TOP 158 Bài tập xác suất thống kê có lời giải - Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội

TOP 158 Bài tập xác suất thống kê có lời giải - Xác suất thống kê | Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem !

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê (UEB)

Trường: Trường Đại học Kinh tế, Đại học Quốc gia Hà Nội

Thông tin:

20 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
lOMoARcPSD|44744371
lOMoARcPSD|44744371
BAØI GIAÛI
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
CHÖÔNG 1
NHÖÕNG ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN TRONG
LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT
Baøi 1.1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu.
Moãi khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II
vaø III laàn löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå
a) coù 1 khaåu baén truùng.
b) coù 2 khaåu baén truùng.
c) coù 3 khaåu baén truùng.
d) ít nhaát 1 khaåu baén truùng.
e) khaåu thöù 2 baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng.
Lôøi giaûi
Toùm taét:
Khaåu suùng I
IIù
III
Xaùc suaát truùng 0,7 0,8 0,5
Goïi A
j
(j = 1, 2, 3) laø bieán coá khaåu thöù j baén truùng. Khi ñoù A
1
, A
2
, A
3
ñoäc laäp vaø giaû thieát cho ta:
P(A
1
) = 0,7; P(A
1
) = 0, 3;
P(A
2
) = 0, 8; P(A
2
) = 0, 2;
P(A
3
) = 0,5; P(A
3
) = 0,5.
a) Goïi A laø bieán coá coù 1 khaåu truùng. Ta coù
A = A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
Vì caùc bieán coá A
1
A
2
A
3
, A
1
A
2
A
3
, A
1
A
2
A
3
xung khaéc töøng ñoâi,
neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát
ta coù
P(A) = P(A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
)
= P(A
1
A
2
A
3
) + P(A
1
A
2
A
3
) + P(A
1
A
2
A
3
)
Vì caùc bieán coá A
1
, A
2
, A
3
ñoäc laäp
neân theo coâng thöùc Nhaân xaùc
suaát ta coù
1
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
) = 0,7.0, 2.0,5 = 0, 07;
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
) = 0, 3.0, 8.0,5 = 0,12;
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
)P(A
23
)P(A
3
) = 0, 3.0, 2.0,5 = 0, 03.
Suy ra P(A) = 0,22.
b) Goïi B laø bieán coá coù 2 khaåu truùng. Ta coù
B = A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(B) = 0,47.
c) Goïi C laø bieán coá coù 3 khaåu truùng. Ta coù
C = A
1
A
2
A
3
.
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(C) = 0,28.
d) Goïi D laø bieán coá coù ít nhaát 1 khaåu truùng. Ta coù
D=A+B+C.
Chuù yù raèng do A, B, C xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù:
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97.
e) Gæa söû coù 2 khaåu truùng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát
ñeå khaåu thöù 2 truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
2
/B).
Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù:
P(A
2
B) = P(B)P(A
2
/B)
Suy ra
P(A
2
/B) =
P(A
2
B)
.
P(B)
Maø A
2
B = A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
neân lyù luaän töông töï nhö treân ta
ñöôïc P(A
2
B)=0,4
Suy ra P(A
2
/B) =0,851.
Baøi 1.2: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9
bi ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø
moãi hoäp 2 bi.
A) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû.
B) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng.
C) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
D) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi
traéng coù ñöôïc cuûa hoäp I.
2
lOMoARcPSD|44744371
Lôøi giaûi
Goïi A
i
, B
i
(i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi ñoû vaø (2 - i) bi
traéng coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II.
Khi ñoù
- A
0
, A
1
, A
2
xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(A
0
) = 0;
P(A
1
) =
C
1
9C
2
1
1
=
9
;
C10
45
P(A
2
) =
C
2
9C
2
1
0
=
36
.
C10
45
- B
0
, B
1
, B
2
xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(B
0
) =
C
0
6C
2
2
4
=
6
;
C10
45
P(B
1
) =
C
1
6C
2
1
4
=
24
;
C10
45
P(B
2
) =
C
2
6C
2
0
4
=
15
.
C10
45
- A
i
vaø B
j
ñoäc laäp.
- Toång soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá A
i
vaø
B
j
theo baûng sau:
B
0
B
1
B
2
A
0
0 1 2
A
1
1 2 3
A
2
2 3 4
a) Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc
4 bi ñoû. Ta coù:
A= A
2
B
2
.
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
P(A) = P(A
2
)P(B
2
) =
36
45
.
15
45
= 0, 2667.
b) Goïi B laø bieán coá choïn ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. Ta coù:
3
B = A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
Do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá A
0
B
2
, A
1
B
1
, A
2
B
0
,
coâng thöùc Coäng xaùc suaát cho ta:
P(B) = P(A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
)
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
P(B) = P(A
0
)P(B
2
) + P(A
1
)P(B
1
) + P(A
2
)P(B
0
) = 0,2133.
c) Goïi C laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Ta coù:
C = A
1
B
2
+ A
2
B
1
.
Lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc
P(C) = P(A
1
)P(B
2
) + P(A
2
)P(B
1
) = 0,4933.
d) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá C ñaõ
xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc thuoäc hoäp I trong tröôøng
hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/C). Theo Coâng thöùc
nhaân xaùc suaát , ta coù
P(A
1
C) = P(C)P(A
1
/C) .
Suy ra
P(A
1
/C) =
P(A
1
C)
.
P(C)
Maø A
1
C = A
1
B
2
neân
P(A
1
C) = P(A
1
B
2
) = P(A
1
)P(B
2
) =
45
9
.
15
45
= 0, 0667.
Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø: P(A
1
/C) = 0,1352.
Baøi 1.3: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát
vaø 4 saûn phaåm xaáu. Khaùch haøng kieåm tra baèng caùch laáy ra töøng
saûn phaåm cho ñeán khi naøo ñöôïc 3 saûn phaåm toát thì döøng laïi.
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3.
b) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4.
b) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Tính xaùc
suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu.
Lôøi giaûi
Goïi T
i
, X
i
laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc saûn phaåm toát, xaáu ôû
laàn kieåm tra thöù i.
a) Goïi A laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3. Ta coù:
4
P
lOMoARcPSD|44744371
A = T
1
T
2
T
3
.
Suy ra P(A) = P(T
1
T
2
T
3
) = P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(T
3
/ T
1
T
2
)
= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.
b) Goïi B laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Ta coù:
B = X
1
T
2
T
3
T
4
+ T
1
X
2
T
3
T
4
+ T
1
T
2
X
3
T
4
.
Suy ra
P(B) = P(X
1
T
2
T
3
T
4
) + P(T
1
X
2
T
3
T
4
) + P(T
1
T
2
X
3
T
4
)
= P(X
1
) P(T
2
/X
1
) P(T
3
/X
1
T
2
) P(T
4
/X
1
T
2
T
3
)
+ P(T
1
) P(X
2
/T
1
) P(T
3
/T
1
X
2
) P(T
4
/T
1
X
2
T
3
)
+ P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(X
3
/ T
1
T
2
) P(T
4
/ T
1
T
2
X
3
)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.
c) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Khi ñoù bieán
coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng
gaëp saûn phaåm xaáu trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu
kieän P(X
3
/B).
Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát , ta coù
P(X
3
B) = P(B)P(X
3
/B) .
Suy ra
P(X
3
/B) =
P(X
3
B)
.
P(B)
Maø X
3
B = T
1
T
2
X
3
T
4
neân
P(X
3
B) = P(T
1
T
2
X
3
T
4
) = P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(X
3
/ T
1
T
2
) P(T
4
/ T
1
T
2
X
3
)
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952.
Suy ra P(X
3
/B) = 0,3333.
Baøi 1.4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ.
Töø hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi
ñöôïc bi ñoû thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå
a) ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû.
b) khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra.
5
Lôøi giaûi
Goïi D
i
, T
i
, X
i
laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc bi ñoû, bi traéng, bi
xanh ôû laàn ruùt thöù i.
a) Goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. Ta coù:
T−T−X−D
− − −
A xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc T X T D
Suy ra
A = T
1
T
2
X
3
D
4
+ T
1
X
2
T
3
D
4
+ X
1
T
2
T
3
D
4
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(A) = P(T
1
T
2
X
3
D
4
)+ P(T
1
X
2
T
3
D
4
) + P(X
1
T
2
T
3
D
4
)
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
P(T
1
T
2
X
3
D
4
) = P(T
1
)P(T
2
/T
1
)P(X
3
/T
1
T
2
)P(D
4
/T
1
T
2
X
3
)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
P(T
1
X
2
T
3
D
4
) = P(T
1
)P(X
2
/T
1
)P(T
3
/T
1
X
2
)P(D
4
/T
1
X
2
T
3
)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
P(X
1
T
2
T
3
D
4
) = P(X
1
)P(T
2
/X
1
)P(T
3
/X
1
T
2
)P(D
4
/X
1
T
2
T
3
)
= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66.
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455.
b) Goïi B laø bieán coá khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Ta coù:
D
X − D
B xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc
X−X−D
X−X−X−D
Suy ra
B = D
1
+ X
1
D
2
+ X
1
X
2
D
3
+ X
1
X
2
X
3
D
4
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(B) = P(D
1
)+ P(X
1
D
2
) + P(X
1
X
2
D
3
) + P(X
1
X
2
X
3
D
4
)
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
6
lOMoARcPSD|44744371
P(B) = P(D
1
) + P(X
1
)P(D
2
/X
1
) + P(X
1
)P(X
2
/X
1
)P(D
3
/X
1
X
2
)
+ P(X
1
)P(X
2
/X
1
)P(X
3
/X
1
X
2
)P(D
4
/X
1
X
2
X
3
)
= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)
= 5/9
Baøi 1.5: Saûn phaåm X baùn ra ôû thò tröôøng do moät nhaø maùy goàm ba phaân
xöôûng I, II vaø III saûn xuaát, trong ñoù phaân xöôûng I chieám 30%; phaân xöôûng
II chieám 45% vaø phaân xöôûng III chieám 25%. Tæ leä saûn phaåm loaïi A do ba
phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát laàn löôït laø 70%, 50% vaø 90%.
a) Tính tæ leä saûn phaåm loïai A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát.
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ
mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng
do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm
X) ôû thò tröôøng.
1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A.
2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.
Lôøi giaûi
Toùm taét:
Phaân xöôûng
I II III
Tæ leä saûn löôïng
30% 45% 25%
Tæ leä loaïi A
70% 50% 90%
a) Ñeå tính tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn
xuaát ta choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm ôû thò tröôøng. Khi ñoù tæ
leä saûn phaåm loaïi A chính laø xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù thuoäc loaïi A.
