Trắc nghiệm lượng giác vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Giới thiệu đến thầy, cô cùng các em học sinh chuyên đề trắc nghiệm lượng giác vận dụng cao do tác giả Nguyễn Minh Tuấn biên soạn, tài liệu gồm 68 trang tuyển chọn và giải chi tiết 114 

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

68 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
LƯỢNG GIÁC
VẬN DỤNG CAO
MỘT SẢN PHẨM CỦA FANGAGE TẠP CHÍ
VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
TÀI LIỆU ĐƯỢC PHÁT HÀNH MIỄN
PHÍ TẠI BLOG CHINH PHỤC OLYMPIC
TOÁN
Nguyễn Minh Tuấn
K14 Đại học FPT
LỜI GIỚI THIỆU
Lượng giác là một vấn đề khá đơn giản trong chương trình toán phổ thông, trong chuyên
đề này mình sẽ giới thiệu cho các bạn đọc một số dạng toán hay và khó về chủ đề này, các
bài tập chủ yếu được lấy từ trong các đề thi thử THPT Quốc Gia trong cả nước để các bạn
có thêm cái nhìn toàn diện về vấn đề này. Để có thể viết nên được chuyên đề này không
thể không có sự tham khảo từ các nguồn tài liệu của các các group, các khóa học, tài liệu
của các thầy cô mà tiêu biểu là
1. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh
2. Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/
3. Website Toanmath: https://toanmath.com/
4. Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810
5. Thầy Huỳnh Đức Khánh
Trong bài viết mình có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có thể sẽ có những câu hỏi chưa hay
hoặc chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi
những thiếu sót, mong bạn đọc có thể góp ý trực tiếp với mình qua địa chỉ sau:
Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT
Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt
Email: tuangenk@gmail.com
Blog: https://lovetoan.wordpress.com/
Bản pdf được phát hành miễn phí trên blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, mọi hoạt
động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép. Xin chân thành
cảm ơn bạn đọc.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO
Chinh phục Olympic toán – Nguyễn Minh Tuấn
GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
Bài viết dưới đây được lấy từ VMF của thành viên hoangtrong2305!
Benny là một độc giả của IntMath Newsletter. Gần đây, ïng đã viết:
“Tôi sẽ đến một trường cao đẳng cộng đồng và sẽ học về lượng giác ở học kỳ tiếp theo. Vì vậy, tôi
muốn có cái nhìn sơ nét về những gì tôi sắp học.”
Vâng, Benny, bạn đã thực hiện một bước khởi đầu tốt bằng cách tëm hiểu những gë bạn sắp
học trước khi học kỳ bắt đầu. Nhiều học sinh không tìm hiểu về những gì họ đang học cho
đến khi họ phải làm các bài tập đầu tiên, khi đî, họ bắt đầu “rối tung” trong việc tëm hiểu
cũng như để bắt kịp với phần cín lại của học kỳ.
Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác". Vì vậy, khi học về
lượng giác, bạn sẽ vẽ và nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.
I. SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC
Chúng ta hãy xem xét một số ứng dụng của lượng
giác trong cuộc sống hằng ngày. Hïm nay, cî thể
bạn sẽ lái xe qua 1 cây cầu. Cây cầu được xây dựng
bằng cách sử dụng các kiến thức về lực tác dụng ở
những góc khác nhau. Bạn sẽ nhận thấy rằng cây
cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác đã được
sử dụng khi thiết kế độ dài và độ vững chắc của
những hënh tam giác đî. Chúng ta hãy xem xét một
số ứng dụng của lượng giác trong cuộc sống hằng
ngày. Hïm nay, cî thể bạn sẽ lái xe qua 1 cây
cầu. Cây cầu được xây dựng bằng cách sử dụng các
kiến thức về lực tác dụng ở những góc khác nhau.
Bạn sẽ nhận thấy rằng cây cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác đã được sử dụng khi
thiết kế độ dài và độ vững chắc của những hënh tam giác đî.
Xe của bạn (hoặc điện thoại) cî thể cî cài đặt GPS
(Global Positioning System - hệ thống định vị trên
mặt đất), sử dụng lượng giác cho bạn biết chính xác
bạn đang ở đâu trên bề mặt Trái Đất. GPS sử dụng
các dữ liệu từ nhiều vệ tinh và các kiến thức về hình
học trái đất, sau đî sử dụng lượng giác để xác định
vĩ độ và kinh độ của bạn.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Hïm nay, cî thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn nghe
được ghi âm kỹ thuật số (một quá trình sử dựng
phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác)
được nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm
dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng phân biệt
âm thanh của tai của con người), phép nén này đíi
hỏi các kiến thức về lượng giác.
Trên đường đến trường, bạn sẽ vượt qua một tía nhà cao tầng. Trước khi xây dựng, các kỹ
sư sử dụng máy trắc địa để đo đạc khu vực. Sau đî, họ sử dụng phần mềm mô phỏng 3D
để thiết kế xây dựng, và xác định góc ánh sáng mặt trời và hướng gió nhằm tính toán nơi
đặt các tấm năng lượng mặt trời cũng như hiệu suất năng lượng cao nhất về. Tất cả các quá
trình này đíi hỏi sự am hiểu về lượng giác.
Máy trắc địa
Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến những gë bạn cî thể làm vào những thời
điểm khác nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho ngư dân là những dự
đoán về thủy triều năm trước. Những dự báo này được thực hiện bằng cách sử dụng lượng
giác. Thủy triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu
kỳ này thường mag tính tương đối.
Trong thực tế, lượng giác cî vai trí quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và kỹ
thuật.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 3
II. NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC?
Bạn thường bắt đầu nghiên cứu về lượng giác bằng
cách tëm hiểu hënh tam giác được sử dụng để đo
lường những điều khî đo lường bằng tay như thế
nào. Ví dụ, chiều cao của núi và cây có thể được xác
định bằng cách sử dụng các hình tam giác tương
ứng.
Tôi có thể dễ dàng đo độ dài ABAB và ACAC trong
tam giác ABCABC (viết ABC ABC). Sau đî, ta
dùng số liệu này để tëm chiều cao DEDE. Tôi có thể
làm một quá trình tương tự để tìm chiều cao của
ngọn núi.
Điều gë xảy ra nếu các gîc trong tam giác khác nhau? “Lượng giác” cho phép chúng ta sử
dụng các tỷ lệ có liên quan đến bất kỳ góc nào trong ABC ABC, vë vậy chúng tïi cî thể
tình toán một loạt các đỉnh cao mà khïng cần phải tiến hành đo.
Bạn sẽ tëm hiểu về ba tỷ lệ quan trọng đối với bất kỳ gîc độ: sine (có thể được rút gọn là
sin), cosine (có thể được rút gọn là cos) và tangent (có thể được rút gọn là tan). Tôi khuyến
khích bạn nên tìm hiểu về 3 tỉ lệ này một cách rõ ràng vì phần lớn kiến thức lượng giác sử
dụng chúng rất nhiều.
Thïng thường chúng ta đo gîc bằng độ (°), nhưng đơn vị này không hữu ích lắm cho khoa
học và kỹ thuật. Bạn cũng sẽ tìm hiểu về radian, đî là đơn vị đo thay thế cho đơn vị đo
góc hữu ích hơn .
Sau khi bạn đã nắm vững những điều cơ bản, bạn sẽ đi tiếp để tëm hiểu về đồ thị của hàm
số lượng giác (suy nghĩ về các đường gợn sóng bạn sẽ nhìn thấy trên một đồ thị động đất
hoặc một hình trái tim) và sau đî phân tích lượng giác, cho bạn một tập các phương pháp
để giải quyết các vấn đề phức tạp một cách dễ dàng hơn.
ECG của một bệnh nhân 26 tuổi.
III. LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC
Vẽ thật nhiều. Vẽ chắc chắn sẽ giúp bạn có sự hiểu biết về lượng giác. Khi bạn cần phải
giải quyết vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực sự có giá trị khi bạn có thể phác thảo các vấn
đề một cách nhanh chîng và chình xác. Đặc biệt:
Vẽ hënh tam giác mà bạn đang theo học.
Phác họa tënh huống trong những vấn đề xung quanh.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Thực hành vẽ đồ thị hàm sin và cosin cho đến khi bạn có thể làm điều đî mà không
cần phải chấm hàng triệu điểm trên trang giấy.
Học các kiến thức cơ bản thật chắc. Kiến thức “cơ bản” là:
Các định nghĩa của sin, cos và tan và làm thế nào để sử dụng chúng trong tam giác;
Dấu tỷ lệ lượng giác của các gîc lớn hơn
o
90
(tức là biết khi nào giá trị đî là dương
hay âm)
Các đồ thị hàm
và
y cos x
(và các khái niệm về hàm tuần hoàn)
Cẩn thận khi dùng máy tính. Các vấn đề thường gặp nhất khi sử dụng máy tính cầm tay
trong lượng giác bao gồm:
Thiết lập sai chế độ (ví dụ như máy tính ở chế độ “độ” khi bạn đang tình toán trong
chế độ radian)
Tin tưởng vào máy tình hơn não của bạn. Các máy tính sẽ không luôn luôn cung
cấp cho bạn dấu chính xác (+ hoặc -). Thường thì bạn phải tự tìm hiểu.
Luïn ước lượng câu trả lời của bạn, đầu tiên, do đî bạn cî thể kiểm tra kết quả mà
máy tình cho bạn.
Hãy chắc chắn rằng bạn biết lû do tại sao máy tình của bạn khïng sử dụng
“
1
sin
” hoặc “
1
cos
”. Điều này nhiều học sinh hay lẫn lộn và sử dụng các kû hiện
trên khïng thật sự cần thiết. Chúng ta nên sử dụng
arcsin
để không bị nhầm lẫn
với
1
sin
.
Đây là câu trả lời của tïi dành cho Benny. Tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn ý tưởng về
cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh không mấy thích
lượng giác. Bạn sẽ không cảm thấy sợ hãi nữa khi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc gì
cũng như thực hiện các lời khuyên trên.
Nguồn: http://www.intmath.c...-all-about-6163
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 5
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Đường cong trong hënh bên mï tả đồ thị của
hàm số
y A sin x B
(với
A, B,
là các hằng
số và
0;
2




). Tính
12
S A B .
A.
S 1.
B.
S 2.
C.
S 3.
D.
S 5.
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hệ phương trënh
2
A sin B 3 1
3
A sin B 0 2
A sin B 1 3
3





Ta thấy
A0
không thỏa mãn hệ. Do đî
1B
3 sin .
3A




4
Từ
4
2
1 Asin B 3 Asin B 3 B 1
33


Thay
B1
vào
2
và
3
, ta có hệ
A sin 1
sin 2 sin
A sin 2
3
3









0;
2
3
sin cos cos sin 2 sin 3 cos 3sin tan .
3 3 3 6





Với
A 2.
6
Vậy
A 2; B 1
12
S A B 3.
6

Chọn C.
Nhận xét. Cách trắc nghiệm: nhën đồ thị đoán được
A 2; B 1
(dựa vào min – max) và
dùng dữ kiện đồ thị đi qua gốc tọa độ suy ra
.
6

Câu 2. Gọi
n
là số nguyên thỏa mãn
0 0 0 n
1 tan 1 . 1 tan 2 1 tan 45 2 .
Khẳng định
nào sau đây đúng?
A.
n 1;7 .
B.
n 8;19 .
C.
n 20; 26 .
D.
n 27;33 .
Lời giải
Ta có biến đổi:
1 tan 1 . 1 tan 2 1 tan 45
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
6 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
cos1 sin 1 cos 2 sin 2 cos 45 sin 45
cos1 cos 2 cos 45
2 sin 1 45 2 sin 2 45 2 sin 45 45
cos1 cos 2 cos 45
45
cos 44 .cos 43 .....cos2 .cos1 sin 90
2.
cos1 .cos2 .....cos 43 .cos 44 cos 45

45 45
23
1
2 . 2 . 2 2 n 23.
2
2






Chọn C.
Câu 3. Tëm số nguyên dương
n
nhỏ nhất của thỏa mãn
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2
.
sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin 134 .sin 135 sin n
A.
n 1.
B.
n 45.
C.
n 46.
D.
n 91.
Lời giải
Đặt
1 1 1
P
sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin 134 .sin 135
sin 1 sin 1 sin 1
sin 1 .P
sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin 134 .sin 135
sin 1 .P cot 45 cot 46 cot 46 cot 47 ... cot 134 cot 135
sin 1 .P cot 45 cot 135 2
2
P n 1.
sin 1
Chọn A.
Câu 4. Cho góc
thỏa
0
4
và
5
sin cos
2
. Tính
P sin cos .
A.
3
P.
2
B.
P
1
2

C.
P
1
2
D.
3
P.
2

Lời giải
Ta có
22
22
sin cos sin cos 2 sin cos 2
.
Suy ra
22
53
sin cos 2 sin cos 2
44
.
Do
0
4
suy ra
sin cos
nên
sin cos 0
. Vậy
3
P.
2

Chọn D.
Câu 5. Cho góc
thỏa mãn
4
tan
3
và
3
;2
2


. Tính
P sin cos
22


.
A.
P 5.
B.
P 5.
C.
5
P.
5

D.
5
P.
5
Lời giải
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 7
Ta có
2
P 1 sin .
Với
33
;2 ;
2 2 4


.
Khi đî
2
0 sin
22
2
1 cos
22

, suy ra
P sin cos 0
22

.
Từ hệ thức
22
sin cos 1
, suy ra
22
2
1 16
sin 1 cos 1
1 tan 25

.
Vì
3
;2
2


nên ta chọn
4
sin
5
.
Thay
4
sin
5
vào
2
P
, ta được
2
1
P
5
. Suy ra
5
P
5

.
Chọn C.
Câu 6. Cho phương trënh
5
cos 2 x 4cos x .
3 6 2

Nếu đặt
t cos x
6




thì
phương trënh đã cho trở thành phương trënh nào dưới đây?
A.
2
4t 8t 3 0.
B.
2
4t 8t 3 0.
C.
2
4t 8t 5 0.
D.
2
xk
44
x k2
3


Lời giải
Ta có
22
cos 2 x 1 2 sin x 1 2 cos x .
3 3 6
Do đî phương trënh tương đương với
2
3
2 cos x 4 cos x 0
6 6 2

2
4 cos x 8cos x 3 0.
66

Nếu đặt
t cos x
6




thë phương trënh trở thành
22
4t 8t 3 0 4t 8t 3 0.
Chọn A.
Câu 7. Biểu diễn tập nghiệm của phương trënh
cos x cos 2x cos 3x 0
trên đường trín
lượng giác ta được số điểm cuối là
A.
2.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Lời giải
Ta có
cos x cos 2x cos 3x 0 2 cos 2x cos x cos 2x 0
k2
cos2x 0
x
44
k
1
cosx
x k2
2
3



và các điểm này không trùng nhau nên tập nghiệm
của phương trënh đã cho cî
6
điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
8 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chọn D.
Câu 8. Cî bao nhiêu giá trị của
thuộc
0; 2
để ba phần tử của
S sin ,sin 2 ,sin 3
trùng với ba phần tử của
T cos ,cos 2 , cos 3 .
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Vì
S T sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3
2 sin 2 cos sin 2 2 cos2 cos cos 2 sin 2 2 cos 1 cos 2 2 cos1
sin 2 cos2
k
82
k .
1
2
cos
k2
2
3

Thử lại ta thấy chỉ có
k
82

k
thỏa
S T.
Vì
1 15
0;2 0 k 2 k k 0;1;2; 3 .
8 2 4 4

Chọn D.
Câu 9. Phương trënh
n 1 n
2 cos x.cos 2x.cos 4x.cos8x...cos2 x 1
với
*
n
cî tập nghiệm
trùng với tập nghiệm của phương trënh nào sau đây?
A.
sin x 0.
B.
n
sin x sin 2 x.
C.
n1
sin x sin 2 x.
D.
n2
sin x sin 2 x.
Lời giải
Vì
xk
không là nghiệm của phương trënh đã cho nên nhân hai vế phương trënh cho
sin x,
ta được
n 1 n
2 sin x cos x .cos2x.cos 4x.cos8x...cos2 x sin x
nn
nn
n 1 2 n
2 sin 2x .cos 2x.cos 4x.cos8x...cos 2 x sin x
2 sin 2x.cos 2x .cos 4x.cos8x...cos 2 x sin x
2 sin 2 x .cos 4x.cos 8x...cos 2 x sin x



n2
sin 2 x sin x.

Chọn D.
Câu 10. Tình diện tìch của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trín lượng giác biểu diễn
các nghiệm của phương trënh
tan x tan x 1.
4



A.
3 10
.
10
B.
3 10
.
5
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Điều kiện:
cosx 0
xk
2
k .
cos x 0
xk
4
4








TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 9
Ta có
tan x 1
tan x tan x 1 tan x 1
4 1 tan x




2
2
tan x tan x tan x 1 1 tan x
tan x 0 x k
tan x 3tan x 0 k .
tan x 3 x arctan 3 k



Nghiệm
xk
biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm
A, B
(xem hình
vẽ).
Nghiệm
x arctan 3 k
biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm
M, N
(xem hình vẽ).
Ta có
AMN AMBN
22
1 1 AO.AT 3 10 3 10
S MN.AH .MN. S .
2 2 10 5
AO AT

Chọn B.
Câu 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh
2
sin 5x 2 cos x 1
cî dạng
a
b
với
a, b
là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình
S a b.
A.
S 3.
B.
S 7.
C.
S 15.
D.
S 17.
Lời giải
Phương trënh tương đương với
2
sin 5x 1 2 cos x sin 5x cos2x
2
xk
63
sin 5x sin 2x
32
2
xk
14 7






Nghiệm dương nhỏ nhất là
a3
3
S 17
b 14
14
Chọn D.
Câu 12. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh
sin x 1
cot x 2
1 cosx 1 cosx

cî dạng
a
b
với
a, b
là các số nguyên,
a0
và
a, b
nguyên tố cùng nhau. Tình
S a b.
A.
S 3.
B.
S 4.
C.
S 5.
D.
S 7.
Lời giải
Điều kiện:
cosx 1
x k k .
sin x 0

Phương trënh
2
sin x 1 cos x 1 cosx
cosx
2
sin x sin x
2
sin x cos x 1 2 sin x
sin x cos x cos2x 0
sin x cos x 1 cosx sin x 0.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
10 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
sin x cosx 0 tan x 1 x k k
4
x k2 N
2
1 cos x sin x 0 sin x k .
2
42
x k2 L



Nghiệm âm lớn nhất là
a1
S3
b4
4

Chọn A.
Câu 13. Cho phương trënh
22
sin x sin 5x 2 cos x 2 cos 2x .
44

Số vị trì biểu diễn
các nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là?
A.
1.
B.
2.
C.
4.
D.
6.
Lời giải
Ta có
2
2
2 cos x 1 cos 2x 1 sin 2x
42
.
2 cos 2x 1 cos 4x 1 sin 4x
42

Do đî phương trënh tương đương với
sin x sin 5x sin 2x sin 4x
2 sin 3xcos2x 2 sin 3xcosx
2 sin 3x cos2x cos x 0.

k
sin 3x 0 x k .
3
x k2
cos2x cosx 0 cos2x cosx k .
k2
x
3

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là
k k2
x = k
36


Có
6
điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Chọn D.
Câu 14. Cho phương trënh
3
sin x cosxsin 2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x .
Tổng nghiệm
âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh bằng
A.
.
7
B.
.
18
C.
.
20
D.
.
7
Lời giải
Phương trënh
1 3sin x sin 3x
sin x sin 3x sin x 3 cos 3x 2 cos 4x
22
sin 3x 3 cos3x 2 cos4x sin 3x cos 4x
3



TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 11
k2
x
42 7
sin 3x sin 4x k .
32
x k2
6



Suy ra nghiệm âm lớn nhất là
;
6
nghiệm dương nhỏ nhất là
42
.
Chọn A.
Câu 15. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh
1
cos3x 2 cos 2x 1
2

cî dạng
a
b
với
a, b
là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình
S a b.
A.
S 7.
B.
S 8.
C.
S 15.
D.
S 17.
Lời giải
Phương trënh
4 cos 3x cos 2x 2 cos 3x 1
2 cos5x cos x 2 cos 3x 1
2 cosx 2 cos3x 2 cos5x 1.
Nhận thấy
sin x 0 x k k
không thỏa mãn phương trënh.
Nhân hai vế cho
sin x
ta được
2 sin x cos x 2 sin x cos 3x 2 sin x cos 5x sin x
sin 2x sin 4x sin 2x sin 6x sin 4x sin x
k2
x
5
sin 6x sin x k .
k2
x
77


Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là
a1
S8
b7
7
Chọn B.
Câu 16. Cho phương trënh
2018 2018 2020 2020
sin x cos x 2 sin x cos x .
Số vị trì biểu diễn các
nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là?
A.
3.
B.
4.
C.
6.
D.
2020.
Lời giải
Phương trënh
2018 2 2018 2
sin x 1 2 sin x cos x 1 2 cos x 0
2018 2018
2018 2018
sin x.cos 2x cos x cos 2x 0
cos2x 0
.
sin x cos x
k
cos2x 0 x k .
42

2018 2018 2018
sin x cos x tan x 1 tan x 1 x k k .
4
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là
k
x k
42

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
12 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Có
4
điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Chọn B.
Câu 17. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh
2018 2018 2017
tan x cot x 2 sin x
4



cî dạng
a
b
với
a, b
là các số nguyên,
a0
và
a, b
nguyên tố cùng nhau. Tình
S a b.
A.
S 3.
B.
S 1.
C.
S 1.
D.
S 3.
Lời giải
Ta có
2018 2018
2017
tan x cot x 2
.
2 sin x 2
4





Do đî phương trënh tương đương với:
tan x cot x
xk
4
x k2 k .
sin x 1
4
x k2
4
4







Nghiệm âm lớn nhất là
a7
7
S 3.
b4
4

Chọn A.
Câu 18. Cho phương trënh
2017 2018 2018
cos 2x
2 sin x cos x sin x cosx cosx .
1 tan x
Nghiệm
dương nhỏ nhất của phương trënh cî dạng
a
b
với
a, b
là các số nguyên và nguyên tố
cùng nhau. Tính
S a b.
A.
S 2.
B.
S 3.
C.
S 4.
D.
S 7.
Lời giải
Điều kiện:
cos x 0
.
tan x 1
Ta có
22
cos 2x cos x sin x
cos x cos x sin x .
sin x
1 tan x
1
cos x
Do đî phương trënh
2017 2018 2018
2 sin x cos x sin x cosx cosx sin x cos x cosx
2017 2018 2018
cosx sin x cos x . 2 sin x cos x 1 0.


cos x 0 L
sin x cosx 0 tan x 1 x k k .
4
2017 2018 2018 2017 2018 2018
2 sin x cos x 1 0 2 sin x cos x 1
: Vô nghiệm vì
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 13
1009
1009 1009
2018 2018
1008
a b a b 1
sin x cos x 2. 2
2 2 2







với
22
a sin x, b cos x.
Nghiệm dương nhỏ nhất là
a3
3
S7
b4
4
Chọn D.
Câu 19. Biết rằng phương trënh
2018
1 1 1 1
0
sin x sin 2x sin 4x sin 2 x
cî nghiệm dạng
a
k2
x
2b
với
k
và
a, b , b 2018.
Tính
S a b.
A.
S 2017.
B.
S 2018.
C.
S 2019.
D.
S 2020.
Lời giải
Điều kiện:
2018
sin 2 x 0.
Ta có
2
cosa cos2a 2 cos a cos2a 1
cot a cot 2a .
sin a sin 2a sin 2a sin 2a
Do đî phương trënh
2017 2018
x
cot cot x cot x cot 2x ... cot 2 x cot 2 x 0
2



2018
2018 2018
2019
x
cot cot 2 x 0
2
x x k2
cot 2 x cot 2 x k x k
2 2 2 1
a 2019
S a b 2020.
b1
Chọn D.
Câu 20. Phương trình
sin x
x 18
cî bao nhiêu nghiệm?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D. Vï số.
Lời giải
Điều kiện:
x0
. Phương trënh
sin x
sin x x.
x 18 18

1
Phương trënh
1
là phương trënh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y sin x
(cî đồ
thị là màu xanh như hënh vẽ) với đồ thị hàm số
yx
18
(cî đồ thị là màu đỏ như hënh vẽ).
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
14 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại
3
điểm phân biệt nên phương trënh
1
có
3
nghiệm phân biệt
Đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm
x0
nên
phương trënh đã cho cî
2
nghiệm.
Chọn B.
Câu 21. Phương trënh
2 2 2
2 cos x 2 cos 2x 2 cos 3x 3 cos 4x 2 sin 2x 1
có bao nhiêu
nghiệm thuộc khoảng
0; 2018
?
A.
2565.
B.
2566.
C.
2567.
D.
2568.
Lời giải
Phương trënh
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 3 2 cos 4x sin 2x cos 4x
cos6x cos 2x 2 cos 4xsin 2x
2 cos 4x cos 2x 2 cos 4x sin 2x 0
2 cos 4x cos 2x sin 2x 0
cos 4x 0 x k k .
84

(
22
cos 4x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos2x sin 2x
nên chứa luôn
cos 2x sin 2x
)
Vì
14
x 0; 2018 0 k 2018 k 2018 0, 5 k 2565,39
8 4 2 8



k 0;1; 2;3;...;2565
. Vậy có
2566
nghiệm.
Chọn B.
Câu 22. Phương trënh
1 2 cos x 1 cosx
1
1 2 cosx sin x

cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0; 2018
?
A.
3025.
B.
3026.
C.
3027.
D.
3028.
Lời giải
Điều kiện:
1 2 cos x sin x 0.
Phương trënh
2
1 cosx 2 cos x sin x 2 sin x cosx
cos 2x cos x sin 2x sin x 0
3x x 3x x
2 cos cos 2 sin cos 0
2 2 2 2
x 3x 3x
2 cos sin cos 0
2 2 2
x
cos 0
3x 2
2
tan 1 x k k .
3x 3x
2 6 3
sin cos 0
22





loaïi
Vì
2 1 1 3 1
0 k 2018 k 2018 . k 3027,25.
6 3 4 6
x 0;
2
018
4
2




k 1; 2; 3;...;3027
. Vậy có
3027
nghiệm.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 15
Chọn C.
Câu 23. Phương trënh
2
sin 3x 9x 16x 80 0
4



cî bao nhiêu nghiệm nguyên
dương?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Phương trënh
2
3x 9x 16x 80 k
4
2
2
2 2 2
3x 9x 16x 80 4k
9x 16x 80 3x 4k
3x 4k 1
9x 16x 80 9x 24kx 16k 2
.
Phương trënh
2
2
2 9k 4 98
2k 10 98
2 x 9x 2 3k 2
3k 2 3k 2 3k 2

Vì
x
nên ta cần có
k
k 1 x 12
3k 2 1;2;7;14; 49;98 k 3 x 4 .
k 17 x 12

loaïi
Chọn B.
Câu 24. Phương trënh
44
1
sin x cos x
44



cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
0; 2017
?
A.
4032.
B.
4033.
C.
4034.
D.
4035.
Lời giải
Ta có
2
1 cos 2x
sin x
2
cos x sin x 2 cos x
4



