trang 27
C.
1
cos3 .cos5 cos 2 cos8
2
x x x x
D.
1
cos3 .cos5 sin 8 sin 2
2
x x x x
Câu 85. Chọn đẳng thức đúng
A.
2
1 sin
cos
4 2 2
a a
B.
2
1 sin
cos
4 2 2
a a
C.
2
1 cos
cos
4 2 2
a a
D.
2
1 cos
cos
4 2 2
a a
Câu 86. Gọi
sin
sin .sin
y x
M
x y
thì
A.
tan tan
M x y
B.
cot cot
M x y
C.
cot cot
M y x
D.
1 1
sin sin
M
x y
Câu 87. Gọi
cos cos2 cos3
M x x x
thì
A.
2cos 2 cos 1
M x x
B.
1
4cos2 . cos
2
M x x
C.
cos2 2cos 1
M x x
D.
cos2 2cos 1
M x x
Câu 88. Rút gọn biểu thức
2
sin 3 sin
2cos 1
x x
M
x
A.
tan2
x
B.
sin
x
C.
2tan
x
D.
2sin
x
Câu 89. Rút gọn biểu thức
2
1 cos cos 2 cos3
2cos cos 1
x x x
A
x x
A.
cos
x
B.
2cos 1
x
C.
2cos
x
D.
cos 1
x
Câu 90. Rút gọn biểu thức
tan cot
cos 2
tan cot
A
A.
0
B.
2
2 cos
x
C.
2
D.
cos2
x
Câu 91. Rút gọn biểu thức
1 sin 4 cos 4
1 sin 4 cos 4
A
A.
sin2
B.
cos2
C.
tan2
D.
cot 2
Câu 92. Khi
6
thì biểu thức
2 4 2 2
2 2
sin 2 4 sin 4 sin .cos
4 sin 2 4 sin
A
có giá trị bằng
A.
1
3
B.
1
6
C.
1
9
D.
1
12
Câu 93. Rút gọn biểu thức
sin 2 sin
1 cos 2 cos
A
A.
ta n
B.
2tan
C.
tan2 tan
D.
tan2
Câu 94. Rút gọn biểu thức
1 sin cos2
sin 2 cos
a a
A
a a
Trang 28
A.
1
B.
tan
a
C.
5
2
D.
2tan
a
Câu 95. Rút gọn biểu thức
2 2
cos cos
4 4
M
A.
sin2
M
B.
cos2
M
C.
cos2
M
D.
sin2
M
Câu 96. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A.
cos sin 2 cos
4
x x x
B.
cos sin 2 sin
4
x x x
C.
cos sin 2 sin
4
x x x
D.
sin cos 2 sin
4
x x x
Câu 97. Nếu
, ,
là ba góc nhọn thỏa mãn
tan .sin cos
thì
A.
4
B.
3
C.
2
D.
3
4
Câu 98. Nếu
sin .cos sin
với
2
k
,
2
l
.
k l Z
thì
A.
tan 2cot
B.
tan 2cot
C.
tan 2tan
D.
tan 2tan
Câu 99. Nếu
2
thì
cot cot 2cot
thì
cot .cot
bằng
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
Câu 100. Nếu
ta n
và
tan
là hai nghiệm của phương trình
2
0 0
x px q q
thì giá trị biểu thức
2 2
cos sin .cos sinP p q
bằng:
A.
p
B.
q
C.
1
D.
p
q
Câu 101. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
3sin 2
P x
A.
1, 5
M m
B.
3, 1
M m
C.
2, 2
M m
D.
0, 2
M m
Câu 102. Cho biểu thức
2sin 2
3
P x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
4,
P x R
B.
4,
P x R
C.
0,
P x R
D.
2,
P x R
Câu 103. Biểu thức
sin sin
3
P x x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
Câu 104. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
2 2
sin 2cos
P x x
A.
3, 0
M m
B.
2, 0
M m
C.
2, 1
M m
D.
3, 1
M m
Trang 29
Câu 105. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
8sin 3cos 2
P x x
. Tính
2
2
M m
A.
1
B.
2
C.
1 1 2
D.
130
Câu 106. Cho biểu thức
4 4
cos sin
P x x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2,
P x R
B.
1,
P x R
C.
2,
P x R
D.
2
,
2
P x R
Câu 107. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
4 4
sin cos
P x x
A.
2, 2
M m
B.
2, 2
M m
C.
1, 1
M m
D.
1
1,
2
M m
Câu 108. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
6 6
sin cos
P x x
A.
2, 0
M m
B.
1
1,
2
M m
C.
1
1,
4
M m
D.
1
, 0
4
M m
Câu 109. Tìm giá trị lớn nhất
M
và giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
1 2 cos3
P x
A.
3, 1
M m
B.
1, 1
M m
C.
2, 2
M m
D.
0, 2
M m
Câu 110. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4sin 2sin 2
4
P x x
A.
2
B.
2 1
C.
2 1
D.
2 2
Câu 111. Cho hình thang cân
ABCD
có đáy nhỏ
A B
, đáy lớn
CD
. Biết
AB AD
và
3
tan
4
BDC
.
Tính giá trị của
cos
BAD
A.
17
25
B.
7
25
C.
7
25
D.
17
25
Câu 112. Cho bất đẳng thức
4
1 17
2 2cos 2 4sin 0
4
64cos
A B B
A
,
, ,
A B C
là ba góc của tam giác
ABC
. Khẳng định đúng là?
A.
120
B C
B.
130
B C
C.
120
A B
D.
140
A B
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-B 2-A 3-C 4-A 5-D 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A
11-B 12-D 13-D 14-C 15-A 16-C 17-C 18-B 19-C 20-A
21-C 22-A 23-A 24-C 25-B 26-D 27-D 28-B 29-D 30-A
31-C 32-C 33-B 34-B 35-D 36-C 37-C 38-A 39-C 40-C
41-C 42-D 43-D 44-A 45-B 46-C 47-C 48-A 49-D 50-C
51-D 52-B 53-A 54-B 55-C 56-B 57-D 58-D 59-A 60-D
61-D 62-B 63-A 64-D 65-D 66-B 67-B 68-B 69-C 70-A
Trang 30
71-A 72-D 73-C 74-A 75-D 76-B 77-D 78-D 79-B 80-C
81-C 82-A 83-D 84-A 85-A 86-B 87-D 88-D 89-C 90-A
91-C 92-C 93-A 94-B 95-D 96-C 97-B 98-C 99-C 100-C
101-A 102-C 103-C 104-C 105-A 106-B 107-C 108-C 109-B 110-D
111- 112-
Câu 1:
2
2 2
cos4 2cos 2 1 2 1 2sin 1
P
2
16 527
2 1 2. 1 .
25 625
Chọn B.
Câu 2:
sin 0
3
0
cos 0
4
Do P
Lại có:
2
2
9 3
sin cos 1 2 sin cos 1 sin 2
5
5
P P
. Chọn A.
Câu 3:
2
2
4 4 2 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 2sin cos
2
P
2
2
1 1 2 7
1 sin 2 1 .
2 2 3 9
. Chọn C.
Câu 4:
sin 2 sin 2 2 sin 2 2sin cos
P
Mặt khác
cos 0
2
và
2 2
9 3
cos 1 sin cos
25 5
Suy ra
4 3 24
2. .
5 5 25
P
. Chọn A.
Câu 5:
2
1 cos2 sin2
1 sin2 cos2 2cos 2sin cos
sin cos sin cos sin cos
P
2cos sin cos
2cos
sin cos
Do
0
2
nên
cos 0
và
2 2
5 5 2 5
cos 1 sin cos
9 3 3
P
. Chọn D.
Câu 6: Ta có:
2 2
3 3 16
sin sin cos 1 sin
5 5 25
Do
3 4
cos 0 cos
2 5
Khi đó
3 1
sin sin cos cos sin sin cos
6 6 6 2 2
P
3 3 1 4 3 3 4
. .
2 5 2 5 10
. Chọn D.
Trang 31
Câu 7: Do
3
2
2
nên
sin 0
, mặt khác
2 2
144 12
sin 1 cos sin
169 13
Lại có:
2 2
12 5
2. .
sin 2 2sin cos 120
13 13
cos2 119
2cos 1
5
2 1
13
P
. Chọn C.
Câu 8:
2 2
2 2
2 1
2cos 1 cos
2 5 1 7
3 6
cos2 1 3. 1 4.
2 5
3 6 6 6
1 2sin sin
3 6
P
.Chọn D.
Câu 9: Do
3
2
2
sin 0
, lại có
2 2
9 7
sin 1 cos 1
16 16
Suy ra
7
sin
4
, khi đó
1 3
cos cos sin
3 2 2
P
1 3 3 7 3 21
. .
2 4 2 4 8
.Chọn B.
Câu 10: Do
3
sin 0
2
, lại có
2 2
16 9
sin 1 cos 1
25 25
Do đó
3 3
sin tan
5 4
,
tan 1 1
tan
4 1 tan 7
P
. Chọn A.
Câu 11: Do
2 sin 2 0
4 2 2
, lại có
2 2
16 9
sin 2 1 cos 2 1
25 25
Suy ra
3
sin 2
5
,
2
cos 2 cos2 cos sin 2 sin cos2 sin 2
4 4 4 2
P
2 4 3 2
2 5 5 10
. Chọn B.
Câu 12:
3 1 1 1
sin .cos sin 2 sin 2sin cos sin sin 2cos 1
2 2 2 2 2
P
Mặt khác
2
3 3
sin 0 sin 1 cos
2 4
Do đó
1 3 4 39
. 2. 1
2 5 5 50
P
. Chọn D.
Câu 13:
5
cot 2 cot 2 cot 2 tan 2
2 2 2
Khi đó:
tan tan
2 1
4
tan
4 1 2
1 tan tan
4
P
= -3 . Chọn D.
Trang 32
Câu 14:
2
2 2 2 2 2 2
2
2sin cos
2sin cos 2cot 30 15
sin
sin 2
113
sin cos sin cos 1 cot 1 15
sin
P
. Chọn C.
Câu 15:
2 2
sin cos sin cos
1 2
2 2 2 2
tan cot
sin
2 2 sin
cos sin sin cos
2 2 2 2 2
P
Mặt khác
sin 0
2
, mà
2 2
2
1 1
1 cot sin
19
sin
Suy ra
1
sin 2 19
19
P
. Chọn A.
Câu 16: Ta có:
2
0 sin
3 3
2 2
;2 ;
2 2 4
2
1 cos
2 2
Suy ra
sin cos 0
2 2
P
, ta có:
2
2
sin cos 1 2sin cos 1 sin
2 2 2 2
P
Lại có
2
2
4 3 1 16
tan cot sin
3 4 25
1 cot
Mà
2
3 4 1 1
;2 sin 0 sin
2 5 5
5
P P
. Chọn C.
Câu 17:
2 2
2 2
2 2
sin2 sin 2 1 2 tan sin cos
tan 2 . .
cos4 1 2cos2
2cos 2 1 tan
2 cos sin
P
2
2
2 tan 1 10
.
1 4 9
1 tan
. Chọn C.
Câu 18: Cho góc
thỏa mãn
tan cot 0
và
1
sin
5
. Tính
sin2
P
A.
4 6
25
P
B.
4 6
25
P
C.
2 6
25
P
D.
2 6
25
P
HD: Do
1
tan
cot
nên
ta n
và
cot
cùng dấu
Mặt khác
tan cot 0 tan 0
, do
1
sin 0 cos 0
5
Khi đó
2
2 6 4 6
cos 1 sin sin2 2sin cos
5 25
P
. Chọn B.
Câu 19: Ta có
cos 0
2
Trang 33
Mặt khác
2
2 2 2 2
sin cos 1 1 2 cos cos 1 5 cos 4 cos 0
Suy ra
4 3 24
cos sin sin 2 2sin cos
5 5 25
P
. Chọn C.
Câu 20:
sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin
6 6 6 6 6 6
P
2
2 2 2
3 1 3 1 3 1 3 3 1
sin cos sin cos sin cos . 1 sin
2 2 2 2 4 4 4 5 4
27 1 9 11
1
100 4 25 100
. Chọn A.
Câu 21: Ta có
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a a a
. Chọn C.
Câu 22:
21 21 21 2
cos cos .cos sin sin sin cos
4 4 4 2
Lại có :
2
2
3 4 21 2
cos 1 sin 1 cos
5 5 4 10
. Chọn A.
Câu 23:
2
3 2
3 2 3 2 3
2 3
sin 1
3 tan . 3
1 tan .tan 3
1
cos cos
3
1 sin 1 tan 2 tan 1 tan 2 tan
2.
cos cos
P
. Chọn A.
Câu 24: Ta có
sin sin cos cos sin
a b a b a b
Mà
2
12
cos 1 cos
13
a a
;
2
4
sin 1 cos
5
b b
Suy ra
5 3 12 4 33
sin . .
13 5 13 5 65
a b
. Chọn C.
Câu 25: Ta có
cos cos cos sin sin
Mà
2
12
cos 1 cos
13
;
2
4
sin 1 cos
5
Suy ra
12 3 5 4 16
cos . .
13 5 13 5 65
. Chọn B.
Câu 26:
1
cos cos
2
P a b a b a b a b
1
cos 2 cos 2
2
a b
Lại có
2
2
1 7
cos 2 2cos 1 2. 1
3 9
a a
;
2
2
1 7
cos 2 2cos 1 2. 1
4 8
b b
Vậy
1 7 7 119
2 9 8 144
P
. Chọn D.
Câu 27: Ta có
2
cos 2 2 cos 1
P a b a b
Trang 34
Lại có
cos cos cos sin sin
a b a b a b
2 2
2 6 1
1 sin . 1 sin sin .sin
6
a b a b
7 4 6
18
P
. Chọn D.
Câu 28:
1 3
tan tan
7 4
tan 1
1 3
1 tan tan 4
1 .
7 4
. Chọn B.