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
A
1
, A
2
, A
3
laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm do phaân xöôûng I, II, III saûn
xuaát. Khi ñoù A
1
, A
2
, A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A
1
) = 30% = 0,3; P(A
2
) = 45% = 0,45; P(A
3
) = 25% = 0,25.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(B) = P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/A
2
) + P(A
3
)P(B/A
3
)
Theo giaû thieát,
P(B/A
1
) = 70% = 0,7; P(B/A
2
) = 50% = 0,5; P(B/A
3
) = 90% = 0,9.
7
Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø
maùy saûn xuaát laø 66%.
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ
mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do
phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù, ñeå
bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu
nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/B), P(A
2
/B) vaø P(A
3
/B). Neáu
P(A
i
/B) laø lôùn nhaát thì saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng thöù i saûn
xuaát ra laø nhieàu nhaát. Theo coâng thöùc Bayes ta coù:
P(A
/B) =
P(A
1
)P(B/A
1
)
=
0, 3.0,7
=
21
;
1
P(B)
0, 66 66
P(A
/B) =
P(A
2
)P(B/A
2
)
=
0, 45.0,5
=
22,5
;
2
P(B)
0, 66
66
P(A
/B) =
P(A
3
)P(B/A
3
)
=
0, 25.0, 9
=
22,5
.
3
P(B)
0, 66
66
Vì P(A
2
/B) = P(A
3
/B) > P(A
1
/B) neân saûn phaåm loaïi A aáy coù khaû naêng do
phaân xöôûng II hoaëc III saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát.
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm
X) ôû thò tröôøng.
1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A.
2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.
Aùp duïng coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 121, p = 0,66, ta coù:
1) Xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A laø
P
121
(80) = C
121
80
p
80
q
41
= C
121
80
(0, 66)
80
(0, 34)
41
= 0, 076.
2) Xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A laø
85 85 85
∑ P
121
(k) =
∑
C
121
k
p
k
q
121
−
k
=
∑
C
121
k
(0, 66)
k
(0, 34)
121
−k
= 0, 3925.
k = 80
k = 80
k =80
8
lOMoARcPSD|44744371
Baøi 1.6: Coù ba cöûa haøng I, II vaø III cuøng kinh doanh saûn phaåm Y. Tæ
leä saûn phaåm loaïi A trong ba cöûa haøng I, II vaø III laàn löôït laø 70%, 75%
vaø 50%. Moät khaùch haøng choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù
mua moät saûn phaåm
A) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.
B) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng
ngöôøi khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát?
Lôøi giaûi
Toùm taét:
Cöûa haøng
I II III
Tæ leä loaïi A
70% 75% 50%
Choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù mua moät saûn phaåm.
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
A
1
, A
2
, A
3
laàn löôït laø caùc bieán coá choïn cöûa haøng I, II, III. Khi ñoù A
1
, A
2
,
A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) = 1/3.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(B) = P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/ A
2
)+ P(A
3
)P(B/A
3
)
Theo giaû thieát,
P(B/A
1
) = 70% = 0,7;
P(B/A
2
) = 75% = 0,75;
P(B/A
3
= 50% = 0,5.
Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vaäy xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn
phaåm loaïi A laø 65%.
b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng ngöôøi
khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát?
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù, ñeå
bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng
naøo laø nhieàu nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/B),
9
P(A
2
/B) vaø P(A
3
/B). Neáu P(A
i
/B) laø lôùn nhaát thì cöûa haøng thöù i coù
nhieàu khaû naêng ñöôïc choïn nhaát.
Theo coâng thöùc Bayes ta coù:
P(A
/B) =
P(A
1
)P(B/A
1
)
=
(1 / 3).0,7
=
70
;
1
P(B) 0, 65
195
P(A
/B) =
P(A
2
)P(B/A
2
)
=
(1 / 3).0,75
=
75
;
2
P(B)
0, 65 195
P(A
/B) =
P(A
3
)P(B/A
3
)
=
(1 / 3).0,5
=
50
.
3
P(B)
0, 65 195
Vì P(A
2
/B) > P(A
1
/B) > P(A
3
/B) neân cöûa haøng II coù nhieàu khaû naêng ñöôïc
choïn nhaát.
Baøi 1.7: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 12 bi, trong ñoù hoäp I goàm 8 bi
ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 5 bi ñoû, 7 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp I ba
bi roài boû sang hoäp II; sau ñoù laáy ngaãu nhieân töø hoäp II boán bi.
A) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II.
B) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc
suaát ñeå trong ba bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù hai bi ñoû vaø moät bi traéng.
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II.
A
i
(i = 0, 1, 2, 3) laø bieán coá coù i bi ñoû vaø (3-i) bi traéng coù trong 3 bi choïn
ra töø hoäp I. Khi ñoù A
0
, A
1
, A
2
, A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng
ñoâi vaø ta coù:
P(A
0
) =
C
0
8 C
3
3
4
=
4
;
C12
220
P(A
1
) =
C
1
8 C
3
2
4
=
48
;
C12
220
P(A
2
) =
C
2
8C
3
1
4
=
112
;
C12
220
P(A
3
) =
C
3
8C
3
0
4
=
56
.
C12
220
a) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II.
10
lOMoARcPSD|44744371
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A)=P(A
0
)P(A/A
0
)+P(A
1
)P(A/A
1
)+P(A
2
)P(A/A
2
)+P(A
3
)P(A/A
3
)
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù
P(A / A
0
) =
C5
3
C
4
1
10
=
100
;
C
15
1365
P(A / A
1
) =
C
3
6C
4
1
9
=
180
;
C
15
1365
P(A / A
2
) =
C7
3
C
4
1
8
=
280
;
C
15
1365
P(A / A
3
) =
C
3
8C
4
1
7
=
392
.
C
15
1365
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A) = 0,2076.
b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát
ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Khi ñoù bieán coá
A ñaõ xaûy ra. Do doù xaùc suaát ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi
ñoû vaø 1 bi traéng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu
kieän P(A
2
/A). Aùp duïng coâng thöùc Bayes, ta coù:
112
.
280
P(A
2
)P(A/A
2
)
P(A
2
/A) = =
220 1365
= 0,5030.
P(A) 0, 2076
Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø P(A
2
/A) = 0,5030.
Baøi 1.8: Coù ba hoäp moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi trong ñoù hoäp thöù nhaát
coù 1 bi traéng, 4 bi ñen; hoäp thöù hai coù 2 bi traéng, 3 bi ñen; hoäp thöù ba
coù 3 bi traéng, 2 bi ñen.
a) Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp moät bi.
1) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng.
2) Tính xaùc suaát ñöôïc 2 bi ñen, 1 bi traéng.
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng.Tính xaùc suaát ñeå
bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát.
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.
11
Lôøi giaûi
a) Goïi A
j
(j = 1, 2, 3) laø bieán coá laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp thöù j. Khi ñoù
A
1
, A
2
, A
3
ñoäc laäp vaø
P(A
1
) =
1
5
; P(A
1
) =
4
5
;
P(A
2
) =
5
2
; P(A
2
) =
5
3
;
P(A
3
) =
5
3
; P(A
3
) =
5
2
.
1) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi traéng. Ta coù
A = A
1
A
2
A
3
.
Suy ra P(A) = P(A
1
) P(A
2
) P(A
3
) = 0,048.
2) Goïi B laø bieán coá laáy 2 bi ñen, 1 bi traéng. Ta coù
B = A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
Suy ra P(B) =0,464 .
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá B
ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát
trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/B). Theo
coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù:
P(A
1
B) = P(B)P(A
1
/B)
Suy ra
P(A
1
/B) =
P(A
1
B)
.
P(B)
Maø A
1
B = A
1
A
2
A
3
neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P(A
1
B) = 0,048.
Suy ra
P(A
1
/B) =0,1034 .
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.
Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi ñen.
A
1
, A
2
, A
3
laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, II, III. Khi ñoù A
1
, A
2
,
A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) = 1/3.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A) = P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/ A
2
)+ P(A
3
)P(A/A
3
)
Theo coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
12
lOMoARcPSD|44744371
C
0
C
3
=
4
C
0
C
3
=
1
P(A/A ) =
1 4
;P(A/A
2
) =
2 3
;P(A/A ) =0.
1
C
3
10 C
3
10
3
5 5
Suy ra P(A) = 0,1667.
Baøi 1.9: Coù 20 hoäp saûn phaåm cuøng loïai, moãi hoäp chöùa raát
nhieàu saûn phaåm, trong ñoù coù 10 hoäp cuûa xí nghieäp I, 6 hoäp cuûa
xí nghieäp II vaø 4 hoäp cuûa xí nghieäp III. Tæ leä saûn phaåm toát cuûa
caùc xí nghieäp laàn löôït laø 50%, 65% vaø 75%. Laáy ngaãu nhieân ra
moät hoäp vaø choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm töø hoäp ñoù.
a) Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn
phaåm toát.
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm
toát. Tính xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí nghieäp I.
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát.
A
j
(j = 1, 2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp cuûa xí nghieäp thöù j.
Khi ñoù A
1
, A
2
, A
3
laø moät ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
1
P(A
1
) =
C
1
10
=
10
;
C20
20
1
P(A
2
) =
C
1
6
=
6
;
C20
20
1
P(A
3
) =
C
1
4
=
4
.
C20
20
Maët khaùc, töø giaû thieát, theo coâng thöùc Bernoulli, ta coù
P(A / A
1
) = C
3
2
(0,5)
2
(1 − 0,5) = 0,375
P(A / A
2
) = C
2
3
(0,65)
2
(1 − 0,65) = 0,443625
P(A / A
3
) = C
2
3
(0,75)
2
(1 − 0,25) = 0,421875
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
)
= (10/20).0,375 + (6/20). 0,443625 + (4/20). 0,421875 = 0,4050.
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Khi ñoù,
bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa
xí nghieäp I chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/A).
13
Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu
a) ta coù
P(A
/A) =
P(A
1
)P(A/A
1
)
=
(10/20).0,375
= 0,4630.