Phương trënh
4
2
4
1 cos2x 1 1
cosx sin x
24
2






22
1 cos 2x 1 sin 2x 1
3 2 cos 2x sin 2x 1
xk
1
sin 2x k .
4
xk
2
4




Vì
x 0; 2017
nên
0 k 2017 0 k 2017
Có
2016
nghiệm
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
16 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
1 8067
0 k 2017 k
4 4 4
Có
2017
nghiệm.
Vậy có tổng cộng
4033
nghiệm.
Chọn B.
Câu 25. Tëm số nghiệm của phương trënh
tan 4x tan 2x 4 tan x 4 tan 4x.tan 2x.tan x
trên
đoạn
;.
A.
2.
B.
3.
C.
6.
D.
7.
Lời giải
Điều kiện:
cos x 0
cos 2x 0.
cos 4x 0
Phương trënh
tan 4x tan 2x 4 tan x 1 tan 4x.tan 2x
tan 4x tan 2x
4 tan x
1 tan 4x.tan 2x

(vì
cos 2x 0 1 tan 4x.tan 2x 0 
)
2
tan 2x 4 tan x
tan x tan x
4 tan x
1 tan x tan x
tan x 2 tan x 1 0
xk
tan x 0
k .
2
2
x arc tan k
tan x
2
2








thoûa maõn
thoûa maõn
Vì
x;
Có tất cả
6
nghiệm thỏa mãn.
Chọn C.
Câu 26. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
tan 5x tan x 0
trên
0;
bằng
A.
.
B.
3
.
2
C.
2.
D.
5
.
2
Lời giải
Điều kiện:
cos5x 0
.
cosx 0
Phương trënh
tan 5x tan x 5x x k x k k .
4
Vì
k
x 0; 0 k 0 k 4 k 0;1;2;3 .
4

Suy ra
k 0 x 0
k 1 x
4
3
.
44
k 2 x
2
3
k 3 x
4

loaïi
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 17
Chọn A.
Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
cos sin x 1
trên đoạn
0; 2
bằng
A.
0.
B.
.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
Phương trënh tương đương với
sin x k2 , k .
Vì
1 sin x 1
nên suy ra
k0
, khi đî phương trënh trở thành
sin x 0 x .
Vì
x 0; 2 x 0; ;2
Suy ra tổng các nghiệm
0 2 3 .
Chọn D.
Câu 28. Cho phương trënh
22
9
x 2 cos 3 x 7 cos 3cos 0.
4
Gọi
S
là tập các giá
trị của tham số
thuộc đoạn
0; 4
để phương trënh cî nghiệm kép. Tổng các phần tử
của tập
S
bằng
A.
20
.
3
B.
15 .
C.
16 .
D.
17 .
Lời giải
Yêu cầu bài toán
2
2
9
2 cos 3 4 7 cos 3cos 0
4



0;4
2
0;4
3 11 13 23
cos ; ; ;
2 6 6 6 6
6 3 4 cos 0 .
3 5 7 17 19
cos ; ; ;
2 6 6 6 6










Vậy
11 13 23 5 7 17 19
16 .
6 6 6 6 6 6 6 6
Chọn C.
Câu 29. Tình tổng
S
tất cả các nghiệm của phương trënh
44
2 cos2x 5 sin x cos x 3 0
trên khoảng
0; 2 .
A.
7
S.
6
B.
11
S.
6
C.
S 4 .
D.
S 5 .
Lời giải
Phương trënh
22
2 cos2x 5 sin x cos x 3 0
2
2 cos 2x 5 cos 2x 3 0
2 cos 2x 5cos2x 3 0
1
cos 2x
x k k .
2
6
cos 2x 3

loaïi
Vì
5 7 11
x 0; 2 x ; ; ; S 4 .
6 6 6 6



CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
18 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chọn C.
Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trënh
3 1 3 1
42
sin x cosx


trên khoảng
0;
2



bằng
A.
11
.
36
B.
.
3
C.
7
.
18
D.
.
Lời giải
Điều kiện:
sin x 0
x k k .
cosx 0
2
Phương trënh
3 1 3 1
cos x sin x sin x cosx 2 sin 2x
2 2 2 2
sin x sin x 2 sin 2x
36
2 cos .sin x 2 sin 2x
4 12
x k2
12
sin x sin 2x k .
11 k2
12
x
36 3










.
Vì
11 11 7
x 0; x ; .
2 12 36 12 36 18


Chọn C.
Câu 31. Tổng các nghiệm của phương trënh
sin x cosx sin x cosx 1
trên
0; 2
bằng
A.
.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Đặt
t sin x cosx 0 t 2
, suy ra
2
t1
sin x cos x .
2
Phương trënh trở thành:
2
2
t1
t1
t 1 t 2t 3 0 .
t 3
2

loaïi
Với
t 1,
ta được
1
sin x cos x 1 2 cos x 1 cos x
44
2

x 0;2
x k2
x k2 x k2
3
4 4 2
k x ; ; .
3 x k2
22
x k2
44
x k2
2






Chọn C.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 19
Câu 32. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
2
1
sin 3x 1 4sin x
2

trên đoạn
0;
2



bằng
A.
3
.
7
B.
3
.
5
C.
37
.
70
D.
36
.
35
Lời giải
Nhận thấy
cos x 0
không là nghiệm của phương trënh.
Nhân hai vế phương trënh với
cosx
ta được
2
3
1
sin 3x cos x 4 sin x cos x cosx
2
2 sin 3x 4 cos x 3 cos x cos x
2 sin 3x cos 3x cosx
k2
x
14 7
sin 6x sin x k .
k2
2
x
10 5









k
k 0 x
k2
14
0.
5
14 7 2
k 1 x
14

k
k 0 x
k2
10
0.
10 5 2
k 1 x
2

Vậy tổng
5 36
.
14 14 10 2 35
Chọn D.
Câu 33. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
2
sin 2x 2sin x 5sin x cosx 2
0
2 cosx 3
trên
đoạn
0;100
bằng
A.
7375
.
3
B.
7475
.
3
C.
14701
.
6
D.
14850
.
3
Lời giải
Điều kiện:
3
cosx .
2

Phương trënh tương đương với
2
sin 2x 2 sin x 5sin x cos x 2 0
2
sin 2x cos x 2 sin x 5sin x 2 0
cosx 2 sin x 1 sin x 2 2 sin x 1 0
2 sin x 1 sin x cosx 2 0.
sin x cos x 2 0 :
vô nghiệm.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
20 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
x k2 k 0; 49
1
6
2 sin x 1 0 sin x
5
2
x k2
6
loaïi
Vậy tổng các nghiệm cần tính
49 49
k 0 k 0
7375
k2 50. 2 k .
6 6 3





Chọn A.
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
3
sin x 2 sin x
4




trên đoạn
0; 2018
bằng
A.
2018
.
4
B.
4036
.
3
C.
412485
.
2
D.
824967
.
4
Lời giải
Phương trënh
3
33
1
sin x cosx 2 sin x sin x cosx 4sin x.
2



Nhận thấy
cos x 0
không thỏa mãn phương trënh.
Chia hai vế phương trënh cho
3
cos x
ta được
3
2
tan x 1 4 tan x tan x 1
32
3tan x 3 tan x tan x 1 tan x 1 x k k .
4
Vì
k
x 0;2018 0 k 2018 k 1; 2; 3; ;642 .
4

Vậy
642 642
k 1 k 1
412485
S k 642. k .
4 4 2


Chọn C.
Câu 35. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh
2 2 3 2
cos x tan x cos2x cos x cos x 1
trên đoạn
0; 43
bằng
A.
4220
.
3
B.
4225
.
3
C.
4230
.
3
D.
4235
.
3
Lời giải
Điều kiện
2
cos x 0 x k k .
2
Phương trënh
2 2 3 2
sin x cos x cos 2x cos x cos x 1
2 2 2 3 2
4 3 2
2
1 cos x cos x 1 2 cos x cos x cos x 1
2 cos x cos x cos x 0
x k2
cosx 1
2 cos x cos x 1 0 k .
1
x k2
cosx
3
2

k
1
0 k2 43 k 21 k 0;1;2;...;21
2

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 21
Tổng các nghiệm là
1
S 22 0 1 2 ... 21 2 484 .
k
1 64
0 k2 43 k k 0;1;2;...;21
3 6 3

Tổng các nghiệm là
2
1408
S 22. 0 1 2 ... 21 2 .
33
k
1 65
0 k2 43 k k 1;2;...;21
3 6 3

Tổng các nghiệm là
3
S 21. 1 2 3 ... 21 2 455 .
3



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trënh đã cho trên đoạn
0; 43
là
1 2 3
4225
S S S S
3
.
Chọn B.
Câu 36. Cî bao nhiêu giá trị của tham số
m
thuộc tập
E 3; 2; 1;0;1; 2
để phương
trình
2
2m sin x cos x 4 cos x m 5
cî nghiệm?
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Lời giải
Phương trënh tương đương với
m sin 2x 2 cos 2x m 3.
Phương trënh cî nghiệm
2
22
5
m 2 m 3 6m 5 0 m .
6
Mà
m E m 3; 2; 1 .
Chọn B.
Câu 37. Cho phương trình
22
m sin x 2 sin x cos x 3m cos x 1.
Tëm tất cả các giá trị của
tham số thực
m
để phương trënh cî nghiệm.
A.
4
m 0; .
3



B.
4
m \ 0; .
3


C.
4
m 0; .
3



D.
4
m 0; .
3



Lời giải
Phương trënh
1 cos2x 1 cos2x
m. sin 2x 3m. 1 sin 2x m cos2x 1 2m.
22

Phương trënh cî nghiệm
2 2 2
4
1 m 1 4m 4m 3m 4m 0 0 m .
3
Chọn C.
Câu 38. Cho phương trënh
2
3
5 4sin x
6 tan
2
.
sin x 1 tan





Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị
thực của
thuộc đoạn
0; 2
để phương trënh cî nghiệm. Tổng các phần tử của tập
S
bằng
A.
.
B.
2.
C.
4.
D.
6.
Lời giải
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
22 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Điều kiện
sin x 0
.
cos 0

Phương trënh tương đương với
5 4 cosx
3sin 2 3sin 2 sin x 4 cosx 5.
sin x
1
Nếu
sin x 0 cos x 1
: không thỏa
1
. Do đî phương trënh nếu có nghiệm thì luôn
thỏa mãn điều kiện
sin x 0.
Để phương trënh cî nghiệm
2
cos 0
3sin 2 16 25

22
cos 0 cos 0
k
cos2 0 , k :
sin 2 1 sin 2 1
42




thỏa điều kiện.
3 5 7
S ; ; ;
4 4 4 4



tổng
3 5 7
4.
4 4 4 4
Chọn C.
Câu 39. Cho phương trënh
2
4sin x .cos x m 3 sin 2x cos2x.
36

Gọi
S a; b
là
tập tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trënh cî nghiệm. Tình
a b.
A.
a b 2.
B.
1
a b .
2
C.
a b 0.
D.
a b 4.
Lời giải
Ta có
1
sin x .cos x sin 2x sin
3 6 2 6 2


1 1 3 1
sin 2x cos sin cos2x 1 sin 2x cos2x 1 .
2 6 6 2 2 2







Phương trënh tương đương với
2
2
m2
3 sin 2x cos2x 2 m 3 sin 2x cos2x cos2x .
2
Phương trënh cî nghiệm
2
2
m2
1 1 0 m 4 2 m 2
2
a2
S 2;2 a b 0
b2

Chọn C.
Câu 40. Cho phương trënh
66
m
sin x cos x 3sin x cosx 2 0.
4
Cî bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số
m
để phương trënh cî nghiệm?
A.
7.
B.
9.
C.
13.
D.
15.
Lời giải
Ta có
3
6 6 2 2 2 2 2 2
sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 23
2 2 2
3
1 3sin x cos x 1 sin 2x.
4
Phương trënh
22
3m
1 sin 2x 3sin x cosx 2 0 3sin 2x 6sin 2x 12 m.
44
Đặt
2
t 1;1
2
t sin 2x 3t 6t 12 m 3 t 1 15 m.


Vì
2
1 t 1 0 3 t 1 12.
Do đî để phương trënh cî nghiệm
0 15 m 12
3 m 15
m
m 3; 4; 5;...;15 .

Chọn C.
Câu 41. Cho phương trënh
2
2
3
3tan tan x cot x m.
sin x
Cî bao nhiêu giá trị nguyên
m
nhỏ hơn
2018
để phương trënh cî nghiệm?
A.
2004.
B.
2008.
C.
2011.
D.
2012.
Lời giải
Điều kiện:
sin x 0
k
x k .
cosx 0
2
Phương trënh viết lại
2
2
1
3 tan x tan x cot x m
sin x



22
3 tan x cot x 1 tan x cot x m.
Đặt
t tan x cot x.
Điều kiện:
t 2.
Phương trënh trở thành
22
3 t 1 t m 3t t m 3.
Xét hàm
2
f t 3t t
trên
; 2 2; . 
Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm
m 3 10 m 7
m
m 2018
m 7;8;9;...;2017

Có
2011
giá trị.
Chọn C.
Câu 42. Tëm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trënh
sin 4x m.tan x
cî nghiệm
x k .
A.
1
m ; 4 .
2



B.
1
m ; 4 .
2




C.
1
m ; 4 .
2




D.
m 1; 4 .
Lời giải
Điều kiện
cos x 0.
Phương trënh
m.sin x sin x
2 sin 2x.cos2x 4.sin x.cos x.cos2x m. .
cos x cos x
*
Vì
xk
nên
sin x 0
. Khi đî
22
* 4 cos x 2 cos x 1 m
Đặt
2
t cos x,
với
xk
cosx 0

suy ra
t 0;1
. Phương trënh trở thành
2
m 8t 4t.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
24 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Xét hàm
2
f t 8t 4t
với
t 0;1
, ta được
1
f t 4.
2
Do đî phương trënh cî nghiệm
1
m 4.
2
Chọn A.
Câu 43. Cho phương trënh
cos2x 2m 1 cos x m 1 0.
Tëm tất cả các giá trị thực của
tham số
m
để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng
3
;
22




.
A.
1 m 1
. B.
1 m 0
. C.
1 m 0
. D.
1 m 0
.
Lời giải
Phương trënh
2
1
cos x
2 cos x 2m 1 cos x m 0 .
2
cos x m
Nhận thấy phương trënh
1
cos x
2
không có nghiệm trên khoảng
3
;
22




(Hình vẽ).
Do đî yêu cầu bài toán
cosx m
có nghiệm thuộc khoảng
3
; 1 m 0
22




.
Chọn C.
Câu 44. Cho phương trënh
2
cos x 2 1 m cos x 2m 1 0.
Cî bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để phương trënh cî nghiệm?
A.
8.
B.
9.
C.
10.
D.
11.
Lời giải
Đặt
t cos x 1 t 1 .
Phương trënh trở thành
22
t 2 1 m t 2m 1 0 t 2t 1 2m t 1 .
1
Xét
t 1 :
1
trở thành
20
(không thỏa mãn).
Xét
t 1 :
2
t 2t 1
1 2m.
t1


Xét hàm
2
t 2t 1
ft
t1

với
t 1;1 ,
ta có
2
2
t 2t 3
f ' t 0 t 1;1 .
t1

cos
sin
O
m
1
2
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 25
Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cî nghiệm
1
2m 1 m
2
m
m 10;10
m 10; 9; 8;...;0


Có
11
giá trị.
Chọn D.
Câu 45. Tëm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
22
cos 4x cos 3x m sin x
có
nghiệm thuộc khoảng
0; .
12



A.
1
m 0; .
2



B.
1
m ;2 .
2



C.
m 0;1 .
D.
1
m 1; .
4




Lời giải
Ta có
3
2
1 cos6x 1 4 cos 2x 3cos2x
cos 3x
22

và
2
cos 4x 2 cos 2x 1.
Phương trình đã cho
3
2
1 4 cos 2x 3cos2x 1 cos2x
2 cos 2x 1 m
22
23
4 cos 2x 2 1 4 cos 2x 3 cos2x 1 cos2x m
32
cos2x 1 m 4 cos 2x 4 cos 2x 3cos 2x 3.
*
Đặt
t cos 2x,
với
3
x 0; t ;1 .
12 2







Khi đó
32
2
4t 4t 3t 3
* m 4t 3.
t1
Xét hàm
2
f t 4t 3
trên đoạn
3
;1 ,
2



ta được
3
;1 ,
2
3
;1 ,
2
min f t 0
.
max f t 1








Vậy để phương trình
m f t
có nghiệm khi và chỉ khi
m 0;1 .
Chọn C.
Câu 46. Tëm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trënh
2 sin x m cos x 1 m
có
nghiệm
x
thuộc đoạn
;.
22




A.
3
m.
2

B.
3
m.
2

C.
1 m 3.
D.
1 m 3.
Lời giải
Nếu dùng điều kiện có nghiệm:
2
2
3
4 m 1 m 4 1 2m m
2
(đáp án A) thë
sai hoàn toàn bởi vì
x;
22





thì
sin x
quét hết tập giá trị
1; 1
nhưng với
cosx
thì
không.
Lời giải đúng. Đặt
x
t tan
2
, với
x ; t 1;1 .
22




CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
26 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Phương trënh trở thành
2
2
22
2t 1 t
2 m 1 m t 4t 1 2m.
1 t 1 t
Xét hàm
2
f t t 4t 1
trên đoạn
1; 1 .
Tëm được
1;1
1;1
max f t 6
.
min f t 2

Do đî yêu cầu bài toán
2 2m 6 1 m 3.
Chọn C.
Câu 47. Cho phương trënh
2 2 2
mx 4 4 cosx.
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng
0;
2



bằng
A.
54.
B.
35.
C.
35.
D.
51.
Lời giải
Vì
x 0;
2



nên phương trënh
2
2
4 cosx 1
m.
x


Xét hàm
2
cosx 1
fx
x
với
x 0; ,
2



ta có
3
2 1 cosx xsin x
f' x 0, x 0; .
x2




Suy ra
fx
đồng biến trên
0;
2



nên
2
x0
x
2
14
lim f x f x lim f x f x
2

Vậy để phương trënh đã cho cî nghiệm thì
2
2 m 16
m
m 19; 18; 17 .

Chọn A.
Câu 48. Cho hàm số
y f x
cî bảng biến thiên như hënh vẽ
x

2
1
1
4

f ' x
0
0
fx
3

1
0
1

Có bao nhiêu số nguyên
m
để phương trënh
m
f 3cos x 1 1
2


cî nghiệm?
A.
2.
B.
3.
C.
9.
D.
13.
Lời giải
Đặt
t 3cos x 1 1 2 t 4.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với
t 2; 4
thì
1 f t 3.
Do đî để phương trënh cî nghiệm
m
1 3 6 m 2
2
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 27
m
m 6; 5; 4;...;2

Có
9
giá trị.
Chọn C.
Câu 49. Cho hàm số
fx
liên tục trên
,
thỏa
f x 3
với mọi
x5
và
f x 3
với mọi
x2
, cî đồ thị như
hënh bên. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để
phương trënh
f 3 sin x 2 f m
cî nghiệm?
A.
6.
B.
7.
C.
8.
D.
9.
Lời giải
Đặt
t 3sin x 2 1 t 5.
Dựa vào đồ thị ta thấy
fx
đồng biến trên
1; 5
nên
f 3sin x 2 f m 3sin x 2 m.
Mà
3sin x 2 1;5 m 1; 5
có
7
giá trị nguyên.
Chọn B.
Câu 50. Cho phương trënh
2
2 cos 3x 3 2m cos 3x m 2 0.
Tëm tất cả các giá trị thực
của tham số
m
để phương trënh cî đúng
3
nghiệm thuộc khoảng
;.
63




A.
1 m 1.
B.
1 m 2.
C.
1 m 2.
D.
1 m 2.
Lời giải
Với
x ; 3x ; .
6 3 2

Đặt
t cos 3x 1 t 1
. Phương trënh trở thành
2
2t 3 2m t m 2 0.
Ta có
2
2m 5 
phương trënh cî hai nghiệm
1
2
1
t
.
2
t m 2

Ta thấy ứng với một nghiệm
1
1
t
2
thì cho ta hai nghiệm
x
thuộc khoảng
;.
63




Do đî yêu cầu bài toán
2
1 t 0
(tham khảo hình vẽ)
sin
O
cos
2
t
1
1
2
t
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
28 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
1 m 2 0 1 m 2.
Chọn B.
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh
2
2t 3 2m t m 2 0
có hai
nghiệm
12
t , t
thỏa mãn
21
P0
1 t 0 t 1 a.f 1 0 .
a.f 1 0

Câu 51. Tëm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trënh
sin 2x 2 sin x 2 m
4



cî đúng
2
nghiệm thuộc khoảng
3
0; .
4



A.
3 m 1 2.
B.
3 m 1 2.
C.
1 m 1 2.
D.
1 m 1 2.
Lời giải
Phương trënh viết lại
sin 2x sin x cos x 2 m.
Đặt
t sin x cos x 2 sin x ,
4



suy ra
2
sin 2x t 1.
Với
3
x 0; x ; t 0; 2 .
4 4 4
Phương trënh trở thành
2
t t 3 m.
*
Xét hàm
2
f t t t 3
trên
0; 2
. Ta có
f ' t 2t 1 0, t 0; 2 .
Suy ra
ft
đồng biến trên
0; 2
và kết luận
f 0 m f 2 3 m 1 2.
Thử lại
m 1 2 sin x 1
4



Có một nghiệm
x
4
duy nhất thuộc
3
0; .
4



Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm.
Dựa vào đường trín lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán
phương trënh
*
cî đúng một nghiệm
t
thuộc
1; 2
f 1 m f 2 1 m 1 2.
Chọn D.
O
sin
cos
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 29
Câu 52. Cho phương trënh
2
m sin x 3sin x cos x m 1 0.
Gọi
S
là tập tất cả các giá trị
nguyên
m
thuộc đoạn
5; 5
để phương trënh cî đúng
3
nghiệm thuộc
3
0;
2



. Tổng các
phần tử của
S
bằng
A.
15.
B.
14.
C.
0.
D.
15.
Lời giải
Phương trënh
22
m sin x 1 3sin x cosx 1 0 3sin x cos x m cos x 1 0.
Nhận thấy
cos x 0
không thỏa phương trënh. Chia hai vế phương trình cho
2
cos x
ta
được
2
tan x 3 tan x m 1 0.
Đặt
t tan x
, ta được phương trënh bậc hai
2
t 3t m 1 0
.
Để phương trënh đã cho cî ba nghiệm thuộc
3
0;
2



phương trënh
2
t 3t m 1 0
có
hai nghiệm trái dấu
m
m 5;5
m 1 0 m 1 m 5; 4; 3; 2 S 14.


Chọn B.
Câu 53. Cho phương trënh
2
cosx 1 4 cos 2x m cos x m sin x.
Số các giá trị nguyên của
tham số
m
để phương trënh cî đúng
2
nghiệm thuộc đoạn
2
0;
3



là
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Phương trënh
2
1 cosx 4 cos2x m cosx m 1 cos x
cosx 1
1 cos x 4 cos2x m 0 .
m
cos2x
4

Với
2
x 0;
3




phương trënh
cos x 1
vô nghiệm.
Với
24
x 0; 2x 0;
33

. Dựa vào đường trín lượng giác, ta thấy yêu cầu bài
toán
m1
1 4 m 2.
42
cos
sin
O
1
2
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
30 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Vì
m m 3; 2 .
Chọn B.
Câu 54. Có bao nhiêu số thực
m
để phương trënh
2
sin x 1 2 cos x 2m 1 cos x m 0
cî đúng
4
nghiệm thuộc đoạn
0; 2
?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Phương trënh
sin x 1
1
sin x 1 2 cos x 1 cos x m 0 cos x .
2
cos x m
sin x 1 x k2 k ,
2
mà
x 0; 2 x .
2
x k2
1
3
cosx k ,
2
x k2
3
mà
5
x 0;2 x , x .
33

Do đî yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh
cosx m
cî đúng một nghiệm
0; 2
khác
5
,.
3 2 3



(xem hình vẽ).
Từ đường trín lượng giác ta suy ra chỉ có hai giá trị
m
thỏa mãn là
m1
và
m 0.
Bởi
vì:
Với
m 1,
phương rënh
cos x 1
chỉ có nghiệm duy nhất
x 
thuộc
0; 2 .
Với
m 0,
phương rënh
cos x 0
có hai nghiệm
x
2
(trùng với nghiệm đã tình)
và
3
x
2
thuộc
0; 2 .
1
2
cos
sin
O
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 31
Vậy có hai giá trị của
m
thỏa mãn.
Chọn B.
Câu 55. Cho phương trënh
4 4 2
sin x cos x cos 4x m.
Cî bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
để phương trënh cî
4
nghiệm thuộc đoạn
;.
44




A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Ta có
44
31
sin x cos x cos 4x.
44
Phương trënh
22
31
cos 4x cos 4x m 4 cos 4x cos 4x 4m 3.
44
Đặt
t cos 4x,
với
x ; 4x ;
44





nên
t 1; 1 .
Khi đî phương trënh trở thành
2
4t t 4m 3.
*
Ứng với mỗi
t 1;1
thë phương trënh
cos 4x t
sẽ cho ta hai giá trị của
x ; .
44





Với
t1
thë phương trënh
cos 4x t
cho ta đúng một giá trị của
x ; .
44





Do đî yêu cầu bài toán tương đương với
*
có hai nghiệm phân biệt thuộc
1; 1 .
Xét hàm
2
f t 4t t
trên
1; 1 .
Ta có
1
f ' t 8t 1 f ' t 8t 1 t .
8
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán
1 47 3
4m 3 3 m
16 64 2
m
m 1.

