-
Thông tin
-
Hỏi đáp
TOP 10 đề thi thử THPT QG môn Toán 2020 -Tập 7 (có lời giải chi tiết)
TOP 10 đề thi thử THPT QG môn Toán 2020 -Tập 7 có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 229 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề:
Đề thi THPTQG môn Toán năm 2020 22 tài liệu
Môn:
Toán 1.8 K tài liệu
Thông tin:
229 trang
9 tháng trước
Tác giả:
TOP 10 đề thi thử THPT QG môn Toán 2020 -Tập 7 (có lời giải chi tiết)
TOP 10 đề thi thử THPT QG môn Toán 2020 -Tập 7 có lời giải chi tiết. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 229 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
71
36 lượt tải
Tải xuống
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2020 22 tài liệu
Môn: Toán 1.8 K tài liệu
Thông tin:
229 trang
9 tháng trước
Tác giả:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 1
ĐỀ 61
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm
( )( )
ln 1
x x x
dx
x
++
A.
( )
2
1
ln
2
x x C++
B.
( )
2
2
1
ln
2
x
x x C
x
+ + + +
C.
( )
2
2
11
ln
22
x
x x C
x
+ + + +
D.
( )
2
lnx x C++
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình
11
22
1
1
x
log x log
x
+
−
là:
A.
( )
2 1;1−
B.
( )
1;1 2+
C.
( )
0; 2 1−
D.
( )
0;1 2+
Câu 3. Giả sử số phức z là một căn bậc hai của 7 + 24i và k là tổng của phần thực và phần ảo của z . Khi
đó
k
bằng:
A. 1 B. 5 C.
1−
D. 7
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m không vượt quá 2020 để phương trình sau có nghiệm thực:
( )
1
3.4 4 2 3 0
xx
m
+
+ − + =
A. 2013 B. 2016 C. 2014 D. 2015
Câu 5. Cho z là số phức thỏa mãn
3 2 1 15z z i− = −
. Tổng phần thực và phần ảo của
z
bằng
A. - 14 B.
2−
C. 4 D. 16
Câu 6. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4yx=+
và đồ thị
hàm số y = 3 x + 2 quay quanh trục Ox bằng
A.
( )
( )( )
2
2
1
3 6 1 2x x x x dx
+ + − −
B
( )
( )
2
2
2
2
1
3 2 4x x dx
+ − +
C.
2
2
1
32x x dx
−+
D.
( )
2
2
2
1
32x x dx
−+
Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách từ điểm
( )
2;3;4M −
đến mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x y z− + + =
bằng:
A. 1 B.
1−
C.
1
3
D. 3
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách từ điểm
( )
0;1; 2M −
đến đường thẳng
11
:
2 2 1
x y z−+
= =
−
bằng
A.
57
3
B.
57
9
C.
65
9
D.
65
9
Câu 9. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy hình vuông cạnh a ,
2SA a=
vuông góc với đáy. Cô sin của góc
giữa hai mặt phẳng ( SCD ) và ( SAB ) bằng:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 2
A.
1
5
B.
2
5
−
C.
2
5
D.
1
5
−
Câu 10. Đạo hàm của hàm số
( )
( )
2
12y x log x x= − −
là:
A.
( )
( )
( )
2
2
21
2log
1
x
xx
xx
−
−−
−
B.
( )
( )
( )
2
2
21
2log
1 ln10
x
xx
xx
−
−−
−
C.
( )
( )
( )
2
2
21
2log
1 ln10
x
xx
xx
−
−−
−
D.
( )
( )
( )
2
2
21
2log
1 ln10
x
xx
xx
−
−−
−
Câu 11. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ − + =
và mặt phẳng
( )
:2 0Q x z−=
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
có phương trình là:
A.
12
2 1 1
x y z+−
==
−
B.
1
1 1 2
x y z+
==
C.
2 1 0x y z+ + + =
D.
2 1 0x y z+ + − =
Câu 12. Số hạng không chứa x trong khai triển
20
2
3
2x
x
−
là:
A.
16 16
20
16 .3C−
B.
16 16
20
16 .3C
C.
4 16 4
20
16 .2 .3C
D.
4 16 4
20
16 .2 .3C−
Câu 13. Cho
1
sin
3
x =
. Giá trị của biểu thức
22
83A tan x cot x=+
bằng
A. 32 B. 33 C.
97
3
D. 25
Câu 14. Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh 2a, mặt phẳng
( )
''AB C
tạo với
mặt phẳng
( )
' ' A B C
một góc
0
60
. Thể tích lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
bằng:
A.
3
3a
B.
3
33a
C.
3
33
8
a
D.
3
3
8
a
Câu 15 Cho hàm số
1
21
x
y
x
+
=
−
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành là:
A.
3 1 0xy− + =
B.
3 1 0xy+ + =
C.
3 1 0xy+ + =
D.
3 1 0xy− + =
Câu 16. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
bằng:
A.
21
6
a
B.
3
3
a
C.
7
4
a
D. a
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
32
1
1 4 1
32
m
y x x x
= + − + +
đồng biến trên
khoảng ( 1;3 ) .
A. m < 6 B. m ≤ 7 C. m ≤ 6 D. m < 7
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 , 1;2;3 . A B C D
Bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:
A.
3
B.
7
2
C.
14
D.
7
2
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 3
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
32
1
3
3
y x x x m= − − +
có hai điểm cực
trị cách đều đường thẳng
3 1 0xy+ + =
.
A. m = 3 B. m = ± 3 C.
3m =−
D. Không có m
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
2
2 3 2 1x x m− − = −
có đúng 4
nghiệm thực phân biệt.
A.
1
5
2
m
B. 0 < m < 4 C. 0 ≤ m ≤ 4 D.
15
22
m
Câu 21. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh 2 ,a tam giác SAB vuông tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy,
2AB AS=
. Tính thể tích khối chóp
. S ABCD
A.
3
4a
B.
3
4
3
a
C.
3
23a
D.
3
2
3
a
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị các hàm số y = x và
6yx=+
bằng
A.
( )
30
06
66x x dx x dx
−
+ − + +
B.
( )
0
6
6x x dx
−
+−
C.
( )
3
2
6x x dx
−
−+
D.
3
2
6x x dx
−
−+
Câu 23 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau không vượt quá 2020?
A. 1008 B. 1020 C. 504 D. 511
Câu 24. Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
5 2 2
x
y log x x= − −
A.
( )
1
;1 1;2
2
B.
1
;
2
+
C.
1
;2
2
D.
( )
0;2
Câu 25. Cho cấp số cộng
( )
n
u
thỏa mãn
29
4; 5.uu==
Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng đã cho.
A. 92 B. 45 C. 29 D. 54
Câu 26. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
2 2 1z i z i− = + +
là đường thẳng
A.
8 12 7 0xy+ + =
B.
8 12 7 0xy− + =
C.
8 4 7 0xy− + =
D.
8 4 7 0xy+ + =
Câu 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz , gọi α là góc giữa đường thẳng
12
:
1 2 1
x y z−−
= =
−
và
mặt phẳng
( )
:2 3 1 0P x y z− + − =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
84
cos
=
B.
3
84
sin
=
C.
3
84
sin
−
=
D.
3
84
cos
−
=
Câu 28. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng
( )
: 2 1P x z−+
và đường thẳng
12
:
2 3 1
x y z
d
−−
==
−
. Phương trình mặt phẳng đi qua
( )
1;2;0A −
song song với đường thẳng d và vuông
góc với
( )
P
là:
A.
12
2 1 1
x y z+−
==
−
B.
2 7 0x y z+ + =
C.
2 4 0x y z− + + =
D.
20x y z− + =
Câu 29. Cho hàm số
( )
42
2 1 .y x m x m= − − +
Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông là:
A. 2 B. 0 C. 3 D. 1
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 4
Câu 30. Đường thẳng
1yx=+
cắt đồ thị hàm số
3
3
x
y
x
+
=
−
tại hai điểm phân biệt A và B. Khoảng cách
AB là:
A.
2
B. 2 C. 1 D. 3
Câu 31: Cho lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh ,a hình chiếu của
'A
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trung điểm của BC, mặt phẳng
( )
'BCC
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
0
60
. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC bằng:
A.
3
4
a
B. a C.
3
4
a
D.
3
2
a
Câu 32: Tìm họ nguyên hàm
( )
2
1
x
x e dx−
A.
( )
2
12
4
x
xe
C
−
+
B.
( )
2
32
4
x
xe
C
−
+
C.
( )
2
32
2
x
xe
C
−
+
D.
( )
2
32
x
x e C−+
Câu 33: Giả sử
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 3 0zz− + =
và
1 2 1 2
22z z z z z i= + +
. Khi
đó
z
bằng:
A.
10
B. 25 C. 10 D. 5
Câu 34: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
1
z
z −
là số thuần ảo
là:
A. Đường tròn tâm
1
;0
2
I
bán kính
1
4
B. Đường tròn tâm
1
;0
2
I
−
bán kính 12 trừ điểm
( )
1;0A
.
C. Đường tròn tâm
1
;0
2
I
bán kính
1
2
.
D. Đường tròn tâm
1
;0
2
I
bán kính
1
2
trừ điểm A ( 1; 0 ) .
Câu 35: Tìm họ nguyên hàm
12I x xdx=−
A.
( ) ( )
53
1 2 1 2
20 16
xx
IC
−−
= − +
B.
( ) ( )
3
3 1 1 2
15
xx
IC
+−
=+
C.
( ) ( )
53
1 2 1 2
10 6
xx
I
−−
=−
D.
( ) ( )
53
5 1 2 3 1 2
88
xx
IC
−−
= − +
Câu 36: Đạo hàm của hàm số
2
4
x
y cos x=
là:
A.
( )
21
2 cos cos sin
x
x x x
+
−
B.
2 1 2
2 cos 4 sin2
xx
xx
+
−
C.
( )
21
2 cos cos .ln2 sin
x
x x x
+
−
D.
( )
2
4 . 2 2x cos x ln sin x−
Câu 37: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 ,a cạnh bên SA = a vuông góc với đáy, M là
trung điểm của CD . Tính tan của góc giữa SM và mặt phẳng ( ABCD ).
A.
1
5
B.
1
3
C.
5
D.
1
2
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 5
Câu 38: Có ba người thợ săn cùng bắn một con nai. Xác suất bắn trúng của mỗi người lân lượt là 0,6; 0,8;
0,9. Tính xác suất để có ít nhất hai người bắn trúng.
A. 0,876 B. 0,444 C. 0,689 D. 0,432
Câu 39: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho
( ) ( ) ( )
2;3 , 2;5 , 1;3ABC−−
. Bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC là:
A.
13
2
B. 13 C.
13
2
D.
13
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình
2 1 2 1
3 7.6 2 0
x x x++
− +
là khoảng
( )
;ab
. Tổng
ab+
bằng:
A.
3
2
6log
B. 1 C.
2
3
6log
D.
1−
Câu 41: Giả sử m là số thực để giá trị lớn nhất của hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
trên đoạn
1;2−
là nhỏ
nhất và
a
m
b
=
với
,ab
là các số nguyên tố cùng nhau và b > 0. Khi đó
ab+
bằng:
A. 47 B. 9 C. – 47 D.
9−
Câu 42: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A ,
00
2 , 120 , 90AB a BAC SBA SCA= = = =
. Biết góc giữa SB và đáy bằng
0
60
. Tính thể tích V của
khối chóp
. . S ABC
A.
3
63a
B.
3
6a
C.
3
2a
D.
3
23a
Câu 43: Cho hình chóp
.S ABCD
có các cạnh bên bằng nhau và bằng
2a
, đáy là hình chữ nhật
ABCD
có
2,AB a AD a==
. Gọi E là điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho
2
5
BE a=
. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD và SE .
A.
2 135
15
a
B.
135
15
a
C.
2 165
15
a
D.
165
15
a
Câu 44: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 6 và các chữ số không
vượt quá 6?
A. 420 B. 342 C. 360 D. 348
Câu 45: Với số phức
12
,zz
thỏa mãn
11
13z i z i− + = + −
và
2
1 2 1
i
z − + =
thì giá trị nhỏ nhất của
12
zz−
là:
A.
6
1
5
−
B.
2
1
5
+
C.
2
1
5
−
D.
6
1
5
+
Câu 46: Cho hình chóp
.S ABC
có độ dài các cạnh
,,SA BC x SB AC y SC AB z= = = = = =
thỏa
mãn
2 2 2
36x y z+ + =
. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
.S ABC
là:
A. 6 B.
26
C. 3 D.
6
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
( ) ( )
10 7 5 2 2 2 2 11 1 . m x x m x− − − + = + − −
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Câu 48: Cho f ( x ) là một hàm số liên tục trên
1
;2
2
−
và thỏa mãn
( ) ( )
2
3
11
2
f x f x
xx
+ − = − +
+−
.
Tính tích phân
( )
1
0
I f x dx=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 6
A.
1
2
2
ln −
B.
1
2
2
ln +
C.
1
2
2
ln−−
D.
1
2
2
ln−+
Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho bốn điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;3 , 2; 1 , 3; 2 ,M 3;4A B C− − −
và điểm
P thay đổi thỏa mãn
. . . 2 0 PA PB PB PC PC PA+ + + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của MP .
A. 2 B. 3 C. 5 D. 1
Câu 50: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0;+∞ ) và thỏa mãn
( ) ( )
( )
'
1
1 , 1
2 2 1
fx
f f x
x
−
= = −
+
với mọi giá
trị nguyên của x . Tính tổng
( ) ( ) ( )
1 2 ... 2020f f f+ + +
A.
2020
2021
B. 2020 C.
2
2020
2021
D.
2
2019
2020
-----------HẾT----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
1-A
2-B
3-B
4-C
5-C
6-A
7-A
8-D
9-C
10-D
11-B
12-B
13-D
14-B
15-C
16-A
17-A
18-D
19-A
20-D
21-D
22-A
23-D
24-A
25-B
26-C
27-B
28-C
29-D
30-A
31-C
32-B
33-D
34-D
35-C
36-C
37-A
38-A
39-C
40-D
41-C
42-D
43-D
44-A
45-A
46-B
47-
48-A
49-B
50-C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (TH) - Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.
Cách giải:
Ta có:
( )( )
2
1
ln ln
x lnx x
x x x x x
dx dx
xx
++
+ + +
=
2
ln ln
ln 1 ln
2
x x x
x x dx xdx x dx
xx
= + + + = + + +
Xét
lnI xdx=
Đặt
1
lnux
du dx
x
dv dx
vx
=
=
=
=
1
ln lnI x x dx x x x C = − = − +
Xét
( )
2
2
ln ln
ln ln
2
xx
J dx xd x C
x
= = = +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 7
Vậy
( )( )
2 2 2 2
12
ln 1
ln ln
ln ln
2 2 2 2
x x x
x x x x
dx x x x C x C x x C
x
++
= + − + + + + = + + +
( )
( )
2
22
11
2 ln ln ln
22
x x x x C x x C= + + + = + +
Chọn A.
Câu 2 (TH) - Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Phương pháp:
Sử dụng so sánh
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
aa
log f x log g x f x g x khi a
Cách giải:
( )
11
22
1
log log 1
1
x
x
x
+
−
ĐK:
0
0
1
1
1
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
( ) ( )
2
1
1 1 1
1
x
x x x x do x
x
+
− +
−
2
2 1 0 1 2 1 2x x x − − − +
Kết hợp x > 1 ta được
1 1 2 x +
Vậy tập nghiệm của bpt là
( )
1;1 2 . +
Chọn B.
Câu 3 (TH) - Cộng, trừ và nhân số phức
Phương pháp:
Đặt
z a bi=+
, tìm
ab+
suy ra kết quả.
Cách giải:
Đặt
, () z a bi a b= +
Ta có:
( )
2
2 2 2
2z a bi a b abi= + = − +
Mà
22
2
2
2
12
7
7 24
144
2 24
7
b
ab
a
zi
ab
a
a
=
−=
= +
=
−=
( )
( )
2
42
2
12
12
16
4
7 144 0
3
9
b
a
b
a
a TM
a
aa
b
a loai
=
=
=
=
− − =
=
=−
7
7
7
k
k
k
=
=
=−
Chọn D.
Câu 4 (TH) - Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Phương pháp:
Đặt t = 2x , đặt điều kiện cho t và đưa phương trình về bậc hai ẩn t .
Tìm điều kiện để phương trình ẩn t có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.
Cách giải:
Đặt
20
x
t =
, phương trình trở thành
( ) ( )
2
3 2 4 3 0 * t m t+ − + =
Phương trình đã cho có nghiệm thực ⇔ (*) có ít nhất một nghiệm dương.
TH1:
( )
2
2
1
' 0 4 9 0 8 7 0
7
m
m m m
m
=
= − − = − + =
=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 8
Với m = 1 thì
( )
2
3 6 3 0 1t t t loai+ + = = −
Với m = 7 thì
( )
2
3 6 3 0 1 t t t TM− + = =
TH2:
7
'0
1
m
m
, khi đó phương trình có nghiệm
2
1,2
4 8 7
3
m m m
t
− − +
=
Phương trình (*) có nghiệm dương
2
2
4 8 7
0 4 8 7 0
3
m m m
m m m
− + − +
− + − +
2
8 7 4m m m − + −
(**)
Nếu m > 7 thì
40m−
nên (**) luôn đúng.
Nếu m < 1 thì
( )
22
4 0 ** 8 7 8 16 7 16m m m m m− − + − +
(vô lí)
Do đó với
7m
thì pt có nghiệm thực.
Mà
, 2020mm
nên
7;8;...;2020m
⇒ có 2014 giá trị.
Chọn C.
Câu 5 (TH) - Cộng, trừ và nhân số phức
Phương pháp:
Đặt
,() z a bi a b= +
, thay vào phương trình đã cho tìm
, . ab
Cách giải:
Đặt
,() z a bi a b= +
ta có
( ) ( )
3 2 1 15 5 1 15
1
3
a bi a bi i a bi i
a
b
+ − − = − + = −
=
=−
13zi = +
Tổng phần thực và phần ảo của
z
là 1 + 3 = 4 .
Chọn C.
Câu 6 (TH) - Ứng dụng của tích phân trong hình học
Phương pháp:
Sử dụng công thức
( ) ( )
22
b
a
V f x g x dx
=−
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
22
1
4 3 2 3 2 0
2
x
x x x x
x
=
+ = + − + =
=
Trong khoảng ( 1;2 ) thì
2
4 3 2xx+ +
nên ta có:
( )
( )
2
2
2
2
1
3 2 4V x x dx
= + − +
( )( ) ( )
( )( )
22
2 2 2
11
3 2 4 3 2 4 3 6 2 1x x x x dx x x x x dx
= + − − + + + = + + − −
Chọn A.
Chú ý: Một số em sẽ chọn nhầm B vì quên nhân thêm π là sai.
Câu 7 (TH) - Phương trình mặt phẳng
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng các
( )
( )
0 0 0
2 2 2
,
ax by cz d
d M P
abc
+ + +
=
++
Cách giải:
Ta có:
( )
2;3;4M −
và
( )
:2 2 3 0P x y z− + + =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 9
( )
( )
( )
2 2 2
2. 2 2.3 4 3
,
2 2 1
d M P
− − + +
=
++
= 1
Chọn A.
Câu 8 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
Sử dụng công thức
( )
0
,
,
MM u
dM
u
=
Cách giải:
Đường thẳng
11
:
2 2 1
x y z−+
= =
−
đi qua điểm
( )
0
1; 1;0M −
và có
( )
2;2; 1 VTCPu
=−
( ) ( )
00
1; 2;2 , 2;5;6MM MM u
= − = −
( )
( )
2
22
2 2 2
2 5 6
65
,
3
2 2 1
dM
− + +
= =
++
Chọn D.
Câu 9 (TH) - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Toán 11)
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng
( ) ( )
P và Q
bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
/ / / /
//
AB SAB
CD SCD SAB SCD Sx AB CD
AB CD
=
Dễ thấy
SA AB SA Sx⊥ ⊥
Lại có
CD AD
CD SA
⊥
⊥
⇒ CD ⊥ SD , mà
//CD Sx SD Sx⊥
Do đó góc giữa ( SAB ) và ( SCD ) bằng góc giữa SA và SD và là góc ASD vì
0
90ASD
Có
2 2 2 2
22
cosASD
5
4
SA SA a
SD
SA AD a a
= = = =
++
Chọn C.
Câu 10 (TH) - Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
Đạo hàm của một tích
( )
' ' 'uv u v uv=+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 10
Sử dụng công thức đạo hàm
( )
'
'
ln
u
loga u
ua
=
Cách giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
' 1 2 log ' 1 2 'log 1 2 log 'y x x x x x x x x x
= − − = − − + − −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
2 2 2
22
2 1 2 1
21
2log 1 2 . 2log 2log
1 ln10
ln10 ln10
xx
x
x x x x x x x
xx
x x x x
−−
−
= − − + − = − − = − −
−
−−
Chọn D.
Câu 11 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
- Chọn một điểm thuộc cả hai mặt phẳng.
- VTPT của giao tuyến
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,
P Q P p
u n u n u n n
⊥ ⊥ =
Cách giải:
Cho
10
0
2 0 1
x y x
z
xy
+ = − =
=
= = −
( ) ( ) ( )
0; 1;0 A P Q −
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1;1; 1 , 2;0; 1 , 1; 1; 2
P Q P Q
n n n n
= − = − = − − −
Giao tuyến d của
( ) ( )
P và Q
có
( )
( )
( )
1;1;2
d
Q
d
d
Q
un
u
un
⊥
=
⊥
Vậy
1
:
1 1 2
x y z
d
+
==
Chọn B.
Câu 12 (TH) - Nhị thức Niu-tơn (Toán 11)
Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát
1
k n k k
kn
T C a b
−
+
=
Cách giải
Số hạng tổng quát
( )
( )
5
40 2 40
20
2 20 20
22
1 20 20 20
3
2 . .2 . .2 . 3 .
k
kk
k
k
k
k k k k k
k
T C x C x C x
x
− − −
−
−−
+
= − = = −
Số hạng không chứa x ứng với
5
40 0 16
2
k
k− = =
Vậy số hạng không chứa x là
( )
16
16 4 16 16
20 20
.2 . 3 16 .3CC−=
.
Chọn B.
Câu 13 (TH) – Giá trị lượng giác của một cung(Toán 10)
Phương pháp:
Tính
2
cos x
và sử dụng các công thức
22
22
11
1 tan , 1 cot
cos sin
xx
xx
= + = +
Cách giải:
Ta có:
22
1 1 8
1 1
3 9 9
sinx cos x sin x= = − = − =
22
22
1 1 1 1
1 tan tan 1 1
8
cos cos 8
9
xx
xx
= + = − = − =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 11
22
22
1 1 1
1 cot cot 1 1 8
1
sin sin
9
xx
xx
= + = = − = − =
22
1
8tan 3cot 8. 3.8 25
8
A x x = + = + =
Chọn D.
Câu 14 (TH) - Hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11)
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
Gọi M là trung điểm B ' C ' ta có
' ' ' A M B C⊥
.
Mà
' ' ' ' 'AB AC A M B C= ⊥
Ta có:
( ) ( )
' ' ' ' ' ' '
''
' ' '
AB C A B C B C
AM B C
A M B C
=
⊥
⊥
Nên góc giữa
( ) ( )
' ' ' ' 'AB C và A B C
bằng góc giữa
' AMvà A M
hay là
góc AMA ' vì
00
' 90 ' 60AMA AMA =
Tam giác
' ' 'A B C
đều cạnh 2a nên
23
' 3
2
a
A M a== =
Tam giác AA ' M vuông tại 'A có
00
' 3, ' 60 ' ' 60 3. 3 3A M a AMA AA A Mtan a a= = = = =
Thể tích
( )
2
3
. ' ' ' ' ' '
23
. ' .3 3 3
4
ABC A B C A B C
a
V S AA a a= = =
Chọn B.
Câu 15 (TH) - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương pháp:
- Tìm giao điểm của đths với trục hoành.
- Phương trình tiếp tuyến
( )( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
Cách giải:
Ta có:
1
01
21
x
x
x
+
= = −
−
⇒ giao điểm của đths với trục hoành là điểm
( )
1;0−
.
( )
( ) ( )
22
1. 1 1.2
3
'
2 1 2 1
y
xx
−−
= = −
−−
( )
( )
( )
2
31
'1
3
2. 1 1
y − = − = −
−−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 12
Phương trình tiếp tuyến:
( )
1
1 0 3 1 0 .
3
y x x y= − + + + + =
Chọn C.
Câu 16 (VD) - Mặt cầu
Phương pháp
Xác định trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Giao hai trục là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD
Từ đó tính bán kính dựa vào định lý Pytago
Cách giải:
Gọi H là trung điểm đoạn AB và E là giao điểm hai đường chéo.
Vì
SAB
đều nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) )
Ta có
( )
EH AB
EH SAB
EH SH
⊥
⊥
⊥
Gọi I là trọng tâm tam giác SAB, qua I kẻ
/ / Ix HE
Qua E kẻ Ey / / SH , và Ey giao với Ix tại K .
Khi đó KS = KA = KB = KC = KD . Hay K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD
Ta có ∆ IKS vuông tại I có
2 2 3 3
.;
3 3 2 3 2 2
a a BC a
IS SH HE= = = = =
Nên
2
2
22
3 21
3 2 6
a a a
KS SI IK
= + = + =
Chọn A.
Câu 17 (VD) - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp
Hàm đa thức y = f ( x ) đồng biến trên ( ;a b ) nếu f ' ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ( a ; b ) (dấu = chỉ xảy ra tại hữu
hạn điểm)
Cách giải:
Ta có:
( )
2
' 2 4y x m x= + − +
Hàm số đồng biến trên ( 1;3 ) ⇔ y ' ≥ 0 với mọi
( )
1;3x
Hay
( )
22
2 4 0,1 3 2 4x m x x x x mx+ − + + +
với mọi
( )
1;3x
2
24xx
m
x
++
với mọi
( )
1;3x
Xét hàm số
( )
2
2 4 4
2
xx
g x x
xx
++
= = + +
trên ( 1;3 )
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 13
Ta có:
( )
( )
( )
2
2 1;3
4
10
2 1;3
x
gx
x
x
=
= − =
= −
Ta có BBT của g ( x ) trên
( )
1;3
Từ BBT suy ra m≤ 6.
Chọn A
Câu 18 (VD) - Mặt cầu
Phương pháp
Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện khi đó R = IA = IB = IC = ID
Cách giải:
Gọi I ( x ; y ; z ) là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện khi đó R = IA = IB = IC = ID Ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
22
22
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
12
13
1 1 2 3
x y z x y z
IA IB
IA IC x y z x y z
IA ID
x y z x y z
− + + = + − +
=
= − + + = + + −
=
− + + = − + − + −
1
2
2 4 3 0
13
2 6 8 0 1 ;1;
22
4 6 13 0
3
2
x
xy
x z y I
yz
z
=
− + − =
− + − = =
+ − =
=
Bán kính hình cầu là:
22
2
1 3 7
1
2 2 2
R IA
= = + + =
Chọn D.
Câu 19 (VD) - Cực trị của hàm số
Phương pháp
- Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B.
- Trung điểm I của đoạn AB thuộc đường thẳng x + 3 y + 1 = 0
Cách giải:
Ta có:
2
5
1
' 2 3 0
3
39
x y m
y x x
x y m
= − = +
= − − =
= = − +
Tọa độ hai điểm cực trị là
( )
5
1; , 3; 9
3
A m B m
− + − +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 14
Trung điểm của đoạn AB là
11
1;
3
Im
−+
Từ yêu cầu đề bài suy ra :
: 3 1 0I d x y + + =
1 11 3 1 0 3mm − + + = =
Chọn A.
Câu 20 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
- Vẽ đồ thị hàm số
2
23y x x= − −
- Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g x=
là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
Cách giải:
Vẽ đồ thị hàm số
2
23y x x= − −
+ Vẽ đồ thị hàm số
2
23y x x= − −
là parabol có đỉnh
( )
1; 4I =−
và đi qua
( ) ( ) ( )
0; 3 , 1;0 , 3;0−−
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox qua Ox , rồi bỏ đi
phần đồ thị phía dưới Ox ta được đồ thị hàm số
2
23y x x= − −
Từ đồ thị hàm số ta có đường thẳng
21ym=−
cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi :
15
0 2 1 4
22
mm −
Chọn D.
Câu 21 (TH) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là
1
.
3
V h S=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 15
Cách giải:
Kẻ SH ⊥ AB trong ( SAB ).
Ta có :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB
⊥
= ⊥
⊥
Lại có
22
2 3AB AS AS a SB AB SA a= = = − =
Xét tam giác vuông SAB ta có
. . 3 3
..
22
SASB a a a
SASB SH AB SH
AB a
= = = =
Thể tích khối chóp
3
2
1 1 3 2 3
. .4
3 3 2 3
ABCD
aa
V SH S a= = =
Chọn D
Câu 22 (VD) - Ứng dụng của tích phân trong hình học
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = g ( x ) , đồ thị hàm số
( )
;y f x vàx a x b= = =
là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx=−
Cách giải:
Xét phương trình
( )
( )
( )
2
2
6 0 6 0
3
x ktm
x x x x x
x tm
=−
= + − − =
=
Phương trình
06 6 x x+ = = −
Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đồ thị hàm số y = x và
6yx=+
là :
( )
03
60
66S x dx x x dx
−
= + + + −
Chọn A
Câu 23 (VD) - Quy tắc đếm (Toán 11)
Phương pháp:
Sử dụng hai qui tắc đếm cơ bản
Cách giải:
Gọi số cần tìm là
0,0 , , , 9, , , ,()abcd a a b c d a b c d N
Theo bài ra ta có
2020abcd
+) TH1 : a = 1
b có 9 cách chọn
c có 8 cách chọn
d có 7 cách chọn
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 16
Nên có 9.8.7 = 504 số
+)TH2 : a = 2 suy ra b = 0 , c = 1 và d có 7 cách chọn
Nên có 7 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả 504 + 7 = 511 số.
Chọn D.
Câu 24 (TH) - Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
Hàm số
( )
( )
fx
y log g x=
xác định khi
( )
( )
01
0
fx
gx
Cách giải:
ĐK :
2
0 1 1
01
2
2
1
2
5 2 2 0
1
2
x
x
x
x
xx
x
− −
TXĐ :
( )
1
;1 1;2
2
D
=
Chọn A
Câu 25 (TH) - Cấp số cộng (Toán 11)
Phương pháp:
Cấp số cộng có số hạng đầu u 1và công sai d thì có tổng n số hạng đầu là :
( )
1
1
2
n
n n d
S u n
−
=+
Số hạng thứ
( )
1
.1
n
nu u n d= + −
Cách giải:
Ta có
1
2
1
9
1
27
4
4
7
5
8 5 1
7
u
u
ud
u
ud
d
=
=
+=
=
+=
=
Khi đó :
( )
10
1
10 10 1 .
27
7
.10 45
72
S
−
= + =
Chọn B
Câu 26 (VD) - Bài toán quỹ tích số phức
Phương pháp:
Gọi
( ; )z x yi x y R= +
. Khi đó
22
;z x yi z x y= − = +
Cách giải:
Gọi
( ; )z x yi x y R= +
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 1
2 2 1
2 2 1 2 1 1
4 2 1 4 1 4 1
4 1 8 4 8 4
8 4 7 0
z i z i
x yi i x yi i
x y i x y i
x y x y
y x y
xy
− = + +
+ − = − + +
+ − = + + −
+ − = + + −
− + = + − +
− + =
Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng: 8 x - 4 y + 7 = 0
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 17
Chọn C
Câu 27 (TH) - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
Cho đường thẳng d có 1 VTCP là
d
u
và mặt phẳng
( )
P
có VTPT là
p
n
Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
( )
P
là α thỏa mãn:
( )
( )
,
,
.
dp
dp
dp
un
sin cos u n
un
==
Cách giải:
Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là
( )
1;2; 1u =−
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
( )
2; 1;3n =−
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng
( )
P
là α
Khi đó:
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2 2
.
2 2 3
3
,
84
.
1 2 1 2 1 3
un
sin cos u n
un
+ − + −
= = = =
+ + − + − +
Chọn B
Câu 28 (VD) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Mặt phẳng ( )P đi qua M song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( )Q thì có 1 VTPT là
;
dQ
n u n
=
Từ đó viết phương trình mặt phẳng
( )
P
Cách giải:
Ta có: 1 VTCP của đường thẳng d là:
( )
2;3; 1u =−
1 VTPT của mặt phẳng
( )
P
là
( )
1;0; 2
P
n =−
Mặt phẳng cần tìm có 1 VTPT là
( )
,,
pp
n u n don u n n
= ⊥ ⊥
Nên
( )
6;3; 3n = − −
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
( ) ( )
6 1 3 2 3 0 2 4 0x y z x y z− + + − − = − + + =
Chọn C
Câu 29 (TH) - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Hàm trùng phương
42
y ax bx c= + +
có ba cực trị tạo thành 1 tam giác vuông khi:
3
0
8
ab
ba
=−
Cách giải:
Đồ thị hàm số
( )
42
21y x m x m= − − +
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông khi:
( )
( )
3
2 1 0
1
2
11
2 1 8
m
m
m
m
m
− −
=
−=
− − = −
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 18
Câu 30 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Từ đó tìm được hoành độ giao điểm, suy ra tọa độ
, AB
- Từ đó tính
( ) ( )
2
B A B A
AB x x y y= − + −
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3
1
3
x
x
x
+
=+
−
ĐK: x ≠ 3
( )( )
( )
2
2
3 1 3
3 2 3
0
0
1
x x x
x x x
xx
x
tm
x
+ = + −
+ = − + +
− =
=
=
Với
( )
0 1 0;1x y A= =
Với
( )
1 2 1;2x y B= =
Khi đó
22
1 1 2AB = + =
Chọn A.
Câu 31 (VD) - Khoảng cách (lớp 11)
Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng
vuông góc với giao tuyến.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách giải:
Gọi ,H K lần lượt là trung điểm của BC và B ' C '.
Khi đó ta có:
( )
'
'
BC AH
BC AHKA
BC A H
BC HK
⊥
⊥
⊥
⊥
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
''
''
BCC B ABC BC
BCC B HK BC
ABC AH BC
=
⊥
⊥
( )
( )
( )
' '; ; . BCC B ABC AH HK =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 19
Mà
0
' 90AHK AHA =
nên
0
120 . AHK=
0
' 60A AH =
(hai góc trong cùng phía bù nhau).
Trong ( AHKA )' kẻ
( ')'HI AA I AA⊥
ta có:
( )
' . BC AHKA BC HI⊥ ⊥
⇒ HI là đoạn vuông góc chung của AA ' và BC .
Suy ra ( AA '; BC ) = HI .
Tam giác ABC đều cạnh a nên
3
.
2
a
AH =
Xét tam giác vuông AHI có:
0
3 3 3
. 60 .
2 2 4
aa
HI AH sin= = =
.
Vậy
( )
3
';
4
a
d AA BC =
Chọn C.
Câu 32 (VD) – Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để làm bài.
Cách giải:
Ta có:
( )
2
1
x
I x e dx=−
Đặt
2
2
1
1
2
x
x
du dx
ux
ve
dv e dx
=−
=−
=
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
22
1 1 3 2
11
2 2 2 4 4
x x x
xx
x e x e x e
I e dx e C C
− − −
= + = + + = +
Chọn B.
Câu 33 (VD) - Phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp:
Áp dụng định lý Vi-et:
12
12
b
zz
a
c
zz
a
+ = −
=
Cho số phức
, bi()z a bi a b z a= + = −
Modun của số phức
22
:z x yi z x y= + = +
Cách giải:
Ta có:
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 3 0zz− + =
⇒ Áp dụng định lý Vi-et ta có:
12
12
2
3
zz
zz
+=
=
( )
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
2 2 2
2.2 3 4 3
43
4 3 5
z z z z z i z z z z i
ii
zi
z
= + + = + +
= + = +
= −
= + − =
Chọn D.
Câu 34 (VD) - Bài toán quỹ tích số phức
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 20
Phương pháp:
Cho số phức
( )
, M ,()z x yi x y x y= +
là điểm biểu diễn số phức .z
Cách giải:
Gọi số phức
,( .) z x yi x y= +
( )
1 1 1
z x yi x yi
z x yi x yi
++
= =
− + − − +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2
1
1
11
x yi x yi
x x y xy xy y i
x yi x y
+ − −
− + + − + −
=
− − − +
( ) ( )
22
22
22
11
x x y yi
x y x y
−+
=−
− + − +
+ . Theo đề bài ta có:
1
z
z −
là số thuần ảo
( )
22
22
2
2
1 1 1
2 . 0
2 4 4
0
10
10
0
x x y
x x y
x
xy
y
− + + − =
− + =
−
− +
2
2
11
24
1
0
xy
x
y
− + =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầy bài toán là đường tròn tâm
1
;0
2
I
bán kính
1
2
trừ điểm
( )
1;0A
.
Chọn D.
Câu 35 (VD) – Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến để làm bài.
Cách giải:
Ta có:
1 2 .I x xdx= −
Đặt
12tx=−
2
1 2 2 2 t x tdt dx dx tdt = − = − = −
( )
( ) ( )
2
2 5 3
2 4 2
53
53
1
2
1 1 1
.
2 2 2 5 3
1 2 1 2
10 6 10 6
t
x
t t t
I t dt t t dt C
xx
tt
CC
−
=
−
= − = − = − +
−−
= − + = − +
Chọn C.
Câu 36 (VD) – Hàm số mũ
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ln
. ' ' '
xx
a a a
u x v x u x v x u x v x
=
=+
Cách giải:
Ta có:
2
4
x
y cos x=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 21
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 1 2 2 1
21
' 4 cos ' 4 cos .ln4 2.4 cos .sin
2 .cos .ln 2 2.2 sin .cos
2.2 .cos .ln 2 2.2 sin .cos
2 cos .ln2 2 sin .cos
2 cos cos ln2 sin
x x x
xx
xx
xx
x
y x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
++
+
= = −
=−
=−
=−
=−
Chọn C.
Câu 37 (TH) - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (lớp 11)
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
( )
là góc giữa đường thẳng d và d ' với d ' là hình chiếu vuông
góc của d trên ( α ).
Cách giải:
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AM
⇒ AM là hình chiếu của SM trên ( ABCD ).
Ta có:
( )
2
2 2 2
25AM AD DM a a a= + = + =
1
55
SA a
tan SMA
AM
a
= = =
Chọn A.
Câu 38 (VD) – Xác suất (lớp 11)
Phương pháp:
Cho hai biến cố ,A B độc lập. Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
..P AB P A P B=
Cách giải:
Giả sử xác suất bắn trúng của người thứ nhất là
( )
1
0,6.PA =
⇒ Xác suất bắn không trúng của người thứ nhất là:
( )
1
1 0,6 0,4.PA = − =
Giả sử xác suất bắn trúng của người thứ hai là
( )
2
0,8PA =
.
⇒ Xác suất bắn không trúng của người thứ hai là:
( )
2
1 0,8 0,2.PA = − =
Giả sử xác suất bắn trúng của người thứ ba là
( )
3
0,9.PA =
⇒ Xác suất bắn không trúng của người thứ ba là:
( )
3
1 0,9 0,1.PA = − =
Gọi biến cố :A ‘‘Có ít nhất hai người bắn trúng đích’’.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
. . . . . . . .P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A = + + +
= 0,6.0,8.0,9 + 0,4.0,8.0,9 + 0,6.0,2.0,9 + 0,6.0,8.0,1
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 22
= 0,876.
Chọn A.
Câu 39 (VD) - Ôn tập chương III (Hình học) (Lớp 10)
Phương pháp:
Chứng minh tam giác ABC vuông tại .A Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là
2
BC
R =
Cách giải:
Ta có:
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
0;2 4
3;0 9
3; 2 13
AB AB
AC AC BC AB AC
BC BC
= =
= = + +
= − =
ABC
vuông tại A⇒ bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là
13
22
BC
R ==
Chọn C.
Câu 40 (VD) - Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Phương pháp:
Giải bất phương trình mũ
1
01
xb
a
xb
aa
a
xb
Cách giải:
Ta có:
( )
2 1 2 1
2
2
3 7.6 2 0
33
3.3 7.3 .2 2.2 0 3. 7. 2 0
22
x x x
xx
x x x x
++
− +
− + − +
Đặt
( )
3
0
2
x
tt
=
( ) ( )( )
2
33
22
3 7 2 0 3 1 2 0
1 1 3 1
2 2 log log 2
3 3 2 3
x
t t t t
tx
− + − −
3 3 3 3
2 2 2 2
log 3 log 2 log 3,log 2xx
− −
3
2
3 3 3
3
2 2 2
2
log 3
2
log 3 log 2 log 1
log 2
3
a
ab
b
=−
+ = − + = = −
=
Chọn D.
Câu 41 (VD) - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp:
- Lập BBT của hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
trên [ - 1;2 ] .
- Chia các TH, xác định GTLN của hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
, từ đó xác định
,ab
và kết luận.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 23
Xét hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
ta có:
( )
3
' 4 3 0 1;2
4
f x x x= − = = −
BBT:
TH1:
31 31
40
8 32
mm+ −
Khi đó hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
đạt GTLN bằng
10 4m+
.
Với
31
32
m −
thì
49
10 4
8
m+
10 4m+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
49
8
khi
31
32
m =−
Khi đó
31, 32 1a b a b= − = + =
(Không có đáp án).
TH2:
31 7 31
4 0 7 4
8 4 32
m m m
−
+ + −
Khi đó GTLN của hàm số
2
2 3 4 5y x x m= − + +
thuộc
31
10 4 ; 4
8
mm
+ − −
+ Nếu
31 111
10 4 4
8 64
m m m+ − − −
max 10 4ym = +
đạt GTNN
111
64
m = −
111, 64 47a b a b = − = + = −
Chọn C.
Câu 42 (VDC) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
- Gọi M là trung điểm của SA, chứng minh
= MA MB MC=
, từ đó xác định hình chiếu của M trên
( )
ABC
- Xác định hình chiếu của S lên
( )
ABC
- Xác định góc giữa SB và
( )
ABC
bằng góc giữa SB và hình chiếu của SB lên
( )
ABC
- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác, tỉ số lượng giác của góc nhọn tính SH .
- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC BAC
=
.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
.
1
3
day h
VS=
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 24
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA,BC .
Ta có:
, SAB SAC
lần lượt vuông tại
,BC
nên
1
2
BM CM SA MS MA= = = =
⇒ Chóp M.ABC có
MA MB MC==
nên hình chiếu của M lên
( )
ABC
trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Dựng hình bình hành ABIC ta có:
2 , 2IB AC a IC AB a= = = =
Tam giác ABC cân tại A nên
AN BC⊥
(Trung tuyến đồng thời là đường cao) và
0
60BAN=
(Trung
tuyến đồng thời là đường phân giác).
Xét tam giác vuông ABN có
0
.cos60
22
AN AB a
AI AN a
==
==
Do đó
2IA IB IC a= = =
nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC .
⇒ MI ⊥ ( ABC ) .
Trong ( AMI ) lẻ
(\ \ )SH MI H AI
ta có SH ⊥ ( ABC ) .
⇒ HB là hình chiếu của SB lên ( ABC ) .
( )
( )
( )
0
; ; 60 . SB ABC SB HB SBH = = =
Xét tam giác SAH có: M là trung điểm của SA,
/ / SH MI
nên I là trung điểm của AH (Định lí đường
trung bình).
2 4 . AH AI a = =
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABH ta có:
( ) ( )
2 2 2 0
22
2
22
2AB.AH.cos60
1
2 4 2.2 .4 .
2
12
23
BH AB AH
BH a a a a
BH a
BH a
= + −
= + −
=
=
Xét tam giác vuông SBH có:
0
. 60 6 . SH BH tan a==
02
11
. . . .2 .2 . 120 3.
22
ABC
S AB AC sin BAC a a sin a
= = =
Vậy
23
.
11
. 3 .6 . 3 2 3 .
3
S ABC ABC
V SH S a a a
= = =
Chọn D.
Câu 43 (VD) - Khoảng cách (Toán 11)
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 25
Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng chứa
đường thẳng kia và song song với đường thẳng này.
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.
Cách giải:
Ta có
/ / AD BC
nên
( )
// SEAD SBC SE
( ) ( )
( )
( )
( )
; ; ;d AD SE d AD SBC d A SBC = =
.
Gọi
O AC BD=
ta có:
( )
. SO ABCD⊥
( )
( )
( )
( )
( )
;
2
;
d A SBC
AC
AO SBC C
OC
d O SBC
= = =
( )
( )
( )
( )
; 2 ; . d A SBC d O SBC=
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
( )
BC OM
BC SOM
BC SO
⊥
⊥
⊥
Trong ( SOM ) kẻ OH ⊥ SM ( H ∈ SM ) ta có:
( )
OH SM
OH SBC
OH BC
⊥
⊥
⊥
⇒ OH ⊥ ( SBC ) .
( )
( )
; . d O SBC OH=
Vì OM là đường trung bình của tam giác ABC nên
1
.
2
OM AB a==
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SBM có:
2
2 2 2
15
4
42
aa
SM SB BM a= − = − =
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOM có:
22
11
4
a
SO SM OM= − =
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có:
11
.
165
4
.
30
15
2
a
a
a
a
SO OM
OH
SM
= = =
Vậy
( )
165
;2
15
a
d AD SE OH==
.
Chọn D.
Câu 44 (VD) - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (Toán 11)
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 26
Phương pháp:
Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và cho 3.
Cách giải:
Đặt A = { 0;1;2;3;4;5;6 } .
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là
0, , , , , ( .) X abcde a a b c d e A=
Vì
6X
nên
2X
và
3X
TH1: d = 0 . Khi đó
3 . a b c d+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , 3;6;1;2 ; 3;6;1;5 ; 3;6;4;2 ; 3;6;4;5 ; 1;2;4;5 . a b c d
⇒ Có 5.4! = 120 số chia hết cho 6.
TH2: e = 2 ⇒ a + b + c + d chia 3 dư 1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; ; 0;3;6;1 ; 0;3;6;4 ; 0;1;4;5 ; 1;3;4;5 ; 1;4;5;6 . a b c d
⇒ Có 3 ( 4! - 3! ) + 2.4! = 102 số.
TH3: e = 4 ⇒ a + b + c + d chia 3 dư 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; ; 0;3;6;2 ; 0;3;6;5 ; 0;1;2;5 ; 3;1;2;5 ; 6;1;2;5a b c d
.
⇒ Có 3 ( 4! - 3! ) + 2.4! = 102 số.
TH4: e = 6 ⇒ a + b + c + d chia 3.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , 0;3;1;2 ; 0;3;1;5 ; 0;3;4;2 ; 0;3;4;5 ; 1;2;4;5 . a b c d
⇒ Có 4 ( 4! - 3! ) + 4! = 96 số.