Câu 29:
5
2 2 2 2
1 2 24 4
sin cos 1 sin sin 1 2sin sin 0 sin
5 5 25 5
a a a a a a a
Suy ra
2
2
4
2.
1 3 4 2 tan 24
3
cos sin tan tan 2
5 5 3 1 tan 7
4
1
3
a
a a a a
a
. Chọn D.
Câu 30:
tan tan
11
tan 2 tan
1 tan .tan 27
a b a b
a a b a b
a b a b
. Chọn A.
Câu 31: Do
0 ; sin 0
2 2
. Chọn C.
Câu 32: Do
0 cot 0
2 2 2 2
Mặt khác
tan tan 0
. Chọn C.
Câu 33: Ta có
3
tan tan cot
2 2
Mặt khác
3
cot 0
2
. Chọn B.
Câu 34: Ta có
cos .tan
2
M
cos .tan
2
sin . tan
2
sin
cos
Do
cos 0 0
2
M
. Chọn B.
Câu 35: Ta có
2
cos
sin .cot cos .cot
2 sin
M
Mặt khác
3
sin 0 0
2
M
. Chọn D.
Câu 36:
2 2
cos 180 cos cos 180 cos
Do đó
2 2
sin cos 180 1
. Chọn C.
Câu 37:
ta n
có nghĩa khi
cos 0
2
k
. Chọn C.
Trang 35
Câu 38:
tan .cot 1 sin .cos 0 sin 2 0 2
2
k
k
. Chọn A.
Câu 39: Biểu thức P xác định khi
cos 0
3
3 2
6
sin 0
6
6
k
k
k
. Chọn C.
Câu 40: Ta có
sin150 sin30
nên
sin60 sin150
,
cos30 cos60
tan45 tan60
và
cot60 cot240
Khẳng định đúng là C. Chọn C.
Câu 41: Do
tan tan tan 2017 tan
k
. Chọn C.
Câu 42:
cos sin cos sin sin sin 0
2 2
A
. Chọn D.
Câu 43:
2 2
sin .sin cos . cos sin cos 1
S x x x x x x
. Chọn D.
Câu 44:
sin .cos sin . cos sin .cos
P
Lại có
sin .cos cos .cos cos .sin sin cos
2 2 2
Q
Do đó
0
P Q
. Chọn A.
Câu 45:
2
2
3
sin sin 10 cos cos 8
2 2
x x x x
2
2 2 2
cos sin cos cos sin cos cos sin
2
x x x x x x x x
2 2
2 sin cos 2
x x
. Chọn B.
Câu 46:
2
2
1 tan 1 cot
2
P x x
2 2
1 cot 1 cot
x x
2
2 2cot
x
2
2 1 cot
x
2
2
sin
x
. Chọn C.
Câu 47:
2 2
2 2
1 1 25
tan 1 tan 1
144
cos cos
Mặt khác
5
tan 0 tan
2 12
. Chọn C.
Câu 48: Do
sin 0
180 270
cos 0
Mặt khác
2 2
2 2
1 1 1 1
tan 1 cos cos
5
cos 1 tan
5
Trang 36
Khi đó
2 3
sin tan .cos cos sin
5 5
. Chọn A.
Câu 49: Ta có
90 180 cos 0
Mặt khác
2 2
16 4 cos 4
cos 1 sin cos cot
25 5 sin 3
Khẳng định đúng là D. Chọn D.
Câu 50: Ta có
0 90 sin 0
Mặt khác
2 2
2 2
1 1 16 4
1 cot sin sin
25 5
sin 1 cot
. Chọn C.
Câu 51: Do
2
4
cos 0 cos 1 sin
2 5
Suy ra
sin 3 12
tan
cos 4 25
P
. Chọn D.
Câu 52: Ta có
1 1 1
sin sin sin
3 3 3
Mặt khác
2
2 2
cos 0 cos 1 sin
2 3
Khi đó
7 cos
tan tan cot 2 2
2 2 sin
P
. Chọn B.
Câu 53: Do
0 sin 0
2
suy ra
2
4
sin 1 cos
5
Do đó
sin 4
tan
cos 3
,
3
cot
4
suy ra
4 3
5 3. 6 4. 4
3 4
P
. Chọn A.
Câu 54: Ta có
sin 0
4 2
suy ra
2
4
sin 1 cos
5
Do đó
sin 4
tan
cos 3
suy ra
2
2
1
tan 2 tan 1 tan 1 tan 1
3
P
. Chọn B.
Câu 55: Ta có
tan 1
4 4 4
k k
Do
3
2 cos sin cos sin
2 6 6 2
P
. Chọn C.
Câu 56: Ta có
cos 0
2
Mặt khác
2
2
1 9 3 4
cos cos sin tan .cos
25 5 5
1 tan
Trang 37
Do đó
2
2
16 3
sin cos 31
25 5
4 9
11
sin cos
5 25
P
. Chọn B.
Câu 57:
3sin 2cos
3sin 2cos 3tan 2 4
cos
5cos 7sin
5cos 7sin 5 7 tan 19
cos
P
. Chọn D.
Câu 58:
3sin 4cos
3sin 4cos 3 4cot
sin
13
2sin 5cos
2sin 5cos 2 5cot
sin
P
. Chọn D
Câu 59: Chia cả tử số và mẫu số cho
2
cos
ta được
2
2
2 tan 3 tan 4 2.4 3.2 4 9
5.4 6 13
5 tan 6
P
. Chọn A
Câu 60: Chia cả tử số và mẫu số cho
2
cos
ta được
2
2
1 1
2. 3. 4
2tan 3tan 4 8
4 2
1
19
5 tan
5
4
P
. Chọn D.
Câu 61:
4 4 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos 1 2 cos
P
Lại có:
2
2
1 1 2 12
cos 1
26 26 13
1 tan
P
. Chọn D.
Câu 62:
2
5 25 25
sin cos (sin cos ) 1 2sin cos
4 16 16
Suy ra
25
1
9
16
sin cos
2 32
P
. Chọn B.
Câu 63:
3 3 2 2
sin cos (sin cos ) sin sin cos cosP
(sin cos )(1 sin cos )
Lại có:
2
24 49
(sin cos ) 1 2sin cos 1
25 25
Mặt khác
7 7 12 91
sin cos 0 sin cos 1
5 5 25 125
P
. Chọn A.
Câu 64: Ta có
2
2
(sin cos ) 1 2 sin cos
(sin cos ) 1 2 sin cos
Do đó
2 2 2
3
(sin cos ) (sin cos ) 2 (sin cos )
4
Trang 38
Mặt khác
3
0 sin cos sin cos 0
4 2
P P
. Chọn D.
Câu 65: Ta có:
2
2
(sin cos ) 1 2sin cos
(sin cos ) 1 2 sin cos
Do đó
2 2 2 2
(sin cos ) (sin cos ) 2 (sin cos ) 2
m
Do đó
2
| sin cos | 2
P m
. Chọn D.
Câu 66:
2 2 2
tan cot (tan cot ) 2tan .cot 4 2 2
P
. Chọn B.
Câu 67:
3 3 3
tan cot (tan cot ) 3tan .cot (tan cot )
P
3
5 3.5 110
. Chọn B.
Câu 68:
2
2 2 2
sin cos
tan cot (tan cot ) 2 tan cot 2
cos sin
P
2
2 2
2
sin cos 1
2 2
sin cos
(sin cos )
Mặt khác
2
2 1 1 1
sin cos (sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2 2 2 4
Suy ra
16 2 14
P
. Chọn B.
Câu 69: Ta có
2 2 2
2 2 2
(tan cot ) tan 2 cot
(tan cot ) tan 2 cot
2 2 2 2
(tan cot ) (tan cot ) 4 1 4 5
P P
. Chọn C.
Mặt khác
tan 0
0 5
cot 0
2
P P
Câu 70: Ta có
2 2
sin cos 1
và
2 2sin
cos
3
Suy ra
2
2
2 2
2 2sin 4 8sin 4sin
sin sin 1
3 9
2
sin 1
13sin 8sin 5 0
5
sin
13
Do
5
sin 0 sin
13
. Chọn A.
Câu 71:
2
sin 2cos 1
2sin cos sin
2 2
2 2 2
tan
2
2cos cos
cos 2cos 1
2 2
2 2
x x
x x x
x
A
x x
x x
. Chọn A.
Trang 39
Câu 72:
4 4 2 2
sin cos cos sin sin cos cos sinA
1 1
sin 2 .cos2 sin 4
2 4
A
. Chọn D
Câu 73:
2
1 cos cos 2 2 cos cos cos
cot
sin 2 sin 2 sin cos sin sin
A
. Chọn C.
Câu 74: Ta có:
sin 1 sin sin 2sin cos
2 2 4 2 4
a a
a a
. Chọn A.
Câu 75: Ta có:
2
1 1 3
(sin cos ) 1 sin 2 sin 2
4 4 4
x x x x
. Chọn D.
Câu 76:
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
. Chọn B.
Câu 77: Ta có
cos( ) cos cos sin sin
Lại có
2 2
12 4
cos 1 sin ;sin 1 cos
13 5
Vậy
12 3 5 4 16
cos( ) . .
13 5 13 5 65
. Chọn D.
Câu 78: Ta có
2 2
sin (2018 ) cos (2018 ) 1
Khẳng định D sai. Chọn D.
Câu 79:
2 2
(sin cos ) (sin cos )
M x x x x
2 2 2 2 2 2
sin 2 sin cos cos sin 2 sin cos cos 2 sin cos 2
x x x x x x x x x x
. Chọn B.
Câu 80:
sin sin sin cos sin cos sin( )
cos cos cos cos cos cos
x y x y y x x y
M
x y x y x y
. Chọn C.
Câu 81:
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 1
sin cos sin cos 2sin cos 1 (2sin cos ) 1 sin 2
2 2
x x x x x x x x x
1 3 cos 4
1 (1 cos 4 )
4 4
x
x
. Chọn C.
Câu 82:
4 4 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos 1 2 cos .
x x x x x x x x x
Chọn A.
Câu 83:
3
6 6 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
M x x x x x x x x
2 2 2
3
1 3sin cos 1 sin 2 .
4
x x x
Chọn D.
Câu 84: Ta có
1
3 .cos5 (cos8 cos 2 ).
c
2
os
x x x x
Chọn A.
Câu 85:
2
1 cos 1 cos ( )
1 sin( ) 1 sin
2 2
cos
4 2 2 2 2 2
a a
a a a
. Chọn A.
Câu 86:
sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin
sin sin sin sin sin sin sin sin
y x y x y x y x y x
M
x y x y x y x y
.
Trang 40
cos cos
cot cot
sin sin
x y
x y
x y
. Chọn B.
Câu 87:
cos cos 2 cos3 (cos cos3 ) cos 2 2cos cos 2 cos 2
M x x x x x x x x x
cos2 (2cos 1).
x x
Chọn D.
Câu 88:
2
sin 3 sin 2 cos 2 sin
2sin
cos 2
2cos 1
x x x x
M x
x
x
Chọn D.
Câu 89:
2
2
1 cos cos 2 cos 3 1 cos 2 (cos cos3 )
2 cos cos 1
cos 2cos 1
x x x x x x
A
x x
x x
2
2 cos 2 cos 2 cos 2 cos (cos cos 2 )
2 cos .
cos cos 2 cos cos 2
x x x x x x
A x
x x x x
Chọn C.
Câu 90:
sin cos
tan cot
cos sin
cos 2 cos 2
sin cos
tan cot
cos sin
A
2 2
2 2
2 2
sin cos
sin cos
cos 2 sin cos cos 2 0.
sin cos
sin cos
Chọn A.
Câu 91:
2
2
1 sin 4 cos 4 1 cos 4 sin 4 2 sin 2 2sin 2 cos 2
1 sin 4 cos 4 1 cos 4 sin 4
2 cos 2 2sin 2 cos 2
A
2sin 2 (sin 2 cos 2 )
tan 2 .
2 cos 2 (cos 2 sin 2 )
Chọn C.
Câu 92:
2 4 2 2 2 4 2
2 2 2 2
sin 2 4 sin 4 sin cos sin 2 4 sin (2 sin cos )
4 sin 2 4sin 4 sin 2 4sin
A
2 4 2 4
2 2 2
2 2 2
sin 2 4sin sin 2 4sin
4sin cos 4cos
4sin cos 4 1 sin
4 4
4
4
2 2
4sin 4sin 1
tan
9
4cos
4cos 1 sin
Chọn C.
Câu 93:
2
sin 2 sin 2 sin cos sin sin (2 cos 1) sin
tan .
1 cos 2 cos cos (2 cos 1) cos
2 cos cos
A
Chọn A.
Câu 94:
2
1 sin cos2 2sin sin sin (2sin 1)
tan
sin2 cos 2sin cos cos cos (2sin 1)
a a a a a a
A a
a a a a a a a
Chọn B.
Câu 95:
2 2
1 cos 2 1 cos 2
2 2
cos cos
4 4 2 2
M
1 1
cos 2 cos 2 ( sin 2 sin 2 ) sin 2 .
2 2 2 2
Chọn D.
Trang 41
Câu 96: Ta có
sin cos 2 sin ;cos sin 2 cos .
4 4
x x x x x x
Chọn C.
Câu 97:
tan( ).sin cos tan( ) cot tan
2 2
Chọn B.
Câu 98:
1 1
sin cos( ) sin sin(2 ) sin sin
2 2
1
sin(2 ) 3sin sin(2 ) sin [sin(2 ) sin ]
2
sin( ) sin
2 cos( ).sin sin( ).cos 2.
cos( ) cos
Vậy
sin .cos( ) sin tan( ) 2 tan .
Chọn C.
Câu 99:
cot cot 2cot 2tan( )
2
tan tan cot cot
cot cot 2. cot cot 2.
1 tan .tan cot cot 1
2
1 cos , cot 1 2 cos .cot 3.
cos .cot 1
Chọn C.