Vậy có
1
giá trị nguyên.
Chọn A.
Câu 56. Cho phương trënh
2
sin x 1 cos x cos x m 0.
Tëm tất cả các giá trị thực của
tham số
m
để phương trënh cî đúng
5
nghiệm thuộc đoạn
0; 2 .
t
'ft
ft
1
3
1
1
16
1
8
0
5
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
32 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
A.
1
0 m .
4

B.
1
m 0.
4
C.
1
0 m .
4

D.
1
m 0.
4
Lời giải
Phương trënh tương đương với
2
sin x 1
cos x cosx m 0. 1
Đặt
t cos x
, với
x 0; 2 t 1;1
. Phương trënh
1
trở thành
2
t t m.
2
Phương trënh
sin x 1
cî đúng
1
nghiệm
x
2
thuộc đoạn
0; 2 .
Do đî yêu cầu bài toán
Phương trënh
1
có
4
nghiệm phân biệt (khác
2
) thuộc đoạn
0; 2
phương trënh
2
có
2
nghiệm phân biệt thuộc
1;1 \ 1;0 .
Xét hàm
2
f t t t
trên
1;0 0;1 .
Ta có
1
f ' t 2t 1 f ' t 0 t .
2
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán
11
m 0 m 0.
44
Chọn C.
Câu 57. Biết rằng khi
0
mm
thë phương trënh
22
2 sin 5m 1 sin x 2m 2m 0x
có
đúng
5
nghiệm phân biệt thuộc khoảng
;3
2




. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
0
m 3.
B.
0
1
m
2
. C.
0
37
m ; .
5 10


D.
0
32
m ; .
55



Lời giải
Đặt
t sin x 1 t 1
.
Phương trënh trở thành
22
2t 5m 1 t 2m 2m 0.
*
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Trường hợp 1: Phương trënh
*
có một nghiệm
1
t1
(cho ra một nghiệm
x
) và
một nghiệm
2
0 t 1
(cho ra bốn nghiệm
x
) (Hình 1).
Do
2
12
c
t 1 t m m
a
.
O
cos
sin
O
Hình 1
Hình 2
2
t
sin
cos
2
t
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 33
Thay
1
t1
vào phương trënh
*
, ta được
2
2
m 3 t 6 0;1
.
11
m t 0;1
24
loaïi
thoûa
Trường hợp 2: Phương trënh
*
có một nghiệm
1
t1
(cho ra hai nghiệm
x
) và một
nghiệm
2
1 t 0
(cho ra ba nghiệm
x
) (Hình 2).
Do
2
12
c
t 1 t m m
a
.
Thay
1
t1
vào phương trình
*
, ta được
2
2
m 1 t 2 1;0
.
13
m t 1;0
24
loaïi
loaïi
Vậy
1
m
2

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do
1 3 2
m ; .
2 5 5



Chọn D.
Câu 58. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
10;10
để số vị trì biểu
diễn các nghiệm của phương trënh
2
1 2 cos 2x 3 sin 4x m m sin 2x
3



trên đường
trín lượng giác là
4
?
A.
8.
B.
9.
C.
10.
D.
12.
Lời giải
Phương trënh
2
sin 2x 3 cos 2x m m sin 2x .
3



Đặt
t
t sin 2x 3 cos2x 2 sin 2x sin 2x
3 3 2

(điều kiện
2t2
).
Phương trënh trở thành:
22
t
t m m 2t mt 2m 0.
2
*
Ứng với mỗi
t 2;2
thë phương trënh
t
sin 2x
32




cho ta các nghiệm có số vị
trí biểu diễn trên đường trín lượng giác là
4.
Với
t2
thë phương trënh
sin 2x 1
3




cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn
trên đường trín lượng giác là
2.
Với
t2
thë phương trënh
sin 2x 1
3



cho ta các nghiệm có số vị trí biểu
diễn trên đường trín lượng giác là
2.
Do đî yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh
*
có duy nhất một nghiệm
t
thuộc khoảng
2; 2
hoặc phương trënh
*
có hai nghiệm là
2
và
2.
Trường hợp 1: Phương trënh
*
cî đúng
1
nghiệm thuộc
2; 2
.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
34 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Với mọi
t 2; 2 ,
ta có
2
2t
* m f t
t2
.
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này
m2
.
m0
Trường hợp 2: Phương trënh
*
nhận
2
và
2
làm nghiệm
2
2
2 2 m 2 2m 0
:
2.2 2m 2m 0
vô lí.
Vậy
m
m 10;10
m2
m 0;3; 4; 5;...;10
m0


có
9
giá trị.
Chọn B.
Câu 59. Biết phương trënh
32
ax bx cx d 0
với
a0
cî đúng hai nghiệm thực. Hỏi
đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
cî bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3
. B.
5
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Vë phương trënh
32
ax bx cx d 0
với
a0
cî đúng hai nghiệm thực nên đồ thị hàm
số
32
y ax bx cx d
cî hai điểm cực trị trong đî một điểm cực trị nằm trên trục hoành.
Các dạng của đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
trong trường hợp này được mô tả như
sau:
Trường hợp 1:
a0
Trường hợp 2:
a0
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 35
Vậy với
a0
đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
luïn cî ba điểm cực trị.
Chọn A.
Câu 60. Cho phương trënh
m 1 cosx m 1 sin x 2m 3.
Cî bao nhiêu giá trị của
tham số
m
để phương trënh cî hai nghiệm
12
x , x
thỏa mãn
12
2
x x .
3

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D. Vï số.
Lời giải
Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
6 22 6 22
m 1 m 1 2m 3 m .
22
Phương trënh
2 2 2
m 1 m 1 2m 3
cosx sin x
2m 2 2m 2 2m 2
x k2
cos x cos
x2
với
22
m 1 2m 3
cos ;cos .
2m 2 2m 2


Yêu cầu bài toán:
12
22
x x 2 k 2
33

2
2 1 1
cos 2 k 2 cos cos 2 2 cos 1
3 2 2
2
2
2
2
m 1
2m 3
2m 3 1 1
2 1 .
17
2 2m 2 4
m
2m 2
7




thoûa maõn
thoûa maõn
Chọn C.
Câu 61. Cî bao nhiêu số nguyên
m
để phương trình:
3
m sin m sin 3x sin 3sin x 4 sin x
cî nghiệm thực?
A.
4.
B.
5.
C.
8.
D.
9.
Lời giải
Cộng thêm
sin 3x
vào hai vế phương trënh ta được:
3
m sin 3x sin m sin 3x sin 3sin x 4 sin x sin 3x
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
36 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
m sin 3x sin m sin 3x 3sin x sin 3sin x .
Xét hàm
f t t sin t
trên
.
Ta có
f ' t 1 cost 0, t
Hàm số
ft
đồng biến.
Suy ra
3
m sin 3x 3sin x m 4sin x 4; 4 .
Chọn D.
Câu 62. Cho phương trënh
3
3
8sin x m 162sin x 27m.
Cî bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng
0;
3



?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D. Vï số.
Lời giải
Đặt
u 2 sin x,
vì
x 0; 2 sin x 0; 3
3



nên
u 0; 3 .
Phương trënh trở thành:
3
3
u m 81u 27m
3
3
33
u m 27 u m 3u 27. 3u .
*
Xét hàm
3
f t t 27t
trên
.
Ta có
2
f t 3t 27 0, t
hàm số
ft
đồng biến.
Nhận thấy
*
có dạng
3 3 3
f u m f 3u u m 3u u 3u m.
Xét hàm
3
g u u 3u, u 0; 3 .
Khảo sát ta được
2 g u 0.
Vậy phương trënh đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2 m 0
m
m 2; 1 .

Chọn B.
Câu 63. Cho phương trënh
2
1 cos x cos 4x m cos x m sin x
. Tëm tất cả các giá trị của
m
để phương trënh cî đúng
3
nghiệm phân biệt thuộc
2
0;
3



.
A.
11
m;
22




. B.
m ; 1 1 ; 
.
C.
m 1;1
. D.
1
m ;1
2



.
Lời giải
Ta có:
22
1 cosx cos 4x m cosx m sin x 1 cos x cos 4x m cos x m 1 cos x0
1 cosx cos 4x m cos x m 1 cosx 0


cosx 1
cos 4x m

.
Xét phương trënh
cos x 1 x k2
k
.
Phương trënh
cos x 1
không có nghiệm trong đoạn
2
0;
3



.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 37
Cách 1.
Xét phương trënh
cos 4x m
. Đặt
f x cos 4x
. Ta có:
f ' x 4 sin 4x
.
Xét
f ' x 0 sin 4x 0 4x k x k
4
k
.
Xét trong đoạn
2
0;
3



thì ta có:
x 0 ; ;
42




.
Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trënh
cos 4x m
cî đúng
3
nghiệm phân biệt trong
đoạn
2
0;
3



khi và chỉ khi
1
m1
2
.
Cách 2.
Xét
cos 4x m
. Ta có
28
x 0 ; 4x 0;
33

.
Với
4x 0 ; 2 \
và
m 1;1
phương trënh
cos 4x m
có
2
nghiệm.
Với
8
4x 2 ;
3



và
1
m ;1
2



phương trënh
cos 4x m
có
1
nghiệm.
Vậy phương trënh cî
3
nghiệm phân biệt thuộc
2
0;
3



khi
1
m ;1
2



.
Chọn D.
Câu 64. Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trënh sau:
22
x 80
sin cos 0
x 6 2 x 32x 332
?
A. Số nghiệm của phương trënh là
8
. B. Tổng các nghiệm của phương trënh
là
8
.
C. Tổng các nghiệm của phương trënh là
48
. D. Phương trënh cî vï số nghiệm
thuộc .
Lời giải
Phương trënh đã cho tương đương với
22
x 80
sin sin
x 6 x 32x 332

.
Ta biết rằng hàm số
y sin x
đồng biến trên khoảng
;
22




. Ta chỉ ra rằng các hàm số
2
x
fx
x6
và
2
80
gx
x 32x 332

nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy, ta có
2
2
x x 1
x6
26
2 6x

và
2
2
80 80 80
0
x 32x 332 76 2
x 16 76


.
Từ các đánh giá trên,
xảy ra khi và chỉ khi
22
x 80
x 6 x 32x 332
32
x 48x 332x 480 0
x2
x6
x 40

.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
38 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Tổng các nghiệm của phương trënh đã cho là
2 6 40 48
.
Chọn C.
Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trënh
3
sin x 2 m sin x 2
có
nghiệm.
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Ta có
3
sin x 2 m sin x 2
. Đặt
3
u sin x 2
1 u 3
v m sin x


.
Khi đî
2
3
u sin x 2
v m sin x


23
u v m 2
(*).
Ta lại có
u v 2 v 2 u
.
*
trở thành
3
2
u u 2 m 2 1
32
m u 5u 12u 10 f u
,
1 u 3
.
Trên , ta có
2
f u 3u 14u 12
,
7 13
f ' u 0 u 1; 3
3


Để phương trënh đã cho cî nghiệm thì
1
có nghiệm
1 u 3
Hay
7 13
f m f 3
3





m 0;1
) Vì
m
nguyên.
Vậy có
2
giá trị nguyên của
m
thỏa đề bài.
Chọn A.
Câu 66. Số giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh
sin 2x 2 sin x 2 m
4



có
đúng một nghiệm thực thuộc khoảng
3
0;
4



?
A.
3
. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Ta có
3
x 0 ;
4



x
44

0 sin x 1
4



0 2 sin x 2
4



.
Mặt khác
2 sin x sin x cosx
4



.
Đặt
sin x cos x t
với
t 0 ; 2
2 2 2
sin x cos x 2 sin x.cos x t
2
sin 2x t 1
.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 39
Phương trënh đã cho trở thành
22
t 1 t 2 m t t 3 m
*
.
Xét
2
f t t t 3
với
t 0 ; 2
. Ta có
f t 2t 1

. Do đî
1
f ' t 0 t
2
(loại).
Lập bảng biến thiên ta cî phương trënh
*
có nhiều nhất một nghiệm
t
. Do đî để phương
trënh đã cho cî đúng một nghiệm thực
x
thuộc khoảng
3
0;
4



thì
t2
0 t 1

.
Với
t2
thay vào phương trënh
*
:
2 2 3 m
m 2 1
.
Với
0 t 1
lập bảng biến thiên
3 m 1
có
2
giá trị nguyên của
m
là
2
và
1
.
Chọn B.
Câu 67. Cho hàm số
32
y x 3x
cî đồ thị
C
và điểm
M m ; 4
. Hỏi cî bao nhiêu số
nguyên
m
thuộc đoạn
10 ;10
sao cho qua điểm
M
cî thể kẻ được ba tiếp tuyến đến
C
.
A.
20
. B.
15
. C.
17
. D.
12
.
Lời giải
Tập xác định:
D
. Đạo hàm:
2
y 3x 6x

.
Ta nhận thấy các đường thẳng
xa
với
a
không phải là tiếp tuyến của
C
và một
đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt.
Giả sử phương trënh đường thẳng đi qua
M m ; 4
là
d:
y k x m 4
với
k
là hệ
số góc của đường thẳng.
Qua
M
có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến
C
khi và chỉ khi hệ phương trënh
2
32
k 3x 6x
k x m 4 x 3x

có ba nghiệm phân biệt
2 3 2
3x 6x x m x 3x
có ba nghiệm phân biệt
32
2x 3 m 1 x 6mx 0
có ba nghiệm phân biệt
2
x 2x 3 m 1 x 6m 0


có ba nghiệm phân biệt
2
2x 3 m 1 x 6m 0
có hai nghiệm phân biệt khác
0
2
2
1
m
9m 30m 9 0
3
9 m 1 48m 0
m3
m0
m0
m0

.
Với điều kiện trên và với
m 10 ;10
m

ta có
m 10 ; 9 ;...; 1; 4 ; 5 ;...;10
.
Vậy có
17
số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
40 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Câu 68. Cho phương trënh
3 tan x 1 sin x 2 cosx m sin x 3cos x
. Cî tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên tham số
m
thuộc đoạn
2018; 2018
để phương trënh trên cî nghiệm
duy nhất
x 0;
2



?
A.
2018
. B.
2015
. C.
4036
. D.
2016
.
Lời giải
Với
x 0;
2



thì
cos x 0
, chia hai vế cho
cosx
, ta được:
3 tan x 1 sin x 2 cosx m sin x 3cos x
3 tan x 1 tan x 2 m tan x 3
3 tan x 1 tan x 2
m
tan x 3


.
1
Đặt
t tan x 1
,
x 0; t 0;
2



. Khi đî
1
2
2
3t t 1
g t m
t2
2
Xét hàm
2
2
3t t 1
gt
t2
trên
0;
.
42
2
2
3t 15t 6
g t 0, t 0
t2

.
Suy ra để thỏa yêu cầu bài toán
m g 0 0
Mà
m
m 2018;2018

. Suy ra
m 1; 2; 3;...;2018
.
Chọn A.
Câu 69. Cî bao nhiêu giá trị nguyên âm của
m
để hàm số
1m
y x 5
x2
đồng biến trên
5;
?
A.
10
. B.
8
. C.
9
. D.
11
.
Lời giải
Tập xác định:
D \ 2
. Đạo hàm:
2
22
m 1 x 4x m 3
y1
x 2 x 2

.
Xét hàm số
2
f x x 4x 3
trên
5;
.
Đạo hàm:
f x 2x 4

. Xét
f x 0 x 2 y 1
. Ta có:
f 5 8
.
Do
2
x 2 0
với mọi
x 5 ;
nên
y0
,
x 5 ;
khi và chỉ khi
f x m
,
x 5 ;
. Lập bảng biến thiên ta có
m 8 m 8
.
Mà
m
nguyên âm nên ta có:
m 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1
.
Vậy có
8
giá trị nguyên âm của
m
để hàm số
1m
y x 5
x2
đồng biến trên
5;
.
Chọn B.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 41
Câu 70. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trënh
3
3
8sin x m 162sin x 27m
có
nghiệm thỏa mãn
0x
3

?
A.
2
. B.
3
. C.Vô số. D.
1
.
Lời giải
Đặt
t 2 sin x
, với
0x
3

thì
t 0; 3
.
Phương trënh đã cho trở thành
3
3
t m 81t 27m
.
Đặt
3
u t m
3
t u m
.
Khi đî ta được
3
3
u 27 3t m
3t 27 u m


3
3
u 3t 27 3t u
3
3
u 27u 3t 27.3t
*
Xét hàm số
3
f v v 27v
liên tục trên có nên hàm số đồng biến.
Do đî
* u 3t
3
t 3t m
1
Xét hàm số
3
f t t 3t
trên khoảng
0; 3
có
2
f ' t 3t 3
;
f ' t 0 t 1
(vì
t0
).
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh
1
có nghiệm khi.
Vậy có hai giá trị nguyên của
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Câu 71. Số nghiệm thuộc đoạn
0; 2017
của phương trình
1 cosx 1 cosx
4 cosx
sin x
là
A.
1283.
B.
1285.
C.
1284.
D.
1287.
Lời giải
Điều kiện
0; sin x.csin 0x os x
1 cosx 1 cosx
4 cosx 1 cosx 1 cosx 4sin x cosx
sin x
2 2 2 2
2 2 1 cos x 1 cosx 16 sin x cos x 1 sin x 8sin x 1 sin x 1
Trường hợp 1:
sin x 0
sin x 0
32
sin x 1
1
sin x
1
2
1 1 sin x 8sin x 8sin x 1 0 sin x
2
15
sin x
15
4
sin x
4

x k2
1
6
sin x
2
x k2
6
5


vì
sin x.cos x 0
nên
x k2
6
.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
42 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
arcsin
15
x k2
4
15
sin x
4
1
arcs kix2
4
n
5










Vì
sin x.cos x 0
nên
arcsix2n
15
k
4




.
Trường hợp 2:
sin x 0
sin x 0
32
sin x 1
1
sin x
1
2
1 1 sin x 8sin x 8sin x 1 0 sin x
2
15
sin x
15
4
sin x
4



x k2
1
6
sin x
2
x k2
6
7

vì
sin x.cos x 0
nên
x k2
6
7

.
arcsi
15
x k2
4
15
sin x
4
1
n
arcsx i
5
k2
4
n












Vì
sin x.cos x 0
nên
15
x k2
4
arcsin






.
Xét nghiệm thuộc đoạn
0; 2017
Với
x k2 k20 20
66
17 0 k 320

có
321
nghiệm.
Với
1 5 3 3
x k2 k2 k2
4 10
arcsin 0 2017 0 k 3
10
20

có
321
nghiệm.
Với
x k2 k2
66
77
0 2017 0 k 320

có
321
nghiệm.
Với
1 5 13 13
x k2 k2 k2
41
arcsin 0 2017 0
0
k3
0
2
1
0




có
321
nghiệm.
Vậy có tổng cộng
321.4 1284
nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 43
Câu 72. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ham sï
2018 2018
y sin x cos x
trên . Khi đî:
A.
M2
,
1008
1
m
2
B.
M1
,
1009
1
m
2
C.
M1
,
m0
D.
M1
,
1008
1
m
2
Lời giải
Ta có:
2018 2018
y sin x cos x
1009 1009
22
sin x 1 sin x
.
Đặt
2
t sin x
,
0 t 1
thì hàm số đã cho trở thành
1009
1009
y t 1 t
.
Xét hàm số
1009
1009
f t t 1 t
trên đoạn
0; 1
.
Ta có:
1008
1008
f ' t 1009.t 1009. 1 t
;
f ' t 0
1008
1008
1009t 1009 1 t 0
1008
1t
1
t




1t
1
t

1
t
2

Mà
f 1 f 0 1
,
1008
11
f
22



.
Suy ra
0;1
maxf t f 0 f 1 1
,
1008
0;1
11
min f t f
22




Vậy
M1
,
1008
1
m
2
.
Chọn D.
Câu 73. Cho các số thực dương
x
,
y
,
z
thỏa mãn
x y xyz z
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
2
2
2
3
2
x 1 yz
2x
P
y z x 1
x1


thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:
A.
1, 3;1, 4
. B.
0,8;0,9
. C.
1,7;1,8
. D.
1, 4;1, 5
.
Lời giải
Từ giả thiết
11
x y xyz z x. y. xy 1
zz
.
Đặt
A
x tan
2
,
B
y tan
2
và
1C
tan
z2
thay vào hệ thức trên ta được
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
Suy ra
A
,
B
,
C
là ba góc của tam giác.
Từ đî ta cî
2
3
2
2x A A
2 sin cos
22
x1
và
2
2
2
xA
sin
2
x1
.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
44 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
2
2
CB
tan tan
1 yz
22
BC
yz
tan tan 1
22



B C B C B C
cos cos tan tan 2 tan tan
2 2 2 2 2 2
B C B C
cos cos tan tan 1
2 2 2 2







BC
sin sin Bsin C
2
BC
cos
2
A1
cos cos B C cos B C
22
BC
cos
2


22
A B C A
cos cos 1 cos
2 2 2
BC
cos
2
2
AA
cos 1 1 cos
A
22
2 cos
12

.
Vậy
22
A A A A
P 2 sin cos 2sin cos
2 2 2 2

AA
sinA sin cos
22




A
2 sinA.sin 2
24



.
Dấu bằng đạt được khi
BC
sin A 1
A
sin 1
24




A
2
BC
4

x1
y 2 1
z 2 1

.
Chọn D.
Câu 74. Số các giá trị nguyên của
m
để phương trënh
2
cos x cos x m m
có nghiệm là:
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
5
.
Lời giải
Ta có:
2
cos x cos x m m
suy ra
m0
.
Đặt
cos x m t
,
t0
. Phương trënh trở thành:
2
2
cos x t m
t cosx m


22
cos x t t cosx 0
cosx t cos x t 1 0
cosx t
cosx t 1 0

.
Trường hợp
1
:
cos x t
cosx m cos x
2
cosx 0
cos x cosx m

.
Đặt
u cosx
1 u 0
.
Xét
2
f u u u
, ta có
f u 2u 1

;
1
f ' u 0 u
2
.
Do đî với
1 u 0
suy ra
f u 0
với mọi
u 1;0
.
Suy ra
f 1 f u f 0
2 f u 0
.
Để phương trënh cî nghiệm thì
m 0;2
. Vì
m
nên
m 0;1; 2
.
Trường hợp
2
:
cos x t 1 0
cos x m 1 cos x
2
cos x cos x 1 m
.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 45
Đặt
v cosx
,
1 v 1
. Ta có
2
m v v 1 g v
,
1
g v 2v 1 0 v
2
.
Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cî nghiệm thì
3
m ;3
4



. Vì
m
nên
m 1; 2; 3
. Vậy có tất cả
4
số nguyên
m
thỏa mãn bài toán.
Chọn A.
Câu 75. Số nghiệm của phương trënh:
2015 2016 2017 2018
sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x
trên
10;30
là:
A.
46
. B.
51
. C.
50
. D.
44
.
Lời giải
Ta có:
2015 2016 2017 2018
sin x cos x 2 sin x cos x cos 2x
2015 2 2016 2
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 cos 2x
2015 2016
sin x.cos 2x cos x.cos2x cos2x
2015 2016
cos 2x 0
sin x cos x 1

.
Với
cos 2x 0
x k ,k
42

Vì
x 10; 30
10 k 30
42

20 1 60 1
k
22

6 k 18
.
Với
2015 2016
sin x cos x 1
. Ta có
2015 2 2016 2
sin x sin x; cos x cos x
.
Do đî
2015 2016 2 2
1 sin x cos x sin x cos x 1
suy ra
sin x 0, cosx 1
sin x 1, cosx 0

.
Nếu
sin x 0 x k , k
.
Vì
x 10; 30
10 k 30
10 30

3 k 9
.
Nếu
sin x 1 x k2 ,k
2
.
Vì
x 10; 30
10 k2 30
2
5 1 15 1
k
44

1 k 4
.
Vậy số nghiệm của phương trënh đã cho là:
13 6 25 44
.
Chọn D.
Câu 76. Tổng các nghiệm của phương trënh
2 cos 3x 2 cos 2x 1 1
trên đoạn
4 ;6
là:
A.
61
. B.
72
. C.
50
. D.
56
.
Lời giải
Xét
sin x 0 x m
: Thay vào phương trënh thấy không thỏa mãn
Xét
sin x 0 x m
2 cos 3x 2 cos 2x 1 1
2 cos5x cosx 2 cos3x 1
2 sin x cos 5x 2 sin x cos 3x 2 sin x cos x sin x
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
46 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
sin 6x sin 4x sin 4x sin 2x sin 2x sin x
sin 6x sin x
k2
x
5
l2 k,l
x
77
xm



.
Trước tiên ta cần chỉ ra giữa hai họ nghiệm
k2
x
5
và
l2
x
77


không có giá trị trùng
nhau. Thật vậy giả sử
l2 k2
7 7 5

k,l
14k 5 10l
Vô lí vì
14k
là số nguyên chẵn và
5 10l
là số nguyên lẻ.
Với
k2
x
5
xm
x 4 ;6

k 10; 9; 8;...14;15
k 10; 5;0;5,10,15
Các giá trị
x
cần loại bỏ là
4,
2,
0,
2,
4,
6
.Tổng các giá trị này là
6
Với
l2
x
77
xm
x 4 ;6



l 14; 13; 12;...19;20
l 4; 11;3;10;17
Các giá trị
x
cần loại bỏ là
,
3,
,
3,
5
. Tổng các giá trị này là
5
Vậy tổng nghiệm
15 20
k 10 l 14
k2 l2
S 6 5 50
5 7 7


.
Chọn C.
Câu 77. Cho phương trënh
22
3
22
33
sin x m sin x m 2 sin x m
. Gọi
S a; b
là
tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trënh trên cî nghiệm thực. Tính
giá trị của
22
P a b
.
A.
162
P
49
. B.
49
P
162
. C.
P4
. D.
P2
.
Lời giải
Trường hơp 1:
sin x m
thì ta có
2
3
2m 0 m 0
. Khi đî phương trënh cî nghiệm
xk
,
k
.
Trường hơp 2:
sin x m
thë phương trënh đã cho tương đương
2
3
3
sin x m sin x m
20
sin x m sin x m





.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 47
Giải ra ta được
3
3
sin x m
sin x m
1
1
m0
sin x m
sin x m
sin x m 9 sin x 7m
sin x m
8
2
sin x m
sin x m




.
Do đî để phương trënh cî nghiệm thực thì
7m
m
9
99
m
77
m0
99
m
77
Kết luận: Hợp hai trường hợp suy ra tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m
cần tìm
là
77
S;
99



22
22
9 9 162
P a b
7 7 49
.
Chọn A.
Câu 78. Để phương trënh
2 2 2
2
a sin x a 2
1 tan x cos2x

có nghiệm, tham số
a
phải thỏa mãn
điều kiện:
A.
a3
. B.
a1
a3

. C.
a4
. D.
a1
.
Lời giải
ĐKXĐ:
cosx 0
cos2x 0
2
2
sin x 1
1
sin x
2
Ta có
2 2 2
2
a sin x a 2
1 tan x cos2x

2 2 2 2
a cos x sin x a 2
2 2 2
a sin x sin x 2
2
2
2
sin x
1a

Để phương trënh đã cho cî nghiệm điều kiện là
2
2
2
2
0;1
1a
2
1
1a
21
1 a 2
2
2
2
0;1
1a
21
1 a 2
2
2
1 a 2
1 a 4


a1
a3

.
Chọn B.
Câu 79. Số giờ cî ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ
40
bắc trong ngày thứ
t
của một
năm khïng nhuận được cho bởi hàm số:
d t 3sin t 80 12
182



,
t
và
0 t 365
.
Vào ngày nào trong năm thë thành phố X cî nhiều giờ ánh sáng nhất?
A.
262
. B.
353
. C.
80
. D.
171
.
Lời giải
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
48 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Ta có:
d t 3sin t 80 12
182



3 12 15
Dấu bằng xảy ra khi
sin t 80 1
182




t 80 k2 k
182 2

tk  
.
Mặt khác
t 0; 365
nên
k 365  
171 194
k
364 364
.
Mà
k
nên
k0
.
Vậy
t 171
.
Chọn D.
Câu 80. Cho phương trënh
4sin x cos x
36


2
a 3 sin 2x cos 2x
1
. Gọi
n
là số
giá trị nguyên của tham số
a
để phương trënh
1
có nghiệm. Tính
n
.
A.
n5
. B.
n3
. C.
n2
. D.
n1
.
Lời giải
Ta có
1
2 sin 2x 1
6





2
a 3 sin 2x cos 2x
sin 2x 1
6



2
a
sin 2x
26



2
a
cos 2x 1
2
.
Phương trënh
1
có nghiệm
2
a
11
2
2a2
, Do
a
nên
a 0;a 1;a 2
Vậy
n5
.
Chọn A.
Câu 81. Tổng tất cả các giá trị của tham số thực
m
sao cho đồ thị hàm số
3 2 3
y x 3mx 4m
cî điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác
của gîc phần tư thứ nhất là
A.
2
2
. B.
1
2
. C.
0
. D.
1
4
.
Lời giải
Ta có:
2
y 3x 6mx

,
x0
y0
x 2m

.
Để hàm số có cực đại cực tiểu thì
m0
.
Khi đî các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
3
A 0 ; 4m
,
B 2m ;0
.
Ta có
3
I m ; 2m
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là
d : x y 0
.
Do đî để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua
d
thì:
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 49
3
2
3
2m 4m 0
2
1 2m 0 m
2
m 2m 0