Vậy có tất cả 120 + 102 + 102 + 96 = 420 số.
Chọn A.
Câu 45 (VD) - Bài toán quỹ tích số phức
Phương pháp:
Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z 1 , z 2 sau đó tìm GTNN của
12
zz−
.
Cách giải:
Gọi
1 1 1
z a bi=+
ta có:
1 1 1 1
13a bi i a bi i+ − + = + + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
11
11
1 1 3 1
2 1 2 1 6 9 2 1
8 4 8 0
2 2 0
a b a b
a a b b a a b b
ab
ab
− + + = + + −
− + + + + = + + + − +
− + =
− + =
⇒ Tập hợp các điểm
1
z
là đường thẳng
( )
2 2 0 x y d−+=
2
z
2thỏa mãn
2
1 2 1zi− + =
nên tập hợp các điểm
2
z
là đường tròn
( )
C
tâm
( )
1; 2I −
, bán kính R = 1 .
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 27
Gọi
,AB
lần lượt các các điểm biểu diễn
12
,zz
, khi đó
12
ABz z OA OB− = − =
với
( ) ( )
, . A d B C
Ta có
( )
( )
( )
2
2
2.1 2 2
2
6
;
5
1
d I d R
− − +
=
+
=
−
, do đó đường thẳng d không cắt
( )
C
Ta có:
( )
6
; 1.
5
min
AB d I d R= − = −
Chọn A.
Câu 46 (VDC) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều:
( )( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
62
V a b c a b c a b c= − + + − + + +
Cách giải:
Ta có:
( )( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
1
62
S ABC
V x y z x y z x y z= − + + − + + −
( )( )( )
2 2 2
1
36 2 36 2 36 2
62
x y z= − − −
Áp dụng BĐT Cô si ta có
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
36 2 36 2 36 2
36 2 36 2 36 2
3
x y x
x y z
− + − + −
− − −
( )
3
2 2 2
3
36.3 2
36.3 2.36
1728
33
1
. 1728 2 6
62
x y z
V
− + +
−
= = =
=
Dấu “=” xảy ra khi
23x y z= = =
Vậy
26
max
V =
Chọn B.
Câu 47:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
( ) ( )
10 7 5 2 2 2 2 11 1 . m x x m x− − − + = + − −
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Câu 47 (VDC)
Cách giải:
Chọn A.
Câu 48 (VD) - Tích phân
Phương pháp:
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế, sử dụng phương pháp đổi biến.
Cách giải:
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:
( ) ( )
1 1 1
2
0 0 0
3
11
2
f x dx f x dx dx
xx
+ − = − +
+−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 28
Ta có
1
2
0
3
1
2
dx
xx
−+
+−
( )( )
1
1
0
0
|3
12
dx
x
xx
= − −
+−
( )
( )( )
1
0
1
0
12
1
12
11
1
21
xx
dx
xx
dx
xx
+ − −
= − −
+−
= − −
−+
( )
( )
1
0
1 ln 2 ln 1 |
1 ln 2 ln2
1 2ln 2
xx= − − − − +
= − − − −
= − +
( ) ( )
11
00
1 1 2ln2f x dx f x dx + − = − +
Đặt
( ) ( )
11
12
00
,1I f x dx I f x dx= = −
Đặt
1tx=−
ta có
. dt dx dx dt= − = −
Đổi cận:
01
10
xt
xt
= =
= =
( ) ( )
11
21
00
1 2 1
1
1 2ln2 ln2
2
I f t dt f x dx I
I I I
= − = =
+ = − + = − +
Vậy
( )
1
0
1
ln2
2
f x dx = − +
.
Chọn A.
Câu 49 (VD) - Khoảng cách (Toán 11)
Phương pháp:
- Gọi
( )
,P x y
. Tính
. . . . PAPB PB PC PC PA++
- Tìm tập hợp các điểm P , từ đó tìm GTNN của MP .
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 29
Gọi
( )
,P x y
Ta có
( ) ( ) ( )
1 ;3 ; 2 ; 1 ; 3 ; 2PA x y PB x y PC x y= − − − − − − − − −
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
22
22
22
2 2 2 2
. 1 2 3 1 3 2 1
. 2 3 1 2 3 4
. 3 1 2 3 2 9
. . . 2 0
3 3 12 0 4
PA PB x x y y x y x y
PB PC x x y y x y x y
PC PA x x y y x y x y
PA PB PB PC PC PA
x y x y
= − − + − − − = + − − −
= − − − + − − − − = + + + −
= − − − + − − − = + + − −
+ + + =
+ − = + =
⇒ Tập hợp các điểm P là đường tròn tâm
( )
0;0O
bán kính
2R =
.
Vậy
22
min
3 4 2 3MP OM R= − = + − =
Chọn B.
Câu 50 (VDC) - Nguyên hàm
Phương pháp:
- Biến đổi điều kiện bài cho tìm f ( x ) .
- Tính các giá trị f ( 1 ) , f ( 2 ) ,..., f ( 2020 ) và tính tổng.
Cách giải:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
' ' '
1 1 1
2 1 2 1 2 1
f x f x f x
f x f x f x
x x x
− − −
= − − = − =
+ + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
''
2 1 2 1
1
1
f x f x
x dx x dx
fx
fx
−−
= + = +
−
−
( )
( )
( )
2
2
1
1
11
1 1 1 0
2 1 1
x x C
fx
f C C
f
= + +
−
= = + + =
−
( )
( )
( )
2
2
1 1 1 1 1
1
1 1 1
x x f x
f x x x x x x x
= + − = = = −
− + + +
( )
( )
1
1 1 1
2
11
12
23
f
f
− = −
− = −
….
( )
( ) ( ) ( )
11
1 2020
2020 2021
1 1 1 1 1
1 1 1 2 ... 1 2020 1 ...
2 0 3 2020 2021
f
f f f
− = −
− + − + + − = − + − + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2020 1 2 ... 2020 1
2021
2020
2020 1 2 ... 2020
2021
f f f
f f f
− + + + = −
− + + + =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 30
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2020
1 2 ... 2020
2021
2020
1 2 ... 2020 2020
2021
2020
1 2 ... 2020
2021
f f f
f f f
f f f
+ + + =
+ + + = −
+ + + =
Chọn C.
ĐỀ 62
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( )
:2 1 0.P x y z+ − + =
Điểm nào sau đây không thuộc
mặt phẳng (P) ?
A.
( )
0; 2; 1 .−−
B.
( )
2;1; 1 .−
C.
( )
1;1;4 .
D.
( )
2; 1; 4 .− − −
Câu 2. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên có bảng biến thiên sau:
x
- -1 2 +
f’(x)
+ 0 - 0 +
f(x)
+
10
3
22
3
−
-
Phương trình
( )
8fx=−
có số nghiệm thực là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người vào một bàn tròn?
A. 6!. B. 5!. C. 2.5!. D. 2.4!.
Câu 4. Cho các khẳng định sau với
0 1; , 0.a b c
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 31
( )
( )
( )
( )
2
22
1.log log log .
2.log 2log .
3.log log 2 .
a a a
aa
aa
bc b c
bb
b c bc
=+
=
+
Số khẳng định sai là
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
ln .dx x C
x
=+
B.
( )
11
ln , 0 .dx ax b C a
ax b a
= + +
+
C.
1
ln .
1
dx x C
x
=+
+
D.
( )
1
ln 1 .
1
dx x C
x
= − +
−
Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
1;2; 4 .M −
Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng
A.
6.
B.
5.
C. 3. D.
2 5.
Câu 7. Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có M là điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho
5.
ABCD ABM
SS=
Gọi O' là điểm bất kì nằm trong (A'B'C'D'). Tỉ số thể tích hình chóp O'.ABM và hình lăng trụ
ABCD.AB'C'D' bằng
A.
1
.
15
B.
1
.
5
C.
3
.
5
D.
1
.
3
Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số
( )
2
22
1
x
y
x
+
=
+
là
A.
( )
2
ln 1 .x +
B.
( )
2
ln 1 .x+
C.
( )
2
ln 2 .xx+
D.
( )
22
ln 2 .xx+
Câu 9. Cho số phức
2 5 .zi=−
Khi đó mô đun của
1
z
−
là
A.
13
.
13
B.
29
.
29
C.
5.
D.
17
.
17
Câu 10. Cho hình trụ có thể tích bằng 16a3, đường kính đáy bằng 4a. Chiều cao của hình trụ bằng
A. 2a. B. 4a. C. 6a. D. 8a.
Câu 11. Giá trị của
( )
34
22
2
lim
21
n n n
nn
+−
+
bằng
A. -1. B. +. C.
1
.
2
−
D. 0.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 32
Câu 12. Hàm số
32
5y x x x= − − −
đạt cực đại tại
A.
1
.
3
x =−
B.
2.x =
C.
3.x =
D.
4.x =
Câu 13. Nghiệm của phương trình
log2
10 3 5x=+
là
A.
1
.
4
−
B.
2.
C.
1.−
D.
1
.
2
−
Câu 14. Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 6 4 5 0.S x y z x y z+ + − − + + =
Bán kính của mặt cầu (S) là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 6.
Câu 15. Cho hình nón có diện tích xung quanh là
2
10 ,
xq
S cm
=
bán kính đáy
3.R cm=
Khi đó đường
sinh của hình nón là
A.
10
.
3
l cm=
B.
4.l cm=
C.
6.l cm=
D.
7.l cm=
Câu 16. Cho
3
5
3 2 2
4
log 2;log 5; .
aa
ab c
b c A
a b c
= = =
Giá trị biểu thức
log
A
a
bằng
A.
13
.
2
−
B.
2
.
13
−
C.
40
.
3
D.
3
.
40
Câu 17. Cho
z a bi=+
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần thực là a và phần ảo là bi. B. Điểm biểu diễn z là
( )
;.ab
C.
2 2 2
2.z a b abi= + +
D.
22
.z a b=+
Câu 18. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2020
2020
x
y
x
+
=
−
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có
14, 6.AD BC==
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD
và
8.MN =
Gọi là góc giữa hai đường thẳng BC và MN. Khi đó, tan bằng
A.
22
.
3
B.
3.
C.
1
.
2
D.
2
.
4
Câu 20. Cho hàm số
2
.
1
x
y
x
−
=
+
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên
( ) ( )
; 1 1; .− − − +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 33
B. Hàm số nghịch biến trên
\ 1 .
C. Hàm số nghịch biến trên
.
D. Hàm số nghịch biến trên
( ) ( )
; 1 , 1; .− − − +
Câu 21. Số giao điểm của đồ thị hàm số
3
33y x x= − +
và đường thẳng
yx=
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình
1
3
2
log
51
x
x
−
là
A.
( )
2; .+
B.
( )
;0 .−
C.
( )
0;2 .
D.
( )
0; .+
Câu 23. Cho hàm số
( )
32
y f x ax bx cx d= = + + +
có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
A. Phương trình
( )
0fx=
có 3 nghiệm phân biệt.
B. Đồ thị hàm số luôn đồng biến trong khoảng
( )
1; .− +
C. Hàm số có điểm cực đại nhỏ hơn điểm cực tiểu.
D. Hàm số có hệ số
0.a
Câu 24. Tập xác định của hàm số
( )
2
21
log 3 2
x
y x x
−
= − +
là
A.
( )
1; .+
B.
( )
2; .+
C.
( )
1
;1 2; .
2
+
D.
1
;1 .
2
Câu 25. Cho
( )
1
0
2 3 4.I f x dx= + =
Khi đó giá trị của
( )
5
3
f x dx
bằng
A. 1. B. 2. C. 8. D. 11.
Câu 26. Hàm số
3
3 4 2y x x= + −
có giá trị nhỏ nhất trên
1;3
bằng
A. 2. B. 4. C. 5. D. 30.
Câu 27. Tọa độ hình chiếu vuông góc của
( )
6;0;0M
trên đường thẳng
12
:
1 2 2
x y z−−
= =
−
là
A.
( )
2;2;1 .−
B.
( )
1; 2;0 .−
C.
( )
4;0; 1 .−
D.
( )
2;2;0 .
Câu 28. Cho số phức
.z a bi=+
Khi đó số
zz−
bằng
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 34
A.
( )
22
2.ab+
B.
2.b
C.
2
4.b
D.
2.b
Câu 29. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng 6a và
đường chéo 10a. Thể tích khối lăng trụ này là
A. 64a3. B. 96a3. C. 192a3. D. 200a3.
Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;2 , 1;3;4 , 4; 1;3 .A B C−−
Điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành. Khi đó, tọa độ điểm D là
A.
( )
8; 3;1 .−
B.
( )
1; 2;4 .−
C.
( )
1;0;1 .
D.
( )
2;4; 1 .−
Câu 31. Gieo 2 đồng xu A và B một cách độc lập với nhau. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế
tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Xác suất để khi
gieo hai đồng xu hai lần thì cả hai đồng xu đều ngửa là
A.
1
16
B.
1
64
C.
1
32
D.
1
4
Câu 32. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có
, 3.AB a AD a==
Khoảng cách giữa hai đường
thẳng DD' và AC' bằng
A.
3
.
4
a
B.
3.a
C.
3
.
2
a
D.
2
.
2
a
Câu 33. Cho hàm số
32
2
2 2.
3
y x mx m= − − +
Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất
trên
1;3
bằng 6?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 34. Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 20 cm và cắt quả bóng bằng mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16(cm2). Thể tích của quả
bóng bằng bao nhiêu? (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân)
A. 0,15 (lít). B. 0,38 (lít). C. 0,5 (lít). D. 1 (lít).
Câu 35. Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức
( )
1 3 1 3i
= + − −
biết số phức z thỏa mãn
12z −
là
A. Hình tròn
( )
( )
2
2
3 3 16.xy− + −
B. Đường tròn
( )
( )
2
2
3 3 16.xy− + − =
C. Hình tròn
( )
( )
2
2
3 3 4xy− + −
D. Đường tròn
( )
( )
2
2
3 3 4.xy− + − =
Câu 36. Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt
xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ. Gọi (N1) là hình nón có
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 35
đỉnh A, bán kính đáy HM; (N2) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy OD. Tỉ số thể tích của khối nón (N1)
và khối nón (N2) là
A.
1
2
B.
1
8
C.
2
4
D.
2
8
Câu 37. Cho phương trình đường thẳng
( )
23
:
4 1 1
x y z
d
−−
==
và đường thẳng
( )
: 1 1d x y z
+ = = +
. Mặt
cầu có bán kính lớn nhất thỏa mãn tâm I nằm trên (d’), đi qua
( )
3;2;2A
và tiếp xúc với đường thẳng d có
phương trình
A.
( ) ( )
22
2
1 1 9.x y z− + + − =
B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 3 1.x y z− + − + − =
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 1 9.x y z− + − + − =
D.
( ) ( )
22
2
2 2 9.x y z+ + − + =
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số
32
3 4 2y x mx mx m= − + + −
cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 39. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm 2016 dân số Việt Nam ước tính khoảng 94444200
người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,07% . Cho biết sự tăng dân số được
tính theo công thức
.
Nr
S Ae=
(trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là
tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì năm bao nhiêu dân số Việt Nam ở mức
120 triệu người?
A. 2037. B. 2040. C. 2038. D. 2039.
Câu 40. Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
2
log , 0, 4.y x y x= = =
Đường thẳng
2x =
chia
hình phẳng đó thành 2 hình có diện tích là
12
.SS
Tỷ lệ thể tích
1
2
2S
S
−
là
A. 2. B.
7
.
4
C. 3. D.
1
.
4
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn
1.z =
Tổng giá trị lớn nhất
max
M
và giá trị nhỏ nhất
min
M
của biểu
thức
23
11M z z z= + + + +
bằng
A. 6. B. 9. C. 3. D. 10.
Câu 42. Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
( )
( )
2
2y g x f x x= = −
có bao nhiêu
điểm cực đại?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 36
Câu 43. Số giá trị nguyên không lớn hơn 10 của m để bất phương trình
( ) ( ) ( )
2
2
11
22
1
1 log 2 4 5 log 4 4 0
2
m x m m
x
− − − − + −
−
có nghiệm trên
5
,4 .
2
A. 14. B. 13. C. 15. D. 12.
Câu 44. Cho hàm số
( )
3
32y x x C= − +
và đường thẳng
( )
: 2 .d y m x=+
Tích các giá trị của m để diện
tích hai hình phẳng
12
SS=
(như hình vẽ)
A.
1
.
4
−
B. 1
C.
3
.
2
D. 9.
Câu 45. Cho hàm số
( )
( )
3
1
4 8 .
x
f x t t dt=−
Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
số
( )
fx
trên đoạn [2;5]. Khi đó,
Mm+
bằng
A. 8. B. 12. C. 7. D. 9.
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3
32y x mx= − +
cắt đường tròn tâm
( )
1;1I
, bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác IAB bằng
1
.
2
.
A.
23
.
2
m
=
B.
13
.
2
m
=
C.
25
.
2
m
=
D.
23
.
3
m
=
Câu 47. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có
,BB a
=
góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°,
tam giác ABC vuông tại C và góc
60 .
o
BAC =
Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với
trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng
A.
3
13
.
108
a
B.
3
7
.
106
a
C.
3
15
.
108
a
D.
3
9
.
208
a
Câu 48. Cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 1 0S x y z x z+ + − + + =
và đường thẳng
2
:.
xt
d y t
z m t
=−
=
=+
Tổng các giá trị
của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc
với nhau
A. -5. B. -1. C. -4. D. 3.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 37
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
3;2;1 .M
Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm
tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào song song với
mặt phẳng (P) ?
A.
3 2 14 0.x y z+ + + =
B.
2 3 9 0.x y z+ + + =
C.
2 2 14 0.x y z+ + − =
D.
2 9 0.x y z+ + − =
Câu 50. Cho parabol
( )
2
: 2 ,P y x x= − +
có đỉnh S và A là giao điểm khác
O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên cung nhỏ SA, tiếp tuyến
của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Khi đó, tổng diện tích 2 tam giác cong
MOF và MAE có giá trị nhỏ nhất bằng
A.
23
.
24
B.
13
.
14
C.
32
.
33
D.
28
.
27
Đáp án
1-B
2-B
3-B
4-C
5-B
6-B
7-A
8-A
9-B
10-B
11-C
12-A
13-C
14-A
15-A
16-B
17-B
18-C
19-B
20-D
21-C
22-B
23-B
24-C
25-C
26-C
27-D
28-D
29-C
30-A
31-B
32-C
33-A
34-B
35-A
36-C
37-A
38-B
39-D
40-A
41-A
42-A
43-A
44-B
45-C
46-A
47-D
48-A
49-A
50-D
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Ta thấy chỉ có điểm
( )
2;1; 1−
không thuộc mặt phẳng
( )
.P
Câu 2: Đáp án B
x
- -1 2 +
f’(x)
+ 0 - 0 +
f(x)
+
10
3
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 38
22
3
−
-
Số nghiệm cần tìm là số giao điểm của đường thẳng
8y =−
và đồ thị hàm số
( )
.y f x=
Từ bảng biến thiên ta thấy chỉ có duy nhất 1 giao điểm giữa hai đồ thị.
Câu 3: Đáp án B
Chọn 1 người làm vị khách danh dự ngồi ở vị trí cố định vậy 5 người còn lại có 5! cách xếp.
Vậy có 5! cách.
Câu 4: Đáp án C
Khẳng định 1 sai vì các số có thể âm.
Khẳng định 2 sai vì b có thể âm.
Khẳng định 3 sai vì nếu
1a
thì chiều bất đẳng thức là ngược lại.
Câu 5: Đáp án B
Sử dụng bảng nguyên hàm ta được
( )
11
ln , 0 .dx ax b C a
ax b a
= + +
+
Câu 6: Đáp án B
Gọi hình chiếu của M lên trục Oz là
( )
0,0, 4MM
−
( )
( )
2
22
1 2 4 4 5.MM
= + + − − − =
Câu 7: Đáp án A
Ta có
( )
( )
( )
( )
.
1
,.
1 1 1
3
..
3 5 15
,.
ABM
O ABM
ABCD A B C D
ABCD
d O ABCD S
V
V
d O ABCD S
= = =
Câu 8: Đáp án A
Ta có
( )
( )
2
2
2 2 2
2ln 1 ln 1 .
1
1
x
dx dx x C x C
x
x
+
= = + + = + +
+
+
Câu 9: Đáp án B
Ta có
1 1 29
.
2 5 29zi
==
−
y = -8
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 39
Câu 10: Đáp án B
Ta có
2 2 3
.4 . 16 4 .
tru
V r h a h a h a
= = =
Câu 11: Đáp án C
Cách 1. Dùng casio.
Nhập
( )
34
5
22
2
10
21
X X X
CALC X
XX
+−
→ → = →
+
ta tính được
( )
34
22
21
lim .
2
21
n n n
nn
+ − −
=
+
Cách 2. Có
( )
34
3
22
2
21
1
21
lim lim
1
2
21
2
n n n
nn
nn
n
+−
+ − −
==
+
+
vì
1
lim 0, 0.
k
k
n
=
(Ta nhìn tử số và mẫu số sẽ thấy có bậc của n lớn nhất đều bằng 4 nên giới hạn ở đây sẽ bằng tỉ lệ hệ số
của chúng là
1
2
−
)
Mở rộng: Khi tính giới hạn dãy số ta chỉ cần giữ lại số hạng có số mũ cao nhất, ở đây đa thức dạng
k
n
thì
chỉ cần giữ lại k lớn nhất,
n
a
chỉ cần giữ lại a lớn nhất.
Như bài này ta có
( ) ( )
3 4 4
2 2 2 2
21
lim lim .
2
2 1 2
n n n n
n n n n
+ − − −
==
+
Câu 12: Đáp án A
Ta có
2
1
3 2 1 0 1, .
3
y x x y x x
= − − = = = −
Câu 13: Đáp án C
Ta có
log2
10 3 5 2 3 5 1.x x x= + = + = −
Câu 14: Đáp án A
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 6 4 5 0 1 3 2 9.x y z x y z x y z+ + − − + + = − + − + + =
Vậy
9 3.R ==
Câu 15: Đáp án A
Ta có
10
. . .
.3
xq
xq
S
S r l l
r
= = =
Câu 16: Đáp án B
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 40
Cách 1. Ta có
2
5
log 2
log 5
a
a
b
ba
c
ca
=
=
=
=
( )
( ) ( )
13
2
15
3
5
25
13
3
5
2
1
2
14
3 2 2 2 2
4
3 2 5
4
..
2
log log .
13
..
A
a
a a a
ab c a
A a a a
a
a b c
a a a
−
−
= = = = = = −
Cách 2. Ta cho a bằng một giá trị bất kì, sau đó sẽ tìm được b, c và A.
Câu 17: Đáp án B
A sai vì phần ảo là b
C sai vì
2 2 2
2z a b abi= − +
D sai vì
22
.z a b=+
Câu 18: Đáp án C
Dùng casio nhập
2
99999 1
99999 1
2020
2020,0001
2020
2020,0001 0
KQ
KQ
CALC
KQ
KQ
X
X
X
X
X
X
= ⎯⎯→
= − ⎯⎯→−
+
⎯⎯⎯→
= ⎯⎯→+
−
= − ⎯⎯→
1y =
là tiệm cận ngang và
2020x =
là tiệm cận đứng.
Câu 19: Đáp án B
Gọi P là trung điểm của cạnh CD, ta có
( ) ( )
, , .MN BC MN NP
==
Trong tam giác MNP, ta có
2 2 2
1
cos .
2 . 2
MN PN MP
MNP
MN NP
+−
==
Suy ra
60 .
o
MNP =
Suy ra
tan 3.
=
Câu 20: Đáp án D
Ta có
( )
2
3
0, \ 1
1
yx
x
= − −
+
Hàm số nghịch biến trên
( ) ( )
; 1 , 1 .− − − +
Câu 21: Đáp án C
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 41
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
3
1
4 3 0
1 13
2
x
xx
x
=
− + =
−
=
Câu 22: Đáp án B
Điều kiện
0
2
0
2
x
x
x
x
−
Ta có
1
3
2
log
1
3
22
5 1 log 0 1 0
x
x
xx
x
xx
−
−−
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
( )
;0 .−
Câu 23: Đáp án B
Khẳng định A đúng do đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Khẳng định B sai do dễ thấy trong khoảng
( )
1;0−
đồ thị hàm số đi xuống nên trong khoảng này hàm số
nghịch biến.
Khẳng định C đúng do điểm cực đại của hàm số nằm bên trái điểm cực tiểu.
Khẳng định D đúng do đồ thị hàm số có xu hướng đi lên khi
.x → +
Câu 24: Đáp án C
Điều kiện
2
2 1 0
1
1
2 1 1 .
2
2
3 2 0
x
x
x
x
xx
−
−
− +
Câu 25: Đáp án C
Đặt
( ) ( )
55
33
1
2 3 2 4 8.
2
t x dt dx I f t dt f t dt= + = = = =
Câu 26: Đáp án C
Ta có
32
3 4 2 9 4 0, 1;3y x x y x x
= + − = +
Vậy giá trị nhỏ nhất là
( )
1 5.y =
Câu 27: Đáp án D
Gọi
( )
1;2 ; 2 2M t t t
+ − +
là hình chiếu của M lên . Ta có
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 42
( ) ( )
( )
5;2 ; 2 2 , 1;2; 2
. 0 5 4 4 4 0 1 2;2;0 .
MM t t t u
MM u t t t t M
= − − + = −
= − + + − = = =
Câu 28: Đáp án D
Ta có
2 2 .z z a bi a bi bi b− = + − + = =
Câu 29: Đáp án C
Ta có
( ) ( )
( )
22
2
3
.
10 6 8 4 2
6 . 4 2 192 .
ABCD A B C D
AC a a a AB AD a
V a a a
= − = = =
= =
Câu 30: Đáp án A
Ta có ABCD là hình bình hành
( )
3 5 8
1 4 3 8; 3;1 .
2 1 1
DD
DD
DD
xx
AD BC y y D
zz
− = =
= − = − = − −
− = − =
Câu 31: Đáp án B
Xác suất gieo hai đồng xu một lần đều xuất hiện mặt ngửa là
1 1 1
..
2 4 8
=
Do đó, xác suất gieo hai đồng xu 1 lần đều xuất hiện mặt ngửa là
1 1 1
..
8 8 64
=
Câu 32: Đáp án C
Ta có
( ) ( )
, , .d DD AC d BB AC
=
Ta có
( ) ( )
22
2.A C A B B C a
= + =
Kẻ
.B H A C
⊥
. . 3 3
.
22
A B B C a a a
BH
A C a
= = =
Vì
( )
//BB ACC A
nên
( ) ( )
( )
,,d BB AC d BB ACC A
=
( )
( )
3
,.
2
a
d BB ACC A B H
==
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 43
Nên
( )
3
,.
2
a
d BB AC
=
Câu 33: Đáp án A
Cách 1. Xét
2
0
0 2 4 0 .
2
x
y x mx
xm
=
= − =
=
Trường hợp 1:
1
2 1 .
2
mm
Khi đó
( )
1;3
14
max 3 20 19 6
19
x
y y m m
= = − = =
(loại)
• Trường hợp 2:
13
1 2 3 .
22
mm
Khi đó
( )
1;3
max 1
x
yy
=
hoặc
( )
1;3
max 3
x
yy
=
+)
( )
10
16
9
ym= = −
(loại)
+)
( )
14
3 6 ,
19
ym= =
khi đó
( )
26
1
57
y =
(thỏa mãn).
• Trường hợp 3:
3
2 3 .
2
mm
Khi đó
( )
1;3
8 10
max 1 3 6
39
x
y y m m
= = − + = = −
(loại).
Cách 2. Giá trị lớn nhất của hàm số chỉ đạt tại
( ) ( ) ( )
1 , 3 , 2f f f m
(vì
( )
0 1;3
).
Biện luận sẽ thấy
( )
2fm
không thể lớn nhất, từ đó chỉ so
sánh
( )
1f
và
( )
3.f
Giả sử
( ) ( )
1;3
max 1 6
x
f x f
==
tìm ra m thay vào
( ) ( ) ( )
1 , 3 , 2f f f m
(vì
( )
0 1;3
Biện luận sẽ thấy
( )
2fm
không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh
( )
1f
và
( )
3.f
Giả sử
( ) ( )
1;3
max 1 6
x
f x f
==
tìm ra m thay vào
( )
3f
xem có lớn hơn không, tương tự làm với
( )
3.f
Câu 34: Đáp án B
Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip, đặt tọa độ
, 10
A
Oxy x =
và
10.
B
x =−
Ta có diện tích đường tròn thiết diện là
2
16 4 4
C
S r r y
= = = =
và
4.
D
y =−
Ta sẽ có phương trình elip
22
1
100 16
xy
+=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 44
( )
( )
4
2
3
4
16 1 380 0,38 1 .
100
x
y dx cm
−
= − =
Câu 35: Đáp án A
Gọi số phức
( )
.z a bi=+
Ta có
( ) ( )
2
2
1 1 2 1 4.a bi a b + − − +
Điểm M biểu diễn số phức
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
22
2
2
1 3 1 3 1 3 . 1 3
3 1 3 3
3 1 3 3 4 1 4 4.4 16.
i z i a bi
a b a b
a b a b a b
= + − − = + + − −
= − − + + −
= − − + + − = − + =
Câu 36: Đáp án C
Ta có mặt phẳng (P) chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau
( )
( )
1
2
1
2
xq N
xq N
S
S
=
Ta có
//MN CD
nên theo định lí Ta-let ta có
AM AH HM
k
AD AO OD
= = =
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
2
3
2
2
3
22
1 . . 1 . . . . 1 1 2
2 .O . 2 . . 2 2 2
. . . .
. . 2 2
.
. . . . 2 4
xq N
xq N
N
N
S
HM AM k OD k AD
kk
S D AD OD AD
V
k OD k AO
HM AH
k
V OD AO OD AO
= = = = =
= = = = =
Câu 37: Đáp án A
Gọi tâm
( )
1; ; 1 .I t t t++
Khi đó
( )
2
2; 2; 1 , 3 10 9.AI t t t AI t t= − − − = − +
Lấy
( ) ( )
0;2;3 , 1, 2, 2 .N d NI t t t = + − −
Ta có
( )
,
3 9 2
, 3 .
32
d
d
NI u
t
d I d t
u
−
= = = −
Có
( )
2
0
, 3 3 10 9 .
2
t
d I d AI t t t
t
=
= − = − +
=
Do bán kính lớn nhất nên chọn
0.t =
Khi đó phương trình mặt cầu là
( ) ( )
22
2
1 1 9.x y z− + + − =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 45
Câu 38: Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
32
3 4 2 0 *x mx mx m− + + − =
Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
,,x x x
lập thành cấp số nhân
2
2 1 3
.x x x=
Theo Vi-et ta có
1 2 3
1 2 3
3
1 2 1 3 2 3 2
2
2 1 3
1 2 3
. . 2
. . . 2
.
..
b
x x x
a
x x x m
c
x x x x x x m x
a
x x x
d
x x x
a
+ + = −
=−
+ + = = −
=
=−
Thay tất cả vào phương trình (*) ta có
( )
( )
2
3
2 2 2 2
3
2
02
4 10
3 4 2 0
3 27
20
xm
x x x x n
xm
= =
− − = = = −
= =
Thử lại, chỉ có
2m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 39: Đáp án D
Ta có
120000000, 94444200, 1,07%S A r= = =
1,07%
120000000 94444200 22,38
N
eN =
(năm)
Vây sau 23 năm nữa dân số đạt mức 120 triệu người hay năm 2039, dân số Việt Nam ở mức 120 triệu.
Câu 40: Đáp án A
Ta có
2
log 0 1.xx= =
Hai hình phẳng được tạo thành có diện tích là
2
22
1
1
log 2
ln2
S x dx= = −
và
4
12
2
2
log 6 .
ln2
S x dx= = −
Tỷ lệ
1
2
2
2.
S
S
−
=
Câu 41: Đáp án A
Ta có
23
1 1 5,M z z z + + + + =
khi
max
1 5 5.z M M= = =
Mặt khác:
3 3 3 3 3
3
1 1 1 1 1
1 1,
1 2 2 2
z z z z z
Mz
z
− − + − + +
= + + + =
−
Khi
min
1 1 1.z M M= − = =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 46
Câu 42: Đáp án A
Ta có
( ) ( )
( )
2
2 1 2g x x f x x
= − −
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
0 2 1 2 0
1
1
12
1
21
12
20
21
2
20
0
g x x f x x x
x
x
x
x
xx
x
f x x
xx
x
xx
x
= − − =
=
=
=+
=
−=
= −
−=
− = −
=
− =
=
Ta có
( )
2
2
2
12
21
12
20
1 2 0
01
12
x
xx
x
f x x
xx
x
x
−
−
+
−
− −
Bảng xét dấu của
( )
gx
x
-
12+
0 1 2
12+
+
x - 1
- - 0 + + +
( )
2
2f x x
−
+ 0 - 0 + 0 + 0 - 0 +
( )
gx
0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
Bảng biến thiên của hàm
( )
y g x=
x
-
12+
0 1 2
12+
+
( )
gx
0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
( )
gx
+
( )
0g
( )
2g
+
( )
12g −
( )
1g
( )
12g +
Vậy hàm số
( )
( )
2
2y g x f x x= = −
có hai điểm cực đại.
Câu 43: Đáp án A
Điều kiện
2x
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 47
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2
11
22
1
1 log 2 4 5 log 4 4 0
2
m x m m
x
− − − − + −
−
( ) ( ) ( ) ( )
2
11
22
4 1 log 2 4 5 log 2 4 4 0m x m x m − − + − − + −
Đặt
( )
1
2
log 2 .tx=−
Do
5
;4 1;1
4
xt
−
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
2
4 1 4 5 4 4 0 1 5 1
51
1
m t m t m m t t t t
tt
m f t
tt
− + − + − + + + +
++
=
++
Xét
( )
2
2
51
1
tt
ft
tt
++
=
++
trên
1;1−
( )
( )
2
2
2
44
0, 1;1
1
t
f t t
tt
−
= −
++
Hàm số đồng biến trên đoạn
1;1−
2
2
51
1
tt
m
tt
++
++
có nghiệm trên
( ) ( )
1;1
1;1 min 1 3m f t m f
−
− − = −
3;10
m
m
−
⎯⎯⎯⎯→
Có 14 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 44: Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
( )
( )
3
2
2
3 2 2 *
1
x
x x m x
xm
=−
− + = +
−=
Để d và (C) giới hạn 2 hình phẳng thì (*) có ba nghiệm phân biệt
09m
Nếu
1,md=
đi qua điểm uốn
( )
0;2
của (C). Khi đó
( )
0
3
12
2
44S S x x dx
−
= = − =
Nếu
12
0 1: 4m S S
Nếu
12
1 9: 4m S S
Nếu
9 1 2;1 4m m m − − +
khi đó
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 48
( )
( )
2
3
1
1
1
3
2
2
21
3 2 2
3 2 2
20
m
m
S x x m x dx
S x x m x dx
S S m m
−
−
+
−
= − + − +
= − + − +
− =
Vậy
1m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 45: Đáp án C
Ta có
( )
( ) ( )
3 4 2 2
1
4 8 4 4 3,
1
x
x
f x t t dt t t x x= − = − = − +
với
2.x
( ) ( )
2 4; 0 2 2;5 .f x x f x x
= − = =
( ) ( )
2 1; 5 8.ff= − =
Suy ra
7.Mm+=
Câu 46: Đáp án A
Ta có
2
33y x m
=−
nên
2
0.y x m
= =
Đồ thị hàm số
3
32y x mx= − +
có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
0.m
Ta có
( )
32
11
3 2 3 3 2 2 . 2 2.
33
y x mx x x m mx x y mx
= − + = − − + = − +
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3
32y x mx= − +
có phương trình
: 2 2y mx = − +
Ta có
1 1 1
. .sin sin
2 2 2
IAB
S IA IB AIB AIB
= =
Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng
1
2
khi
sin 1 .AIB AI BI= ⊥
Gọi H là trung điểm AB ta có
( )
;
12
22
I
IH AB d
==
Mà
( )
;
2
2 1 2
41
I
m
d
m
+−
=
+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 49
( )
( )
2
;
2
2
2 1 2
2
4 2 2 4 1
2
41
23
8 16 2 0 .
2
I
m
d m m
m
m m m
+−
= = − = +
+
− + = =
Câu 47: Đáp án D
Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của ABC.
Ta có
( ) ( )
( )
, 60 .
o
B G ABC BB ABC B BG
⊥ = =
.
11
.S . . .
36
A ABC ABC
V B G AC BC B G
==
Xét B'BG vuông tại G, có
3
60 .
2
o
a
B BG B G
= =
Đặt
2.AB x=
Trong ABC vuông tại C có
60 .
o
BAC =
,3
2
AB
AC x BC x = = =
Do G là trọng tâm
33
.
24
a
ABC BN BG = =
Trong BNC vuông tại C, ta có
2 2 2
BN NC BC=+
2 2 2
22
3
2 13
9 9 3
3
16 4 52
2 13
33
2 13
a
AC
a x a a
x x x
a
BC
=
= + = =
=
Vậy
3
1 3 3 3 3 9
. . . .
6 2 208
2 13 2 13
A ABC
a a a a
V
==
Câu 48: Đáp án A
Để d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2
2 2 2 4 1 0 1t t m t t m t− + + + − − + + + =
có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có
( ) ( )
22
1 3 2 1 4 1 0t m t m m + + + + + =
(1) có 2 nghiệm phân biệt
( )
2
22
0 1 3 12 3 0 5 1 0m m m m m
+ − − − + +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 50
Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét
( )
2
12
12
41
3
2
1
3
mm
tt
t t m
++
=
−
+ = +
Khi đó,
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 ; ; 2 , 1 ; ; 2IA t t m t IB t t m t= − + + = − + +
Vậy
( )( ) ( )( )
1 2 1 2 1 2
. 1 1 2 2 0IAIB t t t t m t m t= − − + + + + + + =
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2
22
2
3 1 2 1 0
2
4 1 1 2 1 0
3
1
.
4
t t m t t m
m m m m
m
TM
m
+ + + + + + =
+ + − + + + + =
=−
=−
Câu 49: Đáp án A
Gọi
( ) ( ) ( )
;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;A a B b C c
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng
( )
10
x y z
abc
a b c
+ + =
Vì (P) qua M nên
( )
3 2 1
11
abc
+ + =
Ta có
( ) ( )
3; 2; 1 ; 3;b 2; 1 ;MA a MB= − − − = − − −
( ) ( )
0; ; ; ;0; .BC b c AC a c= − = −
Vì M là trục tâm của tam giác ABC nên
( )
. 0 2
2
3
.0
MA BC b c
ac
MB AC
==
=
=
Từ (1) và (2) suy ra
14 14
; ; 14.
32
abc= = =
Khi đó phương trình
( )
:3 2 14 0P x y z+ + − =
Vậy mặt phẳng song song với (P) là
3 2 14 0.x y z+ + + =
Câu 50: Đáp án D
Ta có
( ) ( )
1;1 , 2;0SA
22yx
= − +
Tiếp tuyến tại
( )
2
;2 ,1 2M m m m m−
có phương trình
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 51
( )( ) ( )
22
2 2 2 2 2y m x m m m y m x m= − − + − = − +
+, Với
1m =
ta có
( )
1;1MS
Không tồn tại điểm
1Fm=
không thỏa mãn.
+, Với
12m
ta có
( )
2
2
0; ; ;0
22
m
E m F
m
−
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành
2
2
0
4
2.
3
S x x dx= − + =
Ta có
( )
44
1
2 2 2 4 1
OEF
mm
S
mm
==
−−
Ta thấy
( ) ( )
, min min
MOF MAE OEF MOF MAE OEF
S S S S S S S+ = − +
Ta có
(
( )
4
1;2
64 4
min
4 1 27 3
m
m
m
m
= =
−
( )
64 4 28
min
27 3 27
MOF MAE
SS + = − =
khi
4
.
3
m =
ĐỀ 63
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
( )
( )( )
2
2
1 2 2f x x x x
= − − +
. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị.
A.
3
. B.
4
. C.
2
. D.
0
.
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
A
,
2BC a=
. Hình chiếu
H
của
S
lên đáy là
trung điểm cạnh
AB
. Cạnh bên
3SC a=
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
3
7
12
a
. B.
3
7
6
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
7
18
a
.
Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 52
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên các khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;2
. B.
( )
0;3
. C.
( )
0;+
. D.
( )
1;3−
.
Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
f(x)=x^3-3x^2+4
T?p h?p 1
x
y
-
0
2
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
2x =
. B. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
.
C. Hàm số đạt cực đại tại
4x =
. D. Hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
.
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
,AB SD
.
A.
a
. B.
21
7
a
. C.
7
2
a
. D.
21
3
a
.
Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình
( )
1
24
fx−
=
là
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Tìm tất cả các giá trị của
a
để hàm số
( )
3
x
ya=−
nghịch biến trên .
A.
23a
. B.
3a
. C.
2a
. D.
01a
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 53
Tìm tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 3 2xx+=
.
A.
1S =
. B.
1; 4S = − −
. C.
1; 4S =−
. D.
1;4S =
.
Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
3
3f x x x
=−
, với mọi
x
thuộc . Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;3
. B.
( )
0;3
. C.
( )
2;1−
. D.
( )
1;0−
.
Cho hình thoi
ABCD
có cạnh bằng
a
,
60ABC =
. Quay hình thoi xung quanh đường chéo
BD
, ta thu được khối tròn xoay có diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?
A.
2
3a
. B.
2
2a
. C.
2
a
. D.
2
5
4
a
.
Một khối chóp có chiều cao bằng
2
, diện tích đáy bằng
6
. Tính thể tích khối chóp đã cho.
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
2
.
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
.
A.
1y =
. B.
2x =
. C.
2x =−
. D.
1x =
.
Biết hai đồ thị hàm số
32
2 3 1y x x x= + − +
và
2
21yx=−
cắt nhau tại hai điểm
,AB
. Tính độ dài đoạn
AB
.
A.
73
. B.
37
.C.
53
. D.
35
.
Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
3;2−
và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Gọi
,Mm
lần lượt là giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của
( )
fx
trên
3;2−
. Tính
Mm−
?
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
7
.
Tìm
m
để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
42
2y f x x x m= = − +
trên đoạn
1;1−
bằng 5.
A.
3m =
. B.
2m =
. C.
4m =
. D.
7
3
m =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 54
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa
7
quả cầu đỏ và
5
quả cầu xanh, hộp thứ hai chứa
6
quả cầu đỏ và
4
quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra cùng
màu đỏ.
A.
7
20
. B.
3
20
. C.
1
2
. D.
2
5
.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
3
34y x x= − +
thuộc đường thẳng nào dưới đây.
A.
1yx=−
. B.
7yx=−
. C.
7yx=+
. D.
1yx=+
.
Từ các chữ số
1,2,3,4,5
lập được bao nhiêu số tự nhiên có
3
chữ số phân biệt
A.
10
. B.
20
. C.
60
. D.
12
.
Đồ thị hàm số
2
4
x
y
x
=
−
có bao nhiêu đường tiệm cận
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A.
32
32y x x= − +
. B.
3
32y x x= − + +
. C.
32
32y x x=− + −
. D.
3
32y x x= − +
.
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên
A.
2
x
y
e
=
. B.
1
x
y
x
=
−
. C.
2
=
x
y
e
. D.
3
1yx=+
.
Tìm tổng các nghiệm của phương trình
21
2 5.2 2 0
xx+
− + =
.
A.
5
2
. B. 2. C. 0. D. 1.
Cho
a
là một số thực dương, viết biểu thức
2
3
5
.aa
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
A.
11
15
a
. B.
1
15
a
. C.
2
15
a
. D.
17
5
a
.
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình bên dưới
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 55
A.
3
1
x
y
x
−−
=
−
. B.
2
1
x
y
x
−−
=
−
. C.
3
1
x
y
x
−+
=
−
. D.
3
1
x
y
x
+
=
−
.
Cho
log 2
a
b =
. Giá trị của
5
2
log
a
b
a
bằng
A.
9
. B.
20
. C.
14
. D.
8
.
Tập xác định của hàm số
( )
3
5
1yx=−
.
A.
( )
1; +
. B.
( )
0;+
. C.
)
1; +
. D.
\1
.
Tính đạo hàm của hàm số
2x
ye
−
=
.
A.
2x
ye
−
=
. B.
2
2
x
ye
−
=
. C.
21
2
x
ye
−−
=−
. D.
2
2
x
ye
−
=−
.
Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng
9
. Tính đường cao
h
của hình nón.
A.
33h =
. B.
3
3
h =
. C.
3
2
h =
. D.
3h =
.
Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
a
có thể tích bằng
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
.
4
a
Cho hàm số
()=y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình
( )
2 1 0fx+=
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 56
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a
. Cạnh bên
3
3
a
SA =
và vuông góc với đáy.
Tính góc hợp bởi
SC
và
( )
ABC
.
A.
45
o
. B.
30
o
. C.
90
o
. D.
60
o
.
Cho khối lăng trụ
.ABCD A B C D
có
M
thuộc cạnh
AA
và
2MA MA
=
. Biết khối chóp
.M A B C D
có thể tích bằng
V
. Tính thể tích khối lăng trụ
.ABCD A B C D
theo
V
.
A.
9V
. B.
3V
. C.
9
2
V
. D.
6V
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của
m
để hàm số
( )
43
4 25 1y x x m x= − + + −
đồng biến trên khoảng
( )
1; +
.
A.
8
. B.
10
. C.
11
. D.
9
.
Một hình trụ có chiều cao bằng
3
, chu vi đáy bằng
4
. Tính thể tích của khối trụ?
A.
12
. B.
18
. C.
10
. D.
40
.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên , có đạo hàm
( )
fx
thỏa mãn
Hàm số
( )
1y f x=−
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A.
( )
1;3−
. B.
( )
1;1−
. C.
( )
2;0−
. D.
( )
1; +
.
Cho hình chóp
.S ABC
biết
0
8, 4, 60AB BC ABC= = =
. Hình chiếu của
S
lên cạnh
AB
là điểm
K
sao
cho
3KB KA=
. Biết
,SB SC
cùng hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
A.
9 21
. B.
7 21
. C.
32 21
3
. D.
32 21
9
.
Cho hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
có hai điểm cực trị
1x =−
;
2x =
. Biết
( ) ( )
1 . 2 0ff−
, hỏi đồ thị
hàm số
( )
1x
y
fx
+
=
có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 57
Cho hình chóp
.S ABC
có
4SA SB SC= = =
, đáy là tam giác vuông tại
A
. Một hình nón
( )
N
có đỉnh
S
và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.Thể tích lớn nhất của khối nón
( )
N
bằng bao nhiêu?
A.
32 3
27
. B.
128 3
27
. C.
32 3
9
. D.
128 3
9
.
Cho lăng trụ đều
.ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
2a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm cạnh
AB
,
BB
. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng
( )
MC N
,
( )
ACC A
.