Câu 100:
tan tan
tan( )
1 tan tan 1
p
a
q
( hệ thức Vi-et)
Lại có
2
2
1 .tan( ) .tan ( )
cos ( )
P
p q
2
2
2
2 2
2
1 .
1
1 .tan( ) .tan ( ) (1 )
1.
1 tan ( )
1
(1 )
p p
p
q
p q q
P
p
q
Chọn C.
Câu 101: Có
2
1 sin 1 1 1 5 1
3
P
x P
suy ra
1, 5.
M m
Chọn A.
Câu 102: Ta có
2
1 sin 1 1 1 0 4.
3 2
P
x P
Chọn C.
Câu 103:
1 3
sin cos cos sin sin sin cos
3 3 2 2
P x x x x x
Lại có
2 2
2
2 2 2
1 3 1 3
sin cos . sin cos 1 1
2 2 2 2
x x x x P
Do đó
1 1
P
mà
{ 1;0;1}.
P P
Chọn C.
Câu 104: Ta có
1 cos 2 1 cos 2 3 1
2. cos 2 cos 2 2 3
2 2 2 2
x x
P x x P
Trang 42
Lại có
2
1 cos2 1 1 2 3 1 1 2
1
M
x P P
m
Chọn C.
Câu 105: Ta có :
1 cos 2
8. 3cos 2 4 cos 2 cos 2 4
2
x
P x x x P
Lại có
2
5
1 cos2 1 1 4 1 3 5 2 1.
3
M
x P P M m
m
Chọn A.
Câu 106:
2
4 4 2 2 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin .cos 1 sin 2
2
x x x x x x x
Suy ra
2
1
sin 2 2 2 [0;1] 0 2 2 1 1.
2
x P P P
Chọn B.
Câu 107:
4 4 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos cos 2 [ 1;1].
P x x x x x x x
Chọn C.
Câu 108:
3 3
2 2 2 2 4 2 2 4
sin cos sin cos sin sin .cos cos
P x x x x x x x x
4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 3 4 4
sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2
4 2 4 4 3
P
x x x x x x x
Lại có
2
sin 2 [0;1]
x
nên
4 4 1 1
0 1 1 1;
3 4 4
P
P M m
Chọn C.
Câu 109:
1 1
| cos3 | [0,1] 0 1 1 1.
2 2
P P
x P
Chọn B.
Câu 110:
1 cos2
4. sin2 cos2 2 sin2 cos2 2 2 sin 2
2 4
x
P x x x x x
Lại có
max
sin 2 1 2 2 sin 2 2 2 2 2.
4 4
x x P
Chọn D.
Câu 111: Ta có
ABD BDC
(so le trong)
3
tan tan
4
BDC ABD
Đặt
2 cos cos( 2 ) cos2
D DABD BA BA
Lại có
2 2
2
3 1 16 7
tan cos cos 2 2cos 1
4 25 25
1 tan
Chọn B.
Câu 112: Ta có
2 2 2
4 4 4
1 1 1
cos 2 2cos 1 cos cos 1
64cos 64 cos 64cos
A A A A
A A A
2 2
4 4
3
1 3 1 1 1
3. cos .cos . 1 1 cos2
4 4
64cos 64cos
64
A A A
A A
Lại có
2 2
2cos2 4sin 2sin 4sin 2 2(sin 1) 4 4
B B B B B
Suy ra
2
1 17 1 17
cos 2 2cos 2 4sin 4 0
64cos 4 4 4
A B B
A
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
cos
2
A
;
sin 0
B
60
A
;
90
B
. Chọn A.
| 1/42
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TỔNG ÔN CHUYÊN ĐỀ
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản  2 2 sin x 1 cos x • 2 2 sin x  cos x 1  2 2 cos x 1sin x  1 1 • 2 2 1 tan x  tan x  1 2 2 cos x cos x 1 1 • 2 2  1 cot x  cot x  1 2 2 sin x sin x 1 • tan . x cot x  1  cot x  tan x • 4 4 2 2
sin x  cos x  1 2sin x cos x ; 6 6 2 2
sin x  cos x  1 3sin x cos x • 3 3
sin x  cos x  sin x  cos x1 sin . x cos x ; 3 3
sin x  cos x  sin x  cos x1 sin . x cos x
2) Dấu của hàm số lượng giác Góc I Góc II Góc III Góc IV sin x     cos x     tan x     cot x    
3) Mối quan hệ giữa các cung lượng giác đặc biệt
▪ Cung đối nhau:  và  cos     cos sin      sin tan     tan cot      cot
▪ Cung bù nhau:  và   
cos    cos
sin     sin
tan   tan Trang 1
cot     cot
▪ Cung hơn kém  :  và    
cos    cos
sin     sin
tan     tan
cot     cot   
▪ Cung phụ nhau:  và      2       cos    sin   2       sin    cos   2       tan    cot   2       cot    tan   2    4) Công thức cộng
▪ cosa  b  cos a cosb  sin asin b
▪ cosa  b  cos a cosb sin asin b
▪ sin a  b  sin a cosb  sin bcos a
▪ sin a  b  sin a cosb  sin bcos a a  b ▪ a b tan tan tan  1 tan a tan b a  b ▪ a  b tan tan tan  1 tan a tan b
5) Công thức góc nhân đôi, nhân ba
sin2  2sin cos 
▪ Công thức góc nhân đôi:  2 2 2 2
 cos 2  cos   sin   2 cos  1  1 2sin   2 tan   tan 2   2  1 tan  Trang 2  3
sin3  3sin 3sin  
▪ Công thức góc nhân ba: 3
cos3  4cos   3cos   3  3tan  tan   tan 3  2  1 tan 
6) Công thức hạ bậc hai, bậc ba  1 cos 2 2 sin   
▪ Công thức hạ bậc hai: 2  1 cos 2 2  cos    2  3  3sin  sin  3 sin   
▪ Công thức hạ bậc ba: 4  3cos  cos3 3 cos    4
7) Công thức biến đổi tích sang tổng và ngược lại  1  cosa cosb   cos  
a b cosa b   2   1
▪ Công thức biến đổi tích thành tổng: sin a sin b  cos  a b cosa b        2   1 sin acosb   sin  
a bsin a b   2  
▪ Công thức biến đổi tổng thành tích: u  v u  v cos u  cos v  2cos cos 2 2 u  v u  v cos u  cos v  2 sin sin 2 2 u  v u  v sin u  sin v  2sin cos 2 2 u  v u  v sin u  sin v  2cos sin 2 2
II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau: 1   a) sin x  ; 0  x  b) 2 cos x   ;  x   3 2 5 2 3 1 3 c) tan x  2 ;  x  d) cot x   ;  x  2 2 2 2 Lời giải: Trang 3 1 1 8 2 2 a) Từ sin x  2 2
 cos x  1 sin x 1   cos x   3 9 9 3  2 2 Do 0  x   cos x  0  cos x  2 3  sin x 1 2  tan x     cos x 2 2 4 Từ đó ta được:  1 cot x   2 2  tan x 4 1 b) Từ 2 cos x  2 2
 sin x  1 cos x  1  1  sin x   5 5 5 5  Do  x    sin  0 1  sin x  2 5  sin x 1  tan x     cos x 2 Từ đó ta được  1 cot x   2   tan x 1 1
c) Từ tan x  2  cot x   tan x 2  1  2  2 sin x cos x   sin x    tan x   2 sin x  2cos x      5  5 Ta có  cos x       2  5cos x 1  4  1 2 2 2 sin x cos x 1  sin x  cos x     5    5  2  sin x    3 sin x  0  5 Do   x     2 cos x  0  1   cos x   5 1 d) cot x   1  tan x   2  2 cot x  1  2  2 sin x cos x   sin x    tan x   2   sin x  2  cos x      5  5 Ta có:  cos x       2  5cos x 1  4  1 2 2 2 sin x  cos x 1  sin x  cos x     5    5  2  sin x    3 sin x  0  5 Do  x  2    2 cos x  0  1  cos x   5
Ví dụ 2. Tính giá trị của các hàm số lượng giác   a) 1 sin x  ; 0  x  b) cot x   2 ;   x  0 3 2 2 Trang 4  3
c) tan x cot x  2; 0  x  d) 2 cos x   ;  x  2 6 2 Lời giải: a) Ta có: 1 sin x  2 2  cos x  1sin x  ; 1 tan x  ; cot x  2 3 3 2 1 1 1 1 2
b) Ta có: cot x   2  tan x     sin x     ; cos x  2 cot x 2 1 cot x 3 3 1
c) tan x cot x  2  tan x 
 2  tan x  1  cot x  1 tan x 1 1 Khi đó sin x   ; 1 cos x  2 1 cot x 2 2 d) Ta có: 2 cos x   2 2
 sin x   1 cos x   1  tan x   ; cot x   2 6 6 2
Ví dụ 3. Tính giá trị của các hàm số lượng giác 3  a) 2 tan x  cot x   ;  x  b) 1 tan x   ;  x   3 2 3 2 Lời giải: a) Ta có: 2 tan x  cot x   1 2  tan x    2
 3 tan x 2tan x  3  0  tan x   3 3 tan x 3 1 1 1 3 1  cot x    ; sin x      cos x   tan x 3 2 1 cot x 2 2 1 1 1 3 b) Ta có: 1 tan x    cot x    3  sin x    cos x   3 tan x 2 1 cot x 2 2
Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau 1 cos x 1 2 2 a)  A   b) 1 sin x.cos x 2 B   cos x 2 sin x 1 cos x 2 cos x Lời giải: 1 cos x 1 1 cos x 1 1 1 a) Ta có: A        0 2 2 sin x
1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 2 2 2 2 2 b)Ta có: 1  sin x.cos x
sin x  cos x  sin x cos x 2 B   cos x  2 2 cos x cos x 2  x    2 2 x  x 2 tan 1 sin cos  tan x
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức sau 1 cos x 1 cos x a) A   b) 2 2 B  1 cot . x sin x 1 1 cos x 1 cos x Lời giải: Trang 5  1 cos x 1 cos x
1 cos x  1 cos x 2cos x 2cot x,  0  sin x   1 a) A       2 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x  2cot x,  1 sin x  0  b) 2 2 2
B  1  cot x.sin x  1  1  cos x  1  sin x  1
Ví dụ 6. Chứng minh các đẳng thức sau sin x  cos x 1 cos x a) 2 2 2 2
tan x  sin x  tan x sin x b) 
sin x  cos x 1 1 sin x 2 2 c) sin x cos x x  y 1    sin x cos x d) tan tan tan x. tan y  1  cot x 1  tan x cot x  cot y Lời giải: 2 sin x sin x  sin x cos x sin x  2 2 2 2 2 1 cos x 2 2 2  a) 2 2 tan x  sin x   sin x    tan xsin x 2 2 2 cos x cos x cos x
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ta được: x x x x  x x 2   x x 2sin cos  2sin 2sin cos  sin   cos  sin sin x  cos x 1 2 2 2 2  2 2 2 2    ,  1 sin x cos x 1 x x     2 x x x x x x 2sin cos  2sin 2sin  cos  sin  cos  sin 2 2 2 2  2 2 2 2  2 x 2 x x x cos  sin cos  sin cos x Mặt khác 2 2 2 2   , 2 2   1 sin x x x  x x  cos  sin sin  cos   2 2  2 2  Từ  
1 và 2 suy ra điều phải chứng minh. 2 2 2 2 3 3 c) Ta có: sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1   1   1  1 cot x 1 tan x cos x sin x sin x  cos x sin x  cos 1 1 x  sin x cos x sin x  cos x  x  x 2 2 3 3 sin cos
sin x  sin x cos x  cos x 1 1 sin x  cos x sin x  cos x
 1 1 sin xcos x  sin xcos x  đpcm. sin x sin y sin x cos y  sin y cos x   d) tan x tan y cos x cos y cos x cos y sin x sin y     tan x tan y  đpcm cot x  cot y cos x cos y sin x cos y  sin y cos x cos x cos y  sin x sin y sin x sin y
Ví dụ 7. Rút gọn các biểu thức sau 2 2 2 cos x  cos x cot x A  2 2 2 sin x  sin x tan x 2
cos x  2 sin x 1 sin x 2 1 sin x B    x  x    x . 1 sin cos 1 sin cos x 1  sin x C    x 3 x    x 3 1 cot sin 1 tan cos x  sin x cos x Trang 6 4 2 4 2
D  sin x  4cos x  cos x  4sin x Lời giải: 2 cos x cos x 2 2 2 sin x  cos x 2 2  2 2 2 cos x  cos . x 4 2 2 cos x  cos x cot x cos x • sin x sin x 4 A      cot x 2 2 2 2 2 sin x  sin x tan x sin x sin x 2 2 2 2 cos x  sin x 4 sin x sin x  sin . x 2 2 cos x cos x 2 x  x   x 2 cos 2 sin 1 sin
1  sin x  2 sin x 1 sin x • Xét  
1  sin x cos x  1 sin x cos x
1 sin x 1 sin xcos x   x  x  x   x2 1 sin 1 sin 2sin 1 sin   2cos x 2cos x
  x2   x   x  x 2 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin x  B  .    cos x 2cos x 1 sin x cos x cos x • C    x 3 x    x 3 1 cot sin 1 tan cos x  sin x cos x  cos x  sin x    3   3  1 sin x  1 cos x  sin xcos x     sin x cos x     3 3 2 2
 sin x  cos x  cos x sin x  cos x sin x  sin x cos x   x  x  2 2 sin cos
sin x  cos x  sin x cos x  cos x sin x sin x  cos x  sin x cos x
 sin x  cos x1 sin xcos x  sin xcos xsin x  cos x  
1  sin x  cos x sin xcos x • 4 2 4 2
D  sin x  4cos x  cos x  4sin x    x2  x    x 2 2 2 2 2 1 cos 4 cos 1 sin  4 sin x 4 2 4 2
 cos x  2cos x 1  sin x  2sin x 1   x  2   x  2 2 2 cos 1 sin 1 2 2
 sin x  cos x  2  3
Ví dụ 8. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a) 1  sin x 2  2  cot x 2 1  cos x b)   x   x     x  x 2 2 1 sin 1 cos 1 sin cos Lời giải: 2 2 2 2 a) Ta có 1  sin x 1  sin x 2 sin x  cos x 2    2  cot x 2 2 2 1  cos x sin x sin x
b) Ta có VP  1 sin x  cos x2 2 2
 cos x  sin x 1 2sin x  2sin xcos x  2cos x  1 
 21sin x1 cos x  VT . Suy ra đpcm.