1
P(A)
0,4050
Baøi 1.10: Coù 10 sinh vieân ñi thi, trong ñoù coù 3 thuoäc loaïi gioûi, 4 khaù
vaø 3 trung bình. Trong soá 20 caâu hoûi thi qui ñònh thì sinh vieân loïai gioûi
traû lôøi ñöôïc taát caû, sinh vieân khaù traû lôøi ñöôïc 16 caâu coøn sinh vieân
trung bình ñöôïc 10 caâu. Goïi ngaãu nhieân moät sinh vieân vaø phaùt moät
phieáu thi goàm 4 caâu hoûi thì anh ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tính xaùc
suaát ñeå sinh vieân ñoù thuoäc loaïi khaù.
Lôøi giaûi
Toùm taét:
Xeáp loaïi sinh vieân Gioûi
Khaù
Trung bình
Soá löôïng 3 4 3
Soá caâu traû lôøi ñöôïc/20
20 16 10
Goïi A laø bieán coá sinh vieân traû lôøi ñöôïc caû 3 caâu hoûi.
A
1
, A
2
, A
3
laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân thuoäc loaïi Gioûi, Khaù;
Trung bình.
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
2
/A).
Caùc bieán coá A
1
, A
2
, A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi, vaø ta coù:
P(A
1
) = 3/10; P(A
2
) = 4/10; P(A
3
) = 3/10.
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù
P(A
2
/A) =
P(A
2
)P(A/A
2
)
.
P(A)
Maët khaùc, theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
).
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
P(A/A
) =
C
20
4
= 1;
C
4
1
20
) =
C
4
C
0
=
1820
P(A/A
16 4
;
C
4
4845
2
20
=
C
4
C
0
=
210
P(A/A )
10 10
.
3
C
420
4845
14
lOMoARcPSD|44744371
Suy ra P(A
2
/A) = 0,3243.
Baøi 1.11: Coù hai hoäp I vaø II, trong ñoù hoäp I chöùa 10 bi traéng vaø 8 bi
ñen; hoäp II chöùa 8 bi traéng vaø 6 bi ñen. Töø moãi hoäp ruùt ngaãu nhieân 2
bi boû ñi, sau ñoù boû taát caû caùc bi coøn laïi cuûa hai hoäp vaøo hoäp III
(roãng). Laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp III. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 bi laáy
töø hoäp III coù 1 traéng, 1 ñen.
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá bi laáy ñöôïc 1 traéng, 1 ñen.
A
j
(j = 0, 1, 2, 3, 4) laø bieán coá coù j bi traéng vaø (4-j) bi ñen coù trong 4 bi
boû ñi (töø caû hai hoäp I vaø II). Khi ñoù A
0
, A
1
, A
2
, A
3
, A
4
laø moät heä ñaày
ñuû, xung khaéc töøng ñoâi.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A
0
)P(A/A
0
) + P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
)+ P(A
3
)P(A/A
3
) +
P(A
4
)P(A/A
4
).
trong ñoù
C
1
C
1
=
10
P(A/A0 ) = 18 10 (Vì khi A0 ñaõ xaûy ra thì trong hoäp III coù 28 bi goàm
C
2
28
21
18 traéng , 10 ñen).
Töông töï,
P(A/A ) =
C
17
1
C
11
1
=
187
;P(A/A
2
) =
C
1
16
C
12
1
=
32
;
1
C
2
378 C
2
63
28 28
P(A/A ) =
C
15
1
C
13
1
=
65
;P(A/A
4
) =
C
14
1
C
1
14
=
14
.
3
C
2 126
C
2 27
28 28
Baây giôø ta tính P(A
0
); P(A
1
); P(A
2
); P(A
3
); P(A
4
).
Goïi B
i
, C
i
(i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi traéng vaø (2 - i) bi
ñen coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II. Khi ñoù
- B
0
, B
1
, B
2
xung khaéc vaø ta coù:
P(B
) =
C
10
0
C
8
2
=
28
;P(B)=
C
10
1
C
1
8
=
80
; P(B
) =
C
10
2
C
8
0
=
5
.
2
0 2
153
1
153
2 2
17
C
18
C
18
C
18
- C
0
, C
1
, C
2
xung khaéc vaø ta coù:
P(C
) =
C
8
0
C
6
2
=
15
;P(C ) =
C
1
8
C
1
6
=
48
; P(C ) =
C
8
2
C
6
0
=
28
.
2
0 2 1 2 2
C 14
91
C 14
91
C14
91
15
- B
i
vaø C
j
ñoäc laäp.
- Toång soá bi traéng coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá B
i
vaø C
j
theo baûng sau:
C
0
C1 C2
B
0
0 1 2
B
1
1 2 3
B
2
2 3 4
A
0
=
B
0
C
0
⇒ P(A
0
) = P(B
0
)P(C
0
) = 20/663.
A
1
=
B
0
C
1
+ B
1
C
0
⇒ P(A
1
) = P(B
0
)P(C
1
) + P(B
1
)P(C
0
) = 848/4641.
A
2
=
B
0
C
2
+ B
1
C
1
+ B
2
C
0
⇒ P(A
2
) = P(B
0
)P(C
2
)+P(B
1
)P(C
1
)+P(B
2
)P(C
0
)
=757/1989.
A
3
= B1C2
+ B
2
C
1
⇒ P(A
3
) = P(B
1
)P(C
2
)+P(B
2
)P(C
1
) = 4400/13923.
A4 = B2C2
⇒ P(A
4
) = P(B
2
)P(C
2
) = 20/221.
Töø ñoù suy ra P(A) = 0,5080.
Baøi 1.12: Coù hai hoäp cuøng côõ. Hoäp thöù nhaát chöùa 4 bi traéng 6 bi
xanh, hoäp thöù hai chöùa 5 bi traéng vaø 7 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân moät
hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ra 2 bi thì ñöôïc 2 bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå
vieân bi tieáp theo cuõng laáy töø hoäp treân ra laïi laø bi traéng.
Lôøi giaûi
Goïi A
1
laø bieán coá 2 bi laáy ñaàu tieân laø bi traéng.
A
2
laø bieán coá bi laáy laàn sau laø bi traéng.
Baøi toùan yeâu caàu tính P(A
2
/A
1
).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát, ta coù P(A
1
A
2
) = P(A
1
) P(A
2
/A
1
). Suy ra
P(A
2
/
A
1
)
=
P(A
1
A
2
)
.
P(A
1
)
Baây giôø ta tính caùc xaùc suaát P(A
1
) vaø P(A
1
A
2
).
Goïi B
1
, B
2
laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, hoäp II. Khi ñoù B
1
,
B
2
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: P(B
1
) = P(B
2
) =
0,5. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A
1
) = P(B
1
) P(A
1
/ B
1
) + P(B
2
) P(A
1
/ B
2
)
16
lOMoARcPSD|44744371
Maø
P(A
1
/ B
1
) =
C
2
4C
2
0
6
=
6
;
C10
45
P(A
1
/ B
2
) =
C5
2
C
2
7
0
=
10
.
C12
66
neân P(A
1
) = 47/330.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A
1
A
2
) = P(B
1
) P(A
1
A
2
/ B
1
) + P(B
2
) P(A
1
A
2
/ B
2
).
Maø
P(A
1
A
2
/ B
1
) = P(A
1
/ B
1
)P(A
2
/ A
1
B
1
) =
45
6 2
8
=
30
1
;
= =103=1
P(A
1
A
2
/ B
2
) P(A
1
/ B
2
)P(A
2
/ A
1
B
2
)
66 10 22
.
neân P(A
1
A
2
) = 13/330. Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A
2
/A
1
) =13/47= 0,2766.
Baøi 1.13: Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc
ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1
saûn phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm thì thaáy ñoù laø saûn phaåm loaïi
I. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm thaát laïc cuõng thuoäc loaïi I.
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá saûn phaåm ñöôïc choïn ra thuoäc loïai I.
A
1
, A
2
laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm thaát laïc thuoäc loaïi I, loaïi II.
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
1
/A).
Ta thaáy A
1
, A
2
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A
1
) =
C
1
C
0
=
a
P(A
2
) =
C
0
C
1
=
b
a b
;
a b
.
1
a + b
1
a + b
C
a + b
C
a +b
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù
P(A /A)=
P(A
1
)P(A / A
1
)
=
P(A
1
)P(A / A
1
)
1
P(A
1
)P(A / A
1
) + P(A
2
)P(A / A
2
)
P(A)
Maø
P(A / A
1
) =
C
1
a
−
1
C
0
b
=
a − 1
; P(A/A
2
) =
C
1
a
C
0
b
−1
=
a
.
1
a + b − 1
1
a + b − 1
C
a + b −1
C
a + b −1
neân
17
a
.
a −1
a −1
P(A
1
/A)=
a + b
a
+ b −1
=
a a −1
+
b a
a + b −1
. . .
a + b a + b − 1 a + b a + b −1
Baøi 1.14: Coù 3 hoäp phaán, trong ñoù hoäp I chöùa 15 vieân toát vaø 5 vieân xaáu,
hoäp II chöùa 10 vieân toát vaø 4 vieân xaáu, hoäp III chöùa 20 vieân toát vaø 10
vieân xaáu. Ta gieo moät con xuùc xaéc caân ñoái. Neáu thaáy xuaát hieän maët 1
chaám thì ta choïn hoäp I; neáu xuaát hieän maët 2 hoaëc 3 chaám thì choïn hoäp II,
coøn xuaát hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choïn laáy
ngaãu nhieân ra 4 vieân phaán. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít nhaát 2 vieân toát.
Lôøi giaûi
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc ít nhaát 2 vieân phaán toát.
A
j
(j =1,2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp thöù j. Khi ñoù A
1
, A
2
, A
3
laø
heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
- A
1
xaûy ra khi vaø chæ khi thaûy con xuùc xaéc, xuaát hieän maët 1 chaám, do
ñoù P(A
1
) = 1/6.
- Töông töï, P(A
2
) = 2/6; P(A
3
) = 3/6.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A) = P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
).
Töø giaû thieát ta coù:
P(A/A
) =
C
15
2
C
5
2
+
C
15
3
C
1
5
+
C
15
4
C
5
0
=
4690
;
C
4
C
4
C
4
4845
1
20 20 20
P(A/A
) =
C
10
2
C
4
2
+
C
10
3
C
1
4
+
C
10
4
C
4
0
=
960
;
C
4
C
4
C
4
1001
2
14 14
14
P(A/A
) =
C
20
2
C
10
2
+
C
20
3
C
10
1
+
C
20
4
C
10
0
=
24795
.
C
4
C
4
C
4
3
27405
30 30 30
Suy ra P(A) =0,9334.