A.
2
4
. B.
6
4
. C.
3
4
. D.
3
4
.
Gọi
S
là tập chứa các giá trị tham số
m
để hai đồ thị hàm số
( )
43
1y x x mx x m= − + − +
,
2
yx=
cắt
nhau theo số giao điểm nhiều nhất đồng thời các giao điểm cùng nằm trên đường tròn có bán kính bằng
1
.
Hỏi tập
S
có tất cả bao nhiêu phần tử.
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D. Vô số.
Cho hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
2;4−
như hình vẽ. Gọi
S
là tập chứa các giá trị của
m
để hàm số
( )
( )
2
2y f x m= − +
có giá trị lớn nhất trên đoạn
2;4−
bằng
49
. Tổng các phần tử của tập
S
bằng
A
9−
. B.
23−
. C.
2−
. D.
12−
.
Cho hình trụ
( )
T
có đáy là các đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính bằng
1
, chiều cao hình trụ bằng
2
.
Các điểm
A
,
B
lần lượt nằm trên hai đường tròn
( )
O
và
( )
O
sao cho góc giữa hai đường thẳng
,OA OB
bằng
0
60
. Tính diện tích toàn phần của tứ diện
OAO B
.
A.
3 19
2
S
+
=
. B.
4 19
2
S
+
=
. C.
1 2 19
2
S
+
=
. D.
4 19
4
S
+
=
.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên , có đồ thị
( )
fx
như hình vẽ
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 58
Hỏi hàm số
( )
1 sin 1y f x= + −
có bao nhiêu điểm cực đại trên khoảng
( )
2 ;2
−
?
A.
4
. B.
1
. C.
3
. D.
7
.
Cho hình chóp
.ABCDS
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2AD a=
. Tam giác
SAB
vuông cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết tổng diện tích tam giác
SAB
và đáy
ABCD
bằng
2
33
4
a
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
9
a
. B.
3
a
. C.
3
3a
. D.
3
3a
.
Cho hàm số
( )
(
)
3
2
2 log 1
x
f x e m x mx
−
= − + −
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất
phương trình
( ) ( )
0f x f x+ −
đúng với
x
.
A.
4
. B.
1
. C.
3
. D.
7
.
Cho khối lăng trụ
1 1 1
.ABC A B C
có thể tích bằng 30. Gọi
O
là tâm của hình bình hành
11
ABB A
và
G
là
trọng tâm tam giác
1 1 1
A B C
. Thể tích khối tứ diện
1
COGB
là
A.
7
3
. B.
15
14
. C.
5
2
. D.
10
3
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình
21
8 3.2 9.2 2 6 0
x x x
m
+
− + − + =
có ít nhất hai nghiệm
phân biệt.
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
32
ln 3 72y x m x m= − +
xác định trên
( )
0;+
A.
10
. B.
12
. C.
6
. D.
5
.
Cho hàm số
( )
y f x=
với
( )
fx
là hàm đa thức, có bảng biến thiên như hình vẽ.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 59
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để đồ thị hàm số
( )
x
y
fx
=
có đúng hai đường tiệm cận đứng.
A.
4
. B. vô số. C.
1
. D.
5
.
Cho hàm sô
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình
( )
2
2
10
35
m
fx
xx
+ − =
++
có nghiệm trên khoảng
( )
1;1−
?
A. 13. B. 11. C. 5. D. 10.
--------------HẾT---------------
ĐÁP ÁN
1.A
2.A
3.A
4.B
5.B
6.C
7.A
8.C
9.D
10.C
11.A
12.C
13.D
14.B
15.A
16.A
17.D
18.C
19.D
20.C
21.A
22.C
23.A
24.C
25.D
26.A
27.D
28.A
29.D
30.D
31.B
32.C
33.D
34.A
35.C
36.C
37.B
38.B
39.B
40.B
41.C
42.B
43.C
44.D
45.A
46.D
47.D
48.D
49.D
50.D
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Chọn A
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 60
Ta có
( )
−=
= − =
+=
2
10
0 2 0
20
x
f x x
x
( )
( )
( )
( )
=−
=
=
=−
1
1
2
2
x nghieämñôn
x nghieämñôn
x nghieämñôn
x nghieämkeùp
.
Do đó ta có bảng xét dấu của
( )
fx
.
Từ bảng xét dấu suy ra
1,x =−
1x =
,
2x =
là các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Chọn A
H
C
B
A
S
Tam giác
ABC
vuông cân tại
A
và
2BC a=
nên
AB AC a==
1
.
2
ABC
S AB AC=
2
1
2
a=
.
Ta lại có tam giác
AHC
vuông tại
A
nên
2 2 2
HC AH AC=+
2
2
2
AB
AC
=+
2
5
4
a
=
.
Mặt khác,
H
là hình chiếu của
S
trên mặt phẳng đáy nên tam giác
SHC
vuông tại
H
.
Khi đó:
22
SH SC HC=−
( )
2
2
5
3
4
a
a=−
7
2
a
=
.
Suy ra
.
1
.
3
S ABC ABC
V SH S=
2
17
..
3 2 2
aa
=
3
7
12
a
=
.
Câu 3. Chọn A
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 61
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
nên hàm số
( )
y f x=
đồng
biến trên khoảng
( )
1;2
.
Câu 4. Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại
0x =
và đạt cực tiểu tại
2x =
.
Câu 5. Chọn B
Gọi
H
là trung điểm
AB
, do tam giác
SAB
đều cạnh
a
nên
⊥SH AB
,
3
2
=
a
SH
.
Theo giả thiết ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
⊥
=
⊥
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH AB
SH SAB
( )
⊥SH ABCD
.
Ta có:
( )
( )
( )
//
//
AB CD
AB SCD AB SCD
CD SCD
( ) ( )
( )
( )
( )
, = , ,=d AB SD d AB SCD d H SCD
.
Kẻ
,⊥HE CD E CD
; Kẻ
⊥HK SE
,
K SE
.
Ta có:
( )
⊥
⊥ ⊥
⊥
CD HE
CD SHE CD HK
CD SH
.
Ta có:
( )
⊥
⊥
⊥
HK SE
HK SCD
HK CD
( )
( )
,=d H SCD HK
.
Xét tam giác vuông
SHE
vuông tại
H
ta có:
2 2 2
1 1 1
=+
HK SH HE
2 2 2
4 1 7
33
= + =
a a a
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 62
21
7
=
a
HK
.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
,AB SD
là
21
7
a
.
Câu 6. Chọn C
Ta có
( )
1
24
−
=
fx
( ) ( )
1 2 3 − = =f x f x
.
Số nghiệm của phương trình
( )
3=fx
là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
với đường thẳng
3=y
.
Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng
3=y
cắt đồ thị
( )
y f x=
tại
1
điểm.
Vậy số nghiệm của phương trình
( )
1
24
fx−
=
là
1
.
Câu 7. Chọn A
Hàm số mũ
( )
3
x
ya=−
nghịch biến trên
0 3 1 2 3aa −
.
Câu 8. Chọn C
Ta có:
( )
2
2
log 3 2xx+=
2 2 2
1
3 2 3 4 0
4
x
x x x x
x
=
+ = + − =
=−
.
Vậy tập nghiệm của phương trình
1; 4S =−
.
Câu 9. Chọn D
( ) ( )
3
0
0 3 0
3
x
f x x x
x
=
= − =
=
.
Ta có BBT:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
;0−
và
( )
3; +
nên hàm số đồng biến trên
( )
1;0−
.
Câu 10. Chọn C
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 63
60
0
h
R=
a
2
l = a
O
C
A
D
B
Tứ giác
ABCD
là hình thoi cạnh
a
AB BC a = =
. Lại có
60ABC =
nên tam giác
ABC
đều cạnh a.
Quay hình thoi xung quanh đường chéo
BD
, ta thu được khối tròn xoay là hợp thành của hai
khối nón tròn xoay có đỉnh lần lượt là
B
và
D
và cùng đáy là hình tròn đường kính
AC
.
Hai khối nón này bằng nhau nên có diện tích xung quanh bằng nhau.
Xét khối nón đỉnh B có :
Đường sinh
l AB a==
. Bán kính
2
a
R AO==
.
Gọi
1
S
là diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
B
. Ta có
2
1
..
22
aa
S Rl a
= = =
.
Gọi
S
là diện tích toàn phần của khối tròn xoay. Ta có
2
1
2S S a
==
.
Câu 11. Chọn A
Gọi
h
là chiều cao của khối chóp, ta có
2h =
.
Gọi
B
là diện tích đáy của khối chóp, ta có
6B =
.
Thể tích khối chóp đã cho là
11
. .6.2 4
33
V B h= = =
(đơn vị thể tích).
Câu 12. Chọn C
Tập xác định :
\2DR=−
.
Ta có
( ) ( )
22
1
lim lim
2
xx
x
y
x
++
→ − → −
−
= = −
+
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 64
Vậy phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
là
2x =−
.
Câu 13. Chọn D
Gọi hàm số
32
2 3 1y x x x= + − +
có đồ thị là
( )
1
C
, hàm số
2
21yx=−
có đồ thị là
( )
2
C
.
Hoành độ giao điểm của
( )
1
C
và
( )
2
C
là nghiệm của phương trình
3 2 2
2 3 1 2 1+ − + = −x x x x
3
1
3 2 0
2
=
− + =
=−
x
xx
x
.
+) Với
1=x
ta có
1=y
.
+) Với
2=−x
ta có
7=y
.
Do đó
( )
1
C
và
( )
2
C
cắt nhau tại hai điểm
( )
1;1−A
,
( )
2;7B −
.
Ta có
( ) ( )
22
2 1 7 1 3 5.AB AB= = − − + − =
Vậy độ dài đoạn
AB
bằng
35
.
Câu 14. Chọn B
Từ bảng biến thiên ta suy ra
2M =
và
4m =−
.
Vậy
( )
2 4 6.Mm− = − − =
Câu 15. Chọn A
Ta có hàm số
( )
42
2y f x x x m= = − +
liên tục trên
1;1−
.
Ta có:
3
44
=−y x x
.
3
0
4 4 0
0
11
11
=
−=
=
−
−
y
xx
x
x
x
.
+)
11x y m= = −
.
+)
0x y m= =
.
Suy ra: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
lần lượt là
m
và
1m−
.
Theo đề bài ta có:
1 5 3m m m+ − = =
.
Câu 16 . Chọn A
+) Xét phép thử
''
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả
''
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 65
Lấy một quả từ hộp
1
có
12
cách.
Lấy một quả từ hộp
2
có
10
cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu
( ) 10.12 120n = =
.
+) Gọi
A
là biến cố “Hai quả lấy ra cùng màu đỏ
''
.
Lấy một quả màu đỏ từ hộp
1
có
7
cách.
Lấy một quả màu đỏ từ hộp
2
có
6
cách.
Suy ra
( ) 7.6 42nA==
.
+) Xác suất của biến cố
A
là
( ) 42 7
()
n( ) 120 20
= = =
nA
PA
.
Câu 17. Chọn D
TXD:
D =
.
2
' 3 3yx=−
.
2
' 0 3 3 0yx= − =
1
1
x
x
=
=−
.
'' 6yx=
.
''(1) 6 0y =
, do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
(1;2)A
.
''( 1) 6 0y − = −
, do đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là
( 1;6)B −
.
Trong các đường thẳng có phương trình ở các phương án, nhận thấy tọa độ điểm
(1;2)A
thỏa mãn
phương trình đường thẳng
:1=+d y x
. Do đó ta chọn D.
Câu 18. Chọn C
Mỗi số tự nhiên có
3
chữ số khác nhau ứng với một chỉnh hợp chập
3
của
5
phần tử và ngược lại. Suy ra
có
3
5
60A =
số tự nhiên có
3
chữ số khác nhau.
Câu 19. Chọn D
Điều kiện xác định:
2
40x −
2x
.
Ta có:
22
lim lim 0
44
xx
xx
xx
→+ →−
==
−−
đường thẳng
0y =
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
−
→
= −
−
2
2
lim
4
x
x
x
đường thẳng
2x =
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 66
( )
−
→−
= −
−
2
2
lim
4
x
x
x
đường thẳng
2x =−
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 20. Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có hàm số cần tìm là hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
với
0a
. Do đó loại
phương án A và D.
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên
0d
. Do đó loại phương án B.
Vậy chỉ có hàm số
32
32y x x= − + −
thoả yêu cầu bài toán.
Câu 21. Chọn A
+) Hàm số
2
=
x
y
e
là hàm số mũ có cơ số có
( )
2
0;1
e
Hàm số
2
=
x
y
e
đồng biến trên . Chọn A.
+) Hàm số
1
x
y
x
=
−
không xác định tại
=1x
Hàm số
1
x
y
x
=
−
không nghịch biến trên . Loại phương án B.
+) Hàm số
2
=
x
y
e
là hàm số mũ có cơ số có
2
1
e
Hàm số
2
=
x
y
e
đồng biến trên . Loại phương án C.
+) Hàm số
3
1yx=+
, có
2
3 0,y x x
=
;
= =00yx
Hàm số
3
1yx=+
đồng biến trên . Loại phương án D.
Vậy, hàm số
2
x
y
e
=
nghịch biến trên .
Câu 22. Chọn C
Ta có
21
2 5.2 2 0
xx+
− + =
2
2.2 5.2 2 0
xx
− + =
22
1
2
2
x
x
=
=
1
1
x
x
=
=−
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 67
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là
1 1 0− + =
.
Câu 23. Chọn A
Với điều kiện
0a
đã cho, ta có
2 2 1
3
5 5 3
.a a a
+
=
11
15
a=
.
Câu 24. Chọn C
+ Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số cần tìm có
0, \ 1yx
;
lim 1
x
y
→
=−
;
1
lim
x
y
+
→
= +
và
1
lim
x
y
−
→
= −
.
+ Hàm số
3
1
x
y
x
−−
=
−
có
( )
2
4
0, \ 1
1
yx
x
=
−
nên loại phương án A.
+ Hàm số
2
1
x
y
x
−−
=
−
có
( )
2
3
0, \ 1
1
yx
x
=
−
nên loại phương án B.
+ Hàm số
3
1
x
y
x
+
=
−
có
lim 1
x
y
→
=
nên loại phương án D.
+ Hàm số
3
1
x
y
x
−+
=
−
có
( )
2
2
0, \ 1
1
yx
x
−
=
−
;
lim 1
x
y
→
=−
;
1
lim
x
y
+
→
= +
và
1
lim
x
y
−
→
= −
nên chỉ có
hàm số
3
1
x
y
x
−+
=
−
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25. Chọn D
Ta có
5
52
2
log log log 5log 2 8
a a a a
b
b a b
a
= − = − =
.
Câu 26. Chọn A
Điều kiện xác định:
1 0 1xx−
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
( )
1;D = +
.
Câu 27. Chọn D
( )
2 2 2
2 . 2.
x x x
y e y x e e
− − −
= = − = −
.
Câu 28. Chọn A
Gọi
,rl
lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón.
Ta có:
22
9 9 3
= = =r r r
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 68
2 2.3 6lr= = =
.
2 2 2 2
6 3 3 3h l r= − = − =
.
Câu 29. Chọn D
Ta có
2
3
4
ABC
a
S =
.
Suy ra
23
.
33
..
44
ABC A B C ABC
aa
V S AA a
= = =
.
Câu 30. Chọn D
Ta có
( )
2 1 0fx+=
1
()
2
fx = −
.
Số nghiệm của phương trình
1
()
2
fx=−
là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
1
2
y =−
.
Từ hình vẽ ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
1
2
y =−
là
4
.
Vậy số nghiệm của phương trình
2 ( ) 1 0fx+=
là
4
.
Câu 31. Chọn B
A'
A
B'
B
C'
C
1
2
y =−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 69
Vì
( )
SA ABC⊥
nên
AC
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên
( )
ABC
.
Suy ra
( )
(
)
,SC ABC SCA=
.
Trong tam giác vuông
SAC
ta có:
0
3
tan 30
3
SA
SCA SCA
AC
= = =
.
Câu 32. Chọn C
( )
( )
.
,.
ABCD A B C D A B C D
V d A A B C D S
=
( )
( )
3
. , .
2
A B C D
d M A B C D S
=
( )
( )
91
. . , .
23
A B C D
d M A B C D S
=
9
2
V
=
.
Câu 33. Chọn D
Tập xác định
D =
.
Ta có
32
4 12 25y x x m
= − + +
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; +
0y
,
1x
32
4 12 25 0x x m − + +
,
1x
32
4 12 25m x x − + −
,
1x
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 70
Xét hàm số
( )
32
4 12 25f x x x= − + −
, với
1x
.
( )
2
12 24f x x x
= − +
.
( )
2
0 12 24 0f x x x
= − + =
0
2
x
x
=
=
.
Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
32
4 12 25, 1m x x x − + −
9m −
.
Vì
m
nguyên âm nên
9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1m − − − − − − − − −
.
Vậy có 9 giá trị nguyên âm của
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; +
.
Câu 34. Chọn A.
Gọi
h
là chiều cao của hình trụ. Ta có
3=h
.
Gọi
R
là bán kính đáy của hình trụ. Ta có
24R
=
2R=
.
Thể tích khối trụ là:
2
.4.3 12V R h
= = =
.
Câu 35. Chọn C
Đặt
( ) ( )
1g x f x=−
, ta có
( ) ( )
' ' 1g x f x= − −
.
Khi đó
( ) ( )
' 0 ' 1 0g x f x − −
( )
' 1 0fx −
1 1 0
11
x
x
− −
−
12
0
x
x
.
Vậy hàm số
( )
1y f x=−
nghịch biến trên khoảng
( )
2;0−
.
Câu 36. Chọn C
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 71
I
H
M
B
A
S
K
C
H
M
I
K
C
B
A
Ta có:
22
2 . .cos 4 3AC AB BC AB BC ABC= + − =
.
Trong
ABC
có:
2 2 2
AB BC AC=+
nên
ABC
vuông tại
C
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
,
H
là hình chiếu vuông góc của
S
lên mặt phẳng
( )
ABC
.
Ta có:
AB SH
AB HK
AB SK
⊥
⊥
⊥
.
Ta có
BH
là hình chiếu của
SB
trên mp
( )
ABC
,
CH
là hình chiếu của
SC
trên mp
( )
ABC
nên góc
giữa
SB
và mp
( )
ABC
là góc
SBH
và góc giữa
SC
và mp
( )
ABC
là góc
SCH
. Theo giả thiết:
0
60SBH SCH==
do đó:
HB HC=
// ⊥ HM BC HM AC
.
Suy ra đường thẳng
HM
đi qua trung điểm
I
của
AB
.
Ta có
HKI
và
BMI
đồng dạng nên:
2 4 3
43
23
HI KI HI
HI
BI MI
= = =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 72
Do đó
4 3 10 3
23
33
HM HI IM= + = + =
,
2
22
10 3 4 21
4
33
HB HM MB
= + = + =
,
0
.tan60 4 7SH HB==
.
Diện tích tam giác
ABC
:
1
. 8 3
2
ABC
S AC BC==
.
Thể tích khối chóp
.S ABC
là
1 1 32 21
. 4 7.8 3
3 3 3
ABC
V SH S= = =
.
Câu 37. Chọn B
Hàm số
( )
32
f x ax bx cx d= + + +
có hai điểm cực trị
1x =−
;
2x =
. Lại có
( ) ( )
1 . 2 0ff−
, suy ra đồ
thị của hàm số cắt trục
Ox
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
,,x x x
.
TH1:
0a
. Ta có bảng biến thiên:
Xét hàm số
( )
( )
1x
y g x
fx
+
==
có điều kiện xác định:
( ) ( ) ( )
1 2 3
00
0 ; ;
xx
f x x x x x
+
.
- Nếu
2
0x
thì hàm
( )
gx
có tập xác định
( )
3
;Dx= +
. Khi đó:
( )
( ) ( )( )( )
3 3 3 3
32
1 2 3
1 1 1
lim lim lim lim
x x x x x x x x
x x x
gx
f x a x x x x x x
ax bx cx d
+ + + +
→ → → →
+ + +
= = = = +
− − −
+ + +
.
( )
( )
32
11
lim lim lim 0
x x x
xx
gx
fx
ax bx cx d
→+ →+ →+
++
= = =
+ + +
.
Do đó, đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng
3
xx=
và 1 tiệm cận ngang
0y =
.
- Nếu
2
0x
thì hàm
( )
gx
có tập xác định
) ( )
23
0; ;D x x= +
. Khi đó:
( )
( ) ( )( )( )
2 2 2 2
32
1 2 3
1 1 1
lim lim lim lim
− − − −
→ → → →
+ + +
= = = = +
− − −
+ + +
x x x x x x x x
x x x
gx
f x a x x x x x x
ax bx cx d
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 73
( )
( ) ( )( )( )
3 3 3 3
32
1 2 3
1 1 1
lim lim lim lim
x x x x x x x x
x x x
gx
f x a x x x x x x
ax bx cx d
+ + + +
→ → → →
+ + +
= = = = +
− − −
+ + +
.
( )
( )
32
11
lim lim lim 0
x x x
xx
gx
fx
ax bx cx d
→+ →+ →+
++
= = =
+ + +
.
Do đó, đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng
2
xx=
,
3
xx=
và 1 tiệm cận ngang
0y =
.
TH2:
0a
. Ta có bảng biến thiên:
Xét hàm số
( )
( )
1x
y g x
fx
+
==
có điều kiện xác định:
( ) ( ) ( )
1 2 3
00
0 ; ;
xx
f x x x x x
−
.
Khi đó hàm số
( )
y g x=
có tập xác định
)
3
0;Dx=
hoặc
( )
23
;D x x=
Dễ thấy trong trường hợp này đồ thị hàm số
( )
y g x=
có nhiều nhất hai tiệm cận đứng
2
xx=
,
3
xx=
và
không có tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số
( )
( )
1x
y g x
fx
+
==
có nhiều nhất là 3 tiệm cận.
Câu 38. Chọn B
Hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là
trung điểm
O
của cạnh huyền
BC
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 74
Do đó, bán kính của hình nón
( )
N
là:
( )
1
,0
2
R OC BC R= =
.
Khi đó chiều cao của hình nón
( )
N
là:
( )
2 2 2
16 0 4SO SC OC R R= − = −
.
Vậy thể tích của khối nón
( )
N
là:
2 2 2 4 6
1 1 1
. . 16 16
3 3 3
V R SO R R R R
= = − = −
.
Xét hàm số
( )
46
16f R R R=−
trên đoạn
0;4
.
( )
( )
3 5 3 2
64 6 . 64 6
= − = −f R R R R R
.
( )
( )
32
0 0;4
46
0 . 64 0 0;4
3
46
0;4
3
=
= − = =
= −
R
f R R R R
R
.
Ta có
( )
00f =
,
4 6 16384
3 27
f
=
,
( )
40f =
.
Suy ra
( )
0;4
16384
max
27
=fR
. Do đó
1 16384 128 3
max
3 27 27
==V
, đạt được khi
46
3
R =
.
Câu 39. Chọn B
+) Gọi
I
là trung điểm của
AC
.
Ta có
( )
( )
1
B I A C
B I ACC A
B I AA
^
^
.
+) Xét tam giác
A BB
có
,M
N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
BB
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 75
MN
là đường trung bình của
A BB
D
//MN A B
.
Trong
( )
AA B B
có
//
A B AB
AB MN
A B MN
^
.
+) Mặt khác
( )
C M A B
C M AA B B C M AB
C M AA
^
^
.
+) Ta có
( )
( )
2
AB MN
AB C MN
AB C M
^
^
.
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra góc giữa hai mặt phẳng
( )
MC N
,
( )
ACC A
là góc giữa hai đường thẳng
BI
và
AB
.
+) Xét tam giác
AA B
vuông tại
A
có
2 2 2 2
4 4 2 2AB AA A B a a a
= + = + =
.
Xét tam giác đều
ABC
cạnh
2a
có
BI
là đường cao
23
3
2
a
B I a
.
Xét tam giác vuông
AA I
có
2 2 2 2
45AI AA A I a a a
= + = + =
.
+) Xét
AB I
D
có
2 2 2 2 2 2
3 8 5 6
cos 0
2 . 4
2. 3.2 2
B I AB AI a a a
AB I
B I AB
aa
+ − + −
= = =
.
Do đó cosin của góc giữa hai đường thẳng
BI
và
AB
bằng
6
4
.
Vậy cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng
( )
MC N
,
( )
ACC A
bằng
6
4
.
Câu 40. Chọn B
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số, ta có:
( )
4 3 2
1x x mx x m x− + − + =
( )
( )
4
10x x m − − =
4
1
10
1
0
x
x
x
xm
xm
=
−=
= −
−=
=
.
+ Hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau theo số giao điểm nhiều nhất thì
1m
.
+ Gọi giao điểm của hai đồ thị là
( )
1;1A
,
( )
1;1B −
,
( )
2
;C m m
.
+ Theo giả thiết thì
A
,
B
,
C
cùng nằm trên đường tròn có bán kính bằng
1
. Gọi đường tròn có tâm
( )
;I a b
. Ta có
1IA IB IC= = =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 76
+ Ta có
( ) ( )
( ) ( )
22
2
2 2 2
1 1 1
11
1
1
1 1 1
ab
IA IA
IB
IB
ab
− + − =
==
=
=
+ + − =
( ) ( )
( ) ( )
22
22
1 1 0
1 1 1
aa
ab
− − + =
+ + − =
0
1
a
b
=
=
.
+ Vậy
( )
0;1I
, mà
( )
2
22
1 1 1IC m m= + − =
42
1
01
0
m
m m m
m
=
− = = −
=
.
Đối chiếu điều kiện
1m
, ta có
0m =
thỏa mãn.
Vậy có
1
giá trị tham số
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 41. Chọn C.
Đặt
2.−=xt
Khi
2;4−x
, ta có
2;4−t
.
Hàm số
( )
( )
2
2y f x m= − +
có giá trị lớn nhất trên đoạn
2;4−
bằng
49
khi và chỉ khi hàm số
( )
( )
2
=+y f t m
có giá trị lớn nhất trên đoạn
2;4−
bằng
49
.
( )
( )
2
49, 2;4 + −f t m t
và
2;4 −t
để
( )
( )
2
49+=f t m
( )
7 7 , 2;4 − − − −m f t m t
và
( )
( )
11
22
2;4 , 7
2;4 , 7
− = −
− = − −
t f t m
t f t m
.
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
=y f t
trên đoạn
2;4−
ta thấy
( )
4 6, 2;4− −f t t
.
Do đó hàm số
( )
( )
2
=+y f t m
có giá trị lớn nhất trên đoạn
2;4−
bằng
49
7 6 1
7 4 3
− = =
− − = − = −
mm
mm
, dấu bằng xảy ra tại
2
0
=
=
t
t
. Suy ra
1; 3=−S
.
Vậy tổng các phần tử của
S
là
( )
1 3 2+ − = −
.
Câu 42. Chọn B
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 77
Gọi
A
là hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng chứa đường tròn
( )
O
.
Khi đó
( )
AA O A B
⊥
và
//OA O A
. Suy ra
( ) ( )
0
; ; 60
= = =A O B O A O B OA O B
.
Mà
O A O B
=
nên
O A B
đều. Suy ra
1A B O B O A
= = =
.
Ta có:
5AB AO OB
= = =
. Do đó
( )
ABO BAO c c c
= − −
và
ABO
cân tại
A
.
Gọi
H
là trung điểm
OB
thì
AH O B
⊥
22
1 19
5
42
AH AB HB = − = − =
1 19
.'
24
ABO ABO
S S AH O B
= = =
.
Lại có:
AOO
vuông tại
O
và
BOO
vuông tại
O
nên
1
.1.2 1
2
AOO BOO
SS
= = =
.
Khi đó diện tích toàn phần của tứ diện
OAO B
là:
ABO ABO AOO BOO
S S S S S
= + + +
19 19 4
2. 2.1
42
+
= + =
.
Vậy
4 19
2
S
+
=
.
Câu 43. Chọn C
Từ đồ thị của hàm số
( )
fx
ta có:
( )
0fx
=
1
0
2
x
x
x
=−
=
=
.
Xét hàm số
( )
1 sin 1y f x= + −
trên khoảng
( )
2 ;2
−
.
Ta có:
( )
cos
. 1 sin 1
2 1 sin
x
y f x
x
= + −
+
.
y
không xác định tại
2
x
=−
và
3
2
x
=
.
( )
cos 0
0 1 sin 1 0
sin 1
x
y f x
x
=
= + − =
−
cos 0
1 sin 1 1
1 sin 1 0
1 sin 1 2
sin 1
x
x
x
x
x
=
+ − = −
+ − =
+ − =
−
cos 0
sin 1
sin 0
sin 1
x
x
x
x
=
=−
=
−
3
2
0
2
x
x
x
x
=−
=
=
=
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 78
Từ đó ta có bảng xét dấu của
y
:
+
+
3
π
2
π
2
π
π
2
3
π
2
π
2
π
0
0
0
0
0
+
+
0
2
π
y
/
x
Từ bảng xét dấu của
y
ta có hàm số có 3 điểm cực đại trên khoảng
( )
2 ;2
−
.
Câu 44. Chọn D
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Tam giác
SAB
vuông cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy nên
()⊥SH ABCD
. Đặt
( )
,0=AB x x
. Ta có
2
=
x
SH
.
Ta có
2
1
. . , . 2
24
= = = =
SAB ABCD
x
S SH AB S AB AD xa
.
2 2 2
22
33 33
2 8 . 33 0
4 4 4
+ = + = + − =
SAB ABCD
a x a
S S xa x a x a
( ) ( )
11 . 3 0 3 + − = =x a x a x a
.
Khi đó
2
3
6;
2
==
ABCD
a
S a SH
.
Suy ra
23
.
1 1 3
. . . .6 3
3 3 2
= = =
S ABCD ABCD
a
V SH S a a
.
Câu 45. Chọn A
( )
(
)
(
)
3
22
2 log 1 2 3log 1
xx
f x e m x mx e m x x
−−
= − + − = − + −
.
( )
(
)
(
)
3
22
2 log 1 2 3log 1
xx
f x e m x mx e m x x− = − + + = − + +
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 79
Điều kiện xác định của
( )
fx
và
( )
fx−
là:
(
)
(
)
2
2
2
2
10
10
0
10
10
+ −
+ −
+ +
+ +
m x x
m x mx
m
m x mx
m x x
, vì
2
2
1 0,
1 0,
x x x
x x x
+ −
+ +
.
Khi đó:
( ) ( )
( )
(
)
(
)
2 2 2
2 3log 1 1
−
+ − = + − + − + +
xx
f x f x e e m x x x x
( )
2 6log
xx
e e m
−
= + −
.
( ) ( )
0, 3log ,
xx
f x f x x m e e x
−
+ − +
, (*).
Có
2 . 2,
−−
+ =
Cauchy
x x x x
e e e e x
. Dấu
""=
khi và chỉ khi
0
xx
e e x
−
= =
.
Suy ra (*)
( )
2
3
3log min 3log 2 0 10 4,6
xx
m e e m m
−
+
.
Mà
m
suy ra
1,2,3,4m
. Vậy có
4
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn đề bài.
Câu 46. Chọn D
Gọi
M
là trung điểm của
11
AC
.
Ta có:
1 1 1 1
..
11
.30 10
33
B ABC ABC A B C
VV= = =
.
1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
1 1 1 1 1
. . .30 5
2 2 3 2 3
C B C M C A B C ABC A B C
V V V= = = =
.
1 1 1 1
.
5
A A B M CB C M
VV==
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 80
Mà
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . . . .
30
ABC A B C B ABC C B C M A A B M C AB M
V V V V V= + + + =
. Suy ra
1
.
10
C AB M
V =
.
Mặt khác
1
11
1
.
1 1 1
..
. 1 1 1
1 2 1 1 10
. . .1.
2 3 3 3 3
B OCG
B OCG B ACM
B ACM
V
BO B C BG
VV
V B A BC B M
= = = = =
.
Câu 47. Chọn D
( ) ( )
32
21
8 3.2 9.2 2 6 0 2 6. 2 9.2 2 6 0
x x x x x x
mm
+
− + − + = − + − + =
( )
1
.
Đặt
2
x
t =
,
0t
.
Ta có phương trình
3 2 3 2
6 9 2 6 0 6 9 6 2t t t m t t t m− + − + = − + + =
( )
2
.
Phương trình
( )
1
có ít nhất hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
2
có ít nhất hai nghiệm
phân biệt trên khoảng
( )
0;+
.
Số nghiệm của phương trình
( )
2
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
32
6 9 6f t t t t= − + +
và đường
thẳng
2ym=
.
Xét hàm số
( )
32
6 9 6f t t t t= − + +
,
0t
.
( )
2
3 12 9f t t t
= − +
;
( )
1
0
3
t
ft
t
=
=
=
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra
6 2 10 3 5mm
. Vì
m
nên
4;5m
.
Vậy có hai giá trị nguyên của
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 48. Chọn D
- Hàm số
( )
32
ln 3 72y x m x m= − +
xác định trên
( )
0;+
32
3 72 0, 0x m x m x − +
.
- Xét hàm số
( )
32
3 72f x x m x m= − +
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 81
Ta có
( )
22
33f x x m
=−
,
( )
22
0 3 3 0
xm
f x x m
xm
=
= − =
=−
.
Với
m
nguyên dương, ta có bảng biến thiên
Do đó
( )
3
6
0, 0 2 72 0
06
m
f x x m m
m
−
− +
.
Vì
1;2;3;4;5mm
+
.
Vậy có 5 giá trị nguyên dương của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49. Chọn D
( )
x
y
fx
=
xác định khi:
( )
0
0
x
fx
.
Ta có bảng biến thiên của
( )
fx
trên
)
0;+
như sau:
Đồ thị hàm số
( )
x
y
fx
=
có 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
( )
0fx=
có 2 nghiệm phân
biệt thuộc
)
0;+
1 1 66 0 − − mmm
.
Vậy có 5 giá trị nguyên của
m
thỏa mãn đề.
Chú ý:
Khi
6m =
thì
( )
0fx=
có nghiệm
0x =
và nghiệm
0
2x
. Do đó
( ) ( ) ( )
0
.f x x x x g x=−
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 82
Dễ thấy
0
xx=
cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
x
y
fx
=
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
00
0
0
1
lim lim lim
..
..
+ + +
→ → →
= = = +
−
−
x x x
xx
f x x x x g x
x x x g x
0x=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
x
y
fx
=
.
Do đó với
6m =
, đồ thị hàm số
( )
x
y
fx
=
có 2 tiệm cận đứng.
Câu 50. Chọn D
Điều kiện xác định:
x
.
Ta có phương trình
( )
2
2
10
35
m
fx
xx
+ − =
++
( )
( ) ( )
2
2
1
1 1 3
m
fx
xx
+ =
+ + + +
( )
1
.
Đặt
1tx=+
, khi đó
1 1 0 2xt−
.
Phương trình
( )
1
trở thành
( )
2
2
3
m
ft
tt
=
++
( )
( )
22
3t t f t m + + =
( )
2
.
Xét hàm số
( )
( )
( )
2
3g t t t f t= + +
trên khoảng
( )
0;2
.
+
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 1 . 3 .g t t f t t t f t
= + + + +
.
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x=
suy ra
( ) ( )
( ) ( )
0, 0;2
0, 0;2
f t t
f t t
.
Mặt khác,
( )
2
2 1 0, 3 0, 0;2t t t t+ + +
( ) ( )
0, 0;2g t t
.
+
( ) ( )
0 3. 0 0gf==
,
( ) ( )
2 9. 2 36gf==
.
Bảng biến thiên của hàm số
( )
y g t=
trên khoảng
( )
0;2
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 83
Phương trình đã cho có nghiệm
( )
1;1x−
khi và chỉ khi phương trình
( )
2
có nghiệm
( )
0;2t
2
0 36m
.
Mà
m
nguyên nên
1; 2; 3; 4; 5m
.
Vậy có
10
giá trị của tham số
m
thỏa mãn bài toán.
--------------HẾT---------------
ĐỀ 64
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên bằng - 1.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3. D. Hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 2: Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 1, 2, 3 bằng:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 6
Câu 3: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.
32
3 2 y x x= − + +
B.
3
32y x x= − +
C.
42
2 2 y x x= − + −
D.
32
32y x x= − +
Câu 4: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
1
2
a
a
log ab log b=
B.
( )
2
22
a
a
log ab log b=+
C.
( )
2
1
4
a
a
log ab log b=
D.
( )
2
11
22
a
a
log ab log b=+
Câu 5: Cho hàm số
2 1
3 2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (C) có tiệm cận đứng
2
.
3
x =
B. (C) có tiệm cận đứng
2
.
3
x =−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 84
C. (C )có tiệm cận ngang y =
2
.
3
−
D. (C) có tiệm cận ngang
1
.
2
y =−
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số
( )
x
f x x e=+
là:
A.
( )
1
x
F x e C= + +
B.
( )
2
2
x
x
F x e C= + +
.
C.
( )
2
2
x
xe
F x C
+
=+
D.
( )
2
ln2
2
x
x
F x e C= + +
Câu 7: Tập nghiệm S của bất phương trình
13
2 16
x−
là:
A.
1
;
3
S
= −
B.
1
;
3
S
= +
C.
(
;1S = − −
D.
)
1;S = − +
Câu 8: Cho cấp số cộng
( )
n
u
xác định bởi
1
1u =−
, công sai d = 2. Giá trị
5
u
bằng:
A. 7 B. -5 C. 9 D.
3−
Câu 9: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào xác định với mọi giá trị thực của x?
A.
( )
1
3
21yx=−
B.
( )
1
2
3
21yx
−
=+
C.
( )
3
12yx
−
=−
D.
( )
3
12yx=+
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( )
2;3; 1A −
và
( )
4; 1;9B −
. Vecto
AB
có tọa độ là:
A.
( )
2;4;8−
B.
( )
6; 2;10−−
C.
( )
3; 1;5−−
D.
( )
6;2; 10−
Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau”
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
( )
;2 .−
B. Hàm số đồng biến trên
( )
1; .− +
C. Hàm số nghịch biến trên
( )
3; +
D. Hàm số nghịch biến trên
( )
1;3 .
Câu 12: Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
2
1
2
n
nn
C
−
=
B.
( )
2
1
n
C n n=−
C.
2
2
n
Cn=
D.
( )
2
!1
2
!
n
nn
C
−
=
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm
( )
1; 3; 5M −−
trên trục Ox có tọa độ
là:
A.
( )
0; 3;5−
B.
( )
1;0;0
C.
( )
1;0; 5−
D.
( )
0;0; 5−
Câu 14: Cho hàm số f (x) thỏa mãn
( ) ( )
23
12
3, 4f x dx f x dx= − =
. Khi đó giá trị của
( )
3
1
f x dx
bằng:
A. -7 B. 7 C. 1 D. -12
Câu 15: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy r và độ dài đường
sinh l là:
A.
.
xq
S rl=
B.
2
xq
S rl
=
C.
xq
S rl
=
D.
2
xq
S rl=
Câu 16: Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
2
8
1
xx
fx
x
−
=
+
trên đoạn
1;3
bằng:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 85
A.
7
–
2
B.
15
4
−
C. -3 D. - 4
Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
( )
2 2 2 2
: 6 4 9 0S x y z x z m+ + + − + − =
. Gọi T
là tập các giá trị của m để mặt cầu (S )tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của m trong T bằng:
A. -5 B. 5 C. 0 D. 4
Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto
( )
;2;3am=
và
( )
1; ;2bn=
cùng phương thì
23mn+
bằng
A. 6 B. 9 C. 8 D. 7
Câu 19: Cho mặt cầu
( )
;S I R
và mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng
.
2
R
Khi đó giao của (P) và (S)
là một đường tròn có chu vi bằng:
A.
2 R
B.
23R
C.
3R
D.
R
Câu 20: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương
trình
( )
2fx=
là:
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
Câu 21: Đạo hàm của hàm số
( )
2
3
1y log x=+
tại điểm x = 1 bằng:
A.
3
2
ln
B. ln3 C.
1
23ln
D.
1
3ln
Câu 22: Hàm số:
32
3 9 7y x x x= − − +
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
(1; +
) B.
( )
5; 2−−
C.
( )
;1 −
D.
( )
1;3−
Câu 23: Cho khối chóp SABCD có thể tích bằng
3
4a
, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a
2
. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng ( SAB ).
A. 12a B. 6a C. 3a D. 4a
Câu 24: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có diện tích mặt chéo
''ACC A
bằng
2
2 2 .a
Thể tích
của khối lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
bằng:
A.
3
a
B.
3
2a
C.
3
2 a
D.
3
22a
Câu 25: Với các số a , b > 0 thỏa mãn
22
6a b ab+=
, biểu thức
( )
2
log a b+
bằng:
A.
( )
22
1
3
2
log a log b++
B.
( )
22
1
1
2
log a log b++
C.
( )
22
1
1
2
log a log b++
D.
( )
22
1
2
2
log a log b++
Câu 26: Cho hình chóp SABC có
2BC a=
, các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng SB
và AC bằng:
A.
0
60
B.
0
90
C.
0
30
D.
0
120
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 86
Câu 27: Bất phương trình
( )
2
21
2
11
4 5
27
log x x log
x
+ −
+
có tập nghiệm là khoảng
( )
;.ab
Giá trị của
5ba−
bằng:
A. 20 B. - 34 C. – 20 D. 34
Câu 28: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
3
12y x x= − +
và
2
.yx=−
Diện tích của (H)
bằng:
A.
343
12
B.
793
4
C.
397
4
D.
937
12
Câu 29: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có
( ) ( )
13
00
2 ; 6.f x dx f x dx==
Giá trị của
( )
1
1
21fxx d
−
−
bằng:
A.
2
3
B. 4 C.
3
2
D. 6
Câu 30: Chị X gửi ngân hàng 20 000 000 đồng với lãi suất 0,5%/ tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập
vào tiền gốc để tính lãi tháng sau). Hỏi sau 1 năm chị X nhận được bao nhiêu tiền, biết trong một năm đó
chị X không rút tiền lần nào vào lãi suất không thay đổi (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 21 233 000 đồng B. 21 235 000 đồng C. 21 234 000 đồng D. 21 200 000 đồng
Câu 31: Cho hàm số
( ) ( )
32
0y f x ax bx cx d a= = + + +
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình
( )
( )
0f f x =
có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. 5 B. 9 C. 3 D. 7
Câu 32: Cho hình chóp
. S ABC
có
3 , 2 , 3SA SB SC a AB AC a BC a= = = = = =
. Thể tích của khối chóp
S. ABC bằng:
A.
3
5
2
a
B.
3
35
2
a
C.
3
35
6
a
D.
3
5
4
a
Câu 33: Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f '(x) liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f (2
- x) đồng biến trên khoảng:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 87
A. (1;3) B. (2;+∞) C. (- 2;1) D. (-∞ ;2)
Câu 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
( )
16 2.12 2 .9 0
x x x
m− + − =
có nghiệm dương?
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
Câu 35: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc
0
3
60 , .
2
a
BAD SA SB SD = = = =
Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( SBC ) . Giá trị
cosα bằng:
A.
1
3
B.
5
3
C.
2
3
D
2 2
.
3
Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
3
3y x x m= − +
có 5 điểm
cực trị?
A. 5 B. 3 C. 1 D. vô số
Câu 37: Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp độc lập. Gọi a là số chấm
xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình
2
0x ax b+ + =
có nghiệm bằng:
A.
17
36
B.
19
36
C. 12 D.
4
9
Câu 38: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Hình trụ (T) có một đường tròn đáy là đường tròn nội
tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD . Diện tích xung quanh của (T) bằng:
A.
16 2
3
B.
82
C.
16 3
3
D.
8 3
Câu 39: Biết
( )
2
1
1 1
dx
I a b c
x x x x
= = − −
+ + +
với
,,abc
là các số nguyên dương. Giá trị
abc++
bằng:
A. 24 B. 12 C. 18 D. 46
Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 2;3;0 , 0;0;3A B C
. Tập hợp các
điểm
( )
;;M x y z
thỏa mãn
2 2 2
23MA MB MC+ + =
là mặt cầu có bán kính bằng:
A. 3 B. 5 C.
3
D.
23
Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5A B C− − −
.
Gọi
( )
;;D a b c
là chân đường phân giác trong của góc B của tam giác
.ABC
Giá trị của
2a b c++
bằng:
A. 4 B. 5 C. 14 D. 15
Câu 42: Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục
tung mà cắt các đồ thị
,
ab
y log x y log x==
và trục hoành lần lượt tại A, B và H phân biệt ta đều có
34HA HB=
(hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 88
A.
34
1ab =
B.
34ab=
C.
4 3 ab=
D.
43
1ab =
Câu 43: Cho hàm số f ( x) xác định trên
1
\
2
thỏa mãn
( ) ( )
2
' , 0 1
21
f x f
x
==
−
và
( )
12f =
. Giá trị
của biểu thức
( ) ( )
13ff−+
bằng:
A. 4 + ln15 B. 2 + ln15 C. 3 + ln15 D. ln15
Câu 44: Cho khối chóp S. ABC có các góc phẳng ở định S bằng
0
60 , 1, 2, 3.SA SB SC= = =
Thể tích của
khối chóp S. ABC bằng:
A.
2
72
B.
6
2
C.
2
2
D.
3
2
Câu 45: Cho hình chóp có
( )
, 3, 2SA ABC AB AC⊥ = =
và
0
60BAC=
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
của A trên SB , SC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCNM .
A.
2 R =
B.
21
3
R =
C.
4
3
R =
D. R = 1
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
1
5
mx
xm
y
+
+
=
đồng biến trên khoảng
1
;
2
+
A.
;1( 1)m−
B.
1
;1
2
m
C.
1
;1
2
m
−
D.
1
;1
2
m
Câu 47: Trong tất cả các cặp số thực (x; y ) thỏa mãn
( )
22
3
2 2 5 1,
xy
log x y
++
+ +
có bao nhiêu giá trị thực
của m để tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) sao cho
22
4 6 13 0x y x y m+ + + + − =
.
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Câu 48: Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có
23AB =
và
' 2.AA =
Gọi
,,M N P
lần lượt là
trung điểm các cạnh
' ', ' 'A B A C
và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )
''AB C
và ( MNP ) bằng:
A.
6 13
65
B.
13
65
C.
17 13
65
D.
18 13
65
Câu 49: Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
2
' , 0.
xcosx sinx
f x x
x
−
=
Số điểm cực trị của hàm số đã
cho trên khoảng
( )
0;100
là:
A. 100 B. 1 C. 99 D. 0
Câu 50: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên.