Ví dụ 9. Chứng minh các đẳng thức sau 2 2 1 4sin xcos x 2 2 2 4 a)  sin x  cos x b) sin x  cos x  cos x 4  2    tan x sin x  cos x 2 2 4 cos x  sin x  sin x Trang 7 Lời giải: 1  4sin x cos x sin x  cos x2 2 2
 2sin x cos x 1 2sin x cos x a) VT   sin x  cos x2 sin x  cos x2
sin x  cos x2 1 2sin xcos x 2 2 
 1  2sin x cos x  sin x  cos x  2sin x cos x sin x  cos x2   x  x 2 sin cos  VP . Suy ra đpcm. 2 2 sin x    cos x 2 2 2 4 1 cos sin cos cos x x x x  2 2 2 sin x  cos xsin x b) VT    2 2 4 2 2 cos x  sin x  sin x cos x  sin x 2 1 sin x 2 2 2 cos x  sin xcos x 2 sin x 2 1 cos x 4 sin x 4  
 tan x  VP . Suy ra đpcm. 2 cos x 2 1 sin x 4 cos x
Ví dụ 10. Chứng minh các đẳng thức sau tan x sin x 4 4 a)     cos x b) sin x cos x 1 2  sin x cot x 6 6 sin x  cos x  1 3 Lời giải: 2 a) tan x sin x 1  sin x VT     cos x  VP sin x cot x cos x x  x   2 2 sin x  cos x 2 2 4 4  2sin x cos x 1 sin cos 1 2 b) VT     VP 6 6
sin x  cos x 1 sin x  cos x3 2 2 2 2  3sin x cos x 2 2 sin x  cos x 3 1
Ví dụ 11. Chứng minh các đẳng thức sau sin x  cos x 1 2 cos x 1 a)  b) 2 2  2  tan x  cot x 1  cos x sin x  cos x  1 2 2 sin . x cos x Lời giải: sin x  cos x 1 2 cos x a) Ta có 2 2 
 sin x  cos x  2cos x 1  2cos x 1 cos x 1  cos x sin x  cos x  1 Nhận xét: 2 2 2
sin x  cos x  2cos x 1  2cos x  2cos x  2cos x1 cos x . Suy ra đpcm. 2 2 2 2 4 4 b) sin x cos x
2 sin x cos x  sin x  cos x 2 2
VP  2  tan x  cot x  2    2 2 2 2 cos x sin x sin x.cos x sin xcos x2 2 2 1    VT  đpcm. 2 2 2 2 sin . x cos x sin . x cos x
Ví dụ 12. Chứng minh các đẳng thức sau 4 4 a) sin x  3 cos x  1 3  b) 2 x  2 2 x  x  4 cos 2 sin cos  1  sin x 6 6 4
sin x  cos x  3cos x  1 2 Lời giải: Trang 8 a) Ta có: 4 4 4 4 sin x  3cos x  1 sin x  3cos x  1 VT   6 6 4
sin x  cos x  3cos x 1 sin x  cos x3 2 2 2 2  3sin x cos x  2 2 sin x  cos x 4  3cos x 1 x  x  1cos x2 2 4 4 4 4 2  3cos x 1 sin 3cos 1 4cos x  2 cos x 2      VP 2 2 4 4 2 3
 sin xcos x  3cos x 3cos x  3cos x 2 1 cos x 4 2 6cos x  3cos x 3 b) Ta có: 2 x  2 2 x  x 2  x  2  x    2  x  2  x  4 cos 2 sin cos cos 1 sin 1 sin 1 sin  1  sin x
Ví dụ 13. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 cot x  1 a) A   tan x  1 cot x  1 b) 4 4 2 4 2
B  2 cos x  sin x  sin x cos x  3sin x Lời giải: 2 cot x  1 2cos x cos x  sin x cos x  sin x a) A       1 tan x  1 cot x  1 sin x  cos x cos x  sin x sin x  cos x b) 4 4 2 2 2
B  2cos x  sin x  sin x cos x  3sin x 4  x   2  x  2 2 2 cos 1 cos
3  cos x  1  cos x  4  x   2  x  2 x   4  x   4 2 cos 1 cos 2 cos 2 2 cos 2 1  cos x  2
Ví dụ 14. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x ? 2 2 a) tan x  sin x 6 A  .cot x 2 2 cot x  cos x b) 2 2 2 2 2 B  sin .
x tan x  4sin x  tan x  3cos x Lời giải:  1  2 sin x  1    2 2 2 4 2 6  cos x  sin x sin x cos x a) tan x  sin x 6 A  .cot x 6  .cot x  . .  1 2 2 cot x  cos x 2 4 6  1  2 cos x cos x sin x cos x  1   2  sin x   b) 2 2 2 2 2 B  sin .
x tan x  4sin x  tan x  3cos x 2  x  2 x   2 2 2 tan sin
1  3sin x  3 cos x  sin x 2 2 2 2 2
  tan x cos x  3  sin x  sin x  3  sin x  3
Ví dụ 15. Tính giá trị biểu thức 3 2 a)
cos x  cos x.sin x  sin x A  , với tan x  2 . 3 3 sin x  cos x 1 cos x  sin x 12  b) B  ,với cos x   và  x   . 1 cos x 13 2 2 2 c)
2 sin x  sin x cos x  cos x C  , với tan x  3. 4 4 sin x  cos x Lời giải: 2 2 3 2
1  tan x  tan x 1 tan x 1 4  21 4 5 a)
cos x  cos x.sin x  sin x A      3 3 sin x  cos x 3 tan x  1 8 1 7 Trang 9  12 cos x    144 2  13 cos x  5 6 b) Ta có:   169 sin x  B     13 25   x   sin x  0    2 2 2 2 2 c)
2 sin x  sin x cos x  cos x
2 sin x  sin x.cos x  cos x C   4 4 sin x  cos x 2 2 sin x  cos x 2 2 tan x  tan x  1 11  C   2 tan x  1 4
Ví dụ 16. Chứng minh các đẳng thức sau   1  2 1 cot x 1   4 4 2 sin x  cos x  cos x x  2   cos x a) 2  b)  2 cos 2 1 cos x 2 2 1 tan x Lời giải: 4 4 2 sin x  cos x  cos x 2 2 2 a) Ta có: sin x  cos x  cos x 1   2 2 1 cos x 2 2 sin x 2   1  2 1 cot x 1    2   cos x 2 b) Ta có:  = 1 sin x 2 . .cos x  1 2 1 tan x 2 2 sin x cos x
Ví dụ 17. Rút gọn các biểu thức sau:       a) A x    x     x 3 sin cos cot 2 tan x             2 2       3   5  b) B sin x .cos   x 3.cot x         2 2      1 2sin 2550 .cos 1  88  c) C   tan368 2cos638  cos98 Lời giải:       a) A x    x     x 3 sin cos cot 2 tan x             2 2         sin x sin x cot x tan  x        
  cot x  cot x  0 2     3   5        b) B sin x .cos       x 3.cot x          sin    x .cos  
x   2.cot 2   x   2 2        2   2        sin x .cos   x  ..cot x           cos .
x cos x.tan x  sin xcosx 2 2      1 2sin 2550 .cos 1  88  1
2sin 7.360  30 .cos180  8  c) C     tan368 2cos638  cos98 tan 360 8   7     2 cos  180 . 8      cos   90  8     2  Trang 10 1 2
 sin30 .cos8  1 cos8 2      tan8 2sin8  sin8 tan8 sin8 tan8
Ví dụ 18. Rút gọn các biểu thức sau:       a) A x   11 11 cos 5 2sin  x sin  x           2 2          3  b) B cos x cos    x cos x        cos   2  x  2   2  Lời giải:       a) Ta có : A cos x 2sin  x sin x         
  cos x  2cos x  cos x  0 2 2        
b) Ta có : B sin x cos x cos x    
 cos x  sin x  sin x  0   2   
Ví dụ 19. Rút gọn các biểu thức sau:  3   3   7   7  a) A cos x sin x cos x  cos x                2 2 2 2           5   11   7  b) B sin x cos x 3sin     x 5 tan x         .tan   x  2   2   2  Lời giải:          a)     2   2 A  cos  x  sin  x  cos
 x  sin x  cos x  sin x       2 2 2                 b) B sin  x cos x 3sin x tan x        tan x       2 2 2       
 cos x sin x 3sin x cot xtan x  4sin x  cos x 1
Ví dụ 20. Rút gọn các biểu thức sau:          a) A  x 3 3 cos sin x  tan x cot  x              2 2 2       
b) B  sin 270  x  2sin  x  450   cos x  900   2sin 720  x  cos540  x Lời giải:       a) Ta có : A cos x sin x  cot xcot x      
 cos x  cos x  cot . x tan x 1     2 2     
b) Ta có : B  sin 90  x  2sin x  90   cos x  2sin x  cos x  cos x  2sin x
Ví dụ 21. Rút gọn các biểu thức sau: Trang 11     3   7      3 tan x .cos x sin  x            2   2   2 A       3  cos x  .tan x       2 2       11    3   13   2     2 B 1 tan x 
   1 cot  x 3    .cos x sin    11 x.cos x          sin   x  7    2    2   2  Lời giải:         3   cos x 3 cot xcos x   sin  x      sin x  cos x  2   2  sin x A   sin . x  cot x cos x 3  cos x  cos x 2 2 
 1  cos x   sin x cos x       2     2 B     x      x x x x    x    2  x 2  x 4 1 tan 1 cot .sin .sin .sin . sin 1 cot 1 cot .  sin x   2   1 4  .sin x  1  4 sin x
Ví dụ 22. Chứng minh các đẳng thức sau  11   21   9   29   2  a) sin   sin  sin  sin  2cos                   10 10 10 10 5           
sin 515.cos 475  cot 222.cot 408 b) 1 2     cos 25 cot 415 .cot 505  tan197. tan 73 2
c) tan105  tan 285  tan  4  35   tan 7  5   0 Lời giải:  11   21   9   29  a) A sin  sin  sin  sin                10 10 10 10           9   21   9   21  sin 2  sin  sin  sin 5                 10 10 10 10          9 21 9 21  sin  sin  sin  sin 10 10 10 10 9  9   2 2sin 2cos        2  cos   10 10 2    5
sin 515.cos 475  cot 222.cot 408 b) B 
cot 415.cot 505  tan197.tan 73
sin 360  180  25 .cos 360  90  25   cot 180  42 .cot 360  48  
cot 360  55 .cot 360  90  55   tan 180  17 . tan 90  17             2 2 sin 25 . sin 25 cot 42 .cot 90 42 sin 25 1 cos 25   
cot 55 .tan55  tan17 .cot17 2 2 Trang 12
c) C  tan105  tan 285  tan  4  35   tan 7  5 
 tan 180  75   tan360  75   tan 3
 60  75   tan 7  5 
 tan75  tan75  tan75  tan75  0
Ví dụ 23. Tính giá trị các biểu thức sau    9 3 a) A tan x      , với cos x   ;  x  4   41 2 8 5
b) Cho a , b là các góc nhọn thỏa mãn: sin a  , tan b  17 12
Tính: sin a  b , cos a  b , tana  b Lời giải: 9 1 1600 40 a) cos x   2 2
sin x  1 cos x  1   sin x   41 1681 1681 41 3 40 sin x 40 Do   x 
sin x  0 sin x    tan x   2 41 cos x 9  40    tan x  tan 1 4 9 31
Từ đó ta được A tan x         4    40 49 1  tan x tan 1 4 9 b) Ta có: 8 15 • sin a   cos a   17 17 15 8
Do a là góc nhọn  cos a  0  cos a   tan a  17 15 5 5 • tan b  sin b  cos b 12 12  5  5 sin   sin  cos b b b    13 Từ đó ta có  12    12 2 2
sin b  cos b  1 cosb     13  5 sinb   13
Do b là góc nhọn nên sinb  0 , cosb  0   12 cosb   13 • a  b 8 12 15 5 21 sin
 sin a cosb  cos a sin b  .  .  17 13 17 13 221 • a  b 15 12 8 5 140 cos
 cos a cosb  sin a sin b  .  .  17 13 17 13 221 Trang 13 8 5  tan a  tan b 15 12 21 • tan a  b    1 tan a tan b 8 5 220 1 . 15 12
Ví dụ 24. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến       3 3 a) 2 2   2 A cos x cos x cos  x         3 cos x cos 3x 3 sin x sin 3x     b) B   3 3      cos x sin x Lời giải:
a) Cách 1: (Khai triển theo công thức cộng)       2 2   2 A cos x cos x cos  x          3 3     2 2         2 cos x  cos x cos sin x sin   cos xcos sin x sin           3 3 3 3     1 3 3 1 3 3 2 2 2 2 2  cos x  cos x 
sin xcos x  sin x  cos x  sin xcos x  sin x 4 2 4 4 2 4 3 3 3 2 2  cos x  sin x  2 2 2
Cách 2: (Sử dụng công thức hạ bậc)  2   2                1 cos 2x 1 cos 2x      2 2   2 1 cos 2x  3   3 A cos x cos x cos  x              3 3      2 2 2 3 1 1   2   2   3 1 1  2    cos 2x    cos 2x    cos 2x             cos2x  2cos2 . x cos   2 2 2   3   3   2 2 2  3  3 1 2   cos 2x  3 1 1 3 3 cos 2 . x cos
  cos 2x  cos 2x   A  2 2 3 2 2 2 2 2
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x . 3 3 b) 3 cos x  cos 3x 3sin x  sin 3x B   cos x sin x 3 3 3 3
3 cos x  4 cos x  3 cos x 3sin x  4 sin x  3sin x   cos x sin x 3 3  cos x  3 cos x  sin x  3sin x 2 2  
  cos x  sin x  6  5 cos x sin x
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x .