.
Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực
m
là
0
.
Chọn C.
Câu 82. Tìm
m
để phương trënh
1
1 sin x sin x m
2
cî nghiệm.
A.
16
m
22

. B.
0 m 1
.
C.
0 m 3
. D.
6
m3
2

.
Lời giải
Đặt
t sin x
1
t1
2




, phương trënh trở thành
1
1 t t m
2
Nhận xét phương trënh ban đầu có nghiệm
x
khi và chỉ khi phương trënh
*
có nghiệm
1
t;
2




. Xét hàm
1
f t 1 t t
2
, với
1
t ;1
2




.
Ta có:
1
1
1 t t
2t
11
2
2
f ' t
2 1 t 1 1
11
2 t 2 1 t t
2 1 t t 1 t t
22
22



Ta có
1
f ' t 0 t
4
.
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh đã cho cî nghiệm
6
m3
2
.
Chọn D.
Câu 83. Cho hai điểm
A
,
B
thuộc đồ thị hàm số
y sin x
trên đoạn
0; .
Các điểm
C
,
D
thuộc trục
Ox
thỏa mãn
ABCD
là hënh chữ nhật và
2
CD
3
. Độ dài cạnh
BC
bằng
A.
3
2
. B.
1
. C.
1
2
. D.
2
2
Lời giải
O
x
y
D
C
A
B
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
50 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Gọi
AA
A x ; y
,
BB
B x ; y
. Ta có:
BA
BA
BA
BA
2
2
x x 1
xx
3
3
yy
sin x sin x 2





Thay
1
vào
2
, ta được:
A A A A A
22
sin x sin x x x k2 x k
3 3 6



k
Do
nên
A
1
x BC AD sin
6 6 2

.
Chọn C.
Câu 84. Một vật nặng treo bởi một chiếc lí xo, chuyển động lên xuống qua vị trì cân bằng
(hënh vẽ). Khoảng cách
h
từ vật đến vị trì cân bằng ở thời điểm
t
giây được tình theo cïng
thức
hd
trong đî
d 5 sin 6t 4 cos 6t
với
d
được tình bằng centimet.
Ta quy ước rằng
d0
khi vật ở trên vị trì cân bằng,
d0
khi vật ở dưới vị trì cân bằng.
Hỏi trong giây đầu tiên, cî bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trì cân bằng nhất?
A.
0
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Ta có
h d 5sin 6t 4 cos6t 41 sin 6t 41
, với
5
cos
41
4
sin
41


.
Do đî vật ở xa vị trí cân bằng nhất
max
h 41
khi
sin 6t 1 cos 6t 0
6t k t k
2 6 12 6
.
Trong giây đầu tiên,
1 6 1
0 t 1 0 k 1 k k 0;1
6 12 6 2 2
.
Vậy có
2
lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất.
Chọn D.
Câu 85. Phương trënh
sin x 1
x2
có bao nhiêu nghiệm?
A. Vï số nghiệm. B. Vï nghiệm. C.
3
nghiệm. D.
2
nghiệm
Lời giải
Vị trí cân bằng
h
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 51
Tập xác định:
D \ 0
.
Phương trënh tương đương với
2 sin x x
1
.
Số nghiệm của phương trënh
1
là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
y 2sin x
và
yx
.
Trên hệ trục
Oxy
vẽ đồ thị các hàm số
y 2sin x
và
yx
Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số chỉ cắt nhau tại ba điểm trong đî cî một điểm có
hoành độ
x0
không thỏa mãn phương trënh. Do vậy, phương trënh cî hai nghiệm phân
biệt.
Chọn D.
Câu 86. Hàm số
xx
f x sin tan
46

cî chu kỳ tuần hoàn nhỏ nhất là bao nhiêu? Biết rằng
sï
T0
được gọi là chu kỳ tuần hoàn của
fx
nếu như
f x f x T , x
A.
10
B.
24
C.
8
D.
14
Lời giải
Ta biết rằng chu kỳ của
sin x
là
2
, còn chu kỳ của
tan x
là
với
, 0.
Do đî, chu
kỳ của
xx
sin , tan
46
lần lượt là
8 , 6 .
Gọi T là chu kỳ cần tìm thì ta cần có
TT
,
86
là các số
nguyên dương. Do đî giá trị nhỏ nhất cần tìm là
T 24 .
Chọn B.
Câu 87. Cho phương trënh
3
3
m 3 m 3sin x sin x.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số
m
để phương trënh cî nghiệm?
A.
2.
B.
3.
C.
5.
D.
7.
Lời giải
Phương trënh
3
3
m 3 m 3sin x sin x
3
3
m 3sin x 3 m 3sin x sin x 3sin x.
Xét hàm
3
f t t 3t , t .
Hàm này đồng biến nên suy ra
3
33
f m 3sin x f sin x m 3sin x sin x m sin x 3sin x.
Đặt
u sin x 1 u 1 ,
phương trënh trở thành
3
m u 3u.
y
O
x
yx
2sinyx
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
52 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Xét hàm
3
g u u 3u , u 1;1 .
Ta tìm được
1;1
1;1
maxg u 2
.
min g u 2

Do đî, để phương trënh đã cho cî nghiệm
1;1
1;1
ming u m maxg u 2 m 2
m
m 2; 1;0;1;2 .

Chọn C.
Câu 88. Tập tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trënh
m m 1 1 sin x sin x
có nghiệm là
a; b .
Giá trị của
ab
bằng
A.
4.
B.
1
2.
2
C.
3.
D.
1
2.
4

Lời giải
Phương trënh
m 1 1 sin x m 1 1 sin x 1 sin x 1 sin x.
Xét hàm số
2
f t t t
với
t 0; . 
Hàm này đồng biến trên
0;
nên suy ra
f m 1 1 sin x f 1 sin x
m 1 1 sin x 1 sin x
m 1 1 sin x 1 sin x
m sin x 1 sin x
Đặt
u 1 sin x
, vì
sin x 1;1 u 0; 2


Phương trënh trở thành:
2
m u u 1.
Xét hàm
2
g u u u 1
với
u 0; 2 .


Ta có
1
g' u 2u 1; g ' u 0 u .
2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm
5
m 1 2
4
5
a
1
4
a b 2.
4
b 1 2


Chọn D.
u
'gu
gu
0
1
5
4
1
2
0
12
2
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 53
Câu 89. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh
3 3 3
sin x 2 cos2x 2 2 cos x m 1 2 cos x m 2 3 2 cos x m 2
cî đúng một nghiệm thuộc
2
0;
3


?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Phương trënh tương đương với
3 3 3 3
2 sin x sin x 2 2 cos x m 2 2 cos x m 2 2 cos x m 2.
Xét hàm
3
f t 2t t
với
t 0.
Ta có
2
f ' t 6t 1 0 
ft
đồng biến.
Mà
3
f sin x f 2 cos x m 2 ,
suy ra
3
23
sin x 0
sin x 2 cos x m 2
sin x 2 cos x m 2
23
sin x 2 cos x m 2
(vì
2
sin x 0, x 0;
3


)
2 3 3 2
1 cos x 2 cos x m 2 m 2 cos x cos x 1.
Đặt
u cosx
, vì
21
x 0; u ;1 .
32


Khi đî phương trình trở thành
32
m 2u u 1.
Xét
32
g u 2u u 1
, có
2
1
u 0 ;1
2
g ' u 6u 2u; g ' u 0 .
11
u ;1
32




Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm khi
m1
28
4m
27

m
m 4; 3; 2; 1 .

Chọn D.
Câu 90. Cho phương trënh
2
sin 2x cos2x sin x cosx 2 cos x m m 0.
Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh cî nghiệm ?
A.
2.
B.
3.
C.
5.
D.
9.
Lời giải
Điều kiện:
2
2 cos x m 0.
Phương trënh đã cho tương đương với
2
1 sin 2x sin x cos x 1 cos 2x m 2 cos x m
2
22
sin x cos x sin x cosx 2 cos x m 2 cos x m
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
54 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
2
2
22
sin x cosx sin x cosx 2 cos x m 2 cos x m
Xét hàm
2
f t t t
với
t 0.
Ta có
f ' t 2t 1 0, t 0
Hàm số
ft
đồng biến.
Mà
2
f sin x cos x f 2 cos m ,
suy ra
2
sin x cos x cos x m
2
22
sin x cos x 2 cos x m 1 sin 2x 2 cos x m sin 2x cos2x m.
Vì
sin 2x cos2x 2 sin 2x 2 ; 2
4





Phương trënh đã cho cî nghiệm
m
2 m 2 m 1;0;1 .

Chọn B.
Câu 91. Cho phương trënh
3
3
3
4sin x m sin x sin x 4sin x m 8 2.
Cî tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh cî nghiệm ?
A.
18.
B.
19.
C.
20.
D.
21.
Lời giải
Đặt
3
a 4sin x m
.
b sin x

Phương trënh trở thành:
3
33
a b a b 8 2
3
33
32
22
a b 2 a b 8
a b 6 a b 12 a b a b a ab b 0
a b 3ab 6a 6b 12 0
3 a b a 2 b 2 0.
Với
b 2 sin x 2
vô nghiệm.
Với
3
8m
a 2 4sin x m 2 sin x
4
Phương trënh cî nghiệm khi
m
8m
1 1 4 m 12 m 4;5;6;...;12 .
4

Với
3
3
a b 0 4 sin x m sin x 0 m sin x 4sin x. 
Đặt
t sin x 1 t 1 ,
ta được
3
m t 4t.
Xét hàm
3
f t t 4t
trên đoạn
1; 1 ,
ta được
5 f t 5
với mọi
t 1;1 .
Suy ra phương trënh cî nghiệm
m
5 m 5 m 5; 4;...;4; 5 .

Hợp hai trường hợp ta được
18
giá trị nguyên của
m
(vì
m 4, m 5
lặp lại).
Chọn A.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 55
Câu 92. Cho phương trënh
3 tan x 1 sin x 2 cos x m sin x 3 cosx .
Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số
m
thộc đoạn
2018; 2018
để phương trënh trên cî đúng một
nghiệm thuộc
0;
2



?
A.
2015.
B.
2016.
C.
2018.
D.
4036.
Lời giải
Điều kiện:
cos x 0.
Vì
cos x 0
nên phương trënh tương đương với
3 tan x 2 tan x 1 m tan x 3 .
Đặt
t tan x 1,
vì
x 0; t 1; .
2




Khi đî phương trënh trở thành
3
22
2
3t 3t
3t t 1 m t 2 m .
t2
Xét hàm
3
2
3t 3t
ft
t2
với
t 1; . 
Ta có
42
2
2
3 t 5t 2
f ' t 0, t 1; .
t2


Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm khi
m2
m 2018;2018
m
m 3, 4,...,2018


Có
2016
giá trị.
Chọn B.
Câu 93. Số các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh
2
cos x cos x m m
có
nghiệm là
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Lời giải
Đặt
u cosx m ,
ta có hệ
2
2
cos x u m
.
u cosx m


Trừ vế theo vế ta được:
22
u cosx
cos x u u cosx 0 u cosx cosx u 1 0 .
u cos x 1


u cos x 1,
ta được
m cosx cos x 1
2
2
3
1 m cosx cosx 1 m cos x cosx 1 m ;3
4



u cosx,
ta được
2
cosx 0
m cosx cosx
m cosx cos x


2
cosx 0
m cos x cosx m 0;2
Vậy
m 0;1; 2; 3
Có
4
số nguyên dương thỏa mãn.
Chọn C.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
56 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Câu 94. Số các giá trị nguyên của tham số
m
để phương trënh
m
1 2 cosx 1 2 sin x
3
cî nghiệm là
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Lời giải
Điều kiện:
1 2 cos x 0
2
k2 x k2 .
1 2 sin x 0
63



(Hình vẽ)
Phương trënh
2
m0
.
m
2 2 sin x cosx 2 1 2 sin x cos x 4sin x cos x
9
Đặt
13
t sin x cosx t ; 2
2




Phương trënh
1
trở thành
2
2
m
2 2t 2 2t 2t 1 .
9
Xét hàm
2
f t 2 2t 2 2t 2t 1
với
13
t ; 2 .
2




Ta có
2
4t 2 1 3
f' t 2 0, t ; 2 .
2
2t 2t 1




Suy ra
max f t f 2 4 2 4
.
13
min f t f 1 3
2





Do đî để phương trënh cî nghiệm
2
m
3 1 4 2 1
3 3 1 m 6 2 1
9
m0
m
m 5;6;7;8;9 .

Chọn D.
cos
sin
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57
Câu 95. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
f x sin sin x
3



lần lượt là
A.
1
và
1.
B.
0
và
1.
C.
3
2
và
3
.
2
D.
0
và
3
.
2
Lời giải
Vì
0 sin x 1 0 sin x .
33

Trên đoạn
0;
3



hàm số
sin
luïn tăng nên suy ra
sin 0 sin sin x sin
33





hay
3
0 sin sin x
32




.
Chọn D.
Câu 96. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
f x 2 cos x cos 2x
trên đoạn
;
33




lần lượt là
A.
3
và
1.
B.
1
4
và
1.
C.
19
27
và
1.
D.
3
và
3
.
4
Lời giải
Ta có
3 3 2
f x 2 cos x cos 2x 2 cos x 2 cos x 1.
Đặt
t cosx,
vì
1
x ; t ;1
3 3 2

Khi đî hàm số trở thành
32
f t 2t 2t 1
với
1
t ;1 .
2



Khảo sát hàm số
ft
trên đoạn
1
;1
2



, ta tëm được
19
min f x
27
.
max f x 1
Chọn C.
Câu 97. Gọi
m, M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2018
y 3 5sin x .
Giá trị của
Mm
bằng
A.
2018 4036
2 1 2 .
B.
2018
2.
C.
4036
2.
D.
6054
2.
Lời giải
Ta có
1 sin x 1 5 5sin x 5
hay
2018
2018
5 5sin x 5 2 3 5sin x 8 0 3 5sin x 8 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
6054
M 2 ,
giá trị nhỏ nhất của hàm số là
m0
.
Chọn D.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Câu 98. Gọi
M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y sin x 4sin x 5
. Tính
2
P M 2m .
A.
P 1.
B.
P 7.
C.
P 8.
D.
P 2.
Lời giải
Ta có
2
2
y sin x 4 sin x 5 sin x 2 1.
Do
2
1 sin x 1 3 sin x 2 1 1 sin x 2 9
2
2
M 10
2 sin x 2 1 10 P M 2m 2.
m2
Chọn D.
Câu 99. Giá trị nhỏ nhất của
22
2x 4x
f x sin cos 1
x 1 x 1

gần nhất với số nào sau
đây?
A.
1.
B.
1
.
2
C.
1
.
4
D.
1
.
8
Lời giải
Ta có
2
2 2 2
4x 2x 2x
cos cos2 1 2 sin .
x 1 x 1 x 1
Do đî
2
22
2x 2x
f x 2 sin sin 2.
x 1 x 1

Đặt
2
2x
t sin 1;1 ,
x1
ta được
2
f t 2t t 2.
Xét hàm
2
f t 2t t 2
trên đoạn
1; 1 ,
ta được
1;1
min f t 1.

Lời giải trên có vẻ hợp lû nhưng xét kỹ thì không ổn vì
2
2x
11
x1
(xét hàm).
Khi đî
2
2x
t sin sin 1;sin 1 .
x1
Tương tự như trên, xét hàm
2
f t 2t t 2
trên đoạn
sin 1;sin 1 ,
ta được
2
sin1;sin1
min f t f sin 1 2 sin 1 sin 1 2 0,25.
Chọn C.
Nhận xét. Bài toán chỉ hay khi tự luận, nếu trắc nghiệm thì dùng MODE 7 rất nhanh.
Câu 100. Gọi
m, M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
cosx 2 sin x 3
y.
2 cos x sin x 4


Tính
S 11m M.
A.
S 10.
B.
S 4.
C.
S 6.
D.
S 24.
Lời giải
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm số.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 59
Khi đî phương trënh
0
cos x 2 sin x 3
y
2 cosx sin x 4


có nghiệm.
Ta có
0 0 0 0
cosx 2 sin x 3
y 2y 1 cosx y 2 sin x 3 4y .
2 cosx sin x 4


Phương trënh cî nghiệm
2 2 2
0 0 0
2y 1 y 2 3 4y
2
0 0 0
M2
2
11y 24y 4 0 y 2 P 4.
2
11
m
11
Chọn B.
Câu 101. Gọi
M, m
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
sin x cosx 1
y.
2 sin 2x

Khi đî,
M 3m
bằng
A.
1.
B.
1.
C.
2.
D.
1 2 2.
Lời giải
Ta có
2
sin x cosx 1 sin x cosx 1
y.
2 sin 2x
sin x cosx 1


Đặt
u sin x cos x,
điều kiện
u 2.
Khi đî
2
u1
y.
u1
Xét hàm
2
u1
y
u1
trên đoạn
2 ; 2 .


Ta có
22
1u
y ; y 0 u 1.
u 1 u 1


Tính
1 2 1 2
y 2 , y 2 , y 1 2
33

M max y 2
M 3m 1.
12
m min y
3


Chọn B.
Câu 102. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số
44
21
y
1 cos x cos x

cî dạng
a b 2
với
a, b
là các số nguyên. Tình
S a b.
A.
S 3.
B.
S 4.
C.
S 5.
D.
S 7.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta được
2
4 4 4 4
21
21
y 3 2 2.
1 cos x cos x 1 cos x cos x
Suy ra
a3
S 5.
b2

Chọn C.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
60 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Câu 103. Cho hàm số
22
y 1 2 sin x 1 2 cos x 1.
Gọi
m, M
lần lượt là giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đî giá trị của
Mm
gần nhất với số nào sau đây?
A.
5
.
2
B.
7
.
2
C.
9
.
2
D.
11
.
2
Lời giải
Xét
22
t 1 2 sin x 1 2 cos x
2 2 2 2 2 2
2
22
t 1 2 sin x 1 2 cos x 2 1 2 sin x 1 2 cos x 4 2 3 sin 2x
t 4 2 3 sin 2x 4 2 3 1 3
y 1 2 sin x 1 2 cos x 1 3.
Dấu
'' ''
xảy ra khi
sin 2x 0.
Lại có
2 2 2 2 2 2
1 2 sin x 1 2 cos x 1 1 1 2 sin x 1 2 cos x 2 2
22
y 1 2 sin x 1 2 cos x 1 2 2 1.
Dấu
'' ''
xảy ra khi
22
sin x cos x.
Vậy
m3
M m 3 2 2 1 3,56.
M 2 2 1

Chọn B.
Câu 104. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2018 2018
f x sin x cos x
lần lượt là
A.
1008
1
2
và
2.
B.
1009
1
2
và
1.
C.
0
và
1.
D.
1008
1
2
và
1.
Lời giải
Đặt
22
a sin x, b cos x.
Ta có
2018 2018 2 2
sin x cos x sin x cos x 1.
Dấu
""
xảy ra
x k .
2

1009
1009 1009
2018 2018
1008
a b a b 1
sin x cos x 2. 2 .
2 2 2







Dấu
""
xảy ra
x k .
42

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng
1008
1
;
2
giá trị lớn nhất bằng
1.
Chọn D.
Câu 105. Cî bao nhiêu giá trị của tham số thực
a
để hàm số
cosx asin x 1
y
cosx 2

cî giá trị
lớn nhất bằng
1
?
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.
Lời giải
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 61
Ta có
cos x asin x 1
y y cosx 2 cosx asin x 1
cos x 2

asin x 1 y cos x 2y 1.
Phương trënh cî nghiệm
22
2 2 2
a 1 y 2y 1 3y 2y a 0
22
1 1 3a 1 1 3a
y.
33
Yêu cầu bài toán
2
22
a1
1 1 3a
1 1 3a 2 1 3a 4 .
a1
3


Chọn C.
Câu 106. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc
0; 10
để hàm số
1 m sin x
y
cosx 2
cî giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn
2
?
A.
5.
B.
6.
C.
11.
D.
12.
Lời giải
Ta có
1 m sin x
y y cos x 2 1 m sin x m sin x y cosx 1 2y.
cosx 2
Phương trënh cî nghiệm
2
2 2 2 2
y m 2y 1 3y 4y 1 m 0
22
2 3m 1 2 3m 1
y.
33
Yêu cầu bài toán
2
22
m 21
2 3m 1
2 3m 1 8 m 21 .
3
m 21


m
m 0 ;10
m 5;6;7;8;9;10 .

Chọn B.
Câu 107. Cho hàm số
2 2 2
x
y 2 sin x 2 cos 3 sin x a
62
(với là tham số). Gọi
m, M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
2
;.
63




Có bao
nhiêu giá trị nguyên của
a
để
2
321
mM
4

?
A.
3.
B.
4.
C.
6.
D.
7.
Lời giải
Ta có
2
x
2 cos 3 sin x cosx 3 sin x 1 1 2 sin x .
26
Do đî
22
y 2 sin x 2sin x a 1.
66

Đặt
t sin x ,
6




vì
2
x ; t 0;1
63




CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
62 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Hàm số trở thành
2
2 2 2
11
y 2t 2t a 1 2 t a .
22



Vì
2
1 1 1 1 1
0 t 1 t 0 t
2 2 2 2 4

 


.
Suy ra
2
2 2 2
1 1 1
a 2 t a a 1.
2 2 2



2
2
2 2 2
2
1
ma
321 1 321
m M a a 1 3 a 3.
2
4 2 4
M a 1





Suy ra có
7
giá trị nguyên của thỏa.
Chọn D.
Câu 108. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị thực của tham số
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
y sin x cos 2x m
bằng
2.
Hỏi tập
S
cî bao nhiêu phần tử?
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Lời giải
Ta có
2
4 4 2 2 4
sin x cos 2x sin x 2 sin x 1 1 sin x cos x
4
y cos x m .
Vì
44
0 cos x 1 m cos x m 1 m.
Suy ra
min y min m , m 1 .
Yêu cầu bài toán
m m 1
m 1 2
m3
.
m2
m 1 m
m2



Vậy
S 3;2 .
Chọn B.
Câu 109. Cho
x, y
là các số thực thỏa mãn
cos 2x cos 2y 1.
Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
P tan x tan y
bằng
A.
1
.
3
B.
2
.
3
D.
8
.
3
C.
3.
Lời giải
Ta có
22
1 1 1 1
P 1 1 2 2.
cos x cos y 1 cos2x 1 cos2y




Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được
2
11
42
P 2 2 2. 2 .
2 cos 2x cos 2y 2 1 3




Chọn B.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 63
Câu 110. Cho hàm số
y f x
xác định trên
,
thỏa mãn
1
f tan x sin 2x cos2x
2

với
mọi
x ; .
22





Với
a, b
là hai số thực thay đổi thỏa mãn
a b 1,
giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
S f a .f b
bằng
A.
1
.
25
B.
1
.
2
C.
5 3 5
.
2
D.
5 3 5
.
2
Lời giải
Theo giả thiết, ta có
22
2 2 2
tan x 1 tan x tan x tan x 1
f tan x
1 tan x 1 tan x 1 tan x

2
2
t t 1
f t .
t1


Do đî
2
2
2
2
1 a 1 a 1
a a 1 5 3 5
S f a .f b f a .f 1 a . .
a 1 2
1 a 1

Chọn C.
Câu 111. Cho hai số thực
x, y
thuộc
0;
2



và thỏa mãn
cos2x cos 2y 2 sin x y 2.
Giá trị nhỏ nhất của
4
4
cos y
cos x
P
yx

bằng
A.
2
.
3
B.
3
.
C.
2
.
D.
5
.
Lời giải
Ta có
22
cos2x cos2y 2 sin x y 2 sin x sin y sin x y .
Suy ra
x y .
2

Áp dụng BĐT cộng mẫu
2
22
ab
ab
,
m n m n

ta được
2
22
2
2
22
22
cos x cos x
cos x cos y
cos x sin x
2
2
P.
x y x y x y






Dấu
'' ''
xảy ra
x y .
4
Chọn C.
Nhận xét. Việc suy ra
xy
2

được chứng minh như sau:
Với
x, y 0;
2



suy ra
x, y
22


cùng thuộc
0; .
2



Trên đoạn
0; ,
2



hàm
đồng biến.
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
64 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Nếu
x y sin x sin y cos y
22
xy
2
y x sin y sin x cos x
22







22
sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y sin x.cos y sin y.cos x sin x y
Mâu thuẫn
Tương tự cho
x y .
2

Trường hợp
x y :
2

thỏa mãn.
Câu 112. Cho
a, b, c
là các số thực thỏa mãn
2 2 2
a b c 4.
Tìm giá trị lớn nhất
M
trong
tất cả các hàm số
y a b sin x c cos x
với
x 0; .
4


A.
M 1 2 .
B.
M 1 2.
C.
M 2 1 2 .
D.
M 2 1 2 .
Lời giải
Ta có
2
2 2 2
a b sin x c cos x a b c 1 sin x cos x
4 1 2 sin x 4 1 2 .
4





Suy ra
a b sin x c cosx 2 1 2 .
Dấu
'' ''
xảy ra
4
2 2 2
bc
a
2 2 2
sin x cos x
a ; b c
2 2 2 2
a b c 4 .
x
sin x 1, x 0;
4
44







Chọn C.
Câu 113. Cho hai số thực dương
a, b
thỏa mãn
sin 2 2ab sin a b 2ab a b 2.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S a 2b
bằng
A.
2 10 3
.
2
B.
3 10 7
.
2
C.
2 10 1
.
2
D.
2 10 5
.
2
Lời giải
Ta có
sin 2 2ab sin a b 2ab a b 2
sin 2 2ab 2 2ab sin a b a b
Xét hàm
f t sin t t
với
t.
Ta có
f ' t cost 1 0
Hàm số
ft
đồng biến.
Mà
f 2 2ab f a b
nên
2a
2 2ab a b b
2a 1
(vì
b 0 a 2
).
Khi đî
4 2a
S a 2b a .
2a 1
Khảo sát hàm số trên
0; 2
ta được
2 10 3
min S .
2
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 65
Chọn A.
Câu 114. Cho hai số thực dương
a, b
thỏa mãn
cos x y 1 3 cos 3xy 9xy 3x 3y.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S x y 2
bằng
A.
11 4 7
.
9
B.
1.
C.
28 8 7
.
21
D.
7 2 7
.
21
Lời giải
Ta có
cos x y 1 3 cos 3xy 9xy 3x 3y
cos x y 1 3 x y 1 cos 3xy 3 3xy
Xét hàm
f t cos t 3t
với
t.
Ta có
f ' t sin t 3 0
Hàm số
ft
đồng biến.
Mà
f x y 1 f 3xy
nên
y1
x y 1 3xy x .
3y 1
Khi đî
2
y 1 y 2
y 3y 2
S.
3y 1 3y 1