Gọi
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 89
( ) ( )
32
11
2019
32
g x f x x x x= − + + −
. Biết
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 2g g g g− + +
. Với
1;2x−
thì g(x) đạt giá trị
nhỏ nhất bằng:
A. g (2) B. g (1) C. g (-1) D. g (0)
-----------HẾT----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
1-C
2-D
3-D
4-D
5-B
6-B
7-C
8-A
9-B
10-B
11-D
12-A
13-B
14-C
15-C
16-A
17-A
18-D
19-C
20-B
21-D
22-B
23-C
24-D
25-A
26-A
27-C
28-D
29-B
30-C
31-D
32-D
33-C
34-B
35-C
36-B
37-B
38-A
39-D
40-C
41-B
42-D
43-C
44-C
45-B
46-C
47-C
48-B
49-C
50-A
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB) - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Ta có:
0
xx=
là điểm cực tiểu của hàm số
( )
y f x=
⇔ tại điểm
0
xx=
thì hàm số có y’ đổi dấu từ âm
sang dương.
Ta có:
0
xx=
là điểm cực đại của hàm số
( )
y f x=
⇔ tại điểm
0
xx=
thì hàm số có y’ đổi dấu từ dương
sang âm.
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạy cực đại tại điểm
1x =
và đạt cực tiểu tại
3. x =
Chọn C.
Câu 2 (NB) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a,b, c là .
V abc=
Cách giải:
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 1, 2, 3 là:
1.2.3 6.V ==
Chọn D.
Câu 3 (NB) - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Phương pháp:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 90
Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét tính đơn điệu của hàm số và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua để từ đó
chọn hàm số đúng.
Cách giải:
Ta thấy đồ thị hàm số có nét cuối đi lên nên
0a
loại đáp án A và C.
Hàm số có hai điểm cực trị là
0x =
và
2. x =
+) Xét đáp án B:
3
3 2 y x x= − +
có
2
' 3 3yx=−
2
1
' 0 3 3 0
1
x
yx
x
=
= − =
=−
Hàm số có hai điểm cực trị là x = -1 và x = 1.
⇒ loại đáp án B.
Chọn D.
Câu 4 (TH) - Lôgarit
Phương pháp:
Sử dụng các công thức:
; log
1
log ; log log
a a a a a a
m
a a a a
x
log xy log x log y log x log y
y
log x x m x
n
= + = −
==
(giả sử các biểu thức xác định).
Cách giải:
Ta có:
( )
2 2 2
1 1 1 1
.
2 2 2 2
a a a
a a a
log ab log a log b log a log b log b= + = + = +
Chọn D.
Câu 5 (TH) - Đường tiệm cận
Phương pháp:
Đường thẳng x = a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số
( )
( )
( )
lim
xa
gx
y f x
hx
→
= = =
Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số
( ) ( )
lim
x
y f x f x b
→
= =
Cách giải:
Ta có: (C ) :
21
3 2
x
y
x
−
=
+
TXĐ:
2
\
3
D
=−
2
3
x = −
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chọn B.
Câu 6 (TH) – Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản.
Cách giải:
Ta có:
( ) ( )
( )
2
.
2
xx
x
F x f x dx x e dx e C= = + = + +
Chọn B.
Câu 7 (TH) - Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Phương pháp:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 91
Giải bất phương trình mũ
1
0 1
xb
a
xb
aa
a
xb
Cách giải:
Ta có:
1 3 1 3 4
2 16 2 2 1 3 4 1.
xx
xx
−−
− −
(
1 .;S = − −
Chọn C.
Câu 8 (TH) - Cấp số cộng (lớp 11)
Phương pháp:
Công thức tổng quát của CSC có số hạng đầu là u 1và công sai
( )
1
: 1 .
n
d u u n d= + −
Cách giải:
Ta có:
51
4 1 4.2 7u u d= + = − + =
.
Chọn A.
Câu 9 (TH) - Hàm số lũy thừa
Phương pháp:
Hàm số x nxác định
( )
\0
0;
x khi n
x khin
x khin
+
−
+
Cách giải:
+) Xét đáp án A: Hàm số
( )
1
3
21yx=−
xác định ⇔
1
2 1 0
2
xx−
⇒ loại đáp án A.
+) Xét đáp án B: Hàm số
( )
1
2
3
2 1 yx
−
=+
xác định ⇔
2
2 1 0xx+
⇒ chọn đáp án B.
Chọn B.
Câu 10 (TH) - Hệ tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Cho hai điểm
( )
1 1 1
;;A x y z
và
( ) ( )
2 2 2 2 1 2 1 2 1
; ; ; ; B x y z AB x x y y z z = − − −
Cách giải:
Ta có:
( )( )
2;3; 1A −
và
( ) ( )
4;1;9 6; 2;10 .B AB− − −
Chọn B.
Câu 11 (NB) - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên
( ) ( ) ( )
; ' 0 ;a b f x x a b
.
Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên
( ) ( ) ( )
; ' 0 ; .a b f x x a b
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên
( ;1)−
và
( )
3; +
. Hàm số nghịch biến trên
(1;3)
.
Chọn D.
Câu 12 (NB) - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp (lớp 11)
Phương pháp:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 92
Sử dụng các công thức:
( ) ( )
!!
,
! ! !
kk
nn
nn
CA
k n k n k
==
−−
Cách giải:
+) Xét đáp án A:
( )
( )( )
( )
( )
2
1 2 1
!
2! 2 ! 2 2 ! 2
n
n n n n n
n
C
nn
− − −
= = =
−−
⇒ Đáp án A đúng.
Chọn A.
Câu 13 (TH) - Hệ tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Cho điểm
( )
;;M a b c
thì
( ) ( ) ( )
1 2 3
;0;0 , 0; ;0 , 0;0;M a M b M c
lần lượt là hình chiếu của M trên các trục
, , .Ox Oy Oz
Cách giải:
Ta có: hình chiếu của
( )
1; 3; 5M −−
trên trục Ox là:
( )
1
1;0;0 .M
Chọn B.
Câu 14 (TH) - Tích phân
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng:
( ) ( ) ( )
0
bb
aa
kf x dx k f x dx k=
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx=+
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx x dx f x dg x g x =
Cách giải:
Ta có:
( ) ( ) ( )
3 2 3
1 1 2
3 4 1f x dx f x dx f x dx= + = − + =
Chọn C.
Câu 15 (NB) - Mặt nón
Phương pháp:
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h và đường sinh l :
.
xq
S Rl
=
Cách giải:
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy ,r chiều cao h và đường sinh l :
xq
S rl
=
.
Chọn C.
Câu 16 (TH) - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp:
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên
;ab
bằng cách:
+) Giải phương trình y ' = 0 tìm các nghiệm
.
i
x
+) Tính các giá trị
( ) ( ) ( )
, ),;(
ii
f a f b f x x a b
. Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
;;
; ; , ; ;
ii
a b a b
min f x min f a f b f x max f x max f a f b f x==
.
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
;.ab
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 93
Cách giải:
Xét hàm số
( )
2
8
1
xx
fx
x
−
=
+
trên
1;3
ta có:
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
222
2 8 1 8
2 6 8 8 2 8
'
1 1 1
x x x x
x x x x x x
fx
x x x
− + − +
− − − + + −
= = =
+ + +
( )
2
2 1;3
' 0 2 8 0
4 1;3
x
f x x x
x
=
= + − =
= −
( )
( )
( )
( )
1
2
1;3
3
7
2
7
4
2
15
4
f
f Max f x
f
=−
= − = −
=−
Chọn A.
Câu 17 (TH) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I và bán kính ,R khi đó (S) tiếp xúc với (P)
( )
( )
;.d I P R=
Cách giải:
Ta có mặt cầu
( )
2 2 2 2
: 6 4 9 0S x y z x z m+ + + − + − =
có tâm
( )
3;0;2I −
và bán kính
22
9 4 9 4. R m m= + − + = +
Phương trình mặt phẳng
( )
: 0.Oyz x =
Mặt cầu (S) tiếp xúc với ( Oxy ) ⇔
( )
( )
;d I Oxy R=
2 2 2
5
3
4 4 9 5
1
5
m
m m m
m
=
−
= + + = =
=−
( )
12
. 5. 5 5. mm = − = −
Chọn A.
Câu 18 (TH) - Hệ tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Vecto
a
và veco
b
cùng phương
( )
0a kb k =
Cách giải:
Ta có: hai vecto
( )
;2;3am=
và
( )
1; ;2bn=
cùng phương
( )
0a kb k =
( ) ( )
2
3
3
;2;3 1; ;2 2
2
32
4
3
k
mk
m k n kn m
k
n
=
=
= = =
=
=
34
2 3 2. 3. 7
23
mn + = + =
Chọn D.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 94
Câu 19 (TH) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Phương pháp:
Cho mặt cầu
( )
;S I R
và mặt phẳng (P) cách I một khoảng bằng d thì giao của (P)và (S) là đường tròn
bán kính
22
.r R d=−
Cách giải:
Theo đề bài ta có:
( )
( )
;
2
R
d I P =
.Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến của (P) và (S) là:
2
2 2 2
3
.
22
RR
r R d R
= − = − =
⇒ Chu vi của đường tròn giao tuyến là:
3
2 2 . 3
2
R
C r R
= = =
Chọn C.
Câu 20 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x=
suy ra đồ thị hàm số
( )
y f x=
bằng cách giữ lại phần đồ thị phía trên trục ,
Ox
lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox lên phía trên trục . Ox
Số nghiệm của phương trình
( )
2fx=
là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
2. y =
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
y f x=
để tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Cách giải:
Số nghiệm của phương trình
( )
2fx=
là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
2. y =
Ta có đồ thị hàm số
( )
y f x=
như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng
2y =
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại 4 điểm phân biệt.
Chọn B.
Câu 21 (TH) – Hàm số lôgarit
Phương pháp:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 95
Sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số logarit:
( )
( )
( )
'
'.
a
fx
log f x
f x lna
=
Cách giải:
Ta có:
( )
2
3
1y log x=+
( )
( )
( )
22
2 2.1 1
' ' 1 .
3
1 3 1 1 3
x
yy
ln
x ln ln
= = =
++
Chọn D.
Câu 22 (TH) - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
Hàm số y = f (x ) đồng biến trên
( ) ( ) ( )
; ' 0 ; .a b f x x a b
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên
( ) ( ) ( )
; ' 0 ; .a b f x x a b
Cách giải:
Ta có:
3 2 2
3 9 7 ' 3 6 9y x x x y x x= − − + = − −
Hàm số đã cho đồng biến
2
1
' 0 3 6 9 0
3
x
y x x
x
−
− −
⇒ Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
( ; 1)− −
và
( )
3; .+
Trong các đáp án ta thấy:
( ) ( )
5; 2 ; 1− − − −
⇒ chọn B.
Chọn B.
Câu 23 (VD) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Sử dụng công thức:
3V
h
S
=
.
Cách giải:
Ta có:
3
24
SABCD SABD
V V a==
⇒
( )
( )
3
1
2 ; .
3
SABD SAB
V a d D SAB S==
⇔
( )
( )
3
2
3.2
; 6 .
a
d D SAB a
a
==
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1
; 2 ;
2
d M SAB
MS
d D SAB d M SAB
DS
d D SAB
= = =
⇒
( )
( )
( )
( )
1 1
; ; .6 3
22
d M SAB d D SAB a a= = =
.
Chọn C.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 96
Câu 24 (TH) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Thể tích khối lập phương cạnh a là
3
.Va=
Cách giải:
Gọi cạnh của khối lập phương là:
( )
0 .xx
⇒
2 AC x=
⇒
2
''
'. . 2 2 2
ACC A
S AA AC x x a= = =
⇔
22
2 2 2 2.x a x a= =
( )
3
3
' ' ' '
2 2 2
ABCDA B C D
V a a==
Chọn D.
Câu 25 (TH) - Lôgarit
Phương pháp:
Sử dụng các công thức:
log log ; log log
1
log log ;log log
n
a a a a a a
m
a a a
a
x
xy x log y x log y
y
x x x m x
n
= + = −
==
(giả sử các biểu thức xác định).
Cách giải:
Ta có:
( )
2
2 2 2 2
6 2 8 8a b ab a ab b ab a b ab+ = + + = + =
⇒
( )
2
22
8 log a b log ab+=
⇔
( )
2 2 2 2
2 8 log a b log log a log b+ = + +
⇔
( ) ( )
2 2 2
1
3 .
2
log a b log a log b+ = + +
Chọn A.
Câu 26 (VD) - Hai đường thẳng vuông góc (lớp 11)
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa đường thẳng
', 'ab
với
/ / ', / / '.a a b b
Cách giải:
Ta có:
;2AB AC a BC a ABC= = =
vuông cân tại .A
Gọi H là trung điểm của
( )
.BC SH ABC⊥
Dựng
//BD AC ABDC
là hình vuông.
⇒
( ) ( )
; ; .SB AC SB BD SBD = =
Ta có:
SB SD BD a SBD= = =
là tam giác đều
⇒
( )
0
60 ; .SBD SB AC = =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 97
Chọn A.
Câu 27 (TH) - Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Phương pháp:
Giải bất phương trình log
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
01
aa
a
f x g x
log f x log g x
a
f x g x
Cách giải:
( )
( )
2
21
2
11
4 5 *
2 7
log x x log
x
+ −
+
Điều kiện:
2
1
1
4 5 0
5
75
70
7
x
x
xx
x
x
x
x
+ −
−
− −
+
−
( ) ( )
1
2
22
* log 4 5 log 7x x x
−
+ − − +
( )
2
22
log 4 5 log 7x x x + − +
2
4 5 7x x x + − +
( ) ( )
2
2
4 5 7 7 0x x x do x + − + +
22
4 5 14 49x x x x + − + +
10 54x −
27
5
x −
Kết hợp với điều kiện ta thấy tập nghiệm của bất phương trình là:
7
27
7;
27
5
.
5
a
S
b
=−
= − −
=−
⇒
( )
27
5 5. 7 20.
5
ba
− = − − − = −
Chọn C.
Câu 28 (VD) - Ứng dụng của tích phân trong hình học
Phương pháp:
Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng
( )
,x a x b a b= =
và các đồ thị
hàm
số
( ) ( ) ( ) ( )
, : .
b
a
y f x y g x là S f x g x dx= = = −
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
3
12y x x= − +
và
2
yx=−
ta được:
3 2 3 2
0
12 12 0 3
4
x
x x x x x x x
x
=
− + = − − − = = −
=
( ) ( )
04
2 3 3 2
30
12 12
H
S x x x dx x x x dx
−
= − + − + + +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 98
04
3 4 4 3
22
30
66
3 4 4 3
x x x x
xx
−
− + − + − − +
99 160 937
4 3 12
+=
Chọn D.
Câu 29 (VD) – Tích phân
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tích phân:
( ) ( ) ( )
.
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+=
Sử dụng phương pháp tích phân đổi biến.
Cách giải:
Ta có:
( )
( ) ( )
1
11
2
1
11
2
2 1 2 1 2 1 f x dx f x dx f x dx
−−
− = − − + −
Đặt
( ) ( )
1
2
2
12
1
1
2
2 1 ; 2 1 I f x dx I f x dx
−
= − − −
Tính
( )
1
2
1
1
21I f x dx
−
= − −
Đặt
1
2 1 2
2
x t dt dx dx dt− − = = − = −
Đổi cận:
13
1
0
2
xt
xt
= − =
= =
⇒
( ) ( ) ( )
0 3 3
1
3 0 0
1 1 1 1
.6 3
2 2 2 2
I f t dt f t dt f x dx= − = = = =
Tính
( )
1
2
1
2
21I f x dx=+
Đặt
1
2 1 2
2
x t dt dx dx dt− = = =
Đổi cận:
1 1
1
0
2
xt
xt
= =
= =
( ) ( )
11
2
00
1 1 1
.2 1
2 2 2
I f t dt f x dx= = = =
12
3 1 4I I I = + = + =
Chọn B.
Câu 30 (TH) - Hàm số mũ
Phương pháp:
Gửi A đồng với lãi suất %r sau kì hạn n thì số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được là:
( )
1.
n
T A r=+
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 99
Sau 1 năm, chị X nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là:
( )
12
20000000 1 0,5% 21234000T = +
đồng.
Chọn C.
Câu 31 (VD) - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình
( )
f x m=
là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng y =
m có tính chất song song với trục hoành.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2; 1 1
0 0;1 2
1;2 3
f x a
f f x f x b
f x c
= − −
= =
=
Xét phương trình (1): số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường
thẳng
y = a với
2)( ;1a − −
) song song với trục hoành, do đó phương trình (1) có 1 nghiệm.
Tương tự ta có:
Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của 3 phương trình (1), (2), (3) đôi một phân biệt.
Vậy phương trình ban đầu có 7 nghiệm phân biệt.
Chọn D.
Câu 32 (VD) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra
( )
. SO ABC⊥
- Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Hê-rông:
( )( )( )
S p p a p b p c= − − −
với a , b , c là độ
dài 3
cạnh của tam giác, p là nửa chu vi của tam giác.
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
.
4
abc
R
S
=
- Áp dụng định lí Pytago tính đường cao của khối chóp.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp
1
. .
3
day
V S h=
Cách giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA = SB = SC ( gt ) nên SO ⊥ ( ABC ) .
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC ta có
7
22
AB BC CA a
p
++
==
.
Suy ra
( )( )( )
2
37
4
ABC
a
S p p AB p BC p CA= − − − =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 100
OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC nên
2
. . 2 .3 .2 4 7
.
4 7
3 7.
4.
4
ABC
AB BC CA a a a a
OA
S
a
= = =
Vì SO ⊥ ( ABC ) nên SO ⊥ OA , do đó tam giác SOA vuông tại O.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA ta có:
2
2 2 2
16 35
3 .
77
aa
SO SA OA a= − = − =
Vậy
23
.
1 1 35 3 7a 5
. . . .
3 3 7 4 4
S ABC ABC
aa
V SO S= = =
Chọn D.
Câu 33 (VD) - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm khoảng của x để đạo hàm dương.
Cách giải:
Đặt
( ) ( )
2g x f x=−
ta có
( ) ( )
: ' ' 2 . g x f x= − −
Xét
( ) ( )
' 0 ' 2 0. g x f x −
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
( )
2 1 3
' 2 0
1 2 4 2 1
xx
fx
xx
−
−
− −
.
Vậy hàm số
( )
2y f x=−
đồng biến trên
( )
3; +
và
( )
2;1 . −
Chọn C.
Câu 34 (VD) - Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Phương pháp:
- Chia cả 2 vế của phương trình cho
9 .
x
- Đặt ẩn phụ
4
x
t
x
=
lập BBT và kết luận.
Cách giải:
Chia cả 2 vế của phương trình cho
9
x
ta được:
( )
16 2.12 2 .9 0
x x x
m− + − =
⇔
2
44
2. 2 0
33
xx
m
− + − =
Đặt
4
0
3
x
t
=
, phương trình trở thành:
( )
2
2 2 0 * t t m− + − =
Để phương trình ban đầu có nghiệm x > 0 thì phương trình (*) có nghiệm t > 1 .
Xét hàm số
( )
2
2 2 0f t t t m= − + − =
ta có BBT:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 101
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm
1t
khi và chỉ khi
3 0 3mm−
.
Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta có
1;2 . m
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 35 (VDC) - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Toán 11)
Cách giải:
Xét tam giác ABD có:
0
60
AB AD
ABD
BAD
=
=
đều.
Gọi H là trọng tâm ∆ ABD, do
SA SB SD==
nên
( )
. SH ABCD⊥
Gọi M là trung điểm của AD, ta có
BM AD BM BC⊥ ⊥
.
Ta có:
)(
BC BM
BC SBM
BC SH
⊥
⊥
⊥
.
Gọi N, E lần lượt là trung điểm của BC và SC ta có:
//
BN DM
BNDM
BN DM
=
là hình bình hành
//DN BM
Lại có NE là đường trung bình của tam giác SBC nên
/ / NE SB
⇒
( ) ( )
./ /NDE SBM
Mà
( )
BC SBM⊥
nên
( )
. BC NDE⊥
Trong
( )
NDE
kẻ
()DK NE K NE⊥
ta có:
( )
( )
( )
DK NE
DK SBC
DK BC BC NDE
⊥
⊥
⊥⊥
.
⇒ Hình chiếu của SD lên (SBC) là SK .
( )
( )
( )
; ; . SD SBC SD SK DSK = =
Xét tam giác SHA có
2 3 3
, .
3 3 2
aa
AH AO SA= = =
Áp dụng định lí Pytago ta có:
22
1 5
6
a
SH SA AH= − =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 102
Ta có:
23
2 3 .
3
a
AC AO a HC AC AH= = = − =
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SHC ta có:
22
7
.
2
a
SC SH HC= + =
Xét tam giác SCD có:
2 2 2
2
2 4
SD CD SC
DE
+
=−
2
2
2
3
7
4
2 16
a
a
a
+
=−
⇒
7
4
a
DE =
Xét tam giác DNE ta có:
2 1 3 7
, , .
3 2 4 4
a a a
DN BM NE SB DE= = = = =
Gọi p là nửa chu vi tam giác DNE ta có:
7 3 3
.
8
p
+
=
Diện tích tam giác DNE là:
( )( )( )
2
5
16
DNE
a
S p p DN p DE p NE= − − − =
.
Lại có
2
1 15
. .
26
DNE
DNE
S
a
S DK NE DK
NE
= = =
Ta có:
( )
DK SBC DK SK⊥ ⊥
.
⇒ ∆ SDK vuông tại K , suy ra
15
5
6
3
3
2
a
DK
sin DSK
SD
a
= = =
Vậy
2
2
1 .
3
cos sin
= − =
Chọn C.
Câu 36 (VD) - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
có 2 điểm
cực trị
nằm về hai phía trục Ox .
Cách giải:
Xét hàm số
3
3y x x m= − +
ta có:
2
1
' 3 3 0
1
x
yx
x
=
= − =
=−
Với
1x =
thì
2. ym=−
Với
1x =−
thì
2. ym=+
Do đó hàm số
3
3y x x m= − +
có hai điểm cực trị
( ) ( )
1; 2 ; 1; 2 . A m B m− − +
Để hàm số
3
3y x x m= − +
có 5 điểm cực trị thì ,A B nằm khác phái đối với trục Ox .
⇒
( )( )
2 2 0 2 2. m m m− + −
Kết hợp điều kiện m nguyên suy ra
1;0;1 . m−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 103
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Câu 37 (VD) - Xác suất của biến cố (Toán 11)
Phương pháp:
- Tính ∆, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
- Xét từng giá trị của b , từng giá trị của a tương ứng.
Cách giải:
Không gian mẫu
( )
6.6 36. n = =
Phương trình
2
0x ax b+ + =
có nghiệm khi và chỉ khi
22
4 0 4a b a b = −
.
Do a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai nên
, 0;1;2;3;4;5;6 . a b X=
TH1:
2
1 4 2;3;4;5;6b a a=
Có 5 cách chọn a .
TH2:
2
2 8 3;4;5;6b a a=
Có 4 cách chọn a .
TH3:
2
3 12 4;5;6b a a=
Có 3 cách chọn a .
TH4:
2
4 16 4;5;6b a a=
Có 3 cách chọn a .
TH5:
2
5 20 5;6b a a=
Có 2 cách chọn a .
TH6:
2
6 24 5;6b a a=
Có 2 cách chọn a .
Gọi A là biến cố: “phương trình
2
0x ax b+ + =
có nghiệm”
( )
5 4 3 3 2 2 19. nA = + + + + + =
Vậy
( )
19
.
36
PA=
Chọn B.
Câu 38 (VD) – Mặt trụ
Phương pháp:
- Tính bán kính đường tròn nội tiếp đáy, sử dụng công thức
S
r
p
=
trong đó S, p lần lượt là diện tích và
nửa chu vi của tam giác.
- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của hình tứ diện.
- Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là
2 .
xq
S rh
=
Cách giải:
Tam giác BCD đều cạnh a nên
2
43
4 3.
4
BCD
S
==
Gọi p là nửa chu vi tam giác BCD ta có
3.4
6.
2
p ==
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD là
4 3 2 3
6 3
S
r
p
= = =
,
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 104
đây cũng chính là bán kính đáy của hình trụ.
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD ta có
( )
. AO BCD⊥
Xét tam giác vuông SOB có;
2 4 3 4 3
. , 4 .
3 2 3
BO AB= = =
2
2 2 2
4 3 4 6
4
33
AO AB BO
= − = − =
, đây cũng chính là chiều cao của hình trụ.
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là
2 3 4 6 16 2
2 . . .
3 3 3
xq
S
==
Chọn A.
Câu 39 (VD) – Tích phân
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biển, đặt
1. t x x= + +
Cách giải:
Ta có:
( )
( )
( )
22
11
11
11
dx dx
I
x x x x
x x x x
==
+ + +
+ + +
Đặt
1t x x= + +
ta có
( )
1 1 1
2 1 2
2 1
xx
dt dx
xx
xx
++
= + =
+
+
⇒
( )
2 2
.
1
1
dx dt dt
t
xx
xx
==
++
+
Đổi cận:
1 1 2
2 2 3
xt
xt
= = +
= = +
⇒
( ) ( )
23
23
2
12
12
2 2 2 2
2 3 2 2 2 1
2 3 1 2
dt
I
tt
+
+
+
+
= = − = − + = − − + −
++
=
2 3 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 32 12 2− + + − = − + − = − −
.
⇒
32, 12, 2. a b c= = =
Vậy
32 12 2 46. abc+ + = + + =
Chọn D.
Câu 40 (TH) – Hệ tọa độ trong không gian
Phương pháp:
- Tính độ dài đoạn thẳng AB biết
( ) ( )
; ; ; ; ;
A A A B B B
A x y z B x y z
, sử dụng công thức
( ) ( ) ( )
2 2 2
A B A B A B
AB x x y y z z= − + − + −
.
- Mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 2 2 0S x y z ax by cz d+ + − − − + =
có tâm
( )
;;I a b c
, bán kính
2 2 2
. R a b c d= + + −
Cách giải:
Ta có:
( )
2 2 2 2
1 MA x y z= − + +
( ) ( )
2
2 2 2
2 3 MB x y z= − + − +
( )
2
2 2 2
3 MC x y z= + + −
Theo bài ra ta có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 105
2 2 2
23MA MB MC+ + =
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 3 23 x y z x y z x y z− + + + − + − + + + + − =
⇔
2 2 2
3 3 3 6 6 6 0 x y z x y z+ + − − − =
⇔
2 2 2
2 2 2 0 x y z x y z+ + − − − =
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm
( )
1;1;1I
, bán kính
3. R =
Chọn C.
Câu 41 (VD) – Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
- Viết phương trình tham số của đường thẳng AC , tham số hóa tọa độ điểm D .
- Sử dụng tính chất đườn phân giác
DA BA
DC BC
=
BC .
Cách giải:
Ta có:
( )
5;5;6 . AC =−
Phương trình tham số của đường thẳng AC là:
1 5
2 5
6
()
1
xt
y t t
zt
=−
= +
= − +
Ta có
D AC
nên
( )
1 5;2 5; 1 6 . D t t t− + − +
Ta có:
( ) ( )
22
2
1 3 4 26BA = − + + − =
( )
2
22
6 8 2 104BC = − + + =
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
1
.
2
DA BA
DC BC
==
Do D nằm giữa hai điểm ,A C nên
, DA DC
ngược hướng nên
2DC DA=−
( )
5 5 ;5 5 ;6 6DC t t t= − + − −
( )
5; 5 ; 6DA t t= − − −
( )
( )
5 5 2,5
1
5 5 2 5
3
6 6 2 6
tt
t t t
tt
− + = −
− = − − =
− = − −
Suy ra
2 11
; ;1 .
33
D
−
Vậy
2 11
; 1 5
33
a b c a b c= − = = + + =
Chọn B.
Câu 42 (VD) – Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
- Gọi
( )
( )
0
0
;0 1H x x
xác định tọa độ các điểm A, B.
- Tính HA, HB sau đó biến đổi tìm mối liên hệ giữa a và b .
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 106
Gọi
( )
( )
0
0
;0 1H x x
ta có
( ) ( )
0 0 0 0
;
ab
A x log x B x log x
( )
0 0 0 0
;0
a b a b
HA log x HB log x do log x log x= = −
Theo bài ra ta có:
00
3 4 3log 4
ab
HA HB x log x= = −
00
3log 4 0
ab
x log x + =
00
34
0
xx
log a log b
+ =
00
00
34
0
.
xx
xx
log b log a
log blog a
+
=
00
34
0
xx
log b log a + =
0
43
0
x
log a b=
43
1ab=
Chọn D.
Câu 43 (VD) – Nguyên hàm
Phương pháp:
- Sử dụng công thức
( ) ( )
' . f x f x dx=
- Phá trị tuyệt đối, tìm hằng số C trong từng trường hợp.
Cách giải:
Ta có:
( )
2
'
21
fx
x
=
−
⇒
( )
( )
( )
1
2
1
ln 2 1
2
2
2 1
1
21
ln 2 1
2
x C khi x
f x dx ln x C
x
x C khi x
− +
= = − + =
−
− +
.
Với x = 0 ta có
( )
22
0 1 1 1. f ln C C= + = =
Với x = 1 ta có
( )
11
1 1 2 2. f ln C C= + = =
( )
( )
( )
1
ln 2 1 2
2
1
ln 2 1 1
2
x khi x
fx
x khi x
− +
=
− +
⇒
( ) ( )
1 3 1; 3 5 2 f ln f ln− = + = +
⇒
( ) ( )
1 3 3 5 3 3 15 f f ln ln ln− + = + + = +
Chọn C.
Câu 44 (VD) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Sử dụng công thức tỉ số thể tích.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 107
Theo bài ra ta có
0
60ASB BSC CSA = = =
.
Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm
', 'BC
sao cho
' ' 1. SB SC==
Ta có các tam giác
', ' ', 'SAB SB C SAC
là các tam giác đều cạnh 1.
⇒ AB ' = B ' C ' = AC ' = 1 .
⇒
. ' 'S AB C
là tứ diện đều cạnh
. ' '
2
1 .
12
S AB C
V=
Ta có:
' '
.
' ' 1 1 1
. . .
2 3 6
SAB C
S ABC
V
SB SC
V
V SB SC
= = = =
Vậy
. . ' '
2
6 .
2
S ABC S AB C
VV==
Chọn C.
Câu 45 (VD) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , chứng minh
. OA OB OC OM ON= = = =
Cách giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB , AC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tam giác ABM vuông tại M nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM .
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
.
OE AB
OE SAB OE ABM
OE SA SA ABC
⊥
⊥ ⊥
⊥⊥
Do đó
. OA OB OM==
Chứng minh tương tự ta có OA = OC = ON .
Lại có
OA OB OC==
nên
. OA OB OC OM ON= = = =
Do đó O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCNM , và bán kính mặt cầu là R = OA , cũng chính là
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
0
1 1 3 3
. . .3.2. 60 .
2 2 2
ABC
S AB AC sin BAC sin
= = =
Áp dụng định lí cosin trong tam giác giác ABC ta có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 108
2 2 2
2 . . BC AB AC AB AC cos BAC= + −
2 2 2 0
3 2 2.3.2. 60 BC cos= + −
2
7 BC =
7 BC=
Vậy
. . 3.2. 7 21
.
43
3 3
4.
2
ABC
AB BC AC
R OA
S
= = = =
Chọn B.
Câu 46 (VD) – Hàm số mũ
Phương pháp:
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Hàm số đồng biến trên khoảng
1
;
2
+
thì
1
' 0 ;
2
yx
+
và hàm số xác định trên
1
;
2
+
Cách giải:
TXĐ:
\ . Dm=−
Ta có:
( )
1
2
2
1 1 1
'
55
mx
xm
m
y ln
xm
+
+
−
=
+
Để hàm số đồng biến trên
1
;
2
+
thì
1
' 0 ;
2
yx
+
và hàm số xác định trên
1
;
2
+
( )
1
2
2
1 1 1 1
0;
5 5 2
1
;
2
mx
xm
m
ln x
xm
m
+
+
−
+
+
− +
2
11
10
1
1
1
1
2
2
2
m
m
m
m
m
−
−
−
−
−
Vậy
1
;1
2
m
−
Chọn C.
Câu 47 (VDC) – Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Cách giải:
Ta có:
( )
22
3
2 2 5 1
xy
log x y
++
+ +
⇔
22
2 2 5 3 x y x y+ + + +
⇔
( )
22
2 2 2 0 1 x y x y+ − − −
⇒ Tập hợp các cặp số thực ( x ,y ) thỏa mãn
( )
22
3
2 2 5 1
xy
log x y
++
+ +
là hình tròn
( )
22
1
: 2 2 2 0C x y x y+ − − − =
(tính cả biên).
Xét
( ) ( )
22
22
4 6 13 0 2 3 . x y x y m x y m+ + + + − = + + + =
TH1:
2
0
3
x
m
y
=−
=
=−
, không thỏa mãn (1).
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 109
TH2: m > 0 , khi đó tập hợp các cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn
22
4 6 13 0x y x y m+ + + + − =
là đường tròn
( )
22
2
: 4 6 13 0. C x y x y m+ + + + − =
Để tồn tại duy nhất cặp số thực ( x;y ) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai đường tròn
( )
1
C
và
( )
2
C
tiếp xúc
ngoài với nhau hoặc hai đường tròn
( )
1
C
và
( )
2
C
tiếp xúc trong và đường tròn
( )
2
C
có bán kính lớn hơn
đường tròn
( )
1
C
.
( )
1
C
có tâm
( )
1
1;1 ,I
bán kính
1
2. R =
( C 2) có tâm
( )
2
2; 3 ,I −−
bán kính
( )
2
0 . R m m=
Để
( )
1
C
và
( )
2
C
tiếp xúc ngoài thì
1 2 1 2
. I I R R=+
⇔
( ) ( )
2
2
3 4 2 m− + − = +
⇔
( )
5 2 9 m m tm= + =
Để đường tròn
( )
1
C
và
( )
2
C
tiếp xúc trong và đường tròn
( )
2
C
có bán kính lớn hơn đường tròn
( )
1
C
.
⇒
2 1 1 2
R R I I−=
⇔
( )
22
2 3 4m − = − +
⇔ m = 49 ( tm )
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Câu 48 (VDC) – Hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11)
Cách giải:
Ta có
( ) ( )
. MNP MNCB
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của
, ' '. MN B C
Dễ dàng chứng minh được
' ' ' 'AA B AA C =
(hai cạnh góc vuông)
⇒
' ' ' 'AB AC AB C=
cân tại A.
⇒
''AF B C⊥
(Đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có
/ / ' ' / /MN B C MN BC
nên MNCB là hình thang.
Dễ dàng chứng minh được
''BB M CC N =
nên BM = CN .
Mà
, , 'BM CN AA
đồng quy (Định lí 3 đường giao tuyến) nên MNCB là hình thang cân.
Lại có E,P là trung điểm của hai đáy nên
, . EP MN EP BC⊥⊥
Trong
( )
''ACC A
gọi
',Q CN AC=
trong
( )
''ABB A
gọi
' . P AB BM=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 110
Khi đó
( ) ( )
' ' . AB C MNCB PQ=
Ta có:
( ) ( ) ( )
' ' ' '
' ' / / / /
' '/ /
AB C B C
MNCB BC AB C MNCB PQ BC MN
B C BC
=
Do đó
PQ EP⊥
.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
''
; ' ' ;
''
MNCB AB C PQ
MNCB EF PQ MNCB AB C EP AF
AB C AF PQ
=
⊥ =
⊥
Trong ( AB ' C ' ) gọi
. G PQ AF=
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
22
2 ; .
' ' ' 3 ' 3
AQ AC AQ AG AQ
QC NC AC AF AC
= = = = =
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
22
' ' ' ' 4 12 4; AB AA A B= + = + =
22
' ' 16 3 13; AF AB B F= + = − =
⇒
2 2 13
.
33
AG AF==
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của M, N trên BC , ta có
2 3 3 3
2 2 2
BC MN
BH KC
−−
= = = =
.
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
22
' ' 4 3 7. BM BB B M= + = + =
22
35
7 .
42
MH BM BH EP= − = − = =
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
25
2 .
3 3
GP AP
GP EP
GE EF
= = = =
Tam giác ABC đều cạnh
23
nên
2 3. 3
3.
2
AP ==
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác AGP ta có:
2
2
2
2 2 2
2 13 5
3
33
13
2 . 65
2 13 5
2. .
33
GA GP AP
cos AGP
GAGP
+−
+−
= = = −
Vậy
( ) ( )
( )
( )
13
; ' ' ; .
65
cos MNCB AB C cos EP AF = =
Chọn B.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 111
Câu 49 (VDC) – Cực trị của hàm số
Chọn C.
Câu 50 (VDC) – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cách giải:
Ta có:
( ) ( )
2
' ' 1 . g x f x x x= − + +
( ) ( )
2
' 0 ' 1. g x f x x x= = − −
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
'y f x=
và
2
1.y x x= − −
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
( )
1
' 0 0
2
x
g x x
x
=−
= =
=
BBT:
So sánh
( )
1g −
và
( )
2g
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 2 1 2 > 0 1 . g g g g g g g g− + + − − −
Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên (0;2) nên
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0g g g g −
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 >0 1 2g g g g− − −
Vậy
( ) ( )
1;2
2 .min g x g=
Chọn A.
ĐỀ 65
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 112
Câu 1. Tính tích phân
( )
2
1
2dax b x+
.
A.
ab+
. B.
32ab+
. C.
2ab+
. D.
3ab+
.
Câu 2. Tính đạo hàm
( )
fx
của hàm số
( ) ( )
2
log 3 1f x x=−
với
1
.
3
x
A.
( )
( )
3ln2
31
fx
x
=
−
. B.
( )
( )
1
3 1 ln2
fx
x
=
−
.
C.
( )
( )
3
31
fx
x
=
−
. D.
( )
( )
3
3 1 ln2
fx
x
=
−
.
Câu 3. Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít. Tìm
kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt
ngoài hộp là như nhau.
A. Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2. B. Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3.
C. Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1. D. Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4.
Câu 4. Hàm số
()y f x=
liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn
[ 1; 3]−
cho trong hình bên.
Gọi
M
là giá trị lớn nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
1;3−
. Tìm mệnh đề đúng?
A.
( 1)Mf=−
. B.
( )
3Mf=
. C.
(2)Mf=
. D.
(0)Mf=
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho đường thẳng
3 1 1
:
2 1 3
x y z
d
+ − −
==
−
. Hình chiếu
vuông góc của
d
trên mặt phẳng
( )
Oyz
là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
A.
( )
2;1; 3u =−
. B.
( )
2;0;0u =
. C.
( )
0;1;3u =
. D.
( )
0;1; 3u =−
.
Câu 6. Cho hàm số
1
()
2
x
yC
x
+
=
−
. Gọi
d
là khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ
thị đến một tiếp tuyến của
()C
. Giá trị lớn nhất mà
d
có thể đạt được là:
A.
3
. B.
6
. C.
2
2
. D.
5
.
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1 2 1
:
112
x y z
d
− − −
==
,
( )
2;1;4A
. Gọi
( )
;;H a b c
là điểm thuộc
d
sao cho
AH
có độ dài nhỏ nhất. Tính
3 3 3
T a b c= + +
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 113
A.
13T =
. B.
5T =
. C.
8T =
. D.
62T =
.
Câu 8. Gọi
0
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
2 6 5 0zz− + =
. Số phức
0
iz
bằng
A.
13
22
i−
. B.
13
22
i−+
. C.
13
22
i+
. D.
13
22
i−−
.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, gọi
( )
là mặt phẳng chứa đường thẳng
21
:
1 1 2
x y z−−
= =
−
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 1 0x y z
+ + + =
. Khi đó giao tuyến của hai mặt
phẳng
( )
,
( )
có phương trình
A.
1
1 1 1
x y z+
==
−
. B.
11
1 1 1
x y z+−
==
. C.
21
1 5 2
x y z−+
==
−
. D.
21
1 5 2
x y z+−
==
−
.
Câu 10. Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
−
.Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
3;4
là
A.
3
2
−
. B.
4−
. C.
5
2
−
D.
2−
.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
21f x x=+
.
A.
( )
2
2 1 d
2
x
x x x C+ = + +
. B.
( )
2
2 1 dx x x x C+ = + +
.
C.
( )
2
2 1 d 2 1x x x C+ = + +
. D.
( )
2
2 1 dx x x C+ = +
.
Câu 12. Cho hàm số
( )
y f x=
. Hàm số
( )
'y f x=
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
2
y f x=
có bao nhiêu khoảng nghịch biến.
A. 5 B. 3 C. 4 D. 2
Câu 13. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
( )
2018
23x −
A.
2018
. B.
2020
. C.
2019
. D.
2017
.
Câu 14. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
A.
0
. B.
1
. C. Vô số. D.
2
.
Câu 15. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
a
,
SO
vuông góc với mặt
phẳng
( )
ABCD
và
.SO a=
Khoảng cách giữa
SC
và
AB
bằng
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 114
A.
25
5
a
. B.
5
5
a
. C.
23
15
a
. D.
3
15
a
.
Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
và các trục tọa độ bằng
A.
5
3ln 1
2
−
B.
3
2ln 1
2
−
C.
3
5ln 1
2
−
D.
3
3ln 1
2
−
Câu 17. Một hình nón có chiều cao bằng
3a
và bán kính đáy bẳng
a
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón.
A.
2
xq
Sa
=
. B.
2
2
xq
Sa
=
. C.
2
3
xq
Sa
=
. D.
2
2
xq
Sa=
.
Câu 18. Cho hai số phức
1
23zi=+
,
2
45zi= − −
. Số phức
12
z z z=+
là
A.
22zi=−
. B.
22zi= − +
. C.
22zi=+
. D.
22zi= − −
.
Câu 19. Cho hình tứ diện
OABC
có đáy
OBC
là tam giác vuông tại
O
,
OB a=
,
3OC a=
. Cạnh
OA
vuông góc với mặt phẳng
( )
OBC
,
3OA a=
, gọi M là trung điểm của
BC
. Tính theo
a
khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
AB
và
OM
.
A.
15
5
a
h =
. B.
3
2
a
h =
. C.
3
15
a
h =
. D.
5
5
a
h =
.
Câu 20. Với điều kiện
( )
2
40
0
ac b ac
ab
−
thì đồ thị hàm số
42
y ax bx c= + +
cắt trục hoành tại mấy
điểm?
A.
3
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 21. Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2y x x=−
,
0y =
,
10x =−
,
10x =
.
A.
2000
3
S =
. B.
2008S =
. C.
2008
3
S =
. D.
2000
.
Câu 22. Gọi
M
là điểm biểu diễn của số phức
z
trong mặt phẳng tọa độ,
N
là điểm đối xứng
của
M
qua
Oy
(
M
,
N
không thuộc các trục tọa độ). Số phức
w
có điểm biểu diễn lên mặt
phẳng tọa độ là
N
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
wz=−
. B.
wz=−
. C.
wz=
. D.
wz
.
Câu 23. Số giá trị nguyên của
10m
để hàm số
( )
2
ln 1y x mx= + +
đồng biến trên
( )
0;+
là
A.
8
. B.
9
. C.
10
. D.
11
.
Câu 24. Cho hàm số
32
3 3 1y x x mx m= − + + −
. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục
Ox
có diện tích phần nằm phía trên trục
Ox
và phần nằm phía dưới trục
Ox
bằng nhau. Giá trị của
m
là
A.
4
5
. B.
3
4
. C.
3
5
. D.
2
3
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 115
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, cho hình thoi
ABCD
với
( ) ( )
1;2;1 , 2;3;2AB−
. Tâm
I
của hình thoi
thuộc đường thẳng
12
:
1 1 1
x y z
d
+−
==
−−
. Tọa độ đỉnh
D
là.
A.
( )
0;1;2D
. B.
( )
2;1;0D
. C.
( )
2; 1;0D −−
. D.
( )
0; 1; 2D −−
.
Câu 26. Cho đồ thị hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
nào dưới đây?
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
;0−
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; +
.
Câu 27. Cho
f
,
g
là hai hàm liên tục trên
1;3
thỏa điều kiện
( ) ( )
3
1
3 d 10f x g x x+=
đồng thời
( ) ( )
3
1
2 d 6f x g x x−=
. Tính
( ) ( )
3
1
df x g x x+
.
A.
9
. B.
6
. C.
8
. D.
7
.
Câu 28. Nghiệm của phương trình
21
1
20
8
x−
−=
là
A.
1x =−
. B.
2x =−
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Câu 29. Hàm số
42
23y x x= + −
có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
1
. B.
3
. C.
0
. D.
2
.
Câu 30. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là
( )
C
. Gọi
d
là khoảng cách từ giao điểm
2
tiệm cận của
( )
C
đến một tiếp tuyến bất kỳ của
( )
C
. Giá trị lớn nhất
d
có thể đạt được là:
A.
33
. B.
22
. C.
3
. D.
2
.
Câu 31. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 116
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
. B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1−
.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;3−
. D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;− +
.
Câu 32. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
SABCD
.
A.
3
7 21
54
a
. B.
3
7 21
162
a
. C.
3
7 21
216
a
. D.
3
49 21
36
a
.
Câu 33. Phương trình
2
32
24
xx−+
=
có 2 nghiệm là
1
x
;
2
x
. Hãy tính giá trị của
33
12
T x x=+
.
A.
27T =
. B.
1T =
. C.
3T =
. D.
9T =
.
Câu 34. Bất phương trình
2
2
68
log 0
41
xx
x
−+
−
có tập nghiệm là
)
1
;;
4
T a b
= +
. Hỏi
M a b=+
bằng
A.
9M =
. B.
10M =
. C.
12M =
. D.
8M =
.
Câu 35. Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình
2
10x mx m+ − + =
có hai nghiệm trái
dấu?
A.
)
1; +
. B.
( )
1; +
. C.
( )
1;10
. D.
( )
2 8;− + +
.
Câu 36. Mặt phẳng đi qua ba điểm
( )
0;0;2A
,
( )
1;0;0B
và
( )
0;3;0C
có phương trình là:
A.
1
1 3 2
x y z
+ + =
. B.
1
1 3 2
x y z
+ + = −
. C.
1
2 1 3
x y z
+ + =
. D.
1
2 1 3
x y z
+ + = −
.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
a
( )
a0
thỏa mãn
2017
2017
2017
11
22
22
+ +
a
a
a
.
A.
0 2017a
. B.
1 2017a
. C.
2017a
. D.
01a
.
Câu 38. Tìm số phức
z
thỏa mãn
2zz−=
và
( )( )
1z z i+−
là số thực.
A.
2.zi=−
B.
1 2 .zi=−
C.
1 2 .zi=+
D.
1 2 .zi= − −
Câu 39. Lớp 11A có
40
học sinh trong đó có
12
học sinh đạt điểm tổng kết môn Hóa học loại giỏi và
13
học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi. Biết rằng khi chọn một học sinh của lớp đạt điểm tổng
kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi có xác suất là
0,5
. Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi cả hai môn
Hóa học và Vật lí là
A.
4
. B.
7
. C.
6
. D.
5
.