Ví dụ 25. Chứng minh các đẳng thức sau sin a  b sin a  b 2 2     a) tan a  tan b  2 2 cos . a cos b 1 3 b) 4 4
sin x  cos x  cos 4x  4 4 Trang 14 6  2cos 4x c) 2 2  cot x  tan x 1 cos 4x Lời giải: 2 2 2 2 2 2 a) 2 2  tan a  tan b sin a sin b   sin a.cos b sin b.cos a  2 2 cos a cos b 2 2 cos a.cos b
sinacosbsinbcosasinacosbsinbcosa sina bsina b   2 2 cos . a cos b 2 2 cos . a cos b 2 1 b) 4 4 2 sin x  cos x   2 2
sin x  cos x  2sin xcos x 2  1  2. sin 2x 4 1  3 1
1  1 cos 4x   cos 4x 4 4 4
sin xcos x2 2sin xcosx2 2 2 2 2 4 4 c) 2 2  cot x  tan x sin x cos x sin x cos x     2 2 2 2 cos x sin x sin x cos x 1 2 sin 2x 4  1   2   4 1 sin 2x   1 1       2  4 1 cos 4x      6  2 cos 4x  4 4    2 sin 2x 1  cos 4x 1  cos 4x 2 98 Ví dụ 26. Cho 4 4 3sin x  2 cos x 
. Tính giá trị biểu thức 4 4 A  2sin x  3cos x 81 Lời giải:  98  3a 2b    3a  21 a2 98 2 2 2  Đặt 2 a  sin x , 2
b  cos x a,b 1;  1  , ta có:  81   81    a  b  1 b  1 a    4 5 107 2 2
a  ,b   A  2a  3b   9 9 81   16 29 607  2 2 a   b   A  2a  3b   45 45 405
Ví dụ 27. Chứng minh các đẳng thức sau       2 a) 2   2 sin x sin  x     sin 2x    
b) sin x1 cos 2x  sin 2 . x cos x 8 8      2 1 2 x  1  c) tan x    d) tan  1   tan x   tan x tan 2x 2  cos x  Lời giải:             1 cos 2x 1 cos 2x              cos  2x  cos  2x      4   4   4   4 a) Ta có: VT      2 2 2 Trang 15  2  sin sin 2  x 2 4   sin 2x  VP 2 2 b) 2 VT  sin . x 2 cos x  2sin x cos . x cos x  sin 2 . x cos 2x  VP 2 2    c) sin x cos x sin x cos x cos 2x 2 VT       VP cos x sin x sin x cos x 1 tan 2 sin 2 x x 2 x x 2 x sin sin .2cos 1 cos x x x 1 d) 2 2 2 VT    2sin cos  tan x  VP x 2cos x x 2 2 cos cos 2cos .cos x x 2 2
Ví dụ 28. Rút gọn các biểu thức sau   x 2 1 sin x 2 sin         4 2 E   x 4 cos 2 3 3 cos x.sin x  sin x.cos x F  sin 2 x.cos 2 x sin 4 . x cos 2x G  
1 cos 4x1 cos 2x 2 2 sin 2x  4sin x H  2 sin 2x   2 4sin x  4 Lời giải:      1 sin x 
 1 cos  x     x   2   sin x  sin x • Ta có: cos  0 E    0 2 x x 4cos 4cos 2 2 x x  2 2 cos sin cos x  sin x cos x sin . x cos 2x 1 • Với sin2 . x cos2x  0 ta có: F    sin 2x cos 2x 2sin x cos x cos 2x 2
• Với 1 cos 4x1 cos 2x  0 ta có: 2sin 2x cos 2 . x cos 2x sin 2x 2sin x cos x G     tan x 2 2 2 2 2cos 2 . x 2 cos x 2 cos x 2cos x 2 sin x   2 2 2 2 cos x x x x   4 1 4sin cos 4sin sin x •Ta có: 4 H     tan x 2 2 2 2 4sin xcos x  4cos x cos x 2 sin x   4 1 cos x
Ví dụ 29. Chứng minh các đẳng thức sau     2 2   a) tan 2a  tan a      tan a.tan 3a b) sin  a  sin  a  2sin a     2 2 1  tan 2a.tan a  4   4  Lời giải: Trang 16 2 2 tan 2a  tan a
tan 2a  tan atan 2a  tan a a) VT    tan a.tan 3a  VP 2 2 1  tan 2a.tan a
1 tan a tan 2a1 tan a tan 2a       1 1 b) VT sin a sin a         
sina cosa  sina cosb  2sina VP  4   4  2 2
Ví dụ 30. Chứng minh các đẳng thức sau
sina bsina  b
cosa bcosa  b a) 2 2  cos . a sin b b) 2 2 1 tan . a tan b 2 2 1 tan . a cot b 2 2 cos . a cos b Lời giải:
sina bsina  b
sin acosb  sinbcosasin acosb  sinbcosa a) VT   2 2 1 tan . a cot b 2 2 sin a cos b 1  2 2 cos a sin b 2 2 2 2 sin a cos b  sin bcos a  2 2   cos . a sin b  VP 2 2 2 2 cos a sin b  sin a cos b 2 2 cos a sin b
cosa bcosa  b
cosacosbsinasinbcosacosbsinasinb b) VT   2 2 cos . a cos b 2 2 cos . a cos b 2 2 2 2 cos a.cos b  sin a.sin b  2 2  1 tan . a tan b  VP 2 2 cos a.cos b
Ví dụ 31. Chứng minh các đẳng thức sau cos x   x 2 2 a) cot       tan 2x tan x   b) tan x.tan 3x  1 sin x 4 2    2 2 1  tan . x tan 2x Lời giải:   x 1  x x  x x  x x     cos    cos sin    cos  sin cos  sin       x       2 2  2 2 a) Ta có:    4 2 2  2 2 VT  cot        4 2   x 1  x x    2   sin    cos sin    x x      cos sin   4 2    2  2 2   2 2   2 x 2 x cos sin cos 2 2 x   VP x x 1 sin 1 2sin cos x 2 2 2 2
tan 2x  tan xtan 2x  tan x b) Ta có: tan 2 x  tan x VT    tan x tan 3x  VP 2 2 1  tan x. tan 2x
1 tan x tan 2x1 tan x tan 2x
Ví dụ 32. Cho tam giác, chứng minh các đẳng thức sau: a) sin A  sin . B cosC  sin . C cos B
b) tan A tan B  tanC  tan . A tan . B tanC Lời giải: Trang 17
a) sin B cosC  cos Bsin C  sin B  C  sin   A  sin A  đpcm sin A sin B sin C
sin Acos B cos C  sin B cos Acos C  sin C cos Acos B
b) tan A  tan B  tan C     cos A cos B cos C cos Acos B cos C
cosC sin Acos B  sin Bcos  A  sinC cos Acos B
cosCsin A  B  sinC cos Acos B   cos Acos BcosC cos Acos BcosC  
cosC sin C  sin C cos Acos B sinCcosC  cos Acos B sin C cos  A B cos Acos B       cos Acos B cos C cos Acos BcosC cos Acos BcosC sin Asin B sin C   tan . A tan . B tan C cos Acos B cos C Nhận xét:
Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp.
Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hướng khác nhanh gọn hơn như sau    A B  
           C  tan A tan B A B C A B C tan tan    tan C 1  tan . A tan B
 tan A  tan B   tan C  tan . A tan .
B tan C  tan A  tan B  tan C  tan . A tan . B tan C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4
Câu 1. Cho góc  thỏa mãn sin  . Tính P  cos4 . 5 527 527 524 524 A. P  B. P   C. P  D. P   625 625 625 625 4 3
Câu 2. Cho góc  thỏa mãn sin 2   và
    . Tính P  sin cos . 5 4 5 5 A. 3 P  B. 3 P   C. P  D. P   5 5 3 3 2
Câu 3. Cho góc  thỏa mãn sin 2  . Tính 4 4 P  sin   cos  3 17 7 9 A. P  1 B. P  C. P  D. P  81 9 7  4
Câu 4. Cho góc  thỏa mãn
    và sin  . Tính P  sin 2   2 5 24 24 12 12 A. P   B. P  C. P   D. P  25 25 25 25  2 1  sin 2  cos 2
Câu 5. Cho góc  thỏa mãn 0    và sin  . Tính P  2 3 sin  cos 2 5 3 3 2 5 A. P   B. P  C. P   D. P  3 2 2 3 Trang 18 3    Câu 6. Biết    3 sin   và    . Tính P sin       5 2  6 3 3 4   3 3 4  3 3 A. P   B. P  C. P  D. P  5 5 10 10 5 3
Câu 7. Cho góc  thỏa mãn cos  và
   2 . Tính P  tan2 13 2 120 119 120 119 A. P   B. P   C. P  D. P  119 120 119 120 2
Câu 8. Cho góc  thỏa mãn cos 2   . Tính P   2    2 1 3sin 1  4 cos   3 21 7 A. P  1 2 B. P  C. P  6 D. P  2 6 3 3   
Câu 9. Cho góc  thỏa mãn cos  và
   2 . Tính P cos      4 2  3  3 21 3 21 3 3  7 3 3  7 A. P  B. P  C. P  D. P  8 8 8 8 4 3   
Câu 10. Cho góc  thỏa mãn cos   và     . Tính P tan       5 2  4 1 1 A. P   B. P  C. P  7  D. P  7 7 7 4     
Câu 11. Cho góc  thỏa mãn cos 2   và    . Tính P cos 2      5 4 2  4  2 2 1 1 A. P  B. P   C. P   D. P  10 10 5 5 4 3  3
Câu 12. Cho góc  thỏa mãn cos   và    . Tính P  sin .cos 5 2 2 2 39 49 49 39 A. P   B. P  C. P   D. P  50 50 50 50  5    
Câu 13. Cho góc  thỏa mãn cot     2      . Tính P  tan     2      4 1 1 A. P  B. P   C. P  3 D. P  3  2 2
Câu 14. Cho góc  thỏa mãn cot 15. Tính P  sin 2 11 13 15 17 A. P  B. P  C. P  D. P  113 113 113 113   
Câu 15. Cho góc  thỏa mãn cot   3 2 và
    . Tính P  tan  cot 2 2 2 Trang 19 A. P  2 19 B. P  2 19 C. P  19 D. P   19 4  3   
Câu 16. Cho góc  thỏa mãn tan     ;2    . Tính P  sin  cos 3  2  2 2 5 5 A. P  5 B. P   5 C. P   D. P  5 5 sin 2
Câu 17. Cho góc  thỏa mãn tan  2  . Tính P  cos 4 1 10 9 10 9 A. P  B. P  C. P   D. P   9 10 9 10 1
Câu 18. Cho góc  thỏa mãn tan  cot  0 và sin  . Tính P  sin 2 5 4 6 4 6 2 6 2 6 A. P  B. P   C. P  D. P   25 25 25 25 
Câu 19. Cho góc  thỏa mãn
    và sin  2cos  1  . Tính P  sin2 2 24 2 6 24 2 6 A. P  B. P  C. P   D. P   25 5 25 5 3      
Câu 20. Cho góc  thỏa mãn sin  . Tính P sin   sin         5  6   6  11 11 7 10 A. P  B. P   C. P  D. P  100 100 25 11
Câu 21. Cho góc lượng giác . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. 2 cos 2  1 2sin  B. 2 2
cos 2  cos   sin  C. 2 cos 2  1  2 cos  D. 2 cos 2  2 cos   1 3   3   21 
Câu 22. Cho sin  ,  ;     
 . Tính giá trị cos     5  2 2   4  2 7 2 2 7 2 A. B.  C.  D. 10 10 10 10 3   
Câu 23. Cho tan  2. Giá trị biểu thức sin 3cos P  là 3 cos  2 sin  1 5 7 2 A. B. C. D. 3 21 11 7 5 3   Câu 24. Biết sin a  ; cosb  ;  a   ; 0  b 
. Hãy tính sin a  b 13 5 2 2 56 63 33 A. B. C.  D. 0 65 65 65 Trang 20 5    3  
Câu 25. Nếu biết rằng sin            ; cos   0    