Khảo sát ta tëm được
11 4 7
min S .
9
Chọn A.
LỜI KẾT
Vậy là chúng ta đã đi đến trang cuối cùng của tuyển tập này, tuy bài viết chưa thực sự là
hay nhưng hy vọng những kiến thức mà mình đưa vào trong bài viết có thể giúp ích được
các bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra có thể còn một vài thiếu xót trong tuyển tập này,
mong mọi người bỏ qua. Một lần nữa gửi lời cảm ơn đến những người có đóng góp cho bài
viết này và chúc các bạn một mùa ôn thi thành công nhé!
| 1/68
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO
MỘT SẢN PHẨM CỦA FANGAGE TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
TÀI LIỆU ĐƯỢC PHÁT HÀNH MIỄN
PHÍ TẠI BLOG CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Nguyễn Minh Tuấn K14 Đại học FPT LỜI GIỚI THIỆU
Lượng giác là một vấn đề khá đơn giản trong chương trình toán phổ thông, trong chuyên
đề này mình sẽ giới thiệu cho các bạn đọc một số dạng toán hay và khó về chủ đề này, các
bài tập chủ yếu được lấy từ trong các đề thi thử THPT Quốc Gia trong cả nước để các bạn
có thêm cái nhìn toàn diện về vấn đề này. Để có thể viết nên được chuyên đề này không
thể không có sự tham khảo từ các nguồn tài liệu của các các group, các khóa học, tài liệu
của các thầy cô mà tiêu biểu là
1. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh
2. Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/
3. Website Toanmath: https://toanmath.com/
4. Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810
5. Thầy Huỳnh Đức Khánh
Trong bài viết mình có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có thể sẽ có những câu hỏi chưa hay
hoặc chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi
những thiếu sót, mong bạn đọc có thể góp ý trực tiếp với mình qua địa chỉ sau: Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT
Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com
Blog: https://lovetoan.wordpress.com/
Bản pdf được phát hành miễn phí trên blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, mọi hoạt
động sử dụng tài liệu vì mục đích thương mại đều không được cho phép. Xin chân thành cảm ơn bạn đọc.
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO
Chinh phục Olympic toán – Nguyễn Minh Tuấn
GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
Bài viết dưới đây được lấy từ VMF của thành viên hoangtrong2305!
Benny là một độc giả của IntMath Newsletter. Gần đây, ïng đã viết:
“Tôi sẽ đến một trường cao đẳng cộng đồng và sẽ học về lượng giác ở học kỳ tiếp theo. Vì vậy, tôi
muốn có cái nhìn sơ nét về những gì tôi sắp học.”
Vâng, Benny, bạn đã thực hiện một bước khởi đầu tốt bằng cách tëm hiểu những gë bạn sắp
học trước khi học kỳ bắt đầu. Nhiều học sinh không tìm hiểu về những gì họ đang học cho
đến khi họ phải làm các bài tập đầu tiên, khi đî, họ bắt đầu “rối tung” trong việc tëm hiểu
cũng như để bắt kịp với phần cín lại của học kỳ.
Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác". Vì vậy, khi học về
lượng giác, bạn sẽ vẽ và nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.
I. SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC
Chúng ta hãy xem xét một số ứng dụng của lượng
giác trong cuộc sống hằng ngày. Hïm nay, cî thể
bạn sẽ lái xe qua 1 cây cầu. Cây cầu được xây dựng
bằng cách sử dụng các kiến thức về lực tác dụng ở
những góc khác nhau. Bạn sẽ nhận thấy rằng cây
cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác đã được
sử dụng khi thiết kế độ dài và độ vững chắc của
những hënh tam giác đî. Chúng ta hãy xem xét một
số ứng dụng của lượng giác trong cuộc sống hằng
ngày. Hïm nay, cî thể bạn sẽ lái xe qua 1 cây
cầu. Cây cầu được xây dựng bằng cách sử dụng các
kiến thức về lực tác dụng ở những góc khác nhau.
Bạn sẽ nhận thấy rằng cây cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác đã được sử dụng khi
thiết kế độ dài và độ vững chắc của những hënh tam giác đî.
Xe của bạn (hoặc điện thoại) cî thể cî cài đặt GPS
(Global Positioning System - hệ thống định vị trên
mặt đất), sử dụng lượng giác cho bạn biết chính xác
bạn đang ở đâu trên bề mặt Trái Đất. GPS sử dụng
các dữ liệu từ nhiều vệ tinh và các kiến thức về hình
học trái đất, sau đî sử dụng lượng giác để xác định
vĩ độ và kinh độ của bạn.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 1
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Hïm nay, cî thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn nghe
được ghi âm kỹ thuật số (một quá trình sử dựng
phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác)
được nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm
dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng phân biệt
âm thanh của tai của con người), phép nén này đíi
hỏi các kiến thức về lượng giác.
Trên đường đến trường, bạn sẽ vượt qua một tía nhà cao tầng. Trước khi xây dựng, các kỹ
sư sử dụng máy trắc địa để đo đạc khu vực. Sau đî, họ sử dụng phần mềm mô phỏng 3D
để thiết kế xây dựng, và xác định góc ánh sáng mặt trời và hướng gió nhằm tính toán nơi
đặt các tấm năng lượng mặt trời cũng như hiệu suất năng lượng cao nhất về. Tất cả các quá
trình này đíi hỏi sự am hiểu về lượng giác. Máy trắc địa
Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến những gë bạn cî thể làm vào những thời
điểm khác nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho ngư dân là những dự
đoán về thủy triều năm trước. Những dự báo này được thực hiện bằng cách sử dụng lượng
giác. Thủy triều là ví dụ về một sự kiện xảy ra có chu kỳ, tức xuất hiện lặp đi lặp lại. Chu
kỳ này thường mag tính tương đối.
Trong thực tế, lượng giác cî vai trí quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
2 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
II. NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC?
Bạn thường bắt đầu nghiên cứu về lượng giác bằng
cách tëm hiểu hënh tam giác được sử dụng để đo
lường những điều khî đo lường bằng tay như thế
nào. Ví dụ, chiều cao của núi và cây có thể được xác
định bằng cách sử dụng các hình tam giác tương ứng.
Tôi có thể dễ dàng đo độ dài ABAB và ACAC trong
tam giác ABCABC (viết Δ ABC Δ ABC). Sau đî, ta
dùng số liệu này để tëm chiều cao DEDE. Tôi có thể
làm một quá trình tương tự để tìm chiều cao của ngọn núi.
Điều gë xảy ra nếu các gîc trong tam giác khác nhau? “Lượng giác” cho phép chúng ta sử
dụng các tỷ lệ có liên quan đến bất kỳ góc nào trong ΔABC ΔABC, vë vậy chúng tïi cî thể
tình toán một loạt các đỉnh cao mà khïng cần phải tiến hành đo.
Bạn sẽ tëm hiểu về ba tỷ lệ quan trọng đối với bất kỳ gîc độ: sine (có thể được rút gọn là
sin), cosine (có thể được rút gọn là cos) và tangent (có thể được rút gọn là tan). Tôi khuyến
khích bạn nên tìm hiểu về 3 tỉ lệ này một cách rõ ràng vì phần lớn kiến thức lượng giác sử dụng chúng rất nhiều.
Thïng thường chúng ta đo gîc bằng độ (°), nhưng đơn vị này không hữu ích lắm cho khoa
học và kỹ thuật. Bạn cũng sẽ tìm hiểu về radian, đî là đơn vị đo thay thế cho đơn vị đo góc hữu ích hơn .
Sau khi bạn đã nắm vững những điều cơ bản, bạn sẽ đi tiếp để tëm hiểu về đồ thị của hàm
số lượng giác (suy nghĩ về các đường gợn sóng bạn sẽ nhìn thấy trên một đồ thị động đất
hoặc một hình trái tim) và sau đî phân tích lượng giác, cho bạn một tập các phương pháp
để giải quyết các vấn đề phức tạp một cách dễ dàng hơn.
ECG của một bệnh nhân 26 tuổi.
III. LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC
Vẽ thật nhiều. Vẽ chắc chắn sẽ giúp bạn có sự hiểu biết về lượng giác. Khi bạn cần phải
giải quyết vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực sự có giá trị khi bạn có thể phác thảo các vấn
đề một cách nhanh chîng và chình xác. Đặc biệt: 
Vẽ hënh tam giác mà bạn đang theo học. 
Phác họa tënh huống trong những vấn đề xung quanh.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 3
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Thực hành vẽ đồ thị hàm sin và cosin cho đến khi bạn có thể làm điều đî mà không
cần phải chấm hàng triệu điểm trên trang giấy.
Học các kiến thức cơ bản thật chắc. Kiến thức “cơ bản” là: 
Các định nghĩa của sin, cos và tan và làm thế nào để sử dụng chúng trong tam giác; 
Dấu tỷ lệ lượng giác của các gîc lớn hơn o
90 (tức là biết khi nào giá trị đî là dương hay âm) 
Các đồ thị hàm y  sin x và y  cos x (và các khái niệm về hàm tuần hoàn)
Cẩn thận khi dùng máy tính. Các vấn đề thường gặp nhất khi sử dụng máy tính cầm tay
trong lượng giác bao gồm: 
Thiết lập sai chế độ (ví dụ như máy tính ở chế độ “độ” khi bạn đang tình toán trong chế độ radian) 
Tin tưởng vào máy tình hơn não của bạn. Các máy tính sẽ không luôn luôn cung
cấp cho bạn dấu chính xác (+ hoặc -). Thường thì bạn phải tự tìm hiểu. 
Luïn ước lượng câu trả lời của bạn, đầu tiên, do đî bạn cî thể kiểm tra kết quả mà máy tình cho bạn. 
Hãy chắc chắn rằng bạn biết lû do tại sao máy tình của bạn khïng sử dụng “ 1 sin ” hoặc “ 1
cos ”. Điều này nhiều học sinh hay lẫn lộn và sử dụng các kû hiện
trên khïng thật sự cần thiết. Chúng ta nên sử dụng arcsin  để không bị nhầm lẫn với 1 . sin 
Đây là câu trả lời của tïi dành cho Benny. Tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn ý tưởng về
cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh không mấy thích
lượng giác. Bạn sẽ không cảm thấy sợ hãi nữa khi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc gì
cũng như thực hiện các lời khuyên trên.
Nguồn: http://www.intmath.c...-all-about-6163
4 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Đường cong trong hënh bên mï tả đồ thị của
hàm số y  A sin x    B (với A, B,  là các hằng số và      0;  ). Tính 12 S  A  B  . 2     A. S  1. B. S  2. C. S  3. D. S  5. Lời giải   2  A sin     B  3     1  3  
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hệ phương trënh A  sin   B  0 2     A  sin     B   1 3   3  Ta thấy    
A  0 không thỏa mãn hệ. Do đî   1 B 3  sin      . 4  3  A Từ        1 2 4  A  sin       B  3   A  sin      B  3  B  1    3   3  A  sin   1 Thay    
B  1 vào 2 và 3 , ta có hệ      sin      2 sin  A sin      2  3     3     0;   3   2
 sin cos  cos sin   2 sin   3 cos  3sin   tan         . 3 3 3 6 A   2; B  1 Với       12 A  2. Vậy    S  A  B   3. 6     6 Chọn C.
Nhận xét. Cách trắc nghiệm: nhën đồ thị đoán được A  2; B  1
 (dựa vào min – max) và
dùng dữ kiện đồ thị đi qua gốc tọa độ suy ra    . 6
Câu 2. Gọi n là số nguyên thỏa mãn  0    0    0   n 1 tan 1 . 1 tan 2
1 tan 45  2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. n 1;7. B. n 8;19. C. n 20;26. D. n 27;33. Lời giải
Ta có biến đổi: 1 tan 1.1  tan 2 1  tan 45
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 5
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
cos1 sin1 cos2 sin 2 cos45sin 45     cos 1 cos 2 cos 45 2 sin 1  45 2 sin 2  45 2 sin 45  45     cos 1 cos 2 cos 45
 45 cos44 .cos43 .....cos2 .cos1 sin90  2 .  cos1 .  cos 2 .  ....cos 43 .  cos 44 cos 45        45 1 2 .    245 23 . 2  2  n  23.  2     2  Chọn C.
Câu 3. Tëm số nguyên dương n nhỏ nhất của thỏa mãn 1 1 1 2     . 0 0 0 0 0 0 0 sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin 134 .sin 135 sin n A. n  1. B. n  45. C. n  46. D. n  91. Lời giải Đặt 1 1 1 P    
sin 45.sin 46 sin 46.sin 47 sin 134.sin 135 sin 1 sin 1 sin 1  sin 1 .  P     sin 45 .
 sin 46 sin 46 .sin 47 sin 134 .  sin 135  sin 1 .
 P  cot 45  cot 46  cot 46  cot 47  ... cot 134  cot 135  sin 1 .
 P  cot 45  cot 135  2 2  P   n  1. sin 1 Chọn A. Câu 4. Cho góc   thỏa 0    và 5 sin   cos 
. Tính P  sin   cos .  4 2 A. 3 1 1 P  . B. P   C. P    D. 3 P   . 2 2 2 2 Lời giải Ta có    2     2   2 2 sin cos sin cos
2 sin   cos   2 . Suy ra    2     2 5 3 sin cos 2 sin cos  2   . 4 4 Do 
0    suy ra sin   cos  nên sin   cos   0 . Vậy 3 P   . 4 2 Chọn D. Câu 5. Cho góc      thỏa mãn 4  tan    và 3
  ;2 . Tính P  sin  cos . 3 2    2 2 A. P  5. B. P   5. C. 5 P   . D. 5 P  . 5 5 Lời giải
6 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ta có       2  P  1  sin .  Với 3 3  ;2     ;  . 2 2 4        2 0  sin  Khi đî  2 2   
, suy ra P  sin  cos  0 .   2 2 2 1  cos    2 2 Từ hệ thức 2 2 1 16
sin   cos   1 , suy ra 2 2
sin   1  cos   1   . 2 1  tan  25 Vì  3    ; 2  nên ta chọn 4 sin    . 2    5 Thay 4 sin    vào 2 P , ta được 2 1 P  . Suy ra 5 P   . 5 5 5 Chọn C.
Câu 6. Cho phương trënh       5    cos 2 x   4 cos  x      . Nếu đặt t  cos   x thì  3   6  2  6 
phương trënh đã cho trở thành phương trënh nào dưới đây?   2 x   k  A. 2
4t  8t  3  0. B. 2
4t  8t  3  0. C. 2
4t  8t  5  0. D. 4 4   x    k2  3 Lời giải Ta có         2 2  cos 2 x   1  2 sin x   1  2 cos       x.  3   3   6 
Do đî phương trënh tương đương với      2  3 2  cos  x  4 cos  x       0  6   6  2      2   4  cos  x  8cos  x  3      0.  6   6  Nếu đặt    t  cos  
x thë phương trënh trở thành 2 2 4
 t  8t  3  0  4t  8t  3  0. 6    Chọn A.
Câu 7. Biểu diễn tập nghiệm của phương trënh cos x  cos 2x  cos 3x  0 trên đường trín
lượng giác ta được số điểm cuối là A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải
Ta có cos x  cos 2x  cos 3x  0  2 cos 2x cos x  cos 2x  0   k2 cos 2x  0 x     4 4  1  
k  và các điểm này không trùng nhau nên tập nghiệm cosx      2 x    k2  3
của phương trënh đã cho cî 6 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 7
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chọn D.
Câu 8. Cî bao nhiêu giá trị của  thuộc 0;2 để ba phần tử của S  sin ,sin 2,sin 3  
trùng với ba phần tử của T  cos,cos2,cos3   . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải
Vì S  T  sin   sin 2  sin 3  cos  cos 2  cos 3
 2 sin 2 cos  sin 2  2 cos 2 cos  cos 2  sin 2 2 cos  1  cos22 cos  1    sin 2  cos 2    k   8 2  1   k  . cos    2  2     k2  3
Thử lại ta thấy chỉ có  
   k k   thỏa S  T. 8 2 Vì     1 15
0;2  0   k  2    k   k 0;1;2;  3 . 8 2 4 4 Chọn D.
Câu 9. Phương trënh n1 n 2
cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x...cos 2 x  1 với * n  cî tập nghiệm
trùng với tập nghiệm của phương trënh nào sau đây? A. sin x  0. B. n sin x  sin 2 x. C. n1 sin x  sin 2 x. D. n2 sin x  sin 2 x. Lời giải
Vì x  k không là nghiệm của phương trënh đã cho nên nhân hai vế phương trënh cho sin x, ta được n1   n 2
sin x cos x .cos 2x.cos 4x.cos8x...cos 2 x sin x n  2 sin 2x n
.cos 2x.cos 4x.cos 8x...cos 2 x  sin x n  2 sin 2x.cos 2x n
.cos 4x.cos 8x...cos 2 x  sin x n1  2  2 sin 2 x n
.cos 4x.cos 8x...cos 2 x  sin x n2  sin 2 x  sin x. Chọn D.
Câu 10. Tình diện tìch của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trín lượng giác biểu diễn
các nghiệm của phương trënh    tan x  tan x     1.  4  A. 3 10 . B. 3 10 . C. 2. D. 3. 10 5 Lời giải cos x  0   x   k  Điều kiện:   2       k  . cos x      0   4 x   k    4
8 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ta có    tan x  1 tan x  tan x   1  tan x     1  4  1  tan x 2
 tan x  tan x  tan x  1  1  tan x tan x  0 x  k 2  tan x  3tan x  0   k    . tan x  3 x  arctan 3  k  
 Nghiệm x  k biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm A, B (xem hình vẽ).
 Nghiệm x  arctan 3  k biểu diễn trên đường trín lượng giác là hai điểm M, N (xem hình vẽ). Ta có 1 1 AO.AT 3 10 3 10 S        MN.AH .MN. S . AMN AMBN 2 2 2 2 AO  AT 10 5 Chọn B.
Câu 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh  2
sin 5x  2 cos x  1 cî dạng a với b
a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b. A. S  3. B. S  7. C. S  15. D. S  17. Lời giải
Phương trënh tương đương với 2
sin 5x  1  2 cos x  sin 5x   cos 2x   2 x    k     6 3  sin 5x  sin 2x      2   3 2 x   k  14 7 3 a  3
Nghiệm dương nhỏ nhất là    S  17 14 b   14 Chọn D.
Câu 12. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh sin x 1    cot x  2 cî dạng a 1  cos x 1  cos x b
với a, b là các số nguyên, a  0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b. A. S  3. B. S  4. C. S  5. D. S  7. Lời giải cos x  1  Điều kiện:   x  k k  . sin x   0 sin x1  cos x   Phương trënh 1 cos x cos x    2 2 sin x sin x 2
 sin x  cos x  1  2 sin x
 sin x  cosx  cos2x  0
 sin x  cosx1  cosx  sin x  0.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 9
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 sin x  cos x  0  tan x  1
  x    k k   4      2 x   k2N  
1  cos x  sin x  0  sin x    2 k    . 4 2    x    k2  L  a  1 
Nghiệm âm lớn nhất là     S  3 4 b   4 Chọn A.
Câu 13. Cho phương trënh      2 2  sin x  sin 5x  2 cos  x  2 cos    
2x. Số vị trì biểu diễn  4   4 
các nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải       2  2 cos  x  1  cos  2x  1       sin 2x Ta có   4   2   .       2  2 cos  2x  1  cos  4x  1      sin 4x   4   2 
Do đî phương trënh tương đương với sin x  sin 5x  sin 2x  sin 4x
 2 sin 3x cos 2x  2 sin 3x cos x
 2 sin 3xcos2x  cosx  0.   k sin 3x  0  x  k  . 3 x  k2  cos 2x cos x 0 cos 2x cos x       k2 k  . x   3
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là k k2 x  = k   3 6
Có 6 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác. Chọn D.
Câu 14. Cho phương trënh     3 sin x cos xsin 2x
3 cos 3x 2 cos 4x  sin x. Tổng nghiệm
âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh bằng A.      . B.  . C.  . D. . 7 18 20 7 Lời giải Phương trënh 1      3sin x  sin 3x sin x
sin 3x sin x  3 cos 3x  2 cos 4x  2 2   
 sin 3x  3 cos3x  2 cos 4x  sin 3x     cos 4x  3 
10 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN   k2 x          42 7  sin 3x    sin   4x    k .  3   2   x    k2  6
Suy ra nghiệm âm lớn nhất là  
 ; nghiệm dương nhỏ nhất là . 6 42 Chọn A.
Câu 15. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trënh     1
cos 3x 2 cos 2x 1  cî dạng a với 2 b
a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tình S  a  b. A. S  7. B. S  8. C. S  15. D. S  17. Lời giải
Phương trënh  4 cos 3x cos 2x  2 cos 3x  1  2cos5x  cosx  2 cos 3x  1
 2 cos x  2 cos 3x  2 cos 5x  1.
 Nhận thấy sin x  0  x  k k   không thỏa mãn phương trënh.
 Nhân hai vế cho sin x ta được 2 sin x cos x  2 sin x cos 3x 2 sin x cos 5x sin x
 sin 2x  sin 4x  sin 2x  sin 6x  sin 4x  sin x  k2 x   5  sin 6x  sin x   k  .  k2 x    7 7  a  1
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là    S  8 7 b   7 Chọn B.
Câu 16. Cho phương trënh 2018 2018    2020 2020 sin x cos x 2 sin x  cos
x. Số vị trì biểu diễn các
nghiệm của phương trënh trên đường trín lượng giác là? A. 3. B. 4. C. 6. D. 2020. Lời giải Phương trënh 2018   2   2018   2 sin x 1 2 sin x cos x 1  2 cos x  0 2018 2018  sin x.cos 2x  cos x cos 2x  0 cos 2x  0   . 2018 2018 sin x   cos x    k cos 2x  0  x   k  . 4 2   2018 2018 2018 sin x  cos x  tan x  1  tan x  1
  x    k k  . 4
Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trënh đã cho là  k x   k   4 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 11
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Có 4 điểm biểu diễn trên đường trín lượng giác. Chọn B.
Câu 17. Nghiệm âm lớn nhất của phương trënh   2018 2018 2017  tan x  cot x  2 sin x   cî dạng 4    a
 với a, b là các số nguyên, a  0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tình S  ab. b A. S  3. B. S  1. C. S  1. D. S  3. Lời giải 2018 2018 tan x  cot x  2 Ta có     . 2017 2 sin x      2   4 
Do đî phương trënh tương đương với: tan x  cot x   x   k    4       
 x   k2 k  . sin x      1  4  4 x   k2    4 7 a  7 
Nghiệm âm lớn nhất là     S  3  . 4 b   4 Chọn A.
Câu 18. Cho phương trënh 2017  2018 2018     cos 2x 2 sin x cos x sin x cos x cos x  . Nghiệm 1  tan x
dương nhỏ nhất của phương trënh cî dạng a
 với a, b là các số nguyên và nguyên tố b
cùng nhau. Tính S  a  b. A. S  2. B. S  3. C. S  4. D. S  7. Lời giải cos x  0 Điều kiện:  . tan x   1 2 2 Ta có cos 2x cos x  sin x 
 cos xcos x  sin x. 1  tan x sin x 1  cosx Do đî phương trënh 2017   2018 2018 2 sin x  cos
xsin x  cosxcosx  sin x  cosxcosx     2017   2018 2018 cos x sin x cos x . 2 sin x  cos x  1  0.   cos x  0L 
 sin x  cos x  0  tan x  1
  x    k k  . 4  2017  2018 2018   2017     2018 2018 2 sin x cos x 1 0 2 sin x  cos x  1: Vô nghiệm vì
12 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1009 1009 1009      2018 2018 a b a b  1 sin x  cos x  2.   2    với 2 2 a  sin x, b  cos x. 1008  2   2  2 3 a  3
Nghiệm dương nhỏ nhất là    S  7 4 b   4 Chọn D.
Câu 19. Biết rằng phương trënh 1 1 1 1      0 cî nghiệm dạng 2018 sin x sin 2x sin 4x sin 2 x k2 x  với k  và a, b  
, b  2018. Tính S  a  b. a 2  b A. S  2017. B. S  2018. C. S  2019. D. S  2020. Lời giải Điều kiện: 2018 sin 2 x  0. 2 Ta có cosa cos 2a 2 cos a  cos 2a 1 cot a  cot 2a     . sin a sin 2a sin 2a sin 2a Do đî phương trënh  x 
 cot  cot x  cot x  cot 2x ...  2017 2018 cot 2 x  cot 2 x    0  2  x 2018  cot  cot 2 x  0 2  2018 x 2018 x k2  cot 2 x  cot  2 x   k  x  k   2019 2 2 2  1 a  2019    S  a  b  2020. b   1 Chọn D.
Câu 20. Phương trình sin x   cî bao nhiêu nghiệm? x 18 A. 1. B. 2. C. 3. D. Vï số. Lời giải Điều kiện:  
x  0 . Phương trënh sin x   sin x  x. 1 x 18 18
Phương trënh 1 là phương trënh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  sin x (cî đồ
thị là màu xanh như hënh vẽ) với đồ thị hàm số  y 
x (cî đồ thị là màu đỏ như hënh vẽ). 18
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 13
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trënh
1 có 3 nghiệm phân biệt Đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm x  0 nên
phương trënh đã cho cî 2 nghiệm. Chọn B. Câu 21. Phương trënh 2 2 2
2 cos x  2 cos 2x  2 cos 3x  3  cos 4x 2 sin 2x  1 có bao nhiêu
nghiệm thuộc khoảng 0;2018 ? A. 2565. B. 2566. C. 2567. D. 2568. Lời giải
Phương trënh  1 cos2x  1 cos 4x  1  cos6x  3  2 cos 4xsin 2x  cos 4x
 cos6x  cos 2x  2 cos 4xsin 2x
 2 cos 4x cos 2x  2 cos 4xsin 2x  0
 2 cos 4xcos2x sin 2x  0  
 cos 4x  0  x   k k  . 8 4 ( 2 2
cos 4x  cos 2x  sin 2x  cos 2x  sin 2xcos 2x  sin 2x nên chứa luôn cos 2x  sin 2x ) Vì     1    4 x