Câu 40. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu
1
u
, công sai
d
,
2.n
?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 117
A.
( )
1
1
n
u u n d= + −
. B.
( )
1
1
n
u u n d= + +
.
C.
( )
1
1
n
u u n d= − −
. D.
1n
u u d=+
.
Câu 41. Cho
,,abc
là các số thực sao cho phương trình
32
0z az bz c+ + + =
có ba nghiệm phức lần
lượt là
1 2 3
3 ; 9 ; 2 4z i z i zw w w= + = + = -
, trong đó
w
là một số phức nào đó. Tính giá trị của
.P a b c= + +
.
A.
36P =
. B.
136P =
. C.
208P =
. D.
84P =
.
Câu 42. Cho hàm số
( )
y f x=
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại
0
x
thì
( )
0
0fx
hoặc
( )
0
0fx
.
B. Hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại
0
x
thì
( )
0
0fx
=
.
C. Hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại
0
x
thì nó không có đạo hàm tại
0
x
.
D. Nếu hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì hàm số không có đạo hàm tại
0
x
hoặc
( )
0
0fx
=
.
Câu 43. Cho
( )
1; 3;2A −
và mặt phẳng
( )
:2 3 1 0P x y z− + − =
. Viết phương trình tham số đường thẳng
d
đi qua
A
, vuông góc với
( )
P
.
A.
2
13
32
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
. B.
12
3
23
xt
yt
zt
=+
= − +
=+
. C.
12
3
23
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
. D.
12
3
23
xt
yt
zt
=+
= − −
=−
.
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm
( )
3;1; 4A −−
và
( )
1; 1;2B −
. Phương trình
mặt cầu
( )
S
nhận
AB
làm đường kính là
A.
( ) ( )
22
2
1 1 56x y z+ + + + =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 2 6 14x y z− + + + − =
.
C.
( ) ( )
22
2
1 1 14x y z+ + + + =
. D.
( ) ( )
22
2
1 1 14x y z− + + − =
.
Câu 45. Cho tứ diện
ABCD
có
3AB a=
,
4AC a=
,
5AD a=
. Gọi
,,M N P
lần lượt là trọng tâm các
tam giác
DAB
,
DBC
,
DCA
. Tính thể tích
V
của tứ diện
DMNP
khi thể tích tứ diện
ABCD
đạt giá trị
lớn nhất.
A.
3
120
27
a
V =
. B.
3
10
4
a
V =
. C.
3
80
7
a
V =
. D.
3
20
27
a
V =
.
Câu 46. Cho hai điểm
( )
3; 3;1A
,
( )
0; 2;1B
, mặt phẳng
( )
: 7 0P x y z+ + − =
. Đường thẳng
d
nằm trên
( )
P
sao cho mọi điểm của
d
cách đều hai điểm
A
,
B
có phương trình là
A.
73
2
xt
yt
zt
=
=−
=
. B.
73
2
xt
yt
zt
=−
=−
=
. C.
73
2
xt
yt
zt
=
=+
=
. D.
2
73
2
xt
yt
zt
=
=−
=
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 118
Câu 47. Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là
A.
16
. B.
26
. C.
8
. D.
24
.
Câu 48. Tập xác định của hàm số
( )
3
2yx=−
là:
A.
( )
2;D = +
. B.
( )
;2D = −
. C.
(
;2D = −
. D.
\2D =
.
Câu 49. Đồ thị
( )
C
của hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
và đường thẳng
:d
21yx=−
cắt nhau tại hai điểm
A
và
B
khi đó độ dài đoạn
AB
bằng?
A.
23
. B.
22
. C.
25
. D.
5
.
Câu 50. Cho hàm số
32
1y ax bx cx= + + +
có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0, 0bc
. B.
0, 0bc
. C.
0, 0bc
. D.
0, 0bc
.
--------------HẾT---------------
− ĐÁP ÁN ĐỀ THI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D
D
C
D
D
B
D
C
A
D
B
B
C
C
A
D
B
D
A
B
C
B
C
B
C
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
C
B
A
A
D
A
A
A
B
B
A
A
B
D
A
B
D
C
C
D
A
B
B
C
B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Đáp án D
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
2
2
1
2
2 d 4 2 3
1
ax b x ax bx a b a b a b+ = + = + − + = +
.
Câu 2. Đáp án D
Lời giải
x
–∞
0
1
x
2
x
+∞
y
−
−
0
+
0
−
y
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 119
Ta có:
( ) ( )
2
log 3 1f x x=−
( )
( )
3
3 1 ln2
fx
x
=
−
.
Câu 3. Đáp án C
Lời giải
Gọi
x
là cạnh của đáy hộp.
h
là chiều cao của hộp.
( )
Sx
là diện tích phần hộp cần mạ.
Khi đó, khối lượng vàng dùng mạ tỉ lệ thuận với S.
Ta có:
( ) ( )
2
41S x x xh=+
( )
22
; 4 4/ 2 .V x h h x= = = =
.
Từ (1) và (2), ta có
( )
Sx=
2
16
x
x
+
.
Dựa vào BBT, ta có
( )
Sx
đạt GTNN khi
2x =
.
Câu 4. Đáp án D.
Câu 5. Đáp án D.
Lời giải
Ta có
d
cắt mặt phẳng
( )
Oyz
tại
57
0; ;
22
MM
−
, chọn
( )
3;1;1Ad−
và gọi
B
là hình
chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
( )
Oyz
( )
0;1;1B
.
Lại có
39
0; ;
22
BM
=−
. Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng phương với
vectơ
BM
.
Câu 6. Đáp án B.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
3
'2
2
y x x
x
−
=
−
. Gọi
I
là giao của hai tiệm cận
( )
2;1I
.
Gọi
( ) ( )
0
0 0 0
0
1
;;
2
x
M x y M x C
x
+
=
−
.
Khi đó tiếp tuyến tại
( )
00
;M x y
có phương trình:
( )( )
0 0 0
:'y y x x x y = − +
.
( )
( )
0
0
2
0
0
1
3
2
2
x
y x x
x
x
+
−
= − +
−
−
( ) ( )
00
22
0
00
31
3
.0
2
22
xx
xy
x
xx
+
−
− + + =
−
−−
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 120
Khi đó ta có:
( )
( ) ( )
( )
00
22
0
00
4
0
31
6
1
2
22
;
9
1
2
xx
x
xx
dI
x
+
−
− + +
−
−−
=
+
−
.
( )
( )
0
4
0
6 12
;
29
x
dI
x
−
=
−+
.
Áp dụng BĐT:
22
2,a b ab a b+
.
Tacó:
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 4 2
0 0 0 0
9 2 2.3. 2 9 2 6 2x x x x+ − − + − −
( )
( ) ( )
00
42
00
6 12 6 12
;6
2 9 6 2
xx
dI
xx
−−
= =
− + −
.
Vậy giá trị lớn nhất mà
d
có thể đạt được là:
6
.
Câu 7. Đáp án D.
Lời giải
Phương trình tham số của đường thẳng
( )
1
:2
12
xt
d y t t
zt
=+
= +
=+
.
( )
1 ;2 ;1 2H d H t t t + + +
.
Độ dài
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 1 2 3 6 12 11 6 1 5 5AH t t t t t t= − + + + − = − + = − +
.
Độ dài
AH
nhỏ nhất bằng
5
khi
1t =
( )
2;3;3H
.
Vậy
2a =
,
3b =
,
3c =
3 3 3
62abc + + =
.
Câu 8. Đáp án C.
Lời giải
Ta có
2
2 6 5 0zz− + =
( )
2
22
3
4 12 10 0 2 3 1
2
i
z z z i z
− + = − = − = =
00
3 1 1 3
2 2 2 2
z i iz i = − = +
.
Câu 9. Đáp án A.
Lời giải
21
:
1 1 2
x y z−−
= =
−
đi qua
( )
2;1;0M
và có
( )
: 1;1; 2vtcp u =−
.
( )
: 2 1 0x y z
+ + + =
có
( )
: 1;1;2vtpt n =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 121
( )
( ) ( )
, 4; 4;0 4 1; 1;0
:
đi qua M
vtpt u n
= − = −
.
Phương trình
( ) ( ) ( )
: 2 1 0xy
− − − =
10xy − − =
.
Gọi
( )
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
,
( )
. Ta có:
( )
( )
( ) ( )
0; 1;0
, 2;2; 2 2 1;1; 1
:d
đi qua N
vtcp n n
−
= − = −
.
Phương trình
( )
1
:
1 1 1
x y z
d
+
==
−
.
Câu 10. Đáp án D.
Câu 11. Đáp án B.
Lời giải
( )
2
2 1 dx x x x C+ = + +
.
Câu 12. Đáp án B.
Ta có
( ) ( )
/
22
' 2 . 'y f x x f x
==
Hàm số nghịch biến
( )
( )
( )
2
22
'
22
2
0
0
'0
1 1 4
12
'0
2 1 0
0
0
1 1 4
'0
theo dt f x
x
x
fx
xx
x
y
xx
x
x
xx
fx
−
⎯⎯⎯⎯→
− −
−
Vậy hàm số
( )
2
y f x=
có 3 khoảng nghịch biến.
Câu 13. Đáp án C.
Lời giải
Trong khai triển nhị thức
( )
n
ab+
thì số các số hạng là
1n +
nên trong khai triển
( )
2018
23x −
có
2019
số
hạng.
Câu 14. Đáp án C.
Câu 15. Đáp án A.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 122
Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,AB CD
;
H
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
.SN
Vì
//AB CD
nên
( ) ( ) ( ) ( )
,SC ,( ) ,( ) 2 ,( )d AB d AB SCD d M SCD d O SCD= = =
Ta có
()
CD SO
CD SON CD OH
CD ON
⊥
⊥ ⊥
⊥
Khi đó
( )
( ) ;( ) .
CD OH
OH SCD d O SCD OH
OH SN
⊥
⊥ =
⊥
Tam giác
SON
vuông tại
O
nên
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
5
4
a
OH
a
OH ON OS a a
= + = + = =
Vậy
( )
25
,SC 2
5
a
d AB OH==
.
Câu 16. Đáp án D.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
và trục hoành:
( )
1
0
2
2
x
x
x
+
= =
−
1x = −
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
và các trục tọa độ bằng:
0
1
1
d
2
x
x
x
−
+
−
0
1
1
d
2
x
x
x
−
+
=
−
0
1
3
1d
2
x
x
−
=+
−
( )
0
1
3ln 2xx
−
= + −
2
1 3ln
3
=+
2
1 3ln
3
= − −
3
3ln 1
2
=−
.
Câu 17. Đáp án B.
Lời giải
Gọi chiều cao hình nón là
h
, bán kính đáy bằng
a
, ta có:
Độ dài đường sinh
22
( 3) 2l a a a= + =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 123
Do đó:
2
. .(2 ) 2
xq
S rl a a a
= = =
.
Câu 18. Đáp án D.
Lời giải
12
2 3 4 5 2 2z z z i i i= + = + − − = − −
.
Câu 19. Đáp án A.
Lời giải
Trong mặt phẳng
( )
OBC
dựng hình bình hành
OMBN
, kẻ
OI BN⊥
.
M
O
B
C
A
N
I
H
Kẻ
OH AI⊥
. Nhận xét
( )
//OM ABN
nên khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
AB
và
OM
bằng
khoảng cách giữa đường thẳng
OM
và mặt phẳng
( )
ABN
, bằng khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
( )
ABN
. Suy ra
( )
( )
,h d O ABN OH==
.
Tam giác
OBI
có
OB a=
,
o
60BOM =
nên
3
2
a
OI =
.
Tam giác
AOI
vuông tại
O
nên
2 2 2
1 1 1
OH OA OI
=+
2 2 2
1 1 4
33OH a a
= +
3
5
a
OH=
.
Câu 20. Đáp án B.
Lời giải
Xét:
( )
2
40ac b ac−
( )
2
2
40ab c ac −
vì
( ) ( )
22
2
4 0 4 0ac ab c ac
hay
.0ac
.
Vì
( )
2
40ac b ac−
2
40b ac−
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
42
0ax bx c+ + =
.
Đặt
( )
2
; 0x t t=
.Phương trình theo
t
:
2
0at bt c+ + =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 124
Ta có:
2
12
12
40
0
.0
b ac
b
tt
a
c
tt
a
= −
−
+ =
=
Phương trình hai nghiệm dương phân biệt.
42
0ax bx c + + =
có bốn nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số
42
y ax bx c= + +
cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
Câu 21. Đáp án C.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
2
2y x x=−
và
0y =
là
2
20xx−=
0
2
x
x
=
=
.
Trên đoạn
10;10−
ta có
2
20xx−
,
10;0x −
và
2;10
.
2
20xx−
,
0;2x
.
Do đó
10
2
10
2dS x x x
−
=−
( ) ( ) ( )
0 2 10
2 2 2
10 0 2
2 d 2 d 2 dx x x x x x x x x
−
= − − − + −
2008
3
=
.
Câu 22. Đáp án B.
Lời giải
Gọi
z x yi=+
,
,xy
( )
;M x y
.
N
là điểm đối xứng của
M
qua
Oy
( )
;N x y−
( )
w x yi x yi z = − + = − − = −
.
Câu 23. Đáp án C.
Lời giải
Ta có
2
2
0
1
xm
y
x mx
+
=
++
với mọi
( )
0; .x +
Xét
( )
2
1g x x mx= + +
có
2
4.m = −
TH1:
0 2 2m −
khi đó
( )
0,g x x
nên ta có
20xm+
,
( )
0;x +
Suy ra
02m
.
TH2:
2
0.
2
m
m
−
Nếu
2m −
thì
0
lim 2
x
ym
→
= −
nên không thỏa
2
2
0
1
xm
y
x mx
+
=
++
với mọi
( )
0; .x +
Nếu
2m
thì
20xm+
với mọi
( )
0;x +
và
( )
gx
có 2 nghiệm âm . Do đó
( )
0gx
,
( )
0;x +
.
Suy ra
2 10m
.
Vậy ta có:
0 10m
nên có 10 giá trị nguyên của
m
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 125
Câu 24. Đáp án B.
Lời giải
Ta có:
2
3 6 3y x x m
= − +
;
2
0 2 0y x x m
= − + =
.
1 m
= −
;
hàm số có hai điểm cực trị
0
1m
(1). Mặt khác
66yx
=−
.
0y
=
43ym = −
.
Hàm số bậc ba có đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Do đó:
m cần tìm thoả (1) và điểm uốn nằm trên trục hoành
m < 1 và
4 3 0m−=
3
4
m=
.
Câu 25. Đáp án C.
Lời giải
Gọi
( ) ( ) ( )
1 ; ;2 . ; 2; 1 , 3; 3;I t t t d IA t t t IB t t t− − − + = + − − = + + −
.
Do
ABCD
là hình thoi nên
2
. 0 3 9 6 0 2; 1IA IB t t t t= + + = = − = −
.
Do
C
đối xứng
A
qua
I và D
đối xứng
B qua I
nên:
+)
( ) ( ) ( )
1 0;1;1 1;0;1 , 2; 1;0t I C D= − − −
.
+)
( ) ( )
2 3;2; 1 , 0;1; 2t C D= − − −
.
Câu 26. Đáp án C.
Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên khoảng
( )
0; 2
.
Câu 27. Đáp án B.
Lời giải
( ) ( )
3
1
3 d 10f x g x x+=
( ) ( ) ( )
33
11
d 3 d 10 1f x x g x x + =
( ) ( )
3
1
2 d 6f x g x x−=
( ) ( ) ( )
33
11
2 d d 6 2f x x g x x − =
Giải hệ
( )
1
và
( )
2
ta được
( ) ( )
33
11
d 4; d 2f x x g x x = =
suy ra
( ) ( )
3
1
d6f x g x x+=
.
Câu 28. Đáp án A.
Lời giải
Ta có
2 1 2 1 3
1
2 0 2 2 1
8
xx
x
− − −
− = = = −
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 126
Câu 29. Đáp án A.
Lời giải
Tập xác định của hàm số:
D =
.
Đạo hàm:
3
44y x x
=+
;
00yx
= =
.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.
Câu 30. Đáp án D.
Lời giải
Tiệm cận đứng là
1x =−
; tiệm cận ngang
1y =
nên
( )
1; 1I −
.
Gọi
( )
0
00
0
2
;
1
x
M x C
x
+
+
;
( )
( )
2
1
1
fx
x
=−
+
nên phương trình tiếp tuyến của
( )
C
là:
( )
( )
( ) ( )
2
0 0 0
0
2 2 2
0
0 0 0
2 4 2
11
0
1
1 1 1
x x x
y x x x y
x
x x x
+ + +
− = − − + − =
+
+ + +
.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
00
22
2
00
0
0
44
00
4
0
42
1
1
11
21
1
, 2 2
1
1 1 2 1
1
1
xx
xx
x
x
dI
xx
x
++
− + −
++
+
+
= = =
+ + +
+
+
.
Câu 31. Đáp án A.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
.
Câu 32. Đáp án A.
Lời giải
x
– ∞
0
+ ∞
y'
–
0
+
y
+
∞
-3
+ ∞
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 127
I
G
O
K
H
B
A
D
C
S
Gọi
H
là trung điểm của
AB
, suy ra
( )
SH ABCD⊥
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
và
O
là tâm hình vuông
ABCD
.
Từ
G
kẻ
//GI HO
suy ra
GI
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
và từ
O
kẻ
//OI SH
thì
OI
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại
I
.
Suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
.
22
21
6
a
R SI SG GI= = + =
.
Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
SABCD
là
33
4 7 21
3 54
V R a
==
.
Câu 33. Đáp án A.
Lời giải
Ta có
2
32
24
xx−+
=
2
3 2 2xx − + =
0
3
x
x
=
=
.
Vậy
33
12
T x x=+
27=
.
Câu 34. Đáp án B.
Lời giải
Ta có
2
2
68
log 0
41
xx
x
−+
−
2
68
1
41
xx
x
−+
−
2
10 9
0
41
xx
x
−+
−
2
2
10 9 0
4 1 0
10 9 0
4 1 0
xx
x
xx
x
− +
−
− +
−
1
1
4
9
x
x
.
Nên
)
1
;1 9;
4
T
= +
M a b = +
1 9 10= + =
.
Câu 35. Đáp án B.
Lời giải
Phương trình
2
10x mx m+ − + =
có hai nghiệm trái dấu
10 mac
.
Câu 36. Đáp án A.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 128
Lời giải
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng là
1
1 3 2
x y z
+ + =
.
Câu 37. Đáp án A.
Lời giải
Ta có
2017
2017
2017
11
22
22
+ +
a
a
a
2017
22
2017
11
2017log 2 log 2
22
a
a
a
+ +
2017
22
2017
11
log 2 log 2
22
2017
a
a
a
++
.
Xét hàm số
( )
( ) ( )
2
22
1
log 2
log 4 1 log 4 1
2
1
x
xx
x
x
y f x
x x x
+
+ − +
= = = = −
.
Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
41
ln 4 1
4 ln4 4 1 ln 4 1
11
41
0
ln2 ln2
41
x
x
x x x
x
x
'
.x
. .x
y
x
x
+
−+
− + +
+
= =
+
( ) ( )
( )
2
4 ln4 4 1 ln 4 1
1
0
ln2
41
x x x x
x
.
y
x
− + +
=
+
,
0x
.
Nên
( )
=y f x
là hàm giảm trên
( )
0;+
.
Do đó
( ) ( )
2017f a f
,
( )
0a
khi
0 2017a
.
Câu 38. Đáp án B.
Lời giải
Gọi
z x iy=+
với
,xy
ta có hệ phương trình
( )( )
2
1
zz
z z i
− =
+ −
( )
( )( )
2
2 2 2
2
1
x y x y
x iy x iy i
− + = +
+ + − −
( )
( )( )
2
2 2 2
2
1
x y x y
x iy x iy i
− + = +
+ + − −
( )( )
1
1 1 0
x
x y xy
=
− − + + =
1
2
x
y
=
=−
Câu 39. Đáp án D.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 129
Gọi
A
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Hóa học”.
B
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi môn Vật lí”.
AB
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết môn Hóa học hoặc Vật lí loại giỏi”.
AB
là biến cố “Học sinh được chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi cả hai môn Hóa học và Vật lí”.
Ta có:
( )
0,5.40n A B=
20=
.
Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
.n A B n A n B n AB = + −
( ) ( ) ( ) ( )
.n AB n A n B n A B = + −
12 13 20= + −
5=
.
Câu 40. Đáp án A.
Lời giải
Công thức số hạng tổng quát :
( )
1
1
n
u u n d= + −
,
2n
.
Câu 41. Đáp án B.
Lời giải
Ta có
1 2 3
4 12 4z z z a w i a
là số thực, suy ra
w
có phần ảo
3i-
hay
3w m i=-
.
Khi đó
1 2 3
; 6 ; 2 6 4z m z m i z m i= = + = - -
mà
32
;zz
là liên hợp của nhau nên
2 4 4m m m
.
Vậy
1 2 3
4; 4 6 ; 4 6z z i z i= = + = -
.
Theo Viet ta có.
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
12
84
208
z z z a
a
z z z z z z b b
c
z z z c
+ + = -
=-
=-
=-
.
12 84 208 136P = - + - =
.
Câu 42. Đáp án D.
Câu 43. Đáp án C.
Lời giải
Vì
d
đi qua
A
, vuông góc với
( )
P
nên
d
có một vectơ chỉ phương là
( )
2; 1;3a =−
.
* Vậy phương trình tham số của
d
là
12
3
23
xt
yt
zt
=+
= − −
=+
.
Câu 44. Đáp án C.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 130
Gọi
I
là trung điểm đoạn
AB
( )
1;0; 1I − −
.
Mặt cầu cần tìm có tâm
( )
1;0; 1I −−
và bán kính
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 3 0 1 1 4 14R IA= = − + + − + − + =
.
Ta có phương trình
( ) ( )
22
2
1 1 14.x y z+ + + + =
Câu 45. Đáp án D.
Lời giải
Ta có:
3
.
.
2
..
3
D MNP
D HIK
V
DM DN DP
V DH DI DK
==
. . . .
8 8 1 2
. . .
27 27 4 27
D MNP D HIK D ABC D ABC
V V V V
Ta có:
.
1
..
3
D ABC ABC
V S DE=
11
. . . .sin .
32
AB AC A DE=
1
..
6
AB AC DE
1
..
6
AB AC DA
(
DE
là đường cao của hình chóp
.D ABC
)
Dấu bằng xảy ra khi:
DA DE=
và
90BAC =
o
Suy ra:
( )
3
.
max
1 1 1
. . . . .3 .4 .5 10
3 2 6
D ABC
V AB AC DA a a a a= = =
Vây:
33
.
2 20
.10
27 27
D MNP
V a a==
Câu 46. Đáp án A.
Lời giải
Ta có
( )
3; 1;0AB = − −
;
35
; ;1
22
I
là trung điểm của
AB
.
Gọi
( )
là mặt phẳng trung trực của
AB
và
( ) ( )
P
=
. Khi đó
chính là đường thẳng thuộc mặt
phẳng
( )
P
và cách đều hai điểm
,AB
.
Phương trình mặt phẳng
( )
đi qua
35
; ;1
22
I
và có véc tơ pháp tuyến
( )
3; 1;0AB = − −
là:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 131
5
3 0 3 7 0
22
x y x y
− − − − = + − =
.
Khi đó
d
là đường giao tuyến của
( )
và
( )
P
.
Véctơ chỉ phương của
( ) ( )
( ) ( )
: , 1;3; 2 1; 3;2
d
P
d u n n
= = − − = − −
,
d
đi qua
( )
0;7;0C
.
Vậy
d
có phương trình tham số là:
73
2
xt
yt
zt
=
=−
=
(
t
là tham số).
Câu 47. Đáp án B.
Lời giải
Hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt.
Vậy tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là
26
.
Câu 48. Đáp án B.
Lời giải
Ta có:
3
nên hàm số xác định khi và chỉ khi
20x−
2x
.
Vậy tập xác định của hàm số là:
( )
;2D = −
.
Câu 49. Đáp án C.
Lời giải
Tập xác định
\1D =
.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng
d
và đồ thị
( )
C
là nghiệm của phương trình.
1
21
1
x
x
x
+
=−
−
2
1
20
x
xx
-=
0
2
x
x
=
=
.
Với
( )
0 0; 1xA= −
.
Với
( )
2 2;3xB=
.
Do đó
22
2 4 2 5AB = + =
.
Câu 50. Đáp án B.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình
2
3 2 0y ax bx c
= + + =
có hai nghiệm phân biệt đều dương.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 132
2
12
12
30
2
0
3
.0
b ac
b
xx
a
c
xx
a
−
+ = −
=
và hệ số
0a
do
( )
32
lim
x
ax bx cx d
→+
+ + + = −
.
Từ đó suy ra
0, 0cb
.
--------------HẾT---------------
ĐỀ 66
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;− +
B.
( )
;2− −
C.
( )
;0−
D.
\2−
Câu 2. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
x
−
1−
0
1
+
'y
+
−
0
+
+
y
1
+
+
3
−
2
−
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 3. Cho hàm số
,
x
ya=
với
0 1.a
Mệnh đề nào sau đây sai?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 133
A.
' ln
x
y a a=
B. Hàm số
x
ya=
có tập xác định là và tập giá trị là
( )
0;+
C. Hàm số
x
ya=
đồng biến trên khi
1.a
D. Đồ thị hàm số
x
ya=
có tiệm cận đứng là trục tung
Câu 4. Phương trình
( )
3
log 1 2x +=
có nghiệm là
A.
4x =
B.
8x =
C.
9x =
D.
27x =
Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( )
cos .f x x x=+
A.
( )
2
sin
2
x
f x dx x C= + +
B.
( )
1 sinf x dx x C= − +
C.
( )
sin cosf x dx x x x C= + +
D.
( )
2
sin
2
x
f x dx x C= − +
Câu 6. Nếu
( ) ( )
35
13
5, 2f x dx f x dx= = −
thì
( )
5
1
f x dx
bằng
A. 2 B.
2−
C. 3 D. 4
Câu 7. Cho hai số phức
1
12zi=+
và
2
2 3 .zi=−
Phẩn ảo của số phức
12
w 3z 2z=−
là
A. 12 B.
1−
C. 1 D.
12−
Câu 8. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 9. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón có bán kính đáy
3r =
và độ dài đường sinh
5l =
A.
18
xq
S
=
B.
24
xq
S
=
C.
30
xq
S
=
D.
15
xq
S
=
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
( ) ( )
1;0; 2 , 2;1; 1 .AB−−
Tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác OAB.
A.
1
1; ;1
3
G
−
B.
1
1; ;1
3
G
−
C.
1
1; ; 1
3
G
−
D.
1
;1; 1
3
G
−
Câu 11. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
+ − + =
và đường thẳng
3 1 4
:.
1 2 1
x y z
d
− + −
==
−−
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 134
A. d song song với
( )
B. d vuông góc với
( )
C. d nằm trên
( )
D. d cắt
( )
Câu 12. Mặt phẳng đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2M N P−
có phương trình là
A.
2 2 2 0x y z− + − =
B.
2 2 2 0x y z+ + − =
C.
2 2 0x y z− + =
D.
2 2 0x y z+ + =
Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 6 chỗ?
A. 6! cách B. 6 cách C.
6
6
A
cách D.
6
6
C
cách
Câu 14. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
1u =
và công sai
2.d =
Tổng của 2020 số hạng đầu bằng
A. 4 080 400 B. 4 800 399 C. 4 399 080 D. 4 080 399
Câu 15. Cho hàm số
3
2
2 3 1.
3
x
y x x= − + +
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 1 B.
2−
C. 4 D. 3
Câu 16. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
25y x x= − +
trên
0;3 .
Giá trị
của biểu thức
Mm+
bằng
A. 7 B.
( )
2 2 1−
C. 12 D.
( )
2 2 1+
Câu 17. Gọi
( )
,M a b
là điểm thuộc đồ thị
( )
C
của hàm số
32
4
2
3 2 3
xx
yx= − − + +
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại M có hệ số góc lớn nhất. Tồng
24ab+
bằng
A.
5−
B. 5 C. 0 D. 13
Câu 18. Cho hàm số
( ) ( )
32
, , , .f x ax bx cx d a b c d= + + +
Đồ
thị của hàm số
( )
y f x=
như hình vẽ bên.
Số nghiệm thực cùa phương trình
( )
3 4 0fx+=
là
A. 0 B. 2
C. 1 D. 3
Câu 19. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
x
−
4−
0
4
+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 135
'y
−
0
+
0
−
0
+
y
+
5
3
3
3
Hàm số
( ) ( )
2020g x f x=+
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;3− −
B.
( )
0;+
C.
( )
3; 2−−
D.
( )
1;3
Câu 20. Ông B dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%/năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm
số tiền lãi sẽ gộp vào vốn ban đầu. Hỏi số tiền A (triệu đồng,
)A
nhỏ nhất mà ông B cần gửi vào
ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua xe máy trị giá 48 triệu đồng là
A. 230 triệu đồng B. 231 triệu đồng C. 250 triệu đồng D. 251 triệu đồng
Câu 21. Với mọi số thực dương a và b thoả mãn
22
8,a b ab+=
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( ) ( )
1
log log log
2
a b a b+ = +
B.
( ) ( )
1
log 1 log log
2
a b a b+ = + +
C.
( )
log 1 log loga b a b+ = + +
D.
( )
1
log log log
2
a b a b+ = + +
Câu 22. Cho hai hàm số
x
ya=
và
log
b
yx=
có đồ thị như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
,1ab
B.
0 , 1ab
C.
01ab
D.
01ba
Câu 23. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên bằng
bao nhiêu?
A. 4 B.
9
2
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 136
C.
7
3
D.
5
2
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn
( )
15
2 7 10
1
i
i z i
i
+
− + = +
+
Môđun của số phức
2
20 3w z i= + +
là
A. 5 B. 3 C. 25 D. 4
Câu 25. Gọi
1
z
và
2
z
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0.zz− + =
Tính
22
12
.A z z=+
A.
20A =
B.
10A =
C.
30A =
D.
50A =
Câu 26. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết
,.AB a SA a==
A.
3
2
2
a
B.
3
2
6
a
C.
3
3
a
D.
3
a
Câu 27. Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lẩn lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình
vuông ABCD xung quanh MN được hình trụ
( )
.T
Diện tích toàn phần của hình
( )
T
là
A.
( )
2
64 cm
B.
( )
2
80 cm
C.
( )
2
96 cm
D.
( )
2
192 cm
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm
( )
1; 2;5M −
và vuông góc với mặt phẳng
( )
4 3 2 5 0: x y z
− + + =
là
A.
1 2 5
4 3 2
x y z+ − +
==
−
B.
1 2 5
4 3 2
x y z− + −
==
−
C.
1 2 5
4 3 2
x y z− + −
==
− − −
D.
1 2 5
4 3 2
x y z− + −
==
−−
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
( ) ( )
0;1; 1 ; 1;1;2 ;AB−
( ) ( )
1; 1;0 ; 0;0;1 .CD−
Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD.
A.
32
B.
22
C.
2
2
D.
32
2
Câu 30. Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
'BC
và
'CD
là
A.
2
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
4
a
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 137
Câu 31. Mỗi bạn An, Bình chọn ngẫu nhiên 3 chữ số trong tập
.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Tính xác suất để
trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.
A.
7
40
B.
9
10
C.
6
25
D.
21
40
Câu 32. Cho hàm số
( )
,fx
hàm số
( )
'y f x=
liên tục trên và có đồ
thị như hình vẽ bên. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
( )
3f x x m=+
có nghiệm thuộc khoảng
( )
1;1 .−
A.
( ) ( )
1 3 1 3f m f− + −
B.
( ) ( )
1 3 1 3f m f− − +
C.
( ) ( )
1 3 1 3f m f+ − −
D.
( ) ( )
0 1 0 1f m f− +
Câu 33. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
( )
( )
siny f f x=−
trên đoạn
;0 .
2
−
Giá trị của
Mm−
bằng
A. 6 B. 3
C.
6−
D.
3−
Câu 34. Cho phương trình
22
2 1 2 1
9 2 .3 3 2 0.
x x x x
mm
− + − +
− + − =
Tập tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là
A.
)
2;+
B.
( )
1; +
C.
( )
2;+
D.
( ) ( )
;1 2;− +
Câu 35. Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục, nhận giá trị dương trên
( )
0;+
và thỏa mãn
( ) ( ) ( )
1 , ' . 3x 1,f e f x f x= = +
với mọi
0.x
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
10 5 11f
B.
( )
4 5 5f
C.
( )
11 5 12f
D.
( )
3 5 4f
Câu 36. Cho hàm số
42
3y x x m= − +
có đồ thị
( )
m
C
với m là tham số thực.
giả sử
( )
m
C
cắt trục
Ox
tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi
12
,SS
và
3
S
là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để
1 2 3
S S S+=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 138
A.
5
2
m =−
B.
5
4
m =−
C.
5
2
m =
D.
5
4
m =
e
Câu 37. Tập hợp các số phức
( )
11w i z= + +
với z là số phức thỏa mãn
11z −
là hình tròn. Tính diện
tích hình tròn đó.
A.
4
B.
2
C.
3
D.
Câu 38. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần
đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là
một khối cầu có đường kính bằng đường kính phía trong của cốc nước. Người ta từ từ
thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra
ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ
qua bể dày của lớp vỏ thủy tinh).
A.
1
2
B.
2
3
C.
4
9
D.
5
9
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0P x y z− + − =
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 10 6 10 39 0.S x y z x y z+ + − + − + =
Từ một điểm M thuộc mặt phẳng
( )
P
kẻ một đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng
4.MN =
A. 5 B. 3 C.
6
D.
11
Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
cùng
vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là
3
.
3
a
Tính góc
giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng
( )
.SCD
A.
45 .
=
B.
60 .
=
C.
30 .
=
D.
90 .
=
Câu 41. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Đồ thị hàm số
( )
( )
( )( )
( )
2
22
21
.
1 4 2
f x x x
y
f x x x x
+
=
− − −
+
có bao nhiêu
đường tiệm cận đứng?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 139
A. 5 B. 3
C. 6 D. 4
Câu 42. Đường thẳng
: d y x m=+
cắt đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
22
2,OA OB O+=
là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;2 2 2− −
B.
( )
0;2 2 2+
C.
( )
2 2;2 2 2−+
D.
( )
2 2 2;+ +
Câu 43. Cho hàm số
( )
y f x=
có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên
.
Khi đó
hàm số
( )
2
4x 4xyf=−
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
2
2
2
21
log 2 1 2
2
x mx
x mx x
x
++
+ + + = +
+
có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 45. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn
( )
03f =
và
( ) ( )
2
2 2 2, .f x f x x x x+ − = − +
Tích phân
( )
2
0
'xf x dx
bằng
A.
4
3
−
B.
2
3
C.
5
3
D.
10
3
−
Câu 46.(Chuyên Khoa học tự nhiên Hà Nội - 2019) Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
0;4
thỏa mãn
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
3
'' '
2x 1
fx
f x f x f x
+=
+
và
( )
0fx
với mọi
0;4 .x
Biết rằng
( ) ( )
' 0 0 1,ff==
giá trị
của
( )
4f
bằng
A.
2
e
B.
2e
C.
3
e
D.
2
1e +
Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn
1.z =
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
1 1.P z z z= + + − +
Tính giá trị
..Mm
A.
13 3
4
B.
39
4
C.
33
D.
13
4
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 140
Câu 48. Cho lăng trụ
. ' ' ',ABC A B C
trên các cạnh
', 'AA BB
lấy các điểm M, N sao cho
' 4 ' , ' 4 ' .AA A M BB B N==
Mặt phẳng
( )
'C MN
chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi
1
V
là thể
tích của khối chóp
2
'. ' ' ,C A B NM V
là thể tích của khối đa diện
'.ABCMNC
Tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
2
2
5
V
V
=
B.
1
2
1
5
V
V
=
C.
1
2
3
5
V
V
=
D.
1
2
1
6
V
V
=
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
( )
2 2 2
2 2 1 2 0x y z mx m y mz m+ + + − − − + − =
là
phương trình của mặt cầu
( )
.
m
S
Biết với mọi số thực m thì
( )
m
S
luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm
bán kính I của đường tròn đó.
A.
1
2
r =
B.
2r =
C.
3r =
D.
1
2
r =
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
( ) ( ) ( )
7;2;3 , 1;4;3 , 1;2;6 , 1;2;3()A B C D
và
điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức
3P MA MB MC MD= + + +
đạt giá trị nhỏ nhất
A.
3 21
4
OM =
B.
26OM =
C.
14OM =
D.
5 17
4
OM =
Đáp án
1-B
2-B
3-D
4-B
5-A
6-C
7-A
8-D
9-D
10-C
11-B
12-A
13-A
14-A
15-A
16-D
17-C
18-C
19-D
20-B
21-B
22-D
23-B
24-A
25-A
26-B
27-C
28-B
29-D
30-C
31-D
32-A
33-B
34-C
35-A
36-D
37-B
38-D
39-D
40-C
41-B
42-A
43-C
44-C
45-D
46-A
47-A
48-B
49-B
50-C
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án B
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm không xác định tại
2x =−
và cả hai nhánh của đồ thị đều đi từ dưới
đi lên (nhìn theo hướng từ trái sang phải), do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;2− −
và
( )
2;− +
Câu 2: Đáp án B
( )
lim 3
x
fx
→+
=
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3y =
khi
x → +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 141
( )
lim
x
fx
→−
= −
đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang khi
x → −
( )
1
lim
x
fx
+
→−
= +
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =−
( ) ( )
11
lim lim
xx
f x f x
+−
→− →−
= =
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x =
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3.
Câu 3: Đáp án D
Đồ thị hàm số
,
x
ya=
với
01a
có tiệm cận ngang là trục hoành và không có tiệm cận đứng.
Câu 4: Đáp án B
Điều kiện.
1 0 1xx+ −
Ta có
( )
2
3
log 1 2 1 3 1 9 8x x x x+ = + = + = =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
8x =
Câu 5: Đáp án A
Ta có
( ) ( )
2
cos sin
2
x
f x dx x x dx x C= + = + +
Câu 6: Đáp án C
( ) ( ) ( )
5 3 5
1 1 3
5 2 3f x dx f x dx f x dx= + = − =
Câu 7: Đáp án A
( ) ( )
12
w 3z 2z 3 2 2 3 1 12 .12i ii= − = − − = ++ −
Vậy phần ảo của số phức w là 12
Câu 8: Đáp án D
Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 142
Câu 9: Đáp án D
Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là
.3.5 15
xq
rlS
= = =
(đvdt).
Câu 10: Đáp án C
Giả sử
( )
( ) ( )
0 1 2
1
3
0 0 1 1 1
; ; 1; ; 1
3 3 3
0 2 1
1
3
G
G G G G
G
x
G x y z y G
z
++
==
++
= = −
+ − + −
= = −
Câu 11: Đáp án B
Ta có
( ) ( ) ( )
1;2; 1 , 1; 2;1
dd
n u n u d
= − = − − = − ⊥
Câu 12: Đáp án A
Phương trình viết theo đoạn chắn đi qua 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;2M N P−
là
2
2 2 2
11
01
x
y
yz
xz+ + = − + −
−
=
Câu 13: Đáp án A
Có 6! cách xếp 6 học sinh vào bàn ngang 6 chỗ
Câu 14: Đáp án A
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:
( ) ( )
1
1
2020.1 2020.2019 4080400
1
22
n
n
n u u n n
S nu d
+−
== =+ +=
Câu 15: Đáp án A
TXĐ:
D =
2
' 4 3, ' 0 1, 3 .y x x y x x= − + = = =
Ta có bảng biến thiên sau:
x
−
1
3
+
'y
+
0
−
0
+
y
7
3
+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 143
−
1
1
CT
y=
Câu 16: Đáp án D
2
1';
5
2
'
2
.
200
22
2y
x
y xx
xx
−
−
−
==
+
==
( ) ( ) ( )
1 2; 0 5; 3 8 2 2y y y= = = =
So sánh 4 giá trị trên với nhau
( )
2 2; 2 2 2 1M m M m = = + = +
Câu 17: Đáp án C
Tính
2
'2y x x= − − +
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )
;M a b
là
( )
22
2
1 9 9 1 9
'2
2 4 4 2 4
y a a a a a
= − − + = − + + = − +
Hệ số góc
( )
'ya
lớn nhất (dấu = xảy ra) khi chỉ khi
2
11
0
22
aa
+ = = −
Thay
1
2
xa= = −
và hàm số đã cho, ta có:
32
1 1 1 1 1 4 1
2
3 2 2 2 2 3 4
b
= − − − − + − + =
2a 4 0b + =
Câu 18: Đáp án C
Ta có
( ) ( )
,30
3
4
4
f x f x =−+ =
do đó số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của
đồ thị hàm số
( )
y f x=
với đường thẳng
4
3
y =−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 144
Dựa vào đồ thị, ta có đường thẳng
4
3
y =−
cắt đồ thị hàm số đã cho tại 1 điểm.
Câu 19: Đáp án D
Ta có
( ) ( )
' ' ,g x f x=
suy ra bảng biến thiên của hàm
( ) ( )
2020g x f x=+
chính là bảng biên thiên của
hàm số
( )
y f x=
Câu 20: Đáp án B
Sau 3 năm số tiền ông B có được cả gốc lẫn lãi là:
( )
3
1 0,065 . A +
Theo giả thiết ông B có số tiền lãi 48
triệu đồng nên ta có phương trình:
( )
( )
3
3
48
1 0,065 48 231
1,065 1
A A A+ = + =
−
Câu 21: Đáp án B
Ta có
2 2 2 2 2
8 2 1(10 0)a b ab a ab b ab a b ab+ = + + = + =
( )
2
log log 1() 0a b ab + =
( ) ( )
2log 1 log loga b a b + = + +
( ) ( )
1
log 1 log log
2
a b a b + = + +
Câu 22: Đáp án D
Từ hình vẽ ta có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 145
Hàm số
x
ya=
đồng biến trên nên
1a
Hàm số
log
b
yx=
nghịch biến trên
( )
0;+
nên
0 1 0 1b b a
Câu 23: Đáp án B
Ta thấy
3;0x −
thì
2
1 4 1x x x− + −
nên
( )
( ) ( )
00
2
3
2
3
9
3x
2
1 4 1S x x x dx x dx
−−
= = −− −−−
+ =
Câu 24: Đáp án A
Ta có
( ) ( ) ( )
15
2 7 10 2 3 2 7 10 2 4 8
1
i
i z i i z i i i z i
i
+
− + = + − + + = + − = +
+
Suy ra
48
4
2
i
zi
i
+
==
−
nên
( )
2
4 20 3 4 3 .w i i i= + + = +
Vậy
5w =
Câu 25: Đáp án A
Phương trình
( )
2
2 10 0 1zz− + =
có hai nghiệm phức là
1
13zi=+
và
2
1 3 .zi=−
Ta có:
( ) ( )
22
1 3 1 3 8 6 8 6 20.A i i i i= − + + = − − + − + =
Vậy
20A =
Câu 26: Đáp án B
Ta có
2
2 2 2
2
22
aa
SO SA OA a= − = − =
Ta có
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SO S=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 146
3
2
1 2 2
.
3 2 6
aa
a==
(đvtt)
Câu 27: Đáp án C
Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ. Khi đó:
( )
2 2 2
4 , 8
2
2 2 2 .4.8 2 .4 96
tp
AB
r cm l h AD cm
S rh r cm
= = = = =
= + = + =
Câu 28: Đáp án B
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
( )
: 4 3 2 5 0x y z
− + + =
nên d có vectơ chỉ phương là
( )
4; 3;2 .
d
u −
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 147
Do đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là
1 2 5
4 3 2
x y z− + −
==
−
Câu 29: Đáp án D
Ta có
( ) ( ) ( )
1;0; 3 ; 0; 2; 2 ; 1; 1; 1 . BA BC BD= − − = − − = − − −
( )
, 0;2; 2 , . 6BC BD BC BD BA
= −
=
,
1
.
6
1
. .6 1
6
ABCD
V BC BD BA==
=
(đvtt)
( ) ( )
22
2
11
. . 0 2 2
2
, 2
2
DBC
S BC BD
+ + − =
==
(đvdt)
Ta có
3
1 3 3 2
..
32
2
BC
C
ABCD
ABC
BD
D D
AH S AH
S
V
V = = ==
Câu 30: Đáp án C
Ta có
( ) ( )
' / / ' 'D AC BA C
nên
( ) ( ) ( )
( )
'; ' ' ; ' 'd CD BC d D AC BA C=
( )
( )
( )
( )
'; ' ' ; ' 'd D BA C d A BA C==
Từ đây ta tính
( )
( )
3
; ' 'd A BA C
a
=
Câu 31: Đáp án D
Không gian mẫu
33
10 10
. 14400 .CC = =
Gọi A là biến cố “Trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau”.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 148
Chọn số giống nhau ở cả hai bạn An và Bình là: 10 cách.
Chọn hai số còn lại của An là:
2
9
C
cách.
Chọn hai số còn lại của Bình là:
2
7
C
cách.
Vậy
( )
22
97
10. . 75
0
2
4
0
1
6
A
A C C P A =
== =
Câu 32: Đáp án A
Ta có
( ) ( )
3 3 .f x x m f x x m= + − =
Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng
( )
1;1−
thì đường thẳng
ym=
phải cắt đồ thị hàm số
( ) ( ) ( )
3 , 1;1 .g x f x x x= − −
Xét hàm số
( ) ( ) ( )
3 , 1;1 .g x f x x x= − −
Có
( ) ( )
' ' 3.g x f x=−
Nhìn đồ thị
( )
'fx
ta thấy, với
( )
1;1x−
thì
( ) ( ) ( )
1 ' 3 ' ' 3 0.f x g x f x− = −
Do đó, ta có bảng biến thiên như hình bên
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 149
x
1−
1
( )
'gx
−
( )
gx
( )
1g −
( )
1g
Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3 1 3 .g m g f m f− − + −
Câu 33: Đáp án B
;0 sin 1;0
2
xx
− −
Nhìn đồ thị
( )
fx
ta thấy, với
1;0x−
thì
( )
2 1.fx−
Vì
( )
sin 1;0 2 sin 1x f x − −
( )
sin 21 fx−−
Mặt khác, nhìn đồ thị
( )
fx
ta thấy với
12x−
thì
( )
2 1.fx−
Vì
( )
sin 21 fx − −
( )
( )
sin 1 1, 2 3.2 f f x M m M m − = = − − =−
Câu 34: Đáp án C
Đặt
( )
2
1
3 1.
x
t
−
=
Phương trình trở thành
( )
2
2
2
2 3 2 0 *
23
t
t mt m m
t
−
− + − = =
−
3
(
2
t =
không phải là nghiệm của phương trình).