 thì giá trị đúng của biểu thức 13 2     5 2 cos    là 16 16 18 18 A. B.  C. D.  65 65 65 65 1 1
Câu 26. Cho hai góc nhọn a;b và biết rằng cos a  , cosb  . Tính giá trị của biểu thức 3 4
P  cosa  b.cosa  b 113 115 117 119 A.  B.  C.  D.  144 144 144 144 1 1
Câu 27. Nếu a;b là hai góc nhọn và sin a  , sin b  thì cos 2a  bcó giá trị bằng 3 2 7  2 6 7  2 6 7  4 6 7  4 6 A. B. C. D. 18 18 18 18  1 3
Câu 28. Cho 0   ,  
và thỏa mãn tan   , tan  
. Góc    có giá trị bằng 2 7 4     A. B. C. D. 3 4 6 2 1
Câu 29. Nếu sin a  cos a  135  a  180  thì giá trị của biểu thức tan2a bằng 5 20 20 24 24 A.  B. C. D.  7 7 7 7
Câu 30. Nếu tan a  b  7 , tan a  b  4 thì giá trị đúng của tan2a là 11 11 13 13 A.  B. C.  D. 27 27 27 27  Câu 31. Cho 0   
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. sin    0 B. sin    0 C. sin    0 D. sin    0  Câu 32. Cho 0   
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2       A. cot      0      B. cot    0  
C. tan      0
D. tan      0 2     2 3 Câu 33. Cho    
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2  3   3   3   3  A. tan    0          B. tan   0   C. tan   0   D. tan   0   2        2   2   2  Trang 21     Câu 34. Cho
    . Xác định dấu của biểu thức M cos     .tan     2  2  A. M  0 B. M  0 C. M  0 D. M  0 3    Câu 35. Cho    
. Xác định dấu của biểu thức M sin    .cot     2  2  A. M  0 B. M  0 C. M  0 D. M  0
Câu 36. Với góc  bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 sin 2  cos 2  1 B.  2     2 sin cos    1 C. 2 2
sin   cos 180   1 D. 2 2
sin   cos 180   1
Câu 37. Để ta n  có nghĩa khi   A.    B.   0 C.    k D.   k 2 2
Câu 38. Điều kiện trong đẳng thức tan .  cot 1 là    A.   k , k  Z B.    k , k  Z C.   k , k  Z D.    k2 , k  Z 2 2 2      
Câu 39. Điều kiện để biểu thức P= tan   cot         xác định là 3 6       2   A.    k2 , k  Z B.    k , k  Z C.    k , k  Z D.     k 2 , k  Z 6 3 6 3
Câu 40. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. sin 60  sin150 B. cos30  cos60 C. tan 45  tan60 D. cot 60  cot 240
Câu 41. Với mọi  R thì tan 2017    bằng A.  tan  B. cot  C. ta n  D.  cot    
Câu 42. Đơn giản biểu thức A cos      sin  
   , ta được  2 A. A  cos sin B. A  2sin C. A  sin .  cos D. A  0      
Câu 43. Rút gọn biểu thức S cos x sin    x sin x      cos     x ta được  2   2  A. S  0 B. 2 2 S  sin x  cos x C. S  2sin xcos x D. S 1      
Câu 44. Cho P  sin   .cos   và Q sin  .cos       
 . Mệnh đề nào dưới đây là 2 2      đúng? A. P  Q  0 B. P  Q  1 C. P  Q  1 D. P  Q  2 Trang 22 2 2        3  
Câu 45. Biểu thức lượng giác sin  x  sin    10  x  cos  x  cos    
8  x có giá trị   2     2   bằng? 1 3 A. 1 B. 2 C. D. 2 4 2 2      
Câu 46. Giá trị biểu thức P= 17 7 13  tan tan  x      cot cot  7 x      bằng  4   2      4  1 1 2 2 A. B. C. D. 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cos x 12 
Câu 47. Cho góc  thỏa mãn cos   và
    . Tính tan  13 2 12 5 5 12 A. tan   B. tan   C. tan   D. tan   5 12 12 5
Câu 48. Cho góc  thỏa mãn tan  2 và 180    270 . Tính cos sin 3 5 3 5 5 1 A. P   B. P  1  5 C. P  D. P  5 5 2 3
Câu 49. Cho góc  thỏa mãn sin  và 90  180 . Khẳng định nào sau đây đúng? 5 4 4 4 4 A. cot   B. cos  C. tan   D. cos   5 5 5 5 3
Câu 50. Cho góc  thỏa mãn cot  và 0   90 . Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4 4 4 4 A. cos   B. cos  C. sin  D. sin   5 5 5 5 3  tan
Câu 51. Cho góc  thỏa mãn sin  và  x   . Tính P  5 2 2 1  tan  3 12 12 A. P  3  B. P  C. P  D. P   7 25 25   7 
Câu 52. Cho góc  thỏa mãn    1 sin   và
    . Tính P tan       3 2  2  2 2 A. P  2 2 B. P  2 2 C. P  D. P   4 4 3 
Câu 53. Cho góc  thỏa mãn cos  và 
   0 . Tính P  5  3 tan   6  4 cot  5 2 A. P  4 B. P   4 C. P  6 D. P  6  3  
Câu 54. Cho góc  thỏa mãn cos  và    . Tính 2
P  tan   2 tan 1 5 4 2 Trang 23 1 1 7 7 A. P   B. P  C. P  D. P   3 3 3 3        Câu 55. Cho góc  thỏa
   2 và tan     1      . Tính P  cos    sin   2  4   6  3 6  2 3 3 6  2 3 A. P  B. P  C. P   D. P  2 4 2 4 4  2   
Câu 56. Cho góc  thỏa mãn tan   và     . Tính sin cos P  3 2 2 sin   cos  30 31 32 34 A. P  B. P  C. P  D. P  11 11 11 11 3sin   2 cos
Câu 57. Cho góc  thỏa mãn tan  2. Tính P  5cos  7 sin 4 4 4 4 A. P   B. P  C. P   D. P  9 9 19 19 1 3sin   4 cos
Câu 58. Cho góc  thỏa mãn cot  . Tính P  3 2sin   5 cos 15 15 A. P   B. P  C. P  1  3 D. P  13 13 13 2 2
Câu 59. Cho góc  thỏa mãn tan  2. Tính
2 sin   3sin  cos  4 cos  P  2 2 5 sin   6 cos  9 9 9 24 A. P  B. P  C. P   D. p  13 65 65 29 1 2 2      
Câu 60. Cho góc  thỏa mãn tan   . Tính 2 sin 3sin cos 4 cos P  2 2 2 5 cos   sin  8 2 2 8 A. P   B. P  C. P   D. P   13 19 19 19
Câu 61. Cho góc  thỏa mãn tan  5. Tính 4 4 P  sin   cos  9 10 11 12 A. P  B. P  C. P  D. P  13 13 13 13 5
Câu 62. Cho góc  thỏa mãn sin  cos  . Tính P  sin .  cos 4 9 9 9 1 A. P  B. P  C. P  D. P  16 32 8 8 12
Câu 63. Cho góc  thỏa mãn sin  cos 
và sin  cos  0. Tính 3 3 P  sin   cos  25 91 49 7 1 A. P  B. P  C. P  D. P  125 25 5 9  5
Câu 64. Cho góc  thỏa mãn 0    sin  cos  . Tính sin cos 4 2 Trang 24 3 1 1 3 A. P  B. P  C. P   D. P   2 2 2 2
Câu 65. Cho góc  thỏa mãn sin  cos  m. Tính P  sin  cos A. P  2  m B. 2 P  2  m C. 2 P  m  2 D. 2 P  2  m
Câu 66. Cho góc  thỏa mãn tan  cot  2. Tính 2 2 P  tan   cot  A. P  1 B. P  2 C. P  3 D. P  4
Câu 67. Cho góc  thỏa mãn tan  cot  5. Tính 3 3 P  tan   cot  A. P 100 B. P 110 C. P  1 1 2 D. P 115 2
Câu 68. Cho góc  thỏa mãn sin  cos  . Tính 2 2 P  tan   cot  2 A. P  1 2 B. P  1 4 C. P  16 D. P  18 
Câu 69. Cho góc  thỏa mãn
    và tan  cot 1. Tính P  tan cot 2 A. P  1 B. P   1 C. P   5 D. P  5
Câu 70. Cho góc  thỏa mãn 3cos  2sin  2 và sin  0. Tính P  sin 5 7 9 12 A. sin    B. sin    C. sin    D. sin   13 13 13 13 x sin x  sin
Câu 71. Rút gọn biểu thức 2 A  được kết quả là x 1 cos x  cos 2 x    A. tan B.   c o t x C. 2 tan  x   D. sin x 2  4 
Câu 72. Rút gọn biểu thức 5 5
A  sin.cos   sin .cos 1 1 3 1 A. sin 2 B.  sin 4 C. sin 4 D. sin 4 2 2 2 4 1 cos  cos 2
Câu 73. Đơn giản biểu thức A  thu được kết quả là sin 2  sin A. sin 2 B. ta n  C. cot  D. cos 2
Câu 74. Biến đổi biểu thức sin a 1 thành tích  a    a         A. sin a 1 2sin   cos          B. sin a 1 2cos a  sin a      2 4 2 4       2   2         a    a   C. sin a 1 2sin  a  cos a               D. sin a 1  2cos  sin      2 2        2 4  2 4 1
Câu 75. Nếu sin x  cos x  thì sin2x bằng 2 Trang 25 3 3 2 3 A. B. C. D.  4 8 2 4
Câu 76. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? a  b a  b A. sin a  sin b  2 cos sin
B. cosa  b  cosacosb  sin asinb 2 2
C. sin a  b  sin acosb  cos asinb
D. 2cos a cosb  cosa  b  cosa  b 5    3   
Câu 77. Cho hai góc  ,  thỏa mãn sin ,         
 và cos  , 0      . Tính giá trị 13 2     5  2
đúng của cos    16 18 18 16 A. B.  C. D.  65 65 65 65
Câu 78. Mệnh đề nào sau đây sai? sin
A. 1  sin  1; 1  cos  1 B. tan  cos  0 cos cos C. cot  sin  0 D. 2    2 sin 2018
 cos 2018   2018 sin 
Câu 79. Rút gọn biểu thức M   x  x2   x  x 2 sin cos sin cos A. M  1 B. M  2 C. M  4 D. M  4sin . x cosx
Câu 80. Rút gọn biểu thức M  tan x  tan y sin  x  y sin  x  y A. M  tan  x  y B. M  C. M  D. tan x  tan y M  cos . x cos y cos . x cos y 1  tan x. tan y
Câu 81. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 3 5 3 A. 4 4 sin x  cos x   cos 4x B. 4 4 sin x  cos x   cos 4x 4 4 8 8 3 1 1 1 C. 4 4 sin x  cos x   cos 4x D. 4 4 sin x  cos x   cos 4x 4 4 2 2
Câu 82. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 4 2
sin x  cos x  1  2 cos x B. 4 4 2 2
sin x  cos x  1 2sin . x cos x C. 4 4 2
sin x  cos x  1 2sin x D. 4 4 2
sin x  cos x  2 cos x 1
Câu 83. Rút gọn biểu thức 6 6 M  sin x  cos x A. 2 2 M  1  3sin x cos x B. 2 M  1 3sin x 3 3 C. 2 M  1  sin x D. 2 M  1  sin 2x 2 4
Câu 84. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. cos3 .
x cos5x  cos8x  cos 2x B. cos3 .
x cos5x  cos8x  cos 2x 2 2 Trang 26 1 1 C. cos3 .
x cos5x  cos 2x  cos8x D. cos 3 .