Baøi 1.15: Coù hai kieän haøng I vaø II. Kieän thöù nhaát chöùa 10 saûn phaåm,
trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A. Kieän thöù hai chöùa 20 saûn phaåm, trong ñoù
coù 4 saûn phaåm loaïi A. Laáy töø moãi kieän 2 saûn phaåm. Sau ñoù, trong 4 saûn
phaåm thu ñöôïc choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 2
saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A.
Lôøi giaûi
18
CuuDuongThanCong.com
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com)
https://fb.com/tailieudientucntt
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
lOMoARcPSD|44744371
Goïi C laø bieán coá trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn
phaåm loaïi A.
A
j
(j = 0, 1, 2, 3, 4 ) laø bieán coá coù j saûn phaåm loïai A vaø (4-j) saûn
phaåm loïai B coù trong 4 saûn phaåm laáy töø hai kieän I vaø II. Khi ñoù A
0
, A
1
,
A
2
, A
3
, A
4
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc
xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(C) = P(A
0
)P(C/A
0
) + P(A
1
)P(C/A
1
) + P(A
2
)P(C/A
2
) + P(A
3
)P(C/A
3
) +
P(A
4
)P(C/A
4
).
Ta coù:
P(C/A
0
) = 0;
C
1
C
1 =
3
P(C/A1) =
1
2
3
6
C
4
C
1
C
1
=
4
P(C/A
2
) =
2 2
C
2
4
6
C
1
C
1 =
3
P(C/A
3
) =
3 1
C
2
4
6
P(C/A
4
) =0.
Baây giôø ta tính P(A
1
); P(A
2
); P(A
3
).
Goïi B
i
, C
i
(i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i sp A vaø (2 - i) sp
B coù trong 2 sp ñöôïc choïn ra töø kieän I, kieän II. Khi ñoù
- B
0
, B
1
, B
2
xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(B
0
) =
C
0
8C
2
2
2
=
1
;
C10
45
P(B
1
) =
C
1
8C
2
1
2
=
16
;
C10
45
P(B
2
) =
C
2
8C
2
0
2
=
28
.
C10
45
- C
0
, C
1
, C
2
xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
19
P(C
0
) =
C
0
4C
2
16
2
=
120
;
C20
190
P(C
1
) =
C
1
4C
2
16
1
=
64
;
C20
190
P(C
2
) =
C
2
4C
2
16
0
=
6
;
C20
190
- B
i
vaø C
j
ñoäc laäp.
- Toång soá sp A coù trong 4 sp choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá B
i
vaø C
j
theo baûng sau:
C
0
C1 C2
B
0
0 1 2
B
1
1 2 3
B
2
2 3 4
Ta coù:
A
1
= B
0
C
1
+ B
1
C
0
.
A
2
= B
0
C
2
+ B
1
C
1
+ B
2
C
0
.
A
3
= B
1
C
2
+ B
2
C
1
.
Töø ñaây, nhôø caùc coâng thöcù coäng vaø nhaân xaùc suaát ta tính ñöôïc:
P(A
1
) = 0,2320 ; P(A
2
) = 0,5135 ; P(A
3
) = 0,2208 .
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(C) = 0,5687.
Baøi 1.16: Moät xaï thuû baén 10 vieân ñaïn vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát
ñeå 1 vieân ñaïn baén ra truùng muïc tieâu laø 0,8 . Bieát raèng: Neáu coù 10
vieân truùng thì muïc tieâu chaéc chaén bò dieät. Neáu coù töø 2 ñeán 9 vieân
truùng thì muïc tieâu bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù 1 vieân truùng thì
muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc suaát 20%.
a) Tính xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät.
b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tính xaùc suaát coù 10 vieân truùng.
Lôøi giaûi
Toùm taét:
- Soá vieân baén ra: 10 vieân.
- Xaùc suaát truùng cuûa moãi vieân: 0,8.
20
lOMoARcPSD|44744371
Soá vieân truùng 1 2-9 10
Xaùc suaát muïc tieâu bò dieät
20% 80% 100%
a) Goïi A laø bieán coá muïc tieâu bò dieät.
A
0
, A
1
, A
2
, A
3
laàn löôït laø caùc bieán coá coù 0; 1; 2-9; 10 vieân truùng.
Khi ñoù, A
0
, A
1
, A
2
, A
3
laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø giaû
thieát cho ta:
P(A/A
0
) = 0; P(A/A
1
) = 20% = 0,2;
P(A/A
2
) = 80%= 0,8; P(A/A
3
) = 100% = 1.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A) = P(A
0
)P(A/A
0
) + P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
).
Theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta coù
P(A
0
) = q
10
= (0, 2)
10
;
P(A
1
) = C
1
10
pq
9
= 10(0, 8)(0, 2)
9
;
P(A
3
) = p
10
= (0, 8)
10
;
P(A
2
) =1 −P(A
0
) −P(A
1
) −P(A
3
) =1− (0,2)
10
−10(0,8)(0,2)
9
− (0,8)
10
.
Suy ra P(A) = 0,8215.
b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc
suaát coù 10 vieân truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù
ñieàu kieän P(A
3
/A).
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù:
P(A
3
/A)=
P(A
3
)P(A / A
3
)
P(A)
Töø ñaây ta tính ñöôïc P(A
3
/A) = 0,1307.
Baøi 1.17: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø
60%. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%.
Cho maùy saûn xuaát 2 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm.
a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn
xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøng.
b) Giaû söû trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù 2 saûn phaåm loaïi A. Tính xaùc
suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát.
21
Lôøi giaûi
Goïi A
j
(j = 0, 1, 2) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (2-j) saûn
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn xuaát.
Goïi B
j
(j = 0, 1, 2, 3) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (3-j) saûn
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 3 saûn phaåm laáy töø loâ haøng.
Khi ñoù
- A
0
, A
1
, A
2
xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 2; p
= 0,6; q = 0,4 ta coù:
P(A
0
) = C
0
2
p
0
q
2
= (0, 4)
2
= 0,16;
P(A
1
) = C
1
2
p
1
q
1
= 2(0, 6)(0, 4) = 0, 48;
P(A
2
) = C
2
2
p
2
q
0
= (0, 6)
2
= 0, 36.
- B
0
, B
1
, B
2
, B
3
xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc tính xaùc suaát
löïa choïn vôùi N = 10, N
A
= 6, n= 3 ta coù (vì loâ haøng goàm 10 saûn phaåm
vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%, nghóa laø loâ haøng goàm 6 saûn
phaåm loaïi A vaø 4 saûn phaåm khoâng thuoäc loaïi A):
P(B
0
) =
C
0
6C
3
3
4
=
4
;
C10
120
P(B
1
) =
C
1
6C
3
2
4
=
36
;
C10
120
P(B
2
) =
C
2
6C
3
1
4
=
60
;
C10
120
P(B
3
) =
C
3
6C
3
0
4
=
20
.
C10
120
- A
i
vaø B
j
ñoäc laäp.
a) Goïi C laø bieán coá soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy
saûn xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc laáy ra
töø loâ haøng. Ta coù:
C = A
0
B
0
+ A
1
B
1
+ A
2
B
2
.
Töø ñaây, do tính xung khaéc vaø ñoäc laäp, caùc coâng thöùc coäng vaø
nhaân xaùc suaát cho ta:
P(C) = P(A
0
)P(B
0
)+ P(A
1
)P(B
1
)+ P(A
2
)P(B
2
) = 0,3293.
22
lOMoARcPSD|44744371
b) Goïi D laø bieán coá coù 2 saûn phaåm loaïi A trong 5 saûn phaåm coù ñöôïc.
Giaû söû trong 5 saûn phaåm treân coù 2 saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá
D ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy
saûn xuaát chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A
2
/D).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát ta coù:
P(A
2
/D) =
P(A
2
D)
.
P(D)
Nhaän xeùt raèng toång soá saûn phaåm loaïi A coù trong 5 saûn phaåm thu
ñöôïc phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá A
i
vaø B
j
theo baûng sau:
B0 B1 B2 B3
A0 0 1 2 3
A
1
1 2 3 4
A
2
2 3 4 5
Suy ra
D = A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
vaø
A
2
D = A
2
B
0
.
Töø ñaây, ta tính ñöôïc P(D) = 0,236 ; P(A
2
D) = 0,012. Suy ra xaùc suaát caàn
tìm laø
P(A
2
/D) = 0,0508.
Baøi 1.18: Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 60% saûn phaåm toát, trong ñoù
loâ I chöùa 15 saûn phaåm, loâ II chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Töø loâ II laáy
ra 3 saûn phaåm boû vaøo loâ I, sau ñoù töø loâ I laáy ra 2 saûn phaåm.
a) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I.
b) Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát
coù trong loâ I töø tröôùc.
c) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Tính xaùc suaát ñaõ
laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II.
Lôøi giaûi
Goïi A
j
(j = 0,1, 2, 3) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (3-j) saûn phaåm
xaáu coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ II. Khi ñoù A
0
, A
1
, A
2
, A
3
laø
moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù:
P(A
0
) = C
0
3
p
0
q
3
= (0, 4)
3
= 0, 064;
P(A
1
) = C
1
3
p
1
q
2
= 3(0, 6)
1
(0, 4)
2
= 0, 288;
P(A
2
) = C
2
3
p
2
q
1
= 3(0, 6)
2
(0, 4)
1
= 0, 432;
P(A
3
) = C
3
3
p
3
q
0
= (0, 6)
3
= 0, 216.
23
a) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø
loâ I. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A) = P(A
0
)P(A/A
0
) + P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
).
Töø giaû thieát ta suy ra trong loâ I coù 15.60% = 9 sp toát vaø 6 sp xaáu. Do
ñoù theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
P(A/A
) =
C
1
9
C
1
9
=
81
;
C
2
153
0
18
=
C
1
C
1
=
80
P(A/A1)
10 8
;
C
18
2
153
=
C
1
C
1
=
77
P(A/A2)
11 7
;
C
18
2
153
=
C
1
C
1
=
72
P(A/A )
12
2
6
.
3
C
18
153
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(A) = 0,5035
b) Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát
coù trong loâ I töø tröôùc. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(B) = P(A
0
)P(B/A
0
) + P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/A
2
) + P(A
3
)P(B/A
3
).
Ta coù:
P(B/A
) =
C
1
9
C
1
9
=
81
;
C
2
153
0
18
P(B/A
) =
C
1
9
C
1
8
=
72
;
C
2
153
1
18
P(B/A
) =
C
1
9
C
1
7
=
63
;
C
2
153
2
18
P(B/A
) =
C
1
9
C
1
6
=
54
.