Xét hàm
( )
2
2
23
t
ft
t
−
=
−
trên
)
3
1; \
2
+
Ta có
( )
( )
( )
2
2
1
2 6 4
' , ' 0
2
23
t
tt
f t f t
t
t
=
−+
= =
=
−
Bảng biến thiên
x
1
1,5
2
+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 150
'y
−
−
0
+
y
1
+
+
−
2
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn
hơn 1 và khác
3
.
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có
2m
Câu 35: Đáp án A
Xét
( )
0;x +
và
( )
0fx
ta có:
( ) ( )
( )
( )
'
1
' . 3x 1
3x 1
fx
f x f x
fx
= + =
+
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
'
1 1 2 1
3x 1
3
3x 1 2 3x 1
fx
dx dx d f x d
f x f x
= = +
++
( )
( )
( )
2
3x 1
3
2
ln 3x 1
3
C
f x C f x e
++
= + + =
Theo bài ra ta có:
( )
1fe=
nên
( )
4 2 1
3x 1
3 3 3
1
3
C
e e C f x e
+ + −
= = − =
Do đó
( ) ( )
5 10,3123 10 5 11ff
Câu 36: Đáp án D
Giả sử
xb=
là nghiệm dương lớn nhất của phương trình
42
3x 0.xm− + =
Khi đó ta có
( )
42
.3 0 1b b m− + =
Nếu xảy ra
1 2 3
S S S+=
thì
( )
( )
54
4 2 3 2
0
3x 0 0 0 2
55
b
bb
x m dx b mb b m− + = − + = − + =
(do
0)b
Từ (1) và (2) , trừ vế theo vế ta được
4 2 2
45
20
52
b b b− = =
(do
0)b
Thay trở lại vào (1) ta được
5
4
m =
Câu 37: Đáp án B
Ta đặt
( )
,w x yi x y= +
thì
( ) ( )( )
1 1 1 1 2w i z w i z i= + + = + − + +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 151
( )( )
2 1 1
2 1.1
w i z i
w i z i
− − = − +
− − = − +
( ) ( )
( )
2
2
2
2 1 2. 1 2
2
x y z
R
− + − = −
=
2
2SR
= =
Câu 38: Đáp án D
Gọi R là bán kính khối trụ, 6R là chiều cao khối trụ, chiền cao khối nón là 4R.
Thể tích khối cầu và khối nón là
3 2 3
1
4 1 8
.4
3 3 3
V R R R R
= + =
Thể tích khối trụ
23
2
.6 6V R R R
==
Tỉ số thể tích nước còn lại và nước ban đầu là
21
2
8
6
5
3
69
VV
V
−
−
==
Câu 39: Đáp án D
Xét mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 5 3 5 20 5; 3;5 , 2 5.S x y z I R− + + + − = − =
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
5 2. 3 2.5 3
: ; 6
1 2 2
P d I P
− − + −
==
+ − +
Khi đó
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 2 5 36 (P)MN IN MN R d IM+ = + = + = = ⊥
Suy ra phương trình của IM:
( )
5 3 5
; 5; 3 2 ;2 5
1 2 2
x y z
M IM M t t t
− + −
= = + − − +
−
Mà
( ) ( ) ( ) ( )
5 2 2 3 2 2 5 3 0 2 3;1;1 11M P t t t t M OM + − − − + + − = = − =
Câu 40: Đáp án C
Hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
nên
( )
.SA ABCD⊥
Do đó
.
D
3
.
S ABCD
ABC
V
SA a
S
==
Tam giác SAD vuông tại A nên
22
2.SD SA AD a= + =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 152
Ta có
( )
,.CD AD CD SA CD SAD CD SD⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Vậy diện tích tam giác SCD là:
2
12
..
22
SCD
a
S SDCD==
Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng
( )
SCD
khi đó
( )
( )
( )
, , .SB SCD SB SI BSI==
Mặt khác,
..
33
2
22
B SCD S ABCD
SCD SCD
VV
a
BI
SS
= = =
Tam giác SAB vuông tại A nên
22
2.SB SA AB a= + =
Tam giác SIB vuông tại I nên
0
1
sin 30 .
2
BI
BSI BSI
SB
= = =
Vậy
( )
( )
, 30 .SB SCD =
Câu 41: Đáp án B
Trước tiên ta rút gọn phần thức
( )
( )
( )( )
( )
22
2
2 1 4 2
.
1
,
fx
fx
x
x x x
x +
− − −
+
khi phân thức này đã tối giản thì về
cơ bản, ứng với mỗi một nghiệm của mẫu ta sẽ được một đường tiệm cận đứng, tuy nhiên phải lưu ý các
trường hợp đặc biệt.
+) Ta thấy đồ thị
( )
y f x=
tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và cắt trục hoành tại hai
điểm có hoành độ lần lượt là 1,2 nên phương trình
( )
0fx=
có nghiệm kép
0x =
và hai nghiệm đơn
1, 2xx==
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 153
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
0 1 2 1 2f x x x x g x x x x g x = − − − = − −
với
( )
gx
vô nghiệm.
+) Đường thẳng
2y =
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại hai điểm có hoành độ
( )
, 1 0,2 3 ,x a x b a b= = −
nên phương trình
( )
2fx=
có hai nghiệm đơn
( )
, 1 0,2 3x a x b a b= = −
( ) ( )( ) ( )
2f x x a x b h x − = − −
với
( )
hx
vô nghiệm.
Vậy ta có
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
2 2
2
2
22
12
2 1 4 2 1 1
.
1
.
4
.
2
f x x x g x x x
y
hx
xa
x x x
f x x x x x x xxb
++
==
−−
−−
− − − + − − +
( )
( ) ( )( )( )( )( )
2 2
.
.
1 2 2 1
gx
xx
h x x a x b
x
x x x
+
=
− + + +−
Ta thấy với
( )
1 0x a a= −
và
1
2
x =−
thì
2
0xx+
nên
2
xx+
không tồn tại.
Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là
, 1, 2.x b x x= = − = −
Câu 42: Đáp án A
Để
: d y x m=+
cắt đồ thị hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình
1
1
x
x
x
m =+
−
+
phải có 2 nghiệm phân biệt.
2
10x mx m + + + =
có 2 nghiệm phân biệt
12
,1xx−
( ) ( )
( )
2
2
4 4 0
2 2 2
2 2 2, 2 2 2
*
20
1 1 1 0
2 2 2
mm
m
mm
mm
m
= − −
+
− +
− + − + +
−
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ; ,A x x m B x x m++
ta có
22
2OA OB+=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2 2
2x x x xm m +++ + =+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2
2
2
12 1 22
2
2
2
1
1
21
2 1 1
1
2 3 0
3
x x m x x m
x x x x m x x m
m m m m m
m
mm
m
+ + + + =
+ − + + + =
− − + + − + =
=−
− − =
=
Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn
1.m =−
Câu 43: Đáp án C
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 154
Theo đề bài thì
( )
y f x=
có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và
( )
'y f x=
liên tục trên
( )
( )
0
1
' 0 ;
2
0
x
x
fx
x
ux
=
=
=
=
=
với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,
còn
( )
0ux=
chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập
0;1;2
Đặt
( )
( )
2
44,g x xf x=−
ta có:
( ) ( )
( )
2
' 4 8 ' 4 4 .g x x f x x= − −
( )
( )
2
4 8 0
0
4 0
'
'4
x
gx
f x x
=
−
−
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
x 1 0
0
1
x1
2
4 8 0
0
2
44
1
10
1
' 0 4 4
20
2
44
44
4
0
0
0
4
44
x
x
xx
x
xx
g
xu
u
u
x x x
x
xx
x
xx
xx
−=
=
−
=
−=
= −
=
=
−
−
=
−
−
=
=
−
=
=
=
− =
+) Xét phương trình
( )
2
4 4 0.u x x−=
Giả sử a là một nghiệm của phương trình
( )
0ux=
thì từ
0;1;2a
ta thấy phương trình
2
44x x a−=
không có nghiệm nào thuộc tập
1
0; ;1 .
2
Suy ra các nghiệm
0; 1xx==
là nghiệm đơn còn
1
2
x =
là
nghiệm bội 3 của phương trình
( )
2
' 4 4 0f x x−=
+) Nếu phương trình
( )
2
4 4 0u x x−=
có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của
phương trình
( )
2
' 4 4 0f x x−=
Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình
( )
0gx=
là
1
0; ;1 .
2
Do đó, hàm số
( )
( )
2
44g x f x x=−
có 3 điểm cực trị.
Câu 44: Đáp án C
Điều kiện
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 155
2
0
2
1
0
2 m
x
xx
+
+
+
Phương trình ban đầu tương đương
( )
2
2
22
2
22
log 2
2
21
21
21
2
log log 221
xm
x
x
x
x
x mx
xm xxx mx
+ = +
++
++
+
+ =+ ++ ++ ++
(
)
( )( )
2
2121f f xx mx++ = +
Xét hàm số
( )
2
logf t t t=+
với
( )
0;t +
có
( ) ( )
1
' 1 0, 0;
ln2
f t t
t
= + +
( )
ft
đồng biến trên
( )
0;+
nên (1)
2
221x mx x++ = +
Từ đó
( )
( ) ( )
2
2
2
4 3 0
2
2
2
2
21
xm
x
x
x
x
x mx
−
−
=+
+ − −
=
+
+
Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt
12
,xx
lớn hơn
2−
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 12
1
2
2
12
2 1 2
4 12 0
2 2 0
0
2
4 0 4 4 0
3 2 4
2
4
24
.0
0
mm
x x m
m
x x x x
m
xx
xx
+ +
= − +
+ + +
+
− +
− + − +
+ + +
+
8
9
9
2
2
m
m
m
mà
*
1;2;3;4mm
Câu 45: Đáp án D
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
( ) ( ) ( )
0
22
2
00
'xf x dx xf x f x dx=−
Từ
( ) ( ) ( )
2
2 2 2, 1f x f x x x x+ − = − +
Thay
0x =
vào (1) ta được
( ) ( ) ( ) ( )
0 2 2 2 2 0 2 3 1f f f f+ = = − = − = −
Xét
( )
2
0
I f x dx=
Đặt
2,x t dx dt= − = −
đồi cận:
02
20
xt
xt
= =
= =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 156
Khi đó
( ) ( ) ( )
0 2 2
2 0 0
2 2 2I f t dt f t dt I f x dx= − − = − = −
Do đó ta có
( ) ( )
( )
( )
22
2
00
2 x2 2f x f x dx x dx+ − = +−
( ) ( )
22
00
84
2
33
f x dx f x dx = =
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
22
2
0
00
4 10
' 2 1 .
33
xf x dx xf x f x dx= − = − − = −
Câu 46: Đáp án A
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
22
22
33
'
x 1 x
' ' '' '
221
f x f x
f x f x f x f x f x f x
+ = − = −
++
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
'
2
33
x
'' '
'
11
2 112x
f x f x f x
fx
fx
fx
−
= − = −
+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2
1
3
' ' '
11
2
2
x1
x1
2x1
f x f x f x
dx dx C
f x f x f x
−
= − = − =+
+
+
+
Thay
0x =
ta được
1
0C =
( )
( )
( )
( )
( )
2
''
1
ln
x
2x1
x 1 122
f x f x
dx
dx f x C
f x f x
= = = +
+
+
+
Thay
0x =
ta được
2
1.C =−
( )
1ln 2 1xfx =−
+
Thay
4x =
ta được
( ) ( )
2
ln 4 2 4 .f f e= =
Câu 47: Đáp án A
Gọi
( )
; ; .z x yi x y= +
Ta có:
1 . 1.z z z= =
Đặt
1,tz=+
ta có
0 1 1 1 2 0;2z z z t= − + + =
Ta có
( )
( )
2
2
2
1 1 1 . 2 2
2
t
t z z z z z z x x
−
= + + = + + + = + =
Suy ra
( )
2
2 2 2
1 . 1 2x 1 2x 1 3z z z z z z z z z t− + = − + = − + = − = − = −
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 157
Xét hàm số
( )
2
3 , 0;2f t t t t= + −
Dùng đạo hàm tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
( )
,ft
suy ra
( )
13
max
4
ft=
khi
( )
1
;min 3
2
t f t==
khi
13 3
3 .n
4
tM= =
Câu 48: Đáp án B
Đặt
. ' ' 'ABC A B C
VV=
Lấy điểm E trên
'CC
sao cho
' 4 ' .CC C E=
Suy ra
' ' ' 1
' ' ' 4
A M B N C E
A A B B C C
= = =
( ) ( )
/ / .MNE ABC
Ta có:
' ' ' '.
1
3
C MNE A B C MNE
VV=
(chóp và lăng trụ có chung đáy, đường cao)
''1 '.
2
3
A B C MNE
VV=
Mặt khác
' ' '.
1
4
A B C MNE
VV=
(hai lăng trụ có chung đáy và tỉ lệ đường cao bằng
( )
( )
( )
( )
, ' ' '
'1
'4
, ' ' '
d M A B C
MA
AA
d A A B C
==
Suy ra
1
12
2
2 1 1 1 5 1
.
3 4 6 6 6 5
V
V V V V V V V
V
= = = − = =
Câu 49: Đáp án B
Gọi
( )
;;M x y z
là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:
( )
2 2 2
2 x 2 1 z 2 0x y z m m y m m+ + + − − − + − =
đúng với
m
( )
2 2 2
x 2 1 2 2 0 2 y z xm y z y − − +++ + + − =
đúng với
m
2 2 2
x 2 1 0
22
0
2 yz
x y z y
− − + =
+ + + − =
Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng
2 2 1 0x y z− − + =
và mặt cầu
2 2 2
2 2 0x y z y+ + + − =
có tâm
( )
0; 1;0 ,I −
bán kính
3R =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 158
Do đó bán kính đường tròn
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
22
2
21
, 3 2
2 2 1
r R d I P
+
= − = − =
+ − + −
Câu 50: Đáp án C
Giả sử
( )
1; 2; 3 .M x y z+ + +
Ta có
( )
2
22
6 6 6 .MA x y z x x= − + + − −
( )
2
22
2 2 2MB x y z y y= + − + − −
( )
2
22
3 3 3MC x y z z z= + + − − −
( )
2
2 2 2
3 3.MD x y z x y z x y z= + + + + + +
Do đó
3 6 2 3 11P MA MB MC MD x y z x y z= + + + − + − + − + + + =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi và chỉ khi
( )
( )
( )
( )
2
22
2
22
2
22
2 2 2
66
22
33
3
x y z x
x y z y
x y z z
x y z x y z
− + + = −
+ − + = −
+ + − = −
+ + = + +
( )
60
20
3 0 0 1;2;3
0
0
x
y
z x y z M
x y z
x y z
−
−
− = = =
+ +
= = =
khi đó
14OM =
ĐỀ 67
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
I. NHẬN BIẾT
Câu 1. [2D1-1] Giá trị cực đại của hàm số
32
1
32
3
= − − +y x x x
là:
A.
7−
.
B.
1−
. C.
11
3
. D.
5
3
−
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 159
Câu 2. [2D1-1] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
21
x
y
x
−
=
+
trên đoạn
1;3
là:
A.
1;3
1;3
2
0;min .
7
Max y y= = −
B.
1;3
1;3
2
;min 0.
7
Max y y==
C.
1;3
1;3
3;min 1.Max y y==
D.
1;3
1;3
1;min 0.Max y y==
Câu 3. [2D1-1] Cho hàm số
( )
y f x=
có
lim ( ) 4
x
fx
→+
=
và
lim ( ) 4
x
fx
→−
=−
. Phát biểu nào sau đây đúng:
A. Đồ thị hàm số có 2 TCN
4y =
và
4y =−
. B. Đồ thị hàm số không có TCN.
C. Đồ thị hàm số có duy nhất 1 TCN. D. Đồ thị hs có 2 TCN
4; 4xx= = −
.
Câu 4. [2D2-1] Cho
. Kết luận nào sau đây đúng?
A.
.1
=
. B.
. C.
. D.
0
+=
.
Câu 5. [2D2-1] Đạo hàm của hàm số
( )
6
x
f x x=+
là
A.
( )
2
6
ln6 2
x
x
fx
=+
. B.
( )
6
1
ln6
x
fx
=+
.
C.
( )
61
x
fx
=+
. D.
( )
6 ln6 1
x
fx
=+
.
Câu 6. [2D3-1] Họ nguyên hàm của hàm số
( ) (1 )
xx
f x e e
−
=+
là :
A.
xx
e e C
−
++
. B.
x
e x C++
. C.
1
x
e +
. D.
x
ex+
.
Câu 7. [2D4-1] Số phức
23zi=−
có điểm biểu diễn là:
A.
( )
2;3 .
B.
( )
2;3 .i
C.
( )
2; 3 .−
D.
( )
2; 3 .i−
Câu 8. [2H1-1] Trong các loại khối đa diện đều sau, hãy tìm khối đa diện đều có số cạnh gấp đôi số
đỉnh :
A. Khối hai mươi mặt đều. B. Khối lập phương.
C. Khối bát diện đều. D. Khối mười hai mặt đều.
Câu 9. [2H3-1] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d
−
==
−
và hai
điểm
(2;1;0), ( 2;3;2)AB−
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
,AB
và có tâm
I
thuộc đường thẳng
d
A.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 17x y z+ + + + − =
. B.
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 17x y z− + − + + =
.
C.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 2) 5x y z− + − + + =
. D.
2 2 2
( 3) ( 1) ( 2) 5x y z+ + + + − =
.
II. THÔNG HIỂU
Câu 10. [2D1-2] Hàm số nào sau đây không đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A.
42
21y x x= + +
. B.
23yx=−
.
C.
2
1
x
y
x
−
=
−
. D.
32
3 3 1y x x x= − + −
.
Câu 11. [2D1-2] Cho bảng biến thiên sau, xác định hàm số:
x
−
1−
0
1
+
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 160
y
−
0
+
0
−
0
+
y
+
3−
+
4−
4−
A.
42
23y x x= − −
. B.
2
44y x x= − − +
.C.
32
3 4 2y x x x= + − +
. D.
32
32y x x= + +
.
Câu 12. [2D1-2] Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
y
x
-1
-2
-1
2
4
3
2
O
1
A.
3
3y x x=−
. B.
3
3y x x=+
. C.
3
2y x x= − +
. D.
3
2y x x= − −
.
Câu 13. [2D1-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
32
( ): 3 2C y x x= − +
tại tâm đối xứng của
()C
là
A.
33yx=+
. B.
( )
31yx=−
. C.
13yx=−
. D.
( )
31yx= − −
.
Câu 14. [2D1-2] Đồ thị hàm số
32
32y x x ax b= − + +
có điểm cực tiểu
( )
2; 2A −
. Tính
ab+
A.
4ab+ = −
B.
2ab+=
C.
4ab+=
. D.
2ab+ = −
.
Câu 15. [2D2-2] Cho
log 3, log 2.
aa
bc= = −
Tính
4
3
3
log .
a
ab
c
A.
8
3
−
. B.
17
3
−
. C.11. D.-8.
Câu 16. [2D2-2] Phương trình
9 3.3 2 0
xx
− + =
có 2 nghiệm
12
,xx
.Giá trị
12
23A x x=+
là.
A.
2
4log 3
.
B. 2. C. 0.
D.
3
3log 2
.
Câu 17. [2D3-2] Tích phân I =
1
2 3 5
0
x (1 x ) dx+
.Đặt
3
1tx=+
khi đó I bằng .
A.
1
5
0
1
.
3
I t dt=
B.
2
5
1
I t dt=
. C.
2
5
1
1
3
t dt
. D.
1
5
2
1
.
3
I t dt=
Câu 18. [2D3-2] Biết
4
2
3
1
. ln ln
32
dx a b c
xx
=−
−+
.Khi đó
M a b c= + +
bằng:
A.
7M =
. B.
5M =
. C.
12M =
. D.
1M =
.
Câu 19. [2D3-2] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường
yx=
,
2yx= − +
,
0y =
quay quanh trục
Oy
, có giá trị là kêt quả nào sau đây?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 161
A.
1
3
V
=
. B.
3
2
V
=
. C.
32
15
V
=
. D.
11
6
V
=
.
Câu 20. [2D3-2] Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời
gian
t
là
( )
2
3a t t t=+
. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng
tốc.
A.
3400
3
m
. B.
4300
3
m
. C.
130
3
m
. D.
130m
.
Câu 21. [2D4-2] Trên tập số phức C, số nghiệm thực của phương trình
( ) ( )
42
2 4 2 0zz− − − =
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 22. [2D4-2] Cho số phức
z
thỏa mãn:
( )
1 6 8i z i- = +
. Mô đun của số phức
53w z i= + -
là:
A.
5w =
. B.
25w =
. C.
25w =
. D.
5w =
.
Câu 23. [2H1-2] Cho khối lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của
,AB AC
.
Mặt phẳng
( ' ' )B C NM
chia khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
thành hai khối nào?
A. Khối chóp tam giác và khối lăng trụ tam giác.
B. Khối chóp tứ giác và khối lăng trụ tam giác.
C. Khối chóp cụt tam giác và khối lăng trụ tam giác.
D. Khối chóp cụt tam giác và khối lăng trụ tứ giác.
Câu 24. [2H1-2] Cho
.S ABCD
là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
biết
,AB a SA a==
?
A.
3
a
. B.
3
2
2
a
. C.
3
2
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 25. [2H1-2] Cho lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
2BC a=
,
AB a=
. Mặt bên
( ' ' )BB C C
là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là:
A.
3
3
3
a
. B.
3
2a
. C.
3
23a
. D.
3
3a
.
Câu 26. [2H1-2] Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm.
Biết chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hộp đó là 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch
có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu gạch để xây
bồn đó và thể tích thực của bồn chứa là bao nhiêu? (giả sử lượng xi măng và cát là không đáng kể).
A. 1180 viên; 8820 lít. B. 1180 viên; 8800 lít.
C. 1182 viên; 8800 lít. D. 1182 viên; 8820 lít.
Câu 27. [2H2-2] Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi
12
,SS
lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập
phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính
12
S S S=+
(cm
2
)
A.
4(2400 )S
=+
. B.
2400(4 )S
=+
C.
2400(4 3 )S
=+
. D.
4(2400 3 )S
=+
.
Câu 28. [2H2-2] Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
có
AB a=
. Tính diện tích toàn phần của hình
nón sinh ra khi quay tam giác quanh cạnh
AB
?
A.
2
22ap
. B.
2
2ap
. C.
2
2 ap
. D.
( )
2
12ap +
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 162
Câu 29. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho tam giác
MNP
có
(1;2;3)M
,
( )
1;1;1N −
,
( )
1;2;1NP =
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
MNP
, tọa độ
G
là.
A.
224
;;
333
G
-
. B.
155
;;
3 3 3
G
. C.
( )
0;2;2G
. D.
244
;;
333
G
.
Câu 30. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
()P
chứa đường
thẳng
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
− + −
==
−
và đi qua điểm
( )
0;2;2A
A.
5 2 2 0x y z− + + =
B.
5 2 2 0x y z+ − + =
C.
5 5 2 0xz+ − =
D.
20xz+ − =
Câu 31. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp
( ): 2 2 0p x y z− + − =
và
( ):2 1 0Q x y z+ − + =
. Phương trình đường thẳng d là giao tuyến của
()P
và
()Q
có dạng:
A.
1
3
15
xt
yt
zt
=+
=
=−
B.
1
3
5
x
yt
z
=
=−
=
C.
1
1 3 5
x y z+
==
D.
2
3 1 5
x y z −
==
Câu 32. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 1 1
:
1 2 2
x y z− − +
= =
−
và
12
: 1 2 ,
1
xt
d y t t
zt
=+
= − +
=+
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
cắt và vuông góc với
d
B.
chéo và vuông góc với
d
C.
cắt và không vuông góc với
d
D.
chéo và không vuông góc với
d
III. VẬN DỤNG
Câu 33. [2D1-3] Tìm
m
sao cho hàm số
4mx
y
xm
+
=
+
luôn nghịch biến trên khoảng
( )
;1−
.
A.
22m−
. B.
21m− −
. C.
21m− −
. D.
22m−
.
Câu 34. [2D1-3] Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
và
A
là điểm thuộc
( )
C
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
tổng các khoảng cách từ
A
đến các tiệm cận của
( )
C
.
A.
22
. B. 2. C. 3. D.
23
.
Câu 35. [2D1-3] Cho hàm số
42
y ax bx c= + +
(
0a
) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 163
A.
0a
,
0b
,
0c
. B.
0a
,
0b
,
0c
.
C.
0a
,
0b
,
0c
. D.
0a
,
0b
,
0c
.
Câu 36.
[2D2-3] Dân số thế giới tăng hàng năm theo hàm số mũ có dạng
( ) (0).
kt
P t P e=
,trong đó
(0)P
là
dân số tại thời điểm chọn làm mốc,
(t)P
là dân số thế giới sau mốc thời gian
t
năm và hệ số
k
được xác định tùy theo khoảng thời gian.Biết dân số thế giới năm 1950 là 2,56 tỉ người và năm
1960 là 3,04 tỉ người.hãy dự đoán thế giới có số dân là bao nhiêu vào năm 2020?(làm tròn đến
hai chữ số thập phân,đơn vị tỉ).
A.8,52 . B.6,05. C.8,53. D.9,52.
Câu 37. [2D3-3] Cho hàm số
( )
fx
có đồ thị trên đoạn
1;4−
như hình vẽ bên. Tính tích phân
( )
4
1
d.I f x x
−
=
A.
5
.
2
I =
B.
11
.
2
I =
C.
5.I =
D.
3.I =
Câu 38. [2H2-3] Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình
bên (đơn vị: cm). Diện tích xung quanh của xô là:
A. 3645,54 (cm
2
). B. 3645,45 (cm
2
). C. 3391,2 (cm
2
). D. 254,34 (cm
2
)
Câu 39. [2H3-3] Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
1
112
:
3 2 2
x y z
d
− + −
==
−
và
2
42
: 4 2
3
xt
d y t
zt
=+
=+
= − −
A.
112
2 2 1
x y z− + −
==
−
B.
52
3
12
xt
yt
zt
=−
=+
=−
C.
4 4 3
3 2 2
x y z− − +
==
−
D.
42
1
2
xt
yt
zt
=+
=−
=
Câu 40. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt cầu
( ) ( )
2 2 2
: , 0S x y z R R+ + =
và mặt phẳng
( ):2 2 6 0P x y z+ + + =
. Tìm
R
để mặt phẳng
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3.
A.
13
B.
13
C.
0m
D.
12
IV. VẬN DỤNG CAO
Câu 41. [2D1-4] Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng
48
và chiều dài gấp đôi chiều
rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm
O
-1
4
3
2
1
2
-1
y
x
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 164
nắp hộp. Gọi
h
là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết
m
h
n
=
với
m
,
n
là
các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng
mn+
là
A.
12
. B.
13.
C.
11
. D.
10
.
Câu 42. [2D2-4] Tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình sau được nghiệm đúng với mọi
22
22
0:log (7 7) log ( 4 )x x mx x m + + +
là:
A.
7m
. B.
7m
. C.
5m
. D.
5m
.
Câu 43. [2D3-4] Tính tích phân
−=
1
0
2
1 dxxI
A.
.1=I
B.
.
2
1
=I
C.
.
2
=I
D.
.
4
=I
Câu 44. [2D4-4] Cho số phức z thỏa mãn:
12z i z i+ + = −
. Số phức
z
có môđun nhỏ nhất là:
A.
11
22
zi=−
. B.
11
22
zi=+
. C.
11
22
zi= − −
. D.
11
22
zi= − +
.
Câu 45. [2H1-4] Cho khối lăng trụ
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có thể tích bằng 12, đáy
ABCD
là hình vuông
tâm
O
. Thể tích khối chóp
'.A BCO
bằng
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 46. [2D1-4] Một vật chuyển động theo quy luật
32
1
6
2
s t t= − +
với
t
( giây) là khoảng thời gian
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và
s
( mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời
gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt
được là bao nhiêu ?
A.
24( / )ms
B.
108( / )ms
C.
18( / )ms
D.
64( / )ms
Câu 47. [2D2-4] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2
22
log 2log 3 2 0x x m− + −
có nghiệm thực.
A.
1m
B.
2
3
m
C.
0m
D.
1m
Câu 48. [2D3-4] Biết
11
1
( ) 18.f x dx
−
=
Tính
( )
( )
2
2
0
2 3 1I x f x dx= + −
A.
15I =
B.
3I =
C.
7I =
D.
10I =
Câu 49. [2D4-4] Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Đặt
2
2
zi
A
iz
−
=
+
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1A
B.
1A
C.
1A
D.
1A
Câu 50. [2H1-4] Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có
'BB a=
, góc giữa đường thẳng
'BB
và
mặt phẳng
( )
ABC
bằng
0
60
, tam giác
ABC
vuông tại
C
và
0
60BAC =
. Hình chiếu vuông góc của
điểm
'B
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Thể tích khối tứ diện
'A ABC
là
A.
3
'
3
208
A ABC
a
V =
B.
3
'
9
208
A ABC
a
V =
C.
3
'
9
108
A ABC
a
V =
D.
3
'
9
208
A ABC
a
V =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 165
......................HẾT.................
ĐỀ 68
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1 [NB]: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
;ab
và có
( )
' 0; ;f x x a b
, khẳng định nào sau
đây sai?
A.
( ) ( )
;
min
ab
f x f a=
B.
( )
fx
đồng biến trên
( )
;ab
C.
( ) ( )
;
max
ab
f x f b=
D.
( ) ( )
f a f b=
Câu 2 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
1;0; 2 , 2;3; 1 , 0; 3;6A B C− − −
.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
A.
( )
1;1;0G
B.
( )
3;0;1G
C.
( )
3;0; 1G −
D.
( )
1;0;1G
Câu 3 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
:2 2 7 0P x y z− − + =
và điểm
( )
1;1; 2A −
.
Điểm
( )
; ; 1H a b −
là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Tổng
ab+
bằng
A. 3 B.
1−
C.
3−
D. 2
Câu 4 [TH]: Tìm điểm cực đại của hàm số
42
2 2019y x x= − −
A.
1x =
B.
0x =
C.
1x =−
D.
2019x =−
Câu 5 [TH]: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước
;2 ;3a a a
có thể tích bằng:
A. 2
3
a
B. 6
3
a
C. 12
3
a
D. 3
3
a
Câu 6 [NB]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho (P) có phương trình:
2 4 5 0xz− − =
. Một VTPT của (P)
là:
A.
( )
1;0; 2n −
B.
( )
2; 4; 5n −−
C.
( )
0;2; 4n −
D.
( )
1; 2;0n −
Câu 7 [TH]: Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn
( )
5 7 17i z i− = −
A.
2−
B. 3 C.
3−
D. 2
Câu 8 [TH]: Cho
3
2
0
sin cosI x xdx
=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
0
3
I
B.
11
32
I
C.
12
23
I
D.
2
1
3
I
Câu 9 [NB]: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
;ab
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
, trục Ox, các đường thẳng
;x a x b==
và V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H)
quanh trục Ox, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
( )
2
b
a
V f x dx
=
B.
( )
b
a
V f x dx
=
C.
( )
2
b
a
V f x dx=
D.
( )
b
a
V f x dx=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 166
Câu 10 [TH]: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
log 2y x x= − −
A.
( )
;2−
B.
( )
1; +
C.
( ) ( )
; 1 2;− − +
D.
( )
1;1−
Câu 11 [TH]: Số 1458 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân
( )
n
u
có công bội
1
2u =
và
3q =
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7
Câu 12 [TH]: Tìm họ nguyên hàm
( )
( )
3
1
21
F x dx
x
=
+
A.
( )
( )
2
1
4 2 1
F x C
x
−
=+
+
B.
( )
( )
2
1
6 2 1
F x C
x
−
=+
+
C.
( )
( )
3
1
4 2 1
F x C
x
−
=+
+
D.
( )
( )
3
1
6 2 1
F x C
x
−
=+
+
Câu 13 [TH]: Tìm số nghiệm của phương trình
( )
ln ln 2 1 0xx+ − =
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
Câu 14 [NB]: Số phức nào dưới đây là một căn bậc hai của số phức
34zi= − +
?
A.
2 i+
B.
2 i−
C.
12i+
D.
12i−
Câu 15 [TH]: Biết
( ) ( )
22
11aa
−
− −
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1a
B.
12a
C.
01a
D.
2a
Câu 16 [TH]: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4yx=−
, trục Ox, đường thẳng
3x =
.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.
A.
7
3
V
=
(đvtt) B.
5
3
V
=
(đvtt) C.
2V
=
(đvtt)
D.
3V
=
(đvtt)
Câu 17 [NB]: Tính đạo hàm của hàm số
2019
x
y =
.
A.
1
' .2019
x
yx
−
=
B.
1
' 2019
x
y
−
=
C.
' 2019 .ln2019
x
y =
D.
' 2019
x
y =
Câu 18 [TH]: Tính tích phân
( )
ln2
4
0
1
x
I e dx=+
.
A.
15
ln2
4
I =+
B.
4 ln2I =+
C.
17
ln2
4
I =+
D.
15
ln2
2
I =+
Câu 19 [TH]: Tìm hệ số của số hạng chứa
5
x
trong khai triển
( )
8
32x −
A. 1944
3
8
C
B.
3
8
1944C−
C.
3
8
864C−
D. 864
3
8
C
Câu 20 [TH]: Đồ thị hàm số sau là đồ thị của hàm số nào?
A.
1
1
x
y
x
−
=
+
B.
22
1
x
y
x
+
=
−
C.
1
1
x
y
x
+
=
−
D.
1
x
y
x
=
−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 167
Câu 21 [TH]: Hàm số
2
2018y x x=−
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
( )
1010;2018
B.
( )
2018;+
C.
( )
0;1009
D.
( )
1;2018
Câu 22 [TH]: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a=
vuông góc với đáy và tam giác ABC là tam giác đều
cạnh a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A.
3
3
2
a
V =
B.
3
33
4
a
V =
C.
3
3
4
a
V =
D.
3
33
2
a
V =
Câu 23 [TH]: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau:
x
−
2−
1
3
+
'y
−
0
+
0
−
0
+
y
+
2−
4
1−
+
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )
1;3
min 1fx=−
B.
( )
max 4fx=
C.
( )
min 2fx=−
D.
( )
2;3
max 4fx
−
=
Câu 24 [TH]: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính
diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón.
A.
2
2
xq
Sa
=
B.
2
22
xq
Sa
=
C.
2
2
xq
Sa
=
D.
2
xq
Sa
=
Câu 25 [TH]: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình
1
4.4 9.2 8 0
xx+
− + =
. Tính giá trị
22
log logP a b=+
A.
3P =
B.
1P =
C.
4P =
D.
2P =
Câu 26 [VD]: Gọi
12
,zz
là 2 nghiệm của phương trình
2
2 1 0zz+ + =
. Tính giá trị biểu thức
22
12
A z z=+
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Câu 27 [TH]: Cho hàm số
2
1
22
x
y
x
−
=
−
có đồ thị
( )
C
. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị
( )
C
.
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
Câu 28 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
− + +
==
−−
. Điểm nào dưới
đây KHÔNG thuộc đường thẳng d?
A.
( )
3; 2; 4M −−
B.
( )
1; 1; 2N −−
C.
( )
1;0;0P −
D.
( )
3;1; 2Q −−
Câu 29 [TH]: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập ?
A.
4
yx=
B.
tanyx=
C.
3
yx=
D.
2
logyx=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 168
Câu 30 [VD]: Cho lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh bằng a nội tiếp trong một hình trụ (T). Gọi
12
,VV
lần lượt là thể tích của khối trụ (T) và khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số
1
2
V
V
A.
1
2
43
9
V
V
=
B.
1
2
43
3
V
V
=
C.
1
2
3
9
V
V
=
D.
1
2
3
3
V
V
=
Câu 31 [VD]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 2 1 9S x y z− + + + =
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x y z− − − =
. Biết rằng mặt cầu
( )
S
cắt
( )
P
theo giao tuyến là đường tròn
( )
C
. Tính bán
kính R của
( )
C
A.
22r =
B.
2r =
C.
2r =
D.
5r =
Câu 32 [TH]: Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
có đồ thị như hình bên.
Trong các giá trị
, , ,a b c d
có bao nhiêu giá trị âm?
A. 3 B. 1
C. 2 D. 4
Câu 33 [VD]: Cho hàm số
x
y ex e
−
=+
, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên B. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x =−
C. Hàm số đạt cực đại tại
1x =−
D. Hàm số đồng biến trên
Câu 34 [VD]: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện
12z i z i+ + = −
và
1z =
A. 0 B. 2 C. 1 D. 4
Câu 35 [VD]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
lnyxx=
, trục Ox và đường thẳng
xe=
A.
2
3
4
e
S
+
=
B.
2
1
2
e
S
−
=
C.
2
1
2
e
S
+
=
D.
2
1
4
e
S
+
=
Câu 36 [VD]: Cho hộp kín chứa 50 quả bóng kích thước bằng nhau, được đánh số từ 1 đến 50. Bốc ngẫu
nhiên cùng lúc 2 quả bóng từ hộp trên. Gọi P là xác suất bốc được 2 quả bóng có tích của 2 số ghi trên 2
quả bóng là một số chia hết cho 10, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0,2 0,25P
B.
0,3 0,35P
C.
0,25 0,3P
D.
0,35 0,4P
Câu 37 [VD]: Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức
logpH H
+
=−
với
H
+
là nồng
độ ion
H
+
trong dung dịch đó. Cho dung dịch A có độ pH ban đầu bằng 6. Nếu nồng độ ion
H
+
trong
dung dịch A tăng lên 4 lần thì độ pH trong dung dịch mới gần bằng giá trị nào dưới đây?
A. 5,2 B. 6,6 C. 5,7 D. 5,4
Câu 38 [VD]: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng
5a
. Gọi (P) là mặt
phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Gọi
là góc tạo bởi mp (P) và (ABCD). Tính tan
A.
6
tan
3
=
B.
6
tan
2
=
C.
2
tan
3
=
D.
3
tan
2
=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 169
Câu 39 [VD]: Cho tam giác ABC vuông tại B và nằm trong mặt phẳng (P) có
2 , 2 3AB a BC a==
. Một
điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với (P) tại
( )
A S A
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SC. Biết rằng khi S thay đổi thì bốn điểm A, B, H, K thuộc mặt cầu cố định. Tính bán
kính R của mặt cầu đó.
A.
2Ra=
B.
3Ra=
C.
2Ra=
D.
Ra=
Câu 40 [VD]: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết
4 , 3 , 5AB a AD a SB a= = =
. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp (SBD)
A.
12 41
41
a
B.
41
12
a
C.
12 61
61
a
D.
61
12
a
Câu 41 [VD]: Gọi S là tập các giá trị m thỏa mãn hệ sau có nghiệm
( )
2
4
24
1 1 1 2019 0
3 1 0
x m x x m
mx m x
− + − + + +
+ − −
. Trong tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?
A. 1 B. 0 C. 2 D. 4
Câu 42 [VD]: Cho hình chóp S.ABC có
,2SA SB SC AB AC a BC x= = = = = =
(trong đó a là hằng số
và x thay đổi thuộc khoảng
3
0;
2
a
). Tính thể tích lớn nhất
max
V
của hình chóp S.ABC
A.
3
max
6
a
V =
B.
3
max
2
4
a
V =
C.
3
max
8
a
V =
D.
3
max
2
12
a
V =
Câu 43 [VD]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:
1 2 1
x y z
d
+−
==
−
và mặt
phẳng
( )
:2 2 2 0P x y z− − − =
. (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Gọi
( )
( )
; ;1
Q
n a b
là một vecto pháp tuyến của (Q). Đẳng thức nào đúng?
A.
1ab− = −
B.
2ab+ = −
C.
1ab−=
D.
0ab+=
Câu 44 [VD]: Cho các số phức
12
,,z z z
thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:
2 4 3iz i+ + =
; phần thực
của
1
z
bằng 2; phần ảo của
2
z
bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
12
T z z z z= − + −
A. 9 B. 2 C. 5 D. 4
Câu 45 [VDC]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu
( ) ( )
12
,SS
lần lượt có phương
trình là
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 0, 6 4 2 5 0x y z x y z x y z x y z+ + − − − − = + + − + + + =
. Xét các mặt phẳng
( )
P
thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi
( )
;;A a b c
là điểm mà tất cả các mặt phẳng
( )
P
đi qua. Tính tổng
S a b c= + +
A.
5
2
S =
B.
5
2
S =−
C.
9
2
S =
D.
9
2
S =−
Câu 46 [VD]: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục, có đạo hàm trên
1;0−
. Biết
( )
( )
( )
2
' 3 2 , 1;0
fx
f x x x e x
−
= + −
. Tính giá trị biểu thức
( ) ( )
01A f f= − −
A.
1A =−
B.
1A=
C.
0A =
D.
1
A
e
=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 170
Câu 47 [VD]: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có
diện tích bằng 1
2
m
và cạnh
( )
BC x m=
để làm một thùng
đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau:
Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM
và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò
thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM,
phần hình chữ nhật BCNM được cắt một hình tròn để làm
đáy của hình trụ trên (phần inox còn thừa được bỏ đi).
Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn
nhất (coi như các mép nối không đáng kể).
A. 1,37m B. 1,02m C. 0,97m D. 1m
Câu 48 [VD]: Gọi
( )
C
là đồ thị hàm số
7
1
x
y
x
−
=
+
, A, B là các điểm thuộc
( )
C
có hoành độ lần lượt là 0
và 3. M là điểm thay đổi trên
( )
C
sao cho
03
M
x
, tìm giá trị lớn nhất của diện tích
ABM
A. 3 B. 5 C. 6 D. 3
5
Câu 49 [VDC]: Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và có đạo hàm trên .
Biết hàm số
( )
'fx
có đồ thị được cho trong hình vẽ. Tìm điều kiện của
m để hàm số
( ) ( )
2019 2
x
g x f mx= − +
đồng biến trên
0;1
A.
0m
B.
ln2019m
C.
0 ln2019m
D.
ln2019m
Câu 50 [VD]: Tìm số nghiệm của phương trình
( )
2
1
1 log2 0
x
xe
−
− − =
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.D
2.D
3.D
4.B
5.B
6.A
7.D
8.A
9.A
10.C
11.D
12.A
13.C
14.C
15.B
16.A
17.C
18.A
19.B
20.C
21.A
22.C
23.B
24.A
25.B
26.B
27.D
28.D
29.C
30.A
31.A
32.C
33.B
34.B
35.D
36.C
37.D
38.A
39.A
40.A
41.A
42.C
43.B
44.D
45.D
46.C
47.B
48.A
49.A
50.A
Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết về hàm số đồng biến.
Cách giải:
Hàm số
( )
y f x=
có
( )
'0fx
với
;x a b
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;ab
nên B đúng.
Và
( ) ( )
;
min
ab
f x f a=
và
( ) ( )
;
max
ab
f x f b=
nên A, C đúng.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 171
D sai vì
( ) ( )
f a f b
Chọn: D
Câu 2:
Phương pháp:
Điểm G là trọng tâm
ABC
thì
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
xxx
x
yyy
y
zzz
z
++
=
++
=
++
=
Cách giải:
Điểm G là trọng tâm
ABC
thì
( )
( ) ( )
( )
1 2 0
1
3
0 3 3
0 1;0;1
3
2 1 6
1
3
G
G
G
x
yG
z
++
==
+ + −
= =
− + − +
==
Chọn: D
Câu 3:
Phương pháp:
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận
P
n
làm VTCP
Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
( )
P
. Đó là điểm H cần tìm
Cách giải:
Mặt phẳng
( )
P
có 1 VTPT là
( )
2; ;2 1
P
n = − −
Đường thẳng d đi qua A và nhận
P
n
làm VTCP có phương trình
12
12
2
xt
yt
zt
=+
=−
= − −
H là hình chiếu của A lên mặt phẳng
( )
P
thì tọa độ giao điểm H của d và
( )
P
là nghiệm của hệ
( ) ( ) ( )
12
1
12
2 1 2 2 1 2 2 7 0 9 9 0 1 3
2
1
2 2 7 0
xt
x
yt
t t t t t y
zt
z
x y z
=+
=−
=−
+ − − − − − + = + = = − =
= − −
=−
− − + =
Suy ra
( )
1;3; 1 1; 3 2H a b a b− − = − = + =
Chọn: D
Câu 4:
Phương pháp:
Hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số
0a
đạt cực đại tại
0x =
Cách giải:
Hàm số
42
2 2019y x x= − −
có
10a =
nên đạt cực đại tại
0x =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 172
Chọn: B
Câu 5:
Phương pháp:
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước
,,abc
thì có thể tích
V abc=
Cách giải:
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước
;2 ;3a a a
thì có thể tích bằng
3
.2 .3 6a a a a=
Chọn: B
Câu 6:
Phương pháp:
Mặt phẳng
( )
:0P Ax By Cz D+ + + =
có một VTPT
( )
;;n A B C
Cách giải:
Mặt phẳng
( )
:2 4 5 0P x z− − =
có một VTPT
( )
2;0; 4n −
hay nó cũng nhận
( )
1
1;0; 2
2
n =−
làm VTPT.
Chọn: A
Câu 7:
Phương pháp:
Số phức
( )
,,z a bi a b= +
có phần thực là a và phần ảo là b.
Cách giải:
( )
( )( )
( )( )
7 17 5
7 17 52 78
5 7 17 2 3
5 5 5 26
ii
ii
i z i z i
i i i
−+
−−
− = − = = = = −
− − +
Nên phần thực của số phức z là 2.
Chọn: D
Câu 8:
Phương pháp:
Đổi biến
costx=
tính tích phân.
Cách giải:
Đặt
cos sint x dt xdx= = −
Đổi cận
01
1
32
xt
xt
= =
= =
. Khi đó,
1
1
1
3
2
22
1
1
1
2
2
1 1 7
3 3 24 24
t
I t dt t dt= − = = = − =
Do đó
71
0
24 3
I =
Chọn: A
Câu 9:
Phương pháp:
Sử dụng công thức dùng ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 173
Thể tích vật thể tạo thành khi quay hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
, trục Ox, các đường
thẳng
;x a x b==
là
( )
2
b
a
V f x dx
=
Chọn: A
Câu 10:
Phương pháp:
Hàm số
( )
log
a
y f x=
xác định nếu
( )
fx
xác định và
( )
0fx
Cách giải:
Hàm số
( )
2
log 2y x x= − −
xác định nếu
2
2
20
1
x
xx
x
− −
−
Vậy tập xác định của hàm số là
( ) ( )
; 1 2;D = − − +
Chọn: C
Câu 11:
Phương pháp:
Cấp số nhân
( )
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công bội q thì có số hạng thứ n là
( )
1
1
0
n
n
u u q q
−
=
Cách giải:
Gọi số hạng thứ n là
11
1
1458 1458 2.3 1458
nn
n
u u q
−−
= = =
1
3 729 1 6 7
n
nn
−
= − = =
Chọn: D
Câu 12:
Phương pháp:
Đưa hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng
( )
n
a x b+
và sử dụng công thức
( )
( )
( )
1
.1
n
n
ax b
ax b dx C
an
+
+
+ = +
+
Cách giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
32
21
11
21
2.2
2 1 4 2 1
x
F x dx x dx C C
xx
−
−
+
−
= = + = + = +
−
++
Chọn: A
Câu 13:
Phương pháp:
+ Điều kiện.