x cos 5x  sin 8x  sin 2x 2 2
Câu 85. Chọn đẳng thức đúng   a 1sina   a 1 sina A. 2 cos          B. 2 cos     4 2    2  4 2 2   a 1cosa   a 1 cosa C. 2 cos          D. 2 cos     4 2    2  4 2 2 sin  y  x Câu 86. Gọi M  thì sin . x sin y A. M  tan x  tan y B. M  cot x  cot y C. M  cot y  cot x D. 1 1 M   sin x sin y
Câu 87. Gọi M  cos x  cos2x  cos3x thì  1 
A. M  2cos 2x cos x   1 B. M 4cos 2 . x  cos x     2   
C. M  cos 2x2cos x   1
D. M  cos 2x2cos x   1 sin 3x  sin x
Câu 88. Rút gọn biểu thức M  2 2 cos x  1 A. tan2x B. sin x C. 2 tan x D. 2sinx
1  cos x  cos 2x  cos 3x
Câu 89. Rút gọn biểu thức A  2 2 cos x  cos x 1 A. cos x B. 2cos x 1 C. 2cos x D. cos x 1 tan  cot
Câu 90. Rút gọn biểu thức A   cos 2 tan  cot A. 0 B. 2 2 cos x C. 2 D. cos 2x 1  sin 4  cos 4
Câu 91. Rút gọn biểu thức A  1  sin 4  cos 4 A. sin 2 B. cos 2 C. tan 2 D. cot 2  2 4 2 2       Câu 92. Khi   thì biểu thức sin 2 4 sin 4 sin .cos A  có giá trị bằng 6 2 2 4  sin 2  4 sin  1 1 1 1 A. B. C. D. 3 6 9 12 sin 2  sin
Câu 93. Rút gọn biểu thức A  1 cos 2  cos A. ta n  B. 2tan C. tan 2  tan D. tan 2 1 sin a  cos 2a
Câu 94. Rút gọn biểu thức A  sin 2a  cos a Trang 27 5 A. 1 B. tan a C. D. 2 tan a 2      
Câu 95. Rút gọn biểu thức 2   2 M cos  cos           4 4      A. M  sin 2 B. M  cos 2 C. M  cos2 D. M  sin 2
Câu 96. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?       A. cos x sin x 2 cos x         
B. cos x  sin x  2 sin x    4      4        C. cos x sin x 2 sin x         
D. sin x  cos x  2 sin x    4      4 
Câu 97. Nếu  ,  , là ba góc nhọn thỏa mãn tan    .sin   cos thì    3 A.       B.       C.       D.       4 3 2 4  
Câu 98. Nếu sin.cos     sin  với     k ,  
 l k.l  Z  thì 2 2
A. tan      2cot B. tan     2cot  C. tan     2tan  D. tan     2tan 
Câu 99. Nếu      
thì cot   cot   2cot  thì cot.cot  bằng 2 A. 3 B.  3 C. 3 D. 3  Câu 100. Nếu 2
t a n  và tan  là hai nghiệm của phương trình x  px  q  0q  0 thì giá trị biểu thức 2 P 
     p        2 cos sin .cos
 qsin     bằng: A. p B. q C. 1 D. p q
Câu 101. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P  3sin x  2 A. M  1, m  5 B. M  3,m  1 C. M  2, m  2 D. M  0, m  2    Câu 102. Cho biểu thức P 2sin x      2  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3   A. P  4,x  R B. P  4, x   R C. P  0, x   R D. P  2, x   R   
Câu 103. Biểu thức P sin x    sin x  
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? 3   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 104. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 2 2 P  sin x  2cos x A. M  3, m  0 B. M  2, m  0 C. M  2, m  1 D. M  3,m  1 Trang 28
Câu 105. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P  8sin x  3cos 2x . Tính 2 2M  m A. 1 B. 2 C. 1 1 2 D. 130 Câu 106. Cho biểu thức 4 4
P  cos x  sin x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. P  2, x   R B. P  1,x  R C. P  2, x  R D. P  , x  R 2
Câu 107. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 4 4 P  sin x  cos x 1 A. M  2, m  2 B. M  2, m   2 C. M  1, m  1 D. M  1, m  2
Câu 108. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 6 6 P  sin x  cos x 1 1 1 A. M  2, m  0 B. M  1, m  C. M  1, m  D. M  , m  0 2 4 4
Câu 109. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P  1  2 cos3x A. M  3, m  1 B. M  1, m  1 C. M  2, m  2  D. M  0, m  2    
Câu 110. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P 4sin x 2 sin 2x       4   A. 2 B. 2  1 C. 2  1 D. 2  2
Câu 111. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ A B , đáy lớn CD. Biết AB  AD và  3 tan BDC  . 4 Tính giá trị của cos  BAD 17 7 7 17 A. B.  C. D.  25 25 25 25 1 17
Câu 112. Cho bất đẳng thức 2A   2 cos 2B  4sin B   0 , ,
A B,C là ba góc của tam giác 4   64cos A 4
ABC. Khẳng định đúng là? A. B   C  120 B. B   C  130 C. A  B  120 D. A  B  140
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-A 3-C 4-A 5-D 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A 11-B 12-D 13-D 14-C 15-A 16-C 17-C 18-B 19-C 20-A 21-C 22-A 23-A 24-C 25-B 26-D 27-D 28-B 29-D 30-A 31-C 32-C 33-B 34-B 35-D 36-C 37-C 38-A 39-C 40-C 41-C 42-D 43-D 44-A 45-B 46-C 47-C 48-A 49-D 50-C 51-D 52-B 53-A 54-B 55-C 56-B 57-D 58-D 59-A 60-D 61-D 62-B 63-A 64-D 65-D 66-B 67-B 68-B 69-C 70-A Trang 29 71-A 72-D 73-C 74-A 75-D 76-B 77-D 78-D 79-B 80-C 81-C 82-A 83-D 84-A 85-A 86-B 87-D 88-D 89-C 90-A 91-C 92-C 93-A 94-B 95-D 96-C 97-B 98-C 99-C 100-C
101-A 102-C 103-C 104-C 105-A 106-B 107-C 108-C 109-B 110-D 111- 112- 2  16  527 Câu 1: P          2 2 2 cos 4 2cos 2 1 2 1 2sin 1 2 1 2.     1  .   Chọn B. 25   625 3 sin  0 Câu 2: Do        P  0 4 cos  0 
Lại có: P  sin   cos 2 9 3 2
 1  2 sin  cos  1  sin 2   P  . Chọn A. 5 5 1
Câu 3: P  sin   cos   sin   cos  2  2sin  cos   1 2sin cos 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1  2 7 2 1 sin 2 1 .         . Chọn C. 2 2 3   9
Câu 4: P  sin 2     sin 2  2   sin 2  2sin cos  9 3 Mặt khác
     cos  0 và 2 2 cos   1  sin    cos   2 25 5 4 3 2  4 Suy ra P  2. .  . Chọn A. 5 5 25 1 sin 2  cos2    2 1 cos 2
 sin2 2cos   2sin cos Câu 5: P    sin  cos sin  cos sin  cos
2cos sin  cos   2cos sin  cos  5 5 2 5 Do 0    nên cos  0và 2 2
cos  1 sin    cos   P  . Chọn D. 2 9 3 3 3 3 16
Câu 6: Ta có: sin     2 2    sin 
 cos   1  sin   5 5 25 3 4 Do    
 cos  0  cos  2 5      3 1 Khi đó P sin     
 sin cos  cos sin  sin  cos   6    6 6 2 2 3 3  1 4 3  3  4  .  .  . Chọn D. 2 5 2 5 10 Trang 30 3 144 12 Câu 7: Do
   2 nên sin  0, mặt khác 2 2 sin  1 cos  sin        2 169 13 1  2 5 2. . sin 2 2sin cos 13 13 120 Lại có: P     . Chọn C. 2 2 cos 2 2cos  1  5  119 2  1   13    2  1 2 2  2cos  1     cos   2  3  6  5  1   7 Câu 8: cos 2   P  1 3.   1 4.               .Chọn D. 3 2 5    2 2  6  6 6 1 2sin    sin    3    6 3 9 7 Câu 9: Do
   2  sin  0, lại có 2 2
sin   1  cos   1  2 16 16 7    1 3 1 3 3  7 3 21 Suy ra sin   , khi đó P cos      cos  sin  .  .  .Chọn B. 4   3   2 2 2 4 2 4 8 3 16 9 Câu 10: Do      sin  0 , lại có 2 2
sin   1  cos   1   2 25 25 3 3    tan 1 1  Do đó sin   tan  , P tan         . Chọn A. 5 4  4 1 tan 7    16 9 Câu 11: Do    
 2    sin 2  0 , lại có 2 2
sin 2  1 cos 2  1  4 2 2 25 25 3      2
Suy ra sin 2  , P cos 2   
 cos 2 cos  sin 2 sin    cos2  sin2 5  4  4 4 2 2  4 3  2         . Chọn B. 2 5 5   10  3 1 1 1 Câu 12: P  sin .cos
 sin 2  sin   2sin cos  sin   sin 2cos   1 2 2 2 2 2 3 3 Mặt khác 2   sin 0 sin 1 cos            2 4 1 3   4   39 Do đó P .  2. 1      . Chọn D. 2 5 5    50 Câu 13:  5        cot   2 cot    2 cot            2  tan  2       2 2 2         tan  tan    2 1 Khi đó:   4 P  tan       = -3 . Chọn D.  4    1 2 1 tan tan 4 Trang 31 2sin  cos 2 2sin cos sin  2 cot 30 15 Câu 14: P  sin 2      . Chọn C. 2 2 2 2 2 2 sin   cos  sin   cos  1  cot  1 15 113 2 sin      2 2 sin cos sin  cos   1 2 Câu 15: 2 2 2 2 P  tan  cot      2 2     sin sin cos sin sin cos 2 2 2 2 2  1 1 Mặt khác
     sin  0 , mà 2 2 1  cot    sin   2 2 sin  19 Suy ra 1 sin    P  2 19 . Chọn A. 19   2 0  sin   3    3       2 2 Câu 16: Ta có:   ;2   ;       2  2   4      2  1   cos    2 2   2       Suy ra P  sin  cos  0 , ta có: 2 P  sin cos     1  2sin cos  1 sin 2 2   2 2   2 2 4 3 1 16 Lại có 2
tan    cot    sin    2 3 4 1  cot  25  3  4  1 1 Mà  2  ;2  
 sin  0  sin   P   P    . Chọn C.  2  5 5 5 2 2 sin 2 sin 2 1 2 tan sin   cos  Câu 17: P    tan 2.  . 2 2 cos 4 1 2cos 2 2cos 2 1 tan  2 2 2 cos   sin   2 2 tan   1 10  .  . Chọn C. 2 1  4 1  tan  9 1
Câu 18: Cho góc  thỏa mãn tan  cot  0 và sin  . Tính P  sin 2 5 4 6 4 6 2 6 2 6 A. P  B. P   C. P  D. P   25 25 25 25 1 HD: Do tan 
nên ta n  và cot  cùng dấu cot 1
Mặt khác tan  cot  0  tan  0 , do sin   0  cos  0 5 2 6 4 6 Khi đó 2 cos 1 sin  P sin 2 2sin cos           . Chọn B. 5 25  Câu 19: Ta có
     cos  0 2 Trang 32 Mặt khác         2 2 2 2 2 sin cos 1 1 2 cos
 cos   1  5 cos   4 cos  0 4 3 24 Suy ra cos sin P sin 2 2sin cos          . Chọn C. 5 5 25               Câu 20: P sin   sin   sin cos cos sin   sin cos cos sin                6 6 6 6 6 6         2  3 1   3 1  3 1 3  3     1 2 2  sin cos  sin cos sin  cos  .                2 1 sin   2 2 2 2 4 4 4      5 4 27 1  9  11 1        . Chọn A. 100 4 25   100 Câu 21: Ta có 2 2 2 2
cos 2a  cos a  sin a  2 cos a 1  1  2sin a . Chọn C.  21  21 21 2 Câu 22: cos      cos.cos  sin sin     sin  cos  4  4 4 2 2  3 4  21  2 Lại có : 2 cos 1 sin  1   cos                  . Chọn A. 5 5 4      10 sin  1  3 tan .  3 cos  cos   2 3 2
1  tan  .tan  3 1 Câu 23: P     . Chọn A. 3 2 3 2 3 1 sin  1  tan   2 tan  1  tan   2 tan  3  2. 2 3 cos  cos 
Câu 24: Ta có sin a  b  sin acosb  cos asin b 12 4 Mà 2
cos a   1  cos a   ; 2 sin b  1  cos b  13 5 Suy ra a  b 5 3 12 4 33 sin  .  .   . Chọn C. 13 5 13 5 65
Câu 25: Ta có cos     cos cos   sin sin  12 4 Mà 2
cos   1  cos    ; 2 sin   1  cos   13 5 Suy ra     12 3 5 4 16 cos   .  .   . Chọn B. 13 5 13 5 65 1 1 Câu 26: P
 cosa b a b cosa b a b            cos 2a  cos 2b 2    2 2  1 7 2  1 7 Lại có 2 cos 2a 2cos a 1 2.     1        ; 2 cos 2b  2 cos b 1  2. 1     3    9  4 8 1  7 7 119 Vậy P          . Chọn D. 2 9 8   144 Câu 27: Ta có P    a  b 2 cos 2  2 cos   a  b 1  Trang 33
Lại có cosa  b  cosacosb  sin asinb 2 6 1  2 2
 1sin a. 1sin b  sin . a sinb  7 4 6  P  . Chọn D. 6 18 1 3  tan  tan   Câu 28:     7 4 tan  
 1      . Chọn B. 1 tan tan  1 3 4 1 . 7 4 5  1  2 24 4 Câu 29: 2 2 2   2
sin a  cos a  1  sin a   sin a  1  2sin a  sin a   0  sin a    5    5 25 5 4 2. 1 3 4 2 tan a 24 Suy ra 3
cos a  sin a    tan a   tan 2a     . Chọn D. 2 2 5 5 3 1 tan a  4  7 1    3  tan a  b  tan a  b Câu 30:  a  a b a b     11 tan 2 tan           . Chọn A.
1  tan a  b.tan a  b 27     Câu 31: Do 0     ;          sin  
   0. Chọn C. 2  2       Câu 32: Do 0    cot            0   2 2 2 2   
Mặt khác tan      tan  0 . Chọn C.  3     Câu 33: Ta có tan   tan      cot     2 2      3 Mặt khác      cot  0 . Chọn B. 2       2   Câu 34: Ta có M cos     .tan    sin      cos  .tan  
   sin.tan   2   2  cos  Do
     cos  0  M  0 . Chọn B. 2 2    cos  Câu 35: Ta có M sin     .cot  
   cos.cot     2  sin 3 Mặt khác    
 sin  0  M  0 . Chọn D. 2 Câu 36:    2        2 cos 180 cos cos 180  cos  Do đó 2 2
sin   cos  180   1. Chọn C. 
Câu 37: ta n  có nghĩa khi cos  0     k . Chọn C. 2 Trang 34 k
Câu 38: tan.cot  1  sin.cos  0  sin 2  0  2  k    . Chọn A. 2       cos     0           k 3      
Câu 39: Biểu thức P xác định khi 3 2        k   . Chọn C.     6 sin     0    k      6    6
Câu 40: Ta có sin150  sin30 nên sin 60  sin150 , cos30  cos60
tan45  tan60 và cot60  cot 240
Khẳng định đúng là C. Chọn C.
Câu 41: Do tan   k   tan  tan2017     tan . Chọn C.       Câu 42: A cos   sin     cos         sin  
   sin sin  0. Chọn D.  2   2  Câu 43: S  x x  x  x 2 2 sin .sin cos . cos
 sin x  cos x  1. Chọn D.
Câu 44: P  sin    .cos    sin .cos   sin.cos          Lại có Q sin  .cos  cos.cos               cos.sin       sin cos  2   2   2 
Do đó P  Q  0 . Chọn A. 2 2        3   Câu 45: sin  x  sin    10  x  cos  x  cos     8  x   2      2   2       x x 2    x         x   x  x 2   x  x 2 cos sin cos cos sin cos cos sin   2     2 2
2 sin x  cos x   2 . Chọn B. 2      Câu 46: P   2 2  x   2      x 2 1 tan 1 cot        
  1  cot x  1  cot x  2  2 cot x   2     2   2 2 1  cot x  . Chọn C. 2 sin x 1 1 25 Câu 47: 2 2 tan   1   tan   1  2 2 cos  cos  144  5 Mặt khác
     tan  0  tan   . Chọn C. 2 12 sin  0
Câu 48: Do 180    270   cos  0  Mặt khác 1 1 1 1 2 2 tan   1   cos     cos  2 2 cos  1  tan  5 5 Trang 35 Khi đó 2 3
sin   tan  .cos   cos  sin   . Chọn A. 5 5
Câu 49: Ta có 90    180  cos  0 16 4  cos 4 Mặt khác 2 2 cos   1  sin    cos   cot   25 5 sin 3
Khẳng định đúng là D. Chọn D.