C
2
3
153
18
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(B) = 0,4235.
c) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra.
Do ñoù xaùc suaát ñaõ laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II trong tröôøng hôïp
naøy chính laø XS coù ñieàu kieän P(A
2
/A). Theo coâng thöùc Bayes, ta coù:
24
lOMoARcPSD|44744371
0, 432.
77
P(A
2
)P(A / A
2
)
=
P(A
2
/A)=
153
= 0, 4318.
P(A) 0,5035
--------------
*
-------------
25
| 1/20
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|44744371 lOMoARcPSD|44744371
Vì caùc bieán coá A1 A 2 A 3 , A 1 A 2 A
3 , A 1 A 2 A3 xung khaéc töøng ñoâi,
neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù
P(A) = P(A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3) BAØI GIAÛI
= P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3)
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Vì caùc bieán coá A1, A2, A3 ñoäc laäp
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi – 2009)
neân theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù CHÖÔNG 1 1
NHÖÕNG ÑÒNH LYÙ CÔ BAÛN TRONG
LYÙ THUYEÁT XAÙC SUAÁT
Baøi 1.1: Coù ba khaåu suùng I, II vaø III baén ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu.
Moãi khaåu baén 1 vieân. Xaùc suaát baén truùng muïc tieâu cuaû ba khaåu I, II
vaø III laàn löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tính xaùc suaát ñeå
a) coù 1 khaåu baén truùng.
b) coù 2 khaåu baén truùng.
c) coù 3 khaåu baén truùng.
d) ít nhaát 1 khaåu baén truùng.
e) khaåu thöù 2 baén truùng bieát raèng coù 2 khaåu truùng. Lôøi giaûi Toùm taét: Khaåu suùng I I ù III Xaùc suaát truùng 0,7 0,8 0,5
Goïi Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá khaåu thöù j baén truùng. Khi ñoù A1, A2, A3
ñoäc laäp vaø giaû thieát cho ta:
P(A1) = 0,7; P(A1) = 0, 3;
P(A2) = 0, 8; P(A2 ) = 0, 2;
P(A3) = 0,5; P(A3) = 0,5.
a) Goïi A laø bieán coá coù 1 khaåu truùng. Ta coù
A = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Theo coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù: P(A2B) = P(B)P(A2/B) Suy ra P(A B) P(A 2/B) = 2 . P(B)
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,7.0, 2.0,5 = 0, 07;
P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 3.0, 8.0,5 = 0,12;
Maø A2 B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 neân lyù luaän töông töï nhö treân ta P(A ñöôïc P(A2B)=0,4
1A2A3) = P(A1)P(A23)P(A3) = 0, 3.0, 2.0,5 = 0, 03. Suy ra P(A Suy ra P(A) = 0,22. 2/B) =0,851.
b) Goïi B laø bieán coá coù 2 khaåu truùng. Ta coù
Baøi 1.2: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 10 bi, trong ñoù hoäp I goàm 9
B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
bi ñoû, 1 bi traéng; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(B) = 0,47. moãi hoäp 2 bi.
c) Goïi C laø bieán coá coù 3 khaåu truùng. Ta coù
A) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû. C = A1A2A3.
B) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng.
Tính toaùn töông töï caâu a) ta ñöôïc P(C) = 0,28.
C) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
d) Goïi D laø bieán coá coù ít nhaát 1 khaåu truùng. Ta coù
D) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi D=A+B+C.
traéng coù ñöôïc cuûa hoäp I.
Chuù yù raèng do A, B, C xung khaéc töøng ñoâi, neân theo coâng thöùc Coäng xaùc suaát ta coù:
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28 = 0,97.
e) Gæa söû coù 2 khaåu truùng. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát
ñeå khaåu thöù 2 truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/B). 2 lOMoARcPSD|44744371 Lôøi giaûi B = A0B2 + A1B1 + A2B0
Do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá A0B2 , A1B1 , A2B0,
Goïi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi ñoû vaø (2 - i) bi
coâng thöùc Coäng xaùc suaát cho ta:
traéng coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II.
P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0) Khi ñoù
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta:
- A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
P(B) = P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133. P(A0) = 0;
c) Goïi C laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Ta coù: P(A 1 1) = C 1 9C2 1 = 9 ; C = A1B2 + A2B1. C 45 10
Lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P(C) = P(A P(A 0
1)P(B2 ) + P(A2)P(B1) = 0,4933. 2) = C29C21 = 36 . C 45 10
d) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá C ñaõ
- B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng coù ñöôïc thuoäc hoäp I trong tröôøng
hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/C). Theo Coâng thöùc P(B 2 0) = C06C2 4 = 6 ; nhaân xaùc suaát , ta coù C 45 P(A1C) = P(C)P(A1/C) . 10 Suy ra P(B 1 1) = C16C2 4 = 24 ; P(A C) P(A 1 . C 45 1/C) = 10 P(C) P(B 0 Maø A1C = A1B2 neân 2) = C26C2 4 = 15 . C 45 10 9 - A P(A . 15 i vaø Bj ñoäc laäp.
1C) = P(A1B2) = P(A1)P(B2) = 45 45 = 0, 0667.
- Toång soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Ai vaø
Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø: P(A1/C) = 0,1352. Bj theo baûng sau: B0 B1 B2
Baøi 1.3: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm goàm 6 saûn phaåm toát A0 0 1 2
vaø 4 saûn phaåm xaáu. Khaùch haøng kieåm tra baèng caùch laáy ra töøng A1 1 2 3
saûn phaåm cho ñeán khi naøo ñöôïc 3 saûn phaåm toát thì döøng laïi. A2 2 3 4
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3.
b) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4.
a) Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 4 bi ñoû. Ta coù:
b) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Tính xaùc A= A2B2.
suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng gaëp saûn phaåm xaáu.
Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta: Lôøi giaûi
P(A) = P(A2)P(B2) = 3645 . 1545 = 0, 2667.
Goïi Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc saûn phaåm toát, xaáu ôû laàn kieåm tra thöù i.
a) Goïi A laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 3. Ta coù:
b) Goïi B laø bieán coá choïn ñöôïc 2 bi ñoû vaø 2 bi traéng. Ta coù: 3 4 P lOMoARcPSD|44744371 A = T1T2T3. Lôøi giaûi Suy ra
P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2)
Goïi Di, Ti, Xi laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc bi ñoû, bi traéng, bi = (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.
xanh ôû laàn ruùt thöù i.
b) Goïi B laø bieán coá khaùch haøng döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Ta coù:
a) Goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû. Ta coù:
B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 .
T−T−X−D − − −
A xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc T X T D Suy ra
P(B) = P(X1T2T3T4 ) + P(T1X2T3T4 ) + P(T1T2X3T4 ) = P(X Suy ra
1) P(T2/X1) P(T3/X1T2) P(T4/X1T2T3) + P(T
A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4
1) P(X2/T1) P(T3/T1X2) P(T4/T1X2T3) + P(T
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
P(A) = P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 )
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù
P(T1T2X3D4) = P(T1)P(T2/T1)P(X3/T1T2)P(D4/T1T2X3)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;
c) Giaû söû khaùch haøng ñaõ döøng laïi ôû laàn kieåm tra thöù 4. Khi ñoù bieán
coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå ôû laàn kieåm tra thöù 3 khaùch haøng
gaëp saûn phaåm xaáu trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu
P(T1X2T3D4) = P(T1)P(X2/T1)P(T3/T1X2)P(D4/T1X2T3) kieän P(X
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66; 3/B).
Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát , ta coù P(X
P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3) 3B) = P(B)P(X3/B) .
= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66. Suy ra P(X B) P(X 3/B) = 3 .
Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455. P(B) Maø X3B = T1T2X3T4 neân
b) Goïi B laø bieán coá khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra. Ta coù:
P(X3B) = P(T1T2X3T4 ) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/ T1T2 X3)
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952. D X − D Suy ra P(X
B xaûy ra ⇔ Ruùt ñöôïc 3/B) = 0,3333. X−X−D
Baøi 1.4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 3 bi xanh coù cuøng côõ.
X−X−X−D
Töø hoäp ta ruùt ngaãu nhieân khoâng hoøan laïi töøng bi moät cho ñeán khi
ñöôïc bi ñoû thì döøng laïi. Tính xaùc suaát ñeå Suy ra
a) ñöôïc 2 bi traéng, 1 bi xanh vaø 1 bi ñoû.
B = D1 + X1D2 + X1X2D3+ X1X2X3 D4
b) khoâng coù bi traéng naøo ñöôïc ruùt ra.
Töø ñaây, do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa caùc bieán coá thaønh phaàn, ta coù:
P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4)
Theo Coâng thöùc Nhaân xaùc suaát, ta coù 5 6 lOMoARcPSD|44744371
P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2)
Suy ra P(B) = 0,66 = 66%. Vaäy tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát laø 66%.
+ P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3)
= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ
mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng do = 5/9
phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát?
Baøi 1.5: Saûn phaåm X baùn ra ôû thò tröôøng do moät nhaø maùy goàm ba phaân
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù, ñeå
xöôûng I, II vaø III saûn xuaát, trong ñoù phaân xöôûng I chieám 30%; phaân xöôûng
bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu
II chieám 45% vaø phaân xöôûng III chieám 25%. Tæ leä saûn phaåm loaïi A do ba
nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/B), P(A2/B) vaø P(A3/B). Neáu
phaân xöôûng I, II vaø III saûn xuaát laàn löôït laø 70%, 50% vaø 90%.
P(Ai/B) laø lôùn nhaát thì saûn phaåm aáy coù khaû naêng do phaân xöôûng thöù i saûn
a) Tính tæ leä saûn phaåm loïai A noùi chung do nhaø maùy saûn xuaát.
xuaát ra laø nhieàu nhaát. Theo coâng thöùc Bayes ta coù:
b) Choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm X ôû thò tröôøng. Giaû söû ñaõ
mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, saûn phaåm aáy coù khaû naêng P(A /B)
= P(A1 )P(B/A1 ) = 0, 3.0,7 = 21 ; 1
do phaân xöôûng naøo saûn xuaát ra nhieàu nhaát? P(B) 0, 66 66
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm P(A /B)
= P(A2 )P(B/A2 ) = 0, 45.0,5 = 22,5 ; X) ôû thò tröôøng. 2 P(B) 0, 66 66
1) Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A.
2) Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A. P(A /B)
= P(A3)P(B/A3) =0, 25.0, 9 =22,5 . 3 P(B) 0, 66 66 Lôøi giaûi
Vì P(A2/B) = P(A3/B) > P(A1/B) neân saûn phaåm loaïi A aáy coù khaû naêng do
phaân xöôûng II hoaëc III saûn xuaát ra laø nhieàu nhaát. Toùm taét: Phaân xöôûng I II III
c) Choïn mua ngaãu nhieân 121 saûn phaåm X (trong raát nhieàu saûn phaåm Tæ leä saûn löôïng 30% 45% 25% X) ôû thò tröôøng. Tæ leä loaïi A 70% 50% 90% 1)
Tính xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A. 2)
Tính xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A.
a) Ñeå tính tæ leä saûn phaåm loaïi A noùi chung do nhaø maùy saûn
xuaát ta choïn mua ngaãu nhieân moät saûn phaåm ôû thò tröôøng. Khi ñoù tæ
Aùp duïng coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 121, p = 0,66, ta coù:
leä saûn phaåm loaïi A chính laø xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù thuoäc loaïi A.
1) Xaùc suaát ñeå coù 80 saûn phaåm loaïi A laø
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm do phaân xöôûng I, II, III saûn P 80 80
121 (80) = C121 p 80 q 41 = C121 (0, 66) 80 (0, 34) 41 = 0, 076.
xuaát. Khi ñoù A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
P(A1) = 30% = 0,3; P(A2) = 45% = 0,45; P(A3) = 25% = 0,25.
2) Xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeán 85 saûn phaåm loaïi A laø
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) 85 85 85 ∑ P k k
121 (k) = ∑ C121 p k q 121 − k = ∑ C121 (0, 66) k (0, 34)121 −k = 0, 3925. Theo giaû thieát, k = 80 k = 80 k =80
P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5; P(B/A3) = 90% = 0,9. 7 8 lOMoARcPSD|44744371
Baøi 1.6: Coù ba cöûa haøng I, II vaø III cuøng kinh doanh saûn phaåm Y. Tæ
P(A2/B) vaø P(A3/B). Neáu P(Ai/B) laø lôùn nhaát thì cöûa haøng thöù i coù
leä saûn phaåm loaïi A trong ba cöûa haøng I, II vaø III laàn löôït laø 70%, 75%
nhieàu khaû naêng ñöôïc choïn nhaát.
vaø 50%. Moät khaùch haøng choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù
Theo coâng thöùc Bayes ta coù: mua moät saûn phaåm
A) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. P(A /B)
= P(A1)P(B/A1) = (1 / 3).0,7 = 70 ; 1
B) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng P(B) 0, 65 195
ngöôøi khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát? P(A /B)
= P(A2)P(B/A2 ) = (1 / 3).0,75 = 75 ; 2 P(B) 0, 65 195 Lôøi giaûi P(A /B)
= P(A3)P(B/A3) = (1 / 3).0,5 = 50 . 3 P(B) 0, 65 195 Toùm taét: Cöûa haøng I II III Vì P(A Tæ leä loaïi A 70% 75% 50%
2/B) > P(A1/B) > P(A3/B) neân cöûa haøng II coù nhieàu khaû naêng ñöôïc choïn nhaát.
Choïn nhaãu nhieân moät cöûa haøng vaø töø ñoù mua moät saûn phaåm.
Baøi 1.7: Coù hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 12 bi, trong ñoù hoäp I goàm 8 bi
ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 5 bi ñoû, 7 bi traéng. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp I ba
a) Tính xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A.
bi roài boû sang hoäp II; sau ñoù laáy ngaãu nhieân töø hoäp II boán bi.
A) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II.
Goïi B laø bieán coá saûn phaåm choïn mua thuoäc loaïi A.
B) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn cöûa haøng I, II, III. Khi ñoù A1, A2,
suaát ñeå trong ba bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù hai bi ñoû vaø moät bi traéng.
A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø Lôøi giaûi P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II.
P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/ A2)+ P(A3)P(B/A3) A Theo giaû thieát,
i (i = 0, 1, 2, 3) laø bieán coá coù i bi ñoû vaø (3-i) bi traéng coù trong 3 bi choïn P(B/A
ra töø hoäp I. Khi ñoù A0, A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng 1) = 70% = 0,7; ñoâi vaø ta coù: P(B/A2) = 75% = 0,75; 3 P(B/A3 = 50% = 0,5. P(A0) = C08 C 3 4 = 4 ; C 220 12
Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vaäy xaùc suaát ñeå khaùch haøng mua ñöôïc saûn 2 phaåm loaïi A laø 65%. P(A1) = C18 C 3 4 = 48 ; C 220 12
b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Theo baïn, khaû naêng ngöôøi 1
khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng naøo laø nhieàu nhaát?
P(A2 ) = C28C3 4 = 112 ; C 220 12
Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá B ñaõ xaûy ra. Do ñoù, ñeå P(A 0 4 = 56 .
bieát saûn phaåm loaïi A ñoù coù khaû naêng khaùch haøng aáy ñaõ choïn cöûa haøng 3) = C38C3 220
naøo laø nhieàu nhaát ta caàn so saùnh caùc xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A C 1/B), 12
a) Tính xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. 9 10 lOMoARcPSD|44744371
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù: Lôøi giaûi
P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3)
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù
a) Goïi Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá laáy ñöôïc bi traéng töø hoäp thöù j. Khi ñoù P(A / A 3C 1 A1, A2, A3 ñoäc laäp vaø 0) = C5 4 10 = 100 ; C P(A 15 1365
1) = 15 ; P(A1) = 45 ; P(A / A 1 2 3
1) = C36C4 9 = 180 ;
P(A2) = 5 ; P(A2) = 5 ; C15 1365 3 2 P(A ; P(A . P(A / A 3C 1 3) = 5 3) = 5 2) = C7 4 8 = 280 ;
1) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi traéng. Ta coù C15 1365 A = A1A2A3. P(A / A 1
Suy ra P(A) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048.
3) = C38C4 7 = 392 . C15 1365
2) Goïi B laø bieán coá laáy 2 bi ñen, 1 bi traéng. Ta coù
B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A) = 0,2076. Suy ra P(B) =0,464 .
b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Tìm xaùc suaát
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng. Khi ñoù bieán coá B
ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng.
ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát
trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/B). Theo
Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø 1 bi traéng töø hoäp II. Khi ñoù bieán coá
coâng thöùc Nhaân xaùc suaát ta coù:
A ñaõ xaûy ra. Do doù xaùc suaát ñeå trong 3 bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù 2 bi P(A
ñoû vaø 1 bi traéng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu 1B) = P(B)P(A1/B) kieän P(A Suy ra
2/A). Aùp duïng coâng thöùc Bayes, ta coù: 112 280 P(A B) P(A 1/B) = 1 . P(A2)P(A/A2) . P(A /A) =
= 220 1365 = 0,5030. P(B) 2 P(A) 0, 2076
Maø A1B = A1 A2 A3 neân lyù luaän töông töï nhö treân ta ñöôïc P(A1B) = 0,048.
Vaäy xaùc suaát caàn tìm laø P(A2/A) = 0,5030. Suy ra P(A1/B) =0,1034 .
Baøi 1.8: Coù ba hoäp moãi hoäp ñöïng 5 vieân bi trong ñoù hoäp thöù nhaát
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
coù 1 bi traéng, 4 bi ñen; hoäp thöù hai coù 2 bi traéng, 3 bi ñen; hoäp thöù ba
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen. coù 3 bi traéng, 2 bi ñen.
a) Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp moät bi.
Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc caû 3 bi ñen.
1) Tính xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traéng.
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, II, III. Khi ñoù A1, A2,
2) Tính xaùc suaát ñöôïc 2 bi ñen, 1 bi traéng.
A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø
3) Giaû söû trong 3 vieân laáy ra coù ñuùng 1 bi traéng.Tính xaùc suaát ñeå P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3.
bi traéng ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
b) Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ngaãu nhieân ra 3 bi.
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/ A2)+ P(A3)P(A/A3)
Tính xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñen.
Theo coâng thöùc xaùc suaát löïa choïn, ta coù: 12 11 lOMoARcPSD|44744371
Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu C0C3 4 C0C3 1 a) ta coù P(A/A ) = 1 4 = ;P(A/A ) = 2 3 = ;P(A/A ) =0. 1 C3 10 2 C3 10 3 5 5 P(A/A) =
P(A1)P(A/A1) = (10/20).0,375 = 0,4630. Suy ra P(A) = 0,1667. 1 P(A) 0,4050
Baøi 1.9: Coù 20 hoäp saûn phaåm cuøng loïai, moãi hoäp chöùa raát
Baøi 1.10: Coù 10 sinh vieân ñi thi, trong ñoù coù 3 thuoäc loaïi gioûi, 4 khaù
nhieàu saûn phaåm, trong ñoù coù 10 hoäp cuûa xí nghieäp I, 6 hoäp cuûa
vaø 3 trung bình. Trong soá 20 caâu hoûi thi qui ñònh thì sinh vieân loïai gioûi
xí nghieäp II vaø 4 hoäp cuûa xí nghieäp III. Tæ leä saûn phaåm toát cuûa
traû lôøi ñöôïc taát caû, sinh vieân khaù traû lôøi ñöôïc 16 caâu coøn sinh vieân
caùc xí nghieäp laàn löôït laø 50%, 65% vaø 75%. Laáy ngaãu nhieân ra
trung bình ñöôïc 10 caâu. Goïi ngaãu nhieân moät sinh vieân vaø phaùt moät
moät hoäp vaø choïn ngaãu nhieân ra 3 saûn phaåm töø hoäp ñoù.
phieáu thi goàm 4 caâu hoûi thì anh ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tính xaùc
suaát ñeå sinh vieân ñoù thuoäc loaïi khaù.
a) Tính xaùc suaát ñeå trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát. Lôøi giaûi
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm Toùm taét:
toát. Tính xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa xí nghieäp I. Xeáp loaïi sinh vieân Gioûi Khaù Trung bình Lôøi giaûi Soá löôïng 3 4 3
Soá caâu traû lôøi ñöôïc/20 20 16 10
Goïi A laø bieán coá trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaåm toát.
Aj (j = 1, 2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp cuûa xí nghieäp thöù j.
Goïi A laø bieán coá sinh vieân traû lôøi ñöôïc caû 3 caâu hoûi.