+ Sử dụng công thức
( )
log log log 0 1; , 0
a a a
b c bc a b c+ =
đưa về phương trình dạng
log
b
a
x b x a= =
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 174
Điều kiện:
1
2
x
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
ln ln 2 1 0 ln . 2 1 0 2 1
1
2 1 0
1
2
x x x x x x
x tm
xx
x ktm
+ − = − = − =
=
− − =
=−
Vậy phương trình có 1 nghiệm
1x =
Chọn: C
Câu 14:
Phương pháp:
Số phức w được gọi là một căn bậc hai của số phức z nếu
2
wz =
Cách giải:
Thử đáp án.
Đáp án A:
( )
2
2 4 4 1 3 4i i i+ = + − = +
nên loại A.
Đáp án B:
( )
2
2 4 4 1 3 4i i i− = − − = −
nên loại B.
Đáp án C:
( )
2
1 2 1 4 4 3 4i i i+ = + − = − +
nên chọn C.
Chọn: C
Chú ý:
Các em có thể giải theo cách trực tiếp:
Gọi
w a bi=+
là một căn bậc hai của z. Khi đó
( )
2
2
34w z a bi i= + = − +
. Giải phương trình trên ta
cũng thu được đáp án.
Câu 15:
Phương pháp:
Sử dụng
( )
( )
( )
( )
ab
f x f x
mà
( )
01a b f x
Cách giải:
Ta có
( ) ( )
22
1 1 0 1 1 1 2a a a a
−
− − −
Chọn: B
Câu 16:
Phương pháp:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính thể tích
( )
2
b
a
V f x dx
=
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
2
4 0 2y x x= − = =
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox là:
(
)
( )
33
3
3 3 3
2
22
2
22
3 2 7
4 4 4 4.3 4.2
3 3 3 3
x
V x dx x dx x
= − = − = − = − − + =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 175
Vậy
7
3
V
=
(đvtt)
Chọn: A
Câu 17:
Phương pháp:
Sử dụng công thức
( )
' .ln
xx
a a a=
Cách giải:
Ta có
( )
' 2019 ' 2019 .ln2019
xx
y ==
Chọn: C
Câu 18:
Phương pháp:
Sử dụng công thức
a x b
a x b
e
e dx C
a
+
+
=+
Cách giải:
Ta có:
( )
ln2
ln2
4 4ln2 0
4
0
0
1 15
1 ln2 0 4 ln2 ln2
4 4 4 4 4
x
x
e e e
I e dx x
= + = + = + − − = + − = +
Chọn: A
Câu 19:
Phương pháp:
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton
( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+=
Cách giải:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
88
88
88
00
3 2 3 . 2 .3 . 2 .
nn
k k k
k k k k
kk
x C x C x
−
−−
==
− = − = −
Số hạng chứa
5
x
trong khai triển ứng với
8 5 3kk− = =
nên hệ số cần tìm là
( )
3
3 8 3 3
88
.3 . 2 1944CC
−
− = −
Chọn: B
Câu 20:
Phương pháp:
- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ.
- Đối chiếu các đáp án và nhận xét.
Cách giải:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị cắt hai trục tọa độ tại các điểm
( )
1;0−
và
( )
0; 1−
.
Đáp án A: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm
( )
1;0
nên loại A.
Đáp án B: Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm
( )
0; 2−
nên loại B.
Đáp án C: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm
( )
1;0−
và cắt Oy tại điểm
( )
0; 1−
nên chọn C.
Chọn: C
Câu 21:
Phương pháp:
Hàm số
( )
y f x=
có
( )
'0fx
trên khoảng
( )
;ab
thì hàm số nghịch biến trên
( )
;ab
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 176
Cách giải:
Xét hàm số
2
2018y x x=−
có TXĐ
0;2018D =
22
2 2018 2019
'
2 2018 2018
xx
y
x x x x
− + − +
==
−−
Ta thấy
' 0 1009 0 1009y x x − +
nên hàm số nghịch biến trên
( )
1009;2018
Từ các đáp án ta thấy chỉ có A thỏa mãn vì
( ) ( )
1010;2018 1009;2018
Chọn: A
Chú ý: Một số em không để ý đến điều kiện xác định của hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án B.
Câu 22:
Phương pháp:
Thể tích khối chóp
1
3
V Sh=
với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Cách giải:
Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích
2
3
4
ABC
a
S =
Thể tích khối chóp
23
1 1 3 3
. . .3
3 3 4 4
ABC
aa
V S SA a= = =
Chọn: C
Câu 23:
Phương pháp:
Đọc bảng biến thiên để suy ra GTLN và GTNN của hàm số
Cách giải:
Từ BBT ta thấy
( ) ( )
( )
1;3
2;3
min 1;min 2;max 4f x f x f x
−
= − = − =
là những khẳng định đúng.
Còn đáp án B:
( )
max 4fx=
sai vì
lim
x
y
→
= +
nên không tồn tại GTLN của hàm số trên
Chọn: B
Câu 24:
Phương pháp:
Diện tích xung quanh
xq
S rl
=
Cách giải:
Bán kính đáy
11
.2
22
r BC a a= = =
Tam giác ABC vuông cân có
2BC a=
nên
2AB AC a l= = =
Vậy diện tích xung quanh
2
. . 2 2
xq
S rl a a a
= = =
Chọn: A
Câu 25:
Phương pháp:
Đặt ẩn phụ
( )
20
x
tt=
để đưa về giải phương trình bậc hai ẩn t. Thay trở lại cách đặt để tìm x.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 177
Ta có
1
4.4 9.2 8 0 4.4 18.2 8 0 2.4 9.2 4 0
x x x x x x+
− + = − + = − + =
Đặt
( )
20
x
tt=
ta có phương trình
( )
2
4
2. 9 4 0
1
2
t
t t tm
t
=
− + =
=
Do đó
2 2 2 2
24
2
log log log 2 log 1 1
1
1
2
2
x
x
x
P a b
x
=
=
= + = + =
=−
=
Chọn: B
Câu 26:
Phương pháp:
- Giải phương trình tìm
12
,zz
- Thay vào tính A và kết luận.
Cách giải:
Ta có:
2
2 1 0zz+ + =
có
1 4.2.1 7 = − = −
nên phương trình có hai nghiệm
1,2
17
4
i
z
−
=
Do đó
2
2
22
12
1 7 1
4 4 2
zz
−
= = + =
Vậy
22
12
11
1
22
A z z= + = + =
Chọn: B
Câu 27:
Phương pháp:
Đường thẳng
0
xx=
được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
y f x=
nếu một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn
0 0 0 0
lim ;lim ;lim ;lim
x x x x x x x x
y y y y
+ + − −
→ → → →
= + = − = + = −
Cách giải:
Điều kiện:
1
1
x
x
−
Ta có
( )
2
1 1 1
11
lim lim lim 0
2. 1
22
x x x
xx
fx
x
x
+ + +
→ → →
−−
= = =
+
−
nên
1x =
không là TCĐ của đồ thị hàm số .
( )
2
11
1
lim lim
22
xx
x
fx
x
−−
→− →−
−
= = −
−
vì
( )
1
2
1
lim 1 2
lim 2 2
x
x
x
x
−
−
→−
→−
− = −
− = +
nên
1x =−
là TCĐ của đồ thị hàm số.
Chọn: D
Câu 28:
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng và kiểm tra tọa độ đó có thỏa mãn phương trình hay
không.
Cách giải:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 178
Đáp án A:
3 1 2 1 4 2
1
2 1 2
− − + − +
= = =
−−
nên
Md
Đáp án B:
1 1 1 1 2 2
0
2 1 2
− − + − +
= = =
−−
nên
Nd
Đáp án C:
1 1 0 1 0 2
1
2 1 2
− − + +
= = = −
−−
nên
Pd
Đáp án D:
3 1 1 1 2 2
2 1 2
− − + − +
=
−−
nên
Qd
Chọn: D
Câu 29:
Phương pháp:
Hàm số
( )
y f x=
xác định trên và có
( )
' 0,f x x
(dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm số
đồng biến trên .
Cách giải:
+ Đáp án A: Hàm số
4
yx=
xác định trên và có
3
' 4 0 0y x x=
nên hàm số đồng biến trên
( )
0;+
nên loại A.
+ Đáp án B: Hàm số
tanyx=
có TXĐ
\
4
Dk
=
nên loại B.
+ Đáp án D: Hàm số
2
logyx=
có TXĐ
( )
0;D = +
nên loại D.
+ Đáp án C: Hàm số
3
yx=
xác định trên và có
2
' 3 0;y x x=
và
' 0 0yx= =
nên hàm số
đồng biến trên .
Chọn: C
Câu 30:
Phương pháp:
- Thể tích khối trụ
2
1
V r h
=
với r là bán kính đáy.
- Tính thể tích khối lăng trụ
2
V Sh=
với S là diện tích đáy.
Cách giải:
Diện tích tam giác đáy
2
3
4
a
S =
Chiều cao tam giác ABC là
3
2
a
h =
bán kính
2 2 3 3
.
3 3 2 3
aa
OA h= = =
Thể tích khối trụ
2
2
2
1
3
..
33
a a h
V r h h
= = =
Thể tích lăng trụ
22
2
33
.
44
a a h
V Sh h= = =
Vậy
22
1
2
3 4 4 3
:
3 4 9
33
V a h a h
V
= = =
Chọn: A
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 179
Câu 31:
Phương pháp:
Mặt cầu
( )
S
tâm I và bán kính R cắt mặt phẳng
( )
P
theo giao tuyến là đường tròn
( )
C
bán kính r.
Khi đó ta có mối quan hệ
2 2 2
r h R+=
với
( )
( )
;h d I P=
. Từ đó ta tính r.
Cách giải:
Mặt cầu
( )
S
tâm
( )
2;0 1I −
và bán kính
1
3R =
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
22
2
2.2 0 2. 1 3
;1
2 1 2
h d I P
− − − −
= = =
+ − + −
Bán kính đường tròn giao tuyến là
2 2 2
1
3 1 2 2R R h= − = − =
Chọn: A
Câu 32:
Phương pháp:
Quan sát đồ thị hàm số, nhận xét các điểm đi qua, điểm cực trị, điểm uốn và suy ra dấu của
, , ,a b c d
Cách giải:
3 2 2
' 3 2 , '' 6 2y a x bx cx d y ax bx c y ax b= + + + = + + = +
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
+) Đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
0;d
nằm phía dưới trục hoành nên
0d
+)
lim
x
y
→+
= −
nên
0a
+) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung nên phương trình
'0y =
có hai nghiệm
trái dấu
3 0 0ac c
do
0a
+) Điểm uốn U có hoành độ dương nên phương trình
'' 0y =
có nghiệm
00
3
b
xb
a
= −
do
0a
Vậy
0, 0, 0, 0a b c d
Có 2 trong 4 số
, , ,a b c d
mang giá trị âm.
Chọn: C
Câu 33:
Phương pháp:
Tính
'y
sau đó lập BBT hoặc sử dụng hàm số
( )
y f x=
có
( )
( )
0
0
'0
'' 0
fx
fx
=
thì
0
x
là điểm cực tiểu của hàm
số
( )
y f x=
.
Cách giải:
TXĐ:
D =
Ta có
' 0 1
xx
y e e e e x
−−
= − = = = −
Lại có
( )
1
'' '' 1 0
x
y e y e
−
= − =
nên
1x =−
là điểm cực tiểu của hàm số.
Chọn: B
Câu 34:
Phương pháp:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 180
- Gọi
( )
,,z a bi a b= +
, thay vào các điều kiện bài cho.
- Lập hệ phương trình ẩn
,ab
. Tìm
,ab
và kết luận.
Cách giải:
Gọi
( )
,,z a bi a b= +
, ta có:
2
22
1 1 1z z a b= = + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2
1 1 2
2 1 2 1 4 4 2 2 2 0 1
01
1 1 1 2 2 0
10
z i z i a b i a b i
a b a b
a b b a b a b
ba
a b b b b b
ba
+ + = − + + + = − +
+ + + = + +
+ + + = + − − = = +
= =
+ = + + = + =
= − =
Vậy có hai số phức thỏa mãn là
12
1,z z i= = −
Chọn: B
Câu 35:
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
, trục Ox, đường thẳng
;x a x b==
là
( )
b
a
S f x dx=
Để tìm đủ cận tích phân ta đi giải phương trình
( )
0fx=
.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính toán.
Cách giải:
ĐK:
0x
Xét phương trình
( )
( )
0
ln 0
ln 0 1
x ktm
xx
x x tm
=
=
= =
Diện tích hình phẳng cần tìm là
11
ln ln
ee
S x x dx x xdx==
Đặt
2
1
ln
2
dx du
xu
x
xdx dv
x
v
=
=
=
=
Suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2
11
1 1 1
1 1 1 1
ln ln .
2 2 2 2 2 4 2 4 4 4
e e e
ee
x x e e x e e e
x xdx x dx xdx
x
+
= − = − = − = − + =
Hay
2
1
4
e
S
+
=
Chọn: D
Câu 36:
Phương pháp:
Chia thành các trường hợp:
+ Trong hai quả bóng bốc được có ít nhất một quả có số chia hết cho 10.
+ Trong hai quả bốc được có một quả có chữ số hàng đơn vị bằng 5 và một quả có chữ số hàng đơn vị là
2,4,6,8.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 181
Đếm số khả năng có lợi cho biến cố và tính xác suất.
Cách giải:
Xét phép thử T: “Bốc ngẫu nhiên 2 trong 50 quả bóng”.
Số phần tử khong gian mẫu
( )
2
50
nC=
Gọi A là biến cố: “Tích hai số ghi trên hai bóng chia hết cho 10:.
+) TH1: Trong hai quả bốc được có ít nhất 1 quả có số chia hết cho 10.
Số cách chọn để trong hai quả không có quả nào có số chia hết cho 10 là
2
45
C
Số cách chọn để trong hai quả có ít nhất 1 quả có số chia hết cho 10 là
22
50 45
235CC−=
+) TH2: Trong hai quả bốc được có 1 quả có chữ số hàng đơn vị là 5 và 1 quả có chữ số hàng đơn vị là
2,4,6,8.
Số cách chọn để có được hai số trên (không phân biệt thứ tự) là
11
5 20
. 100CC =
( )
235 100 335nA = + =
Vậy
( )
( )
( )
2
50
335 67
0,27
245
nA
PA
nC
= = =
Chọn: C
Câu 37:
Phương pháp:
Tính nồng độ ion
H
+
khi độ pH bằng 6.
Từ đó tính độ pH khi nồng độ ion
H
+
tăng 4 lần.
Cách giải:
Khi độ pH = 6 ta có
6
6 log 10HH
+ + −
= − =
Khi nồng độ ion
H
+
tăng 4 lần tức là lúc này
6
4.10H
+−
=
thì độ pH là
( )
6
log log 4.10 5,4pH H
+−
= − = −
Chọn: D
Câu 38:
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng ấy.
Cách giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có:
( )
( )
SO ABCD
SC P
⊥
⊥
góc giữa
( )
ABCD
và
( )
P
là góc
giữa SC và SO hay SCO.
Hình vuông ABCD cạnh 2a nên
11
.2 2 2
22
OC AC a a= = =
Tam giác SOC vuông tại O nên
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 182
2 2 2 2
5 2 3
26
tan tan
3
3
SO SC OC a a a
OC a
CSO
SO
a
= − = − =
= = = =
Chọn: A
Câu 39:
Phương pháp:
Chỉ ra ba đỉnh H, K, B cùng nhìn cạnh AC dưới một góc vuông. Từ đó suy ra bán kính mặt cầu đi qua 4
điểm A, H, B, K.
Cách giải:
Ta có
( )
( )
( )
( )
BC AB gt
BC SAB BC AH
BC SA do SA ABC
⊥
⊥ ⊥
⊥⊥
Mà
( )
AH SB AH SBC AH HC⊥ ⊥ ⊥
Ta thấy
0 0 0
90 ; 90 ; 90AHC AKC ABC= = =
nên mặt cầu đi qua bốn
đỉnh A; H; B; K nhận AC là đường kính nên bán kính
2 2 2 2
4 12
2
2 2 2
AC AB BC a a
Ra
++
= = = =
Chọn: A
Câu 40:
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết:
Cho
( )
AH I
=
. Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
, . ,
,
dA
IA IA
d A d H
d H IH IH
= =
Cách giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Dễ thấy
( )
AC SBD O=
và
OA OC=
Nên
( )
( )
( )
( )
,,d C SBD d A SBD h==
Tam giác vuông SAB có
22
3SA SB AB a= − =
Xét tứ diện vuông A.SBD có
2 2 2 2
1 1 1 1
h AD AB AS
= + +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 183
2 2 2 2
2
2
1 1 1 41
9 16 9 144
144 12 12 41
41 41
41
a a a a
a a a
hh
= + + =
= = =
Vậy
( )
( )
12 41
,
41
a
d C SBD =
Chọn: A
Câu 41:
Phương pháp:
Tìm điều kiện xác định
Dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ đề phân tích các trường hợp xảy ra của tham số m.
Cách giải:
ĐK:
1x
Xét phương trình
( )
2 4 2 4
3 1 0 3 1mx m x m x x+ − − + −
Vì
( )
42
1 0; 1 3 0 0x x m x m− +
+ Với
0m =
ta có hệ phương trình
( )
( )
4
4
4
4
1
10
10
1
10
x tm
x
x
x ktm
x
=
−
− =
=−
−
+ Với
0m
thì bất phuơng trình
( )
2
4
1 1 1 2019 0x m x x m− + − + + +
vô nghiệm vì
( )
2
4
1 1 1 2019 0; 1x m x x m x− + − + + +
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài là
0m =
Chọn: A
Câu 42:
Phương pháp:
- Lập hàm số tính thể tích V theo x.
- Sử dụng phương pháp xét hàm tìm
max
V
Cách giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì
O AH
với H là trung điểm BC.
Do
SA SB SC==
nên
( )
SO ABC⊥
Tam giác AHB vuông tại H có
2 2 2 2
AH AB BH a x= − = −
Diện tích
2 2 2 2
11
. .2
22
ABC
S AH BC a x x x a x= = − = −
Ta có:
2
2 2 2 2
. . . .2
4
42
ABC
AB AC BC a a x a
AO R
S
x a x a x
= = = =
−−
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 184
Tam giác SAO vuông tại O có
( ) ( )
4 4 2 2 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2
22
4 4 3 4
44
2
a a a x a a a x
SO SA AO a
a x a x
ax
− − −
= − = − = =
−−
−
Thể tích khối chóp
2 2 2 2
22
22
1 1 3 4 3 4
..
3 3 6
2
ABC
a a x a x a x
V S SO x a x
ax
−−
= = − =
−
Xét hàm số
( )
22
34y f x x a x= = −
trong khoảng
3
0;
2
a
( )
22
22
2 2 2 2
4 3 8 6
' 3 4 . 0
4
3 4 3 4
x a x a
f x a x x x
a x a x
−−
= − + = = =
−−
Bảng biến thiên:
x
0
6
4
a
3
2
a
( )
'fx
+
0
−
( )
fx
max
f
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số
( )
y f x=
đạt GTLN tại
6
4
a
x =
hay
.S ABC
V
đạt GTLN tại
6
4
a
x =
Khi đó
2
2
3
max
66
. . 3 4.
4 16
68
aa
aa
a
V
−
==
Chọn: C
Câu 43:
Phương pháp:
Góc giữa hai mặt phẳng
( ) ( )
;PQ
là
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
.
cos cos ;
.
PQ
PQ
PQ
nn
nn
nn
==
Để
lớn nhất thì cos
lớn nhất từ đó ta dùng hàm số để tìm GTLN.
Cách giải:
Đường thẳng
12
:
1 2 1
x y z
d
+−
==
−
có 1 VTCP
( )
1;2;1u −
Mặt phẳng
( )
:2 2 2 0P x y z− − − =
có 1 VTPT là
( )
2; 1; 2
P
n −−
Vì
( )
Q
chứa đường thẳng d nên
( ) ( )
( )
. 0 . 1 .2 1 0 2 1
QQ
n u n u a b a b⊥ = − + + = = +
Gọi
là góc tạo bởi hai mặt phẳng
( ) ( )
;PQ
, ta có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 185
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 2
.
22
cos cos ;
.
1. 2 1 2
PQ
PQ
PQ
nn
ab
nn
nn
ab
−−
= = =
+ + + − + −
Thay
21ab=+
ta được
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 2 1 2
3
cos
5 4 2
3. 5 4 2 5 4 2
2 1 1.3
bb
bb
b
bb
b b b b
bb
+ − −
= = = =
++
+ + + +
+ + +
Để
lớn nhất thì cos
lớn nhất, suy ra
2
2
5 4 2
b
bb++
lớn nhất hay
2
2
5 4 2
b
bb++
lớn nhất.
Ta tìm b để hàm số
( )
2
2
5 4 2
b
fb
bb
=
++
lớn nhất.
Ta có
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
22
2
22
22
2 5 4 2 10 4 .
1
44
' ' 0
0
5 4 2 5 4 2
b b b b b
b
bb
f b f b
b
b b b b
+ + − +
=−
+
= = =
=
+ + + +
BBT của hàm số
( )
fb
b
−
1−
0
+
( )
'fb
+
0
−
0
+
( )
fb
1
5
1
3
0
1
5
Từ BBT ta thấy
( )
fb
lớn nhất bằng
1
3
khi
1 1 2b a a b= − = − + = −
Chọn: B
Câu 44:
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hình học:
+ Tìm tập hợp các điểm biểu diễn
12
,,z z z
và vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ .
+ Đánh giá GTNN của T.
Cách giải
Ta có:
+ Phần thực của
1
z
bằng 2 nên tập hợp điểm
1
M
biểu diễn
1
z
là đường thẳng
2x =
+ Phần ảo của
2
z
bằng 1 nên tập hợp điểm
2
M
biểu diễn
2
z
là đường thẳng
1y =
Lại có:
( )
2 4 3 2 4 3 2 4 3iz i i z i z i+ + = + − = + − =
Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
( )
2;4I −
bán kính
3R =
Dựng hình:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 186
Ở đó
( ) ( )
2;1 , 2;4BI−
Ta có:
22
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
T z z z z MM MM MC MD MB AB= − + − = + + =
Do đó
2
min
T AB=
, đạt được nếu
12
,M A M M B
.
2
min
5 3 2 4AB IB IA T AB= − = − = = =
Chọn: D
Câu 45:
Phương pháp:
Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu
( ) ( )
12
;SS
Xác định vị trí điểm A rồi sử dụng định lý Ta-let để có tỉ lệ cạnh và suy ra tọa độ A.
Cách giải:
Mặt cầu
( )
1
S
có tâm
( )
1;1;1I
và bán kính
1
5R =
Mặt cầu
( )
2
S
có tâm
( )
3; 2; 1O −−
và bán kính
2
3R =
Nhận thấy
( )
2;3;2 17OI OI= − =
( )
2 1 1 2
2 17 5R R OI R R − +
Nên hai mặt cầu
( ) ( )
12
;SS
cắt nhau.
Giả sử mặt phẳng
( )
P
tiếp xúc với cả hai mặt cầu
( ) ( )
12
;SS
lần lượt tại H; K. Khi đó giao điểm của HK
và OI chính là điểm A cần tìm.
Xét tam giác AIH có
//OK HI
(cùng vuông với HK) nên
1
2
3
53
5
AO OK R
AO AI
AI IH R
= = = =
Gọi
( ) ( ) ( )
; ; 3 ; 2 ; 1 ; 1 ;1 ;1A a b c AO a b c AI a b c = − − − − − = − − −
Suy ra
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6
5 3 3 1
13
5 3 5 2 3 1
2
5 1 3 1
4
a
aa
AO AI b b b
cc
c
=
− = −
= − − = − = −
− − = −
=−
nên
13
6; ; 4
2
A
−−
( )
13 9
64
22
abc
+ + = + − + − = −
Chọn: D
Câu 46:
Phương pháp:
- Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với
( )
fx
e
.
- Lấy tích phân hai vế cận từ -1 đến 0 và tính A.
Cách giải:
Ta có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 187
( )
( )
( )
( )
( )
22
' 3 2 , 1;0 ' 3 2 , 1;0
f x f x
f x x x e x e f x x x x
−
= + − = + −
Lấy tích phân hai vế, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0 0
0
2 3 2
1
1 1 1
' 3 2
f x f x
e f x dx x x dx e d f x x x
−
− − −
= + = +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
01
1
0 0 0 1
f x f f
e e e f f
−
−
= − = = −
Vậy
( ) ( )
0 1 0A f f= − − =
Chọn: C
Câu 47:
Phương pháp:
Thể tích hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
2
V r h
=
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTLN của thể tích.
Cho ba số
,,abc
không âm, theo BĐT Cô-si ta có
3
3
3
3
abc
a b c abc abc
++
+ +
Dấu = xảy ra khi
abc==
Cách giải:
Vì
( )
1
.
ABCD
S AB BC AB m
x
= =
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ thì chu vi đáy của hình trụ là
( )
2
2
x
r x r m
= =
Gọi
1
0AM y y
x
=
suy ra
1
BM y
x
=−
Lại có đường kính đáy hình trụ là
( )
11
2 2.
2
xx
r BM y y m
xx
= = − = −
(ĐK:
1
00
x
x
x
−
)
Thể tích thùng nước hình trụ là
22
2
1
..
22
x x x
V r h y
x
= = = −
( ) ( )( )
22
2 2 2 2
22
2
11
. . 2 .
44
22
xx
x x x x x
x
−
= = − = − −
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số
( ) ( )
22
2 ; ;x x x
−−
ta có
( ) ( )
( ) ( )
3
22
3
3
22
2
28
2 . .
3 3 27
x x x
x x x
+ − + −
− − = =
Suy ra
3
2
1 8 1
.
27
2 2 3 3
VV
Dấu = xảy ra khi
2 2 2
23
3
x x x x
= − = =
(vì
0x
)
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 188
Vậy thùng nước có thể tích lớn nhất khi
( )
1,02
3
xm
=
Chọn: B
Câu 48:
Phương pháp:
- Gọi tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số.
- Tính khoảng cách từ M đến AB suy ra diện tích.
- Từ đó sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của diện tích tam giác ABM.
Cách giải:
Ta có:
( ) ( )
0; 7 , 3; 1 3 5A B AB− − =
Phương trình đường thẳng
07
: 2 7 0
3 0 1 7
xy
AB x y
−+
= − − =
− − +
Gọi
( )
7
;
1
M
M
M
x
M x C
x
−
+
với
03
M
x
( )
22
78
2 7 2 8
11
,
5
21
M
MM
MM
x
xx
xx
d M AB
−
− − − +
++
= =
+
( )
8
28
1
1 1 4
. , .3 5. 3 4
2 2 1
5
M
M
MAB M
M
x
x
S AB d M AB x
x
−+
+
= = = − +
+
Xét
( )
4
4
1
MM
M
g x x
x
= − +
+
với
03
M
x
ta có:
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
2
2 2 2
1 4 3 1
4
' 1 0 1
1 1 1
M M M
MM
M M M
x x x
g x x
x x x
+ − + −
= − = = = =
+ + +
Bảng biến thiên:
M
x
0
1
3
( )
'
M
gx
−
0
+
( )
M
gx
0
1−
0
Do đó
( ) ( ) ( )
1 0 0 1 3. 3.1 3
M MAB M
g x g x S g x− = =
Vậy
MAB
S
đạt GTLN bằng 3 tại
1
M
x =
Chọn: A
Câu 49:
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm
( )
( )
( )
' ' 'f u u f u=
Hàm số
( )
y f x=
xác định trên K thì hàm số đồng biến trên K khi
( )
' 0;f x x K
(dấu = xảy ra tại
hữu hạn điểm)
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 189
Dựa vào đồ thị để đánh giá khoảng đồng biến của hàm
( )
'fx
từ đó suy ra hàm
( )
'gx
Cách giải:
Ta có
( )
( )
' 2019 .ln2019. ' 2019
xx
g x f m=−
Để hàm số
( )
gx
đồng biến trên
0;1
thì
( )
( )
' 0; 0;1 2019 .ln2019. ' 2019 0
xx
g x x f m −
( )
2019 .ln2019. ' 2019
xx
mf
với mọi
0;1x
Đặt
( )
( )
2019 .ln2019. ' 2019
xx
h x f=
thì
( )
0;1
minm h x
Dựa vào đồ thị hàm số
( )
'y f x=
ta xét trên đoạn
0;1
thì
( )
2019 1;2019 ' 2019 0
xx
f
và
( )
' 2019
x
f
đồng biến.
Lại có
2019
x
đồng biến và dương trên
0;1
Nên
( )
( )
2019 ln2019. ' 2019
xx
h x f=
đồng biến trên
0;1
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
00
0;1
min 0 2019 .ln2019. ' 2019 ln2019. ' 1 0h x h f f= = = =
(vì theo hình vẽ thì
( )
' 1 0f =
)
Vậy
0m
Chọn: A
Câu 50:
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ
1tx=−
, tìm điều kiện của t, đưa phương trình về ẩn t.
- Sử dụng phương pháp hàm số, xét tính tương giao đồ thị và suy ra số nghiệm của phương trình ẩn t.
- Từ đó kết luận số nghiệm của phương trình ẩn x.
Cách giải:
Đặt
11tx= − −
, phương trình trở thành
22
log2 0 log2
tt
t e t e− = =
Xét hàm
( )
2
,1
t
y f t t e t= = −
có
( ) ( )
2
' 2 2 0 0 do 1
t t t
f t te t e t t e t t= + = + = = −
Bảng biến thiên:
t
1−
0
+
( )
'ft
−
0
+
1/e
+
( )
ft
0
log2y =
Từ bảng biến thiên ta thấy, trên nửa khoảng
)
1;− +
đường thẳng
log2y =
cắt đồ thị hàm số
( )
y f t=
tại hai điểm phân biệt nên phương trình
( )
log2ft=
có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn
12
10tt−
Nhận thấy
11t x x t= − = +
nên với mỗi
1t −
ta có tương ứng 2 giá trị của x.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Chọn: A
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 190
ĐỀ 69
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1. Cho
a
,
b
,
c
là các số thực dương khác
1
. Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số
, , log
xx
c
y a y b y x= = =
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.c b a
B.
.a c b
C.
.c a b
D.
.abc
Câu 2. Số nghiệm thực của phương trình
2
4 2 3 0
xx+
− + =
là:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 3. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A.
32
32y x x= − +
. B.
2
1
x
y
x
+
=
+
.
C.
32
32y x x= − + +
. D.
43
22y x x= − +
.
Câu 4. Hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên
\ 2;2−R
, có bảng biến thiên như sau:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 191
Gọi
k
,
l
lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
1
2018
y
fx
=
−
. Tính
kl+
.
A.
3kl+=
. B.
4kl+=
. C.
5kl+=
. D.
2kl+=
.
Câu 5. Cho khối chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn
song song với đáy và cắt các cạnh bên
SA
,
SB
,
SC
,
SD
lần lượt tại
M
,
N
,
P
,
Q
. Gọi
M
,
N
,
P
,
Q
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
,
N
,
P
,
Q
lên mặt phẳng
( )
ABCD
. Tính tỉ số
SM
SA
để thể
tích khối đa diện
.MNPQMN PQ
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
3
. B.
3
4
. C.
2
3
. D.
1
2
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ thị hàm số
( )
y f x
=
như hình
2
dưới đây.
Lập hàm số
( ) ( )
2
g x f x x x= − −
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( ) ( )
11gg−=
. B.
( ) ( )
12gg=
. C.
( ) ( )
12gg
. D.
( ) ( )
11gg−
.
Câu 7. Cho lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
có cạnh đáy bằng
a
và
AB BC
⊥
. Tính thể tích
V
của
khối lăng trụ đã cho.
A.
3
7
8
a
V =
. B.
3
6Va=
. C.
3
6
8
a
V =
. D.
3
6
4
a
V =
.
Câu 8. Cho hàm số
( )
4 3 2
44f x x x x a= − + +
. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn
0;2
. Có bao nhiêu số nguyên
a
thuộc đoạn
3;3−
sao cho
2Mm
?
A.
3
. B.
7
. C.
6
. D.
5
.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
cho
23a i j k= − + −
. Tọa độ của vectơ
a
là:
A.
( )
1;2; 3 .−−
B.
( )
3;2; 1 .−−
C.
( )
2; 3; 1 .−−
D.
( )
2; 1; 3 .−−
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
( )
3; 4; 2A −
,
( )
5; 6; 2B −
,
( )
10; 17; 7C −−
. Viết
phương trình mặt cầu tâm
C
bán kính
AB
.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
10 17 7 8x y z+ + − + − =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
10 17 7 8x y z+ + − + + =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 192
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
10 17 7 8x y z− + − + + =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
10 17 7 8x y z+ + + + + =
.
Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số
42
22y x x= − + +
trên
( )
0;3
là
A.
61−
. B.
3
. C.
61
. D.
2
.
Câu 12. Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có
1
1
3
u =
,
8
26.u =
Tìm công sai
d
A.
3
11
d =
. B.
11
3
d =
. C.
10
3
d =
. D.
3
10
d =
.
Câu 13. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn:
24zi+ − =
là đường tròn có tâm
I
và bán kính
R
lần lượt là:
A.
( )
2; 1I −
;
4R =
. B.
( )
2; 1I −
;
( )
2; 1I −
.
C.
( )
2; 1I −−
;
4R =
. D.
( )
2; 1I −−
;
2R =
.
Câu 14. Cho số phức
z
. Gọi
A
,
B
lần lượt là các điểm trong mặt phẳng
( )
Oxy
biểu diễn các số phức
z
và
( )
1 iz+
. Tính
z
biết diện tích tam giác
OAB
bằng
8
.
A.
4z =
. B.
42z =
. C.
2z =
. D.
22z =
.
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
2AA a
=
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD
và
CD
.
A.
2a
. B.
2a
. C.
5
5
a
. D.
25
5
a
.
Câu 16. Cho
( )
32
3 6 1f x x x x= − − +
. Phương trình
( )
( )
( )
1 1 2f f x f x+ + = +
có số nghiệm thực là
A.
4
. B.
6
. C.
7
. D.
9
.
Câu 17. Tính thể tích
V
của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng
2
.
A.
8
=V
. B.
12
=V
. C.
16
=V
. D.
4
=V
.
Câu 18. Giá trị của tham số
m
để phương trình
1
4 .2 2 0
xx
mm
+
− + =
có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn
12
3xx+=
là
A.
2m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
1m =
.
Câu 19. Cho đa giác đều
32
cạnh. Gọi
S
là tập hợp các tứ giác tạo thành có
4
đỉnh lấy từ các đỉnh của
đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của
S
. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là
A.
1
341
. B.
1
385
. C.
1
261
. D.
3
899
.
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho hàm số
+
=
+
4mx
y
xm
nghịch biến trên
khoảng
( )
−;1
?
A.
− 22m
. B.
− 22m
. C.
− −21m
. D.
− −21m
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 193
Câu 21. Cho hàm số
( )
2
ln
x
y e m=+
. Với giá trị nào của
m
thì
( )
1
1
2
y
=
.
A.
.me=
B.
.me=−
C.
1
.m
e
=
D.
.me=
Câu 22. Kết quả của
d
x
I xe x=
là
A.
2
2
x
x
I e C=+
. B.
2
2
xx
x
I e e C= + +
.
C.
xx
I xe e C= − +
. D.
xx
I e xe C= + +
.
Câu 23. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 3
1 2 3f x x x x
= + − +
. Số điểm cực trị của hàm số
( )
fx
là
A.
5
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 24. Cho hai số phức
z
,
w
thỏa mãn
3 2 1
1 2 2
zi
w i w i
− −
+ + − −
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
P z w=−
.
A.
min
3 2 2
2
P
−
=
. B.
min
3 2 2
2
P
−
=
. C.
min
21P =+
. D.
min
5 2 2
2
P
−
=
.
Câu 25. Tập xác định của hàm số
( )
1
5
1yx=−
là:
A.
( )
1; +
. B. . C.
( )
0;+
. D.
)
1; +
.
Câu 26. Cho
( )
fx
,
( )
gx
là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
dddf x g x x f x x g x x− = −
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
d d . df x g x x f x x g x x=
.
C.
( ) ( )
2 d 2 df x x f x x=
. D.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x+ = +
.
Câu 27. Cho hai số thực
x
,
y
thỏa mãn:
( )
32
2 7 2 1 3 1 3 2 1y y x x x y+ + − = − + +
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
2P x y=+
.
A.
8P =
. B.
10P =
C.
4P =
. D.
6P =
.
Câu 28. Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng
( )
;− +
?
A.
2
1
x
y
x
−
=
−
. B.
53
10y x x= + −
. C.
3
1yx=+
. D.
1yx=+
.
Câu 29. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên các khoảng
( )
;0−
và
( )
0;+
, có bảng biến thiên như sau
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 194
Tìm
m
để phương trình
( )
f x m=
có
4
nghiệm phân biệt.
A.
32m−
. B.
33m−
. C.
42m−
. D.
43m−
.
Câu 30. Kí hiệu
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
4 16 17 0.zz− + =
Trên mặt phẳng
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
( )
1
3
12
2
w i z i= + −
?
A.
( )
3;2 .M
B.
( )
2;1 .M
C.
( )
2;1 .M −
D.
( )
3; 2 .M −
Câu 31. Cho mặt phẳng
( )
P
đi qua các điểm
( )
2; 0; 0A −
,
( )
0;3; 0B
,
( )
0; 0; 3C −
. Mặt phẳng
( )
P
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A.
3 2 2 6 0x y z− + + =
. B.
10x y z+ + + =
.
C.
2 3 0x y z− − − =
. D.
2 2 1 0x y z+ − − =
.
Câu 32. Cho hai số thực
x
,
y
thoả mãn phương trình
2 3 4x i yi+ = +
. Khi đó giá trị của
x
và
y
là:
A.
3x =
,
1
2
y =−
. B.
3x =
,
2y =
. C.
3xi=
,
1
2
y =
. D.
3x =
,
1
2
y =
.
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z+ + − =
, đường thẳng
15 22 37
:
1 2 2
x y z
d
− − −
==
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 8 6 4 4 0S x y z x y z+ + − − + + =
. Một đường thẳng
( )
thay đổi cắt mặt cầu
( )
S
tại hai điểm
A
,
B
sao cho
8AB =
. Gọi
A
,
B
là hai điểm lần lượt thuộc mặt
phẳng
( )
P
sao cho
AA
,
BB
cùng song song với
d
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
AA BB
+
là
A.
8 30 3
9
+
. B.
24 18 3
5
+
. C.
12 9 3
5
+
. D.
16 60 3
9
+
.
Câu 34. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
,
B
. Biết
( )
SA ABCD⊥
,
AB BC a==
,
2AD a=
,
2SA a=
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
. Tính bán kính mặt cầu đi qua các
điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
.
A.
a
. B.
6
3
a
. C.
3
2
a
. D.
30
6
a
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục, luôn dương trên
0;3
và thỏa mãn
( )
3
0
d4I f x x==
. Khi đó
giá trị của tích phân
( )
( )
( )
3
1 ln
0
4d
fx
K e x
+
=+
là:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 195
A.
3e 14+
. B.
14 3e+
. C.
4 12e+
. D.
12 4e+
.
Câu 36. Cho
x
,
y
là các số thực thỏa mãn
1 xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
2
log 1 8 log
x
y
x
y
Py
x
= − +
.
A.
30
B.
18
. C.
9
. D.
27
.
Câu 37. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2
12f x x x x
= − −
với
x
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số
m
để hàm số
( )
2
8f x x m−+
có
5
điểm cực trị?
A.
16
B.
18
C.
15
. D.
17
.
Câu 38. Cho tập hợp
M
có
10
phần tử. Số tập con gồm
2
phần tử của
M
là
A.
2
10
A
. B.
2
10
C
. C.
2
10
. D.
8
10
A
.
Câu 39. Trong không gian
Oxyz
, cho tam giác nhọn
ABC
có
( )
2;2;1H
,
8 4 8
;;
333
K
−
,
O
lần
lượt là hình chiếu vuông góc của
A
,
B
,
C
trên các cạnh
BC
,
AC
,
AB
. Đường thẳng
d
qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình là
A.
66
:
1 2 2
x y z
d
−−
==
−
. B.
8 2 2
3 3 3
:
1 2 2
x y z
d
− − +
==
−
.
C.
4 17 19
9 9 9
:
1 2 2
x y z
d
+ − −
==
−
. D.
4 1 1
:
1 2 2
x y z
d
+ + −
==
−
.
Câu 40. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh
AB
,
CD
đường trung
bình
MN
của mảnh đất hình chữ nhật
ABCD
và một đường cong hình
sin
. Biết
( )
2AB m
=
,
( )
2AD m=
. Tính diện tích phần còn lại.
A.
41
−
. B.
( )
41
−
. C.
42
−
. D.
43
−
.
Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
2 2 2OA i j k= + +
,
( )
2; 2;0B −
và
( )
4;1; 1C −
.
Trên mặt phẳng
( )
Oxz
, điểm nào dưới đây cách đều ba điểm
A
,
B
,
C
.
A.
31
; 0;
42
N
−−
. B.
31
; 0;
42
P
−
. C.
31
; 0;
42
Q
−
. D.
31
; 0;
42
M
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 196
Câu 42. Cho tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi một vuông góc và
6OB OC a==
,
OA a=
. Tính
góc giữa hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
OBC
.
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 43. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số
34
1
x
y
x
−
=
−
.
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D.
3
.
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
( )
:4 3 0P x z− + =
. Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng
d
?
A.
( )
4; 1;3u =−
. B.
( )
4; 0; 1u =−
. C.
( )
4;1;3u =
. D.
( )
4;1; 1u =−
.
Câu 45. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
1;2;3M
và cắt các trục
Ox
,
Oy
,
Oz
lần lượt tại các điểm
A
,
B
,
C
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
sao cho
M
là trực tâm của tam
giác
ABC
.
A.
3
1 2 3
x y z
+ + =
. B.
6 3 2 6 0x y z+ − − =
.
C.
2 3 14 0x y z+ + − =
. D.
2 3 11 0x y z+ + − =
.
Câu 46. Các giá trị
x
thỏa mãn bất phương trình
( )
2
log 3 1 3x −
là :
A.
10
3
x
. B.
3x
. C.
1
3
3
x
. D.
3x
.
Câu 47. Cho tam giác
SOA
vuông tại
O
có
//MN SO
với
M
,
N
lần lượt nằm trên cạnh
SA
,
OA
như
hình vẽ bên dưới. Đặt
SO h=
không đổi. Khi quay hình vẽ quanh
SO
thì tạo thành một hình trụ nội tiếp
hình nón đỉnh
S
có đáy là hình tròn tâm
O
bán kính
R OA=
. Tìm độ dài của
MN
theo
h
để thể tích
khối trụ là lớn nhất.
A.
3
h
MN =
. B.
4
h
MN =
. C.
6
h
MN =
. D.
2
h
MN =
.
Câu 48. Biết
( )
4
2
0
ln 9 d ln5 ln3x x x a b c+ = + +
, trong đó
a
,
b
,
c
là các số nguyên. Giá trị của biểu thức
T a b c= + +
là
A.
9T =
. B.
8T =
. C.
11T =
. D.
10T =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 197
Câu 49. Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng
3
. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.
27 3
2
. B.
93
2
. C.
93
4
. D.
27 3
4
.
Câu 50. Tìm giá trị thực của tham số
m
để hàm số
32
3y x x mx= − +
đạt cực tiểu tại
2x =
.
A.
2m =
. B.
2m =−
. C.
1m =
. D.
0m =
.
--------------HẾT---------------
− ĐÁP ÁN ĐỀ THI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A
B
A
C
C
C
C
D
A
B
B
B
C
A
D
A
A
C
D
C
A
C
B
D
A
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
B
C
A
A
A
D
D
B
A
D
D
C
B
D
B
B
D
C
B
C
B
A
B
D
D
−
−
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Lời giải
Vì hàm số
log
c
yx=
nghịch biến nên
01c
, các hàm số
,
xx
y a y b==
đồng biến nên
1; 1ab
nên
c
là số nhỏ nhất trong ba số.
Đường thẳng
1x =
cắt hai hàm số
,
x
ya=
x
yb=
tại các điểm có tung độ lần lượt là
a
và
b
, dễ thấy
ab
. Vậy
c b a
Câu 2.
Lời giải
Đặt
2 , 0
x
tt=
ta được phương trình
2
1
4 3 0
3
t
tt
t
=
− + =
=
Với
2 1 0
x
x= =
và với
2
2 3 log 3
x
x= =
.
Câu 3.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 198
Lời giải
Dạng đồ thị hình bên là đồ thị hàm đa thức bậc
3
32
y ax bx cx d= + + +
có hệ số
0a
.
Do đó, chỉ có đồ thị ở đáp án A. là thỏa mãn.
Câu 4.
Lời giải
Vì phương trình
( )
2018fx=
có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số
( )
1
2018
y
fx
=
−
có ba đường
tiệm cận đứng.
Mặt khác, ta có:
lim
x
y
→+
( )
1
lim
2018
x
fx
→+
=
−
1
2019
=−
nên đường thẳng
1
2019
y =−
là đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số
( )
1
2018
y
fx
=
−
.
Và
lim
x
y
→−
( )
1
lim
2018
x
fx
→−
=
−
0=
nên đường thẳng
0y =
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
1
2018
y
fx
=
−
.
Vậy
5kl+=
.
.
Câu 5.
Lời giải
Đặt
SM
k
SA
=
với
0;1k
.
Xét tam giác
SAB
có
//MN AB
nên
MN SM
k
AB SA
==
.MN k AB=
Xét tam giác
SAD
có
//MQ AD
nên
MQ SM
k
AD SA
==
.MQ k AD=
Kẻ đường cao
SH
của hình chóp. Xét tam giác
SAH
có:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 199
//MM SH
nên
MM AM
SH SA
=
11
SA SM SM
k
SA SA
−
= = − = −
( )
1.MM k SH
= −
.
Ta có
.
..
MNPQ M N P Q
V MN MQ MM
=
( )
2
. . . . 1AB AD SH k k=−
.
Mà
.
1
..
3
S ABCD
V SH AB AD=
( )
2
..
3. . . 1
MNPQ M N P Q S ABCD
V V k k
= −
.
Thể tích khối chóp không đổi nên
.MNPQ M N P Q
V
đạt giá trị lớn nhất khi
( )
2
.1kk−
lớn nhất.