Câu 50: Ta có 0    90  sin  0 1 1 16 4 Mặt khác 2 2 1  cot    sin     sin  . Chọn C. 2 2 sin  1 cot  25 5  4 Câu 51: Do 2   cos 0 cos 1 sin            2 5 sin 3 12 Suy ra tan    P  . Chọn D. cos 4 25 Câu 52: Ta có    1 1 1 sin
    sin    sin  3 3 3  2 2 Mặt khác 2   cos 0 cos 1 sin            2 3  7     cos Khi đó P tan  tan       cot   2  2     . Chọn B. 2 2      sin  4 Câu 53: Do 
   0  sin  0 suy ra 2 sin 1 cos       2 5 sin  4 3 4  3  Do đó tan    , cot   suy ra P  5  3.  6  4.  4 . Chọn A. cos 3 4 3 4   4 Câu 54: Ta có     sin  0 suy ra 2 sin   1  cos   4 2 5 sin 4 1 Do đó tan 
 suy ra P  tan   2 tan  1  tan  2 2 1
 tan 1  . Chọn B. cos 3 3      Câu 55: Ta có tan   
1    k   k   4   4 4         3 Do  2   P cos   sin cos              sin      . Chọn C. 2 6 6      2  Câu 56: Ta có
     cos  0 2 1 9 3 4 Mặt khác 2 cos   
 cos    sin  tan.cos  2 1  tan  25 5 5 Trang 36 16 3 2  sin   cos 25 5 31 Do đó P    . Chọn B. 2 sin  cos  4 9 11  5 25 3sin  2cos 3sin  2cos cos 3tan  2 4 Câu 57: P     . Chọn D. 5cos  7sin 5cos  7sin 5  7 tan 19 cos 3sin  4cos 3sin  4cos sin 3  4cot Câu 58: P     13 . Chọn D 2sin  5cos 2sin  5cos 2  5cot sin
Câu 59: Chia cả tử số và mẫu số cho 2 cos  ta được 2 2 tan   3 tan   4 2.4  3.2  4 9 P    . Chọn A 2 5 tan   6 5.4  6 13
Câu 60: Chia cả tử số và mẫu số cho 2 cos  ta được 1 1 2 2.  3.  4 2 tan   3tan  4 8 4 2 P     . Chọn D. 2 5  tan  1 19 5  4 Câu 61: 4 4 P       2 2     2 2     2 2 2 sin cos sin cos sin cos
 sin   cos   1  2 cos  1 1 2 12 Lại có: 2 cos     P  1  . Chọn D. 2 1  tan  26 26 13 5 25 25 Câu 62: 2 sin  cos   (sin  cos )   1  2sin cos  4 16 16 25 1 16 9 Suy ra P  sin cos   . Chọn B. 2 32 Câu 63: 3 3 P          2 2 sin cos (sin
cos ) sin   sin  cos  cos  
 (sin  cos )(1  sin cos ) 24 49 Lại có: 2
(sin  cos )  1  2sin cos  1   25 25 7 7  12 91 Mặt khác sin cos 0 sin cos P 1             . Chọn A. 5 5 25   125  2         Câu 64: Ta có (sin cos ) 1 2 sin cos  2
 (sin  cos )  1 2sin cos  3 Do đó 2 2 2
(sin  cos )  (sin  cos )  2  (sin   cos )  4 Trang 37  3 Mặt khác 0  sin cos P sin cos          0  P  . Chọn D. 4 2  2         Câu 65: Ta có: (sin cos ) 1 2 sin cos  2
 (sin  cos )  1 2sin cos  Do đó 2 2 2 2
(sin cos) (sin cos)  2  (sin cos)  2m Do đó 2 P |
 sin  cos | 2  m . Chọn D. Câu 66: 2 2 2
P  tan  cot   (tan cot) 2tan .
 cot  42  2. Chọn B. Câu 67: 3 3 3
P  tan   cot   (tan  cot) 3tan .  cot(tan cot) 3
 5  3.5  110 . Chọn B. 2  sin cos  Câu 68: 2 2 2 P tan  cot  (tan cot ) 2 tan cot            2   cos sin    2  2 2  sin  cos     1     2   2   2 sin cos (sin cos)   2 1 1 1 Mặt khác 2 sin cos (sin cos) 1 2sin cos sin cos            2 2 2 4
Suy ra P 16  2 14. Chọn B.  2 2 2          Câu 69: Ta có (tan cot ) tan 2 cot  2 2 2
 (tan  cot )  tan   2  cot   2 2 2 2
(tan cot) (tan cot)  4 P 1 4  P  5. Chọn C.  tan  0 Mặt khác        P  0  P   5 2 cot  0  2 2sin Câu 70: Ta có 2 2
sin   cos   1 và cos   3 2 2  2  2sin  4  8sin  4sin  Suy ra 2   2 sin    sin    1   3    9  sin  1  2 13sin  8sin 5 0        5  sin    13 5
Do sin  0  sin   . Chọn A. 13 x x x x  x    2sin cos  sin sin 2 cos 1     x Câu 71: 2 2 2 2 2 A    tan . Chọn A. x x   2 x x 2 2 cos  cos cos  2 cos  1 2 2   2 2   Trang 38 Câu 72: A    4 4         2 2 sin cos cos sin sin cos cos   sin   1 1
A  sin 2.cos 2  sin 4 . Chọn D 2 4 2         Câu 73: 1 cos cos 2 2 cos cos cos A     cot  . Chọn C. sin 2  sin 
2 sin   cos  sin  sin    a    a  
Câu 74: Ta có: sin a 1 sin a sin 2sin  cos            . Chọn A. 2 2 4 2 4      1 1 3 Câu 75: Ta có: 2 (sin x  cos x) 
 1 sin 2x   sin 2x   . Chọn D. 4 4 4
Câu 76: cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b . Chọn B.
Câu 77: Ta có cos(   )  cos cos   sin sin  12 4 Lại có 2 2
cos   1  sin    ;sin   1  cos   13 5 12 3 5 4 16
Vậy cos(   )   .  .   . Chọn D. 13 5 13 5 65 Câu 78: Ta có 2 2
sin (2018)  cos (2018) 1 Khẳng định D sai. Chọn D. Câu 79: 2 2 M  (sin x  cos ) x (sin x cos ) x 2 2 2 2  x  x x  x  x  x x  x   2 2 sin 2 sin cos cos sin 2 sin cos cos
2 sin x  cos x   2 . Chọn B. Câu 80: sin x sin y sin x cos y  sin y cos x sin(x  y) M     . Chọn C. cos x cos y cos x cos y cos x cos y 1 1
Câu 81: sin x  cos x  sin x  cos x2 4 4 2 2 2 2 2 2
 2sin x cos x  1 (2sin x cos x)  1  sin 2x 2 2 1 3  cos 4x  1  (1  cos 4x)  . Chọn C. 4 4 Câu 82: 4 4 x  x   2 2 x  x  2 2 x  x 2 2 2 sin cos sin cos sin cos
 sin x  cos x  1  2 cos x. Chọn A. 3 Câu 83: 6 6 M  x  x   2 2 x  x 2 2  x x 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin x  cos x 3 2 2 2
 1 3sin x cos x  1 sin 2 . x Chọn D. 4 1 Câu 84: Ta có co 3 s .
x cos 5x  (cos8x  cos 2x). Chọn A. 2       1 cos a 1 cos ( a)        a         2   2  1 sin(a) 1 sin a Câu 85: 2 cos        . Chọn A. 4 2   2 2 2 2 Câu 86: sin( y  x) sin y cos x  cos y sin x sin y cos x cos y sin x M     . sin x  sin y sin x sin y sin x sin y sin x sin y Trang 39 cos x cos y  
 cot x  cot y . Chọn B. sin x sin y
Câu 87: M  cos x  cos 2x  cos 3x  (cos x  cos 3x)  cos 2x  2 cos x cos 2x  cos 2x
 cos 2x(2cos x 1). Chọn D. sin 3x  sin x 2 cos 2x sin x Câu 88: M    2sin x Chọn D. 2 2 cos x 1 cos 2x Câu 89:
1  cos x  cos 2x  cos 3x
1  cos 2x  (cos x  cos 3x) A   2 2 cos x  cos x  1 cos x   2 2 cos x  1 2 2 cos x  2 cos 2 x cos x 2 cos x(cos x  cos 2x) A    2 cos x. Chọn C. cos x  cos 2 x cos x  cos 2 x sin cos  tan  cot Câu 90: cos sin A   cos 2     cos 2 tan  cot sin cos  cos sin 2 2 sin   cos  sin  cos 2 2 
 cos 2  sin   cos   cos 2  0. Chọn A. 2 2 sin   cos  sin  cos 2 Câu 91: 1  sin 4  cos 4 1  cos 4  sin 4
2 sin 2  2 sin 2 cos 2 A    2 1  sin 4  cos 4 1  cos 4  sin 4
2 cos 2  2 sin 2 cos 2
2 sin 2 (sin 2  cos 2 )   tan 2 . Chọn C.
2 cos 2 (cos 2  sin 2 ) 2 4 2 2 2 4 2             Câu 92: sin 2 4 sin 4 sin cos sin 2 4 sin (2 sin cos ) A   2 2 2 2 4  sin 2  4 sin  4  sin 2  4 sin  2 4 2 4
sin 2  4sin   sin 2 4sin    2 2 4  sin  cos   4 2 1 sin   2 2 2 4
 sin  cos   4cos  4 4 4sin  4sin  1 4    tan    Chọn C. 2 4cos   2 1 sin   4 4cos  9 Câu 93: sin 2  sin  2 sin  cos  sin  sin  (2 cos  1) sin  A      tan  . Chọn A. 2 1  cos 2  cos 2 cos   cos cos (2 cos  1) cos 2 1 sin a  cos 2a 2sin a  sin a sin a(2sin a 1) Câu 94: A     tan a  Chọn B. sin 2a  cos a 2sin a cos a  cos a cos a(2sin a 1)       1 cos 2  1 cos  2                     2   2 Câu 95: 2 2 M  cos    cos         4 4      2 2 1         1 
  cos  2  cos  2    
   (sin 2  sin 2)  sin 2. Chọn D. 2   2   2   2  Trang 40       Câu 96: Ta có sin x cos x 2 sin x  ;cos x sin x 2 cos x        .     Chọn C. 4 4          Câu 97: tan( ).sin cos tan( ) cot tan                   Chọn B. 2    2 1 1
Câu 98: sin cos(   )  sin   sin(2   )  sin   sin  2 2 1
 sin(2   )  3sin   sin(2   )  sin   [sin(2   )  sin  ] 2 sin(   ) sin 
 2 cos(   ).sin   sin(   ).cos    2. cos(   ) cos 
Vậy sin.cos(   )  sin   tan(   )  2 tan . Chọn C.    Câu 99: cot cot 2cot          2tan(   )   2    tan   tan  cot   cot   cot   cot   2.  cot   cot   2. 1  tan  . tan  cot  cot   1 2  1 
 cos , cot   1  2  cos .cot   3. Chọn C. cos .cot   1 Câu 100: tan   tan  p tan(a   )   ( hệ thức Vi-et) 1  tan  tan  1  q P Lại có 2 1 . p tan(  )  . q tan (  ) 2 cos (  ) 2 p p 1 . p  2 2 1 . p tan(   )  . q tan (   ) 1 q (1 q) P    1. Chọn C. 2 2 1 tan (   ) p 1 2 (1 q) P  2
Câu 101: Có 1  sin x  1  1 
 1   5  P  1 suy ra M  1, m  5. Chọn A. 3    2  P Câu 102: Ta có 1 sin x     1 1  1 0  P  4.   Chọn C. 3    2   1 3 Câu 103: P  sin x  cos
 cos x  sin sin x   sin x  cos x 3 3 2 2 2  2 2   1 3    1           3   Lại có sin x cos x           .      2 2 sin x  cos x 2  1  P  1 2 2     2 2      Do đó 1
  P1 mà P   P {1;0;1}. Chọn C. 1  cos 2x 1  cos 2x 3 1 Câu 104: Ta có P   2.
  cos 2x  cos 2x  2P  3 2 2 2 2 Trang 41 M  2 Lại có 1
  cos 2x 1  1 2P 3 1 1 P  2   Chọn C. m  1 1  cos 2x Câu 105: Ta có : P  8.
 3cos 2x  4  cos 2x  cos 2x  4  P 2 M  5 Lại có 2 1
  cos2x  1  1  4  P  1  3  P  5   2  M  m  1.  Chọn A. m  3  1
Câu 106: sin x  cos x  sin x  cos x2 4 4 2 2 2 2 2  2sin . x cos x  1  sin 2x 2 1 Suy ra 2
sin 2x  2  2P [0;1]  0  2  2P  1   P  1. Chọn B. 2 Câu 107: 4 4 P  x  x   2 2 x  x  2 2 sin cos sin cos
sin x  cos x   cos 2x [1;1]. Chọn C. 3 3
Câu 108: P   2 x   2 x   2 2 x  x 4 2 2 4 sin cos sin cos sin x  sin . x cos x  cos x 1 1 1 3 4  4P 4 4 2 2 2 2 2
 sin x  cos x  sin 2x  1 sin 2x  sin 2x  1 sin 2x  sin 2x  4 2 4 4 3 4  4P 1 1 Lại có 2 sin 2x [  0;1] nên 0 
 1   P  1  M  1;m  Chọn C. 3 4 4 1  P 1  P Câu 109: | cos 3x | [0,1]  0 
 1  1  P  1. Chọn B. 2 2 1 cos2x    Câu 110: P 4. sin 2x cos2x 2 sin 2x cos2x 2 2 sin 2x             2 4         Lại có sin  2x  1 2 2sin 2x        2  2  P  2  2.     max Chọn D.  4   4  Câu 111: Ta có  ABD   BDC(so le trong)   BDC   3 tan tan ABD  4 Đặt  ABD     B D A    2  cos  B D
A  cos(  2)  cos 2 3 1 16 7 Lại có 2 2 tan   cos   
 cos 2  2cos  1  Chọn B. 2 4 1  tan  25 25 1 1 1 Câu 112: Ta có 2 2 2 cos 2A   2 cos A  1  cos A  cos A  1 4 4 4 64cos A 64 cos A 64 cos A 1 3 1 1 1 2 2  3. cos . A cos . A 1  1    cos 2A    4 4 3 64cos A 64 4 64cos A 4 Lại có 2 2 2cos2B 4sin B  2  sin B 4sinB 2  2  (sinB1)  4 4 1 17 1 17 Suy ra cos 2A   2cos 2B  4sin B     4   0 2   64 cos A 4 4 4 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos A 
; sin B  0  A  60 ; B  90 . Chọn A. 2 Trang 42