0;2018  0   k  2018    k  2018   0  ,5  k    2565,39 8 4 2  8    k 0;1;2;3;...;25  65 . Vậy có 2566 nghiệm. Chọn B. 12cosx1 cosx
Câu 22. Phương trënh 
cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng    1 1 2 cos x sin x 0;2018 ? A. 3025. B. 3026. C. 3027. D. 3028. Lời giải
Điều kiện: 1  2 cosxsin x  0. Phương trënh 2
 1  cos x  2 cos x  sin x  2 sin x cos x
 cos 2x  cos x  sin 2x  sin x  0 3x x 3x x  2 cos cos  2 sin cos  0 2 2 2 2 x  3x 3x   2 cos sin  cos    0 2  2 2   x cos  0 loaïi  2 3x  2    tan  1  x    k k  . 3x 3x  2 6 3 sin  cos  0  2 2 Vì     x0; 018 2  2 1 1 3 1  0    k
 2018   k  2018  .   k    3027,25. 6 3 4  6  2 4  k 1;2;3;...;302  7 . Vậy có 3027 nghiệm.
14 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn C.
Câu 23. Phương trënh    2  sin
3x  9x  16x  80   0 cî bao nhiêu nghiệm nguyên 4    dương? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Phương trënh    2
3x  9x  16x  80   k 4 2
 3x  9x  16x  80  4k 2
 9x  16x  80  3x  4k 3x  4k 1   . 2 2 2
9x  16x  80  9x  24kx 16k   2 2k  10  2 2 2 9k  4  98
Phương trënh           98 2 x 9x 2 3k 2  3k  2 3k  2 3k  2 k  1  x  12 Vì  x  
nên ta cần có 3k  2  1;2;7;14;49;  k 98    k  3  x  4 .  k  17  x  12  loaïi Chọn B.
Câu 24. Phương trënh   4 4  1 sin x  cos x   
cî bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 4    4 0;2017 ? A. 4032. B. 4033. C. 4034. D. 4035. Lời giải   2 1 cos 2x sin x   Ta có  2    
cosx  sin x  2 cos x    4     2 4 Phương trënh  1  cos 2x   1         4 1 cos x sin x    2   2  4    2   2 1 cos 2x 1 sin 2x  1
 3  2cos2x  sin 2x  1 x  k    1 sin 2x        k  .  4  2 x   k  4 Vì x0;2017 nên
 0  k  2017  0  k  2017  Có 2016 nghiệm
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 15
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   1 8067 0 
 k  2017    k   Có 2017 nghiệm. 4 4 4
Vậy có tổng cộng 4033 nghiệm. Chọn B.
Câu 25. Tëm số nghiệm của phương trënh tan 4x  tan 2x  4 tan x  4 tan 4x.tan 2x.tan x trên đoạn ;. A. 2. B. 3. C. 6. D. 7. Lời giải cos x  0
Điều kiện: cos2x  0. cos4x   0
Phương trënh  tan 4x  tan 2x  4 tan x1  tan 4x.tan 2x tan 4x  tan 2x 
 4 tan x (vì cos 2x  0 
1  tan 4x.tan 2x  0 ) 1  tan 4x.tan 2x  tan 2x  4 tan x tan x  tan x   4 tan x 1  tan x tan x 2
 tan x2 tan x  1  0   thoûa maõn x  k tan x 0      2   2  k   . tan x   thoûa maõn x  arc tan     k      2 2   
Vì x;  Có tất cả 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C.
Câu 26. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh tan 5x  tan x  0 trên 0; bằng A.   .  B. 3 . C. 2 .  D. 5 . 2 2
Lời giải cos 5x  0 Điều kiện:  
. Phương trënh  tan 5x  tan x  5x  x  k  x  k k  . cos x   0 4 Vì    k x 0;
 0  k    0  k  4   k 0;1;2;  3 . 4 k  0  x  0   k  1  x   4 Suy ra   3       k  2  x   loaïi . 4 4 2   3 k  3  x   4
16 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn A.
Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh cossin x  1 trên đoạn 0;2 bằng A. 0. B. .  C. 2 .  D. 3 . 
Lời giải
Phương trënh tương đương với sin x  k2, k  .
Vì 1  sin x  1 nên suy ra k  0 , khi đî phương trënh trở thành sin x  0  x     .
Vì x0;2  x0;;2 
 Suy ra tổng các nghiệm 0    2  3 .  Chọn D.
Câu 28. Cho phương trënh 2     2 9 x 2 cos
3 x  7 cos   3cos   0. Gọi S là tập các giá 4
trị của tham số  thuộc đoạn 0;4 để phương trënh cî nghiệm kép. Tổng các phần tử của tập S bằng A. 20 . B. 15 .  C. 16 .  D. 17 .  3
Lời giải Yêu cầu bài toán    2  2 9     2 cos
3  4 7 cos   3cos     0  4   3    0;4  11 13 23 cos       ; ; ;    6 2 6 6 6 6 2 3 4 cos  0       .  3    0;4 5 7 17 19 cos       ; ; ;   2  6 6 6 6 
Vậy  11 13 23 5 7 17 19         16 .  6 6 6 6 6 6 6 6 Chọn C.
Câu 29. Tình tổng S tất cả các nghiệm của phương trënh    4 4
2 cos 2x 5 sin x  cos x  3  0 trên khoảng 0;2. A. 7  S  . B. 11 S  . C. S  4 .  D. S  5 .  6 6
Lời giải Phương trënh     2 2
2 cos 2x 5 sin x  cos x  3  0
 2 cos2x  5cos2x  3  0 2  2
 cos 2x  5cos 2x  3  0  1 cos 2x     2
 x    k k  .      loaïi 6 cos 2x 3 Vì    5 7 11 x 0; 2  x  ; ; ;   S  4 .  6 6 6 6 
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 17
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chọn C.
Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trënh 3  1 3  1      4 2 trên khoảng 0; bằng sin x cos x 2    A. 11   . B. . C. 7 . D. .  36 3 18
Lời giải sin x  0 Điều kiện:    x  k k  . cos x   0 2 Phương trënh 3 1 3 1  cos x  sin x  sin x  cos x  2 sin 2x 2 2 2 2        sin  x  sin x       2 sin 2x  3   6       2 cos .sin  x    2 sin 2x . 4  12    x   k2     12  sin   x   sin 2x   k  .  12  11 k2 x    36 3 Vì      11  11 7 x0;   x  ;     .  2  12 36  12 36 18 Chọn C.
Câu 31. Tổng các nghiệm của phương trënh sin x cosx  sin x  cosx  1 trên 0;2 bằng A. .  B. 2 .  C. 3 .  D. 4 . 
Lời giải 2 Đặt t  1
t  sin x  cos x 0  t  2 , suy ra sin xcosx  . 2 2 t  1 t  1 Phương trënh trở thành: 2
 t  1  t  2t  3  0   2    loaïi. t 3 Với       t  1, ta được 1
sin x  cos x  1  2 cos x    1  cos x     4 4      2 x  k2      x     k2 x   k2  4 4  2     
k   x 0;2 3   x  ;; .  3 x    k2  2 2 x     k2     4 4   x    k2  2 Chọn C.
18 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 32. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh    2   1 
sin 3x 1 4sin x  trên đoạn 0; 2  2   bằng A. 3    . B. 3 . C. 37 . D. 36 . 7 5 70 35
Lời giải
Nhận thấy cos x  0 không là nghiệm của phương trënh.
Nhân hai vế phương trënh với cosx ta được  2   1
sin 3x cos x 4 sin x cos x  cos x 2  2 sin 3x 3
4 cos x  3 cos x  cos x  2 sin 3x cos 3x  cos x   k2 x       14 7  sin 6x  sin   x    k  .  2   k2 x    10 5   k  0  x       k2  14 k 0       . 14 7 2 5 k  1  x   14   k  0  x       k2  10 k 0       . 10 5 2  k  1  x   2
Vậy tổng  5   36     . 14 14 10 2 35 Chọn D. 2
Câu 33. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh sin 2x  2sin x  5sin x  cosx  2  0 trên 2 cos x  3 đoạn 0;100 bằng A. 7375    . B. 7475 . C. 14701 . D. 14850 . 3 3 6 3
Lời giải Điều kiện: 3 cos x   . 2
Phương trënh tương đương với 2
sin 2x  2 sin x  5sin x  cos x  2  0     2 sin 2x cos x
2 sin x  5sin x  2  0
 cos x2sin x  1  sin x  22sin x 1  0
 2 sin x  1sin x  cosx  2  0.
 sin x  cos x  2  0 : vô nghiệm.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 19
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  
x   k2  k 0; 49   1 6
2 sin x  1  0  sin x    2 5 x   k2loaïi  6 49 49
Vậy tổng các nghiệm cần tính     7375
 k2  50. 2k    . k0  6  6 k0 3 Chọn A.
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh   3  sin x    
2 sin x trên đoạn 0;2018  4  bằng A. 2018    . B. 4036 . C. 412485 . D. 824967 . 4 3 2 4
Lời giải 3 Phương trënh  1   
 sin x  cos x3  2 sin x  sin x  cos x3  4sin x.  2 
Nhận thấy cos x  0 không thỏa mãn phương trënh.
Chia hai vế phương trënh cho 3 cos x ta được   3   2 tan x 1 4 tan x tan x 1  3 2
 3tan x  3tan x  tan x  1  tan x  1
  x    k k  . 4 Vì    k x
0;2018  0    k  2018   k 1;2;3; ;64  2 . 4 642 642 Vậy       412485
S     k  642.   k      . k1  4   4  k1 2 Chọn C.
Câu 35. Tổng tất cả các nghiệm của phương trënh 2  2   3 2
cos x tan x cos 2x  cos x  cos x  1
trên đoạn 0; 43 bằng A. 4220 .  B. 4225 .  C. 4230 .  D. 4235 .  3 3 3 3
Lời giải Điều kiện  2
cos x  0  x   k k  . 2 Phương trënh 2 2 3 2
 sin x  cos x cos 2x  cos x  cos x  1 2 2  1  cos x  cos x 2 1  2 cos x 3 2  cos x  cos x  1 4 3 2
 2 cos x  cos x  cos x  0 cos x  1  x    k2 2 2 cos x cos x 1 0       1    k  . cosx  x    k2  2  3  1 k 0 k2 43 k 21             k 0;1;2;...;2  1 2
20 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
 Tổng các nghiệm là S  22  0  1  2  ... 21 2  484 .  1     1 64 k
0   k2  43    k    k 0;1;2;...;2  1 3 6 3  Tổng các nghiệm là 1408
S  22.  0  1  2  ...  21 2  .  2   3 3   1 65 k
0    k2  43   k    k 1;2;...;2  1 3 6 3    Tổng các nghiệm là  S  21.    
1  2  3  ...  21 2  455 .  3    3 
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trënh đã cho trên đoạn 0;43 là 4225 S  S  S  S   . 1 2 3 3 Chọn B.
Câu 36. Cî bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E   3  ; 2  ; 1  ;0;1;  2 để phương trình 2
2m sin x cos x  4 cos x  m  5 cî nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Phương trënh tương đương với m sin 2x  2 cos 2x  m  3.
Phương trënh cî nghiệm      2 2 2 5 m 2
m 3  6m  5  0  m   . 6 Mà m E  m  3  ; 2  ;  1 . Chọn B.
Câu 37. Cho phương trình 2 2
m sin x  2 sin x cos x  3m cos x  1. Tëm tất cả các giá trị của
tham số thực m để phương trënh cî nghiệm. A.  4        m 0; . B. 4 m  \0; . C. 4 m  0; . D. 4 m 0; .  3   3   3    3 
Lời giải Phương trënh 1  cos 2x 1  cos 2x  m.  sin 2x  3m.
 1  sin 2x  m cos 2x  1  2m. 2 2 Phương trënh cî nghiệm 2 2 2 4
 1 m  1 4m  4m  3m  4m  0  0  m  . 3 Chọn C.  3  5  4 sin   x
Câu 38. Cho phương trënh  2  6 tan  
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 2 sin x 1  tan 
thực của  thuộc đoạn 0;2 để phương trënh cî nghiệm. Tổng các phần tử của tập S bằng A. .  B. 2 .  C. 4 .  D. 6 . 
Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 21
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x  0 Điều kiện 
. Phương trënh tương đương với cos   0
5  4 cos x  3sin2  3sin2sinx 4cosx  5. 1 sin x
Nếu sin x  0  cos x  1
 : không thỏa 1 . Do đî phương trënh nếu có nghiệm thì luôn
thỏa mãn điều kiện sin x  0. cos   0
Để phương trënh cî nghiệm     3sin 2  2 16  25  cos  0  cos  0  k    
 cos2  0    
, k  : thỏa điều kiện. 2 2 sin 2  1 sin 2    1 4 2  3 5 7      S   ; ; ;   tổng 3 5 7     4 .  4 4 4 4  4 4 4 4 Chọn C.
Câu 39. Cho phương trënh       2 4sin x  .cos x   m  3 sin 2x     
cos 2x. Gọi S  a;b là  3   6 
tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh cî nghiệm. Tình a  b. A. a  b  2.  B. 1 a  b   . C. a  b  0. D. a  b  4. 2
Lời giải Ta có       1      sin x  .cos x   sin 2x          sin 3 6 2  6 2         1     1  3 1  
sin 2x cos  sin cos 2x  1     sin 2x  cos 2x  1. 2  6 6  2 2 2  
Phương trënh tương đương với 2  2 m 2
3 sin 2x  cos 2x  2  m  3 sin 2x  cos 2x  cos 2x  . 2 2 Phương trënh cî nghiệm m  2 2  1    1  0  m  4  2   m  2 2     a  2  S 2;2    a  b  0 b   2 Chọn C.
Câu 40. Cho phương trënh 6 6 m
sin x  cos x  3sin x cos x 
 2  0. Cî bao nhiêu giá trị 4
nguyên của tham số m để phương trënh cî nghiệm? A. 7. B. 9. C. 13. D. 15.
Lời giải Ta có     3 6 6 2 2 2 2   2 2 sin x cos x sin x cos x
3sin x cos x sin x  cos x
22 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 2 3 2
 1  3sin x cos x  1  sin 2x. 4 Phương trënh 3 2 m 2
 1  sin 2x  3sin x cos x 
 2  0  3sin 2x  6sin 2x  12  m. 4 4 Đặt t   1  ;  1 2
t  sin 2x  3t  6t  12  m  3 t  2 1  15 m.
Vì        2 1 t 1
0 3 t 1  12. Do đî để phương trënh cî nghiệm  0  15  m  12  3  m  15 m  m 3; 4;5;...;  15 . Chọn C.
Câu 41. Cho phương trënh 2 3 3tan  tan x  cot x 
 m. Cî bao nhiêu giá trị nguyên m 2 sin x
nhỏ hơn 2018 để phương trënh cî nghiệm? A. 2004. B. 2008. C. 2011. D. 2012.
Lời giải sin x  0 Điều kiện: k   x  k  . cos x   0 2
Phương trënh viết lại  2 1  3 tan x   tan x  cot x    m 2  sin x    2 2
3 tan x  cot x  1  tan x  cot x  m.
Đặt t  tan x  cot x. Điều kiện: t  2.
Phương trënh trở thành  2   2 3 t
1  t  m  3t  t  m  3. Xét hàm   2
f t  3t  t trên ; 2  2;.
Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm  m  3  10  m  7 m
m  7;8;9;...;2017  Có 2011 giá trị. m2018   Chọn C.
Câu 42. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh sin 4x  m.tan x cî nghiệm x  k .  A.  1      m   ; 4  . B. 1 m   ; 4 . C. 1 m    ; 4. D. m  1  ; 4.  2   2     2 
Lời giải Điều kiện cos x  0. Phương trënh m.sin x sin x  2 sin 2x.cos 2x 
 4.sin x.cos x.cos 2x  m. . * cos x cos x
Vì x  k nên sin x  0 . Khi đî   2   2 *
4 cos x 2 cos x  1  m x  k Đặt 2 t  cos x, với 
suy ra t 0;1. Phương trënh trở thành 2 m  8t  4t. cos x   0
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 23
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Xét hàm   2 1
f t  8t  4t với t 0;1 , ta được   f t  4. 2
Do đî phương trënh cî nghiệm 1    m  4. 2 Chọn A.
Câu 43. Cho phương trënh cos 2x  2m  1cosx  m  1  0. Tëm tất cả các giá trị thực của tham số    
m để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng 3  ; . 2 2   
A. 1  m  1 . B. 1  m  0 . C. 1  m  0 . D. 1  m  0 .
Lời giải  1  Phương trënh cos x 2 2 cos x 2m 1cos x m 0        2 . cosx   m sin cos O 1 m 2 Nhận thấy phương trënh 1    
cos x  không có nghiệm trên khoảng 3  ; (Hình vẽ). 2 2 2    Do đî yêu cầu bài toán     
cosx  m có nghiệm thuộc khoảng 3 ;  1   m    0 .  2 2  Chọn C.
Câu 44. Cho phương trënh 2
cos x  2 1  mcos x  2m  1  0. Cî bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để phương trënh cî nghiệm? A. 8. B. 9. C. 10. D. 11.
Lời giải
Đặt t  cos x 1  t  1.
Phương trënh trở thành 2     2 t
2 1 m t  2m  1  0  t  2t  1  2m t  1. 1
 Xét t  1 : 1 trở thành 2  0 (không thỏa mãn). 2    t 2t 1 Xét t  1 : 1   2m. t  1 2 2
Xét hàm   t  2t  1 t  2t  3 f t  với t  1
 ;1, ta có f't   0 t   1  ;1 . 2   t  1 t 1
24 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cî nghiệm 1  2m  1  m  2 m m  1  0; 9  ; 8
 ;...;0  Có 11 giá trị. m 1  0;10     Chọn D.
Câu 45. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2
cos 4x  cos 3x  m sin x có nghiệm thuộc khoảng     0; .  12  A.  1      m 0; . B. 1 m  ;2. C. m 0;1. D. 1 m  1   ; .  2   2   4 
Lời giải 3 Ta có    2 1 cos6x 1 4 cos 2x 3cos 2x cos 3x   và 2 cos 4x  2 cos 2x  1. 2 2 3 Phương trình đã cho    2 1 4 cos 2x 3cos 2x 1 cos 2x  2 cos 2x  1   m 2 2 2 3
 4 cos 2x  2  1  4 cos 2x  3cos 2x  1  cos2xm     3 2
cos 2x 1 m  4 cos 2x  4 cos 2x  3 cos 2x  3. *      3 2 Đặt 4t  4t  3t  3 t  cos 2x, với 3 x0;   t  ;1. Khi đó * 2  m   4t  3. 12  2      t  1  min f t  0     3  ;1, Xét hàm   2 
f t  4t  3 trên đoạn 3  2    ;1 , ta được   . 2   max f  t  1  3   ;1,  2  
Vậy để phương trình m  f t có nghiệm khi và chỉ khi m 0;1. Chọn C.
Câu 46. Tëm tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh 2 sin x  m cos x  1  m có nghiệm    x thuộc đoạn  ; .  2 2    A. 3 m   . B. 3 m   . C. 1  m  3. D. 1  m  3. 2 2
Lời giải
Nếu dùng điều kiện có nghiệm:     2 2 3 4 m
1 m  4  1  2m  m   (đáp án A) thë 2 sai hoàn toàn bởi vì    x  ; 
thì sin x quét hết tập giá trị 1;1 nhưng với cosx thì 2 2    không. Lời giải đúng. Đặt x    t  tan , với x  ;  t1;  1 . 2  2 2  
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 25
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Phương trënh trở thành 2t 1  t 2 2  m
 1  m  t  4t  1  2m. 2 2 1  t 1  t max f t  6 Xét hàm   2 
f t  t  4t  1 trên đoạn 1;1. Tëm được  1;1    . min f t  2   1;1
Do đî yêu cầu bài toán 2  2m  6  1  m  3. Chọn C.
Câu 47. Cho phương trënh 2 2 2
mx  4  4 cos x. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số   
m để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng 0; bằng 2    A. 54. B. 35. C. 35. D. 51.
Lời giải 2 4 cos x  1 Vì    x0;
nên phương trënh  m  . 2    2 x   Xét hàm   cosx  1    2 1 cos x xsin x    f x 
với x0; , ta có f'x     0, x  0; . 2 x  2  3 x  2  Suy ra    1 4
f x đồng biến trên 0;
nên lim f x  f x  lim f x    f x   2      2 x0    2 x 2
Vậy để phương trënh đã cho cî nghiệm thì 2 2    m  16 m  m  1  9; 1  8; 1   7 . Chọn A.
Câu 48. Cho hàm số y  f x cî bảng biến thiên như hënh vẽ x  2 1 1 4  f 'x  0  0  3  1 f x 0 1 
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trënh     m f 3cos x 1  1    cî nghiệm? 2 A. 2. B. 3. C. 9. D. 13.
Lời giải
Đặt t  3cosx  1  1  2   t  4.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t  2  ; 4 thì 1   f t  3.
Do đî để phương trënh cî nghiệm m  1     3  6   m  2 2
26 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN m  m  6  ; 5  ; 4  ;...;  2  Có 9 giá trị. Chọn C.
Câu 49. Cho hàm số f x liên tục trên , thỏa f x  3
với mọi x  5 và f x  3
 với mọi x  2 , cî đồ thị như
hënh bên. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trënh f 3sin x  2  f m cî nghiệm? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải
Đặt t  3sin x  2  1   t  5.
Dựa vào đồ thị ta thấy f x đồng biến trên 1;5 nên
f 3sin x  2  f m  3sin x  2  m. Mà 3sin x  2  1  ;5  m  1
 ;5  có 7 giá trị nguyên. Chọn B.
Câu 50. Cho phương trënh 2
2 cos 3x  3  2mcos 3x  m  2  0. Tëm tất cả các giá trị thực của tham số    
m để phương trënh cî đúng 3 nghiệm thuộc khoảng   ; .  6 3  A. 1  m  1. B. 1  m  2. C. 1  m  2. D. 1  m  2.
Lời giải Với        x  ;  3x  ;    .  6 3   2 
Đặt t  cos 3x 1  t  1 . Phương trënh trở thành 2
2t  3  2mt  m  2  0.  1  Ta có t     2 2m 5 
 phương trënh cî hai nghiệm  1 2 . t  m   2 2 sin cos O t 1 2 t1 2
Ta thấy ứng với một nghiệm 1    
t  thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng   ; . 1 2  6 3 
Do đî yêu cầu bài toán  1
  t  0 (tham khảo hình vẽ) 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 27
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 1  m  2  0  1  m  2. Chọn B.
Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh 2
2t  3  2mt  m  2  0 có hai P  0  nghiệm t , t thỏa mãn 1
  t  0  t  1  a.f 1  0 . 2 1   1 2 a.f   1    0
Câu 51. Tëm tất cả các giá trị của tham số   
m để phương trënh sin 2x  2 sin x   2    m  4  cî đúng    2 nghiệm thuộc khoảng 3  0; .  4  A. 3
  m  1  2. B. 3   m  1  2. C. 1   m  1   2. D. 1   m  1   2.
Lời giải
Phương trënh viết lại sin 2x  sin x  cos x  2  m. Đặt   
t  sin x  cos x  2 sin x   , suy ra 2 sin 2x  t  1.  4  Với  3      x 0;  x   ;  t      0; 2. 4 4 4      Phương trënh trở thành 2 t  t  3  m. * Xét hàm   2
f t  t  t  3 trên 0; 2  . Ta có f't  2t 1  0, t  0; 2 .
Suy ra f t đồng biến trên 0; 2 và kết luận f0  m  f 2  3   m  1   2. Thử lại        m  1   2  sin x    1  
Có một nghiệm x  duy nhất thuộc 3  0; .  4  4  4 
Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm. sin cos O
Dựa vào đường trín lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán  phương trënh
* cî đúng một nghiệm t thuộc 1; 2  f1  m  f 2 1   m  1   2. Chọn D.
28 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 52. Cho phương trënh 2
m sin x  3sin x cos x  m  1  0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên   
m thuộc đoạn 5;5 để phương trënh cî đúng 3 nghiệm thuộc 3 0; . Tổng các 2    phần tử của S bằng A. 15. B. 14. C. 0. D. 15.
Lời giải
Phương trënh   2   2
m sin x 1  3sin x cos x  1  0  3sin x cos x  m cos x  1  0.
Nhận thấy cos x  0 không thỏa phương trënh. Chia hai vế phương trình cho 2 cos x ta được 2
tan x  3 tan x  m  1  0.
Đặt t  tan x, ta được phương trënh bậc hai 2 t  3t  m  1  0 .
Để phương trënh đã cho cî ba nghiệm thuộc  3  0;   phương trënh 2
t  3t  m  1  0 có 2    hai nghiệm trái dấu m  m  1  0  m  1    m  5  ; 4  ; 3  ; 2   S  1  4. m 5  ;5     Chọn B.
Câu 53. Cho phương trënh      2
cos x 1 4 cos 2x m cos x  m sin x. Số các giá trị nguyên của tham số  
m để phương trënh cî đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 2 0;  là 3    A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Phương trënh         2 1 cos x 4 cos 2x m cos x m 1  cos x cos x  1 
1 cosx4cos2x m 0       m . cos2x   4     Với 2 x 0;   phương trënh cos x  1  vô nghiệm. 3          Với 2 4 x 0;  2x 0; 
. Dựa vào đường trín lượng giác, ta thấy yêu cầu bài 3   3      toán m 1 1      4   m  2  . 4 2 sin cos O
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học 1
Chinh phục olympic toán | 29 2
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vì m   m  3  ;  2 . Chọn B.
Câu 54. Có bao nhiêu số thực m để phương trënh    2
sin x 1 2 cos x  2m  1cos x  m  0 cî đúng 4 nghiệm thuộc đoạn 0;2? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải sin x  1  Phương trënh         1
sin x 1 2 cos x 1 cos x m  0  cos x  .  2 cosx  m   
 sin x  1  x   k2 k  , mà x0;2  x  . 2 2   x   k2     1 3 cos x    k   , mà   5 x 0;2  x  ,x  . 2  x    k2 3 3  3
Do đî yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh cosx  m cî đúng một nghiệm     0;2 khác 5  , .  (xem hình vẽ).  3 2 3  sin cos O 1 2
Từ đường trín lượng giác ta suy ra chỉ có hai giá trị m thỏa mãn là m  1 và m  0. Bởi vì:
 Với m  1, phương rënh cos x  1
 chỉ có nghiệm duy nhất x   thuộc 0;2. 
 Với m  0, phương rënh cos x  0 có hai nghiệm x  (trùng với nghiệm đã tình) 2 và 3 x  thuộc 0;2. 2
30 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Chọn B.
Câu 55. Cho phương trënh 4 4 2
sin x  cos x  cos 4x  m. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số   
m để phương trënh cî 4 nghiệm thuộc đoạn  ; .  4 4    A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Ta có 4 4 3 1
sin x  cos x   cos 4x. 4 4 Phương trënh 3 1 2 2
 cos 4x  cos 4x  m  4 cos 4x  cos 4x  4m  3. 4 4 Đặt    t  cos 4x, với x  ;  4x;  nên t  1  ;1. 4 4   
Khi đî phương trënh trở thành 2
4t  t  4m  3. *
 Ứng với mỗi t  1
 ;1 thë phương trënh cos 4x  t sẽ cho ta hai giá trị của    x  ; .  4 4        
Với t  1 thë phương trënh cos 4x  t cho ta đúng một giá trị của x   ; .  4 4   
Do đî yêu cầu bài toán tương đương với * có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;1. Xét hàm   2
f t  4t  t trên 1;1. Ta có        1 f ' t 8t 1
f ' t  8t  1  t   . 8 Bảng biến thiên 1 1 8 1 t f ' t 0 5 f t 3 1 16
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán 1 47 3    4m  3  3   m  16 64 2 m 
m  1. Vậy có 1 giá trị nguyên. Chọn A.
Câu 56. Cho phương trënh    2
sin x 1 cos x  cos x  m  0. Tëm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trënh cî đúng 5 nghiệm thuộc đoạn 0;2.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 31
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. 1 0  m  . B. 1   m  0. C. 1 0  m  . D. 1   m  0. 4 4 4 4
Lời giải sin x  1
Phương trënh tương đương với  2 cos x  cos x  m  0.  1
Đặt t  cos x , với x0;2  t  1
 ;1. Phương trënh 1 trở thành 2t  t  m. 2 Phương trënh 
sin x  1 cî đúng 1 nghiệm x  thuộc đoạn 0;2. 2 Do đî yêu cầu bài toán 
 Phương trënh 1 có 4 nghiệm phân biệt (khác ) thuộc đoạn 2