Ta có
( )
( )
3
2
2 1 . .
1 2 2 4
.1
2 2 3 27
k k k
kkk
kk
−
− + +
− = =
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
( )
21 kk−=
2
3
k=
. Vậy
2
3
SM
SA
=
.
Câu 6.
Lời giải
Xét hàm số
( ) ( ) ( )
21h x f x x
= − +
. Khi đó hàm số
( )
hx
liên tục trên các đoạn
1;1−
,
1;2
và có
( )
gx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
y h x=
.
S
2
S
1
O
y
x
5
3
2
1
-1
-1
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
1
1
21
x
x
y f x
yx
=−
=
=
=+
là
( ) ( )
1
1
1
2 1 dS f x x x
−
= − +
( ) ( )
1
1
2 1 df x x x
−
= − +
( )
1
1
gx
−
=
( ) ( )
11gg= − −
.
Vì
1
0S
nên
( ) ( )
11gg−
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 200
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
1
2
21
x
x
y f x
yx
=
=
=
=+
là
( ) ( )
2
2
1
2 1 dS f x x x
= − +
( ) ( )
2
1
2 1 dx f x x
= + −
( )
2
1
gx=−
( ) ( )
12gg=−
.
Vì
2
0S
nên
( ) ( )
12gg
.
Câu 7.
Lời giải
Gọi
E
là điểm đối xứng của
C
qua điểm
B
. Khi đó tam giác
ACE
vuông tại
A
.
22
43AE a a a = − =
.
Mặt khác, ta có
BC B E AB
==
nên tam giác
AB E
vuông cân tại
B
.
2
AE
AB
=
3
2
a
=
6
2
a
=
.
Suy ra:
2
2
62
22
aa
AA a
= − =
.
Vậy
2
23
.
24
aa
V =
3
6
8
a
=
.
Câu 8.
Lời giải
Xét hàm số
( )
4 3 2
44g x x x x a= − + +
.
( )
32
4 12 8g x x x x
= − +
;
( )
0gx
=
32
4 12 8 0x x x − + =
0
1
2
x
x
x
=
=
=
.
Bảng biến thiên
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 201
Do
20mM
nên
0m
suy ra
( )
0 0;2g x x
.
Suy ra
1 0 1
00
aa
aa
+ −
.
Nếu
1a −
thì
Ma=−
,
1ma= − −
( )
21aa− − −
2a −
.
Nếu
0a
thì
1Ma=+
,
ma=
21aa+
1a
.
Do đó
2a −
hoặc
1a
, do
a
nguyên và thuộc đoạn
3;3−
nên
3; 2;1;2;3a − −
.
Vậy có
5
giá trị của
a
thỏa mãn đề bài.
Câu 9.
Lời giải
Ta có:
23a i j k= − + −
( )
1;2; 3a − −
.
Câu 10.
Lời giải
Ta có
22AB =
.
Phương trình mặt cầu tâm
C
bán kính
AB
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
10 17 7 8x y z+ + − + + =
.
Câu 11.
Lời giải
Ta có:
3
44y x x
= − +
.
Cho
0y
=
3
4 4 0xx − + =
( )
( )
( )
0 0;3
1 0;3
1 0;3
x
x
x
=
=
= −
.
( )
02y=
;
( )
13y =
;
( )
3 61y =−
.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
3
.
Câu 12.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 202
81
7u u d=+
1
26 7
3
d = +
11
3
d=
.
Câu 13.
Lời giải
Gọi số phức
( )
,z x iy x y= +
Ta có:
( ) ( )
2 4 2 1 4z i x y i+ − = + + − − =
( ) ( )
22
2 1 16xy + + + =
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn:
24zi+ − =
là đường tròn có tâm
( )
2; 1I −−
và có bán kính
4R =
.
Câu 14.
Lời giải
Ta có
OA z=
,
( )
12OB i z z= + =
,
( )
1AB i z z iz z= + − = =
.
Suy ra
OAB
vuông cân tại
A
(
OA AB=
và
2 2 2
OA AB OB+=
)
Ta có:
2
11
.8
22
OAB
S OA AB z
= = =
4z=
.
Câu 15.
Lời giải
Gọi
,O
O
lần lượt là tâm của hai mặt đáy.Khi đó tứ giác
COO C
là hình bình hành và
2
AC
C O a
==
Do
//BD B D
( )
//BD CB D
nên
( ) ( )
( )
( )
( )
; ; ;d BD CD d O CB D d C CB D
==
.
Ta có :
( )
B D A C
B D COO C
B D CC
⊥
⊥
⊥
( ) ( )
CB D COO C
⊥
Lại có
( ) ( )
CB D COO C CO
=
.
Trong
CC O
hạ
( )
C H CO C H CB D
⊥ ⊥
( )
;d BD CD C H
=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 203
Khi đó :
( )
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
4
2
C H CC C O a a
a
= + = + =
25
5
a
CH
=
.
............
Câu 16.
Lời giải
Đặt
( )
1t f x=+
32
3 6 2t x x x = − − +
.
Khi đó
( )
( )
( )
1 1 2f f x f x+ + = +
trở thành:
( )
11f t t+ = +
( )
2
1
1 2 1
t
f t t t
−
+ = + +
32
1
4 8 1 0
t
t t t
−
− − + =
( )
( )
( )
1
2
3
1
2; 1
1;1
1;6
t
tt
tt
tt
−
= − −
= −
=
( )
( )
2
3
1;1
5;6
tt
tt
= −
=
.
Vì
( )
32
4 8 1g t t t t= − − +
;
( )
27g − = −
;
( )
14g −=
;
( )
1 10g =−
;
( )
5 14g =−
;
( )
6 25g =
.
Xét
32
3 6 2t x x x= − − +
Ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
+ Với
( )
2
1;1tt= −
, ta có d cắt tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm.
+ Với
( )
3
5;6tt=
, ta có d cắt tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 17.
Lời giải
Thể tích khối trụ
22
.2 .2 8
= = =V r h
.
Câu 18.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 204
Đặt
2
x
t =
,
0t
. Phương trình trở thành:
2
2 2 0t mt m− + =
( )
1
.
Phương trình đã cho có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
12
3xx+=
khi và chỉ khi phương trình
( )
1
có hai
nghiệm dương phân biệt thỏa mãn
1 2 1 2
3
12
. 2 .2 2 2 8
x x x x
tt
+
= = = =
.
Khi đó phương trình
( )
1
có:
2
20
20
4
20
28
mm
Sm
m
Pm
Pm
= −
=
=
=
==
.
Câu 19.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn
4
đỉnh trong
32
đỉnh để tạo thành tứ giác,
4
32
C=
.
Gọi
A
là biến cố "chọn được hình chữ nhật".
Để chọn được hình chữ nhật cần chọn
2
trong
16
đường chéo đi qua tâm của đa giác, do đó số phần tử
của
A
là
2
16
C
.
Xác suất biến cố
A
là
( )
2
16
4
32
C
PA
C
=
3
899
=
.
Câu 20.
Lời giải
Tập xác định
\Dm=−
. Ta có
( )
2
2
4−
=
+
m
y
xm
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;1−
0
y
,
( )
2
40
;1
1
−
−
−
m
x
m
21m − −
.
Câu 21.
Lời giải
Ta có
( )
22
1
x
x
ee
yy
e m e m
= =
++
.
Khi đó
( )
2
2
11
12
22
e
y e e m m e
em
= = = + =
+
.
Câu 22.
Lời giải
Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có
d d d .
x x x x x x
I xe x x e xe e x xe e C= = = − = − +
Cách 2: Ta có
( )
.
x x x x x x
I xe e C e xe e xe
= − + = + − =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 205
Câu 23.
Lời giải
Ta có
( )
1
02
3
x
f x x
x
=−
= =
=−
.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
:
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số
( )
fx
là
3
.
Câu 24.
Lời giải
Giả sử
z a bi=+
;
w x yi=+
( )
, , ,a b x y
. Ta có
3 2 1zi− −
( ) ( )
22
3 2 1ab − + −
. Suy ra tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
là hình tròn tâm
( )
3;2I
, bán kính
1R =
.
1 2 2w i w i+ + − −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1 0x y x y x y + + + − + − +
. Suy ra tập hợp điểm
N
biểu
diễn số phức
w
là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng
:0xy + =
không chứa
I
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 206
Ta có
( )
5
,
2
dI=
. Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
.
Khi đó
( )
52
,1
2
z w MN d I R− = − = −
. Suy ra
min
52
1
2
P =−
.
Câu 25.
Lời giải
Hàm số xác định khi:
1 0 1xx−
. Vậy tập xác định:
( )
1;D = +
.
Câu 26.
Lời giải
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai.
Câu 27.
Lời giải
Chọn C
( )
32
2 7 2 1 3 1 3 2 1y y x x x y+ + − = − + +
.
( )
( ) ( )
32
2 3 3 1 1 2 1 1 3 1 2 1y y y y x x x x − + − + − = − − + − − −
.
( ) ( )
( )
( )
3
3
2 1 1 2 1 1 1y y x x − + − = − + −
.
Xét hàm số
( )
3
2f t t t=+
trên
)
0;+
.
Ta có:
( )
2
61f t t
=+
0
với
0t
( )
ft
luôn đồng biến trên
)
0;+
.
Vậy
( )
1 1 1yx − = −
11yx = + −
.
2 2 2 1P x y x x = + = + + −
với
( )
1x
.
Xét hàm số
( )
2 2 1g x x x= + + −
trên
(
;1−
.
Ta có:
( )
1
1
1
gx
x
=−
−
11
1
x
x
−−
=
−
.
( )
00g x x
= =
.
Bảng biến thiên
( )
gx
:
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 207
Từ bảng biến thiên của hàm số
( )
gx
suy ra giá trị lớn nhất của
P
là:
(
( )
;1
max 4gx
−
=
.
Câu 28.
Lời giải
Vì hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
có tập xác định
\1D =
nên hàm số không đồng biến trên
( )
;− +
Câu 29.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có
4
nghiệm phân biệt khi
32m−
.
Câu 30.
Lời giải
Ta có:
1
2
2
1
2
2
4 16 17 0
1
2
2
zi
zz
zi
=−
− + =
=+
.
Khi đó:
( )
1
3
12
2
w i z i= + −
( )
13
1 2 2
22
i i i
= + − −
32i=+
tọa độ điểm biểu diễn số phức
w
là:
( )
3;2M
.
Câu 31.
Lời giải
Phương trình mặt phẳng
( )
P
theo đoạn chắn:
1 3 2 2 6 0
2 3 3
x y z
x y z+ + = − + − − =
−−
.
Dễ thấy mặt phẳng
( )
P
vuông góc với mặt phẳng có phương trình
2 2 1 0x y z+ − − =
vì tích vô hướng
của hai vec-tơ pháp tuyến bằng
0
.
Câu 32.
Lời giải
Từ
2 3 4x i yi+ = +
3
24
x
y
=
=
3
1
2
x
y
=
=
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 208
Vậy
3x =
,
1
3
y =
.
Câu 33.
Lời giải
Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
4;3; 2I −
và bán kính
5R =
.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
thì
IH AB⊥
và
3IH =
nên
H
thuộc mặt cầu
( )
S
tâm
I
bán
kính
3R
=
.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
thì
2AA BB HM
+=
,
M
nằm trên mặt phẳng
( )
P
.
Mặt khác ta có
( )
( )
4
;
3
d I P R=
nên
( )
P
cắt mặt cầu
( )
S
và
( )
( )
5
sin ; sin
33
dP
==
. Gọi
K
là hình chiếu của
H
lên
( )
P
thì
.sinHK HM
=
.
Vậy để
AA BB
+
lớn nhất thì
HK
lớn nhất
HK
đi qua
I
nên
( )
( )
max
4 4 3 3
;3
33
HK R d I P
+
= + = + =
.
Vậy
AA BB
+
lớn nhất bằng
4 3 3 3 3 24 18 3
2.
55
3
++
=
.
Câu 34.
Lời giải
E
A
D
B
C
S
* Do
( )
SA ABCD⊥
SA AC⊥
90SAC =
.
* Do
( )
BC SAB⊥
BC SC⊥
90SBC =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 209
* Do
( )
//CE AB CE SAD⊥
CE SE⊥
90SEC =
.
Suy ra các điểm
A
,
B
,
E
cùng nhìn đoạn
SC
dưới một góc vuông nên mặt cầu đi qua các điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
là mặt cầu đường kính
SC
.
Bán kính mặt cầu đi qua các điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
là:
2
SC
R =
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
ta có:
22AC AB a==
22SC AC a = =
2
SC
Ra = =
.
Câu 35.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3 3
3
1 ln 1 ln
0
0 0 0 0 0
e 4 d e d 4d e. d 4d 4e 4 4e 12
|
f x f x
K x x x f x x x x
++
= + = + = + = + = +
.
Vậy
4e 12K =+
.
Câu 36.
Lời giải
Ta có
1
log log
2
yy
xx
y
y
x
x
=
log 1
1
.
1
2
log 1
2
x
x
y
y
−
=
−
log 1
log 2
x
x
y
y
−
=
−
2log 1
2log 2
x
x
y
y
−
=
−
.
Suy ra
( )
2
2
2log 1
2log 1 8
2log 2
x
x
x
y
Py
y
−
= − +
−
.
Đặt
2log
x
ty=
, do
1 log 1 log log
x x x
x y x y
2t
.
Ta có hàm số
( ) ( )
2
2
1
1 8.
2
t
f t t
t
−
= − +
−
với
2t
.
( )
( )( )
( )
( )
2
3
2 1 4 2 4
2
t t t t
ft
t
− − − +
=
−
;
( )
1
0
4
t
ft
t
=
=
=
.
Lập bảng biến thiên trên
( )
2;+
ta được
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 210
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
2
log 1 8 log
x
y
x
y
Py
x
= − +
là
27
đạt được khi
4 2log 4
x
ty= =
24
y x y x = =
.
Câu 37.
Lời giải
Đặt
( )
( )
2
8g x f x x m= − +
( ) ( )
( )
2
2
12f x x x x
= − −
( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 2 2
2 8 8 1 8 8 2g x x x x m x x m x x m
= − − + − − + − + −
( )
0gx
=
( )
( )
( )
2
2
2
4
8 1 0 1
8 0 2
8 2 0 3
x
x x m
x x m
x x m
=
− + − =
− + =
− + − =
Các phương trình
( )
1
,
( )
2
,
( )
3
không có nghiệm chung từng đôi một và
( )
2
2
8 1 0x x m− + −
với
x
Suy ra
( )
gx
có
5
điểm cực trị khi và chỉ khi
( )
2
và
( )
3
có hai nghiệm phân biệt khác
4
2
3
16 0
16 2 0
16 32 0
16 32 2 0
m
m
m
m
= −
= − +
− +
− + −
16
18
16
18
m
m
m
m
16m
.
Vì
m
nguyên dương và
16m
nên có
15
giá trị
m
cần tìm.
Câu 38.
Lời giải
Số tập con gồm
2
phần tử của
M
là số cách chọn
2
phần tử bất kì trong
10
phần tử của
M
. Do đó số
tập con gồm
2
phần tử của
M
là
2
10
C
.
Câu 39.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 211
Ta có tứ giác
BOKC
là tứ giác nội tiếp đường tròn suy ra
OKB OCB=
( )
1
Ta có tứ giác
KDHC
là tứ giác nội tiếp đường tròn suy ra
DKH OCB=
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
DKH OKB=
. Do đó
BK
là đường phân giác trong của góc
OKH
và
AC
là
đường phân giác ngoài của góc
OKH
.
Tương tự ta chứng minh được
OC
là đường phân giác trong của góc
KOH
và
AB
là đường phân giác
ngoài của góc
KOH
.
Ta có
4OK =
;
3OH =
;
5KH =
.
Gọi
I
,
J
lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc
OKH
và
KOH
.
Ta có
I AC HO=
ta có
4
5
IO KO
IH KH
==
4
5
IO IH=
( )
8; 8; 4I − − −
.
Ta có
J AB KH=
ta có
4
3
JK OK
JH OH
==
( )
4
16;4; 4
3
JK JH J = −
.
Đường thẳng
IK
qua
I
nhận
( )
16 28 20 4
; ; 4;7;5
3 3 3 3
IK
==
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
( )
84
: 8 7
45
xt
IK y t
zt
= − +
= − +
= − +
.
Đường thẳng
OJ
qua
O
nhận
( ) ( )
16;4; 4 4 4;1; 1OJ = − = −
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
( )
4
:
xt
OJ y t
zt
=
=
=−
.
Khi đó
A IK OJ=
, giải hệ ta tìm được
( )
4; 1;1A −−
.
Ta có
( )
4;7;5IA =
và
( )
24;12;0IJ =
, ta tính
( ) ( )
, 60;120; 120 60 1; 2;2IA IJ
= − − = − −
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 212
Khi đó đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
có véc tơ chỉ phương
( )
1; 2;2u =−
nên có phương trình
4 1 1
1 2 2
x y z+ + −
==
−
.
Câu 40.
Lời giải
Chọn hệ tọa độ
Oxy
. Khi đó
Diện tích hình chữ nhật là
1
4S
=
.
Diện tích phần đất được tô màu đen là
2
0
2 sin d 4S x x
==
.
Tính diện tích phần còn lại:
( )
12
4 4 4 1S S S
= − = − = −
.
Câu 41.
Lời giải
Ta có:
( )
2;2;2A
và
3 21
4
PA PB PC= = =
.
Câu 42.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm của
BC AI BC⊥
. Mà
OA BC⊥
nên
AI BC⊥
.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,,
OBC ABC BC
BC AI OBC ABC OI AI OIA
BC OI
=
⊥ = =
⊥
.
Ta có:
22
11
3
22
OI BC OB OC a= = + =
.
Xét tam giác
OAI
vuông tại
A
có
3
tan 30
3
OA
OIA OIA
OI
= = =
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 213
Vậy
( ) ( )
( )
, 30OBC ABC =
.
Câu 43.
Lời giải
Ta có tập xác định:
\1D =
.
Do
lim 3
x
y
→
=
và
1
lim
x
y
+
→
= −
,
1
lim
x
y
−
→
= +
nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Câu 44.
Lời giải
Do
( )
dP⊥
nên vec-tơ chỉ phương của đường thẳng
d
là vec-tơ pháp tuyến của
( )
P
.
Suy ra một một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
( )
( )
4; 0; 1
P
un= = −
.
Câu 45.
Lời giải
Gọi
( )
;0;0Aa
,
( )
0; ;0Bb
và
( )
0;0;Cc
với
0abc
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua ba điểm
A
,
B
,
C
là
1
x y z
a b c
+ + =
.
Vì
( ) ( )
1;2;3MP
nên ta có:
1 2 3
1
abc
+ + =
.
Điểm
M
là trực tâm của
ABC
.0
.0
AM BC AM BC
BM AC
BM AC
⊥=
⊥
=
.
Ta có:
( )
1 ;2;3AM a=−
,
( )
0; ;BC b c=−
,
( )
1;2 ;3BM b=−
,
( )
;0;AC a c=−
.
Ta có hệ phương trình:
3
2 3 0
2
3 0 3
1 2 3 1 2 3
11
3
3
2
bc
bc
a c a c
a b c c c
c
=
− + =
− + = =
+ + = + + =
14
7
14
3
a
b
c
=
=
=
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
là
3
1
14 7 14
x y z
+ + =
2 3 14 0x y z + + − =
.
Câu 46.
Lời giải
Ta có
( )
2
log 3 1 3 3 1 8 3x x x− −
.
Câu 47.
Lời giải
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 214
Đặt
( )
,0MN x x=
và
( )
,0OA a a=
,
a
là hằng số.
Ta có
MN NA
SO OA
=
.MN OA
NA
SO
=
xa
NA
h
=
xa
ON a
h
= −
.
Khối trụ thu được có bán kính đáy bằng
ON
và chiều cao bằng
MN
.
Thể tích khối trụ là
2
..V ON MN
=
2
2
..
hx
xa
h
−
=
( )
2
2
2
1
2
2
a x h x
h
=−
3
2
2
2
23
ah
h
.
Dấu bằng xảy ra khi
2x h x=−
3
h
x=
.
Câu 48.
Lời giải
Đặt
( )
( )
2
2
2
2
dd
9
ln 9
dd
9
2
x
ux
x
ux
v x x
x
v
=
+
=+
=
+
=
Suy ra
( ) ( )
4
44
22
22
2
00
0
9 9 2
ln 9 d ln 9 . d
2 2 9
x x x
x x x x x
x
++
+ = + −
+
25ln5 9ln3 8= − −
.
Do đó
25a =
,
9b =−
,
8c =−
nên
8T =
.
Câu 49.
Lời giải.
Diện tích đáy:
1 9 3
.3.3.sin60
24
ABC
S
= =
. Thể tích
27 3
.
4
l ABCt
V S AA
==
.
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 215
Câu 50.
Lời giải
Ta có:
2
36y x x m
= − +
.
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
2 2 0 0x y m
= = =
.
Thử lại: với
0m =
thì
2
36y x x
=−
66yx
= −
( )
2 6 0y
=
suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
2x =
.
--------------HẾT---------------
www.thuvienhoclieu.com
ĐỀ 70
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020
MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút
Câu 1: Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.
2
8
C
B.
2
8
C.
2
8
A
D.
8
2
Câu 2: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
( )
:4 3 1 0P x y z+ + − =
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến
( )
P
?
A.
( )
4
3;1; 1n =−
B.
( )
3
4;3;1n =
C.
( )
2
4;1; 1n =−
D.
( )
1
4;3; 1n =−
Câu 3: Nghiệm của phương trình
21
2 32
x−
=
là
A.
3x =
B.
17
2
x =
C.
5
2
x =
D.
2x =
Câu 4: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
A.
4
3
Bh
B.
1
3
Bh
C.
3Bh
D.
Bh
Câu 5: Số phức liện hợp của số phức
32i−
là
A.
32i−+
B.
32i+
C.
32i−−
D.
23i−+
Câu 6: Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
3;1; 1M −
trên trục
Oy
có tọa độ là
A. (0;1;0) B. (3;0;0) C. (0;0;-1) D. (3;0;-1)
Câu 7: Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
1
1u =
và
2
4u =
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 5 B. 4 C. -3 D. 3
Câu 8: Họ tất cả các số nguyên hàm của hàm số
( )
24f x x=+
là
A.
2
24x x C++
B.
2
4x x C++
C.
2
xC+
D.
2
2xC+
Câu 9: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ
bên?
A.
3
2 3 1y x x= − +
B.
42
2 4 1y x x= − + +
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 216
C.
42
2 4 1y x x= − +
D.
3
2 3 1y x x= − + +
Câu 10: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0;1) B.
( )
1, +
C. (-1;0) D.
( )
0;+
Câu 11: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
3 1 5
:
1 2 3
x y z
d
− + −
==
−
. Vectơ nào dưới đây là một
vectơ chỉ phương của d?
A.
( )
1
3; 1;5u =−
B.
( )
3
2;6; 4u =−
C.
( )
4
2; 4;6u = − −
D.
( )
2
1; 2;3u =−
Câu 12: Với
là số thực dương tùy ý,
2
3
log
bằng
A.
3
2log
B.
3
1
log
2
+
C.
3
1
log
2
D.
3
2 log
+
Câu 13: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
A.
2
2 rh
B.
2
rh
C.
2
1
3
rh
D.
2
4
3
rh
Câu 14: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
2x =−
B.
1x =
C.
3x =
D.
2x =
Câu 15: Biết
( )
1
0
2f x dx =
và
( )
1
0
4g x dx =−
, khi đó
( ) ( )
1
0
f x g x dx+
bằng
A. 6 B. -6 C. -2 D. 2
Câu 16: Cho hai số phức
1
2zi=−
và
2
1zi=+
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm biểu diễn số phức
12
2zz+
có tọa độ là
A. (5;-1) B. (-1;5) C. (5;0) D. (0;5)
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 217
Câu 17: Cho hình chóp
.S ABC
có
( )
, 2 ,SA ABC SA a ABC⊥ =
vuông cân tại
,2B AB a=
(minh họa hình vẽ). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
90
B.
30
C.
60
D.
45
Câu 18: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 2 7 0S x y z y z+ + − − − =
. Bán kính của mặt cầu
đã cho bằng
A. 9 B. 3 C.
15
D.
7
Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
( )
4;0;1A
và
( )
2;2;3B −
. Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A.
6 2 2 1 0x y z− − − =
B.
3 6 0x y z+ + − =
C.
2 6 0x y z+ + − =
D.
30x y z− − =
Câu 20: Gọi
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
2
4 7 0zz− + =
. Giá trị của
22
12
zz+
bằng
A. 10 B. 8 C. 16 D. 2
Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
3
3f x x x=−
trên đoạn
3;3−
bằng
A. 18 B. -18 C. -2 D. 2
Câu 22: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1,5m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ,có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 1,6m B. 2,5m C. 1,8m D. 2,1m
Câu 23: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
đã cho là
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Câu 24: Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên . Gọi
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
, 0, 2, 3y f x y x x= = = − =
(như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 218
A.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
=−
B.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
= − +
C.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
=+
D.
( ) ( )
13
21
S f x dx f x dx
−
= − −
Câu 25: Hàm số
2
3
xx
y
−
=
có đạo hàm là
A.
2
3 .ln3
xx−
B.
( )
2
2 1 .3
xx
x
−
−
C.
( )
2
21
.3
xx
xx
−−
−
D.
( )
2
2 1 .3 .ln3
xx
x
−
−
Câu 26: Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
,2a AA a
=
(minh họa như hình bên). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
6
4
a
B.
3
6
6
a
C.
3
6
12
a
D.
3
6
2
a
Câu 27: Nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 2 1 1 log 1xx+ = + −
là
A. x=4 B. x=-2 C. x=1 D. x=2
Câu 28: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn
3
8ab =
. Giá trị của
22
log 3logab+
bằng
A. 8 B. 6 C. 2 D. 3
Câu 29: Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
trình
( )
2 3 0fx+=
là Số nghiệm thực của phương
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Câu 30: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( ) ( )
2
1,f x x x x
= +
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 31: Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
( )
2 3 16 2i z i z i− + + = +
. Môđun của
z
bằng
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 219
A.
5
B. 13 C.
13
D. 5
Câu 32: Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
2sin 3,f x x
= +
, khi đó
( )
4
0
f x dx
bằng
A.
2
2
8
−
B.
2
88
8
+−
C.
2
82
8
+−
D.
2
3 2 3
8
+−
Câu 33: Trong không gian
Oxyz
, cho các điểm
( ) ( ) ( )
2; 1;0 , 1;2;1 , 3; 2;0A B C−−
và
( )
1;1; 3D −
. Đường
thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
có phương trình là
A.
12
xt
yt
zt
=
=
= − −
B.
12
xt
yt
zt
=
=
=−
C.
1
1
23
xt
yt
zt
=+
=+
= − −
D.
1
1
32
xt
yt
zt
=+
=+
= − +
Câu 34: Cho hàm số
( )
y f x=
, bảng xét dấu của
( )
fx
như sau
Hàm số
( )
52y f x=−
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;3− −
B. (4;5) C. (3;4) D. (1;3)
Câu 35: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
32
2
x
fx
x
−
=
−
trên khoảng
( )
2;+
là
A.
( )
4
3ln 2
2
xC
x
− + +
−
B.
( )
2
3ln 2
2
xC
x
− + +
−
C.
( )
2
3ln 2
2
xC
x
− − +
−
D.
( )
4
3ln 2
2
xC
x
− − +
−
Câu 36: Cho phương trình
( )
2
9 3 3
log log 4 1 logx x m− − = −
( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 5 B. 3 C. Vô số D. 4
Câu 37: Cho hàm số
( )
fx
, hàm số
( )
fx
liên tục trên và có đồ thị như
hình vẽ. Bất phương trình
( )
2f x z m+
(m là tham số thực) nghiệm đúng với
mọi
( )
0;2x
khi và chỉ khi
A.
( )
24mf−
B.
( )
0mf
C.
( )
0mf
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 220
D.
( )
24mf−
Câu 38: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng
A.
11
23
B.
1
2
C.
265
529
D.
12
23
Câu 39: Cho hình trụ có chiều cao bằng
33
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cắt trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình trụ
đã cho bằng
A.
63
B.
6 39
C.
3 39
D.
12 3
Câu 40: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (minh họa như hình
vẽ). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( )
SAC
bằng.
A.
21
28
a
B.
21
14
a
C.
2
2
a
D.
21
7
a
Câu 41: Cho đường thẳng
3
2
yx=
và parabol
2
y x a=+
(a là tham số thực
dương). Gọi
12
,SS
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo
trong hình vẽ. Khi
12
SS=
thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
19
;
2 16
B.
29
;
5 20
C.
91
;
20 2
D.
2
0;
5
Câu 42: Cho hàm bậc ba
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực
của phương trình
( )
3
2
3
3
f x x−=
là
A. 6 B. 10
C. 3 D. 9
Câu 43: Xét các số phức
z
thỏa mãn
2z =
. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp điểm biểu diễn các
số phức
5
1
iz
w
z
+
=
+
là một đường tròn có bán kính bằng
A. 52 B.
2 13
C.
2 11
D. 44
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 221
Câu 44: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên . Biết
( ) ( )
1
0
3 1, 3 1f xf x dx==
, khi đó
( )
3
2
0
x f x dx
bằng
A. 3 B. 7 C. -9 D.
25
3
−
Câu 45: Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
0;3; 2A −
. Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục
và cách trục
Oz
một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây
A.
( )
2;0; 3Q −−
B.
( )
0;8; 5M −
C.
( )
0;2; 5N −
D.
( )
0; 2; 5M −−
Câu 46: Cho lăng trụ
.ABC A B C
có chiều cao bằng 4 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 4. Gọi
,,M N P
lần lượt là tâm của các mặt bên
,,ABB A ACCA BCC B
. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các
điểm
, , , , ,A B C M N P
bằng
A.
14 3
3
B.
83
C.
63
D.
20 3
3
Câu 47: Cho hai hàm số
2 1 1
1 1 2
x x x x
y
x x x x
− − +
= + + +
− + +
và
1y x x m= + − −
(m là tham số thực) có đồ thị
lần lượt là
( ) ( )
12
,CC
. Tập hợp tất cả các giá trị của m để
( ) ( )
12
,CC
cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt
là
A.
( )
3;− +
B.
( )
;3− −
C.
)
3;− +
D.
(
;3− −
Câu 48: Cho phương trình
( )
2
33
2log log 1 4 0
x
x x m− − − =
(m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá
trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. Vô số B. 62 C. 63 D. 64
Câu 49: Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 1 5S x y z+ + − =
. Có tất cả bao nhiêu điểm
( )
;;A a b c
(
;;abc
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
( )
Oxy
sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của
( )
S
đi
qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12 B. 16 C. 20 D. 8
Câu 50: Cho hàm số
( )
fx
, bảng biến thiên của hàm số
( )
fx
như sau
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
44y f x x=+
là
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 222
A. 5 B. 9 C. 7 D. 3
BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
2
8
C
. Chọn A
Câu 2:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là (43;1). Chọn B
Câu 3:
21
2 32 2 1 5 3
x
xx
−
= − = =
. Chọn A
Câu 4:
Thể tích của khối lăng trụ là
V Bh=
. Chọn D
Câu 5:
Số phức liện hợp của
32i−
là
32i+
. Chọn B
Câu 6:
Hình chiếu của điểm
( )
3;1; 1M −
trên trục
Oy
là (0;1;0). Chọn A
Câu 7:
Ta có
21
3d u u= − =
. Chọn D
Câu 8:
( )
2
2 4 4x x x C+ = + +
. Chọn B
Câu 9:
Đồ thị hàm số là đồ thị hàm số hàm trùng phương nên loại A, D. Dựa vào hình dạng của đồ thị hàm số
suy ra
0a
nên loại C. Chọn B
Câu 10:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên
( )
;1− −
và
( )
0;1
. Chọn A
Câu 11:
Vecto chỉ phương của đường thẳng là
( )
1; 2;3−
. Chọn D
Câu 12:
Ta có
2
33
log 2logaa=
. Chọn A
01. C
02. B
03. A
04. D
05. B
06. A
07. D
08. B
09. B
10. A
11. D
12. A
13. C
14. C
15. C
16. A
17. D
18. B
19. D
20. D
21. B
22. C
23. C
24. A
25. D
26. A
27. A
28. D
29. A
30. B
31. C
32. C
33. A
34. B
35. D
36. B
37. A
38. A
39. D
40. C
41. B
42. B
43. B
44. C
45. D
46. C
47. D
48. B
49. C
50. C
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 223
Câu 13:
Thể tích của khối nón là
2
1
3
V r h
=
. Chọn C
Câu 14:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
3x =
. Chọn C
Câu 15:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
2 4 2f x g x dx f x dx g x dx+ = + = − = −
. Chọn C
Câu 16:
Ta có
( ) ( )
12
2 2 2 1 5z z i i i+ = − + + = −
tọa độ là
( )
5; 1−
. Chọn A
Câu 17:
Ta có
( )
SC ABC C=
và
( ) ( )
( )
( )
, , 45SA ABC SC ABC SC AC SCA⊥ = = =
. Chọn D
Câu 18:
( ) ( ) ( )
22
2
: 1 1 9 3S x y z R+ − + + = =
. Chọn B
Câu 19:
Gọi I là trung điểm của
( )
1;1;2AB I
. Ta có
( )
6;2;2n AB= = −
Do đó phương trình mặt phẳng trung trực là
( )
:3 0P x y z− − =
. Chọn D
Câu 20:
Ta có
( )
2
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4, 7 2 2z z z z z z z z z z+ = = + = + − =
. Chọn D
Câu 21:
Ta có
( ) ( )
2
1
3 3; 0
1
x
f x x f x
x
=
= − =
=−
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 2; 1 2; 3 18; 3 18f f f f= − − = = − = −
. Do đó giá trị nhỏ nhất là -18. Chọn B
Câu 22:
22
.1 . .1,5 . 3,25 1,8
V
V h h h R
h
= + = = =
. Chọn C
Câu 23:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
0x =
, tiệm cận ngang là
0y =
và
3y =
. Chọn C
Câu 24:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 1 3 1 3
2 2 1 2 1
S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
− − −
= = + = −
. Chọn A
Câu 25:
Ta có
( )
22
3 2 1 3 ln3
x x x x
y y x
−−
= = −
. Chọn D
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 224
Câu 26:
Diện tích đáy lăng trụ
2
.3
2
ABC
a
S =
Thể tích lăng trụ là:
3
6
.
4
ABC
a
V S h==
. Chọn A
Câu 27:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3
log 2 1 1 log 1 log 2 1 log 3 log 1x x x x+ = + − + = + −
( ) ( )
2 1 3 1 4x x x + = − =
. Chọn A
Câu 28:
( )
33
2 2 2 2 2 2
log 3log log log log log 8 3a b a b ab+ = + = = =
. Chọn D
Câu 29:
Ta có:
( ) ( )
3
2 3 0
2
f x f x
−
+ = =
Dựa vào BBT suy ra phương trình
( )
3
2
fx
−
=
có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A
Câu 30:
( ) ( )
2
1f x x x
=+
đổi dấu khi qua một điểm duy nhất
0x =
nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Chọn B
Câu 31:
Đặt
( )
,z a bi a b= +
ta có:
( )( ) ( )
2 3 16 2i a bi i a bi i− + + + = − +
( ) ( )
2 2 3 16 2 2 2a b a b i i a bi i + + − + + + = − +
( )
33
4 3 14 13
4 14 2
bb
b a b i i z
a b a
= − = −
+ − + = − − =
− + = − =
. Chọn C
Câu 32:
( ) ( )
( )
2
1 cos2
2sin 3 2. 3
2
x
f x f x dx x dx dx
−
= = + = +
( )
sin2
4 cos2 4
2
x
x dx x C= − = − +
Do
( ) ( )
sin2
0 4 4 4 4
2
x
f C f x x= = = − +
Khi đó
( )
2
44
4
2
00
0
sin 2 cos2 8 2
4 4 2 4
2 4 8
xx
f x dx x dx x x
+−
= − + = + + =
. Chọn C
Câu 33:
( ) ( )
1;3;1 , 1; 1;0AB AC= − = −
suy ra
( )
( )
, 1;1; 2
ABC
n AB AC
= = −
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 225
Suy ra
( )
( )
1
1;1; 1 : 1
32
d
ABC
xt
u n d y t
zt
=+
= = − = +
= − −
hay
:
12
xt
d y t
zt
=
=
= − −
. Chọn A
Câu 34:
( ) ( ) ( )
5 2 3 4
5 2 2 5 2 0 5 2 0
1 5 2 1 2 3
xx
f x y f x f x
xx
− −
− = − − −
− −
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
( )
4;+
và
( )
2;3
. Chọn B
Câu 35:
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2 4
3 2 3 4 4
3ln 2
22
2 2 2
x
x
dx dx dx x C
xx
x x x
−+
−
= = + = − − +
−−
− − −
với
2x
. Chọn D
Câu 36:
Điều kiện
1
4
x
ta có phương trình
( )
3 3 3
1
log log 4 1 logxx
m
− − =
( )
1
41
x
fx
xm
= =
−
Xét hàm số
( )
41
x
fx
x
=
−
với
1
4
x
ta có
( )
( )
( )
2
1
0
41
f x x
x
−
=
−
Lại có:
( ) ( )
1
4
1
lim , lim
4
x
x
f x f x
→+
→
= + =
Do đó phương trình có nghiệm khi
11
04
4
m
m
. Kết hợp
1;2;3mm =
. Chọn B
Câu 37:
Ta có
( ) ( ) ( )
22f x x m m f x x g x + − =
Bất phương trình trở thành:
( ) ( )
2m f x x g x − =
Xét
( ) ( )
2g x f x x=−
với
( )
0;2x
ta có
( ) ( ) ( )
( )
2 0 0;2g x f x x
= −
Do đó hàm số
( )
y g x=
nghịch biến trên khoảng
( )
0;2
Do đó
( ) ( )
m f x x g x − =
với mọi
( )
0;2x
khi và chỉ khi
( ) ( )
2 2 4m g f = −
. Chọn A
Câu 38:
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ 23 số nguyên dương có
2
23
C=
cách chọn
Gọi A là biến cố: Chọn được 2 số có tổng là một số chẵn
Tổng của 2 số là số chẵn khi 2 số đó đều chẵn hoặc đều lẻ
Trong 27 số nguyên dương đầu tiên có 11 số chẵn và 12 số lẻ
TH1: Chọn được 2 số chẵn có
2
11
C
cách chọn
TH2: Chọn được 2 số lẻ có
2
11
C
cách chọn
Suy ra
22
11 12
121
A
CC = + =
. Vậy xác suất cần tìm là
2
23
121 11
23
P
C
==
. Chọn A
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 226
Câu 39:
Dựng hình như hình vẽ thì
18, 3 3 2 3
ABCD
S AB h AD= = = =
Gọi H là trung điểm của AD thì
,3
2
AD
OH AD AH⊥ = =
Mặt khác
22
12
d
OH r OA OH HA= = = + =
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 12 3
xq d
S r h
==
. Chọn D
Câu 40:
Gọi H là trung điểm của AB thì
SH AB⊥
. Mặt khác
( ) ( ) ( )
SAB ABC SH ABC⊥ ⊥
và
3
2
a
SH =
Gọi
O AC BD=
ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
; ; 2 ;d D SAC d A SAC d H SAC==
Dựng
( )
( )
,;HE AC HF SE d H SAC HF⊥ ⊥ =
Trong đó
2
2 4 4
BO BD a
HE ===
Mặt khác
2 2 2
1 1 1 21
14
a
HF
HF HE SH
= + =
Suy ra
( )
( )
21
;2
7
a
d D SAC HF==
. Chọn C
Câu 41:
Gọi
12
,xx
lần lượt là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
2
3
2
x x a=+
và ta giả sử
12
0 xx
,
do
2
x
là nghiệm của phương trình nên
2
22
3
2
a x x=−
Do
12
SS=
suy ra
2
3 2 2
22
2 2 2 2
2 2 2
0
33
33
00
2 3 4 3 4 2
x
x x x x
x a x dx ax a x x
+ − = + − = − + = = −
2
2 2 2
2 3 9 27
3 4 8 64
x x x a = = =
. Chọn B
Câu 42:
Đặt
32
3 3 3 0 1xt x x t x
= − = − = =
ta có BBT sau
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 227
Khi đó phương trình trở thành
( )
( )
( )
2
2
3
2
3
3
ft
ft
ft
=
=
=−
Phương trình
( )
2
3
ft=
có 3 nghiệm
( )
1 2 3
, 2;2 , 2x x x −
Phương trình
( )
2
3
ft=−
có 3 nghiệm
4
2x −
và
56
,2xx
Dựa vào BBT suy ra các phương trình
1
2
tx
tx
=
=
có 6 nghiệm, các phương trình
3 4 5 6
, , ,t x t x t x t x= = = =
có
1 nghiệm. Do đó phương trình đã cho có 10 nghiệm. Chọn B
Câu 43:
Ta có
( )
55
. 5 2 5
1
iz w
w w w z iz z i w z
z w i
+−
= + = + − = − =
+−
Do đó
( )
5
2 2 5 2 5 2 1
w
z w w i a bi a b i
wi
−
= = − = − − + = + −
−
( ) ( ) ( )
2 2 2
22
5 2 2 1 2 52a b a b b − + = + − + − =
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là đường tròn bán kính
2 13R =
. Chọn B
Câu 44:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0 0 0 0
3 1 9 3 9 3 . 3 3 9 9xf x dx xf x dx x f x d x xf x dx= = = =
Lại có
( ) ( ) ( ) ( )
33
3
22
0
00
2 9 3 2.9 9x f x dx x f x xf x dx f
= − = − = −
. Chọn C
Câu 45:
Ta có d thuốc mặt trụ có bán kính
3r =
và có trục
Oz
Gọi
A
là hình chiếu của A trên mặt phẳng
( ) ( )
0;3;0Oxy A
Gọi
K
là giao điểm của mặt trụ và
Oy
sao cho
AK
lớn nhất
( )
0; 2;0K−
Suy ra
( )
;5d A d A K
=
. Do đó
( )
max ; 5d A d =
Khi đó đường thẳng d đi qua
( )
0; 2;0K −
và song song với
Oz
Phương trình đường thẳng d là
0
2
x
y
zt
=
=−
=
. Vậy d đi qua
( )
0; 2; 5P −−
. Chọn D
Câu 46:
Ta có
. . 1 2
;
MNP ABC MNP A B C MPAA MNBB NPCC
V V V V V V V
= = = = =
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 228
Do đó
.2
1 2 . 1
3
23
2
ABC A B C
ABC A B C
VV
V V V V
−
+ = =
Lại có
( ) ( )
2
1 1 1 1
; . ; .
3 3 2 4
MPAA AA P AA C C
V V d M AA C C S d B AA C C s
= = =
( )
. . 2 .
1 1 1 1 2 1
. ; ' . .
8 3 8 8 3 12
AA C C B AA C C ABC A B C ABC A B C
d B AA C C S V V V V
= = = =
Khi đó
2
..
1.
1
3 3 4 3
4
.4. 6 3
2 8 8 4
ABC A B C ABC A B C
ABC A B C
VV
VV
−
= = = =
. Chọn C
Câu 47:
Phương trình hoành độ giao điểm của
( ) ( )
12
,CC
là
2 1 1
1
1 1 2
x x x x
x x m
x x x x
− − +
+ + + − + + = −
− + +
(*)
TH1: Với
1 1 1x x x − + = +
nên (*) trở thành
2 1 1
1
1 1 2
x x x x
m
x x x x
− − +
+ + + − = −
− + +
Xét hàm số
( )
2 1 1
1
1 1 2
x x x x
fx
x x x x
− − +
= + + + −
− + +
trên
( )
1; \ 0;1− +
, có
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1 1
0
1 1 2
fx
x
x x x
= + + +
− + +
Suy ra
( )
fx
làm hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( ) ( )
1;0 , 0;1 , 1;− +
TH2: Với
1 1 1x x x − + = − +
nên (*) trở thành:
2 1 1
21
1 1 2
x x x x
xm
x x x x
− − +
+ + + + + = −
− + +
Xét hàm số
( )
2 1 1
21
1 1 2
x x x x
g x x
x x x x
− − +
= + + + + +
− + +
trên
( )
; 1 \ 2− − −
, có
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1 1
20
1 1 2
gx
x
x x x
= + + + +
− + +
Suy ra
( )
gx
là hàm số đồng biến trên
( ) ( )
; 2 , 2; 1− − − −
Do đó với mọi m thì phương trình
( )
g x m=−
luôn có hai nghiệm phân biệt
Yêu cầu bài toán
( )
j x m = −
có hai nghiệm
33mm − −
. Chọn D
Câu 48:
Phương trình trở thành
3
1
2
3
4
3
log 1
3
11
log 3
2
3
4
40
log
x
x
x
x
x
x x x
m
m
xm
−
=
=
=
= − = =
=
−=
=
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com Trang 229
Yêu cầu bài toán tương đương
4
1
3
3
4
log 0
1
1
log 3
44
3
m
m
m
m
Kết hợp với
m
, ta được
1;3;4;5;...;63m =
. Vậy có 62 giá trịi nguyên cần tìm. Chọn B
Câu 49:
Gọi tiếp điểm là M, N và H và là tâm đường tròn giao tuyến của
( )
mp AMN
và
( )
S
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có
,2AM MH r AH r= = =
Lại có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
IM AM AI R r AI r AI R+ = + = = −
mà
2 2 2
02r R R IA R
Với
( )
2 2 2
; ;0 1A a b IA a b = + +
và
2
5R =
suy ra
2 2 2 2
5 1 10 4 9a b a b + + +
Kết hợp
0 1 1 2 0 2 0
, ; ; ; ; ; ; ;
1 0 1 0 2 2 3
a a a a a a a
ab
b b b b b b b
= = = = = = =
→
= = = = = = =
và
3
0
a
b
=
=
Vậy có tất cả 20 điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C
Câu 50:
Ta có
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
4 4 . 4 4 8 4 . 4 4y x x f x x x f x x
= + + = + +
Phương trình
( )
( )
2
2
1
8 4 0
2
0
4 4 0
4 4 0
x
x
y
f x x
f x x
+=
=−
=
+=
+=
(*)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị
( )
y f x
=
cắt đường thẳng
0y =
tại 4 điểm phân biệt
Do đó
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
22
2
3
3
2
4
4
4 4 1
1
1;0 4 4 1;0
0
0;1
4 4 0;1
1
4 4 1
x x x
xx
x x x x x
fx
xx
x x x
xx
x x x
+ = −
= −
= − + = −
=
=
+ =
=
+ =
nªn (*)
Chọn
1 2 3 4
11
2; ; ; 2
22
x x x x= − = − = =
(*) có 6 nghiệm đơn phân biệt (bấm máy)
Vậy
0y
=
có 7 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị. Chọn C
Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.