Khi ñoù A1, A2, A3 laø moät ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 1
A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân thuoäc loaïi Gioûi, Khaù; P(A 10 Trung bình. 1) = C1 = 10 ; C 20 20 1
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/A). P(A 6 2) = C1 = 6 ; C 20
Caùc bieán coá A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi, vaø ta coù: 20 1
P(A1) = 3/10; P(A2) = 4/10; P(A3) = 3/10. P(A 4 3) = C1 = 4 .
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù C 20 P(A )P(A/A ) 20 P(A 2/A) = 2 2 .
Maët khaùc, töø giaû thieát, theo coâng thöùc Bernoulli, ta coù P(A) P(A / A 2
1) = C3 (0,5)2 (1 − 0,5) = 0,375
Maët khaùc, theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P(A / A P(A) = P(A
2 ) = C23 (0,65)2 (1 − 0,65) = 0,443625
1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
Theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
P(A / A3) = C23 (0,75)2 (1 − 0,25) = 0,421875 4
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
P(A/A ) = C20 = 1; C4 1
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3) 20
= (10/20).0,375 + (6/20). 0,443625 + (4/20). 0,421875 = 0,4050. C4 C0 1820 P(A/A ) = 16 4 = ;
b) Giaû söû trong 3 saûn phaåm choïn ra coù ñuùng 2 saûn phaååm toát. Khi ñoù, 2 C4 4845 20
bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm toát ñoù cuûa =C4C0 = 210 P(A/A ) 10 10 .
xí nghieäp I chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). 3 C420 4845 13 14 lOMoARcPSD|44744371 Suy ra P(A2/A) = 0,3243. - Bi vaø Cj ñoäc laäp.
Baøi 1.11: Coù hai hoäp I vaø II, trong ñoù hoäp I chöùa 10 bi traéng vaø 8 bi
ñen; hoäp II chöùa 8 bi traéng vaø 6 bi ñen. Töø moãi hoäp ruùt ngaãu nhieân 2
- Toång soá bi traéng coù trong 4 bi choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Bi
bi boû ñi, sau ñoù boû taát caû caùc bi coøn laïi cuûa hai hoäp vaøo hoäp III vaø Cj theo baûng sau:
(roãng). Laáy ngaãu nhieân 2 bi töø hoäp III. Tính xaùc suaát ñeå trong 2 bi laáy
töø hoäp III coù 1 traéng, 1 ñen. C0 C1 C2 B0 0 1 2 Lôøi giaûi B1 1 2 3 B2 2 3 4
Goïi A laø bieán coá bi laáy ñöôïc 1 traéng, 1 ñen.
Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4) laø bieán coá coù j bi traéng vaø (4-j) bi ñen coù trong 4 bi A0 = B0C0
⇒ P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663.
boû ñi (töø caû hai hoäp I vaø II). Khi ñoù A0, A1, A2 , A3, A4 laø moät heä ñaày A1 = B0C1 + B1C0
⇒ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641.
ñuû, xung khaéc töøng ñoâi.
A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 ⇒ P(A2) = P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B2)P(C0)
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù =757/1989.
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) + A3 = B1C2 + B2C1
⇒ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923. P(A4)P(A/A4). A4 = B2C2
⇒ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221. trong ñoù 1 1 C C =10 P(A/A0 ) =
Töø ñoù suy ra P(A) = 0,5080. 18 10
(Vì khi A0 ñaõ xaûy ra thì trong hoäp III coù 28 bi goàm C228 21 18 traéng , 10 ñen). Töông töï,
Baøi 1.12: Coù hai hoäp cuøng côõ. Hoäp thöù nhaát chöùa 4 bi traéng 6 bi 1 1 1 P(A/A ) = C17 C11 = 187 ;P(A/A ) = C116C12 = 32
xanh, hoäp thöù hai chöùa 5 bi traéng vaø 7 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân moät ; 1 C2 378 2 C2 63
hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ra 2 bi thì ñöôïc 2 bi traéng. Tính xaùc suaát ñeå 28 28 1 1 1
vieân bi tieáp theo cuõng laáy töø hoäp treân ra laïi laø bi traéng. P(A/A ) = C15 C13 = 65 ;P(A/A ) = C14 C114 = 14 . 3 C2 126 4 C2 27 28 28 Lôøi giaûi
Baây giôø ta tính P(A0); P(A1); P(A2); P(A3); P(A4).
Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i bi traéng vaø (2 - i) bi
ñen coù trong 2 bi ñöôïc choïn ra töø hoäp I, hoäp II. Khi ñoù
Goïi A1 laø bieán coá 2 bi laáy ñaàu tieân laø bi traéng.
A2 laø bieán coá bi laáy laàn sau laø bi traéng.
- B0, B1, B2 xung khaéc vaø ta coù:
Baøi toùan yeâu caàu tính P(A2/A1).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát, ta coù P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1). Suy ra 0 2 1 2 0 P(A A ) P(B ) = C C C1 C 10 8 = 28 ;P(B)= C10
8 = 80 ; P(B ) = C10 8 = 5 . P(A 2 / A1) = 1 2 . 0 2 2 153 1 153 2 2 17 C C C 18 18 18 P(A1 )
Baây giôø ta tính caùc xaùc suaát P(A - C 1) vaø P(A1A2).
0, C1, C2 xung khaéc vaø ta coù:
Goïi B1, B2 laàn löôït laø caùc bieán coá choïn ñöôïc hoäp I, hoäp II. Khi ñoù B1, B 0 2 2 0
2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: P(B1) = P(B2) = P(C ) =C C C1 C 8 6
= 15 ;P(C ) = C18 6 = 48 ; P(C ) = C8 6 = 28 .
0,5. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù 0 2 1 2 2 2 C 14 91 C 14 91 C14 91
P(A1) = P(B1) P(A1/ B1) + P(B2) P(A1/ B2) 15 16 lOMoARcPSD|44744371 Maø a a −1
a + b .a + b −1 a −1 P(A 0 P(A =
1 / B1) = C24C2 6 = 6 ; 1 /A)= a . a −1 + b . a . a + b −1 C 45
a + b a + b − 1 a + b a + b −1 10 P(A 2C 0 1 / B2) = C5 27 = 10 .
Baøi 1.14: Coù 3 hoäp phaán, trong ñoù hoäp I chöùa 15 vieân toát vaø 5 vieân xaáu, C 66
hoäp II chöùa 10 vieân toát vaø 4 vieân xaáu, hoäp III chöùa 20 vieân toát vaø 10 12 neân P(A
vieân xaáu. Ta gieo moät con xuùc xaéc caân ñoái. Neáu thaáy xuaát hieän maët 1 1) = 47/330.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù
chaám thì ta choïn hoäp I; neáu xuaát hieän maët 2 hoaëc 3 chaám thì choïn hoäp II,
P(A1A2) = P(B1) P(A1A2/ B1) + P(B2) P(A1A2/ B2).
coøn xuaát hieän caùc maët coøn laïi thì choïn hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choïn laáy Maø
ngaãu nhieân ra 4 vieân phaán. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít nhaát 2 vieân toát. 6 2 1
P(A1A2 / B1) = P(A1 / B1)P(A2 / A1B1) = 45 8 = 30 ; Lôøi giaûi = =103=1
P(A A / B ) P(A / B )P(A / A B )
Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc ít nhaát 2 vieân phaán toát. 1 2 2 1 2 2 1 2 66 10 22 . neân P(A A
1A2) = 13/330. Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(A2/A1) =13/47= 0,2766.
j (j =1,2, 3) laø bieán coá choïn ñöôïc hoäp thöù j. Khi ñoù A1, A2, A3 laø
heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù:
Baøi 1.13: Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc -
A1 xaûy ra khi vaø chæ khi thaûy con xuùc xaéc, xuaát hieän maët 1 chaám, do
ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1 ñoù P(A1) = 1/6.
saûn phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 1 saûn phaåm thì thaáy ñoù laø saûn phaåm loaïi - Töông töï, P(A2) = 2/6; P(A3) = 3/6.
I. Tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm thaát laïc cuõng thuoäc loaïi I.
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù Lôøi giaûi
P(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3). Töø giaû thieát ta coù: 2 2 3 4 0
Goïi A laø bieán coá saûn phaåm ñöôïc choïn ra thuoäc loïai I.
P(A/A ) = C15 C5 + C15 C15 + C15 C5 = 4690 ; A 1 C 4 C 4 C 4 4845
1, A2 laàn löôït laø caùc bieán coá saûn phaåm thaát laïc thuoäc loaïi I, loaïi II. 20 20 20
Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). P(A/A ) = C 2 2 3 4 0 10 C4
+ C10 C14 + C10 C4 = 960 ;
Ta thaáy A1, A2 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø 2 C 4 C 4 C 4 1001 C1C0 a C0C1 b 14 14 14 P(A1 ) = a b 3 1 1 = ; P(A2) = a b 1 = . 2 2 C 4 0 C C
P(A/A ) = C20 C10 + C20 10 + C20 C10 = 24795 . a + b a + b a +b a + b C 4 C 4 C 4 3 27405
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù 30 30 30 P(A /A)= P(A1 )P(A / A1) = P(A1 )P(A / A1 ) 1 P(A) P(A Suy ra P(A) =0,9334.
1)P(A / A1 ) + P(A2 )P(A / A2 ) Maø
Baøi 1.15: Coù hai kieän haøng I vaø II. Kieän thöù nhaát chöùa 10 saûn phaåm, a − 1 a
trong ñoù coù 8 saûn phaåm loaïi A. Kieän thöù hai chöùa 20 saûn phaåm, trong ñoù
P(A / A1) = C1a − 1 C 0b 1 =
; P(A/A 2 ) = C1a C0b −1 1 = . C C
coù 4 saûn phaåm loaïi A. Laáy töø moãi kieän 2 saûn phaåm. Sau ñoù, trong 4 saûn a + b −1 a + b − 1 a + b −1 a + b − 1 neân
phaåm thu ñöôïc choïn ngaãu nhieân 2 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 2
saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn phaåm loaïi A. Lôøi giaûi 17 18 CuuDuongThanCong.com
Downloaded by Ph?m Th? Huy?n (emtenhuyen70@gmail.com)
https://fb.com/tailieudientucntt
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com lOMoARcPSD|44744371 P(C 2 0 ) = C04C216 = 120 ;
Goïi C laø bieán coá trong 2 saûn phaåm choïn ra sau cuøng coù ñuùng 1 saûn C 190 phaåm loaïi A. 20
Aj (j = 0, 1, 2, 3, 4 ) laø bieán coá coù j saûn phaåm loïai A vaø (4-j) saûn P(C 1 1) = C14C216 = 64 ;
phaåm loïai B coù trong 4 saûn phaåm laáy töø hai kieän I vaø II. Khi ñoù A0, A1, C 190 20
A2, A3, A4 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc
xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù P(C 0 2 ) = C24C216 = 6 ; C 190 P(C) = P(A 20
0)P(C/A0) + P(A1)P(C/A1) + P(A2)P(C/A2) + P(A3)P(C/A3) + - Bi vaø Cj ñoäc laäp. P(A4)P(C/A4).