0;2  phương trënh 2 có 2 nghiệm phân biệt thuộc  1  ;1\ 1  ;  0 . Xét hàm   2 f t  t  t trên  1
 ;0 0;1. Ta có        1 f ' t 2t 1 f ' t  0  t  . 2
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán 1 1
  m  0   m  0. 4 4 Chọn C.
Câu 57. Biết rằng khi m  m thë phương trënh 2 x     2 2 sin
5m 1 sin x  2m  2m  0 có 0 đúng   
5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng  ;3 
. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2    A. 1  3 7   3 2  m  3.
B. m  . C. m  ; . D. m   ;  . 0 0 2 0 5 10    0  5 5 
Lời giải
Đặt t  sin x 1  t  1.
Phương trënh trở thành 2     2 2t
5m 1 t  2m  2m  0. * sin sin t2 cos cos O O t2 Hình 1 Hình 2
Yêu cầu bài toán tương đương với:
Trường hợp 1: Phương trënh * có một nghiệm t  1 (cho ra một nghiệm x ) và 1
một nghiệm 0  t  1 (cho ra bốn nghiệm x ) (Hình 1). 2 Do c 2 t  1
  t    m  m . 1 2 a
32 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN m  3   t  6   0;1 loaïi 2   
Thay t  1 vào phương trënh * , ta được  . 1 1 1
m    t   0;1 thoûa 2     2 4
Trường hợp 2: Phương trënh * có một nghiệm t  1 (cho ra hai nghiệm x ) và một 1 nghiệm 1
  t  0 (cho ra ba nghiệm x ) (Hình 2). 2 Do c 2
t  1  t   m  m . 1 2 a m  1  t  2  1  ;0 loaïi 2   
Thay t  1 vào phương trình * , ta được  . 1 1 3
m   t   1;0 loaïi 2     2 4 Vậy 1  
m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 1 3 2 m     ;  . 2 2  5 5  Chọn D.
Câu 58. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  1
 0;10 để số vị trì biểu
diễn các nghiệm của phương trënh   2 
1  2 cos 2x  3 sin 4x  m  m sin 2x   trên đường 3    trín lượng giác là 4 ? A. 8. B. 9. C. 10. D. 12.
Lời giải Phương trënh   2     sin 2x
3 cos 2x  m  m sin 2x   .  3  Đặt       t
t  sin 2x  3 cos 2x  2 sin 2x   sin 2x   (điều kiện 2   t  2 ). 3 3      2
Phương trënh trở thành: 2 t 2
t  m  m  2t  mt  2m  0. * 2     Ứng với mỗi t  2
 ;2 thë phương trënh t sin 2x   
cho ta các nghiệm có số vị 3    2
trí biểu diễn trên đường trín lượng giác là 4.    
Với t  2 thë phương trënh sin 2x   
 1 cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn  3 
trên đường trín lượng giác là 2.    
Với t  2 thë phương trënh sin 2x    1  
cho ta các nghiệm có số vị trí biểu  3 
diễn trên đường trín lượng giác là 2.
Do đî yêu cầu bài toán tương đương với phương trënh * có duy nhất một nghiệm t
thuộc khoảng 2;2 hoặc phương trënh * có hai nghiệm là 2 và 2.
Trường hợp 1: Phương trënh * cî đúng 1 nghiệm thuộc 2;2 .
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 33
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Với mọi 2t t  2
 ;2, ta có *  m   f t . t  2 m  2
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này   . m   0
Trường hợp 2: Phương trënh * nhận 2 và 2 làm nghiệm 2 2  2  m  2    2m  0   : vô lí. 2 2.2  2m  2m  0 m  2 Vậy m
m  0;3; 4;5;...;10   có 9 giá trị. m 1  0;10     m   0 Chọn B.
Câu 59. Biết phương trënh 3 2
ax  bx  cx  d  0 với a  0 cî đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d cî bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Vë phương trënh 3 2
ax  bx  cx  d  0 với a  0 cî đúng hai nghiệm thực nên đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d cî hai điểm cực trị trong đî một điểm cực trị nằm trên trục hoành.
Các dạng của đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d trong trường hợp này được mô tả như sau: Trường hợp 1: a  0 Trường hợp 2: a  0
34 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Vậy với a  0 đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d luïn cî ba điểm cực trị. Chọn A.
Câu 60. Cho phương trënh m  1cosx  m  1sin x  2m  3. Cî bao nhiêu giá trị của tham số 2
m để phương trënh cî hai nghiệm x , x thỏa mãn x  x  . 1 2 1 2 3 A. 0. B. 1. C. 2. D. Vï số.
Lời giải
Điều kiện có nghiệm:   2    2    2 6   22 6   22 m 1 m 1 2m 3   m  . 2 2 Phương trënh m  1 m  1 2m  3  cos x  sin x  2 2 2 2m  2 2m  2 2m  2      x      k2 m 1 2m 3 cos x  cos   với cos  ;cos  . x      2  2 2 2m  2 2m  2 Yêu cầu bài toán: 2 2 x  x   2  k  2  1 2   3 3       2 1 2 1 cos 2 k 2  cos
 cos 2    2 cos   1   3 2 2 2    thoûa maõn  2m  3  1 2m  32 m 1   1 2   1         . 2 17 2  2m  2  2 2m  2 4
m   thoûa maõn  7 Chọn C.
Câu 61. Cî bao nhiêu số nguyên m để phương trình:        3 m sin m sin 3x
sin 3sin x  4 sin x cî nghiệm thực? A. 4. B. 5. C. 8. D. 9.
Lời giải
Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trënh ta được:         3 m sin 3x sin m sin 3x
sin 3sin x  4 sin x  sin 3x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 35
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 m  sin 3x  sin m  sin 3x  3sin x  sin 3sin x.
Xét hàm f t  t  sin t trên . Ta có f't  1 cost  0, t
   Hàm số f t đồng biến. Suy ra 3
m  sin 3x  3sin x  m  4 sin x  4  ; 4. Chọn D.
Câu 62. Cho phương trënh   3 3
8sin x m  162 sin x  27m. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số   
m để phương trënh cî nghiệm thuộc khoảng 0; ? 3    A. 1. B. 2. C. 3. D. Vï số.
Lời giải Đặt    u  2 sin x, vì x 0;  2 sin x  
0; 3 nên u0; 3.  3 
Phương trënh trở thành:   3 3 u m  81u  27m
   3       3 3 3 u m 27 u m 3u  27.3u. * Xét hàm   3
f t  t  27t trên . Ta có   2 f t  3t  27  0, t
   hàm số f t đồng biến.
Nhận thấy * có dạng  3      3 3 f u m
f 3u  u  m  3u  u  3u  m. Xét hàm   3 g u  u  3u, u
 0; 3. Khảo sát ta được 2   g u  0.
Vậy phương trënh đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2  m  0 m  m  2  ;  1 . Chọn B.
Câu 63. Cho phương trënh      2
1 cos x cos 4x m cos x  m sin x . Tëm tất cả các giá trị của  
m để phương trënh cî đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc 2 0 ;  . 3    A.  1 1  m   ;  .
B. m  ; 11;  . 2 2    C.   m  1  ;1. D. 1 m   ;1  .  2 
Lời giải Ta có:      2         2 1 cos x cos 4x m cos x m sin x 1 cos x cos 4x m cos x m 1  cos x  0 cos x  1 
 1 cosx cos 4x  m cosx  m  1cosx  0    . cos 4x   m
 Xét phương trënh cos x  1
  x    k2 k   . Phương trënh   cos x  1
 không có nghiệm trong đoạn 2 0 ;  . 3   
36 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Cách 1.
 Xét phương trënh cos 4x  m . Đặt f x  cos 4x . Ta có: f'x  4  sin 4x . Xét 
f 'x  0  sin 4x  0  4x  k  x  k k   . 4 Xét trong đoạn  2    0 ; 
thì ta có: x0 ; ; . 3     4 2 
Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trënh cos 4x  m cî đúng 3 nghiệm phân biệt trong đoạn  2 0 ;  khi và chỉ khi 1   m  1. 3    2 Cách 2.       Xét cos 4x  m . Ta có 2 8 x 0 ;  4x 0;  . 3   3     
Với 4x0 ;2\   và m  1
 ;1 phương trënh cos 4x  m có 2 nghiệm. Với  8   4x  2  ; và 1
m   ;1 phương trënh cos 4x  m có 1 nghiệm. 3       2  Vậy phương trënh cî    
3 nghiệm phân biệt thuộc 2 0 ;  khi 1 m   ;1 . 3       2  Chọn D.
Câu 64. Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trënh sau:  x    80  sin  cos       0 ? 2 2  x  6   2 x  32x  332 
A. Số nghiệm của phương trënh là 8 .
B. Tổng các nghiệm của phương trënh là 8 .
C. Tổng các nghiệm của phương trënh là 48 .
D. Phương trënh cî vï số nghiệm thuộc .
Lời giải
Phương trënh đã cho tương đương với  x   80  sin  sin       . 2 2  x  6   x  32x  332  Ta biết rằng hàm số    
y  sin x đồng biến trên khoảng   ;
. Ta chỉ ra rằng các hàm số 2 2      x 80 f x  và g x 
nhận giá trị trong khoảng này. 2 x  6 2 x  32x  332 Thật vậy, ta có x x 1    và 80 80 80 0     . 2 2 x  6 2 6x 2 6 2
x  32x  332 x  162  76 76 2
Từ các đánh giá trên,  xảy ra khi và chỉ khi x  2 x 80  3 2
 x  48x  332x  480  0   x  6 . 2 2 x  6 x  32x  332  x   40
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 37
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tổng các nghiệm của phương trënh đã cho là 2  6  40  48 . Chọn C.
Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trënh 3
sin x  2  m  sin x  2 có nghiệm. A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 0 .
Lời giải u  sin x  2 Ta có 3
sin x  2  m  sin x  2 . Đặt  1 u  3. 3 v  m  sin x 2 u  sin x  2 Khi đî  2 3  u  v  m  2 (*). 3 v  m  sin x
Ta lại có u  v  2  v  2  u . * trở thành    3 2 u u 2  m  2 1 3 2
 m  u  5u  12u  10  f u, 1  u  3 . Trên , ta có    2 f u  3  u  14u  12 ,   7 13 f ' u  0  u   1; 3 3  
Để phương trënh đã cho cî nghiệm thì 1 có nghiệm 1  u  3    Hay 7 13 f    m  f  
 3 m0; 1) Vì m nguyên. 3  
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa đề bài.
Chọn A.
Câu 66. Số giá trị nguyên của tham số   
m để phương trënh sin 2x  2 sin x   2    m có  4 
đúng một nghiệm thực thuộc khoảng  3  0 ; ? 4    A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . Lời giải Ta có  3          x0 ;
  x     0  sin x     1  0  2 sin x     2 . 4    4 4  4   4  Mặt khác    2 sin x   sin x    cos x .  4 
Đặt sin x  cos x  t với t 0; 2 2 2 2
  sin x  cos x  2 sin x.cos x  t 2  sin 2x  t  1 .
38 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Phương trënh đã cho trở thành 2 2
t  1  t  2  m  t  t  3  m * . Xét   2
f t  t  t  3 với t 0; 2 . Ta có ft  2t  1. Do đî   1
f ' t  0  t   (loại). 2
Lập bảng biến thiên ta cî phương trënh * có nhiều nhất một nghiệm t . Do đî để phương 
trënh đã cho cî đúng một nghiệm thực     x thuộc khoảng 3 0 ; thì t 2  . 4    0  t  1
Với t  2 thay vào phương trënh * : 2  2  3  m  m  2  1 .
Với 0  t  1 lập bảng biến thiên 3  m  1  có 2 giá trị nguyên của m là 2 và 1 . Chọn B. Câu 67. Cho hàm số 3 2
y  x  3x cî đồ thị C và điểm M m ; 4 . Hỏi cî bao nhiêu số
nguyên m thuộc đoạn  1
 0 ;10 sao cho qua điểm M cî thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. 20 . B. 15 . C. 17 . D. 12 . Lời giải
Tập xác định: D  . Đạo hàm: 2 y  3x  6x .
Ta nhận thấy các đường thẳng x  a với a không phải là tiếp tuyến của C và một
đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt.
Giả sử phương trënh đường thẳng đi qua Mm ; 4 là d : y  k x  m  4 với k  là hệ
số góc của đường thẳng.
Qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C khi và chỉ khi hệ phương trënh 2 k  3x  6x  có ba nghiệm phân biệt k  x  m 3 2  4  x  3x   2     3 2 3x
6x x m  x  3x có ba nghiệm phân biệt 3      2 2x
3 m 1 x  6mx  0 có ba nghiệm phân biệt 2
 x 2x  3m  1x  6m  0   có ba nghiệm phân biệt 2
 2x  3m  1x  6m  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0  1    9m  12 m 2  48m  0 9m  30m  9  0   3        . m  0 m  0 m  3  m   0 m 1  0 ;10
Với điều kiện trên và với  ta có m  10
 ; 9 ;...; 1; 4 ;5 ;...;  10 . m 
Vậy có 17 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 39
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 68. Cho phương trënh 3 tan x  1 sin x  2 cosx  msin x  3cosx. Cî tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2018 
; 2018 để phương trënh trên cî nghiệm duy nhất    x0; ? 2    A. 2018 . B. 2015 . C. 4036 . D. 2016 . Lời giải Với    x0;
thì cos x  0 , chia hai vế cho cosx , ta được: 2   
3 tan x  1 sin x  2 cos x  m sin x  3cos x
3 tan x  1 tan x  2
 3 tan x  1 tan x  2  mtan x  3   m .1 tan x  3 3t  2t  1 Đặt    t  tan x  1 , x 0;  t 0;   
 . Khi đî 1  gt   m 2  2  2 t  2 3t  2t  1 4 2 Xét hàm 3t  15t  6 g t 
trên 0; .gt   0, t   0 . 2 t  2 t 22 2
Suy ra để thỏa yêu cầu bài toán  m  g 0  0 m Mà  . Suy ra m 1;2;3;...;  2018 . m    2  018;2018 Chọn A.
Câu 69. Cî bao nhiêu giá trị nguyên âm của  m để hàm số 1 m y  x  5  đồng biến trên x  2 5;  ? A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 11 . Lời giải 2 Tập xác định: m  1 x  4x  m  3 D  \ 
2 . Đạo hàm: y  1   . x 22 x 22 Xét hàm số   2
f x  x  4x  3 trên 5 ;  .
Đạo hàm: fx  2x  4 . Xét fx  0  x  2  y  1
 . Ta có: f 5  8 . Do   2
x 2  0 với mọi x 5 ;   nên y  0 , x
 5 ;  khi và chỉ khi f x  m , x
 5 ;  . Lập bảng biến thiên ta có m  8  m  8 .
Mà m nguyên âm nên ta có: m  8
 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ;  2 ;   1 . Vậy có 
8 giá trị nguyên âm của m để hàm số 1 m y  x  5 
đồng biến trên 5 ;  . x  2 Chọn B.
40 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 70. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trënh   3 3
8sin x m  162 sin x  27m có nghiệm thỏa mãn  0  x  ? 3 A. 2 . B. 3 . C.Vô số. D. 1 . Lời giải Đặt 
t  2 sin x , với 0  x  thì t 0; 3 . 3
Phương trënh đã cho trở thành   3 3 t m  81t  27m . Đặt 3 u  t  m 3  t  u  m . 3 u  27  3t m Khi đî ta được    3 3 u 3t  27 3t  u     3 3 u 27u 3t  27.3t *    3t  3  27 u m Xét hàm số   3
f v  v  27v liên tục trên có nên hàm số đồng biến. Do đî *  u  3t 3  t  3t  m 1 Xét hàm số   3
f t  t  3t trên khoảng 0; 3 có   2
f ' t  3t  3 ; f 't  0  t  1 (vì t  0 ).
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh 1 có nghiệm khi.
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A.
Câu 71. Số nghiệm thuộc đoạn    
0; 2017 của phương trình 1 cos x 1 cos x  4cosx sin x là A. 1283. B. 1285. C. 1284. D. 1287. Lời giải
Điều kiện sinx  0; sin x.cosx  0
1  cos x  1  cos x  4cosx  1cosx  1cosx  4sinxcosx sin x        2 2 2      2 2 2 1 cos x 1 cos x 16 sin x cos x
1 sin x 8sin x 1  sin x1
Trường hợp 1: sin x  0  sin x  1   1  sin x            sin x0 3 2  1 2 1
1 sin x 8sin x 8sin x 1  0  sin x     2  1  5  sin x   1 5    4 sin x   4   x   k2    1 6 sin x   
vì sin x.cos x  0 nên x   k2 . 2 5 x   k2 6  6
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 41
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   1 5  x  arcsin    k2    4   1 5   sin x   4   1 5  x  arcsin   k2   4        Vì 1 5
sin x.cos x  0 nên x  arcsin    k2  . 4   
Trường hợp 2: sin x  0  sin x  1  1  sin x             sin x0 3 2  1 2 1 1 sin x
8sin x 8sin x 1  0  sin x      2  1   5  sin x   1 5     4 sin x   4   x    k2 1  6 7 sin x    
vì sin x.cos x  0 nên x   k2 . 2 7 x   k2 6  6   1   5  x  arcsin    k2     4  1 5   sin x   4   1   5  x  arcsin   k2   4         Vì sin x.cos x  0 nên 1 5 x    arcsin    k2  . 4   
Xét nghiệm thuộc đoạn 0;2017  
 Với x   k2  0   k2  2017  0  k  320 có 321 nghiệm. 6 6       Với 1 5 3 3 x  arcsin    k2  k2  0 
 k2  2017  0  k  320  có 321 4   10 10   nghiệm.    7 7 Với x   k2  0 
 k2  2017  0  k  320 có 321 nghiệm. 6 6        Với 1 5 13 13 x    arcsin    k2   k2  0 
k2  2017  0  k  320  4   10 0 1   có 321 nghiệm.
Vậy có tổng cộng 321.4  1284 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.
42 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 72. Gọi M , m lần lượt là giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ha m sï 2018 2018 y  sin x  cos x trên . Khi đî: A. 1 1 M  2 , m  B. M  1 , m  1008 2 1009 2
C. M  1 , m  0 D. 1 M  1 , m  1008 2 Lời giải Ta có: 2018 2018 y  sin x  cos x   1009   1009 2 2 sin x 1 sin x . Đặt 2
t  sin x , 0  t  1 thì hàm số đã cho trở thành     1009 1009 y t 1 t . Xét hàm số       1009 1009 f t t 1 t trên đoạn 0;1 . Ta có:       1008 1008 f ' t 1009.t 1009. 1 t ; 1008  1  t  1  t f 't  0     1008 1008 1009t 1009 1 t  0     1   1 1  t   t  t 2 Mà  1  1
f 1  f 0  1 , f    . 1008  2  2 Suy ra  1  1
max f t  f 0  f 1  1 , min f t  f     0;1   1008 0;1  2  2 Vậy 1 M  1 , m  . 1008 2 Chọn D.
Câu 73. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn x  y  xyz  z . Giá trị lớn nhất của biểu x 1 yz 2x 2 2 thức P  
thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:   3 2 y  z 2x 1 x 1  A. 1,3;1,4 . B. 0,8;0,9 . C. 1,7;1,8 . D. 1,4;1,5 . Lời giải Từ giả thiết 1 1
x  y  xyz  z  x.  y.  xy  1 . z z Đặt A x  tan , B y  tan và 1 C
 tan thay vào hệ thức trên ta được 2 2 z 2 A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan  1 2 2 2 2 2 2
Suy ra A , B , C là ba góc của tam giác. 2 Từ đî ta cî 2x A 2 A  x A 2 sin cos và 2  sin .  2  3 2 2 2 x 1 x 1 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 43
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2       C B B C B C B C 2  tan  tan
cos cos  tan  tan  2 tan tan 1 yz    2 2   2 2 2 2 2 2      y  z B C tan tan  1 B C  B C  cos cos tan tan   1 2 2 2 2 2 2    B  C A 1 sin  sin Bsin C cos  cos 
B C cosB C 2   2 2  B  C B  C cos cos 2 2 A  2 B C 2 A A A cos  cos  1  cos 2 cos  1  1  cos 2 2 2  2 2 A   2 cos . B  C cos 1 2 2 Vậy A   2 A 2 A A   A  P  2 sin cos  A A 2 sin cos  sinA sin   cos  2 sinA.sin     2 . 2 2 2 2 2 2     2 4   B  C   x  1  A   
Dấu bằng đạt được khi   sin A  1 2    y  2  1.    A   B  C   sin   z  2   1   1  4   2 4  Chọn D.
Câu 74. Số các giá trị nguyên của m để phương trënh 2
cos x  cos x  m  m có nghiệm là: A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Ta có: 2
cos x  cos x  m  m suy ra m  0 . 2 cos x  t  m
Đặt cos x  m  t , t  0 . Phương trënh trở thành:  2 t  cosx  m cos x  t  2 2
cos x  t   t  cosx  0  cosx  tcosx  t  1  0   . cos x  t  1   0 cos x  0
 Trường hợp 1 : cos x  t  cos x  m   cos x   . 2 cos x  cos x   m Đặt u  cosx  1   u  0. Xét   2
f u  u  u , ta có fu  2u  1;   1 f ' u  0  u  . 2
Do đî với 1  u  0 suy ra fu  0 với mọi u 1  ;0 . Suy ra f  1
   f u  f 0  2  f u  0 .
Để phương trënh cî nghiệm thì m 0;2 . Vì m  nên m 0;1;  2 .
 Trường hợp 2 : cos x  t  1  0  cos x  m  1  cos x 2
 cos x  cos x  1  m .
44 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Đặt v  cosx , 1  v  1. Ta có 2
m  v  v  1  g v ,   1
g v  2v  1  0  v   . 2
Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cî nghiệm thì  3  m  ; 3  . Vì m  nên 4    m 1;2; 
3 . Vậy có tất cả 4 số nguyên m thỏa mãn bài toán. Chọn A.
Câu 75. Số nghiệm của phương trënh: 2015 2016    2017 2018 sin x cos x 2 sin x  cos x  cos2x trên  1  0;30 là: A. 46 . B. 51 . C. 50 . D. 44 . Lời giải Ta có: 2015 2016    2017 2018 sin x cos x 2 sin x  cos x  cos2x 2015   2   2016   2 sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x  1  cos2x cos 2x  0 2015 2016  sin x.cos 2x  cos x.cos 2x  cos 2x   . 2015 2016 sin x  cos x   1 Với  
cos 2x  0  x   k ,k  4 2 Vì   x  10  ;30  1  0   k  20 1 60 1 30     k    6  k  18 . 4 2  2  2 Với 2015 2016 sin x  cos x  1 . Ta có 2015 2 2016 2 sin x  sin x; cos x  cos x . sin x  0,cos x  1  Do đî 2015 2016 2 2 1  sin x  cos
x  sin x  cos x  1 suy ra  . sin x  1,cos x   0
Nếu sin x  0  x  k,k  . Vì  x  10
 ;30  10  k  10 30 30      3  k  9 .   Nếu 
sin x  1  x   k2,k  . 2 Vì  x  10  ;30  1  0   k2  5 1 15 1 30     k    1  k  4 . 2  4  4
Vậy số nghiệm của phương trënh đã cho là: 13  6  25  44 . Chọn D.
Câu 76. Tổng các nghiệm của phương trënh 2 cos 3x2 cos2x  1  1 trên đoạn  4  ;6 là: A. 61 . B. 72. C. 50 . D. 56 . Lời giải
Xét sin x  0  x  m : Thay vào phương trënh thấy không thỏa mãn
Xét sin x  0  x  m
2 cos 3x2 cos 2x  1  1  2cos 5x  cos x 2 cos 3x  1
 2 sin x cos 5x  2 sin x cos 3x  2 sin x cos x  sin x
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 45
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 sin 6x  sin 4x  sin 4x  sin 2x  sin 2x  sin x  k2 x   5   sin 6x  sin x     l2 k,l  . x    7 7 x  m 
Trước tiên ta cần chỉ ra giữa hai họ nghiệm k2   x  và l2 x   không có giá trị trùng 5 7 7
nhau. Thật vậy giả sử  l2 k2   k,l   7 7 5
 14k  5  10l Vô lí vì 14k là số nguyên chẵn và 5  10l là số nguyên lẻ.  k2 x   5 k   1  0; 9  ; 8  ;...14;1  5 Với x  m    k     1  0; 5  ;0;5,10,1  5 x 4;6  
Các giá trị x cần loại bỏ là 4, 2, 0, 2, 4, 6 .Tổng các giá trị này là 6   l2 x    7 7 l 1  4; 1  3; 1  2;...19;2  0 Với x  m    l    4  ; 1  1;3;10;1  7 x 4;6  
Các giá trị x cần loại bỏ là , 3, , 3, 5 . Tổng các giá trị này là 5 15 20 Vậy tổng nghiệm   k2           l2   S 6     5  50        . k 10 5   l 14  7 7   Chọn C.
Câu 77. Cho phương trënh 3   2 3
sin x m  sin x  m  2 sin x  m2 3 2 2 . Gọi S  a;b là
tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trënh trên cî nghiệm thực. Tính giá trị của 2 2 P  a  b . A. 162 P  . B. 49 P  . C. P  4 . D. P  2 . 49 162 Lời giải
Trường hơp 1: sin x  m thì ta có  2 3 2m
 0  m  0 . Khi đî phương trënh cî nghiệm x  k , k  .
Trường hơp 2: sin x  m thë phương trënh đã cho tương đương 2  sin x  m  sin x  m 3  3  2    0 .  sin x  m  sin x  m
46 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN  sin x  m sin x  m 3   1  1 sin x  m   m  0 Giải ra ta được  sin x m     .  sin x  m sin x  m 9 sin x  7m 3   2   8   sin x  m sin x  m 7m  m  m  0
Do đî để phương trënh cî nghiệm thực thì  9     9 9 9 9      m  m    7 7 7 7
Kết luận: Hợp hai trường hợp suy ra tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m cần tìm 2 2 là  7  7       S  ; 2 2 9 9 162   P  a  b    . 9 9         7   7  49 Chọn A. 2 2 2
Câu 78. Để phương trënh a sin x  a  2 
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn 2 1  tan x cos 2x điều kiện:  a  1 A.  a   3 . B.  . C. a  4 . D. a  1 .  a  3  Lời giải 2  cosx  0 sin x  1 ĐKXĐ:     cos2x  1  0 2 sin x   2 2 2 2 Ta có a sin x  a  2  2 2 2 2
 a cos x  sin x  a  2 2 1  tan x cos 2x 2 2 2   2 a sin x  sin x  2 2  sin x  2 1  a
Để phương trënh đã cho cî nghiệm điều kiện là  2  0;1  2   1  a   2 0;1  2  2   2 1 a  2  a  1    1 1 a     . 2   1  a  2 1  2  1 a  4  a  3   2 1 2  1 a 2  2 1  a 2 Chọn B.
Câu 79. Số giờ cî ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một
năm khïng nhuận được cho bởi hàm số:    dt  3sin t 80  12  , t  và 0  t  365 . 182   
Vào ngày nào trong năm thë thành phố X cî nhiều giờ ánh sáng nhất? A. 262 . B. 353 . C. 80 . D. 171 . Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 47
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ta có:    dt  3sin t 80  12   3  12  15 182    Dấu bằng xảy ra khi      sin t 80  1  
t 80   k2 k  182    182 2
 t  k .
Mặt khác t 0;365 nên   k  171 194 365    k  . 364 364 Mà k  nên k  0 . Vậy t  171 . Chọn D.
Câu 80. Cho phương trënh       4sin x  cosx   2
 a  3 sin 2x  cos 2x 1 . Gọi n là số 3 6     
giá trị nguyên của tham số a để phương trënh 1 có nghiệm. Tính n . A. n  5 . B. n  3 . C. n  2 . D. n  1 . Lời giải Ta có       1  2sin 2x     1 2  a  3 sin 2x  cos 2x  6        2   2  a  a sin 2x     1   sin 2x     cos 2x   1 .  6  2  6  2 2 Phương trënh  a 1 có nghiệm 
 1  1  2  a  2 , Do a  nên a  0;a  1;a  2 2 Vậy n  5 . Chọn A.
Câu 81. Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số 3 2 3
y  x  3mx  4m cî điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác
của gîc phần tư thứ nhất là A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. 1 . 2 2 4 Lời giải x  0 Ta có: 2
y  3x  6mx , y  0   . x   2m
Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m  0 .
Khi đî các điểm cực trị của đồ thị hàm số là  3 A 0 ; 4m , B2m ;0 . Ta có  3
I m ; 2m  là trung điểm của đoạn thẳng AB .
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x  y  0 .
Do đî để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:
48 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 3 2m  4m  0 2 2 
 1  2m  0  m   . 3 m  2m  0 2
Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Chọn C.
Câu 82. Tìm m để phương trënh 1
1  sin x  sin x   m cî nghiệm. 2 A. 1 6  m  . B. 0  m  1 . 2 2 C. 0  m  3 . D. 6  m  3 . 2 Lời giải Đặt    t  sin x 1  t  
1 , phương trënh trở thành 1 1  t  t   m 2    2
Nhận xét phương trënh ban đầu có nghiệm x khi và chỉ khi phương trënh * có nghiệm  1    t   ;  . Xét hàm   1
f t  1  t  t  , với 1 t   ;1 . 2    2  2    1 1 1  t  t   2t Ta có:   1 1 2 2 f ' t      2 1  t 1 1 1  1  2 t  2 1  t t 
2 1  t t   1  t  t   2 2 2 2   Ta có   1 f ' t  0  t  . 4
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh đã cho cî nghiệm 6   m  3 . 2 Chọn D.
Câu 83. Cho hai điểm A , B thuộc đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn 0;. Các điểm C , D thuộc trục 
Ox thỏa mãn ABCD là hënh chữ nhật và 2 CD  . Độ dài cạnh BC bằng 3 y A B O D C x A. 3 . B. 1 . C. 1 . D. 2 2 2 2 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 49
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2  2 x  x  x  x  1 B A B A  
Gọi Ax ;y , Bx ;y . Ta có:  3   3 B B  A A  y  y sin x   sin x 2 B A  B A  
Thay 1 vào 2 , ta được:  2  2  sin x    sin x  x 
   x  k2  x   k  k   A A A A A  3  3 6 Do   1
x0; nên x   BC  AD  sin  . A 6 6 2 Chọn C.
Câu 84. Một vật nặng treo bởi một chiếc lí xo, chuyển động lên xuống qua vị trì cân bằng
(hënh vẽ). Khoảng cách h từ vật đến vị trì cân bằng ở thời điểm t giây được tình theo cïng
thức h  d trong đî d  5sin 6t  4 cos6t với d được tình bằng centimet. h Vị trí cân bằng
Ta quy ước rằng d  0 khi vật ở trên vị trì cân bằng, d  0 khi vật ở dưới vị trì cân bằng.
Hỏi trong giây đầu tiên, cî bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trì cân bằng nhất? A. 0 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Lời giải  5 cos    Ta có 
h  d  5sin 6t  4 cos6t  41 sin 6t    41 , với 41  . 4 sin    41
Do đî vật ở xa vị trí cân bằng nhất h
 41 khi sin 6t    1  cos6t    0 max    
 6t     k  t     k . 2 6 12 6 Trong giây đầu tiên,     1 6  1
0  t  1  0   
 k  1    k     k 0;  1 . 6 12 6  2   2
Vậy có 2 lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất. Chọn D.
Câu 85. Phương trënh sin x 1  có bao nhiêu nghiệm? x 2
A. Vï số nghiệm. B. Vï nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 2 nghiệm Lời giải
50 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Tập xác định: D  \  0 .
Phương trënh tương đương với 2 sin x  x 1 .
Số nghiệm của phương trënh 1 là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y  2sin x và y  x .
Trên hệ trục Oxy vẽ đồ thị các hàm số y  2 sin x và y  x y y x y  2 sin x x O
Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số chỉ cắt nhau tại ba điểm trong đî cî một điểm có
hoành độ x  0 không thỏa mãn phương trënh. Do vậy, phương trënh cî hai nghiệm phân biệt. Chọn D.
Câu 86. Hàm số   x x
f x  sin  tan cî chu kỳ tuần hoàn nhỏ nhất là bao nhiêu? Biết rằng 4 6
sï T  0 được gọi là chu kỳ tuần hoàn của f x nếu như f x  f x  T, x   A. 10 B. 24 C. 8 D. 14 Lời giải
Ta biết rằng chu kỳ của sin x là 2 , còn chu kỳ của tan x là  với ,  0. Do đî, chu   kỳ của x x
sin , tan lần lượt là 8,6 .
 Gọi T là chu kỳ cần tìm thì ta cần có T T , là các số 4 6 8 6
nguyên dương. Do đî giá trị nhỏ nhất cần tìm là T  24 .  Chọn B.
Câu 87. Cho phương trënh 3 3
m  3 m  3sin x  sin x. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trënh cî nghiệm? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải Phương trënh 3 3
 m  3 m  3sin x  sin x 3 3
 m  3sin x  3 m  3sin x  sin x  3sin x. Xét hàm   3 f t  t  3t , t
  . Hàm này đồng biến nên suy ra
f  3 m  3sin x  f sin x 3 3
 m  3sin x  sin x  m  sin x  3sin x.
Đặt u  sin x 1  u  1 , phương trënh trở thành 3 m  u  3u.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 51
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC maxg u  2 Xét hàm   3  g u  u  3u , u   1
 ;1. Ta tìm được  1;1    . min g u  2   1;1
Do đî, để phương trënh đã cho cî nghiệm  ming u  m  maxg u  2   m  2  1  ;1  1  ;1 m  m  2  ; 1  ;0;1;  2 . Chọn C.
Câu 88. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trënh m  m  1  1  sin x  sin x
có nghiệm là a;b. Giá trị của a  b bằng A. 4. B. 1  2. C. 3. D. 1   2. 2 4
Lời giải
Phương trënh  m  1 1 sinx m 1 1sinx  1sinx 1sinx. Xét hàm số   2
f t  t  t với t 0;. Hàm này đồng biến trên 0; nên suy ra
f  m 1 1sinx   f 1sinx
 m  1  1  sin x  1  sin x
 m  1  1  sin x  1  sin x
 m  sin x  1  sin x
Đặt u  1  sin x , vì sin x 1  ;1  u 0; 2    Phương trënh trở thành: 2 m  u  u  1. Xét hàm   2
g u  u  u  1 với u  0; 2 .   Ta có       1 g' u 2u 1; g' u  0  u  . 2 Bảng biến thiên 1 u 0 2 2 g ' u 0 1 2 g u 1 5 4
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm  5 5 a      1 m  1  2   4  a  b    2. 4 4 b  1  2 Chọn D.
52 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 89. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trënh     3    3 3 sin x 2 cos 2x
2 2 cos x m 1 2 cos x  m  2  3 2 cos x  m  2
cî đúng một nghiệm thuộc  2  0;  ?  3  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Phương trënh tương đương với 3    3    3 3 2 sin x sin x 2 2 cos x m 2
2 cos x  m  2  2 cos x  m  2. Xét hàm   3
f t  2t  t với t  0. Ta có   2
f ' t  6t  1  0   f t đồng biến. Mà     3 f sin x f
2 cos x  m  2 , suy ra sin x  0 3
sin x  2 cos x  m  2   2 3 sin x  2 cos x  m   2   2 3  
sin x  2 cos x  m  2 (vì 2 sin x  0, x   0;  )  3  2 3 3 2
 1  cos x  2 cos x  m  2  m  2  cos x  cos x  1. Đặt      u  cosx, vì 2 1 x 0;  u    
;1 . Khi đî phương trình trở thành 3 2      3 2 m  2  u  u  1.   1  u  0     ;1 Xét    2 3 2  g u  2
 u  u  1, có g 'u 2  6
 u  2u; g 'u  0   .  1  1  u      ;1  3 2    m  1 
Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm khi  28  4   m    27 m  m  4  ; 3  ; 2  ;  1 . Chọn D.
Câu 90. Cho phương trënh 2
sin 2x  cos 2x  sin x  cos x  2 cos x  m  m  0. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trënh cî nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 9.
Lời giải Điều kiện: 2 2 cos x  m  0.
Phương trënh đã cho tương đương với 2
1  sin 2x  sin x  cos x  1  cos 2x  m  2 cos x  m    2 2 2
sin x cos x  sin x  cos x  2 cos x  m  2 cos x  m
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 53
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC          2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 cos x m  2 cos x  m Xét hàm   2
f t  t  t với t  0. Ta có f 't  2t  1  0, t
  0  Hàm số f t đồng biến. Mà      2 f sin x cos x f 2 cos  m , suy ra 2
sin x  cos x  cos x  m    2 2 2
sin x cos x  2 cos x  m  1  sin 2x  2 cos x  m  sin 2x  cos 2x  m. Vì   
sin 2x  cos 2x  2 sin 2x      2 ; 2  4    
 Phương trënh đã cho cî nghiệm m 2 m 2       m1;0;  1 . Chọn B.
Câu 91. Cho phương trënh 3 3 3
4sin x  m  sin x  sin x  4sin x  m  8  2. Cî tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trënh cî nghiệm ? A. 18. B. 19. C. 20. D. 21.
Lời giải 3  Đặt a  4sin x  m 
. Phương trënh trở thành: 3 3 3
a  b  a  b  8  2 b  sin x  a  b  23 3 3  a  b  8
 a  b3  6a  b2  12a  b  a  b 2 2 a  ab  b   0
 a  b3ab  6a  6b  12  0
 3a  ba  2b  2  0.
 Với b  2  sin x  2 vô nghiệm.   8 m Với 3
a  2  4sin x  m  2  sin x  4
Phương trënh cî nghiệm khi 8  m m 1    1  4  m  12   m 4;5;6;...;1  2 . 4  Với 3 3 a  b  0 
 4sin x  m  sin x  0  m  sin x  4sin x.
Đặt t  sin x 1  t  1 , ta được 3 m  t  4t. Xét hàm   3
f t  t  4t trên đoạn 1;1, ta được 5
  f t  5 với mọi t  1  ;1.
Suy ra phương trënh cî nghiệm m 5 m 5      
m5; 4;...;4;  5 .
Hợp hai trường hợp ta được 18 giá trị nguyên của m (vì m  4, m  5 lặp lại). Chọn A.
54 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 92. Cho phương trënh 3 tan x  1 sin x  2 cosx  msin x  3cosx. Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m thộc đoạn  2018 
; 2018 để phương trënh trên cî đúng một nghiệm thuộc     0; ? 2    A. 2015. B. 2016. C. 2018. D. 4036.
Lời giải Điều kiện: cos x  0.
Vì cos x  0 nên phương trënh tương đương với  3tan x  2 tan x  1  mtan x  3. Đặt    t  tan x  1, vì x 0;  t 1;   .  2 
Khi đî phương trënh trở thành        3  2 2 3t 3t 3t t 1 m t 2  m  . 2 t  2 3 3 4 2 t  5t  2 Xét hàm   3t  3t f t 
với t 1;. Ta có f't   0, t   1;  . 2   2 t  2  2t 2
Lập bảng biến thiên suy ra phương trënh cî nghiệm khi m  2 m   2  018;2018
m  3, 4,...,2018  Có 2016 giá trị. m   Chọn B.
Câu 93. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trënh 2
cos x  cos x  m  m có nghiệm là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải 2 cos x  u  m
Đặt u  cos x  m , ta có hệ  . 2 u  cosx  m
Trừ vế theo vế ta được: u   cos x 2 2
cos x  u  u  cos x  0  u  cosxcosx  u  1  0   . u  cos x   1
 u  cos x  1, ta được m  cosx  cosx  1        2 2  3  1 m cos x
cos x 1  m  cos x  cos x  1  m  ;3  4     cos x  0
 u  cosx, ta được m  cosx  cosx   2 m  cos x   cos x cosx  0   2 m
  cos x  cos x  m   0;2 Vậy m 0;1;2; 
3  Có 4 số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 55
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 94. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trënh m
1  2 cos x  1  2 sin x  3 cî nghiệm là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải 1  2 cos x  0 Điều kiện:  2     k2  x   k2 .  (Hình vẽ) 1  2 sin x   0 6 3 m  0 Phương trënh  2  
2  2 sin x  cos x  2 1  2 sin x  cos x m .  4sin x cos x   9    Đặt 1 3
t  sin x  cos x  t   ; 2  2   2
Phương trënh 1 trở thành 2 m
2  2t  2 2t  2t  1  . 9 sin cos    Xét hàm   2
f t  2  2t  2 2t  2t  1 với 1 3 t   ; 2 . 2       Ta có   4t 2 1 3 f ' t  2   0, t    ; 2 . 2 2t  2t  1 2  
maxft  f 2  4 2  4  Suy ra      .    1 3 min f t  f    1  3  2     2  m  3  1   4 2 1
Do đî để phương trënh cî nghiệm   9  3 3  1  m  6 2  1 m   0 m  m 5;6;7;8;  9 . Chọn D.
56 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 95. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số   
f x  sin  sin x lần lượt là 3    A. 1 và 1. B. 0 và 1. C. 3  và 3 . D. 0 và 3 . 2 2 2
Lời giải Vì  
0  sin x  1  0  sin x  . 3 3 Trên đoạn       0; 
hàm số sin luïn tăng nên suy ra sin 0  sin sin x    sin 3     3  3 hay    3 0  sin sin x   . 3    2 Chọn D.
Câu 96. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   3
f x  2 cos x  cos 2x trên đoạn     ;  lần lượt là 3 3    A. 3  và 1. B. 1 và 1. C. 19 và 1. D. 3  và 3 . 4 27 4
Lời giải Ta có   3 3 2
f x  2 cos x  cos 2x  2 cos x  2 cos x  1. Đặt      t  cos x, vì 1 x  ;  t  ;1  3 3 2     
Khi đî hàm số trở thành   3 2   f t  2t  2t  1 với 1 t  ;1 .  2        19 min f x  Khảo sát hàm số   f t trên đoạn 1 ;1  , ta tëm được  27 . 2    max f x  1  Chọn C.
Câu 97. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số    2018 y 3 5sin x
. Giá trị của M  m bằng A. 2018  4036 2 1  2 . B. 2018 2 . C. 4036 2 . D. 6054 2 .
Lời giải
Ta có 1  sin x  1  5  5sin x  5 hay              2018 2018 5 5sin x 5 2 3 5sin x 8 0 3 5sin x  8 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 6054 M  2
, giá trị nhỏ nhất của hàm số là m  0 . Chọn D.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 57
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 98. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  sin x  4sin x  5 . Tính 2 P  M  2m . A. P  1. B. P  7. C. P  8. D. P  2.
Lời giải Ta có       2 2 y sin x 4 sin x 5 sin x 2  1. Do              2 1 sin x 1 3 sin x 2 1 1 sin x 2  9    2  sin x  22 M 10 2  1  10    P  M  2m  2. m   2 Chọn D.
Câu 99. Giá trị nhỏ nhất của    2x   4x  f x  sin  cos    
 1 gần nhất với số nào sau 2 2  x  1   x  1  đây? A. 1. B. 1  . C. 1  . D. 1  . 2 4 8
Lời giải Ta có  4x   2x  2 2x cos  cos 2  1      2 sin . 2 2 2  x  1   x  1  x  1 Do đî   2 2x 2x f x  2  sin  sin  2. 2 2 x  1 x  1 Đặt 2x t  sin  1  ;1 , ta được   2 f t  2  t  t  2. 2   x  1 Xét hàm   2 f t  2
 t  t  2 trên đoạn 1;1, ta được min f t  1.   1  ;1
Lời giải trên có vẻ hợp lû nhưng xét kỹ thì không ổn vì 2x 1    1 (xét hàm). 2 x  1 Khi đî 2x t  sin  sin 1;sin 1 . 2   x  1
Tương tự như trên, xét hàm   2 f t  2
 t  t  2 trên đoạn sin 1;sin 1, ta được
min f t   f sin 1   2  sin1 2   s  in 1 2 0,25. sin1;sin1  Chọn C.
Nhận xét. Bài toán chỉ hay khi tự luận, nếu trắc nghiệm thì dùng MODE 7 rất nhanh.
Câu 100. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số cos x  2 sin x  3 y  . Tính S  11m  M. 2 cos x  sin x  4
A. S  10. B. S  4. C. S  6. D. S  24.
Lời giải
Gọi y là một giá trị của hàm số. 0
58 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Khi đî phương trënh cos x  2 sin x  3 y  có nghiệm. 0 2 cos x  sin x  4 Ta có cos x  2 sin x  3 y 
 2y  1 cos x  y  2 sin x  3  4y . 0  0   0  0 2 cos x  sin x  4
Phương trënh cî nghiệm  2y  12  y  22  3  4y 2 0 0 0 M  2 2 2 
 11y  24y  4  0   y  2   2  P  4. 0 0 0 11 m   11 Chọn B. Câu 101. Gọi  
M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sin x cos x 1 y  . 2  sin 2x Khi đî, M  3m bằng A. 1. B. 1. C. 2. D. 1  2 2.
Lời giải Ta có sin x  cos x  1 sin x  cos x  1 y   . 2  sin 2x sinx  cosx2 1 Đặt u  1
u  sin x  cos x, điều kiện u  2. Khi đî y  . 2 u  1 Xét hàm u  1 1  u y 
trên đoạn  2 ; 2 . y  ; y  0  u  1. 2 u  1   Ta có  2u 1 2u 1 Tính   1 2    1 2 y 2 , y 2  , y1  2 3 3 M  max y  2     M  3m  1. 1  2 m  min y   3 Chọn B.
Câu 102. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 y  
cî dạng a  b 2 với a, b 4 4 1  cos x cos x
là các số nguyên. Tình S  a  b. A. S  3. B. S  4. C. S  5. D. S  7.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta được  2 1 2 1 2 y     3  2 2. 4 4 4 4
1  cos x cos x 1  cos x  cos x a  3 Suy ra   S  5. b   2 Chọn C.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 59
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 103. Cho hàm số 2 2
y  1  2 sin x  1  2 cos x  1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đî giá trị của M  m gần nhất với số nào sau đây? A. 5 . B. 7 . C. 9 . D. 11 . 2 2 2 2
Lời giải  Xét 2 2
t  1  2 sin x  1  2 cos x 2  t   2 1  2 sin x   2 1  2 cos x  2  2 1  2 sin x 2 1  2 cos x 2  4  2 3  sin 2x 2
 t  4  2 3  sin 2x  4  2 3  1  3 2 2
 y  1  2 sin x  1  2 cos x  1  3.
Dấu ''  '' xảy ra khi sin 2x  0.  Lại có 2 2      2 2   2 2 1 2 sin x 1 2 cos x 1 1
1  2 sin x  1  2 cos x  2 2 2 2
 y  1  2 sin x  1  2 cos x  1  2 2  1. Dấu ''  '' xảy ra khi 2 2 sin x  cos x. m  3 Vậy 
 M  m  3  2 2  1 3,56. M  2 2  1 Chọn B.
Câu 104. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số   2018 2018 f x  sin x  cos x lần lượt là A. 1 và 1 1 2. B. và 1. C. 0 và 1. D. và 1. 1008 2 1009 2 1008 2
Lời giải Đặt 2 2
a  sin x, b  cos x. Ta có   2018 2018 2 2 sin x  cos
x  sin x  cos x  1. Dấu "  " xảy ra  x  k . 2 1009 1009 1009       a b a b  1 2018 2018 sin x  cos x  2.   2    . 1008  2   2  2 Dấu  
"  " xảy ra  x   k . 4 2
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 ; giá trị lớn nhất bằng 1. 1008 2 Chọn D.
Câu 105. Cî bao nhiêu giá trị của tham số thực   a để hàm số cos x a sin x 1 y  cî giá trị cos x  2 lớn nhất bằng 1 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
60 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Ta có cos x  asin x  1 y 
 ycosx  2  cosx  asin x  1 cos x  2
 asin x  1  ycosx  2y  1.
Phương trënh cî nghiệm     2    2 2 2 2 a 1 y
2y 1  3y  2y  a  0 2 2 1  1  3a 1  1  3a   y  . 3 3 2 1  1  3a a  1 Yêu cầu bài toán 2 2 
 1  1  3a  2  1  3a  4   . 3 a  1   Chọn C.
Câu 106. Cî bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 0;10 để hàm số 1  m sin x y 
cî giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn 2 ? cos x  2 A. 5. B. 6. C. 11. D. 12.
Lời giải Ta có 1  m sin x y 
 ycosx  2  1 msin x  msin x  y cosx  1 2y. cos x  2 Phương trënh cî nghiệm     2 2 2 2 2 y m
2y 1  3y  4y  1  m  0 2 2 2  3m  1 2  3m  1   y  . 3 3 2 2  3m  1 m  21 Yêu cầu bài toán 2 2 
 2  3m  1  8  m  21   . 3 m   21 m  m  5;6;7;8;9;10 . m 0;10     Chọn B.
Câu 107. Cho hàm số   2  2  x  2 y  2 sin x   2 cos  3 sin x     
a (với là tham số). Gọi  6   2   
m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2 ; .  Có bao 6 3   
nhiêu giá trị nguyên của a để 2 321 m  M  ? 4 A. 3. B. 4. C. 6. D. 7.
Lời giải Ta có     2 x  2 cos
 3 sin x  cos x  3 sin x  1  1  2 sin x     .  2   6  Do đî      2  2 y  2 sin x   2 sin x   a      1.  6   6  Đặt     2 t  sin x    , vì x ;  t 0;1  6  6 3   
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 61
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Hàm số trở thành 2 2  1  2 1
y  2t  2t  a  1  2 t   a    .  2  2 2 Vì 1 1 1  1  1 0  t  1    t    0  t   . 2 2 2 2    4 2 Suy ra 2 1  1  2 1 2 a   2 t   a   a    1. 2  2  2  2 1 2 m  a  2 321  2 1    2          2   321 m M a a 1   3   a  3. 2 4   2  4 M  a   1
Suy ra có 7 giá trị nguyên của thỏa. Chọn D.
Câu 108. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
y  sin x  cos 2x  m bằng 2. Hỏi tập S cî bao nhiêu phần tử? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải Ta có        2 4 4 2 2 4 sin x cos 2x sin x 2 sin x 1 1 sin x  cos x 4  y  cos x  m . Vì 4 4
0  cos x  1  m  cos x  m  1  m.
Suy ra min y  minm , m  1.  m  m  1   m  1  2   m  3 Yêu cầu bài toán     . Vậy S   3  ;  2 . m   2  m  1  m   m  2  Chọn B.
Câu 109. Cho x, y là các số thực thỏa mãn cos 2x  cos 2y  1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P  tan x  tan y bằng A. 1 . B. 2 . D. 8 . C. 3. 3 3 3
Lời giải       Ta có 1 1 1 1 P    1     1  2    2. 2 2  cos x   cos y 
 1  cos 2x 1  cos 2y   1 12 
Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được 4 2 P  2    2  2.  2  .  2  cos 2x  cos 2y  2  1 3   Chọn B.
62 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 110. Cho hàm số y  f x xác định trên , thỏa mãn   1
f tan x  sin 2x  cos 2x với 2 mọi     x  
; . Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a  b  1, giá trị nhỏ nhất của  2 2 
biểu thức S  f a.f b bằng A. 1   . B. 1  . C. 5 3 5 . D. 5 3 5 . 25 2 2 2
Lời giải 2 2 2 Theo giả thiết, ta có   tan x
1  tan x tan x  tan x  1 t  t  1 f tan x     f t  . 2 2 2 1  tan x 1  tan x 1  tan x 2 t  1 2 2      
Do đî            a a 1 1 a 1 a 1 5  3 5 S f a .f b f a .f 1 a  .  . 2 a  1 1a2  1 2 Chọn C.
Câu 111. Cho hai số thực    x, y thuộc 0;
và thỏa mãn cos 2x  cos 2y  2 sin x  y  2. 2    4 4 Giá trị nhỏ nhất của cos x cos y P   bằng y x A. 2 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . 3   
Lời giải Ta có      2 2
cos 2x cos 2y 2 sin x y  2  sin x  sin y  sin x  y. a b a  b2 2 2 Suy ra 
x  y  . Áp dụng BĐT cộng mẫu   , ta được 2 m n m  n 2        cos x  cos y 2 2 2 2 2 2 cos x cos   x 2 2  2  cos x    sin x    2 P     . x  y x  y x  y  Dấu 
''  '' xảy ra  x  y  . 4 Chọn C.
Nhận xét. Việc suy ra 
x  y  được chứng minh như sau: 2 Với         x, y 0;
suy ra  x,  y cùng thuộc 0; . 2    2 2  2  Trên đoạn   0; , 
hàm y  sin x đồng biến. 2   
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 63
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC      x   y  sin x  sin  y     cos y    2  2  Nếu x  y    2      y   x  sin y  sin  x    cos x  2  2  2 2
 sin x  sin y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x.cos y  sin y.cos x  sin x  y Mâu thuẫn 
 Tương tự cho x  y  . 2 
 Trường hợp x  y  : thỏa mãn. 2
Câu 112. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 2 2 2
a  b  c  4. Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả các hàm số  
y  a  b sin x  c cos x với x0; . 4   
A. M  1  2 . B. M  1  2.
C. M  2 1  2 . D. M  21 2.
Lời giải Ta có    2  2 2 2 a b sin x c cos x
a  b  c 1 sin x  cosx      4 1  2 sin x   4   1   2 .   4 
Suy ra a  b sin x  c cos x  2 1  2 .  b c a   4   2 2 2 sin x cos x a  ; b  c   Dấu   ''  '' xảy ra 2 2 2 2  2 2        2 a b c 4  .         x sin x   1, x   0;      4   4   4  Chọn C.
Câu 113. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin 2  2ab  sin a  b  2ab  a  b  2.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  a  2b bằng A. 2 10  3    . B. 3 10 7 . C. 2 10 1 . D. 2 10 5 . 2 2 2 2
Lời giải
Ta có sin 2  2ab  sin a  b  2ab  a  b  2
 sin 2  2ab  2  2ab  sin a  b  a  b
Xét hàm f t  sin t  t với t  . Ta có f't  cost  1  0  Hàm số f t đồng biến. Mà 
f 2  2ab  f a  b nên 2 a
2  2ab  a  b  b  (vì b  0  a  2 ). 2a  1 Khi đî 4  2a  S  a  2b  a 
. Khảo sát hàm số trên 0;2 ta được 2 10 3 min S  . 2a  1 2
64 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn A.
Câu 114. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cosx  y  1  3  cos3xy  9xy  3x  3y.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  xy  2 bằng A. 11 4 7   . B. 1. C. 28 8 7 . D. 7 2 7 . 9 21 21
Lời giải
Ta có cosx  y  1  3  cos3xy  9xy  3x  3y
 cosx  y  1  3x  y  1  cos3xy  33xy
Xét hàm f t  cost  3t với t  . Ta có f't  sin t  3  0  Hàm số f t đồng biến. Mà 
f x  y  1  f 3xy nên y 1
x  y  1  3xy  x  . 3y  1 y 1y  2 2 Khi đî y  3y  2  S  
. Khảo sát ta tëm được 11 4 7 min S  . 3y  1 3y  1 9 Chọn A.
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 65 LỜI KẾT
Vậy là chúng ta đã đi đến trang cuối cùng của tuyển tập này, tuy bài viết chưa thực sự là
hay nhưng hy vọng những kiến thức mà mình đưa vào trong bài viết có thể giúp ích được
các bạn trong quá trình học tập. Ngoài ra có thể còn một vài thiếu xót trong tuyển tập này,
mong mọi người bỏ qua. Một lần nữa gửi lời cảm ơn đến những người có đóng góp cho bài
viết này và chúc các bạn một mùa ôn thi thành công nhé!