- Toång soá sp A coù trong 4 sp choïn ra phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá Bi Ta coù: vaø Cj theo baûng sau: P(C/A0) = 0; C1C1 = 3 C P(C/A 0 C1 C2 1) = 1 2 3 6 C B0 0 1 2 4 1 1 B1 1 2 3 C C = 4 P(C/A2) = 2 2 B2 2 3 4 C24 6 C1C1 = 3 Ta coù: P(C/A3) = 3 1 A C2 1 = B0C1 + B1C0 . 4 6 A2 = B0C2 + B1C1 + B2C0 . P(C/A4 ) =0. A3 = B1C2 + B2C1 .
Baây giôø ta tính P(A1); P(A2); P(A3).
Töø ñaây, nhôø caùc coâng thöcù coäng vaø nhaân xaùc suaát ta tính ñöôïc:
Goïi Bi , Ci (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i sp A vaø (2 - i) sp
B coù trong 2 sp ñöôïc choïn ra töø kieän I, kieän II. Khi ñoù P(A1) = 0,2320 ; P(A2) = 0,5135 ; P(A3) = 0,2208 .
- B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: P(B 2
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø P(C) = 0,5687.
0) = C08C2 2 = 1 ; C 45 10
Baøi 1.16: Moät xaï thuû baén 10 vieân ñaïn vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát P(B 1
1) = C18C2 2 = 16 ;
ñeå 1 vieân ñaïn baén ra truùng muïc tieâu laø 0,8 . Bieát raèng: Neáu coù 10 C 45
vieân truùng thì muïc tieâu chaéc chaén bò dieät. Neáu coù töø 2 ñeán 9 vieân 10
truùng thì muïc tieâu bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù 1 vieân truùng thì P(B 0
2) = C28C2 2 = 28 .
muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc suaát 20%. C 45
a) Tính xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät. 10 - C
b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tính xaùc suaát coù 10 vieân truùng.
0, C1, C2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: Lôøi giaûi Toùm taét:
- Soá vieân baén ra: 10 vieân.
- Xaùc suaát truùng cuûa moãi vieân: 0,8. 19 20 lOMoARcPSD|44744371 Lôøi giaûi Soá vieân truùng 1 2-9 10
Xaùc suaát muïc tieâu bò dieät 20% 80% 100%
Goïi Aj (j = 0, 1, 2) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (2-j) saûn
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn xuaát.
a) Goïi A laø bieán coá muïc tieâu bò dieät.
Goïi Bj (j = 0, 1, 2, 3) laø caùc bieán coá coù j saûn phaåm loaïi A vaø (3-j) saûn
A0, A1, A2, A3 laàn löôït laø caùc bieán coá coù 0; 1; 2-9; 10 vieân truùng.
phaåm khoâng thuoäc loaïi A coù trong 3 saûn phaåm laáy töø loâ haøng.
Khi ñoù, A0, A1, A2, A3 laø moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø giaû Khi ñoù thieát cho ta:
- A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 2; p
P(A/A0) = 0; P(A/A1) = 20% = 0,2; = 0,6; q = 0,4 ta coù:
P(A/A2) = 80%= 0,8; P(A/A3) = 100% = 1.
P(A 0 ) = C02p 0 q 2 = (0, 4) 2 = 0,16;
Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
P(A 1 ) = C12p1 q 1 = 2(0, 6)(0, 4) = 0, 48; P(A P(A) = P(A
2 ) = C22p 2 q 0 = (0, 6) 2 = 0, 36.
0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
- B0, B1, B2 , B3 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo coâng thöùc tính xaùc suaát
Theo coâng thöùc Bernoulli vôùi n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta coù
löïa choïn vôùi N = 10, NA = 6, n= 3 ta coù (vì loâ haøng goàm 10 saûn phaåm P(A
vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%, nghóa laø loâ haøng goàm 6 saûn
0 ) = q10 = (0, 2)10;
phaåm loaïi A vaø 4 saûn phaåm khoâng thuoäc loaïi A):
P(A1 ) = C110pq9 = 10(0, 8)(0, 2)9 ; P(B 3 0) = C06C3 4 = 4 ;
P(A3 ) = p10 = (0, 8)10; C 120 10
P(A2) =1 −P(A0) −P(A1) −P(A3) =1− (0,2)10 −10(0,8)(0,2)9 − (0,8)10. P(B 2 1) = C 1 6C3 4 = 36 ; Suy ra P(A) = 0,8215. C 120 10 b)
Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc P(B 1 2) = C26C3 4 = 60 ;
suaát coù 10 vieân truùng trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù C 120 ñieàu kieän P(A 10 3/A).
Theo coâng thöùc Bayes, ta coù: P(B 0 3) = C36C3 4 = 20 . C 120 P(A 10 P(A 3)P(A / A3) 3 /A)= P(A) - Ai vaø Bj ñoäc laäp.
Töø ñaây ta tính ñöôïc P(A3/A) = 0,1307.
a) Goïi C laø bieán coá soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy
Baøi 1.17: Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø
saûn xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc laáy ra
60%. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 60%. töø loâ haøng. Ta coù:
Cho maùy saûn xuaát 2 saûn phaåm vaø töø loâ haøng laáy ra 3 saûn phaåm. C = A0B0 + A1B1 + A2B2.
a) Tính xaùc suaát ñeå soá saûn phaåm loaïi A coù trong 2 saûn phaåm do maùy saûn
xuaát baèng soá saûn phaåm loaïi A coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøng.
Töø ñaây, do tính xung khaéc vaø ñoäc laäp, caùc coâng thöùc coäng vaø
b) Giaû söû trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù 2 saûn phaåm loaïi A. Tính xaùc nhaân xaùc suaát cho ta:
suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy saûn xuaát.
P(C) = P(A0)P(B0)+ P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2) = 0,3293. 21 22 lOMoARcPSD|44744371
b) Goïi D laø bieán coá coù 2 saûn phaåm loaïi A trong 5 saûn phaåm coù ñöôïc.
a) Goïi A laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø
Giaû söû trong 5 saûn phaåm treân coù 2 saûn phaåm loaïi A. Khi ñoù bieán coá
loâ I. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
D ñaõ xaûy ra. Do ñoù, xaùc suaát ñeå 2 saûn phaåm loaïi A ñoù ñeàu do maùy
saûn xuaát chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A2/D).
P(A) = P(A0)P(A/A0) + P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3).
Theo coâng thöùc nhaân xaùc suaát ta coù: P(A D) P(A
Töø giaû thieát ta suy ra trong loâ I coù 15.60% = 9 sp toát vaø 6 sp xaáu. Do 2/D) = 2 . P(D)
ñoù theo coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn, ta coù:
Nhaän xeùt raèng toång soá saûn phaåm loaïi A coù trong 5 saûn phaåm thu
P(A/A ) = C19C19 = 81 ;
ñöôïc phuï thuoäc vaøo caùc bieán coá A 0 C2 153 i vaø Bj theo baûng sau: 18 = 1 1 C C = 80 P(A/A1) 10 8 ; B0 B1 B2 B3 C 2 18 153 A0 0 1 2 3 =C1C1 = 77 A1 1 2 3 4 P(A/A2) 11 7 ; 2 A C 153 2 2 3 4 5 18 Suy ra =C1C1 = 72 P(A/A ) 122 6 . D = A0 B2 + A1B1 + A2B0 vaø A2D = A2B0 . 3 C18 153
Töø ñaây, ta tính ñöôïc P(D) = 0,236 ; P(A2D) = 0,012. Suy ra xaùc suaát caàn
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(A) = 0,5035 tìm laø
b) Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát P(A2/D) = 0,0508.
coù trong loâ I töø tröôùc. Theo coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû, ta coù:
Baøi 1.18: Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 60% saûn phaåm toát, trong ñoù
P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3).
loâ I chöùa 15 saûn phaåm, loâ II chöùa raát nhieàu saûn phaåm. Töø loâ II laáy
ra 3 saûn phaåm boû vaøo loâ I, sau ñoù töø loâ I laáy ra 2 saûn phaåm. Ta coù: a)
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. P(B/A ) =C1 b)
Tính xaùc suaát laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I, trong ñoù sp toát 9C19 = 81 ; 0 C2 153
coù trong loâ I töø tröôùc. 18 c)
Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Tính xaùc suaát ñaõ
P(B/A ) = C19C18 = 72 ;
laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II. 1 C2 153 18 Lôøi giaûi
P(B/A ) =C19C17 = 63 ; 2 C2 153 Goïi A 18
j (j = 0,1, 2, 3) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (3-j) saûn phaåm
xaáu coù trong 3 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ II. Khi ñoù A0, A1, A2, A3 laø
P(B/A ) =C19C16 = 54 .
moät heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi. Theo coâng thöùc Bernoulli ta coù: C2 3 153 18
P(A 0 ) = C03 p 0 q 3 = (0, 4) 3 = 0, 064;
Suy ra xaùc suaát caàn tìm laø: P(B) = 0,4235.
P(A 1 ) = C13 p1 q 2 = 3(0, 6)1 (0, 4) 2 = 0, 288;
c) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 1sp toát, 1sp xaáu töø loâ I. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra.
P(A 2 ) = C23 p 2 q1 = 3(0, 6) 2 (0, 4)1 = 0, 432;
Do ñoù xaùc suaát ñaõ laáy ñöôïc 2sp toát, 1sp xaáu töø loâ II trong tröôøng hôïp
P(A 3 ) = C33 p 3 q 0 = (0, 6)3 = 0, 216.
naøy chính laø XS coù ñieàu kieän P(A2/A). Theo coâng thöùc Bayes, ta coù: 23 24 lOMoARcPSD|44744371 77 P(A2)P(A / A2) 0, 432. P(A /A)= = 153 = 0, 4318. 2 P(A) 0,5035 -------------- * ------------- 25